Brands Summer Camp ครั้งที่ 27 วิชาคณิตศาสตร์

โจทยต์ รรกศาสตร์ แนววลบี ง่ ปรมิ าณตัวแปรเดยี ว

BRAN-Pb1.2 (PAT1’ต.ค.53) กําหนดเอกภพสัมพทั ธ์ คือ เซตของจาํ นวนจริง

และ P(x) แทน (x + 1)2 = x + 1

Q(x) แทน x + 1 > 2

ขอ้ ใดต่อไปนมี้ คี า่ ความจรงิ ตรงขา้ มกบั ประพจน์ ∃x[P(x)] → ∀x[Q(x)]

1) ∃x[∼P(x)] → ∀x[∼Q(x)] 2) ∃x[P(x)] → ∃x[Q(x)]

3) ∃x[P(x) ∧ Q(x)] → ∀x[P(x)] 4) ∃x[P(x) ∨ Q(x)] → ∀x[Q(x)]

NaDate-Pb1.3 (PAT’มี.ค.56) กาํ หนดให้ P(x) แทน xx - 22 <2

+

และให้ Q(x) แทน |2x + 1| > x - 1

เอกภพสมั พทั ธใ์ นข้อใด

ทีท่ ําใหข้ อ้ ความ ∀x[Q(x)] → ∃x[P(x)] มีคา่ ความจริงเปน็ เทจ็

1) (-∞, -4)

2) (-5, -1)

3) (-3, 2)

4) (-1, ∞)

Happy–Pb4.4 (PAT’เม.ย.57) กําหนดใหเ้ อกภพสัมพัทธ์ คอื เซตของจาํ นวนจริงบวก
พจิ ารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ∀x[|x2 - 5x + 4| < x2 + 6x + 5] มคี ่าความจรงิ เป็นจริง
(ข) ∀x[|x2 - 1| ≥ 2x - 2] มีค่าความจรงิ เปน็ เท็จ

ข้อใดต่อไปนถี้ กู ตอ้ ง
1) (ก) ถูก และ (ข) ถูก
2) (ก) ถกู แต่ (ข) ผิด
3) (ก) ผดิ แต่ (ข) ถกู
4) (ก) ผดิ และ (ข) ผิด

โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปีที่ 27 _________________________________________คณิตศาสตร์ (99)

โจทยต์ รรกศาสตร์ แนววลีบ่งปรมิ าณ 2 ตัวแปร

SheLL1.2 (PAT1’ก.ค.53) กําหนดเอกภพสัมพทั ธ์ คือ {–1, 0, 1} ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ถูกต้อง

1) ∀x∀y[x + y + 2 > 0] มคี ่าความจรงิ เป็นจรงิ

2) ∀x∃y[x + y ≥ 0] มคี า่ ความจริงเป็นเท็จ

3) ∃x∀y[x + y = 1] มคี า่ ความจรงิ เป็นเทจ็

4) ∃x∃y[x + y > 1] มคี ่าความจรงิ เป็นเทจ็

แนวคดิ
เรามีเอกภพสัมพทั ธ์ คือ {-1, 0, 1} ซึง่ จะใชพ้ จิ ารณาค่าความจรงิ ของแต่ละตัวเลอื ก

(1) ผดิ , เนื่องจาก ∀x∀y[x + y + 2 > 0] มีค่าความจริงเปน็ เท็จ

เพราะว่ามี x = y = -1

ทที่ ําให้ (-1) + (-1) + 2 > 0

2 > 0 เป็นเทจ็

(2) ผดิ , เน่ืองจาก ∀x∃y[x + y ≥ 0] มีค่าความจรงิ เป็นจรงิ
ให้ x เปน็ สมาชิกใดๆ ใน {-1, 0, 1}
เลอื ก y = -x จะได้ x + y = 0 ≥ 0
ดงั น้ัน ∀x∃y[x + y ≥ 0] ≡ T

(3) ถูก, เนื่องจาก ∃x∀y[x + y = 1] มคี า่ ความจรงิ เป็นเท็จ
- เมอื่ x = -1 จะมี y = 1
ท่ที ําให้ (-1) + 1 = 1 ⇒ 0 = 1 (เป็นเทจ็ )
- เมอ่ื x = 0 จะมี y = 0
ท่ที ําให้ 0 + 0 = 1 ⇒ 0 = 1 (เปน็ เท็จ)
- เมอ่ื x = 1 จะมี y = -1
ที่ทําให้ 1 + (-1) = 1 ⇒ 0 = 1 (เป็นเทจ็ )

(4) ผิด, เน่อื งจาก ∃x∃y[x + y > 1] มีคา่ ความจรงิ เป็นจรงิ
เพราะวา่ มี x = y = 1

คณติ ศาสตร์ (100) ________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปที ี่ 27

Sigo-Pb1.2 (PAT1’พ.ย.57) ให้ R แทนเซตของจาํ นวนจรงิ

กําหนดเอกภพสัมพทั ธ์ คอื {x ∈ R | 0 < x < 1}

พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปนี้

(ก) ∃x∀y[x2 - y2 < y - x] มคี ่าความจรงิ เปน็ จรงิ

(ข) ∀x∀y[|x - y| < 1 - xy] มคี า่ ความจรงิ เปน็ จรงิ

ขอ้ ใดต่อไปนถ้ี ูกต้อง

1) (ก) ถูก และ (ข) ถกู 2) (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด

3) (ก) ผดิ แต่ (ข) ถูก 4) (ก) ผิด และ (ข) ผดิ

KAiOU-Pb1.2 (PAT1’ม.ี ค.53) ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1) ถ้าเอกภพสัมพัทธ์ คอื {–1, 0, 1} คา่ ความจรงิ ของ ∀x∃y[x2 + x = y2 + y] เป็นเทจ็
2) ถา้ เอกภพสัมพทั ธ์ เปน็ เซตของจํานวนจรงิ ค่าความจริงของ ∃x[3x = log3 x] เปน็ จรงิ
3) ถา้ เอกภพสัมพทั ธ์ เป็นเซตของจาํ นวนจรงิ

นิเสธของขอ้ ความ ∀x∃y[(x > 0 ∧ y ≤ 0) ∧ (xy < 0)]
คอื ∃x∀y[(xy < 0) → (x ≤ 0 ∨ y > 0)]

4) ถา้ เอกภพสมั พทั ธ์เป็นเซตของจาํ นวนเตม็

นิเสธของขอ้ ความ ∀x[(x > 0) → (x3 ≥ x2)] คือ ∃x[(x ≤ 0) ∧ (x3 < x)]

FPAT-Pb21 (PAT1’ก.ค.52) กาํ หนดเอกภพสัมพัทธ์ U = {n ∈ I+ | n ≤ 10}

ขอ้ ใดต่อไปน้มี คี า่ ความจริงเปน็ เทจ็

1) ∃x∀y[xy ≤ x + y] 2) ∀x∀y[(x2 = y2) → (x = y)]

3) ∀x∃y[(x ≠ 1) → (x > y2)] 4) ∃x∃y[(x – y)2 ≥ y2 + 9xy]

KMK-Pb1.1 (PAT1’ต.ค.52) กําหนดใหเ้ อกภพสัมพทั ธ์ คือ {–2, –1, 1, 2}

ประโยคในข้อใดตอ่ ไปนม้ี คี า่ ความจริงเปน็ เท็จ

1) ∃x∃y[x ≤ 0 ∧ |x| = y + 1] 2) ∃x∀y[x ≤ y ∧ –(x + y) ≥ 0]

3) ∀x∃y[x + y = 0 ∨ x – y = 0] 4) ∀x∀y[|x| < |y| ∨ |x| > |y|]

FPAT-Pb22 (PAT1’ม.ี ค.52) กําหนดให้เอกภพสัมพัทธ์ คือ U = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}

ขอ้ ใดต่อไปนถี้ กู ตอ้ ง

1) ∀x∀y[ x I y ≠ ∅ ] 2) ∀x∀y[ x U y = U ]
3) ∀x∃y[ y ≠ x ∧ y ⊂ x ] 4) ∃x∀y[ y ≠ x ∧ y ⊂ x ]

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 27 ________________________________________คณติ ศาสตร์ (101)

โจทย์ตรรกศาสตร์ แนวสมเหตสุ มผล

ทฤษฎี สมมติ ถ้ามเี หตุ : S1, S2, S3, ..., Sn
ผล : P

ข้อความดงั กลา่ วจะสมเหตุสมผล ก็ตอ่ เมือ่ [S1 ∧ S2 ∧ S3 ∧ ... ∧ Sn] → P เปน็ สัจนริ ันดร์

พดู ง่ายๆวา่ ตรวจสอบสมเหตสุ มผล ใหเ้ อา “(เหตุ ทั้งหมด มา ∧ กนั )→ ผล” มาเชค็ วา่ เป็นสจั นริ ันดร์

FPAT-Pb23 (B-PAT1’ต.ค.51) ให้ P, Q, R เป็นประพจน์ พิจารณาการอา้ งเหตุผลตอ่ ไปน้ี
เหตุ 1. P → (∼Q ∨ R)

2. Q ∨ R

3. ∼R
ผล S

S เป็นประพจน์ในข้อใด จงึ จะทาํ ให้การอา้ งเหตุผลขา้ งตน้ สมเหตุสมผล

1) ∼P 2) ∼Q 3) P ∨ ∼Q 4) P ∨ R

วิธีจรงิ [(P (~ Q ∨ R)) ∧ (Q ∨ R) ∧ (~ R)] [~ P]
ช้อย ขอ้ 1) ;

(๒) T (๖) T (T๒) F (๕) (๒) T F (๑) (F๒) T (๓)
(T (๗) (~ T ∨ F)) (๔) F

เกดิ ขอ ขดั แยง เพราะวา
จากขน้ั ที่ (๗) (T → (∼T ∨ F))

≡ (T → ( F ∨ F)) ≡ (T → (F)) ≡ F ซ่งึ ไมต่ รงกบั การแตกกิง่ ในข้ันท่ี (๒)

การเกดิ ขอ้ ขัดแยง้ หมายถึง การจับเทจ็ ไมส่ ําเรจ็ แสดงวา่ ประพจนใ์ นขอ้ น้ี เป็นสัจนริ ันดร์

∴ โจทย์ขอ้ นี้ เป็น ข้อความทส่ี มเหตสุ มผล ดว้ ย ตอบ

คณิตศาสตร์ (102) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 27

สรุปภาพรวม “ระบบจาํ นวนจริง”

เนนเฉพาะท่อี อกขอสอบ

แนวโน้มการออกขอ้ สอบ

5.00%

1. โจทยร์ ะบบจํานวนจริง แนวทฤษฎบี ทเศษเหลือ
2. โจทยร์ ะบบจํานวนจรงิ แนวแก้สมการพหุนาม
3. โจทยร์ ะบบจาํ นวนจรงิ แนวแกอ้ สมการ
4. โจทยร์ ะบบจาํ นวนจริง แนวแก้สมการคา่ สมบรู ณ์
5. โจทยร์ ะบบจาํ นวนจริง แนวแก้อสมการคา่ สมบรู ณ์

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (103)

โจทยร์ ะบบจํานวนจริง แนวทฤษฎบี ทเศษเหลอื

FPAT-Pb32 (B-PAT1’ต.ค.51) ให้ c เป็นคา่ คงตวั และ P(x) = x3 - 3x2 + c x +5
2

ถา้ P(x) หารดว้ ย x - 2 เหลือเศษเทา่ กับ 7 แลว้ P  c3 + 2  เทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้
 

1) 31 2) 33 3) 35 4) 37

Sigo-Pb 1.20 (PAT1’มี.ค.58) กําหนดให้ R แทนเซตของจํานวนจริง ให้ f, g และ h เปน็ ฟงั ก์ชนั พหุนามจาก
R ไป R โดยท่ี f(x) = 2x - 5, (f-1og)(x) = 4x

และ (goh)(x) หารด้วย x - 1 แล้วเหลือเศษ เทา่ กับ -21
ให้ c เป็นจํานวนเตม็ บวกทนี่ ้อยท่สี ุดท่ีสอดคล้องกบั h(x - c) = x3 - 3x2 - 2

พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี

(ก) (foh)(c) = 23 (ข) (h + g)(c) = 35

ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูกต้อง

1) (ก) ถูก และ (ข) ถกู 2) (ก) ถูก แต่ (ข) ผดิ 3) (ก) ผดิ แต่ (ข) ถูก 4) (ก) ผิด และ (ข) ผิด

โจทย์ระบบจํานวนจรงิ แนวแก้สมการพหุนาม

FPAT-Pb34 (B-PAT1’ต.ค.51) ให้ A = {x | x ∈ I และ x3 – x = 0} เซตในขอ้ ใดต่อไปน้ีเท่ากบั A

