49 titik acuan. Kemiringan (gradien) grafik menyatakan besar kecepatan benda tersebut. Makin curam kemiringannya maka makin besar kecepatannya. Untuk membuktikan karakteristik GLB lakukan percobaan sesuai prosedur kerja pada LKS 1 ( Terlampir) Contoh soal dan penyelesaian Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan 72 km/jam. Pada jarak 18 km dari arah yang berlawanan, sebuah mobil bergerak dengan kecepatan 90 km/jam. Kapan dan di manakah kedua mobil tersebut akan berpapasan? Diketahui: v1= 72 km/jam = 20 m/s v2 = 90 km/jam = 25 m/s s = 18 km = 18.000 m Jawab: Misalkan jarak kedua mobil adalah A-B dan berpapasan di titik C speperti gambar. Maka AB = v1t + v2t 18000 = 20t + 25 t 18000 = 45 t t = 400 s s1 = v1t = 20.400 = 8000 m = 8 km s2 = v2t = 25.400 = 10.000 m = 10 km Jadi mobil bertemu setelah 400 sekon dan saat mobil A menempuh jarak 8 km atau mobil B menempuh jarak 10 km. 1.8 Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB) a. Definisi Gerak Lurus Berubah Beraturan Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB) didefinisikan sebagai gerak suatu benda pada lintasan garis lurus dengan percepatan tetap. Percepatan tetap berarti besar maupun arahnya tetap. Dalam GLBB benda dapat bergerak dipercepat atau diperlambat. Benda dipercepat karena benda selalu mengalami pertambahan kecepatan yang sama dalam selang waktu A C B
50 sama. Benda diperlambat karena benda selalu mengalami pengurangan kecepatan yang sama dalam selang waktu yang sama pula. b. Grafik GLBB Grafik Percepatan terhadap Waktu Benda yang mengalami GLBB akan memiliki percepatan yang tetap, artinya benda tersebut mengalami perubahan kecepatan yang sama dalam selang waktu yang sama. Oleh karena itu percepatan yang dialami benda setiap saat adalah sama, maka dalam grafik percepatan terhadap waktu digambarkan dengan garis lurus horizontal yang sejajar dengan sumbu waktu (t). Grafik Kecepatan Terhadap Waktu Seperti yang disampaikan diatas, bahwa pada GLBB kecepatan benda akan mengalami perubahan yang sama dalam selang waktu yang sama, sehingga grafik yang ditampilkan berupa garis condong. Gambar a menampilkan suatu benda yang bergerak dengan kecepatan awalnya adalah nol (0). Gambar b sama seperti gambar a, hanya sudah memiliki kecepatan awal tertentu sebesar v0. Gambar a dan b menampilkan benda yang mengalami GLBB dipercepat karena kecepatannya bertambah dengan besar yang sama dalam selang waktu yang sama, sedangkan pada gambar c menampilkan GLBB diperlambat karena memiliki kecepatan awal v0 dan terjadi pengurangan kecepatan yang besarnya sama dalam selang waktu yang sama pula hingga kecepatan akhirnya bernilai nol (0). v (m/s) t (s) (a) v (m/s) t (s) v0 (b) v (m/s) t (s) v0 (c) Grafik a-t pada GLBB a (m/s2 ) t (s)
51 b. Perumusan GLBB Percepatan secara umum dapat dicari dengan konsep percepatan rata-rata. Percepatan rata-rata (ā) adalah hasil bagi antara perubahan kecepatan benda (Δv) dengan selang waktu berlangsungnya perubahan kecepatan tersebut (Δt). Secara matematis dapat dirumuskan sebagai berikut: 2 1 2 1 t t v v t v a .......................................................................(1) berdasarkan persamaan (1), jika waktu awal benda adalah nol (0), maka diperoleh: 2 1 2 v v at untuk lebih lanjut v2 = vt, v1 = v0, t2 = t dan t1 = t0, sehingga akan menjadi vt = v0 + at ...................................................................... (2) perubahan posisi (perpindahan) adalah kecepatan rata-rata dikali dengan waktu, atau dapat ditulis sebagai berikut: Δx = v t ...........................................................................(3) Berdasarkan hal tersebut dapat dinyatakan bahwa kecepatan rata-rata adalah nilai tengah dari kecepatan awal (v0) dan kecepatan akhir (vt), yaitu : v = ½ (v0 + vt) ................................................................(4) dengan mensubstitusi persamaan (4) ke persamaan (3) akan diperoleh Δx = v t = ½ (v0 + vt) t dengan mengganti nilai vt menggunakan persamaan (2) akan diperoleh Δx = s = v0t + ½at2 ..........................................................(5) Dengan menggantikan t dengan a v v 0 dari persamaan (2), maka diperoleh: v v 2ax 2 0 2 ......................................................................(6) Untuk membuktikan karakteristik dan persamaan pada GLBB dapat dilakukan percobaan sesuai dengan prosedur kerja pada LKS 1 (Terlampir). Contoh Soal dan penyelesaian: Bayu adalah seorang teknisi sebuah perusahaan pesawat terbang. Ia ditugaskan untuk merancang panjang sebuah landasan pesawat perusahaan yang dibuatnya. Jika percepatan pesawat yang akan tinggal landas adalah 2 m/s2 dan pesawat tersebut memiliki kecepatan minimum 100 km/jam sebelum lepas landas, maka jika lahan yang tersedia panjangnya 150 m, dapatkan pesawat perusahaan tersebut tinggal landas? Jika tidak, solusi apa yang dapat kamu ajukan?
52 Diketahui: a = 2m/s2 s = 150 m vmin = 100 km/jam = 27.8 m/s V m s V m s m s m V V as t t t o 24.5 / 600 / 0 2.2 / .150 2 2 2 2 2 2 2 Jadi kecepatan saat tinggal landas adalah 24.5 m/s lebih kecildari kecepatan minimum pesawat yaitu 27.8 m/s, sehingga panjang lintasan yang digunkan tidak memadai. Panjang minimum landasan pesawat yang cocok dapat dicari dengan persamaan a V V s V V as t o t o 2. 2 2 2 2 2 s m m s m s s 193.21 2.2 / 27.8 / 0 2 2 Jadi panjang minimum landasan pesawat adalah 193.21 m, untuk menjaga keselamatan saat penerbangan dianjurkan panjang landasan bisa dibuat 200-250 m. Pertanyaan Diskusi 1. Benarkan jika gerak lurus beraturan didefinisikan sebagai gerak suatu benda dengan kelajuan tetap? Jika definisi ini tidak benar tambahkan beberapa kata agar definisi tersebut benar! 2. Benarkan jika GLB didefinisikan sebagai gerak suatu benada dengan kecepatan tetap? Jelaskan! 3. Dapatkah ketika kecepatan suatu benda nol, percepatannya tidak sama dengan nol? Jika ya berikan contohnya! 4. Pesawat-pesawat jet di Bandara Soekarno-Hatta dipercepat dari kedudukan diam pada satu ujung landasan pacu dan harus mencapai kelajuan tinggal landas(take off) sebelum tiba di ujung lain landasan pacu. a. Anggap pesawat A memiliki percepatan a dan kelajuan tinggal landas v berapa panjang minimum landasan pacu yang diperlukan oleh pesawat A? cukup berikan penyelesaian dalam lambing huruf
53 b. Pesawat B memiliki percepatan yang sama dengan pesawat A, yaitu a tetapi memerlukan kelajuan tinggal landas dua kalinya. Tentukan panjang minimum landasan pacu B? 1.8 GLBB pada gerak vertikal Gerak Vertikal Gerak vertikal termasuk GLBB sehingga persamaan gerak vertikal sama dengan persamaan GLBB. Misalkan pernahkah anda melempar bola ke atas lalu jika diperhatikan gerakan bola semakin ke atas akan semakin melambat dan pada ketinggian tertentu bola tersebut akan bergerak ke bawah? . Dari contoh tersebut benda mengalami percepatan yang disebabkan adanya gaya gravitasi bumi atau disebut percepatan gravitasi (simbol g) yang arahnya selalu ke bawah. Percepatan ini akan mengurangi kecepatan benda tiap detik sehingga pada suatu saat kecepatan benda pada arah vertikal sama dengan nol. Besar percepatan gravitasi ini adalah 10 m/det2 yang arahnya ke pusat bumi. Pada gerak vertikal ke atas pada ketinggian maksimum kecepatan benada sama dengan nol, v = 0 yaitu pada h v 0 maks Bagaimanakah menentukan waktu yang diperlukan oleh suatu benda untuk mencapai titik tertinggi? Untuk menjawab permasalahan ini perhatikan contoh berikut. “Suatu benda dilempar ke atas dengan kecepatan awal 40 m/det. Berapakah waktu yang diperlukan untuk mencapai titik tertinggi?” Pertama harus diketahui bahwa kecepatan benda pada titik tertinggi adalah nol. Percepatan (-10) m/det2 artinya 1 detik kecepatan benda berkurang sebesar 10 m/det. 1 detik ≈ (-10) m/det 2 detik ≈ (-20) m/det 3 detik ≈ (-30) m/det 4 detik ≈ (-40) m/det [Kecepatan benda sudah habis 40 + (-40) = 0 m/det] Berdasarkan contoh tersebut dapat dilihat bahwa waktu yang diperlukan untuk mencapai titik tertinggi adalah 4 detik atau dapat dicari dengan cara (40/10) = 4 detik. Sekarang kita gunakan simbol. Apabila percepatan gravitasi bumi adalah g, kecepatan awal vo maka waktu t untuk mencapai titik tertinggi adalah t .................................... vo m/det v = 0 g
