matematicas 5

2.5 Método de variación de parámetros 129

Si elegimos y1 = e2x y y2 = e−4x, tenemos

W = e2x e−4x = −6e−2x wronskiano
2e2x −4e−4x

Luego,

y2 f (x) dx = − e−4x (120)
W −6e −2 x
∫ ∫u1 = − dx = −10e −2 x

y1 f (x) dx = e2x (120)
W −6e −2 x
∫ ∫u2 = dx = −5e 4 x

Entonces,

yp = u1y1 + u2 y2 solución particular

( ) ( )yp = e2x −10e−2x + e−4x −5e4x sustituimos u1 y u2

yp = −15 simplificamos

De esta manera, la solución general de la forma y = yc + yp es

y = c1e2x + c2e−4x − 15 solución general

y′ = 2c1e2x − 4c2e−4x derivamos

y(0) = c1 + c2 − 15 = 0 evaluamos y(0) = 0

y′(0) = 2c1 − 4c2 = 0 evaluamos y′(0) = 0

Al resolver el sistema, tenemos c1 = 10 y c2 = 5. Finalmente,
y = 10e2x + 5e−4x − 15

2.5 Desarrollo de competencias 6. y″ + y = sec x

Capacidad para generar nuevas ideas. 7. y″ + y = csc x
Resolver problemas.
8. y″ + y = sec x tan x
En los problemas 1 a 37, determinar la solución general
de la ecuación diferencial no homogénea dada utilizando 9. y″ − y′ = 1 1
el método de variación de parámetros. + ex

1. y″ + y = x 10. y″ + y = csc x cot x

2. y″ + 3y′ + 2y = ex 11. y″ + y = −3sen x cos x
3. y″ − y′ − 20 y = 27e−4x
12. y″ + y = sec2 x
4. y″ + y = cos x
13. y″ − 2y′ + 2y = ex
5. y″ + y = cot x

130 UNIDAD 2 Ecuaciones diferenciales de orden superior

14. y″ + y = sen 2x 30. y″ + 2y′ + y = e−x
x4

15. y″ + y = sen2 x e4x
x4
31. y″ − 8y′ + 16y =

16. y″ + 4y = sec 2x

ex 32. y″ + 4y′ + 4y = e−2x tan−1 2x
1+ ex
17. y″ − y ′ = 33. y″ − 2 y′ − 8y = 7e−3x

18. y″ − 4y = cosh 2x )(34. y″ + y′ = 6 x2 − x

19. y″ − y = cosh 2x 35. y″ − 2y′ = −5 cos x

20. y″ − 4y = senh x 36. y″ − y′ = 10 sen x

21. y″ − 9y = xe3x 37. y″ − 4y = −20 sen x
22. y″ − 2y′ + y = ex
En los problemas 38 a 44, resolver la ecuación diferencial
x −1 no homogénea sujeta a las condiciones dadas. Utilizar un
23. y″ − 4y′ + 4y = e2x SAC para graficar la solución particular.

x +1 Potenciar las habilidades para el uso de nuevas tecnologías.

24. y″ − y′ = (16 + 4x)e−x

e −2 x 38. y″ + y = 1, y(0) = 4, y′(0) = 8
x2 +1
25. y″ + 4y′ + 4y = 39. y″ + y′ − 2y = 28 , y(0) = 0, y′(0) = 0

26. 4y″ − 4y′ + y = e 1 x ln x 40. y″ + y′ − 6y = 80xex , y(0) = 1, y′(0) = 1
2

27. y″ − 6y′ + 9y = e3x 41. y″ + y = ex , y(0) = 0, y′(0) = 0
x
42. y″ − y = x , y(0) = 1, y′(0) = 0
ex
e3x
28. y″ − 6y′ + 9y = x2 43. y″ − 8y′ − 20y = 270ex , y(0) = 0, y′(0) = 0

29. y″ + 4y′ + 4y = e −2 x 44. y″ − 6y′ + 9y = e3x 9 , y(0) = 0, y′(0) = 0
x3 x2 +

2.5 Competencia final 3. y″ + y = − csc2 x

Resolver problemas. 4. y″ + 10y′ + 25 y = e5x
Capacidad para generar nuevas ideas. x2 + 25

En los problemas 1 a 8, determinar la solución general de 5. y″ + 10 y′ + 25y = e5x ln5x
la ecuación diferencial no homogénea dada utilizando el
método de variación de parámetros. 6. y″ + 8y′ + 15y = 27 (32x + 32)ex

1. y″ − y = cosh x
2. y″ − y = senh 2x

2.5 Método de variación de parámetros 131

7. 4y″ − 4y′ + y = e1 x tan−1 x
2
2 Potenciar las habilidades para el uso de nuevas tecnologías.

8. y″ + 3y′ + 2y = cos ex 9. y″ − 2y′ + 8y = 64x2 , y(0) = 1, y′(0) = −1
10. y″ + y = sen x , y(π ) = 0, y′(π ) = 2
En los problemas 9 y 10, resolver la ecuación diferencial
no homogénea sujeta a las condiciones dadas. Utilizar un
SAC para graficar la solución particular.



Unidad LA TRANSFORMADA
DE LAPLACE
3

3.1 Introducción 3.6 Derivada de una transformada, transformada
3.2 Teoría preliminar de una función periódica y convolución
3.3 La transformada de Laplace directa
3.4 La transformada inversa de Laplace 3.7 Solución de ecuaciones diferenciales
3.5 Teoremas de traslación e integrales

Competencias genéricas 3.8 La función delta de Dirac

Representar e interpretar conceptos en forma Competencias instrumentales
geométrica y algebraica.
Comunicarse en el lenguaje matemático en forma Capacidad de análisis y síntesis.
oral y escrita. Habilidades básicas de manejo de la computadora.
Lograr un pensamiento lógico, algorítmico, Solución de problemas.
heurístico, analítico y sintético.
Potenciar las habilidades para el uso de nuevas Competencias sistémicas
tecnologías.
Resolver problemas. Capacidad para aprender.
Reconocer conceptos generales e integradores. Capacidad para generar nuevas ideas.
Argumentar con contundencia y precisión. Habilidad para trabajar en forma autónoma.
Optimizar soluciones.

134 UNIDAD 3 La transformada de Laplace

3.1 Introducción

La transformada de Laplace es en la actualidad una herramienta fundamental para resolver
problemas de valor inicial que modelan situaciones reales de la física y las matemáticas.

De manera formal, la transformada de Laplace es una aplicación entre dos espacios de
funciones que puede reducir una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes a una
ecuación algebraica, de manera que proporciona un método rápido y eficaz para resolver este
tipo de problemas.

De un modo más general, la transformada de Laplace es una herramienta útil para resolver
algunas ecuaciones diferenciales parciales con coeficientes no constantes, y algunas ecuaciones
integrales. Históricamente, los métodos clásicos para la solución de problemas de valores en
la frontera encuentran su origen en el trabajo precursor de Fourier. Más tarde, el trabajo de
Heaviside permitió el desarrollo de nuevas técnicas basadas en la teoría de las transformadas
integrales, que evidentemente tuvo algunas ventajas sobre los métodos tradicionales.

Tomando como base las ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes
que modelan matemáticamente el funcionamiento de algunos circuitos eléctricos, Heaviside se
interesó en el desarrollo de métodos de solución que después extendió al conjunto de las ecua-
ciones diferenciales parciales que aparecen en la teoría electromagnética y en la transferencia
de calor con tal eficiencia, que pudo resolver muchos problemas hasta entonces abiertos, de
una manera accesible.

El trabajo de Heaviside se vio reforzado con los estudios de gente como Bronwich, Car-
son, Vander Pool y Doetsch. Básicamente, al utilizar una transformada integral, una ecuación
diferencial parcial en n variables independientes se puede reducir a otra con n − 1 variables; de
manera que una aplicación sucesiva puede reducir el problema a una ecuación diferencial or-
dinaria, y de hecho en algunos casos, la reducción puede realizarse hasta obtener una ecuación
algebraica mucho más simple de resolver porque evitamos el uso de integrales. En la sección 3.8
aprenderemos que la solución algebraica mencionada produce la solución al problema original
al utilizar la transformada de Laplace inversa.

En esta unidad estudiaremos las propiedades básicas de la transformada de Laplace que
nos permitirán resolver un problema de valor inicial cuando la ecuación diferencial es lineal,
ordinaria y de coeficientes constantes.

3.2 Teoría preliminar

La transformada de Laplace se define por medio de una integral impropia; por esto, antes
de definirla recordaremos de manera breve la definición de uno de los dos tipos de integrales
impropias que se conocen, y estableceremos la notación que se utilizará durante el desarrollo
de esta unidad.

Definición 1 Integral impropia

Reconocer conceptos ∞
generales e integradores.
Comunicarse en el lenguaje Sea f (x) una función definida en el intervalo [a,∞), entonces la integral impropia f (x) dx
matemático en forma
escrita. ∫a

se define por el límite

∞b

∫ ∫f (x)dx = lím f (x)dx
a b→∞ a

Si el límite existe, se dice que la integral es convergente.

3.2 Teoría preliminar 135

De manera formal, una integral impropia se calcula utilizando un proceso de límite al
infinito, es decir, si F(x) es una antiderivada de f (x)

∞b b
∫ ∫f (x)dx = lím [F ])a
f (x) dx = lím ( x

a b→∞ a b→∞

∞

∫ f (x) dx = lím [F (b) − F (a)]
a b→∞

así que la integral impropia aparece siempre que exista el límite mostrado; en tal caso, se dice
que la integral es convergente. En caso contrario, si el límite no existe, la integral es divergente.

Durante el desarrollo de esta unidad estableceremos la convención de que la integral an-
terior se escribirá como

∞ ∞
∫f a [F (a)]
(x) dx = F (x) := lím (b) − F

a b→∞

Esta convención establece que la expresión F (x) ∞a , que formalmente no es correc- Reconocer conceptos
ta porque los límites de evaluación no pueden ser ∞ ni −∞, será considerada como el límite generales e integradores.
Comunicarse en el lenguaje
lím [F (b) − F (a)]. matemático en forma
escrita.
b→∞

Pierre Simon Marqués de Laplace (Beaumont-en-Auge, Francia, 1749-París, 1827). Mate- Nota biográfica
mático francés. Fue el hijo de un granjero, que inició sus estudios primarios en la escuela
local, pero gracias a la intervención de D’ Alembert, profundamente impresionado por
sus escritos sobre los principios de la mecánica, pudo trasladarse a la capital francesa,
donde consiguió una plaza en la École Militaire.

A los 21 años de edad desarrolló la mayor parte de su trabajo sobre astronomía,
particularmente sobre las desigualdades planetarias y algunos más sobre cálculo integral
y ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. A los 34 años realizó el análisis de
armónicos (coeficientes de Laplace) y el concepto de potencial. En 1796 publicó su
Exposición del sistema del mundo, en donde ofrecía su versión de la mecánica newtoniana
y la exposición del Sistema Solar. Sus resultados analíticos sobre la mecánica estelar se
publicaron en los cinco volúmenes del Tratado de mecánica celeste (1799-1825). En 1814,
Laplace publicó Teoría analítica de las probabilidades donde expuso el método de los
mínimos cuadrados y la base de toda la teoría de los errores.

Definición de la transformada de Laplace

La transformada de Laplace 2 Definición

Sea f (t) una función definida en el intervalo [0,∞), se define la transformada de Laplace de
f (t) por medio de la transformada integral

∞

∫L { f (t)} = f (t)e−st dt
0

siempre que la integral sea convergente.

Podemos observar que si la integral impropia de la definición anterior converge, entonces
el resultado de la evaluación es una función en términos del parámetro arbitrario s, de manera
que es muy común escribir

L { f (t)} = F (s)

136 UNIDAD 3 La transformada de Laplace

En esta obra denotamos con EJEMPLO 1 La transformada de Laplace del 1
letras minúsculas, las funciones
de dominio real que se trans- Evaluar L {1}.
forman bajo Laplace; y con
letras mayúsculas, las transfor- Solución
madas obtenidas. Por definición de la transformada de Laplace tenemos

Resolver problemas. ∞ por definición

∫L {1} = e−st dt
0

∞b utilizamos notación de límite

∫ ∫L {1} = e−st dt = lím e−st dt
0 b→∞ 0

L {1} = lím − 1 e−st b = − 1 lím [e−sb − 1] integramos
b→∞[ s ]0 s b→∞ simplificamos

L {1} = − 1 [0 − 1] = 1

ss

OBSERVACIÓN 1 Si utilizamos la notación anteriormente establecida, el ejemplo anterior se

escribe como

∫L {1} = ∞ − 1e−st ∞ = − 1 lím[e−sb − 1] = 1
[s ] s b→∞ s
e−st dt = 0

0

en donde entendemos que debido al límite superior ∞, la expresión e−st se evalúa mediante un

proceso de límite al infinito; mientras que para el límite inferior 0, simplemente se realiza una

evaluación directa.

