ǰǰǰǰǰǰǰ ǰ ǰ ǰ ĒïïòřÖìĆÖþąìĊęǰǰ ǰÝÜĀćÙŠć×ĂÜĒêŠúą×šĂêŠĂĕðîĊĚǰ ǰ " ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ® ® ® ® ® ǰǰǰǰêĂïǰǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰǰ " ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ® ® ® ® ® ǰǰǰǰêĂïǰǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰ " ¬ ¬ ¬ ¬ ® ® ® ® ǰǰǰǰêĂïǰǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰ fl ! ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ® ® ® ® ® ǰǰǰǰêĂïǰǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰ ǰǰǰǰêĂïǰǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰǰǰǰǰǰǰǰÝÜĀćđýþđĀúČĂìĊęĕéšÝćÖÖćøÖćøĔîĒêŠúą×šĂêŠĂĕðîĊĚēé÷ĔßšìùþãĊïììüĉîćöǰ ǰǰǰǰǰǰǰǰĀćøǰǰéšü÷ǰǰ ǰǰǰǰêĂïǰǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰǰǰǰǰǰǰ oa175 ๖ 7 к9р COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
ǰǰĀćøǰǰéšü÷ǰǰ ǰǰǰǰêĂïǰǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰǰǰǰǰǰǰǰÝÜĀćÙŠćðøąöćè×ĂÜǰ ǰǰĔîøĎðìýîĉ÷öǰǰêĞćĒĀîŠÜǰ ǰǰǰǰêĂïǰǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰǰǰǰÖćøÖøąÝć÷ĔîךĂǰǰıǰǰêŠĂĕðîĊĚÖøąÝć÷ĕéšìĆĚÜĀöéÖĊęóÝîŤǰ ǰǰǰ ffi XYZ ǰǰ ǰǰǰǰêĂïǰǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰǰ fl ABCD E ǰǰ ǰǰǰǰêĂïǰǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰÝćÖñúúĆóíŤ×ĂÜÖćøÙĎèǰ fl A AB B ÝÜĀćÿĆöðøąÿĉìíĉĝ×ĂÜǰ A B ǰǰǰǰêĂïǰǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰǰǰǰǰǰ • 176 198 COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
ǰÝćÖÖćøÖøąÝć÷ǰ fl X X ǰÝÜêĂïÙĞćëćöךĂǰǰĒúąǰǰêŠĂĕðîĊĚǰ ǰÝĞćîüîóÝîŤìĊęÖøąÝć÷ĕéšìĆĚÜĀöéöĊÖĊęóÝîŤǰ ǰǰǰǰêĂïǰǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰÿĆöðøąÿĉìíĉĝ×ĂÜǰ X đðŨîđìŠćĔéǰ ǰǰǰǰêĂïǰǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰÝÜĀćÿĆöðøąÿĉìíĉĝ×ĂÜđìĂöìĊęöĊǰǰ X ǰÝćÖÖćøÖøąÝć÷ǰǰ ǰǰǰǰǰǰ XX X " X ǰǰǰǰêĂïǰǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ ǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ •177 199 COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰ Part 9ǰÙüćöîŠćÝąđðŨî Probability COMBINATORIC and PROBABILITY øć÷üĉßćÙĂöïĉîćìĂøĉÖĒúąÙüćöîŠćÝąđðŨî ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰøć÷üĉßćđóĉęöđêĉöÖúčŠöǰ1øĀĆÿüĉßćǰÙ30203 îć÷ïčâđÿøĉåǰǰÝĆîìøŤìĉîǰ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰ ǰǰǰǰ ēøÜđøĊ÷îüĉì÷ćýćÿêøŤÝčāćõøèøćßüĉì÷ćúĆ÷ǰîÙøýøĊíøøöøćßÿĞćîĆÖÜćî đ×êóČĚîìĊęöĆí÷öýċÖþćđ×êǰ12ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰ • 178 лйй COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
ðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜǰÖćøđ×Ċ÷îðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜǰ ñúÖćøđøĊ÷îøĎšǰǰđ×Ċ÷îðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜĒúąđĀêčÖćøèŤĕéšǰ ǰÖćøìéúĂÜÿčŠöǰ(Random Experiment) Āöć÷ëċÜǰÖćøìéúĂÜǰĀøČĂǰÖćøÖøąìĈàċęÜìøćïüŠćǰñúúĆóíŤǰ(outcome) ìĊęĕéšÝćÖÖćøìéúĂîĆĚîìĊęđðŨîĕðĕéšöĊ ĂąĕøïšćÜǰĒêŠĕöŠÿćöćøëøąïčĕéšĒîŠßĆéüŠćǰ ĔîÖćøìéúĂÜĒêŠúąÙøĆĚÜÝąđÖĉéñúúĆóíŤĂąĕøÝćÖñúúĆóíŤìĆĚÜĀöéđĀúŠćîĆĚîǰ đߊîǰÖćøē÷îđĀøĊ÷âǰǰÖćøē÷îúĎÖđêţćǰĄúĄ 2. ðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜǰ(Sample space) Āöć÷ëċÜǰđàê×ĂÜñúúĆóíŤìĊęđøćÿîĔÝǰàċęÜđðŨîĕðĕéšìĆĚÜĀöéÝćÖÖćøìéúĂÜÿčŠöǰ ĔßšÿĆâúĆÖþèŤǰS ĒìîðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜǰ 3. đĀêčÖćøèŤǰ(Event) Āöć÷ëċÜǰÿĆïđàê×ĂÜðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜǰĔßšÿĆâúĆÖþèŤǰE ĒìîđĀêčÖćøèŤǰ éĆÜîĆĚîǰE đðŨîđĀêčÖćøèŤ×ĂÜðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜǰS ÖĘêŠĂđöČęĂǰE ؿS f Ǥ S Āöć÷đĀêčǰǰ ǰÿćöćøëéĈđîĉîÖćøìćÜđàêĕéšǰÖĆïđĀêčÖćøèŤÿĂÜđĀêčÖćøèŤĔéėǰēé÷öĊǰS đðŨîđĂÖõóÿĆöóĆìíŤ 2. đóøćąüŠć ؿ S ĒúąǰS ؿ S éĆÜîĆĚîǰ ĒúąǰS đðŨîđĀêčÖćøèŤ 3. ëšćǰS đðŨîđàêÝĈÖĆéǰĒúąǰE đðŨîđĀêčÖćøèŤĒúšüǰE đðŨîđàêÝĈÖĆéǰēé÷ìĊęǰ 0 n(E) n(S) n(E) = 0 đöČęĂǰE = n(E) = n(S) đöČęĂǰE = S 4. ÝĈîüî×ĂÜđĀêčÖćøŤìĆĚÜĀöéÝćÖÖćøìéúĂÜÿčŠöìĊęöĊðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜǰS đìŠćÖĆïǰ2 n(S) êĆüĂ÷ŠćÜìĊę1 ÝÜđ×Ċ÷îđàêǰS ìĊęöĊðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜ×ĂÜÖćøìéúĂÜÿčŠöêŠĂĕðîĊĚ ÖćøÝĆïÿúćÖìĊęöĊĀöć÷đú×ǰ1-10 öćÝĈîüîǰǰ1 Ĕï 4ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} ร 179 лй1 COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
กลุ$มโรงเรียนวิทยาศาสตร4จุฬาภรณราชวิทยาลัย 1 B U M 34 = 100-(50 + 16) เอกสารประกอบการเรียน วิชา คอมบินาทอริกและความน$าจะเปBนเบื้องตEน ใบความรูEที่ เรื่อง ความน$าจะเปBน การใชEเซตช$วยหาความน$าจะเปBนของเหตุการณ4 แผนภาพของเวนน4 – ลอยเลอร4 (Venn – Euler Diagrams) มาแกEป^ญหาความน$าจะเปBน ตัวอย$างที่ 24 นักเรียนมัธยมศึกษาป1ที่ 6 จำนวน 100 คน มีนักเรียน 50 คน ที่ชอบเรียนคณิตศาสตรB มี 29 คนชอบเรียนเคมี และ มี 13 คน ชอบเรียนทั้งคณิตศาสตรBและเคมี จงหาความนLาจะเปMนที่ 1) นักเรียนที่ชอบเรียนคณิตศาสตรB หรือ เคมี 2) นักเรียนที่ชอบเรียน เคมี แตLไมLชอบเรียนคณิตศาสตรB 3) นักเรียนที่ไมLชอบเรียน เคมี วิธีทำ เขียนแผนภาพของเวนนB – ลอยเลอรB (Venn – Euler Diagrams) ดังนี้ ใหfU แทนจำนวนนักเรียนทั้งหมด M แทนเหตุการณBที่นักเรียนที่ชอบเรียน คณิตศาสตรB B แทนเหตุการณBที่นักเรียนที่ชอบเรียน เคมี จากแผนภาพจะไดf 1) ความนLาจะเปMนที่นักเรียนที่ชอบเรียนคณิตศาสตรB หรือ เคมีเทLากับ = = = 3) ความนLาจะเปMนที่นักเรียนที่ชอบเรียน เคมี แตLไมLชอบเรียนคณิตศาสตรB = = n S( ) =100 PM B ( ) È 100 ++ 161337 100 66 50 33 PB M ( ) Ç ¢ 100 16 25 4 50-13 = 37 13 29-13 = 16 • • 180 • лйл COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
กลุ$มโรงเรียนวิทยาศาสตร4จุฬาภรณราชวิทยาลัย 2 2) ความนLาจะเปMนที่ไมLชอบเรียน เคมี = = หรือ = = 1 - = ตัวอย$างที่ 25 จากการสอบถามนักเรียน 100 คน ปรากฏผลดังนี้ 41 คน ชอบวิชาคณิตศาสตรB 26 คน ชอบวิชาภาษาอังกฤษ 29 คน ชอบวิชาวิทยาศาสตรB 5 คน ชอบทั้งสามวิชา 8 คน ชอบทั้งวิชาวิทยาศาสตรBและภาษาอังกฤษ 19 คน ชอบทั้งวิชาคณิตศาสตรBและภาษาอังกฤษ 15 คน ชอบทั้งวิชาคณิตศาสตรBและวิทยาศาสตรB จงหาความนLาจะเปMนที่ 1) นักเรียนที่ไมLชอบเรียนทั้งสามวิชา 2) นักเรียนที่ชอบเรียนเพียงวิชาเดียว 3) นักเรียนที่ชอบเรียนเพียงสองวิชา วิธีทำ เขียนแผนภาพของเวนนB – ลอยเลอรB (Venn – Euler Diagrams) ดังนี้ 41 – (14+5+10) = 12 26 - (14+5+3) = 4 29 – (10+5+3) = 11 ใหfU แทนจำนวนนักเรียนทั้งหมด A แทน จำนวนนักเรียนที่เลือกเรียนวิชาคณิตศาสตรB B แทน จำนวนนักเรียนที่เลือกเรียนวิชาภาษาอังกฤษ C แทน จำนวนนักเรียนที่เลือกเรียนวิชาวิทยาศาสตรB จากแผนภาพจะไดf n(S) = 100 1) ความนLาจะเปMนที่นักเรียนที่ไมLชอบเรียนทั้งสามวิชาเทLากับ P((AÈBÈC)/ ) = 2) ความนLาจะเปMนที่นักเรียนที่ชอบเรียนเพียงวิชา P((A-(BÈC))È(C-(AÈB))È(B-(AÈC))) = = P B( )¢ 100 + 3437 100 71 P B( )¢ 1- P B( ) 100 29 100 71 100 41 100 1112 ++ 4 100 27 A B C 100- (41+4+3+11)=41 U 19-5 = 14 8-5=3 5 15-5=10 กรอง 181 • лйм COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
กลุ$มโรงเรียนวิทยาศาสตร4จุฬาภรณราชวิทยาลัย 3 3) ความนLาจะเปMนที่นักเรียนที่ชอบเรียนเพียงสองวิชา P(((AÇB)-(AÇBÇC))È((AÇC)-(AÇBÇC))È((BÇC)-(AÇBÇC))) = = ตัวอย$างที่ 26 ในการดึงไพL 5 ใบ ออกจากไพLสำรับหนึ่งซึ่งมี 52 ใบ จงหาความนLาจะเปMนที่ไพLทั้งหมดเปMนชุด เดียวกัน วิธีทำ สมมติใหf E1 แทนเหตุการณBที่ดึงไพLทั้ง 5 ใบ เปMนไพLโพดำ E2 แทนเหตุการณBที่ดึงไพLทั้ง 5 ใบ เปMนไพLโพแดง E3 แทนเหตุการณBที่ดึงไพLทั้ง 5 ใบ เปMนไพLขfามหลามตัด E4 แทนเหตุการณBที่ ดึงไพLทั้ง 5 ใบ เปMนไพLดอกจิก และ S เปMนแซมเปwลสเปซ จากโจทยB E1, E2, E3, E4 เปMนเหตุการณBที่ไมLเกิดรLวมกัน แสดงวLา !(#$ ∪ #& ∪ #' ∪ #() = !(#$) + !(#&) + !(#') + !(#() = -(./) -(0) + -(.1) -(0) + -(.2) -(0) + -(.3) -(0) = 4 /2 5 6 4 51 5 6 + 4 /2 5 6 4 51 5 6 + 4 /2 5 6 4 51 5 6 + 4 /2 5 6 451 5 6 100 1014 ++ 3 100 27 สมบัติบางประการเกี่ยวกับความน$าจะเปBน กำหนด แทนเหตุการณB และ แทนปริภูมิตัวอยLาง 1. 2. ก็ตLอเมื่อ 3. ก็ตLอเมื่อ กฎที่สำคัญบางประการเกี่ยวกับความน$าจะเปBน กำหนด แทนเหตุการณBใดๆในปริภูมิตัวอยLาง 1. 2. !(7 ∪ 8) = !(7) + !(8) เมื่อ 7 ∩ 8 = ∅ 3. 4. 5. ถfา 7 ⊂ 8 แลfว !(7) ≤ !(8) % 182 ตลอดมา • лйн COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
