ผลการจัดการเรียนรู้รายวิชาคณิตศาสตร์ค31102

ความเหน็ ของหวั หน้าสถานศึกษาหรือผู้ทไี่ ดร้ บั มอบหมาย
ได้ทำการตรวจแผนการจดั การเรียนรขู้ อง นางอมุ าพร ทิพย์มนตรี แลว้ มีความคิดเห็นดงั น้ี
1. เปน็ แผนการจัดการเรยี นรทู้ ่ี
 ดมี าก
 ดี
 พอใช้
 ควรปรบั ปรงุ
2. การจดั กจิ กรรมได้นำกระบวนการเรียนรู้
 เน้นผู้เรียนเปน็ สำคญั มาใชใ้ นการสอนไดอ้ ยา่ งเหมาะสม
 ยังไม่เน้นผูเ้ รยี นเป็นสำคัญ ควรปรบั ปรงุ พัฒนาต่อไป
3. เป็นแผนการจดั การเรยี นรทู้ ่ี
 นำไปใชไ้ ด้จรงิ
 ควรปรบั ปรงุ กอ่ นนำไปใช้
4. ข้อเสนอแนะอื่นๆ

.............................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................

ลงชอื่ ............................................รองผ้อู ำนวยการโรงเรียนกลุ่มบรหิ ารวิชาการ
(นางอัมพร สงวนศกั ด์ิ)

…………./……………./…………

ความคดิ เหน็ ของผู้อำนวยการโรงเรียนวิเชยี รมาตุ
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................

ลงช่ือ.............................................ผู้อำนวยการโรงเรียน
(นางยุภา พรเศรษฐ์)

…………./……………./…………

กลมุ่ สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ โรงเรียนวเิ ชยี รมาตุ

รายวิชา คณิตศาสตร์พ้นื ฐาน รหสั วชิ า ค31102

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 ภาคเรียนท่ี 2 ปกี ารศึกษา 2564

หนว่ ยการเรียนที่ 1 ชื่อหน่วยการเรยี นรู้ หลักการนบั เบื้องตน้ เวลารวม 20 คาบ

แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 10 เรอื่ งการเรียงสับเปลยี่ นเชงิ เสน้ ของสงิ่ ของทแ่ี ตกตา่ งกนั ท้ังหมด เวลา 1 คาบ

ช่ือครผู ้สู อน นางอมุ าพร ทพิ ย์มนตรี

1. มาตรฐานการเรยี นรู้/ตวั ชีว้ ัด
มาตรฐานการเรียนรู้
มาตรฐาน ค 3.2 เข้าใจหลักการนับเบ้อื งต้น ความนา่ จะเป็น และนำไปใช้
ตวั ช้ีวัด
มาตรฐาน ค 3.2 ม.4/1 เข้าใจและใช้หลกั การบวกและการคูณ การเรยี งสับเปลยี่ น และการจัดหมใู่ นการ

แก้ปญั หา
2. จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้

2.1 ด้านความรู้ (K)
2.1.1 อธบิ ายความหมายของการเรียงสับเปลย่ี นเชงิ เสน้ ของสง่ิ ของที่แตกตา่ งกนั ทั้งหมด

2.2 ด้านทกั ษะ (P)
2.2.1 เขยี นแสดงวธิ ีการหาการเรียงสับเปลยี่ นเชงิ เส้นของส่ิงของทแี่ ตกตา่ งกนั ทง้ั หมด

2.3 ดา้ นคุณลักษณะอันพึงประสงค์ (A)
2.3.1 ใฝเ่ รยี นรู้

2.3.2 ม่งุ ม่ันในการทำงาน

3. สมรรถนะสำคญั ของผเู้ รียน (C)
 ความสามารถในการสอ่ื สาร
 ความสามารถในการคดิ
 ความสามารถในการแกป้ ัญหา
 ความสามารถในการใช้ทกั ษะชีวิต
 ความสามารถในการใช้เทคโนโลยี

4. สาระสำคญั
วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น (Linear Permutation) เป็นการจัดเรียงสิ่งของในแนวเส้นตรง โดยที่ปลายของ

เสน้ ตรงไมม่ าบรรจบกนั ในท่ีนี้ จะกล่าวถึงวิธีเรยี งสบั เปลี่ยนเชิงเสน้ ของส่งิ ของท่ีแตกตา่ งกันทัง้ หมด
5. สาระการเรยี นรู้

วิธีเรยี งสับเปล่ยี นเชิงเส้น (Linear Permutation) เปน็ การจัดเรยี งสิ่งของในแนวเส้นตรง โดยท่ีปลายของ

เสน้ ตรงไม่มาบรรจบกนั ในที่น้ี จะกล่าวถึงวธิ ีเรยี งสับเปลยี่ นเชิงเส้นของสิ่งของทแี่ ตกตา่ งกันท้งั หมด จากตัวอย่างตอ่ ไปนี้

ถ้ามสี ิ่งของ 10 สง่ิ ที่แตกตา่ งกนั นำมาจัดเรยี งในแนวเสน้ ตรง 4 ส่ิงสามารถทำได้

10 × 9 × 8 × 7 = 10! = 10! วธิ ี
6! (10−4)!

ถ้ามสี ิ่งของ 10 สง่ิ ทีแ่ ตกตา่ งกนั นำมาจัดเรียงในแนวเส้นตรง 5 ส่งิ สามารถทำได้

10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 10! = 10! วิธี

5! (10−5)!

ถา้ มสี ่ิงของ 10 สิง่ ทแ่ี ตกต่างกัน นำมาจัดเรยี งในแนวเส้นตรง 6 สง่ิ สามารถทำได้

10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5= 10! = 10! วธิ ี
4! (10−6)!

ถา้ มีสิ่งของ 10 ส่ิงที่แตกตา่ งกัน นำมาจัดเรียงในแนวเสน้ ตรง 7 สง่ิ สามารถทำได้

10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 10! = 10! วิธี

3! (10−7)!

ถา้ มีสิง่ ของ n สิง่ ซ่งึ แตกตา่ งกนั ท้งั หมด และต้องการนำมาจดั เรียงในแนวเสน้ ตรงจำนวน r สงิ่

(1 ≤ r ≤ n) ตำแหน่งท่จี ะจดั เรยี งมี r ตำแหน่ง

ตำแหน่งที่ 1 ตำแหนง่ ที่ 2 ตำแหน่งท่ี r

…

ตำแหนง่ ที่ 1 มวี ิธนี ำสิง่ ของวางได้ n วิธี

ตำแหนง่ ที่ 2 แต่ละวธิ ที ว่ี างสงิ่ ของในตำแหนง่ ที่ 1 มีวิธนี ำสิ่งของวางในตำแหน่งท่ี 2 ได้ n − 1 วิธี

⋮⋮
ตำแหนง่ ท่ี แต่ละวิธีท่วี างสงิ่ ของในตำแหน่งท่ี 1 ถงึ ตำแหนง่ ท่ี r − 1 มวี ิธีนำสิง่ ของวาง ในตำแหน่งท่ี r ได้ n −

(r − 1) = n − r + 1 วิธี

ดงั นนั้ จำนวนวิธีเรยี งสับเปลี่ยนสง่ิ ของ สิ่ง ทีแ่ ตกตา่ งกันท้ังหมด โดยจัดเรยี งคร้งั ละ r สิ่งเท่ากบั

วธิ ีn(n
− 1) ⋯ (n − r + 1) = n(n − 1) ⋯ (n − r + 1) (n−r)! = n!
(n−r)! (n−r)!

เพ่อื ความสะดวกในการเขียนจะกำหนดสัญลักษณ์ Pn,r แทนจำนวนวิธีจดั เรยี งสับเปลย่ี นของ

สิง่ ของ n สิ่งทแี่ ตกต่างกันทง้ั หมดโดยจดั เรยี งคราวละ r สงิ่ (1 ≤ r ≤ n) จะไดว้ า่

=Pn,r n!
(n−r)!

ถ้า r = n

จะไดว้ ่า Pn,n = n!
(n−n)!
=
n!
= (0)!

n!

ขอ้ สงั เกต

n! = n!
Pn,n = (n−n)!
=1
Pn,0 = n! =n
(n−0)!

Pn,1 = n!
(n−1)!

ตัวอยา่ งที่ 1 จะสรา้ งเลข 2 หลัก จากตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5 ได้ก่จี ำนวนโดยใช้เลขไม่ซำ้ กัน

วิธที ำ เน่อื งจากมีตัวเลขอยู่ 5 จำนวน สามารถนำมาจัดเรียง 2 จำนวน

ไดท้ ้งั หมด P5,2 = 5! = 5! = 5 ⋅ 4 = 20 จำนวน
(5−2)! 3!

ตัวอย่างท่ี 2 มีนกั เรยี นท้งั หมด 20 คน เลอื กนักเรยี นมา 3 คนเพื่อมาเป็นหัวหนา้ ห้อง, รองหวั หนา้ ห้อง และ เลขานกุ าร

ได้กี่วิธี

วธิ ีทำ เนอื่ งจากมนี ักเรยี นท้งั หมด 20 คน เลอื กนักเรียนจำนวน 3 คน

มาจัดเรยี งในตำแหนง่ หัวหนา้ ห้อง, รองหัวหนา้ หอ้ งและเลขานุการได้ทง้ั หมด

วธิ ีP20,3 20!
= 20! = 17! = 20 ⋅ 19 ⋅ 18 = 6,840
(20−3)!

จำนวนวิธใี นการนำสงิ่ ของ r ชนิ้ จากส่งิ ของที่แตกต่างกนั n ชนิ้ มาเรยี งสับเปลยี่ นเชิงเส้น คือ

pn,r = n! วธิ ี 6. ชิ้นงานหรือภาระงาน

(n −1)!

6. ช้นิ งานหรือภาระงาน

6.1 แบบฝกึ หัด 3.2 หนา้ 102 ในหนงั สือเรยี นคณิตศาสตรพ์ ื้นฐาน ม.4

7. การจัดกิจกรรมการเรยี นรู้
รูปแบบการจดั การเรียนรแู้ บบลงมือกระทำ(Active Learning) โดยใช้กิจกรรมการเรยี นร้แู บบรว่ มมอื

ขั้นนำ
1. ครูนำเสนอสถานการณ์ปญั หาแก่นกั เรยี นดงั น้ี

นำ้ ชาตอ้ งการนำตวั อกั ษรจากคำวา่ “LUCK” มาจดั เรยี งเปน็ คำใหมโ่ ดยไมค่ ำนงึ ถึงความหมาย นำ้ ชาจะทำ

ไดก้ วี่ ิธี

2. ครูให้นักเรยี นลงมอื กระทำดว้ ยตนเอง โดยครเู ดนิ สำรวจแนวคดิ ของนักเรยี น และร่วมกันเฉลยหน้าชนั้ เรยี น

ดังน้ี

LUCK ULCK CLUK KLUC

LUKC ULKC CLKU KLCU

LCUK UCLK CULK KULC

LCKU UCKL CUKL KUCL

LKUC UKLC CKLU KCLU

LKCU UKCL CKUL KCUL

ครูอธิบายนักเรียนเพม่ิ เติมว่า จำนวนในการจัดเรยี งอักษรทไี่ ด้มี 24 จำนวน เน่อื งจากการจดั เรยี งอกั ษร

ขา้ งตน้ จะถอื เอาอนั ดบั เป็นสำคญั วิธีการจดั เรยี งตวั อักษรดงั กลา่ ว เรยี กว่า วธิ ีเรยี งสับเปลยี่ น

ข้ันสอน

3. ครอู ธิบายนักเรียนเก่ียวกับวธิ ีการเรียงสบั เปลี่ยนดังน้ี

วิธีเรียงสบั เปล่ยี นเชิงเสน้ (Linear Permutation) เป็นการจดั เรียงสง่ิ ของในแนวเสน้ ตรง โดยทีป่ ลายของ

เสน้ ตรงไมม่ าบรรจบกนั ในทีน่ ้ี จะกล่าวถึงวธิ ีเรยี งสบั เปล่ียนเชงิ เส้นของสิ่งของท่แี ตกตา่ งกนั ท้ังหมด จากตัวอย่างตอ่ ไปนี้

ถ้ามีสิ่งของ 10 สง่ิ ทแี่ ตกต่างกัน นำมาจดั เรยี งในแนวเส้นตรง 4 ส่ิงสามารถทำได้

10 × 9 × 8 × 7 = 10! = 10! วิธี
6! (10−4)!

ถ้ามสี ิง่ ของ 10 สิ่งท่แี ตกต่างกนั นำมาจัดเรียงในแนวเสน้ ตรง 5 ส่งิ สามารถทำได้

10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 10! = 10! วธิ ี

5! (10−5)!

ถา้ มีส่งิ ของ 10 ส่งิ ที่แตกตา่ งกัน นำมาจัดเรยี งในแนวเสน้ ตรง 6 สิ่งสามารถทำได้

10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5= 10! = 10! วธิ ี
4! (10−6)!

ถ้ามสี ่ิงของ 10 สิ่งทแ่ี ตกตา่ งกนั นำมาจดั เรยี งในแนวเส้นตรง 7 สิ่งสามารถทำได้

10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 10! = 10! วิธี

3! (10−7)!

4. ครถู ามนกั เรียนวา่ ถ้ามีสิง่ ของท่ีแตกต่างกัน สิ่ง นำมาจัดเรียงในแนวเส้นตรงครง้ั ละ r สิ่ง สามารถทำได้

กี่วธิ ี (สามารถทำได้ n! วิธี)

(n−r)!

แนวตอบ สามารถทำได้ n! วธิ ี

(n−r)!