1) {x | x ∈ R และ x2 - x4 = 0} 2) {x | x ∈ R และ x3 + x = -2x}

3) {x | x ∈ I และ x2 - 1 = 0} 4) {x | x ∈ I และ x2 + 1 = -2x}

FPAT-Pb35 (PAT1’มี.ค.52) กาํ หนดให้ S = {x | |x|3 = 1} เซตในข้อใดต่อไปนี้เทา่ กับเซต S

1) {x | x3 = 1} 2) {x | x2 = 1}

3) {x | x3 = -1} 4) {x | x4 = x}

FPAT-Pb36 (B-PAT1’ต.ค.51) ให้ A เป็นเซตคาํ ตอบของสมการ x4 - 5 2 x2 + 8 = 0

ผลบวกของสมาชกิ ทเ่ี ปน็ จาํ นวนจรงิ บวกของ A เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1) 18 2) 24

3) 4 242 4) 4 162

FPAT-Pb37 (PAT1’มี.ค.52) กาํ หนดให้ S เป็นเซตคําตอบของสมการ 2x3 - 7x2 + 7x - 2 = 0
ผลบวกของสมาชิกทงั้ หมดของ S เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1) 2.1 2) 2.2 3) 3.3 4) 3.5

KMK-Pb1.4 (PAT1’ต.ค.52) ให้ A เปน็ เซตคําตอบของสมการ x3 + x2 - 27x - 27 = 0

และ B เป็นเซตคาํ ตอบของสมการ x3 + (1 - 3 )x2 - (36 + 3 )x - 36 = 0

A I B เปน็ สบั เซตของชว่ งในข้อใดต่อไปน้ี

1) [-3 5 , -0.9] 2) [-1.1, 0]

3) [0, 3 5 ] 4) [1, 5 3 ]

คณติ ศาสตร์ (104) ________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปีที่ 27

โจทย์ระบบจํานวนจรงิ แนวแกอ้ สมการ
FPAT-Pb39 (PAT1’ก.ค.52) ถ้า S = {x ∈ R | (x2 - 1)(x2 - 3) ≤ 15} มี a เป็นจาํ นวนที่มคี ่านอ้ ยทีส่ ดุ ใน S
และมี b เป็นจํานวนทมี่ ีคา่ มากทสี่ ดุ ใน S แล้ว (b - a)2 มีค่าเท่ากบั เท่าใด

1) 24 2) 12 3) 6 4) 3

Happy–Pb 5.1 (PAT1’มี.ค.57) ให้ R แทนเซตของจํานวนจริง ถ้า

A = x ∈R | x2 + x2 - 3x + 4 > 3x + 2
แล้วเซต A เป็นสับเซตของข้อใดต่อไปน้ี

1. (-∞, 2) U (3, 4) 2. (-∞, 0) U (3, ∞)

3. (-∞, -1) U (4, ∞) 4. (-1, ∞)

วธิ ีลดั

วิธีจรงิ
ให้ y = x2 - 3x + 4 จะได้ y ≥ 0 และ x2 - 3x - 2 = y2 -6
x2 + x2 - 3x + 4 ! 3x + 2
(x2 - 3x - 2) + x2 - 3x + 4 ! 0
(y2 - 6) + y ! 0
(y + 3)(y - 2) ! 0
เพราะว่า y ≥ 0 → y + 3 ! 0 จึงกล้า นาํ (y + 3) ไปหาท้ังสองข้าง
y-2 > 0
y>2
y2 > 4
x2 - 3x + 4 > 4
x2 - 3x > 0
x(x - 3) > 0

จะได้ (x < 0 หรอื x > 3) ทําให้ A = (-∞, 0) U (3, ∞)
ดงั นนั้ A = ⊂ (-∞, 0) U (3, ∞)

โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 27 ________________________________________คณติ ศาสตร์ (105)

โจทยร์ ะบบจํานวนจริง แนวแกอ้ สมการ ตดิ เศษส่วน ด้านใดดา้ นหน่งึ เทา่ กับ 0

FPAT-Pb41 (B-PAT1’ต.ค.51) ให้ X = x | (x - 2)(x + 3) ≤ 0 และ Y = {x | x ∈ X และ x < 0}
(x 4)(2x - 1) 
 +

ถ้า p เป็นสมาชิกที่มีค่ามากทีส่ ดุ ของ X และ q เปน็ สมาชกิ ทมี่ ีคา่ มากทส่ี ดุ ของ Y แล้ว |pq| เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1) 6

2) 8

3) 10

4) 12

FPAT-Pb43 (PAT1’ก.ค.52) ให้ A เป็นเซตคําตอบของอสมการ x4 - 13x2 + 36 ≥0
x2 + 5x + 6

ถ้า a เปน็ สมาชกิ ทีม่ ีค่าน้อยที่สุดในเซต A I (2, ∞) และ b เปน็ จาํ นวนจริงลบท่ีมีค่ามากท่สี ดุ โดยที่ b ∉ A
แลว้ a2 - b2 มคี า่ เท่ากบั เท่าใด

1) -5 2) –9

3) 5 4) 9

FPAT-Pb42 (PAT1’ก.ค.52) ให้ X คือ เซตคําตอบของอสมการ (2x + 1)(x - 1) ≥ 0
2-x

Y คอื เซตคาํ ตอบของอสมการ 2x2 - 7x + 3 < 0 ค่าของ 6a - b มคี ่าเท่าใด เมือ่ X I Y = [a, b)

1) 4 2) 6

3) 8 4) 10

โจทยร์ ะบบจํานวนจริง แนวแก้อสมการ ตดิ เศษสว่ น ด้านใดดา้ นหน่ึง ไม่เท่ากับ 0

KMK-Pb1.5 (PAT1’ต.ค.52) กําหนดให้ S = x | x2 x ≥ x+2 
- 3x - 2 x2 - 1 
 

ช่วงในข้อใดต่อไปนี้เปน็ สบั เซตของ S

1) (–∞, –3)

2) (–1, 0.5)

3) (–0.5, 2)

4) (1, ∞)

คณิตศาสตร์ (106) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ มั เมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 27

โจทยร์ ะบบจาํ นวนจริง แนวแกส้ มการค่าสัมบูรณ์

Happy–Pb 5.2 (PAT1’เม.ย.57) ถ้า A เป็นเซตคําตอบของสมการ |2 - 2x| + |x + 2| = 4 - x

แล้ว A เปน็ สบั เซตของช่วงใดต่อไปน้ี

1) (-4, 0) 2) (-1, 1)

3) (0, 4) 4) (-3, 2)

วธี ีลัด 1

วิธลี ัด 2

วิธีจรงิ |2 - 2x| + |x + 2| = 4 - x
2|x - 1| + |x + 2| = 4 - x
แยกกรณคี ิด
กรณีท่ี 1 x < -2 2(1 - x) + (-x - 2) = 4 - x
-3x = 4 - x
-2x = 4 ใชเ้ ป็นคําตอบไมไ่ ด้
x = -2

∴ เซตคําตอบกรณที ่ี 1 = ∅

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปีที่ 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (107)

กรณีท่ี 2 -2 ≤ x < 1
2(1 - x) + (x + 2) = 4 - x
4 - x = 4 - x เปน็ จรงิ เสมอ
∴x∈R

∴ เซตคําตอบกรณีที่ 2 = x ∈ R ∧ -2 ≤ x < 1
= [-2, 1)

กรณที ี่ 3 x ≥ 1

2(x - 1) + (x + 2) = 4 - x
3x = 4 - x
4x = 4

∴ เซตคาํ ตอบกรณที ่ี 3 = {1}

ทําให้ เซตคําตอบของสมการ คือ เซตคาํ ตอบกรณีท่ี 1 U กรณที ่ี 2 U กรณีท่ี 3
คือ ∅ U [-2, 1) U {1}
คือ [-2, 1]

∴ A = [-2, 1) U {1} = [-2, 1]
∴ A = ⊂ (-3, 2) ตอบ ขอ้ 4.

Happy–Pb 5.3 (PAT1’ม.ี ค.57) กําหนดให้ a และ b เปน็ จาํ นวนจริงบวก และ a < b

เซตคําตอบของสมการ |x - a| - |x - b| = b - a เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1) {b}
2) (a, b]
3) [b, ∞)
4)  a 2+ b , ∞ 

คณิตศาสตร์ (108) ________________________________________โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 27

โจทย์ระบบจาํ นวนจริง แนวแกอ้ สมการค่าสมั บรู ณ์ แบบมีแอบ๊ ข้างเดียวอีกขา้ งเปน็ ค่าคงท่ี

KAiOU-Pb1.4 (PAT1’มี.ค.53) กาํ หนดให้ A = x ∈R | x2 - 6x + 9 ≤ 4 เมือ่ R คอื เซตของจํานวนจรงิ
ข้อใดต่อไปนถ้ี กู ตอ้ ง

1) A′ = {x ∈ R | |3 - x| > 4} 2) A′ ⊂ (-1, ∞)
3) A = {x ∈ R | x ≤ 7} 4) A ⊂ {x ∈ R | |2x - 3| < 7}

BRAN-Pb1.3 (PAT1’ต.ค.53) ให้ I แทนเซตของจาํ นวนเตม็ และ P(S) แทนเพาเวอร์เซตของเซต S

ให้ A = {x ∈ I | | x2 - 1| < 8} และ B = {x ∈ I | 3x2 + x - 2 ≥ 0}

ข้อใดตอ่ ไปนถี้ กู ตอ้ ง

1) จํานวนสมาชกิ ของ P(A - B) เทา่ กับ 4 2) จํานวนสมาชกิ ของ P(I - (A U B)) เทา่ กบั 2

3) P(A - B) = P(A) - P(A I B) 4) P(A - B) - P(A I B) = {{0}}

โจทย์ระบบจํานวนจริง แนวแก้อสมการคา่ สัมบูรณ์ แบบมีแอบ๊ ข้างเดียวอีกข้างเปน็ ตวั แปร
FPAT-Pb46 (PAT1’มี.ค.52) กาํ หนดให้ A = {x | |x - 1| ≤ 3 - x} และ a เป็นสมาชิกคา่ มากท่ีสุดของ A
คา่ ของ a อยู่ในชว่ งใด

1) (0, 0.5]
2) (0.5, 1]
3) (1, 1.5]
4) (1.5, 2]

Happy–Pb 5.4 (PAT1’เม.ย.57)

กาํ หนดให้ A เป็นเซตของจํานวนจรงิ x ท้ังหมดทีเ่ ป็นคาํ ตอบของสมการ

4x + 3x =1
4x2 - 8x + 7 4x2 - 10x + 7
และ B เป็นเซตของจํานวนจรงิ x ท้ังหมดท่ีเปน็ คําตอบของอสมการ

|x2 - 2x| + x2 > 4

พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้

(ก) A ⊂ B

(ข) จาํ นวนสมาชิกของเพาเวอรเ์ ซตของ A I B เทา่ กับ 2
ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู ตอ้ ง

1) (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2) (ก) ถกู แต่ (ข) ผิด

3) (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4) (ก) ผดิ และ (ข) ผิด

โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปีที่ 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (109)

โจทยร์ ะบบจํานวนจรงิ แนวแก้อสมการค่าสัมบูรณ์ แบบมีแอบ๊ สองขา้ ง
FPAT-Pb45 (B-PAT1’ต.ค.51) ถา้ ช่วง (a, b) เป็นเซตคาํ ตอบของอสมการ 2|x + 3| > 3|x - 2| แลว้ b - a
เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี้

1) 11
2) 12
3) 13
4) 14

โจทยร์ ะบบจํานวนจรงิ แนวแกอ้ สมการค่าสัมบรู ณ์ แบบปลดแอ๊บโดยนิยาม

SheLL1.4 (PAT1’ก.ค.53) ถา้ A = x ∈R | |1 - |xx||--23| > 1 แล้ว A I [0, 1) เท่ากับข้อใด
x
+

1)  31, 32 

2)  31, 1 
 

3)  32, 1 
 

4)  32, 32 

NaDate–Pb1.4 (PAT1’ม.ี ค.56) กําหนดให้ R แทนเซตของจาํ นวนจริง

ให้ A = {x ∈ R ||2x - 5| + |x| ≤ 7}
และ B = {x ∈ R | x2 < 12 + |x|}

พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปนี้

ก. A I B ⊂ {x ∈ R | 1 ≤ x < 4}

ข. A - B เปน็ เซตจํากดั (finite set)

ข้อใดต่อไปนถี้ ูกต้อง

1) ก. ถกู และ ข. ถกู 2) ก. ถกู และ ข. ผิด

3) ก. ผดิ และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

Sigo–Pb1.5 (PAT1’ม.ี ค.58) ให้ a เป็นจํานวนจริง โดยที่ 0 < a < 1

เซตคําตอบของอสมการ a|x| + 1 > 1 เป็นสับเซตของข้อใดต่อไปนี้
x

1) -∞, -a1  2) -1, 1 1 a 
-

3) 1, a1  4)  1 1 a, ∞ 
-

คณิตศาสตร์ (110) ________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปที ี่ 27

สรุปภาพรวม “เรขาคณิตวเิ คราะหแ ละภาคตดั กรวย”
เนนเฉพาะท่ีออกขอ สอบ

แนวโน้มการออกขอ้ สอบ

6.60%

1. โจทยเ์ รขาคณิตวิเคราะห์
2. โจทย์ภาคตดั กรวย แนววงกลม
3. โจทยภ์ าคตดั กรวย แนวพาราโบลา
4. โจทย์ภาคตัดกรวย แนววงรี
5. โจทย์ภาคตัดกรวย แนวไฮเพอร์โบลา

โครงการแบรนดซ์ มั เมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (111)

เรขาคณติ วเิ คราะห์

‹สตู ร 1.11! พน้ื ทรี่ ปู n เหลย่ี ม
ในกรณที รี่ ูจ้ ุดยอด n จดุ ของรปู n เหลยี่ มใดๆ : (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), ..., (xn, yn)
เช่น จงหาพื้นท่ขี องรูป … ABCD เม่ือ A(1, 3), B(2, 0), C(5, 7), D(-1, 5)
แนวคิด

C(5, 7)

D(-1, 5)

A(1, 3) B(2, 0)

หลกั การใชส้ ตู ร
1. เริม่ ตน้ จากจดุ ใด ต้องลงท้ายด้วยจดุ น้นั
2. วนในทิศใดทศิ หนง่ึ
3. ....................................................................
4. ....................................................................
5. ....................................................................

