ฟิสิกส์3

ฟิสกิ ส์ เล่ม 3 บทท่ี 8 | การเคลอื่ นที่แบบฮารม์ อนกิ อยา่ งง่าย 35

เฉลยแบบฝกึ หัดทา้ ยบทท่ี 8

ค�ำ ถาม

1. จงบรรยายการเคลื่อนท่ขี องวตั ถุในตวั อย่าง 8.2
แนวค�ำ ตอบ เป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย ซ่ึงเป็นการเคลื่อนท่ีกลับไปมาซ้ำ�
รอยเดมิ ผ่านตำ�แหนง่ สมดลุ

2. วัตถุที่มีการเคลื่อนท่ีแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย ขณะท่ีวัตถุอยู่ท่ีตำ�แหน่งสมดุล ปริมาณใดบ้าง
ท่ีเป็นศูนย์
แนวค�ำ ตอบ การกระจัด ความเร่ง

3. จงเปรียบเทยี บมมุ เฟสของกราฟตามสมการ v AZ cos (Zt I) และ
a AZ2 sin (Zt I)
แนวค�ำ ตอบ มุมเฟสมคี า่ เทา่ กบั Zt I ดงั นน้ั มมุ เฟสของท้ังสองสมการมคี า่ เท่ากัน

4. x Asin Zt I และ x Acos(Zt I) เป็นสมการการกระจัดของวัตถุที่มี

การเคลือ่ นที่แบบฮารม์ อนกิ อย่างง่าย สมการทง้ั สองแตกต่างกนั อยา่ งไร
แนวค�ำ ตอบ ที่เวลาเร่ิมต้น t = 0 จะได้ x = Asin φ , x = Acos φ ถ้า φ = 0
ตำ�แหน่งของวัตถทุ เ่ี วลาเร่ิมต้นจะแตกต่างกนั โดย x = Asinφ จะเรมิ่ ทีก่ ารกระจัดเท่ากับศูนย์
และ x = Acosφ จะเรม่ิ ท่ีการกระจัดสูงสดุ

5. ลูกตุ้มเคล่อื นทแ่ี บบฮารม์ อนกิ อยา่ งง่ายระหวา่ งจุด A และจุด C โดย B เป็นจุดต�่ำ สดุ ดงั รปู


θθ

AB C

รูป ประกอบคำ�ถามข้อ 5

จงเขยี นแผนภาพแสดงแรงกระท�ำ ตอ่ ลกู ตมุ้ ในขณะที่ลูกตุ้มอยทู่ ี่จุด A จดุ B และจุด C

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

36 บทที่ 8 | การเคลื่อนทแ่ี บบฮาร์มอนิกอยา่ งงา่ ย ฟิสิกส์ เลม่ 3

แนวคำ�ตอบ แผนภาพของแรงท่กี ระท�ำ ตอ่ ลูกตุ้มอย่างง่ายที่จดุ A B และ C แสดงได้ดงั รูป



θθ

T T
T

A BC

WWW

รูป ประกอบค�ำ ถามขอ้ 5

6. จงอธิบายการสาธติ การสั่นพอ้ งในหอ้ งเรยี น (หรือหอ้ งปฏิบัตกิ าร) ระบอุ ปุ กรณ์ท่ีใช้ วธิ ีการและ
ผลทเี่ กิดขนึ้
แนวค�ำ ตอบ ลูกตุ้มมวลต่าง ๆ 4-5 ลูก ผูกห้อยกับเชือกท่ีขึงเป็นราว โดยให้มีความยาวของ
เชือกท่ีแขวนลูกตุ้มต่างกัน และบางลูกมีความยาวเท่ากัน เม่ือแกว่งลูกตุ้มลูกหน่ึง ลูกตุ้ม
ลูกอนื่ ๆ จะแกวง่ โดยลกู ต้มุ ท่ีมคี วามยาวเทา่ กนั จะแกว่งพร้อมกนั

ปัญหา

1. ส้อมเสยี งอันหนงึ่ สัน่ 5000 รอบในเวลา 20 วินาที คาบและความถี่ของส้อมเสียงมคี ่าเท่าใด

วิธีทำ� คาบเป็นเวลาทวี่ ตั ถใุ ช้ในการเคล่ือนท่คี รบหน่ึงรอบ จะได้

T = 20 s
5000

= 0.004 s

ความถี่เป็นจำ�นวนรอบทว่ี ตั ถุเคลอ่ื นทไ่ี ดใ้ นหนึ่งหนว่ ยเวลา จะได้

f 5000
20 s

250 s

ตอบ ส้อมเสียงมคี าบและความถี่เท่ากบั 0.004 วินาที และ 250 รอบต่อวินาที ตามล�ำ ดบั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ฟสิ ิกส์ เล่ม 3 บทที่ 8 | การเคล่ือนทแี่ บบฮารม์ อนกิ อยา่ งง่าย 37

2. ในการบันทึกภาพการกระพือปีกของนกชนิดหนึ่ง พบว่านกกระพือปีกด้วยความถ่ี 20 เฮิรตซ์

คาบและความถเี่ ชงิ มมุ ของการกระพือปกี เปน็ เทา่ ใด
วิธที ำ� คาบมีคา่ เท่ากบั 1 จะได้
f
คาบ2 = 1
20 Hz
2 = 0.05 s


ความถ่ีเชิงมุมมคี า่ เทา่ กบั 2π f จะได้

ความถเี่ ชงิ มมุ = 2(3.1416 rad)(20 Hz)

= 125.66 rad/s

ตอบ คาบและความถเี่ ชงิ มมุ ของการกระพือปีกเท่ากับ 0.05 วินาที และ

125.66 เรเดยี นต่อวินาที

3. วัตถุหนึ่งเคลื่อนท่ีแบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายตามแนวแกน x มีคาบการเคลื่อนท่ีเป็น 6 วินาที

มีสมการการเคลือ่ นทเี่ ปน็ x A sin § 2S t · เม่อื A และ T เปน็ ค่าคงตวั t เป็นเวลา เวลา
©¨ T ¹¸

ท่ีใช้เคลื่อนที่จากต�ำ แหน่ง x = 0 ไป x= 1 A มีคา่ เท่าใด
2

วธิ ที ำ� จากสมการ x A sin § 2S t ·
¨© T ¸¹

จะได้ 1 A A sin § 2S t ·
2 ¨© T ¸¹

1 sin § 2S t ·
2 ¨© T ¸¹

sin § S · sin § 2S t ·
¨© 6 ¹¸ ©¨ 6s ¸¹

S 2S t
6 6s

t 0.5 s

ตอบ เวลาทใี่ ชเ้ คลื่อนที่ 0.5 วนิ าที

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

38 บทท่ี 8 | การเคลื่อนทแ่ี บบฮารม์ อนกิ อยา่ งง่าย ฟิสกิ ส์ เล่ม 3

4. รถทดลองติดอยู่กับปลายข้างหน่ึงของสปริงที่วางบนพื้นราบลื่น ตรึงปลายอีกข้างของสปริงไว้
ดงั รปู


รูป ประกอบปัญหาข้อ 4

ถ้ารถเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย โดยมีแอมพลิจูด 0.4 เมตร และอัตราเร็วสูงสุดเป็น

2.0 เมตรต่อวนิ าที ในเวลา 10 วนิ าที รถว่ิงกลับไปกลบั มาไดก้ ่ีรอบ (ให้คำ�ตอบติดค่า π )

วธิ ีทำ� จากสมการ vmax Z A

vmax (2S f ) A

จะได ้ 2 m/s (2S f )(0.4 m)

f 2.5 s 1
S

ในเวลา 1 s รถเคลอื่ นทไี่ ดเ้ ทา่ กบั 2.5 รอบ
π

ในเวลา 10 s รถเคลื่อนท่ไี ด้เทา่ กับ 25 รอบ
π

ตอบ ในเวลา 10 วินาที รถว่ิงกลับไปกลบั มาได้ 25 รอบ
π

5. อนุภาคมวล 0.2 กิโลกรัม เคล่ือนที่เป็นวงกลมรัศมี 5.0 เซนติเมตร ด้วยอัตราเร็วเชิงมุมคงตัว

40π เรเดยี นตอ่ วนิ าที ท�ำ ใหเ้ งาของวตั ถบุ นฉากเคลอ่ื นทก่ี ลบั ไปกลบั มาแบบฮารม์ อนกิ อยา่ งงา่ ย

รอบจดุ O' ถ้าวตั ถเุ ร่ิมเคลือ่ นทีจ่ ากตำ�แหน่ง A ถงึ B โดยใชเ้ วลา 0.04 วนิ าที ดงั รปู

O' B A ฉาก

B t = 0.04 s
R

θ A
t = 0.00 s

รูป ประกอบปญั หาข้อ 5

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ฟสิ กิ ส์ เล่ม 3 บทท่ี 8 | การเคลอ่ื นที่แบบฮารม์ อนกิ อยา่ งงา่ ย 39

ขณะวัตถอุ ยู่ทีต่ �ำ แหน่ง B จงหาขนาดของ
ก. การกระจดั
ข. ความเร็ว
ค. ความเรง่
วธิ ที �ำ จากรูป วตั ถุเรมิ่ เคลอ่ื นทีจ่ ากตำ�แหนง่ การกระจัดสงู สดุ จากต�ำ แหนง่ A ไป B
ดงั นัน้ การกระจัด ความเรว็ และความเร่งของวตั ถุ ณ ตำ�แหนง่ B เปน็ ดังน้ี
ก. ขนาดของการกระจัด x R cosT

R cosZt

(5 cm)cos (40S s 1)(0.04 s)

1.55 cm

ตอบ ขนาดของการกระจัดมคี า่ เท่ากับ 1.55 เซนติเมตร

ข. ขนาดของความเรว็ v ZRsinT
ZRsinZt

(40S s 1)(5 cm)sin (40S s 1)(0.04 s)

190S cm/s

ตอบ ขนาดของความเร็วมคี า่ เทา่ กบั 190π เซนติเมตรตอ่ วินาที

ค. ขนาดของความเร่ง a Z2R cosT
Z2R cosZt

(40S s 1)2 (5 cm) cos (40S s 1)(0.04 s)

2472S 2 cm/s2
ตอบ ขนาดของความเร่งมีค่าเทา่ กับ -2472π 2 เซนติเมตรตอ่ วินาท2ี

6. สมการการเคลื่อนท่ีแบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายของอนุภาคเป็น x 5.00 cm cos § S t ·
©¨ 60 ¹¸

เมอื่ x เปน็ การกระจดั ในหนว่ ย เซนตเิ มตร t เปน็ ชว่ งเวลาการเคล่ือนทีใ่ นหน่วย วนิ าที ท่ีเวลา

t = 10.0 วนิ าที

จงหา ก. การกระจัดของอนภุ าค

ข. ความเร็ว

ค. ความเรง่

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

40 บทท่ี 8 | การเคลือ่ นทีแ่ บบฮาร์มอนิกอยา่ งง่าย ฟิสิกส์ เล่ม 3

วธิ ที ำ� ก. จากโจทย์ A = 5.00 cm , ω = π rad/s
60

หาการกระจดั ท่เี วลา t = 10.0 s จากสมการ x = (5.00 cm) cos  π t 
 60 

จะได ้ x = (5.00 cm) cos  π ×10 rad 
 60 

= (5.00 cm) cos (30°)

= (5.00 cm) 3
2

x = 4.33cm

ตอบ การกระจัดของอนภุ าคเท่ากับ 4.33 เซนติเมตร

ข. หาความเร็ว ทเ่ี วลา t = 10.0 วนิ าที

เมื่อ x มคี า่ น้อยกว่า A ทิศของความเรว็ (v) จะตรงข้ามกบั การกระจดั คือ -

จากสมการ v = ± ω A2 − x2

v =  − π rad/s  (5.00 cm)2 − (4.33 cm)2
 60 

v = − 0.04π cm/s

ตอบ ความเรว็ ท่ีเวลา 10 วินาที เท่ากบั -0.04π เซนติเมตรตอ่ วนิ าที

ค. หาความเร่งทเ่ี วลา t = 10.0 วินาที

จากสมการ a = − ω2 x

แทนคา่ a = −  π rad/s 2 (4.33 cm)
 60 

a = −1.20 ×10−3π 2 cm/s2
ตอบ ความเร่งทเี่ วลา 10 วนิ าที เท่ากับ −1.20×10−3π 2 เซนตเิ มตรต่อวนิ าท2ี

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ฟิสิกส์ เล่ม 3 บทท่ี 8 | การเคลอื่ นทแ่ี บบฮารม์ อนิกอยา่ งงา่ ย 41

7. อนุภาคหนึ่งเคล่ือนท่ีแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย มีแอมพลิจูด 30 เซนติเมตร มีคาบการเคล่ือนที่

4 วินาที อตั ราเรว็ สูงสุดของการเคลอ่ื นทม่ี ีคา่ เท่าใด

วธิ ีทำ� จากสมการ vmax Z A

จะได ้ vmax § 2S · A
¨© T ¸¹

2(3.1416) 0.3 m

4s

0.47 m/s

ตอบ อัตราเร็วสูงสุดของการเคลื่อนที่มีค่า 0.47 เมตรตอ่ วนิ าที

8. กราฟระหว่างความเร็วกับเวลาของอนภุ าคหนงึ่ เปน็ ดังรูป เวลา (×10−2 วินาท)ี
ความเร็ว (เมตร/วนิ าท)ี

0.4

0

5 10 15 20

-0.4

รปู ประกอบปญั หาขอ้ 8

ทีเ่ วลา 5 × 10-2 วินาที อนุภาคมีขนาดความเรง่ เท่าใด (ใหค้ ำ�ตอบตดิ คา่ π )

วิธีทำ� จากกราฟ vmax 0.4 m/s

คาบ T = 20u10 2 s

จากสมการ Z 2S
จะได้ Z
T
2S

20 u10 2 s

10S rad/s

จากสมการ vmax ZA
จะได้ 0.4 m/s
(10S rad/s)A
A
0.4 m
10S

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

42 บทท่ี 8 | การเคลอ่ื นที่แบบฮาร์มอนกิ อย่างงา่ ย ฟิสิกส์ เลม่ 3

ทเ่ี วลา 5 × 10-2 s อนุภาคมีความเรว็ เป็นศนู ย์ ท่ตี �ำ แหน่งน้จี ะมคี วามเร่งสงู สดุ

จากสมการ amax Z2 A

จะได้ (10S rad/s)2 § 0.4 m ·
©¨ 10S ¸¹

4S m/s2

ตอบ อนุภาคมขี นาดความเร่ง 4π เมตรตอ่ วนิ าท2ี

9. วตั ถหุ นง่ึ เคลอ่ื นทแี่ บบฮารม์ อนกิ อยา่ งงา่ ยดว้ ยแอมพลจิ ดู 2.00 เซนตเิ มตร ในแนวระดบั ความเรว็

