หนังสือเรียนสาระความรู้ พื้นฐาน รายวิชา คณิตศาสตร์ (พค31001) ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย (ฉบับปรับปรุง 2560)

144

แบบฝก หดั ท่ี 4

1. การเลอื กขอ มูลมาใชประกอบการตัดสนิ ใจตอ งอาศัยหลักการใดบา ง
2. ขอมูล ตางกบั สารสนเทศ อยางไร จงอธิบายพรอ มยกตวั อยา งประกอบดว ย

145

บทท่ี 8
ความนาจะเปน

สาระสําคัญ

1. การนบั จํานวนผลลพั ธท งั้ หมดทเ่ี กิดจากการกระทํา หรือการทดลองใดๆ ตองอาศัยกฎเกณฑการ
นับจึงจะทําใหง า ยและสะดวก รวดเร็ว

2. ความนา จะเปน คือ จํานวนท่ีแสดงใหทราบวาเหตุการณใดเหตุการณหนึ่ง มีโอกาสเกิดข้ึนมาก
หรอื นอยเพยี งใด ส่งิ ที่จําเปน ตอ งทราบทาํ ความเขาใจ คอื
- การทดลองสมุ (Random Experiment)
- แซมเปลสเปซ (Sample Space)
- เหตุการณ (Event)

3. ความนาจะเปนของเหตุการณใดๆ เปนการเปรียบเทียบจํานวนสมาชิกของเหตุการณน้ันๆ กับ
จํานวนสมาชกิ ของแซมเปล สเปซ ซง่ึ เปน คาทจ่ี ะชว ยในการพยากรณหรือการตัดสนิ ใจได

ผลการเรยี นรทู ่ีคาดหวัง
1. หาจํานวนผลลัพธที่อาจเกิดข้ึนของเหตุการณ โดยใชกฎเกณฑเบื้องตนเก่ียวกับการนับและ
แผนภาพตนไมอ ยางงายได
2. อธิบายการทดลองสุม เหตุการณ ความนาจะเปนของเหตุการณและหาความนาจะเปนของ
เหตกุ ารณท ก่ี าํ หนดใหได
3. นําความรเู กี่ยวกับความนาจะเปน ไปใชในการคาดการณแ ละชวยในการตัดสนิ ใจ

ขอบขายเนือ้ หา
เร่อื งท่ี 1 กฎเบ้ืองตน เกยี่ วกบั การนบั และแผนภาพตน ไม
เรอ่ื งท่ี 2 ความนา จะเปน ของเหตกุ ารณ
เร่ืองท่ี 3 การนําความนาจะเปน ไปใช

146

1. กฎเบ้อื งตน เก่ียวกบั การนบั และแผนภาพตน ไม

ในชีวติ ประจําวันของคนเรามกี ารกระทาํ หรอื การทดลองหลายอยางที่สามารถมวี ธิ กี ารที่จะเกดิ
ผลลพั ธไ ดหลายวธิ ี การหาจํานวนรปู แบบหรือจาํ นวนวธิ ที ี่อาจเกดิ ขนึ้ ไดจากการนับทงั้ หมด โดยมกี ฎ
เบื้องตน เกีย่ วกับการนบั จากการทาํ งานดังนี้

1. 1. การทํางานท่ีมี 2 อยางหรอื สองขนั้ ตอน

ถา งานอยางแรกมวี ธิ ที าํ ได n1 วธิ ี และในแตละวธิ ที าํ งานอยา งแรกมีวธิ ีที่จะทํางานอยา งทสี่ องได
n2 วธิ ี แลว จํานวนวิธีที่ทาํ งานทง้ั สองอยางเทากบั n1 n2 วิธี

สามารถเขียนแผนผงั การทํางานไดด งั นี้

งานอยา งท่ี 1 งานอยางท่ี 2

นบั ได n1 วิธี × n2 วธิ ี

จํานวนวธิ ที าํ งานท้ังสองอยาง = n1 × n2 วธิ ี

เพ่ือความเขา ใจใหง า ยขึ้นสามารถแจกแจงผลการนบั แตล ะวิธีไดโดยใช แผนภาพตน ไม ดงั ตัวอยาง
ตอไปน้ี

ตัวอยางท่ี 1 โยนเหรยี ญ 2 อนั พรอมกนั 1 คร้ัง เกดิ ผลลัพธไดท งั้ หมดกว่ี ิธี
วธิ ที ํา โยนเหรยี ญ 2 อนั พรอมกนั 1 ครง้ั เปนการทาํ งาน 2 อยาง

เหรยี ญท่ี 1 เหรยี ญที่ 2

จดั ได 2 × 2
งานแรก การเกดิ ของเหรียญที่ 1 เกิดได 2 วิธี คอื อาจเกดิ หวั (H ) หรอื อาจเกดิ กอ ย (T )
กไ็ ด และในแตละวธิ ีท่ีเกิดเหรยี ญท่ี 1 ยงั มวี ิธเี กิดเหรยี ญที่ 2 ไดอีก
งานท่ี 2 การเกดิ ของเหรยี ญท่ี 2 เกดิ ได 2 วิธี คอื อาจเกิดหวั (H) หรืออาจเกดิ กอ ย (T )
ดังนั้น การโยนเหรยี ญ 2 อนั พรอ มกัน 1 ครง้ั เกิดได = 2 ×2 = 4 วิธี

147

การโยนเหรยี ญ 2 เหรยี ญพรอ มกัน เปน การทาํ งานทม่ี ี 2 อยา งหรือ 2 ขนั้ ตอน สามารถแสดง
เหตกุ ารณทเี่ กดิ โดยใชแผนภาพตน ไมไ ดด งั นี้

เหรยี ญที่ 1 เหรยี ญที่ 2 เหตกุ ารณท ่เี กดิ ข้นึ

นั่นคอื โยนเหรยี ญ 2 เหรียญพรอ มกนั 1 ครง้ั เกดิ ได 4 วธิ ี คือ HH, HT, TH, TT ตอบ

ตวั อยางที 2 ชายคนหน่ึงมีเส้อื เช้ิตตา งกนั 5 ตัว

และกางเกงขายาวตา งกนั 3 ตวั

วธิ ที าํ เราสามารถใชแผนภาพตน ไมช ว ยในการหาวธิ ีทัง้ หมดท่ีเปน ไปไดแสดงไดด ังแผนภาพ
ขา งลา งนี้

จากแผนภาพตนไมจะพบวาการแตง กายของชายคนน้ีทแี่ ตกตา งกันนับไดท ้ังหมด 15 วิธี

148

ตวั อยางท่ี 3 โยนลูกเตา 2 ลกู พรอมกนั 1 ครัง้ เกิดไดท ง้ั หมดก่ีวิธี
วธิ ที ํา โยนลกู เตา 2 ลกู พรอมกัน 1 ครั้ง เปน การทํางาน 2 อยาง

ลูกท่ี 1 ลูกท่ี 2

จัดได 6 × 6

งานอยางแรก การเกิดของลูกเตาลกู ที่ 1 ซง่ึ มี 6 หนา เกดิ ได 6 วิธี คอื อาจหงายหนา 1 ,

2, 3 …., หรือ 6 )

 โยนลกู เตา 2 ลูกพรอมกัน 1 ครั้ง เกดิ ได = 6 ×6 = 36 วิธี

สามารถแจกแจงผลลัพธ ไดดังนี้

( 1 , 1) ( 1 , 2 ) (1 , 3 ) ( 1 , 4) ( 1 , 5) ( 1 , 6)

( 2 , 1) ( 2 , 2 ) (2 , 3 ) ( 2 , 4) ( 2 , 5) ( 2 , 6)

( 3 , 1) ( 3 , 2 ) (3 , 3 ) ( 3 , 4) ( 3 , 5) ( 3 , 6)

( 4 , 1) ( 4 , 2 ) (4 , 3 ) ( 4 , 4) ( 4 , 5) ( 4 , 6)

( 5 , 1) ( 5 , 2 ) (5 , 3 ) ( 5 , 4) ( 5 , 5) ( 5 , 6)

( 6 , 1) ( 6 , 2 ) (6 , 3 ) ( 6 , 4) ( 6 , 5) ( 6 , 6) ตอบ 36 วธิ ี

1. 2. การทาํ งานทีม่ ี 3 อยางหรอื สามข้นั ตอน
การนับจะมีแนวคดิ ในทาํ นองเดยี วกนั แตจํานวนขนั้ ตอนในการเขยี นแผนภาพตน ไม หรือ
การหาผลคณู คารท เี ซยี น จะมี 3 งานหรอื 3 ขนั้ ตอนที่ตอ งทําตอ เนื่องกนั ดังตวั อยางตอไปนี้
ตวั อยา งท่ี 4 บรษิ ัทรถยนตแหง หนง่ึ ผลิตตวั ถงั รถยนตออกมา 2 แบบ มเี ครอ่ื งยนต 2 ขนาด และสี
ตา ง ๆ กัน 3 สี ถาตอ งการแสดงรถยนตใหค รบทกุ แบบ ทุกขนาด และทุกสี จะตอ งใชรถยนตอ ยา ง
นอยทสี่ ุดก่ีคนั

วิธีท่ี 1 โดยใชแ ผนภาพตนไม (Tree Diagram ) จะไดผ ลดังนี้ ข้นั ท่ี 3 149
การทาํ งานมี 3 ขั้นคอื สี
ขั้นท่ี 1 ขน้ั ที่ 2 ผลงาน
ตัวถงั เครอ่ื ง

ดังนนั้ จะตอ งมรี ถยนตแสดงอยางนอย 12 คนั จึงจะครบทุกแบบทกุ สีทุกขนาด

วธิ ีท่ี 2 โดยใชผ ลคูณคารท เี ซยี น

ให A เปนเซตของตัวถังรถยนต A = { ถ1 , ถ2 }
B เปน เซตของเครอ่ื งยนต B = { ค1 , ค2 }
C เปน เซตของสีตาง ๆ B = { ส1 , ส2 , ส3 }

นําตัวถังและเคร่อื งยนตม าประกอบกนั ไดด ังนี้

A × B = { (ถ1 , ค1) , (ถ1 , ค2) , (ถ2,ค4) , (ถ2 , ค2)}

n(AxB) = n(A) x n(B) = 4 แบบ

นําตัวถงึ กบั เครอ่ื งท่ีประกอบแลว มาทาสตี าง ๆ

( A × B ) × C = { (ถ1 , ค1, ส1 ), (ถ1 , ค1, ส2 ), (ถ1 , ค1, ส3 ), (ถ1 , ค2, ส1 ), (ถ1 , ค2, ส2 ), (ถ1 , ค2, ส3 ),
(ถ2 , ค1, ส1 ), (ถ2 , ค1, ส2 ), (ถ2 , ค1, ส3 ), (ถ2 , ค2, ส1 ), (ถ2 , ค2, ส2 ), (ถ2 , ค2, ส3 )}

N ( A ×B× C ) = n(AxB) x n(C)

= n(A) x n(B) x n(C)

= 2 x 2 x 3 = 12

ดงั นัน้ ตองใชรถยนตแสดงอยา งนอ ย 12 คนั

150

เม่ือพิจารณาแผนภาพตน ไมและวธิ กี ารของผลคณู คารทเี ซียนแลว พบวา สามารถหาจาํ นวนวิธี
หรอื จํานวนรปู แบบในการทาํ งานไดเชนเดยี วกนั จากหลกั การของทัง้ สองวธิ ี จึงสามารถนาํ มาสรา งเปน
กฎเบอ้ื งตน เกยี่ วกบั การหาจํานวนวธิ ีในการทาํ งานอยา งใดอยา งหน่งึ ได โดยสรุปเปน กฎไดด งั น้ี

