5. E-book MATEMATIKA SMP Kelas IX

MATEMATIKA
KELAS IX

Tim Penyusun: SMP Santo Carolus Surabaya
SMP Tarakanita 3 Jakarta
1. Aloisius Winan Pramudya, S.Si SMP Tarakanita Gading Serpong Tangerang
2. Antonius Eryoko, S.Si
3. Regina Ditya Ardhiana, S.Pd

Ilustrator & Cover : Agus Budi Santoso
Editor : Tim penyusunan buku Yayasan Tarakanita

Penelaah : SMP Stella Duce 1 Yogyakarta
1. Adriana Wiwin Erni Andewi, S. Pd SMP Santo Yosef Surabaya
2. Theresia Suberti, S. Pd SMP Santo Yosef Lahat
3. Clara Erindha Chris Gayuarsita, S. Pd. SMP Tarakanita Citra Raya Tangerang
4. Agustina Indarti, S. Pd

Hak Cipta pada Yayasan Tarakanita dan dilindungi Undang-Undang.

Dilarang mengutip, memperbanyak, atau memperjual-belikan sebagian atau seluruh isi buku ini
dalam bentuk apa pun (seperti cetakan, fotocopy, microfilm, VCD, CD-ROM, Rekaman Suara,
softfile pdf) tanpa izin tertulis dari pemegang hak cipta/ penerbit.

* Ebook ini untuk kalangan Internal Peserta Didik Sekolah Tarakanita Indonesia

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX i

KATA PENGANTAR

“Dengan kesabaran dan susah payah kami terus bekerja dengan keinginan
besar untuk maju, ya... maju...” (Elisabeth Gruyters art. 53)

Pujian dan syukur ke hadirat Tuhan Sang Pecinta hati kami yang manis,
yang karena kasih dan penyertaanNya, kami senantiasa dianugerahi rahmat
kesehatan, ketekunan, dan kesiapsediaan memberikan diri dalam keseluruhan
proses pelayanan kepada peserta didik. Pun atas perkenananNya, dengan berbekal
komitmen untuk memberikan layanan pembelajaran sesuai dengan kebutuhan dan
kondisi kontekstual, kami berproses mulai dari persiapan, penyusunan, dan
finalisasi referensi belajar yang dikemas dalam bentuk elektronik ini dengan baik.

Seluruh materi buku ini disusun berdasarkan tuntutan Kurikulum Nasional
ditujukan secara khusus bagi peserta didik sekolah-sekolah di bawah pengelolaan
Yayasan Tarakanita. Disusun berdasarkan konsep dan pengertian baku dari ilmu
pengetahuan, disesuaikan dengan kebutuhan taraf perkembangan dan tuntutan
kemahiran kompetensi sesuai jenjang, dan disertai dengan berbagai pembahasan
beserta contoh-contoh dalam kehidupan konkrit, diharapkan materi pembelajaran
ini sesuai dengan kebutuhan implementatif pengalaman sehari-hari peserta didik di
tengah-tengah masyarakat.

Sesuai dengan tuntutan perkembangan teknologi di era digital, di mana
dibutuhkan akses yang mudah, cepat, dan efektif dalam proses pembelajaran,
maka buku ini kami terbitkan dalam bentuk buku elektronik. Semoga keberadaan
buku elektronik ini dapat membantu peserta didik mempersiapkan pembelajaran,
memenuhi kebutuhan pengetahuan, dan menjadi referensi yang cukup bagi
persiapan dan proses penyelesaian tugas dan/atau penilaian sesuai dengan tuntutan
materi tertentu.

Buku elektronik yang telah tersedia ini tentu masih jauh dari sempurna, pun
demikian kekurangan dan kesalahan yang tentu tidak disengaja. Kami sangat
terbuka terhadap masukan, kritik dan saran dari siapapun yang berkehendak baik
membantu proses perbaikan dan peningkatan kualitas/mutu dari buku ini di masa
yang akan datang.

Jakarta, Juni 2021
Tim Penyusun

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX ii

KOMPETENSI DASAR

KOMPETENSI INTI 3 KOMPETENSI INTI 4
(Pengetahuan) (Keterampilan)

3 Memahami dan menerapkan 4 Mengolah, menyaji, dan menalar

pengetahuan (faktual, dalam ranah konkret

konseptual, dan prosedural) (menggunakan, mengurai,

berdasarkan rasa ingin tahunya merangkai, memodifikasi, dan

tentang ilmu pengetahuan, membuat) dan ranah abstrak

teknologi, seni, budaya terkait (menulis, membaca, menghitung,

fenomena dan kejadian tampak menggambar, dan mengarang)

mata. sesuai yang dipelajari di sekolah

dan sumber lain yang sama

dalam sudut pandang/ teori.

