matematicas 5

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Matemáticas 5

Ecuaciones
diferenciales



Matemáticas 5

Ecuaciones
diferenciales

Joel Ibarra Escutia

Instituto Tecnológico de Toluca

Revisión técnica

Tomás Narciso Ocampo Paz
Instituto Tecnológico de Toluca

Santiago Millán Solares
Instituto Tecnológico de Toluca

MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • MADRID • NUEVA YORK
SAN JUAN • SANTIAGO • SAO PAULO • AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL
NUEVA DELHI • SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS • SIDNEY • TORONTO

Director Higher Education: Miguel Ángel Toledo
Editor sponsor: Pablo E. Roig
Coordinadora editorial: Marcela I. Rocha
Editora de desarrollo: Ana Laura Delgado
Supervisor de producción: Zeferino García

Asesor técnico de enfoque por competencias: Luis Miguel Trejo

MATEMÁTICAS 5. ECUACIONES DIFERENCIALES

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,
por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS © 2013 respecto a la primera edición por
McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.

Edificio Punta Santa Fe
Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre A
Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe,
Delegación Álvaro Obregón
C.P. 01376, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736

ISBN: 978-607-15-0962-8

1234567890 2456789013
Impreso en México Printed in Mexico

Para Palo y Crispa

Para la mujer más importante de mi vida,
por haber utilizado coordenadas polares

para tatuar en mi alma la gráfica de la función
f (x) = 1 − sen x desde que fuimos niños.
Gracias por haber aceptado compartir
el resto de tu vida conmigo.



Contenido

Prefacio............................................................................................................................ xi
Prólogo............................................................................................................................. xiv
Agradecimientos ............................................................................................................. xvii
Evaluación diagnóstica ................................................................................................... xviii

Unidad 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden ................................... 1

1.1 Introducción ............................................................................................................... 2
Definiciones generales................................................................................................. 2
Tipo de una ecuación diferencial................................................................................. 3
Orden de una ecuación diferencial .............................................................................. 5
Linealidad de una ecuación diferencial ordinaria........................................................ 5
Grado de una ecuación diferencial.............................................................................. 6
Solución de una ecuación diferencial .......................................................................... 7
Problema del valor inicial y el teorema de existencia y unicidad................................. 14
Desarrollo de competencias ................................................................................... 17
Competencia final ................................................................................................. 19

1.2 Ecuaciones diferenciales separables....................................................................... 19
Ecuaciones que se reducen a ecuaciones separables .................................................... 26
Caso 1 ......................................................................................................................... 28
Caso 2 ......................................................................................................................... 28
Caso 3 ......................................................................................................................... 28
Caso 4 ......................................................................................................................... 28
Desarrollo de competencias ................................................................................... 29
Competencia final ................................................................................................. 31

1.3 Ecuaciones diferenciales homogéneas .................................................................... 31
Desarrollo de competencias.......................................................................................... 39
Competencia final ........................................................................................................ 41

1.4 Ecuaciones diferenciales exactas ............................................................................ 41
Caso especial 1 ............................................................................................................ 50
Caso especial 2 ............................................................................................................ 50
Desarrollo de competencias ................................................................................... 54
Competencia final ................................................................................................. 56

1.5 Ecuaciones diferenciales lineales............................................................................ 56
Caso 1 ......................................................................................................................... 63
Caso 2 ......................................................................................................................... 63
Desarrollo de competencias ................................................................................... 64
Competencia final ................................................................................................. 66

1.6 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli..................................................................... 66
Caso 1 ......................................................................................................................... 66
Caso 2 ......................................................................................................................... 67
Desarrollo de competencias ................................................................................... 72
Competencia final ................................................................................................. 73

VIII CONTENIDO

Unidad 2 Ecuaciones diferenciales de orden superior................................ 75

2.1 Introducción ............................................................................................................... 76

2.2 Teoría preliminar........................................................................................................ 76

Definición de ecuación diferencial lineal de orden n ................................................... 76
Problema de valor inicial y problema de valores en la frontera .................................. 77
Teorema de existencia y unicidad de la solución de un problema de valor inicial....... 80
Dependencia lineal e independencia lineal .................................................................. 81
El wronskiano............................................................................................................. 83
El principio de superposición...................................................................................... 86
Caso 1 ......................................................................................................................... 86
Caso 2 ......................................................................................................................... 86
Conjunto fundamental de soluciones .......................................................................... 87
Solución general de la ecuación diferencial lineal homogénea .................................... 88
Reducción de orden .................................................................................................... 89
94
Desarrollo de competencias ................................................................................... 96
Competencia final .................................................................................................

2.3 Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes............................. 96

La ecuación característica de una EDL con coeficientes constantes ........................... 97
Caso 1 ......................................................................................................................... 98
Caso 2 ......................................................................................................................... 98
Caso 3 ......................................................................................................................... 99
Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior con coeficientes constantes ........ 103
Caso 1 ......................................................................................................................... 104
Caso 2 ......................................................................................................................... 104
Caso 3 ......................................................................................................................... 104
Caso 4 ......................................................................................................................... 104

Desarrollo de competencias ................................................................................... 106
Competencia final ................................................................................................. 107

2.4 Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas ................................................. 108

La solución de una ecuación diferencial lineal no homogénea.................................... 108
El método de los coeficientes indeterminados (principio de superposición)................ 109

Desarrollo de competencias ................................................................................... 117
Competencia final ................................................................................................. 118

2.5 Método de variación de parámetros ......................................................................... 119

Desarrollo de competencias.......................................................................................... 129
Competencia final ........................................................................................................ 130

Unidad 3 La transformada de Laplace............................................................... 133

3.1 Introducción ............................................................................................................... 134

3.2 Teoría preliminar........................................................................................................ 134
Definición de la transformada de Laplace .................................................................. 135
Condiciones suficientes de existencia para la transformada de Laplace...................... 139
Desarrollo de competencias ................................................................................... 144
Competencia final ................................................................................................. 145

CONTENIDO IX

3.3 La transformada de Laplace directa.......................................................................... 145
Desarrollo de competencias.......................................................................................... 147
Competencia final ........................................................................................................ 148

3.4 La transformada inversa de Laplace ......................................................................... 148
Desarrollo de competencias.......................................................................................... 153
Competencia final ........................................................................................................ 154

3.5 Teoremas de traslación.............................................................................................. 155
Primer teorema de traslación ...................................................................................... 155
Segundo teorema de traslación ................................................................................... 160
Desarrollo de competencias ................................................................................... 167
Competencia final ................................................................................................. 169

3.6 Derivada de una transformada, transformada de una función periódica
y convolución ............................................................................................................. 169
Derivada de una transformada ................................................................................... 170
Transformada de una función periódica ..................................................................... 173
La convolución .......................................................................................................... 178
Desarrollo de competencias ................................................................................... 182
Competencia final ................................................................................................. 183

3.7 Solución de ecuaciones diferenciales e integrales ................................................. 184
Transformada de una derivada ................................................................................... 184
Solución de ecuaciones diferenciales ........................................................................... 186
Solución de ecuaciones integrales................................................................................ 192
Desarrollo de competencias ................................................................................... 194
Competencia final ................................................................................................. 196

3.8 La función delta de Dirac........................................................................................... 196
Desarrollo de competencias.......................................................................................... 199
Competencia final ........................................................................................................ 200

Unidad 4 Introducción a los sistemas de ecuaciones diferenciales....... 201

4.1 Introducción ............................................................................................................... 202

4.2 Solución algebraica de un sistema de ecuaciones diferenciales ........................... 202
Desarrollo de competencias.......................................................................................... 208
Competencia final ........................................................................................................ 210

4.3 Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales utilizando
la transformada de Laplace ....................................................................................... 211
Desarrollo de competencias.......................................................................................... 215
Competencia final ........................................................................................................ 216

Unidad 5 Introducción al análisis de Fourier.................................................. 217

5.1 Teoría preliminar........................................................................................................ 218
Funciones periódicas .................................................................................................. 219

X CONTENIDO

Funciones pares e impares .......................................................................................... 219
Funciones ortogonales ................................................................................................ 221

Desarrollo de competencias ................................................................................... 225
Competencia final ................................................................................................. 226

5.2 Series de Fourier........................................................................................................ 226
La serie de Fourier...................................................................................................... 227
Condiciones de convergencia de una serie de Fourier................................................. 229
Desarrollo de competencias ................................................................................... 238
Competencia final ................................................................................................. 240

5.3 Series de Fourier en cosenos, senos y de medio intervalo ...................................... 240
Desarrollos en serie de Fourier de funciones pares e impares ..................................... 240
Desarrollos en series de Fourier en cosenos y en senos para funciones definidas
en un intervalo [0, L] ............................................................................................... 243
Desarrollo de series de Fourier para funciones definidas en medio rango. ................. 248
Desarrollo de competencias ................................................................................... 256
Competencia final ................................................................................................. 257

5.4 La serie compleja de Fourier ..................................................................................... 257
Desarrollo de competencias.......................................................................................... 260
Competencia final ........................................................................................................ 261

Soluciones a problemas impares ............................................................................ 263

Índice analítico ..................................................................................................... 277

Prefacio

Para el instructor

Filosofía

El interés de McGraw-Hill por proporcionar herramientas de calidad para el desarrollo acadé-

mico se manifiesta en esta obra que, más allá de formar un compendio de conceptos teóricos,

teoremas y ejercicios, intenta ser un vínculo entre el estudio de las ecuaciones diferenciales y

los principales protagonistas del proceso de enseñanza-aprendizaje: los estudiantes. El enfoque

utilizado a pesar de ser formal no deja de ser accesible.

Evaluación diagnóstica

Características de esta obra

Cálculo diferencial

El material proporcionado en esta obra, complementa la exitosa serie 1. Enunciar la definición de límite de una función.
de matemáticas ofrecida por McGraw-Hill para las carreras de cien-
cias e ingeniería. 2. Enunciar la definición de derivada.

Comienza con una evaluación escrita para diagnosticar el nivel En los problemas 3 a 7, calcular la derivada de las funciones dadas.
de conocimientos de los estudiantes antes de iniciar el curso de ecua-
ciones diferenciales; esta prueba aborda temas de cálculo diferencial, ( ) ( )3. f (x) = x3 + 2x2 + 3x 3 x2 − 3x + 1 2
cálculo integral, cálculo vectorial y álgebra lineal, integrados en 45
problemas fundamentales de las materias mencionadas. Lejos de una f (x) = x3 + 2x2 + 3x
calificación numérica, esta prueba tiene la intención de hacer ver a x2 − 3x +1 2
cada estudiante los temas que deberá reforzar antes de adentrarse en ( )4.
el estudio de la materia.
5. f (x) = ¢xx32 + x2 + 2 ≤ 1
Una característica de este libro es que la numeración de los teo- − 2
remas, definiciones, observaciones y ejercicios resueltos se reinicia en
cada sección. De manera que para hacer una referencia a alguno de 3x + 1
estos, se menciona el número que le corresponde y la sección donde se
encuentra, por ejemplo: se puede referir al teorema 3 de la sección 4.2. 6. g(x) = (x + 2)x2 −2x+1
De la misma forma, la numeración de las figuras se reinicia en cada
sección, por ejemplo, para hacer referencia a la figura 3 de la sección 7. f (x) = cos3x (1+ tan x)(x2 + 3x − 1)
2, se escribe figura 2.3.
En los problemas 8 y 9, evaluar la derivada implícita de las funciones dadas.
Sobresale también la cantidad de ejercicios incluidos en la sección 8. 4x3 y2 − 5x2 y3 + 2x2 y2 = x2 y − 3xy2 − 3xy + 2x − 5y + 1
“Desarrollo de competencias” que aparece al final de cada tema, hasta 9. tan xy + 3xexy2 = x ln y − y − ln x
70 problemas en algunos casos. Además de lo anterior, se proporciona 10. Graficar la función f (x) = x3 − 6x2 + 11x − 6
una lista de problemas llamada “Competencia final”, a fin de que, al
ser resueltos por el alumno, el docente pueda detectar cuáles compe- 11. Determinar el área del mayor cuadrilátero que se puede inscribir en un círculo de radio r.
tencias se desarrollaron a lo largo del periodo de estudio.
Segundo teorema de traslación (2o. TT) Teorema 2
Los problemas son variables en nivel de dificultad, desde los muy
simples hasta algunos que requerirán el uso de alguna tecnología de Si L { f (t)} = F (s) y a > 0, entonces L { f (t − a)U }(t − a) = e−asL { f (t)} = e−asF (s) . Comunicarse en el
información y comunicación (TIC) para su solución, generalmente se lenguaje matemático en
requiere el apoyo de un sistema algebraico computarizado (SAC). Demostración forma escrita.
Lograr un pensamiento
Otra característica sobresaliente de Matemáticas 5, Ecuaciones Por definición, tenemos lógico, analítico y
diferenciales es que aborda un primer estudio de las ecuaciones dife- sintético.
renciales de manera accesible. De esta forma, el estudio de las ecua- ∞ Argumentar con 01/03/13 14:26
contundencia y precisión.
∫L { f (t − a)U (t − a)} = f (t − a)U (t − a)e−st dt
0 01/03/13 17:38

