หนังสือเรียนสาระความรู้ พื้นฐาน รายวิชา คณิตศาสตร์ (พค31001) ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย (ฉบับปรับปรุง 2560)

44

3.1 การหาจาํ นวนสมาชกิ ของเซตจาํ กดั
 ถาเซต A และ B ไมมสี มาชกิ รวมกันจะได
n (A  B) = n (A) + n (B)

 ถาเซต A และ B มสี มาชิกบางตวั รว มกนั จะได
n (A  B) = n (A) + n (B) – n (A  B)

พิจารณาจากรปู ตวั เลขในภาพแสดงจํานวนสมาชิกเซต

จะได 1) n (A) = 16 2) n (B) = 18

2) n (A  B) = 6 4) n (A  B) = 28

5) n ( A/ ) = 12 6) n ( B / ) = 10

7) n (A  B)/ = 22 8) n ( A/  B/ ) = 22

ตัวอยางที่ 3 กําหนดให A มีสมาชิก 15 ตัว B มีสมาชิก 12 ตวั A  B
มสี มาชกิ 7 ตวั จงหาจํานวนสมาชิกของ A  B

วิธีทํา
n (A) = 15 , n (B) = 12 , n (A  B ) = 7
จากสูตร n ( A  B ) = n ( A ) + n (B) - n ( A  B) = 15 + 12 – 7 = 20
ดงั น้นั จํานวนสมาชกิ ของ A  B เทา กบั 20 ตวั

45

ตัวอยางท่ี 4 กําหนดให A และ B เปนสับเซตของ U โดยท่ี U = ( 1 , 2 , 3 , . . . , 10 }
ถา n (A/  B/ ) = 5 , n (A/ ) = 3 , n (B) = 6 แลว จงหา n ( A  B) /

วิธที ํา
จาก n ( U ) = 10 , n (A/  B/ ) = 5 , n (A/ ) = 3 , n (B) = 6
n (A  B) = n (A  B/)  n ( A  B) = 10 – 5 = 5
n (A) = 10 – 3 = 7
n ( A  B ) = n ( A ) + n (B) - n ( A  B)
n(A  B) = 7+6–5 = 8

 n ( A  B) / = 10 - 8 = 2

 ถา เซต A เซต B และเซต C มสี มาชิกบางตัวรวมกนั

n (A  B  C ) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A  B) – n (B  C) - n (A  C) + n (A  B  C)

ตัวอยางท่ี 5 พิจารณาจากรูป ตัวเลขในภาพแสดงจํานวนสมาชกิ ของเซต

จะได = 60
1) n (U) = 26
2) n (A) =7
3) n (B  C) =8
4) n (A  C) =3
5) n (A  B  C )

46

3.2 การนาํ เซตไปใชในการแกป ญ หา
การแกป ญ หาโจทยโดยใชค วามรูเ ร่ืองเซต สิง่ ท่ีนาํ มาใชประโยชนม ากกค็ อื การเขียนแผน
ภาพเวนน - ออยเลอร และนําความรเู รอ่ื งสมาชิกของเซตจาํ กดั ดงั ที่จะศกึ ษารายละเอียดตอไปนี้

ตัวอยา งท่ี 1 บริษัทแหง หนง่ึ มีพนักงาน 80 คน พบวา พนักงาน 18 คนมีรถยนต พนกั งาน 23 คน
มบี า นเปน ของตวั เอง และพนกั งาน 9 คน มบี านของตัวเองและรถยนต
จงหา
1) จาํ นวนพนกั งานทงั้ หมดทีม่ รี ถยนตห รือมีบานเปนของตวั เอง
2) จํานวนพนกั งานทีไ่ มม รี ถยนตห รือบา นของตวั เอง

วธิ ีทาํ ให A แทนเซตของพนกั งานท่ีมีรถยนต
B แทนเซตของพนักงานทีม่ บี านเปน ของตวั เอง

เขยี นจาํ นวนพนักงานที่สอดคลองกบั ขอมลู ลงในแผนภาพไดดังน้ี

1) n (A) = 18 , n (B) = 23 , n (A  B) = 9
พิจารณา n (A  B) = n(A) + n(B) - n (A  B) = 18 + 23 – 9 = 32
ดังน้นั จาํ วนพนักงานที่มรี ถยนตหรอื มีบานของตวั เองเปน 32 คน

2) เนือ่ งจากพนักงานท้งั หมด 80 คน
นนั่ คอื พนกั งานทไี่ มมรี ถยนตห รือบา นของตวั เอง = 80 - 32 = 48 คน
ดงั นนั้ พนกั งานทไี่ มมรี ถยนตห รือบานของตัวเองเปน 48 คน

47

ตวั อยางท่ี 2 ในการสํารวจเกย่ี วกับความชอบของนักศกึ ษา 100 คน พบวา นกั ศึกษาท่ีชอบเรยี น
คณติ ศาสตร 52 คน นกั ศกึ ษาที่ชอบเรยี นภาษาไทย 60 คน นกั ศกึ ษาทไ่ี มชอบเรยี น
คณติ ศาสตรและไมชอบเรียนภาษาไทยมี 14 คน จงหานักศกึ ษาทช่ี อบเรยี นคณติ ศาสตร
และภาษาไทย

วธิ ีทํา แนวคดิ ท่ี 1 ให A แทนเซตของนักศกึ ษาทีช่ อบเรียนคณิตศาสตร
B แทนเซตของนกั ศกึ ษาท่ีชอบเรียนภาษาไทย

จาก n (A) = 52 , n(B) = 60
n ( A/  B/ ) = 14 = n ( A  B )/ [A/  B/ = ( A  B ) / ]
 n ( A  B ) = 100

n ( A  B ) = n(A) + n(B) - n (A  B)
100 – 14 = 52 + 60 - n (A  B)
86 = 52 + 60 - n (A  B)

n (A  B) = 112 - 86 = 26
ดังนั้น จํานวนนกั ศกึ ษาท่ีชอบเรยี นคณติ ศาสตรแ ละภาษาไทย มี 26 คน
แนวคดิ ท่ี 2

ให x แทนจาํ นวนนกั ศกึ ษาทช่ี อบเรยี นคณติ ศาสตรและภาษาไทย
จากแผนภาพเขยี นสมการไดด งั น้ี
( 52 - x ) + x + ( 60 - x ) = 100 - 14

112 - x = 86
x = 112 - 86 = 26

ดังน้นั จาํ นวนนักศกึ ษาที่ชอบเรยี นคณิตศาสตรแ ละภาษาไทย มี 26 คน

48

ตวั อยางท่ี 3 นกั ศึกษาสาขาหนงึ่ มี 1,000 คน มนี กั ศกึ ษาเรยี นภาษาอังกฤษ 800 คน เรยี น
คอมพวิ เตอร 400 คน และเลือกเรียนทง้ั สองวชิ า 280 คน อยากทราบวา

1) มนี ักศกึ ษากคี่ นทเี่ รยี นภาษาอังกฤษเพยี งวชิ าเดียว
2) มีนักศกึ ษากค่ี นที่เรยี นคอมพวิ เตอรเพียงวชิ าเดยี ว
3) มนี ักศกึ ษากค่ี นที่ไมไดเรียนวชิ าใดวิชาหนึง่ เลย
4) มีนักศกึ ษากคี่ นทไี่ มไดเ รียนท้ังสองวชิ าพรอ มกัน
วธิ ีทาํ ให U แทนเซตของนกั ศกึ ษาท้ังหมด

A แทน เซตของนักศกึ ษาทเี่ รียนวชิ าภาษาอังกฤษ
B แทน เซตของนักศึกษาทเ่ี รียนวิชาคอมพวิ เตอร

A  B แทน เซตของนกั ศกึ ษาทีเ่ รียนทั้งสองวชิ า

n ( U ) = 1,000 , n ( A ) = 800 , n ( B ) = 400 , n (A  B) = 280
เขยี นแผนภาพไดดงั น้ี

1) นักศกึ ษาทเ่ี รยี นภาษาอังกฤษเพยี งวชิ าเดียวมจี าํ นวน 800 - 280 = 520 คน
2) นักศกึ ษาทเ่ี รียนคอมพวิ เตอรเพียงวชิ าเดียวมีจํานวน 400 - 280 = 120 คน
3) นักศกึ ษาทีไ่ มไดเรยี นวชิ าใดวชิ าหน่งึ เลย คือสว นที่แรเงาในแผนภาพซงึ่ มีจํานวน

เทากับ 1,000 - 520 - 280 - 120 = 80 คน

49

4) นักศกึ ษาทไ่ี มเรยี นทงั้ สองวชิ าพรอมกนั คอื นกั ศกึ ษาท่ีเรียนวชิ าใดวิชาหนงึ่ เพยี งวชิ า
เดยี ว รวมกบั นกั ศกึ ษาทไ่ี มเรียนวชิ าใดเลย คอื สวนที่แรเงาในแผนภาพ ซึง่ มจี าํ นวน
เทากบั 1,000 - 280 = 720 หรือ 520 + 120 + 80 = 720 คน

ตัวอยางที่ 4 ในการสํารวจผใู ชสบู 3 ชนดิ คือ ก , ข , ค พบวา มผี ใู ชชนดิ ก. 113 คน,

ชนดิ ข. 180 คน, ชนิด ค. 190 คน, ใชช นิด ก . และ ข. 45 คน, ชนดิ ก.