กลุ$มโรงเรียนวิทยาศาสตร4จุฬาภรณราชวิทยาลัย 4 จะไดf !(#$ ∪ #& ∪ #' ∪ #() = 4>13 5 B >52 5 B ดังนั้นความนLาจะเปMนที่ไพLทั้งหมดเปMนชุดเดียวกัน เทLากับ (4 /2 5 6 4 51 5 6 ตัวอย$างที่ 27 อาคารหลังหนึ่งมีลิฟตB 2 เครื่อง ความนLาจะเปMนที่ลิฟตBเครื่องแรกและเครื่องที่สองรออยูLชั้นลLาง เปMน 0.20 และ 0.30 ตามลำดับ และความนLาจะเปMนที่จะมีลิฟตBทั้งสองเครื่องรออยูLพรfอมกันที่ชั้นลLาง. เปMน 0.06 ความนLาจะเปMนที่จะมีลิฟตBรออยูLชั้นลLางเพียงเครื่องเดียวเทLากับเทLาใด วิธีทำ สมมติใหf A แทนเหตุการณBที่ลิฟตBเครื่องแรกรออยูLชั้นลLาง และ B แทนเหตุการณBที่ลิฟตBเครื่องที่สองรออยูLชั้นลLาง จากโจทยBจะไดf P(A) = 0.20 , P(B) = 0.30 และ P(A Ç B) = 0.06 จากสูตร P(A - B) = P(A) - P(A Ç B) = 0.20 – 0.06 = 0.14 แสดงวLา P(A - B) = 0.14 และ P(B - A) = P(B) - P(A Ç B) = 0.30 – 0.06 = 0.24 แสดงวLา P(B - A) = 0.24 ดังนั้น ความนLาจะเปMนที่จะมีลิฟตBรออยูLชั้นลLางเพียงเครื่องเดียวเทLากับ P(A - B) + P(B – A) = 0.14 + 0.24 = 0.38 ตัวอย$างที่ 28 จากการสำรวจประชากรของหมูLบfานแหLงหนึ่ง ปรากฏวLาความนLาจะเปMนของครอบครัวที่ทำ สวนลำไยเทLากับ 0.5 ความนLาจะเปMนของครอบครัวที่ทำสวนลิ้นจี่เทLากับ 0.7 และความนLาจะเปMนของ ครอบครัวที่ทำสวนลำไยและลิ้นจี่เทLากับ 0.3 ถfาหมูLบfานแหLงนี้มีประชากรอยูL 200 ครอบครัว แลfวจำนวน ครอบครัวที่สวนลำไยหรือสวนลิ้นจี่เทLากับเทLาใด วิธีทำ สมมติใหf A แทนเหตุการณBที่ครอบครัวทำสวนลำไย และ B แทนเหตุการณBที่ครอบครัวทำสวนลิ้นจี่ จากโจทยBจะไดf P(A) = 0.5 , P(B) = 0.7 และ P(A Ç B) = 0.3 จากสูตร P(A È B) = P(A) + P(B) - P(A Ç B) = 0.5 + 0.7 – 0.3 = 0.9 แสดงวLา P(A È B) = 0.9 183 า+คา oeoeeocos лйо COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
กลุ$มโรงเรียนวิทยาศาสตร4จุฬาภรณราชวิทยาลัย 5 เนื่องจาก !(7 ∪ 8) = -(D∪E) -(0) 0.9 = -(D∪E) &II n(A È B) = 0.9(200) = 180 ดังนั้น จำนวนครอบครัวที่สวนลำไยหรือสวนลิ้นจี่เทLากับ 180 ครอบครัว ตัวอย$างที่ 29 ใหf และ เปMนเหตุการณBใดๆ ในแซมเปwลสเปซ และ ดังนั้น มีคLาเทLาใด วิธีทำ เนื่องจาก A/ È B = A/ + B – (A/ Ç B) แสดงวLา P(A/ È B) = P( A/ )+ P(B) – P(A/ Ç B) = P( A/ )+ P(B) – P(B - A) 0.8 = P( A/ )+ 0.5 – 0.3 0.8 = P( A/ )+ 0.2 P( A/ ) = 0.6 1 – P(A) = 0.6 P(A) = 0.4 ตัวอย$างที่ 30 นายสมนึก นายเกษม และนายเอก เปMนนักเรียนชั้นเดียวกัน กำลังสอบวิชาคณิตศาสตรBซึ่ง โอกาสที่นายสมนึกจะไดfเกรด A ในวิชาคณิตศาสตรBมีคLาเปMน 0.3 โอกาสที่นายเกษมจะไดfเกรด A ในวิชา คณิตศาสตรBมีคLาเปMน 0.4 โอกาสที่นายเอกจะไดfเกรด A ในวิชาคณิตศาสตรBมีคLาเปMน 0.2 จงหาความนLาจะเปMน ที่จะมีสัก 2 คนไดfเกรด A วิธีทำ สมมติใหf E1 แทนเหตุการณBที่นายสมนึกไดfเกรด A E2 แทนเหตุการณBที่นายเกษมไดfเกรด A และ E3 แทนเหตุการณBที่นายเอกไดfเกรด A จากโจทยB !(#$) = 0.3 จะไดf P(E1 / ) = 0.7 !(#&) = 0.4 จะไดf P(E2 / ) = 0.6 !(#') = 0.2 จะไดf P(E3 / ) = 0.8 พบว$า ความนLาจะเปMนที่จะมี 2 คนไดfเกรด A = P(E1)P(E2) P(E3 / ) + P(E1)P(E2 / ) P(E3) + P(E1 / )P(E2) P(E3) = (0.3)(0.4)(0.8) + (0.3)(0.6)(0.2) + (0.7)(0.6)(0.2) = 0.096 + 0.036 + 0.056 = 0.188 ดังนั้น ความนLาจะเปMนที่จะมีสัก 2 คนไดfเกรด A = 0.188 A B S PA B PB A PB ( ) ( ) () ¢È = 0.8, 0.3, 0.5 - = = P A( ) -๊184 • лйп COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
กลุ$มโรงเรียนวิทยาศาสตร4จุฬาภรณราชวิทยาลัย 6 ความน$าจะเปBนของเหตุการณ4ที่เปBนอิสระต$อกัน (Independent Events) ขEอกำหนด ถfาการเกิดเหตุการณB #$ ไมLมีผลตLอการเกิดเหตุการณB #& แลfวเหตุการณB #& เปMนอิสระจากเหตุการณB #$ พบวLา !(#$⋂#&) = !(E$) ∙ !(#&) สิ่งที่ควรทราบ ถfา #$, #&, #', . . . , #- เปMนอิสระจากเหตุการณBที่เปMนอิสระตLอกันแลfว !(#$⋂#& ∩ #' ∩. . .∩ #-) = !(E$) ∙ !(#&) ∙ !(#') ∙. . .∙ !(#-) ตัวอย$างที่ 31 โยนเหรียญ 1 เหรียญ และลูกเตÅา 1 ลูก พรfอมกัน จงหาความนLาจะเปMนที่เหรียญ จะขึ้นกfอย และลูกเตÅาขึ้นแตfมมากกวLา 3 วิธีทำ สมมติใหf E1 แทนเหตุการณBที่เหรียญขึ้นกfอย E2 แทนเหตุการณBที่ลูกเตÅาขึ้นแตfมมากกวLา 3 เนื่องจาก การขึ้นหัวของเหรียญ และของลูกเตÅาเปMนอิสระตLอกัน จะไดf !(#$) = $ & และ !(#&) = ' N = $ & และ !(#$⋂#&) = !(E$) ∙ !(#&) = $ & ∙ $ & = $ ( ดังนั้น ความนLาจะเปMนที่เหรียญ จะขึ้นกfอยและลูกเตÅมขึ้นแตfมมากกวLา 3 เทLากับ $ ( ตัวอย$างที่ 32 หยิบไพL 2 ใบจากไพLสำหรับหนึ่ง ถfาหยิบไพLใบแรกออกมาแลfวใสLกลับคืนใสคืนกLอนจะหยิบไพLใบ ที่สอง แลfวจงหาความนLาจะเปMนที่ไพLทั้งสองใบนั้นเปMน K วิธีทำ สมมติใหf E1 แทนเหตุการณBที่หยิบไพLใบแรกเปMน K E2 แทนเหตุการณBที่หยิบไพLใบที่สองเปMน K เนื่องจาก หยิบไพLใบแรกแลfวใสLกลับคืนในสำรับตามเดิมกLอนจะหยิบไพLใบที่สอง แสดงวLา E1 และ E2 เปMนอิสระตLอกัน จะไดf !(#$) = ( O& และ !(#&) = ( O& และ !(#$⋂#&) = !(E$) ∙ !(#&) = ( O& ∙ ( O& = $ $NP ดังนั้น ความนLาจะเปMนที่ไพLทั้งสองใบนั้นเปMน K เทLากับ $ $NP /ว 185 • лйр COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
กลุ$มโรงเรียนวิทยาศาสตร4จุฬาภรณราชวิทยาลัย 7 ตัวอย$างที่ 33 หยิบไพL 2 ใบจากไพLสำหรับหนึ่ง ถfาหยิบไพLใบแรกออกมาแลfวใสLคืนกLอนจะหยิบไพLใบที่สอง แลfวความนLาจะเปMนที่ไพLทั่ง 2 ใบนั้น เปMน J, Q หรือ K วิธีทำ สมมติใหf E1 แทนเหตุการณBที่หยิบไพLใบแรกเปMน J , Q หรือ K E2 แทนเหตุการณBที่หยิบไพLใบที่สองเปMน J , Q หรือ K เนื่องจาก หยิบไพLใบแรกแลfวใสLกลับคืนในสำรับตามเดิมกLอนจะหยิบไพLใบที่สอง แสดงวLา E1 และ E2 เปMนอิสระตLอกัน จะไดf !(#$) = $& O& และ !(#&) = $& O& และ !(#$⋂#&) = !(E$) ∙ !(#&) = $& O& ∙ $& O& = P $NP ดังนั้น ความนLาจะเปMนที่ไพLทั้งสองใบนั้นเปMน J , Q หรือ K เทLากับ P $NP ตัวอย$างที่ 34 กลLองใบหนึ่งมีลูกปwงปอง สีขาว 6 ลูก สีแดง 4 ลูก สีฟÖา 5 ลูก ถfาหยิบออกมาแบบสุLมๆ 3 ลูก ทีละลูก โดยแตLละลูกหยิบออกมาคืนกลับในกลLอง แลfวจงหาความนLาจะเปMนที่จะหยิบลูกปwงปองออกเปMนสีขาว สีแดง และสีฟÖา ตามลำดับ วิธีทำ สมมติใหf E1 แทนเหตุการณBที่หยิบครั้งแรกไดfลูกปwงปองสีขาว E2 แทนเหตุการณBที่หยิบครั้งที่สองไดfลูกปwงปองสีแดง E3 แทนเหตุการณBที่หยิบครั้งที่สามไดfลูกปwงปองสีฟÖา เนื่องจาก ลูกปwงปองแตLละลูกที่หยิบออกมาจะตfองนำกลับคืนในกลLอง แสดงวLา E1 , E2 และ E3 เปMนอิสระตLอกัน จะไดf !(#$) = N $O , !(#&) = ( $O และ !(#') = O $O และ !(#$⋂#& ∩ #') = !(E$) ∙ !(#&) ∙ !(#') = N $O ∙ ( $O ∙ O $O = Q &&O ดังนั้นความนLาจะเปMนที่จะหยิบลูกปwงปองออมเปMนสีขาว สีแดง และสีฟÖา เทLากับ Q &&O ทฤษฎีบทที่ 1 ถfา A และ B เปMนเหตุการณBที่เปMนอิสระตLอกันแลfว Ac และ Bc จะเปMนอิสระตLอกันดfวย นั่นคือ !(7R ∩ 8R) = !(7R)!(8R) พิสูจน4 เพราะวLา !(7R ∪ 8R) = !(7R) + !(8R) − !(7R ∩ 8R) ![(7 ∩ 8 )R] = !(7R) + !(8R) − !(7R ∩ 8R) 1 − !(7 ∩ 8) = !(7R) + !(8R) − !(7R ∩ 8R) !(7R ∩ 8R) = !(7R) + !(8R) − 1 + !(7 ∩ 8) = (1 − !(7)) + (1 − !(8)) − 1 + !(7 ∩ 8) = 1 − !(7)) − !(8)) !(7) !(8) = (1 − !(7)) (1 − !(8)) = !(7R)!(8R) • • 186 • лй8 COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
กลุ$มโรงเรียนวิทยาศาสตร4จุฬาภรณราชวิทยาลัย 8 ทฤษฎีบทที่ 2 ถfา A และ B เปMนเหตุการณBที่เปMนอิสระตLอกันแลfว A และ Bc จะเปMนอิสระตLอกันดfวย นั่นคือ !(7 ∩ 8R) = !(7)!(8R) พิสูจน4 เพราะวLา 7 = (7 ∩ 8) ∪ (7 ∩ 8R) และ (7 ∩ 8) ∩ (7 ∩ 8R) = ∅ ดังนั้น !(7) = !((7 ∩ 8) ∪ (7 ∩ 8R)) = !(7 ∩ 8) + !(7 ∩ 8R) = !(7)!(8) + !(7 ∩ 8R) !(7 ∩ 8R) = !(7) − !(7)!(8) = !(7)(1 − !(8)) = !(7)!(8R) ทฤษฎีบทที่3 ถfา A และ B เปMนเหตุการณBที่เปMนอิสระตLอกันแลfว A และ Bc จะเปMนอิสระตLอกันดfวย นั่นคือ !(7R ∩ 8) = !(7R)!(8) พิสูจน4 พิสูจนBไดfในทำนองเดียวกันกับทฤษฎีบทที่ 2 ตัวอย$าง ทอดลูกเตÅาที่เที่ยงตรง 2 ลูกพรfอมกัน ใหf A1 เปMนเหตุการณBของการหงายแตfมคี่จากลูกเตÅาลูกที่ 1 A2 เปMนเหตุการณBของการหงายแตfมคี่จากลูกเตÅาลูกที่ 2 A3 เปMนเหตุการณBของแตfมรวมเปMนเลขคี่จาการทอดลูกเตÅา 2 ลูก จงตรวจสอบวLา A1 , A2 , A3 เปMนอิสระกันระหวLางคูLหรือไมL และ A1 , A2 , A3 เปMนอิสระกันทั้งหมดหรือไมL วิธีทำ ความนLาจะเปMนของการหงายแตfมคี่จากลูกเตÅาลูกที่ 1 , 2 และ 3 คือ !(7$) = !(7&) = !(7') = $ & !(7$ ∩ 7&) = V 1 2 W V1 2 W = !(7$) !(7&) !(7$ ∩ 7') = V 1 2 W V1 2 W = !(7$) !(7') !(7& ∩ 7') = V 1 2 W V1 2 W = !(7&) !(7') แสดงวLา A1 , A2 , A3 เปMนอิสระกันระหวLางคูL แตL !(7$ ∩ 7& ∩ 7') = 0 ≠ !(7$) !(7&) !(7') แสดงวLา A1 , A2 , A3 ไมLเปMนอิสระกันทั้งหมด • •187 oo лй9 COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
