modul PPG

c. Menggambar garis-garis yang sejajar dengan dan melalui titik

ekstrim, misalnya . Garis-

garis ini disebut garis selidik.

d. Karena masalahnya maksimum, maka titik ekstrim terakhir yang dilalui garis

selidik berkaitan dengan penyelesaian optimal. Titik ekstrim terakhirnya

adalah sehingga berkaitan dengan penyelesaian

optimal. . Penyelesaian optimalnya adalah dengan nilai
e.

maksimum 45.
Perhatikan Gambar 3.4 berikut ini.

Gambar 3.4 Penyelesaian soal pada contoh 3.3 menggunakan garis selidik
Mahasiswa yang budiman. Renungkanlah. Menurut kalian, apakah mungkin
ditemukan bahwa nilai optimum (maksimum maupun minimum) dapat terjadi di
lebih dari 2 titik? Apakah mungkin, kita tidak dapat menemukan nilai
optimumnya? Ternyata, terdapat beberapa kasus program linear. Yaitu
penyelesaian tidak tunggal (multiple optimal solution), ketidaklayakan (infeasible
solution), kelebihan pembatas (redundant constraint), dan penyelesaian tidak
terbatas (unbounded solution). Mari kita bahas satu persatu.
Kasus yang pertama adalah penyelesaian tidak tunggal. Terkadang kita
jumpai ada model matematika yang nilai optimalnya tidak hanya di satu titik
ekstrim namun juga terjadi di titik-titik lainnya. Perhatikan contoh 3.4 berikut ini.

91

Contoh 3.4.
Maks
h.m:
Gambar DPF nya disajikan pada Gambar 3.5 berikut.

Gambar 3.5 DPF Contoh soal 3.4
DPFnya adalah daerah yang dibatasi segilima OABCD dengan titik ekstrim

.
Membandingkan nilai fungsi tujuan titik-titik ekstrim disajikan dalam Tabel 3.3
berikut ini.

Tabel 3.3 Nilai Fungsi Tujuan Contoh soal 3.4
Titik ekstrim

Berdasarkan Tabel 3.3 di atas kita dapatkan 2 titik yang memberikan nilai
maksimum yaitu titik B dan C. Muncul pertanyaan, apakah ada titik lain yang
92

juga memberikan nilai maksimum 720? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, kita
gunakan metode garis selidik. Perhatikan Gambar 3.6 berikut ini.

Gambar 3.6 Menyelesaikan Contoh soal 3.4 menggunakan metode garis selidik

Berdasarkan garis selidik, titik ekstrim terakhir yang berkaitan dengan

penyelesaian optimal adalah titik B dan C. Terlihat pula bahwa garis selidik

terakhir berimpit dengan ruas garis BC. Sehingga titik-titik selain titik B dan C

pada ruas garis BC juga berkaitan dengan penyelesaian optimal. Jadi penyelesaian

optimalnya adalah . Nilai

optimalnya adalah 720.
Kasus kedua adalah ketidaklayakan. Perhatikan Contoh 3.5 berikut ini.

Contoh 3.5.

h.m:

93

Gambar DPFnya disajikan pada Gambar 3.7 sebagai berikut.

Gambar 3.7 DPF Contoh 3.5
Berdasarkan Gambar 3.7 di atas, tidak ada daerah penyelesaian fisibel sehingga
disebut ketidaklayakan. Penyelesaian optimalnya adalah .

Kasus ketiga adalah kelebihan pembatas. Karakteristiknya adalah adanya
kendala tambahan yang tidak mempengaruhi DPF sehingga penyelesaian
optimalnya tidak berubah. Perhatikan Contoh 3.6 berikut ini.
Contoh 3.6.

h.m

Gambar 3.8 Penyelesaian Contoh 3.6
94

Berdasarkan Gambar 3.8 di atas, terlihat bahwa DPFnya adalah daerah yang

dibatasi segitiga OAB dengan titik ekstrim .

Nilai minimumnya 0 dengan penyelesaian optimalnya . Perhatikan

gambar, ada tidaknya fungsi kendala tidak mempengaruhi DPF.

Oleh karena itu kasus ini disebut kelebihan pembatas.

Kasus keempat adalah penyelesaian tidak terbatas. Kasus ini dibedakan

menjadi 2 yaitu nilai Z yang tidak terbatas dan penyelesaian optimal yang tidak

terbatas. Untuk nilai Z yang tidak terbatas, karakteristik nya adalah ketika kita

menggunakan garis selidik maka garis tersebut tidak pernah bertemu dengan titik

ekstrim. Ketika garis-garis selidik dibuat untuk

menemukan penyelesaian optimal maka nilai semakin membesar dan tidak

pernah bertemu dengan titik ekstrim. Perhatikan Contoh 3.7 berikut ini.
Contoh 3.7.
Maks

h.m:

Perhatikan gambar DPF pada Gambar 3.9 di bawah ini. DPFnya terbuka.
Koefisien fungsi tujuan positif. Berdasarkan Teorema 3.2 yaitu Teorema
Eksistensi Penyelesaian Masalah Program Linear maka nilai maksimumnya tidak
ada. Jika dicek menggunakan garis selidik, garis selidik tersebut tidak pernah
bertemu dengan titik ekstrim. Nilai Z semakin membesar. Jadi Contoh 3.7
merupakan kasus penyelesaian tidak terbatas (dalam hal ini Z tidak terbatas).

Gambar 3.9 Kasus penyelesaian tidak terbatas (dalam hal ini Z tidak terbatas)
95

Penyelesaian tidak terbatas selanjutnya adalah penyelesaian optimal (PO)
tidak terbatas. Perhatikan Contoh 3.8 berikut ini.
Contoh 3.8.
Maks

h.m:

Gambar DPF disajikan pada Gambar 3.10 sebagai berikut.

Gambar 3.10 DPF Contoh 3.8

Dengan menggunakan garis selidik, ternyata garis selidik berimpit dengan

. Titik berkaitan dengan penyelesaian optimal. Nilai Z

maksimumnya adalah Titik berada pada

garis . Sehingga titik B berkaitan dengan penyelesaian optimal. Nilai

Z maksimumnya adalah . Apakah masih ada titik lain yang

memberikan Z = 600? Ya ternyata ada. Titik lain tersebut berada pada sinar garis

AB yaitu . Titik pada sinar garis AB

tersebut sangat banyak dan memberikan nilai Z yang sama yaitu 600. Oleh karena
itu, Contoh 3.8 ini merupakan kasus penyelesaian tidak terbatas yaitu PO yang
tidak terbatas.

96

Mahasiswa PPG sekalian, bagaimana pembahasan tentang metode grafik di
atas? Mudahkan?. Coba mari kita bayangkan apabila ada 3 variabel, 2
pertidaksamaan. Apakah kita dapat membuat grafiknya? Lalu bagaimana jika ada
n variabel, dan m pertidaksamaan?. Apakah mudah menggambarnya?. Untuk
memperjelasnya mari kita pelajari metode simpleks.

