matematicas 5

5.2 Series de Fourier 229

De manera análoga, si multiplicamos la serie de Fourier (1) por sen mπ t e integramos todos los
L
términos obtenemos

∫bm =1 L f (t) sen mπ t dt
L −L L

En resumen, si f (t) es una función continua en el intervalo [−L,L], entonces f (t) se puede

representar por medio de la serie de Fourier

1 ∞ nπ ∞ nπ
∑ ∑f 2 L L
(t) = a0 + an cos t + bn sen t

n=1 n=1

donde

∫a0= 1 L ∫an =1 L f (t) cos nπ t dt ∫bn =1 L f (t) sen nπ t dt
L L −L L L −L L
f (t) dt

−L

Es importante resaltar que aun cuando en teoría toda función continua se puede expresar
como una serie de Fourier, en la aplicación esto puede resultar una tarea difícil, porque la com-
plejidad de los procesos algebraicos y de cálculo dependen de la función estudiada.

Condiciones de convergencia de una serie de Fourier

En general, hablar de las condiciones que deben satisfacerse para que una función pueda de-
sarrollarse como una serie trigonométrica es un tema que requiere de toda formalidad. Antes
de abordar los primeros ejercicios acerca del cálculo de series, presentamos sin demostración el
siguiente teorema desarrollado por el matemático alemán Johann Peter Gustav Dirichlet acerca
de las condiciones de convergencia de una serie de Fourier, que para fines prácticos
resultan suficientes. Un estudio más profundo queda fuera de este texto.

Peter Gustav Lejeune Dirichlet (Düren, actual Alemania, 1805-Gotinga, id., 1859). Ma- Nota biográfica
temático alemán. Cursó sus estudios en París, relacionándose con matemáticos como
Fourier. Tras graduarse, fue profesor en las universidades de Breslau (1826-1828), Berlín
(1828-1855) y Gotinga, en donde ocupó la cátedra dejada por Gauss tras su muerte.
Sus aportaciones más relevantes se centraron en el campo de la teoría de los números,
prestando especial atención al estudio de las series. Desarrolló la teoría de las series
de Fourier; consiguió una demostración particular del problema de Fermat; aplicó las
funciones analíticas al cálculo de problemas aritméticos y estableció criterios de con-
vergencia para las series. En el campo del análisis matemático perfeccionó la definición
y concepto de función, y en mecánica teórica se centró en el estudio del equilibrio de
sistemas y en el concepto de potencial newtoniano.

Teorema de Dirichlet Teorema 2

Si f (t) y f ′(t) son dos funciones continuas por partes en el intervalo (−L,L), entonces la Argumentar con
contundencia y precisión.
serie de Fourier converge hacia f (t) para todo punto donde la función es continua, y para Capacidad de análisis y
síntesis.
el caso en que t = a sea un punto de discontinuidad, la serie de Fourier converge hacia el

promedio

1 lím f (t) + lím f (t)
2 t →a+ t →a−

230 UNIDAD 5 Introducción al análisis de Fourier

EJEMPLO 1 Convergencia de una serie de Fourier

Analizar la convergencia de la serie de Fourier de la función

⎧ −1 −1 < t < 0
f (t) = ⎨
⎪⎩ 1 0 < t < 1

en el intervalo (−1, 1).

Resolver problemas. Solución
Dado que la función es continua en todos los puntos del intervalo (−1, 1), excepto para t = 0,
se concluye que la serie de Fourier de f (t) es convergente a

⎧ −1 −1 < t < 0
f (t) = ⎨
⎪⎩ 1 0 < t < 1

Dado que la función es discontinua en t = 0, entonces la serie de Fourier converge al valor
1 ¢ lím f (t) + lím f (t)≤ = 1 (−1+ 1) = 0.
2 t→0+ t → 0− 2

El estudio de las series de Fourier es un tema extenso; sin embargo, con los elementos

mostrados ya estamos en condiciones de poder calcular nuestras primeras series de Fourier.

No perdamos de vista que este es un estudio introductorio al análisis de Fourier que nos será

suficiente para nuestro tema de interés: la solución de algunas ecuaciones diferenciales.

EJEMPLO 2 Cálculo de una serie de Fourier

Determinar la serie de Fourier de la función

⎧ −1 −π < t < 0
f (t) =⎨ 1 0<t<π

⎩⎪

Resolver problemas. Solución

Comunicarse en el lenguaje La FIGURA 5.3 muestra la gráfica de f (t).
matemático en forma
escrita. 2
Lograr un pensamiento
lógico, algorítmico, + 1
analítico y sintético. –π
0
–1 πt

Figura 5.3 –2

Identificamos que L = π y determinamos los coeficientes de Fourier con las expresiones dedu-
cidas en la observación 1.

De esta manera, el término constante es

∫a0= 1 L
L
f (t) dt

−L

1 π 1⎡ 0 π dt⎥⎤⎦
π −π π ⎢⎣ 0
(−1) dt +

−π
∫ ∫ ∫a0= = (1) =
f (t) dt 0

Los coeficientes de los términos en coseno son

∫an=1 L f (t) cos nπ t dt
L −L L

5.2 Series de Fourier 231

=1 π f (t) cos nt dt = 1 0 (−1) cos nt dt + 1 π
π −π π
−π π (1) cos nt dt = 0
∫ ∫ ∫an
0

Los coeficientes de los términos en seno son

=1∫bnL f (t) sen nπ t dt
L −L L

=1 π f (t) sen nt dt = 1 0 (−1) sen nt dt + 1 π 4 sen2 nπ
π −π π
−π π (1) cos nt dt =
∫ ∫ ∫bn 0 nπ 2

⎧ 0 n par
⎪ n impar
bn = ⎨ 4
⎪
⎩ nπ

La serie de Fourier buscada es

1 ∞∞
2
∑ ∑f (t) =
a0 + an cos nt + bn sen nt

n=1 n=1

∞ 4 sen nt
∑f (t) = nπ

n impar

∑f (t) = 4 ∞ 1 sen(2n −1)t = 4 ¢sent + 1 sen3t + 1 sen5t + ≤
π 2n−1 π 35
n=1

Podemos observar que dependiendo del número de términos de la serie de Fourier consi-
derados, la gráfica de la serie se va “pegando” más a la gráfica de la función original. Es decir,
a mayor cantidad de términos, la serie se “pega” mejor a la gráfica de la función y en teoría se
“pega” por completo con un número infinito de términos. La FIGURA 5.4 muestra este compor-
tamiento al comparar la gráfica original con la serie de Fourier con n términos.

f(t) f(t)
22

–10 –5 0 5 10 t –10 –5 05 10 t

–2 –2

n = 1 , f (t)= π sent n=3, f (t ) = π ⎡⎢⎣sen t + 1 sen 3t + 1 sen 5t⎦⎤⎥
4 4 3 5

f (t) f (t)
2 2

–10 –5 05 10 t –10 –5 05 10 t

–2 –2

f (t)= 4 5 1 sen f (t)= 4 10 1
π 2n −1 π 2n −1
∑n = 5 , (2n −1)t ∑n = 10 , sen (2n −1) t

n=1 n=1

Figura 5.4

232 UNIDAD 5 Introducción al análisis de Fourier f (t)
2
f (t)
2

–10 –5 05 10 t –10 –5 05 10 t

–2 –2

f (t)= 4 30 1 f (t)= 4 100 1
π n −1 π n −1
∑n = 30 , 2 sen (2n −1)t ∑n = 100 , 2 sen (2n −1)t

n=1 n=1

f (t)

2

–10 –5 05 10 t

–2

∑Si n = 1 000, f (t) = 4 1000 1 sen(2n −1)t
π 2n−1
n=1

Figura 5.4 (continúa)

EJEMPLO 3 Cálculo de una serie de Fourier
Determinar la serie de Fourier de la función

⎧π −π < t < 0
f (t)=⎨⎩π −t 0 ≤ t < π
Solución
La FIGURA 5.5 muestra la gráfica de la función f (t)

f (t)
4

–10 –5 0 5 10 t

Figura 5.5 –4

Calculamos los coeficientes de Fourier. El término constante es

Resolver problemas. 1⎡ 0 π dt⎦⎤⎥ 3π
π ⎢⎣ 0 2
π dt +

−π
∫ ∫a0 = (π −t ) =

Los coeficientes de los términos en coseno son

1 0 π0 n par
n impar
π[ π cos nt dt + (π −t ) cos nt dt]= c 2

−π 0 π n2
∫ ∫an=

Los coeficientes de los términos en seno son

1 ⎡ 0 π dt⎦⎥⎤ (−1)n
π ⎢⎣ 0 n
π sen nt dt +

−π
=∫ ∫bn (π −t) sen nt =

5.2 Series de Fourier 233

De esta manera, la serie de Fourier de f (t) es

∞ (−1)n sen nt Comunicarse en el lenguaje
∑ ∑f (t)= 3π + 2 matemático en forma
4 π n2 cos nt + n escrita.
Lograr un pensamiento
n impar n =1 lógico, algorítmico,
analítico y sintético.
O bien

∑ ∑f (t)= 3π + ∞ ∞ (−1)n sen nt
4
2 cos(2n −1)t + n
π (2n −1)2
n=1 n =1

En la FIGURA 5.6 se presenta la gráfica de la función dada y la serie de Fourier correspondiente;
n representa el número de términos de la serie.

f(t) f(t)
44

–1.5 1.5

–10 –5 –1 0 5 10 t –10 –5 –1 0 5 10 t

n=1 n=2

f (t) f (t)
4 4

1.5 1.5

–10 –5 0 5 10 t –10 –5 –1 0 5 10 t
n=3 –1
n=5

f(t) f(t)
44

1.5 1.5

–10 –5 0 5 10 t –10 –5 0 5 10 t
1 –1

n = 30 n = 100

Figura 5.6

EJEMPLO 4 Cálculo de una serie de Fourier
Determinar la serie de Fourier de la función

f (t)= b −t −2 ≤ t < 0
t 0≤t ≤2

Solución Resolver problemas.
La FIGURA 5.7 muestra la gráfica de la función f (t).

f (t)
2

1

–2 –1 01 2t
Figura 5.7

234 UNIDAD 5 Introducción al análisis de Fourier

Ahora calculamos los coeficientes de Fourier. Iniciamos con el término constante

1⎡ 0 2⎤
2 ⎢⎣ 0 t dt⎥⎦ = 2
(−t) dt +

−2
∫ ∫a0 =

Los coeficientes de los términos en coseno son

⎧ 0 n par
⎪ n impar
1 ⎡ 0 (−t) cos nπ t dt + 2 nπ ⎤ ⎨
2 ⎢⎣ −2 2 0 2 ⎥⎦ ⎪
∫ ∫an= ( t ) cos t dt = − 8
2 n2
⎩ π

Los coeficientes de los términos en seno son

1 ⎡ 0 (−t) sen nπ t dt + 2 nπ ⎤
2 ⎣⎢ −2 2 0 2 ⎥⎦
∫ ∫bn= ( t ) sen t dt = 0

De esta manera, la serie de Fourier de f(t) es

Comunicarse en el lenguaje ∑f (t)=1− π 8 cos nπ t
matemático en forma 2 n2 2
escrita. n impar
Lograr un pensamiento
lógico, algorítmico, O bien,
analítico y sintético.
∞
8
∑f (t)=1− π2 (2n − 1)2 cos(2n − 1)t

n=1

En la FIGURA 5.8 se presenta la gráfica de la función dada y la serie de Fourier correspon-
diente; n representa el número de términos de la serie.

f(t) f(t)
22

–5 0.5 5t –5 0.5 5t
n =1 0 n=3 0

–1 –1

f (t) f (t)
2 2

–5 0.5 5t –5 0.5 5t
0 0
n=5
Figura 5.8 –1 –1

n = 10

Resolver problemas. EJEMPLO 5 Cálculo de una serie de Fourier
Determinar la serie de Fourier de la función

⎧0 − π ≤ t <0
f (t)= ⎩⎨t 0 ≤t ≤ π
Solución
La FIGURA 5.9 muestra la gráfica de la función f (t).

5.2 Series de Fourier 235

f (t)
4

1.5

–5 0 5t
Figura 5.9 –1

Calculamos el término constante de la serie de Fourier

1 π (t) dt = 1 ⎡ 0 π dt⎦⎥⎤ π
π −π π ⎢⎣ 0 2
(0) dt +

−π
∫ ∫ ∫a0= f t =

Los coeficientes de los términos en coseno son

1 0 π0 n par
π n impar
(0) cos nt dt +

−π
=∫ ∫an[ 0 ( t ) cos nt dt]= c − 2
π n2

Los coeficientes de los términos en seno son

1 ⎡ 0 π ⎤ (−1)n Comunicarse en el lenguaje
π ⎣⎢ 0 ⎦⎥ matemático en forma
(0) sen nt dt + n escrita.
Lograr un pensamiento
−π lógico, algorítmico,
∫ ∫bn= ( t ) sen nt dt = − analítico y sintético.

De esta manera, la serie de Fourier de f (t) es

∞ (−1)n
∑ ∑f (t)= π − 2
4 π n2 cos nt − n sen nt

n impar n =1

O bien,

∞ ∞ (−1)n
∑ ∑f (t)= π −
4 n
2 cos(2n − 1)t − sen nt
π (2n −1)2
n=1 n =1

En la FIGURA 5.10 se presenta la gráfica de la función dada y la serie de Fourier correspon-
diente; n representa el número de términos de la serie.

f(t) f(t)
44

1.5 1.5

–10 –5 –1 0 5 10 t –10 –5 –1 0 5 10 t
n =1 f (t) n=2 f (t)

44

1.5 1.5

–10 –5 –1 0 5 10 t –10 –5 –1 0 5 10 t

n=3 n=5

f(t) f(t)

44

1.5 1.5
–1 0
–10 –5 5 10 t –10 –5 –1 0 5 10 t
n = 10
n = 100
Figura 5.10

236 UNIDAD 5 Introducción al análisis de Fourier

EJEMPLO 6 Una aplicación de una serie de Fourier

Calcular

∞ 1+ 1 + 1 + 1 +
∑1 9 25 49 81
(2n −1)2 =1+

n=1

Solución

Resolver problemas. Del ejemplo anterior sabemos que para la función

Comunicarse en el lenguaje ⎧0 − π ≤ t < 0
matemático en forma f (t)= ⎩⎨t 0 ≤t ≤ π
escrita.
Lograr un pensamiento la serie de Fourier es
lógico, algorítmico,
analítico y sintético. ∞ ∞ (−1)n sen nt
∑ ∑f (t)= π −
4 n
π 2 cos(2n − 1)t −
(2n −1)2
n=1 n =1

Para hallar la suma de la serie numérica basta evaluar la serie en un punto adecuado en el cual

la función es continua. Si evaluamos en t = 0 tenemos

∑ ∑f (0)= π − ∞ ∞ (−1)n sen n(0)
4
π 2 cos(2n − 1)( 0 ) − n evaluamos f (0)
(2n −1)2
n=1 n =1

∞
∑f (0)= π − 2
4 π (2n −1)2 = 0 simplificamos
resolvemos para la serie dada
∑∞ n =1

1 = π2
(2n −1)2 8
n =1

El procedimiento anterior se puede realizar siempre que la función es continua en el punto
donde se evalúa. Si una serie no es continua en un punto el valor correspondiente se determina
a través de la media aritmética de los valores laterales.