5. ครูและนกั เรยี นร่วมกันพิสจู น์รูปแบบท่วั ไปของวิธเี รียงสับเปล่ยี นดงั น้ี

ถ้ามีส่งิ ของ n ส่งิ ซึ่งแตกต่างกันทง้ั หมด และตอ้ งการนำมาจดั เรียงในแนวเส้นตรงจำนวน r สง่ิ

(1 ≤ r ≤ n) ตำแหนง่ ที่จะจดั เรียงมี r ตำแหนง่

ตำแหนง่ ที่ 1 ตำแหนง่ ที่ 2 ตำแหนง่ ท่ี r

…

ตำแหนง่ ที่ 1 มวี ธิ นี ำสิง่ ของวางได้ n วิธี

ตำแหนง่ ที่ 2 แตล่ ะวธิ ีทว่ี างส่งิ ของในตำแหน่งที่ 1 มีวิธีนำสง่ิ ของวางในตำแหนง่ ท่ี 2 ได้ n − 1 วธิ ี

⋮⋮
ตำแหน่งท่ี แต่ละวธิ ที ี่วางสิ่งของในตำแหนง่ ที่ 1 ถงึ ตำแหน่งที่ r − 1 มีวิธีนำสิง่ ของวาง ในตำแหน่งที่ r ได้ n −

(r − 1) = n − r + 1 วธิ ี

ดงั นั้นจำนวนวิธีเรียงสับเปลย่ี นสิง่ ของ สิง่ ทแี่ ตกต่างกันท้งั หมด โดยจัดเรยี งคร้ังละ r สิ่งเท่ากับ

n(n − 1) ⋯ (n − r + 1) = n(n − 1) ⋯ (n − r + 1) (n−r)! = n! วิธี
(n−r)! (n−r)!
เพื่อความสะดวกในการเขียนจะกำหนดสญั ลกั ษณ์ Pn,r แทนจำนวนวิธีจดั เรียงสับเปลย่ี นของ

ส่ิงของ n ส่งิ ทแี่ ตกต่างกันทั้งหมดโดยจดั เรยี งคราวละ r สิง่ (1 ≤ r ≤ n) จะไดว้ า่

Pn,r = n!
(n−r)!
ถา้ r =
n

จะไดว้ ่า Pn,n = n!
(n−n)!
=
= n!
(0)!

n!

ขอ้ สงั เกต

n! = n!
Pn,n = (n−n)! =1
=n
Pn,0 = n!
(n−0)!

Pn,1 = n!
(n−1)!

6. ครยู กตัวอย่างการนำรปู แบบทวั่ ไปของวิธีการเรยี งสบั เปลีย่ นไปใช้ดังนี้

ตัวอย่างที่ 1 จะสรา้ งเลข 2 หลัก จากตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5 ได้ก่จี ำนวนโดยใช้เลขไมซ่ ้ำกัน

วธิ ที ำ เน่ืองจากมตี ัวเลขอยู่ 5 จำนวน สามารถนำมาจดั เรยี ง 2 จำนวน

ได้ท้งั หมด P5,2 = 5! = 5! = 5 ⋅ 4 = 20 จำนวน
(5−2)! 3!

ตวั อยา่ งที่ 2 มีนักเรียนทัง้ หมด 20 คน เลือกนักเรียนมา 3 คนเพื่อมาเปน็ หัวหน้าห้อง, รองหวั หนา้ หอ้ ง และ เลขานุการ

ไดก้ ่ีวธิ ี

วิธที ำ เนื่องจากมนี กั เรียนท้ังหมด 20 คน เลือกนักเรียนจำนวน 3 คน

มาจัดเรียงในตำแหน่งหัวหน้าห้อง, รองหัวหนา้ หอ้ งและเลขานุการไดท้ ้งั หมด

วิธีP20,3 20!
= 20! = 17! = 20 ⋅ 19 ⋅ 18 = 6,840
(20−3)!

ข้นั สรปุ

7. ครแู ละนกั เรียนรว่ มกันสรปุ ในการเรียงสบั เปลย่ี นเชงิ เสน้ ไดด้ ังน้ี
จำนวนวิธีในการนำสิง่ ของ r ชน้ิ จากส่ิงของทแี่ ตกต่างกนั n ชนิ้ มาเรียงสับเปล่ียนเชงิ เส้น คือ

pn,r = n! วธิ ี

(n −1)!

8. ครูให้นกั เรยี นทำแบบฝึกหัด 3.2 หน้า 102 ในหนังสอื คณติ ศาสตร์พื้นฐาน เปน็ การบ้าน

8. ศาสตรก์ ารสอน/สือ่ การสอน/แหลง่ เรยี นรู้
8.1 การจัดการเรยี นร้แู บบลงมือกระทำ(Active Learning) โดยใชก้ ิจกรรมการเรียนรแู้ บบรว่ มมอื

8.2 หนงั สือเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน

9. การวัดและประเมนิ ผล
9.1 การประเมนิ ตามตัวชวี้ ัดหรือผลการเรียนร/ู้ จดุ ประสงค์

ตัวชวี้ ัดหรอื ผลการ วธิ ีวดั เครอื่ งมือวัดและ เกณฑ์การให้คะแนน เกณฑก์ ารผา่ น
เรียนรู้/จดุ ประสงค์ และประเมินผล ประเมนิ ผล

ความรู้ (K)

อธิบายความหมาย - ตรวจแบบฝกึ หดั 3.2 - แบบฝึกหดั 3.2 ตอบถกู ได้ 1 คะแนน นกั เรยี นทำใบกจิ กรรม
ของการเรยี ง ตอบผิดได้ 0 คะแนน หรือแบบฝกึ หดั ได้ผา่ น
สบั เปลีย่ นเชิงเสน้ เกณฑ์อยา่ งนอ้ ย70%
ของสิ่งของท่ี
แตกต่างกนั ทั้งหมด
ทักษะทสี่ ำคญั (P)

เขยี นแสดงวธิ กี าร สงั เกตการแก้ปญั หา แบบสงั เกต ระดับคุณภาพ ผ่านเกณฑ์คุณภาพ
การแกป้ ญั หาทาง 3 (ดี) ตั้งแต่ระดับ 2 ขนึ้ ไป
หาการเรียง ทางคณติ ศาสตร์ คณิตศาสตร์ 2 (พอใช้)

สับเปลย่ี นเชิงเส้น 1 (ปรับปรงุ )

ของสงิ่ ของที่

แตกตา่ งกันทั้งหมด

คณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ (A)

-ใฝเ่ รยี นรู้ -สงั เกตพฤติกรรมการ -แบบสงั เกต ระดับคุณภาพ ผ่านเกณฑ์คุณภาพ
-มุ่งมัน่ ในการ ถาม การตอบ และ 3 (ดี) ตั้งแต่ระดับ 2 ข้ึนไป
ทำงาน แสดงความคิดเหน็ 2 (พอใช้)
1 (ปรบั ปรุง)

9.2 การประเมนิ สมรรถนะสำคัญ

ประเด็นการประเมนิ วิธีวดั และ เครอ่ื งมือวัดและประเมนิ ผล เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน
ประเมินผล

ความสามารถในการคดิ สังเกตความสามารถ แบบสงั เกตความสามารถ พฤติกรรมบง่ ช้ี
ในการคิด ในการคิด 3 (ดีเยี่ยม)
2 (ด)ี
ความสามารถในการ สังเกตความสามารถ แบบสังเกตความสามารถ 1 (พอใช้/ผา่ นเกณฑ์)
ในการแกป้ ัญหา 0 (ปรบั ปรงุ /ไม่ผา่ นเกณฑ์)
แก้ปัญหา ในการแกป้ ัญหา
พฤติกรรมบง่ ช้ี
3 (ดเี ยี่ยม)
2 (ดี)
1 (พอใช้/ผ่านเกณฑ์)
0 (ปรับปรงุ /ไมผ่ า่ นเกณฑ์)

9.3 คณุ ลักษณะอันพงึ ประสงค์

ประเดน็ การประเมิน วิธวี ดั และ เคร่อื งมือวัดและ เกณฑ์การให้คะแนน
ประเมนิ ผล ประเมนิ ผล
ระดบั คุณภาพ
-ใฝ่เรียนรู้ -สังเกตพฤตกิ รรมการถาม -แบบสังเกต 3 (ด)ี
-มงุ่ ม่นั ในการทำงาน การตอบ และแสดงความ 2 (พอใช้)
คิดเหน็ 1 (ปรับปรุง)

9.4 การอา่ น คดิ วิเคราะห์ และเขยี น

ประเด็นการประเมนิ วธิ ีวัดและ เครอ่ื งมอื วัดและ เกณฑ์การให้คะแนน
ประเมินผล
ประเมนิ ผล ระดบั คุณภาพ
1. อ่านและแปลความหมาย -สงั เกตคุณภาพ 3 (ดี)
-แบบสังเกตคณุ ภาพ 2 (พอใช้)
ของโจทยป์ ัญหาได้ การอ่าน การอ่าน 1 (ปรบั ปรงุ )
การวิเคราะห์
2. วเิ คราะหข์ ้อมลู จากโจทย์ การวิเคราะห์

ปญั หาได้

10. บนั ทกึ หลังสอน
ผลการจัดการเรียนรู้

นกั เรียนห้อง ................ มจี ำนวน....................คน
ผ่านจดุ ประสงคก์ ารเรียนรโู้ ดยรวม......................คน คดิ เปน็ รอ้ ยละ..............................
ไม่ผา่ นจุดประสงค์การเรียนรูโ้ ดยรวม..................คน คดิ เป็นรอ้ ยละ..............................
ไดแ้ กเ่ ลขท่ี...................................................................................................................................................................
นกั เรียนที่ไมผ่ า่ นการประเมินจุดประสงคด์ า้ นความรู้ (K) จำนวน............................คน
ไดแ้ กเ่ ลขที่..................................................................................................................................................................
นักเรียนท่ไี ม่ผา่ นการประเมนิ จดุ ประสงค์ดา้ นทักษะ (P) จำนวน.............................คน
ไดแ้ ก่เลขที่.................................................................................................................................................................
นกั เรียนท่ีไมผ่ า่ นการประเมินจดุ ประสงคด์ ้านคุณลักษณะอันพงึ ประสงค์ (A) จำนวน.............คน
ได้แก่เลขที่.................................................................................................................................................................
นักเรียนท่ไี ม่ผา่ นการประเมินสมรรถนะสำคัญของผเู้ รยี น (C) จำนวน............................คน
ได้แก่เลขท่ี.................................................................................................................................................................
ปญั หา/อปุ สรรค
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
แนวทางแก้ไข/ข้อเสนอแนะ
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................

ลงชอื่ ..................................................ครูผู้สอน
(นางอมุ าพร ทิพย์มนตรี)
ตำแหนง่ ครู
…………./……………./…………

ความเห็นของกรรมการตรวจแผนการจัดการเรียนรู้
.............................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................

ลงชือ่ .............................................................. ลงชือ่ ..............................................................
(.......................................................) (นางปทั มา สนุ ทรนนท์)
กรรมการตรวจแผนการจัดการเรยี นรู้ หัวหนา้ กลมุ่ สาระการเรยี นรู้
…………./……………./………… …………./……………./…………

ความเหน็ ของหวั หน้าสถานศกึ ษาหรือผู้ทไี่ ดร้ บั มอบหมาย
ได้ทำการตรวจแผนการจัดการเรียนรขู้ อง นางอมุ าพร ทิพย์มนตรี แลว้ มีความคิดเห็นดงั น้ี
1. เปน็ แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี
 ดมี าก
 ดี
 พอใช้
 ควรปรบั ปรงุ
2. การจดั กจิ กรรมได้นำกระบวนการเรียนรู้
 เน้นผ้เู รยี นเปน็ สำคญั มาใชใ้ นการสอนไดอ้ ยา่ งเหมาะสม
 ยังไมเ่ นน้ ผูเ้ รยี นเป็นสำคัญ ควรปรบั ปรงุ พัฒนาต่อไป
3. เป็นแผนการจัดการเรียนรทู้ ่ี
 นำไปใช้ได้จรงิ
 ควรปรับปรงุ กอ่ นนำไปใช้
4. ข้อเสนอแนะอื่นๆ

.............................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................

ลงชอื่ ............................................รองผ้อู ำนวยการโรงเรียนกลุ่มบรหิ ารวิชาการ
(นางอัมพร สงวนศกั ด์ิ)

…………./……………./…………

ความคดิ เหน็ ของผู้อำนวยการโรงเรียนวิเชยี รมาตุ
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................

ลงช่ือ.............................................ผู้อำนวยการโรงเรียน
(นางยุภา พรเศรษฐ์)

…………./……………./…………

กลมุ่ สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ โรงเรียนวเิ ชยี รมาตุ

รายวิชา คณิตศาสตร์พ้นื ฐาน รหสั วชิ า ค31102

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 ภาคเรียนท่ี 2 ปกี ารศึกษา 2564

หนว่ ยการเรียนที่ 1 ชื่อหน่วยการเรยี นรู้ หลักการนบั เบื้องตน้ เวลารวม 20 คาบ

แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 11 เรอื่ งการเรียงสับเปลยี่ นเชงิ เสน้ ของสงิ่ ของทแ่ี ตกตา่ งกนั ท้ังหมด เวลา 1 คาบ

ช่ือครผู ้สู อน นางอมุ าพร ทพิ ย์มนตรี

1. มาตรฐานการเรยี นรู้/ตวั ชีว้ ัด
มาตรฐานการเรียนรู้
มาตรฐาน ค 3.2 เข้าใจหลักการนับเบ้อื งต้น ความนา่ จะเป็น และนำไปใช้
ตวั ช้ีวัด
มาตรฐาน ค 3.2 ม.4/1 เข้าใจและใช้หลกั การบวกและการคูณ การเรยี งสับเปลยี่ น และการจัดหมใู่ นการ

แก้ปญั หา
2. จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้

2.1 ด้านความรู้ (K)
2.1.1 อธบิ ายความหมายของการเรียงสับเปลย่ี นเชงิ เสน้ ของสง่ิ ของที่แตกตา่ งกนั ทั้งหมด

2.2 ด้านทกั ษะ (P)
2.2.1 เขยี นแสดงวธิ ีการหาการเรียงสับเปลยี่ นเชงิ เส้นของส่ิงของทแี่ ตกตา่ งกนั ทง้ั หมด

2.3 ดา้ นคุณลักษณะอันพึงประสงค์ (A)
2.3.1 ใฝเ่ รยี นรู้
2.3.2 ม่งุ ม่ันในการทำงาน

3. สมรรถนะสำคญั ของผเู้ รียน (C)
 ความสามารถในการสอ่ื สาร
 ความสามารถในการคดิ
 ความสามารถในการแกป้ ัญหา
 ความสามารถในการใช้ทกั ษะชีวิต
 ความสามารถในการใช้เทคโนโลยี

4. สาระสำคัญ
วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น (Linear Permutation) เป็นการจัดเรียงสิ่งของในแนวเส้นตรง โดยที่ปลายของ

เส้นตรงไมม่ าบรรจบกนั ในท่ีนี้ จะกล่าวถงึ วิธเี รยี งสับเปลยี่ นเชงิ เส้นของสิ่งของทแ่ี ตกตา่ งกันท้ังหมด
5. สาระการเรยี นรู้

วธิ ีเรยี งสับเปล่ียนเชงิ เส้น (Linear Permutation) เปน็ การจัดเรียงส่ิงของในแนวเส้นตรง โดยทปี่ ลายของ

เส้นตรงไมม่ าบรรจบกัน ในทีน่ ้ี จะกล่าวถึงวิธเี รียงสบั เปลี่ยนเชงิ เส้นของสง่ิ ของท่ีแตกตา่ งกนั ทั้งหมด

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหาจำนวนวิธใี นการจัดลำดับสิง่ ของ 12 ชนิ้ จากสง่ิ ของทีต่ า่ งกัน 24 ช้ิน

วธิ ีทำ เนือ่ งจากมีสิง่ ของ 24 ชิน้ สามารถจัดลำดับส่ิงของ 12 ชน้ิ ได้

ได้ทัง้ หมด P24,12 = 24! = 24! วิธี
(24−12)!
12!