และ ค. 25 คน, ชนดิ ข. และ ค. 20 คน, ท้ัง 3 ชนิด 15 คน, ไมใ ชท ั้ง 3

ชนดิ 72 คน จงหาจาํ นวนของผเู ขา รับการสาํ รวจทง้ั หมด

วิธที ํา

แนวคิดท่ี 1

ให A แทนผใู ชสบูช นิด ก.

B แทนผใู ชสบูชนิด ข.

C แทนผูใ ชส บูช นดิ ค.

จาก n (A  B  C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A  B) – n (B  C)

- n ( A  C ) + n (A  B  C)

โดยที่ n (A) = 113

n (B) = 180

n (C) = 190

n (A  B) = 45

n (A  C) = 25

n (B  C) = 20

n (A  B  C) = 15

n (A  B  C ) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A  B) – n (B  C) -

n (A  C) + n (A  B  C)

 n (A  B  C) = 113 + 180 + 190 - 45 – 20 – 25 + 15 = 408

50

จาํ นวนผูท ใี่ ชสบู ก. หรือ ข. หรือ ค. = 408 คน
จํานวนผทู ี่ไมใ ชท้ัง 3 ชนิด = 72 คน
ดังนั้น จํานวนของผเู ขารับการสาํ รวจทงั้ หมด 408 + 72 = 480 คน
แนวคิดท่ี 2

ให A แทนผใู ชส บูช นิด ก.
B แทนผใู ชสบชู นิด ข.
C แทนผใู ชสบูชนิด ค.

จาํ นวนผูท ใี่ ชสบู ก. หรอื ข. หรือ ค. = 58 + 30 + 10 + 15 + 160 + 5 + 130
= 408 คน
จํานวนผทู ี่ไมใ ชท งั้ 3 ชนิด = 72 คน
ดังนัน้ จาํ นวนของผเู ขา รับการสาํ รวจทั้งหมด 408 + 72 = 480 คน

51

แบบฝกหดั ท่ี 3

1. จงแรเงาแผนภาพที่กาํ หนดใหเ พอื่ แสดงเซตตอไปน้ี

1) B
2) A  B
3) A
4) A  B
5) A  B
2. จากแผนภาพท่ีกาํ หนดให

จงหาคา
1) A
2) A  B
3) AU B
4) A  B

52

3. จากแผนภาพ

กาํ หนดให U , A, B และ AB เปน เซตทม่ี จี าํ นวนสมาชกิ 100 ,40,25, และ 6 ตามลําดบั
จงเตมิ จํานวนสมาชกิ ของเซตตา ง ๆ ลงในตารางตอ ไปน้ี

เซต A-B B-A AB A B ( A  B
จํานวนสมาชกิ

4. จากการสอบถามผเู รยี นชอบเลนกฬี า 75 คน พบวา ชอบเลนปง ปอง 27 คน ชอบเลนแบตมนิ ตัน
34 คน ชอบเลนฟุตบอล 42 คน ชอบท้งั ฟุตบอลและปง ปอง 14 คน ชอบทง้ั ฟตุ บอลและ
แบตมนิ ตัน 12 คน ชอบทัง้ ปงปองและแบดมนิ ตนั 10 คน ชอบท้งั สามประเภท 7 คน
จงหาวานกั ศกึ ษาท่ชี อบเลนกฬี าประเภทเดยี วมกี คี่ น

53

บทท่ี 4
การใหเ หตผุ ล

สาระสําคญั
1. การใหเหตุผลแบบอปุ นัยเปนการสรุปผลภายหลังจากคน พบความจริงทไ่ี ดจ ากการสงั เกต
หรอื การทดลองหลาย ๆ ครัง้ จากทกุ ๆ กรณยี อ ยแลว นําบทสรุปมาเปน ความรูแบบทั่วไปเรา
เรียกขอ สรุปแบบนี้วา “ ขอ ความคาดการณ”
2. การใหเหตุผลแบบนิรนยั ไมไ ดค าํ นึงถึงความจริงหรอื ความเท็จแตจะคํานงึ เฉพาะขอ สรปุ ที่
ตองสรปุ ออกมาไดเทานั้น

ผลการเรียนรูทคี่ าดหวัง
1. อธบิ ายและใชก ารใหเหตุผลแบบอปุ นยั และนิรนยั ได
2. บอกไดวา การอางเหตุผลสมเหตุสมผลหรือไม โดยใชแผนภาพเวนน – ออยเลอรได

ขอบขายเนื้อหา
เรื่องที่ 1 การใหเหตผุ ล
เร่ืองท่ี 2 การอา งเหตุผลโดยใชแ ผนภาพเวนน – ออยเลอร

54

เร่ืองที่ 1 การใหเ หตุผล

การใหเหตผุ ลมีความสาํ คัญ เพราะการดําเนนิ ชวี ติ ของคนเราตองขึ้นอยกู บั เหตุผลไมวา จะเปน
ความเช่อื การโตแ ยง และการตดั สนิ ใจ เราจาํ เปนตองใชเหตผุ ลประกอบทั้งส้นิ อีกทัง้ ยงั เปน พน้ื ฐานท่ี
สําคัญในการหาความรขู องศาสตรตาง ๆ อีกดว ย การใหเหตผุ ล แบง เปน 2 ประเภท ไดแ ก การให
เหตุผลแบบอุปนยั และการใหเ หตุผลแบบนิรนยั

1.1 การใหเหตผุ ลแบบอปุ นยั ( Inductive Reasoning )
การใหเ หตุผลแบบอปุ นยั หมายถึง การสรปุ ผลภายหลงั จากการคน พบความจริงท่ไี ดจ าก

การใชส ังเกต หรือการทดลองมาแลว หลาย ๆ ครัง้ จากทกุ ๆ กรณียอ ย ๆ แลวนาํ บทสรปุ มาเปน
ความรแู บบทวั่ ไป หรอื อีกนยั หน่งึ การใหเ หตผุ ลแบบอปุ นัย หมายถึง การใหเหตผุ ลโดยยดึ ความ
จรงิ สว นยอยที่พบเหน็ ไปสูค วามจริงสวนใหญ

ตวั อยางการใหเ หตผุ ลแบบอปุ นัย
1. มนุษยส งั เกตพบวา : ทุก ๆวนั ดวงอาทติ ยข้ึนทางทิศตะวนั ออก และตกทางทิศตะวนั ตก
จงึ สรุปวา : ดวงอาทิตยข ึ้นทางทิศตะวนั ออก และตกทางทศิ ตะวันตกเสมอ
2. สุนทรี พบวา ทกุ ครั้งท่คี ณุ แมไปซือ้ กว ยเตย๋ี วผดั ไทยจะมตี น กยุ ชา ยมาดวยทกุ ครัง้
จงึ สรุปวา กว ยเตีย๋ วผดั ไทยตองมตี น กุยชาย
3. ชาวสวนมะมวงสงั เกตมาหลายปพบวา ถา ปใดมีหมอกมาก ปน้นั จะไดผ ลผลติ นอย
เขาจึงสรปุ วา หมอกเปน สาเหตุที่ทําใหผ ลผลติ นอย ตอ มามีชาวสวนหลายคนทดลอง
ฉีดน้ําลา งชอมะมว ง เมอื่ มีหมอกมาก ๆ พบวา จะไดผลผลิตมากขน้ึ
จึงสรปุ วา การลา งชอมะมว งตอนมีหมอกมาก ๆ จะทาํ ใหไ ดผลผลติ มากขึ้น

