Toán 11 - Tập 1

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

BÀI 595. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC
và BF lần lượt lấy các điểm M , N sao cho AM = BN . Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M , N lần
lượt cắt AD và AF tại M và N .

1 Chứng minh rằng (ADF ) (BCE). 2 Chứng minh rằng (CDF ) (M M N N ).

Lời giải.

FE

N N

A B
M
M

DC

AD BC ⇒ (ADE) (BCF ).



1 Ta có AF BE

AD ∩ AF = A

2 Ta có

M M CD ⇒ AM = AM (1)
AC AD (2)
(3)
Ta cũng có

N N AB ⇒ BN = AN
BF AF

Mà từ giả thiết ta có

AM = BN ⇒ AM AN
=
AC BF AD AF

Từ (3) suy ra M N DF . Ta cũng có M M N N DC F E.
Vậy (CDF ) (M M N N ).

BÀI 596. Cho hình lăng trụ ABC.A B C . Gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACC , A B C .
Chứng minh rằng (IJK) (BCC B ) và (A JK) (AIB ).
Lời giải.

AC
K
P

B N
C
J
A

IM

B

1 Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của BC, CC và B C . Theo tính chất của trọng tâm tam giác ta có

AI AJ ⇒ IJ MN.
=
AM AN

Tứ giác AM P A là hình bình hành và có AI = AK = 2 ⇒ IK MP.
AM AP 3

Vậy (IJK) (BCC B ).

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 401

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

2 Chú ý rằng mặt phẳng (AIB ) chính là mặt phẳng (AM B ). Mặt phẳng (A JK) chính là mặt phẳng
(A CP ).
Vì AM A P , M B CP (do tứ giác B M CP là hình bình hành). Vậy ta có (A JK) (AIB ).

BÀI 597. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD và AD = 2BC, M ∈ BC. Gọi
(P ) là mặt phẳng đi qua M , (P ) CD, (P ) SC, (P ) cắt AD, SA ,SB lần lượt tại N , P , Q.

1 Chứng minh rằng N Q (SCD) và N P SD.
2 Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SD và AD. Chứng minh rằng (CHK) (SAB).

Lời giải.
S

P H
Q

AD
KN

B
MC

E

1 - Từ M ta kẻ đường thẳng song song với CD cắt AD tại N và cắt AB tại E.
Từ M kẻ đường thẳng song song với SC cắt SB tại Q. Kéo dài EQ cắt SA tại P .
Theo cách dựng ta suy ra (EP N ) (SCD) và N Q ⊂ (EP N ). Vậy N Q (SCD).
- Do (P ) (SCD) và hai mặt phẳng này cùng cắt (SAD) theo các giao tuyến là N P và SD. Do đó ta
suy ra N P SD.

2 Ta có HK là đường trung bình của tam giác SAD nên HK SA (1)
Vì K là trung điểm của AD nên AK = BC. Do đó tứ giác ABCK là hình bình hành. Suy ra CK AB
(2)
Từ (1) và (2) suy ra (CKH) (SAB).

BÀI 598. Cho hình chóp SABC có G là trọng tâm tam giác ABC. Trên đoạn SA lấy hai điểm M , N sao cho
SM = M N = N A.

1 Chứng minh rằng GM (SBC).
2 Gọi D là điểm đối xứng với A qua G. Chứng minh rằng (M CD) (N BG).
3 Gọi H = DM ∩ (SBC). Chứng minh rằng H là trọng tâm tam giác SBC.

Lời giải.
S

M

N H C
A GE D

B

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 402

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

1 Gọi E là trung điểm của BC. Khi đó ta có AG = AM = 2 ⇒ GM SE. Vậy GM (SBC).
AE AS 3

2 Từ giả thiết ta suy ra G, N lần lượt là trung điểm của AD và AM . Do đó N G M D (1) (1)

Từ giác BDCG có E là trung điểm của hai đường chéo nên đó là hình bình hành. Suy ra BG CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra (M CD) (N BG).

3 Ta có AE là đường trung tuyến của tam giác SBC (3)
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SAE với ba điểm thẳng hàng M, H, D ta có

HS · ·DE · MA = 1 ⇔ HS · 1 · 2 = 1 ⇔ HS = 2 (4)
HE DA MS HE 4 HE

Từ (3) và (4) suy ra H là trọng tâm tam giác SBC.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 403

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

.BÀI BÀI TẬP ÔN CUỐI CHƯƠNG

BÀI 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O.
1 Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD).

