Brands Summer Camp ครั้งที่ 27 วิชาคณิตศาสตร์

5. ปฏิยานุพันธ และอนิ ทิกรลั ไมจ ํากัดเขต
(Anti-Derivative & Indefinite integral)

การอินทิเกรตเป็นกระบวนการปฎิยานพุ นั ธ์ ซ่ึงคือกระบวนการตรงกันข้ามกับการหาอนพุ นั ธ์

นยิ าม ฟังก์ชัน F เปน็ ปฎิยานุพนั ธ์หน่งึ ของ f เม่ือ F′ (x) = f(x) ∀x ∈ Dr หรือแทนด้วย
∫f(x)dx = F(x) + c เรยี กว่า อนิ ทกิ รัลไมจ่ าํ กัดเขตของฟังกช์ ัน f เมื่อ c เปน็ ค่าคงตัวใดๆ

• การหาอนิ ทิกรัลไมจ่ าํ กัดเขตโดยใชส้ ูตร

∫ k dx = kx + c ∫ xndx = xn+ 1 +c เมอ่ื n≠ -1 ∫ 1 dx = ln |x| + c
∫ k ⋅ f(x)dx = k ⋅ ∫f(x)dx n+1 x

∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx

∫ ex dx = ex + c ∫ sin x dx = -cos x + c ∫ cos x dx = sin x + c

6. อนิ ทกิ รัลจาํ กดั เขต (Definite integral)

• กําหนดให้ ∫ f(x)d(x) = F(x) + C จะไดว้ า่ b f(x)d(x) = F(x) b = F(b) - F(a)
∫ a

a

bb

• ∫ f(x)dx = - ∫ f(x)dx
aa

• b = c f(x)dx + b f(x)dx
∫
∫ f(x)dx ∫
aa c

• b kf(x)dx b
∫
= k ∫ f(x)dx
aa

• b (f(x) ± g(x))dx = b ± b
∫
∫ f(x)dx ∫ g(x)dx
a aa

• กรณี f(x) > 0 สําหรบั ทกุ a < x < b แล้ว

พ้นื ท่ีใตก้ ราฟ y = f(x) ทก่ี ระทาํ กับแกน X จาก x = a ถงึ x = b มีค่าเท่ากับ b f(x)dx
∫

a

• กรณี f(x) < 0 สาํ หรบั ทกุ a < x < b แล้ว

พ้ืนทใี่ ตก้ ราฟ y = f(x) ท่ีกระทํากบั แกน X จาก x = a ถงึ x = b มีคา่ เทา่ กบั - b f(x)dx
∫

a

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (199)

7. คาสูงสุดสัมพทั ธแ ละคาต่าํ สดุ สมั พัทธข องฟง กช ัน (คาสุดขดี สมั พัทธ)

• กรณที ่กี ราฟหาอนพุ นั ธไ์ ด้ เชน่ ฟงั กช์ นั พหุนาม หรอื ฟังกช์ นั ตรรกยะ
ถา้ (a, b) เป็นจุดต่าํ สุดหรือสูงสดุ สัมพัทธแ์ ล้วจะไดว้ า่ f(a) = b และ f′(a) = 0 เรียก a ว่าค่าวิกฤต
เมือ่ f″(a) > 0 เรยี ก b ว่าเป็นค่าต่ําสดุ สมั พัทธ์
เมอื่ f″(a) < 0 เรียก b วา่ เปน็ คา่ สงู สดุ สัมพทั ธ์

• กรณีท่กี ราฟหาอนพุ ันธไ์ มไ่ ด้ เช่น กราฟค่าสมั บูรณ์ หรือกราฟหกั มุมอ่นื ๆ
ให้พจิ ารณาจดุ หกั มุมของกราฟท่ี f′(a) หาคา่ ไม่ไดม้ ีโอกาสเปน็ จุดตํา่ สุดหรอื สูงสุดสมั พทั ธข์ องฟงั ก์ชนั

• กรณที ่ี f″(a) = 0 ไม่สามารถสรุปได้แน่นอน
ให้พิจารณาของ f″(a) ทางด้านซ้ายและทางด้านขวา สามารถสรปุ ได้ 3 กรณี คือ
1. ถา้ เปน็ บวกทงั้ คู่ แสดงว่าเป็นจุดตา่ํ สุดสมั พทั ธ์
2. ถ้าเป็นลบท้ังคู่ แสดงวา่ เป็นจุดสูงสุดสมั พทั ธ์
3. ถา้ มีการเปลยี่ นเครอ่ื งหมาย แสดงว่าเป็นจุดเปล่ียนเว้า (Inflection Point)

8. คาสงู สดุ สมั บูรณแ ละคาตา่ํ สดุ สมั บูรณข องฟง กช ัน (คาสดุ ขดี สมั บูรณ)

• เลือกพิจารณาค่าที่สงู ที่สดุ และตา่ํ ทส่ี ดุ จาก 3 กรณีท่ีเปน็ ไปได้ คอื
1. จุดวกิ ฤต (Stationary Point)
2. จุดขอบชว่ ง (End Point)
3. จดุ ทีไ่ มส่ ามารถหาอนุพันธไ์ ด้ (Singular Point)

9. ขอ สอบ PAT1 เร่อื งแคลคูลสั เบ้อื งตน สองปลา สดุ

29. (2/58) กําหนดให้ f เป็นฟงั กช์ ัน นยิ ามโดย

e2x + 2a , x<0

f(x) = a + b , x = 0 เมอ่ื a และ b เป็นจาํ นวนจรงิ

1 + bx + 5x2 - 1 , x>0
x

ถ้าฟังกช์ ัน f มีความต่อเนือ่ งที่ x = 0 แล้ว คา่ ของ 15a + 30b เทา่ กบั เท่าใด

คณิตศาสตร์ (200) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ มั เมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 27

-x + a , x ≤ -2

30. (2/57) กําหนดให้ f เป็นฟังก์ชนั นยิ ามโดย f(x) = - 2 x + b , -2 < x < 3
5

x2 - 6x + 11 , x > 3

เมอื่ a, b เป็นจํานวนจรงิ ถ้าฟงั ก์ชัน f มีความตอ่ เนือ่ งที่ x = -2 และ lim f(x) หาคา่ ได้แล้ว

x→8

คา่ ของ |a + 5b| เทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้

1) 8 2) 18 3) 88 4) 102
5 5

x2 + ax + b ; x < 2

31. (1/57) ให้ a และ b เป็นจํานวนจริง และให้ f(x) = x - 1 ; 2≤x≤5

ax + b ; x>5

ถา้ f เปน็ ฟงั ก์ชนั ต่อเนือ่ งบนเซตของจาํ นวนจริง แล้ว a - b เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1) 5 2) 8 3) 11 4) 12

32. (2/58) กาํ หนดให้ a เปน็ จํานวนจรงิ บวก สอดคล้องกบั lim |5x + 1| - |5x - 1| = 80
x+a- a
x→0

คา่ ของ a2 + a + 58 เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี

1) 64 2) 78 3) 130 4) 330

33. (1/58) ให้ f เป็นฟังก์ชันซ่งึ มโี ดเมนและเรนจเ์ ป็นสับเซตของเซตของจาํ นวนจรงิ โดยที่

f(2x - 1) = 4x2 - 10x + a เมอื่ a เป็นจาํ นวนจรงิ และ f(0) = 12 คา่ ของ 4 เท่ากบั เทา่ ใด

∫ f(x)dx
1

โครงการแบรนดซ์ มั เมอรแ์ คมป์ ปีที่ 27 ________________________________________คณติ ศาสตร์ (201)

34. (2/58) กาํ หนดให้ f(x) = log  11 + xx  เมอ่ื -1 < x < 1 ถ้า ∫f(x)dx = A แลว้ ∫f  1 2x  dx ตรงกบั ขอ้ ใด
 + x2 
-

ต่อไปน้ี

1) A2 2) -A2 3) 2A 4) -2A

35. (1/58) ให้ R แทนเซตของจาํ นวนจริง ให้ f : R → R, g : R → R และ s : R → R เป็นฟงั ก์ชัน

โดยที่ f(x) = x + 1 สาํ หรับทุก x ∈ R g(f(x)) = x2 + 2x - 1 สาํ หรับทกุ x ∈ R และ

s(x) = lim (g(x + h))2 - (g(x))2 สําหรับทุก x ∈ R ค่าของ (sg)(1) เท่ากบั เท่าใด

h→0 h

36. (2/58) ให้ f และ g เปน็ ฟังกช์ นั ซง่ึ มโี ดเมนและเรนจเ์ ป็นสับเซตของเซตของจาํ นวนจริง โดยที่

f(x) = 2x4 - x เมื่อ x ≠ 0 g(x) = (1 + x2)f(x) และ g(1) = 2 คา่ ของ 2 x3 g′′(x)dx เท่ากับเท่าใด
x3 ∫
-1

37. (1/57) ถ้า 2 x2 - 7x + 6 dx = a เมื่อ a และ b เป็นจาํ นวนเต็มที่ b ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ a และ b
∫ b
-2

เทา่ กบั 1 แล้ว คา่ ของ a + b เทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้

1) 33 2) 69 3) 102 4) 104

คณติ ศาสตร์ (202) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 27

38. (1/58) กาํ หนดให้ f(x) = 4x3 + bx2 + cx + d เม่ือ b, c และ d เปน็ จาํ นวนจรงิ โดยที่ 2 = - 64
3
∫ f(x)dx

-2

ถ้า g(x) เปน็ พหุนามซึง่ g′(x) = f(x) และ g′(1) = g′(0) = g(0) = 0 แลว้ g″(x) = g′(x) + g(x)

ตรงกบั สมการในขอ้ ใดต่อไปน้ี

1) x4 - 4x3 + 12x2 - 6x = 0 2) x4 - 8x3 - 12x2 - 6x = 0
3) 3x4 - 16x3 + 48x2 - 24x = 0 4) 3x4 + 8x3 - 48x2 + 24x = 0

39. (2/57) กาํ หนดให้ b > 1 และ b x x- 1 dx = 4 คา่ ของ 1 + b + b2 เท่ากับข้อใดตอ่ ไปนี้
∫ x
+
1

1) 21 2) 31 3) 91 4) 111

40. (1/57) กาํ หนดให้ f(x) = x2 + ax + b เม่อื a และ b เปน็ จาํ นวนจริง ถา้ f(1) = 2 และ (fof)(0) = 10 แล้ว

2

คา่ ของ ∫ f(x)d(x) เทา่ กบั เทา่ ใด

-1

41. (2/57) ให้ R แทนเซตของจํานวนจรงิ ถา้ f : R → R เปน็ ฟังกช์ นั โดยท่ี f(3) = 111 และ

lim xf(xx)--3333 = 2013 แลว้ อัตราการเปลี่ยนแปลงของ f(x) เทยี บกบั x ขณะท่ี x = 3 เทา่ กับเท่าใด

x→3

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปีที่ 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (203)

42. (2/58) ให้ R แทนเซตของจาํ นวนจรงิ ให้ f : R → R เปน็ ฟังก์ชนั ทส่ี อดคล้องกบั สมการ

f(x + y) = f(x) + f(y) + 3x2y + 3xy2 สาํ หรบั ทุกจาํ นวนจริง x และ y และ lim f(x) = 2 คา่ ของ
x
x→0

f′(1) + f″(5) เทา่ กบั เทา่ ใด

43. (2/57) กาํ หนดให้ f(x) = ax2 + bx + c เป็นพหุนามกาํ ลังสอง เมื่อ a, b, c เป็นจาํ นวนจริงและ a ≠ 0

โดยที่ f(1) = 0 และ f มีคา่ สงู สดุ ท่ี x = 1 β
3
ให้ F(α, β) = ∫ f(x)dx โดยที่ F(0, t) = F(1, t) + 1

α

สาํ หรับจาํ นวนจรงิ t > 1

พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้

ก. F(1, 2) = F(2, 3) + 10

ข. อนพุ นั ธ์ของ f(x) เท่ากับ -3x2 - 2x - 2
x2 x8

ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูกต้อง

1) ก. ถกู และ ข. ถกู 2) ก. ถูก แต่ ข. ผดิ 3) ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผดิ

44. (1/57) ให้ R แทนเซตของจาํ นวนจริง ถา้ f : R → R ฟังกช์ ันซง่ึ f″(x) = 3 + 6x สาํ หรับทุกจาํ นวนจริง x
และความชนั ของเส้นสัมผสั เสน้ โคง้ y = f(x) ณ จุด (2, 22) เทา่ กับ 20 แล้ว ค่าของ lim f(x) กบั เทา่ ใด

x→4

คณติ ศาสตร์ (204) ________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 27

45. (2/58) กาํ หนด 0 ≤ θ ≤ 90° และ f(x) = 12x - 9x2 เมอ่ื 0 < x < 1 ถ้า sin θ = a เมือ่ a เปน็ จาํ นวน

จริงที่ f(a) มคี า่ มากทีส่ ดุ แล้วค่าของ (cot2 θ)(sec θ - 1) + (sec2 θ)(sin θ - 1) เทา่ กับข้อใดตอ่ ไปน้ี
1 + sin θ 1 + sec θ

1) 1 + 5 2) 5 3) 1 - 5 4) 0

46. (1/57) กาํ หนดให้ f(x) = 4x3 เมือ่ x เป็นจาํ นวนจรงิ บวกใดๆ
x6 - 3x3 + 64

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก. f เป็นฟงั กช์ ันเพ่ิมบนชว่ ง (0, 3)
4
ข. คา่ สูงสดุ สัมพทั ธ์ของ f เทา่ กับ 13

ขอ้ ใดต่อไปนีถ้ ูกตอ้ ง

1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก แต่ ข. ผิด 3) ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4) ก. ผดิ และ ข. ผดิ

47. (1/58) ให้ a และ b เป็นจาํ นวนจริง และกาํ หนดให้ f(x) = ax + b เม่อื x ≠ 0 โดยที่ y = f(x) เปน็
x

เสน้ โคง้ ทีส่ ัมผสั กบั เสน้ ตรง y = 1 ทจี่ ดุ (1, 1)

พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้

ก. f มคี า่ สูงสุดสัมพัทธท์ ่ี x = -1
ข. lim (fof)(x) = f(2a2 + 2b2)

x →1

ข้อใดตอ่ ไปน้ถี ูกต้อง

1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก แต่ ข. ผิด 3) ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4) ก. ผดิ และ ข. ผิด

โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (205)

48. (2/57) กาํ หนดให้ R แทนเซตของจาํ นวนจรงิ และ a, b เป็นจาํ นวนจรงิ และให้ f : R → R เปน็ ฟงั ก์ชนั ที่
นยิ ามโดย f(x) = a + bx + x3 สาํ หรบั ทกุ จํานวนจรงิ x ถา้ เส้นตรง 5x - y + 13 = 0 สมั ผัสกราฟ f ที่

2

x = 1 แล้ว ∫ f(x)dx เทา่ กบั เทา่ ใด

0

49. (1/58) กาํ หนดให้ f และ g เป็นฟงั ก์ชันซง่ึ มโี ดเมนและเรนจ์เปน็ สับเซตของจาํ นวนจริง โดยท้ัง f และ g
เป็นฟงั กช์ ันทสี่ ามารถหาอนุพันธไ์ ด้ และสอดคล้องกับ (fog)(x) = x2 + 5 สาํ หรับทุก x ทีอ่ ยใู่ นโดเมน
ของ fog และ ∫g(x)dx = x2 - 4x + c เมื่อ C เปน็ ค่าคงตวั ถา้ L เป็นเสน้ ตรงทส่ี ัมผสั เส้นโค้ง y = f(x)
ณ x = 0 แล้ว เส้นตรง L ต้งั ฉากกบั เสน้ ตรงท่มี ีสมการตรงกับข้อใดตอ่ ไปนี้
1) x + y – 3 = 0 2) 2x + y – 7 = 0 3) 3x + y – 5 = 0 4) 5x + y – 2 = 0

คณิตศาสตร์ (206) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปที ี่ 27

ความนาจะเปน (Probability)

10-31 Marks

1. ความนาจะเปน

คอื การวดั หรอื การประมาณความเป็นไปไดว้ ่าบางสง่ิ บางอย่างจะเกิดข้ึน หรอื ถ้อยแถลงหน่งึ ๆ จะเป็น

จริงมากเท่าใด คาํ นวณไดจ้ ากสตู ร P(E) = n(E) =1 - P(E′)
n(S)

2. กฎพ้ืนฐานการนบั (The Basic of Counting)

• กฎการบวก ใช้เมือ่ งานสองอยา่ งไมม่ ีวนั เกิดพรอ้ มกัน หรอื เกิดอยา่ งใดอยา่ งหนง่ึ
• กฎการลบ ใช้เมือ่ คิดเกนิ แล้วหักออก (ด้วยคอมพลีเมนตข์ องมนั )
• กฎการคณู ใชเ้ มื่องานสองอยา่ งเกิดพร้อมกนั หรอื เกดิ เป็นข้นั ตอนกันโดยไมม่ เี ง่ือนไข (ถ้ามีเง่ือนไข
ให้แยกกรณีคิด)
• กฎการหาร ใชเ้ ม่ือเจอของซํ้า หรอื การจดั หมู่

3. การเรียงสบั เปล่ยี น (Permutation)

• การเรยี งสบั เปลยี่ นของไม่ซ้าํ สมมตใิ ห้มขี องไม่ซ้าํ n สง่ิ

- นาํ มาจดั เรียงทง้ั หมดในแนวเสน้ ตรงได้ n! วิธี

- นาํ มาจัดเรยี งทง้ั หมดในแนววงกลมได้ (n-1)! วธิ ี

- นํามาจดั เรยี งทัง้ หมดในแนววงกลม 3 มิตไิ ด้ (n -21)! วธิ ี
n!
- นาํ มาจัดเรียง r สง่ิ ในแนวเสน้ ตรงได้ nPr = (n - r)! วิธี

- นาํ มาจดั เรยี ง r สงิ่ ในแนววงกลมได้ nCr × (r - 1)! วิธี (เลือกก่อนเรียง)

• การเรยี งสบั เปล่ยี นของซ้าํ สมมติให้มขี องทง้ั หมด n สง่ิ ซํ้ากลุม่ ละ r1, r2, ..., rk สง่ิ
n!
- นาํ มาจัดเรยี งทั้งหมดในแนวเสน้ ตรงได้ r1 !r2 !...rk ! วธิ ี

- นํามาจัดเรยี งทัง้ หมดในแนววงกลมได้ (n - 1)! วิธี (เมือ่ เฉพาะสมั พทั ธต์ อ่ กนั )
r1 !r2 !...rk !

หากไมเ่ ฉพาะสมั พัทธต์ ่อกันใหไ้ ล่นับโดยตรง

- นาํ มาจัดเรยี งเพียงบางสว่ นในแนวเสน้ ตรงหรอื วงกลม ต้องแยกกรณคี ดิ แลว้ นํามารวมกนั

• การเรียงสับเปลย่ี นที่มีเงื่อนไข

โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 27 ________________________________________คณติ ศาสตร์ (207)

4. การเลือก หรือการหยบิ สง่ิ ของพรอ มกนั (Combination)

เลือกหรอื หยิบสงิ่ ของพรอ้ มกัน r สิ่ง จากของต่างท้ังหมด N สิ่งได้ nCr = n! วิธี
(n - r)! ⋅ r!

5. การแบง หมู

มีของตา่ งทงั้ หมด N สิง่ แบ่งหมตู่ ่างหมู่ละ r1, r2, ..., rk สิ่ง ได้ n! วธิ ี
r1 !r2 !...rk !

(ในกรณีหมูเ่ หมอื นกนั : ใหน้ ํา (จํานวนหมทู่ เ่ี หมือนกนั )! มาหารด้วย)

6. กฎพชี คณติ เซต ผสมแผนภาพ Venn-Euler

2 set n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A I B) = n(U) – n(A′ I B′)
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A I B) = 1 – P(A′ I B′)

3 set n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A I B) - n(A I C) - n(B I C) + n(A I B I C)
= n(U) - n(A′ I B′ I C′)

P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A I B) - P(A I C) - P(B I C) + P(A I B I C)
= 1 - P(A′ I B′ I C′)

ถ้าข้อมูลตรงสตู รกแ็ ทนสตู รลงไปไดเ้ ลย แตถ่ า้ ไม่ตรงสูตรให้ไล่แผนภาพโดยเร่ิมไล่จากตรงกลางกอ่ น

7. ทฤษฎีบททวนิ าม (Binomial’s Theory)

• (a + b)n =  n  an + n1  an-1b +  n2  an-2b2 + ... + nn  bn
 0    

= T1 + T2 + T3 + ... + Tn+1 = n nr  an-rbr

Σ

r=0

• พจนท์ ่ี r+1 = Tr+1 =  nr  an-rbr


คณติ ศาสตร์ (208) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 27

8. ขอสอบ PAT 1 เรือ่ งความนาจะเปน สองปลาสุด

50. (2/58) กล่องใบหนงึ่ บรรจลุ กู บอลขนาดเดียวกัน 7 ลูก เปน็ ลกู บอลสีขาว 4 ลกู และเป็นลูกบอลสแี ดง 3

ลูก สุ่มหยบิ ลกู บอลจากกล่องใบนี้มา 6 ลูก นาํ มาจัดเรียงเป็นแถวตรง

พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี
ก. ความนา่ จะเป็นท่ีการจัดเรียงแถวตรงของลกู บอลโดยหวั แถวเปน็ ลกู บอลสีขาว หรอื ทา้ ยแถวเปน็

ลกู บอลสแี ดงเทา่ กบั 11
42

ข. ความนา่ จะเปน็ ทีก่ ารจดั เรยี งแถวตรงของลูกบอลโดยหัวแถวเป็นลกู บอลสขี าว มากกวา่ ความนา่ จะเป็น

ท่ที ้ายแถวเป็นลกู บอลสีแดง

ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ ูกต้อง

1) ก. ถกู และ ข. ถูก 2) ก. ถูก แต่ ข. ผดิ 3) ก. ผดิ แต่ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผดิ

51. (2/58) กาํ หนดให้ a, b และ c เปน็ จํานวนเตม็ ทีส่ อดคล้องกับ 4) ก. ผิด และ ข. ผิด
1. a2 + b2 ≤ 90 2. a + b = 5 + c 3. a > 8

พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี

ก. a + 2b + 3c ≤ 36
ข. ค่ามากท่ีสดุ ของ a3 +b3 +c3 เท่ากบั 1085

ขอ้ ใดต่อไปนถ้ี กู ตอ้ ง

1) ก. ถกู และ ข. ถกู 2) ก. ถูก แต่ ข. ผิด 3) ก. ผิด แต่ ข. ถกู

52. (1/58) ให้ S = {1, 2, 3, ..., 15} และให้ A เปน็ สบั เซตของ S โดยมีจํานวนสมาชกิ ของเซต A เทา่ กบั 4

ความนา่ จะเปน็ ที่จะได้เซต A โดยทส่ี มาชิกในเซต A จัดเรียงเปน็ ลาํ ดับเลขคณิต ซง่ึ มีผลต่างร่วมเปน็ จาํ นวน

เต็มบวก เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้
3
1) 455 2) 4545 3) 911 4) 912

โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปีท่ี 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (209)

53. นยิ าม จํานวนสามหลักลด คือจํานวน ABC โดยที่ A, B, C ∈ {0, 1, ..., 9} และ A > B > C

จํานวนวิธสี รา้ งจํานวนสามหลกั ลดทม่ี ีค่ามากกวา่ 500 มจี าํ นวนทงั้ หมดเทา่ กับขอ้ ใดต่อไปนี้ (1/58)

1) 119 2) 117 3) 114 4) 110

54. (1/57) ต้องการสร้างจํานวนสามหลัก โดยที่มตี ัวเลข 5 อย่างน้อย 1 หลกั แตไ่ ม่มีตวั เลข 7 ในหลักใดเลย

มจี ํานวนวิธีสรา้ งจํานวนสามหลกั เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1) 128 2) 136 3) 153 4) 200

55. (1/57) ตู้นิรภยั มีรหัสเปิดตู้เปน็ จํานวน 10 หลกั คือ ABCDEFGHIJ โดยที่
ก. A, B, C, D, E, F, G, H, I, J ∈ {0, 1, 2, ..., 9} และ A, B, C, D, E, F, G, H, I, J
เปน็ จํานวนที่แตกตา่ งกนั ทง้ั หมด
ข. A, B, C, D เปน็ จํานวนค่ที ่ีเรยี งติดกนั และ A > B > C > D
ค. E, F, G เป็นจาํ นวนคทู่ เี่ รียงติดกัน และ E > F > G
ง. H > I > J และ H + I + J = 15