De esta manera, observamos que en t = π la función es discontinua. De manera que

lím f (t) + lím f (t) = π + 0 = π
f (π ) = t→π+ t →π −

2 22

Luego
∑ ∑f (π )= π − ∞ ∞ (−1)n sen nπ
4 =π
2 cos(2n −1)π − n 2 evaluamos f (π )
π (2n −1)2 simplificamos
n=1 n =1 suma obtenida

∞ (−1)= π
∑π − 2
π (2n −1)2 2
4
n =1

∑∞ 1 = π2
8
n=1 (2n −1)2

Resolver problemas. EJEMPLO 7 La serie de Fourier de una función exponencial

Calcular la serie de Fourier de la función f (t) = et en el intervalo [−π ,π ].

Solución
En la FIGURA 5.11 podemos observar la gráfica de la función.

f (t)
5

–5 1 t
Figura 5.11 0

–3

5.2 Series de Fourier 237

Calculamos el término constante de la serie de Fourier

∫a0 = 1 π et dt = 2 senh π
π −π π

Los coeficientes de los términos en coseno son

∫ ( ( ) )an
= 1 π e−π e2π − 1 (−1)n
π
et cos nt dt = π n2 +1

−π

Los coeficientes de los términos en seno son

∫ ( ( ))bn
= 1 π sen nt dt = ne−π 1− e2π (−1)n
π
et π n2 +1

−π

De esta manera, la serie de Fourier de f (t) es

∞ 2 senh π (−1)n ∞ 2n senht (−1)n

π n2 +1 π n2 +1
∑ ( ) ∑ ( )f (t)= senh π + cos nt − sen nt
π
n =1 n =1

Simplificamos,

(t)∑ ∑f= 2 senh π ⎡ 1 + ∞ (−1) n cos nt − ∞ n (−1)n ⎤
π ⎢ n =1 n =1 sen nt⎦⎥⎥
⎣⎢2 n2 + 1 n2 +1

En la FIGURA 5.12 se presenta la gráfica de la función dada y la serie de Fourier correspon-
diente; n representa el número de términos de la serie.

f (t) f (t)
25 25

11.5 11.5

–10 –5 –2 0 5 10 t –10 –5 –2 0 5 10 t

n=1 n=2

f (t)
f (t) 25

25

11.5 11.5

–10 –5 –2 0 5 10 t –10 –5 –2 0 5 10 t

n=3 n=5

f (t) f (t)
25 25

11.5 11.5

–10 –5 –2 0 5 10 t –10 –5 –2 0 5 10 t
n = 30
n = 10
Figura 5.12

238 UNIDAD 5 Introducción al análisis de Fourier

f(t) f(t)
25 25

11.5 11.5

–10 –5 –2 0 5 10 t –10 –5 –2 0 5 10 t

n = 50 n = 100

Figura 5.12 (continúa)

EJEMPLO 8 Aplicación de una serie de Fourier

Calcular

∞ 1 1
∑1 1 5 10 1 1
n2 + 1 = 2 + + + 17 + 26 +

Solución n=1

Resolver problemas. Para encontrar la serie numérica dada consideramos el punto de discontinuidad t = π. De ma-

nera que debemos promediar los valores laterales de la función

lím f (t) + lím f (t) eπ + e−π = coshπ
f (π ) = t→π+ t →π − =

Luego 22

2 senh π ⎢⎡ 1 ∞ 1 ⎤
π ⎢⎣2 n =1 n2 +1
∑f ⎥
(π )= + ⎦⎥ = cosh π

Si despejamos

∑∞ 1 = π cosh π − 1
n2 +1 2 senh π 2
n =1

5.2 Desarrollo de competencias

Capacidad para generar nuevas ideas. 3. ⎧ 1 −1 ≤ t < 0
f (t) = ⎨
En los problemas 1 a 40, encontrar la serie de Fourier ⎪⎩ 0 0 < t ≤ 1
de las funciones dadas en el intervalo indicado. En
cada caso, utilizar un SAC para graficar la función y 4. ⎧ 2 −1 ≤ t < 0
la serie obtenida. f (t) = ⎨
⎪⎩ 3 0 < t ≤ 1

5. ⎧ 0 −1 ≤ t < 0
f (t) = ⎨
⎪⎩ t 0 < t ≤ 1

Potenciar las habilidades para el uso de nuevas tecnologías. 6. ⎧ t −1 ≤ t < 0
Habilidades básicas de manejo de la computadora. f (t) = ⎨

⎪⎩ 0 0 < t ≤ 1

1. ⎧ 1 −1 ≤ t < 0 ⎧ t −π ≤ t < 0
f (t) = ⎨ f (t) = ⎨
⎪⎩ −1 0 < t ≤ 1 7.
⎩⎪ 1 0 < t ≤ π

2. ⎧ 0 −1 ≤ t < 0 8. ⎪⎧ 0 −1 ≤ t < 0
f (t) = ⎨ f (t) = ⎨ t2 0<t ≤1
⎪⎩ 1 0 < t ≤ 1
⎩⎪

5.2 Series de Fourier 239

9. ⎧⎪ t2 −π ≤ t < 0 ⎧ 0 −π < t < 0
f (t) = ⎨ ⎪
32. f (t) = ⎨ 1 0 < t < 1
⎪⎩ 0 0 < t ≤ π ⎪⎩ 2 1 < t < π

10. f (t) = t, − π < t < π

11. f (t) = −t, − π < t < π ⎧ 0 −π < t < 0
⎪ 1 0<t <1
12. f (t) = t +1, − π < t < π 33. f (t) = ⎨

13. f (t) = 2t −1, − π < t < π ⎪⎩ −1 1 < t < π

14. f (t) = t2 , − π < t < π ⎧ 1 −π < t < 0
⎪ −t +1 0<t <1
34. f (t) = ⎨

15. f (t) = −t2 , − π < t < π ⎪⎩ 0 1 < t < π

16. f (t) = t2 + π , − π < t < π ⎧ 1 −π < t < 0
⎪
17. f (t) = π − t2 , − π < t < π 35. f (t) = ⎨ t 0 < t < 1

18. f (t) = e−t , − π < t < π ⎩⎪ 0 1 < t < π

19. f (t) = et , −1 < t < 1 ⎧ 1 −π < t < 0
⎪ 0 0<t <1
⎧⎪ 0 − π ≤t < 0 36. f (t) = ⎨
⎨ 2
20. f (t) = π ⎩⎪ t 1 < t < π
2
⎪⎩ sent 0 < t ≤ ⎧

⎧⎪ sent − π ≤ t < 0 37. f (t) = ⎪ t −π < t < 0
21. f (t) = ⎨ 2 ⎨ 0 0<t <1
⎪⎩ 1 1 < t < π
⎪⎩ 0 0 < t ≤ π
2

22. ⎪⎧ π −π ≤ t < 0 38. ⎧ t +1 −2 < t < 0
f (t) = ⎨ sen t 0<t≤π ⎪ 1 0<t <1
f (t) = ⎨
⎪⎩ ⎪⎩ −t + 2 1 < t < 2

23. ⎧ 0 −π ≤ t < 0 ⎧ −t −π < t < 0
f (t) = ⎨ 0<t≤π ⎪
⎩⎪ cost
39. f (t) = ⎨ 0 0 < t < 1
⎩⎪ t −1 1 < t < π
24. ⎧ cos t −π ≤ t < 0
f (t) = ⎨ 0<t≤π
⎪⎩ 0 ⎧
⎪ 0 −2 < t < 0

25. ⎧ t+π −π ≤ t < 0 40. f (t) = ⎨ t 0 < t < 1
f (t) = ⎨ t−π 0<t≤π ⎪⎩ −t + 2 1 < t < 2

⎩⎪

⎧ 0 −π ≤ t < 0 ∞
f (t) = ⎨ t+π 0<t≤π ∑41. Calcular
26. 1 = 1+ 1 + 1 + 1 + 1 + . (Sugerencia:
⎪⎩ n2 4 9 16 25

n=1
Utilizar la serie de Fourier de la función
⎧
27. f (t) = ⎨ t+π −π ≤ t < 0 ⎧⎪ 0 −π ≤ t < 0 .)
0<t≤π f (t) = ⎨
⎩⎪ 0 ⎩⎪ t2 0 < t ≤ π

28. ⎪⎧ 0 −π ≤ t < 0 42. Utilizar el resultado del problema 36 para determi-
f (t) = ⎨ et 0<t≤π nar una serie que converja al valor π 2 .

⎩⎪ 3

29. ⎧⎪ et −π ≤ t < 0 43. Utilizar el resultado del problema 36 para determi-
f (t) = ⎨ nar una serie que converja al valor π 2 .
⎩⎪ 0 0 < t ≤ π
∞
( −1)n +1
30. ⎧⎪ −t −π ≤ t < 0 ∑44. Calcular n2 = 1− 1 + 1 − 1 + 1 − . (Suge-
f (t) = ⎨ et 0<t≤π 4 9 16 25

⎪⎩ n=1
rencia: Utilizar la serie de Fourier de la función

31. ⎧⎪ e−t −π ≤ t < 0 ⎪⎧ 0 −π ≤ t < 0 .)
f (t) = ⎨ f (t) = ⎨ t2 0<t≤π
⎩⎪ et 0 < t ≤ π
⎩⎪

240 UNIDAD 5 Introducción al análisis de Fourier

5.2 Competencia final

Capacidad para generar nuevas ideas. 2. ⎧ −1 −1 ≤ t < 0
f (t) = ⎨ 0<t ≤1
En los problemas 1 a 3, encontrar la serie de Fourier de ⎪⎩ 1
las funciones dadas en el intervalo indicado. En cada
caso, utilizar un SAC para graficar la función y la serie ⎧ 0 −π < t < 0
obtenida. ⎪ 1 0<t <1
3. f (t ) = ⎨

⎪⎩ t 1 < t < π

Potenciar las habilidades para el uso de nuevas tecnologías. ∞ (−1)n+1 = 1− 1 + 1 − 1 + 1 −  . (Suge-
Habilidades básicas de manejo de la computadora. ∑4. Calcular

2 n −1 3579

⎧ n=1
f (t) = ⎨ rencia: Calcular la serie de Fourier de la función
1. 1 −π ≤ t < 0

⎪⎩ t 0 < t ≤ π f (t) = t + π , − π < t < π .)

5.3 Series de Fourier en cosenos, senos

y de medio intervalo

Desarrollos en serie de Fourier de funciones
pares e impares

En la sección sobre funciones pares e impares mostramos algunas propiedades operativas de
estas funciones. Con base en estas propiedades resultan evidentes los siguientes dos casos al
calcular los coeficientes de la serie de Fourier de una función:

1. Si f (t) es una función par, entonces

=∫a0 2 L ∫an =2 L f (t) cos nπ t dt bn = 0
L L 0L
f (t) dt

0

Y la serie de Fourier está dada por

1 ∞ nπ
∑f 2 L
(t) = a0 + an cos t

n=1

2. Si f (t) es una función impar, entonces

a0 = 0 an = 0 ∫bn=2 L f (t) sen nπ t dt
L 0L

Y la serie de Fourier está dada por

La serie de Fourier de una ∞ nπ
función par solo tiene términos ∑f (t) = L
en cosenos. bn sen t

n=1

La serie de Fourier de una fun- OBSERVACIÓN 1 Serie de Fourier de funciones pares e impares
ción impar solo tiene términos
en senos. Podemos observar que la serie de Fourier de una función par solo contiene térmi-
nos en cosenos (el término constante se considera un término en cosenos) y la serie

5.3 Series de Fourier en cosenos, senos y de medio intervalo 241

de Fourier de una función impar solo contiene términos en senos. Esto se establece en las si-
guientes definiciones.

Serie de Fourier en cosenos 1 Definición

Si f (t) es una función par entonces los coeficientes de su serie de Fourier están dados Reconocer conceptos
∫2 L f 2 ∫L nπ 1 generales e integradores.
por a0 = Lnπ 0 (t) dt, an = L 0 f (t) cos L t dt y bn = 0. Y la serie resultante f (t)= 2 a0 +
∞ cosenos.
t
∑ an cos se conoce como serie de Fourier en
L
n=1

Serie de Fourier en senos 2 Definición

Si f (t) es una función impar entonces los coeficientes de su serie de Fouri∞er están dados
2 ∫L nπ nπt se
por a0 = 0, an = 0 y bn = L 0 f (t) sen L t dt . Y la serie resultante f (t) = ∑ an sen
n=1 L
conoce como serie de Fourier en senos.

EJEMPLO 1 La serie de Fourier en cosenos de una función par Resolver problemas.
Calcular la serie de Fourier de la función f (t) = t2 en −π < t < π .

Solución
La FIGURA 5.13 muestra la gráfica de f (t).

f (t)
12

5.5

–5 –1 0 5t
Figura 5.13

Identificamos que L = π y determinamos los coeficientes de Fourier.
De esta manera, el término constante es

∫a0= 2 π t2 dt = 2π 2
π 03

Los coeficientes de los términos en coseno son

∫an =2 π t2 cos nt dt = 4(−1)n
π 0 n2

Como la función es par, los coeficientes de los términos en seno son bn = 0.
La serie de Fourier buscada es

∞ 4(−1)n
∑f (t) = π 2 + n2
3 cos nt

n =1

242 UNIDAD 5 Introducción al análisis de Fourier

En la FIGURA 5.14 se presenta la gráfica de la función dada y la serie de Fourier correspon-
diente; n representa el número de términos de la serie.

f (t)
12 f (t)
12

5.5 5.5

–10 –5 –1 0 5 10 t –10 –5 –1 0 5 10 t

n =1 n=2

Resolver problemas.

f (t) f (t)
12 12

5.5 5.5

–10 –5 –1 0 5 10 t –10 –5 –1 0 5 10 t

n=5 n = 10
Figura 5.14

Una función par es simétrica
respecto al eje y.

