Toán 11 - Tập 1

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

2 Ta có

4 sin 2x sin x + 2 sin 2x − 2 sin x = 4 − 4 cos2 x ⇔ 2 sin 2x(2 sin x + 1) − 2 sin x(2 sin x + 1) = 0

⇔ (2 sin x + 1)(4 sin x cos x − 2 sin x) = 0

⇔ (2 sin x + 1)(2 cos x − 1) sin x = 0

 sin x = 0

1
 cos x =
⇔  2


 sin x = − 1
2

x = k1π

x = −π + k22π
 6

⇔  = 7π + k32π
6
x


 = ±π + k42π.
x 3

Vậy phương trình đã cho có năm nghiệm là x = k1π, x = −π + k22π,x = 7π + k32π và x = ±π + k42π
6 6 3

với k1, k2, k3, k4 ∈ Z.

3 Ta có

√√
4 sin2 x + 3 3 sin 2x − 2 cos2 x = 4 ⇔ 6 3 si√n x cos x − 6 cos2 x = 0

⇔ cos x( 3 sin x − cos x) = 0

ñ cos x = 0
⇔√

3 sin x − cos x = 0

π
x = + kπ

⇔ 2√
cot x = 3

x = π + kπ
2
⇔ π

x = + k π.
6

ππ ∈ Z.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = + kπ và x = + k π, với k, k

26

4 Ta có Trang 51

(cos x + 1)(cos 2x + 2 cos x) + 2 sin2 x = 0
⇔ (cos x + 1)(cos 2x + 2 cos x) + 2(1 − cos2 x) = 0
⇔ (cos x + 1)(cos 2x + 2 cos x + 2 − 2 cos x) = 0
⇔ (cos x + 1)(cos 2x + 2) = 0
⇔ cos x = −1
⇔ x = π + k2π.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là x = π + k2π, k ∈ Z.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

5 Ta có

(2 cos x + 1)(sin 2x + 2 sin x − 2) = 4 cos2 x − 1

⇔ (2 cos x + 1)(sin 2x + 2 sin x − 2) = (2 cos x − 1)(2 cos x + 1))

⇔ (2 cos x + 1)(sin 2x + 2 sin x − 2 − 2 sin x + 1) = 0

⇔ (2 cos x + 1)(sin 2x − 1) = 0

 cos x = − 1
⇔ 2

sin 2x = 1

 = ± 2π + k12π
x 3
⇔


π
2x = 2 + k22π

 = ± 2π + k12π
x 3
⇔


π
x = 4 + k2π.

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x = ± 2π + k12π và x = π + k2π, với k1, k2 ∈ Z.
3 4

6 Ta có

(2 sin x − 1)(2 cos 2x + 2 sin x + 3) = 4 sin2 x − 1

⇔ (2 sin x − 1)(2 cos 2x + 2 sin x + 3) = (2 sin x + 1)(2 sin x − 1)

⇔ (2 sin x − 1)(2 cos 2x + 2 sin x + 3 − 2 sin x − 1) = 0

⇔ (2 sin x − 1)(cos 2x + 1) = 0

1
sin x =
⇔ 2

cos 2x = −1

x = π + k12π
6

⇔  5π

x = + k22π
 6

π
x = 2 + k3π.

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x = π + k12π, x = 5π + k22π và x = π + k3π, với k1, k2, k3 ∈ Z.
6 6 2

7 Ta có

(2 sin x − 1)(2 sin 2x + 1) + 4 cos2 x = 3

⇔ (2 sin x − 1)(2 sin 2x + 1) + 1 − 4 sin2 x = 0

⇔ (2 sin x − 1)(4 sin x cos x + 1 − 1 − 2 sin x) = 0

1
sin x =
⇔ 2

2 sin x cos x − sin x = 0

1
sin x =

2

⇔  sin x = 0




1
cos x =
2
π
x = 6 + k12π

 5π


⇔ x = 6 + k22π




x = k3π


π
x = ± + k4π.
3

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 52

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

Vậy phương trình đã cho có năm nghiệm là x = π + k12π, x = 5π + k22π, x = k3π, x = ±π + k4π với
6 6 3
k1, k2, k3, k4 ∈ Z.

8 Ta có

(2 sin x − 1)(2 cos 2x + 2 sin x + 1) = 3 − 4 cos2 x

⇔ (2 sin x − 1)(2 cos 2x + 2 sin x + 1) = 4 sin2 x − 1

⇔ (2 sin x − 1)(2 cos 2x + 2 sin x + 1 − 2 sin x − 1) = 0

1
sin x =
⇔ 2

cos 2x = 0

x = π + k12π
6

⇔  = 5π + k22π
6
x


π π
x = 4 + k3 2 .

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x = π + k1 2π, x = 5π + k2 2π và x = π π với k1, k2, k3 ∈ Z.
6 6 4 +k3 2 ,

9 Ta có

sin 2x = (sin x + cos x − 1)(2 sin x + cos x + 2)

⇔ sin 2x = sin2 x + 3 sin x cos x + cos x − 1

⇔ sin2 x − 1 + sin x cos x + cos x = 0

⇔ (sin x − 1)(sin x + 1) + cos x(sin x + 1) = 0

⇔ (sin x + 1)(sin x + cos x − 1) = 0

 sin x = −1

⇔ √ x− π =1
2 cos
4

 sin x = −1 √
2
⇔  x− π
cos =
42
−π
 = 2 + k12π
x

⇔  − π = π + k22π
4 4
x


 − π = −π + k32π
x 4 4

 = −π + k12π
x 2

⇔  = π + k22π
2
x


x = k32π

π
x = + kπ

⇔ 2

x = k 2π.

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x= π + kπ, x = k 2π, với k, k ∈ Z.
2

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 53

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

10 Ta có

√
2(cos4 x − sin4 x) + 1 = 3 cos x − sin x

√
⇔ 2(cos2 x − sin2 x) + 1 = 3 cos x − sin x

√
⇔ 2 cos 2x + 1 =√ 3 cos x − sin x
1 3 cos x − 1 sin x
⇔ cos 2x + =
22 2
π cos x − π π
⇔ 2 cos x + = cos x +
66 6
π
cos x + = 0
6
⇔
 x− π 1
cos =
62
 ππ
x + 6 = 2 + k1π
 π π
⇔ 6 = 3 + k22π
x −


 π = −π + k32π
x− 6 3

π
x = 3 + k1π
 π
⇔ = 2 + k22π
x


 = −π + k32π.
x 6

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x = π + k1π, x = π + k22π, x = −π + k32π, với k1, k2, k3 ∈ Z.
3 2 6

BÀI 6. Giải các phương trình lượng giác sau: Trang 54
1 sin x + 4 cos x = 2 + sin 2x.
√√
2 sin 2x + 3 = 2 cos x + 3 sin x
√
3 2(sin x − 2 cos x) = 2 − sin 2x.
4 sin 2x − sin x = 2 − 4 cos x.
5 sin 2x + 2 cos x − sin x − 1 = 0.
6 sin 2x − 2 sin x − 2 cos x + 2 = 0.
7 sin 2x + 1 = 6 sin x + cos 2x.
8 sin 2x − cos 2x = 2 sin x − 1.
9 sin 2x + 2 sin x + 1 = cos 2x.
10 sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + cos x.
11 sin 2x − sin x + 2 cos 2x = 1 − 4 cos x.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

12 (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x.

13 tan x + cot x = 2(sin 2x + cos 2x).
14 (1 + sin2 x) cos x + (1 + cos2 x) sin x = 1 + sin 2x.

15 sin 2x + 2 sin2 x = sin x + cos x.
√

16 cos 3x + cos x = 2 3 cos 2x sin x.

17 cos 3x − cos x = 2 sin x cos 2x.
18 2 sin2 x − sin 2x + sin x + cos x = 1.

19 cos x + tan x = 1 + tan x sin x.

20 tan x = sin 2x − 2 cot 2x.

Lời giải.

1 Ta có

sin x + 4 cos x = 2 + sin 2x

⇔ sin x − 2 + 4 cos x − 2 sin x cos x = 0

⇔ (sin x − 2)(1 − 2 cos x) = 0

⇔ 1
cos x =
2
⇔ x = ± π + k2π.
3

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = ±π + k2π với k ∈ Z.
3

2 Ta có

√√
sin 2x + 3 = 2 cos x +√ 3 sin√x
⇔ 2 sin x cos x − 2 cos x√+ 3 − 3 sin x = 0
⇔ (sin x − 1)(2 cos x − 3) = 0

 sin x = 1
√
⇔ 3

cos x = 2

x = π + k12π
2
⇔ π

x = ± + k22π.
6

ππ
Vậy phương trình có ba nghiệm là x = + k12π, x = ± + k22π với k1, k2 ∈ Z.
2 6

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 55

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

3 Ta có

√
2(sin x − 2 cos x) = 2 − sin 2x

√√
⇔ √2 sin x − 2√− 2 2 cos x + 2 sin x√cos x = 0
⇔ 2(sin x − 2) + 2 cos x(sin x − 2) = 0

√√
⇔ (sin x − 2)(2 cos x + 2) = 0

√
⇔ cos x = − 2

2
⇔ x = ± 3π + k2π.

4

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = ± 3π + k2π với k ∈ Z.
4

4 Ta có

sin 2x − sin x = 2 − 4 cos x

⇔ sin x(2 cos x − 1) + 2(2 cos x − 1) = 0

⇔ (2 cos x − 1)(sin x + 2) = 0

⇔ 1
cos x =
2
⇔ x = ± π + k2π.
3

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = ±π + k2π với k ∈ Z.
3

5 Ta có

sin 2x + 2 cos x − sin x − 1 = 0

⇔ 2 cos x(sin x + 1) − (sin x + 1) = 0

⇔ (sin x + 1)(2 cos x − 1) = 0

 sin x = −1

⇔ cos x = 1

2
x = − π + k2π
2
⇔  ±π
x
= 3 + k 2π.

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x = − π + k2π, x = ± π + k 2π, với k, k ∈ Z.
23

6 Ta có

sin 2x − 2 sin x − 2 cos x + 2 = 0

⇔ 2 sin x(cos x − 1) − 2(cos x − 1) = 0

⇔ (sin x − 1)(cos x − 1) = 0
ñ sin x = 1

⇔
cos x = 1

π
x = + k2π

⇔ 2
x = k 2π.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = π + k2π, x = k 2π, với k, k ∈ Z.
2

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 56

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

7 Ta có

sin 2x + 1 = 6 sin x + cos 2x
⇔ 2 sin x cos x + 2 sin2 x − 6 sin x = 0
⇔ sin x(cos x + sin x − 3) = 0
⇔ sin x = 0, (do cos x + sin x − 3 = 0)
⇔ x = kπ.

Vậy phương trình có một nghiệm x = kπ với k ∈ Z.

8 Ta có

sin 2x − cos 2x = 2 sin x − 1

⇔ 2 sin x cos x + 1 − cos 2x − 2 sin x = 0

⇔ 2 sin x cos x + 2 sin2 x − 2 sin x = 0

⇔ sin x(cos x + sin x − 1) = 0

 sin x = 0

⇔ √ x− π =1
2 cos
4

 sin x = 0 √
2
⇔  x− π
cos =
42

x = k1π

⇔ x − π = π + k22π
 4 4

 − π = −π + k32π
x 4 4

x = k1π

⇔ x = π + k22π
 2

x = k32π

x = k1π
⇔ π

x = 2 + k22π.

π Trang 57
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = k1π, x = 2 + k22π với k1, k2 ∈ Z.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

9 Ta có

sin 2x + 2 sin x + 1 = cos 2x
⇔ 2 sin x cos x + 2 sin x + 2 sin2 x = 0

⇔ sin x(cos x + sin x + 1) = 0

 sin x = 0

⇔ √ x− π = −1
2 cos
4

 sin x = 0 √
=− 2
⇔  x− π
cos
42

x = k1π

 π 3π
x − = + k22π
⇔ 4 4



 π = − 3π + k32π
x− 4 4

x = k1π

⇔ x = π + k22π


π
x = − + k32π
2


x = k1π

⇔  = −π + k22π.
x 2

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = k1π, x = π + k22π với k1, k2 ∈ Z.
2

10 Ta có

sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + cos x
⇔ 2 sin x cos2 x − cos x + (sin 2x − 1) = 0

⇔ cos x(sin 2x − 1) + (sin 2x − 1) = 0

⇔ (cos x + 1)(sin 2x − 1) = 0
ñ cos x = −1

⇔
sin 2x = 1

x = π + k2π
⇔ π

x = + k π.
4

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = π + k2π, x = π + k π với k, k ∈ Z.
4

11 Ta có

sin 2x − sin x + 2 cos 2x = 1 − 4 cos x

⇔ 2 sin x cos x − sin x + 4 cos2 x − 3 + 4 cos x = 0

⇔ sin x(2 cos x − 1) + 2 cos x(2 cos x − 1) + 3(2 cos x − 1) = 0

⇔ (2 cos x − 1)(sin x + 2 cos x + 3) = 0

1
cos x =
⇔ 2

sin x + 2 cos x + 3 = 0

Mà sin x + 2 cos x ≥ −3, đẳng thức xảy ra khi ® sin x = −1 hệ này vô nghiệm. Suy ra phương trình

cos x = −1

sin x + 2 cos x + 3 = 0 vô nghiệm.

Do đó cos x = 1 ⇔ x = ±π + k2π, k ∈ Z.
2 3

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 58

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác
12 Ta có

(2 cos x − 1)(2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x

⇔ (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x) = sin x(2 cos x − 1)

⇔ (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x − sin x + 1) = 0

1
cos x =
2
⇔ √ x− π
2 cos
4 = −1

 = ±π + k12π
x 3



⇔  − π = 3π + k22π
x 4 4




 π 3π
x− =− + k32π
4 4
±π
 = 3 + k12π
x



⇔ x = π + k22π


π
x = − + k32π.
2

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm là x = ±π +k12π, x = π + k2 2π, x = −π +k32π, với k1, k2, k3 ∈ Z.
3 2

13 Điều kiện sin 2x = 0 ⇔ x = k π . Ta có
2

tan x + cot x = 2(sin 2x + cos 2x)

⇔ 1
= 2(sin 2x + cos 2x)
sin x cos x

⇔ 1 = 2 sin x cos x(sin 2x + cos 2x)

⇔ 1 = sin2 2x + 2 sin 2x cos 2x

⇔ 1 − sin2 2x = 2 sin 2x cos 2x

⇔ cos 2x(1 − 2 sin 2x) = 0

 cos 2x = 0

⇔ sin 2x = 1

π 2
4 π
x = + k1 2

π
⇔ x = + k2π
 12

 5π
x = 12 + k3π.

ππ π 5π
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x = 4 + k1 2 , x = 12 + k2π, x = 12 + k3π, với k1, k2, k3 ∈ Z.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 59

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác
14 Ta có

(1 + sin2 x) cos x + (1 + cos2 x) sin x = 1 + sin 2x

⇔ sin x + cos x + sin x cos x(sin x + cos x) = (sin x + cos x)2

⇔ (sin x + cos x)(1 + sin x cos x − sin x − cos x) = 0

⇔ cos x − π (1 − cos x)(1 − sin x) = 0
4
x− π
 4 =0
cos

⇔ 

 cos x = 1


sin x = 1

 − π = π + k1π
x 4 2



⇔ x = k22π


π
x = 2 + k32π

 3π
x = 4 + k1π


⇔ x = k22π

π
x = 2 + k32π.

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x = 3π + k1π, x = k22π, x = π + k32π, với k1, k2, k3 ∈ Z.
4 2

15 Ta có

sin 2x + 2 sin2 x = sin x + cos x

⇔ 2 sin x(sin x + cos x) − (sin x + cos x) = 0

⇔ (sin x + cos x)(2 sin x − 1) = 0

 x− π =0
cos 4
1
⇔


sin x = 2

x − π = π + k1π
4 2
π
⇔ x = + k22π
 6

 5π
x = 6 + k32π

 3π
x= + k1π
 4

⇔ π
x = + k22π
 6



 5π
x = 6 + k32π

3π π 5π
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x = 4 + k1π, x = 6 + k22π, x = 6 + k32π, với k1, k2, k3 ∈ Z.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 60

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

16 Ta có

√
cos 3x + cos x = 2√ 3 cos 2x sin x
⇔ 2 cos 2x√cos x = 2 3 cos 2x sin x
⇔ cos 2x( 3 sin x − cos x) = 0

ñ cos 2x = 0
⇔√

cot x = 3

2x = π + k1π
2
⇔ π

x = 6 + k2π
π π
x = 4 + k1 2

⇔ π

x = 6 + k2π.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = π π x = π + k2π, với k1, k2 ∈ Z.
4 + k1 2 , 6

17 Ta có

cos 3x − cos x = 2 sin x cos 2x

⇔ −2 sin 2x sin x = 2 sin x cos 2x

⇔ sin x(sin 2x + cos 2x) = 0

ñ sin x = 0
⇔

tan 2x = −1

x = k1π

⇔  = −π + π
x 8 k2 2 .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = k1π, x = −π + π với k1, k2 ∈ Z.
8 k2 2 ,

18 Ta có

2 sin2 x − sin 2x + sin x + cos x = 1

⇔ sin2 x − cos2 x − 2 sin x cos x + sin x + cos x = 0

⇔ sin x + cos x = sin 2x + cos 2x

⇔ cos x − π = cos 2x − π
44
2x − π = x − π + k2π
44
⇔  π π
2x −
= −x + + k 2π
44

x = k2π

⇔  π 2π
x= +k .
63

π 2π ∈ Z.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = k2π, x = + k , với k, k

63

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 61

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

19 Điều kiện cos x = 0 ⇔ x = π + kπ. Ta có
2

cos x + tan x = 1 + tan x sin x

⇔ cos2 x + sin x = cos x + sin2 x

⇔ sin x − cos x = (sin x − cos x)(sin x + cos x)

⇔ (sin x − cos x)(sin x + cos x − 1) = 0

 sin x = cos x

⇔ √ x− π =1
2 cos
4

 tan x = 1 √
2
⇔  x− π
cos =
42
π
x = 4 + k1π
 π π
⇔ 4 = 4 + k22π
x −


 π = −π + k32π
x− 4 4

π
x = 4 + k1π
 π
⇔ = 2 + k22π
x


x = k32π

π + k1π
x =
⇔  4

x = k22π.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = π + k1π, x = k32π, với k1, k2 ∈ Z.
4

20 Điều kiện sin 2x = 0 ⇔ x = k π . Ta có
2

tan x = sin 2x − 2 cot 2x

⇔ sin x = sin 2x − 2 cos 2x
cos x sin 2x

⇔ 2 sin2 x = sin2 2x − 2 cos 2x

⇔ 1 − cos 2x = sin2 2x − 2 cos 2x

⇔ 1 − sin2 2x = − cos 2x

⇔ cos2 2x + cos 2x = 0

ñ cos 2x = 0
⇔

cos 2x = −1

x = π π
4 + k1 2
⇔ π

x = 2 + k2π.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = π π x = π + k2π, với k1, k2 ∈ Z.
4 + k1 2 , 2

BÀI 7. Giải các phương trình lượng giác sau: Trang 62
1 cos x + 2 sin x(1 − cos x)2 = 2 + 2 sin x.

2 2(cos x + sin 2x) = 1 + 4 sin x(1 + cos 2x).
3 1 − sin x cos x = 2 sin x − cos2 x .

2

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

4 √ x− π = 1.
sin 2x + cos x − 2 sin 4

π − 2x π √ 2
+x .
5 sin + sin =
4 42

π −x π √ 2
+ 2x .
6 cos − sin =
4 42

7 sin3 x + cos3 x = sin x + cos x.

8 sin3 x + cos3 x = 2(sin5 x + cos5 x).

9 2 sin3 x + cos 2x + cos x = 0.

10 sin8 x + cos8 x = 2(sin10 x + cos10 x) + 5 cos 2x.
4

√
11 sin 2x − cos 2x − 2 sin x = 0.

12 tan 2x + cot x = 8 cos2 x.

13 3 sin 3x + 2 + sin x(3 − 8 cos x) = 3 cos x.

14 2 sin x(2 cos 2x + 1 + sin x) = cos 2x + 2.

Lời giải.

1 Ta có

cos x + 2 sin x(1 − cos x)2 = 2 + 2 sin x

⇔ cos x − 2 + 2 sin x((1 − cos x)2 − 1) = 0

⇔ cos x − 2 + 2 sin x cos x(cos x − 2) = 0

⇔ (cos x − 2)(sin 2x + 1) = 0

⇔ sin 2x = −1
⇔ x = −π + kπ.

4

Vậy phương trình có một nghiệm là x = −π + kπ, k ∈ Z.
4

2 Ta có

2(cos x + sin 2x) = 1 + 4 sin x(1 + cos 2x)

⇔ 2 cos x + 2 sin 2x = 1 + 8 sin x cos2 x

⇔ 2 cos x + 2 sin 2x = 1 + 4 sin 2x cos x

⇔ 2 sin 2x(1 − 2 cos x) − (1 − 2 cos x) = 0

⇔ (2 sin 2x − 1)(1 − 2 cos x) = 0

1
sin 2x =
2
⇔ 1


cos x = 2

x = π + k1π
12

⇔  5π

x = + k2π
 12

π
x = ± + k32π.
3

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 63

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm là x = π + k1 π, x = 5π + k2 π, x = ±π + k3 2π, với k1, k2, k3 ∈ Z.
12 12 3

3 Ta có

1 − sin x cos x = 2 sin x − cos2 x
2

⇔ 1 − sin x cos x = 2 sin x − 2 cos2 x
2

⇔ 1 − sin x cos x = 2 sin x − 1 − cos x

⇔ 2 + cos x − sin x(cos x + 2) = 0

⇔ (2 + cos x)(1 − sin x) = 0

⇔ sin x = 1
π
⇔ x = + k2π.
2

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là x = π + k2π, k ∈ Z.
2

4 Ta có

√ x− π =1
sin 2x + cos x − 2 sin 4

⇔ 2 sin x cos x + cos x − sin x + cos x = 1

⇔ sin x(2 cos x − 1) + 2 cos x − 1 = 0

⇔ (sin x + 1)(2 cos x − 1) = 0

 sin x = −1

⇔ cos x = 1

−π 2
2
x = + k12π

⇔  ±π
x 3
= + k22π.

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x = −π + k12π, x = ±π + k22π, với k1, k2 ∈ Z.
2 3

5 Ta có

π − 2x π √ 2
+x
sin + sin 4√ = 2√
√4
√ √
⇔ 2 cos 2x − 2 sin 2x + 2 cos x + 2 sin x = 2

⇔ cos 2x − sin 2x + sin x + cos x = 1

⇔ (cos x − sin x)(cos x + sin x) + (sin x + cos x) = (sin x + cos x)2

⇔ (sin x + cos x)(cos x − sin x + 1 − sin x − cos x) = 0

ñ sin x + cos x = 0
⇔

2 sin x = 1

 tan x = −1

⇔ sin x = 1

−π 2
4
x = + k1π

π
⇔ x = + k22π
 6

 5π
x = 6 + k32π.

ππ 5π
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x = − + k1π, x = + k22π, x = + k32π, với k1, k2, k3 ∈ Z.
4 6 6

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 64

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

6 Ta có

π −x π √ 2
+ 2x
cos − sin =
4 42
√ √
⇔ 2 cos π −x − 2 sin π 2
+ 2x =
4 42

⇔ sin x + cos x − sin 2x − cos 2x = 1

⇔ sin x + cos x − (sin x + cos x)2 − (cos x − sin x)(cos x + sin x) = 0

⇔ (sin x + cos x)(1 − sin x − cos x − cos x + sin x) = 0

⇔ (sin x + cos x)(1 − 2 cos x) = 0

ñ sin x + cos x = 0
⇔

1 − 2 cos x = 0

 tan x = −1

⇔ cos x = 1

−π 2
4
x = + k1π

⇔ π

x = ± + k22π.
3

ππ
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x = − + k1π, x = ± + k22π., với k1, k2 ∈ Z.
4 3

7 Ta có

sin3 x + cos3 x = sin x + cos x

⇔ (sin x + cos x)(1 − sin x cos x) = sin x + cos x

⇔ (sin x + cos x) sin 2x = 0

ñ sin x + cos x = 0
⇔

sin 2x = 0

ñ tan x = −1
⇔

sin 2x = 0

x = −π + k1π
4
⇔ π

x = k2 2 .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = −π + k1π, x = π với k1, k2 ∈ Z.
4 k2 2 ,

8 Ta có

sin3 x + cos3 x = 2(sin5 x + cos5 x)
⇔ sin3 x − 2 sin5 x + cos3 x − 2 cos5 x = 0
⇔ sin3 x(1 − 2 sin2 x) + cos3 x(1 − 2 cos2 x) = 0
⇔ sin3 x cos 2x − cos3 x cos 2x = 0
⇔ cos 2x(sin x − cos x)(1 + sin x cos x) = 0

 cos 2x = 0

⇔  sin x = cos x

sin 2x = −2

⇔ cos 2x = 0
ππ

⇔ x = 4 + k1 2 .

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là x = π + π , với k ∈ Z.
4 k

2

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 65

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

9 Ta có

2 sin3 x + cos 2x + cos x = 0
⇔ 2 sin3 x + 1 − 2 sin2 x + cos x = 0

⇔ 2(1 − cos2 x)(sin x − 1) + (1 + cos x) = 0

⇔ (1 + cos x)(2 sin x + 2 cos x − 2 sin x cos x − 1) = 0
⇔ (1 + cos x)(2(sin x + cos x) − (sin x + cos x)2) = 0

⇔ (1 + cos x)(sin x + cos x)(2 − sin x − cos x) = 0

⇔ (1 + cos x)(sin x + cos x) = 0

ñ cos x = −1
⇔

tan x = −1

x = π + k12π

⇔  = −π + k2π.
x 4

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = π + k12π, x = −π + k2π, với k1, k2 ∈ Z.
4

10 Ta có

sin8 x + cos8 x = 2(sin10 x + cos10 x) + 5 cos 2x
4

⇔ sin8 x(1 − 2 sin2 x) + cos8 x(1 − 2 cos2 x) = 5 cos 2x
4

⇔ sin8 x cos 2x − cos8 x cos 2x = 5 cos 2x
4

⇔ cos 2x(4(sin8 x − cos8 x) − 5) = 0

 cos 2x = 0

⇔  x − cos8 x = 5
sin8
4

Xét phương trình sin8 x − cos8 x = 5 ⇔ sin8 x = 5 + cos8 x ≥ 5 > 1 vô lý, suy ra phương trình
4 44
sin8 x − cos8 x = 5 vô nghiệm.
4
Do đó cos 2x = 0 ⇔ x = π + π k ∈ Z.
4 k,

2

11 Ta có

√
sin 2x − cos 2x − 2 sin x = 0
√ √
⇔ 2 sin 2x − π − 2 sin x = 0
4
⇔ sin 2x − π = sin x
4
π
2x − 4 = x + k12π

⇔  π
2x − 4
= π −x+ k22π

π
x = 4 + k12π
⇔ 
 5π 2π
x = 12 + k2 3 .

π 5π 2π
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 4 + k12π, x = 12 + k2 3 , với k1, k2 ∈ Z.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 66

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

12 Điều kiện ® cos 2x = 0 ⇔  = ππ ,k ∈ Z. Ta có
sin x = 0 x = +k

x 42
kπ

tan 2x + cot x = 8 cos2 x

⇔ sin 2x + cos x = 8 cos2 x
cos 2x sin x

⇔ cos 2x cos x + sin 2x sin x = 8 cos 2x sin x cos2 x

⇔ cos x = 2 sin 4x cos x

 cos x = 0

⇔ sin 4x = 1

π 2
2
x = + k1π

π π
⇔ x = + k2
 24 2

 5π π
x = 24 + k3 2 .

Vậy phương trình có ba nghiệm là x = π + k1π, x = π π x = 5π π với k1, k2, k3 ∈ Z.
2 24 + k2 2 , 24 + k3 2 ,

13 Ta có

3 sin 3x + 2 + sin x(3 − 8 cos x) = 3 cos x

⇔ 9 sin x − 12 sin3 x + 2 + 3 sin x − 8 sin x cos x − 3 cos x = 0
⇔ 12 sin x − 12 sin3 x + 2 − 8 sin x cos x − 3 cos x = 0

⇔ 12 sin x cos2 x − 8 sin x cos x + 2 − 3 cos x = 0

⇔ 4 sin x cos x(3 cos x − 2) − (3 cos x − 2) = 0

⇔ (3 cos x − 2)(2 sin 2x − 1) = 0

2
cos x =
3
⇔ 1


sin 2x = 2

 Å 2 ã
x 3
= ± arccos + k12π


⇔ π + k2π
x =
 12

 5π
x = 12 + k3π.

Å2ã π 5π
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm là x = ± arccos 3 + k12π, x = 12 + k2π, x = 12 + k3π, với

k1, k2, k3 ∈ Z.

14 Ta có

2 sin x(2 cos 2x + 1 + sin x) = cos 2x + 2

⇔ 4 sin x cos 2x + 2 sin x + 2 sin2 x − cos 2x − 2 = 0

⇔ 4 sin x cos 2x − 2 cos 2x + 2 sin x − 1 = 0

⇔ (2 cos 2x + 1)(2 sin x − 1) = 0

1
sin x =
2
⇔  cos 2x = − 1

π 2
6
x = + k12π

⇔  5π

x = + k22π
 6

π
x = ± + k3π.
3

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 67

Ƅ Chương 2. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x = π + k12π, x = 5π + k22π, x = ±π + k3π, với k1, k2, k3 ∈ Z.
6 6 3

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 68

CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG
TRÌNH LƯỢNG GIÁC
3

.BÀI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ

BẬC HAI VÀ BẬC CAO CÙNG MỘT HÀM
LƯỢNG GIÁC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Quan sát và dùng các công thức biến đổi để đưa phương trình về cùng một hàm lượng giác (cùng sin
hoặc cùng cos hoặc cùng tan hoặc cùng cot) với cung góc giống nhau, chẳng hạn:

Dạng Đặt ẩn phụ Điều kiện
a sin2 X + b sin X + c = 0 t = sin X −1 ≤ t ≤ 1
a cos2 X + b cos X + c = 0 t = cos X −1 ≤ t ≤ 1

a tan2 X + b tan X + c = 0 t = tan X π
X = + kπ
a cot2 X + b cot X + c = 0 t = cot X
2
X = kπ

Nếu đặt t = sin2 x, cos2 x hoặc t = | sin x|, | cos x| thì điều kiện là 0 ≤ t ≤ 1.

B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP
1 VÍ DỤ

VÍ DỤ 1. Giải phương trình: 4 cos2 x − 4 sin x − 1 = 0.

Lời giải.

4 cos2 x − 4 sin x − 1 = 0 ⇔ 4(1 − sin2 x) − 4 sin x − 1 = 0
⇔ 4 − 4 sin2 x − 4 sin x − 1 = 0
⇔ 4 sin2 x + 4 sin x − 3 = 0.

Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:

1
t=
2
4t2 + 4t − 3 = 0 ⇔ (2t − 1)(2t + 3) = 0 ⇔  −3


t= .
2

π
x = + k2π
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin x = 1 ⇔ = 6 (k ∈ Z).
2  5π

+ k2π
x 6

VÍ DỤ 2. Giải phương trình: cos 2x − 3 cos x + 2 = 0.

69

Ƅ Chương 3. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

Lời giải.

cos 2x − 3 cos x + 2 = 0 ⇔ cos2 x − sin2 x − 3 cos x + 2 = 0
⇔ 2 cos2 x − 3 cos x + 1 = 0.

Đặt t = cos x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:

1
t =
2t2 − 3t + 1 = 0 ⇔ (2t − 1)(t − 1) = 0 ⇔  2

t = 1.

1 x = k2π
2
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên  ⇔ x = −π + k2π (k ∈ Z).
t = cos x =  3



t = cos x = 1 π
x = + k2π
3

VÍ DỤ 3. Giải phương trình 3 cos 2x + 7 sin x + 2 = 0.

Lời giải.

3 cos 2x + 7 sin x + 2 = 0 ⇔ 3(1 − 2 sin2 x) + 7 sin x + 2 = 0
⇔ 6 sin2 x − 7 sin x − 5 = 0.

Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:

5
t=
3
6t2 − 7t − 5 = 0 ⇔ (3t − 5)(2t + 1) = 0 ⇔  −1


t= .
2

 −π + k2π
x = + k2π
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin x = −1 ⇔ = 6 (k ∈ Z).
2  7π

6
x

VÍ DỤ 4. Giải phương trình: 4 sin4 x + 5 cos2 x − 4 = 0.

Lời giải.

4 sin4 x + 5 cos2 x − 4 = 0 ⇔ 4 sin4 x + 5(1 − sin2 x) − 4 = 0
⇔ 4 sin4 x − 5 sin2 x + 1 = 0.

Đặt t = sin2 x (0 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:

1
t =
4t2 − 5t + 1 = 0 ⇔ (4t − 1)(t − 1) = 0 ⇔  4

t = 1.

 −π
x = + kπ
 1  1 2
t = sin2 x = t = sin x = ±  −π
Vì 0≤t≤1 nên 4 ⇔ 2  + kπ (k ∈ Z).
⇔ x = 6
t = sin2 x = 1 t = sin x = ±1  π



x = + kπ
6

VÍ DỤ 5. Giải phương trình: cos 4x + 12 sin2 x − 1 = 0.

Lời giải.

cos 4x + 12 sin2 x − 1 = 0 ⇔ cos2 2x − sin2 2x + 12 sin2 x − 1 = 0
⇔ (cos2 x − sin2 x)2 − 4 sin2 x cos2 x + 12 sin2 x − 1 = 0

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 70

Ƅ Chương 3. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

⇔ (1 − 2 sin2 x)2 − 4 sin2 x(1 − sin2 x) + 12 sin2 x − 1 = 0
⇔ 1 − 4 sin2 x + 4 sin4 x − 4 sin2 x + 4 sin4 x + 12 sin2 x − 1 = 0
⇔ 8 sin4 x + 4 sin2 x = 0.

Đặt t = sin2 x (0 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:

t = 0
8t2 + 4t = 0 ⇔ 4t(2t + 1) = 0 ⇔  −1

t= .
2

Vì 0 ≤ t ≤ 1 nên t = sin2 x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z).

VÍ DỤ 6. Giải phương trình: − 1 tan2 x + 2 − 5 = 0.
2 cos x 2

Lời giải. π
2
Điều kiện: cos x = 0 ⇔ x = + kπ (k ∈ Z). Ta có:

− 1 tan2 x + 2 − 5 = 0 ⇔ sin2 x 4 cos x 5 cos2 x
2 cos x 2 − + − = 0.
2 cos2 x 2 cos2 x 2 cos2 x

⇔ cos2 x − 1 + 4 cos x − 5 cos2 x = 0

⇔ 4 cos2 x − 4 cos x + 1 = 0

⇔ (2 cos x − 1)2 = 0

⇔ cos x = 1
2
π
x = + k2π
3
⇔ −π (k ∈ Z).


x = + k2π
3

π
x = + k2π
3
So sánh hai nghiệm với điều kiện thỏa mãn. Vậy  −π (k ∈ Z).


x = + k2π
3

2 BÀI TẬP VẬN DỤNG

BÀI 1. Giải các phương trình lượng giác sau

1 2 sin2 x − sin x − 1 = 0.

2 4 sin2 x + 12 sin x − 7 = 0.
√√

3 2 2 sin2 x − (2 + 2) sin x + 1 = 0.

4 −2 sin3 x + sin2 x + 2 sin x − 1 = 0.

5 2 cos2 x − 3 cos x + 1 = 0.

6 2 cos2 x + 3 cos x − 2 = 0.

√√
7 2 cos2 x + ( 2 − 2) cos x = 2.

√√ √
8 4 cos2 x − 2( 3 − 2) cos x = 6.

√
9 tan2 x + 2 3 tan x + 3 = 0.

√
10 2 tan2 x − 2 3 tan x − 3 = 0.

√√
11 tan2 x + (1 − 3) tan x − 3 = 0.

√
12 3 cot2 x + 2 3 cot x + 1 = 0.

√√
13 3 cot2 x − (1 + 3) cot x + 1 = 0.

√√
14 3 cot2 x + (1 − 3) cot x − 1 = 0.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 71

Ƅ Chương 3. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

Lời giải.

1 Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:

 −1
t =
2t2 − t − 1 = 0 ⇔ (2t + 1)(t − 1) = 0 ⇔  2

t = 1.

 −π
x = + k2π
 −1  6
t = sin x = 7π
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên  2  6 + k2π (k ∈ Z).
⇔ x =
t = sin x = 1


π
x = + k2π
2

2 Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:

 −7
t=
2
4t2 + 12t − 7 = 0 ⇔ (2t + 7)(2t − 1) = 0 ⇔  1


t= .
2

π
x = + k2π
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin x = 1 ⇔ = 6 (k ∈ Z).
2  5π

+ k2π
x 6

3 Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:

1
t =
√ √ √  2√
2 2t2 − 2t − 2t + 1 = 0 ⇔ (2t − 1)( 2t − 1) = 0 ⇔
2
t= .
2

π
x = + k2π
4

 1 3π + k2π
t = sin x = 2√ 
x = 4 (k ∈ Z).
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên  2  π
 2 ⇔ + k2π
 6
t = sin x = x =




 5π
x = + kπ
6

4 Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:

t = 1

−2t3 + t2 + 2t − 1 = 0 ⇔ (−t + 1)(t + 1)(2t − 1) = 0 ⇔ t = −1


1
t= .
2

 −π
x = + kπ
t = sin x = 1 2

Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin x = −1 ⇔  = π + k2π (k ∈ Z).
 1 x 6
 



t = sin x =  5π
2 x = + k2π
6

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 72

Ƅ Chương 3. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

5 Đặt t = cos x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:

t = 1
2t2 − 3t + 1 = 0 ⇔ (t − 1)(2t − 1) = 0 ⇔  1

t= .
2

x = k2π

Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = cos x = 1 ⇔ x = −π
1  3 + k2π (k ∈ Z).
 π + k2π
t = cos x = x=
2

3

6 Đặt t = cos x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:

t = −2
2t2 + 3t − 2 = 0 ⇔ (t + 2)(2t − 1) = 0 ⇔  1

t= .
2

 −π
x = + k2π
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = cos x = 1 ⇔  = 3 (k ∈ Z).
2 π

x + k2π
3

7 Đặt t = cos x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:

√ √ √ t = 1
2t 2 2)  √
2t2 + − 2t − = 0 ⇔ (t − 1)(2t + = 0 ⇔
−2
t= .
2

x = k2π

t = cos x = 1  −3π
√ 4 + k2π (k
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên ⇔ x = ∈ Z).
 −2  3π
t = cos x = + k2π
2 



x= 4

8 Đặt t = cos x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:

√
 −2
√ √ √ √ √ t =
2 3t 2 2t 6 2)(2t 3)  √2
4t2 − + − = 0 ⇔ (2t + − = 0 ⇔


3
t= .
2

 = −3π + k2π
x
√ 4
 −2
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên √2  3π (k ∈ Z).
t = cos x = + k2π
 3 x =
 2 ⇔ 4
 −π

t = cos x = + k2π
x = 6
 π



x = + k2π
6

9 Đặt t = tan x (x = π + kπ, k ∈ Z). Khi đó, phương trình trở thành:
2

√ √√
t2 + 2 3t + 3 = 0 ⇔ (t + 3)2 = 0 ⇔ t = − 3

Với x = π + kπ, k ∈ Z, ta có t = tan x = √ ⇔ x = −π + kπ(k ∈ Z).
2 −3 3

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 73

Ƅ Chương 3. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

10 Đặt t = tan x (x = π + kπ, k ∈ Z). Khi đó, phương trình trở thành:
2

 √
3− 3
√ √ å2 t = √2
− 2 3t Ç 3 9 
2t2 −3 = 0 ⇔ t− = ⇔ 
2 4
3+3
t= .
2

 √√
3−3  3−3
t = tan x= x = arctan + kπ
π  √ 2 √ 2 (k ∈ Z).
Với x = 2 + kπ, k ∈ Z, ta có 3 3 ⇔ 
 

 +  3+3

t = tan x x = arctan + kπ
22

11 Đặt t = tan x (x = π + kπ, k ∈ Z). Khi đó, phương trình trở thành:
2

√√ √ ñt = −1
t2 + t − 3t − 3 = 0 ⇔ (t + 1)(t − 3) = 0 ⇔ √
t = 3.

 −π
ñt = tan x = −1 x = + kπ
Với x = π + kπ, k ∈ Z, ta có t = tan x = √ ⇔  = 4 (k ∈ Z).
2 π
3 
x + kπ
3

12 Đặt t = cot x (x = kπ, k ∈ Z). Khi đó, phương trình trở thành:

3t2 + √ = 0 ⇔ √ = 0 ⇔ t = √
2 3t + 1 ( 3t + 1)2 −3

.
3

√
− 3 −π
Với x = kπ, k ∈ Z, ta có t = cot x = 3 ⇔ x = 3 + kπ(k ∈ Z).

13 Đặt t = cot x (x = kπ, k ∈ Z). Khi đó, phương trình trở thành:

√ √ √ t = 1
3t2 3t 1)( 3t  √
− t − + 1 = 0 ⇔ (t − − 1) = 0 ⇔
3
t= .
3

t = cot x = 1 x = π + kπ
⇔
Với x = kπ, k ∈ Z, ta có  √ 4 (k ∈ Z).
3 x= π
t = cot x = + kπ
3 3

14 Đặt t = cot x (x = kπ, k ∈ Z). Khi đó, phương trình trở thành:

√ √ √ t = 1
3t2 3t 1)(t 3  √
+ t − − 1 = 0 ⇔ (t − + 1) = 0 ⇔
−3
t= .
3

t = cot x = 1 π
√ x = + kπ
−3 4
Với x = kπ, k ∈ Z, ta có  ⇔  −π (k ∈ Z).
t = cot x = 3
 3 + kπ
x=

BÀI 2. Giải các phương trình lượng giác sau Trang 74
1 6 cos2 x + 5 sin x − 2 = 0.
2 2 cos2 x + 5 sin x − 4 = 0.
3 3 − 4 cos2 x = sin x(2 sin x + 1).
4 − sin2 x − 3 cos x + 3 = 0.
5 −2 sin2 x − 3 cos x + 3 = 0.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 3. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

6 2 cos2 2x + 5 sin 2x + 1 = 0.
7 3 sin2 x + 2 cos4 x − 2 = 0.
8 4 sin4 x + 2 cos2 x = 7.
9 4 cos4 x = 4 sin2 x − 1
10 4 sin4 x + 5 cos2 x − 4 = 0.

Lời giải.

1 Ta có:

6 cos2 x + 5 sin x − 2 = 0 ⇔ −6 sin2 x + 5 sin x + 4 = 0.

Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành

4
t=
3
−6t2 + 5t + 4 = 0 ⇔  −1


t= .
2

 −π
x = + k2π
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin x = −1 ⇔ = 6 + k2π (k ∈ Z).
2  7π

6
x

2 Ta có:

2 cos2 x + 5 sin x − 4 = 0 ⇔ 2 − 2 sin2 x + 5 sin x − 4 = 0
⇔ 2 sin2 x − 5 sin x + 2 = 0.

Đặt t = sin x(−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành

t = 2
2t2 − 5t + 2 = 0 ⇔  1

t= .
2

Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin x = 1 ⇔ x = π + k2π (k ∈ Z).
2 = 6 + k2π
 π
x
6

3 Ta có:

3 − 4 cos2 x = sin x(2 sin x + 1) ⇔ 3 − 4(1 − sin2 x) − 2 sin2 x − sin x = 0
⇔ 2 sin2 x − sin x − 1 = 0.

Đặt t = sin x(−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:

t = 1
2t2 − t − 1 = 0 ⇔  −1

t= .
2

π
x = + k2π
2
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin x1 −1  −5π + k2π (k ∈ Z).

  6
t = sin x = ⇔ x =




2  −π
x = + k2π
6

4 Ta có:

¯ sin2 x − 3 cos x + 3 = 0 ⇔ cos2 x − 3 cos x + 2 = 0.

Đặt t = cos x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:

t2 − 3t + 2 = 0 ⇔ ñt = 2
t = 1.

Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = cos x = 1 ⇔ x = k2π(k ∈ Z).

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 75

Ƅ Chương 3. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

5 Ta có:

−2 sin2 x − 3 cos x + 3 = 0 ⇔ 2 cos2 x − 3 cos x + 1 = 0.

Đặt t = cos x(−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:

t = 1
2t2 − 3t + 1 = 0 ⇔  1

t= .
2

x = k2π

t = cos x = 1 ⇔ x = π
1  + k2π
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên  3 (k ∈ Z).
t = cos x = x=
2 −π
+ k2π
3

6 Ta có:

2 cos2 2x + 5 sin 2x + 1 = 0 ⇔ −2 sin2 2x + 5 sin 2x + 3 = 0.

Đặt t = sin 2x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:

t = 3
2t2 − 5t − 3 = 0 ⇔  −1

t= .
2

 −5π
x = + kπ
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin 2x = −1 ⇔  = 12 + kπ (k ∈ Z).
2  −π

x 12

7 Ta có:

3 sin2 x + 2 cos4 x − 2 = 0 ⇔ 2 cos4 x − 3 cos2 x + 1 = 0.

Đặt t = cos2 x (0 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:

t = 1
2t2 − 3t + 1 = 0 ⇔  1

t= .
2

t = cos2 x = 1 x = k2π

 cos x = 1 √ ⇔ x = −π
2  4 + kπ (k ∈ Z).
Vì 0 ≤ t ≤ 1 nên  cos2 1 ⇔   π
t x=
= x = 2 cos x = ± 2 + kπ

4

8 Ta có:

4 sin4 x + 12 cos2 x = 7 ⇔ 4 sin4 x − 12 sin2 x + 5 = 0.

Đặt t = sin2 x(0 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:

1
t=
2
4t2 − 12t + 5 = 0 ⇔  5


t= .
2

Vì 0 ≤ t ≤ 1 nên t = sin2 x = 1 ⇔ sin x = √ ⇔  = π (k ∈ Z).
2 ±2 x = + kπ

2  4
 −π

x + kπ
4

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 76

Ƅ Chương 3. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

9 Ta có:

4 cos4 x = 4 sin2 x − 1 ⇔ 4 cos4 x + 4 cos2 x − 3 = 0.

Đặt t = cos2 x (0 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:

1
t=
2
4t2 + 4t − 3 = 0 ⇔  −3


t= .
2

Vì 0 ≤ t ≤ 1 nên t = cos2 x = 1 ⇔ cos x = √ ⇔  = −3π (k ∈ Z).
2 ±2 x = + kπ

2  4
 3π

x + kπ
4

10 Ta có:

4 sin4 x + 5 cos2 x − 4 = 0 ⇔ 4 sin4 x − 5 sin2 x + 1 = 0.

Đặt t = sin2 x (0 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:

1
t =
4t2 − 5t + 1 = 0 ⇔  4

t = 1.

 −π
x= + k2π
Vì 0 ≤ t ≤ 1 nên  1  1 6 (k ∈ Z).
t = sin2 x = 4 t = sin x = 2  π
⇔ x =
 ⇔ + k2π

t = sin2 x = 1 t = sin x = 1  6

x = k2π

BÀI 3. Giải các phương trình lượng giác sau:
1 2 cos 2x − 8 cos x + 5 = 0.

2 1 + cos 2x = 2 cos x.

3 9 sin x + cos 2x = 8.

4 2 + cos 2x + 5 sin x = 0.

5 3 sin x + 2 cos 2x = 2.

6 2 cos 2x + 8 sin x − 5 = 0.
7 2 cos2 2x + 5 sin 2x + 1 = 0.
8 5 cos x − 2 sin x + 7 = 0.

2
9 sin2 x + cos 2x + cos x = 2.
10 cos 2x + cos2 x − sin x + 2 = 0.

Lời giải.

1 Ta có:

2 cos 2x − 8 cos x + 5 = 0 ⇔ 4 cos2 x − 8 cos x + 3 = 0.

Đặt t = cos x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:

3
t=
2
4t2 − 8t + 3 = 0 ⇔  1


t= .
2

 −π
x = + k2π
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = cos x = 1 ⇔  = 3 (k ∈ Z).
2 π

x + k2π
3

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 77

Ƅ Chương 3. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

2 Ta có:

1 + cos 2x = 2 cos x ⇔ 2 cos2 x − 2 cos x = 0.

Đặt t = cos x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:

2t2 − 2t = 0 ⇔ ñt = 0
t = 1.

ñt = cos x = 0 x = k2π ∈
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên ⇔ −π (k Z).
t = cos x = 1  = + kπ
x 2

3 Ta có:

9 sin x + cos 2x = 8 ⇔ −2 sin2 x + 9 sin x − 7 = 0.

Đặt t = sin x(−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:

 t=1
2t2 − 9t + 7 = 0 ⇔  7

t= .
2

Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin x = 1 ⇔ x = π + k2π (k ∈ Z).
2

4 Ta có:

2 + cos 2x + 5 sin x = 0 ⇔ −2 sin2 x + 5 sin x + 3 = 0.

Đặt t = sin x(−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:

t = 3
2t2 − 5t − 3 = 0 ⇔  −1

t= .
2

 −π
x = + k2π
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin x = −1 ⇔ = 6 (k ∈ Z).
2  −5π

+ k2π
x 6

5 Ta có:

3 sin x + 2 cos 2x = 2 ⇔ −4 sin2 x + 3 sin x = 0.

Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:

t = 0
−4t2 + 3t = 0 ⇔  3

t= .
4

x = k2π

t = sin x = 0  = 3 + k2π
x arcsin
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên  3 ⇔  4 (k ∈ Z).
t = sin x = 4 

 = − arcsin 3 + π + k2π
x
4

6 Ta có:

2 cos 2x + 8 sin x − 5 = 0 ⇔ −4 sin2 x + 8 sin x − 3 = 0.

Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:

3
t=
2
4t2 − 8t + 3 = 0 ⇔  1


t= .
2

π
x = + k2π
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin x = 1 ⇔ = 6 (k ∈ Z).
2  5π

+ k2π
x 6

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 78

Ƅ Chương 3. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

7 Ta có:

2 cos2 2x + 5 sin 2x + 1 = 0 ⇔ −2 sin2 2x + 5 sin 2x + 3 = 0.

Đặt t = sin 2x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:

t = 3
2t2 − 5t − 3 = 0 ⇔  −1

t= .
2

 −5π
x = + kπ
Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin 2x = −1 ⇔  = 12 + kπ (k ∈ Z).
2  −π

x 12

x
8 Đặt y = . Khi đó, phương trình trở thành:

2

5 cos 2y − 2 sin y + 7 = 0 ⇔ −10 sin2 y − 2 sin y + 12 = 0.

Đặt t = sin y (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:

t = 1
10t2 + 2t − 12 = 0 ⇔  −6

t= .
5

Vì −1 ≤ t ≤ 1, y = x nên t = sin x = 1 ⇔ x = π + 4kπ (k ∈ Z).
2 2

9 Ta có:

sin2 x + cos 2x + cos x = 2 ⇔ 1 − cos2 x + 2 cos2 x − 1 + cos x − 2 = 0
⇔ cos2 x + cos x − 2 = 0.

Đặt t = cos x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:
t2 + t − 2 = 0 ⇔ ñt = −2
t = 1.

Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = cos x = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ Z).

10 Ta có:

cos 2x + cos2 x − sin x + 2 = 0 ⇔ 1 − 2 sin2 x + 1 − sin2 x − sin x + 2 = 0
⇔ 3 sin2 x + sin x − 4 = 0.

Đặt t = sin x (−1 ≤ t ≤ 1). Khi đó, phương trình trở thành:

 −4
t =
3t2 + t − 4 = 0 ⇔  3

t = 1.

Vì −1 ≤ t ≤ 1 nên t = sin x = 1 ⇔ x = π + k2π (k ∈ Z).
2

3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Trang 79

BÀI 4. Giải các phương trình lượng giác sau:
1 3 cos2 x − 2 cos 2x = 3 sin x − 1.
2 cos 4x + 12 sin2 x − 1 = 0.
3 cos 4x − 2 cos2 x + 1 = 0.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 3. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

4 16 sin2 x − cos 2x = 15.
2

5 cos 2x + 2 cos x = 2 sin2 x
.
2

6 cos 2x − 3 cos x = 4 cos2 x
.
2

7 1 + cos 4x − 2 sin2 x = 0.

8 8 cos2 x − cos 4x = 1.

9 6 sin2 3x − cos 12x = 4.

10 5(1 + cos x) = 2 + sin4 x − cos4 x.

11 cos4 x − sin4 x + cos 4x = 0.

12 4(sin4 x + cos4 x) + cos 4x + sin 2x = 0.

BÀI 5. Giải các phương trình lượng giác sau:

Å 2π ã π
1 cos 2x + + 3 cos x + + 1 = 0.
33

2 cos2 π + 4 cos π −x = 4.
+x
36

3 4 cos2(6x − 2) + 16 cos2(1 − 3x) = 13.

π = Å 5π − ã − 9.
4 5 cos 2x + 4 sin x
36

Å 5π ã Å 7π ã
2x x
5 sin + − 3 cos − = 1 + 2 sin x.
22

√√
6 cos 2x − 3 sin 2x − 3 sin x + 4 = cos x.

√√
7 3 sin 2x + 3 sin x + cos 2x − cos x = 2.

8 2 Å x + 4 ã + 9 Å2 x − cos ã = 1.
cos2 cos2 x cos x

9 4 Å x + 1 ã + Å x + 1 ã = 7.
sin2 sin2 x 4 sin sin x

10 cos2 x + 1 x + 2 = 2 Å x + 1 ã
cos2 cos cos .

x

BÀI 6. Giải các phương trình lượng giác sau:

1 3 x = 3 + 2 tan2 x.
cos2

2 1 x + 3 cot2 x = 5.
cos2
√
3√

3 sin2 x = 3 cot x + 3.

4 9 − 13 cos x + 1 + 4 x = 0.
tan2

5 2 tan2 x + 3 = 3
.
cos x

6 − 1 tan2 x + 2 − 5 = 0.
2 cos x 2

√1
7 3 sin x + cos x = .
cos x

8 2 sin2 x + tan2 x = 2.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 80

Ƅ Chương 3. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

BÀI 7. Giải các phương trình lượng giác sau:

1 8 sin x cos x − cos 4x + 3 = 0.

2 2 sin2 8x + 6 sin 4x cos 4x = 5.

3 cos x = 1 − sin x.
1 + sin x

√
1 − cos x(2 cos x + 1) − 2 sin x
4 = 1.
1 − cos x

3 sin 2x − 2 sin x
5 = 2.
sin 2x cos x
√
6 2 sin2 x + 3 2 sin x − sin 2x + 1 = −1.
(sin x + cos x)2

7 2 cos 2x − 8 cos x + 7 = 1
.
cos x
√
3 4 + 2 sin 2x √
8 cos2 x + sin 2x − 23 = 2(cot x + 1).

9 3 cos 4x + 2 cos2 x + 3 = 8 cos6 x.

10 3 cos x − 2 = −3(1 − cos x) cot2 x.

11 sin 3x + cos 2x = 1 + 2 sin x cos 2x.

12 2 cos 5x cos 3x + sin x = cos 8x.
13 4(sin6 x + cos6 x) = 4 sin 2x.

14 sin 4x + 2 = cos 3x + 4 sin x + cos x.

BÀI 8. Giải các phương trình lượng giác sau:

1 cos 2x − tan2 x = cos2 x + cos3 x−1
cos2 x .

2 3 tan 2x − 3 − 2 tan x − 2 + 4 cos2 x = 2.
cos 2x 1 + tan x

3 (2 tan2 x − 1) cos x = 2 − cos 2x.

4 2 cos2 x + 3 cos x − 2 cos 3x = 4 sin x sin 2x.

5 4 sin x + 3 = 2(1 − sin x) tan2 x.

6 2 sin3 x − 3 = (3 sin2 x + 2 sin x − 3) tan x.

7 5 sin π − x − 3(1 − cos x) cot2 x = 2.
2

8 3 sin2 x + 2 sin x − 3 + 3 = 2 sin3 x.
cot x

9 5 sin x + cos 3x + sin 3x = 3 + cos x.

1 + 2 sin 2x

√ √ x
3 23 1 + tan x tan
10 cos2 x − tan x − = sin x .
2

.BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN

VÀ COS

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 81

Ƅ Chương 3. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

Dạng tổng quát: a sin x + b cos x = c, (a, b ∈ R \ {0}). (1)
Phương pháp giải:

a2 + b2 < c2, phương trình vô nghiệm.

a2 + b2 ≥ c2, ta làm như sau:
√
Chia hai vế của (1) cho a2 + b2, (1) ⇔ √ a sin x + √ b cos x = √ c . (2)

a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2

Đặt cos α = √ a , sin α = √ b , α ∈ [0; 2π]. Ta có
a2 + b2 a2 + b2
(2) ⇔ sin x cos α + cos x sin α = √ c ⇔ sin(x + α) = √ c , đây là phương trình ở dạng
a2 + b2 a2 + b2

cơ bản.

Lưu ý: Hai công thức hay sử dụng là

sin a cos b ± cos a sin b = sin(a ± b);

cos a cos b ± sin a sin b = cos(a ∓ b).

Các dạng có cách giải tương tự

a sin mx + b cos mx = c;

a sin mx + b cos mx = c sin nx + d cos nx, a2 + b2 = c2 + d2.

B VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP
1 VÍ DỤ

VÍ DỤ 1. Giải phương trình
√√

1 sin x − 3 cos x = − 3;
√√

2 3 cos x − sin x = 2.

Lời giải. 2
1

√√ √√
sin x − 3√cos x = − 3√ √3 cos x − sin x = 2√
⇔ 1 sin x − 3 cos x = − 3 ⇔ 3 cos x − 1 sin x = 2
22 2√ 2 2 2√

⇔ cos π sin x − sin π cos x = − 3 ⇔ sin π cos x − cos π sin x = 2
332 3 32
⇔ sin x − π = sin − π π −x π
33 ⇔ sin = sin
34
x − π = − π + k2π  π − x = π + k2π
33 34
⇔  π π ⇔  π − x = π − π + k2π
x−
= π + + k2π 34
33
π
x = k2π x = + k2π

⇔  5π , k ∈ Z. ⇔  12 , k ∈ Z.
x = + k2π − 5π
3  = + k2π
x 12

VÍ DỤ 2. Giải phương trình Trang 82

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 3. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

1 √ π −x ;
cos 2x − 3 sin 2x = 2 cos 3

2 √ π + sin π −x √
3 sin +x = 2.
44

Lời giải.

1 2

√ π −x √ π + sin π −x √
cos 2x − 3 sin 2x = 2 cos 3 sin +x =2
√3 √4 4
√
1 cos 2x − 3 π −x 3 π 1 π− π −x 2
⇔ sin 2x = cos ⇔ sin +x + cos =
22 3 24 2 24 √2
⇔ cos π cos 2x − sin π sin 2x = cos π − x
⇔ π π π π = 2
sin sin +x + cos cos +x
33 3 34 34 2
⇔ cos 2x − π = cos π − x
33 ⇔ cos x + π − π π
= cos
43 4
2x − π = π − x + k2π ⇔ cos x − π π
33 = cos
⇔ 12 4
 π −π π π
2x − = +x + k2π = + k2π
33 x −
12 4
 2π k2π ⇔  π = − π + k2π
x= + x−
12 4
⇔  9 3 , k ∈ Z.

x = k2π x = π + k2π

⇔  3 , k ∈ Z.
x −π
= 6 + k2π

VÍ DỤ 3. Giải phương trình
√

1 cos 4x − sin x = 3 (cos x − sin 4x);
√

2 3 (cos 2x + sin 3x) = sin 2x + cos 3x.

Lời giải.

1

√ √√
cos 4x − sin√x = 3 (cos√x − sin 4x) ⇔ cos 4x + 3 sin 4x = 3 cos x + sin x
1 3 3 cos x + 1 sin x ⇔ cos π cos 4x + sin π sin 4x = cos π cos x + sin π sin x
⇔ cos 4x + sin 4x = 3
22 22 3 66

cos 4x − π = cos x − π 4x − π = x − π + k2π  π k2π
3 6 x= +
3 6 18 3
⇔ ⇔  π −x + π ⇔  π k2π ,k ∈ Z.
4x − 3 6 
= + k2π = 10 + 5
x

2

√ √√
3 (cos 2x + sin 3x) = sin 2x + cos 3x ⇔ 3 cos 2x − sin 2x = cos 3x − 3 sin 3x
√√
⇔ 3 cos 2x − 1 sin 2x = 1 cos 3x − 3 sin 3x ⇔ cos π cos 2x − sin π sin 2x = cos π cos 3x − sin π sin 3x
2 22 2 66 33
−π
π π 2x + π π  = 6 + k2π
cos 2x + = cos 3x + 6 = 3x + + k2π x
 π
⇔ 6 3 ⇔ 2x + 6 3 ⇔  ,k ∈ Z.
= −3x − π + k2π
 = − π k2π
3 x +
10 5

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 83

Ƅ Chương 3. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

VÍ DỤ 4. Giải phương trình

1 √ x + 1 sin 2x = √
3 sin2 3;
2

2 sin x Ä√ − sin ä = cos x (1 + cos x).
3 x

Lời giải. 2
1

√ x + 1 sin 2x = √ Ä√ ä
3 sin2 3 sin x 3 − sin x = cos x (1 + cos x)

√ 2 √ √
3 3 ⇔ √3 sin x − cos x = sin2 x + cos2 x
⇔ · 1 − cos 2x + 1 sin 2x =

2√ 2 √ ⇔ 3 sin x − 1 cos x = 1
1 sin 2x − 3 3 2 22
⇔ cos 2x =
22 2√ ⇔ sin x cos π − cos x sin π = 1
6 62
⇔ sin 2x cos π − cos 2x sin π = 3 sin x − π π
3 32 ⇔ = sin
66
sin 2x − π π x − π = π + k2π
⇔ = sin
33
2x − π = π + k2π ⇔ 66
 π π
33 x− = π − + k2π
⇔ 66
 π π
2x − = π − + k2π π
33 x = + k2π
⇔ 3 , k ∈ Z.
x = π + kπ
3 x = π + k2π
⇔ π , k ∈ Z.

x = + kπ
2

VÍ DỤ 5. Giải phương trình

sin x − sin 2x √
1 cos x − cos 2x = 3;

cos x − sin 2x √
2 2 cos2 x − sin x − 1 = 3.

Lời giải.

1 ®x = 2x + k2π x = k2π ⇔x= k2π , k ∈ Z. (1)
Điều kiện xác định: cos x − cos 2x = 0 ⇔  3
⇔ k2π
x = −2x + k2π x =
3

sin x − sin 2x = √ ⇔ sin x − √ cos x = sin 2x − √ cos 2x
cos x − co√s 2x 3 3 3
√
1 sin x − 3 cos x = 1 sin 2x − 3
⇔ 22 2 2 cos 2x

⇔ cos π cos x − sin π sin x = cos π cos 2x − sin π sin 2x
66 6 6
π π
⇔ cos x + = cos 2x +
66
x + π = 2x + π + k2π
66
⇔  π π
x+
= −2x − + k2π
66

x = k2π

⇔  −π k2π ,k ∈ Z.
x
= +
93

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 84

Ƅ Chương 3. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

Kết hợp với điều kiện (1) ta có nghiệm của phương trình là x = −π + k2π ∈ Z .
9 ,k

3

2 Điều kiện xác định: 2 cos2 x − sin x − 1 = 0 ⇔ cos 2x − sin x = 0 ⇔ cos 2x = cos π − x
2
 π − x + k2π  π k2π
⇔ 2x = 2 =+ ⇔ x = π + k2π ∈ Z. (2)
 = − π + x + k2π x 6 ,k
⇔ 63
2x 2 = − π + k2π 3
x
2

cos x − sin 2x 1 = √ ⇔ cos x − sin 2x = √
2 cos2 x√− sin x − 3 √cos 2x − sin x 3

⇔ cos x + 3√sin x = sin 2x + 3 co√s 2x
1 31 3
⇔ cos x + sin x = sin 2x + cos 2x
222 2
ππ π π
⇔ cos cos x + sin sin x = cos cos 2x + sin sin 2x
33 6 6
⇔ cos x − π = cos 2x − π
36
x − π = 2x − π + k2π
36
⇔  π π
x−
= −2x + + k2π
36
−π
 = + k2π
x 6
π k2π
⇔ , k ∈ Z.


x= +
63

Kết hợp với điều kiện (2) ta có nghiệm của phương trình là x = −π + k2π, k ∈ Z .
6

VÍ DỤ 6. Giải phương trình

x
1 cos 2x 1 + tan x tan + tan x = 2 sin x + 1;

2
√
2 4 sin2 x + tan x + 2 (1 + tan x) sin 3x = 1.

Lời giải.

 π  π
 cos x = 0 x = + kπ x + kπ
 2 ⇔ =
1 Điều kiện xác định: x ⇔ π x = 2 ,k ∈ Z. (1)
 cos 2 = 0 x 2 π + k2π
 = + kπ (4)
2 (5)

Phương trình đã cho tương đương với

cos 2x − 1 − 2 sin x + cos 2x tan x tan x + tan x = 0
2

⇔ cos 2x · sin x · tan x + sin x − 2 sin2 x − 2 sin x = 0
cos x 2 cos x

⇔ sin x Å cos 2x · tan x + 1 ã
− 2 sin x − 2 = 0
cos x 2 cos x

 sin x = 0 (2)

⇔  cos 2x · tan x + 1 − 2 sin x − 2 = 0. (3)
cos x 2 cos x

(2) ⇔ x = kπ, k ∈ Z.
(3) ⇔ cos 2x sin x − 2 sin x cos x cos x + cos x − 2 cos x cos x = 0
2 22 2
sin x cos 2x − cos x sin 2x x Å 3x x ã
cos
⇔ + cos − + cos = 0
22 2 22

⇔ sin 3x + cos 3x = 0 ⇔ cos Å 3x − π ã = 0
22 24

⇔ 3x − π = π + kπ ⇔ x = π + k2π k ∈ Z.
2 4 2 2 ,
7π 11π
3 6 6

Từ (1), (4), (5) ta có nghiệm của phương trình là x = k2π, x = + k2π, x = + k2π, k ∈ Z.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 85

Ƅ Chương 3. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

2 Điều kiện xác định: cos x = 0 ⇔ x = π + kπ, k ∈ Z. (1)
2

Phương trình đã cho tương đương với

√
4 sin2 x − 2 + (tan x + 1) + 2 (1 + tan x) sin 3x = 0

√
⇔ 2 sin2 − cos2 x + (tan x + 1) + 2 (1 + tan x) sin 3x = 0

⇔ 2 (sin x + cos x) (sin x − cos x) + sin x + cos x + √ · sin x + cos x sin 3x = 0
2
cos x cos x
√
⇔ Å 1 + 2 · sin 3x ã = 0
(sin x + cos x) 2 sin x − 2 cos x +
cos x cos x

 sin x + cos x = 0 (2)

⇔  1 + √ · sin 3x = 0. (3)
2 sin x − 2 cos x + 2
cos x cos x

⇔ ππ π
(2) ⇔ sin x + =0⇔ x + = kπ ⇔ x =− 4 + kπ, k ∈ Z. (4)
(3) 2 sin x − 4 1 4 =0 ⇔ sin 2x − 2 cos2
2 cos x + + √ · sin 3x x + 1 + √ sin 3x = 0
2 2
cos x cos x
 π − 2x = 3x + k2π  π k2π
√ π − 2x 4 x= +
⇔ cos 2x − sin 2x = 2 sin 3x ⇔ sin 4 π 20 5
= sin 3x ⇔ ⇔  3π + k2π ,
4 
− 2x = π − 3x + k2π 4
x=

k ∈ Z. (5)

Từ (1), (4), (5) ta có nghiệm của phương trình là x = −π + kπ, x = π + k2π = 3π + k2π, k ∈ Z.
4 20 ,x 4

5

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1. Giải phương trình
√

1 sin x + 3 cos x = 1
√√

2 3 sin 3x − cos 3x = 2

3 √ π −x − sin x = 2
3 sin 2

x x2 √
4 sin + cos + 3 cos x = 2

22

Lời giải.

