Power Up Math Tg 3

Matematik  Tingkatan 3  Bab 6 SP 6.2.2 TP2

18. Bentuk persamaan bagi hubungan antara sudut-sudut dalam rajah yang berikut.

Form equations for the relationships between the angles in the following diagrams.

(a) (b) (c) x

ab q y
p
dc
sr

a + c = 180° p + r = 180° x=y
b + d = 180° q + s = 180°
a + b + c + d = 360° p + q + r + s = 360°

1 9. Cari nilai m dan n dalam rajah yang berikut. SP 6.2.2 TP3

Find the values of m and n in the following diagrams.

(a) (b)

108° 95° m
n m
105° n
m 100° n
97° 112°

m = 108° m = 180° − 105° m = 112°
n = 180° − 100° = 75° n = 97°
n = 180° − 95°
= 80°
= 85°

(c) (d) (e)
m
80° 72° 47° 26°
85° n n
80° 110°
m m
n m = 180° – 110°
= 70°
m = 180° – 85° m = 180° – 72° n = 180° − 26° – 80°
= 95° = 108°
n = 80° n = 180° − 47° = 74°

= 133°

(f ) (g) (h)
100° m
n
m 59° a
82°
68° 120° 51°
m
m = 180° – 68° n 100° n
= 112° m
n = m = 112° a = 180° – 120°
m = 180° – 82° = 60°
= 98° m = 180° – 51° – 60°
n = 180° − 59° – 100° = 69°
n = 51° + 60°
= 21°
= 111°

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 96

Matematik  Tingkatan 3  Bab 6

2 0. Dalam rajah yang berikut, cari nilai x dan y. SP 6.2.3 TP4

In the following diagrams, find the values of x and y.

(a) (b) 88° (c)

2x 85° x
yx
4y 2y 50°
92° a
y 70°

2x = 180° − 92° a = 180° − 85° x = 180° – 70°
2x = 88° = 95° 2
x = 180° − 50° − 95°
  x = 88° = 35° = 110°
2 y = 180° − 88° 2
= 44°
= 92° = 55°

4y + 2y = 180° y = 180° − 55°
6y = 180° = 125°

y = 180°
6
= 30°

2 1. Selesaikan setiap yang berikut. SP 6.2.3 TP5

Solve each of the following.

(a) Rajah di sebelah menunjukkan sebuah bulatan PQRS berpusat di O. Cari nilai x. P

The diagram shows a circle PQRS with centre O. Find the value of x. 20°
66°
∠OPQ = 180° – 66° ΔOPQ ialah segi tiga sama kaki. Q
2 ΔOPQ is an isosceles triangle. O
Sx
= 114°
2 R

= 57°

x = 180° − 20° − 57°
= 103°

(b) Dalam rajah di sebelah, garis AB selari dengan garis CDE dan panjang AB C 38° DE
bersamaan dengan panjang AC. Cari nilai p. p

In the diagram, line AB is parallel to line CDE and the length of AB is equal to the length of AC. Find
the value of  p.

∠ACB = ∠ABC = ∠BCD = 38° AB

p = ∠CAB Tip Penting • Sudut sepadan
= 180° − 38° − 38° Corresponding angles
= 104° a a=c
b • Sudut selang-seli
cd Alternate angles
b=d
• Sudut pedalaman
Interior angles
b + c = 180°

97 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik  Tingkatan 3  Bab 6

(c) Dalam rajah di sebelah, JKL ialah garis lurus. Diberi bahawa GH = HJ, cari nilai x. H

In the diagram, JKL is a straight line. Given that GH = HJ, find the value of x.  Modul HEBAT M29 Jx

∠GHJ = ∠GKL = 100° G
62°

180° – 100° x = 180° – 40° – 62°
2 = 78°
∠HGJ = Hasil tambah sudut pedalaman K 100°
L
80° bertentangan ialah 180°.
2 Sum of interior opposite angles is 180°.
=

= 40°

(d) Dalam rajah di sebelah, CDE ialah garis lurus dan O ialah pusat bulatan. B
Hitung nilai x.  KBAT Menganalisis
30° A
In the diagram, CDE is a straight line and O is the centre of the circle. Calculate the value of x. 35° O E

∠OBC = ∠OCB = 35° x = 180° − 65° Hasil tambah sudut pedalaman x
∠OBA = ∠OAB = 30° = 115° bertentangan ialah 180°. CD
∠ABC = 35° + 30° Sum of interior opposite angles is 180°.
= 65°

Kriteria Kejayaan: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Saya berjaya
• Mengenal dan memerihalkan sisi empat kitaran.

• Membuat dan menentusahkan konjektur tentang hubungan antara sudut-sudut pada sisi empat kitaran.
• Membuat dan menentusahkan konjektur tentang hubungan antara sudut-sudut pada sisi empat kitaran, dan seterusnya menggunakan hubungan tersebut

untuk menentukan nilai sudut pada sisi empat kitaran.
• Menyelesaikan masalah yang melibatkan sisi empat kitaran.

PBD 6.3 Tangen kepada Bulatan Buku Teks ms. 150 – 159

Tangents to Circles

Tangen kepada bulatan ialah satu garis lurus yang menyentuh Tangen kepada bulatan
bulatan pada satu titik, tetapi tidak menyilangi bulatan itu jika Tangent to the circle
dipanjangkan. Titik sentuhan di antara tangen dengan bulatan Titik ketangenan
ialah titik ketangenan. Point of tangency

A tangent to a circle is a straight line that touches the circle at a point, but
does not cross the circle if extended. The point of contact between tangent and
circle is point of tangency.

2 2. Kenal pasti tangen kepada bulatan dalam setiap rajah berikut dan nyatakan titik ketangenannya.

Identify the tangents to the circle in each of the following diagrams and state its points of tangency. SP 6.3.1 TP1

(a) R

T U Garis TVS ialah tangen kepada bulatan pada titik V.

VW Line TVS is a tangent to the circle at point V.
S
Garis SWU ialah tangen kepada bulatan pada titik W.

Line SWU is a tangent to the circle at point W.

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 98

(b) A Matematik  Tingkatan 3  Bab 6
C B
Garis ABC ialah tangen kepada bulatan pada titik B.

Line ABC is a tangent to the circle at point B.

Garis CDF ialah tangen kepada bulatan pada titik D.

Line CDF is a tangent to the circle at point D.

DE F

2 3. Jawab soalan yang berikut berdasarkan bulatan yang diberikan. O ialah pusat bulatan. SP 6.3.2 TP1

Answer the following questions based on the circles given. O is the centre of each circle.

(i) Sudut di antara tangen dengan jejari bulatan pada titik ketangenan

The angle between tangent and radius of a circle at the point of tangency

PS

O Q T
O O
R
LM N U

(a) Ukur dan nyatakan sudut di antara tangen dengan jejari bulatan pada titik ketangenan

Measure and state the angle between the tangent and the radius of the circle at the point of tangency

(i) M : 90° (ii) Q : 90° (iii) T : 90°

(b) Lengkapkan pernyataan yang berikut.

Complete the following statement.

Tangen kepada bulatan adalah berserenjang dengan jejari bulatan.

The tangent to the circle is perpendicular to the radius of the circle.

(ii) Sifat-sifat berkaitan dengan dua tangen kepada suatu bulatan

The properties related to two tangents to a circle

B

O

AC Tip Penting

(a) Ukur dan nyatakan setiap panjang dan sudut berikut. • Jika x + y = 90°, maka x dan y ialah
sudut pelengkap.
Measure and state each of the following lengths and angles.
If x + y = 90°, then x and y are
(i) Panjang AB / Length of AB : 2.35 cm complementary angles.

(ii) Panjang AC / Length of AC : 2.35 cm • Jika x + y = 180°, maka x dan y ialah
sudut penggenap.
(iii) ∠OAB : 23°
If x + y = 180°, then x and y are
(iv) ∠OAC : 23° supplementary angles.

(v) ∠AOB : 67° • Jika x + y = 360°, maka x dan y ialah
sudut konjugat.
(vi) ∠AOC : 67°
If x + y = 360°, then x and y are conjugate
angles.

99 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik  Tingkatan 3  Bab 6

(b) Cari nilai bagi setiap yang berikut.

Find the value of each of the following.

(i) ∠BAC = 23° + 23° (ii) ∠BOC = 67° + 67° (iii) ∠BAC + ∠BOC = 46° + 134°
= 46° = 134° = 180°

(c) Lengkapkan pernyataan yang berikut.

Complete the following statements.

(i) Panjang AB adalah sentiasa sama dengan panjang AC.

The length of AB is always the same as the length of AC.

(ii) Garis OA ialah pembahagi dua sama sudut bagi ∠BAC dan ∠BOC.

The line OA is the angle bisector of ∠BAC and ∠BOC.

(iii) ∠BAC dan ∠BOC ialah sudut penggenap .

∠BAC and ∠BOC are supplementary angles .

(iv) Saiz dan bentuk bagi ∆OAB dan ∆OAC adalah sama . Maka, ∆OAB dan ∆OAC adalah
kongruen .

The size and shape of the ∆OAB and ∆OACare the same . Hence, ∆OAB and ∆OAC are congruent .

(iii) Sudut di antara tangen dengan perentas bulatan Tip Penting

The angles between tangent and chord of a circle Dalam rajah di sebelah, ∠MAC ialah sudut
di antara tangen dengan perentas AC pada
C B tembereng minor. ∠ABC ialah sudut pada
O tembereng major atau tembereng selang-seli
yang dicangkum oleh perentas AC.
MA N In the diagram on the left, ∠MAC is the angle between the
tangent and the chord AC in the minor segment. ∠ABC is
(a) Ukur dan nyatakan sudut-sudut berikut. the angle in the major segment or the alternate segment
which is subtended by chord AC.
Measure and state the angles of the following.
(ii) ∠NAB : 50°
(i) ∠MAC : 70° (iv) ∠ACB : 50°
(iii) ∠ABC : 70°

(b) Lengkapkan pernyataan yang berikut.

Complete the following statement.

Sudut di antara tangen dengan perentas adalah sama dengan sudut dalam tembereng

selang-seli yang dicangkum oleh perentas itu.

The angle between the tangent and the chord is the same as the angle in the alternate segment which is

subtended by the chord.

24. Bentuk persamaan bagi hubungan antara sudut-sudut dalam rajah yang berikut. O ialah pusat bulatan.

Form equations for the relationships between the angles in the following diagrams. O is the centre of the circle. SP 6.3.2 TP2

(a) (b) (c)
xx
s

Oy r

O pq

x = 90° x + y = 180° p=r
q=s

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 100

25. Cari nilai x dalam setiap rajah berikut. O ialah pusat bulatan. SP 6.3.2 Matematik  Tingkatan 3  Bab 6
TP4
Find the value of x in each of the following diagrams. O is the centre of the circle.
(b) Diberi AB = BC.
(a) Diberi BOC ialah garis lurus.
Given AB = BC.
Given BOC is a straight line.

B xO C O

32° O x
A 130°

x A 35° B C
B A

∠OBA = 90° ∠AOB = 180° – 130° AB = BC
x = 180° – 90° – 32° = 50° ∠OBA = ∠OBC = 90°
= 58° x = 180° – 90° – 50° ∠OCB = ∠OAB = 35°
= 40°
x = 180° – 35° – 35°
= 110°

2 6. Dalam setiap rajah yang berikut, O ialah pusat bulatan. PQ dan QR ialah tangen kepada bulatan. Cari nilai x.