Separamos en dos integrales a partir del punto t = a

a∞

∫ ∫L { f (t − a)U (t − a)} = f (t − a)U (t − a)e−st dt + f (t − a)U (t − a)e−st dt
0a

Sustituimos el valor de la función escalón unitario en cada intervalo

a∞

∫ ∫L { f (t − a)U (t − a)} = f (t − a)(0)e−stdt + f (t − a)(1)e−st dt
0a

Ahora, evaluamos la integral

Preliminares.indd XVII ∞

∫L { f (t − a)U (t − a)} = f (t − a)e−stdt
a

Si elegimos el cambio de variable z = t − a, dz = dt, tenemos

∞

{ } ∫L f (t − a)U (t − a) = f (z)e−s(z+a)dt
0

De manera equivalente,

∞

∫{ }L f (t − a)U (t − a) = e−as f (z)e−szdt
0

Finalmente,

L { f (t − a)U }(t − a) = e−asL { f (t)} = e−asF (s)

4.2 Desarrollo de competencias

Unidad 3 (155-169).indd 163 8. x′ − x − 3y = 0
− 3x + y′ − y = 0
Capacidad para generar nuevas ideas.
Resolver problemas. 9. dx = − y + et
dt
En los ejercicios 1 a 41, resolver los sistemas de ecuacio- dy = x
nes diferenciales dados, ya sea mediante una eliminación dt
sistemática o bien por determinantes (regla de Cramer).
10. x′ + 2x + 2y = 0
1. dx = y 5x + y′ − y = 0
dt
dy = 4x
dt

2. dx = x − y
dt
11. dx = −3y + t
dy = −x + 2y dt
dt dy = −3x − t
dt
dx = x − y + t
3. dt

dy = −x + y 12. dx + 2x − 5y = 0
dt dt

4. dx − x − 4y =1 − 5x + dy + 2y = 0
dt dt

− 2x + dy − 3y = −1 13. x′ + 6x − 2y = 0
dt 6x + y′ − 2y = 0

5. x′ = −4x − 10y 14. x′ = 10x − 5y − t
y′ = 2x + 8y y′ = 8x − 12y

6. x′ = −2x − 5y

Unidad 4.indd 208 01/03/13 17:49

XII PREFACIO

ciones ordinarias de primer orden, las ecuaciones de orden superior,

la transformada de Laplace, los sistemas de ecuaciones diferenciales

y las series de Fourier contribuyen a desarrollar en el estudiante un

pensamiento formal y heurístico que le permitirá modelar situaciones

y resolver problemas.

Como un complemento y dado que algunos planes de estudio

abarcan más allá de las series de Fourier, se proporciona un capítulo

dedicado al estudio de las ecuaciones diferenciales parciales así como

su correspondiente lista Demostrar que el conjunto {sent, sen2t, cost, cos2t} ⊆C [−π ,π ] es ortogonal.

de problemas. Este capí- Solución Resolver problemas.
tulo lo puede encontrar en el centro de aprendi-
zaje en línea de este libro: www.mhhe.com/uni/ Para demostrar la ortogonalidad del conjunto de funciones en el intervalo [−π ,π ] es necesa-
ibarramate5e.
rio calcular los productos punto entre todas las parejas posibles de funciones. Para simplificar

los cálculos aplicamos los resultados mostrados en el teorema 1, es decir

∫ ∫π π Del teorema 1 sabemos que
el producto de dos funciones
sent ⋅ sen2t = sent sen2t dt = 2 sent sen 2t dt = 0 pares es par; el producto de
dos funciones impares es par, y
−π 0 el producto de una función par
y una función impar es impar.
∫π

sent ⋅ cost = sent cost dt = 0

−π

∫π

sent ⋅ cos2t = sent cos2t dt = 0

−π

En las notas al margen se incluyen en todo el ∫π

sen2t ⋅ cost = sen2t cost dt = 0

−π

libro algunos comentarios que indican la compe- ∫π Del teorema 1 sabemos que
1. Si f (t) es una función par,
tencia que se puede desarrollar al estudiar cada sen2t ⋅ cos2t = sen2t cos2t dt = 0

−π

∫ ∫π π

cos t ⋅ cos2t = cost cos 2t dt = 2 cost cos 2t dt = 0

−π 0

sent = ∫π sen2 t dt = π entonces

−π ∫ ∫a a
f (t) dt = 2 f (t) dt
uno de los temas y se hacen observaciones breves ∫π −a 0
sen2t = sen2 2t dt = π
2. Si f (t) es una función
−π

∫π impar, entonces

pero de gran utilidad que cost = cos2 t dt = π ∫a
f (t) dt = 0.
−π −a

Una primera forma de resolver un sistema de ecua- el estudiante no debe pasar ∫π
ciones diferenciales es mediante la eliminación sistemática Comunicarse en el lenguaje
2 2d

de alguna de las variables dependientes. Para esto, en la si- matemático en forma
guiente observación introducimos la notación de los opera- escrita.
dores diferenciales, lo cual nos permitirá la manipulación por alto. De la misma forma, en cada problema resuelto se dan instruccio-

algebraica de un sistema.

OBSERVACIÓN 1 Uso del operador diferencial en una EDO lineal Nota biográfica nes paso a paso que detallan los procedimientos realizados, lo que resulta
Consideremos la ecuación diferencial ordinaria un apoyo sólido para estudios autodidactas y marca una gran diferencia

an y(n) + an−1y(n−1) + $ + a2 y′′ + a1y′ + a0 y = g(x)

Argumentar con contundencia Paul Maurice Dirac (Bristol, Reino Unido, respecto a otros libros.
y precisión. 1902-Tallahassee, Estados Unidos, 1984) Fue
un físico británico, hijo de un profesor de fran-
Si suponemos que y(n) = Dn y, y(n−1) = Dn−1y, #, y″ = D2 y y y′ = Dy cés de origen suizo. Estudió en la escuela en Ibarra Unidad 5 (217-240).indd 223 01/03/13 18:02
podemos escribir de manera equivalente que impartía clases su padre, donde pronto
mostró particular facilidad para las matemá- En cada unidad se incluye una nota biográfica de personajes célebres
anDn y + an−1Dn−1y + $ + a2D2 y + a1Dy + a0 y = g(x) ticas. Cursó estudios de ingeniería eléctrica en
la Universidad de Bristol, interesándose espe-
O bien, cialmente por el asiduo empleo de las aproxi- que han aportado resultados fundamentales al estudio de las ecuaciones
maciones matemáticas de que hace uso la
( )anDn + an−1Dn−1 + $ + a2D2 + a1D + a0 y = g(x) ingeniería para la resolución de todo tipo de
problemas.
Si consideramos al operador diferencial D = d como una varia- diferenciales.
dx Sus razonamientos posteriores se basaron
ble en el miembro izquierdo de esta última expresión, definimos el po- en el asierto de que una teoría que intente
explicar leyes fundamentales del comporta-
linomio diferencial miento de la naturaleza puede construirse
sólidamente sobre la base de aproximaciones
p(D) = anDn + an−1Dn−1 + $ + a2D2 + a1D + a0 sugeridas por la intuición, sin llegar a tener la Cada unidad inicia con la lista de temas incluidos y se enlistan las
De manera que la EDO original se puede expresar como certeza de cuáles son en realidad los hechos
acontecidos, dado que estos pueden llegar a
p(D)y = g(x) ser de una complejidad tal que difícilmente competencias específicas que deberán desarrollarse en el correspondiente
pueden llegar a ser descritos con exactitud,
Observamos que el polinomio diferencial Lograr un pensamiento por lo cual el físico deberá contentarse con periodo.
p(D) tiene coeficientes reales y grado n, de ma- lógico, analítico y sintético. un conocimiento tan solo aproximado de la
nera que por el teorema fundamental del álge-
lid d

Para el estudiante Unidad ECUACIONES DIFERENCIALES
DE ORDEN SUPERIOR
De niño escuché muchas veces decir a un per- 2

sonaje de piel azul y ojos saltones estas pala- 2.1 Introducción 2.4 Ecuaciones diferenciales no homogéneas
bras: “están ustedes a punto de entrar en una 2.2 Teoría preliminar 2.5 Método de variación de parámetros
nueva dimensión, en un mundo desconoci- 2.3 Ecuaciones diferenciales lineales con

01/03/13 18:09 coeficientes constantes

Unidad 4.indd 203 do…” Muchas décadas después quiero utilizar Competencia específica Potenciar las habilidades para el uso de nuevas
esas mismas palabras para decirle a los estu- tecnologías.
diantes de un curso introductorio de ecuacio- Modelar la relación existente entre una función descono- Resolver problemas.
nes diferenciales que nos enfrentamos a una cida y una variable independiente mediante una ecuación Reconocer conceptos generales e integradores.
de las partes de las matemáticas más puras, diferencial lineal de orden superior que describe algún Argumentar con contundencia y precisión.
abstractas y emocionantes. Sin duda, abordar proceso dinámico (movimiento vibratorio y circuitos Optimizar soluciones.
la materia representa todo un reto al intelecto, eléctricos).
Competencias instrumentales
Comprender la importancia de la solución de una
EDL homogénea en la construcción de la solución gene- Capacidad de análisis y síntesis.
ral de una no homogénea. Habilidades básicas de manejo de la computadora.
Solución de problemas.
Aplicar el método de coeficientes indeterminados y
el de variación de parámetros, seleccionando el más ade- Competencias sistémicas
cuado en situaciones específicas.

Competencias genéricas

Representar e interpretar conceptos en forma
geométrica y algebraica.

inclusive, algunos podrían pensar que es complicado. Pero todo lo contrario. Después de haber

pasado más de la mitad de mi vida enseñando matemáticas, he convivido con estudiantes jó-

venes y no tan jóvenes, con gente con talento innato y con gente que sufre cada concepto, con

muchachos ambiciosos y también con conformistas. De todos ellos he aprendido que el trabajo

salva cualquier situación. El estudio todo lo resuelve yUnidad2(75-96).indd 7u5 nas buenas bases ayudan bastante. Las01/03/13 18:12

herramientas fundamentales de este curso son el cálculo y el álgebra lineal. Aprendí con Lar-

son, Zill y Grossman que estas materias se cimientan sobre las habilidades y los conocimientos

previos de cada estudiante, que se necesita del álgebra básica a la trigonometría, y qué decir

PREFACIO XIII

de los cursos de matemáticas que preceden a este. Por los tiempos manejados en el aula y el
creciente desinterés estudiantil por repasar estas bases, resulta imposible subsanar las carencias
del alumno en este curso, de manera que al inscribirse en esta materia, quien enseña da por
hecho que las matemáticas de bachillerato, no serán un obstáculo. De no ser así se sugiere al
alumno resolverlo de inmediato.

Nunca está por demás repasar de sobra y no caer en un exceso de confianza, razón muy
común del fracaso académico. Si a la complejidad de la materia le agregamos la falta de com-
promiso de algunos docentes improvisados, entonces la responsabilidad de un buen resultado
depende únicamente del que aprende.

Aprender matemáticas no es como aprender a caminar, que solo se hace una vez y en lo
subsecuente la habilidad se desarrolla de manera natural. Esto es diferente, se aprende y si no
se practica se olvida; es como aprender otro idioma y tratar de hablarlo años después sin practi-
car, aun los más hábiles necesitan de la diaria labor de ejercitar la mente. No he encontrado un
método más eficiente para aprender matemáticas que tomar papel y lápiz, sentarse en el lugar
de nuestra preferencia sin distracciones y enfrentarse al dragón de la ignorancia. No se necesita
ser un talento académico, se requiere actitud y responsabilidad. El que enseña puede hacer
cientos de ejercicios y el que aprende puede limitarse a observar, pero quien cada vez será más
hábil es el que lo piensa y lo escribe. Lo que realmente produce un aprendizaje significativo es
resolver por uno mismo un problema, escribirlo, sufrirlo, dudar, intentar, esforzarse…

Suerte a los estudiantes que con determinación y responsabilidad inician la nueva dimen-
sión, los demás observen y envidien.

Prólogo

Vivimos tiempos de cambio y la educación no es ajena a este proceso. Los planes de estudio
de las instituciones de educación superior se renuevan constantemente para estar a la altura
de las necesidades actuales y se establecen nuevas metodologías que deben ser respaldadas con
textos de calidad.