Una función impar es antisi- EJEMPLO 2 La serie de Fourier en senos de una función impar
métrica en el origen. Calcular la serie de Fourier de la función f (t) = t en −π < t < π .

Solución
La FIGURA 5.15 muestra la gráfica de f (t).

f (t)
5

–5 0 5 t

Figura 5.15 –5

Calculamos los coeficientes de la serie. Como la función es impar, entonces el término

Comunicarse en el lenguaje constante es a0 = 0, y los coeficientes de los términos en coseno son an = 0.
matemático en forma oral
y escrita. Los coeficientes de los términos en seno son bn = 2 ∫π t sen nt dt = − 2( −1)n .
π 0 n

La serie de Fourier buscada es ∑f (t) = − ∞ 2(−1)n sen nt .
n =1 n

En la FIGURA 5.16 se presenta la gráfica de la función dada y la serie de Fourier correspon-

diente; n representa el número de términos de la serie.

5.3 Series de Fourier en cosenos, senos y de medio intervalo 243

f (t) f (t)
5 5

–10 –5 0 5 10 t –10 –5 5 10 t
0

n =1 –5 n=2 –5

f (t) f (t)
5 5

55

–10 –5 0 10 t –10 –5 0 10 t
–5
n=5 –5
Figura 5.16
n = 10

Desarrollos en series de Fourier en cosenos y en senos
para funciones definidas en un intervalo [0, L]

No todas las series de Fourier tienen aplicación sobre un intervalo centrado en el origen; en
muchos casos, es necesario determinar la serie trigonométrica de una función definida sobre
un intervalo de la forma [0, L]. Al desarrollo de la serie Fourier con estas características se le
conoce como un desarrollo de medio rango o de medio intervalo.

Desarrollos en serie de Fourier de medio intervalo 3 Definición

Si una función f (t) está definida sobre el intervalo [0, L], su desarrollo en una serie de Reconocer conceptos
Fourier se conoce como un desarrollo de medio rango o de medio intervalo. generales e integradores.

Antes de describir los procedimientos que nos permitirán calcular los coeficientes de la
serie de Fourier de medio intervalo y los diferentes casos existentes, definimos las siguientes
funciones especiales.

Extensión par e impar de una función 4 Definición
Sea f (t) una función definida sobre el intervalo [0, L].
Reconocer conceptos
1. Se define su extensión par fp (t) como generales e integradores.

⎪⎧ f (−t) −L < t < 0
fp (t) = ⎨ 0<t<L
⎩⎪ f (t)

2. Se define su extensión impar fi (t) como

fi (t = ⎪⎧ − f (−t) −L < t < 0
) ⎨ 0<t<L
⎩⎪ f (t)

244 UNIDAD 5 Introducción al análisis de Fourier

Se puede verificar sin mayor dificultad que fp (t) es una función par mientras que fi (t)
es una función impar. Otra propiedad importante es que fp (t) = f (t) y fi (t) = f (t) sobre el

intervalo [0,L].

fp (t) = f (t) y fi (t) = f (t) Las gráficas de las extensiones par e impar de una función se pueden observar
sobre el intervalo [0, L]. en la FIGURA 5.17.

f (t)

f (t)

t

t

Figura 5.17 Extensión par y extensión impar.

Para desarrollar en una serie trigonométrica a una función definida sobre medio intervalo
es posible utilizar las mismas expresiones que para el caso de intervalo centrado. Existen tres
maneras de desarrollar la serie de Fourier de una función en medio intervalo. Las dos primeras
consideran las extensiones par e impar. La tercera opción se analiza en la siguiente sección.

El procedimiento para obtener la serie de Fourier en cosenos o senos de una función defi-

nida sobre el intervalo [0,L] se expone en la siguiente observación.

Argumentar con OBSERVACIÓN 2 Cálculo de la serie de Fourier en cosenos y senos
contundencia y precisión. para funciones definidas sobre [0, L]
Capacidad de análisis y
síntesis. Dada la función f (t) definida sobre el intervalo [0,L], es suficiente con considerar sus exten-

Comunicarse en el lenguaje siones par fp (t) e impar fi (t) y después realizamos el cálculo de la serie de Fourier en el inter-
matemático en forma oral
y escrita. valo centrado [−L,L] a cada una de ellas. El resultado son dos series de Fourier: una serie en
cosenos y otra en senos, que convergen cada una a la función f (t) en el intervalo [0,L]. Como

lo especificamos anteriormente y por la naturaleza de las extensiones, tendremos los siguientes

dos casos:

1. Análisis de Fourier en cosenos

Dado que fp (t) = f (t) sobre [0,L] , realizamos un análisis de Fourier a la extensión par fp (t);

de esta manera

=∫a02 L ∫an =2 L f (t) cos nπ t dt bn = 0
L L 0L
f (t) dt

0

Y la serie de Fourier de medio intervalo está dada por

1 ∞ nπ
∑f 2 L
(t) = a0 + an cos t

n=1

2. Análisis de Fourier en senos

Dado que fi (t) = f (t) sobre [0,L], realizamos un análisis de Fourier a la extensión impar fi (t);

de esta manera

a0 = 0 an = 0 ∫bn =2 L f (t) sen nπ t dt
L 0L

5.3 Series de Fourier en cosenos, senos y de medio intervalo 245

Y la serie de Fourier está dada por

∞ nπ
∑f (t) = L
bn sen t

n=1

EJEMPLO 3 Serie en cosenos y senos de medio intervalo

Calcular una serie de Fourier en cosenos y en senos para la función

⎧ 0 0<t <1 Resolver problemas.
f (t) = ⎨
⎩⎪ 1 1 < t < 2

Solución

La grafica de la función f (t) se muestra en la FIGURA 5.18.

f (t)

1

–2 0 2 t

–1

Figura 5.18

Primeramente, identificamos que L = 2 y calculamos los coeficientes de la serie de Fourier en
cosenos

2 L 1 2 Lograr un pensamiento
L lógico, algorítmico,
f (t) dt = (0) dt + (1) dt = 1 analítico y sintético.

0 0 1
∫ ∫ ∫a0 =

=2 L f (t) cos nπ t dt = 1 nπ 2 (1) cos nπ t dt = − 2 sen nπ
L 0L 1 L nπ 2
(0)
∫ ∫ ∫an cos t dt +
0L

La serie de Fourier en cosenos es

1 ∞ cos nπ 1 (1) − 2 ∞ ⎛⎜⎝ 1 nπ ⎠⎟⎞ nπ
2 L 2 π n 2 2
∑ ∑f(t)= a0 + an t= sen cos t

n=1 n=1

De la misma forma, calculamos los coeficientes de la serie de Fourier en senos

=2 L f (t) sen nπ t dt = 1 nπ 2 nπ 2 ⎢⎣⎡cos nπ ⎤
L 0L L nπ 2 ⎥⎦
(0) (1)
∫ ∫ ∫bn sen t dt + sen t dt = − ( −1)n
0L 1

La serie de Fourier en senos es

∞ nπ 2 ∞ ⎜⎝⎛cos nπ − (−1)n ⎞⎟⎠ nπ
∑ ∑f (t) = L π 2 2
bn sen t = sen t

n=1 n=1

En la FIGURA 5.19 se muestran las gráficas de las series de Fourier en senos y cosenos para
diferentes valores de n. Se puede observar, a partir de las gráficas, la convergencia de cada serie
a la función f(t) en el intervalo [0, 2]. En todos los casos, la gráfica de la izquierda corresponde a
la serie en cosenos y la gráfica de la derecha a la serie en senos.

246 UNIDAD 5 Introducción al análisis de Fourier

f (t) f (t) f(t) f(t)
1 1 11
0
–2 0 2 t –2 2t –2 0 2 t –2 0 2t
n=2 –1 –1 n=3 –1
–1

f (t) f (t) f (t) f (t)
1 1 1 1

–2 0 2 t –2 0 2t –2 0 2 t –2 0 2t
–1 –1 –1 –1

n=5 n=7

f (t) f (t) f (t) f (t)
1 1 1 1

–2 0 2t –2 0 2t –2 0 2t –2 2t
–1 –1 –1 0

n = 10 –1

n = 15

f (t) f (t) f (t) f (t)
1 1 1 1

–2 0 2 t –2 0 2t –2 0 2 t –2 0 2t
–1 –1 –1 –1

n = 30 n = 50
Figura 5.19

Podemos observar que en ambos casos las series de Fourier convergen a la función f(t) en
[0, 2], pero que mientras la serie en cosenos es par, la serie en senos es impar.

EJEMPLO 4 Serie en cosenos y senos de medio intervalo

Calcular una serie de Fourier en cosenos y en senos para la función

Resolver problemas. ⎧ t 0<t <1
f (t) = ⎨ 1<t <π
⎩⎪ 1

Solución

La gráfica de la función f(t) se muestra en la FIGURA 5.20.

5.3 Series de Fourier en cosenos, senos y de medio intervalo 247

f (t)
2

1

0 5t
Figura 5.20

Primeramente, identificamos que L = π y calculamos los coeficientes de la serie de Fourier
en cosenos

2 L 2 ⎡ 1 π dt⎥⎤⎦ 2π − 1
L 0 π ⎢⎣ 1 π
t dt +

0
∫ ∫ ∫a0= f = = Lograr un pensamiento
(t) dt (1) lógico, algorítmico,
analítico y sintético.
2 L f (t) cos nπ t dt = 1 π 2 cos n − 2
L 0L 1 π n2 Comunicarse en el lenguaje
t cos nt dt + matemático en forma
escrita.
0
∫ ∫ ∫an= (1) cos nt dt =

La serie de Fourier en cosenos es

1 ∞ cos nπ 2π −1+ 2 ∞ ⎝⎜⎛ cos n − 2 ⎟⎠⎞
2 L 2π π n2
∑ ∑f(t) = a0 + an t= cos nt

n=1 n=1

De la misma forma, calculamos los coeficientes de la serie de Fourier en senos

=2 L f (t) sen nπ t dt = 1 π 2 ⎛ sen n (−1)n ⎞
L 0L 1 π ⎝⎜⎜ n2 ⎠⎟⎟
t sen nt dt + n

0
∫ ∫ ∫bn (1) sen nt dt = −

La serie de Fourier en senos es

∞ sen nπ t = 2 ∞ ⎛ sen n (−1)n ⎞
Lπ n=1 ⎝⎜⎜ n2 ⎟⎟⎠
∑ ∑f (t) = bn − n sen nt

n=1

En la FIGURA 5.21 se muestran las gráficas de las series de Fourier en cosenos y senos para
diferentes valores de n. Se puede observar, a partir de las gráficas, la convergencia de cada serie
a la función f (t) en el intervalo [0, π].

f(t) f(t)
11

–5 0 5t –5 0 5t
–1 –1

n=2

f (t) f (t)
1 1

–5 0 5t –5 0 5t
n=5 –1 –1

f(t) f(t)
11

–5 0 5t –5 0 5t
–1 –1
n = 10
Figura 5.21

248 UNIDAD 5 Introducción al análisis de Fourier

–5 f (t) 5t –5 f (t) 5t
n = 30 1 1 5t
5t –5 0 5t
–5 0
n = 50 –1 –1

f (t) f (t)
1 1
0
0
–1 –1

–5 f (t) 5t –5 f (t)
n = 200 1 1
0
0 –1
–1

Figura 5.21 (continúa)

Podemos observar que en ambos casos, las series de Fourier convergen a la función f(t) en

[0,π ], pero la serie en cosenos se “pega” más rápido a f(t) que la serie en senos.

Desarrollo de series de Fourier para funciones
definidas en medio rango

Iniciamos esta sección recordando un resultado abordado en el ejercicio 2 de la sección 5.1
acerca de una propiedad de las funciones periódicas.

OBSERVACIÓN 3 Propiedad de traslación de una función periódica

Argumentar con El ejercicio 2 de la sección Desarrollo de competencias 5.1 establecía que si f(t) es una función
contundencia y precisión. ∫ a+T ∫b +T
Capacidad de análisis y periódica de periodo T, entonces a f (t ) dt = b f (t) dt para cualesquiera a, b.
síntesis.
En particular para el caso a = −L y b = 0 tenemos

∫ ∫−L+T T

f (t) dt = f (t) dt

−L 0

Y para el valor T = 2L

∫ ∫L 2L
f (t) dt = f (t) dt
−L 0

Esta propiedad nos será de gran utilidad para poder calcular una serie de Fourier de una
función definida en medio intervalo de la forma [0, p].

5.3 Series de Fourier en cosenos, senos y de medio intervalo 249

Como ya lo hemos mencionado, existe una tercera forma de calcular una serie de Fourier

para una función definida sobre un intervalo [0, p]. Esta consiste en “desplazar” la gráfica de
p
f(t) hacia la izquierda − 2 unidades, de manera que quede definida sobre el intervalo .

Si definimos por fm (t) a esta función, entonces

⎧ ( )ft + p − p ≤ t < 0
⎪ 2 2
fm (t) = ⎨
⎪⎩ f (t + p ) 0 ≤t ≤ p
2 2

La FIGURA 5.22 muestra la gráfica f(t) y su desplazamiento hacia la izquierda fm (t).

f (t)

0 p = 2L t –p/2 p/2 t

Figura 5.22

Podemos observar que al desplazar de esta manera a la función f(t), la función resultante

fm (t) no es ni par ni impar, de manera que la serie de Fourier correspondiente contendrá todos
los términos, es decir, un término constante, términos en coseno y términos en seno.