กลุ$มโรงเรียนวิทยาศาสตร4จุฬาภรณราชวิทยาลัย 9 ความน$าจะเปBนแบบมีเงื่อนไข (Conditional Probability) ความนLาจะเปMนแบบมีเงื่อนไขเปMนการศึกษาความนLาจะเปMนของการเกิดเหตุการณB #& โดยมีเงื่อนไข วLาเกิดเหตุการณB #$ อยูLกLอนหนfาแลfว เชLน ลองพิจารณการเลือกหลอดไฟ 2หลอด เลือกทีละหลอดโดยไมLเจาะจง วLาเปMนการทดลองสุLมจาก กลLองที่บรรจุหลอดไฟทั้งหมด 50 หลอด ในจำนวนนี้เปMนหลอดเสีย 10 หลอด จงหาความนLาจะเปMนของ เหตุการณBที่หยิบหลอดไฟหลอดแรกเปMนหลอดเสีย และความนLาจะเปMนของเหตุการณBที่หยิบหลอดที่สองเปMน หลอดเสีย ถfา กรณีที่ 1 เลือกหลอดไฟหลอดแรกออกมาแลfวใสLกลับคืนในกลLองตามเดิม (With Replacement) กLอนจะหยิบหลอดไฟหลอดที่สอง กรณีที่ 2 เลือกหลอดไฟหลอดแรกออกมาแลfวไมLใสLกลับคืนในกลLอง (Without Replacement) เลือกหลอดไฟหลอดที่สองตLอไดfเลย วิธีทำ สมมติใหf E$ เปMนเหตุการณBที่หยิบหลอดไฟหลอดแรกเปMนหลอดเสีย และ E& เปMนเหตุการณBที่หยิบหลอดไฟหลอดที่สองเปMนหลอดเสีย กรณีที่ 1 ถfาหยิบหลอดไฟหลอดแรกแลfวใสLกลับคืนในกลLองตามเดิมกLอนจะหยิบหลอดไฟหลอดที่สองเปMน เหตุการณBที่เปMนอิสระตLอกัน (Independent Events) จะไดf. !(#$) = $I OI = $ O และ !(#&) = $I OI = $ O กรณีที่ 2 ถfาหยิบหลอดไฟหลอดแรก แลfวไมLใสLกลับคืนในกลLองเลือกหลอดไฟหลอดที่สองตLอไดfเลย เปMน เหตุการณBที่ไมLเปMนอิสระตLอกัน (Dependent Events) จะไดf. !(#$) = $I OI = $ O แตL !(#&) ≠ $I OI เนื่องจากจำนวนหลอดไฟทั้งหมดกLอนที่จะหยิบหลอดไฟหลอดที่สองลดลง เหลือเพียง 49 หลอด แสดงแซมเปwลสเปซลดลง ดังนั้น ความนLาจะเปMนที่จะเกิดเหตุการณB E& ในการหยิบหลอดไฟหลอดที่สอง โดยมีเงื่อนไขวLาเกิด เหตุการณB E$ในการหยิบหลอดไฟหลอดแรกเทLากับ P (P ขEอตกลง ความนLาจะเปMนของการเกิดเหตุการBE& โดยมีเงื่อนไขวLาเกิดเหตุการณB E$ อยูLกLอนหนfาอยูLแลfว ถูกเรียกวLา ความนLาจะเปMนแบบมีเงื่อนไข (Conditional Probability) ถูกเขียนแทนดfวย !(#&/#$) 㱺 㱺188 ออ л1й COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
กลุ$มโรงเรียนวิทยาศาสตร4จุฬาภรณราชวิทยาลัย 10 ความน$าจะเปBนแบบมีเงื่อนไข ขEอกำหนด กำหนดใหf E$และ E&เปMนเหตุการณBใดๆ เปMนสับเซตของแซมเปwลสเปซ S ความนLาจะเปMนที่จะเหตุการณB #& โดยมีเงื่อนไขวLาเกิดเหตุการณB E$ อยูLกLอนหนfาอยูLแลfว ถูกเขียนแทนดfวย P(E&/E$) พบวLา P(E&/E$) = [(\1∩\/) [(\/) เมื่อ !(E$)¹ 0 สิ่งที่ควรทราบ จากขfอกำหนดขfางตfน ของความนLาจะเปMนแบบมีเงื่อนไข สามารถเขียนใหมLไดfดังนี้ P(E$⋂E&) = P(E$) ∙ P(E&/E$) P(E$⋂E&) = P(E&) ∙ P(E$/E&) อาจขยายผลคูณออกไปมากกวLา 2 เหตุการณB ดังนี้ P(E$⋂E& ∩. . .∩ E]) = P(E$) ∙ P(E&/E$) ∙ P(E'/E$ ∩ E&) ∙. . . P(E]/E$ ∩ E& ∩∙. . .∩ E]^$) ตัวอย$างที่ 35 ในการโยนลูกเตÅาสองลูกหนึ่งครั้ง จงหาความนLาจะเปMนที่จะไดfผลบวกของแตfมเทLากับ 6 เมื่อ กำหนดใหfลูกเตÅาลูกที่หนึ่งขึ้นแตfม 3 วิธีทำ สมมติใหf E1 แทนเหตุการณBที่ลูกเตÅาลูกหนึ่งขึ้นแตfม 3 E2 แทนเหตุการณBที่จะไดfผลบวกของแตfมเทLากับ 6 S แทนแซมเปwลสเปซ จากโจทยBจะไดf = { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4), (6,5),(6,6) } แสดงวLา n(S) = 36 พบวLา E1 = { (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)} จะไดf n(E1) = 6 จะไดf !(#$) = N 'N และ #& ∩ #$ = {(3,3)} จะไดf a(#& ∩ #$) = 1 แสดงวLา !(#&⋂#$) = $ 'N จากสูตร P(E&/E$) = [(\1∩\/) [(\/) = 1 36 6 36 = 1 6 ดังนั้น ความนLาจะเปMนที่จะไดfผลบวกของแตfมเทLากับ 6 เมื่อกำหนดใหfลูกเตÅาลูกที่หนึ่งขึ้นแตfม 3 เทLากับ $ N S 189 tttttttttttotcastroaonorsrnpgererserrrsstasrttttsrdtts aoo л11 COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
กลุ$มโรงเรียนวิทยาศาสตร4จุฬาภรณราชวิทยาลัย 11 ตัวอย$างที่ 36 ครอบครัวหนึ่งมีลูกสามคน ถfาลูกคนแรกของครัวเปMนผูfหญิง แลfวจงหาความนLาจะเปMนที่ ครอบครัวนี้จะมีลูกสาว 2 คน วิธีทำ สมมติใหf E1 แทนเหตุการณBที่ลูกคนแรกของครอบครังเปMนหญิง E2 แทนเหตุการณBที่ครอบครัวนี้มีลูกสาว 2 คน S แทนแซมเปwลสเปซ แสดงวLา n(S) = 23 = 8 พบวLา E1 = { ญชช, ญชญ, ญญช, ญญญ } จะไดf n(E1) = 4 จะไดf P(E$) = ( Q = $ & E2 = { ญชญ, ญญช, ชญญ } และ E& ∩ E$ = { ญชญ, ญญช } จะไดf a(E & ∩ E$) = 2 แสดงวLา !(E&⋂E$) = & Q = $ ( จากสูตร P(E&/E$) = [(\1∩\/) [(\/) = 1 4 1 2 = 2 4 = 1 2 ดังนั้น ความนLาจะเปMนที่ครอบครัวนี้จะมีลูกสาว 2 คน เทLากับ $ & ตัวอย$างที่ 37 หยิบไพL 2 ใบจากไพLสำหรับหนึ่ง ถfาหยิบไพLใบแรกออกมาแลfวไม$ใส$กลับคืนใสสำรับ ใหfหยิบไพL ใบที่สองตLอไดfเลย แลfวจงหาความนLาจะเปMนที่ไพLทั้งสองใบนั้นเปMน K วิธีทำ สมมติใหf E1 แทนเหตุการณBที่หยิบไพLใบแรกเปMน K E2 แทนเหตุการณBที่หยิบไพLใบที่สองเปMน K เนื่องจากหยิบไพLใบแรกแลfวไมLใสLกลับคืนในสำรับ ใหfหยิบไพLใบที่สองตLอไดfเลย แสดงวLา E1 และ E2 ไมLเปMนอิสระตLอกัน จะไดf !(#$) = ( O& และ P(E&/E$) = 3 51 และ !(E & ∩ E$) = !(#1) ∙ P(E&/E$) = ( O& ∙ ' O$ = $ $' ∙ $ $c แสดงวLา P(E$⋂E&) = $ &&$ ดังนั้น ความนLาจะเปMนที่ไพLทั้งสองใบนั้นเปMน K เทLากับ $ &&$ • • 190 • л1л COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
กลุ$มโรงเรียนวิทยาศาสตร4จุฬาภรณราชวิทยาลัย 12 ตัวอย$างที่ 38 หยิบไพL 2 ใบจากไพLสำหรับหนึ่ง ถfาหยิบไพLใบแรกออกมาแลfวไม$ใส$คืนใหfหยิบไพLใบที่สองตLอไดf เลย แลfวความนLาจะเปMนที่ไพLทั่ง 2 ใบนั้น เปMน J, Q หรือ K วิธีทำ สมมติใหf E1 แทนเหตุการณBที่หยิบไพLใบแรกเปMน J , Q หรือ K E2 แทนเหตุการณBที่หยิบไพLใบที่สองเปMน J , Q หรือ K เนื่องจาก หยิบไพLใบแรกแลfวไมLใสLกลับคืนในสำรับใหfหยิบไพLใบที่สองตLอไดfเลย แสดงวLา E1 และ E2 ไมLเปMนอิสระตLอกัน จะไดf P(E$) = $& O& และ P(E&/E$) = 11 51 และ !(E $ ∩ E&) = !(#1) ∙ P(E&/E$) = $& O& ∙ $$ O$ = ' $' ∙ $$ O$ = $ $' ∙ $$ $c แสดงวLา P(E$⋂E&) = $$ &&$ ดังนั้น ความนLาจะเปMนที่ไพLทั่ง 2 ใบนั้น เปMน J, Q หรือ K เทLากับ $$ &&$ ตัวอย$างที่ 39 กลLองใบหนึ่งมีลูกปwงปอง สีขาว 6 ลูก สีแดง 4 ลูก สีฟÖา 5 ลูก ถfาหยิบออกมาแบบสุLมๆ 3 ลูก ทีละลูก โดยแตLละลูกหยิบออกมาไมLตfองคืนกลับในกลLอง แลfวจงหาความนLาจะเปMนที่จะหยิบลูกปwงปอง ออกเปMนสีขาว สีแดง และสีฟÖา ตามลำดับ วิธีทำ สมมติใหf E1 แทนเหตุการณBที่หยิบครั้งแรกไดfลูกปwงปองสีขาว E2 แทนเหตุการณBที่หยิบครั้งที่สองไดfลูกปwงปองสีแดง E3 แทนเหตุการณBที่หยิบครั้งที่สามไดfลูกปwงปองสีฟÖา เนื่องจาก ลูกปwงปองแตLละลูกที่หยิบออกมาจะตfองไมLนำกลับคืนในกลLอง แสดงวLา E1 และ E2 ไมLเปMนอิสระตLอกัน จะไดf P(E$) = N $O , P(E&/E$) = 4 14 และ P(E'/E$ ∩ E&) = O $' และ P(E$⋂E& ∩ E') = P(E$) ∙ P(E&/E$) ∙ P(E'/E$ ∩ E&) = N $O ∙ ( $( ∙ O $' = ( P$ แสดงวLา P(E$ ∩ E& ∩ #') = ( P$ ดังนั้น ความนLาจะเปMนที่จะหยิบลูกปwงปองออมเปMนสีขาว สีแดง และสีฟÖา เทLากับ ( P$ 㱺•191 • л1м COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
กลุ$มโรงเรียนวิทยาศาสตร4จุฬาภรณราชวิทยาลัย 13 ตัวอย$างที่ 40 หยิบไพL 2 ครั้ง ๆ 1 ใบ จากไพLสำหรับหนึ่ง โดยไมLคืนไพLใบแรกกลับเขfาไปในสำรับกLอนหยิบ ครั้งที่สอง จงหาความนLาจะเปMนที่จะไดfไพLโพแดงทั้ง 2 ครั้ง วิธีทำ สมมติใหf E1 แทนเหตุการณBที่หยิบไพLครั้งแรกไดfไพLโพแดง E2 แทนเหตุการณBที่หยิบไพLครั้งสองไดfไพLโพแดง และ !(E $ ∩ E&) = !(#$) ∙ P(E&/E$) = $' O& ∙ $& O$ = $ $c แสดงวLา P(E$⋂E&) = $ $c ดังนั้น ความนLาจะเปMนที่จะไดfไพLโพแดงทั้ง 2 ครั้ง เทLากับ $ $c มส192 • v0 л1н COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