Como una contribución a esta revolución educativa se desarrolla esta obra dirigida al
primer curso de ecuaciones diferenciales impartido en las principales escuelas de ciencias e
ingeniería.

Matemáticas 5, Ecuaciones diferenciales es el complemento de la colección de textos que
cubren los planes y programas de estudio más recientes que se imparten en los institutos tecno-
lógicos y universidades estatales, entre otras. Aunado a lo anterior y como es usual, el presente
material ofrece un estilo científico preciso y formal pero de fácil comprensión.
Entre las principales características de esta obra podemos mencionar:
• Adaptación al nuevo modelo de competencias.
• Ejemplos y ejercicios diferentes a los tradicionales.
• Examen de evaluación diagnóstica de cálculo diferencial, cálculo integral, cálculo vecto-

rial y álgebra lineal.
• Sección problemas como competencia final al término de cada sección.
• Utilización de las tecnologías de información y comunicación (TIC).
• Notas que refuerzan los principales conceptos teóricos.
• Notación formal pero accesible para el estudiante.
• Estructura encaminada a desarrollar un pensamiento lógico, heurístico, deductivo y algo-

rítmico para resolver problemas.
• Actividades encaminadas al desarrollo de competencias genéricas, instrumentales, sisté-

micas y específicas.

Las competencias y las ecuaciones diferenciales

Una de las características más sobresalientes de esta obra es que se ha organizado para con-
tribuir al desarrollo de competencias específicas, genéricas, instrumentales y sistémicas, tales
como:

Competencias específicas

UNIDAD 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden
• Identificar los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, sus

soluciones generales, particulares y singulares e interpretarlas en el contexto de la situa-
ción en estudio.
• Modelar la relación existente entre una función desconocida y una variable independiente
mediante una ecuación diferencial que describe algún proceso dinámico.

UNIDAD 2 Ecuaciones diferenciales de orden superior
• Modelar la relación existente entre una función desconocida y una variable independiente

mediante una ecuación diferencial lineal de orden superior que describe algún proceso
dinámico (Movimiento vibratorio y circuitos eléctricos).

PRÓLOGO XV

• Comprender la importancia de la solución de una EDL homogénea en la construcción de
la solución general de una no homogénea.

• Aplicar el método de coeficientes indeterminados y el de variación de parámetros, seleccio-
nando el más adecuado en situaciones específicas.

UNIDAD 3 La transformada de Laplace
• Reconocer y aplicar la Transformada de Laplace como una herramienta útil en la solución

de ecuaciones que se presentan en su campo profesional.

UNIDAD 4 Introducción a los sistemas de ecuaciones diferenciales
• Modelar y describir situaciones diversas a través de sistemas de ecuaciones diferenciales

lineales.
• Resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales utilizando el método de los operado-

res diferenciales y la transformada de Laplace.
• Integrar las herramientas estudiadas en las unidades previas al reconocer las limitaciones

y ventajas de los métodos aplicados.

UNIDAD 5 Introducción al análisis de Fourier
• Aprender los conceptos de ortogonalidad, conjuntos ortogonales y la definición de las

series de Fourier.
• Aprender a calcular series de Fourier (forma trigonométrica) de funciones periódicas en

un periodo arbitrario centrado.
• Aprender a calcular series de Fourier en cosenos y series de Fourier en senos.
• Aprender a calcular series de Fourier de medio intervalo.
• Aprender a calcular series de Fourier en su forma compleja.

Competencias genéricas

• Procesar e interpretar datos.
• Representar e interpretar conceptos en diferentes formas: numérica, geométrica, algebrai-

ca, trascedente y verbal.
• Comunicarse en el lenguaje matemático en forma oral y escrita.
• Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.
• Lograr un pensamiento lógico, algorítmico, heurístico, analítico y sintético.
• Potenciar las habilidades para el uso de nuevas tecnologías.
• Resolver problemas.
• Analizar la factibilidad de las soluciones.
• Tomar decisiones.
• Reconocer conceptos o principios generales e integradores.
• Establecer generalizaciones.
• Argumentar con contundencia y precisión.
• Optimizar soluciones.

Competencias instrumentales

• Capacidad de análisis y síntesis.
• Comunicación escrita.
• Habilidades básicas de manejo de la computadora.
• Solución de problemas.

XVI PRÓLOGO

Competencias sistémicas

• Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica.
• Habilidades de investigación.
• Capacidad para aprender.
• Capacidad para generar nuevas ideas.
• Habilidad para trabajar en forma autónoma.
• Búsqueda de logros.

Agradecimientos

Es verdaderamente descomunal el trabajo que debe realizarse para elaborar un libro de estas

características. Una obra no solo se debe a su autor sino a mucha gente que, detrás de la trin-

chera, ofrece su cotidiano esfuerzo para que los sueños se hagan realidad. Quiero expresar

un sincero agradecimiento a todos los miembros de la editorial que de alguna manera han

colaborado conmigo en los 16 trabajos previos que nos respaldan. Literalmente, hemos pisado

juntos los escenarios del cálculo diferencial, del cálculo integral, del cálculo vectorial, del ál-

gebra lineal, de la estática, de la dinámica y de la física general, hoy venimos a cerrar esta gira

con las ecuaciones diferenciales. Agradezco de todo corazón que desde siempre me recibieron

con gran afecto y desmedida atención. No debo dejar de reconocer la amabilidad de Lupita, el

fundamental apoyo de Abel, el profesionalismo de Carlos, la alegría y sinceridad de Anita, la

paciencia de Zefe, el trabajo de Ramón, la perpetua presión de Marce, la confianza de Jesús y

la visión de Pablo y muy en especial la oportunidad que me da Miguel Ángel. En mis términos

es para ustedes el límite de las gracias, cuando las gracias tienden al infinito.

Lo que ahora soy, no lo sería sin el apoyo de Beka y Nani. La familia que lograron formar

lo es todo para mí, la feliz niñez que tuve no hubiera sido igual sin la presencia de Animal,

Pinky y Chester, ha sido todo un placer compartir con ustedes mi vida, queridos hermanos.

Cada letra, cada número y cada símbolo contenido en este libro representan un instante

que no pude compartir con quienes más quiero en la vida: Paloma y Cristóbal. Cómo me hu-

biera gustado verlos crecer día con día y haber estado allí cuando dijeron su primera palabra,

cuando mudaron su primer diente, en su primer día de clases, en los festivales escolares, en sus

graduaciones, en sus cumpleaños… guardo la esperanza de que algún día puedan entender

que lo hubiera cambiado todo por jugar con ustedes a los carritos, al torito, al futbol, a las

escondidas, a volar papalotes, a mojarnos en la lluvia… Sepan ustedes que desde que nacieron

mi vida jamás volvió a ser la misma, fue mejor porque desde entonces en mi pecho laten dos

corazones: ustedes, hijos, los amo.

Un agradecimiento muy especial para la niña más importante de mi vida, por haber uti-

lizado coordenadas polares un 15 de agosto para tatuar en mi alma la gráfica de la función

f (x) = 1− sen x. Nunca imaginé que debido a la irracionalidad del dominio fuera posible en-

contrar que lím f( x) ≠ f (LB ). Desde entonces entendí que lo que graficó Cantor era simple-
mente la gráxfi→cLaB de mi vida. No todo es material ni glamour. Solo espero que el límite exista,

de lo contrario el núcleo de la transformación asociada a mi vida tendrá una nulidad muy

grande. Por siempre 13, por siempre 3 y por siempre 20. Juntos tenemos un objetivo en la vida:

demostrar que existe un espacio ideal, pero real, en donde las líneas paralelas y diferentes se

intersecan y ya nunca más se separan, nuestro espacio. Gracias por regresar y haber aceptado

vivir allí el resto de tu vida conmigo.

Joel Ibarra

Evaluación diagnóstica

Cálculo diferencial

1. Enunciar la definición de límite de una función.

2. Enunciar la definición de derivada.

En los problemas 3 a 7, calcular la derivada de las funciones dadas.

( ) ( )3. f (x) = x3 + 2x2 + 3x 3 x2 − 3x + 1 2

f (x) = x3 + 2x2 + 3x
x2 − 3x +1 2
( )4.

5. f (x) = ¢xx32 + x2 + 2 ≤ 1
− 3x 2

+1

6. g(x) = (x + 2)x2 −2x+1

7. f (x) = cos3x (1+ tan x)(x2 + 3x − 1)

En los problemas 8 y 9, evaluar la derivada implícita de las funciones dadas.
8. 4x3 y2 − 5x2 y3 + 2x2 y2 = x2 y − 3xy2 − 3xy + 2x − 5y + 1
9. tan xy + 3xexy2 = x ln y − y − ln x
10. Graficar la función f (x) = x3 − 6x2 + 11x − 6
11. Determinar el área del mayor cuadrilátero que se puede inscribir en un círculo de radio r.

Cálculo integral

En los problemas 12 a 18, evaluar las integrales dadas.

∫12. 3x x2 − 3 dx
∫ dx

13. 1− sen x

∫14. x3 ln 4x dx

∫15. eax cosbx

∫16. 2x +1 dx

(x − 1)(x + 2)(x + 5)

∫17. 1 dx
1− x2

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA XIX

∫18. x + 1 dx
(x − 1)(x + 2x + 4)

19. Enunciar la definición de antiderivada de una función.

20. Enunciar el primer teorema fundamental del cálculo.

21. Enunciar el segundo teorema fundamental del cálculo.

bb

22. Utilizar sumas de Riemann para calcular x4 dx y x4 dx.

∫ ∫0 a

En los problemas 23 y 24, evaluar las integrales impropias.

+∞

∫23. xe−x dx
0

∫24. 4 x2 1 − 6 dx
0 +x

25. Calcular el área de la región limitada por las funciones y = sen x, y = cos x, x = 0 y x = π / 2.

26. Hallar la longitud de arco de la curva y = 3 x2 del punto (1, 1) al punto (8, 4).

Cálculo vectorial

27. Considerar las rectas L1 : x = 1+ 2t, y = −1+ t, z = 2 + t y L2 : x = 1− 3t, y = 2 − 4t, z = −2 − t,
si las rectas se intersecan, determinar la ecuación del plano que las contiene. Si las rectas se

cruzan, determinar la distancia entre ellas.

28. Determinar la recta de intersección de los planos x + 2y − z = 2 y 3x − y + 2z = 1 .
29. Calcular la longitud de arco de la curva x = 3t − t3, y = 3t2 en 0 ≤ t ≤ 1 .

30. Determinar el área de una elipse.

31. Graficar la curva r = 1− senθ .

32. ¿En qué punto la función f (x) = ln x tiene su curvatura máxima?

33. Determinar la longitud de arco de la curva r(t) = ( t, t, t2 ) del punto (1, 1, 1) al punto
(2, 4, 16).

34. Hallar las primeras derivadas implícitas de z de la función x3y2 + cos( yz2 + z2 ) = 1 .

35. Hallar el volumen del sólido encerrado por los cilindros x2 + z2 = 9 y y2 + z2 = 9.

∫ ∫36. Evaluar la integral 4 2 1 dx dy.
0 y x3 +1

Álgebra lineal

37. Determinar las raíces de la ecuación z5 − 25 = 0
38. Encontrar los valores de a de manera que el sistema de ecuaciones lineales

x − 3y + z= 1
2x + y − z = −1
5x − 8y + (a2 − 4) z= a

tenga a) una infinidad, b) ninguna o c) una única solución.

XX EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA

39. Reduciendo la siguiente matriz a una matriz triangular, calcular su determinante.

2 −5 8 4
−4 −2 −1 0
3 7 −1 5
4 3 −3 −7

40. Enunciar las propiedades de los determinantes.
41. Enunciar la definición de espacio vectorial y subespacio vectorial.
42. Enunciar la definición de independencia lineal y dependencia lineal.
43. Enunciar la definición de base y dimensión.
44. Enunciar la definición de transformación lineal.
45. Calcula los valores y vectores característicos de la siguiente matriz.

27 0 9
E = 0 10 0

9 03

Unidad ECUACIONES DIFERENCIALES
DE PRIMER ORDEN
1

1.1 Introducción 1.4 Ecuaciones diferenciales exactas
1.2 Ecuaciones diferenciales separables 1.5 Ecuaciones diferenciales lineales
1.3 Ecuaciones diferenciales homogéneas 1.6 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli

Competencia específica Resolver problemas.
Reconocer conceptos generales e integradores.
Identificar los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales Argumentar con contundencia y precisión.
ordinarias de primer orden, sus soluciones generales, par- Optimizar soluciones.
ticulares y singulares, e interpretarlas en el contexto de la
situación en estudio. Competencias instrumentales

Modelar la relación existente entre una función desco- Capacidad de análisis y síntesis.
nocida y una variable independiente mediante una ecua- Habilidades básicas de manejo de la computadora.
ción diferencial que describe algún proceso dinámico. Solución de problemas.