ขอ้ ควรระวัง ............................................................................................................................

คณติ ศาสตร์ (112) ________________________________________โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 27

โจทยเ์ รขาคณิตวเิ คราะห์ แนวหาพื้นท่รี ูป n เหลย่ี ม

BRAN-Pb1.9 (PAT1’ต.ค.53) ให้ ABCD เปน็ รูปสเี่ หลย่ี มทม่ี จี ดุ ยอด

เปน็ A(-2, 3), B(2, 8), C(4, 4) และ D(0, -3) พน้ื ที่ของรูปสเี่ หลยี่ ม ABCD เทา่ กับข้อใดตอ่ ไปนี้

1) 16 ตารางหน่วย 2) 32 ตารางหน่วย

3) 10 13 ตารางหน่วย 4) 26 10 ตารางหน่วย

วธิ ีคดิ เรว็ ๆ

Tips จากครู Sup’k

วธิ ีจริง BRAN-Pb1.9 ตอบ 2) P(-2, 8) Y
ข้ันที่ 1 จากรูป B(2, 8) Q(4, 8)
พืน้ ท่ี [PQRS]= PQ ⋅ QR = |-2 - 4|⋅|-3 - 8| = 66 C(4, 4)

พืน้ ท่ี [ABP] = 1 ⋅ AP ⋅ BP = 1 |8 - 3||-2 - 2| A(-2, 3) X
2 2 D(0, -3) R(4, -3)

= 10 ตารางหนว่ ย

พืน้ ที่ [BCQ] = 1 ⋅ CQ ⋅ BQ = 1 |8 - 4||4 - 2|
2 2

= 4 ตารางหน่วย

1 1 S(-2, -3)
2 2
พน้ื ท่ี [CDR] = ⋅ CR ⋅ DR = |-3 - 4||4 - 0|

= 14 ตารางหน่วย

พ้นื ท่ี [ADS] = 1 ⋅ AS ⋅ DS = 1 |-3 - 3||-2 - 0|
2 2

= 6 ตารางหน่วย

ขั้นท่ี 2 จะหา พื้นที่ [ABCD] = [PQRS] - [ABP] - [BCQ] - [CDR] - [ADS]
∴ พื้นท่ี [ABCD] = 66 - 10 - 4 - 14 - 6 = 32 ตารางหน่วย

โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปที ่ี 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (113)

‹ สตู ร 1.1! สูตรระยะระหว่างจดุ สองจดุ

Y d = P1P2 = (x1 - x2)2 + (y1 - y2)2

P1(x1, y1)

เชน จงหาระยะหางระหวา งจุด A(5, -4), B(7, 8)
X วธิ ีทํา
AB = (5 - 7)2 + ((-4) - 8)2
P2(x2, y2) =
(-2)2 + (-12)2

= 4 + 144 = 148

‹สูตร 1.2! สูตรจดุ กงึ่ กลางหา่ งระหวา่ งจดุ สองจดุ

Y จดุ กึ่งกลางระหวา ง P1P2 =  x1 + x2, y1 + y2 
P1(x1, y1)
2 2

P2(x2, y2) เชน จงหาจดุ กึง่ กลางระหวา งจุด A(5, -4), B(7, 8)
X วิธที าํ จุดกึง่ กลาง =  5 2+ 7, (-4)2+ 8 

= (6, 2)

คณิตศาสตร์ (114) ________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 27

‹สตู ร 1.3! สตู รหาจดุ ปลาย เมือ่ ใหจ้ ดุ กึง่ กลาง และจุดปลายอกี ดา้ นหนึง่
Tips จากครู Sup’k

B(x, y)

A(5, -4) (6, 2) เชน่ ให้จุด (6, 2) เป็นจดุ กึ่งกลางระหว่างจุด A(5, -4), B จงหาจุด B
วิธที าํ สมมตวิ า่ จุด B(x, y)
-4 + y
(6, 2) = จดุ ก่ึงกลาง =  5 +2 x, 2 

6 = 5 +2 x , 2 = -4 + y
2

7=x , 8=y

∴ B(x, y) = B(7, 8)

NichTor-Pb3.1 (แนว PAT1’ธ.ค.54) กําหนดให้ A(1, 3) เปน็ จดุ กงึ่ กลางของ OP เม่ือ O(-1 , 2)
จงหาพิกดั จุด P ตอบ ..............................
วธิ ที ํา

โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปที ี่ 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (115)

FPAT-Pb48 (B-PAT1’ต.ค.51) ให้ ABCD เป็นส่ีเหลี่ยมดา้ นขนานท่ีอยูใ่ นระนาบ XY

ถ้า A = (-3, -2), B = (1, -5), C = (9, 1) แลว้ BD มคี า่ เท่ากับขอ้ ใดต่อไปนี้

1) 91 2) 10 3) 97 4) 10 2

วิธีคิดเรว็ ๆ D
Tips จากครู Sup’k
C(9, 1)

A(-3, -2)

B(1, -5)

วิธีจรงิ & พิสจู นส์ ตู รลัด ทฤษฎเี รขาคณิต
เสน้ ทแยงมุมของสีเ่ หลยี่ มด้านขนาน
ข้นั ท่ี 1 D(x, y) จะตัดกนั และแบ่งครงึ่ ซงึ่ กันและกัน

C(9, 1)

A(-3,-2) G
สมการ

B(1,-5) จดุ กึง่ กลางของเส้นทแยงมมุ AC = จดุ G = จุดกึง่ กลางของเสน้ ทแยงมมุ BD

 [-3]2+ 9, [-22] + 1  =  x 2+ 1, y +2[-5]

∴ [-3] + 9 = x+1 และ [-2] + 1 = y + [-5]
2 2 2 2

∴ 5 = x และ 4=y

∴ D(x, y) = D(5, 4)

ข้ันที่ 2 จะหา BD = ระยะ BD = (∆x)2 + (∆y)2 = (5 - 1)2 + (4 - [-5])2 = 97 ตอบ

คณิตศาสตร์ (116) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปที ่ี 27

โจทยเ์ พม่ิ เติมเรขาคณิตวเิ คราะห์

KAiOU-Pb1.15 (PAT1’มี.ค.53) ให้ ABC เป็นรปู สามเหลี่ยมที่มี A(0, 0) และ B(2, 2) เป็นจดุ ยอด และ C(x, y)

เป็นจดุ ยอดในจตุภาค (quadrant) ท่ี 2 ทีท่ าํ ให้ดา้ น AC ยาวเท่ากบั ดา้ น BC ถ้าพน้ื ที่ของสามเหล่ียม ABC มคี า่

เท่ากับ 4 ตารางหนว่ ย แลว้ จดุ C อยู่บนเสน้ ตรงในขอ้ ใด

1) x - y + 4 = 0 2) 4x + 3y - 1 = 0

3) 2x - y - 3 = 0 4) x + y - 5 = 0

KAiOU-Pb1.9 (PAT1’มี.ค.53) จดุ A(-3, 1), B(1, 5), C(8, 3) และ D(2, -3) เปน็ จดุ ยอดของรูปส่ีเหล่ียม

ABCD ขอ้ ใดต่อไปนผี้ ิด

1) ด้าน AB ขนานกับด้าน DC

2) ผลบวกความยาวของด้าน AB กับ DC เทา่ กบั 10 2 หน่วย

3) ระยะตง้ั ฉากจากจุด A ไปยังเส้นตรงทีผ่ า่ นจดุ C และ D มคี ่าเท่ากบั 92 หน่วย
2
9
4) ระยะต้ังฉากจากจุด B ไปยงั เส้นตรงท่ีผา่ นจุด C และ D มีคา่ เทา่ กบั 2 หน่วย

FPAT-Pb49 (B-PAT1’ต.ค.51) ให้ A(-1, -1) และ B(1, c) เป็นจุดในระนาบ XY ถ้า L เป็นเส้นตรงซึ่งผ่านจุด

A, B และมีความชันเท่ากบั 3 แล้วเส้นตรงทม่ี คี วามชันเทา่ กับ -2 และผา่ นจดุ B จะมีสมการดงั ข้อใดตอ่ ไปน้ี

1) y = -2x + 7 2) y = -2x + 5

3) y = -2x + 3 4) y = -2x + 1

SheLL1.9 (PAT1’ก.ค.53) รูปสามเหลย่ี ม ABC มี ABˆC เป็นมุมฉาก และด้านตรงขา้ มมุมฉากยาว 10 หนว่ ย
ถ้าพกิ ัดของจดุ A และจดุ B คือ (-4, 3) และ (-1, 2) ตามลาํ ดับ แลว้ สมการเสน้ ตรงในขอ้ ใดผ่านจดุ C

1) x + 8y - 27 = 0
2) 8x + y - 27 = 0
3) 4x - 5y + 3 = 0
4) -5x + 4y + 3 = 0

Sigo–Pb 1.17 (PAT1’พ.ย.57) เสน้ ตรง L1 ผ่านจดุ (-2, -4) มีความชนั เปน็ จํานวนเต็มบวก และตัดแกน X และ

Y ที่จุด A และ B ตามลาํ ดบั โดยท่ผี ลบวกของระยะตัดแกน X และระยะตดั แกน Y เทา่ กบั 3 หนว่ ย เสน้ ตรง L2

ขนาน กับเส้นตรง L1 และผ่านจดุ (0, -13)

ถ้า C เป็นจุดบนเส้นตรง L2 โดยท่ี CA = CB แลว้ พนื้ ทข่ี องสามเหล่ียม ABC เท่ากับกตี่ ารางหนว่ ย
1) 8.5 2) 7.5

3) 6.5 4) 5.5

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปที ่ี 27 ________________________________________คณติ ศาสตร์ (117)

‹สูตร 1.20! โปรเจกชันของจุด P บนเสน้ ตรง L

Y สตู ร ระยะหา่ งระหวา่ งจดุ P(x1, y1) กบั เสน้ ตรง L คอื
P(x1, y1) L : Ax + By + C = 0 |Ax1 + By2 + C|
d = A2 + B2

OX
ระวงั 1.20!

NichTor-Pb3.2 (แนว PAT1’ธ.ค.54) จงหาระยะทางทส่ี นั้ ทีส่ ุดจากจดุ P(3, 4) ไปยงั เสน้ ตรง 3y - 4x = 15
ตอบ .................................
วธิ ที ํา

Happy–Pb 6.1 (PAT1’เม.ย.57) เส้นตรง L มคี วามชนั เท่ากับ m โดยที่ m < 0

และผา่ นจุด A ซ่งึ เป็นจุดตดั ของเส้นตรง x - 3y + 1 = 0 และ 2x + 5y - 9 = 0
ถ้าระยะทางจากเสน้ ตรง L ไปยังจดุ (0, 0) เทา่ กับ k หนว่ ย และ k2 + 2m = 1

แล้วสมการของเส้นตรง L ตรงกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้

1) 2x + y - 5 = 0 2) 3x + y - 7 = 0

3) x + 2y - 4 = 0 4) x + 3y - 5 = 0

คณิตศาสตร์ (118) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปที ี่ 27

Happy–Pb 6.1 ตอบ 1.