สรปุ ขั้นตอนในการใชกฎการนบั แกโ จทยป ญ หา
1. พิจารณาวางานหรอื เหตกุ ารณท ่โี จทยก าํ หนดมานั้นคอื อะไร จดั แบง ออกเปนกีข่ นั้ ตอนทีต่ อเน่อื งกนั
2. พจิ ารณาเงอื่ นไขตา ง ๆ ที่กําหนดมาในแตละข้ันตอน บนั ทึกไว
3. หาจํานวนวิธที ่ีสามารเลอื กทํางานไดใ นแตละขน้ั โดยตอ งเรม่ิ จากขน้ั ทีม่ เี งอ่ื นไขมากทส่ี ุดกอนแลวจงึ
พิจารณาขั้นอนื่ ๆ ทม่ี ีเงอ่ื นไขรองลงมา ตามความสําคัญ
4. นําจาํ นวนวิธที ี่ไดใ นแตละขนั้ ตอนคณู กัน จะไดจํานวนรปู แบบหรอื จํานวนวิธที ีอ่ าจเกิดขนึ้ ไดท งั้ หมด

ตวั อยางท่ี 4 ในการเลือกตั้งกรรมการชดุ หนึ่งจะประกอบไปดวย ประธาน รองประธาน เหรัญญกิ และ

เลขา โดยกรรมการแตล ะคนจะดาํ รงตําแหนงไดเ พยี งตาํ แหนง เดยี วเทา นนั้ ถา มีผสู มคั รทั้งหมด 6 คน

เปนชาย 2 คน เปนหญิง 4 คน ผลการเลอื กตัง้ กรรมการชดุ น้จี ะมีไดท้งั หมดกี่แบบตางกนั โดยที่

1. ไมม ีเงอ่ื นไขเพม่ิ เติม

2. กาํ หนดใหประธานเปน ชาย และเลขาตอ งเปนหญงิ

3. กรรมการตอ งเปน หญิงลว น ๆ

วิธที ํา มีผูสมัคร 6 คน เปนชาย 2 คน เปนหญงิ 4 คน ใหเ ลอื กกรรมการ 4 ตาํ แหนง ประธาน รอง

ประธาน เหรัญญกิ เลขา

1) ไมมเี งือ่ นไขเพ่ิมเตมิ แตล ะคนเปนไดต าํ แหนงเดยี ว

ตําแหนง ประธาน เลอื กได 6 วิธี

ตําแหนง รองประธาน เลือกได 5 วิธี

ตําแหนง เหรญั ญิก เลือกได 4 วิธี

ตําแหนงเลขา เลือกได 3 วิธี

ดังนัน้ จํานวนวธิ ีในการเลอื กกรรมการมี = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 วธิ ี

2) กาํ หนดประธานเปนชาย และเลขาตองเปนหญิง

ตาํ แหนง ประธานเปน ชาย เลือกได 2 วิธี

ตําแหนง เลขาท่ีเปน หญงิ เลือกได 4 วิธี

ตําแหนง เหรญั ญกิ (คนที่เหลือ) เลอื กได 4 วธิ ี

ตําแหนง รองประธาน เลือกได 3 วิธี (คนท่เี หลือสุดทา ย )

ดังนน้ั จํานวนวิธใี นการเลอื กกรรมการมี = 2 × 4 × 3 × 4 = 96 วธิ ี

151

3) กรรมการตอ งเปนผหู ญงิ ลวน ๆ

ตําแหนงประธานเปนชาย เลอื กได 2 วธิ ี

ตาํ แหนง เลขาเปนหญงิ เลือกได 4 วิธี

ตําแหนงรองประธาน เลือกได 4 วิธี ( เฉพาะหญงิ ทเี่ หลอื )

ตําแหนง เหรัญญกิ เลือกได 3 วิธี ( เฉพาะหญิงท่ีเหลือ )

ดงั นั้น จาํ นวนวิธใี นการเลือกกรรมการมี = 2 × 4 × 3 × 4 = 96 วธิ ี

ตัวอยางที่ 5 จากอกั ษรในคาํ วา “ PHYSIC” นํามาสรางคาํ ใหมประกอบดว ย 3 อกั ษร ตา งกนั
( ไมสนใจความหมายของคําเหลา นนั้ ) โดยท่ี

1. ไมม ีเงือ่ นไขเพิ่มเตมิ
2. ตองเปนพยญั ชนะทงั้ หมด
วิธที ํา อกั ษรในคําวา PHYSIC เปน สระ 1 ตวั และพยญั ชนะ 5 ตวั รวมทง้ั หมด 6 ตัวอกั ษร

อักษรตวั ที่ 1 2 3

1. สรางคาํ ประกอบดว ย 3 ตวั อักษร สรา งได = 6 × 5 × 4 = 120 วิธี
2. มีเงอ่ื นไขวา ตองเปนพยญั ชนะทัง้ หมด สรา งได = 5 × 4 × 3 = 60 วธิ ี

ตวั อยางที่ 6
หองประชุมแหง หนึ่งมี 3 ประตู จงหาวธิ ใี นการเดนิ เขา - ออกหอ งประชมุ โดยมีเงอื่ นไขตางกนั

ดังน้ี
1. จาํ นวนวธิ ใี นการเดนิ เขา
2. จาํ นวนวธิ ใี นการเดนิ เขา - ออก
3. จาํ นวนวธิ ีในการเดนิ เขา - ออก โดยไมซ ํา้ ประตูกนั
4. จํานวนวิธใี นการเดนิ เขา - ออก โดยใชประตูเดิม

วิธีทํา ประตูหอ งประชุมมี 3 ประตู หมายเลข 1 2 และ 3

การเดิน เขา ออก

1. จาํ นวนวธิ เี ดินเขา หอ งประชุม = 3 วิธี

2. จาํ นวนวิธกี ารเดนิ เขา - ออก =3 ×3 = 9 วิธี ( ใชประตซู ้ําได)
= 6 วธิ ี
3. จาํ นวนวธิ กี ารเดนิ เขา - ออก โดยไมซ า้ํ ประตกู นั = 3 × 2

152

4. จํานวนวิธีการเดนิ เขา - ออก โดยใชป ระตเู ดมิ = 3 × 1 = 3 วิธี
ตวั อยางท่ี 7

ครมู ีหนงั สอื 5 เลมแตกตา งกนั ตอ งการแจกใหน กั เรยี น 4 คน จงหาจํานวนวีธแี จกหนงั สอื โดยท่ี
1. ไมมีเงื่อนไขเพ่มิ เติม
2. ไมมใี ครไดห นังสอื เกนิ 1 เลม
วิธที ํา การแจกหนงั สือตองพจิ ารณาการแจกทีละเลม

หนังสอื เลมที่

1234

1. ไมมเี งอื่ นไข (แจกซ้ําได ) ดังนนั้ แจกได = 5 × 5 × 5 × 5 = 625 วธิ ี
2. ไมม ใี ครไดเ กนิ 1 เลม แปลวา ไมมใี ครไดซ ้าํ ไดแ ลวจะไมแ จกใหอกี

ดังนน้ั จะมีวธิ แี จกหนังสอื = 5 × 4 × 3 ×2 = 120 วธิ ี

153

แบบฝก หดั ที่ 1

1. โยนเหรยี ญ 1 เหรยี ญ 3 ครง้ั จงหาจาํ นวนทเ่ี หรียญจะขึ้นหนา ตางๆ โดยวิธีเขยี นแผนภมู ติ น ไม

2. ในการทดสอบวชิ าคณิตศาสตร ประกอบดว ย โจทยแ บบปรนัย 4 ตัวเลือก จํานวน 5 ขอ

โจทยแตล ะขอ มคี ําตอบทถี่ กู ตองเพยี งหนง่ึ ตวั เลอื กเทา น้ัน แลวจํานวนวิธกี ารตอบคาํ ถามที่เปน ไปได

ท้งั หมดมกี ีว่ ิธี

3. มนี ักเรยี น 5 คน ยนื เขา แถวเพ่อื ซ้อื อาหารกลางวันของรานหนง่ึ จงหาวา จํานวนวิธที ี่ยืนเขา แถวท่ี

แตกตางกัน มีทัง้ หมดกี่วธิ ี

4. มีชาย 6 คน หญงิ 5 คน ตอ งการจัดคแู ขง ขนั ระหวา งชาย 1 คน หญิง 1 คนในการแขง ขนั กฬี า

เทนนสิ มีจํานวนท้ังหมดกวี่ ิธี

5. เพอ่ื น 3 คน นกั กนั ไปรับประทานอาหารเย็นท่ภี ัตตาคารและ ซ้อื ของทหี่ า งสรรพสนิ คา โดยเลอื กท่ี

จะไปรบั ประทานอาหารและซือ้ ของ ซ่ึงมีภตั ตาคาร 5 แหง และมีหา งสรรพสนิ คา 4 แหง ท้ังสาม

คนนจี้ ะมีวิธเี ลอื กกระทาํ ดังกลาวไดท ้งั หมดกี่วธิ ี

6. บรษิ ทั แหง หน่ึงเปด รับสมัครพนกั งานเขา ทํางาน โดยพจิ ารณาจากเง่ือนไขคือ เพศชาย หญงิ ระดบั อายุ

มี 6 ระดับ และมีสาขาวิชาชีพ 10 ประเภท แลว บริษทั นจ้ี ะมวี ิธกี ารจําแนกผูสมัครไดทงั้ หมดกว่ี ิธี

7. จากการสัมภาษณรับคนเขา ทํางานจํานวน 8 คน จะมวี ธิ จี ะคัดเลือกไดพนักงานหน่งึ คนจากผเู ขา

สัมภาษณท ้งั หมด

8. จงเขียนแผนภาพตนไมเ พอ่ื แสดงผลท่ีเกดิ ขน้ึ จากการโยนเหรยี ญ 1 เหรยี ญ 4 คร้งั จงหาจาํ นวนวิธีที่

แตกตา งกนั ในการโยนเหรยี ญครัง้ นี้ โดยที่

1. ไมม หี นาหัวเลย 2. มหี นาหัวเพียง 1 ครง้ั

3. มหี นา ทงั้ 2 ครง้ั 4. มีหนาหัวเพยี ง 3 คร้ัง

5. มีหนา หวั 4 คร้ัง

154

2. ความนาจะเปนของเหตุการณ

ในชีวิตประจําวันมักพบกับการคาดคะเน หรือการประมาณเหตุการณ หรือโอกาส เพ่ือใชในการ
ตดั สินใจ โอกาสที่เหตุการณนัน้ จะเกดิ ไดม มี ากนอยเพียงใด ขึ้นอยูกับอัตราสวนระหวางจํานวนสมาชิก
ของเหตกุ ารณน้ัน กบั จํานวนคร้ังของการทาํ งานผูเ รยี นจึงตอ งทราบ และทาํ ความเขา ใจ กบั คาํ เหลา น้ี
1. การทดลองสุม (Random Experiment) คอื การทดลองทไี่ มส ามารถระบผุ ลลัพธไดอยางแนนอน แต
บอกไดว าผลลัพธข องการทดลองนนั้ มีโอกาสเกิดอะไรข้ึนไดบาง
ตัวอยางที่ 1 การทดลองโยนลูกเตา 1 ลูก 1 ครั้ง แตมที่จะเกิดขึ้นได คือ แตม 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6
ซงึ่ ไมส ามารถบอกไดว าจะเปน แตมอะไรใน 6 แตม นี้

ดังนนั้ ผลลัพธทงั้ หมดทีจ่ ะเกดิ ขึ้นคือแตม 1, 2, 3, 4, 5, 6

ตัวอยา งท่ี 2 การหยิบลกู ปงปอง 1 ลกู จากกลอ ง ซงึ่ มี 5 ลกู 5 สี ลูกปง ปองท่ีหยบิ ไดอ าจจะเปน ลูกปง ปอง
สีขาว ฟา แดง เขียว หรอื สม

ดงั น้นั ผลลัพธทงั้ หมดทีจ่ ะเกดิ ขึน้ คือ ลกู ปงปองสีขาว ฟา แดง เขียว หรือสม

ตวั อยา งที่ 3 จงเขยี นผลที่อาจจะเกดิ ข้นึ ไดท ้งั หมดในการโยนเหรยี ญบาท 1 เหรยี ญ และเหรยี ญหาสบิ
สตางค 1 เหรยี ญ
วธิ ที าํ

ในการโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ ผลทอ่ี าจเกดิ ขน้ึ คอื หัวหรอื กอย ถา ให H แทน หัว และ
ให T แทน กอย