Competencias genéricas Competencias sistémicas

Representar e interpretar conceptos en forma Capacidad para aprender.
geométrica y algebraica. Capacidad para generar nuevas ideas.
Comunicarse en el lenguaje matemático en forma Habilidad para trabajar en forma autónoma.
oral y escrita.
Lograr un pensamiento lógico, algorítmico,
heurístico, analítico y sintético.
Potenciar las habilidades para el uso de nuevas
tecnologías.

2 UNIDAD 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden

1.1 Introducción

En un primer curso de cálculo, el estudio de los números reales, el límite de una función, la

continuidad de una función y la derivada son temas fundamentales que el estudiante debe

enfrentar.

Un problema básico que se estudia en el Cálculo diferencial es que dada una función en
dy
una variable de la forma y = f(x), se calcule su derivada ordinaria dx = f ′(x).

De la misma forma, un problema básico del cálculo de varias variables es que dada una fun-
∂z ∂∂zy.
ción en dos variables z5 f(x, y), se determinen las derivadas parciales de primer orden ∂x y

De alguna manera, en un curso básico de ecuaciones diferenciales se estudia un problema
dy
inverso, es decir, dada una derivada dx = f ′(x), ¿cómo determinar una función y = f(x) que

satisfaga la ecuación anterior?

Por ejemplo, dada la función y = xex se cumple al derivar sucesivamente que

dy = xex + ex
dx

d2y = xe x + 2ex
dx2

De esta manera,

( )d 2 y dy xe x 2ex + xex + ex = 0
dx
dx2
− 2 + y = + − 2 xex + ex

La ecuación d2y − 2 dy + y = 0 se conoce como una ecuación diferencial porque la incógnita es
una función, dx2 dx la función y = xex es una solución porque al sustituirla junto con sus
y se dice que

derivadas en la ecuación diferencial, la satisface.

Una manera natural de iniciar el estudio de las ecuaciones diferenciales es que a partir de

la definición de ecuación diferencial se establezca una clasificación, para poder tener criterios

Reconocer conceptos de decisión acerca de los métodos de solución estudiados. A continuación proporcionamos la
generales e integradores.
definición de ecuación diferencial.

Definiciones generales

Definición 1 Ecuación diferencial (ED)

Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene la derivada o las derivadas de una o
más variables dependientes respecto de una o más variables independientes.

En un curso de álgebra elemental se aprende que para resolver la ecuación ax 1 b 5 0 hay que

realizar un “despeje” de la variable x, porque se trata de una ecuación lineal en una variable. Si

la ecuación por resolver es de la forma ax2 + bx + c = 0, sabemos que por tratarse de una ecua-

ción cuadrática, la fórmula general es una opción. La clasificación de las ecuaciones permite

elegir el método de solución adecuado.

Con las ecuaciones diferenciales sucede lo mismo: dada una ecuación diferen-

Las ecuaciones diferenciales se cial, es primordial identificar su forma para que a partir de esto se elija correcta-

clasifican por su tipo, orden, mente el procedimiento de solución. De esta manera, es necesario caracterizar las
linealidad y grado. ecuaciones diferenciales. Básicamente, las ecuaciones pueden clasificarse de acuer-

do con su tipo, orden, linealidad y grado.

Describimos a continuación cada una estas clasificaciones.

1.1 Introducción 3

Tipo de una ecuación diferencial Reconocer conceptos
generales e integradores.
De acuerdo con su tipo, las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse en ordinarias y parcia-
les. La definición precisa se muestra a continuación.

Ecuación diferencial ordinaria (EDO) 2 Definición

Una ecuación diferencial se dice ordinaria si contiene la derivada o las derivadas de una o
más variables dependientes respecto de una sola variable independiente.

Generalmente, la derivada de una función respecto de una sola variable inde- Por su tipo, las ecuaciones
pendiente se conoce como una derivada ordinaria, de manera que una ecuación diferenciales son ordinarias (si
diferencial ordinaria es aquella que contiene solo derivadas ordinarias de una o solo existe una única variable
más variables dependientes. independiente) o parciales (si
existen dos o más variables
EJEMPLO 1 Ecuaciones diferenciales ordinarias independientes).
Todas las siguientes ecuaciones diferenciales son ordinarias:

dy = ln xy ln y
dx
dy = ( y − 1)( y + 3)
dx (x + 4)(x − 2)
x2 ( y − 1)dx = (x2 y2 + x2 + y2 + 1)dy

(3y − 1)(3x + 1) dy = x( y + 3)
dx

(xy + 9x − 3y − 27)dx + (xy + 4x − 5y − 20)dy = 0

du = 3u − 2
dt 2t + 1

csc2 y dx + cot x dy = 0

e ysen 2x dx + (e2x−3y + 2 ye2x−3y )dy = 0

tan x sen 3 y dx + sec3 x cos y dy = 0

y(x2 + 1)3 dy = x(1− y2 )2
dx

x2 dx − y x + y dy = 0
y

sen( )yy+ x cos y dx + (x ln y − x ln x)dy = 0
x x

y2 xdx + x2 ydy = 0

4 UNIDAD 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden

dy +y= f (x), f (x) = b 1 0 ≤ x < 2 y(0) = 1
dx −1 2 ≤ x

y′ − 6 y = x6 cos x
x

dy − 1 y = x4 ln x
dx x

dy + 1 y = (x2 − x − 1)e2x
dx x

De la misma forma que la ex- OBSERVACIÓN 1 Notación para una ecuación diferencial ordinaria (EDO)
presión y = f(x) represen- En general, si una ecuación diferencial es ordinaria de orden n, se denota por
ta a cualquier función que
depende de x, la expresión ( )F x, y, y′, y″,, y(n−1), y(n) = 0

( )F x, y, y′, y′′,, y(n−1), y(n) = 0 O bien, resolviendo la derivada de mayor orden
( )o y(n) = f x, y, y′, y″,, y(n−1)
( )y(n) = f x, y, y′, y″,, y(n−1)
representa cualquier ecuación
diferencial ordinaria de orden n. De manera que, por ejemplo:

Una EDO de orden 1 se denota por F (x, y, y′) = 0, o bien por y′ = f (x, y).
Una EDO de orden 2 se denota por F (x, y, y′, y″) = 0, o bien por y″ = f (x, y, y′).

Reconocer conceptos Si una derivada no es ordinaria entonces es parcial, es decir, la derivación parcial considera
generales e integradores. la existencia de dos o más variables independientes sin importar el número de variables de-
pendientes. Esta consideración da paso a la definición de ecuación diferencial parcial.

Definición 3 Ecuación diferencial parcial (EDP)

Una ecuación diferencial se denomina parcial si contiene la derivada o las derivadas de una o
más variables dependientes respecto de dos o más variables independientes.

EJEMPLO 2 Ecuaciones diferenciales parciales

Todas las siguientes ecuaciones diferenciales son parciales:

∂2 u + ∂2 u = 0
∂x2 ∂y2

k ∂2 u = ∂u
∂x2 ∂t

a2 ∂2 u = ∂2 u
∂x2 ∂t2

A ∂2 u + B ∂2 u + C ∂2 u + D ∂u + E ∂u + Fu = G
∂x2 ∂x ∂y ∂y2 ∂x ∂y

∂2 u + ∂u = 0
∂x ∂y ∂y

1.1 Introducción 5

Orden de una ecuación diferencial Reconocer conceptos
generales e integradores.
Otra manera de clasificar las ecuaciones diferenciales considera el orden de la derivada más
alta que aparece en la ecuación.

Orden de una ecuación diferencial 4 Definición

Se define el orden de una ecuación diferencial como el orden de la derivada más alta que
aparece en la ecuación.

EJEMPLO 3 Ecuaciones diferenciales de orden n

La derivada de mayor orden es la que define el orden de la ecuación diferencial, sin importar a
qué exponente esté elevada. Las siguientes ecuaciones tienen los órdenes indicados:

y′ − 1 y = ex orden 1
x

y″ − ( y′)3 x = tan x orden 2

x4 y′″ − x2 y″ = cos x orden 3

y(4) − y(3) + 9y″ − 4y′ = 0 orden 4
orden 2
∂u + ∂2 u − ¢∂∂2yu2 ≤3 = 0 orden 2
∂x ∂x ∂y orden 2

a2 ∂2 u = ∂2 u
∂x2 ∂t2

( y″)3 − y′x = x sen x

y′ − y″ cos x = x( y′)3 orden 2

Linealidad de una ecuación diferencial ordinaria Reconocer conceptos
generales e integradores.
En un curso de álgebra lineal se aprende que una ecuación lineal en dos variables es una expre-
sión de la forma ax + by = c. La característica principal de esta ecuación es que las variables
están elevadas a la potencia 1. De la misma manera, una ecuación diferencial lineal tiene como
propiedad que la variable dependiente y todas sus derivadas están elevadas a la potencia 1. La
forma precisa se muestra en la siguiente definición.

Ecuación diferencial lineal 5 Definición
Una ecuación diferencial ordinaria se denomina lineal si es de la forma

an (x)y(n) + an−1(x)y(n−1) +  + a2 (x)y″ + a1(x)y′ + a0 (x)y = g(x)

Si g(x) = 0 la ecuación se denomina homogénea. Si g(x) ≠ 0, la ecuación es no homogénea.
Si una ecuación no tiene la forma anterior, entonces se dice que la ecuación es no

lineal.

6 UNIDAD 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden

La ecuación diferencial lineal OBSERVACIÓN 2 Propiedades de la ecuación diferencial ordinaria
es ordinaria si la variable de-
pendiente, así como cualquiera La ecuación diferencial lineal an (x)y(n) + + a1(x)y′ + a0 (x)y = g(x) es ordinaria
y de grado 1, de manera que tanto la variable dependiente como cualquiera de

de sus derivadas, aparecen sus derivadas aparecen elevadas a la potencia 1. De igual forma, la función g(x)
elevadas a la potencia 1. De y cada una de las funciones que aparecen como coeficientes de las derivadas son
igual forma, la función g(x) y funciones que dependen todas de la misma variable independiente considerada en
cada una de las funciones que la ecuación.
aparecen como coeficientes de

las derivadas son funciones que

dependen todas de la misma

variable independiente conside- Grado de una ecuación diferencial

rada en la ecuación. Para determinar el orden de una ecuación diferencial consideramos la derivada

más alta de la ecuación, sin importar el exponente al que estén elevadas las de-

Reconocer conceptos rivadas y la variable dependiente. Tal exponente se conoce como el grado de la ecuación dife-
generales e integradores. rencial. La siguiente definición establece lo anterior.

Definición 6 Grado de una ecuación diferencial

La potencia más grande a la cual está elevada una variable dependiente, o bien alguna de sus
derivadas, se conoce como grado de una ecuación diferencial.

Las ecuaciones diferenciales EJEMPLO 4 Grado de una ecuación diferencial
también se clasifican por su
grado, el cual se define por Si consideramos el exponente más grande al que está elevada una variable de-
la potencia más grande a la pendiente o alguna de sus derivadas, las siguientes ecuaciones tienen los grados
cual está elevada una variable indicados:
dependiente o bien, alguna de
sus derivadas. y′ − 1 y = ex grado 1
x

y″ − ( y′)2 x = tan x grado 2

x4 y′″ − x2 y″ = y4 cos x grado 4

y(4) − y(3) + 9( y″)2 − 4y′ = 0 grado 2
grado 3
∂u + ∂2 u − ¢ ∂2 u 3 = 0 grado 1
∂x ∂x ∂y ∂y2 grado 3
≤

a2 ∂2 u = ∂2 u
∂x2 ∂t2

( y″)3 − y′x = x sen x

y′ − ( y″)2 cos x = x( y′)3 grado 3

1.1 Introducción 7

Solución de una ecuación diferencial Reconocer conceptos
generales e integradores.
El objetivo de esta unidad es aprender a resolver las ecuaciones diferenciales más conocidas,
como las ecuaciones separables, las homogéneas, las exactas, las lineales, etcétera.

Es importante resaltar que, en general, las ecuaciones diferenciales no tienen solución.
Como podrá observarse, una vez conocida la clasificación, existe un número infinito de ecua-
ciones diferenciales, pero hasta hoy no han podido resolverse todas las ecuaciones imaginables.
De hecho, muy pocas son solubles. En un primer curso de ecuaciones diferenciales solo se
estudian métodos de solución de algunos casos especiales que por su “simplicidad” permiten
desarrollar procedimientos que utilizan conceptos básicos del cálculo.

Resolver una ecuación diferencial significa determinar una función definida en un interva-
lo adecuado tal que satisfaga la ecuación. Formalmente se tiene la siguiente definición.