EJEMPLO 2 La transformada de Laplace de f (t) = t

Evaluar L {1}.

Resolver problemas. Solución
Por definición de la transformada de Laplace tenemos

∞

∫L {t} = t e−st dt
0

∫L {t} = − t e−st ∞ + 1 ∞ integramos por partes
s 0 s0
e−st dt

L {t} = 0 + 1 L {1} porque lím − t b = 0
b→∞[ s
s e−st
]

0

L {t} = 1⋅1 = 1 sustituimos L {1} = 1
s2
ss s

EJEMPLO 3 La transformada de Laplace de f (t) = t2

{ }Evaluar f (t) = t2 .

3.2 Teoría preliminar 137

Solución Resolver problemas.
Por definición de la transformada de Laplace tenemos

{ } ∫∞ por definición
integramos por partes
L t2 = t2 e−st dt evaluamos

0

{ } ∫L t2 = − t2 e−st ∞ + 2 ∞
s 0 s0
t e−st dt

{ } ∫L t2 = lím − 1 e−st b + 2] ∞
b→∞[ s 0 s
t e−st dt

0

L {t2 } = 0 + 2 L { t} sustituimos blí→m∞[− t2 b = 0
s s
e−st
]

0

t2{ }L= 2 ⋅ 1 = 2 sustituimos L {t} = 1
s s2 s3 s2

EJEMPLO 4 La transformada de Laplace de f (t) = eat

{ }Evaluar L eat .

Solución Argumentar con
Por definición de transformada de Laplace tenemos contundencia y precisión.
Comunicarse en el lenguaje
{ } ∫∞ por definición matemático en forma
factorizamos −t escrita.
L eat = eat e−st dt evaluamos integral Lograr un pensamiento
lógico, analítico y sintético.
0

{ } ∫∞

L eat = e−(s−a )t dt

0

=− 1 ∞
s−a 0
{ } [ ]L
eat e −( s−a )t

=− 1 b
s−a 0
{ } [ ]L
eat lím e −( s−a )t evaluamos

b→∞

{ }L eat = − 1 [ ]lím e−(s−a)b − 1 desarrollamos
s − a b→∞

{ }L eat = 1 porque lím e−(s−a)b = 0
s−a b→∞

Antes de presentar más ejemplos de cómo calcular la transformada de Laplace de otras funciones

elementales, demostraremos el siguiente teorema que establece una de las propiedades importan-
tes del operador de Laplace L , como lo es la linealidad.

Teorema 1

La transformada de Laplace es lineal La transformada de Laplace es
lineal, es decir, la transformada
Demostración de una suma de funciones es la
Consideramos la combinación lineal de funciones c1 f (t) + c2 g(t). Entonces suma de las transformadas, y la
por definición de la transformada de Laplace transformada del múltiplo de
una función es el múltiplo
∞ de una transformada.

∫L {c1 f (t) + c2 g(t)} = (c1 f )(t) + c2 g(t) e−st dt
0

138 UNIDAD 3 La transformada de Laplace

Si utilizamos la linealidad de la integral, podemos escribir

∞∞

∫ ∫{ }L c1 f (t) + c2 g(t) = c1 f (t)e−st dt + c2 g(t)e−st dt
00

De manera que

L {c1 f (t) + c2g(t)} = c1L { f (t)} + c2L {g(t)}

EJEMPLO 5 La transformada de Laplace de las funciones hiperbólicas

Evaluar L {senh at} y L {cosh at} .

Resolver problemas. Solución
Para evaluar estas transformadas, utilizamos la definición de las funciones hiperbólicas de seno
y coseno

{ }( ){ }L senh at = L 1 eat − e−at ( )utilizamos senh at = 1 eat − e−at
2 2

{ } { }{ }L senh at = 1 L eat − L e−at por linealidad de L
2[ ]

L {senh at} = 1 s 1 a − s 1 a ] transformamos cada término
2[ − +

L {senh at} = a simplificamos
s2 − a2

Del mismo modo, para la función coseno hiperbólico tenemos

{ }( )L {coshat} = L 1 eat + e−at ( )utilizamos cosh at = 1 eat + e−at
2 2

{ } { }L 1L
{cosh at} = 2[ eat + L e − at por linealidad de L
]

L {senhat} = 1 1+ 1 transformamos cada término
2[ s − a s+a]

L {senh at} = s2 s a2 simplificamos
−

Resolver problemas. EJEMPLO 6 La transformada de Laplace de las funciones seno y coseno

Evaluar L {sen at} y L {cos at} .

Utilizando la expansión de Solución
Para calcular las transformadas de Laplace de las funciones sen at y cos at utiliza-
Maclaurin en serie de poten- mos la forma exponencial (forma de Euler) de un complejo, de manera que

cias de la función exponencial { } ∫∞ transformada de Laplace de eiat

se puede demostrar que L eiat = eiat e−st dt
eiθ = cos θ + i sen θ.
0

3.2 Teoría preliminar 139

{ } ∫∞ asociamos Representar e interpretar
conceptos en forma
L eiat = e−(s−ai )t dt geométrica.
Comunicarse en el lenguaje
0 matemático en forma
escrita.
eiat = − 1 e−(s−ai )t ∞
s − ai 0
{ } [ ]L integramos

= − 1 lím b
s − ai b→∞ 0
{ } [ ]L
e ia t e−(s−ai )t desarrollamos

{ }L eiat = − 1 [0 − 1] = 1 evaluamos
s − ai s − ai

e ia t{ }L=s 1 ⋅ s + ai = s + ai racionalizamos
− ai s + ai s2 + a2

e ia t{ }L=s2 s +i s2 a separamos
+ a2 + a2

Si recordamos que la forma exponencial de un complejo está dada por eiθ = cosθ + i senθ ,

podemos escribir

{ } { }L s a
eiat = L cos at + i sen at = s2 + a2 +i s2 + a2

Luego, si utilizamos la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace

L {cos at} + iL {sen at}= s + i s2 a a2
s2 + a2 +

De manera que

L {cos at} = s2 s a2 yL {sen at}= s2 a a2
+ +

Condiciones suficientes de existencia para
la transformada de Laplace

En los ejemplos anteriores evaluamos la transformada de Laplace de algunas funciones ele-

mentales utilizando la definición y pudimos observar que la convergencia de la integral depen-

de de la evaluación del límite al infinito de la función obtenida.
Para ilustrar lo anterior consideremos el siguiente ejemplo general. Sea F(t) una antideri-

vada de la función f (t), al calcular L { f (t)} por definición tenemos

∞

∫L { f (t)} = f (t)e−st dt
0

Si resolvemos esta integral por partes, escribimos

u = f (t) du = f ′(t) dt
dv = e−stdt v = − 1 e−st

De manera que s

∫L { f (t)} = − 1 f (t)e−st ∞ − 1 ∞
s 0 s0
f ′(t)e−st dt

L { f (t)} = − 1 f (t)e−st ∞ − 1 L { f ′(t)}

s 0s

Si la integración por partes elegida es correcta, en teoría el término L { f ′(t)} resulta ser

una nueva transformada de Laplace más sencilla que la inicial, la cual puede evaluarse repitien-
do el proceso de integración impropia.

140 UNIDAD 3 La transformada de Laplace

Centremos nuestra atención en el término − 1 f (t) e−st ∞. De manera estricta, la evaluación
s
Capacidad de análisis y debe hacerse a través de un límite 0
síntesis.
Comunicarse en el lenguaje [ ]− 1 f (t)e−st ∞ = − 1 lím b 1 ( b )e − sb
matemático en forma 0 s
escrita. s 0 s b→∞
f (t)e−st = − lím[ f − f (0)]

b→∞

= − 1 lím f (b) + 1 lím f (0)
s b→∞ e sb s b→∞

= − 1 lím f (b) + f (0)
s b→∞ e sb s

Podemos observar, entonces, que la existencia de L { f (t)} está sujeta a la existencia del
1 ∞ arálpaidexoisqtueenclaiafudnelcilóímnietexpblí→omn∞efne(scbb i)a, le.l
término − s f (t) e−st vez cual existe siempre y
cuando la y este a su más
función f
0

(t) no crezca

Para precisar las condiciones que deben cumplirse para que la transformada de Laplace de

una función exista, presentamos las siguientes definiciones.

Definición 3 Continuidad por partes

Reconocer conceptos Una función f (t) se dice continua por partes en el intervalo a ≤ t ≤ b cuando el interva-
generales e integradores. lo puede subdividirse en un número finito de subintervalos: a = t0 < t < t1 , t1 < t < t2 ,  ,
tn−1 < t < b = tn ; de manera que

a) f (t) es continua cada subintervalo abierto (tk ,tk+1 ), k = 0,1,, n − 1.

b) f (t) tiene una discontinuidad en t = tk, k = 1,, n − 1 (ver FIGURA 3.1).

f (t)

Representar e interpretar
conceptos en forma
geométrica.

t

t0 tk tk+1 tn
Figura 3.1

Un resultado importante del cálculo integral consiste en verificar que una función conti-
nua por partes en un intervalo finito es integrable sobre ese intervalo. Aceptaremos este hecho
sin una demostración formal con el objetivo de presentar el teorema que garantiza las condi-
ciones de existencia de la transformada de Laplace.

Definición 4 Función de orden exponencial k

Reconocer conceptos Una función f (t) se dice de orden exponencial k si existen números reales k, A, t0 > 0 tales
generales e integradores. que f (t) ≤ Aekt para todo t > t0.

Una función es de orden expo- En pocas palabras: se dice que una función f (t) es de orden exponencial si su
nencial si su gráfica no crece gráfica no crece más rápido que la función exponencial.
más rápido que la gráfica de
una función exponencial.

3.2 Teoría preliminar 141

EJEMPLO 7 Funciones de orden exponencial

{ }a) Dado que las funciones t2,sent,et satisfacen t2 < et, sent < et y et < e2t, entonces las fun-

ciones son de orden exponencial 1, 1 y 2, respectivamente. Resolver problemas.

{ }b) Las funciones et2 , et3 no son de orden exponencial porque sus gráficas crecen más rápido Capacidad de análisis y
que toda exponencial de la forma Aekt. síntesis.
t Comunicarse en el lenguaje
c) Si suponemos que t ≤ Aekt para t > t0 y k > 0 escribimos de manera equivalente e kt ≤ A, matemático en forma
y para todo valor k > 0, entonces la función f (t) = de escrita.
dado que lím t = lím 1 = 0 t es
e kt ke kt
t→∞ t→∞

orden exponencial k.

d) Si suponemos que t n ≤ Aekt para n entero positivo, t > t0 y k > 0, se tiene de manera equiva-
tn tn
lente e kt ≤ A. Al aplicar repetidamente la regla de L’Hôpital para evaluar el límite lím e kt

t→∞
se puede verificar que su valor siempre es finito; de manera que la función f (t) = t n es de

orden exponencial k para todo entero positivo n.

Ya estamos en condiciones de enunciar el teorema que garantiza las condiciones que deben Comunicarse en el lenguaje
cumplirse para que exista la transformada de Laplace de una función. El teorema se presenta matemático en forma
sin demostración. escrita.

Condiciones para la existencia de la transformada de Laplace Teorema 2
Si f (t) es una función continua por partes en el intervalo [0, ∞) y de orden exponencial k
para t > t0 , entonces existe transformada de Laplace F(s) para s > k.

{ }Como puede observarse, las funciones 1,t,t2,tn, eat ,sent,cost, senht,cosht De manera básica, el principio
de la inducción matemática
son todas continuas por partes y de orden exponencial; en consecuencia, la exis- establece que si una propiedad
es válida para el valor n = 1 y
tencia de su transformada de Laplace se justifica, no así para el caso de las funcio- si además dicha propiedad se
supone válida para un entero
nes y = et2 y y = e t 3 cualquiera n, entonces, si se
puede demostrar que la pro-
. piedad es válida para el entero
siguiente n + 1, se concluye que
EJEMPLO 8 La transformada de Laplace de f (t ) = t n la propiedad es válida para
todo número entero n.
{ }Demostrar que L tn = n! .
s n+1 Resolver problemas.
Capacidad de análisis y
Solución síntesis.
Argumentar con
Utilizaremos el principio de inducción matemática para demostrar que contundencia y precisión.

{ }L tn = n!
s n+1
1!
Si n = 1, la expresión se reduce a L { t } = s2 .