3. Metode Simpleks
Perhatikan model matematika berikut ini.

Maks/min :

h.m dapat dibuat Tabel

simpleks. Tabel 3.4 berikut ini merupakan Tabel simpleks secara umum.

Tabel 3.4 Tabel simpleks

Cb VDB Q …… M …M Penilaian

…… …

…… …

…… …

Z …… …

… ……

Keterangan:

= variabel ke-j (termasuk variabel slack dan surplus).
.

= variabel buatan ke-k.
= koefisien fungsi tujuan pada variabel ke-j.
M = koefisien fungsi tujuan pada variabel buatan.

koefisien fungsi tujuan pada variabel yang masuk program (masuk basis).

97

= koefisien variabel ke-j dari persamaan ke-i.
= kuantitas (nilai ruas kanan, batasan sumber daya).
Z = nilai fungsi tujuan.

.

.
Catatan: variabel yang masuk program/basis adalah variabel yang dapat
membentuk matriks identitas.

Langkah-langkah menyelesaikan masalah program linear dengan metode
simpleks adalah sebagai berikut.
a. Buat model matematika (jika masalah dalam bentuk masalah kontekstual).
b. Tambahkan variabel slack atau variabel surplus pada setiap pertidaksamaan

fungsi kendala. Jika pertidaksamaannya ” maka tambahkan variabel slack
agar menjadi persamaan. Jika pertidaksamaannya ” maka kurangkan

variabel surplus agar menjadi persamaan. Variabel slack dan variabel surplus

merupakan variabel nonnegatif yang dimunculkan di ruas kiri pertidaksamaan

agar menjadi persamaan.

c. Diperoleh model matematika baru.

d. Susun model matematika baru tsb ke dalam tabel simpleks (sebagai program

awal).

e. Pilih kolom kunci yaitu kolom yang mempunyai nilai terendah

.

f. Pilih baris kunci yaitu yang bernilai terendah dengan dan k adalah

kolom kuncinya

dan k adalah kolom kuncinya.

g. Tentukan elemen kuncinya yaitu perpotongan kolom kunci dengan baris
kunci, disimbolkan elemen kunci , r = baris kunci, k = kolom kunci

h. Lakukan transformasi baris kunci dengan cara membagi elemen pada baris

kunci dengan elemen kunci .

98

i. Lakukan transformasi baris-baris yang lain yaitu baris baru = baris lama –
bilangan pada kolom kunci yang bersesuaian dengan baris lama (baris yang
akanm ditransformasikan) dikalikan nilai baru baris kunci.

j. Buat tabel simpleks baru berdasarkan langkah e s.d i.

k. Bila tabel baru/perbaikan belum optimal buat tabel baru

dengan langkah e s.d i.
l. Lakukan terus-menerus tahap e s.d. i sehingga menemukan

m. Program optimal.

Mari kita pelajari metode simpleks untuk masalah maksimum. Perhatikan
Contoh 3.9 berikut ini.
Contoh 3.9.
Maks

h.m:

Selesaikan dengan metode simpleks. pada masing-masing pertidaksamaan
Jawab: , , dan
a. Tambahkan variabel slack

sehingga diperoleh
.

b. Model matematika baru
Maks

h.m:

99

Perhatikan model matematika. Buatlah matrik yang elemennya merupakan
koefisien fungsi kendala.

dapat ditentukan dari

c. Program Awal
Tabel 3.5 Tabel simpleks ke-1 sebagai program awal

Cb VDB Q 5 4 3 000 Penilaian
05 XYZ (BK)

2 (EK) 3 1 1 0 0

0 11 4 1 3 0 1 0

0 8 3 4 2 001

0 0 0 0 00 0
0
-5 -4 -3 0 0
(KK)
Ket: KK= kolom kunci, BK= baris kunci, EK= elemen kunci

d. Transformasi Baris Kunci (B1)

e. Transformasi Baris lain (B2 dan B3)

dan

f. Tabel simpleks
Elemen kunci pada Tabel 3.5 langkah 3 ada di baris 1 dan kolom sehingga
variabel masuk program menggantikan . Perhatikan Tabel 3.6 berikut ini.

100

Tabel 3.6 Tabel simpleks ke-2

b VDB Q 5 4 3 0 00 Penilaian

XYZ 5
1(BK)
5X 1 00 1

0 1 0 -5 1(EK) -2 1 0

00 01

5 00

0 (KK) 00

g. Lakukan langkah d-e dan diperoleh tabel optimal. Perhatikan Tabel 3.7 berikut

ini.
Tabel 3.7 Tabel simpleks ke-3 sebagai tabel optimal

Cb VDB Q 54 3 00 0 Penilaian
XYZ

5X 2 140 0

3Z 1 0 -5 1 -2 1 0
0 0 020 1

13 5 5 3 0

010 0

h. sehingga program optimal. dengan nilai
optimalnya 13.

101

Muncul pertanyaan, bagaimana penerapan metode simpleks untuk masalah
minimum. Perhatikan Contoh 3.10 berikut ini.
Contoh 3.10.
Min

h.m:

Selesaikan dengan metode simpleks.
Jawab:
a. Ubah masalah minimum menjadi maksimum dengan mendefinisikan

. Fungsi tujuan Maks

b. Kurangkan variabel surplus , pada masing-masing pertidaksamaan

sehingga diperoleh dan

c. Model matematika menjadi
Maks

h.m

matriks koefisien fungsi kendalanya belum memuat .

Perlu ditambahkan dua variabel buatan, di tulis dan

didapatkan . Koefisien variabel buatan fungsi

tujuan adalah dengan bilangan yang sangat besar sekali sehingga
bilangan yang sangat kecil sekali. Model matematika menjadi
Maks

h.m:

102

d. Tabel 3.8 sebagai program awal

Tabel 3.8 Tabel simpleks ke-1 sebagai program awal

Q -6 -3 00 Penilaian

Cb VDB Xy

- 16 2 4(EK) -1 0 1 0 (BK)

- 24 4 3 0 -1 0 1

( -M -M
KK) 00

e. Transformasi baris kunci (B2)
menjadi

f. Transformasi baris lain (B1)

g. Tabel simpleks ke-2

Tabel 3.9 Tabel simpleks ke-2

Q -6 -3 0 0 Penilaian

Cb VDB 08
1 (BK)
-3 4 10

- 12 (EK) 0 -1

103

-3 M -M

0 M 0

(KK)

h. Lakukan transformasi baris kunci dan baris lain sehingga dihasilkan Tabel 3.10

berikut.

Tabel 3.10 Tabel simpleks ke-3

Q -6 -3 0 0 Penilaian

Cb VDB

-3 0 1

-6 1 0 16(BK)

(EK)
-6 -3

00

(KK)

i. Lakukan transformasi baris kunci dan baris lain sehingga dihasilkan tabel

optimal yaitu Tabel 3.11 berikut.