In each of the following diagrams, O is the centre of the circle. PQ and QR are tangents to the circle. Find the value of x.  SP 6.3.2 TP4

(a) P (b) Q
P xO x
O 70° xQ Q
67° PR
R R O

248°

∠QOR = ∠QOP = 70° x = 360° – 67° – 67° ∠POR = 360° − 248°
∠ORQ = 90° = 226° = 112°
x = 180° – 90° – 70° ∠QOR = 112° ÷ 2
= 20°
= 56°
x = 180° − 90° − 56°

= 34°

(c) (d) P (e)
P
42° 225°
P OR
70° O xO Q
Q x
R
x Q

R ∠POR = 360° − 225°
= 135°
∠POR = 180° − 70° x = 180° − 135°
= 110°
= 45°
∠QOR = 110° ÷ 2 ∠PQR = 42° + 42°
= 55° = 84°
∠POR = 180° – 84°
x = 180° – 55°
2 = 96°
125° x = 360° − 96°
= 2
= 264°
= 62.5°

101 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik  Tingkatan 3  Bab 6

27. Dalam setiap rajah berikut, AC dan CE ialah dua tangen kepada sebuah bulatan berpusat O. Cari nilai m.

In each of the following diagrams, AC and CE are two tangents to a circle with centre O. Find the value of m. SP 6.3.2 TP4

(a) m cm B A (b) m cm C (c) A
B
C B 12 cm

1.3 cm O A 4 cm
D 3 cm
CO
13 cm
OD m cm

E E D
E

BC = CD OD = OB = 3 cm CD = CB = 12 cm
Maka / hence, ∠ODC = 90° ∠ODC = 90°
m = 1.3 m = √32 + 42  m = √132 – 122 
= √9 + 16  = √169 – 144 
= √25 = √25
= 5 = 5

28. Hitung nilai sudut x dan y bagi setiap bulatan dan tangennya dengan keadaan O ialah pusat bulatan.

Calculate the values of the angles x and y for each of the circles and their tangents where O is the centre of the circles. SP 6.3.2 TP4

S (a) (b)
52° x 55°
Tx 38°
A 70°
y x 40° y
AB
90°
x = 55°
y 70° B y = 180° – 55° – 38° – 40°
P QR = 47°
x = 90°
x = 70° y = 70°
y = 52°

(c) (d) 25° (e) P Q R

O y
32°
Ax O Ux
A y 28° 70° S
y T
B x
x = ∠QSR = ∠SQR
x = 90° – 32° B = 60°
= 58°
y = 32° x = 90° – 28° y = ∠USQ
= 62° = 180° – 70° – 60°
y = 90° – 25° = 50°
= 65°

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 102

Matematik  Tingkatan 3  Bab 6

2 9. Selesaikan setiap yang berikut. SP 6.3.3 TP5

Solve each of the following.

(a) Dalam rajah di sebelah, garis lurus ACB ialah tangen kepada bulatan pada titik C. A E
∆CDE ialah sebuah segi tiga sama kaki. Cari nilai x + y + z. x
z
In the diagram, straight line ACB is a tangent to the circle at point C. ∆CDE is an isosceles triangle. Find the C y
value of x + y + z. D
64°
x = 64° z = y = 58°
B
180° – 64°
y = 2 x + y + z = 64° + 58° + 58°
= 180°
116°
= 2

= 58°

(b) Dalam rajah di sebelah, garis lurus FJG dan GKH masing-masing FJ xG
ialah tangen kepada bulatan pada titik J dan K. Cari nilai x dan y. 68° y

In the diagram, straight lines FJG and GKH are tangents to the circle at points J and K L 75°
respectively. Find the values of x and y. HK

GJ = GK, maka ∆JGK ialah segi tiga sama kaki.

GJ = GK, hence ∆JGK is an isosceles triangle.

∠GJK = 75°
x = 180° − 75° − 75°
= 30°
y = 180° − 68° − 75°

= 37°

(c) Dalam rajah di sebelah, AC, CE dan AE ialah tangen kepada suatu bulatan AB C
berpusat O dengan titik ketangenan B, D dan F masing-masing. x

In the diagram, AC, CE and AE are the tangents to a circle with centre O with the points of FO
tangency of B, D and F respectively. D

(i) Jika ∠BAF = 80°, cari nilai x. E

If ∠BAF = 80°, find the value of x.

(ii) Jika AE = 34 cm dan BC = DE = 22 cm, cari panjang AF dan AC.

If AE = 34 cm and BC = DE = 22 cm, find the length of AF and of AC.

(i) x = 180° − 80° = 100°
(ii) AF = AE − FE AC = AB + BC

= 34 − 22 = 12 + 22
= 12 cm = 34 cm

103 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik  Tingkatan 3  Bab 6 T
S
(d) Dalam rajah di sebelah, PQR ialah tangen kepada bulatan QSTU pada titik Q.
Cari nilai x. U 85° x
65°
In the diagram, PQR is a tangent to the circle QSTU at point Q. Find the value of x.
PQ R
∠TQR = 85°
x = 85° − 65°

= 20°

(e) Dalam rajah di bawah, garis lurus PRT dan URX ialah tangen sepunya kepada bulatan berpusat A dan
bulatan berpusat B. Diberi bahawa QR = 12 cm dan RW = 17 cm, cari   KBAT Menganalisis

In the diagram below, straight lines PRT and URX are common tangents to the circle with centre A and the circle with centre B. Given
that QR = 12 cm and RW = 17 cm, find

(i) nilai m. P X
Q W
the value of m.
50° R B
(ii) panjang AB, dalam cm. A m

the length of AB, in cm. V S
U T




(i) ∠QAV = 50° + 50° (ii) sin ∠QAR = QR Tip Penting
= 100° AR
∠QRV = 180° – 100° 12 Tangen sepunya ialah satu tangen
sin 50° = AR kepada dua atau lebih bulatan.
= 80° A common tangent is a tangent to two
m = 180° − 80° AR = 15.7 cm or more circles.
= 100°
∠WRB = 80° ÷ 2
= 40°

kos ∠WRB = RW
RB
cos ∠WRB
17
kos 40° = RB

   cos 40°

RB = 22.2 cm

AB = AR + RB
= 15.7 + 22.2
= 37.9 cm

Kriteria Kejayaan: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Saya berjaya

• Mengenal dan memerihalkan tangen kepada bulatan.

• Membuat dan menentusahkan konjektur tentang
(i) sudut di antara tangen dengan jejari bulatan pada titik ketangenan.
(ii) sifat-sifat berkaitan dengan dua tangen kepada suatu bulatan.
(iii) hubungan sudut di antara tangen dan perentas dengan sudut dalam tembereng selang seli yang dicangkum oleh perentas itu,

dan seterusnya melakukan pengiraan yang berkaitan.

• Menyelesaikan masalah yang melibatkan tangen kepada bulatan.

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 104

Matematik  Tingkatan 3  Bab 6

PBD 6.4 Sudut dan Tangen bagi Bulatan Buku Teks ms. 160 – 161

Angles and Tangents of Circles

30. Selesaikan masalah berikut. SP 6.4.1 TP5

Solve the following problems.

(a) Dalam rajah di sebelah, garis lurus PRQ ialah tangen kepada bulatan RSTU pada T UQ
titik R. Cari nilai x dan y.
78° y
In the diagram, straight line PRQ is a tangent to the circle RSTU at point R. Find the values of x and y. 42°

x = 42° y = 180° − 42° − 102° R
∠URS = 180° − 78° = 36° x

= 102° S
P

(b) Rajah di sebelah menunjukkan dua bulatan masing-masing dengan pusat A

P dan Q. AFG, BPF dan BQD ialah garis lurus. Diberi panjang lengkok CD B C
= panjang lengkok DE, cari nilai y − x. Modul HEBAT M29 y

The diagram shows two circles with centres P and Q respectively. AFG, BPF and BQD are straight Px
lines. Given the length of arc CD = the length of arc DE, find the value of y − x. Q 84°
F 108° ED
110°

84° G
2
x = y = 110° − 54°
= 56°
= 42°
y − x = 56° − 42°
∠ABE = ∠EFG     = 14°
= 110°
180° – 108°
108° ∠PFE = 36° 2
∠FBE = 2 =

= 54° y + ∠BAF = ∠BFG
y + 90° = 110° + 36°
y = 146° – 90°
= 56°

(c) Dalam rajah di sebelah, PQR ialah tangen kepada bulatan berpusat O pada T P
titik Q. Cari nilai x + y. 35°
Ox
In the diagram, PQR is a tangent to the circle with centre O at point Q. Find the value of x + y.

∠STQ = ∠SQR ∠TSQ = x yQ
= 50° = 55° S 50°

∠OTS = 50° − 35° ∠OST = ∠OTS R
= 15° = 15°

∠TOS = 180° − 15° − 15° y = 55° − 15°
= 150° = 40°
x + y = 55° + 40°
∠TQS = 150° = 95°
2
= 75°
∠OQT = ∠OTQ = 35°
x = 180° − 50° − 75° ∠OQS = y
= 55° Maka/ Hence
x + 35° + y + 50° = 180°
x + y = 180° – 35° – 50°
= 95°

105 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik  Tingkatan 3  Bab 6

(d) Dalam rajah di sebelah, KLM ialah tangen kepada bulatan pada titik L. KLM
Cari nilai x.
74° 2x R
In the diagram, KLM is a tangent to the circle at point L. P 120°
Find the value of x. Q

∠MLQ = ∠LPQ 2x = 180° − 74° − 60°
= 180° − 120° 2x = 46°
= 60°
  x = 46°
2
= 23°

3 1. Lakukan aktiviti yang berikut. SP 6.4.1 TP6  

Carry out the following activity.

Fikir-Pasang-Kongsi


(a) Lakukan kerja secara individu.

Work in individual.

(b) Fikir dan tulis satu soalan yang berkaitan dengan sudut dan tangen bagi bulatan.

Think and write a question related to the angles and tangents to circles.

(c) Saling menukar soalan yang ditulis itu dengan rakan pasangan anda dan selesaikan soalan rakan
pasangan anda.

Exchange the written question with your partner and solve your partner’s question.

(d) Berkongsi soalan dan penyelesaiannya dengan keseluruhan kelas.

Share the question and its solution with the whole class.

Kriteria Kejayaan: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Saya berjaya

• Menyelesaikan masalah yang melibatkan sudut dan tangen bagi bulatan.

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 106

POWER PT3Matematik  Tingkatan 3  Bab 6

Pentaksiran Sumatif

Bahagian A 4. Dalam rajah di bawah, O ialah pusat bulatan dan
PQR ialah tangen kepada bulatan itu pada titik Q.
1. Dalam rajah di bawah, PQRS ialah sisi empat
kitaran. TPSV dan URS ialah garis lurus. In the diagram below, O is the centre of the circle and PQR is a
tangent to the circle at point Q.
In the diagram below, PQRS is a cyclic quadrilateral. TPSV and
URS are straight lines. T
x

T Oy S
P
S P 55°
80° 110° 50°

Qx QR

V

y Cari nilai bagi y – x.
R
Find the value of y – x.
U
A 5°
Cari nilai x + y. B 15°
C 20°
Find the value of x + y. D 25°

A 170° 5. Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan
B 190° berpusat O.
C 210°
D 230° The diagram below shows a circle with centre O.

2. Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan. OR
35°
The diagram below shows a circle.
160°
pq r Px
s
Q
Antara pasangan sudut yang berikut, yang
manakah mempunyai saiz yang sama? Cari nilai bagi x.
Which of the following pairs of angles are of equal size?
Find the value of x.
A p, q C p, s
A 50°
B 55°
C 60°
D 65°

B p, r D q, s

3. Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan
berpusat O.

The diagram below shows a circle with centre O.

x

O
54°

42°

Cari nilai x. C 52°
D 56°
Find the value of x.

A 46°
B 48°

107 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik  Tingkatan 3  Bab 6 (b) Cari nilai x dalam setiap rajah yang berikut.

Bahagian B Find the value of x in each of the following diagrams.

6. (a) Tandakan (3) jika PQRS ialah sisi empat Jawapan / Answer:
kitaran dan (7) jika bukan. (i)

Mark (3) if PQRS is a cyclic quadrilateral and (7) if not. x
35°
[2 markah / 2 marks]
Jawapan / Answer: 7 cm x = 35°
7 cm
(i) P
[1 markah / 1 mark]
S

Q 3 (ii) O ialah pusat bulatan.

R O is the centre of the circle.
(ii) P
3 cm

S O 40° x= 6
80°
Q7
R x cm [1 markah / 1 mark]

(b) Rajah di ruang jawapan menunjukkan
sebuah bulatan berpusat O. Tanpa
menggunakan protraktor atau jangka lukis, (iii) O ialah pusat bulatan.
lukis satu segi tiga bersudut tegak yang
terterap dalam bulatan itu. O is the centre of the circle.

The diagram in the answer space shows a circle with 9 cm 9 cm x = 50°
centre O. Without using protractor or a pair of compasses, [1 markah / 1 mark]
draw a right-angled triangle inscribed in the circle. 100°
O
[2 markah / 2 marks]
Jawapan / Answer: x

O Bahagian C

7. (a) Dalam rajah di bawah, RST ialah garis lurus. 8. (a) Dalam rajah di bawah, TPU dan QRV ialah
garis lurus.
In the diagram below, RST is a straight line.
In the diagram below, TPU and QRV are straight lines.

T

Q Pe
y
P fa S
y U d

x b cg V
R 80° Q R

ST (i) Namakan garis lurus TPU.
Name the straight line TPU.
Tandakan (3) pada langkah pengiraan yang
betul untuk menentukan nilai x. [1 markah / 1 mark]
(ii) Nyatakan sudut pedalaman
Mark (3) for the correct calculation step in determining bertentangan yang sepadan dengan
the value of x. ∠g.
State the corresponding opposite interior angle of
[1 markah / 1 mark]
Jawapan / Answer:

x = 180° + 80° ∠g.

x = 180° – 80° 3 [1 markah / 1 mark]

x = 180° – 100°

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 108

Matematik  Tingkatan 3  Bab 6

(iii) Nyatakan satu sudut yang sama dengan (c) Dalam rajah di bawah, O ialah pusat bulatan.
hasil tambah ∠e dan ∠f. PQR dan TSR masing-masing ialah tangen
bulatan di Q dan S.
State an angle which is equal to the sum of ∠e and
∠f. In the diagram below, O is the centre of the circle. PQR
and TSR are tangents to circle at Q and S respectively.
[1 markah / 1 mark]
Jawapan / Answer: PQ x R

(i) Tangen / Tangent 115°
O
(ii) ∠a
S
(iii) ∠c

(b) Hitung nilai x dalam setiap rajah yang T
berikut.
Hitung nilai x.
Calculate the value of x in each of the following diagrams.
Calculate the value of x.
(i) O ialah pusat bulatan.
[3 markah / 3 marks]
O is the centre of the circle.
Jawapan / Answer:
P R Sudut refleks / Reflex angle QOS
48° = 2 × 115°
= 230°

O Sudut cakah / Obtuse angle QOS
x = 360° – 230°
= 130°
Q x = 360° – 90° – 90° – 130°
= 50°
[2 markah / 2 marks]
(ii) O ialah pusat bulatan dan POTR ialah 9. (a) Rajah di bawah menunjukkan sebuah
bulatan berpusat O.
garis lurus.
The diagram below shows a circle with centre O.
O is the centre of the circle and POTR is a straight
line.

S

P
O 50°

xT R x Oy

Q Diberi x + y = 165°.
Hitung nilai y.
[2 markah / 2 marks]
Given x + y = 165°.
Jawapan / Answer: Calculate the value of y.
(i) ∠POR = 180° – 48° – 48°
= 84° Jawapan / Answer:
x + y = 165° [3 markah / 3 marks]
84° x + 2x = 165°
x = 2 3x = 165°
x = 55°
= 42° y = 2x
= 2 × 55°
(ii) ∠QOR = 2 × 50° = 110°
= 100°
x = 180° – 100°
= 80°

109 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik  Tingkatan 3  Bab 6

(b) Dalam rajah di bawah, PST ialah garis lurus. (c) Rajah di bawah menunjukkan dua buah
In the diagram below, PST is a straight line. bulatan yang masing-masing berpusat M
dan N. PQRS dan TUVS ialah tangen sepunya
Sy T bagi dua bulatan itu. KBAT Mengaplikasi

P 47° The diagram below shows two circles with centres M and
N respectively. PQRS and TUVS are two common tangents
x of the two circles.

R P

Q Q

Hitung [2 markah / 2 marks] M R S
[2 markah / 2 marks] 12 cm x
Calculate TU N

(i) nilai x. Hitung nilai x. V
33 cm
the value of x. Calculate the value of x.

(ii) nilai y.

the value of y.

Jawapan / Answer: [3 markah / 3 marks]
(i) ∠QPR = ∠QRP = 47°
x = 180° – ∠QPR – ∠QRP – ∠SPR Tip KBAT
= 180° – 3 × 47°
= 39° Gunakan nisbah trigonometri tangen untuk
mencari ∠VSN terlebih dahulu dan kemudian
(ii) y = ∠PQR mencari nilai x.
= 180° – 2 × 47° Use trigonometric ratio tangent to find the ∠VSN first and
= 86° then find the value of x.

Jawapan / Answer:

tan ∠VSN = 12
33

∠VSN = 19.98°
x = ∠VNS
= 180° – 90° – 19.98°
= 70.02°

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 110

POWER KBATMatematik  Tingkatan 3  Bab 6

1.

D A
O P

C B        

Rajah di atas menunjukkan pelan sebuah bangunan. Kawasan berlorek merupakan kawasan pameran buku.
O dan P ialah pusat bagi dua bulatan dalam pelan. OA dan OB ialah dua tangen bagi bulatan berpusat P.
Diberi bahawa OP = 12.5 cm dan AP = 2.5 cm, cari KBAT Mengaplikasi

The diagram above shows the plan of a building. The shaded region is the region for book fair. O and P are centres of the two circles in the
plan. OA and OB are two tangents to the circle with centre P. Given that OP = 12.5 cm and AP = 2.5 cm, find

(a) ∠APB yang dicangkum oleh lengkok minor AB,

∠APB subtended by minor arc AB,

(b) luas, dalam cm2, sektor minor COD jika OD = 3 cm,

the area, in cm2, of the minor sector COD if OD = 3 cm,

(c) luas, dalam cm2, kawasan pameran buku.

the area, in cm2, of the region for book fair.

[Guna/ Use π = 3.142]

(a) kos ∠APO = AP 3 4cos ∠APO =AP Tip KBAT
OP OP

= 2.5 (a) Gunakan nisbah trigonometri.
12.5 Use the trigonometric ratio.

  ∠APO = kos–1 0.2 [∠APO = cos–1 0.2] (b) Rumus luas sektor ialah

= 78°28' q × πj2.
Maka/ Hence, ∠APB = 78°28' × 2 = 156°56' 360°
The formula for the area of sector is
q
(b) ∠DOC = 180° – ∠APB 360° × πr2.

= 180° – 156°56' (c) Tentukan luas OAPB, sektor
COD dan APB terlebih dahulu
= 23°4' untuk mencari luas kawasan

Luas sektor minor COD/ Area of minor sector COD berlorek.
Determine the areas of OAPB,
= 23°4' 3.142 × 32 sectors COD and APB first to find the
360° × area of the shaded region.

= 1.81 cm2

(c) Luas sektor minor APB/ Area of minor sector APB
156°56'
= 360° × 3.142 × 2.52

= 8.56 cm2

OA = √OP2 – AP2 
= √12.52 – 2.52 
= 12.25 cm

Luas OAPB/ Area of OAPB = 2 × 1 × 12.25 × 2.5
2
= 30.63 cm2

Luas kawasan berlorek/ Area of shaded region = 30.63 – 1.81 – 8.56 Kuiz 6
= 20.26 cm2

111 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik  Tingkatan 3  Bab 7 Pelan dan Dongakan

7BAB Plans and Elevations

PBD 7.1 Unjuran Ortogon Buku Teks ms. 170 – 181

Orthogonal Projections

• Satah ialah permukaan rata pada suatu objek, antaranya ialah satah mengufuk, satah mencancang dan
satah condong.

Plane is a flat surface on an object, among it is horizontal plane, vertical plane and inclined plane.

• Normal kepada suatu satah ialah garis lurus yang berserenjang dengan sebarang garis pada satah itu.

A normal to a plane is a line that is perpendicular to any line on the plane.

• Unjuran ortogon suatu objek kepada satah ialah imej yang terhasil oleh normal-normal kepada satah
daripada objek.

The orthogonal projection of an object onto a plane is the image formed by the normal from the object to the plane.

1. Rajah di sebelah menunjukkan kuboid. Nyatakan normal kepada satah berikut. E H
F G
The diagram shows a cuboid. State the normals for the following planes. SP 7.1.1 TP1
D C
(a) ABCD:  FA, GB, HC, ED A B

(b) ADEF:  BA, CD, HE, GF

(c) ABGF:  DA, CB, HG, EF

2. Kenal pasti sama ada unjuran yang diberikan ialah unjuran ortogon bagi pepejal itu atau bukan. Tulis ‘Ya’atau
‘Bukan’.   SP 7.1.1 TP1

Identify whether the projection given is the orthogonal projection of the solid. Write ‘Yes’ or ‘No’.

(a) (b) (c)

Ya / Yes Bukan / No Ya / Yes

3. Antara rajah berikut, yang manakah menunjukkan unjuran ortogon bagi
prisma di sebelah pada satah mencancang yang diberikan? Bulatkan
jawapan yang betul.  SP 7.1.1 TP1

Which of the following is the orthogonal projection of the prism onto a vertical plane? Circle
the correct answer.

A BCD

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 112

Matematik  Tingkatan 3  Bab 7

4. Lukis unjuran ortogon pada satah yang diberikan bagi setiap pepejal berikut.  SP 7.1.1 TP2

Draw the orthogonal projections onto the given planes for the following solids.