ตัวอยา่ งที่ 2 มีหนงั สือทีแ่ ตกต่างกนั 6 เลม่ ต้องการนำหนังสอื มา 4 เล่ม เพ่ือจดั เรียงเป็นแถวบนช้ันจะจดั ได้ก่วี ิธี

วิธที ำ จากสตู ร Pn,r = n!
(n−r)!

เนื่องจาก n = 6 r = 4

ดงั นัน้ P6,4 = 6! = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 = 360 วธิ ี
(6−4)! (2)!

ฉะนนั้ จดั เรยี งได้ 360 วิธี

ตวั อยา่ งที่ 3 ถา้ ต้องการสลบั ตวั อกั ษรในคำว่า “hyperbola” จะสลบั ได้ก่วี ิธี เมื่อตอ้ งการให้ h และ y อย่ตู ิดกนั

วธิ ที ำ กรณีท่ี 1 : มอง hy เป็น 1 ตัวอักษร

ดงั น้นั จะมีจำนวนตวั อักษรท้ังหมด 8 ตัว ซึ่งสามารถสลบั กนั ได้ 8! วธิ ี

กรณที ี่ 2 : มอง yh เป็น 1 ตัวอักษร

ดงั นัน้ จะมีจำนวนตวั อกั ษรท้ังหมด 8 ตวั ซ่ึงสามารถสลับกันได้ 8! วิธี

ดังนัน้ จำนวนวธิ ที ีส่ ลบั ตัวอักษรโดยที่ h และ y อยตู่ ิดกนั

คือ 8! + 8! = 80,640 วธิ ี

ตัวอยา่ งท่ี 4 มหี นงั สือคณิตศาสตรต์ ่างกัน 6 เล่ม และหนงั สือเคมีตา่ งกัน 4 เลม่ จะมกี วี่ ธิ ีทจี่ ะจดั หนังสือเหล่านีบ้ นชน้ั

โดยท่ี

1) หนังสือวชิ าเดียวกนั อยตู่ ิดกัน

2) หนังสือวชิ าเดียวกันอยรู่ มิ ทง้ั สองดา้ น

วธิ ีทำ 1) มัดหนงั สือคณิตศาสตร์เป็น 1 มดั และมดั หนังสือเคมี เป็น 1 มัด จะไดห้ นังสอื 2 มดั

จดั เรยี งได้ 2! วธิ ี และภายในมัดหนังสือ คณิตศาสตร์ จัดเรียงได้ 6! และเชน่ เดยี วกบั

หนังสอื เคมีจดั เรียงได้ 4!

ดงั น้ัน วิธีจดั เรยี งหนังสือ วิชาเดยี วกันอยตู่ ดิ กันได้ทั้งหมด 2! 6! 4!= 34,560 วิธี

2) กรณีท่ี 1 : รมิ ทงั้ สองดา้ นเป็นหนังสือคณติ ศาสตร์

จัดเรยี งหนังสอื คณิตศาสตรใ์ หอ้ ยรู่ ิมได้ P6,2วธิ ี
จากนน้ั จดั เรยี งหนังสือท่ีเหลือได้ 8! วธิ ี

ดงั นน้ั จำนวนวธิ ีในกรณที ่ี 1 ได้ P6,2 × 8!วธิ ี
กรณีท่ี 2 : รมิ ทงั้ สองด้านเปน็ หนงั สอื เคมี

จดั เรียงหนงั สอื เคมี ให้อยรู่ มิ ได้ P4,2วธิ ี
จากนัน้ เรียงหนังสือทีเ่ หลอื ได้ 8!วิธี

ดงั น้นั จำนวนวธิ ใี นกรณีท่ี 2 ได้ P4,2 × 8!วธิ ี
จากทงั้ 2 กรณี จำนวนวธิ ีจดั หนังสือวิชาเดยี วกนั ให้อยู่รมิ ทั้ง 2 ด้าน

เทา่ กบั (P6,2 × 8) + (P4,2 × 8!)

= 1,209,600 + 483,840

= 1,693,440 วิธี

6. ชน้ิ งานหรอื ภาระงาน

6.1 ใบงานท่ี 6 เรอื่ งการเรยี งสับเปลยี่ นเชงิ เสน้

7. การจัดกิจกรรมการเรยี นรู้
รูปแบบการจัดการเรยี นรู้แบบลงมอื กระทำ(Active Learning) โดยใช้กิจกรรมการเรียนรู้แบบร่วมมือ

ข้ันนำ
1. ครูทบทวนเนอ้ื หาในชั่วโมงที่แลว้ โดยยกตัวอยา่ งโจทยใ์ นกระดานจำนวน 3 ข้อ แล้วสมุ่ เลขท่นี กั เรยี นออกมา

ทำใหก้ ระดาน

ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาคา่ ของ P10,3

วิธีทำ P10,3 = 10! = 10! = 10 98 = 720
7!
(10 − 3)!

ตวั อยา่ งที่ 2 จงหาคา่ ของ P5,1

วธิ ที ำ P5,1 = 5! = 5! = 5
4!
(5 −1)!

ตวั อย่างที่ 3 จงหาค่าของ P7,7

วธิ ีทำ P7,7 = 7! = 7! = 7!= 5,040
0!
(7 − 7)!

ข้ันสอน

2. ครยู กตวั อย่างให้นักเรียนเก่ยี วกบั โจทยป์ ัญหา จากน้นั รว่ มกนั เฉลยดงั น้ี

ตัวอยา่ งที่ 1 จงหาจำนวนวธิ ใี นการจัดลำดับสิ่งของ 12 ชิน้ จากส่งิ ของทต่ี า่ งกัน 24 ชิน้

วิธีทำ เน่ืองจากมีสิง่ ของ 24 ช้ิน สามารถจดั ลำดบั สง่ิ ของ 12 ช้ินได้

ได้ทั้งหมด P24,12 = 24! = 24! วิธี
(24−12)!
12!

ตวั อย่างท่ี 2 มีหนงั สอื ทแ่ี ตกตา่ งกนั 6 เลม่ ตอ้ งการนำหนงั สือมา 4 เล่ม เพื่อจดั เรียงเป็นแถวบนชน้ั จะจัดได้ก่ีวธิ ี

วิธีทำ จากสตู ร Pn,r = n!
(n−r)!

เน่ืองจาก n = 6 r = 4

ดงั นนั้ P6,4 = 6! = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 = 360 วธิ ี
(6−4)! (2)!

ฉะนน้ั จดั เรียงได้ 360 วธิ ี

ตัวอย่างที่ 3 ถา้ ตอ้ งการสลับตัวอกั ษรในคำวา่ “hyperbola” จะสลับได้กี่วธิ ี เม่ือตอ้ งการให้ h และ y อยู่ติดกนั
วิธที ำ กรณีท่ี 1 : มอง hy เปน็ 1 ตวั อักษร

ดงั นน้ั จะมจี ำนวนตัวอักษรทัง้ หมด 8 ตัว ซ่งึ สามารถสลับกันได้ 8! วธิ ี
กรณที ี่ 2 : มอง yh เป็น 1 ตวั อักษร

ดงั นน้ั จะมจี ำนวนตัวอกั ษรทงั้ หมด 8 ตวั ซ่ึงสามารถสลบั กันได้ 8! วิธี
ดงั นนั้ จำนวนวธิ ที ส่ี ลบั ตัวอกั ษรโดยท่ี h และ y อยตู่ ดิ กัน
คอื 8! + 8! = 80,640 วิธี
ตวั อยา่ งท่ี 4 มหี นังสอื คณิตศาสตร์ต่างกัน 6 เลม่ และหนงั สอื เคมีตา่ งกนั 4 เล่ม จะมกี ่วี ิธที จี่ ะจดั

หนังสือเหล่าน้ีบนช้ันโดยที่
1) หนังสือวิชาเดยี วกันอยู่ติดกนั
2) หนังสือวชิ าเดยี วกันอยูร่ มิ ท้ังสองด้าน
วิธที ำ 1) มัดหนงั สอื คณติ ศาสตรเ์ ป็น 1 มัด และมัดหนงั สอื เคมี เป็น 1 มดั จะได้หนังสอื 2 มดั
จัดเรยี งได้ 2! วิธี และภายในมดั หนงั สอื คณติ ศาสตร์ จดั เรียงได้ 6! และเชน่ เดยี วกับ
หนงั สือเคมจี ดั เรียงได้ 4!
ดงั น้นั วธิ จี ัดเรียงหนังสอื วชิ าเดียวกันอยูต่ ิดกนั ได้ท้งั หมด 2! 6! 4!= 34,560 วิธี
2) กรณีท่ี 1 : ริมท้งั สองดา้ นเป็นหนังสอื คณติ ศาสตร์

จดั เรยี งหนงั สอื คณิตศาสตรใ์ หอ้ ยรู่ ิมได้ P6,2วิธี
จากนนั้ จดั เรียงหนังสือที่เหลอื ได้ 8! วธิ ี
ดงั นนั้ จำนวนวธิ ใี นกรณที ่ี 1 ได้ P6,2 × 8!วธิ ี
กรณีที่ 2 : รมิ ทงั้ สองดา้ นเปน็ หนังสือเคมี
จดั เรียงหนังสอื เคมี ใหอ้ ยู่ริมได้ P4,2วธิ ี
จากน้นั เรียงหนังสอื ทีเ่ หลือได้ 8!วิธี

ดงั นน้ั จำนวนวิธใี นกรณที ่ี 2 ได้ P4,2 × 8!วิธี
จากทั้ง 2 กรณี จำนวนวธิ จี ดั หนงั สือวชิ าเดยี วกนั ให้อยูร่ ิมทง้ั 2 ดา้ น

เทา่ กับ (P6,2 × 8) + (P4,2 × 8!)

= 1,209,600 + 483,840

= 1,693,440 วธิ ี

ข้นั สรปุ
3. ครใู ห้นกั เรียนเลน่ เกมแขง่ ขันหาคำตอบเร่อื งการเรยี งสบั เปลย่ี นเชงิ เสน้ โดยแบ่งกลุ่มกลุ่มละ 4-5 คน

4. ครูให้นักเรียนทำใบงานที่ 6 เร่ืองการเรยี งสบั เปล่ียนเชงิ เส้น เป็นการบ้าน

8. ศาสตร์การสอน/สอ่ื การสอน/แหลง่ เรยี นรู้
8.1 การจดั การเรียนรแู้ บบลงมอื กระทำ(Active Learning) โดยใช้กจิ กรรมการเรยี นรแู้ บบรว่ มมือ
8.2 ใบงานท่ี 6 เรอื่ งการเรียงสับเปลีย่ นเชงิ เส้น

9. การวดั และประเมินผล
9.1 การประเมินตามตัวช้วี ัดหรอื ผลการเรียนรู้/จุดประสงค์

ตวั ชี้วัดหรือผลการ วิธีวดั เครอื่ งมอื วัดและ เกณฑ์การให้คะแนน เกณฑ์การผ่าน
เรยี นรู้/จดุ ประสงค์ และประเมนิ ผล ประเมินผล

ความรู้ (K)

อธบิ ายความหมาย - ตรวจใบงานท่ี 6 - ใบงานที่ 6 ตอบถูกได้ 1 คะแนน นักเรียนทำใบกิจกรรม
ของการเรยี ง
สับเปล่ียนเชงิ เส้น ตอบผดิ ได้ 0 คะแนน หรอื แบบฝกึ หดั ได้ผา่ น
ของสง่ิ ของที่ เกณฑ์อย่างนอ้ ย70%
แตกตา่ งกันท้ังหมด
ทักษะท่สี ำคญั (P)

เขียนแสดงวธิ กี าร สงั เกตการแกป้ ญั หา แบบสงั เกต ระดับคุณภาพ ผ่านเกณฑ์คุณภาพ
การแก้ปัญหาทาง 3 (ด)ี ตั้งแต่ระดับ 2 ขนึ้ ไป
หาการเรียง ทางคณิตศาสตร์ คณติ ศาสตร์ 2 (พอใช)้

สับเปลี่ยนเชิงเสน้ 1 (ปรบั ปรงุ )

ของส่ิงของที่

แตกตา่ งกันทงั้ หมด

คุณลักษณะอนั พึงประสงค์ (A)

-ใฝเ่ รยี นรู้ -สงั เกตพฤตกิ รรมการ -แบบสังเกต ระดบั คุณภาพ ผ่านเกณฑ์คุณภาพ
-ม่งุ มน่ั ในการ ถาม การตอบ และ 3 (ดี) ต้ังแตร่ ะดับ 2 ขึน้ ไป
ทำงาน แสดงความคิดเหน็ 2 (พอใช้)
1 (ปรับปรุง)

9.2 การประเมนิ สมรรถนะสำคัญ

ประเด็นการประเมนิ วิธีวดั และ เครอ่ื งมือวัดและประเมนิ ผล เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน
ประเมินผล

ความสามารถในการคดิ สังเกตความสามารถ แบบสงั เกตความสามารถ พฤติกรรมบง่ ช้ี
ในการคิด ในการคิด 3 (ดีเย่ยี ม)
2 (ด)ี
ความสามารถในการ สังเกตความสามารถ แบบสังเกตความสามารถ 1 (พอใช/้ ผา่ นเกณฑ์)
ในการแกป้ ัญหา 0 (ปรับปรงุ /ไม่ผ่านเกณฑ)์
แก้ปัญหา ในการแกป้ ัญหา
พฤติกรรมบง่ ช้ี
3 (ดเี ยี่ยม)
2 (ดี)
1 (พอใช/้ ผา่ นเกณฑ์)
0 (ปรบั ปรงุ /ไม่ผา่ นเกณฑ์)

