Matematik Tingkatan 3 Bab 3 1 2. (a) Khairul menyimpan RM24 000 dalam akaun
simpanan di sebuah bank, mengikut prinsip
(c) Baki tertunggak pada penyata kad kredit wadiah. Selepas satu tahun, dia menerima
Yusnita bertarikh 17 Januari 2020 ialah hibah sebanyak RM624 daripada bank.
RM4 800. Tempoh tanpa faedah ialah 20
hari daripada tarikh penyata. Yusnita tidak Hitung peratus hibah itu.
membuat sebarang bayaran untuk bulan
Januari. Pengeluar kad kredit mengenakan Khairul deposits RM24 000 in a savings account in a
caj kewangan 15% setahun ke atas baki bank, according to the principle of wadiah. After one
tersebut dalam kadar harian. Pengeluar kad year, he receives a hibah of RM624 from the bank.
kredit juga mengenakan caj bayaran lewat Calculate the percentage of the hibah.
minimum RM10 atau 1% daripada jumlah
baki pada tarikh penyata bulan seterusnya. [2 markah/ 2 marks]
Jika Yusnita tidak menggunakan kad kredit Jawapan/ Answer:
selepas transaksi terakhir pada penyata
Januari, hitung baki tertunggak kad kredit Peratus hibah
Yusnita pada penyata bertarikh 17 Februari
2020. KBAT Mengaplikasi Percentage of hibah
The outstanding balance of Yusnita’s credit card = RM624 × 100%
statement dated 17 January 2020 is RM4 800. The interest RM24 000
free period is 20 days from the statement date. Yusnita
does not make any payment for January. The credit card = 2.6%
issuer charges a financial charge of an annual interest
rate of 15% on the balance based on daily rate. The credit (b) Baiyah ingin membuat pinjaman kereta
card issuer also charges a minimum late payment charge daripada sebuah bank dengan kadar faedah
of RM10 or 1% of total outstanding balance as on the sama rata 2.8% setahun dan tempoh bayaran
next statement date. balik 7 tahun. Baiyah mampu membayar
If Yusnita does not use her credit card after the last ansuran bulanan sehingga RM1 000 sebulan.
transaction on the January statement, calculate her Berapakah amaun maksimum yang boleh
credit card outstanding balance on the statement dated dipinjam oleh Baiyah daripada bank itu?
17 February 2020.
Baiyah wants to make a car loan from a bank with a flat
[4 markah/ 4 marks] interest rate of 2.8% per annum and repayment period of
7 years. Baiyah is able to pay a monthly instalment of up
Tip KBAT to RM1 000 a month.
What is the maximum amount Baiyah can loan from the
Hitung caj kewangan dan caj bayaran lewat. bank?
Seterusnya, hitung baki tertunggak.
Calculate the finance charge and late payment charge. [4 markah/ 4 marks]
Hence, calculate the outstanding balance.
Jawapan/ Answer: Jawapan/ Answer:
Tempoh dikenakan caj kewangan Jumlah bayar balik / Total repayment
= RM1 000 × 12 × 7
Period subject to financial charges = RM84 000
17 Jan → 17 Feb
= 11 hari / days
Caj kewangan / Financial charge
= RM4 800 × 15% × 11 Katakan amaun maksimum yang dipinjam
= RM21.70 365 ialah RMP.
Caj bayaran lewat Let the maximum loan amount be RMP.
Late payment charge P + P × 2.8% × 7 = 84 000
P + 0.196P = 84 000
= 1% × (RM4 800 + RM21.70) 1.196P = 84 000
= 1% × (RM4 821.70) P = RM70 234.11
= RM48.22
Baki tertunggak pada penyata Februari
Outstanding balance on February statement
= RM4 800 + RM21.70 + RM48.22
= RM4 869.92
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 46
Matematik Tingkatan 3 Bab 3
(c) Jadual di bawah menunjukkan butiran Jawapan/ Answer:
pinjaman rumah Encik Wong.
Faedah bulan yang pertama
The table below shows the details of Mr Wong housing First month interest
loan. 112
= RM480 000 × 5.4% ×
Amaun pinjaman = RM2 160
RM480 000
Loan amount
Jumlah pinjaman pada akhir bulan pertama
Kadar faedah 5.4% setahun
atas baki Loan at the end of first month
5.4% per annum
Interest rate on balance = RM480 000 + RM2 160
= RM482 160
Tempoh bayaran 30 tahun Baki selepas bayaran ansuran bulan pertama
balik
30 years Balance after the first month of the instalment payment
Repayment period
= RM482 160 – RM2 695.35
Ansuran bulanan RM2 695.35 = RM479 464.65
Monthly instalment Faedah bulan yang kedua
Hitung jumlah faedah yang dibayar oleh Second month interest 1
Encik Wong bagi dua bulan yang pertama. 12
= RM479 464.65 × 5.4% ×
Calculate the total amount of interest payable by Mr = RM2 157.59
Wong for the first two months.
Jumlah faedah bagi dua bulan yang pertama
[4 markah/ 4 marks]
Total interest for the first two months
= RM2 160 + RM2 157.59
= RM4 317.59
47 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
POWER KBATMatematik Tingkatan 3 Bab 3
1. Rosline ingin membeli sebuah buku secara atas talian. Dia melayari internet dan menjumpai dua promosi
berikut:
Rosline wants to buy a book online. She surfs the Internet and finds two promotions:
Syarikat P di Malaysia Syarikat Q di Amerika menawarkan
menawarkan harga promosi harga promosi USD15.99. Untuk
RM89. Caj kiriman ke alamat tempahan daripada luar Amerika,
rumah Rosline ialah RM8. caj kiriman USD11 dikenakan.
Company P in Malaysia offers a Company Q in America offers a promotional
promotional price of RM89. The price of USD15.99. For orders outside
shipping charge to Rosline’s house America, USD11 shipping charges apply.
address is RM8.
Rosline bercadang membuat pembayaran dengan kad kredit. Pihak bank akan mengenakan caj tambahan
1% ke atas setiap transaksi daripada luar negara. Jika kadar semasa pertukaran mata wang untuk ringgit
Malaysia adalah RM1 bersamaan dengan USD0.24, tawaran manakah yang Rosline harus pilih? Berikan
justifikasi anda.
Rosline intends to make payment by credit card. The bank will charge an additional 1% on each transaction from abroad. If the current
exchange rate for Malaysian ringgit is RM1 equivalent to USD0.24, which offer should Rosline choose? Give your justification.
Syarikat P/ Company P:
Harga promosi = RM89
Promotional price
Harga sebenar yang akan dibayar = RM89 + RM8
= RM97
Actual price to be paid
Syarikat Q/ Company Q: Tip KBAT
Harga promosi = USD15.99 × (1 ÷ 0.24) = RM66.63
• Bandingkan harga sebenar
Promotional price yang akan dibayar jika membeli
daripada dua syarikat tersebut.
Caj kiriman = USD11 × (1 ÷ 0.24) = RM45.83 Compare the actual price to be paid if
buying from the two companies.
Shipping charge
Caj tambahan oleh bank = RM66.63 × 1 = RM0.67
100
Additional charges by bank
Harga sebenar yang akan dibayar = RM66.63 + RM45.83 + RM0.67
Actual price to be paid = RM113.13
Rosline harus pilih tawaran dari syarikat P. Harga sebenar yang akan dibayar adalah lebih murah. Rosline
dapat berjimat RM16.13.
Rosline should choose offer from company P. The actual price to be paid is cheaper. Rosline can save RM16.13.
Kuiz 3
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 48
4BAB Lukisan Berskala
Scale Drawings
PBD 4.1 Lukisan Berskala Buku Teks ms. 88 – 100
Scale Drawings
1. Lengkapkan jadual berikut berdasarkan rajah yang diberikan. Seterusnya, isikan tempat kosong pada
pernyataan. SP 4.1.1 TP1
Complete the following table based on the given diagrams. Hence, fill in the blanks in the statements.
Lukisan/ Drawing Objek/ Object
Ukuran pada lukisan Ukuran sebenar objek Nisbah ukuran pada lukisan kepada
ukuran sebenar objek
Measurement on drawing Actual measurement of
object Ratio of the measurement on drawing to the actual
15 cm measurement of object
18 cm
Tinggi 1.5 m 15 cm : 1.5 m = 15 cm : 150 cm
= 1 : 10
Height
1.8 m 18 cm : 1.8 m = 18 cm : 180 cm
Lebar = 1 : 10
Width
Dua nisbah di atas adalah sama . Ukuran pada lukisan adalah berkadaran dengan ukuran
sebenar objek.
The two ratios are equal . The measurement on drawing are proportional to the actual measurement of object.
2. Rajah di bawah menunjukkan lukisan pelbagai saiz yang mewakili objek ABCDEF. SP 4.1.1 TP1
The diagram below shows the various sizes of drawings which represent the object ABCDEF.
DC
FE
A Objek/ Object B Lukisan I/ Drawing I Lukisan II/ Drawing II
Lukisan III/ Drawing III
(a) Semua ukuran pada lukisan I, lukisan II dan lukisan III adalah berkadaran dengan ukuran pada
objek ABCDEF manakala saiz sudut tidak berubah .
All measurements on the drawing I, drawing II and drawing III are proportional to the measurement of the object ABCDEF
whereas angle size is unchanged .
(b) Lukisan I, lukisan II dan lukisan III ialah lukisan berskala bagi objek ABCDEF.
The drawing I, drawing II and drawing III are scale drawing of the object ABCDEF.
49 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 3 Bab 4
3. Tandakan (3) pada rajah yang merupakan lukisan berskala bagi objek yang diberikan. SP 4.1.2 TP1
Mark (3) on the diagram which is the scale drawing of the given object.
Objek
Object
10 cm 6 cm 4 cm 10 cm 5 cm 12 cm 6 cm
9 cm
5 cm 15 cm 18 cm
15 cm ( 3 ) ( 3 ) ( 3 )
Skala ialah nisbah ukuran lukisan kepada ukuran sebenar objek.
Skala = ukuran lukisan = ukuran lukisan : ukuran sebenar objek
ukuran sebenar objek
Scale is the ratio of the drawing’s measurement to the object’s measurement.
Scale = drawing's measurement = drawing's measurement : object's measurement
object's measurement
4. Padankan setiap yang berikut. SP 4.1.2 TP2 1:1
Match each of the following.
1 cm pada lukisan berskala mewakili 20 cm pada objek sebenar
1 cm on the scale drawing represents 20 cm on the real object
1 cm pada lukisan berskala mewakili 0.5 mm pada objek sebenar 1 : 1
20
1 cm on the scale drawing represents 0.5 mm on the real object
1 cm pada lukisan berskala mewakili 10 mm pada objek sebenar 1 : 20
1 cm on the scale drawing represents 10 mm on the real object
5. Lengkapkan dengan jawapan yang tepat. SP 4.1.2 TP2 ii--TThhiinnkk Peta Dakap
Complete with the correct answers.
PQ P’ Q’ Rajah Skala / Scale
Nisbah / Ratio
Diagram 1:n
Objek/ Object P'Q' : PQ 4:3 1: 3
4
I I
3
S R R’ Q'R' : QR 8 : 6 1: 4
P’ Q’ Q’ P’ Q’
II S’ II P'Q' : PQ 1:3 1:3
P’ IV Q'R' : QR 2:6 1:3
S’ R’ S’ R’
3
P’ Q’ P'Q' : PQ 5:3 1: 5
Q'R' : QR 10 : 6
III 1 : 3
5
III P'Q' : PQ 2:3 1 : 1 1
Q'R' : QR 4:6 2
IV
1 : 1 1
2
V
S’ R’ V P'Q' : PQ 3:3 1:1
Q'R' : QR 6:6 1:1
S’ R’
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 50
n.1 Matematik Tingkatan 3 Bab 4
Lukisan adalah lebih kecil daripada objek.
The drawings are smaller than the objects.
1:n n=1 Lukisan adalah sama saiz dengan objek.
The drawings are same size as the objects.
n,1 Lukisan adalah lebih besar daripada objek.
The drawings are larger than the objects.
6. Tentukan skala yang digunakan bagi setiap lukisan berskala berikut dalam bentuk 1 : n. SP 4.1.3 TP3
Determine the scale used for each scale drawing below in the form 1 : n.
(a)
Objek Lukisan berskala Objek
Object Scale drawing Object
21 cm
Lukisan berskala
Scale drawing
84 cm
Skala = Ukuran lukisan : Ukuran objek Skala/ Scale = 21 : 84
= 21 ÷ 21 : 84 ÷ 21
Scale Drawing's measurement : Object's measurement = 1 : 4
=1:2
(b) (c) 4 cm
Lukisan berskala
3 cm
Scale drawing
Objek
Objek Lukisan berskala Object
Object
Scale drawing
Skala/ Scale = 1 : 1 Skala/ Scale = 4 : 3
=1 : 3
4
(d) (e)
1 cm 0.5 cm
Objek Lukisan berskala Objek
Object Scale drawing Object
Skala/ Scale = 2 : 1 Lukisan berskala
Skala/ Scale = 0.5 : 1 Scale drawing
= 1 : 2
=1: 1
2
51 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 3 Bab 4 SP 4.1.3 TP3
7. Selesaikan setiap yang berikut.
Solve each of the following.
Sebuah peta dilukis dengan menggunakan skala 1 : 100 000. Jika jarak di antara dua buah bandar pada
peta itu ialah 14 cm, cari jarak sebenar di antara dua buah bandar itu, dalam km.
A map is drawn using a scale of 1 : 100 000. If the distance between two towns on the map is 14 cm, find the actual distance between
the two towns, in km.