55

4. นายสมบตั ิ พบวา ทกุ ครงั้ ทท่ี ําความดจี ะมีความสบายใจ
จึงสรุปผลวา การทาํ ความดจี ะทําใหเกิดความสบายใจ

ตวั อยา งการใหเ หตผุ ลแบบอุปนัยทางคณติ ศาสตร
1. จงใชก ารใหเหตุผลแบบอปุ นยั สรุปผลเก่ียวกบั ผลบวกของจาํ นวนคูสองจํานวน
0+2 = 2 (จํานวนคู)
2+4 = 6 (จํานวนคู)
4+6 = 10 (จาํ นวนคู)
6+8 = 14 (จาํ นวนคู)
8+10 = 18 (จาํ นวนคู)
สรปุ ผลวา ผลบวกของจํานวนคสู องจํานวนเปน จาํ นวนคู
2. 1111 = 121
11111 = 12321
11111111 = 1234321
1111111111 = 123454321
3. (1  9) + 2 = 11
(12  9) + 3 = 111
(123  9) + 4 = 1111
(1234  9) + 5 = 11111

ขอ สงั เกต
1) ขอ สรุปของการใหเหตุผลแบบอปุ นยั อาจจะไมจ ริงเสมอไป
2) การสรปุ ผลของการใหเ หตผุ ลแบบอปุ นัยอาจขนึ้ อยกู บั ประสบการณข องผสู รปุ
3) ขอสรุปที่ไดจากการใหเ หตุผลแบบอุปนัยไมจ ําเปนตอ งเหมอื นกัน

ตัวอยาง 1. กาํ หนด จํานวน 2, 4, 6 , a จงหา จํานวน a
จะได a = 8

2. กําหนด จาํ นวน 2, 4, 6 , a จงหา จํานวน a
จะได a = 10 เพราะวา 4 + 6 = 10

3. กําหนด จาํ นวน 2, 4, 6 , a จงหา จํานวน a จะได a = 22
เพราะวา 6 = (2  4)-2 และ 22 = (4  6)-2

56

4) ขอสรปุ ของการใหเ หตุผลแบบอปุ นยั อาจ ผิดพลาดได
ตวั อยา ง ให F(n) = n2 - 79n + 1601

ทดลองแทนคาจาํ นวนนับ n ใน F(n)
n = 1 ได F(1) = 1523 เปน จาํ นวนเฉพาะ
n = 2 ได F(2) = 1447 เปน จํานวนเฉพาะ
n = 3 ได F(3) = 1373 เปน จํานวนเฉพาะ
 F(n) = n2 - 79n + 1601
แทนคา n ไปเร่อื ยๆ จนกระทงั่ แทน n = 79 ได F(79) เปน จาํ นวนเฉพาะ
จากการทดลองดงั กลา ว อาจสรปุ ไดวา n2 - 79n + 1601 เปน จาํ นวนเฉพาะ สาํ หรับทกุ จาํ นวนนบั
แต F(n) = n2 - 79n + 1601
F(80) = 802 - (79)(80) + 1601

= 1681
= (41)(41)
 F(80) ไมเปน จํานวนเฉพาะ

57

แบบฝก หัดที่ 1

จงเติมคําตอบลงในชองวา งตอไปนี้
1) 1,4,9,16,  ,  ,49, 64,  , 

2) 2,7,17,  ,52 ,  , 

3) 5,10,30,120,  , 

4) ถา 12345679  9 = 111111111

12345679  18 = 222222222

12345679  27 = 333333333

12345679   =

12345679   = 999999999

5) ถา 2=2

2+4 = 6

2+4+6 = 12

2+4+6+8 = 20
2+4+6+8+ = 30
2+4+ +8+ + 12 = 
2+ + +8+ 12+14 = 

2+ + +8+ +12+14+ = 

58

1.2. การใหเ หตผุ ลแบบนิรนยั (Deductive reasoning)

เปน การนาํ ความรูพ นื้ ฐานท่อี าจเปนความเชือ่ ขอตกลง กฏ หรือบทนยิ าม ซง่ึ เปนส่ิงทีร่ ู
มากอนและยอมรบั วาเปน จรงิ เพอ่ื หาเหตุผลนําไปสขู อ สรปุ

การใหเหตผุ ลแบบนิรนยั ไมไดค าํ นงึ ถงึ ความจริงหรอื ความเท็จ แตจ ะคํานงึ ถึง เฉพาะ
ขอสรปุ ที่ตองออกมาไดเทานัน้

พจิ ารณากระบวนการการใหเหตุผลแบบนิรนยั จากแผนภาพดังนี้

ตัวอยางการใหเ หตผุ ลแบบนริ นัย
1. เหตุ 1) จาํ นวนคูหมายถงึ จาํ นวนทห่ี ารดว ย 2 ลงตัว
2) 10 หารดวย2 ลงตวั
ผล 10 เปนจํานวนคู
2. เหตุ 1) คนท่ีไมมีหนส้ี นิ และมเี งินฝากในธนาคารมากกวา 10 ลานบาท เปน เศรษฐี
2) คณุ มานะไมม ีหนี้สนิ และมเี งินฝากในธนาคาร 11 ลา นบาท
ผล คุณมานะเปน เศรษฐี

59

3. เหตุ 1) นกั กีฬาการแจงทกุ คนจะตอ งมีสขุ ภาพดี
2) เกยี รตศิ กั ดเ์ิ ปน นกั ฟตุ บอลทมี ชาตไิ ทย

ผล เกยี รตศิ ักดิ์มีสุขภาพดี
จากตวั อยางจะเห็นวาการยอมรบั ความรูพ นื้ ฐานหรอื ความจรงิ บางอยางกอ น แลวจงึ หาขอสรปุ
จากสงิ่ ทีย่ อมรับแลว น้ัน ซ่ึงเรียกวา ผล การสรปุ ผลจะถกู ตอ งก็ตอ เมอ่ื เปน การสรุปผลไดอ ยาง
สมเหตุสมผล(valid) เชน

เหตุ 1) เรอื ทุกลาํ ลอยนํา้
2) ถงั นํา้ พลาสติกลอยน้าํ ได

ผล ถังนา้ํ พลาสตกิ เปน เรือ
การสรปุ ผลจากขางตน ไมส มเหตสุ มผล แมวาขออา งหรอื เหตุทง้ั สองขอ จะเปน จริง แตก ารที่เรา
ทราบ วา เรือทกุ ลําลอยนํ้าไดก ็ไมไ ดหมายความวาสิ่งอนื่ ๆ ท่ลี อยนา้ํ ไดจะตอ งเปน เรือเสมอไป ขอ สรปุ ใน
ตวั อยางขา งตน จึงเปน การสรปุ ทไ่ี มส มเหตุสมผล

ขอสงั เกต
1. เหตุเปนจรงิ และ ผลเปนจริง
เหตุ แมงมมุ ทุกตวั มี 6 ขา
และสัตวท ี่มี 6 ขา ทกุ ตวั มีปก
ผล ดงั นน้ั แมงมมุ ทุกตวั มีปก
2. เหตเุ ปนเทจ็ และ ผลเปน เท็จ
เหตุ ถานายดาํ ถกู ลอ ตเตอร่รี างวลั ทีห่ น่ึง
นายดําจะมเี งนิ มากมาย
แตนายดาํ ไมถ ูกลอ ตเตอรรี่ างวัลท่หี นึ่ง
ผล ดังนั้นนายดาํ มเี งนิ ไมมาก
3. เหตุอาจเปนจริงและผลอาจเปน เทจ็
4. ผลสรุปสมเหตสุ มผลไมไ ดป ระกนั วา ขอสรุปจะตอ งเปนจริงเสมอไป