{ }Supongamos válido el resultado L tn = n! para el entero n
s n+1
Tenemos

{ } ∫∞ por definición

L tn+1 = tn+1 e−st dt

0

tn+1 = − tn+1 e−st ∞ + n + 1 ∞
{ } ∫L integramos por partes
s 0 s0 tn e−st dt

142 UNIDAD 3 La transformada de Laplace

tn+1 = 0 + n + 1 ∞
{ } ∫L tn+1 es de orden exponencial
s0 tn e−st dt

{ } { }L tn+1 = n + 1 L tn simplificamos
s

{ }Lt n+1= n +1 n! por hipótesis de inducción
s s n+1

{ }Lt n+1= ( n + 1)!

sn+2

Esta última expresión corresponde al valor n + 1, que completa la demostración por inducción.

Otras funciones muy comunes utilizadas en las matemáticas avanzadas son las funciones
escalonadas, las cuales se definen por partes y cuyas gráficas generalmente se componen de dos
o más gráficas. Por ejemplo, una función escalonada es

h(t) = b f (t) 0 ≤ t < a ,

g(t) a ≤ t

cuya gráfica se ilustra de manera general en la FIGURA 3.2.

h (t)
f (t)

Representar e interpretar g (t)
conceptos en forma
geométrica.

a t

Figura 3.2

En este momento, la única herramienta con la que contamos para transformar una fun-
ción escalonada es la definición de transformada de Laplace. Más adelante, en la sección 3.5,
presentaremos una opción más eficiente para resolver el mismo tipo de problemas, conocida
como el segundo teorema de traslación.

En el siguiente ejemplo mostramos cómo se aplica la definición para determinar la trans-
formada de Laplace de una función escalonada.

EJEMPLO 9 La transformada de Laplace de una función escalonada

Evaluar L { f (t)}, donde f (t) = b 0 0 ≤ t< a, a > 0.
a ≤t
Resolver problemas. 1

Solución definición de transformada
Tenemos, entonces, que por definición

∞

∫L { f (t)} = f (t)e−st dt
0

a∞ separamos integrales

∫ ∫L { f (t)} = f (t)e−st dt + f (t)e−st dt
0a

a∞ sustituimos el valor de f (t)

∫ ∫L { f (t)} = (0)e−st dt + (1)e−st dt
0a

3.2 Teoría preliminar 143

∫L { f (t)} = ∞ e − st dt = − 1s[e − st ∞ evaluamos la integral
a evaluamos límite al infinito
]a lím e−st = 0

L { f (t )} = − 1 lím e − st − e − as t→∞
s[
t→∞ ]

L { f (t)} = e−as

s

La gráfica de la función f (t) en cuestión se observa en la FIGURA 3.3. Potenciar las habilidades
f (t) para el uso de nuevas
tecnologías.
1 Representar e interpretar
conceptos en forma
geométrica.

a t

Figura 3.3

La función considerada en el ejercicio anterior se conoce como la función escalón unita-
rio. En la sección 3.5 estudiaremos algunas propiedades importantes de esta función, como el
segundo teorema de traslación.

EJEMPLO 10 La transformada de Laplace de una función escalonada

Evaluar L { f (t)} , donde f (t ) = b t 0 ≤t < 1 .
1 1≤ t
Resolver problemas.

Solución

La gráfica de f (t) se muestra en la FIGURA 3.4.
f (t)

1 Potenciar las habilidades
para el uso de nuevas
tecnologías.
Representar e interpretar
conceptos en forma
geométrica.

1 t

Figura 3.4 definición de la transformada
sustituimos el valor de f (t)
Tenemos, entonces, que por definición evaluamos las integrales

1∞

∫ ∫L { f (t)} = f (t)e−st dt + f (t)e−st dt
01

1∞

∫ ∫L { f (t)} = t e−st dt + (1)e−st dt
01

L { f (t )} = − t e − st 1 − 1 [ ]e−st 1 − 1 [e − st ]∞
s 0 s2 0 1
s

144 UNIDAD 3 La transformada de Laplace

L { f (t)} = − e−s − 1 [e−s − 1] − 1[0 − e−s ] evaluamos límites al infinito
s2
s s

L { f (t )} = 1 − 1 e−s
s2 s2

Como lo hemos mencionado, existe un método alternativo para transformar funciones
escalonadas. En la sección 3.5 resolveremos los dos ejemplos anteriores utilizando el segundo
teorema de traslación, para poder observar la ventaja de no aplicar la definición de manera
directa.

3.2 Desarrollo de competencias

Resolver problemas. 13. f (t) = b 1 0 ≤t <1
0 1≤t
En los problemas 1 a 20, utilizar la definición de transfor-
14. f (t) = b 2t + 1 0 ≤t <π
mada de Laplace para determinar L { f (t)} = F (s). 3 π ≤t

1. f (t) = 2t + 1 15. f (t) = b t +1 0 ≤t <1
2. f (t) = −6t2 t −1 1≤t

3. f (t) = (t − 1)2 16. f (t) = b t 0 ≤t < 3
0 3≤t
4. f (t) = (t + 1)3
17. f (t) = b 0 0 ≤t <1
( )5. f (t) = t2 + 2t − 2 2 t 1≤t

6. f (t) = 2t3 − 3t2 + 4t − 1 18. f (t) = b t 0 ≤t <1
7. f (t) = e2t−3 −t 1≤ 2
8. f (t) = e−2+4t
9. f (t) = tet 19. f (t) = b t2 0 ≤ t < 2
10. f (t) = t2et 4 2≤t

11. f (t) = t cost t 0≤t<1
12. f (t) = et sent 20. f (t) = c 1 1 ≤ t < 2

0 2≤t

3.3 La transformada de Laplace directa 145

3.2 Competencia final

Capacidad para generar nuevas ideas. 3. f (t) = t sent
Resolver problemas. 4. f (t) = et cost

En los problemas 1 a 6, utilizar la definición de transfor- 5. f (t) = b t 0 ≤t <1
t2 1≤t
mada de Laplace para determinar L { f (t)} = F (s).
6. f (t) = b 1 0 ≤t <π
1. f (t) = 1− t −1 π ≤t

2. f (t) = t2 − 2t

3.3 La transformada de Laplace directa

En la sección anterior, por medio de la definición determinamos la transformada de Laplace de Teorema 1
funciones básicas como 1, t, t2, tn, eat , sent, cost, senht, cosht.

En general, una primera forma de calcular la transformada de Laplace de alguna función
es la aplicación directa de la definición, lo cual implica resolver de manera implícita una in-
tegral impropia. Una forma alterna es utilizar las transformadas de Laplace de las funciones
elementales anteriormente obtenidas.

A manera de resumen, en el siguiente teorema se muestra la transformada de Laplace de
las funciones elementales.

Transformada de Laplace de funciones elementales

f(t) L { f (t)} f(t) L { f (t)}
sen at
1 cos at a
1s senh at s2 + a2
cosh at
1 s Representar e interpretar
t s2 s2 + a2 conceptos en forma
algebraica.
2! a
t2 s3 s2 − a2

tn n! s
s n+1 s2 − a2

eat 1
s−a

La demostración de todas las transformadas anteriores se ha expuesto en los ejercicios
precedentes.

146 UNIDAD 3 La transformada de Laplace

Entendemos que una transformada de Laplace se calcula de manera directa si se aplica
alguna de las fórmulas mostradas en el teorema anterior en combinación con identidades alge-
braicas y trigonométricas.

EJEMPLO 1 L es lineal

{ }Calcular L 6t3 − 8t2 + 4t − 1 .

Resolver problemas. Solución
Si utilizamos la linealidad de la transformada de Laplace del teorema anterior, tenemos

L { }6t3 − 8t2 + 4t − 1 = 6L {t3} − 8L {t2 } + 4L {t} − L {1}

{ }L 3! 2! 1 1
6t3 − 8t2 + 4t − 1 = 6 s4 −8 s3 + 4 s2 − s transformamos cada término
simplificamos
{ }L 36 16 4 1
6t3 − 8t2 + 4t − 1 = s4 − s3 + s2 − s

EJEMPLO 2 Una transformada de Laplace directa

{ }Evaluar L (t − 3)3 .

Resolver problemas. Solución desarrollamos binomio
aplicamos linealidad
Comunicarse en el lenguaje { } { }L (t − 3)3 = L t3 − 9t2 + 27t − 27 transformamos cada término
matemático en forma
escrita. { }L (t − 3)3 = L {t3} − 9L {t2 } + 27L {t} − L {27}

{ }L 6 18 27 27
(t − 3)3 = s4 − s3 + s2 − s

EJEMPLO 3 Otra transformada de Laplace directa
Evaluar L {cos 4t cost}.

Solución

L {cos 4t cost} = L { 1 ( cos 5t + cos 3t )} cos Acos B = 1 (cos(A + B) + cos(A − B))
2 2

Comunicarse en el lenguaje L {cos 4t cos t} = 1 L {cos 5t} + 1 L {cos 3t} aplicamos linealidad
matemático en forma 2 2
escrita.
Capacidad para generar {cos 4t cost} = s s
nuevas ideas. s2 + 25 s2 + 9
2
) )( (L + transformamos cada término
2

3.3 La transformada de Laplace directa 147

3.3 Desarrollo de competencias

Resolver problemas. 19. f (t) = sen6t − 3cosh 6t

En los problemas 1 a 35, evaluar la transformada de La- 20. f (t) = senht − 3cos7t
place de las siguientes funciones mediante la aplicación
directa de alguna de las fórmulas mostradas en el teo- 21. f (t) = 4senht − 5 cosht
rema 1: identidades trigonométricas y propiedades de li-
nealidad de la transformada. 22. f (t) = cos2 t

1. f (t) = t3 − 5t2 + 6t − 3 23. f (t) = sent cost

2. f (t) = t4 − 2t3 + 5t2 − 2t − 1 24. f (t) = sen3t sen6t

3. f (t) = (t + 2)3 25. f (t) = cos 4t cos3t

( )4. f (t) = t2 − 2t + 1 2 26. f (t) = sen3 t
( )5. f (t) = t3 − 5t2 2
( )6. f (t) = t3 − 5t2 4 27. f (t) = cos3 t
( )7. f (t) = e3t + 4e−2t 2
( )8. f (t) = et + e−t 2 28. f (t) = sen2 t cos2 t
( )9. f (t) = 3e−2t − e−4t 2
( )10. f (t) = e−6t + 4 2 29. f (t) = sen4 t

11. f (t) = e2tcosht 30. f (t) = cos4 t

12. f (t) = senh2 t 31. f (t) = (sent + cost)2
32. f (t) = (sen2t − cos2t)2
13. f (t) = cosh2 t 33. f (t) = (cos 4t + cos3t)2
34. f (t) = (senht − cosht)2
14. f (t) = cosh3 t
35. Si x > 0 se define la función gamma por medio de
15. f (t) = senht cosht
la integral
16. f (t) = sen at cosh at
∞
17. f (t) = senh 2t cosh 3t
∫Γ(x) = tx−1e−t dt,
18. f (t) = sen3t − cos6t 0

{ }demostrar que L tx = Γ(x + 1) con x > −1.
sx+1 ,

148 UNIDAD 3 La transformada de Laplace

En los problemas 36 a 40, utilizar el problema anterior 38. f (t) = t
para determinar la transformada de Laplace de las fun- 39. f (t) = 1
ciones dadas.
t
36. f (t) = t2 40. f (t) = t3/2

37. f (t) = tn, n ∈

3.3 Competencia final 3. f (t) = (2t − 3)2

Resolver problemas. ( )4. f (t) = e−3t − 2et 3
Capacidad para generar nuevas ideas.
5. f (t) = e3tsenh t
En los problemas 1 a 9, evaluar la transformada de La- 6. f (t) = senh3 t
place de las siguientes funciones mediante la aplicación 7. f (t) = sen2 t
directa de alguna de las fórmulas mostradas en el teore- 8. f (t) = cos at senh at
ma 3: identidades trigonométricas y las propiedades de 9. f (t) = cos at cosh at
linealidad de la transformada.

( )1. f (t) = t + t2 − 2t3 2

2. f (t) = t5 − 2t6 + 2t7

Reconocer conceptos 3.4 La transformada inversa de Laplace
generales e integradores.
Como lo comentamos al inicio de la unidad, la transformada de Laplace es una herramienta
muy útil para resolver problemas de valor inicial. Básicamente, su aplicación transforma una
ecuación diferencial en una ecuación algebraica.

En la sección anterior pudimos verificar que la evaluación de una transformada de manera
directa no presenta mayor dificultad, ya que el problema se reduce a la aplicación directa de las
fórmulas presentadas en el teorema 1 de la sección anterior.