54 Uji pemahaman: Tentukanlah jarak maksimum (titik tertinggi) yang dapat dicapai apabila benda dilemparkan ke atas dengan kecepatan awal v0 m/det dan mengalami percepatan gravitasi sebesar g m/det2 !. (Petunjuk: gunakan prinsip tentang GLBB) Gerak Jatuh Bebas Gerak jatuh bebas didefinisikan sebagai gerak jatuh benda dengan sendirinya, mulai dari keadaan diam (vo = 0) dan selama gerak jatuhnya hambatan udara diabaikan sehingga benda hanya mengalami percepatan ke bawah yang tetap, yaitu percepatan gravitasi. Oleh karena dalam gerak jatuh bebas percepatan benda tetap maka gerak jatuh bebas juga termasuk dalam GLBB. Persamaan gerak jatuh bebas memenuhi persamaan GLBB dengan mensubstitusi: Kecepatan awal : vo = 0 Percepatan : a = g Jarak : x = h Dengan menggunakan persmaaan GLBB pada gerak vertikal, di mana kecepatan awal benda sama dengan nol yaitu vo = 0, maka persamaan pada gerak jatuh bebas menjadi: v g.t .............................................................................(1) v 2.g.h 2 ..............................................................................(2) 2 . 2 1 h g t ...............................................................................(3) Untuk membuktikan karakteritik gerak jatuh bebas dan besaran yang berpengaruh pada gerak jatuh bebas dapat dilakukan percobaan sesuai dengan prosedur kerja pada LKS 2 (Terlampir). Contoh soal dan penyelesaian 1. Seorang pelatih bola voli melemparkan bola voli vertikal ke atas dengan kecepatan awal 10 m/s. Setelah mencapai ketinggian tertentu bola tersebut bergerak ke bawah dan pada saat tepat menyentuh tanah bola ditangkap oleh pelatih (g= 10 m/s2 ). Tentukan: a. Berapa ketinggian maksimum bola? b. Berapa lama bola berada di udara? 2. Sebuah bola dilepaskan dari atap sebuah gedung. Saat bola dilepas, seorang anak menyalakan stopwatch di tanah, dan memberhentikannya ketika bola tepat menyentuh tanah, dan hasilnya 2 sekon dan percepatan gravitasi bumi ditentukan (g= 10 m/s2 ). Tentukan berapakah ketinggian gedung itu?
55 Jawaban; 1. Diketahui: v0= 10 m/s g= 10 m/s2 ditanyakan: a. hmaks=...........? b. t di udara=.........? rumus: v v g.t 0 v v 2.g.h 2 0 2 , 2 . 2 1 h g t Jawab : a. Ketinggian maksimum bola dapat ditentukan dengan menggunakan salah satu persamaan GLBB pada gerak vertikal. v v 2.g.h 2 0 2 dengan mensubstitusi nilai kecepatan benda di titik tertingggi adalah nol maka: maks 0 10 2.10.h 2 2 maks 0 100 20.h h meter maks 5 20 100 Jadi ketinggian maksimum yang ditempuh bola adalah 5 meter b. Untuk menetukan berapa lama bola di udara maka harus dihitung terlebih dahulu waktu yang diperlukan untuk mencapai titik tertinggi dan waktu yang diperlukan dari titik tertinggi sampai kembali di tanah kemudian di jumlahkan. Pada kerak vertikal ke atas persamaan yang digunakan: v v g.t 0 , dengan mensubstitusi nilai kecepatan benda di titik tertingggi adalah nol maka: 0 10 10.t t 1 sekon 10 10 Jadi waktu untuk mencapai titik tertinggi adalah 1 sekon Untuk menentukan waktuyang diperlukan bola dari titik tertinggi sampai kemabali ke tanah maka digunakan persamaan GLBB pada gerak jatuh bebas, karena kecepatan awal benda yaitu di titik tertinggi adalah nol. 2 . 2 1 h g t
56 2 .10. 2 1 5 t t sekon t sekon sekon t t t t sekon t t diudara diudara diudara naik turun 2 1 1 1 1 5 5. 2 2 Jadi lama benda di udara sampe kembali ke tanah adalah 2 sekon 2. Diketahui: t = 2 sekon g= 10 m/s2 ditanyakan: h =......? rumus: 2 . 2 1 h g t Jawab: h meter h h 20 5.4 .10.2 2 1 2 Jadi ketinggian gedung adalah 20 meter. Pertanyaan Diskusi 1. Sebuah bola dilempar vertika ke atas, lalu kembali ke tanggan pelempar benarkah bahwa selang waktu naik sama dengan selang waktu turun. Jelaskan dengan perhitungan kualitatif (abaikan gesekan udara). 2. Andi sedang bermain bola seperti tampak pada gambar. Bola dilemparkan ke atas di udara dengan kecepatan awal 15 m/s. ( gunakan percepatan gravitasi = 10 m/s2 ) Bagaimana kecepatan bola tersebut setelah mencapai titik tertinggi? Bagaimana percepatannya pada titik tertinggi? Seberapa tinggi bola tersebut terlempar dalam waktu 10 sekon?
57 Latihan Soal materi GLB dan GLBB 1. Apa syarat benda dikatakan bergerak? 2. Mungkinkah jarak dan perpindahan sama? Jelaskan dan berikan contohnya! 3. Perhatikan grafik jarak sebagai fungsi waktu berikut ini, tuliskan keadaan di tiap titik? 4. Perhatikan Gambar di bawah! Ida berlari mengelilingi lapangan sepak bola yang memiliki panjang 100 m dan lebar 50 m. Ida berangkat dari titik A dan berhenti di titik C dengan melewati titik B. Sementara itu, Adi berlari dari titik A dan berhenti di titik D dengan melewati titik B dan C, pada lapangan yang sama. Tentukan jarak dan perpindahan yang ditempuh Ida dan Adi! 5. Ketut dan temannya berlajan-jalan ke sebuah gedung olahraga yang berada dekat sekolahnya. Di sana Ketut dan temannya melihat sebuah monitor yang berisikan grafik seperti pada Gambar 1. x t a b c d 1. a : 2. b dan c : 3. d: 4. garis c lebih curam dari garis b artinya 0 A B C D
58 Seandainya anda sebagai teman Ketut disuruh menterjemahkan gambar tersebut, apa yang akan anda jelaskan tentang hal berikut ini. a. Berdasarkan grafik (1) apakah besar kecepatan kedua benda sama? Mengapa? b. Berdasarkan grafik (2) manakah dari dua benda tersebut yang memiliki kecepatan lebih besar? 6. Budi melakukan percobaan menggunakan Ticker Timer, dari percobaan tersebut diperoleh diagram batang seperti Gambar 2. Apakah troly bergerak diperlambat, dipercepat atau, tetap? Jelaskan! 7. Kedudukan sebuah mobil yang sedang bergerak dinyatakan oleh persamaan x = 2t 2 + 2t – 2, dengan x dalam meter dan t dalam sekon. Hitunglah kecepatan mobil pada saat t = 1 sekon! 8. Sebuah sedan melaju 90 km/jam berada 100 meter di belakang sebuah jip yang sedang melaju 75 km/jam. Berpa lama waktu yang diperlukan sedan untuk menyusul jip tersebut? Di manakah sedan menyusul jip tersebut? 9. Andi melempar bola ke atas dengan kecepatan awal 7 m/s di mana g = 10 m/s2 . Tentukan: 0 0 s t v t A B A B (1) (2)
59 a. Tinggi bola setelah dilempar 1 sekon b. Kecepatan bola setelah 0,5 sekon 10. Sebuah bola dijatuhkan dari atas atap rumah. Jika batu sampai ke tanah dalam waktu 1 sekon, tentukan: (a) kecepatan batu saat tepat menyentuh tanah dan (b)tinggi atap tumah diukur dari tanah! (g = 10 m/s2 )!
