Toán 11 - Tập 1

Ƅ Chương 2. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

S

1 Ta có S ∈ (SAC) ∩ (SBD). (1)

®I ∈ AC, AC ⊂ (SAC) M Q
Trong (ABCD) : I = AC ∩ BD ⇒ P
H
I ∈ BD, BD ⊂ (SBD)
C
F E

⇒ I ∈ (SAC) ∩ (SBD). (2) K N J D
Từ (1) và (2) ⇒ (SAB) ∩ A I
(SCD) = SI.

2 Ta có N ∈ (M N P ) ∩ (SBD).
(3)

B

®J ∈ M P, M P ⊂ (M N P )
Trong (SAC) : Gọi J = M P ∩ SI ⇒

J ∈ SI, SI ⊂ (SBD)

⇒ J ∈ (M N P ) ∩ (SBD). (4)

Từ (3) và (4) ⇒ (M N P ) ∩
(SBD) = N J.

3
®Q ∈ N J, N J ⊂ (M N P )

Trong (SBD) : Gọi Q = N J ∩ SD ⇒
Q ∈ SD

⇒ Q = SD ∩ (M N P ).

4
®H ∈ M N, M N ⊂ (SAB)

Trong (M N P Q) : H = M N ∩ P Q ⇒
H ∈ P Q, P Q ⊂ (SCD)

⇒ H ∈ (SAB) ∩ (SCD)
⇒ H ∈ SE.

Suy ra S, H, E thẳng hàng.

5 Ta có S ∈ (SAD) ∩ (SBC). (5)

®K ∈ AD, AD ⊂ (SAD)
Trong (ABCD) : K = AD ∩ BC ⇒

K ∈ BC, BC ⊂ (SBC)

⇒ K ∈ (SAD) ∩ (SBC). (6)
Từ (5) và (6) ⇒ (SAD) ∩
(SBC) = SK.

®F ∈ QM, QM ⊂ (SAD)
Trong (M N P Q) : Gọi F = QM ∩ P N ⇒

F ∈ P N, P N ⊂ (SBC)
⇒ F ∈ (SAD) ∩ (SBC)
⇒ F ∈ SK.

Suy ra SK, QM , N P đồng quy
tại F .

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 351

Ƅ Chương 2. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI 5. Cho tứ diện S.ABC với I là trung điểm của SA, J là trung điểm của BC. Gọi M là điểm di động trên
IJ và N là điểm di động trên SC.

1 Xác định giao điểm P của M C và (SAB).
2 Tìm giao tuyến của (SM P ) và (ABC).
3 Tìm giao điểm E của M N và (ABC).
4 Gọi F = IN ∩ AC. Chứng minh đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi M, N di động.
BÀI 6. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi J là một điểm trên đoạn AD
sao cho AD = 3JD.
1 Tìm giao điểm F của IJ và (BCD).

EB
2 Tìm giao điểm E của (IJK) và đường thẳng BC. Tính tỉ số .

EC
HC

3 Chứng minh ba đường thẳng AC, KJ, IE đồng quy tại điểm H. Tính tỉ số .
HA

4 Chứng minh EJ HF và đường thẳng IK đi qua trung điểm của đoạn HF .
5 Gọi O là trung điểm IK và G là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh ba điểm A, O, G thẳng hàng.

OA
Tính tỉ số .

OG

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 352

CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
TRONG KHÔNG GIAN. QUAN
3 HỆ SONG SONG.

.BÀI HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt a
Cho hai đường thẳng phân biệt a, b.

a Ia b
b b

Định nghĩa 1.

• Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng.
• Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng.
• Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung.

2 Tính chất hai đường thẳng song song

Định lí 1. Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ
một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Định lí 2 (Định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng). Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt
nhau theo ba giao tuyến phân biệt thcì ba giao tuyến ấy hoặc đồng qcuy hoặc đôi một song song với

nhau. α βα

β

b b
a a

γ
γ

Hệ quả 1. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến

của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường

thẳng đó. β β β
α α
α

dd d dd
d d
d d

353

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

Định lí 3. Hai đường thẳng phân biệt cùng song socng với đường thẳng thứ ba thì song song với

nhau. αβ

b
a

γ

B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP

DẠNG 1.1. Chứng minh hai đường thẳng song song.

Phương pháp giải:
Cách 1. Chứng minh hai đường thẳng a, b đồng phẳng, rồi dùng các định lí trong hình học phẳng, chẳng

hạn định lí đường trung bình, định lí đảo Thales, . . . để chứng minh a b.
Cách 2. Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba. Chẳng hạn, chứng minh

®c a
⇒ a b.

cb

Cách 3. Áp dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng và hệ quả của nó. Chẳng hạn, chứng minh

b c a b c



b ⊂ (α), c ⊂ (β) ⇒ a ≡ b


(α) ∩ (β) = a a ≡ c.

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ 1. Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và ABD. Chứng minh
rằng IJ CD.

Lời giải.

Gọi E là trung điểm AB. Ta có ®I ∈ CE ⇒ IJ và CD đồng phẳng. A

J ∈ DE

Vì I, J lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và ABD nên

EI EJ 1 E J
= =. B I

EC ED 3

Theo định lí đảo Thales suy ra IJ CD (đpcm). D

C

VÍ DỤ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M , N , P , Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD,
AC, BD. Chứng minh M P N Q là hình bình hành. Từ đó suy ra ba đoạn thẳng M N , P Q, RS cắt nhau
tại trung điểm G của mỗi đoạn.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 354

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

Lời giải.

M P AC

A
Vì M P là đường trung bình của ABC nên 1 (1)
M P = AC. (2) M
2 RG
N Q AC
 B
P
Vì N Q là đường trung bình của ACD nên 1
N Q = AC.
2 Q
®M P N Q
Từ (1) và (2) suy ra S
M P = N Q. N

Do đó, M P N Q là hình bình hành. Suy ra M N , P Q cắt nhau tại

trung điểm G của mỗi đoạn. D

Chứng minh tương tự ta được P SQR là hình bình hành nên P Q, RS

cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đoạn.

Vậy M N , P Q, RS cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đoạn.

C

Nhận xét. Điểm G nói trên được gọi là trọng tâm của tứ diện.
Trọng tâm của tứ diện là điểm đồng qui của các đoạn nối trung điểm của các cạnh đối, nó cũng là trung điểm
của các cạnh này.

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M , N lần lượt là trung điểm
của SA, SD. Chứng minh

1 M N AD và M N BC; 2 M O SC và N O SB.

Lời giải. S
1 Xét tam giác SAD có

M là trung điểm của SA (giả thiết); M
N là trung điểm của SD (giả thiết). N

Suy ra M N là đường trung bình của SAD. A

Do đó M N AD.

Ta có ®M N AD (chứng minh trên) ⇒

BC AD (ABCD là hình bình hành) B

MN BC.

2 Xét tam giác ASC có O
D

C

M là trung điểm của SA (giả thiết);

O là trung điểm của AC (O là tâm của hình bình hành ABCD).

Suy ra OM là đường trung bình của SAC. Do đó M O SC.
Tương tự, N O là đường trung bình của SDB nên N O SB.

BÀI 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M , N lần lượt là trung điểm
của AB, AD. Gọi I, J, G lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SAD và AOD. Chứng minh

1 IJ MN; 2 IJ BD và GJ SO.

Lời giải.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 355

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

1 Xét tam giác SM N có S

2 SAB); J
SI = SM (I là trọng tâm của SAD). B

3 I GO
2 M N
SJ = SN (J là trọng tâm của
3

suy ra IJ M N (định lý Ta-lét đảo). C

2 Vì M N là đường trung bình của ABD nên A D
MN BD.
Mà IJ M N (chứng minh trên) nên IJ BD.
Xét tam giác SON có

1 AOD);
N G = N O (G là trọng tâm của SAD).

3
1
N J = SN (J là trọng tâm của
3

suy ra GJ SO (định lý Ta-lét đảo).

3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O và I là một điểm trên cạnh SO.
1 Tìm giao điểm E và F của mặt phẳng (ICD) lần lượt với các đường SA, SB. Chứng minh EF AB;

2 Gọi K là giao điểm của DE và CF . Chứng minh SK BC.

Lời giải. K S
F
1 Vì I ∈ SO mà SO ⊂ (SBD) nên I ∈
(SBD). Do đó F = DI ∩ SB và E =
CI ∩ SA.
Ta có

(CDI) ∩ (ABCD) = CD; E C
(SAB) ∩ (ABCD) = AB; I
(CDI) ∩ (SAB) = EF .
B
Mà AB CD (ABCD là hình bình O
hành) nên EF AB CD (tính chất
giao tuyến của ba mặt phẳng). AD

2 Cách 1. Ta có

®K ∈ ED ⊂ (SAD)
⇒ K là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

K ∈ F E ⊂ (SBC)
®S ∈ (SAD)

⇒ S là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
S ∈ (SBC)
Suy ra SK là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

(SAD) ∩ (ABCD) = AD

Ta có  ⇒ SK BC AD.
(SBC) ∩ (ABCD) = BC

(SAD) ∩ (SBC) = SK




AD BC

Vậy SK BC.

Cách 2. Trong SCD có EF CD nên theo định lý Ta-lét ta có

KF EF (1)
=.

KC CD

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 356

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

Tương tự, trong SAB có EF AB nên

SF EF EF (2)
= = (AB = CD).

SB AB CD

Từ (1) và (2) suy ra KF = SF ⇔ KF = SF .
Xét F SK và F BC có KC SB FC FB

KF SF
= (chứng minh trên);

FC FB
S’F K = B’F C (đối đỉnh).

Do đó F SK F BC (cạnh - góc - cạnh) suy ra SK BC.

BÀI 4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của
SA và SB.

1 Chứng minh EF CD. 2 Tìm I = AF ∩ (SCD). 3 Chứng minh SI AB CD.

Lời giải.

S
I

F
E

AB

D
C

1 Ta có EF là đường trung bình của tam giác SAB nên EF AB
mà AB CD (hai đáy của hình thang)
nên EF CD.

2 Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) có AB CD nên giao tuyến là đường thẳng Sx AB CD.
Kéo dài AF cắt Sx tại I.
Ta thấy I là điểm chung của AF và (SCD).

3 Theo ý 2 .

DẠNG 1.2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song.

Phương pháp giải:

A ∈ (α) ∩ (β)



a ⊂ (α), b ⊂ (β) ⇒ (α) ∩ (β) = Ax với Ax a b.

a b

1 VÍ DỤ Trang 357
Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

VÍ DỤ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Điểm M thuộc cạnh SA. Điểm E,
F lần lượt là trung điểm của AB và BC.

1 Tìm (SAB) ∩ (SCD). 2 Tìm (M BC) ∩ (SAD).

3 Tìm (M EF ) ∩ (SAC). 4 Tìm AD ∩ (M EF ).

5 Tìm SD ∩ (M EF ). 6 Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi (M EF ).

Lời giải.

S ∈ (SAB) ∩ (SCD) x S y
 N D

1 AB ⊂ (SAB), CD ⊂ (SCD) M
K
AB CD z

⇒ (SAB) ∩ (SCD) = Sx với Sx AB CD. A

M ∈ (M BC) ∩ (SAD) FC


2 BC ⊂ (M BC), AD ⊂ (SAD)

BC AD

⇒ (M BC) ∩ (SAD) = M y với M y BC AD.

M ∈ (M EF ) ∩ (SAC) I E
 B

3 EF ⊂ (M EF ), AC ⊂ (SAC)
EF AC
⇒ (M EF ) ∩ (SAC) = M z với M z EF AC.

4 Trong (ABCD), gọi I = EF ∩ AD.
Mà EF ⊂ (M EF ) nên AD ∩ (M EF ) = I.

5 Trong (SAD), gọi N = SD ∩ IM .
Mà IM ⊂ (M EF ) nên SD ∩ (M EF ) = N .

6 Thiết diện của hình chóp cắt bởi (M EF ) là ngũ
giác M N KF E.

VÍ DỤ 2. Cho hình chóp S.ABCD. Mặt đáy là hình thang có cạnh đáy lớn AD, AB cắt CD tại điểm
K. Gọi M là điểm nằm trên cạnh SD.