KOMPETENSI DASAR KOMPETENSI DASAR

BILANGAN BERPANGKAT DAN AKAR BILANGAN

3.1 Menjelaskan dan melakukan 4.1 Menyelesaikan masalah yang
operasi bilangan berpangkat berkaitan dengan sifat-sifat
bilangan rasional dan bentuk operasi bilangan berpangkat bulat
akar, serta sifat-sifatnya dan bentuk akar

PERSAMAAN KUADRAT 4.2 Menyelesaikan masalah yang
3.2 Menjelaskan persamaan berkaitan dengan persamaan
kuadrat
kuadrat dan karakteristiknya
berdasarkan akar-akarnya serta
cara penyelesaiannya

FUNGSI KUADRAT

3.3 Menjelaskan fungsi kuadrat 4.3 Menyajikan fungsi kuadrat
dengan menggunakan tabel, menggunakan tabel, persamaan,
persamaan, dan grafik dan grafik

3.4 Menjelaskan hubungan antara 4.4 Menyajikan dan
koefisien dan diskriminan fungsi menyelesaikan masalah
kuadrat dengan grafiknya kontekstual dengan
menggunakan sifat-sifat
fungsi kuadrat

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX iii

TRANSFORMASI

3.5 Menjelaskan transformasi 4.5 Menyelesaikan masalah
kontekstual yang berkaitan
geometri (refleksi, translasi, dengan transformasi geometri
(refleksi, translasi, rotasi, dan
rotasi, dan dilatasi) yang dilatasi)

dihubungkan dengan masalah

kontekstual

KESEBANGUNAN DAN KONGRUENSI

3.6 Menjelaskan dan menentukan 4.6 Menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan
kesebangunan dan kekongruenan kesebangunan dan
kekongruenan antar bangun
antar bangun datar datar

BANGUN RUANG SISI LENGKUNG Menyelesaikan masalah

3.7 Membuat generalisasi luas 4.7 kontekstual yang berkaitan
permukaan dan volume
berbagai bangun ruang sisi dengan luas permukaan dan
lengkung (tabung, kerucut, dan
bola) volume bangun ruang sisi

lengkung (tabung, kerucut, dan

bola), serta gabungan beberapa

bangun ruang sisi lengkung

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX iv

DAFTAR ISI

▪ Halaman Penyusun ……………………………………………………. i

▪ Kata Pengantar ………………………………………………………... ii

▪ Kompetensi Dasar …………………………………………………..... iii

▪ Daftar Isi …..…………………………………………………………. v

▪ Bab-1 Perpangkatan dan Bentuk Akar ………………………….…….. 1
Operasi hitung bilangan berpangkat …………………………… 4
Bentuk akar (Kuadrat) ...…...………………………………….. 18
Notasi ilmiah (Bentuk baku) ..………………………………… 22
Uji kompetensi Bab-1 ..……………………………………….. 28

▪ Bab-2 Persamaan Kuadrat …………………………………………… 30
Metode faktorisasi …………………………………………….. 34
Melengkapkan kuadrat sempurna …………………………….. 36
Rumus kuadratik ……………………………………………… 39
Uji kompetensi Bab-2 ………………………………………… 46

▪ Bab-3 Fungsi Kuadrat ……………………………………………….. 48
Menggambar grafik fungsi kuadrat ...………………………… 50
Menentukan nilai optimum fungsi kuadrat …………………… 59
Membentuk persamaan fungsi kuadrat ……………………….. 64
Penerapan fungsi kuadrat ...…………………………………… 65
Uji kompetensi Bab-3 ………………………………………… 69

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX v

▪ Bab-4 Transformasi ………………………………………………….. 74
Translasi (Pergeseran) ………………………………………… 75
Refleksi (Pencerminan) ………….....………………………… 83
Rotasi (Perputaran) …………………………………………… 93
Dilatasi (Perkalian) …………………...……………………….. 97
Soal pemecahan masalah trnsformasi ………………………… 105
Uji kompetensi Bab-4 ………………………………………… 112

▪ Bab-5 Kekongruenan dan Kesebangunan ……...……………………. 115
Kekongruenan bangun datar ………………………………….. 116
Kekongruenan bangun segitiga ….....………………………… 118
Kesebangunan bangun datar …………….…………………… 120
Kesebangunan bangun segitiga ……...……………………….. 122
Soal pemecahan masalah kesebangunan ...…………………… 126
Uji kompetensi Bab-5 ………………………………………… 128

▪ Bab-6 Bangun Ruang Sisi Lengkung (BRSL) ……..……………….. 134
Tabung ……………………………………………………….. 135
Kerucut ………………………………………………………. 137
Bola ………………………………………………………….. 141
Belahan BRSL padat ………………………………………… 143
Gabungan BRSL …………………………………………….. 146
Soal pemecahan masalah BRSL ..…………………………… 150
Uji kompetensi Bab-6 ……………………………………….. 153

▪ Daftar Pustaka ...……………………………………………………. 158

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX vi

BAB PERPANGKATAN dan BENTUK AKAR
1

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Mengidentifikasi, mendeskripsikan, menjelaskan sifat bentuk pangkat
2. Menyelesaikan permasalahan nyata yang berhubungan perpangkatan dan bentuk akar
3. Menggunakan notasi ilmiah untuk penulisan bilangan sangat besar/sangat kecil

Planet bumi Entamoeba histolytica

sumber: en.wikipedia.org

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 1

Pengertian Perpangkatan

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 2

Bilangan pokok pangkat

Nilai Bilangan Berpangkat

Berdasarkan pengertian bilangan berpangkat, coba lengkapilah tabel berikut!