Sin embargo, el proceso contrario de calcular una transformada inversa de Laplace requie-
re mayor atención. En la presente sección presentamos la definición de transformada inversa y
algunos de los principales métodos para calcularla.

Definición 1 La transformada inversa de Laplace

Sea f (t) una función definida para t > 0, si L { f (t)} = F (s), entonces definimos la trans-

formada inversa de Laplace de F (s) como

L −1 {F (s)} = f (t)

Comunicarse en el lenguaje Como podemos observar, la definición de transformada inversa se hace de manera alge-
matemático en forma
escrita. { }braica y directa con base en la definición de la transformada de Laplace, por ejemplo, dado{1}1−11
que L = s , entonces L s = 1. De esta manera, presentamos en el siguiente teorema un

resumen de la transformada inversa de Laplace de las funciones elementales.

3.4 La transformada inversa de Laplace 149

Teorema 1

Transformada inversa de Laplace de funciones elementales

F(s) f (t) = L −1 {F (s)} F(s) f (t) = L −1 {F (s)} Representar e interpretar
conceptos en forma
1 1 a sen at algebraica.
s t s2 + a2 cos at
t2 senh at
1 tn s cosh at
s2 eat s2 + a2

2! a
s3 s2 − a2

n! s
s n+1 s2 − a2

1
s−a

OBSERVACIÓN 1 L y L −1 son operaciones recíprocas Capacidad de análisis y
síntesis.
Si L { f (t)} = F (s) entonces por definición L −1 {F (s)} = f (t), luego Argumentar con
contundencia y precisión.
{ }1. L { f (t)} = L L −1 {F (s)} = F (s) Comunicarse en el lenguaje
matemático en forma
2. L −1 {F (s)} = L {−1 L { f (t)}} = f (t) escrita.

Es decir, L y L −1 son operaciones inversas.

Antes de presentar los primeros ejemplos de transformaciones inversas, presentamos el Teorema 2
siguiente teorema en donde se demuestra una de las propiedades más importantes de la trans-
formación inversa de Laplace: la linealidad. Lograr un pensamiento
lógico, analítico y
La transformada inversa de Laplace es lineal sintético.
Demostración

Supongamos que L { f (t)} = F (s) y L {g(t)} = G(s).

Consideremos la siguiente combinación lineal

aF (s) + bG(s) = aL { f (t)} + bL {g(t)}

Si aplicamos la linealidad de L podemos escribir

aF (s) + bG(s) = L { a f (t) + b g(t) }

150 UNIDAD 3 La transformada de Laplace

Si aplicamos L −1 en ambos lados de la expresión anterior, tenemos

{ }L −1 {a F (s) + bG(s)} = L −1 L { a f (t) + b g(t) }

De donde,

L {−1 a F (s) + bG(s)} = a f (t) + b g(t)

Por definición, L −1 {F (s)} = f (t) y L −1 {G(s)} = g(t), de esta manera,

L −1 {a F (s) + bG(s)} = a L −1 {F (s)} + b L −1 {G(s)},

lo que demuestra la linealidad de L −1.

EJEMPLO 1 La transformada inversa de Laplace

{ }Calcular L −11 .
s6
Resolver problemas.
Solución

{ }L −1 1 =L −1b 5! 1 r multiplicamos y dividimos por 5!
s6 5! s6

{ } { }L −1
1 = 1L −1 5! aplicamos linealidad de L −1
s6 5! s6

{ }L −1 1 = 1 t5 { }L −15! = t5
s6 5! s6

EJEMPLO 2 La transformada inversa de Laplace

{ }Calcular L
−1 4s − 3 .
s2 + 16
Resolver problemas.

Solución

{ } { } { }L −1
4s − 3 = 4L −1 s − 3 L −1 4 por linealidad de L −1
s2 + 16 s2 + 16 4 s2 + 16 transformamos cada término

{ }L
−1 4s − 3 = 4 cos 4t − 3 sen 4t
s2 + 16 4

EJEMPLO 3 La transformada inversa de Laplace

{ }Calcular L −14 − 2 + 1 + 7 .
s6 s4 s2 s
Resolver problemas.
Solución

L −1 {F (s)} = L −1b 4 5! − 2 3! + 1 + 71r multiplicamos y dividimos coeficientes
5! s6 3! s4 s2 s

{ } { } { } { }L −1{F(s)} = 4 L −1 1 1
5! s2 s
5! − 2 L −1 3! + L −1 + 7L −1 por linealidad de L −1
s6 3! s4

3.4 La transformada inversa de Laplace 151

L −1 {F (s)} = 4 t5 − 2 t3 + t + 7 simplificamos

5! 3!

EJEMPLO 4 La transformada inversa de Laplace

Calcular L −1 b 4s − 6 r.

(s − 1)(s − 2)(s − 3) Resolver problemas.

Solución 4s − 6

Si utilizamos fracciones parciales, la función racional (s − 1)(s − 2)(s − 3) se puede desarrollar como

4s − 6 = A+ B +C

(s − 1)(s − 2)(s − 3) s − 1 s − 2 s − 3

De donde

A + B + C = A(s − 2)(s − 3) + B(s − 1)(s − 3) + C(s − 1)(s − 2)
s−1 s−2 s−3 (s − 1)(s − 2)(s − 3)

Luego

A(s − 2)(s − 3) + B(s − 1)(s − 3) + C(s − 1)(s − 2) = 4s − 6

Recordemos que una manera de determinar los coeficientes es considerar las raíces simples del
denominador, luego si s = 1, tenemos A = −1; si s = 2, entonces B = −2 y finalmente, si s = 3,
entonces c = 3. De esta manera, al utilizar la separación en fracciones parciales

{ }L −1 b 4s − 6
r = L −1 − 1 − 2 + 3
(s − 1)(s − 2)(s − 3) s−1 s−2 s−3

Si aplicamos la linealidad de la transformada inversa de Laplace,

{ } { } { }(s −1)(s − 2)(s − 3)4s − 6
L −1 b r = −L −1 1 − 2L −1 1 + 3L −1 1
s−1 s−2 s−3

Para terminar, solo transformamos inversamente término a término

L −1 b 4s − 6 r = −et − 2e2t + 3e3t

(s − 1)(s − 2)(s − 3)

EJEMPLO 5 La transformada inversa de Laplace

Calcular L −1 b 4s2 + 2s + 14 r .
(s − 1)(s2 + 4)
Resolver problemas.
Solución
4s2 + 2s + 14
Si utilizamos fracciones parciales, la función racional (s − 1)(s2 + 4) se puede desarrollar como

4s2 + 2s + 14 = A + Bs +C
(s − 1)(s2 + 4) s −1 s2 +4

De donde

4s2 + 2s + 14 = A+ Bs + C = A(s2 + 4) + (Bs + C )(s − 1)
(s − 1)(s2 + 4) s −1 s2 + 4 (s − 1)(s2 + 4)

152 UNIDAD 3 La transformada de Laplace

Luego

A(s2 + 4) + (Bs + C )(s − 1) = 4s2 + 2s + 14

En este caso, sustituimos la raíz simple s = 1 y el valor arbitrario s = 2, luego si s = 1, tenemos
A = 4; si s = 0, entonces 4A − C = 14; y finalmente, si s = 2, entonces 8A + 2B + C = 34. De esta
manera, B = 0 y C = 2.

Entonces, al sustituir valores

L −1 b 4s2 + 2s + 14 r =L −1 bA + Bs +C r separamos fracciones parciales
(s − 1)(s2 + 4) s −1 s2 +4 por linealidad de L −1

{ } { }Lb 4s2 + 2s + 14
−1 (s − 1)(s2 + 4) r = AL −1 1 +CL −1 2
s −1 2 s2 + 4

L −1 b 4s2 + 2s + 14 r = 4et + sen2t transformamos cada término
(s − 1)(s2 + 4)

EJEMPLO 6 La transformada inversa de Laplace

Calcular L −1 b5s3 − s2 + 3s − 2r .
s4 + s2

Resolver problemas. Solución

Si utilizamos fracciones parciales, la función racional 5s3 − s2 +3s − 2 se puede desarrollar como
s4 + s2

5s3 − s2 + 3s − 2 = 5s3 − s2 + 3s − 2 = A + B + Cs + D
s4 + s2 s2 (s2 + 1) s s2 s2 +1

De donde

5s3 − s2 + 3s − 2 = As(s2 + 1) + B(s2 + 1) + (Cs + D)s2
s2 (s2 + 1) s2 (s2 + 1)

Al igualar numeradores

As(s2 + 1) + B(s2 + 1) + (Cs + D)s2 = 5s3 − s2 + 3s − 2

Tenemos

(A + C )s3 + (B + D)s2 + As + B = 5s3 − s2 + 3s − 2

En este caso y como otra opción de las fracciones parciales, al igualar coeficientes obtenemos
A + C = 5, B + D = −1, B = −2 y A = 3. De esta manera, C = 2 y D = 1.

Entonces

{ }L
−1 b5s3 − s2 + 3s − 2 r = L −1 A + B + Cs + D separamos fracciones parciales
s2 (s2 + 1) s s2 s2 +1

{ }L b5s3
−1 − s2 + 3s − 2r =L −1 3 − 2 + 2s +1 sustituimos valores
s2 (s2 + 1) s s2 s2 +1

Al aplicar las propiedades de linealidad de la transformada inversa de Laplace

{ } { } { } { }L
−1 b5s3 − s2 + 3s − 2r = 3L −1 1 − 2L −1 1 + 2L −1 s +L −1 1
s2 (s2 + 1) s s2 s2 +1 s2 +1

L −1 b5s3 − s2 + 3s − 2r = 3 − 2t + 2 cost + sent transformamos cada término
s2 (s2 + 1)

3.4 La transformada inversa de Laplace 153

Una observación importante al calcular la transformada inversa de Laplace de una fun- Capacidad de análisis y
ción es que no todas las expresiones en la variable arbitraria s corresponden a la transformada síntesis.
de Laplace de alguna función continua por partes y de orden exponencial k. Argumentar con
contundencia y precisión.
El siguiente teorema presentado sin demostración establece una condición para que la Comunicarse en el lenguaje
expresión F(s) pueda ser la transformada de Laplace de alguna función f(t) con las caracterís- matemático en forma
ticas mencionadas. escrita.

Teorema 3

Comportamiento de L { f (t)} = F (s) al infinito

Si f (t) es una función continua en el intervalo [0, ∞) y de orden exponencial k, entonces

límL { f (t)} = 0.

s→∞

3.4 Desarrollo de competencias

{ }10.
L −1 5s + 10
s2 + 25
Capacidad para generar nuevas ideas.
Resolver problemas.

{ }11. L
En los problemas 1 a 42, evaluar las transformadas inver- −1 5s − 8
sas indicadas. 3s2 + 12

{ }1. L { }12. L
−1 2 −1 7s
s8 s2 + 36

{ }13. L
{ }2. L 2s − 6 −1 −3s + 10
s5 2s2 + 32
−1

{ }3. L −1 4 { }14. L−1s−2
5s + 2 s2 − 9

{ }15. L
−1 3s − 4
2s2 − 18
4. L −1 b −3 r
1 s + 4
2 { }16. L4s
−1 s2 − 9

{ }5. L−1 2 + 5 − 1 + 4
s2 s −1 +2
s s { }17. L−12s + 5
s2 − 4
{ }6. L 2 1 1 1
−1 s − s2 − +8 + −8 18. L −1 b s2 + 26s − 6 r
s(s − 1)(s + 2)
s s

L −1 b¢ 1 + 3 2 { }19. L
7. s3 s2 3s
≤r −1 s2 − 9s

b( s − 6)2 { }20. L
8. L −1 r −1 s −1
s5 s2 + 2s

{ }9. L 21. L −1 b 2(s − 4) r
−1 9 (1− s)(s + 2)
s2 + 25

154 UNIDAD 3 La transformada de Laplace

{ }22. L
−1 3s − 20 33. L −1 b 2s − 4 r
s2 + 5s − 24 s 2(s2 + 9 )

{ }23. L
−1 3s − 121 −1 4
s2 − 7s − 60 s2 +
34. L b s 2 ( r
16)

{ }24. L
−1 4(s + 13) 4s 2 + 5s + 7
s2 + 6s − 7 s2 + 1)(s + 4)
35. L −1 b r
(

25. L −1 b −3s2 − 2s + 85 r 36. L −1 bss43 + 8s2 + 4s + 3 r
(s − 1)(s + 4)(s + 7) + 4s3 + s2 + 4s

26. L −1 b 3s2 + 4s − 1 r 37. L −1 b 2s3 + s2 + 5s −2 r
(s + 1)(s − 1)(s + 2) (s2 + 1)(s 2+ 4)

27. L −1 b 1 r 2s2 + 5
(s − 1)(s − 2)(s − 3)(s − 4) + 5s2 +

38. L −1 b r
s
1 4 4
1)(s2
28. L −1 b(s2 r
36)
− − s2
−
{ }29. L 39. L −1 bs24 r
1
−1 4s + 10
s3 + 8s2 + 19s + 12

s2 + 20s + 76 r 40. L −1 b s3 + s2 − 4s + 4 r
+ 5s2 − 2s − 24 s4 − 16
30. L −1 b
s
3