9.3 คณุ ลักษณะอันพงึ ประสงค์

ประเดน็ การประเมิน วิธวี ดั และ เคร่อื งมือวัดและ เกณฑก์ ารให้คะแนน
ประเมนิ ผล ประเมนิ ผล
ระดบั คณุ ภาพ
-ใฝ่เรียนรู้ -สังเกตพฤตกิ รรมการถาม -แบบสังเกต 3 (ด)ี
-มงุ่ ม่นั ในการทำงาน การตอบ และแสดงความ 2 (พอใช้)
คิดเหน็ 1 (ปรับปรงุ )

9.4 การอา่ น คดิ วิเคราะห์ และเขยี น

ประเด็นการประเมนิ วธิ ีวัดและ เครอ่ื งมอื วัดและ เกณฑ์การให้คะแนน
ประเมินผล
ประเมนิ ผล ระดบั คุณภาพ
1. อ่านและแปลความหมาย -สงั เกตคุณภาพ 3 (ดี)
-แบบสังเกตคณุ ภาพ 2 (พอใช้)
ของโจทยป์ ัญหาได้ การอ่าน การอ่าน 1 (ปรบั ปรุง)
การวิเคราะห์
2. วเิ คราะหข์ ้อมลู จากโจทย์ การวิเคราะห์

ปญั หาได้

10. บันทกึ หลังสอน
ผลการจัดการเรียนรู้

นกั เรียนห้อง ................ มีจำนวน....................คน
ผ่านจดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้โดยรวม......................คน คิดเป็นร้อยละ..............................
ไม่ผา่ นจุดประสงค์การเรียนรู้โดยรวม..................คน คดิ เป็นรอ้ ยละ..............................
ไดแ้ กเ่ ลขท่ี...................................................................................................................................................................
นกั เรียนที่ไมผ่ า่ นการประเมินจดุ ประสงค์ดา้ นความรู้ (K) จำนวน............................คน
ไดแ้ กเ่ ลขที่..................................................................................................................................................................
นักเรียนท่ไี ม่ผา่ นการประเมินจุดประสงค์ด้านทักษะ (P) จำนวน.............................คน
ไดแ้ ก่เลขที่.................................................................................................................................................................
นกั เรยี นท่ีไมผ่ า่ นการประเมนิ จดุ ประสงคด์ า้ นคณุ ลักษณะอันพึงประสงค์ (A) จำนวน.............คน
ได้แกเ่ ลขท.่ี ................................................................................................................................................................
นักเรียนท่ไี ม่ผา่ นการประเมนิ สมรรถนะสำคัญของผู้เรียน (C) จำนวน............................คน
ได้แก่เลขท่ี.................................................................................................................................................................
ปญั หา/อปุ สรรค
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
แนวทางแก้ไข/ข้อเสนอแนะ
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................

ลงช่ือ..................................................ครูผู้สอน
(นางอมุ าพร ทิพย์มนตรี)
ตำแหนง่ ครู
…………./……………./…………

ความเห็นของกรรมการตรวจแผนการจัดการเรียนรู้
.............................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................

ลงชือ่ .............................................................. ลงชือ่ ..............................................................
(.......................................................) (นางปัทมา สนุ ทรนนท์)
กรรมการตรวจแผนการจดั การเรยี นรู้ หัวหนา้ กลุ่มสาระการเรยี นรู้
…………./……………./………… …………./……………./…………

ความเห็นของหัวหนา้ สถานศึกษาหรือผทู้ ไี่ ดร้ ับมอบหมาย
ไดท้ ำการตรวจแผนการจัดการเรยี นรขู้ อง นางอุมาพร ทิพย์มนตรี แล้ว มีความคิดเห็นดงั นี้
1. เปน็ แผนการจดั การเรียนร้ทู ี่
 ดีมาก
 ดี
 พอใช้
 ควรปรบั ปรงุ
2. การจดั กิจรรมได้นำกระบวนการเรียนรู้
 เนน้ ผเู้ รยี นเปน็ สำคัญมาใชใ้ นการสอนได้อยา่ งเหมาะสม
 ยงั ไมเ่ น้นผู้เรียนเปน็ สำคัญ ควรปรับปรุงพัฒนาตอ่ ไป
3. เปน็ แผนการจดั การเรียนร้ทู ี่
 นำไปใชไ้ ดจ้ รงิ
 ควรปรับปรงุ กอ่ นนำไปใช้
4. ขอ้ เสนอแนะอ่ืนๆ

.............................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................

ลงชอ่ื ............................................รองผู้อำนวยการโรงเรียนกลมุ่ บรหิ ารวิชาการ
(นางอัมพร สงวนศักดิ์)

…………./……………./…………

ความคิดเหน็ ของผ้อู ำนวยการโรงเรยี นวเิ ชยี รมาตุ
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................

ลงช่ือ.............................................ผู้อำนวยการโรงเรียน
(นางยภุ า พรเศรษฐ์)

…………./……………./…………

กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นวเิ ชยี รมาตุ

รายวิชา คณิตศาสตรพ์ ้ืนฐาน รหัสวิชา ค31102

ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 4 ภาคเรยี นท่ี 2 ปกี ารศกึ ษา 2564

หนว่ ยการเรียนท่ี 1 ชอื่ หนว่ ยการเรียนรู้ หลกั การนบั เบอื้ งตน้ เวลารวม 20 คาบ

แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 12 เรอื่ งการเรยี งสบั เปลีย่ นเชิงเส้นของส่ิงของทแ่ี ตกตา่ งกนั ท้ังหมด เวลา 1 คาบ

ชอ่ื ครูผูส้ อน นางอุมาพร ทิพยม์ นตรี

1. มาตรฐานการเรียนรู/้ ตวั ช้วี ัด
มาตรฐานการเรยี นรู้
มาตรฐาน ค 3.2 เข้าใจหลกั การนับเบ้ืองต้น ความนา่ จะเป็น และนำไปใช้

ตัวชี้วัด
มาตรฐาน ค 3.2 ม.4/1 เข้าใจและใชห้ ลักการบวกและการคณู การเรยี งสบั เปล่ยี น และการจดั หมู่ในการ

แก้ปญั หา
2. จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

2.1 ด้านความรู้ (K)
2.1.1 อธิบายความหมายของการเรียงสบั เปลี่ยนเชิงเส้นของสิง่ ของทแี่ ตกตา่ งกันทัง้ หมด

2.2 ดา้ นทกั ษะ (P)
2.2.1 เขยี นแสดงวธิ กี ารหาการเรยี งสับเปลยี่ นเชิงเส้นของสงิ่ ของทีแ่ ตกตา่ งกันท้ังหมด

2.3 ด้านคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค์ (A)
2.3.1 ใฝ่เรยี นรู้

3. สมรรถนะสำคญั ของผู้เรียน (C)
 ความสามารถในการสือ่ สาร
 ความสามารถในการคิด
 ความสามารถในการแก้ปัญหา
 ความสามารถในการใชท้ กั ษะชีวิต
 ความสามารถในการใช้เทคโนโลยี

4. สาระสำคญั
ถา้ มีส่ิงของ n ส่ิง ซงึ่ แตกตา่ งกนั ทั้งหมด และต้องการนำมาจัดเรยี งในแนวเสน้ ตรงจำนวน r สิง่

(1 ≤ r ≤ n) ตำแหน่งที่จะจัดเรยี งมี r ตำแหนง่

ตำแหนง่ ท่ี 1 ตำแหนง่ ท่ี 2 ตำแหนง่ ที่ r

…

ตำแหนง่ ท่ี 1 มีวธิ นี ำส่งิ ของวางได้ n วธิ ี

ตำแหนง่ ที่ 2 แตล่ ะวิธีท่วี างสิ่งของในตำแหน่งท่ี 1 มวี ิธีนำสง่ิ ของวางในตำแหน่งท่ี 2 ได้ n − 1 วิธี

⋮⋮
ตำแหนง่ ที่ แต่ละวธิ ีที่วางสิง่ ของในตำแหนง่ ที่ 1 ถงึ ตำแหน่งที่ r − 1 มวี ิธีนำส่งิ ของวาง ในตำแหนง่ ที่ r ได้ n −

(r − 1) = n − r + 1 วิธี

ดังนั้นจำนวนวธิ ีเรยี งสบั เปลีย่ นสิ่งของ สง่ิ ท่ีแตกต่างกันท้ังหมด โดยจดั เรียงครั้งละ r สิง่ เทา่ กบั

n(n − 1) ⋯ (n − r + 1) = n(n − 1) ⋯ (n − r + 1) (n−r)! = n! วธิ ี
(n−r)! (n−r)!
เพื่อความสะดวกในการเขยี นจะกำหนดสญั ลกั ษณ์ Pn,r แทนจำนวนวิธีจดั เรียงสับเปลีย่ นของ

สิ่งของ n สง่ิ ทีแ่ ตกต่างกันทง้ั หมดโดยจดั เรียงคราวละ r ส่ิง (1 ≤ r ≤ n) จะไดว้ า่

=Pn,r n!
(n−r)!

ถา้ r = n

จะได้วา่ Pn,n = n!
(n−n)!

= n!
(0)!

= n!

5. สาระการเรียนรู้

ถ้ามีสิง่ ของ n สิง่ ซึง่ แตกตา่ งกันท้งั หมด และตอ้ งการนำมาจดั เรียงในแนวเสน้ ตรงจำนวน r สง่ิ

(1 ≤ r ≤ n) ตำแหน่งที่จะจัดเรียงมี r ตำแหน่ง

ตำแหนง่ ที่ 1 ตำแหน่งท่ี 2 ตำแหน่งที่ r

…

ตำแหน่งที่ 1 มวี ธิ นี ำสิ่งของวางได้ n วธิ ี

ตำแหนง่ ท่ี 2 แต่ละวธิ ีท่วี างส่งิ ของในตำแหนง่ ที่ 1 มวี ธิ นี ำสง่ิ ของวางในตำแหนง่ ท่ี 2 ได้ n − 1 วิธี

⋮⋮
ตำแหน่งท่ี แต่ละวธิ ีทีว่ างสงิ่ ของในตำแหน่งที่ 1 ถงึ ตำแหนง่ ที่ r − 1 มวี ิธนี ำสิง่ ของวาง ในตำแหนง่ ท่ี r ได้ n −

(r − 1) = n − r + 1 วธิ ี

ดังน้ันจำนวนวิธีเรียงสบั เปลีย่ นส่งิ ของ ส่งิ ทีแ่ ตกต่างกนั ทั้งหมด โดยจัดเรียงคร้งั ละ r สงิ่ เท่ากบั

วิธีn(n
− 1) ⋯ (n − r + 1) = n(n − 1) ⋯ (n − r + 1) (n−r)! = n!
(n−r)! (n−r)!

เพ่ือความสะดวกในการเขยี นจะกำหนดสัญลกั ษณ์ Pn,r แทนจำนวนวิธีจัดเรียงสบั เปลี่ยนของ

ส่งิ ของ n สง่ิ ที่แตกต่างกันทง้ั หมดโดยจดั เรียงคราวละ r สิง่ (1 ≤ r ≤ n) จะได้วา่

=Pn,r n!
(n−r)!

ถ้า r = n

จะได้วา่ Pn,n = n!
(n−n)!

= n!
(0)!

= n!

ตวั อย่างท่ี 1 ถา้ ตอ้ งการสร้างคำซ่งึ ใชอ้ ักษร 4 ตวั จากตัวอกั ษรในคำว่า MEDIANS จะสรา้ งได้กีค่ ำ

โดยทีค่ ำดงั กล่าวตอ้ งข้นึ ตน้ และลงดว้ ยท้ายพยัญชนะ แต่ไมจ่ ำเปน็ ตอ้ งมีความมีความหมาย

วธิ ีทำ เน่อื งจาก M E D I A N S ประกอบด้วย พยัญชนะ 4 ตัว

คือ M, D, N, S และสระ 3 ตัว คอื E, I, A

ข้นั ตอนท่ี 1 จัดเรียงพยญั ชนะในตำแหนง่ ต้นและทา้ ยได้ P4,2 วิธี
ขนั้ ตอนที่ 2 จดั เรียงตวั อักษรทเี่ หลือได้ P5,2 วธิ ี

ดงั นนั้ สามารถสร้างคำได้ P4,2 × P5,2 = 240 คำ
ตัวอยา่ งที่ 2 ถ้านำตัวอกั ษรจากคำว่า TRIANGLE มาจัดเป็นคำใหม่ โดยที่ คำนัน้ จะมีความหมายหรือไมก่ ็ไดถ้ า้

1) จะจัดเปน็ คำใหม่ได้ทั้งหมดกี่คำ
2) จะจัดเปน็ คำใหม่ได้ท้ังหมดกี่คำ ถา้ คำนัน้ ข้ึนตน้ ดว้ ย T และลงท้ายด้วย E
วธิ ีทำ 1) จะจัดเปน็ คำใหมไ่ ด้ทั้งหมดกค่ี ำ

เนอื่ งจาก TRIANGLE ประกอบด้วยตัวอักษร 8 ตัว แตกตา่ งกนั
ฉะนน้ั สามารถจดั เรยี งเป็นค่าใหมไ่ ด้ทั้งหมด 8! วิธี
2) จะจัดเป็นคำใหม่ได้ทง้ั หมดกคี่ ำ ถ้าคำนน้ั ขน้ึ ตน้ ดว้ ย T และลงทา้ ยดว้ ย E
ขัน้ ตอนท่ี 1 ข้ึนตน้ ดว้ ย T และลงทา้ ยด้วย Eจดั ได้ 1 วิธี
ขั้นตอนท่ี 2 ตำแหนง่ ท่ี 2-7 สามารถจดั เรียงตวั อกั ษรอกี 6 ตวั ได้ 6! วิธี
ดังนั้น สามารถสรา้ งเป็นคำใหมไ่ ด้ 1 × 6! = 720 คำ
โดยจำนวนคำทงั้ หมดมีอยู่ 7! จำนวน ดงั นั้น จำนวนคำท่ี S และ T ตอ้ งไมอ่ ยูต่ ิดกนั
มีทง้ั หมด 7!–6!2! = 3,600 วิธี
ตัวอยา่ งท่ี 3 จะมีกว่ี ธิ ีที่จะนำตัวอักษรจากคำวา่ “SECOND” มาจัดเป็นคำใหม่โดยมีเง่ือนไขว่า
สระตอ้ งอย่ใู นตำแหนง่ ท่เี ป็นจำนวนคเู่ สมอ
วิธีทำ พิจารณาตำแหนง่ ของตวั อกั ษร 1 2 3 4 5 6
เนื่องจาก “SECOND” มสี ระ 2 ตวั คือ E และ O
ขัน้ ตอนท่ี 1 จัดเรียงสระในตำแหนง่ ค่ไู ด้ P3,2วธิ ี
ขน้ั ตอนท่ี 2 จัดเรยี งตัวอกั ษรที่เหลือ 4 ตวั ได้ 4! วธิ ี
ดังน้นั จำนวนวธิ ที ี่จะทำได้ท้งั หมดคือ P3,2 × 4! = 144 วธิ ี