Perpangkatan Bentuk perkalian Nilai

25 32
34
56
−7 3
84

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 3

Contoh Operasi Hitung Bilangan Berpangkat

Contoh 1 : Urutan/prioritas pengerjaan
Tentukanlah hasil operasi berikut! operasi:
1. Dalam tanda kurung
a. 2. Pangkat
3. Perkalian atau Pembagian
b. 4. Penjumlahan atau Pengurangan
5. Bila ada yang sama dikerjakan

dari kiri ke kanan

54 2 2 1 2
2× 5 2
c. − −

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 4

Contoh 2 : Kalau luas persegi
terkecil adalah 5
satuan luas, maka
persegi terbesar
berapa luasnya ya … ?

Penyelesaian:
Secara beruntun ada lima persegi: terkecil (warna hijau), terbesar kedua, terbesar ketiga,
terbesar keempat dan terbesar kelima.
Luas persegi yang berwarna hijau (terkecil) = 5 satuan luas
Luas persegi terbesar kedua = 5 x 4 satuan luas
Luas persegi terbesar ketiga = 5 x 4 x 4 satuan luas
Luas persegi terbesar keempat = 5 x 4 x 4 x 4 satuan luas
Luas persegi terbesar kelima = 5 x 4 x 4 x 4 x 4 satuan luas
Jadi luas persegi terbesar kelima = 1.280 satuan luas

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 5

Latihan 1.1

1. Nyatakan sebagai bilangan berpangkat!
a. −3 × −3 × −3 × −3

b. 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5

c. 222222
3×3×3×3×3×3

d. × × × × × × ×

2. Tentukan hasil perpangkatan berikut!

a. −5 3

b. 204

c. 35
4

d. 0,2 5

3. Nyatakan sebagai bilangan berpangkat!
a. 729 (dengan basis 3)
b. 2.048 (dengan basis 2)
c. 16.807 (dengan basis 7)
d. 100.000.000.000 (dengan basis 10)

4. Tentukan nilai peubah pada persamaan berikut!
a. 4 = 1.024
b. 5 = 78.125
c. 9 = 6.561
d. 6 = 7.776

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 6

5. Tentukanlah nilai dari operasi berikut!

a. 25 − 33

b. 56 − 45 + 34

c. 2 7
3
× 94

6. Tentukanlah nilai dari operasi berikut!
a. 2,4 3 × 54

b. 153 × 4,2 2

c. 3 3 16 × 24
4 2
+

d. 1,2 4 × 252

7. Tentukan pada bilangan berpangkat berikut
a. 2 , sehingga 2 tidak melebihi 2.000
b. 3 , sehingga 3 tidak melebihi 8.000
c. 5 , sehingga 5 tidak melebihi 10.000
d. 10 , sehingga 10 tidak melebihi 1.000.000

8. Tentukan pada bilangan berpangkat berikut
a. 2 + 1 = 17
b. 3 − 1 = 242
c. 4 + 3 = 67
d. 5 + 4 < 170, bilangan asli

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 7

Perkalian pada Perpangkatan

Mari kita amati perkalian pada tabel berikut

Perkalian pada Perkalian berulang Perpangkatan
Perpangkatan hasil perkalian
2×2×2×2 × 2×2
24 × 22 3×3 × 3×3×3 26

32 × 33 × × × × × × 35

2 × 5 7

Sekarang kita coba melengkapi tabel berikut

Perkalian pada Perkalian berulang Perpangkatan
Perpangkatan hasil perkalian

96 × 99

3,412 × 3,45

−7 10 × −7 5

14 16
2 ×2

Kesimpulan apakah yang bisa diambil dari pengamatan tersebut?

× = …

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 8

Pemangkatan pada Perpangkatan

Mari kita amati perkalian pada tabel berikut

Pemangkatan Perkalian berulang Hasil
pada Pemangkat
23 × 23
Perpangkatan = 2×2×2 × 2×2×2 an

23 2 52 × 52 × 52 × 52 26
= 5×5 × 5×5 × 5×5 × 5×5
52 4 58

Sekarang kita coba melengkapi perkalian pada tabel berikut

Pemangkatan pada Perkalian berulang Hasil
Perpangkatan Pemangkatan

95 4

84 7

7 5

6 8

Kesimpulan apakah yang bisa diambil dari pengamatan tersebut?

= …

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 9

Perpangkatan Suatu Perkalian Bilangan

Mari kita amati perpangkatan pada perkalian berikut

Pemangkatan Perkalian berulang Hasil
pada Perkalian Pemangkat
3×4 × 3×4 × 3×4
3×4 3 2×7 × 2×7 × 2×7 × 2×7 an

2×7 4 33 × 43

24 × 74

Sekarang kita coba melengkapi perkalian pada tabel berikut

Pemangkatan pada Perkalian berulang Hasil
Perkalian Pemangkatan

3×5 8

7 × 8 10

9 × 5

5 × 12

Sebagai catatan, bentuk pangkat tunggal 62 dapat dinyatakan dalam perkalian
perpangkatan 22 × 32.

Kesimpulan apakah yang bisa diambil dari pengamatan tersebut?