2. Öćøē÷îúĎÖđêţćǰǰ1 úĎÖǰǰ1 ÙøĆĚÜǰÿîĔÝĒêšöìĊęĕéš ǰǰǰ4ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ 3. Öćøē÷îđĀøĊ÷âđìĊę÷ÜêøÜǰ1 đĀøĊ÷âǰǰ2 ÙøĆĚÜǰÿîĔÝĀîšćìĊęĀÜć÷ ǰǰǰ4ǰffǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ 4. Öćøē÷îđĀøĊ÷âđìĊę÷ÜêøÜǰ2 đĀøĊ÷âǰǰ1 ÙøĆĚÜǰÿîĔÝĀîšćìĊęĀÜć÷ ǰǰǰ4ǰffǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ 5. Öćøē÷îúĎÖđêţćǰ1 úĎÖǰĒúąđĀøĊ÷âǰ1 đĀøĊ÷âóøšĂöÖĆîǰÿîĔÝĒêšöĒúąĀîšćđĀøĊ÷â ǰǰǰ4ǰffǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ 6. Öćøē÷îúĎÖđêţćǰ1 úĎÖĒúšüêćöéšü÷ē÷îđĀøĊ÷âǰÿîĔÝĒêšöĒúąĀîšćđĀøĊ÷â ǰǰǰ4ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ 7. đóý×ĂÜúĎÖÝćÖÙøĂïÙøĆüĀîċęÜìĊęöĊúĎÖǰ3 Ùî ǰǰǰ(1) ëšćÿîĔÝđóý×ĂÜúĎÖĒêŠúąÙîìĆĚÜǰ3 Ùî ǰǰǰ4ǰffǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ǰǰǰ(2) ëšćÿîĔÝìĊęÝĈîüîúĎÖÿćüÝćÖúĎÖìĆĚÜǰ3 Ùîǰ ǰǰǰǰ4ǰffǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ 8. ÝćÖÖćøē÷îđĀøĊ÷âǰ3 đĀøĊ÷â ǰǰ(1) ëšćÿîĔÝÖćøđÖĉéĀĆüǰ(H) ĀøČĂǰÖšĂ÷ǰ(T) ǰǰǰǰ4ǰffǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ (2) ëšćÿîĔÝÝĈîüîÖćøĀÜć÷ĀîšćĀĆü ǰǰǰǰ4ǰffǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ { 1,2,3,4,5,6 } { HH, HT, TH, TT } { HH, HT, TH, TT} { 1H, 2H, 3H, 4H, 5H, 6H, 1T, 2T, 3T, 4T, 5T, 6T} N>.l[]; ijMǰ-0 uvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv } { 1H, 2H, 3H, 4H, 5H, 6H, 1T, 2T, 3T, 4T, 5T, 6T} N>.l[]; ijMǰ-0 uvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv } { ßßß, ßßâ, ßâß, ßââ, âßß, âßâ, ââß, âââǰ} ijMǰ-0 uvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv } { 0, 1, 2, 3 } ijMǰ-0 uvvvvvvvvvvv vvvvvvvvv } { HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT } ijMǰ-0 uvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv } { 0, 1, 2, 3 } ijMǰ-0 uvvvvvvvvvvv vvvvvvvvv } • 194 л1о COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
9. Öćøē÷îúĎÖđêţćǰ2 úĎÖǰ1 ÙøĆĚÜǰ (1) ÿîĔÝĒêšöìĊęđÖĉé×ċĚî×ĂÜúĎÖđêţćĒêŠúąúĎÖǰìĆĚÜǰ2 úĎÖ ǰǰǰ4ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ (2) ëšćÿîĔÝñúøüöĒêšöìĆĚÜÿĂÜúĎÖ ǰǰǰ4ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ 10. ÖćøÿčŠöĀ÷ĉïúĎÖïĂúǰ2 úĎÖǰÝćÖÖúŠĂÜĔïĀîċęÜìĊęöĊúĎÖïĂúÿĊĒéÜǰ2 ÿĊîĚĈđÜĉîǰǰ1 ĒúąÿĊ×ćüǰ1 úĎÖ ǰǰǰ(1) ëšćÿčŠöĀ÷ĉïĂĂÖöćìĊúąúĎÖĒúšüĔÿŠÙČî ǰǰǰ4ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ (2) ëšćÿčŠöĀ÷ĉïĂĂÖöćìĊúąúĎÖĒúšüĕöŠĔÿŠÙČîǰÝąĕéšðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜǰÙČĂǰ ǰǰ 4ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ (3) ëšćÿčŠöĀ÷ĉïĂĂÖöćóøšĂöÖĆîǰ2 úĎÖ ǰǰ4ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), ijMǰ-0 uvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv } (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), ijMǰ-0 uvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv } (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), ijMǰ-0 uvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv } (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), ijMǰ-0 uvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv } (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), ijMǰ-0 uvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv } (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) } ijMǰ-0 uvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv } { 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 } ijMǰ-0 uvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv } { R1R1, R1R2, R1B, R1W, ijMǰ-0 uvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv } R2R1, R2R2, R2B, R2W, ijMǰ-0 uvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv } BR1, BR2, BB, BW, ijMǰ-0 uvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv } WR1, WR2, WB, WW } ijMǰ-0 uvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv } { R1R2, R1B, R1W, ijMǰ-0 uvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv } R2R1, R2B, R2W, ijMǰ-0 uvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv } BR1, BR2, BW, ijMǰ-0 uvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv } WR1, WR2, WB } ijMǰ-0 uvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv } { R1R2, R1B, R1W, R2B, R2W, BW } ijMǰ-0 uvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv } ←195 л1п COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
11. ÖćøĂĂÖøćÜüĆúđú×ìšć÷ÿĂÜêĆü×ĂÜÖĂÜÿúćÖÖĉîĒïŠÜøĆåïćúǰÝąĕéšðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜǰÙČĂ 4ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ êĆüĂ÷ŠćÜìĊę2 ĔîÖćøē÷îúĎÖđêţćǰ1 úĎÖǰ1 ÙøĆĚÜǰëšćñúúĆóíŤìĊęÿîĔÝǰÙČĂǰĒêšöìĊęĕéšÝćÖÖćøē÷î ðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜǰÙČĂǰ4ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ O 4ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ëšćǰE1 ĒìîđĀêčÖćøèŤìĊęĕéšĒêšöđðŨîÝĈîüîÙĊęǰĒúšüǰ E1 ffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ n(E1ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ëšćǰE2ĒìîđĀêčÖćøèŤìĊęĕéšĒêšöđðŨîÝĈîüîđÞóćąǰĒúšüǰ E2 ffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ n(E2ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ êĆüĂ÷ŠćÜìĊę3 ĔîÖćøē÷îđĀøĊ÷âǰ5 đĀøĊ÷âǰ1 ÙøĆĚÜǰëšćñúúĆóíŤìĊęÿîĔÝǰÙČĂǰÝĈîüîđĀøĊ÷âìĊę×ċĚîĀîšćĀĆüìĊęĕéšǰ ǰǰðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜǰÙČĂǰ4ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ O 4ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ëšćǰE1 ĒìîđĀêčÖćøèŤìĊęöĊđĀøĊ÷â×ċĚîĀîšćĀĆüöćÖÖüŠć×ċĚîĀîšćÖšĂ÷ǰĒúšüǰ E1 ffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ n(E1ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ëšćǰE2ĒìîđĀêčÖćøèŤìĊęöĊđĀøĊ÷â×ċĚîĀîšćĀĆüǰĒúąĀîšćÖšĂ÷ÝĈîüîđìŠćÖĆîǰĒúšüǰ E2 ffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰǰ n(E2ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ \ǰ ǰ ļ ǰ ǰ ǰ ǰļ ǰ ǰ ǰ ǰļ ǰ ǰ ǰ ǰļ ǰ ǰ ǰ ļ ǰ ijMǰ-0 uvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv } ǰ ǰļ ǰ ǰ ǰ ǰļ ǰ ǰ ǰ ļ ǰ ǰ ǰ ļ ǰ ǰ ļ ǰǰ^ ijMǰ-0 uvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv } { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ijMǰ-0 uvvvvvvvvvvvvvv vvvvvv } 6 uv vv vv vv vv vv vv vv vv vv v } { 1, 3, 5 } ijMǰ-0 uvvvvvvvvvvvvvv vvvvvv } 3 uvv vvvv vvvv vvvv vvvv vv } { 2, 3, 5 } ijMǰ-0 uvvvvvvvvvvvvvv vvvvvv } 3 uvv vvvv vvvv vvvv vvvv vv } { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } ijMǰ-0 uvvvvvvvvvvvvvv vvvvvv } 6 uvv vvvv vvvv vvvv vvvv vv } { 3, 4, 5 } ijMǰ-0 uvvvvvvvvvvvvvv vvvvvv } 3 uvv vvvv vvvv vvvv vvvv vv } { } ijMǰ-0 uvvvvvvvvvvvvvv vvvvvv } 0 uvvvvvvvvvvvvvv vvvvvv } • 196 - л1р COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
êĆüĂ÷ŠćÜìĊęǰ4 ĔîÖúŠĂÜĔïĀîċęÜöĊúĎÖðŗÜðĂÜÿĊ×ćüǰ3 úĎÖǰÿĊĒéÜǰ4 úĎÖǰĒúąÿĊđĀúČĂÜǰ5 úĎÖǰēé÷ìĊęúĎÖðŗÜðĂÜĒêŠúąúĎÖöĊ×îćé ĕöŠđìŠćÖĆî ëšćĀ÷ĉïúĎÖðŗÜðĂÜÝćÖÖúŠĂÜĂ÷ŠćÜÿčŠöÝĈîüîǰ3 úĎÖóøšĂöÖĆîǰÝąĕéšǰ S ĒìîðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜ ǰǰÝąĕéš O 4ǰffļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ëšćǰE1 ĒìîđĀêčÖćøèŤìĊęúĎÖðŗÜðĂÜìĆĚÜǰ3 úĎÖǰÿĊêŠćÜÖĆîǰ ǰǰ n(E1ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ǰǰǰëšćǰE2ĒìîđĀêčÖćøèŤìĊęúĎÖðŗÜðĂÜìĆĚÜǰ3 úĎÖǰÿĊđĀöČĂîÖĆîǰ n(E2ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ëšćǰE3ĒìîđĀêčÖćøèŤìĊęúĎÖðŗÜðĂÜìĆĚÜǰ3 úĎÖǰÿĊđĀöČĂîÖĆîđóĊ÷Üǰ2 úĎÖ n(E3ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ êĆüĂ÷ŠćÜìĊęǰ5 ĔîÖúŠĂÜĔïĀîċęÜöĊúĎÖðŗÜðĂÜÿĊ×ćüǰ3 úĎÖǰÿĊĒéÜǰ4 úĎÖǰĒúąÿĊđĀúČĂÜǰ5 úĎÖǰēé÷ìĊęúĎÖðŗÜðĂÜĒêŠúąúĎÖöĊ×îćé ĕöŠđìŠćÖĆî ëšćĀ÷ĉïúĎÖðŗÜðĂÜÝćÖÖúŠĂÜĂ÷ŠćÜÿčŠöÝĈîüîǰ3 úĎÖ ìĊúąúĎÖēé÷ĕöŠĔÿŠÙČîÖŠĂîĀ÷ĉïÙøĆĚÜêŠĂĕð Ýąĕéšǰ S ĒìîðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜ ǰǰÝąĕéš O 4ǰffļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ëšćǰE1 ĒìîđĀêčÖćøèŤìĊęúĎÖðŗÜðĂÜìĆĚÜǰ3 úĎÖǰÿĊêŠćÜÖĆîǰ ǰǰ n(E1ǰffǰļ ļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ǰǰǰëšćǰE2ĒìîđĀêčÖćøèŤìĊęúĎÖðŗÜðĂÜìĆĚÜǰ3 úĎÖǰÿĊđĀöČĂîÖĆîǰ n(E2ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ëšćǰE3ĒìîđĀêčÖćøèŤìĊęúĎÖðŗÜðĂÜìĆĚÜǰ3 úĎÖǰÿĊđĀöČĂîÖĆîđóĊ÷Üǰ2 úĎÖ n(E3ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ቀ ͳʹ ͵ ቁ = 220 ቀ ͵ ͳ ቁ ቀ Ͷ ͳ ቁ ቀ ͷ ͳ ቁ = 60 ቀ ͵ ͵ ቁ ቀ Ͷ ͵ ቁ ቀ ͷ ͵ ቁ = 15 n(S) - ( n(E1) + n(E2) ) = 220-75 = 145 ቀ ͳʹ ͵ ቁ ൈ ͵Ǩ = 1320 ቀ ͵ ͳ ቁ ቀ Ͷ ͳ ቁ ቀ ͷ ͳ ቁ ൈ ͵Ǩ = 360 ቀ ͵ ͵ ቁ ൈ ͵Ǩ ቀ Ͷ ͵ ቁ ൈ ͵Ǩ + ቀ ͷ ͵ ቁ ൈ ͵Ǩ = 90 n(S) - ( n(E1) + n(E2) ) = 1320-450 = 870 • 197 л18 COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