Tabel 3.11 Tabel optimal

Q -6 -3 0 0 Penilaian

Cb VDB Xy

-3 Y 8 10 0

0 16 0 1 -1

104

-24 -4 -3 0 1 0 -1

2 0 0 1 M M-1

sehingga program optimal.

Penyelesaian optimalnya dengan
Nilai minimun

Penyelesaian optimalnya .

Sama dengan kasus program linear menggunakan metode grafik, maka kita dapat
menentukan kasus program linear menggunakan metode simpleks. Kasus pertama
penyelesaian tidak tunggal. Kita menggunakan Contoh 3.4, tabel optimal seperti
pada Tabel 3.12 sebagai berikut.

Tabel 3.12 Tabel optimal Contoh 3.4

18 6 00 Penilaian

Cb VDB Q

18 40 1 0 120

0 120 0 (EK) 1 90(BK)

720 18 6 6 0
0
0 0(KK) 6

sehingga program optimal. Nilai maksimal untuk

dan . Kita tulis PO I = . Kasus ini merupakan kasus penyelesaian

tidak tunggal. Perhatikan variabel yang tidak masuk basis (diluar basis) yaitu y

dan . Pada variabel di luas basis yang adalah y maka pilih kolom

ke-2 sebagai kolom kunci. Lalu cari baris kunci, elemen kunci dan lakukan
transfomasi baris untuk menghasilkan Tabel 3.13.

105

Tabel 3.13 lanjutan Tabel 3.12 contoh soal 3.4

Q 18 6 0 0 Penilaian
10 10
Cb VDB
18

6 90 0 1

720 18 6 6 0
00 6 0

PO II nya . Nilai Maksimal .

Kita dapat mencari penyelesaian optimal lainnya dengan memanfaatkan kedua
penyelesaian optimal di atas dengan rumus

, dengan

Penyelesaian ketiga =

Penyelesaian keempat = dst

Kasus kedua, adalah ketidaklayakan. Cirinya adalah pada tabel optimal

masalah program linear , masih ada variabel buatan dalam

Variabel dalam Basis (VDB). Coba kerjakan Contoh 3.5 dengan metode simpleks.
Kasus ketiga adalah kelebihan pembatas. Perhatikan model matematika pada

Contoh 3.11 berikut ini.
Contoh 3.11.
Min

h.m:

106

Program awalnya disajikan pada Tabel 3.14.

Tabel 3.14 Tabel simpleks ke-1 contoh 3.11

Cb VDB Q -3 2 00 Penilaian

0 4 1 2(EK) 1 0 2 (BK)

0 25 5 1 0 1 25

00 00

3 -2(KK) 0 0

Tabel simpleks ke-2 sebagai Tabel optimal disajikan pada Tabel 3.15 berikut ini.

Tabel 3.15 Tabel simpleks ke-2

Cb VDB Q -3 2 0 0 Penilaian

xy

2Y 2 1 0

0 23 0 1

4 121 0

401 0

Program optimal dengan nilai minimum -4 dan PO . Terlihat bahwa variabel

pada tabel program awal berada di baris 2 dan pada tabel optimal juga berada

di baris 2. Ini menunjukkan kasus kelebihan pembatas. Ini menunjukkan ada

tidaknya pertidaksamaan tidak mempengaruhi DPF. Mari kita cek

menggunakan metode grafik. Perhatikan Gambar 3.11 di bawah ini.

107

Gambar 3.11 Kasus kelebihan pembatas
Berdasarkan Gambar 3.11 terlihat bahwa ada tidaknya pertidaksamaan

tidak mempengaruhi DPF.

Kasus keempat adalah penyelesaian tidak terbatas. Perhatikan Contoh 3.7.

Program awalnya disajikan pada Tabel 3.16 berikut ini.

Tabel 3.16 Tabel simpleks ke-1 sebagai program awal Contoh 3.7

Cb VDB Q 1 1 00 Penilaian

0 2 -1 1 10 0 2

2 1 2(EK) 0 -1 1 1(BK)

0M

(K 0 M 0

K)

Tabel simpleks selanjutnya disajikan pada Tabel 3.17 berikut ini. Penilaian
Tabel 3.17 Tabel simpleks ke-2 Contoh 3.7

Cb VDB Q 1 1 0 0

01 01

1 1 (EK) 1 0 2 (BK)
1 10

108

(KK) 0 0

Tabel simpleks selanjutnya disajikan pada Tabel 3.18.

Tabel 3.18 Tabel simpleks ke-3 dari Contoh 3.7

Cb VDB Q 1 10 0 Penilaian

0 4 0 3 1 -1 1
1 2 1 2 0 -1 1

2 1 2 0 -1 1
0 1 0 -1
(KK)

Perhatikan variabel . Variabel pada Tabel 3.18 di atas, bukan variabel

dalam basis. Kita tidak dapat mencari baris kunci karena elemen di kolom kunci

semua bernilai negatif sehingga tidak dapat membagi Q. Proses berhenti sampai

disini. Kasusnya adalah penyelesaian tidak terbatas (Z tidak terbatas). Secara

umum, Apabila dalam suatu tabel simpleks dengan suatu penyelesaian

fisibel terdapat satu atau lebih kolom untuk variabel bukan basis (misal

kolom ke-j) sehingga Zi-cj<0 dan aij  0 (i = 1. 2, ...,m), maka ada

penyelesaian fisibel dengan (m+1) variabel yang tidak nol sehingga nilai Z

makin besar tak terbatas. (Lihat Hadley p.93-95).

Masih berkaitan dengan kasus penyelesaian tidak terbatas. Perhatikan Contoh

3.8. Program awalnya disajikan pada Tabel 3.19 berikut ini.

Tabel 3.19 Tabel simpleks ke-1 sebagai program awal Contoh 3.8

Cb VDB Q 30 -10 0 0 Penilaian

xy

0 10 1(EK) -1 1 0 10 (BK)

0 60 3 -1 0 1 20

109

0 0 00 0

-30 10 0 0
(KK)

Tabel simpleks selanjutnya disajikan pada Tabel 3.20 berikut ini.
Tabel 3.20 Tabel simpleks ke-2 dari Contoh 3.8.

Cb VDB Q 30 -10 0 0 Penilaian

30 10 1 -1 1 0

0 30 0 2(EK) -3 1 15(BK)

300 30 -30 30 0

0 -20 30 0
(KK)

Tabel simpleks selanjutnya disajikan pada Tabel 3.21 berikut ini.

Tabel 3.20 Tabel simpleks ke-3 dari Contoh 3.8.