× = … × …

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 10

Latihan 1.2

1. Sederhanakan perpangkatan berikut!
a. −5 6 × −5 3
b. 0,58 × 0,55
c. 52 5
d. 2 4 × 5 3

2. Tentukan nilai dari hasil operasi berikut!

a. 26 × 1 3 −5 3
2
×

b. 2 9 5 10
5 2
×

c. 205 × 1 19 15
2 5
×

d. 0,2 5 × 57

3. Nyatakan perpangkatan berikut dalam bentuk pangkat tunggal!
a. 83 × 42
b. 94 × 273
c. 54 × 1252
d. 25 3 × 43 2

4. Sederhanakan bentuk berikut menjadi bentuk pangkat tunggal!
a. 9 × 54 + 16 × 54
b. 34 × 93 − 7 × 93
c. 11 × 65 + 12 × 65 + 13 × 65
d. 17 × 47 − 5 × 47 + 20 × 47

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 11

5. Nyatakan perkalian berikut menjadi bentuk perpangkatan tunggal
a. 24 × 252
b. 93 × 45
c. 105 × 510
d. 812 × 96

6. Sederhanakan bentuk berikut, kemudian nyatakan hasilnya menjadi bentuk
perpangkatan tunggal!

28+29+210+211
60

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 12

Pembagian pada Perpangkatan

Mari kita amati pembagian pada tabel berikut

Pembagian pada Perkalian berulang Perpangkatan
Perpangkatan hasil
2×2×2×2×2×2
26 2×2 pembagian
22
7 × × × × × × 24
4 × × × 3

Sekarang kita coba melengkapi tabel berikut Perpangkatan
hasil
Pembagian pada Perkalian berulang
Perpangkatan pembagian

510: 56

4,212: 4,25

−7 17: −7 11
814: 86

Kesimpulan apakah yang bisa diambil dari pengamatan tersebut?

: = …

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 13

Perpangkatan pada Pecahan

Mari kita amati perpangkatan pecahan pada tabel berikut

Pemangkatan Perkalian berulang Hasil
pada Pecahan Pemangkatan
2 2 2 2×2×2
23 3×3×3=3×3×3 23
3 33
75 7×7×7×7×7
3 3×3×3×3×3 75
35

Sekarang kita coba melengkapi perkalian pada tabel berikut

Pemangkatan pada Perkalian berulang Hasil
Pecahan Pemangkatan

16
5

57
11

8 15
5

Kesimpulan apakah yang bisa diambil dari pengamatan tersebut?

…
= …

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 14

Latihan 1.3

1. Sederhanakan perpangkatan berikut!

2. Tentukan nilai dari hasil operasi berikut!

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 15

Pangkat Bilangan: Bulat, Nol dan Negatif

Berikut ini akan kita amati beberapa akibat dari perkalian dan pembagian pada
perpangkatan

Operasi pembagian pada Perkalian berulang dan hasilnya Kesimpulan
Perpangkatan
50 = 1
P55a33ng=ka5t3N−3ol=, P5a0ngkat Negatif 5×5×5 20 = 1
5×5×5=1

26 = 26−6 = 20 2×2×2×2×2×2
26 2×2×2×2×2×2=1

32 32−5 3−2 3×3 1 1 3−2
35 = = 3×3×3×3×3=3×3 32 =

73 = 73−4 = 7−1 7×7×7 1 1 = 7−1
74 7×7×7×7=7 71

Setelah mengenal pangkat berupa bilangan bulat positif, saatnya kita mengenali
pangkat berupa bilangan nol dan bulat negatif yang merupakan akibat langsung dari
operasi perkalian dan pembagian pada perpangkatan. Hal itu digambarkan pada
proses di atas.

Kesimpulan apakah yang bisa diambil dari pengamatan tersebut?

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 16

Latihan 1.4

1. Tentukanlah hasil operasi bilangan berpangkat berikut!

2. Tentukan nilai dari hasil operasi bilangan berpangkat berikut berikut!

3. Sederhanakan setiap bentuk aljabar berikut!

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 17

Bentuk Akar (Kuadrat)

Pada saat menentukan panjang salah satu sisi dari suatu segitiga siku-siku seringkali
dijumpai hasil yang bukan merupakan bilangan bulat. Perhatikan contoh berikut

6? Dengan bantuan teorema Pythagoras, kita dapat
menentukan panjang sisi miring pada segitiga ini

3

Ada banyak bentuk akar yang dapat disederhanakan dengan bantuan sifat-sifat
bilangan berpangkat; termasuk di dalamnya jika terdapat bilangan riil yang bukan
merupakan bilangan bulat.

Mari kita amati langkah -langkah menyederhanakan bentuk akar berikut:

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 18

Lengkapi tabel berikut untuk membantu memahami proses penyederhanaan bentuk
akar

Bentuk Akar Penyederhanaan

800
0,0081

294
6,48
980.000

Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar

Dengan dasar pemahaman akan aljabar, proses melakukan penjumlahan dan
pengurangan dilakukan seperti berikut:

Bentuk Akar Penyederhanaan

63 + 343 3 7 + 7 7 = 10 7
200 − 128 10 2 − 8 2 = 2 2
75 − 48 + 288 5 3 − 4 3 + 12 2 = 3 + 12 2

Catatan:

Akar-akar yang sejenis dapat dijumlahkan maupun dikurangkan, sedangkan akar-
akar yang tidak sejenis tidak dapat dijumlahkan maupun dikurangkan.

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 19

Pada perkalian dan pembagian bentuk akar, selain prosedur secara aljabar prosesnya
dilakukan dengan tetap memperhatikan sifat-sifat bilangan berpangkat yang telah kita
bahas.