คา่ ของ C + F + I เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1) 10 2) 13 3) 15 4) 17

คณติ ศาสตร์ (210) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปที ี่ 27

56. (2/57) ต้องการเขียนจาํ นวนทมี่ ีหกหลกั ABCDEF โดยที่ A, B, C, D, E, F ∈ {1, 2, ..., 9} A+B = 14
และ C - D > D - E > E - F > 0 จะสรา้ งไดท้ ั้งหมดก่ีจาํ นวน

57. (2/57) จากตวั เลข 1, 2, 3, ..., 9 นาํ มาสร้างจํานวนหา้ หลกั ใช้เลขซ้ํากันได้ ความนา่ จะเป็นทจ่ี ะไดจ้ าํ นวน

หา้ หลกั โดยทใ่ี นแต่ละหลกั เปน็ ตวั เลขท่แี ตกตา่ งกันเพยี ง 3 จาํ นวนเทา่ นั้น มีค่าเทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
280 560 1400 5040
1) 2187 2) 2187 3) 6561 4) 6561

58. (2/58) มกี ระเบ้ืองส่เี หลี่ยมจัตรุ ัสสแี ดง สขี าว และสเี ขียว เปน็ จํานวนอยา่ งน้อยสลี ะ 5 แผ่น (แต่ละสี
เหมือนกนั และมขี นาดเทา่ กนั ทั้งหมด) ตอ้ งการนาํ กระเบือ้ ง 7 แผ่นมาจัดเรียงเป็นแถวตรงโดยมกี ระเบ้อื ง
แต่ละสีอยา่ งนอ้ ยหนง่ึ แผ่น จะจดั เรียงกระเบอ้ื งดงั กลา่ วไดท้ งั้ หมดกว่ี ธิ ี

59. (2/57) มีเกา้ อส้ี ขี าวเหมอื นกัน 3 ตวั และเก้าอีส้ ีแดงเหมอื นกนั 3 ตัว นํามาจดั เรยี งรอบโตะ๊ กลม จาํ นวน

วิธเี รยี งสบั เปลีย่ นทีแ่ ตกตา่ งกันท้ังหมดเทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี้

1) 4 วิธี 2) 6 วิธี 3) 10 วิธี 4) 20 วธิ ี

โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปที ี่ 27 ________________________________________คณติ ศาสตร์ (211)

60. (2/57) ต้องการจดั เรยี งตวั อกั ษร P, P, P, A, A, A, T, T, T ทงั้ หมด (ไม่คํานงึ ถงึ ความหมาย) โดยมี
เงื่อนไขว่าตัวอักษร P ทัง้ สามตวั ต้องอยแู่ ยกกนั ทงั้ หมด และตัวอกั ษร T ทง้ั สามตวั ต้องอยแู่ ยกกนั ทง้ั หมด
จะมวี ิธีการเรยี งตัวอักษรดงั กล่าวได้ทง้ั หมดกว่ี ธิ ี

61. (1/58) กําหนดให้ U = {1, 2, 3, 4, 5} ให้ S เปน็ เซตของคอู่ นั ดับ (A, B) ทงั้ หมด โดยท่จี าํ นวนสมาชกิ
ของเซต A I B เท่ากับ 2 เม่อื A และ B เป็นสบั เซตของ U จํานวนสมาชกิ ของเซต S เทา่ กบั เทา่ ใด

62. (1/57) ในคนกลุม่ หนึง่ ประกอบดว้ ยชาย 6 คน และหญงิ จาํ นวนหนง่ึ ความน่าจะเป็นทเ่ี ลือกกรรมการ 2

คน เป็นชายทั้งสองเท่ากบั 1 ความน่าจะเป็นทจ่ี ะเลอื กกรรมการ 5 คนเป็นชายไม่น้อยกว่า 3 คนเทา่ กับ
8

ข้อใดต่อไปนี้

1) 171 2) 22 3) 175 4) 43
728 91 728 91

คณิตศาสตร์ (212) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 27

จํานวนเชิงซอน (Complex Number)

6-21 Marks

1. โครงสรา งของระบบจํานวน (Number System)

จํานวนเชงิ ซ้อน C

จํานวนจริง R จาํ นวนจินตภาพ C - R

จาํ นวนอตรรกยะ Q จาํ นวนตรรกยะ Q

จํานวนตรรกยะท่ีไม่ใช่จาํ นวนเตม็ จํานวนเต็ม I

F จาํ นวนเตม็ ลบ จาํ นวนเตม็ บวก, จาํ นวนนับ

I-, {0} N, I+ , Z+

2. สมบัติพ้ืนฐานของจํานวนเชงิ ซอ น

(Modulus, Conjugate & Inverse)

• สงั ยุคของ z = a + bi คอื z = a - bi โดย Re( z ) = Re(z) แต่ Im( z ) = -Im(z)

z + z = 2a z - z = 2bi z z = a2 + b2 = |z|2

z1 ± z2 = z1 ± z2 z1z2 = z1 z2  zz21  = z1 zn = ( z )n
  z2

• คา่ สัมบรู ณข์ อง z = a + bi คือ |z| = |a + bi| = a2 + b2 = | z | = |-z| โดย

|z1z2| = |z1||z2| zz21 = |z1| |z|n = |zn| |z-1| = |z|-1 = 1
|z2| |z|

|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| |z1 + z2|2 = (z1 + z2)(z1 + z2) = |z1|2 + z1 z2 + z1 z2 + |z2|2
|z1 - z2| ≥ |z1| - |z2| |z1 - z2|2 = (z1 - z2)(z1 - z2) = |z1|2 - z1 z2 + z1 z2 - |z2|2
|z1 + z2|2 + |z1 - z2|2 = 2|z1|2 + 2|z2|2

• ตวั ผกผันของ z = a + bi คือ z-1 = z1 = z1 × z = z = a - bi = a - bi โดย
z |z|2 a2 + b2

(z1z2)-1 = z1-1z-21  zz21 -1 = z-1 1 ( z )-1 = z-1
z-21

โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (213)

3. การแกสมการพหนุ าม (Polynomial Equation)

• สมการกาํ ลังสอง (Quadratic Equation) ax2 + bx + c = 0

- แยกตัวประกอบโดยการดลุ ผลบวกและผลคณู

- แทนสตู รหากนิ x = -b ± b2 - 4ac เมื่อ ∆ = b2 - 4ac ≥ 0
2a

x = -b ± |b2 - 4ac|i เมือ่ ∆ = b2 - 4ac < 0
2a
- ผลบวกรากสมการ = x1 + x2 = -ab c
ผลคูณรากสมการ = x1x2 = a

• สมการกาํ ลังสามข้นึ ไป anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0
- จบั คแู่ ล้วแยกตวั ประกอบโดยดึงตวั ร่วม (อตั ราส่วนสัมประสิทธเิ์ ทา่ กัน)

- หารสังเคราะห์ด้วยทฤษฎบี ทตวั ประกอบตรรกยะ (อตั ราสว่ นสมั ประสทิ ธไ์ิ ม่เท่ากนั )
- กรณสี มการกาํ ลังสาม (Cubic Equation) ax3 + bx2 + cx + d = 0

ผลบวกรากสมการ = x1 + x2 + x3 = -ab ผลคูณรากสมการ = x1x2x3 = -ad
และ x1x2 + x2x3 + x3x1 = ca

• ทฤษฎบี ทตวั ประกอบของจาํ นวนจริงและจาํ นวนจนิ ตภาพ

- ถา้ x = a เปน็ คําตอบของสมการพหนุ าม f(x) = 0 แล้ว f(x) จะมี x - a เป็นตัวประกอบ

- ถ้า x = a + bi เปน็ คําตอบของสมการพหุนาม f(x) = 0 แล้ว f(a - bi) = 0 และ
f(x) จะมี (x - a)2+b2 เปน็ ตัวประกอบ

4. พกิ ัดเชงิ ขั้วและการหารากของจํานวนเชิงซอน

(Polar Form & De Moivre’s)

• มปี ระโยชนใ์ นการหาผลคูณ, ผลหาร, จํานวนเชงิ ซ้อนยกกาํ ลังมากๆ โดย

ถ้า Z1 = |Z1| cis θ1 และ Z2 = |Z2| cis θ2 แลว้
Z1Z2 = |Z1||Z2| cis(θ1 + θ2) Z1/Z2 = |Z1|/|Z2| cis(θ1 - θ2) Zn = |Z|n cis(nθ1)

• รากท่ี n ของ Z จะมีทั้งหมด n ราก โดยทรี่ ากตัวแรก คอื nZ = n |Z| cis θ

n

จากน้นั เราหารากทีเ่ หลอื ได้โดยการแบง่ มมุ กลมเปน็ n สว่ นเทา่ ๆ กนั เพ่มิ เข้าไปจนครบ

คณติ ศาสตร์ (214) ________________________________________โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปีท่ี 27

5. ขอ สอบ PAT 1 เรอ่ื งจาํ นวนเชิงซอ นสองปลา สดุ

63. (2/58) ให้ R แทนเซตของจํานวนจริง ให้ z1 = a + bi และ z2 =c + di เปน็ จํานวนเชิงซอ้ น โดยท่ี
a, b, c, d R – {0} และ i = -1 สมมตวิ ่ามีจาํ นวนจรงิ t และ s ท่วี ่า z12 + 2
∈ z 2 = t และ z1 – z2 = s

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก. |z1| = |z2|
ข. Im(z1z2) = 0
ข้อใดต่อไปนถ้ี ูกต้อง

1) ก. ถกู และ ข. ถูก 2) ก. ถกู แต่ ข. ผดิ 3) ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผดิ

64. (1/58) กําหนดให้ z เปน็ จํานวนเชิงซอ้ นทีส่ อดคล้องกับสมการ |z| + 2 z - 3z = 3 - 45i

เมอื่ |z| แทนคา่ สมั บูรณ์ (Absolute Value) ของ z และ z แทนสงั ยุค (Conjugate) ของ z

ค่าของ | z |2 เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี

1) 95 2) 225 3) 245 4) 375

65. (1/57) กาํ หนดให้ z = x + yi เป็นจาํ นวนเชิงซอ้ น เม่ือ x และ y เป็นจํานวนที่สอดคลอ้ งกบั สมการ

x(3 + 5i) + y(1 - i)3 = 3 + 7i

พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปนี้

ก. Im(iz ) = -Re(iz)
8 -7 6i
ข. 1 =
z

ขอ้ ใดต่อไปนถ้ี กู ต้อง

1) ก. ถกู และ ข. ถูก 2) ก. ถกู แต่ ข. ผดิ 3) ก. ผดิ แต่ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผดิ

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปีท่ี 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (215)

66. (2/57) กําหนดให้ z เปน็ จาํ นวนเชงิ ซ้อนท่ีสอดคล้องกับสมการกาํ หนดให้ z - 1 - 4i = 3i(z - i)

ข้อใดต่อไปน้ีไม่ถูกต้อง

1) z + z = i(z - z ) 2) |z + 2| = 2
3) z2 - 8i = 0 4) z(1 - i)8 - 8i = 0

67. กําหนดให้ A เป็นเซตของจํานวนเชิงซ้อนทงั้ หมดทส่ี อดคลอ้ งกับสมการ 3|z|2 - (28 - i)z + 4z2 = 0

และให้ B = {|z + i| | z ∈ A} ผลบวกของสมาชกิ ท้ังหมดในเซต B เทา่ กบั เทา่ ใด (1/57)

68. ให้ z1 และ z2 เปน็ จํานวนเชงิ ซอ้ น โดยที่ |z1| = 2 , |z2| = 3 และ |z1 - z2| = 1 แลว้
คา่ ของ |z1 + z2| เท่ากบั เทา่ ใด เม่ือ |z| แทนค่าสัมบรู ณข์ อง z (1/58)

69. (2/58) กาํ หนดให้ z = a + bi โดยที่ a และ b เป็นจาํ นวนจรงิ ท่ี ab > 0 และ i = -1 ถา้ z3 = i แลว้

คา่ ของ |iz5 + 2|2 เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ (เมือ่ |z| แทนคา่ สมั บรู ณ์ (Absolute Value) ของ z)

1) 5 + 2 3 2) 7 3) 5 - 2 3 4) 3

70. (1/58) ให้ A = cos 15° + cos 87° + cos 159° + cos 231° + cos 303°

และ B = sin  arctar 185  + arccos 54  
.  . 
 

