แผนการจัดการเรียนรู้ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 เล่ม 3/3

47

ชื่อ – สกุล .................................................................................... เลขท่ี .............. ชน้ั ม.3/................. 48

ใบงานที่ 2.4
เร่อื ง มุมในสว่ นโค้งของวงกลม

คำช้ีแจง : จงพสิ ูจนว์ ่า มมุ ในส่วนโค้งของวงกลมส่วนเดยี วกนั ยอ่ มเท่ากนั
สง่ิ ทกี่ ำหนดให้ ให้ O เปน็ จุดศนู ยก์ ลางของวงกลม

BÂC และ BD̂C อย่ใู นสว่ นโคง้ ของวงกลม BC เดียวกนั

สิ่งทตี่ ้องพสิ ูจน์ BÂC = BD̂C
พิสจู น์ ……………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………

ช่อื – สกุล .................................................................................... เลขท่ี .............. ชั้น ม.3/................. 49
เฉลยใบงานท่ี 2.4

เรอื่ ง มมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลม
คำชแ้ี จง : จงพสิ ูจนว์ า่ มุมในส่วนโคง้ ของวงกลมส่วนเดยี วกนั ยอ่ มเท่ากนั
สิ่งทก่ี ำหนดให้ ให้ O เปน็ จุดศนู ยก์ ลางของวงกลม

BÂC และ BD̂C อยูใ่ นสว่ นโค้งของวงกลม BC เดียวกนั

สิ่งท่ตี อ้ งพิสูจน์ BÂC = BD̂C
พสิ จู น์

50

แผนการจัดการเรยี นรูท้ ี่ 39 คณิตศาสตรพ์ ื้นฐาน ค23102
กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ เวลา 12 ช่ัวโมง
หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 2 วงกลม เวลา 1 ช่ัวโมง
เรอ่ื ง มุมและสว่ นโค้งท่ีรองรบั มมุ
ช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 3 ภาคเรียนท่ี 2/2564 โรงเรียนพบิ ลู ยร์ ักษพ์ ทิ ยา
วนั ที่ ........ เดือน ........................ พ.ศ. ............. ผ้สู อน นายเริงชยั วิชาดี

มาตรฐานการเรียนรู้ / ตวั ชี้วัด
มาตรฐานการเรียนรู้
มาตรฐาน ค 2.2 เข้าใจและวิเคราะหร์ ูปเรขาคณติ สมบัติของรูปเรขาคณิต ความสัมพันธ์

ระหว่างรปู เรขาคณติ และทฤษฎีบททางเรขาคณิต และนำไปใช้
ตัวชว้ี ดั
ค 2.2 ม.3/3 เข้าใจ และใช้ทฤษฎีบทเก่ียวกบั วงกลม ในการแก้ปญั หาคณิตศาสตร์

สาระสำคญั
ทฤษฎีบท ในวงกลมทีเ่ ท่ากันทุกประการหรอื ในวงกลมเดยี วกนั ถา้ มมุ ที่จุดศูนย์กลางมีขนาด

เท่ากันแลว้ ส่วนโค้งท่รี องรับมุมทจ่ี ุดศูนยก์ ลางนน้ั จะยาวเทา่ กนั

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ เมือ่ เรยี นจบบทเรยี นนี้แล้ว นกั เรยี นสามารถ
1. ด้านความรู้ (K)
อธิบายทฤษฎีบทหรือสมบตั ิของวงกลมที่เกี่ยวกับมมุ และส่วนโค้งทร่ี องรบั มุมได้อย่างน้อย

ร้อยละ 70
2. ด้านทักษะ (P)
นำทฤษฎบี ทหรือสมบัตขิ องวงกลมทเ่ี ก่ียวกบั มุมและส่วนโค้งท่รี องรบั มมุ ไปใช้ได้อยา่ งนอ้ ย

ร้อยละ 70
3. คุณลักษณะอนั พึงประสงค์ (A)
ทำความเข้าใจหรือสร้างกรณีทว่ั ไปโดยใช้ความร้ทู ่ไี ดจ้ ากการศึกษากรณี

ตัวอย่างหลาย ๆ กรณี

สาระการเรียนรู้
มมุ และสว่ นโคง้ ทรี่ องรับมมุ

51

การจดั กิจกรรมการเรยี นรู้
ขน้ั นำ
1. ครทู บทวนเกีย่ วกบั ทฤษฎบี ทวงกลมท่ีเคยเรียนมาแล้วโดยการ ถาม ตอบ
2. ครูแจง้ จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรูใ้ ห้นักเรียนทราบ
ข้นั สอน
3. ครูใหน้ กั เรยี นทำกิจกรรมตอ่ ไปน้คี อื
a. กำหนดให้จุด O และจดุ R เป็นจุดศนู ยก์ ลางของวงกลมสองวงทีเ่ ท่ากันทกุ ประการและ

AÔB = PR̂Q ดงั รูป

3.1 ใหน้ กั เรยี นใชก้ ระดาษลอกลายลอกรูปสามเหลย่ี มฐานโค้ง AOB
3.2 เลอ่ื นรปู สามเหลีย่ มฐานโค้ง AOB ไปทบั รปู สามเหลีย่ มฐานโค้ง PRQ ให้จุด O
ทับจดุ R และ ให้ O̅̅̅A̅ ทบั R̅̅̅P̅ รูปสามเหลีย่ มฐานโค้งท้งั สองจะทบั กันสนทิ ไดห้ รอื ไม่
3.3 m(AB) = m(PQ) หรือไม่
3.4 นักเรยี นพบความสมั พนั ธ์ระหวา่ งมมุ ท่จี ุดศนู ย์กลางกับสว่ นโคง้ ทีร่ องรบั มุมที่จุด
ศูนย์กลางเปน็ อย่างไร
3.5 นกั เรียนคาดการณ์วา่ ในวงกลมทเ่ี ท่ากันทุกประการ ถา้ มุมที่จดุ ศูนยก์ ลางมขี นาด
เทา่ กัน แลว้ ส่วนโคง้ ท่รี องรับมมุ ท้ังสองนนั้ จะยาวเทา่ กนั หรอื ไม่
4. กำหนดให้ O เปน็ จดุ ศูนย์กลางของวงกลมและ AÔB = CÔD ดงั รปู

52

4.1 ให้นกั เรยี นใชก้ ระดาษลอกลายลอกรูปสามเหลยี่ มฐานโคง้ AOB
4.2 ใหน้ กั เรียนหมุนกระดาษลอกลายโดยใชจ้ ุด O เป็นจุดหมนุ นกั เรยี นจะสามารถหมนุ ให้
รูปสามเหลยี่ มฐานโค้ง AOB ไปทบั รูปสามเหลย่ี มฐานโคง้ COD ไดส้ นิทหรอื ไม่
4.3 m(AB) = m(CD) หรอื ไม่
4.4 นักเรยี นพบความสมั พันธร์ ะหว่างมมุ ที่จุดศนู ยก์ ลางกบั ส่วนโค้งท่ีรองรับมุมท่ีจุด
ศนู ย์กลางเป็นอยา่ งไร
4.5 นกั เรยี นคาดการณ์วา่ ในวงกลมเดียวกนั ถ้ามมุ ทีจ่ ุดศูนยก์ ลางมีขนาดเท่ากันแล้วสว่ น
โค้งท่รี องรบั มมุ ท้งั สองนัน้ จะยาวเท่ากนั หรอื ไม่
5. จากกิจกรรมทั้งสองขา้ งต้นนักเรียนสามารถพิสจู นไ์ ด้ว่าเปน็ จริงซง่ึ เป็นไปตามทฤษฎบี ท
ท่ีจะกลา่ วถึงตอ่ ไปนี้โดยไม่แสดงการพิสูจน์
ทฤษฎีบท ในวงกลมทเี่ ท่ากนั ทกุ ประการหรือในวงกลมเดียวกันถา้ มุมทีจ่ ุดศนู ย์กลาง
มีขนาดเทา่ กัน แล้วสว่ นโคง้ ท่รี องรบั มุมทจ่ี ดุ ศูนย์กลางนนั้ จะยาวเทา่ กนั
6. ครอู ธิบายในหนงั สือเรียนให้นักเรยี นฟงั เพม่ิ เติมและเปดิ โอกาสให้นักเรียนไดซ้ กั ถาม
ขอ้ สงสัย
ขัน้ สรุปและฝกึ ทกั ษะ
7. ครแู ละนักเรียนร่วมกันสรปุ วา่