60 KUNCI JAWABAN LATIHAN SOAL 1. Jika kedudukan benda senantiasa berubah terhadap acuan. 2. Jarak mungkin sama dengan perpindahan, jika posisi benda berubah terhadap acuan pada garis lurus dengan arah tetap. Contohnya disajikan sumbu koordinat dalam meter: Seorang anak yang berberak dari titik acuan O, kea rah sumbu X positif sampai di titik U, anak tersebut berhenti. Jadi dapat dikatakan anak tersebut menempuh jarak 2 meter, dan mengalami perpindahan juga 2 meter dari titik O ke U. 3. Pada titik a, benda dalam keadaan diam. Pada titik b dan c, benda mengalami gerak lurus dengan kecepatan konstan (GLB) dengan pertambahan jarak tiap waktu tertentu. Pada titik d benda mengalami mengalami gerak lurus dengan kecepatan konstan (GLB) dengan pengurangan jarak tempuh tiap waktu tertentu. Grafik c lebih curam dari grafik b, ini memiliki makna bahwa kelajuan pada titik c lebih besar daripada kelajuan pada titik b. 4. Jarak yang ditempuh Ida adalah 100 m + 50 m = 150 meter, sedangkan jarak tempu Adi adalah 100 m + 50 m + 100 m = 250 m Perpindahan yang dialami Ida adalah perubahan posisi dari A ke C yang dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan Phytagoras: AC meter AC AC AC AB BC 111,8 10000 2500 12500 100 50 2 2 2 2 Jadi perpindahan Ida adalah 111, 8 meter dari a ke C, sedangakan perpindahan Adi adalah perubahan posisi dari A ke D yaitu sebesar 50 meter dari A ke D. 5. Berdasarkan gambar (1) dapat dilihat hubungan antara jarak dengan waktu. Di mana, benda memiliki kecepatan yang berbeda, sebab kemiringan grafik juga berbeda, yaitu grafik yang lebih curam akan menempuh jarak yang lebih besar dalam waktu yang lebih singkat, sehingga besar kecepatannya juga menjadi lebih besar. O -3 -2 -1 0 1 2 3 T S u R Lampiran 1
61 Pada grafik (2) benda yang memiliki kecepatan lebih besar adalah B. sebab dalam waktu yang sama jarak yang ditempuh B lebih besar dari A, yaitu luas daerah di bawah kurva masing-masing. Di samping itu, kecepatan awal B lebih besar dari A. 6. Berdasarkan diagram batang yang diperoleh maka dapat disimpulkan bahwa Troly bergerak Lurus beraturan (GLB) atau kecepatannya tetap, sebab perubahan kedudukan tiap waktu yang dimiliki Troly adalah sama. Perubahan kedudukan terhadap selang waktu ini berbentuk garis miring terhadap garis asal di (0,0), kemiringan grafik ini menunjukkan kecepatan tetap dari GLB. 7. Kecepatan mobil pada t = 1 sekon dapat dihitung memalui persamaan x= 2t 2 + 2t – 2, yaitu dengan mensubstitusikan nilai t = 2 sekon. Maka: x= 2.22 + 2.2 – 2 sehingga: x= 10 meter 8. Permasalahan tersebut dapat digambarakan sebagai berikut: Sedan memiliki posisi awal di S dan Jip memiliki posisi awal di J. Syarat sedan menyusul Jip adalah : SP – JP = SJ x x d 1 2 1 x = jarak tempuh sedan = v1t1 2 x = jarak tempuh jip = v2t2 Jawab: x x d 1 2 v1t1 - v2t2 = 100 meter misalkan t2 = t1 = t (90 km/jam) t – (75 km/jam) t = 0,1 km 90t – 75t = 0,1 jam Sedan Jip S J P d = 100m Jip tersusul sedan V1 = 90km/jam V2 = 75km/jam X2 X1
62 t = (0,1/15) jam = 24 detik x SP v t 1 1 = 25 m/detik x 24 detik = 600 m Jadi sedan menyusul Jip setelah 24 detik dan jarak 600 meter 9. Diketahui: v0=7 m/s g = 10 m/s2 ditanya: a. h =................? pada t = 1 sekon b. v =................? pada t = 0,5 sekon Rumus v v g.t 0 , 2 . 2 1 h v t g t o Jawab. c. h meter h h 2 7 5 10.1 2 1 7.1 2 jadi tinggi bola setelah 1 sekon adalah 2 meter d. v m s v v 2 / 7 5 7 10.0,5 Jadi kecepatan bola setelah 0,5 sekon adalah 2 m/s 10. Diketahui: h=10 meter t = 1 sekon g = 10 m/s2 ditanyakan: v=…….? h=……? Rumus: v v g.t 0 , 2 . 2 1 h v t g t o Jawab a. v m s v v v g t 10 / 0 10.1 . Jadi kecepatan bola saat menyentuh tanah adalah 10 m/s. b. h meter h 5 .10.1 2 1 0.1 2 Jadi tinggi atap rumah adalah 5 meter.