Cb VDB Q 30 -10 0 0 Penilaian

30 25 1 0

-10 15 0 1

600 30 -10 0 10
0 00 10

sehingga program optimal. PO nya adalah Nilai maksimal

= 600. . Kita menduga
Perhatikan bahwa variabel di luar basis dan

bahwa kasus penyelesaian tidak tunggal. Perhatikan pula elemen di kolom ,

kita juga menduga penyelesaian tidak terbatas. Perhatikan kolom . Jika kita

110

tingkatkan 1 unit, maka x akan berkurang atau meningkat , dan nilai tetap.
Jika kita tingkatkan 1 unit maka y akan berkurang atau meningkat dan
nilai tetap. Ini merupakan kasus penyelesaian tidak terbatas (PO tidak terbatas).
Mencari PO lain dengan cara:

.

Silahkan tentukan penyelesaian optimal lainnya. Cek apakah nilai Z tetap.

Berapa banyak penyelesaian optimal lainnya yang dapat ditemukan?. Apabila

pada suatu tabel optimal terdapat kolom dari variabel di luar basis

dengan dan untuk , maka masalah

tersebut adalah masalah yang PO nya tak terbatas tetapi nilai fungsi
tujuannya terbatas. Biasa di tulis sebagai kasus penyelesaian tidak
terbatas (PO tidak terbatas).

4. Dualitas
Dualitas merupakan konsep penting dalam matematika. Pada setiap masalah

program linear, selalu ada masalah kedua yang berkaitan. Hal tersebut menjadi
kajian dari materi dualitas berikut ini. Perhatikan Contoh 3.12 berikut ini.
Contoh 3.12.
Misalkan kita mempunyai program linear masalah maksimum dalam bentuk baku
sebagai berikut.

h.m:

111

Misalkan kita mempunyai program linear masalah minimum dalam bentuk baku
sebagai berikut.

h.m:

Menurut kalian, hubungan apa yang dapat digali dari kedua model pada Contoh
3.12 di atas? Berdasarkan kedua model pada Contoh 3.12, ternyata kita dapatkan
fakta bahwa:
a. Nilai ruas kanan masalah maksimum menjadi koefisien fungsi tujuan masalah

minimum.
b. Koefisien fungsi tujuan masalah maksimum menjadi nilai ruas kanan masalah

minimum.
c. Matriks koefisien fungsi kendala masalah minimum merupakan transpose dari

matrik koefisien fungsi kendala masalah maksimum.

d. Semua variabel non negatif. sedangkan tanda pada masalah minimum
e. Tanda pada masalah maksimum

.

Berdasarkan hubungan di atas, jika model maksimumnya dianggap sebagai primal
maka model minimumnya sebagai dual. Begitu pula sebaliknya, jika model
maksimumnya sebagai dual maka model minimumnya sebagai primal. Secara
umum dijelaskan berikut ini.

112

Maks:

h.m: merupakan bentuk baku masalah

maksimum........*)
Jika model *) sebagai bentuk primalnya maka bentuk dualnya dicari dengan cara:
a. Mengubah masalah menjadi masalah minimum.
b. Koefisien fungsi tujuan masalah maksimum menjadi nilai ruas kanan fungsi

kendala masalah minimum.
c. Nilai ruas kanan fungsi kendala masalah maksimum menjadi koefisien fungsi

tujuan masalah minimum.
d. Matriks transpose koefisien fungsi kendala masalah maksimum menjadi

matriks koefisien fungsi kendala masalah minimum.

menjadi

e. Tanda menjadi

f. Variabel pada masalah maksimum dan minimum non negatif
Sehingga bentuk dualnya menjadi

h.m: merupakan bentuk baku masalah
Min: 113
h.m:

minimum...........**)

Jika model **) sebagai bentuk primalnya maka bentuk dualnya dicari dengan
cara:
a. Mengubah masalah minimum menjadi masalah maksimum.
b. Koefisien fungsi tujuan masalah minimum menjadi nilai ruas kanan fungsi

kendala masalah maksimum.
c. Nilai ruas kanan fungsi kendala masalah minimum menjadi koefisien fungsi

tujuan masalah maksimum.
d. Matriks transpose koefisien fungsi kendala masalah minimum menjadi matriks

koefisien fungsi kendala masalah maksimum.

e. .

f. Tanda menjadi .

g. Variabel pada masalah maksimum dan minimum non negatif.
Sehingga bentuk dualnya menjadi

Selanjutnya muncul pertanyaan. Bagaimana jika primal maupun dual tidak
dalam bentuk baku?. Perhatikan kasus berikut ini.
Misalkan primal dalam bentuk:
Maks:

h.m:

Bagaimana langkah membuat dualnya?. Fungsi kendala yang membuat primal

tidak dalam bentuk baku adalah . Karena

114

masalahnya maksimum dan bentuk bakunya menggunakan tanda maka

diubah menjadi

. Sehingga primalnya dalam bentuk baku

menjadi:
Maks:

h.m:

Langkah selanjutnya, tinggal mengikuti langkah-langkah membentuk dual yang
sudah dijelaskan di bagian awal.

Jika primal dalam bentuk
Maks:

h.m: .

Bagaimana membentuk dualnya?. Fungsi kendala yang membuat primal tidak

dalam bentuk baku adalah . Ubahlah

menjadi dan

. Sehingga bentul primalnya menjadi

Maks:

h.m: .

Selanjutnya diubah menjadi
. Sehingga bentuk primalnya menjadi

115

Maks:

h.m: .

Langkah selanjutnya, tinggal mengikuti langkah-langkah membentuk dual yang
sudah dijelaskan di bagian awal. Untuk lebih jelasnya, perhatikan Contoh 3.13
berikut ini.

Contoh 3.13.
Misalkan

h.m: sebagai bentuk primal. Maka bentuk primal belum dalam

bentuk baku. Untuk masalah maksimum, tanda pertidaksamaannya adalah “

sehingga diubah menjadi . Bentuk baku

masalah maksimum menjadi:

h.m:.

Untuk mencari bentuk dualnya dilakukan dengan langkah seperti di atas.
Diperoleh bentuk dualnya adalah
Min

h.m

116

Selanjutnya jika pada model primal, ada minimal salah satu pertidaksamaan
pada fungsi kendala berbentuk persamaan. Bagaimana membentuk dualnya?
Untuk membahasnya, perhatikan Contoh 3.14 berikut ini.
Contoh 3.14.

h.m: sebagai bentuk primalnya. Buatlah bentuk dualnya.