ทฤษฎีบท ในวงกลมท่เี ท่ากนั ทุกประการหรือในวงกลมเดยี วกันถา้ มุมทจ่ี ดุ ศนู ย์กลาง
มีขนาดเท่ากัน แล้วส่วนโค้งท่ีรองรบั มมุ ท่ีจุดศนู ย์กลางน้นั จะยาวเทา่ กนั

8. ใหน้ ักเรียนเขา้ กลมุ่ ที่ครแู บ่งไวแ้ บบคละความสามารถ กลุม่ ละ 3-4 คน
9. ครูแจกใบงานที่ 2.5 เร่ือง มมุ และส่วนโค้งที่รองรบั มุม ใหน้ กั เรยี นแตล่ ะคนโดยใหป้ รกึ ษา
กันภายในกลมุ่ กอ่ น หากยงั ไมเ่ ขา้ ใจครคู อยผ้ชู แ้ี นะและใหค้ ำปรกึ ษาเพมิ่ เติม
10. ครแู ละนักเรยี นร่วมกนั เฉลยใบงานท่ี 2.5 เรอ่ื ง มุมและสว่ นโคง้ ทร่ี องรับมมุ
ขนั้ การวดั และประเมินผล
11. ใหน้ กั เรยี นทำแบบฝกึ หัด 2.1 ก ข้อ 3. หนา้ 62 ในหนงั สือเรยี นคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน
สสวท. ม.3 เล่ม 2 เป็นการบา้ นมาส่งในคาบถัดไป

53

ส่อื และแหล่งการเรยี นรู้
1. สอ่ื การเรยี นรู้
1.1 ใบงานท่ี 2.5 เรอ่ื ง มุมและสว่ นโค้งที่รองรับมมุ
1.2 หนังสอื เรยี นรายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม 2 ของ สสวท.
2. แหล่งการเรียนรู้
2.1 ห้องสมดุ โรงเรยี นพบิ ลู ยร์ ักษพ์ ิทยา
2.2 www.google.co.th คำค้น : มุมและส่วนโค้งท่รี องรบั มุม

การวัดและประเมินผลการเรยี นรู้ เครื่องมือ/วิธกี าร เกณฑก์ ารวัด
จุดประสงค์ การตอบคำถามของนกั เรยี น ผา่ นเกณฑ์
ร้อยละ 70 ขนึ้ ไป
ดา้ นความรู้ (K) - ใบงานที่ 2.5 เรอื่ ง มุมและ
อธบิ ายทฤษฎีบทหรือสมบตั ิของวงกลม ส่วนโค้งทีร่ องรับมมุ ผา่ นเกณฑ์
- แบบฝึกหดั 2.1 ก ร้อยละ 70 ขน้ึ ไป
ทเี่ กยี่ วกบั มุมและส่วนโค้งทีร่ องรับมุมได้ แบบสงั เกตพฤติกรรม
ดา้ นทักษะและกระบวนการ (P) ผา่ นเกณฑค์ ุณภาพ
ในระดบั ดีข้ึนไป
นำทฤษฎบี ทหรือสมบตั ิของวงกลมที่
เกยี่ วกบั มมุ และส่วนโคง้ ทร่ี องรบั มมุ ไปใช้ได้
ด้านคุณลักษณะอนั พึงประสงค์ (A)

ทำความเขา้ ใจหรอื สรา้ งกรณที ัว่ ไปโดยใช้
ความรทู้ ่ีไดจ้ ากการศึกษากรณีตัวอยา่ ง
หลาย ๆ กรณี

54

55

56

57

ชื่อ – สกุล .................................................................................... เลขที่ .............. ชัน้ ม.3/................. 58

ใบงานท่ี 2.5
เร่อื ง มมุ และส่วนโคง้ ที่รองรับมุม

คำช้แี จง : จงพิสูจน์วา่ ในวงกลมเดียวกนั หรอื วงกลมสองวงท่เี ท่ากัน ถ้ามุมที่จุดศูนยก์ ลางหรอื มมุ ท่ี
เส้นรอบวงมขี นาดเทา่ กนั แลว้ สว่ นโค้งของวงกลมท่รี องรับมมุ ท่จี ุดศูนย์กลางหรือมมุ ทเ่ี ส้นรอบวงน้นั
จะยาวเทา่ กัน
สิ่งท่ีกำหนดให้ ให้ O และ M เปน็ จุดศนู ยก์ ลางของวงกลมสองวงท่ีเท่ากนั

BÔC = EM̂ F หรือ BÂC = ED̂F

สง่ิ ที่ต้องพิสจู น์ BKC = ELF
พิสจู น์ ...........................................................................................................................................
.................................................................................................................... ..................................
............................................................................................................................. .........................
......................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .........................
......................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .........................
............................................................................................................................. .........................
......................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .........................

ช่อื – สกุล .................................................................................... เลขที่ .............. ช้นั ม.3/................. 59

เฉลยใบงานท่ี 2.5
เรื่อง มุมและสว่ นโค้งที่รองรับมุม

คำชี้แจง : จงพสิ ูจนว์ า่ ในวงกลมเดียวกันหรือวงกลมสองวงทเี่ ท่ากัน ถ้ามมุ ที่จุดศูนยก์ ลางหรอื มุมท่ี
เสน้ รอบวงมขี นาดเทา่ กนั แลว้ ส่วนโค้งของวงกลมทรี่ องรบั มมุ ท่ีจุดศูนยก์ ลางหรือมมุ ท่เี สน้ รอบวงน้ัน
จะยาวเทา่ กัน
ส่งิ ที่กำหนดให้ ให้ O และ M เปน็ จุดศนู ย์กลางของวงกลมสองวงท่เี ท่ากนั

BÔC = EM̂ F หรอื BÂC = ED̂F

สงิ่ ทีต่ อ้ งพิสจู น์ BKC = ELF
พิสจู น์

60

แผนการจัดการเรยี นรูท้ ี่ 40 คณิตศาสตรพ์ ื้นฐาน ค23102
กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ เวลา 12 ช่ัวโมง
หน่วยการเรียนรทู้ ี่ 2 วงกลม เวลา 1 ช่ัวโมง
เรอ่ื ง มุมและสว่ นโค้งท่ีรองรับมุม
ช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 3 ภาคเรยี นท่ี 2/2564 โรงเรียนพบิ ลู ยร์ ักษพ์ ทิ ยา
วนั ที่ ........ เดือน ........................ พ.ศ. ............. ผ้สู อน นายเริงชยั วิชาดี

มาตรฐานการเรียนรู้ / ตวั ช้วี ดั
มาตรฐานการเรียนรู้
มาตรฐาน ค 2.2 เข้าใจและวิเคราะหร์ ูปเรขาคณติ สมบัติของรูปเรขาคณิต ความสัมพันธ์