แนวคดิ
ขนั้ ที่ 1

แกร้ ะบบสมการ x - 3y + 1 = 0 และ 2x + 5y - 9 = 0
จะได้จดุ ตดั ของเส้นตรงทง้ั สองเสน้ คือ จดุ A(2, 1)

ข้นั ที่ 2
เสน้ ตรง L มคี วามชันเทา่ กับ m < 0 จึงสมมติ สมการของ L เป็น y = mx + c

ข้นั ที่ 3
แต่ L ผา่ นจดุ A(2, 1) ดว้ ย จะได้ 2m + c = 1 หรอื c = 1 - 2m

ขั้นท่ี 4

เพราะว่า k เป็นระยะทางจากเส้นตรง L ไปยังจดุ (0, 0)

ฉะน้นั K = |m(0) - 1(0) + C| = |C|
m2 + (-1)2 m2 + 1

ขั้นที่ 5

จาก k2 + 2m = 1 จะได้ c2 + 2m = 1
m2 + 1

(1 - 2m)2 + 2m = 1
m2 + 1
(1 - 2m)2 + 2m(m2 + 1) = m2 + 1

(1 - 2m)2 - (1 - 2m)(m2 + 1) = 0

(1 - 2m)(1 - 2m - (m2 + 1)) = 0

(1 - 2m)(-2 - m)m = 0

m = 1 , -2, 0
2

ขน้ั ที่ 6 แต่ m < 0 จงึ ได้ m = -2 ทําให้ c = 1 - 2m = 1 - 2(-2) = 5
ดังนนั้ สมการของเสน้ ตรง L อยใู่ นรปู y = -2x + 5 หรือ 2x + y - 5 = 0 น่นั เอง

โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปที ่ี 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (119)

ภาคตัดกรวย : วงกลม .

‹สูตร 2.1! วงกลม
ระวัง! ก่อนใช้สูตร สัมประสทิ ธิ์ หน้า x2, y2 ตอ้ งเท่ากับ ……

สมการรปู ทว่ั ไป สมการมาตรฐาน
x2 + y2 + Ax + By + C = 0 (x - h)2 + (y - k)2 = r2

จุดศูนย์กลาง

รัศมี

เทคนิคล่นั ล้ากับครู Sup’k ร้องเพลงกับพี่ Sup’k แล้วจําได้เลย
วงกลมนน้ั มีสองส่ิงสําคญั คอื จุดศนู ยก์ ลาง กับ รัศมี ไง ศนู ยก์ ลางอยู่ที่ (h, k) = -A2, -B2 
ก่อนเคยเช่ือในลิขิตฟา้ ดนิ ปล่อยชีวิตไปตามโชคชะตา แต่ฝันไมเ่ คยถึงฝั่ง ผิดหวงั ในใจเรอ่ื ยมาเพราะไมม่ ีหัวใจ

รศั มี คือ ร้ดู ผลบวกของ กําลังสองของ.................... แล้ว...............................

จะดหี รอื เลวมนั อยทู่ ค่ี น จะมีหรอื จนมันอยทู่ ่ีใจ ดินฟ้าไมเ่ คยลิขิต

.........ตัวเลขใดๆ ............................................
ชีวิตจะเปน็ เช่นไร อย่าเลยอยา่ ไปถามฟ้า

NichTor-Pb3.3 (แนว PAT1’ธ.ค.54) จงหาจดุ ศนู ย์กลางและรศั มีของ x2 + y2 + 2x - 4y - 15 = 0
ตอบ...................................
วิธที ํา

คณิตศาสตร์ (120) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปีท่ี 27

วธิ กี ารตรวจสอบว่า จุดใดอย่ใู น หรอื อยูบ่ น หรอื อยู่นอกวงกลม

x2 + y2 = 25 กับ P(1, 0) x2 + y2 = 25 กบั P(3, 4) x2 + y2 = 25 กับ P(7, 10)
12 + 02 < 25 32 + 42 = 25 72 + 102 > 25

ควรจดั สมการใหอ้ ยู่รปู (x - h)2 + (y – k)2 = r2
หลงั แทนคา่ จุด P(x1, y1) ทีส่ นใจแล้ว
กรณีที่ 1 (x1 - h)2 + (y1 - k)2 < r2 แสดงวา่ จุด P อยใู่ นวงกลม
กรณีท่ี 2 (x1 - h)2 + (y1 - k)2 = r2 แสดงว่า จดุ P อย่บู นเสน้ รอบวงกลม
กรณที ี่ 3 (x1 - h)2 + (y1 - k)2 > r2 แสดงวา่ จุด P อย่นู อกวงกลม

หรือหากจดั ในรูป x2 + y2 + Ax + By + C = 0

หลงั แทนค่า จดุ P(x1, y1) ท่สี นใจแลว้
2 2
กรณที ่ี 1 x 1 + y 1 + Ax1 + By1 +C < 0 แสดงวา่ จดุ P อย่ใู นวงกลม
แสดงว่า จดุ P อย่บู นเสน้ รอบวงกลม
กรณีที่ 2 x12 + y12 + Ax1 + By1 + C = 0

กรณที ี่ 3 x12 + y12 + Ax1 + By1 + C > 0 แสดงวา่ จดุ P อยู่นอกวงกลม

NichTor-Pb3.4 (แนว PAT1’ธ.ค.54) จงตรวจสอบวา่ จดุ A(1, 3) อยดู่ ้านใน หรอื ดา้ นนอก
หรืออยูบ่ นเส้นรอบวงของ x2 + y2 + 2x - 4y - 15 = 0

ตอบ ..............................

โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปที ่ี 27 ________________________________________คณติ ศาสตร์ (121)

โจทยภ์ าคตัดกรวย แนววงกลม

PTOR–Pb3.5 (แนวข้อสอบจรงิ PAT1’ธ.ค.54) ถ้า P เปน็ จดุ บนวงกลม x2 + y2 + 2x - 4y - 15 = 0
ที่อยู่ใกลจ้ ุด A(1, 3) มากท่สี ดุ แล้วระยะทางจาก P ไปยังเส้นตรง 3y - 4x = 15 มคี า่ เท่าใด
ตอบ ..............................
วธิ ีลดั ใหฟ้ ังครู Sup’k สอนในหอประชมุ Brand’s Summer Camp

วธิ จี ริง

ขน้ั ท่ี 1 x2 + y2 + 2x - 4y - 15 = 0 Tips จากครู Sup’k

จดั รปู กาํ ลังสองสัมบูรณ์

(x2 + 2x + 1) + (y2 - 4y + 4) = 20

(x + 1)2 + (y - 2)2 = 20
(x + 1)2 + (y - 2)2 = 20 2

∴ วงกลมมจี ดุ ศูนยก์ ลางที่ O(-1, 2) รศั มี r = 20 = 2 5 หน่วย

ขัน้ ท่ี 2 จดุ P(a, b) บนวงกลมทีอ่ ย่ใู กล้ A(1, 3) มากทจ่ี ดุ Y
คอื จุด P ทท่ี าํ ให้ O, A, P อยู่บนเสน้ ตรงเดยี วกนั (ดูรปู )

สังเกตวา่ OA = (1 - (-1))2 + (3 - 2)2 = 5 = r P(a, b)
2
A(1, 3)
ฉะน้ัน A เป็นจุดก่ึงกลางของ OP O(-1, 2)

จะได้ a-1 = 1 และ b+2 =3 X
2 2

a = 3 และ b = 4

ฉะนัน้ พกิ ัดของจดุ P คอื P(3, 4)

ขั้นที่ 3 จะหาระยะห่างจาก P กบั เส้นตรง 3y - 4x = 15
คือ
ระยะหา่ งจาก P กบั เสน้ ตรง 3y - 4x - 15 = 0

d= |3(4) - 4(3) - 15| หนว่ ย = 3 หนว่ ย
32 + (-4)2

คณติ ศาสตร์ (122) ________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 27

BRAN-Pb1.8 (PAT1’ต.ค.53) พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี
ก. x2 + y2 + 6x - 4y = 23 เป็นสมการวงกลมทส่ี มั ผัสกับเส้นตรง

ซ่ึงมสี มการเปน็ 21x + 20y + 168 = 0
ข. y2 + 16x - 6y = 71 เปน็ สมการของพาราโบลาที่มจี ดุ ยอดท่ี (–5, 3)

และจดุ โฟกัสที่ (-1, 3)

ข้อใดต่อไปนถ้ี กู ต้อง

1) ก. ถกู และ ข. ถูก 2) ก. ถกู และ ข. ผิด 3) ก. ผดิ และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผดิ

NaDate-Pb1.8 (PAT1’มี.ค.56) ใหพ้ าราโบลา P มสี มการเป็น y2 - 2y + 6x + 4 = 0

ถ้าวงกลมวงหนงึ่ ผ่านจุดโฟกัสของพาราโบลา P และสัมผัสกบั เสน้ ตรง 3x - 2y - 6 = 0

ณ จดุ (4, 3) แล้วสมการของวงกลมตรงกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้

1) 7x2 + 7y2 - 4x - 82y - 55 = 0 2) 7x2 + 7y2 + 4x + 82y + 55 = 0

3) 7x2 + 7y2 - 4x + 82y - 55 = 0 4) 7x2 + 7y2 + 4x - 82y + 55 = 0

KMK-Pb1.9 (PAT1’ต.ค.52) กําหนดให้ A = {(x, y) | x2 + y2 = 1}
และ B = {(x, y) | x2 + y2 – 10x - 10y + 49 = 0}

ถา้ p ∈ A และ q ∈ B แล้ว ระยะทางมากทสี่ ุดท่ีเป็นไปไดร้ ะหว่างจุด p และ q เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้

1) 5 2 หนว่ ย 2) 2 + 5 2 หนว่ ย 3) 2 5 หน่วย 4) 5 + 2 5 หนว่ ย

BRAN-Pb2.34 (PAT1’ต.ค.53) จดุ A(1 , 0) และจุด B(b , 0) เมอ่ื b > 1 เปน็ จดุ ปลายของเสน้ ผา่ นศูนย์กลาง

ของวงกลมวงหนงึ่

ถา้ เสน้ ตรง L ผ่านจดุ (-1, 0) และสมั ผัสกบั วงกลมวงน้ี มีความชนั เท่ากบั 4 แลว้ b เทา่ กบั เท่าใด
3

ตอบ...........................

FPAT-Pb50 (PAT1’มี.ค.52) กําหนดให้ วงกลมรปู หนงึ่ มจี ดุ ศูนยก์ ลางอยทู่ ีจ่ ดุ (2, 1)

ถ้าเสน้ สมั ผัสวงกลมท่จี ดุ x = 1
1
เส้นหน่ึงมีความชันเท่ากับ 3 แลว้ จดุ ในขอ้ ใดตอ่ ไปนีอ้ ยูบ่ นวงกลมท่ีกาํ หนด

1) (0, 1) 2) (0, 2) 3) (1, 0) 4) (3, 0)

โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 27 ________________________________________คณติ ศาสตร์ (123)

โจทยภ์ าคตดั กรวย แนวพาราโบลา

เมอื่ c > 0 เส้นไดเรกตริกซ์ เมอ่ื c < 0

• (x – h)2 = 4 c(y – k) •V (x– h)2 = 4 c(y – k)
•F
•V (h, k)

เสน้ ไดเรกตรกิ ซ์

จุดยอด คือ V(h, k) จุดยอด คอื V(h, k)

จดุ โฟกัส คอื F(h, k + c) จดุ โฟกสั คอื F(h, k + c)

เส้นไดเรกตริกซ์ คอื y = k – c เส้นไดเรกตรกิ ซ์ คือ y = k – c

เสนไดเรกตริกซ เมอื่ c > 0 เสน้ ไดเรกตริกซ์ เม่อื c < 0

V• •F •F •V

(y– k)2 = 4 c(x – h) (y– k)2 = 4 c(x – h)

จดุ ยอด คอื V(h, k) จดุ ยอด คือ V(h, k)

จุดโฟกสั คอื F(h + c, k) จดุ โฟกสั คือ F(h + c, k)

เสน้ ไดเรกตรกิ ซ์ คือ x = h – c เสน้ ไดเรกตรกิ ซ์ คอื x = h – c

หมายเหตุ : สตู รท่พี มิ พ์ให้ในชที น้ี นั้น พมิ พถ์ กู ตอ้ งแล้ว
เพราะ พาราโบลา หงาย กบั ควาํ่ จะใช้สูตรเดียวกัน แตว่ า่ ตอนแทนคา่ จะแทนค่า c ต่างกัน
ในทาํ นองเดียวกนั พาราโบลา ตะแคงขวา กบั ซา้ ย จะใช้สูตรเดยี วกนั แตว่ ่า ตอนแทนคา่ จะแทนคา่ c ต่างกัน