Bentuk Akar Penyederhanaan

63 × 343 3 7 × 7 7 = 21 49 = 21 × 7 = 147

200 10 2 5
32 4 2 = 2 = 2,5
363 × 72 11 3 × 6 2 = 66 6
5+ 2 5− 2 25 − 10 + 10 − 4 = 5 − 2 = 3
7+ 3 7+2 3
49 + 2 21 + 21 + 2 9 = 7 + 3 21 + 6
= 13 + 3 21

Mari kita ambil kesimpulan untuk beberapa proses di atas.

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 20

Latihan 1.5 Ayo Guys
kita
1. Tentukan nilai dari setiap akar kuadrat berikut!
a. 324 berlatih.. !
b. 5,76
c. 0,0064
d. 10.201

2. Sederhanakan setiap bentuk akar berikut!
a. 72
b. 648
c. 605
d. 2.888

3. Tentukanlah hasilnya dalam bentuk yang paling sederhana!

a. 24 + 216
b. 4 32 − 2 8
c. 75 − 500 + 2.000
d. 2 1.800 − 3 1.250 + 4 5.000

4. Tentukanlah hasilnya dalam bentuk yang paling sederhana!

a. 63 × 14
b. 392 × 200
c. 2400 ∶ 96
d. 48000 ∶ 320

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 21

Notasi Ilmiah (Bentuk Baku)

Sekarang kita akan melihat bagaimana bilangan yang sangat besar maupun
bilangan yang sangat kecil menggunakan konsep dari bilangan berpangkat
dalam penggunaan penulisan notasinya.
Bukalah aplikasi microsoft excel, sebagai alat pengolah angka yang sudah tidak
asing bagi kita. Ketiklah pada salah satu sel bilangan 4000000, dan sel di
bawahnya 5000000. (lihat gambar 1)

gambar 1
Lakukanlah penjumlahan kedua bilangan tersebut pada sel berikutnya;
berapakah nilainya? (lihat gambar 2)

gambar 2 22
Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX

Lakukanlah perkalian kedua bilangan tersebut pada sel Apakah
berikutnya; berapakah nilainya? Apa yang tertampil komputer
disana? Apakah artinya? (lihat gambar 3)
saya
salah?

gambar 3

Di sini, kita diperkenalkan pada cara penulisan notasi yang baru, yang sebetulnya
telah kita pelajari konsepnya di depan. Mari kita perhatikan dengan seksama:

4.000.000 × 5000000 = 20.000.000.000.000
4000000 × 5000000 = 2 × 10130000000
Jadi untuk mengatasi penulisan yang panjang dan memakan tempat,
dikembangkanlah teknologi dengan dasar konsep bilangan berpangkat
dalam menyatakan bilangan 20.000.000.000.000 atau 2 × 1013 sebagai
2E+13.

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 23

Mari kita coba dengan pembagian dua bilangan. Ketik bilangan 4 pada sel D2, dan
bilangan 16.000.000.000 pada sel D3. Pada sel D4 lakukan pembagian isi sel D2
terhadap isi sel D4. Bagaimanakah hasilnya?

Waw
komputer
canggih …

gambar 4

Dari beberapa contoh di atas, kita sampai pada suatu bentuk penulisan bilangan
yang dikenal sebagai notasi ilmiah/bentuk baku:

Notasi ilmiah dari suatu bilangan positif, dituliskan dalam bentuk

bilangan bulat

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 24

Beberapa contoh pengubahan dan perhitungan bilangan dalam notasi
ilmiah/bentuk baku.

Nyatakanlah dalam notasi ilmiah/bentuk baku!
a.
b.
c.
d.

Pembahasan:
a.
b.
c.
d.

Sederhanakan hasil operasi berikut, dan nyatakanlah hasilnya dalam notasi
ilmiah/bentuk baku!

a. . . + . .
b. . . − . .

Pembahasan:
a. . . + . . = , × + , ×
= , + , ×
= , ×

b. . . − . . = , × − , ×
= , − , ×
= , ×

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 25

Sederhanakan hasil operasi berikut, dan nyatakanlah hasilnya dalam notasi
ilmiah/bentuk baku!
a.
b.
c.
Pembahasan:
a.

b.

c.

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 26

Latihan 1.6

1. Tuliskan setiap bilangan berikut dalam bentuk baku!

2. Tentukan hasil operasi berikut, nyatakanlah dalam bentuk baku!

3. Massa bumi diketahui 5.972.190.000.000.000.000.000 kg. Jika 2% dari massa
bumi tersebut mengandung zat X, tentukanlah massa zat X. Nyatakanlah
dalam bentuk baku massa zat X tersebut.

4. Suatu pabrik penghasil manik-manik mengemas manik-manik yang
dihasilkannya kedalam karung 60 kg. Setiap manik-manik dalam
karung tersebut memiliki massa 1,5 × 10−2 kg. Berapa banyak manik-
manik dalam karung tersebut?

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 27

UJI KOMPETENSI BAB 1
Perpangkatan dan Bentuk Akar

Untuk soal nomor 1 sampai 8 , jawablah dengan singkat dan jelas!

1. Tuliskan setiap bilangan berikut dalam perkalian bilangan prima!
a. 4.410

b. 28.880 Mari kita uji
c. 1.110.000 pemahaman …

d. 27.500.000

2. Tentukan hasil setiap operasi berikut!

3. Tentukan nilai dari setiap operasi berikut!

4. Tentukan nilai dari bentuk berikut! 28
Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX

5. Diberikan empat bilangan berpangkat sebagai berikut:
348 , 1024 , 272 , 4912

Urutkanlah keempat bilangan berpangkat tersebut dari yang
terkecil hingga yang terbesar.

6. Diketahui tiga persamaan bilangan berpangkat sebagai berikut:
2 + 7 = 23 ; 3 − 8 = 19 ; 5 − 9 = 116

Tentukanlah nilai dari 2 + 3 + 5 .
semangat …
pasti bisa!

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 29

BAB PERSAMAAN KUADRAT
2

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Menyelesaikan persamaan kuadrat dan mengetahui karakteristik penyelesaiannya
2. Menentukan grafik dari fungsi kuadrat
3. Menentukan sumbu simetri dan nilai optimum
4. Menentukan fungsi kuadrat
5. Menjelaskan aplikasi dari fungsi kuadrat

sumber: dokumentasi pribadi

Tahukah anda?
Lintasan bola yang dlemparkan ke atas mengikuti bentuk parabola; dikenal

sebagai lintasan gerak proyektil. Telah berabad-abad dipelajari bentuk lintasan
parabola ini oleh karena banyak aktifitas yang melibatkan pemodelan lintasan
parabola ini.

Kita berkepentingan dengan mempelajari pemodelan ini beserta pengukuran
yang menyertainya, menentukan besaran-besaran kuantitatif yang berkaitan
dengan pemodelan parabolik ini.

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 30

Pengantar Persamaan Kuadrat

Salah satu teknik penyelesaian persamaan yang dipelajari pada jenjang SMP
adalah penyelesaian persamaan kuadrat. Persamaan kuadrat telah digunakan
berabad-abad dalam banyak hal pemecahan masalah; pemodelannya mendapatkan
banyak pengembangan yang mengagumkan sehingga banyak orang tertarik
menggunakannya dalam membantu pemecahan masalah kuantitatif.

Beberapa contoh masalah kuantitatif yang menggunakan pemodelan persamaan
kuadrat:

• Lebar suatu persegi panjang diketahui 1,5 kali panjangnya. Jika diketahui luas
persegi panjang adalah 726 cm², tentukan ukurang persegi panjang tersebut.

• Ardika dapat menyelesaikan suatu pekerjaan 20 menit lebih cepat daripada
Radika. Jika mereka mengerjakannya bersama-sama, pekerjaan tersebut dapat
diselesaikan dalam 24 menit. Tentukanlah lama mereka mengerjakan pekerjaan
tersebut jika mereka bekerja tidak dalam waktu bersamaan.

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 31

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Sebagai permulaan marilah kita kenali dahulu bentuk umum suatu persamaan kuadrat.

Bentuk umum dari Persamaan Kuadrat adalah

dimana ≠ 0; , dan c adalah bilangan riil.
Konstanta , dan c dikenal sebagai koefisien-koefisien persamaan kuadrat.

Contoh:
• 4 2 − 7 + 3 = 0

adalah persamaan kuadrat dengan = 4, b = −7, c = 3
• 9 − 5 2 = 0

dengan menyusun persamaan tersebut menjadi
−5 2 + 9 + 0 = 0
maka diperoleh = −5, b = 9, c = 0
• 25 − 2 = 0
dengan menyusun persamaan tersebut menjadi
− 2 + 0 + 25 = 0
adalah persamaan kuadrat dengan = −1, b = 0, c = 25

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 32

Salah satu hal terpenting yang akan dibahas disini adalah menentukan nilai yang
memenuhi persamaan kuadrat. Nilai yang memenuhi persamaan kuadrat disebut
sebagai akar-akar persamaan kuadrat.
Persamaan kuadrat 2 + 3 − 10 = 0 memiliki akar-akar 2 atau −5, karena:
2 2 + 3 2 − 10 = 4 + 6 − 10 = 0
−5 2 + 3 −5 − 10 = 25 − 15 − 10 = 0
Selain 2 atau −5, bukanlah akar-akar dari 2 + 3 − 10 = 0. Misalkan diambil
= 3 atau = −1 kemudian substitusikan kedalam persamaan kuadrat tersebut,
kita peroleh:
3 2 + 3 3 − 10 = 9 + 9 − 10 = 1 ≠ 0
−1 2 + 3 −1 − 10 = 1 − 3 − 10 = −12 ≠ 0

Saat ini telah berkembang beragam cara untuk menentukan akar-akar persamaan
kuadrat. Tiga metode berikut ini merupakan cara yang umum digunakan dalam
mencari akar-akar persamaan kuadrat:

• Metode Faktorisasi
• Melengkapkan Kuadrat Sempurna
• Rumus Kuadratik

Berdasar pada metode-metode ini telah dikembangkan berbagai teknologi untuk
menentukan akar-akar persamaan kuadrat secara akurat serta menyingkat waktu
pengerjaan.

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 33

Metode Faktorisasi

Metode pertama yang kita bahas adalah faktorisasi. Perhatikan penentuan akar-akar
setiap persamaan kuadrat pada contoh-contoh berikut.