ของวตั ถุท่ีตำ�แหน่งใดจากตำ�แหนง่ สมดุลมคี ่าเปน็ ครงึ่ หนงึ่ ของความเรว็ สงู สดุ

วิธที ำ� ให้ x เปน็ ต�ำ แหนง่ ทว่ี ตั ถุมคี วามเรว็ เป็นคร่ึงหนง่ึ ของความเร็วสงู สุด
1
vx 2 vmax

จะได้ Z A2 x2 1 Z A
2

A2 x2 1A
2

A2 x2 1 A2
4

x2 3 A2
4

x r 3A
2

แทนค่า A = 2.00 cm จะได้

x r1.73 cm

ตอบ เม่ือการกระจัดเท่ากบั 1.73 เซนตเิ มตร ทศิ ไปทางซ้ายหรอื ขวา จะมีความเร็วเป็น

คร่งึ หน่งึ ของความเร็วสงู สุด

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ฟสิ ิกส์ เล่ม 3 บทที่ 8 | การเคลือ่ นท่แี บบฮาร์มอนกิ อยา่ งง่าย 43

10. รถทดลองติดปลายลวดสปรงิ เคลอื่ นท่แี บบฮาร์มอนกิ อย่างงา่ ย ดว้ ยแอมพลจิ ดู 15 เซนติเมตร
และความถี่ 4 รอบต่อวินาท ี จงหาความเร็วสูงสดุ และความเร่งสูงสดุ ของรถทดลอง

วิธีทำ� หาความเรว็ สงู สุดจาก vmax Z A (2S f ) A
vmax 2(3.1416)(4 s 1)(0.15 m)

3.8 m/s
หาความเร่งสูงสุดจาก amax Z2 A
amax (2S f )2 A

2(3.1416)(4 s 1) 2 (0.15 m)

94.7 m/s2
ตอบ ความเรว็ สงู สดุ เทา่ กบั 3.8 เมตรตอ่ วนิ าที และ ความเรง่ สงู สดุ เทา่ กบั 94.7 เมตรตอ่ วนิ าท2ี

11. ลกู ต้มุ มวล m ผูกเชือกยาว L แกวง่ แบบฮาร์มอนกิ อยา่ งงา่ ย มีคาบการแกว่งเปน็ 2 วนิ าที ถ้าใช้

ลูกตุ้มมวล 2m แกว่งแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย ต้องการให้มีคาบการแกว่งเป็น 1 วินาที

ตอ้ งใช้เชอื กยาวกเ่ี ทา่ ของความยาว L

วธิ ที ำ� จากสมการ T 2S L
g

มวลลกู ตุ้ม ไม่มผี ลตอ่ คาบการแกวง่ T

ลกู ตมุ้ มวล m ผกู เชอื กยาว L1 2S L1 (1)
คาบการแกวง่ เป็น T1 g

ลูกตุม้ มวล 2m ผูกเชอื กยาว L2 2S L2 (2)
คาบการแกว่งเปน็ T2 g

(2) T2 = L2
(1) T1 L1

แทนค่า 1 s = L2
2s L

L2 = 1L
1 เท่าของความยาว L 4

ตอบ ตอ้ งใชเ้ ชือกยาว 4

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

44 บทที่ 8 | การเคลอื่ นท่ีแบบฮารม์ อนกิ อย่างง่าย ฟสิ กิ ส์ เลม่ 3

12. อนภุ าคหนึ่งส่นั แบบฮารม์ อนกิ อย่างง่ายในแนวแกน y โดยมีการกระจัด ความเรว็ และความเร่ง
ของอนภุ าค ดงั สมการ y AcosZt v Z Asin Zt และ a Z2 AcosZt ตามล�ำ ดบั

ก. กรอกขอ้ มลู การกระจดั ความเรว็ และความเรง่ ของอนภุ าคทม่ี มุ เฟสตา่ ง ๆ ลงในตารางตอ่ ไปน้ี

มุมเฟส ωt การกระจัด y ความเร็ว v ความเร่ง a
0 A0 Z2 A
0 Z A 0
π -A 0 Z2 A
2 0 ω2A 0
π A0 Z2 A

3π
2

2π

ข. เขยี นกราฟระหว่างการกระจัดกบั เวลา ความเร็วกบั เวลา และความเร่งกับเวลา

x(m)
A

T t(s)
2 T

−A
ν (m/s)

Aω

t(s)
TT
2

− Aω

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ฟิสิกส์ เลม่ 3 บทที่ 8 | การเคลอื่ นท่แี บบฮารม์ อนิกอย่างง่าย 45

a(m/s2 )
Aω 2

t(s)
TT
2

− Aω 2



13. แขวนมวล 4.0 กิโลกรัมกับสปริงแล้วปล่อยให้ส่ันขึ้นลงในแนวด่ิง ปรากฏว่าวัดคาบการส่ันได้

2.0 วนิ าที ถา้ น�ำ มวล 8.0 กโิ ลกรมั มาแขวนแทนมวล 4.0 กโิ ลกรมั แลว้ ปลอ่ ยใหส้ น่ั ขน้ึ ลงจะสน่ั

ดว้ ยความถเี่ ท่าใด

วิธที ำ� หา k จาก T 2S m ดงั นัน้ k 4S 2m
k T2

วัตถุมวล 4.0 กโิ ลกรมั สนั่ ข้นึ ลงโดยมคี าบของการสั่นเท่ากบั 2.0 วนิ าที

แทนคา่ k 4S 2 (4.0 kg)
(2.0 s)2

k 4S 2 kg/s2

เมอื่ เปลย่ี นมวลเปน็ 8.0 กิโลกรมั จะสัน่ ขึ้นลงดว้ ยความถ่ี

จาก T 2S m ดงั นนั้ f 1k
k 2S m

แทนค่า k และ m f 1 4S 2 kg/s2
2S 8 kg

f 0.35 s 1

ตอบ ความถ่ขี องมวล 8.0 กโิ ลกรัม เทา่ กับ 0.35 เฮริ ตซ์

14. เม่ือออกแรง 2.0 นิวตัน ดึงปลายแผ่นสปริงของเครื่องช่ังมวล ปลายแผ่นสปริงเบนไปจาก
ต�ำ แหนง่ สมดลุ 10 เซนตเิ มตร ดงั รปู ทป่ี ลายแผน่ สปรงิ ตดิ มวล 0.3 กโิ ลกรมั ถา้ ดงึ ใหป้ ลายแผน่
สปรงิ เบนไปจากต�ำ แหนง่ สมดลุ 15 เซนตเิ มตร แล้วปล่อยมือ จงหา
ก. คา่ คงตัวสปรงิ
ข. คาบของการสน่ั ของมวล
ค. ขนาดความเรง่ สูงสดุ ของมวล

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

46 บทที่ 8 | การเคล่อื นทแี่ บบฮาร์มอนกิ อยา่ งง่าย ฟสิ กิ ส์ เลม่ 3



2.0 N
10 cm

รูป ประกอบปญั หาขอ้ 15

วิธที ำ� ก. ออกแรง 2.0 นิวตัน ดึงปลายแผ่นสปริงเบนจากต�ำ แหน่งสมดลุ 0.1 m

จาก F = kx

2.0 N = k(0.1 m)

k = 20 N/m

ตอบ คา่ คงตวั สปริงเท่ากบั 20 นวิ ตันต่อเมตร

วธิ ที ำ� ข. ต่อมาดึงปลายแผ่นสปริงเบนจากตำ�แหน่งสมดุล แล้วปล่อยมือมวล 0.3 กิโลกรัม

จะส่ันดว้ ยคาบของการส่นั 2S m
T k

2S 0.3 kg
20 N/m

T 0.77 s

ตอบ คาบของการส่นั ของมวล 0.3 กโิ ลกรัม เท่ากับ 0.77 วนิ าที

วิธีทำ� ค. ขนาดความเรง่ สงู สดุ ของมวล
จาก ax Z2 x

ดงั น้นั am k xm
m

§ 20 N/m · (15 u10 2 m)
¨ 0.3 kg ¸
© ¹

10 m/s2

ตอบ ความเร่งสงู สดุ ของมวล 10 เมตรต่อวนิ าท2ี

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ฟิสิกส์ เลม่ 3 บทที่ 8 | การเคลือ่ นทีแ่ บบฮาร์มอนกิ อย่างง่าย 47

15. รถทดลองมวล 2 กโิ ลกรมั ปลายทง้ั สองยดึ ตดิ กบั สปรงิ ทเี่ หมอื นกนั ทกุ ประการ ดงั รปู รถเคลอื่ นท่ี

ระหว่างสปริงบนพื้นราบลื่น (ไม่คิดแรงเสียดทาน) ตอนบนของรถติดเข็มช้ีไว้และเข็มช้ีจะ

เคลอ่ื นทีร่ ะหว่างจุด Q กบั S เป็นแบบฮาร์มอนกิ อยา่ งงา่ ย บนสเกลทวี่ ัดเปน็ เซนตเิ มตร มี R

เปน็ จุดสมดลุ

ณ เวลา t = 0 รถเริม่ เคล่อื นทจี่ ากจดุ Q ไปทางขวามือ ซ่ึงมเี คร่ืองหมายบวก

QR S
0

-10 10



รปู ประกอบปัญหาขอ้ 16
ก. ถ้าคาบของการส่ันในหน่วยวนิ าทีเท่ากบั π แรงดงึ กลบั ที่กระท�ำ ตอ่ รถในหนว่ ย

นิวตันตอ่ เมตร ณ เวลา เริ่มต้น มคี า่ เท่าใด

ข. ความเร็วของรถทดลองทตี่ �ำ แหน่ง S มคี า่ เท่าใด ในหนว่ ยเมตรตอ่ วินาที

วิธที ำ� ก. จาก a Z2r a 4S 2r
T2

(4)(3.1416)2 (10u10 2 m)

(3.1416 s)2

หาแรงดงึ กลับจาก F = ma 4.0 u10 1m/s2

F (2 kg)(4 u10 1m/s2 )
0.8 N

ตอบ ก. แรงดึงกลบั ที่กระทำ�ต่อรถ ณ เวลาเร่มิ ต้นเปน็ 0.8 นวิ ตัน

ข. ณ ต�ำ แหนง่ S รถทดลองมีการกระจดั สูงสุด รถทดลองมคี วามเร็วเท่ากบั ศูนย์

16. กล่องมวล m ติดอยู่กับปลายข้างหน่ึงของสปริงและอยู่บนพ้ืนลื่นระดับ มีคาบของการสั่น

4.0 วนิ าที ถ้าน�ำ วตั ถุมวล 1.0 กโิ ลกรัม ไปวางบนกลอ่ ง คาบการส่นั เป็น 5.0 วินาที จงหามวล

ของกล่อง

วธิ ีท�ำ พิจารณาสมการ T 2S m
k

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

48 บทท่ี 8 | การเคล่อื นที่แบบฮาร์มอนิกอย่างงา่ ย ฟิสกิ ส์ เลม่ 3

แทนค่า T = 4 s และ m = mbox จะได้ mbox (1)
k (2)
4s = 2π

แทนค่า T = 5 s และ m = mbox + 1 kg

5s = 2π mbox +1 kg
k

(1) จะได้ 5s = mbox +1 kg
(2) 4 s mbox
25 = mbox +1 kg
16 mbox
mbox = 1.78 kg

ตอบ มวลของกล่องมีคา่ เทา่ กับ 1.78 กิโลกรมั

17. กล่องมวล m อยู่บนแผ่นราบท่ีกำ�ลังส่ันแบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายในระนาบระดับ ด้วยความถี่

2.0 เฮิรตซ์ ถ้ากล่องไม่ไถลบนแผ่นราบ จงหาการกระจัดสูงสุด กำ�หนดให้สัมประสิทธ์

ความเสียดทานสถิตระหว่างกล่องและแผ่นราบเท่ากับ 0.6

วิธีท�ำ หาการกระจดั สูงสุดจากสมการ fs = µs N และสมการ amax = ω2 A = (2π f )2 A

จากกรณที ีก่ ลอ่ งไมไ่ ถลความเร่งของกลอ่ งตอ้ งมคี ่าเท่ากบั ความเร่งของแผน่ ราบ

∑ จากสมการ F = ma และ fs = µs N จะได้

ma = µs N
= µsmg

a = µs g
จากสมการ amax = (2π f )2 A และ a = µs g จะได้

(2π f )2 A = µs g

A = µs g
(2π f )2

แทนค่าจะได ้ A = (0.6)(9.8 m/s2 )
(2(3.1416)(2 Hz))2

= 0.037 m

ตอบ การกระจัดสูงสงู ของแผ่นราบมีค่าเท่ากับ 3.7 เซนติเมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ฟสิ กิ ส์ เล่ม 3 บทท่ี 8 | การเคลื่อนท่แี บบฮาร์มอนิกอย่างง่าย 49

18. สมการการเคล่ือนท่ีแบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายของวัตถุเป็น x = (5.00 cm) cos(3t) เมื่อ x

เปน็ การกระจดั หนว่ ย เซนตเิ มตร t เปน็ ชว่ งเวลาการเคลอ่ื นท่ี หนว่ ย วนิ าที ทเ่ี วลา t = 10.0 s

จงหา

ก. การกระจัดของอนภุ าค ข. ความเรว็ ค. ความเรง่ sin ¨©§T S ·
2 ¹¸
วธิ ที �ำ ก. พิจารณาฟังกช์ ัน cos (θ ) สามารถเขียนได้ในอีกรปู คอื

ดังนนั้ จงึ สามารถเขียนสมการใหม่ไดเ้ ปน็ x (5.00 cm) sin § 3t S ·
แทนค่า t = 10.0 s จะได้ ¨© 2 ¸¹

x (5.00 cm) sin § (3 rad/s)(10.0 s) S ·
©¨ 2 ¸¹

0.771 cm

ตอบ การกระจัดของอนภุ าคเทา่ กับ 0.771 เซนตเิ มตร

วธิ ีท�ำ ข. เมือ่ พจิ ารณาสมการ จะได้วา่ A = 0.05 m , Z 3 rad/s และ I S
แทนค่าในสมการ v AZ cos(Zt I) จะได้ 2

v (5.0 cm)(3 rad/s) cos § (3 rad/s)(10.0 s) S ·
¨© 2 ¹¸

14.8 cm/s

ตอบ ความเรว็ อนภุ าคเท่ากบั 14.8 เซนตเิ มตรตอ่ วินาที มีทิศไปทางขวา

วิธที ำ� ค. เมอื่ พจิ ารณาสมการ จะได้ว่า A = 0.05 m, ω = 3 rad/s และ I S
แทนคา่ ในสมการ a AZ2 sin(Zt I) จะได้ 2

a (5.0 cm)(3 rad/s)2 sin § (3 rad/s)(10.0 s) S ·
¨© 2 ¹¸

6.94 cm/s2

ตอบ ความเรง่ อนุภาคเทา่ กบั 6.94 เซนติเมตรต่อวนิ าท2ี มที ศิ ไปทางขวา

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

50 บทที่ 8 | การเคลอื่ นทแี่ บบฮารม์ อนกิ อย่างง่าย ฟสิ ิกส์ เล่ม 3

ปญั หาท้าทาย

19. วัตถุเคลื่อนทแี่ บบฮารม์ อนกิ อย่างง่ายดว้ ยความถี่ 5 รอบตอ่ วนิ าที ในแต่ละช่วงเวลา 1 วนิ าที

