matematicas 5

Índice analítico 279

Integrales impropias, 134, 160 Problema de las funciones impares, 220
Intervalo centrado, 244 de Fermat, 229 de las funciones pares, 220
inverso dentro de las ecuaciones de los complejos, 257
en el origen, 243 diferenciales, 2 de los logaritmos, 37
de los teoremas de traslación, 155
L Problemas de de una función periódica, 175
Límite aplicación en la mecánica de del operador de Laplace, 137
materiales, 192 formales de la función delta, 199
al infinito de la función, 139 aplicación en la óptica, 192 gráficas de la función escalón
de una función, 2, 198 aplicación en la teoría
Límites al infinito, 160 electromagnética, 192 unitario, 160
Linealidad de la condición inicial, 22 operativas de la convolución, 178
integral, 138 Punto arbitrario, 42
transformada inversa de Laplace, 149 Problema(s) de valor inicial, 14, 77, 148
Linealización de valor inicial con solución única, 16 R
de f(x), 41 de valor inicial de primer orden, 14 Raíces
de f(x, y), 41 de valor inicial de segundo orden, 14
de valor inicial sin solución, 16 auxiliares, 111
M complejas conjugadas, 98, 99
Mecánica teórica, 229 Problema(s) de valores en la frontera, de multiplicidad inmediata, 114
Media aritmética de los valores 22, 78 de una ecuación de grado 4, 104
de una ecuación de segundo grado,
laterales, 236 de orden tres, 79
Método de de segundo orden, 78 104
forma general de un, 78 de una ecuación de tercer grado, 104
reducción de orden, 81, 90 Procedimiento que dan origen a la función g(x), 111
variación de parámetros, 81, 109, 119 de división sintética, 105 reales diferentes, 98
Método de coeficientes indeterminados, para determinar una función reales repetidas, 98
Raíz racional irreducible, 104
81, 109, 110 continua, 236 Reducción
por el principio de superposición, para obtener la serie de Fourier en a una ecuación diferencial separable,

110, 119 cosenos, 244 27
Metodología de la solución de una para obtener la serie de Fourier en de orden, 81, 89
de una ecuación diferencial lineal con
ecuación diferencial lineal, 80 senos, 244
Métodos de solución de las ecuaciones para resolver un problema de valor coeficientes constantes, 134
Regla de
diferenciales, 26, 77 inicial, 187
Multiplicación de una función por un para resolver una ecuación exacta, 45 la cadena, 9
Proceso de LHôpital, 141
escalar real, 81 integración impropia, 139 Requisitos para resolver una EDL no
Múltiplo de una transformada, 137 límite al infinito, 135, 136
Producto homogénea, 109
N de dos funciones impares, 223 Resolver ecuaciones diferenciales, 28
Notación de dos funciones pares, 223 Restricciones del método de los
de una función par y una función
de la ecuación diferencial ordinaria coeficientes indeterminados
(EDO), 4 impar, 223 por el principio de
escalar, 222 superposición, 110
de Leibniz, 42 interno, 222
para el primer teorema de traslación, S
de las funciones, 222 Segundo teorema de traslación, 142,
155 punto, 222
Nueva transformada de Laplace, 139 Propiedad de 143, 163, 165, 175
Números conmutatividad de la convolución, Señal emitida en un instante específico,

reales, 2 193 196
teoría de los, 229 las funciones periódicas, 248 Separación en fracciones parciales, 151
linealidad de la transformada de Serie
O
Operador matemático, 178 Laplace, 139 compleja de Fourier, 257
Orden de una ecuación diferencial, 5, los conjuntos ortogonales, 224 de potencias de la función
traslación de una función periódica,
219 exponencial, 138
248 trigonométrica, 226
P Propiedades
Parámetro arbitrario, 135 infinita de Fourier, 226
Pares de condiciones para el problema algebraicas, 22 Serie(s) de Fourier, 228
básicas de la transformada de
de valor inicial, 78 de medio intervalo, 249
Potencial newtoniano, concepto de, 229 Laplace, 134 en cosenos, 241
Primer teorema de traslación, 155 de la derivada de una transformada, en senos, 241
Principio de en un intervalo centrado, 228
170 teoría de las, 229
inducción matemática, 141 de la ecuación diferencial ordinaria, 6
superposición, 86 de la función escalón unitario, 143
Probabilidad, teoría de la, 178 de la gráfica de una función, 162
de las funciones homogéneas, 33

