Brands Summer Camp ครั้งที่ 27 วิชาคณิตศาสตร์

7.1.6 ความแปรปรวนรวม
ถา้ นําข้อมูล 2 ชุด และมีคา่ เฉลยี่ เลขคณติ และความแปรปรวนดังตาราง

ค่าเฉลี่ยเลขคณติ ชุดท่ี 1 ชุดท่ี 2
ความแปรปรวน
จาํ นวนขอ้ มลู x1 x2
S12 S22
n1 n2

ถ้านาํ ข้อมลู 2 ขอ้ มลู มารวมกัน แลว้ หาค่าเฉล่ียเลขคณติ และความแปรปรวนให้ xรวม
แทนคา่ เฉล่ยี เลขคณิตรวม ; S2รวม แทนความแปรปรวนรวม

สูตร xรวม = n1x1 + n2x2
n1 + n2

สูตรการหาความแปรปรวนรวม แบ่งออกเปน็ 2 กรณี

กรณี 1 ถ้า x1 = x2 จะไดว้ ่า S2รวม = n1S12 + n2S22
n1 + n2

กรณี 2 ถา้ x1 ≠ x2 Σnx2 - x2 ____(*)
จากสูตร S2 = Σnx12 - x12 ____(1)
____(2)
S12 = ____(3)

S22 = Σ y2 - x22
n2

Sร2วม = Σ x2 + Σ y2 - xร2วม
n1 + n2

จาก (1) และ (2) จะให้ ∑ x2 = n1( S12 + x12 )
∑ y2 = n2( S22 + x22 )

นาํ ∑ x2 และ ∑ y2 แทนใน 3 จะได้

S2รวม = n1(S12 + x12 ) + n2 (S22 + x22) - xร2วม
n1 + n2

โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปีที่ 27 _________________________________________คณติ ศาสตร์ (49)

7.1.7 สมบตั สิ ว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวน

7.1.7.1 ถ้า S.D. = 0 แสดงวา่ ข้อมลู ชดุ นน้ั ซึ่งค่าสังเกตแตล่ ะตวั มคี ่าเทา่ กันหมด

7.1.7.2 กาํ หนดข้อมูล (xi) : x1, x2, x3, ..., xn
มคี ่าเฉลี่ยเลขคณติ = x และความแปรปรวน = S2x
สมมุตขิ ้อมลู (yi) : y1, y2, y3, ..., yn ซ่ึง yi มคี วามสัมพันธ์กับ xi เป็นแบบ

เชงิ เส้น yi = axi + b เราสามารถหา y , S2y จาก x และ S2x ได้ดังน้ี

y = ax +b
S2y = a2 + S2x

Sy = |a|Sx

7.1.7.3 ถา้ ขอ้ มลู (xi) : x1, x2, x3, ... , xn เรยี งกนั เปน็ ลาํ ดบั เลขคณติ มผี ลต่างรว่ ม = d
จะได้

สตู ร S2 = (n2 -121)d2

7.1.7.4 การหา x และ S2 ที่ถกู ตอ้ ง เมือ่ ทราบภายหลังวา่ จดข้อมูลผดิ บางตวั
เราสามารถหาไดจ้ ากสตู ร

7.1.7.5

xทถ่ี กู ต้อง = nxผดิ - Σ xผิด + Σ xถกู
n
n(Sผ2ดิ + xผ2ดิ ) - Σ xผ2ิด + Σ xถ2ูก
Sท2 ถี่ ูกต้อง = n - xท2่ีถูกตอ้ ง

โดยท่ี ∑ xผดิ แทนผลบวกของขอ้ มลู ท่ีผิด ∑ x 2 แทนผลบวกกําลังสองของขอ้ มลู ทผ่ี ิด
ผิด

∑ xถูก แทนผลบวกของข้อมลู ท่ีถูก ∑ xถ2ูก แทนผลบวกกําลังสองของขอ้ มลู ทถี่ ูก

คณิตศาสตร์ (50)__________________________________________โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปีท่ี 27

7.2 การวดั การกระจายสัมพัทธ์
ถา้ เรามขี ้อมลู หลายชุด เราจะตอ้ งการเปรียบเทียบว่าข้อมลู ชุดใดมีการกระจายมากนอ้ ยกว่ากัน

เราจะใช้การวดั การกระจายสมั พัทธ์ ซ่งึ เราจะหาคา่ การกระจายของแต่ละชุดมาเปรยี บเทียบกัน ข้อมลู ทมี่ ี
คุณภาพดคี วรจะเปน็ ข้อมูลท่มี ีค่าการกระจายนอ้ ยท่สี ุด

การวดั การกระจายสัมพทั ธ์ มวี ธิ ีการวัด 4 วิธี

1. สมั ประสิทธ์ิของพสิ ัย = xmax - xmin
xmax + xmin
Q3 - Q1
2. สัมประสทิ ธิ์ของสว่ นเบ่ียงเบนควอรไ์ ทล์ = Q3 + Q1

3. สมั ประสิทธ์ขิ องส่วนเบย่ี งเบนเฉลยี่ = M.D.
x
S.D.
4. สัมประสิทธิข์ องการแปรผนั = x

หมายเหตุ ขอ้ มลู ทุกชุดทีน่ ํามาหาการกระจายสมั พนั ธ์
การเปรียบเทยี บการกระจายของข้อมลู นนั้

จะต้องมหี นว่ ยเดียวกัน

8. ค่ามาตรฐาน

สมมุติว่านาย ก สงู 6 ฟตุ 4 น้ิว นาย ข สงู 1 หลา 82 เซนติเมตร ถา้ ตอ้ งการเปรยี บเทยี บวา่ นาย ก
กบั นาย ข ว่าใครสงู กวา่ กนั การเปรยี บเทยี บนี้ จะตอ้ งเปล่ียนหนว่ ยใหเ้ ป็นหนว่ ยเดยี วกนั

ในทางสถิตกิ ท็ ํานองเดยี วกนั ถา้ ต้องการเปรียบเทียบข้อมูลแต่ละตวั ว่าขอ้ มูลตวั ใดดกี วา่ กัน กล่าวคอื
จะต้องเปลี่ยนหน่วยให้เปน็ หน่วยเดยี วกนั ลักษณะเชน่ นเ้ี รยี กว่า คา่ มาตรฐาน (Standard Score) ซ่ึงเขียนแทน
ดว้ ยสญั ลักษณ์ z

สตู ร zi = xSi .-D.x

ค่ามาตรฐานทีค่ วรสนใจ

8.1 กําหนด (xi) : x1, x2, x3, x4, ..., xn มคี ่าเฉลี่ยเลขคณติ = x และ

เปลีย่ นเปน็ คา่ มาตรฐาน ↓ ↓ ↓ ↓ ..., ↓ ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน = S.D.x
(zi) จะได้ : z1, z2, z3, z4, ..., zn โดยท่ี zI = xSi .-D.x

ถ้านําค่ามาตรฐาน (zi) ทุกตวั มาหาคา่ เฉล่ียเลขคณิต และสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานจะได้
1. z = 0

2. S.D.z = 1

โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปีที่ 27 _________________________________________คณติ ศาสตร์ (51)

8.2 คา่ z ตัวใดมคี ่ามากท่สี ุด ขอ้ มลู ตัวนนั้ ดีกว่าตวั อ่นื
8.3 ถ้าขอ้ มลู ชุดท่ี 1 มีคา่ เฉลีย่ เลขคณิต = x1

มสี ่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน = S.D.1
ขอ้ มูลชุดที่ 2 มีค่าเฉลีย่ เลขคณิต = x2

มสี ่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน = S.D.2
สมมุตวิ า่ x3 เปน็ ค่าสังเกตอยใู่ นข้อมูลชุดที่ 1 เราเปลย่ี น x3 เปน็ คา่ มาตรฐานไดเ้ ป็น z3

โดยที่ z3 = xS3.D-.x11
และ y5 เปน็ ค่าสังเกตอยู่ในขอ้ มลู ชดุ ท่ี 2 เราเปลย่ี น y5 เปน็ คา่ มาตรฐานไดเ้ ป็น z5

โดยที่ z5 = xS5.-D.x22
ถ้า z5 > z3 เราจะสรปุ ได้วา่ y5 ดกี ว่า x3

9. พื้นที่ใต้เสน้ โค้งปกติ

กราฟเสน้ โค้งแหง่ ความถี่ เปน็ การเขยี นกราฟจากรูปหลายเฉลย่ี ความถ่ี โดยการปรบั รปู เหล่ียมให้
เรยี บเป็นเส้นโค้ง โดยให้พน้ื ท่เี สน้ โคง้ ท่ปี รับให้ใกลเ้ คียงกบั พืน้ ท่ไี ดร้ ูปหลายเหลีย่ มความถม่ี ากท่ีสุด

ถ้าเสน้ โค้งแห่งความถขี่ องขอ้ มูลชุดหนึง่ มกี ารแจกแจงปกติ แสดงวา่ ขอ้ มูลชุดนนั้ มีค่าเฉลย่ี เลขคณิต
มัธยฐาน และฐานนยิ ม มคี ่าเทา่ กับ ซง่ึ จะมีลกั ษณะกราฟดังนี้

f (ความถ)ี่

x = Med = Mod คะแนน (x)

ถ้าเสน้ โค้งแห่งความถี่มกี ารแจกแจงปกติ เรียกสนั้ ๆ วา่ เส้นโคง้ ปกติ ซึง่ พืน้ ทีใ่ ตเ้ สน้ โค้งปกติ มคี ่า
เทา่ กับ 1 และกราฟจะสมมาตรกนั ณ คะแนน x (ดังรปู ข้างบน)

คณติ ศาสตร์ (52)__________________________________________โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปีที่ 27

9.1 การหาพ้ืนทีใ่ ต้เสน้ โคง้ ปกตโิ ดยการเปิดตาราง
พน้ื ทใี่ ต้เส้นโคง้ ปกตบิ างส่วน สามารถหาคา่ ไดโ้ ดยการเปิดตาราง ซึ่งจะต้องเปลย่ี นคะแนน xi

เป็นค่ามาตรฐาน (zi) ก่อน มีวธิ กี ารเปดิ ตารางดังนี้

สตู ร zi = xSi .-D.x

จากคะแนน x x1 คะแนน (x)
เปลย่ี นเปน็
คา่ มาตรฐาน

z=0 z1 = x1 - x
S.D.