60

แบบฝกหดั ที่ 2

จงตรวจสอบผลทไ่ี ดว า สมเหตุสมผลหรอื ไม
1) เหตุ 1. คนทุกคนท่เี ปน ไขห วดั ตองไอ
2. คนช่อื มุนีไอ
ผล มนุ เี ปนไขห วดั
2) เหตุ 1. ชาวนาทกุ คนเปน คนอดทน
2. นายมเี ปนชาวนา
ผล นายมีเปนคนอดทน
3) เหตุ 1. สตั วมีปกจะบนิ ได
2. นกกระจอกเทศเปนสตั วม ีปก
ผล นกกระจอกเทศบนิ ได
4) เหตุ 1. จํานวนเต็มทห่ี ารดวย 9 ลงตวั จะหารดว ย 3 ลงตวั
2. 15 หารดว ย 3 ลงตัว
ผล 15 หารดว ย 9 ลงตัว
5) เหตุ 1. สตั วเล้ยี งลกู ดวยนมบางชนดิ ไมม ขี า
2. งไู มมีขา
ผล งูเปน สตั วเลีย้ งลูกดว ยนม

61

เรอ่ื งที่ 2 การอางเหตผุ ลโดยใชแผนภาพของเวนน- ออยเลอร

ออยเลอร เปน นกั คณิตศาสตรชาวสวสิ เซอรแลนด มชี วี ติ อยูร ะหวาง ค.ศ. 1707 - 1783 เขาได
คนพบวิธกี ารตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใชร ูปปด เชน วงกลม ซงึ่ เปน วธิ กี ารทีง่ า ย และรวดเรว็ โดย
มหี ลักการดงั นี้

1. เขยี นวงกลมแตล ะวงแทนเซตแตละเซต
2. ถา มี 2 เซตสมั พนั ธก นั กเ็ ขยี นวงกลมใหคาบเกย่ี วกัน

3. ถา เซต 2 เซตไมส มั พนั ธก ันก็เขยี นวงกลมใหแ ยกหางจากกนั

แผนผงั แสดงการตรวจสอบความสมเหตสุ มผลโดยใชแ ผนภาพเวนน- ออยเลอร

62

ขอ ความ หรอื เหตแุ ละผล และแผนภาพเวนน – ออยเลอร ทใี่ ชใ นการใหเหตุผลมี 6 แบบ ดงั นี้

63

ตัวอยาง การตรวจสอบความสมเหตสุ มผลของการใหเหตผุ ลโดยใชแ ผนภาพ

1. เหตุ 1 : คนทุกคนเปนสงิ่ ทีม่ สี องขา

2 : ตํารวจทกุ คนเปน คน

ผลสรุป ตาํ รวจทกุ คนเปนสง่ิ ทีม่ ีสองขา

จากเหตุ 1 จากเหตุ 2

แผนภาพรวม

จากแผนภาพจะเหน็ วา วงของ " ตาํ รวจ " อยใู นวงของ " สง่ิ มี 2 ขา " แสดงวา " ตาํ รวจทกุ คนเปน
คนมีสองขา " ซึ่งสอดคลองกับผลสรุปทกี่ าํ หนดให ดังนน้ั การใหเ หตุผลนสี้ มเหตสุ มผล

2. เหตุ 1 : สนุ ัขบางตวั มขี นยาว
2 : มอมเปนสุนัขของฉัน

ผลสรุป มอมเปนสนุ ัขที่มขี นยาว

ดงั นน้ั ผลสรปุ ทีว่ า มอมเปน สุนขั ท่มี ขี นยาว ไมส มเหตุสมผล

64

แบบฝก หดั ที่ 3
จงตรวจสอบผลที่ไดวา สมเหตสุ มผลหรอื ไม โดยใชแผนภาพเวนน – ออยเลอร

1) เหตุ 1. ถาฝนตก แคทลยี ากไ็ มออกนอกบา น

ผล 2. ฝนตก
2) เหตุ แคทลียาไมออกนอกบาน
1. ถา สมชายขยันเรียนแลวเขาสอบเขา เกษตรได
ผล 2. สมชายสอบเขา เกษตรไมได
3) เหตุ สมชายไมข ยนั เรียน
1. ถา อากาศชน้ื แลว อณุ หภมู จิ ะลด
ผล 2. ถาอณุ หภมู ลิ ด แลวเกิดหมอก
4) เหตุ 3. อากาศชนื้
จะเกดิ หมอก
ผล 1. a เปน จาํ นวนบวก หรือเปน จาํ นวนลบ
5) เหตุ 2. a ไมเ ปน จํานวนบวก
a เปน จาํ นวนลบ
ผล 1. แมวบางตัวมีสองขา
2. นกยงู ทกุ ตวั มสี องขา
นกบางตวั เปนแมว

65

บทที่ 5

อัตราสวนตรโี กณมิตแิ ละการนําไปใช

สาระสําคัญ

1. ถา รปู สามเหลยี่ มคูใ ดคลายกนั อัตราสว นของดานท่อี ยูต รงขา มมุมทีเ่ ทา กนั จะเทากนั
2. ในรปู สามเหล่ยี มมมุ ฉากทกุ รปู อตั ราสว นความยาวดา น 2 ดา น จะถกู กาํ หนดคาตางๆไวดงั น้ี

2.1 คาไซนข องมมุ ใด (sine) จะเทากบั อัตราสว นระหวา งความยาวของดานตรงขา มมมุ
นั้น กับความยาวของดา นตรงขา มมมุ ฉาก

2.2 คาโคไซนข องมมุ ใด (cosine) จะเทา กบั อัตราสวนระหวา งความยาวดานประชติ มุม
กับความยาวดานตรงขามมมุ ฉาก

2.3 คา แทนเจนตข องมุมใด (tangent) จะเทากบั อัตราสว นระหวา งความยาวของดา นตรง
ขามมมุ กบั ความยาวของดา นประชติ มุมนน้ั ๆ

3. นอกจากอตั ราสว นตรโี กณมิตหิ ลัก 3 คาน้ีแลว สว นกลับของ sine , cosine และ tangent เรียกวา
cosecant , secant และ cotangent ตามลาํ ดบั

4. อตั ราสวนตรโี กณมติ ขิ องมุม 30,45 และ 60 องศา มีคา เฉพาะของแตล ะอตั ราสว น สามารถ
พิสจู นได

5. การแกป ญ หาโจทยท เ่ี กยี่ วขอ ง จะทําโดยการเปล่ยี นปญ หาโจทยใ หเ ปนประโยคสัญลกั ษณ และ
ใชอัตราสว นตรโี กณมติ ใิ นการชวยหาคําตอบโดยเฉพาะการนําไปใชแกป ญ หาเกีย่ วกบั การวดั ระยะทาง
และความสูง

ผลการเรยี นรูทค่ี าดหวงั

1. อธิบายการหาคา อัตราสว นตรีโกณมิติได
2. หาคาอัตราสวนตรโี กณมติ ขิ องมมุ 300 , 450 และ 600 ได
3. นาํ อัตราสวนตรโี กณมิติไปใชแ กปญ หาเกี่ยวกบั ระยะทาง ความสงู และการวดั ได

ขอบขายเนือ้ หา

เรอื่ งท่ี 1 อัตราสว นตรโี กณมติ ิ
เร่อื งท่ี 2 อตั ราสว นตรีโกณมิตขิ องมมุ 30, 45 และ 60 องศา
เรอื่ งที่ 3 การนําอตั ราสว นตรโี กณมติ ิ ไปใชแกปญ หาเก่ยี วกบั ระยะทาง ความสูง และการวดั

66

เรือ่ งที่ 1 อัตราสวนตรีโกณมิติ

เปน แขนงหน่งึ ของคณิตศาสตร วาดวยการวัดรูปสามเหลี่ยมตาง ๆ โดยหาความสมั พนั ธ
ระหวางดา น มมุ และพนื้ ทข่ี องรูปสามเหล่ยี ม มคี วามสําคญั ตอวิชาดาราศาสตร การเดนิ เรอื และงาน
สาํ รวจใชใ นการคํานวณสง สงู ของภเู ขา และหาความกวางของแมน ํ้า มีประโยชนมากสําหรับวชิ า
วิทยาศาสตร วิศวกรรมศาสตร และการศกึ ษาเกีย่ วกับวตั ถุ ซึ่งมีสภาพเปน คลื่น เชน แสง เสียง
แมเหล็กไฟฟาและวทิ ยุ