ระหว่างรปู เรขาคณิต และทฤษฎีบททางเรขาคณิต และนำไปใช้
ตัวชว้ี ดั
ค 2.2 ม.3/3 เข้าใจ และใช้ทฤษฎีบทเก่ียวกบั วงกลม ในการแก้ปญั หาคณิตศาสตร์

สาระสำคัญ
ทฤษฎีบท ในวงกลมทีเ่ ท่ากันทุกประการหรอื ในวงกลมเดยี วกนั ถา้ มมุ ที่จุดศูนย์กลางมีขนาด

เท่ากันแลว้ ส่วนโค้งทร่ี องรบั มมุ ท่ีจุดศูนยก์ ลางนน้ั จะยาวเทา่ กนั

จดุ ประสงค์การเรียนรู้ เม่อื เรยี นจบบทเรยี นนี้แล้ว นกั เรยี นสามารถ
1. ด้านความรู้ (K)
อธบิ ายทฤษฎบี ทหรอื สมบตั ิของวงกลมที่เกี่ยวกับมมุ และส่วนโค้งทร่ี องรบั มุมได้อย่างน้อย

ร้อยละ 70
2. ดา้ นทักษะ (P)
นำทฤษฎีบทหรือสมบัตขิ องวงกลมทเ่ี ก่ียวกบั มุมและส่วนโค้งท่รี องรบั มมุ ไปใช้ได้อยา่ งนอ้ ย

ร้อยละ 70
3. คุณลักษณะอันพึงประสงค์ (A)
ทำความเข้าใจหรอื สรา้ งกรณีทว่ั ไปโดยใช้ความร้ทู ่ไี ดจ้ ากการศึกษากรณี

ตัวอย่างหลายๆ กรณี

สาระการเรียนรู้
มมุ และส่วนโค้งท่รี องรับมุม

61

การจดั กิจกรรมการเรียนรู้
ข้นั นำ
1. ครูทบทวนเกีย่ วกับทฤษฎีบทวงกลมท่ีเคยเรยี นมาแล้วคือ ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เท่ากนั ทกุ

ประการหรือในวงกลมเดียวกันถา้ มุมท่ีจุดศนู ยก์ ลางมขี นาดเทา่ กัน แลว้ ส่วนโคง้ ทร่ี องรบั มุมทจ่ี ุด
ศนู ยก์ ลางนั้นจะยาวเท่ากนั

2. ครแู จ้งจุดประสงคก์ ารเรยี นรูใ้ หน้ กั เรียนทราบ
ขั้นสอน
3. ครูให้นักเรียนทำกิจกรรมต่อไปนโี้ ดยใช้ทฤษฎบี ทขา้ งต้น ดงั น้ี

3.1 กำหนดให้ จุด O และ จุด R เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลมสองวงทเี่ ทา่ กนั ทุกประการ
AĈB และ ED̂F เปน็ มมุ ในส่วนโค้งของวงกลมท่ีมีขนาดเท่ากนั ดงั รูป

1) ลาก ̅A̅̅O̅ , ̅B̅̅O̅ , E̅̅̅R̅ และ ̅F̅̅R̅ นกั เรียนคิดวา่ AÔB = ER̂F หรือไม่
2) m(AB) = m(EF) หรอื ไม่
3) นักเรยี นพบความสัมพนั ธร์ ะหว่างมมุ ในส่วนโค้งของวงกลมกับสว่ นโค้งทร่ี องรบั
มุมนนั้ เปน็ อย่างไร
4) นักเรยี นคาดการณ์ว่า ในวงกลมท่ีเท่ากนั ทกุ ประการ ถา้ มมุ ในส่วนโคง้ ของ วงกลม
มีขนาดเท่ากัน แล้วส่วนโคง้ ท่รี องรับมุมทัง้ สองนัน้ จะยาวเทา่ กันหรอื ไม่
5) ใหน้ กั เรียนพิสจู น์ยนื ยันวา่ ข้อความคาดการณ์ ในวงกลมท่เี ทา่ กนั ทกุ ประการ
ถ้ามมุ ในส่วนโคง้ ของวงกลมมขี นาดเทา่ กัน แลว้ สว่ นโค้งที่รองรบั มมุ ท้ังสองนน้ั จะยาวเท่ากนั เปน็ จริง
3.2 กำหนดให้จุด O เปน็ จุดศนู ยก์ ลางของวงกลม AĈB และ AĈD เปน็ มมุ ในส่วนโคง้
ของวงกลมทมี่ ขี นาดเท่ากนั จงพสิ ูจนว์ า่ m(AB) = m(AD)

62

การพิสูจนท์ ี่ไดน้ ี้เปน็ การพิสูจนว์ ่า ในวงกลมวงเดยี วกัน ถา้ มุมในส่วนโคง้ ของวงกลมมี
ขนาดเทา่ กนั แล้ว สว่ นโค้งทีร่ องรบั มมุ ทั้งสองนน้ั จะยาวเท่ากนั

4. ครอู ธิบายในหนังสือเรียนให้นักเรยี นฟงั เพ่มิ เติมและเปดิ โอกาสใหน้ ักเรยี นไดซ้ กั ถาม
ขอ้ สงสัย

ขั้นสรปุ และฝกึ ทกั ษะ
5. ครูและนกั เรียนรว่ มกันสรุปวา่

ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการหรอื ในวงกลมเดียวกันถ้ามมุ ท่จี ดุ ศนู ยก์ ลาง
มีขนาดเทา่ กนั แลว้ ส่วนโค้งท่รี องรับมุมท่จี ุดศนู ย์กลางน้นั จะยาวเท่ากัน
6. ให้นักเรยี นเขา้ กลุ่มท่ีครแู บ่งไว้แบบคละความสามารถ กล่มุ ละ 3-4 คน
7. ครแู จกใบงานท่ี 2.6 เร่ือง มุมและสว่ นโคง้ ที่รองรบั มุม ให้นักเรียนแตล่ ะคน โดยให้ปรกึ ษา
กันภายในกลุ่มกอ่ น หากยังไม่เข้าใจครคู อยผู้ชแ้ี นะและให้คำปรึกษาเพิม่ เตมิ
ข้นั การวัดและประเมนิ ผล
8. ครูและนกั เรยี นร่วมกนั เฉลยใบงานที่ 2.6 เร่ือง มมุ และส่วนโค้งทีร่ องรับมุม
ส่ือและแหลง่ การเรยี นรู้
1. ส่ือการเรยี นรู้

1.1 ใบงานที่ 2.6 เรื่อง มมุ และส่วนโค้งท่ีรองรับมมุ
1.2 หนงั สอื เรียนรายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร์ ม.3 เลม่ 2 ของ สสวท.
2. แหลง่ การเรยี นรู้
2.1 ห้องสมุดโรงเรยี นพบิ ลู ย์รักษพ์ ิทยา
2.2 www.google.co.th คำคน้ : มุมและสว่ นโคง้ ที่รองรบั มมุ