ตวั อย่างท่ี 4 มีจำนวนทีม่ คี ่ามากกวา่ 1,000,000 อยู่กี่จำนวน ถา้ สรา้ งมาจากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, โดยท่ีแตล่ ะ

หลกั เลขตอ้ งไมซ่ ำ้ กัน

วิธีทำ ตำแหน่งของตวั เลข 7 หลกั 1 2 3 4 5 6 7

วิธกี ารท่ี 1 ตำแหนง่ ท่ี 1 สามารถเลือกตัวเลขทีไ่ มใ่ ช่ 0 ลงได้ 6 วธิ ี

สว่ นตำแหน่งทเ่ี หลอื อีก 6 ตำแหน่ง สามารถจัดเรยี งตัวอักษร 6 ตวั ได้ 6! วิธี

ดงั นนั้ มีจำนวนดงั กล่าวอยทู่ ้งั หมด 6 × 6! = 4320 จำนวน

วธิ กี ารที่ 2 ตวั เลข 7 ตัว สามารถจัดเรยี งได้ 7! จำนวน

จำนวนตัวเลขทีม่ ีศูนย์ในตำแหนง่ แรกมีอยู่ 6! จำนวน

ดงั นั้นจำนวนทีม่ ากกว่า 1 ลา้ นมอี ยู่ 7! – 6! = 6.6! = 4320 จำนวน

ตวั อยา่ งที่ 5 มจี ำนวนที่มี 6 หลักกจ่ี ำนวนทหี่ ารด้วย 5 ไม่ลงตวั ถ้าจำนวนเหลา่ นน้ั สรา้ งจากเลขโดด

4, 5, 6, 7, 8, 9 โดยทีเ่ ลขแตล่ ะหลกั ตอ้ งไมซ่ ้ำกนั

วิธีทำ สามารถหาไดโ้ ดยคดิ จาก จำนวน 6 หลกั ทงั้ หมด ลบจำนวน 6 หลักท่ี 5 หารลงตวั

จำนวน 6 หลักทั้งหมดมอี ยู่ 6! จำนวน

จำนวน 6 หลกั ท่ี 5 หารลงตวั มอี ยู่ 5! จำนวน

ดงั นั้น จำนวน 6 หลักที่ 5 หารไมล่ งตัวมอี ยู่ 6! – 5! = 600 จำนวน

ตวั อย่างท่ี 6 ในการเลอื กหวั หนา้ รองหวั หน้า และเลขานุการ จากพนกั งานกลุม่ หนง่ึ ซง่ึ เปน็ ชาย 10 คน และหญิง 3 คน

ถ้าจำนวนวธิ ีเลือกสามตำแหนง่ นี้จากหนักงานทัง้ หมดเท่ากับ M วิธี และ จำนวนวิธีการเลือกโดยทั้งสามตำแหน่งนี้เปน็

ชายท้งั หมดหรือหญงิ ทัง้ หมดเท่ากบั N วิธี จงหาค่า M - N

วิธีทำ จำนวนวธิ เี ลอื กพนกั งานทั้งหมด = M = P13,3 = 13! = 1716
10!

จำนวนวธิ ีเลือกตำแหนง่ โดยเป็นพนกั งานชายท้ังหมดเท่ากับ P10,3 = 10! = 720 วธิ ี
7!

จำนวนวิธีเลอื กตำแหน่งโดยเป็นพนกั งานหญิงท้ังหมดเทา่ กบั P3,3=3! = 6 วธิ ี

ดงั นัน้ N = 720+6 =726 / ดังนน้ั M – N = 990 วธิ ี

6. ชน้ิ งานหรือภาระงาน
6.1 แบบฝึกหัดทา้ ยบทจากหนังสอื เรียนคณิตศาสตร์ ค31102

7. การจัดกิจกรรมการเรียนรู้
รูปแบบการจัดการเรยี นรู้แบบลงมือกระทำ(Active Learning) โดยใช้กิจกรรมการเรยี นรู้แบบรว่ มมือ

ขน้ั นำ
1. ครใู ห้นักเรียนทบทวนเนือ้ หาในชว่ั โมงท่แี ลว้ โดยให้ศึกษาตัวอยา่ งในหนังสือเรียนหนา้ 101

ร่วมกนั อภปิ รายและสรปุ ในตัวอยา่ ง
ขน้ั สอน
2. ครใู ห้นักเรียนแก้โจทย์ปญั หาในกระดาน จากน้ันร่วมกนั เฉลยดงั น้ี

ตวั อย่างท่ี 1 ถา้ ตอ้ งการสร้างคำซ่ึงใช้อักษร 4 ตัว จากตัวอกั ษรในคำว่า MEDIANS จะสรา้ งได้กค่ี ำ
โดยท่ีคำดงั กลา่ วตอ้ งขน้ึ ตน้ และลงด้วยท้ายพยัญชนะ แต่ไมจ่ ำเปน็ ต้องมีความมคี วามหมาย
วธิ ที ำ เนอื่ งจาก M E D I A N S ประกอบด้วย พยัญชนะ 4 ตัว

คอื M, D, N, S และสระ 3 ตวั คือ E, I, A
ข้ันตอนท่ี 1 จดั เรยี งพยัญชนะในตำแหนง่ ต้นและทา้ ยได้ P4,2 วิธี
ข้ันตอนที่ 2 จดั เรียงตัวอักษรท่เี หลือได้ P5,2 วิธี
ดังนัน้ สามารถสร้างคำได้ P4,2 × P5,2 = 240 คำ
ตัวอย่างท่ี 2 ถ้านำตวั อกั ษรจากคำว่า TRIANGLE มาจดั เป็นคำใหม่
โดยท่ี คำนัน้ จะมคี วามหมายหรอื ไม่กไ็ ด้ ถา้
1) จะจัดเป็นคำใหม่ได้ท้งั หมดกีค่ ำ
2) จะจัดเป็นคำใหม่ได้ทั้งหมดกี่คำ ถา้ คำนัน้ ข้นึ ตน้ ดว้ ย T และลงท้ายดว้ ย E

วธิ ที ำ 1) จะจดั เปน็ คำใหมไ่ ด้ทง้ั หมดกีค่ ำ
เน่อื งจาก TRIANGLE ประกอบดว้ ยตวั อกั ษร 8 ตัว แตกตา่ งกนั
ฉะนนั้ สามารถจัดเรยี งเปน็ ค่าใหมไ่ ด้ทัง้ หมด 8! วธิ ี

2) จะจัดเป็นคำใหม่ได้ท้ังหมดก่ีคำ ถ้าคำน้ันข้ึนตน้ ดว้ ย T และลงทา้ ยดว้ ย E
ข้นั ตอนท่ี 1 ข้ึนตน้ ดว้ ย T และลงท้ายด้วย Eจดั ได้ 1 วธิ ี
ขน้ั ตอนที่ 2 ตำแหน่งท่ี 2-7 สามารถจัดเรยี งตัวอักษรอกี 6 ตัวได้ 6! วิธี

ดงั นั้น สามารถสรา้ งเปน็ คำใหมไ่ ด้ 1 × 6! = 720 คำ
โดยจำนวนคำทั้งหมดมอี ยู่ 7! จำนวน ดงั นัน้ จำนวนคำที่ S และ T ตอ้ งไมอ่ ยตู่ ดิ กัน
มีทงั้ หมด 7!–6!2! = 3,600 วิธี
ตัวอย่างที่ 3 จะมกี ่วี ิธที ่ีจะนำตัวอกั ษรจากคำว่า “SECOND” มาจดั เปน็ คำใหม่โดยมีเงอื่ นไขวา่

สระต้องอยใู่ นตำแหน่งท่เี ป็นจำนวนคเู่ สมอ
วิธที ำ พิจารณาตำแหน่งของตัวอักษร 1 2 3 4 5 6

เนอ่ื งจาก “SECOND” มีสระ 2 ตวั คือ E และ O
ข้ันตอนที่ 1 จัดเรียงสระในตำแหนง่ คู่ได้ P3,2วธิ ี
ข้ันตอนท่ี 2 จัดเรยี งตวั อักษรท่ีเหลือ 4 ตวั ได้ 4! วธิ ี
ดงั นน้ั จำนวนวธิ ีทจี่ ะทำไดท้ ัง้ หมดคือ P3,2 × 4! = 144 วิธี
ตัวอย่างท่ี 4 มจี ำนวนทมี่ คี ่ามากกว่า 1,000,000 อยู่กีจ่ ำนวน ถา้ สรา้ งมาจากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, โดยทีแ่ ตล่ ะ
หลักเลขตอ้ งไม่ซำ้ กัน
วธิ ที ำ ตำแหน่งของตัวเลข 7 หลกั 1 2 3 4 5 6 7
วิธีการท่ี 1 ตำแหนง่ ท่ี 1 สามารถเลือกตวั เลขทไ่ี มใ่ ช่ 0 ลงได้ 6 วิธี
สว่ นตำแหน่งทีเ่ หลืออกี 6 ตำแหนง่ สามารถจัดเรยี งตวั อกั ษร 6 ตวั ได้ 6! วธิ ี
ดงั นั้นมีจำนวนดงั กล่าวอยทู่ ง้ั หมด 6 × 6! = 4320 จำนวน

วธิ ีการที่ 2 ตัวเลข 7 ตวั สามารถจัดเรียงได้ 7! จำนวน

จำนวนตัวเลขทีม่ ีศนู ย์ในตำแหนง่ แรกมอี ยู่ 6! จำนวน

ดังน้นั จำนวนทม่ี ากกวา่ 1 ล้านมอี ยู่ 7! – 6! = 6.6! = 4320 จำนวน

ตัวอยา่ งท่ี 5 มจี ำนวนทีม่ ี 6 หลักกจี่ ำนวนทีห่ ารดว้ ย 5 ไมล่ งตัว ถ้าจำนวนเหลา่ นั้นสรา้ งจากเลขโดด

4, 5, 6, 7, 8, 9 โดยทเ่ี ลขแต่ละหลกั ต้องไมซ่ ้ำกัน

วิธีทำ สามารถหาไดโ้ ดยคดิ จาก จำนวน 6 หลักท้ังหมด ลบจำนวน 6 หลกั ท่ี 5 หารลงตวั

จำนวน 6 หลักท้งั หมดมีอยู่ 6! จำนวน

จำนวน 6 หลักที่ 5 หารลงตัวมีอยู่ 5! จำนวน

ดังน้นั จำนวน 6 หลกั ท่ี 5 หารไม่ลงตวั มอี ยู่ 6! – 5! = 600 จำนวน

ตัวอยา่ งท่ี 6 ในการเลือกหวั หนา้ รองหัวหนา้ และเลขานุการ จากพนักงานกลุ่มหนง่ึ ซึ่งเปน็ ชาย 10 คน และหญิง 3 คน

ถ้าจำนวนวิธีเลอื กสามตำแหนง่ นีจ้ ากหนักงานทัง้ หมดเทา่ กบั M วิธี และ จำนวนวิธีการเลือกโดยทัง้ สามตำแหน่งนี้เปน็

ชายทั้งหมดหรอื หญงิ ทงั้ หมดเท่ากับ N วธิ ี จงหาคา่ M - N

วิธที ำ จำนวนวธิ เี ลอื กพนักงานท้ังหมด = M = P13,3 = 13! = 1716
10!

จำนวนวิธเี ลือกตำแหน่งโดยเป็นพนักงานชายท้งั หมดเทา่ กบั P10,3 = 10! = 720 วธิ ี
7!

