ຄະນິດສາດ 1(ເຫຼັ້ມ 1 ) ອຈ ປທ ສົມພົງ ບຸນເພັງ

44 1. ຂໍສູ້ມົ ມຸດ ຮ ບສາມແຈ ABC I ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງ AB J ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງ AC BC 7cm ກ. ຈົ ່ງຊີ ູ້ແຈງວ່າ: ເສັນູ້ຊ ່ IJ ແລະ ເສັນູ້ ຊ ່ BC ຂະໜານກນັ ຂໍສູ້ ະຫຸຼບ ຂ. ຈົ ່ງຄດິໄລ່ລວງຍາວ IJ ກ. ຕາມຫຼກັ ເກນ 1 ເຮາົຮ ວູ້່າ : IJ ຕດັຜ່ານເຄີ ່ ງກາງຂອງທ່ອນຊ ່ AB;AC ຕາມລໍາດບັ ດັ ່ງນັນູ້ IJ ⁄⁄ BC ຂ. ຄດິໄລ່ລວງຍາວຂອງ IJ ຕາມຫຼກັ ເກນ 1 ທ່ອນຊ ່ IJ ຕດັຜ່ານເຄີ ່ ງກາງຂອງທ່ອນຊ ່ AB;AC ແລະ ຂະໜານ BC IJ cm IJ BC 3,5 7 2 1 2 1 2. ຂໍສູ້ມົ ມຸດ ຮ ບສີ ່ ແຈຂາູ້ງຂະໜານ ABCD ທີ ່ມໃີຈກາງ O ; E ແມ່ນຈດຸ ເຄີ ່ ງຄຂ ອງ D ທຽບໃສ່ C ສະຫຸຼບ ກ. ຈົ ່ງຊີ ູ້ແຈງວ່າ OC ⁄⁄ EB ຂ. ຮ ບສີ ່ ແຈ ABEC ເປັນຮ ບສີ ່ ແຈຊະນດິໃດ ? A B C I J A D B C E O

45 ຄ. ຈົ ່ງຄດິໄລ່ລວງຍາວຂອງທ່ອນຊ ່ BE, ຮ ວູ້່າ: AC 2cm ກ. ຈາກຮ ບສາມແຈ DBE ເຮາົເຫນັວ່າ: O ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງ DB ແລະ OC ຕດັຜ່ານເຄີ ່ ງກາງຂອງ DE ດັ ່ງນັນູ້ OC ⁄⁄ EB ຂ. ຮ ບສີ ່ ແຈ ABEC ເປັນຮ ບສີ ່ ແຈຂາູ້ງຂະໜານ ຄ. ເຮາົຮ ວູ້່າ: ຮ ບສີ ່ ແຈ ABEC ເປັນຮ ບສີ ່ ແຈຂາູ້ງຂະໜານ ດັ ່ງນັນູ້ AC ⁄⁄ BE ແລະ AC = BE ດັ ່ງນັນູ້ BE cm BE AC BE 2 2 3. ກ. ຂ. ເຮາົຮ ວູ້່າ: ເມດູ້ D ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງທ່ອນຊ ່ OP ; ເມດັ E ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງ OR ດັ ່ງນັນູ້ PR ⁄ ⁄ DE ແລະ ລວງຍາວຂອງ DE ເທົ ່າເຄີ ່ ງໜ ່ ງຂອງ PR 4. ຂໍສູ້ມົ ມຸດ I; J ແລະ K ແມ່ນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງຂາູ້ງ AB AC ແລະ BC ຕາມລໍາດບັ BC cm AC cm AB cm 6 3 4 O D P R E A B C J I k

46 ຂໍສູ້ ະຫ ຼບ ກ. ຈົ ່ງຊອກຫາລວງຍາວຂອງທ່ອນຊ ່ IJ ຂ. ຖາູ້ ABC ເປັນຮ ບສາມແຈທ່ ຽງ; IJK ຈະເປັນຮ ບສາມແຈປະເພດໃດ ? ຄ. ຖາູ້ ABC ເປັນຮ ບສາມແຈສະເໝ;ີ IJK ຈະເປັນຮ ບສາມແຈປະເພດໃດ ? ງ. ຖາູ້ ABC ເປັນຮ ບສາມແຈສາກຢ່ ; IJK ຈະເປັນຮ ບສາມແຈປະເພດໃດ ? ແກູ້ ກ. ຊອກລວງຍາວ IJ ເຮາົຮ ວູ້່າ: IJ ຕດັຜ່ານເຄີ ່ ງກາງຂອງທ່ອນຊ ່ AB;AC ດັ ່ງນັນູ້ IJ cm IJ BC 3 6 2 1 2 1 . ຊອກລວງຍາວ JK ເຮາົຮ ວູ້່າ: JK ຕດັຜ່ານເຄີ ່ ງກາງຂອງທ່ອນຊ ່ BC;AC ດັ ່ງນັນູ້ JK cm JK AB 4 4 2 1 2 1 ຊອກລວງຍາວ KI ເຮາົຮ ວູ້່າ: KI ຕດັຜ່ານເຄີ ່ ງກາງຂອງທ່ອນຊ ່ AB;BC ດັ ່ງນັນູ້ JK;KI

47 KI cm KI AC 1,5 3 2 1 2 1 ຂ. ຖາູ້ ABC ເປັນຮ ບສາມແຈທ່ ຽງ; IJK ຈະເປັນຮ ບສາມແຈທ່ ຽງ ຄ. ຖາູ້ ABC ເປັນຮ ບສາມແຈສະເໝ;ີ IJK ຈະເປັນຮ ບສາມແຈສະເໝີ ງ. ຖາູ້ ABC ເປັນຮ ບສາມແຈສາກຢ່ ; IJK ຈະເປັນຮ ບສາມແຈສາກ 5. A O C D ຄດິໄລ່ລວງຍາວຂອງທ່ອນຊ ່ OC;CD ຕາມກດົ ເກນຕາແລດັ : OC 2 6 12 6. 12 4 3 6 O C O C O C O C O C OC A O AO CD 3 6 4 1 D

48 2 2 4 .2 4.1 . . . . CD CD CD CD O C OC C D OC C D O C CD C D CD O C OC ຮ ບທີ2 ຄດິໄລ່ລວງຍາວ OC ຕາມກດົ ເກນຂອງຕາແລດັ ເຮາົໄດ:ູ້ 4 4 16 4 16 2.8 4. . . . OC OC OC OC AO OC OA OC OC OC OA AO ຄດິໄລ່ລວງຍາວ CD ຕາມກດົ ເກນຕາແລດັ ເຮາົໄດ:ູ້ 4 4 16 4. 8.2 . . C D C D C D OC C D OC CD CD C D OC OC 4 2 8 2

49 6. ຂໍສູ້ມົ ມຸດ DE 4cm P ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງຄຂ ອງ O ທຽບໃສ່ D Q ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງຄຂ ອງ O ທຽບໃສ່ E ຂໍສູ້ ະຫຸຼບ ກ. ຈົ ່ງແຕມູ້ ຮ ບ ຂ. ຈົ ່ງຊີ ູ້ແຈງວ່າ: PQ ⁄⁄ CE ຄ. ຈົ ່ງຄດິໄລ່ລວງຍາວ PQ ກ. ຂ. ຕາມກດົທີ1 ເຮາົຮ ວູ້່າ: P ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງຄຂ ອງ O ທຽບໃສ່ D Q ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງຄຂ ອງ O ທຽບໃສ່ E ສະນັນູ້ D ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງທ່ອນຊ ່ OP E ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງທ່ອນຊ ່ OQ ທ່ອນຊ ່ DE ຕດັຜ່ານເຄີ ່ ງກາງຂອງທ່ອນຂ ່ OQ ແລະ OP ດັ ່ງນັນູ້ PQ ⁄⁄ CE ຄ. ທ່ອນຊ ່ DE ຕດັຜ່ານເຄີ ່ ງກາງຂອງທ່ອນຂ ່ OQ ແລະ OP P D O E Q

50 8 2.4 2 2 1 QP QP QP DE DE QP 7. ກ. A ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງຂາູ້ງ SC AB ⁄ ⁄ SE ດັ ່ງນັນູ້ B ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງ EC BD ⁄⁄ SC ດັ ່ງນັນູ້ D ຈ ່ ງເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງ ທ່ ອນຊ ່ SE ຂ. ເສັນູ້ຊ ່ AD ແລະ EC ຂະໜານກນັ 2. ຫກຼັ ເກນຕາແລດັ (Thales) I. ກດິຈະກາໍ ກດິຈະກາໍທ1ີ ໃນແຕ່ລະຮ ບລ່ ຸມນີ ູ້ ເພີ ່ນໃຫູ້(MN)//(BC) ກ. ຈົ ່ງວດແທກລວງຍາວຂອງ ັ AB,AC,BC,AM,AN,MN ເປັນ cm ແລວູ້ຕ ່ມໃສ່ຕາຕະລາງ. d d’ AM AN MN A AB AC BC M N B C ຮ ບສາມແຈ AMN 1,8cm 1.8cm 1,8cm ຮ ບສາມແຈ ABC 3,3cm 3,3cm 3,3cm C A S E D B

51 d d’ AM AN MN A B C AB AC BC M N AM AN MN N B d’ A C AB AC BC M d ຂ. ຈົ ່ງຄດິໄລ່ : ; ; ແລວູ້ໃຫຂູ້ໍສູ້ງັເກດ. ຄ. ຈົ ່ຕ ່ປະໂຫຍກຄໍາເວົ ູ້າລ່ ຸມນີ ູ້ : ສອງຮ ບສາມແຈ AMN ແລະ AB ເຊີ ່ ງ M ຢ່ ຂາູ້ງ [], ຢ່ ຂາູ້ງ [] ແລະ () ຂະ ໜານກບັ () ,ລວງຍາວຂອງຂາູ້ງຂອງຮ ບສາມແຈ AMN ເປັນ ອດັຕາສ່ວນກບັຂາູ້ງ ຂອງຮ ບສາມແຈ ABC ແກກູ້ ດິຈະກາໍ1 ຂໍ ູ້(ຂ) = ຮ ບ1 = 1,8 3,3 ຮ ບ2 = 1,5 3,4 ຮ ບ3 = 1,8 2 = ຮ ບ1 = 1,8 3,3 ຮ ບ2 = 1,5 3,4 ຮ ບ3 = 1,7 2 ຮ ບສາມແຈ AMN 1,5cm 1,5cm 1,5cm ຮ ບສາມແຈ ABC 3,4cm 3,4cm 3,4cm ຮ ບສາມແຈ AMN 1,8 cm 1,7cm 1,8cm ຮ ບສາມແຈ ABC 2cm 2cm 1,2cm

