modul PPG

Jadi, (1) dan (2)

Dengan menyelesaikan persamaan (1), diperoleh solusi p= dan r = .

Dengan cara serupa, solusi persamaan kedua (2) adalah q = dan s = .

Akibatnya, B = = .

Jadi, Jika B memenuhi AB = BA = I maka ad- bc 0.

Akibatnya, matriks B merupakan invers of A. Jadi, A-1 =

Teorema 2.4
Jika A dan B mariks invertibel berukuran sama, maka
(1) AB invertibel
(2)
Bukti
Sebagai latihan.

Hasilkali matriks invertibel adalah invertibel dan invers hasilkali sama
dengan hasilkali inversnya dengan urutan yang dibalik.

Definisi 2.7
Jika A matriks persegi, maka didefinisikan pangkat bulat non-negatif dari A

, (n > 0)

n faktor

Jika A invertibel, maka didefinisikan pangkat bulat negatif dari A

Teorema 2.5
Jika A matriks persegi dan r dan s bilangan bulat, maka

dan .
Bukti untuk latihan.

41

Teorema 2.6 untuk n = 0, 1, 2, …
Jika A matriks invertibel, maka:
(1) invertibel dan
(2) invertibel dan

(3) Untuk sebarang skalar tak-nol k, matriks kA invertibel dan .
.
Bukti maka matriks invertibel dan
(1) Karena
(2) Sebagai latihan

(3) (kA) = = = 1. I = I.

Dengan cara serupa diperoleh .

Jadi, kA invertibel dan .

Transpos Matriks
Definisi 2.8
Jika A matriks p x q, maka transpos A, ditulis AT, didefinisikan sebagai matriks
q x p yang diperoleh dari menukar baris dan kolom A, yaitu kolom pertama dari
AT merupakan baris pertama matriks A, kolom kedua dari AT merupakan baris
kedua dari A, dan seterusnya.

Teorema berikut ini merupakan sifat utama dari tranpos.
Teorema 2.7
Jika ukuran matriks sedemikian sehingga operasi berikut ini dapat dilakukan,
maka:
(1) (AT)T =A
(2) (A + B)T = AT + BT
(3) (kA)T = k (A)T , dengan k sebarang skalar.
(4) (AB)T = BTAT

Pada bagian ini akan dibuktikan bagian (4), sedangkan bukti bagian (1), (2)
dan (3) ditinggalkan untuk pembaca sebagai latihan.

42

Bukti (4)

Misalkan A = [aij]pxq dan B = [bij]qxr sehingga AB dan BTAT dapat dikalikan.
Jelas bahwa (AB)T dan BTAT berukuran r x p.

((AB)T)ij = (BTAT)ij ……...........................................................(i)
((AB)T)ji = (AB)ji =

Misalkan (AT)ij = a’ij dan (BT)ij = b’ij, sehingga a’ij = aji dan b’ij = bji

Jadi, (BTAT)ij

….......................................................................(ii)
Dari (i) dan (ii), diperoleh ((AB)T)ij = (BTAT)ij
Jadi, (AB)T = BTAT.
Transpos hasilkali matriks sama dengan hasilkali transposnya dengan urutan
dibalik.

Matriks Elementer dan Metode mencari Invers Matriks
Pada bagian ini dikembangkan algoritma untuk mencari invers matriks

invertibel dan disajikan sifat-sifat matriks invertibel.

Definisi 2.9
Suatu matriks n x n disebut matriks elementer jika dapat diperoleh dari matriks
identitas In berukuran nxn dengan melakukan satu operasi baris elementer.

43

Contoh 2.3

kalikan baris pertama dari dengan -3,

menukar baris pertama dan kedua dari .

tambahkan 3 kali baris ketiga ke baris pertama dari .

Matriks-matriks merupakan matriks-matriks elementer.

Teorema 2.8
Jika matriks A dikalikan dari kiri dengan matriks elementer E, maka hasilnya EA

adalah matriks A yang dikenai operasi baris elementer yang sama dengan operasi

baris elementer yang dikenakan pada I untuk mendapatkan E.

Bukti ditinggalkan untuk pembaca sebagai latihan.
Jika operasi baris elementer dikenakan pada matriks identitas I untuk

menghasilkan matriks elementer E, maka terdapat operasi baris kedua sehingga
ketika dikenakan ke E menghasilkan I kembali.

OBE pada I yang menghasilan E: OBE pada E yang menghasilkan I:

1. Kalikan baris ke-i dengan c  0. Kalikan baris ke-i dengan 1
c

2. Menukar baris ke- i dan ke- j. Menukar baris ke- i dan ke- j

3. Tambahkan c kali baris ke-i ke baris ke-j. Tambahkan -c kali baris ke-i ke

baris ke-j

Operasi di sebelah kanan disebut operasi invers dari operasi yang bersesuaian
dengan operasi di sebelah kiri.

Teorema 2.9
Setiap matriks elementer adalah invertibel dan inversnya merupakan matriks
elementer.

44

Bukti Teorema ini ditinggalkan untuk pembaca sebagai latihan.

Teorema berikut menunjukkan hubungan antara invertibilitas, SPL
homogen dan matriks elementer.
Teorema 2.10
Jika A matriks nxn , maka pernyataan berikut ekivalen.
(1) A invertibel.
(2) AX = 0 hanya mempunyai penyelesaian trivial.
(3) Bentuk eselon baris tereduksi dari A adalah In.
(4) A dapat dinyatakan sebagai hasil kali matriks elementer.
Bukti
Pada bagian ini, akan dibuktikan (3)  (4), sedangkan (1)  (2), (2)  (3) dan
(4)  (1) ditinggalkan untuk pembaca sebagai latihan.
(3)  (4) Misalkan bentuk eselon baris tereduksi dari A adalah . Berarti A

dapat direduksi menjadi melalui sejumlah hingga operasi baris elementer.

Jadi, terdapat matriks elementer sedemikian sehingga

Jelas bahwa invertibel. Akibatnya, juga invertibel.

Jadi, =

Akibatnya,
Persamaan ini menunjukkan bahwa A dapat dinyatakan sebagai hasilkali matriks
elementer.

Jika matriks B dapat diperoleh dari matriks A dengan melakukan sejumlah
hingga OBE maka matriks A dapat diperoleh kembali dari B dengan melakukan
OBE balikan dalam urutan sebaliknya.
Matriks yang dapat diperoleh satu dari yang lain melalui sejumlah berhingga OBE
disebut ekivalen baris.
Jadi, matriks Anxn invertibel  A ekivalen baris dengan .

45

Perhatikan pada Bukti (3)  (4)
Akibatnya,
Untuk menemukan invers matriks invertibel A, tentukan sejumlah OBE yang
mereduksi A menjadi matriks identitas kemudian dan gunakan OBE yang sama ke
mariks identitas untuk memperoleh .
Contoh 2.4
Tentukan invers dari
Penyelesaian
1 2 3 1 0 0 ~ 1 2 3 1 0 0
 2 5 3 0 1 0 R2 − 2R1  0 1 − 3 − 2 1 0 ~
 1 0 8 0 0 1 R3 − R1  0 − 2 5 −1 0 1 R3 + 2R1
1 2 3 1 0 0 R1 + 3R3 1 2 0 −14 6 3  R1 − 2R2
 0 1 − 3 − 2 1 0 R2 − 3R3  0 1 0 13 − 5 − 3
 0 0 −1 − 5 2 1 − R3 0 0 1 5 − 2 −1
1 0 0 − 40 16 9 
0 1 0 13 − 5 − 3
0 0 1 5 − 2 −1
Jadi,

Perhatikan matriks

Karena diperoleh baris nol pada bagian kiri maka B tidak invertibel.
46

Pada bagian berikut ini akan disajikan kaitan antara SPL dan matriks

invertibel.

Teorema 2.11

Setiap SPL mempunyai penyelesaian tunggal atau mempunyai tak-hingga

penyelesaian atau tidak mempunyai penyelesaian.

Bukti ditinggalkan untuk pembaca sebagai latihan.

Teorema 2.12

Jika A mariks n x n yang invertibel, maka untuk setiap matriks b berordo nx1,

sistem persamaan Ax = b mempunyai tepat satu penyelesaian, yaitu .