Pepejal Unjuran ortogon

Solid Orthogonal projection

(a)

4 cm

4 cm

4 cm

(b)

4 cm

4 cm

5 cm 5 cm

(c) E/D H/C
2 cm
EH

FG
3 cm

D C
A 4 cm 2 cm
B

F/A 4 cm G/B

(d)

TS U

S

3 cm 3 cm 4 cm
T U

4 cm
R

P 5 cm Q

P 2.5 cm R 2.5 cm Q

113 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik  Tingkatan 3  Bab 7

(e) E/D H J/C

E

H 2 cm J

F 2 cm
GK C
D

4 cm 4 cm
B
A 3 cm

F/A 1 cm G 2 cm K/B

(f ) R/N Q/P

N P
RQ

3 cm 5 cm 3 cm
V/S U/T
2 cm S T L
V UM 2 cm
J/M K/L
2 cm 5 cm
J 2 cm K 2 cm

5. Rajah di bawah menunjukkan sebuah piramid dengan tapak segi empat sama JKLM dan unjuran ortogonnya
pada satah mengufuk.  SP 7.1.2 TP2

The diagram below shows a pyramid with a square base JKLM and its orthogonal projection onto a horizontal plane.

N ML

ML N

JK JK

Tandakan ‘✓’ bagi panjang sisi dan saiz sudut yang tidak berubah apabila piramid itu diunjurkan kepada
satah mengufuk.

Mark ‘✓’ the edges and angles that remain unchanged when the pyramid is projected orthogonally onto the horizontal plane.

(a) JK 3 (b) KL 3

(c) LN (d) ∠JKL 3

(e) ∠KLN (f ) ∠JNM

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 114

Matematik  Tingkatan 3  Bab 7

6. Lukis unjuran ortogon bagi setiap pepejal pada satah yang diberikan. Seterusnya, bandingkan pepejal itu
dengan unjuran ortogonnya dari segi panjang sisi, saiz sudut dan bentuk.  SP 7.1.2 TP2

Draw the orthogonal projection of each solid onto the plane given. Then, compare the solid and its orthogonal projection with respect to
edges, angles and shapes.

(a)

A B F
3 cm 6 cm

D C

4 cm E

Lukisan unjuran ortogon Perbandingan antara pepejal
dengan unjuran ortogon
Drawing of orthogonal projection
Comparison between the solid and its
(i) pada satah mencancang orthogonal projection

onto the vertical plane bagi satah ADE

A/B for the plane ADE

3 cm Semua panjang sisi, saiz sudut dan
bentuk ADE adalah sama dengan
prisma itu.

All the edges, angles and shape ADE are the
same as the prism.

D/C 4 cm E/F

(ii) pada satah mengufuk F bagi satah ABFE dan DCFE
6 cm
onto the horizontal plane for the planes ABFE and DCFE

B/C Sama/Same:
AB, EF, DC, CF, DE;
semua sudut tegak;

all the right angles;

bentuk/ shape DCFE

Berbeza/ Different:
AE, BF;
bentuk/ shape ABFE

A/D 4 cm E

115 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik  Tingkatan 3  Bab 7

(b)

T Tip Penting
5 cm
Guna trirangkap Pythagoras
untuk mencari tinggi prisma.
Use Pythagorean triples to find
the height of the prism.

T

US R

US R
5 cm
P 6 cm 8 cm 4 cm
Q P 3 cm Q

Lukisan unjuran ortogon T Perbandingan antara pepejal
dengan unjuran ortogon
Drawing of orthogonal projection
Comparison between the solid and its
(i) pada satah mencancang orthogonal projection

onto the vertical plane bagi satah QRTU

U for the plane QRTU

4 cm Sama/Same:
QR, UT;
semua sudut tegak

all the right angles

Berbeza/ Different:
QU, RT;
bentuk/ shape QRTU

Q/P 8 cm R/S
R
(ii) pada satah mengufuk T bagi satah PQRS dan PSTU

onto the horizontal plane for the planes PQRS and PSTU

S Sama/Same:
PQ, RS, PS, QR, UT;
semua sudut tegak;

all the right angles ;

bentuk/ shape PQRS

Berbeza/ Different:
PU, ST;
bentuk/ shape PSTU

8 cm

P 3 cm U 3 cm Q

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 116

Matematik  Tingkatan 3  Bab 7

Kriteria Kejayaan: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Saya berjaya

• Melukis unjuran ortogon.
• Membanding dan membeza antara objek dan unjuran ortogon yang sepadan.

PBD 7.2 Pelan dan Dongakan Buku Teks ms. 182 – 191

Plans and Elevations

• Pelan ialah unjuran ortogon pada satah mengufuk sebagaimana dilihat dari atas suatu objek.

The plan is the orthogonal projection onto the horizontal plane as viewed from the top of an object.

• Dongakan ialah unjuran ortogon pada satah mencancang sebagaimana dilihat dari depan atau sisi suatu
objek.

The elevation is the orthogonal projection onto the vertical plane as viewed from the front or the side of an object.

7. Lukis dengan skala penuh, pelan bagi setiap pepejal yang berikut.  SP 7.2.1 TP3

Draw to full scale, the plan of each of the following solids.

(a) (b) B 2 cm (c)
C
E 4 cm D 3 cm TU
A

2 cm DH WV 3 cm
AFC S R
4 cm G
EI

4 cm 4 cm 2 cm 5 cm
J FL
B P 2 cm Q
4 cm
Pelan / Plan : Pelan / Plan :
K
T/S U/R
Pelan / Plan :

E/A 4 cm D/C B/I 2 cm C/H 2 cm G/L

3 cm

4 cm 4 cm 5 cm

A/J D/E F/K

F/B

W/P 2 cm V/Q

(d) E (e) B 3 cm C (f ) F

F G JI A D 2 cm A I
2 cm H G 4 cm D

A D 1 cm H 2 cm 1 cm B J
F
C E 1 cm
G
3 cm B 1 cm I 2 cm E H
2 cm
Pelan / Plan : Pelan / Plan : 3 cm C

Pelan / Plan :

E /D 2 cm J 1 cm I /C B /H 3 cm C /G F /G 2 cm J 1 cm I /H
F /A 1 cm 2 cm
1 cm 2 cm
G H /B F

A /I 2 cm E D A /B E D /C

117 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik  Tingkatan 3  Bab 7

8. Bagi setiap pepejal berikut, lukis dengan skala penuh,  SP 7.2.1 TP3
For each of the following solids, draw to full scale,

(i) dongakan depan pepejal itu (ii) dongakan sisi pepejal itu.
the front elevation of the solid the side elevation of the solid

(a) E (b) N
2 cm
FH 2 cm
PT
2 cm G D
A K
B J
5 cm 1 cm Dongakan sisi M LS
C Side elevation Q
3 cm
Dongakan depan J 4 cm
Front elevation Dongakan sisi
Side elevation 3 cm K 2 cm R

Dongakan depan
Front elevation

(i) dongakan depan pepejal itu (i) dongakan depan pepejal itu

front elevation of the solid front elevation of the solid

F/E 2 cm G/H P/N

2 cm 5 cm K/J 2 cm
A/D 1 cm Q/T

B/C 2 cm

J/M 3 cm K/L 2 cm R/S

(ii) dongakan sisi pepejal itu H/E (ii) dongakan sisi pepejal itu P
2 cm
side elevation of the solid 1 cm side elevation of the solid Q
J 2 cm
G/F 1 cm N J/K/R
K C/D
T
B/A 3 cm

M/L/S 4 cm

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 118

9. Bagi setiap pepejal berikut, lukis dengan skala penuh,  SP 7.2.1 TP4 Matematik  Tingkatan 3  Bab 7

For each of the following solids, draw to full scale, Tip Penting

(i) pelan pepejal itu • Garis padu digunakan untuk
mewakili sisi objek yang boleh
the plan of the solid dilihat dari arah pandangan.

(ii) dongakan depan pepejal itu sebagaimana dilihat dari X The solid lines are used to show the
edges of object that can be seen
the front elevation of the solid as viewed from X from view.

(iii) dongakan sisi pepejal itu sebagaimana dilihat dari Y • Garis sempang digunakan
untuk mewakili sisi objek
the side elevation of the solid as viewed from Y yang terlindung daripada
pandangan.
(a) (i) H/I J/C
4 cm The dashed lines are used to show
E E/D the edges of object that are hidden
from view.
F/A 4 cm
F H
8 cm
G 3 cm
A
X D I 2 cmJ
LK 2 cm
C

6 cm 4 cm Y

B

G/L 2 cm K/B

(ii) (iii) E

F/E F 3 cm
H
8 cm G/H G 3 cm
J/I
A/D 3 cm K/L 2 cm
B/A C/D
L/I 2 cm K/J

2 cm

6 cm B/C 4 cm

119 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik  Tingkatan 3  Bab 7

(b) (i) H/I D/E
4 cm
D A/L
AC G/J 2 cm C/F

B
5 cm

7 cm G H 2 cm
L E
K
X 3 cm F

5 cm J I Y
4 cm

B/K 5 cm
C/D
(ii)

B/A

5 cm

7 cm

G/H 2 cm F/E

3 cm

K/L 5 cm J/I
(iii) C
D
B 1 cm
A

4 cm Tip Penting

F/G E/H Susunan huruf pada pelan
3 cm dan dongakan adalah
J/K 4 cm mengikut arah pandangan.
I/L Misalnya, dalam (b), J berada
di depan K apabila dipandang
dari arah Y. Maka, J/K ditulis
pada lukisan dongakan sisi
pepejal sebagaimana dilihat
dari Y.
The arrangement of letters on the
plan and elevation is according to
the direction of view. For example,
in (b), J is in front of K when view
from Y. Hence, J/K is written on the
drawing of elevation of the solid as
viewed from Y.

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 120

Matematik  Tingkatan 3  Bab 7

(c) (i) E/D 4 cm F/C

2 cm E
J

K 2 cm D F
3 cm L I 2 cm
H C
A 4 cm JI
Y
4 cm G 4 cm 6 cm
X 6 cm G/B

B



K/A 2 cm L/H

(ii) (iii)

K 2 cm L L/K

1 cm H/I G/F 1 cm I/J 2 cm F/E
J/E G/H
B/C 4 cm

2 cm 2 cm

A/D 4 cm B/A 6 cm C/D

(d) (i)

JI J /G I /H

3 cm

3 cm

G H D
3 cm E 2 cm

Y A 2 cm E /B 1 cm D /C
A
2 cm B 1 cm C

X (iii)
(ii)
JI
1 cm J /I E /D
3 cm
ED 2 cm
2 cm G /H

A 2 cm B /G 1 cm C /H 3 cm A /B /C

121 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik  Tingkatan 3  Bab 7

1 0. Lakar objek berdasarkan pelan, dongakan depan dan dongakan sisi dalam setiap rajah berikut. 

Sketch the object based on the plan, front elevation and side elevation in each of the following diagrams. SP 7.2.2 TP5

(a)

E/D H J/C

G/H

6 cm 2 cm K/J
F/E

3 cm 3 cm

A/D 4 cm B/C

F/A 2 cm G 2 cm K/B

Pelan Dongakan depan

Plan Front elevation

G H

K/F 2 cm
J/E

3 cm

B/A 6 cm C/D

Dongakan sisi

Side elevation

H

GE J
5 cm
Tip Penting

F K C Kita dapat melakar suatu
3 cm D objek berdasarkan pelan dan
dongakan yang diberikan.
We can sketch an object based on
6 cm the plan and elevations given.