Kaedah 1 / Method 1 Kaedah 2 / Method 2
1 = Jarak 14 cm Lukisan berskala : Objek Tip PentiTnigp Penting
100 000 sebenar / Actual distance
Scale drawing : Object
Jarak sebenar / Actual distance ×14 1 : 100 000 ×14 1 cm = 10 mm
= 100 000 × 14 14 cm : 1 400 000 cm 1 m = 100 cm
= 1 400 000 cm 1 km = 1 000 m
= 14 km 14 cm : 14 km
Maka, jarak sebenar = 14 km
Hence, actual distance
(a) Panjang sebenar sebatang sungai ialah 2 km. (b) Sebuah pelan mempunyai skala 1 : 4 000. Jika
Jika sungai itu dilukis pada sebuah peta dengan panjang sebuah bangunan pada pelan tersebut
skala 1 : 40 000, cari panjang, dalam cm, sungai ialah 10 cm, hitung panjang sebenar bangunan
itu pada peta tersebut. itu, dalam m.
The actual length of a river is 2 km. If the river is drawn on a A plan has a scale of 1 : 4 000. If the length of a building is
map of scale 1 : 40 000, find the length, in cm, of the river on 10 cm on the plan, calculate the actual length of the building,
the map. in m.
Panjang sungai pada peta
1 Length of river on the map 1 10 cm
40 000 = 4 000 = Panjang sebenar / Actual length
2 km
Panjang sungai pada peta Panjang sebenar / Actual length
Length of river on the map = 4 000 × 10
= 40 000 cm
= 1 ×2 = 400 m
40 000
= 0.00005 km
= 5 cm
(c) P S (d)
4 cm
L 15 cm
M
Q 8 cm R
Rajah di atas menunjukkan lukisan berskala Rajah di atas menunjukkan sekeping sandwic.
sebuah segi empat tepat. Skala yang digunakan l1uk:isa13n,
1 Jika sandwic itu dilukis dengan skala
ialah 1 : 4 . Cari panjang sebenar RS, dalam cm. berapakah panjang LM, dalam cm, pada
The diagram above shows the scale drawing of a rectangle. berskala tersebut?
1
The scale used is 1 : 4 . Find the actual length of RS, in cm. The diagram above shows a piece of sandwich. If the sandwich
1
1 4 cm is drawn with a scale of 1 : 3 , what is the length of LM, in cm,
1 Panjang sebenar / Actual length on the scale drawing?
=
Panjang LM pada lukisan
4 1 Length of LM on the drawing
Panjang sebenar/ Actual length 1 =
15 cm
1 3
= 4 ×4 Panjang LM pada lukisan/ Length of LM on the drawing
= 3 × 15
= 1 cm
= 45 cm
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 52
Matematik Tingkatan 3 Bab 4
8. Lukis lukisan berskala bagi setiap bentuk yang berikut berdasarkan skala yang diberikan. SP 4.1.4 TP3
Draw a scale drawing for each of the following shapes according to the scale given.
(i) 1 : 2 (ii) 1 : 1
2
Saiz lukisan adalah separuh Saiz lukisan adalah dua kali
daripada saiz objek. ganda saiz objek.
Size of the drawing is half of the Size of the drawing is twice of the
size of the object. size of the object.
(a) 1 : 1 (b) 1 : 3
Lukisan berskala: Lukisan berskala:
Scale drawing: Scale drawing:
(c) 1 : 1 (d) 1: 1
2 4
Lukisan berskala: Lukisan berskala:
Scale drawing: Scale drawing:
53 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 3 Bab 4 1 cm
1 cm
9. (i) Lukis semula rajah di sebelah pada grid yang
diberi. 1.5 cm
1.5 cm
Redraw the diagram on the right on the grid given.
(ii) Seterusnya, hitung skala yang digunakan.
Hence, calculate the scale used. SP 4.1.4 TP3
(a) (i) 0.5 cm
0.5 cm
(ii) Skala yang digunakan/ Scale used
= 0.5 cm : 1 cm
= 1 : 1
2
= 1 : 2
(b) (i)
(ii) Skala yang digunakan/ Scale used
= 1.5 cm : 1 cm
= 3 : 1
2
2
= 1: 3
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 54
Matematik Tingkatan 3 Bab 4
1 0. Bina lukisan berskala bagi bentuk-bentuk berikut dengan menggunakan skala yang diberi. SP 4.1.4 TP3
Construct the scale drawing of the following shapes using the scales given.
Skala/ Scale = 1: 1 1 = P'Q' R’
2 1 2 cm
2
R P'Q' = 2 × 2
1.5 cm = 4 cm
P 30° Q 1 = P'R' 3 cm
2 cm 1 1.5 cm P’
Cari panjang sisi lukisan 2 30°
berskala dahulu.
Find the length of scale P'R' = 2 × 1.5 4 cm Q’
drawing's sides first.
= 3 cm
(a) Skala/ Scale = 1 : 3
6 cm
3 cm
6 cm 2 cm
12 cm dSaairzipluakdiasasnaiazdoablajehk.31 1 cm
Size of the drawing is 1 of 2 cm
the size of the object. 3
4 cm
(b) Skala/ Scale = 1: 1
3
Diameter = 1 cm Saiz lukisan adalah 3 kali saiz objek. 1.5 cm
Maka, diameter = 3 cm, jejari = 1.5 cm
Size of the drawing is 3 times the size of the
object. Hence, diameter = 3 cm, radius = 1.5 cm
(c) Skala/ Scale = 1 : 2 1 = T'S'
2 6 cm
TQ 1
2
T'S' = ×6 T’ Q’
3 cm
6 cm
S’
75° = 3 cm
S 8 cm R 1 S'R'
2 8 cm
=
S'R' = 1 ×8 75°
2 R’
= 4 cm 4 cm
55 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 3 Bab 4 TP4
11. Jawab soalan berikut. SP 4.1.4
Answer the following questions.
(a) Rajah di bawah menunjukkan lukisan berskala yang dilukis pada grid segi empat sama bersisi 1 unit
dengan menggunakan skala 1 : 2. Lukis objek sebenar bagi lukisan itu.
The diagram below shows a scale drawing drawn on a grid of squares with sides of 1 unit using the scale 1 : 2. Draw the actual object
for the drawing.
(b) Rajah di bawah menunjukkan lukisan berskala bagi suatu gabungan bentuk yang dilukis pada grid segi
1
empat sama dengan skala 1: 2 . Lukis objek sebenar bagi bentuk itu. 1
2
The diagram below shows a scale drawing for a composite shape which drawn on a grid of squares with the scale of 1 : . Draw the
actual object for the shape.
(c) Rajah di sebelah menunjukkan sebuah poligon. Pada grid segi empat 12 m 8m
sama bersisi 0.5 cm berikut, lukis poligon tersebut dengan menggunakan 24 m
skala 1 : 800.
32 m
The diagram shows a polygon. In the following grid of squares with sides of 0.5 cm, draw the
polygon by using the scale 1 : 800.
56
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 3 Bab 4
1 2. Lakukan aktiviti di bawah. SP 4.1.5 TP5
Carry out the following activity.
Pembentangan Hasil Sendiri
(a) Lakukan kerja dalam kumpulan.
Work in groups.
(b) Setiap kumpulan diberi satu lukisan bentuk tiga dimensi dengan ukuran dan skala tertentu.
Each group is given a drawing of three-dimensional shape with certain measurements and scale.
(c) Tentukan ukuran sebenar bagi bentuk tiga dimensi itu.
Determine the actual measurements for the three-dimensional shape.
(d) Dengan menggunakan kadbod, bina bentuk tiga dimensi itu berdasarkan ukuran sebenarnya.
Using a cardboard, build the three-dimensional shape based on its actual measurements.
(e) Persembahkan dapatan dalam pelbagai bentuk persembahan.
Present your finding in various forms.
13. Selesaikan setiap yang berikut. SP 4.1.5 TP5
Solve each of the following.
(a) Sebuah pesawat terbang berlepas dari bandar X ke bandar Y. Berdasarkan peta berskala 1 : 3 000 000,
juruterbang pesawat terbang itu mendapati bahawa jarak di antara dua buah bandar tersebut ialah
20 cm. Cari jarak sebenar, dalam km, di antara bandar X dan bandar Y.
An aeroplane took off from town X to town Y. Based on a map drawn to a scale of 1 : 3 000 000, the pilot of the aeroplane noticed
that the distance between the two towns is 20 cm. Find the actual distance, in km, between town X and town Y.
1 = 20 cm 1 = 20 cm
3 000 000 Jarak sebenar 3 000 000 Actual distance
Jarak sebenar = 3 000 000 × 20 Actual distance = 3 000 000 × 20
= 60 000 000 cm = 60 000 000 cm
= 600 km = 600 km
(b) Dalam rajah di bawah, segi empat sama PQRS ialah lukisan berskala bagi segi empat sama ABCD.
In the diagram below, square PQRS is the scale drawing of the square ABCD.
AB PQ
Luas
Luas Area
Area 36 cm2
81 cm2
SR
DC
Nyatakan skala bagi lukisan berskala tersebut.
State the scale of the scale drawing.
Panjang sisi PQRS = √36 = 6 cm Tip Penting
Side length of PQRS Diberi panjang sisi sebuah
segi empat sama ialah x,
Panjang sisi ABCD = √81 = 9 cm maka luas segi empat sama
itu ialah x2.
Side length of ABCD Given the length of the side of
a square is x, the area of the
Skala = 6 : 9 square is x2.
Scale
=1 : 3
2
57 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 3 Bab 4
(c) Rajah di sebelah menunjukkan pelan lebuh raya. Sekiranya panjang sebenar P 4.6 cm
lebuh raya RS ialah 1 500 m, berapakah panjang sebenar, dalam km, lebuh
raya PQ? Modul HEBAT M20 Q
The diagram shows a highway plan. If the actual length of the highway RS is 1 500 m, what is the 2.5 cm
actual length, in km, of the highway PQ? R
2.5 cm dalam pelan mewakili 150 000 cm. S
2.5 cm in the plan represents 150 000 cm.
4.6 cm dalam pelan mewakili 4.6 × 150 000 = 276 000 cm
2.5
4.6 cm in the plan represents
Maka, panjang sebenar lebuh raya PQ ialah 2.76 km.
Hence, the actual length of the highway PQ is 2.76 km.
(d) Model sebuah bangunan dibina mengikut skala 1 : 500.
The model of a building is built according to a scale of 1: 500.
(i) Jika tinggi sebenar sebuah asrama ialah 35 m, cari tinggi, dalam cm, model asrama itu.
If the actual height of a hostel is 35 m, find the height, in cm, of the hostel’s model.
(ii) Cari panjang sebenar, dalam m, sebuah kantin jika panjang modelnya ialah 20 cm.
Find the actual length, in m, of a canteen if the length of its model is 20 cm.
(i) Tinggi model = 1 Height of model = 1
35 m 500 35 m 500
Tinggi model = 35 × 1 Height of model = 35 × 1
500 500
= 0.07 m
= 0.07 m = 7 cm
= 7 cm
(ii) 20 cm = 1 20 cm = 1
Panjang sebenar 500 Actual length 500
Panjang sebenar = 20 × 500 Actual length = 20 × 500
= 10 000 cm = 10 000 cm
= 100 m = 100 m
(e) Rajah di sebelah menunjukkan ukuran sebenar sebuah 30.5 m
gelanggang bola jaring.
15.25 m
Jika gelanggang bola jaring itu dilukis mengikut skala
1 : 300, hitung luas, dalam cm², lukisan itu. KBAT Mengaplikasi
The diagram shows the actual measurement of a netball court.
If the netball court is drawn according to a scale of 1: 300, calculate the area,
in cm², of the drawing.
Panjang lukisan = 1 Drawing's length = 1
30.5 m 300 30.5 m 300
Panjang lukisan = 30.5 × 1 Drawing's length = 30.5 × 1
300 300
= 0.102 m
= 0.102 m = 10.2 cm
= 10.2 cm
Lebar lukisan = 1 Drawing's width = 1
15.25 m 300 15.25 m 300
Lebar lukisan = 15.25 × 1 Drawing's width = 15.25 × 1
300 300
= 0.051 m
= 0.051 m = 5.1 cm
= 5.1 cm
Luas lukisan = Panjang × Lebar
Area of drawing Length × Width
= 10.2 × 5.1
= 52.02 cm2
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 58
Matematik Tingkatan 3 Bab 4
(f ) Sebuah segi tiga dengan panjang tapak 24 cm dan tinggi 9 cm dilukis mengikut skala 1 : 1 . Hitung luas,
4
dalam cm², lukisan berskala bagi segi tiga itu. KBAT Mengaplikasi
1
A triangle with the length of base of 24 cm and a height of 9 cm is drawn according to a scale of 1 : 4 . Calculate the area, in cm², of
the scale drawing of the triangle.
1: 1 bermaksud lukisan berskala adalah empat kali objek.
4
means the scale drawing is four times the object.
Panjang tapak lukisan Tinggi lukisan
Length of the drawing’s base Height of the drawing
= 4 × 24 =4×9
= 96 cm = 36 cm
Luas lukisan berskala bagi segi tiga itu
Area of the scale drawing of the triangle
= 1 × 96 × 36
2
= 1 728 cm²
(g) Dalam rajah di bawah, A ialah sebuah prisma dengan keratan rentas seragam yang berbentuk trapezium
dan B ialah lukisan berskalanya.
In the diagram below, A is a prism with a uniform cross section in the shape of trapezium and B is its scale drawing.
Modul HEBAT M20
x cm A 8 cm B
2 cm z cm 4 cm 10 cm
7 cm (x + y) cm
Tip Penting
(i) Cari nilai x, y dan z.
Keratan rentas ialah
Find the values of x, y and z. permukaan yang terdedah
dengan membuat
(ii) Berapakah isi padu prisma A? potongan lurus melalui
bentuk tiga dimensi.
What is the volume of the prism A? Cross section is the surface
that is exposed by making a
(i) Skala / Scale = 4 cm : 2 cm straight cut through a three-
1 dimensional shape.