วัตถอุ ยูม่ ีมุมเฟสต่างกันเทา่ ใด

วิธีทำ� พจิ ารณาสมการ Z 2S f และมมุ เฟส Zt I

ดงั นนั้ ทกุ ๆ เวลา 1 วินาที

มุมเฟสต่างกัน 2S f (1 s)

แทนค่า 2S (5 Hz)(1 s)

10S rad

ตอบ วตั ถุมีมมุ เฟสต่างกนั 10π เรเดยี น

20. ลกู เหล็กทรงกลมมวล 1 กรัม แกวง่ แบบฮารม์ อนิกอย่างงา่ ยมแี อมพลิจดู 2 มิลลิเมตร ความเรง่

ทจ่ี ุดปลายของการแกวง่ มคี า่ 8× 103 เมตรตอ่ วินาท2ี

ก. จงหาความถข่ี องการแกว่ง

ข. จงหาความเรว็ ที่จดุ สมดุล

ค. จงเขยี นสมการแสดงแรงทกี่ ระท�ำ ตอ่ ลกู เหลก็ ใหเ้ ปน็ ฟงั กช์ นั ของต�ำ แหนง่ และฟงั กช์ นั ของ

เวลา Z และ a Z2x
วธิ ที ำ� ก. หาไดจ้ ากสมการ f 2S

ดังนนั้ f 1a
2S x

แทนค่า f 1 8u103 m/s2
2(3.1416) 2u10 3 m

3.18u102 Hz

ตอบ ความถ่ขี องการแกวง่ เทา่ กับ 3.18× 102 เฮริ ตซ์

วิธที ข. หาความเรว็ ท่ีจุดสมดุลจาก v Z A
แทนคา่ v 2S fA

2(3.1416)(3.18u102 Hz)(2u10 3 m)

4 m/s
ตอบ ความเร็วท่จี ุดสมดลุ เท่ากบั 4 เมตรต่อวนิ าที

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ฟสิ ิกส์ เล่ม 3 บทท่ี 8 | การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างงา่ ย 51

วธิ ีทำ� ค. จากเรื่องลูกต้มุ อย่างงา่ ย
แรงกระท�ำ ตอ่ ลกู ตมุ้ F = − mg x ซง่ึ สามารถใชส้ มการนหี้ าแรงกระท�ำ ตอ่ ลกู เหลก็ กลม
l
เดปังน็นฟ้ันัง ก ช์ นั ขอ งต�ำ แห นง่ แ ล(ะ2ยπังทfร)า2บอ=กี วgl่า ω2 = g
l

แทนคา่ F = − 4π 2 f 2mx (1)

เน่อื งจาก π , f, m เปน็ คา่ คงตัว และ x เปน็ การกระจัดทีม่ ีคา่ เปลี่ยนแปลง ดังนนั้

สมการ (1) จึงเป็นสมการแสดงแรงที่กระท�ำ ตอ่ ลูกเหล็กทเี่ ป็นฟังกช์ นั ของต�ำ แหนง่

ถา้ แทนค่า π , f, m ลงในสมการ (1) จะได้ F = -3992x

ตอบ สมการแสดงแรงทกี่ ระท�ำ ตอ่ ลกู เหลก็ ทเ่ี ปน็ ฟงั กช์ นั ของต�ำ แหนง่ คอื F = − 4π 2 f 2mx

หรือ F = −ma = −mω2 x

หาสมการแสดงแรงท่ีกระท�ำ ต่อลกู เหล็กทเ่ี ปน็ ฟงั ก์ชันของเวลา

จากสมการ F = −ma = −mω2 x จะได้

F = − mω2 Asin(ωt)

= − m4π 2 f 2 Asin(2π ft)

เนื่องจาก π , f, m, A เป็นค่าคงตัว และ เป็นแรงที่มีค่าเปล่ียนแปลง ดังน้ันจึงเป็น

สมการแสดงแรงท่ีกระท�ำ ตอ่ ลูกเหลก็ ทเ่ี ปน็ ฟังก์ชันของเวลา

ถ้าแทนค่า π , f, m, A ลงในสมการ จะได้ F = -8sin(1998t)

ตอบ สมการแสดงแรงทก่ี ระทำ�ต่อลูกเหล็กที่เป็นฟังกช์ ันของเวลา คอื

F = − m4π 2 f 2 Asin(2π ft) หรอื F = -8sin(2000t)

21. วัตถุเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายรอบจุดสมดุล O ท่ีอยู่ระหว่างตำ�แหน่ง A และ B โดย

ใชเ้ วลา 1 วินาที ในการเคล่อื นท่จี ากตำ�แหน่ง A ไป B ซึ่งอยู่ห่างกนั 20 เซนตเิ มตร ท่ตี �ำ แหน่ง

A และ B วัตถจุ ะอย่นู งิ่ ขณะทีว่ ัตถุผ่านตำ�แหนง่ C ซงึ่ อยู่ห่างจาก O เป็นระยะ 6 เซนติเมตร

วัตถจุ ะมีอตั ราเรว็ กเ่ี มตรต่อวินาที

วธิ ที ำ� โจทยร์ ะบตุ �ำ แหนง่ A และ B วตั ถจุ ะอยนู่ ง่ิ แสดงวา่ ระยะจากจดุ O ไปจดุ A คอื แอมพลจิ ดู

ดงั นั้นแอมพลิจดู (A) ของการเคลอื่ นทม่ี ีค่า 10 เซนติเมตร

ระยะเวลาทเ่ี คลอ่ื นที่จาก A ไป B มคี า่ เปน็ คร่งึ หนึ่งของคาบ

ดังนน้ั T = 1s
2

T = 2s

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

52 บทท่ี 8 | การเคลอื่ นทีแ่ บบฮารม์ อนกิ อย่างง่าย ฟิสิกส์ เล่ม 3

หาความเรว็ ของวตั ถทุ ห่ี ่างจากจุด O 6 เซนติเมตร ไดจ้ าก v = ± ω A2 − x2

แทนค่า v = ±  2π  (10 ×10−2 m)2 − (6 ×10−2 m)2
 2s 
 

= ± 0.08π m/s

ตอบ วตั ถุจะมอี ัตราเรว็ 0.08π เมตรตอ่ วินาที

22. มวล 2 กิโลกรมั ติดกับปลายลวดสปริง ดงั รปู ก. ดงึ สปริงให้ยืดออกแล้วปลอ่ ยให้วตั ถเุ คลือ่ นที่

แบบฮารม์ อนกิ อยา่ งงา่ ย บนพน้ื ราบเกลย้ี ง วตั ถเุ คลอ่ื นทค่ี รบ 1 รอบ ใชเ้ วลา 1 วนิ าที ถา้ มมี วล

วางทบั มวล 2 กิโลกรมั เดิมดงั รูป ข ท�ำ ให้วัตถุเคลือ่ นท่ีแบบฮารม์ อนกิ อยา่ งง่ายและครบ 1 รอบ

ใช้เวลา 1.5 วนิ าที จงหามวล m

2 kg

m

2 kg

รปู ประกอบปัญหาท้าทายขอ้ 22

วิธที �ำ จาก T = 2π m
k
2 kg
จากรูป ก. ไดว้ ่า 1s = 2π k (1)
(2)
จากรูป ข. ไดว้ ่า 1.5s = 2π m +2 kg
k

(1) 1.5 = m + 2 kg
(2) 2 kg

m = 2.5 kg

ตอบ มวล m เท่ากบั 2.5 กิโลกรัม

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ฟสิ ิกส์ เล่ม 3 บทท่ี 8 | การเคลอื่ นทแี่ บบฮารม์ อนกิ อยา่ งงา่ ย 53

23. สปริงสองเส้นมมี วลนอ้ ยมาก ปลายด้านหนงึ่ ยึดติดกบั เพดาน ปลายอกี ด้านหนึ่งมมี วล m1 และ
m2 ติดไว้ ดังรปู

k1 k2

m1 m2

รปู ประกอบปัญหาท้าทายข้อ 22

โดยคา่ คงตวั สปรงิ k1 เป็น 3 เทา่ ของคา่ คงตวั สปริง k2 และมวล m1 เป็น 2 เทา่ ของมวล m2

เม่ือออกแรงดึงมวล m1 และ m2 ให้สปริงยืดออกเล็กน้อยแล้วปล่อย มวล m1 จะใช้เวลาใน

การส่นั ครบรอบ เป็นก่ีเท่าของมวล m2 m
วิธที �ำ คาบของระบบมวลติดสปริงค�ำ นวนได้จาก T 2S k
มวล m1 ตดิ กบั สปริงทมี่ ีค่าคงตัวสปริง จะได้

T1 2S m1 (1)
k1

มวล m2 ตดิ กบั สปรงิ ทมี่ ีค่าคงตัวสปริง จะได้

T2 2S m2 (2)
k2

(1) T1 = m1 k2
(2) T2 m2 k1

แทนค่า = (2m2 ) k2
m2 (3k2 )

T1 = 23T2

ตอบ มวล m1 จะใช้เวลาสั่นครบรอบเป็น 2 เท่าของมวล m2
3

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

54 บทที่ 8 | การเคลือ่ นที่แบบฮารม์ อนกิ อย่างงา่ ย ฟสิ ิกส์ เล่ม 3

24. อนุภาคเคลื่อนท่ีในแนววงกลมในระนาบระดับเคล่ือนที่ได้ 10 รอบ ใช้เวลา 3 วินาที เงาของ

อนุภาคเคล่ือนที่เป็นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย โดยมีแอมพลิจูด 8.0 เซนติเมตร ณ ตำ�แหน่งท่ี

เงาของอนุภาคมอี ตั ราเรว็ สงู สุด มขี นาดของการกระจัดเท่าใด และอตั ราเรว็ สูงสดุ มีคา่ เท่าใด
วิธที �ำ หาขนาดของการกระจัดจากสมการ v r Z A2 x2

จากสมการเมอื่ x = 0 จะทำ�ให้ v มคี ่าสงู สุด

ดงั น้นั เงาของอนุภาคมีอตั ราเรว็ สูงสุดเมอื่ การกระจดั มีคา่ เป็นศนู ย์

แทนค่า x = 0 ในสมการ จะได้

v ZA
2S fA

(2)(3.1416) § 10 s 1 · (8.0 u10 2 m)
¨© 3 ¹¸

1.67 m/s

ตอบ เงาของอนุภาคมีอัตราเร็วสูงสุดเมื่อขนาดของการกระจัดเป็นศูนย์ และอัตราเร็วสูงสุด

เท่ากบั 1.67 เมตรตอ่ วินาที

25. อนภุ าคหน่งึ เคล่ือนท่ีแบบฮารม์ อนิกอยา่ งงา่ ย ด้วยความถี่ 3 รอบต่อวินาท ี ถา้ แอมพลิจดู ของ
การเคลอื่ นท่ี 2 เซนติเมตร อตั ราเร็วสงู สดุ ของการเคลื่อนท่มี ีค่าเทา่ ใด

วธิ ีท�ำ จากสมการ v r Z A2 x2 และ Z 2S f
โดยอนุภาคจะมีอตั ราเรว็ สูงสดุ ทต่ี ำ�แหน่งสมดุล (x = 0) ของการเคลื่อนที่

ดังนน้ั v r (2S f ) A2 x2

แทนคา่ r (2S (3 Hz)) (2u10 2 m)2 (0)
r 0.12S m/s

ตอบ อัตราเร็วสูงสดุ ของการเคลื่อนทมี่ คี า่ r0.12S เมตรต่อวนิ าที

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ฟสิ กิ ส์ เล่ม 3 บทท่ี 8 | การเคล่ือนทีแ่ บบฮารม์ อนกิ อย่างงา่ ย 55

26. วัตถุเคล่ือนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย มีแอมพลิจูด 10 เซนติเมตร มีความถ่ี 2 รอบต่อวินาที

ณ ต�ำ แหนง่ ทมี่ กี ารกระจดั 7 เซนตเิ มตร วตั ถจุ ะมีความเร่งเท่าใด

วธิ ที ำ� จากสมการ a r Z2 x และ Z 2S f

ความเรง่ ของวัตถทุ ต่ี �ำ แหนง่ ที่มกี ารกระจัด 7 เซนตเิ มตร มีคา่

a r (2S f )2 x

แทนคา่ r 2S (2 Hz) 2 (7 u10 2 m)

r1.12S m/s2

ตอบ วัตถุจะมคี วามเร่ง 1.12π เมตรต่อวินาท2ี

27. อนภุ าคหนง่ึ เคลอื่ นทแ่ี บบฮารม์ อนกิ อยา่ งงา่ ย โดยใชเ้ วลา 2 วนิ าที ในการเคลอื่ นทผ่ี า่ นจดุ P ไป

Q ซึ่งอยหู่ า่ งกัน 22.0 เซนติเมตร ขณะผา่ น P และ Q อนภุ าคมีอัตราเรว็ เทา่ กนั อีก 2 วินาที

ต่อมาวตั ถเุ คลอ่ื นท่ีกลบั มาที่ Q จงหาคาบและแอมพลจิ ูดของการเคลอ่ื นท่ี

2s 2s

อนุภาค P Q

22 cm

รูป ประกอบปญั หาท้าทายข้อ 27

วธิ ที ำ� จากสมการ v r Z A2 x2 และ พจิ ารณาจดุ P และ Q เมือ่ อัตราเร็วเท่ากนั จะไดว้ า่

จุด P และ Q อยหู่ า่ งจากจดุ สมดลุ เป็นระยะเท่ากันและสามารถหาคาบของการเคลอื่ นที่

ไดด้ งั รูป

11 cm
2s
2s

2s P 2s O Q

หาแอมพลจิ ูดไดจ้ ากสมการ sx และAsTin=Z8tsซในึ่ง สZมการ2TSx Asin Zt จะได้
แทนค่า x = 0.11 m t = 1