ความรเู ดมิ ท่ีตอ งนาํ มาใชใ นบทเรียนน้ี

1. สมบตั ิสามเหลย่ี มคลา ย
พจิ ารณารปู สามเหลย่ี มสองรปู ท่มี ขี นาดของมมุ เทา กนั 3 คู ดงั น้ี
ถา รปู สามเหลีย่ ม 2 รปู มีมุมเทา กนั มมุ ตอมุมท้งั 3 คู แลว สามเหลย่ี ม 2 รูปน้จี ะคลา ยกนั ดังรูป

B Y
ca z

x

A bC Xy Z

รูปที่ 1 รปู ท่ี 2

จากรปู

Aˆ = Xˆ , Bˆ = Yˆ , Cˆ = Zˆ

ดงั น้นั รปู สามเหล่ียม ABC คลายกบั รูปสามเหลยี่ ม XYZ และจากสมบัตกิ ารคลา ยกนั ของ รปู

สามเหล่ยี มจะไดผลตามมาคือ

AB  BC  AC หรอื a  b  c
XY YZ XZ
xyz

เมอื่ a,b,c เปนความยาวของดา น AB, BC และ AC ตามลําดับในสามเหล่ียม ABC
x,y,z เปน ความยาวของดาน XY,YZ และ XZ ตามลําดบั ในสามเหลย่ี ม XYZ

67

จาก a  b จะไดว า a x
จะไดวา by
xy จะไดวา b y
bc cz
yz ax
ac cz
xz

นน่ั คือ ถามีรปู สามเหลีย่ มสองรปู คลายกัน อตั ราสวนของความยาวของดา นสองดานของรปู
สามเหลี่ยมรปู หนึ่ง จะเทา กับอตั ราสว นของความยาวของดา นสองดานของรูปสามเหลี่ยมอกี รูปหนึ่ง โดย
ที่ดา นของรูปสามเหลีย่ มทีห่ าความยาวน้ันจะตองเปนดานที่สมนัยกันอยตู รงขา มกับมุมท่เี ทากนั

ในทาํ นองเดียวกนั ถารูปสามเหลี่ยมท้งั สองเปน รปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก ซงึ่ มีมมุ ทไ่ี มเปนมมุ ฉาก
เทากนั สมมตวิ า เปน มมุ A เทา กับมมุ X ดงั รูป

B zY
c

ax
X yZ

A bC

พบวา รูปสามเหลย่ี มสองรูปนค้ี ลา ยกัน ( มมี มุ เทากนั มุมตอ มมุ ทงั้ 3 คู )

ดังนน้ั จะไดว า ax ax cz
, , 

c zb yb y

สรปุ ไมวารูปสามเหลย่ี มดังกลา วจะมขี นาดใหญหรอื เลก็ กต็ าม ถารปู สามเหลี่ยม
ทั้งสองรปู คลา ยกนั แลว อัตราสวนความยาวของดานสองดา นของรูปสามเหลยี่ มรูปหน่งึ
จะเทากบั อตั ราสว นของความยาวของดา นสองดา นของรูปสามเหล่ียมอีกรูปหนึ่งทส่ี มนัย
กนั เสมอ ( ดานทกี่ ลา วถึงนต้ี องเปน ดานทีอ่ ยูตรงขามกับมมุ ทเ่ี ทา กัน )

68

2. สมบตั ิสามเหลีย่ มมุมฉาก
ถาให ABC เปน รปู สามเหล่ยี มมมุ ฉาก ท่ีมีมมุ ฉากท่ี C และมี a , b , c เปน ความยาวของดานตรง

ขา มมุม A , B และ C ตามลําดบั

c
a

b

ดา น AB เปนดา นท่ีอยูตรงขา มมุมฉากยาว c หนวย เรียกวา ดา นตรงขา มมุมฉาก
ดา น BC เปนดา นทอ่ี ยูตรงขา มมมุ A ยาว a หนวย เรยี กวา ดา นตรงขามมมุ A
ดาน AC เปน ดา นทีอ่ ยูตรงขา มมมุ B ยาว b หนว ย เรียกวา ดา นประชดิ มุม A

ถา ABC เปน รปู สามเหล่ยี มมุมฉาก ซึง่ มมี มุ เปน มมุ ฉาก
c แทนความยาวดา นตรงขา มมมุ ฉาก
a และ b แทนความยาวของดา นประกอบมมุ ฉาก

จะไดความสมั พันธระหวางความยาวของดา นทงั้ สามของรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉากดังตอ ไปนี้
c2  a2  b2

เมือ่ a แทนความยาวของดานตรงขา มมุม A
b แทนความยาวของดานตรงขามมุม B
c แทนความยาวของดา นตรงขามมมุ C

69

ขอ ควรรูเกยี่ วกบั ทฤษฎีบทปทาโกรสั
ปท าโกรัสไดศกึ ษาคนควา เกยี่ วกบั ความสมั พนั ธร ะหวา งดานตรงขามมุมฉากและดา นประกอบมุม

ฉากของสามเหลี่ยมมมุ ฉาก ซ่ึงเปนทฤษฎีบทท่เี กา แกและมชี อื่ เสียงทีส่ ุดบทหน่งึ ไดแกท ฤษฎบี ทปทา
โกรสั ซง่ึ มีใจความวา

ในสามเหลี่ยมมมุ ฉากใดๆ พน้ื ทขี่ องสี่เหลีย่ มจตั ุรสั บนดานตรงขามมมุ ฉาก
จะเทา กบั ผลบวกของพนื้ ทสี่ ี่เหลี่ยมจัตรุ สั บนดานประกอบมุมฉาก

ตวั อยาง จงเขยี นความสัมพันธระหวา งความยาวของดานของรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉากตอไปน้ี ตามทฤษฎีบท
ของปท าโกรัส
1).

a

3 5
2).
a
12
13

70

วิธีทํา พจิ ารณาความสมั พันธร ะหวางความยาวดา นของรูปสามเหล่ียมมุมฉากตามทฤษฎบี ทปท าโกรัส

52  a2  32
a2  9  25

a2  16
ดังนัน้ a  4

2).

a 2  122  132
a2 144  169

b2  25

ดงั นนั้ b  5

อัตราสวนตรโี กณมติ ิ
ถาให ABC เปน รปู สามเหลยี่ มมุมฉากทม่ี มี ุมฉากท่ี C และมี a , b , c เปน ความยาวของดานตรง

ขา มมมุ A , B และ C ตามลาํ ดับ

B

ca

A b C
A

อัตราสวนตรีโกณมติ ิ คอื อัตราสว นที่เกิดจากความยาวของดา นของรปู สามเหลยี่ มมุมฉาก

71

a

1. อัตราสวนของความยาวของดานตรงขา มมมุ A ตอ ความยาวของดานตรงขา มมมุ ฉาก หรอื c
เรยี กวา ไซน (sine) ของมุม A

b

2. อตั ราสว นของความยาวของดานประชดิ มุม A ตอ ความยาวของดา นตรงขา มมุมฉาก หรือ c
เรียกวา โคไซน (cosine) ของมุม A

a

3. อัตราสว นของความยาวของดานตรงขามมุม A ตอความยาวของดา นประชดิ มุม A หรอื b
เรยี กวา แทนเจนต (tangent) ของมุม A
เรียกอตั ราสวนท้งั สามนวี้ า อตั ราสว นตรีโกณมติ ขิ อง A เมอ่ื A เปน มมุ แหลมในรูปสามเหล่ยี ม

มุมฉากหรืออาจสรปุ ไดว า
ความยาวของดา นตรงขา มมุมA

sin A = ความยาวของดา นตรงขามมมุ ฉาก

ความยาวของดานประชดิ มุมA
cos A = ความยาวของดานตรงขา มมมุ ฉาก

ความยาวของดานตรงขา มมมุ A
tan A = ความยาวของดานประชดิ มมุ A

ตวั อยาง กาํ หนดรปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก ABC

มมี ุม C เปนมุมฉาก มีความยาวดา นทงั้ สาม ดงั รูป จงหาคา ตอ ไปน้ี 6
1. sin A, cos A และ tan A

2. sin B, cos B และ tan B 8

วิธที าํ กําหนด ABC เปน รูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก มีมมุ C เปนมุมฉาก จากทฤษฎีบทปท าโกรสั จะได
วา AB 2  AC 2  BC 2
แทนคา AC = 8 , BC = 6
ดังนั้น AB2  82  62

