ຄະນິດສາດ 1(ເຫຼັ້ມ 1 ) ອຈ ປທ ສົມພົງ ບຸນເພັງ

1

2 ຮຽບຮຽງໂດຍ ອຈ.ປທ. ສມົ ພງົ ບຸນເພງັ ຜ ກູ້ ວດແກປູ້ ມູ້ : ຊອ. ປຕ. ສອນນາລ ີພລິາວງົ ປທ. ນາງ ມະໄລທອງ ຈມ ໄພຫຼວງ 2023

3 ຮຽບຮຽງໂດຍ ອຈ.ປທ. ສມົ ພງົ ບຸນເພງັ ຜ ກູ້ ວດແກປູ້ ມູ້ : ຊອ. ປຕ. ສອນນາລ ີພລິາວງົ ລາຍເຊນັ :............................................................ ປທ. ນາງ ມະໄລທອງ ຈມ ໄພຫຼວງ ລາຍເຊນັ :............................................................ ຄະນະກາໍມະການບໍລຫິ ານ ວທິ ະຍາໄລຄ ປາກເຊ ໄດກູ້ ວດກາ ແລະ ຮບັຮອງປ ມູ້ ຮຽບຮຽງຫວົນີ ູ້ແມ່ນບດົທີ ່ມີ ຄວາມສອດຄ່ອງໄປຕາມມາດຕະຖານຂອງວທິ ະຍາໄລຄ ປາກເຊ ແລະ ໃຫຖູ້ ວ ່າເປັນຜນົ ງານທາງດາູ້ນວຊິາຂອງພະນກັ ງານຄ ອາຈານວທິ ະຍາໄລຄ ປາກເຊ . ນະຄອນປາກເຊ; ວນັທ......./........./....... ີ .................................................... ຜ ອູ້ໍານວຍການ ປະທານຄະນະກາໍມະການວທິ ະຍາໄລຄ ປາກເຊ

i ຄາໍນາໍ ເພ ່ອເປັນການປັບປຸງຄຸນະພາບ ແລະ ປະສດິທພິ າບຂອງການສາູ້ງຄ ໃຫສູ້ ງ, ແນໃສ່ເພີ ່ມສະມດັຖະພາບຂອງຄ ແລະ ພດັທະນາອາຊບີຄ ໃຫດູ້ ຂີ ູ້ນເທ ່ອລະກາູ້ວນັນູ້, ກມົ ສາູ້ງຄໄ ດພູ້ ດັທະນາປ ມູ້ ແບບຮຽນ ນີ ູ້ຂ ູ້ນມາ ເພ ່ອຮບັໃຊຢູ້່ ສະຖາ ບນັສາູ້ງຄ ແຫ່ງຕ່າງໆໃນທົ ່ວປະເທດ, ໂດຍໄດພູ້ ດັທະນາຕາມທດິທາງການສາູ້ງ ຄ ແບບໃຫມ່ ທີ ່ ເນັນູ້ການປ ກອຸດມົ ການ, ຄຸນະທໍາ ແລະ ຈດິວນິຍານຂອງ ຄວາມເປັນຄ ໃຫແູ້ກ່ນກັ ຮຽນຄ , ເຮດັ ໃຫເູ້ຂາົເຈົ ູ້າມທີ ກັ ສະວຊິ າຊບີຄ ທີ ່ຫນກັ ແຫນນູ້, ເຂົ ູ້າໃຈພດັທະນາການຂອງເດກັ ນອູ້ ຍ, ມຄີວາມຮ ທູ້ ົ ່ວໄປ ແລະ ຄວາມຮ ວູ້ ຊິ າສະເພາະທີ ່ ແທດເຫມາະກບັຊັນູ້ທີ ່ ຕນົ ເອງ ສອນ. ປ ມູ້ ແບບຮຽນເຫຼັມູ້ ນີ ູ້ໄດພູ້ ດັທະນາດວູ້ ຍການປະກອບສ່ ວນຈາກສ ນພດັທະນາຄ ແລະ ຜ ບູ້ ໍລຫິ ານ ການສກ ສາ, ຈາກນກັ ວຊິ າການຂອງສະຖາບນັ ສາູ້ງຄ , ຄະນະສກ ສາສາດ, ມະຫາວທິ ະຍາໄລແຫ່ງຊາດ ແລະ ຈາກພາກສ່ ວນ ຕ່າງໆ ທີ ່ ກ່ ຽວຂອູ້ ງເພ ່ ອແນ່ ໃສ່ ເຮດັໃຫນູ້ ກັ ຮຽນຄ ທີ ່ ຈບົ ຈາກສະຖາບນັ ສາູ້ງຄ ມສີ ະມດັຖະ ພາບດ, ີມຄີວາມຮ ູ້ແລະ ຄວາມເຂົ ູ້າໃຈລາຍວຊິ າທີ ່ຕນົ ເອງສອນຢ່ າງເລກິ ເຊິ ່ ງ, ຮ ຈູ້ກັຫມ ນໃຊຄູ້ວາມຮ ເູ້ຂົ ູ້າໃນການສດິສອນ ແບບຫຼາຍຮ ບ ຫຼາຍສີ , ມຄີວາມຊໍານານໃນການສອນ ແບບເອາົນກັ ຮຽນເປັນໃຈກາງ, ຮ ຈູ້ກັ ຜະລດິ ແລະ ນາໍໃຊອູຸ້ປະກອນ ການຮຽນ - ການ ສອນທີ ່ ງ່າຍດາຍ, ຊອກຫາໄດງູ້່າຍ, ມນີໍ ູ້າໃຈຮກັ ອາຊບີແພງເດກັ , ມຄີວາມ ຮບັຜດິຊອບໃນການພດັທະນາອາຊບີຄ ຂອງ ຕນົ . ປ ມູ້ ແບບຮຽນເຫຼັມູ້ ນີ ູ້ປະກອບມີ10 ພາກຄ: ເລກກໍາລງັ ແລະ ສານວນພດ ຊະນດິ , ສະເໜຜີນົ ຄວນຈ ່ ແລະ ຮາກຂັນູ້ ສອງ, ເລຂາແຜນພຽງ, ຫຼກັ ເກນຕາແລດັ , ເລຂາກາງຫາວ, ການຜນັ ປ່ ຽນໃນໜາູ້ພຽງ, ເວກັ ເຕໃີນລະບບົ ເສັນູ້ ເຄົ ູ້າຕັ ູ້ງສາກ, ເວກັ ເຕີແລະ ການໝນ ຮອບ,ຕໍາລາພ ູ້ນຖານ,ສະຖຕິພິນັລະນາ. ຫວງັຢ່ າງຍິ ່ ງວ່າ ຄ - ອາຈານ, ນກັ ຮຽນຄ ແລະ ພາກສ່ວນອ ່ນໆຫາກຍງັພບົ ເຫນັບນັຫາໃດຫນ ່ ງທີ ່ ບໍ ່ ເຫມາະ ສມົ , ບໍ ່ ສອດຄ່ ອງ ແລະ ບໍ ່ທນັ ສະພາບ, ກະລຸນາປະກອບຄໍາຄດິຄໍາເຫນັ ຂອງຕນົ ເພ ່ ອຊ່ ວຍປັບປຸງ ເຮດັໃຫປູ້ ູ້ມເຫຼັມູ້ ນີ ູ້ ສມົ ບ ນ ແລະ ມປີະສດິທຜິນົຍິ ່ ງຂ ູ້ນໃນອະນາຄດົ . ນະຄອນປາກເຊ ວນັທີ07 ເດອ ນກຸມພາ ປີ2022 ອາຈານ.ປທ. ສມົ ພງົ ບຸນເພງັ

ii ສາລະບານ ໜາູ້ ບດົທ ີ 1 ເລກກາໍລງັ ແລະ ສາໍນວນພດ ຊະຄະນດິ…………………………………………………………. 1 1 ກດິຈະກາໍ …………………………………………………………………………………. 1 2 ໃຈຄວາມ…………………………………………………………………………………. 3 3 ບດົ ເຝ ກຫດັ…………………………………………………………………………………. 5 ບດົທ ີ 2 ສະເໝຜີນົຄວນຈ ່ ແລະ ຮາກຂັນູ້ສອງ……………………………………………………………. 9 1 ສະເໝຜີນົຄວາມຈ ່………………………………………………………………………….... 9 ກດິຈະກາໍ …………………………………………………………………………………….. 10 ໃຈຄວາມ…………………………………………………………………………………….. 10 ບດົ ເຝ ກ ຫດັ…………………………………………………………………………………... 11 2 ຮາກຂັນູ້ສອງ…………………………………………………………………………………. 13 ກດິຈະກາໍ ……………………………………………………………………………………. 12 ໃຈຄວາມ……………………………………………………………………………..….…. 17 ບດົ ເຝ ກຫດັ…………………………………………………………………………………. 17 3 ຮາກຂັນູ້ n…………………………………………………………………..………………. 20 ກດິຈະກາໍ …………………………………………………………………….……………. 20 ໃຈຄວາມ…………………………………………………………………….……………. 21 ບດົ ເຝ ກຫດັ…………………………………………………………………………………. 21 ບດົທ ີ 3 ເລຂາແຜນພຽງ…………………………………………………………………………………….. 25 1 ມ ມໃນຂອງຮ ບສາມແຈ…………………………………………………………………… 25 2 ມ ມແນບວງົມນົ ແລະ ມ ມໃຈກາງ………………………………………………………… 26 ບດົທ ີ 4 ຫຼກັ ເກນຕາແລດັ…………………………………………………………………………………. 34 1 ເສັນູ້ຊ ່ຜ່ານເມດັ ເຄິ ່ ງກາງຂອງສອງຂາູ້ງຂອງຮ ບສາມແຈ……………………………………. 34 2 ຫຼກັ ເກນຕາແລດັ……………………………………………………………………………. 46 ບດົທ ີ 5 ເລຂາກາງຫາວ…………………………………………….………………………………………. 64 1 ຮ ບທໍ ່ລຽມ…………………………………………………………………………………. 64 2 ຮ ບທໍ ່ກມົ …………………………………………………………………………………. 68 3 ຮ ບໜ່ວຍມນົ ແລະ ຮ ບກອູ້ນມນົ…………………………………………………………. 71

iii ບດົທ ີ 6 ການຜນັປ່ ຽນເທງິແຜນພຽງ ແລະ ການນາໍ ໃຊ…………………………………………………… ູ້ 75 1 ຈດຸ ປະສງົ…………………………………………………………………………………….. 75 2 ເນ ູ້ອໃນຫຼກັ …………………………………………………………………………………. 75 3 ກດິຈະກາໍການຮຽນ-ການສອນ……………………………………………………………. 75 4 ບດົຝ ກຫດັ……………………………………………………………..…………….………. 77 ບດົທ ີ 7 ເວກັ ເຕໃີນແຜນພຽງ………………………………………………………………………..………. 79 1 ມະໂນພາບເວກັ ເຕໃີນໜາູ້ພຽງ……………………………………………………….………. 79 2 ການຄໍານວນເວກັ ເຕໃີນແຜ່ ນພຽງ……………………………………………………………. 81 3 ບາງຄຸນລກັ ສະນະພ ູ້ນຖານ………………………………………………………..…………. 84 4 ເວກັ ເຕໃີນລະບບົ ເສັນູ້ເຄົ ູ້າຕັ ູ້ງສາກ……………………………………………………………. 85 5 ການຄໍານວນເວກັ ເຕໃີນລະບບົ ເສັນູ້ເຄົ ູ້າຕັ ູ້ງສາກ………………………………………………. 87 ບດົທ ີ 8 ເວກັ ເຕໃີນແຜນພຽງ………………………………………………………………………….……. 94 1 ຈດຸ ປະສງົ………………………………………………………………….…………………. 94 2 ເນ ູ້ອໃນຫຼກັ ……………………………………………………………………….…………. 94 3 ໃຈຄວາມ……………………………………………………………………………………. 94 4 ບດົຝ ກຫດັ…………………………………………………………………….……………. 96 ບດົທ ີ 9 ຕາໍລາພ ູ້ນຖານ………………………………………………………………………………..……. 98 1 ການພວົພນັຕໍາລາ………………………………………………………………………….…. 98 2 ຕໍາລາລເີນແອ………………………………………………………………………………… 105 3 ຕໍາລາອບັພນີ…………………………………………………………………………………. 112 ບດົທ ີ 10 ສະຖຕິພິນັລະນາ…………………………………………………………………………………… 121 1 ຄວາຖີ ່ ຂໍມູ້ ນ…………………………………………………………………………………. 121 2 ຄວາມຖີ ່ ສາສມົ ຂອງຂໍມູ້ ນ……………………………………………………………………. 128 3 ປະເພດຂອງຂໍມູ້ ນ,ຄ່າວດັແທກທ່າອ່ ຽງຂອງຂໍມູ້ ນ ແລະ ຄ່າສະເລ່ຍ…………………………. 142 4 ຖານນຍິມົ ແລະ ມດັທະຍະຖານ…………………………………………………………….. 145 5 ຄ່າວດັແທກຂອງການແຈກຍາູ້ຍຂອງຂໍມູ້ ນ…………………………………………………… 150

iv

1 ບດົທ ີ1 ເລກກາໍລງັ ແລະ ສາໍນວນພດ ຊະຄະນດິ ຈດຸ ປະສງົ - ເພ ່ອເຮດັນກັ ຮຽນຊອກຫາຈດຸ ທີ ່ມບີນັຫາໄດກູ້່ ຽວກບັ ເລກກາໍລງັ - ເພ ່ອຊອກຫາວທິ ແີກໄູ້ຂບນັຫາກ່ ຽວກບັກດິຈະກາໍ , ເນ ູ້ອໃນບດົຮຽນ ແລະ ບດົ ເຝ ກຫດັ - ບອກນຍິາມຂອງສໍານວນປົກກະຕໄິດ.ູ້ - ຊອກຄ່າຂອງຕວົປ່ ຽນທີ ່ພາໃຫເູ້ປັນສໍານວນປົກກະຕບິໍ ່ກາໍ ນດົ ແລະ ຮອນສໍານວນປົກກະຕໄິດ.ູ້ - ຄ ນ ແລະ ຫານສໍານວນປົກກະຕໄິດ.ູ້ I. ກດິຈະກາໍ. ກດິຈະກາໍທ ີ1 1. ທວນຄນ ເລກກາໍລງັ. ນາໍໃຊຈູ້າໍນວນຖວູ້ ນບວກແທນໃຫູ້, , ແລະ ເພ ່ອຂຽນເປັນຕວົຢ່ າງໃນການຄດິໄລ່ເລກໃນ ຕາຕະລາງລ່ ຸມນີ ູ້ : ສ ດຄດິໄລ່ເລກກາໍ ລງັ ຕວົຢ່ າງ × = + 4 3 × 4 2 = 4 3+2 = 4 5 = 1024 = − ; ( > ) = − = = ( ) = × ( ) = × = = × = ( × ) × = ( × ) = = ( ) = ( ) = = 2. ເລກກາໍລງັຂອງຈາໍນວນຖວູ້ ນຕ່າງສ ນ. ກ. ສງັເກດການແກເູ້ລກກາໍ ລງັ 3 7 ແລວູ້ຂຽນຕ ່ມໃສ່ບ່ອນຈໍ ູ້າເມດັ . 3 7 = − = − 3 7 = 3 3×3 4 = 1 4 ຂ. ຈົ ່ງຂຽນເລກກາໍ ລງັລ່ ຸມນີ ູ້ ເປັນເລກສ່ວນ ແລວູ້ເປັນຈາໍນວນທດົສະນຍິມົ . ດງັ່ ນນ ັ້ − =