1 Tìm d = (SAD) ∩ (SBC) và N = KM ∩ (SBC).

2 Chứng minh rằng AM , BN và d đồng qui.

Lời giải. Trang 358

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

S E d
M D
S ∈ (SAD) ∩ (SBC) BC. N

 C
1 • AD ⊂ (SAD), BC ⊂ (SBC)

AD BC

⇒ (SAD) ∩ (SBC) = d với S ∈ d, d AD
• Trong (SCD), gọi N = KM ∩ SC.
Mà SC ⊂ (SBC) nên N = KM ∩ (SBC).

(SBC) ∩ (SAD) = d A


2 (SBC) ∩ (M AB) = BN

(M AB) ∩ (SAD) = AM

Theo định lí về giao tuyến của 3 mặt phẳng, suy ra

AM , BN và d hoặc đồng qui hoặc đôi một song song.

Mà AM , d cắt nhau nên AM , BN và d phải đồng

qui. B

K

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA,
SB. Gọi P là một điểm trên cạnh BC. Tìm giao tuyến của

1 (SBC) và (SAD); 2 (SAB) và (SCD); 3 (M N P ) và (ABCD).

Lời giải.

1 Ta có S y
M
(SBC) ∩ (ABCD) = BC; x
(SAD) ∩ (ABCD) = AD; P C
AD BC (ABCD là hình bình hành). N D

Mà S là điểm chung của 2 mặt phẳng (SBC) và B
(SAD) nên giao tuyến của 2 mặt phẳng (SBC) O
và (SAD) là đường thẳng Sx BC AD.
Q
A

2 Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng Sy AB CD.

3 Vì M N AB (M N là đường trung bình của SAB) nên qua P kẻ P Q AB (Q ∈ AD). Khi đó giao
tuyến của hai mặt phẳng (M N P ) và (ABCD) là đường thẳng P Q.

BÀI 2. Cho tứ diện SABC. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và AB, G là một điểm trên
cạnh AC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau

1 (SAC) và (EF C); 2 (SAC) và (EF G).

Lời giải.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 359

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

1 Ta có S x
H C
(SAC) ∩ (SAB) = SA;
E
(EF C) ∩ (SAB) = EF ;
G
SA EF (EF là đường trung bình của A
SAB).
F
Do đó giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAC) và (EF C)
sẽ song song với SA và EF . B
Mà C là điểm chung của 2 mặt phẳng (SAC) và
(EF C) nên giao tuyến của chúng là đường thẳng
Cx SA EF.

2 Vì EF SA (EF là đường trung bình của SAB)
nên qua G kẻ GH SA (H ∈ SC). Khi đó giao tuyến
của hai mặt phẳng (SAC) và (EF G) là đường thẳng
GH .

BÀI 3. Cho hình chóp S.ABCD có O là tâm của hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh SA sao cho
SM = 2M A, N là trung điểm của AD.

1 Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SAD) và (M BC).
2 Tìm giao điểm I của SB và (CM N ), giao điểm J của SA và (ICD).

SE
3 Chứng minh ba đường thẳng ID, JC, SO đồng quy tại E. Tính tỉ số .

SO
Lời giải.

F St

J

M E P
I C

N D
A
Trang 360
O

B

M ∈ (M BC) ∩ (SAD)


1 Vì BC ⊂ (M BC) và AD ⊂ (SAD)
BC AD
nên (SAD) ∩ (M BC) = M P BC AD (với P ∈ SD).

S ∈ (SAD) ∩ (SBC)


2 Vì AD ⊂ (SAD) và BC ⊂ (SBC)
AD BC
nên (SAD) ∩ (SBC) = St AD BC.
Gọi F = M N ∩ St; I = CF ∩ SB.
®I ∈ SB
Vì nên I = SB ∩ (CM N ).

I ∈ CF ⊂ (CM N )

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

Qua I kẻ đường thẳng song song với AB cắt SA tại J.
®J ∈ SA

Vì nên J = SA ∩ (ICD).
J ∈ JI ⊂ (ICD)(vì IJ CD ⇒ (IJCD) ≡ (ICD))

3 Xét 3 mặt phẳng (SAC), (SBD) và (CDJI), ta có

SO = (SAC) ∩ (SBD)



ID = (SBD) ∩ (CDJI)
JC = (SAC) ∩ (CDJI).

Do đó ba đường thẳng ID, JC, SO đồng quy. Gọi điểm đồng quy là E.
Trong mặt phẳng (SF AD), áp dụng định lý Thales (để ý rằng AN SF ) ta có

M A AN 1
= =.

MS SF 2

Suy ra SF = AD = BC và SF BC là hình bình hành. SBD.
I = SB ∩ CF nên I là trung điểm của SB.

SBD có DI và SO là trung tuyến nên E là trọng tâm của
SE 2

Vậy = .
SO 3

BÀI 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD là đáy lớn và AD = 2BC. Gọi M , N , P
lần lượt thuộc các đoạn SA, AD, BC sao cho M A = 2M S, N A = 2N D, P C = 2P B.

1 Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau: (SAD) và (SBC), (SAC) và (SBD).

2 Xác định giao điểm Q của SB với (M N P ).
3 Gọi K là trung điểm của SD. Chứng minh CK = (M QK) ∩ (SCD).
Lời giải.

F ≡F St

M

K
K

A N
Q D

O Trang 361

B P C
E

S ∈ (SAD) ∩ (SBC)



1 Vì AD ⊂ (SAD) và BC ⊂ (SBC)


AD BC

nên (SAD) ∩ (SBC) = St AD BC.

Gọi O = AC ∩ BD ⇒ ®O ∈ AC ⊂ (SAC) suy ra SO = (SAC) ∩ (SBD).

O ∈ BD ⊂ (SBD)

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

2 Gọi E = N P ∩ AB và Q = EM ∩ SB. Vì ®Q ∈ SB nên Q = SB ∩ (M N P ).

Q ∈ M E ⊂ (M N P )

3 Gọi F = M K ∩ St và F = QC ∩ St. Dựa vào các vị trí các điểm Q, C, M và K của giả thiết cho, dễ
thấy F và F cùng nằm về một phía so với mặt phẳng (SAB).
Trong mặt phẳng (SF BC), áp dụng định lý Thales (để ý rằng SF BC) ta có

QS BC 1 (1)
= =.

QB SF 2

Gọi K là trung điểm của SA. suy ra MK 1
=.
MS 2

Trong mặt phẳng (SF AD), áp dụng định lý Thales (để ý rằng SF KK ) ta có

MK KK 1 (2)
= =.

MS SF 2

Từ (1), (2) và AD = 2BC suy ra SF = SF . Do đó F ≡ F , suy ra bốn điểm Q, C, M và K đồng phẳng.
Vậy CK = (M QK) ∩ (SCD).

3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi G, J lần lượt là trọng tâm tam giác BCD và ACD.

1 Chứng minh GJ AB. 2 Tìm (ABD) ∩ (GJD).

Lời giải.

Ax

J D
B

G
M

C

1 Gọi M là trung điểm CD.
MG MJ 1

Xét tam giác ABM có = =
MB MA 3

Suy ra GJ AB.

2 Hai mặt phẳng (ABD) và (GJD) có điểm D chung và GJ AB nên giao tuyến là đường thẳng Dx
GJ AB.

BÀI 6. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm ABC, ABD và E, F lần lượt là trung điểm
BC, AC.

1 Chứng minh IJ CD. 2 Tìm (DEF ) ∩ (ABD).

Lời giải.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 362

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.
Ax

FJ

I M D
B

E
C

1 Gọi M là trung điểm BD.

AI AJ 1
Tam giác AEM có = = nên IJ ME.
AE AM 3

Mà M E CD (đường trung bình)

Suy ra IJ CD.

2 Hai mặt phẳng (DEF ) và (ABD) có điểm chung D và EF AB nên giao tuyến là đường thẳng Dx
AB EF .

BÀI 7. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC và N là trọng
tâm tam giác ABC.

1 Tìm I = SD ∩ (AM N ). 2 Chứng minh N I SB. 3 Tìm (AM N ) ∩ (SAD).

Lời giải.

S

I

M D
E
A

O
N
BC

1 Gọi O là giao điểm AC và BD, E là giao điểm SO và AM .
Khi đó N E và SD cắt nhau tại I.
Ta thấy I ∈ SD và I ∈ N E ⊂ (AM N ) nên I = SD ∩ (AM N ).

OE ON 1
2 Tam giác SOB có = = nên N E SB.

OS OB 3
Suy ra N I SB.

3 Hai mặt phẳng (AM N ) và (SAD) có hai điểm chung A, I nên (AM N ) ∩ (SAD) = AI.

BÀI 8. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang (AB CD) với CD = 2AB. Gọi O là giao điểm
của AC và BD, K là trung điểm SC, G là trọng tâm tam giác SCD.

1 Chứng minh OG BK. 2 Tìm (ACG) ∩ (SBC).

Lời giải.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 363

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.
x

S

K B
GA

O

D
C

1 Ta có OCD OAB do C’OD = A’OB và O’DC = O’BA.

OD OC CD BK.
Suy ra = = = 2.

OB OA AB
2

Suy ra OD = DB.
3
DG DO 2

Tam giác DBK có = = nên OG
DK DB 3

2 Hai mặt phẳng (SBC) và (ACG) có điểm C chung và OG BK nên giao tuyến là đường thẳng Cx
OG BK.

BÀI 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và O là giao điểm hai đường chéo AC và
BD. Lấy điểm E trên cạnh SC sao cho EC = 2ES.

1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)

2 Tìm giao điểm M của đường thẳng AE và mặt phẳng (SBD). Chứng minh M là trung điểm của đoạn
thẳng SO.

Lời giải.

S ∈ (SAB) ∩ (SCD) S
 F

t
1 Vì AB ⊂ (SAB) và CD ⊂ (SCD)

AB CD

nên (SAB) ∩ (SCD) = St AB CD. E

2 Gọi M = AE ∩ SO. M
®M ∈ AE I

Vì nên M = AE ∩
M ∈ SO ∩ (SBD)

(SBD). A D
EI 1 O

Gọi I là trung điểm SC, suy ra = .
ES 2

Gọi F = OI ∩AE. Trong mặt phẳng (SAC),

áp dụng định lý Thales (để ý rằng OI SA)

B C

FI EI 1
= =.

SA ES 2

SA
Suy ra F I = OI = , từ đó dẫn đến SF OA là hình bình hành. Vậy M là trung điểm của SO.

2

BÀI 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của
SD, CD, BC.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 364

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

1 Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau: (SAC) và (SBC), (AM N ) và (SBC).
2 Tìm giao điểm I của (P M N ) và AC, K của (P M N ) và SA.
3 Gọi F là trung điểm của P M , chứng minh ba điểm K, F , I thẳng hàng.
Lời giải.

S

K
M

t

F D
A

N E
I
BP C

1 Dễ thấy SC = (SAC) ∩ (SBC).

Gọi E = BC ∩ AN
E ∈ (SBC) ∩ (AM N )



Ta có SC ⊂ (SBC) và M N ⊂ (AM N )


SC M N

suy ra (SBC) ∩ (AM N ) = Et SC M N .

2 Gọi I = AC ∩ P N ⇒ ®I ∈ AC ⇒ I = AC ∩ (P M N ).

I ∈ P N ⊂ (P M N )

Gọi K là giao điểm của SA với đường thẳng đi qua I và song song với SC.
®K ∈ SA

Vì nên K = SA ∩ (P M N ).
K ∈ IK ⊂ (P M N ) (vì M N SC)

3 Theo cách dựng ta có IK M N . (1)

ABCD là hình bình hành nên AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Mà P N là đường trung

bình của CBD nên AC cũng cắt P N tại I là trung điểm của P N .

Suy ra IF là đường trung bình của P M N ⇒ IF M N . (2)

(1) và (2) suy ra K, F , I thẳng hàng.

.BÀI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT

PHẲNG

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P ). Có
ba trường hợp xảy ra:

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 365

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

Đường thẳng d và (P ) có 2 điểm chung phân biệt ⇒ d ⊂ (P ).
Đường thẳng d và (P ) có 1 điểm chung duy nhất ⇒ d ∩ (P ) = A.
Đường thẳng d và (P ) không có điểm chung nào ⇒ d (P ).

Định nghĩa 1. Đường thẳng d và mặt phẳng (P ) gọi là song song với nhau nếu chúng không có
điểm chung.