AB2  64  36

AB2  100

AB2  10 10หรอื 102

นัน่ คอื AB = 10

72

(1) หาคา sin A, cos A และ tan A โดยการพจิ ารณาท่ีมมุ A

sin A = ความยาวของดา นตรงขามมมุ A  BC  6  3
ความยาวของดานตรงขามมมุ ฉาก AB 10 5

cos A = ความยาวของดา นประชดิ มุมA  AC  8  4
ความยาวของดานตรงขามมมุ ฉาก AB 10 5

tan A= ความยาวของดานตรงขามมุมA  BC  6  3
ความยาวของดานประชดิ มุมA AC 8 4

(2) หาคา sin B, cos B และ tan B โดยการพิจารณาที่มมุ B

sin B = ความยาวของดานตรงขามมมุ B  AC  8  4
ความยาวของดา นตรงขา มมุมฉาก AB 10 5

cos B = ความยาวของดานประชิดมุม B  BC  6  3
ความยาวของดานตรงขามมมุ ฉาก AB 10 5

tan B = ความยาวของดานตรงขา มมุมB  AC  8  4
ความยาวของดานประชิดมุม B BC 6 3

ขอสังเกต ถา ABC เปน รูปสามเหล่ยี มมุมฉากทม่ี ีมมุ C เปน มุมฉากแลว จะไดว า
1. Aˆ  Bˆ  1800  Cˆ  1800  900  900
2. sin A = cos B
3. cos A = sin B

73

แบบฝก หดั ท่ี 1
1. จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากทก่ี ําหนดใหต อ ไปนี้ จงเขยี นความสัมพันธข องความยาวของรปู สามเหล่ยี ม
มุมฉากโดยใชท ฤษฎีบทปท าโกรัส และหาความยาวของดา นที่เหลือ

(1)

(2)

2. กาํ หนด ABC เปน รปู สามเหล่ยี มมุมฉาก มี Cˆ  90 และความยาวของดา นทง้ั สาม ดังรปู
จงหา 1) sin A , cos A และ tan A

2) sin B , cos B และ tan B

B

74

3. จงหาวา อัตราสว นตรโี กณมิติทกี่ าํ หนดใหตอ ไปน้ี เปน คา ไซน( sin) หรอื โคไซน( cos) หรือแทนเจนต
(tan) ของมุมทก่ี ําหนดให

1).........................A = b

c

2).........................B = b

a

3).........................A = a

c

4).........................A = b

c

4. กาํ หนด ABC เปน รปู สามเหล่ยี มมุมฉาก โดยมีมุม C เปนมมุ ฉาก มดี าน AB = 10 และ AC = 8
จงหา 1 ) ความยาวดาน BC

2) sin A , cos A และ tan A
3) sin B , cos B และ tan B

5. กาํ หนดใหร ปู สามเหล่ยี ม ABC โดยมมี มุ C เปน มุมฉาก และ a,b,c เปน ความยาวดา นตรงขามมมุ A, มมุ
B และมุม C ตามลาํ ดับ

(1) ถา cot A = 3 และ a = 5 จงหาคา b,c
(2) ถา cos B = 3 และ a = 9 จงหาคา tan A

5

75

เร่อื งท่ี 2 การหาคาอตั ราสวนตรีโกณมิติของมมุ 30 ,45 , 60 องศา

การหาคา อัตราสว นตรโี กณมติ ิของมมุ 60 องศา

พจิ ารณารูปสามเหลยี่ มดานเทา ABD มีดานยาวดา นละ 2 หนว ย ดงั นี้

A 2 B

300 300 300

2 2

60 60 60 C
B D A

1 C1 1

จากรปู สามเหลี่ยมดา นเทา ABD ลาก AC แบงครง่ึ มุม A เสนแบงครึ่งมมุ A จะตั้งฉากกับ BD ท่ี
จดุ C โดยใชห ลกั ของสมบัติของสามเหลยี่ มคลาย ABC และ ADC จะได BC = CD = 1 หนวย ดงั รูป และ
จาก
รูปสามเหล่ียมมุมฉาก ABC ใชคณุ สมบตั ขิ องปทาโกรัสไดด งั นี้

B

300 AB 2  AC 2  BC 2

2 22  12  BC 2
4  1  BC 2

BC2  4 1

60 BC 2  3
A C

1 BC  3

76

จะไดว า ดา น BC = 3

ดงั นัน้ Sin 60  3

2

Cos 60  1

2

Tan 60  3  3

1

ในทํานองเดยี วกนั

การหาคาอัตราสวนตรีโกณมิตขิ องมมุ 30 องศา

ดงั นั้น Sin 300  1

2

Cos 300  3

2

Tan 300  1

3

77

สรปุ อตั ราสว นของตรโี กณมิติทส่ี าํ คัญ ดังน้ี

น่นั คอื sin 300  1 cos 300  3 tan 300  1
2 2 3
1 1 1
sin 450  2 cos 450  2 tan 450  1  1

sin 600  3 cos 600  1 tan 600  3  3

2 2 1

78

เกรด็ ความรู การใชนิว้ มอื ชวยในการจําคา ตรีโกณมติ ขิ องมมุ พน้ื ฐาน

การจาํ คา ตรโี กณมติ พิ ้ืนฐานโดยใชน ้วิ มือ ตองใชม ือซาย มขี ้ันตอนดังตอ ไปน้ี
วธิ กี ารนใ้ี ชจ ําคาตรโี กณมติ ขิ องมมุ พน้ื ฐานกลาวคอื

1. แบมอื ซายออกมา มองเลขมุมจับคูก ับนิ้วเรยี งจากซายไปขวา เปนมมุ
องศา

2. เม่ือตองการหาคาตรโี กณมติ ขิ องมมุ ใดใหง อนิ้วนนั้ สมมตวิ า หา cos กจ็ ะตรงกบั นวิ้ ช้ี ก็งอนวิ้ ชี้
เก็บไว

3. ถอื กฎวา "sin-ซาย(ออกเสียงคลายกนั ) cos-ขวา(ออกเสียง /k/ เหมอื นกัน)" เม่ือหาคา ของฟง กช นั ใด
ใหสนใจจํานวนนว้ิ มือฝง ท่ีสอดคลอ งกับฟง กช นั นั้น
o เพื่อจะหาคา นําจาํ นวนนิว้ มอื ดานทส่ี นใจตดิ รากท่ีสองแลวหารดว ยสอง (หรืออาจจาํ วา มี
เลขสองตวั ใหญๆอยูบนฝา มือ เมอื่ อานก็จะเปน รากทส่ี องของจํานวนน้ิวมือดา นทสี่ นใจ
หารฝา มือ) สาํ หรบั cos 30 กจ็ ะไดว ามนี วิ้ มือเหลืออยูท างดา นขวาอกี สามนวิ้ (กลาง นาง

กอย) กจ็ ะได cos30= สําหรบั ฟงกชนั ตรีโกณมติ ิอืน่ กใ็ ชส มบตั ขิ องฟงกชนั นน้ั กบั sin
และ cos เชน tan=sin/cos

79

คา โดยประมาณของไซน โคไซน และแทนเจนต (ถงึ ทศนยิ มตําแหนง ที่ 3 ) หาไดจ ากตาราง
ตอไปน้ี โดยทค่ี า ของไซน โคไซน และแทนเจนต ของมุมทม่ี ีคา อยรู ะหวาง 00 และ900 จะมคี าอยู
ระหวาง 0 และ 1

80

ตัวอยา ง จงหาคาของ a, b จากรูปสามเหลีย่ มท่ีกาํ หนดใหต อไปนี้

วิธีทํา sin 320  BC

AB

แทนคา sin 320  0.530 และ BC = a , AB = 10

ดงั นน้ั 0.530  a นน่ั คอื

10

a  10  0.530

a  5.3

จงหาคาตอไปน้ี

1. sin 450  tan 450
cos 450

2.sin 300 sin 600  cos300 cos 600

   3. cos300 2  sin 300 2

4.tan 2 300  2 sin 600  tan 450  tan 600  cos2 300
5.cos 600  tan 2 450  4 tan2 300  cos2 300  sin 300