êĆüĂ÷ŠćÜìĊęǰ6 ĔîÖúŠĂÜĔïĀîċęÜöĊúĎÖðŗÜðĂÜÿĊ×ćüǰ3 úĎÖǰÿĊĒéÜǰ4 úĎÖǰĒúąÿĊđĀúČĂÜǰ5 úĎÖǰēé÷ìĊęúĎÖðŗÜðĂÜĒêŠúąúĎÖöĊ×îćé ĕöŠđìŠćÖĆîǰëšćĀ÷ĉïúĎÖðŗÜðĂÜÝćÖÖúŠĂÜĂ÷ŠćÜÿčŠöÝĈîüîǰ3 úĎÖǰìĊúąúĎÖēé÷ĔÿŠÙČîÖŠĂîĀ÷ĉïÙøĆĚÜêŠĂĕðǰÝąĕéšǰ S ĒìîðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜ ǰǰÝąĕéš O 4ǰffļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ëšćǰE1 ĒìîđĀêčÖćøèŤìĊęúĎÖðŗÜðĂÜìĆĚÜǰ3 úĎÖǰÿĊêŠćÜÖĆîǰ ǰǰ n(E1) = ļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ǰǰǰëšćǰE2ĒìîđĀêčÖćøèŤìĊęúĎÖðŗÜðĂÜìĆĚÜǰ3 úĎÖǰÿĊđĀöČĂîÖĆîǰ n(E2ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ëšćǰE3ĒìîđĀêčÖćøèŤìĊęúĎÖðŗÜðĂÜìĆĚÜǰ3 úĎÖǰÿĊđĀöČĂîÖĆîđóĊ÷Üǰ2 úĎÖ n(E3ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ êĆüĂ÷ŠćÜìĊęǰ7 ëšćĀ÷ĉïĕóŠǰ4 óøšĂöÖĆîĂĂÖÝćÖÿĈøĆïĀîċęÜǰàċęÜöĊǰ52 ĔïǰĂ÷ŠćÜÿčŠöǰÝąĕéš S ĒìîðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜ ǰǰÝąĕéš O 4ǰffļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ëšćǰE1 ĒìîđĀêčÖćøèŤìĊęìĆĚÜǰ4 ĔïǰđðŨîĔïúąúć÷ ǰǰ n(E1ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ǰǰǰëšćǰE2ĒìîđĀêčÖćøèŤìĊęìĊęìĆĚÜǰ4 ĔïǰđðŨîúć÷đéĊ÷üÖĆî n(E2ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ëšćǰE3ĒìîđĀêčÖćøèŤìĊęìĆĚÜǰ4 ĔïǰöĊĒêšöêŠćÜÖĆî n(E3ǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ǰff 1,728 ቀ ͵ ͳ ቁ ቀ Ͷ ͳ ቁ ቀ ͷ ͳ ቁ ൈ ͵Ǩ = 360 (3ǰ ǰ ǰ ǰ 5) = 27 + 64 +125 = 216 n(S) - ( n(E1) + n(E2) ) = 1728 - 576 = 1152 ቀ ͷʹ Ͷ ቁ = 270,725 ቀ ͳ͵ ͳ ቁ ቀ ͳ͵ ͳ ቁ ቀ ͳ͵ ͳ ቁ ቀ ͳ͵ ͳ ቁ = 28,561 ቀ ͳ͵ Ͷ ቁ ቀ ͳ͵ Ͷ ቁ + ቀ ͳ͵ Ͷ ቁ ቀ ͳ͵ Ͷ ቁ = ǰffǰ ĀćÝćÖǰ×ĆĚîêĂîìĊęǰ1 đúČĂÖĒêšö×ĂÜĕóŠ4 ĒïïǰÝćÖǰ13 ĒïïǰđìŠćÖĆïǰǰǰቀ ͳ͵ Ͷ ቁǰǰ= 715 üĉíĊ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰ×ĆĚîêĂîìĊęǰ2 đúČĂÖĕóŠǰ1 ĔïÝćÖĒêŠúąĒêšöìĊęđúČĂÖÝćÖ×ĆĚîêĂîìĊęǰ1 öćǰ4 ĔïǰđìŠćÖĆïǰቀ Ͷ ͳ ቁ ቀ Ͷ ͳ ቁ ቀ Ͷ ͳ ቁ ቀ Ͷ ͳ ቁ =ǰǰ256 üĉíĊ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰêšĂÜìĈÙøïìĆĚÜÿĂÜ×ĆĚîêĂîǰéĆÜîĆĚîǰO &ǰǰffǰǰǰǰǰffǰ ǰǰ oo198 л19 COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
êĆüĂ÷ŠćÜìĊęǰ8 ëšćĀ÷ĉïĕóŠǰ4 ĔïìĊúąĔïĒúšüĕöŠĔÿŠÙČîǰĂĂÖÝćÖÿĈøĆïĀîċęÜǰàċęÜöĊǰ52 ĔïǰĂ÷ŠćÜÿčŠöǰÝąĕéš S ĒìîðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜ ǰǰÝąĕéš O 4ǰffļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ëšćǰE1 ĒìîđĀêčÖćøèŤìĊęìĆĚÜǰ4 ĔïǰđðŨîĔïúąúć÷ ǰǰ n(E1ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ǰǰǰëšćǰE2ĒìîđĀêčÖćøèŤìĊęìĊęìĆĚÜǰ4 ĔïǰđðŨîúć÷đéĊ÷üÖĆî n(E2ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ëšćǰE3ĒìîđĀêčÖćøèŤìĊęìĆĚÜǰ4 ĔïǰöĊĒêšöêŠćÜÖĆî n(E3ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ êĆüĂ÷ŠćÜìĊęǰ9 ëšćĀ÷ĉïĕóŠǰ4 ĔïìĊúąĔïĒúšüĔÿŠÙČîǰĂĂÖÝćÖÿĈøĆïĀîċęÜǰàċęÜöĊǰ52 ĔïǰĂ÷ŠćÜÿčŠöǰÝąĕéš S ĒìîðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜ ǰǰÝąĕéš O 4ǰffļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ëšćǰE1 ĒìîđĀêčÖćøèŤìĊęìĆĚÜǰ4 ĔïǰđðŨîĔïúąúć÷ ǰǰ n(E1ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ǰǰǰëšćǰE2ĒìîđĀêčÖćøèŤìĊęìĊęìĆĚÜǰ4 ĔïǰđðŨîúć÷đéĊ÷üÖĆî n(E2ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ëšćǰE3ĒìîđĀêčÖćøèŤìĊęìĆĚÜǰ4 ĔïǰöĊĒêšöêŠćÜÖĆî n(E3ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ቀ ͷʹ Ͷ ቁ ൈ ͶǨ ቀ ͳ͵ ͳ ቁ ቀ ͳ͵ ͳ ቁ ቀ ͳ͵ ͳ ቁ ቀ ͳ͵ ͳ ቁ ൈ ͶǨ ቀ ͳ͵ Ͷ ቁ ൈ ͶǨ ቀ ͳ͵ Ͷ ቁ ൈ ͶǨ + ቀ ͳ͵ Ͷ ቁ ൈ ͶǨ ቀ ͳ͵ Ͷ ቁ ൈ ͶǨ ቀ ͳ͵ Ͷ ቁ ቀ Ͷ ͳ ቁ ቀ Ͷ ͳ ቁ ቀ Ͷ ͳ ቁ ቀ Ͷ ͳ ቁ ൈ ͶǨ 5552ǰ ቀ ͳ͵ ͳ ቁ ቀ ͳ͵ ͳ ቁ ቀ ͳ͵ ͳ ቁ ቀ ͳ͵ ͳ ቁ ൈ ͶǨ (13ǰ ǰ ǰ ቀ ͳ͵ Ͷ ቁ ቀ Ͷ ͳ ቁ ቀ Ͷ ͳ ቁ ቀ Ͷ ͳ ቁ ቀ Ͷ ͳ ቁ ൈ ͶǨ • 199 ллй COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
êĆüĂ÷ŠćÜìĊęǰ10 öĊĀîĆÜÿČĂìĊęĒêÖêŠćÜÖĆîÝĈîüîǰ8 đúŠö ĔîÝĈîüîîĊĚöĊĀîĆÜÿČĂÙèĉêýćÿêøŤǰ3 đúŠöǰÝĆéđøĊ÷ÜìĆĚÜĀöéïîßĆĚî ĀîĆÜÿČĂĔĀšđøĊ÷ÜêĉéêŠĂÖĆîǰÝÜĀćÝĈîüîñúúĆóíŤĔîĒêŠúą×šĂêŠĂĕðîĊĚ ǰǰðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜ (2) đĀêčÖćøèŤìĊęĀîĆÜÿČĂÙèĉêýćÿêøŤǰ3 đúŠöǰÝĆéüćÜđøĊ÷ÜêĉéêŠĂÖĆîǰ (3) đĀêčÖćøèŤìĊęĕöŠöĊĀîĆÜÿČĂÙèĉêýćÿêøŤǰ2 đúŠöĔéÝĆéüćÜđøĊ÷ÜêĉéêŠĂÖĆîǰ üĉíĊìĈǰǰ(1) ðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜǰS ÙČĂǰñúúĆóíŤđÖĉéÝćÖÖćøđøĊ÷ÜÿĆïđðúĊę÷îđßĉÜđÿšî×ĂÜĀîĆÜÿČĂǰ8 đúŠöǰēé÷ĕöŠöĊđÜČęĂîĕ×ǰ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰn(S) = ܲǡ = Ǩ = 5,040 üĉíĊ ǰǰǰǰǰǰǰ(2) ĔĀšǰE1 đðŨîđĀêčÖćøèŤìĊęĀîĆÜÿČĂÙèĉêýćÿêøŤǰ3 đúŠöǰÝĆéüćÜđøĊ÷ÜêĉéêŠĂÖĆîǰ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰÖćøĀćÝĈîüîüĉíĊǰêšĂÜìĈÜćîǰ2 ×ĆĚîêĂîǰÙČĂǰ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰ×ĆĚîêĂîìĊęǰ1 öĆéĀîĆÜÿČĂÙèĉêýćÿêøŤìĆĚÜÿćöđúŠöđךćéšü÷ÖĆîǰĒúšüÙĉéđðŨîǰđúŠöĔĀöŠǰ1 đúŠöǰđöČęĂîĈĕðøüöÖĆï ĀîĆÜÿČĂìĊęđĀúČĂĂĊÖǰ5 đúŠöǰÝąöĂÜđðŨîǰ6 đúŠöǰîĈöćđøĊ÷ÜÿĆïđðúĊę÷îđßĉÜđÿšîǰĕéšǰǨ = 720 üĉíĊ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰ×ĆĚîêĂîìĊęǰ2 đøĊ÷ÜÿĆïđðúĊę÷îĀîĆÜÿČĂÙèĉêýćÿêøŤÖĆîđĂÜõć÷ĔîöĆéìĆĚÜÿćöđúŠöđךćéšü÷ÖĆîÝćÖ×ĆĚîêĂîìĊęǰ1 ĕéš ͵Ǩ = 6 üĉíĊ ǰǰêšĂÜìĈÙøïìĆĚÜÿĂÜ×ĆĚîêĂîǰÝąĕéšǰn(E1) = Ǩ ൈ ͵Ǩ = 4,320 üĉíĊ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰ(3) ĔĀšǰE2 đðŨîđĀêčÖćøèŤìĊęĕöŠöĊĀîĆÜÿČĂÙèĉêýćÿêøŤǰ2 đúŠöǰÝĆéüćÜđøĊ÷ÜêĉéÖĆî ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰÖćøĀćÝĈîüîüĉíĊǰêšĂÜìĈÜćîǰ2 ×ĆĚîêĂîǰ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰ×ĆĚîêĂîìĊęǰ1 üćÜÿĆïđðúĊę÷îĀîĆÜÿČĂđúŠöĂČęîìĊęĕöŠĔߊĀîĆÜÿČĂÙèĉêýćÿêøŤÖŠĂîǰĕéšǰͷǨ = 120 üĉíĊ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰ___ǰǰǰǰǰǰ___ ___ ___ ___ ___ ×ĆĚîêĂîìĊęǰ2 ÝćÖ×ĆĚîêĂîìĊęǰ1 ÝąöĊìĊęüŠćÜøąĀüŠćÜǰĀîĆÜÿČĂǰ6 ìĊęǰëšćîĈĀîĆÜÿČĂÙèĉêýćÿêøŤĕðĔÿŠĔîߊĂÜüŠćÜ Ùøćüúąǰ1 đúŠöǰÝąìĈĔĀšĀîĆÜÿČĂÙèĉêýćÿêøŤĕöŠĂ÷ĎŠêĉéÖĆîǰéĆÜîĊĚ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰ×ĆĚîêĂîìĊęǰ2.1 ĀîĆÜÿČĂÙèĉêýćÿêøŤđúŠöìĊęǰ1 đúČĂÖìĊęüŠćÜĕéšǰ6 ìĊę = 6 üĉíĊ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰ×ĆĚîêĂîìĊęǰ2.2 ĀîĆÜÿČĂÙèĉêýćÿêøŤđúŠöìĊęǰ2 đúČĂÖìĊęüŠćÜìĊęđĀúČĂĕéšǰ5 ìĊęǰ= 5 üĉíĊ • 200 лл1 COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
Ēúą×ĆĚîêĂîìĊęǰ2.3 ĀîĆÜÿČĂÙèĉêýćÿêøŤđúŠöìĊęǰ3 đúČĂÖìĊęüŠćÜìĊęđĀúČĂĕéšǰ4 ìĊę = 4 üĉíĊ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰéĆÜîĆĚîǰ×ĆĚîêĂîìĊęǰ2 îĊĚǰìĈĕéšǰǰ6×5×4= 120 üĉíĊ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰêšĂÜìĈÙøïìĆĚÜǰ2 ×ĆĚîêĂîÝċÜÝąĕéšÝĈîüîüĉíĊ×ĂÜđĀêčÖćøèŤĕöŠöĊĀîĆÜÿČĂÙèĉêýćÿêøŤǰ2 đúŠöĔéÝĆéüćÜđøĊ÷Ü êĉéêŠĂÖĆîǰ éĆÜîĆĚîǰn(E2) = 120×120 = 14,400 ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰ êĆüĂ÷ŠćÜìĊęǰ11 ÝćÖêĆüđú×ǰ1,1,2,2,2,3,3 îĈìĆĚÜĀöéöćÝĆéđøĊ÷ÜĔĀšđðŨîÝĈîüîǰ7 ĀúĆÖǰÝÜĀćÝĈîüîñúúĆóíŤĔîĒêŠúą×šĂ êŠĂĕðîĊĚǰ (ǰǰðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜ (2) đĀêčÖćøèŤìĊęÝĈîüîìĊęĕéšđðŨîÝĈîüîÙĊęǰ (3) đĀêčÖćøèŤìĊęöĊÙŠćöćÖÖüŠćǰ2,000,000 ĒúąđðŨîÝĈîüîìĊęĀćøéšü÷ǰ4 úÜêĆü üĉíĊìĈǰǰ(1) ðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜǰS ÙČĂǰñúúĆóíŤÝćÖÖćøđøĊ÷ÜÿĆïđðúĊę÷îÝĈîüîǰ1,1,2,2,2,3,3 đðŨîÝĈîüîǰ7 ĀúĆÖ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰëšćǰn đðŨîÝĈîüîÝĈîüîìĆĚÜĀöéǰ= 7 ÝąđĀĘîüŠćöĊÝĈîüîìĊęàĚĈÖĆîĒïŠÜđðŨîǰ3 ÖúčŠöǰ ǰǰÖúčŠöìĊęǰ1 ÙČĂđú×ǰ1 àĚĈǰ2 êĆüǰǰĔĀšǰn1 = 2 ÖúčŠöìĊęǰ2 ÙČĂđú×ǰ2 àĚĈǰ3 êĆüǰĔĀšǰn2 = 3 ÖúčŠöìĊęǰ3 ÙČĂđú×ǰ3 àĚĈǰ2 êĆüǰĔĀšǰn3 = 2 ǰǰǰÝćÖÿĎêøÖćøÿĆïđðúĊę÷îđßĉÜđÿšî×ĂÜÿĉęÜ×ĂÜìĊęàĚĈÖĆîǰđìŠćÖĆïǰ Ǩ భǨమǨయǨ ǰǰ éĆÜîĆĚî n(S) = Ǩ ଶǨଷǨଶǨ = ൈൈହൈସൈଷǨ ଶǨଷǨଶǨ = ൈൈହൈସ ଶൈଶ = 210 (2) ĔĀšǰE2 đðŨîđĀêčÖćøèŤìĊęÝĈîüîìĊęĕéšđðŨîÝĈîüîÙĊę đîČęĂÜÝćÖÝĈîüîÙĊęǰöĊǰđú×ǰ1 ÖĆïǰđú×ǰ3 ÝċÜÙĉéĒïïĒïŠÜÖøèĊǰéĆÜîĊĚ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰ ÖøèĊìĊęǰ1 ×ĆĚîêĂîìĊęǰ1 ëšćĀúĆÖÿčéìšć÷đðŨîđú× 1 