Solución de una ecuación diferencial 7 Definición

Si f es una función definida en algún intervalo tal que al sustituirla en una ecuación dife-
rencial la satisface, se dice entonces que f es una solución de la ecuación diferencial.

Entendemos que una función satisface una ecuación diferencial si al sustituirla en ella, la
reduce a una identidad.

EJEMPLO 5 Solución de una ecuación diferencial
Verificar si las funciones a) y = e−x; b) y = ex; c) y = e2x y d) y = c1e−x + c2ex son soluciones de la
ecuación diferencial y″ − y = 0.

Solución a)

Al derivar la función y = e−x sucesivamente tenemos que y′ = −e−x y y″ = e−x; luego, y″ − y =
e−x − e−x = 0 .

De manera que la función y = e−x sí es una solución de y″ − y = 0.

Solución b)

Al derivar la función y = ex sucesivamente tenemos que y′ = ex y y0 = ex; luego, y″ − y = ex − ex = 0.
De manera que la función y = ex sí es una solución de y″ − y = 0.

Solución c)

Al derivar la función y = e2x sucesivamente tenemos que y′ = 2e2x y y″ = 4e2x; luego, y″ − y =
4e2x − e2x = 3e2x ≠ 0 .

De manera que la función y = e2x no es solución de y″ − y = 0.

Solución d ) Una solución de una ecuación
Al derivar la función y = c1e−x + c2ex sucesivamente tenemos que y′ = −c1e−x + c2ex diferencial es una función que
sustituida en la ecuación la
( )y y″ = c1e−x + c2ex; luego, y″ − y = c1e−x + c2ex − c1e−x + c2ex = 0. transforma en una identidad.
De manera que la función y = c1e−x + c2ex sí es una solución de y″ − y = 0.

8 UNIDAD 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden

EJEMPLO 6 Solución de una ecuación diferencial
Verificar si la función 4 y + 1 = x2 + c es una solución de la ecuación diferencial x y + 1 dx −
dy = 0.

Solución
Dada la función implícita 4 y + 1 = x2 + c, tenemos

4 y +1 − x2 = c reescribimos la función

dy = − −2x = x y+1 derivamos implícitamente
dx 4

2 y+1

x y + 1 dx − dy = 0 reordenamos

De manera que 4 y + 1 = x2 + c sí es una solución de la ecuación diferencial dada.

OBSERVACIÓN 3 Clasificación de las soluciones de una ecuación diferencial

En los ejemplos anteriores podemos observar tipos diferentes de soluciones. Para la ecuación

y″ − y = 0 observamos que las soluciones y = e−x, y = ex y y = c1e−x + c2ex tienen en esencia for-
mas diferentes, por ejemplo, la función y = ex no contiene constantes arbitrarias, mientras que

y = c1e−x + c2ex sí las tiene.

Si comparamos las funciones y = e−x, y = ex y y = c1e−x + c2ex, que son solucio-
Las soluciones de una ecuación nes de la ecuación y″ − y = 0 con la función 4 y + 1 = x2 + c, que es solución de
diferencial también se clasifi-
la ecuación x y + 1 dx − dy = 0, notamos que mientras en las primeras funciones
can. La primera clasificación
las divide en soluciones explíci- aparece la variable y “despejada”, en la segunda no es así.

tas e implícitas.

Reconocer conceptos Las soluciones de una ecuación diferencial, al igual que las propias ecuaciones, también
generales e integradores. tienen una clasificación. Básicamente, las soluciones se clasifican en implícitas y explícitas, en
familias de soluciones, soluciones particulares y soluciones singulares.

Definición 8 Soluciones implícitas y explícitas

( )Sea F x, y, y′, y″,, y(n−1), y(n) = 0 una ecuación diferencial ordinaria.

Se dice que una solución está en forma explícita si se puede expresar en la forma y = f (x),
o bien x = g( y).

Si ninguna de las variables está resuelta en términos de la otra, entonces decimos que

la solución está dada en forma implícita, y se representa generalmente por la expresión
G(x, y) = c.

En términos simples, una solución está dada en forma explícita si aparece “despejada”
alguna de las variables en términos de la otra, y en caso contrario, cuando no aparece resuelta
ninguna de las variables, la solución está dada en forma implícita.

Para el caso de una función explícita, en el proceso para verificar si esta satisface a una
ecuación diferencial, se utiliza, como pudimos observar en el ejemplo 5, la derivación ordinaria.

1.1 Introducción 9

Si una solución está en forma implícita, se tienen dos opciones. En la primera, Para derivar una función
si es posible resolver una variable en términos de otra, se procede a resolverla y implícita F(x, y) = 0 puede
posteriormente a derivarla. En general esto no siempre es posible, pues solo para suponerse que y = f(x) y derivar
algunos casos elementales puede realizarse un proceso algebraico para lograrlo. ordinariamente aplicando la
Resulta más común que no pueda resolverse ninguna de las variables, que es la regla de la cadena. Otra opción
segunda opción, y en este caso la herramienta adecuada es la derivación implícita, es aplicar el teorema de la fun-
como observamos en el ejemplo 6. Esto se establece en el teorema de la función ción implícita.
implícita enunciado en la siguiente observación.

OBSERVACIÓN 4 Teorema de la función implícita Comunicarse en el lenguaje
matemático en forma oral
Existen dos opciones para derivar una función implícita F(x, y) = 0. En la primera puede su- y escrita.
ponerse que y = f(x) y derivarse a la función ordinariamente aplicando la regla de la cadena.
La segunda opción es aplicar el teorema de la función implícita enunciado sin demostración a
continuación.

Teorema 1

Teorema de la función implícita

Sea F(x, y) = 0 una función implícita de dos variables, si las derivadas parciales ∂F y ∂F
∂F ∂F ∂x ∂y
existen y son continuas, entonces: dF = ∂x dx + ∂y dy = 0.

∂F

En el caso en que ∂F ≠ 0, se cumple que dy = − ∂x = − Fx .
∂y dx ∂F Fy

∂y

EJEMPLO 7 Una solución implícita

Verificar que la función y3 = ce−3x2 + 3 es una solución de la ecuación diferencial dy + 2xy = 6x .
dx y2

Solución Argumentar con
Consideramos la función y3 − ce−3x2 = 3 y derivamos implícitamente contundencia y precisión.

dy = − 6cx e−3x2 usamos el teorema de la función implícita
dx 3y2 sustituimos ce−3x2 = y3 − 3

( )dy= − 6x y3 − 3
3y2
dx

dy = −2xy + 6x simplificamos
dx y2

dy + 2xy = 6x reordenamos
dx y2

que es la ecuación original, de manera que la función y3 = ce−3x2 + 3 sí es una solución en forma
implícita de la ecuación diferencial dada.

10 UNIDAD 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden

EJEMPLO 8 Una solución implícita

( )Verificar que la función c x2 + y2 = y es una solución de la ecuación diferencial 2xydx +
( )y2 − x2 dy = 0.

Argumentar con Solución
contundencia y precisión.
( )Consideramos la función c x2 + y2 − y = 0 y derivamos implícitamente

dy = − 2cx usamos el teorema de la función implícita
dx 2cy − 1

dy = − 2 ¢ x2 y y2 ≤ x y
+ +
sustituimos c =
dx y x2 y2
2 ¢x2 + ≤ y − 1
y2

dy = − 2xy simplificamos
distribuimos el denominador
( )dx 2 y2
x2 + y2 ¢ x2 + y2 −1≤

( ))(dy = − 2xy

dx 2 y2 − x2 + y2

( )y2 − x2 dy = −2xy dx reordenamos

( )de manera que la función c x2 + y2 − y = 0 es una solución implícita de la ecuación diferen-
( )cial 2xydx + y2 − x2 dy = 0.

EJEMPLO 9 Una solución implícita

Mostrar que la función y = x3 sen x + cx3 es una solución de la ecuación diferencial y′ − 3 y=
x
x3 cos x .

Solución
Consideramos la función y = x3 sen x + cx3 y derivamos de manera ordinaria:

y′ = x3 cosx + 3x2 sen x + 3cx2.

Al sustituir en la ecuación diferencial, tenemos

( ) ( )y′ − 3 x3 sen x + cx3 = x3 cos x + 3x2 sen x + 3cx2 − 3 x3 sen x + cx3 = x3 cos x .
xx
De lo anterior concluimos que la función y = x3 sen x + cx3 es una solución explícita de la ecua-
ción diferencial dada.

EJEMPLO 10 Una solución explícita
Verificar que la función y = c1ex + c2xex + c3x2ex es una solución de la ecuación diferencial
y′″ − 3y″ + 3y′ − y = 0.

Solución
Si derivamos sucesivamente la función y = c1ex + c2xex + c3x2ex, tenemos

1.1 Introducción 11

)) ((y′ = c1 + c2 ex + c2 + 2c3 xex + c3x2ex primera derivada
) )( (y″ = c1 + 2c2 + 2c3 ex + c2 + 4c3 xex + c3x2ex segunda derivada
) )( (y′″ = c1 + 3c2 + 6c3 ex + c2 + 6c3 xex + c3x2ex tercera derivada

De esta manera,

y′″ − 3y″ + 3y′ − y = (c1 + 3c2 + 6c3 )ex + (c2 + 6c3 )xex + c3x2ex

( )) )( (−3 c1 + 2c2 + 2c3 ex + c2 + 4c3 xex + c3x2ex
( ))) ((+3 c1 + c2 ex + c2 + 2c3 xex + c3x2ex
( )− c1ex + c2xex + c3x2ex = 0

La función y′″ − 3y″ + 3y′ − y = 0 es una solución explícita de la ecuación y′″ − 3y″ +
3y′ − y = 0.

Otra manera de clasificar las soluciones de una ecuación diferencial se basa en si contienen Reconocer conceptos
o no constantes arbitrarias. Las constantes arbitrarias aparecen en una solución como resulta- generales e integradores.
do de agregar constantes de integración en el proceso de solución. Para el caso de una ecuación
diferencial ordinaria, el número de constantes arbitrarias coincide con el orden de la ecuación.

Familia de soluciones, soluciones particulares y la solución trivial 9 Definición

( )Dada la ecuación diferencial ordinaria F x, y, y′, y′′,, y(n−1), y(n) = 0, se dice que una

solución de la forma G(x, y,c1,c2,,cn ) = 0 es una familia de soluciones con n parámetros
arbitrarios. Si una solución no contiene parámetros arbitrarios, se dice que es una solución

particular. Si la función y = 0 es una solución, decimos que y = 0 es la solución trivial.

Una solución particular siempre está contenida en la familia de soluciones. Las soluciones de una ecua-
Una manera de obtener muchas soluciones particulares de una ecuación diferen- ción diferencial se clasifican en
cial es dando valores específicos a las constantes arbitrarias de la familia de solu- familias de soluciones: particu-
ciones. En el ejemplo 5, la función y = c1e−x + c2ex es una familia de soluciones con lares y singulares.
dos parámetros arbitrarios, mientras que las funciones y = e−x y y = ex son ambas

soluciones particulares. Podemos observar que al elegir los valores c1 = 1 y c2 = 0 se obtiene de
la familia de soluciones, la solución particular y = e−x, y al elegir los valores c1 = 0 y c2 = 1 se
obtiene la solución y = ex.

EJEMPLO 11 Familia de soluciones y soluciones particulares

Identificar la familia de soluciones y las soluciones particulares de la ecuación diferencial

dy + 2xy = 6x para los valores c = 0, c = 1, c = 3 y c = −2.
dx y2

Solución 3ec, udaecmióanndeirfaerqeuneciaallguddxyna+s2sxoylu=ci6yox2netisenpearptiocrulfaarmesilisaondey

Del ejercicio 7, tenemos que la solu-
ciones a la función y3 = ce−3x2 + 3 = 3,

y3 = e−3x2 + 3, y3 = 3e−3x2 + 3, y3 = −2e−3x2 + 3, etcétera.

12 UNIDAD 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden

EJEMPLO 12 Familia de soluciones y soluciones particulares
Identificar la familia de soluciones y las soluciones particulares de la ecuación diferencial

( )2xydx + y2 − x2 dy = 0, para los valores c = 0, c = ±1, c = ±2 y c = ±3.

Solución

( )Del ejercicio 8 sabemos que la función c x2 + y2 = y es una familia de soluciones de la ecuación
( )diferencial 2xydx + y2 − x2 dy = 0, de manera que para los valores c = 0, c = ±1, c = ±2 y c = ±3,
( )son soluciones particulares y = 0, x2 + y2 = y, x2 + y2 + y = 0, 2 x2 + y2 = y, 2x2 + 2y2 + y = 0,
( )3 x2 + y2 = y y 3x2 + 3y2 + y = 0.