Para simplificar las expresiones y poder calcular los coeficientes de la serie de Fourier con

las mismas expresiones que para el caso de una función definida en un intervalo centrado en el
origen, suponemos que p = 2L; de manera que L = p . Por la observación anterior tenemos que
∫L ∫2L 2
−L f (t) dt = 0 f (t) dt , entonces los coeficientes de serie de medio intervalo están dados por
la

1. El término constante es

1 L f (t) dt = 1 2L f (t) dt = 2 p
L −L L 0p
∫ ∫ ∫a0= f (t) dt

0

2. Los coeficientes de los términos en coseno son

1 L f (t) cos nπ t dt = 1 2L f (t) cos nπ t dt = 2 p f (t) cos 2nπ t dt
L −L L L 0 Lp 0p
∫ ∫ ∫an=

3. Los coeficientes de los términos en seno son

1 L f (t) sen nπ t dt = 1 2L f (t) sen nπ t dt = 2 p f (t) sen 2nπ t dt
L −L L L 0 Lp 0p
∫ ∫ ∫bn=

OBSERVACIÓN 4 La serie de Fourier de medio intervalo

En resumen, los coeficientes de la serie de Fourier de medio intervalo de una función definida
en [0, p] se pueden calcular por medio de las expresiones

=∫a02 p ∫an= 2 p f (t) cos 2nπ t dt =∫bn2 p f (t) sen 2nπ t dt
p p 0p p 0p
f (t) dt

0

250 UNIDAD 5 Introducción al análisis de Fourier

De manera que la serie de Fourier de medio intervalo está dada por

1 ∑ ∑∞ 2nπ ∞ 2nπ
2 p p
f (t ) = a0 + an cos t + bn sen t

n=1 n =1

En los siguientes ejemplos volvemos a considerar las funciones de los ejemplos 3 y 4, para
que podamos observar la diferencia entre las series de medio intervalo en senos y cosenos, y la
de medio intervalo simple.

EJEMPLO 5 Serie de Fourier de medio intervalo

Calcular la serie de Fourier en medio intervalo para la función

⎧ 0 0<t <1
f (t) = ⎨
⎪⎩ 1 1 < t < 2

Resolver problemas. Solución
La grafica de la función f (t) se mostró en la FIGURA 5.18.

f (t)
1

–2 0 2t
–1

Figura 5.18 (repetida)

Primeramente, identificamos que p = 2 y calculamos los coeficientes de la serie de Fourier.
El término constante es

2 p 1 2
p
f (t) dt = (0) dt + (1) dt = 1

0 0 1
Lograr un pensamiento ∫ ∫ ∫a0 =
lógico, algorítmico,
analítico y sintético. Los términos en coseno son

=2 p f (t) cos 2n π t dt = 1 2
p 0p
(0) cos n π t dt + (1) cos n πt dt = 0

0 1
∫ ∫ ∫an

Por último, los términos en seno son

=2 p f (t) sen 2n π t dt = 1 2 (1) sen nπt dt = (−1)n −1
p 0p
(0) sen n πt dt + 1 nπ

0
∫ ∫ ∫bn

(−1)n ⎧ 0 n par
⎪ −2 n impar
bn = − 1 = ⎨
nπ
nπ ⎪
⎩

5.3 Series de Fourier en cosenos, senos y de medio intervalo 251

La serie de Fourier en medio intervalo es

1 ∞ 2nπ ∞ 2nπ
∑ ∑f 2 p p
(t ) = a0 + an cos t + bn sen t

n=1 n =1

∞ ⎡ (−1) n − 1⎤⎥sen
∑f (t) = 1 (1) + ⎢
2 n=1 ⎢⎣ nπ ⎥⎦ nπ t

∞ Comunicarse en el lenguaje
matemático en forma
∑f (t) = 1 (1) − 2 1 sen nπt escrita.
2 πn
n=1

En la FIGURA 5.23 se muestra la gráfica de la serie de Fourier de medio intervalo para dife-
rentes valores de n. Se puede observar, a partir de las gráficas, la convergencia de la serie a la
función f (t) en el intervalo [0, 2].

f(t) f(t)

11

–2 0 2t –2 0 2t
n =1 –1 n=3 –1

f (t) f (t)
1 1

–2 0 2t –2 0 2t
n=5 –1 –1
n=7
f (t) f (t)
1 1

–2 0 2t –2 0 2t
n = 10 –1 –1

n = 15

f(t) f(t)
11

–2 0 2t –2 0 2t
n = 30 –1 –1
Figura 5.23
n = 50

252 UNIDAD 5 Introducción al análisis de Fourier

En la FIGURA 5.24 podemos observar la gráfica de las series de Fourier de cosenos, de senos

y de medio intervalo para n = 50. f (t)

f(t) f(t) 1
11

–2 0 2 t –2 0 2t –2 0 2t
–1 –1 –1

Cosenos Senos Medio intervalo
Figura 5.24

EJEMPLO 6 Serie de Fourier de medio intervalo

Calcular una serie de Fourier en cosenos y en senos para la función

Resolver problemas. ⎧ t 0<t <1
f (t) = ⎨ 1<t <π
Lograr un pensamiento ⎪⎩ 1
lógico, algorítmico,
analítico y sintético. Solución

La grafica de la función f (t) se mostró en la FIGURA 5.20.

f (t)
2

f (t)
1

0 π 5t
Figura 5.20 (repetida)

Primeramente, identificamos que p = π y calculamos los coeficientes de la serie de Fourier
de medio intervalo. El término constante es

2 p 2 ⎡ 1 π dt⎦⎥⎤ 2π − 1
p 0 π ⎣⎢ 1 π
t dt +

0
∫ ∫ ∫a0= = =
f (t) dt (1)

Los términos en coseno son

=2 p f (t) cos 2nπ t dt = 1 π cos2n −1
p 0p 1 2π n2
t cos2nt dt +

0
∫ ∫ ∫an (1) cos 2 nt dt =

Los términos en seno son

=2 p f (t) sen 2nπ t dt = 1 π sen 2 n 1
p 0p 2π n2 πn
t sen2nt dt + (1)

0 1
∫ ∫ ∫bn sen2nt dt = −

La serie de Fourier de medio intervalo es

En la FIGURA 5.25 se muestra la gráfica de la serie de Fourier de medio intervalo para dife-
rentes valores de n. Podemos observar, a partir de las gráficas, la convergencia de la serie a la

función f (t) en el intervalo [0,π ].

5.3 Series de Fourier en cosenos, senos y de medio intervalo 253

f (t) f (t)
1 1
0
–2 2t –2 0 2t
n =1 –1 n=3 –1

–2 f (t) 2t –2 f (t) 2t
n=5 1 n=7 1
0
0
–1 –1

f (t) f (t)
1 1

–2 0 2t –2 0 2t
n = 15 –1 n = 30 –1

f (t) f (t)
1 1

–2 0 2t –2 0 2t
–1 –1
n = 50
Figura 5.25 n = 100

En la FIGURA 5.26 podemos observar la gráfica de las series de Fourier de cosenos, de senos

y de medio intervalo para n = 50. f (t)

f(t) f(t) 1
11

–5 0 5 t –5 0 5t –2 0 2 t
–1 –1 –1

Cosenos Senos Medio intervalo

Figura 5.26

254 UNIDAD 5 Introducción al análisis de Fourier

EJEMPLO 7 Aplicación del análisis de Fourier

Resolver problemas. Encuentra la solución general de la ecuación diferencial m d2x + kx = f (t), cuando m = 1, k = 10 y

Lograr un pensamiento dt2
lógico, algorítmico,
analítico y sintético. ⎧ 5 0<t < π
f (t) = ⎨ π < t < 2π , T = 2π
Comunicarse en el lenguaje ⎩−5
matemático en forma
escrita. Solución

Consideramos la ED

d2x + 10x = ⎧5 0 < t < π ,T = 2π
dt2 ⎨⎩−5 π < t < 2π

Al resolver, la ecuación homogénea asociada es d2x + 10x = 0 y la función complementaria
dt2
es xc (t) = c1 cos 10 t + c2 sen 10 t.

Si desarrollamos la función f (t) en una serie de Fourier, tenemos que

∫bn = 2 π (5)sen nt dt = 10 ⎣⎡1− (−1)n ⎦⎤
π 0 nπ

De manera equivalente,

⎧⎪ 0 n par
bn = ⎨ 20 n impar

⎪⎩ nπ

∑ ∑f (t) =10 ∞ ⎡⎣1− (−1)n ⎤⎦ sen nt = 20 ∞ 1 sen nt sustituimos
πn πn
n=1 n impar

∞ 1 sen(2n −1)t
∑f (t) = 20
π 2n −1 simplificamos

n=1

∞
∑d 2x 20 sen(2n −1) t
+ 10x = π 2n −1 ecuación diferencial
dt2
n=1

Para hall∞ar una solución particular xp (t) aplicamos coeficientes indeterminados. Supongamos

xp (x) = ∑ Bn sen(2n − 1)t; entonces,

n=1
∞

∑xp (t) = Bn sen(2n −1)t

n=1 derivamos una vez
∞

∑x′p(t) = (2n −1)Bn cos(2n −1)t

n=1

∞

∑x ′′ (t ) = [− (2n − 1)2 ]Bn sen(2n − 1)t derivamos nuevamente

p

n=1

Sustituimos ahora en la ED; entonces

∑ ∑ ∑∞ ∞ 20 ∞ 1 sen(2n − 1)t
π 2n −1
[− (2n − 1)2 ]Bn sen(2n − 1)t + 10 Bn sen (2 n − 1)t =

n=1 n=1 n=1

Simplificamos

∑ ∑∞ 20 ∞ 1 sen(2n − 1)t
π 2n −1
Bn [10 − (2n − 1)2 ]sen (2n − 1)t =

n=1 n=1

Igualamos coeficientes para obtener

Bn = π (2n 20 (2n − 1)2 ]
−1)[10 −

5.3 Series de Fourier en cosenos, senos y de medio intervalo 255

La solución particular es ∞

∑x p (t ) = 20 sen(2n −1)t
π (2n −1)[10 − (2n −1)2 ]
n=1

Y finalmente, la solución general es

10 t + 20 ∞ sen(2n −1)t
π (2n −1)[10 − (2n −1)2 ]
∑x(t) = c1 cos
10 t + c2 sen

n=1

EJEMPLO 8 Aplicación del análisis de Fourier

Resolver d 2x + ω2x = sen nt sujeta a x(0) = x′(0) = 0.
dt2

Solución d 2x Resolver problemas.
dt2
La ecuación homogénea asociada es + ω2x = 0, de manera que la función complementaria Lograr un pensamiento
es xc (t) = c1 cosω t + c2 senω t . lógico, algorítmico,
analítico y sintético.
Supongamos que xp (t) = An cos nt + Bn sen nt, luego
Comunicarse en el lenguaje
x′p(t) = −nAn sen nt + nBn cos nt derivamos matemático en forma
escrita.
x ′′ (t ) = − n2 An cos nt − n2 Bn sen nt derivamos de nuevo
sustituimos en la ED
p agrupamos

−n2An cos nt − n2Bn sen nt + ω2 (An cos nt + Bn sen nt) =sen nt

( ) ( )ω2 − n2 An cos nt + ω2 − n2 Bn sen nt =sen nt

( ) ( )ω2 − n2 An = 0, ω2 − n2 Bn = 1 igualamos coeficientes
ω2 ≠ n2
An = 0 , Bn = ω2 1 n2 , n = 1, 2, 3,...
−

Por el principio de superposición, la solución particular es

∞ 1
∑xp (t) = ω2 − n2
sen nt, ω2 ≠ n2

n=1

Por lo anterior, la solución general es ∞

∑x(t)=c1 cosωt + c2 senωt + ω2 1 n2 sen nt
−
n=1

Para determinar la solución particular que satisface x(0) = x′(0) = 0, tenemos

∞ n
∑x′(t) = −c1ω senωt + c2ω cosωt + −
ω2 n2 cos nt

n=1

De la condición x(0) = c1 = 0, tenemos c1 = 0.

Además, de la condición ∞

∑x′(0) = c2ω + ω2 n =0
− n2
n=1
tenemos
∞
n
∑c2 = − ω(ω2 − n2 )

n=1

Finalmente, la solución al problema de valor inicial es

∞ n ∞ 1
∑ ∑x(t)= − 2− −
ω (ω n2 ) sen ωt + ω2 n2 sen nt

n=1 n=1

∞ 1 ⎝⎛⎜sen n sen ωt ⎟⎠⎞
∑x(t ) = − ω
ω2 n2 nt −

n=1

256 UNIDAD 5 Introducción al análisis de Fourier

5.3 Desarrollo de competencias

⎧ 1 −π < t < 0
⎪
Capacidad para generar nuevas ideas. 13. f (t) = ⎨ t 0 < t < 1
⎪
En los problemas 1 a 13, encontrar la serie de Fourier ⎩ 1 1<t <π
en cosenos o en senos de las funciones dadas en el inter-
valo indicado, según corresponda. En cada caso, utili- En los problemas 14 a 22, encontrar la serie de Fourier
zar un SAC para graficar la función y la serie obtenida. en cosenos, en senos y la serie de medio intervalo, de
las funciones dadas en el intervalo indicado. En cada
Potenciar las habilidades para el uso de nuevas tecnologías. caso, utilizar un SAC para graficar la función y la serie
Habilidades básicas de manejo de la computadora. obtenida.

1. ⎧ a −π ≤ t < 0 Potenciar las habilidades para el uso de nuevas tecnologías.
f (t) = ⎨ Habilidades básicas de manejo de la computadora.
⎩⎪ −a 0 < t ≤ π

2. ⎪⎧ t2 +1 −π ≤ t < 0 14. ⎧ 1 0≤t <1
f (t) = ⎨ f (t) = ⎨
⎩⎪ −t2 −1 0 < t ≤ π
⎪⎩ t 1 < t ≤ 2

3. ⎧ −1− t −1 ≤ t < 0
f (t) = ⎨
⎪⎩ 1− t 0 < t ≤ 1
15.