ในการหาผลที่อาจเกิดขึน้ ไดท ง้ั หมดจากการโยนเหรยี ญบาทและเหรยี ญหา สิบสตางคอยา งละ 1
เหรียญ อาจใชแ ผนภาพชว ยไดด งั นี้

155

ฉะนั้น ถา เราใชค ูอนั ดับเขยี นผลท้งั หมดทีอ่ าจเกิดขนึ้ ไดโ ดยใหสมาชกิ ตวั หนึง่ ของคูอันดับแทนผล
ทีอ่ าจเกดิ ขน้ึ จากเหรยี ญบาท สมาชกิ ตัวทส่ี องของคูอ ันดบั แทนผลทอ่ี าจเกิดข้ึนจากเหรยี ญหา สิบ
สตางค จะได

ผลทัง้ หมดที่อาจจะเกดิ ข้ึนได คอื (H, H), (H, T), (T, H) และ (T, T)

2. แซมเปล สเปซ (Sample Space ) เปน เซตทมี่ สี มาชิกประกอบดวยสง่ิ ที่ตองการ ท้งั หมด จากการ
ทดลองอยางใดอยา งหนึ่ง ( บางคร้งั เรียกวา Universal Set ) เขียนแทนดว ย S
เชน ตัวอยา งที่ 4 ในการโยนลกู เตา ถา ตองการดวู าหนา อะไรจะขนึ้ มาจะได

ผลลัพธท่อี าจจะเกิดขนึ้ ไดค อื ลูกเตา ขึ้นแตม 1 หรือ 2 หรือ 3 หรือ 4 หรอื 5 หรือ 6
ดงั น้นั แซมเปลสเปซทไ่ี ด คอื S =  1, 2, 3, 4, 5, 6 
ตัวอยางที่ 5 จากการทดลองสมุ โดยการทดลองทอดลกู เตา 2 ลกู

1. จงหาแซมเปลสเปซของแตมของลกู เตา ทีห่ งายขนึ้
วธิ ที าํ 1. เน่อื งจากโจทยสนใจแตมของลกู เตาทีห่ งายขน้ึ ดงั นนั้ เราตอ งเขยี นแตมของลกู เตาที่มโี อกาส
ท่ีจะหงายข้นึ มาท้งั หมด และเพอื่ ความสะดวกให (a , b) แทนผลลัพธท ีอ่ าจจะเกดิ ขน้ึ โดยท่ี

a แทนแตมทห่ี งายขนึ้ ของลูกเตา ลกู แรก
b แทนแตม ทีห่ งายขนึ้ ของลูกเตา ลกู ที่สอง
ดังนั้นแซมเปล สเปซของการทดลองสมุ คอื
S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

156

3. เหตกุ ารณ (event) คือ เซตที่เปน สบั เซตของ Sample Space หรือเหตุการณท ี่เราสนใจ จากการทดลองสุม

ตวั อยางที่ 7 ในการโยนลกู เตา 1 ลูก 1 ครงั้ ถา ผลลพั ธท ี่สนใจคอื จาํ นวนแตม ทีไ่ ด จะได

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

ถาให E1 เปนเหตุการณท ่ไี ดแ ตมซง่ึ หารดว ย 3 ลงตวั จะได E1 = {3, 6}

E2 เปน เหตกุ ารณทไ่ี ดแ ตมมากกวา 2 จะได E2 = {3, 4, 5, 6}

ตัวอยางที่ 8 ถงุ ใบหนง่ึ มีลกู บอลสขี าว 3 ลกู สแี ดง 2 ลูก หยบิ ลกู บอลออกจากถงุ 2 ลูก จงหา

1. แซมเปลสเปซของสขี องลูกบอล และเหตกุ ารณทีจ่ ะไดล กู บอลสีขาว

2. แซมเปล สเปซของลกู บอลที่หยบิ มาได และเหตกุ ารณทจี่ ะไดลูกบอลเปนสีขาว 1 ลกู สีแดง

1 ลูก

วธิ ที ํา 1. เนอ่ื งจากเราสนใจเก่ยี วกบั สขี องลกู บอล และลูกบอลมีอยสู องสคี ือสขี าวและสีแดง

ดังน้นั แซมเปลสเปซ S = {ขาว, แดง}

สมมติให B เปนเหตกุ ารณท จี่ ะไดลกู บอลสขี าว

ดังนน้ั B = {ขาว}

2. เนือ่ งจากเราสนใจแซมเปลสเปซของลกู บอลแตล ะลูกท่ีถูกหยิบข้ึนมา

ดงั นัน้ แซมเปล สเปซ S คือ

S = {ข1ข2,ข1ข3,ข1ด1,ข1ด2,ข2ด3,ข2ด1,ข2ด2,ข3ด1,ข3ด2,ด1ด2}
ให C เปน เหตุการณทีผ่ ลลพั ธเปน ลกู บอลสขี าว 1 ลูก และ สีแดง 1 ลูก

ดังนัน้ เหตกุ ารณ C คอื

C = {ข1ด1,ข1ด2,ข2ด1,ข2ด2,ข3ด1,ข3ด2}
หมายเหตุ ข แทน ขาว และ ด แทน แดง

ตัวอยา งท่ี 10 โยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 2 คร้ัง จงหาผลลัพธของเหตุการณท จี่ ะออกหัวอยา งนอ ย

1 ครั้ง การหาผลลพั ธท้ังหมดที่อาจจะเกดิ ขน้ึ จากการโยนเหรยี ญบาท 1 เหรียญ 2 ครงั้

โดยใชแผนภาพตน ไม ดงั น้ี

157

ผลลพั ธทั้งหมดท่อี าจจะเกิดข้นึ จากการทดลองสมุ มี 4 แบบ คือ HH, HT, TH และ TT
นนั่ คือผลลพั ธข อง เหตกุ ารณท จี่ ะออกหัวอยางนอย 1 คร้งั มี 3 แบบ คือ HH, HT และ TH
4. ความนา จะเปน ของเหตุการณ

ความนาจะเปน ของเหตกุ ารณ คือ จํานวนท่แี สดงใหท ราบวา เหตุการณใ ดเหตกุ ารณห นงึ่ มโี อกาส
เกดิ ขนึ้ มากหรอื นอยเพียงใด

ความนาจะเปน ของเหตกุ ารณใ ด ๆ เทา กับอตั ราสว นของจํานวนเหตุการณท่ีเราสนใจ (จะใหเกิดขน้ึ
หรือไมเกดิ ขึน้ กไ็ ด) ตอ จํานวนผลลัพธท ั้งหมดทีอ่ าจจะเกดิ ขึ้นได ซ่งึ มสี ูตรในการคดิ คํานวณดงั น้ี

ความนาจะเปน ของเหตกุ ารณ = จํานวนผลลัพธของเหตุการณท่เี ราสนใจ
จาํ นวนผลลพั ธท ั้งหมดท่ีอาจจะเกิดขนึ้ ได

เมอ่ื ผลทง้ั หมดทีอ่ าจจะเกิดขน้ึ จากทดลองสุมแตละตวั มโี อกาสเกดิ ขนึ้ ไดเ ทา ๆ กนั
กําหนดให E แทน เหตุการณท ี่เราสนใจ
P(E) แทน ความนา จะเปน ของเหตกุ ารณ
n(E) แทน จาํ นวนสมาชกิ ของเหตกุ ารณ
n(S) แทน จาํ นวนสมาชิกของผลลัพธทง้ั หมดทอี่ าจจะเกดิ ขึน้ ได

ดงั นัน้ P( E ) = n(E)

n(S)

ตวั อยางท่ี 1 มลี กู ปงปอง 4 ลูก เขยี นหมายเลขกํากับไวด งั น้ีคอื 0, 1, 2, 3 ถาสุมหยิบมา 2 ลกู จงหาความ

นาจะเปน ที่จะไดผลรวมของตวั เลขมากกวา 3

วิธีทํา ให S เปน แซมเปลสเปซ

S = {(0, 1),(0, 2),(0, 3),(1, 2),(1, 3),(2, 3) }

จะได n(S) = 6

E เปนเหตุการณห รือส่งิ ที่โจทยอ ยากทราบ

E = {(1, 3),(2, 3)}

จะได n (E) = 2

นน่ั คอื จากสูตรขางบนคอื p(E)  nE แทนคา ได PE  2  1
nS 
63

ความนาจะเปนทีจ่ ะไดผลรวมของตวั เลขมากกวา 3 เทา กบั 1

3

158

ขอ สงั เกต
1. สมาชกิ ทกุ ตวั ในเหตกุ ารณ E ตองเปนสมาชกิ ในอยูใ นแซมเปล สเปซ S
ดังนน้ั 0 ≤ n(E)≤n(S)
2. ถา E เปนเหตกุ ารณใด ๆ ในแซมเปล สเปซ S จะไดว า
2.1 0≤P(E)≤1
2.2 ถา P(E)=1 หมายถงึ เหตกุ ารณน นั้ ตอ งเกิดขน้ึ แนนอน
ถา P(E)=0 หมายถงึ เหตกุ ารณน น้ั ตองไมเ กดิ
2.3 ถา S เปน แซมเปล สเปซ จะไดว า P(S)=1

159

แบบฝก หัดที่ 2

1. จากการทดลองสมุ ตอไปนี้ จงเขยี นแซมเปลสเปซและเหตุการณที่สนใจในการทดลองนน้ั ๆ
(1) ไดหวั สองเหรียญจากการโยนเหรยี ญสองอนั หน่งึ ครั้ง
(2) ไดผ ลรวมของแตมบนหนา ลูกเตาทั้งสองเปน 2 หรอื 6 จากการโยนลกู เตา สองลูกหนงึ่
คร้งั
(3) หยบิ ไดสลากหมายเลข 5 หรือ 6 หรอื 7 หรือ 8 จากสลาก 10 ใบซึ่งเขียนหมายเลข 1 ถึง
10 กํากับไว
(4) ไดนักเรยี นท่ถี นดั มือซา ยในหองเรียนท่ที า นเรยี นอยู
(5) ไดสลากท่มี รี างวลั จากการจบั สลากท่ปี ระกอบดวยสลากทมี่ รี างวลั 3 ใบ และไมม ี
รางวัล 7 ใบ
(6) ไดคําตอบจากครอบครวั 3 ครอบครวั วามจี ักรเย็บผาใชทง้ั สามครอบครวั
(7) ไดล ูกบอลสีขาว 2 ลูก สดี ํา 1 ลูก ในการหยิบลูกบอล 3 ลูก จากกลอ งซ่ึงบรรจลุ ูกบอลสี
ขาว 3 ลูก และสีดาํ 2 ลกู
(8) ไดแ ตม ทเ่ี หมือนกนั หรือไดแ ตม 2 จากลูกเตาลูกใดลกู หน่งึ ในการทอดลกู เตาพรอมกนั
สองลูก
(9) ไดหัวและแตมท่มี ากกวา 4 จากการโยนเหรยี ญหนง่ึ เหรียญและทอดลกู เตา หน่ึงลกู
หน่งึ ครัง้
(10) ไดส ที ี่ชอบคือ สฟี า หรือสชี มพจู ากการสอบถามนางสาวสชุ าดาถงึ สขี องกระดาษ
เช็ดหนา ท่ชี อบสองสีจากสีท้ังหมด 5 สี คอื ขาว ฟา ชมพู เขยี ว และเหลอื ง

1. ถา S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

1 = { 0, 2, 4, 6, 8 }

2 = {1, 3 ,5 ,7 ,9 }
3 ={ 2, 3, 4, 5 }
และ 4 = { 1, 6, 7 }
จงหาสมาชกิ ของ S ที่อยใู นเหตกุ ารณต อไปน้ี

(1) 1  3 (2) 1  2
(3) 3 (4) 3  4)  2
(6) 1 2)  3
(5) S  3 

160

2. จากเหตุการณ 1 , 2 , 3 ในขอ 2 จงเขียนแผนภาพของเวนน – ออยเลอรแสดงเหตุการณต อ ไปน้ี