2 Các định lý
Định lí 1. Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (α) và d song song với đường thẳng d
nằm trong (α) thì d song song với (α).

Định lí 2. Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α). Nếu mặt phẳng (β) chứa a và cắt (α)
theo giao tuyến b thì b song song với (α).

Hệ quả 1. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau và cùng song song với một đương thẳng thì giao
tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Định lí 3. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và
song song với đường thẳng kia.

B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP

DẠNG 2.1. Chứng minh dường thẳng a song song với mặt phẳng (P)

a b (P ).


Phương pháp: Chứng minh b ⊂ (P ) ⇒ a

a ∈/ (P )

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M vàN lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và BCD. Chứng
minh rằng M N song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD).

Lời giải. A

Gọi P , Q lần lượt là trung điểm của BC và CD. M
Khi đó, ta có QM = QN = 1 ⇒ M N AB. B

MA NB 3
M N ⊂ (ABC)


Vì AB ⊂ (ABC) nên M N (ABC).

M N AB

M N ⊂ (ABD)


Tương tự, ta có AB ⊂ (ABD) nên M N (ABD).

M N AB

P D
N
Q

C

VÍ DỤ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB và CD.

1 Chứng minh M N song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD).

2 Gọi E là trung điểm của SA. Chứng minh SB và SC đều song song với mặt phẳng (M N E).

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 366

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

Lời giải.

S

1 Từ giả thiết, ta suy ra M N BC và M N AD. E
M N ⊂ (SBC)



Vì BC ⊂ (SBC) nên M N (SBC).

M N BC
M N ⊂ (SAD)



Tương tự, ta có AD ⊂ (SAD) nên M N

M N AD

(SAD).

2 Từ giả thiết, ta có AE = AM = 1 ⇒ M E A O D
AS AB 2 M N
B C
SB.
SB ⊂ (M N E)



Vì M E ⊂ (M N E) nên SB (M N E).

M E SB

Tương tự, gọi O là tâm của hình bình hành.
Khi đó AO = AE = 1 ⇒ EO SC.

AC AS 2
SC ⊂ (M N E)


Vì EO ⊂ (M N E) nên SC (M N E).

EO SC

DẠNG 2.2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Phương pháp: Áp dụng một trong hai cách sau

a (P ) ⇒ (P ) ∩ (Q) = M x a.



1 Cách 1: a ⊂ (Q)

M ∈ (P ) ∩ (Q)

a (P ) ⇒ (P ) ∩ (Q) = M x a.



2 Cách 2: a (Q)

M ∈ (P ) ∩ (Q)

VÍ DỤ 1. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm ABC, M ∈ CD với M C = 2M D.

1 Chứng minh M G (ABD). 2 Tìm (ABD) ∩ (BGM ). 3 Tìm (ABD) ∩ (AGM ).

Lời giải. Trang 367

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

1 Gọi N là trung điểm của AB. Trong tam giác CDN , ta có N A y
x
CM = CG = 2 ⇒ GM N D. Vì N D ⊂ (ABD), GM ⊂ D
CD CN 3 M
(ABD) nên GM (ABD).

2 Vì ®GM (ABD) ⇒ (ABD) ∩ (BGM ) = Bx

B ∈ (ABD) ∩ (BGM ) G

GM N D.

®GM (ABD) B

3 Vì A ∈ (ABD) ∩ (AGM ) ⇒ (ABD)∩(BGM ) = Ay GM

N D.

C

DẠNG 2.3. Tìm thiết diện song song với một đường thẳng

Phương pháp: Để tìm thiết diện của mặt phẳng song song với mặt phẳng (α) đi qua một điểm và song

song với hai đường thẳng chéo nhau hoặc (α) chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng

M ∈ (α) ∩ (β)




sử dụng tích chất sau: d (α) ⇒ (α) ∩ (β) = a d , (vớiM ∈ a).

d ⊂ (β)

VÍ DỤ 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M , I lần lượt là trung điểm của BC, AC. Mặt phẳng (P ) đi qua
điểm M , song song với BI và SC. Xác định trên hình vẽ các giao điểm của (P ) với các cạnh AC, SA,
SB. Từ đó suy ra thiết diện của (P ) cắt hình chóp.

Lời giải. SC, N ∈ SB S
®(P ) SC K

Vì ⇒ (P ) ∩ (SBC) = M N N
M ∈ (P ) ∩ (SBC) IH

(1)

Tương tự, ®(P ) BI ⇒ (P ) ∩ (ABC) = M H BI, H ∈

M ∈ (P ) ∩ (ABC)

AC (2)

Mặt khác, ®(P ) (SC) ⇒ (P ) ∩ (SAC) = HK SC, K ∈

N ∈ (P )cap(SAC)

SA (3) Từ (1), (2) và (3) ta có thiết diện của (P ) với tư diện ABCD

là tứ giác M N KH.

A C

M
B

1 BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 550. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M , N lần lượt là trung điểm
SA, SD. Chứng minh rằng:

1 BC (SAD). 2 AD (SBC). 3 M N (ABCD).

4 M N (SBC). 5 M O (SCD). 6 N O (SBC).

Lời giải.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 368

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.
S

MN

A D
B O

C

1 BC (SAD) (SAD).

BC AD


Ta có AD ⊂ (SAD) ⇒ BC

BC ⊂ (SAD)

AD BC (S B C ).


2 Ta có BC ⊂ (SBC) ⇒ AD

AD ⊂ (SBC)

3 Ta có SM SN = 1 ⇒ MN M N AD (AB C D).
= 
SA SD 2 
AD. Khi đó AD ⊂ (ABCD) ⇒ M N

M N ⊂ (ABCD)

4 Ta có SM = SN ⇒ M N AD, vì AD BC nên M N M N BC (S B C ).
SA SD 

BC Khi đó BC ⊂ (SBC) ⇒ M N

M N ⊂ (SBC)

5 Ta có AM AO = 1 ⇒ MO M O SC (S C D).
= 
AS AC 2 
SC. Vì SC ⊂ (SCD) ⇒ M O

M O ⊂ (SCD)

6 Ta có DN DO = 1 ⇒ NO N O SB (S B C ).
= 
DS DC 2 
SB. Vì SB ⊂ (SBC) ⇒ N O

N O ⊂ (SBC)

BÀI 551. Cho hình chóp S.ABCD có dáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi G là trọng tâm tam giác SAD và E
là điểm trên cạnh DC sao cho DC = 3DE, I là trung điểm AD.

1 Chứng minh OI (SAB) và OI (SCD).

2 Tìm giao điểm P của IE và (SBC). Chứng minh GE (SBC). Trang 369
Lời giải.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

S

OI AB G


1 Ta có AB ⊂ (SAB) ⇒ OI (SAB).

OI ⊂ (SAB)

OI CD


Tương tự, CD ⊂ (SCD) ⇒ OI (SCD).

OI ⊂ (SCD)

2 Vì DI 1 1 DE
=== nên IE không song song với
DA 2 3 DC

AC. Trong hình chữ nhật ABCD, gọi P = IE ∩ BC G
A
⇒ P = IE ∩ (SBC). D
E
Gọi K là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác I
C
SBC. SG SG G G 2

Khi đó == = ,suy ra G G KI CE O
SK SI KI 3
2 2
và ⇒ G G = KI = CD = CE. Do dó tứ giác G GEC
33 BK

là hình bình hành, suy ra CG CE ⇒ CG (SBC).

BÀI 552. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB và
CD.

1 Chứng minh M N (SBC) và M N (SAD).

2 Gọi P là trung điểm cạnh SA. Chứng minh SB (M N P ) và SC (M N P ).

3 Gọi G, I là trọng tâm của tam giác ABC và SBC. Chứng minh GI (M N P ).

Lời giải.

1 Từ giả thiết, ta có M N AD BC. Vì M N ⊂ (SBC), S
M N ⊂ (SAD) nên M N (SBC) và M N (SAD). P
A
2 Ta có AP AM = 1 ⇒ SB PM ⇒ SB (M N P ).
=
AS AB 2
Tương tự, AO = AP = 1 ⇒ P O SC vì OP ⊂ (M N P )
AC AS 2

nên SC (M N P ).

3 I D
N
M O C
G

B

BÀI 553. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AB, với AB = 2CD. Gọi O là giao điểm của
AC và BD, I là trung điểm của SA, G là trọng tâm của tam giác SBC và E là một điểm trên cạnh SD sao
cho 3SE = 2SD. Chứng minh:

1 DI (SBC). 2 GO (SCD). 3 SB (ACE).

Lời giải. Trang 370

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

1 Gọi N là trung điểm SB, khi đó IN AB và IN = S P N
1 G
AB. Suy ra IN CD, IN = DC suy ra tứ giác IN CD I
2
là hình bình hành, do đó ID N C. Vậy ID (SBC). E
A
2 GO (SCD)
Gọi P là trung điểm của SC, khi đó GO P D, suy ra
GO (SCD).

3 Ta có EO SB, suy ra SB (ACE).

B
M

O
DC

BÀI 554. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm của các cạnh
SI SJ 2

AB, AD. Gọi I, J thuộc SM, SN sao cho = = . Chứng minh
SM SN 3

1 M N (SBD). 2 IJ (SBD). 3 SC (IJO).

Lời giải.

1

Ta có M, N là trung điểm của các cạnh AB, AD. S
Suy ra M N BD, mà BD ⊂ (SBD).
Nên M N (SBD). KJ
I
2 Ta có SI SJ = 2 ⇒ IJ M N . Hay IJ BD.
= A
SM SN 3 MH

Mà BD ⊂ (SBD). Nên IJ (SBD). O

3 Trong mặt phẳng (ABCD), gọi H là giao điểm của

M N và AC.

Trong mặt phẳng (SM N ) gọi K là giao điểm của D

IJ và SH. N
HO 1 C
Dễ thấy H là trung điểm của AO, suy ra = .

HC 3
MH ⇒ HK = MI =
Lại có IJ MN ⇒ IK SH SM B
1

.
3
Do đó HK = HO = 1 ⇒ KO SC.
HS HC 3

Mà KO ⊂ (IJO) ⇒ SC (IJO).

BÀI 555. Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm của tam giác ABD và I là điểm trên cạnh BC sao cho BI = 2IC.
Chứng minh IG (ACD).

Lời giải.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 371

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

Gọi H là trung điểm của BD. Trong mặt phẳng (BCD), A

gọi K là giao điểm của HI và CD. G
B
Theo định lý Menelaus có BH · IC · KD = 1 ⇔ 1 · 1 · K
HD BI KC 2 H
KD = 1 ⇔ KD = 2. D
KC KC

Suy ra C là trung điểm của KD, suy ra BC là trung

tuyến của BDK. I C

Mà BI = 2IC, suy ra I là trọng tâm của BDK.

HI 1 ABD ⇒
Suy ra = . Lại có G là trọng tâm của
HK 3
HG 1
=.
HK 3

Do đó, GI AK, mà AK ⊂ (ACD) ⇒ IG (ACD).

BÀI 556. Cho tứ diện ABCD. Gọi G và P lần lượt là trọng tâm của tam giác ACD và ABC. Chứng minh

rằng GP (BCD), GP (ABD).

Lời giải. A
Gọi K, H lần lượt là trung điểm của BC và CD. Suy ra KH BD (1).

Ta có G, P lần lượt là trọng tâm của ACD, ABC.

Suy ra AP = 2 AG = 2 ⇒ PG HK (2).
,
AK 3 AH 3

Từ (1) và (2), suy ra GP BD.

Mà BD ⊂ (BCD), BD ⊂ (ABD), suy ra GP (BCD), GP (ABD).

PG
BD

KH

C

BÀI 557. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm
của SA.

1 Chứng minh OM (SCD).

2 Gọi (α) là mặt phẳng đi qua M , đồng thời song song với SC và AD. Tìm thiết diện của mặt phẳng (α)
với hình chóp S.ABCD.

Lời giải.

1 S

Ta có M, O là trung điểm của SA và AC, suy ra M O SC.
Mà SC ⊂ (SCD) ⇒ OM (SCD).

2 Vì M O SC ⇒ O ∈ (α).

O ∈ (α) ∩ (ABCD) M
 N


Ta có AD (α) ⇒ (α) ∩ (ABCD) = P Q.