2 Gọi E là trung điểm của SC. Chứng minh OE (SAB).

SM
3 Gọi F là điểm trên đoạn BD sao cho 3BF = 2BD. Tìm giao điểm M của SB và (AEF ). Tính tỉ số .

SB

Lời giải.

S

AB (SCD) ⇒ (SAB)∩(SCD) = Sx



1 Ta có AB ⊂ (SAB)

S ∈ (SAB) ∩ (SCD)

AB. M

OE SA (đường trung bình) x
 B E



2 Ta có SA ⊂ (SAB) ⇒ OE I
A
OE ⊂ (SAB) D

(SAB).

3 Trong mặt phẳng (SAC) có I = SO ∩ AE. F
O
Suy ra ®I ∈ (SBF ) .
C
I ∈ (AEF )

SB ⊂ (SBF )



F I = (SBF ) ∩ (AEF ) ⇒ M ∈ SB ∩ (AEF ).

M = F I ∩ SB

Ta có

3BF = 2BD

⇒ 3(OB + OF ) = 4OD

⇒ 3OD + 3OF = 4OD

⇒ 3OF = OD

⇒ OF 1 (3.1)
=.
OD 3

Mặt khác IOE OE OI 1
suy ra ISM (g.g), suy ra = =

SM SI 2

OI 1 (2)
=

OS 3

Từ (1) và (2) suy ra F I SD, suy ra M F AD.

21 1
Mà F D = OD = BD, suy ra SM = SB.
33 3
SM 1
Vậy = .
SB 3

BÀI 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm tam
giác SAB và SAD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, SB.

1 Chứng minh IJ (ABCD). 2 Chứng minh (OM N ) (SDC).

3 Tìm giao tuyến của (SAB) và (SDC). 4 Tìm giao điểm của BC và (OM N ).
Lời giải.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 404

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

S

1 Gọi P , Q lần lượt là trung điểm của AB và AD, ta có:

SI SJ 2 M
= =.

SP SQ 3

Suy ra IJ P Q. (AB C D). x J
IJ P Q N Q

 I D
A
P Q ⊂ (ABCD) ⇒ IJ

IJ ⊂ (SBCD)

2 Xét hai mặt phẳng (OM N ) và (SCD) có: ⇒ P O
B R
M N CD (cùng song song AB) C



MO SC

M = M N ∩ M O
M N (SCD)



M O (SCD) ⇒ (OM N ) (SCD).

M = M N ∩ M O

AB (SCD) ⇒ (SAB) ∩ (SCD) = Sx



3 Ta có AB ⊂ (SAB)

S ∈ (SAB) ∩ (SCD)

AB.

4 Gọi R là trung điểm BC, dễ dàng chứng minh M N RQ.
BC ⊂ (ABCD)



Ta có (OM N ) ∩ (ABCD) = RQ ⇒ R = BC ∩

R = BC ∩ RQ

(OM N ).

BÀI 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi H, I, K, L lần lượt là trung
điểm của SA, SC, OB, SD.

1 Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAC) và (SBD); (HIK) và (SBD).

2 Chứng minh OL song song với (HIK).

3 Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD bị cắt bởi mặt phẳng (HIK). Trang 405

Lời giải.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

1 Ta có ®SO ⊂ (SAC) ⇒ SO = (SAC) ∩ (SBD). S
Q
SO ⊂ (SBD)

Gọi M là giao điểm của SO và HI, ta có: H L
M I
K ∈ BO ⊂ (SBD)


K ∈ (HIK)

⇒ M K = (HIK) ∩ (SBD).
M ∈ SO ⊂ (SBD)


M ∈ HI ⊂ (HIK)

2 Trong tam giác SAC có HI AC nên theo định lí Talet A D

SM 1 N O
ta có = , suy ra M là trung điểm SO.
K C
SO 2 BP
Trong tam giác SOB có M K SB (tính chất trung

bình), trong tam giác SBD có OL SB (tính chất trung

bình). Do đó, OL M K.
OL M K



Ta có M K ⊂ (HIK) ⇒ OL (HIK).

OL ⊂ (HIK)

3 Gọi N , P lần lượt là trung điểm của AB và BC, từ đó

dễ dàng chứng minh được N , K, P thẳng hàng. Gọi Q

là giao điểm của M K và SD.

Suy ra N P AC ⇒ N P HI (tính chất trung bình).
HN = (HIK) ∩ (SAB)


P I = (HIK) ∩ (SBC)



Ta có QI = (HIK) ∩ (SCD)

HQ = (HIK) ∩ (SAD)


N P = (HIK) ∩ (ABCD).