จากรูป A = พืน้ ทแี่ รเงา = พื้นท่ใี ตเ้ ส้นโคง้ จาก z = 0 ถึง z = z1 ____*

= p(0 < z < z1)

สาํ หรับจดุ ปลายของ

z จะรวม 0 หรือ z1 ความน่าจะเป็นของค่า
ความนา่ จะเปน็ เทา่ กัน มาตรฐาน z ระหว่าง 0 ถึง z1

จาก * เราสามารถหา A ได้ โดยการเปดิ ตารางพน้ื ทใ่ี ตเ้ สน้ โคง้ ปกติทีค่ า่ z = z1
9.2 ส่ิงที่ควรสนใจเก่ยี วกับเสน้ โคง้ ปกติ

9.2.1 เน่อื งจากพ้นื ท่ีใต้เสน้ โคง้ ปกติในตารางจะมคี า่ z เปน็ บวกเทา่ นัน้ สําหรับ z เป็นลบ (ซง่ึ
หาพ้นื ทใ่ี ต้เสน้ โคง้ ทางด้านซ้าย z = 0) เราจะหาพ้นื ท่ีได้โดยใช้หลกั การสมมาตร ดงั รูป

พ้ืนที่เท่ากนั

z = -z1 z = 0 z = 0 z = z1

ให้ z1 > 0 จากรปู จะได้ P(-z1 < z < 0) = P(0 < z < z1)

โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปีที่ 27 _________________________________________คณติ ศาสตร์ (53)

9.2.2 สัญลักษณ์ Pr แทนเปอรเ์ ซน็ ไทลท์ ี่ r ซึ่ง Pr คอื ค่าของขอ้ มูลทีม่ ีจํานวนขอ้ มลู มคี ่าน้อย
กว่าคา่ นอ้ี ยู่ r ใน 100 ของจํานวนทัง้ หมดในเสน้ โค้งปกติ คะแนน Pr สามารถหาพ้ืนท่ีใต้เส้นโคง้ ไดด้ ังรปู

A = พ้ืนที่ = r
100

Pr

สําหรบั Qr และ Dr สามารถหาพนื้ ทใี่ ตเ้ สน้ โคง้ ปกติไดเ้ ช่นเดียวกบั Pr

A = r A = r
4 10

Qr Dr

9.2.3 A = พ้นื ทใ่ี ต้เสน้ โคง้ ปกตบิ างสว่ น (จากตาราง)
z = คา่ มาตรฐาน โดยที่ z = xS-.Dx.
x = คะแนน
การเชื่อมโยงระหวา่ ง x, z, A จะมีลักษณะดังนี้
1. x เปลีย่ นเป็น→ z เปลย่ี นเป็น→ A
2. A เปลีย่ นเป็น→ z เปลยี่ นเป็น→ x

ตัวอยา่ งขอ้ สอบ

คณิตศาสตร์ (54)__________________________________________โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปที ่ี 27

ตวั อยา่ งข้อสอบ
ตัวอย่างขอ้ สอบ

โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปีท่ี 27 _________________________________________คณติ ศาสตร์ (55)

ตวั อยา่ งขอ้ สอบ

ตวั อยา่ งข้อสอบ

————————————————————
คณิตศาสตร์ (56)__________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 27

เนอื้ หาในสว่ น PAT1 PAT1 PAT1 PAT1 PAT1 PAT1
ท่คี รู Sup’k รับผดิ ชอบ ต.ค.55 มี.ค.56 ม.ี ค.57 เม.ย.57 พ.ย.57 มี.ค.58
ยากมาก ยากมาก ยากมาก ยากมาก ยากมาก ยากมาก
ระดบั ขอ้ สอบ
โจทยป์ ัญหาเชาวน์ 1 1 4 1 1 1
แนวจํานวนกับตวั เลข
โจทย์ปัญหาเชาวน์ - 2 – – 1 –
แนวโอเปอรเ์ รชนั่ ใหม่ๆ
เอกซ์โปเนนเชียล 3 3 2 0.5 2.5 1.5
1 2 1 2.5 2.5 3
ลอการทิ มึ 2 1 2 1.5 2 1.5
ตรรกศาสตร์ 1 2.5 2 2.5 2 4
ระบบจํานวนจรงิ 2 1 2 1 1 1
ทฤษฎจี ํานวน - 0.5 – 1 1 0.5
เรขาคณิตวิเคราะห์ 3 3 3 2 2 2.5
ภาคตัดกรวย 1 2 1 – 1 1
ความสัมพันธ์ 1 2 – 3 3 2

ฟงั กช์ ัน 2 2 2 2 2 2
เมทริกซ์
และดเี ทอรม์ นิ ันต์ 0.5 - – – – 2
ตรโี กณพืน้ ฐานในวงกลม 2 2 3 2 3.5 1
ตรีโกณประยกุ ต์ 2 2 1 1 0.5 1
อนิ เวอร์สตรีโกณ
กฎของ sin, 1 1 1 2 1 1
กฎของ cos

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 27 _________________________________________คณิตศาสตร์ (57)

เน้อื หาในส่วน PAT1 PAT1 PAT1 PAT1 PAT1 PAT1
ที่ครู Sup’k รับผดิ ชอบ ต.ค.55 ม.ี ค.56 มี.ค.57 เม.ย.57 พ.ย.57 มี.ค.58
ยากมาก ยากมาก
ระดบั ขอ้ สอบ ยากมาก ยากมาก ยากมาก ยากมาก
โจทยเ์ ซอร์ไพส์ 1 –
แนวโอลิมปิก 21 2–
25 ข้อ 25 ขอ้
รวม 24.5 ขอ้ 28 ขอ้ 24 ข้อ 26 ขอ้
ขอ้ สอบท้งั หมด 50 ข้อ 45 ขอ้

หมายเหตุ ชอ้ ย 25 ขอ้ ชอ้ ย 30 ขอ้
ขอ้ ละ 5 คะแนน ขอ้ ละ 6 คะแนน

เติมคํา 25 ข้อ เตมิ คาํ 15 ขอ้
ข้อละ 7 คะแนน ข้อละ 8 คะแนน

คณิตศาสตร์ (58)__________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 27

สรุปภาพรวม “โจทยป ญญาเชาวน”

เนน เฉพาะทีอ่ อกขอสอบ

แนวโน้มการออกข้อสอบ

4.28%

1. โจทย์ปญั หาเชาวน์ แนวลําดบั – ฟังกช์ ัน สองตวั แปร
2. โจทยป์ ัญหาเชาวน์ แนวเตมิ ตวั เลขในตารางเกา้ ช่อง
3. โจทย์ปัญหาเชาวน์ แนวผลรวมตัวเลขในตาราง
4. โจทยป์ ัญหาเชาวน์ แนว Sudoku
5. โจทย์ปัญหาเชาวน์ แนว Alphabetic Problem
6. โจทย์ปญั หาเชาวน์ แนวทฤษฎจี ํานวน
7. โจทยป์ ัญหาเชาวน์ แนวตรรกศาสตร์ ผมไม่ได้พูดโกหก VS นั่งติดกับคนโนน้ ตรงข้ามคนน้ี
8. โจทยป์ ญั หาเชาวน์ แนวโอเปอร์เรชัน่ ของระบบจํานวนจริง

โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปที ่ี 27 _________________________________________คณิตศาสตร์ (59)

โจทยแ์ นว โอลมิ ปกิ ทฤษฎีจํานวน แบบ.....................................

SiGo–Pb1.1 (PAT1’มี.ค.58) Tips จากครู Sup’k

กําหนดให้ a และ b เป็นจํานวนเตม็
ทีส่ อดคล้องกบั a2 + b2 + 9 = 2(2a - b + 2)

พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้
(ก) a < b

(ข) (2a - b)n = (a + 3b2)n สาํ หรบั ทุกจาํ นวนเตม็ บวก n

ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูกตอ้ ง
1) (ก) ถกู และ (ข) ถูก
2) (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3) (ก) ผดิ แต่ (ข) ถกู
4) (ก) ผิด และ (ข) ผดิ
แนวคดิ & เทคนคิ

คณิตศาสตร์ (60)__________________________________________โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปีที่ 27

โจทยป์ ญั หาเชาวน์ แนว ลาํ ดบั -ฟังก์ชนั สองตัวแปร

NichTor-Pb1.1 (แนว PAT1’ธ.ค.54)

กาํ หนด a(n, m) เป็นจํานวนเต็มบวก ทุกๆ n = 1, 2, 3, 4 , m = 1, 2, 3, ..., n

และ a(n, m) = a(n, m - 1) + a(n - 1, m - 1) Tips จากครู Sup’k

เมอ่ื n = 2, 3, 4 และ m = 2, 3, ..., n

ถ้า a(1, 1) = 10, a(2, 1) = 5 และ a(2, 3) = 18

จงหาคา่ ของ a(1, 2) ตอบ ..............................

*NichTor-Pb1.2 (ดักแนวขอ้ สอบ PAT1)
กาํ หนด a(n, m) เป็นจาํ นวนเตม็ บวก ทกุ ๆ n = 1, 2, 3, 4, m = 1, 2, 3, ..., n
และ a(n, m) = a(n, m - 1) + a(n - 1, m - 1) เม่ือ n = 2, 3, 4 และ m = 2, 3, ..., n
ถ้า a(1, 1) = 10, a(2, 1) = 5 และ a(4, 1) = 4, a(4, 4) = 35
จงหาคา่ ของ a(3, 1) ตอบ ..............................

NichTor-Pb1.3 (ดกั แนวขอ้ สอบ PAT1) สาํ หรับจํานวนเต็ม n, m ท่ไี ม่ตดิ ลบ
นยิ าม กาํ หนด a(n, m) ดงั นี้
(i) a(0, m) = m + 1
(ii) a(n + 1, 0) = a(n, 1)

(iii) a(n + 1, m + 1) = a(n, a(n + 1, m))

จงหาค่าของ a(3, 0) ตอบ ..............................

Sigo–Pb1.3.2 (PAT1’พ.ย.57) ให้ A = {0, 1, 2, ...}

กําหนดให้ a(n, m) ∈ A ทกุ n, m ∈ A โดยที่

(ก) a(n, 0) = n + 1 สาํ หรบั ทกุ n ∈ A

(ข) a(0, m) = a(1, m - 1) สาํ หรับทกุ m ∈ A - {0}

(ค) a(n + 1, m + 1) = a(a(n, m + 1), m) สาํ หรบั ทุก n, m ∈ A

ถา้ x ∈ A และ a(x, 2) = 2557 แล้วค่าของ x เทา่ กับเทา่ ใด ตอบ ..............................

NaDate-Pb2.48 (PAT1’ม.ี ค.56) สาํ หรบั x, y ∈ {0, 1, 2, 3, ...}
กาํ หนดให้ F(x, y) เปน็ จํานวนเตม็ บวก โดยที่

 F(1, y - 1) , x=0,y≠0
 , y=0
F(x, y) =  x+1

F(F(x - 1, y) , y - 1) , x ≠ 0 , y ≠ 0

ค่าของ F(1, 2) + F(3, 1) เทา่ กบั เทา่ ใด ตอบ.............................

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปีท่ี 27 _________________________________________คณิตศาสตร์ (61)

โจทยป์ ญั หาเชาวน์ แนวเตมิ ตวั เลขในตารางเก้าช่อง

BRAN-Pb2.50 (PAT1’ต.ค.53) จากตารางทกี่ ําหนดให้ มีช่องว่างทัง้ หมด 9 ช่อง ดงั รปู

7 Tips จากครู Sup’k
X

10 3

ให้เตมิ จํานวนเต็มบวก ลงในช่องสเี่ หลีย่ มชอ่ งละ 1 จาํ นวน

โดยให้ผลบวกของจาํ นวนในแต่ละแถว ในแตล่ ะหลัก และในแตล่ ะแนวทแยงมมุ มคี ่าเท่ากนั
ถา้ เตมิ จาํ นวนเตม็ บวก 3, 7, 10 ดังปรากฏในตาราง แลว้ จํานวน x ในตาราง เท่ากบั เทา่ ใด
แนวคดิ เรว็ ๆ

ข้นั ท่ี 1 ขน้ั ท่ี 2

7 7
X X

10 3 10 3

ขนั้ ที่ 3 (แถม) ขั้นที่ 4 (แถม) ขนั้ ท่ี 5 (แถม)

7 7 7

10 3 10 3 10 3

คณติ ศาสตร์ (62)__________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปีท่ี 27

โจทย์ปญั หาเชาวน์ แนวผลรวมตวั เลขในตาราง
SheLL2.46 (PAT1’ก.ค.53) ใหเ้ ตมิ จํานวนเตม็ บวกลงในช่องสีเ่ หลยี่ ม

โดยใหผ้ ลรวมของจํานวนในช่องสีเ่ หลี่ยมสามช่องท่ีติดกัน เท่ากบั 18

7x 8

ค่าของ x เทา่ กบั เท่าใด ตอบ ..............................