2 ຕວົຢ່ າງ: 10−3 = 1 1000 = 0,001 10−4 = = , 10−6 = = , 10−5 = = , 10−7 = = , ຄ. ຈົ ່ງກວດເບິ ່ ງວ່າສະເໝຜີນົລ່ ຸມນີຖູ້ ກ ຕອູ້ງ ຫຼ ບໍ ່ ? 41300 = 413 × 102 ຕອບ: ຖກ ຕອູ້ງ 41300 = 41,3 × 103 ຕອບ: ຖກ ຕອູ້ງ 41300 = 4,13 × 105 ຕອບ: ບໍ ່ຖກ ຕອູ້ງ 0,000035 = 35 × 10−6 ຕອບ: ຖກ ຕອູ້ງ 0,000035 = 3,5 × 10−4 ຕອບ: ບໍ ່ຖກ ຕອູ້ງ 0,000035 = 350 × 10−7 ຕອບ: ຖກ ຕອູ້ງ ງ. ຈົ ່ງຄໍານວນເລກລ່ ຸມນີ ູ້ . ຕວົຢ່ າງ: = 2 × 3 2 + 5 2 − 2 3 = 2 × 9 + 25 − 8 = 35 = 3 7 × 3 −3 + 10−3 = 4 × 5 2 + 3 × 4 −1 − 3 −2 = + = × + × − = + = + − = + , = +− = , = = , = 2 2 + 3 2 − 4 2 = + − = − ກດິຈະກາໍທ ີ2 1. ສມົ ມຸດເປີເຊນັກາໍ ໄລຈາກການຂາຍສນິຄາູ້ຊະນດິໜ ່ ງແມ່ນ −20000 ເຊິ ່ ງ ແມ່ນລາຄາຂາຍ. ຈົ ່ງຊອກ ເປີເຊນັກາໍ ໄລເມ ່ອລາຄາຂາຍແມ່ນ 25000 ກບີ. 2. ຈົ ່ງຮອນສໍານວນຕໍ ່ ໄປນີ ູ້ : 1) 2− 2 − 2) 15 3(−9) 3 54(−9)2 ກດິຈະກາໍທ:ິ 3 1. ຈົ ່ງຄ ນ ແລະ ຮອນສໍານວນຕໍ ່ ໄປນີ ູ້ : 1) 12+15 +1 × 3+3 4+5

3 2) 4 2+4−8 2+4−21 × 2+2−15 42+8−12 2. ຈົ ່ງຫານສໍານວນຕໍ ່ ໄປນີ ູ້ : 1) 3+3 + ÷ + + 2) 3− 2+3 ÷ 2−9 2+−6 ຄາໍຕອບກດິຈະກາໍທ:ີ 2 1. ຊອກເປີເຊນັຂອງກາໍໄລເມ ່ອລາຄາຂາຍແມ່ນ 25000 ກບີ ຮ ວູ້່າ = 25000 ກບີ ຈາກສ ດ S S 20000 ເຮາົຈະໄດູ້ 0,2 20% 5 1 25000 5000 25000 20000 25000 20000 S S ດັ ່ງນັນູ້ ເປີເຊນັຂອງກາໍໄລເມ ່ອລາຄາຂາຍແມ່ນ 25000 ກບີ ຈະໄດກູ້ າໍໄລ 20%. 2. ຮອນສໍານວນ 1) b ax b x a ax x a bx ab ax a x 2 2 2) y x y x y x 3 9 5 9 15 9 4 2 3 3 ຄາໍຕອບກດິຈະກາໍທ ີ: 3 1. ຄ ນ ແລະ ຮອນສໍານວນ 1) 3 3 9 4 5 3 1 1 3 4 5 4 5 3 3 1 12 15 x x x x x x x x 2) 7 3 2 5 4 3 1 5 3 7 3 4 2 1 4 8 12 2 15 4 21 4 4 8 2 2 2 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 2. ຫານສໍານວນ 1) 3 3 3 3 x y n m m n x y n m x y m n x y 2) 3 2 3 2 3 3 3 2 3 3 6 9 3 3 2 2 2 x y x x y x y y x x x x y x x y x x y II. ໃຈຄວາມ. 1. ສໍາລບັ ≠ 0 ແລະ ເປັນຈາໍນວນຖວູ້ ນບວກ.

4 1 = ; 0 = − = = 1 = × × × … … × ຕວົຢ່ າງ: 5 = 5 × 5 × 5 = 125 ຕວົຢ່ າງ: 3 − = = ຕວົຢ່ າງ: 8 = 8 ; 200 = 201−1 = 20 20 = 1 ຕວົຢ່ າງ: 5 −1 = 1 5 2. ເລກກາໍລງຂອງ ັ 10. ສໍາລບັ ເປັນຈາໍນວນຖວູ້ ນບວກ. ຕວົຢ່ າງ: = = ເທັ່ ອ − = 1 − ແມນັ່ ຈາໍນວນປ ັ້ນຂອງ −1 = 1 ; −1 ແມນັ່ ຈາໍນວນປ ັ້ນຂອງ 10 = 10 × 10 × … … × 10 = 100 … … 0 ເທັ່ ອ ຕວົ

5 ຕວົຢ່ າງ: 10−3 = 0,001 10−6 = 0,000001 3. ການຄນ ຈາໍນວນໜ ່ ງກບັກາໍລງັຂອງ 10. ການຄ ນຈາໍນວນໜ ່ ງກບັ 101 ; 102 ; 103 ; … … ແມ່ນຍາູ້ຍຈດຸ ໄປທາງເບ ູ້ອງຂວາ 1; 2; 3; … … ຕວົ ເລກ. ຕວົຢ່ າງ: 4,58 × 10 = 45,8 (ຍາູ້ຍຈດຸ ໄປທາງເບ ູ້ອງຂວາ 1 ຕວົ ເລກ 4,58 ເປັນ 45,8) 45,8 × 102 = 458 (ຍາູ້ຍຈດຸ ໄປທາງເບ ູ້ອງຂວາ 2 ຕວົ ເລກ 4,58 ເປັນ 458) 7 × 103 = 7000 (ຍາູ້ຍຈດຸ ໄປທາງເບ ູ້ອງຂວາ 3 ຕວົ ເລກ 7 ເປັນ 7000) ການຄ ນຈາໍນວນໜ ່ ງກບັ 10−1 ; 10−2 ; 10−3 ; … … ແມ່ນຍາູ້ຍຈດຸ ໄປທາງເບ ູ້ອງຊາູ້ຍ 1; 2; 3; … ຕວົ ເລກ. ຕວົຢ່ າງ: 791 × 10−1 = 79,1 (ຍາູ້ຍຈດຸ ໄປທາງເບ ູ້ອງຊາູ້ຍ 1 ຕວເົລກ 791 ເປັນ 79,1) 34,1 × 10−2 = 0,341 (ຍາູ້ຍຈດຸ ໄປທາງເບ ູ້ອງຊາູ້ຍ 2 ຕວົ ເລກ 34,1 ເປັນ 0,341) 2572 × 10−3 = 2,572 (ຍາູ້ຍຈດຸ ໄປທາງເບ ູ້ອງຊາູ້ຍ 3 ຕວເລກ ົ 2572 ເປັນ 2,572) ການຂຽນເລກກາໍ ລງັໃນຮ ບແບບທີ ່ ໃຊໃູ້ນທາງວທິ ະຍາສາດໂດຍຂຽນຈາໍນວນໃດໜ ່ ງຄ ນກບັກາໍ ລງັຂອງ 10. ຕວົຢ່ າງ: 0,00981 = 9,81 × 10−3 (1 ≤ 9,81 < 10) 0,0721 = 7,21 × 10−2 (1 ≤ 7,21 < 10) 235,7 = 2,357 × 102 (1 ≤ 2,357 < 10) 41360 = 4,136 × 104 (1 ≤ 4,136 < 10) ສໍານວນ ແມ່ນບດົ ເລກທີ ່ປະກອບມຈີາໍນວນ ແລະ ຕວົອກັ ສອນທີ ່ ເອີ ູ້ນວ່າຕວົປ່ ຽນຢ່ ປະປົນກນັ . ຕວົຢ່ າງ: 2 + 3 2 ແມ່ນສໍານວນ 3 ແມ່ນຈາໍນວນ ສໍານນວນປົກກະຕິແມ່ນຜນົຫານຂອງສອງສໍານວນພດ ຊະຄະນດິ ຫຼ ແມ່ນສໍານວນທີ ່ຢ່ ໃນຮ ບຮ່າງ ເຊິ ່ ງ ແລະ ເປັນພະຫຸພດົ ≠ 0 , ເອີ ູ້ນວ່າ: ພ ດ ແລະ ແມ່ນ ຈາໍນວນພ ດ. ຄ່າຂອງຕວົປ່ ຽນ ທີ ່ ເຮດັໃຫສູ້ໍານວນປົກກະຕບິໍ ່ກາໍນດົແມ່ນຄ່າຂອງຕວົປ່ ຽນທີ ່ ເຮດັໃຫພູ້ ດເທົ ່າສ ນ, ຖາູ້ວ່າ , ແລະ ເປັນພະຫຸພດົທີ ່ ≠ 0 ແລະ ≠ 0 ແລວູ້ໄດູ້ = ການຄ ນສໍານວນປົກກະຕິແມ່ນຄກ ນັກບັການຄ ນເລກສ່ວນທົ ່ວໄປ. 10− = 1 10= 0,00 … … 1 ຕວົຫ ງ ຈດຸ × 10 ເຊັ່ງ 1 ≤ < 10

6 × = ການຫານສໍານວນປົກກະຕິແມ່ນຄກ ນັກບັການຫານເລກສ່ວນທົ ່ວໄປ. ÷ = ຈົ ່ງຄດິໄລ່ . ກ. 7 5 × 7 3 ຈ. 3 2 × 7 −3 ດ. 8 11 4 11 ຂ. 9 2 × 9 ສ. 2 5 × 105 ຕ. 6 2 6 0 ຄ. 106 × 10−4 × 10−1 ຊ. 3 5 3 2 ຖ. 6 5×6 −5×6 −1 6 2×6−1 ງ. 2 −7 × 2 −5 × 2 ຍ. 2 4 2 5 ທ. 254×5 2×5 −5 25×5 2 1. ຈົ ່ງຄດິໄລ່ສໍານວນລ່ ຸມນີ ູ້ . ກ. 9 × 103 + 3 × 102 + 2 × 101 + 5 × 100 + 4 × 10−1 ຂ. 5 × 102 − 7 × 101 + 4 × 100 + 6 × 10−2 2. ຈົ ່ງຂຽນຈາໍນວນລ່ ຸມນີ ູ້ ເປັນເລກກາໍ ລງັໃນຮ ບແບບ × 10 ເຊິ ່ ງ 1 ≤ < 10. 2009; 93000; 314159 × 10−5 ; 9,7 × 104 ; 0,015 × 105 ; 0,013 × 10−2 3. ຈົ ່ງຄດິໄລ່. ກ. (−5) 4×5 5×5 5 5 ຂ. 6 3×6×6 −4 6 5×6 4 ຄ. (−2) 2×(−2) 5×(−2) 3 (−2) 4×(−2) 5 4. ຈົ ່ງຂຽນຈາໍນວນລ່ ຸມນີ ູ້ ເປັນເລກກາໍ ລງັຂອງ 10. 100 000 ; 1 000 ; 100 ; 1 ; 0,1 ; 0,001 ; 0,0000001 5. ຈົ ່ງຂຽນເລກກາໍ ລງັລ່ ຸມນີ ູ້ ເປັນຈາໍ ນວນທີ ່ບໍ ່ມກີ າໍ ລງັ. 1010 ; 108 ; 107 ; 10−1 ; 10−3 ; 10−9 6. ການກວດເລອ ດຂອງຄນົ ໄຂຜູ້ ໜູ້ ່ ງໄດຂູ້ໍມູ້ ນດັ ່ງນີ ູ້ . - ເມດັ ເລອ ດແດງ 4,8 × 106 ຕໍ ່ ເລອ ດ 13 . - ເມດັ ເລອ ດຂາວ 8 × 103 ຕໍ ່ ເລອ ດ 13 . ຈົ ່ງຄດິໄລ່ຈາໍນວນທງັໝດົຂອງເມດັ ເລອ ດແດງ ແລະ ເມດັ ເລອ ດຂາວຂອງຄນົໄຂຄູ້ນົນີ ູ້ . ຮ ວູ້່າຮ່າງກາຍ ຂອງລາວມເີລອ ດຢ່ 5 × 1063 . 7. ໄລຍະຫ່າງລະຫວ່າງໜ່ ວຍໂລກຫາດວງຈນັ ແມ່ນ 3 × 105. ໃນລະບບົ ສຸລຍິ ະ ດາວທີ ່ ໃຫຍ່ ກວ່າໝ່ ຄ ດາວພະຫດັ , ມເີສັນູ້ ຜ່າໃຈກາງ 140 × 103. ດາວພະຫດັ ສາມາດໝຸນຜ່ານລະ ຫວ່າງໜ່ ວຍໂລກ ແລະ ດວງຈນັໄດູ້ຫຼ ບໍ ່? ຍອູ້ນຫຍງັ? 1. ຈົ ່ງຮອນສໍານວນຕໍ ່ ໄປນີ ູ້ :