ถ้า A+B = a เมอ่ื ห.ร.ม. ของ a และ b เทา่ กับ 1 แลว้ คา่ ของ a+b เท่ากับเท่าใด
b

คณติ ศาสตร์ (216) ________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปีที่ 27

กําหนดการเชิงเสน (Linear Programming)

5-6 Marks

• เปน็ การหาคา่ สงู สุดและตํ่าสดุ ของสิ่งที่เราตอ้ งการ (ในรปู สมการจุดประสงค์ P = Mx + Ny)
ภายใต้ขอบเขตหน่งึ ๆ (อสมการข้อจํากัด a1x + b1y ≤ c1 หรือ a2x + b2y ≥ c2)
โดย x และ y มักแทนปรมิ าณสินคา้ แต่ละชนิด
M และ N มกั แทน P (Profit) ของสิน้ คา้ แต่ละชนิด
a, b, c เป็นเงื่อนไขทโี่ จทย์กําหนดมา

1. หลักการหาคาสงู สดุ -ตํ่าสดุ ของสมการจุดประสงค

Step 1 เขียนสมการจุดประสงค์ (อาจใจดบี อกมาให้ หรือเราตอ้ งตงั้ สมการเอง)
Step 2 เขยี นอสมการข้อจาํ กัด (อาจใจดีบอกมาให้ หรือเราตอ้ งตงั้ อสมการเอง)
Step 3 วาดกราฟอสมการข้อจํากัด และหาจดุ หักมมุ ท้งั หมด ***
Step 4 นําจุดหกั มมุ ทกุ จดุ แทนลงในสมการจดุ ประสงค์

(บางจดุ ถ้านกั เรียนมองออกว่าเป็นไปไมไ่ ด้แน่นอนทจี่ ะสูงสดุ -ตา่ํ สดุ กไ็ ม่ตอ้ งแทนได)้
Step 5 เลอื กจดุ ท่ีใหค้ า่ สงู สดุ หรือต่ําสุดตามเงอื่ นไขท่ีโจทยต์ อ้ งการ

2. ขอสอบ PAT 1 เร่อื งกาํ หนดการเชิงเสน สองปล าสดุ

71. (1/57) กําหนดให้ P = Ax + By เปน็ ฟงั กช์ นั จุดประสงค์ เม่อื A และ B เป็นจํานวนจริงบวกท่ีสอดคล้อง

กับ 3A = 2B โดยมีอสมการขอ้ จาํ กัด ดงั น้ี x + 2y ≤ 20 , 7x + 9y ≤ 105 , 5x + 3y ≥ 15 , x ≥ 0

และ y ≥ 0 ถา้ P มคี ่ามากที่สุดเท่ากับ M และ P มคี า่ นอ้ ยท่สี ุดเท่ากบั N แลว้ ข้อใดต่อไปน้ถี ูกต้อง

1) 2M = 11N 2) 5M = 11N 3) 2M = N 4) 5M = N

โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปีท่ี 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (217)

72. กําหนดให้ฟงั ก์ชนั จดุ ประสงค์ P1 = 5x + 2y และ P2 = 4x + 3y โดยมีอสมการข้อจาํ กัดดังนี้ 2x + 3y ≥ 6,
3x - y ≤ 15 , -x + y ≤ 4 , 2x + 5y ≤ 27 , x ≥ 0 และ y ≥ 0 ให้คา่ มากทสี่ ุดของ P1 และ P2
เทา่ กับ M1 และ M2 ตามลําดบั และค่านอ้ ยที่สดุ ของ P1 และ P2 เทา่ กบั N1 และ N2 ตามลําดับ
พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้
ก. M1 มีคา่ มากกวา่ M2
ข. N1 มคี า่ นอ้ ยกวา่ N2
ข้อใดต่อไปน้ถี ูกต้อง (1/58)
1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก แต่ ข. ผิด 3) ก. ผดิ แต่ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

คณติ ศาสตร์ (218) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ มั เมอรแ์ คมป์ ปีที่ 27

73. (2/58) นาย ก. วางแผนจะปลกู มันหรอื สปั ปะรดบนทด่ี ิน 150 ไร่ โดยมีขอ้ มูลในการลงทุนดงั นี้ ในการ
ปลกู มนั จะตอ้ งลงทุนค่าต้นกลา้ ไรล่ ะ 200 บาท และใช้แรงงานไรล่ ะ 10 ชัว่ โมง ในการปลกู สบั ปะรดจะ
ตอ้ งลงทนุ ค่าตน้ กลา้ ไรล่ ะ 300 บาท และใช้แรงงานไรล่ ะ 12.5 ชวั่ โมง นาย ก. มเี งนิ ลงทนุ สาํ หรบั ค่า
ตน้ กล้า 40,000 บาท และมีแรงงานไมเ่ กนิ 1,850 ชัว่ โมง ถา้ ปลูกมนั จะไดก้ ําไรไรล่ ะ 1,500 บาท ปลกู
สับปะรดจะได้กําไรไรล่ ะ 2,000 บาท ขอ้ ใดต่อไปนถี้ กู ต้อง
1) ปลูกสับปะรดเพยี งอยา่ งเดยี ว จะได้กําไรสงู สดุ 300,000 บาท
2) ปลกู มนั 10 ไร่ ปลกู สับปะรด 140 ไร่ จะไดก้ าํ ไรสงู สุด 295,000 บาท
3) ปลกู มนั 50 ไร่ ปลกู สับปะรด 100 ไร่ จะไดก้ ําไรสงู สุด 275,000 บาท
4) ปลูกมัน 110 ไร่ ปลูกสับปะรด 40 ไร่ จะได้กําไรสูงสดุ 245,000 บาท

โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปีที่ 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (219)

74. (2/57) มีปยุ๋ อยู่ 2 ชนดิ คอื ชนดิ A และ ชนดิ B โดยแต่ละชนดิ บรรจถุ ุงละ 100 กรัม ส่วนประกอบและ
ราคาแตล่ ะชนิด ดงั นี้

ชนดิ ปยุ๋ สารอาหาร N สารอาหาร P สารอาหาร K ราคาถุงละ
ชนดิ A 2 หนว่ ย 1 หน่วย 80 หนว่ ย 10 บาท
ชนดิ B 3 หนว่ ย 3 หน่วย 60 หนว่ ย 12 บาท

นักวิจยั ทดลองผสมปยุ๋ ชนดิ A และชนิด B ใหพ้ ืชในแปลงทดลอง โดยส่วนผสมปยุ๋ ทไ่ี ด้ประกอบดว้ ย

สารอาหาร N อย่างน้อย 18 หน่วย สารอาหาร P อยา่ งนอ้ ย 12 หนว่ ย และสารอาหาร K อย่างน้อย 480

หน่วย คา่ ใช้จา่ ยนอ้ ยสดุ ในการผสมปยุ๋ ทั้งสองชนดิ เท่ากับขอ้ ใดต่อไปน้ี

1) 74 บาท 2) 78 บาท 3) 84 บาท 4) 96 บาท

คณติ ศาสตร์ (220) ________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปที ่ี 27

เฉลยตัวอยา งขอสอบ

1. 3) 2. 0.5 3. 3) 4. 2) 5. 4)
6. 201 7. 8 8. 3 9. 1) 10. 16
11. 4) 12. 21 13. 2) 14. 1) 15. 3)
16. 7 17. 109 18. 2) 19. 4) 20. 4)
21. 3) 22. 1) 23. 15.87 24. 3 25. 1)
26. 3) 27. 3) 28. 1) 29. 15 30. 2)
31. 2) 32. 4) 33. 34.5 34. 3) 35. 4
36. 132 37. 4) 38. 4) 39. 3) 40. 12
41. 634 42. 35 43. 2) 44. 100 45. 4)
46. 3) 47. 1) 48. 38 49. 3) 50. 3)
51. 2) 52. 4) 53. 4) 54. 4) 55. 2)
56. 35 57. 3) 58. 1386 59. 1) 60. 340
61. 270 62. 2) 63. 1) 64. 2) 65. 4)
66. 4) 67. 5 68. 3 69. 4) 70. 169
71. 1) 72. 1) 73. 3) 74. 2)

————————————————————

โครงการแบรนดซ์ มั เมอรแ์ คมป์ ปีที่ 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (221)

เก็งขอ สอบ

ชุดท่ี 1

ตอนท่ี 1 : แบบปรนยั 5 ตวั เลือก ข้อละ 2.5 คะแนน

1. กาํ หนดให้ a, b และ c เป็นจํานวนจรงิ ใดๆ พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปนี้

ก. ถา้ ab = ac แล้ว b = c

ข. ถา้ a |bc | < 0 และ b < 0 แลว้ |ab |c < 0
ค. ถ้า a > 0 และ b > 0 แล้ว a + b ≥ 2ab
ขอ้ ใดถูก

1) ก. และ ข. ถูก แต่ ค. ผิด 2) ก. และ ค. ถูก แต่ ข. ผดิ

3) ข. และ ค. ถกู แต่ ก.ผดิ 4) ข.ถูก แต่ ก. และ ค. ผิด

5) ค. ถกู แต่ ก. และ ข. ผิด

2. ให้ A= 2 5 ,B= 3 21 , C = 5 31 ข้อใดต่อไปน้ีถกู
6

1) A < B < C 2) B < A < C

3) B < C < A 4) C < A < B

5) C < B < A

3. ให้ a = 18 - 12 และ b = 75 - 50 พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้
ก. a และ b เป็นจาํ นวนอตรรกยะ

ข. 3a < 2b
ค. a + b < 2

ข้อใดถกู ต้อง

1) ก. และ ข. ถกู แต่ ค. ผดิ 2) ก. และ ค. ถูก แต่ ข. ผิด

3) ข. และ ค.ถูก แต่ ก. ผิด 4) ค.ถกู แต่ ก. และ ข. ผดิ

5) ก. ถูก แต่ ข. และ ค. ผิด

4. ถา้ a = 5+2 แลว้ a + a1 - 2 มีคา่ เทา่ กับขอ้ ใด
5+2

1) 3 2) 4 3) 9 + 4 5 4) 3 2 5) 4 5

คณิตศาสตร์ (222) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 27

5. ส่วนท่แี รเงาของแผนภาพในข้อใดหมายถงึ A - (B - C) B
AB
A B
C
1) 2) C

C A
AB 4)
3) C

A B
5) C

6. พจิ ารณาผลสรปุ ตอ่ ไปนี้

ก. เหตุ 1) ทกุ ครั้งทฝ่ี นตก การจราจรจะติดขดั

2) วันน้ีจราจรติดขดั

ผล วนั นฝ้ี นตก

ข. เหตุ 1) ดาํ ไมช่ อบกินผกั

2) ทกุ คนทกี่ นิ ผกั มีสายตาดี

ผล ดําสายตาไม่ดี

ค. เหตุ 1) ผู้ทีป่ ระหยดั จะไมย่ ากจน

2) นายมเี ปน็ คนยากจน

ผล นายมีเป็นคนไมป่ ระหยัด

ข้อใดถกู

1) ก., ข. และ ค. สมเหตสุ มผล

2) ก. และ ข. สมเหตุสมผล แต่ ค. ไม่สมเหตุสมผล

3) ข. และ ค. สมเหตสุ มผล แต่ ก. ไมส่ มเหตสุ มผล

4) ค. สมเหตสุ มผล แต่ ก. และ ข. ไม่สมเหตุสมผล

5) ก., ข. และ ค. ไมส่ มเหตุสมผล

7. ถ้า A = {x|9x2 = (1 + 3 8 )x} แล้ว ผลบวกของสมาชิกทุกตัวใน A มคี า่ เท่ากบั ขอ้ ใด 5) 32
1) - 21 3) 21 5) 685
2) 0 4) 1

8. ถา้ 64k = 16 แล้ว 8k + 8-k มคี ่าเท่ากับขอ้ ใด 4) 147
1) 0 2) 54 3) 52

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปีที่ 27 ________________________________________คณติ ศาสตร์ (223)