3

วิธีทาํ

1

1. sin 450  tan 450 = 2 1  2 =1-1 =0
cos 450 1 = 1

1 21

2

2.sin 300 sin 600  cos300 cos 600 =  1   3    3   1  = 3 32 3= 3
 2  2   2  2  
 
 44 42

   3. cos300 2  sin 300 2 =  3  2   1  2 = 3  1  4 1
2   2  44 4

=  1 2 2 3  3   3  2
3 2 2
4.tan 2 300  2 sin 600  tan 450  tan 600  cos2 300    1 



= 1  3 1 3  3
34

= 25
12

5. cos 60 0  tan 2 450  4 tan2 300  cos2 300  sin 300 = 1  12  4  1 2   3  2  1
3 2 3 3 2 2




= 1 1 4  3  1
2 942

=7

36

81

อัตราสว นตรีโกณมติ อิ นื่ ๆ
อตั ราสวนของความยาวของดา นของรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉากท่ีเรียกวา ไซน โคไซน และ

แทนเจนต เรียกวาอัตราสวนตรโี กณมติ ิ (Trigonometric ratio) ซ่ึงเปนหลกั เบ้ืองตน ในคณติ ศาสตรแขนง
หนึ่ง ท่ีเรียกวา ตรโี กณมิติ (Trigonometry) หมายถงึ การวดั เกี่ยวกับรูปสามเหลีย่ ม

มีอัตราสว นตรโี กณมติ ิอีก 3 อตั ราสว น ซง่ึ กําหนดดว ยบทนิยาม ดังน้ี
1. ซแี คนตของมมุ A เขียนแทนดว ย secant A หรอื sec A คอื สวนกลบั ของ cos A เม่อื
cos A  0 นนั่ คือ sec A = 1 เมือ่ cos A  0

cos A

2. โคซแี คนตข องมมุ A เขียนแทนดว ย cosecant A หรอื cosec A คอื สว นกลับของ sin A เมือ่
sin A  0 นนั่ คือ cosec A = 1 เมอ่ื sin A  0

sin A

3. โคแทนเจนตข องมุม A เขยี นแทนดว ย cotangent A หรอื cot A คือสว นกลบั ของ tan A เม่ือ
tan A  0 น่ันคือ cotangent A = 1 เมื่อ tan A  0

tan A

82

83

แบบฝกหดั ที่ 2
1. จงหาคาตอไปนี้

1) sin 300 sin 600  cos300 cos600

   2) sin 600 2  cos600 2

3) 1  tan 450
2. จงหาคาอตั ราสว นตรีโกณมติ ติ อไปน้จี ากตาราง

1) sin 200
2) sin 380
3) cos500
4) cos520
5) tan 770
6) tan 890
3. ให ABC เปนรปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก มมี ุม C เปน มมุ ฉาก ดงั รปู

จงหา cos B, sin B, tan B, sec B, cosec B, cot B

4. จงหาคา a, b หรือ c จากรูปสามเหลี่ยมตอ ไปน้ี

(1)

84

(2)

(3)

5. กาํ หนดใหร ูปสามเหล่ียม ABC โดยมีมุม C เปนมมุ ฉาก และ a,b,c เปนความยาวดา นตรงขา มมุม A, มมุ
B และมุม C ตามลาํ ดับ

(1) ถา cot A = 3 และ a = 5 จงหาคา b,c
(2) ถา cos B = 3 และ a = 9 จงหาคา tan A

5

85

เรอ่ื งที่ 3 การนําอัตราสวนตรโี กณมติ ิไปใชแ กปญ หาเกี่ยวกับหาระยะทางและความสงู และ
การวดั

อตั ราสว นตรโี กณมติ มิ ีประโยชนม ากในการหาความยาว ระยะทางหรอื สวนสงู โดยที่ทราบคา มุมใด
มมุ หนึ่ง และความยาวของดานใดดา นหนึ่งของรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก แลว จะสามารถหาดา นท่ีเหลอื ได

เสน ระดับสายตา คอื เสนทีข่ นานกับแนวพนื้ ราบ
มุมกม คอื มุมทแี่ ขนขางหนง่ึ ของมมุ อยูตาํ่ กวา ระดบั สายตา

มุมเงย คือ มมุ ทแี่ ขนขางหนง่ึ อยูส ูงกวาเสนระดบั สายตา

86

ตัวอยางที่ 1 สมพรยืนอยูห างจากบา นหลังหนง่ึ เปนระยะทาง 100 เมตร เขาเหน็ เครอ่ื งบิน เครื่องหน่ึง
บนิ อยเู หนือหลังคาบานพอดี และแนวทเี่ ขามองเปนมุมเงย 60 องศา จงหาวาเคร่อื งบนิ อยูสงู จาก
พืน้ ดินกเี่ มตร

วิธที าํ Tan 60 = ความยาวของดานตรงขา มมมุ 60
ความยาวของดานประชิดมมุ 60

3= ความยาวของดานตรงขามมุม 60
100

นน่ั คอื ความยาวของดา นตรงขามมมุ 600  100 3
จะเหน็ ไดวา ความสงู ของเคร่อื งบินอยหู า งจากพน้ื ดนิ 100 3

ตวั อยางท่ี 2 บนั ไดยาว 50 ฟตุ พาดอยูกับกําแพง ปลายบนั ไดถึงขอบกําแพงพอดี ถา บันไดทํามุม 600
กับกําแพง จงหาวาบนั ไดอยหู างจากกําแพงเทาไร

87

วิธีทาํ COS 600 = ความยาวของดา นประชดิ มมุ 60
ความยาวของดา นตรงขา มมมุ ฉาก

1 = ความยาวของดานประชิดมุม 60
2
50

จะได ความยาวของดานประชดิ มุม 60  50

2

ดงั น้นั ระยะระหวา งบนั ไดกบั กําแพงเทากบั 25 ฟุต

ตวั อยา งท่ี 3 สมพรยืนอยบู นหนาผาสงู ชนั แหง หนง่ึ ซ่ึงสูงจากระดบั ผนาํ้ ทะเล 50 เมตร เม่ือเขาทอดสายตา
ไปยงั เรือลาํ หนึ่งกลางทะเล มมุ ท่ีแนวสายตาทาํ กับเสนระดบั มีขนาด 30 องศา เรอื ลํานีอ้ ยหู า งจากฝง
โดยประมาณกเี่ มตร
วธิ ที ํา

ให A เปน ตําแหนงทสี่ มพรยนื อยู
AC แทนระยะความสูงจากนํ้าทะเลของหนา ผา คอื 50 เมตร
BC เปนระยะท่ีเรอื อยหู า งจากฝง

จาก AD // BC จะได CBˆA  DAˆB  300
ABC เปนรูปสามเหล่ยี มมุมฉาก

ดงั น้ัน tan 300  AC

BC
1  50
3 BC

BC  50 3  50 1.732

BC  86.6

88

แบบฝกหดั ที่ 3

1. ตนไมต นหนงึ่ ทอดเงายาว 20 เมตร แนวของเสน ตรงทีล่ ากผา นปลายของเงาตนไม และยอดตนไม ทาํ
มุม 30 องศา กบั เงาของตนไม จงหาความสงู ของตน ไม

2. วินยั ตอ งการหาความสูงของเสาธงโรงเรยี น จึงทาํ มมุ ขนาด 45 องศา เพือ่ ใชในการเล็งไปทีย่ อดเสาธง
ถา ในขณะทีเ่ ลง็ นั้นเขามองไปท่ียอดเสาธงไดพ อดี เม่อื กาวไปอยทู จี่ ดุ ซงึ่ อยูหางโคนเสาธง 16 เมตร วนิ ยั มี
ความสูง 160 เซนติเมตร จงหาวา เสาธงสงู ประมาณกีเ่ มตร

4. จดุ พลุข้ึนไปในแนวดิ่ง โดยกําหนดจดุ สงั เกตการณบ นพนื้ ดินหา งจากตําแหนง ท่จี ดุ พลุ 1 กโิ ลเมตร
ในขณะทม่ี องเหน็ พลุทํามมุ 60 องศา กบั พ้นื ดนิ พลุขนึ้ ไปสูงเทา ใด และอยหู า งจากจดุ สังเกตการณ
เปนระยะทางเทา ใด