A 4 cm B

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 122

Matematik  Tingkatan 3  Bab 7

(b) G 1.5 cm G/H
C
H/D
4 cm F/E

4 cm

E/A 3 cm F 3 cm B B/A 4 cm C/D

Pelan Dongakan depan

Plan Front elevation

3 cm

E/H 1.5 cm
F/G

4 cm

A/D 6 cm B/C

Dongakan sisi

Side elevation

H G Tip Penting
E
C Dalam bidang perkilangan,
3 cm F 4 cm produk dihasilkan
B berdasarkan pelan dan
4 cm D dongakan yang dilukis oleh
A 6 cm pereka bentuk produk itu.
Misalnya, jam tangan, telefon
bimbit dan perabot.
In manufacturing field, the
products are made based on the
plans and elevations drawn by the
industrial designers. For example,
watches, mobile phones and
furniture.

123 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik  Tingkatan 3  Bab 7

1 1. Selesaikan masalah berikut.  SP 7.2.3 TP5
Solve the following problems.
L
(a) Separuh silinder dengan jejari 3 cm dan tinggi 6 cm dicantumkan
pada sebuah prisma tegak pada satah ADEKJ. Trapezium BCFG
ialah keratan rentas seragam prisma itu. Gabungan pepejal itu 6 cm H G F
terletak di atas satah mengufuk. Lukis dengan skala penuh,  JK E 3 cm
KBAT Mengaplikasi 7 cm C
D
A half cylinder with radius 3 cm and height 6 cm is joined to a right prism at
the plane ADEKJ. Trapezium BCFG is the uniform cross-section of the prism. The
composite solid is on a horizontal plane. Draw to full scale, 6 cm Y

(i) pelan gabungan pepejal itu, A 4 cm B

the plan of the composite solid, X

(ii) dongakan gabungan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan AB sebagaimana
dilihat dari X,
the elevation of the composite solid on a vertical plane parallel to AB as viewed from  X,

(iii) dongakan gabungan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan BC sebagaimana
dilihat dari Y.
the elevation of the composite solid on a vertical plane parallel to BC as viewed from  Y.

(i) L/E/D F/C

6 cm Tip Penting

H/J/A 4 cm G/B • Lukis pelan mengikut skala
penuh dari pandangan
atas.

Draw a full-scale plan as
viewed from the top.

• Guna garis padu untuk
melukis sisi objek yang
dapat dilihat.

Use the solid lines to draw the
visible edges.

• Label bucu dan ukuran sisi.
Label the vertices and the

measurements.

3 cm

(ii) H G

1 cm Tip Penting
J/K/L
• Lukis dongakan depan
4 cm mengikut skala penuh
sebagaimana dipandang
6 cm dari X.

E F Draw a full-scale front
3 cm elevation as viewed from X.

3 cm A/D 4 cm B/C • Guna garis padu untuk
melukis sisi objek yang
dapat dilihat.

Use the solid lines to draw the
visible edges.

• Guna garis sempang untuk
melukis sisi objek yang
terlindung.

Use the dashed lines to draw
the hidden edges.

• Label bucu dan ukuran sisi.
Label the vertices and the

measurements.

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 124

(iii) G/H Matematik  Tingkatan 3  Bab 7

1 cm K L Tip Penting
J 3 cm
F/E • Lukis dongakan sisi
6 cm 3 cm mengikut skala penuh
sebagaimana dipandang
B/A 6 cm C/D dari Y.

Draw a full-scale side elevation
as viewed from Y.

• Guna garis padu untuk
melukis sisi objek yang
dapat dilihat.

Use the solid lines to draw the
visible edges.

• Guna garis sempang untuk
melukis sisi objek yang
terlindung.

Use the dashed lines to draw
the hidden edges.

• Label bucu dan ukuran sisi.
Label the vertices and the

measurements.

(b) Dua buah prisma tegak dicantumkan pada satah mencancang D
CIJF. ABHGE dan CIK masing-masing ialah keratan rentas A

seragam dua prisma itu. Gabungan pepejal itu terletak di atas KL

satah mengufuk. Lukis dengan skala penuh, KBAT Mengaplikasi 3 cm C N F
B E1 cm G J 3 cm
Two right prisms are joined at a vertical plane CIJF. ABHGE and CIK are the uniform
cross-section of the two prisms respectively. The composite solid is on a horizontal 3 cm 1.5 cm M
plane. Draw to full scale, I 1 cm
Y H 3 cm
(i) pelan gabungan pepejal itu, X

the plan of the composite solid,

(ii) dongakan gabungan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan HM sebagaimana
dilihat dari X,
the elevation of the composite solid on a vertical plane parallel to HM as viewed from X,

(iii) dongakan gabungan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan BH sebagaimana
dilihat dari Y.
the elevation of the composite solid on a vertical plane parallel to BH as viewed from Y.

(i) D /C N (ii) K /D L

A /B A

2 cm F 1.5 cm J /F
G /E I /C 1 cm M /N
E 3 cm K /J /I 1 cm L /M 3 cm
1 cm 1.5 cm

G /H H /B

(iii) K /L

A /D 1.5 cm
E /F G /J
3 cm
1.5 cm
B /C /N
3 cm H /I /M

125 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik  Tingkatan 3  Bab 7

(c) Dua buah prisma tegak dicantumkan pada satah mencancang L 3 cm M
GCFQ. G ialah titik tengah BC. Gabungan pepejal itu terletak di atas
E

satah mengufuk. Lukis dengan skala penuh, KBAT Mengaplikasi P F 3 cm
N
Two right prisms are joined at a vertical plane GCFQ. G is the midpoint of BC. The
composite solid is on a horizontal plane. Draw to full scale,
5 cm K
(i) pelan gabungan pepejal itu, 6 cm
the plan of the composite solid,
DQ J
(ii) dongakan gabungan pepejal itu pada satah mencancang
yang selari dengan AB sebagaimana dilihat dari X, C 5 cm Y

the elevation of the composite solid on a vertical plane parallel to AB as A G H
viewed from  X, 2 cm
4 cm B
(iii) dongakan gabungan pepejal itu pada satah mencancang
yang selari dengan HJ sebagaimana dilihat dari Y.
X

the elevation of the composite solid on a vertical plane parallel to HJ as
viewed from  Y.

((i) (ii)

K 3 cm J P/L N/M

2 cm E 1 cm
F

L M

1 cm 6 cm
E/D F/C

3 cm 5 cm

4 cm P/Q/G N/H
A 2 cm
B A/D 4 cm B/G/C/K 3 cm H/J

4 cm

(iii)

N/P 3 cm M/L Tip Penting
3.5 cm
F/E Kita boleh menggunakan
pembaris, protraktor dan
sesiku untuk melukis pelan
dan dongakan dengan tepat.
We can use ruler, protractor and
set square to draw the plans and
elevations accurately.

Q
5 cm

2.5 cm

B/A 2 cm H/G 2 cm C/D 3 cm J/K

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 126

Matematik  Tingkatan 3  Bab 7

(d) Rajah di sebelah menunjukkan sebuah gabungan pepejal yang terdiri
daripada sebuah prisma tegak dan separuh silinder. BCHG ialah keratan
rentas seragam prisma itu. Gabungan pepejal itu terletak di atas satah EH

mengufuk. Lukis dengan skala penuh,   KBAT Mengaplikasi F G 3 cm 3 cm

The diagram shows a composite solid comprising of a right prism and a half cylinder. BCHG DC
is the uniform cross-section of the prism. The composite solid is on a horizontal plane. Draw
to full scale,

(i) pelan gabungan pepejal itu, 6 cm Y

the plan of the composite solid,
(ii) dongakan gabungan pepejal itu pada satah mencancang yang A 4 cm B
selari dengan AB sebagaimana dilihat dari X,
X

the elevation of the composite solid on a vertical plane parallel to AB as viewed from  X,

(iii) dongakan gabungan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan BC sebagaimana
dilihat dari Y.
the elevation of the composite solid on a vertical plane parallel to BC as viewed from  Y.

Dengan menggunakan π = 3.142, hitung isi padu, dalam cm3, gabungan pepejal tersebut.
Using π = 3.142, calculate the volume, in cm3, of the composite solid.

(i) (ii)

E/D H/C

2 cm

3 cm F/E G/H

FG 3 cm

3 cm A/D 4 cm B/C
B
A 4 cm
(iii)

3 cm Tip Penting
2 cm
Isi padu prisma
G/F H/E Volume of prism

3 cm = Luas keratan × Tinggi
rentas
= Area of cross-section × Height

Isi padu separuh silinder
Volume of half cylinder
1 1
= 2  πj2t   /  2  πr2h

dengan keadaan/ where
j = jejari/ r = radius
t = tinggi/ h = height
B/A 6 cm C/D

Isi padu gabungan pepejal = Isi padu prisma + Isi padu separuh silinder
Volume of composite solid =  Volume of prism + Volume of half cylinder

= 1 (3 + 6) × 3 × 4 + 1 × 3.142 × 22 × 3
2 2
= 54 + 18.852
= 72.852 cm3

127 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik  Tingkatan 3  Bab 7 5 cm 5 cm
I P ML
12. (a) Rajah di sebelah menunjukkan sebuah pepejal terletak pada suatu
satah mengufuk. AHPI, EDLM dan GFNO ialah permukaan mengufuk. ON
AB, DC, LK, IJ, HG, EF, MN dan PO ialah sisi-sisi yang tegak. Lukis dengan
skala 1 : 10, dongakan pepejal itu pada satah mencancang yang selari AH J K
dengan ABCDEFGH sebagaimana dilihat dari X.   SP 7.2.3 TP5 10 cm ED 40 cm

The diagram shows a solid on a horizontal plane. AHPI, EDLM and GFNO are horizontal 30 cm G 10 cmF
surfaces. AB, DC, LK, IJ, HG, EF, MN and PO are vertical edges. Draw at a scale of 1 : 10, the
elevation of the solid onto a vertical plane parallel to ABCDEFGH as viewed from X.  

0.5 cm 0.5 cm

A /I H /P E /M D /L

1 cm B 20 cm C
1 cm X
1 cm
G /O F /N 1 cm pada lukisan berskala
3 cm mewakili 10 cm pada objek.
1 cm on the scale drawing
B /J 2 cm C /K represents 10 cm on the object.

(b) Sebuah prisma dengan tapak segi empat tepat CDLK dicantumkan I P ML
kepada pepejal di atas. LDQ dan KCR ialah satah mengufuk dan
KR = CR. Lukis dengan skala 1 : 10, ON
Q
A prism with a rectangular base CDLK is attached to the solid above. LDQ and KCR are
horizontal planes and KR = CR. Draw at a scale of 1 : 10, J K Y
A H ED 20 cm R
(i) pelan gabungan pepejal itu,
GF
the plan of the composite solid,

(ii) dongakan gabungan pepejal itu sebagaimana dilihat dari Y.

the elevation of the composite solid as viewed from Y.

(i) (ii) B C

I /J P /O M /N L /K D /E /H /A Q L /M /P /I

F /G 1 cm
N /O
4 cm 2 cm Q /R
2 cm

0.5 cm C /B 2 cm R 2 cm K /J
0.5 cm
1 cm

A /B H /G E /F D /C

1 3. Rajah di bawah menunjukkan pelan dan dongakan depan sebuah pepejal. SP 7.2.3 TP5   KBAT Menganalisis

The diagram below shows the plan and the front elevation of a solid.