0.11m A sin § 2S (1 s) ·
©¨ 8s ¹¸

ดังน้ัน A = 0.156 m

ตอบ อนุภาคมคี าบเท่ากับ 8 วนิ าที และอนภุ าคมีแอมพลิจูดเท่ากับ 15.6 เซนติเมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

56 บทท่ี 8 | การเคลื่อนทแ่ี บบฮารม์ อนกิ อยา่ งงา่ ย ฟสิ ิกส์ เล่ม 3

28. A B C เปน็ จดุ บนเสน้ ตรงเสน้ หนง่ึ อนภุ าคหน่งึ เคลือ่ นที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายที่ต�ำ แหนง่ B

และ C อนุภาคจะอยู่นิ่งโดยจุด B และ C อยู่ห่างจาก A เป็นระยะ a และ b ตามลำ�ดับ

ที่จุดกึง่ กลางของ B และ C อนภุ าคมีความเรว็ v จงแสดงใหเ้ หน็ ว่า คาบของการเคล่ือนที่มคี ่า

เท่ากบั π (b − a) b
v

a

แกน x
C ตำแหนง สมดลุ B A

อนภุ าค

วิธีทำ� จุด B และ C เป็นจดุ ปลายของการเคล่ือนที่

ดังนั้น แอมพลิจดู จะได้ A = b−a
2
จากสมการ v = ω A

v = ω (b − a)
2

จะได้ ω = 2v
b−a

จากสมการ ω = 2π
T

ดงั น้นั 2π = 2v
T b−a

จะได ้ T = π (b − a)
v
π (b − a)
ตอบ แสดงวา่ คาบของการเคล่อื นท่ีเทา่ กบั v

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ฟิสกิ ส์ เล่ม 3 บทที่ 8 | การเคลอ่ื นทแี่ บบฮารม์ อนิกอยา่ งง่าย 57

29. ลอ้ วงกลมอันหน่ึงมรี ัศมี 0.3 เมตร ทขี่ อบล้อติดวตั ถุไว้กอ้ นหนึ่ง ลอ้ หมนุ ด้วยความถี่

0.5 รอบตอ่ วนิ าที รอบแกนหมนุ ในแนวแกนซงึ่ อยกู่ บั ท่ี ขณะนน้ั มแี สงแดดตกตง้ั ฉากกบั พนื้ โลก

ทำ�ใหเ้ งาของวัตถุเคลอ่ื นทแี่ บบฮารม์ อนิกอย่างงา่ ย

ก. คาบของการเคลื่อนทขี่ องเงามีคา่ เทา่ ใด

ข. ความถีข่ องการเคลอ่ื นทขี่ องเงามคี า่ เทา่ ใด

ค. แอมพลิจูดของการเคล่อื นท่ีของเงามีค่าเทา่ ใด

ง. จงเขียนสมการแสดงการกระจดั ในการเคลอ่ื นท่ี ณ เวลาต่าง ๆ ก�ำ หนดให้มมุ เฟสเรม่ิ ตน้

เปน็ ศนู ย์

วธิ ที ำ� ก. คาบของการเคลอ่ื นทขี่ องเงา คอื เวลาท่ีเงาจะเคลื่อนทกี่ ลบั มาอยตู่ �ำ แหน่งเดมิ

ซ่งึ จะมีคา่ เทา่ กับคาบการหมุนของวงล้อ
จา ก T = 1f จะได้
T= 1
0.5 Hz

= 2s

ตอบ คาบของการเคล่ือนท่ีของเงามคี า่ 2 วินาที

ข. จา ก f = T 1 จะได้ f= 1
2s

= 0.5 Hz

ตอบ ความถี่ของการเคลอื่ นท่ขี องเงามคี ่า 0.5 เฮิรตซ์

ค. แอมพลิจูดของเงามขี นาดเท่ากับรศั มขี องลอ้ วงกลมซง่ึ เท่ากบั 0.3 เมตร
ตอบ แอมพลิจดู ของการเคลื่อนทข่ี องเงามีคา่ 0.3 เมตร

ง. จากสมการ x = Asin (ωt + φ )

จากสมการ ω = 2π f แทนค่าจะได้

ω = 2π (0.5 Hz)
= π rad/s

แทนค่าในสมการจะไดส้ มการ x = 0.3sin(π t)

ตอบ สมการแสดงการกระจัดในการเคลอื่ นที่ ณ เวลาต่าง ๆ x = 0.3sin(π t)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

58 บทท่ี 8 | การเคลือ่ นทแี่ บบฮาร์มอนิกอยา่ งง่าย ฟสิ กิ ส์ เลม่ 3

30. เชอื กเสน้ ทห่ี นึ่งยาว L เชือกเสน้ ท่สี องยาว 2L ตา่ งมมี วลตดิ ทป่ี ลายเชอื ก เม่อื ทำ�ให้มวลแกวง่

แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย ถา้ อตั ราเรว็ สูงสดุ ของมวลทปี่ ลายเชือกทัง้ สองมคี า่ เท่ากนั แอมพลิจดู

ของมวลที่ปลายของเชือกเส้นท่หี นึง่ เปน็ กเ่ี ท่าของเส้นทสี่ อง

วิธที ำ� ก�ำ หนดให ้ vmax1 = vmax2

จะได้ Z1A1 Z2 A2

จากสมการ Z 2S และ T 2S L
T g

จะได้ Z g
L

ดงั นั้น g A1 = g A2
L 2L

A1 = 1 A2
2

A1 = 0.707 A2

ตอบ แอมพลจิ ูดของมวลทปี่ ลายของเชือกเสน้ ที่หนง่ึ เป็น 0.707 เทา่ ของเชอื กเส้นทสี่ อง

31. การกระจดั ของอนุภาคหนง่ึ ทเี่ คลือ่ นท่แี บบฮาร์มอนกิ อยา่ งง่าย เป็นฟงั กช์ นั ของเวลาดงั สมการ
S)
x (2 m) sin(3S t 4 จงหา

ก. การกระจดั ท่ีเวลา t = 2.0 s

ข. มมุ เฟสทีเ่ วลา t = 2.0 s

ค. ความเรง่ สงู สดุ

ง. สมการความเร็วทเี่ วลา t

จ. สมการความเรง่ ทเี่ วลา t

วธิ ที ำ� ก. แทนค่า t = 2.0 s ลงในสมการ จะได้

x (2 m) sin § 3S (2.0 s) S ·
©¨ 4 ¸¹

1.414 m

ตอบ การกระจัดทเ่ี วลา t = 2.0 s มคี ่า 1.414 เมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ฟสิ กิ ส์ เลม่ 3 บทท่ี 8 | การเคลอ่ื นท่แี บบฮารม์ อนิกอยา่ งงา่ ย 59

วธิ ที �ำ ข. แทนค่า t = 2.0 s ลงในสมการ จะได้ S
มุมเฟส 4
3S (2.0 s)

25S rad
4

ตอบ มุมเฟสทเ่ี วลา t = 2.0 s มคี ่า 25π เรเดยี น
4
S)
วธิ ที �ำ ค. จากสมการ x (2 m) sin(3S t 4 จะได้ Z 3S rad/s และ A = 2 m
จากสมการ amax Z2 A แทนคา่
amax (3S rad/s)2 (2 m)

18S 2 m/s2

ตอบ ความเร่งสงู สุดมคี ่าเท่ากับ 18π 2 เมตรต่อวินาท2ี

วิธีท�ำ ง. จากสมการ v Z A c3oSs(rZadt / sIแ)ละแลIะจากS4สมดกงั านรนั้ท่โี เจขทยี ยน์กส�ำ มหกนาดรไใดหเ้้ ป็น
จะได้ A = 2 m, Z

v (3S rad/s)(2 m) cos § (3S rad/s)t S ·
¨© 4 ¹¸

6S cos § 3S t S ·
¨© 4 ¹¸

ตอบ สมการความเร็วที่เวลา t เปน็ v 6S cos § 3S t S ·
©¨ 4 ¹¸

วธิ ที ำ� จ. จากขอ้ ง. และสมการ a Z2 Asin Zt I แทนค่าจะได้

a (3S rad/s)2 (2 m) sin § (3S rad/s)t S ·
©¨ 4 ¸¹

18S 2 sin § 3S t S ·
¨© 4 ¸¹

ตอบ สมการความเรง่ ที่เวลา t เปน็ a 18S 2 sin § 3S t S ·
¨© 4 ¹¸

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

60 บทท่ี 8 | การเคลอ่ื นท่แี บบฮาร์มอนกิ อย่างง่าย ฟสิ ิกส์ เล่ม 3

32. อนุภาคหนึ่งมีการเคลื่อนท่ีแบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายรอบจุด x = 0 ที่เวลา t = 0 อนุภาคมี

การกระจัด 0.02 เมตร และความเรว็ เป็นศนู ย์ ถ้าความถ่ขี องการเคลอื่ นท่ี 0.25 เฮริ ตซ์ จงหา

ก. คาบ ข. ความถเ่ี ชงิ มมุ ค. แอมพลจิ ดู ง. อตั ราเรว็ สงู สดุ จ. อตั ราเรว็ ทเ่ี วลา t = 3.0 s

วธิ ีทำ� ก. จากสมการ T = 1 แทนค่า = 1
f T 0.25 Hz

ตอบ อนุภาคมีคาบเท่ากบั 4 วนิ าที = 4s

วธิ ที �ำ ข. จากสมการ Z 2S f แทนคา่

Z 2S (0.25 Hz)

0.5S rad/s
ตอบ อนุภาคมีความถ่เี ชิงมุมเทา่ กบั 0.5π เรเดยี นตอ่ วินาที

วธิ ีท�ำ ค. จากสมการ v rZ A2 x2 แทนค่า v = 0 และ x = 0.02 m จะได้

0 r Z A2 0.022
0.02 m
ดงั นั้น A

ตอบ อนุภาคมีแอมพลิจูดเท่ากบั 0.02 เมตร

วิธีท�ำ ง. จากสมการ vmax Z A แทนค่า Z 0.5S rad/s และ A = 0.02 m จะได้

vmax (0.5S rad/s)(0.02 m)
0.01S m/s

ตอบ อนุภาคมีอตั ราเรว็ สงู สดุ เทา่ กบั 0.01π เมตรต่อวนิ าที

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ฟิสกิ ส์ เล่ม 3 บทท่ี 8 | การเคลื่อนท่ีแบบฮาร์มอนกิ อยา่ งงา่ ย 61

วิธที ำ� จ. จากสมการ v = ω Acos(ωt + φ)
แทนคา่ A = 0.02 m, ω = 0.5π rad/s จะได ้ v = 0.01π cos(0.5π t + φ)
จากโจทยท์ ่ี t = 0 ความเร็วเป็นศนู ย์ (v = 0) แทนค่าจะได้

0 = 0.01π cos(0.5π (0) + φ)

ดงั นั้น cos(φ) = 0
∴ φ = π

2

เขียนสมการใหมไ่ ด้เป็น v = 0.01π cos  0.5π t + π  แทนค่า
 2 

จะได้ v = 0.01π cos  0.5π (3.0 s) + π 
 2 

= 0.01π m/s

ตอบ อนภุ าคมอี ตั ราเร็วทเ่ี วลา t = 3.0 s เทา่ กับ 0.01π เมตรตอ่ วนิ าที

33. อนภุ าคหนึง่ เคลื่อนท่แี บบฮารม์ อนกิ อยา่ งงา่ ย มีการกระจัดดังสมการ

y = (1.0 m) cos(10t − π ) จงหา
6

ก. ความถี่ ข. การกระจัดสงู สดุ ค. ความเรว็ สูงสุด ง. ความเรง่ สงู สุด

จ. การกระจดั ความเรว็ และความเร่งทีเ่ วลา t = 2.0 s

วธิ ีท�ำ ก. จาก cos (θ ) เท่ากบั sin θ + π  ดงั น้นั เขียนสมการใหม่ไดเ้ ปน็
2 

y = (1.0 m) sin 10t − π + π 
6 2 

จากสมการสามารถบอกได้วา่ A = 1.0 m, ω = 10 rad/s

จากสมการ ω = 2π f จะได้ f= ω
2π

แทนคา่ = 10 rad/s
2π

= 5 Hz
π

5
ตอบ อนุภาคมคี วามถ่ีเท่ากบั π เฮริ ตซ์

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

62 บทที่ 8 | การเคล่ือนท่แี บบฮารม์ อนิกอยา่ งง่าย ฟสิ กิ ส์ เล่ม 3

วิธที �ำ ข. การกระจดั สูงสุดมคี ่าเท่ากบั 1.0 เมตร
ตอบ อนุภาคมีการกระจัดสูงสุดเทา่ กบั 1.0 เมตร

วธิ ที ำ� ค. จากสมการ vmax AZ แทนคา่
vmax = (1.0 m)(10 rad/s)

= 10 m/s

ตอบ อนภุ าคมคี วามเร็วสูงสดุ เทา่ กับ 10 เมตรต่อวนิ าที

วธิ ที ำ� ง. จากสมการ amax AZ2 แทนค่า
amax = (1.0 m)(10 rad/s)2

= 100 m/s2

ตอบ อนภุ าคมีความเร่งสูงสดุ เทา่ กบั 100 เมตรตอ่ วินาท2ี

วิธที ำ� จ. จากสมการ y (1.0 m) sin ¨§©10t S S · สามารถเขยี นให้อยใู่ นรปู ความเร็ว
6 2 ¹¸

ได้เป็น vy (1.0 m)(10) cos §©¨10t S S · และเขียนในรูปความเร่งไดเ้ ป็น
6 2 ¸¹

ay (1.0 m)(100) sin §¨©10t S S · แทนค่า ในสมการจะได้
6 2 ¸¹

การกระจัด y (1.0 m) sin §¨©10(2.0 s) S S ·
6 2 ¸¹

0.81 m

ความเรว็ vy (1.0 m)(10) cos ©¨§10(2.0 s) S S ·
6 2 ¹¸

5.87 m/s

ความเร่ง ay (1.0 m)(100) sin ©¨§10(2.0 s) S S ·
6 2 ¹¸

81 m/s2

ตอบ การกระจัด ความเร็วและความเรง่ ทเ่ี วลา t = 2.0 s เทา่ กบั 0.81 เมตร

-5.87 เมตรตอ่ วนิ าที และ -81 เมตรตอ่ วนิ าท2ี

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ฟิสิกส์ เล่ม 3 บทท่ี 9 | คลืน่ 63