89

บทท่ี 6
การใชเคร่ืองมือและการออกแบบผลิตภณั ฑ

สาระสาํ คญั
1. การเลือกใชเ ครือ่ งมอื ตา ง ๆ ในการสรา งรูปเรขาคณติ
2. ในชีวติ ประจาํ วัน การออกแบบวสั ดหุ รอื ครุภณั ฑ อาคารท่ีพกั อาศัย หรืออาคารสํานกั งานตา ง ๆ
จะเก่ียวขอ งกบั รูปแบบ การเลอ่ื นขนาน การหมนุ และการสะทอ น
3. การมีบรรจุภณั ฑข องสินคา ทด่ี ี สวยงาม นาสนใจ จะมสี ว นชวยในการการเพ่มิ มลู คาของสนิ คา นน้ั
ๆ ได

ผลการเรียนรทู ่คี าดหวัง
1. สรางรปู เรขาคณติ โดยใชเ คร่อื งมือได
2. วเิ คราะหและอธบิ ายความสมั พันธระหวางรูปตน แบบ และรูปที่ไดจากการเลือ่ นขนาน การ
สะทอ นและการหมนุ ได
3. นาํ สมบตั ิเก่ยี วกบั การเลื่อนขนาน การหมนุ และการสะทอ นจากการแปลงทางเรขาคณิตศาสตร
และทางเรขาคณิต ไปใชใ นการออกแบบ งานศิลปะได

ขอบขา ยเน้อื หา
เรอ่ื งท่ี 1 การสรา งรปู ทางเรขาคณติ โดยใชเ ครอ่ื งมือ
เร่อื งที่ 2 การแปลงทางเรขาคณิต
เร่อื งท่ี 3 การออกแบบเพือ่ การสรางสรรคงานศลิ ปะโดยใชการแปลงทางคณติ ศาสตร และ
ทางเรขาคณติ

90

เรื่องท่ี 1 การสรางรปู เรขาคณิตโดยใชเ ครอื่ งมอื
1.1 รูปเรขาคณติ สองมติ ิ สามารถสรางไดโ ดยใชเสน ตรง เชน ไมบ รรทดั ฟุตเหลก็ ไมฉ าก

ไมท ี เพือ่ วดั ความยาว ใชไ มโปรแทรกเตอร เพือ่ วดั มมุ หรือขนาดของมมุ ใชว งเวยี น เพอ่ื ประกอบการ
สรา งเสนโคงทแี่ ทนความยาวรอบวงกลม หรอื ชวยในการสรา งมมุ ท่มี ขี นาดทีต่ อ งการ
สมบตั ติ าง ๆ ของรูปเรขาคณิตและความสัมพนั ธระหวา งรปู เรขาคณติ

เพื่อใหน กั ศกึ ษามคี วามเขาใจในการสรา งรปู เรขาคณิตสองมติ ิ ผเู รยี นควรทบทวนสมบัติตาง ๆ
ของรปู เรขาคณิตสองมิตแิ ละสามมิติดงั นี้

1. รูปสีเ่ หลย่ี มผืนผา

1. มีมุมทง้ั ส่เี ปนมมุ ฉาก
2. ดานทอี่ ยูตรงขา มกนั ยาวเทากนั สองคแู ละขนานกัน
3. เสน ทแยงมุมแบง คร่ึงกันและกัน
4. พื้นท่ีของสเ่ี หลยี่ มผนื ผา = ความยาวของดา นกวา ง x ความยาวของดานยาว
5. ความยาวรอบรปู ของสีเ่ หล่ียมผนื ผา
= ( 2 x ความยาวของดานกวาง ) + ( 2 x ความยาวของดานยาว )

2. รูปส่ีเหลย่ี มจตั รุ ัส

1. มุมท้ังสีเ่ ปนมุมฉาก
2. ดานท้งั ส่ยี าวเทา กนั
3. เสนทแยงมุมแบงครึ่งซ่งึ กนั และกนั และต้ังฉากกนั
4. พืน้ ทข่ี องรปู ส่เี หลีย่ มจัตรุ ัส = ความยาวดาน x ความยาวดาน หรอื 1  ผลคูณของ

2

ความยาวเสนทแยงมุม
3. รูปส่ีเหลย่ี มดานขนาน

91

1. มีดานตรงกันยาวเทา กันและขนานกันสองคู
2. เสนทแยงมุมแบงครึ่งกันและกนั แตยาวไมเทา กนั
3. พ้ืนทข่ี องรูปสี่เหลีย่ มดานขนาน = ความยาวฐาน X สวนสงู
4. รปู ส่ีเหลยี่ มขนมเปยกปนู

1. มดี านตรงขา มกนั ขนานกนั สองคู
2. ดานท้ังสี่ยาวเทา กนั
3. เสน ทแยงมมุ แบงครึ่งซงึ่ กนั และกนั และตัง้ ฉากกนั
4. พน้ื ท่รี ปู สามเหลยี่ มขนมเปย กปนู = ความยาวฐาน x สว นสงู หรือ 1  ผลคูณของความยาว

2

ของเสน ทแยงมุม

92

5. รูปสเี่ หลยี่ มรปู วา ว

1. มดี านประชิดกนั ยาวเทากนั 2 คู
2. เสนทแยงมุมสองเสน ตั้งฉากกัน
3. เสนทแยงมุมแบง ครงึ่ ซึ่งกันและกนั แตยาวไมเทากัน
4. พน้ื ที่ของรูปสี่เหล่ยี มรปู วาว = 1  ผลคณู ของความยาวของเสนทแยงมมุ

2

6. รูปส่ีเหลยี่ มคางหมู

1. มดี านขนานกนั 1 คู 1
2
2. พ้นื ทข่ี องรปู ส่เี หลีย่ มคางหมู =  ผลบวกของความยาวของดานคขู นาน  สว นสงู

7. รูปวงกลม

1. ระยะทางจดุ ศนู ยกลางไปยังเสน รอบวงเปน ระยะที่เทา กนั เสมอ เรียกวา รศั มขี องวงกลม
2. เสน ผา นศูนยก ลางยาวเปน 2 เทาของรศั มี
3. พ้ืนที่วงกลม = r 2
4. ความยาวเสน รอบรปู ของวงกลม 2r

93

1.2 รูปเรขาคณิตสามมิติ
รูปเรขาคณิต สามมิตสิ ามารถแสดงรปู รา งซึง่ มีทง้ั ความกวา ง ความยาว ความสงู หรอื ความ

หนา ตวั อยางรูปทรงเรขาคณติ สามมติ ิ เชน
ปริซึม เปน รปู สามมิตทิ ่มี หี นา ตดั หัวทายเทา กนั และขนานกันและผวิ ดานขางเปน รูปสเี่ หลยี่ ม เชน

ปรซิ มึ สามเหลย่ี ม ปรซิ มึ สี่เหล่ียม ปรซิ มึ หาเหลี่ยม

พรี ะมิด เปน รปู เรขาคณิตสามมติ ิท่ีมยี อดแหลม ผวิ ดานขา งเปน รูปสามเหลยี่ ม

สงู เอยี ง

พีระมดิ ฐานสเ่ี หล่ยี ม พรี ะมดิ ฐานสามเหลย่ี ม

ตัวอยางรูปเรขาคณติ สามมติ ทิ ีพ่ บเหน็ ในชวี ิตประจาํ วนั เชน ตูเย็น เปนรูปทรงสี่เหลีย่ มมมุ ฉาก
หรอื ปริซึมสี่เหล่ยี ม ปลากระปอง เปน รปู ทรงกระบอก ไอศกรมี เปนรปู กรวยกลม เปน ตน

รปู เรขาคณติ ทีพ่ บในชวี ติ ประจําวนั โดยเฉพาะรปู เรขาคณิตสามมติ แิ ละสองมติ ิ มคี วามสัมพนั ธ
กนั อยา งมาก ซึ่งตองใชก ารสังเกตหาความสมั พนั ธ การจําแนก การเปรียบเทียบภาพทม่ี องเหน็ จะ
สามารถอธบิ ายขนาด ตําแหนง ระยะทาง และใชการคาดเดารูปรางของสิง่ ที่กาํ หนดให เมอ่ื มีการเปลี่ยน
ตาํ แหนงหรือมุมมองในดา นตาง ๆ