จำนวนวธิ ีเลอื กตำแหน่งโดยเป็นพนกั งานหญิงทง้ั หมดเทา่ กับ P3,3=3! = 6 วธิ ี

ดงั น้นั N = 720+6 =726

ดงั น้นั M – N = 990 วิธี

ข้ันสรุป

3. ครใู ห้นกั เรียนทำแบบฝกึ หดั ทา้ ยบทจากหนงั สือเรียนคณติ ศาสตร์ ค31102 เปน็ การบา้ น

8. ศาสตรก์ ารสอน/สือ่ การสอน/แหลง่ เรียนรู้
8.1 การจดั การเรยี นรแู้ บบลงมอื กระทำ(Active Learning) โดยใช้กจิ กรรมการเรยี นรู้แบบรว่ มมือ
8.2 หนังสอื เรียนรายวิชาคณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน

9. การวดั และประเมินผล
9.1 การประเมินตามตวั ชว้ี ัดหรือผลการเรยี นร้/ู จดุ ประสงค์

ตัวชี้วัดหรอื ผลการ วธิ ีวัด เครอื่ งมือวดั และ เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน เกณฑ์การผ่าน
เรียนรู้/จุดประสงค์ และประเมินผล ประเมินผล

ความรู้ (K)

อธิบายความหมาย - ตรวจแบบฝกึ หดั ทา้ ย - แบบฝกึ หดั ท้าย ตอบถกู ได้ 1 คะแนน นักเรยี นทำใบกจิ กรรม
ของการเรยี ง บท บท ตอบผดิ ได้ 0 คะแนน หรอื แบบฝกึ หดั ได้ผ่าน
สบั เปลยี่ นเชิงเสน้ เกณฑอ์ ย่างน้อย70%
ของสิง่ ของท่ี
แตกตา่ งกันทัง้ หมด
ทกั ษะที่สำคัญ (P)

เขยี นแสดงวธิ ีการ สังเกตการแก้ปัญหา แบบสงั เกต ระดบั คุณภาพ ผ่านเกณฑ์คุณภาพ
การแก้ปัญหาทาง 3 (ด)ี ต้ังแตร่ ะดับ 2 ขน้ึ ไป
หาการเรียง ทางคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์ 2 (พอใช)้

สับเปลย่ี นเชงิ เส้น 1 (ปรับปรงุ )

ของส่งิ ของที่

แตกตา่ งกันทงั้ หมด

คุณลักษณะอันพึงประสงค์ (A)

ใฝ่เรียนรู้ -สงั เกตพฤตกิ รรมการ -แบบสังเกต ระดบั คณุ ภาพ ผ่านเกณฑ์คุณภาพ
ถาม การตอบ และ 3 (ดี) ตั้งแต่ระดับ 2 ข้นึ ไป
แสดงความคิดเหน็ 2 (พอใช)้
1 (ปรับปรงุ )

9.2 การประเมนิ สมรรถนะสำคญั

ประเดน็ การประเมนิ วิธีวัดและ เครื่องมอื วัดและประเมินผล เกณฑก์ ารให้คะแนน
ประเมนิ ผล

ความสามารถในการ สงั เกตความสามารถ แบบสังเกตความสามารถ พฤติกรรมบ่งช้ี
ในการแก้ปญั หา 3 (ดีเยย่ี ม)
แก้ปญั หา ในการแกป้ ัญหา 2 (ด)ี
1 (พอใช้/ผา่ นเกณฑ์)
0 (ปรับปรงุ /ไม่ผ่านเกณฑ)์

9.3 คุณลกั ษณะอนั พึงประสงค์

ประเดน็ การประเมิน วิธีวัดและ เครอื่ งมือวัดและ เกณฑ์การใหค้ ะแนน
ประเมนิ ผล ประเมนิ ผล
ระดับคณุ ภาพ
-ใฝ่เรยี นรู้ -สงั เกตพฤติกรรมการถาม -แบบสงั เกต 3 (ดี)
การตอบ และแสดงความ 2 (พอใช้)
คดิ เหน็ 1 (ปรบั ปรงุ )

9.4 การอา่ น คิด วิเคราะห์ และเขยี น

ประเด็นการประเมนิ วธิ วี ัดและ เครอ่ื งมอื วดั และ เกณฑ์การใหค้ ะแนน
ประเมินผล
ประเมนิ ผล ระดบั คุณภาพ
1. อา่ นและแปลความหมาย -สังเกตคุณภาพ 3 (ดี)
-แบบสังเกตคุณภาพ 2 (พอใช้)
ของโจทยป์ ญั หาได้ การอ่าน การอา่ น 1 (ปรบั ปรงุ )
การวเิ คราะห์
2. วิเคราะหข์ อ้ มลู จากโจทย์ การวิเคราะห์

ปญั หาได้

10. บนั ทกึ หลังสอน
ผลการจัดการเรียนรู้

นกั เรียนห้อง ................ มจี ำนวน....................คน
ผ่านจดุ ประสงคก์ ารเรียนรโู้ ดยรวม......................คน คิดเปน็ ร้อยละ..............................
ไม่ผา่ นจุดประสงค์การเรียนรูโ้ ดยรวม..................คน คดิ เปน็ ร้อยละ..............................
ไดแ้ กเ่ ลขท่ี...................................................................................................................................................................
นกั เรียนที่ไมผ่ า่ นการประเมินจุดประสงคด์ ้านความรู้ (K) จำนวน............................คน
ไดแ้ กเ่ ลขที่..................................................................................................................................................................
นักเรียนท่ไี ม่ผา่ นการประเมนิ จดุ ประสงค์ดา้ นทกั ษะ (P) จำนวน.............................คน
ไดแ้ ก่เลขที่.................................................................................................................................................................
นกั เรียนท่ีไมผ่ า่ นการประเมินจดุ ประสงคด์ า้ นคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค์ (A) จำนวน.............คน
ได้แก่เลขที่.................................................................................................................................................................
นักเรียนท่ไี ม่ผา่ นการประเมินสมรรถนะสำคัญของผู้เรียน (C) จำนวน............................คน
ได้แก่เลขท่ี.................................................................................................................................................................
ปญั หา/อปุ สรรค
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
แนวทางแก้ไข/ข้อเสนอแนะ
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................

ลงช่ือ..................................................ครูผู้สอน
(นางอุมาพร ทพิ ย์มนตรี)
ตำแหนง่ ครู
…………./……………./…………

ความเห็นของกรรมการตรวจแผนการจัดการเรียนรู้
.............................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................

ลงชือ่ .............................................................. ลงช่อื ..............................................................
(.......................................................) (นางปทั มา สุนทรนนท์)
กรรมการตรวจแผนการจัดการเรยี นรู้ หวั หนา้ กล่มุ สาระการเรียนรู้
…………./……………./………… …………./……………./…………

ความเห็นของหัวหนา้ สถานศึกษาหรือผู้ทไ่ี ด้รับมอบหมาย
ไดท้ ำการตรวจแผนการจัดการเรยี นรู้ของ นางอุมาพร ทิพย์มนตรี แล้ว มีความคิดเหน็ ดงั นี้
1. เปน็ แผนการจัดการเรียนรูท้ ี่
 ดมี าก
 ดี
 พอใช้
 ควรปรับปรุง
2. การจดั กิจกรรมไดน้ ำกระบวนการเรียนรู้
 เนน้ ผ้เู รียนเป็นสำคัญมาใช้ในการสอนได้อย่างเหมาะสม
 ยังไม่เน้นผ้เู รยี นเป็นสำคัญ ควรปรบั ปรุงพัฒนาต่อไป
3. เปน็ แผนการจดั การเรยี นรทู้ ่ี
 นำไปใชไ้ ด้จรงิ
 ควรปรบั ปรุงก่อนนำไปใช้
4. ขอ้ เสนอแนะอ่ืนๆ

.............................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................

ลงช่อื ............................................รองผอู้ ำนวยการโรงเรียนกล่มุ บรหิ ารวิชาการ
(นางอมั พร สงวนศกั ดิ์)

…………./……………./…………

ความคิดเห็นของผูอ้ ำนวยการโรงเรียนวเิ ชียรมาตุ
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................

ลงชอ่ื .............................................ผอู้ ำนวยการโรงเรียน
(นางยภุ า พรเศรษฐ์)

…………./……………./…………

กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นวเิ ชยี รมาตุ

รายวิชา คณิตศาสตรพ์ ้ืนฐาน รหัสวิชา ค31102

ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 4 ภาคเรยี นท่ี 2 ปกี ารศกึ ษา 2564

หนว่ ยการเรียนท่ี 1 ชอื่ หนว่ ยการเรียนรู้ หลกั การนบั เบอื้ งตน้ เวลารวม 20 คาบ

แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 13 เรอื่ งการเรยี งสบั เปลีย่ นเชิงเส้นของส่ิงของทแ่ี ตกตา่ งกนั ท้ังหมด เวลา 1 คาบ

ชอ่ื ครูผูส้ อน นางอุมาพร ทิพยม์ นตรี

1. มาตรฐานการเรียนรู/้ ตวั ช้วี ัด
มาตรฐานการเรยี นรู้
มาตรฐาน ค 3.2 เข้าใจหลกั การนับเบ้ืองต้น ความนา่ จะเป็น และนำไปใช้

ตัวชี้วัด
มาตรฐาน ค 3.2 ม.4/1 เข้าใจและใชห้ ลักการบวกและการคณู การเรยี งสบั เปล่ยี น และการจดั หมู่ในการ

แก้ปญั หา
2. จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

2.1 ด้านความรู้ (K)
2.1.1 อธิบายความหมายของการเรียงสบั เปลี่ยนเชิงเส้นของสิง่ ของทแี่ ตกตา่ งกันทัง้ หมด

2.2 ดา้ นทกั ษะ (P)
2.2.1 เขยี นแสดงวธิ กี ารหาการเรยี งสับเปลยี่ นเชิงเส้นของสงิ่ ของทีแ่ ตกตา่ งกันท้ังหมด

2.3 ด้านคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค์ (A)
2.3.1 ใฝ่เรยี นรู้

3. สมรรถนะสำคญั ของผู้เรียน (C)
 ความสามารถในการสือ่ สาร
 ความสามารถในการคิด
 ความสามารถในการแก้ปัญหา
 ความสามารถในการใชท้ กั ษะชีวิต
 ความสามารถในการใช้เทคโนโลยี

4. สาระสำคญั
ถา้ มีสงิ่ ของ n ส่ิง ซึ่งแตกต่างกนั ท้งั หมด และตอ้ งการนำมาจัดเรียงในแนวเสน้ ตรงจำนวน r สิ่ง

(1 ≤ r ≤ n) ตำแหน่งท่ีจะจดั เรยี งมี r ตำแหน่ง

ตำแหนง่ ที่ 1 ตำแหนง่ ท่ี 2 ตำแหนง่ ท่ี r

…

ตำแหน่งท่ี 1 มวี ิธนี ำสิง่ ของวางได้ n วธิ ี

ตำแหนง่ ท่ี 2 แตล่ ะวธิ ที ่วี างสงิ่ ของในตำแหน่งที่ 1 มวี ิธนี ำส่งิ ของวางในตำแหน่งที่ 2 ได้ n − 1 วิธี

⋮⋮
ตำแหน่งที่ แต่ละวิธที ่ีวางสิง่ ของในตำแหนง่ ท่ี 1 ถงึ ตำแหน่งที่ r − 1 มวี ิธีนำสงิ่ ของวาง ในตำแหนง่ ท่ี r ได้ n −

(r − 1) = n − r + 1 วิธี

ดงั นัน้ จำนวนวธิ เี รียงสบั เปล่ยี นสิ่งของ สงิ่ ที่แตกตา่ งกันทั้งหมด โดยจัดเรียงครัง้ ละ r สงิ่ เทา่ กับ

n(n − 1) ⋯ (n − r + 1) = n(n − 1) ⋯ (n − r + 1) (n−r)! = n! วิธี
(n−r)! (n−r)!
เพอื่ ความสะดวกในการเขยี นจะกำหนดสญั ลกั ษณ์ Pn,r แทนจำนวนวธิ ีจดั เรียงสบั เปลยี่ นของ

ส่งิ ของ n สงิ่ ทแ่ี ตกต่างกันท้ังหมดโดยจดั เรยี งคราวละ r ส่งิ (1 ≤ r ≤ n) จะได้ว่า

=Pn,r n!
(n−r)!

ถ้า r = n

จะไดว้ ่า Pn,n = n!
= (n−n)!
=
n!
(0)!

n!

5. สาระการเรียนรู้
ถา้ มสี ่งิ ของ n สงิ่ ซ่งึ แตกตา่ งกนั ทง้ั หมด และตอ้ งการนำมาจัดเรียงในแนวเสน้ ตรงจำนวน r สิง่

(1 ≤ r ≤ n) ตำแหนง่ ท่จี ะจัดเรียงมี r ตำแหน่ง

ตำแหนง่ ท่ี 1 ตำแหนง่ ท่ี 2 ตำแหน่งที่ r

…

ตำแหนง่ ที่ 1 มวี ธิ นี ำสิ่งของวางได้ n วธิ ี

ตำแหนง่ ท่ี 2 แตล่ ะวิธีทว่ี างสงิ่ ของในตำแหนง่ ท่ี 1 มีวธิ ีนำสง่ิ ของวางในตำแหน่งที่ 2 ได้ n − 1 วธิ ี

⋮⋮
ตำแหนง่ ท่ี แต่ละวิธที ี่วางสิ่งของในตำแหน่งที่ 1 ถงึ ตำแหน่งที่ r − 1 มวี ธิ นี ำสิ่งของวาง ในตำแหนง่ ที่ r ได้ n −

(r − 1) = n − r + 1 วิธี

ดงั นัน้ จำนวนวธิ ีเรียงสบั เปล่ียนสิง่ ของ สิ่ง ทีแ่ ตกต่างกันทง้ั หมด โดยจดั เรยี งครั้งละ r สงิ่ เทา่ กับ

n(n − 1) ⋯ (n − r + 1) = n(n − 1) ⋯ (n − r + 1) (n−r)! = n! วิธี
(n−r)! (n−r)!
เพอ่ื ความสะดวกในการเขียนจะกำหนดสัญลักษณ์ Pn,r แทนจำนวนวธิ ีจัดเรียงสบั เปล่ียนของ

ส่งิ ของ n สิ่งทแ่ี ตกต่างกันทั้งหมดโดยจัดเรยี งคราวละ r ส่งิ (1 ≤ r ≤ n) จะได้ว่า

=Pn,r n!
(n−r)!

ถา้ r = n

จะไดว้ า่ Pn,n = n!
= (n−n)!
=
n!
(0)!

n!

ตวั อย่างที่ 1 ในการต้งั รหสั สำหรับบตั ร ATM เดิมจะต้งั ได้ 4 ตัว แต่ในปัจจุบันให้ตั้งเป็น 6 ตวั

ถา้ ไม่ใช้เลขซ้ำกัน จงหาจำนวนรหัส ATM ทัง้ หมดทเี่ ปน็ ไปได้

วธิ ที ำ เลขโดดมีทงั้ หมด 10 ตัว ในปัจจุบนั ให้ต้ังรหสั ATM เป็น 6 ตัว

การต้ังรหสั ATM โดยไม่ใช้เลขซ้ำกนั เปน็ การนำเลข 6 ตัว มาเรียงสับเปล่ียนเชิงเสน้
10! 10!
นั่นคือ P10,6 = (10 – 6)! = 4!