Bukti ditinggalkan untuk pembaca sebagai latihan.
Catatan
Teorema ini hanya dapat digunakan jika sistem mempunyai banyaknya persamaan
sama dengan banyaknya variabel dan matriks koefisien invertibel.

Berikut ini disajikan contoh penggunaan invers matriks untuk
menyelesaikan sistem persamaan linear.
Contoh 2.5
Pandang SPL berikut
x1 + 2x2 + 3x3 = 5
2x1 + 5x2 + 3x3 = 3
x1 + 8x3 = 17
Dalam bentuk matriks SPL di atas dapat ditulis sebagai Ax = b, dengan

Telah ditunjukkan pada Contoh 2.4 bahwa A invertibel dan

Akibatnya,

atau x1 = 1, x2 = -1, x3 = 2.
Jadi, penyelesaian dari SPL tersebut adalah (1, -1, 2).

47

b. Determinan

Definisi 2.10
Permutasi himpunan bilangan-bilangan bulat {1, 2, 3,…, n} adalah susunan
bilangan-bilangan bulat ini menurut suatu aturan tanpa menghilangkan atau
mengulangi bilangan-bilangan tersebut.

Contoh 2.6
Permutasi dari {1, 2,3} adalah (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1).
Selanjutnya, sebuah inversi dikatakan terjadi pada suatu permutasi (j1, j2, …, jn)
jika sebuah bilangan bulat yang lebih besar mendahului bilangan bulat yang lebih
kecil.
Contoh 2.7
Perhatikan permutasi (1,5,4,3,2).
1. Bilangan bulat 1 tidak mendahului bilangan bulat manapun sehingga

banyaknya inversi adalah 0.
2. Bilangan bulat 5 mendahului 4, 3, 2 sehingga banyaknya inversi adalah 3.
3. Bilangan bulat 4 mendahului 3, 2 sehingga banyaknya inversi adalah 2.
4. Bilangan bulat 3 mendahului 2 sehingga banyaknya inversi adalah 1.

Jadi, banyaknya inversi pada permutasi (1,5,4,3,2) adalah 0 + 3 + 2 + 1 = 6

Permutasi dibedakan berdasarkan banyaknya inversi pada permutasi, seperti
dinyatakan dalam definisi berikut.
Definisi 2.11
Sebuah permutasi dikatakan permutasi genap jika banyaknya inversi seluruhnya
adalah bilangan bulat genap.
Sebuah permutasi dikatakan permutasi ganjil jika banyaknya inversi seluruhnya
adalah bilangan bulat ganjil.
Contoh 2.8
Permutasi (5,1,4,3,2) merupakan permutasi ganjil.
Permutasi (1,5,4,3,2) merupakan permutasi genap.

48

Definisi 2.12
Misalkan A = (aij)nxn.
Hasilkali elementer dari A adalah setiap hasilkali n komponen dari A, yang
berasal dari baris dan kolom yang berbeda.
Contoh 2.9
(1) Misalkan

Karena setiap faktor sebuah hasilkali elementer dari A berasal dari baris yang
berbeda maka sebuah hasilkali elementer dari A berbentuk a1_a2_.
Karena setiap faktor berasal dari kolom yang berbeda maka nomor kolom
haruslah 1, 2 atau 2, 1.
Jadi, hasilkali elementer dari A adalah a11 a22 dan a12 a21.

(2)

Sebuah hasilkali elementer dari B berbentuk b1_ b2_ b3_ dan nomor kolom
merupakan permutasi dari {1,2,3}.
Jadi, hasilkali elementer dari B adalah
b11 b22b33 , b11 b23 b32 , b12 b21 b33 , b12 b23 b31 , b13 b21, b13 b22 b31.

Definisi 2.13
Hasilkali elementer bertanda dari matriks A = (aij)nxn adalah hasilkali elementer

… dikalikan dengan 1 atau -1, dengan aturan dikalikan 1 jika
(j1, j2,…,jn) adalah permutasi genap dan dikalikan -1 jika (j1 , j2 , … ,jn) adalah
permutasi ganjil.

Contoh 2.10
Hasilkali elementer a11 a22 bertanda positif, karena (1, 2) permutasi genap.
Hasilkali elementer a12 a21 bertanda negatif, karena (2, 1) permutasi ganjil.
Hasilkali elementer b11 b23 b32 bertanda negatif, karena (1, 3, 2) permutasi ganjil.
Hasilkali elementer b13 b21 b32 bertanda positif, karena (3, 1, 2) permutasi genap.

49

Definisi 2.14
Misalkan A matriks persegi. Determinan A, ditulis det(A) atau |A| , dan
didefinisikan sebagai jumlah semua hasilkali elementer bertanda dari A.

Contoh 2.11
Jika , maka

det(A) = (1). a11 a22 + (-1). a12 a21 = a11 a22 - a12 a21.
Bentuk ini sama dengan determinan matriks berukuran 2x2, yakni jika

, maka det(A) = ad – bc.

Contoh 2.12 maka det(A) = 3 – (-14) = 17.
Jika

Contoh 2.13

Jika , maka diperoleh hasil kali elementer dari B

adalah b11 b22b33 , b12 b23 b31 , b13 b21 b32 , b11 b23 b32 , b12 b21 b33 , b13 b22 b31,
dengan rincian sebagai berikut:
(1) hasil kali elementer yang bertanda positif: b11 b22b33 , b12 b23 b31 , b13 b21 b32
(2) hasil kali elementer yang bertanda negatif: b11 b23 b32 , b12 b21 b33 , b13 b22 b31,
sehingga diperoleh:
det(B)=( b11 b22b33 + b12 b23 b31+b13 b21 b32)–(b11 b23 b32 +b12 b21 b33+ b13 b22 b31).

Sifat-sifat Determinan Matriks
Ada beberapa sifat yang terkait dengan determinan matriks, seperti yang

tercantum dalam teorema di bawah ini.
Teorema 2.13
Jika matriks berukuran nxn, maka berlaku sifat-sifat berikut.
(1) Jika A memuat baris nol maka det(A) = 0.

50

(2) Jika A matriks segitiga maka det(A) = .

(3) Jika B matriks yang diperoleh dari A dengan baris ke i dari B sama dengan k
kali baris ke i dari A atau kolom ke j dari B sama dengan k kali kolom ke j
dari A, maka det(B) = k.det(A).

(4) Jika B matriks yang diperoleh dari A dengan menukar dua baris atau dua
kolom dari A maka det(B) = -det(A).

(5) Jika B matriks yang diperoleh dari A dengan baris ke i dari B sama dengan
baris ke i dari A ditambah k kali baris ke j dari A atau kolom ke i dari B sama
dengan kolom ke i dari A ditambah k kali kolom ke j dari A, maka
det(B)= det(A).

(6) det(A) = det( ).

(7) Jika C suatu matriks nxn maka det(AC) = det(A) det(C).
Bukti teorema ini ditinggalkan untuk pembaca sebagai latihan.
Definisi 2.15

Misalkan matriks berukuran nxn.

Minor aij ,ditulis Mij, didefinisikan sebagai determinan sub matriks A setelah baris
ke-i dan kolom ke-j dihilangkan. Bilangan Cij=(-1)i+j Mij, disebut kofaktor aij.

Matriks disebut matriks kofaktor dari A.

Matriks disebut adjoin dari A, ditulis adj(A).

Contoh 2.14 berikut ini menentukan kofaktor dan adjoin matriks.
Contoh 2.14

Misalkan

Kofaktor A adalah = 12; C12 = (-1)1+2 = 6; C13= (-1)1+3 = -16
C11 = (-1)1+1

51

C21 = (-1)2+1 = -4; C22 = (-1)2+2 = 2; C23= (-1)2+3

C31 = (-1)3+1 = 12; C32 = (-1)3+2 = -10; C33= (-1)3+3 = 16
dan
Matriks kofaktor dari A adalah

adj(A) =

Sifat yang berkaitan dengan determinan dan invers matriks, antara lain
dinyatakan dalam teorema berikut.

Teorema 2.14

Misalkan matriks berukuran nxn, maka:

(1) Deteminan dari A atau det(A) sama dengan jumlah dari hasilkali komponen-
komponen pada satu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya, yaitu
det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin (ekspansi kofaktor sepanjang baris ke i)
atau
det(A)= a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj (ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke j).

(2) A invertibel jika dan hanya jika det(A) ≠ 0.

(3) Jika A invertibel maka det( ) = .