บทที่ 9 คลน่ื

ipst.me/8839

ผลการเรยี นรู้

1. อธิบายปรากฏการณ์คลื่น ชนิดของคล่ืน ส่วนประกอบของคลื่น การแผ่ของหน้าคลื่นด้วยหลัก
การของฮอยเกนส์ และการรวมกันของคล่ืนตามหลักการซ้อนทับ พร้อมทั้งคำ�นวณอัตราเร็ว
ความถ่ี และความยาวคลน่ื
2. สงั เกตและอธบิ ายการสะทอ้ น การหกั เห การแทรกสอด และการเลย้ี วเบนของคลน่ื ผวิ น�ำ้ รวมทง้ั
ค�ำ นวณปรมิ าณตา่ ง ๆ ทเ่ี กย่ี วขอ้ ง

การวิเคราะหผ์ ลการเรียนรู้

ผลการเรยี นรู้
1. อธิบายปรากฏการณ์คล่ืน ชนิดของคลื่น ส่วนประกอบของคลื่น การแผ่ของหน้าคลื่นด้วย
หลักการของฮอยเกนส์และการรวมกันของคลื่นตามหลักการซ้อนทับ พร้อมท้ังคำ�นวณ
อัตราเรว็ ความถ่ี และความยาวคลน่ื

จุดประสงคก์ ารเรียนรู้
1. อธิบายปรากฏการณค์ ล่ืน และลกั ษณะท่ีสำ�คญั ของคลื่นชนิดต่าง ๆ
2. อธิบายองคป์ ระกอบต่าง ๆ ของคลืน่
3. ระบปุ จั จัยที่มผี ลต่ออัตราเร็วคลน่ื ในตวั กลาง
4. อธบิ ายความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งอตั ราเรว็ ความถี่และความยาวคล่ืนและคำ�นวณปริมาณต่าง ๆ
ทเี่ กยี่ วขอ้ ง
5. อธิบายการแผ่ของหน้าคล่ืนโดยใช้หลกั การของฮอยเกนส์
6. อธบิ ายการรวมกนั ของคลนื่ โดยอาศยั หลกั การซ้อนทบั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

64 บทท่ี 9 | คล่นื ฟสิ ิกส์ เลม่ 3

ทกั ษะกระบวนการทาง ทักษะแห่งศตวรรษที่ 21 จิตวิทยาศาสตร์
วิทยาศาสตร์
1. การสื่อสารสารสนเทศ 1. ความอยากรอู้ ยากเห็น
1. การสงั เกต (คลน่ื ในขดลวด และการรูเ้ ท่าทนั สอ่ื
สปรงิ คลน่ื ผวิ น�้ำ ) 2. ความร่วมมือ การทำ�งาน
2. การตีความหมายข้อมูล เป็นทีมและภาวะผูน้ �ำ
และลงขอ้ สรปุ (โดยอาศยั
ความรู้จากการเกิดคลื่น
หลักการของคลน่ื
ส่วนประกอบของคลน่ื )
3. ก า ร ใ ช้ จำ � น ว น ( ก า ร
คำ�นวณปริมาณต่าง ๆ ท่ี
เก่ียวกับอัตราเร็วคล่ืน
ความสัมพันธ์ระหว่าง
อตั ราเรว็ คลน่ื ความยาวคลนื่
และความถค่ี ลืน่ เฟสและ
ความต่างเฟสของคลนื่ )

ผลการเรียนรู้
2. สังเกตและอธิบายการสะท้อน การหักเห การแทรกสอด และการเล้ียวเบนของคล่ืนผิวนำ้�
รวมทั้งค�ำ นวณปรมิ าณตา่ ง ๆ ท่เี กี่ยวข้อง

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้
1. ทดลอง สงั เกต และอธบิ ายการสะทอ้ น การหกั เห การเลย้ี วเบน การแทรกสอดของคลน่ื ผวิ น�ำ้
รวมท้งั คำ�นวณปรมิ าณต่าง ๆ ทีเ่ กย่ี วข้อง
2. สังเกตและอธบิ ายการเกิดคลน่ื น่ิง

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ฟิสิกส์ เลม่ 3 บทท่ี 9 | คล่ืน 65

ทักษะกระบวนการทาง ทักษะแหง่ ศตวรรษท่ี 21 จิตวิทยาศาสตร์
วิทยาศาสตร์
1. การส่ือสารสารสนเทศ 1. ความซือ่ สตั ย์
1. การสังเกต (พฤติกรรม และการรู้เท่าทนั สื่อ 2. ความมุ่งม่นั อดทน
ของคล่ืน) 2. ความร่วมมือ การทำ�งาน
2. การทดลอง เป็นทีมและภาวะผนู้ �ำ
3. การตีความหมายข้อมูล
และลงขอ้ สรปุ (พฤตกิ รรม
ของคลืน่ )
4. การใชจ้ �ำ นวน (การค�ำ นวณ
การแทรกสอดของคล่ืน
การเกดิ คลน่ื นง่ิ )

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

66 บทที่ 9 | คลนื่ ฟสิ กิ ส์ เลม่ 3

ผังมโนทัศน์ คลนื่

คล่ืน

ปรากฏการณถ์ ่ายโอนพลงั งาน น�ำ ไปอธิบาย

การเกิดคลื่นและการเคลือ่ นทขี่ องคลืน่

ตามการอาศยั นำ�ไปพิจารณา ตามความตอ่ เนอ่ื ง
ตวั กลาง ของการเคล่ือนท่ี
ชนิดของคลืน่
ตามการเคล่อื นที่
ของอนุภาคตัวกลาง

คลืน่ กล คลื่นแม่เหลก็ คลื่นตามขวาง คลื่นตามยาว คลืน่ ดล คล่นื ต่อเน่ือง
ไฟฟ้า

คล่ืนรปู ไซน์ คลนื่ ในเสน้ เชอื ก ใชอ้ ธบิ าย คลื่นผวิ นำ้�
ใช้ศกึ ษา
น�ำ ไปแสดง อัตราเร็วของคลน่ื
ส่วนประกอบคลืน่ ข้ึนกบั ตัวกลาง หลักการของ
ฮอยเกนส์
น�ำ ไปหา
ความตา่ งเฟสตามระยะทาง ใช้แสดง
ความสัมพนั ธ์ การเคลอ่ื นที่ หลักการซ้อนทับ
ระหว่างอัตราเรว็ ความถ่ี

และความยาวคลนื่

นำ�ไปแสดงและอธิบาย
พฤติกรรมของคลน่ื

การสะทอ้ นของคลืน่ การหักเหของคลื่น การแทรกสอดของคลืน่ การเลีย้ วเบนของคลน่ื
ใช้อธบิ าย

คลื่นน่งิ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ฟิสิกส์ เล่ม 3 บทที่ 9 | คล่นื 67

สรปุ แนวความคดิ สำ�คัญ

คลื่นเป็นปรากฏการณ์ถ่ายโอนพลังงาน จากท่ีหนึ่งไปยังที่หนึ่งโดยอาศัยตัวกลางเรียกว่า คล่ืนกล โดย

แหลง่ พลงั งานซงึ่ ท�ำ หนา้ ทเ่ี ปน็ แหลง่ ก�ำ เนดิ คลน่ื เมอ่ื พลงั งานแผอ่ อกไปท�ำ ใหต้ วั กลางมกี ารเคลอื่ นทก่ี ลบั ไป

กลบั มา หลงั จากคล่ืนผ่านไปแล้วตัวกลางจะไมเ่ คลอื่ นท่ีไปกับคลืน่ กรณที ี่ทิศการเคล่อื นท่ีของตวั กลางอยู่

ในแนวขนานกบั ทศิ การเคล่ือนทีข่ องคลนื่ เรยี กวา่ คลืน่ ตามยาว ถา้ ทศิ การเคลอื่ นทีข่ องตวั กลางทำ�มมุ ฉาก

กบั ทิศทางการเคลื่อนท่ขี องคลืน่ เรียกวา่ คลนื่ ตามขวาง การท�ำ ให้เกดิ ขน้ึ ในชว่ งเวลาสน้ั ๆ เรยี กวา่ ทำ�ให้

เกิดคลื่นดล แต่ถ้าทำ�ให้เกิดคลื่นต่อเนื่องเป็นเวลานาน ๆ เรียกว่าทำ�ให้เกิดคล่ืนต่อเนื่อง คล่ืนท่ีกล่าวมา

เป็นคลื่นท่ีต้องอาศัยตัวกลางและแหล่งกำ�เนิดคลื่นเป็นพลังงานกล จัดเป็นคล่ืนกล สำ�หรับคล่ืนท่ีไม่ต้อง

อาศัยตัวกลางสามารถถ่ายโอนพลังงานของสนามแม่เหล็กและสนามไฟฟ้าผ่านสุญญากาศโดยการ

เปลยี่ นแปลงคา่ สนามแมเ่ หลก็ และสนามไฟฟา้ กลบั ไปกลบั มาในทศิ ตง้ั ฉากกบั ทศิ ทางการเคลอ่ื นทข่ี องคลน่ื

จดั เป็นคลืน่ แม่เหล็กไฟฟา้

ในขณะทม่ี กี ารรบกวนตวั กลางดว้ ยคาบสม�ำ่ เสมอจะเกดิ คลน่ื ผา่ นตวั กลางท�ำ ใหอ้ นภุ าคของตวั กลางสนั่

มีคาบการส่ันเท่ากับคาบของการรบกวน เม่ืออนุภาคของตัวกลางส่ันหนึ่งรอบทำ�ให้เกิดคลื่นผ่านตัวกลาง

หนึ่งลกู ดงั น้ันคลน่ื จงึ มคี วามถ่เี ท่ากับความถี่แหล่งกำ�เนดิ คลนื่

แอมพลิจูดของคลื่นเท่ากับแอมพลิจูดของอนุภาค เฟสของคลื่นเท่ากับเฟสของอนุภาค สำ�หรับคลื่น

ตามขวาง ต�ำ แหน่งทอ่ี นภุ าคอยู่ท่ตี �ำ แหนง่ สูงสดุ เรียกว่าสนั คลน่ื และตำ�แหน่งทอ่ี นภุ าคอยทู่ ต่ี ำ�แหนง่ ตำ�่ สุด

เรยี กว่าท้องคล่ืน ระยะทางทีค่ ลน่ื แผอ่ อกไปในเวลาหน่ึงคาบ (T) เทา่ กับความยาวคลน่ื ( λ ) อัตราเร็วของ
λ
คลน่ื (v) จงึ เป็นไปตามความสมั พันธ์ v = T หรือ v = f λ เมอ่ื คลืน่ ผ่านตัวกลางทตี่ า่ งจากเดมิ อัตราเร็ว

จะเปลี่ยนไปเนอ่ื งจากอตั ราเร็วของคลน่ื ขึน้ อยู่กับสมบตั ขิ องตวั กลาง

หลกั การทอี่ ธบิ ายการแผค่ ลน่ื ผา่ นตวั กลางคอื หลกั การของฮอยเกนส์ ซง่ึ กลา่ ววา่ แตล่ ะจดุ บนหนา้ คลนื่

เปน็ แหลง่ ก�ำ เนดิ แบบจดุ ท�ำ ใหเ้ กดิ คลน่ื หนา้ วงกลมใหมซ่ งึ่ สง่ คลน่ื ออกไป โดยคลนื่ ใหมม่ อี ตั ราเรว็ และความถ่ี

เท่ากบั คลนื่ เดมิ เม่ือคลนื่ สองคลน่ื พบกนั คลนื่ รวมจะมคี า่ ตามหลกั การซอ้ นทับ โดยคลื่นรวมมกี ารกระจัด

เทา่ กบั ผลรวมของการกระจดั ของแตล่ ะคลน่ื กรณที ก่ี ารกระจดั ของคลนื่ ทง้ั สองอยใู่ นทศิ เดยี วกนั คลนื่ จะรวม

แบบเสรมิ กรณที ่ีการกระจัดของคลน่ื ท้ังสองอยู่ในทิศตรงข้ามกันคลืน่ จะรวมแบบหักล้าง

คลนื่ หนง่ึ คลน่ื เคลอื่ นทผี่ า่ นตวั กลางหนง่ึ ไปสอู่ กี ตวั กลางหนง่ึ เมอื่ กระทบผวิ รอยตอ่ ของตวั กลาง คลนื่ จะ

แสดงพฤตกิ รรมสองพฤตกิ รรมคอื คลน่ื สว่ นหนงึ่ สะทอ้ นกลบั ในตวั กลางเดมิ เรยี กวา่ คลนื่ สะทอ้ น ซงึ่ คลนื่ ท่ี

สะท้อนกลับมาในตัวกลางเดิม มีอัตราเร็วและความถี่เดิม การสะท้อนของคลื่นเป็นไปตามกฎการสะท้อน

เรียกพฤตกิ รรมนี้วา่ การสะทอ้ นของคลนื่

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

68 บทท่ี 9 | คลื่น ฟสิ กิ ส์ เลม่ 3

คลน่ื อกี สว่ นหนงึ่ เคลอื่ นผา่ นเขา้ ไปในอกี ตวั กลางหนง่ึ เรยี กวา่ คลนื่ หกั เห คลน่ื ทผี่ า่ นเขา้ ไปในอกี ตวั กลาง

หน่ึงมีอัตราเร็วของคลื่นเปล่ียนไปโดยความถ่ีคล่ืนคงเดิม ทิศทางของคล่ืนอาจเปล่ียนไปจากเดิม เรียก

พฤตกิ รรมนวี้ า่ การหกั เหของคลนื่ พฤตกิ รรมนส้ี ามารถอธบิ ายไดด้ ว้ ย กฎการหกั เห ซง่ึ มคี วามสมั พนั ธต์ าม
sin T1 v1

sin T2 v2

เม่ือคลื่นสองคล่ืนเคล่ือนท่ีสวนทางมาพบกันจะเกิดการรวมกันตามหลักการซ้อนทับของคล่ืนเรียกว่า

การแทรกสอดของคลนื่ ถา้ คลนื่ ทมี่ ารวมกนั มคี วามถเ่ี ทา่ กนั แอมพลจิ ดู เทา่ กนั ต�ำ แหนง่ ทร่ี วมกนั แบบเสรมิ

คลน่ื รวมมแี อมพลจิ ดู สงู สดุ อนภุ าคของตวั กลางสน่ั กลบั ไปกลบั มามกี ารกระจดั มากทส่ี ดุ เรยี กต�ำ แหนง่ นน้ั วา่

ปฎิบัพ(antinode) และตำ�แหน่งที่รวมกันแบบหักลา้ ง คลน่ื หักลา้ งกนั หมดทำ�ใหอ้ นภุ าคของตวั กลางไม่มี