63

การวดั และประเมนิ ผลการเรียนรู้ เครื่องมือ/วธิ ีการ เกณฑก์ ารวัด
จุดประสงค์ การตอบคำถามของนกั เรยี น ผ่านเกณฑ์
ร้อยละ 70 ขน้ึ ไป
ดา้ นความรู้ (K) ใบงานที่ 2.6 เร่อื ง มมุ และ
อธิบายทฤษฎีบทหรือสมบตั ขิ องวงกลม ส่วนโคง้ ท่รี องรบั มุม ผา่ นเกณฑ์
ร้อยละ 70 ขน้ึ ไป
ท่ีเกย่ี วกบั มุมและส่วนโคง้ ที่รองรับมุมได้ แบบสงั เกตพฤตกิ รรม
ด้านทักษะและกระบวนการ (P) ผ่านเกณฑค์ ุณภาพ
ในระดับดขี ึ้นไป
นำทฤษฎบี ทหรอื สมบัติของวงกลมท่ี
เกยี่ วกบั มมุ และส่วนโค้งที่รองรับมุมไปใช้ได้
ดา้ นคณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงค์ (A)

ทำความเขา้ ใจหรือสรา้ งกรณที ั่วไปโดยใช้
ความรทู้ ไ่ี ดจ้ ากการศึกษากรณีตวั อยา่ ง
หลาย ๆ กรณี

64

65

66

67

ช่ือ – สกุล .................................................................................... เลขท่ี .............. ชั้น ม.3/................. 68

ใบงานที่ 2.6
เรื่อง มุมและส่วนโค้งที่รองรบั มมุ

คำช้แี จง : ใหน้ กั เรียนพสิ จู น์ว่าในวงกลมเดยี วกันหรือวงกลมสองวงทเ่ี ท่ากนั ถ้าส่วนโค้งของวงกลมท่ี
รองรบั มุมทจี่ ุดศนู ย์กลางนน้ั ยาวเท่ากนั มุมท่จี ุดศูนย์กลางหรอื มุมที่เสน้ รอบวงย่อมมีขนาดเท่ากัน

สงิ่ ทีก่ ำหนดให้ ให้ O และ M เปน็ จุดศนู ยก์ ลางของวงกลมสองวงที่เท่ากนั และ BK̂C = EL̂F
สง่ิ ทต่ี อ้ งพิสจู น์ BÔC = EM̂ F หรือ BÂC = ED̂F
พสิ ูจน์ ...........................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .........................
.................................................................................................................................. ....................
............................................................................................................... .......................................
............................................................................................................................. .........................
......................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .........................
.................................................................................................................................................... ..
............................................................................................................................. .........................

ช่ือ – สกุล .................................................................................... เลขที่ .............. ชัน้ ม.3/................. 69
เฉลยใบงานท่ี 2.6

เร่ือง มุมและสว่ นโค้งที่รองรับมุม
คำชีแ้ จง : ใหน้ ักเรียนพิสูจนว์ า่ ในวงกลมเดียวกันหรอื วงกลมสองวงทเ่ี ทา่ กนั ถา้ สว่ นโค้งของวงกลมที่
รองรบั มมุ ทจ่ี ุดศนู ยก์ ลางนนั้ ยาวเท่ากัน มุมท่ีจุดศูนยก์ ลางหรอื มมุ ทีเ่ ส้นรอบวงยอ่ มมีขนาดเท่ากนั

สิ่งที่กำหนดให้ ให้ O และ M เป็นจดุ ศูนย์กลางของวงกลมสองวงท่ีเท่ากนั และ BK̂C = EL̂F
ส่ิงท่ีต้องพสิ จู น์ BÔC = EM̂ F หรือ BÂC = ED̂F
พสิ ูจน์

70

แผนการจัดการเรยี นรทู้ ่ี 41 คณิตศาสตรพ์ ื้นฐาน ค23102
กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ เวลา 12 ช่ัวโมง
หน่วยการเรยี นร้ทู ่ี 2 วงกลม เวลา 1 ช่ัวโมง
เรอ่ื ง มุมและส่วนโค้งที่รองรับมุม 3
ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 3 ภาคเรียนท่ี 2/2564 โรงเรียนพบิ ลู ยร์ ักษพ์ ทิ ยา
วนั ที่ ........ เดือน ........................ พ.ศ. ............. ผ้สู อน นายเริงชยั วิชาดี

มาตรฐานการเรยี นรู้ / ตัวชวี้ ดั
มาตรฐานการเรยี นรู้
มาตรฐาน ค 2.2 เข้าใจและวิเคราะห์รปู เรขาคณิต สมบัตขิ องรปู เรขาคณิต ความสัมพันธ์

ระหว่างรปู เรขาคณติ และทฤษฎบี ททางเรขาคณติ และนำไปใช้
ตวั ชีว้ ัด
ค 2.2 ม.3/3 เข้าใจ และใช้ทฤษฎบี ทเก่ยี วกับวงกลม ในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์

สาระสำคัญ
ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เท่ากนั ทุกประการหรือในวงกลมเดยี วกันถ้ามุมที่จุดศูนย์กลางมีขนาด

เท่ากันแล้วส่วนโคง้ ทร่ี องรับมุมทจ่ี ุดศูนยก์ ลางนน้ั จะยาวเท่ากนั

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ เมอ่ื เรียนจบบทเรยี นนีแ้ ล้ว นกั เรียนสามารถ
1. ด้านความรู้ (K)
อธบิ ายทฤษฎีบทหรอื สมบตั ิของวงกลมที่เกยี่ วกับมมุ และส่วนโค้งทีร่ องรบั มุมได้อย่างน้อย

ร้อยละ 70
2. ดา้ นทักษะ (P)
นำทฤษฎีบทหรือสมบัตขิ องวงกลมท่เี ก่ียวกับมมุ และสว่ นโคง้ ทรี่ องรบั มมุ ไปใช้ได้อยา่ งนอ้ ย

ร้อยละ 70
3. คณุ ลักษณะอนั พงึ ประสงค์ (A)
ทำความเข้าใจหรอื สรา้ งกรณีทว่ั ไปโดยใช้ความรู้ทไ่ี ดจ้ ากการศึกษากรณี

ตัวอย่างหลาย ๆ กรณี

สาระการเรียนรู้
มมุ และสว่ นโคง้ ท่รี องรบั มมุ

71

การจัดกิจกรรมการเรยี นรู้
ข้นั นำ
1. ครทู บทวนเกยี่ วกบั ทฤษฎบี ทวงกลมที่เคยเรียนมาแล้วคอื ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เท่ากันทุก

ประการหรือในวงกลมเดียวกันถ้ามมุ ทจ่ี ุดศนู ยก์ ลางมขี นาดเทา่ กนั แล้วสว่ นโคง้ ท่ีรองรับมุมทจ่ี ุด
ศนู ย์กลางน้ันจะยาวเทา่ กัน

2. ครแู จ้งจุดประสงค์การเรยี นรู้ใหน้ กั เรียนทราบ
ขัน้ สอน
3. ครูใหน้ กั เรียนทำกิจกรรมต่อไปน้ี

3.1 กำหนดให้ จุด O และ จดุ R เปน็ จุดศูนยก์ ลางของวงกลมสองวงทเ่ี ทา่ กันทุกประการ
m(AB) = m(PQ)

1) ให้นักเรียนใชก้ ระดาษลอกลายลอกรูปสามเหลยี่ มฐานโคง้ AOB
2) เลอ่ื นรปู สามเหล่ยี มฐานโค้ง AOB ไปทบั รปู สามเหลย่ี มฐานโคง้ PQR ให้จดุ O
ทบั กบั จุด R A̅̅̅O̅ ทับ P̅̅̅R̅ และให้ AB ทับ PQ รปู สามเหลี่ยมฐานโค้งท้ังสองจะทับกนั สนทิ ไดห้ รือไม่
3) AÔB = PQ̂R หรือไม่
4) นกั เรียนพบความสัมพนั ธ์ระหวา่ งมมุ ในสว่ นโคง้ ท่ีรองรับมมุ กับมุมทจี่ ดุ ศูนย์กลาง
เปน็ อยา่ งไร
5) นักเรยี นคาดการณว์ ่า ในวงกลมทเ่ี ทา่ กนั ทุกประการ ถา้ สว่ นโคง้ ยาวเท่ากันแลว้
มุมทจี่ ุดศูนย์กลางท่รี องรบั ดว้ ยสว่ นโคง้ นั้นจะมีขนาดเท่ากนั หรือไม่
3.2 กำหนดให้จุด O เปน็ จดุ ศูนย์กลางของวงกลม และ m(AB) = m(CD) ดงั รปู