(1) 1  2 (3) 1 3)  2

(2) 1 2) (4) 1 2)  3

3. ในการสํารวจอายขุ องผปู ว ยแผนกเด็ก (อายไุ มเกนิ 15 ป ) ของโรงพยาบาลแหงหนึ่ง

ถา 1 เปน เหตุการณท ีผ่ ปู วยมอี ายตุ ั้งแต 1 ถงึ 9 ป

2 เปน เหตกุ ารณท ี่ผปู ว ยมอี ายนุ อ ยกวา 5 ป

และ 3 เปนเหตกุ ารณท ่ีผูปวยมอี ายุมากกวา 9 ป

จงหา (1) 1  2 (3) 1 3  2

(2) 1  2 (4) 2  3

4 ในการจับสลาก 1 ใบ จากสลาก 10 ใบ ซึ่งมีเลข 0 ถงึ 9 กํากบั อยู ถาสนใจเลขทเ่ี ขยี นกํากบั ไวใ นสลากใบ

ท่จี บั ได โดยให

1 เปนเหตุการณทเ่ี ลขทีเ่ ขยี นกํากบั ไวเ ปนจํานวนคู
2 เปน เหตุการณท่ีเลขทเ่ี ขียนกํากับไวเ ปน จาํ นวนคี่
3 เปนเหตกุ ารณท ี่เลขท่เี ขียนกํากบั ไวเปน จาํ นวนเฉพาะ
4 เปนเหตกุ ารณท ่เี ลขทีเ่ ขียนกาํ กบั ไวเ ปนจํานวนท่ีหารดวย 3 ลงตัว
จงเขยี นเหตกุ ารณต อไปนี้ในรปู 1 , 2 , 3 หรอื 4 พรอมทัง้ แจกแจงสมาชิกเมือ่

(1) เลขทเ่ี ขียนกาํ กับไวเปน จาํ นวนคหู รือค่หี รอื จํานวนเฉพาะ

(2) เลขทเ่ี ขียนกํากบั ไวเปน จํานวนเฉพาะท่ีหารดวย 3 ลงตวั

(3) เลขทีเ่ ขียนกาํ กบั ไวไ มเ ปน จาํ นวนคี่ และไมเ ปนจํานวนที่หารดว ย 3 ลงตัว

(4) เลขทเี่ ขียนกํากบั ไวเ ปน จาํ นวนคทู ่เี ปน จาํ นวนเฉพาะ

161

4. การนําความนาจะเปน ไปใช

การนาํ ความนา จะเปนไปใช ตองการใหผทู ่ศี กึ ษาทราบวาเหตกุ ารณต างๆน้ันมีโอกาสจะเกิดขึ้น
มาก หรือนอ ยเพียงใด เพ่ือชว ยในการประกอบการตดั สินใจ เชน

ตวั อยางที่ 1 ไพส ํารับหนึ่งมี 52 ใบ แบง เปน 2 สี 4 ชนิด คือ สีแดง ไดแ กโ พแดงกับขา วหลามตดั

สีดํา ไดแ ก โพดํากับดอกจกิ แตละชนิดมี 13 ใบ จงหาความนา จะเปน ท่หี ยบิ มา 1 ใบแลวไดโ พดําหรือสี

แดง

วธิ ีทาํ S = ไพท ั้งหมดมี 52 ใบ หยบิ มาทลี ะ 1 ใบจะได 52 วธิ ี

ดงั นั้น n(S) = 52

E = ไพโพดํามี 13 ใบ และไพส ีแดงมี 26 ใบ

ดังนน้ั n(E) = 13 + 26 = 39

จากสูตร p(E)  nE แทนคา ได PE   39  3
nS 
52 4

ความนาจะเปน ทีห่ ยบิ ไพ 1 ใบแลว ไดโพดําหรอื สีแดง เทา กบั 3

4

สรปุ ไดว า ไพ 1 ใบ แลว ไดไ พโพดํา หรือโพแดงมีโอกาสเกิดขนึ้ 75 % ถือวา มโี อกาสเปนไปไดส ูง

ตัวอยา งที่ 2 ในการหยบิ สลาก 1 ใบจากสลาก 10 ใบ ซ่ึงมเี ลข 0 - 9 กํากบั อยู จงหาความนาจะเปน ท่จี ะ
หยิบไดเปน จํานวนเฉพาะสลากมีเลข 2 เลข 3 เลข 5 เลข 7
วิธีทาํ S = สลากมี 10 ใบ หยิบมาทีละ 1 ใบ จึงหยิบได 10 วธิ ี

S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,}
n(S)=10
E = สลากทเ่ี ปนจํานวนเฉพาะ
E ={2,3,5,7,}

n(E)=4

จากสตู ร p(E)  nE แทนคาได PE  4  2
nS 
10 5

ความนา จะเปนทจี่ ะหยิบไดเ ปน จํานวนจาํ เพาะ เทา กบั 2

5

สรุปไดวา ความนา จะเปน ทจี่ ะหยิบไดเ ปน จาํ นวนจําเพาะ มีโอกาสเกดิ ขนึ้ 40 % ถือวามีโอกาส

เกิดขน้ึ นอ ย

162

ตวั อยา งที่ 3 ในการทอดลกู เตา 2 ลูก พรอ มกนั 1 คร้ัง จงหาโอกาสท่ผี ลรวมของแตม เปน 13
วธิ ที ํา ลูกเตา 2 ลกู จะมผี ลรวมสูงสดุ คอื 6 + 6 = 12

โจทยต องการทราบผลรวมของแตมทจี่ ะเปน 13 จงึ เปน เหตุการณทเ่ี ปน ไปไมไ ด
โอกาสทผี่ ลรวมของแตมเปน 13 เทา กับ 0

สรุปไดวา โอกาสที่จะทอดลกู เตา 2 ลกู แลว ผลรวมของแตม เปน 13 นั้น ไมม โี อกาสเกิดขนึ้ เลย

163

แบบฝกหดั ท่ี 3

1. ในการโยนลกู เตา 1 ลกู 1 คร้งั จงหาความนาจะเปนของเหตุการณ และสรุปถงึ โอกาสทจี่ ะเกดิ ข้นึ วา
มีมากหรอื นอยเพยี งใด

1) ไดแ ตม 4
2) ไดแ ตม คู
3) ไดแตม มากกวา 4
4) ไดแตม นอยกวา 7
5) ไดแตม มากกวา 0
6) ไดแตมมากกวา 6 หรอื เปน แตมค่ี
7) ไดแตมมากกวา 3 และเปนแตม ค่ี
............................................................................................ ................................................................
.................................................................................................... ........................................................
2. ทอดลูกเตา 2 ลกู สองครัง้ ความนาจะเปนทจี่ ะไดแตมรวมเปน 7 ในครั้งแรกและไดแตม รวมเปน 10
ในครัง้ ท่ี 2 เทา กบั เทาใด
.................................................................................................... ........................................................
.................................................................................................... ........................................................
3. ชางกอสรา งกลมุ หนึง่ มี 10 คน ประกอบดว ย ชา งปนู 6 คน และชางไม 4 คน ถา ตอ งการเลอื กชาง
7 คน จากกลมุ นี้ ความนา จะเปนทจ่ี ะไดช างปนู 4 คน และชางไม 3 คน เทา กบั เทาใด
.................................................................................................... ........................................................
..................................................................................................... .......................................................
4. กลอ งใบหนง่ึ บรรจหุ ลอดไฟสแี ดง 6 หลอดซึ่งเปนหลอดดี 4 หลอดและหลอดไฟสนี ํ้าเงิน 4 หลอด
ซึ่งเปนหลอดดี 2 หลอด ในการสุม หยิบหลอดไฟครัง้ ละ 1 หลอด 2 ครงั้ แบบไมใสค ืน ความนาจะ
เปน ที่จะไดหลอดไฟสีเดียวกนั และเปน หลอดดีทงั้ สองครง้ั มีคาเทา กับเทาใด
............................................................................................... .............................................................
.................................................................................................... ........................................................
....................................................................................................................................... .....................
5. กลอ งใบหนึง่ มลี ูกบอลสแี ดง 3 ลูก และสขี าวจาํ นวนหน่งึ โดยท่ีจาํ นวนวิธีการหยิบลกู บอล 2 ลูก
เปนลูกบอลสีเหมือนกัน เทา กับ 9 ถาสุม หยบิ ลูกบอลพรอ มพนั 2 ลกู แลว ความนา จะเปนทจ่ี ะไดลูก
บอลสขี าวท้งั 2 ลูกเทากบั เทาใด
.................................................................................................... ........................................................
........................................................................................................ ....................................................
.................................................................................................... ........................................................

164

บทท่ี 9
การใชท กั ษะกระบวนการทางคณติ ศาสตรใ นงานอาชีพ

สาระสําคัญ
การประกอบอาชีพในสงั คมและในกลุมประชาคมอาเซียนน้นั มหี ลากหลายสาขาอาชีพท้งั ในดาน

อตุ สาหกรรม เกษตรกรรม พณิชยกรรม ความคิดสรา งสรรค และการบรหิ ารจดั การ อาชพี ในวงการ
ดงั กลาวลวนมกี ารใชท กั ษะกระบวนการทางคณติ ศาสตรเขา ไปเกย่ี วของเกือบทุกกลมุ อาชีพ ซงึ่ ผเู รยี น
สามารถนําความรแู ละทกั ษะท่ีไดเ รยี นคณิตศาสตรใ นระดบั มธั ยมศกึ ษาตอนปลายมาประยกุ ตใ ช

ผลการเรียนรูท ่คี าดหวัง
1. สามารถวเิ คราะหง านอาชีพในสังคมและกลุม ประชาคมอาเซยี นทีใ่ ชทักษะทางคณิตศาสตร
2. มีความสามารถในการเชือ่ มโยงความรตู าง ๆ ทางคณิตศาสตรก ับงานอาชีพได

ขอบขายเนื้อหา ลกั ษณะ ประเภทของงานอาชพี ที่ใชทกั ษะทางคณติ ศาสตร
เรือ่ งท่ี 1 การนาํ ความรูท างคณติ ศาสตรไ ปเชือ่ มโยงกับงานอาชพี ในสงั คมและ
เร่ืองที่ 2 ประชาคมอาเซียน

165

เรือ่ งท่ี 1 ลักษณะ ประเภทของงานอาชีพทใี่ ชทกั ษะทางคณติ ศาสตร
1.1 กลมุ อาชพี เกษตรกรรม ไดแก อาชพี การทํานา ทําไร การปลกู ผัก การเล้ียงสัตว ประมง ฯลฯ

(1) ลกั ษณะงานเบอื้ งตน ทใ่ี ชท ักษะทางคณติ ศาสตร
1. การสํารวจของตลาดที่จะปลกู พชื เกษตรกรรม
2. การเตรยี มพนื้ ท่ดี ิน ซึง่ ขน้ึ อยกู ับความกวา ง ความยาวของพืน้ ทว่ี า
ผปู ระกอบการใชพ ้ืนทก่ี ีไ่ ร ก่ีงาน กต่ี ารางวา ในการทําแปลง ขดุ รอง
เพื่อใชเ ปน พน้ื ที่นา 1 สว น พ้ืนทป่ี ลกู ผกั 1 สว น บอนํ้า 1 สว น
การเล้ยี งสตั ว 1 สว น พนื้ ทอ่ี ยูอาศัย 1 สวน เปนตน
3. การเตรียมเมล็ดพนั ธขุ าว ผกั และพืชพันธุอ ่ืน ๆ
4. การเตรยี มปุยวา ใชข นาดกก่ี โิ ลกรมั ตอไร
5. การรดน้าํ พรวนดิน ซงึ่ ตองกาํ หนดวา รดน้าํ วนั ละ 2 ครงั้ ในปรมิ าณมากนอย
เทาไร
6. การฉดี ยาฆา แมลงโดยใชสารกําจดั ศัตรูพืชทางชวี ภาพ เชน สะเดา และ
สมุนไพรอื่น ๆ เปนตน ใชค วามรเู รอื่ งอตั ราสวน สัดสว น เพอ่ื ผสมยากาํ จดั
ศัตรูพืชกับนา้ํ กอนฉดี พน
7. การเกบ็ เกีย่ วผลผลติ ซึ่งตอ งใชท กั ษะการคาํ นวณระยะเวลาตั้งแตก ารปลกู
จนถึงระยะการเก็บเกีย่ วผลผลิต
- การตรวจสอบความชื้นของวัสดแุ ละสถานที่เก็บผลผลิต