1 2

√ √√
sin x + 3√cos x = 1 √3 sin 3x − cos 3x = 2√
1 31 ⇔ 3 sin 3x − 1 cos 3x = 2
⇔ sin x + cos x =
22 2 22 2√

⇔ π π1 ⇔ sin 3x cos π − cos 3x sin π = 2
sin x cos + cos x sin = 6 62
3 32
π π
⇔ sin x + = sin ⇔ sin 3x − π π
36 = sin
64
x + π = π + k2π 3x − π = π + k2π
36
⇔  π π ⇔ 64
x+  π π
= π − + k2π 3x − = π − + k2π
36
x = − π + k2π 64

 5π k2π
6 x= +
⇔ π , k ∈ Z. 36 3
⇔ 11π k2π ,k ∈ Z.
x = + k2π 

2 x= +
36 3

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 86

Ƅ Chương 3. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

34

√ π −x − sin x = 2 x x2 √
3 sin sin + cos + 3 cos x = 2
√2
⇔ √3 cos x − sin x = 2 2 2 x x √
⇔ sin2 x + cos2 x + 2 sin cos + 3 cos x = 2

⇔ 3 cos x − 1 sin x = 1 2√ 2 22
22
⇔ sin x + 3 cos x = 1

⇔ sin π cos x − cos π sin x = 1 ⇔ π π1
sin x cos + cos x sin =
33 3 32
π π
⇔ sin π −x π ⇔ sin x + = sin
= sin 36
32
⇔ π − x = π + k2π x + π = π + k2π
32 36
⇔  π π
−π x+
⇔ x = 6 + k2π, k ∈ Z. = π − + k2π
36
x = − π + k2π
6
⇔ π , k ∈ Z.

x = + k2π
2

BÀI 2. Giải phương trình
√π

1 3 sin x + cos x = 2 sin
12

√
2 sin 3x − 3 cos 3x = 2 sin 2x

√
3 2 cos 3x + 3 sin x + cos x = 0

√
4 2 cos 2x + sin x − cos x = 0

5 √ π −x
cos x − 3 sin x = 2 cos 3

√
6 sin x − 3 cos x + 2 = 4 cos2 x

Ä√ ä
7 2 cos x 3 sin x + cos x − 1 = 1

√
8 3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x = sin x

Lời giải.

1 2

√ 31 π 1 sin 3x − √ 3
cos 3x = sin 2x
sin x + cos x = sin 12 22
22
π ππ ⇔ sin 3x cos π − cos 3x sin π = sin 2x
⇔ sin x cos + cos x sin = sin 33
6 6 12
π π ⇔ sin 3x − π = sin 2x
⇔ sin x + = sin 3
6 12
x + π = π + k2π 3x − π = 2x + k2π
6 12 3
⇔ π π ⇔  π
x+ 3x
=π− + k2π − = π − 2x + k2π
6 12 3
π π
 = − + k2π x = + k2π
x 12 3
3π 4π
⇔ , k ∈ Z. ⇔ k2π , k ∈ Z.
 

x = + k2π x= +
4 15 5

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 87

Ƅ Chương 3. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

34

√ √√
3 sin x + 1 cos x = cos(π − 3x) 2 cos x − 2
22 22 sin x = cos 2x

⇔ cos x cos π + sin x sin π = cos(π − 3x) ⇔ cos x cos π − sin x sin π = cos 2x
33 44
⇔ cos x − π = cos(π − 3x) π
3 ⇔ cos x + = cos 2x
4
x − π = π − 3x + k2π x + π = 2x + k2π
3 4
⇔  π ⇔  π
x− x
3 = −π + 3x + k2π + 4 = −2x + k2π

 π kπ π
x = + k2π
x= + 4
3 2 π
⇔ π ⇔ k2π , k ∈ Z.
 

x = + kπ x= +
3 12 3

⇔ x = π + kπ k ∈ Z.
3 ,

2

5 6

√ √
1 cos x − 3 π −x sin x − 3√cos x = 2 cos 2x
22 sin x = cos 3 1 sin x − 3
cos x = cos 2x
⇔ cos x cos π − sin x sin π = cos π − x ⇔ 22
3 33
π π −x ⇔ cos x cos π − sin x sin π = cos (π − 2x)
⇔ cos x + = cos 66
33 π
x + π = π − x + k2π ⇔ cos x + = cos (π − 2x)
3
33 x + π = π − 2x + k2π
⇔  π −π
x
+ = +x + k2π ⇔ 3
33  π
π x + = −π + 2x + k2π
⇔ x = 3 + kπ, k ∈ Z. 3

 2π k2π
x= +
9 3 , k ∈ Z.
⇔ 4π


x = + k2π
3

78

√ √
√2 3 sin x cos x + 2 cos2 x − 2 = 1 3 cos 5x − (sin 5x + sin x) = sin x
⇔ √3 sin 2x + cos 2x = 2 √
31 ⇔ √3 cos 5x − sin 5x = 2 sin x
sin 2x + cos 2x = 1 ⇔ 3 cos 5x − 1 sin 5x = sin x
⇔ 22 22

⇔ ππ ⇔ sin π cos 5x − cos π sin 5x = sin x
cos 2x cos + sin 2x sin = cos 0 33
33
⇔ cos 2x − π = cos 0
3 ⇔ sin π − 5x = sin x
3
⇔ 2x − π = k2π  π − 5x = x + k2π
3 3
π ⇔  π − 5x = π − x + k2π
6
⇔ x = + kπ, k ∈ Z. 3

 π kπ
x= +
18 3
⇔ π kπ , k ∈ Z.


x= +
62

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 88

Ƅ Chương 3. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

BÀI 3. Giải phương trình

1 sin 2x + cos x = cos 2x − sin x

2 sin 2x + 2 cos2 x + sin x − cos x = 1

(1 − 2 sin x) cos x √
3 (1 + 2 sin x)(1 − sin x) = 3

√ 31

4 8 sin x = +
cos x sin x

√√
5 3 cos2 x + 2 sin x cos x − 3 sin2 x = 1

√
6 3(cos 2x − sin x) + cos x(2 sin x + 1) = 0

Lời giải.

12

c√os 2x − sin 2√x = cos x + s√in x √ sin 2x + 2 cos2 x − 1 = cos x − sin x

⇔ 2 cos 2x − 2 2 2 ⇔ c√os 2x + sin 2√x = cos x − s√in x √
⇔ sin 2x = cos x + sin x
⇔ 2 2 22
⇔ cos π cos 2x − sin π sin x = cos π cos x + sin π sin x⇔ 2 2 2 cos x − 2
cos 2x + sin 2x = sin x
⇔ 2 2 22
4 4 44 cos 2x − π π
π = cos x − π x+
cos 2x + ⇔ = cos
44
44 2x − π = x + π + k2π
2x + π = x − π + k2π 44
44 ⇔  π π
2x −
 + π = −x + π + k2π = −x − + k2π
2x 44
44
−π π
 x = + k2π
x = + k2π 2
2 ⇔  , k ∈ Z.
 , k ∈ Z.  k2π
 k2π x=
x= 3
3

®1 + 2 sin x = 0 ® sin x = 0
3 Điều kiện xác định: 4 Điều kiện xác định:
1 − sin x = 0 cos x = 0

x = −π + k2π ⇔ sin 2x = 0 ⇔ x = kπ k ∈ Z. (2)
 6 ,
 1 
 2
sin x = −  − 5π
⇔2 ⇔  = + k2π , k ∈ Z. √
8 sin2 x c√os x = 3 sin x + cos x
x ⇔ cos x + √3 sin x = 4 sin x sin 2x
6 ⇔ cos x + 3 sin x = 2 (cos x + cos 3x)
 sin x = 1  π
 √
x = 2 + k2π

(1)

√ ⇔ cos x − 3 sin x = 2 cos 3x
cos x − sin 2x = 3 1 − sin x + 2 sin x − 2 sin2 x
⇔ π = cos 3x
√ cos x +
⇔ cos x − sin 2x = 3 (cos 2x + sin x) 3
√√ x + π = 3x + k2π
⇔ 3 cos 2x + sin 2x = cos x − 3 sin x
⇔ 3
cos 2x − π π  π
⇔ = cos x + x + = −3x + k2π
63
2x − π = x + π + k2π 3
π
x = + kπ
⇔ 63 6
 π π ⇔ , k ∈ Z.
2x 

− = −x − + k2π  = − π kπ
63 x +
12 2
π
x = + k2π
2
⇔  , k ∈ Z. Kết hợp với điều kiện (2) ta có nghiệm của phương

 = − π k2π π −π kπ ∈
x + 6 12 ,
18 3 trình là x = + kπ, x = + k Z .
2

Kết hợp với điều kiện (1) ta có nghiệm của phương

trình là x = − π + k2π , k ∈ Z .
18 3

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 89

Ƅ Chương 3. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

56

√ √√
√3 cos 2x + sin 2x = 1 3 cos 2x +√sin 2x = 3√sin x − cos x
311 1 3 3 sin x − 1 cos x
⇔ cos 2x + sin 2x = ⇔ sin 2x + cos 2x =
2 22 22 22
π = sin x − π
⇔ π π1 ⇔ sin 2x +
cos 2x cos + sin 2x sin = 36
6 62
2x + π = x − π + k2π
⇔ cos 2x − π 1 36
=
62 ⇔
2x − π = π + k2π  π π
2x + = π − x + + k2π
36
⇔ 63 −π
 π −π 
2x − = + k2π x = + k2π
2
63 ⇔ 5π k2π , k ∈ Z.
x = π + kπ 

x= +
4 18 3
⇔ ,k ∈ Z.
 π + kπ
x = −
12

3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI 4. Giải phương trình
√

1 3 sin x + cos x = −1
√

2 sin x + 3 cos x = 2
√√

3 cos 7x − 3 sin 7x = − 2

4 sin π √
+ 2x + 3 sin(π − 2x) = 1
2

5 sin x(sin x − 1) = cos x(1 − cos x)

π + 2 cos x − π √
6 4 sin x + =3 2
44

√
7 2 sin2 x + 3 sin 2x − 2 = 0

√√
8 cos x sin 3x − 3 cos 2x = 3 + cos 3x sin x

√
9 3 sin 2x + cos 2x = 2 cos x − 1

π
10 2 sin 2x + + 4 sin x = 1

6
√

11 cos 7x cos 5x − 3 sin 2x = 1 − sin 7x sin 5x

12 2 cos4 x − sin4 x √
+ 1 = 3 cos x + sin x

13 2 sin2 x + sin 2x − 3 sin x + cos x = 2

Å 5π ã
2x
14 cos x − 2 cos 2x = 2 sin x cos − 6

BÀI 5. Giải phương trình
√

1 cos x = 2 sin 2x − sin x
√

2 sin x + cos x = 2 2 sin x cos x

3 (sin x + cos x)2 − √ cos 2x = 1 + 2 cos x
3

√
4 sin 3x + 3 cos 3x − 2 sin x = 0

5 2 cos2 x + √ x = 1 + 2 sin 3x
3 sin
2

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 90

Ƅ Chương 3. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

√
6 4 sin2 x + sin x = 2 − 3 cos x

√
7 3 sin 2x + 2 sin2 x = 4 sin 3x cos x + 2

√
8 2 (cos 6x + cos 4x) − 3 (1 + cos 2x) = sin 2x

√
9 2 sin x cos2 x − sin2 x = sin x + 3 cos 3x

√√
10 3 sin 2x − 2 cos2 x = 2 2 + 2 cos 2x

√
11 3 sin 7x − 2 sin 4x sin 3x = cos x

12 sin2 x + sin 2x = √ π
2 sin x sin 3x +
24

√
13 2 − 3 cos 2x + sin 2x = 4 cos2 3x

14 √ 2x − π √
3 cos 2x + sin 2x + 2 sin 6 =2 2

BÀI 6. Giải phương trình
√√

1 cos 2x − 3 sin 2x = 3 sin x + cos x
√

2 cos 7x − sin 5x = 3 (cos 5x − sin 7x)

3 1 − 2 sin x = 1√− sin x
1 + 2 sin x 3 cos x

sin x − sin 3x √
4 cos x − cos 3x = 3

5 4 sin2 π = 4 cos 2x cos 2x − π +1
x+
63

Ä √ä √
6 2 cos x + 3 sin x cos x = cos x − 3 sin x + 1

BÀI 7. Giải phương trình
√

1 sin 2x − 2 3 cos2 x = 2 cos x

2 sin 2x − cos x + sin x = 1
√

3 3 sin 2x − cos 2x = 4 sin x − 1

4 tan π sin x + 2 cos2 x = 2
72

√
5 3 sin 2x − 1 = cos 2x − 2 cos x

√
6 cos 2x + 2 sin x = 1 + 3 sin 2x

√√
7 2 sin 6x − 2 sin 4x + 3 cos 2x = 3 + sin 2x

√π
8 cos x + cos 3x = 1 + 2 sin 2x +

4

.BÀI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐẲNG CẤP

(BẬC , BẬC , BẬC )

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1) Dạng tổng quát a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = d (a, b, c, d ∈ R). (1)

2) Dấu hiệu nhận dạng: phương trình đối với hàm sin hoặc cosin đồng bậc (hoặc lệch nhau hai bậc).
Chú ý hàm tan và cotan được xem là bậc 0.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 91

Ƅ Chương 3. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

3) Phương pháp giải:

Bước 1. Kiểm tra x= π + kπ ® cos x = 0 có là nghiệm của phương trình không?
2 ⇔ sin2 x = 1

Bước 2. Với x= π + kπ ñ cos x = 0 ta chia hai vế của (1) cho cos2 x.
2 ⇔ sin2 x = 1 ,

(1) ⇔ a· sin2 x +b· sin x +c = d ⇔ a tan2 x + b tan x + c = d(1 + tan2 x).
cos2 x cos x cos2 x

Bước 3. Đặt t = tan x để đưa về phương trình bậc hai với ẩn t, từ đó suy ra x.