SheLL2.47 (PAT1’ก.ค.53) จากตารางทก่ี าํ หนดให้ มีช่องวา่ ง 16 ชอ่ ง ดงั รูป

หลัก (ค) หลัก (ง)

แถว (ก) 1 5

แถว (ข) x 13

ให้เติมจํานวนเต็มบวก 1, 2, 3, ..., 16 ลงในชอ่ งส่ีเหลย่ี มช่องละ 1 จํานวน โดยใหผ้ ลบวก

ของจํานวนในแตล่ ะแถว (แถว (ก) และ แถว (ข)) และแต่ละหลัก (หลกั (ค) และ หลัก (ง))

มีค่าเทา่ ๆ กัน ถา้ เติมจํานวนเต็มบวก 1, 5, 13 ดังปรากฏในตารางแล้วจํานวน x ในตาราง
เท่ากับเท่าใด ตอบ ..............................

โจทย์ปัญหาเชาวน์ แนว Sudoku
SheLL2.4 (PAT1’ก.ค.53) ให้เตมิ จํานวนเต็มบวก 1, 2, 3, 4, 5 ลงในชอ่ งวา่ งของตาราง 5 × 5 ต่อไปนี้

54
13

53
2 31

x

โดยท่แี ต่ละแถวตอ้ งมจี ํานวนเตม็ บวก 1, 2, 3, 4 และ 5
และแต่ละหลกั ตอ้ งมจี ํานวนเต็มบวก 1, 2, 3, 4 และ 5
จงหาวา่ จาํ นวน x ในตาราง เทา่ กบั เทา่ ใด ตอบ ..............................

โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 27 _________________________________________คณิตศาสตร์ (63)

โจทย์ปญั หาเชาวน์ แนว Alphabetic Problem

BRAN-Pb1.24 (PAT1’ต.ค.53) พิจารณาการบวกของจํานวนต่อไปนี้

A B +
C D

EFG

เมือ่ A, B, C, D, E, F, G แทนเลขโดดทแ่ี ตกต่างกนั โดยท่ี F = 0
และ {A, B, C, D, E, G} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
ถา้ จาํ นวนสองหลัก AB เปน็ จํานวนเฉพาะ แลว้ A + B มีคา่ เทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้
1) 4 2) 5 3) 7 4) 9

แนวคดิ

SupK-Pb2.28.2 (ดกั แนว PAT 1) SupK-Pb2.28.3 (ดักแนว PAT 1)
ให้ ตวั อักษรภาษาองั กฤษแต่ละตัวท่ีแตกต่างกนั ให้ ตัวอักษรภาษาองั กฤษแต่ละตัวที่แตกต่างกัน
แทน เลขโดดทแ่ี ตกต่างกัน แทน เลขโดดทแี่ ตกตา่ งกัน
จงหาตวั เลขมาเตมิ ตวั อกั ษรอังกฤษตอ่ ไปนี้ จงหาตัวเลขมาเติมตวั อักษรอังกฤษตอ่ ไปนี้

S E N D + FA T H E R +
M O R E MO T H E R

MON EY PARE NT

เมือ่ ตวั อักษร O ในข้อน้ี คือ เลขศนู ย์ เมอื่ ตัวอักษร O ในขอ้ นี้ คือ เลขโดดใดๆ

คณิตศาสตร์ (64)__________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 27

โจทยป์ ัญหาเชาวน์ แนวทฤษฎีจํานวน

BRAN-Pb2.43 (PAT1’ต.ค.53) กาํ หนดให้ a, b, c, d, e, f เปน็ จาํ นวนเตม็ บวก

ถา้ ผลบวกของสองจาํ นวนที่แตกตา่ งกัน

ในเซต {a, b, c, d, e, f} มีทัง้ หมด 15 จาํ นวน Tips จากครู Sup’k

โดยท่ี a < b < c < d < e < f

คอื 37, 50, 67, 72, 80, 89, 95, 97,

102, 110, 112, 125, 132, 147 และ 155

แล้วค่าของ c + d เทา่ กับเท่าใด ตอบ ..............................

แนวคดิ

Happy–Pb 1.1 (PAT1’มี.ค.57) ถา้ a, b, c, d, e เปน็ จาํ นวนเตม็ บวก

โดยท่ี 5a = 4b = 3c = 2d = e

และ a + 2b + 3c + 4d + 5e เป็นจํานวนเต็มบวกที่น้อยทสี่ ุด

แล้วค่าของ a + 4b + 3c + 4d + e เท่ากับขอ้ ใดต่อไปนี้

1) 52 2) 120 3) 262 4) 312

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปที ี่ 27 _________________________________________คณติ ศาสตร์ (65)

Happy–Pb 1.2 (PAT1’ม.ี ค.57) ตู้นิรภัยมรี หัสเปดิ ตู้เปน็ จํานวน 10 หลกั คอื ABCDEFGHIJ โดยที่
(ก) A, B, C, D, E, F, G, H, I, J ±{0, 1, 2, ..., 9}
และ A, B, C, D, E, F, G, H, I, J เป็นจาํ นวนท่แี ตกต่างกันท้ังหมด
(ข) A, B, C, D เป็นจํานวนคท่ี ่เี รยี งตดิ กนั และ A ! B ! C ! D
(ค) E, F, G เปน็ จาํ นวนคู่ทเี่ รยี งติดกนั และ E ! F ! G
(ง) H ! I ! J และ H + I + J = 15

คา่ ของ C + F + I เท่ากับข้อใดตอ่ ไปนี้
1) 10 2) 13 3) 15 4) 17

Happy–Pb 1.3 (PAT1’เม.ย.57) สร้าง ABCDEF เปน็ จาํ นวนเตม็ บวก 6 หลกั
โดยที่ A, B, C, d, E, F ± {1, 2, 3, ..., 9}
และสอดคลอ้ งกับ A + B = 14 และ C - D ! D - E ! E - F ! 0 ไดท้ ้งั หมดกีจ่ าํ นวน
ตอบ ....................................

Happy–Pb 1.4 (PAT1’เม.ย.57) ให้ A เปน็ เซตของ a2 + b2 + c2 + d2 โดยที่ a, b, c, d เปน็ จาํ นวนเตม็ บวก
ทีส่ อดคลอ้ งกับ

(ก) a = b + d
(ข) (a + b + c + d) = (a - c)d
(ค) 2 + cd = a(c - 1)
ถา้ M เปน็ สมาชิกทม่ี คี า่ มากทสี่ ุดใน A และ m เปน็ สมาชิกท่ีมีค่าน้อยท่ีสุดใน A แลว้ M - m เทา่ กับเทา่ ใด
ตอบ ....................................

โจทยป์ ญั หาเชาวน์ แนวทฤษฎีการหารลงตัว
BRAN-Pb1.25 (PAT1’ต.ค.53) สาํ หรบั a และ b เปน็ จํานวนเตม็ บวกใดๆ

นิยาม a * b หมายถงึ a = kb สาํ หรับบางจํานวนเต็มบวก k
ถา้ x, y และ z เป็นจาํ นวนเตม็ บวกแลว้ ขอ้ ใดต่อไปนีเ้ ปน็ จริง
1) ถ้า x * y และ y * z แล้ว (x + y) * z
2) ถ้า x * y และ x * z แลว้ x * (yz)
3) ถ้า x * y และ x * z แล้ว x * (y + z)
4) ถา้ x * y แล้ว y * x

คณิตศาสตร์ (66)__________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปีท่ี 27

โจทยป์ ญั หาเชาวน์ แนวตรรกศาสตร์ ผมไมไ่ ด้พูดโกหก VS นั่งตดิ กบั คนโน้น ตรงขา้ มคนน้ี

TF-PAT119 (B-PAT1’ต.ค.51) ในการจัดคน 5 คน ยนื เขา้ แถวหน้ากระดาน พบว่า

- นาย ก ไมย่ ืนข้างนาย ข

- นาย ค ยืนอยรู่ มิ Tips จากครู Sup’k
- นาย ง ยนื อยู่ข้างนาย จ และไม่ยืนอยู่กลางแถว

ขอ้ ใดตอ่ ไปนีเ้ ปน็ ไปได้

1) นาย ก ยืนขา้ งนาย ข

2) นาย จ ยืนอยรู่ ิมด้านหนึง่

3) นาย ก ยืนอยตู่ รงกลาง

4) นาย จ ยืนอยู่ตรงกลาง

TF-PAT120 (B-PAT1’ต.ค.51) จากโจทย์ ขอ้ เมือ่ กี้ ถา้ นาย ข ยืนอยู่ริมด้านหนง่ึ แล้ว ข้อใดต่อไปน้ผี ดิ

1) นาย ค ยืนติดนาย ก 2) นาย ก ยืนอย่ตู รงกลาง

3) นาย จ ยนื อยตู่ รงกลาง 4) นาย ง ยืนติดกบั นาย ข

TF-PAT123 (PAT1’มี.ค.52) ชาย 6 คน นาย ก, ข, ค, ง, จ และ ฉ ยนื เขา้ แถวตอน ตามลาํ ดบั

โดยมเี งือ่ นไขดังน้ี

นาย ฉ ไม่ยืนตดิ กับนาย ข

นาย ฉ ยืนอยูใ่ นลาํ ดบั กอ่ นนาย ก

นาย ก ยนื ติดนาย ง

นาย จ ยนื อยลู่ ําดบั ที่ 4

ถ้านาย ฉ ยนื ติดและอยูห่ ลังนาย ค แลว้ คนทม่ี โี อกาสอยใู่ นลําดับที่ 5 ได้แก่ ชายในข้อใดตอ่ ไปน้ี

1) นาย ข 2) นาย ค 3) นาย ง 4) นาย ฉ

TF-PAT124 (PAT1’มี.ค.52) จากเง่ือนไขในโจทย์ขอ้ ทแ่ี ลว้ ข้อความใดต่อไปนจี้ รงิ

1) นาย ง ยนื อยใู่ นลาํ ดับท่ี 2 2) นาย ค ยืนอยู่ในลําดับท่ี 3

3) นาย ง ยนื อยหู่ ลังนาย ข 4) นาย ข ยนื อยู่หลังนาย จ

โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 27 _________________________________________คณติ ศาสตร์ (67)

โจทยป์ ญั หาเชาวน์ แนวการโอเปอร์เรชน่ั ระบบจํานวนจรงิ

BRAN-Pb1.5 (PAT1’ต.ค.53) ให้ N แทนเซตของจํานวนนับ Tips จากครู Sup’k
กาํ หนดให้ a * b = a + b สําหรับ a, b ∈ N สูตรลดั จากครู Sup’k
พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปนี้
ก. (a * b) * c = a * (b * c) สาํ หรับ a, b, c ∈ N
ข. a * (b + c) = (a * b) + (a * c) สําหรบั a, b, c ∈ N
ขอ้ ใดต่อไปนี้ถกู ตอ้ ง
1) ก. ถูก และ ข. ถูก
2) ก. ถูก และ ข. ผิด
3) ก. ผิด และ ข. ถูก
4) ก. ผิด และ ข. ผิด

แนวคิดเร็วๆ

วิธีจริง

สําหรับ a, b ∈ N เรามวี า่ a * b = a + b

(ก) ผิด , (a * b) * c = ( a + b ) * c = a + b + c

a * (b * c) = a * b + c = a + b + c
∴ (a * b) * c ≠ a * (b * c)

(ข) ผดิ , a * (b + c) = a + b + c , a * b = a + b , a * c = a+c

เพราะว่า a+b+c ≠ a+b + a+c

∴ a * (b + c) ≠ (a * b) + (a * c)

ดงั นั้น ท้ัง (ก) และ (ข) ผิดทงั้ คู่

คณติ ศาสตร์ (68)__________________________________________โครงการแบรนดซ์ มั เมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 27

BRAN-Pb1.20 (PAT1’ต.ค.53) ให้ N แทนเซตของจํานวนนบั , สําหรับ a, b ∈ N

a,a!b b,a!b

aΘb = a , a = b และ a∆b = a , a = b

b,a<b a,a<b

พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้ สาํ หรบั a, b, c ∈ N

ก. aΘb = bΘa

ข. aΘ(bΘc) = (aΘb)Θc

ค. a∆(bΘc) = (a∆b)Θ(a∆c)

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1) ถูก 1 ขอ้ คอื ขอ้ ก. 2) ถกู 2 ข้อ คอื ข้อ ก. และ ข.