166

- การคํานวณพนื้ ทใี่ นการเกบ็ รกั ษาผลผลติ
8. การจําหนายผลผลติ ซ่ึงตองใชทกั ษะการจดั ทาํ บญั ชรี ับ – จาย

การจดบนั ทกึ จํานวนผลผลิตทไี่ ด
9. การคาํ นวณภาษเี งนิ ไดบคุ คลธรรมดา
(2) เคร่ืองมอื และเทคโนโลยีทใี่ ช
1. เคร่ืองคดิ เลข
2. สมุดบันทกึ รายรบั รายจายหรือคอมพิวเตอรโ นต บคุ
3. สมดุ จดบันทกึ ระยะเวลาการเจรญิ เตบิ โตตงั้ แตก ารปลกู จนถึง

การเก็บเกีย่ วผลผลติ
(3) ความรูทางคณิตศาสตรท ใี่ ช

1. การวดั ความยาว การหาพนื้ ท่ี
2. อัตราสวนในการผสมปุยตอความกวางความยาวของพื้นทด่ี ิน
3. การช่งั ผลผลิตทีไ่ ด
4. การกาํ หนดราคาขายตอกโิ ลกรัม
5. การบวก ลบ คูณ หาร เร่อื ง คา จางแรงงานและอ่นื ๆ
6. การทําบัญชีรายรบั รายจา ยประจําวนั
7. การคํานวณภาษีเงนิ ไดบ คุ คลธรรมดา
1.2 กลมุ อาชีพอุตสาหกรรม ไดแก อาชพี พนักงานในโรงงานอุตสาหกรรมตางๆ ไดแ ก อุตสาหกรรม
หองเย็น ถว ยชามอุปกรณเซรามคิ ผา ขนหนู กระดาษและสิง่ พิมพ สแตนเลส เหลก็ พลาสตกิ ปนู ซีเมนต ฯลฯ

167

(1) ลกั ษณะงานเบอ้ื งตน ทใ่ี ชทักษะคณิตศาสตร
1. การคาํ นวณเงนิ รายไดป ระจาํ วนั
2. การคาํ นวณเงนิ คาทํางานลว งเวลา
3. การคาํ นวณเงนิ กูและดอกเบยี้ คงทหี่ รือดอกเบย้ี ทบตน
4. การทําบญั ชรี ายรับ – รายจา ยประจําวนั
5. การจดั ทําบญั ชพี สั ดุ (การจดั ซ้ือ การเบกิ จา ยพัสด)ุ
6. การสํารวจและวจิ ัยการตลาด
7. การคาํ นวณภาษเี งนิ ไดบคุ คลธรรมดา

(2) เครอ่ื งมอื และเทคโนโลยที ใี่ ช
1. เคร่อื งคดิ เลข
2. เคร่ืองคอมพวิ เตอร
3. เครื่องจกั รอตุ สาหกรรมในแตล ะสาขาอตุ สาหกรรม
4. เครื่องบรรจภุ ณั ฑลงกลอ งหรอื แพ็คเปนพลาสติกหอหมุ

(3) ความรแู ละทกั ษะทางคณติ ศาสตรที่ใช
1. การคํานวณเงนิ รายไดประจาํ สปั ดาห ประจาํ เดอื นโดยหักวันลาหยุด
2. การคํานวณเงนิ คา ทํางานลว งเวลาเปนจํานวนชว่ั โมงตอคาจางรายชวั่ โมง
3. การคํานวณเงนิ กูและดอกเบีย้ (ดอกเบ้ียคงท,่ี ดอกเบย้ี ทบตน )
4. การทําบญั ชีรับ – จา ยประจาํ วนั
5. การคํานวณภาษเี งนิ ไดบคุ คลธรรมดา

1.3 กลมุ อาชพี พาณชิ ยกรรม ไดแก อาชพี คา ขาย ผูประกอบการรา นอาหารและเครอื่ งดื่ม
ผปู ระกอบการขายปลีกและขายสง ธุรกจิ การซ้ือขายอสงั หาริมทรพั ย ธุรกิจการซ้ือขายหนุ ในตลาด
หลกั ทรัพย อาชีพการทําบญั ชี การตลาด เปน ตน

168

(1) ลกั ษณะงานเบอ้ื งตน ทใ่ี ชท กั ษะคณิตศาสตร
1. การจัดเตรยี มสถานท่ี การคาํ นวณการจดั วางโตะ เกาอ้ี หรือวัสดุอปุ กรณใ น
การขาย
2. การจดั ซื้อวตั ถุดิบในการคา ขายปลกี หรือขายสง
3. การจําหนายสนิ คา การคาํ นวณราคาสินคา ตอหนวย การทอนเงิน
4. การจัดทําบัญชพี สั ดุ (การจดั ซื้อ การเบิกจา ยพัสด)ุ
5. การจดั ทาํ บัญชีรับ – จายประจาํ วนั
6. การฝากเงนิ การถอนเงนิ การออมเงนิ
7. การประชาสมั พันธใ นงานธรุ กิจคา ขายหรือพาณชิ ยกรรม ซง่ึ ตองใชท ักษะใน
การคํานวณขนาดของปา ยโฆษณา ขนาดตวั อักษร ขนาดและจํานวนแผน พบั
หรือใบปลวิ โฆษณา
8. การคํานวณภาษีเงนิ ไดบคุ คลธรรมดา

(2) เครื่องมอื และเทคโนโลยีทใี่ ช
1. เครื่องคิดเลข
2. เครื่องเก็บเงิน – ทอนเงนิ
3. เครื่องคอมพิวเตอร
4. เครอ่ื งไมโครเวฟ
5. เครอื่ งปน นา้ํ ผลไม

(3) ความรูและทกั ษะทางคณติ ศาสตรท่ใี ช
1. การคาํ นวณขนาดของพืน้ ท่ีใชส อยเพอื่ จัดวาง โตะ เกาอ้หี รือวสั ดุ อปุ กรณในการขาย
2. การคํานวณปรมิ าณการจดั ซื้อวัตถุดบิ ในแตล ะวัน
3. การคาํ นวณในการจัดซื้อพสั ดุ
4. การจดั ทาํ บัญชีรับ – จา ยประจําวนั
5. การคํานวณขนาดของปายโฆษณา ประชาสมั พนั ธหรอื แผน พับ แผนปลิวโฆษณา
6. การคาํ นวณภาษเี งนิ ไดบคุ คลธรรมดา

1.4 กลมุ อาชีพดานความคดิ สรางสรรค ไดแก ธรุ กจิ โฆษณา ธุรกิจการออกแบบตกแตงทอี่ ยอู าศัย
สํานกั งานและสวนหยอม การจดั ดอกไมแ ละแจกนั ประดับ ธรุ กิจการทาํ พวงหรดี การจดั กระเชา ของขวญั เปนตน

169

(1) ลกั ษณะงานเบอื้ งตน ทใี่ ชท ักษะคณติ ศาสตร
1. การจดั เตรียมขนาด ปริมาตร รูปทรงของพนื้ ทีห่ รอื ช้ินงานในการจดั ทําธรุ กจิ
ซงึ่ ตอ งใชก ารวดั ความกวาง ความยาว ความสงู ของพ้นื ทห่ี รือช้นิ งาน
การออกแบบรูปทรงโดยใชร ปู เรขาคณติ สามมิติ
2. การคาํ นวณปริมาณของวสั ดุอุปกรณในการใชประดิษฐส รางสรรคชน้ิ งาน
หรอื การจัดตกแตงสวนหยอม
3. การคํานวณเพอ่ื กําหนดราคาขายสนิ คา
4. การจดั ทําบัญชีพัสดุ (การจดั ซื้อ การเบกิ จา ยพัสด)ุ
5. การจดั ทําบัญชรี บั – จาย ประจําวัน
6. การประชาสมั พนั ธใ นอาชีพธรุ กจิ ทกุ ประเภท ซ่ึงตองใชท ักษะในการคํานวณ
เปนพื้นฐานในการจัดทาํ แผน ปายประชาสัมพันธหรือแผน พบั แผนปลิว
7. การคํานวณภาษเี งนิ ไดบคุ คลธรรมดา

(2) เครอ่ื งมอื และเทคโนโลยที ใี่ ช
1. เครอ่ื งคิดเลข
2. เครือ่ งคอมพิวเตอร
3. โปรแกรมสําเรจ็ รูปในการออกแบบสินคา

(3) ความรูและทกั ษะทางคณติ ศาสตรท ่ใี ช
1. การคํานวณพ้นื ท่ผี วิ ปรมิ าตรของพน้ื ที่หรือออกแบบรูปทรงทใี่ ชใน
การทํางานอาชีพ
2. การคํานวณปริมาณของวสั ดุ อปุ กรณท ใ่ี ชประดษิ ฐ สรา งสรรค ชิ้นงาน
3. การคาํ นวณตน ทนุ และกําไร เพือ่ กําหนดราคาขายสนิ คา
4. การจัดทําบญั ชีพัสดุ (การจดั ซอ้ื การเบกิ จายพสั ด)ุ
5. การจัดทําบัญชรี ับ – จายประจาํ วัน
6. การคํานวณภาษเี งนิ ไดบคุ คลธรรมดา

170

1.5 กลมุ อาชพี บริหารจดั การและการบรกิ าร ไดแ ก อาชพี กลุม งานบริการและการทองเท่ียว
งานบริการรักษาความปลอดภยั บรกิ ารดแู ลทารกและเดก็ บริการดแู ลผูสงู อายุ บริการสันทนาการและ
การกฬี า เปนตน

(1) ลกั ษณะงานเบอ้ื งตน ทใี่ ชทกั ษะคณิตศาสตร
1. การสํารวจพน้ื ทใ่ี นการใหบ รกิ าร การคํานวณระยะทางในการใหบรกิ าร
2. การจัดซอื้ วัสดุ อปุ กรณใ นการใหบริการ
3. การรบั สมคั รและกาํ หนดเงินเดือนตามตาํ แหนงงานของเจาหนาทใี่ น
การใหบรกิ าร
4. การจัดทาํ ตารางเวลา การอยูเ วร - ยามของเจาหนาทปี่ ระจาํ สํานักงาน
5. การจดั ทาํ กําหนดการทอ งเท่ยี วและการใหบริการ รวมทง้ั กําหนดราคาขาย
บรกิ ารในแตละพ้นื ที่
6. การคํานวณการใชนาํ้ มนั เช้ือเพลงิ ของยานพาหนะท่ีใหบ ริการ
7. การจัดทําบญั ชีพัสดุ และการเบกิ จา ยพสั ดุ
8. การจัดทาํ บัญชีรบั – จายประจําวนั
9. การจดั ทาํ แผนปายโฆษณา ประชาสมั พันธก ารใหบรกิ าร
10. การจัดทาํ สรุปรายงานและการนาํ เสนอขอ มลู
11. การคํานวณภาษีเงนิ ไดบ คุ คลธรรมดา

(2) เคร่ืองมือและเทคโนโลยีทใ่ี ช
1. เครือ่ งคิดเลข
2. เคร่อื งคอมพวิ เตอร
3. เครอ่ื งออกกาํ ลงั กาย
4. อปุ กรณใ นการเตรียมอาหาร น้าํ ด่มื นมแกท ารกเดก็ และผสู ูงอายุ
5. ยานพาหนะในการใหบ รกิ าร
6. แผนทีข่ องสถานท่ีหรอื จดุ ท่ใี หบรกิ าร

171

(3) ความรูและทกั ษะทางคณิตศาสตรท่ีใช
1. การคาํ นวณพ้ืนท่ีและการวัดระยะทาง
2. การคํานวณปรมิ าณของวัสดุ อปุ กรณท่จี ําเปน ตอ งจดั ซือ้ จัดหาเพ่อื ใหบรกิ าร
3. การคํานวณเงนิ เดอื นและกําหนดตําแหนง งานของเจา หนา ท่ี
4. การจัดทาํ ตารางการปฏบิ ตั ิงาน
5. การคาํ นวณการใชเช้อื เพลงิ รถยนตตอระยะทางทใ่ี หบรกิ าร
6. การจัดทําบญั ชเี บอ้ื งตน
7. การใชส ถิตใิ นการจัดทาํ สรปุ รายงานหรอื นําเสนอขอมูล
8. การคาํ นวณภาษีเงนิ ไดบ คุ คลธรรมดา