7 1) 2−2+ 2 2+−22 2) 6 3+28 2−10 123−42 2. ຈົ ່ງຄ ນສໍານວນຕໍ ່ ໄປນີ ູ້ : 1) 2+3+2 +2 × 1 2+4+3 2) 2+3−10 2−3−10 × 2−2−8 2+2−8 3. ຈົ ່ງຫານສໍານວນຕໍ ່ ໄປນີ ູ້ : 1) + − ÷ 2+2+ 2 2−2 2) 2+5 32− ÷ 2 2+13+15 33− ແກບູ້ດົ ເຝິກຫດັກ່ຽວກບັເລກກາໍລງັ 1. ຄດິໄລ່ . ກ. 7 5 × 7 −3 = 7 5−3 = 7 2 = 49 ຂ. 9 2 × 9 = 9 2+1 = 9 3 = 729 ຄ. 106 × 10−4 × 10−1 = 106−4−1 = 101 = 10 ງ. 2 −7 × 2 −5 × 2 = 2 −7−5+1 = 2 −11 ຈ. 3 2 × 7 −3 = 3 2 7 3 = 9 343 ສ. 2 5 × 105 = (2 × 10) 5 = 205 = 3200000 ຊ. 3 5 3 2 = 3 5−2 = 3 3 = 27 ຍ. 2 4 2 5 = 2 4 2 4×2 = 1 2 = 0,5 ດ. 8 11 4 11 = ( 8 4 ) 11 = 2 11 ຕ. 6 2 6 0 = 36 1 = 36 ຖ. 6 5×6 −5×6 −1 6 2×6−1 = 6 5−5−1 6 2−1 = 6 −1 6 1 = 1 6×6 = 1 36 ທ. 254×5 2×5 −5 25×5 2 = 253 × 5 −5 = (5 2 ) 3 × 5 −5 = 5 6 × 5 −5 = 5 6−5 = 5 2. ຄດິໄລ່ສໍານວນລ່ ຸມນີ ູ້ . ກ. 9 × 103 + 3 × 102 + 2 × 101 + 5 × 100 + 4 × 10−1 = 9(1000) + 3(100) + 2(10) + 5(1) + 4(0,1) = 9000 + 300 + 20 + 5 + 0,4

8 = 9325,4 ຂ. 5 × 102 − 7 × 101 + 4 × 100 + 6 × 10−2 = 5(100) − 7(10) + 4(1) + 6(0,01) = 500 − 70 + 4 + 0,06 = 434,06 3. ຂຽນຈາໍນວນເປັນເລກກາໍ ລງັໃນຮ ບແບບ × 10 ເຊິ ່ ງ 1 ≤ < 10 . 2009 = 2,009 × 103 ; 9,7 × 104 = 9,7 × 104 93000 = 9,3 × 104 ; 0,015 × 105 = 1,5 × 103 314159 × 10−5 = 3,14159 × 100 ; 0,013 × 10−2 = 1,3 × 10−4 4. ຄດິໄລ່ . ກ. (−5) 4×5 5×5 5 5 = 5 4×5 5×5 5 5 = 5 4+5+1−5 = 5 5 = 3125 ຂ. 6 3×6×6 −4 6 5×6 4 = 6 3+1−4 6 9 = 6 0 × 6 −9 = 6 −9 ຄ. (−2) 2×(−2) 5×(−2) 3 (−2) 4×(−2) 5 = (−2) 2+5+3 (−2) 4+5 = (−2) 10 (−2) 9 = (−2) 10−9 = (−2) 1 = −2 5. ຂຽນຈາໍນວນເປັນເລກກາໍ ລງັຂອງ 10. 100 000 = 105 ; 1000 = 103 ; 100 = 102 ; 1 = 100 0,1 = 10−1 ; 0,01 = 10−2 ; 0,0000001 = 10−7 6. ຂຽນເລກກາໍ ລງັເປັນຈາໍນວນທີ ່ ບໍ ່ມເີລກກາໍ ລງັ. 10 10 = 10 000 000 000 ; 108 = 100 000 000 107 = 10 000 000 ; 10−1 = 0,1 10−3 = 0,001 ; 10−9 = 0,000000001 7. ຮ ວູ້່າ: - ເມດັ ເລອ ດແດງ 4,8 × 106 ຕໍ ່ ເລອ ດ 13 - ເມດັ ເລອ ດຂາວ 8 × 103 ຕໍ ່ ເລອ ດ 13 - ໃນຮ່າງກາຍຂອງລາວມເີລອ ດຢ່ 5 × 1063 ຊອກເມດັ ເລອ ດແດງທງັໝດົ = 4,8 × 106 × 5 × 106 = 4,8 × 5 × 106+6 = 24 × 1012 ຊອກເມດັ ເລອ ດຂາວທງັໝດົ = 8 × 103 × 5 × 106 = 8 × 5 × 103+6 = 40 × 109 8. ຮ ວູ້່າ: ໄລຍະຫ່າງລະຫວ່າງໜ່ວຍໂລກເຖງິດວງຈນັ = 3 × 105 = 300 × 103 ເສັນູ້ຜ່າໃຈກາງຂອງດາວພະຫດັ = 140 × 103 ດັ ່ງນັນູ້ ດາວພະຫດັສາມາດໝຸນຜ່ານລະຫວ່າງໜ່ວຍໂລກ ແລະ ດວງຈນັໄດູ້ຍອູ້ນວ່າ ໄລຍະຫ່າງຈາກ ໜ່ວຍໂລກເຖງິດວງຈນັ ຫຼາຍກ່າວເສັນູ້ຜ່າໃຈກາງຂອງດາວພະຫດັ . 300 × 103 > 140 × 103 ບດົແກບູ້ດົ ເຝິກຫດັສາໍນວນ

9 1. ຮອນສໍ ານວນ 1) x y x y x y x y x y x xy y x xy y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2) x x x x x x x x x x x x x x x x 2 5 2 3 1 3 1 5 4 3 1 2 3 14 5 12 4 6 28 10 22 3 2 3 2 2. ຄ ນສໍ ານວນ 1) 3 1 1 3 1 2 1 2 4 3 1 2 3 2 2 2 x x x x x x x x x x x 2) 5 4 5 4 4 2 4 2 5 2 5 2 2 8 2 8 3 10 3 10 22 22 S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S 3. ຫານສໍ ານວນ 1) a b c d a b c d c d c d a b c d a ab b c d a b 2 2 2 2 2 2 2) 2 3 5 2 3 3 1 3 15 3 2 13 15 3 5 2 2 3 2 2 2 2 yy y y y y y y y y y y y y y y y y

10 A M B N D C + E L F G P H J T + + ບດົທ ີ2 ສະເໝຜີນົຄວນຈ ່ ແລະ ຮາກຂັນູ້ສອງ ຈດຸ ປະສງົ - ເພ ່ອເຮດັນກັ ຮຽນຊອກຫາຈດຸ ທີ ່ມບີນັຫາໄດກູ້່ ຽວກບັສະເໜຜີນົຄວນຈ ່ - ເພ ່ອຊອກຫາວທິ ແີກໄູ້ຂບນັຫາກ່ ຽວກບັກດິຈະກາໍ , ເນ ູ້ອໃນບດົຮຽນ ແລະ ບດົ ເຝ ກຫດັ I. ກດິຈະກາໍ 1. ກດິຈະກາໍ1. ກ. ຈົ ່ງຊອກເນ ູ້ອທີ ່ ແຕ່ລະພາກສ່ວນຂອງຮ ບສີ ່ ແຈ ສາກ ຕາມ , ແລະ . ຂ. ຈົ ່ງຊອກຫາເນ ູ້ອທີ ່ຂອງຮ ບສີ ່ ແຈສາກ ເປັນສອງ ວທິ .ີ ຄ. ຈົ ່ງຕ ່ມໃສ່ບ່ອນຈໍ ູ້າເມດັ . ( + ) =…………..+………….. ງ. ຈົ ່ງຊອກເນ ູ້ອທີ ່ ແຕ່ລະພາກສ່ວນຂອງຮ ບສີ ່ ແຈ ສາກຕາມ , , ແລະ . ຈ. ຈົ ່ງຊອກຫາເນ ູ້ອທີ ່ຂອງຮ ບສີ ່ ແຈສາກ ເປັນສອງ ວທິ .ີ ສ. ການຄດິໄລ່ເນ ູ້ອທີ ່ ໃນຂໍ ູ້(ຈ)ຈະຖອນໄດສູ້ ະເໝີຜນົ ແນວໃດ? ວທິ ແີກ.ູ້ I

11 ກ. = ; = ຂ. 1. = + = + 2. = ( + ) ຄ. ( + ) = + ງ. = ; = ; = ; = ຈ. 1. = + + + = + + + 2. = ( + )( + ) ສ. ( + )( + ) = + + + II. ໃຈຄວາມ. 1. ສະເໝຜີນົຄວນຈ ່ . ( + ) 2 = 2 + 2 + 2 ( − ) 2 = 2 − 2 + 2 2 − 2 = ( − )( + ) 3 + 3 = ( + )( 2 − + 2 ) 3 − 3 = ( − )( 2 + + 2 ) ( + ) 3 = 3 + 3 2 + 32 + 3 ( − ) 3 = 3 − 3 2 + 32 − 3 2. ຕວົຢ່ າງການນາໍໃຊ.ູ້ ຈົ ່ງຄດິໄລ່ເລກລ່ ຸມນີ ູ້ : ກ. (2 + 3) 2 = ? (2 + 3) 2 = (2) 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 (2 + 3) 2 = 4 2 + 12 + 9 ຂ. (5 − 2) 2 = ? (5 − 2) 2 = (5) 2 − 2 × 5 × 2 + 2 2 (5 − 2) 2 = 25 2 − 20 + 4 ຄ. 1052 = ? 1052 = (100 + 5) 2 = 1002 + 2 × 100 × 5+5 2 1052 = 10000 + 1000 + 25 1052 = 11025 ງ. 952 = ? 952 = (100 − 5) 2 = 1002 − 2 × 100 × 5 + 5 2 952 = 10000 − 1000 + 25

12 952 = 9025 3. ຜນົຄນ ເທົ ່າສ ນ. ຕວົຢ່ າງ: 1. ( − 3)( + 2) = 0 ໃນນັນູ້ຕອູ້ງແມ່ນ − 3 = 0 ຫຼ + 2 = 0 = 3 ຫຼ = −2 ດັ ່ງນັນູ້, ໃຈຜນົຂອງສມົ ຜນົແມ່ນ −2 ແລະ 3. 2. 3(2 + 5)( − 7) = 0 ໃນນັນູ້ຕອູ້ງແມ່ນ 3 = 0 ຫຼ 2 + 5 = 0 ຫຼ − 7 = 0 = 0 ຫຼ 2 = −5 ຫຼ = 7 = 0 ຫຼ = − 5 2 ຫຼ = 7 ດັ ່ງນັນູ້, ໃຈຜນົຂອງສມົ ຜນົແມ່ນ − 5 2 ; 0 ແລະ 7. III. ບດົ ເຝິກຫດັ 1. ຈົ ່ງຄດິໄລ່ສໍານວນລ່ ຸມນີ ູ້ : = ( − 5) + (5 − ) + 5( − ) = ( − 1)( − 2) + ( − 2)( − 3) = ( − 5)( + 3) − ( + 1)( + 2) 2. ຈົ ່ງຂະຫຍາຍ ແລະ ສບັຊອູ້ນສໍານວນລ່ ຸມນີ ູ້ : ກ. (4 + 1) 2 ຄ. (3 + 5) 2 ຂ. (2 − 7) 2 ງ. (5 − 2) 2 3. ຈົ ່ງນາໍໃຊສູ້ ະເໝຜີນົຄວນຈ ່ ເພ ່ອຄດິໄລ່ເລກລ່ ຸມນີ ູ້ : ກ. 1032 = ? ຂ. 942 = ? ຄ. 1062 = ? ງ. 852 = ? 4. ສໍາລບັທຸກໆຄ່າຂອງ ແລະ ຈົ ່ງພສິ ດ. ກ. 4 = ( + ) 2 − ( − ) 2 ຖາັ້ × = 0 ໃນນນ ັ້ = 0 ຫ = 0

13 ຂ. ( + ) 2 + ( − ) 2 = 2( 2 + 2 ) 5. ຖາູ້ = + 1 ຈົ ່ງພສິ ດວ່າ 2 = 2 + ( + ) 6. ຈົ ່ງພສິ ດວ່າ 3 2 + 5 − 4 = 3 [( + 5 6 ) 2 − 73 36] ສໍາລບັທຸກໆຄ່າຂອງ . 7. ແກບູ້ດົ ເຝິກຫດັ 1. ຈົ ່ງຄດິໄລ່ສໍານວນລ່ ຸມນີ ູ້ : = ( − 5) + (5 − ) + 5( − ) = − 5 + 5 − + 5 − 5 = 0 = ( − 1)( − 2) + ( − 2)( − 3) = 2 − 2 − + 2 + 2 − 3 − 2 + 6 = 2 2 − 8 + 8 = 2( 2 − 4 + 4) = 2( − 2) 2 = ( − 5)( + 3) − ( + 1)( + 2) = 2 + 3 − 5 − 15 − 2 − 2 − − 2 = −5 − 17 = −(5 + 17) 2. ຈົ ່ງຂະຫຍາຍ ແລະ ສບັຊອູ້ນສໍາລ່ ຸມນີ ູ້ : ກ. (4 + 1) 2 = (4) 2 + 2 × 4 × 1 + 1 2 (4 + 1) 2 = 162 + 8 + 1 ຂ. (2 − 7) 2 = (2) 2 − 2 × 2 × 7 + 7 2 (2 − 7) 2 = 4 2 − 28 + 49 ຄ. (3 + 5) 2 = (3) 2 + 2 × 3 × 5 + 5 2 (3 + 5) 2 = 9 2 + 30 + 25 ງ. (5 − 2) 2 = (5) 2 − 2 × 5 × 2 + 2 2 (5 − 2) 2 = 25 2 − 20 + 4 3. ຈົ ່ງນາໍໃຊສູ້ ະເໝຜີນົຄວນຈ ່ ເພ ່ອຄດິໄລ່ເລກລ່ ຸມນີ ູ້ : ກ. 1032 = (100 + 3) 2 = 1002 + 2 × 100 × 3 + 3 2 1032 = 10000 + 600 + 9 1032 = 10609

14 ຂ. 942 = (100 − 6) 2 = 1002 − 2 × 100 × 6 + 6 2 942 = 10000 − 1200 + 36 942 = 8836 ຄ. 1062 = (100 + 6) 2 = 1002 + 2 × 100 × 6 + 6 2 1062 = 10000 + 1200 + 36 1062 = 11236 ງ. 852 = (90 − 5) 2 = 902 − 2 × 90 × 5 + 5 2 852 = 8100 − 900 + 25 852 = 7225 4. ສໍາລບັທຸກໆຄ່າຂອງ ແລະ ຈົ ່ງພສິ ດ. ກ. 4 = ( + ) 2 − ( − ) 2 ເຮາົມີ( + ) 2 − ( − ) 2 = 2 + 2 + 2 − ( 2 − 2 + 2 ) = 2 + 2 + 2 − 2 + 2 − 2 = 4 ດັ ່ງນັນູ້ 4 = ( + ) 2 − ( − ) 2 ຂ. ( + ) 2 + ( − ) 2 = 2( 2 + 2 ) ເຮາົມ ີ( + ) 2 + ( − ) 2 = 2 + 2 + 2 + 2 − 2 + 2 = 2 2 + 2 2 = 2( 2 + 2 ) ດັ ່ງນັນູ້ ( + ) 2 + ( − ) 2 = 2( 2 + 2 ) 5. ຖາູ້ = + 1 ຈົ ່ງພສິ ດວ່າ 2 = 2 + ( + ) ເຮາົມີ 2 = ( + 1) 2 = 2 + 2 + 1 = 2 + + ( + 1) = 2 + + ດັ ່ງນັນູ້ 2 = 2 + ( + ) 6. ຈົ ່ງພສິ ດວ່າ 3 2 + 5 − 4 = 3 [( + 5 6 ) 2 − 73 36] ສໍາລບັທຸກໆຄ່າຂອງ .

15 ຄດິໄລ່ພາກສ່ວນເບ ູ້ອງຂວາຂອງສະເໝຜີນົຈະເທົ ່າກບັ ເບ ູ້ອງຊາູ້ຍ ຫຼ ບໍ ່ ? 3 [( + 5 6 ) 2 − 73 36] = 3 [ 2 + 10 6 + 25 36 − 73 36] = 3 ( 2 + 5 3 − 48 36) = 2 + 5 + 144 36 = 2 + 5 + 4 ດັ ່ງນັນູ້ 2 + 5 + 4 = 3 [( + 5 6 ) 2 − 73 36] ຮາກຂັນູ້ສອງ ແລະ ຂັນູ້ n 2. ຮາກຂັນູ້ສອງ ຈດຸ ປະສງົ - ເພ ່ອເຮດັນກັ ຮຽນຊອກຫາຈດຸ ທີ ່ມບີນັຫາໄດກູ້່ ຽວກບັຮາກຂັນູ້ສອງ - ເພ ່ອຊອກຫາວທິ ແີກໄູ້ຂບນັຫາກ່ ຽວກບັກດິຈະກາໍ , ເນ ູ້ອໃນບດົຮຽນ ແລະ ບດົ ເຝ ກຫດັ I. ກດິຈະກາໍ 1. ກດິຈະກາໍ 1 ຈົ ່ງຂຽນຕ ່ມໃສ່ບ່ອນຈໍ ູ້າເມດັ . ຮ ບຈະຕຸລດັໜ ່ ງມເີນ ູ້ອທີ ່ ເທົ ່າກບັ 2 ຈົ ່ງຄດິໄລ່ລວງຍາວ ຂອງຂາູ້ງ ? ຮ ວູ້່າ 2 = × ດັ ່ງນັນູ້, ຂາູ້ງຂອງຮ ບຈະຕຸລດັແມ່ນ …… ຮ ບຈະຕຸລດັໜ ່ ງມເີນ ູ້ອທີ ່ ເທົ ່າກບັ 812 . ຈົ ່ງຄດິໄລ່ລວງ ຍາວ ຂອງຂາູ້ງ ? ຮ ວູ້່າ 812 = 9 × 9 ດັ ່ງນັນູ້, ຂາູ້ງຂອງຮ ບ ຈະຕຸລດັ ແມ່ນ …… ຮ ບຈະຕຸລດັໜ ່ ງມເີນ ູ້ອທີ ່ ເທົ ່າກບັ 302 . ຈົ ່ງຄດິໄລ່ລວງ ຍາວ ຂອງຂາູ້ງ ? ຮ ວູ້່າ: ບໍ ່ມກີ າໍ ລງັສອງຂອງຈາໍນວນຖວູ້ ນໃດເທົ ່າກບັ 30. ເພ ່ອຄດິໄລ່ລວງຍາວຂອງຂາູ້ງຂອງຮ ບຈະຕຸລດັຈ ່ ງໃຊູ້√ (ຮາກຂັນູ້ສອງ) ເຂົ ູ້າຊ່ວຍ, 30 = √30 × √30 ; "√30 ອ່ານວ່າ: ຮາກຂັນູ້ສອງຂອງ 30.

16 5 52 25 235 43 × 3 = 129 465 × 5 = 2325 ສະເໝຜີນົກາໍ ລງັສອງຂອງຈາໍນວນໃດໜ ່ ງເຊັ ່ນ: 2 = × ເຮາົໃຫນູ້ຍິາມວ່າ ແມ່ນຮາກຂັນູ້ສອງຂອງ 2 ຂຽນເປັນສນັຍາລກັ ດັ ່ງນິ ູ້√ 2 = , ( ≥ 0) 2. ກດິຈະກາໍ 2 ກ. ຈົ ່ງປຽບທຽບ √ × √ ກບັ √ ຖາູ້ວ່າ = 9 ; = 4 ແລະ = 16 ; = 25 ຈົ ່ງຂຽນຕ ່ມໃສ່ບ່ອນຈໍ ູ້າເມດັ : ທຸກໆຈາໍນວນບວກ ແລະ ເຮາົມີ√ × √ =..…√…… ຂ. ຈົ ່ງປຽບທຽບ √ ກບັ √ √ ຖາູ້ວ່າ = 9 ; = 49 ແລະ = 81 ; = 4 ຈົ ່ງຂຽນຕ ່ມໃສ່ບ່ອນຈໍ ູ້າເມດັ : ທຸກໆຈາໍນວນບວກ ແລະ ເຊິ ່ ງ ≠ 0 ເຮາົມີ√ =.. √ √ .. ວທິ ແີກ ູ້ ກ. = 9 ; = 4 ເຮາົມີ√9 × √4 = √3 2 × √2 2 = 3 × 2 = 6 ແລະ √9 × 4 = √36 = √6 2 = 6 = 16 ; = 25 ເຮາົມີ√16 × √25 = √4 2 × √5 2 = 4 × 5 = 20 ແລະ √16 × 25 = √400 = √202 = 20 ຂ. = 9 ; = 49 ເຮາົມີ√ 9 4 = √( 3 2 ) 2 = 3 2 ແລະ √9 √4 = √3 2 √2 2 = 3 2 3. ກດິຈະກາໍ 3 ຈົ ່ງສງັເກດຕວົຢ່ າງເຕກັ ນກິການຖອນຮາກຂັນູ້ສອງ ແລວູ້ຖອນຮາກຂັນູ້ສອງຂອງເລກລ່ ຸມນີ ູ້ 625 ; 15129 ຕວົຢ່ າງ: ການຖອນຮາກຂັນູ້ສອງຂອງ 55225 4 2 × 2 = 4 1 52 1 29 23 25 23 25

17 ເຮາົໄດູ້√52255 = 235 ວທິ ແີກູ້ ເຮາົໄດູ້√625 = 25 ແລະ √15129 = 123 4. ກດິຈະກາໍ4 ກ. ຈົ ່ງຕ ່ມຈາໍນວນທີ ່ ເໝາະສມົ ໃສ່ຕາຕະລາງລ່ ຸມນີ ູ້ −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 2 ຈົ ່ງສງັເກດກາໍ ລງັສອງຂອງຈາໍນວນກງົກນັຂາູ້ມ. ກາໍ ລງັສອງຂອງຈາໍນວນລບົ ເປັນຈາໍນວນໃດ? ຈົ ່ງຍກົ ຕວົຢ່ າງມາສອງຕວົຢ່ າງ. ຂ. ຈົ ່ງຂຽນຕ ່ມໃສ່ບ່ອນຈໍ ູ້າເມດັ . 5 2 =….…. ; 7 2 =….…. (−5) 2 =….…. ; (−7) 2 =….…. ຄາໍຕອບ: ຂໍ ູ້ກ. ສງັເກດເຫນັວ່າ: ກາໍ ລງັສອງຂອງຈາໍນວນກງົກນັຂາູ້ມມຄີ່າເທົ ່າກນັ . ກາໍ ລງັສອງຂອງຂອງຈາໍນວນລບົແມ່ນມຄີ່າເປັນຄ່າບວກ. ຕວົຢ່ າງ: (−8) 2 = 64 ; (−9) 2 = 81 (ເຮາົອາດຍກົ ຕວົຢ່ າງເພີ ່ມອກີກໍ ່ ໄດ)ູ້ 5. ກດິຈະກາໍ 5 ກ. ຈົ ່ງແຍກສໍານວນລ່ ຸມນີ ູ້ ເປັນສ່ວນຄ ນ ແລວູ້ຂຽນໃສ່ບ່ອນຈໍ ູ້າເມດັ . 2 − 2 =….( − )( + )…. 0 6 25 25 4 2 × 2 = 4 2 25 25 × 5 = 225 2 25 0 1 51 29 123 1 1 × 1 = 1 0 51 22 × 2 = 44 44 243 × 3 = 729 7 29 7 29 0

18 2 − 49 =….( − )( + )…. ຂ. ຈົ ່ງຂຽນຕ ່ມໃສ່ບ່ອນຈໍ ູ້າເມດັ . ຖາູ້ວ່າ: = 0 ແມ່ນ =.... ຫຼ =.... ຖາູ້ວ່າ: 2 = 0 ແມ່ນ =.... ຖາູ້ວ່າ: ≥ 0 ແມ່ນ (√) 2 =.... 5 =…(√) … ; 7 =…(√) … 6. ກດິຈະກາໍ 6 ຈົ ່ງສງັເກດຄໍາຕອບໃນກດິຈະກາໍ 4 ແລະ 5 ຂາູ້ງເທງິແລວູ້ ຂຽນໃສ່ບ່ອນຈໍ ູ້າເມດັໃນການແກູ້ສມົ ຜນົລ່ ຸມນີ ູ້ . 1) ຢາກແກສູ້ມົ ຜນົ 2 = 16 ປະຕບິດັດັ ່ງນີ ູ້ : 2 = 16 ຫຼ 2 − 16 = 0 2 − (....) 2 = 0 ( −....)( +....) = 0 ຈະໄດ ູ້ −....= 0 ຫຼ +....= 0 ດັ ່ງນັນູ້ =.... ຫຼ =..−.. ສມົ ຜນົນີມູ້ ສີອງໃຈຜນົຄ .... ແລະ ..−.. 2) ຢາກແກສູ້ມົ ຜນົ 2 = 5 ປະຕບິດັດັ ່ງນີ ູ້ : 2 = 5 ຫຼ 2 − 5 = 0 2 − (√. . . . ) 2 = 0 ( −...√…)( +…√…) = 0 ຈະໄດູ້ −…√…= 0 ຫຼ +…√…= 0 ດັ ່ງນັນູ້ =…√… ຫຼ =…−√… ສມົ ຜນົນີມູ້ ສີອງໃຈຜນົຄ …√… ແລະ …−√… 3) ຢາກແກສູ້ມົ ຜນົ 2 = −3 ປະຕບິດັດັ ່ງນີ ູ້ . ກາໍ ລງັສອງຂອງຈາໍນວນໃດໜ ່ ງຕອູ້ງເປັນຄ່າ..ບວກ..ເລ ູ້ອຍໆ. ດັ ່ງນັນູ້ສມົ ຜນົນີ ູ້ບໍ ່ມໃີຈຜນົ II. ໃຈຄວາມ 1. ຮາກຂັນູ້ສອງ ນຍິາມ: ຮາກຂັນູ້ສອງຂອງຈາໍນວນບວກ ແມ່ນຈາໍນວນບວກໜ ່ ງ ເມ ່ອຂ ູ້ນກາໍ ລງັສອງແລວູ້ຈະ ເທົ ່າກບັ. ສນັຍາລກັ ດວູ້ຍ √ ; (√) 2 = √ 2 = ຕວົຢ່ າງ: √9 = √3 2 = 3

19 √0,81 = √(0,9) 2 = 0,9 ໝາຍເຫດ: √ ຈະບໍ ່ມຄີວາມໝາຍຖາູ້ < 0 ຕວົຢ່ າງ: √−5 ບໍ ່ມຄີວາມໝາຍເພາະບໍ ່ມຈີາໍນວນໃດເມ ່ອຂ ູ້ນກາໍ ລງັສອງແລວູ້ເທົ ່າກບັ −5. 2. ຄຸນລກັສະນະ ຖາູ້ ແລະ ເປັນຈາໍນວນບວກເຮາົມ: ີ√ × √ = √ ຕວົຢ່ າງ: √2 × √8 = √2 × 8 = √16 = 4 ຖາູ້ ແລະ ເປັນຈາໍນວນບວກ ເຊິ ່ ງ ≠ 0 ເຮາົມ: ີ√ = √ √ ຕວົຢ່ າງ: √ 16 25 = √16 √25 = 4 5 ໝາຍເຫດ: √ + √ ≠ √ + ຕວົຢ່ າງ: √9 + √16 = 3 + 4 = 7 ແຕ່ວ່າ √9 + 16 = √25 = 5 III. ບດົ ເຝິກຫດັ 1. ຈົ ່ງຂຽນຈາໍນວນທີ ່ ເໝາະສມົ ໃສ່ຕາຕະລາງລ່ ຸມນີ ູ້ 16 3 36 3 4 1 0,25 1,44 √ 4 5 √3 3 36 3 4 2. ຈົ ່ງຄດິໄລ່ເລກຮາກຕໍ ່ ໄປນີ ູ້ √28 ; √50 ; √405 ; √500 ; √8 ; √18 3. ຈົ ່ງຄດິໄລ່ ກ. √8 + √2 ; √12 + √3 ; √16 + √25 ; √18 + √8 ຂ. √8 × √2 ; √12 × √3 ; √16 × √25 4. ຈົ ່ງຄດິໄລ່ ກ. 5√20 + 7√80 − 4√45 ຂ. 2√8 + 9√50 + √18 ຄ. 15√28+2√7 2√112 5. ຈົ ່ງຄດັຈອູ້ນຮາກອອກຈາກພ ດ 3 √3 ; 15 √5 ; √20 + 5 − √5 √5 − 5 + √3 × √2 √6

20 6. ຈົ ່ງແກສູ້ມົ ຜນົ 2 − 9 = 0 ; 2 = 0 ; 4 2 − 16 = 0 7. ເພີ ່ນໃຫູ້() = 4 + 3 + 2 + + 1 ຈົ ່ງຄດິໄລ່ () ເມ ່ອ: ກ. = 0 ; ຂ. = 1 ; ຄ. = −2 ບດົແກບູ້ດົ ເຝິກຫດັ 1. ຄດິໄລ່ເລກຮາກ √28 = √4 × 7 = 2√7 √50 = √25 × 2 = 5√2 √405 = √81 × 5 = 9√5 √500 = √100 × 5 = 10√5 √8 = √4 × 2 = 2√2 √18 = √9 × 2 = 3√2 2. ຄດິໄລ່ ກ. √8 + √2 = 2√2 + √2 = 3√2 √12 + √3 = 2√3 + √3 = 3√3 √16 + √25 = 4 + 5 = 9 √18 + √8 = 3√2 + 2√2 = 5√2 ຂ. √8 × √2 = √16 = 4 √12 × √3 = √36 = 6 √16 × √25 = √400 = 20 3. ຄດິໄລ່ ກ. 5√20 + 7√80 − 4√45 = 5 × 2√5 + 7 × 4√5 − 4 × 3√5 = 10√5 + 28√5 − 12√5 = 26√5 16 25 3 9 36 1296 3 4 9 16 1 0,25 1,44 √ 4 5 √3 3 6 36 √3 2 3 4 1 0,5 1,2

21 ຂ. 2√8 + 9√50 + √18 = 4√2 + 45√2 + 3√2 = 52√2 ຄ. 15√18+2√7 2√112 = 30√7+2√7 8√7 = 32√7 8√7 = 4 4. ຄດັຈອູ້ນຮາກອອກຈາກພ ດ 3 √3 = 3√3 √3 × √3 = 3√3 3 = √3 15 √5 = 15√5 √5 × √5 = 15√5 5 = 3√5 √20 + 5 − √5 √5 − 5 + √3 × √2 √6 = (√25 − √5)(√5 + 5) (√5 − 5)(√5 + 5) + √6 √6 = (5 − √5)(√5 + 5) (√5) 2 − 5 2 + 1 = 5 2 − (√5) 2 5 − 25 + 1 = 25 − 5 −20 + 1 = − 20 20 + 1 = −1 + 1 = 0 5. ແກສູ້ມົ ຜນົ 2 − 9 = 0 2 = 0 4 2 − 16 = 0 2 = 9 = ±√0 4 2 = 16 = ±√9 = 0 2 = 4 = ±3 = ±√4 = ±2 ສມົ ຜນົມໃີຈຜນົ ສມົ ຜນົມໃີຈຜນົ ສມົ ຜນົມໃີຈຜນົ ແມ່ນ −3 ແລະ 3 ແມ່ນ 0 ແມ່ນ −2 ແລະ 2 6. ໃຫູ້() = 4 + 3 + 2 + + 1. ຄດິໄລ່ () = ? ເມ ່ອ ກ. = 0 ເຮາົມີ(0) = 0 4 + 0 3 + 0 2 + 0 + 1 = 1

22 ຂ. = 1 ເຮາົມີ(1) = 1 4 + 1 3 + 1 2 + 1 + 1 = 5 ຄ. = −2 ເຮາົມີ(−2) = (−2) 4 + (−2) 3 + (−2) 2 + (−2) + 1 = 16 − 8 + 4 − 2 + 1 (−2) = 11 3. ຮາກຂັນູ້ n I. ຈດຸ ປະສງົ ເພ ່ອໃຫນູ້ກັ ຮຽນສາມາດ: ປ່ ຽນເລຫຮາກຂັນູ້ n ເປັນເລກກາໍ ລງັ ແລະ ປີ ູ້ນຄນ . ຖອນຮາກຂັນູ້ສອງ. ຄດິໄລ່ ຫຼ ຄດັຈອູ້ນໝວດຄໍານວນທີ ່ທີ ່ ເລກຮາກ ແລະ ສາມາດຄດັຮາກອອກຈາກພ ດ. II. ເນ ູ້ອໃນຕົນູ້ຕ ໍ ໃຫູ້n ເປັນຈໍານວນຖວູ້ ນບວກ, y ຈະເອີ ູ້ນວ່າ: ຮາກຂັນູ້ n ຂອງຈໍານວນຈງິ x ເມ ່ອ y x n ແລະ ຂຽນໃນ ຮ ບແບບ n n y x x 1 ກລໍ ະນີn=2 ຮາກຂັນູ້ສອງຂຽນດວູ້ຍ 2 1 x x ການບວກ, ການລບົ , ການຄ ນ, ການຫານ ແລະ ການຄດັຮາກອອກຈາກພ ດ.. III. ກດິຈະກາໍການຮຽນ-ການສອນ ກດິຈະກາໍ ຈົ ່ງຄດິໄລ່ 3 3 ? 2 27 ? 1 9 ? 3 2 2 1 IV. ໃຈຄວາມ 1. ນຍິາມຮາກຂັນູ້ n ໃຫູ້n ເປັນຈາໍນວນຖວູ້ ນບວກ. y ເອີ ູ້ນວ່າຮາກຂັນູ້ n ຂອງຈາໍນວນຈງິ x ເມ ່ອ y x n ແລະ ຂຽນໃນຮ ບ n n y x x 1 ກລໍ ະນີn 2, x 0 ຮາກຂັນູ້ສອງຂຽນ 2 1 x x .

23 2. ຄຸນລກັ ສະນະຮາກຂັນູ້ n 1) n n n xy x y ກລໍ ະນີx 0 , y 0. 2) n n n y x y x 3) n m n m m n x x x 4) n np p x x 5) n p np x x 6) n m kn km kn km x x x 7) x x n k k x x n k k n n n n , 2 1 , 2 V. ບດົ ເຝິກຫດັ 1. ຈົ ່ງຄດິໄລ່ 4 3 3 3 81 16 5 64 10 343 64 4 75 9 3 32 8 216 2 81 7 64 1 36 6 121

24 2. ຈົ ່ງຄດິໄລ່ການບວກ-ການລບົ ເລກຮາກລ່ ຸມນີ ູ້ : 5 128 4 75 162 4 3 32 2 50 8 18 8 8 1 3 2 20 125 45 1 4 3 2 3 5 3 3. ຈົ ່ງຄດິໄລ່ການຄ ນເລກຮາກລ່ ຸມນີ ູ້ : 5 5 2 5 2 4 3 2 3 2 3 5 3 2 2 6 3 3 5 2 1 3 3 8 2 2 2 4. ຈົ ່ງຄດິໄລ່ ຫຼ ຮອນ. 3 3 3 3 3 6 3 2 3 3 4 3 2 2 6 1 2 1 2 4 3 4 3 3 2 2 3 3 2 6 5 1 4 3 2 1 2 1 2 3 n n x x y x y a a x x m m

25 5. ຈົ ່ງຄໍານວນ 2 2 2 2 ... VI. ບດົແກກູ້ ດິຈະກາໍ ແລະ ບດົ ເຝິກຫດັ. ແກກູ້ ດິຈະກາໍ 3 3 3 2 27 3 3 3 9 1 9 3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2 2 2 1 2 2 1 ແກບູ້ດົ ເຝິກຫດັ 1. ຈົ ່ງຄດິໄລ່ 4 75 25 3 5 3 5 3 3 32 16 2 4 2 4 2 2 81 9 9 1 36 6 6 2 2 2 2 5 64 ບໍ ່ມີ 3 2 3 2 3 2 81 16 10 7 4 7 4 7 4 343 64 9 8 216 6 6 7 64 4 4 6 121 11 11 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2. ຈົ ່ງຄດິໄລ່ການບວກ-ການລບົ ເລກຮາກລ່ ຸມນີ ູ້ :

26 5 128 4 75 162 8 2 20 3 9 2 20 3 2 4 3 32 2 50 8 18 12 2 10 2 24 2 2 2 2 2 2 8 2 9 2 4 2 2 2 4 2 4 2 2 2 8 1 8 8 1 3 2 20 125 45 2 5 5 5 3 5 4 5 1 4 3 2 3 5 3 7 3 2 3. ຈົ ່ງຄດິໄລ່ການຄ ນເລກຮາກລ່ ຸມນີ ູ້ : 2 2 63 3 5 2 6 18 10 12 18 2 20 3 1 3 3 8 2 2 3 24 6 6 6 6 6 6 12 6 3 2 3 5 3 10 6 15 3 5 5 2 5 2 5 2 5 2 3 4 3 2 3 2 3 2 2 3 2 6 2 5 2 6 2 2 2 2 2 4. ຈົ ່ງຄດິໄລ່ ຫຼ ຮອນ. 1 8 7 1 8 7 3 1 6 7 3 1 3 1 2 3 3 1 3 1 2 3 3 1 2 1 3 1 3 3 3 2 3 2 3 3 3 6 3 3 3 3 3 3 3 2 3 2 2 2 4 3 3 4 2 3 4 3 2 3 4 2 3 2 3 3 2 3 3 4 3 2 3 1 3 2 1 2 6 1 2 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 4 3 4 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 3 3 2 6 5 1 1 4 3 3 3 3 3 4 1 2 1 2 9 12 4 1 2 3 4 12 9 n n n n n n x x y x x y x x y x y x y x y x y x y x y x y x y a a a a a a a a a a a x x x x x m m m m m m 5. ຈົ ່ງຄໍານວນ 2 2 2 2 ...

27 ວາງ A 2 2 2 2 ... ໄດູ້ 1 2 0 2 0 2 2 2 2 A A A A A A A A A1 0 A 1 ບໍ ່ ເໝາະສມົ A 2 0 A 2 ດັ ່ງນັນູ້ 2 2 2 2 ... 2

28 ′ ບດົທ ີ3 ເລຂາແຜນພຽງ 1.ມມ ໃນຂອງຮ ບສາມແຈ ແລະ ຮ ບສີ ່ ແຈຂາູ້ງຂະໜານ ຈດຸ ປະສງົ - ເພ ່ອເຮດັນກັ ຮຽນຊອກຫາຈດຸ ທີ ່ມບີນັຫາໄດກູ້່ ຽວກບັມ ນຂອງຮ ບສາມແຈ ແລະ ຮ ບສີ ່ ແຈຂາູ້ງຂະໜານ - ເພ ່ອຊອກຫາວທິ ແີກໄູ້ຂບນັຫາກ່ ຽວກບັກດິຈະກາໍ , ເນ ູ້ອໃນບດົຮຽນ ແລະ ບດົ ເຝ ກຫດັ I. ກດິຈະກາໍ 1. ກດິຈະກາໍ 1 ຈົ ່ງຕ ່ມໃສ່ບ່ອນຈໍ ູ້າເມດັ . 1) ຜ່ານຈອມ A ຂອງຮ ບສາມແຈ ABC ເພີ ່ນຂດີເສັນູ້ຊ ່ () ໃຫຂູ້ ະໜານກບັ ເສັນູ້ຊ ່ (BC) ເພິ ່ນໄດມູ້ ມ ̂AB =…̂…ຍອູ້ນ…ເປັນມມ ສະຫຼບັໃນ… ມ ມ ̂AC =…̂…ຍອູ້ນ…ເປັນມມ ສະຫຼບັໃນ… ແຕ່ວ່າມ ມ ̂AB + ̂AC + ̂AB = 180 ° ເພິ ່ນໄດູ້ABC ̂ + BAC ̂ + ACB̂ =…°… 2) ຖາູ້ ABC ເປັນຮ ບສາມແຈສາກຢ່ A ເຮາົຈະໄດຄູ້່າວດັແທກຂອງມ ມ ̂ =…°… ດັ ່ງນັນູ້ມ ມ ABC ̂ + ACB̂ =… °… 3) ອງີໃສ່ຮ ບຂາູ້ງເທງິຈົ ່ງໝາຍເມດັ ′ ເຄິ ່ ງຄກ ບັ ເມດັ ທຽບໃສ່ເມດັ ເຄິ ່ ງກາງ ຂອງຂາູ້ງ [] ເຮາົໄດຮູ້ ບ ′ ເປັນຮ ບ…ສີ ່ແຈຂາູ້ງຂະໜານ…ຍອູ້ນ…( ′ )//() ແລະ ()//( ′)…ສງັເກດເຫນັວ່າ ມ ມ ̂ =…̂′… ແລະ ມ ມ BAB ̂′ = ⋯ ̂′… ຍອູ້ນ…ມມ ເຊິ ່ໜາູ້ກນັເທົ ່າກນັ… ສະຫຸຼບໄດວູ້່າ: ຮ ບສີ ່ ແຈຂາູ້ງຂະໜານ ′, ສອງມ ມເຊິ ່ ງໜາູ້ກນັມຄີ່າວດັແທກເທົ ່າກນັ . ວທິ ແີຕມູ້ 3)

29 A C B A B C A B D C II. ໃຈຄວາມ 1. ມມ ໃນຂອງຮ ບສາມແຈ ຄຸນລກັ ສະນະປີ ູ້ນຄນ : ຮ ບສາມແຈທີ ່ມຄີ່າວດັແທກຜນົບວກຂອງສອງມ ມໃນເທົ ່າ 90°, ຮ ບສາມແຈນັນູ້ເປັນຮ ບ ສາມແຈ ສາກ. 2. ມມ ໃນຂອງຮ ບສີ ່ແຈຂາູ້ງຂະໜານ ຄນຸ ລກ ສະນະ ຜນົບວກສາມມມູ ໃນຂອງຮບູ ສາມແຈໜັ່ ງມຄ າັ່ ວດ ແທກ ເທັ່ົາກບ 180° ̂ + ̂ + ̂ = 180° ໃນຮບູ ສາມແຈສາກໜັ່ ງ, ຜນົບວກຂອງສອງມມູ ແຫ ມມຄ າັ່ ວດ ແທກເທັ່ົາ 90° ̂ + ̂ = 90° ຄຸນລກັ ສະນະ - ໃນຮ ບສີ ່ ແຈຂາູ້ງຂະໜານ, ສອງມ ມເຊິ ່ ງໜາູ້ມີ ຄ່າວດັແທກເທົ ່າກນັ - ສອງມ ມຖດັກນັຄບົພຽງ. ຄນຸ ລກ ສະນະປ ັ້ນຄ ນ ຮບູ ສັ່ແ ຈທັ່ ມສ ອງມມູ ເຊັ່ງ ໜາັ້ເທັ່ົາກນ ຮບູ ສັ່ແ ຈນນ ັ້ເປ ນຮບູ ສັ່ແ ຈຂາັ້ງຂະໜານ.

30 A B D D A C 2.ມມ ແນບວງົມນົ ແລະ ມມ ໃຈກາງ ຈດຸ ປະສງົ - ເພ ່ອເຮດັນກັ ຮຽນຊອກຫາຈດຸ ທີ ່ມບີນັຫາໄດກູ້່ ຽວກບັມ ມແນບໃນວງົມນົ ແລະ ມ ມໃຈກາງ - ເພ ່ອຊອກຫາວທິ ແີກໄູ້ຂບນັຫາກ່ ຽວກບັກດິຈະກາໍ , ເນ ູ້ອໃນບດົຮຽນ ແລະ ບດົ ເຝ ກຫດັ I. ກດິຈະກາໍ 1. ກດິຈະກາໍ1 : ຈົ ່ງອ່ານຂໍຄູ້ ວາມແລວູ້ສງັເກດມ ມແນບວງົມນົ ແລະ ມ ມໃຈກາງຂອງວງົມນົ . ມ ມໃນວງົມນົໜ ່ ງມໃີຈກາງ ເພິ ່ນເວົ ູ້າວ່າ: - ມ ມແນບວງົມນົ ແມ່ນມ ມໜ ່ ງທີ ່ປະກອບດວູ້ຍສອງເສັນູ້ເນັ ່ງທ່ອນກົ ່ງທີ ່ອອກຈາກຈອມດຽວກນັ ຂອງມ ມນັນູ້ ແລະ ມສີອງຊະນດິຄ: ມຸມແນບເຄິ ່ ງວງົມນົ ແລະ ມຸມແນບທີ ່ກວມທ່ອນກົ ່ງຂອງ ວງົມນົ - ມຸມໃຈກາງຂອງວງົມນົ ແມ່ນມຸມທີ ່ມຈີອມຢ່ ຝຈກາງ ຂອງວງົມນົນັນູ້. ຕວົຢ່ າງ: ໃຫວູ້ງົມນົໜ ່ ງທີ ່ມໃີຈກາງ ດັ ່ງຮ ບລ່ ຸມນີ ູ້ : ຮ ບທີ1 ຮ ບທ2ີ 1) ຈາກຮ ບທ1ີ ເຮາົໄດ:ູ້ - ມ ມ ADB ̂ ແມ່ນມ ມແນບວງົມນົ ແລະ ແມ່ນມຸມກວມທ່ອນກົ ່ງ AB. - ມຸມ AOB ̂ ແມ່ນມຸມໃຈກາງຂອງວງົມນົ ແລະ ແມ່ນມຸມກວມທ່ອນກົ ່ງ AB. - ທ່ອນກົ ່ງ AB ແມ່ນທ່ອນກົ ່ງທີ ່ກວມເອາົມຸມໃຈກາງ AOB ̂ ແລະ ມຸມແນບວງົມນົ ADB ̂. 2) ຈາກຮ ບທ2ີ ເຮາົໄດ:ູ້ - ມຸມ ̂ ແມ່ນມຸມແນບເຄິ ່ ງວງົມນົ ແລະ ແມ່ນມຸມກວມທ່ອນກົ ່ງ . - ທ່ອນກົ ່ງ ແມ່ນທ່ອນກົ ່ງທີ ່ກວມເອາົມຸມໃຈກາງ ̂ ແລະ ມຸມແນບເຄິ ່ ງວງົມນົ ADC ̂. 2. ກດິຈະກາໍ 2 1) ຈົ ່ງແຕມູ້ ວງົມນົທີ ່ມລີດັສະໝຕີ່າງກນັສາມວງົມນົ , ມຸມໃຈກາງ ແລະ ມຸມແນບທີ ່ກວມທ່ອນກງົ ດຽວກນັດັ ່ງຮ ບ ລ່ ຸມນີ ູ້ໃສ່ເຈຍູ້. O O

31 A A A B B B C C C B A C M N ຮ ບທ1ີ ຮ ບທ2ີ ຮ ບທ3ີ 2) ຈາກຮ ບທ1, ີ ທ2 ີ ແລະ ທ3: ີ - ມມີຸມໃດເປັນມຸມແນບວງົມນົ ? - ມມີຸມໃດເປັນມຸມໃຈກາງ? - ມມີຸມໃດເປັນມຸມໃຈກາງທີ ່ພວົພນັກບັມຸມແນບວງົມນົ ? - ມທີ່ອນກົ ່ງໃດກວມມຸມໃຈກາງ ແລະ ມຸມແນບວງົມນົ? 3) ຈດຸ ຕດັມຸມໃຈກາງ AOB ຂອງແຕ່ລະວງົມນົໃນຮ ບທີ1, 2 ແລະ 3. 4) ຈົ ່ງພບັ ເຄິ ່ ງມຸມໃຈກາງ AOB ທີ ່ຄດັອອກຂອງແຕ່ລະຮ ບໃນຂໍ ູ້3 ແລວູ້ເອາົມຸມທີ ່ໄດໄູ້ປເຕງັກບັ ມຸມແນບວງົມນົ ACB ທີ ່ກວມທ່ອນກົ ່ງດຽວກນັກບັມ ມໃຈກາງ AOB. ຖາມວ່າສາມາດຈດັມຸມດັ ່ງກ່າວໄປເຕງັກນັ ໄດພູ້ໍດບີໍ ? 5) ຈາກຂໍທູ້ ີ4 ຈົ ່ງປຽບທຽບສອງມຸມ AOB ແລ ACB. 6) ຈາກຮ ບທີ1 ຈົ ່ງສາູ້ງມຸມແນບວງົມນົທີ ່ກວມທ່ອນກົ ່ງ AB ດຽວກນັອກີສອງມຸມຄ: AMB ແລະ ANB. 7) ໃຊມູຸ້ມໃຈກາງ AOB ທີ ່ພບັ ເຄິ ່ ງໄດຈາກຮ ບທ1ີ ໃນຂໍ ູ້4 ໄປວາງເຕງັກບັມຸມ AMB ແລະ ANB ຈະເຫນັມຸມ ເຕງັກນັພໍດບີໍ? 8) ມຸມ AMB ແລະ ມຸມ ANB ໄດມູ້ ກີ າພວົພນັ ເຊັ ່ນດຽວກນັກບັມຸມ AOB ໃນຂໍ ູ້5 ບໍ? 9) ຈົ ່ງປະຕບິດັທໍານອງດຽວກນັກບັຂໍ ູ້6 ແລະ ຂໍ ູ້7 ສໍາລບັວງົມນົຮ ບທີ2 ແລະຮ ບທີ3 ຜນົໄດູ້ຮບັ ເປັນຄ ແນວໃດ?

32 N M B A C 10) ສະຫຸຼບໄດບູ້ໍວ່າຄ່າວດັແທກມຸມໃຈກາງຂອງວງົມນົຈະເທົ ່າສອງເທ ່ອຂອງຄ່າວດັແທກຂອງມຸມ ແນບວງົມນົທີ ່ ກວມທ່ອນກົ ່ງດຽວກນັ . ວທິ ແີກ ູ້ 2) ຈາກຮ ບທີ1, 2 ແລະ 3: - ມຸມ ACB ແມ່ນມຸມແນບວງົມນົ - ມຸມ AOB ແມ່ນມຸມໃຈກາງ - ມຸມ AOB ແມ່ນມຸມສໍາພນັກນັກບັມຸມ ACB - ທ່ອນກົ ່ງ AB ແມ່ນທ່ອນກົ ່ງທີ ່ກວມມຸມໃຈກາງ ແລະ ມຸມແນບວງົມນົ . 4) ມຸມ ACB ເຕງັກນັພໍດກີບັມຸມທີ ່ພບັ ເຄິ ່ ງຂອງມຸມ AOB. 5) ມຸມ AOB = 2ACB 6) 7) ເຫນັວ່າ AMB ແລະ AMB ເຕງັກນັພໍດີ 8) ມຸມ AMB ແລະ ມຸມ ANB ໄດມູ້ ກີ າພວົພນັ ເຊັ ່ນດຽວກນັກບັມຸມ AOB ໃນຂໍ ູ້5 9) ຖາູ້ປະຕບິດັຄກ ນັກບັຂໍທູ້ ີ6 ແລະ 7 ສໍາລບັວງົມນົຮ ບທີ2 ແລະ ທີ3 ຈະໄດຄູ້ໍາຕອບຄ ກນັກບັຂໍ ູ້5, 7 ແລະ 8. 10) ເຮາົສາມາດສະຫຸຼບໄດວູ້່າ ຄ່າວດັແທກມຸມໃຈກາງຂອງວງົມນົ ເທົ ່າກບັສອງເທ ່ອຂອງມຸມ ແນບວງົມນົທີ ່ ກວມທ່ອນກົ ່ງດຽວກນັ . II. ໃຈຄວາມ 1. ມຸມແນບວງົມນົແມ່ນມຸມໜ ່ ງທີ ່ປະກອບດວູ້ຍສອງເສັນູ້ເນັ ່ງທ່ອນກົ ່ງຈາກຈອມດຽວກນັຂອງມຸມນັນູ້ ແລະ ແບ່ງອອກເປັນສອງຊະນດິຄ: ມຸມແນບເຄິ ່ ງວງົມນົ ແລະ ມຸມແນບທີ ່ກວມທ່ອນກົ ່ງດຽວກນັ ຂອງວງົມນົ . ມຸມແນບເຄິ ່ ງວງົມນົແມ່ນມຸມທີ ່ປະກອບດວູ້ຍສອງເສັນູ້ເນັ ່ງທ່ອນກົ ່ງທີ ່ອອກຈາກຈອມດຽວກນັຂອງມຸມນັນູ້ ແລວູ້ຕດັສອງສົນູ້ຂອງເສັນູ້ຜ່າໃຈກາງຂອງວງົມນົ . ມຸມແນບວງົມນົທີ ່ກວມທ່ອນກົ ່ງດຽວກນັແມ່ນບນັດາມຸມແນບວງົມນົທີ ່ປະກອບດສູ້ຍສອງເສັນູ້ເນັ ່ງ ທ່ອນກົ ່ງ ທີ ່ຕ່າງກນັ ເຊິ ່ ງກວມເອາົທ່ ອນກົ ່ງດຽວກນັ . ມຸມໃຈກາງຂອງວງົມນົ ແມ່ນມຸມທີ ່ມຈີອມຢ່ ໃຈກາງຂອງວງົມນົ .

33 2. ມຸມໃຈກາງຂອງວງົມນົຈະມຄີ່າວດັແທກເທົ ່າກບັສອງເທ ່ອຂອງຄ່າວດັແທກມຸມແນບວງົມນົທີ ່ກວມທ່ອນກົ ່ງ ດຽວກນັ . 3. ມຸມແນບເຄິ ່ ງວງົມນົມຄີ່າວດັແທກເທົ ່າກບັ 90° ຫຼ ເປັນໜ ່ ງມຸມສາກ. 4. ໃນວງົມນົດຽວກນັ , ມຸມແນບວງົມນົທີ ່ກວມທ່ອນກົ ່ງດຽວກນັຈະມຄີ່າວດັແທກເທົ ່າກນັ . 5. ໃນວງົມນົທີ ່ ເທົ ່າກນັທຸກປະການ ຫຼ ໃນວງົມນົດຽວກນັ , ຖາູ້ວ່າມຸມໃຈກາງຂອງວງົມນົຫາກມີ ່ຄ່າ ວດັແທກເທົ ່າ ກນັຈະໄດວູ້່າທ່ອນກົ ່ງທີ ່ກວມເອາົມຸມດັ ່ງກ່າວຈະມຄີວາມຍາວເທົ ່າກນັ . 6. ໃນວງົມນົທີ ່ ເທົ ່າກນັທຸກປະການ ຫຼ ວງົມນົດຽວກນັ , ຖາູ້ວ່າລວງຍາວຂອງທ່ອນກົ ່ງຫາກເທົ ່າກນັ ຈະໄດມູຸ້ມ ແນບວງົມນົທີ ່ກວມທ່ອນກົ ່ງດຽວກນັຈະມຄີ່າວດັແທກເທົ ່າກນັ . 7. ມຸມທີ ່ປະກອບດວູ້ຍເສັນູ້ຕດິກບັ ເສັນູ້ເນັ ່ງທ່ອນກົ ່ງທີ ່ຂດີຈາກເມດັຕດິມຄີ່າວດັແທກເທົ ່າກບັ ເຄິ ່ ງໜ ່ ງ ຂອງຄ່າ ວດັແທກທ່ອນກົ ່ງທີ ່ຢ່ ລະຫວ່າງສອງຂາູ້ງຂອງມນັ ຫຼ ເທົ ່າກບັ ເຄິ ່ ງໜ ່ ງຂອງຄ່າວດັແທກ ມຸມໃຈກາງທີ ່ກວມ ທ່ອນກົ ່ງດັ ່ງກ່າວ. 3.ຮ ບສາມແຈ ແລະ ວງົມນົ ຈດຸ ປະສງົ - ເພ ່ອເຮດັນກັ ຮຽນຊອກຫາຈດຸ ທີ ່ມບີນັຫາໄດກູ້່ ຽວກບັຮ ບສາມແຈ ແລະ ວງົມນົ - ເພ ່ອຊອກຫາວທິ ແີກໄູ້ຂບນັຫາກ່ ຽວກບັກດິຈະກາໍ , ເນ ູ້ອໃນບດົຮຽນ ແລະ ບດົ ເຝ ກຫດັ I. ກດິຈະກາໍ 1. ກດິຈະກາໍ1 ກ. ເສັນູ້ກາງສາກຂອງຮ ບສາມແຈ. ໃຫຮູ້ ບສາມແຈ ABC - ຈົ ່ງແຕມູ້ ເສັນູ້ກາງສາກ (d1), (d2), ແລະ (d3) ຂອງຂາູ້ງ [AB], [AC] ແລະ [BC] ຕາມລໍາດບັ . - ຈົ ່ງສງັເກດສາມເສັນູ້ກາງສາກ (d1), (d2), ແລະ (d3) ເປັນແນວໃດ ? - ຈົ ່ງແຕມູ້ ຮ ບວງົມນົທີ ່ມເີມດັໃຈກາງ O ແມ່ນຮ ບສາມແຈ ABC ແລວູ້ຕ ່ມຄໍາເວົ ູ້າ ແລະ ເຄ ່ອງໝາຍທີ ່ ເ ໝາະສມົ ໃສ່ບ່ອນຈໍ ູ້າເມດັ . O ແມ່ນເມດັໜ ່ ງຢ່ ເສັນູ້ກາງສາກ (d1) ຂອງ ຂາູ້ງ [AB] ຈະໄດູ້OA …………… OB. O ແມ່ນເມດັໜ ່ ງຢ່ ເສັນູ້ກາງສາກ (d1) ຂອງ ຂາູ້ງ [AC] ຈະໄດູ້OA …………… OC O ແມ່ນເມດັໜ ່ ງຢ່ ເສັນູ້ກາງສາກ (d3) ຂອງ ຂາູ້ງ [BC] ຈະໄດູ້OB …………… OC ສະຫຸຼບ: ຖາູ້ OA…...OB ; OA.…..OC ; OB….…OC ຈະໄດູ້OA.….OB.….OC. ເຊິ ່ ງ [OA] ; [OB] ; [OC] ແມ່ນ…………..ຂອງວງົມນົ ແລະ O ແມ່ນ……………. ຂອງ ວງົມນົ ແນບຮ ບສາມແຈ ABC. ໝາຍເຫດ: A B C

34 ເມດັຕດັກນັຂອງສາມເສັນູ້ກາງສາກຂອງຮ ບສາມແຈໃດໜ ່ ງ ແມ່ນເມດັໃຈກາງຂອງວງົ ມນົໃນຮ ບສາມ ແຈນັນູ້. ຂ. ວງົມນົແນບຮ ບສາມແຈສາກ. ໃຫຮູ້ ບສາມແຈສາກ AMI ສາກຢ່ A. - ຈົ ່ງແຕມູ້ ເສັນູ້ກາງສາກ (d) ຂອງຂາູ້ງ [AM] ຕດັຂາູ້ງ [MI] ຢ່ O. - ຈົ ່ງຕ ່ມຄໍາເວົ ູ້າທີ ່ ເໝາະສມົ ໃສ່ບ່ອນຈໍ ູ້າເມດັ . ໃນຮ ບສາມແຈສາກ AMI ເຮາົມ:ີ (d) ແມ່ນເສັນູ້ກາງສາກຂອງ [AM] ຈ ່ ງໄດູ້(d)⊥…..ແລະ [AI] ⊥ [AM] ສະນັນູ້ (d) // ……….. ໃນຮ ບສາມແຈສາກ AMI ເຮາົມ:ີ (d) ແມ່ນເສັໜູ້ ກາງສາກຂອງຂາູ້ງ …………. ແລະ (d) // …………………. ສະນ ັ້ນ (d) ຈະຕດັຂາູ້ງ [MI] ຢ່ ເຄິ ່ ງກາງພໍດ: OM ………….OI. ີ O ຢ່ ເສັນູ້ກາງສາກ (d) ຂອງຂາູ້ງ…….., ຈ ່ ງໄດູ້OA……OM. ຮ ວູ້່າ: OM.…..OI. ສະນັນູ້, OA…..OM…..OI ແລະ [OA] ; [OM] ; [OI] ເປັນລດັສະໝຂີອງວງົມນົ ແນບຮ ບ ສາມແຈ AMI. ດັ ່ງນັນູ້ OA= 1 2 ………… II. ໃຈຄວາມ 1. ຮ ບສາມແຈສາກ ແລະ ຄຸນລກັສະນະ. ຄຸນລກັ ສະນະ ABC ແມ່ນຮ ບສາມແຈສາກຢ່ A. M ແມ່ນເມດັ ເຄິ ່ ງກາງຂອງຂາູ້ງ [BC]: MB=MC ຈ ່ ງໄດູ້AM= 1 2 BC. ຕວົຢ່ າງ: ໃຫຮູ້ ບສາມແຈ MAI ສາກຢ່ A, O ແມ່ນເມດັ ເຄິ ່ ງກງຂອງຂາູ້ງກງົສາກ [MI]. ຈົ ່ງຄດິໄລ່ລວງຍາວ AO, ເມ ່ອຮ ວູ້່າ MI= 9 B M A C ໃນຮບູ ສາມແຈສາກໜັ່ ງ, ລວງຍາວຂອງເສ ັ້ນຈອມກາງ ທັ່ ຂດ ຈາກມມຸ ສາກເທັ່ົາກບ ເຄັ່ງ ໜັ່ ງຂອງລວງຍາຂອງ ຂາັ້ງກງົສາກ.

35 ບດົແກ:ູ້ ຂໍສູ້ມົ ມຸດ MAI ແມ່ນຮ ບສາມແຈສາກຢ່ A. [MI] ແມ່ນຂາູ້ງກງົສາກ. OM=OI ; MI= 9. ຂໍສູ້ ະຫຸຼບ AO= ? MAI ແມ່ນຮ ບສາມແຈສາກຢ່ A, O ແມ່ນເມດັ ເຄິ ່ ງກາງຂອງຂາູ້ງກງົສາກ [MI]: OM=OI ອງີໃສ່ຄຸນລກັ ສະນະຂອງຮ ບສາມແຈສາກ: ໃນຮ ບສາມແຈສາກໜ ່ ງ, ລວງຍາວຂອງເສັນູ້ຈອມກາງທີ ່ຂດີຈາກມຸມສາກເທົ ່າກບັ ເຄິ ່ ງ ໜ ່ ງຂອງລວງຍາວຂາູ້ງກງົສາກ. ຈ ່ ງໄດ:ູ້ OA = 1 2 MI OA 1 2 × 9 OA = 4,5 ດັ ່ງນັນູ້ OA = 4,5. ຄຸນລກັ ສະນະປີ ູ້ນຄນ . ໃນຮ ບສາມແຈໜ ່ ງ, ຖາູ້ລວງຍ່າວຂອງເສັນູ້ຈອມກາງທີ ່ຂດີອອກຈາກຈອມໜ ່ ງຫາກເທົ ່າ ກບັ ເຄິ ່ ງໜ ່ ງ ຂອງລວງຍາວຂອງຂາູ້ງທີ ່ກງົກບັຈອມນັນູ້, ຮ ບສາມແຈດັ ່ງກ່າວຈະເປັນຮ ບສາມແຈ ສາກ. ວງົມນົແນບຮ ບສາມແຈສາກ. ເມດັໃຈກາງຂອງວງົມນົແນບຮ ບສາມແຈສາກໃດໜ ່ ງ ແມ່ນເມດັ ເຄິ ່ ງກາງຂອງຂາູ້ງກງົ ສາກຂອງຮ ບສາມແຈ ສາກນັນູ້. ເມດັໜ ່ ງຂອງວງົມນົທີ ່ມເີສັນູ້ຜ່ານໃຈກາງມາກ່ອນ. - ຖາູ້ ̂ = 90°, ຈະໄດູ້M ແມ່ນເມດັໜ ່ ງຂອງວງົມນົທີ ່ມເີສັນູ້ຜ່ານໃຈກາງແມ່ນ [AB]. - ຖາູ້ M ແມ່ນເມດັໜ ່ ງຂອງວງົມນົທີ ່ມເີສັນູ້ຜ່າໃຈກາງ [AB], ຈະໄດູ້̂ = 90°. A M O I A C O B

36 ຖາູ້ຮ ບສາມແຈສາກ AMB ສາກຢ່ ເມດັ M ຈະໄດຂູ້າູ້ງກງົສາກ AB ເປັນເສັນູ້ຜ່ານໃຈກາງຂອງ ວງົມນົແນບ ຮ ບສາມແຈສາກດັ ່ງກ່າວ. ຫາຍເຫດ: ວງົມນົໜ ່ ງສາມາດແນບຮ ບສີ ່ ແຈໄດ, ູ້ຖາູ້ຮ ບສີ ່ ແຈນັນູ້ຫາກປະກອບເປັນສອງຮ ບສາມແຈ ສາກທີ ່ມີ ຂາູ້ງກງົສາກຮ່ວມກນັ ຫຼ ຮ ບສີ ່ ແຈນັນູ້ມສີອງເສັນູ້ເນັ ່ງຈອມຍາວເທົ ່າກນັ . O M A B A B D C O

37 ບດົທ ີ4 ຫຼກັ ເກນຕາແລດັ I. ເສັນູ້ຊ ່ຜ່ານເມດັເຄີ ່ ງກາງຂອງສອງຂາູ້ງຂອງຮ ບສາມແຈ 1. ກດິຈະກາໍ ກດິຈະກາໍທີ1 ໃຫຮູ້ ບສາມແຈ ABC,M ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງ AB ຜ່ານ M , ເພີ ່ນຂດີເສັນູ້ຊ ່ຂະໜານກບັ BC, ຕດັ AC ຢ່ N ກ. ຈົ ່ງຊອກເງາົສາຍຂອງເມດັ M, B ແລະ A ຢ່ ເສັນູ້ຊ ່ AC ຕາມລວງທີ ່ຂະໜານກບັ BC ຂ. ຈົ ່ງຊີ ູ້ແຈງວ່າ: N ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງທ່ອນຊ ່ AC 2. ກດິຈະກາໍທີ2 1. ໃຫຮູ້ ບສາມແຈ ABC , M ແລະ N ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງ AB ແລະ AC ຕາມລໍາດບັ . ກ. ຈົ ່ງຊອກເງາົສາຍຂອງທ່ອນຊ ່ AB ແລະ ຂອງເມດ ັ M ຢ່ ເສັນູ້ຊ ່ AC ຕາມລວງທີ ່ຂະໜານກບັ BC ຂ. ຈົ ່ງຊີ ູ້ແຈງວ່າ: MN ⁄⁄ BC 2. ໃຫູ້P ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງທ່ອນຊ ່ BC ກ. ເພີ ່ນສາມາດເວົ ູ້າໄດແູ້ນວໃດ ກ່ ຽວກບັ ເສັນູ້ຊ ່ NP ແລະ ເສັນູ້ AB ? ຂ. ຈົ ່ງຊີ ູ້ແຈງວ່າ: ຮ ບສີ ່ ແຈ MNPB ເປັນຮ ບສີ ່ ແຈຂາູ້ງຂະໜານ. ຄ. ຈົ ່ງຂຽນຕ ່ມໃສ່ບ່ອນຈໍ ູ້າເມດັ MN BC BP BC ......... ......... ............ ກດິຈະກາໍທ ີ1 ຂໍສູ້ມົ ມຸດ ຮ ບສາມແຈ M ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງ AB ເພີ ່ນຂດີເສັນູ້ຊ ່ຂະໜານ BC ຕດັ AC ຢ່ N A B C M N A B C M N A B C M N