52 = ຮ ບ1 = 1,8 3,3 ຮ ບ2 = 1,5 3,4 ຮ ບ3 = 1,8 1,2 2. ກດິຈະກາໍ 2 ໃຫຮູ້ ບສາມແຈ ABC ໜ ່ ງມີ(MN)//(BC), ອງິໃສ່ຜນົໄດຮູ້ບັໃນຕາຕະລາງຂອງກດິຈະກາໍ 1 ຈົ ່ງຕ ່ມໃສ່ສໍານວນ ລ່ ຸມນີ ູ້ : = = A M N B C II. ໃຈຄວາມ 1. ຫຼກັ ເກນຕາແລດັ ສອງເສັນູ້ຊ ່ d ແລະ d’ ຕດັກນັຢ່ ເມດັ A, ເມດັ B ແລະ M ຢ່ ເສັນູ້ຊ ່ d’ ເມດັ C ແລະ N ຢ່ ເສັນູ້ຊ ່ d ຖາູ້ເສັນູ້ຊ ່ (BC) ແລະ (MN) ຂະໜານກນັ ເຮາົຈະໄດ:ູ້ = =

53 d d’ A M N B C 2. ຫກຼັ ເກນປີ ູ້ນຂອງຫຼກັ ເກນຕາແລດັ ສອງເສັນູ້ຊ ່ d ແລະ ກງ ຕດັກນັຢ່ ເມດັ A ເມດັ B ແລະ M ຢ່ ເສັນູ້ຊ ່ d ເມດັ C ແລະ N ຢ່ ເສັນູ້ຊ ່ d ຖາູ້ = ເຮາົຈະໄດເູ້ສັນູ້ຊ ່ (BC) ແລະ (MN) ຂະໜານກນັ N d’ A B M C d ຕວົຢ່ າງ : 1. ໃຫຮູ້ ບສາມແຈ ABC ທີ ່ມີAB=12cm ແລະ BC=6cm ເພີ ່ນຂດີເສັນູ້ຊ ່ຂະໜານກບັ (BC), ຕດັ (AB) ຢ່ D ແລະຕດັ (AC) ຢ່ D ຈົ ່ງຄດິໄລ່ :DE ແລະ EC ຮ ວູ້່າ AD=8cm ແລະ AE=6cm. ບດົແກູ້: A ຂໍສູ້ມົ ມຸດ ຮ ບສາມແຈ ABC,AB = 12cm ,BC=6cm (BC)//(DE),AD=8cm ແລະ AE=6cm D ຂໍສູ້ ະຫຸຼບ ຄດິໄລ່ DE ແລະ EC B C ຄດິໄລ່ ED ໃນຮ ບສາມແຈ ABC ເຮາົມີ(BC)//(DE) ອງີຕາມລກັ ເກນຕາແລດັ ເຮາົໄດ:ູ້ = = ໝາຍຄວາມວ່າ = ຫຼ 8 12 = 6

54 ເຮາົໄດູ້8 × 6 = 12 × ເຮາົຖອນໄດູ້ = 48 12 = 4 ຄດິໄລ່ EC ຈາກ = ຫຼ 6 = 4 6 ເຮາົໄດູ້6 × 6 = 4 × ເຮາົຖອນໄດູ້ = 36 4 = 9 ເຮາົຈ ່ ງໄດູ້ = − = 9 − 6 = 3 ຕວົຢ່ າງ 2 :ໃນຮ ບຄາງໝ ABCD ເພີ ່ນຂດີຕໍ ່ສອງຂາູ້ງເນີ ູ້ ງ [AD] ແລະ [BC ] ຈນົພວກມນັຕດັກນັຢ່ ເມດັ F. ຮ ວູ້່າ = 8 5 ; = 2,25 ແລະ = 3 ຈົ ່ງຄດິໄລ່ລວງຍາວຂອງ BC ບດົແກູ້: ຂໍສູ້ມົ ມຸດ ຮ ບຄາງໝ ABCD ;FB=2,2 AB=3cm (AD) ແລະ (BC) ຕດັກນັຢ່ F, = 8 5 ຂໍສູ້ ະຫຸຼບ ຄດິໄລ່ BC ແລະ DC ຄດິໄລ່ BC FAB ເປັນຮ ບສາມແຈທີ ່ມີ(DC)//(AB) ອງິຕາມຫຼກັ ເກນຕາແລດັ ເຮາົໄດູ້ = = ຈາກ = ຫຼ 8 5 ໍໍ 2,25 ເຮາົໄດູ້8 × 2,25 = 5 × ຖອນໄດູ້ = 18 5 = 3,6 ເຮາົຈ ່ ງໄດູ້ = − = 3,6 − 2,25 = 1,35 ຄດິໄລ່ DC ຈາກ = ຫຼ 8 5 = 3 ເຮາົໄດູ້8 × 3 = 5 × F A B C D

55 ຖອນໄດູ້ = 24 5 = 4,8 III. ບດົ ເຝີກຫດັ 1. ຈົ ່ງຕອບຄໍາຢ ນຢັນຂອງບດົ ເຝີກຫດັຕໍ ່ໄປນີ ູ້ດວູ້ຍຄໍາວ່າ : ຖກ ຫຼ ຜດິ ກ. = = ຂ. = = ຄ. = = 2. ໃນຮ ບສາມແຈ ABC ໜ ່ ງ, ເພີ ່ນແບ່ງຂາູ້ງໜ ່ ງຂອງມນັອອກເປັນສາມສວ່ນເທົ ່າກນັ . ຜ່ານບນັດາເມດັແບ່ງ ດັ ່ງກ່າວ, ເພີ ່ນແຕມູ້ ເສັນູ້ຊ ່ຂະໜານກນັກບັພ ູ້ນ. ຮ ວູ້່າພ ູ້ນຍາວ 12cm. ຈົ ່ງຄດິໄລ່ລວງຍາວຂອງທ່ອນຊ ່ຂະໜານ ທີ ່ຖກ ຕດັດວູ້ຍສອງຂາູ້ງຂອງຮ ບສາມແຈດັ ່ງກ່າວ. 3. ເພີ ່ນໃຫທູ້່ອນຊ ່ [AB],[CD] ແລະ [EF] ຈົ ່ງແຕມູ້ ທ່ອນຊ ່ x ເຊາິງວ່າ = 4. ໃຫຮູ້ ບສາມແຈ ABC ,(PQ)//(BC) ດັ ່ງຮ ບ. ຈົ ່ງຊອກຫາລວງຍາວຂອງທ່ອນຊ ່ x ແລະ y ໃນແຕ່ລະກລໍ ະນຕີໍ ່ ໄປນີ ູ້ . ກ. A x 6cm P 4cm Q 3cm B y C

56 ຂ. A 4cm P Q 8cm 3cm y B C ຄ. Q 3cm P 3,5cm 4cm A 10cm C x B 5. ໃຫູ້F ແມ່ນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງຂາູ້ງ [AB] ແລະ (FE) ຂະໜານ (BC) : (FD) ຕດັ (AC) ຢ່ I .ຖາູ້ AC=12cm, BD=8cm ແລະ DC=2cm, ຈົ ່ງຄດິໄລ່ລວງຍາວ FE ແລະ CI 6. ສອງເສັນູ້ຊ ່ (RU) ແລະ (TS) ຕດັກນັຢ່ ເມດັ O ສອງເສັນູ້ຊ ່ (RS) ແລະ (TU) ຂະໜານກນັ .ຈົ ່ງຄດິໄລ່ລວງ ຍາວ OT ແລະ RS

57 S 5 0 R 3 4,8 U 6 T 7. ໃຫຮູ້ ບສາມແຈ ABC , ໃຫເູ້ສັນູ້ຊ ່ (DE) ຂະໜານກບັ (BC) ແລະຕດັຂາູ້ງ [AB] ຢ່ D ຕດັຂາູ້ງ [AC] ຢ່ E ຮ ວູ້່າ AC=5m, AE=3m ,BC6m ຈົ ່ງຄດິໄລ່ລວງຍາວ DE 8. ໃຫຮູ້ ຄາງໝ ABCD , ສອງເສັນູ້ເນັ ່ງຈອມມນັຕດັກນັຢ່ ເມດັ O ກ. ຈົ ່ງບອກຮ ບສາມແຈທີ ່ ເຮາົສາມາດໃຊຫູ້ ຼກັ ເກນຕາແລດັໄດູ້ ຂ. ຈົ ່ງຄດິໄລ່ລວງຍາວ OD ແລະ CD. A 3 B 4 2 0 D 5 C 9. ໃຫສູ້ອງເສັນູ້ຊ ່ (EC) ແລະ (BD) ຕດັກນັຢ່ A, (BC) ຂະໜານກບັ (ED) ຈົ ່ງຄດິໄລ່ ລວງຍາວ AB ແລະ AE ໃນແຕ່ລະກລໍ ະນລີ່ ຸມນີ ູ້ :

58 ກ. E 3cm ຂ. D C 2,5cm D 5cm B 6cm E 4,5cm A A 1,5cm C 3,2cm B 10. ໃຫຮູ້ ບສາມແຈ ABC ,D ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງ [BC] , M ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງ [AD] , ເສັນູ້ຊ ່ ງ (MC) ຕດັ [AB] ຢ່ F ຜ່ານ D , ເພີ ່ນຂດີເສັນູ້ຊ ່ຂະໜານກບັ (CF) ຕດັ [AB] ຢ່ E ກ. ຈົ ່ງຊີ ູ້ແຈງວ່າ F ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງ [AE] ຂ. ຈົ ່ງຊີ ູ້ແຈງວ່າ E ເປັນເມເັຄີ ່ ງກາງຂອງ [BF] ຄ. ຮ ວູ້່າ ED=4cm ຈົ ່ງຄດິໄລ່ລວງຍາວ FM ; MC A F E M B C D 11. ໃຫຮູ້ ບສາມແຈ EFG , ຂາູ້ງ EF=5cm ແລະ EG=8cm , M ເປັນເມດັໜ ່ ງຂອງ [EF] ໂດຍໃຫູ້ EM=3cm , N ເປັນເມດັໜ ່ ງຂອງ [EG] ໂດຍໃຫູ້EN=4,8cm ກ. ຈົ ່ງແຕມູ້ ຮ ບ ຂ. ຮ ບສີ ່ ແຈ MNGF ເປັນຮ ບສີ ່ ແຈຊະນດິໃດ? ຄ. ຮ ວູ້່າ FG=12cm ຈົ ່ງຄດິໄລ່ລວງຍາວຂອງ MN .