(a) Namakan pepejal itu.

Name the solid.

Silinder / Cylinder

Pelan Skala 1 : 100 Dongakan depan (b) Hitung isi padu pepejal itu dalam m3.
Plan Scale 1 : 100 Front elevation
Calculate the volume of the solid in m3.

[Guna / Use π = 3.142]
Isi padu / Volume
= 3.142 × 12 × 1
= 3.142 m3

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 128

Matematik  Tingkatan 3  Bab 7

14. Rajah di bawah menunjukkan pelan, dongakan depan dan dongakan sisi suatu pepejal.  KBAT Menganalisis

The diagram below shows the plan, front elevation and side elevation of a solid. SP 7.2.3 TP5

Dongakan sisi Dongakan depan
Side elevation Front elevation

R R

P /J /I K /H Q /L /G I /H /G J /K /L P /Q

N M N/M

C /B /A D /E /F A /F B /E C /D

45°

G /F L /M /E Q /D

R
HK

I /A J /N /B P /C
Pelan
Plan

(a) Lakar pepejal itu. (b) Namakan 3 bentuk tiga dimensi yang
membentukkan pepejal itu.
Sketch the solid.
Name the 3 three-dimensional shapes that form the solid.
R
Satu piramid, satu kuboid dan satu prisma
G 1 cm L Q
2 cm A pyramid, a cuboid and a prism
H K M
1 cm J
P
I

2 cm N E D
F 2 cm

1 cm

A 1 cm B 2 cm C

(c) Hitung luas, dalam cm2, tapak pepejal itu yang (d) Hitung isi padu, dalam cm3, pepejal itu.
menyentuh tanah mengufuk. Calculate the volume, in cm3, of the solid.

Calculate the area, in cm2, of the base of the solid that touches Isi padu / Volume
the horizontal ground.
= isi padu kuboid + isi padu piramid + isi padu prisma
Luas tapak / Base area volume of cuboid + volume of pyramid + volume of prism
=2×3
= 6 cm2 =1×2×2+ 1 ×1×1×1+ 1 × (2 + 1) × 2 × 2
3 2
1
=4+ 3 +6

= 10 1 cm3
3

129 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik  Tingkatan 3  Bab 7 TP6  

15. Lakukan aktiviti yang berikut. SP 7.2.3

Carry out the following activity.

Jalan Galeri



(a) Lakukan kerja dalam kumpulan.

Work in groups.

(b) Susun objek yang berlainan bentuk dan saiz untuk membentuk gabungan pepejal seperti contoh

berikut.

Arrange some objects with different shapes and sizes to form the composite solids as the following examples.



(c) Lukis dengan skala penuh, pelan, dongakan depan dan dongakan sisi gabungan pepejal itu.

Draw to full scale, the plan, the front elevation and the side elevation of the composite solid.

(d) Tampalkan hasil di dinding supaya kumpulan lain boleh melihat dan memberi komen.

Post their works on the wall so that other groups can look at it and give comment.

1 6. Lakukan projek STEM di bawah.  SP 7.2.3 TP6  

Carry out the STEM project below. Project-Based Learning

  Projek

Objektif aktiviti: Menterjemahkan idea melalui pelan dan dongakan dan seterusnya menghasilkan
rekaan.
Activity objective:
Interpret the idea through plans and elevations and then produce the design.

Pernyataan masalah: Bagaimanakah anda mereka bentuk struktur sebuah bangunan?
Problem statement: How do you create the design of a building?

Pencarian fakta: Mencari kaedah untuk menghasilkan rekaan bangunan.

Fact finding: Find out a method to produce the design of building.

Konsep yang Pelan dan dongakan
diaplikasikan:
Plans and elevations
Concepts applied:

Pelan tindakan / Action plan:
(a) Guna perisian untuk melukis pelan dan dongakan bagi sebuah bangunan. Berdasarkan pelan dan

dongakan yang dilukis, bina model bangunan itu menggunakan bahan seperti kadbod, surat khabar,
tanah liat, Styrofoam yang terpakai atau bahan kitar semula yang lain.

Use a software to draw the plans and elevations for a building. Based on the plans and elevations drawn, build a model of the building
using materials such as cardboard, newspaper, clay, used Styrofoam or other recyclable materials.

(b) Pertimbangkan faktor lain semasa mereka bentuk bangunan. Misalnya, kestabilan dalam pembinaan
struktur bangunan, dimensi bangunan dan anggaran kos pembinaannya.

Consider other factors when designing the building. For example, structural stability of building, dimension of building and estimation
of construction cost.

Penyelesaian: Menghasilkan rekaan bangunan melalui pelan dan dongakan.

Solution: Produce the design of building through plans and elevations.

Pembentangan: Membuat persembahan kertas kerja anda menggunakan Microsoft PowerPoint.

Presentation: Present your worksheet using Microsoft PowerPoint.

Kriteria Kejayaan: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Saya berjaya
• Melukis pelan dan dongakan suatu objek mengikut skala.
• Mensintesis pelan dan dongakan suatu objek dan melakar objek tersebut.
• Menyelesaikan masalah yang melibatkan pelan dan dongakan

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 130

POWER PT3Matematik  Tingkatan 3  Bab 7

Pentaksiran Sumatif

Bahagian A 3.

1.

Antara rajah berikut, yang manakah menunjukkan Antara berikut, yang manakah bentuk pepejal
yang mungkin bagi unjuran ortogon pada satah
unjuran ortogon yang betul bagi kon tegak di mengufuk yang ditunjukkan di atas?

atas pada satah mencancang yang diberikan? Which of the following is the possible solid for the above
orthogonal projection onto a horizontal plane?
Which of the following is the correct orthogonal projection of
the above right cone onto the given vertical plane? A

A C

B
B D


2. C
A

B 3 cm C
D
Rajah di atas menunjukkan unjuran ortogon bagi
sebuah prisma pada satah mencancang. Isi padu
dan tinggi prisma itu masing-masing ialah 72 cm3
dan 12 cm. Cari panjang, dalam cm, AB.

The diagram above shows the orthogonal projection of a prism
onto a vertical plane. The volume and the height of the prism
are 72  cm3 and 12 cm respectively. Find the length, in cm,
of AB.

A 5
B 4
C 3
D 2

131 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik  Tingkatan 3  Bab 7 Bahagian B

4. B 6. Rajah di ruang jawapan menunjukkan objek dan
unjuran ortogon objek itu sebagaimana dilihat
A dari arah X.

C Tandakan (3) bagi unjuran ortogon yang betul
dan (7) bagi yang salah.
D
The diagram in the answer space shows the object and its
Rajah di atas menunjukkan sebuah pepejal. orthogonal projection as viewed from X.
Antara unjuran ortogon berikut yang dipandang Mark (3) for the correct orthogonal projections and (7) for the
incorrect ones.

[4 markah / 4 marks]
Jawapan/ Answer:

dari A, B, C dan D, yang manakah adalah benar? Objek Unjuran ortogon
The diagram above shows a solid. Which of the following
orthogonal projections as viewed from A, B, C and D is true? Object Orthogonal projection

A C (a) X


B D

3

(b) X
5.

Rajah di atas menunjukkan gabungan pepejal (c) 7
yang terdiri daripada sebuah piramid dan sebuah (d) 3
kubus. Antara yang berikut, yang manakah X 7

menunjukkan pelan gabungan pepejal itu?
The diagram above shows a composite solid consisting of a
pyramid and a cube. Which of the following shows the plan of
the composite solid?

A C

X
B D


132
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

7. (a) Padankan setiap pepejal dengan dongakan Matematik  Tingkatan 3  Bab 7
sisi yang betul.
(a) Rajah di bawah menunjukkan sebuah
Match each solid with its correct side elevation. bentuk gabungan yang terdiri daripada
sebuah kubus dan sebuah piramid.
••
The diagram below shows a composite shape consists of
a cube and a pyramid.

T

P S

5 cm

•• QR

NM

•• K 2 cm L

[3 markah / 3 marks] X

(b) Bulatkan jawapan yang betul. (i) Lukis dengan skala penuh, dongakan
Circle the correct answer. bentuk gabungan itu pada satah
[1 markah / 1 mark] mencancang yang selari dengan KL
Jawapan/ Answer: sebagaimana dilihat dari X.
Pelan ialah unjuran ortogon pada satah
mengufuk sebagaimana dilihat dari Draw to full scale, the elevation of the composite
pandangan (  atas / sisi / depan  ) suatu objek. shape on a vertical plance parallel to KL as viewed
Plan is the orthogonal projection onto the horizontal from X.
plane as viewed from the (  top / side / front  ) of an object.
[3 markah / 3 marks]
Bahagian C
(ii) Berdasarkan (i), adakah panjang QT
8. (a) yang dilukis sama dengan panjang QT
pada piramid itu?

Based on (i), is the length of QT drawn same as the
length of QT on the pyramid?

[1 markah / 1 mark]
Jawapan/ Answer:

(i) T

Pelan Dongakan depan Dongakan sisi 3 cm
Plan Front elevation Side elevation
Q/P R/S
Rajah di atas menunjukkan pelan, dongakan 2 cm
depan dan dongakan sisi sebuah objek.
Pada ruang jawapan, lakar objek itu dengan K/N 2 cm L/M
melengkapkan rajah yang diberikan. (ii) Tidak/ No

The diagram above shows the plan, front elevation and
side elevation of an object. In the answer space, sketch
the object by completing the given diagram.

[3 markah / 3 marks]
Jawapan/ Answer:

Dongakan depan
Front elevation

133 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik  Tingkatan 3  Bab 7 Jawapan/ Answer: L
K /M /N
(c) Rajah di bawah menunjukkan kombinasi tiga E
pepejal; satu kubus, satu separuh silinder 2 cm
dan satu prisma tegak dengan keratan D /F /G
rentas seragam BCDE.
4 cm
The diagram below shows a combination of three solids;
a cube, a half cylinder and a right prism with a uniform
cross-section BCDE.

L

N MK
E

G F 4 cm
4 cm H
6 cm D
A IJ

4 cm Y

4 cm B 2cm C

Lukis dengan skala penuh, dongakan C /B /A 4 cm J /I /H
pepejal itu pada satah mencancang yang
selari dengan CJ sebagaimana dilihat dari Y.

Draw to full scale, the elevation of the solid onto a vertical
plane parallel to CJ as seen from Y.

[3 markah / 3 marks]

POWER KBAT

1. Rajah di sebelah menunjukkan tiga silinder yang serupa bersentuhan
antara satu sama lain dengan dua silinder itu disusun pada permukaan
mengufuk. Setiap silinder itu mempunyai diameter 30 cm dan panjang
80 cm. Dengan menggunakan skala 1 : 10, lukis  KBAT Menganalisis
The diagram shows three identical cylinders touching each other where two cylinders are
arranged on a horizontal surface. Each cylinder has a diameter of 30 cm and a length of 80 cm.
56 cm

Using a scale of 1 : 10, draw Y

(i) pelan bagi tiga silinder itu,
the plan of the three cylinders,
X
(ii) dongakan depan bagi tiga silinder itu sebagaimana dilihat dari X,
the front elevation of the three cylinders as viewed from X,

(iii) dongakan sisi bagi tiga silinder itu sebagaimana dilihat dari Y.
the side elevation of the three cylinders as viewed from Y.