63 Kompetensi Dasar: 1.1. Bertambah keimanannya dengan menyadari hubungan keteraturan dan kompleksitas alam dan jagad raya terhadap kebesaran Tuhan yang menciptakannya 2.1. Menunjukkan perilaku ilmiah (memiliki rasa ingin tahu; objektif; jujur; teliti; cermat; tekun; hati-hati; bertanggung jawab; terbuka; kritis; kreatif; inovatif dan peduli lingkungan) dalam aktivitas sehari-hari sebagai wujud implementasi sikap dalam melakukan percobaan , melaporkan, dan berdiskusi. 3.1. Menganalisis gerak parabola dan gerak melingkar dengan menggunakan vektor. 4.1 Mengolah dan menganalisis data hasil percobaan gerak parabola dan gerak melingkar. Indikator: Setelah mempelajari bab ini diharapkan siswa dapat: Pertemuan 1 1. Menggambarkan posisi suatu benda pada bidang. 2. Menentukan posisi suatu benda dalam vektor. 3. Menjelaskan vektor perpindahan partikel pada bidang. 4. Menghitung perpindahan yang dialami partikel pada bidang. Pertemuan II 5. Menghitung vektor kecepatan rata-rata benda yang bergerak pada bidang. 6. Menginterpretasikan grafik untuk menentukan kecepatan sesaat benda. 7. Menghitung posisi suatu bendasebagai fungsi kecepatan 8. Menjelaskan vektor percepatan rata-rata. 9. Menginterpretasikan grafik untuk menentukan percepatan sesaat benda. 10. Menghitung kecepatan suatu benda dari fungsi percepatan. KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR Indikator Pembelajaran BAB IV
64 Pertemuan III 11. Mengidentifikasi gerak parabola. 12. Menggambarkan vektor kecepatan pada gerak parabola. 13. Menentukan posisi dan kecepatan pada gerak parabola. Pertemuan IV 14. Menentukan titik tertinggi dari suatu gerak parabola. 15. Menentukan titik terjauh dari suatu gerak parabola. Pertemuan V 16. Menjelaskan pengertian gerak melingkar berubah beraturan 17. Memberikan contoh fenomena gerak melingkar berubah beraturan. 18. Merumuskan persamaan gerak melingkar berubah beraturan 19. Menghitung besarnya kecepatan dan percepatan sudut pada persoalan gerak melingkar berubah beraturan. Pertemuan VI 20. Menjelaskan hubungan antara gaya (F) dengan jari-jari (r) dalam gerak melingkar berubah beraturan. 21. Membuat grafik hubungan antara gaya (F) dengan jari-jari (r). 22. Mengintepretasikangrafik hubungan antara gaya (F) dengan jari-jari (r)
65 Iktisar Materi KINEMATIKA Gerak tanpa aspek penyebabnya Gerak Satu Dimensi Gerak Dua Dimensi Gerak Parabola Rotasi Bidang Datar Bidang Miring Beraturan pada Sumbu x Beraturan pada Sumbu y Berubah beraturan pada sumbu x dan sumbu y Melingkar Beraturan Ilmu yang mempelajari Berubah Beraturan Kecepatan sudut konstan Percepatan sudut konstan Meliputi Misalnya Sifatnya Sifatnya Setiap partikel bergerak bersifat Cirinya Cirinya
66 Gambar 1.1. Tendangan bebas Sumber: http://menujuhijau.blogspot.com Gambar 1.2. Loncatan bunga api Sumber: http://nasrulbintang.wordpress.com/ Gambar 1.1. Merupakan fenomena tendangan bebas yang dilakukan oleh seorang pemain sepak bola. Pemain dengan nomor punggung 25 itu menendang bola dengan arah ke atas dengan sudut tertentu. Mengapa arah bola bisa melengkung? Gambar 1.2 merupakan seorang ukang las sedang menyambung besi. Mengapa loncatan bunga apai berbentuk melengkung (parabola)? Kedua pertanyaan tersebut, akan kalian temukan jawabannya setelah kalian mempelajari bab 1 ini dengan gembira dan antusias. 1. POSISI, KECEPATAN, DAN PERCEPATAN PADA GERAK DALAM BIDANG. 1.1 Posisi Partikel pada Suatu Bidang Posisi partikel pada suatu bidang akan kita nyatakan dengan vektor-vektor satuan, yaitu vektor satuan pada sumbu X, diulis idan pada sumbu Y, ditulis j(Gambar 1.3). Gambar 1.3. Vektor-vektor satuan pada sumbu X dan Y Gambar 1.4 Posisi partikel pada bidang XOY Besar vektor satuan i = 1 dan j = 1 x y O xi yj x y O xi yj …………….……………….. (1-1)
67 Ambil titik asal O sebagai acuan, maka posisi sebuah partikel yang bergerak pada bidang XOY di mana pada saat t memiliki koordinat (x, y) seperti gambar 1.4 dapat dinyatakan sebagai Posisi partikel Pada bidang Soal Latihan 1.1 Seorang berdiri seperti pada gambar dibawah (a) Jelaskanlah posisi dari Andyberdasarkan gambar diatas! (b) Gambarkanlah posisi Andy dalam kordinat kartesius! (c) Nyatakan posisi Andy dalam besaran vektor! 1.2 Perpindahan Partikel pada Bidang Misalkan lintasan yang ditempuh sebuah partikel pada suatu bidang adalah seperti pada gambar 1.6. Pada saat t = t1, partikel berada di titik P1 (x1, y1) dengan vektor posisi r1 = x1i + y1j. Berapa saat kemudian, t = t2, partikel berada di titik P2(x2,y2)dengan vektor posisi r2 = x2 i + y2 j. Bagaimanakah perpindahan partikel itu dari t = t1 ke t = t2? Perpindahan didefinisikan sebagai perubahan posisi (kedudukan) suatu partikel dalam selang waktu tertentu. Vektor perpindahan berarah dari titik awal ke titik akhir. Pada gambar 1.6. titik awal adalah P1 dan titik akhir adalah P2. Tentu saja vektor perpindahan Δr adalah segmen garis berarah P1P2. Pada segitiga vektor OP1P2, vektor yang menutup adalah r2 sehingga berlaku atau Dalam bentuk komponen kita peroleh r =xi + y j ……………………..…….. (1-2) …….…….. (1-3) 8 m 6 m Rumah Andy Undiksha Andy Gambar 1.5. Posisi Andy
68 Dengan Gambar 1.6 Perpindahan partikel …………... (1-4) dan ………... (1-5) y x Contoh 1.1 √ √ Mula-mula posisi seekor kumbang dinyatakan oleh vektor . Berapa saat kemudian, posisi kumbang menjadi . Berapakah vektor perpindahan dan besar perpindahan kumbang? Penyelesaian Diketahui: Ditanya: Jawab : - + Besar perpindahan kumbang adalah
69 Soal Latihan 1.2 1. Perhatikan gambar berikut (a) Jelaskanlah perpindahan dora pada bidang! (b) Gambarkanlah perpindahan dora! (c) Nyatakan perpindahan dora dalam vektor 2. Sebuah mobil bergerak dari posisi (4i + 5j) m dan melakukan perpindahan, sehingga posisi akhir benda melakukan perpindahan sehingga posisi akhir benda berada di posisi (-12i – 15 j) m. a. Tentukan vektor perpindahan mobil! b. Tentukan besarnya perpindahan mobil! 3. Posisi seekor burung setiap saat mengikui persamaan Tentukan: a. Posisi burung pada t =2s dan t =12 s, b. Besarnya perpindahan yang terjadi selama selang waktu antara t = 2 s sampai t = 12 s 1.3 Kecepatan Partikel pada Suatu Bidang a. Kecepatan Rata-Rata Kecepatan rata-rata adalah hasil bagi perpindahan dengan selang waktu tempuhnya. Untuk gerak lurus satu dimensi, kita menuliskan persamaan rataratanya sebagai Rumah Dora Dora 8 m 6 m 8 m Undiksha Gambar 1.7. Perpindahan Dora 12 m
70 Kecepatan rata-rata Pada garis lurus Dalam gerak pada bidang (dua dimensi) definisinya tetap, hanya Δx diganti dengan vektor posisi Δr. Kecepatan rata-rata Pada Bidang Dengan adalah posisi pada t = t2dan adalah posisi pada t = t1. Bentuk komponen dari kecepatan rata-rata v kita peroleh dengan mensubstitusikan Δr dengan ke dalam persamaan diatas. ̅ ̅ ̅ ̅j Dengan Oleh karena ̅ , maka kecepatan rata-rata ̅searah dengan arah perpindahan (lihat gambar 1.6). Contoh Soal Posisi sebuah benda pada saat t =2s adalahr = 10 i mdan pada saat t = 6 s posisi benda menjadi r= 8 j m. Berapakah kecepatan rata-rata benda selama perpindahan tersebut? Diketahui: m m Ditanya: ̅ Dijawab: ̅ ̅ Jadi kecepatan rata-rata benda adalah 2 1 2 1 t t x x t x v 2 1 2 1 t t t v r r r ….…………...... (1-6) ….…………….. (1-7) ….…………...... (1-8) ….….………... (1-9) ̅̅ ̅ dan ̅̅ ̅