3) ถกู 2 ขอ้ คือ ข้อ ก. และ ค. 4) ถกู ท้ัง 3 ขอ้ คือ ข้อ ก., ข. และ ค.

KAiOU-Pb1.24 (PAT1’มี.ค.53) ให้ N แทนเซตของจํานวนนบั

กําหนดให้ a * b = ab สําหรับ a, b ∈ N พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี สาํ หรบั a, b, c ∈ N
ก. a * b = b * a
ข. (a * b) * c = a * (b * c)
ค. a * (b + c) = (a * b) + (a * c)
ง. (a + b) * c = (a * c) + (b * c)

ข้อใดตอ่ ไปนถี้ กู ตอ้ ง

1) ถูก 2 ขอ้ คือ ข. และ ค. 2) ถกู 2 ข้อ คอื ค. และ ง.

3) ถกู 1 ขอ้ คอื ค. 4) ก., ข., ค. และ ง. ผดิ ทกุ ข้อ

SheLL2.49 (PAT1’ก.ค.53) ให้ a และ b เป็นจาํ นวนเต็มบวกใดๆ

กําหนดให้ a ⊗ b เปน็ จาํ นวนจรงิ ทม่ี สี มบตั ิตอ่ ไปน้ี a ⊗ (a + b) a +b b
a⊗b
ก. a ⊗ a = a + 4 ข. a ⊗ b = b ⊗ a ค. =

ค่าของ (8 ⊗ 5) ⊗ 100 เทา่ กบั เท่าใด ตอบ ..............................

NaDate-Pb2.49 (PAT1’ม.ี ค.56) สําหรบั x และ y เป็นจาํ นวนจริงบวกใดๆ

กําหนดให้ x * y เปน็ จํานวนจริงบวก ทมี่ สี มบัตติ อ่ ไปน้ี
(1) x * (xy) = (x * x)y
(2) x * (1 * x) = 1 * x
(3) 1 * 1 = 1

คา่ ของ 2 * (5 * (5 * 6)) เท่ากบั เทา่ ใด

ตอบ ..................................

โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปีที่ 27 _________________________________________คณติ ศาสตร์ (69)

สรุปภาพรวม “เอกซโ ปเนนเชียล”

เนน เฉพาะที่ออกขอ สอบ

แนวโน้มการออกขอ้ สอบ

4.46%

1. โจทยเ์ อกซโ์ ปเนนเชียล แนวเลขยกกําลงั ม.2
2. โจทยเ์ อกซโ์ ปเนนเชยี ล แนวเปรียบเทยี บความมากน้อยเลขยกกําลัง ม.2
3. โจทยเ์ อกซ์โปเนนเชยี ล แนวเลขยกกาํ ลังกับรู้ด
4. โจทยเ์ อกซโ์ ปเนนเชยี ล แนวสมการเลขยกกําลัง แบบฐานติดตวั แปร
5. โจทยเ์ อกซโ์ ปเนนเชียล แนวสมการเลขยกกําลงั
6. โจทย์เอกซ์โปเนนเชียล แนวสมการเลขยกกําลังโอลมิ ปกิ
7. โจทยเ์ อกซโ์ ปเนนเชียล แนวสมการติดรดู้

คณิตศาสตร์ (70)__________________________________________โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปีที่ 27

โจทย์เอกซ์โปเนนเชียล แนวเลขยกกาํ ลัง ม.2 สตู ร 2.2 (a ⋅ b)n = an ⋅ bn

สตู ร 2.1 am × an = am+n  a n = an
 b bn
1 
an-m
am = am-n = เม่อื a ≠ 0 amn = a(mn)
n

(am)n = am⋅n = (an)m สตู ร 2.3

FPAT-Pb2 (B-PAT1’ต.ค.51) ถ้า ab =2 แลว้ 2(a+b)2 มีคา่ เทา่ กับเทา่ ใด

2(a-b)2

1) 4 2) 8 3) 64 4) 256

แนวคิดเรว็ ๆ

ถ้า ab = 2 → วิธีลดั ยกตวั อย่างไปเลย เช่น a = 2 , b = 1

จะหา แลว้ 2(a+b)2 = 2(2+1)2 = 2(3)2 = 29 = 29-1 = 28 = 256

2(a-b)2 2(2-1)2 2(1)2 21

วธิ จี รงิ จะหา 2(a+b)2 = 2(a + b)2 - (a - b)2 = 2(a2 + 2ab + b2) - (a2 - 2ab + b2)

2(a-b)2 = 2a2 + 2ab + b2 - a2 + 2ab - b2 = 24 ⋅ ab = 24 ⋅ 2 = 28 = 256 ตอบ

QET-G-Pb26.1 ถ้า a = 1 - 2n และ x = 1 - 2-n โดยที่ a และ n เป็นค่าคงตัว จงหา x

1) 2 - a 2) a - 2 3) a 4) a
1 - a 1 - a 1-a a-1

QET-G-Pb23.2 จงหารปู อย่างง่ายของ  a-2b −3 ÷  a⋅b-1 5
 a3 ⋅b-4   a-3 ⋅b2 
1 1 1 1
1) a5 2) a-9 3) b7 4) b12

QET-G-Pb23.3 จงหา 2n+3 × 3-n+2 × 2n - 2n-1 × 2-n+2
3-n-1 5-n-1 3 × 2n - 4 × 2n-2 5n+1

1) 4 Tips จากครู Sup’k
2) 864

3) 870

4) ไม่มีข้อถูก

โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 27 _________________________________________คณติ ศาสตร์ (71)

โจทยเ์ อกซโ์ ปเนนเชียล แนวเปรยี บเทยี บความมากนอ้ ยเลขยกกาํ ลงั ม.2

สูตร I เมือ่ 1 < ฐาน สตู ร II เมือ่ 0 < ฐาน < 1
เจอ 3.5x < 3.5y เจอ 0.21x < 0.21y

∴ x <y ∴ x>y

สตู ร III เมือ่ 1 < ฐาน สตู ร IV เมอ่ื 0 < ฐาน < 1
เจอ log7.8 x < log7.8 y เจอ log0.42 x < og0.42 y

∴ x<y ∴ x >y

NaDate-Pb1.25 (PAT1’มี.ค.56) กําหนดให้ A = 735 , B = 537 ,C= 35 7
และ D = 3 7 5 ข้อใดต่อไปนี้ถกู ตอ้ ง

1) D > C > A > B
2) A > C > B > D
3) A > B > D > C
4) C > A > D > B

VetaNaDate-Pb1.25 (โจทย์ตา่ งประเทศ) ให้ A = 3 10 , B = 5 , C = 3 28

ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูกตอ้ ง

1) A < B < C 2) A < C < B

3) B < A < C 4) B < C < A

5) C < A < B

คณิตศาสตร์ (72)__________________________________________โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปีที่ 27

โจทยเ์ อกซ์โปเนนเชียล : แนวเลขยกกําลังกับรู้ด

สตู ร 5.1 mn 11 1 ⋅ 1 1 mn a
m
m n am พิสูจน ii) a = (an )m = an = an⋅m =
i) = (n a )m =
an

ii) m n a = mn a iii) n am m m⋅k = n⋅k am⋅k

iii) n am = nk amk = an = an⋅k

11 1
พิสจู น i) n a n b = an ⋅ bn = (a⋅b)n = n a⋅b
สตู ร 5.2

i) n a n b = n ab 1

ii) na = n a ii) na = an = 1 =n a
b b
nb nb 1  ba n

bn

ตวั อยา่ งที่ 5.2.1 จงหารูปอยา่ งงา่ ยของ

i) aa= 1 a1 ⋅ a 1 = a1+ 1 = 3 31 = a 3 ⋅ 1 3
2 2 2 2
a⋅a2 = a2 = (a2 )2 = a4

ii) 3 a1 ⋅ 3 = a1+ 3 = 7 71 = a 7 ⋅ 1 7
4 4 2
a a a = a⋅a4 = a4 a4 = (a 4 )2 = a8

iii) aa a a= 7 a1 ⋅ 7 = a1+ 7 = 15 15 1 = a 15 ⋅ 1 = 15
8 8 2
a⋅a8 = a8 a8 = (a 8 )2 a16

ตวั อยา่ งท่ี 5.2.2 จงหารูปอย่างง่ายของ 3 a4 ⋅5 6a ตอบ.........................

แนวคดิ

3 a4 ⋅5 6a = 3 a4 1 = 3 a4 ⋅6 1 1 =3 6 1 ⋅ a4 ⋅ 1 =3 6 1 ⋅ a4 + 1
5 5 5 5
⋅(6a)5 ⋅a5 a5

=3 1 21 1 21 1 11 21 1 = 6 1 ⋅ 1 ⋅ a 21 ⋅ 1 1 21 = 15 61 ⋅ 15 a21
5 3 5 3
65 ⋅6 5 = (65 ⋅a 5 )3 = {65 }3 ⋅ [6 5 ]3 = 615 ⋅ a15

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปีที่ 27 _________________________________________คณิตศาสตร์ (73)

โจทย์เอกซโ์ ปเนนเชยี ล แนวสมการเลขยกกาํ ลัง แบบฐานติดตัวแปร

BRAN-Pb2.29 (PAT1’ต.ค.53) ให้ R แทนเซตของจํานวนจริง Tips จากครู Sup’k
และให้ C = {x ∈ R | (3x2 - 11x + 7)(3x2+4x+1) = 1}
จาํ นวนสมาชกิ ของเซต C เทา่ กบั เทา่ ใด ตอบ .................
วธิ ีลัด

วิธจี ริง
พจิ ารณาสมการ (3x2 - 11x + 7)(3x2 +4x+1) = 1 ออกเปน็ 2 กรณี

กรณีที่ 1 เมอื่ 3x2 - 11x + 7 ! 0
จะได้ log(3x2 - 11x + 7)(3x2 +4x+1) = 0

(3x2 + 4x + 1)log(3x2 - 11x + 7) = 0

ฉะนนั้ 3x2 + 4x + 1 = 0 หรือ log(3x2 - 11x + 7) = 0

(3x + 1)(x + 1) = 0 1 หรอื 3x2 - 11x + 7 = 1
3
x = - , -1 หรือ (3x - 2)(x - 3) = 0
หรือ x = 32 , 3
x = - 31 , -1

กรณที ่ี 2 เมอ่ื 3x2 - 11x + 7 < 0
เป็นไปได้ทางเดียว คือ 3x2 - 11x + 7 = -1 และ 3x2 + 4x + 1 เป็นเลขคู่

3x2 - 11x + 8 = 0

(3x - 8)(x - 1) = 0

x = 8 , -1
3
8 64 8
ถา้ x = 3 จะได้ 3x2 + 4x + 1 = 3⋅ 9 + 4⋅ 3 + 1 = 33

ถ้า x = 1 จะได้ 3x2 + 4x + 1 = 3 + 4 + 1 = 8

ในกรณนี ี้ จึงได้ x = 1 เท่าน้นั

รวมท้งั 2 กรณี จะได้ C =  -1, -31, 32, 1, 3
 

∴ จาํ นวนสมาชกิ ของเซต C มคี ่าเทา่ กับ 5

คณติ ศาสตร์ (74)__________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 27

Sup’k-Pb2.29.1 (ดกั แนว PAT1) ให้ R แทนเซตของจํานวนจรงิ
และให้ C = {x ∈ R | (x – 3)x2 – 8x +15 = 1} จํานวนสมาชิกของเซต C เท่ากบั เท่าใด
ตอบ ...............................