59 12. ເພ ່ອຊອກຫາໄລຍະຫ່າງລະຫ່ວາງເມດັ A ແລະ B ເຊີ ່ ງບໍ ່ ອາດວດັແທກໂດຍກງົໄດ.ູ້ເພີ ່ນເລອ ກເອາົເມດັ C ໃດໜ ່ ງ ແລະ ແທກໄລຍະ CA; ເທງິເສັນູ້ຊ ່ CA ແທກເອາົທ່ອນຊ ່ CD ໃດໜ ່ ງຜ່ານ D ເນັ ່ງເສັນູ້ຊ ່ (DE) ຂະໜານກບັ (AB) . ດັ ່ງນັນູ້ເມ ່ອແທກທ່ອນຊ ່ [DE] ແມ່ນເຮາົຈະໄດໄູ້ລຍະ AB ຍອູ້ນຫຍັ ງ? ຖາູ້ CA=1,8km , CD=90m ແລະ DE=150m ຈົ ່ງຄດິໄລ່ AB B A E D C 13. ໃຫສູ້ອງເສັນູ້ຊ ່ (TS) ແລະ (RM) ຕດັກນັຢ່ A, ແລະ (TR) ຂະໜານກບັ (SM) ຈົ ່ງຄດິໄລ່ລວງຍາວ RM ໃນແຕ່ລະກລໍ ະນລີ່ ຸມນີ ູ້ : ກ. ຂ. S 9 A M 7 7 T 15 A 5 R R S 6 T M 14. ໃຫສູ້ອງເສັນູ້ຊ ່ (BD) ແລະ (CE) ຕດັກນັຢ່ A. ກ. ຈົ ່ງຊອກອດັຕາສ່ວນ ແລະ ຂ. ຈົ ່ງຖອນວ່າສອງເສັນູ້ຊ ່ (BC) ແລະ (DE) ຂະໜານກນັ

60 . D B A 16 E 33 C 11 15. ໃຫຮູ້ ບສີ ່ ແຈຂາູ້ງຂະໜານ ABCD ທີ ່ມຂີາູ້ງ AB=12cm ແລະຂາູ້ງ AD=9cm ,E ແມ່ນເມດັໜ ່ ງຂອງ ທ່ອນຊ ່ [AB] ແລະ M ແມ່ນເມດັໜ ່ ງຂອງຂາູ້ງ [AD] ຮ ວູ້່າ AE=7,2cm ແລະ AM=4,5m ກ. ຈົ ່ງແຕມູ້ ຮ ບ ຂ. ຈົ ່ງຊີ ູ້ແຈງວ່າສອງເສັນູ້ຊ ່ (EM) ແລະ (BD) ຂະໜານກນັ 16. ໃຫສູ້ອງເສັນູ້ ື່ຊ (AC) ແລະ (BD) ຕດັກນັຢ່ O ໃຫູ້OA=15 , OB=25,2 OC=7 , OD=54 ກ. ຈົ ່ງຄນ ເບີ ່ ງວ່າ 7 × 54 = 15 × 25,2 ຂ. ຈົ ່ງຖອນເອາົ = ຄ. ຈົ ່ງຊີ ູ້ແຈງວ່າຮ ບສີ ່ ແຈ ABCD ເປັນຮ ບຄາງໝ A B O C

61 D 17. ໃຫຮູ້ ບສາມແຈ ABC , M ຢ່ ຂາູ້ງ [AB] N ຢ່ ຂາູ້ງ [BC] ແລະ P ຢ່ ຂາູ້ງ [AC] ໂດຍໃຫູ້(MN)//(AC) ແລະ (NP)//(AB) ຮ ວູ້່າ AB=6cm , BC=8cm , AC=5cm ແລະ AM=2cm ຈົ ່ງຄດິໄລ່ ລວງຍາວ MN, AP , CN , NP A M P B N C 18. ໃນຮ ບແຕມູ້ ຂາູ້ງນີ ູ້ . ເສັນູ້ຊ ່ (BE) , (CF) , (DG) ຂະໜານກນັຕາມແຕ່ລະຄ່ ຈ່ງຄດິໄລາລວງຍາວ BC ແລະ FG 9 D C 12 B A 8 E 6 F G ແກບູ້ດົ ເຝິກຫດັ 1. ກ. ຜດິ A H B ຂ. ຜດິ ຄ. ຖກ C D

62 2. E F G A x y cm y x cm x 8 3 2 12 4 3 1 12 y B C 3. ວທິ ສີາູ້ງ : ສາູ້ງສອງເຄີ ່ ງເສັນູ້ຊ ່ [OX] ແລະ [OY] ຕາມໃຈ : ເທງິ [OX) , ວາງ OA=AB ແລະ OB=CD : ເທງີ [OY) , ວາງ OC=EF ; ຂດີຕໍ ່ A ໃສ່ C ; ຈາກ B , ຂດີ (BD)//(AC) ; ໄດູ້OD=x ແມ່ນທ່ອນຊ ່ທີ ່ຕອູ້ງການສາູ້ງ. A B C D E F Y D C O B A X

63 4. ກ. y cm y x cm x 3 16 8 4 6 9 ; 2 6 3 ຂ. AQ y cm AQ x cm x 5 24 5 16 ; 8 5 16 10 4 8 ; 2 15 10 3 4 ຄ. x cm x 2 3 9 6 4 5. A F E B D C I CI cm CI CI CE CI CI EF DC EC AC cm FE BD DC cm 4 5 6 2 6 ; 2 1 5 2 1 6. 4 15 8 5 6 8; 5 4,8 3 RS RS OT 7. A D E B C 5 18 5 3 6 ED DE 8. ກ. ຮ ບສາມແຈ OAB ແລະ OCD ຍອູ້ນ (AB)//(CD) ຂ. 4 15 5 3 4 ; 5 2 5 2 4 DC DC OD OD

64 9. ກ. AE cm AE AB cm AB 3,24 3 2,7 2,5 3,75 ; 3 2,5 4,5 ຂ. AE cm AE AB cm AB 32 75 5 1,5 3,2 3,75 ; 5 3,2 6 10. ກ. ໃນຮ ບສາມແຈ (MF)//(ED),M ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງ [AD],(MF)//(ED), F ຈ ່ ງເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງ [AE] ຂ. ໃນຮ ບສາມແຈ BCF , D ເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງ [BC] , (MF)//(ED), E ຈ ່ ງເປັນເມດັ ເຄີ ່ ງກາງຂອງ [BF] A ຄ. FM=2cm ; MC=8-2=6cm F M E B D C 11. ກ. E M N F G ຂ. 0,6 8 4,8 0,6; 5 3 EG EN EF EM ສະແດງວ່າ 0,6 EG EN EF EM ດັ ່ງນັນູ້ຮ ບສີ ່ ແຈ MNGF ຈ ່ ງເປັນຮ ບຄາງໝ ຄ. 0,6 12 MN EG EN FG MN ຖອນໄດູ້MN=7,2cm 12. ເມ ່ອແທກທ່ອນຊ ່ [DE] ແມ່ນເຮາົຈະຊອກໄດໄູ້ລຍະ AB ຍອູ້ນ (ED) ຂະໜານກບັ (AB)

65 ເຮາົສາມາດນາໃຊຫູ້ ຼກັ ເກນຕາແລດັ ເພ ່ອຄດິໄລ່ . ; 20 1 1800 150 90 CA AB CD AB ED ຖອນໄດູ້AB=3000m=3km 13. ກ. A 7 T 5 15 S R M ຂ. S 9 M 7 A R 6 T ກ. 4 25 12 75 12 5 15 RM RM ຂ. 3 2 3 2 3 14 7 3 14 9 7 6 RM RM AT AT × ( 21+14 3 ) = 70 9

66 14. ກ. = 24 16 = 2 3 ແລະ = 33 33−11 = 3 2 ຂ. = = 3 2 ດັ ່ງນັນູ້ສອງເສັນູ້ຊ ່ ງ (BC) ແລະ (ED) ຈ ່ ງຂະໜານກນັ . D B 16 A 33 C 11 E 15. ກ. ຂ. 4,5 9 = 0,6 A E B = 7,2 12 = 0,6 M ເຮາົມີ = = 0,6 D C ດັ ່ງນັນູ້ສອງເສັນູ້ຊ ່ (EM) ແລະ (BD) ຈ ູ້ ງຂະໜານກນັ 16. ກ. 7 × 54 = 387; 15 × 25,2 = 378 ຂ. 7 × 54 = 15 × 25,2 × = × .ຖອນໄດູ້ = ຄ. = ສະແດງວ່າ(AD)//(CB) ດັ ່ງນັນູ້ຮ ບສີ ່ ແຈ ABCD ຈ ່ ງເປັນຮ ບຄາງໝ 17. - ຄດິໄລ່ MN = 5 = 4 6 ຖອນໄດູ້MN = 10 3 - ຄດິໄລ່ AP = = 10 3 3

67 - ຄດິໄລ່ CN = 5 = 2 6 ຖອນໄດູ້ = 8 3 ແລະ = = 2 A M P B C N 18. BC=AB=12 ; FG FG 12 8 9 9×8 12 =6 C 9 D B A 12

68 ບດົທ ີ5 ເລຂາກາງຫາວ 1. ຮ ບທໍ ່ລ່ ຽມ ຈດຸ ປະສງົ - ເພ ່ອເຮດັນກັ ຮຽນຊອກຫາຈດຸ ທີ ່ມບີນັຫາໄດກູ້່ ຽວກບັຮ ບທໍ ່ລ່ ຽມ - ເພ ່ອຊອກຫາວທິ ແີກໄູ້ຂບນັຫາກ່ ຽວກບັກດິຈະກາໍ , ເນ ູ້ອໃນບດົຮຽນ ແລະ ບດົ ເຝ ກຫດັ I. ກດິຈະກາໍ 1. ກດິຈະກາໍ 1 ຮ ບໃດເປັນຮ ບທໍ ່ ລ່ ຽມ ຕອບ: ຮ ບ ກ ແລະ ຮ ບ ຄ. 2. ກດິຈະກາໍ 2 ຮ ບໃດເປັນຮ ບແບຂອງຮ ບທໍ ່ລ່ ຽມທີ ່ມພີ ູ້ນເປັນຮ ບຫາູ້ແຈສະເໝ.ີ ກ ຂ ຄ ກ ຂ ຄ

69 ຕອບ: ຮ ບ ຂ. 3. ກດິຈະກາໍ 3 ເພິ ່ນໃຫຮູ້ ບທໍ ່ ລ່ ຽມ (ກ) ແລະ ຮ ບແບ (ຂ) ຂອງມນັ . - ຈົ ່ງໝາຍຈອມຕ່າງໆຂອງຮ ບທໍ ່ ລ່ ຽມໃສ່ຮ ບແບຂອງມນັ . - ຈົ ່ງໃຫຄູ້່າລວງຍາວ , , ແລະ ℎ. - ຈົ ່ງຄດິໄລ່ເນ ູ້ອທີ ່ ໜາູ້ອອູ້ມຂາູ້ງຢ່ ຮ ບແບ. - ຈົ ່ງຄດິໄລ່ຜນົຄ ນລະຫວ່າງລວງຮອບພ ູ້ນກບັລວງສ ງຂອງຮ ບທໍ ່ ລ່ ຽມ. ສງັເກດເຫນັແນວໃດ? ວທິ ແີກ ູ້ - ໝາຍຈອມຕ່າງໆຂອງຮ ບທໍ ່ລ່ ຽມໃສ່ຮ ບແບຂອງມນັ . - ເຮາົໄດລູ້ວງຍາວຂອງ = 3 ; = 4 ; = 2 ແລະ ℎ = 5. - ຄດິໄລ່ເນ ູ້ອທີ ່ ໜາູ້ອອູ້ມຂາູ້ງຢ່ ຮ ບແບ. (ກ) A D F C B E 4 5 (ຂ) A D ℎ A D ℎ A D E E B B F C