1) ใหน้ ักเรยี นใช้กระดาษลอกลายลอกรูปสามเหล่ยี มฐานโค้ง AOB
2) ให้นกั เรียนหมนุ กระดาษลอกลายโดยใชจ้ ุด O เปน็ จุดหมุน นกั เรียนจะสามารถ
หมนุ ให้รูปสามเหลีย่ มฐานโค้ง AOB ไปทับรปู สามเหลี่ยมฐานโค้ง COD สนิทไดห้ รือไม่
3) AÔB = CÔD หรือไม่
4) นกั เรยี นพบความสมั พันธร์ ะหวา่ งมุมในส่วนโค้งที่รองรบั มุมกบั มุมทจี่ ดุ ศูนย์กลาง

72

เป็นอยา่ งไร
5) นกั เรยี นคาดการณ์ว่า ในวงกลมทเ่ี ท่ากันทกุ ประการ ถ้าสว่ นโคง้ ยาวเท่ากนั แล้ว

มมุ ทีจ่ ดุ ศนู ย์กลางท่ีรองรับด้วยส่วนโคง้ นั้นจะมขี นาดเทา่ กนั หรอื ไม่
4. จากการทำกจิ กรรมข้างต้น ขอ้ ความคาดการณ์ของนักเรยี นสามารถพสิ ูจนไ์ ด้วา่ เป็นจรงิ

ซ่ึงเปน็ ไปตามทฤษฎีบทท่ีจะกลา่ วถงึ ต่อไปน้ีโดยไม่แสดงการพสิ จู น์
ทฤษฎบี ท ในวงกลมทีเ่ ทา่ กันทุกประการหรือในวงกลมเดียวกันถา้ ส่วนโค้งยาวเท่ากนั

แลว้ มุมที่จดุ ศูนยก์ ลางท่รี องรบั ดว้ ยส่วนโค้งนนั้ จะมีขนาดเท่ากัน
5. ครอู ธบิ ายถงึ ทฤษฎบี ทกลับของทฤษฎีข้างต้นได้ดังน้ี
ทฤษฎบี ท ในวงกลมท่เี ทา่ กนั ทุกประการหรอื ในวงกลมเดียวกันถา้ ส่วนโค้งยาวเทา่ กนั

แลว้ มมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลมทร่ี องรบั ด้วยส่วนโค้งนั้นจะยาวเท่ากัน
6. ครูอธิบายในหนังสอื เรยี นใหน้ ักเรียนฟงั เพม่ิ เติมและเปิดโอกาสใหน้ ักเรียนได้ซกั ถาม

ข้อสงสยั
ข้ันสรุปและฝกึ ทักษะ
7. ครแู ละนักเรยี นร่วมกนั สรปุ วา่

ทฤษฎีบท ในวงกลมทีเ่ ท่ากันทุกประการหรอื ในวงกลมเดียวกนั ถา้ มุมที่จดุ ศนู ย์กลางมี
ขนาดเทา่ กนั แลว้ สว่ นโคง้ ท่รี องรบั มมุ ท่จี ุดศนู ยก์ ลางนั้นจะยาวเทา่ กัน

ข้ันการวดั และประเมนิ ผล
8. ใหน้ กั เรยี นทำแบบฝกึ หัด 2.1 ก ขอ้ 4 หนา้ 63 ในหนงั สือเรียนคณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน
สสวท. ม.3 เลม่ 2 เปน็ การบา้ นมาสง่ ในคาบถัดไป

สื่อและแหลง่ การเรียนรู้
1. สอื่ การเรียนรู้
1.1 หนงั สอื เรียนรายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร์ ม.3 เลม่ 2 ของ สสวท.
2. แหลง่ การเรียนรู้
2.1 หอ้ งสมดุ โรงเรียนพบิ ูลยร์ ักษ์พิทยา
2.2 www.google.co.th คำคน้ : มุมและสว่ นโค้งทรี่ องรบั มุม

73

การวดั และประเมินผลการเรียนรู้ เครือ่ งมอื /วิธกี าร เกณฑก์ ารวัด
จุดประสงค์ การตอบคำถามของนักเรยี น ผา่ นเกณฑ์
ร้อยละ 70 ขึน้ ไป
ด้านความรู้ (K) แบบฝึกหัด 2.1 ก
อธบิ ายทฤษฎีบทหรือสมบตั ขิ องวงกลม ผ่านเกณฑ์
แบบสังเกตพฤตกิ รรม รอ้ ยละ 70 ขนึ้ ไป
ทเ่ี กี่ยวกบั มุมและส่วนโคง้ ทีร่ องรับมมุ ได้
ดา้ นทกั ษะและกระบวนการ (P) ผา่ นเกณฑ์คุณภาพ
ในระดบั ดีขน้ึ ไป
นำทฤษฎบี ทหรอื สมบัติของวงกลมที่
เกยี่ วกบั มมุ และส่วนโคง้ ทรี่ องรบั มมุ ไปใช้ได้
ดา้ นคณุ ลักษณะอนั พงึ ประสงค์ (A)

ทำความเขา้ ใจหรอื สร้างกรณที ่ัวไปโดยใช้
ความรู้ทีไ่ ด้จากการศกึ ษากรณีตวั อยา่ ง
หลาย ๆ กรณี

74

75

76

77

78

แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 42 คณิตศาสตรพ์ ้นื ฐาน ค23102
กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เวลา 12 ชั่วโมง
หน่วยการเรียนร้ทู ี่ 2 วงกลม เวลา 1 ชวั่ โมง
เรือ่ ง รปู ส่ีเหลย่ี มแนบในวงกลม
ช้นั มธั ยมศึกษาปที ่ี 3 ภาคเรียนที่ 2/2564 โรงเรยี นพิบูลย์รกั ษพ์ ทิ ยา
วันที่ ........ เดือน ........................ พ.ศ. ............. ผู้สอน นายเริงชัย วชิ าดี

มาตรฐานการเรียนรู้ / ตวั ช้วี ดั
มาตรฐานการเรยี นรู้
มาตรฐาน ค 2.2 เข้าใจและวเิ คราะห์รูปเรขาคณิต สมบัติของรูปเรขาคณิต ความสมั พันธ์

ระหว่างรปู เรขาคณิต และทฤษฎบี ททางเรขาคณติ และนำไปใช้
ตัวชว้ี ัด
ค 2.2 ม.3/3 เขา้ ใจ และใช้ทฤษฎบี ทเกีย่ วกับวงกลม ในการแก้ปญั หาคณติ ศาสตร์

สาระสำคญั
ทฤษฎีบท ถ้ารปู สี่เหลย่ี มใดๆ มีผลบวกของขนาดของมุมตรงขา้ มเทา่ กับสองมมุ ฉาก