280 Índice analítico

Sistema de la función implícita, 9 Heaviside, 134
algebraico computarizado (SAC), 12 de la linealidad de la transformada Transformación de
de dos ecuaciones en dos variables,
121 de Laplace, 137 un producto de funciones, 179
de ecuaciones, 84 de la linealidad de la transformada una convolución, 179
lineales, 78 una función escalonada, 142
homogéneo de n ecuaciones en n inversa de Laplace, 149 Transformada
variables, 84 de la primera derivada de una de funciones más complejas, 155
de la función escalón unitario, 163
Solución transformada, 170 de una ecuación diferencial lineal, 186
de ecuaciones diferenciales separables, de las condiciones para la existencia de una función periódica, 169
20
de problemas de valor inicial, 186 de la transformada de Laplace, de diente de sierra, 175
de sistemas de ecuaciones 141 de una onda cuadrada, 174
diferenciales, 186 de las funciones linealmente de una suma de funciones, 137
de un problema de valor inicial, 188 dependientes, 82 del múltiplo de una función, 137
de un sistema de ecuaciones por de las funciones linealmente múltiplo de una, 137
determinantes, 122 independientes, 83 traslación de la, 163
particular, 11, 109 de solución general de la EDL Transformada de Laplace, 134
para una ecuación diferencial no homogénea, 89 de las funciones elementales, 145
homogénea, 112 de solución general de la EDL de una derivada, 184
singular de una ecuación diferencial, no homogénea, 109 de una función escalonada, 160
13 de Wronski, 83 de una integral, 180
trivial, 11 del álgebra lineal, 86 más pequeña, 199
del conjunto fundamental, 88 por medio de la transformada
Solución de una ecuación diferencial, 7 del conjunto ortogonal, 224
con condiciones iniciales, 186 del principio de superposición, 87 integral, 135
definida, 77 del subespacio vectorial, 86 teorema de la linealidad de la, 137
fundamental del álgebra, 98 Transformada inversa de Laplace,
Solución general Teorema de convolución, 169, 179
de la ecuación diferencial, 79 aplicación del, 190 134, 148
de la ecuación homogénea asociada, forma inversa del, 181 de las funciones elementales, 148
109 Teorema de la transformada de Laplace de una función, 153
de una ecuación diferencial de la función delta de Dirac, linealidad de la, 149
homogénea de primer orden, 198 teorema de la linealidad de la, 141
88 Laplace de las funciones elementales, Transformadas
de una EDL no homogénea, 108, 109 145 integrales, teoría de las, 134
del método de reducción de orden, 90 Laplace de una derivada n-ésima, 185 inversas, 172
una derivada, 184 Traslación
Soluciones una función periódica, 174 de la transformada, 163
explícitas, 8 por traslación, 176 hacia la derecha, 162
implícitas, 8 Teorema(s) de traslación, 155, 169 lateral de la gráfica de una función,
forma inversa del primer, 158
Subespacio vectorial, 86 forma inversa del segundo, 166 162
del espacio de las funciones Teoría Trinomio cuadrado perfecto, 159
continuas, 86 de funciones, 178
de la probabilidad, 178 V
Suma de de las series de Fourier, 229 Variable
funciones, 81 de las transformadas integrales, 134
las transformadas, 137 de los números, 229 arbitraria, 153
electromagnética, 134 dependiente, 77
Sustitución de valores, 22 Tercias de condiciones para el problema independiente, 3
de valor inicial, 79 Variación de parámetros, 81
T Término constante, 249 Ventajas
Teorema Términos en de la teoría de las transformadas
coseno, 249
de Dirichlet, 229 seno, 249 integrales, 134
de ecuación con coeficientes Tipos de del método de variación de
integrales, 134
constantes, 97 solución de una ecuación diferencial, parámetros, 119
de existencia y unicidad, 17 7
Trabajo de W
de la solución, 80 Fourier, 134 Wronski
de Fourier, 226
de la derivada n-ésima de una coeficientes de la serie de, 83
teorema de, 83
transformada, 171 Wronskiano, 83, 122
de la existencia de un conjunto definición de, 84

fundamental, 88
de la función continua por partes, 227

Formulario básico

Razones trigonométricas en el triángulo Identidades de recíprocos

H CO sen A = 1
csc A
θ
CA cos A = 1
sec A
sen θ = CO cos θ = CA tan θ = CO
H H CA tan A = 1
cot A
cot θ = CA sec θ = H csc θ = H
CO CA CO Identidades de cociente