70 ເຮາົມ: ີຄດິໄລ່ເນ ູ້ອທີ ່ໜາູ້ອອູ້ມຂາູ້ງຢ່ ຮ ບແບ = + + ຄດິໄລ່ເນ ູ້ອທີ ່ ໜາູ້ອອູ້ມຂາູ້ງຢ່ ຮ ບແບ = (4 × 5) + (2 × 5) + (3 × 5) ຄດິໄລ່ເນ ູ້ອທີ ່ ໜາູ້ອອູ້ມຂາູ້ງຢ່ ຮ ບແບ = 20 + 10 + 15 = 452 ດັ ່ງນັນູ້ ເນ ູ້ອທີ ່ໜາູ້ອອູ້ມຂາູ້ງຢ່ ຮ ບແບເທົ ່າກບັ 452 - ຄດິໄລ່ຜນົຄ ນລະຫວ່າງລວງຮອບພ ູ້ນກບັລວງສ ງຂອງຮ ບທໍ ່ລ່ ຽມ. ຮ ວູ້່າ: ລວງຮອບພ ູ້ນຂອງຮ ບທໍ ່ລ່ ຽມ = 2 + 4 + 3 = 9 ແລະ ລວງສ ງຂອງຮ ບທໍ ່ລ່ ຽມ = 5 ສະນັນູ້ ລວງຮອບພ ູ້ນ × ລວງສ ງ = 9 × 5 = 452 ດັ ່ງນັນູ້ ຄ ນລະຫວ່າງລວງຮອບພ ູ້ນກບັລວງສ ງຂອງຮ ບທໍ ່ ລ່ ຽມເທົ ່າກບັ 452 . ເຮາົສງັເກດເຫນັວ່າ: ຜນົຄ ນລະຫວ່າງລວງຮອບພ ູ້ນກບັລວງສ ງຂອງຮ ບທໍ ່ລ່ ຽມ ແລະ ເນ ູ້ອທີ ່ໜາູ້ ອອູ້ມຂາູ້ງຢ່ ຮ ບແບຂອງຮ ບທໍ ່ລ່ ຽມມຄີ່າເທົ ່າກນັ . 4. ກດິຈະກາໍ 4 ເພິ ່ນໃຫຮູ້ ບກບັສາກ (ກ) ແລະ ເຄິ ່ ງໜ ່ ງຂອງມນັ (ຂ). - ຈົ ່ງບອກຄ່າລວງຍາວ , ແລະ ℎ. - ຈົ ່ງຄດິໄລ່ບໍລມິ າດຂອງຮ ບ (ກ) ແລວູ້ນາໍ ໃຊຜູ້ ນົໄດຮູ້ບັ ເພ ່ອຄດິໄລ່ບໍລມິ າດຂອງຮ ບ (ຂ). ວທິ ແີກ ູ້ - ເຮາົມລີວງຍາວຂອງ = 6 ; = 2 ; ℎ = 4 - ຊອກບໍລມິ າດຂອງຮ ບ (ກ) ສນັຍາລກັ ດວູ້ຍ 1 = ? ເຮາົມສີ ດຄດິໄລ່ບໍລມິ າດຂອງຮ ບກບັສາກແມ່ນ = × ℎ / ແມ່ນເນ ູ້ອທີ ່ພ ູ້ນ ເຮາົໄດູ້1 = (6 × 2) × 4 1 = 483 ດັ ່ງນັນູ້ ບໍລມິ າດຂອງຮ ບ (ກ) ແມ່ນເທົ ່າກບັ 483 ແລະ ເຮາົສາມາດຊອກຫາບໍລມິ າດຂອງ ຮ ບ (ຂ) ໄດູ້ ໂດຍນາໍໃຊຜູ້ ນົໄດຮູ້ບັຈາກຮ ບ (ກ) ຕາມເງ ່ອນໄຂທີ ່ວ່າ: ຮ ບ (ຂ) ແມ່ນເຄິ ່ ງໜ ່ ງ ຂອງຮ ບ (ກ) ເຮາົມ:ີ (ຂ) ℎ (ກ) 6 2 4

71 2 = 1 2 1 ເຊິ ່ ງໃນນີ ູ້2 ແມ່ນບໍລມິ າດຂອງຮ ບ (ຂ) ເຮາົຈະໄດູ້ 2 = 1 2 × 483 2 = 243 ດັ ່ງນັນູ້ ບໍລມິ າດຂອງຮ ບ (ຂ) ແມ່ນເທົ ່າກບັ 243 . II. ໃຈຄວາມ 1. ຮ ບທໍ ່ລ່ ຽມ - ຮ ບທໍ ່ລຽມ ແມ່ນຮ ບກອູ້ນທີ ່ມສີອງໜາູ້ເປັນຮ ບຫຼາຍແຈເທົ ່າກນັ ແລະ ຂະໜານກນັ ເຊິ ່ ງເອີ ູ້ນ ວ່າ: ພ ູ້ນ. ABC ແລະ A’B’C’ ແມ່ນພ ູ້ນ. ABB’A’ ; BCC’B’ ; CAA’C’ ແມ່ນໜາູ້ຂາູ້ງ. ລ່ ຽມຂາູ້ງ AA’ = BB’ = CC’ ແມ່ນລວງສ ງ. - ໜາູ້ທີ ່ ເປັນຮ ບສີ ່ ແຈສາກເຊິ ່ ງມຈີາໍນວນໜາູ້ເທົ ່າກບັຈາໍນວນຂາູ້ງຂອງພ ູ້ນເອີ ູ້ນວ່າ: ໜາູ້ຂາູ້ງ. (ABB’A’), (BCC’B’) ແລະ (CAA’C’) ແມ່ນໜາູ້ຂາູ້ງ, ທຸກໆລ່ ຽມຂາູ້ງລວູ້ນແຕ່ມລີວງ ຍາວເທົ ່າ ກນັ ເຊິ ່ ງເອີ ູ້ນວ່າ: ລວງສ ງຂອງຮ ບທໍ ່ . 2. ຮ ບແບຂອງຮ ບທໍ ່ລ່ ຽມ B’ B C C ’ A ’ A E 4 5 A 3 5 6 6 5 ລວງຮອບພ ັ້ນ ລວງສູງ

72 ຮ ບເດມີ ຮ ບແບ 3. ເນ ູ້ອທີ ່ ແລະ ບລໍ ມິ າດ ເນ ູ້ອທີ ່ອອູ້ມຂາູ້ງ = ລວງຮອບພ ູ້ນ × ລວງສ ງ Aອຂ = × ℎ Aອຂ ແມ່ນເນ ູ້ອທີ ່ອອູ້ມຂາູ້ງ ແມ່ນລວງຮອບພ ູ້ນ ℎ ແມ່ນລວງສ ງ ເນ ູ້ອທີ ່ທງັໝດົ = ເນ ູ້ອທີ ່ອອູ້ມຂາງູ້ + ສອງເນ ູ້ອທີ ່ພ ູ້ນ Aທໝ = ( × ℎ) + (2 × ) ແມ່ນເນ ູ້ອທີ ່ພ ູ້ນ ບໍລມິ າດ = ເນ ູ້ອທີ ່ພ ູ້ນ × ລວງສ ງ = × ℎ 2. ຮ ບທໍ ່ກມົ ຈດຸ ປະສງົ - ເພ ່ອເຮດັນກັ ຮຽນຊອກຫາຈດຸ ທີ ່ມບີນັຫາໄດກູ້່ ຽວກບັຮ ບທໍ ່ກມົ - ເພ ່ອຊອກຫາວທິ ແີກໄູ້ຂບນັຫາກ່ ຽວກບັກດິຈະກາໍ , ເນ ູ້ອໃນບດົຮຽນ ແລະ ບດົ ເຝ ກຫດັ I. ກດິຈະກາໍ 1. ກດິຈະກາໍ1 1) ໃຫນູ້ກັ ຮຽນນາໍ ວດັຖຸທີ ່ມລີກັ ສະນະທໍ ່ກມົ ທີ ່ມພີ ູ້ນເປີດເຮດັດວູ້ ຍເຈຍູ້ເຊນັ : ແກນຂອງເຈຍູ້ອະນາໄມ ມາ ປະຕບິດັຕາມລໍາດບັຕາມຂັນູ້ຕອນ ແລະ ຕອບຄໍາຖາມຕໍ ່ ໄປນີ ູ້ : ກ. ຈົ ່ງໃຊເູ້ຊອ ກວດັແທກລວງສ ງຂອງທໍ ່ກມົ ແລະ ລວງຮອບພ ູ້ນຂອງຮ ບທໍ ່ກມົ . ຂ. ຈົ ່ງຕດັຮ ບທໍ ່ກມົ ຕາມລວງສ ງຕັ ູ້ງສາກກບັພ ູ້ນຈະໄດຮູ້ ບແບເປັນຮ ບຫຍງັ? ຈົ ່ງແຕມູ້ ຮ ບແບນັນູ້. ຄ. ຈົ ່ງວດັແທກລວງກວູ້າງ ແລະ ລວງຍາວຂອງຮ ບແບທີ ່ ໄດຈູ້າກຂໍ ູ້(ຂ). ງ. ຈົ ່ງປຽບທຽບລວງສ ງ, ລວງຍາວ, ລວງຮອບພ ູ້ນທີ ່ ແທກໄດໃູ້ນຂໍ ູ້(ກ) ກບັລວງກວາູ້ງ, ລວງ ຍາວທີ ່ ຊອກໄດໃູ້ນຂໍ ູ້(ຄ) ພອູ້ມທງັບອກລວງຍາວຂອງສ່ວນໃດແດ່ທີ ່ ເທົ ່າກນັ . D 3 5