Ýąĕéšǰ1 üĉíĊ ×ĆĚîêĂîìĊęǰ2 ĂĊÖǰ6 ÝĈîüîìĊęđĀúČĂǰÝąĒïŠÜĕéšǰ3 ÖúčŠöǰÙČĂǰđú×ǰ1 öĊǰ1 êĆüǰđú×ǰ2 öĊǰ3 êĆüǰĒúąǰđú×ǰ3 öĊǰ2 êĆü • 201 ллл COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰìĈĔĀšÝĆéđøĊ÷ÜÿĆïđðúĊę÷îđßĉÜđÿšîĕéšǰ Ǩ ଵǨଷǨଶǨ üĉíĊ ÝćÖìĆĚÜÿĂÜ×ĆĚîêĂîǰÝąĕéšÝĈîüîüĉíĊǰ1× Ǩ ଵǨଷǨଶǨ = 60 üĉíĊ ÖøèĊìĊęǰ2 ×ĆĚîêĂîìĊęǰ1 ëšćĀúĆÖÿčéìšć÷đðŨîđú× 3 Ýąĕéšǰ1 üĉíĊǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰ×ĆĚîêĂîìĊęǰ2 ĂĊÖǰ6 ÝĈîüîìĊęđĀúČĂǰÝąĒïŠÜĕéšǰ3 ÖúčŠöǰÙČĂǰđú×ǰ1 öĊǰ2 êĆüǰđú×ǰ2 öĊǰ3 êĆüǰĒúąǰđú×ǰ3 öĊǰ1 êĆü ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰìĈĔĀšÝĆéđøĊ÷ÜÿĆïđðúĊę÷îđßĉÜđÿšîĕéšǰ Ǩ ଶǨଷǨଵǨ üĉíĊ ÝćÖìĆĚÜÿĂÜ×ĆĚîêĂîǰÝąĕéšÝĈîüîüĉíĊǰ1× Ǩ ଶǨଷǨଵǨ = 60 üĉíĊ ÿøčðĕéšüŠćǰÖćøîĈÝĈîüî 1,1,2,2,2,3,3 öćđøĊ÷ÜÿĆïđðúĊę÷îÖĆîĒúąđðŨîđú×ÙĊęìĆĚÜÿĂÜÖøèĊǰÝąìĈĕéšìĆĚÜĀöéǰ 60+60 = 120 üĉíĊǰ îĆęîÙČĂǰn(E1) = 120 ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰ(3) ĔĀšǰE2 đðŨîđĀêčÖćøèŤìĊęöĊÙŠćöćÖÖüŠćǰ2,000,000 ĒúąđðŨîÝĈîüîìĊęĀćøéšü÷ǰ4 úÜêĆü ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰÝĈîüîîĆĚîÝąĀćøéšü÷ǰ4 úÜêĆüǰéĎÝćÖÝĈîüîđú×ēééÿĂÜĀúĆÖÿčéìšć÷êšĂÜĀćøéšü÷ǰ4 úÜêĆüǰÝćÖǰđú×ǰ 1,1,2,2,2,3,3 Ýąĕéšǰđú×ēééÿĂÜĀúĆÖÿčéìšć÷ìĊęǰ4 ĀćøúÜêĆüđðŨîǰ12 ÖĆïǰ32 E2 đðŨîđĀêčÖćøèŤìĊęÿîĔÝÝĈîüîìĊęöćÖÖüŠćǰ2,000,000 ĒúąĀćøéšü÷ǰ4 úÜêĆüǰǰÝċÜÙĉéĒïïĒïŠÜÖøèĊǰéĆÜîĊĚ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰÖøèĊìĊęǰ1 ĀúĆÖúšćîđðŨîđú×ǰ2 ĒúąǰÿĂÜĀúĆÖÿčéìšć÷đðŨîǰ12 öĊøĎðĒïïǰ2, 12 ìĈĕéšǰǰ1× ସǨ ଵǨଵǨଶǨ ×1 = 12 üĉíĊ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰÖøèĊìĊęǰ2 ĀúĆÖúšćîđðŨîđú×ǰ2 ĒúąǰÿĂÜĀúĆÖÿčéìšć÷đðŨîǰ32 öĊøĎðĒïïǰ2, 32 ìĈĕéšǰǰ1× ସǨ ଶǨଵǨଵǨ ×1 = 12 üĉíĊ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰ ÖøèĊìĊęǰ3 ĀúĆÖúšćîđðŨîđú×ǰ3 ĒúąǰÿĂÜĀúĆÖÿčéìšć÷đðŨîǰ12 öĊøĎðĒïïǰ3, 12 ìĈĕéšǰǰ1× ସǨ ଵǨଶǨଵǨ ×1 = 12 üĉíĊ ǰǰǰǰǰǰ ǰǰǰÖøèĊìĊęǰ4 ĀúĆÖúšćîđðŨîđú×ǰ3 ĒúąǰÿĂÜĀúĆÖÿčéìšć÷đðŨîǰ32 öĊøĎðĒïïǰ3, 32 1,2,3,3 ,1 1,1,3,2 ,1 1,2,2,3 ,1 1,1,2,2 1 • 202 ллм COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
ìĈĕéšǰǰ1× ସǨ ଶǨଶǨ ×1 = 6 üĉíĊ ÿøčðĕéšüŠćǰÖćøîĈÝĈîüî 1,1,2,2,2,3,3 öćđøĊ÷ÜÿĆïđðúĊę÷îÖĆîĕéšÝĈîüîìĊęöĊÙŠćöćÖÖüŠćǰ2,000,000 Ēúą đðŨîÝĈîüîìĊęĀćøéšü÷ǰ4 úÜêĆü ÝąìĈĕéšìĆĚÜĀöéǰ12+12+12+6= 42 üĉíĊǰîĆęîÙČĂǰn(E2) = 42 • 203 ллн COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
ĒïïòřÖìĆÖþąđóČęĂìéÿĂïÙüćöđךćĔÝìĊęǰ1 ÙĈßĊĚĒÝÜǰĔĀšîĆÖđøĊ÷îĒÿéÜüĉíĊìĈĂ÷ŠćÜúąđĂĊ÷é 1. îć÷đĂǰĒúąǰîć÷ïĊǰđðŨîÙîĔîÖúčŠöÝĈîüîǰ8 ÙîǰÝĆéÙîìĆĚÜĀöéîĆęÜøĂïēêŢąÖúöǰÝÜĀćÝĈîüîñúúĆóíŤĔîĒêŠúą×šĂ êŠĂĕðîĊĚ (ǰǰðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜ (5,040) (2) đĀêčÖćøèŤìĊęîć÷đĂǰĒúąǰîć÷ïĊǰĕöŠîĆęÜêĉéÖĆîǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰ(3,600) (3) đĀêčÖćøèŤìĊęöĊÙîîĆęÜøąĀüŠćÜîć÷đĂǰĒúąîć÷ïĊǰÝĈîüîǰ2 ÙîđìŠćîĆĚî (1,440) • 204 лло COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
2. đĂÖÿąÿöđĀøĊ÷âïćìĕüšĔîÖøąðčÖĂĂöÿĉîéĆÜîĊĚǰđðŨîđĀøĊ÷âÿĉïïćìǰóý2539 ÝĈîüîǰ10 ĂĆîǰđðŨîđĀøĊ÷âÿĉïïćìǰ óýǰ2545 ÝĈîüîǰ20 ĂĆîǰǰëšćÿčŠöĀ÷ĉïđĀøĊ÷âÿĉïïćì×ċĚîöćǰ2 đĀøĊ÷âóøšĂöÖĆî ÝÜĀćÝĈîüîñúúĆóíŤĔîĒêŠúą×šĂ êŠĂĕðîĊĚ (ǰǰðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜ (435) (2) đĀêčÖćøèŤìĊęđĂÖÝąĀ÷ĉïĕéšđĀøĊ÷âÿĉïïćìǰóýǰ2539 ìĆĚÜÿĂÜđĀøĊ÷âǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰ (45) (3) đĀêčÖćøèŤìĊęđĂÖÝąĀ÷ĉïĕéšđĀøĊ÷âÿĉïïćìǰìĆĚÜÿĂÜǰóý (200) oe205 ллп COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
3. öĊîĆÖđøĊ÷îĀâĉÜǰ4 ÙîǰîĆÖđøĊ÷îßć÷ǰ4 Ùîǰ÷ČîúšĂöđðŨîüÜÖúöǰÝÜĀćÝĈîüîñúúĆóíŤĔîĒêŠúą×šĂêŠĂĕðîĊĚ (ǰǰðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜ (5,040) (2) đĀêčÖćøèŤìĊęîĆÖđøĊ÷îßć÷ĒúąîĆÖđøĊ÷îĀâĉÜ÷ČîÿúĆïÖĆîǰ (144) (3) đĀêčÖćøèŤìĊęîĆÖđøĊ÷îßć÷ĒúąîĆÖđøĊ÷îĀâĉÜ÷ČîÿúĆïÖĆîìĊúąǰ2 Ùîǰ (288) (4) đĀêčÖćøèŤìĊęîĆÖđøĊ÷îĀâĉÜìĆĚÜǰ4 Ùî÷ČîêĉéÖĆîǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰ(576) tt206 ллр COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
ÙüćöîŠćÝąđðŨîēé÷ĔßšĀúĆÖÖćøîĆïǰ ñúÖćøđøĊ÷îøĎšǰǰĀćÙüćöîŠćÝąđðŨîēé÷ĔßšĀúĆÖÖćøîĆïĕéš 4. ÙüćöîŠćÝąđðŨî×ĂÜđĀêčÖćøèŤ(Probability of Events) ïìîĉ÷ćöǰ ëšćǰS đðŨîðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜàċęÜđðŨîđàêÝĈÖĆéǰĒúąðøąÖĂïéšü÷ñúúĆóíŤìĊęöĊēĂÖćÿđÖĉé×ċĚîđìŠćÖĆî ĒúąǰE đðŨî đĀêčÖćøèŤǰÙüćöîŠćÝąđðŨî×ĂÜđĀêčÖćøèŤǰE Ýąđ×Ċ÷îĒìîéšü÷ÿĆâúĆÖþèŤǰP(E) P(E) Āöć÷ëċÜǰĂĆêøćÿŠüî×ĂÜÝĈîüîñúúĆóíŤĔîǰE êŠĂǰÝĈîüîñúúĆóíŤĔîǰS îĆęîÙČĂ P(E) = O & O 4 ÙčèÿöïĆêĉïćÜðøąÖćøđÖĊę÷üÖĆïÙüćöîŠćÝąđðŨîǰ 1. ëšćǰE đðŨîđĀêčÖćøèŤĔéėǰĒúšüǰ0P(E)1 2. P(E) = 0 ÖĘêŠĂđöČęĂǰE = 3. P(E) = 1 ÖĘêŠĂđöČęĂǰE = S Āöć÷đĀêčǰ 1. ÙüćöîŠćÝąđðŨî×ĂÜđĀêčÖćøèŤĔéėǰÙČĂǰÙŠćìĊęïĂÖĔĀšìøćïüŠćđĀêčÖćøèŤîĆĚîöĊēĂÖćÿđÖĉé×ċĚîöćÖîšĂ÷ đóĊ÷ÜĔéǰđߊîǰëšćǰP(E) = ଵ ଶ ĒÿéÜüŠćđĀêčÖćøèŤǰE öĊēĂÖćÿđÖĉé×ċĚîĀøČĂĕöŠđÖĉé×ċĚîđìŠćėǰÖĆî 2. ÝćÖîĉ÷ćöךćÜêšîǰñúúĆóíŤĔîðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜǰÝąêšĂÜöĊēĂÖćÿđÖĉé×ċĚîđìŠćėǰÖĆîǰéĆÜîĆĚîĔîÖćøđúČĂÖÿĉęÜ×ĂÜ đóČęĂĔĀšñúúĆóíŤìĊęđÖĉé×ċĚîöĊēĂÖćÿđÖĉé×ċĚîđìŠćėÖĆîǰđøćÝąëČĂđÿöČĂîüŠćÿĉęÜ×ĂÜìĊęöĊĂ÷ĎŠìĆĚÜĀöéîĆĚîĒêÖêŠćÜÖĆîǰ ëċÜĒöšÝąđĀöČĂîÖĆîÖĘêćöǰÝċÜĕöŠöĊÙüćöÝĈđðŨîêšĂÜøąïčüŠćÿĉęÜ×ĂÜêŠćÜÖĆîĀøČĂĕöŠǰ 6.ÙüćöîŠćÝąđðŨîēé÷ĔßšĀúĆÖÖćøîĆïǰ êĆüĂ÷ŠćÜìĊęǰ1 ĔîÖćøē÷îúĎÖđêţćǰ1 úĎÖǰ1 ÙøĆĚÜǰëšćñúúĆóíŤìĊęÿîĔÝÙČĂǰĒêšöìĊęĕéšÝćÖÖćøē÷îǰ ðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜǰÙČĂǰ4ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ O 4ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ ëšćǰE1 ĒìîđĀêčÖćøèŤìĊęĕéšĒêšöđðŨîÝĈîüîÙĊęǰĒúšüǰ ǰǰǰǰE1 ffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ n(E1ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ1 &1ǰffǰļļļļļļļļļļļļ ëšćǰE2 ĒìîđĀêčÖćøèŤìĊęĕéšĒêšöđðŨîÝĈîüîđÞóćąǰĒúšüǰ ǰǰǰǰE2 ffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļ { 1,2,3,4,5,6 } { 6 } { 1,3,5 } 3 ͵ ͳ ʹ = { 2,3,5 } 2 207 лл8 COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
n(E2ǰffǰļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļļǰ1 &2ǰffǰļļļļļļļļļļļļ êĆüĂ÷ŠćÜìĊęǰ2 ē÷îđĀøĊ÷âǰ3 đĀøĊ÷âǰ1 ÙøĆĚÜǰÝÜĀćǰ (1) ÝĈîüîñúúĆóíŤ×ĂÜÖćøìéúĂÜÿčŠöìĆĚÜĀöé (2) ÙüćöîŠćÝąđðŨî×ĂÜđĀêčÖćøèŤìĊęđĀøĊ÷âìĆĚÜǰ3 đĀøĊ÷â×ċĚîĀîšćđĀöČĂîÖĆî (3) ÙüćöîŠćÝąđðŨî×ĂÜđĀêčÖćøèŤìĊęđĀøĊ÷â×ċĚîĀîšćÖšĂ÷öćÖÖüŠćĀîšćĀĆü üĉíĊìĈ (1) ðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜǰS n(S) = 2 × 2 × 2 = 8 (2) đĀêčÖćøèŤìĊęđĀøĊ÷âìĆĚÜǰ3 đĀøĊ÷â×ċĚîĀîšćđĀöČĂîÖĆî E1 đĀøĊ÷âöĊǰ2 ĀîšćǰĒïŠÜđðŨîǰ2 ÖøèĊǰ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰÖøèĊìĊęǰ1 đĀøĊ÷â×ċĚîĀîšćĀĆüǰìĆĚÜǰ3 đĀøĊ÷âǰǰĕéšǰ1 üĉíĊ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰÖøèĊìĊęǰ2 đĀøĊ÷â×ċĚîĀîšćÖšĂ÷ǰìĆĚÜǰ3 đĀøĊ÷âǰĕéšǰ1 üĉíĊǰ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰøüöìĆĚÜÿĂÜÖøèĊǰĕéšǰ2 üĉíĊǰǰîĆęîÙČĂǰn(E1) = 2 éĆÜîĆĚîÙüćöîŠćÝąđðŨî×ĂÜđĀêčÖćøèŤìĊęđĀøĊ÷âìĆĚÜǰ3 đĀøĊ÷â×ċĚîĀîšćđĀöČĂîÖĆîǰđìŠćÖĆï ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰP(E1) = ଶ ଼ = ଵ ସ ǰđĀêčÖćøèŤìĊęđĀøĊ÷â×ċĚîĀîšćÖšĂ÷öćÖÖüŠćĀîšćĀĆüǰE2 éĆÜîĆĚîÙüćöîŠćÝąđðŨî×ĂÜđĀêčÖćøèŤìĊęđĀøĊ÷â×ċĚîĀîšćÖšĂ÷öćÖÖüŠćĀîšćĀĆü ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰP(E1) = ସ ଼ = ଵ ଶ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰ 3 ͵ = ͳ ʹ oa208 лл9 COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
êĆüĂ÷ŠćÜìĊęǰ3 ëšćē÷îúĎÖđêţćǰ2 úĎÖǰĔîǰ1 ÙøĆĚÜǰÝÜĀćÙüćöîŠćÝąđðŨî×ĂÜđĀêčÖćøèŤêŠĂĕðîĊĚ (1) úĎÖđêţćǰìĆĚÜǰ2 úĎÖǰ×ċĚîĒêšöđĀöČĂîÖĆîǰ (2) úĎÖđêţćǰìĆĚÜǰ2 úĎÖǰ×ċĚîĒêšöêŠćÜÖĆî (3) ñúøüöĒêšö×ĂÜúĎÖđêţćìĆĚÜǰ2 úĎÖǰĕöŠîšĂ÷ÖüŠćǰ7 (4) ñúøüöĒêšöđìŠćÖĆïǰ7 ēé÷öĊúĎÖĔéúĎÖđĀîċęÜöĊĒêšöĕöŠîšĂ÷ÖüŠćǰ4 üĉíĊìĈ ǰǰðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜǰS n(S) = 6 × 6 = 36 (1) đĀêčÖćøèŤìĊęúĎÖđêţćǰìĆĚÜǰǰúĎÖǰ×ċĚîĒêšöđĀöČĂîÖĆî E1 ÝĈîüîĒïïìĊęúĎÖđêţć×ċĚîĒêšöđĀöČĂîÖĆîìĆĚÜÿĂÜúĎÖǰÙĉéÝćÖǰ2 ×ĆĚîêĂîǰÙČĂ ×ĆĚîêĂîìĊęǰ1 úĎÖđêţćúĎÖìĊęĀîċęÜ×ċĚîĒêšöĕéšǰ6 üĉíĊ ×ĆĚîêĂîìĊęǰ2 ĒêŠúąüĉíĊ×ĂÜ×ĆĚîêĂîìĊęǰ1 úĎÖđêţćúĎÖìĊęǰ2 êšĂÜ×ċĚîĒêšöđĀöČĂîúĎÖđêţćúĎÖìĊęĀîĊęÜĕéšǰ1 üĉíĊ êšĂÜìĈìĆĚÜÿĂÜ×ĆĚîêĂîǰÝąĕéšǰn(E1) = 6×1 = 6 éĆÜîĆĚîǰÙüćöîŠćÝąđðŨî×ĂÜđĀêčÖćøèŤìĊęúĎÖđêţćǰìĆĚÜǰǰúĎÖǰ×ċĚîĒêšöđĀöČĂîÖĆî đìŠćÖĆï P(E1) = ଷ = ଵ ǰǰ 2ǰđĀêčÖćøèŤìĊęúĎÖđêţćǰìĆĚÜǰǰúĎÖǰ×ċĚîĒêšöêŠćÜÖĆî E2 ǰǰÙĉéĒïïÙĂöóúĊđöîêŤǰÙČĂǰÝĈîüîüĉíĊìĆĚÜĀöéúïÝĈîüîüĉíĊìĊęúĎÖđêţć×ċĚîĒêšöđĀöČĂîÖĆî ìĈĔĀšǰn(E2) = 36 ı 6 = 30 P(E2) = ଷ ଷ = ହ Bs209 лмй COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