Razones trigonométricas en el círculo tan A = sen A
cos A
y
r = x2 + y2 cot A = cos A
sen A
(x, y)
Identidades de cuadrados
r θ
y sen2A + cos2 A = 1
tan2A + 1 = sec2 A
xx
cot2 A + 1 = csc2 A

sen θ = y cos θ = x tan θ = y Identidades de suma y diferencia
r r x
sen (A ± B) = sen Acos B ± cos Asen B
cot θ = x sec θ = r csc θ = r
y x y cos (A ± B) = cos Acos B  sen Asen B

Valores exactos de seno y coseno tan (A ± B) = tan A ± tan B
en el círculo unitario 1 tan Atan B

− 1, 3 (0, 1) 1 , 3 Identidades de ángulo doble
22 π 22
2 90° π cos 2A = cos2 A − sen2 A
− 2, 2 2π 2, 2
22 3π 3 3π 22
120° 60°
− 3,1 5π 4 135° 45° 4 π 3, 1
22 22
6 150° 30° 6
cos2A = 1− 2 sen2 A
0° 0
(−1, 0) π 180° cos2A = 2 cos2 A − 1
360° 2π (1, 0)

− 3,−1 7π 210° 330° 11π 3 ,− 1
22 300°351π5°74π 6 2 2
− 2,− 6 5π 225° 3π 3 2
2 4 240° 2 − 2
2 2 sen2A = 2 sen Acos A
4π 2 ,

2 3 270°

− 1,− 3 (0, −1) 1 , − 3 tan 2A = 1 2 tan A
22 − tan2 A
22

Identidades de reducción de cuadrados 9. Dx ¢ f ≤ = g • Dx f− f • Dx g
g g2
sen2A = 1 (1− cos2A)
( )10. Dx u = 1 • Dx u
2 u
2
cos2A = 1 (1+ cos2A)
11. Dx (sen u) = cos u • Dxu
2
tan2 A = 1− cos2A 12. Dx (cos u) = − sen u • Dxu

1+ cos2A 13. Dx (tan u) = sec2 u • Dxu

Identidades de conversión 14. Dx (cot u) = − csc2 u • Dxu
de suma a producto
15. Dx (sec u) = sec u • tan u • Dxu
sen A + sen B = 2 sen A + B cos A − B
22 16. Dx (csc u) = − csc u • cot u • Dxu

sen A − sen B = 2 cos A + B sen A − B 17. Dx (ln u) = 1 • Dx u
22 u

cos A + cos B = 2 cos A + B cos A − B 18. Dx (loga u) = 1 • Dx u
22 ln a

cos A − cos B = −2 sen A + B sen A − B
22

u

Identidades de conversión ( )19. Dx au = au ln a • Dxu
de producto a suma

sen Asen B = 1 [cos(A − B) − cos ( A + B)] ( )20. Dx eu = eu • Dxu
2

cos Acos B = 1 [cos(A − B) + cos(A + B)] ( )21.Dx uv = uv[v Dx u + Dxv ln u]
u
2

sen Acos B = 1 [sen(A − B) + sen(A + B)] ( )22. Dx sen −1u = 1 • Dxu
1− u2
2

Derivadas fundamentales ( )23. Dx cos−1 u = −1 • Dxu
1− u2
1. Dx (c) = 0
2. Dx (x) = 1 ( )24. 1
3. Dx (c • u) = c • Dxu Dx tan−1 u = 1+ u2 • Dxu

( )4. Dx xn = n • xn−1 ( )25. −1
( )5. Dx un = n • un−1 • Dxu Dx cot−1 u = 1+ u2 • Dxu

( )26. 1
Dx sec−1 u = u2 • Dx u
u
− 1

6. Dx[ f (g(x))]= ( f  g)′ (x) = f ′ (g(x)) • g′(x) ( )27. −1
7. Dx ( f ± g) = Dx f ± Dx g Dx csc−1 u = u2 − • Dx u
8. Dx ( f ⋅ g) = f • Dx g + Dx f • g u
1