= 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5

= 151,200 รหัส

ดงั นั้น รหัส ATM ท่ีเปน็ ไปไดท้ ัง้ หมด 151,200 รหัส

ตวั อย่างท่ี 2 มีเด็กชาย 3 คน เด็กหญิง 2 คน ในเดก็ หญิง 2 คนน้ี มีเดก็ หญงิ ออ้ รวมอยู่ด้วย นำเดก็ ทง้ั 5 คนนม้ี ายืนเรยี ง

เป็นแถวไดก้ ีว่ ธิ ี โดยมีเงอื่ นไขวา่ เดก็ หญงิ ออ้ ตอ้ งยนื หวั แถวหรือทา้ ยแถว

วิธีทำ กรณีที่ 1 : เดก็ หญงิ ออ้ ยนื หัวแถว

ตำแหนง่ ที่เหลอื สามารถจัดเรียงได้ 4! วิธี

กรณที ่ี 2 : เด็กหญิงออ้ ยนื ทา้ ยแถว

ตำแหน่งที่เหลอื สามารถจดั เรียงได้ 4! วิธี

ดงั น้นั จำนวนวธิ ีท้งั หมดเทา่ กับ4!+ 4! = 48 วิธี

ตัวอย่างที่ 3 มีชาย 3 คน และหญิง 2 คน จะมีกี่วิธีที่จะใหค้ นทัง้ 5 มายืนเป็นแถว โดยที่ชายทั้ง 3 คนยืนติดกัน และ

หญงิ 2 คนยืนตดิ กนั

วิธีทำ มดั ชาย 3 คน เป็น 1 มดั ภายในมัดจดั เรียงได้ 3! วธิ ี

มดั หญิง 2 คน เป็น 1 มดั ภายในมดั จัดเรียงได้ 2! วธิ ี

นำมัด 2 มดั มาจดั เรียงได้ 2! วธิ ี

ดังนั้น จำนวนวิธที ้งั หมดคือ 3! x 2! x 2! = 24 วิธี

ตัวอย่างท่ี 4 จงหาจำนวนวธิ ที ี่เป็นไปไดท้ ัง้ หมด ในการจัดให้ชาย 5 คน หญิง 4 คน นง่ั บนเกา้ อที้ ี่เรียง

เปน็ แถวตรง 9 ตัว โดยท่ไี ม่หญงิ 2 คนใดเลยนัง่ ตดิ กนั

วธิ ที ่ี 1 เนอื่ งจากผู้หญิงไมน่ ่ังติดกัน ดังนน้ั ให้ผชู้ ายนั่งก่อนแล้วใหผ้ ูห้ ญิงนงั่ แทรก

ชาย ชาย ชาย ชาย ชาย

หญิง หญิง หญิง หญงิ หญงิ หญงิ

จะเห็นว่าผู้หญงิ สามารถแทรกได้ 6 ตำแหน่งแต่เราจัดเรยี งเพยี ง 4 ตำแหนง่ เทา่ นนั้ .

ดังนนั้ สามารถจดั เรียงผหู้ ญิงได้

ทั้งหมด P6,4 = 6! = 360วธิ ี

2!

ดังนน้ั จำนวนวิธีที่สามารถทำได้ทั้งหมดคอื 360 x 120 = 43200 วิธี

วธิ ีท่ี 2 ข้นั ตอนท่ี 1 จัดผชู้ ายน่ังบนเก้าอ้ไี ด้ 5! วิธี

ขนั้ ตอนที่ 2 จดั ผู้หญงิ นงั่ เก้าอี้ได้ P6,4 = 5! ⋅ 6! = 43200 วธิ ี
2!

ตัวอยา่ งที่ 5 มีลกู บอลสแี ดง 4 ลูก สีขาว 4 ลูก และสีมว่ ง 4 ลูก ลกู บอลแต่ละลกู ไมเ่ หมอื นกนั ถา้ ต้องการจดั ลูกบอล

เปน็ แถวเรียงยาว จะจดั ได้กี่วิธี เม่ือลำดับตอ้ งเหมือนกบั ลำดบั ของชดุ แรก และ

1) ลกู บอลสลบั กนั ทีละ 1 ลกู

2) ลกู บอลสลบั กันทีละ 2 ลกู

วิธีทำ 1) ลูกบอลสลับกนั ทลี ะ 1 ลูก

ให้ ด, ข, ม แทนลกู บอลสีแดง สีขาวและสีมว่ ง ตามลำดบั

จัด ด, ข , ม ทำได้ 3! วธิ ี

จัดลูกบอลสแี ดง 4 ลกู ทำได้ 4! วิธี

จัดลูกบอลสขี าว 4 ลกู ทำได้ 4! วิธี

จัดลูกบอลสีมว่ ง 4 ลกู ทำได้ 4! วิธี

ดังน้ันจำนวนวิธีจดั เรียง 3!(4!)3 วิธี

2) ลูกบอลสลบั กนั ทีละ 2 ลูก

จดั ด, ข , ม ทำได้ 3! วิธี

จัดลกู บอลสแี ดง 4 ลกู ทำได้ 4! วธิ ี

จัดลกู บอลสขี าว 4 ลกู ทำได้ 4! วิธี

จัดลูกบอลสมี ว่ ง 4 ลกู ทำได้ 4! วธิ ี

ดังนั้นจำนวนวิธจี ัดเรยี ง 3!(4!)3 วธิ ี

ตัวอยา่ งท่ี 6 ชาย 3 คน และหญิง 2 คน มานงั่ บนเกา้ อ้ี 5 ตัวเรียงแถวยาวจะมีวธิ กี ารนง่ั ท้ังหมดกี่วธิ ี เมื่อ

1) เพศเดยี วกันนั่งติดกัน

2) หญิง 2 คน นั่งติดกนั

3) ชาย 3 คน นงั่ ตดิ กนั

4) ชายและหญิงน่ังสลบั กนั ทีล่ ะคน

วิธที ำ 1) เพศเดียวกันน่งั ตดิ กนั

ชชช ญญ

ชาย 3 คน คดิ เปน็ 1 คน และหญงิ 2 คน คดิ เปน็ 1 คน

ดงั นนั้ ชายและหญิง มีวิธเี รยี งสับเปลี่ยน ทำได้ 2! = 2 วธิ ี

ในแตล่ ะวิธขี องชาย 3 คน ท่ีนั่งตดิ กันจะมวี ธิ เี รยี งสบั เปลี่ยน ทำได้ 3! = 6 วิธี

ในแตล่ ะวิธีของหญิง 2 คน ที่น่ังติดกันจะมวี ิธเี รยี งสับเปลยี่ น ทำได้ 2! = 2 วธิ ี

ดังนนั้ จำนวนวธิ กี ารนงั่ = 2!3!2! = 24 วธิ ี

2) หญิง 2 คน นง่ั ติดกัน

ญญ ชชช

หญิง 2 คน คิดเปน็ 1 คน ดงั นัน้ ช / ญ ท้งั 5 คน คดิ เปน็ 4 คน

คน 4 คน มวี ธิ ีเรียงสับเปลี่ยน ทำได้ 4! วิธี

ในแต่ละวธิ ขี องหญิง 2 คน จะมีวธิ ีเรยี งสบั เปล่ยี น ทำได้ 2! วิธี

ดังนนั้ จำนวนวิธกี ารนั่ง ทำได้ 2!4! = 48 วิธี

3) ชาย 3 คน นงั่ ตดิ กัน

ชชช ญญ

ชาย 3 คน คดิ เป็น 1 คน ดงั นน้ั ช / ญ ทง้ั 5 คน คดิ เป็น 3 คน

คน 3 คน มีวิธเี รยี งสบั เปลี่ยน ทำได้ 3! วิธี

ในแต่ละวิธีของหญงิ 3 คน จะมวี ิธเี รยี งสับเปล่ยี น ทำได้ 3! วิธี

ดังนั้น จำนวนวิธกี ารนง่ั ทำได้ 3!3! = 36 วธิ ี

4. ชายและหญงิ นงั่ สลับกันท่ลี ะคน

ชญชญช

ชาย 3 คนมวี ธิ ีเรียงสับเปล่ยี น ทำได้ 3! วิธี

ชาย 2 คนมวี ิธเี รียงสบั เปล่ียน ทำได้ 2! วิธี

ดังนนั้ จำนวนวธิ กี ารนง่ั ทำได้ 3!2! = 12 วิธี

สรปุ 1) Pn,r แทนจำนวนวิธีจัดเรียงสบั เปลยี่ นของสงิ่ ของ n ส่งิ ท่ีแตกต่างกนั ท้งั หมดโดยจดั เรยี งคราวละ r สิง่ (1 ≤
r ≤ n) จะได้ว่า

Pn,r = n!
(n−r)!

2) ถ้ามีสิง่ ของทีแ่ ตกต่างกนั 2 ชดุ แต่ละชดุ มีส่ิงของท่ีแตกต่างกัน n สง่ิ นำสิ่งของท้งั 2ชุดมาวางเรียงกันเป็น

แถวยาวและให้วางสลับกันระหว่าง 2 ชดุ นัน้ โดยจะสลบั กันทีละ r สิง่ จะไดว้ า่

จำนวนวิธีเท่ากบั 2! × n! × n! วธิ ี

3) ถ้ามีสิ่งของที่แตกต่างกัน m ชุด แต่ละชุดมีสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่ง ต้องการจัดสิ่งของทั้งหมดเป็นแถว

สลบั กนั ทีละ r ส่งิ โดยทล่ี ำดบั ตอ้ งเหมือนกบั ลำดับของชุดแรก

จำนวนวธิ เี ทา่ กับ m! × (n!)m วธิ ี

6. ชิน้ งานหรือภาระงาน

6.1 ใบงานท่ี 7 เร่ืองการเรยี งสบั เปล่ยี นเชิงเส้น

7. การจัดกิจกรรมการเรยี นรู้
รูปแบบการจัดการเรียนรแู้ บบลงมือกระทำ(Active Learning) โดยใช้กิจกรรมการเรียนรู้แบบร่วมมอื

ข้ันนำ
1. ครูทบทวนเน้อื หาในช่วั โมงทแ่ี ล้ว โดยยกตวั อยา่ งโจทย์ในกระดานจำนวน 1 ข้อ แล้วสมุ่ เลขท่นี ักเรยี นออกมา

ทำใหก้ ระดาน

ตัวอยา่ งท่ี 1 ในการตั้งรหสั สำหรับบัตร ATM เดิมจะตงั้ ได้ 4 ตวั แต่ในปัจจุบนั ให้ตั้งเปน็ 6 ตวั

ถา้ ไมใ่ ช้เลขซ้ำกัน จงหาจำนวนรหัส ATM ทงั้ หมดที่เป็นไปได้

วธิ ีทำ เลขโดดมีทัง้ หมด 10 ตัว ในปัจจุบันให้ตง้ั รหัส ATM เปน็ 6 ตวั

การตง้ั รหัส ATM โดยไม่ใช้เลขซ้ำกัน เป็นการนำเลข 6 ตัว มาเรียงสับเปล่ียนเชงิ เสน้
10! 10!
นนั่ คือ P10, 6 = (10 – 6)! = 4!

= 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5

= 151,200 รหัส

ดงั น้นั รหสั ATM ที่เป็นไปไดท้ ้งั หมด 151,200 รหัส

ขน้ั สอน

2. ครูและนักเรียนร่วมกันแก้โจทย์ปัญหา โดยครูคอยให้คำแนะนำชี้แนะแก่นักเรียนเพื่อให้นักเรียนสามรถแก้

โจทย์ปัญหาได้ หากโจทย์ปัญหาใดเป็นปญั หาของนักเรียนส่วนใหญ่ ครูนำปัญหานัน้ มานำเสนอหน้าชั้นและให้นกั เรยี น

ชว่ ยกันแก้ปญั หาในบางปัญหาครูอาจนำเสนอวธิ ีการแก้ปญั หามากกว่า 1 วธิ ี เพ่อื เป็นการให้นกั เรียนสามารถตรวจสอบ

คำตอบได้

ตัวอยา่ งท่ี 2 มเี ด็กชาย 3 คน เด็กหญงิ 2 คน ในเด็กหญงิ 2 คนน้ี มีเดก็ หญงิ อ้อรวมอย่ดู ว้ ย นำเดก็ ทงั้ 5 คนนม้ี ายนื เรยี ง

เปน็ แถวได้กี่วธิ ี โดยมเี งอื่ นไขว่า เดก็ หญิงอ้อต้องยนื หัวแถวหรอื ท้ายแถว

วธิ ีทำ กรณีท่ี 1 : เด็กหญงิ อ้อยืนหัวแถว

ตำแหน่งทีเ่ หลือสามารถจดั เรียงได้ 4! วิธี

กรณีที่ 2 : เดก็ หญิงอ้อยืนท้ายแถว

ตำแหน่งท่เี หลือสามารถจัดเรียงได้ 4! วธิ ี

ดังนั้นจำนวนวิธีทัง้ หมดเทา่ กบั 4!+ 4! = 48 วิธี

ตัวอย่างที่ 3 มีชาย 3 คน และหญิง 2 คน จะมีกี่วิธีที่จะใหค้ นทัง้ 5 มายืนเป็นแถว โดยที่ชายทั้ง 3 คนยืนติดกัน และ

หญงิ 2 คนยืนตดิ กัน

วธิ ีทำ มดั ชาย 3 คน เป็น 1 มดั ภายในมดั จดั เรียงได้ 3! วิธี

มดั หญิง 2 คน เปน็ 1 มัด ภายในมดั จัดเรียงได้ 2! วิธี

นำมดั 2 มัด มาจัดเรยี งได้ 2! วิธี

ดังนนั้ จำนวนวิธีทั้งหมดคือ 3! x 2! x 2! = 24 วิธี

ตวั อยา่ งที่ 4 จงหาจำนวนวธิ ีท่เี ปน็ ไปไดท้ ั้งหมด ในการจัดใหช้ าย 5 คน หญิง 4 คน นัง่ บนเกา้ อ้ที ่ีเรยี ง

เปน็ แถวตรง 9 ตวั โดยท่ีไม่หญิง 2 คนใดเลยน่งั ตดิ กัน

วธิ ที ี่ 1 เนอื่ งจากผหู้ ญิงไม่นัง่ ติดกัน ดังน้นั ใหผ้ ชู้ ายนง่ั ก่อนแลว้ ให้ผู้หญงิ น่งั แทรก

ชาย ชาย ชาย ชาย ชาย

หญงิ หญงิ หญงิ หญิง หญงิ หญงิ

จะเหน็ ว่าผู้หญิงสามารถแทรกได้ 6 ตำแหนง่ แตเ่ ราจดั เรียงเพยี ง 4 ตำแหนง่ เท่านน้ั .

ดังนนั้ สามารถจดั เรยี งผูห้ ญิงได้

ทงั้ หมด P6,4 = 6!= 360วิธี

2!

ดงั นั้นจำนวนวธิ ที สี่ ามารถทำได้ทั้งหมดคือ 360 x 120 = 43200 วิธี

วธิ ที ่ี 2 ขน้ั ตอนท่ี 1 จดั ผชู้ ายนงั่ บนเก้าอ้ไี ด้ 5! วธิ ี

ขนั้ ตอนที่ 2 จัดผ้หู ญงิ นัง่ เกา้ อ้ีได้ P6,4 = 5! ⋅ 6! = 43200 วธิ ี
2!