=1: 2
Lukisan berskala itu adalah dua kali objeknya. Maka,
The scale drawing is twice its object. Hence,
2 × x = 8 x + y = 2 × 7 2 × z = 10
x = 4 4 + y = 14 z = 5
y = 10
(ii) Isi padu / Volume = 1 × (4 + 7) × 2 × 5
2
= 55 cm3
59 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 3 Bab 4
14. Lakukan projek STEM di bawah. SP 4.1.5 TP6
Carry out the STEM project below. Project-Based Learning
Projek
Objektif aktiviti: Mengaplikasikan pengetahuan yang berkaitan dengan lukisan berskala dalam
Activity objective: pembinaan model sistem suria.
Apply knowledge related to scale drawing in building the model of solar system.
Pernyataan masalah: Anda seorang guru yang mengajar subjek Sains. Anda ingin mengajar
topik sistem suria dengan cara yang menyeronokkan dan mudah faham.
Problem statement: Anda membuat keputusan untuk membina model sistem suria. Dengan
menggunakan kreativiti anda, bina satu model sistem suria mengikut suatu
skala tertentu.
You are a teacher who teaches Science subject. You would like to teach the topic of the solar system in
a fun way and easy to understand. You decide to build a solar system model. By using your creativity,
build a solar system model according to a certain scale.
Pencarian fakta: Mencari maklumat daripada buku atau laman sesawang tentang
Fact finding: (a) planet yang mengelilingi matahari dalam sistem suria
(b) jarak di antara setiap planet dan matahari
(c) saiz setiap planet Sistem suria
Solar system
Find out the information from books or websites about
(a) the planets that surround the sun in the solar system INFO
(b) the distance between each planet and the sun
(c) the size of each planet
Konsep yang Lukisan berskala
diaplikasikan:
Scale drawing
Concepts applied:
Pelan tindakan / Action plan:
(a) Berdasarkan maklumat yang dicari, tentukan skala yang sesuai digunakan.
Based on the information found, determine the appropriate scale to be used.
(b) Lukis satu lukisan berskala bagi sistem suria mengikut skala tersebut.
Draw a scale drawing for the solar system according to the scale.
(c) Sediakan bahan-bahan mengikut kreativiti anda.
Prepare materials according to your creativity.
(d) Bina model sistem suria anda megikut skala yang telah ditentukan.
Build your solar system model according to the predetermined scale.
Penyelesaian: Menghasilkan satu lukisan berskala dan model bagi sistem suria mengikut
Solution: suatu skala yang sesuai.
Produce a scale drawing and a model of the solar system according to a suitable scale.
Pembentangan: Mempamerkan lukisan berskala dan model bagi sistem suria serta membuat
persembahan menggunakan Microsoft Powerpoint tentang cara memperoleh
Presentation: ukuran pada lukisan atau model dan cara membina model sistem suria.
Show the scale drawing and model of the solar system and present using Microsoft Powerpoint on
how to obtain the measurement on the drawing or model and how to build the solar system model.
Kriteria Kejayaan: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Saya berjaya
• Mengkaji dan menerangkan hubungan antara ukuran sebenar objek dan lukisan pelbagai saiz objek tersebut, dan seterusnya menerangkan maksud
lukisan berskala..
• Mentafsir skala suatu lukisan berskala.
• Menentukan skala, ukuran objek atau ukuran lukisan berskala.
• Melukis lukisan berskala bagi suatu objek dan sebaliknya.
• Menyelesaikan masalah yang melibatkan lukisan berskala.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 60
POWER PT3Matematik Tingkatan 3 Bab 4
Pentaksiran Sumatif
Bahagian A 3. Dalam rajah di bawah, segi tiga sama sisi Q ialah
lukisan berskala bagi segi tiga sama sisi P.
1. Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga
bersudut tegak PQR. In the diagram below, equilateral triangle Q is the scale drawing
of equilateral triangle P.
The diagram below shows a right-angled triangle PQR.
P
Q
2 cm
Q 3 cm R P 10.5 cm
3.5 cm
Diberi P9Q9R9 ialah lukisan berskala segi tiga
PQR yang dilukis mengikut skala 1 : 2. Tentukan Nyatakan skala yang digunakan.
panjang P9Q9 dan Q9R9. State the scale used.
Given P9Q9R9 is the scale drawing of triangle PQR drawn to a A 1: 1
scale of 1 : 2. Determine the lengths of P9Q9 and Q9R9. 3
P9Q9 Q9R9 B 1: 1
2
A 1 cm 2 cm C 1 : 2
D 1 : 3
B 1 cm 1.5 cm
C 4 cm 5 cm 4. Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi empat
sama PQRS.
D 4 cm 6 cm
The diagram below shows a square PQRS.
PS
2. Rajah di bawah menunjukkan lima segi empat Q 4 cm R
tepat yang dilukis pada grid segi empat sama.
Zaleha melukis lukisan berskala bagi segi empat
The diagram below shows five rectangles drawn on a square sama itu dengan skala 1 : 1. Hitung luas, dalam
grid. cm2, lukisan berskala itu.
A C Zaleha draws a scale drawing of the square using a scale of 1 : 1.
PB Calculate the area, in cm2, of the scale drawing.
D A 2
B 4
Antara segi empat tepat A, B, C dan D, yang C 8
manakah bukan lukisan berskala bagi segi empat D 16
tepat P?
Which of the rectangles A, B, C and D, is not a scale drawing of
rectangle P?
61 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 3 Bab 4 Tandakan (3) pada lukisan berskala bagi
pentagon P dan (7) jika bukan.
Bahagian B
Mark (3) for the scale drawing of pentagon P and (7) if
5. (a) Dalam setiap pasangan poligon di ruang not.
jawapan, P9 ialah lukisan berskala bagi P.
[2 markah/ 2 marks]
Padankan setiap pasangan poligon itu Jawapan/ Answer:
dengan skala yang digunakan.
73
In each pair of polygons in the answer space, P9 is the
scale drawing of P.
Match each pair of polygons to the scale used.
[3 markah/ 3 marks]
Jawapan/ Answer:
P P' • • 1 : n, n , 1
P P' • • 1:1 (b) Rajah di bawah menunjukkan jarak PQ dan
QR pada sebuah peta.
The diagram below shows the distance PQ and QR on a
map.
P' • • 1 : n, n . 1 P 6 cm Q
P
4 cm
(b) Rajah di bawah menunjukkan objek dan R
lukisan berskala yang dilukis pada grid segi
empat sama yang berlainan saiz. Jarak sebenar yang diwakili oleh PQ ialah
12 km. Hitung jarak sebenar, dalam km,
The diagram below shows an object and its scale drawing yang diwakili oleh QR pada peta.
drawn on square grids of different size.
The actual distance represented by PQ is 12 km.
0.5 cm Calculate the actual distance, in km, represented by QR
on the map.
0.3 cm
[2 markah/ 2 marks]
Jawapan/ Answer:
6 cm mewakili / represents 12 km
1 cm mewakili / represents = 2 km
4 cm mewakili / represents = 8 km
Jarak sebenar QR ialah 8 km.
Actual distance of QR is 8 km.
Objek Lukisan berskala 7. (a) Rajah di bawah menunjukkan lukisan
Object Scale drawing berskala bagi sebuah jam dinding.
Tentukan skala yang digunakan dalam The diagram below shows a scale drawing of a wall clock.
bentuk 1 : n. 11 12 1
Determine the scale used in the form of 1 : n. 10 2
Jawapan / Answer: [1 markah / 1 mark] 93
5 84
3
Skala/Scale = 0.3 : 0.5 = 1 : 76 5
6. (a) Rajah di bawah menunjukkan sebuah 4.5 cm
pentagon P yang dilukis pada grid segi
empat sama. Diberi panjang sebenar jam dinding itu ialah
27 cm. Cari skala yang digunakan untuk
The diagram below shows a pentagon P drawn on a melukis jam dinding itu.
square grid. Given the actual length of the wall clock is 27 cm.
Find the scale used to draw the wall clock.
Jawapan / Answer: [2 markah / 2 marks]
P Skala/Scale = 4.5 : 27
=1:6
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 62
Matematik Tingkatan 3 Bab 4
(b) Ainin melukis peta sebuah daerah dengan Jawapan / Answer:
skala 1 : 200 000. Panjang foto/ Length of the photo
= 25 – 3 – 3
Ainin draws a map of a district using a scale of 1 : 200 000. = 19 cm
(i) Panjang sebatang jalan pada peta ialah Lebar foto/ Breadth of the photo
12 cm. Hitung panjang sebenar, dalam = 18 – 2.5 – 2.5
km, jalan itu. = 13 cm
The length of a road on the map is 12 cm. Calculate Panjang lukisan berskala
the actual length, in km, of the road. Length of the scale drawing
[2 markah / 2 marks] = 19
(ii) Jarak sebenar di antara dua buah rumah 1
4
di kawasan itu ialah 18 km. Hitung jarak,
dalam cm, di antara dua buah rumah itu = 76 cm
pada peta.
Lebar lukisan berskala
The actual distance between two houses in the Breadth of the scale drawing
district is 18 km. Calculate the distance, in cm,
between the two houses on the map. = 13
1
[4 markah / 4 marks] 4
Jawapan / Answer:
= 52 cm
(i) Jarak sebenar / Actual distance
= 12 × 200 000
= 2 400 000 cm
= 24 km
(ii) Jarak pada peta/ Distance on the map
= 1 800 000 8. (a) Dalam rajah di bawah, segi tiga bersudut
200 000 tegak STU ialah lukisan berskala bagi segi
= 9 cm tiga bersudut tegak PQR.
(c) Rajah di bawah menunjukkan sekeping foto In the diagram below, right-angled triangle STU is the
berbentuk segi empat tepat yang diletak scale drawing of right-angled triangle PQR.
pada bahagian tengah sekeping kadbod
yang juga berbentuk segi empat tepat. S
The diagram below shows a rectangular photo placed at P 40 cm
the centre of a rectangular cardboard.
2.5 cm 20 cm T U
Q 21 cm R
18 cm (i) Tentukan skala yang digunakan.
Determine the scale used.
3 cm
[2 markah / 2 marks]
(ii) Hitung panjang, dalam cm, SU.
Calculate the length, in cm, of SU.
25 cm [2 markah / 2 marks]
Foto itu dilukis semula dengan skala 1 : 1 . Jawapan / Answer:
4
Tentukan panjang dan lebar lukisan berskala (i) Skala/ Scale = 40 cm : 20 cm
1
itu. KBAT Menganalisis =1: 2
The photo is drawn using a scale of 1 : 1 .
4
Determine the length and breadth of the scale drawing. (ii) PR = √202 + 212
[4 markah / 4 marks] = 29 cm
Tip KBAT SU = 29
1
Tentukan panjang dan lebar foto terlebih dahulu 2
sebelum mencari panjang dan lebar lukisan
berskala. = 58 cm
Determine the length and the breadth of the photo before
finding the length and the breadth of the scale drawing.
63 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 3 Bab 4 Bahagian C
(b) Rajah di bawah menunjukkan ukuran sebuah 9. (a) Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi
trapezium PQRS. tiga ABC.
The diagram below shows the measurement of trapezium The diagram below shows a triangle ABC.
PQRS.
A
P 12 cm S
5 cm 5 cm
8 cm
B 6 cm C
Q 18 cm R
Hitung luas, dalam cm2, segi tiga itu pada
Trapezium P9Q9R9S9 ialah lukisan berskala lukisan berskalanya yang dilukis mengikut
bagi trapezium PQRS. Rajah di ruang 1
jawapan yang dilukis pada grid segi empat skala 1 : 3 .
sama menunjukkan sebahagian daripada
lukisan berskala itu. Calculate the area, in cm2, of the triangle in its scale
1
Pada rajah itu, lengkapkan trapezium drawing drawn according to a scale of 1 : 3 .
P9Q9R9S9.
Jawapan / Answer: [3 markah / 3 marks]
Trapezium P9Q9R9S9 is the scale drawing of trapezium
PQRS. The diagram in the answer space drawn on a 1: 1 bermaksud lukisan berskala adalah
square grid shows a part of the scale drawing. 3
On the diagram, complete trapezium P9Q9R9S9. tiga kali objek.
[3 markah / 3 marks] 1: 1 means the scale drawing is three times the object.
Jawapan / Answer: 3
0.5 cm
P' S'
Panjang AB pada lukisan
Length of AB on the drawing
=3×5
= 15 cm
Q' R' Panjang BC pada lukisan
(c) Rajah di bawah menunjukkan lukisan Length of BC on the drawing
berskala bagi sebuah segi tiga PQR di bawah
skala 1 : 5. =3×6
= 18 cm
The diagram below shows a scale drawing of triangle
PQR under a scale of 1 : 5. A
R' t = √152 – 92 15 cm t
= √144
= 12 cm B C
18 cm
3 cm Luas segi tiga pada lukisan
Area of the triangle in the drawing
P' 4.5 cm Q' = 1 × 18 × 12
2
= 108 cm2
Hitung luas segi tiga PQR.
Calculate the area of triangle PQR.
Jawapan / Answer: [3 markah / 3 marks]
1 = 4.5 1 = 3
5 PQ 5 t
PQ = 22.5 t = 15
Luas segi tiga PQR/ Area of triangle PQR
= 1 × 22.5 × 15
2
= 168.75 cm2
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 64
Matematik Tingkatan 3 Bab 4
(b) Rajah di bawah menunjukkan pelan sebuah (c) Akmal berlari dari stesen X ke stesen Y. Dia
banglo yang dilukis mengikut skala 1 : 150. bertolak pada pukul 7:00 a.m. Pada sebuah
KBAT Mengaplikasi peta yang dilukis mengikut skala 1 : 80 000,
jarak di antara stesen X dan stesen Y ialah
The diagram below shows the plan of a bungalow drawn 10 cm.
in a scale of 1 : 150.
Akmal runs from station X to station Y. He leaves at
2.4 cm 7:00 a.m. On a map drawn according to a scale of
1: 80 000, the distance between station X and station Y
1.6 cm is 10 cm.
Dapur Bilik tamu Bilik A (i) Hitung jarak sebenar, dalam km, di
Kitchen Living room Room A antara stesen X dan stesen Y.
Bilik B Tandas Stor Calculate the actual distance, in km, between the
Room B Toilet Storeroom station X and station Y.
Hitung luas sebenar, dalam m², bagi bilik A. (ii) Jika masa yang diambil oleh Akmal
untuk perjalanan sejauh 1 km ialah 30
Calculate the actual area, in m², for the room A. minit, pada pukul berapakah Akmal
akan sampai ke stesen Y?
[3 markah / 3 marks]
If the time taken by Akmal for a journey of 1 km
Tip KBAT is 30 minutes, at what time will Akmal reach the
station Y?
Tentukan panjang dan lebar sebenar untuk mencari
luas sebenar bilik A. [4 markah / 4 marks]
Determine the actual length and width to find the actual Jawapan / Answer:
area of the room A.
(i) 10 cm = 1
Jawapan / Answer: Jarak sebenar / Actual distance 80 000
1 : 150 bermaksud 1 cm pada pelan mewakili
150 cm pada lantai Jarak sebenar / Actual distance
= 80 000 × 10
1 : 150 means 1 cm on the plan representing 150 cm on = 800 000 cm
the floor = 8 km
Panjang sebenar (ii) Masa yang diambil / Time taken
= 8 × 30
Actual length = 240 minit / 240 minutes
= 4 jam / 4 hours
= 2.4 × 150 Maka, Akmal akan sampai ke stesen Y
= 360 cm
= 3.6 m pada pukul 11:00 a.m.
Lebar sebenar Hence, Akmal will reach the station Y at 11:00 a.m.
Actual width
= 1.6 × 150
= 240 cm
= 2.4 m
Luas sebenar bilik A
Actual area of room A
= 3.6 × 2.4
= 8.64 m2
65 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
POWER KBATMatematik Tingkatan 3 Bab 4
1. 4 cm
PW
S
1.68 cm T 1.5 cm
V
QU R
Rajah di atas menunjukkan sebuah lukisan berskala bagi kebun Azhar yang berbentuk segi empat tepat
PQRS. T dan W masing-masing ialah titik tengah PQ dan PS. Sukuan bulatan QTU dan segi tiga VSW ditanami
bunga. Diberi bahawa skala yang digunakan ialah 1 : 5 000.
The diagram shows a scale drawing of Azhar’s rectangular garden PQRS. T and W are the midpoints of PQ and PS respectively. The quadrant
QTU and triangle VSW are planted with flowers. It is given that the scale used is 1 : 5 000. KBAT Mengaplikasi
(a) Azhar berjalan dari W ke V tanpa belok. Masa yang diambilnya ialah 1 minit 29 saat. Berapakah laju,
dalam m s–1, Azhar?
Azhar walks from W to V without turning. The time taken is 1 minute 29 seconds. What is the speed, in m s–1, of Azhar?
(b) Azhar ingin memagari kawasan yang ditanami bunga. Berapakah panjang, dalam m, pagar yang
diperlukan?
Azhar wants to fence the area which planted with flowers. What is the length, in m, of the fence needed?
[Guna/ Use π = 272]
5 1 = Ukuran lukisan berskala/ Scale drawing's measurement
000 Ukuran objek/ Object's measurement
Tip KBAT
Maka, ukuran sebenar / Hence, the actual measurement of
PS = 5 000 × 4 = 20 000 cm = 200 m • Cari ukuran sebenar kebun Azhar
PQ = 5 000 × 1.68 = 8 400 cm = 84 m terlebih dahulu dan kemudian cari
SV = 5 000 × 1.5 = 7 500 cm = 75 m laju dan perimeter.
Find the actual measurements of
(a) 1 minit 29 saat = 60 saat + 29 saat = 89 saat Azhar's garden first and then find the
speed and perimeter.
1 minute 29 seconds = 60 seconds + 29 seconds = 89 seconds
Jarak dari W ke V/ Distance from W to V = √WS2 + SV2 WS = 200 ÷ 2
= 100 m
= √1002 + 752
= 125 m
Laju/ Speed = Jarak / Distance
Masa / Time
= 125
89
= 1.4 m s–1
(b) Panjang pagar/ Length of fence
= perimeter QTU + perimeter VSW
= QT + QU + UT + WS + SV + WV
90 22
1 2 360 7
= 42 + 42 + ×2 × × 42 + 100 + 75 + 125 QT = 84 ÷ 2 = 42 m
= 42 + 42 + 66 + 100 + 75 + 125
= 450 m
Kuiz 4
Praktis TIMSS/PISA
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 66
5BAB Nisbah Trigonometri
Trigonometric Ratios
5.1PBD Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut Tirus dalam Segi Tiga Bersudut Tegak
Sine, Cosine and Tangent of Acute Angles in Right-angled Triangles
Buku Teks ms108 – 123
Tip Penting
Hipotenus Sisi Dalam sebuah segi tiga bersudut tegak,
Hypotenuse bertentangan sisi bertentangan dan sisi bersebelahan
Opposite side dilabelkan dengan merujuk kepada
sudut yang diberikan.
In a right-angled triangle, the opposite side
θ and the adjacent side are labelled with
Sisi bersebelahan reference to a given angle.
Adjacent side
Dalam sebuah segi tiga bersudut tegak,
In a right-angled triangle,
• sisi terpanjang yang bertentangan dengan sudut tegak dinamakan hipotenus.
the longest side opposite to the right angle is named as hypotenuse.
• sisi yang bertentangan dengan sudut q dinamakan sisi bertentangan.
the side which is opposite to angle q is named as opposite side.
• sisi yang berada di sebelah sudut q dinamakan sisi bersebelahan.
the side which is adjacent to angle q is named as adjacent side.
• sisi bertentangan dan sisi bersebelahan berubah mengikut kedudukan sudut tirus yang dirujuk.
opposite side and adjacent side change according to the position of the acute angle referred.
1. Kenal pasti sisi bertentangan dan sisi bersebelahan terhadap x dalam setiap rajah berikut. SP 5.1.1 TP1
Identify the opposite side and adjacent side with respect to x in each of the following diagrams.
Segi tiga bersudut A PR x p r
tegak x ac
x x
Right-angled triangle BC Q b q
Sisi bertentangan BC PR b r
AB PQ a p
Opposite side
Sisi bersebelahan
Adjacent side
2. Label sisi bertentangan, sisi bersebelahan dan sudut θ yang dirujuk, di mana yang sesuai, dalam setiap rajah
berikut. SP 5.1.1 TP1
Label the opposite side, adjacent side and reference angle θ, where appropriate, in each of the following diagrams.
(a) (b) (c)
θ Sisi bersebelahan Sisi bersebelahan
Sisi bersebelahan Adjacent side Adjacent side
Adjacent side θ
Sisi bertentangan
Opposite side
Sisi bertentangan Sisi bertentangan
Opposite side Opposite side
67 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 3 Bab 5 TP2
3. Diberikan empat buah segi tiga bersudut tegak serupa seperti yang ditunjukkan di bawah. SP 5.1.2
It is given that four similar right-angled triangles as shown below.
P
P
P 15 cm 12 cm 20 cm
6 cm 16 cm
P 10 cm 9 cm
3 cm S
5 cm 8 cm T U 12 cm VW X
Q 4 cm R
(a) Lengkapkan jadual bagi nisbah panjang dengan merujuk kepada ∠P dalam empat buah segi tiga
bersudut tegak yang serupa yang diberikan.
Complete the table for the ratios of lengths with reference to ∠P in the four similar right-angled triangles given.
Segi tiga PQR PST PUV PWX
4
Triangle 5 8 = 4 12 = 4 16 = 4
3 10 5 15 5 20 5
sisi bertentangan 5
Nisbah panjang hipotenus 4 6 = 3 9 = 3 12 = 3
3 10 5 15 5 20 5
Ratio of length opposite side
hypotenuse
8 = 4 12 = 4 16 = 4
sisi bersebelahan 6 3 9 3 12 3
hipotenus
adjacent side
hypotenuse
sisi bertentangan
sisi bersebelahan
opposite side
adjacent side
(b) Lengkapkan ayat berdasarkan jadual yang dilengkapkan di 3(a).
Complete the sentences based on the table completed in 3(a).
(i) Dalam segi tiga bersudut tegak yang serupa, nisbah panjang sisi
yang sepadan adalah tetap . Tip Penting
In similar right-angled triangles, the ratios of corresponding sides are Dua objek adalah serupa
jika rupa bentuk dua objek
constant . tersebut adalah sama, iaitu
sudut sepadannya adalah
(ii) Nisbah ini tidak berubah apabila saiz segi tiga berubah sama atau sisi sepadannya
adalah berkadaran.
secara berkadaran. Two objects are similar if the
shapes of the two objects
These ratios do not change when the size of the triangle varies are the same, that is the
proportionally. corresponding angles are equal
or the corresponding sides are
(iii) Nisbah panjang pasangan sisi suatu segi tiga bersudut tegak proportional.
dikenali sebagai nisbah trigonometri .
The ratios between pairs of side lengths in right-angled triangles are called
trigonometric ratios .
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 68
Matematik Tingkatan 3 Bab 5
4. Lengkapkan peta bulatan di bawah berdasarkan sudut θ dalam setiap segi tiga bersudut tegak.
Complete the circle map below based on the angle θ in each of the right-angled triangles. SP 5.1.2 TP2 ii--TThhiinnkk Peta bulatan
sin q = sisi bertentangan Hipotenus Sisi Tip Penting
hipotenus Hypotenuse bertentangan
Opposite side Singkatan:
θ Abbreviation:
sin q = opposite side • sinus θ ditulis sebagai sin θ
hypotenuse sine of θ is written as sin θ
• kosinus θ ditulis sebagai
Hipotenus Nisbah Sisi
Hypotenuse trigonometri bertentangan kos θ
Opposite side cosine of θ is written as cos θ
θ Trigonometric • tangen θ ditulis sebagai
Sisi bersebelahan ratios θ
Adjacent side tan θ
Sisi bersebelahan tangent of θ is written as tan θ
Adjacent side
Tip Penting
sisi bersebelahan tan q = sisi bertentangan
hipotenus sisi bersebelahan Dalam bidang oseanografi,
kos q = trigonometri digunakan
opposite side untuk mengira ketinggian
tan q = adjacent side ombak di laut.
In oceanography, trigonometry
cos q = adjacent side is used to calculate the height of
hypotenuse waves and tides in oceans.
5. Padankan nisbah trigonometri yang betul berdasarkan segi tiga bersudut tegak berikut. SP 5.1.2 TP2
Match the trigonometric ratios correctly based on the following right-angled triangle.
(a) (b) T R
S
R T S
RS sin ∠T ST sin ∠R
ST kos ∠T RS kos ∠R
ST cos ∠T RS cos ∠R
RT RT
tan ∠T tan ∠R
RS ST
RT RT
69 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 3 Bab 5
6. Isikan petak kosong berdasarkan setiap segi tiga bersudut tegak berikut. SP 5.1.2 TP2
Fill in the empty boxes based on each of the following right-angled triangles.
C ( a) P (b) K y L ( c) I
H
Ay
K
y G yJ
B Q RM
sin y = BC kos y = QR tan y = KM sin y = IHK
AC PQ KL IJ
cos y
7. (a) Lengkapkan jadual bagi nisbah panjang dengan merujuk kepada sudut tirus yang diberikan dalam
setiap segi tiga bersudut tegak berikut. SP 5.1.3 TP2
Complete the table for the ratios of lengths with reference to the acute angle in each of the following right-angled triangles.
J
F
C 10 cm 10 cm 9.4 cm
5 cm
10 cm B 7.7 cm
A 30° D 50° E G 70° H
8.7 cm 6.4 cm 3.4 cm
Segi Sudut Nisbah panjang (kepada dua tempat perpuluhan)
tiga tirus
Ratio of length (to two decimal places)
Triangle Acute
angle sisi bertentangan sisi bersebelahan sisi bertentangan
hipotenus hipotenus sisi bersebelahan
opposite side adjacent side opposite side
hypotenuse hypotenuse adjacent side
ABC 30° 5 = 0.50 8.7 = 0.87 5 = 0.57
10 10 8.7
DEF 50° 7.7 = 0.77 6.4 = 0.64 7.7 = 1.20
10 10 6.4
GHJ 70° 9.4 = 0.94 3.4 = 0.34 9.4 = 2.76
10 10 3.4
(b) Garisi jawapan yang betul berdasarkan jadual yang dilengkapkan di 7(a). Tip Penting
Underline the correct answers based on the table completed in 7(a). sin 0° = 0 sin 90° = 1
kos 0° = 1 kos 90° = 0
Apabila saiz suatu sudut bertambah cos 0° cos 90°
tan 0° = 0 tan 90° = ∞
When the size of the angle increases
• nilai sinus bagi sudut itu (berkurang, bertambah )
the value of sine of the angle (decreases, increases )
• nilai kosinus bagi sudut itu ( berkurang , bertambah)
the value of cosine of the angle ( decreases , increases)
• nilai tangen bagi sudut itu (berkurang, bertambah )
the value of tangent of the angle (decreases, increases )
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 70
Matematik Tingkatan 3 Bab 5
8. Susun nilai trigonometri bagi setiap berikut mengikut tertib menaik. SP 5.1.3 TP2
Arrange the trigonometric values for each of the following in ascending order.