AD ⊂ (ABCD)

Với P Q AD, O ∈ P Q, Q ∈ AB, P ∈ CD.

P ∈ (α) ∩ (SCD)


 A D

Lại có SC (α) ⇒ (α) ∩ (SCD) = P N , với P N

SC ⊂ (SCD) Q P
SC. B O
Có (α) ∩ (SAD) = M N, (α) ∩ (SAB) = M Q.
C

Nhận thấy P, Q là trung điểm của CD và AB. Suy ra N là

trung điểm của SD.

Suy ra M N P Q. Vậy thiết diện là hình thang M N P Q.

BÀI 558. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M , N thuộc cạnh AB, CD. Gọi (α) là mặt phẳng qua M N và song
song với SA.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 372

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

1 Tìm thiết diện của (α) với hình chóp.

2 Tìm điều kiện của M N để thiết diện là hình thang.

Lời giải.

1

M ∈ (α) ∩ (SAB)


 S

Ta có SA (α) ⇒ (α) ∩ (SAB) = M P , với M P

SA ⊂ (SAB)

SA.

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi R = M N ∩ AC.

R ∈ (α) ∩ (SAC)




Ta có SA (α) ⇒ (α) ∩ (SAC) = RQ, với RQ SA.

SA ⊂ (SAC)

Ta có (α) ∩ (SCD) = QN . Vậy thiết diện là tứ giác M N QP . AP Q

ñM P QN (1) D

2 Ta có M N QP là hình thang ⇒ M N P Q (2) .

®SA M P MR N

Xét (1) ta có M P QN ⇒ SA QN .

Do đó ®SA QN ⇒ SA (SCD) (vô lý). C
B

QN ⊂ (SCD)

BC = (ABCD) ∩ (SBC)




Xét (2) ta có M N ⊂ (ABCD) ⇒ MN BC.

P Q ⊂ (SBC)

P Q = (α) ∩ (SBC)




Ngược lại, nếu M N BC thì M N ⊂ (α) ⇒ MN P Q.

BC ⊂ (SBC)

Vậy để thiết diện là hình thang thì M N P Q.

BÀI 559. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SC. (P )
là mặt phẳng qua AM và song song với BD.

1 Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P ).

2 Gọi E, F lần lượt là giao điểm của (P ) với các cạnh SB, SD. Tìm tỉ số diện tích của SM E với SBC
và tỉ số diện tích của SM F với SCD.

3 Gọi K là giao điểm của M E và CB, J là giao của M F và CD. Chứng minh K, A, J nằm trên đường
EF

thẳng song song với EF và tìm tỉ số .
KJ

Lời giải.

1 Trang 373

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

Trong mặt phẳng S

(AB C D) gọi

AC ∩ BD = O,

trong mặt phẳng

(SAC), gọi AM ∩ SO =

I.

Ta có M F J
I ∈ (P ) ∩ (SBD) I
 E
 A

BD (P ) B

BD ⊂ (SBD)

⇒ (P ) ∩ (SBD) = EF , D

với I ∈ EF, E ∈

SB, F ∈ SD. K O
C
Ta có (P ) ∩ (SAB) =

AE, (P ) ∩ (SBC) =

EM, (P ) ∩ (SCD) =

MF.

Vậy thiết diện là tứ giác

AEM F .

2 Trong SAC, có I là trọng tâm của tam giác ⇒ SI = 2 ⇒ SE = SF = EF = 2 (1).
SO 3 SB SD BD 3
S 2 1 1 S 2 1 1
Do đó AM E = · = , SMF = · = .

S SBC 3 2 3 S SCD 3 2 3

3 Ta có ®(M EF ) ∩ (ABCD) = AK ⇒ K, A, J thẳng hàng.

(M EF ) ∩ (ABCD) = AJ

Theo định lý Menelaus, xét SBC ta có M S · EB · KC = 1 ⇔ 1 · 1 · KC = 1 ⇔ KC = 2.
MC ES KB 2 KB KB

Hay B là trung điểm của KC. Tương tự, ta có D là trung điểm của CJ.

Do đó, BD là đường trung bình của BD KJ .
 (2)
KCJ ⇒ BD = 1 · KJ

2

Mà BD EF . Vậy A, K, J nằm trên đường song song với EF .

Từ (1) và (2), suy ra EF = 2 · 1 = 1 .
KJ 3 2 3

BÀI 560. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N là hai điểm lần lượt nằm trên cạnh BC và AD. Xác định thiết

diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (α) qua M N và song song với CD. Xác định vị trí của hai điểm M, N để

thiết diện là hình bình hành.

Lời giải.

M = (α) ∩ (BCD) A



Ta có CD (α) ⇒ (α) ∩ (BCD) = M I, với M I CD.

CD ⊂ (BCD)

N = (α) ∩ (ACD) N
 K



CD (α) ⇒ (α) ∩ (ACD) = N K, với N K CD.

CD ⊂ (ACD)

Ta có (α) ∩ (ABD) = N I, (α) ∩ (ABC) = M K. B D
Vậy thiết diện là hình thang M IN K, (vì M I N K). I

MI BM
=
®M I CD ⇒  = CB . M
Lại có CD CD AN C

KN KN


CD AD

Để thiết diện MINK là hình bình hành khi và chỉ khi MI = NK ⇔ BM = AN
.
CD AD
BM AN
Vậy M, N lần lượt là hai điểm nằm trên BC và AD và =.
CD AD

BÀI 561. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, M là một điểm trên đoạn IJ.
Gọi (P ) là mặt phẳng qua M và song song với AB và CD.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 374

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

1 Tìm giao tuyến của mặt phẳng (P ) và (ICD).
2 Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (P ). Thiết diện là hình gì?
Lời giải.

1 Gọi ∆1 = (P ) ∩ (ICD), ta có A
®M ∈ (P )
M ∈ IJ, IJ ⊂ (ICD) ⇒ M ∈ ∆1.

(P ) CD ⇒ ∆1 CD. I



CD ⊂ (ICD)

(P ) ∩ (ICD) = ∆1 P

Vậy ∆1 là đường thẳng qua M và song song với

CD. F

Gọi E = ∆1 ∩ IC, F = ∆1 ∩ T D, ta được (P ) ∩ QM

(ICD) = EF . B D
E
2 Gọi ∆2 = (P ) ∩ (ABD), ta có G
®F ∈ (P )
F ∈ ID, ID ⊂ (ABD) ⇒ F ∈ ∆2. HJ

(P ) AB ⇒ ∆2 AB. C



AB ⊂ (ABD)

(P ) ∩ (ABD) = ∆2

Vậy ∆2 là đường thẳng qua F và song song với

AB.

Gọi G = ∆2 ∩ BD, P = ∆2 ∩ AD, ta được (P ) ∩

(ICD) = GP .

Gọi ∆3 = (P ) ∩ (ABC), ta có

®E ∈ (P )
E ∈ IC, IC ⊂ (ABC) ⇒ E ∈ ∆3.

Ta có (P ) AB

 ⇒ ∆3 AB.

AB ⊂ (ABC)

(P ) ∩ (ABC) = ∆3

Vậy ∆3 là đường thẳng qua E và song song với AB.
Gọi H = ∆3 ∩ BC, Q = ∆3 ∩ AC, ta được (P ) ∩ (ABC) = HQ.
Giao tuyến của (P ) với các mặt phẳng (BCD), (ABD), (ACD), (ABC) lần lượt là GH, GP, P Q, QH.

Do đó thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (P ) là tứ giác HGP Q.

Ta có (P ) CD

 ⇒ PQ CD

CD ⊂ (ACD)

(P ) ∩ (ACD) = P Q

và (P ) CD





CD ⊂ (BCD) ⇒ HG CD.

(P ) ∩ (BCD) = HG

Ta có ®HG P Q (cùng song song với CD) ⇒ tứ giác HGP Q là hình bình hành.

HQ P G (cùng song song với AB)

BÀI 562. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi K và J lần lượt là trọng tâm
của các tam giác ABC và SBC.

1 Chứng minh KJ (SAB).

2 Gọi (P ) là mặt phẳng chứa KJ và song song với AD. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
(P ).

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 375

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

Lời giải. S

1 Gọi H là trung điểm BC, theo tính chất trọng tâm
ta có HK = HJ = 1 ⇒ KJ SA (Định lý Ta-lét
HA HS 3
KJ SA


đảo). Ta có SA ⊂ (SAB) ⇒ KJ (SAB).
KJ ⊂ (SAB)

2 Gọi ∆1 = (P ) ∩ (ABCD), ta có

®K ∈ KJ, KJ ⊂ (P ) ⇒ K ∈ ∆1.

K ∈ (ABCD)

(P ) AD ⇒ ∆1 AD. M J N D
 A
 E F
B O C
AD ⊂ (ABCD) K

(P ) ∩ (ABCD) = ∆1 H

Vậy ∆1 là đường thẳng qua K và song song với

AD.

Gọi E = ∆1 ∩ AB, F = ∆1 ∩ CD, ta được
(P ) ∩ (ABCD) = EF .

Gọi ∆2 = (P ) ∩ (SBC), ta có

®J ∈ KJ, KJ ⊂ (P ) ⇒ K ∈ ∆2.

J ∈ (SBC)

Và (P ) AD BC




BC ⊂ (ABCD) ⇒ ∆2 BC.

(P ) ∩ (ABCD) = ∆2

Vậy ∆2 là đường thẳng qua J và song song với BC.
Gọi M = ∆2 ∩ SB, N = ∆1 ∩ SD, ta được (P ) ∩ (SBC) = M N .
Ta có giao tuyến của (P ) với các mặt phẳng (ABCD), (SCD), (SBC), (SAB) lần lượt là EF, F N, N M, N E,

do đó thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P ) là tứ giác M N F E.

BÀI 563. Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và BCD. Chứng minh

rằng G1G2 (ABC) và G1G2 (ABD).

Lời giải. A
Xét tam giác ABM ta có

M G2 = 1 (G2 là trọng tâm B C D).
MB 3

M G1 = 1 (G1 là trọng tâm AC D).
MA 3

Suy ra M G2 = M G1 ⇒ G1G2 AB (Định lý Ta-lét đảo). G1
MB MA B
G1G2 AB D



Ta có AB ⊂ (ABC) ⇒ G1G2 (ABC). G2 M

G1G2 ⊂ (ABC)

G1G2 AB C


Ta có AB ⊂ (ABD) ⇒ G1G2 (ABD).

G1G2 ⊂ (ABD)

BÀI 564. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của SAB, I là trung
điểm AB, lấy điểm M trong đoạn AD sao cho AD = 3AM .

1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

2 Đường thẳng qua M và song song với AB cắt CI tại N . Chứng minh N G (SCD).

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 376

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

3 Chứng minh M G (SCD).

Lời giải.

1 Gọi ∆ = (SAD) ∩ (SBC), ta có S ∈ ∆. ∆S
G
AD BC



AD ⊂ (SAD)
Ta có ⇒∆ AD.
BC ⊂ (SBC)




(SAD) ∩ (SBC) = ∆ E

Vậy ∆ là đường thẳng qua S và song song với AD.

IN M D
2 Hình thang AICD có M N AI CD nên = A

IC
AM 1
= (Định lí Ta-lét). I
N
AD 3
IG 1

SAB có G là trọng tâm nên = .
IS 3
ISC có IN = IG = 1 ⇒ N G SC (Định lý B C
IC IS 3

Ta-lét đảo).

N G SC



Ta có SC ⊂ (SCD) ⇒ N G (SCD).

N G ⊂ (SCD)

IM AM 1
3 Gọi E là giao điểm của IM và CD. Vì AI DE nên ta có = = (Định lý Ta-lét).
ME MD 2
Xét ASE có IG = IM = 1 ⇒ GM SE.
GS M E 2
M G SE




Ta có SE ⊂ (SCD) ⇒ M G (SCD).

M G ⊂ (SCD)

BÀI 565. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD và AD = 2BC. Gọi O là giao
điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SCD.

1 Chứng minh OG (SBC).

2 Cho M là trung điểm của SD. Chứng minh CM (SAB).

3 Gọi I là điểm trên cạnh SC sao cho 2SC = 3SI. Chứng minh SA (BDI).

Lời giải.