ตวั อยา่ งท่ี 5 มีลกู บอลสีแดง 4 ลกู สีขาว 4 ลูก และสมี ว่ ง 4 ลูก ลกู บอลแต่ละลกู ไมเ่ หมอื นกัน ถ้าต้องการจัดลกู บอล

เปน็ แถวเรยี งยาว จะจดั ได้กี่วธิ ี เมอ่ื ลำดับตอ้ งเหมือนกับลำดบั ของชดุ แรก และ

1) ลูกบอลสลบั กนั ทลี ะ 1 ลกู

2) ลกู บอลสลบั กันทีละ 2 ลกู

วธิ ีทำ 1) ลกู บอลสลับกันทีละ 1 ลูก

ให้ ด, ข, ม แทนลกู บอลสีแดง สีขาวและสีม่วง ตามลำดบั

จดั ด, ข , ม ทำได้ 3! วิธี

จัดลูกบอลสีแดง 4 ลูก ทำได้ 4! วธิ ี

จดั ลูกบอลสขี าว 4 ลกู ทำได้ 4! วธิ ี

จดั ลกู บอลสมี ่วง 4 ลูก ทำได้ 4! วธิ ี

ดังนั้นจำนวนวธิ ีจดั เรียง 3!(4!)3 วิธี

2) ลูกบอลสลับกันทลี ะ 2 ลูก

จดั ด, ข , ม ทำได้ 3! วธิ ี

จัดลูกบอลสแี ดง 4 ลกู ทำได้ 4! วธิ ี

จัดลกู บอลสีขาว 4 ลกู ทำได้ 4! วิธี

จัดลกู บอลสมี ว่ ง 4 ลูก ทำได้ 4! วิธี

ดังนัน้ จำนวนวธิ ีจดั เรียง 3!(4!)3 วิธี

ตวั อย่างท่ี 6 ชาย 3 คน และหญิง 2 คน มาน่ังบนเก้าอ้ี 5 ตัวเรยี งแถวยาวจะมวี ิธกี ารน่งั ท้งั หมดก่วี ิธี เม่อื 1)

เพศเดียวกันนง่ั ติดกัน

2) หญงิ 2 คน น่งั ติดกนั

3) ชาย 3 คน น่ังตดิ กัน

4) ชายและหญงิ นัง่ สลับกนั ท่ลี ะคน

วิธที ำ 1) เพศเดียวกนั น่งั ตดิ กนั

ชชช ญญ

ชาย 3 คน คิดเป็น 1 คน และหญงิ 2 คน คิดเปน็ 1 คน

ดงั นน้ั ชายและหญิง มีวธิ ีเรียงสบั เปลี่ยน ทำได้ 2! = 2 วธิ ี

ในแตล่ ะวธิ ขี องชาย 3 คน ทีน่ งั่ ตดิ กนั จะมีวธิ ีเรยี งสับเปล่ยี น ทำได้ 3! = 6 วธิ ี
ในแตล่ ะวิธีของหญงิ 2 คน ท่ีนงั่ ตดิ กันจะมีวธิ ีเรยี งสับเปลย่ี น ทำได้ 2! = 2 วธิ ี
ดงั น้ัน จำนวนวธิ กี ารนั่ง = 2!3!2! = 24 วิธี
2) หญงิ 2 คน น่งั ติดกัน

ญญ ชชช
หญงิ 2 คน คดิ เป็น 1 คน ดังน้นั ช / ญ ทง้ั 5 คน คดิ เป็น 4 คน
คน 4 คน มีวิธเี รียงสับเปลี่ยน ทำได้ 4! วธิ ี
ในแต่ละวธิ ีของหญงิ 2 คน จะมวี ธิ ีเรยี งสับเปลีย่ น ทำได้ 2! วิธี
ดังน้นั จำนวนวิธกี ารนั่ง ทำได้ 2!4! = 48 วิธี
3) ชาย 3 คน นั่งตดิ กัน

ชชช ญญ
ชาย 3 คน คดิ เปน็ 1 คน ดงั นัน้ ช / ญ ท้ัง 5 คน คดิ เป็น 3 คน
คน 3 คน มีวิธีเรยี งสบั เปล่ียน ทำได้ 3! วธิ ี
ในแตล่ ะวิธขี องหญงิ 3 คน จะมีวิธเี รียงสับเปลยี่ น ทำได้ 3! วิธี
ดังน้นั จำนวนวธิ กี ารน่งั ทำได้ 3!3! = 36 วิธี
4. ชายและหญิงนงั่ สลับกนั ทีล่ ะคน
ชญชญช
ชาย 3 คนมีวิธีเรยี งสบั เปลยี่ น ทำได้ 3! วิธี
ชาย 2 คนมวี ิธเี รียงสบั เปลย่ี น ทำได้ 2! วธิ ี
ดังนน้ั จำนวนวิธกี ารนง่ั ทำได้ 3!2! = 12 วิธี
ขน้ั สรุป

3. ครแู ละนกั เรียนร่วมกนั สรุปเนอ้ื หาเร่อื งการเรยี งสบั เปล่ยี นดงั น้ี

1) Pn,r แทนจำนวนวิธีจัดเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมดโดยจัดเรียงคราวละ r ส่ิง
(1 ≤ r ≤ n) จะไดว้ ่า

Pn,r = n!
(n−r)!

2) ถ้ามีสง่ิ ของทแ่ี ตกต่างกนั 2 ชดุ แต่ละชดุ มสี ิ่งของท่ีแตกตา่ งกัน n สง่ิ นำส่งิ ของทงั้ 2ชุดมาวางเรียงกันเป็น

แถวยาวและให้วางสลบั กันระหวา่ ง 2 ชุดน้นั โดยจะสลบั กนั ทีละ r สิง่ จะได้ว่า

จำนวนวิธเี ทา่ กบั 2! × n! × n! วธิ ี

3) ถ้ามีสิ่งของที่แตกต่างกัน m ชุด แต่ละชุดมีสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่ง ต้องการจัดสิ่งของทั้งหมดเป็นแถว

สลบั กนั ทลี ะ r สงิ่ โดยท่ลี ำดับต้องเหมอื นกับลำดับของชุดแรก

จำนวนวิธีเทา่ กับ m! × (n!)m วิธี

4. ครใู หน้ กั เรียนทำใบงานท่ี 7 เร่อื งการเรยี งสบั เปลยี่ นเชงิ เสน้ เป็นการบา้ น

8. ศาสตรก์ ารสอน/สือ่ การสอน/แหลง่ เรยี นรู้
8.1 การจดั การเรียนรแู้ บบลงมอื กระทำ(Active Learning) โดยใช้กิจกรรมการเรียนร้แู บบร่วมมอื
8.2 ใบงานที่ 7 เรือ่ งการเรียงสบั เปลีย่ นเชิงเสน้

9. การวัดและประเมินผล
9.1 การประเมนิ ตามตวั ชวี้ ัดหรอื ผลการเรยี นรู้/จดุ ประสงค์

ตวั ชีว้ ัดหรือผลการ วิธวี ดั เคร่อื งมอื วัดและ เกณฑ์การใหค้ ะแนน เกณฑ์การผา่ น
เรยี นร้/ู จุดประสงค์ และประเมินผล ประเมนิ ผล

ความรู้ (K)

อธบิ ายความหมาย - ตรวจใบงานท่ี 7 - ใบงานท่ี 7 ตอบถูกได้ 1 คะแนน นกั เรยี นทำใบกิจกรรม
ของการเรยี ง
สบั เปล่ียนเชิงเสน้ ตอบผิดได้ 0 คะแนน หรือแบบฝกึ หัดได้ผ่าน
ของสง่ิ ของท่ี เกณฑอ์ ยา่ งนอ้ ย70%
แตกตา่ งกันทง้ั หมด
ทักษะท่สี ำคัญ (P)

เขียนแสดงวธิ ีการ สังเกตการแก้ปัญหา แบบสงั เกต ระดบั คุณภาพ ผ่านเกณฑ์คุณภาพ
การแก้ปัญหาทาง 3 (ด)ี ตั้งแตร่ ะดับ 2 ขึ้นไป
หาการเรยี ง ทางคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์ 2 (พอใช้)

สับเปลี่ยนเชงิ เส้น 1 (ปรับปรงุ )

ของส่ิงของที่

แตกต่างกันท้ังหมด

คณุ ลักษณะอันพงึ ประสงค์ (A)

ใฝเ่ รยี นรู้ -สังเกตพฤตกิ รรมการ -แบบสังเกต ระดับคณุ ภาพ ผ่านเกณฑ์คุณภาพ
ถาม การตอบ และ 3 (ด)ี ต้ังแตร่ ะดับ 2 ขน้ึ ไป
แสดงความคิดเหน็ 2 (พอใช้)
1 (ปรบั ปรงุ )

9.2 การประเมินสมรรถนะสำคญั

ประเด็นการประเมนิ วธิ ีวดั และ เคร่อื งมือวดั และประเมนิ ผล เกณฑ์การให้คะแนน
ประเมินผล

ความสามารถในการ สังเกตความสามารถ แบบสงั เกตความสามารถ พฤติกรรมบ่งชี้
ในการแกป้ ญั หา 3 (ดเี ยยี่ ม)
แกป้ ัญหา ในการแก้ปัญหา 2 (ดี)
1 (พอใช/้ ผา่ นเกณฑ์)
0 (ปรับปรงุ /ไมผ่ ่านเกณฑ)์

9.3 คุณลกั ษณะอันพงึ ประสงค์

ประเดน็ การประเมนิ วธิ วี ัดและ เครือ่ งมือวัดและ เกณฑ์การให้คะแนน
ประเมนิ ผล ประเมินผล
ระดับคณุ ภาพ
-ใฝ่เรยี นรู้ -สงั เกตพฤตกิ รรมการถาม -แบบสังเกต 3 (ดี)
การตอบ และแสดงความ 2 (พอใช)้
คิดเห็น 1 (ปรบั ปรุง)

9.4 การอา่ น คิด วเิ คราะห์ และเขยี น

ประเด็นการประเมิน วธิ วี ดั และ เครอ่ื งมอื วัดและ เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน
ประเมนิ ผล
ประเมินผล ระดบั คุณภาพ
1. อา่ นและแปลความหมาย -สงั เกตคุณภาพ 3 (ดี)
-แบบสังเกตคุณภาพ 2 (พอใช)้
ของโจทยป์ ัญหาได้ การอา่ น การอ่าน 1 (ปรบั ปรุง)
การวเิ คราะห์
2. วเิ คราะหข์ ้อมลู จากโจทย์ การวเิ คราะห์

ปัญหาได้

10. บนั ทกึ หลังสอน
ผลการจัดการเรียนรู้

นกั เรียนห้อง ................ มจี ำนวน....................คน
ผ่านจดุ ประสงคก์ ารเรียนรโู้ ดยรวม......................คน คิดเปน็ รอ้ ยละ..............................
ไม่ผา่ นจุดประสงค์การเรียนรู้โดยรวม..................คน คดิ เป็นรอ้ ยละ..............................
ไดแ้ กเ่ ลขท่ี...................................................................................................................................................................
นกั เรียนที่ไมผ่ า่ นการประเมินจุดประสงค์ดา้ นความรู้ (K) จำนวน............................คน
ไดแ้ กเ่ ลขที่..................................................................................................................................................................
นักเรียนท่ไี ม่ผา่ นการประเมนิ จดุ ประสงคด์ า้ นทกั ษะ (P) จำนวน.............................คน
ไดแ้ ก่เลขที่.................................................................................................................................................................
นกั เรียนท่ีไมผ่ า่ นการประเมินจดุ ประสงคด์ า้ นคุณลักษณะอันพงึ ประสงค์ (A) จำนวน.............คน
ได้แก่เลขที่.................................................................................................................................................................
นักเรียนท่ไี ม่ผา่ นการประเมินสมรรถนะสำคัญของผูเ้ รียน (C) จำนวน............................คน
ได้แก่เลขท่ี.................................................................................................................................................................
ปญั หา/อปุ สรรค
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
แนวทางแก้ไข/ข้อเสนอแนะ
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................

ลงชอื่ ..................................................ครูผู้สอน
(นางอุมาพร ทพิ ยม์ นตรี)
ตำแหนง่ ครู
…………./……………./…………

ความเห็นของกรรมการตรวจแผนการจัดการเรียนรู้
.............................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................

ลงชือ่ .............................................................. ลงช่ือ..............................................................
(.......................................................) (นางปัทมา สุนทรนนท์)
กรรมการตรวจแผนการจัดการเรยี นรู้ หวั หนา้ กลุ่มสาระการเรยี นรู้
…………./……………./………… …………./……………./…………

ความเหน็ ของหัวหน้าสถานศึกษาหรือผทู้ ี่ไดร้ ับมอบหมาย
ได้ทำการตรวจแผนการจดั การเรียนร้ขู อง นางอมุ าพร ทพิ ยม์ นตรี แลว้ มคี วามคดิ เหน็ ดังนี้
1. เป็นแผนการจัดการเรยี นรูท้ ี่
 ดีมาก
 ดี
 พอใช้
 ควรปรบั ปรุง
2. การจดั กิจกรรมไดน้ ำกระบวนการเรยี นรู้
 เนน้ ผู้เรยี นเป็นสำคญั มาใชใ้ นการสอนไดอ้ ย่างเหมาะสม
 ยังไม่เนน้ ผู้เรียนเปน็ สำคญั ควรปรับปรุงพฒั นาต่อไป
3. เปน็ แผนการจดั การเรียนรทู้ ี่
 นำไปใชไ้ ดจ้ ริง
 ควรปรับปรงุ กอ่ นนำไปใช้
4. ข้อเสนอแนะอน่ื ๆ

.............................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................

ลงช่อื ............................................รองผ้อู ำนวยการโรงเรยี นกล่มุ บรหิ ารวชิ าการ
(นางอมั พร สงวนศักด์ิ)

…………./……………./…………

ความคดิ เห็นของผอู้ ำนวยการโรงเรยี นวเิ ชยี รมาตุ
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................

ลงชอื่ .............................................ผู้อำนวยการโรงเรียน
(นางยุภา พรเศรษฐ์)

…………./……………./…………