! Giải tương tự đối với phương trình đẳng cấp bậc ba và bậc bốn.

B VÍ DỤ

VÍ DỤ 1. Giải phương trình 2 cos2 x + 2 sin 2x − 4 sin2 x = 1.

Lời giải.
Ta có phương trình có dạng 2 cos2 x+4 sin x cos x−4 sin2 x = sin2 x+cos2 x ⇔ 5 sin2 x−4 sin x cos x−cos2 x = 0.
(2)

π
TH1. Với x = + kπ, thay vào phương trình (2) ta được 5 = 0 (vô lí).

2

π  tan x = 1
2
TH2. Với x= + kπ, chia hai vế của (2) cho cos2 x ta được: 5 tan2 x − 4 tan x − 1 = 0 ⇔  1
tan x = − .
5

Với tan x = 1 ⇔ x = π + kπ.
4

−1 Å 1 ã
−
Với tan x = ⇔ x = arctan + kπ.
55

π Å 1 ã
−
Vậy nghiệm của phương trình là x = + kπ, x = arctan + kπ.
45

VÍ DỤ 2. Giải phương trình 4 sin3 x + 3(cos3 x − sin x) = sin2 x cos x.

Lời giải.

π
TH1. Với x = + kπ, thay vào phương trình đã cho.

2
Nếu x = π + k2π thì (1) ⇔ 1 = 0 (vô lí).

2
Nếu x = − π + k2π thì (1) ⇔ 7 = 0 (vô lí).

2
TH2. Với x = π + kπ, chia hai vế của phương trình cho cos3 x ta được:

2

4 tan3 x + 3 1 − tan x(1 + tan2 x) = tan2 x ⇔ tan3 x − tan2 x − 3 tan x + 3 = 0 ⇔ ñ tan x = 1 √

tan x = ± 3.

Với tan x = 1 ⇔ x = π + kπ.
4
Với tan x = √ ⇔ x = π + kπ.
3
3
√ −π
Với tan x = −3 ⇔ x = 3 + kπ.

Vậy nghiệm của phương trình là x = π + kπ, x = ± π + kπ.
43

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 92

Ƅ Chương 3. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

VÍ DỤ 3. Giải phương trình sin2 x(tan x + 1) = 3 sin x(cos x − sin x) + 3.

Lời giải.
Điều kiện xác định cos x = 0 ⇔ x = π + kπ.

2
Chia hai vế của phương trình cho cos2 x ta được:

tan2 x(tan x + 1) = 3 tan x(1 − tan x) + 3(1 + tan2 x) ⇔ tan3 x + tan2 x − 3 tan x − 3 = 0 ⇔ ñ tan x = −1
√
tan x = ± 3.

Với tan x = −1 ⇔ x = − π + kπ.
4

Với tan x = √ ⇔ x = π + kπ.
3
3

Với tan x = √ ⇔ x = −π + kπ.
−3 3

Vậy nghiệm của phương trình là x = − π + kπ, x = ± π + kπ.
43

C BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1. Giải các phương trình lượng giác sau:

1 2 sin2 x + √ sin x cos x − cos2 x = 2.
33

2 sin2 x + sin x cos x − 2 cos2 x = 0.

3 cos2 x − √ sin 2x = 1 + sin2 x.
3

4 2 cos2 x − √ sin 2x + 4 = 4 sin2 x.
33

5 √ sin2 x + (1 − √ sin x cos x − cos2 x + 1 = √
3 3) 3.

6 2 sin2 x + (3 + √ sin x cos x + √ − 1) cos2 x + 1 = 0.
3) (3

7 4 sin2 x − 5 sin x cos x − 9 cos2 x = 0.

√ Å 9π ã
3 4x
8 cos2(3π − 2x) − cos − 2 = 1 + sin2 2x.

Lời giải.

1 Ta có (*)
√√

2 sin2 x + 3 3 sin x cos x − cos2 x = 2 ⇔ 2 sin2 x + 3 3 sin x cos x − cos2 x = 2(cos2 x + sin2 x)
√

⇔ 3 sin x cos x − cos2 x = 0.

π
TH1. Với x = + kπ, thay vào phương trình (*) ta được 0 = 0 (thỏa mãn).

2

TH2. Với x = π + kπ, chia hai vế của (*) cho cos2 x ta được: √ = 0 ⇔ tan x = √1 ⇔x=
3 tan x − 1
23
π
+ kπ.
6

ππ
Vậy nghiệm của phương trình là x = + kπ, x = + kπ.

26

2 Ta có sin2 x + sin x cos x − 2 cos2 x = 0. (*)

TH1. Với cos x = 0 ⇔ x = π + kπ, thay vào phương trình (*) ta được sin2 x = 0 (vô lí).
2

TH2. Với x = π + kπ, chia hai vế của (*) cho cos2 x ta được: tan2 x + tan x − 2 = 0 ⇔ ñ tan x = 1
2 tan x = −2.

Với tan x = 1 ⇔ x = π + kπ.
4

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 93

Ƅ Chương 3. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

Với tan x = −2 ⇔ x = arctan(−2) + kπ.

Vậy nghiệm của phương trình là x = π + kπ, x = arctan(−2) + kπ.
4
√ √ √
3 Ta có cos2 x − 3 sin 2x = 1 + sin2 x ⇔ 2 sin2 x + 2 3 sin x cos x = 0 ⇔ 2 sin x(sin x + 3 cos x) = 0.

TH1. Với sin x = 0 ⇔ x = kπ.
√ √ −π
TH2. Với sin x + 3 cos x = 0⇔ tan x =− 3 ⇔x= 3 + kπ.

Vậy nghiệm của phương trình là x = kπ, x = − π + kπ.
3

√√
4 T√a có 2 cos2 x − 3 3 sin 2x + 4 = 4 sin2 x ⇔ 2 cos2 x − 6 3 sin x cos x + 4(1 − sin2 x) = 0 ⇔ cos x(cos x −

3 sin x) = 0.

TH1. Với cos x = 0 ⇔ x = π + kπ.
2

TH2. Với √ = 0⇔ tan x = √1 ⇔ x = π + kπ.
cos x − 3 sin x 36

ππ
Vậy nghiệm của phương trình là x = + kπ, x = + kπ.

26
√ √ √ √ √
5 Ta có 3 sin2 x + (1 − 3) sin x cos x − cos2 x + 1 = 3 ⇔ sin2 x + (1 − 3) sin x cos x − 3 cos2 x = 0.(*)

TH1. Với x = π + kπ, thay vào phương trình (*) ta được sin2 x = 0 (vô lí vì sin2 x + cos2 x = 1).
2
π √√
TH2. Với x = + kπ, chia hai vế của (*) cho cos2 x ta được: tan2 x + (1 − 3) tan x − 3 = 0 ⇔
2
ñ tan x = −1
√
tan x = 3.

Với tan x = −1 ⇔ x = − π + kπ.
4
Với tan x = √ ⇔ x = π + kπ.
3
3

Vậy nghiệm của phương trình là x = − π + kπ, x = π + kπ.
43
√ √ √ √
6 Ta có 2 sin2 x + (3 + 3) sin x cos x + (3 − 1) cos2 x + 1 = 0 ⇔ 3 sin2 x + (3 + 3) sin x cos x + 3 cos2 x = 0.

(*)

TH1. Với x = π + kπ, thay vào phương trình (*) ta được sin2 x = 0 (vô lí vì sin2 x + cos2 x = 1).
2
π √√
TH2. Với x = + kπ, chia hai vế của (*) cho cos2 x ta được: 3 tan2 x + (3 + 3) tan x + 3 = 0 ⇔
2
 tan x = −1

 √1 .
tan x = 3

Với tan x = −1 ⇔ x = − π + kπ.
4

Với tan x = √1 ⇔ x = π + kπ.
36

Vậy nghiệm của phương trình là x = − π + kπ, x = π + kπ.
46

7 Ta có 4 sin2 x − 5 sin x cos x − 9 cos2 x = 0. (*)

TH1. Với x = π + kπ, thay vào phương trình (*) ta được sin2 x = 0 (vô lí vì sin2 x + cos2 x = 1).
2

π  tan x = −1
2
TH2. Với x= + kπ, chia hai vế của (*) cho cos2 x ta được: 4 tan2 x − 5 tan x − 9 = 0 ⇔  9
tan x = .
4

Với tan x = −1 ⇔ x = − π + kπ.
4

Với tan x = 9 ⇔ x = Å9ã + kπ.
arctan
44

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 94

Ƅ Chương 3. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

Vậy nghiệm của phương trình là x = − π + kπ, x = arctan Å 9 ã + kπ.
44

8 Ta có

√ Å 9π ã √
3 4x cos2 2x − 3 sin 4x = 1 + sin2 2x
cos2(3π − 2x) − cos − 2 = 1 + sin2 2x ⇔

√
⇔ 2 sin2 2x + 2 3√sin 2x cos 2x = 0
⇔ sin 2x(sin 2x + 3 cos 2x) = 0.

TH1. Với sin 2x = 0 ⇔ 2x = kπ ⇔ x = k π .
2
√ √
TH2. Với sin 2x + 3 cos 2x = 0⇔ tan 2x =− 3 ⇔ 2x = −π + kπ ⇔ x = −π π
+k .
3 62

Vậy nghiệm của phương trình là x = π x = −π + π .
k, k
2 62

BÀI 2. Giải các phương trình lượng giác sau:

1 sin x = 2 cos3 x.

2 cos3 x + sin3 x = sin x − cos x.

3 sin x − 4 sin3 x + cos x = 0.

4 4(sin3 x + cos3 x) = cos x + 3 sin x.

5 6 sin x + 2 cos3 x = 5 sin 2x cos x.

6 cos3 x − 4 sin3 x + sin x = 3 cos x sin2 x.

7 3 cos4 x + sin4 x = 4 cos2 x sin2 x.

8 4 sin3 x + 3(cos3 x − sin x) = sin2 x cos x.

9 √ x− π − 3 cos x = sin x.
2 2 cos3 4

10 sin2 x + (1 + cos 2x)2 = 2 cos 2x.
2 sin 2x

11 cos2 x tan2 4x + 1 + sin 2x = 0.

12 tan x sin2 x − 2 sin2 x = 3(cos 2x + sin x cos x).
√√

13 sin3 x − 3 cos3 x = sin x cos2 x − 3 sin2 x cos x.

14 4(sin4 x + cos4 x) + 5 sin 2x cos 2x + cos2 2x = 6.
√√

15 3 cot2 x + 2 2 sin2 x = (2 + 3 2) cos x.

Lời giải. (*)

1 Ta có sin x = 2 cos3 x ⇔ sin x − 2 cos3 x = 0.
TH1. Với x = π + kπ, thay vào phương trình (*) ta được sin2 x = 0 (vô lí vì sin2 x + cos2 x = 1).
2
TH2. Với x = π + kπ, chia hai vế của (*) cho cos3 x ta được:
2

tan x(1 + tan2 x) − 2 tan3 x = 0 ⇔ tan x(1 − tan2 x) = 0 ⇔ ñ tan x = ±1
tan x = 0.

Với tan x = −1 ⇔ x = − π + kπ.
4

Với tan x = 1 ⇔ x = π + kπ.
4

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 95

Ƅ Chương 3. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

Với tan x = 0 ⇔ x = kπ. (*)
Vậy nghiệm của phương trình là x = ± π + kπ, x = kπ.

4

2 Ta có cos3 x + sin3 x = sin x − cos x.

π
TH1. Với x = + k2π, thay vào phương trình (*) ta được 1 = 1 (thỏa mãn).

2
TH2. Với x = − π + k2π, thay vào phương trình (*) ta được −1 = −1 (thỏa mãn).

2
TH3. Với x = π + kπ, chia hai vế của (*) cho cos3 x ta được:

2

1 + tan3 x = tan x(1 + tan2 x) − (1 + tan2 x) ⇔ tan2 x − tan x + 2 = 0 (vô nghiệm).

π
Vậy nghiệm của phương trình là x = + kπ.

2

3 Ta có sin x − 4 sin3 x + cos x = 0. (*)

TH1. Với x = π + k2π, thay vào phương trình (*) ta được −3 = 0 (vô lí).
2

TH2. Với x = − π + k2π, thay vào phương trình (*) ta được 3 = 0 (vô lí).
2

TH3. Với x = π + kπ, chia hai vế của (*) cho cos3 x ta được:
2

tan x(1+tan2 x)−4 tan3 x+1+tan2 x = 0 ⇔ −3 tan3 x+tan2 x+tan x+1 = 0 ⇔ tan x = 1 ⇔ x = π
+kπ.
4

π
Vậy nghiệm của phương trình là x = + kπ.

4

4 Ta có 4(sin3 x + cos3 x) = cos x + 3 sin x. (*)

π
TH1. Với x = + k2π, thay vào phương trình (*) ta được 4 = 3 (vô lí).

2
TH2. Với x = − π + k2π, thay vào phương trình (*) ta được −4 = −3 (vô lí).

2
TH3. Với x = π + kπ, chia hai vế của (*) cho cos3 x ta được:

2

4(1 + tan3 x) = tan2 x + 1 + 3 tan x(tan2 x + 1) ⇔ tan3 x − tan2 x − 3 tan x + 3 = 0 ⇔ ñ tan x = 1 √

tan x = ± 3.