Jawab:

Bentuk primal belum dalam bentuk baku karena ada fungsi kendala yang

berupa persamaan yaitu . Ubah persamaan tersebut menjadi dua

pertidaksamaan yaitu dan sehingga diperoleh model baru.

h.m:

Pada model tersebut masih belum dalam bentuk baku. Maka perlu diubah
dahulu menjadi bentuk baku yaitu:

h.m:

Bentuk dualnya menjadi
Min
h.m:

117

Beberapa fakta tentang dualitas
a. Nilai optimal model primal sama dengan nilai optimal model dual
b. Dual dari dual program linear adalah program linear itu sendiri
c. Jika primal (masalah maksimum dalam bentuk baku) dan dual (masalah

minimum dalam bentuk baku) keduanya dapat diselesaikan maka opt(primal)
opt(dual)
Terdapat beberapa pertanyaan menarik tentang dualitas. Disini kita singkat P
untuk model primal dan D untuk bentuk dual
a. Tentang ada tidaknya penyelesaian
1) Mungkinkah P dan D keduanya dapat diselesaikan?
2) Jika salah satu dapat diselesaikan, apakah lainnya tidak dapat diselesaikan?
3) Mungkinkah keduanya tidak dapat diselesaikan?
b. Tentang penyelesaian optimal
Apakah ada kaitan antara penyelesaian P dan penyelesaian D?
c. Tentang nilai optimal
1) Mungkinkah P dan D keduanya hanya memiliki penyelesaian optimal

tunggal?
2) Mungkinkah P dan D sama-sama memiliki tak hingga penyelesaian?
3) Mungkinkah salah satu memiliki penyelesaian tunggal dan lainnya memiliki

tak hingga penyelesaian?
Untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan di atas, kerjakan beberapa masalah di
bawah ini.
a. Model primal dan dual sama-sama dapat diselesaikan. Perhatikan Contoh 3.15
berikut ini.
Contoh 3.15.
Misalkan model matematika sebagai model primal (P)
Maks

h.m:

118

dan model matematika sebagai dual (D)
Min

h.m:

Kedua model (P) dan (D) dapat diselesaikan
Tabel optimal masalah primal disajikan pada Tabel 3.22 berikut ini.

Tabel 3.22 Tabel optimal contoh 3.15 (masalah primal)
1 1 00

Cb VDB Q
1 01

1 10

00

dengan penyelesaian optimal (PO) =

Tabel optimal masalah dual disajikan pada Tabel 3.23 berikut ini.

Tabel 3.23 Tabel optimal Contoh 3.15 (masalah dual)

-100 -100 0 0 -M -M

Cb VDB Q

-100 0 1

-100 1 0

00

dengan penyelesaian optimal (PO) =
Variabel pada masalah primal dan dual sebagai berikut

119

Hubungan antara primal dan dual dapat dituliskan dalam Tabel 3.24 sebagai

berikut ini.

Tabel 3.24. Hubungan Primal dan Dual

Maks Min
1. 1.

2. dalam basis 2. luar basis
dalam basis luar basis

3. luar basis 3. dalam basis
luar basis dalam basis

4. Kolom 4. dalam basis,

Kolom dalam basis,

5. dalam basis, 5. Kolom

dalam basis, Kolom

Berdasarkan Tabel 3.24 di atas, maka kita dapat mencari penyelesaian masalah
dual dengan memanfaatkan tabel optimal masalah primal. Demikian pula
sebaliknya.
b. P dan D sama-sama memiliki tak hingga penyelesaian. Perhatikan contoh 3.16

berikut ini.
Contoh 3.16.
Misalkan model matematika sebagai model primal (P)
Min

h.m:

dan model matematika sebagai dual (D)
120

Maks

h.m:

Kedua model (P) dan (D) memiliki tak hingga banyaknya penyelesaian. Kasus

penyelesaian tidak terbatas (PO tidak terbatas). Penyelesaian optimal masalah

primalnya adalah . Penyelesaian optimal

masalah dualnya adalah .

c. Model primal merupakan kasus ketidaklayakan dan model dual merupakan
kasus penyelesaian tidak terbatas.

Perhatikan contoh 3.17 berikut ini.
Contoh 3.17.
Model primalnya adalah
Min

h.m: merupakan kasus ketidaklayakan. Silahkan dicek

menggunakan metode grafik maupun metode simpleks.
Model dualnya adalah
Maks

h.m: merupakan kasus penyelesaian tidak terbatas (Z tidak terbatas).

Silahkan dicek menggunakan metode grafik maupun metode simpleks.
Teorema 3.3 Teorema tentang dualitas
a. Teorema Dualitas (lemah)

Jika LP1 merupakan program linear masalah maksimum dalam bentuk baku,
LP2 merupakan program linear masalah minimum dalam bentuk baku, LP1
dan LP2 merupakan dual satu sama lainnya maka:
1) Jika LP1 merupakan kasus penyelesaian tidak terbatas maka LP2

merupakan kasus ketidaklayakan.

121

2) Jika LP2 merupakan kasus penyelesaian tidak terbatas maka LP1
merupakan kasus ketidaklayakan

3) Jika LP1 dan LP2 keduanya tertutup dan dapat diselesaikan maka opt(LP1)
opt(LP2), (dibaca nilai optimal (LP1) nilai optimal (LP2))

b. Teorema Dualitas (kuat)
Jika LP1 atau LP2 dapat diselesaikan dan tertutup maka berlaku pula untuk
pasangannya dan opt (LP1) = opt LP2)

E. Forum Diskusi
Perhatikan kembali Contoh 3.12. Jika masalah maksimum menjadi model

primal dan masalah minimum menjadi model dualnya. Diskusikan bersama rekan-
rekan hubungan antara penyelesaian masalah pada model primal dan dualnya.

F. Rangkuman
Selamat, Saudara telah menyelesaikan modul program linear. Dengan demikian

Saudara telah menguasai konsep-konsep dasar yang selanjutnya akan digunakan
untuk menyelesaikan masalah program linear. Hal-hal penting yang telah Saudara
pelajari dalam kegiatan belajar ini adalah sebagai berikut.
1. Langkah-langkah untuk membuat model matematika adalah sebagai berikut:

a. Menentukan tipe masalah (maksimum atau minimum).
b. Mendefinisikan variabel keputusan.
c. Merumuskan fungsi tujuan.
d. Merumuskan fungsi kendala.
e. Menentukan persyaratan nonnegatif.
2. Bentuk baku model matematika suatu program linear untuk masalah
maksimum adalah sebagai berikut.
Maks

122

Harus memenuhi (h.m):

3. Bentuk baku model matematika suatu program linear untuk masalah
minimum adalah sebagai berikut.
Min

h.m:

4. Metode grafik ini dibedakan 2 yaitu metode titik ekstrim (titik pojok) dan
metode garis selidik.

5. Teorema Fundamental Program Linear
a. Jika nilai optimal fungsi tujuan masalah program linear ada maka nilai
tersebut dihasilkan oleh satu atau lebih titik pojok pada daerah
penyelesaian fisibel.
b. Jika masalah program linear mempunyai penyelesaian tidak tunggal,
sedikitnya satu dari penyelesaiannya berada pada titik pojok daerah
penyelesaian fisibel.