เรอ่ื งที่ 2 การนําความรทู างคณติ ศาสตรไ ปเชอ่ื มโยงกบั งานอาชีพในสังคมและประชาคมอาเซยี น
ในการนําความรคู ณิตศาสตรไ ปเชอื่ มโยงกบั งานอาชพี ท้งั 5 กลุม งานอาชพี ท้ังกลุมงานอาชพี

เกษตรกรรม กลมุ งานอาชพี อตุ สาหกรรม กลุมงานอาชีพพาณิชยกรรม กลมุ งานอาชีพความคดิ สรางสรรค
และกลมุ งานอาชพี ดา นบรหิ ารจดั การและบรกิ ารทตี่ อ งนําทักษะความรูทางคณติ ศาสตรม าใชท กุ กลมุ
อาชีพ เชน การจัดทําบญั ชีรายรับ – รายจา ยประจาํ วนั ประจาํ เดอื น การคํานวณเงนิ คา จา ง การคํานวณ
ภาษเี งินไดบ คุ คลธรรมดา เปนตน กลุมอาชีพทกุ กลมุ อาชีพอาจจะใชทกั ษะความรูคณิตศาสตรต า งกัน
ออกไป ดงั น้นั ในบทนจ้ี ะนําเสนอตวั อยางทเ่ี ปนทักษะทางคณิตศาสตรท ใี่ ชก นั มากเทา นน้ั

2.1 ทักษะการจดั ทําบญั ชีรบั - จายประจําวัน

ตวั อยา งที่ 1 การจดั ทําบัญชรี ายรบั – รายจา ยประจาํ วนั ของเกษตรกรปลกู ผัก
วันที่ 10 ตุลาคม 2554 จายคาเมล็ดพันธุและปุย 2,000 บาท คานํา้ คาไฟ 480 บาท
จา ยคา อาหาร 200 บาท ไดรบั เงนิ จากการขายผัก 1,500 บาท
วนั ที่ 12 ตุลาคม 2554 จายคา อาหาร 280 บาท จา ยคา โทรศพั ท 590 บาท
จา ยคา นาํ้ มนั รถยนต 1,100 บาท ไดรับเงนิ จากการขายผกั 3,600 บาท
วันท่ี 15 ตลุ าคม 2554 จา ยคาหนังสอื 300 บาท จา ยคาอาหาร 500 บาท จายคา น้าํ ดมื่ 250 บาท
จายคาเสอ้ื ผา 1,800 บาท ไดรบั เงินจากการขายผกั 2,200 บาท
วนั ที่ 16 ตลุ าคม 2554 จายคาอาหาร 300 บาท จายคา บัตรชมภาพยนตร 400 บาท
จายคา ถงุ พลาตกิ 480 บาท ไดร บั เงนิ จากการขายผกั 3,000 บาท

172

วัน เดอื น ป รายการรบั จาํ นวนเงนิ วัน เดือน ป รายการจา ย จํานวนเงนิ
10 ต.ค. 54 รับเงนิ จากการขายผกั บาท สต. บาท สต.
12 ต.ค. 54 รับเงนิ จากการขายผัก 2,000 -
15 ต.ค. 54 รบั เงนิ จากการขายผัก 1,500 - 10 ต.ค. 54 คา เมล็ดพันธุแ ละปุย
480 -
16 ต.ค. 54 รับเงนิ จากการขายผกั คาน้ํา คาไฟฟา 200 -
รวม 280 -
คาอาหาร 590 -
1,100 -
3,600 - 12 ต.ค. 54 คา อาหาร 300 -
500 -
คาโทรศพั ท 250 -
1,800 -
คา นา้ํ มันรถยนต 300 -
400 -
2,200 - 15 ต.ค. 54 คา หนังสอื 480 -
8,680 -
คา อาหาร 1,620 -

คา นํา้ ดม่ื

คาเสื้อผา

3,000 - 16 ต.ค. 54 คา อาหาร

คา บัตรชมภาพยนตร

คา ถุงพลาสติก

10,300 - รวม

ยอดคงเหลอื ยกไป

2.2 ทักษะการคํานวณเงนิ คา จาง

ตัวอยางที่ 2 พเยาวเปนพนกั งานทําความสะอาดของบรษิ ัทแหง หนง่ึ ซึ่งกําหนดเวลาทํางานวันจันทร
ถึงวันเสารไดรบั คา จางเปนรายวนั ๆ ละ 320 บาท พเยาวม สี ิทธไิ ดร บั คาจา งในวนั หยดุ
ตามประเพณแี ละวันหยดุ พกั ผอนประจําปโดยไมต อ งทํางาน ในเดือนตุลาคม พเยาวมา
ทาํ งานทุกวนั ในวันทาํ งานตามเวลาทาํ งานปกติ และวนั ท่ี 1 ตุลาคมตรงกบั วันจนั ทรใ น
เดือนนีม้ วี ันหยดุ ตามประเพณี 1 วนั คอื วนั ที่ 23 ตลุ าคม อยากทราบวา ในเดอื นน้ีพเยาว
ไดร บั คา จางเทา ไร

173

วิธที าํ
เดือนตลุ าคม

อาทิตย จันทร องั คาร พธุ พฤหัส ศุกร เสาร
123456

7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31

เดือนตลุ าคม พเยาวไดร ับคา จางในวันทํางาน 26 วนั และมสี ทิ ธิไดร ับคาจางในวนั หยดุ ตาม
ประเพณี 1 วัน และไดร ับคา จา งวนั ละ 320 บาท

ดังนั้น พเยาวไ ดรับคาจางในเดอื นตุลาคม = (26 + 1)  320
= 8,640 บาท

2.3 ทกั ษะการคาํ นวณเงนิ คานายหนาและเงนิ ปนผล

ตัวอยางที่ 3 นายสัญชัยเปน ตวั แทนขายเครอื่ งไฟฟา ซึ่งมีราคา 4,500 บาทใหกับบรษิ ทั แหงหนึ่ง
วธิ ที าํ
บรษิ ทั คดิ คานายหนา 10% อยากทราบวา สญั ชยั ตอ งสงเงนิ ใหบ รษิ ัทเทา ไร

บําเหนจ็ ตวั แทนในการขาย = 10  4,500 = 450 บาท
100
ดังนั้น สัญชัยตอ งสงเงินใหบริษทั = 4,500 – 450 = 4,050 บาท

ตวั อยา งท่ี 4 ภทั รามหี นุ ปรุ มิ สทิ ธิของบริษัทจําหนายเครอ่ื งใชไฟฟา แหงหน่ึง จํานวน 150 หุน มูลคา
วิธีทาํ
หนุ ละ 100 บาท อัตราเงนิ ปนผล 10% ส้ินปเ ขาจะไดร บั เงนิ ปน ผลทงั้ สน้ิ เทาไร

เงนิ ปนผลตอ หุนของหุน ปรุ มิ สทิ ธิ = อัตราเงินปน ผล  มลู คา หุนปรุ มิ สิทธิ

= 10%  100

= 10  100
100
= 10 บาท

ภัทรามหี ุนปุรมิ สิทธจิ ํานวน 150 หนุ

ดงั น้ัน ภทั ราจะไดรบั เงินปน ผลทั้งส้นิ = 150  10

= 1,500 บาท

174

2.4 ทักษะการใชสถิตใิ นการสรุปรายงานหรอื นําเสนอขอ มลู

ตวั อยางที่ 4 การสรุปรายงานการดาํ เนนิ งานโครงการอบรมคอมพวิ เตอรส าํ หรบั พนกั งาน

ผลการดําเนินงาน

บริษทั นา้ํ มนั แหงหนึ่งไดจ ดั ทาํ โครงการอบรมคอมพิวเตอรส ําหรับพนักงาน โดยดาํ เนนิ การเปน

3 รุน ดงั น้ี

รุนท่ี โปรแกรมอบรม วันทีอ่ บรม จํานวนผูเ ขาอบรม

1 การใชโ ปรแกรมไมโครซอฟท Excel 5 – 9 ก.ย. 54 10

2 การใชโ ปรแกรม PhotoShop 12 – 16 ก.ย. 54 10

3 การใชโ ปรแกรมไมโครซอฟท Access 19 – 23 ก.ย. 54 10

เมอื่ ดําเนินการอบรมและมกี ารประเมนิ ผลการอบรมโดยผจู ัดการอบรมไดด าํ เนนิ การทดสอบ
ความรู ความเขา ใจแกพ นกั งาน โดยใชแบบทดสอบกอนและหลังการอบรม เพอื่ ตรวจสอบความกา วหนา
วา ภายหลังการอบรมพนักงานไดร บั ความรูเพมิ่ ข้ึนจากชวงกอ นเขารบั การอบรมมากนอ ยเพยี งใด โดย
พจิ ารณาจากคะแนนเฉล่ยี ของผเู ขารับการอบรมในแตล ะรนุ ซง่ึ สรปุ ข้ันตอนการคาํ นวณและผลการ
ดําเนนิ การไดดังน้ี

1. นําแบบทดสอบวัดความรู ความเขา ใจในเน้ือหาการอบรมใหผูเขา อบรมทั้ง 10 คน
ตรวจใหคะแนนของผูเขาอบรมแตละคนวา ไดค นละกค่ี ะแนน ซ่ึงแตละรุน แบบทดสอบจะมคี ะแนนเตม็
20 คะแนน เทา กนั ทง้ั 3 รนุ แลว นํามากรอกคะแนนเปนรายบุคคลตั้งแตค นที่ 1 – 10 ลงในแบบบันทกึ
คะแนน เพ่ือคาํ นวณคา เฉลี่ยของคะแนน ( x ) ในแตล ะรนุ ดงั น้ี

คะแนนกอ นการอบรม คะแนนหลงั การอบรม

คนที่ (คะแนนเต็ม 20 คะแนน) (คะแนนเตม็ 20 คะแนน)

โปรแกรมรุน โปรแกรมรนุ โปรแกรมรนุ โปรแกรมรุน โปรแกรมรุน โปรแกรมรุน

ที่ 1 ท่ี 2 ท่ี 3 ท่ี 1 ที่ 2 ท่ี 3

1 8 9 7 15 14 14

2 7 6 8 14 13 13

3 9 5 9 17 12 15

4 10 7 8 16 15 12

5 7 5 7 15 11 16

6 8 8 6 14 13 14

7 6 7 10 16 12 13

175

8 11 10 9 18 14 15
6 8 13 12 13
99 5 7 14 13 12
68 79 152 129 137
10 10

คะแนนรวม 85
ของทงั้ 10 คน

คาํ นวณคะแนน ( x ) = 85  10 ( x ) = 68  10 ( x ) = 79  10 ( x ) = 152  10 ( x ) = 129  10 ( x ) = 137  10

เฉลีย่ โดยนาํ = 8.5 = 6.8 = 7.9 = 15.2 = 12.9 = 13.7

คะแนนรวม  คะแนน  คะแนน  คะแนน  คะแนน  คะแนน  คะแนน

หารดว ยจาํ นวน เฉลี่ย = เฉลย่ี = เฉลย่ี = เฉลีย่ = เฉลีย่ = เฉลย่ี =
6.8 คะแนน 7.9 คะแนน 15.2 คะแนน 12.9 คะแนน 13.7 คะแนน
คนท้ังหมด คือ 8.5 คะแนน

10 คน

คํานวณรอยละ = 8.5100 = 6.8100 = 7.9100 = 15.2100 = 12.9100 = 13.7100
ของคะแนน 20 20 20 20 20 20
เต็ม 20 คะแนน = 42.50 % = 34.00 % = 39.50 % = 76.00 % = 64.50 % = 68.50 %

2. นาํ คะแนนเฉลี่ยท่ีคาํ นวณไดและผลการคาํ นวณวา คะแนนเฉลี่ยนนั้ คิดเปนรอ ยละเทา ไรของคะแนนเตม็