Do đó, thiết diện tạo bởi (HIK) và hình chóp S.ABCD

là ngũ giác HN P IQ.

BÀI 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cạnh đáy lớn AD. Gọi E, F lần lượt là các điểm
SE SF 1

trên hai cạnh SA, SD thỏa mãn điều kiện = = . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
SA SD 3

1 Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD), của (SAD) và (SBC).

2 Tìm giao điểm H của CD và (EF G).

3 Chứng minh EG (SBC).

4 Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD bị cắt bởi (EF G). Nó là hình gì? Trang 406

Lời giải.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

1 Gọi I là giao điểm của AB và CD, ta có: Sx
F
S ∈ (SAB)
 E

 ∈ (S C D)
S
⇒ SI = (SAB) ∩ (SCD).
I ∈ AB ⊂ (SAB)



I ∈ CD ⊂ (SCD)

BC AD A D
 KG
B
 ⊂ (SAD) ⇒ (SAD) ∩ (SBC) = Sx
AD
Ta có BC.
BC ⊂ (SBC)
 H
C

S ∈ (SAB) ∩ (SBC)

2 Theo định lí Talet thì EF AD, lấy điểm K trên AB sao cho I
AK 2
= , do đó:
AB 3
Cũng theo định lí Talet thì KG BC mà BC AB nên EF

K G.

Gọi H là giao điểm của KG và CD, ta có:
®H ∈ CD

⇒ H ∈ CD ∩ (EF G).
H ∈ KH ⊂ (EF G)

EF BC ⊂ (SBC) (SBC) ⇒ EG


3 Ta có EK SB ⊂ (SBC) ⇒ (EF G)

E = EF ∩ EK

(S B C ).

EF = (EF G) ∩ (SAD)



F H = (EF G) ∩ (SBD)


4 Ta có  = (EF G) ∩ (AB C D)
K H

EK = (EF G) ∩ (SAB)


 ∩

 = (EF G) (S BC)
∅




EF.

Vậy mặt phẳng (EF G) cắt hình chóp S.ABCD là hình thang

EF HK.

BÀI 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm SAB. Lấy điểm M
thuộc cạnh AD sao cho AD = 3AM .

1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (GCD).

2 Tìm giao điểm I của CD và mặt phẳng (SGM ).

3 Chứng minh M G song song (SCD). Trang 407

Lời giải.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

2 S I
1 Lấy điểm N trên SA sao cho SN = SA, ta có:
N
3 G
®GN AB
A
⇒ GN CD ⇒ GN ⊂ (GCD). P
AB CD B

N ∈ SA ⊂ (SAD)


Do đó,  ∈ GD ⊂ (GC D) ⇒ N D = (GCD) ∩ M
N
O
D ∈ (SAD) C D





D ∈ (GCD)

(SAD).

2 Gọi P là trung điểm AB và I là giao điểm của P M và

CD, ta có:
®I ∈ CD

⇒ I ∈ CD ∩ (SGM ).
I ∈ P M ⊂ (SGM )

CD GN (1)



3 Ta có GN ⊂ (GM N ) ⇒ CD (GM N ).

CD ⊂ (GM N )

AN AM 1 SD.
= = , theo định lí Talet ta được M N (2)

AS AD 3
SD M N



M N ⊂ (GM N ) ⇒ SD (GM N ).

SD ⊂ (GM N )

Từ (1) và (2) suy ra, (SCD) (GM N ) ⇒ GM

(S C D).

BÀI 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm SA, SB.
1 Tìm giao tuyến của (M BC) và (SAD).

2 Chứng minh (M N (SCD).

3 Gọi I = DM ∩ CN . Chứng minh SI (N AD). Trang 408

Lời giải.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 3. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

I S

1 Gọi P là trung điểm của SD, ta có: P
M
®M P AD N
⇒ M P BC ⇒ M P ⊂ (M BC).
A
AD BC
O
M ∈ (M BC) C

B
 ∈ (SAD) ⇒ M P = (M BC) ∩
M

P ∈ SD ⊂ (SAD) D



P ∈ M P ⊂ (M BC)

(SAD).

M N AB CD (S C D).


2 Ta có CD ⊂ (SCD) ⇒ M N

M N ⊂ (SCD)

11
3 Ta có M N = AB = CD suy ra M N là

22
đường trung bình của ICD, do đó M là trung

điểm ID.

Dễ dàng chứng minh M SI = M AD (c.g.c).

Suy ra S’IM = A÷DM ⇒ SI AD (so le trong).
SI AD



AD ⊂ (N AD) ⇒ SI (N AD).

SI ⊂ (N AD)

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 409