Contoh 1: tentukan akar-akar persamaan kuadrat 2+6 = 0
2 + 6 = 0
+ 6 = 0

= 0 atau + 6 = 0
Jadi akar-akarnya = 0 atau = −6

Contoh 2: tentukan akar-akar persamaan kuadrat 2 + 8 + 12 = 0
2 + 8 + 12 = 0
+ 2 + 6 = 0

+ 2 = 0 atau + 6 = 0
Jadi akar-akarnya = −2 atau = −6

Contoh 3: tentukan akar-akar persamaan kuadrat 2 − 12 + 32 = 0
2 − 12 + 32 = 0
− 4 − 8 = 0

− 4 = 0 atau − 8 = 0
Jadi akar-akarnya = 4 atau = 8

Contoh 4: tentukan akar-akar persamaan kuadrat 8 2 − 2 − 3 = 0
8 2 − 2 − 3 = 0

8 +4 8 −6 =0
8

2 + 1 4 − 3 = 0

2 + 1 = 0 atau 4 − 3 = 0

Jadi akar-akarnya = −21 atau = 3
4

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 34

Latihan 2.1

1. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut ini menggunakan faktorisasi.

a. 2 + 8 = 0

b. 2 2 + = 0 Berlatih metode
c. −3 2 + 12 = 0 faktorisasi bentu
d. −15 2 − 4 = 0 kuadrat … pasti bisa!

2. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut ini menggunakan faktorisasi.

a. 2 + 13 + 36 = 0
b. 2 − 18 + 80 = 0
c. 2 + 4 − 45 = 0
d. 2 − 11 − 26 = 0

3. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut ini menggunakan faktorisasi.
a. 2 2 + 11 + 12 = 0
b. 3 2 − 19 + 20 = 0
c. 4 2 + 12 − 7 = 0
d. 5 2 − 2 − 5 = 0

4. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut ini menggunakan faktorisasi.

a. 6 2 + 10 = 19
b. 3 + 10 = 8 2
c. 3 − 1 = 5 − 4
d. 7 + = 8 − + 1

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 35

Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Metode kedua yang menjadi pembahasan selanjutnya adalah melengkapkan kuadrat
sempurna. Yang menjadi tujuan metode ini adalah menjadikan bentuk aljabar menjadi
kuadrat sempurna . Berikut ini adalah langkah-langkahnya:
• Bagilah persamaan kuadrat dengan koefisien 2 nilai agar koefisien 2 menjadi 1
• Pindahkan konstanta ke ruas kanan persamaan kuadrat
• Tambahkan kedua ruas dengan kuadrat dari koefisien yang telah dibagi dengan 2
• Bentuklah faktor kuadrat sempurna
• Tentukan akar persamaan kuadrat
Mari kita coba melakukannya.

Contoh 1:
2 + 6 + 5 = 0
2 + 6 = −5
2 + 6 + 3 2 = −5 + 3 2
+ 3 2 = 4
+ 3 = ± 2

+ 3 = 2 atau + 3 = −2
diperoleh akar-akar: = −1 atau = −5

Contoh 2:
2 − 12 + 35 = 0
2 − 12 = −35
2 − 12 + −6 2 = −35 + −6 2
− 6 2 = 1
− 6 = ±1

− 6 = 1 atau − 6 = −1
diperoleh akar-akar: = 7 atau = 5

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 36

Matematika -
SMP

Contoh 3:
2 2 − 5 − 3 = 0

2 − 5 − 3 = 0
2 2

2 − 5 = 3
2 2

2 − 5 + − 5 2 3 + − 5 2
2 4 2 4
=

− 5 2 49
4 16
=

− 5 = ± 7
4 4

− 5 = 7 atau − 5 = − 7
4 4 4 4

diperoleh akar-akar: = 3 atau = − 1
2

Contoh 4:
3 2 − 5 − 2 = 0

2 − 5 − 2 = 0
3 3

2 − 5 = 2
3 3

2 − 5 + − 5 2 2 + − 5 2
3 6 3 6
=

− 5 2 49
6 36
=

− 5 = ± 7
6 6

− 5 = 7 atau − 5 = − 7
6 6 6 6

diperoleh akar-akar: = 2 atau = − 1
3

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 37

Latihan 2.2

1. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut ini dengan melengkapkan kuadrat

a. 2 + 16 = 0

b. 2 − 20 = 0 metode ini kok rumit
c. −5 2 + 30 = 0 ya …

d. −8 2 − 2 = 0

2. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut ini menggunakan Kuadrat Sempurna.
a. 2 + 12 + 36 = 0
b. 2 − 18 + 319 = 0
c. 2 + 5 − 50 = 0
d. 2 − 11 − 60 = 0

3. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut ini menggunakan Kuadrat Sempurna.
a. 2 2 + 11 + 15 = 0
b. 3 2 − 14 + 8 = 0
c. 4 2 − 4 + 1 = 0
d. 5 2 − 9 − 2 = 0

4. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut ini menggunakan Kuadrat Sempurna.
a. 6 2 + 12 = 17
b. 31 − 20 = 12 2
c. 5 − 3 = 2 − 14
d. 3 + 4 = 5 − 6 − 17