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 134

Matematik  Tingkatan 3  Bab 7

(i) Tip KBAT

(i)

80 cm

8 cm

15 cm
(ii) 15 cm
15 cm
15 cm

1.5 cm 1.5 cm 1.5 cm 1.5 cm 30 cm

56 cm

(ii) 3 cm

30 cm 30 cm

(iii)

5.6 cm

26 cm
4 cm

26 cm

3cm 3cm

(iii)

2.6 cm

0.4 cm

2.6 cm

8 cm

Kuiz 7

Praktis TIMSS/PISA

135 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik  Tingkatan 3  Bab 8 Lokus dalam Dua Dimensi

8BAB Loci in Two Dimensions

PBD 8.1 Lokus Buku Teks ms. 200 – 203

Loci

1. Padankan setiap yang berikut. Seterusnya, lengkapkan ayat yang diberikan.  

Match each of the following. Hence, complete the given sentence. SP 8.1.1 TP1

Situasi Kedudukan atau lokus titik M

Situation Position or locus of point M

PToitiinkt M
M

• •
Bilah-bilah kipas angin sedang berpusing

Fan blades are spinning

TPoitiinkt M
M

Sebuah kereta sedang dipandu turun • •
cerun bukit •

A car is being driven down the hill slope

Titik M
Point M

Seorang budak sedang berjalan menuju •
ke pokok renek

A boy is walking towards a shrub

PToitiinkt M
M

Kulit pisang dibuang dari atas pokok • •
• •
Banana skin thrown from a tree

Titik M
Point M

Dua orang budak sedang bermain
jongkang-jongket

Two children are playing see-saw

(a) Lokus ialah satu surihan atau lintasan oleh satu set titik dalam satu satah atau ruang tiga
dimensi yang memenuhi syarat-syarat tertentu.

Locus is a trail or trajectory by a set of points in a single plane or three-dimensional space that satisfies certain

conditions .

(b) Bentuk lokus dua dimensi boleh dilihat dalam bentuk garis lurus , lengkok dan
lengkung .

The shape of two-dimensional locus can be seen in the form of straight line , arc and curve .

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 136

Matematik  Tingkatan 3  Bab 8

2. Nyata dan lakarkan lokus bagi titik N pada setiap objek dalam setiap rajah berikut. SP 8.1.1 TP2

State and sketch the locus of point N on the object in each of the following diagrams .

(a) Seorang budak yang sedang N (b) Kuda pusing yang sedang
menaiki eskalator ke tingkat bergerak
atas
A revolving merry-go-round
A boy who is taking an escalator
to a higher floor Bulatan N

A circle

Garis lurus yang selari dengan eskalator

A straight line that is parallel to the escalator

(c) Gandar bagi satu roda yang Gandar (d) Bandul yang sedang berayun
sedang berpusing di jalan Axle dalam suatu eksperimen
raya
N The swinging pendulum in an
The axle of a turning wheel on the experiment
road N
Lengkok
Garis lurus yang selari dengan jalan raya
An arc
A straight line that is parallel to the road

3. Lakarkan lokus tiga dimensi apabila bentuk dua dimensi berikut diputarkan 360° mengelilingi tiang PQ.  

Sketch the three-dimensional loci when the following two-dimensional shapes rotate 360° around the poles PQ. SP 8.1.1 TP3

(a)

P PP P

Q Q Q Q

(b) (c) P

P PP

Q Q Q Q

137 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik  Tingkatan 3  Bab 8 TP5  

4. Lakukan aktiviti yang berikut. SP 8.1.1

Carry out the following activity.

Kerusi Panas


(a) Lakukan kerja dalam kumpulan.

Work in groups.

(b) Sediakan objek berbentuk sfera dan silinder seperti bola, bateri dan lain-lain.

Prepare spherical and cylindrical objects such as ball, battery and the others.

(c) Gerakkan hujung jari anda pada permukaan melengkung objek yang disediakan. Anggapkan hujung
jari sebagai satu titik, teroka lokus titik tersebut.

Move your fingertip on the curved surfaces of the prepared objects. Assume the fingertip as a point, explore the locus of the point.

(d) Persembahkan dapatan dalam pelbagai bentuk persembahan.

Present your finding in various forms.

Kriteria Kejayaan: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Saya berjaya
• Mengenal lokus dalam situasi kehidupan sebenar dan seterusnya menerangkan maksud lokus.

PBD 8.2 Lokus dalam Dua Dimensi Buku Teks ms. 204 – 217

Loci in Two Dimensions A

5. Lukis dan nyatakan lokus berikut. SP 8.2.1 TP2

Draw and state the following loci.

(a) Lokus bagi titik yang berjarak 3 unit dari satu titik tetap, A.

Locus of points that are 3 units from a fixed point, A.

Lokus: Bulatan berpusat A

Locus: A circle with centre A

(b) Lokus bagi titik yang berjarak sama dari dua titik, B dan C. BC

Locus of points that are equidistant from two points, B and C.

Lokus: Satu pembahagi dua sama serenjang bagi garis BC

Locus: A perpendicular bisector of the line BC

(c) Lokus bagi titik yang berjarak 4 unit dari satu garis lurus, EF. E
F
Locus of points that are 4 units from a line, EF.

Lokus: Dua garis lurus yang selari dengan EF

Locus: Two straight lines which are parallel to EF

(d) Lokus bagi titik yang berjarak sama dari dua garis selari, KL dan MN. K L
M N
Locus of points that are equidistant from two parallel lines, KL and MN.

Lokus: Satu garis lurus yang berada di tengah-tengah KL dan MN

Locus: A straight line that is in the middle of KL and MN

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 138

(e) Lokus bagi titik yang berjarak sama dari dua garis bersilang, PQ dan RS. Matematik  Tingkatan 3  Bab 8
PR
Locus of points that are equidistant from two intersecting lines, PQ and RS.
SQ
Lokus: Pembahagi dua sama sudut antara PQ dan RS

Locus: Angle bisectors between PQ and RS

6. Lengkapkan ayat berikut.   SP 8.2.1 TP2

Complete the following sentences.

(a) Lokus bagi titik yang berjarak tetap dari satu titik tetap ialah bulatan dengan keadaan titik

tetap itu ialah pusat dan jarak tetap itu ialah jejari .

The locus of points with a constant distance from a fixed point is a circle where the fixed point is the

centre and the constant distance is the radius .

(b) Lokus bagi titik yang berjarak sama dari dua titik tetap ialah pembahagi dua sama serenjang

bagi garis lurus yang menyambungkan dua titik tetap itu.

The locus of points that are equidistant from two fixed points is a perpendicular bisector of the straight line connecting

the two fixed points.

(c) Lokus bagi titik yang berjarak tetap dari satu garis lurus ialah sepasang garis lurus yang

selari dengan garis lurus itu.

The locus of points with a constant distance from a straight line is a pair of straight lines that are parallel
to the straight line.

(d) Lokus bagi titik yang berjarak sama dari dua garis lurus selari ialah satu garis lurus yang

selari dan melalui titik tengah bagi kedua-dua garis lurus itu.

The locus of points that are equidistant from two parallel straight lines is a straight line that is parallel and

passing through the midpoint of the two straight lines.

(e) Lokus bagi titik yang berjarak sama dari dua garis lurus bersilang ialah pembahagi dua sama sudut

antara dua garis lurus itu.

The locus of points that are equidistant from two intersecting straight lines is the angle bisectors between both the straight
lines.

7. Dengan menggunakan jangka lukis dan pembaris sahaja, bina lokus bagi titik X dalam setiap rajah yang
berikut. SP 8.2.1 TP3

By using a pair of compasses and a ruler only, construct the locus of point X in each of the following diagrams.

(i) X berjarak 1 cm dari titik O Tip Penting

X with a distance of 1 cm from point O Gunakan pensel yang tajam pada
jangka lukis anda dan semua garis
1 Lokus X 1 Tandakan titik O. pembinaan tidak perlu dipadam.
2O Locus of X Mark point O. Use sharp pencil on your compasses and
3 2 Ukur 1 cm untuk bukaan jangka lukis. do not erase off the arcs of constructions.
1 cm Measure 1 cm on the compasses.
3 Bina bulatan yang berpusat pada titik O.
Construct a circle with centre O.  

(ii) X berjarak sama dari titik A dan titik B

X is equidistant from point A and point B

A 12 1 Tandakan dua lengkok kecil menggunakan jangka lukis dengan bukaan lebih separuh
Lokus X daripada panjang AB dari titik A.
Locus of X
B Mark two small arcs using compasses, with a distance more than half the length of AB, from point A.
2 Dengan bukaan jangka lukis yang sama, tanda persilangan lengkok dari titik B.
3 With the same distance on the compasses, mark intersecting arcs from point B.
3 Sambungkan kedua-dua titik persilangan dengan garis lurus.
12 Connect both the points of intersection with straight line.

139 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik  Tingkatan 3  Bab 8 (b) X berjarak 2.5 cm dari titik L

(a) X berjarak 3 cm dari titik K X with a distance of 2.5 cm from point L

X with a distance of 3 cm from point K LLoockuussoXf X

Lokus X
Locus of X

L

K 2.5 cm

3 cm

(c) X bergerak dalam segi empat tepat KLMN (d) X berjarak 2 cm dari titik R
dengan keadaan XK = KN X with a distance of 2 cm from point R

X moves in rectangle KLMN such that XK = KN

PQ LLoockuussoXf X

KL

N S R
LLoockuussoXf X M 2 cm

(e) X berjarak sama dari titik M dan titik N (f ) X berjarak sama dari bucu B dan bucu C

X is equidistant from point M and point N X is equidistant from vertex B and vertex C

M LLoockuussoXf X B
LLoockuussoXf X
N
CA
(g) X bergerak dengan keadaan XP = XQ
(h) X bergerak dalam segi empat selari PQRS dengan
X moves such that XP = XQ keadaan RX = QX

Lokus X X moves in parallelogram PQRS such that RX = QX
Locus of X
PQ SR
Lokus X
Locus of X

PQ

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 140

Matematik  Tingkatan 3  Bab 8

8. Dengan menggunakan jangka lukis dan pembaris sahaja, bina lokus bagi titik R dalam setiap rajah yang
berikut. SP 8.2.1 TP3

By using a pair of compasses and a ruler only, construct the locus of point R in each of the following diagrams.

(i) R berjarak 1 cm dari garis lurus PQ.

R with a distance of 1 cm from straight line PQ.

3 1 Tandakan satu titik R pada garis lurus PQ.
Mark a point R on straight line PQ.
Lokus R P 2 2 Bina pembahagi dua sama serenjang bagi PR dan RQ.
Locus of R Construct perpendicular bisector for PR and RQ respectively.
1 3 Dengan bukaan jangka lukis sebanyak 1 cm, tandakan lengkok pada
R 2
1 cm pembahagi dua sama serenjang dan sambungkan titik persilangan
3 dengan garis lurus.
Q With a distance of 1 cm on the compasses, mark the arcs on the perpendicular
1 cm bisectors and connect the points of intersection with straight lines.