73 2) ຮ ບໃດເປັນຮ ບແບຂອງຮ ບທໍ ່ກມົ ແລະ ຖາູ້ດາູ້ນຂາູ້ງທີ ່ ແບອອກມາເປັນຮ ບຈະຕຸລດັ ເຊິ ່ ງມລີວງ ຮອບເປັນ . ແລວູ້ພ ູ້ນຂອງຮ ບທໍ ່ກມົ ແຕ່ລະພ ູ້ນມລີວງຮອບເທົ ່າໃດ ? 3) ຖາູ້ວ່າຮ ບແບຂາູ້ງເທງິແມ່ນຮ ບທໍ ່ກມົ ທີ ່ມລີດັສະໝພີ ູ້ນເທົ ່າ 3. ກ. ຈົ ່ງຊອກເນ ູ້ອທີ ່ພ ູ້ນຂອງຮ ບວງົມນົ ແລະ ຮ ບຈະຕຸລດັ . ຂ. ຈົ ່ງຊອກເນ ູ້ອທີ ່ທງັໝດົຂງ ຮ ບທໍ ່ກມົ (ຜນົບວກເນ ູ້ອທີ ່ທງັສອງວງົມນົ ແລະ ຮ ບຈະຕຸລດັ ). ວທິ ແີກ ູ້ ຮູບ 1 ຮູບ 2 ຮູບ 3 ຮູບ 4

74 1) ກ. ລວງສ ງຂອງຮ ບທໍ ່ກມົ ແມ່ນເທົ ່າກບັ 5. ລວງຮອບຂອງຮ ບທໍ ່ກມົ ແມ່ນເທົ ່າກບັ 2. ຂ. ເມ ່ອຕດັຮ ບທໍ ່ກມົ ຕາມລວງສ ງຕັ ູ້ງສາກກບັພ ູ້ນຈະໄດຮູ້ ບແບເປັນຮ ບສີ ່ ແຈສາກ. ຄ. ລວງກວຮູ້າງເທົ ່າ 5. ລວງຍາວຂອງຮ ບແບບທີ ່ ແທກໄດແູ້ມ່ນ 2. 2) ຮ ບທີ ່ ເປັນຮ ບແບຂອງຮ ບທໍ ່ກມົ ແມ່ນຮ ບ 2 ແລະ ຮ ບ 4. 3) ກ. ຊອກເນ ູ້ອທີ ່ພ ູ້ນຂອງຮ ບວງົມນົ ແລະ ຮ ບຈະຕຸລດັ . ຊອກເນ ູ້ອທີ ່ພ ູ້ນຂອງຮ ບວງົມນົ . ວງົມນົ= 2 ວງົມນົ= 3,14 × (3) 2 ວງົມນົ= 28,262 ຊອກເນ ູ້ອທີ ່ຂອງຮ ບຈະຕຸລດັ . ຈະຕຸລດັ= 2 ຈະຕຸລດັ= 3 2 ຈະຕຸລດັ= 92 ດັ ່ງນັນູ້ ເນ ູ້ອທີ ່ຂອງຮ ບວງົມນົ ເທົ ່າ 28,262 ແລະ ເນ ູ້ອທີ ່ຂອງຮ ບຈະຕຸລດັ ເທົ ່າ 92 ຂ. ຊອກເນ ູ້ອທີ ່ທງັໝດົຂອງຮ ບທໍ ່ກມົ ທໝ= 2 2 + ຈະຕຸລດັ ທໝ= 2(28,26) + 9 ທໝ= 65,522 II. ໃຈຄວາມ 1. ຮ ບທໍ ່ກມົ - ຮ ບທໍ ່ກມົ ແມ່ນຮ ບທີ ່ມພີ ູ້ນເປັນຮ ບແຜ່ ນມນົ , ທງັສອງພ ູ້ນເປັນຮ ບແຜ່ ນມນົມລີດັສະໝເີທົ ່າກນັ ແລະ ຢ່ ໜາູ້ ພຽງທີ ່ຂະໜານກນັ . - ເສັນູ້ ໃຫກູ້ າໍ ເນດີ ຕັ ູ້ງສາກກບັພ ູ້ນ (AA’) ⊥ (AO) ລວງຍາວຂອງເສັນູ້ ໃຫກູ້ າໍ ເນດີແມ່ນລວງສ ງ ຂອງຮ ບທໍ ່ກມົ . ລດ ສະໝ

75 2. ຮ ບແບຂອງຮ ບທໍ ່ກມົ ຮ ບທໍ ່ກມົ ປະກອບດວູ້ຍ: - ຮ ບແຜ່ ນມນົສອງຮ ບທີ ່ມລີດັສະໝເີທົ ່າກນັແມ່ນພ ູ້ນ. - ຮ ບສີ ່ ແຈສາກ ແລະ ເນ ູ້ອທີ ່ຮ ບສີ ່ ແຈສາກແມ່ນເນ ູ້ອທີ ່ອອູ້ມຂາູ້ງຂອງຮ ບທໍ ່ກມົ . ເນ ູ້ອທີ ່ ແລະ ບລໍ ມິ າດ ເນ ູ້ອທີ ່ພ ູ້ນ = ×ລດັສະໝ×ີ ລດັສະໝີ = 2 ເນ ູ້ອທີ ່ອອູ້ມຂາູ້ງ = ລວງຮອບພ ູ້ນ×ລວງສ ງ ອຂ= 2ℎ ເນ ູ້ອທີ ່ທງັໝດົ = 2 ×ເນ ູ້ອທີ ່ ເພ ູ້ນ + ເນ ູ້ອທີ ່ອອູ້ມຂາູ້ງ ທໝ= 2 2 + 2ℎ ບໍລມິ າດ = ເນ ູ້ອທີ ່ພ ູ້ນ×ລວງສ ງ = 2ℎ 3. ຮ ບໜ່ວຍມນົ ແລະ ຮ ບກອູ້ນມນົ A B A’ B’ O’ O ເສ ັ້ນໃຫກັ້ າໍເນດ (ລວງສູງ) ລວງສູງ ℎ 2 ເນອ ັ້ ທັ່ ອອັ້ ມຂາັ້ງ= 2ℎ ລວງສູງ ℎ

76 ຈດຸ ປະສງົ - ເພ ່ອເຮດັນກັ ຮຽນຊອກຫາຈດຸ ທີ ່ມບີນັຫາໄດກູ້່ ຽວກບັຮ ບໜ່ວຍມນົ ແລະ ຮ ບກອູ້ນມນົ - ເພ ່ອຊອກຫາວທິ ແີກໄູ້ຂບນັຫາກ່ ຽວກບັກດິຈະກາໍ , ເນ ູ້ອໃນບດົຮຽນ ແລະ ບດົ ເຝ ກຫດັ I. ກດິຈະກາໍ 1. ກດິຈະກາໍ1 ກ. ໜ ່ ງໃນຄໍາສບັ ເຫຼົ ່ານີມູ້ ຄີໍາສບັ ໃດແດ່ທີ ່ພວກເຮາົມກັ ໃຊູ້ເພ ່ອກ່າວເຖງິໜ່ວຍໂລກ: "ໜ່ວຍກມົ , ໜ່ວຍມນົ , ກອູ້ນມນົ , ເສັນູ້ວງົມນົ , ແຜ່ ນມນົ ". ຂ. ຖາູ້ເຮາົກາໍ ນດົ : - ຮ ບໜ່ວຍມນົແມ່ນໜາູ້ອອູ້ມຮອບຂອງໜ່ວຍໂລກ ຫຼ ໜາູ້ໜ່ ວຍມນົ ແລະ ພາກສ່ວນກາງຫາວທີ ່ ບນັຈຢຸ ່ ໜາູ້ ໜ່ວຍມນົ . - ກອູ້ນມນົ ແມ່ນພາກສ່ວນກາງຫາວທີ ່ບນັຈຢຸ ່ ໜາູ້ໜ່ວຍມນົ ແລະ ໃນໜ່ວຍມນົ . ຈົ ່ງຕ ່ມຕາຕະລາງລ່ ຸມນີ ູ້ : ແມ່ນຈດຸ ໜ ່ ງຂອງຮ ບ O A B C D E F ໜ່ວຍມນົ ບໍ ່ ແມ່ນ ແມ່ນ ແມ່ນ ແມ່ນ ບໍ ່ແມ່ນ ບໍ ່ແມ່ນ ແມ່ນ ກອູ້ນມນົ ແມ່ນ ແມ່ນ ແມ່ນ ແມ່ນ ແມ່ນ ແມ່ນ ແມ່ນ ຄ. ຈົ ່ງປຽບທຽບໄລຍະຫ່າງແຕ່ເມດັ A,B,C,D,E,F ຫາເມດັໃຈກາງ O ຂອງຮ ບໜ່ວຍມນົ ຫຼ ກອູ້ນມນົກບັ ລດັສະໝີ. ງ. ຈົ ່ງໃຫຂູ້ໍຄູ້ ດິ ເຫນັກ່ ຽວກບັຮ ບໜ່ວຍມນົ ແລະ ຮ ບກອູ້ນມນົມຄີວາມແຕກຕ່າງກນັແນວໃດ? ຈ. ຈົ ່ງບອກຊ ່ວດັຖຸ 2-3 ຊະນດິທີ ່ ເປັນຕວົແທນໃຫແູ້ກ່ຮ ບໜ່ ວຍມນົ ຫຼ ຮ ບກອູ້ນມນົ . ວທິ ແີກ ູ້ ກ. ໃນຄໍາສບັ ເຫຼົ ່ານີ ູ້ຄໍາທີ ່ກ່າວເຖງິໜ່ວຍໂລກມ: ີໜ່ວຍກມົ , ໜ່ວຍມນົ , ກອູ້ນມນົ . ຄ. OA=OB=OC=OF= ; OD< ; OE< ງ. ຮ ບໜ່ວຍມນົ ແລະ ຮ ບກອູ້ນມນົແຕກຕ່າງກນັຄ: - ຮ ບໜ່ວຍມນົ ແມ່ນຮ ບທີ ່ມໃີຈກາງຫວ່າງເປົ ່ າຈະເບາົເຊັ ່ນ: ໝາກບານ. D E A F C B