(a)
sin 53° sin 28° sin 45° sin 90° sin 16° sin 37°
sin 16° sin 28° sin 37° sin 45° sin 53° sin 90°
kos 64° kos 8° kos 0° kos 77° kos 90°
(b) kos 21°
cos 64° cos 8° cos 0° cos 77° cos 90°
cos 21°
kos 77° kos 64° kos 21° kos 8° kos 0°
kos 90°
cos 77° cos 64° cos 21° cos 8° cos 0°
cos 90°
tan 88° tan 0° tan 75° tan 34° tan 17°
(c)
tan 59°
tan 0° tan 17° tan 34° tan 59° tan 75° tan 88°
9. Rajah di bawah menunjukkan beberapa segi tiga bersudut tegak. SP 5.1.3 TP3
The diagram below shows some right-angled triangles.
A D G L
5 cm 10 cm
3 cm 5 cm 13 cm 8 cm 17 cm 26 cm
B E M 24 cm
w C x F y K
4 cm 12 cm H 15 cm
z
N
(a) Tentukan nilai bagi
Determine the value of
(i) sin w = 3 (ii) kos w = 4 (iii) tan w = 3
5 5 4
cos w
(iv) sin x = 5 (v) kos x = 12 (vi) tan x = 5
13 13 12
cos x
(vii) sin y = 8 (viii) kos y = 15 (ix) tan y = 8
17 17 15
cos y
(x) sin z = 10 = 5 (xi) kos z = 24 = 12 (xii) tan z = 10 = 5
26 13 26 13 24 12
cos z
(b) Berdasarkan jawapan anda dalam 9(a), segi tiga yang manakah adalah berkadaran? Nyatakan alasan
anda.
Based on your answers in 9(a), which triangles are proportional? State your reason.
∆DEF dan ∆LMN adalah berkadaran. Nisbah trigonometri bagi sudut x dan sudut z adalah sama.
∆DEF and ∆LMN are proportional. The trigonometric ratios of the angle x and angle z are equal.
71 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 3 Bab 5
1 0. Cari nilai sin q dalam setiap segi tiga bersudut tegak yang berikut. SP 5.1.4 TP3
Find the value of sin q in each of the following right-angled triangles.
R (a) 13 cm F (b) L
θ
6 cm 8 cm E 5 cm 9 cm 41 cm
12 cm G
Pθ J θ K
Q 40 cm
10 cm
sin q = 8 Sisi bertentangan sin q = 5 sin q = 9
10 Opposite side 13 41
Hipotenus
4 Hypotenuse
5
=
(c) G (d) 24 cm C (e) R Q
A θ B
29 cm 21 cm 8 cm 17 cm
25 cm θ
E θ F P
20 cm
sin q = 21 BC = √252 – 242 QR = √172 – 82
29
= 7 cm = 15 cm
sin q = 7 sin q = 15
25 17
1 1. Cari nilai kos q dalam setiap segi tiga bersudut tegak yang berikut. SP 5.1.4 TP3
Find the value of cos q in each of the following right-angled triangles.
(a) V (b) K θ M
R 8 cm
12 cm Q 17 cm 15 cm L
θ
5 cm 8 cm
P 13 cm
U θ W
15 cm
kos q = 12 Sisi bersebelahan kos q = 15 KM = √152 + 82
13 Adjacent side 17
cos q Hipotenus cos q = 17 cm
Hypotenuse
15
k os q = 17
cos q
(c) S ( d) B (e) I
13 cm θ 10 cm
P 12 cm Q R 25 cm θ
H
Aθ 24 cm 13 cm
C J 7 cm K 5 cmG
KH = √132 – 52 = 12 cm
SQ = √132 – 122 AC = √252 – 242
= 5 cm = 7 cm KI = KH + HI = 24 cm
kos q = 5 k os q = 7 JI = √72 + 242 = 25 cm
10 25
cos q cos q 24
1 k os q = 25
= 2
cos q
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 72
Matematik Tingkatan 3 Bab 5
1 2. Cari nilai tan q dalam setiap segi tiga bersudut tegak yang berikut. SP 5.1.4 TP3
Find the value of tan q in each of the following right-angled triangles.
B (a) H (b) Q
A 8 cm 5 cm
Pθ
θ 15 cm θ
9 cm 13 cm
10 cm 6 cm
C F 12 cm G R
tan q = 6 Sisi bertentangan tan q = 12 QR = √132 – 52
8 Opposite side 9 = 12 cm
3 Sisi bersebelahan 4 12
4 Adjacent side 3 5
= = tan q =
(c) L (d) L (e) Q
J θ
15 cm 0.41 m
0.40 m K
θM Pθ 8 cm
K 17 cm R
LM = √172 – 152 KL = √0.412 – 0.402 PR = QR
= 8 cm = 0.09 m = 8 cm
tan q = 8 tan q = 0.40 tan q = 8
15 0.09 8
40
= 9 = 1
13. Lakukan aktiviti di bawah. SP 5.1.4 TP6
Carry out the following activity.
Induiri Penemuan
(a) Lakukan kerja dalam kumpulan.
Work in groups.
(b) Guna perisian dinamik untuk melukis segi tiga bersudut tegak dengan sudut θ yang berlainan saiz.
Use dynamic software to draw right-angled triangles with angle θ of different sizes.
θ
(c) Teroka hubungan tan θ = sin q .
kos q
sin q
Explore the relationship tan q = cos q .
(d) Persembahkan dapatan dalam pelbagai bentuk persembahan.
Present your finding in various forms.
73 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 3 Bab 5
14. Selesaikan setiap yang berikut. SP 5.1.4 TP3
Solve each of the following.
Jika nilai sin q = 0.5 dan (a) Jika nilai sin q = 0.28 dan (b) cIJkfoiotkshsaeqqnv=a=i1ll7ua0e1i,7co0saif,nlschiunqiltaq=ut=ent√g√h1155e00n11vialaladuniaedtnoafntaqn.q.
√3 kos q = 0.96, hitung nilai tan q.
kos q = 2 , hitung nilai tan q.
If the value of sin q = 0.28 and
If the value of sin q = 0.5 and cos q = √3 , cos q = 0.96, calculate the value of
2 tan q.
calculate the value of tan q. 0.28
0.96
sin q sin q tan q = √51
kos q cos q
tan q = (tan q = ) = 7 tan q = 10
24 7
1 10
2
= √3 √51
7
2 =
= 1
√3
15. Cari nilai y bagi setiap yang berikut. SP 5.1.4 TP3
Find the value of y for each of the following.
(i) sin x = 5 (a) sin x = 5 (b) sin x = 4
7 6 9
15 cm
x x y cm y cm 18 cm
y cm x
10 cm
sin x = 5 sin x = 5 sin x = 4
7 6 9
1y5 = 5
1y0 = 5 6 1y8 = 4
7 y = 18 9
y = 8
y = 14
(ii) kos x = 6 (c) kos x = 5 (d) kos x = 3
7 8 11
cos x cos x cos x
12 cm 15 cm y cm
x x
x y cm
y cm
33 cm
kos x = 6 (cos x = 6 ) kos x = 5 (cos x = 5 ) kos x = 3 (cos x = 131)
7 7 8 8 11
1y2 = 6 1y5 = 5 3y3 = 3
7 8 11
y = 14 y = 24
y = 9
(iii) tan x = 5 (e) tan x = 3 (f ) tan x = 8
7 5 9
y cm y cm 16 cm
x x
y cm
21 cm 20 cm x
tan x = 5 tan x = 3 tan x = 8
7 5 9
1y6 = 8
2y1 = 5 2y0 = 3 9
7 5 y = 18
y = 15
y = 12
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 74
Matematik Tingkatan 3 Bab 5
1 6. Tentukan nilai nisbah trigonometri yang dinyatakan bagi setiap segi tiga bersudut tegak berikut.
Determine the trigonometric ratios stated for each of the following right-angled triangles. SP 5.1.4 TP4
J Diberi sin x = 12 , cari nilai
x 52 cm 13
1123(,ifii)n dktohes
K Given that sin x = value of
L (i) tan x x
cos x
s in x = KL sisi bertentangan (i) tan x = 48 sisi bertentangan
52 hipotenus 20 sisi bersebelahan
opposite side
KL = 12 opposite side = 12 adjacent side
52 13 hypotenuse 5
sisi bersebelahan
KL = 48 cm (ii) kos x = 20 hipotenus
52
JK = √522 – 482 JK2 = JL2 – KL2 cos x adjacent side
= 20 cm 5 hypotenuse
= 13
(a) R Q Diberi kos x = 0.96, cari nilai
Given that cos x = 0.96, find the value of
(i) sin x
(ii) tan x
24 cm kos x = 24 (cos x = 24 ) (i) sin x = 7
x PR PR 25
P
0.96 = 24 (ii) tan x = 7
PR 24
PR = 25 cm
QR = √252 – 242
= 7 cm
(b) U Diberi tan x = 3 , cari nilai
T 4
Sx 3
Given that tan x = 4 , find the value of
16 cm
(i) sin x
(ii) kos x
cos x
tan x = TU SU = √162 + 122 (ii) kos x = 16 (cos x = 16 )
16 = 20 cm 20 20
TU = 3 (i) sin x = 12 = 4
16 4 20 5
TU = 12 cm 3
5
=
(c) B Diberi sin q = 3 , cari nilai
8
θ 3
25 cm Given that sin q = 8 , find the value of
Ax (i) tan x
(ii) kos x
cos x
D 9 cm C
sin q = 9 AD = √252 – 242 (i) tan x = 24
BD = 7 cm 7
3 = 9 (ii) kos x = 7 (cos x = 7 )
8 BD 25 25
BD = 24 cm
75 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 3 Bab 5
(d) K Diberi tan y = 1, cari nilai tan ∠MKN.
M 17 cm Given that tan y = 1, find the value of tan ∠MKN.
y L
N 8 cm
tan y = KN
8
KN = 1
8
KN = 8 cm
MN = √172 – 82
= 15 cm
tan ∠MKN = 15
8
1 7. Selesaikan setiap yang berikut. SP 5.1.4 TP4
Solve each of the following.
(a) D Dalam rajah di sebelah, ABC ialah garis lurus dan AB = BC. Cari nilai bagi
In the diagram, ABC is a straight line and AB = BC. Find the value of
A
10 cm 6 cm (i) kos x (ii) tan y
yx cos x
BC (i) BC = √102 – 62 (ii) AC = 2 × 8
= 16 cm
= 8 cm
kos x = BC (cos x = BC ) tan y = DC
BD BD AC
= 8 = 6
10 16
4 3
= 5 = 8
(b) D 17 cm x C Diberi kos x = 15 , cari nilai bagi
17
15
y Given that cos x = 17 , find the value of
A 12 cm B (i) tan x (ii) sin y
(i) kos x = AC (cos x = AC ) (ii) BC = √152 – 122
17 17 = 9 cm
A1C7 = 15 tan x = AD sin y = BC
17 AC AC
AC = 15 cm = 8 = 9
15 15
AD = √172 – 152
= 8 cm = 3
5
(c) N Dalam rajah di sebelah, NMK ialah garis lurus. Cari nilai bagi
5 cm In the diagram, NMK is a straight line. Find the value of
xM
13 cm (i) sin x (ii) tan y
y (i) JM = √132 – 52 (ii) MK = √372 – 122
= 12 cm = 35 cm
J 37 cm K sin x = JM tan y = MK
NJ JM
12 35
= 13 = 12
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 76
Matematik Tingkatan 3 Bab 5
(d) S Dalam rajah di sebelah, PQR dan QTS ialah garis lurus. Diberi kos y = 15 ,
hitung 17
y In the diagram, PQR and QTS are straight lines. Given that cos y = 15 , calculate
9 cm 17
17 cm (i) panjang PR (ii) sin x Modul HEBAT M30
T
the length of PR
Px Q R (i) kos y = QS (cos y = QS ) (ii) QT = 15 – 9
17 17 = 6 cm
Q17S = 15 PT = √82 + 62
17 = 10 cm
QS = 15 cm sin x = QT
PT
QR = √172 – 152 6
= 8 cm = 10
PR = 2 × 8
= 16 cm = 3
5
(e) D Dalam rajah di sebelah, ABC dan DBE ialah garis lurus. Diberi tan x = 3
4
6 cm dan sin y = 15 . Cari
17
Ay B xC
In the diagram, ABC and DBE are straight lines. Given that tan x = 3 and sin y = 15 . Find
4 17
(i) panjang DE (ii) sin x
17 cm the length of DE
E (i) sin y = BE (ii) t an x = 6
17 BC
1B7E = 15 B6C = 3
17 4
BC = 8 cm
BE = 15 cm
DE = 6 + 15
= 21 cm CD = √62 + 82
= 10 cm
sin x = BD
CD
6 3
= 10 = 5
(f ) E Dalam rajah di sebelah, ABC dan BDE ialah garis lurus. Diberi BD = DE, cari
In the diagram, ABC and BDE are straight lines. Given that BD = DE, find
x
(i) panjang AC (ii) tan x (iii) kos y
the length of AC cos y
25 cm D (i) BD = √132 – 52 AB
y = 12 cm BE
BE = 2 × 12 (ii) tan x =
13 cm = 24 cm
AB = √252 – 242
A B 5 cm C = 7 cm = 7
AC = AB + BC 24
= 7 + 5
= 12 cm (iii) kos y = BD (cos y = BD )
CD CD
= 12
13
77 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 3 Bab 5
1 8.
2 30° 2 Ίෆ2 1
Ίෆ3 45°
1
60°
11 Rajah (b)
Rajah (a) Diagram (b)
Diagram (a)
Berpandukan rajah di atas, lengkapkan setiap yang berikut tanpa menggunakan kalkulator. SP 5.1.5 TP3
B as ed on the diagram above, complete each of the following without using a calculator.
ii--TThhiinnkk Peta titi
bersamaan
dengan sin 30o kos 45° tan 60o sin 60o kos 30° tan 45o sin 45o tan 30o
is equal to as cos 45° as as as cos 30° as as as
1 1 √3 √3 √3 1 11
2 √2 2 2 √2 √3
Tip Penting Tip Penting
• √a × √a = √a2 = a Surd ialah nombor tak nisbah dalam bentuk punca kuasa seperti √2 dan 3√5.