9. ผลบวกของรากท้งั หมดของสมการ x - 1 + x = 1 เทา่ กับขอ้ ใด
x 2
+

1) -4 2) -3 3) -2 4) 1 5) 2

10. ถ้า A = {x||x + 1| + 1 > 2} แลว้ ช่วงในข้อใดเปน็ สับเซตของ A

1) (-4, -2] 2) (-3, -1) 3) [-1, 0) 4) [0, 2) 5) [2, 3)

11. กาํ หนดให้ A = {x|x - 2} และ B = {x|x2 - 3x - 4 > 0} สมาชกิ ของ A - B ที่เปน็ จํานวนเต็มมีกต่ี วั

1) 3 2) 4 3) 5 4) 6 5) 7

12. y บรเิ วณทแ่ี รเงาเป็นกราฟของความสัมพนั ธใ์ นข้อใด

y = x2 1) {(x, y) |x2 - y < 0 และ y ≤ 1}

y=1 2) {(x, y) |x2 - y < 0 และ y ≥ 1}
3) {(x, y) |x2 - y ≥ 0 และ y < 1}
x 4) {(x, y) |x2 - y ≥ 0 และ y > 1}

5) {(x, y) |x2 - y > 0 และ y ≤ 1}

13. กราฟในขอ้ ใดแสดงว่า y เป็นฟังก์ชนั ของ x y
y

1) x 2) x

y y
3) x 4) x

y
5) x

คณิตศาสตร์ (224) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปีที่ 27

14. กาํ หนดให้ f(x) = (x - 3)2 - 4 พิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี

ก. กราฟของ f เป็นพาราโบลาหงาย

ข. ถ้า x ∈ (1, 4] แลว้ f(x) < 0

ค. ถา้ กราฟของ f ตัดแกน y ทีจ่ ุด (0, a) และคา่ ต่ําสุดของ f คอื b แล้ว a + b = 1

ขอ้ ใดถูก

1) ก., ข. และ ค. ถกู ท้ังสามข้อ 2) ก. และ ข. ถกู แต่ ค. ผิด

3) ก. และ ค. ถกู แต่ ข.ผดิ 4) ก. ถกู แต่ ข. และ ค. ผิด

5) ข. ถูก แต่ ก. และ ค. ผิด

15. กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉากซ่ึงมมี มุ Bˆ = 90° และมี BD เปน็ เส้นความสูงของรูป

สามเหล่ียม ถา้ มมุ Aˆ = 60° และ AD ยาว 2 หน่วย แล้ว CD จะยาวก่ีหนว่ ย

1) 4 2) 4 3 3) 6 4) 6 3 5) 8

16. กาํ หนดให้ ABCD เปน็ รูปสามเหลีย่ มผนื ผา้ ซึ่งมีพ้นื ที่ 100 ตารางเมตร ถา้ tan (BAˆC ) = tan (90 - ACˆD )

แลว้ สเี่ หลีย่ ม ABCD มเี สน้ รอบรปู ยาวก่ีหนว่ ย

1) 40 2) 50 3) 58 4) 104 5) 202

17. ชายคนหน่งึ ยืนอยู่ระหว่างตึกสองหลงั ถ้าชายคนน้ีมองยอดตกึ ทีห่ นง่ึ ดว้ ยมุมเงย 30° แลว้ หนั หลังกลับ

เขาจะมองเหน็ ยอดตกึ ท่ีสองดว้ ยมุมเงย 60° สมมติว่าตกึ ที่สองสูงกว่าตกึ ทห่ี น่ึง 20 3 เมตร และตึก

ท้ังสองหา่ งกนั 100 เมตร ชายคนนจ้ี ะยืนอยู่ห่างจากตกึ ท่หี น่งึ กี่เมตร

1) 30 3 2) 40 2 3) 60 4) 62 5) 70

18. เม่ือวางบันไดยาว 4 เมตรพาดกบั ผนงั บันไดจะทํามมุ 30 องศากับพ้ืน ถ้าเลอ่ื นปลายบนของบันไดให้

สงู ข้ึนอกี 1 เมตร ปลายลา่ งของบันไดจะเลอ่ื นจากจดุ เดมิ เข้าหาผนังเป็นระยะทางก่เี มตร

1) 2 3 - 7 2) 2 3 - 5

3) 1 4) 2 5 - 3

5) 3 2 - 5

19. ถ้า an = 2 - (-1)nn แลว้ ข้อใดถูก
2n + 3
1 4 1 2 7
1) a1 = 5 2) a2 = 7 3) a3 = 9 4) a4 = 11 5) a5 = 13

20. ถ้า a1, a2, a3, ... เป็นลาํ ดบั เลขคณิตและผลต่างรว่ มไม่เปน็ ศนู ย์ แลว้ ขอ้ ใดผิด

1) |a10 - a11| = |a21 - a20|

2) a9 + a14 = a11 + a12
a15 - a12
3) a7 - a4 =1

4) ถ้า bn = an - 5 ทกุ ๆ n แลว้ b1, b2, b3, ... เป็นลําดับเลขคณติ
5) ถ้า cn = 5nan ทกุ ๆ n แล้ว c1, c2, c3, ... เป็นลําดบั เรขาคณติ

โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปที ่ี 27 ________________________________________คณติ ศาสตร์ (225)

21. กําหนดให้ x เป็นจาํ นวนจริง ถ้า 5 - 7x, 3x + 28, 5x + 27, ..., 2x3 - 3x - 3x + 1 เปน็ ลาํ ดับเลขคณิต
แลว้ ลาํ ดับนีม้ ีกีพ่ จน์
1) 10 2) 11 3) 12 4) 13 5) 14

22. ซงุ กองหนึ่งวางเรียงซอ้ นกันเป็นชั้นๆ โดยช้ันบนจะมีจํานวนนอ้ ยกว่าชน้ั ลา่ งท่อี ยู่ตดิ กนั 3 ตน้ เสมอ ถ้าช้นั

บนสุดมี 49 ต้น และชนั้ ล่างสุดมี 211 ต้น แลว้ พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้

ก. ซงุ กองนี้มี 56 ชน้ั

ข. ช้ันท่ี 8 (นบั จากบนลงลา่ ง) มซี ุง 70 ตน้

ค. ซุงกองนีม้ ที ั้งหมด 7,150 ตน้

ขอ้ ใดถกู

1) ก., ข. และ ค. ถูกทง้ั สามข้อ 2) ข. ถกู แต่ ก. และ ค. ผิด

3) ค. ถูก แต่ ก. และ ข.ผิด 4) ก. และ ค. ถูก แต่ ข. ผดิ

5) ข. และ ค. ถกู แต่ ก. ผดิ

23. ถา้ พจนท์ ี่ 5 และ พจนท์ ่ี 8 ของลําดบั เรขาคณติ เปน็ 1 และ - 1 ตามลาํ ดับ แล้วพจน์ท่ี 4 เท่ากับขอ้ ใด
2 16
ตอ่ ไปนี้

1) -1 2) - 1 3) - 1 4) 1 5) 2
2 4

24. พจน์ท่ี 10 ของลําดับเรขาคณติ 3 , 6 , ... ตรงกับข้อใด

1) 8 6 2) 16 3 3) 16 6 4) 32 3 5) 32 6

25. ถา้ อนกุ รมเรขาคณติ a1 = 1 และ a10 = 256 แล้ว ผลบวก 10 พจนแ์ รกของอนุกรมนีเ้ ท่ากบั ขอ้ ใด
2

1) 511.0 2) 511.5 3) 512.0 4) 512.5 5) 513.0

26. ครอบครวั หน่งึ มีพอ่ แม่ และลกู 2 คน ไปเที่ยวสวนสนกุ แหง่ หน่งึ ถ้าจัดคนท้งั สี่ถ่ายรปู กับรูปปั้น
โดราเอมอน โดยยืนเรยี งกนั ให้โดราเอมอนอยู่ตรงกลาง และลูกทั้งสองคนไม่ยนื ตดิ กัน
จะมจี าํ นวนวธิ จี ัดไดก้ ว่ี ิธี
1) 8 2) 10 3) 12 4) 16 5) 18

27. กนกมถี ุงเทา้ สีขาว 1 คู่ สีน้าํ เงิน 2 คู่ และ สดี าํ 3 คู่ เขาใส่ถงุ เท้าไวใ้ นลิน้ ชักโดยไมไ่ ดจ้ ดั แยกเป็นคู่ ถ้าเขา

สมุ่ หยบิ ถุงเท้าจากลนิ้ ชกั มา 2 ขา้ งแล้ว ความน่าจะเปน็ ทีจ่ ะได้ถงุ เทา้ สเี ดยี วกันมคี ่าเท่ากับข้อใด

1) 1 2) 1 3) 1 4) 1 5) 1
66 22 11 6 3

28. ขอ้ ใดเปน็ ขั้นตอนหน่งึ ของการสํารวจความคดิ เห็น
1) ต้งั สมมุติฐานของปญั หาทที่ ําการสาํ รวจ
2) กําหนดขอบเขตของการสํารวจ
3) ประมาณการคา่ ใชจ้ ่ายในการสาํ รวจความคดิ เหน็
4) คดั เลือกผู้เก็บขอ้ มูลการสาํ รวจ
5) นําผลการสาํ รวจความคิดเห็นไปใชป้ ระโยชน์

คณติ ศาสตร์ (226) ________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 27

29. คา่ กลางของข้อมูลในขอ้ ใดมคี วามเหมาะสมที่จะใช้เป็นตัวแทนของขอ้ มูลของกลุม่
1) คา่ เฉลี่ยเลขคณิตของขนาดรองเท้าของนกั เรยี นหอ้ งหน่งึ
2) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจํานวนผโู้ ดยสารรถไฟฟ้าใต้ดินต่อวนั ในเดอื น มกราคม พ.ศ. 2557
3) มธั ยฐานของนํา้ หนกั ตัวของคนไทยในปี พ.ศ. 2556
4) ฐานนยิ มของความสงู ของนักกฬี าไทยท่ไี ด้รับเหรียญทองจากการแข่งขนั กฬี าโอลิมปิก
5) คา่ กึ่งกลางระหวา่ งมธั ยฐานกบั คา่ เฉล่ียเลขคณิตของคะแนนสอบคณติ ศาสตร์ของนกั เรียนช้ัน ม.6 ของ
โรงเรียนแหง่ หน่งึ

30. จากแผนภาพต้น-ใบ ของข้อมลู ชดุ หน่งึ เปน็ ดังน้ี

0789
10157
2122
302

ข้อใดตอ่ ไปน้ีเปน็ เปน็ ขอ้ สรุปท่ถี ูกตอ้ งของขอ้ มูลชุดน้ี
1) ค่าเฉลยี่ เลขคณิต = 16 และมัธยฐาน = 16
2) คา่ เฉล่ียเลขคณิต = 16.5 และมัธยฐาน = 17
3) ค่าเฉล่ยี เลขคณติ = 17 และมัธยฐาน = 17
4) คา่ เฉลย่ี เลขคณิต = 17 และมัธยฐาน = 16
5) ค่าเฉล่ียเลขคณติ = 17.5 และมัธยฐาน = 16

31. ผลการสอบวิชาคณิตศาสตรข์ องนักเรียนห้องหนงึ่ (เรยี งจากนอ้ ยไปมาก) เป็นดังน้ี
29, 35, 36, 40, 41, 43, 47, 50, 56, 59
60, 61, 63, 65, 72, 72, 74, 75, 75, 78
78, 78, 80, 80, 81, 82, 84, 87, 88, 89
90, 90, 91, 91, 91, 92, 95, 95, 95, 97

เปอรเ์ ซ็นไทล์ท่ี 70 ของคะแนนสอบนเี้ ทา่ กับขอ้ ใด

1) 87 2) 87.5 3) 87.9 4) 88

32. ข้อมูลชุดหน่งึ เรยี งจากนอ้ ยไปมากดังนี้ 5 10 12 20 x 26 30 42 47 y
ถ้าข้อมลู ชดุ น้มี พี สิ ยั เท่ากบั 45 และค่าเฉลี่ยเลขคณิตศาสตรเ์ ทา่ กับ 26.4 แล้ว ควอไทลท์ ี่สองของขอ้ มลู
ชุดน้เี ท่ากับขอ้ ใด

1) 20 2) 21 3) 23 4) 24 5) 25

โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปีท่ี 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (227)