77 - ຮ ບກອູ້ນມນົ ແມນຮ ບທີ ່ມໃີຈເຕມັ ມນີໍ ູ້າໜກັ ຕວົຢ່ າງ: ໝາກໂມ. ຈ. ວດັຖຸທີ ່ ເປັນຕວົແທນໃຫແູ້ກ່ຮ ບໜ່ວຍມນົ ແລະ ຮ ບກອູ້ນມນົມ:ີ - ໜ່ວຍມນົມ: ີໝາກບານ - ກອູ້ນມນົມ: ີໝາກໂມ 2. ກດິຈະກາໍ2 - ຈົ ່ງສງັເກດວທິ ຄີດິໄລ່ ເນ ູ້ອທີ ່ ແລະ ບໍລມິ າດຂອງຮ ບກອູ້ນທີ ່ກາໍ ເນດີດວູ້ຍ [AB] ແລະ ເສັນູ້ຫກັ ABCDE ເມ ່ອພວກມນັປີ ່ ນອອູ້ມແກນ . ໃນນັນູ້: [A’B’] ແມ່ນເງາົຂອງ [AB]. [A’E’] ແມ່ນເງາົຂອງ [AE]. (OI) ແມ່ນເສັນູ້ກາງສາກຂອງ [AB]. (OH) ແມ່ນເສັນູ້ກາງສາກຂອງເສັນູ້ຫກັ (ດັ ່ງຮ ບ). ເນ ູ້ອທີ ່ : = 2 ×OI×A’B’ = 2 ×OH×A’E’ ບໍລມິ າດ: = 1 3 ×OI = 1 3 ×OH - ວທິ ດີ ັ ່ງກ່າວ, ຈົ ່ງຊອກເນ ູ້ອທີ ່ ແລະ ບໍລມິ າດຂອງທ່ອນໝ່ ວຍມນົລ່ ຸມນີ ູ້ : = (ລດັສະໝຂີອງໜ່ວຍມນົ ) = 2 ×OI×A’B’=…. ×A”B’…. = 1 3 ×OI=…. ×A’B’….. ຖາູ້ໃຫູ້[A’B’]=[PP’]= 2 =….. ….. =...... …… A’ O B’ A I B A’ O E’ A H B C D E P P’ O A I A’ B’ B

78 II. ໃຈຄວາມ ຮ ບໜ່ວຍມນົ ແລະ ຮ ບກອູ້ນມນົ ກ. ນຍິາມ - ຮ ບໜ່ວຍມນົມເີມດັໃຈກາງ O ແລະ ລດັສະໝີ ແມ່ນກ່ ຸມຂອງບນັດາເມດັຢ່ ໃນກາງຫາວ ເຊິ ່ ງໄລຍະ ຫ່າງຈາກເມດັ O ເທົ ່າກບັ. - ຮ ບກອູ້ນມນົມເີມດັໃຈກາງ O ແລະ ລດັສະໝີ ແມ່ນກ່ ຸມຂອງບນັດາເມດັຢ່ ໃນກາງຫາວ ເຊິ ່ ງໄລຍະ ຫ່າງຈາກເມດັ O≤ . ຈາກຮ ບ: E ເປັນເມດັໜ ່ ງຂອງຮ ບກອູ້ນມນົ ເພາະວ່າ < . B ເປັນເມດັໜ ່ ງຂອງຮ ບກອູ້ນມນົ ເພາະວ່າ = ແລະ ກໍ ່ ເປັນເມດັໜ ່ ງຂອງຮ ບໜ່ວຍມນົ . A ບໍ ່ ເປັນເມດັຂອງຮ ບກອູ້ນມນົ ແລະ ໜ່ວຍມນົ ເພາະວ່າ: OA> . ຂ. ເນ ູ້ອທີ ່ຂອງຮ ບໜ່ວຍມນົ, ບລໍ ມິ າດຂອງຮ ບກອູ້ນມນົ. ເນ ູ້ອທີ ່ຂອງຮ ບໜ່ວຍມນົມລີດັສະໝີ ແມ່ນ: = 4 2 ບໍລມິ າດຂອງຮ ບກອູ້ນມນົມລີດັສະໝີ ແມ່ນ: = 4 3 3 ຕວົຢ່ າງ: ຈົ ່ງຊອກຫາເນ ູ້ອທີ ່ ແລະ ບໍລມິ າດຂອງຮ ບໜ່ວຍມນົທີ ່ມລີດັສະໝີ5. ວທິ ແີກ:ູ້ ເນ ູ້ອທີ ່ຂອງຮ ບຂອງໜ່ວຍມນົ ຈາກສ ດ: = 4 2 = 4 × 3,14 × (5) 2 = 3142 ບໍລມິ າດຂອງຮ ບໜ່ວຍມນົ ຈາກສ ດ: = 4 3 3 = 4 3 × 3,14 × (5) 3 ≈ 523,333 B E A

79 ບດົທ ີ6 ການຜນັປ່ ຽນເທງິແຜ່ນພຽງ ແລະ ການນາໍ ໃຊ ູ້ I. ຈດຸ ປະສງົ ເພ ່ອໃຫນູ້ກັ ຮຽນສາມາດ: ບອກຄວາມໝາຍ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະຂອງການຍາູ້ຍຂະໜານເທງິແຜ່ ນພຽງ. ຊອກຮ ບທີ ່ໄດຈູ້າກການຍາູ້ຍຂະໜານໄດ.ູ້ ຊອກເວກັ ເຕຂີອງການຍາູ້ຍຂະໜານເມ ່ອກາໍ ນດົຮ ບຕົນູ້ ແບບ ແລະ ຮ ບທີ ່ ໄດຈູ້າກການຍາູ້ຍຂະໜານ. II. ເນ ູ້ອໃນຫກຼັ ນຍິາມຂອງການຍາູ້ຍຂະໜານ. ຄຸນລກັ ສະນະຂອງການຍາູ້ຍຂະໜານ. ການນາໍ ໃຊຂູ້ອງການຍາູ້ຍຂະໜານ. III. ກດິຈະກາໍການຮຽນ-ການສອນ 1. ໃຫນູ້ກັ ຮຽນພຈິາລະນາວ່າຮ ບໃດຕໍ ່ ໄປນີ ູ້ສະແດງເຖງິການຍາູ້ຍຂະໜານ. ( ໜາູ້ທີ170 ) 2. ຈົ ່ງແຕມູ້ ຮ ບທີ ່ໄດຈູ້າກການຍາູ້ຍຂະໜານຮ ບສີ ່ ແຈ ດວູ້ຍ ’ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ວທິ ແີກູ້ 1. ຮ ບທີ ່ ເປັນການຍາູ້ຍຂະໜານຄ : ຮ ບ ຂ. ແລະ ຮ ບ ງ. 2. ຮ ບທີ ່ ໄດຈູ້າກການຍາູ້ຍຂະໜານຮ ບສີ ່ ແຈ ດວູ້ຍ ’ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 3. ′ ′ ′ ′ ′

80 IV. ໃຈຄວາມ ນຍິາມ : ການຍາູ້ຍຂະໜານເທງິແຜ່ ນພຽງ ແມ່ນການຜນັປ່ ຽນທາງເລຂາຄະນດິທີ ່ມກີ ານຍາູ້ຍເມດັທຸກເມດັ ໄປ ເທງິແຜ່ ນພຽງຕາມເວກັ ເຕີແລະ ໄລຍະທາງເທົ ່າກນັຕາມທີ ່ກາໍ ນດົ . ຄຸນລກັ ສະນະທີ ່ສໍາຄນັຂອງກນຍາູ້ຍຂະໜານມດີ ັ ່ງນີ ູ້ : 1. ສາມາດຍາູ້ຍຮ ບຕົນູ້ ແບບເຕງັຮ ບທີ ່ດົຈູ້າກການຍາູ້ຍຂະໜານໄດພູ້ໍດ.ີ 2. ທ່ອນຊ ່ທີ ່ຕໍ ່ລະຫວ່າງເມດັທີ ່ກງົກນັຂອງຮ ບຕົນູ້ ແບບ ແລະ ຮ ບທີ ່ ໄດຈູ້າກການຍາູ້ຍຂະໜານແຕ່ລະຄ ຂະໜ ານ ກນັ ແລະ ຍາວເທົ ່າກນັທຸກເສັນູ້. 3. ທ່ອນຊ ່ ເທງິຕົນູ້ ແບບ ແລະ ຮ ບທີ ່ ໄດຈູ້າກການຍາູ້ຍຂະໜານທ່ອນຊ ່ນັນູ້ ຈະຂະໜານກນັ ແລະ ຍາວເທົ ່າ ກນັ . ຕວົຢ່ າງ : ກາໍ ນດົໃຫູ້∆’’’ ເປັນຮ ບທີ ່ໄດຈູ້າກການຍາູ້ຍຂະໜານ ∆ ດວູ້ຍ ’ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ຄໍາຕອບ : V. ບດົ ເຝິກຫດັ 1. ໃຫຮູ້ ບສີ ່ ແຈ ABCD ເປັນຮ ບຕນົແບບ ຮ ບສີ ່ ແຈ A’B’C’D’ ເປັນຮ ບທີ ່ໄດຈູ້າກການຍາູ້ຍຂະໜານຮ ບສີ ່ ແຈ ABCD ເຊິ ່ ງມເີມດັ A’(7;2) ເປັນຮ ບທີ ່ໄດຈູ້າກການຍາູ້ຍຂະໜານເມດັ A. ຈົ ່ງຊອກຫາຕວົປະສານຂອງເມດັ B’ , C’ , ແລະ D’ . ′ ′ ′ ′ ′ ′

81 2. 3. ຈົ ່ງຊອກຫາເນ ູ້ອທີ ່ໂດຍປະມານຂອງຮ ບທີ ່ກາໍ ນດົໃຫ.ູ້ VI. ບດົແກບູ້ດົ ເຝິກຫດັ 1. ອງີຕາມການຍາູ້ຍຂະໜານ ເຮາົມ:ີ Graph Limited School Edition -8 -6 -4 -2 2 4 2 4 6 8 x y ′ ′ ′ 6 15

82 ຈາກຮ ບຈະໄດເູ້ມດັ B’(3;4) ; C’(7;8) ; D’(13;6) 2. ອງີຕາມສ ດ : = ລວງກວາູ້ງ × ລວງຍາວ = 6 × 15 = 902 ດັ ່ງນັນູ້ ເນ ູ້ອທີ ່ຂອງຮ ບທີ ່ ໃຫມູ້ າ ມປີະມານ 902 ′ ′ ′ ′ 6 15 Graph Limited School Edition -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 x y