6. Teorema Eksistensi Penyelesaian Masalah Program Linear
a. Jika daerah penyelesaian fisibel masalah program linear tertutup maka
nilai maksimum dan nilai minium fungsi tujuan ada.
b. Jika daerah penyelesaian fisibel masalah program linear tidak tertutup dan
koefisien fungsi tujuan bernilai positif maka nilai minimum fungsi tujuan
ada tetapi nilai maksimumnya tidak ada.
c. Jika daerah penyelesaian fisibel masalah program linear kosong (artinya
tidak ada titik yang memenuhi semua fungsi kendala) maka nilai
maksimum dan nilai minimum fungsi tujuan tidak ada.

123

7. Langkah menyelesaikan model matematika dengan metode grafik (metode

titik ekstrim)

a. Menggambar garis yang persamaannya ditentukan dari fungsi kendala.

b. Mengarsir daerah yang tidak memenuhi fungsi kendala

c. Menentukan Daerah Penyelesaian Fisibel (DPF)

d. Membandingkan nilai Z dari titik ekstrim untuk menentukan penyelesaian

optimal.

8. Langkah menyelesaikan model matematika dengan metode grafik (metode

garis selidik)

a. Menggambar DPF.

b. Menggambar garis yang persamaannya dari fungsi tujuan .

c. Menggambar garis-garis yang sejajar dengan dan melalui

titik ekstrim. Garis sejajar ini disebut garis selidik.
d. Untuk masalah maksimum maka titik ekstrim terakhir yang dilalui garis

selidik berkaitan dengan penyelesaian optimal. Sedangkan untuk masalah
minimum, titik ekstrim pertama yang dilalui garis selidik berkaitan dengan
penyelesaian optimal.
9. Kasus program linear yaitu penyelesaian tidak tunggal (multiple optimal
solution), ketidaklayakan (infeasible solution), kelebihan pembatas
(redundant constraint), dan penyelesaian tidak terbatas (unbounded solution).
10. Langkah-langkah menyelesaikan masalah program linear dengan metode
simpleks adalah sebagai berikut.
a. Buat model matematika (jika masalah dalam bentuk masalah kontekstual).
b. Tambahkan variabel slack atau variabel surplus pada setiap
pertidaksamaan fungsi kendala. Jika pertidaksamaannya ” maka

tambahkan variabel slack agar menjadi persamaan. Jika
pertidaksamaannya ” maka kurangkan variabel surplus agar menjadi

persamaan. Variabel slack dan variabel surplus merupakan variabel
nonnegatif yang dimunculkan di ruas kiri pertidaksamaan agar menjadi
persamaan.

124

c. Diperoleh model matematika baru.

d. Susun model matematika baru tsb ke dalam tabel simpleks (sebagai

program awal).

e. Pilih kolom kunci yaitu kolom yang mempunyai nilai terendah

.

f. Pilih baris kunci yaitu yang bernilai terendah dengan dan k

adalah kolom kuncinya

dan k adalah kolom kuncinya.

g. Tentukan elemen kuncinya yaitu perpotongan kolom kunci dengan baris
kunci, disimbolkan elemen kunci , r = baris kunci, k = kolom kunci

h. Lakukan transformasi baris kunci dengan cara membagi elemen pada baris

kunci dengan elemen kunci .

i. Lakukan transformasi baris-baris yang lain yaitu baris baru = baris lama –
bilangan pada kolom kunci yang bersesuaian dengan baris lama (baris
yang akanm ditransformasikan) dikalikan nilai baru baris kunci.

j. Buat tabel simpleks baru berdasarkan langkah e s.d i.

k. Bila tabel baru/perbaikan belum optimal buat tabel baru

dengan langkah e s.d i.
l. Lakukan terus-menerus tahap e s.d. i sehingga menemukan

m. Program optimal.
11. Maks:

h.m: merupakan bentuk baku masalah

maksimum........*)

125

Jika model *) sebagai bentuk primalnya maka bentuk dualnya dicari dengan
cara:
a. Mengubah masalah menjadi masalah minimum.
b. Koefisien fungsi tujuan masalah maksimum menjadi nilai ruas kanan

fungsi kendala masalah minimum.
c. Nilai ruas kanan fungsi kendala masalah maksimum menjadi koefisien

fungsi tujuan masalah minimum.
d. Matriks transpose koefisien fungsi kendala masalah maksimum menjadi

matriks koefisien fungsi kendala masalah minimum.

menjadi

e. Tanda menjadi
f. Variabel pada masalah maksimum dan minimum non negatif
Sehingga bentuk dualnya menjadi

h.m:

12. Min:

h.m: merupakan bentuk baku masalah

minimum...........**)
Jika model **) sebagai bentuk primalnya maka bentuk dualnya dicari dengan
cara:
a. Mengubah masalah minimum menjadi masalah maksimum.
b. Koefisien fungsi tujuan masalah minimum menjadi nilai ruas kanan fungsi

kendala masalah maksimum.

126

c. Nilai ruas kanan fungsi kendala masalah minimum menjadi koefisien
fungsi tujuan masalah maksimum.

d. Matriks transpose koefisien fungsi kendala masalah minimum menjadi
matriks koefisien fungsi kendala masalah maksimum.

e. .

f. Tanda menjadi .
g. Variabel pada masalah maksimum dan minimum non negatif.
Sehingga bentuk dualnya menjadi

13. Teorema tentang Dualitas
a. Teorema Dualitas (lemah)
Jika LP1 program linear masalah maksimum dalam bentuk baku, LP2
program linear masalah minimum dalam bentuk baku, LP1 dan LP2
merupakan dual satu sama lainnya maka:
1) Jika LP1 merupakan kasus penyelesaian tidak terbatas maka LP2
merupakan kasus ketidaklayakan.
2) Jika LP2 merupakan kasus penyelesaian tidak terbatas maka LP1
merupakan kasus ketidaklayakan.
3) Jika LP1 dan LP2 keduanya tertutup dan dapat diselesaikan maka
opt(LP1) opt(LP2), (dibaca nilai optimal (LP1) nilai optimal
(LP2)).
b. Teorema Dualitas (kuat)
Jika LP1 atau LP2 dapat diselesaikan dan tertutup maka berlaku pula
untuk pasangannya dan opt (LP1) = opt LP2).

127

G. Tes Formatif
Pilihlah satu jawaban yang tepat dengan cara memberi tanda x (silang) pada
huruf A, B, C, D, atau E yang ada di depan alternatif jawaban yang
disediakan.

1. Perusahaan Penyedia Sarapan “Mentari Bersinar” harus memproduksi 1 ton
(2000 pon) sarapan per hari untuk memenuhi permintaan sereal manis. Biaya
per pon dari 3 macam bahan yang digunakan adalah sebagai berikut. Bahan A
$4 per pon, Bahan B $3 per pon, dan bahan C $2 per pon. Regulasi
pemerintah menyatakan bahwa sereal mengandung setidaknya 10% bahan A
dan 20% bahan B. Penggunaan bahan C lebih dari 800 pon per ton akan
menghasilkan rasa yang tidak dapat diterima. Biaya minimum agar
permintaan kebutuhan sereal manisnya adalah...
A. Maks
B. Min
C. Min
D. Maks
E. Min

2. Fungsi kendala pada soal no 1 adalah

A.