(ii) R berjarak sama dari garis lurus AB dan CD. 1 Lukis persilangan lengkok dari A dan C.
Draw intersecting arcs from A and C.
R is equidistant from straight lines AB and CD. 2 Lukis persilangan lengkok dari B dan D.
Draw intersecting arcs from B and D.
1A 3 Sambungkan titik persilangan dengan garis lurus.
Connect the points of intersection with straight line.
C3
B Lokus R
Locus of R

D2

(iii) R berjarak sama dari garis lurus PQ dan XY. (iv) R berjarak sama dari garis lurus AB dan BC.

R is equidistant from straight lines PQ and XY. R is equidistant from straight lines AB and BC.

X A Lokus R Bina pembahagi
Q Lokus R Locus of R dua sama sudut
Locus of R
P Bina pembahagi bagi AB dan BC.
Y dua sama sudut Construct angle
bagi PQ dan XY. bisector between
Construct angle B C AB and BC.
bisectors between
PQ and XY.

(a) R berjarak 1.5 cm dari garis lurus KL. (b) R berjarak sama dari garis lurus KL dan MN.

R with a distance of 1.5 cm from straight line KL. R is equidistant from straight lines KL and MN.

M

Lokus R K 1.5 cm Lokus R
Locus of R L Locus of R

1.5 cm K

N

L

141 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik  Tingkatan 3  Bab 8

(c) R bergerak dalam sisi empat KLMN dengan (d) R bergerak dalam sisi empat KLMN dengan
keadaan sentiasa berjarak 2 cm dari garis KN. keadaan sentiasa berjarak sama dari dua garis
R moves in quadrilateral KLMN such that it is always 2 cm KN dan LM.
from line KN.
R moves in quadrilateral KLMN such that it is always
equidistant from lines KN and LM.

KL

LLoockuussoRf R
KL

2 cm

LLoockuussoRf R

NM
NM

(e) R berjarak sama dari garis lurus KL dan MN. (f ) R bergerak dengan keadaan ∠KLR = ∠MLR.

R is equidistant from straight lines KL and MN. R moves such that ∠KLR = ∠MLR.

Lokus R M
Locus of R
Lokus R
M Locus of R
K

L KL
N

(g) R bergerak dalam sisi empat KLMN dengan (h) R bergerak dalam sisi empat KLMN dengan
keadaan sentiasa berjarak sama dari garis KM keadaan sentiasa berjarak sama dari garis KL dan
dan LN. garis LM.
R moves in quadrilateral KLMN such that it is always R moves in quadrilateral KLMN such that it is always
equidistant from lines KM and LN. equidistant from line KL and line LM.

K LLoockuussoRf R L N

K

LLoockuussoRf R

L LLoockuussoRf R M

NM

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 142

9. Dengan merujuk kepada rajah di bawah, nyatakan lokus berikut.   SP 8.2.1 Matematik  Tingkatan 3  Bab 8
TP2
By referring the diagram below, state the following loci.

AI E KB Deskripsi Lokus

Description Locus

GH Lokus bagi titik yang berjarak 4 unit dari garis IJ. KL
DJ F L C
Locus of points that are 4 units from line IJ. EF
AC
(a) Lokus bagi titik yang berjarak sama dari garis AD dan garis BC. EF, GH

Locus of points that are equidistant from line AD and line BC.

(b) Lokus bagi titik yang berjarak sama dari bucu B dan bucu D.

Locus of points that are equidistant from vertex B and vertex D.

(c) Lokus bagi titik yang berjarak sama dari garis AC dan BD.

Locus of points that are equidistant from lines AC and BD.

10. Huraikan lokus bagi titik P dalam setiap rajah yang berikut.  SP 8.2.1 TP3

Describe the locus of points P in each the following diagrams.

A B (a) B
2 cm
A
Lokus P 1 cm LLoockuussoPf P
Locus of P

2 cm

D C D

Lokus P sentiasa berjarak 2 cm dari garis AD. C

Locus of P is always 2 cm from line AD.
Lokus P sentiasa berjarak 1 cm dari titik D.

Locus of P is always 1 cm from point D.

(b) A B (c) A B

LLoockuussoPf P Lokus P
Locus of P
DC
Lokus P sentiasa berjarak sama dari dua garis D C
bersilang, AD dan DC. (atau AB dan BC) (atau dua
titik, A dan C) Lokus P sentiasa berjarak sama dari dua garis selari,
AB dan DC.
Locus of P is always equidistant from two intersecting lines, AD
and DC. (or AB and BC) (or two points, A and C) Locus of P is always equidistant from two parallel lines, AB and DC.

(d) A (e) A LLoockuussoPf P B
LLoockuussoPf P
1.5 cm B
LLoockuussoPf P

D C D C

Lokus P sentiasa berjarak 1.5 cm dari garis AB. Lokus P sentiasa berjarak sama dari dua garis
bersilang, AC dan BD.
Locus of P is always 1.5 cm from line AB.
Locus of P is always equidistant from two intersecting lines,
AC and BD.

143 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Matematik  Tingkatan 3  Bab 8

1 1. Kenal pasti lokus berikut dengan pembinaan. SP 8.2.2 TP4

Determine the following loci by constructions.

(a) Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi (b) Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi
empat tepat PQRS yang dilukis pada grid segi empat sama ABCD yang dilukis pada grid segi
empat sama bersisi satu unit. M dan N ialah titik- empat sama bersisi satu unit. Bina lokus M
titik yang bergerak dalam segi empat tepat itu. supaya jaraknya sama dari garis AD dan garis
Bina lokus M supaya jaraknya dari bucu R adalah BC dan lokus N supaya jaraknya sama dari
sentiasa 4 unit dan lokus N supaya jaraknya garis AD dan garis DC. Seterusnya, tandakan
sentiasa 3 unit dari sisi PQ. Seterusnya, tandakan titik persilangan lokus M dan lokus N dengan
titik persilangan lokus M dan lokus N dengan simbol ⊗.
simbol ⊗. The diagram below shows a square ABCD drawn on the
one-unit square grid. Construct the locus of M so that it is
The diagram below shows a rectangle PQRS drawn on the equidistant from line AD and line BC and the locus of N so that
one-unit square grid. M and N are the points that move in the
rectangle. Construct the locus of M so that its distance from it is equidistant from line AD and line DC. Hence, mark the
intersection point of locus of M and locus of N with symbol ⊗.
vertex R is always 4 units and the locus of N so that its distance
is always 3 units from side PQ. Hence, mark the intersection
point of locus of M and locus of N with symbol ⊗.

P Q LLoockuussoMf M B
Lokus N Lokus M A
Locus of N Locus of M

LLoockuussoNf N C
D

SR

(c) Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga (d) Rajah di bawah menunjukkan sebuah pentagon
sama kaki JKL yang dilukis pada grid segi empat ABCDE yang dilukis pada grid segi empat sama
sama bersisi satu unit. Bina lokus M supaya bersisi satu unit. M dan N ialah titik-titik yang
jaraknya sentiasa 3 unit dari bucu K dan lokus N bergerak dalam pentagon itu. Bina lokus M
supaya jaraknya sama dari bucu K dan bucu L. supaya jaraknya sentiasa 2 unit dari garis ED dan
Seterusnya, tandakan titik persilangan lokus M lokus N supaya jaraknya sama dari bucu A dan
dan lokus N dengan simbol ⊗. bucu C. Seterusnya, tandakan titik persilangan
The diagram below shows an isosceles triangle JKL drawn lokus M dan lokus N dengan simbol ⊗.
on the one-unit square grid. Construct the locus of M so that The diagram below shows a pentagon ABCDE drawn on the
its distance is always 3 units from vertex K and the locus of one-unit square grid. M and N are the points that move in
N so that it is equidistant from vertex K and vertex L. Hence,
mark the intersection points of locus of M and locus of N with the pentagon. Construct the locus of M so that its distance
is always 2 units from line ED and the locus of N so that it is
symbol ⊗. equidistant from vertex A and vertex C. Hence, mark the

intersection point of locus of M and locus of N with symbol ⊗.

Lokus N B LLoockuussoNf N
J Locus of N

LLoockuussoMf M

AC

KL LLoockuussoMf M
ED

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 144

(e) Rajah di sebelah menunjukkan sebuah heksagon Matematik  Tingkatan 3  Bab 8
sekata PQRSTU. Bina lokus L supaya jaraknya
sentiasa 2 cm dari bucu S, lokus M supaya LLoockuussoNf N
jaraknya sama dari sisi PQ dan sisi TS dan lokus PQ
N supaya jaraknya sama dari bucu R dan bucu
T. Seterusnya, tandakan titik persilangan lokus L, U R
lokus M dan lokus N dengan simbol ⊗. T
LLoockuussoMf M
The diagram shows a regular hexagon PQRSTU. Construct the
locus of L so that its distance is always 2 cm from vertex S, the S
locus of M so that it is equidistant from side PQ and side TS
and the locus of N so that it is equidistant from vertex R and
vertex T. Hence, mark the intersection point of locus of L, locus
of M and locus of N with symbol ⊗.

2 cm

LLoockuussoLf L

12. Selesaikan masalah berikut yang melibatkan lokus.   SP 8.2.3 TP5

Solve the following problems involving locus.

(a) Rajah di bawah menunjukkan pelan sebuah (b) Sheila sedang menyediakan sebuah kraf tangan
kandang kambing berbentuk segi empat tepat, yang berbentuk heksagon sekata, ABCDEF,
PQRS, berukuran panjang 5 m dan lebar 4 m, seperti yang ditunjukkan dalam rajah berikut.
dilukis pada grid segi empat sama dengan 1 Dia hendak melekatkan seutas reben merah
unit mewakili 1 m. Seekor kambing diikat merentasi kraf tangan itu supaya berjarak sama
pada sebatang tiang di penjuru Q dengan tali dari sisi-sisi DE dan EF. Kemudian, manik-manik
sepanjang 3 m. Lorekkan rantau yang boleh kecil akan dilekatkan pada kraf tangan itu supaya
dicapai oleh kambing itu.   KBAT Menganalisis jaraknya dari bucu E sentiasa sama dengan ED.
Pada titik persilangan di antara reben merah dan
The diagram below shows the plan of a rectangular goat manik-manik kecil, Sheila akan menggunakan
shed, PQRS, measuring 5 m by 4 m, drawn on a square grid, manik-manik besar untuk membentuk satu
with 1 unit representing 1 m. A goat is tied to a pole at the bunga. Tentukan kedudukan bunga tersebut. 
corner Q with a rope of 3 m long. Shade the area where the
goat can reach. KBAT Mengaplikasi

P 4m Q Sheila is preparing a regular hexagon-shaped handicraft,
ABCDEF, as shown in the diagram. She wants to attach a strip
of red ribbon across the handicraft so that it is equidistant
from the sides DE and EF. Then, some small beads will be
5 m attached on the handicraft so that its distance from vertex E is
always equivalent to ED. At the intersection point between the
red ribbon and the small beads, Sheila will use some big beads
to form a flower. Determine the position of the flower.
SR

AB

Tip Penting F KPoesdituiodnuokfathnebfulonwgear
E C
Satu set titik boleh terletak di dalam
suatu rantau selain daripada pada D
garis atau lengkok.
A set of points can lie inside a region besides
on a line or an arc.

145 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.