S

1 Gọi N là trung điểm SC, vì G là trọng tâm SCD E M
NG 1 N G

nên = . I D
GD 2 A

Ta có BC AD ⇒ BO = CO = BC = 1 (Định lí B O
OD AO AD 2 C

Ta-lét).
BN D có N G = BO = 1 ⇒ OG BN (Định lí
GD OD 2

Ta-lét đảo).
OG BN



Ta có BN ⊂ (SBC) ⇒ OG (SBC).

OG ⊂ (SBC)

2 Gọi E là trung điểm của SA, theo tính chất đường
1

trung bình ta có M E AD và M E = AD.
2

1
M E = BC = AD

2 ⇒ Tứ giác M EBC là hình bình

M E BC ( AD)

hành.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 377

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

Suy ra CM BE. (SAB).
CM BE



Ta có BE ⊂ (SAB) ⇒ CM

CM ⊂ (SAB)

3 Ta có 2SC = 3SI ⇔ 2SI + 2IC = 3SI ⇔ SI = 2IC.
Xét SAC có CI = CO = 1 ⇒ OI SA (Định lí Ta-lét đảo).
IS OA 2
SA BI


Ta có BI ⊂ (BDI) ⇒ AB (BDI).

AB ⊂ (BDI)

BÀI 566. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, AD, SB.

1 Chứng minh BD (M N P ).

2 Tìm giao điểm của (M N P ) với BC.

3 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (M N P ) và (SBD).

4 Tìm thiết diện của hình chóp với (M N P ).

Lời giải.

S

P K D
A Q

N

M C
H

B

1 ABD có M N là đường trung bình nên M N 1
BD và M N = BD.
BD M N
 2

Ta có M N ⊂ (M N P ) ⇒ BD (M N P ).

BD ⊂ (M N P )

2 Trong (ABCD), dựng H = M N ∩ BC, ta có

®H ∈ BC
⇒ H = (M N P ) ∩ BC.

H ∈ M N, M N ⊂ (M N P )

3 Gọi ∆ = (M N P ) ∩ (SBD), ta có ®P ∈ (SBD) ⇒ P ∈ ∆.

P ∈ (M N P )

Ta có M N BD

 MN.

M N ⊂ (M N P ), (BD) ⊂ (SBD) ⇒ ∆

(M N P ) ∩ (SBD) = ∆

Vậy ∆ là đường thẳng qua P và song song với M N .
Gọi Q = ∆ ∩ SD, ta được (M N P ) ∩ (SBD) = P Q.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 378

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

4 Trong (SBC), dựng K = HP ∩SC. Giao tuyến của (M N P ) với các mặt phẳng (ABCD), (SAB), (SBC), (SCD), (SDA
lần lượt là M N, P M, P K, KQ, QN . Vậy thiết diện của hình chóp với (M N P ) là ngũ giác P M N QK.

BÀI 567. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là điểm thuộc BC sao cho M C = 2M B. Gọi N, P lần lượt trung điểm
của BD và AD.

1 Chứng minh N P (ABC).
QA

2 Tìm giao điểm Q của AC với (M N P ) và tính . Suy ra thiết diện của hình chóp bị cắt bởi (M N P ).
QC

3 Chứng minh M G (ABD), với G là trọng tâm của tam giác ACD.
Lời giải.

1 ABD có N P là đường trung bình nên N P AB và A
1
Q P
N P = AB. G
2 B
N P AB M N



Ta có AB ⊂ (ABC) ⇒ N P (ABC).

N P ⊂ (ABC)

2 Gọi ∆ = (M N P ) ∩ (ABC), ta có

®M ∈ (SBD)
⇒ M ∈ ∆.

M ∈ BC, BC ⊂ (ABC)

N P (ABC) D

 ⇒ ∆ AB.

N P ⊂ (M N P )

(M N P ) ∩ (ABC) = ∆

Vậy ∆ là đường thẳng qua M và song song với AB.

Trong (ABC) dựng Q = ∆ ∩ AC, ta có C
®Q ∈ AC

⇒ Q = AC ∩ (M N P ).
Q ∈ ∆, ∆ ⊂ (M N P )

Ta có MC = 2M B ⇔ MC + MB = 3M B ⇔ BC = 3M B ⇔ MB = 1
.
BC 3
QA BM 1
Xét ABC có QM AB ⇒ = = .
QC BC 3

Ta có giao tuyến của (M N P ) với các mặt phẳng (ABC), (ACD), (ABD), (BCD) lần lượt là QM, QP, P N, M N .

Vậy thiết diện cùa hình chóp bị cắt bởi (M N P ) là tứ giác M N P Q.

PG 1
3 Vì G là trọng tâm ACD nên = .

PC 3
Xét BCP có P G = BM = 1 ⇒ M G BP (Định lí Ta-lét đảo).

PC BC 3
M G BP


Ta có BP ⊂ (ABD) ⇒ M G (ABD).

M G ⊂ (ABD)

BÀI 568. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

1 Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD); (SAB) và (SCD).

2 Một mặt phẳng qua BC và song song với AD cắt SA tại E, (E = S, E = A), cắt SD tại F, (F = S, F =
D). Tứ giác BEF C là hình gì?

3 Gọi M thuộc đoạn AD sao cho AD = 3AM và G là trọng tâm tam giác SAB, I là trung điểm AB. Đường
thẳng qua M và song song AB cắt CI tại N . Chứng minh N G (SCD) và M G (SCD).

Lời giải.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 379

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

S

∆

H

E M F
D
G
A

I O
N C

B

1 Ta có S ∈ (SAC) ∩ (SBD)
Trong (ABCD), dựng O = AC ∩ BD, ta có

®O ∈ AC, AC ⊂ (SAC)
⇒ O ∈ (SAC) ∩ (SBD).

O ∈ BD, BD ⊂ (SBD)

Vậy (SAC) ∩ (SBD) = SO.

Gọi ∆ = (SAB) ∩ (SCD), ta có S ∈ ∆

AB CD


Ta có  ⊂ (SAB) ⇒∆ AB.
AB

CD ⊂ (SCD)




(SAB) ∩ (SCD) = ∆

Vậy ∆ là đường thẳng qua S và song song với AB.

2 Ta có

BC AD


 ⊂ (B C F E) ⇒ EF AD BC.
BC

AD ⊂ (SAD)



(BCF E) ∩ (SAD) = EF

Vậy tứ giác BCF E là hình thang.

3 Xét hình thang AICD có M N AI ⇒ AM = IN = 1 (Định lí Ta-lét).
AD IC 3

IG 1
Vì G là trọng tâm tam giác SAB nên = .

IS 3
Xét ISC ta có

IG = IN = 1 ⇒ GN SC (Định lí Ta-lét đảo).
IS IC 3

Ta có GN SC

 (S C D).

SC ⊂ (SCD) ⇒ N G

N G ⊂ (SCD)

Trong (ABCD), dựng H = IM ∩ CD. Vì AI IM AM 1
DM nên ta có = = (Định lí Ta-lét).
IH AD 3

Xét ISH ta có

IG = IM = 1 ⇒ GM SH (Định lí Ta-lét đảo).
IS IH 3

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 380

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

Ta có M G SH

 (S C D).

SH ⊂ (SCD) ⇒ M G

M G ⊂ (SCD)

BÀI 569. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M , N , P lần lượt là trung
điểm của SA, BC, CD.

1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
2 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
3 Tìm giao điểm E của SB và (M N P ).
4 Chứng minh N E (SAP ).
Lời giải.

S

M

E A D
F O P

BC
N

Q

®O ∈ AC ⊂ (SAC)
1 Ta có O = AC ∩ BD ⇒

O ∈ BC ⊂ (SBD).

Do đó O là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)
mà S là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)
nên SO = (SAC) ∩ (SBD).

AB CD



AB ⊂ (SAB)
2 Ta có ⇒ (SAB) ∩ (SCD) = Sx AB và Sx CD.
CD ⊂ (SCD)




S ∈ (SAB) ∩ (SCD)

3 Gọi Q = N P ∩ AB ⇒ Q là điểm chung của (SAB) và (M N P )

mà M là điểm chung thứ hai nên (SAB) ∩ (M N P ) = M Q.

Trong mặt phẳng (SAB) gọi E = M Q ∩ SB.

Ta có ®E ∈ SB ⇒ E = SB ∩ (M N P ).

E ∈ M Q ⊂ (M N P )

4 Ta có N là trung điểm của BC và BQ CP nên BQ = CP và N Q = N P (1). SB.
AB CD

Gọi F là trung điểm của AB, ta có AF = BF = = = CP = BQ.
22

Ta có M , F là trung điểm của SA và AB nên M F là đường trung bình tam giác SAB nên M F

Trong tam giác QM F có B là trung điểm QF và BE M F nên E là trung điểm M Q (2).

Từ (1) và (2) ta có EN là đường trung bình tam giác QM P ⇒ EN M P .

Mặt khác, do M P ⊂ (SAP ) nên N E (SAP ).

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 381

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

BÀI 570. Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M trên cạnh AB sau cho AM = 2M B. Gọi G là trọng tâm BCD
và I là trung điểm CD, H là điểm đối xứng của G qua I.

1 Chứng minh GD (M CH).
GK

2 Tìm giao điểm K của M G với (ACD). Tính tỉ số .
GM

Lời giải.

A

1 Ta có IC = ID và IG = IH nên GDHC là hình bình hành.
Do đó GD CH
mà CH ⊂ (M CH) nên GD (M CH).

®K ∈ AI ⊂ (ACD) M
2 Trong mp(ABI), gọi K = AI ∩ M G, ta có B

K ∈ MG

⇒ K = M G ∩ (ACD). E

Trong mp(ABI), kẻ GE AB, (E ∈ AI). G
I
Xét tam giác ABI, có GE AB, suy ra GE = IG = 1 ⇒ D
GE 1 AB IB 3 C H

=. AM , suy ra KG = GE 1 ⇒ K
AM 2 =
Xét tam giác AKM , có GE KM AM 2
GK

= 1.
GM

BÀI 571. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BC
và CD.

1 Tìm giao tuyến của (SIK) và (SAC), (SIK) và (SBD).

2 Gọi M là trung điểm của SB. Chứng minh SD (ACM ).
MF

3 Tìm giao điểm F của DM và (SIK). Tính tỉ số .
MD

Lời giải.
x

S

F
M
A
D

K
O

E
BC

I

1 Ta có S ∈ (SIK) ∩ (SAC).

Trong mp(ABCD), gọi E = IK ∩ AC ⇒ ®E ∈ IK ⊂ (SIK) ⇒ E ∈ (SIK) ∩ (SAC).

E ∈ AC ⊂ (SAC)

Suy ra SE = (SIK) ∩ (SAC).

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 382

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

Ta có ®S ∈ (SIK) ∩ (SBD) ⇒ (SIK) ∩ (SBD) = Sx, (với Sx BD IK).

BD ∈ (SBD), IK ∈ (SIK), BD IK

2 Trong mp(ABCD), gọi O = AC ∩ BD, ta có SD M O. Mà M O ⊂ (ACM ), suy ra SD (ACM ).

3 Trong mp(SBD), gọi F = Sx ∩ DM ⇒ ®S ∈ DM ⇒ F = DM ∩ (SIK).

S ∈ Sx ⊂ (SIK)

Ta có SF BD ⇒ M F = M S = 1.
MD MB

BÀI 572. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi G là trọng tâm SAB, trên
AD lấy điểm E sao cho AD = 3AE. Gọi M là trung điểm AB.

1 Chứng minh EG (SCD).
2 Đường thẳng qua E song song AB cắt M C tại F . Chứng minh GF (SCD).
3 Gọi I là điểm thuộc cạnh CD sao cho CI = 2ID. Chứng minh GO (SAI).
Lời giải.

S

G H D
A
E
L

M O I K
B F N

C

1 Gọi H là trọng tâm tam giác SCD, ta có GH GH 2
M N và =.
MN 3
ED ED 2
Lại có ED M N và = =.
M N AD 3

Suy ra GH ED và GH = ED. Suy ra GHDE là hình bình hành.

Ta có ®EG DH ⇒ EG (SCD).

DH ⊂ (SCD)

M F AE 1
2 Ta có M A EF CD, suy ra = =.
M C AD 3
MF MG 1
Xét tam giác M SC có = = , suy ra GF SC.