B.

C.

128

D.

E.

3. Perhatikan model matematika berikut ini

h.m .

Yang bukan merupakan penyelesaian optimalnya adalah
A.
B.
C.
D.
E.

4. Nilai optimal soal no 4 adalah
A. 5
B. 10
C. 15
D. 20
E. 25

129

5. Dipunyai model matematika
Maks

h.m : .

Penyelesaian optimal dan nilai optimalnya adalah
A. , 12
B. , 12
C.
D.
E.

6. Dipunyai model matematika berikut ini
Min

h.m : .

Penyelesaian optimal dan nilai optimalnya adalah
A.
B.
C.
D.
E.

7. Perhatikan model matematika berikut ini.
Maks

h.m: . Soal tersebut masuk dalam kasus...

130

A. Penyelesaian tidak tunggal
B. Ketidaklayakan
C. Kelebihan pembatas
D. Penyelesaian tidak terbatas (Z tidak terbatas)
E. Penyelesaian tidak terbatas (PO tidak terbatas)

8. Dipunyai program linear sebagai dual sebagai berikut

h.m: . Penyelesaian optimal dari primalnya adalah

A.
B.
C.
D.
E.

9. Dipunyai model dual program linear adalah
Maks

h.m : . Berdasar model tersebut dibentuk model primal. nilai

optimal model primalnya adalah
A.
B.
C.
D.
E.

131

10. Pada soal nomor 9, penyelesaian optimal primalnya adalah...
A.
B.
C.
D.
E.

H. Daftar Pustaka
[1] Barnett, Raymond A and Ziegler, Michael R.. 1993. College Mathematics For

Bussiness, Economics, Life, Scienses and Social Scienses. New York:
Macmillan Publishing Company.

[2] Dantzig, G.B., Thapa, M.N. 1997. Linear Programming 1: Introduction.
Springer-Verlag New York, LLC

[3] Hadley, G. 1980. Linear Programming. Massachuttes: addison-Wesley
Publishing Company.

[4] Suyitno, H. 2014, Program Linear dan Penerapannya. FMIPA Unnes

[5] Winston, W.L. 1993. Operation Research: Applications and Algorithms.
California: Duxbury Press

I. Kriteria Penilaian Tes Formatif
Cocokkanlah jawaban Saudara dengan Kunci Jawaban Tes Formatif yang terdapat
di bagian akhir kegiatan belajar ini. Hitunglah jawaban yang benar. Gunakan
rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Saudaraterhadap materi pada
kegiatan belajar ini.

Tingkat Penguasaan (TP) = .

Arti tingkat penguasaan:

: sangat baik
: baik

132

: cukup
: kurang
Apabila tingkat penguasaan Saudara 80% atau lebih, Saudaradapat melanjutkan
ke kegiatan belajar berikutnya. Bagus! Saudara telah berhasil mempelajari materi
pada kegiatan belajar ini.
Apabila tingkat penguasaan saudara kurang dari 80%, Saudara harus mempelajari
kembali materi pada kegiatan belajar ini.

133

134

No Kode: DAR 2/Profesional/180/2/2019
PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
MODUL 2 ALJABAR DAN PROGRAM LINEAR

KB 4. Pembelajaran Aljabar

Penulis:
Dra. Kristina Wijayanti, M.S.

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan
2019

135

A. Pendahuluan Selamat mengikuti
Para mahasiswa yang berbahagia, tetap semangat.
kegiatan belajar materi pembelajaran aljabar.

Kegiatan belajar 4 ini menyajikan uraian singkat tentang model
pembelajaran discovery learning, pembelajaran abad 21, pendekatan saintifik,
PPK, dan contoh perangkat pembelajaran yang disarankan oleh Kurikulum 2013
untuk materi bentuk aljabar. Seorang guru diharapkan dapat merancang dan
melaksanakan pembelajaran yang disarankan oleh Kurikulum 2013. Dengan
mengimplementasikan Kurikulum 2013 diharapkan siswa dapat mengembangkan
kemampuan berpikir tingkat tinggi dan mengembangkan sikap religius, nasionalis,
integritas, gotong royong, dan mandiri. Kemampuan dan sikap yang
dikembangkan ini sangat diperlukan dalam kehidupan siswapadaabad 21.

Proses pembelajaran untuk materi yang sedang Saudara ikuti sekarang ini
dapat berjalan dengan lebih lancar bila Saudara mengikuti langkah-langkah
belajar sebagai berikut.
1) Tidak ada materi prasyarat dalam mempelajari materi pada kegiatan belajar

ini.
2) Pelajari materi pada kegiatan belajar ini, selesaikan latihan pada forum

diskusi, dan selesaikan tes formatif secara mandiri.
3) Cocokkan jawaban tes formatif Saudara dengan kunci jawaban yang

diberikan.
4) Apabila tingkat penguasaan Saudara 80% atau lebih, Saudara dapat

melanjutkan ke kegiatan belajar berikutnya. Apabila tingkat
pengusaanSaudara kurang dari 80%, Saudara harus mempelajari kembali
materi pada kegiatan belajar ini.
5) Keberhasilan pembelajaran Saudara dalam mempelajari materi pada kegiatan
belajarini, sangat tergantung pada kesungguhan Saudara dalam belajar dan
mengerjakan tugas dan latihan. Untuk itu, berlatihlah secara mandiri atau
berkelompok dengan teman sejawat.

136

Selanjutnya kami ucapkan selamat belajar, semoga Saudara sukses mampu
mengimplementasikan pengetahuan yang diberikan dalam kegiatan belajar ini.

B. Capaian Pembelajaran
1. Mampu melaksanakan tugas pendidik matematika yang profesional dalam

merumuskan indikator capaian pembelajaran berpikir tingkat tinggi yang
harus dimiliki peserta didik untuk membangun sikap, pengetahuan dan
keterampilan peserta didik yang literate komputasi, teknologi, sains data yang
selaras dengan tuntutan masa depan (adaptif dan fleksibel);
2. Mampu merancang pembelajaran matematika berbasis IT/ICT (software dan
hardware) dengan memadukan pengetahuan materi ajar, pedagogik,
psikologi, dan teknologi informasi dan komunikasi atau Technological
Pedagogicaland Content Knowledge (TPACK) dan pendekatan lain yang
relevan dengan pembelajaran matematika dalam membangun sikap,
pengetahuan, dan keterampilan matematis peserta didik.