En los ejemplos anteriores observamos la forma algebraica de una familia de soluciones,
pero sin lugar a dudas, una manera más llamativa de trabajar con la solución de una ecuación
diferencial es observando su gráfica. Dada la complejidad que puede tener una solución, por lo
general es necesaria la utilización de un sistema algebraico computarizado (SAC) para visua-
lizar las gráficas correctamente. En los siguientes ejemplos se observan las gráficas de algunas
familias de soluciones.

EJEMPLO 13 Gráfica de una familia de soluciones
Verificar que y = ce2x es una familia de soluciones de la ecuación diferencial y′ − 2y = 0 y grafi-
car algunas de las soluciones particulares utilizando un SAC.

Las soluciones particulares Solución
pueden obtenerse de la familia Se verifica que si y = ce2x, entonces y′ = 2ce2x; luego, y′ − 2 y = 2ce2x − 2ce2x = 0, de
de soluciones al darle valores manera que la función y = ce2x es una familia uniparamétrica de soluciones de la
específicos a las constantes
arbitrarias. ecuación y′ − 2y = 0.

La gráfica de algunas soluciones particulares se observa en la FIGURA 1.1.

y c=1
4 c = 0.1
c = 0.01
2

Potenciar las habilidades −4 −2 0 x
para el uso de nuevas 2
tecnologías.
Representar e interpretar −2
conceptos en forma
geométrica y algebraica.

−4 c = −1
c = −0.1
c = −0.01

Figura 1.1 Algunas soluciones.

EJEMPLO 14 Gráfica de una familia de soluciones

Verificar que y = cx es una familia de soluciones de la ecuación diferencial y′ = y y graficar
x
algunas de las soluciones particulares utilizando un SAC.

1.1 Introducción 13

Solución

Se verifica que si y = cx, entonces y′ = c; luego, y′ = c = y , de manera que la función y = cx es Potenciar las habilidades
x para el uso de nuevas
y tecnologías.
una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación y′ = x . Representar e interpretar
conceptos en forma
La gráfica de algunas soluciones particulares se observa en la FIGURA 1.2. geométrica y algebraica.

c = −1 y c=3 c=1
c = −3 10

c = −1/2 5 c = 1/2

−10 −5 0 5 x
10

−5

−10
Figura 1.2 Algunas soluciones.

EJEMPLO 15 Una solución que no es familia ni es particular

Dada la ecuación diferencial y′ = 3 xy , verificar si la función y1/2 − x3/2 = c es una familia de
soluciones y si la función y = 0 es una solución particular.

Solución a) Las soluciones singulares son
Dada la función y1/2 − x3/2 = c , tenemos soluciones que no se pueden
obtener de la familia de solu-
dy = − − 3 x1/2 = 3x1/2 y1/2 =3 xy derivamos implícitamente ciones al darle valores específi-
dx 2 cos a las constantes arbitrarias.

1

2 y1/2

De manera que la función implícita y1/2 − x3/2 = c sí es una familia de soluciones de la ecuación
y′ = 3 xy.

Solución b)
Es evidente que la función y = 0 satisface la ecuación diferencial dada. Sin embargo, también
puede verificarse que no existe un valor de la constante arbitraria c de manera que la solución
trivial pueda obtenerse de la familia de soluciones. Una solución con esta propiedad se conoce
como una solución singular.

Reconocer conceptos
generales e integradores.

Solución singular 10 Definición

Una solución de una ecuación diferencial se denomina singular si no puede obtenerse de la
familia de soluciones al darle valores a las constantes arbitrarias.

14 UNIDAD 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden

Reconocer conceptos Al observar las gráficas en los ejemplos 13 y 14, surgen de manera natural un par de pre-
generales e integradores. guntas cuyas respuestas serán objeto de estudio en la siguiente sección: dado un punto en par-
ticular en el plano, ¿existe una solución que pase por dicho punto? y además, ¿cuántas solucio-
nes existen con esa propiedad?

En la vida cotidiana, si algún problema real requiere de modelarse matemáticamente me-
diante una ecuación diferencial, la misma naturaleza del problema establece condiciones adi-
cionales que permiten calcular una única solución. Es decir, para un problema específico no es
de utilidad conocer la familia de soluciones, porque esta contiene una infinidad de soluciones,
ni mucho menos descubrir que nuestro problema no tenga una solución factible. En la siguiente
sección mencionamos las condiciones que deben cumplirse para que una solución de una ecua-
ción diferencial exista y además satisfaga condiciones adicionales que permitan dar solución a
problemas de aplicación específicos.

Problema del valor inicial y el teorema de existencia y unicidad

En la etapa de aplicación es muy común que en la vida real, estudiantes e investigadores que
intentan resolver alguna ecuación diferencial se encuentren con grandes dificultades para ha-
llar la solución, y no hablamos de dificultades algebraicas ni de cálculo. También puede suceder
que sean capaces de resolverla, pero que se encuentren con la sorpresa de que hay más de una
solución a sus necesidades. Cualquiera de estas opciones no resuelve un problema real. Una
primera necesidad que surge al estudiar los métodos de solución de las ecuaciones diferenciales
es poder garantizar que exista una solución y que exista solo una que satisfaga condiciones
específicas generadas al plantear la ecuación como modelo matemático de un problema real.

El conjunto formado por una ecuación diferencial y las condiciones adicionales que per-
miten seleccionar una solución particular de la familia recibe el nombre de problema de valor
inicial. Para ser más precisos, tenemos la siguiente definición.

Definición 11 Problema de valor inicial

Se conoce como un problema de valor inicial al problema de resolver la ecuación diferencial
y(n) = f (x, y, y′,, y(n−1) ) sujeta a las condiciones y(x0 ) = y0, y′(x0 ) = y1,…, y(n−1) (x0 ) = yn−1.

EJEMPLO 16 Un problema de valor inicial de primer orden
Para el caso de una ecuación de primer orden, el problema de valor inicial toma la forma:
Resolver y′ = f (x, y) sujeta a y(x0 ) = y0.

EJEMPLO 17 Un problema de valor inicial de segundo orden
Para el caso de una ecuación diferencial de segundo orden, el problema de valor inicial se
enuncia así:
Resolver y″ = f (x, y, y′ ) sujeta a y(x0 ) = y0, y′(x0 ) = y1.

Al resolver un problema de valor inicial, gráficamente estamos determinando qué función
de la familia pasa por un punto o varios puntos dados. Técnicamente, debemos evaluar las
condiciones proporcionadas para que mediante un proceso algebraico determinemos el valor
de la constante arbitraria o los valores de las constantes arbitrarias que definen una función
particular que satisface cada una de las condiciones dadas.

1.1 Introducción 15

EJEMPLO 18 Un problema de valor inicial Potenciar las habilidades
para el uso de nuevas
Resolver la ecuación y′ − 2y = 0 sujeta a la condición y(0) = 1. tecnologías.
Representar e interpretar
Solución conceptos en forma
Del ejemplo 13 hemos verificado que y = ce2x es una familia de soluciones de la ecuación di- geométrica y algebraica.
ferencial y′ − 2y = 0. De la condición y(0) = 1 debemos entender que si x = 0, entonces y = 1, y
sustituir en la familia de soluciones para obtener 1 = ce2(0), luego c = 1.

De manera que la función y = e2x es una solución particular de la ecuación diferencial
y′ − 2y = 0 sujeta a la condición dada, como observamos en la FIGURA 1.3.

y c=1
4 c = 0.1
c = 0.01
2

−4 −2 0 x
2

−2

−4 c = −1
c = −0.1
c = −0.01

Figura 1.3 La función y = e2x es una solución particular
de la ecuación diferencial y ′ − 2y = 0.

EJEMPLO 19 Un problema de valor inicial de segundo orden
Resolver la ecuación y″ − y = 0 sujeta a las condiciones y(0) = 4 y y′(0) = 2.

Solución
Se puede verificar que y = c1ex + c2e−x es una familia de soluciones de la ecuación y″ − y = 0.

Tenemos entonces:

y′ = c1ex − c2e−x derivamos la solución
y(0) = c1e0 + c2e0 = c1 + c2 = 4 evaluamos la condición y(0) = 4
y′(0) = c1e0 − c2e0 = c1 − c2 = 2 evaluamos la condición y′(0) = 2

Al resolver el sistema

c1 + c2 = 4 Representar e interpretar
c1 − c2 = 2 conceptos en forma
geométrica y algebraica.
obtenemos c1 = 3 y c2 = 1, de manera que la solución particular que satisface las condiciones
dadas es y = 3ex + e−x. La gráfica de la solución al problema del valor inicial se muestra en la
FIGURA 1.4.

16 UNIDAD 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden

y
10

0 x
−2 2

Figura 1.4 Gráfica de la solución al problema del valor inicial.

EJEMPLO 20 Un problema de valor inicial sin solución única
Resolver la ecuación y′ = 3 xy sujeta a la condición y(0) = 0.

Un problema de valor inicial Solución
que no tiene solución para las En el ejemplo 15 verificamos que la función implícita y1/2 − x3/2 = c es una familia
condiciones dadas, o bien que de soluciones de la ecuación dada. Al considerar la condición y(0) = 0 tenemos
tiene más de una solución, que c = 0, de manera que la función y = x3 es una solución particular del problema
se considera un problema sin de valor inicial.
solución.
Sin embargo, podemos observar que la solución trivial y = 0 también es una

solución de la ecuación diferencial y satisface la condición dada. De manera que el

problema de valor inicial tiene dos soluciones factibles en el punto (0,0).

Comunicarse en el lenguaje En la práctica, un problema de valor inicial que no tiene o que tiene más de una solución
matemático en forma para condiciones específicas no es de utilidad. Es importante poder garantizar bajo qué condi-
escrita. ciones un problema de este tipo tiene solución y, además, que sea única. En general, no es fácil
establecer un resultado que aplique para todas las ecuaciones diferenciales; de momento solo
estamos en condiciones de enunciar sin demostración el resultado que nos puede ser de utili-
dad para garantizar la existencia y unicidad de la solución de un problema de valor inicial de
primer orden. En un curso especializado puede profundizarse más en el tema.

Teorema 2

(Picard) Existencia y unicidad de la solución de un problema de valor
inicial de primer orden

El problema de valor inicial de resolver la ecuación diferencial dy = f (x, y), sujeta a la con-
dx
dición y(x0 ) = y0 tiene una única solución definida sobre un intervalo con centro en x0 si
las funciones f (x, y) y son ambas continuas sobre una región que contiene al punto
∂f

(x0 , y0 ). ∂y

EJEMPLO 21 Un problema de valor inicial con solución única

Verificar si el problema de resolver la ecuación dy = x2 y3 sujeto a la condición y(a) = b tiene
dx
una solución y además es única.

1.1 Introducción 17

Solución ∂f
∂y
Consideramos la función f (x, y) = x2 y3, calculamos = 3x2 y2 y verificamos que ambas fun-

ciones son continuas en el punto (a,b). Por el teorema de existencia y unicidad se garantiza que

el problema de valor inicial dado tiene una única solución.

EJEMPLO 22 Un problema de valor inicial con solución única

Verificar si la ecuación dy = 3 xy sujeta a la condición y(a) = b tiene una solución y además
dx
esta es única.

Solución ∂f = 3 x
y
Consideramos la función f (x, y) = 3 xy y calculamos ∂y 2 .

La función f (x, y) es continua en (0, 0), pero la función ∂f = 3 x no es continua en el punto
y
∂y 2
(0, 0). Por el teorema de existencia y unicidad, el problema de valor inicial no tiene solución

o tiene más de una.

En este caso, como observamos en el ejemplo 20, existen dos soluciones que satisfacen la

condición del problema de valor inicial.

1.1 Desarrollo de competencias

10. 2y″ − 4y′ + 6y = cos x

Resolver problemas.