ǰǰǰǰǰǰǰǰǰ ǰñúøüöĒêšö×ĂÜúĎÖđêţćìĆĚÜǰǰúĎÖǰĕöŠîšĂ÷ÖüŠćǰ E3 ëšćÝąĀćÝĈîüîĒïïìĊęñúøüöĒêšöĕöŠîšĂ÷ÖüŠćǰ7 Ýąđ÷ĂąÖüŠćÝĈîüîĒïïìĊęñúøüöĒêšöìĊęîšĂ÷ÖüŠćǰ7 éĆÜîĆĚî đøćÝąĀćēé÷üĉíĊÙĂöóúĊđöîêŤǰđĂćÝĈîüîüĉíĊìĆĚÜĀöéúïÝĈîüîüĉíĊìĊęñúøüöĒêšö×ĂÜúĎÖđêţćìĆĚÜǰ2 úĎÖǰîšĂ÷ÖüŠćǰ7 ñúøüöĒêšö×ĂÜúĎÖđêţćìĆĚÜǰ2 úĎÖǰîšĂ÷ÖüŠćǰ7 öĊǰ(1,1) ,(1,2) ,(1,3), (1,4),(1,5) , (2,1),(2,2),(2,3),(2,4) (3,1),(3,2),(3,3) (4,1),(4,2) (5,1) ìĆĚÜÿĉĚîđðŨîÝĈîüîǰ15 üĉíĊǰǰîĆęîÙČĂǰǰǰn(E3) = 36 ı 15 = 21 éĆÜîĆĚîǰÙüćöîŠćÝąđðŨî×ĂÜđĀêčÖćøèŤìĊęñúøüöĒêšö×ĂÜúĎÖđêţćìĆĚÜǰǰúĎÖǰĕöŠîšĂ÷ÖüŠćǰ đìŠćÖĆï ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰP(E3) = ଶଵ ଷ = ଵଶ ǰǰǰǰǰǰǰ ǰñúøüöĒêšöđìŠćÖĆïǰ7 ēé÷öĊúĎÖĔéúĎÖđĀîċęÜöĊĒêšöĕöŠîšĂ÷ÖüŠćǰ4 E4 E4 = { (1,6) , (2,5) , (3,4) , (4,3) , (5,2) , (6,1) } éĆÜîĆĚîǰÙüćöîŠćÝąđðŨî×ĂÜđĀêčÖćøèŤìĊęñúøüöĒêšöđìŠćÖĆïǰ7 ēé÷öĊúĎÖĔéúĎÖđĀîċęÜöĊĒêšöĕöŠîšĂ÷ÖüŠćǰ4 đìŠćÖĆï ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰP(E4) = ଷ = ଵ aa210 лм1 COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
ĒïïòřÖìĆÖþąđóČęĂìéÿĂïÙüćöđךćĔÝìĊęǰ2 1. ëšćÿčŠöÙøĂïÙøĆüìĊęöĊïčêøÿĂÜÙîöćÙøĂïÙøĆüĀîċęÜ ÝÜĀćÙüćöîŠćÝąđðŨî×ĂÜđĀêčÖćøèŤìĊęÙøĂïÙøĆüîĊĚ (1) öĊïčêøÙîĒøÖđðŨîßć÷ĒúąïčêøÙîìĊęÿĂÜđðŨîĀâĉÜ ሺ ଵ ସ ሻ (2) öĊïčêøßć÷Ă÷ŠćÜîšĂ÷ǰ1 Ùîǰ ሺ ଷ ସ ሻ (3) ĕöŠöĊïčêøßć÷đú÷ ሺ ଵ ସ ሻ ĔîÖćøđúČĂÖÝĈîüîÿĂÜÝĈîüîēé÷đÝćąÝÜÝćÖǰ{1,2,3,4,5} ēé÷đúČĂÖìĊúąÝĈîüîĒúąĕöŠĔĀšàĚĈÖĆî (1) ÝÜĀćÙüćöîŠćÝąđðŨîìĊęÝąĕéšÝĈîüîÿĂÜÝĈîüîìĊęöĊñúïüÖđðŨîǰ6 ሺ ଵ ହ ሻ (2) ÝÜĀćÙüćöîŠćÝąđðŨîìĊęÝąĕéšÝĈîüîÿĂÜÝĈîüîìĊęöĊñúïüÖđðŨîÝĈîüîÙĎŠ ሺ ଷ ଵሻ ☆←211 лмл COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
3. õćÖøÿčŠöĀ÷ĉïĕóŠǰ1 ĔïǰÝćÖĕóŠÿĈøĆïĀîċęÜìĊęöĊǰ52 ĔïǰÝÜĀćÙüćöîŠćÝąđĀĘî×ĂÜđĀêčÖćøèŤêŠĂĕðîĊĚ ǰǰǰ(1) õćÖøÝąĀ÷ĉïĕéšĕóŠĀĆüĔÝĀøČĂĕóŠÙĉÜ ሺ ସ ଵଷሻ (2) õćÖøĀ÷ĉïĕéšĕóŠéĂÖÝĉÖĀøČĂĒêšöǰ8 ሺ ସ ଵଷሻ ←212 лмм COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
ÙüćöîŠćÝąđðŨîēé÷ĔßšüĉíĊđøĊ÷ÜÿĆïđðúĊę÷îĀøČĂüĉíĊÝĆéĀöĎŠ ñúÖćøđøĊ÷îøĎšǰǰĀćÙüćöîŠćÝąđðŨîēé÷ĔßšüĉíĊđøĊ÷ÜÿĆïđðúĊę÷îĒúąÖćøÝĆéĀöĎŠĕéš êĆüĂ÷ŠćÜìĊęǰ1 ĕóŠÿĈøĆïĀîċęÜǰöĊǰ52 ĔïǰÿčŠöĀ÷ĉïĕóŠǰ2 ĔïǰÝćÖÿĈøĆïǰēé÷Ā÷ĉïìĊúąĔïĒúąĕöŠĔÿŠÙČîÖŠĂîĀ÷ĉïĔïìĊęÿĂÜǰÝÜ ĀćÙüćöîŠćÝąđðŨî×ĂÜđĀêčÖćøèŤêŠĂĕðîĊĚ (1) Ā÷ĉïĕóŠĔïĒøÖĕéšĕóŠÿĊĒéÜǰĒúąǰĕóŠĔïìĊęÿĂÜĕéšĕóŠÿĊéĈ (2) Ā÷ĉïĕéšĕóŠǰK ìĆĚÜÿĂÜĔï (3) Ā÷ĉïĕéšĕóŠēóéĈìĆĚÜÿĂÜĔïǰ (4) Ā÷ĉïĕéšĕóŠǰ2 ēóéĈìĆĚÜÿĂÜĔïǰ üĉíĊìĈǰǰðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜǰS ÙČĂǰñúúĆóíŤ×ĂÜÖćøĀ÷ĉïĕóŠìĊúąĔïĒúąĕöŠĔÿŠÙČîÖŠĂîĀ÷ĉïĔïìĊęÿĂÜǰ ǰǰǰǰǰǰǰǰn(S) = ቀ ͷʹ ʹ ቁ ൈ ʹǨ = 2,652 (1) đĀêčÖćøèŤìĊęĀ÷ĉïĕóŠĔïĒøÖĕéšĕóŠÿĊĒéÜǰĒúąǰĕóŠĔïìĊęÿĂÜĕéšĕóŠÿĊéĈ E1 n(E1) = ቀ ͳ͵ ͳ ቁ ቀ ͳ͵ ͳ ቁ = 13×13 = 169 éĆÜîĆĚîÙüćöîŠćÝąđðŨî×ĂÜđĀêčÖćøèŤìĊęĀ÷ĉïĕóŠĔïĒøÖĕéšĕóŠÿĊĒéÜǰĒúąǰĕóŠĔïìĊęÿĂÜĕéšĕóŠÿĊéĈǰ đìŠćÖĆï ǰǰǰǰǰP(E1) = ଵଽ ଶହଶ = ଵଷ ଶସ (2) đĀêčÖćøèŤìĊęĀ÷ĉïĕéšĕóŠĀ÷ĉïĕéšĕóŠǰK ìĆĚÜÿĂÜĔï E2 n(E2) = ቀ Ͷ ʹ ቁ ൈ ʹǨ = 12 ǰǰǰǰǰǰéĆÜîĆĚîÙüćöîŠćÝąđðŨî×ĂÜđĀêčÖćøèŤìĊęĀ÷ĉïĕóŠĔïĒøÖĕéšĕóŠÿĊĒéÜǰĒúąǰĕóŠĔïìĊęÿĂÜĕéšĕóŠÿĊéĈ đìŠćÖĆï P(E2) = ଵଶ ଶହଶ = ଵ ଶଶଵ (3) đĀêčÖćøèŤìĊęĀ÷ĉïĕéšĕóŠēóéĈìĆĚÜÿĂÜĔïǰE3 n(E3) = ቀ ͳ͵ ʹ ቁ ൈ ʹǨ = 13×12 = 156 ǰǰǰǰǰǰéĆÜîĆĚîÙüćöîŠćÝąđðŨî×ĂÜđĀêčÖćøèŤìĊęĀ÷ĉïĕéšĕóŠēóéĈìĆĚÜÿĂÜĔï đìŠćÖĆï P(E3) = ଵହ ଶହଶ = ଵ ଵ • 213 лмн COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
(4) đĀêčÖćøèŤĀ÷ĉïĕéšĕóŠǰ2 ēóéĈìĆĚÜÿĂÜĔïǰE4 n(E3) = 0 ǰǰǰǰǰǰéĆÜîĆĚîÙüćöîŠćÝąđðŨî×ĂÜđĀêčÖćøèŤìĊęĀ÷ĉïĕóŠǰ2 ēóéĈìĆĚÜÿĂÜĔïǰđìŠćÖĆï P(E3) = ଶହଶ = 0 êĆüĂ÷ŠćÜìĊęǰ2 ÖúŠĂÜĔïìĊęĀîċęÜöĊúĎÖïĂúǰÿĊĒéÜǰ2 úĎÖǰĒúąÿĊéĈǰ4 úĎÖ ǰǰǰǰǰǰÖúŠĂÜĔïìĊęÿĂÜöĊúĎÖïĂúǰÿĊ×ćüǰ3 úĎÖǰĒúąÿĊîĚĈđÜĉîǰ5 úĎÖǰ ǰǰǰǰǰǰëšćÿčŠöĀ÷ĉïúĎÖïĂúǰ1 úĎÖǰÝćÖÖúŠĂÜĔïìĊęǰ1 ĒúšüîĈĕðĔÿŠÖúŠĂÜĔïìĊęÿĂÜǰĀúĆÜÝćÖîĆĚîÝċÜÿčŠöĀ÷ĉïúĎÖïĂú ÝćÖÖúŠĂÜĔïìĊęÿĂÜǰǰ1 úĎÖǰÝÜĀćÙüćöîŠćÝąđðŨîìĊęúĎÖïĂúìĊęĀ÷ĉïÝćÖÖúŠĂÜĔïìĊęÿĂÜǰ (1) đðŨîÿĊĒéÜǰ (2) đðŨîÿĊéĈ ǰǰ(3) đðŨîÿĊ×ćüǰǰ (4) đðŨîÿĊîĚĈđÜĉîǰ üĉíĊìĈǰǰðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜǰS ÙČĂǰñúúĆóíŤ×ĂÜÖćøĀ÷ĉïúĎÖïĂúǰ1 úĎÖǰÝćÖÖúŠĂÜĔïìĊęǰ1 ĒúšüîĈĕðĔÿŠÖúŠĂÜĔïìĊęÿĂÜǰ ĀúĆÜÝćÖîĆĚîÝċÜÿčŠöĀ÷ĉïúĎÖïĂúÝćÖÖúŠĂÜĔïìĊęÿĂÜǰǰ1 úĎÖ ǰǰǰǰǰǰǰǰn(S) = ቀ ͳ ቁ ቀ ͻ ͳ ቁ= 6×9 = 54 ǰǰǰǰǰǰǰ ǰđĀêčÖćøèŤìĊęúĎÖïĂúìĊęĀ÷ĉïÝćÖÖúŠĂÜĔïìĊęÿĂÜđðŨîÿĊĒéÜǰE1 ÝĈîüîüĉíĊìĊęÝąĕéšúĎÖïĂúÖúŠĂÜìĊęÿĂÜđðŨîÿĊĒéÜǰđøćêšĂÜìĈǰ2 ×ĆĚîêĂîǰéĆÜîĊĚ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰ×ĆĚîêĂîìĊęǰ1 đúČĂÖúĎÖïĂúÿĊĒéÜÝćÖÖúŠĂÜĔïìĊęĀîċęÜĕéšǰ2 üĉíĊ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰ×ĆĚîêĂîìĊęǰ2 ÝćÖ×ĆĚîêĂîìĊęǰ1 ìĈĔĀšúĎÖïĂúĔîÖúŠĂÜìĊęÿĂÜöĊúĎÖïĂúÿĊĒéÜǰ1 úĎÖǰđúČĂÖĕéšǰ1 üĉíĊǰ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰêšĂÜìĈÙøïìĆĚÜÿĂÜ×ĆĚîêĂîǰÝąĕéšǰn(E1) = 2×1 = 2 üĉíĊ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰéĆÜîĆĚîÙüćöîŠćÝąđðŨîìĊęúĎÖïĂúìĊęĀ÷ĉïÝćÖÖúŠĂÜĔïìĊęÿĂÜđðŨîÿĊĒéÜǰđìŠćÖĆï P(E1) = ଶ ହସ = ଵ ଶ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰ ǰđĀêčÖćøèŤìĊęúĎÖïĂúìĊęĀ÷ĉïÝćÖÖúŠĂÜĔïìĊęÿĂÜđðŨîÿĊéĈ E2 ÝĈîüîüĉíĊìĊęÝąĕéšúĎÖïĂúÖúŠĂÜìĊęÿĂÜđðŨîÿĊéĈ đøćêšĂÜìĈǰ2 ×ĆĚîêĂîǰéĆÜîĊĚ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰ×ĆĚîêĂîìĊęǰ1 đúČĂÖúĎÖïĂúÿĊéĈÝćÖÖúŠĂÜĔïìĊęĀîċęÜĕéšǰ4 üĉíĊ • 214 лмо COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰ×ĆĚîêĂîìĊęǰ2 ÝćÖ×ĆĚîêĂîìĊęǰ1 ìĈĔĀšúĎÖïĂúĔîÖúŠĂÜìĊęÿĂÜöĊúĎÖïĂúÿĊéĈ 1 úĎÖǰđúČĂÖĕéšǰ1 üĉíĊǰ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰêšĂÜìĈÙøïìĆĚÜÿĂÜ×ĆĚîêĂîǰÝąĕéšǰn(E2) = 4×1 = 4 üĉíĊ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰéĆÜîĆĚîÙüćöîŠćÝąđðŨîìĊęúĎÖïĂúìĊęĀ÷ĉïÝćÖÖúŠĂÜĔïìĊęÿĂÜđðŨîÿĊéĈ đìŠćÖĆï P(E2) = ସ ହସ = ଶ ଶ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰ 3ǰđĀêčÖćøèŤìĊęúĎÖïĂúìĊęĀ÷ĉïÝćÖÖúŠĂÜĔïìĊęÿĂÜđðŨîÿĊ×ćüǰǰE3 ÝĈîüîüĉíĊìĊęÝąĕéšúĎÖïĂúÖúŠĂÜìĊęÿĂÜđðŨîÿĊ×ćüǰđøćêšĂÜìĈǰ2 ×ĆĚîêĂîǰéĆÜîĊĚ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰ×ĆĚîêĂîìĊęǰ1 đúČĂÖúĎÖïĂúÝćÖÖúŠĂÜĔïìĊęĀîċęÜĕéšǰ6 üĉíĊ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰ×ĆĚîêĂîìĊęǰ2 đúČĂÖúĎÖïĂúÿĊ×ćüÝćÖÖúŠĂÜĔïìĊęÿĂÜǰĕéšǰǰ3 üĉíĊ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰêšĂÜìĈÙøïìĆĚÜÿĂÜ×ĆĚîêĂîǰÝąĕéšǰn(E3) = 6×3 = 18 üĉíĊ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰéĆÜîĆĚîÙüćöîŠćÝąđðŨîìĊęúĎÖïĂúìĊęĀ÷ĉïÝćÖÖúŠĂÜĔïìĊęÿĂÜđðŨîÿĊ×ćüǰǰđìŠćÖĆï P(E3) = ଵ଼ ହସ = ଵ ଷ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰ 4ǰđĀêčÖćøèŤìĊęúĎÖïĂúìĊęĀ÷ĉïÝćÖÖúŠĂÜĔïìĊęÿĂÜđðŨîÿĊîĚĈđÜĉîǰE4 ÝĈîüîüĉíĊìĊęÝąĕéšúĎÖïĂúÖúŠĂÜìĊęÿĂÜđðŨîÿĊîĚĈđÜĉî đøćêšĂÜìĈǰ2 ×ĆĚîêĂîǰéĆÜîĊĚ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰ×ĆĚîêĂîìĊęǰ1 đúČĂÖúĎÖïĂúÝćÖÖúŠĂÜĔïìĊęĀîċęÜĕéšǰ6 üĉíĊ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰ×ĆĚîêĂîìĊęǰ2 đúČĂÖúĎÖïĂúÿĊ×ćüÝćÖÖúŠĂÜĔïìĊęÿĂÜǰĕéšǰǰ5 üĉíĊ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰêšĂÜìĈÙøïìĆĚÜÿĂÜ×ĆĚîêĂîǰÝąĕéšǰn(E4) = 6×5 = 30 üĉíĊ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰéĆÜîĆĚîÙüćöîŠćÝąđðŨîìĊęúĎÖïĂúìĊęĀ÷ĉïÝćÖÖúŠĂÜĔïìĊęÿĂÜđðŨîÿĊîĚĈđÜĉîǰđìŠćÖĆï ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰP(E1) = ଷ ହସ = ହ ଽ • 215 лмп COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