(4) Jika A invertibel maka = adj(A).

Bukti teorema ini ditinggalkan untuk pembaca sebagai latihan.
Berikut ini contoh mencari invers matriks menggunakan ekspansi kofaktor.
Contoh 2.15

Tentukan invers matriks .

Penyelesaian.
Dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ketiga diperoleh

52

det (A) = 2 - (-4) = 24 + 40 = 64.

.

Aturan Cramer
Jika Ax = b sistem persamaan linear dengan n persamaan dan n variabel dengan
det(A) 0, maka mempunyai penyelesaian tunggal, yaitu

dengan adalah matriks A yang komponen kolom ke-j diganti dengan komponen

pada matriks .

2. Vektor pada Bidang dan Ruang
Sebelum mempelajari vektor pada modul ini, Saudara mahasiswa PPG dapat
mempelajari terlebih dahulu pada link berikut ini.

http://sumberbelajar.seamolec.org/Media/Dokumen/59c1c6b6865eacac04e3cd2
a/47a3a7be430148d0871dcb0aeaca1c49.pdf

Selamat Belajar. Tetap semangat!

Vektor-vektor pada bidang ( ) dan ruang ( ) dapat dinyatakan secara
geometris sebagai ruas-ruas garis berarah. Arah panah menentukan arah vektor
dan panjang panah menyatakan besarnya. Pangkal panah disebut titik pangkal
vektor dan titik ujung panah disebut titik ujung vektor. Vektor dinyatakan dengan
huruf kecil tebal, misalnya u, v, w. Semua skalar disini merupakan bilangan real.
Jika titik pangkal vektor v adalah A dan titik ujungnya adalah B maka ditulis

v= .

53

Vektor-vektor yang panjang dan arahnya sama disebut ekivalen.
Jika v dan w ekivalen, ditulis v = w.
Vektor yang panjangnya nol disebut vektor nol, dinotasikan 0. Vektor nol
mempunyai arah ke segala arah.

Definisi 2.16
Jika v dan w dua vektor tak-nol maka jumlah v + w adalah vektor yang ditentukan
sebagai berikut. Letakkan vektor w sedemikian sehingga titik pangkalnya
berimpit dengan titik ujung v. Vektor v + w disajikan dengan panah dari titik
pangkal v ke titik ujung dari w. Gambar 2.1 dan 2.1 mengilustrasikan
definisi ini.

Gambar 2.1 Gambar 2.1 Penjumlahan vektor
menunjukkan bahwa v + w = w + v sehingga tampak bahwa

penjumlahan dua vektor bersifat komutatif.

Didefinisikan 0 + v = v + 0 = v untuk sebarang vektor v.

Jika v sebarang vektor tak-nol maka vektor w yang memenuhi v + w = 0 adalah
vektor yang panjangnya sama dengan panjang vektor v tetapi arahnya berlawanan,
dinotasikan dengan w = - v (Gambar 2.2 )
Didefinisikan - 0 = 0.

Definisi 2.17
Jika v dan w sebarang dua vektor maka pengurangan w dari v didefinisikan oleh
v – w = v + (-w).

54

Secara geometris, pengurangan vektor w dari v dapat diperoleh seperti pada
Gambar 2.2 dan 2.2 .

Gambar 2.2 Pengurangan vektor
Definisi 2.18
Jika v vektor tak-nol dan k skalar tak-nol maka hasilkali skalar kv didefinisikan
sebagai vektor yang panjangnya kali panjang vektor v dan arahnya sama
dengan arah v jika k 0 dan berlawanan arah dengan vektor v jika k 0.
Didefinisikan kv = 0 jika k = 0 atau v = 0.
Contoh hasilkali skalar disajikan pada Gambar 2.3 berikut ini.

Gambar 2.3 Hasilkali skalar
Vektor pada sistem koordinat kartesius

Masalah vektor sering disederhanakan dengan menggunakan sistem
koordinat kartesius. Misalkan v sebarang vektor pada bidang dan v diposisikan
sedemikian sehingga titik pangkalnya berimpit dengan titik asal sistem koordinat
kartesius. Koordinat (v1, v2) dari titik ujung vektor v disebut komponen dari v,
ditulis v = (v1, v2).
Dua vektor (v1, v2) dan (w1, w2) ekivalen jika dan hanya jika v1 = w1 dan v2 = w2.
Jika v = (v1, v2) dan w = (w1, w2) maka v + w = (v1 + w1 , v2 + w2).

55

Jika v = (v1, v2) dan k sebarang skalar maka kv = (kv1, kv2).
Setiap titik P pada ruang dinyatakan dengan urutan tiga bilangan

(x, y, z) yang disebut koordinat P.
Jika vektor v di ruang diposisikan sedemikian sehingga titik pangkalnya

berimpit dengan titik asal sistem koordinat kartesius maka koordinat-koordinat
titik ujungnya disebut komponen-komponen dari v dan ditulis v = (v1,v2, v3).
Jika v = (v1, v2, v3) dan w = (w1, w2, w3) dua vektor di ruang maka

(1) v dan w ekivalen jika dan hanya jika v1 = w1, v2 = w2, v3 = w3

(2) v + w = (v1 + w1 , v2 + w2).

(3) kv = (kv1, kv2, kv3) dengan k sebarang skalar.

Jika P1 = (x1, y1, z1) dan P2 = (x2, y2, z2) maka

= - = (x2, y2, z2) - (x1, y1, z1 ) = (x2- x1, y2 – y1, z2- z1).

Jadi, = (x2- x1, y2 – y1, z2- z1).

Norm Vektor atau , k dan l skalar maka
Teorema 2.15
Jika u, v dan w vektor-vektor di

(1) u + v = v + u
(2) (u + v)+ w = u +(v+ w)
(3) u + 0 = 0 + u
(4) u + (-u) = 0
(5) k(l u) = (kl) u
(6) k(u +v) = k u + lv
(7) (k +l) u = k u + l v
(8) 1 u = u
Bukti
(6) Misalkan v = (v1, v2, v3) , w = (w1, w2, w3) dan k di .

k (u + v) = k {(v1, v2, v3) + (w1, w2, w3)}
= k (v1+ w1, v2 + w2, v3 + w3)
= (k(v1+ w1), k(v2 + w2), k(v3 + w3))

56

= (kv1+ kw1), (kv2 +kw2), (kv3 + kw3)) .
= (kv1, kv2, kv3) + (kw1, kw2, kw3)
= k(v1, v2, v3) + k(w1, w2, w3)
= ku + kv
Bukti bagian lain sebagai latihan.
Panjang vektor v disebut norm v dan dinyatakan dengan

Berdasarkan Teorema Pythagoras diperoleh bahwa

norm v = di adalah = dan

norm w = di adalah = .
maka jarak antara P1 dan
Jika P1 = (x1, y1, z1) dan P2 = (x2, y2, z2) dua titik di

P2 adalah norm vektor .
Norm = - = (x2, y2, z2) - (x1, y1, z1 ) = (x2- x1, y2 – y1, z2- z1).

Jadi, jarak antara P1 dan P2 adalah =

Dari definisi hasilkali ku, panjang vektor ku adalah kali panjang u.

Jadi, = .

Hasilkali Titik (Dot Product)
Misalkan u dan v dua vektor tak-nol di atau dan asumsikan vektor-vektor

ini diposisikan sedemikian sehingga titik pangkalnya berimpit.
Sudut antara u dan v didefinisikan sebagai sudut yang ditentukan oleh u dan v

yang memenuhi 0 .

Definisi 2.19 atau dan adalah sudut antara u dan v
Jika u dan v dua vektor tak-nol di

maka hasil kali titik u.v didefinisikan oleh

u.v =

57

Misalkan u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3).

Dengan aturan cosinus diperoleh 2= 2+ 2–2 cos

2 cos = 2 + 2 -

2 u.v = (u12+ u22+ u32) + (v12+v22 +v32) – {(v12+u12 - 2u1v1) + (v22+u22 - 2u2v2) +
(v32+u32 -2u3v3)
Jadi, u.v = u1v1 + u2v2 + u3v3

Teorema 2.16
Misalkan u dan v dua vektor di atau .

(1) v.v = 2 sehingga =

(2) Jika u dan v dua vektor tak-nol sudut antara u dan v maka

lancip jika dan hanya jika u.v 0

tumpul jika dan hanya jika u.v 0

siku-siku jika dan hanya jika u.v = 0.