4. ⎧ t −1 −1 ≤ t < 0
f (t) = ⎨
⎩⎪ t +1 0 < t ≤ 1
16. f (t) = t, 0 ≤ t ≤ π

5. f (t) = t, − π < t < π

6. f (t) = t , −1 < t < 1 17. f (t) = t2 , 0 ≤ t ≤ π

⎧ t+2 −2 ≤ t < −1
⎪
7. f (t) = ⎨ 0 −1 ≤ t < 1 18. f (t) = t +1, 0 ≤ t ≤ π

⎪⎩ 2 − t 1 ≤ t ≤ 2

8. f (t) = −t2 , − π < t < π 19. ⎪⎧ t2 0≤t <1
f (t) = ⎨
⎩⎪ 1 1 < t ≤ 2

9. f (t) = t2 + π , − π < t < π

10. f (t) = π − t2 , − π < t < π 20. ⎧ t +1 0≤t <1
f (t) = ⎨
⎪⎩ 1 1 < t ≤ 2

π

2 ⎧ 0 0<t <1
1 1<t <2
11. ππ 21. f (t ) = ⎪
22 ⎨
⎪⎩ 2 2 < t < 3
π

2

⎧ t 0<t <1
⎪ 1 1<t <2
12. 22. f (t ) = ⎨

⎩⎪ 0 2 < t < 3

5.4 La serie compleja de Fourier 257

5.3 Competencia final

Capacidad para generar nuevas ideas. En los problemas 3 a 5, encontrar la serie de Fourier
en cosenos, en senos y la serie de medio intervalo, de
En los problemas 1 y 2, encontrar la serie de Fourier en las funciones dadas en el intervalo indicado. En cada
cosenos o en senos de las funciones dadas en el interva- caso, utilizar un SAC para graficar la función y la serie
lo indicado, según corresponda. En cada caso utilizar obtenida.
un SAC para graficar la función y la serie obtenida.
3. f (t) = 1− t, 0 ≤ t ≤ π
1. f (t) = t3, − π ≤ t ≤ π
⎧ 0 0<t<π
⎪ π < t < 2π
4. f (t) = ⎨ t − π 2π < t < 3π
⎪⎩ 0
⎧ −1 −2 ≤ t < −1
⎪ 0 −1 ≤ t < 1
2. f (t) = ⎨

⎪⎩ 1 1 ≤ t ≤ 2 5. f (t) = et , 0 ≤ t ≤ π

5.4 La serie compleja de Fourier

En algunas ocasiones, el cálculo de las integrales que definen los coeficientes de la serie de Comunicarse en el lenguaje
Fourier se puede simplificar al trabajar con números complejos. En esta sección introduciremos matemático en forma
el concepto de la serie compleja de Fourier. escrita.

OBSERVACIÓN 1 Algunas propiedades de los complejos Argumentar con
1. Si z = a + bi es un número complejo entonces su conjugado se define por z = a − bi. Y se veri- contundencia y precisión.
Capacidad de análisis y
fica que a = 1 (z + z) y b = − 1 i (z − z). síntesis.

22

2. Un complejo también puede ser expresado en forma exponencial mediante la forma de
Euler e±iθ = cosθ ± i senθ.

( )3. Al aplicar la propiedad (1) al complejo e±iθ = cosθ ± i senθ , se tiene que cosθ = 1 eiθ + e−iθ
2
( )y senθ = − 1 i eiθ − e−iθ .
2

OBSERVACIÓN 2 La serie compleja de Fourier

En la sección 5.2 estudiamos que para una función f (t) definida sobre el intervalo [−L,L], su

serie de Fourier es de la forma

1 ∞ nπ t ∞ nπ t
∑ ∑f 2 L L
(t) = a0 + an cos + bn cos Comunicarse en el lenguaje
matemático en forma
n=1 n=1 escrita.

donde

∫a0= 1 L ∫an = 1 L f (t) cos nπt dt ∫bn= 1 L f (t) sen nπt dt
L L −L L L −L L
f (t) dt

−L

258 UNIDAD 5 Introducción al análisis de Fourier

Por la observación anterior, podemos escribir al hacer θ = nπ t que
L

cos nπ t = 1 ⎛ i nπ t + −i nπ t ⎞ sen nπ t = − 1 ⎛ i nπ t − −i nπ t ⎞
⎜e L ⎟ i ⎜e L L ⎟
eL e
L 2⎝ ⎠ L 2⎝ ⎠

Entonces

an cos nπ t + bn sen nπ t = 1 an ⎛ i nπ t + −i nπ t ⎞ − 1 i bn ⎛ i nπ t − −i nπ t ⎞
L L 2 ⎜e L ⎟ 2 ⎜e L ⎟
⎝ eL ⎠ ⎝ eL ⎠

an cos nπ t + bn sen nπ t = 1 (an − ibn ) i nπ t + 1 (an + ibn ) −i nπ t
L L 2 2
eL eL

Argumentar con Si definimos c0 = a0 y cn = 1 (an − ibn ), entonces cn = 1 (an + ibn ); de esta manera,
contundencia y precisión. 2 2 2
Capacidad de análisis y
síntesis. an cos nπ t + bn sen nπ t = cn i nπ t + cn −i nπ t
L L
Comunicarse en el lenguaje eL eL
matemático en forma
escrita. Luego la serie de Fourier de f (t) toma la forma

1 ∞ ⎜⎝⎛an cos nπ nπ t⎠⎞⎟= c0 ∞ ⎛ i nπ t −i nπ t ⎞
2 L L n=1 ⎝⎜cn e L e L⎟
∑ ∑f (t) = n=1 + + cn
a0 + t + bn sen ⎠

∑ ∑∞ i nπ t ∞ −i nπ t

f (t) = c0 + cn e L + cn e L

n=1 n=1

Donde el término constante es

∫c0= 1 a0 = 1 L
2 2L
f (t) dt

−L

Los términos cn son

1 1⎡1 L f (x) cos nπ t dt − i 1 L nπ t dt⎦⎥⎤
2 2 ⎢⎣L −L L L −L L
∫ ∫cn= (an − ibn ) = f (t ) sen

O bien,

1 L (t ) ⎜⎛⎝ cos nπ nπ t ⎠⎟⎞ dt 1 L −i nπ t
∫ ∫cn= 2L −L f L t − i sen L = 2L
f (t)e L dt

−L

De la misma manera,

∫cn = 1 (an + ibn ) = 1 L i nπ t
2 2L
f (t)e L dt = c−n

−L

La serie compleja de Fourier se expresa como

∑ ∑ ∑ ∑∞ i nπ t ∞ −i nπ t ∞ i nπ t ∞ −i nπ t

f (t) = c0 + cn e L + cn e L =c0 + cne L + c−ne L

n=1 n=1 n=1 n=1

De manera equivalente,

∞ i nπ t =1 L −i nπ t
2L
cne L , (t)e L dt,
∑ ∫f (t) = cn f n ∈ 
donde

n=−∞ −L

5.4 La serie compleja de Fourier 259

OBSERVACIÓN 3 Los coeficientes del desarrollo complejo de Fourier
Se verifica que para una función par, los coeficientes son reales. Para una función impar, son
números imaginarios puros, y para una función que no es par ni impar son complejos.

EJEMPLO 1 Una serie compleja de Fourier Resolver problemas.
Calcular la serie compleja de Fourier de la función periódica de periodo T = 2 ,

f (t) = b −t −1 ≤ t < 0
t 0 ≤t <1

Solución
La gráfica de la función se muestra en la FIGURA 5.27.

1

0

Figura 5.27

En la gráfica observamos que la función f (t) es par; por lo tanto, esperamos que los coefi-
cientes de la serie exponencial sean números reales. Identificamos que L = 1, entonces

1⎡ 0 1 dt⎥⎤⎦ 1
2 ⎣⎢ 2
(−t) dt + (t

−1 0
∫ ∫c0= ) =

Además,

∫cn 1 L −i nπ t dt, n∈
2L L
= f (t )e

−L

1⎡ 0 1 dt⎦⎤⎥ (−1)n −1
2 ⎢⎣ π 2n2
(−t)e−inπt dx + (t )e −inπ t

−1 0
=∫ ∫cn = Comunicarse en el lenguaje
matemático en forma
escrita.

La serie compleja de Fourier es

∑f (t) = i nπ t

cne L

n≠0

∑f (t) = ( −1)n − 1 einπ t + 1
π 2n2 2
n≠0

∑f (t) = − π 2 e inπ t + 1
2n2 2
n impar

∞ 2 1
∑f (t) = − 2 (2n 2
π − 1)2 ei (2 n−1)πt +

n=−∞

260 UNIDAD 5 Introducción al análisis de Fourier

En la FIGURA 5.28 se muestran la grafica de la función f (t) y la gráfica de la serie compleja
de Fourier para algunos valores de n.

f(t) f(t)
11

–2 0 2t –2 0 2t
n =1 –1 –1
n=3
f (t) f (t)
1 1

–2 0 2t –2 0 2t
–1 –1
n = 10
Figura 5.28 n = 50

5.4 Desarrollo de competencias

5. ⎧ 0 −1 ≤ t < 0
f (t) = ⎨
Capacidad para generar nuevas ideas. ⎪⎩ t 0 < t ≤ 1

En los ejercicios 1 a 18, calcular la serie compleja de 6. ⎧ t −1 ≤ t < 0
Fourier. Utilizar un SAC para graficar la función dada f (t) = ⎨
y la serie obtenida. ⎪⎩ 0 0 < t ≤ 1

7. ⎧ t −π ≤ t < 0
f (t) = ⎨ 0<t≤π
Potenciar las habilidades para el uso de nuevas tecnologías. ⎩⎪ 1
Habilidades básicas de manejo de la computadora.

1. ⎧ 1 −1 ≤ t < 0 8. ⎪⎧ 0 −1 ≤ t < 0
f (t) = ⎨ 0<t ≤1 f (t) = ⎨ t2 0<t ≤1
⎪⎩ −1
⎩⎪

2. ⎧ 0 −1 ≤ t < 0 9. ⎪⎧ t2 −π ≤ t < 0
f (t) = ⎨ 0<t ≤1 f (t) = ⎨
⎪⎩ 1 ⎩⎪ 0 0 < t ≤ π

3. ⎧ 1 −1 ≤ t < 0 10. f (t) = t, − π < t < π
f (t) = ⎨
⎪⎩ 0 0 < t ≤ 1

4. ⎧ 2 −1 ≤ t < 0 11. f (t) = −t, − π < t < π
f (t) = ⎨
⎩⎪ 3 0 < t ≤ 1

5.4 La serie compleja de Fourier 261
16. f (t) = t2 + π , − π < t < π
12. f (t) = t +1, − π < t < π 17. f (t) = π − t2 , − π < t < π
13. f (t) = 2t −1, − π < t < π 18. f (t) = et , −1 < t < 1
14. f (t) = t2 , − π < t < π
15. f (t) = −t2 , − π < t < π

5.4 Competencia final 1. ⎧ 1 −π ≤ t < 0
f (t) = ⎨ 0<t≤π
Capacidad para generar nuevas ideas. ⎩⎪ t

En los ejercicios 1 a 4, calcular la serie compleja de 2. ⎧ −1 −1 ≤ t < 0
Fourier. Utilizar un SAC para graficar la función dada f (t) = ⎨
y la serie obtenida. ⎩⎪ 1 0 < t ≤ 1

Potenciar las habilidades para el uso de nuevas tecnologías. ⎧ 0 −π < t < 0
Habilidades básicas de manejo de la computadora. ⎪ 1 0<t <1
3. f (t) = ⎨

⎩⎪ t 1 < t < π

4. f (t) = e−t , − π < t < π



Soluciones a problemas impares

1.1 Soluciones 5. y (x − 1)2 = c (x + 1)

1. ordinaria, segundo orden, lineal, grado 1. 7. 5e6x (6x − 1) = 36e5y + c
3. parcial, segundo orden, lineal, grado 1
5. ordinaria, primer orden, no lineal, grado 3 9. 9 ln y = c + 5e−3x3
7. ordinaria, primer orden, lineal, grado 1
9. ordinaria, primer orden, no lineal, grado 1 11. 18 ln(x + 3) + x2 − 6x − 1 =c
11. ordinaria, primer orden, no lineal, grado 1 y2
13. ordinaria, tercer orden, no lineal, grado 1
15. ordinaria, primer orden, no lineal, grado 2 13. 6x3 ln x + 9y ln y − 2x3 − 9y = c
17. ordinaria, primer orden, lineal, grado 1
19. ordinaria, primer orden, lineal, grado 1 15. cy + e ∫ p(x)dx = 1
21. ordinaria, quinto orden, no lineal, grado 6 17. y + 1 (ax + b)3 = c
23. ordinaria, cuarto orden, no lineal, grado 2
25. ordinaria, primer orden, no lineal, grado 1 3a
27. ordinaria, primer orden, no lineal, grado 1
29. ordinaria, primer orden, no lineal, grado 1 19. e y = tan(c − x)
31. ordinaria, primer orden, lineal, grado 1 21. (x + 4)4 ( y + 3)6 = c (x − 2)4 ( y − 1)6
33. ordinaria, primer orden, no lineal, grado 2
35. si es solución ( )23. 135e−x + 90e−3x + 27e−5x − 5e3y 9y2 − 42 y + 50 = c
37. si es solución
39. si es solución 25. c (x + 3)4 ( y − 2) = ex+y
41. si es solución 27. (x − 5)2 ex+ y = c ( y + 9)5
43. si es solución
45. si es solución 29. 3 2t − 1 + 2 3u − 2 = c
47. si es solución
49. si es solución 31. 2e−2x (cos 2x + sen 2x) + (4y + 3)e−4y = c
51. si es solución
53. no satisface 33. cot 2x + csc 2x + 2y = c
55. si satisface
57. no satisface 2 − 1 =c
59. no satisface y2 − x2 +1
( )35. 1 2
1.2 Soluciones
37. sen 3x + 3sen x − 3sec2 y = c
1. e4y cos 4x = c
( ) ( )39. x − 1 2 y + 1 2 = c
3. y = ce2tan−1 t
41. y + tan−1 x = 1+ tan−1 π
4

43. y = 0 sin solución

45. y = 0

47. sec y = 2
1+ sen x 2 + 1

49. x + e−2x+ y+1 = c

51. 2(x + y) − 2 tan−1 2 (x + y) = 4x + c

53. − cot 1 (x − y) = x + c
2

264 Soluciones a problemas impares

( ) (55. 2 3 tan−1 3 2 x + y + 1 − 1 + ln x + y + 2 − 45. y2 − 18xy = x2 ln cx2
3
) ( )x + y + 1 − 2 ln x + y + 1 + 1 = 3x + c y5

57. y = tan x 47. e x5 = cx5
49. 2 y2 + 2xy + x2 = c
( )59. 2x
10y − 1 = c 10y + 1 e 51. tan y = cx
10 2x

1.3 Soluciones 53. − cot x − x = ln cy
yy

∫55. u et dt = ln cx, u = y
u0 + lnt x
1. Homogénea de grado 3

3. Homogénea de grado 3/2 57. e x/ y = cx2

5. Homogénea de grado 3/2 −x

7. Homogénea de grado 5/2 59. e x+ y = cx
61. y3 − 3xy2 + 3x2 y = x3 ln cx3

9. No homogénea x3
11. tan−1 ¢y≤ = lncx
63. e y3 = ey3
x
y2
13. x = yecy 65. 2e y/x + x2 = ln x2 + 2e − 1

( )15. x4 − 2y4 2 = cy9 67. x2 + y2 + y = ¢ 5 + 1≤ x2
2
17. y2 − 3xy − x2 = cx3

19. y3 + xy2 + x3 = cx4 69. x2 y2 + x4 = 2 y2

21. y2 − 2xy = cx3 71. −e−x/ y = ln y − 1

( )23. cx3 = y2 + 9x2 2 1.4 Soluciones

25. y − x = cx2 (x + y)