Sup’k-Pb2.29.2 (ดักแนว PAT1) ให้ R แทนเซตของจาํ นวนจรงิ

และให้ C =  log x+5 = 105+log  จงหา n(C) ตอบ ..............................

x ∈R x3 x





FPAT-Pb14 (PAT1’ก.ค.52) ให้ x และ y เป็นจํานวนจริงที่ x, y > 0 ซึ่งสอดคล้องกบั xy = yx และ y = 5x

จงหาว่าค่าของ x อยู่ในช่วงใด

1) [0, 1) 2) [1, 2)

3) [3, 4) 4) [5, 6)

Sigo-Pb15.1 (PAT1’พ.ย.57) ให้ a และ b เป็นจาํ นวนจรงิ โดยที่ a > 0 และ b > 1
ถา้ ab = ba และ b = ab3a แล้ว 20a + 14b เทา่ กับเทา่ ใด

ตอบ ..............................

โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปีท่ี 27 _________________________________________คณิตศาสตร์ (75)

โจทยเ์ อกซโ์ ปเนนเชียล แนวสมการเลขยกกําลงั

สตู ร 5.1 ax = ay → x = y เมอ่ื a ≠ -1, 0, 1
สตู ร 5.2 ax = bx → x = 0 เม่อื a, b ≠ -1, 0, 1

พิสูจน์ สตู ร 5.2 จาก ax = bx → ax = 1 →  ba x =1→ ∴ x = 0จบ
bx

Happy–Pb 2.1 (PAT1’ม.ี ค.57) กาํ หนดให้ A เปน็ เซตของจาํ นวนจรงิ x ±[0, 2S) ท้ังหมดทสี่ อดคล้องกบั

สมการ

21+3sin x - 5 ⋅ 22sin x + 22+sin x = 1

จํานวนสมาชกิ ของเซต A เทา่ กับเทา่ ใด

ตอบ ...................................

แนวคดิ 21+3sin x - 5 ⋅ 22sin x + 22+sin x =1

2(2sin x)3 - 5(2sin x)2 + 4(2sin x) =1

2(2sin x)3 - 5(2sin x)2 + 4(2sin x) - 1 = 0

(2sin x - 1)(2(2sin x)2 - 3(2sin x) + 1) = 0

(2sin x - 1)(2sin x - 1)(2(2sin x) - 1) = 0

2 sin x = 1, 1
2

ถา้ 2 sin x = 1 จะได้ sin x = 0 แต่ x ±[0, 2S) ดังนน้ั x = 0, S
ดังน้นั x = 32π
ถ้า 2 sin x = 1 จะได้ sin x = -1 แต่ x ±[0, 2S)
2

เซตคาํ ตอบของสมการ A= 0, π, 32π 


ดังนั้น จาํ นวนสมาชกิ ของเซต A เทา่ กับ 3 ตัว ตอบ

*NichTor–Pb2.1 (ดกั แนว PAT1) ถ้า θ เป็นมุมซง่ึ 180° < θ < 270° ทสี่ อดคล้องกบั
3(2sinθ)  287 cos2θ = 2(3sinθ) Tips จากครู Sup’k

แลว้ sin 3θ เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปน้ี ตอบ ..............................

วธิ ที ํา

คณิตศาสตร์ (76)__________________________________________โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 27

NichTor–Pb2.2 (แนวขอ้ สอบ PAT1’ธ.ค.54) ถา้ θ เปน็ มมุ ซ่ึง 180° < θ < 270°
ทส่ี อดคล้องกบั 3(2sinθ)  94 cos2θ = 2(3sinθ)

แล้ว 3 tan2 θ - 2 sin 3 θ เทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี

1) 1 2) 3 3) 7 4) 11

NichTor–Pb2.2 ตอบ 2) 3

3(2sinθ)  94 cos2θ = 2(3sinθ)

 32 sinθ  32 2cos2θ = 32

 32 sinθ + 2cos2θ = 2
3

 32 sinθ + 2cos2θ =  32 1

จะได้ sin θ + 2 cos2 θ = 1

sin θ + 2(1 - sin2 θ) = 1

-2 sin2 θ + sin θ + 1 = 0

2 sin2 θ - sin θ - 1 = 0

(sin θ - 1)(2 sin θ + 1) = 0 1
2
sin θ = 1, -

เพราะวา่ 180° < θ < 270° ฉะน้นั sin θ = - 21 ทําให้ θ = 210°
∴ 3 tan2 θ - 2 sin 3θ = 3 tan2 210° - 2 sin 630°

= 3 tan2 76π - 2 ⋅ sin 7π
2
7π
= 3 tan2  π + π6  - 2 ⋅ sin 2

ยบุ มมุ ด้วยตรีโกณในวงกลม
7π
= 3 tan2  π6  -2 ⋅ sin 2

= 3  1  2 2(-1)
3
-

= 1+2

= 3 ตอบ

โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปีที่ 27 _________________________________________คณิตศาสตร์ (77)

FPAT-Pb1 (B-PAT1’ต.ค.51) ถา้ 6a+b = 36 และ 5a+2b = 125 แล้วค่าของ a มีคา่ เทา่ ใด

1) 1 2) 1.5 3) 2 4) 2.5

FPAT-Pb3 (PAT1’มี.ค.52) ถา้ 4x–y = 128 และ 32x+y = 81 แล้วคา่ ของ y เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปน้ี

1) -2 2) –1 3) 1 4) 2

SheLL1.11 (PAT1’ก.ค.53) ถา้ A เปน็ เซตคําตอบของสมการ 32x+2 – 28(3x) + 3 = 0 และ B เป็นเซต
คาํ ตอบของสมการ log x + log (x – 1) = log (x + 3) แล้วผลบวกของสมาชิกทัง้ หมดในเซต A U B เทา่ กับ
ข้อใดตอ่ ไปน้ี

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Happy–Pb 2.1.2 (สามญั ’57) จงหาคาํ ตอบของสมการ 2x ⋅ 2x+1 ⋅ 2x+2 = 4x + 4x+1 + 4x+2
ตอบ ..............................

AVATAR-Pb5.1 (แนวสอบตรงแพทย์ กสพท) กําหนด 22x2 + 2x2+2x+2 – 24x+5 = 0
จงหาวา่ x2 - 2x เท่ากับเทา่ ใด ตอบ ..............................

KMK-Pb1.8 (PAT1’ต.ค.52) ถ้า x > 0 และ 8x + 8 = 4x + 2x+3 แล้วค่าของ x อย่ใู นชว่ งใดต่อไปน้ี

1) [0, 1) 2) [1, 2) 3) [2, 3) 4) [3, 4)

*KAiOU-Pb1.12 (PAT1’ม.ี ค.53) ถา้ สมการ  41 x +  21 x−1 + a = 0 มคี าํ ตอบเป็นจํานวนจรงิ บวก แลว้
ค่าของ a ทีเ่ ปน็ ไปไดอ้ ยใู่ นช่วงใดต่อไปน้ี

1) (-∞, -3) 2) (-3, 0) 3) (0, 1) 4) (1, 3)

โจทยเ์ อกซ์โปเนนเชียล แนวสมการเลขยกกาํ ลงั โอลิมปิก
*FPAT-Pb4 (PAT1’มี.ค.52) กําหนดสมการ  245 x +  295 x = 1 จงพจิ ารณาขอ้ ความต่อไปนี้

ก. ถา้ a เปน็ คาํ ตอบของสมการ แล้ว a > 1 ข. ถา้ สมการมคี าํ ตอบ แลว้ คําตอบจะมเี พยี งคําตอบเดยี ว

ข้อใดตอ่ ไปนถี้ ูก

1) ก. ถูก และ ข. ถกู 2) ก. ถกู และ ข. ผดิ 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผดิ และ ข. ผิด

*NaDate-Pb2.27 (PAT1’มี.ค.56) ถา้ x และ y เป็นจาํ นวนจรงิ บวกทสี่ อดคลอ้ งกบั สมการ

5(x-2A)2yA = (16)64 เมื่อ A = log y แล้วคา่ ของ x + y เท่ากับเท่าใด ตอบ ......................................

log x

คณติ ศาสตร์ (78)__________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปีที่ 27

โจทยเ์ อกซโ์ ปเนนเชยี ล แนวสมการตดิ รดู้ Sup’k ระวัง
Tips จากครู Sup’k

*NaDate-Pb 2.30 (PAT1’มี.ค.56) กาํ หนดให้ A แทนเซตคาํ ตอบของสมการ

 5+4x-x2  Tips จากครู Sup’k

5(1+ x2 - 4x - 1) + 5 2+ x2-4x-1  = 126

ผลบวกของสมาชกิ ในเซต A ทั้งหมดเทา่ กบั เทา่ ใด

ตอบ ......................................

วิธีลัด (ฟังครู Sup’k สอนสดในหอประชมุ Brand’s นะครบั )

วิธีจรงิ 5 + 4x - x2 = (5 + 4x - x2)(2 - x2 - 4x - 1)
ข้ันที่ 1 2 + x2 - 4x - 1 (2 + x2 - 4x - 1)(2 - x2 - 4x - 1)

ก่อนอ่ืนสงั เกตวา่

= (5 + 4x - x2)(2 - x2 - 4x - 1)
4 - (x2 - 4x - 1)

= 2 - x2 - 4x - 1

โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 27 _________________________________________คณิตศาสตร์ (79)

ขั้นที่ 2 จากน้นั เพอื่ ความสะดวกให้ y = x2 - 4x - 1 (ฉะนนั้ y ≥ 0)

ข้นั ท่ี 3 แกส้ มการ 51 + x2 -4x-1   5+4x-x2 

 + 5 2+ x2-4x-1  = 126

51 + x2 -4x-1  + 5 2 - x2-4x-1  = 126

 

51+y + 52-y = 126
5y ⋅ (51+y + 52-y) = 126 ⋅ 5y

5(52y) + 25 = 126 ⋅ 5y

5(52y) - 126 ⋅ 5y + 25 = 0

(5 ⋅ 5y - 1)(5y - 25) = 0
1
5y = 5 , 25

5y = 5-1, 52

y = -1, 2

แต่ y ≥ 0 จงึ ได้ y = 2 เทา่ น้นั

ขน้ั ท่ี 4 ทําให้ y = x2 - 4x - 1 = 2

ยกกาํ ลงั สองทง้ั สองขา้ ง

x2 - 4x - 1 = 4
x2 - 4x - 5 = 0

(x - 5)(x + 1) = 0

x = 5, -1

จะได้ เซตคําตอบ A = {-1, 5}

∴ ผลบวกของสมาชิกใน A ท้ังหมด = -1 + 5 = 4 ตอบ

คณิตศาสตร์ (80)__________________________________________โครงการแบรนดซ์ มั เมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 27

BRAN-Pb2.27 (PAT1’ต.ค.53) ให้ R แทนเซตของจํานวนจริง
ถ้า A = {x ∈ R | 2x2 – 2x + 9 – 2 x2 - x + 3 = 15}
แลว้ ผลบวกของกําลังสองของสมาชิกในเซต A เท่ากับเท่าใด
ตอบ ..............................