83 ບດົທ ີ7 ເວກັ ເຕໃີນໜາູ້ພຽງ 1. ´½-Â--²¾®-À¸ñ¡-Àªó-Ã--Îɾ-²¼¤ a. º¾¡¾--®Ò-´ó-êò© -Áì½ º¾¡¾--´ó-êò© -Ã--¸ò§¾-³ó§ò¡-¦¾© -Áì½ ®ñ-©¾-º¾¡¾--ê†-²¸¡-À»ö¾-À£ó¨-²ö®-À¹ñ- Íõ-»¼--»øÉ-À§„­ º¾¡¾­-ꆮº¡-¦½- À²¾½-꾤-©É¾--¢½Î¾© -À§…¤¦¾´-¾©¦½-Á©¤-©É¸¨-¥¿-¸--¥ò¤ -À§„­ Ä쨽-꾤, -À­œº ê†, º÷­¹½²ø´, £¸¾´©ñ-, ´¸--¦¾- Áì½ £¸¾´-ĸ-À¯ñ-ªí-, ìɸ--ÁªÈ-Á´È--º¾¡¾--®Ò-´ó-êò© ¹ùõ º¾¡¾--¦¾-¡¾-Áì, -ÁªÈ-¨ñ¤- ´ó-º¾¡¾--ºˆ­-ºó¡-;¨-µÈ¾¤-ê†-´ó-êñ¤-¢½Î¾©- Áì½ êò©-꾤-À§…¤®Ò-¦¾´¾©-¦½-Á©¤-ºº¡-©É¸¨-¥¿-¸--¥ò¤-²¼¤- ÁªÈ-£È¾-©¼¸-Ä©É-À§„­ £¸¾´-ĸ, £¸¾´-Á»¤, £¸¾´©ñ-, -´´ñ¤. À¯ñ--ªí-ÁªÈÁ´È-º¾¡¾-´óêò© Íõ À¸ñ¡Àªó. b. -ò¨¾´À¸ñ¡Àªó ¦ö´´÷©Ã¹É Áì½ Á´È-À´ñ©Ã-Îɾ²¼¤ «É¾¸È¾À»ö¾ªÉº¤¡¾-¦ô¡¦¾êñ¤êò©, 츤 Áì½ ¢½Î¾©¢º¤êȺ­§ˆ , íÀ¸ì¾­š ¦…¤ê†À»ö¾¦ô¡¦¾­˜­Àºš­¸È¾À¸ñ¡Àªó. -ò¨¾´ 1 êȺ­§ˆê†´ó¢½Î¾©, 츤 Áì½ êò©ºñ­Á­È­º­Àºš­¸È¾À¸ñ¡Àªó Áì½ ¦ñ­¨¾ìñ¡ ©É¸¨ . À´ñ© Àºš­¸È¾À´ñ©ªí­¢º¤ À´ñ© Àºš­¸È¾À´ñ©¯¾¨¢º¤ ©„¤»ø®¢º¤À¸ñ¡Àªó ¥½´óìñ¡¦½­½À¯ñ­ìø¡¦º­ À§…¤´óÀ´ñ©ªí­µøÈÀ´ñ© Áì½ ´óÀ´ñ©¯¾¨µøÈÀ´ñ© . (»ø® 1) A B AB AB A AB B AB AB A B

84 ®¾¤ÀꈺÀ»ö¾Ã§É¦ñ­¨¾ìñ¡ Áê-À¸ñ¡Àªó ¡ðÄ©É.¥¾¡»ø®¢É¾¤Àêò¤ À»ö¾¦¾´¾© ¦ñ¤À¡©À¹ñ-¸È¾ µøÈÀêò¤À¦˜­§ˆ , Àºš-¸È¾ì¸¤¢º¤À¸ñ¡Àªó , 츤¨¾¸¢º¤êȺ­§ˆ Àºš­¸È¾¢½Î¾©¢º¤À¸ñ¡Àªó À²…­¦ñ­¨¾ìñ¡ . ¦º¤À¸ñ¡Àªó Áì½ »È¸´êò©©¼¸¡ñ­¡ÒªÒÀ´ˆºÀ¸ñ¡Àªóêñ¤¦º¤­º­µøȦº¤À¦˜­§ˆ¢½Î¾­ ¡ñ­ Íõ À¦˜­§ˆÀªñ¤¡ñ­ Áì½ ´óêò©©¼¸¡ñ­. À²…­¦ñ­¨¾ìñ¡ (»ø® 2). »ø® 2 »ø® 3 «É¾¦º¤À¸ñ©Àªó Áì½ ´óêò©¡ö¤¡ñ­¢É¾´¡ñ­, À²…­¨¾ìñ¡ (»ø® 3). ¦º¤À¸ñ¡Àªó Áì½ »È¸´ì¸¤¡ñ­¡ÒªÒÀ´ˆº¦º¤À¸ñ¡Àªó­˜­­º­Ã­¦º¤À¦˜­§ˆ¢½Î¾­¡ñ­ Íõ À¦˜­§ˆ Àªñ¤¡ñ­ (»ø® 4). (¡) (¢) (£) (¤) »ø® 4 »ø® 4 (¤) Á´È-¦º¤À¸ñ¡Àªó Áì½ ®Ò»ú¸´êò© Áì½ ®Ò»È¸´ì¸¤©¼¸¡ñ-. -ò¨¾´ 2 À¸ñ¡ÀªóꆴóÀ´ñ©ªí­ Áì½ À´ñ©¯¾¨Àªñ¤¡ñ­Àºš­¸È¾À¸ñ¡Àªó¦ø­ Áì½ ¦ñ­¨¾ìñ¡À©É¸¨ . (À¸ñ¡Àªó Á´È­À¸ñ¡Àªóꆴóêò© Áì½ ì¸¤®Ò¥¿¡ñ©, Á´È­À¸ñ¡Àªóꆢ½Î¾­ Áì½ ª˜¤¦¾¡¡ñ® ê÷¡ÅÀ¸ñ¡Àªó) -ò¨¾´ 3 ¦º¤À¸ñ¡ÀªóÀꉾ¡ñ­¡ÒªÒÀ´ˆºÀ¸ñ¡Àªóêñ¤¦º¤´ó¢½Î¾©Àꉾ¡ñ­, ´óêò© Áì½ ì¸¤ºñ­©¼¸ ¡ñ­, Ͼ¨£¸¾´¸È¾: Á´È- (À¸ñ¡ÀªóÀꉾ¡ñ­®Ò¥¿À¯ñ­ªÉº¤´óÀ´ñ©ªí­À¯ñ­ À´ñ©©¼¸¡ñ­. À´ñ©ªí­¥½µøÈæ¡ðÄ©É ÁªÈùɴóêò©©¼¸¡ñ­ Áì½ ¢½Î¾©Àꉾ¡ñ­) u AB AB AB AB AB AB u v u v u v u v u v u v 0 0 u v u v

85 -ò¨¾´ 4 À¸ñ¡Àªó¹ö¸Îȸ¨Á´È­À¸ñ¡Àªóꆴó¢½Î¾©Àꉾ·¤¹ö¸Îȸ¨. À²…­¦ñ­¨¾ìñ¡©É¸¨ . . - À¸ñ¡Àªó¹ö¸Îȸ¨´óêò©Ä¯ª¾´Á¡- ¦ñ-¨¾ìñ¡©É¸¨ . - À¸ñ¡Àªó¹ö¸Îȸ¨´óêò©Ä¯ª¾´Á¡- ¦ñ-¨¾ìñ¡©É¸¨ . - À¸ñ¡Àªó¹ö¸Îȸ¨´óêò©Ä¯ª¾´Á¡- ¦ñ-¨¾ìñ¡©É¸¨ . »ø® 5 2. ¡¾-£¿-¸-À¸ñ¡ÀªóÃ-Îɾ²¼¤ a. ¡¾-®¸¡À¸ñ¡Àªó ¡ðì½-óêó 1 ¦ö´´÷©Ã¹É¦º¤À¸ñ¡Àªó Áì½ ´óêò©©¼¸¡ñ­ À§…¤­º­µøÈíÀ¦˜­§ˆ©¼¸¡ñ­. »ø® 6 ÁªÈ Áì½ ´óêò©Ä¯ª¾´ ¨Éº-¸È¾ ¡ðì½-óêó 2 ¦ö´´÷©Ã¹É¦º¤À¸ñ¡Àªó Áì½ ®Ò»ú¸´êò© Áì½ ì¸¤©¼¸¡ñ-µøÈÀêò¤Á°È- ²¼¤©¼¸ ¡ñ-. ¡¾­§º¡°ö­®¸¡¢º¤¦º¤À¸ñ¡Àªó©„¤¡È¾¸Á´È­­¿Ã§ÉÍñ¡¡¾­À¦˜­À­„¤¥º´»ø®¦†Á¥¢É¾¤ ¢½Î¾-. i j k , , i j k 1 ox i oy j oz k a b c a b c b a b b a a b

86 ¥¾¡À´ñ©¯¾¨¢º¤À¸ñ¡Àªó ¢ó©À¦˜­§ˆ¢½Î¾­¡ñ® , ¥¾¡À´ñ©¯¾¨¢º¤À¸ñ¡Àªó ¢ó©À¦˜­§ˆ¢½Î¾­¡ñ® . ¦º¤À¦˜­§ˆ©„¤¡È¾¸ªñ©¡ñ­µøÈÀ´ñ©Î‡¤ À§…¤À¯ñ­À´ñ©¯¾¨¢º¤À¸ñ¡Àªó . êò©¢º¤ À솴¥¾¡À´ñ© À«ò¤À´ñ©ªñ© ©„¤Ã­»ø® 8. ¡¾-§º¡¹¾°ö-®¸¡¢º¤¦º¤À¸ñ¡Àªó Áì½ ¨ñ¤¦¾´¾©§º¡Ä©É©„¤­š: ¦ö´´÷©Ã¹ÉÀ¸ñ¡Àªó Áì½ µøÈÀêò¤Á°È-²¼¤©¼¸¡ñ-, ªÒÀ´ñ©ªí-¢º¤À¸ñ¡Àªó µøȯ¾¨ ¢º¤À¸ñ¡Àªó , ¥¾¡­˜­ªÒÀ´ñ©ªí­¢º¤À¸ñ¡Àªó æÈÀ´ñ©¯¾¨¢º¤À¸ñ¡Àªó À»ö¾¥½Ä©ÉÀ¸ñ¡Àªó À§…¤Á´È­°ö­®¸¡¢º¤À¸ñ¡Àªó Áì½ . »ø® 8 - ¢½Î¾©¢º¤ ªö¸µÈ¾¤ 1 »ø® 9 ªö¸µÈ¾¤ 2 b a a b c c a b c o a b a b b a a b c a b c a b a b a b 2 cos , 2 2 1 2 cos a,b cos cos 1 2 2 2 c a b 2 a b cos

87 »ø® 10 ¡¾-®¸¡Í¾¨À¸ñ¡Àªó ¡¾-®¸¡Í¾¨À¸ñ¡ÀªóÀ»ö¾©¿À-ó-£õ: ªÒÀ´ñ©ªí-¢º¤À¸ñ¡Àªóê󦺤æÈÀ´ñ©¯¾¨¢º¤À¸ñ¡ Àªóêó·¤, À´ñ©ªí-¢º¤À¸ñ¡Àªóê󦾴æÈÀ´ñ©¯¾¨¢º¤À¸ñ¡Àªóê󦺤 Áì½ ©¿À-ó-ªÒÅįÀ»ö¾¥½ À¸ñ¡Àªó°ö­®¸¡¢º¤Í¾¨À¸ñ¡Àªó À§…¤´óÀ´ñ©ªí­µøÈÀ´ñ©ªí­¢º¤À¸ñ¡Àªóêó·¤ Áì½ À´ñ©¯¾¨µøÈ À´ñ©¯¾¨¢º¤À¸ñ¡Àªó¦÷©êɾ¨. »ø® 11 b. ¡¾-ìö®À¸ñ¡Àªó ¡¾-ìö®¦º¤À¸ñ¡Àªó Áì½ . »ø® 12 »ø® 13 ¡ò©¥½¡¿ ¦É¾¤ÁªÉ´À¸ñ¡Àªó°ö-®¸¡ Áì½ À¸ñ¡Àªó°ö-ìö® 1 2 cos a,b cos cos 1 2 2 2 c a b 2 a b cos a a a a n 1, 2 3 , ..., a a1 a2 a3 a4 a b c a b c b a

88 2. ùÉÀ¸ñ¡Àªó . ¥‰¤Ï¾¨ æȻø®ì÷È´­š À§…¤¸È¾ . »ø® 14 3. ùÉÀ¸ñ¡Àªó .¥‰¤¦É¾¤ÁªÉ´»ø®ª¾´À¤ˆº­Ä¢ì÷È´­š: ¡. ¢. £. »ø® 15 º÷¯½¡º- ®ñ­êñ©, À¥É¨ê†ÁªÉ´»ø®À¸ñ¡Àªó (í¡ò©¥½¡¿ 1, 2) ¸òêó©¿À-ó-¡ò©¥½¡¿ - ¥ñ©-ñ¡»¼-ºº¡À¯ñ-¡÷È´. - £øµ¾¨À¥É¨¡ò©¥½¡¿Ã¹ÉÁªÈ콡÷È´²Éº´Á-½-¿. - -ñ¡»¼-¦ö-ê½-¾¡ñ-²Éº´¡ñ-À»ñ©. - ÁªÈ콡÷È´ºº¡Ä¯ªò©À¥É¨¡ò©¥½¡¿ê†¡÷È´À»ñ©. - £ø, -ñ¡»¼-êñ¤Ïö©¹Éº¤²Éº´¡ñ-¡¸©£õ-¡ò©¥½¡¿ÁªÈ콡÷ȴĩɦ½ÀÎó. - £ø®º¡£¿ªº®ê†«õ¡ªÉº¤. 3. ®¾¤£÷­ìñ¡¦½­½²œ­«¾­ «É¾ À¯ñ-À¸ñ¡ÀªóÃ-Îɾ²¼¤ 1. £÷-ìñ¡¦½-½¸ò-ò²ñ2. £÷-ìñ¡¦½-½¦½´½£½²ñ-. 3. £÷-ìñ¡¦½-½Àº¡½ìñ¡ 4. ©©¼¸¡ñ- ´óêò©¡ö¤¡ñ-¢É¾´¡ñ- ²ò¦ø© 1 ²ò¦ø©¸È¾ : ¥¾¡»ø® 14 a b , c c a b a b , a b a b b a u v w , Áì½ u v v u (u v) w u (v w) u o o u u u v u v u v u v «û¾ u Áì½ v ´óêò u v u v u v «û¾ Áì½ u v v u

89 Áì½ ©„¤­˜­ »ø® 16 ²ò¦ø© 2 ²ò¦ø©¸È¾ : ¥¾¡ (»ø® 15) Áì½ ©„¤­˜­, »ø® 17 4. À¸ñ¡Àªóí콮ö®À¦˜­À£í¾ª˜¤¦¾¡ À»ö¾¥½¦É¾¤À¸ñ¡Àªóí콮ö®ªö¸¯½¦¾­ª˜¤¦¾¡ê†´óÀ¸ñ¡Àªó¹ö¸Îȸ¨ a. À¸ñ¡ÀªóꆴóÀ´ñ©ªí-µøÈÀ´ñ©À£í¾ À¸ñ¡ÀªóꆴóÀ´ñ©ªí­µøÈÀ´ñ©À£í¾ Áì½ À´ñ©¯¾¨µøÈÀ´ñ© À¸ñ¡Àªó Áì½ Àºš­¸È¾ À¸ñ¡Àªó¯½¦¾­ª˜¤¦¾¡ ¹ùõu v w OP PQ OQ ¹ùõv u w OR RQ OQ u v v u u v w u v w ) OP PQ OQ u v OQ QR PR v w OP PR QR Z Z ¹ùõu v w OQ QR QR Z w Z ¹ùõuv u v w u v w i j Áì½ A a,b ai bj OA

90 »ø® 18 À¹ñ-¸È¾ À¸ñ¡Àªó ÁªÈ¨Éº-À¸ñ¡Àªó Á´È­À¸ñ¡Àªóꆴóêò©Á¡­ Áì½ ¨¾¸Àꉾ¡ñ® ¹ö¸Îȸ¨ ©„¤­˜­, Áì½ ¨Éº-¸È¾À¸ñ¡Àªó ©„¤­˜­ ªö¸µÈ¾¤ Ã¹É À¯ñ-À´ñ©À£í¾ Áì½ Á´È­À´ñ©Àêò¤Îɾ²¼¤©„¤­˜­À»ö¾ ¥½Ä©ÉÀ¸ñ¡Àªó »ø®êó 19 b. À¸ñ¡ÀªóꆴóÀ´ñ©ªí­µøȪȾ¤¥¾¡À´ñ©À£í¾ À¸ñ¡ÀªóꆴóÀ´ñ©ªí­ªÈ¾¤¥¾¡À´ñ©À£í¾. Ã¹É Á´È-À´ñ©ªí- Áì½ Á´È-À´ñ© ¯¾¨. OA OB BA OB ox OB ai OB b j OA ai bj v a,b o A 3,2 , B 2,4 OB i j OA i j 2 4 3 2 Pa,b Qc,d 2 4 2 3

91 »ø® 20 ¥¾¡»ø®À»ö¾¥½À¹ñ-ĩɸȾ ¨Éº-¸È¾£¸¾´¨¾¸¢º¤ . ©„¤­˜­ ´óêò©ª¾´Á¡- , ´óêò©ª¾´Á¡- ©„¤­˜­ . ªö¸µÈ¾¤ Ã¹É Áì½ Á´È­¦º¤À´ñ©Àêò¤Á°È­²¼¤ ¥‰¤§º¡À¸ñ¡Àªó ¸òêóÁ¡É À¸ñ¡Àªó ¡ò©¥½¡¿ ùÉ-ñ¡»¼-¦É¾¤À¸ñ¡ÀªóÃ-ì½®ö®ªö¸¯½¦¾-ªûñ¤¦¾¡ 1. ¥‰¤¦É¾¤À¸ñ¡ÀªóꆴóÀ´ñ©¡ö¡Á´È­ Áì½ À´ñ©¯¾¨Á´È- . 2. Ã¹É Áì½ Á´È-¦º¤À´ñ©Àêò¤Á´È-²¼¤ ¥‰¤§º¡À¸ñ¡Àªó . º÷¯½¡º- ®ñ-êñ©, À¥É¨¡ò©¥½¡¿, À¥É¨¦½ÍЮ¡ò©¥½¡¿ ¸òêó©¿À-ó-¡ò©¥½¡¿ - ¥ñ©-ñ¡»¼-À¯ñ-¡÷È´ ºó¤ª¾´£¸¾´ÀϾ½¦ö´. - £øµ¾¨À¥É¨¡ò©¥½¡¿ê†¢¼­ÁìɸùÉÁªÈ콡÷È´²Éº´Á­½­¿. - -ñ¡»¼-ÁªÈ콡÷È´¦ö-ê½-¾¡ñ- ²Éº´¡ñ-¦É¾¤»ø®. - ùÉ-ñ¡»¼-ÁªÈ콡÷È´ºº¡´¾¦½ÀÎó¡ò©¥½¡¿¢º¤¡÷È´ªö-. - ­ñ¡»¼­êñ¤Ïö©¹Éº¤²Éº´£ø¦½ÀÎ󣿪º®ê†«õ¡. PQ PR RQ PR c a PR c a i ox RQ d b j oy PQ c a i d b j P3,2 Q6,7 PQ PQ 6 3i 7 2j 3i 5 j A4,5 B1,2 P3,2 Q5,3 PQ

92 5. ¡¾­£¿­¸­À¸ñ¡Àªóí콮ö®À¦˜­À£í¾ª˜¤¦¾¡ a. ¡¾­®¸¡ Áì½ ¡¾­ìö®À¸ñ¡Àªóí콮ö®À¦˜­À£í¾ª˜¤¦¾¡ -ò¨¾´ ¡¿-ö©Ã¹É Áì½ À²…­¡¿­ö©¡¾­®¸¡ Áì½ ¡¾­ìö®©É¸¨ ªö¸¯½¦¾­ª˜¤¦¾¡©„¤­š. ªö¸µÈ¾¤ «É¾Ã¹É Áì½ Ä©É »ø® 21 b. ¢½Î¾©¢º¤À¸ñ¡Àªóí콮ö®À¦˜­À£í¾ª˜¤¦¾¡ ¹ùñ¡À¡- ¡¿-ö©Ã¹ÉÀ¸ñ¡Àªó À¯ñ-À¸ñ¡ÀªóÃ-Îû¾²¼¤¢½Î¾©¢º¤À¸ñ¡Àªó ¡¿-ö© ©É¸¨¦½ÀÎó°ö- . ²ò¦ø© u ai b j v c i d j u v a ci b d j u v a c i b d j u i j 3 v 2i 3 j u v 3 2i 1 3j 5i 4 j u v i j i j 3 2 13 2 u ai b j u 2 2 u a b

93 Ã¹É Á´È-À´ñ©¯¾¨¢º¤À¸ñ¡Àªó À»ö¾¥½Ä©É Á´È-¢½Î¾©¢º¤À¸ñ¡Àªó . ¥¾¡ (»ø®êó 20) ©¨ºó¤Ã¦È¹ùñ¡À¡-¯óª¾¡ð À»ö¾¥½Ä©É: ©„¤­˜­ . »ø® 22 ªö¸µÈ¾¤ «É¾ c. ¡¾-£ø-À¸ñ¡Àªóùɥ¿-¸- ¡¿-ö©Ã¹É Áì½ À¯ñ-¥¿-¸-¥ò¤ª¾´Ã¥ À»ö¾Ä©É ¥¾¡£¸¾´Ï¾¨¢º¤¡¾­£ø­¢É¾¤Àêò¤­š ¦½¹ù÷®Ä©É¸È¾: 3. ¢½Î¾©¢º¤ Àꉾ Àꈺ¢º¤¢½Î¾©À¸ñ¡Àªó . 4. «É¾ Áì½ ´óêò©¡ñ® . 5. «É¾ Áì½ ´óêò©¡ö¤¡ñ-¢É¾´¡ñ® . 6. «É¾ ¹ùõ ªö¸µÈ¾¤ 1 ¡¿-ö©Ã¹É 7. 8. Pa,b u OP u 2 2 2 2 OP OA OB a b 2 2 u a b 4 2 4 2 20 2 5 2 2 u i j u u ai b j K Ku kai kbj Ku K u K0 u 0 Ku u K0 u 0 Ku u K 0 u 0 ku 0 u 2i 5 j 2u 4i 10 j u i j 2 5 2 1