71 Soal Latihan 1.3 1. Dalam selang waktu 5 s, seekor kupu-kupu berpindah dari posisi (12 i + 15 j) m ke (-12 i). Tentukan vektor kecepatan kupu-kupu tersebut dan hitung besar kecepatannya! 2. Gerak sebuah pesawat mengikuti persamaan Hitung besar kecepatan rata-ratapeswat ini antara selang waktu t = 2 s dan t = 10 s. b. Kecepatan sesaat sebagai kemiringan grafik komponen r terhadap t Kecepatan sesaat merupakan kecepatan rata-rata untuk selang waktu Δt yang mendekati nol. Secara matematis kita tulis. Definisi kecepatan sesaat Kita akan menentukan tafsiran geometris dari persamaan di atas dengan meninjau grafik x terhadap t. Pada gambar 1.8 ditunjukkan proses limit pada suatu grafik posisi x terhadapt. Di sana selang waku Δt terus diperkecil dengan mengambil tetap dan mendekati . Ketika Δt mendekati nol, Δx mendekati nol dan kecepatan ratarata ̅ menjadi kecepatan sesaat v,yang sejajar dengan garis singgung kurva posisi pada t = t1. Dengan demikian, dapatlah kita menyatakan tampilan geometris dari kecepatan sesaat. z Gambar 1.8. Tampilan geometris kecepatan sesaat pada t1 sama dengan kemiringan garis singgung grafik x-t pada t = t1 Kecepatan sesaat pada t =t1 adalah kemiringan garis singgung dari grafik x-t pada saat t = t1 ̅ = …...….…………….. (1-10) .. (1-11) t x t1 t2 Δt Δt1 Δt2 Δt3 Δx Δx2 Δx1 Δx3 P2 P2’ P2’’ P2’’’ P1 Ta nge nsi al pad a P1
72 Latihan Soal 1.2 Soal Latihan 1.4 Kerjakanlah nomor (b) dan (c) pada contoh soal 1.2! c. Kecepatan sesaat sebagai turunan fungsi posisi Dalam pelajaran diferensial matematika kelas XI akan anda ketahui bahwa tafsiran geometris kemiringan garis singgung dari grafik x- t adalah sama dengan turunan pertama dari fungsi x terhadap t. dengan demikian, dapatlah kita nyatakan tafsiran geometris dari kecepatan sesaat. Secara matematis kita dapat tulis Kecepatan sesaat Untuk gerak lurus Kurva berikut ini menunjukkan pergerakn mobil. Dengan menggunakan cara grafis. Tentukanlah kecepatan mobil (dalam km/jam) pada saat: (a) (b) (c) Penyelesaian (a) T = 3 menit berada dalam selang , sehingga kecepatan pada saat ini sama dengan kemiringan garis OA. Dari garis OA kita peroleh ketika dan ketika . Dengan demikian, Contoh 1.2 Menghitung kecepatan sesaat dengan cara pendekatan grafis 4 12 20 0 5 A B x (km) t(menit) ….…….….. (1-12) …………….………..….. (1-13) Kecepatan sesaat adalah turunan pertama dari fungsi x terhadap waktu t Gambar 1.9. Grafik x-t
73 d. Kecepatan sesaat untuk gerak pada bidang Kecepatan sesaat untuk gerak pada bidang (dua dimensi) dapat kita nyatakan sebagai ̅ Tafsiran geometris kecepatan sesaat untuk gerak pada bidang mirip seperti untuk gerak lurus yang telah dinyatakan oleh persamaan (1-11). Mirip dengan kasus satu dimensi (lihat persamaan (1-12) dan persamaan (1-13)) maka kecepatan sesaat untuk gerak pada bidang juga merupakan turunan pertama fungsi posisi r terhadap waktu t, kia tulis Kecepatan sesaat Untuk gerak lurus Bentuk komponen dari kecepatan sesaat v kita peroleh dengan mensubstitusi r = x i + y j ke dalam persamaan (1-16). Dengan Persamaan (1-18) menunjukkan bahwa jika posisi (koordinat) horizontal x dan vertical y diberikan dalam fungsi waktu t, maka kita dapat menentukan komponen kecepatan sesaat vx dan vy, dengan menggunakan turunan. ….………….... (1-14) .. (1-15) ….……………………….….. (1-16) …………………... (1-17) …………………. (1-18) Kecepatan sessa di titik mana saja pada kurva lintasan partikel adalah sejajar dengan garis singgung lintasan pada titik tersebut
74 Soal Latihan 1.4 1. Vektor posisi vartikel P pada saat t adalah (a) (b) ( ) Tentukan vektor kecepatan rata-rata partikel antara t = 1 s dan t = 3 s. tentukan juga besar dan arahnya! 2. Posisi sebuah mobil dinyatakan sebagai . Dalam selang Δt yang sangat kecil, tentukanlah kecepatan rata-rata mobil ini antara t = 4 s dan t = (4 + Δt) s e. Menentukan posisi dari fungsi kecepatan Jika komponen-komponen kecepatan dan sebagai fungsi waktu, diketahui, maka posisi horizontal x dan posisi vertical y dari partikel dapat ditentukan dari persamaan (1-19) dengan pengintegralan. ∫ ∫ ∫ ∫ Sebuah benda bergerak dengan posisi . Tentukan kecepatan sesaat benda pada t = 2s! Diketahui t = 2s Ditanya: v = …….? Jawab : Jadi kecepatan sesaa benda pada waktu 2 s adalah Contoh 1.3 Menghitung kecepatan sesaat dengan cara pendekatan grafis
75 ∫ ∫ ∫ ∫ Dengan ( ) adalah koordinat posisi awal partikel. Vektor posisi partikel pada bidang r, dapat kita tentukan dengan menggunakan persamaan (1-2). r = x i + y j. Untuk gerak partikel pada satu dimensi, kita cukup menggunakan persamaan (1-19) untuk lintasan horizontal atau persamaan (1-20) untuk lintasan vertical. (1-19) (1-20) Menghitung posisi dari fungsi kecepatan untuk gerak pada bidang (dua dimensi) Contoh 1.4 Sebuah mobil mainan bergerak pada suatu lapangan yang terletak pada bidang XY. Posisi awal mobil adalah koordinat (3,0) m. komponen-komponen kecepatan mobil dapat dinyatakan oleh fungsi: dan ( ) (a) Nyatakan persamaan umum posisi mobil! (b) Tentukan posisi mobil pada t = 2,0 s Diketahui dan ( ) Ditanya: (a) Persamaan umum r = …….? (b) Posisi mobil r = …….? (t = 2,0 s) Jawab : ∫ ∫ ∫ ∫ Persamaan umum posisi mobil r,dapat ditentukan sebagai berikut (b) Posisi mobil pada t = 2 s adalah Jadi posisi mobil pada saat 2 s adalah
76 Soal Latihan 1.5 Seekor burung terbang pada bidang XY dengan vektor kecepatan yang dinyatakan oleh dengan α = 2,1 m/s, β = 3,6 m/s3 , dan γ = 5,0 m/s2 , arah y positif adalah vertical ke atas. Pada t = 0 burung berada di titik asal. (a) Turunkan vektor posisi burung sebagai fungsi waktu! (b) Tentukan posisi burung pada t = 2 s (c) Berapa ketinggian burung (koordinat y) ketika burung terbang melalui x = 0 unuk pertama kalinya setelah t = 0. f. Perpindahan sebagi luas di bawah Grafik v-t Anda telah mengetahui bahwa tafsiran geometris dari turunan pertama adalah gradien dari garis singgung grafik. Bagaimana dengan tafsiran geometris dari integral ∫ ? Dari pelajaran matematika integral yang akan anda pelajari, ternyata arti geometri dari integral adalah luas di bawah grafik fungsi. Misalkan anda diminta untuk menentukan perpindahan dan jarak yang ditempuh partikel dengan grafik v – t seperti pada gambar 1.10, mulai dari t = t1sampai dengan t = t2, maka Perpindahan = A1 – A2 = ∫ Jarak = A1 + A2 = ∫ ∫ Dengan A1 dan A2 adalah luas daerah yang diraster. Perhatikan, menghitung perpindahan dalam selang tidaklah masalah. Tetapi ketika menghitung jarak dalam selang , anda harus hati-hati. Anda harus menyelidiki apakah grafik v(t) memotong sumbu t dalam selang ataukah tidak. …………………. (1-21) …………………. (1-22) Gambar 1.10. Perpindahan sebagai luas di bawah grafik A1 A2 t v(t) t1 t2