Bukti cos0 = 2.
(1) Karena sudut antara u dan v adalah 0 maka v.v =

(2) Jelas 0 , 0 , dan u.v = cos .

Jadi u.v dan cos bertanda sama.

Karena memenuhi 0 maka lancip jika dan hanya jika cos 0

tumpul jika dan hanya jika cos 0

siku-siku jika dan hanya jika cos = 0.

Teorema 2.17
Jika u ,v dan w vektor-vektor di atau dan k skalar maka

(1) u.v = v.u
(2) u.(v + w) = (u.v) + (u.w)
(3) k (u.v) = (ku). v = u.(kv)
(4) v.v 0 jika v 0

58

v.v = 0 jika v = 0
Bukti sebagai latihan.

Definisi 2.20
Dua vektor u dan v disebut ortogonal, ditulis u v , jika u.v = 0.

Misalkan u dan v vektor tak-nol di atau .

Terdapat vektor-vektor w1, w2 dengan w1 adalah kelipatan vektor v dan w2 v

sedemikian sehingga u = w1 + w2.
Vektor w1 disebut proyeksi ortogonal u pada v dan vektor w2 disebut komponen
vektor u ortogonal pada v.

Dapat ditunjukkan proyeksi ortogonal u pada v adalah dan

komponen vektor u ortogonal pada v adalah

Contoh 2.16
Misalkan u = (2, -1, 3) dan a = (4, -1, 2).
Tentukan proyeksi ortogonal u pada a dan vektor komponen u yang ortogonal
pada a.
Penyelesaian
u . a = (2)(4) + (-1)(-1) + (3)(2) = 8 + 1 + 6 = 15

2 = (4)2 + (-1)2 + (2)2 = 16 + 1 + 4 = 21.

Jadi, proyeksi ortogonal u pada a adalah a = (4, -1, 2) = .

dan komponen vektor u ortogonal pada a adalah

u - a = (2, -1, 3) - =.

59

Hasilkali Silang (Cross Product)
Definisi 2.21
Jika u = (u1, u2 , u3 ) dan v = (v1, v2 , v3) vektor-vektor di maka hasilkali silang

u x v adalah vektor yang didefinisikan oleh
u x v = (u2 v3 – u3 v2 , u3 v1 – u1 v3 , u1 v2 – u2 v1 )

atau dengan notasi determinan

uxv=

Contoh 2.17
Tentukan u x v jika u = (2,-1,3) dan v = (-4,2,0)
Penyelesaian

uxv= = =

(-6, -12, 0).

Perbedaan penting antara hasilkali titik dan hasilkali silang adalah hasilkali
titik merupakan skalar, tetapi hasil kali silang merupakan vektor.
Teorema berikut ini menyatakan hubungan penting antara hasilkali titik dan
hasilkali silang dan menunjukkan bahwa u x v ortogonal pada u dan v.
Teorema 2.18
Jika u, v dan w vektor-vektor di , maka

(1) u.(u x v) = 0 2 2 - (v .w)2 (u x v ortogonal pada u)
(2) v.(u x v) = 0 (u x v ortogonal pada v)
(3) 2 = (Identitas Lagrange)

(4) u x(v x w) = (u. w)v - (u .v)w (hubungan hasilkali titik dan hasilkali
silang)

(5) (u x v ) x w = (u. w)v - (v .w)u (hubungan hasilkali silang dan hasilkali
titik)

60

Bukti 2 – (v . w)2 = (v12+v22 +v32) (w12+w22 +w32) – (v1w1 + v2w2 + v3w3)2
(3) 2

= v12 w12+ v12 w22+ v12 w32 + v22 w12+ v22 w22+ v22 w32 + v32 w12+ v32
w22+ v32 w32-( v12 w12 + 2 v1w1 v2w2 + v22 w22 + 2 v1w1 v3w3 + v32 w32

+ 2 v2w2 v3w3)
= (v12 w22 - 2 v1w1 v2w2 + v22 w12) + (v12 w32 - 2 v1w1 v3w3 + v32 w12) +

(v22 w32 - 2 v2w2 v3w3 + v32 w22)
= (v2 w3 – v3w2 )2 + (v3 w1 – v1 w3 )2 + (v1 w2 – v2 w1)2)
=2

Bukti bagian lain sebagai latihan.

Teorema 2.19
Jika u ,v dan w vektor-vektor di dan k sebarang skalar, maka

(1) u x v = v x u
(2) u x (v + w) = (u x v) + (u x w)
(3) (v + w) x u = (v x u) + (w x u)
(4) k (u x v) = (ku) x v = u x (kv)
(5) v x 0 = 0 x v = 0
(6) v x v = 0
Bukti sebagai latihan.
Pandang vektor-vektor i = (1,0,0), j = (0,1,0) dan k = (0,0,1).
Vektor-vektor ini panjangnya 1 dan terletak pada sumbu koordinat. Vektor-
vektor ini disebut vektor satuan baku di . Untuk setiap vektor di dapat

dinyatakan sebagai i, j, k seperti berikut ini.
v = (v1, v2, v3) = v1(1,0,0) + v2(0,1,0) + v3(0,0,1) = v1i + v2j + v3k

Berdasarkan definisi hasilkali silang diperoleh
ixi=jxj=kxk=0
i x j = k, j x k = i, k x i = j

61

Hasilkali silang dapat direpresentasikan dalam bentuk i, j dan k sebagai berikut.

Identitas Lagrange menyatakan bahwa 2= 2 2 - (v .w)2.
cos .
Jika menyatakan sudut antara v dan w, maka v .w =

Jadi, 2 = 2 2 - 2 2 cos2

= 2 2 (1 - cos2 )

= 2 2 sin2

Akibatnya, = sin .

Teorema 2.20 maka sama dengan luas jajar genjang
Jika v dan w vektor-vektor di
yang ditentukan oleh v dan w.
Bukti sebagai latihan.

Teorema berikut ini memberikan interpretasi geometri dari determinan 2x2 dan
3x3.
Teorema 2.21

(1) Nilai mutlak det sama dengan luas jajar genjang di yang

ditentukan oleh vektor u = (u1, u2) dan v = (v1, v2).

(2) Nilai mutlak det sama dengan volume paralel epipedum

yang ditentukan oleh vektor-vektor u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3).
Bukti sebagai latihan.

62

3. Matriks Transformasi
Mahasiswa PPG yang bersemangat, sebelum mempelajari transformasi pada
atau dalam modul ini, Saudara dapat membaca link berikut ini.

https://sumberbelajar.belajar.kemdikbud.go.id/sumberbelajar/tampil/Transform
asi-Geometri-2015/konten5.html

Jika transformasi yang didefinisikan oleh

maka komponen matriks dan dipandang sebagai koordinat-

koordinat titik. Transformasi memetakan titik ke titik (Gambar 2.4 )

Gambar 2.4 memetakan titik ke titik
Pada bagian ini transformasi pada atau dipandang sebagai pemetaan titik
ke titik. Disajikan refleksi, rotasi, translasi dan dilatasi pada dan .

Refleksi
Secara umum, transformasi pada atau yang memetakan titik ke

bayangan simetrisnya terhadap garis atau bidang disebut transformasi refleksi.

Misalkan transformasi yang memetakan setiap titik ke bayangan

simetrisnya terhadap sumbu- (Gambar 2.5)

63

Gambar 2.5 Refleksi terhadap sumbu-
Jika maka persamaan yang menghubungkan komponen-komponen
titik dan adalah

Persamaan ini dalam bentuk matriks adalah

Jadi, matriks transformasi refleksi terhadap sumbu- adalah

Dengan cara serupa di atas diperoleh matriks transformasi refleksi umum yang
disajikan berikut ini.

Matriks transformasi refleksi terhadap sumbu- adalah .

Matriks transformasi refleksi terhadap garis adalah .

Matriks transformasi refleksi terhadap garis adalah

Matriks transformasi refleksi terhadap bidang- adalah .

Matriks transformasi refleksi terhadap bidang- adalah

64

Matriks transformasi refleksi terhadap bidang- adalah

Rotasi sebesar sudut tetap
Transformasi yang merotasikan setiap vektor di

disebut transformasi rotasi pada .