การสนั่ เรยี กต�ำ แหนง่ นนั้ วา่ บพั (node) และดเู หมอื นคลนื่ รวมไมม่ กี ารเคลอื่ นที่ เรยี กวา่ คลนื่ นง่ิ (standing

waves) ส�ำ หรบั แหลง่ ก�ำ เนดิ คลนื่ ทอ่ี ยใู่ นตวั กลางเดยี วกนั มคี วามถเ่ี ทา่ กนั แอมพลจิ ดู เทา่ กนั ความยาวคลนื่

เท่ากัน มีเฟสเริ่มต้นตรงกัน จัดเป็นแหล่งกำ�เนิดอาพันธ์ (coherent sources) การแทรกสอดของแหล่ง

กำ�เนิดคล่ืนน้ีจะเกิดคล่ืนน่ิง ถ้ากำ�หนดให้ S1 และ S2 เป็นแหล่งกำ�เนิดคลื่นแบบจุด จุด P และ Q เป็น

ตำ�แหน่งที่เป็นปฏิบัพและบัพ ตามลำ�ดับ |S1P-S2P| หรือ |S1Q-S2Q| เรียกว่า ผลต่างระยะทาง ∆r

(path different) มีความสัมพันธ์ตามสมการ |S1P-S2Pv| = nf O เมื่อ n = 0, 1, 2, 3, ... และ

S1Q S2Q § n 1 · O เมือ่ n= 1, 2, 3, ...
©¨ 2 ¹¸

เมอ่ื คลน่ื หนง่ึ คลน่ื เคลอ่ื นทก่ี ระทบขอบของสง่ิ กดี ขวางหรอื ผา่ นชอ่ งแคบ คลน่ื สามารถออ้ มไปทางดา้ นหลงั

ของสิ่งกีดขวางได้ ซ่ึงอธิบายได้ด้วยการแผ่ของหน้าคล่ืนตามหลักของฮอยเกนส์ เรียกพฤติกรรมน้ีว่า

การเลยี้ วเบนของคลน่ื

เวลาทใ่ี ช้

บทน้คี วรใช้เวลาสอนประมาณ 20 ชวั่ โมง

9.1 ธรรมชาตขิ องคลนื่ 3 ชวั่ โมง
9.2 อัตราเร็วของคลนื่ 3 ชั่วโมง
9.3 หลักการทเ่ี ก่ียวกบั คลื่น 3 ชัว่ โมง
9.4 พฤติกรรมของคลืน่ 11 ช่ัวโมง

ความร้กู อ่ นเรยี น
การเคลื่อนที่แนวตรง การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ฟิสิกส์ เล่ม 3 บทที่ 9 | คล่ืน 69

ครูนำ�เข้าสู่บทที่ 9 โดยให้นักเรียนดูภาพนำ�บทแล้วให้อภิปรายร่วมกันเกี่ยวกับคลื่นคืออะไร คลื่นเกิด
ได้อย่างไร คล่ืนเคล่ือนท่ีไปได้อย่างไรและมีสิ่งใดเคล่ือนท่ีไปกับคล่ืน โดยเปิดโอกาสให้นักเรียนแสดง
ความคดิ เห็นอยา่ งอสิ ระ ไมค่ าดหวังค�ำ ตอบที่ถูกต้อง
ครชู แ้ี จงค�ำ ถามสำ�คญั ที่นกั เรียนจะตอ้ งตอบได้หลงั จากการเรยี นรู้บทที่ 9 และหวั ขอ้ ต่าง ๆ ทีน่ ักเรียน
จะได้เรยี นรใู้ นบทท่ี 9

9.1 ธรรมชาตขิ องคล่ืน
จดุ ประสงค์การเรียนรู้
1. อธิบายปรากฏการณ์คลืน่ และลกั ษณะที่ส�ำ คัญของคล่นื ชนดิ ตา่ ง ๆ
2. อธิบายองคป์ ระกอบต่าง ๆ ของคลน่ื

แนวการจัดการเรยี นรู้
ครนู �ำ เขา้ สหู่ วั ขอ้ 9.1 โดย ใชค้ �ำ ถามเพอ่ื ใหน้ กั เรยี นตอบเกยี่ วกบั คลน่ื วา่ คลน่ื คอื อะไร แลว้ อภปิ รายรว่ ม
กนั เพอ่ื ตอบค�ำ ถาม โดยเปดิ โอกาสใหน้ กั เรยี นแสดงความคดิ เหน็ อยา่ งอสิ ระ ไมค่ าดหวงั ค�ำ ตอบทถ่ี กู ตอ้ ง จาก
น้ันครูใช้รูป 9.1 ในหนังสือเรียนหรือยกสถานการณ์ใกล้เคียงมาอภิปรายร่วมกับนักเรียนจนสรุปได้ว่า
ปรากฏการณท์ มี่ กี ารรบกวนเนอื้ สาร ณ จดุ ใดจดุ หนง่ึ การรบกวนนจ้ี ะถกู สง่ ตอ่ ไปยงั จดุ อนื่ รอบ ๆ ทกุ ทศิ ทาง
พรอ้ มกบั พาพลงั งานไปดว้ ย โดยทอ่ี นภุ าคของเนอื้ สารทถี่ กู รบกวนไมเ่ คลอื่ นทตี่ ามไปกบั การถา่ ยโอนพลงั งาน
ปรากฏการณ์น้เี รยี กวา่ คล่นื

9.1.1 การเกดิ คล่ืน

ความเขา้ ใจคลาดเคลือ่ นที่อาจเกิดขึ้น

ความเข้าใจคลาดเคลอ่ื น แนวคิดทถี่ ูกตอ้ ง

1. คลื่นทุกชนิดต้องอาศัยตัวกลางในการถ่าย 1. คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าไม่ต้องอาศัยตัวกลางใน
โอนพลงั งาน การถา่ ยโอนพลงั งาน

2. ตวั กลางเคลอ่ื นทไ่ี ปกบั คลน่ื 2. ตวั กลางไมเ่ คลอ่ื นทไ่ี ปกบั คลน่ื แตจ่ ะสน่ั กลบั ไป
กลับมารอบต�ำ แหนง่ เดิม

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

70 บทท่ี 9 | คลน่ื ฟสิ กิ ส์ เลม่ 3

แนวการจัดการเรียนรู้
ครูชแ้ี จงจุดประสงค์การเรยี นร้ขู อ้ ท่ี 1 หวั ข้อ 9.1 ตามหนงั สอื เรียน
ครูนำ�เข้าสู่หัวข้อ 9.1.1 โดยยกสถานการณ์การเกิดคล่ืนจากหยดนำ้�ดังรูป 9.2 แล้วต้ังคำ�ถาม
คลน่ื เกดิ ขน้ึ ไดอ้ ยา่ งไร ใหน้ กั เรยี นอภปิ รายรว่ มกนั จนสรปุ ไดว้ า่ การเกดิ คลนื่ ในรปู มหี ยดน�้ำ เปน็ แหลง่ ก�ำ เนดิ
คลน่ื เมอื่ กระทบผวิ น�ำ้ มกี ารถา่ ยโอนพลงั งานใหก้ บั อนภุ าคน�ำ้ ซง่ึ เปน็ ตวั กลางท�ำ ใหผ้ วิ น�้ำ ถกู รบกวนกระเพอ่ื ม
เปน็ ลูกคลน่ื
ครูอาจถามคำ�ถามชวนคิดในหน้า 50 ให้นักเรียนอภิปรายร่วมกันโดยเปิดโอกาสให้นักเรียนแสดง
ความเห็นอย่างอิสระจนได้แนวค�ำ ตอบดังนี้

แนวค�ำ ตอบชวนคิด

คลน่ื ในสปรงิ คลน่ื แผน่ ดนิ ไหว และคลน่ื เสยี ง สง่ิ ใดเปน็ แหลง่ ก�ำ เนดิ คลน่ื และตวั กลางทท่ี �ำ ใหเ้ กดิ คลน่ื
เหลา่ น้ี
แนวค�ำ ตอบ คลน่ื ในสปรงิ สง่ิ ทอ่ี อกแรงสะบดั สปรงิ เปน็ แหลง่ ก�ำ เนดิ คลน่ื มอี นภุ าคสปรงิ เปน็ ตวั กลาง
ของคลน่ื
คลน่ื แผน่ ดนิ ไหว เกดิ จากการปลดปลอ่ ยพลงั งานจากความเครยี ดทเ่ี กบ็ อยใู่ นหนิ ใตผ้ วิ โลก
อยา่ งทนั ทที นั ใด มแี ผน่ เปลอื กโลกเปน็ ตัวกลางของคลืน่
คลน่ื เสยี ง การสน่ั ของวตั ถเุ ปน็ แหลง่ ก�ำ เนดิ คลน่ื อนภุ าคของสารทเ่ี สยี งผา่ น เชน่ อากาศ
น�ำ้ เหลก็ ฯลฯ เปน็ ตวั กลางของคลน่ื

ครตู ง้ั ค�ำ ถามการถา่ ยโอนพลงั งานของวตั ถทุ เ่ี คลอ่ื นทแ่ี ละคลน่ื มขี อ้ แตกตา่ งกนั อยา่ งไร แลว้ อภปิ ราย
รว่ มกนั จนสรปุ ไดว้ า่ วตั ถเุ คลอ่ื นทจี่ ะน�ำ พลงั งานไปกบั วตั ถุ ส�ำ หรบั คลน่ื พลงั งานจะถกู ถา่ ยโอนผ่านอนุภาค
ในตัวกลาง และแม้ว่าอนุภาคในตัวกลางจะมีการเคลื่อนที่ แต่จะเคลื่อนที่กลับไปกลับมา ณ ต�ำ แหนง่
หนง่ึ ๆ เทา่ นน้ั โดยไมไ่ ดเ้ คลอ่ื นทไ่ี ปพรอ้ มกบั การถา่ ยโอนพลงั งาน ตามรายละเอยี ดในหนงั สอื เรยี น

9.1.2 ชนดิ ของคล่ืน
ความเข้าใจคลาดเคล่ือนที่อาจเกิดขึน้
-

ส่ิงท่คี รูต้องเตรียมล่วงหนา้
1. วีดิทัศน์การเกิดคลื่นในสปริง

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ฟสิ ิกส์ เล่ม 3 บทที่ 9 | คล่ืน 71

แนวการจดั การเรียนรู้
ครูแจ้งจุดประสงค์การเรียนรู้ข้อที่ 1 ของหัวข้อ 9.1 ตามหนังสือเรียน ครูเข้าสู่หัวข้อ 9.1.2 โดย
ตงั้ ค�ำ ถามวา่ หากไมม่ ตี วั กลางแลว้ คลน่ื เกดิ ขน้ึ ไดห้ รอื ไม่ ใหน้ กั เรยี นยกตวั อยา่ งคลน่ื ทร่ี จู้ กั แลว้ เขยี นชอื่ คลนื่
บนกระดาน จากนั้นแบ่งนักเรียนออกเป็นกลุ่ม กลุ่มละ 5-6 คน ให้แต่ละกลุ่มระบุตัวกลางของคล่ืนบน
กระดาน แล้วนำ�นักเรียนอภิปรายจนสรุปได้ว่า เมื่อพิจารณาจากการอาศัยตัวกลางหรือไม่อาศัยตัวกลาง
จะแบง่ คล่ืนไดเ้ ป็นคลื่นกลและคลน่ื แม่เหล็กไฟฟา้ ตามลำ�ดบั ตามรายละเอยี ดในหนงั สอื เรียน
จากนน้ั ครใู หน้ กั เรยี นชมคลปิ วดี ทิ ศั นก์ ารเกดิ คลน่ื ในสปรงิ หรอื อาจใหน้ กั เรยี นท�ำ กจิ กรรมลองท�ำ ดู

กจิ กรรมลองท�ำ ดู คลืน่ ในสปริง

จุดประสงค์ 5 เซนติเมตร
ศึกษาลักษณะของคลนื่ ในสปรงิ

วัสดุและอปุ กรณ์
1. สปริง
2. เชอื กหรอื ริบบ้นิ ยาวประมาณ

แนวค�ำ ตอบคำ�ถามทา้ ยกจิ กรรม

เม่อื สะบัดปลายสปริงในแนวต้งั ฉากกับตัวสปริง เกิดการเปล่ยี นแปลงอย่างไร เชือกหรือริบบ้นิ
เคลอ่ื นทอ่ี ยา่ งไร
แนวคำ�ตอบ เม่ือสะบัดปลายสปริงในแนวต้ังฉากกับตัวสปริง จะเกิดคลื่นเคลื่อนผ่านตัวสปริง
จากด้านท่ีมีการสะบัดมือไปยังปลายอีกด้านหน่ึง เชือกหรือริบบิ้นท่ีผูกติดกับสปริงจะเคลื่อนท่ี
กลับไปกลับมาในแนวตั้งฉากกบั ตัวสปรงิ

เมื่ออัดปลายสปริงในแนวตามยาวของตัวสปริง เกิดการเปลี่ยนแปลงอย่างไร เชือกหรือริบบ้ิน
เคล่อื นท่ีอยา่ งไร

แนวค�ำ ตอบ เมอื่ อดั ปลายสปรงิ ในแนวตามยาวของตวั สปรงิ จะเกดิ คลนื่ เคลอื่ นผา่ นตวั สปรงิ จาก
ดา้ นทมี่ กี ารอดั ปลายสปรงิ ไปยงั ปลายอกี ดา้ นหนงึ่ เชอื กหรอื รบิ บน้ิ ทผ่ี กู ตดิ กบั สปรงิ เคลอ่ื นทกี่ ลบั
ไปกลบั มาในแนวตามยาวของตัวสปริง