KAiOU-Pb2.2 (PAT1’ม.ี ค.53) ถา้ S = {x ∈ R | 3x + 1 + x - 1 = 7x + 1 }
เมือ่ R แทนเซตของจํานวนจรงิ แล้วผลบวกของสมาชิกใน S เทา่ กบั เทา่ ใด
ตอบ ..............................

SheLL2.27 (PAT1’ก.ค.53) ให้ R แทนเซตของจํานวนจรงิ
ถ้า S = {x ∈ R | x + 1 + 3x - 1 = 7x - 1 }
และ T = {y ∈ R | y = 3x + 1, x ∈ S} แลว้ ผลบวกของสมาชกิ ใน T เทา่ กับเท่าใด
ตอบ ..............................

Happy–Pb2.2 (PAT1’ม.ี ค.57) ถ้า x เป็นจาํ นวนจริงที่มากท่ีสุดที่เปน็ คาํ ตอบของสมการ

14 + 3x - x2 - 9 + 5x - x2 = 1

แล้วคา่ ของ 4 - 12x-1 + 9x-2 เท่ากบั เทา่ ใด
3x-2 - 2x-1

ตอบ ..............................

Sigo–Pb2.3 (PAT1’พ.ย.57) ให้ S แทนเซตคาํ ตอบของสมการ

3 2 + x - 6 2 − x + 4 4 − x2 = 10 - 3x

ถ้าผลบวกของสมาชิกทง้ั หมดใน S มีค่าเทา่ กบั a
b

เมือ่ a และ b เป็นจํานวนเตม็ บวก ซึ่ง ห.ร.ม. ของ a และ b เท่ากบั 1

แลว้ a + b เทา่ กบั เทา่ ใด

ตอบ ..............................

โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 27 _________________________________________คณติ ศาสตร์ (81)

สรุปภาพรวม “log ลอการิทึม”

เนนเฉพาะท่อี อกขอ สอบ

แนวโนม้ การออกข้อสอบ

4.28%

1. โจทยล์ อการิทึม แนวสตู รพื้นฐาน log
2. โจทย์ลอการทิ มึ แนวแก้สมการ log
3. โจทย์ลอการิทึม แนวแกอ้ สมการ log

คณติ ศาสตร์ (82)__________________________________________โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 27

สตู รของ log

loga x สตู ร 10.1! loga x + loga y = loga x ⋅ y สตู ร 10.3! loga a = 1
เง่ือนไข : หลงั log > 0 x สูตร 10.4! loga 1 = 0
ฐาน log > 0 และ ≠ 1 สตู ร 10.2! logz x - loga y = loga
y

สตู ร 10.5! logan xm = m ⋅ loga x สตู ร10.8! logb a = logc a สูตร10.10! x logb a = a logb x
logc b
n เอ็กซ์กําลังล๊อก a นน้ั ยากอยู่
สูตร 10.6! loga x1 = -loga x ฝากหัวใจให้กันเอาไว้ก่อน
สตู ร 10.7! loga xn = loga1/n x สตู ร10.9! loga x = 1 เปลีย่ นสูตรโดยสลบั x และ a
log x a ที่เราจะตอ้ งหา่ งเหินไป

ระวงั 10.1! log (x + y) ≠ log x + log y e ≈ 2.7182 สูตร 10.11! blogb a = a

ระวงั 10.2! log (x - y) ≠ log x - log y log10 x = log x ต่อดว้ ยสตู ร ฐาน log และ expo
ระวงั 10.3! (x ± y)n ≠ xn ± yn logex = ln x เผ่อื ว่าเราลําบากอยู่หนใด
เหมอื นกนั ให้เอาหลัง log มาตอบ
หัวใจก็ยงั มคี นดแู ล

ตัวอยา่ ง 10.1 สตู ร 10.12! log 2 = 1 – log 5
อาจจะมีบางคราว เราพบใครใหม่
¾ จํา log 2 ≈ 0.30103
¾ log 4 = log 22 = 2 ⋅ (log 2) ≈ 2 ⋅ (0.30103) = 0.60206 สตู ร 10.13! และ log 5 ก็ = 1 – log 2
เกิดหว่นั ไหว ไปตามประสาคนไกล
¾ log 5 = 1 – log 2 ≈ 1 – 0.30103 = 0.69897
¾ log 8 = log 23 = 3 ⋅ (log 2) ≈ 3 ⋅ (0.30103) = 0.90309

ตัวอย่าง 10.3
¾ จาํ log 3 ≈ 0.4771
¾ log 6 = log (2 × 3) = log 2 + log 3 ≈ 0.30103 + 0.4771 = 0.77813
¾ log 9 = log 32 = 2 ⋅ (log 3) ≈ 2 ⋅ (0.4771) = 0.9542

ตัวอย่าง 10.5 จงหาค่าของ log3 15 + log3 12 + log3 5 – log3 9 ¾ จาํ log 1 = 0
วธิ ีทํา = log3  15 ×92 × 5  = log3 100 = log3 102 = 2 ⋅ (log3 10) ¾ จาํ log 7 ≈ 0.84509
¾ log 10 = log10 10 = 1
= 2 ⋅  1  = 2 ⋅  1  ≈ 2 ⋅  0.41771
 log10 3  log 3

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 27 _________________________________________คณติ ศาสตร์ (83)

โจทย์ลอการิทึม แนวสูตรพ้นื ฐาน

BRAN-Pb2.35 (PAT1’ต.ค.53) กาํ หนดให้ a, b, c และ d เปน็ จาํ นวนจริงท่ีมากกว่า 1

ถา้ (logb a)(logd c) = 1 d-1)c(logd a-1)d(loga b-1) ตอบ .............. สตู ร 10.3! logm m = 1
แลว้ จงหาค่าของ a(logb c-1)b(logc

วธิ เี ร็วๆ

ถา้ (logb a)(logd c) = 1
จะหาค่าของ a(logb c-1)b(logc d-1)c(logd a-1)d(loga b-1)

วิธจี รงิ สูตร 10.8! logb a = log a
BRAN-Pb2.35 ตอบ 1 สตู ร 10.9! log b
เพราะว่า
(logb a)(logd c) = 1 loga x = 1 a
=1 log x

log a ⋅ log c (logd a)(logb c) = 1 สตู ร 10.11! blogb a = a
b log d
log ตอ่ ด้วยสตู ร ฐาน log และ expo
เผื่อว่าเราลําบากอยูห่ นใด
จะได้ เหมือนกันให้เอา...............................
หวั ใจก็ยงั มคี นดูแล

ฉะนน้ั logb c = 1 a = loga d , logc d = 1 = logb a
logd logd c

logd a = 1 c = logc b , loga b = 1 a = logd c
logb logb

∴ a(logb c-1)b(logc d-1)c(logd a-1)d(loga b-1) = alogb c ⋅ blogc adb⋅ccdlogd a ⋅ dloga b

= aloga d ⋅ blogb aab⋅ccdlogc b ⋅ dlogd c
d⋅a⋅b⋅c
= abcd =1

คณิตศาสตร์ (84)__________________________________________โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปที ี่ 27

โจทยเ์ พิม่ เติมลอการิทมึ แนวสตู รพ้นื ฐาน
SheLL1.14 (PAT1’ก.ค.53) ให้ x เป็นจาํ นวนจริงบวกทส่ี อดคล้องกบั สมการ 35x ⋅ 9x2 = 27
(log23)(log4 5)(log67)
และ y = (log4 3)(log65)(log8 7) จงหาคา่ ของ xy เทา่ กับขอ้ ใด

1) - 1
8
1
2) 8

3) -27

4) 27

FPAT-Pb9 (PAT1’ก.ค.52) กาํ หนดให้ a, b, c, d เป็นจาํ นวนจรงิ ทมี่ ากกว่า 1 โดยที่ loga d = 30, logb d = 50
และ logabc d = 15 จงหาวา่ ค่าของ logc d เทา่ กบั เทา่ ใด

1) 75

2) 120

3) 150

4) 180

FPAT-Pb8 (B-PAT1’ต.ค.51) ให้ m และ n เปน็ จํานวนเต็มบวก ถา้ m ⋅ log50 5 + n ⋅ log50 2 = 1
แล้ว m + n เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี้

1) 2
2) 3
3) 4
4) 6

KAiOU-Pb1.10 (PAT1’ม.ี ค.53) กําหนดให้ x และ y เป็นจํานวนจริงบวก และ y ≠ 1

ถ้า logy 2x = a และ 2y = b แลว้ x มคี ่าเทา่ กับขอ้ ใดต่อไปนี้

1) 1 (log2 b)a 2) 2(log2 b)a 3) a (log2 b) 4) 2a(log2 b)
2 2

FPAT-Pb7 (B-PAT1’ต.ค.51) ถ้า 4(log a)2 + 9(log b)2 = 12(log a)(log b) แล้วข้อใดต่อไปนถ้ี กู

1) b2 = a 2) a2 = b 3) a3 = b2 4) a2 = b3

โจทย์ลอการิทมึ แนวสตู รพืน้ ฐาน VS ผลบวกราก, ผลคณู ราก
BRAN-Pb1.10 (PAT1’ต.ค.53) ถ้า a, b และ c เปน็ รากของสมการ x3 + kx2 - 18x + 2 = 0 แลว้ จงหา

log27  a1 + b1 + c1  เมอื่ k เป็นจํานวนจรงิ 3) 32 4) 1
1) 91 2) 31

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 27 _________________________________________คณิตศาสตร์ (85)

โจทย์ลอการทิ มึ แนวแกส้ มการ log สูตร II
เจอ log5 ♥ = 7 → ....................
สตู ร I
เจอ logm ♥ = logm → ....................

Happy–Pb 3.1 (PAT1’เม.ย.57) ให้ A เปน็ เซตคําตอบของสมการ

log2(x + 7)2 + 4log4(x - 3) = 3log8(64x2 - 256x + 256)
จงหาผลบวกของสมาชิกทกุ ตวั ในเซต A

ตอบ 0005.00

ข้อควรระวงั จากครู Sup’k

แนวคิด

log2(x + 7)2 + 4log4(x - 3) = 3log8(64x2 - 256x + 256)
log2(x + 7)2 + 4  21log2(x - 3) = 3  31log2(8x - 16)2 

log2(x + 7)2 + 2log2(x - 3) = log2(8x + 16)2
log2(x + 7)2 + log2(x - 3)2 = log2(8x + 16)2

log2[(x + 7)(x - 3)]2 = log2(8x - 16)2
ฉะนัน้ [(x + 7)(x - 3)]2 = (8x - 16)2

(x2 + 4x - 21)2 - (8x - 16)2 = 0
จะได้ (x2 - 4x - 5)(x2 + 12x - 37) = 0 [a2 - b2 = (a - b)(a + b)]

(x + 1)(x - 5)(x2 + 12x - 37) = 0
∴ (x + 1) = 0, (x - 5) = 0, (x2 + 12x - 37) = 0

∴ x = -1 , x = 5 , x = -12 ± 292
2

ตรวจคําตอบเงื่อนไขของ log จะได้ ∴ x = 5
จะไดเ้ ซตคําตอบของสมการ A = {5}
ดังนน้ั ผลบวกของสมาชกิ ทุกตัวใน A เทา่ กับ 5

คณิตศาสตร์ (86)__________________________________________โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปที ี่ 27

BRAN-Pb1.11 (PAT1’ต.ค.53) เซตคาํ ตอบของสมการ log23 x – log27 x3 = 6 ตรงกับเซตคาํ ตอบของ
สมการในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1) log 1 log 1 log 1 3 1 =0
9x2 - 244x + 29
432

2) 2 log2 (x + 1) - log2 (x2 - 14x + 41) = 1

3) 3(1+ x2 - 8x + 5) + 3(2− x2 - 8x - 5) = 28

4) log3x 3 + log27 3x + 34 = 0
ตอบ ข้อ 1.