êĆüĂ÷ŠćÜìĊęǰ3 ÿčŠöĀ÷ĉïúĎÖïĂúǰ2 úĎÖǰóøšĂöÖĆîǰÝćÖÖúŠĂÜĔïĀîċęÜǰàċęÜöĊúĎÖïĂúÿĊĒéÜǰ3 úĎÖǰÿĊ×ćüǰ2 úĎÖǰĒúąÿĊîĚĈđÜĉîǰ4 úĎÖǰÝÜĀćÙüćöîŠćÝąđðŨîìĊęÝąĕéš (1) úĎÖïĂúÿĊĒéÜìĆĚÜÿĂÜúĎÖ (2) úĎÖïĂúìĊęĕöŠöĊÿĊĔéđðŨîÿĊîĚĈđÜĉî (2) úĎÖïĂúÿĊĒéÜĀøČĂÿĊîĚĈđÜĉîđìŠćîĆĚî (4) úĎÖïĂúÿĊ×ćüĂ÷ŠćÜîšĂ÷ǰ1 úĎÖ üĉíĊìĈǰǰðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜǰS ÙČĂǰñúúĆóíŤ×ĂÜÖćøĀ÷ĉïúĎÖïĂúǰ2 úĎÖǰóøšĂöÖĆîǰÝćÖÖúŠĂÜĔïĀîċęÜǰàċęÜöĊúĎÖïĂúÿĊĒéÜǰ3 úĎÖǰ ÿĊ×ćüǰ2 úĎÖǰĒúąÿĊîĚĈđÜĉîǰ4 úĎÖ n(S) = ቀ ͻ ʹ ቁ = ଽൈ଼ ଶ = 36 (1) đĀêčÖćøèŤìĊęĀ÷ĉïĕéšúĎÖïĂúÿĊĒéÜìĆĚÜÿĂÜúĎÖ E1 ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰöĊúĎÖïĂúÿĊĒéÜǰ3 úĎÖǰĀ÷ĉïĂĂÖöćóøšĂöÖĆîǰ2 úĎÖǰĕéšǰቀ ͵ ʹ ቁ = 3 ìĈĔĀšǰn(E1) = 3 éĆÜîĆĚîÙüćöîŠćÝąđðŨîĀ÷ĉïĕéšúĎÖïĂúÿĊĒéÜìĆĚÜÿĂÜúĎÖ đìŠćÖĆï ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰP(E1) = ଷ ଷ = ଵ ଵଶ (2) đĀêčÖćøèŤìĊęĀ÷ĉïĕéšúĎÖïĂúìĊęĕöŠöĊÿĊĔéđðŨîÿĊîĚĈđÜĉî E2 ÙĉéĒïïÙĂöóúĊđöîêŤǰÙČĂǰđĂćÝĈîüîüĉíĊìĆĚÜĀöéǰúïéšü÷üĉíĊìĊęĀ÷ĉïĕéšúĎÖïĂúÿĊîĚĈđÜĉîìĆĚÜÿĂÜúĎÖĒúąĀ÷ĉïĕéš úĎÖïĂúÿĊîĚĈđÜĉîǰ1 úĎÖ ÖøèĊìĊęǰ1 Ā÷ĉïĕéšúĎÖïĂúÿĊîĚĈđÜĉîǰ2 úĎÖǰ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰöĊúĎÖïĂúÿĊîĚĈđÜĉîǰ4 úĎÖǰĀ÷ĉïĂĂÖöćóøšĂöÖĆîǰ2 úĎÖǰĕéšǰቀ Ͷ ʹ ቁ = 6 üĉíĊ ÖøèĊìĊęǰ2 Ā÷ĉïĕéšúĎÖïĂúÿĊîĚĈđÜĉîǰ1 úĎÖǰ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰ×ĆĚîêĂîìĊęǰ1 öĊúĎÖïĂúÿĊîĚĈđÜĉîǰ4 úĎÖǰĀ÷ĉïĂĂÖöćǰ1 úĎÖǰĕéšǰቀ Ͷ ͳ ቁ = 4 üĉíĊ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰ×ĆĚîêĂîìĊęǰ2 Ā÷ĉïúĎÖïĂúÿĊĂČęîìĊęđĀúČĂìĊęĕöŠĔߊÿĊîĚĈđÜĉîǰ5 úĎÖǰĀ÷ĉïöćǰǰ1 úĎÖǰĕéšǰቀ ͷ ͳ ቁ = 5 üĉíĊ êšĂÜìĈÙøïìĆĚÜÿĂÜ×ĆĚîêĂîǰÝąĕéšǰ4×5 = 20 üĉíĊ øüöìĆĚÜÿĂÜÖøèĊǰÝąĕéšǰ6 + 20 = 26 üĉíĊ ìĈĔĀšÝĈîüîüĉíĊìĊęĀ÷ĉïĕéšúĎÖïĂúÿĂÜúĎÖìĊęĕöŠöĊÿĊĔéđðŨîÿĊîĚĈđÜĉîǰîĆęîÙČĂǰn(E2) = 36-26 = 10 üĉíĊǰ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰéĆÜîĆĚîǰÙüćöîŠćÝąđðŨîĀ÷ĉïĕéšúĎÖïĂúÿĂÜúĎÖìĊęĕöŠöĊÿĊĔéđðŨîÿĊîĚĈđÜĉîǰđìŠćÖĆïǰ ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰP(E2) = ଵ ଷ = ହ ଵ଼ • 216 лмр COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
(3) đĀêčÖćøèŤìĊęĀ÷ĉïĕéšúĎÖïĂúÿĊĒéÜĀøČĂÿĊîĚĈđÜĉîđìŠćîĆĚî E3 ÖøèĊìĊęǰ1 Ā÷ĉïĕéšúĎÖïĂúÿĊĒéÜǰ2 úĎÖǰÝćÖךĂǰ(1) ĕéšǰ3 üĉíĊ ÖøèĊìĊęǰ2 Ā÷ĉïĕéšúĎÖïĂúÿĊîĚĈđÜĉîǰ2 úĎÖǰÝćÖךĂǰ(2) ÖøèĊìĊęǰ1 ĕéšǰ6 üĉíĊ ÖøèĊìĊęǰ3 Ā÷ĉïĕéšúĎÖïĂúÿĊĒéÜǰ1 úĎÖǰĒúąÿĊîĚĈđÜĉîǰ1 úĎÖǰĕéšǰቀ ͵ ͳ ቁ ቀ Ͷ ͳ ቁ = 12 üĉíĊ ÝćÖìĆĚÜÿćöÖøèĊǰÝąĕéšǰ3+6+12 = 21 üĉíĊ ǰǰǰìĈĔĀšÝĈîüîüĉíĊìĊęĀ÷ĉïĕéšúĎÖïĂúÿĊĒéÜĀøČĂÿĊîĚĈđÜĉîđìŠćîĆĚî îĆęîÙČĂǰn(E3) = 21 üĉíĊǰ ǰǰéĆÜîĆĚîǰÙüćöîŠćÝąđðŨîĀ÷ĉïĕéšúĎÖïĂúÿĂÜúĎÖđðŨîÿĊĒéÜĀøČĂÿĊîĚĈđÜĉîđìŠćîĆĚîǰđìŠćÖĆïǰ P(E3) = ଶଵ ଷ = ଵଶ (4) đĀêčÖćøèŤìĊęĀ÷ĉïĕéšúĎÖïĂúÿĊ×ćüĂ÷ŠćÜîšĂ÷ǰ1 úĎÖ ÙĉéĒïïÙĂöóúĊđöîêŤǰÙČĂǰđĂćÝĈîüîìĆĚÜĀöéúïéšü÷ÝĈîüîüĉíĊìĊęĀ÷ĉïĕöŠĕéšúĎÖïĂúÿĊ×ćüđú÷ ǰǰǰǰǰöĊúĎÖïĂúÿĊĂČęîìĊęĕöŠĔߊúĎÖïĂúÿĊ×ćüǰÙČĂÿĊĒéÜǰ3 úĎÖǰÿĊîĚĈđÜĉîǰ4 úĎÖǰøüöđðŨîǰ7 úĎÖǰÿčŠöĀ÷ĉïĂĂÖöćǰ2 úĎÖǰ ĕéšǰቀ ʹ ቁ = Ǩ ହǨଶǨ = ൈ ଶ = 21 ÖúŠćüÙČĂǰÝĈîüîüĉíĊĀ÷ĉïĕöŠĕéšúĎÖïĂúÿĊ×ćüǰđìŠćÖĆïǰ21 üĉíĊ ìĈĔĀšǰÝĈîüîüĉíĊĀ÷ĉïĕéšúĎÖïĂúÿĊ×ćüĂ÷ŠćÜîšĂ÷ 1 úĎÖǰn(E4) = 36 ı 21 = 15 éĆÜîĆĚîǰÙüćöîŠćÝąđðŨî×ĂÜđĀêčÖćøèŤìĊęĀ÷ĉïĕéšúĎÖïĂúÿĊ×ćüĂ÷ŠćÜîšĂ÷ǰ1 úĎÖ đìŠćÖĆï P(E4) = ଵହ ଷ = ହ ଵଶ êĆüĂ÷ŠćÜìĊęǰ4 ĔîúĉĚîßĆÖöĊëčÜđìšćÿĊ×ćüǰ4 ÙĎŠǰÿĊéĈǰ3 ÙĎŠǰĒúąÿĊîĚĈđÜĉîǰ2 ÙĎŠǰĒêŠĕöŠĕéšÝĆéđøĊ÷ÜĕüšđðŨîÙĎŠǰėǰëšćÿčŠöĀ÷ĉï×ċĚîöćǰ2 ךćÜǰÝÜĀćÙüćöîŠćÝąđðŨî×ĂÜđĀêčÖćøèŤêŠĂĕðîĊĚ (1) ĕéšëčÜđìšćÿĊ×ćüìĆĚÜÿĂÜךćÜ (2) ĕéšëčÜđìšćÿĊéĈìĆĚÜÿĂÜךćÜ (3) ĕéšëčÜđìšćÿĊîĚĈđÜĉîìĆĚÜÿĂÜךćÜ (4) ĕéšëčÜđìšćÿĊđéĊ÷üÖĆî üĉíĊìĈǰǰðøĉõĎöĉêĆüĂ÷ŠćÜǰS ÙČĂǰñúúĆóíŤ×ĂÜÖćøĀ÷ĉïëčÜđìšćǰ2 ךćÜǰÝćÖĔîúĉĚîßĆÖǰ ĀćÝĈîüîךćÜ×ĂÜëčÜđìšćĕéšđìŠćÖĆïǰ8+6+4 = 18 ךćÜǰ n(S) = ቀ ͳͺ ʹ ቁ = ଵ଼ൈଵ ଶ = 9×17 = 153 • 217 лм8 COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
(1) đĀêčÖćøèŤìĊęĀ÷ĉïĕéšëčÜđìšćÿĊ×ćüìĆĚÜÿĂÜךćÜ E1 ëčÜđìšćÿĊ×ćüöĊǰ4 ÙĎŠǰĀøČĂ 8 ךćÜ ÿčŠöđúČĂÖöćǰ2 ךćÜǰÝąĕéšǰn(E1) = ቀ ͺ ʹ ቁ = ଼ൈ ଶ = 28 éĆÜîĆĚîÙüćöîŠćÝąđðŨî×ĂÜđĀêčÖćøèŤìĊęĀ÷ĉïĕéšëčÜđìšćÿĊ×ćüìĆĚÜÿĂÜךćÜǰđìŠćÖĆï ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰP(E1) = ଶ଼ ଵହଷ (2) đĀêčÖćøèŤìĊęĀ÷ĉïĕéšëčÜđìšćÿĊéĈìĆĚÜÿĂÜךćÜ E2 ëčÜđìšćÿĊéĈöĊǰ3 ÙĎŠǰĀøČĂǰ6 ךćÜǰÿčŠöđúČĂÖöćǰ2 ךćÜǰÝąĕéšǰn(E2) = ቀ ʹ ቁ = ൈହ ଶ = 15 éĆÜîĆĚîÙüćöîŠćÝąđðŨî×ĂÜđĀêčÖćøèŤìĊęĀ÷ĉïĕéšëčÜđìšćÿĊéĈìĆĚÜÿĂÜךćÜǰđìŠćÖĆï ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰP(E2) = ଵହ ଵହଷ = ହ ହଵ (3) đĀêčÖćøèŤìĊęĀ÷ĉïĕéšëčÜđìšćÿĊîĚĈđÜĉîìĆĚÜÿĂÜךćÜǰE3 ëčÜđìšćÿĊîĚĈđÜĉîöĊǰ2 ÙĎŠǰĀøČĂǰ4 ךćÜǰÿčŠöđúČĂÖöćǰ2 ךćÜǰÝąĕéšǰ n(E3) = ቀ Ͷ ʹ ቁ = ସൈଷ ଶ = 6 éĆÜîĆĚîÙüćöîŠćÝąđðŨî×ĂÜđĀêčÖćøèŤìĊęĀ÷ĉïĕéšëčÜđìšćÿĊîĚĈđÜĉîìĆĚÜÿĂÜךćÜǰđìŠćÖĆï ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰP(E2) = ଵହଷ = ଶ ହଵ (4) đĀêčÖćøèŤìĊęĀ÷ĉïĕéšëčÜđìšćÿĊđéĊ÷üÖĆîìĆĚÜÿĂÜךćÜ E4 ëčÜđìšćöĊÿćöÿĊǰÙČĂǰÿĊ×ćüǰÿĊéĈǰĒúąÿĊîĚĈđÜĉîǰêšĂÜÖćøĀ÷ĉïĕéšëčÜđìšćÿĊđéĊ÷üÖĆîìĆĚÜÿĂÜךćÜǰÝċÜĒïŠÜÖøèĊǰ éĆÜîĊĚ ÖøèĊìĊęǰ1 ĕéšëčÜđìšćÿĊ×ćüìĆĚÜÿĂÜךćÜǰÝćÖךĂǰ(1) đìŠćÖĆïǰ28 üĉíĊ ÖøèĊìĊęǰ2 ĕéšëčÜđìšćÿĊéĈìĆĚÜÿĂÜךćÜǰÝćÖךĂǰ(2) đìŠćÖĆïǰ15 üĉíĊ ÖøèĊìĊęǰ3 ĕéšëčÜđìšćÿĊîĚĈđÜĉîìĆĚÜÿĂÜךćÜǰÝćÖךĂǰ(3) đìŠćÖĆï 6 üĉíĊ ìĈĔĀšĕéšÝĈîüîüĉíĊìĊęĀ÷ĉïĕéšëčÜđìšćÿĊđéĊ÷üÖĆîǰn(E4) = 28 + 15 + 6 = 49 üĉíĊ éĆÜîĆĚîÙüćöîŠćÝąđðŨî×ĂÜđĀêčÖćøèŤìĊęĀ÷ĉïĕéšëčÜđìšćÿĊđéĊ÷üÖĆîìĆĚÜÿĂÜךćÜǰđìŠćÖĆï ǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰǰP(E2) = ସଽ ଵହଷ TE218 лм9 COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
ĒïïòřÖìĆÖþąđóČęĂìéÿĂïÙüćöđךćĔÝìĊęǰ3 ǰÖúŠĂÜĔïĀîċęÜöĊúĎÖïĂúǰ30 úĎÖǰđðŨîïĂúÿĊĒéÜǰ10 úĎÖǰĒúąÿĊđĀúČĂÜǰ10 úĎÖǰëšćĀ÷ĉïúĎÖïĂúÙøĆĚÜúą 1 úĎÖǰ3 ÙøĆĚÜǰ ēé÷Ā÷ĉïĒúšüĕöŠĔÿŠÙČîǰÝÜĀćÙüćöîŠćÝąđðŨîìĊęĕéšúĎÖïĂúÿĊĒéÜǰ2 úĎÖǰÿĊđĀúČĂÜǰ1 úĎÖǰêćöúĈéĆïǰ ቀ ଵହ ସቁ • 219 лнй COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
ëčÜĔïĀîĊęÜïøøÝčúĎÖÖüćéøÿÿêøĂđïĂøĊęǰ5 úĎÖǰøÿßĘĂÙēÖĒúêǰ4 úĎÖǰøÿÖćĒôĒúąøÿöĉîìŤßîĉéúąǰ2 úĎÖǰëšćÿčŠöĀ÷ĉï úĎÖÖüćéÝćÖëčÜĔïîĊĚöćǰ3 úĎÖǰÝÜĀćÙüćöîŠćÝąđðŨî×ĂÜđĀêčÖćøèŤêŠĂĕðîĊĚ (1) Ā÷ĉïĕéšúĎÖÖüćéêŠćÜøÿÖĆîìĆĚÜĀöé ቀ ଵଵ ଶ଼ቁ (2) Ā÷ĉïĕéšúĎÖÖüćéøÿđéĊ÷üÖĆîìĆĚÜĀöé ቀ ଵସ ଶ଼ቁ (3) Ā÷ĉïĕéšúĎÖÖüćéđóĊ÷Üǰ2 ßîĉé ቀ ଵହ ଶ଼ቁ ←220 лн1 COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
3. ëšćêšĂÜÖćøÙĆéđúČĂÖÖøøöÖćøǰ4 ÙîǰÝćÖêĆüĒìîǰ10 ÙîǰìĊęöćÝćÖĀšĂÜǰ5 ĀšĂÜėǰúąǰ2 Ùîǰēé÷đðŨîßć÷ĒúąĀâĉÜǰ ÝÜĀćÙüćöîŠćÝąđðŨîìĊęÝąđúČĂÖĕéšǰ (1) ÖøøöÖćøìĊęöćÝćÖêŠćÜĀšĂÜÖĆî ቀ ଼ ଶଵቁ (2) ÖøøöÖćøßć÷ǰ2 ÙîǰĒúąĀâĉÜǰ2 Ùîǰ ቀ ଵ ଶଵቁ (3) ÖøøöÖćøßć÷ǰ2 ÙîǰĀâĉÜǰ2 ÙîǰĒúąöĊßć÷ĀâĉÜǰĂ÷ŠćÜîšĂ÷ǰ1 ÙĎŠǰöćÝćÖĀšĂÜđéĊ÷üÖĆîǰ ቀ ସ ଶଵቁ AE221 лнл COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
4. öĊÝĈîüîđêĘöǰ8 ÝĈîüîǰĔîÝĈîüîîĊĚđðŨîÝĈîüîïüÖǰ6 ÝĈîüîǰàċęÜđðŨîÝĈîüîÙĎŠĒúąÙĊęđìŠćėÖĆîǰìĊęđĀúČĂđðŨîÝĈîüî úïǰàċęÜđðŨîÝĈîüîÙĎŠĒúąÙĊęđìŠćėÖĆîǰëšćÿčŠöĀ÷ĉïêĆüđú×ĂĂÖöćǰ4 êĆüǰÝÜĀćÙüćöîŠćÝąđðŨî×ĂÜđĀêčÖćøèŤêŠĂĕðîĊĚ (1) ñúÙĎè×ĂÜÝĈîüîìĆĚÜÿĊęđðŨîÝĈîüîÙĊęǰ ቀ ଵଶ ଷହቁ (2) ñúÙĎè×ĂÜÝĈîüîìĆĚÜÿĊęđðŨîÝĈîüîÙĎŠĒêŠñúïüÖ×ĂÜÝĈîüîìĆĚÜÿĊęđðŨîÝĈîüîÙĊę ቀ ଵ ଷହቁ ตร222 лнм COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
5. öĊîĆÖđøĊ÷îßć÷ǰ3 Ùî ĒúąǰîĆÖđøĊ÷îĀâĉÜǰ4 ÙîǰëšćĒïŠÜÙîìĆĚÜǰ7 ÙîđðŨîǰ3 ÖúčŠöǰĒêŠúąÖúčŠööĊĂ÷ŠćÜîšĂ÷ǰ1 ÙîǰĒêŠĕöŠ đÖĉîǰ3 ÙîǰÝÜĀćÙüćöîŠćÝąđðŨî×ĂÜđĀêčÖćøèŤêŠĂĕðîĊĚ (1) öĊÖúčŠöĀîċęÜìĊęöĊđÞóćąîĆÖđøĊ÷îßć÷ǰ3 Ùî ቀ ଵ ଷହቁ (2) öĊđóĊ÷ÜÖúčŠöđéĊ÷üìĊęđðŨîîĆÖđøĊ÷îĀâĉÜǰ1 ÙîǰĒúąîĆÖđøĊ÷îßć÷ǰǰ1 Ùîǰ ቀ ଶସ ଵହቁ (3) ĒêŠúąÖúčŠöêšĂÜöĊîĆÖđøĊ÷îßć÷Ă÷ŠćÜîšĂ÷ǰ1 Ùî ቀ ଵସସ ଵହቁ ←223 лнн COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
6. ëšćÿøšćÜøĎðÿćöđĀúĊę÷öēé÷úćÖÿŠüî×ĂÜđÿšîêøÜđßČęĂöÝčéöčöǰ3 ÝčéĔéėǰ×ĂÜøĎðÿĉïđĀúĊę÷öéšćîđìŠćöčöđìŠćìĊęĒîïĔî üÜÖúöǰÝÜĀćÙüćöîŠćÝąđðŨîìĊęøĎðÿćöđĀúĊę÷öîĆĚîöĊéšćîìĆĚÜÿćöǰĕöŠđðŨîéšćîøŠüöÖĆïéšćî×ĂÜøĎðÿĉïđĀúĊę÷ö ቀ ଷ ସ ቁ 7. ÖúŠĂÜĔïĀîċęÜöĊÖćøŤéìĊęđ×Ċ÷îéšü÷đú×ǰêĆĚÜĒêŠǰ ļ ǰĂ÷ŠćÜúąǰ1 ĔïǰøüöđðŨîǰ13 ĔïǰëšćĀ÷ĉïÖćøŤéǰ11 ĔïǰóøšĂö ÖĆîǰÝÜĀćÙüćöîŠćÝąđðŨîìĊęñúøüö×ĂÜĀöć÷đú×ïîÖćøŤéđðŨîóĀčÙĎè×ĂÜǰ7 ቀ ଶ ଵଷቁ aoa224 лно COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD
8. öĊÙîǰ7 ÙîǰĔîÝĈîüîîĊĚǰîć÷éĈǰîć÷ĒéÜǰĒúąîć÷×ćüøüöĂ÷ĎŠéšü÷ǰëšćĔĀšÙîìĆĚÜĀöéöćîĆęÜđøĊ÷ÜđðŨîĒëü÷ćüĂ÷ŠćÜ ÿčŠöǰÝÜĀćÙüćöîŠćÝąđðŨî×ĂÜđĀêčÖćøèŤêŠĂĕðîĊĚ (1) îć÷éĈǰîć÷ĒéÜǰĒúąîć÷×ćüǰĕöŠöĊĔÙøîĆęÜêĉéÖĆî ቀ ଼ ଷହቁ (2) îć÷ĒéÜîĆęÜêĉéÖĆïîć÷×ćüĒúąîć÷éĈǰ ቀ ଵ ଶଵቁ •225 лнп COMBINATORIC AND PROBABILITY>>>>>>>>>>>KRU BIRD