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 38

Rumus Kuadratik

Tidak semua bentuk kuadrat dapat dilakukan faktorisasi, sehingga diperlukan
metode melengkapkan kuadrat untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat.
Meskipun metode melengkapkan kuadrat dapat dikategorikan kompleks, namun
metode ini memberikan alternatif lain dalam menyelesaikan persamaan kuadrat.
Langkah yang digunakan pada metode melengkapkan kuadrat, bila dilakukan pada
bentuk umum persamaan kuadrat mengantarkan kita pada rumus kuadratik, yang
dapat digunakan untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Mari kita turunkan
rumus kuadratik menggunakan metode melengkapkan kuadrat, yang dimulai dari
bentuk umum persamaan kuadrat:

2 + + = 0
2 + = −

2 + = −


2 + + 2 = − + 2
2 2

+ 2 = 2 −
2 4 2

+ 2 = 2−4
2 4 2

+ =± 2−4
2 4 2

= − ± 2−4
2 4 2

= − ± 2−4
2 2

= − ± 2−4
2

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 39

Kini kita sudah memiliki rumus kuadratik yang diturunkan dari bentuk umum
persamaan kuadrat.

Penyelesaian persamaan kuadrat + + =
(dengan a ≠ ) adalah:

Digunakan notasi 1,2 untuk menunjukkan bahwa penyelesaian persamaan kuadrat
memiliki dua kemungkinan akar-akar persamaan kuadrat.

Sekarang kita perhatikan penggunaan rumus kuadratik untuk menentukan akar-akar
persamaan kuadrat.

Contoh 1:
2 − 16 + 55 = 0
= 1, = −16, = 55

1,2 = 16± −16 2−4 1 55 = 16± 256−220 = 16± 36 = 16±6
21 2 2 2

diperoleh akar-akar: = 11 atau = 5

Contoh 2:
15 2 + 14 − 8 = 0
= 15, = 14, = −8

1,2 = −14± 14 2−4 15 −8 = −14± 196+480 = −14± 676 = −14±26
2 15 30 30 30

diperoleh akar-akar: = 2 atau = − 4
5 3

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 40

Pada contoh 1 dan contoh 2, penyelesaian persamaan kuadrat berupa bilangan bulat
dan pecahan, tetapi tidak demikian pada contoh berikut ini, penyelesaian persamaan
kuadrat terlihat dalam bentuk akar.

Contoh 3:
2 − 4 − 1 = 0
= 1, = −4, = −1

1,2 = 4± −4 2−4 1 −1 = 4± 16+4 = 4± 20 = 4±2 5 = 2± 5
21 2 2 2

diperoleh akar-akar: = 2 + 5 atau = 2 − 5

Terlihat bahwa penyelesaian persamaan kuadrat bukan hanya berupa bilangan asli,
namun meluas kepada bilangan bulat, pecahan dan akhirnya bentuk akar, yang
semuanya itu dikenal sebagai bilangan riil (real number).
Pada perkembangan selanjutnya, para siswa akan dikenalkan kepada konsep bilangan
kompleks, dimana bilangan riil merupakan bagian dari sistem bilangan kompleks.

Oh … ternyata ada
sistem bilangan yang
melingkupi bilangan

riil

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 41

Latihan 2.3

1. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut ini mengunakan Rumus Kuadrat.

a. 2 + 16 + 48 = 0

b. 2 − 20 + 75 = 0 Rumus kuadratik
c. 2 + 30 − 64 = 0 ternyata efisien …
d. 2 − 25 − 54 = 0

2. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut ini dengan cara Rumus Kuadrat!
a. 3 2 − 17 + 10 = 0
b. 5 2 − 18 − 8 = 0
c. 7 2 − 50 + 7 = 0
d. 9 2 − 9 − 10 = 0

3. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut ini dengan cara Rumus Kuadrat!
a. 10 2 + 9 − 9 = 0
b. 8 2 − 14 + 3 = 0
c. 4 2 − 12 + 9 = 0
d. 7 2 − 8 + 2 = 0

4. Salah satu akar persamaan kuadrat 6 2 − 19 + = 0 adalah 1,5.
Tentukanlah nilai dan akar yang lain dari persamaan kuadrat tersebut.

5. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah 4 dan 23.
5

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 42

Penerapan Persamaan Kuadrat

Pemecahan masalah yang timbul dalam aktifitas sehari-hari adalah salah satu
tujuan utama dalam penerapan dari pemodelan persamaan kuadrat. Seperti yang
dikemukakan pada awal bab, akan dibahas bagaimana menerapkan pemodelan
persamaan kuadrat dan mencari penyelesaiannya sebagai langkah pemecahan
masalah.

Contoh 1:

Lebar suatu persegi panjang diketahui 1,5 kali panjangnya. Jika diketahui luas persegi
panjang adalah 726 cm², tentukan ukuran persegi panjang tersebut.

Penyelesaian: = ×
726 = × 1,5
726 = 1,5 2 atau 2 = 484
diperoleh = ±22

Karena panjang tidak bernilai negatif, maka yang memenuhi adalah nilai = 22;
sehingga didapatkan panjang 22 cm dan lebar 33 cm.

Begitu beragamnya masalah yang menggunakan pemodelan persamaan kuadrat,
membuat analisa tentang persamaan kuadrat tersebar luas, banyak dipelajari dengan
detil ulasannya.

Perkiraan tentang penjadwalan kerja antar berbagai individu sehingga mendapatkan
efisiensi waktu serta variabel biaya yang menyertainya tergambar pada contoh 2
berikut ini.

Yayasan Tarakanita Matematika Kelas IX 43