77 1.4 Percepatan Partikel pada Bidang a. Percepatan Rata-Rata Di kelas X, kita telah mendefinisikan percepatan rata-rata (lambang ̅ ) sebagai perubahan kecepatan dalam selang waktu tertentu. Percepatan rata-rata Dengan adalah kecepatan pada t = t2 dengan adalah kecepatan pada t = t1. Bentuk komponen dari percepatan rata-rata ̅ kita peroleh dengan mensubstitusikan Δv dengan ke dalam persamaan (1-23). ̅ Dengan dan b. Percepatan sesaat sebagai kemiringan grafik v(t) Di kelas X, kita telah mendefinisikan percepatan sesaat sebagai percepatan rata-rata untuk selang waktu Δt mendekati nol. Secara matematis kita tulis. Definisi Percepatan Sesaat Mirip dengan kecepatan sesaat, kita dapat menyaakan tampilan geometris dari percepatan sesaat (gambar 1.11) sebagai berikut. Tafsiran geometris dari persamaan (1-28). Dapat kita nyatakan sebagai berikut. Percepatan sesaat adalah turunan pertama dari fungsi kecepatan v terhadap waktu t. ……………….. (1-29) ̅ ………………. (1-23) ̅̅ ̅ = ̅̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅ 2 1 2 1 t t v v t v a y y y y …………..……………... (1-24) …………..……………... (1-25) …………..……………... (1-26) …..……………... (1-27) 2 1 2 1 t t v v t v a x x x x Percepatan sesaat pada t = t1 adalah kemiringan garis singgung dari grafik v – t pada saat t = t1. …………... (1-28)
78 Secara matematis kita tulis …………………. (1-30) Menentukan percepatan sesaat dari fungsi posisi (gerak satu dimensi) Contoh 1.4 Posisi x dari suatu roket percobaan yang sedang bergerak sepanjang suatu rel dinyatakan oleh selama 10 sekon dari gerakannya dengan t dalam sekon dan x dalam meter. Tentukan: (a) Persamaan kecepatan dan percepatan roket! (b) Kecepatan dan percepatan awal roket! Diketahui: Jawab : (a) Persamaan kecepatan dan percepatan rokelt - (b) Kecepatan dan percepatan awal Kecepatan awal roket pada t = 0 adalah Percepatan awal roket adalah percepatan pada t =0 - =16 m/s2 v t t1 t2 Tangensial Pada P1 P2 Gambar 1.11. Tampilan Geometris Percepatan sesaat
79 Soal Latihan 1.6 Koordinat suatu benda dinyatakan sebagai ( ) ( ) (a) Tulis persamaan untuk percepatan a(t)! (b) Tentukan percepatan pada t = 4,0 s! (c) Berapa percepatan awal benda? c. Percepatan sesaat untuk gerak pada bidang Untuk gerak pada bidang, percepatan juga dinyatakan oleh persamaan (1- 30), hanya saja notasi yang digunakan adalah notasi vektor. Bentuk komponen dari percepatan sesaat a kita peroleh dengan mensubstitusikan ke dalam persamaan (1-30). ( ) Dengan dan Lebih lanjut, karena dan , maka d. Menentukan kecepatan dari grafik a-t Jika percepatan a sebagai fungsi waktu t diketahui, maka kecepatan v dapat kita tentukan dengan teknik integrasi pada persamaan (1-30). Perhatikanlah, untuk gerak pada satu dimensi kita tidak menggunakan huruf tebal pada v dan a, tetapi untuk gerak pada bidang (dua dimensi), kita harus menggunakan huruf tebal pada vdan a. Integralkan kedua ruas, maka kita peroleh ∫ ∫ ∫ dan …………………. (1-32) …………………. (1-31) …………………. (1-33) ∫ …………………. (1-34)
80 Dengan adalah vektor kecepatan awal (kecepatan pada t = 0). (catatan: hasil ∫ tidak perlu diberi konstanta). Untuk gerak satu dimensi (pada sumbu X saja atau sumbu Y saja), persamaannya persis seperti persamaan (1-34). Hanya huruf tebal diganti huruf miring. Ini karena arah vektor kecepatan sudah diwakili oleh tanda positif atau negatif. ∫ Dalam matematika, nilai integral ∫ sama dengan luas daerah di bawah grafik a(t) dengan batas bawah t = 0 dan batas atas t = t, dan ini ditunjukkan oleh luas arsir pada gambar 1.12. Jadi jika kecepatan awal partikel diketahui, maka kecepatan partikel v dapat diperoleh dengan teknik menghitung luas daerah di bawah grafik percepatan terhadap waktu. Kita akan membahas soal menentukan kecepatan jika grafik percepatan terhadap waktu (grafik a - t) diberikan. Pertama, dengan cara menghitung luas daerah di bawah grafik a – t. Cara kedua, dengan menerjemahkan grafik a – t ke dalam fungsi percepatan terhadap waktu, kemudian menghitung kecepatannya dengan teknik integrasi seperti persamaan (1-35). Untuk penyederhanaan, kita batasi grafik a-t hanya berbentuk garis lurus. Menentukan kecepatan sesaat jika fungsi percepatan diketahui Percepatan sebuah partikel pada saat t adalah 4ti – 6 j. Mula-mula partikel sedang bergerak dengan kecepatan 2 i. Tentukan vektor dan besar kecepatan pada t = 2 sekon! Diketahui: a(t) = 4ti – 6 j Ditanya:v = …? Jawab Contoh 1.5 …………………. (1-35) t 0 t a ∫ Gambar 1. 12. Luas daerah di bawah grafik a (t)
81 Soal Latihan 1.6 1. Suatu benda mulai bergerak dengan keecepatan wal 5,0 m/s dan mengalami percepatan yang berubah terhadap waktu, seperti ditunjukkan pada kurva di bawah. Tentukan kecepatan benda pada : (a) t = 1 s (b) t = 4 s\ (c) t = 8 s 2. Sebuah partikel P bergerak dengan percepatan a, dengan Mula-mula partikel di titik asal dan sedang bergerak dengan kecepatan i + 2 j. Tentukan vektor kecepatan dan vektor posisi P pada saat t! 2. GERAK PARABOLA Pernahkah kalian menonton pertandingan sepak bola? Ketika memerhatikan per tandingan sepak bola, cobalah kalian amati gerakan bola saat ditendang oleh penjaga gawang. Bagaimana lintasan bola ketika ditendang penjaga gawang untuk di oper kan kepada temannya yang ada di posisi depan? Persamaan vektor kecepatan pada bidang (2 dimensi) adalah ∫ ∫ j Vektor kecepatan pada t = 2 sekon, Besar kecepatannya adalah √ √ √ m/s 3 5 8 2 6 10 t (s2 ) a (m/s2 ) Gambar 1.13. Grafik a - t
82 Tampak bola tidak bergerak lurus, namun melengkung seperti tampak pada gambar 1.14 Seorang penjaga taman dengan sebuah senapan berpeluru obat bius ingin menembak binatang yang tergantung di cabang sebuah pohon. Penjaga itu membidik langsung pada hewan tersebut tanpa mempertimbangkan bahwa peluru akan mengikuti gerak parabola. Apakah peluru tersebut akan mengenai hewan tersebut? Ternyata lintasan gerak yang melengkung terjadi akibat adanya pengaruh gerak dipercepat beraturan pada sumbu vertikal. Gerakan tersebut disebut gerak parabola. Dengan demikian gerak parabola adalah gerak yang lintasannya berbentuk parabola atau melengkung. Contoh gerak parabola selain lintasan bola yang ditendang dalam permainan sepak bola, juga gerak peluru yang ditembakkan ke atas dengan sudut tertentu terhadap arah mendatar. Gambar 1.14 Gerak parabola pada bola yang ditendang kiper (sumber : Siswanto, 2009) Gambar 1.15 Seseorang menembak hewan dengan peluru bius