แล้วรปู ส่ีเหล่ียมนัน้ แนบในวงกลมได้

จุดประสงค์การเรยี นรู้ เมอื่ เรยี นจบบทเรียนนแ้ี ล้ว นักเรียนสามารถ
1. ดา้ นความรู้ (K)
อธิบายทฤษฎีบทหรอื สมบัตขิ องวงกลมท่เี กยี่ วกับคอร์ดและสว่ นโค้งของวงกลมไปใชไ้ ด้

อยา่ งนอ้ ยรอ้ ยละ 70
2. ด้านทักษะ (P)
นำทฤษฎีบทหรือสมบัตขิ องวงกลมท่ีเกย่ี วกับคอร์ดและสว่ นโค้งของวงกลมไปใชไ้ ด้อย่าง

น้อยรอ้ ยละ 70
3. คณุ ลักษณะอันพงึ ประสงค์ (A)
ทำความเข้าใจหรือสรา้ งกรณีทัว่ ไปโดยใช้ความรทู้ ไ่ี ดจ้ ากการศกึ ษากรณี

ตัวอย่างหลาย ๆ กรณี

สาระการเรยี นรู้
รูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม

79

การจดั กิจกรรมการเรยี นรู้

ขนั้ นำ

1. ครูทบทวนเกยี่ วกบั ทฤษฎบี ทของวงกลมที่ว่า มีวงกลมเพียงวงเดียวเทา่ น้นั ที่ผ่านจดุ สามจุด

ซงึ่ ไมอ่ ย่บู นเสน้ ตรงเดยี วกนั

2. ครูแจ้งจดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ใหน้ ักเรียนทราบ

ขนั้ สอน

3. ครูอธิบายว่าทฤษฎบี ทท่ีกลา่ วไว้ข้างต้นมาชว่ ยใหเ้ หตุผลว่า ถ้ารูปส่เี หลย่ี มใดๆ มีผลบวก

ของขนาดของมมุ ตรงขา้ มเท่ากับสองมมุ ฉาก แล้วรปู สีเ่ หล่ยี มนน้ั แนบในวงกลมวงหนึ่งได้

4. ครูใหน้ กั เรยี นพิจารณาการพสิ จู น์ต่อไปนี้

กำหนดให้ ABCD มี AB̂C + AD̂C = 180

ต้องการพิสจู น์ว่า ABCD แนบในวงกลมได้

แนวคดิ สมมติว่า ABCD แนบในวงกลมไมไ่ ด้ โดยสมบตั ิของวงกลม

ทกี่ ลา่ วมาแล้ว เราสามารถสร้างวงกลมผ่านจุดสามจุดทไี่ มอ่ ยบู่ นเสน้ ตรงเดียวกนั ไดเ้ สมอ

ใหน้ ักเรียนตอบคำถามตอ่ ไปน้ี

1) AB̂C + AD̂C เทา่ กับกีอ่ งศา เพราะเหตใุ ด

2) BÂD + BĈD เท่ากับกีอ่ งศา เพราะเหตใุ ด

3) BÂD + BÊD เท่ากบั กอ่ี งศา เพราะเหตุใด

4) BÂD + BĈD = BÂD + BÊD หรอื ไม่ เพราะเหตุใด

5) จากขอ้ 4 จะได้ BĈD = BÊD หรือไม่ เพราะเหตุใด โดยสมบัติของขนาดของมุม
ภายนอกและขนาดของมมุ ภายในของรปู สามเหลี่ยมใดๆจะได้ว่า

สำหรับ CDE มี BĈD = BĈD + ED̂C ดงั น้นั BÊD > BĈD จะเหน็ ว่าผลที่ไดข้ ดั แยง้ กบั

คำตอบในข้อ 5 ของนักเรยี น

ดงั นั้น ท่สี มมตวา่ ABCD แนบในวงกลมไมไ่ ดน้ ั้นเปน็ ไปไม่ได้

น่ันคือ ถ้า ABCD มี AB̂C + AD̂C = 180
แล้ว ABCD แนบในวงกลมได้

5. จากการพสิ จู น์ข้างต้นครใู ห้นักเรียนร่วมกนั สรุป ทำให้ได้ทฤษฎีบทเก่ยี วกับวงกลมดงั นี้

ทฤษฎีบท ถา้ รูปส่ีเหล่ียมใดๆ มีผลบวกของขนาดของมุมตรงข้ามเท่ากบั สองมมุ ฉาก

แลว้ รปู สี่เหลี่ยมนั้นแนบในวงกลมได้

6. ครูอธิบายในหนงั สอื เรียนให้นักเรยี นฟงั เพ่ิมเตมิ และเปิดโอกาสให้นักเรียนไดซ้ ักถาม

ขอ้ สงสัย

80

ขน้ั สรปุ และฝกึ ทกั ษะ
7. จากการพิสจู น์ข้างต้นครใู ห้นกั เรยี นร่วมกันสรปุ ทำให้ได้ทฤษฎีบทเก่ยี วกบั เส้นตรงท่ีผ่าน
จดุ ศูนย์กลางของวงกลมดงั น้ี

ทฤษฎบี ท ถ้ารปู ส่ีเหล่ียมใดๆ มีผลบวกของขนาดของมมุ ตรงขา้ มเท่ากบั สองมุมฉาก
แลว้ รปู สเี่ หลย่ี มนั้นแนบในวงกลมได้

8. ให้นักเรียนเขา้ กล่มุ ท่ีครแู บ่งไวแ้ บบคละความสามารถ กลมุ่ ละ 3-4 คน
9. ครแู จกใบงานที่ 2.7 เร่อื ง รูปสีเ่ หล่ยี มแนบในวงกลม ให้นกั เรียนแตล่ ะคนโดยให้ปรกึ ษากนั
ภายในกลุม่ กอ่ น หากยงั ไม่เข้าใจครคู อยผู้ชีแ้ นะและให้คำปรึกษาเพมิ่ เตมิ
10. ครแู ละนักเรยี นรว่ มกนั เฉลยใบงานที่ 2.7 เร่อื ง รปู สเ่ี หล่ยี มแนบในวงกลม
ขั้นการวดั และประเมนิ ผล
11. ใหน้ กั เรียนทำแบบฝึกหดั 2.1 ข ข้อ 4. หนา้ 70 ในหนังสอื เรียนคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน
สสวท. ม.3 เลม่ 2 เปน็ การบ้านมาสง่ ในคาบถัดไป

สือ่ และแหล่งการเรยี นรู้
1. ส่ือการเรยี นรู้
1.1 ใบงานท่ี 2.7 เรื่อง รูปส่เี หลย่ี มแนบในวงกลม
1.2 หนังสอื เรยี นรายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร์ ม.3 เลม่ 2 ของ สสวท.
2. แหลง่ การเรยี นรู้
2.1 หอ้ งสมุดโรงเรียนพิบูลยร์ กั ษพ์ ทิ ยา
2.2 www.google.co.th คำค้น : รปู สี่เหล่ียมแนบในวงกลม

81

การวดั และประเมนิ ผลการเรยี นรู้

จุดประสงค์ เคร่อื งมอื /วธิ กี าร เกณฑ์การวัด
ผา่ นเกณฑ์
ด้านความรู้ (K) การตอบคำถามของนกั เรยี น รอ้ ยละ 70 ข้ึนไป

อธิบายทฤษฎีบทหรอื สมบัติของวงกลม ผา่ นเกณฑ์
ร้อยละ 70 ขนึ้ ไป
ทเ่ี กี่ยวกบั คอรด์ และสว่ นโค้งของวงกลมไปใชไ้ ด้
ผา่ นเกณฑ์คุณภาพ
ด้านทกั ษะและกระบวนการ (P) - ใบงานท่ี 2.7 เรื่อง รูป ในระดบั ดขี ึ้นไป