MC MS 3

Mà SC ⊂ (SCD). Vậy GF (SCD).

3 Trong mp(ABCD), gọi K = AI ∩ M N . Ta có SK = (SM N ) ∩ (SAI).
Gọi L là trung điểm của AI, ta có OL là đường trung bình của hình thang AM N I, suy ra

CD AB AM
AM + N I AM + AM + AM +
OL = = 6 =6 = 3 = 2AM ⇒ OL = 2
.
2 2 2 2 3 AM 3

Xét tam giác AKM , có OL AM , suy ra KO OL 2
= =.
KM AM 3
SG KO 2
Xét tam giác SM K, có = = , suy ra GO SK.
SM KM 3

Mà SK ⊂ (SAI). Vậy GO (SAI).

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 383

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

BÀI 573. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC và N là
trọng tâm tam giác ABC.

1 Chứng minh SB (AM N ).
2 Tìm giao tuyến (AM N ) và (SAB).

IS
3 Tìm giao điểm I của SD với (AM N ). Tính tỉ số .

ID
4 Gọi Q là trung điểm của ID. Chứng minh QC (AM N ).
Lời giải.

S

I

Q

M D
E

A
F

T
O
N

x C
B

G

1 Trong mp(ABCD), gọi O = AC ∩ BD.

Trong mp(S AC ), gọi E = AM ∩ SO, ta có E là trọng tâm tam giác S AC . Suy ra OE = 1
.
OS 3
ON 1
Ta có N là trọng tâm tam giác ABC nên = .
OB 3
OE ON 1
Xét tam giác OSB có = = . Suy ra N E SB.
OS OB 3

Mà N E ⊂ (AM N ). Vậy SB (AM N ).

2 Ta có ®A ∈ (SAB) ∩ (AM N ) ⇒ (SAB) ∩ (AM N ) = Ax, (với Ax SB).

SB ⊂ (SAB), SB (AM N )

3 Trong mp(SBD), gọi I = N E ∩ SD ⇒ ®I ∈ N E ⊂ (AM N ) ⇒ I = SD ∩ (AM N ).

I ∈ SD

2BO

Ta có N E SB ⇒ NI SB ⇒ IS = BN = BN = 3 2BO = 1
ID ND BD − BN 2BO − .

2

3

4 Trong mp(SBD), gọi F = N E ∩ BQ.

Trong mp(ABCD), gọi G = AN ∩ BC, vì N là trọng tâm tam giác ABC nên G là trung điểm của BC.

Ta có F G = (AM N ) ∩ (BQC).

Kẻ QT F N , (T ∈ BD). (1)

NT IQ 1 (2)
Xét tam giác DN I có QT N I, suy ra = =

DN DI 2
BN 1
Mà = nên BN = N T , hay N là trung điểm của BT .
ND 2

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 384

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

Từ (1) và (2), ta có F là trung điểm của BQ.

Do đó GF là đường trung bình của tam giác BQC. Suy ra QC GF .
Mà GF ⊂ (AM N ). Vậy QC (AM N ).

BÀI 574. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC,
CD.

1 Tìm giao tuyến của (SM D) và (SAB).
2 Tìm giao tuyến của (SM N ) và (SBD).

KH
3 Gọi H là điểm trên cạnh SA sao cho HA = 2HS. Tìm giao điểm K của M H và (SBD). Tính tỉ số .

KM
4 Gọi G là giao điểm của BN và DM . Chứng minh HG (SBC).
Lời giải.

S

x
H

K D
A

N
FO
B GC

M

E

1 Trong mp(ABCD), gọi E = M D ∩ AB ⇒ ®E ∈ M D ⊂ (SM D) ⇒ E ∈ (SM D) ∩ (SAB).

E ∈ AB ⊂ (SAB)

mà S ∈ (SAB) ∩ (SM D) ⇒ SE = (SAB) ∩ (SM D).

M N BD


2 Ta có M N ⊂ (SM N ), BD ⊂ (SBD) ⇒ (SM N ) ∩ (SBD) = Sx BD M N .

S ∈ (SM N ) ∩ (SBD)

3 Trong mp(ABCD), gọi F = AM ∩ BD.

Trong mp(SAM ), gọi K = M H ∩ SF ⇒ ®K ∈ SF ⊂ (SBD) ⇒ K = M H ∩ (SBD).

K ∈ MH

4 Trong tam giác BCD, BN và DM là hai trung tuyến nên G là trọng tâm. Từ đó ta có GC = 2 ⇒ GC =
CO 3 AC

1
.

3
Mặt khác, do HA = 2HS nên HS = 1 ⇒ GC = HS ⇒ HG SC ⇒ HG (SBC).

SA 3 AC SA

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 385

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

BÀI 575. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD là đáy lớn và AD = 2BC. Gọi O là
giao điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SCD.

1 Chứng minh OG (SBC).
2 Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Chứng minh CM (SAB).
3 Giả sử điểm I trên đoạn SC sao cho 2SC = 3SI. Chứng minh SA (BID).

KB
4 Xác định giao điểm K của BG và mặt phẳng (SAC). Tính tỉ số .

KG
Lời giải.

S

M D
P

N
G

AI

O
B

C

1 Ta có AD BC ⇒ OD = AD = 2. GD
OB BC SCD nên = 2

Mặt khác, gọi N là trung điểm SC. Vì G là trọng tâm GN
⇒ GD = OD ⇒ OG BN ⇒ OG (SBC).

GN OB

2 Gọi P là trung điểm SA, ta có ngay P M là đường trung bình của SAD.

AD
Suy ra P M = = BC và P M AD BC. Do đó P M CB là hình bình hành.

2
Vậy CM BP ⇒ CM (SAB).

3 Ta có AD BC ⇒ OA = 2. SA ⇒ SA (B I D).
OC

Mặt khác, vì 2SC = 3SI nên SI = 2 ⇒ SI = OA ⇒ OI
IC IC OC

4 Trong mp(BCM P ), gọi K = BG ∩ CP

mà CP ∈ (SAC) ⇒ K = BG ∩ (SAC).

Ta lại có CG BP ⇒ KB = BP = CM = 3
.
KG CG CG 2

BÀI 576. Cho hình chóp S.ABC Gọi M , P , I lần lượt là trung điểm của AB, SC, SB. Một mặt phẳng (α)
qua M P và song song với AC và cắt các cạnh SA, BC tại N , Q.

1 Chứng minh BC (IM P ).
2 Xác định thiết diện của (α) với hình chóp. Thiết diện này là hình gì?
3 Tìm giao điểm của đường thẳng CN và mặt phẳng (SM Q).
Lời giải.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 386

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

xD S

N
P

I

A C
M Q

B

1 Ta có IP là đường trung bình của tam giác SBC nên IP BC ⇒ BC (IM P ).

2 Ta có (α) cắt BC tại Q nên (α) ∩ (SBC) = P Q và (α) ∩ (ABC) = M Q.
Ta lại có (α) cắt SA tại N nên (α) ∩ (SAB) = M N và (α) ∩ (SAC) = P N .

Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác M N P Q.

Mặt khác, do ®(α) AC ⇒ (α) ∩ (ABC) = M Q AC ⇒ Q là trung điểm BC.

AC ⊂ (ABC)

Tương tự ta chứng minh được N P AC và N là trung điểm SA. M Q.

AC
Lúc này N P và M Q là đường trung bình tam giác SAC và ABC nên N P = M Q = và N P

2
Suy ra M N P Q là hình bình hành.

AC M Q


3 Ta có AC ⊂ (SAC), M Q ⊂ (SM Q) ⇒ (SAC) ∩ (SM Q) = Sx AC.

S ∈ (SAC) ∩ (SM Q)

Trong mp(SAC), gọi D = CN ∩ Sx. Ta có D ∈ Sx ⊂ (SM Q) và D ∈ CN nên D = CN ∩ (SM Q).

BÀI 577. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình tứ giác lồi. Gọi M , N là trung điểm của SC và CD. Gọi
(α) là mặt phẳng qua M , N và song song với đường thẳng AC.

1 Tìm giao tuyến của (α) với (ABCD).

2 Tìm giao điểm của SB và (α).

3 Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α).

Lời giải.

z S
y

QH

M

A P D
B K
N

C

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 387

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

AC (α) ⇒ (α)∩(ABCD) = N x AC. Gọi P = N x∩AD ta có (α)∩(ABCD) = N P .



1 Ta có AC ⊂ (ABCD)

N ∈ (α) ∩ (ABCD)

2 Ta có M N là đường trung bình của tam giác SCD nên SD M N ⇒ SD ⇒ SD (α).
SD (α)



Gọi K = N P ∩ BD, ta có SD ⊂ (SBD) ⇒ (α) ∩ (SBD) = Ky SD. Gọi H = Ky ∩ SB.

K ∈ (α) ∩ (SBD)

Ta có H ∈ Ky ⊂ (α) và H ∈ SB ⇒ H = SB ∩ (α).

SD (α) ⇒ (α) ∩ (SBD) = P z SD. Gọi Q = P z ∩ SA.



3 Ta có SD ⊂ (SAD)

P ∈ (α) ∩ (SAD)

(α) và (SAB) có H, Q là điểm chung nên giao tuyến là QH.

(α) và (SAD) có P , Q là điểm chung nên giao tuyến là P Q.

(α) và (ABCD) có P , N là điểm chung nên giao tuyến là P N .

(α) và (SCD) có M , N là điểm chung nên giao tuyến là M N .

(α) và (SBC) có H, M là điểm chung nên giao tuyến là HM .

Vậy thiết diện cần tìm là ngũ giác M N P QH.

BÀI 578. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB CD. Gọi M , N , I, lần lượt là trung
điểm của AD, BC, SA.

1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IM N ) và (SAC); (IM N ) và (SAB).

2 Tìm giao điểm của SB và (IM N ).

3 Tìm thiết diện của mặt phẳng (IDN ) với hình chóp S.ABCD.
Lời giải.

1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IM N ) và (SAC); (IM N ) và I S B
(SAB). I aJ

(a) Tìm giao tuyến của (IM N ) và (SAC). A N
Ta có I ∈ (SAC) ∩ (IM N ). C
Trong (ABCD) gọi E = AC ∩ M N ⇒ E ∈ (SAC) ∩ (IM N ). ME
Vậy IE = (IM N ) ∩ (SAC). D

(b) Ta có I ∈ (IM N ) ∩ (SAB) và M N là đường trung bình
của hình thang ABCD nên M N AB. Nên giao tuyến của
(IM N ) và (SAB) là đường thẳng a đi qua I song song với
AB.

2 Ta thấy SB ⊂ (SAB) và a = (IM N ) ∩ (SAB). Gọi J = SB ∩ a,
vậy J = SB ∩ (IM N ).

3 Ta thấy

IJ = (SAB)∩(IDN ), ID = (SAD)∩(IDN ), DN = (ABCD)∩(IDN ), N J = (SBC)∩(IDN ).

Vậy thiết diện của (IDN ) và hình chóp S.ABCD là tứ giác IJN D.

BÀI 579. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi G là trọng tâm SAB; N là
AN 1

một điểm thuộc đoạn AC sao cho = ; I là trung điểm của AB.
AC 3

1 Chứng minh OI (SAD) và GN SD.

2 Gọi (α) là mặt phẳng đi qua O, song song với SA và BC. Mặt phẳng (α) cắt SB, SC lần lượt tại L và
K. Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng (α) với hình chóp.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 388

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.
Lời giải.

1 Chứng minh OI (SAD) và GN SD.

(a) Chứng minh OI (SAD). S
Ta có OI BC (OI là đường trung bình trong ABC)
nên OI AD (vì AD BC) mà AD ⊂ (SAD) suy ra L
OI (SAD).

(b) Chứng minh GN SD. ABD. KG
Do AN = 1 ⇒ AN = 2 suy ra N là trọng tâm
AC 3 AO 3 A I B
Từ đó ta có IN = 1 = IG ⇒ GN SD. N
ID 3 IS O

2 Xác định giao điểm L = SB ∩ (α). D HC
Ta thấy (α) là (KIH) với H, K lần lượt là trung điểm CD,
SC. Ta thấy SB ⊂ (SBC), K = (α) ∩ (SBC) và IH BC
nên giao tuyến của (α) và (SBC) là đường thẳng d đi qua K
song song với BC. Khi đó L = d ∩ SB suy ra L là trung điểm
SB.
Ta thấy

(α)∩(ABCD) = HI, (α)∩(SBC) = KL, (α)∩(SAB) = LI.