Misalkan tranformasi rotasi merotasikan setiap vektor berlawanan arah jarum jam
sebesar sudut positif . Untuk mendapatkan persamaan yang menghubungkan

titik A= dan = , dimisalkan sudut dari sumbu- positif ke

OA dan misalkan r panjang dari OA dan (Gambar 2.6)

Gambar 2.6 Rotasi dengan pusat O sebesar sudut
Jadi,

,
dan

,
Dengan menggunakan identitas trigonometri diperoleh

65

Akibatnya,

Persamaan ini dapat ditulis sebagai

.

Jadi, matriks transformasi rotasi sebesar sudut adalah

Contoh 2.18 dirotasikan sebesar sudut maka bayangan dari titik
Jika setiap titik di

adalah =.

Rotasi pada adalah transformasi yang merotasikan setiap titik di

mengelilingi suatu sumbu sebesar sudut tetap .

Untuk setiap rotasi salah satu dari komponen tidak berubah oleh rotasi dan
hubungan komponen-komponennya diperoleh dengan cara yang serupa di atas.
Berikut ini beberapa matriks transformasi rotasi pada .

Matriks rotasi berlawanan arah jarum jam mengelilingi sumbu- positif sebesar

sudut adalah .

Matriks rotasi berlawanan arah jarum jam mengelilingi sumbu- positif sebesar

sudut adalah .

66

Matriks rotasi berlawanan arah jarum jam mengelilingi sumbu- positif sebesar

sudut adalah .

Translasi menurut
Transformasi yang memindahkan (menggeser) setiap titik di dan

besar dan arah yang tetap disebut translasi.
Untuk mendapatkan persamaan yang menghubungkan titik

, dimisalkan besar dan arah yang tetap ditentukan oleh vektor
(Gambar 2.7).
Jika maka persamaan yang menghubungkan komponen-komponen

titik dan adalah

Gambar 2.7 Translasi menurut vektor
Jadi,

67

Bentuk ini dapat ditulis sebagai

Jadi, matriks transformasi translasi menurut vektor adalah

Dilatasi
Jika koordinat dari setiap titik pada bidang dikalikan konstanta positif , maka
efeknya adalah memperkecil atau memperbesar setiap gambar bidang pada arah-
Transformasi ini disebut peregangan pada arah- dengan faktor (Gambar 2.8

). Pada transformasi ini koordinat y tidak berubah sehingga hubungan
koordinat-koordinat titik dan bayangannya adalah

Jadi, matriks transformasi peregangan pada arah- dengan faktor adalah

Dengan cara serupa, jika koordinat- dari setiap titik adalah kelipatan konstanta
positif diperoleh peregangan pada arah-y dengan faktor (Gambar 2.8 )

Matriks transformasi peregangan pada arah- dengan faktor adalah .

Persegi satuan Peregangan arah-x, Peregangan arah y,

Gambar 2.8 Peregangan

68

Contoh 2.19
Misalkan pada bidang- dikenai peregangan dengan faktor pada arah-
kemudian dilanjutkan dengan peregangan dengan faktor pada arah- .
Tentukan matriks transformasi tunggal yang menyajikan kedua operasi tersebut.
Penyelesaian
Matriks transformasi untuk peregangan dengan faktor pada arah- adalah

dan matriks transformasi untuk peregangan dengan faktor pada arah-
adalah

Jadi, matriks transformasi untuk komposisi peregangan dengan faktor pada
arah- dan peregangan dengan faktor pada arah- adalah

Hal ini menunjukkan bahwa perkalian dengan matriks diagonal 2x2 menghasilkan
peregangan bidang pada arah- dan juga pada arah- .

Dalam hal maka matriks di atas menjadi yang

merupakan dilatasi. .
Jadi, matriks transformasi dilatasi dengan faktor k adalah

Dengan cara serupa diperoleh, matriks transformasi dilatasi dengan faktor k di

adalah .

69

E. Forum Diskusi
Untuk memperkuat pemahaman Saudara silahkan diskusikan soal berikut.

1. Tentukan persamaan titik-titik bayangan dari
oleh translasi yang ditentukan oleh .

2. a. Transformasi apakah yang dihasilkan oleh dua refleksi yang kedua
cerminnya sejajar? Tentukan matrks transformasinya.

b. Transformasi apakah yang dihasilkan oleh dua refleksi yang kedua
cerminnya berpotongan? Tentukan matriks transformasinya.

F. Rangkuman
Selamat! Saudara telah berhasil menyelesaikan kegiatan belajar tentang
matriks dan vektor pada bidang dan ruang. Hal-hal penting yang telah
Saudara pelajari dalam kegiatan belajar ini dapat dibaca pada rangkuman
berikut ini.

1. Matriks adalah susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan. Bilangan-

bilangan pada susunan tersebut disebut entri atau komponen atau elemen dari

matriks.

2. Dua matriks dikatakan sama jika kedua matriks tersebut berukuran sama dan

komponen yang bersesuaian sama.

Dengan notasi matriks, jika dan berukuran sama maka

.

3. Jika dan berukuran sama, maka ,

i dan j.

4. Jika maka ( = i dan j.

5. Jika adalah matriks p x q dan ) matriks q x n maka

hasilkali AB merupakan matriks berukuran p x r yang komponennya

70

6. Jika A matriks persegi dan terdapat matriks B sedemikian sehingga AB = BA
= I, maka A is dikatakan invertibel dan B dikatakan invers A. Jika A
invertibel maka invers dari matriks A disimbolkan dengan

7. Matriks invertibel jika ad – bc 0 dan .

8. Jika A dan B mariks invertibel berukuran sama, maka
(1) AB invertibel
(2)

9. Jika A matriks invertibel, maka: untuk n = 0, 1, 2, …
(1) invertibel dan
(2) invertibel dan

(3) Untuk sebarang skalar tak-nol k, matriks kA invertibel dan

.

10. Jika A matriks p x q, maka transpos A, ditulis , didefinisikan sebagai

matriks q x p yang diperoleh dari menukar baris dan kolom A, yaitu kolom
pertama dari merupakan baris pertama matriks A, kolom kedua dari

merupakan baris kedua dari A, dan seterusnya.
11. Suatu matriks n x n disebut matriks elementer jika dapat diperoleh dari

matriks identitas I berukuran nxn dengan melakukan satu operasi baris
elementer.
12. Jika matriks A dikalikan dari kiri dengan matriks elementer E, maka hasilnya
EA adalah matriks A yang dikenai operasi baris elementer yang sama dengan
operasi baris elementer yang dikenakan pada I untuk mendapatkan E.
13. Jika A mariks n x n yang invertibel, maka untuk setiap matriks b berordo nx1,
sistem persamaan Ax = b mempunyai tepat satu penyelesaian, yaitu

.

14. Misalkan A matriks persegi. Determinan A, ditulis det(A) atau |A| , dan
didefinisikan sebagai jumlah semua hasilkali elementer bertanda dari A.

15. Sifat-sifat determinan
(1) Jika A memuat baris nol maka det(A) = 0.

71

(2) Jika A matriks segitiga maka .

(3)Jika B matriks yang diperoleh dari A dengan baris ke i dari B sama dengan
k kali baris ke i dari A atau kolom ke j dari B sama dengan k kali kolom ke j
dari A, maka det(B) = k.det(A).
(4)Jika B matriks yang diperoleh dari A dengan menukar dua baris atau dua
kolom dari A maka det(B) = -det(A).
(5)Jika B matriks yang diperoleh dari A dengan baris ke i dari B sama dengan
baris ke i dari A ditambah k kali baris ke j dari A atau kolom ke i dari B sama
dengan kolom ke i dari A ditambah k kali kolom ke j dari A, maka det(B)=
det(A).
(6)det( ) = det( ).

(7)Jika C suatu matriks nxn maka det(AC) = det(A) det(C).

16. Misalkan matriks berukuran nxn.

Minor ,ditulis , didefinisikan sebagai determinan sub matriks A setelah

baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan. Bilangan , disebut

kofaktor .

Matriks disebut matriks kofaktor dari A.

Matriks disebut adjoin dari A, ditulis adj(A).

17. Misalkan matriks berukuran nxn, maka:

(1) Determinan dari A atau det(A) sama dengan jumlah dari hasilkali

komponen-komponen pada satu baris (atau kolom) dengan kofaktor-

kofaktornya, yaitu

det(A) = (ekspansi kofaktor sepanjang baris

ke i) (ekspansi kofaktor sepanjang
atau
det(A) =

kolom ke j).
(2) A invertibel jika dan hanya jika det(A) ≠ 0.