L −1 −2s2 + 23s + 30 41. L −1 b 2+s137+s12 7+s16r
s2 + 3s + 2)(s − 4) s
31. b r 4

(

32. L −1 b 2s − 4 r 42. L −1 b 3s4 + 28s2 + 49 r
( + 3s)(s − 1) ( + 1)(s2 + 4)(s2 + 9)
s2 s2

3.4 Competencia final

4. L −1 b 4s2 + 2 r
s3(s + 6)
Capacidad para generar nuevas ideas.
Resolver problemas.

{ }5. L
En los problemas 1 a 8, evaluar las transformadas inver- −1 4s −1
sas indicadas. s2 − 7s − 30

1. L −1 b(2ss−6 1)3 r { }6. L −1 4s − 2
s2 + 9

{ }2. L −1 2 + 5 − 1 7. L −1 b s+ 1 r
s3 s2 s (s2 +
s 3 1)

{ }3. L s3 + 3s2 +
−1 s −1 8. L −1 b (s2 + 1)(s 9s + 3r
s2 − 36 2+ 9)

3.5 Teoremas de traslación 155

3.5 Teoremas de traslación

En las secciones anteriores determinamos la transformada de Laplace de algunas funciones
mediante la aplicación directa de la definición. Sin embargo, podemos observar que la trans-
formada de funciones más complejas requiere de resolver integrales más complicadas, que in-
cluso en ocasiones son imposibles de calcular a mano.

La aplicación de la definición para calcular la transformada de Laplace de algunas funcio-
nes como, por ejemplo, funciones de la forma f (t)eat y funciones escalonadas resulta compleja.
Por esta razón, desarrollaremos algunas propiedades especiales que nos faciliten la tarea. Con-
cretamente, en esta sección nos ocuparemos de los teoremas de traslación; el primero de ellos se
aplica para transformar funciones de la forma f (t)eat y el segundo para funciones escalonadas
de una manera más eficiente.

Primer teorema de traslación

La primera propiedad que estudiaremos nos permitirá determinar la transformada de Laplace
de funciones que están multiplicadas por una función exponencial sin evaluar ninguna inte-
gral, la cual se conoce como el primer teorema de traslación. A continuación se enuncia.

Primer teorema de traslación (1er. TT) Teorema 1

{ }Si L { f (t)} = F (s), entonces L f (t)eat = F (s − a). Comunicarse en el
lenguaje matemático en
Demostración forma escrita.
Lograr un pensamiento
{ } ∫∞ lógico, analítico y
sintético.
Por definición, L f (t)eat = f (t)eate−stdt. Argumentar con
contundencia y precisión.
0

{ } ∫∞

De manera equivalente, L f (t)eat = f (t)e−(s−a)tdt.

0

{ }Luego, L f (t)eat = F (s − a).

OBSERVACIÓN 1 Notación para el primer teorema de traslación
Otra manera de escribir el primer teorema de traslación es

{ }L { f (t)}
f (t)eat = F (s − a) = F (s) s→s−a =L s→s−a

El primer teorema de traslación se aplica cuando queremos determinar la transformada En la presente sección, y
de Laplace de una función f (t) multiplicada por una función exponencial eat. Básicamente como lo especificamos en
el enunciado del teorema
se transforma solo la función f (t) y se “desplaza” el resultado a unidades a la derecha o a la 1, abreviaremos al primer
teorema de traslación
izquierda; esto es, sustituimos la variable s por s − a en la transformada obtenida para des- como 1er. TT.

plazarla a la derecha o sustituir s por s + a en la transformada obtenida para desplazarla a la

izquierda.

Al desplazar una transformada a unidades hacia la derecha se escribe F (s) s→s−a o sim-
plemente F (s) s−a. Al desplazar una transformada a unidades hacia la izquierda se escribe
F (s) s→s+a o simplemente F (s) s+a.

En la presente sección y como lo especificamos en el enunciado del teorema 1, abreviare-

mos al primer teorema de traslación como 1er. TT.

156 UNIDAD 3 La transformada de Laplace

EJEMPLO 1 Transformada de la función f (t) = t2e3t

{ }Evaluar L t2e3t .

Comunicarse en el lenguaje Solución
matemático en forma
escrita. { } { }L t2e3t = L t2 aplicamos el 1er. TT
s−3

{ }L 2! { }evaluamos L 2!
t2e3t = s3 t2 = s3

s−3

{ }L 2!
t2e3t = (s − 3)3 sustituimos s → s − 3

EJEMPLO 2 Transformada de la función f (t) = e4t sen 3t

{ }Evaluar L e4t sen3t .

Argumentar con Solución
contundencia y precisión.

{ }L e4t sen3t = L {sen3t} aplicamos el 1er. TT
s−4

{ }L 3 { sen3t} = 3
e4t sen 3t = s2 + 9 evaluamos L s2 + 9

s−4

{ }L 3
e4t sen 3t = (s − 4)2 + 9 sustituimos s → s − 4

{ }L 3
e4t sen 3t = s2 − 8s + 25 simplificamos

EJEMPLO 3 Transformada de la función f (t) = e−8t cos 9t

{ }Evaluar L e−8t cos9t .

Resolver problemas. Solución

{ }L e−8t cos9t = L {cos9t} aplicamos el 1er. TT
s+8

{ }L s { cos 9t} s
e−8t cos 9t = s2 + 81 evaluamos L = s2 + 81

s+8

{ }L s+8
e−8t cos 9t = (s + 8)2 + 81 sustituimos s → s + 8

{ }L s+8
e−8t cos 9t = s2 + 16s + 145 simplificamos

EJEMPLO 4 La transformada de la función f (t) = tneat

{ }Evaluar L tneat .

Comunicarse en el lenguaje Solución
matemático en forma
escrita. { } { }L tneat = L tn aplicamos el 1er. TT
s−a

3.5 Teoremas de traslación 157

{ }L n! { }evaluamos Ltn n!
t neat = s n+1 = s n+1

s−a

{ }L n!
t neat = (s − a)n+1 sustituimos s → s − a

EJEMPLO 5 La transformada de la función f (t) = eat cos bt

{ }Evaluar L eat cosbt .

Solución Comunicarse en el lenguaje
matemático en forma
{ }L eat cosbt = L {cosbt} s−a aplicamos el 1er. TT escrita.

{ }L s { cosbt} = s
eat cos bt = s2 + b2 evaluamos L s2 + b2

s−a

{ }L s−a
eat cos bt = (s − a)2 + b2 sustituimos s → s − a

EJEMPLO 6 La transformada de la función f (t) = eat sen bt

{ }Evaluar L eat senbt .

Solución Resolver problemas.

L { }eat senbt = L { senbt} aplicamos el 1er. TT
s−a

{ }L b {senbt} = b
eat sen bt = s2 + b2 evaluamos L s2 + b2

s−a

{ }L b
eat sen bt = (s − a )2 + b2 sustituimos s → s − a

EJEMPLO 7 La transformada de la función f (t) = eat cosh bt

{ }Evaluar L eat cosh bt .

Solución aplicamos el 1er. TT

{ }L eat cosh bt = L {cosh bt} s−a

{ }L s { cosh bt} = s
eat cosh bt = s2 − b2 evaluamos L s2 − b2

s−a

{ }L s−a
eat cosh bt = (s − a)2 − b2 sustituimos s → s − a

158 UNIDAD 3 La transformada de Laplace

EJEMPLO 8 La transformada de la función f (t) = eat senh bt

{ }Evaluar L eat senh bt .

Comunicarse en el lenguaje Solución { }L eat senh bt = L { senh bt}
matemático en forma s−a
escrita. aplicamos el 1er. TT

{ }L b {senh bt} b
eat senh bt = s2 − b2 evaluamos L = s2 − b2

s−a

{ }L b
eat senh bt = (s − a )2 − b2 sustituimos s → s − a

OBSERVACIÓN 2 La forma inversa del primer teorema de traslación
Del primer teorema de traslación sabemos que

{ }L f (t)eat = F (s) s−a

Si aplicamos la transformada inversa de Laplace en ambos lados de esta igualdad, tenemos

Argumentar con { }F (s) s−a = L f (t)eat 1er. TT
contundencia y precisión. { } { }L −1 F (s) s−a = L −1L f (t)eat aplicamos L −1
{ }L −1 F (s) s−a = f (t)eat la evaluación s → s − a produce eat
{ }L −1 F (s) s−a = L −1 {F (s)}eat
L −1 {F (s)} = f (t)

Podemos interpretar que al transformar inversamente la expresión F( s) , la evaluación
s→s−a se convierte en la función exponencial eat y la expresión F(s) en la
s−a

función f(t).

EJEMPLO 9 Forma inversa del 1er. TT

Evaluar L −1 b 2 r .
(s − 2)5
Resolver problemas.

Solución L −1 b 2 r =L −1 b 2 r identificamos la traslación
( −2 s5
Al transformar inversamente s )5 s−2
la expresión F (s) s−a, la evalua-
ción s → s − a se convierte en L −1 b 2 r = 2L −1 b 4! r completamos expresión
la función exponencial eat, y la ( −2 4! s5
expresión F(s) en la función s )5 s−2
f(t).
{ }L −1 b 2 r = 2L −1 4! e2t la evaluación s → s − 2 produce e2t
(s − 2)5 4! s5

L −1 b 2 r = 2 t4e2t { }L −14! = t4
( −2 4! s5
s )5

3.5 Teoremas de traslación 159

En los siguientes ejemplos abreviaremos como TCP a un trinomio cuadrado Abreviaremos a un trinomio
perfecto. cuadrado perfecto como TCP.

EJEMPLO 10 Forma inversa del 1er. TT

{ }Evaluar L
−1 3 .
s2 + 4s + 5

Solución

{ } { }L −1
3 = L −1 3 completamos el TCP
s2 + 4s + 5 s2 + 4s + 4 + 1
Argumentar con
{ }L −1 contundencia y precisión.
3 −1 3
s2 + 4s + 5 =L b 2)2 r reescribimos el denominador
(s + + 1

{ }L −1
3 = 3L −1 b 1 r identificamos la traslación
s2 + 4s + 5 +
s 2 1

s+2

{ } { }L −1 1
3 = 3L −1 s2 +1 e −2t la evaluación s → s + 2 produce e−2t
s2 + 4s + 5

{ }L −1 { }L
3 = 3e−2tsent −1 1 = sent
s2 + 4s + 5 s2 +1

EJEMPLO 11 Forma inversa del 1er. TT

{ }Evaluar L −1
6s .
s2 − 8s + 25
Resolver problemas.
Solución
{ } { }L Comunicarse en el lenguaje
−1 6s = L −1 6s completamos el TCP matemático en forma
s2 − 8s + 25 s2 − 8s + 16 + 9 escrita.

{ }L
−1 6s = 6L −1 b s r reescribimos el denominador
s2 − 8s + 25 4)2 9
(s − +

{ }L −1 s−4+
6s = 6L −1 b s − 4)2 4 r sumamos y restamos 4
s2 − 8s + 20 +
( 9

{ }L s−4
−1 6s = 6L −1 b − 4)2 + r + 6L −1 b 4 r por linealidad
s2 − 8s + 25 (s 9 (s 4)2 9
− +

{ }L −1
6s = 6L −1 b s2 s r + 24 L −1 bs2 3 r identificamos la evaluación
s2 − 8s + 25 + 3 +
9 s−4 9 s−4

Si consideramos que en la transformación inversa de Laplace la evaluación s → s − 4 produce
la exponencial e4t, tenemos

{ } { } { }L −1
6s = 6e4tL −1 s + 8e4tL −1 3
s2 − 8s + 25 s2 + 9 s2 + 9

{ } { }Finalmente, como L −1 s 3
s2 + 9 = cos 3t y L −1 s2 + 9 = sen3t, entonces

{ }L −1
6s = 6e4t cos 3t + 8e4tsen 3t
s2 − 8s + 25

160 UNIDAD 3 La transformada de Laplace

Reconocer conceptos Segundo teorema de traslación
generales e integradores.
En la sección 3.2 aprendimos que para evaluar la transformada de Laplace de una función
escalonada se aplica de manera directa la definición, y mencionamos la existencia de una op-
ción alterna más eficiente que no requiere de evaluar integrales impropias ni límites al infinito.
Antes de presentar el segundo teorema de traslación, iniciemos con la definición de la función
escalón unitario y analicemos algunas propiedades interesantes que nos serán de gran utilidad.