83 Gerak parabola merupakan perpaduan gerak lurus beraturan (GLB) pada arah horizontal dengan gerak lurus berubah beraturan (GLBB) pada arah vertikal. Kedua gerak ini tidak saling mempengaruhi, tetapi gabungannya tetap menghasilkan gerak parabola. Untuk memahami pernyataan tersebut lakukan kegiatan pada LKS-01. Gerak parabola juga dikenal dengan gerak peluru. Lemparan bola, bola yang ditendang, peluru yang ditembakkan dari senapan, atlet yang melakukan lompat jauh atau lompat tinggi, merupakan contoh gerak parabola. Hal penting yang perlu kita ketahui adalah bahwa dalam menganalisis sebuah gerak parabola, kita membuat tiga asumsi yaitu: 1. Percepatan jatuh bebas (g) memiliki besar yang tetap. Misalnya g =9,8 m/s2 atau g =10 m/s2 2. Pengaruh hambatan udara atau gesekan udara diabaikan. 3. Rotasi bumi tidak mempengaruhi gerakan. Perhatikan Gambar 1.16! Sebuah benda mula-mula berada di pusat koordinat, dilemparkan ke atas dengan kecepatan v0 dan sudut elevasi α. Pada arah sumbu x, benda bergerak dengan kecepatan konstan, atau percepatan nol (a = 0), sehingga komponen kecepatan vx mempunyai besar yang sama pada setiap titik lintasan tersebut, yaitu sama dengan nilai awalnya v0x pada sumbu y, benda mengalami percepatan gravitasi g. Untuk menganalisis gerak peluru, kita tinjau gerak dalam arah sumbu x dan sumbu y. Gambar 1.16 Lintasan gerak parabola
84 1. Vektor kecepatan awal (titik A) Komponen vektor kecepatan awal pada sumbu x dan y adalah: ………………………………………….….(1.37) 2. Kecepatan benda setiap saat (titik B) Pada arah sumbu x (GLB) …………………………………..……..(1.38) Pada arah sumbu y (GLBB) ……………………………………….………(1.39) ` Besarnya kecepatan adalah: 2 2 x y v v v Arah kecepatan y x v v tan Sebelum kita mengerjakan beberapa contoh numerik yang berhubungan dengan gerak parabola, perlu diperhatikan: Jika hambatan udara diabaikan, komponen kecepatan horizontal, vx adalah tetap sebab tidak ada komponen percepatan horizontal. Komponen percepatan vertikal sama dengan percepatan jatuh bebas, g. Komponen kecepatan partikel, vy dan posisi vertikal y, memenuhi rumus GLBB dengan percepatan yang sama dengan percepatan jatuh bebas g. Gerak parabola dapat diuraikan sebagai gabungan dari dua gerak dalam x dan y 3. Posisi benda setiap saat Pada arah sumbu x sin cos oy o ox o v v v v vx vox vo cos v v gt v v gt y o y oy sin
85 ………………………………………………….(1.40 a) Pada arah sumbu y …………… ……………………………………(1.40 b) Contoh Soal 2.1 (Menghitung kecepatan dan posisi benda dalam gerak parabola) Seorang anak melempar batu dengan kecepatan 10 m/s pada arah yang membentuk sudut 370 terhadap tanah (sin 370 =0,6). Tentukanlah kecepatan dan posisi batu setelah 0,5 s. percepatan gravitasi adalah….. Penyelesaian: Diketahui: g m s v m s 10 / cos 0,8 sin 0,6 37 10 / 0 0 Ditanyakan: a. v=…..? saat t = 0,5 s b. (x,y) Jawab: v m s v v x x 10(0,8) 8 / cos 0 v m s v v t gt v m s v v y y y y y 6 10(0,5) 1 / 10(0,6) 6 / sin 0 0 0 0 jadi besarnya kecepatan dapat dihitung dengan persamaan: x v t x v t o ox cos 2 2 2 1 sin 2 1 y v t gt y v t gt o oy
86 v m s v v v v x y 65 / 8 1 2 2 2 2 0 7,1 tan 0,125 8 1 tan y x v v Jadi kecepatan v memiliki besar 65m /s dan arahnya membentuk sudut 7,10 Posisi benda dapat ditantukan dengan: y m y y v t gt x v t m oy x 1,75 10 (0,5) 2 1 6(0,5) 2 1 8(0,5) 4 2 2 0 Jadi kedudukan batu pada kordinat (4m,1,75m) LATIHAN SOAL 1. Apa yang menyebabkan suatu benda bergerak parabola ketika dilempar dengan sudut tertentu? 2. Sebuah bola ditendang dengan membentuk sudut 450 dari permukaan tanah, sehingga bola tersebut membentuk sebuah gerak parabola seperti pada gambar di bawah. Gambarkanlah arah vektor kecepatan pada lintasan parabola tersebut! 3. Peluru ditembakkan dengan kecepatan awal 50 m/s dan sudut elevasi 530 (sin 530 = 0,8). Tentukan: a. kecepatan peluru pada t = 1s, 2s dan 4s, A B C D E Gambar 1.17. Bola bergerak dengan lintasan berbentuk parabola
87 b. posisi peluru pada t = 1s, 2s dan 4s! 4. Tinggi maksimum benda (h) Pada saat benda mencapai ketinggian maksimum, misalnya di titik C kecepatan arah vertikal sama dengan nol. v gt v gt v oy oy y sin sin 0 0 g v t 0 sin …………………………………………….(1.41) Dengan t adalah waktu untuk mencapai ketinggian maksimum. Jika t kita substitusikan ke persamaan (1.4 b), maka: g v y g v g v y g v g g v y v o o o o o o 2 sin 2 sin sin sin 2 sin 1 sin 2 2 2 2 2 2 2 g v g v h o o 2 sin 2 sin 2 2 2 …………….……..……………………(1.42) Dimana h adalah tinggi maksimum. CONTOH SOAL 2.2 (Menentukan tinggi maksimum siatu gerak parabola) Sebuah bola golf dipukul dengn kecepatan 6,5 m/s bersudut α terhadap bidang horizontal (sinα= 13 12 ). Pecepatan gravitasi 10 m/s2 . Berapakah ketinggian maksimum yang yang dicapai benda? Penyelesaian: Diketahui:
88 2 0 10 / 13 5 cos 13 12 sin 6,5 / g m s v m s Ditanyakan : h=………m Jawab: h m h g v h o 1,8 2 10 13 12 6,5 2 sin 2 5. Jarak jangkauan benda (R) Pada saat benda menyentuh tanah, misalnya di titik E, posisi vertikal benda adalah nol. g v t gt v t v t gt y v t gt y o R o o o 2 sin sin 2 1 2 1 0 sin 2 1 sin 0 2 2 2 …………………………………..………………(1.43) Dengan tR adalah waktu yang diperlukan untuk menyentuh tanah. Jika persamaan (1.7) kita substitusikan ke persamaan (1.4a), maka: g v R v x R v t o 2 sin cos cos 0 0 g v R 2sin cos 2 0 dengan 2sin cos sin 2 g v R sin 2 2 0 ...........................................................................................(1.44)
89 Berdasarkan persamaan (1.8) jarak jangkauan benda ditentukan oleh sudut elevasi ( α ). Benda akan mencapai jarak jangkauan maksimum jika nilai sin 2 α maksimum. g v R sin 2 2 0 R maksimum jika sin 2α maksimum. sin 2α = 1 sin 2α = sin 90o α = 45o Contoh Soal 2.2 Sebutir peluru ditembakkan dengan kecepatan 100 ms-1 dan sudut elevasi 37o (sin 37o =0,6). Jika percepatan gravitasi 10 m/s2 , maka tentukanlah: a. Waktu yang diperlukan peluru untuk mencapai titik tertinggi. b. Kedudukan titik tertinggi. c. Lama peluru di udara d. Jarak terjauh yang dicapai peluru. Pembahasan Diketahui: 0 1 cos 100 cos37 80 v v ms ox o 0 1 sin 100sin 37 60 v v ms oy o Ditanyakan: a. t =…….? b. (x,y)=……..? c. tR=………...? d. R=…………? Jawab: a. g v t 0 sin t 6s 10 60 Jadi waktu yang diperlukan untuk mencapai titik tertinggi adalah 6s b. (x,y) x v t o cos x 80 6 480m 2 2 1 y v sin t gt o
90 2 10 6 2 1 y 60 6 180m 360 180 Jadi posisi benda pada posisi tertinggi adalah (480m, 180m) c. t s t t g v t R R o R 2 6 12 2 2 sin Jadi lamanya peluru di udara adalah 12 s d. R 2x R 2 480m R 960m Jadi jarak terjauh yang dicapai peluru adalah 960 m 3. GERAK MELINGKAR Pada gerak melingkar beraturan (GMB) dijumpai sudut yang ditempuh tiap selang waktu yang sama adalah sama besarnya, sehingga kecepatan sudutnya () bernilai konstan. Dengan demikian kelajuan liniernya (v) selalu bernilai sama pula. Sedangkan pada gerak melingkar berubah beraturan (GMBB), sudut yang ditempuh tiap selang waktu yang sama tidak sama besarnya, sehingga kecepatan sudutnya () berubah-ubah. Perubahan kecepatan sudut tiap satuan waktu disebut percepatan sudut (), sehingga dapat dirumuskan sebagai berikut. = t LATIHAN SOAL 1. Sebutir peluru ditembakkan dari senapan dengan kecepatan awal 100 m/s. Sudut elevasi saat itu sebesar 150 (sin 150 = 0,26). Hitunglah tinggi maksimum dan jangkauan terjauh yang dapat dicapai peluru! 2. Dhania melempar batu dengan kecepatan 20 m/s dan sudut elevasi 300 . Percepatan gravitasinya g =10 m/s2. Tentukan: a. waktu saat mencapai di tanah kembali, b. tinggi maksimumnya, c. jangkauan terjauh!