72

(3) Jika A invertibel maka det( ) = .

(4) Jika A invertibel maka adj(A).

18. Aturan Cramer
Jika Ax = b sistem persamaan linear dengan n persamaan dan n variabel
dengan det(A) 0, maka mempunyai penyelesaian tunggal, yaitu

dengan adalah matriks A yang komponen kolom ke-j diganti dengan

komponen pada matriks b = .

19. Norm v = di adalah = dan

Norm w = di adalah = .

20. Jika u dan v dua vektor tak-nol di atau dan adalah sudut antara u dan

v maka hasil kali titik u.v didefinisikan oleh

u.v =

21. Jika dan vektor-vektor di maka hasilkali

silang u x v adalah vektor yang didefinisikan oleh

atau dengan notasi determinan
uxv=

22. Nilai mutlak det sama dengan luas jajar genjang di yang
ditentukan oleh vektor dan .

Nilai mutlak det sama dengan volum paralelepipedum

yang ditentukan oleh vektor-vektor dan .

73

23. Matriks transformasi refleksi terhadap sumbu- adalah .
.
Matriks transformasi refleksi terhadap garis adalah
.
Matriks transformasi refleksi terhadap bidang- adalah

Matriks transformasi refleksi terhadap bidang- adalah

Matriks transformasi refleksi terhadap bidang- adalah

24. Matriks rotasi berlawanan arah jarum jam mengelilingi sumbu- positif

sebesar sudut adalah .

Matriks rotasi berlawanan arah jarum jam mengelilingi sumbu- positif

sebesar sudut adalah .

Matriks rotasi berlawanan arah jarum jam mengelilingi sumbu- positif

sebesar sudut adalah .

25. Matriks transformasi translasi menurut vektor adalah

26. Matrik transformasi peregangan pada arah- dengan faktor adalah .
Matriks transformasi peregangan pada arah- dengan faktor adalah .

Matriks transformasi dilatasi dengan faktor k adalah .

Matriks transformasi dilatasi dengan faktor k di adalah .

74

G. Tes Formatif
Untuk mengukur penguasaan Saudara silakan kerjakan tes formatif berikut ini.

1. Diketahui matriks A= dan det(A) = 2.

Jika B = , maka det(B) = ... .

A. 2
B.
C.
D.
E. 0

2. Matriks memenuhi dengan dan 0.

berturut-turut matriks identitas dan matriks nol yang bersesuaian.
Nilai b – a adalah... .
A. -1
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4

3. Matriks disebut simetrik jika .

Berikut ini yang merupakan matriks simetrik adalah ...
A.

B.

C.

D.

E.

75

4. Misalkan A dan B matriks invertibel
Matriks berikut invertibel kecuali ...
A. AB
B.
C. A + B
D.
E.

5. Jika vektor tak-nol dan memenuhi maka sudut
antara dan adalah ...
A.
B.
C.
D.
E.

6. Jika u = (8, 10, 6) dan v = (4, 0, 3) maka pernyataan berikut yang salah
adalah....
A. Proyeksi u pada v adalah vektor (8, 0, 6).
B. Luas daerah jajar genjang yang ditentukan oleh u dan v adalah 50 satuan
luas
C. Vektor u x v tegak lurus vektor u dan v.
D. Komponen vektor u yang ortogonal pada v adalah (0, 10, 0)
E. Sudut antara u dan v adalah .

7. Luas daerah segitiga ABC jika A = (2, 2, 0), B = (-1, 0, 2) dan C = (0, 4, 3)
adalah..
A. 15
B. 15,5
C. 44

76

D.
E. 79

8. Matriks transformasi pada untuk refleksi terhadap garis y = 2 dan
dilanjutkan rotasi dengan pusat O sebesar adalah ...

A.

B.

C.
D.
E. .

9. Bayangan titik jika direfleksikan terhadap dan dilanjutkan

dengan refleksi terhadap garis adalah ...

A.

B.

C.

D.

E.

77

10. Bayangan garis yang ditranslasi menurut vektor

dilanjutkan dengan dilatasi dengan faktor k = 3 adalah ...
A. y = x + 3
B. y = x + 9
C. y = x – 9
D. y = x - 3
E. y = -x + 3

H. Daftar Pustaka
[1] Anton, H. dan Rorres, C. 2014. Elementary Linear Algebra 11th Edition.

Canada: John Wiley & Sons, Inc.
[2] Jacob, B. 1994. Linear Algebra. New York: W.H. Freeman and Company.

I. Kriteria Penilaian Tes Formatif
Cocokkanlah jawaban Saudara dengan Kunci Jawaban Tes Formatif yang terdapat
di bagian akhir kegiatan belajar ini. Hitunglah jawaban yang benar. Gunakan
rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Saudara terhadap materi
pada kegiatan belajar ini.

Tingkat Penguasaan (TP) = .

Arti tingkat penguasaan:

: sangat baik

: baik

: cukup

: kurang

Apabila tingkat penguasaan Saudara 80% atau lebih, Saudara dapat melanjutkan
ke kegiatan belajar berikutnya. Bagus!Saudara telah berhasil mempelajari materi
pada kegiatan belajar ini.
Apabila tingkat penguasaan saudara kurang dari 80%, Saudara harus mempelajari
kembali materi pada kegiatan belajar ini.

78

No Kode: DAR 2/Profesional/180/2/2019
PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
MODUL 2 ALJABAR DAN PROGRAM LINEAR

KB 3. Program Linear

Penulis:
Dra. Kristina Wijayanti, M.S.

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan
2019

79

A. Pendahuluan
Salam bahagia para mahasiswa PPG yang penuh semangat.

Selamat mengikuti kegiatan belajar yang ke-3 ini tentang program linear.

Masalah Program linear adalah masalah optimasi (maksimum atau
minimum). Penerapan program linear diantaranya menentukan kombinasi
makanan termurah untuk memenuhi kebutuhan nutrisi seseorang dalam rangka
diet, perusahaan menggunakan optimasi dan programa linear untuk memutuskan
upaya apa yang perlu dilakukan agar dapat mengalokasikan aset-aset atau
meninimalkan resiko investiasi, perusahaan ingin mendapatkan keuntungan
sebesar-besarnya, perusahaan ingin meminimalkan biaya produksi. Pada dunia
dirgantara, perusahaan penerbangan harus mengefisienkan biaya kargo dan bahan
bakar, mengatur penjadwalan kru pesawat yang dengan mudah dapat
diselesaaikan dengan teknik pada program linear. Modul ini menyajikan model
matematika, metode grafik, metode simpleks dan dualitas dari masalah program
linear.

Proses pembelajaran untuk materi yang sedang saudara ikuti sekarang ini
dapat berjalan dengan lebih lancar bila saudara mengikuti langkah-langkah
belajar sebagai berikut.
1) Ingat kembali materi prasyarat yaitu pertidaksamaan linear dan sistem

pertidaksamaan linear dalam mempelajari materi pada kegiatan belajar ini.
2) Pelajari materi pada setiap kegiatan belajar, selesaikan latihan pada forum

diskusi dan selesaikan tes formatif secara mandiri.
3) Cocokkan jawaban tes formatif saudara dengan kunci jawaban yang

diberikan.
4) Apabila tingkat penguasaan saudara 80% atau lebih, saudara dapat

melanjutkan ke kegiatan belajar berikutnya. Apabila tingkat pengusaan
saudara kurang dari 80%, saudara harus mempelajari kembali materi pada
kegiatan belajar ini.

80

5) Keberhasilan pembelajaran saudaradalam mempelajari materi pada kegiatan
belajarini, sangat tergantung kepada kesungguhan saudara dalam belajar dan
mengerjakan tugas dan latihan. Untuk itu, berlatihlah secara mandiri atau
berkelompok dengan teman sejawat.

Selanjutnya kami ucapkan selamat belajar, semoga saudara sukses dan mampu
mengimplementasikan pengetahuan yang diberikan dalam kegiatan belajar ini.