Definición 1 La función escalón unitario
Para a > 0 se define la función escalón unitario como la función escalonada

U (t − a) = b 0 0 ≤t < a
1 a ≤t

Su gráfica puede observarse en la FIGURA 3.5.

U (t – a)

Representar e interpretar
conceptos en forma
gráfica.

a t

Figura 3.5

En los siguientes ejemplos mostramos algunas propiedades gráficas que tiene la función
escalón unitario cuando se manipula algebraicamente con otras funciones.

Resolver problemas. EJEMPLO 12 Propiedades gráficas de la función escalón unitario
Capacidad de análisis y Graficar las siguientes funciones:
síntesis. a) h(t) = f (t)U (t − a)
b) h(t) = f (t) − f (t)U (t − a)
c) h(t) = f (t) − f (t)U (t − a) + f (t)U (t − b)
d) h(t) = f (t) − f (t)U (t − a) + g(t)U (t − a)
e) h(t) = f (t)U (t − a) − f (t)U (t − b)

Solución a)
Por definición,

h(t) = f (t)U (t − a) = b 0 0 ≤t < a
f (t) a ≤t

La gráfica de h(t) aparece remarcada en la FIGURA 3.6.

3.5 Teoremas de traslación 161

y

f (t)

h(t)

a t

Figura 3.6

Solución b)

Por definición, h(t) = f (t) − f (t)U (t − a) = b f (t) 0 ≤ t < a.
0 a≤t

La gráfica de h(t) aparece remarcada en la FIGURA 3.7.
y

f (t) Representar e interpretar
conceptos en forma
gráfica.

h(t)

a t

Figura 3.7

Solución c)

f (t) 0 ≤t < a
a ≤t < b.
Por definición, h(t) = f (t) − f (t)U (t − a) + f (t)U (t − b) = c 0
b≤t
f (t)

La gráfica de h(t) aparece remarcada en la FIGURA 3.8.

y

h(t)
f (t)

a b t

Figura 3.8

Solución d) 0 ≤t < a
Por definición, h(t) = f (t) − f (t)U (t − a) + g(t)U (t − a) = b f (t) a≤t .

g(t)
La gráfica de h(t) aparece remarcada en la FIGURA 3.9.

y

f (t)
h(t) g(t)

a t

Figura 3.9

162 UNIDAD 3 La transformada de Laplace

Solución e) 0 ≤t < a
0 a ≤t <b.

Por definición, h(t) = f (t)U (t − a) − f (t)U (t − b) = c f (t) b≤t

0

La gráfica de h(t) aparece remarcada en la FIGURA 3.10.
y

Representar e interpretar h(t)
conceptos en forma f (t)
gráfica.

a b t

Figura 3.10

OBSERVACIÓN 3 Traslación lateral de la gráfica de una función f (t)
Una propiedad básica de la gráfica de una función f(t) es que al componerla con la función li-
neal y = t − a, con a > 0 se obtiene una traslación hacia la derecha. Esto se ilustra en la FIGURA 3.11.

y

La gráfica de la función f(t) f(t  –  a)
f (t − a) es una traslación hacia
la derecha de la gráfica de f (t)
de una distancia de a unidades.

t t  +  a t
Figura 3.11

Resolver problemas. En el siguiente ejemplo se muestra una función especial que nos será de utilidad para plan-
tear el segundo teorema de traslación.
Capacidad de análisis y
síntesis. EJEMPLO 13 La gráfica de una función especial
Graficar la función h(t) = f (t − a)U (t − b).

Solución
En la FIGURA 3.12 a) se muestra la gráfica de una función f(t) cualquiera. Con base en la obser-
vación anterior, podemos decir que la gráfica de f(t − a) es una traslación de esta gráfica de
una distancia de a unidades hacia la derecha [FIGURA 3.12 b)]. De acuerdo con el ejemplo 12 a), la
gráfica de f (t − a)U (t − a) resulta en la gráfica de f(t) trasladada hacia la derecha y “apagada”
antes del punto a. La FIGURA 3.12 c) muestra esta construcción.

y

f (t)

Representar e interpretar a t
conceptos en forma
gráfica. Figura 3.12 a)

3.5 Teoremas de traslación 163

yy

f(t  −  a) f(t  −  a)
f (t  −  a)U (t  −  a)

a t a t
Figura 3.12 c)
Figura 3.12 b)

Como pudimos observar en el teorema 1, la transformada de Laplace de una función f(t)
multiplicada por una función exponencial es equivalente a una traslación de la transformada
F(s) sobre el eje horizontal. En el siguiente teorema mostramos la relación que existe entre la
transformada de una función y una traslación de esta hacia la derecha, que se conoce como el
segundo teorema de traslación.

Segundo teorema de traslación (2o. TT) Teorema 2

Si L { f (t)} = F (s) y a > 0, entonces L { f (t − a)U }(t − a) = e−asL { f (t)} = e−asF (s) . Comunicarse en el
lenguaje matemático en
Demostración forma escrita.
Por definición, tenemos Lograr un pensamiento
lógico, analítico y
∞ sintético.
Argumentar con
∫L { f (t − a)U (t − a)} = f (t − a)U (t − a)e−st dt contundencia y precisión.
0

Separamos en dos integrales a partir del punto t = a

a∞

∫ ∫L { f (t − a)U (t − a)} = f (t − a)U (t − a)e−st dt + f (t − a)U (t − a)e−st dt
0a

Sustituimos el valor de la función escalón unitario en cada intervalo

a∞

∫ ∫L { f (t − a)U (t − a)} = f (t − a)(0)e−stdt + f (t − a)(1)e−st dt
0a

Ahora, evaluamos la integral

∞

∫L { f (t − a)U (t − a)} = f (t − a)e−stdt
a

Si elegimos el cambio de variable z = t − a, dz = dt, tenemos

∞

{ } ∫L f (t − a)U (t − a) = f (z)e−s(z+a)dt
0

De manera equivalente,

∞

∫{ }L f (t − a)U (t − a) = e−as f (z)e−szdt
0

Finalmente,

L { f (t − a)U }(t − a) = e−asL { f (t)} = e−asF (s)

Evaluamos a continuación la misma transformada de La- De manera informal pero precisa, podemos decir
place del ejemplo 9 de la sección 3.2, pero ahora utilizando el
2o. TT. Como podemos observar, se trata de evaluar la trans- que al transformar bajo Laplace a una función de la
formada de la función escalón unitario. forma f (t − a)U (t − a), la función escalón unitario
U (t − a) produce la exponencial e−as que multiplica a

la transformada de la función f(t) “sin trasladar”.

164 UNIDAD 3 La transformada de Laplace

EJEMPLO 14 Transformada de la funciónU (t − a)

Evaluar L {U (t − a)} .

Solución El 2o. TT se puede aplicar de manera directa al identificar que f (t) = 1,

L {U (t − a)} = e−as L {U (t − a)} = L {(1)U }(t − a) = e−asL {1} = e−as
s
s

EJEMPLO 15 Aplicación del 2o. TT

{ }Evaluar L (t − 4)2U (t − 4) .

Resolver problemas. Solución
El 2o. TT se puede aplicar de manera directa al identificar a = 4 y f (t) = t2,

{ } { }L 2!
(t − 4)2U (t − 4) = e−4sL t2 = s3 e −4 s

EJEMPLO 16 Aplicación del 2o. TT a una función escalonada

Evaluar L { f (t)} si f (t) = 1+U (t − 1) − 3U (t − 3).

Solución
En la FIGURA 3.13 podemos observar la gráfica de f (t).

f (t)
2

1

Representar e interpretar 1234 t
conceptos en forma −1
gráfica.

Figura 3.13

Si aplicamos de manera directa la transformada de Laplace tenemos

L { f (t)} = L {1+U (t − 1) − 3U (t − 3)} transformada directa

L { f (t)} = L {1} + L {U (t − 1)} − 3L {U (t − 3)} linealidad de L

L { f (t)} = 1 + e−s − 3e−3s L {U (t − a)} = e−as

ss s s

EJEMPLO 17 Transformada de una función escalonada

{ }Evaluar L t2U (t − 1) .

3.5 Teoremas de traslación 165

Solución

Observamos que no se puede aplicar el 2o. TT de manera directa; por esta razón es necesario

realizar algunos ajustes algebraicos a la función original. Argumentar con
contundencia y precisión.
{ } { }L t2U (t − 1) = L (t − 1+ 1)2U (t − 1) sumamos y restamos 1

{ }{ } )(L t2U (t − 1) = L (t − 1)2 + 2(t − 1) + 1 U (t − 1) desarrollamos el binomio

{ } { }L t2U (t − 1) = L (t − 1)2U (t − 1) + 2L {(t − 1)U (t − 1)} + L {U (t − 1)} linealidad de L

{ } { }L t2U (t − 1) = e−sL t2 + 2e−sL {t} + e−sL {1} aplicamos el 2o. TT

{ }L 2! e−s 1 e−s 1 e−s
t2U (t − 1) = s3 + 2 s2 + s evaluar transformadas

Como lo indicamos en su momento, evaluaremos a continuación la misma transformada que
en el ejemplo 10 de la sección 3.2, pero ahora haciendo uso de la función escalón unitario y del
segundo teorema de traslación.

EJEMPLO 18 Transformada de una función escalonada Resolver problemas.
Evaluar f (t) = b t 0 ≤ t < 1.
Representar e interpretar
1 1≤t conceptos en forma
Solución gráfica.
La gráfica de la función se puede observar en la FIGURA 3.14.

f(t)
1

1 t

Figura 3.14

Podemos expresar de manera equivalente a la función

como f (t) = b t 0 ≤ t < 1
1 1≤t

f (t) = t − tU (t − 1) +U (t − 1) , luego

L { f (t)} = L {t − tU (t − 1) +U (t − 1)}

L { f (t)} = L {t − (t − 1+ 1)U (t − 1) +U (t − 1)} sumar y restar 1
L { f (t)} = L {t} − L {(t − 1)U (t − 1)} simplificar

L { f (t )} = 1 − e−sL {t} 2o. TT
s2

L { f (t)} = 1 − e−s L {t} = 1
s2 s2 s2

166 UNIDAD 3 La transformada de Laplace

OBSERVACIÓN 4 La forma inversa del segundo teorema de traslación

Del teorema 2 sabemos que si L { f (t − a)U (t − a)} = e−asF (s), entonces al aplicar la transfor-

mada inversa de Laplace en ambos lados de la igualdad tenemos

Podemos decir de manera { }L −1L { f (t − a)U (t − a)} = L −1 e−asF (s) aplicamos L −1

informal que al calcular la { }L −1 e−asF (s) = f (t − a)U (t − a) simplificamos
{ }L −1 e−asF (s) = f (t) t−aU (t − a) de manera equivalente
transformada inversa de la ex-
presión e−asF(s), la exponencial
e−as se convierte en la función
escalón unitarioU (t − a) que

multiplica a la transformada { }L −1 e−asF (s) = L −1 {F (s)} U (t − a) otra notación
inversa de F(s) trasladada a t−a
unidades a la derecha, es decir,

evaluada en t − a. Podemos decir de manera informal que al calcular la transformada inversa de la

expresión e−asF (s) la exponencial e−as se convierte en la función escalón unitario

U (t − a) que multiplica a la transformada inversa de F (s) trasladada a unidades a la derecha,

es decir, evaluada en t − a.

Argumentar con EJEMPLO 19 Forma inversa del segundo teorema de traslación
contundencia y precisión. Evaluar L −1 b ss2e+−21s r .

Resolver problemas. Solución
{ }De la forma inversa del 2o. TT L −1 e−asF (s) = L −1 {F (s)} U (t − a) tenemos
t−a

{ }L−1 b se −2 s = L −1 e −2 s s identificamos F (s)
s2 s2 +1
r
+1

{ }L−1 b se −2 s = L −1 s U (t − 2) la exponencial e−2s produce U (t − 2)
s2 s2 +1 transformamos a la inversa F (s)
r t−2
+1

L −1 b se −2 s = cost t−2U (t − 2)
s2
r
+1

L −1 b se −2 s = cos(t − 2)U (t − 2) evaluamos f (t − 2)
s2
r
+1

EJEMPLO 20 Forma inversa del segundo teorema de traslación

Evaluar L −1 b (4s − 6)e−πs r .