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

72 บทท่ี 9 | คลืน่ ฟิสิกส์ เล่ม 3

หลงั ดูวดี ทิ ศั น์หรอื ท�ำ กจิ กรรมลองท�ำ ดู ครูตงั้ คำ�ถามวา่ ถ้าแบง่ คลืน่ ตามทิศการเคล่ือนท่ีของอนภุ าค
ตัวกลางกับทิศการเคลื่อนท่ีของคล่ืนจะแบ่งชนิดคล่ืนได้อย่างไร ให้นักเรียนอภิปรายร่วมกันจนสรุปได้ว่า
เมื่ออนุภาคตัวกลางเคล่ือนที่ตั้งฉากกับทิศการเคลื่อนท่ีของคล่ืน และอนุภาคตัวกลางเคล่ือนท่ีใน
แนวขนานกบั ทศิ การเคลอื่ นทข่ี องคลน่ื เรยี กวา่ คลน่ื ตามขวางและคลน่ื ตามยาว ตามล�ำ ดบั ตามรายละเอยี ด
ในหนงั สือเรียน
ครูอาจใหน้ กั เรยี นศึกษาเกยี่ วกับความร้เู พ่ิมเตมิ ในหนังสอื เรยี นหนา้ 54 โดยครเู ปน็ ผู้ใหค้ ำ�แนะนำ�
ครูถามว่าหากใช้ช่วงเวลารบกวนตัวกลางให้เกิดคลื่นเป็นเกณฑ์ เช่น ทำ�ให้เกิดคลื่นโดยสะบัดหรือ
อัดปลายสปริงในช่วงสั้น ๆ กับการสะบัดหรืออัดปลายสปริงหลาย ๆ ครั้งต่อเนื่องกัน จะแบ่งคลื่นที่เกิด
ขึ้นได้กี่ชนิด ให้นักเรียนอภิปรายร่วมกันจนสรุปได้ว่า หากใช้ช่วงเวลารบกวนตัวกลางให้เกิดคลื่นเป็น
เกณฑ์ จะแบง่ คลน่ื ไดส้ องชนดิ คอื รบกวนตวั กลางในชว่ งเวลาสน้ั ๆ จะเกดิ คลน่ื จ�ำ นวนหนง่ึ เชน่ หนง่ึ ลกู หรอื
สองลกู และรบกวนตัวกลางต่อเนื่องจะเกิดคล่ืนจำ�นวนมากต่อเนื่องกันไป เรียกคลื่นดลและคล่ืนต่อเนื่อง
ตามล�ำ ดบั
จากนั้นครูให้นักเรียนพิจารณารูป 9.6 และร่วมกันอภิปรายจนสรุปได้ว่าในกรณีคลื่นต่อเน่ือง
การรบกวนเปน็ คาบสม�่ำ เสมอ ท�ำ ให้เกิดคลน่ื แบบไซน์ได้ ตามรายละเอียดในหนงั สือเรยี น
ครอู าจให้นกั เรยี นศกึ ษาเกย่ี วกับความร้เู พม่ิ เตมิ ในหนังสือเรยี นหนา้ 55 โดยครูเปน็ ผู้ให้คำ�แนะนำ�

9.1.3 สว่ นประกอบของคล่นื
ความเขา้ ใจคลาดเคลือ่ นท่อี าจเกดิ ขนึ้
-

แนวการจัดการเรียนรู้
ครูแจ้งจุดประสงค์การเรียนรู้ข้อที่ 2 ของหัวข้อ 9.1 ตามหนังสือเรียน ครูนำ�เข้าสู่หัวข้อ 9.1.3
โดยยกสถานการณก์ ารท�ำ ใหเ้ กดิ คลนื่ ตามขวางดว้ ยการสะบดั ปลายเชอื ก ดงั รปู 9.7 ในหนงั สอื เรยี นแลว้ ให้
นกั เรยี นพจิ ารณาลกั ษณะการสน่ั และเฟสของอนภุ าคตวั กลางขณะเวลาตา่ ง ๆ จาก 9.7ก. ถงึ 9.7จ. จนครบ
หนง่ึ คาบซง่ึ จะท�ำ ใหเ้ กดิ คลน่ื ในเชอื กหนง่ึ ลกู คลน่ื จากนน้ั อภปิ รายรว่ มกนั จนสรปุ ไดว้ า่ จ�ำ นวนลกู คลน่ื ทเ่ี กดิ ขน้ึ
เทา่ กบั จ�ำ นวนรอบของการสะบดั มอื ท�ำ ใหค้ วามถขี่ องคลน่ื เทา่ กบั ความถขี่ องแหลง่ ก�ำ เนดิ คลนื่ และอนภุ าค
ของเชือกมกี ารส่นั ในแนวต้ังฉากกับทิศทางของคลน่ื
ใหน้ กั เรยี นใชร้ ปู 9.8 ในหนงั สอื เรยี น ศกึ ษาสว่ นประกอบของคลนื่ แลว้ อภปิ รายรว่ มกนั จนสรปุ ไดว้ า่
ส่วนประกอบต่าง ๆ ของคลื่นประกอบด้วย สันคลื่น ท้องคลื่น แอมพลิจูดคลื่น และความยาวคลื่น
ตามรายละเอยี ดในหนงั สือเรยี น

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ฟิสกิ ส์ เล่ม 3 บทที่ 9 | คล่ืน 73

ให้นักเรียนใช้รูป 9.7จ. ในหนังสือเรียน ศึกษาเฟสของอนุภาคแล้วอภิปรายร่วมกันจนสรุปได้ว่า
ใช้เฟสของอนุภาคท่ีสั่นมาอธิบายเฟสของคล่ืนและตำ�แหน่งบนคลื่น 2 ตำ�แหน่งท่ีอยู่ห่างกันเท่ากับ
ความยาวคลนื่ มเี ฟสต่างกนั 360o หรอื 2π เรเดยี น
ครใู หน้ กั เรยี นพจิ ารณาการเคลอ่ื นทขี่ องอนภุ าคตวั กลางทตี่ �ำ แหนง่ ใด ๆ ตงั้ แตค่ ลน่ื เรม่ิ เคลอ่ื นทผ่ี า่ น
จนคล่ืนผ่านครบหน่ึงลูกคล่ืน แล้วร่วมกันอภิปรายเขียนกราฟการกระจัดกับเวลา และกราฟการกระจัด
กับเฟส จนได้ข้อสรปุ ดังกราฟรปู 9.9 ในหนงั สือเรียน
ครใู หน้ กั เรยี นพจิ าณาเปรยี บเทยี บการกระจดั ทศิ ทางการสนั่ ของอนภุ าคตวั กลางในคลนื่ ทต่ี �ำ แหนง่
ต่าง ๆ รว่ มกันอภิปรายจนสรุปได้ว่า อนภุ าคทเ่ี ฟสตา่ งกันเปน็ จำ�นวนเต็มเทา่ ของ 2π หรืออย่หู า่ งกันเปน็
จำ�นวนเต็มเทา่ ของ λ จะมีการส่นั ขึ้นลงพร้อมกัน เรยี ก มเี ฟสตรงกัน และอนุภาคท่ีมเี ฟสตา่ งกันเป็น π 3
π 5 π … หรืออยู่ห่างกันเป็น 0.5 λ 1.5 λ 2.5 λ ... มีการสั่นขึ้นลงในทิศตรงข้ามกัน เรียก
มีเฟสตรงข้ามกนั ดงั รปู 9.10ก. และ 9.10ข. ตามลำ�ดับ ตามรายละเอียดในหนงั สอื เรยี น
ครตู ง้ั ค�ำ ถามวา่ ถ้าสองตำ�แหนง่ บนคลื่นอยู่หา่ งกนั เป็นระยะ ∆x ในแนวการเคลอ่ื นทีข่ องคลนื่ จะหา
เฟสท่ีต่างกันอย่างไร และมีค่าเท่าใด ร่วมกันอภิปรายจนสรุปได้ตามสมการ (9.1) ในหนังสือเรียนแล้วให้
นกั เรียนศกึ ษาตวั อย่าง 9.1 โดยครเู ป็นผู้ให้คำ�แนะนำ�
ครูอาจให้นักเรียนสรุปเกณฑ์ท่ีใช้แบ่งชนิดของคลื่นและบอกชนิดของคล่ืนที่ใช้เกณฑ์น้ันแบ่ง โดย
อาจให้สรุปเปน็ ตารางที่นกั เรยี นออกแบบข้นึ เอง จากนนั้ ให้นกั เรียนตอบคำ�ถามตรวจสอบความเขา้ ใจ 9.1
ทัง้ น้อี าจมกี ารเฉลยค�ำ ตอบและอภปิ รายคำ�ตอบร่วมกัน

แนวการวดั และประเมนิ ผล
1. ความรู้เกีย่ วกับการเกดิ คลืน่ จากคำ�ถามตรวจสอบความเข้าใจ
2. ทักษะการแก้ปัญหาและการส่ือสาร
3. จิตวทิ ยาศาสตร์ด้านความมีเหตผุ ล จากการอภปิ รายร่วมกัน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

74 บทที่ 9 | คลนื่ ฟสิ ิกส์ เลม่ 3

แนวค�ำ ตอบค�ำ ถามตรวจสอบความเขา้ ใจ 9.1

รูปข้างล่างนแี้ สดงรูปรา่ งคลนื่ ดลในเส้นเชือกทกี่ �ำ ลงั เคล่อื นทไี่ ปทางซา้ ย



1. อนภุ าคของเชอื กตรงจดุ A และจุด B กำ�ลังจะเคลอ่ื นทไี่ ปในทิศทางใด (ซา้ ย ขวา ลง หรอื ขึ้น)
แนวค�ำ ตอบ จดุ A จะเคลอ่ื นทข่ี น้ึ และจดุ B จะเคลอ่ื นทล่ี ง ในทศิ ตง้ั ฉากกบั การเคลอ่ื นทข่ี องคลน่ื

2. คลื่นกลต่างจากคล่ืนแม่เหล็กไฟฟ้าอยา่ งไร
แนวคำ�ตอบ คลื่นกลเป็นการถ่ายโอนพลังงานกลต้องอาศัยตัวกลาง คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าเป็น
การถา่ ยโอนพลงั งานไม่ต้องอาศยั ตวั กลาง

9.2 อตั ราเร็วของคล่นื
จดุ ประสงค์การเรยี นรู้
1. ระบปุ จั จยั ทีม่ ผี ลต่ออตั ราเรว็ คลน่ื ในตัวกลาง
2. อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างอัตราเร็ว ความถี่และความยาวคลื่นและคำ�นวณปริมาณต่าง ๆ
ที่เกี่ยวขอ้ ง

สง่ิ ที่ครตู อ้ งเตรียมลว่ งหน้า
1. วีดิทัศนก์ ารเกิดคล่ืนในสปริง

แนวการจดั การเรยี นรู้
ครนู �ำ เขา้ สหู่ วั ขอ้ 9.2 โดยน�ำ นกั เรยี นอภปิ รายทบทวนเกย่ี วกบั อตั ราเรว็ เฉลยี่ และอตั ราเรว็ คงตวั แลว้ ตงั้
คำ�ถามว่าเมื่อทำ�ให้เกิดคลื่นเคล่ือนท่ีไปในตัวกลาง อัตราเร็วคลื่นข้ึนอยู่กับตัวกลางหรือไม่ สามารถหา
อตั ราเรว็ คลนื่ ไดอ้ ยา่ งไร และอตั ราเรว็ คลน่ื เกยี่ วขอ้ งกบั สว่ นประกอบใดของคลน่ื โดยเปดิ โอกาสใหน้ กั เรยี น
แสดงความคดิ เหน็ อย่างอิสระ ไมค่ าดหวังค�ำ ตอบทีถ่ กู ตอ้ ง แล้วช้ีแจงจดุ ประสงคก์ ารเรียนรูข้ องหัวขอ้ 9.2

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ฟิสกิ ส์ เลม่ 3 บทท่ี 9 | คลน่ื 75

9.2.1 ความสมั พนั ธร์ ะหว่างอัตราเร็ว ความถ่แี ละความยาวคลืน่
ความเขา้ ใจคลาดเคลอ่ื นทอี่ าจเกิดขึ้น

ความเขา้ ใจคลาดเคลื่อน แนวคิดที่ถูกตอ้ ง

1. อตั ราเรว็ ของคลน่ื ในตวั กลางหนง่ึ เปลย่ี นแปลง 1. อัตราเร็วคลื่นในตัวกลางหนึ่งมีค่าคงตัวไม่
เมอ่ื ความถ่ีหรอื ความยาวคล่ืนเปลย่ี นแปลง เปลยี่ นแปลงตามการเปลยี่ นแปลงของความถี่
หรือความยาวคลื่น โดยหากความถี่เปล่ียน
ความยาวคลื่นจะเปล่ียนตาม แต่ผลคูณของ
ความถีก่ ับความยาวคลืน่ คงเดมิ

แนวการจดั การเรียนรู้

ครูแจง้ จุดประสงคก์ ารเรียนรขู้ ้อท่ี 3 และ 4 ของหวั ขอ้ 9.2 ตามหนงั สือเรียน

ครูนำ�เข้าสู่หัวข้อ 9.2.1 โดยต้ังคำ�ถามว่าเมื่อคลื่นเคลื่อนที่ไปในตัวกลางเราสามารถนำ�ความรู้

การหาอตั ราเรว็ เฉลยี่ ของวตั ถทุ วั่ ไปมาใชห้ าสมการอตั ราเรว็ คลนื่ กบั ปรมิ าณทเี่ กย่ี วขอ้ งไดอ้ ยา่ งไรใหน้ กั เรยี น

อภิปรายร่วมกันโดยใช้ความสัมพันธ์ v= s ตามรายละเอียดในหนังสือเรียนจนได้อัตราเร็วคลื่นสัมพันธ์
t

กบั ความถแี่ ละความยาวคลืน่ ดังสมการ (9.2)

ครูต้ังคำ�ถามว่าจากสมการอัตราเร็วคล่ืนท่ีได้ หากความถี่คลื่นเปลี่ยนแปลงอัตราเร็วคล่ืนจะ

เปลยี่ นแปลงอยา่ งไรใหน้ กั เรยี นอภปิ รายรว่ มกนั จนสรปุ ไดว้ า่ ในตวั กลางหนง่ึ เมอื่ เปลย่ี นคา่ ความถข่ี องคลน่ื

ความยาวคลื่นจะเปลี่ยนแปลงตาม แต่ผลคูณของความถี่และความยาวคลื่นยังคงเท่ากับอัตราเร็วเดิม