En los ejercicios 1 a 34, dar una clasificación de las 11. ( y + y )dx + (x − x )dy = 0
siguientes ecuaciones diferenciales.
12. d2y − dy + 1 sen x y = 1 + cos x
1. x2 y″ + 2 sen x y′ − 3y = tan x dx2 dx − cos x

2. tan y y′ − cos x = 0 13. y(3) + xy′ + 1 y = −x2ex y2
cos 2x sec2 y x

14. 3cos x y″ − 5tan x y′ = 1

3. ∂2 z + ∂2 z = 0 dy 2 1 + y
∂x2 ∂y2
15. ¢ ≤ =
dx 1+ x
4. (x − 1) y′ + (x + 1) y = e−x (x − 1)3/2

( y′)3 x 16. ∂2 z + ¢∂∂2yz2 2 = 0
x2 + ∂x2
≤

5. − 1 y = xy−1

6. dy = cos(x + y) + cos(x − y) ( )17. xdy + 2xy + y − x2 − x dx = 0
dx
18. 1− y2 dx + (ex + 1) dy = 0
( )7. ¢cot x + y + 2xy≤dx + x2 + ln x dy = 0
x 19. (x − 1) dy + y + ln x + ex = xex + x ln x

8. dy = ey + e−y dx
dx ex − e−x
)(20. y2 + 3y + 1 dx + (2xy + 3x + 1)dy = 0
( )9. xyex/ydx − x2 + y2 (ln y − ln x + 1)dy = 0
21. y(5) − 2( y′)6 + y = 2 (x + 1)y−1/2

3

18 UNIDAD 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden

22. dy + ¢ 1 + 1≤y = xe−x cos x ( ) ( )43. 3x2 y2 + 2 dy + 2xy3 − 3 dx = 0,
dx x
x2 y3 − 3x + 2 y = c
23. y(4) + ( y′)2 − 2 y = − 2 xy5/2
( )44. 4x3y3 − 3cos x + 3x sen x dx +
x3 ( )2 cos y + 3x4 y2 dy = 0,
24. x ydx + y xdy = 0
x4 y3 − 3x cos x + 2 sen y = c
( )25. x2 y2dx + 2x2 + xy dy = 0
( ) ( )26. y2 + 2x sen y + 1 dx + x2 cos y + 2xy − ln y dy = 0 ( )45. 12y2 sen(2x2 + 4y3 ) dy +
( )4x sen(2x2 + 4y3 ) dx = 0,
27. x2 dx − y x + y dy = 0 ( )cos 2x2 + 4y3 = c
y
¢1 1 x 1≤
46. y − x + tan2 x + 1≤ dx − ¢ y2 + y dy = 0,

28. ¢x2 − 1 − yex≤ dx + ¢ 1 − ex≤ dy = 0
x2 2 y
x + tan x − ln(xy) = c
29. (ln x + cos y + 1)dx + (ln y − x sen y + 1)dy = 0 y

( )30. xdy + xy + 2y3 − xe2x dx = 0 47. ¢ 1 − 6xe ≤3x2 dx − ¢ 1 ≤ dy = 0,
2 x + 2y x + 2y

31. ¢1 − y + 1≤ dx + ¢1 − 1≤ dy = 0 x + 2y − e3x2 = c
x x2 x

32. tan x¢ dy≤4 + y″ = tan x − sen x cos x 48. ¢1 5 − 4(x + 35y)2)≤ dx + ¢3 ≤ dy = 0,
dx 4x − (4x − 4x − 5

33. ¢dy≤2 − 3 y = x2 x + 3y = c
dx x x2 −1 4x − 5

) )( (34. x2 + 1 dy + xy = − x3 + x y4 ( ) ( )49. y 1+ e2xy dx + x 1+ e2xy dy = 0, e2xy + 2xy = c
dx

En los ejercicios 35 a 51, verificar si la función indi- 50. y″ + 1 y′ + 4 y = 0, y = c1 cos(ln x2 ) + c2 sen(ln x2 )
cada es solución de la ecuación diferencial correspon- x x2
diente (suponer que c1 y c2 son constantes arbitrarias).
51. x2 y″ + xy′ + 2y = 9x, y = 3x
35. y″ − y = 0, y = c1ex + c2e−x
En los ejercicios 52 a 60, verificar si los problemas de
36. y″ + y = 0, y = c1 cos x + c2 sen x valor inicial dados satisfacen las condiciones del teore-
ma de existencia y unicidad.
37. x2 y″ + 5y′ + 4y = 0, x2 y = c1 + c2 ln x 52. dy = (x + 1)y1/2, y(0) = 0
38. y″ + 2 y′ − 3y = 0, y = c1ex + c2e−3x
39. y″ + 8y′ + 16y = 0, y = c1e−4x + c2xe−4x dx

40. y′″ − 6y″ + 12 y′ − 8y = 0, y = c1e2x + 53. dy = x+ 1, y(1) = 0
c2xe2x + c3x2e2x dx y2

41. y(4) + 2 y″ + y = 0, 54. dy = y3 , y(−2) = 5
y = c1 cos x + c2x cos x + dx x + 2
c3 sen x + c4x sen x
55. dy = x y5/2, y(0) = 0
42. x2 y″ − 3x y′ + 4y = 4x4 ln x + 4x4, y = 4x4 ln x dx

56. dy = 2x3 , y(−1) = 0
dx y2

1.2 Ecuaciones diferenciales separables 19

57. dy =1 , y(0) = 0 59. dy = (x − 1)( y + 2) , y(1) = −2
dx xy dx (x + 2)( y − 1)

58. dy = (x − 1)( y + 2) , y(−2) = 1 ( )60. dy = x2 + 2 y1/2 , y(0) = 1
dx (x + 2)( y − 1) dx

1.1 Competencia final

Capacidad para generar nuevas ideas. En los ejercicios 8 a 10, verificar si la función indicada
Resolver problemas. es solución de la ecuación diferencial correspondiente
(suponer que c1 y c2 son constantes arbitrarias).
En los ejercicios 1 a 7, clasificar las siguientes ecuacio-
nes diferenciales. Indicar su tipo, orden, tipo de linea- 8. y′″ − 6y″ + 11y′ − 6y = 0, y = c1ex + c2e2x + c3e3x
lidad y grado.
9. ¢x + ln x≤ dy + ¢y + ln y≤ dx = 0, x ln y + y ln x = c
1. ∂2 z + ∂2 z + ∂z − ∂z = 0 yx
∂x2 ∂y2 ∂x ∂y
10. x2 y″ + 3xy′ + 5y = 13x2 , y = c1x2
x2 −
2. ( y″ )3 − x2 1 y = x4 y−2

3. dy = sen(x + y) + cos(x − y) En los ejercicios 11 y 12, verificar si los problemas de
dx valor inicial dados satisfacen las condiciones del teore-
ma de existencia y unicidad.

4. ∂2 u = c2 ∂2 u 11. dy = (x − 1)( y )− 1 1/2 , y(0) = 1
∂x2 ∂t2
dx

5. a ∂2 u + b ∂2 u + c ∂2 u = 0 12. dy = (x − 1)( y + 2) , y(1) = −1
∂x2 ∂x ∂y ∂y2 dx (x + 1)( y − 1)

( )6. y(5) 4 + xy′ + x − 11 y3 = −x2ex y4
x5

) )( (7. y2 + 3xy + x dx + 2x2 y + 3x + y dy = 0

1.2 Ecuaciones diferenciales separables

El estudio de los métodos de solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer
dy
orden inicia con la solución de una ecuación de la forma dx = f (x)g( y), conocida como una

ecuación diferencial separable. Una ecuación muy conocida de este tipo es la que modela el
dx
problema clásico de la velocidad como un cambio de la posición respecto del tiempo: dt = v.

Ecuación diferencial separable Reconocer conceptos
generales e integradores.

1 Definición

Una ecuación diferencial de la forma dy = f (x)g( y) se conoce como una ecuación dife-

rencial separable. dx

20 UNIDAD 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden

Una ecuación separable se re- Una ecuación diferencial separable se resuelve por integración directa siempre
suelve por integración directa. 1
que las funciones g( y) y f (x) sean integrables en algún intervalo, como se expresa

en el siguiente teorema.

Argumentar con contundencia y precisión.

Teorema 1

La ecuación diferencial separable dy = f (x)g( y) se resuelve
por integración directa dx

Demostración

Dada la ecuación diferencial separable dy = f (x)g( y) , se tiene
dx

1 ) dy = f (x) dx reescribimos
g( y

Considerando que las funciones 1 y f(x) sean integrables en algún intervalo, podemos
g( y)

integrar ambos miembros de la igualdad para obtener

∫ ∫1 dy = f (x)dx integramos ambos miembros
g( y)

G(y) = F(x) + c agregamos una constante de integración

Comunicarse en el que representa una familia de soluciones buscada.
lenguaje matemático en
forma escrita.

Es necesario realizar un par de observaciones acerca de las funciones que aparecen en una
ecuación diferencial:

• En general, las funciones consideradas en un primer curso de ecuaciones diferenciales se
elige que sean integrables para evitar mayor conflicto en los primeros acercamientos del
lector con la búsqueda de una solución.

• De la misma forma, se considera que las funciones son integrables en un dominio adecua-
do, de manera que en caso de haber algún punto de discontinuidad, no sea necesario que la
integral indefinida deba resolverse como una integral impropia. Por lo regular, al calcular
una integral indefinida, el dominio en el que esto puede hacerse es el adecuado para que la
función obtenida esté bien definida.

Antes de presentar algunos ejemplos de solución de ecuaciones diferenciales separables,
hagamos una observación acerca de la constante de integración.

OBSERVACIÓN 1 La constante de integración

Al integrar una ecuación no es necesario sumar una constante de integración por cada integral
realizada; solamente basta una constante que pueda ser agregada en cualquiera de los miem-
bros.

Al considerar la ecuación g( y)dy = f (x)dx, se tiene

Al resolver una ecuación ∫ ∫g( y)dy = f (x)dx integramos
diferencial ordinaria de primer ∫ ∫g( y) dy + c1 = f (x) dx + c2 sumamos constantes de integración
orden, solamente se agrega una ∫ ∫g( y) dy = f (x) dx + c2 − c1 reescribimos
sola constante de integración ∫ ∫g( y)dy = f (x)dx + c definimos c = c2 − c1
por todas las integrales que se
calculan.

Lo anterior equivale a utilizar una sola constante de integración en la ecuación.

1.2 Ecuaciones diferenciales separables 21

EJEMPLO 1 Una ecuación separable
Resolver dy = f (x) , en donde f (x) es una función integrable en un intervalo.

dx

Solución

La ecuación se resuelve al integrar de manera directa, es decir

dy = f (x)dx reescribimos

∫ ∫dy = f (x)dx integramos ambos lados

∫y = f (x) dx + c = F (x) + c agregamos una sola constante de integración

EJEMPLO 2 Otra ecuación separable

Resolver y′ = 1 1 .
x2 +

Solución
La ecuación diferencial se puede escribir como

dy = 1 1 dx reescribimos
x2 + integramos ambos miembros
agregamos una sola constante de integración
∫ ∫dy = x 1 dx
2+ 1

y = tan−1 x + c

EJEMPLO 3 Un primer problema de valor inicial
Resolver dy = e2x sujeta a y(0) = 5.

dx 2

Solución
Si escribimos la ecuación en la forma dy = e2xdx , tenemos

∫ ∫dy = e2x dx integramos ambos miembros

y = 1 e2x + c familia de soluciones
2

Ahora consideramos la condición inicial y(0) = 5, e interpretamos que y = 5 cuando x = 0

22

5 = 1 e0 + c sustituimos y = 5, x = 0
22 2

c = 2 valor particular de la constante

y = 1 e2x + 2 solución particular
2

Antes de presentar más ejemplos de solución de las primeras ecuaciones diferenciales, es
conveniente hacer otras observaciones acerca de la solución de una ecuación.

22 UNIDAD 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden

Al resolver una ecuación Se ha justificado el uso de una sola constante de integración al resolver una
diferencial ordinaria de primer ecuación diferencial ordinaria de primer orden; sin embargo, surgen de manera
orden, solamente se agrega una natural otras cuestiones al respecto: ¿cuál es la forma “más conveniente” para ex-
sola constante de integración presar una solución?, ¿qué tan simplificada debe expresarse?, ¿en qué lado de la
por todas las integrales que se ecuación debe agregarse la constante de integración?, ¿puede tomar la constante

calculan. alguna forma especial?, etcétera.

En general, no existen reglas que regulen la forma de la solución de una ecua-

ción diferencial; simplemente se considera conveniente si no está expresada en términos de fun-

ciones con dominios muy restringidos. Lo anterior se debe a que las ecuaciones diferenciales

son el modelo matemático de muchos fenómenos de la vida común y por esta razón los proble-

mas de condición inicial y de valores en la frontera son parte importante de las matemáticas,

así que la sustitución de valores que se hace al resolver un problema de este tipo requiere de

funciones que permitan hacerlo. Por esta razón, la solución de una ecuación di-

La constante de integración de ferencial de preferencia no debe contener funciones logarítmicas, trigonométricas

una familia de soluciones se inversas o cualquier otra de dominio restringido, y esto se logra utilizando propie-
puede redefinir de manera que dades algebraicas adecuadas.
más convenga para simplificar
la expresión. Para hacer algunas observaciones acerca de la constante de integración, con-
sideremos el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 4 La constante de integración correcta

Resolver la ecuación dy − y = 0 sujeta a y(0) = −2.
dx

Optimizar soluciones. Solución 1 la ecuación dy − y = 0 en la forma dy = dx y al integrar, tenemos
Al reescribir dx y

∫ ∫dy = dx integramos
y

ln y = x + c1 agregamos una constante

Resulta evidente que la condición y(0) = −2 no puede sustituirse porque la función logaritmo
no lo permite. Si reescribimos la solución, tenemos

Una constante de integración y = ex+c1 solución sin logaritmos
se puede redefinir tantas veces y = exec1 definir c = ec1
como se crea conveniente. y = cex familia de soluciones

Las constantes de integración Observemos que en esta forma equivalente de la solución sí es posible sustituir la
condición y(0) = −2, pues
pueden tomar formas especia-

les que combinen múltiplos, −2 = ce0 sustituimos y(0) = −2

potencias y logaritmos de una

constante arbitraria, como, por c = −2 valor particular de la constante
1
ejemplo, 2c, −c, ec, lnc, c , etc., De esta manera, tenemos que la solución particular al problema de condición ini-
cial es
y se puede reemplazar por una

simple constante c.

y = −2ex solución particular

Observemos que esta solución particular al problema de valor inicial es correcta, porque satis-
face dy − y = −2ex − (−2ex ) = 0 y además y(0) = −2e0 = −2.

dx

1.2 Ecuaciones diferenciales separables 23

Solución 2 (Agregar la constante de integración a la izquierda)

Al proceder de la misma forma que en la solución 1, tenemos Optimizar soluciones.