(s − 1)(s − 2)(s − 3)

Solución

{ }De la forma inversa del 2o. TT L −1 e−asF (s) = L −1 {F (s)} U (t − a) tenemos
t−a

Comunicarse en el lenguaje L −1 b (4s − 6)e−πs r =L −1be − π s[− s 1 1 − s 2 2 + s 3 3 ]r identificamos F (s)
matemático en forma − − −
escrita. (s − 1)(s − 2)(s − 3)

{ }= L −1 − 1 − 2 + 3 U (t − π ) e−π s produce U (t − π )
s − 1 s − 2 s − 3 t−π

3.5 Teoremas de traslación 167

= [−et − 2e2t + 3e3t ]t−πU (t − π ) transformamos a la inversa F (s)
evaluamos f (t − π )
( )= −et−π − 2e2(t−π ) + 3e3(t−π ) U (t − π )

3.5 Desarrollo de competencias

15. L −1 b 2 r
− 3)8
Capacidad para generar nuevas ideas. (s
Resolver problemas.
16. L −1 b(5s 4s r
En los problemas 1 a 14, utilizar el primer teorema de + 10
traslación para evaluar las transformadas de las funcio- )3
nes dadas.
17. L −1 b −3 r
( )1. f (t) = t3 − 5t2 + 6t − 3 et s+4
( 1 )4
2. f (t) = t4e4t − 2t3e3t + 5t2e2t − 2tet 2

3. f (t) = t5et − 2t6e2t + 2t7e3t 18. L −1 b(2ss−−1)65 r

4. f (t) = (2t − 3)2 e−2t 19. L −1 b 2 + 5 r
(s − 4)3 + 1)2
5. f (t) = (sent − 3cost)e−2πt (s

6. f (t) = et cos2 t 20. L −1 b( s +2 + 4s r
s
7. f (t) = eatsen2 bt − 1)4 (s + 2)3

8. f (t) = etsent cost { }21. L
−1 10
9. f (t) = eatsen3 bt s2 + 2s + 5

10. f (t) = eatsenbt cos ct { }22. L
−1 s
11. f (t) = eat cos bt cos ct s2 − 8s + 7

12. f (t) = eat cos3 bt { }23. L
−1 7s
13. f (t) = e tsen2 t cos2 t s2 + 14s + 65

14. f (t) = eatsen4 t { }24. L
−1 s −1
En los problemas 15 a 26, utilizar la forma inversa del s2 + 6s + 13
primer teorema de traslación para determinar las trans-
formadas inversas de Laplace indicadas. { }25. L
−1 4s − 2
s2 + 12s + 40

{ }26. L
−1 3s
s2 − 20s + 96

168 UNIDAD 3 La transformada de Laplace

En los problemas 27 a 35, evaluar la transformada de La- En los problemas 42 a 55, evaluar la transformada inversa
place indicada. de Laplace indicada. Utilizar la forma inversa del 2o. TT.

27. L {(t − 3)U (t − 3)} 2e− s
s8
{ }28. L t2U (t − 3) 42. L −1 b r

29. L {(t − 6)U (t − 5)} 43. L −1 b 4e−3s r
5s + 2
{ }30. L (2t + 3)2U (t − 1)
{ }31. L et+2U (t − 3) 44. L −1 b −3e−πs r
1 s + 4
32. L bcostU ¢t − π ≤r 2
2
45. L −1b ¢ 1 + 3 2 e−6s r
33. L { sen2tU (t − π )} s3 s2
≤
{ }34. L (t − π )2 et−πU (t − π )
46. L −1 b¢ 2 + 5 − 1≤ e−2s r
{ }35. L t2etU (t − 1) s3 s2 s

{ }47. L−1 9 e −π s
+ 25
s2

{ }48.L −1 5s + 10 e − π s
s2 + 25 2

En los problemas 36 a 41, expresar las funciones dadas { }49. L−1 5s − 8 e −3s
en términos de la función escalón unitario y evaluar su 3s2 + 12
transformada de Laplace mediante el 2o. TT. Elaborar
una gráfica de f(t).

36. f (t) = b 1 0 ≤t <1 { }50. L−1 7s e − s
0 1≤t + 36

s2

37. f (t) = b t + 1 0 ≤t <1 { }51. L s −2
t − 1 1≤t s2 −9
−1 e − s

38. f (t) = b t 0 ≤t <1 52. L −1 b s2 + 26s − 6 e−3sr
t2 1≤t s(s − 1)(s + 2)

39. f (t) = b t 0 ≤t < 3 { }53. L−1 4(s + 13) e −2 s
0 3≤t s2 + 6s − 7

40. f (t) = b 0 0 ≤t <1 54. L −1 b −3s2 − 2s + 85 e−6sr
t 1≤t (s − 1)(s + 4)(s + 7)

t 0≤t<1 55. L −1 b s2 + 20s + 76 e −4sr
41. f (t) = c 1 1 ≤ t < 2 + 5s2 − 2s − 24
s 3
0 2≤t

3.6 Derivada de una transformada, transformada de una función periódica y convolución 169

3.5 Competencia final

Capacidad para generar nuevas ideas. En los problemas 9 y 10, evaluar la transformada de La-
Resolver problemas. place indicada.

En los problemas 1 a 6, utilizar el primer teorema de tras- 9. L {costU (t − π )}
lación para evaluar las transformadas de las funciones
dadas. { }10. L (t − 1)2U (t − 2)

( )1. f (t) = t2 − 2t + 1 2 eas En los problemas 11 y 12, expresar las funciones dadas
en términos de la función escalón unitario y evaluar su
( )2. f (t) = t3 e−6t + 4 2 transformada de Laplace mediante el 2o. TT. Elaborar
una gráfica de f (t).
3. f (t) = (sen3t − cos6t)e−πt
11. f (t) = b t 0 ≤ t < 1
4. f (t) = eatcos2 bt −t 1 ≤ 2

5. f (t) = eatsenbt senct 12. f (t) = b 1 0 ≤t <π
−1 π ≤t

6. f (t) = eat sen4 t En los problemas 13 a 15, evaluar la transformada inversa
de Laplace indicada. Utilizar la forma inversa del 2o. TT.

En los problemas 7 y 8, utilizar la forma inversa del pri- { }13. L−1 s − 1 e −4s
mer teorema de traslación para determinar las transfor- − 36
madas inversas de Laplace indicadas. s 2

7. L −1 b s + 16 + s − 16 r 14. L −1 b 2(s − 4) e−πsr
+ − (1− s)(s + 2)
(s 8)3 (s 8)3

{ }8. L { }15. L 4s −1
−1 9 −1 − 7s − e −4 s
s2 + 10s + 26
s2 30

3.6 Derivada de una transformada, transformada

de una función periódica y convolución

Como pudimos observar en la sección anterior, la definición de transformada de Laplace no
siempre es el mejor recurso para determinar la transformada de una función f (t). Hoy sabemos
que para transformar una función de la forma eatf (t) o una función escalonada, los teoremas
de traslación son muy eficientes.

Además, conocemos algunos resultados que facilitan el cálculo de la transformada de La-
place de funciones elementales, pero debemos mencionar que existe otro tipo de funciones con
propiedades especiales que permiten establecer más resultados para determinar con mayor
facilidad su transformada directa o inversa. En esta sección estudiaremos cómo se comporta
la derivada de una transformada de Laplace, lo que nos permitirá transformar funciones de
la forma t nf (t) sin utilizar la definición. De igual forma, abordaremos la transformada de una
función periódica y el teorema de convolución.

170 UNIDAD 3 La transformada de Laplace

Argumentar con Derivada de una transformada
contundencia y precisión.
Capacidad de análisis y Existe una manera más eficiente de transformar una función de la forma t nf (t) que la apli-
síntesis. cación directa de la definición. La derivada de una transformada ofrece algunas propiedades
interesantes al respecto y también una herramienta para determinar algunas transformadas
inversas de Laplace. Iniciemos con la primera derivada de una transformada.

Teorema 1 La primera derivada de una transformada

Comunicarse en el Si L { f (t)} = F (s), entonces L {t f (t)} = − d L { f (t)} = − dF .
lenguaje matemático en
forma escrita. ds ds
Demostración

Por definición tenemos

∞

∫L { f (t)} = F (s) = f (t)e−stdt
0

Ahora derivemos ambos miembros de la ecuación respecto de s

∫d F (s) = d ∞
ds ds 0
f (t)e−stdt

Y como la integral es respecto a la variable t, escribimos

∫ ( )dF = ∞ f (t) d e−st dtds
ds 0

De donde

∞

f (t) −t e−st dt
∫ ( )dF =
ds 0

De manera equivalente y por la propiedad de linealidad de L

∫∞ f (t) e−st dt = − dF
t
0 ds

Luego

L {t f (t)} = − d L { f (t)} = − dF

ds ds

EJEMPLO 1 Transformada de la función f (t) = t eat

{ }Evaluar L t eat .

Argumentar con Solución
contundencia y precisión. Identificamos que la función a transformar es un múltiplo de t, de manera que por el teorema
anterior

t eat = − d L d 1 1
ds ds −a
{ } { }L e at = − ¢ ≤ = (s − a)2
s

Resolver problemas. EJEMPLO 2 Transformada de la función f (t) = t cos bt
Evaluar L {t cosbt}.

3.6 Derivada de una transformada, transformada de una función periódica y convolución 171

Solución
Identificamos que la función a transformar es un múltiplo de t, de manera que por el teorema
anterior

{t cosbt} = − d L {cosbt} = −d s s2 − b2
ds + s2 + b2 2
ds
( )L ¢ s2 b2 ≤ =

EJEMPLO 3 Transformada de la función f (t) = t senh bt

Evaluar L {t senh bt} .

Solución Resolver problemas.
Identificamos que la función a transformar es un múltiplo de t, de manera que por el teorema
anterior

{t senh bt} = − d L { senh bt} = − d b 2bs
− s2 − b2
ds ds
( )L ¢s2 b2 ≤ = 2

OBSERVACIÓN 1 Generalización del teorema 1 Comunicarse en el lenguaje
matemático en forma
Si L {t f (t)} = − dF entonces escrita.

ds Teorema 2

L {t2 f (t)} = L {t⋅t f (t)} = − d L {t f (t)} Argumentar con
ds contundencia y precisión.
Al aplicar el teorema 1 tenemos Capacidad de análisis y
síntesis.
{ }L t2 f (t) = − d ¢− d L { f (t)}≤ Lograr un pensamiento
ds ds lógico, algorítmico,
analítico y sintético.
Lo que resulta en

{ }L d2 { f (t)}
t2 f (t) = ds2 L

Una aplicación sucesiva de este procedimiento nos lleva al siguiente teorema.

Derivada n-ésima de una transformada

{ }Si L { f (t)} = F (s), entonces L (−1)n dn { (t )} (−1)n dnF
tn f (t) = ds n L f = d ns .

Demostración

Procedemos por inducción matemática:

Si n = 1, tenemos L {t f (t)} = − dF .

ds

{ }Supongamos que L (−1)n dnF
tn f (t) = d ns , entonces

{ } { } { }L tn+1 f (t) = L t ⋅tn f (t) = − d L tn f (t)
ds

De donde, por hipótesis de inducción,

{ }L −d ¢(−1)n dnF d n+1F
tn+1 f (t) = ds d ns ≤ = (−1)n+1 d n+1s

172 UNIDAD 3 La transformada de Laplace

EJEMPLO 4 Transformada de la función f (t) = tn eat

{ }Evaluar L tn eat .

Solución

Identificamos que la función a transformar es un múltiplo de tn, de manera que por el teorema

anterior

{ } { }L dn dn ¢1≤
t n eat = (−1)n ds n L e at = (−1)n ds n s−a

{ }L (−1)n (−1)n n! n!
t n eat = (s − a)n+1 = (s
− a)n+1

EJEMPLO 5 Transformada de la función f (t) = t2 cos bt

{ }Evaluar L t2 cosbt .

Argumentar con Solución
contundencia y precisión. Identificamos que la función a transformar es un múltiplo de t2, de manera que por el teorema

anterior y para n = 2

{ } ( ( ) )L
t2 cos bt = (−1)2 d2 L {cosbt} = d2 ¢s2 s b2 ≤ 2s s2 − 3b2
ds2 ds2 + = s2 + b2 3

EJEMPLO 6 Transformada de la función f (t) = t3senh bt

{ }Evaluar L t3 senh bt .

Resolver problemas. Solución

Identificamos que la función a transformar es un múltiplo de t, de manera que por el teorema

anterior

{ } ( ( ) ){ }L
t3 senh bt = (−1)3 d3 L senh bt = − d3 ¢s2 b b2 ≤ 24bs s2 + b2
ds3 ds3 − = s2 − b2 4

OBSERVACIÓN 2 Una aplicación de la derivada de una transformada
para determinar algunas transformadas inversas

Una aplicación interesante del teorema 1 se da a partir del siguiente razonamiento.