Vậy thiết diện của (α) với hình chóp là hình thang LKHI.

BÀI 580. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi H, K lần lượt là trung điểm
các cạnh SA, SB và M là điểm thuộc cạnh CD, (M khác C và D).

1 Tìm giao tuyến của (KAM ) và (SBC), (SBC) và (SAD).

2 Tìm thiết diện tạo bởi (HKO) với hình chóp S.ABCD. Thiết diện là hình gì?

3 Gọi L là trung điểm đoạn HK. Tìm I = OL ∩ (SBC). Chứng minh SI BC.

Lời giải. Trang 389

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

1 Tìm giao tuyến của (KAM ) và (SBC), (SBC) và (SAD). I

Tìm giao tuyến của (KAM ) và (SBC). S

Ta có K ∈ (KAM ) ∩ (SBC). Trong (ABCD) gọi F = d
AM ∩ BC, nên F ∈ (KAM ) ∩ (SBC). Suy ra KF =

(KAM ) ∩ (SBC). L
Tìm giao tuyến của (SBC) và (SAD). HK

Ta thấy S ∈ (SBC) ∩ (SAD), mà BC AD nên giao

tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng d đi qua S

song song với AD và BC. A J B
O G
2 Tìm thiết diện tạo bởi (HKO) với hình chóp S.ABCD. Thiết
diện là hình gì? E
Ta thấy (HKO) và (ABCD) chứa có chung điểm O và lần

lượt chứa HK và AB song song với nhau nên giao tuyến là D M C
đường thẳng a đi qua O song song với AB cắt AD và BC

lần lượt tại E và G. Ta thấy F
(HKO) ∩ (ABCD) = EG, (HKO) ∩ (SAD) = HE,

(HKO) ∩ (SAB) = HK, (HKO) ∩ (SBC) = KG. Vậy thiết

diện của (HKO) và hình chóp là hình thang HKGE do

HK AB mà AB EG nên HK EG.

3 Tìm I = OL ∩ (SBC). Chứng minh SI BC.
Trong (HKGE) gọi I = OL ∩ GK
mà GK ⊂ (SBC) ⇒ I ∈ OL ∩ (SBC).
Trong (SAB) gọi J = SL ∩ AB khi đó L là trung điểm của
AB do HK AB.
Xét (SJO) và (SBC) ta thấy có S là điểm chung và OJ BC
nên giao tuyến là đường thẳng đi d đi qua S và song song
với BC. Mặt khác I ∈ (SJO) ∩ (SBC) nên SI ≡ d. Vậy
SI BC.

BÀI 581. Cho tứ diện ABCD, có M , N lần lượt là trung điểm của AB, BC và G là trọng tâm của tam giác
AC D.

1 Tìm giao điểm E của M G và (BCD).

2 Tìm d = (M N G) ∩ (BCD). Giả sử d ∩ CD = P . Chứng minh GP (ABC).

3 Gọi (α) là mặt phẳng chứa M N và song song với AD. Tìm thiết diện của (α) với tứ diện.

Lời giải.

1 Tìm giao điểm E của M G và (BCD). E
Ta thấy (ABF ) chứa M G với F là trung điểm của DC và BF =
(ABF ) ∩ (BCD). Gọi E = M G ∩ BF ⇒ E = M G ∩ (BCD). D F
G P
2 Tìm d = (M N G) ∩ (BCD). Giả sử d ∩ CD = P . Chứng minh
GP (ABC).
Ta có N ∈ (BCD) ∩ (M N G) và E ∈ M G ⊂ (M N G); E ∈ BF ⊂
(BCD). Suy ra d ≡ N E = (M N G) ∩ (BCD).
Ta thấy

(ABC)∩(EM N ) = M N, (DAC)∩(ABC) = AC, (EM N )∩(DAC) = GAP K C

mà M N AC nên GP AC ⇒ GP (ABC). M N
B
3 Gọi K là trung điểm của BD, do (α) chứa M N và song song với
AD nên (α) đi qua K. Ta thấy

(α) ∩ (ABD) = N K, (α) ∩ (ABC), (α) ∩ (BCD) = KN.

Vậy thiết diện của (α) và hình chóp là tam giác M N K.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 390

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

BÀI 582. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Điểm M thuộc cạnh SA thỏa mãn
3M A = 2M S. Hai điểm E và F lần lượt là trung điểm của AB và BC.

1 Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (M EF ) và (SAC).

KS
2 Xác định giao điểm K của mặt phẳng (M EF ) với cạnh SD. Tính tỉ số .

KD
IM
3 Tìm giao điểm I của M F với (SBD). Tính tỉ số .
IF

4 Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (M EF ) với hình chóp S.ABCD.

Lời giải.

1 Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (M EF ) và (SAC). S
Ta thấy M ∈ (M EF ) ∩ (SAC) và EF AC với EF ⊂
(M EF ), AC (SAC) nên giao tuyến của (M EF ) và (SAC) K
là đường thẳng d đi qua M song song với AC. N

2 Xác định giao điểm K của mặt phẳng (M EF ) với cạnh SD. M
L
KS
Tính tỉ số .

KD
Ta thấy SD ⊂ (SBD), gọi H = EF ∩ BD, O = AC ∩ BD,

L = d ∩ SO. Khi đó HL = (M EF ) ∩ (SBD), gọi K = I

HL ∩ SD ⇒ K = SD ∩ (M EF ). A D

Do M L AC nên M A LO 3 EO
= =. H
M S LS 2
BF
Xét tam giác SOD trong (SBD) vì K, L, H thẳng hàng

nên theo định lí Menelaus ta có SK · HD · LO = 1 ⇒ C
KD HO LS
SK 3 SK 2
·3· =1⇒ = .
KD 2 KD 9

IM
3 Tìm giao điểm I của M F với (SBD). Tính tỉ số .

IF
Trong (M EF ) gọi I = HL ∩ M F mà HL ⊂ (SBD) ⇒ I =

M F ∩ (SBD).

Do M L AC và EF AC nên M L EF . Từ đó ta suy ra
IM ML HL HF 2 1 4

= = : = : =.
IF HF AO AO 5 2 5

4 Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (M EF ) với hình chóp
S.AB C D.
Gọi N = M L ∩ SC. Ta thấy (M EF ) ∩ (SAB) = EM,
(M EF ) ∩ (ABCD) = EF, (M EF ) ∩ (SAD) = M K,
(M EF ) ∩ (SCD) = KN, (M EF ) ∩ (SBC) = N F. Vậy thiết
diện của (M EF ) với hình chóp là ngũ giác EM KN F .

BÀI 583. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M , N là trung điểm của SA,
SD.

1 Xác định giao điểm của N C và (OM D).

2 Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P ) qua M N và song song với SC.

Lời giải. Trang 391

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

1 Xác định giao điểm của N C và (OM D). K
Ta thấy CN ⊂ (SCD), OM SC mà OM ⊂ (OM D),
SC ⊂ (SCD) và O ∈ (OM D) ∩ (SCD) nên giao tuyến của S
(OM D) và (SCD) là đường thẳng d đi qua D và song song
với OM , SC. Gọi K = d ∩ N C ⇒ K = N C ∩ (OM D). MN

2 Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P ) qua AD
M N và song song với SC. JOI
Ta thấy (P ) ≡ (OM N ). BC
Xác định giao tuyến của (OM N ) và (SCD).
Ta thấy N ∈ (OM N ) ∩ (SCD) và OM SC nên giao tuyến
của (OM N ) và (SCD) là đường thẳng đi qua N song song
với SC cắt CD tại I là trung điểm CD.
Gọi J = OI ∩ AB. Ta thấy (OM N ) ∩ (SAB) = JM,
(OM N ) ∩ (SAD) = M N, (OM N ) ∩ (SCD) =
IN, (OM N ) ∩ (ABCD). Vậy thiết diện của mặt phẳng (P )
với hình chóp là hình thang M N IJ.

BÀI 584. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC, (P ) là mặt
phẳng qua AM và song song với BD.

1 Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P ).

2 Gọi E, F lần lượt là giao điểm của (P ) với cạnh SB và SD. Hãy tìm tỉ số diện tích của tam giác SM E
với diện tích tam giác SBC và tỉ số diện tích của tam giác SM F và diện tích tam giác SCD.

3 Gọi K là giao điểm của M E và CB, J là giao điểm của M F và CD. Chứng minh ba điểm K, A, J nằm
EF

trên một đường thẳng song song với EF và tìm tỉ số .
KJ

Lời giải. Trang 392

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

1 Xác định thiết diện của hình chóp khi S
cắt bởi mặt phẳng (P ).
Trong (ABCD) qua A kẻ đường thẳng J
song song BD cắt BC và CD lần lượt tại
K và J. Khi đó (P ) ≡ (M KJ). Gọi E = F
M K ∩ SB, F = CD ∩ SD. Khi đó, ta M
thấy (P )∩(SAB) = EA, (P )∩(SBC) =
EM, (P ) ∩ (SCD) = M F, (P ) ∩
(SAD) = AF . Vậy thiết diện của (P )
với hình chóp là tứ giác AEM F .

2 Tính tỉ số diện tích của tam giác SM E E D
A
với diện tích tam giác SBC và tỉ số diện

tích của tam giác SM F và diện tích tam

giác SCD.

S SME = SE · SM = 2·1 = 1 K BC
Ta có .
S SBC SB SC 3 2 3

(Vì E là giao điểm của hai đường trung

tuyến KM và SB nên E là trọng tâm

của tam giác SCK.)

S SMF = SF · SM =
Tương tự ta có
S SCD SD SC

2 · 1 = 1 (Vì F là giao điểm của hai
.
32 3

đường trung tuyến JM và SD nên F là

trọng tâm của tam giác SCJ.)

3 Chứng minh ba điểm K, A, J nằm trên

một đường thẳng song song với EF và
EF

tìm tỉ số .
KJ

Ta có

SE = 2 = SF ⇒ EF KJ ⇒ EF = ME = 1
.
SB 3 SD KJ MK 3

BÀI 585. Cho hình chóp S.ABCD có G là trọng tâm ABC. Gọi M , N , P , Q, R, H lần lượt là trung điểm
của SA, SC, CB, BA, QN , AG.

1 Chứng minh rằng S, R, G thẳng hàng và SG = 2M H = 4RG.

2 Gọi G là trọng tâm SBC. Chứng minh rằng GG (SAB) và GG (SAC).

Lời giải. Trang 393

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

1 Chứng minh rằng S, R, G thẳng hàng và SG = 2M H = S

4RG.

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC và SB khi đó MF B
1
Q
ta có QEN F là hình bình hành (do EQ = N F = BC, A R NG
2
H
EQ BC N F ) nên R là trung điểm của EF . Ta thấy S ∈

(SQC)∩(SEB), G ∈ (SQC)∩(SEB), R ∈ (SQC)∩(SEB)

suy ra S, R, G thẳng hàng.

Vì M , H lần lượt là trung điểm của SA, AG nên SG =

2M H. G

Xét SGB vì E, R, F thẳng hàng nên theo định lí Menelaus E P
D
ta có RS · EG · F B = 1 ⇒ RS · 1 · 1 = 1 ⇒ RS = 3 ⇒
RG EB F S RG 3 RG
SG = 4RG.

2 Chứng minh rằng GG (SAB) và GG (SAC). C

Xét PG = 1 = P G ⇒ GG SA mà SA ⊂
SAP có
PS 3 PA

(SAB) và SA ⊂ (SAC) nên suy ra GG (SAB), GG

(S AC ).

.BÀI HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG PHÂN BIỆT

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P ). Có ba trường hợp xảy ra:

Q

P

P

Q

(P ), (Q) có 1 điểm chung: (P ) ∩ (Q) = a (P ), (Q) không có điểm chung: (P ) (Q)

Định nghĩa 1. Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung.

2 CÁC ĐỊNH LÍ

Định lí 1. Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a M
a, b cùng song song với mặt phẳng (β) thì (α) song song với (β). b
α

β

! Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song, ta phải chứng minh có hai đường thẳng cắt nhau
thuộc mặt phẳng này lần lượt song song với mặt phẳng kia.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 394

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

Muốn chứng minh đường thẳng a (Q), ta chứng minh đường thẳng a nằm trong mặt phẳng
(P ) (Q).