Với tan x = 1 ⇔ x = π + kπ.
4
Với tan x = √ ⇔ x= ±π + kπ.
±3 3

Vậy nghiệm của phương trình là x = π + kπ, x = ± π + kπ.
43

5 Ta có 6 sin x + 2 cos3 x = 5 sin 2x cos x ⇔ 3 sin x + cos3 x = 5 sin x cos2 x. (*)

TH1. Với x = π + kπ, thay vào phương trình (*) ta được sin x = 0 (vô lí vì sin2 x + cos2 x = 1).
2

TH2. Với x = π + kπ, chia hai vế của (*) cho cos3 x ta được:
2

3 tan x(1 + tan2 x) + 1 = 5 tan x ⇔ 3 tan3 x − 2 tan x + 1 = 0 (vô nghiệm).

Vậy phương trình vô nghiệm. (*)

6 Ta có cos3 x − 4 sin3 x + sin x = 3 cos x sin2 x.

TH1. Với x = π + k2π, thay vào phương trình (*) ta được −3 = 0 (vô lí).
2

TH2. Với x = − π + k2π, thay vào phương trình (*) ta được 3 = 0 (vô lí).
2

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 96

Ƅ Chương 3. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

TH3. Với x = π + kπ, chia hai vế của (*) cho cos3 x ta được:
2

 tan x = 1
1 − 4 tan3 x + tan x(tan2 x + 1) = 3 tan2 x ⇔ 3 tan3 x + 3 tan2 x − tan x − 1 = 0 ⇔  tan x = ± √1 .

3

Với tan x = 1 ⇔ x = π + kπ.
4

Với tan x = ± √1 ⇔ x = ± π + kπ.
36

Vậy nghiệm của phương trình là x = π + kπ, x = ± π + kπ.
46

7 Ta có 3 cos4 x + sin4 x = 4 cos2 x sin2 x. (*)

TH1. Với x = π + kπ, thay vào phương trình (*) ta được sin x = 0 (vô lí vì sin2 x + cos2 x = 1).
2

TH2. Với x = π + kπ, chia hai vế của (*) cho cos4 x ta được:
2

3 + tan4 x = 4 tan2 x ⇔ tan4 x − 4 tan2 x + 3 = 0 ⇔ ñ tan x = ±1
√
tan x = ± 3.

Với tan x = ±1 ⇔ x = ± π + kπ.
4
Với tan x = √ ⇔ x = ±π + kπ.
±3 3

Vậy nghiệm của phương trình là x = ± π + kπ, x = ± π + kπ.
43

8 Ta có 4 sin3 x + 3(cos3 x − sin x) = sin2 x cos x ⇔ 4 sin3 x − 3 sin x + 3 cos3 x = sin2 x cos x. (*)

π
TH1. Với x = + k2π, thay vào phương trình (*) ta được 1 = 0 (vô lí).

2
TH2. Với x = − π + k2π, thay vào phương trình (*) ta được −1 = 0 (vô lí).

2
TH3. Với x = π + kπ, chia hai vế của (*) cho cos3 x ta được:

2

4 tan3 x − 3 tan x(tan2 x + 1) + 3 = tan2 x ⇔ tan3 x − tan2 x − 3 tan x + 3 = 0 ⇔ ñ tan x = 1 √

tan x = ± 3.

Với tan x = 1 ⇔ x = π + kπ.
4
Với tan x = √ ⇔ x= ±π + kπ.
±3 3

Vậy nghiệm của phương trình là x = π + kπ, x = ± π + kπ.
43

9 √ x− π − 3 cos x = sin x ⇔ (sin x + cos x)3 − 3 cos x = sin x. (*)
Ta có 2 2 cos3 4

π
TH1. Với x = + k2π, thay vào phương trình (*) ta được 1 = 1 (thỏa mãn).

2
TH2. Với x = − π + k2π, thay vào phương trình (*) ta được −1 = −1 (thỏa mãn).

2
TH3. Với x = π + kπ, chia hai vế của (*) cho cos3 x ta được:

2

(tan x + 1)3 − 3(tan2 x + 1) = tan x(tan2 x + 1) ⇔ tan x − 1 = 0 ⇔ tan x = 1 ⇔ x = π + kπ.
4

ππ
Vậy nghiệm của phương trình là x = + kπ, x = + kπ.

42

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 97

Ƅ Chương 3. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

10 Điều kiện xác định sin 2x = 0 ⇔ x = k π .
2
Ta có sin2 x + (1 + cos 2x)2 = 2 cos 2x ⇔ sin2 x + cos3 x = 2(cos2 x − sin2 x).
2 sin 2x sin x (*)

Chia hai vế của (*) cho sin2 x ta được:

1 + cot3 x = 2(cot2 x − 1) ⇔ cot3 x − 2 cot2 x + 3 = 0 ⇔ cot x = −1 ⇔ x = − π + kπ.
4

Vậy nghiệm của phương trình là x = − π + kπ.
4

11 Điều kiện xác định cos 4x = 0 ⇔ x = π + π
k.
84

Ta có

π
x = k
cos2 x tan2 4x+1+sin 2x = 0 ⇔ tan2 4x+(1+tan x)2 = 0 ⇔ ® tan 4x = 0 ⇔  = 4 ⇔ x = − π +kπ.
tan x = −1 x 4
−π + kπ
4

Vậy nghiệm của phương trình là x = − π + kπ.
4

12 Điều kiện xác định cos x = 0 ⇔ x = π + kπ.
2

Ta có

tan x sin2 x − 2 sin2 x = 3(cos 2x + sin x cos x) ⇔ tan x sin2 x − 2 sin2 x = 3(cos2 x − sin2 x + sin x cos x)
⇔ tan3 x − 2 tan2 x = 3(1 − tan2 x + tan x)
⇔ tan3 x + tan2 x − 3 tan x − 3 = 0
ñ tan x = −1
⇔√
tan x = ± 3.

Với tan x = −1 ⇔ x = − π + kπ.
4
√
Với tan x = ±3 ⇔ x = ±π + kπ.
3

Vậy nghiệm của phương trình là x = − π + kπ, x = ± π + kπ.
43

13 Ta có sin3 x − √ cos3 x = sin x cos2 x − √ sin2 x cos x. (*)
3 3

TH1. Với cos x = 0 ⇔ x = π + kπ, thay vào phương trình (*) ta được sin2 x = 0 (vô lí).
2

TH2. Với x = π + kπ, chia hai vế của (*) cho cos3 x ta được:
2

√√ √ √ ñ tan x = ±1
tan3 x − 3 = tan x − 3 tan2 x ⇔ tan3 x + 3 tan2 x − tan x − 3 = 0 ⇔ √
tan x = − 3.

Với tan x = ±1 ⇔ x = ± π + kπ.
4
Với tan x = √ ⇔ x = −π + kπ.
−3 3

Vậy nghiệm của phương trình là x = ± π + kπ, x = − π + kπ.
43

14 Ta có

4(sin4 x + cos4 x) + 5 sin 2x cos 2x + cos2 2x = 6

⇔ 4 1 − 2 sin2 x cos2 x + 5 sin 2x cos 2x + cos2 2x = 6.

⇔ 4 Ç − sin2 2x å + 5 sin 2x cos 2x + cos2 2x = 6.
1
2

⇔ 2 sin2 2x − 5 sin 2x cos 2x − cos2 2x + 2 = 0. (*)

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 98

Ƅ Chương 3. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

TH1. Với cos 2x = 0, thay vào phương trình (*) ta được sin2 2x = −1 (vô lí).
TH2. Với cos 2x = 0, chia hai vế của (*) cho cos2 2x ta được:

 tan 2x = 1

2 tan2 2x − 5 tan 2x − 1 + 2(1 + tan2 2x) = 0 ⇔ 4 tan2 2x − 5 tan 2x + 1 = 0 ⇔  1
tan 2x = .
4

Với tan 2x = 1 ⇔ 2x = π + kπ ⇔ x = π + π
k.
4 82

Với tan 2x = 1 ⇔ 2x = arctan 1 + kπ ⇔ x = 1 arctan 1 + π
k.
4 4 2 42

ππ 1 1π
Vậy nghiệm của phương trình là x = + k , x = arctan + k .
82 2 42

15 Điều kiện xác định sin x = 0 ⇔ x = kπ.

Ta có

√√ ⇔ 3 cos x Å cos x − √ã + √ sin2 x − cos x) = 0
3 cot2 x + 2 2 sin2 x = (2 + 3 2) cos x sin2 x 2 2( 2

⇔ √ sin2 x − cos x) Å − 3 cos x ã = 0.
(2 2 sin2 x

TH1. Với √ sin2 x − cos x = 0 ⇔ √√ = 0 ⇔  √1 (thỏa mãn) ⇒ x =
2 2 cos2 x + cos x − 2 cos x = √2



cos x = − 2 (loại)

± π + k2π.
4

1
TH2. Với 2 sin2 x − 3 cos x = 0 ⇔ 2 cos2 x + 3 cos x − 2 = 0 ⇔  cos x = 2 (thỏa mãn) ⇒ x = ± π + k2π.
3
cos x = −2 (loại)

Vậy nghiệm của phương trình là x = ± π + k2π, x = ± π + k2π.
43

.BÀI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐỐI XỨNG

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Dạng 1. a(sin x ± cos x) + b sin x cos x + c = 0.√ (1)
Đặt t = sin x ± cos x (điều kiện |t| ≤ 2), suy ra t2 = . . . và viết sin x cos x theo t.
√
! Khi đặt t = | sin x ± cos x| thì điều kiện của t là 0 ≤ |t| ≤ 2.

Dạng 2. a(tan2 x + cot2 x) + b(tan x ± cot x) + c = 0. (2)

Đặt t = tan x ± cot x (điều kiện |t| ≥ 2), suy ra t2 = . . . và biểu diễn tan2 x + cot2 x theo t.

! Ta thường sử dụng kết quả tan x cot x = 1 và tan2 x + cot2 x = 2
.
sin 2x

B VÍ DỤ (1)

√√
VÍ DỤ 1. Giải phương trình sin 2x + (2 − 2)(sin x + cos x) + 1 − 2 2 = 0.

Lời giải. √

Đặt t = sin x + cos x (|t| ≤ 2), suy ra t2 = 1 + 2 sin x cos x ⇒ sin 2x = t2 − 1. Thay vào phương trình (1) ta

được √

t2 − 1 + (2 − √ + 1 − √ = 0 ⇔ t2 + (2 − √ − √ = 0 ⇔ ñt = 2 (thỏa mãn)
2)t 22 2)t 22
t = −2 (loại).

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 99

Ƅ Chương 3. Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

Với t = √ suy ra sin x + cos x = √ ⇔ √1 sin x + √1 cos x = 1 ⇔ cos x− π = 1 ⇔ x = π + k2π.
2, 2 22 44

√√ (1)
VÍ DỤ 2. Giải phương trình 2(tan2 x + cot2 x) − (4 − 2)(tan x + cot x) + 4 + 2 2 = 0.

Lời giải.

Điều kiện xác định ® sin x = 0 ⇔x= π
k.
cos x = 0 2

Đặt t = tan x + cot x (|t| ≥ 2), suy ra t2 = tan2 x + cot2 x + 2 ⇒ tan2 x + cot2 x = t2 − 2. Thay vào (1) ta được

√√ √√
2(t2 − 2) − (4 − 2)t + 4 + 2 2 = 0 ⇔ 2t2 − (4 − 2)t + 2 2 = 0 (vô nghiệm).

C BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1. Giải các phương trình lượng giác sau:
√

1 sin 2x − 2 2(sin x + cos x) = 5.

2 2(sin x + cos x) + 6 sin x cos x = 2.

3 sin x + cos x + sin x cos x = 1.
√√

4 (1 + 2)(sin x − cos x) + 2 sin x cos x = 1 + 2.
√

5 2 2(sin x − cos x) = 3 − sin 2x.
√

6 (1 − 2)(1 + sin x − cos x) = sin 2x.
√

7 2 2(sin x − cos x) − 2 sin 2x = 1.
√

8 sin x − cos x = 2 6 sin x cos x.

Lời giải. √

1 sin 2x − 2 2(sin x + cos x) =√5. (1)

Đặt t = sin x + cos x (|t| ≤ 2), suy ra t2 = 1 + 2 sin x cos x ⇒ sin 2x = t2 − 1. Thay vào phương trình

(1) ta được √

√√ t = − 2 (thỏa mãn)
t2 − 1 − 2 2t − 5 = 0 ⇔ t2 − 2 2t − 6 = 0 ⇔ √

t = 3 2 (loại).

Với t = √ suy ra sin x + cos x = √ ⇔ √1 sin x + √1 cos x = −1 ⇔ cos x− π = −1 ⇔ x =
− 2, −2 22 4

− 3π + k2π.
4

2 2(sin x + cos x) + 6 sin x cos x√= 2. (1)

Đặt t = sin x + cos x (|t| ≤ 2), suy ra t2 = 1 + 2 sin x cos x ⇒ sin 2x = t2 − 1. Thay vào phương trình

(1) ta được

t = 1 (thỏa mãn)

2t + 3 t2 − 1 = 2 ⇔ 3t2 + 2t − 5 = 0⇔  = −5
t
3 (loại).

Với t = 1, suy ra sin x + cos x = 1 ⇔ √1 sin x + √1 cos x = √1 ⇔ cos x − π = π ⇔ x =
4 cos
22 2 4
π
+ k2π, x = k2π.
2

3 sin x + cos x + sin x cos x = 1√. (1)

Đặt t = sin x + cos x (|t| ≤ 2), suy ra t2 = 1 + 2 sin x cos x ⇒ sin 2x = t2 − 1. Thay vào phương trình

(1) ta được

t + t2 − 1 = 1 ⇔ t2 + 2t − 3 = 0 ⇔ ñt = 1 (thỏa mãn)
2 t = −3 (loại).

Với t = 1, suy ra sin x + cos x = 1 ⇔ √1 sin x + √1 cos x = √1 ⇔ cos x − π = π ⇔ x =
4 cos
22 2 4
π
+ k2π, x = k2π.
2

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 100