Sea L { f (t)} = F (s), de manera que por definición f (t) = L −1 {F (s)}. De acuerdo con
{t (t)} dF
el teorema 1 se verifica que L f = − ds ; entonces, al aplicar la transformada inversa en

ambos lados de la ecuación tenemos

{ }{ }L −1L t f (t) = L −1 − dF
ds

Por la propiedad de linealidad de L −1, podemos escribir

{ }f (t) = − 1L −1 dF
t ds

3.6 Derivada de una transformada, transformada de una función periódica y convolución 173

De manera que

{ }L −1 {F (s)} = − 1L −1 dF
t ds

En el siguiente ejemplo mostramos cómo funciona este resultado.

EJEMPLO 7 La transformada inversa de F (s) = ln s − a
s − b

{ }Evaluar L −1 ln s − a . Resolver problemas.
s−b
Comunicarse en el lenguaje
Solución matemático en forma
De la observación 2 tenemos la propiedad L escrita.
{ }Si identificamos que F (s) = ln s − a , entonces − dF Argumentar con
−1 {F (s)} = − 1L −1 . contundencia y precisión.

t ds

s−b

{ }L −1 ln s − a = − 1L −1b d ¢ln s − a ≤ r observación 2
s−b t ds s − b

{ }L −1 −
ln s − a = −1L −1 b a b r calculamos la derivada
s−b t a )( s
( s − − b )

{ } { }s −b t
L −1 ln s − a = 1L −1 1 − 1 separamos en fracciones parciales
s−b s−a

{ } { } { }s−b t
L −1 ln s − a = 1L −1 1 − 1L −1 1 aplicamos linealidad de L −1
s−b t s−a

{ }L −1 ln s − a = ebt − eat transformamos cada término
s−b t

Transformada de una función periódica

En muchas aplicaciones de las matemáticas resulta natural el estudio de funciones que mues-
tran un “patrón repetido”, tales como las funciones seno y coseno. En muchas aplicaciones de
la ingeniería surgen los conceptos de funciones de onda cuadrada, de seno y coseno rectificados
o de funciones diente de sierra. En todos los casos hablamos de funciones periódicas con un
periodo fijo. En la presente sección estudiaremos este concepto y cómo se determina su corres-
pondiente transformada de Laplace. Iniciamos con la siguiente definición.

La FIGURA 3.15 muestra la gráfica de una función periódica.

Función periódica de periodo T 1 Definición
Una función f(t) se dice periódica de periodo T si f (t) = f (t + T ) para todo t en su dominio.
Reconocer conceptos
f (t) generales e integradores.

t t  +  T t  +  2T t  +  3T t Representar e interpretar
Figura 3.15 conceptos en forma
gráfica.

174 UNIDAD 3 La transformada de Laplace

Por ejemplo, dado que para todo valor de t se cumple que sent = sen(t + 2π ) y cost =
cos(t + 2π ) , concluimos que las funciones seno y coseno son ambas de periodo 2π .

El siguiente teorema nos muestra una manera de transformar bajo Laplace una función
periódica considerando una integral definida sobre un periodo.

Teorema 3 Transformada de una función periódica

Capacidad de análisis y Si f(t) es una función periódica de periodo T, continua por partes y de orden exponencial k
síntesis. para t > 0, entonces
Lograr un pensamiento
lógico, algorítmico, ∫L{ f (t )} = 1 − 1 sT T
analítico y sintético. e−
f (t)e−stdt
Argumentar con
contundencia y precisión. 0

Demostración
Sea f(t) una función periódica de periodo T. Por definición, tenemos

∞T∞

∫ ∫ ∫L { f (t)} = f (t)e−stdt = f (t)e−stdt + f (t)e−stdt
0 0T

Si consideramos el cambio de variable t = τ + T , entonces dt = dτ . Luego, si t → T , enton-
ces τ → 0 y si t → ∞, entonces τ → ∞. De manera que

T∞

∫ ∫L { f (t)} = f (t)e−stdt + f (τ + T )e−s(τ +T )dτ
00

Como f(t) es periódica de periodo T, se cumple

T∞

∫ ∫L { f (t)} = f (t)e−stdt + e−sT f (τ )e−sτ dτ
00

Si reescribimos esta expresión tenemos

T

∫L { f (t)} − e−sT L { f (t)} = f (t)e−stdt
0

De manera equivalente,

∫L{ f (t )} = 1 − 1 sT T
e−
f (t)e−stdt

0

EJEMPLO 8 Transformada de una onda cuadrada

Hallar L { f (t)}, para la función f (t) = b 1 0≤t <1 , T = 2.
1≤t <2
Resolver problemas. 0

Solución
La gráfica de f (t) se muestra en la FIGURA 3.16.

f (t)

Representar e interpretar t
conceptos en forma
gráfica.

−1 123
Figura 3.16

3.6 Derivada de una transformada, transformada de una función periódica y convolución 175

Por el teorema 3, escribimos

∫L { f (t )} = 1 − 1 −2 s 2 por el teorema 3 Comunicarse en el lenguaje
e separamos la integral matemático en forma
f (t)e−stdt integramos escrita.
evaluamos la integral Argumentar con
0 contundencia y precisión.

1 1 2
e −2T
(1)e−stdt + (0) f (t)e−stdt≤

0 1
∫ ∫L{ f (t )} = 1 − ¢

L { f (t )} = 1 − 1 −2 s [− 1 1
e s
e−st ]0

{ f (t)} = 1− e−s
s 1− e−2s
( )L

EJEMPLO 9 Transformada de una función periódica de diente de sierra

Hallar L { f (t)} para la función f (t) = b t , T = a.
a

Solución Resolver problemas.
La gráfica de f (t) se muestra en la FIGURA 3.17.
Representar e interpretar
f (t) conceptos en forma
b gráfica.

a 2a 3a t

Figura 3.17 utilizamos el teorema 3
integramos por partes
Por el teorema 3, escribimos evaluamos límites
transformamos términos
∫L { f (t )} = 1 − 1 a b te−stdt
e − as 0a

{ f (t)} = b t e − st 1 e − st a
1 − e−as s s2
a ]0
( )L [− −

{ f (t)} = b a e − as 1 e − as 1
1 − e−as s s2 s2
a
( )L [− − + ]

{ f (t)} = b 1 e − as e − as
1 − e−as [ s2 s2 s
a
( )L − − ]

OBSERVACIÓN 3 Propiedades de una función periódica

Si f(t) es una función periódica de periodo T, entonces f (t) = f (t + T ).
De la misma forma se puede escribir f (t + T ) = f (t + T + T ) = f (t + 2T ). Un razonamiento

análogo muestra que f (t) = f (t + nT ) para n ∈.

Existe una manera alternativa de evaluar la transformada de Laplace de una función pe- Capacidad de análisis y
riódica f(t) que utiliza el segundo teorema de traslación. El resultado se muestra en el siguiente síntesis
teorema. Lograr un pensamiento
lógico, algorítmico,
analítico y sintético.

176 UNIDAD 3 La transformada de Laplace

Teorema 4

Transformada de una función periódica por traslación

Si f(t) es una función periódica de periodo T, continua por partes y de orden exponencial k
para t > 0, entonces

L { f (t )} = 1 − 1 sT L {h(t)}
e−

Donde h(t) = b f (t) 0 < t < T
0 t>T

Demostración
Sea f(t) una función periódica de periodo T. Definimos la función

El teorema precisa la construc- Se verifica que h(t) = b f (t) 0 < t < T
ción de una función h(t) que 0 t>T
sea igual a la función periódica
f (t) en el intervalo [0, T ], y que h(t) = f (t) − f (t)U (t − T )
sea nula en el intervalo (T, ∞).
L {h(t)} = L { f (t)} − L { f (t)U (t − T )}

En la FIGURA 3.18 podemos observar las gráficas de las funciones f(t) y h(t). La función
h(t) aparece remarcada.

f(t)
f(t)

Representar e interpretar h(t)
conceptos en forma T 2T
gráfica.

t

Figura 3.18

Si f (t) es una función periódica Como h(t) es periódica de periodo T, entonces al tomar n = −1 en la observa-
ción 3 tenemos f (t) = f (t − T ). De esta manera,
de periodo T, entonces f(t) =
f (t + nT), con n ∈, en particu- L {h(t)} = L { f (t)} − L { f (t − T )U (t − T )}
lar f (t) = f(t − T).
Por el segundo teorema de traslación,

L {h(t)} = L { f (t)} − e−sT L { f (t) }

De donde,

L { f (t )} = 1 − 1 sT L {h(t)}
e−

En los ejemplos 10 y 11 volvemos a transformar las funciones consideradas en los ejemplos 8 y
9, pero ahora utilizando una traslación, con la finalidad de comparar los dos métodos.

Resolver problemas. EJEMPLO 10 Transformada de una onda cuadrada

Hallar L { f (t)} para la función f (t) = b 1 0 ≤ t < 1, T = 2 .

0 1≤t <2

3.6 Derivada de una transformada, transformada de una función periódica y convolución 177

Solución
Construimos una función h(t) que sea igual a f (t) en [0, 2] y nula en (2, ∞). Podemos observar
en la FIGURA 3.19 la representación de ambas funciones. La función h(t) aparece remarcada.

f(t) f(t)
1

h(t) Representar e interpretar
conceptos en forma
gráfica.

−1 0 1 2 3 t
Figura 3.19

Para aplicar el teorema 4, debemos construir la función

h(t) = b f (t) 0 < t < 2
0 t>2

O bien, en términos de la función escalón unitario

h(t) = 1−U (t − 1)

Entonces,

L { f (t )} = 1 L {h(t)} aplicamos el teorema 4
1 − e−2s

L { f (t )} = 1 L {1 −U (t − 1)} sustituimos h(t)
1 − e−2s

{ (t )} 11 e−s 1− e−s
1− e−2s [ s s 1 − e−2s
( )L f = − ]= s transformamos términos

EJEMPLO 11 Transformada de una función periódica diente de sierra

Hallar L { f (t)} para la función f (t) = b t, T = a.
a

Solución Resolver problemas.
Construimos una función que h(t) sea igual a f (t) en [0, a] y nula en (a, ∞). En la FIGURA 3.20
podemos observar las gráficas de ambas funciones. La función h(t) aparece remarcada.

f(t)

b f(t)

h(t) Representar e interpretar
conceptos en forma
t gráfica.

a 2a 3a

Figura 3.20

Para aplicar el teorema 4, debemos construir

h(t) = c b t 0<t<a
a

0 t>a

O bien, en términos de la función escalón unitario
h(t) = b t − b tU (t − a)
aa

178 UNIDAD 3 La transformada de Laplace

h(t) = b t − b (t − a + a)U (t − a)
aa

h(t) = b t − b (t − a)U (t − a) − bU (t − a)
aa a

Entonces,

Comunicarse en el lenguaje L { f (t )} = 1 L {h(t)} aplicamos el teorema 4
matemático en forma 1 − e−as sustituimos h(t)
escrita.

{ }L
{ f (t )} = 1 L b t − b (t − a)U (t − a) − bU (t − a)
1 − e−as aa a

{ f (t)} = b {t − (t − a)U (t − a) −U (t − a)}
1 − e−as
( )L a L transformamos términos
simplificamos
{ f (t)} = b 1 e − as e − as
1 − e−as [ s2 s2 s]
a
( )L − −

La convolución

La convolución de dos funciones es un concepto abstracto del análisis funcional y de la teoría
de funciones muy útil en el estudio de algunas ramas de la física y las matemáticas, como esta-
dística, teoría de la probabilidad, óptica, acústica y electrónica, entre otras.

Básicamente, la convolución es un operador matemático que asocia a dos funciones f y g
dadas una tercera función relacionada con la magnitud en la que se superponen f y una versión
trasladada e invertida de g.

En lo que nos concierne, solo estamos interesados en las propiedades operativas de la con-
volución bajo la transformada de Laplace. Tenemos la siguiente definición.

Definición 2 Convolución de dos funciones

Reconocer conceptos Sean f y g dos funciones continuas por partes en el intervalo [0, ∞), definimos la convolu-
generales e integradores. ción de f y g como

t

∫f ∗ g = f (u)g(t − u) du
0

si la integral existe.

Resolver problemas. EJEMPLO 12 Convolución de dos funciones

Evaluar la convolución de las siguientes funciones
a) et ∗t
b) t ∗ et
c) et ∗ cost
d) sen at ∗ cosbt

Solución t

∫En todos los casos utilizamos la definición de convolución dada por f ∗ g = f (u)g(t − u) du,0
de modo que al evaluar las correspondientes integrales, tenemos