28. Dx (senh u) = cosh u • Dxu

29. Dx (cosh u) = senh u • Dxu ∫16. csc u cot u du = − csc u + C
30. Dx (tanh u) = sech2u • Dxu
31. Dx (coth u) = −csch2u • Dxu ∫17. du = sen−1 u + C a
32. Dx (sech u) = −sech u • tanh u • Dxu a2 − u2
33. Dx (csch u) = −csch u • coth u • Dxu
∫18. du = 1 tan−1 u +C
Integrales fundamentales a2 + u2 a a

∫ ∫1. cf (u)du = c f (u)du ∫19. du = 1 sec−1 u + C a
∫ ∫ ∫2. ( f (u) ± g(u))du = f (u)du ± g(u)du u u2 − a2 a
∫ ∫3. u dv = uv − v du
∫4. du = u + C ∫20. du = 1 ln u+a +C
∫5. un du = 1 un+1 + C, n ≠ −1 a2 − u2 2a u−a

n +1 ∫21. du = 1 ln u−a +C
u2 − a2 2a u+a
∫6. eu du = eu + C
∫7. au du = au + C ∫22. sen2 u du = 1 u − 1 sen2u + C
24
ln a
∫23. cos2 u du = 1 u + 1 sen2u + C
∫8. du = ln u + C 24
u
∫24. tan2 u du = tan u − u + C
∫9. sen u du = − cos u + C
∫10. cos u du = sen u + C ∫25. cot2 u du = − cot u − u + C
∫11. tan u du = ln sec u + C
∫12. cot u du = ln sen u + C ∫26. sec2 u du = tan u + C
∫13. sec u du = ln sec u + tan u + C ∫27. csc2 u du = − cot u + C
∫14. csc u du = ln csc u − cot u + C ∫28. senh u du = cosh u + C
∫15. sec u tan u du = sec u + C ∫29. cosh u du = senh u + C
∫30. tanh u du = ln cosh u + C
∫31. coth u du = ln senh u + C
∫32. sec hu du = tan−1 senh u + C
∫33. sec hu du = ln tan 1 u + C

2

Transformada de Laplace 17. L {t f (t)} = − d L { f (t)} = − dF

1. L { f (t)} = F (s) ds ds

{ }2. L L −1 {F (s)} = F (s) { }18. L d2 { (t )} d2F
t 2 f (t) = − ds2 L f = ds2

{ }19. L (−1)n dn { (t )} (−1)n dnF
∞ tn f (t) = ds n L f = d ns

∫3. L { f (t)} = f (t)e−stdt 20. L { f (t) ∗ g(t)} = L { f (t)}L {g(t)} = F (s)G(s)
0

4. L {1} = 1

s

5. L {t} = 1 ∫21. L b t f (u) dur = F (s)
s2 os

22. L { f ′(t)} = s F (s) − f (0)

{ }6. L t2 = 2!
s3
23. L { f ′′(t)} = s2 F (s) − sf (0) − f ′(0)

{ }7. L tn = n! { }24. L f (n) (t) = sn F (s) − sn−1 f (0) − sn−2 f ′(0) − 
s n+1
− s2 f (n−3) (0) − s f (n−2) (0) − f (n−1) (0)
{ }8. L eat = 1
s−a = e−t0 ssenh as
as
{ }25. L
δa (t − t0 )

9. L {sen at} s2 a a2
+
26. L {δ (t)} = 1

10. L {cos at} = s2 s a2 { }27. L δ (t − t0 ) = e−t0 s
+
28. L −1 {F (s)} = f (t)
11. L {senh at} s2 a a2
−

12. L {cosh at} = s2 s a2 29. L {−1 L { f (t)}} = f (t)
−
{ }30. L −1 F (s) s−a = f (t)eat
{ }13. L f (t)eat = F (s − a) = L { f (t)} { }31. L −1 e−asF (s) = L −1 {F (s)} U (t − a)
s−a
t−a
14. L {U (t − a)} = e−as
{ }32. L −1 {F (s)} = − 1L −1 dF
s t ds

15. L { f (t − a)U (t − a)} = e−asF (s) = e−asL { f (t)} 33. L −1 {F (s)G(s)} = f (t) ∗ g(t)

∫16. L { f (t )} = 1 − 1 sT T
e−
f (t)e−stdt, f (t) = f (t + T )

0