• √a × √b = √a × b = √ab Surd is an irrational number in the form of root such as √2 and 3√5.
1 9. Cari nilai yang berikut tanpa menggunakan kalkulator saintifik. SP 5.1.5 TP3
Find the following values without using a scientific calculator.
(a) sin 45° + kos 45° (b) kos 60° + tan 45°
sin 30° + kos 60° cos 60° + tan 45°
sin 45° + cos 45°
sin 30° + cos 60°
= 1 + 1 = 1 + 1
1 1 √2 √2 2
= 2 + 2 1
2 2 √2 = 2√2 = 1 2
=1 = √2 = √2 √2 × √2 2
= √2
(c) 2 sin 60° – tan 60° (d) 3 kos 30° – sin 60° (e) (2 kos 30°)(4 tan 45°) + tan 60°
21 √3 2 3 cos 30° – sin 60° (2 cos 30°)(4 tan 45°) + tan 60°
2
= – √3 = 31 √3 2 – √3 1 2 = 2 √3 (4)(1) + √3
2 2 2
= √3 – √3 = 21 √3 2 = 4√3 + √3
2
=0 = 5√3
= √3
(f ) 2 kos 30° – kos 60° / 2 cos 30° – cos 60° (g) (3 sin 45°)(4 tan 30°) – (2 kos 30°)(2 sin 60°)
tan 30° tan 30°
(3 sin 45°)(4 tan 30°) – (2 cos 30°)(2 sin 60°)
= 21 √3 2 – 1 = 31 1 2(4)1 1 2 – 21 √3 2(2)1 √3 2
2 2 √2 √3 2 2
1
√3
1 = 12 – 12 12 √6 = 12√6
= √3 × √3 – 2 √6 4 √6 × √6 6
=
= 1 = 2√6 – 3 = 2√6
2
3–
2 1
2
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 78
20. Tukarkan setiap sudut berikut kepada unit darjah dan minit. SP 5.1.6 TP3 Matematik Tingkatan 3 Bab 5
Convert each of the following angles to the unit of degrees and minutes. (c) 39.85°
= 39° + 0.85°
64.1° (a) 73.3° (b) 42.6° = 39° + (0.85 × 60)'
= 64° + 0.1° = 73° + 0.3° = 42° + 0.6° = 39° + 51'
= 64° + ( 0.1 × 60 )' = 73° + (0.3 × 60)' = 42° + (0.6 × 60)' = 39°51'
= 64° + 6' = 73° + 18' = 42° + 36'
= 64°6' 1° = 60' = 73°18' = 42°36'
2 1. Tukarkan setiap sudut berikut kepada unit darjah. SP 5.1.6 TP3
Convert each of the following angles to the unit of degrees.
(a) 46°9' (b) 77°36' (c) 15°12'
34°54' = 46° + 9' = 77° + 36' = 15° + 12'
= 34° + 54' 36 2° 12 2°
54 = 46° + 16902° = 77° + 1 60 = 15° + 1 60
= 34° + 1 60 2° 1
1' = ( 60 )° = 46° + 0.15° = 77° + 0.6° = 15° + 0.2°
= 46.15°
= 34° +0.9° = 77.6° = 15.2°
= 34.9°
22. Dengan menggunakan kalkulator saintifik, cari nilai yang berikut. SP 5.1.6 TP3
By using a scientific calculator, find the following values. Modul HEBAT M30 112233
++ xx
(a) kos 46.2o / cos 46.2° (b) tan 81o36’ Guna Kalkulator
= 0.6921 = 6.7720 11 22
33 44 ==
sin 15o sin 15°, tekan/press
= 0.2588
sin 1 5 =
(c) sin 36.7° (d) sin 52o24’ (e) kos 65.7o / cos 65.7o kos 46.2°, tekan
= 0.5976 = 0.7923 = 0.4115 cos 46.2°, press
cos 4 6 .
2=
(f ) tan 49o53’ (g) kos 77o43’ / cos 77°43' (h) tan 24o7’ tan 81°36', tekan/press
= 1.1868 = 0.2127 = 0.4477 tan 8 1 °,,, 3
6 °,,, =
23. Dengan menggunakan kalkulator saintifik, cari nilai θ yang berikut. SP 5.1.6 TP3
By using a scientific calculator, find the following values of θ. Modul HEBAT M30
tan q = 1.44 (a) sin q = 0.69 (b) kos q = 0.92 112233 Guna Kalkulator
q = tan–1 (1.44) q = sin–1 (0.69) ++ xx
= 55o13’ cos q = 0.92
= 43o38’ 11 22
q = kos–1 (0.92) 33 44 ==
cos–1 (0.92) tan q = 1.44, tekan/press
= 23o4’ SHIFT tan 1 ·
4 4 = °,,,
(c) sin q = 0.83 (d) kos q = 0.17 (e) tan q = 3 sin q = 0.69, tekan/press
q = sin–1 (0.83) q = tan–1 (3)
cos q = 0.17 = 71o34’ SHIFT sin 0 ·
= 56o6’ 6 9 = °,,,
q = kos–1 (0.17)
kos q = 0.92, tekan
cos–1 (0.17) cos q = 0.92, press
SHIFT cos 0 ·
= 80o13’
9 2 = °,,,
(f ) tan q = 0.74 (g) sin q = 0.45 (h) kos q = 0.55
q = tan–1 (0.74) q = sin–1 (0.45)
= 36o30’ = 26o45’ cos q = 0.55
q = kos–1 (0.55)
cos–1 (0.55)
= 56o38’
79 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 3 Bab 5 P
7m
24. Selesaikan setiap yang berikut. SP 5.1.7 TP5 45°
Solve each of the following. QR
(a) Rajah di sebelah menunjukkan sebatang lebuh raya. P, Q dan R ialah tiga 1.5 m
titik di tepi lebuh raya itu. Diberi jarak di antara P dengan R ialah 7 m. 5.2 m
Hitung lebar, dalam m, lebuh raya itu. KBAT Mengaplikasi
The diagram shows a highway. P, Q and R are three points on the edge of the highway. Given
the distance between P and R is 7 m. Calculate the width, in m, of the highway.
sin 45° = PQ Guna teorem Pythagoras untuk
7
PQ 1 mencari lebar lebuh raya.
7 = √2 Use Pythagoras' theorem to find the width
of the highway.
Katakan / Let PQ = a
PQ = 1 ×7 a2 + a2 = 72 tan 45° = 1,
√2 2a2 = 49 maka/hence
PQ = QR
= 4.95 m 49
a = 2
Lebar lebuh raya ialah 4.95 m.
= 4.95 m
The width of the highway is 4.95 m.
(b) Rajah di sebelah menunjukkan bumbung sebuah rumah. θ
Bumbung itu condong pada sudut θ dari mengufuk. Cari saiz
sudut θ kepada darjah yang terdekat. KBAT Mengaplikasi
The diagram shows the roof of a house. The roof makes an angle θ with the
horizontal. Find the size of angle θ to the nearest degree.
tan θ = 1.5
2.6
θ = tan–1 (0.5769)
= 30°
(c) Rajah di sebelah menunjukkan sebuah kuboid. M dan N masing-masing FG
ialah titik tengah bagi JK dan EF. Jika segi tiga bersudut tegak NML
dibentuk dalam kuboid tersebut, hitung nilai ∠MNL. KBAT Mengaplikasi N
The diagram shows a cuboid. M and N are the midpoints of JK and EF respectively. If a right- E K L
angled triangle NML is formed in the cuboid, calculate the value of ∠MNL. 3 cm H
KL M 6 cm
J 4 cm I
3 cm ML = √32 + 42 N ∠MNL = 5
= √25 1 2tan 3
M = 5 cm 3 cm 5
4 cm M ∠MNL = tan–1 3
5 cm L = 59.04°
= 59°2'
JI
(d) Seekor kucing yang tingginya ialah 25 cm melihat seekor tikus. Kucing dan tikus itu berada pada tanah
mengufuk. Sudut tunduk tikus itu dari penglihatan kucing ialah 13°. Hitung jarak mengufuk, dalam cm,
di antara kucing dan tikus itu.
A cat which is 25 cm tall noticed a mouse. The cat and the mouse were on a horizontal ground. The angle of depression of the mouse
from the sight of cat was 13°. Calculate the horizontal distance, in cm, between the cat and the mouse.
tan 13° = 25 13°
Jarak/ Distance
30 cm
25
Jarak/ Distance = tan 13° 13°
= 108.3 cm
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 80
(e) Rajah di sebelah menunjukkan sebuah trapezium PQRS. Cari nilai Matematik Tingkatan 3 Bab 5
The diagram shows a trapezium PQRS. Find the value of KBAT Mengaplikasi S 12 cm R
(i) tan x (ii) sin x
(i) tan x = 12 12 cm
5 P
(ii) QR = √52 + 122 17 cm x
= 13 cm Q
5 cm
sin x = 12
13
2 5. Lakukan projek STEM di bawah. SP 5.1.7 TP6
Carry out the STEM project below. Project-Based Learning
Projek
Objektif aktiviti: Menggunakan nisbah trigonometri dalam segi tiga bersudut tegak untuk
menganggarkan jarak yang sukar diukur secara langsung.
Activity objective:
Use trigonometric ratios in a right-angled triangle to estimate the distance that is difficult to measure
directly.
Pernyataan masalah: Bagaimanakah anda menentukan lebar sebatang sungai?
Problem statement: How do you determine the width of a river?
Pencarian fakta: Mencari kaedah untuk menentukan lebar suatu sungai.
Fact finding: Find out a method to determine the width of a river.
Konsep yang Nisbah trigonometri dalam segi tiga bersudut tegak
diaplikasikan:
Trigonometric ratios in a right-angled triangle
Concepts applied:
Pelan tindakan / Action plan:
(a) Pilih suatu tempat untuk diumpamakan sebagai sebatang sungai. Misalnya, padang sekolah dengan dua
garis yang selari dianggap sebagai tepi sungai atau tempat lain yang sesuai.
Choose a place as a ‘pretend’ river. For instance, a school field with two parallel lines as river banks or other suitable places.
(b) Terangkan kaedah dan bahan-bahan yang digunakan untuk mengukur suatu sudut dan satu daripada sisi
sungai.
Explain the method and materials used to measure the angle and one side of the river.
(c) Terangkan bagaimana nisbah trigonometri digunakan untuk menentukan lebar ‘sungai’ itu.
Explain how the trigonometric ratios in a right-angled triangle are used in determining the width of the ‘river’.
Penyelesaian: Menentukan lebar sungai tanpa menyeberangi sungai dengan menggunakan
nisbah trigonometri dalam segi tiga bersudut tegak.
Solution:
Determine the width of a river without crossing it using the trigonometric ratios in a right-angled triangle.
Perbincangan Adakah kaedah pengukuran ini dapat digunakan untuk menentukan tinggi sebuah
lanjutan: bukit?
Further discussion: Could this measuring method be used in determining the height of a hill?
Pembentangan: Membuat persembahan hasil dapatan dengan menggunakan Microsoft PowerPoint.
Presentation: Present the finding using Microsoft PowerPoint.
Rajah yang menunjukkan pengukuran
sudut pada satu sisi sungai.
A diagram shows the angle measurement
on one side of the river.
INFO
Kriteria Kejayaan: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Saya berjaya
• Mengenal pasti sisi bertentangan dan sisi bersebelahan berdasarkan suatu sudut tirus dalam segi tiga bersudut tegak.
• Membuat dan menentusahkan konjektur tentang hubungan antara sudut tirus dan nisbah sisi segi tiga bersudut tegak, dan seterusnya mentakrifkan sinus,
kosinus dan tangen.
• Membuat dan menentusahkan konjektur tentang kesan perubahan saiz sudut terhadap nilai sinus, kosinus dan tangen.
• Menentukan nilai sinus, kosinus dan tangen suatu sudut tirus.
• Menentukan nilai sinus, kosinus dan tangen sudut 30°, 45° dan 60° tanpa menggunakan kalkulator.
• Melakukan pengiraan yang melibatkan sinus, kosinus dan tangen.
• Menyelesaikan masalah yang melibatkan sinus, kosinus dan tangen.
81 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
POWER PT3Matematik Tingkatan 3 Bab 5
Pentaksiran Sumatif
Bahagian A 3. Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga
bersudut tegak PQR.
1. Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga
bersudut tegak PQR. The diagram below shows a right-angled triangle
PQR.
The diagram below shows a right-angled triangle PQR.
R
P 10 cm
PQ
8 cm 17 cm
Q
θ R
15 cm Diberi sin ∠QPR = 5 . Hitung panjang, dalam cm,
PR. 13
kos q – sin q =
Given that sin ∠QPR = 153. Calculate the length, in cm, of PR.
cos q – sin q =
A 15 – 8 A 13
17 17 B 15
B 15 – 8 C 24
17 15 D 26
C 15 – 8 4. Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga
8 17 bersudut tegak PQR.
D 15 – 15 The diagram below shows a right-angled triangle PQR.
8 17
2. Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga 20 cm Q
bersudut tegak PQR. P 21 cm
R
The diagram below shows a right-angled triangle PQR. 29 cm
P Q
θ
R Antara yang berikut, yang manakah mempunyai
nilai yang terbesar?
Diberi tan bquk=an34 . Antara yang berikut, yang
manakah panjang PQ dan QR yang Which of the following has the largest value?
mungkin?