นำทฤษฎีบทหรือสมบตั ิของวงกลมทีเ่ กีย่ วกับ สเี่ หล่ยี มแนบในวงกลม

คอร์ดและสว่ นโค้งของวงกลมไปใชไ้ ด้ - แบบฝึกหดั 2.1 ข

ด้านคุณลกั ษณะอันพึงประสงค์ (A) แบบสังเกตพฤติกรรม

ทำความเขา้ ใจหรอื สรา้ งกรณที ว่ั ไปโดยใช้

ความรู้ทไ่ี ดจ้ ากการศึกษากรณตี วั อย่าง

หลาย ๆ กรณี

82

83

84

85

ช่อื – สกุล .................................................................................... เลขที่ .............. ชนั้ ม.3/................. 86

ใบงานที่ 2.7
เรอื่ ง รปู สเ่ี หลย่ี มแนบในวงกลม

คำช้ีแจง : จงแสดงการพสิ ูจน์ในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี
1. MARK เปน็ รูปสเ่ี หลีย่ มผนื ผ้า จงพิสูจนว์ า่ ขนาดของ MA เทา่ กบั ขนาดของ KR

พสิ ูจน์ ....................................................................................................................................
.......................................................................................................................... ............................
............................................................................................................................. .........................
......................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .........................
.....................................................................................................................................................
2. กำหนดให้ POUN เป็นรปู ส่เี หล่ียมคางหมู ขนาดของ PO เท่ากับ ขนาดของ NU จงพสิ ูจน์ว่า
PÔU = NÛO

พิสจู น์ ....................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .........................
......................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .........................
............................................................................................................................. ........................

ชอื่ – สกุล .................................................................................... เลขท่ี .............. ช้นั ม.3/................. 87
เฉลยใบงานที่ 2.7

เรื่อง รปู สี่เหลี่ยมแนบในวงกลม
คำชีแ้ จง : จงแสดงการพิสจู น์ในแต่ละข้อต่อไปนี้

1. MARK เปน็ รูปสี่เหล่ยี มผืนผ้า จงพิสูจนว์ า่ ขนาดของ MA เท่ากบั ขนาดของ KR

พิสจู น์

2. กำหนดให้ POUN เปน็ รปู สีเ่ หลี่ยมคางหมู ขนาดของ PO เท่ากับ ขนาดของ NU จงพิสูจน์วา่
PÔU = NÛO

พสิ จู น์

88

แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 43 คณิตศาสตร์พ้นื ฐาน ค23102
กลุม่ สาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ เวลา 12 ช่ัวโมง
หน่วยการเรียนรู้ท่ี 2 วงกลม เวลา 1 ชว่ั โมง
เรื่อง คอรด์
ชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ 3 ภาคเรยี นท่ี 2/2564 โรงเรียนพบิ ลู ยร์ กั ษพ์ ทิ ยา
วันท่ี ........ เดอื น ........................ พ.ศ. ............. ผสู้ อน นายเรงิ ชัย วิชาดี

มาตรฐานการเรียนรู้ / ตัวช้วี ัด
มาตรฐานการเรยี นรู้
มาตรฐาน ค 2.2 เขา้ ใจและวเิ คราะห์รูปเรขาคณติ สมบตั ขิ องรปู เรขาคณิต ความสัมพันธ์

ระหว่างรปู เรขาคณิต และทฤษฎบี ททางเรขาคณติ และนำไปใช้
ตัวชว้ี ดั
ค 2.2 ม.3/3 เข้าใจ และใช้ทฤษฎีบทเก่ียวกับวงกลม ในการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์

สาระสำคญั
ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการหรอื ในวงกลมเดียวกัน ถ้าคอร์ดสองคอรด์ ยาวเทา่ กนั

แล้วคอร์ดทัง้ สองจะตดั วงกลมทำให้สว่ นโคง้ น้อยยาวเทา่ กนั และส่วนโคง้ ใหญย่ าวเทา่ กนั
ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เท่ากนั ทกุ ประการหรอื ในวงกลมเดยี วกนั ถา้ คอร์ดสองคอร์ดตัดวงกลม

ทำให้สว่ นโคง้ นอ้ ยยาวเท่ากนั แล้วคอรด์ ท้ังสองนน้ั จะยาวเท่ากัน

จุดประสงค์การเรียนรู้ เมือ่ เรยี นจบบทเรยี นน้แี ล้ว นักเรียนสามารถ
1. ด้านความรู้ (K)
อธบิ ายทฤษฎบี ทหรอื สมบัติของวงกลมท่ีเกย่ี วกับคอรด์ ของวงกลมไปใชไ้ ด้อยา่ งนอ้ ย

ร้อยละ 70
2. ด้านทักษะ (P)
นำทฤษฎีบทหรือสมบัตขิ องวงกลมที่เกย่ี วกบั คอรด์ ของวงกลมไปใช้ได้อย่างนอ้ ยรอ้ ยละ 70
3. คุณลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ (A)
ค้นหาลกั ษณะทเ่ี กิดขนึ้ ซำ้ ๆ และประยกุ ตใ์ ช้ลกั ษณะดังกล่าวเพ่ือทำความเขา้ ใจหรือ

แก้ปัญหาในสถานการณ์ต่าง ๆ

สาระการเรียนรู้
คอรด์ ของวงกลม

89

การจดั กิจกรรมการเรียนรู้
ขัน้ นำ
1. ครูทบทวนเกยี่ วกบั คอร์ดที่เคยทราบมาแลว้ ว่า คอร์ดไม่ใชเ่ สน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางแต่ละเส้น

จะแบง่ วงกลมออกเปน็ สองส่วน คือ ส่วนโค้งนอ้ ยและส่วนโคง้ ใหญ่ ดงั รูป A̅̅̅B̅ เปน็ คอรด์ AB เป็นสว่ น
โค้งนอ้ ย และ ACB เปน็ สว่ นโคง้ ใหญ่

2. ครูแจ้งจุดประสงคก์ ารเรียนรู้ให้นักเรยี นทราบ
ขัน้ สอน
3. ครูให้นกั เรยี นทำกิจกรรมตอ่ ไปนี้

3.1 กำหนดให้ จุด O เป็นจดุ ศูนย์กลางของวงกลม ̅A̅̅B̅ และ C̅̅̅D̅ เปน็ คอร์ดที่ยาวเท่ากัน
ลาก A̅̅̅O̅ , ̅B̅̅O̅ , C̅̅̅O̅ และ ̅D̅̅O̅

1)  AOB  COD หรอื ไม่ เพราะเหตุใด
2) AÔB = CÔD หรอื ไม่ เพราะเหตุใด
3) m(AB) = m(CD) หรือไม่ เพราะเหตใุ ด
4) m(ACB) = m(CBD) หรอื ไม่ เพราะเหตุใด
5) ผลทไ่ี ด้ในกจิ กรรมนีเ้ ปน็ การพสิ จู น์วา่ ในวงกลมเดยี วกัน ถา้ คอร์ดสองคอรด์
ยาวเท่ากัน แล้วคอร์ดทงั้ สองจะตัดวงกลมทำใหส้ ่วนโคง้ น้อยยาวเทา่ กัน และส่วนโค้งใหญย่ าวเท่ากัน
หรือไม่
นักเรียนคาดการณ์วา่ ในวงกลมทเี่ ท่ากันทกุ ประการในวงกลมเดยี วกนั ถ้าคอร์ดสองคอร์ด
ยาวเท่ากัน แล้วคอรด์ ทง้ั สองจะตัดวงกลมทำให้ส่วนโค้งนอ้ ยยาวเท่ากนั และสว่ นโค้งใหญย่ าวเท่ากัน
หรือไม่
4. จากการทำกิจกรรมขา้ งตน้ ทำใหไ้ ด้ทฤษฎีบทเกย่ี วกบั คอร์ดและส่วนโค้งของวงกลม
ท่กี ล่าวไว้ ดงั น้ี
ทฤษฎีบท ในวงกลมทเ่ี ท่ากันทุกประการหรือในวงกลมเดยี วกนั ถา้ คอร์ดสองคอรด์ ยาว
เท่ากันแล้วคอร์ดทง้ั สองจะตัดวงกลมทำใหส้ ่วนโคง้ น้อยยาวเท่ากนั และส่วนโคง้ ใหญย่ าวเท่ากัน