Setelah mempelajari materi ini:
1. Jika disajikan suatu kompetensi dasar matematika, peserta dapat menentukan

aktivitas pada kegiatan inti yang menuntut kemampuan berpikir kritis dan
atau kreatif,
2. Peserta dapat menentukan penerapan teori belajar Bruner agar siswa mampu
menyelesaikan masalah matematika,
3. Disajikan suatu kompetensi dasar matematika, peserta mampu
mengembangkan indikator yang tepat untuk mencapai kompetensi dasar
tersebut.
4. Disajikan pokok bahasan pada materi matematika, peserta mampu
menentukan media yang sesuai dengan pokok bahasan tersebut.
5. Disajikan indikator dari pengembangan kompetensi dasar matematika, peserta
mampu menentukan penilaian yang sesuai dengan indikator tersebut.
6. Disajikan suatu kompetensi dasar materi matematika, peserta mampu
menentukan urutan materi yang sesuai dengan kompetensi tersebut.

137

7. Disajikan tujuan pembelajaran pada rancangan RPP matematika, peserta
mampu menentukan media yang relevan dengan tujuan pembelajaran
tersebut.

8. Disajikan kompetensi dasar pada matematika, peserta mampu menentukan
tujuan yang sesuai dengan kompetensi dasar tersebut.

9. Disajikan soal yang menuntut jawaban pilihan ganda pada materi matematika,
peserta mampu menentukan distraktor yang tepat sesuai dengan soal yang
diberikan.

10. Disajikan materi, tujuan dan indikator pembelajaran pada matematika, peserta
mampu mengembangkan media pembelajaran kreatif dan inovatif berbasis
IT/ICT agar tujuan pembelajaran tercapai

C. Pokok-pokok Materi
Pokok-pokok materi pada KB 4 ini adalah sebagai berikut.

1. Teori Belajar.
2. Model pembelajaran Discovery Learning.
3. Pembelajaran Abad 21.
4. PPK.
5. Perangkat Pembelajaran Materi Bentuk Aljabar.

Mahasiswa dapat mempelajari Video Media Pembelajaran Modul 2 KB 4
berikut ini yang dapat dilihat pada VMP-M2-KB4

D. Uraian Materi
1. Teori Belajar

Tokoh-tokoh yang mendukung teori belajar konstruktivisme dalam
pembelajaran matematika antara lain: Bruner, Dienes, Piaget, Ausubel, dan
Vygotsky. Menurut Bruner, untuk pengetahuan dibentuk melalui tahapan enaktif,
ikonik, dan simbolik. Untuk teori belajar yang lain, silahkan mencari sumber
literatur yang lain.

138

2. Model pembelajaran Discovery Learning
Mahasiswa PPG yang selalu bersemangat, Saudara dapat mengkaji model
pembelajaran discovery learning melalui link berikut ini.
http://general.utpb.edu/fac/keast_d/Tunebooks/pdf/Buner%20and%20Discover
y%20Learning.pdf

Discovery Learning (DL) merupakan salah satu model pembelajaran yang
diperkenalkan pada tahun 1960-an oleh pakar konstruktivisme Jerome Bruner.
Menurut Bruner, DL merupakan pendekatan pembelajaran berbasis-inquiry
dimana siswa membangun pengetahuan baru berdasarkan pengetahuan awal yang
dimilikinya dan pengalaman aktif. Siswa membangun pengalaman menggunakan
intuisi, imajinasi, dan kreativitasnya; dan mencari informasi baru untuk
menemukan fakta, korelasi, dan kebenaran baru. Belajar bukan merupakan
aktivitas menyerap pengetahuan dan informasi yang dibaca maupun dikatakan
tetapi aktivitas mencari jawaban secara aktif. Pada metode mengajar klasikal,
siswa biasanya pasif dan diharapkan menerima pengetahuan yang diberikan oleh
guru, sedangkan DL menggunakan pendekatan berpusat pada siswa dimana siswa
menemukan pengetahuan baru melalui pengalaman aktif dan langsung serta
mengkonstruksi konsep baru berdasarkan pengetahuan yang sudah ada. Model DL
berorientasi pada proses belajar bukan pada konten dan infomasi. Bruner (1961)
menyatakan bahwa “practice in discovering for one self t eaches one to acquire
information in a way that makes that information more readily viable in problem
solving.”

Karakteristik utama DL adalah siswa menghasilkan unit dan struktur
pengetahuan abstrak seperti konsep dan aturan menggunakan penalaran induktif
mereka tentang bahan belajar nonabstrak yang disediakan lingkungan belajar.
Bahan belajar berupa contoh-contoh konsep umum, kasus-kasus untuk pendekatan
umum dan prosedur (misalnya metode mengajar, gaya manajemen), pertanyaan
ill-defined, dan jenis situasi masalah (misal bagaimana memotivasi siswa di kelas
yang pasif), atau fenomena yang harus dijelaskan siswa. Karakteristik lainnya
adalah adanya sejumlah petunjuk yang diberikan kepada siswa selama proses

139

penalaran induktif. Pada model DL, tingkat petunjuk yang diberikan guru
bervariasi tergantung tingkat kesulitan bahan belajar, kompleksitas pengetahuan
prosedural dan konseptual, dan prasyarat kognitif dan motivasi peserta didik.
(Neber, 2012)

Salah satu aspek penting dalam DL adalah kegagalan. Siswa dikatakan belum
belajar jika dalam proses belajarnya belum mengalami kegagalan. Atribut utama
DL yang digambarkan oleh Bicknell-Holmes dan Hoffman (2000) adalah:
a. Eksplorasi dan pemecahan masalah

Siswa mencipta, mengintegrasikan, dan menggeneralisasi pengetahuan
melalui eksplorasi dan pemecahan masalah.
b. Tanggung jawab belajar
Proses belajar didorong oleh kegiatan berbasis-minat. Dalam ini kemampuan
peserta didik untuk memilih sendiri kecepatan belajar mereka.
c. Membangun pengetahuan awal
Suatu kegiatan yang berusaha untuk mengintegrasikan pengetahuan baru
dengan basis pengetahuan siswa yang ada, dan dapat terjadi melalui
penggunaan beberapa strategi pengajaran.

Masih menurut Bicknell-Holmes dan Hoffman (2000), karakteristik DL
adalah:
a. Siswa lebih dari sekedar pendengar pasif. Siswa melakukan beragam

aktivitas, yang disebut “learning by doing”.
b. Lebih sedikit penekanan pada pengiriman informasi - lebih banyak penekanan

pada pengembangan keterampilan.
c. Siswa menerima umpan balik tepat waktu dari instruktur atau modul

pembelajaran
d. Kegagalan membawa pada "momen yang bisa diajar"
e. “Keterlibatan intelektual” - siswa lebih dari sekadar belajar demi pemahaman
f. Penekanan pada penetapan tujuan, menghasilkan pertanyaan, pemecahan

masalah, dan mencari jawaban
g. Kegiatan belajar berbasis kehidupan nyata dan minat siswa
h. Keterlibatan siswa dalam kegiatan belajar.

140