91 Jika bernilai positif maka terjadi gerak melingkar dipercepat beraturan, dan bila bernilai negatif maka terjadi gerak melingkar diperlambat beraturan, Perubahan kelajuan linier atau tangensial tiap selang waktu dinamakan percepatan linier dan dirumuskan sebagai berikut. a = t v Karena v = r dan v = r maka hubungan antara percepatan sudut dan percepatan linier yaitu; a = t r . a = .r atau dapat ditulis dengan = r 1 t v = r a Jika benda berotasi dengan kecepatan sudut awal (o) dan setelah t sekon berotasi dengan kecepatan sudut akhir (t), percepatan sudut gerak benda adalah t t o atau t = o + .t sedangkan sudut akhir () yang ditempuh dengan asumsi sudut awal o = 0 dapat dirumuskan dengan; = o . t + ½ .t2 Sekarang substitusikan persamaan t = t o ke dalam persamaan = o . t + ½ .t2 untuk mendapatkan persamaan tanpa variabel waktu. = o . t o + ½ . t o 2 Persamaan akhir yang didapat adalah; t 2 = o 2 + 2.
92 Percepatan tangensial dan percepatan sudut. Besarnya percepatan sudut sama dengan perubahan kecepatan sudut dibagi denganselang waktu tempuh, yaitu: Keterangan: α = percepatan sudut (rad/s2 ) Δω = perubahan kecepatan sudut (rad/s) Δt = selang waktu (s) Karena kecepatan sudut benda beubah, maka kecepatan liniernyapun berubah pula. Akibatnya timbul percepatan yang arahnya sama dengan arah kecepatan linier. Kecepatan ini disebut percepatan tangensial (at} yang besarnya memenuhi persamaan: Keterangan: at = percepatan tengensial (m/s2 ) Δv = perubahan kelajuan linier (m/s) Δt = selang waktu (s) Hubungan antara percepatan sudut dan percepatan tangensial dapa7 dinyatakan dalam bentuk persamaan: t v at at R Gambar 1.18.Gerak melingkar (http://www.smanepus.sch.id) Benda yang mengalami gerak melingkar beraturan memiliki kecepatan sudut yang konstan, dengan demikian percepatan sudutnya adalah nol (α = 0). Sementara benda yang bergerak melingkar berubah beraturan memiliki percepatan sudut yang konstan (α ≠ 0).Dengan demikian kecepatan sudutnya berubah secara teratur. t t R t v at
93 Sementara itu, percepatan sentipetal yang dimiliki benda yang bergerak melingkar sebesar: atau Percepatan total yang dimiliki oleh benda yang bergerak nelingkar berubah beraturan memenuhi persamaan: Sudut dan Jarak Tempuh Analog dengan beraj lurus berubah beraturan, kecepatan sudut benda akan berubah secara teratur akibat adanya percepatan sudut yang dialaminya. Kecepatan sudut pada saat t adalah: Besarnya sudut yang ditempuh setelah t sebesar: sedangkan panjang lintasan yang ditempuh dapat kita cari berdasarkan hubungan antara s dan θ, yaitu: Keterangan: ωt = kecepatan sudut pada saat t (rad/s) ω0 = kecepatan sudut mula-mula (rad/s) α = percepatan sudut (rad/s2 ) θt = sudut yang ditempuh setelah t (rad) s = panjang lintasan yang ditempuh setelah t (m) R v as 2 as .R 2 t t 0 2 0 2 1 t t t s R 2 2 total t s a a a
94 Contoh soal 1. Sebuah roda mobil sedang berputar dengan kecepatan sudut 8,6 rad/s. Suatu gesekan kecil pada poros putaran menyebabkan suatu perlambatan sudut tetap sehingga akhirnya berhenti dalam waktu 192 s. Tentukan : a. Percepatan sudut b. Jarak yang telah ditempuh roda mulai bergerak sampai berhenti (jari-jari roda 10 cm) Pembahasan Diketahui : ω0= 8,6 rad/s ωt = 0 rad/s t = 192 s r = 10cm= 0,1 m Ditanya : a. b. x Jawab : a. = - 0,045 rads-2 b. = (8,6).(192) + (-0,045).(192)2 = 826 rad x = r.θ = (0,1m),(826) = 82,6 m
95 2. Seutas tali dengan panjang 1 m, ujung atasnya dipegang dan ujung bawah dikaitkan ke benda bermassa 100 g.Kemudian tali diputar sehingga benda bergerak melingkar horisontal dengan jari-jari lingkaran 0,5 m. Hitunglah : a. besar tegangan tali b. kelajuan linier benda Pembahasan : Diketahui : L =1 m R = 0,5 m m = 100g = 0,1 kg Ditanya : a. T b. v Jawab : (a) (b) (c) Berdasarkan gambar (b): tan θ = √ = 0,58 , cos θ = √ a. Ty = mg . T cos θ = (0,1).(10) T = √ N b. √ Gambar 1.19. Ayunan Kronis
96 √ C. Aplikasi Gerak Melingkar. Dalam bagian ini kita akan membahas penerapan gerak melingkar pada berbagai kasus, diantaranya ialah: 1) Benda diikat tali yang diputar horizontal 2) Benda diikat tali yang diputar vertikal. Gambar 1.21. Benda diikat yang diputar vertikal Pada gambar di samping ditunjukkan benda diikat dengan tali kemudian diputar secara horizontal. Gaya sentripetal yang diberikan tali (T) adalah: R mv T R mv F 2 2 Benda diikat dengan tali kemudian diputar secara vertikal.. Tegangan tali pada berbagai posisi benda: - Benda di titik tertinggi: R mv T W 2 - Benda di posisi mendatar. R mv T 2 - Benda di titik terendah. R mv T W 2 - Tali membentuk sudut θ rehadap garis vertikal. R mv T W 2 cos W cos θ TT W T W T W θ T W Gambar 1.20. Benda diikat tali yang diputar horizontal
97 3) Kelereng bergerak di dalam tabung vertikal. 4) Ayunan kronis. Bola logam massanya digantung dengan benang kemudian diputar dengan kelajuan linier v sehingga membentuk ayunan konis dengan jari-jari R. Bila percepatan gravitasi g, tentukanlah nilai dari tg sudut yang dibentuk oleh benang dengan garis vertikal. Penyelesaian. Keseimbangan dakam arah horizontal: TR mv atau R mv T T f s 2 2 sin sin sin Keseimbangan dalam arah vertikal: T mg T cos mg atau cos Dari kedua persamaan di atas dapat dicari: gR v tg T mg TR mv tg 2 2 cos sin Gambar 1.22. Benda bergerak di dalam tabung vertikal Gambar 1.23. Ayunan Kronis W W N W N N W W cos θ N Kelereng bergerak melingkar di dalam tabung vertikal.. Gaya tekan kelereng pada bidang (N) adalah: - Kelereng di titik tertinggi: R mv N W 2 - Kelereng di posisi mendatar. R mv N 2 - Kelereng di titik terendah. R mv N W 2 - Posisi kelereng membentuk sudut θ rehadap garis vertikal. R mv N W 2 cos θ W T T cos θ θ R T sin θ
98 RANGKUMAN 1. Dalam koordinat kartesius, sebuah vektor dapat dinyatakan dalam vektorvektor satuan i, j, dan k. a. i, vektor satuan pada arah sumbu x b. j, vektor satuan pada arah sumbu y c. k, vektor satuan pada arah sumbu z 2. Vektor posisi suatu titik dapat dinyatakan dengan vektor satuan. 2 2 r r x y r xi yj Arah r terhadap sumbu x dinyatakan : x y tan 3. Kecepatan rata-rata dalam selang waktu tertentu adalah: j t y i t x t r v 4. Kecepatan sesaat dinyatakan: dt dr t r v t 0 lim 5. Posisi benda dapat diturunkan dari fungsi kecepatannya, dengan metode integral t t t t t t r r dr vdt r r vdt r r vdt dx v dt dt dr v 0 0 0 0 0 0 6. Percepatan rata-rata dalam selang waktu tertentu dituliskan: j t v i v v t v a y y x 7. Percepatan sesaat dinyatakan : dt dv t v a t 0 lim 8. Gerak parabola merupakan gerak perpaduan antara gerak lurus beraturan (GLB) pada arah horizontal dan gerak lurus berubah beraturan (GLBB) pada arah vertikal.