B. Capaian Pembelajaran Mata Kegiatan
Setelah mempelajari materi ini diharapkan mahasiswa mampu memahami,

mengidentifikasi, menganalisis, merekonstruksi, memodifikasi secara terstruktur
materi matematika sekolah dan advance material secara bermakna dalam
penyelesaian permasalahan dari suatu sistem (pemodelan matematika) dan
penyelesaian masalah praktis kehidupan sehari-hari melalui kerja problem
solving, koneksi dan komunikasi matematika, critical thinking, kreatifitas berpikir
matematis yang selaras dengan tuntutan masa depan, yang meliputi mahasiswa
dapat:
1. Membuat model matematika dari suatu masalah kontekstual program linear,
2. menyelesaikan masalah program linear degan metode grafik,
3. menyelesaikan masalah program linear dengan metode simpleks,
4. menyelesaikan masalah dualitas.

Mahasiswa dapat mempelajari materi Modul 2 KB 3 berikut yang dapat
diunduh pada PPT-M2-KB3

C. Pokok-Pokok Materi
Pokok-Pokok Materi kegiatan belajar ini adalah sebagai berikut.
1. Program Linear
2. Metode Grafik
3. Metode Simpleks
4. Dualitas.

81

D. Uraian Materi
Mahasiswa sekalian, sebelum kita belajar tentang nilai optimum (baik itu

minimum maupun maksimum) alangkah baiknya kita pahami dulu konsep dasar
program linear berikut ini.
1. Program Linear

Program linear merupakan bagian dari Operation Research yang mempelajari
masalah optimum. Prinsip pada program linear diterapkan dalam masalah nyata
diantaranya dalam bidang ekonomi, kesehatan, pendidikan, perdagangan,
transportasi, industri, sosial, dan lain-lain. Menurut Winston (1993), masalah
program linear adalah masalah optimasi dalam hal sebagai berikut:
a. Usaha untuk memaksimalkan (atau meminimalkan) fungsi linear dari

sejumlah variabel keputusan. Fungsi yang dimaksimalkan atau diminimalkan
disebut fungsi tujuan/fungsi objektif.
b. Nilai variabel keputusan harus memenuhi sejumlah pembatas/kendala. Setiap
pembatas/kendala harus dalam bentuk persamaan linear atau pertidaksamaan
linear.
c. Nilai pada setiap variabel dibatasi. Untuk setiap variabel , tanda batasnya

nonnegatif atau boleh tidak dibatasi tandanya.

Selain itu, menurut Barnett (1993), masalah program linear adalah masalah

yang berkaitan dengan upaya menemukan nilai optimal (nilai maksimum atau

minimum) dari fungsi tujuan (yang merupakan fungsi linear dalam bentuk

, dengan variabel keputusan tergantung

pada kendala/pembatas masalahyang dinyatakan dalam bentuk persamaan atau

pertidaksamaan linear. Kendala/pembatas masalah disebut sebagai fungsi

kendala/pembatas (constraints function), Variabel keputusan pada masalah

program linear harus bernilai nonnegatif, . Himpunan titik-

titik yang memenuhi fungsi kendala dan persyaratan variabel keputusan

(nonnegatif) disebut sebagai daerah penyelesaian fisibel (feasible region).

Sebarang titik pada daerah penyelesaian fisibel yang menghasilkan nilai optimum

(maksimum atau minimum) fungsi tujuan disebut sebagai penyelesaian optimum.

82

Penerapan masalah program linear dalam berbagai bidang kehidupan dapat

diselesaikan dengan mengubahnya menjadi bentuk model matematika. Perhatikan

Contoh 3.1 berikut ini.

Contoh 3.1.

Rafa sangat senang makan steak dan keripik kentang. Mulai saat ini Rafa

mengurangi konsumsi makannya terutama steak dan keripik kentang. Rafa

menyadari bahwa ia melakukan diet yang tidak sehat. Oleh karena itu, Rafa

mengunjungi ahli gizi untuk meyakinkan dirinya bahwa makanan yang ia makan

(steak dan keripik kentang) memenuhi persyaratan gizi. Informasi kebutuhan gizi

yang terkandung dalam steak dan keripik kentang (per gram) penyajiannya beserta

harganya disajikan dalam Tabel 3.1 berikut ini.

Tabel 3.1 Informasi kebutuhan gizi pada steak dan keripik kentang (per gram)

Kandungan kandungan per Persyaratan
penyajian (gram) kebutuhan harian
Karbohidrat Steak Keripik
Protein
Lemak kentang
Harga per 5 15
penyajian
10 5

15 2

$4 $2

Rafa ingin menentukan banyaknya kebutuhan harian steak dan keripik
kentang yang dapat dimakannya (boleh dalam bentuk pecahan) sehingga
pengeluarannya minimum.

Untuk dapat memperoleh banyaknya steak dan keripik kentang (dalam gram)
yang boleh dimakan Rafa maka masalah di atas haruslah diubah ke dalam bentuk
model matematika. Model matematika memuat fungsi tujuan dan fungsi kendala.
Menurut Suyitno (2014), langkah-langkah untuk membuat model matematika
adalah sebagai berikut:
a. Menentukan tipe masalah (maksimum atau minimum).
b. Mendefinisikan variabel keputusan.
c. Merumuskan fungsi tujuan.

83

d. Merumuskan fungsi kendala.
e. Menentukan persyaratan nonnegatif.

Langkah-langkah tersebut diterapkan pada contoh di atas, diperoleh:
a. Tipe masalah adalah minimum.
b. Variabel keputusannya adalah

banyaknya steak yang dimakan (dalam gram),

banyaknya keripik kentang yang dimakan (dalam gram)

c. Fungsi tujuannya adalah Min: .

d. Fungsi kendalanya adalah .

e. Persyaratan non-negatifnya adalah .

Jadi model matematikanya adalah
Min:

Harus memenuhi (h.m) : .

Bentuk baku model matematika suatu program linear untuk masalah
maksimum adalah sebagai berikut.
Maks

h.m :

84

Sedangkan bentuk baku model matematika suatu program linear untuk masalah
minimum adalah sebagai berikut.

Min

h.m:

Keterangan:
merupakan variabel keputusan.
merupakan kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi

tujuan, disebut pula sebagai koefisien fungsi tujuan suatu model matematika.
merupakan penggunaan setiap unit sumber daya dari setiap

variabel keputusan yang terbatas, disebut pula koefisien fungsi kendala model
matematika.

merupakan banyaknya ketersediaan sumber daya untuk
dimanfaatkan sepenuhnya, disebut pula nilai ruas kanan fungsi kendala.

Perhatikan masalah berikut ini.
Seorang petani memiliki lahan 200 hektar dan ingin menanaminya dengan
kentang atau labu kuning atau kombinasi keduanya. Dia melihat ada pasar untuk
kedua tanaman ini dan tidak ingin menanam tanaman lainnya. Hasil maksimal
panen kentang adalah 5 ton per hektar, dan jika labu kuning yang ditanam maka
hasil panennya hanya 3 ton per hektar. Kentang dijual dengan keuntungan 50
poundsterling per ton sedangkan keuntungan labu kuning adalah 105 per ton.
Kentang yang dipanen maksimal 750 ton dan labu kuning maksimal 300 ton per
tahun untuk dijual bebas di pasar. Kedua benih akan membutuhkan pupuk dan
rasio untuk setiap benih yang tumbuh memiliki batas mengenai pupuk yang
tersedia. Petani menggunakan dua jenis pupuk, A dan B, yang dicampur dalam
proporsi yang tepat untuk setiap benih. Dia percaya bahwa campuran untuk
kentang seharusnya terdiri dari 40% pupuk A dan 60% pupuk B. Campuran untuk
labu harus terdiri dari 55% pupuk A dan 45% pupuk B. Setiap hektar tanaman
kentang membutuhkan 0,4 ton pupuk dan setiap hektar tanaman labu
membutuhkan 0,5 ton pupuk. Ada batasan jumlah pupuk yang tersedia. Petani

85

dapat membeli hingga 30 ton pupuk A dan 100 ton pupuk B. Pupuk A berkualitas
lebih baik. Petani bisa meningkatkan kualitas B dengan menambahkan bahan-
bahan tambahan. Jika dia melakukannya, semakin baik ton B dapat digunakan
sebagai suplemen parsial atau total untuk 40% dari A yang diperlukan dalam
campuran kentang. Namun, petani memperkirakan bahwa ini akan menyebabkan
penurunan 10% dalam hasil. Penggunaannya tidak mungkin pada campuran labu
karena hasilnya akan bencana. Untuk setiap ton pupuk B yang akan ditingkatkan
dengan cara ini 0,1 ton diperlukan komponen tambahan, dengan biaya tambahan
45 pound. Silahkan dicoba membuat model matematika untuk memaksimalkan
keuntungan petani!.