=PQ43an. dWQhRic?h A kos ∠PRQ
cos ∠PRQ
B sin ∠PRQ
C sin ∠QPR
D tan ∠QPR
Given that tan q of the following are not the
possible lengths of
PQ QR
A2 1.5
B4 3
C5 6
D8 6
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 82
Matematik Tingkatan 3 Bab 5
Bahagian B (b) Rajah di ruang jawapan terdiri daripada
dua buah segi tiga bersudut tegak dengan
keadaan PQR ialah garis lurus. Diberi sin q =
5. (a) Tentukan nilai q bagi setiap yang berikut. 3 15
Beri jawapan dalam darjah dan minit. 5 dan kos a = 17 .
Determine the value of q of each of the following. Give the Pada rajah itu, label sudut q dan a.
answers in degrees and minutes.
The diagram in the answer space consists of two right-
[3 markah/ 3 marks] angled triangles where PQR is a straight line. Given that
3 15
Jawapan/ Answer : sin q = 5 and cos a= 17 .
Nisbah Nilai q On the diagram, label angles of q and a.
trigonometri [2 markah/ 2 marks]
Value of q
Trigonometric ratios Jawapan/ Answer :
10°139
(i) sin q = 0.1773 65°49 S
(ii) kos q = 0.4216 38°89
17 cm θ
cos q = 0.4216 10 cm
(iii) tan q = 0.7852
(b) Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi Pα 15 cm Q 6 cm R
tiga sama sisi PQR.
The diagram below shows an equilateral triangle PQR.
P
θ Bahagian C
Q
7. (a) Rajah di bawah terdiri daripada dua buah
R segi tiga bersudut tegak, PQR dan SPR.
Cari nilai kos q. The diagram below consists of two right-angled triangles,
Find the value of cos q. PQR and SPR.
[1 markah/ 1 mark]
S
Jawapan/ Answer : 8 cm θ
PQR ialah segi tiga sama sisi, maka q = 60°. P
PQR is an equilateral triangle, hence q = 60°.
kos q = kos 60°
cos q = cos 60°
= 0.5 Q 12 cm R
6. (a) Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi Diberi kos ∠PRQ = 4 . Cari nilai sin q.
tiga bersudut tegak PQR. 5
4
The diagram below shows a right-angled triangle PQR. Given that cos ∠PRQ = 5 . Find the value of sin q.
R [3 markah/ 3 marks]
Jawapan/ Answer :
18 cm kos ∠PRQ = 12
PR
Pθ Q
27 cm 4 = 12
5 PR
Lengkapkan operasi berikut.
Complete the following operation. PR = 15 cm
[2 markah/ 2 marks] RS = √82 + 152
Jawapan/ Answer : = 17 cm
18 sin q = 15
q = tan–1 17
27
= 33.69° / 33°419
83 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 3 Bab 5 Jawapan/ Answer :
(b) Dalam rajah di bawah, PQR dan PTS ialah 40°
garis lurus. KBAT Mengaplikasi 50°
tm
In the diagram below, PQR and PTS are straight lines.
S
PQ
63 cm 20 cm
T
21 cm tan 50° = 20
t
PQ R 20
20 cm t = tan 50°
Hitung panjang, dalam cm, QR. = 16.78 m
Calculate the length, in cm, of QR.
[3 markah/ 3 marks] Tinggi bangunan Q / Height of building Q
= 24.5 – 16.78
Tip KBAT = 7.72 m
Gunakan nisbah trigonometri tangen untuk 8. (a) Dalam rajah di bawah, QRS ialah garis lurus.
mencari panjang QR.
In the diagram below, QRS is a straight line.
Use trigonometric ratio tangent to find the length of QR.
P
Jawapan/ Answer :
tan ∠TPQ = 21
20
12 cm
20 6+3QR 21
= 20
20 +3 QR = 1 QRS
20
12
60 = 20 + QR Diberi sin ∠QRP = 13 .
QR = 40 cm Given that sin ∠QRP = 1123.
(i) Hitung panjang, dalam cm, QR.
Calculate the length, in cm, of QR.
(ii) Cari nilai tan ∠PSQ. [2 markah/ 2 marks]
(c) Rajah di bawah menunjukkan dua buah Find the value of tan ∠PSQ.
bangunan, P dan Q. KBAT Mengaplikasi
[2 markah/ 2 marks]
The diagram below shows two buildings, P and Q. Jawapan/ Answer :
(i) 12 = 12
13 PR
PR = 13 cm
24.5 m QR = √132 – 122
= 5 cm
PQ 12
2×5
20 cm (ii) tan ∠PSQ =
Sudut tunduk puncak bangunan Q dari = 6
puncak bangunan P ialah 40°. 5
Hitung tinggi, dalam m, bangunan Q.
The angle of depression of the top of building Q from the
top of building P is 40°.
Calculate the height, in m, of building Q.
[4 markah/ 4 marks]
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 84
(b) Dalam rajah di bawah, QRS ialah garis lurus. Matematik Tingkatan 3 Bab 5
In the diagram below, QRS is a straight line. (c) Rajah di bawah terdiri daripada dua buah
segi tiga bersudut tegak, PRQ dan TRS.
P 18 cm Q
θ R 12 cm The diagram below consists of two right-angled triangles,
PRQ and TRS.
S
S P Tθ R
25 cm 7 cm
[3 markah/ 3 marks]
Hitung nilai q. Q
Calculate the value of q. Diberi TR = 2PT. Cari nilai tan q.
Given that TR = 2PT. Find the value of tan q.
Jawapan/ Answer :
q = ∠SPQ – ∠RPQ [3 markah/ 3 marks]
= tan–1 12 – tan–1 6 Jawapan/ Answer :
18 18
PR = √252 – 72
= 33°419 – 18°269 = 24 cm
= 15°159
TR = 2 × 24
3
= 16 cm
tan q = 7
16
85 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
POWER KBATMatematik Tingkatan 3 Bab 5
1. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah bentuk A B z Tip KBAT
tiga dimensi. Berdasarkan rajah itu, lengkapkan y C
setiap berikut. KBAT Mengaplikasi • Kenal pasti segi tiga bersudut
xD tegak.
The diagram shows a three-dimensional shape. Based on Identify the right-angled triangles.
the diagram, complete each of the following.
sin x = CD kos y = BD tan z = BD
CD
AC cos y
AB
2. Dalam rajah di sebelah, PS dan QR adalah Q
selari. Jika kos ∠QPS = 153, cari nilai ∠PSR,
dalam unit darjah dan minit. 26 cm 32 cm
In the diagram, PS and QR are parallel. If cos ∠QPS R
5 P
= 13 , find the value of ∠PSR, in the unit of degrees 10 cm Tip KBAT
and minutes. S • Berdasarkan nilai kosinus
yang diberi, cari kedudukan
KBAT Mengaplikasi Modul HEBAT M30 sudut tegak. Kemudian, guna
teorem Pythagoras dan nisbah
kos ∠QPS = 5 = 5×2 = 10 = sisi bersebelahan trigonometri.
13 13 × 2 26 hipotenus Based on the given cosine value,
find the position of the right angle.
cos ∠QPS = 5 = 5×2 = 10 = adjacent side Then, apply Pythagoras' theorem and
13 13 × 2 26 hypotenuse trigonometric ratio.
Maka/ Hence, ∠PSQ = 90° sudut selang-seli Tip KBAT
dan/ and ∠SQR = 90° alternate angles
• Tentukan panjang sisi segi tiga
QS = √262 – 102 itu dengan menggunakan nisbah
= √576 trigonometri.
= 24 cm Determine the length of the side of the
triangle using trigonometric ratio.
tan ∠QSR = 32
24 Kuiz 5
32
1 2 24
∠QSR = tan–1
= 53°8'
∠PSR = 90° + 53°8'
= 143°8'
3. Tinggi sebuah segi tiga sama sisi ialah 8 cm. Hitung perimeter, dalam
cm, bagi segi tiga tersebut. KBAT Mengaplikasi Modul HEBAT M30
The height of an equilateral triangle is 8 cm. Calculate the perimeter, in cm, of the triangle.
8 cm sin 60° = 8
Panjang sisi/ Length of side
60° Panjang sisi = 8
sin 60°
Length of side
= 9.24 cm
Perimeter = 3 × 9.24
= 27.72 cm
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 86
6BAB Sudut dan Tangen bagi Bulatan
Angles and Tangents of Circles
6.1PBD Sudut pada Lilitan dan Sudut Pusat yang Dicangkum oleh Suatu Lengkok
Angle at the Circumference and Central Angle Subtended by an Arc
Buku Teks ms. 130 – 143
Pusat Bulatan Lengkok minor D Sudut pada lilitan yang
Centre of circle Minor arc dicangkum oleh lengkok ABC
O Angle at the circumference
O Lengkok major O subtended by arc ABC
Lilitan Major arc
Circumference A C Sudut pada pusat O yang
B dicangkum oleh lengkok ABC
Angle at the centre O
subtended by arc ABC
1. Diberi O ialah pusat bulatan, nyatakan sudut pada pusat dan sudut pada lilitan yang dicangkum oleh lengkok
PQ. SP 6.1.1 TP1
Given O is the centre of the circle, state the angle at the centre and the angle at the circumference subtended by arc PQ.
(a) R Sudut pada pusat yang Sudut pada lilitan yang
dicangkum oleh dicangkum oleh
b
O Angle at the centre subtended by Angle at the circumference subtended by
a
lengkok minor PQ lengkok minor PQ
PQ
minor arc PQ minor arc PQ
a b
(b) R lengkok minor PQ lengkok minor PQ
y minor arc PQ minor arc PQ
O
x y
x
PQ
(c) lengkok major PQ lengkok major PQ
c major arc PQ major arc PQ
O c d
P dQ
R
(d) R lengkok minor PQ lengkok minor PQ
m Q minor arc PQ minor arc PQ
On
n m
P
87 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 3 Bab 6
2. Ukur dan nyatakan sudut x dan sudut y dalam setiap rajah yang berikut. Seterusnya, jawab soalan yang
diberikan. SP 6.1.1 TP1
Measure and state the angles x and y in each of the following diagrams. Hence, answer the questions given.
(a) (b) (c) (d)
x xy y y
x
y x
x = 50° x = 25° x = 30° x = 20°
y = 50° y = 25° y = 30° y = 20°
Apakah hubungan antara sudut-sudut pada lilitan yang dicangkum oleh lengkok yang sama atau sama
panjang?
What is the relationship between the angles at the circumference subtended by the same arc or the arcs of the same length?
Sudut-sudut pada lilitan yang dicangkum oleh lengkok yang sama atau sama panjang adalah sama
(x = y).
The angles at the circumference subtended by the same arc or the arcs of the same length are equal (x = y).
3. Perhatikan rajah di bawah. Seterusnya, lengkapkan pernyataan yang diberikan. SP 6.1.1 TP1
Observe the diagrams below. Hence, complete the statement given.
4 cm 25° 12 cm Saiz sudut pada lilitan yang dicangkum oleh
40° suatu lengkok adalah berkadaran
50° 2 cm dengan panjang lengkok tersebut.
3 cm
10° The size of the angle at the circumference subtended
by an arc is proportional to the length of the
arc.
4. Tulis hubungan antara sudut-sudut dalam setiap bulatan yang berikut.
Write the relationship between the angles in each of the following circles. SP 6.1.1 TP2
(a) q (b) b (c) (d)
s j
p a c x k
e d
r y
p=q a=b=c x=y j=k
r = s d = e
5. Tentukan nilai x dalam setiap bulatan yang berikut. SP 6.1.1 TP3
Determine the value of x in each of the following circles.
Tip Penting
B x = ∠CAD = 28° x x x
x y y y
C Sudut yang dicangkum
oleh lengkok CD
A 28° D Angles subtended by arc CD
x = y x ≠ y x ≠ y
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 88
Matematik Tingkatan 3 Bab 6
(a) 40° A (b) 55° A (c) (d) C
xB D xB Bx
D A 32°
C 30° D
C D B
C
x
A
x = ∠CAD = 40° x = ∠CAD = 55° x = ∠CAD = 32° x = ∠CBD = 30°
6. Cari nilai x dalam setiap bulatan yang berikut. SP 6.1.1 TP3
Find the value of x in each of the following circles.
(i) (a) (b) B (c) F A
25° A 35° B
60° 45° x C E C
x x
x D
E F D
x = 60° x = 45° x = 25° x = 35°
(e)
(ii) 3 cm (d) (f ) 14 cm
8 cm
x 54° x x
33°
6 cm 42° 15 cm x
4 cm 24°
5 cm 7 cm
x = 3 x = 5 x = 8 x = 14
42° 6 54° 15 33° 4 24° 7
x = 21° x = 18° x = 66° x = 48°
7. Ukur dan nyatakan sudut x dan sudut y dalam setiap rajah yang berikut. Seterusnya, jawab soalan yang
diberikan. SP 6.1.1 TP1
Measure and state the angles x and y in each of the following diagrams. Hence, answer the questions given.
(a) (b) (c) (d)
x
xO O y y
y Ox x
y
x = 20° x = 90° x = 100° x = 70°
y = 40° y = 180° y = 200° y = 140°
Apakah hubungan antara sudut pada lilitan dan sudut pada pusat yang dicangkum oleh lengkok yang
sama?
What is the relationship between the angle at the circumference and the angle at the centre subtended by the same arc?
Sudut pada pusat adalah dua kali sudut pada lilitan yang dicangkum oleh lengkok yang sama (y = 2x).
The angle at the centre is twice the angle at the circumference subtended by the same arc (y = 2x).
Apakah nilai sudut pada lilitan yang dicangkum oleh diameter bagi sebuah semibulatan?
What is the value of the angle at the circumference subtended by the diameter of a semicircle?
90°
89 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 3 Bab 6 SP 6.1.1 TP1
8. Perhatikan rajah di bawah. Seterusnya, lengkapkan pernyataan yang diberikan.
Observe the diagram below. Hence, complete the statement given.
6 cm (a) Sudut pada pusat bulatan yang dicangkum oleh lengkok yang sama
panjang adalah sama .