แนวคิด

เนอ่ื งจาก log27 x3 = log3 x3 = 3log3 x = log3 x
log3 27 3

สมการ log 2 x – log27 x3 = 6 ทต่ี อ้ งการแก้
3
จงึ เปล่ียนรูปเป็น (log3 x)2 - log3 x = 6
(log3 x)2 - log3 x - 6 = 0

(log3 x -3)(log3 x + 2) = 0

log3 x = 3, -2 1
9
x = 33, 3-2 →x = 27,

∴ เซตคําตอบ คือ 91, 27 , ต่อไปดูว่าเซตคาํ ตอบน้ตี รงกบั เซตคําตอบในตัวเลือกใด

(1) log 1 log 1 log 1 3 1 =0
9x2 - 244x + 29
4 3 2

log 1 log 1 3 1 =1
9x2 - 244x + 29
3 2

log 1 3 1 = 31
9x2 - 244x + 29
2

3 1 21 1
9x2 - 244x + 29   3
=  

1 = 21
9x2 - 244x + 29
9x2 - 244x + 27 = 0

(9x - 1)(x - 27) = 0 →x = 1 , 27
9

เซตคําตอบของตวั เลือก 1. คอื 91, 27 ตัวเลือก 1. จงึ เปน็ คาํ ตอบ
เพอ่ื ประโยชนข์ องน้องๆ จะหาเซตคําตอบของตัวเลอื กอน่ื ๆ ท่เี หลือดว้ ย

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปีท่ี 27 _________________________________________คณติ ศาสตร์ (87)

(2) 2 log2 (x + 1) - log2 (x2 - 14x + 41) = 1 (เงื่อนไข : หลงั log > 0 → ∴ x ! -1)
log2 (x + 1)2 = log2 2 + log2 (x2 - 14x + 41)

log2 (x2 + 2x + 1) = log2 2(x2 - 14x + 41)
x2 + 2x + 1 = 2(x2 - 14x + 41)

x2 - 30x + 81 = 0

(x - 27)(x - 3) = 0 → x = 3, 27
เซตคําตอบของตัวเลอื ก 2. คอื {3, 27}

31+ x2 - 8x - 5   2− x 2 - 8x - 5 
 
(3) + 3 = 28

เพ่ือความสะดวก ให้ y = x2 - 8x - 5 ฉะน้นั y ≥ 0

และไดว้ ่า 31+y + 32-y = 28

3 ⋅32y + 9 = 28 ⋅3y

3 ⋅32y - 28 ⋅3y + 9 = 0

(3 ⋅32y - 1)(3y - 9) = 0

3y = 1 , 9 → y = -1, 2
3

จะได้ y = 2 เทา่ นั้น ⇒ x2 - 8x - 5 = 2
x2 - 8x - 5 = 4
x2 - 8x - 9 = 0

(x - 9)(x + 1) = 0 → x = 9, -1

เซตคําตอบของตวั เลือก 3. คอื {-1, 9}

(4) log3x 3 + log27 3x + 4 =0
3
log3 3 log3 3x
log3 3x + log3 27 + 4 = 0
3

1 + log3 3x + 34 = 0
log3 3x 3

(log3 3x)2 + 4(log3 3x) + 3 = 0
(log3 3x + 3)(log3 3x + 1) = 0
log3 3x = -3, -1
3x = 217 , 31 ⇒ x = 811 , 91

เซตคาํ ตอบของตวั เลอื ก 4. คอื 811, 91 

คณติ ศาสตร์ (88)__________________________________________โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 27

FPAT-Pb11 (PAT1’ก.ค.52) เซตคําตอบของสมการ log 2 (4 - x) = log2 (9 - 4x) + 1เปน็ สับเซตของช่วงใด

1) [-9, -7) 2) [-7, -2) 3) [-2, 2) 4) [2, 7)

NaDate-Pb2.29 (PAT1’ม.ี ค.56) ให้ R แทนเซตของจํานวนจริง
ถา A = {x ∈ R | log 3 (x - 1) - log 3 3 (x - 1) = 1}
B = {x ∈ R | x + 1 + x - 1 = 2}

แลว้ สามเท่าของผลคูณของสมาชกิ ในเซต A U B ท้ังหมดเท่ากบั เท่าใด ตอบ...........................

KMK-Pb2.10 (PAT1’ต.ค.52) รากท่ีมคี ่าน้อยท่สี ดุ ของสมการ 2log(x–2) ⋅ 2log(x–3) = 2log 2
มคี า่ เทา่ ใด ตอบ...........................

FPAT-Pb12 (PAT1’มี.ค.52) ผลบวกของคําตอบทัง้ หมดของสมการ log3 x = 1 + logx 9 อย่ใู นช่วงใด

1) [0, 4) 2) [4, 8) 3) [8, 12) 4) [12, 16)

KMK-Pb2.9 (PAT1’ต.ค.52) กําหนดให้ logy x + 4 logx y = 4 แล้ว logy x3 เทา่ กบั เท่าใด
ตอบ...........................

Happy–Pb 3.2 (PAT1’ม.ี ค.57) กําหนดให้ A เป็นเซตคําตอบของสมการ
(32x2+2x
log3 + 9) = x2 + x + 1 3
log

และให้ B = {x2 | x ∈ A}

ผลบวกของสมาชกิ ทัง้ หมดในเซต B เท่ากับเท่าใด ตอบ...........................

Happy–Pb 3.3 (PAT1’เม.ย.57)

ให้ A เปน็ เซตคําตอบของสมการ log6(3 ⋅ 4x + 2 ⋅ 9x) = x + log6 5

และ B เปน็ เซตคาํ ตอบของสมการ x + 1 - x2 = 1 + 2x 1 - x2

จงหาจาํ นวนสมาชกิ ของ A U B ตอบ...........................

Sigo–Pb 3.4 (PAT1’ม.ี ค.58) ให้ A แทนเซตของคู่อันดับ (x, y) ทง้ั หมดทส่ี อดคล้องกบั ระบบสมการ

22xlog 1 y = 1 + 24x-1
4
9(22x)log 1 y 9 + log21 y
=
8 2

และ B =  x (x, y)∈A
y

ค่านอ้ ยสดุ ของสมาชิกในเซต B เท่ากับเท่าใด ตอบ...........................

โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปีท่ี 27 _________________________________________คณติ ศาสตร์ (89)

โจทยเ์ พิม่ เตมิ ลอการทิ ึม แนวแกอ้ สมการ log

NaDate–Pb1.12 (PAT1’มี.ค.56) ให้ R แทนเซตของจํานวนจริง

ถ้า A เปน็ เซตคาํ ตอบของอสมการ logx  x 2 1  ≥ 1
-

แลว้ A เป็นสับเซตในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
1) {x ∈ R | |x2 + 2x - 3| = 3 - 2x - x2}

2) {x ∈ R | |2x + 5| > 9}

3) {x ∈ R | 0 ≤ |x + 3| ≤ 5}

4) {x ∈ R | x3 > 3x2}

วิธลี ดั (ฟงั ครู Sup’k สอนสดในหอประชุม Brand’s นะครบั )

วิธีจริง

เงอ่ื นไข : หลัง log > 0

∴ จะได้ 2 > 0 → x - 1 > 0 → x > 1 → ∴ x ∈ (1, ∞) .....(1)
x-1 .....(2)

ต่อไปแก้อสมการ, logx  x 2 1  ≥ 1
-

2 ≥ 1 (เพราะ x > 1, ไมต่ อ้ งกลับทิศอสมการ)
x-1

2 ≥ x(x - 1)

0 ≥ x2 - x - 2

0 ≥ (x - 2)(x + 1)

∴ -1 ≤ x ≤ 2

∴ x ∈ [-1, 2]

นาํ (1) I (2) ; จะไดเ้ ซตคาํ ตอบของอสมการ คือ (1, ∞) I [-1, 2]
คือ (1, 2]

∴ A = (1, 2]

คณติ ศาสตร์ (90)__________________________________________โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปที ่ี 27

ต่อไปตรวจสอบตวั เลือก
ตัวเลือก 1. |x2 + 2x - 3| = 3 - 2x - x2
จะได้ x2 + 2x - 3 ≤ 0 → (x + 3)(x - 1) ≤ 0 → ∴ x ∈ [-3, 1]
∴ A ⊄ [-3, 1]

ตวั เลือก 2. |2x + 5| > 9
จะได้ 2x + 5 > 9 หรอื 2x + 5 < -9

x > 2 หรือ x < -7

∴ x ∈ (-∞, 7) U (2, ∞)
∴ A ⊄ (-∞, 7) U (2, ∞)

ตัวเลอื ก 3. 0 ≤ |x + 3| ≤ 5 ∴ ตอบตัวเลือก 3.
จะได้ -5 ≤ x + 3 ≤ 5

-8 ≤ x ≤ 2
∴ x ∈ [-8, 2]
∴ A ⊂ [-8, 2]

ตัวเลอื ก 4. x3 > 3x2
จะได้ x2(x - 3) > 0

x-3 > 0
x>3

∴ x ∈ (3, ∞)
∴ A ⊄ (3, ∞)

โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปีที่ 27 _________________________________________คณติ ศาสตร์ (91)

สรุปภาพรวม “ตรรกศาสตร”

เนนเฉพาะที่ออกขอสอบ

แนวโนม้ การออกขอ้ สอบ

3.57%

1. โจทยต์ รรกศาสตร์ แนวลาํ ดับการทําแบบตรง VS ลําดบั การทาํ แบบย้อนกลบั
2. โจทยต์ รรกศาสตร์ แนวสมมลู VS สจั นิรนั ดร์
3. โจทยต์ รรกศาสตร์ แนววลีบง่ ปรมิ าณตวั แปรเดียว
4. โจทย์ตรรกศาสตร์ แนววลบี ่งปริมาณสองตวั แปร
5. โจทยต์ รรกศาสตร์ แนวสมเหตสุ มผล
6. โจทยต์ รรกศาสตร์ แนวอน่ื ๆ

คณติ ศาสตร์ (92)__________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 27

ทบทวนสูตรตรรกศาสตร์ และ หรอื

นิเสธ P Q P∧Q P Q P∨Q
P ∼P T T T∧T ≡T T T T∨T ≡T
T ∼T ≡ F T F T∧F ≡F T F T∨F ≡T
F ∼F ≡ T F T F∧T ≡F F T F∨T ≡T
F F F∧F ≡F F F F∨F ≡F

ถา้ ...แล้ว... P→Q ...ก็ตอ่ เมื่อ...

PQ T→T ≡T P Q P↔Q
TT T→F ≡F T T T↔T ≡T
TF F→T ≡T T F T↔F ≡F
FT F→F ≡T F T F↔T ≡F
FF F F F↔F ≡T

ประพจน์ที่สมมูลกัน คือ ประพจนส์ องประพจน์ทม่ี คี ่าความจริงเหมอื นกันทุกกรณี กรณีต่อกรณี
สมมลู ใชส้ ัญลักษณ์ คือ ≡
เช่น (p ∧ q) → r ≡ (p → r) ∨ (q → r)

pqr (p ∧ q) (p ∧ q) → r (p → r) (q → r) (p → r) ∨ (q → r)

TTT (T ∧ T) ≡ T T→T≡T T T T∨T≡T
TTF (T ∧ T) ≡ T T→F≡F F F F∨F≡F
TFT (T ∧ F) ≡ F F→T≡T T T T∨T≡T
TFF (T ∧ F) ≡ F F→F≡T F T F∨T≡T
FTT (F ∧ T) ≡ F F→T≡T T T T∨T≡T
FTF (F ∧ T) ≡ F F→F≡T T F T∨F≡T
FFT (F ∧ F) ≡ F F→T≡T T T T∨T≡T
FFF (F ∧ F) ≡ F F→F≡T T T T∨T≡T

โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปที ่ี 27 _________________________________________คณติ ศาสตร์ (93)

สตู ร p∧q≡q∧p p∨q≡q∨p
กฎการสลับท่ี (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
กฎการเปล่ียนกลมุ่ p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
กฎการคูณกระจาย ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q
กฎเดอรม์ อนแกน ∼(∼p) ≡ p
กฎนิเสธ

โจทยต์ รรกศาสตร์ แนวพน้ื ฐาน ลําดบั การทาํ แบบตรง

Happy–Pb 4.1 (PAT1’ม.ี ค.57) กําหนดให้ a และ b เป็นจาํ นวนจริง โดยที่ ab ! 0

ให้ p แทนประพจน์ “ถา้ a < b แล้ว 1 ! 1 ” หลัก I ลําดับการทําแบบตรง
a b ขน้ั ท่ี 1 ทาํ ในวงเลบ็ กอ น
ขน้ั ท่ี 2 ทาํ นิเสธ
q แทนประพจน์ “ ab = a b ” ข้ันท่ี 3 ทาํ ∧ , ∨
ขั้นท่ี 4 ทาํ →
ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้มีคา่ ความจรงิ เป็นจรงิ ขนั้ ที่ 5 ทํา ↔
1. (p → q) ∨ (q∧∼p)
2. (∼q → ∼p) ∧ (∼q∨p)

3. (p∧ ∼ q) ∧ (q→p) 4. (∼p → q) → (p ∧ q)

คณติ ศาสตร์ (94)__________________________________________โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปที ่ี 27

โจทย์ตรรกศาสตร์ แนวพ้ืนฐาน ลาํ ดับการทาํ แบบย้อนกลบั

Happy–Pb 4.2 (PAT1’เม.ย.57) กาํ หนดให้ p, q, r, s เป็นประพจน์

โดยท่ี p → (q ∧ r) มคี า่ ความจรงิ เปน็ เทจ็ หลกั II ลาํ ดบั การทําแบบยอนกลับ
และ p ↔ (s ∨ t) มคี ่าความจรงิ เปน็ จรงิ ขนั้ ที่ 1 ทํา ↔
ข้ันที่ 2 ทาํ →
ขัน้ ที่ 3 ทาํ ∧ , ∨
ขัน้ ท่ี 4 ทํา นิเสธ
ขั้นท่ี 5 ทาํ ในวงเล็บ

ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีมีคา่ ความจริงเป็นจรงิ 2. (s ∧ t) → ∼q
1. (q ∧ s) → (p ∧ q)

3. (q ∨ s) ↔ p 4. (p → r) → s

โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 27 _________________________________________คณติ ศาสตร์ (95)

โจทยต์ รรกศาสตร์ แนวสมมลู VS สจั นิรันดร์

BRAN-Pb1.1 (PAT1’ต.ค.53) กําหนดให้ A, B และ C เป็นประพจนใ์ ดๆ ข้อใดตอ่ ไปน้ีถูกตอ้ ง
1) ถ้า A ↔ B มคี ่าความจรงิ เปน็ จรงิ แล้ว (B ∧ C) → (∼A → C) มคี ่าความจรงิ เป็นเทจ็
2) ประพจน์ A → [(A ∧ B) ∨ (B ∨ C)] เปน็ สจั นิรันดร์
3) ประพจน์ [(A ∧ B) → C] → [(A → B) → (A → C)] เปน็ สจั นิรนั ดร์
4) ประพจน์ (A → C) ∧ (B → C) สมมูลกบั ประพจน์ (A ∧ B) → C

Tips สูตรลดั จากครู Sup’k

ตอบ ข้อ 3)
แนวคิด

ช้อย ขอ้ 3) ประพจน์ [(A ∧ B) → C] → [(A → B) → (A → C)] เป็นสัจนริ ันดร์

[(A ∧ B) C] [(A B) (A C)]

(T ∧ T) (๒) F (๑) F (๒) F (๓)
T (๖) (๔) T F (๔)
(๗) (๗) T (๓) T
F (๕) T

(๗)

เกดิ ข้อขดั แยง้ F
เพราะวา่ จากขัน้ ท่ี (๗) F
ซง่ึ ไม่ตรงกับการแตกกิ่งในขนั้ ท่ี (๒)
(T ∧ T) →
≡ (T) →
≡F

การเกิดขอ้ ขดั แย้ง หมายถงึ การจับเทจ็ ไมส่ าํ เรจ็
แสดงวา่ ประพจน์ในขอ้ น้ี เป็นสจั นิรนั ดร์

คณติ ศาสตร์ (96)__________________________________________โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 27

SheLL1.1 (PAT1’ก.ค.53) ให้ p, q, r และ s เป็นประพจน์

ถ้าประพจน์ (p ∨ q) → (r ∨ s) มคี ่าความจริงเปน็ เท็จ

และประพจน์ p ↔ r มคี า่ ความจริงเป็นจริง ประพจนใ์ นขอ้ ใดตอ่ ไปนม้ี คี า่ ความจรงิ เป็นจริง

1) (q → p) ∧ (q → r) 2) q → [p ∨ (q ∧ ∼r)]

3) (p → s) ↔ (r ↔ q) 4) (r ↔ s) ∧ [q → (p ∧ r)]

Peach–Pb2.44 (แนวPAT1’ต.ค.55) จงพิจารณาข้อความตอ่ ไปน้ี
ก. ถา้ p, q, r เป็นประพจน์ ซึง่ p ⇒ (q ∧ r) มีค่าความจรงิ เปน็ จรงิ
แล้วประพจน์ r ⇒ [(p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)] มคี า่ ความจริงเปน็ จริง

ข. กําหนดให้ เอกภพสมั พทั ธ์ คอื {x|x2 ≤ 2x + 3}
แล้ว ประพจน์ ∃x [3x + 6 = 33-x] มีคา่ ความจรงิ เปน็ จรงิ

ข้อใดตอ่ ไปน้ีสรุปถกู ตอ้ ง 2) ก. ถกู และ ข. ผิด
1) ก. ถูก และ ข. ถกู 4) ก. ผดิ และ ข. ผดิ
3) ก. ผิด และ ข. ถกู

KMK-Pb1.2 (PAT1’ต.ค.52) กาํ หนดให้ p, q, r เปน็ ประพจน์ พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้
ก. ถา้ q ∧ r มคี า่ ความจรงิ เปน็ จรงิ แล้ว p และ p ∨ [(q ∧ r) → p] มคี ่าความจริงเหมือนกัน
ข. ถา้ p มคี า่ ความจรงิ เปน็ เทจ็ แล้ว r และ (p → q) ∧ r มีค่าความจริงเหมือนกนั

ข้อใดตอ่ ไปนีเ้ ปน็ จรงิ 2) ก. ถูก และ ข. ผดิ
1) ก. ถกู และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผดิ
3) ก. ผดิ และ ข. ถกู

FPAT-Pb17 (PAT1’ม.ี ค.52) กําหนดให้ p, q, r เปน็ ประพจน์ จงพจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี

ก. ประพจน์ p → (p → (q ∨ r)) สมมลู กับประพจน์ p → (q ∨ r)

ข. ประพจน์ p ∧ (q → r) สมมูลกบั ประพจน์ (q → p) ∨ ∼(p → ∼r)

ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู

1) ก. ถูก และ ข. ถกู 2) ก. ถกู และ ข. ผดิ

3) ก. ผิด และ ข. ถกู 4) ก. ผดิ และ ข. ผิด

โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปีที่ 27 _________________________________________คณติ ศาสตร์ (97)

FPAT-Pb18 (B-PAT1’ต.ค.51) กําหนดให้ P, Q, R, S เปน็ ประพจน์ พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(i) ประพจน์ (∼P ∨ Q) → (R ∧ ∼S) สมมูลกับ (S ∨ ∼R) → (P ∧ ∼Q)

(ii) ประพจน์ (P ∨ R) ∧ [(P ∧ R) → (Q ∨ R ∨ ∼S)] เปน็ สจั นิรันดร์

ขอ้ ใดตอ่ ไปนถ้ี กู ตอ้ ง

1) ขอ้ (i) ถูก และ ขอ้ (ii) ถูก 2) ขอ้ (i) ถกู และ ข้อ (ii) ผิด

3) ข้อ (i) ผิด และ ข้อ (ii) ถกู 4) ข้อ (i) ผดิ และ ข้อ (ii) ผดิ

Peach–Pb2.43 (แนว PAT1’ต.ค.55) สาํ หรับประพจน์ p, q, r ใดๆ ขอ้ ใดต่อไปนเ้ี ปน็ สัจนิรนั ดร์

1) (p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ p) 2) (p ↔ q) ↔ (∼q ↔ p)

3) ((p ∧ ∼q) ⇒ ∼p) ⇒ (p ⇒ q) 4) ((p ∧ ∼q) ⇒ ∼q) ⇒ (p ⇒ q)

KAiOU-Pb1.1 (PAT1’มี.ค.53) ให้ p และ q เป็นประพจนใ์ ดๆ ขอ้ ใดตอ่ ไปนีม้ ีคา่ ความจริงเปน็ เท็จ

1) (p → q) ∨ p 2) (∼p ∧ q) → q

3) [(p → q) ∧ p] → q 4) (∼p → q) ↔ (∼p ∧ ∼q)

Happy–Pb 4.3 (PAT1’ม.ี ค.57) กาํ หนดให้ p, q, r และ s เป็นประพจนใ์ ดๆ

พิจารณาข้อความตอ่ ไปน้ี

(ก) ถ้าประพจน์ (p ∨ q) ↔ (r ∧ s) และประพจน์ p มีคา่ ความจรงิ เปน็ จรงิ

แลว้ สรปุ ไดว้ ่าประพจน์ s มคี า่ ความจรงิ เป็นจรงิ

(ข) ประพจน์ (p ∧ q) → (r ∧ s) สมมูลกบั ประพจน์ [q → (p → r)] ∧ [p → (q → s)]

ข้อใดตอ่ ไปนถ้ี กู ต้อง

1) (ก) ถกู และ (ข) ถูก 2) (ก) ถูก แต่ (ข) ผดิ

3) (ก) ผิด แต่ (ข) ถกู 4) (ก) ผิด และ (ข) ผิด

Sigo–Pb 4.4 (PAT1’มี.ค.58) ให้ p, q และ r เปน็ ประพจน์

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) ถ้า p → (q ∧ r) มีค่าความจรงิ เปน็ จรงิ

แล้ว (p → q) ↔ (p → r) มคี ่าความจรงิ เป็นจรงิ

(ข) ถ้า p → (q ∧ r) มคี า่ ความจรงิ เปน็ เทจ็

แลว้ [(∼ p → q) ∧ r] ∨ (p ∨ ∼ r) มีคา่ ความจรงิ เป็นจริง

ข้อใดต่อไปนถ้ี กู ต้อง

1) (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2) (ก) ถูก แต่ (ข) ผดิ

3) (ก) ผดิ แต่ (ข) ถูก 4) (ก) ผดิ และ (ข) ผดิ

คณติ ศาสตร์ (98)__________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปที ี่ 27