27. y − 4x = c ( y − 3x) 1. Exacta

29. x2 y2 + y4 = cx2 3. No exacta

31. y − x = cx5 (4x + y) 5. Exacta

33. x − 5y = cy6 (x + y) 7. No exacta

9. No exacta

e y2 + 5 y = cx ¢3y 5 11. 2x3 y2 + 2x cos y + x2 + y2 = c
6x2 9 x 27
35.
x + 1≤

y2 −2xy 13. ln x + cos y − 3xy2 = c

37. e x2 = cx2 15. 4x2 − 5xy + 2 y3 + x = c

x2 + 4xy 17. exy − 2xy + 3x2 = c

39. e y2 = cy2 19. xy2 − y cos x − 1 y2 = c
2

41. x + y = cy2 21. yex − xe y + x2 + y2 = c

43. y − 3x = cx2 23. x2 y2 + tan−1 x = c

Soluciones a problemas impares 265

25. y + 2xy2 + y2 − 2x3 = c 15. yex2 = − 1 ex2 + c
27. tan x + x cot y = c 2
29. y cosh x − x senh y = c
31. 1 + x = c 17. y x2 + 1 = 1 x3 + x + c
3
x+3 y
33. x ln x + y ln y + x cos y = c ( )19. yex = ln ex + 1 + c

35. ln sen x + y ln x + x2 y = c ( )21. 2y x2 + 1 = ln x + x2 + 1 + x x2 + 1 + c

37. exy + xe y − xy = c ( )23. 2y ex + 1 = e2x − 2x + c

39. x + y = c (x − y) ( )25. 15x4 y = 4 x5 + 1 3/2 + c

( )41. x cos y + ytan x = π 2 + 2 27. yex (x − 2)4 = 1 x2 − 2x + c
8
2
43. x ( y + 1)(x − 1) = 2
( )29.y 1 ln
45. 4x3 + 12xy + 3x4 = 12 x3 = 2 x2 − 1 − ln x + c

47. k = −72, 8xy − 24x3 y3 + x = c 31. y (x − 1)2 ex = 1 x2 − x − c

49. k = 1, x tan y + x2 y = c 2

( )51. μ(x) = ex2 , y2 + 1 ex2 + x2 = c ( )33. yex = ln e2x + 1 − x + c

53. μ( y) = 4 , 4x ln y + 8x2 ln y = c 35. y (x + 2)2 = − 2 + c
y
x+2
55. μ(x, y) = 1 , ln x + ln y + xy − y = e
xy 37. yex2 +x = ex2 +x + c

57. ln x + x2 y2 = e4 39. xe 1 y3 = 3e 1 y3 +c
y 3 3

59. p(x) = − tan−1 x, xex − y tan−1 x = c ( )41. 3xy = x2 + 1 3/2 − 1

43. 3y sen x = 2 − 2 cos3 x

45. 8(tan x + sec x) y = 9 − cos 2x + 4 sen x

47. i = E + ¢i0 − E ≤ − Rt
L L
eL

1.5 Soluciones 49. 4xy = 11+ 2x2 ln x − 3x2

1. No lineal 51. y = 2e x + 1− 2e2
x
3. lineal
53. y = 0
5. lineal 55. y = 1 x − 1

22

7. lineal

9. lineal 1.6 Soluciones

11. y = 1 (3x − 1)e3x +c ( )1. 3y−1 x2 + 1 = x2 + 1 3/2 + c
x3
9

13. y = 1 x4 ¢ln x − 1 ≤ +c ( )3. y2
x4 4 x2 + = ln x2 +1 + c
1

266 Soluciones a problemas impares

5. 1 = (x − 1)ex + c 39. y = c1e4x + c2xe4x

xy 41. y = c1e2x cos x + c2e2x sen x

( )7. 1 x 2
yex = 2e 2 +c
43. y = c1ex cos 2x + c2ex sen 2x

9. 1 = sen x − x cos x + c 45. y = c1e−8x + c2e9x
xy
47. y = c1e−8x + c2xe−8x

( )11. 3y−1 x2 + 1 = 2 x2 + 1 3/2 + c 49. y = c1x−1 + c2x−1 ln x

13. 4y−1 cos x = sen 2x + 2x + c 51. y = c1x−3 + c2x−3 ln x

15. y3 csc3 x = 3 cot x + c 53. y = c1x−3/2 + c2x−3/2 ln x

y5/3 55. y = c1x−3/5 + c2x−1
x5
17. = 5x (ln x − 1) + 6 57. y = c1x−2 + c2x−4

19. 3x4 y4/3 = 2x6 − 2 59. y = c1x−1 + c2x−2

61. y = c1 + c2x−3

2.2 Soluciones 63. y = c1x−1 cos ln x + c2x−1 sen ln x

65. y = c1x−3 cos ln x + c2x−3 sen ln x

1. y = 2 ex + 2e2 2 e−x 67. y = c1x −3/ 2 cos ¢1 ln x≤ +c2 x −3/ 2 sen ¢1 ln x≤
1+ e2 1+ e 2 2

3. y = cos 4x + (sec 4 + tan 4)sen 4x

5. y = −3e6 e −5 x + 3e6 e−x 2.3 Soluciones
5e − e5 5e − e5

7. Linealmente independientes 1. y = c1e5x + c2e−3x

9. Linealmente independientes 3. y = c1e3x cos 4x + c2e3x sen 4x

5. y = c e− 4 x + c2 xe − 4 x
3 3
11. Linealmente independientes
1

13. Linealmente independientes 7. y = c1e−8x + c2e4x

15. Linealmente independientes 9. y = c e− 1 x cos 1 x + c e− 1 x sen 1 x
2 3 2 3

1 2

17. Linealmente dependientes 11. y = c1e 1 x + c2 xe 1 x
5 5

19. Linealmente independientes 13. y = c e− 2 x + c2 e 1 x
3 3

1

21. Linealmente independientes 15. y = c e− 2 x + c2 e 1 x
5 3

1

23. Linealmente independientes 17. y = c e− 2 x + c2 e x
7

1

25. Linealmente independientes 19. y = c1e−7x + c2e−5x + c3e4x

27. Linealmente dependientes 21. y = c1e2x + c2e−2x + c3xe−2x

29. Linealmente independientes 23. y = c1e3x + c2xe3x + c3x2e3x

31. Linealmente independientes si m ≠ n ≠ p 25. y = c1ex + c2xex + c3x2ex

33. Linealmente independientes 27. y = c1ex + c2e2x cos 3x + c3e2x sen 3x
29. y = c1e−3x + c2ex + c3e−2x cos 2x + c4e−2x sen 2x
35. Linealmente independientes 31. y = c1 cos 2x + c2 sen 2x + c3ex cos x + c4ex sen x
37. y = c1ex + c2e4x

Soluciones a problemas impares 267

33. y = c1 cos x + c2 sen x + c3x cos x + c4x sen x 17. y = c1e − 2 x + c2e x − 1 xe x + 23 e2x − 1 xe2x
35. y = c1 + c2x + c3ex cos 4x + c4ex sen 4x 7 3 64 4
37. y = c1e−4x + c2ex + c3e3x + c4e5x
39. y = c1e−2x + c2e−x + c3ex + c4e2x + c5e3x 19. y = c1 cos kx + c2 sen kx + k2 A sen ax
41. y = −e−x + 2ex − a2

21. y = c1e x + c2e −2x + c3 e 4 x + 1 x + 5
4 16
43. y = −4ex − 19xex
3 1 ex
45. y = − cos x + 2 sen x 23. y = c1e −2 x + c2e 2x + c3 e 4 x − 8 xe2x + 9

47. y = e3x − e2x 25. y = c1e3x + c2 xe 3x + c3 x 2 e 3x − 5 x3e3x
6
49. y = 4e−1ex − e−1xex

51. y = −4 cos 3x + 6 sen 3x 27. y = c1e x + c2 xe x + c3x2ex + 1 x5ex
20

53. y = 0 67
4505
29. y = c1e x + c2e 2x cos 3x + c3e2x sen 3x + cos 4x +

55. y = e−10x + 2e6x

57. y = e− 2 x + 2 xe − 2 x 4 sen 4x
3 3 4505

59. y = −40e3x cos 3x ( )31. y = 2e−1 − e ex + (2e + 2)e −x − 4

61. y = 3e−4x

63. y = e3x cos x + 2 e3xsen x 33. y = −14ex − 5xe x + 10

65. y = 2ex + 3e5x 35. y = ¢− 1− 4e−2π ≤ cos x + ¢2 − e−2π ≤ sen x + 1 e−4x
17 17 17
67. y′″ − 14y″ + 44y′ − 40y = 0
37. y = e2x − 3e3x + 2e4x
69. y(4) − 2 y′″ + 6y″ − 2 y′ + 5y = 0

39. y = ¢4 + cos1− sen1≤ ex − 1 xe x − ex cos x
ee
2.4 Soluciones
41. y = − 61 cos 3x + 787 sen 3x + 2 ex + 1 x − 1
1. y = c1e −3x + c2 e 5 x − 4 15 405 5 9 3
15
43. y = 11 e−2x + 7 e6x − 1 e4x + 1 x − 5
3. y = c1e3x cos 4x + c2 e 3x sen 4x + 1 144 48 12 6 36
25
45. y = 2 xe − 1 x + 3 x e2 − 1 x
2 2

5. y = c e− 4 x + c2 xe − 4 x + 8 ex 8
3 3 49

1 47. y = 4e 2x cos 3x − 3e2x sen 3x + 1 xe2x sen 3x
3
7. y = c1e 4 x + c2 xe−8x − 1 e3x − 1 x − 1
11 16 128 49. y = − 373 e−3x + 716 e 4x − 4 xe−3x + 1 x2e4x − 2 xe4x
343 343 7 7 49
9. y = c e− 5 x cos x + c2 e − 5 x sen x − 1 ex + 1 e−x
3 2 106 26

1 51. y = − 161 e−6x + 73 xe −6x + 1 x3e−6x + 1 x − 1
54 18 6 18 54
11. y = c1e − 1 x cos 1 x + c e− 1 x sen 1 x + 1 ex + 1 x − 36
2 3 2 3 85 13 169

2 452 − 3x 104 − 3x 2
225 2 25 2 225
53. y = − e cos 1 x + e sen 1 x + cos x
2 2
3
13. y = c1e 1 x + c2 xe 1 x + 25 x 2 e 1 x − 36 sen x + 1 x cos x + 2 x sen x
5 5 5

4 225 15 15
9
15. y = c e− 2 x + c2e 1 x − xe − 2 x 55. y = 239 + 4 e3x − 1 x4 − 2 x3 − 2 x2 − 4 x
3 3 3 81 81 3 9 9 27

1

268 Soluciones a problemas impares

2.5 Soluciones 3.2 Soluciones

1. y = c1 cos x + c2 sen x + x 1. F(s) = 2 + 1
s2 s

3. y = c1e−4x + c2e5x − 3xe−4x 3. F(s) = 2 − 2 + 1
s3 s2 s
x
5. y = c1 cos x + c2 sen x + sen x ln tan 2 24 24 8 4
s5 s4 s2 s
5. F(s) = + − +

7. y = c1 cos+ c2 sen x + sen x ln sen x − x cos x 7. F (s) = e−3
s−2
( ) ( )9. y = c1 + c2ex + ln ex + 1 + ex ln e−x + 1 − x − 1

11. y = c1 cos x + c2 sen x + sen x cos x 9. F(s) = (s 1

− 1)2

13. y = c1ex cos x + ex sen x + ex F(s) = s2 −1
s2 +1 2
15. y = c1 cos x + c2 sen x + 1 + 1 cos2 x ( )11.
3 3
13. F (s) = 1− e−s
( ( )) ( )17. y = c1 + c2ex + ex x − ln ex + 1 − ln ex + 1 s

19. y = c1e x + c2 e − x + 1 e2x + 1 e −2 x 15. F(s) = s − 2 se − s +1
4 6 s2

21. y = c1e3x + c2 e −3x + 1 x2e3x − 1 (6x − 1)e3x 17. F(s) = e−s (s + 1)
12 216 s2

23. y = c1e2x + c2xe2x + x2e2x ln (x + 1) 19. F(s) = 2 − 2e−2s − 4se −2 s
s3
− e2x (x − ln(x + 1))

( )25. 1 3.3 Soluciones
y = c1e −2 x + c2 xe−2x + xe −2 x tan−1 x − 2 e −2 x ln x2 +1

27. y = c1e3x + c2xe3x − xe3x ln x 1. F(s) = −3s3 + 6s2 − 10s +6
s4

29. y = c1e −2 x + c2 xe−2x + e −2 x 3. F(s) = 8s3 + 12s2 + 12s + 6
2x s4

31. y = c1e 4 x + c2 xe4x + e4x 5. F (s) = 600s2 − 1 200s + 720
6x2 s7

33. y = c1e−2x + c2e4x + e−3x 25s2 − 125s − 100
s3 − 3s2 − 22s + 24
7. F(s) =

35. y = c1 + c2e2x + cos x + 2 sen x

37. y = c1e−2x + c2e2x + 4 sen x 9. F (s) = 9 − 6 + 1
39. y = 14 e−2x + 28 ex − 14 s+4 s+6 s+8

33 11. F(s) = s2 s−2 3
41. y = − 1 cos x − 1 sen x + 1 ex − 4s +

222 F(s) = s2 − 2
s2 − 4
( )13. s

43. y = 15 e−2x + 5 e10x − 10ex 15. F(s) = s2 1 4
22 −

Soluciones a problemas impares 269

2(s2 + 5) 17. f (t) = 9 e2t − 1 e−2t
44
17. F (s) = s4 − 26s2 + 25
19. f (t) = 3e9t
19. F (s) = ( )−3 s3 − 2s2 + 36s + 72 21. f (t) = 2et − 4e−2t
23. f (t) = 8e−5t − 5e12t
s4 − 1 296 25. f (t) = −2e−7t − 3e−4t + 2et
27. f (t) = 1 e4t − 1 e3t + 1 e2t − 1 et
21. F(s) = 4 − 5s
s2 −1 6226
29. f (t) = −2e−4t + e−3t + e−t
23. F(s) = s2 1 4 31. f (t) = 3e4t − 4e−2t − e−t
+ 33. f (t) = − 2 cos 3t + 4 sen 3t − 4 t + 2

s (s2 + 25) 9 27 9 9
35. f (t) = cost + sent + 3e−4t
25. F (s) = s4 + 50s2 + 49 37. f (t) = cos 2t + sen 2t + cost − sent
39. f (t) = sent + senh t
F(s) = s3 + 7s 41. f (t) = cos 4t + cost
s2 +1 s2 + 9
) )( (27.