A

Định lí 2. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một α
và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

β

Hệ quả 1. Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (α) thì trong (α) có một đường thẳng song

song với d và qua d có duy nhất một mặt phẳng song song với (α). Do đó đường thẳng d song song

với (α) ta phải chứng minh d thuộc mặt phẳng (β) và có (α) (β) ⇒ d (α).

Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (α). Mọi đường thẳng đi qua A và song song với (α) đều
nằm trong mặt phẳng đi qua A và song song với (α).

Định lí 3. Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt a b
phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với A
nhau. A
α

B B
β

Hệ quả 2. Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.

Định lí 4. Định lí Thales: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn A
trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. A

α

B B
β C

C
γ

3 VÍ DỤ

VÍ DỤ 1. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang mà AD BC và AD = 2BC. Gọi M ,
N lần lượt là trung điểm của SA và AD. Chứng minh: (BM N ) (SCD).

Lời giải. Trang 395

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

AD A S D
Vì N là trung điểm của AD nên N A = N D = = BC. M

2 N
Tứ giác N BCD có N D = BC và N D BC nên N BCD là hình
bình hành, suy ra N B CD ⇒ N B (SCD).

Tam giác SAD có M , N lần lượt là trung điểm của AS và AD nên
M N là đường trung bình của ADS, suy ra M N SD ⇒ M N

(S C D).
®M N (SCD), M N ⊂ (BM N )

Từ ⇒ (BM N ) (SCD).
BN (SCD), BN ⊂ (BM N )

BC

B BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 587. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm SA,
SB, SD và K, I là trung điểm của BC, OM .

1 Chứng minh (OM N ) (SCD). 2 Chứng minh (P M N ) (ABCD).

3 Chứng minh KI (SCD).

Lời giải.

S

1 Ta có O, M lần lượt là trung điểm của AC M
và SA nên OM SC, suy ra OM (SCD). N
Tương tự ON (SCD).
Khi đó (OM N ) (SCD). PQ B
I K
2 Ta có N , M lần lượt là trung điểm của
SB và SA nên M N AB, suy ra M N A
(ABCD). Tương tự P M (ABCD). Vậy O
(P M N ) (ABCD).
D C
3 Ta có O, K lần lượt là trung điểm của AC
và BC nên OK AB, suy ra OK M N .
Khi đó 5 điểm M , N , K, O, I đồng phẳng.
Từ câu trên (OM N ) (SCD), thì KI
(S C D).

BÀI 588. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M , N lần lượt là trung điểm SA, SD

1 Chứng minh (OM N ) (SBC).

2 Gọi P , Q, R lần lượt là trung điểm của AB, ON , SB. Chứng minh P Q (SBC) và (ROM ) (SCD).

Lời giải.

S

1 Ta có O, M lần lượt là trung điểm của AC M R B
và SA nên OM SC, suy ra OM (SBC). P
Tương tự ON (SBC). N
Khi đó (OM N ) (SBC). A O
Q C
2 Ta có O, P lần lượt là trung điểm của AC
và BA nên OP CB, suy ra OP (SBC) D
hay P ∈ (OM N ). Mặt khác Q ∈ (OM N ).
Theo trên (OM N ) (SBC) thì P Q
(S B C ).
Ta có R, O lần lượt là trung điểm của SB
và BD nên RO SD, suy ra RO (SCD).
Theo trên OM SC nên OM (SCD).
Vậy (ROM ) (SCD).

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 396

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

BÀI 589. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và không đồng phẳng. Gọi I, J, K lần
lượt là trung điểm AB, CD, EF . Chứng minh

1 (ADF ) (BCE). 2 (DIK) (JBE).

Lời giải.

F KE

1 Ta có AD BC, suy ra AD I B
(BCE). Tương tự AF (BCE). A
Khi đó (ADF ) (BCE). D
C
2 Trong hình bình hành ABCD có I, J
J lần lượt là trung điểm của AB và
CD nên BI = DJ. Do đó IBJD là
hình bình hành. Suy ra DI BJ nên
DI (JBE).
Trong hình bình hành ABEF có I,
K lần lượt là trung điểm của AB
và EF nên IK EF , suy ra IK
(J B E ).
Vậy (DIK) (JBE).

BÀI 590. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo
AC, BF lấy các điểm M , N sao cho M C = 2AM , N F = 2BN . Qua M , N lần lượt kẻ các đường thẳng song
song với cạnh AB, cắt các cạnh AD, AF theo thứ tự tại M1, N1. Chứng minh rằng

1 MN DE. 2 M1N1 (DEF ). 3 (M N M1N1) (DEF ).

Lời giải.

FE

N1 N

A B
M1

M

ID C

BM AM 1 BN 1
1 Gọi I là giao điểm của BM với CD. Khi đó ta có = = . Mặt khác = .
MI MC 2 NF 2

Khi đó M N IF .

Theo trên AM 1 AB 1
= nên = . Suy ra DI = CD = AB.
MC 2 CI 2

Lại có DI EF . Do đó DEF I là hình bình hành, hay F I DE.

Vậy M N DE.

2 Theo giả thiết thì M M1 N N1 (vì cùng song song với AB) nên M , M1, N ,N1 đồng phẳng.
Lại có M M1 (DEF ) (vì M M1 CD AB) và theo câu trên thì M N DE nên M N (DEF ).
Vậy (M M1N1N ) (DEF ), suy ra M1N1 (DEF ).

3 Đã chứng minh ở câu 2.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 397

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

BÀI 591. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trên hai mặt phẳng phân biệt. Gọi I, J, K theo thứ

tự là trọng tâm các tam giác ADF , ADC, BCE. Chứng minh rằng (IJK) (CDF E).

Lời giải. F E
Ta có CD EF AB nên CD và

EF đồng phẳng.

Gọi M , N lần lượt là trung điểm

của DF , CD. Khi đó, vì I, J lần

lượt là trọng tâm tam giác ADF ,

ADC nên M PK
I
AI 2 AJ ⇒ IJ MN ⇒ IJ (CDEF ).
==
AM 3 AN B
A

Mặt khác, gọi P là trung điểm CE.

BK 2 J
Khi đó = .

BP 3

Ta có ABCD, ABEF là hình bình D N C

hành nên CDF E cũng là hình

bình hành. Khi đó với M , P là

trung điểm của hai cạnh đối của

hình bình hành CDF E nên M P

CD AB suy ra IK M P AB.

Do đó ABP K cũng là hình bình

AI 2 BK
hành. Ta có == .
AM 3 BP

Suy ra IK M N . Khi đó IK

(CDF E).

Vậy (IJK) (CDF E).

BÀI 592. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm SA,
BC, CD.

1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (M OP ).

2 Gọi E là trung điểm của SC và I là điểm trên cạnh SA thỏa AI = 3IS. Tìm K = IE ∩ (ABC) và

H = AB ∩ (EIN ). Tính tỉ số AH
.
AB

3 Gọi G là trọng tâm tam giác SBC. Tìm thiết diện hình chóp S.ABC bị cắt bởi (IM G).

Lời giải.

S

I
M

Q EG B
A H

N
O
D
PC

K

1 Ta có O, P lần lượt là trung điểm của AC và CD nên OP AD, suy ra OP (SAD).
Khi đó giao tuyến của (SAD) và (OM P ) là đường thẳng qua M và song song với AD và cắt SD tại trung
điểm Q của SD.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 398

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

SI 1 1 SE
2 Xét mặt phẳng (SAC) có = = = suy ra IE cắt AC tại K.

SA 4 2 SC
Khi đó K = IE ∩ (ABC).

Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác SAC với ba điểm K, E, I thẳng hàng có

KC · IA · ES =1⇔ KC · 3 ·1=1⇔ KC = 1
.
KA IS EC KA 1 KA 3

Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác ABC với ba điểm K, N , H thẳng hàng có

KC · HA · N B = 1 ⇔ 1 · HA · 1 = 1 ⇔ HA = 3.
KA HB NC 3 HB HB

AH 3
Khi đó = .

AB 4

3 Ta thấy mặt phẳng (IM G) cũng chính là mặt phẳng (SAG).
Vì G là trọng tâm tam giác SBC và N là trung điểm BC nên (IM G) ∩ (SBC) = SN .
Vậy thiết diện hình chóp S.ABC bị cắt bởi (IM G) là tam giác SAN .

BÀI 593. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của SA và CD. Gọi E là giao điểm của AD và (BM N ), I là trung điểm của M E và G = AN ∩ BD.

1 Tìm điểm E và giao điểm F của SD với mặt phẳng (BM N ). Chứng minh F S = 2F D.
2 Chứng minh F G (SAB) và (CDI) (SAB).
3 Gọi H là giao điểm của M N và SG. Chứng minh OH GF .
Lời giải.

S

M F I
A H
E

D
G

ON

BC

1 Trong mặt phẳng (ABCD) kéo dài BN cắt đường thẳng AD tại E. Khi đó E là giao điểm của (BM N )

với AD.

Gọi F là giao điểm của M E với SD. Khi đó F là giao điểm của SD với (BM N ).
ED DN 1

Vì = = nên D là trung điểm của đoạn AE. Từ đó suy ra SD và EM là các đường trung
EA AB 2

tuyến của tam giác SAE. Suy ra F là trọng tâm tam giác SAE. Vậy F S = 2F D.

GD DN 1
2 Tam giác DGN và tam giác BGA đồng dạng nên = = .
GB BA 2
GD F D
Từ đó suy ra = . Nên F G SB ⇒ FG (SAB).
GB F S

Ta có CD AB và DI M A. Từ đó suy ra (CDI) (SAB).

3 Ta có G là trọng tâm tam giác ACD. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SAG với bộ ba điểm thẳng

hàng M, H, N , ta có

N G · M A · HS = 1 ⇔ 1 · 1 · HS = 1 ⇔ HS = 3.
NA MS HG 3 HG HG

Ta cũng có OG = OG = 1 ⇒ OH SB.
OB OD 3

Theo chứng minh trên ta cũng có GF SB. Vậy OH GF .

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 399

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

BÀI 594. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SC, N
là điểm trên đường chéo BD sao cho BD = 3BN .

1 Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SCD) và (SAB) và tìm T = DM ∩ (SAB). Tính TM
.
TD

2 Gọi K = AN ∩ BC. Chứng minh rằng M K (SBD).

3 Gọi I = AN ∩ DC, L = IM ∩ SD. Tính tỉ số LS và SIKM .
LD SIAL

Lời giải.

d

S

T L D
M
A
N O
C
BK

I

1 Mặt phẳng (SAB) và (SCD) lần lượt chứa hai đường thẳng song song là AB và CD nên giao tuyến
của chúng là đường thẳng d qua S và d AB CD.

Trong mặt phẳng (SCD) kéo dài DM cắt d tại T . Khi đó T ∈ d ⇒ T ∈ (SAB). Vậy T = DM ∩(SAB).

MT MS TM 1
Do CD ST nên hai tam giác M CD và M ST đồng dạng. Do đó = = 1. Vậy = .
MD MC TD 2

2 Vì BN = 1 ⇒ BN = 2 . Do đó N là trọng tâm tam giác ABC.
BD 3 BO 3

Suy ra K là trung điểm của BC. Dẫn đến M K là đường trung bình của tam giác SBC.

Nên M K SB ⇒ M K (SBD).

IC KC 1
3 Tam giác IKC và tam giác IAD đồng dạng nên = = .

ID AD 2
Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác SCD với bộ điểm thẳng hàng I, M , L ta có

LS · ID · MC =1⇔ LS ·2·1=1⇔ LS = 1
.
LD IC M S LD LD 2

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác IDL với ba điểm thẳng hàng S, M, C ta có

SD · ML · CI = 1 ⇔ 3 · ML · 1 = 1 ⇔ ML = 1
.
SL MI CD MI MI 3

3
Từ đó suy ra IM = IL.

4

Gọi h, k là lượt là độ dài đường cao các tam giác IKM và IAL kẻ từ M và L. Dễ thấy rằng

h IM 3 1
= = . Vậy 2

k IL 4

SI K M = h · I K = 3· 1 = 3
SI AL 4 2 .
1k · IA
8

2

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 400