จากขอ 1 มากรอกลงในตารางสรุปรายงาน ดังน้ี

คะแนนเฉลยี่ (x ) คะแนนเฉลย่ี (x )

โปรแกรมการอบรม จากคะแนนเต็ม 20 คะแนน จากคะแนนเตม็ 20 คะแนน

กอนการอบรม คดิ เปน รอยละ หลงั การอบรม คิดเปน รอยละ
ของคะแนนเต็ม ของคะแนนเต็ม

รนุ ที่ 1 การใชโปรแกรม 8.50 42.50 15.20 76.00

ไมโครซอฟท Excel

รนุ ท่ี 2 การใชโ ปรแกรม 6.80 34.00 12.90 64.50

PhotoShop

รนุ ที่ 3 การใชโ ปรแกรม 7.90 39.50 13.70 68.50

ไมโครซอฟท Access

จากตาราง พบวา เมอื่ พจิ ารณาจากคะแนนเฉลยี่ ของผเู ขา รบั การอบรมหลงั การอบรมท้งั 3 รนุ
จะเห็นไดวา มคี ะแนนเฉลี่ยเพม่ิ ข้ึนจากคะแนนเฉล่ยี กอ นการอบรมทกุ รุน กลา วคอื แสดงวา ผเู ขา รับการ
อบรมสว นใหญไ ดรบั ความรู ความเขา ใจเพมิ่ มากขนึ้ ในเน้ือหาท่ีบรษิ ัทไดจดั อบรมใหพนักงาน และพบวา
รนุ ท่ี 1 ไดค ะแนนเฉลี่ยมากท่ีสุด คอื ไดค ะแนนเฉล่ยี 15.20 คะแนน คดิ เปน รอยละ 76.00 ของคะแนนเต็ม
รองลงมา คอื รนุ ที่ 3 ไดคะแนนเฉล่ยี 13.70 คะแนน คิดเปน รอยละ 68.50 ของคะแนนเต็ม สวนรนุ ท่ี 2 นนั้
ไดค ะแนนเฉลย่ี นอ ยทส่ี ดุ คอื ไดค ะแนนเฉลี่ย 12.90 คะแนน คิดเปนรอ ยละ 64.50 ของคะแนนเต็ม

176

2.5 ทกั ษะการคํานวณภาษเี งินไดบ คุ คลธรรมดา

ตวั อยาง นายโชคไดร ับเงินเดอื น ๆ ละ 28,000 บาท ส้นิ ปสามารถหักคาใชจายไดร อ ยละ 40 ของเงินได

พงึ ประเมนิ แตไ มเ กนิ 60,000 บาท หักคา ลดหยอนผูมีเงินได 30,000 บาท หกั คาเบี้ยประกนั ชีวติ

25,000 บาท หักดอกเบยี้ เงินกยู ืมเพอ่ื ซ้อื บา น 36,450 บาท ส้นิ ปนายโชคยนื่ แบบแสดงรายการ

ภาษเี งนิ ไดบ ุคคลธรรมตองชาํ ระภาษีหรอื ไม ถา ชาํ ระตอ งชาํ ระภาษเี ปน เงินเทา ไร

วธิ ที าํ

เงินไดพ งึ ประเมนิ ของนายโชค = 28,000  12 = 336,000 บาท

หัก คาใชจา ย รอยละ 40 ของเงินไดพงึ ประเมิน แตไมเกนิ 60,000 บาท

คาใชจ าย 40  336,000 = 134,400 บาท
100
แตคา ใชจ ายของนายโชคคาํ นวณได 134,400 บาท แตส ามารถหักไดแค 60,000 บาทเทา นัน้

หกั คา ลดหยอ นผมู ีเงนิ ได 30,000 บาท

คา เบี้ยประกนั ชวี ิต 25,000 บาท

ดอกเบย้ี เงินกูยมื เพื่อซอ้ื บาน 36,450 บาท

รวมหักคาลดหยอ นได = 30,000 + 25,000 + 36,450 = 91,450 บาท

เงนิ ไดสุทธขิ องนายโชค = เงินไดพงึ ประเมิน – (คา ใชจ า ย + หักคาลดหยอน)

= 336,000 – (60,000 + 91,450)

= 184,550 บาท

ตามตารางอัตราการเสียภาษเี งินไดบคุ คลธรรมดา เงินไดสทุ ธิ 0 – 150,000 บาท ไมตองเสยี ภาษี

สว นท่ีเกนิ 150,000 – 500,000 บาท เสียภาษี 10%

นายโชคมเี งินไดส ทุ ธทิ ่ตี อ งเสยี ภาษี = 184,550 – 150,000 =34,550 บาท

= 34,550 10 = 3,455 บาท
 100
 นายโชคเสียภาษี 3,455 บาท

ตารางอัตราภาษเี งินไดบคุ คลธรรมดา

ขัน้ เงินไดสทุ ธิตงั้ แต เงนิ ไดสุทธิ เงนิ ไดสทุ ธิ อตั ราภาษี ภาษเี งินได ภาษใี นแตละ ภาษีสะสม
จาํ นวนสงู สุด แตล ะข้ัน รอ ยละ ข้นั เงินได สงู สดุ ของขน้ั

ของขั้น

0 ถึง 100,000 100,000 .......... .... 5 .............. .... ยกเวน 0

เกิน 100,000 ถงึ 150,000 50,000 .......... .... 10 .............. .... ยกเวน 0

เกิน 150,000 ถงึ 500,000 350,000 .......... .... 10 .............. .... 35,000 35,000

เกิน 500,000 ถึง 1,000,000 500,000 .......... … 20 .............. … 100,000 135,000

เกิน 1,000,000 ถึง 4,000,000 3,000,000 .......... … 30 .............. … 900,000 1,035,000

เกิน 4,000,000 บาทข้นึ ไป .......... … 37 .............. …

รวม 

177

2.6 การคํานวณในการจัดทาํ แผน ปายโฆษณาเพือ่ ประชาสัมพันธก ารใหบ รกิ าร

ตัวอยา งทําแผน โฆษณาเชญิ ชวนการทอ งเทย่ี วในจังหวดั โดยมขี นาดแผน โฆษณาทท่ี ําดว ยแผน ไวนลิ

มขี นาดกวาง 1.2 เมตร ยาว 1.5 เมตร ทางรา นคดิ คา ออกแบบ 400 บาท คา จดั ทําตารางเมตรละ

250 บาท จะตอ งจา ยเงนิ ทั้งหมดเทา ไร

วธิ ีทํา พ้นื ท่แี ผนไวนิลที่ใชโ ฆษณา = กวา ง  ยาว

= 1.2  1.5 = 1.8 ตารางเมตร

คาจัดทาํ = 1.8  250 = 450 บาท

 จะตอ งจา ยเงนิ ท้งั หมด = คาจดั ทํา + คา ออกแบบ

= 450 + 400 = 850 บาท

178

แบบฝก หดั ที่ 1
1. ศภุ างคเ ปน พนกั งานของโรงงานเย็บเสอ้ื ผาสําเร็จรปู แหง หนงึ่ ซึ่งกําหนดเวลาทาํ งานตามปกตวิ ันละ

8 ชัว่ โมง ไดร ับเงินเดือน ๆ ละ 9,000 บาท จงหาวา ศุภางคมรี ายไดว ันละเทาไร และศุภางคม รี ายได
ชว่ั โมงละเทา ไร
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
2. สุภาพเปนพนกั งานของโรงงานผลิตเคร่อื งปรบั อากาศแหงหนง่ึ ซ่ึงกาํ หนดเวลาทํางานวันจนั ทรถึง
วันศกุ รไ ดร บั คาจางเปนรายวนั ๆ ละ 370 บาท สภุ าพมีสทิ ธิไดรับคาจา งในวนั หยุดตามประเพณแี ละ
วนั หยุดพกั ผอนประจําปโ ดยไมต องทํางานในเดอื นธันวาคม สุภาพมาทํางานทกุ วนั ในวันทาํ งานตาม
เวลาทาํ งานปกติและวนั ที่ 1 ธันวาคม ตรงกับวนั อาทิตยใ นเดอื นนี้มวี นั หยดุ ตามประเพณี 3 วัน คือ
วันที่ 5, 10 และ 31 จงหาวาในเดือนธนั วาคมนี้ สภุ าพไดรบั คา จา งเทา ไร
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________

179

3. ธดิ าเปน พนักงานของบรษิ ทั แหง หน่งึ ซึ่งกําหนดเวลาทาํ งานวนั จนั ทรถ ึงวนั ศกุ ร เวลาทาํ งานปกตติ ัง้ แต

เวลา 08.00 – 17.00 น. หยุดพกั ระหวางเวลา 12.00 – 13.00 น. ธดิ ามรี ายไดเดอื นละ 12,000 บาท

ในเดอื นสิงหาคม วนั ที่ 1 ตรงกับวนั จันทรแ ละในเดือนน้มี ีวนั หยดุ ตามประเพณี 1 วัน คือ วันที่ 12

สงิ หาคม ธดิ ามสี ทิ ธไิ ดร บั คาจา งในวนั หยดุ ทกุ ประเภทโดยไมตองทาํ งาน ในเดอื นน้ธี ิดามาทาํ งาน

ทุกวัน ทาํ งานตามเวลาทาํ งานปกติ ถานายจางใหธิดามาทาํ งานในวนั หยดุ ตามประเพณี 1 วัน ไดร ับ

คา จา งอีก 1 เทา และทํางานในวนั เสารไ ดร บั คาจางเพม่ิ เปน 2 เทา ของคาจา งปกตอิ กี 4 วนั ระหวาง

เวลา 09.00 – 12.00 น. จงหาคาทํางานในวนั หยุดทั้งหมดและรายไดท้งั หมดของธิดาในเดอื นสงิ หาคมนี้

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

4. จงทาํ บญั ชีรายรับ – จายของตวั เองใน 1 สัปดาห

บัญชรี ายรับ – จายของ ...................................................

วนั เดือน ป รายการรบั จาํ นวนเงนิ วัน เดอื น ป รายการจา ย จํานวนเงนิ
บาท สต. บาท สต.

5. นางอญั ชลีเปนตัวแทนขายเครอื่ งครัวทีม่ ีราคา 45,000 บาท ใหก ับบรษิ ัทแหง หนึ่ง บรษิ ทั คดิ คานายหนา
30% อยากทราบวานางอญั ชลไี ดเ งินคานายหนา เทาไร

180

___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
6. พจมานถือหนุ ปุริมสทิ ธขิ องบริษทั ผลติ กระเบ้อื งแหงหนง่ึ จาํ นวน 1,500 หนุ มลู คา หุน ละ 160 บาท

อัตราเงนิ ปน ผล 5% เมื่อสิน้ ปพจมานจะไดเงนิ ปน ผลทงั้ หมดเทาไร
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________

181

7. สภุ ทั ราเปน พนักงานบรษิ ทั ผลติ แชมพูสระผมแหงหน่งึ ไดร ับมอบหมายจากบริษัทใหทําการสาํ รวจ
ความนยิ มของสีขวดทใี่ ชบรรจแุ ชมพสู ําหรับกลุมเปาหมายวัยรุน จาํ นวน 50 คน สภุ ทั ราจะดาํ เนินการ
อยา งไรตงั้ แตก ารสํารวจจนถงึ การนาํ เสนอขอ มลู

___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
8. ศกั ดมิ์ ีรายไดเ ดือนละ 25,000 บาท สิน้ ปสามารถหกั คา ใชจา ยไดร อยละ 40 ของเงินไดพึงประเมนิ แต

ไมเกิน 60,000 บาท สามารถหักคาลดหยอ นผูมเี งนิ ได 30,000 บาท หักคาเบ้ยี ประกนั ชวี ติ 50,000 บาท
หักคา เบยี้ ประกนั สุขภาพของมารดาของนายศกั ด์ิ 20,000 บาท ส้นิ ปนายศกั ดยิ์ น่ื แบบแสดงรายการ
ภาษีเงินไดบคุ คลธรรมดาตองชาํ ระภาษีหรือไม ถาชําระภาษเี ปนเงินเทาไร
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________

182

9. แผน ไวนลิ โฆษณาเชญิ ชวนการบรจิ าคชว ยเหลอื ผปู ระสบภัย มขี นาดกวาง 0.90 เมตร ยาว 1.8 เมตร
ทางรานคิดคาออกแบบ 500 บาท คา จัดทาํ ตารางเมตรละ 250 บาท จะตองจา ยเงินท้ังหมดเทา ไร

___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________

183

เฉลยแบบฝกหดั

184

เฉลย บทที่ 1
ระบบจาํ นวนจริง

แบบฝกหัดที่ 1

1.จาํ นวนทกี่ ําหนดใหตอไปนี้จํานวนใดเปน จํานวนนับ จาํ นวนเต็ม จาํ นวนตรรกยะ หรอื จํานวนอตรรก

ยะ

ขอ จํานวนจริง จาํ นวนนับ จํานวนเตม็ จํานวนตรรกยะ จาํ นวนอตรรกยะ

1  9, 7 ,5 2 , 2,0,1 1 0, 1, -9 -9,  7 , 5 2 ,0 ,1 2
23 3, 12 23 2
3 , 12 -13
2 5,7 7 ,3,12, 5  7 7 ,3 ,12 , 5
34 34

3 2.01,0.666...,-13 2.01, 0.666, …,-13

4 2.3030030003... 2.3030030003...