∫ ∫dy = dx integramos y agregamos una constante de integración Al resolver un problema de va-
y lor inicial, no importa la forma
en la que se elige la constante
Si en este paso agregamos la constante al lado izquierdo, tenemos: de integración, pues siempre
se llega a la misma solución
ln y + c1 = x tomamos exponencial particular (algebraicamente
eln y+c1 = ex equivalente). Los casos de solu-
ciones singulares se consideran
eln yec1 = ex separamos por separado.

c2 y = ex definimos c2 = ec1

y = 1 ex resolvemos para y
c2 definimos c = 1

y = cex c2

que es la misma familia de soluciones obtenida en la solución 1.

Solución 3 (Agregar la constante de integración con una forma especial)

Hasta aquí, sabemos que la constante puede agregarse en cualquiera de los lados. Optimizar soluciones.
Si procedemos de la misma forma que en la solución 1, tenemos

∫ ∫dy = dx integramos y agregamos una constante de integración
y

Si en este paso agregamos la constante lnc1, tenemos

ln y + lnc1 = x

ln c1y = x propiedades de logaritmos

c1y = ex tomamos exponencial
y = cex definimos c = 1

c1

que es la misma familia de soluciones obtenida en la solución 1.

Las propiedades observadas en las diferentes soluciones del ejemplo 4 pueden generalizarse
para cualquier ecuación diferencial (ver desarrollo de competencias 1.2).

OBSERVACIÓN 2 En los capítulos siguientes y con base en las consideraciones anteriores, las
soluciones serán expresadas de la manera que más convenga. Del mismo modo, las constantes
de integración se reescribirán las veces que sea necesario para que la solución tome una forma
fácil de manipular para posteriores aplicaciones.

EJEMPLO 5 Un problema de valor inicial
Resolver dy = 2x sujeta a y(1) = 2 .

dx x + 2

24 UNIDAD 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden

Solución
Si integramos ambos miembros de la ecuación, tenemos

∫ ∫dy = 2x dx reescribimos e integramos ambos miembros
x+2 sumamos 4 y restamos 4
separamos en dos integrales
∫ ∫dy = 2x + 4 − 4 dx simplificamos
x+2 integramos y agregamos constante de la forma lnc
aplicamos propiedades de logaritmos
∫ ∫ ∫dy = 2 x + 2 dx + −4 dx tomamos exponencial
x+2 x+2 familia de soluciones en forma implícita

∫ ∫ ∫dy = 2 dx − 4 1 dx
x+2

y = 2x − 4 ln(x + 2) + lnc

y − 2x = ln (x c
+ 2)4

e y−2x = (x c
+ 2)4

(x + 2)4ey−2x = c

Aun cuando las ecuaciones Ahora se considera la condición inicial y(1) = 2, y se interpreta que y = 2 cuando
diferenciales no contengan en x = 1:
su solución funciones loga-
rítmicas, siempre resulta muy c = (1+ 2)4 e2−2(1) = 81 evaluamos y = 2, x = 1 en la familia de soluciones
útil considerar constantes de
integración de la forma ln c. (x + 2)4 ey−2x = 81 solución particular

EJEMPLO 6 La constante de integración correcta
Resolver la ecuación diferencial ( x2 + 1) dx − xy2 dy = 0.

Lograr un pensamiento Solución
lógico, analítico y sintético. La ecuación diferencial es de variables separables, de esta manera:

(x2 + 1) dx = y2dy separamos las variables
x integramos ambos miembros

∫ ∫¢x + 1 ≤dx = y2dy
x

1 x2 + ln x + ln c1 = 1 y3 multiplicamos por 6 y utilizamos logaritmos
2 3 tomamos exponencial
escribimos c2 = c16
6 ln c1x + 3x2 = 2 y3

(c1x)6 e3x2 = e2 y3

1.2 Ecuaciones diferenciales separables 25

c2 x6 e3x2 = e 2 y3 familia de soluciones
x e6 3x2 −2 y3 = c de manera equivalente con c = 1

c2

EJEMPLO 7 Ecuación diferencial separable
Resolver la siguiente ecuación diferencial xdx − ydy = xy (xdy − ydx).

Solución Lograr un pensamiento
La ecuación es separable, de manera que lógico, analítico y sintético.

xdx − ydy = x2 y dy − xy2dx desarrollamos
agrupamos
x( y2 + 1)dx = y(x2 +1)dy

∫ ∫xx1 dx = y 1 dy separamos variables e integramos
2+ y2 + tomamos 1 lnc como constante de integración

) )( (1 ln x2 +1 = 1 ln y2 + 1 + 1 lnc 2
tomamos exponencial
222
familia de soluciones
ln(x2 +1) = lnc( y2 + 1)

( )x2 +1 = c y2 + 1

EJEMPLO 8 Ecuación diferencial separable
Resolver la ecuación diferencial por separación de variables tan x sen ydx + cos3 x cot ydy = 0 .

Solución Lograr un pensamiento
Al dividir la ecuación por cos3x sen y , tenemos lógico, analítico y sintético.

tanx dx + cot y dy = 0
cos3 x sen y

sen x dx + cos y dy = 0 utilizamos tan x = sen x y cot y = cos y
cos4 x sen2 y cos x sen y

∫ ∫senx dx + cos y dy = 0 integramos todos los términos
cos4 x sen2 y

∫ ∫− du + dw = 0 donde u = cos x y w = sen y
u4 w2

1 − 1 = c1 integramos cada término
3u3 w

1 x − 1 y = c1 sustituimos u = cos x y w = sen y
3 cos3 sen

sec3 x − 3csc y = c con c = 3c1

26 UNIDAD 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden

EJEMPLO 9 Problema de valor inicial
Resolver dx = yex−y + ye−x− y , sujeta a y(0) = 0.

dy

Lograr un pensamiento Solución
lógico, analítico y sintético. Al separar las variables tenemos

dx = ye− ydy
e x + e−x

( )e xdx = ye− ydy multiplicamos y dividimos por ex
simplificamos e integramos
e x e x + e−x con u = ex
familia de soluciones
∫ ∫e e x 1 dx = ye− ydy

2x +

∫ ∫du 1 = ye− ydy
u2 +

)(tan−1 ex + 1+ y e− y = c

Se considera que dos familias Evaluando la condición inicial y(0) = 0 , tenemos
de soluciones son equivalentes
si una puede transformarse )(c = tan−1 e0 + 1+ 0 e−0 = π + 1 simplificamos
en otra mediante un proceso solución particular
algebraico. 4

)(tan−1 ex + 1+ y e− y = π + 1

4

OBSERVACIÓN 3 Se dice que dos familias de soluciones son equivalentes si una puede
transformarse en la otra mediante algún proceso algebraico

En la medida en que el lector profundice en el estudio de los métodos de solución de las ecua-

ciones diferenciales, debe considerar que una familia de soluciones obtenida por algún mé-

todo puede en apariencia ser diferente y sin embargo ser equivalente a la obtenida por otro

método diferente, ya sea por haber elegido una constante arbitraria diferente o simplemente

por haber simplificado de otra manera. No obstante, al redefinir las constantes de integración,

al aplicar un poco de álgebra, al utilizar identidades trigonométricas, al resolver alguna de las

variables, etc., puede mostrarse que se trabaja con la misma solución.

Por ejemplo, para la ecuación separable dy = 2y+1 , las siguientes familias de soluciones son
dx x−1

equivalentes: 2 y+1 = c, 2y + 1 = c(x + 1), 2y + 1 = c(x + 1)2 y c (2y + 1) = (x + 1)2.
x+1

Argumentar con Ecuaciones que se reducen a ecuaciones separables
contundencia y precisión.
La primera ecuación diferencial que se resuelve en un curso de métodos de solución es la de
variables separables; sin embargo, ya estamos en condiciones de resolver otras ecuaciones dife-
renciales ordinarias, incluyendo algunas no lineales.

En el siguiente teorema se presenta una ecuación diferencial con estas características.

1.2 Ecuaciones diferenciales separables 27

Teorema 2

La ecuación diferencial de la forma dy = f (ax + by + c) puede reducirse
dx
a una ecuación diferencial separable

Las ecuaciones diferenciales de
dy
Demostración la forma dx = f (ax + by + c) se

Consideremos la ecuación diferencial de la forma dy = f (ax + by + c). Es evi- pueden reducir a una ecuación
dx
dente que no tiene una clasificación específica, porque eso depende de la fun- diferencial separable.

ción f (x) que se compone.

Al definir el cambio de variable u = ax + by + c, tenemos

du = a + b dy derivamos u
dx dx
Comunicarse en el
Al sustituir el cambio de variable en la ecuación diferencial, tenemos lenguaje matemático en
dy = f (u) forma escrita.
dx
Las ecuaciones diferenciales de
Si combinamos estas dos últimas expresiones, obtenemos dy
du = a + bf (u) la forma dx = f (ax + by + c) se
dx
reducen a una ecuación sepa-
que es una ecuación diferencial separable, cuya solución está dada por
rable al utilizar el cambio de
∫ ∫du = dx.
a + bf (u) variable u = ax + by + c, de tal
du dy
modo que dx = a +b dx .

EJEMPLO 10 Una ecuación que se reduce a una ecuación separable
Resolver la ecuación dy = (6x − 3y + 4)3 + 2 .

dx

Solución Lograr un pensamiento
Al considerar el cambio de variable u = 6x − 3y + 4, se tiene dy = u3 + 2. Además: lógico, analítico y sintético.

dx

du = 6 − 3 dy derivamos
dx dx

)(du = 6 − 3 u3 + 2 sustituimos

dx

du = −3 dx separamos
u3

∫ ∫− u−3 du = 3dx reordenamos

1 = 3x + c integramos
2u2 sustituimos cambio de variable
familia de soluciones
2(6x − 1 + 4)2 = 3x + c1
3y

(6x − 1 + 4)2 = 6x + c
3y

28 UNIDAD 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden

Al resolver ecuaciones diferenciales es fundamental considerar la expresión correcta, ya
que la modificación mínima de un signo, un dígito, un punto decimal, una condición inicial o
una variable pueden originar un cambio drástico en la solución obtenida. El siguiente ejemplo
tiene la intención de mostrar esta situación: resolver una ecuación diferencial haciendo ligeras
modificaciones en la estructura original para comparar las soluciones obtenidas.

EJEMPLO 11 Un pequeño cambio, una solución diferente

Resolver la ecuación diferencial dy = y + 2 sujeta a la condición y(0) = 1 .
dx

Solución

Caso 1

Al considerar la ecuación separable dy = y + 2 , tenemos
dx

∫ ∫dy = dx separamos e integramos
y+2

ln( y + 2) = x + c1 una familia de soluciones

y = cex − 2 definimos c = ec1

1+ 2 = ce0 evaluamos y(0) = 1

y = 3ex − 2 familia de soluciones

Potenciar las habilidades Caso 2
para el uso de nuevas
tecnologías. Si resolvemos dy = y + 2 sujeta a la condición y(1) = 0, tenemos y = 2ex−1 − 2.
dx

Caso 3

Si resolvemos dy = y + 2 sujeta a la condición y(0) = −2, tenemos y = −2.
dx

Caso 4

Si resolvemos dy = y − 2 sujeta a la condición y(0) = 1, tenemos y = −ex + 2.
dx

En la gráfica se muestran las variaciones gráficas en la solución obtenida al “modificar por
error” la ecuación original.

yy
44

22

−4 −2 02 x −4 −2 0 2 x
4 4

−2 −2

Caso 1 −4 Caso 2 −4
dy = y + 2, y(0) = 1 dy = y + 2, y(1) = 0
dx dx
y = 3ex − 2 y = 2ex−1 − 2