150°
O The angles at the centre subtended by the arcs of the same length are equal .
50° (b) Saiz sudut pada pusat bulatan yang dicangkum oleh suatu lengkok
50° adalah berkadaran dengan panjang lengkok tersebut.
2 cm The size of the angle at the centre subtended by an arc is proportional to the length
of the arc.
9. Dalam setiap rajah yang berikut, O ialah pusat bulatan. Tulis hubungan antara x dan y. SP 6.1.1 TP2
y
In each of the following diagrams, O is the centre of the circle. Write the relationship between x and y. O
x
(a) (b) (c) (d)
x O x
O yx O
y y
y = 2x y = 2x x = 2y x = 2y
1 0. Cari nilai x dalam setiap bulatan yang berikut jika diberi bahawa O ialah pusat bulatan. SP 6.1.1 TP3
Find the value of x in each of the following circles if it is given that O is the centre of each circle.
(i) Q (ii) Q (a) (b)
x O 55° R P 35° x O 30°
P O R x O
x
x = 2 × ∠PRQ ∠PQR = 90° x = 90°
= 2 × 55° x = 180° – 90° – 35° x = 2 × 30°
= 110° = 55° = 60°
(c) (d) (e) (f )
x
Ox O O Rx OP
80° 120° 40°
210°
x
2x = 80° 2x = 210° 2x = 120° Q
x = 80° x = 210° x = 120° ∠PQR = 90°
2 2 2 x = 180° – 90° – 40°
= 50°
= 40° = 105° = 60°
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 90
Matematik Tingkatan 3 Bab 6
1 1. Cari nilai x dalam setiap bulatan yang berikut. SP 6.1.1 TP3
Find the value of x in each of the following circles.
18 cm (a) 7 cm (b) 5 cm (c)
8 cm
x 5 cm 36°
x O xO x
80° O O
195°
43°
9 cm
4 cm
21 cm
x = 18 x = 7 x = 36° x = 8
80° 9 195° 21 43° 4
x = 160° x = 65° x = 86°
1 2. Dalam setiap rajah yang berikut, O ialah pusat bulatan. Cari nilai x. SP 6.1.2 TP4
In each of the following diagrams, O is the centre of the circle. Find the value of x.
(a) (b) (c) a
x 40° O
224° 60° 40°
O O x
a
ax
a = 360° – 224° a = 2 × 60° a = 2 × 40°
= 136° = 120° = 80°
x = 360° – 80°
x = 136° x = 180° – 120° = 280°
2 2
= 68° 60° (f )
= 2
O
= 30° 55° x
(d) (e) x = 90° – 55°
= 35°
O 25°
2x 3x xO
2x + 3x = 90° x = 180° – 90° – 25°
5x = 90° = 65°
x = 90°
5
= 18°
(g) (h) (i)
35° 70° a 30° O
Ox x
O 40°
35° a = 90° – 70°
x = 20°
x = 2 × 20°
x = 90° – 35° = 40° x = 2 × (30° + 40°)
= 55° = 2 × 70°
= 140°
91 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 3 Bab 6 TP5
13. Selesaikan masalah berikut. SP 6.1.2
Solve the following problems.
(a) (b) D C
Q
xy
P 30°
32°
O R AO B
55°
x
T Rajah di atas menunjukkan sebuah semibulatan
dengan diameter AOB. AC, OD, OC dan BD ialah
S garis lurus. Diberi lengkok AD = lengkok BC,
hitung nilai x + y.
Dalam rajah di atas, O ialah pusat bulatan. POR,
QOT dan QS ialah garis lurus. Cari nilai x. The diagram above shows a semicircle with diameter AOB.
AC, OD, OC and BD are straight lines. Given that arc AD = arc
In the diagram above, O is the centre of the circle. POR, QOT BC, calculate the value of x + y.
and QS are straight lines. Find the value of x.
∠PQS = ∠PRS = 55° ΔOPQ ialah segi tiga sama ∠ABD = ∠BAC = 32° ΔOBD ialah segi tiga
∠OQP = ∠OPQ = 30° kaki. ∠ODB = ∠OBD = 32° sama kaki.
∠SQT = ∠PQS − ∠OQP ΔOPQ is an isosceles triangle. x = 90° − 32° ΔOBD is an isosceles triangle.
= 55° − 30° = 58°
= 25°
x = 180° − 90° − 25° ΔQST ialah segi tiga bersudut y = 32° ΔOAC ialah segi tiga sama kaki.
= 65° tegak. ΔOAC is an isosceles triangle.
ΔQST is a right-angled triangle.
x + y = 58° + 32°
= 90°
(c) H (d) T U
2x x 102° 35°
SP
E FO G
xO
Rajah di atas menunjukkan sebuah semibulatan y
berpusat O. Cari nilai x.
RQ
The diagram above shows a semicircle with centre O. Find the
value of x. Rajah di atas menunjukkan sebuah bulatan
berpusat O. ROU ialah diameter bulatan itu.
∠OHG = 180° – 102° ΔOGH ialah segi tiga Lengkok PQ = lengkok RS. Cari nilai x dan y.
2 sama kaki.
78° ΔOGH is an isosceles triangle. The diagram above shows a circle with centre O. ROU is the
2 diameter of the circle. Arc PQ = arc RS. Find the values of x
= and y.
= 39° x = 2 × 35° Lengkok PQ = lengkok RS
= 70° Arc PQ = arc RS
2x + x + 39° = 90° ∠EHG = 90°
3x = 90° − 39° y = 180° – 70° ΔORS ialah segi tiga sama kaki.
3x = 51° 2 ΔORS is an isosceles triangle.
x = 51° = 55°
3
= 17°
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 92
Matematik Tingkatan 3 Bab 6
(e) Dalam rajah di sebelah, O ialah pusat bulatan. Cari nilai x dalam rajah itu. P
In the diagram, O is the centre of the circle. Find the value of x in the diagram.
∠OQR = 35° O
x 30°
∠QOR = 180° – 35° – 35° R 35°
∠OQR = 35 Q
∠PQR = 30° + 35°
= 110° = 65°
∠QPR = 110° ∠PQR = 2 × 65°
2 = 130°
= 55°
180° – 130°
x = 180° – 35° – 35° – 30° – 55° x = 2
= 25°
= 25°
(f ) Dalam rajah di sebelah, O ialah pusat sebuah bulatan berjejari 6.5 cm. KN, KM K
dan LN ialah garis lurus. Diberi bahawa lengkok KL = lengkok LM, hitung
x
In the diagram, O is the centre of a circle with a radius of 6.5 cm. KN, KM and LN are straight lines. LO
Given that arc KL = arc LM, calculate
28°
(i) nilai x. (ii) panjang MN. Modul HEBAT M29
MN
the value of x. the length of MN.
(i) ∠LNM = ∠KNL (ii) KN = 2 × 6.5
= 28° = 13 cm
∠KNM = 28° + 28°
= 56° sin x = MN ΔKMN ialah segi tiga bersudut tegak.
x = 180° − 90° − 56° KN ΔKMN is a right-angled triangle.
= 34° sin 34° = MN
13
MN = 13 × sin 34°
MN = 7.27 cm
(g) Dalam rajah di sebelah, PQR, PTS, QUS dan TUR ialah garis lurus. Cari P
In the diagram, PQR, PTS, QUS and TUR are straight lines. Find T
(i) ∠PTR 62°
(ii) ∠RQS Q
S
U
(iii) ∠RUS Modul HEBAT M29 20°
(i) ∠PTR (iii) ∠RUS R
= 180° − 62° − 20° = ∠QUT
= 98° = 360° − 62° − 98° − 98°
(ii) ∠RQS = 102°
= ∠RTS
= 180° − 98°
= 82°
(h) Rajah di sebelah menunjukkan sebuah bulatan berpusat O. AC dan BOD ialah C
garis lurus. Cari nilai x. KBAT Menganalisis Dx
The diagram shows a circle with centre O. AC and BOD are straight lines. Find the value of x. O
AB
∠AOD = 60° ΔAOD ialah segi tiga sama sisi.
ΔAOD is an equilateral triangle.
60°
x = 2
= 30°
93 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 3 Bab 6
Kriteria Kejayaan: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Saya berjaya
• Membuat dan menentusahkan konjektur tentang hubungan antara sudut-sudut pada lilitan dengan sudut pusat yang dicangkum oleh lengkok tertentu, dan
seterusnya menggunakan hubungan tersebut untuk menentukan nilai sudut dalam bulatan.
• Menyelesaikan masalah yang melibatkan sudut dalam bulatan.
PBD 6.2 Sisi Empat Kitaran Buku Teks ms. 144 – 149
Cyclic Quadrilaterals
14. Isikan tempat kosong. SP 6.2.1 TP1 A B
D
Fill in the blanks. C
lilitan
(a) Sebuah sisi empat ABCD terterap dalam sebuah bulatan seperti yang ditunjukkan sebuah
dalam rajah di sebelah.
A quadrilateral ABCD inscribed in a circle as shown in the diagram.
Sisi empat ABCD itu dikenali sebagai sisi empat kitaran .
The quadrilateral ABCD is known as cyclic quadrilateral .
(b) Keempat-empat bucu sebuah sisi empat kitaran menyentuh
bulatan.
The four vertices of a cyclic quadrilateral touch the circumference of a circle.
(c) Berdasarkan rajah di atas, ∠A dan ∠C serta ∠B dan ∠D dikenali sebagai sudut bertentangan .
Based on the diagram above, ∠A and ∠C as well as ∠B and ∠D are known as opposite angles .
15. Diberi bahawa O ialah pusat bulatan. SP 6.2.1 TP1
It is given that O is the centre of the circle.
(i) Tentukan sama ada sisi empat berikut ialah sisi empat kitaran atau bukan. Jelaskan jawapan anda.
Determine whether the following quadrilaterals are cyclic quadrilaterals. Explain your answers.
(ii) Nyatakan sudut bertentangan yang wujud jika sisi empat itu ialah sisi empat kitaran.
State the opposite angles that exist if the quadrilateral is a cyclic quadrilateral.
(a) Q R (b) R (c) Q
QO
P P
O
OR
P
SS
(i) Bukan sisi empat kitaran. Bucu (i) Bukan sisi empat kitaran. Bucu (i) Sisi empat kitaran. Semua
R tidak terletak pada lilitan. O tidak terletak pada lilitan. bucu terletak pada lilitan.
Not a cyclic quadrilateral. Vertex R Not a cyclic quadrilateral. Vertex O A cyclic quadrilateral. All vertices lie on
does not lie on the circumference. does not lie on the circumference. the circumference.
(ii) ∠P dan/ and ∠R,
∠Q dan/ and ∠S
(d) P Q (e) R (f ) P Q
OR QO O
S P SR
(i) Sisi empat kitaran. Semua (i) Bukan sisi empat kitaran. Bucu (i) Sisi empat kitaran. Semua
bucu terletak pada lilitan. O tidak terletak pada lilitan. bucu terletak pada lilitan.
A cyclic quadrilateral. All vertices lie on Not a cyclic quadrilateral. Vertex O A cyclic quadrilateral. All vertices lie on
the circumference. does not lie on the circumference. the circumference.
(ii) ∠P dan/ and ∠R, (ii) ∠P dan/ and ∠R,
∠Q dan/ and ∠S ∠Q dan/ and ∠S
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 94
Matematik Tingkatan 3 Bab 6
B Sisi AD bagi sebuah sisi empat kitaran ABCD dipanjangkan kepada E.
x Sudut y ialah sudut peluaran bagi sisi empat kitaran ABCD. Sudut x
dikenali sebagai sudut pedalaman bertentangan yang sepadan bagi y.
C
The side AD of a cyclic quadrilateral ABCD is extended to E. The angle y is the exterior angle
y of the cyclic quadrilateral ABCD. The angle x is known as the corresponding interior opposite
A DE angle for y.
16. Berdasarkan rajah, lengkapkan jadual yang diberikan. SP 6.2.2 TP1
Based on the diagram, complete the table given.
(a) (b)
r
q ab c
s f ed
p
tu
Sudut Sudut pedalaman Sudut Sudut pedalaman
peluaran bertentangan yang sepadan peluaran bertentangan yang sepadan
Exterior Corresponding interior opposite angle Exterior Corresponding interior opposite angle
angle angle
t e
r q a b
u d
17. Ukur dan nyatakan sudut a, b, c, d, e dan f dalam rajah di bawah. Seterusnya, jawab soalan yang diberikan.
Measure and state the angles a, b, c, d, e and f in the diagram below. Hence, answer the questions given. SP 6.2.2 TP1
bc a = 60° b = 100° c = 120°
d = 80° e = 100° f = 120°
fa e
d
(a) Apakah nilai a + c dan b + d?
What are the values of a + c and b + d?
a + c = 180°, b + d = 180°
(b) Apakah hubungan antara sudut-sudut pedalaman yang bertentangan dalam sebuah sisi empat kitaran,
misalnya a dan c serta b dan d?
What is the relationship between the interior opposite angles in a cyclic quadrilateral, such as a and c as well as b and d?
Hasil tambah sudut-sudut pedalaman yang bertentangan dalam sebuah sisi empat kitaran ialah 180°.
The sum of the interior opposite angles in a cyclic quadrilateral is 180°.
(c) Apakah hubungan antara sudut peluaran sebuah sisi empat kitaran dengan sudut pedalaman
bertentangan yang sepadan, misalnya e dan b serta f dan c?
What is the relationship between the exterior angle of a cyclic quadrilateral and its corresponding interior opposite angle, such as
e and b as well as f and c?
Sudut peluaran sebuah sisi empat kitaran bersamaan dengan sudut pedalaman bertentangan yang
sepadan.
The exterior angle of a cyclic quadrilateral is equal to its corresponding interior opposite angle.
95 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Power Up KSSM 2021 Matematik Tg3
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search