ตอนท่ี 2 : แบบเติมคําตอบ ข้อละ 2.5 คะแนน

33. กาํ หนดให้ A = {1,2,3} และ B = {2,3,5}

ถ้า r = {(a, b) ∈ A × B|a ≥ b - 1} แลว้ r จาํ นวนสมาชกิ มีสมาชกิ กต่ี ัว

34. ถ้า A = {(x, y) ||x + 1| ≤ y และ y ≤ 2} แลว้ พ้ืนท่ีของบริเวณ A เท่ากับกตี่ ารางหน่วย

35. จากการสอบถามความชอบรบั ประทานไอศกรีมของนกั เรียนจาํ นวน 180 คน พบวา่

มี 86 คน ชอบรสช็อกโกแลต มี 31 คน ชอบรสชอ็ กโกแลตและวานิลา

มี 87 คน ชอบรสวานลิ า มี 27 คน ชอบรสวานลิ าและสตรอเบอร่ี

มี 70 คน ชอบรสสตรอเบอร่ี มี 22 คน ชอบรสช็อกโกแลตและสตรอเบอร่ี

และมี 5 คนไม่ชอบทง้ั หมด ดังนน้ั มีนักเรยี นที่ชอบทัง้ สามรสก่คี น

36. ถ้าอนุกรมเลขคณติ มีพจนแ์ รกเป็น -8 และมผี ลบวกของ 50 พจนแ์ รกเปน็ 3275 แล้วผลต่างรว่ มมคี ่า
เทา่ กบั เทา่ ใด

37. แมค่ า้ ก๋วยเตย๋ี วชามละ 25 บาท โดยมคี า่ เชา่ รา้ นวนั ละ 120 บาท และต้นทุนคา่ วตั ถุดบิ ทัง้ หมดคิดชามละ
18 บาท ถ้าต้องการให้ไดก้ าํ ไรไม่ตา่ํ กว่า วนั ละ 500 บาท เขาต้องขายให้ได้อย่างน้อยวนั ละก่ชี าม

38. หอ้ งประชุมแหง่ หน่งึ จดั ที่นง่ั เป็นแถวโดยนําโตะ๊ มาเรียงตอ่ กันเป็นแถว แถวละ 5 ตวั หลงั จากจดั แล้ว
ไดท้ ่ีนงั่ ทั้งหมด 60 ทนี่ ่งั ถ้าจํานวนแถวน้อยกวา่ จํานวนท่นี ่ังในแตล่ ะแถวอยู่ 4 ห้องประชุมนมี้ ีโตะ๊ ทง้ั หมด
ก่ีตวั

39. ขอ้ มลู ชดุ ทห่ี น่ึงมี 10 จํานวน คอื x1, x2, x3, ..., x10 ซ่ึงข้อมลู ชุดนีม้ สี ่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานเท่ากับ 2.3
ถา้ ข้อมูล ชุดที่สองมี 10 จาํ นวน คือ 3x1 + 174, 3x2 + 174, 3x3 + 174, ..., 3x10 + 174 แลว้ สว่ น
เบี่ยงเบนมาตรฐานขอ้ มูลชดุ ทส่ี องนจ้ี ะเทา่ กับเทา่ ใด

40. ถา้ แตล่ ะวันในเดือนสงิ หาคม มคี วามน่าจะเปน็ ทจี่ ะมฝี นตกตอนเช้าหรอื ตอนเย็นเทา่ กบั 0.86 ความน่าจะเป็น
ทจี่ ะมีฝนตกตอนเยน็ เท่ากบั 0.67 และความน่าจะเป็นทจี่ ะมีฝนตกทง้ั ตอนเชา้ และตอนเยน็ เทา่ กบั 0.35 แลว้
ความน่าจะเปน็ ทจี่ ะมีฝนตกในตอนเชา้ มีค่าเท่ากบั เท่าใด

คณติ ศาสตร์ (228) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ มั เมอรแ์ คมป์ ปีที่ 27

ชุดท่ี 2

36. Sup’k-Pb 2.1 กําหนดให้ a, b และ c เปน็ จาํ นวนเตม็ ทส่ี อดคลอ้ งกบั
(1) a2 + b2 ≤ 90 (2) a + b = 5 + c (3) a > 8

พิจารณาข้อความตอ่ ไปน้ี

(ก) a + 2b + 3c ≤ 36
(ข) คา่ มากท่ีสดุ ของ a3 + b3 + c3 เทา่ กบั 1085

ข้อใดตอ่ ไปนี้ถูกตอ้ ง

1) (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2) (ก) ถกู แต่ (ข) ผิด

3) (ก) ผดิ แต่ (ข) ถกู 4) (ก) ผดิ และ (ข) ผดิ

37. Sup’k-Pb 2.2 Find the solution of 2x + 2|x| ≥ 2 2
จงหาเซตคําตอบของ 2x + 2|x| ≥ 2 2

ตอบ .............................

38. Sup’k-Pb 2.3 The solution of ||x| - 1| < |1 - x|
จงหาเซตคําตอบของ ||x| - 1| < |1 - x|
ตอบ .............................

39. Sup’k-Pb 2.4 กําหนดให้ A = {x ∈ : 3x5 - 2x4 - 7x3 + x = 10} , B = {2}

และ C = 32 จงพิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี ข. {A, A - C} ∈ P(P(A))

ก. A U B ≠ P(A)
ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ถี ูกตอ้ ง

1) ก. และ ข. เปน็ จรงิ 2) ก. เปน็ จรงิ และ ข. เปน็ เท็จ

3) ก. เปน็ เท็จ และ ข. เปน็ จริง 4) ก. และ ข. เปน็ เทจ็

40. Sup’k-Pb 2.5 จงพจิ ารณาขอ้ ความต่อไปนี้

ก. ∀x, y ∈ , ||x| + |y|| + ||x| - |y|| = |x + y| + |x - y|

ข. ∀x, y ∈ , x + y - |x - y| ≤x≤ x + y + |x - y|
2 2

ข้อใดต่อไปนีถ้ ูกตอ้ ง

1) ก. และ ข. เปน็ จรงิ 2) ก. เปน็ จรงิ และ ข. เปน็ เท็จ

3) ก. เป็นเท็จ และ ข. เป็นจริง 4) ก. และ ข. เปน็ เท็จ

โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 27 ________________________________________คณติ ศาสตร์ (229)

41. Sup’k-Pb 2.6 กาํ หนดการดําเนนิ การ * บนเซตของจํานวนจริง เป็นไปตามกฎตอ่ ไปนี้
ก. 2 * 2= 32

ข. 2a * b = (a * b) + 1 ทกุ จาํ นวนจรงิ บวก a และ b
2
ค. a2 * b = b2 * a ทุกจาํ นวนจรงิ บวก a และ b

จงพิจารณาวา่ 1 * 1 มีค่าตรงกับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 3
1) 0 1 2
2) 2 3) 1 4)

42. Sup’k-Pb 2.7 กําหนดความสัมพันธ์ r1 และ r2 ดงั ต่อไปน้ี

r1 = {(x, y) ∈ × : log2556 (2x + y) + xy = 3y + 3}
r2 = {(x, y) ∈ × : 4x2 + 8xy + 5y2 + 4x + 8y + 5 = 0}

ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ถกู ต้อง

1) r1 I r2 = ∅ 2) r1 ⊆ r2 3) r2 ⊆ r1 4) r1 U r2 ⊆ ×+

43. Sup’k-Pb 2.8 ถา้ x และ y เป็นจํานวนจรงิ ทสี่ อดคลอ้ งกับสมการ

2 + 22x+y+1 - 16x - 4y = log3 (x + y)
แลว้ x2 + y มคี ่าเท่ากับข้อใดต่อไปน้ี

1) 3 2) 8 3) 15 4) 24

44. Sup’k-Pb 2.9 ให้ A = {x | 2x+3 > 4}

B = {x | 2 ⋅ log (x + 3) < log (5x + 15)} และ C = {x ∈ I | x ∈ A I B} จงหา n(P(C))

ตอบ .............................

45. Sup’k-Pb 2.10 จงพจิ ารณาข้อความตอ่ ไปนี้ 1
b
ก. มจี ํานวนจริงบวก a ≠ b ซึ่งสอดคล้องกับสมการ a + =b+ 1
a

ข. มีจํานวนจรงิ บวก a ≠ b ซึ่งสอดคลอ้ งกบั สมการ a - 1 =b- 1
b a

ขอ้ ใดต่อไปนถี้ กู ตอ้ ง

1) ก. และ ข. เป็นจริง 2) ก. เปน็ จรงิ และ ข. เป็นเท็จ

3) ก. เปน็ เทจ็ และ ข. เปน็ จรงิ 4) ก. และ ข. เป็นเท็จ

46. Sup’k-Pb 2.11 กาํ หนดให้ 0 < θ π ถา้ tan (2θ) = mn โดยท่ี m, n ≥ 0

8

แล้วขอ้ ใดต่อไปนี้ตรงกับค่าของ tab θ

1) m 2) n + n2 + m2 3) m 4) ไมม่ ขี อ้ ใดถกู ต้อง
m2 + n2 m n+ n2 + m2

คณิตศาสตร์ (230) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปที ี่ 27

47. Sup’k-Pb 2.12 จงหาคา่ สูงสดุ ท่ีเป็นไปไดข้ อง p + q
เม่ือ p และ q เปน็ จํานวนเฉพาะ ซึง่ p + q หาร pq ลงตัว
ตอบ ..............................

48. Sup’k-Pb 2.13 กาํ หนดให้ a1, a2, ..., a100 เป็นลําดับของจํานวนเต็มบวก 100 จํานวนเรียงติดกนั
จงหาค่าน้อยที่สุดทเี่ ป็นจํานวนเต็มของ a2 + a3 + ... + a99 - a1 + a100

ตอบ ..............................
49. Sup’k-Pb 2.14 Find the value of cos 6π5 ⋅ cos 26π5 ⋅ cos 46π5 ⋅ ... ⋅ cos 3625π

จงหาค่าของ 6π5 ⋅ cos 26π5 ⋅ cos 46π5 ⋅ ... ⋅ cos 3625π
ตอบ ..............................

50. Sup’k-Pb 2.15 If tan x + cot x = 2,
then the value of sin x + cos x + sin2 x + cos2 x + ... + sin25 x + cos25 x

กาํ หนดให้ tan x + cot x = 2

จงหาค่าของ sin x + cos x + sin2 x + cos2 x + ... + sin25 x + cos25 x
1 1 2
1) 2 2) 3 3) 3 4) ไม่มีข้อใดถกู ตอ้ ง

51. Sup’k-Pb 2.16 กําหนดรูปสามเหลย่ี ม ABC

ซ่งึ มีด้านตรงข้ามมุม A มมุ B และมุม C เทา่ กบั a, b, c ตามลําดบั
c 1
ถ้า b2 + c2 - bc = a2 และ b = 2 + 3 แลว้ tan B มคี ่าเทา่ กบั เท่าใด

ตอบ ..............................

52. Sup’k-Pb 2.17 รูปสามเหล่ยี ม ABC มี ∠ACB กาง 45°
ให้ D เปน็ จุดบนด้าน AC ซึ่งทาํ ให้ AD = (2 + 2 3 )DC

ถ้า ∠ACB กาง 60° แล้ว AB ⋅ DB มีค่าเทา่ กบั เท่าใด
ตอบ ..............................

53. Sup’k-Pb 2.18 ถ้า ABC เปน็ รูปสามเหล่ยี มหน้าจวั่ ซึง่ สอดคลอ้ งกับสมการ
sin (2A - B) + sin (2B - C) + sin (2C - A) = 0
แลว้ cos (2A - B) + cos (2B - C) + cos (2C - A) มคี ่าเท่ากบั เทา่ ใด
ตอบ ..............................

54. *Sup’k-Pb 2.19 กําหนดให้ A = cos x + cos y : tan x ⋅ tan y = 2, x, y ∈  0, π2  


จงเขยี นเซต A ในรูปของชว่ ง

ตอบ ..............................

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (231)

55. *Sup’k-Pb 2.20 จงหาสามสิ่งอันดับ (a, b, p) ทงั้ หมดซึง่ a, b เป็นจํานวนเต็ม และ p เป็นจํานวนเฉพาะ

และสอดคล้อง

a - b = p2
1+b 1+a 1 + a + b + ab

ตอบ ..............................

56. Sup’k-Pb 2.21 ในตารางขา้ งล่างนี้ ถา้ ผลบวกของแต่ละแถว ผลบวกของแตล่ ะหลกั
และผลบวกของแนวทแยงมมุ ทั้งสองเทา่ กันหมด จงหาค่าของ a + b + c + d + e + f

ab6
cde
f 72

ตอบ ..............................