คณิตศาสตร์ (124) ________________________________________โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปีที่ 27

ตวั อย่าง–ST-Pb 1 จงอธบิ ายลกั ษณะของกราฟพาราโบลาท่ีมีสมการ x2 – 8x + 12y + 28 = 0
ตอบ …………………………………

แนวคิด x2 – 8x + 12y + 28 = 0 เส้นไดเรกตรกิ ซ์
เทียบกบั สตู ร x2 – 8x = – 12y – 28
•V
x2 – 8x + 42 = – 12y – 28 + 42 •F
x2 – 8x + 16 = – 12y – 28 + 16
x2 – 8x + 16 = – 12y – 12

(x – 4)2 = – 12(y + 1)
(x – h)2 = 4 c(y – k)

∴ – h = – 4, – k = + 1, 4c = – 12

∴ h = 4, k = – 1, c = – 3

จุดยอด คือ V(h, k) คือ V(4, –1) คือ V(4, –1) คอื V(4, –1)

จดุ โฟกสั คือ F(h, k + c) คอื F(4, –1 + {–3}) คือ F(4, –1 – 3) คือ F(4, –4)

เสน้ ไดเรกตริกซ์ คือ y = k – c คอื y = –1 – {–3} คอื y = –1 + 3 คอื y = 2

ตัวอย่าง–ST-Pb 2 สมการของพาราโบลา y2 – 4y –4x –12 = 0 มีจดุ ยอดและจดุ โฟกสั ตามข้อใด

ก. V(2, 4), F(2, 3) ข. V(4, 2), F(3, 2)

ค. V(2, –4), F(2, 3) ง. V(–4, 2), F(–3, 2)

แนวคิด

y2 – 4y –4x –12 = 0 เสน้ ไดเรกตริกซ์

y2 – 4y = 4x + 12 V• •F
y2 – 4y + 22 = 4x + 12 + 22
เทยี บกับสตู ร y2 – 4y + 4 = 4x + 16

(y – 2) 2 = 4 ⋅ (x + 4)
(y – k) 2 = 4c(x – h)

∴ –h = + 4, – k = – 2, 4c = 4

∴ h = – 4, k = 2, c = 1

จุดยอด คือ V(h, k) คือ V(–4, 2)

จุดโฟกสั คอื F(h + c, k) คอื F(–4 + 1, 2) คือ F(–3, 2)

เสน้ ไดเรกตริกซ์ คอื x = h – c คือ x = –4 – 1 คือ x = –5

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปที ่ี 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (125)

FPAT–Pb56 (PAT1’มี.ค.52) ถ้าเสน้ ตรงเส้นหน่งึ ผ่านจุดกําเนดิ และจดุ ยอดของพาราโบลา
y2 - 4y + 4x = 0 และเส้นไดเรกตรกิ ซ์ทจ่ี ดุ (a, b) แล้ว a + b มีคา่ เท่ากบั ข้อใดต่อไปน้ี

1. 4 2. 5 3. 6 4. 7

แนวคิด

ขน้ั ที่ 1 y2 - 4y + 4x = 0
เทียบกบั สตู ร y2 - 4y + 4x = -4x + 4

(y - 2) 2 = -4(x - 1)
(y - k)2 = 4c(x - h)

∴ –h = – 1, – k = – 2, 4c = – 4

∴ h = 1, k = 2, c = – 1

จุดยอด คอื V(h, k) คือ V(1, 2)

จดุ โฟกัส คอื F(h + c, k) คือ F(1 + {–1}, 2) คอื F(0, 2)

เสน้ ไดเรกตรกิ ซ์ คือ x = h – c คอื x = 1 – {–1} คอื x = 2

ขนั้ ที่ 2 วาดรูปได้ดังน้ี

Y x=2

F(0, 2) V(1, 2)

X

คณิตศาสตร์ (126) ________________________________________โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปีที่ 27

ข้นั ท่ี 3 จากโจทย์ บอกให้ลากเส้นตรงผ่านจุดกําเนดิ และจดุ ยอดของพาราโบลา
จงึ ไดร้ ปู ดงั น้ี

Y x=2
L

(0, 2) (2, 2)
X

(1, 2)

เส้นตรง L คือ เสน้ ตรงทีผ่ ่านจดุ กําเนดิ (0, 0) และ จดุ ยอดของพาราโบลา จดุ V(1, 2)

∴ สมการเสน้ ตรง L คอื (y – y1) = m ⋅ (x – x1)

คือ (y – 0) = m ⋅ (x – 0)
2 0
คือ (y – 0) = 1 - 0 ⋅ (x – 0)
-

คือ y = 2x

ขน้ั ท่ี 4
แก้สมการหาจดุ ตัด ระหวา่ งเส้นตรง L กับเส้นไดเรกตรกิ ซ์
L : y = 2x → (๑)
เส้นไดเรกตรกิ ซ์ : x = 2 → (๒)

แก้สมการ (๑), (๒) ; ∴ ตดั กนั ที่จดุ (2, 4)
โจทยใ์ หว้ า่ ตดั กนั ทจ่ี ดุ (a, b)
∴ a = 2, b = 4 → ดังนน้ั a + b = 6 ตอบ ข้อ 3.

โครงการแบรนดซ์ มั เมอรแ์ คมป์ ปีที่ 27 ________________________________________คณติ ศาสตร์ (127)

FPAT-Pb54 (PAT1’ก.ค.52) จงหาระยะทางระหว่างจดุ โฟกัสของพาราโบลา y2 = -8x กบั เสน้ ตรง 2x + y = 6

1) 2 5 หน่วย 2) 3 5 หนว่ ย 3) 4 5 หน่วย 4) 5 5 หน่วย

FPAT-Pb55 (B-PAT1’ต.ค.51) ให้ P เป็นจดุ ตัดของเส้นตรง x - 2y = 0 และเสน้ ไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา

x2 = 8y ระยะระหว่างจดุ P และเส้นตรง 2x - y = 1 เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี
6 7
1) 5 หนว่ ย 2) 7 หนว่ ย 3) 7 หน่วย 4) 5 หนว่ ย
5

FPAT-Pb56 (PAT1’ม.ี ค.52) ถา้ เสน้ ตรงเสน้ หนึง่ ผ่านจดุ กําเนิดและจดุ ยอดของพาราโบลา y2 - 4y + 4x = 0
และเส้นไดเรกตริกซ์ท่ีจดุ (a, b) แล้ว a + b มคี ่าเทา่ กับขอ้ ใดต่อไปน้ี

1) 4 2) 5 3) 6 4) 7

KMK-Pb2.8 (PAT1’ต.ค.52) พาราโบลามีจดุ ยอดที่ (-1, 0) และมีจุดกําเนดิ เป็นจดุ โฟกัส ถ้าเสน้ ตรง y = x
ตัดพาราโบลาที่จดุ P และจุด Q แล้ว ระยะทางระหว่างจดุ P กับจุด Q เทา่ กบั เท่าใด
ตอบ...........................

Happy–Pb 6.2 (PAT1’มี.ค.57) กาํ หนดใหไ้ ฮเพอร์โบลารปู หนึ่งมสี มการเป็น x2 - y2 - 2x = 0
ถา้ พาราโบลามีโฟกสั เป็นจดุ ก่งึ กลางของสว่ นของเส้นตรงทเ่ี ชื่อมระหว่างจุดตัดของเส้นตรง y = 2x
กบั เส้นกํากบั ของไฮเพอร์โบลาและมีเสน้ ไดเรกตริกซเ์ ปน็ เส้นตรงทผ่ี า่ นจดุ ยอดทงั้ สองของไฮเพอรโ์ บลา
แล้วสมการของพาราโบลาคอื ข้อใด

1) 9x2 + 12x + 12y - 3 = 0
2) 9x2 + 12x + 12y + 8 = 0
3) 9x2 + 6x + 12y - 3 = 0
4) 9x2 + 6x + 12y + 5 = 0

คณติ ศาสตร์ (128) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปที ่ี 27

โจทย์ภาคตดั กรวย แนววงรี
นิยาม วงรี คือ เซตของจุดใดๆ บนระนาบทผี่ ลบวกของระยะจากจดุ ใดๆ ไปยงั จดุ คงท่ที ั้งสองมีคา่ คงที่เท่ากับ 2a

•P สตู ร 4.2! | PF + PF′ | = 2a
•F’ •F จุดคงทที่ ั้งสองเรียกว่า จดุ F, จดุ F′

(x - h)2 + (y - k)2 =1 (y - k)2 + (x - h)2 =1
a2 b2 a2 b2
Y
BY
y

V′ •F′ F• V F•

B′ X B′ B

F′ • X

V′

จุดยอด V = (h + a, k) จดุ ยอด V = (h, k + a)
V′ = (h – a, k) V′ = (h k – a)

จดุ ปลายแกนโท จดุ ปลายแกนโท
B = (h, k + b ) B = (h + b, k)
B′ = (h, k – b) B′ = (h – b, k)

จดุ โฟกสั จดุ โฟกสั
F = ( h + c, k ) F = (h, k + c)
F′ = ( h – c, k) F′ = (h, k – c)

ความยาวแกนเอก = 2a → ขนานกบั แกน X ความยาวแกนเอก = 2a → ขนานกับแกน Y
ความยาวแกนโท = 2b ความยาวแกนโท = 2b

เมอ่ื a คอื ระยะ ท่วี ดั จาก จดุ ศูนยก์ ลางวงรี จนถึง จุดปลายแกนเอก
สูตร 4.3! a2 = b2 + c2 b คอื ระยะ ทว่ี ัดจาก จดุ ศนู ย์กลางวงรี จนถึง จุดปลายแกนโท

c คอื ระยะ ทีว่ ดั จาก จุดศูนยก์ ลางวงรี จนถงึ จุดโฟกัส

โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปีท่ี 27 ________________________________________คณติ ศาสตร์ (129)

Happy–Pb 6.3 (PAT1’เม.ย.57) วงรมี ีสมการเปน็ x2 + Ay2 + Bx + Cy - 92 = 0
เมื่อ A, B, C เปน็ จาํ นวนจริง
โดยมีจุดศูนย์กลางอย่ทู จี่ ุด (2, 1)
และแกนเอกยาวเป็นสองเท่าของแกนโท
ข้อใดต่อไปนี้ถกู ต้อง

1. A + B + C = 0

2. ความเยอ้ื งศูนยก์ ลางของวงรี เท่ากับ 3
5

3. วงรมี ีศนู ย์กลางรว่ มกนั กับวงกลม x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0
และแกนเอกของวงรยี าวเท่ากบั รศั มีของวงกลม

4. ผลบวกของระยะทางจากจุด (2, 6) ไปยงั จุดโฟกัสทั้งสองของวงรีเท่ากบั 20 หนว่ ย

แนวคดิ

ข้ันที่ 1 วงรมี ีสมการเป็น x2 + Ay2 + Bx + Cy - 92 = 0 มจี ุดศนู ย์กลางท่ีจดุ (2, 1)

∴ สมการวงรี คอื (x - 2)2 + (y - 1)2 =1
(a)2 (b)2

ข้ันที่ 2 โจทยใ์ ห้ แกนเอกยาวเป็นสองเท่าของแกนโท (นนั่ คือ a = 2b)

วงรีจงึ ตอ้ งมีสมการในรูปมาตรฐานเปน็ (x - 2)2 + (y - 1)2 =1
(2b)2 (b)2

คูณกระจาย จดั รปู

(x2 - 4x + 4) + 4(y2 - 2y + 1) = 4b2
x2 + 4y2 - 4x - 8y +(8 + 4b2) = 0 → (*)

ขั้นที่ 3 โจทย์ให้ x2 + Ay2 + Bx + Cy - 92 = 0
เทียบกบั (*) ;
x2 + 4y2 - 4x - 8y + (8 - 4b2) = 0

∴ 8 - 4b2 = -92

∴ b2 = 25

คณิตศาสตร์ (130) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปที ี่ 27

ข้นั ท่ี 4 แทน b2 = 25 ลงใน สมการ (*)

∴ x2 + 4y2 - 4x - 8y + (8 - 4b2) = 0
= 0
∴ x2 + 4y2 - 4x - 8y + (8 - 4 ⋅ 25) = 0
= 0
∴ x2 + 4y2 - 4x - 8y - 92

เทียบกบั โจทยใ์ ห้ x2 + Ay2 + Bx + Cy - 92

∴ A = 4, B = –4, C = – 8

จดั รปู กําลงั สองสัมบรู ณ์ต่อเน่ือง

∴ (x - 2)2 + (y - 1)2 =1
100 25

เทยี บกับรปู มาตรฐาน (x - h)2 + (y - k)2 =1
a2 b2

∴ a2 = 100 , b2 = 25

∴ a = 10 , b = 5

(1) ผิด : A + B + C = 4 - 4 - 8 = -8 ≠ 0

(2) ผดิ : วงรมี ี b = 5 และ a = 2b = 10

ทาํ ให้ c = a2 - b2 = 102 - 52 = 5 3

ดังนน้ั ความเยอ้ื งศูนย์กลาง = c = 53 = 3 ≠ 3
a 10 2 5

(3) ผดิ : วงกลม x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0

มรี ศั มียาว (-4)2 + (-2)2 -4(-20) หน่วย = 5 หน่วย
2

แต่แกนเอกของวงรียาว 2a = 20 หน่วย

ดงั นน้ั แกนเอกของวงรยี าวกว่ารศั มีของวงกลม

(4) ถูก : เนื่องจาก (2, 6) แทนค่าลงใน (x - 2)2 + (y - 1)2 = 1 แลว้ เปน็ จรงิ
100 25

∴ จดุ P(2, 6) จึงเป็นจุดบนวงรี ให้ F1, F2 เปน็ จดุ โฟกสั ของวงรี
โดยนยิ ามของวงรี จะได้ PF1 + PF2 + = 2a = 2(10) = 20 หน่วย ตอบ ขอ้ 4.