38 ຂໍສູ້ ະຫຸຼບ ກ.ຈົ ່ງຊອກເງາົສາຍຂອງເມດັ M ; B ແລະ A ຕາມລວງທີ ່ຂະໜານກບັ BC ຂ. ຈົ ່ງຊີ ູ້ແຈງວ່າ N ເປັນເມດູ້ເຄີ ່ ງກາງຂອງ ທ່ອນຊ ່ AC ແກ ູ້ ກ. ຕາມຮ ບສາມແຈ ABC ມເີມດັ M ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງ AB ; ມເີມດັ N ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງ AC ດັ ່ງນັນູ້ເງາົສາຍຂອງເມດັ M ; B ແລະ A ແມ່ນ N ; C ; A ຕາມລໍາດບັ ຂ. ມເີມດັ M ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງ AB ;ທ່ອນຊ ່ MN ຂະໜານກບັ BC ດັ ່ງນັນູ້ N ຈ ່ ງເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງ AC ກດິຈະກາໍທີ2 1. ຂໍສູ້ມົ ມຸດ ຮ ບສາມແຈ ABC ; M ; N ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງ ທ່ ອນຊ ່ AB ແລະ AC ຕາມລໍາດບັ ຂໍສູ້ ະຫຸຼບ ກ. ຊອກເງາົສາຍຂອງ AB ແລະ ເມດັ M ຢ່ AC ຕາມລວງຂະໜານກບັ BC ຂ. ຊີ ູ້ແຈງວ່າ: MN ⁄⁄ BC ແກ ູ້ ກ .ຮ ບສາມແຈ ABC ; M ; N ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງ ທ່ອນຊ ່ AB ແລະ AC ຕາມລໍາດບັ ດັ ່ງນັນູ້ ເງາົສາຍຂອງ AB ແມ່ນ AC ແລະ ເງາົສາຍຂອງເມດັ M ແມ່ນ N ຂ. ຕາມຫຼກັ ເກນທີ1 ທີ ່ວ່າ: A B C M N

39 ໃນຮ ບສາມແຈໜ ່ ງເສັນູ້ຊ ່ທີ ່ຜ່ານເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງສອງຂາູ້ງຕອູ້ງຂະໜານກບັຂາູ້ງທສີາມ ເຮາົເຫນັວ່າ: M ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງ AB N ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງ AC ດັ ່ງນັນູ້ MN ⁄⁄ BC 2 . P ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງທ່ອນຊ ່ BC ກ. ເພີ ່ນສາມາດເວົ ູ້າໄດແູ້ນວໃດກ່ ຽວກບັ ເສັນູ້ຊ ່ NP ແລະ AB NP ⁄⁄ AB ແລະ NP 2 1 AB ຂ. ຈົ ່ງຊີ ູ້ແຈງວ່າ: ຮ ບສີ ່ ແຈ MNPB ເປັນຮ ບສີ ່ ແຈຂາູ້ງຂະໜານ ເຮາົສງັເກດເຫນັວ່າ: MN ⁄⁄ BP BM ⁄⁄ NP ຄ. MN BP BC BP BC 2 1 2 1 2. ໃຈຄວາມ 1. ຮ ບສາມແຈ ແລະ ເມດັ ເຄີ ່ ງກາງ ກ. ຫຼກັ ເກນ ໃນຮ ບສາມແຈ ABC , I ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງ AB, J ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງ AC ເຮາົໄດ:ູ້ ຫຼກັ ເກນທີ1 ໃນຮ ບສາມແຈໜ ່ ງເສັນູ້ຊ ່ທີ ່ຜ່ານເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງສອງຂາູ້ງຕອູ້ງຂະໜານກບັຂາູ້ງທສີາມ ໃນຮ ບສາມແຈໜ ່ ງທ່ອນຊ ່ທີ ່ຂດີຕໍ ່ ເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງສອງຂາູ້ງມລີວງຍາວເທົ ່າກບັ ເຄີ ່ ງໜ ່ ງ ຂອງຂາູ້ງທສີາມ.

40 IJ ⁄⁄ BC ແລະ IJ BC 2 1 ໃນຮ ບສາມແຈ ABC I ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງ ຂອງ AB, J ເປັນເມດັໜ ່ ງຂອງ AC ແລະ IJ ⁄ ⁄ BC ເຮາົໄດ:ູ້ J ເປັນເມດັໜ ່ ງຂອງ AC ຕວົຢ່ າງ 1 : ເພີ ່ ່ ນໃຫຮູ້ ບສາມແຈ ABC M ເປັນເມດັໜ ່ ງຂອງຂາູ້ງ BC , R ແມ່ນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງ AM . ເສັນູ້ ຊ ່ຜ່ານເມດັ R ຂະໜານກບັ BC ຕດັ AB ແລະ AC ຢ່ ເມດັ S ແລະ T ຕາມລໍາດບັ . ຈົ ່ງຊີ ູ້ແຈງວ່າ: S ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງທ່ອນຊ ່ AB ບດົແກູ້ ຂໍສູ້ມົ ມຸດ ຮ ບສາມແຈ ABC ແມ່ນເມດັໜ ່ ງຂອງຂາູ້ງ BC R ແມ່ນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງ AM ເສັນູ້ຊ ່ d ແລະ ເສັນູ້ຊ ່ BC ຂະໜານກນັ ຂໍສູ້ ະຫຸຼບ ຈົ ່ງຊີ ູ້ແຈງວ່າ: S ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງ AB A B C S T A B C I J A B C I J ຫຼກັ ເກນ2: ໃນຮ ບສາມແຈເສັນູ້ຊ ່ທີ ່ຜ່ານເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງຂາູ້ງໜ ່ ງ ແລະ ຂະໜານກບັອີກູ້ ຂາູ້ງໜ ່ ງ ຕອູ້ງຕດັ ເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງຂາູ້ງທສີາມ A B C S T R M

41 ໃນຮ ບສາມແຈ ABM , ເຮາົມເີສັນູ້ຊ ່ SR ຜ່ານເມດັ ເຄີ ່ ງກາງ R ຂອງຂາູ້ງທໜີ ່ ງ AM ແລະ ຂະໜານ ກບັຂາູ້ງທສີອງ MB ອງີຕາມຫຼກັ ເກນ 2 , ເສັນູ້ຊ ່ SR ຕອູ້ງຜ່ານເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງທ່ອນຊ ່ AB ຕວົຢ່ າງ 2 ເພີ ່ນໃຫຮູ້ ບສາມແຈ ABC , M ເປັນເມດັໜ ່ ງຂອງຂາູ້ງ AB , N ແມ່ນເມດັໜ ່ ງຂອງຂາູ້ງ AC ເສນັຊ ່ MN ຂະໜານກບັສັນູ້ຊ ່ BC, ຮ ວູ້່າ: AM 2cm, AN 3cm ແລະ AB 8cm. ຈົ ່ງ ຄດິໄລ່ລວງຍາວ NC. ບດົແກູ້ ຂໍສູ້ມົ ມຸດ ຮ ບສາມແຈ ABC M ແມ່ນເມດັໜ ່ ງຂອງຂາູ້ງ AB N ແມ່ນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງ AC ເສັນູ້ຊ ່ MN ແລະ ເສັນູ້ຊ ່ BC ຂະໜານກນັ ຂໍສູ້ ະຫ ຼບ ຈົ ່ງຄດິໄລ່ລວງຍາວ NC ໃນຮ ບສາມແຈ ABC , M ແມ່ນເມດັໜ ່ ງຂອງຂາູ້ງ AB, N ແມ່ນເມດັໜ ່ ງຂອງຂາູ້ງ AC, ແລະ ເສັນູ້ຊ ່ MN ຂະໜານກບັ ເສັນູ້ຊ ່ BC ດັ ່ງນັນູ້ ເຮາົສາມາດຂຽນໄດູ້: AC AB AN AM ໝາຍຄວາມວ່າ: AC 8 3 2 ຫຼ 2 AC 38 ຖອນໄດູ້AC 12cm 2 24 ດັ ່ງນັນູ້ NC AC AN 12 3 9cm ບດົ ເຝິກຫດັ 1. ເພີ ່ນໃຫຮູ້ ບສາມແຈ ABC , I ແມ່ນເມດັໜ ່ ງຂອງຂາູ້ງ AB , J ແມ່ນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອຂາູ້ງ AC ແລະ BC 7cm A B C M N

42 ກ. ຈົ ່ງຊີ ູ້ແຈງວ່າເສັນູ້ຊ ່ IJ ແລະເສັນູ້ຊ ່ BC ຂະໜານກນັ . ຂ. ຈົ ່ງຄດິໄລ່ລວງຍາວ IJ 2. ໃຫຮູ້ ບສີ ່ ແຈຂາູ້ງຂະໜານ ABCD ທີ ່ມໃີຈກາງ O,E ແມ່ນຈດຸ ເຄີ ່ ງຄຂ ອງ D ທຽບໃສ່ C ກ. ຈົ ່ງຊີ ູ້ແຈງວ່າ: OC ແລະ ຂະໜານກບັ EB ຂ. ຮ ບສີ ່ ແຈ ABEC ເປັນຮ ບສີ ່ ແຈຊະນດິໃດ ? ຄ. ຈົ ່ງຄດິໄລ່ລວງຍາວຂອງທ່ອນຊ ່ BE, ຮ ວູ້່າ: AC 2cm 3. ໃຫຮູ້ ບສາມແຈ ODE , ຮ ວູ້່າ: P ແມ່ນເມດັ ເຄີ ່ ງຄຂ ອງ O ທຽບໃສ່ D,R ແມ່ນເມດັ ເຄີ ່ ງຄຂ ອງ O ທຽບໃສ່ E ກ. ຈົ ່ງແຕມູ້ ຮ ບ ຂ. ຈົ ່ງບອກການພວົພນັລະຫວ່າງສອງເສັນູ້ຊ ່ PR ແລະ DE 4. ເພີ ່ນໃຫຮູ້ ບສາມແຈ ABC,I, J ແລະ K ແມ່ນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງຂາູ້ງ AB,AC ແລະ BC ຕາມ ລໍາດບັ ກ. ເພີ ່ນໃຫູ້AB 4cm; AC 3cm ແລະ BC 6cm. ຈົ ່ງຊອກຫາລວງຍາວຂອງທ່ອນຊ ່ IJ ,JK, ແລະ KI . ຂ. ຖາູ້ ABC ເປັນຮ ບສາມແຈທ່ ຽງ; IJK ຈະເປັນຮ ບສາມແຈປະເພດໃດ ? ຄ. ຖາູ້ ABC ເປັນຮ ບສາມແຈສະເໝ;ີ IJK ຈະເປັນຮ ບສາມແຈປະເພດໃດ ? ງ. ຖາູ້ ABC ເປັນຮ ບສາມແຈສາກຢ່ ; IJK ຈະເປັນຮ ບສາມແຈປະເພດໃດ ? 5. ຈົ ່ງຄດິໄລ່ລວງຍາວຂອງທ່ອນຊ ່ OC,CD ( ຮ ບ 1 ) ແລະ OC,CD ( ຮ ບ 2 ). ( ຮ ບທີ1 ) O C D A 3 6 4 1 D

43 ( ຮ ບທີ2 ) 6. ເພີ ່ນໃຫຮູ້ ບສາມແຈ ODE ທີ ່ມຂີາູ້ງ DE 4cm , P ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງຄຂ ອງ O ທຽບໃສ່ D ແລະ Q ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງຄຂ ອງ O ທຽບໃສ່ E. ກ. ຈົ ່ງແຕມູ້ ຮ ບ ຂ. ຈົ ່ງຊີ ູ້ແຈງວ່າ: PQ ⁄⁄ CE ຄ. ຈົ ່ງຄດິໄລ່ລວງຍາວ PQ . 7. ເພີ ່ນໃຫຮູ້ ບສາມແຈ SEC , A ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງຂາູ້ງ SC, ຜ່ານ A ເພີ ່ນຂດີເສັນູ້ຊ ່ຂະໜານກບັ SE ; ຕດັ EC ຢ່ B . ຜ່ານ B , ເພີ ່ນຂດີເສັນູ້ຊ ່ຂະໜານກບັ SC; ຕດັ SE ຢ່ D . ກ. ຈົ ່ງຊີ ູ້ແຈງວ່າ D ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງທ່ອນຊ ່ SE ຂ. ເພີ ່ນເວົ ູ້າໄດແູ້ນວໃດກ່ ຽວກບັ ເສັນູ້ຊ ່ AD ແລະ EC ແກບູ້ດົ ເຝິກຫດັ 4 2 8 2 S E C D A B