57. Sup’k-Pb 2.22 ถา้ x เป็นจํานวนจริงท่สี อดคล้องกบั สมการ log (x + 1) = 3 log 2
และ y เป็นจํานวนจรงิ ที่สอดคลอ้ งกับสมการ 2y = 81 แลว้ x + y มคี ่าเท่ากบั ข้อใดต่อไปน้ี
1) 1 2) 2 3) 4 4) 5

58. Sup’k-Pb 2.23 กาํ หนดให้ A เป็นเซตคาํ ตอบของสมการ 3x = 2x2 และ B = {2x | x ∈ A}
แลว้ ผลบวกของสมาชกิ ทงั้ หมดของเซต B มีคา่ เทา่ กบั เท่าใด
ตอบ ..............................

59. Sup’k-Pb 2.24 กําหนดให้ p, q, r และ s เปน็ ประพจน์

ถา้ (p ∧ q) → (r ∨ s) มีคา่ ความจริงเป็นเท็จ

แล้วประพจนใ์ นข้อใดต่อไปน้ีมคี วามจริงเปน็ จรงิ

1) ∼(p → s) 2) p ∧ r 3) ∼(r → q) 4) q ↔ s

60. Sup’k-Pb 2.25 กําหนดให้ A เปน็ เซตคําตอบของอสมการ 1 3 -|1 2x ≥ 0 ขอ้ ใดต่อไปนถ้ี ูก
- - x|

1) A′ I [2, 3) ≠ ∅ 2) A′ ⊂ (-∞, 0)

3) A I (1, 2) = ∅ 4) A ⊂ (1, ∞)

61. Sup’k-Pb 2.26 จงหาผลบวกของสมาชิกใน A
เมื่อ A = {a ∈ I+ | a ≥ 3 และ a - 2 เป็นตวั ประกอบของ 3a2 - 2a + 10}

ตอบ ..............................

คณติ ศาสตร์ (232) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปที ่ี 27

62. Sup’k-Pb 2.27 ให้ C เปน็ วงกลม x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 มีจดุ ศูนยก์ ลางอย่ใู นจตุภาคท่ี 1 และ
สมั ผสั แกน Y ให้ P เป็นพาราโบลา Dx = y2 + Ey + F ทผี่ า่ นจดุ (-4, -1) และระยะระหวา่ งจุดยอดกบั

โฟกัสเทา่ กบั 1 หน่วย

พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปน้ี
(ก) D2 + E2 + F2 = 133

(ข) เส้นตรง 4x + 3y - 7 = 0 สัมผัสกับวงกลม C

ขอ้ ใดต่อไปนถ้ี กู ต้อง

1) (ก) ถูก และ (ข) ถกู 2) (ก) ถกู แต่ (ข) ผิด

3) (ก) ผดิ แต่ (ข) ถูก 4) (ก) ผดิ และ (ข) ผิด

63. Sup’k-Pb 2.28 ให้ C เปน็ วงกลมที่มสี มการเป็น x2 + y2 = 4 และ l เปน็ เส้นสมั ผัสวงกลม C ทีจ่ ดุ ใน

จตภุ าค (Quadrant) ท่ี 1 และ l ผ่านจุด (5, 0) จงหาความชนั ของ l

ตอบ ..............................

64. Sup’k-Pb 2.29 ถ้า F1 และ F2 เปน็ โฟกสั ของไฮเพอร์โบลา (y - 20)2 - (x + 11)2 =1 แลว้
5 4

ส่วนของเสน้ ตรง F1F2 มคี วามยาวเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้

1) 1 หน่วย 2) 2 หนว่ ย 3) 3 หนว่ ย 4) 5 หนว่ ย

65. Sup’k-Pb 2.30 ให้ m เป็นคาํ ตอบของสมการ f(m) = 1 เม่ือ f(x) = x แล้ว
4 x2 + 3x + 1

จงหา 4 ⋅ f(m2) เท่ากับเท่าใด

ตอบ ..............................

โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปีที่ 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (233)

ชดุ ที่ 3

71. กล่องใบหน่งึ บรรจสุ ลาก 10 ใบ แตล่ ะใบมีตวั เลขกาํ กบั ไว้ มสี ลาก 5 ใบทตี่ ัวเลขกํากับเป็นจาํ นวนลบ และ

อกี 5 ใบทตี่ วั เลขกาํ กบั เป็นจาํ นวนบวก ถา้ สุ่มหยบิ สลากจากกลอ่ งน้ีมา 4 ใบ ความน่าจะเป็นทผี่ ลคูณ

ของตัวเลขท่ีกํากับสลากท้ังสี่ใบเปน็ จํานวนลบ มคี า่ เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
10 13
1) 21 2) 11 3) 21 4) 17
21 21

72. ข้อมูลชดุ หนงึ่ ประกอบดว้ ย 9 จํานวน ดังน้ี 185 180 190 175 193 187 y 200 199 ถ้า y เปน็ เดไซลท์ ี่ 6

ของขอ้ มลู ชดุ นี้แลว้ หากส่มุ ข้อมูลจากชุดนมี้ า 5 จาํ นวน ความนา่ จะเป็นท่ีขอ้ มลู 5 จาํ นวนน้มี ีคา่ มธั ยฐาน

เปน็ y เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ 5 8
21 21
1) 2 2) 4 3) 4)
21 21

73. กําหนดให้ an เป็นลําดบั ล่เู ขา้ และ bn เป็นลําดบั เลขคณติ ทมี่ ีผลตา่ งร่วมไม่เทา่ กบั 0

ถ้า lim  an + 1 2 + anbnb-nbn+1  =0 แล้ว lim (2an + 1)2 มีคา่ เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้
bn 
n→∞  n→∞

1) 1 2) 2 3) 4 4) 5

74. กําหนดให้ x1, x2, ... , x11 เปน็ ข้อมลู 11 จาํ นวนซ่ึงเรยี งค่าจากน้อยไปมาก ถา้ ขอ้ มูลชดุ นี้มคี ่าเฉลีย่

5 11

เลขคณิตเทา่ กับมธั ยฐาน และมสี ่วนเบยี่ งเบนเฉล่ยี เทา่ กบั 5.2 โดยที่ Σ xi = 42.8 แล้ว Σ xi มีคา่
i=1 i=6

เทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1) 100 2) 114.28 3) 142.80 4) 157.20

75. ค่าของ ∞ min 21n, 31n  + max  (-21)n, 1   เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปนี้
  3n  
Σ   

n=1

1) 13 2) 2441 3) 3 4) -2
9 2

76. คะแนนสอบของนกั เรยี น 2 กลุม่ จาํ นวน 7 คนและ 5 คน ซึ่งได้มกี ารเรียงลาํ ดับคะแนนจากน้อยไปมาก
ดงั นี้
กลุ่มที่ 1 : 2 3.6 4.5 5.5 6 7 8
กลุม่ ที่ 2 : 2 5 5.4 a 8
ถ้าส่วนเบย่ี งเบนควอรไ์ ทลข์ องคะแนนสอบของนกั เรยี นท้งั สองกลมุ่ เทา่ กนั แล้ว ขอ้ ใดต่อไปนีเ้ ปน็ จรงิ
1) 5.5 ≤ a ≤ 6.0 2) 6.1 ≤ a ≤ 6.6 3) 6.7 ≤ a ≤ 7.2 4) 7.3 ≤ a ≤ 7.9

77. คะแนนสอบแข่งขนั ครงั้ หนงึ่ มีการแจกแจงปกติ โดยท่ีสมั ประสิทธิ์ของการแปรผันเท่ากบั 0.5 คา่ มาตร
ฐานของคะแนนสอบของนาย ก. และนาย ข. เทา่ กบั 1 และ 1.5 ตามลาํ ดับ ถ้านาย ก.สอบได้ 45 คะแนน
แลว้ นาย ข. สอบได้ก่คี ะแนน

คณิตศาสตร์ (234) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปที ี่ 27

78. คะแนนสอบของนักเรยี นของหอ้ งหน่งึ มกี ารแจกแจงปกติ โดยที่ 12.3% ของนกั เรยี นสอบได้คะแนนตั้งแต่

86 คะแนนขึน้ ไป 50% ของนักเรยี นสอบได้คะแนนตง้ั แต่ 74.4 คะแนนขึ้นไป ถา้ พ้นื ทีใ่ ต้โค้งปกติมาตร

ฐานเปน็ Z(1.00) = 0.3413, Z(1.16) = 0.3770, Z(2.04) = 0.4793, Z(3.09) = 0.4990 แลว้

เปอร์เซน็ ต์ของนักเรียนท่สี อบได้คะแนนนอ้ ยกวา่ 54 คะแนน มีคา่ เทา่ กับข้อใดต่อไปนี้

1) 2.00 2) 2.04 3) 2.07 4) 2.10

79. ถ้าในการศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างจํานวนปีที่มีประสบการณ์การขาย (X) และรายได้ต่อปี (Y)

(หนว่ ยเปน็ หมื่นบาท) ของพนักงานขายสนิ ค้าชนดิ หนึง่ โดยใชข้ ้อมลู จากพนกั งาน 6 คน

ได้สมการปกตขิ องความสมั พนั ธเ์ ชิงฟังกช์ นั ท่มี รี ปู สมการเป็น Y = a + bX คือ

42 = 6a + 12b

96 = 12a + 28b

พนกั งานผู้ทม่ี ีประสบการณ์การขาย 5 ปี จะมรี ายไดต้ อ่ ปีโดยประมาณเท่าใด (หนว่ ยเปน็ หม่ืนบาท)

80. กาํ หนดให้ a และ b เป็นจํานวนจริง ถา้ f(x) = (x - 1)2 , x≥1
ax3 + bx2 + x , x<1

เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เนือ่ งและหาอนุพนั ธไ์ ด้ท่ีจดุ x = 1 แล้ว f(-1) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปน้ี

1) -6 2) -4 3) 0 4) 4

81. กําหนดให้ f(x) = x3 - 3x + 6 ถา้ P เป็นจดุ บนกราฟของ y = f(x) ท่ใี หค้ ่าสูงสดุ สัมพทั ธข์ อง f แลว้

เส้นตรงทีผ่ ่านจุด P และจดุ (2, 6) มคี วามชันเท่ากับข้อใดตอ่ ไปนี้

1) -1 2) -2/3 3) 2/3 4) 2

82. กําหนดให้ f เปน็ ฟงั ก์ชนั ท่นี ยิ ามโดย f(x) = 16 - x2 , x>4
x - 4
kx2 + x - 2 , x ≤ 4

ถา้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องท่ี x = 4 แลว้ (f′of′)(5) เท่ากับข้อใดตอ่ ไปนี้

1) 1.50 2) 1.75 3) 2.00 4) 2.25

83. กาํ หนดให้ f″(x) = ax เม่อื a เปน็ คา่ คงตัว ถา้ เสน้ ตรง 2x + y - 6 = 0 สมั ผัสกบั กราฟของ f ทจ่ี ดุ (1,4)

1
และ f(0) = 8 แลว้ ∫ f(x)dx เท่ากับข้อใดตอ่ ไปน้ี
0

1) 22 2) 23 3) 42 4) 43
4 4 4 4

โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 27 ________________________________________คณติ ศาสตร์ (235)

84. โรงงานแหง่ หนึ่งตอ้ งการผลิตสินค้า 2 ชนดิ จากวัตถุดิบ 3 ประเภท โดยทม่ี ีขอ้ มูลเกี่ยวกับปรมิ าณวตั ถุดบิ
แตล่ ะประเภทท่ตี อ้ งใช้ในการผลติ แต่ละชนิ้ ของสนิ ค้าแต่ละชนดิ ตามตารางต่อไปน้ี

วัตถดุ ิบประเภท ปรมิ าณวตั ถุดบิ ท่ีตอ้ งใช้ในการผลิตแต่ละชนิ้ ของ

A สนิ ค้าชนิดท่ี 1 สินคา้ ชนิดที่ 2
B
C 21

11

10

ถ้าโรงงานน้มี วี ัตถุดิบประเภท A, B, C อยู่เป็นปรมิ าณทั้งหมด 15, 12, 5 หนว่ ย ตามลําดับ และราคาขาย
ต่อชิน้ ของสินคา้ ชนดิ ท่ี 1, ชนดิ ที่ 2 คอื 1.50 บาท และ 1 บาท ตามลําดับ ดงั น้ันเพือ่ ใหไ้ ดร้ ายไดม้ ากท่ีสุด
จากการขายสินคา้ ทั้งสองชนิด