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปที ่ี 27 ________________________________________คณติ ศาสตร์ (131)

KMK-Pb1.6 (PAT1’ต.ค.52) กําหนดให้ S = [-2, 2] และ r = {(x, y) ∈ S × S | x2 + 2y2 = 2}

ช่วงในข้อใดต่อไปน้ไี ม่เปน็ สบั เซตของ Dr - Rr 2) (-1.3, -1.2)
1) (-1.4, -1.3)

3) (1.2, 1.4) 4) (1.4, 1.5)

FPAT-Pb57 (B-PAT1’ต.ค.51) วงรีท่มี จี ุดศูนย์กลางท่จี ดุ (1, 2) แกนเอกขนานกับแกน X และยาว 6 หนว่ ย

แกนโทยาว 4 หน่วย ผ่านจดุ ในข้อใดตอ่ ไปน้ี

1) (0, 1) 2) (2, 0)

3) (1, 4) 4) (4, 1)

FPAT-Pb58 (PAT1’ก.ค.52) ให้ E เปน็ วงรีท่ีมีจุดโฟกัสทง้ั สองอยู่บนวงกลม C ท่มี ีสมการเป็น x2 + y2 = 1

ถา้ วงรี E สมั ผสั กับวงกลม C ที่จุด (1, 0) แลว้ จุดใดต่อไปน้อี ยูบ่ นวงรี E

1)  21, 21  2)  21, 52 

3)  31, 1 4)  31, 34 

FPAT-Pb59 (PAT1’ม.ี ค.52) กาํ หนดให้ วงรรี ูปหนง่ึ มโี ฟกัสอยู่ท่จี ดุ (±3, 0) และผ่านจดุ 2, 221  จุดในข้อใด
ต่อไปนีอ้ ยูบ่ นวงรที ก่ี ําหนด

1) (-4, 0) 2)  0, 5 2 2 
3) (6, 0) 4) (0, -3 2 )

NaDate-Pb2.31 (PAT1’ม.ี ค.56) ให้วงรมี จี ุดศูนย์กลางอยทู่ ่ี (0, 0) และมีโฟกัส F1 และ F2 อยบู่ นแกน X
จุด A(4, 1) เป็นจดุ บนวงรโี ดยท่ีผลบวกระยะทางจากจดุ A(4, 1) ไปยงั จุดโฟกสั ท้ังสองมคี า่ เทา่ กับ 6 2

ให้เสน้ ตรง L ตดั แกน X ท่ีจดุ (4.5, 0) และสมั ผสั กับวงรที ่ีจุด A(4, 1) ถา้ d เป็นระยะหา่ งระหวา่ งจุด (0, 0)
กบั เส้นตรง L แลว้ คา่ ของ d2|AF1||AF2| เท่ากับเท่าใด
ตอบ...........................

Sigo-Pb1.19 (PAT1’ม.ี ค.58) กําหนดให้ วงรีรปู หน่ึง ผา่ นจดุ (8, 0) มจี ดุ ศนู ยก์ ลางอยู่ที่ (4, -1) และโฟกสั จุด

หน่ึงอยทู่ ี่ (1, -1)

ถา้ พาราโบลารปู หน่ึงมโี ฟกสั อยู่ท่จี ุดปลายของแกนโทของวงรใี นควอดรนั ต์ (quadrant) ท่ี 1 และมี

เสน้ ไดเรกตริกซ์ทับแกนเอกของวงรี แล้วสมการของพาราโบลารูปนต้ี รงกบั สมการในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1) x2 - 8x + 4y + 13 = 0 2) x2 - 8x - 4y + 20 = 0

3) x2 - 8x + 6y - 12 = 0 4) x2 - 8x - 6y + 19 = 0

คณติ ศาสตร์ (132) ________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปีท่ี 27

โจทย์ภาคตดั กรวย แนวไฮเพอรโ์ บลา

นิยาม ไฮเพอรโ์ บลา คือ เซตของจดุ บนระนาบท่คี ่าสัมบรณู ์ของผลตา่ งของระยะทางจากจุดใดๆ ไปยังจดุ คงท่ี

ท้ังสองมคี า่ ทเ่ี ท่ากบั 2a สูตร | PF – PF′ | = 2a
เมอื่ จุด P คอื จดุ ใดๆ บนไฮเพอร์โบลา

Y Y แกนตามขวาง

(h, k) แกน •••(VFh, k)
ตาม • V′
V F ขวาง • F′
• • • • •F′ V′ แกนสังยุค
X
แกนสังยคุ X

(x - h)2 - (y - k)2 =1 (y - k)2 - (x - h)2 =1
a2 b2 a2 b2

จุดยอด V = (h + a, k) จดุ ยอด V = (h, k + a)
V′ = (h – a, k) V′ = (h, k – a)

จุดปลายสังยคุ B = (h, k + b) จดุ ปลายสังยคุ B = (h + b, k)
B′ = (h, k – b) B′ = (h – b, k)

จุดโฟกัส F = (h + c, k) จุดโฟกัส F = (h, k + c)
F′ = (h – c, k) F′ = (h, k – c)

ความยาวแกนตามขวาง = 2a → อยูใ่ นแกน X ความยาวแกนตามขวาง = 2a → อยู่ในแกน Y

ความยาวแกนสงั ยคุ = 2b ความยาวแกนสังยคุ = 2b

สูตร! c2 = a2 + b2

เมอื่ a คือ ระยะ ท่วี ัดจาก จุดศนู ยก์ ลางไฮเพอร์โบลา จนถงึ จดุ ยอด
b คอื ระยะ ที่วัดจาก จุดศนู ย์กลางไฮเพอรโ์ บลา จนถงึ จดุ ปลายแกนสงั ยคุ
c คือ ระยะ ท่วี ดั จาก จดุ ศูนย์กลางไฮเพอร์โบลา จนถงึ จดุ โฟกสั

โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปที ี่ 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (133)

Happy–Pb 6.4 (PAT1’เม.ย.57) ให้ F เป็นจุดโฟกัสของพาราโบลา 4y = x2 - 6x + 13

ไฮเพอรโ์ บลามีสมบตั ิต่างๆ ดังน้ี

(ก) แกนตามขวางขนานกบั แกน Y (ข) จดุ ศนู ย์กลางอยูท่ ่จี ดุ F

(ค) จดุ โฟกสั อยูท่ จ่ี ุด (3, 2 + 2 13 ) (ง) แกนสงั ยุคยาว 12 หน่วย

ขอ้ ใดตอ่ ไปน้คี ือสมการของไฮเพอร์โบลา
1. 4x2 - 9y2 - 24x + 36y + 144 = 0
2. 4x2 - 9y2 - 24x - 36y -36 = 0
3. 9y2 - 4x2 - 24x + 36y - 144 = 0
4. 9y2 - 4x2 + 24x - 36y + 36 = 0

แนวคดิ
ขั้นท่ี 1 จัดรูปสมการพาราโบลา 4y = x2 - 6x + 13 → (x - 3)2 = 4(y - 1)

พาราโบลานีจ้ งึ เป็นพาราโบลาหงาย ท่ีมีจดุ ยอด (3, 1) และ c = 1

ทาํ ใหจ้ ดุ โฟกสั ของพาราโบลา คอื จุด F(3, 1 + 1) = F(3, 2)

ข้ันที่ 2

ไฮเพอร์โบลา มแี กนตามขวางขนานกับแกน Y และมจี ุดศนู ยก์ ลางอย่ทู ่ี F(3, 2)

ทําให้สมการของไฮเพอรโ์ บลา ต้องอยใู่ นรปู (y - 2)2 - (x - 3)2 =1
a2 b2

จากทจี่ ุดโฟกสั ของไฮเพอรโ์ บลาอยูท่ ี่ (3, 2 + 2 13 ) ทําให้ได้ c = (2 + 2 13 ) - 2 = 2 13

และจากท่แี กนสงั ยคุ ยาว 12 หน่วย จะได้ b = 12 = 6
2

เรารู้ว่า a2 + b2 = c2 ฉะน้นั a2 + 62 = (2 13 )2 จะได้ a2 = 16
(y - 2)2
ทาํ ให้ไดส้ มการของไฮเพอร์โบลา 16 - (x - 3)2 =1
36
คณู ด้วย -144 ; -9(y2 - 4y + 4) + 4(x2 - 6x + 9) = -144

∴ 4x2 - 9y2 - 24x + 36y + 144 = 0 ตอบ ขอ้ 1.

KMK-Pb1.10 (PAT1’ต.ค.52) ให้ E เปน็ วงรีท่มี โี ฟกัสอยทู่ จี่ ดุ ยอดของไฮเพอรโ์ บลา x2 – y2 = 1
ถ้า E ผ่านจดุ (0, 1) แล้วจดุ ในขอ้ ใดตอ่ ไปนีอ้ ยูบ่ น E

1) 1, - 22 
2) (1, 2 )
3) 1, -21 
4) 1, 23 

คณิตศาสตร์ (134) ________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 27

FPAT-Pb62 (B-PAT1’ต.ค.51) ให้ F1, F2 เป็นจดุ โฟกสั ของไฮเพอร์โบลา 2(x - 1)2 - (y - 2)2 = 8

โดยทFี่ 2อย่ใู นควอดรันตท์ ี1่ วงกลมที่มี F2เปน็ จุดศูนยก์ ลางและผ่านจดุ (2 3 , 3) คอื วงกลมทม่ี ีสมการดังข้อใด
1) (x + (1 + 2 3 )2) = 4y - y2 + 2 2) (x - (1 + 2 3 ))2 = 4y - y2 + 2
3) (x + (1 + 2 3 ))2 = 4y - y2 - 2
4) (x - (1 + 2 3 ))2 = 4y - y2 - 2

FPAT-Pb63 (PAT1’ก.ค.52) กําหนด S = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 17}

P = {(x, y) | x2 - y2 = 1} Q = {(x, y) | y2 - x2 = 1}

ถา้ a ∈ S I P และ b ∈ S I Q แล้วระยะทางทน่ี ้อยทส่ี ุดระหว่าง a และ b เท่ากบั เทา่ ใด

1) 3 2 - 4 2) 2 3 - 2 3) 3 2 - 2 4) 2 3 - 4

FPAT-Pb64 (PAT1’ม.ี ค.52) กําหนดให้ A = {a | เสน้ ตรง y = ax ไมต่ ัดกราฟ y2 = 1 + x2}

และ B = {b | เส้นตรง y = x + b ตดั กราฟ y2 = 1 - x2 สองจดุ }

เซต {d | d = c2, c ∈ B - A} เทา่ กบั ช่วงใดต่อไปนี้

1) (0, 1) 2) (0, 2) 3) (1, 2) 4) (0, 4)

KAiOU-Pb1.8 (PAT1’มี.ค.53) กําหนดให้วงรี 25x2 + 21y2 + 100x - 42y - 404 = 0 แลว้ ไฮเพอร์โบลาที่มี

จุดยอดอยู่ทจ่ี ดุ โฟกัสทงั้ สองของวงรีและผา่ นจดุ (–3, 1 + 8 ) มีสมการตรงกับข้อใดต่อไปน้ี

1) 5y2 - 4x2 - 10 8 y - 32x - 25 = 0 2) 3y2 - 2x2 - 6 8 y - 8x + 15 = 0
3) y2 - 4x2 - 2y - 16x - 19 = 0 4) y2 - 7x2 - 2y - 28x - 28 = 0

SheLL1.8 (PAT1’ก.ค.53) กาํ หนดวงกลมรูปหนึง่ มจี ุดปลายของเส้นผา่ นศูนยก์ ลางอย่บู นจุดศูนย์กลาง และ

จดุ โฟกสั ดา้ นหนึง่ ของไฮเพอรโ์ บลา 9x2 - 16y2 - 90x + 64y + 17 = 0 แลว้ วงกลมดงั กลา่ วนมี้ พี ืน้ ทเี่ ท่ากบั

ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
25π 2) 252π ตารางหน่วย
1) 4 ตารางหนว่ ย 3) 4π ตารางหน่วย 4) 5π ตารางหนว่ ย

NaDate-Pb1.17 (PAT1’มี.ค.56) ให้ 9x2 - 16y2 - 18x + 64y - 199 = 0 เป็นสมการของไฮเพอร์โบลา

ถา้ พาราโบลารูปหนง่ึ มแี กนสมมาตรขนานแกน Y ตดั แกน X ทจี่ ุด (1, 0) และผา่ นจุดยอดทัง้ สองของ

ไฮเพอร์โบลาทก่ี ําหนดให้ แลว้ จุดในขอ้ ใดตอ่ ไปนไ้ี ม่อยูบ่ นพาราโบลา

1)  2, 81  2) -1, 21  3)  3, 21  4)  4, 41 

Happy–Pb 6.4.2 (สามัญ’57) ให้ F เปน็ จุดโฟกัสที่อย่จู ตภุ าคที่ 1 ของ x2 - (y - 2)2 =1
9 16

แลว้ วงกลมที่มศี นู ยก์ ลางอยูท่ ่จี ดุ F และสมั ผสั กับเส้นกาํ กบั ท้งั สองของไฮเพอร์โบลามรี ศั มียาวกี่หนว่ ย

ตอบ .........................

โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปที ี่ 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (135)

สรุปภาพรวม “ความสมั พันธ และฟงกช นั ”

เนนเฉพาะท่อี อกขอ สอบ

แนวโน้มการออกข้อสอบ

6.07%

1. โจทยค์ วามสมั พันธ์ แนวอนิ เวอรส์ ของความสัมพันธ์
2. โจทยค์ วามสัมพันธ์ แนวโดเมนและเรนจ์
3. โจทยฟ์ งั ก์ชัน แนวคํานวณฟงั กช์ นั ธรรมดา VS อินเวอรส์
4. โจทย์ฟังก์ชนั แนวคอมโพสิต
5. โจทย์ฟงั กช์ นั แนวพชี คณติ
6. โจทย์ฟงั ก์ชนั แนวสมการเชิงฟงั กช์ ันโอลมิ ปกิ

คณติ ศาสตร์ (136) ________________________________________โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปที ่ี 27

โจทย์ความสมั พันธ์ แนวอินเวอรส์ ของความสัมพันธ์

FPAT-Pb77 (B-PAT1’ต.ค.51) ให้ r = {(x, y) | 2y = 3x - 4}
ถา้ a, b เปน็ ค่าคงตัว และ r-1 = {(x, y) | y = ax + b} แล้ว 3a - b4 มคี ่าเท่ากบั ข้อใดต่อไปน้ี

1) 5 2) 3 3) 4 4) 4
3 4 5 3

แนวคิด 5
3
ตอบ 1)

แนวคิด หลักการ จากครู Sup’k

ข้นั ที่ 1 หลักการหา “อินเวอร์ส”
ให้เปลยี่ น x → ไปเป็น y
จากโจทย์ r = {(x, y) | 2y = 3x - 4} ให้เปลยี่ น y → ไปเปน็ x

∴ r-1 = {(x, y) | 2x = 3y - 4}

∴ r-1 = (x, y) y = 32x + 34 

 

ขั้นที่ 2

จากขนั้ เม่อื ก้ี r-1 = (x, y) y = 32x + 34 
จากทโ่ี จทยก์ ําหนดให้ 
 

r-1 = {(x, y) | y = ax + b}

เทยี บสัมประสทิ ธ์ิ ∴ a= 2 และ b = 4
3 3

ขนั้ ที่ 3 3a - b4 = 3  32  - 1  34 
∴ จะหา 4

= 2 - 1
3
5
= 3

FPAT-Pb78 (PAT1’ก.ค.52) กาํ หนดความสัมพนั ธ์ r = {(x, y) | x ∈ [-1, 1] และ y = x2}

พิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี

ก. r-1 = {(x, y) | x ∈ [0, 1] และ y = ± |x|}

ข. กราฟของ r ตัดกับกราฟของ r-1 เพยี ง 2 จดุ เท่าน้ัน

ข้อใดตอ่ ไปนถ้ี ูกตอ้ ง

1) ก. ถกู และ ข. ถกู 2) ก. ถกู และ ข. ผิด

3) ก. ผดิ และ ข. ถกู 4) ก. ผดิ และ ข. ผดิ

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 27 ________________________________________คณติ ศาสตร์ (137)

โจทยฟ์ งั ก์ชัน แนวคาํ นวณฟงั ก์ชันคอมโพสิต VS อนิ เวอรส์

Happy-Pb7.3 (PAT1’เม.ย.57) ให้ f : R → R และ g : R → R สูตร
โดยที่ f(x) = ax + 2 และ g(x) = x3 - 3x(x - 1)

ถ้า (f-1og-1)(1) = 1 แลว้ (gof)(a) มคี ่าเทา่ ใด

ตอบ ....................................
วธิ ีลัด

วิธีจริง

f : R → R และ g : R → R โดยที่ f(x) = ax + 2 และ g(x) = x3 - 3x(x - 1)

ให้ g-1(1) = k จะได้ g(k) = 1

ฉะนน้ั k3 - 3k(k - 1) = 1

k3 - 3k2 + 3k - 1 = 0

(k - 1)3 = 0

ดงั นั้น g-1(1) = 1 k=1
จาก f(x) = ax + 2
จะได้ f-1(x) = x -a 2
เพราะว่า (f-1og-1)(1) = 1 และ g-1(1) = 1
ฉะน้นั
f-1(1) = 1
1 -a 2 = 1

a = -1

จะได้ f(x) = -x + 2 ทําให้ f(a) = f(-1) = -(-1) + 2 = 3

ดังนัน้ (gof)(a) = g(f(-1)) = g(3) = 33 - 3(3)(3 - 1) = 9

คณติ ศาสตร์ (138) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 27

Peach–Pb2.32 (แนว PAT1’ต.ค.55)

ให้ f และ g เป็นฟังกช์ ันซง่ึ f(x + 5) = x3 - x2 + 2x และ g-1(2x - 1) = x + 4

จงพิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้ เมื่อ I แทน เซตของจาํ นวนเตม็

ก. (f - g)(0) < –169 ข. {x ∈ I | (gof)(x) + 5 = 0} เป็นเซตวา่ ง

ข้อใดต่อไปนี้สรปุ ถูกต้อง

1) ก. ถกู และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผดิ และ ข. ถูก 4) ก. ผดิ และ ข. ผิด

KMK-Pb2.3 (PAT1’ต.ค.52) ถ้า f(x) = 1 และ g(x) = 2f(x) แลว้ จงหา gof(3) + fog–1(3)
x

ตอบ...........................

FPAT-Pb66 (B-PAT1’ต.ค.51) ให้ f(x) = x + 1 และ g(x) = x3, (f-1og)(3) มคี า่ เทา่ กบั ข้อใด
2

1) 16 2) 20 3) 50 4) 52

FPAT-Pb66.1 ให้ f(x) = x+3 และ (f-1og)(x) = x-6-x1 ถ้า g(a) = 2 แลว้ a อย่ใู นช่วงใด
x+6

1) [-1, 1) 2) [1, 3) 3) [3, 5) 4) [5, 7)

FPAT-Pb67 (PAT1’ก.ค.52) กําหนดฟงั ก์ชนั f(x) = x - 5 และ g(x) = x2

ถา้ a เปน็ จาํ นวนจริงท่ที าํ ให้ fog(a) = gof(a) แลว้ (f ⋅ g)(a) มีคา่ เท่ากบั เท่าใด

1) 18 2) -18 3) 25 4) -25

Happy-Pb7.2 (PAT1’เม.ย.57) ให้ R แทนเซตของจาํ นวนจรงิ

ถ้า f : R → R และ g : R → R เปน็ ฟังก์ชนั หนง่ึ ต่อหนงึ่
โดยที่ (fog)(x) = 4x - 5 และ g-1(x) = 2x + 1 ทกุ จํานวนจริง x

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก. 4(f-1og)(2x + 1) = g(x) + 1 ทกุ จํานวนจรงิ x ข. (g-1o(f-1og))(x) = f-1(x) + 1 ทกุ จาํ นวนจรงิ x

ขอ้ ใดต่อไปนถ้ี กู ต้อง

1) ก. ถกู และ ข. ถกู 2) ก. ถกู และ ข. ผิด 3) ก. ผดิ และ ข. ถูก 4) ก. ผดิ และ ข. ผดิ

SiGo-Pb2.42 (PAT1’เม.ย.57) กาํ หนดให้ R แทนเซตของจาํ นวนจริง

ให้ f : R → R เปน็ ฟังก์ชันหน่ึงตอ่ หน่งึ

และ g : R → R เปน็ ฟังก์ชนั โดยท่ี g(x) = 2f(x) + 5 สําหรับทกุ x ∈ R

ถา้ a เปน็ จํานวนจรงิ ทที่ ําให้ (fog-1)(1 + a) = (gof-1)(1 + a)

แลว้ a2 เทา่ กับเท่าใด ตอบ...........................

โครงการแบรนดซ์ มั เมอรแ์ คมป์ ปีที่ 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (139)

โจทย์ฟงั ก์ชนั แนวสมการเชิงฟังก์ชันโอลมิ ปกิ

*NaDate-Pb2.50 (PAT1’มี.ค.56) กําหนดให้ R แทนเซตของจํานวนจรงิ

ถ้า f : R → R เปน็ ฟงั กช์ นั ซ่งึ สอดคล้องกับ (fof)(x) = 4 + x(4 - f(x)) สาํ หรับทกุ จํานวนจรงิ x

แล้วคา่ ของ f(4) เทา่ กบั เทา่ ใด

ตอบ ..................................

แนวคิด f(f(x)) = 4 + x(4 - f(x)) ...(*)
ขั้นท่ี 1 จากโจทย์

ขั้นที่ 2 แทน x = 0 ลงใน (*) f(f(0)) = 4 + 0(4 - f(0))
จะได้ f(f(0)) = 4

...(#)

ขน้ั ท่ี 3 แทน x = f(0) ลงใน (*)

จะได้ f(f(f(0))) = 4 + f(0)(4 - f(f(0)))

จาก (#) ; f(4) = 4 + f(0)(4 - 4)

f(4) = 4 + f(0)(0)

∴ f(4) = 4 ตอบ

*Happy-Pb7.4 (PAT’เม.ย.57) กาํ หนดให้ f : R → R และ g : R → R

และ f(x + g(y)) = 2x + y + 15 ทุกจาํ นวนจริง x และ y

พจิ ารณาข้อความต่อไปน้ี
ก. (gof)(x) = 2x + 15 ทุกจาํ นวนจริง x

ข. g(25 + f(57)) = 75

ขอ้ ใดต่อไปนถี้ ูกต้อง 2) ก. ถูก และ ข. ผิด
1) ก. ถูก และ ข. ถกู 4) ก. ผดิ และ ข. ผดิ
3) ก. ผดิ และ ข. ถกู

คณิตศาสตร์ (140) ________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปที ่ี 27

สรปุ ภาพรวม “เมทริกซ และดีเทอรม นิ ันต”

เนนเฉพาะทีอ่ อกขอสอบ

แนวโน้มการออกขอ้ สอบ

4.28%

1. โจทยเ์ มทริกซ์ แนวพ้ืนฐานและการหาอินเวอร์ส และสมการเมทริกซ์
2. โจทย์ det ดเี ทอร์มนิ ันต์ แนวทฤษฎขี อง det ดีเทอรม์ นิ นั ต,์ ไมเนอร์, โคแฟกเตอร์
3. โจทย์ det ดเี ทอรม์ นิ นั ต์ แนวสตู รของ det ดีเทอร์มนิ นั ต์
4. โจทย์ det ดเี ทอรม์ นิ นั ต์ แนวสูตรของ det (adj A)
5. โจทย์ det ดเี ทอร์มินนั ต์ แนว det ของเมทรกิ ซบ์ วกกัน
6. โจทย์เมทริกซ์ แนวแกส้ มการหลายตัวแปร

โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปที ่ี 27 ________________________________________คณติ ศาสตร์ (141)