จากนัน้ ใหน้ ักเรยี นศึกษาตัวอย่าง 9.2 และ 9.3 โดยครูคอยใหค้ ำ�แนะนำ�

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

76 บทท่ี 9 | คลืน่ ฟิสิกส์ เลม่ 3

9.2.2 อัตราเร็วของคลื่นในตวั กลาง
ความเข้าใจคลาดเคล่อื นท่ีอาจเกิดขนึ้
-

แนวการจัดการเรยี นรู้
ครแู จง้ จุดประสงค์การเรยี นรขู้ ้อท่ี 3 และ 4 ของหัวขอ้ 9.2 ตามหนงั สอื เรยี น
ครูนำ�เข้าสู่หัวข้อ 9.2.2 โดยต้ังคำ�ถามว่าการท่ีผลคูณความถี่กับความยาวคล่ืนในตัวกลางหนึ่ง
มีค่าเทา่ เดมิ เสมอแสดงวา่ อัตราเรว็ คลนื่ ในตวั กลางขน้ึ กบั สิง่ ใด อภิปรายร่วมกนั จนสรุปไดว้ ่า อตั ราเรว็ คลน่ื
ข้ึนอยู่กับสมบัติของตัวกลางคล่ืนท่ีคล่ืนเคลื่อนที่ผ่าน จากนั้นครูยกสถานการณ์คล่ืนเคล่ือนผ่านเชือกเส้น
เดยี วกนั ทม่ี คี วามตงึ ตา่ งกนั แลว้ ถามนกั เรยี นวา่ อตั ราเรว็ คลนื่ ในเชอื กเปน็ อยา่ งไร ครนู �ำ อภปิ รายจนสรปุ ได้
ว่าอัตราเร็วคล่ืนในเชือกขึ้นอยู่กับความตึงของเชือกโดยเชือกยิ่งตึงคลื่นจะเคล่ือนที่ผ่านไปได้เร็ว ครูถาม
ต่อว่าเชือกที่มีแรงดึงเท่ากันแต่มีค่าความหนาแน่นเชิงเส้น (มวลต่อหน่วยความยาว) ของเชือกต่างกัน
อัตราเร็วคลื่นในเชือกจะเป็นอย่างไร อภิปรายร่วมกันจนสรุปได้ว่าเชือกที่มีแรงดึงเท่ากันคลื่นจะเคล่ือนที่
ผ่านเสน้ เชือกท่มี ีความหนาแน่นเชงิ เส้นสงู ไดช้ า้ กว่า แลว้ ใหศ้ ึกษาตวั อย่าง 9.4 โดยครคู อยให้คำ�แนะนำ�
ครูนำ�อภิปรายเน้นย้ำ�สมการอัตราเร็วของเชือกตามสมการ (9.2) จะมีค่าไม่ข้ึนกับความถี่ของการ
สะบัดตามรายละเอยี ดในหนงั สอื เรยี น
ครอู าจให้นกั เรียนศึกษาเกี่ยวกบั ความร้เู พ่ิมเตมิ ในหนังสือเรียนหนา้ 64 โดยครเู ปน็ ผใู้ ห้คำ�แนะนำ�
ครูตั้งคำ�ถามว่าแอมพลิจูดของคลื่นในเชือกแตกต่างกันเกิดจากอะไร และหมายถึงส่ิงใดในคล่ืน ให้
นกั เรยี นรว่ มกนั อภปิ รายจนสรปุ ไดว้ า่ คลน่ื ทม่ี แี อมพลจิ ดู แตกตา่ งกนั เกดิ จากการสะบดั ใหม้ กี ารกระจดั ตา่ ง
กัน โดยแอมพลิจูดมากกว่าเม่ือสะบัดด้วยการกระจัดมากกว่าซึ่งต้องใช้พลังงานมากกว่า ดังน้ันแอมพลิจู
ดมากกว่าหมายถึงต้องทำ�งานหรือให้พลังงานแก่เชือกมากกว่าทำ�ให้พลังงานท่ีถ่ายโอนไปพร้อมกับการ
เคลื่อนทีข่ องคลื่นมากกว่า คา่ พลังงานท่คี ลื่นถ่ายโอนไปจึงสัมพนั ธก์ บั แอมพลจิ ดู ของคลน่ื ตามรายละเอียด
ในหนงั สอื เรยี น
หลังจากนั้นให้นักเรียนตอบคำ�ถามตรวจสอบความเข้าใจ 9.2 ท้ังน้ีอาจมีการเฉลยและอภิปราย
วิธีการคดิ หาค�ำ ตอบร่วมกัน

แนวการวัดและประเมินผล
1. ความรู้เก่ียวกับความสัมพันธ์ระหว่างอัตราเร็วคลื่น ความถ่ี และความยาวคล่ืนจากคำ�ถาม
ตรวจสอบความเขา้ ใจ 9.2
2. ทักษะการแก้ปัญหาและการใช้จำ�นวน จากการคำ�นวณปริมาณต่าง ๆ ที่เก่ียวข้องกับ
ส่วนประกอบของคลืน่
3. จติ วิทยาศาสตรด์ า้ นความอยากรู้อยากเห็น จากการอภิปรายรว่ มกัน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ฟสิ ิกส์ เลม่ 3 บทที่ 9 | คลืน่ 77

แนวคำ�ตอบค�ำ ถามตรวจสอบความเข้าใจ 9.2

1. คล่ืนดลในตัวกลางหนึ่งก�ำ ลังเคลื่อนทีไ่ ปทางขวาดว้ ยอัตราเรว็ 100 เซนตเิ มตรต่อวนิ าที

โดยรปู รา่ งคลืน่ ท่ีเวลา t = 0.01 s เป็นดงั รปู

ก. จงวาดรูปรา่ งคลน่ื ทีเ่ วลา t = 0.00 s, 0.02 s, 0.03 s และ 0.04 s

ข. ระหวา่ งเวลา t = 0.01 s กับ t = 0.03 s คลื่นดลนี้ เคล่อื นทไี่ ด้เป็นระยะทางเท่าไร

** หม ายเหตุ ไดม้ ีการแก้ไขคำ�ถามขอ้ นี้จากค�ำ ถามเดยี วกันในหนังสอื เรียน ฉบับพมิ พ์คร้งั ที่ 1
y (cm)

t

x(cm)

t
x(cm)

t
x(cm)

t
x(cm)

t
x(cm)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

78 บทท่ี 9 | คลื่น ฟิสกิ ส์ เลม่ 3

แนวค�ำ ตอบ ก. เนอ่ื งจากคลน่ื ดลนม้ี อี ตั ราเรว็ 100 เซนตเิ มตรตอ่ วนิ าที เมอ่ื เวลาผา่ นไปทกุ

0.01 วนิ าที คลน่ื เคลอ่ื นทไ่ี ดร้ ะยะทางเทา่ กบั 100×0.01 = 1 เซนตเิ มตร ดงั นน้ั รปู ทว่ี าดทกุ รปู

ลกู คลน่ื จะมลี กั ษณะเหมอื นเดมิ แตค่ ลน่ื ทเ่ี วลา 0.00 วนิ าที จะอยทู่ างซา้ ยของคลน่ื ทเ่ี วลา 0.01 วนิ าที

เปน็ ระยะ 1 เซนตเิ มตร สว่ นคลน่ื ทเ่ี วลา 0.02 วนิ าที 0.03 วนิ าที และ 0.04 วนิ าที

จะอยทู่ างขวา ของคลน่ื ทเ่ี วลา 0.01 วนิ าที เปน็ ระยะ 1 2 และ 3 เซนตเิ มตรตามลำ�ดบั ดงั รปู

y (cm)

t

x(cm)

t
x(cm)

t
x (cm)

t
x (cm)

t x (cm)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ฟิสิกส์ เล่ม 3 บทท่ี 9 | คลื่น 79

แนวค�ำ ตอบ ข. ระยะเวลาจาก t = 0.01 s ถึง t = 0.03 s ใชเ้ วลาเท่ากบั
0.03 s -0.01 s = 0.02 s
คลื่นดลน้ี เคลือ่ นทไี่ ด้ระยะทางเท่ากับ 100 cm/s × 0.02 s = 2 cm
ดงั นั้น คล่นื ดลนี้ เคล่ือนที่ไดเ้ ปน็ ระยะทาง 2 เซนติเมตร ไปทางขวา

2. พจิ ารณาเชอื กหนาทม่ี คี วามหนาแนน่ เชงิ เสน้
สมำ่�เสมอ ถูกนำ�มาห้อยลงมาจากเพดาน
ดงั รปู เมอ่ื เราสะบดั ปลายเชอื กดา้ นลา่ งใหเ้ กดิ
คล่ืนดล คล่ืนดลนี้จะเคล่ือนท่ีข้ึนไปตาม
แนวเชือก ขณะท่ีคล่ืนเคลื่อนท่ีข้ึนน้ัน
อตั ราเรว็ ของคลน่ื จะมกี ารเปลย่ี นแปลงหรอื ไม่
ถา้ เปลยี่ น คลนื่ ดลนเ้ี คลอ่ื นทเ่ี รว็ ขนึ้ หรอื ชา้ ลง
กอ่ นท่จี ะชนเพดาน

แนวค�ำ ตอบ อตั ราเรว็ ของคลืน่ มกี ารเปลยี่ นแปลง โดยคลน่ื ดลนเ้ี คล่ือนท่ีเรว็ ขึน้

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

80 บทท่ี 9 | คล่นื ฟิสิกส์ เล่ม 3

3. พิจารณาเชือกเส้นหนึ่งท่ีมีแรงดึงเชือกเท่า v
กนั ตลอดเสน้ ถา้ เราท�ำ ใหม้ คี ลนื่ ดลเคลอื่ นท่ี v
ผ่านเชือกเส้นนี้ใน 3 ลักษณะที่ต่างกัน
ดังแสดงในรูปด้านขวา คล่นื หมายเลขใดจะ v
มีอัตราเร็วมากที่สุด และคลื่นหมายเลขใด
จะมพี ลงั งานมากท่สี ุด

แนวคำ�ตอบ อัตราเร็วของคลื่นในเส้นเชือกท้ังสามหมายเลขมีอัตราเร็วเท่ากัน โดยคลื่น
หมายเลขสามมีพลงั งานมากท่ีสดุ
เชอื กเสน้ เดยี วกนั แรงตงึ เทา่ กนั ตลอดเสน้ แสดงวา่ อตั ราเรว็ คลน่ื ในเชอื กเสน้ นเี้ ทา่
กันเพราะสมบัติของเชือกเหมือนกันตลอดเส้น คล่ืนในรูปที่ 3 แอมพลิจูดมากที่สุดแสดงว่ามี
พลังงานมากทีส่ ุด

4. รูปด้านขวาแสดงคล่ืนฮาร์มอนิกเคล่ือนที่ไปทาง สนั คล่นื นีก้ ำลังเคลอื่ นท่ไี ปทางขวา

ขวา โดยรูปบนสุดแสดงท่ีเวลาเริ่มต้น t0=0 yv
ลูกศรสีดำ�ชี้ตำ�แหน่งของจุดสูงสุดของคลื่น
A

จดุ หนง่ึ ซง่ึ เลอ่ื นทไ่ี ปทางขวา จงระบวุ า่ เวลา t1, t2 t0= 0 0 λ 2λ x
มีค่าเปน็ กเี่ ท่าของคาบคลื่น T -A

แนวคำ�ตอบ t1 เท่ากบั T และ t2 เทา่ กบั A
T 4 t1 = ? 0

2 -A x
λ 2λ

A x
t2= ? 0 λ 2λ

-A

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ฟสิ กิ ส์ เลม่ 3 บทที่ 9 | คล่ืน 81

5. พิจารณาคล่ืนรปู ไซนด์ า้ นลา่ งน้ี โดยเปน็ คลน่ื ทีเ่ คลอื่ นทไ่ี ปทางขวาด้วยอัตราเร็ว
25 เซนติเมตรต่อวินาที จงวาดรูปคลืน่ ไซนน์ ้ที ีเ่ วลาอน่ื ๆ ตามระบใุ นรูป
y

t
x

t
x

t
x

t
x

t
x

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

82 บทท่ี 9 | คล่นื ฟิสกิ ส์ เล่ม 3

แนวคำ�ตอบ y


t

x

t
x

t
x

t
x

t
x

คลน่ื มีอตั ราเรว็ 25 เซนตเิ มตรต่อวนิ าที
ดังน้ันเวลา 0.1 วนิ าทีเคลอ่ื นท่ไี ดร้ ะยะทางเทา่ กบั 25× 0.1 = 2.5 เซนติเมตร
พจิ ารณารปู สเกลตามแกน x ขนาด 1 ชอ่ งเทา่ กบั 2.5 เซนตเิ มตร
ลกู คล่ืนทว่ี าดจึงเลอื่ นไปทางขวา 1 ชอ่ งทกุ เวลาทเี่ พิ่มขึน้ 0.1 วินาที

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ฟสิ กิ ส์ เล่ม 3 บทที่ 9 | คล่นื 83

6. พจิ ารณาคลน่ื รปู ไซนด์ า้ นลา่ ง จงหาวา่ จดุ B C D E และ F หา่ งจากจดุ A เปน็ ระยะในแนวนอน

เท่ากบั กเ่ี ทา่ ของความยาวคลืน่ น้ี และมคี ่าเฟสตา่ งจากจดุ A เท่าใด

y (cm) B E
20

10 C D F 12 x (cm)
0A 3.0 6.0 9.0

-10

-20

แนวค�ำ ตอบ จดุ B C D E และ F ห่างจากจดุ A เป็นระยะ λ λ λ 5λ 3λ ตามล�ำ ดับ
4 2 4 2

และจุด B C D E และ F มีเฟสต่างจากจุด A เท่ากับ 90o 180o 360o 450o และ 540o

ตามล�ำ ดบั

7. เมื่อทำ�ให้เกิดคล่ืนในเส้นเชือกท่ีมีความถี่ 50 เฮิรตซ์ และวัดค่าความยาวคลื่นของคลื่นนี้ได้
1.2 เมตร ถ้าทำ�ให้เกิดคลื่นในเส้นเชือกเดิมน้ี โดยคลื่นมีความถี่ 60 เฮิรตซ์แทนอัตราเร็วและ
ความยาวคลน่ื นี้จะมคี ่าเปล่ยี นไป หรือไม่ อยา่ งไร
แนวคำ�ตอบ อตั ราเรว็ ของคลนื่ ในเชอื กมคี า่ เทา่ เดมิ เทา่ กบั 60 เมตรตอ่ วนิ าที แตค่ วามยาวคลน่ื
เปล่ยี นไปเปน็ 1 เมตร

8. สันคลน่ื กบั ท้องคลน่ื ทอ่ี ยู่ถัดกันมีเฟสต่างกันก่อี งศา
แนวคำ�ตอบ มีเฟสต่างกัน 180o หรือ π เรเดียน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

84 บทที่ 9 | คล่ืน ฟิสกิ ส์ เล่ม 3

9. พิจารณาคลนื่ รูปไซนด์ า้ นล่างนี้ จงวาดรูปของคลืน่ ไซน์อีก 2 คล่นื โดยคลนื่ แรกมีความยาวคล่นื
เทา่ กนั กบั คลนื่ ดา้ นบนสดุ แตม่ แี อมพลจิ ดู เปน็ ครง่ึ หนง่ึ และคลน่ื ทสี่ องมแี อมพลจิ ดู เทา่ กนั กบั คลน่ื
บนสดุ แตม่ ีความยาวคล่นื เป็นคร่ึงหนึ่ง
y

x

y
x

y x
x
แนวคำ�ตอบ y


y

0.5

x

0.5

y

x

ครอู าจใหน้ กั เรยี นศกึ ษาเกยี่ วกบั ความรเู้ พมิ่ เตมิ ในหนงั สอื เรยี นหนา้ 69 โดยครเู ปน็ ผใู้ หค้ �ำ แนะน�ำ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี