Brands Summer Camp ครั้งที่ 27 วิชาคณิตศาสตร์

โจทย์ det ดเี ทอร์มินันต์ แนว det (adj A)

AVATAR-Pb14.1 (แนวข้อสอบตรงเขา้ แพทย์ กสพท) กําหนด A เป็นเมทริกซ์ 3 × 3

ที่มี det (A) = 2 ตอบ...........................
Tips จากครู Sup’k
จงหา det (adj(adj (A)))

แนวคิด & เทคนคิ

Peach-Pb2.34 (แนว PAT1’ต.ค.55) กําหนดให้ A เปน็ เมทรกิ ซท์ ่มี ีมติ ิ 3 × 3 โดยที่ det (A) ≠ 0

จงพิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนว้ี า่ ถูก หรือผดิ
ก. det (A3) = det (adj A)
ข. ถ้า A2 = 2A แล้ว det A = 2

ข้อใดต่อไปนสี้ รุปถกู ต้อง

1) ก. ถกู และ ข. ถกู 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถกู 4) ก. ผดิ และ ข. ผิด

* RaChiNee–Pb11.7 (สามญั ’57) ให้ A = [aij] เปน็ เมทริกซข์ นาด 3 × 3 และ det(A) ! 0

ถ้า [Mij(A)] 31 -1 -24 และ A-1 = [bij] แลว้ b11 + b12 + b13 มีค่าเท่าใด ตอบ
5 2 2 
0 

..........................

Sigo–Pb1.21 (PAT1’มี.ค.58) กาํ หนดให้ A และ B เป็นเมทรกิ ซ์มิติ 3 × 3
โดยท่ี det(A) > 0, det(AadjA) - 2(det(A)2 - 3det(A) = 0 และ AB = I

เมื่อ I เปน็ เมทรกิ ซเ์ อกลกั ษณ์การคูณมติ ิ 3 × 3 พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้

(ก) 7det(B) - det(At) < 0 (ข) det(2A - 3adjB) = 2

ข้อใดต่อไปนถี้ ูกตอ้ ง

1) (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2) (ก) ถูก แต่ (ข) ผดิ 3) (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4) (ก) ผดิ และ (ข) ผดิ

โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปที ี่ 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (149)

โจทย det ดีเทอรมินันต : แนวใชส ูตรของเมทริกซบวกกนั
1 -2  1 0
Happy-Pb8.2 (PAT1’มี.ค.57) กาํ หนดให้ A = 0 -1 , I = 0 1 และ B เป็นเมทรกิ ซ์ใดๆ มติ ิ 2 × 2

ให้ x เปน็ จาํ นวนจรงิ ทสี่ อดคล้องกับ det (A2 + xI) = 0

พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปนี้

ก. det (A + xI) = 0 ข. det (A2 + xI - B) = det (Bt)

ขอ้ ใดต่อไปนถ้ี กู ตอ้ ง

1) ก. ถกู และ ข. ถกู 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผดิ และ ข. ถกู 4) ก. ผิด และ ข. ผดิ

MARARine-Pb27.2 (PAT1’ม.ี ค.54) กําหนดให้ x เป็นจํานวนเต็ม

และ A = 2x 1 เป็นเมทริกซ์ ท่ีมี det (A) = 3
 x x 


ถ้า B เป็นเมทรกิ ซ์มีมิติ 2 × 2 โดยที่ BA + BA-1 = 2I เม่อื I เปน็ เมทรกิ ซ์

เอกลักษณ์การคณู มติ ิ 2 × 2 แล้วคา่ ของ det (B) อยู่ในช่วงใดต่อไปน้ี

1) [1, 2] 2) [-1, 0] 3) [0, 1] 4) [-2, -3]

TF-PAT3 (PAT1’ก.ค.52) ให้ A เปน็ เมทรกิ ซม์ ิติ 2 × 2 โดยที่ det (A) = 4 และ I เป็นเมทริกซเ์ อกลกั ษณ์
ถา้ A - 3I เปน็ เมทริกซ์เอกฐาน แลว้ det (A + 3I) มีค่าเทา่ กับเท่าใด

1) 12 2) 16 3) 20 4) 26

BRAN-Pb2.36 (PAT1’ต.ค.53) กาํ หนดให้ X เป็นเมทริกซ์ที่สอดคลอ้ งกบั สมการ

1 -2 + 4X = 2 1 -2  3 42
 4 3  0 1 3   1 1
   
-3

แลว้ ค่าของ det (2Xt ⋅ (X + Xt)) เทา่ กับเท่าใด

ตอบ...........................

SheLL1.12 (PAT1’ก.ค.53) กําหนดให้ A = 0 1 , B = 1 1 และ C = 1 -1
0 1 0 0 0 2

คา่ ของ det (2At + BC2 + BtC) เท่ากับขอ้ ใดต่อไปนี้

1) -1 2) 0 3) 2 4) 6

SheLL2.31 (PAT1’ก.ค.53) ให้ a, b, c, d, t เป็นจํานวนจรงิ ถา้ A = a b โดยที่ det (A) =t ≠0
c d

และ det (A + t2A-1) = 0 แล้วคา่ ของ det (A - t2A-1) เทา่ กบั เทา่ ใด ตอบ...........................

คณิตศาสตร์ (150) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปที ่ี 27

NaDate-Pb 1.13 (PAT1’มี.ค.56) กําหนดให้ A และ B เป็นเมทริกซ์ มีมติ ิ 3 × 3 โดยท่ี det (A) = 2

และ B = 10 3 2  เม่อื x และ y เป็นจํานวนจริง
-1 x 

0 -2 
y 

ถ้า AB + 3A = 2I เมอื่ I เปน็ เมทริกซ์เอกลกั ษณ์ ทม่ี มี ิติ 3 × 3 แล้ว x + y เทา่ กบั ข้อใดต่อไปนี้

1) 0 2) -1 3) -2 4) -2.5

เมทริกซผ์ ูกผันของ A, adj (A) adj A = CCC123111 C12 C13  t
C22 C23 
นยิ าม 2.1 เมทรกิ ซ์ผกู พันของ A คือ adj A นิยาม 2.2 C32 C33 
กาํ หนดให้ A = [aij]n×n จะได้ adj A = [Cij]t 


สูตร 2.3 A ⋅ adj A = adj A ⋅ A = (det A)I

โจทยเ์ มทรกิ ซ์ แนวหาอนิ เวอร์สของ 3 × 3

KMK-Pb2.11 (PAT1’ต.ค.52) ให้ A = -31 2 4 
8 0 

 -1
 1 2

สมาชกิ แถวท่ี 3 หลกั ที่ 1 ของ A-1 เทา่ กบั เทา่ ใด ตอบ...........................

124

แนวคิด ขน้ั ที่ 1 หา det A = -3 8 0 = -70 ≠ 0 ซง่ึ สามารถหาอินเวอรส์ ได้

1 2 -1

ขัน้ ที่ 2 ใชส้ ูตร A-1 = 1 (adj A)
det A
1
A-1 = -70 ⋅ (adj A)

CCC123111 C12 C13  t CCC132111 C12 C13  --CC77112001 -C7201 -C7301 
C22 C23  C22 C23  -C7130 -C7202 -C7302 
∴ A-1 = 1 ⋅ C32 C33  → A-1= 1 ⋅ C32 C33  = -C7203 
-70  -70  
  -C7303 




124
(-1)1+3 ⋅ -3 8 0
(-1)1+3 ⋅ M13
∴ สมาชิกแถวที่ 3 หลักที่ 1 ของ A-1 = C13 = -70 = 1 2 -1
-70 -70

= (-1)1+3 ⋅ -3 8 = (-1)1+3 ⋅ ((-3) ⋅ 2 - 1 ⋅ 8) = 0.2
1 2
-70
-70

โครงการแบรนดซ์ มั เมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (151)

TF-PAT6 (B-PAT1’ต.ค.51) กาํ หนดให้ A = [aij]3×3

เปน็ เมทรกิ ซ์ ท่ีมี A-1 = -31 2 4  แลว้ จงหาคา่ ของ a23
8 0 
2 
 -1
 1

1) 0 2) 16 3) 32 4) 12
70 70 70

TF-PAT7 (PAT1’ม.ี ค.52) ให้ At = -12 2 3
-1 0 จงหาสมาชกิ ในแถวที่ 2 และหลักที่ 3 ของ A-1
 
 0 1 4 

1) - 2 2) -2 3) 2 4) 2
3 3

Happy-Pb8.3 (สามัญ’57) ให้ A = [aij]3×3 และ det (A) > 0

1 -1 2
[Mij (A)] 3 2 -4 และ A-1 = [bij] แลว้ b11 + b12 + b13 มีค่าเท่าใด
ถ้า = 5 0 

2

ตอบ...........................

โจทยเ์ มทรกิ ซ์ แนวแก้สมการหลายตัวแปร 4) 4
TF-PAT8 (B-PAT1’ต.ค.51) ถา้ a, b และ c เป็นจาํ นวนจรงิ ที่ทําให้

a - b + 2c = 9 , 2a + b - c = 0 , 3a - 2b + c = 11
แล้ว a มคี า่ เท่ากบั เทา่ ใด

1) -4 2) -2 3) 2

TF-PAT9 (PAT1’มี.ค.52) กาํ หนดให้ x, y, z สอดคลอ้ งกับระบบสมการ

2x - 2y - z = -5 , x - 3y + z = -6 , -x + y - z = 4

ขอ้ ใดต่อไปนถี้ กู 2) x + y + z = 2
1) x2 + y2 + z2 = 6

3) xyz = 6 4) xy = -2
z

TF-PAT10 (PAT1’ก.ค.52) กาํ หนดให้ a, b, c เปน็ จํานวนจริงทีส่ อดคลอ้ งกบั ระบบสมการ

2a - 2b - c = 1 , a - 3b + c = 7 , -a + b - c = -5
3
แลว้ คา่ ของ 1 + 2 + c เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปน้ี
a b

1) 0 2) 3 3) 6 4) 9

คณิตศาสตร์ (152) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปที ่ี 27

สรปุ ภาพรวม “โจทยตรีโกณมิต”ิ

เนน เฉพาะท่อี อกขอสอบ

แนวโน้มการออกขอ้ สอบ

10.00%

1. โจทย์ตรีโกณมิติ แนวสูตรตรโี กณประยุกต์
2. โจทย์ตรโี กณมิติ แนว (sin θ + cos θ) VS (sin θ ⋅ cos θ)
3. โจทย์ตรโี กณมิติ แนวอินเวอรส์ ตรีโกณ
4. โจทย์ตรโี กณมติ ิ แนวกฎของ sin VS กฎของ cos

โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปีที่ 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (153)

โจทยต์ รีโกณมติ ิ แนวสตู รตรโี กณประยุกต์ sin2 A + cos2 A = 1
สูตร 8.1! สูตรผลบวกหรอื ผลตา่ งของมมุ 1 + tan2 A = sec2 A
1 + cot2 A = cosec2 A

cos (A + B) = cos A ⋅ cos B - sin A ⋅ sin B sin (A + B) = sin A ⋅ cos B + cos A ⋅ sin B
cos (A - B) = cos A ⋅ cos B + sin A ⋅ sin B sin (A - B) = sin A ⋅ cos B - cos A ⋅ sin B

tan (A + B) = 1 tan A A+ tan B , tan (A - B) = 1 tan A A- tan B
- tan ⋅ tan B + tan ⋅ tan B

พสิ จู น์ tan (A + B) = sin (A + B) = scionsAAccoossBB+-csoins A sin B = sin A ccoossBA+ccoossBA sin B
cos (A + B) A sin B cos A cos BA-cossinBA sin B
cos
sin A cos B cos A sin B sin A sin B
= cos A cos B + cos A cos B = cos A + cos B = tan A + tan B
1 - tan A tan B
cos A cos B - sin A sin B cos B - sin A sin B
cos A cos B cos A cos B cos B cos A cos B

cot (A + B) = cot A ⋅ cot B A- 1 , cot (A - B) = cot A ⋅ cot B + 1
cot B + cot cot B - cot A

Hormone Pb1.1 (PAT1’มี.ค.57) ถา้ x และ y เปน็ จํานวนจรงิ ท่ีสอดคล้องกบั สมการ
3 sin (x - y) = 2 sin (x + y) แลว้ (tan3 x) (cot3 y) เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี้
1) 8
2) 27
3) 64
4) 125

คณิตศาสตร์ (154) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปีที่ 27

FPAT-Pb81 (PAT1’ก.ค.52) จงหาว่า sin 30o - cos 30o มีค่าเท่าใด
sin 10o cos 10o

1) -4

2) -2

3) 2

4) 4

SheLL1.13 (PAT1’ก.ค.53) ถา้ sin 15° และ cos 15° เปน็ คาํ ตอบของสมการ x2 + ax + b = 0
แลว้ ค่าของ a4 - b เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี

1) -1

2) 1 ลดั
3) 2

4) 1 + 3 2

KMK-Pb2.5 (PAT1’ต.ค.52) ถ้า 1 - cot 20° = x แล้ว x มคี ่าเท่าใด
1 - cot 25o

ตอบ...........................

โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (155)

*KAiOU-Pb2.5 (PAT1’มี.ค.53) คา่ ของ cos 36o - cos 72o เท่ากับเทา่ ใด
sin 36o tan 18o + cos 36o

ตอบ...........................

วิธเี รว็ กว่า

ลัด

วิธีจริง cos 36o - cos 72o = 2 sin 54o sin 18o
sin 36o tan 18o + cos 36o sin 18o
= sin 36o cos 18o - cos 36o
=
= 2 sin 54o sin 18o cos 18o = 2 sin 54o sin 18o cos 18o
= sin 36o sin 18o + cos 36o cos 18o cos (36o - 18o)

2 sin 54o sin 18o cos 18o = 2 sin 54° sin 18° = 2 cos 36° cos 72°
cos 18o

2 sin 36o cos 36o cos 72o = sin 72o cos 72o = 2 sin 72o cos 72o
sin 36o sin 36o 2 sin 36o

sin 144o = 21 = 0.5
2 sin 36o

คณติ ศาสตร์ (156) ________________________________________โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปีท่ี 27

สตู รมุม 2A .

sin 2A = 2 sin A ⋅ cos A cos 2A = cos2 A - sin2A tan 2A = 2 ⋅ tan A
1 - tan2 A
= 2 ⋅ tan A = 2 ⋅ cos2 A - 1
1 + tan2 A
= 1 - 2 ⋅ sin2 A
cot2 A
= 1 - tan2 A cot 2A = 2 ⋅ cot -A1
1 + tan2 A

พิสูจน์ = sin A ⋅ cos B + cos A ⋅ sin B
จาก สตู ร sin (A + B) = มุม A
= sin A ⋅ cos A + cos A ⋅ sin A
แทนค่า มมุ B = 2 ⋅ sin A ⋅ cos A จบ
จะไดเ้ ปน็ sin (A + A)

∴ sin (2A)

แนวบทกลับของมมุ 2A .

sin2 A = 1 - cos 2A cos2A = 1 + cos 2A tan2A = 1 - cos 2A
2 2 1 cos 2A
+

พสิ จู น์ พิสูจน์ พิสูจน์
จาก cos 2 A = 1 – 2 ⋅ sin2 A จาก cos 2A = 2 ⋅ cos2 A – 1
tan2 A = sin2 A
cos2 A
∴ 2 ⋅ sin2 A = 1 – cos 2A ∴ cos 2A + 1 = 2 ⋅ cos2 A
1 cos 2A
tan2 A - 2

∴ sin2 A = 1 - cos 2A 1 + cos 2A = cos2 A = 1 + cos 2A
2 2
2

tan2 A = 1 - cos 2A
1 cos 2A
+

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 27 ________________________________________คณติ ศาสตร์ (157)

โจทยต์ รีโกณประยุกต์ แนวสูตรมุมสองเท่า

NaDate-Pb1.9 (PAT1’ม.ี ค.56) พิจารณาข้อความตอ่ ไปน้ี

ก. cos 10o - sin 10o = sec 20° - tan 20°
cos 10o + sin 10o

ข. 3 cot 20° = 1 + 4 cos 20°

ข้อใดตอ่ ไปนถ้ี กู ต้อง
1) ก. ถูก และ ข. ถกู
2) ก. ถกู และ ข. ผิด
3) ก. ผิด และ ข. ถกู
4) ก. ผดิ และ ข. ผดิ

***BRAN-Pb2.32 (PAT1’ต.ค.53) 1
2n
ให้ (sin 1°)(sin 3°)(sin 5°) ⋅ ... ⋅ (sin 89°) =

ค่าของ 4n เทา่ กับเทา่ ใด ตอบ.........................

FPAT-Pb83 (B-PAT1’ต.ค.51) ถ้า 1 + tan θ = 1 + A cos θ sin θ แลว้ A มีค่าเทา่ กับข้อใดตอ่ ไปน้ี
1 - tan θ cos 2θ

1) 1 2) 2 3) 4 4) 6

44 cos no 44 sin no
∑ ∑
n=1 n=1
***SheLL2.29 (PAT1’ก.ค.53) คา่ ของ 44 – 44 เท่ากบั เท่าใด ตอบ...........................
∑ sin no ∑ cos no
n=1 n=1

คณิตศาสตร์ (158) ________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปที ี่ 27

สูตรมุม 3A และ บทกลบั .

sin 3A = 3 ⋅ sin A – 4 ⋅ sin3 A
cos 3A = 4 ⋅ cos3 A – 3 ⋅ cos A
3 ⋅ tan B - tan3 B sin3 A = 3 sin A 4- sin 3A
tan 3B = 1 - 3 ⋅ tan2 B cos3 A = 3 cos A 4+ cos 3A

cot 3A = cot3 A - 3 ⋅ cot A
3 ⋅ cot2 A - 1

เทคนคิ เพลงสูตรคณิต จากครู Sup’k . แล้ว กค็ ณู cos มมุ B
คา่ cos 3B กค็ ือ 4 ⋅ cosกําลัง three ลบด้วย three เธอคดิ เช่นไร

แตบ่ อกตอนนี้ ไมร่ ู้ จะเรว็ ไปหรอื ไม่ กย็ งั ไม่รวู้ ่า

ค่า cos 4D ต้องมีตัวเลข ................ ..............................................................
ถา้ บอกคาํ นน้ั แล้วเธอตอบมาว่า ไม่ใช่ ถ้าเปน็ แบบนี้ ก็คงจะเดินหนไี ป

cos มมุ 5B ……………………………………………………..………………….
มองกนั ให้ดี เธอก็คงรู้ ในความหว่ งใย ฉันมอี ะไรซ่อนอยู่ ทยี่ ังไม่รู้ คอื เธอน้ันคดิ อย่างไร

Hormone Pb1.2 (PAT1’เม.ย.57) ถ้า cos 5θ = a cos5 θ + b cos3 θ + c ⋅ cos θ
เมอื่ θ เป็นจํานวนจรงิ ใดๆ
แลว้ a2 + b2 + c2 มคี ่าเท่ากบั เท่าใด
ตอบ ...........................

วิธีลัด

มีวธิ จี ริง อยหู่ น้าถดั ไป
โครงการแบรนดซ์ มั เมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (159)

วธิ ีจริงท่ี 1

วธิ จี ริงท่ี 2

ให้ z = cos θ + i sin θ Tips จากครู Sup’k

จะได้ (cos θ + i sin θ)5 = cos5 θ + 15 (cos θ)4(i sin θ) ใชเ้ ทคนคิ จํานวนเชิงข้ัว
และทวินามชว่ ยจดั รูปสตู ร
 5  θ)3(i θ)2
+ 2 (cos sin

+  5  (cos θ)2(i sin θ)3 +  5  (cos θ)(i sin θ)4 + (i sin θ)5
3 4

cos 5θ + i sin 5θ = cos5 θ + 5i cos4 θ sin θ - 10 cos3 θ sin2 θ - 10i cos2 θ sin3 θ

+ 5 cos sin4 θ + i sin5 θ

cos 5θ + i sin 5θ = cos5 θ - 10 cos3 θ sin2 θ + 5 cos θ sin4 θ
+ i(5 cos4 θ sin θ - 10 cos2 θ sin3 θ + sin5 θ)

เทียบส่วนจรงิ
จะได้ cos 5θ = cos5 θ - 10 cos3 θ sin2 θ + 5 cos θ sin4 θ

= cos5 θ - 10 cos3 θ (1 - cos2 θ) + 5 cos θ (1 - cos2 θ)2
= cos5 θ - 10 cos3 θ + 10 cos5 θ + 5 cos θ (1 - 2 cos2 θ + cos4 θ)
= 11 cos5 θ - 10 cos3 θ + 5 cos θ - 10 cos3 θ + 11 cos5 θ
= 16 cos5 θ - 20 cos3 θ + 5 cos θ
เทียบกบั รูปแบบ cos 5θ = a cos5 θ + b cos3 θ + c cos θ

จะได้ a = 16, b = -20 , c = 5
ดังน้นั a2 + b2 + c2 = 256 + 400 + 25 = 681 ตอบ

คณติ ศาสตร์ (160) ________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 27

โจทยต์ รโี กณประยกุ ต์ แนว (sin θ + cos θ) VS (sin θ ⋅ cos θ)

NaDate-Pb2.28 (PAT1’มี.ค.56) กําหนดให้ x เป็นจาํ นวนจริง โดยท่ี sin x + cos x = 34
a
ถา้ (1 + tan2 x) cot x = b เมอ่ื a และ b เปน็ จาํ นวนเตม็ โดยที่ ห.ร.ม. ของ a และ b เท่ากบั 1
แล้ว a2 + b2 Tips จากครู Sup’k
เท่ากับเท่าใด

ตอบ ..............................

แนวคดิ & เทคนิค 4
3
เนอื่ งจาก sin x + cos x =

(sin x + cos x)2 = 16
9
16
sin2 x + cos2 x + 2 sin x cos x = 9

1 + 2 sin x cos x = 16
9
sin x cos x = 178

เพราะว่า (1 + tan2 x) cot x =  1 + sin2 x  cos x
 cos2 x  sin x
 

= cos x + sin x
sin x cos x
=
= cos2 x +cossinx2 x
sin x
1
7
18
18
(1 + tan2 x)cot x = 7
เพราะวา่ ห.ร.ม. ของ 18 และ 7 เทา่ กบั 1

จึงได้ a = 18, b = 7
∴ a2 + b2 = 182 + 72 = 373 ตอบ

KAiOU-Pb1.7 (PAT1’มี.ค.53) กําหนดให้ x เปน็ จาํ นวนจริง ถา้ sin x + cos x = a และ sin x – cos x = b

แล้วคา่ ของ sin 4x เท่ากบั ข้อใดต่อไปนี้ 1
1 2
1) 2 (a3b - ab3) 2) (ab3 - a3b)

3) ab3 - a3b 4) a3b - ab3

โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปีที่ 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (161)

KMK-Pb2.6 (PAT1’ต.ค.52)
3
ถา้ (sin θ + cos θ)2 = 2 เมื่อ 0 ≤ θ ≤ π4 แล้ว arccos (tan 3θ) มคี ่าเท่าใด

ตอบ ..............................

FPAT-Pb82 (PAT1’มี.ค.52) ถ้า cos θ - sin θ = 5 แลว้ คา่ ของ sin 2θ เทา่ กับข้อใดตอ่ ไปน้ี
3
4 9 4 13
1) 13 2) 13 3) 9 4) 9

BRAN-Pb2.33 (PAT1’ต.ค.53) กําหนดให้ a เปน็ จาํ นวนจริง และสอดคลอ้ งกบั สมการ

5(sin a + cos a) + 2 sin a cos a = 0.04

จงหาคา่ ของ 125(sin3 a + cos3 a) + 75 sin a cos a ตอบ..............

วธิ จี ริง

ให้ x = sin a + cos a และ y = sin a cos a

จากโจทย์จะได้ 5x + 2y = 0.04 ...(1)

เน่อื งจาก x2 = (sin2 a + cos2 a) + 2 sin a cos a = 1 + 2y = 1 + sin 2a

ฉะนน้ั x2 = 1 + 2y ...(2)

พิจารณา x2 = 1 + sin 2a จะได้ 0 ≤ x2 ≤ 2 ฉะนน้ั - 2 ≤ x ≤ 2
x2 + 5x = 1.04
(1) + (2) ;

x2 + 5x - 1.04 = 0

(x + 5.2)(x - 0.2) = 0

x = 0.2, -5.2

แต่ - 2 ≤ x ≤ 2 จึงได้ x = 0.2 เท่านัน้

สง่ ผลให้ y = 12 ((0.2) - 1) = -0.48
sin3 a + cos3 a = (sin a + cos a)(sin2 a - sin a cos a + cos2 a)
เพราะว่า

= x(1 - y)

∴ 125 (sin3 a + cos3 a) + 75 sin a cos a = 125x(1 - y) + 75y

= 125(0.2)(1 - (-0.48)) + 75(-0.48)

= 37 - 36

= 1 ตอบ

คณติ ศาสตร์ (162) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 27

โจทย์ตรีโกณประยกุ ต์ แนว (sin θ + cos θ) VS (sin θ ⋅ cos θ)

Peach-Pb1.2 (แนว PAT1’ต.ค.55) สําหรับ จํานวนจรงิ θ ใดๆ

ให้ a และ b เป็นค่ามากที่สุดของ cos4 θ - sin4 θ และ 3 ⋅ sin θ + 4 ⋅ cos θ ตามลาํ ดับ

จงหาคา่ ของ a + b

ตอบ .................

แนวคิด & เทคนคิ จากครู Sup’k Tips จากครู Sup’k

สูตร 22.1! สตู ร ผลบวก ผลต่าง → ผลคณู .

sin A + sin B = 2 sin  A 2+ B  cos  A 2- B  = 2 sin (half sum) cos (half diff)
sin A - sin B = 2 cos  A 2+ B  sin  A 2- B  = 2 cos (half sum) sin (half diff)
cos A + cos B = 2 cos  A 2+ B  cos  A 2- B  = 2 cos (half sum) cos (half diff)
cos A - cos B = -2 sin  A 2+ B  sin  A 2- B  = -2 sin (half sum) sin (half diff)

สูตร 23.1! สูตร ผลคูณ → ผลบวก ผลตา่ ง .

2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A - B) = sin (sum) + sin (diff) ก
2 cos A sin B = sin (A + B) - sin (A - B) = sin (sum) - sin (diff) ก
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A - B) = cos (sum) + cos (diff)
-2 sin A sin B = cos (A + B) - cos (A - B) = cos (sum) - cos (diff)

โครงการแบรนดซ์ มั เมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (163)

Hormone Pb1.3 (PAT1’ม.ี ค.57) กําหนดให้ θ เป็นจํานวนจริงใดๆ
พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี
ก. 16 sin3 θ cos2 θ = 2 sin θ + sin 3θ - sin 5θ

ข. sin 3θ = (sin 2θ + sin θ)(2 cos θ - 1)

ขอ้ ใดต่อไปน้ถี กู ตอ้ ง 2) ก. ถูก แต่ ข. ผิด
1) ก. ถูก และ ข. ถกู 4) ก. ผิด และ ข. ผิด
3) ก. ผดิ แต่ ข. ถกู
Tips จากครู Sup’k
วธิ ลี ดั

วธิ จี รงิ 2 sin θ + sin 3θ - sin 5θ = (sin 3θ + sin θ) - (sin 5θ - sin θ)
ก. ถูก
= (2 sin 2θ cos θ) - (2 cos 3θ sin 2θ)
ข. ถูก
= (2 sin 2θ)(cos θ - cos 3θ)

= (4 sin θ cos θ)(-2 sin 2θ sin (-θ))

= (4 sin θ cos θ)(4 sin θ cos θ sin θ)
= 16 sin3 θ cos2 θ

(sin 2θ + sin θ)(2 cos θ - 1) = (2 sin θ cos θ + sin θ)(2 cos θ - 1)

= (sin θ)(2 cos θ + 1)(2 cos θ - 1)
= (sin θ)(4 cos2 θ - 1)
= (sin θ)(4 - 4 sin2 θ - 1)
= 3 sin θ - 4 sin3 θ

= sin 3θ

คณิตศาสตร์ (164) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ มั เมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 27

Peach-Pb2.22 (แนว PAT1’ต.ค.55) จงพจิ ารณาความถูก ผดิ ของข้อความต่อไปนี้

ก. cos π5 + cos 35π + cos π = 1
2
ข. tan 716π – tan 38π = cosec π8

ขอ้ ใดต่อไปนีส้ รุปถูกตอ้ ง

1) ก. ถูก และ ข. ถกู 2) ก. ถกู และ ข. ผดิ

3) ก. ผดิ และ ข. ถูก 4) ก. ผดิ และ ข. ผิด

Hormone Pb1.14 (PAT1’มี.ค.57) ให้ sin θ - sin 2θ + sin 3θ = 0 โดยที่ 0 < θ < π2
tan θ - tan 2θ sin 3θ + sin 4θ + sin 5θ
ถ้า a = cos θ - cos 2θ และ b = cos 3θ + cos 4θ + cos 5θ

แลว้ คา่ ของ a4 + b4 เท่ากับเท่าใด

ตอบ…………………

Sigo-Pb1.14 (PAT1’ม.ี ค.58) ถ้า α และ θ เปน็ จํานวนจรงิ โดยที่ 0 < θ < α < 90°

และสอดคลอ้ งกบั สมการ tan(α + θ) = 5tan(α - θ)

แลว้ (sin2θ)(cosec2α) เทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้

1) 5 2) 5
6 4
3 4) 32
3) 2

โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 27 ________________________________________คณติ ศาสตร์ (165)

Hormone Pb1.14 (PAT1’มี.ค.57) ให้ sin θ - sin 2θ + sin 3θ = 0 โดยที่ 0 < θ < π2
tan θ - tan 2θ sin 3θ + sin 4θ + sin 5θ
ถา้ a = cos θ - cos 2θ และ b = cos 3θ + cos 4θ + cos 5θ

แลว้ ค่าของ a4 + b4 เทา่ กับเท่าใด

ตอบ…………………

ตอบ 0153.00

แนวคดิ

sin θ - sin 2θ + sin 3θ = 0
0
(sin 3θ + sin θ) - sin 2θ = 0
0
ใชส้ ตู รเปลยี่ นผลบวก ไปเป็นผลคูณ ; 2 sin 2θ cos θ - sin 2θ =

(sin 2θ)(2 cos θ - 1) =

เพราะวา่ 0 < θ < π จะได้ 0 < 2θ < π ฉะน้นั sin 2θ ≠ 0

2

จึงได้ว่า 2 cos θ - 1 = 0

cos θ = 1
2

θ = π

3

จะได้ a= tan π - tan 2π = 3 - (- 3) = 23
3
3 2π 1 21
π 3 2
cos - cos -  - 
3
sin 3θ + sin 4θ + sin 5θ
b= cos 3θ + cos 4θ + cos 5θ

= 2 sin 4θ cos θ + sin 4θ
2 cos 4θ cos θ + cos 4θ
4π
= tan 4θ = tan 3 = 3

∴ a4 + b4 = (2 3 )4 + ( 3 )4

= 144 + 9 = 153

คณติ ศาสตร์ (166) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปีท่ี 27

โจทย์ตรโี กณมติ ิ แนวอนิ เวอรส์ ตรีโกณ สตู ร 35.2! ระวังเงอ่ื นไขของ x ดว้ ย
1
สูตร 35.1! ระวังเง่ือนไขของ x ดว้ ย arcsin x = arccosec x
arcsin (-x) = -arcsin x
arccos (-x) = π - arccos x arccos x1 = arcsec x
arctan (-x) = -arctan x 1
arccot (-x) = π - arccot x arctan x = arccot x
arccosec (-x) = -arccosec x
arcsec (-x) = π - arcsec x arccot x1 = arctan x
1
arccosec x = arcsin x

สูตร 35.3!! arcsec x1 = arccos x
arcsin (sin x)
= x เมอ่ื - π2 ≤ x ≤ π2

arccos (cos x) = x เมือ่ 0 ≤ x ≤ π
arctan (tan x) =
x เม่อื - π2 < x < π2

arccot (cot x) = x เมื่อ 0 < x < π

arccosec (cosec x) = x เม่อื x ∈ - π2 , 0 U  0 , π2 


arcsec (sec x) = x เมื่อ x ∈ 0 , π2  U  π2 , π

สตู ร 3.1!! arctan x + arctan y = arctan x+y เม่อื - π2 < arctan x + arctan y < π2
1 - xy

สูตร 3.2!! arctan x + arctan y = arctan x+y +π เม่อื π2 < arctan x + arctan y
1 - xy

สูตร 3.3!! arctan x + arctan y = arctan x+y -π เมือ่ arctan x + arctan y < - π2
1 - xy

สตู ร 3.4!! arctan x – arctan y = arctan x-y
1 + xy

โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปที ี่ 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (167)

Sigo-Pb2.32 (PAT1’พ.ย.57)

ให้ A = cos15° + cos87° + cos159° + cos231° + cos303°

และ B = sin  arctan185 + arccos54 
 

ถา้ A + B = ba โดยที่ a และ b เป็นจํานวนเตม็ บวก ซงึ่ ห.ร.ม. ของ a และ b เทา่ กับ 1

แล้ว a + b เทา่ กับเท่าใด

ตอบ…………………

แนวคิด & เทคนิค จากครู Sup’k

ขน้ั ท่ี 1

ข้ันที่ 2

A = cos15° + (cos159° + cos231°) + (cos87° + cos303°)

= cos15° + 2cos195°cos36° + 2cos195°cos108°

= cos15° + 2cos195°(cos36° + cos108°)

= cos15° - 2cos15°(2cos72°cos36°)

= cos15° - 2cos15°  2cos72ocos36o sin36o 
 sin36o 
 

= cos15° - 2cos15°  cos72o sin72o 
 sin36o 
 

= cos15° - 2cos15°  2cos72o sin72o 
 2sin36o 
 

= cos15° - 2cos15°  sin144o 
 2sin36o 
 

= cos15° - (2cos15°)  21 
 

=0

คณติ ศาสตร์ (168) ________________________________________โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปีท่ี 27

Peach-Pb1.26 (แนว PAT1’ต.ค.55) จงหาค่าของ sec2 2 ⋅ arctan 31 + arctan 71 
ตอบ ...............................
แนวคดิ & เทคนิค จากครู Sup’k

BRAN-Pb2.31 (PAT1’ต.ค.53) จงหา tan  arccot 51 - arccot 31 + arctan 97  ตอบ ...............................
sin arcsin 153 + arctan 1132 

Hormone Pb1.4 (PAT1’ม.ี ค.57) cot  arccos 32 - arccos 1+ 6  มีค่าเท่ากับข้อใดตอ่ ไปน้ี
 2 3 

1) 32 2) 31 3) 1+ 6 4) 3
2 3

โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 27 ________________________________________คณติ ศาสตร์ (169)

MEP-Pb1.3.2 (สามญั ) sin2 (2 ⋅ arctan 2 ) มคี ่าเท่ากบั เทา่ ใด
ตอบ ...............................
แนวคิด & เทคนิค จากครู Sup’k

MEP-Pb1.3 (แนวสามญั ) cos  arcsin  sec2(2 arctan 2)   มคี า่ เทา่ กับเทา่ ใด
  11  
 

ตอบ ...............................

คณิตศาสตร์ (170) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปีท่ี 27

โจทยต์ รโี กณประยุกต์ แนวสมการอินเวอร์สตรีโกณ สูตรลดั จากครู Sup’k II
สตู รลัด จากครู Sup’k I

Hormone Pb1.5 (สามัญ’57) ผลบวกของคาํ ตอบของสมการ 2 arcsin (x2 - 3x + 1) + π = 0

เท่ากบั เท่าใด ตอบ ..........................................

แนวคิด 2 arcsin (x2 - 3x + 1) + π = 0
2 arcsin (x2 - 3x + 1) = -π

arcsin (x2 - 3x + 1) = - π2

x2 - 3x + 1 = -1

x2 - 3x + 2 = 0

(x - 1)(x - 2) = 0 → ∴ x = 1, 2 ตรวจคําตอบแลว้ ผา่ น

ดงั น้ัน ผลบวกของคาํ ตอบของสมการ = 1 + 2 = 3

FPAT-Pb87 (B-PAT1’ต.ค.51) จาํ นวนคําตอบท่ีแตกตา่ งกันของสมการ arcsin x = 2 arccos x มกี ่ีค่า
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

วิธีทํา & เทคนคิ

Peach-Pb2.39 (แนว PAT1’ต.ค.55) ให้ arcsec x = 2 ⋅ arccos 2 - arcsin 1
5 17

แล้วจงหาคา่ ของ cot  π2 + arcsec x  13 13
- 16 16
1) - 13 2) 13 3) 4)
9 9

FPAT-Pb89 (PAT1’ก.ค.52) ถ้า arcsin (5x) + arcsin (x) = π2 แล้ว tan (arcsin x) มคี ่าเทา่ ใด
1 1 1 1
1) 5 2) 5 3) 3 4) 3

FPAT-Pb88 (PAT1’ม.ี ค.52) ให้ -1 ≤ x ≤ 1 เป็นจาํ นวนจรงิ ซงึ่ arccos x - arcsin x = 25π52

แล้วค่าของ sin  25π52 เทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี 3) 2x2 - 1 4) -2x
1) 2x 2) 1 - 2x2

โครงการแบรนดซ์ มั เมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 27 ________________________________________คณติ ศาสตร์ (171)

SheLL1.6 (PAT1’ก.ค.53) ให้ x เป็นจาํ นวนจรงิ ถา้ arcsin x = π

4

แลว้ ค่าของ sin  1π5 + arccos (x2) อย่ใู นช่วงใดต่อไปน้ี

1)  0 , 21  2)  21 , 1  3)  1 , 3  4)  3 , 1 
 2   2 2  2

KAiOU-Pb2.4 (PAT1’ม.ี ค.53) ให้ α และ β เป็นมุมแหลมของรปู สามเหลย่ี มมุมฉาก

โดยที่ tan α = a ถา้ cos  arcsin a  + sin  arccos a b2  =1
b  a2 + b2   a2 + 
   

แลว้ sin β มคี า่ เทา่ กับเทา่ ใด ตอบ..................................

NaDate-Pb1.10 (PAT1’มี.ค.56) ถา้ x เป็นจาํ นวนจรงิ ทมี่ ากสดุ โดยที่ 0 < x < 1

และสอดคลอ้ งกับ arctan (1 - x) + arccot  21x  = 2 arcsec 1 + 2x(1 - x)

แลว้ คา่ ของ cos πx ตรงกบั ขอ้ ใดต่อไปนี้

1) -1 2) 0 3) 1 4) 3
ตอบ 3) 2 2

แนวคิด ให้ y = arcsec 1 + 2x(1 - x) , 0 < x < 1 → sec y = 1 + 2x(1 - x)

ทําให้ tan y = 2x(1 - x) ดังนัน้ y = arctan 2x(1 - x)

ต่อไปแกส้ มการ

arctan (1 - x) + arccot  21x  = 2 arcsec 1 + 2x(1 - x)

arctan (1 - x) + arctan (2x) = 2 arctan 2x(1 - x)

tan (arctan (1 - x) + arctan (2x)) = tan (2 arctan 2x(1 - x) )

(1 - x) + 2x = 2 2x(1 - x)
1 - (1 - x)(2x) 1 - 2x(1 - x)

1+x = 2 2x(1 - x)
1 - 2x + 2x2 1 - 2x + 2x2

1 + x = 2 2x(1 - x)

1 + 2x + x2 = 4(2x - 2x2)

9x2 - 6x + 1 = 0
∴ (3x - 1)2 = 0 → x = 31 ตรวจคาํ ตอบแลว้ ผา่ น
1
∴ จะหาคา่ ของ cos πx = cos π3 = 2 ตอบ

คณิตศาสตร์ (172) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปีที่ 27

NaDate-Pb2.32 (PAT1’มี.ค.56) กําหนดให้ 0 < θ < π2

โดยท่ี θ = arctan  x + 1  - arctan x เมอื่ 0 < x < 1
 1 x 
 - 

คา่ ของ tan θ + cot θ เท่ากบั เท่าใด ตอบ..................................

โจทย์ตรีโกณประยกุ ต์ แนวกฎของ sin VS กฎของ cos

สตู ร 42.1! สตู รของพื้นทสี่ ามเหล่ยี ม . พ้ืนท่ี ∆ ABC = 1 a ⋅ b ⋅ sin Cˆ
2
A 1
พื้นที่ ∆ ABC = 2 b ⋅ c ⋅ sin Aˆ
b ซม. c ซม.
พ้ืนท่ี ∆ ABC = 1 a ⋅ c ⋅ sin Bˆ
2

C a ซม. B

สตู ร 42.21! กฎของ sin . กฎของ sin

A a = b = c
b ซม. c ซม. sin Aˆ sin Bˆ sin Cˆ

C a ซม. B กฎของ cos

สตู ร 42.3! กฎของ cos . a2 = b2 + c2 - 2 ⋅ bc ⋅ cos A
b2 = a2 + c2 - 2 ⋅ ac ⋅ cos B
A c2 = a2 + b2 - 2 ⋅ ab ⋅ cos C
b ซม. c ซม.

C a ซม. B

โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 27 ________________________________________คณติ ศาสตร์ (173)

โจทยต์ รีโกณประยกุ ต์ แนวกฎของ sin

BRAN-Pb1.7 (PAT1’ต.ค.53) ให้ ABC เปน็ รปู สามเหล่ียม ดงั รูป A
ถ้า ABˆC = 30°, BAˆC = 135°

และ AD และ AE แบ่ง BAˆC

ออกเป็น 3 ส่วนเท่าๆ กนั แล้ว EC มคี า่ เท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
BC
1
1) 3 2) 3 C

3) 1 BDE
2
4) 2

แนวคดิ
ใน ∆ABC
จะได้ ACˆB = 180° - 135° - 30° = 15°

โดยกฎของไซน์ sin 30o = sin 135o A
ได้ AC BC 45° 45°

1 = 1
2(AC) 2(BC)
30° 120° 15°
BC = 2 (AC) BD EC

ใน ∆ACE จะได้ CAˆE = 135o = 45°
3

และ AEˆC = 180° - 45° - 15° = 120°

โดยกฎของไซน์ได้ sin 120o = sin 45o
AC = EC
3
2(AC) 1
2(EC)

EC = 2(AC)
3

EC = BC →∴ EC = 1
3 BC 3

คณติ ศาสตร์ (174) ________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 27

โจทย์ตรีโกณประยุกต์ แนวกฎของ sin ผสมกฎของ cos

Duem-Pb2.8 (แนว PAT1’ธ.ค.54) กาํ หนดใหร้ ูปสามเหลีย่ ม ABC มีดา้ นตรงขา้ มมมุ A, B, C ยาว a, b, c
ตามลาํ ดบั และ (sin A - sin B + sin C)(sin A + sin B + sin C) = 3 sin A sin C

จงหาค่าของ 3 cosec2 B + 3 sec2 B สตู รลัด จากครู Sup’k
ตอบ ...................

แนวคดิ & เทคนคิ

ขัน้ ท่ี 1 ใน ∆ABC โดยกฎของ sin

a = b = c
sin A sin B sin C

∴ a = b = c = สมมติตวั แปรเพม่ิ = k
sin A sin B sin C
a b c
∴ sin A =k, sin B =k, sin C =k

∴ a = sin A , b = sin B , c = sin C → (*)
k k k

ขัน้ ที่ 2 จากโจทย์กําหนดให้

(sin A - sin B + sin C)(sin A + sin B + sin C) = 3 sin A sin C

แทนจาก (*) ;  ka - bk + kc   a + b + c  = 3⋅ a ⋅ c
   k k k  k k

 a - bk + c   a + bk + c  = 3 ⋅ a⋅c
    k2

(a - b + c)(a + b + c) = 3 ⋅ a ⋅ c

((a + c) - b)((a + c) + b) = 3ac

(a + c)2 - b2 = 3ac
a2 + 2ac + c2 - b2 = 3ac

a2 - ac + c2 = b2
a2 + c2 - b2 = ac กฎของ cos

ขน้ั ที่ 3 จากขัน้ ท่แี ล้ว a2 + c2 - b2 = ac b2 = a2 + c2 - 2 ⋅ ac ⋅ cos B

นํา 2ac หารทง้ั สองขา้ ง ∴ a2 + c2 - b2 = ac
2ac 2ac จัดรูปใหม่

∴ a2 + c2 - b2 = 1 ∴ 2 ac ⋅ cos B = a2 + c2 - b2
2ac 2
1 ∴ cos B = a2 + c2 - b2
โดยกฎของ cos ; ∴ cos B = 2 2ac

∴ B = 60° ตอบ

โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปที ่ี 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (175)

NaDate-Pb1.16 (PAT1’ม.ี ค.56) กาํ หนดให้ ABC เปน็ รูปสามเหล่ยี มใดๆ

ถ้าดา้ นตรงขา้ มมุม A ยาว 14 หน่วย, ความยาวของเส้นรอบรปู สามเหลีย่ มเทา่ กบั 30 หน่วย

และ 3 sin B = 5 sin C แลว้ sin 2A เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1) - 1 2) - 3 3) 1 4) 3
2 2 2 2

Hormone Pb1.6 (PAT1’เม.ย.57) ให้ ABC เปน็ รปู สามเหลย่ี มทีม่ มี มุ B และ C เปน็ มมุ แหลม
และสอดคลอ้ งกบั

ก. 25 cos B - 13 cos C = 15
ข. 65 (cos B + cos C) = 77
ค. ความยาวด้านทอ่ี ยู่ตรงขา้ มมุม C ยาว 20 หน่วย
จงหาความยาวเส้นรอบรปู ของ ∆ABC
ตอบ .........................................

Hormone Pb1.7 (PAT1’ม.ี ค.57) กําหนดให้ ABC เปน็ รปู สามเหลยี่ มใดๆ
โดยท่คี วามยาวตรงข้ามมมุ A, มุม B, มุม C เท่ากับ a หนว่ ย b หนว่ ย และ c หน่วย ตามลําดับ
ถา้ มุม A มีขนาดมากกว่า 90° , มุม B มขี นาด 45°
และ 2 c = ( 3 - 1)a แล้ว cos2 (A - B - C) + cos2 B + cos2 C เทา่ กบั เท่าใด
ตอบ .........................................

คณติ ศาสตร์ (176) ________________________________________โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 27

เฉลยคาํ ตอบ ชีทตวิ แบรนดซ มั เมอรแคมป ในสว นของครู Sup’k

*NichTor–Pb1.2 ตอบ 2 NichTor–Pb1.3 ตอบ 5 Sigo-Pb1.3.2 ตอบ 1277

NaDate-Pb2.48 ตอบ 10 SheLL2.46 ตอบ x = 3 SheLL2.47 ตอบ x = 9
SheLL2.4 ตอบ x = 3 BRAN-Pb1.25
TF-PAT120 ตอบ 2) TF-PAT123 ตอบ 1) TF-PAT119 ตอบ 4)
BRAN-Pb1.20 ตอบ 4) KAiOU-Pb1.24
NaDate-Pb2.49 ตอบ 6 QET-G-Pb26.1 ตอบ 3) TF-PAT124 ตอบ 3)
QET-G-Pb23.3 ตอบ 4) VetaNaDate-Pb1.25
Sup’k-Pb2.29.2 ตอบ 2 ตัว FPAT-Pb14 ตอบ 4) SheLL2.49 ตอบ 208

FPAT-Pb1 ตอบ 1) FPAT-Pb3 ตอบ 4) QET-G-Pb23.2 ตอบ 1)
AVATAR-Pb5.1 ตอบ 2) KMK-Pb1.8
FPAT-Pb4 ตอบ 3) NaDate-Pb2.27 ตอบ 2) Sup’k-Pb2.29.1 ตอบ 2 ตัว
BRAN-Pb2.27 ตอบ 13 KAiOU-Pb2.2 ตอบ 2) Sigo-Pb15.1 ตอบ 66
Happy-Pb2.2 ตอบ 4 Sigo–Pb2.3
ตอบ 2) SheLL1.11 ตอบ 2)
FPAT-Pb9 ตอบ 1) FPAT-Pb8
ตอบ 2) KAiOU-Pb1.12 ตอบ 2)
FPAT-Pb7 ตอบ 4) BRAN-Pb1.10 ตอบ 20 NaDate-Pb2.30 ตอบ 4

FPAT-Pb11 ตอบ 3) NaDate-Pb2.29 ตอบ 5 SheLL2.27 ตอบ 2

FPAT-Pb12 ตอบ 3) KMK-Pb2.9 ตอบ 11 SheLL1.14 ตอบ 2)

Happy-Pb 3.3 ตอบ 3 Sigo-Pb 3.4 ตอบ 2) KAiOU-Pb1.10 ตอบ 1)

SheLL1.1 ตอบ 2) KMK-Pb1.2 ตอบ 3) BRAN-Pb1.11 ตอบ 1)

FPAT-Pb18 ตอบ 2) iOU-Pb1.1 ตอบ 5 KMK-Pb 2.10 ตอบ 4

Sigo-Pb 4.4 ตอบ 1) NaDate-Pb1.3 ตอบ 6 Happy-Pb 3.2 ตอบ 5

Sigo-Pb1.2 ตอบ 3) KAiOU-Pb1.2 ตอบ 4 NaDate-Pb1.12 ตอบ 3)

KMK-Pb1.1 ตอบ 4) FPAT-Pb22 ตอบ 1) FPAT-Pb17 ตอบ 2)

Sigo-Pb 1.20 ตอบ 2) FPAT-Pb34 ตอบ 4) Happy-Pb 4.3 ตอบ 1)

FPAT-Pb36 ตอบ 4) FPAT-Pb37 ตอบ 2) Happy-Pb4.4 ตอบ 2)

FPAT-Pb39 ตอบ 1) FPAT-Pb41 ตอบ 3) FPAT-Pb21 ตอบ 4)

FPAT-Pb42 ตอบ 1) KMK-Pb1.5 ตอบ 1) FPAT-Pb32 ตอบ 2)

BRAN-Pb1.3 ตอบ 4) FPAT-Pb46 ตอบ 1) FPAT-Pb35 ตอบ 2)
SheLL1.4 ตอบ 3) NaDate-Pb1.4
ตอบ 4) KMK-Pb1.4 ตอบ 1)
KAiOU-Pb1.15 ตอบ 1) KAiOU-Pb1.9
SheLL1.9 ตอบ 2) Sigo-Pb 1.17 ตอบ 1) FPAT-Pb43 ตอบ 3)
NaDate-Pb1.8 ตอบ 4) KMK-Pb1.9
FPAT-Pb50 ตอบ 1) FPAT-Pb54 ตอบ 2) KAiOU-Pb1.4 ตอบ 1)
FPAT-Pb56 ตอบ 3) KMK-Pb2.8
ตอบ 4) FPAT-Pb45 ตอบ 2)
ตอบ 3) Sigo-Pb1.5. ตอบ 2)

ตอบ 4) FPAT-Pb49 ตอบ 1)
ตอบ 1) BRAN-Pb1.8 ตอบ 4)
ตอบ 2) AN-Pb2.34 ตอบ 17
ตอบ 1) FPAT-Pb55 ตอบ 4)
ตอบ 8 KMK-Pb1.6 ตอบ 4)

โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปีท่ี 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (177)

FPAT-Pb57 ตอบ 3) FPAT-Pb58 ตอบ 4) FPAT-Pb59 ตอบ 1)
Sigo-Pb1.19 ตอบ 4) KMK-Pb1.10 ตอบ 1)
NaDate-Pb2.31 ตอบ 162 FPAT-Pb63 ตอบ 1) FPAT-Pb64 ตอบ 3)
SheLL1.8 ตอบ 1) NaDate-Pb1.17 ตอบ 4)
FPAT-Pb62 ตอบ 4) FPAT-Pb78 ตอบ 1) KMK-Pb 2.3 ตอบ 7.5
FPAT-Pb66.1 ตอบ 3) FPAT-Pb67 ตอบ 2)
KAiOU-Pb1.8 ตอบ 3)
SiGo-Pb2.42 ตอบ 36 KAiOU-Pb2.22 ตอบ 7
FPAT-Pb77 ตอบ 1) SheLL2.28 ตอบ 1 SheLL1.18 ตอบ 1)
SheLL2.30 ตอบ 4 SiGo–2.36 ตอบ 3
FPAT-Pb66 ตอบ 4) BRAN-Pb1.12 ตอบ 1) KMK-Pb1.11 ตอบ 3)
TF-PAT2 ตอบ 4) KAiOU-Pb2.6 ตอบ 32
Happy-Pb7.2 ตอบ 1) AVATAR-Pb14.1 ตอบ 16 Peach-Pb2.34 ตอบ 4)

KAiOU-Pb1.5 ตอบ 2) Sigo–Pb1.21 ตอบ 2) TF-PAT3 ตอบ 4)

TF-PAT4 ตอบ 4) SheLL1.12
TF-PAT6
KAiOU-Pb2.7 ตอบ 6 TF-PAT8
SheLL1.13
TF-PAT1 ตอบ 2) FPAT-Pb83
KMK-Pb2.6
KMK-Pb1.12 ตอบ 4) 3 Hormone Pb1.14
10
*RaChiNee–Pb11.7 ตอบ Hormone Pb1.4

BRAN-Pb2.36 ตอบ 396 FPAT-Pb88 ตอบ 3) SheLL2.31 ตอบ 4
NaDate-Pb1.13 ตอบ 4) ตอบ 4)
KMK-Pb2.11 ตอบ 0.2 NaDate-Pb2.32 ตอบ 3) TF-PAT7 ตอบ 3)
TF-PAT10 ตอบ 1) ตอบ 3) TF-PAT9 ตอบ 1)
KAiOU-Pb2.5 ตอบ 0.5 Hormone Pb1.7 ตอบ 2) KMK-Pb2.5 ตอบ 2
KAiOU-Pb1.7 ตอบ 3) ตอบ 0 SheLL2.29 ตอบ 2
Peach-Pb2.22 ตอบ 3) ตอบ 153
FPAT-Pb82 ตอบ 3)
BRAN-Pb2.31 ตอบ 1 ตอบ 4) Sigo-Pb1.14 ตอบ 4)

FPAT-Pb89 ตอบ 1) ตอบ 2) FPAT-Pb87 ตอบ 1)

KAiOU-Pb2.4 ตอบ 0.5 ตอบ 2 SheLL1.6 ตอบ 4)

ตอบ 2 NaDate-Pb1.16 ตอบ 2)

Hormone Pb1.6 ตอบ 54

————————————————————

คณติ ศาสตร์ (178) ________________________________________โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปที ่ี 27

ตารางวเิ คราะหขอสอบ PAT 1 สป่ี ล า สดุ

PAT 1 2/58 1/58 2/57 1/57 2/56 1/56 2/55 1/55 รวม เฉลีย่
(บททอี่ อก/ปี)

ตรโี กณมติ ิ 33 34 35 37 29 36 24 37 265 11.04%

ลําดับอนุกรม 29 32 30 36 31 35 30 36 259 10.79%

สถติ ิ 32 30 34 34 24 31 34 31 250 10.42%

แคลคูลสั 28 27 34 36 22 28 30 29 234 9.75%

เอกซ์โพ-ลอการิทมึ 37 42 22 28 29 31 24 16 229 9.54%

เซต 17 18 8 6 22 24 15 17 127 5.29%

ฟังกช์ ัน 9 15 20 13 24 9 15 12 117 4.88%

จํานวนจริง 17 20 20 11 18 5 7 19 117 4.88%

วิธีนบั 15 6 22 12 14 5 21 17 112 4.67%

จาํ นวนเชิงซ้อน 13 14 6 16 10 12 21 12 104 4.33%

เมตริกซ์ 12 10 12 12 12 12 12 12 94 3.91%

ภาคตดั กรวย 12 12 12 12 15 6 9 10 88 3.54%

ทบ.จํานวนเบอื้ งต้น 12 6 8 16 12 16 14 1 85 3.48%

เวกเตอร์ 3 6 11 6 12 7 10 14 69 2.88%

ตรรกศาสตร์ 9 12 8 10 4 8 5 10 66 2.75%

เรขาคณิตวเิ คราะห์ 6 6 6 3 3 18 3 11 56 2.33%

ความน่าจะเปน็ 6 4 6 6 8 7 10 8 55 2.29%

กําหนดการเชิงเสน้ 6 6 6 6 5 5 5 5 44 1.83%

ความสมั พันธ์ 4 0 0 0 6 5 11 3 29 1.21%

ทบ.ทวินาม 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0%

โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปที ี่ 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (179)

ตารางแสดงจํานวนและร้อยละของผเู้ ขา้ สอบ GAT/PAT คร้ังท่ี 1/2558 (พฤศจกิ ายน 2557) ในช่วงคะแนนต่างๆ
จํานวนตามรายวิชา

Checklist

1. ลาํ ดบั อนันตแ์ ละอนุกรมอนันต์
- ลมิ ติ ของลําดบั
- ลาํ ดบั เรขาคณิตอนนั ต์
- ลําดับเศษส่วนยอ่ ยอนนั ต์

2. สถิติ
- การวิเคราะหข์ อ้ มูลเบ้ืองต้น (การแจกแจงความถ,่ี ค่ากลาง, คา่ วัดการกระจาย)
- การแจกแจงปกติ (ค่ามาตรฐาน, พื้นทใ่ี ต้โคง้ ปกติ)
- ความสมั พันธ์เชิงฟังก์ชันระหวา่ งขอ้ มลู

3. แคลคูลสั เบอ้ื งต้น
- ลมิ ติ และความตอ่ เนอ่ื ง (Mix จาํ นวนจริง, กรณฑ์)
- อนุพันธ์และปฏิยานุพันธ์ตรงๆ (Mix ฟงั ก์ชนั )
- เสน้ สัมผัสกราฟ, คา่ ตาํ่ สุดและคา่ สงู สดุ (Mix เรขาคณิตวเิ คราะห)์
- พนื้ ท่ีใตก้ ราฟ (Mix ภาคตัดกรวย)

4. ความนา่ จะเปน็
- การเรียงสับเปลีย่ น (ของไม่ซ้าํ , ของซา้ํ ) แบบมีเงอ่ื นไข
- การหยิบส่ิงของพร้อมกัน และการจดั หมู่
- ความนา่ จะเปน็ (Mix เซต)

5. จํานวนเชิงซอ้ น
- สมการจาํ นวนเชงิ ซ้อน (Mix เรขาคณติ วเิ คราะห์, ภาคตดั กรวย)
- พกิ ดั เชิงขัว้ เดอมวั ฟ์ (Mix ตรโี กณมิต,ิ เวกเตอร์)
- สมการพหนุ าม (Mix จาํ นวนจริง)

6. กาํ หนดการเชงิ เส้น (Mix เรขาคณิตวเิ คราะห์)

คณติ ศาสตร์ (180) ________________________________________โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปที ี่ 27

ลําดับและอนุกรม (Sequence & Series)

29-36 Marks

1. ลิมติ ของลาํ ดบั และอนุกรมอนนั ต

(Limit of Infinite Sequence & Series)

• ลาํ ดับอนันต์ (Infinite Sequence) คอื ฟงั กช์ ันที่มีโดเมนเป็นเซตของจํานวนเต็มบวกและเรนจ์เป็น

สบั เซตของจํานวนจริง นยิ มแทน f(x) ดว้ ย an เรียกว่าลําดบั พจนท์ ี่ n หรอื พจน์ท่ัวไปในรปู a1, a2, a3, ..., an, ...

• ลิมิตของลาํ ดบั อนนั ต์ หรือ lim an หาโดยการแทนค่า n ด้วย ∞ ลงไป

n→∞

หากแทนแลว้ ได้รูปแบบกาํ หนดหาค่าไม่ได้ (Indeterminate Form) ∞ หรือ ∞ - ∞ แก้ได้ 3 วธิ ี
∞

คือ

- ฟงั กช์ นั ตรรกยะ (พิจารณาเฉพาะพจนท์ มี่ ดี ีกรีสูงสดุ )
- ฟงั กช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียล (พิจารณาเฉพาะพจนท์ ีม่ ฐี านสูงสดุ )
- กรณฑ์อนนั ตล์ บกนั (คณู และหารดว้ ยสงั ยุค หรือประมาณโดยใช้กาํ ลงั สองสมบูรณ์)

• ลําดบั อนนั ตท์ ีห่ าค่าลิมติ ได้ เรยี กวา่ ลําดบั ลเู่ ขา้ (Convergent Sequence)
ลาํ ดบั อนนั ตท์ หี่ าค่าลิมิตไม่ได้ เรยี กว่า ลาํ ดบั ลู่ออก (Divergent Sequence)

• อนุกรมอนันต์ (Infinite Series) คอื ผลบวกของลาํ ดบั ทุกพจน์ แทนดว้ ย
lim = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...

n→∞

• อนุกรมอนันต์ทหี่ าคา่ ลิมิตได้ เรียกวา่ อนกุ รมลเู่ ขา้ (Convergent Series)
อนุกรมอนันต์ทหี่ าค่าลิมติ ไม่ได้ เรยี กว่า อนุกรมลูอ่ อก (Divergent Series)

• สตู รสัญลกั ษณแ์ ทนการบวก (Sigma) ท่ีควรจาํ

n c = nc n c ⋅ ai = c n ai i∑=n1(ai ± bi) = n ai ± i∑=n1bi
∑ ∑ ∑ ∑
i=1 i=1 i=1 i=1

n i = 1 + 2 + 3 + ... + n = n (n + 1)
∑ 2
i=1

n i2 = 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n (n + 1)(2n + 1)
∑ 6
i=1

n i3 = 13 + 23 + 33 + ... + n3 =  n2(n + 1)2
∑
i=1

โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปีที่ 27 ________________________________________คณติ ศาสตร์ (181)

2. ลาํ ดบั และอนุกรมเลขคณติ อนันต

(Infinite Arithmetic Sequence & Series)

• ลาํ ดับเลขคณิต (Arithmetic Progression : A.P.) คือ ลาํ ดบั ท่มี ีผลต่างรว่ ม (d) เป็นคา่ คงตัว ซ่ึง d

หาได้จากการนําลําดับพจน์ติดกันมาลบกนั

an = a1 + (n - 1)d d = a2 - a1 = a3 - a2 = ... = an - an-1

• ลิมติ ของลําดบั เลขคณติ (Limit of Arithmetic Sequence)

- ถา้ d = 0 แลว้ lim an = lim a1 = a1 เปน็ ลําดับลู่เข้าสูค่ า่ a1
n→∞ n→∞

- ถา้ d > 0 แลว้ lim an = +∞ เปน็ ลําดบั ลอู่ อก

n→∞

- ถ้า d < 0 แลว้ lim an = -∞ เป็นลําดบั ลูอ่ อก

n→∞

• อนุกรมเลขคณิต (Arithmetic Series) คือ อนกุ รมที่ได้จากลาํ ดับเลขคณติ โดย

Sn = n [2a1 + (n - 1)d] = n (a1 + an) = na(n+1)/2
2 2

• ลมิ ติ ของอนุกรมเลขคณิต (Limit of Arithmetic Series)
0 + 0 + 0 + ... เท่านน้ั เป็นอนกุ รมลเู่ ข้า นอกนน้ั เป็นอนกุ รมลอู่ อก

3. ลําดบั และอนกุ รมเรขาคณิตอนันต

(Infinite Geometric Sequence & Series)

• ลาํ ดับเรขาคณิต (Geometic Progression : G.P.) คอื ลําดบั ทมี่ ีอตั ราส่วนรว่ ม (r) เป็นคา่ คงตวั

ซึ่ง r หาไดจ้ ากการนาํ ลําดับพจน์ติดกันมาหารกนั a2 a3 an
a1 a2 an-1
an = a1 ⋅ rn-1 r= = = ... =

• ลิมิตของลําดบั เรขาคณติ (Limit of Geometic Sequence)

- ถา้ -1 < r < 1 แล้ว lim an = 0 เป็นลาํ ดับลู่เขา้ สู่ค่า 0

n→∞

- ถา้ r = 1 แลว้ lim an = a1 เปน็ ลําดบั ลู่เขา้ สคู่ ่า a1

n→∞

- ถา้ r ≤ -1 หรือ r > 1 แล้ว lim an หาค่าไมไ่ ด้ เปน็ ลําดับลอู่ อก

n→∞

• อนกุ รมเรขาคณติ (Geometic Series) คือ อนุกรมทีไ่ ด้จากลําดบั เรขาคณติ โดย Sn = a1(rn - 1)
r-1

คณติ ศาสตร์ (182) ________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 27

• ลิมติ ของอนกุ รมเลขคณิต (Limit of Arithmetic Series) a1
a1 1-r
- ถา้ -1 < r < 1 แลว้ lim Sn = 1-r เป็นลําดับลูเ่ ข้าสคู่ ่า

n→∞

- นอกนั้น lim Sn หาค่าไมไ่ ด้ เปน็ อนกุ รมลอู่ อก

n→∞

4. อนุกรมเศษสวนยอ ยอนนั ต (Infinite Telescopic Series)

• เปน็ การสรา้ งลาํ ดบั ยอ่ ยในรูป an = bn - bn+1 โดยท่ี lim an = lim bn = 0 แล้ว
n→∞ n→∞

lim Sn = a1 + a2 + a3 + ... = (b1 - b2) + (b2 - b3) + (b3 - b4) + ... = b1 เป็นอนุกรม

n→∞

ลูเ่ ขา้ สคู่ ่า b1

• อนุกรมเศษสว่ นย่อยอนันตท์ ีเ่ จอบ่อย 1
d ⋅ a1
1 + (a1 1 + 2d) + 1 + 3d) + ... =
a1(a1 + d) + d)(a1 (a1 + 2d)(a1

1 + 2d) + (a1 1 + ... = 1
a1(a1 + d)(a1 + d)(a1 + 2d)(a1 + 3d) 2d ⋅ a1 ⋅ (a1 + d)

ar1 + a1 + d + a1 + 2d + ... = a1 + d
r2 r3 r-1 (r - 1)2

5. ขอสอบ PAT 1 เร่ืองลาํ ดับอนันตแ ละอนุกรมอนันตส องปล า สุด

1. (1/57) กําหนดให้ an = n2 + 16n + 3 - n2 + 2 เมอ่ื n = 1, 2, 3, ... คา่ ของ lim 3 an เท่ากับ

n→∞

เท่าใด

1) 0 2) 1 3) 2 4) 8

2. (2/58) กําหนดให้ {an} เปน็ ลาํ ดบั ของจํานวนจริง โดยท่ี a1 =1 และ an = 1 - 41  1 - 91  ...  1 - 1 
 n2 

สําหรับ n = 2, 3, 4, ... ค่าของ lim an เท่ากับเท่าใด

n→∞

โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 27 ________________________________________คณติ ศาสตร์ (183)

3. (2/58) กําหนดให้ a และ b เป็นจํานวนจรงิ บวกที่สอดคล้องกับ

loga 2 + loga 4 2 + loga 8 2 + ... = 1 และ 4logb – 2blog2 = 8
3

พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี

ก. a + b = 102

ข. a log b = 16

ข้อใดตอ่ ไปนี้ถกู ตอ้ ง

1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก แต่ ข. ผิด 3) ก. ผดิ แต่ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผดิ

4. (1/58) กําหนดให้ {an} เปน็ ลําดับของจาํ นวนจรงิ โดยที่ a1 = 1 และ an = an-1 - 1 สําหรบั
6 3n

n = 2, 3, 4, ...

พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปนี้

ก. lim an = 0

n→∞

ข. อนุกรม a1 + a2 + a3 + ... เปน็ อนุกรมลเู่ ข้า มผี ลบวกเทา่ กับ 0.75
ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ถี ูกตอ้ ง

1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก แต่ ข. ผิด 3) ก. ผิด แต่ ข. ถกู 4) ก. ผิด และ ข. ผดิ

5. (2/57) กําหนดให้ an = n2 เมื่อ n = 1, 2, 3, ... ถา้ lim = a1 + a2 + a3 + ... + an = a
16n2 - 4 n b
n→∞
โดยท่ี a และ b เป็นจาํ นวนเตม็ บวก ซึง่ ห.ร.ม. ของ a และ b เท่ากบั 1 แล้ว a2 + b2 มีค่าเท่าใด

1) 17 2) 25 3) 145 4) 257

คณติ ศาสตร์ (184) ________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปีที่ 27

6. ให้ a เปน็ จาํ นวนจรงิ บวก และให้ {bn} เป็นลาํ ดบั ของจํานวนจรงิ โดยท่ี bn = (a + n - 1)(a + n)

สําหรับ n = 1, 2, 3, ... ถา้ a สอดคลอ้ งกบั lim  ba1+b21 + ba2+b32 + ... + banb+nn+1  = 1 แลว้ คา่ ของ
312
n→∞
a2 + 57 เท่ากบั เทา่ ใด (1/58)

7. (2/58) ถา้ {an} และ {bn} เปน็ ลาํ ดบั ของจํานวนจรงิ โดยท่ี an = 2n และ bn = 3n สําหรบั
n(n + 2) 5n + 18

n = 1, 2, 3, ... แลว้ อนกุ รม a1 + a2 + a3 + ... มีผลบวกเทา่ กับเทา่ ใด
b1 b2 b3

8. (1/57) กําหนดให้ an = n k เมอ่ื n = 1, 2, 3, ... ค่าของ lim 2n(6 - 3an) เท่ากับเท่าใด
2k n2 + 5n + 1
∑ n→∞

k=1

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 27 ________________________________________คณติ ศาสตร์ (185)

สถติ ิ (Statistics)

24-34 Marks

1. การวิเคราะหคา กลางของขอ มลู (Mean)

• ค่าเฉลีย่ เลขคณิต (Arithmetic Mean : A.M.)

1. สําหรบั ขอ้ มลู ทีไ่ มไ่ ดแ้ จกแจงความถ่ี x = i∑=NN1xi = x1 + x2 + ... + xN
N
i∑=k1NfiMi
2. สําหรับขอ้ มลู ท่ีแจกแจงความถ่ี x = = f1M1 + f2M2 + ... + fkMk
N

3. ถ่วงนาํ้ หนัก (ข้อมูลแตล่ ะค่ามีความสาํ คญั ไมเ่ ท่ากัน)

xw = i∑=k1wixi = w1x1 + w2x2 + ... + wNxN
i∑=N1wi w1 + w2 + ... + wN

4. รวม : กรณีนาํ ข้อมูลตง้ั แตส่ องกลมุ่ ขึ้นไปมารวมกัน

xcomb = i=∑k1Ni xi = N1x1 + N2 x2 + ... + Nk xk
i∑=N1ni n1 + n2 + ... + nk

5. N = 0 และ N - x)2 N มีคา่ นอ้ ยท่ีสุด

i∑=1(xi - x) i∑=1(xi มีคา่ นอ้ ยทีส่ ดุ แต่ i∑=1|xi - Med|

6. ถ้า Yi = aXi + b แล้ว Y = a X + b Ne Xe + (xc - xe)
Ncorrect
7. แกไ้ ข : กรณีอา่ นขอ้ มูลหรือจาํ นวนขอ้ มูลผิด Xcorrect =

• ฐานนยิ ม (Mode)

1. สําหรับขอ้ มูลที่ไม่ไดแ้ จกแจงความถี่ Mode = ค่าของขอ้ มลู ที่มีความถสี่ งู สุด

2. สาํ หรับขอ้ มูลท่แี จกแจงความถี่

Mode = M ชัน้ ท่มี คี า่ f สงู สดุ = ค่าขอ้ มูล ณ จุดสูงสดุ ของเส้นโคง้ ความถี่
I

• มัธยฐาน (Median)
Median ดบิ = คา่ ของข้อมูล ณ ตาํ แหนง่ ตรงกลาง (เมือ่ เรยี งข้อมูลจากนอ้ ยไปมาก)

คณติ ศาสตร์ (186) ________________________________________โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปที ี่ 27

2. การวดั ตําแหนงทข่ี องขอ มลู (Position)

เมื่อไดเ้ รียงขอ้ มลู จากคา่ นอ้ ยทีส่ ุดไปหาค่ามากทส่ี ุด

มัธยฐาน คอื คา่ ท่มี ีตําแหนง่ อย่กู งึ่ กลางของข้อมูลทั้งหมด

ควอรไ์ ทลท์ ่ี r (Qr) คอื ค่าที่บอกให้รู้วา่ มคี า่ อ่นื ๆ อีก r ส่วนจาก 4 ส่วน ทมี่ ีคา่ ตา่ํ กวา่ คา่ Qr นี้

เดไซลท์ ี่ r (Dr) คือ ค่าท่บี อกให้รู้วา่ มคี า่ อืน่ ๆ อกี r สว่ นจาก 10 ส่วน ทมี่ คี า่ ตํ่ากว่าคา่ Dr น้ี

เปอร์เซนไทลท์ ่ี r (Pr) คอื คา่ ที่บอกใหร้ วู้ ่ามีคา่ อ่นื ๆ อกี r สว่ นจาก 100 สว่ น ทม่ี คี า่ ตา่ํ กว่าค่า Pr

• สําหรบั ข้อมลู ทีไ่ ม่ไดแ้ จกแจงความถี่ (Non-Frequency or Raw Data)

Med = ขอ้ มลู ตําแหนง่ ท่ี N+1 = Pos N + 1
2
2

Qr = ข้อมลู ตําแหนง่ ท่ี r  N 4+ 1  = Pos r  N 4+ 1 

Dr = ข้อมูลตําแหนง่ ที่ r  N1+01  = Pos r  N1+01 
Pr = ข้อมูลตาํ แหนง่ ท่ี r  N10+01  = Pos r  N10+01 

• สาํ หรบั ขอ้ มลู ที่แจกแจงความถ่ี (Frequency Data) N
N 2
Med = ขอ้ มูลตาํ แหนง่ ที่ 2 = Pos

Qr = ขอ้ มลู ตําแหน่งที่ r  N4  = Pos r  N4 

Dr = ขอ้ มลู ตําแหนง่ ท่ี r  1N0  = Pos r  1N0 

Pr = ข้อมูลตาํ แหนง่ ที่ r  10N0  = Pos r  10N0 

3. การวดั การกระจายของขอมูล (Deviation or Dispersion)

• การวัดการกระจายสัมบรู ณ์ (Absolute Deviation)

พสิ ัย = xmax - xmin Q3 - Q1
2
Q.D. = สว่ นเบี่ยงเบนควอไทล์ =

M.D. = สว่ นเบ่ียงเบนเฉล่ยี = i∑=n1|xNi - x|

∑n (xi - µ)2 n xi2 µ2

∑
i=1 N i=1N
S.D. = ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานประชากร = = -

∑n(xi - x)2 s2 = ความแปรปรวน = (S.D.)2
S.D. = ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานกล่มุ ตวั อย่าง = i=1 n - 1

Sc2omb = N1s12 + N2s22 + N1(x1 - xcomb )2 + N2(x2 - xcomb )2 xcomb = N1 x1 + N2 x2
N1 + N2 N1 + N2

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปีที่ 27 ________________________________________คณติ ศาสตร์ (187)

• การวดั การกระจายสัมพัทธ์ (Relative Deviation)
xmax - xmin
สมั ประสทิ ธิ์ของพิสยั = C.R. = xmax + xmin × (100%)

สมั ประสทิ ธิข์ องสว่ นเบยี่ งเบนควอไทล์ = C.Q.D. = Q3 - Q1 × (100%)
Q3 + Q1
M.D.
สัมประสทิ ธิข์ องสว่ นเบ่ียงเบนเฉลี่ย = C.M.D. = x × (100%)

สัมประสิทธขิ์ องการแปรผัน = C.V. = S.D. × (100%)
x

• Adjusted Data & Correction
1. การบวกหรือลบคา่ คงทีก่ ับข้อมูลทกุ จํานวนจะไม่มผี ลต่อคา่ การกระจายสมั บรู ณท์ ุกชนิด
2. การคณู หรือหารดว้ ยค่าคงทก่ี บั ข้อมลู ทุกจํานวนจะมีผลต่อคา่ การกระจายสมั บูรณ์ทุกชนดิ ตามคา่
สมั บูรณข์ องคา่ คงท่ีที่นํามาคณู หรอื หารน้นั
3. การบวกหรือลบค่าคงทก่ี บั ข้อมูลทุกจาํ นวนจะมผี ลตอ่ สว่ นของคา่ การกระจายสมั พทั ธท์ กุ ชนดิ ตาม
ค่าคงทท่ี ่ีนํามาบวกหรอื ลบนน้ั (แต่ไม่มีผลต่อเศษ)
4. การคณู หรือหารดว้ ยคา่ คงท่ีกบั ขอ้ มลู ทกุ จาํ นวนจะไม่มีผลตอ่ ค่าการกระจายสมั พทั ธ์ทุกชนิด
5. สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานท่ใี ชค้ ่าเฉลย่ี เลขคณิตเป็นค่ากลางจะมคี ่าน้อยทส่ี ุด

4. คามาตรฐานและพ้ืนท่ใี ตโคงปกติ (Z-Score & Normal Distribution)

(a) Negatively skewed (b) Normal (no skew) (c) Positively skewed

Mode Mean Mode
Median Median Median
Mode

Frequency Mean Mean
x xx

99.74 Zi = xi - x
95.44 SD
68.26

13.59% 34.13% 34.13% 13.59%

.13% 2.15% 2.15% .13%

-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 -3 -2 -1 0 1 2 3

คณิตศาสตร์ (188) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ มั เมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 27

5. การวเิ คราะหค วามถดถอย (Regression) ˆy = mx + c

• สมการปกติ Σy = mΣx + cN และ Σxy = mΣx2 + cΣx
• ( x , y ) จะอยูบ่ นกราฟ y = mx + c ด้วย และ ∆y = m∆x
• x (ตัวแปรอิสระ) สามารถทาํ นาย y (ตัวแปรตาม) ได้

แต่ y (ตัวแปรตาม) ไม่สามารถทํานาย x (ตัวแปรอสิ ระ) ได้

6. ขอ สอบ PAT 1 เรื่องสถติ ิสองปลา สดุ

9. (1/58) ขอ้ มลู ชดุ หน่งึ มี 5 จํานวนท่ีแตกต่างกนั โดยท่คี ่าเฉล่ียของควอร์ไทลท์ ี่ 1 และควอร์ไทล์ที่ 3

เทา่ กบั มธั ยฐาน ถา้ สว่ นเบย่ี งเบนเฉลีย่ เท่ากับ 2.8 และมธั ยฐานเทา่ กบั 15 แล้ว สว่ นเบี่ยงเบนควอรไ์ ทล์

เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้

1) 3.5 2) 5.25 3) 7.5 4) 11.25

10. (2/58) ขอ้ มูลชดุ ท่ี 1 มี 4 จาํ นวน คือ x1, x2, x3, x4 มคี า่ เฉลีย่ เลขคณติ ของควอร์ไทล์ท่ี 1 และควอรไ์ ทลท์ ี่
3 เท่ากับ 18 และมัธยฐานเทา่ กับ 15 ขอ้ มูลชุดท่ี 2 มี 5 จํานวนคอื y1, y2, y3, y4, y5 มคี วอร์ไทล์ท่ี 3
มธั ยฐาน ฐานนยิ มและพสิ ัย เทา่ กบั 18.5, 15, 12 และ 8 ตามลาํ ดับ คา่ เฉล่ยี เลขคณิตของข้อมูล 9
จํานวน คือ x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, y4, y5 เทา่ กับเทา่ ใด

11. (2/57) กําหนดข้อมลู 10 จํานวน ดังนี้
30 32 28 35 42 45 40 48 50 65

พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้
ก. ถ้า D7 แทนข้อมลู ที่เป็นเดไซล์ที่ 7 และ M แทนคา่ มัธยฐานของขอ้ มูล แล้ว D7 - M เท่ากบั 6.5
ข. สว่ นเบยี่ งเบนควอไทล์ เท่ากบั 8.6

ข้อใดตอ่ ไปนถ้ี ูกต้อง
1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก แต่ ข. ผดิ 3) ก. ผิด แต่ ข. ถกู 4) ก. ผิด และ ข. ผดิ

โครงการแบรนดซ์ มั เมอรแ์ คมป์ ปีที่ 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (189)

12. (1/57) ขอ้ มลู ชุดหนง่ึ เรยี งจากนอ้ ยไปหามาก ดงั นี้ a, 3, 5, 7, b
ถา้ ขอ้ มูลชุดนมี้ ีคา่ เฉลี่ยเลขคณิตเท่ากบั 7 และสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานเท่ากบั 2 10 แลว้ คา่ ของ 2a + b
เท่ากับเทา่ ใด

13. (2/58) คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนกั เรียน 3 คน มีคา่ เฉล่ียเลขคณติ เท่ากบั 45 คะแนน และ

ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานมีคา่ เท่ากบั ศูนย์ มนี ักเรยี นอีก 2 คน ไดค้ ะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรน์ ีเ้ ท่ากับ a

และ b คะแนน โดยอัตราสว่ นของ a ตอ่ b เป็น 2 : 3 ถา้ นาํ คะแนนของนักเรียนทง้ั สองคนนี้รวมกบั

คะแนนสอบของนกั เรยี น 3 คน ไดค้ ่าเฉลี่ยเลขคณติ เทา่ กบั 50 คะแนน แล้วความแปรปรวนของนักเรยี น

ทั้ง 5 คนนเ้ี ทา่ กับข้อใดตอ่ ไปนี้

1) 90 2) 90.4 3) 90.6 4) 92

14. เงินเดือนจาํ นวนของพนักงาน จาํ นวน 50 คน ของบรษิ ัทแห่งหนง่ึ มกี ารแจกแจงความถี่ ดังนี้

เงินเดอื น (บาท) จาํ นวนพนกั งาน (คน)

10,000 – 19,999 5
20,000 – 29,999 10
30,000 – 39,999 25
50,000 – 49,999 10

พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ 4) ก. ผดิ และ ข. ผดิ
ก. ฐานนิยมของเงนิ เดือนเทา่ กบั 39,999.50 บาท
ข. มัธยฐานของเงินเดอื นเท่ากบั 37,999.50 บาท

ขอ้ ใดต่อไปนถ้ี ูกตอ้ ง (1/57)
1) ก. ถูก และ ข. ถกู 2) ก. ถกู แต่ ข. ผิด 3) ก. ผิด แต่ ข. ถกู

คณติ ศาสตร์ (190) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปีที่ 27

15. (2/58) ขอ้ มูลชดุ หน่ึงมี 60 จาํ นวน มคี ่าเฉลย่ี เลขคณิตและสมั ประสิทธิ์ของการแปรผนั เทา่ กับ 40 และ
0.125 ตามลาํ ดบั ถ้านาย ก. คาํ นวณค่าเฉล่ียเลขคณิตได้นอ้ ยกวา่ 40 และคํานวณความแปรปรวนเทา่ กับ
34 แล้วค่าเฉล่ียเลขคณิตท่ี นาย ก. คํานวณไดต้ รงกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1) 30 2) 33 3) 37 4) 39

16. (2/57) ขอ้ มูลชุดหน่ึงมคี า่ สังเกต (x) และรอ้ ยละของความถี่สะสมสัมพัทธ์ แสดงดงั ตารางต่อไปน้ี

คา่ สังเกต (x) รอ้ ยละของความถี่สะสมสัมพัทธ์

1 20
2 40
a 70
6 90
10 100

เม่อื a เปน็ จาํ นวนจรงิ ถ้าข้อมูลชุดนม้ี คี ่าเฉล่ยี เลขคณิตเทา่ กบั 4 แล้วความแปรปรวนของข้อมลู ชุดนี้
เทา่ กับเท่าใด

17. (2/57) กาํ หนดให้ x1, x2, x3,..., xn เปน็ ข้อมูลชุดท่ี 1 ซ่งึ มีคา่ เฉล่ยี เลขคณิตเทา่ กบั 6 และส่วนเบย่ี งเบน-
มาตรฐานเท่ากับ 2 ให้ y1, y2, y3, ..., yn เม่ือ i = 1, 2, 3, ..., n และ a, b เป็นจํานวนจรงิ และ a > 0
ถา้ นาํ ขอ้ มูลทงั้ สองชดุ มารวมกนั x1, x2, ..., xn, y1, y2, ..., yn พบวา่ คา่ เฉลี่ยเลขคณติ เทา่ กบั 7 และ
ความแปรปรวนเทา่ กบั 21 แล้วค่าของ a2 + b2 เท่ากับเท่าใด

โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (191)

18. (1/57) พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้
ก. ถ้าขอ้ มลู ชุดหน่ึงมสี ่วนเบีย่ งเบนควอไทลเ์ ทา่ กับ 20 และสัมประสทิ ธ์ิของสว่ นเบีย่ งเบนควอไทล์

เทา่ กับ 2 แลว้ สรุปได้ว่ารอ้ ยละ 50 ของข้อมลู ชุดนม้ี คี ่าระหว่าง 10 กบั 50
3

ข. ในการสอบวิชาคณติ ศาสตร์ของนักเรียนหอ้ งหน่งึ มีนกั เรียนชาย 20 คน และนักเรยี นหญิง 40 คน

นกั เรยี นชายได้คะแนนสอบคนละ 32 คะแนน ส่วนคะแนนสอบของนกั เรยี นหญิงมคี า่ เฉล่ยี เลขคณติ

ของคะแนนสอบเท่ากับ 20 คะแนน และความแปรปรวนของคะแนนสอบเท่ากับ 90 สรปุ ว่าความ

แปรปรวนของคะแนนสอบของนักเรยี นห้องนเ้ี ท่ากับ 36 คะแนน

ขอ้ ใดตอ่ ไปนีถ้ กู ตอ้ ง

1) ก. ถกู และ ข. ถกู 2) ก. ถกู แต่ ข. ผิด 3) ก. ผิด แต่ ข. ถกู 4) ก. ผดิ และ ข. ผิด

19. (1/58) ให้ S เปน็ เซตของข้อมูลชุดหน่งึ ประกอบดว้ ยจาํ นวนเต็ม n จํานวนที่แตกต่างกนั คา่ เฉลยี่ เลขคณติ
ของข้อมูลใน S เท่ากบั 22 ถ้านําคา่ ตาํ่ สดุ ของขอ้ มลู ออกจาก S จะไดค้ า่ เฉลย่ี เลขคณิตเท่ากบั 24 ถ้านํา
ค่าสูงสดุ ของขอ้ มูลออกจาก S จะไดค้ า่ เฉลี่ยเลขคณิตเท่ากบั 15 แตถ่ ้านําท้ังค่าต่าํ สุดและคา่ สูงสดุ ออกจาก
S จะได้ค่าเฉลย่ี เลขคณิตเทา่ กับ 16
พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปนี้
ก. พสิ ัยของข้อมลู เทา่ กบั 96
ข. n = 9
ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ถี ูกต้อง
1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถกู แต่ ข. ผดิ 3) ก. ผดิ แต่ ข. ถกู 4) ก. ผดิ และ ข. ผิด

คณติ ศาสตร์ (192) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปีท่ี 27

20. (1/58) กําหนดให้ x1, x2, ..., xn เปน็ จาํ นวนจรงิ บวก
ข้อมลู ชดุ ท่ี 1 คือ x1, x2, ..., xn และ
ขอ้ มลู ชุดท่ี 2 คือ 2x1 + 1, 2x2 + 1, ..., 2xn + 1

พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี

ก. สมั ประสทิ ธ์ิของการแปรผนั ของขอ้ มลู ชุดท่ี 1 มากกวา่ สมั ประสทิ ธ์ิของการแปรผนั ของขอ้ มูลชุดที่ 2

ข. สมั ประสิทธพ์ิ สิ ยั ของขอ้ มลู ชดุ ท่ี 1 น้อยกวา่ สมั ประสิทธ์ิพสิ ยั ของขอ้ มลู ชดุ ท่ี 2

ข้อใดตอ่ ไปน้ถี กู ตอ้ ง

1) ก. ถกู และ ข. ถูก 2) ก. ถูก แต่ ข. ผิด 3) ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

21. (1/58) คะแนนสอบของนกั เรียน 160 คน มกี ารแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากบั 60 คะแนน
มนี ักเรยี นเพียง 4 คนท่สี อบได้คะแนนมากกว่า 84.5 คะแนน นกั เรยี นทส่ี อบได้ 55 คะแนนจะอย่ตู าํ แหน่ง
เปอรเ์ ซนไทล์เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี เมือ่ กําหนดพ้ืนทีใ่ ต้เส้นโค้งปกติ ระหวา่ ง 0 ถงึ z ดังตารางตอ่ ไปน้ี

Z 0.3 0.4 0.5 1.0 1.1 1.96 2.0
พื้นที่ 0.1179 0.1554 0.1915 0.3413 0.3643 0.4750 0.4773

1) 19.15 2) 15.54 3) 34.46 4) 30.85

22. (2/58) คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรยี นห้องหน่ึง มกี ารแจกแจงปกติ โดยมีคา่ มัธยฐานเท่ากับ
60 คะแนน ถา้ นักเรยี นทสี่ อบไดค้ ะแนนนอ้ ยกวา่ 55.5 คะแนน มีอย่รู ้อยละ 18.41 แลว้ นกั เรยี นทสี่ อบได้
คะแนนสงู กว่า 64 คะแนนมีจาํ นวนคิดเป็นรอ้ ยละเทา่ กบั ข้อใดต่อไปนี้ เมอ่ื กาํ หนดพื้นทใ่ี ตเ้ ส้นโค้งปกติ
ระหวา่ ง 0 ถงึ z ดังนี้

Z 0.7 0.8 0.9 1.0
พนื้ ที่ 0.2580 0.2881 0.3159 0.3413

1) 21.19 2) 24.20 3) 25.80 4) 28.81

โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปีที่ 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (193)

23. (1/57) คะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวิชาภาษาองั กฤษของนักเรยี นกลุ่มหนงึ่ มีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย
เลขคณติ และความแปรปรวนของคะแนนแตล่ ะวชิ ามีดังนี้

วชิ า ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (คะแนน) ความแปรปรวน (คะแนน)
วชิ าคณิตศาสตร์ 63 25
วิชาภาษาองั กฤษ 72 9

ถ้านักเรยี นคนหนึง่ ในกลุ่มนสี้ อบทงั้ สองวิชาได้คะแนนเทา่ กนั พบวา่ คะแนนสอบวิชาคณติ ศาสตร์ของเขา
เป็นตําแหน่งเปอร์เซน็ ไทล์ท่ี 88.49 คะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษเป็นตําแหน่งเปอรเ์ ซน็ ไทลเ์ ท่ากบั เทา่ ใด
เมือ่ กาํ หนดพื้นท่ีใต้เส้นโคง้ ปกติ ระหวา่ ง 0 ถึง z ดังตารางตอ่ ไปนี้

Z 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3
พ้นื ท่ี 0.3159 0.3413 0.3643 0.3849 0.4032

24. (2/57) คะแนนสอบของนกั เรยี นหอ้ งหนง่ึ มีการแจกแจงปกติ คะแนนเต็ม 100 คะแนน มธั ยฐานเทา่ กบั 45

คะแนน และมีนกั เรยี นรอ้ ยละ 34.13 ท่สี อบได้คะแนนระหว่างมัธยฐานเท่ากบั 54 คะแนน ถ้านกั เรยี นคน

หน่งึ มีคะแนนสอบเป็น 5 เท่าของคะแนนเปอร์เซ็นไทลท์ ี่ 33 แล้วนกั เรยี นคนนี้สอบได้คะแนนเทา่ กบั ขอ้ ใด
3

ต่อไปน้ี เม่อื กําหนดพืน้ ทใี่ ต้เส้นโคง้ ปกติ ระหวา่ ง 0 ถงึ z ดงั ตารางต่อไปน้ี

Z 0.33 0.36 0.41 0.44 0.50 1.0
พ้นื ท่ี 0.1293 0.1406 0.1591 0.1700 0.1915 0.3413

1) 41.04% 2) 48.96% 3) 68.40% 4) 81.60%

คณติ ศาสตร์ (194) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปที ี่ 27

5

25. (2/58) กําหนดให้ (x1, y1), (x2, y2), ..., (x5, y5) เป็นจดุ 5 จุดบนระนาบ โดยท่ี i∑=1xi = 20,

5 = 45, i∑=51xi2 = 100, i∑=51yi2 = 485, 5 = 220 และความสัมพันธ์ระหว่าง xi กบั yi เปน็

i∑=1yi i∑=1xiyi

ความสมั พนั ธเ์ ชงิ ฟงั กช์ นั แบบเส้นตรง คือ y = ax + b เมือ่ x เป็นตัวแปรอิสระ และ a, b เป็นจํานวนจรงิ

พิจารณาข้อความตอ่ ไปน้ี
ก. a2 + b2 = 5

ข. ถา้ x เป็นจาํ นวนเตม็ แล้ว y เปน็ จาํ นวนค่ี

ขอ้ ใดต่อไปนี้ถกู ต้อง

1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก แต่ ข. ผิด 3) ก. ผดิ แต่ ข. ถกู 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

26. (1/58) กาํ หนดให้เสน้ ตรง L เป็นความสัมพันธเ์ ชิงฟงั ก์ชันระหว่าง x และ y ทีก่ าํ หนดในตารางตอ่ ไปน้ี
โดยที่ x เป็นตัวแปรอิสระ

x12345
y 9 11 b 17 19

และให้ (3, b) เป็นจดุ บนเส้นตรง L เม่อื b เป็นจาํ นวนจริง 4) ก. ผดิ และ ข. ผดิ
พจิ ารณาข้อความต่อไปนี้

ก. b = 13
ข. ถ้าคา่ ของ x เพมิ่ ขึน้ 0.5 แลว้ คา่ ของ y จะเพม่ิ ข้ึน 1.3
ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู ตอ้ ง
1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถกู แต่ ข. ผิด 3) ก. ผิด แต่ ข. ถกู

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปที ี่ 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (195)

27. (1/57) จาํ นวนประชากรในจงั หวดั หนึ่ง ตัง้ แต่ พ.ศ. 2550 ถงึ พ.ศ. 2554 มดี งั น้ี

พ.ศ. 2550 2551 2552 2553 2554
จํานวนประชากร (แสนคน) 1.2 2.6 a 5.4 6.3

ถ้าจาํ นวนประชากรสัมพนั ธเ์ ชงิ ฟงั ก์ชนั กบั เวลา (พ.ศ.) เป็นเส้นตรง และทํานายวา่ ในปี พ.ศ. 2557 จะมี

ประชากร 1,028,000 คนแลว้ ใน พ.ศ. 2552 จะมปี ระชากรก่ีคน

1) 204,000 คน 2) 272,000 คน 3) 340,000 คน 4) 408,000 คน

28. (2/57) ตารางต่อไปนเ้ี ปน็ ความสมั พันธ์ระหวา่ ง x กับ y

x0123
y 1 0.8 0.8 0.6

ให้ y = ax + b เป็นสมการที่แสดงความสัมพันธ์เชิงฟังกช์ ันระหว่าง x กบั y โดย x เปน็ ตวั แปรอิสระ
พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้

ก. b = a + 1.1
ข. ถ้า x = 8 แลว้ y = 0.02
ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูกตอ้ ง
1) ก. ถกู และ ข. ถูก 2) ก. ถูก แต่ ข. ผดิ 3) ก. ผดิ แต่ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผดิ

คณิตศาสตร์ (196) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปีที่ 27

แคลคูลสั เบือ้ งตน (Calculus)

22-36 Marks

1. ทฤษฎีบทเกย่ี วกบั ลิมิต (Main Limit Theorem)

• ลิมิตของฟงั ก์ชนั ต่อเน่อื งโดยทั่วไป เชน่ ฟังกช์ นั พหุนาม หรือฟงั กช์ ันตรรกยะ สามารถหาค่าของ

lim f(x) ได้โดยการแทนค่า f(a) ลงไป (เพราะเป็นฟังกช์ ันทตี่ ่อเนอ่ื งทุกโดเมนท่ีทําให้ f(a) หาคา่ ได้)

x→a

• ลิมติ ของฟงั ก์ชนั สามารถกระจายออกมาในเชงิ บวก ลบ คูณ หาร หรือยกกาํ ลงั ไดเ้ ชน่ กัน ซงึ่
lim c = c

x→a

lim x = a

x→a

lim c ⋅ f(x) = c lim f(x)

x→a x→a

lim [f(x) ± g(x)] = lim f(g) ± lim g(x)

x→a x→a x→a

lim [f(x) ⋅ g(x)] = lim f(x) ⋅ lim g(x)

x→a x→a x→a

 f(x)  lim f(x)
g(x) x→a
lim =
lim g(x)
x→a
x→a

lim [f(x)]n = xli→maf(x)n

x→a

• lim f(x) เรียกว่า ลมิ ิตทางดา้ นซา้ ยของ f (ลิมติ ล่าง)

x → a-

• lim f(x) เรยี กว่า ลมิ ิตทางด้านขวาของ f (ลิมติ บน)

x→a+

• ถ้า lim f(x) = lim f(x) = L แสดงว่า lim f(x) หาคา่ ได้ (exist) และมคี ่าเท่ากบั L
x→a
x → a- x → a+

2. รปู แบบกําหนดหาคาไมได (Indeterminate Form)

เกิดจากการหาคา่ lim f(x) โดยการแทนค่า f(a) ลงไปแล้วไดร้ ปู แบบ 0 แกไ้ ด้ 3 วิธี คอื
0
x→a

- แยกตวั ประกอบ

- คณู ดว้ ยสงั ยุคทง้ั บนและลา่ ง

- หาอนพุ ันธ์ทงั้ บนและล่าง (กฎของโลปิตาล)

โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (197)

3. ความตอเนื่องของฟง กช ัน (Continuity of Function)

• ฟังกช์ ัน f มคี วามตอ่ เน่ือง ณ x = a ก็ต่อเมือ่ lim f(x) = f(a)

x→a

4. อนพุ นั ธ (อตั ราการเปล่ียนแปลง ณ ขณะหนึ่งของฟง กช ัน, Derivative)

“อนุพนั ธ์ก็คือ อตั ราการเปลย่ี นแปลงโดยเฉลี่ยของฟังก์ชนั แต่เป็นการกาํ หนดให้ ∆x → 0 (ใหส้ ่วน

เปลยี่ นแปลงของ x มคี า่ แคบมากๆ)”

f(x)

y = f(x) อนพุ นั ธ์ของ f ณ จดุ (x, y) = f′(x) = dy = lim f(x + h) - f(x)
dx h
h→0

f(a) ความชนั ของเส้นสัมผัสกราฟ ณ จุด (a, f(a)) = f′(a) = tanθ
f(a + h) - f(a) f(x) f(a)
= lim h = lim x - a
-
ax h→0 x→a

อนุพนั ธอ์ นั ดับสองของฟังก์ชัน = อัตราการเปลย่ี นแปลงของความชัน ณ ขณะใดๆ ของฟังก์ชัน

= f″(x) = df′(x) = d2y
dx dx2

• การหาอนพุ ันธโ์ ดยใชส้ ตู ร

d(xn) = nxn-1 dc = 0 d(cf) = c df d(f ⋅ g) = fg′ + gf′
dx dx dx dx dx

d gf  = gf′ - fg′ (fog)′(x) = f′(g(x)) ⋅ g′(x)
dx g2

d(sin x) = cos x d(cos x) = -sin x dex = ex d(ln x) = 1
dx dx dx dx x

คณิตศาสตร์ (198) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปีที่ 27