F(s) = 24
s s2 + 4 s2 + 16
) )( (29.

31. F (s) = 1 + s2 2 4
s +

33. F(s) = 4s8 + 500s6 + 19 510s4 + 237 750s2 + 112 896
s9 + 150s7 + 7 353s5 + 120 100s3 + 112 896s

37. F(s) = n!
s n +1
3.5 Soluciones
39. F (s) = π
s 1. F(s) = −3s3 + 15s2 − 31s + 25

(s − 1)4

3.4 Soluciones 3. F(s) = 120 − 1 440 + 10 080

(s − 1)6 (s − 2)7 (s − 3)8

1. f (t) = 2 t7 5. F(s) = s2 −3s − 6π + 1
7! + 4π s + 4π 2 + 1

3. f (t) = 4 e − 2 t 2b2
5

5 ( )7. F (s) =
(s − a) (s − a)2 + 4b2
5. f (t) = 2t + 5 − et + 4e−2t

7. f (t) = 1 t5 + 6 t4 + 9 t3 6b3
5! 4! 3! ( )( )9. F(s) =
(s − a)2 + b2 (s − a)2 + 9b2
9. f (t) = 9 sent
5 11. F(s) = 1 ¢(s − s−a + (s − s − a − c )2 ≤
2 +
11. f (t) = 5 cos 2t − 4 sen 2t a)2 + (b + c)2 a )2 (b
33
13. F (s) = (s − 1)3 2 − 1)
13. f (t) = 5 sen 4t − 3 cos 4t
42 + 16(s

15. f (t) = 5 e3t + 13 e−3t 15. f (t) = 1 t3e3t
12 12 2 520

17. f (t) = −8t3e−8t

270 Soluciones a problemas impares

19. f (t) = t2e4t + 5te−t ( )2b 3s2 − b2
( )3. F (s) = s2 + b2 3
21. f (t) = 5e−t sen 2t

23. F (t) = 7e−7t cos 4t − 49 e−7t sen 4t ( )2b 3s2 + b2
4 ( )5. F (s) = s2 − b2 3

25. f (t) = 4e−6t cos 2t − 13e−6t sen 2t (s − a)2 − b2
(s − a)2 + b2 2
F(s) =
e −3s ( )7.
27. F(s) = s2

(1 − s ) e −5s F(s) = 2b(s − a)
(s − a)2 + b2
29. F(s) = s2 ( )9. 2

31. F (s) = e5−3s ( )2b 3(s − a)2 − b2
s −1 ( )11. F (s) = (s − a)2 + b2 3

33. F(s) = 2e −π s
s2 + 4
( )2b 3(s − a)2 + b2
( )s2 + 1 e1−s ( )13. F (s) = (s − a)2 − b2 3

35. F (s) = (s − 1)3

37. F(s) = s − 2 se − s +1 15. F (s) = − sen at
s2 t

39. F(s) = 1 − e −3s − 3e −3s 17. 1 ¢1 − e−a(s−a ) ≤
s2 s2 s 1 − e−at s−a

41. F(s) = 1 − e −2 s − 3e − s 19. F(s) = 1 ¢es−2π s + 1≤
s2 s s2 1− e−πs +1

43. f (t) = 46 − 2 t (t − 3) 21. F (s) = b − 2be−as + be−2as
e U5 5

5 ss s

( )45. f (t) = 1 (t − 6)3 t2 + 18t + 36 U (t − 6) 23. F (s) = be−as − be−2as
120 ss

47. f (t) = − 9 sen5tU (t − π ) e−s + se−s −1
5 s2

49. f (t) = 5 cos 2 (t − 3)U (t − 3) − 4 sen 2 (t − 3)U (t − 3) 25. F(s) =

33

( )51. f (t) = 1 e3−3t e6t−6 + 5 U (t − 1) 27. F (s) = −e−4s + 2e−3s − e−2s − e−s + 1
6 s

51. f (t) = 4e6−3t ¢cosh 4(t − 2) + 5 senh 4(t − 2)≤U (t − 2) 29. F(s) = s2 1 3s
+
2

( )53. f (t) = 4e2t−8 − 5e12−3t + 2e16−4t U (t − 4) 31. F(s) = 1 s
s3 +

3.6 Soluciones 33. F(s) = s3 1 s2
−

1. F(s) = (s 2 35. F(s) = (s 1
− a)3
− 1)2

Soluciones a problemas impares 271

37. F(s) = 3s − 1 ( )31. y = 2e−1 − e et + (2e + 2)e −t − 4

s2 (s − 1)3 33. y = −14et − 5te t + 10

39. F(s) = s2 1 as 35. y = ¢− 1− 4e−2π ≤ cost + ¢2 − e−2π ≤ sent + 1 e−4t
− 17 17 17

41. F ( s ) = 12 37. y = e2t − 3e3t + 2e4t
s7

F (s) = b
( )43. (s − a) s2 − b2 y = ¢4 + cos1− sen1≤ et − 1 te t − et cost
39. ee

b
( )45. F (s) = 41. y = − 61 cos 3t + 787 sen 3t + 2 et + 1 t − 1
s2 (s − a)2 + b2 15 405 5 9 3

47. f (t) = cosh t − 1 43. y = 11 e−2t + 7 e6t − 1 e4t + 1 t − 5
144 48 12 6 36
49. f (t) = 1− cos at
a 45. y = 2te − 1 t + 3 t 2 e − 1 t
2 2
51. f (t) = 1 ( sen at + at cos at)
8
2a
47. y = 4e 2t cos 3t − 3e2t sen 3t + 1 te2t sen 3t
3

3.7 Soluciones 49. y = − 373 e−3t + 716 e4t − 4 te−3t + 1 t2e4t − 2 te4t
343 343 7 7 49

1. f (t) = 37 e−6t + 1 t − 1 51. y = − 161 e−6t + 73 te −6t + 1 t3e−6t + 1 t − 1
36 6 36 54 18 6 18 54

3. y = −4et − 19tet 53. y = − 452 e − 3t cos 1 t + 104 − 3t sen 1 t + 2 cos t −
225 2 2 25 2 2 225
e

5. y = − cost + 2 sent 36 sent + 1 t cost + 2 t sent
225 15 15

7. y = e3t − e2t 55. y = 239 + 4 e3t − 1 t4 − 2 t3 − 2 t2 − 4 t
81 81 3 9 9 27
9. y = 4e−1et − e−1tet

11. y = −4 cos 3t + 6 sen 3t 57. y = 9 + 5 et − 2 t3 − 5 t2 − 4t
22 3 2

13. y = 0 y=− aA sen kt + A sen at
k k2 − a2 − a2
15. y = e−10t + 2e6t ( )59. k2

17. y = e− 2 t + 2 xe − 2 t f (t) = ¢1 (t − 1) − 2 e−3(t−1) + 2≤U (t − 1)
3 3

61. 39 9

19. y = −40e3t cos 3t

21. y = 3e−4t 63. f (t) = cosh t

23. y = e3t cos t + 2 e3tsent 65. f (t) = et

25. y = 2et + 3e5t 67. f (t) = 1 e2t + 1
22
27. y = 14 e−2t + 28 et − 14
33 ( )69. f (t) = 1 3et + 2tet + e−t
4
29. y = − 1 cost − 1 sent + 1 et 71. f (t) = 1 t3 + t
222
6

272 Soluciones a problemas impares

73. f (t) = 1 t3 + 1 t2 + t + 1 21. x = c1e2t cos 6t + c2 e2tsen 6t,
62
y = (c1 + 3c2 )e2t cos 6t + (c2 − 3c1 )e2tsen6t
( )75. f (t) = 1 et − cost − sent
2 23. x = c1 cost + c2 sent − et ,
y = c1 − c2 cos t + c´1 + c2 sen t − 1 et
77. f (t) = 2 e2t + 3 cost + 1 sent 2 22
55 5

79. f (t) = tet

3.8 Soluciones 25. x = c1e2t cos 3t + c2 e2tsen 3t,
y = 3c2 − c1 e2t cos 3t − 3c1 + c2 e2tsen 3t
22

1. y = et−1U (t − 1) 27. x = c1 + c2et + c3e2t , y = c1 + cet + c3e2t ,
3. y = − sentU (t − π ) z = −c1 + c3e2t
5. y = 1 sen 3t + 1 sen 3tU (t − 2π )
29. x = c1 + c2et + c3e3t , y = c1 − 2c3e3t ,
33 z = 3c1 + c2et − 9c3e2t

7. y = − costU ¢t − π ≤ − sentU (t − π ) 31. x = c1e− 5 t + c2e 5 t + c3e− 3 t + c4e 3 t ,
y = −c1e− 5 t − c2e 5 t + c3e− 3 t − c4e 3 t
2
33. x = c1 cos t + c2 sen t + c3 e −4 t + c4 e 4 t − 1 ,
( )9. y = et−π − 1 U (t − π ) 16

11. y = 1 senh 2(t − 1)et−1U (t − 1)
2

4.2 Soluciones y = a1 cos t + a2 sen t + a3 e −4 t + a4 e 4 t − 1
256

1. x = c1e2t + c2e−2t , y = 2c1e2t − 2c2e−2t 35. x = a1 cos 3t + a2 sen 3t + a3 e −2 t + a4e2t + 1 t,
3
3. x = c1 + c2 e 2t + 1 t2 − 1 t, y = c1 − c2 e 2t + 1 t2 + 1 t + 1
4 4 4 4 4 y = c1 cos 3t + c2 sen 3t + c3 e −2 t + c4e2t + 1t
9
5. x = −5c1e−2t − c2e6t , y = c1e−2t + c2e6t

7. x = c1e 4t + c2 e −4t + 1 t, y = c1e 4t − c2 e −4t − 3 37. x = c1e−3t + c2e3t + c3et , y = a1e−3t + a2e3t + a3et
4 16

9. x = c1 cos t + c2 sen t + 1 et , y = −c2 cos t + c1 sen t + 1 et 39. x = c1 + c2t + c3e−5t + c4e5t ,
2 2
1 1 t3
= c1e −3t + c2e3t − 1 − 1 t, = c1e −3t − c2 e 3t + 1 + 1t y = a1 + a2t + a3 e −5t + a4e5t + 50 t2 − 6
9 3 9 3
11. x y

13. x = c1 + c2e−4t , y = 3c1 + c2e−4t 41. x = c1 + c2t + c3e−t + c4et , y = −2c1 − 2c2t − c3e−t − c4et
43. x = 1 e−2t + 1 e2t , y = e−2t + e2t
15. x = c1e−5t + c2te−5t , y = ¢c1 + 1 c2≤ e −5t + c2te −5t
7 22
45. x = e−3t + 2te−3t , y = 4e−3t
17. x = c1 cos 4t + c2 sen 4t, y = c2 cos 4t − c1 sen 4t + 1
4

19. x = c1e2t cos t + c2 e2tsen t − 3 − 2 t, 47. x = 5e2t cos 5t + e2tsen5t, y = e2t cos 5t − 5 e2tsen5t
25 5

y = −c2 e 2t cos t + c1 e2tsen t + 1 t + 4 49. x = 10 cost + 100 sent, y = −10 sent + 100 cost
25 25

Soluciones a problemas impares 273

4.3 Soluciones y = ¢ 1 − 5 ≤ e 5t + ¢ 1 + 5 ≤ e− 5t
30 75 30 75

1. x = − cost + 2 sent + 2 + 1 cost − 2 sent + 1 t − 2
y = −2 cost − sent + 3 3 3 55

3. x = 45 cos 9t + 4 sen9t + 1 et − 9 e−t 21. x = − 6 e7t + 6 − 1 t
41 41 82 82 49 49 7

y = − 4 cos 9t + 45 sen9t + 9 et − 1 e−t y = 8 e7t − 8 − 1 t
41 41 82 82 49 49 7

5. x = 83 e−2t cos5t + 213 e−2t sen5t + 3 et − 5 23. x = − 1 cost + 1 sent + 1− 1 et
986 986 34 29 22 2

y = 83 e−2t sen5t − 213 e−2t cos5t + 5 et + 2 y = 1− et
986 986 34 29
25. x = − 1 senh5t + 1 t
7. x = − 223 e−10t − 121 e8t + 63 + 3 t 125 25
360 720 80 20
y = 1 cosh5t + 1 t3 − 1 t2 − 1
y = 223 e−10t + 121 e8t + 1 t + 309 625 6 50 625
90 1800 10 200
27. x = senht − t
y = 2t − senht

9. x = 7 e−2t + 7 te−2t − 7 5.1 Soluciones
42 4
5. f (t) = eat , T = a
y = 9 e−2t + 7 te−2t − 9 f(t)
42 4

11. x = − 20 e−2t cos5t + 21 e−2tsen5t + 20 − 5 t t
841 841 841 29 a 2a 3a

y = − 21 e−2t cos5t − 20 e−2tsen5t + 21 + 58 t
841 841 841 841

13. x = et cost + et sent
y = et cost − et sent

15. x = − 15 e−2t + 19 e2t + 1 cos 2t + 15 sen 2t − 1 7. f (t) = cost, T = π
32 32 8 16 4
f (t)
y = − 15 e−2t + 19 e2t − 1 cos 2t − 15 sen 2t − 1 t 1
32 32 8 16 4
π 2π 3π t
17. x = − 1 senh 4t + cos2t + 11 sen2t –1
40 20
9. f (t) = b b 0 ≤t < a , T = 2a
y = − 1 senh 4t −b a ≤ t < 2a
4
f (t)

19. x = ¢ 1 − 5 ≤ e 5 t + ¢ 1 + 5 ≤ e− 5 t
30 75 30 75

− 2 cost + 2 sent − 4 t + 3 a 2a 3a t
3 3 55

274 Soluciones a problemas impares f (t) = − π 2 − ∞ 4 ( −1)n
3
11. f (t) = b sent 0 ≤ t < π , T = 2π ∑15. n2 cos nt
0 π ≤ t < 2π
n=1
f (t)
2 f (t) = − π (π − 3) − ∞ 4 ( −1)n