Nah, rekan-rekan mahasiswa sekalian. Kalian telah mempelajari konsep dasar
program linear. Selanjutnya, kita akan membahas bagaimana menyelesaikan
masalah program linear. Pada pembahasan di bawah ini, kita akan belajar
menyelesaikan program linear menggunakan metode grafik. Selamat Belajar.
2. Metode Grafik

Untuk menyelesaikan masalah program linear yang melibatkan 2 variabel dan
2 atau lebih pertidaksamaan maka digunakan metode grafik. Metode grafik ini
dibedakan 2 yaitu metode titik ekstrim (titik pojok) dan metode garis selidik.
Sebelum membahas kedua metode tersebut, alangkah baiknya kita kenali istilah-
istilah dan teorema-teorema berikut ini.

Menurut Dantzig dan Thapa (1997), daerah penyelesaian fisibel (the
feasible region) atau disingkat DPF adalah himpunan titik-titik yang memenuhi
semua fungsi kendala. Sedangkan Winston (1993) menyatakan daerah
penyelesaian fisibel suatu program linear adalah himpunan semua titik yang
memenuhi semua pembatas dan semua tanda batas program linear. Untuk
masalah maksimum, penyelesaian optimalnya merupakan titik pada daerah
penyelesaian fisibel yang menyebabkan nilai fungsi tujuan terbesar. Demikian
pula untuk masalah minimum, penyelesaian optimalnya adalah titik pada daerah
penyelesaian fisibel yang menyebabkan nilai fungsi tujuan terkecil.

Sebelum berbicara tentang titik ekstrim, mari kita definisikan terlebih dahulu
himpunan konveks.

86

Definisi 3.1 himpunan konveks
S merupakan himpunan titik-titik. S disebut himpunan konveks jika ruas
garis yang menghubungkan sebarang titik di S berada di dalam S

Perhatikan Gambar 3.1 dan Gambar 3.2 di bawah ini. EB
A

DC

Gambar 3.1Elips Gambar 3.2 Persegi panjang

Gambar 3.1 dan Gambar 3.2 merupakan himpunan konveks.

Apakah rekan-rekan mahasiswa sudah paham himpunan konveks? Jika sudah
paham, mari kita definisikan titik ekstrim.
Definisi 3.2 Definisi titik ekstrim

Pada sebarang himpunan konveks S, titik P di S disebut sebagai titik
ekstrim jika setiap ruas garis yang berada di dalam S dan memuat titik P
maka P merupakan titik akhir (ujung) dari ruas garis tersebut.

Berdasarkan definisi titik ekstrim, Gambar 3.1 memiliki tak hingga
banyaknya titik ekstrim. Sedangkan pada Gambar 3.2 hanya ada 4 titik ekstrim
yaitu titik A, titik B, titik C, dan titik D. Titik E bukan titik ekstrim. Mengapa?
Karena ada ruas garis AB dan memuat titik E, namun titik E tidak berada di ujung
ruas garis AB. Titik ekstrim biasanya berada di pojok sehingga disebut pula titik
pojok. Menurut Barnett (1993), titik pojok daerah penyelesaian adalah titik pada
daerah penyelesaian yang merupakan perpotongan dua garis pembatas. Daerah
penyelesaian sistem pertidaksamaan linear disebut tertutup jika daerahnya tertutup
dalam lingkaran. Jika tidak tertutup dalam lingkaran disebut tidak tertutup
(terbuka).

87

Teorema 3.1 Teorema Fundamental Program Linear
a. Jika nilai optimal fungsi tujuan masalah program linear ada maka nilai

tersebut dihasilkan oleh satu atau lebih titik pojok pada daerah penyelesaian
fisibel.
b. Jika masalah program linear mempunyai penyelesaian tidak tunggal,
sedikitnya satu dari penyelesaiannya berada pada titik pojok daerah
penyelesaian fisibel.
Bukti Teorema ditinggalkan karena di luar cakupan materi ini.

Teorema 3.2 Teorema Eksistensi Penyelesaian Masalah Program Linear
a. Jika daerah penyelesaian fisibel masalah program linear tertutup maka nilai

maksimum dan nilai minium fungsi tujuan ada.
b. Jika daerah penyelesaian fisibel masalah program linear tidak tertutup dan

koefisien fungsi tujuan bernilai positif maka nilai minimum fungsi tujuan ada
tetapi nilai maksimumnya tidak ada.
c. Jika daerah penyelesaian fisibel masalah program linear kosong (artinya tidak
ada titik yang memenuhi semua fungsi kendala) maka nilai maksimum dan
nilai minimum fungsi tujuan tidak ada.
Bukti Teorema ditinggalkan karena diluar cakupan materi ini.

Menyelesaikan masalah program linier dengan metode grafik dapat dilakukan
dengan menggunakan metode titik ekstrim/titik pojok dan metode garis selidik.
Sekarang kita bahas terlebih dahulu metode titik ekstrim. Sesuai dengan namanya,
nilai optimal fungsi tujuan dibandingkan berdasarkan titik-titik ekstrim
pembentuknya. Perhatikan Contoh 3.2 berikut ini.
Contoh 3.2.
Diberikan model matematika sebagai berikut.
Maks

h.m

88

Selesaikan model matematika di atas dengan metode titik ekstrim.

Penyelesaian:

a. Menggambar garis yang persamaannya and .

b. Mengarsir daerah yang tidak memenuhi
,,

c. Daerah Penyelesaian Fisibel (DPF) nya adalah daerah yang dibatasi
segiempat ABCD dengan titik ektrim A, B, C, dan D
A = (0,1), B = (0,2), C = (4,0), dan D = (1,0).

Untuk menggambar daerah penyelesaian fisibel (DPF) lebih mudah menggunakan
aplikasi Geogebra. Gambar 3.3 di bawah ini merupakan DPF contoh 3.2 yang
digambar menggunakan aplikasi Geogebra.

Gambar 3.3 DPF penyelesaian contoh 3.2

d. Membandingkan nilai Z dari titik ekstrim untuk menentukan penyelesaian

optimal. Perhatikan Tabel 3.2 berikut ini.

Tabel 3.2 Perbandingan Nilai Z dari titik ekstrim O, A, B, C

Titik Z=

A (0,1) 250.0+30.1=30
B (0,2) 250.0+30.2=60
C (4,0) 250.4+30.0=1000 (maks)
D (1,0) 250.1+30.0=250

e. Jadi penyelesaian optimalnya adalah dengan Z
maksimalnya = 1000.

Tutorial membuat grafik penyelesaian masalah program linear menggunakan
metode grafik disajikan pada link berikut ini VT-M2-KB3

89

Metode grafik yang kedua adalah metode garis selidik. Daerah penyelesaian

fisibel sudah digambarkan, mencari nilai optimal (maks atau min) dapat pula

dicari tanpa harus membandingkan nilai fungsi tujuan dari titik-titik ekstrim

(pojok). Bagaimana caranya? Kita dapat menggunakan garis selidik. Garis selidik

adalah garis-garis yang sejajar dengan garis pada fungsi tujuan. Untuk masalah

maksimum, garis selidik itu disebut isoprofit lines, sedangkan untuk masalah

minimum disebut isocost lines. Langkah-langkah menentukan nilai optimal dari

fungsi tujuan menggunakan metode garis selidik adalah sebagai

berikut. .
a. Menggambar DPF.
b. Menggambar garis yang persamaannya

c. Menggambar garis-garis yang sejajar dengan dan melalui titik

ekstrim. Garis sejajar ini disebut garis selidik.
d. Untuk masalah maksimum maka titik ekstrim terakhir yang dilalui garis

selidik berkaitan dengan penyelesaian optimal. Sedangkan untuk masalah
minimum, titik ekstrim pertama yang dilalui garis selidik berkaitan dengan
penyelesaian optimal.

Contoh 3.3.
Selesaikan model matematika berikut ini dengan metode garis selidik.
Maks

h.m:

Jawab:

a. Menggambar DPF. DPFnya adalah daerah yang dibatasi oleh segitiga OAB

dengan titik ekstrim O .

b. Menggambar garis yang persamaannya .

90