ก. โรงงานนค้ี วรผลิตสนิ คา้ ชนดิ ที่ 1 จาํ นวนเท่าใด และชนิดที่ 2 จํานวนเท่าใด
ข. ภายหลังการผลิตจะมวี ัตถดุ บิ เหลอื อยู่ทั้งหมดเทา่ ใด

85. โรงงานแหง่ หนึ่งผลติ สนิ คา้ สองชนิด ชนดิ แรกผลิตจาํ นวน x ชนิ้ ราคาขายชนิ้ ละ 400 บาท ชนิดทส่ี อง

ผลิตจาํ นวน y ช้ิน ราคาขายชน้ิ ละ 200 บาท โดยมีอสมการข้อจํากดั คือ

3x + y ≥ 6

x + 3y ≥ 6

x+y≤4

แล้วโรงงานแหง่ นจี้ ะขายสนิ ค้าทั้งสองชนดิ ได้เงินสงู สดุ ก่ีบาท

86. พื้นท่ขี องอาณาบรเิ วณทอี่ ยู่ระหว่างเส้นโคง้ y = x3 - 4x และแกน X เมอ่ื x อย่ใู นช่วง [-2, 1] มคี ่าเทา่ ใด

87. 999 1 + 1 + (k 1 มีค่าเท่าใด
k2 + 1)2
ผลรวมอนกุ รม ∑

k=1

88. กาํ หนดให้ z1, z2 ,... , z2558 เปน็ รากของสมการ z2559 - 1 = 0 ทแี่ ตกตา่ งกันทงั้ หมด และไม่ใช่ 1
จงหาคา่ ของ (2 - z1)(2 - z2)(2 - z3) ... (2 - z2558)

89. กาํ หนดให้ z1 และ z2 เปน็ จํานวนเชงิ ซ้อนซง่ึ |z1 + z2| = | z1 - z2 | = 3 ถ้า |z2| = 2 แล้ว |z1 - 2z2|2
มีค่าเทา่ กบั ข้อใดต่อไปน้ี

1) 18 2) 19 3) 20 4) 21

90. กาํ หนดให้ f(x) = log  11 + xx  เม่อื -1 < x < 1 ถ้า ∫f(x)dx = A แล้ว ∫f  3x + x3  dx ตรงกบั ข้อใด
 1 + 3x2 
-

ตอ่ ไปนี้

1) 2A 2) 3A 3) A2 4) A3 - A

คณติ ศาสตร์ (236) ________________________________________โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปีที่ 27

91. กาํ หนดใหล้ ําดับ an สอดคลอ้ งกับสมการ 2a1 + a2 + 4a3 + ... + (n + 1)an = n + 2
3 3 3 n + 3

เมอ่ื n เป็นจํานวนนับ คา่ ของ ∞ 21an เทา่ กบั ขอ้ ใด

∑
n=8
63 7 119 105
1) 220 2) 20 3) 40 4) 4

92. จงหาผลบวกของอนกุ รม loga2 3 b + loga4 9 b7 + loga8 27 b37 + loga16 81 b175 + ... เมอ่ื a, b > 0
4 1 1
1) 3 logab 2) logab 3) 2 logab 4) 3 logab(48)

93. ถา้ eiθ -2ie-iθ = sin θ แล้ว ผลบวก n พจน์ของอนกุ รม n (ei(2k-1)x - e-i(2k-1)x ) เม่ือ x ≠0

∑
k=1
มีคา่ เทา่ กับเท่าใด

1) 2i sin nx 2) 2i sin2 nx 3) 2i sin3 nx 4) 2i sin4 nx
sin x sin x sin x sin x

94. กําหนดให้ 1 - x2 + x4 - x6 + ... เปน็ อนุกรมคอนเวอร์เจนต์ จงหาผลบวกของคา่ x ท้งั หมด
4 16 64
12x
ทสี่ อดคล้องกับสมการ 101- x2 + x4 - x6 +... - =0
4 16 64 10 8x2 +9x-2

95. สําหรับจํานวนเตม็ บวก n กราฟพาราโบลา y = (n2 + 3n + 2)x2 - (2n + 3)x + 1 ตัดแกน X ทจี่ ดุ

(an, 0) และจุด (bn, 0) คา่ ของ ∞ anbn เท่ากับเท่าใด

1 ∑ 3 4) 32
2 4
n=1

1) 1 2) 3)

96. จงหาวา่ ลําดบั เลขคณิตทัง้ หมดท่เี ปน็ ลาํ ดับเพ่มิ ทมี่ ีสามพจนแ์ ละแต่ละพจน์เป็นสมาชกิ ของ {1, 2, 3, ..., 19}
มที ้งั หมดกีล่ าํ ดับ

97. กาํ หนดให้ A = {1, 2, 3, ..., 50} และ S เปน็ สบั เซตของ A ซงึ่ ผลบวกของสมาชกิ สองตัวใดๆ ที่ตา่ งกัน
ใน S หารดว้ ย 7 ไมล่ งตวั แลว้ S มจี าํ นวนสมาชิกไดม้ ากท่ีสุดเทา่ ใด

98. กําหนดให้ x = {1, 2, 3, ..., 9, 10} และ

Y = {(A, B) | A, B เปน็ สับเซตของ X, A U B = x และ A I B = {1}}

จํานวนสมาชิกของเซต Y เป็นเทา่ ใด

1) 29 2) 29 × 29 3) 210 4) 29 × 210

99. ให้ P0(x) = x3 + 696x2 - 95x - 10 นิยาม Pn(x) = Pn-1(x - n) สําหรบั จาํ นวนเต็มบวก n
สัมประสิทธขิ์ อง x ใน P30(x) มคี ่าเทา่ กบั เท่าใด

100. กาํ หนดให้ a และ b เปน็ จํานวนเต็ม จงหาจํานวนคอู่ ันดับ (a, b) ทง้ั หมดที่สอดคล้องกบั เง่ือนไขตอ่ ไปนี้

1. f(x) = x5 - 3x3 + a2x - 10 , f(2) = 0
x3 + b2x - 16

และ 2. |a - b| ≤ 4

โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปที ี่ 27 ________________________________________คณติ ศาสตร์ (237)

101. ถา้ ความสัมพนั ธเ์ ชิงฟังก์ชันของข้อมูลชดุ หนึ่งระหว่างตวั แปร x และ y มกี ราฟเป็นเสน้ ตรง

โดยที่ 8 8 8 = 65 , 8 xi2 = 140 , 8 yi2 = 34

i∑=1xi = 32 , i∑=1yi = 16 , i∑=1xiyi ∑ ∑

i=1 i=1

ถา้ x = 8 แลว้ จะประมาณคา่ y ได้เท่าใด

102. ถา้ z เป็นจํานวนเชิงซ้อนทส่ี อดคล้องกับสมการ z|z| + 2z + i = 0 แล้ว

ส่วนจนิ ตภาพของ z มีคา่ เท่ากับข้อใดตอ่ ไปนี้

1) -1 2) 2 3) 2 - 1 4) 1 - 2

103. จงหาค่าลมิ ิตของลาํ ดบั an = n2 + 1150n + 2558 - n2 + 1112n + 2015 เมอ่ื n = 1, 2, 3, ...

104. กําหนดให้ I(a) = a∫ (x2 - 1)dx สาํ หรบั a ∈ [0, ∞) ประโยคในข้อใดต่อไปน้ีมคี ่าความจริงเป็นจริง

-a

เมอ่ื เอกภพสัมพทั ธค์ ือชว่ ง [0, ∞)

1) ∀a[I(a) > 0] 2) ∀a[(I(a) = 0) ⇒ (a = 0)]

3) ∃a[(a > 2) ∧ (I(a) = 0)] 4) ∃a[(a ≠ 0) ∧ (I(a) = 0)]

105. กําหนดให้ f(x) = 4x2 + 8x + 13 เมื่อ x เปน็ จํานวนจริงบวกใดๆ
6(1 + x)

พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้

ก. f เป็นฟังก์ชนั เพม่ิ บนช่วง (0, 2)
25
ข. คา่ ต่าํ สดุ สัมพทั ธ์ของ f เท่ากบั 12

ข้อใดต่อไปน้ีถกู ตอ้ ง

1) ก. ถกู และ ข. ถกู 2) ก. ถกู แต่ ข. ผิด 3) ก. ผดิ แต่ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผดิ

คณิตศาสตร์ (238) ________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปที ี่ 27

เฉลย

ชุดท่ี 1 2. 5) 3. 1) 4. 2) 5. 4)
7. 3) 8. 4) 9. 3) 10. 5)
ตอนท่ี 1 12. 1) 13. 2) 14. 1) 15. 3)
17. 3) 18. 1) 19. 5) 20. 5)
1. 5) 22. 5) 23. 1) 24. 3) 25. 2)
6. 4) 27. 5) 28. 2) 29. 2) 30. 4)
11. 3) 32. 4)
16. 1) 35. 12 36. 3 37. 89
21. 2) 34. 4 40. 0.54
26. 4) 39. 6.9
31. 3)

ตอนที่ 2

33. 5
38. 30

ชดุ ท่ี 2

36. Sup’k-Pb 2.1 ตอบ 2)

37. Sup’k-Pb 2.2 ตอบ (-∞, log2 ( 2 - 1)] U  21 , ∞ 


38. Sup’k-Pb 2.3 ตอบ (-∞, 0)

39. Sup’k-Pb 2.4 ตอบ 3)

40. Sup’k-Pb 2.5 ตอบ 1)

41. Sup’k-Pb 2.6 ตอบ 1)

42. Sup’k-Pb 2.7 ตอบ 3)

43. Sup’k-Pb 2.8 ตอบ 3)

44. Sup’k-Pb 2.9 ตอบ 4

45. Sup’k-Pb 2.10 ตอบ 3)

46. Sup’k-Pb 2.11 ตอบ 3)

47. Sup’k-Pb 2.12 ตอบ 4

48. Sup’k-Pb 2.13 ตอบ 66

49. Sup’k-Pb 2.14 ตอบ 1
64

โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปีที่ 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (239)

50. Sup’k-Pb 2.15 ตอบ 4)

51. Sup’k-Pb 2.16 ตอบ 1
2

52. Sup’k–Pb 2.17 ตอบ 0

53. Sup’k-Pb 2.18 ตอบ 5-1
2

54. Sup’k-Pb 2.19 ตอบ  1 , 2 
 3 


55. Sup’k-Pb 2.20 ตอบ (-3, 1, 2) , (-3, -2, 2) , (2, 1, 2) , (2, -2, 2)

56. Sup’k-Pb 2.21 ตอบ 12

57. Sup’k-Pb 2.22 ตอบ 3)

58. Sup’k-Pb 2.23 ตอบ 4

59. Sup’k-Pb 2.24 ตอบ 1)

60. Sup’k-Pb 2.25 ตอบ 1)

61. Sup’k-Pb 2.26 ตอบ 51

62. Sup’k-Pb 2.27 ตอบ 1)

63. Sup’k-Pb 2.28 ตอบ - 2
21

64. Sup’k-Pb 2.29 ตอบ 4)
65. Sup’k-Pb 2.30 ตอบ 2

ชดุ ท่ี 3

71. 1) 72. 3) 73. 4) 74. 2) 75. 1)
80. 2)
76. 1) 77. 52.5 78. 3) 79. 16

81. 2) 82. 4) 83. 2)

84. ก. ผลิตสินคา้ ชนิดท่ี 1 จาํ นวน 3 ช้นิ ผลติ สินคา้ ชนดิ ท่ี 2 จํานวน 9 ชิ้น

ข. เหลือวตั ถุดบิ ประเภท C อยู่ 2 หน่วย

85. 900 86. 5.75 87. 999.999 88. 22559 - 1 89 4)
2
90. 2) 91. 2) 92. 2) 93. 2) 94. 3

95. 2) 96. 81 ลําดบั 97. 23 98. 1) 99. 1300
100.14 คู่อันดบั 101. 2.33 102. 4) 103. 1131
105. 4) 104. 4)

————————————————————
คณิตศาสตร์ (240) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ มั เมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 27