3 n2
∑17. cos nt

n=1

∑ ( )∞ e−1 e2 − 1 (−1)n
02 4 6 t 19. f (t) = senh1+ n2π 2 + 1 cos nπt −
8 10
n=1

∑ ( )∞ nπ e−1 1− e2 (−1)n sen nπt
n2π 2 +1
13. No par, no impar n=1
15. par
17. par f (t) = − 1 + 2 ∞ 1
19. impar ππ 4n2 −
21. no par, no impar ∑21. 1 cos 2nt −
27. 2
n=1
9
29. 0 ∑ ( )∞
31. 0
n=1
4n (−1)n sen 2nt

π 4n2 −1

∑ ( ) )(23.
f (t) = −1 + ∞ n 1+ (−1)n sen nt
π n=1
π n2 −1

∞ 1 sen nt

f (t) = −2
∑25. n
n=1

5.2 Soluciones f (t) = π + 1 ∞ 1− (−1)n
4π n=1
∑1. f (t) = ∞ 2 (−1)n sen nπt ∑27. n2 cos nt
nπ
n=1 1 ¢1− e−π ∞ 1− e−π (−1)n
2 π n=1
n2 +1 π
∑3. f (t) = 1 + ∞ (−1)n − 1sen nπt ∑ ( )29.f(t)= ≤ + cos nt +
2 nπ
n=1 ∑ ( )∞ n(−1)n e−π − n cos nt

f (t) = 1 + ∞ ( −1)n − 1 ∞ (−1)n sen nπt n=1 n2 + 1 π
4
∑ ∑5. n2π 2 cos nπ t − nπ

n=1 n=1 ∞
n=1
eπ −1 + 2 ( −1)n eπ − 2
π 1 π
∞ ∞ ∑ ( )31. n2 +
f (t) = 1 + 1− (−1)n 1− 2 (−1)n sen nt f (t) = cos nt
4
n2π 2 nπ
∑ ∑7. cos nt −

n=1 n=1

f (t) = π 2 + ∞ 2 (−1)n ∑33. f (t) = 2 − π + ∞ 2 sen n cos nt +
6 2π nπ
∑9. n2 cos nt + n=1
∑∞ (−1)n − 2 cos n + 1sen nt
n=1 nπ
n=1
∑ ( )∞ n2π 2 + 2 (−1)n + 2
n3π sen nt

n=1

∑11. f (t) = ∞ 2 (−1)n sen nt 2π + 1 + ∞ cos n −1+ n sen n
n 4π n=1 n2π
n=1 ∑35.
f (t) = cos nt +

∞ 4 ( −1)n ( )∞ n (−1)n − cos n + 1 + sen n

∑13. n2 ∑ n2π sen nt
f (t) = −1− sen nt
n=1
n=1

Soluciones a problemas impares 275

f (t) = 2π − π 2 − 2 + ∞ 1 − ( −1)n − n sen n f (t) = π 2 + ∞ 4 ( −1)n
4π π 3
∑37. n2 cos nt + ∑17. n2 cos nt

n=1 n=1

∑∞ cos n − n(π + 1)(−1)n sen nt f (t) = ∑ ( )∞ 2 2 − n2π 2 (−1)n − 4
nπ n3π sen nt

n=1

n=1

f (t) = 2π 2 − 2π + 1 + ∞ 2 ( −1)n − cos n − 1
4π
∑39. n2π ∞ ∞
cos nt + ∑ ∑f (t) = π 2 + 1 π
3 n2 − n
n=1 cos 2nt sen 2nt

n=1 n=1

∑∞ n(−1)n − sen n f (t) = 2 + ∞ 8nπ cos nπ − 16 sen nπ cos nπ t
n2π sen nt 3 2 2 2
∑19.
n=1 n3π 3

n=1

5.3 Soluciones ∞ 16 cos nπ + 8nπ sen nπ − 2n2π 2 (−1)n − 16
2 2
∑f (t) =
( )∞ 2a (−1)n − 1 n=1 n3π 3

1. f (t) = ∑ nπ sen nt sen nπ t
2
n=1

∑∞ 2 sen nπt ∞ 2 (−1)n ∞ 2 (−1)n − n2π 2 − 2
nπ
3. f (t) = n2π 2 n3π 3
n=1 ∑ ∑f (t) = 2 + cos nπ t +
3
∞ 2 (−1)n sen nt n=1 n=1

f (t) = −
∑5. n
n=1 sen nπ t

f (t) = 1 + ∞ 2 nπ nπ
4 n2π 2 2
∑7. 2 ¢2 cos t − nπ sen f (t) = 1 − 2 ∞ sen 2 nπ + sen nπ cos nπ t
3 3
n=1 ∑21.

3 nπ 3
− 2 (−1)n≤ cos nπ t n=1

2 ∞ 2 sen nπ t
∑ ( )f (t) = nπ 3
cos 2 nπ + cos nπ − 2 (−1)n
3 3
∞ 4 ( −1)n
π (π + 3) + n=1 n=1
n2
3
∑9. = cos nt
f (t)

∑∞ sen 4 nπ + sen 2 nπ cos 2 nπ t+
3 3 3
f (t) = 1−
∞ 2 cos nπ n=1 nπ
n=1 2
f (t) = 1 +
π π 1− n2
∑ ( )11. cos nt ∑∞ cos 4 nπ + cos 2 nπ −2
3 3
sen 2 nπ t
nπ 3

∞ n=1

f (t) = 2π − 1 + 2 cos n − 2
2π n2π
∑13. cos nt

n=1 5.4 Soluciones

f (t) = 1 + ∞ 2sen nπ
∑15. 2
cos nt = ¢1− (−1)n ≤ i,
2 n=1 nπ 1. cn c0 = 0
nπ

∞ 2 − 2 cos nπ 2 n +1
∑f (t) = 2 sen nt = − (−1) 2
nπ 3. cn +i, c0 = 1
2nπ 2
n=1

∑f (t) = ∞ 1− (−1)n sen 2nt 5. cn = (−1)n − 1+ nπ (−1)n i , c0 =1
nπ 2n2π 2 4
n=1

276 Soluciones a problemas impares

7. cn = 1− (−1)n + n(π + 1)(−1)n − n , c0 = 2−π 13. cn = 2 (−1)n i , c0 = −1
4
2n2π n

( )9.
cn = (−1)n − π 2 n2 − 2 (−1)n + 2 , c0 = π2 15. cn = − 2 (−1)n , c0 = −π2
6 3
n2 2π n3 n2

11. cn = − (−1)n i , c0 =0 17. cn = − 2 (−1)n , c0 = π (3 − π )
3
n n2

Índice analítico

A Coeficientes de la serie de D
Análisis de Fourier, 244 Fourier de medio intervalo, 243 Definición
Aplicación Fourier de una función impar, 240
Fourier de una función par, 240 de convolución, 178
de la derivada de una transformada, medio intervalo, 249 de ecuación diferencial, 2
172 Wronski, 83 de ecuación diferencial de orden n, 76
de espacio vectorial, 88
del teorema de convolución, 190 Combinación lineal, 89 de función impulso unitario, 196
directa del teorema de convolución, de la base, 87 de la función delta de Dirac, 198
de la base del espacio, 227 de la función escalón unitario, 160
192 de los elementos de la base, 226, 227 de la transformada de Laplace, 134
Aplicaciones de la ingeniería, 173 y bases, 81 de norma, 222
Axiomas de espacio vectorial, 88 de transformada inversa de Laplace,
Concepto de
B diferencial total de una función de 148
Base dos variables, 41 de wronskiano, 84
ecuación integral, 192 formal de producto interno, 222
combinación lineal de la, 87 ecuación integro-diferencial, 192 Denotación de las
de un espacio vectorial, 87 función impar, 219 funciones de dominio real, 136
del espacio, combinación lineal función par, 219 transformadas obtenidas, 136
la serie compleja de Fourier, 257 Dependencia lineal, 81, 83
de la, 227 potencial newtoniano, 229 Derivación implícita, 9
del subespacio, 88 Derivada(s), 2
ortogonal del espacio vectorial, 227 Conceptos de funciones de onda de mayor orden, 91
cuadrada, 173 de una función, 3
C de una transformada, 170
Cálculo de Condiciones de una transformada de Laplace, 169
de convergencia de una serie de ordinaria, 2, 3
la serie de Fourier en senos, 244 Fourier, 229 parciales de primer orden, 2
las raíces de una ecuación algebraica, iniciales de un problema de valor Desarrollo de
inicial, 77 medio intervalo, 243
244 para resolver ecuaciones lineales de medio rango, 243
los coeficientes de la serie de Fourier, orden superior, 81 métodos de solución, 134
Despeje de la variable, 2
228 Conjunto Determinante del sistema, 84
Característica de la ecuación base del espacio vectorial, 224 Diferencia entre el problema de valor
de funciones linealmente
diferencial lineal, 5 dependientes, 82 inicial y el de valor en la
lineal en dos variables, 5 de funciones linealmente frontera, 78
Características independientes, 81, 87 Diferencial
de la convolución, 179 fundamental de soluciones, 87, 89 de una función, 42
de la función impulso unitario, 197 linealmente independiente de n en un punto arbitrario, 42
de la transformada de Laplace, 134 soluciones, 88 total de z, 42
de la transformada inversa de Laplace no vacío, 88 Diferenciales parciales con coeficientes
ortogonal, 222 no constantes, 134
de una función, 153 Dimensión del espacio vectorial, 87
del problema de valor inicial, 78 Constante(s) División sintética, 104
del problema de valores en la arbitraria(s), 11, 78
de integración, 11, 20 E
frontera, 78 de la forma lnc, 24 Ecuación
Clasificación de
Construcción de una función, 176 algebraica, 134, 148
las ecuaciones diferenciales, 2 Continuidad auxiliar, 99
las soluciones de una ecuación con coeficientes enteros, 104
de una función, 2 cuadrática, 2
diferencial, 8 por partes, 140 homogénea, 76
soluciones de una ecuación Convergencia de íntegro-diferencial, 192
la integral, 139 no homogénea, 76
diferencial, 8 una serie de Fourier, 230, 232, 233,
Coeficientes
234, 236
de Fourier, 228, 230 Convolución, 178
de las derivadas, 76
de los términos en coseno, 241 de dos funciones, 178
de los términos en seno, 241 Cuadrados en los denominadores, 190
del desarrollo complejo de Fourier,

259
indeterminados, 81

278 Índice analítico

no lineal, 76 Euler, forma de, 138 teorema de la transformada de
ordinaria, 76 Existencia de algún compuesto químico Laplace de la, 198
polinomial con coeficientes
en un instante, 196 Función impar
complejos, 104 Expansión de Maclaurin, 138 concepto de, 219
polinomial de grado mayor, 98, 104 Extensión es antisimétrica, 219
Ecuación diferencial, 2, 148 en el origen, 242
con coeficientes constantes, 184, 186 impar de una función, 243
exacta, 42, 97 par de una función, 243 Función par
homogénea, 5, 31 concepto de, 219
F es simétrica, 219
de grado n, 34 Factor integrante, 97 respecto al eje, 242
no homogénea, 5 Familia
no lineal, 5 Función periódica, 226
separable, 19 de soluciones, 11 como una serie trigonométrica, 226
Ecuación diferencial lineal, 5, 76, 77 uniparamétrica de soluciones, 12 de periodo T, 173
con coeficientes constantes de Familias de soluciones gráfica de una, 173
equivalentes, 26
segundo orden, 97 gráficas de, 12 Funciones
de orden n con coeficientes Fenómeno que ocurre en un instante, con dominios muy restringidos, 22
con patrón repetido, 173
constantes, 97 196 continuas por partes, 179
de orden tres, 77 Forma coseno, 173
de segundo orden, 77, 89 de coseno rectificado, 173
homogénea, 87 de Euler, 138 de onda cuadrada, 173
de separar una ecuación homogénea, de seno rectificado, 173
de orden n, 103 diente de sierra, 173
no homogénea, 108 38 elementales, 145
Ecuación diferencial ordinaria (EDO), exponencial de un complejo, 138 homogéneas de grado n, 34
general de un problema de valores en impares, 240
3, 134 pares, 240
Ecuación diferencial parcial (EDP), 4 la frontera, 78 periódicas con un periodo fijo, 173
Ecuación integral Forma inversa del seno, 173
teoría de, 178
concepto de, 192 primer teorema de traslación, 158
de Volterra, 192 segundo teorema de traslación, 166 G
Ecuación lineal, 2 teorema de convolución, 181 Generalización del teorema de la
en dos variables, 5 Fracciones parciales, 151
en una variable, 2 Fuerza aplicada en la colisión de dos primera derivada de una
Ecuaciones transformada, 171
de derivadas ordinarias, 192 partículas, 196 Grado de la ecuación diferencial, 6
exactas, 7 Función, 7 Gráfica de
homogéneas, 7 la función delta de Dirac, 198
integrales, 134, 192 complementaria, 108, 109 una función especial, 162
lineales de coeficientes constantes, 97 continua por partes, 140 una función periódica, 173
separables, 7 coseno, 227 una función, traslación lateral de la,
Ecuaciones diferenciales cosenoidal, 97 162
de orden superior, 76 de orden exponencial, 140 Gráficas de familias de soluciones, 12
exactas, 41 definida sobre medio intervalo, 244
lineales con coeficientes constantes, en dos variables, 2 H
en términos del parámetro arbitrario, Herramienta fundamental para resolver
186
lineales homogéneas, 97 135 problemas de valor inicial, 134
parciales, 134 escalón unitario, 143, 160, 163
Efecto operativo de la función delta, escalonada, 143, 160, 196 I
explícita, 8 Identidad, 7
199 extensión impar de una, 243 Identidades
Espacio extensión par de una, 243
g(x), 76 algebraicas, 146
de las funciones continuas, 86 hiperbólica de coseno, 138 trigonométricas, 146
de soluciones, 87 hiperbólica de seno, 138 Independencia lineal, 81
euclideano, 221 homogénea de grado cero, 32 Integración
Espacio vectorial, 81 homogénea de grado n, 31 directa, 20
axiomas de, 88 homogénea de grado uno, 32 por partes, 139, 179
base ortogonal del, 227 impulso unitario, 196 Integral
con base, 87 no homogénea, 32 convergente, 135
conjunto base del, 224 particular, 108 divergente, 135
de las funciones continuas, 81, 86, 226 polinomial, 97 impropia, 20, 134, 135, 145
Estudio indefinida, 20
de las ecuaciones diferenciales, 2 en dos variables, 31
de las ecuaciones lineales, 80 seno, 227
del equilibrio de sistemas, 229 senoidal, 97
Función delta de Dirac, 196
gráfica de la, 198