90

5. ให้นกั เรียนทำกิจกรรมต่อไปนี้
5.1 กำหนดให้ จุด O เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลม ̅A̅̅B̅ และ ̅C̅̅D̅ เปน็ คอรด์ ทยี่ าวเทา่ กัน

ลาก A̅̅̅O̅ , B̅̅̅O̅ , C̅̅̅O̅ และ D̅̅̅O̅
1)  AOB  COD หรอื ไม่ เพราะเหตุใด
2) AÔB = CÔD หรอื ไม่ เพราะเหตุใด
3) m(AB) = m(CD) หรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด
4) m(ACB) = m(CBD) หรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด
5) ผลทีไ่ ด้ในกจิ กรรมนีเ้ ป็นการพสิ จู น์ว่า ในวงกลมเดยี วกนั ถ้าคอร์ดสองคอรด์

ตดั วงกลมทำให้สว่ นโค้งนอ้ ยยาวเท่ากันแลว้ คอรด์ ท้ังสองน้ันจะยาวเทา่ กนั หรอื ไม่
6) นกั เรียนคาดการณว์ ่า ในวงกลมท่ีเท่ากนั ทุกประการ ถา้ คอร์ดสองคอรด์ ตดั

วงกลมทำให้ส่วนโคง้ นอ้ ยยาวเทา่ กันแล้วคอร์ดท้ังสองนั้นจะยาวเท่ากัน ด้วยหรือไม่
6. จากการทำกจิ กรรมขา้ งต้น ทำให้ได้ทฤษฎบี ทเก่ยี วกบั คอรด์ และส่วนโค้งของวงกลม

ท่ีกลา่ วไว้ ดังน้ี
ทฤษฎีบท ในวงกลมทเ่ี ทา่ กันทกุ ประการหรอื ในวงกลมเดียวกัน ถ้าคอร์ดสองคอร์ดตัด

วงกลมทำใหส้ ว่ นโค้งนอ้ ยยาวเท่ากนั แล้วคอรด์ ทัง้ สองนัน้ จะยาวเทา่ กนั
7. ครูอธิบายในหนังสือเรยี นใหน้ ักเรียนฟงั เพมิ่ เติมและเปิดโอกาสให้นักเรียนไดซ้ กั ถาม

ข้อสงสัย
ขน้ั สรปุ และฝึกทักษะ
8. จากการพสิ จู นข์ า้ งต้นครูใหน้ ักเรียนร่วมกันสรุป ทำให้ได้ทฤษฎบี ทเกยี่ วกบั คอร์ดของ

วงกลมดังน้ี

ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เทา่ กันทกุ ประการหรือในวงกลมเดียวกัน ถ้าคอรด์ สองคอรด์ ยาว
เท่ากนั แลว้ คอรด์ ทงั้ สองจะตัดวงกลมทำให้ส่วนโคง้ น้อยยาวเทา่ กนั และสว่ นโคง้ ใหญย่ าว
เท่ากัน

ทฤษฎีบท ในวงกลมทีเ่ ท่ากันทกุ ประการหรอื ในวงกลมเดียวกัน ถา้ คอรด์ สองคอรด์ ตัด
วงกลมทำใหส้ ่วนโคง้ น้อยยาวเทา่ กันแลว้ คอรด์ ทัง้ สองนน้ั จะยาวเทา่ กนั

9. ให้นกั เรียนเขา้ กลมุ่ ท่ีครแู บง่ ไวแ้ บบคละความสามารถ กลุ่มละ 3-4 คน
10. ครูแจกใบงานที่ 2.8 เรอ่ื ง คอรด์ ของวงกลม ใหน้ ักเรยี นแตล่ ะคนโดยให้ปรกึ ษากนั ภายใน
กลมุ่ ก่อน หากยงั ไม่เข้าใจครูคอยผชู้ ้ีแนะและให้คำปรึกษาเพม่ิ เติม
11. ครูและนกั เรียนรว่ มกนั เฉลยใบงานท่ี 2.8 เร่ือง คอรด์ ของวงกลม

91

ขนั้ การวัดและประเมนิ ผล
12. ใหน้ กั เรยี นทำแบบฝกึ หดั 2.2 ข้อ 1 หนา้ 80 ในหนังสือเรียนคณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน สสวท.
ม.3 เลม่ 2 เป็นการบ้านมาสง่ ในคาบถดั ไป

ส่ือและแหลง่ การเรยี นรู้
1. สอื่ การเรยี นรู้
1.1 ใบงานท่ี 2.8 เรือ่ ง คอร์ดของวงกลม
1.2 หนงั สอื เรยี นรายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม 2 ของ สสวท.
2. แหลง่ การเรียนรู้
2.1 ห้องสมุดโรงเรยี นพบิ ูลย์รักษพ์ ทิ ยา
2.2 www.google.co.th คำคน้ : คอรด์ ของวงกลม

การวัดและประเมนิ ผลการเรียนรู้

จดุ ประสงค์ เครื่องมอื /วธิ กี าร เกณฑ์การวัด
ผ่านเกณฑ์
ดา้ นความรู้ (K) การตอบคำถามของนักเรียน รอ้ ยละ 70 ข้ึนไป

อธบิ ายทฤษฎีบทหรอื สมบัติของวงกลม ผา่ นเกณฑ์
ร้อยละ 70 ข้ึนไป
ท่เี กีย่ วกับคอรด์ ของวงกลมไปใช้ได้
ผ่านเกณฑ์คุณภาพ
ดา้ นทักษะและกระบวนการ (P) - ใบงานที่ 2.8 เร่อื ง คอร์ดของ ในระดบั ดขี ้นึ ไป

นำทฤษฎบี ทหรอื สมบัตขิ องวงกลม วงกลม

ท่เี กี่ยวกบั คอร์ดของวงกลมไปใชไ้ ด้ - แบบฝึกหดั 2.2

ด้านคณุ ลักษณะอนั พงึ ประสงค์ (A) แบบสังเกตพฤตกิ รรม

คน้ หาลกั ษณะท่ีเกดิ ขนึ้ ซ้ำ ๆ และประยุกต์

ใช้ลกั ษณะดังกลา่ วเพอื่ ทำความเขา้ ใจหรอื

แก้ปัญหาในสถานการณต์ ่าง ๆ

92

93

94

95

ช่อื – สกุล .................................................................................... เลขท่ี .............. ช้ัน ม.3/................. 96
ใบงานที่ 2.8

เรอื่ ง คอร์ดของวงกลม
คำชแ้ี จง : จากรูปต่อไปนี้ จงเติมคำตอบในช่องวา่ งใหถ้ ูกตอ้ ง
1.

AB = 30 ; OC = …………………………………………

2.
EG = …………………………………………

3.
JK = 14 ; OJ = …………………………………………

4.
DE = 16 ; OD = …………………………………………