5   , 1 , 6 , 2 ,7.5 25, 3 , 12 6 , -7, 5 1 , 6 , -7.5 , 2
33 2 3 33 2
25, -17, 12
6 25,17, 12 , 9,3,12, 1  25, -17, 3 1
52 12, 9 5 2
9 , 3, 12

2. จงพิจารณาวาขอ ความตอ ไปนเ้ี ปนจริงหรือเทจ็

1) จริง
2) จรงิ
3) เท็จ
4) จรงิ
5) จรงิ
6) เทจ็

185

แบบฝก หัดท่ี 2

1. ใหผเู รยี นเติมชอ งวา งโดยใชสมบตั กิ ารเทา กัน
9. ถา a = b แลว a +5 = b + 5

10. ถา a = b แลว -3a = -3b

11. ถา a + 4 = b + 4 แลว a = b

12. ถา a +1 = b +2 และ b + 2 = c - 5 แลว a +1 = c + 5

13. ถา x2  2x  1  x  12 แลว x  12  x2  2x  1

14. ถา x  3 y แลว 2x = 3y

2

15. ถา x2  1  2x แลว x 12 = x2  2x  1

16. ถา ab  a  b แลว 1 ab = 1 (a  b)

22

2. กําหนดให a , b และ c เปนจาํ นวนจริงใดๆ จงบอกวา ขอความในแตละขอตอไปนี้เปน จรงิ ตามสมบตั ใิ ด

1) 3 + 5 = 5 + 3 สมบัตกิ ารสลับทขี่ องการบวก

2) (1+2)+3 = 1+(2+3) สมบัตกิ ารเปล่ียนกลมุ ของการบวก
3) (-9)+5 = 5 +(-9) สมบัตกิ ารสลับทข่ี องการบวก
4) (8  9) เปนจาํ นวนจริง สมบตั ิปดของการคณู
5) 5  3 = 15 = 3  5 สมบัตกิ ารสลับทข่ี องการคูณ
6) 2(a+b) = 2a +2b การแจกแจง
7) (a + b) + c = a+( b + c) สมบัตกิ ารเปลี่ยนกลุมของการบวก
8) 9a +2a = 11 a = 2a + 9a สมบัตกิ ารสลับทข่ี องการบวก
9) 4  (5 + 6) = (4  5) + (4  6) การแจกแจง
10) c(a +b) = ac +bc การแจกแจง

3 . เซตทกี่ าํ หนดใหใ นแตล ะขอตอ ไปน้ี มหี รอื ไมมสี มบตั ปิ ดของการบวกหรอื สมบตั ิปด ของการคณู

1) { 1 , 3 , 5 } มีสมบัติปด การบวก, การคณู

2) { 0 } มสี มบตั ิปด การบวก

3) เซตของจํานวนจรงิ มี

4) เซตของจาํ นวนตรรกยะ มี

5) เซตของจาํ นวนที่หารดว ย 3 ลงตัว มี

186

4. จงหาอินเวอรส การบวกของจาํ นวนในแตละขอ
1) อนิ เวอรสการบวกของ 8 คอื -8
2) อนิ เวอรสการบวกของ - 5 คือ 5
3) อินเวอรส การบวกของ - 0.567 คือ 0.567
4) อินเวอรส การคูณของ 3  2 คอื 1

3 2

5) อินเวอรสการคณู ของ 1 คอื 5  3

5 3

แบบฝก หัดที่ 3

1. ใหผเู รยี นบอกสมบัตกิ ารไมเทากนั (เมอื่ ตัวแปรเปน จํานวนจริงใดๆ)
9. ถา x  3 แลว 2x 6 สมบตั กิ ารคณู ดวยจาํ นวนเทากบั ทไี่ มเทา กบั ศนู ย
10. ถา y7 แลว -2y -14 สมบตั กิ ารคณู ดว ยจํานวนเทากบั ทไ่ี มเทากับศูนย
11. ถา x+1  6 แลว x+2  7 สมบตั กิ ารบวกดว ยจาํ นวนทเ่ี ทา กนั
12. ถา y+3  5 แลว y 2 สมบตั กิ ารตัดออกสาํ หรับการบวก
13. ถา x 7 และ 7 y แลว xy สมบตั กิ ารถา ยทอด
14. ถา a  0 แลว a+1  0 +1 สมบัติการบวกดว ยจํานวนทเี่ ทา กัน
15. ถา b 0 แลว b + (-2)  0+(-2) สมบตั กิ ารบวกดว ยจํานวนที่เทา กนั
16. ถา c -2 แลว (-1)c  (-1)(-2) สมบัตกิ ารคณู ดวยจํานวนเทากันท่ไี มเ ทา กับศนู ย

2. จงใชเ สนจํานวนแสดงลักษณะของชว งของจํานวนจรงิ ตอ ไปน้ี
1) (2,7)

2) [3,6]
3) [-1,5)

187

4) (-1,4]
5) (2, )
6) (- ,4)
7) (0,8)
8) [-5,4)

แบบฝกหดั ท่ี 4

เซตคําตอบคาํ ตอบของอสมการ คอื { x | x  -2 หรอื x  2}

-3 < x < 3

เซตคาํ ตอบคําตอบของอสมการ คอื { x | -3 < x <3}

188

เซตคําตอบคาํ ตอบของอสมการ คอื { x |1< x <7}

 X  5 หรอื  X  1
X  5 หรือ X  1

เซตคาํ ตอบคําตอบของอสมการ คือ {x|x  5 หรือ x  -1}

5 – x < 0 หรือ 5 – x > 0 0 5–x 0
-5  -x  -5
-x < -5 -x > -5 5x5
x>5 x<5
-8 < 3x – 4 < 8
-1  2x – 9  1 - 8 +4 < 3x < 8 +4
-1 + 9  2x  1 + 9 -4 < 3x < 12
8  2x  10 4 < x<4
4 x 5 3

0  6 – 3x  0 |2 – 4x < 0 หรือ 12 – 4x > 0
-6  -3x  -6 -4x < -12 หรือ – 4x > -12
2 x  0 x > 3 หรอื x < 3

189

เฉลย บทท่ี 2
เลขยกกําลงั

แบบฝกหดั ที่ 1

1. จงบอกฐานและเลขชก้ี ําลงั ของเลขยกกําลงั ตอ ไปน้ี

1) ฐานคอื 6 เลขช้ีกาํ ลงั คอื 3
2) ฐานคือ 1.2 เลขช้กี าํ ลงั คือ -5
3) ฐานคือ -5 เลขช้กี ําลังคอื 0

4) ฐานคือ 1 เลขชีก้ าํ ลงั คอื 3

2

2. จงหาคา ของเลขยกกาํ ลังตอ ไปน้ี

1) - 1,024

2) 1
625

3) 1.728

4) 27

3. จงทําใหอ ยูในรูปอยางงายและเลขชก้ี ําลงั เปน จาํ นวนเตม็

1. a8

2. 12  56  15,625

5

3.  2 20

3

4. 1.115

5. x10

190

แบบฝก หดั ที่ 2
1. จงหาคาของรากที่ n ของจาํ นวนจรงิ ตอไปนี้

1) 5
2) 8
3) -3
4) -5

5) 2

3

6) 2
7) 5
8)  64  8 ไมเ ปน จํานวนจริง
9) -2
10) 4 16  2 ไมเ ปนจํานวนจริง

2. จงเขยี นจาํ นวนตอไปนใ้ี หอยใู นรปู อยางาย โดยใชส มบตั ิของ รากที่ n

1) 52 = 5 2) 3 23 = 2
3) 3 (2)3 = (-2) 4) 5 (2)5 = (-2)
5) (3)2 = (-3) 5) 4 (2)4 = (-2)
6) 200 = 10 2 7) 75 = 5 3
8) 3 240 = 23 30 9) 45 = 3 5
10) 5 15 = 75  5 3 11) 3 81 3 32 = 63 12

12) 4 = 4 = 2 13) 5 = 35

9 93 3

82

191

แบบฝก หดั ที่ 3 3 50  65

1. จงทําจํานวนตอไปนีใ้ หอ ยใู นรูปอยางงา ย 15 2  30
1) 2x 2
2) 4
3) 2y 2
4) (-2)
5) 6 2  2  4 2  9 2

6) 3 5 10 3 52 5 =

=
7) 3 8a3  2a
8) 33 2  3 4  33 8  6

แบบฝก หดั ที่ 4
1. จงทาํ จาํ นวนตอไปนใ้ี หอยูในรปู อยา งงา ย

1) 8x2

วธิ ที ํา 8x2 = 222xx
= 2x 2

2) 3 =3
3  3 3 3
3  27

วธิ ที าํ 3

3  27

= 3 = -1

 3

3) ( 2  8  18  32)2

วธิ ที าํ ( 2  8  18  32)2  =
2

22 23 24 2

= 10 2

2

= 1002  200

192

4) 5 32  26
3 27
3

(64) 2

วธิ ีทํา 5 32  26 =  2  64
3 27 3
3  3
82 2
(64) 2

=  2  64
3 83

=  2  1

38

= 16  3  13

24 24 24

21

5) 8 3 18 2

4 144 6

21  2

วิธที ํา 8 3 18 2 = 23 3 18
 
4 144 6 4 144 6

= 43

24 9

= 23

49

1

6) 3 125  32
3 (8)2
1

(27) 2

1

วธิ ีทาํ 3 125  32 =  5  1
3 (8)2
1 49

(27) 2

=  45  4   49 = 113
 36 36 36

193

เฉลย แบบฝกหดั

บทท่ี 3 เซต

แบบฝกหดั ที่ 1
1. จงเขียนเซตตอไปนีแ้ บบแจกแจงสมาชกิ

1) { สมทุ รสาคร,สมุทรสงคราม,สุพรรณบรุ ี,สุรินทร,สรุ าษฏรธ าน,ี สมุทรปราการ,สงขลา,สระแกว ,
สระบุรี,สิงหบรุ }ี
2) { a,e,i,o,u }
3) { 100,101,…,999}
4) {2,4,6,8,10,12,14,16,18}
5) { -121,-122,-123,….}
6) { 6,7,8,9,10,11,12,13,14}
7) {  }
2. จงบอกจํานวนสมาชิกของเซตตอไปนี้

1) 1
2) 6
3) 24
4) 8
3. จงเขียนเซตตอ ไปนแี้ บบบอกเง่อื นไข
1) { x | x เปนจาํ นวนเตม็ คูและ 2  x  8 }
2) { x | x เปน จาํ นวนเตม็ บวก }
3) { x | x = x2 เปน จํานวนเต็มซงึ่ x = 1,2,3,… }
4. จงพจิ ารณาเซตตอ ไปนี้ เปน เซตวางเรอื เซตจาํ กดั หรือเซตอนันต
1) เซตจํากัด
2) เซตจํากดั
3) เซตอนันต
4) เซตวาง
5) เซตวาง
6) เซตวาง
7) เซตจาํ กดั
8) เซตวา ง
9) เซตจํากัด