เมทริกซ์ : อนิ เวอรส์ การคูณของเมทริกซ์ (ตัวผกผันของเมทริกซ)์

นิยาม 1.1!! AA-1 = A-1A = I
เมทรกิ ซ์ Bn×n เปน็ อนิ เวอร์สการคูณของเมทรกิ ซ์ An×n
กต็ อ่ เมอ่ื AB = I = BA เขยี นแทนด้วย B = A-1

สูตร 1.2!! ตวั ผกผันการคณู ของเมทรกิ ซ์ A, อินเวอร์สของเมทรกิ ซ์ A, A-1 สําหรบั มิติ n × n

A-1 = 1 ⋅ adj A
det A

สูตร 1.3!! ถ้า A = [ก] → ∴ A-1 = ก1  เมือ่ ก ≠ 0


สูตร 1.4!! ถา้ A = a b →∴ A-1 = 1 d -b
c d det A -c a 


นิยาม 1.6!! สําหรับเมทรกิ ซ์ An×n ขนาดมิติใดๆ
ถา้ det A = 0 แล้ว จะเรียก เมทริกซ์ A ว่า “เมทรกิ ซเ์ อกฐาน”, “Singular Matrix”, “ซิงกูลาร์เมทริกซ”์

จะหา A-1 ไมไ่ ด้

นยิ าม 1.7!! สําหรบั เมทรกิ ซ์ An×n ขนาดมิติใดๆ

ถา้ det A ≠ 0 แล้ว จะเรียก เมทริกซ์ A ว่า “ไมใ่ ชเ่ มทริกซเ์ อกฐาน”, “Non-singular Matrix”,

“นอนซิงกลู าร์เมทริกซ์” จะหา A-1 ได้

คณิตศาสตร์ (142) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปีท่ี 27

Pb3 ให้ A-1 = -1 1 , B-1 = 2 -1 จงหา (A – 2B)-1 ตอบ ....................
 1 2  1 0 
 Sup’k ระวงั !!
(A - 2B)-1 = A-1 - 2 ⋅ B-1
แนวคิด

ข้นั ท่ี 1 จาก A-1 = -1 1
 1 2 

→ A = 1 2 -1 → A= 1 2 -1 → A = -3132 31 
(-1) ⋅ 2 - 1 ⋅ 1 -1 -1 -3 -1 -1 31 



ขัน้ ท่ี 2 จาก B-1 = 2 -1
1 0 


→ B = 1 0 1 B = 1 0 1 B = 0 1
2 ⋅ 0 - 1 ⋅ (-1) -1 2 → ∴ 1 -1 2 → ∴ -1 2

ขัน้ ท่ี 3 จะหา (A – 2B)-1 =  - 23 31  - 2-01 1 -1 =  - 32 31  - 0 2  -1 =  -3732 --13531 -1
 31 31  2  31 31  -2 4  
          
      
 

= 1 - 131 53  = 597 - 131 35 
- 23 - 131  - - 37 - 35  - 37 32  - 37 32 
 
-  - 

โจทยเ์ มทรกิ ซ์ แนวหาอินเวอรส์ ของ 2 × 2

TF-PAT4 (PAT1’ก.ค.52) กาํ หนดให้ A และ B เปน็ เมทรกิ ซ์ทสี่ อดคลอ้ งกบั 2A - B = 3 4
3 6

และ A + 2B = -1 2 จงหาวา่ (AB)-1 คือ เมทริกซใ์ นขอ้ ใดต่อไปน้ี
 4 -2

-411 14 1 -1
1) -1 0 2) 1 3) - 1 0 4)
 -14  0 -1 0 41 
 1   - 

โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปที ่ี 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (143)

โจทย์เมทริกซ์ แนวแก้สมการเมทริกซ์

SheLL2.30 (PAT1’ก.ค.53) ให้ a, b, c, d เป็นจาํ นวนจรงิ

ถา้ 3 5a b = 5da- 1 36 + 4 5a + b  แลว้ คา่ ของ b + c เทา่ กบั เทา่ ใด ตอบ...........................
2c d 2c 

2d 

SiGo–2.36 (PAT1’พ.ย.57) ให้ X และ y เปน็ จํานวนจริง ท่สี อดคลอ้ งกับ

|x| 1 + 2 y 3 = 10 + x 7 0 t
2 x - |y| -1 |y|  7 y 
 - 

ค่าของ x + y เทา่ กบั เท่าใด ตอบ...........................
ตอบ...........................
KAiOU-Pb2.7 (PAT1’มี.ค.53) ให้ x, y, z และ w สอดคล้องกบั สมการ

1 0 x -1 = 2y -1  1 0
-1 w  0 y  z y  -1 w 
   

คา่ ของ 4w - 3z + 2y - x เทา่ กับเท่าใด

BRAN-Pb1.12 (PAT1’ต.ค.53) กําหนดให้ A = 1 1 และ B = x y
1 -1 y z

ถา้ A-1BA = -2 0 แล้วคา่ ของ xyz เทา่ กบั เท่าใดต่อไปน้ี
 0 4 
 

1) -3 2) -1 3) 0 4) 1

KMK-Pb1.11 (PAT1’ต.ค.52) กาํ หนดให้ X = zxy  สอดคลอ้ งกบั สมการ AX = C




1 2 1  1 -1 0  2
เมือ่ A = -2 0 1 , B = 2 0 -1 และ C = -2 

 0 1 2 1 4 0  3
 

a
ถา้ (2A + B)X = bc  แล้ว a + b + c มีคา่ เทา่ ใดตอ่ ไปนี้



1) 3 2) 6 3) 9 4) 12

คณิตศาสตร์ (144) ________________________________________โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปีที่ 27

โจทย์ det ดเี ทอรม์ ินนั ต์ : ทฤษฎขี อง det ดีเทอร์มินันต์ Sup’k ระวัง!!

สูตร 3.1!! ดเี ทอร์มินนั ต์ของเมทริกซข์ องเมทริกซข์ นาด 2 × 2
A = [5] → ∴ det A = |[5]| = 5
B = [-7] → ∴ det B = |[-7]| = -7

สูตร 3.2!! ดเี ทอรม์ ินนั ตข์ องเมทรกิ ซ์ของเมทรกิ ซ์ขนาด 2 × 2
9 5 9 5
C = 4 2 → ∴ det C = 4 2 = 9 × 2 - 4 × 5 = 18 - 20 = -2

D= -2 -4 → ∴ det D = -2 -4 = (-2) × 7 - (-4) × 5 = –14 + 20 = 6
 5 7  4 2
 

สตู ร 3.3!! กาํ หนดให้ A = da b cf  จะได้ det A = a b c = a b c
g e  d e f d e f
h i  ghi ghi

∴ det A = a ⋅ e ⋅ i + b ⋅ f ⋅ g + c ⋅ d ⋅ h - g ⋅ e ⋅ c - h ⋅ f ⋅ a - i ⋅ d ⋅ b

ระวงั ! สตู รคูณลงตอบเลย คณู ขน้ึ ใสล่ บซอ้ น ใชไ้ ดเ้ ฉพาะ 2 × 2, 3 × 3

TF-PAT1 (B-PAT1’ต.ค.51) ให้ a และ b เป็นจํานวนจริง

ถา้ X = 12 2 3  และ Y = 2 a 3
a 1  2 b 3

3 b 2
1 2 3 


โดยที่ X และ Y ไม่มีตัวผกผัน แล้ว a + b เท่ากับข้อใดตอ่ ไปนี้

1) -1 2) -2 3) -3 4) -4

โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปที ่ี 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (145)

โจทย์ det ดีเทอรม์ นิ ันต์ : สตู รของไมเนอร,์ โคแฟกเตอร์

นิยาม 4.1 กาํ หนดใหเ้ มทริกซ์ A = [aij]n×n โดยท่ี aij ∈ R และ n เปน็ จาํ นวนเต็มท่มี ากกวา่ 2
ไมเนอร์ของ aij คือ ดเี ทอร์มินนั ต์ของเมทริกซ์ที่เกดิ จากการตดั แถวที่ i และหลกั ท่ี j ออกไป
เขยี นแทน ไมเนอร์ของ aij ดว้ ย M(aij), Mij(A)

นยิ าม 4.2 กําหนดให้ A = [aij]n×n โดยที่ aij ∈ R และ n เปน็ จํานวนเตม็ ท่มี ากกวา่ 2
โคแฟกเตอร์ของ aij คือ (-1)i+j ⋅ Mij(A)
เขียนแทน โคแฟกเตอร์ของ aij ด้วย C(aij) , Cij(A)

2 0 4 0 20 40 11 2
12 1 1 2  11 12 2 -3 4
เชน่ A = -3 2 4  → ∴ M13(A) = 2 -3 24 = 12 3 = –5
 10 -1 3
1 0 -1 3

→ ∴ C13(A) = (-1)1+3M13(A) = (-1)4M13(A) = (-1)4(-5) = -5

TF-PAT2 (PAT1’ม.ี ค.52) กาํ หนดให้ A = 12 2 -21 โดยท่ี x และ y เปน็ จาํ นวนจรงิ
x
2 1 y



ถา้ C11(A) = 13 และ C21(A) = 9 แลว้ det (A) มีค่าเทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1) -33

2) -30

3) 30

4) 33

คณิตศาสตร์ (146) ________________________________________โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปีท่ี 27

โจทย์ det ดเี ทอรม์ ินนั ต์ : สูตรของ det ดีเทอร์มินันต์
กําหนดให้ A, B และ C เปน็ เมทริกซ์จตั รุ ัสมติ ิ n × n และ k เป็นค่าคงท่ีใดๆ

¾ det (AB) = det A ⋅ det B ¾ det (At) = det A ¾ det (-A) = det A , n = คู่
¾ det (cA) = cn ⋅ (det A) ¾ det (A-1) = (det A)-1 ¾ det (-A) = - det A , n = คี่
¾ det (An) = (det A)n ¾ det (A ± B) ≠ det A ± det B
¾ det I = 1, det 0 = 0

Happy-Pb8.1 (PAT1’เม.ย.57) กาํ หนดเมทริกซ์ A = 1 a และ I = 1 0
b 4 0 1

เมื่อ a, b เปน็ จาํ นวนจรงิ โดยท่ี ab ≠ 0
ถา้ 2(A - I)-1 = 4I - A แล้วพิจารณาข้อความต่อไปน้ี

ก. ab = 2

ข. det (3A2AtA-1) = 324

ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ ูกตอ้ ง

1) ก. ถกู และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผดิ

3) ก. ผดิ และ ข. ถูก 4) ก. ผดิ และ ข. ผดิ

แนวคดิ

กําหนด A = 1 a และ I = 1 0 โดยที่ ab ≠ 0
b 4 0 1

จะได้ A-I= 0 a ทําให้ (A - I)-1 = 1 3 -a  = - 3 1 
b 3 0(3) - ab -b 0 ab b 
 a1 
 0 

ก. ผิด : เพราะว่า 2(A - I)-1 = 4I - A ฉะน้นั - a6b b2  = 3 -a 
2a  -b 0
 
 0 

จะได้ - 6 = 3 และ 2 = -a และ 2 = -b
ab b b

ดงั น้นั a = -2

ข. ถูก : เม่อื ab = -2 จะได้

โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 27 ________________________________________คณิตศาสตร์ (147)

NaDate-Pb2.33 (PAT1’มี.ค.56) ให้ S เปน็ เซตของจาํ นวนจรงิ x ทง้ั หมดท่ที ําใหเ้ มทรกิ ซ์

x4 -2 7  เปน็ เมทรกิ ซเ์ อกฐาน
-1 3 

2 
0 x 

และให้ y เท่ากบั ผลบวกของสมาชกิ ทั้งหมดในเซต S

ถา้ A = y 1 แลว้ คา่ ของ det    At -1 t -1 เทา่ กบั เท่าใด
-1   
y     
 

ตอบ ..............................

DJton–Pb15.1 (แนว PAT1’ต.ค.55) ให้ A, B, C เปน็ เมทรกิ ซ์ ซ่ึง det B ≠ 0

ถ้า A = 15 0 00 และ det (B-1CBt) = -4 จงหาคา่ ของ det (CtAC) ตอบ ..............................
2 6 

8 7

KAiOU-Pb2.6 (PAT1’ม.ี ค.53) ให้ A และ B เปน็ เมทริกซ์ท่ีมีขนาด 2 × 2
-4 -4 -5 -8
โดยท่ี 2A B =   และ A- 2B =   ค่าของ det (A4B-1) เท่ากับเท่าใด
-  5 6   4 0 

ตอบ...........................

 0 x 0-1  1
 20 2   x-1
KMK-Pb 1.12 (PAT1’ต.ค.52) ถ้า det  1 2   = แลว้ x มคี ่าเท่ากับข้อใดตอ่ ไปนี้

 3 5  


1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

คณติ ศาสตร์ (148) ________________________________________โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปที ่ี 27