Math

1 1 Ejercitación 7S Ejercitación 7T
t t +1
4 a i v(t) =

2 y

1 Cóncava hacia arriba (−∞, ∞) 1

ii 1 segundo 2

4 ( 0)

2 Cóncava hacia arriba (0, 2); 3

(–4, 0)

1 1

b i a(t) = + cóncava hacia abajo (−∞, 0) y 0
–1
2 x
–4
2 (t + 1) –2

(2, ∞); puntos de inexión

1 –8

(0, –8)

ii Dado que >0 y (0, 0) y (2, 16)

2

1 3 Cóncava hacia arriba (2, ∞); 5 49

>0 ( )

3 3

2 cóncava hacia abajo (−∞, 2);
( t + 1)

puntos de inexión (2, 8) 2 y

1 1 5 40

a(t) = + >0 ( )

2 3 27

2 (t + 1) 4 Cóncava hacia arriba (−∞, ∞)

(–√5, 0) (–1, 0) (√5, 0)

para t ≥ 0 y por lo tanto

5 Cóncavo hacia arriba (−2, ∞);

0 x

–1

su velocidad nunca

cóncava hacia abajo (−∞, −2);

decrece.

⎛ 4⎞ (0, –5)

puntos de inexión −2, − –6
⎜
2⎟

⎝ e⎠

Ejerci tación 7Q –8
–10
(1, –8)

1 Decreciente (−∞, ∞)

6 Cóncava hacia arriba

2 Creciente (−∞, 2); decreciente 3 3
,  , cóncava
,  y 3 y
3 8
x=4

(2, ∞) 3

3 Creciente (−1, 1); decreciente ⎛ 3⎞ 6

hacia abajo ⎜ 3 ⎟,
⎜ 3 ⎟
(−∞, −1) y (1, ∞) (–2, 0) 4
⎠
3

⎝

2 y=1

4 Decreciente (−∞, 0); creciente

⎛ 3 3⎞
3
(0, ∞) puntos de inexión ⎜ ⎟ x
⎜ x
⎟ –4
4 ⎠
(0, –½)
⎝ –4

5 Creciente (−1, 0) y (1, ∞); ⎛ 3 3⎞ –6

y ⎜ ⎟
⎜
⎟
decreciente (−∞, −1) y (0, 1) 3 4 ⎠

⎝

6 Decreciente (−∞, 3) y (3, ∞) –8

48 x

7 a f ′( x ) =

7 Decreciente (0, ∞) 2 2 4 y

(x + 12)

8 Creciente (−3, ∞); decreciente 10
8
f ″( x ) 6
4
(−∞, −3)

2 2 2

(x +12 ) ( − 48) − ( − 48 x )[2( x +12 )( 2 x )]

9 Creciente ( ,  3) y ( 3 ,  ); =

2 4

(x +12 )

decreciente ( − 3 , −1), (−, ) y

2 2 2 2

2

(x + 12) ( − 48) + 192 x (x + 12) (3, 0)

(1, 3) =

2 4

(x + 12)

0 x

10 Creciente (−∞, −2) y 1 2 3 4 5 6
(4, ∞); decreciente (−2, 4)
2 2 2

48( x + 12)[−( x + 12) + 4 x ]

=

2 4

(x + 12) 5 y

Ejercitación 7R 2 2

48( x + 12 )(3 x − 12) 10
8
=

2 4

1 Mínimo relativo (, −5) (x + 12)

2 2 6
4
2 Mínimo relativo (2, −2); 144 ( x + 12)( x − 4) 2
(0, 0)
=

2 4

máximo relativo (−2, ) (x + 12)

2 4)
144 ( x

3 No hay extremos relativos.

=

2 3

(x + 12) –3 –2 1

4 Mínimo relativo (−, −), y –2

(, −); máximo relativo (0, 0) b i Máximo relativo –4
(0, 2) –6
⎛3 2187 ⎞ –8

5 Mínimo relativo − −

⎜ ⎟
⎠
⎝4 256

ii Puntos de inexión

6 Mínimo relativo (0, 0);

⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ 6 y

2, y 2,
⎜
⎟⎜ ⎟

⎛ 4⎞ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠

máximo relativo 2,
⎜
2⎟

⎝ e⎠

(–1, 0) (1, 0)
1
8 Cóncava hacia arriba

7 No hay extremos relativos. 0 x
–1
–3 –2

(−∞, −2) y (4, ∞), cóncava

8 Mínimo relativo (, 0);

hacia abajo (−2, 4), puntos de –1
(0, –1)
máximo relativo (−3, −8) √3 1 ( 1

inexión en x = −2, 4 ( ) 3 )

3 2 2

Respuestas 

Ejercitación 7U 4 Máximo absoluto 16; 4 1
x 3
mínimo absoluto −9 j
k 3

y

1 x 2

y = f ''(x)

e (3 x + 6 x + 1)

5 Máximo absoluto 2;

y = f '(x) 5 x
2 6e

mínimo absoluto

l x 2
m (e 3)

Ejercitación 7X 3

x

–3

2x 5

79 1
y
1

2x

4 4 n 2 xe ( x + 1)

2 100 y 50 1
3 x
y = f(x) o

200

x = 50 pies; y = pies

3

3 2 2 3

y 2 a x + 3x h + 3xh +h

2 Ejercitación 7Y

y = f '(x)

b

y = f(x)

1 40 cm por 40 cm por 20 cm

f '( x )

2 3 ar tículos

3 3

[2( x  h )  6( x  h )]  ( 2 x  6x )

 lim

3 22

h 0

0 x h

30 3a
r=
3 2 2 3 3

4 a
b
2x  6x h  6 xh  2h  6 x  6h  2 x  6x

5  lim

h 0

2 h

30 3a

2 2 3

(V ( a ) = π ) (a ) o

6x h  6 xh  2h  6h )

5  lim

y = f ''(x) h 0

h

V (a) = 9π 2 + 3
(100 a 20 a a)

y 2 2
y = f(x)
3

25 h(6 x  6 xh  2 h  6)

 lim

h 0

h

y = f '(x) dV 9π 2
da (100 + 3a );
c = 40a 2 2
 lim ( 6 x  6 xh  2h
 6)

25

h 0

2 2
dV
9π  6x 6
2 (
da = 40 + 6a )

x 25

–6 –4 –2 c p = –1; q = 1

d f ″ (x) = 12x

10

d r = 4 cm; a = cm

3 e (0, ∞)

y = f ''(x) 1

5 a p(x ) = 4 x 2 3 y −4 = − ( x − 1)
− 2x

12

dp 2 2 1
dp

Ejercitación 7V b = − 4x; =− −4 ⎛2 3⎞ ⎛ −2 3⎞
3 ⎜ ⎟
1 2 3 9 2 3 9+2 ⎠
dx 9
dx 4 , ⎟, ⎜ ,

2 2
x x

⎝3 ⎠ ⎝ 3 9

1 Mínimo relativo (3, –75)

c 0,630 mil unidades o

2 Mínimo relativo (1, 0) y (–1, 0); 5 a f ″ (2) > f (2) > f ′(2);

630 unidades

máximo relativo (0, 1)

b f ″ (2)> 0, dado que el gráco

3 Mínimo relativo (3, –27) Ejercicio de revisión sin CPG de f es cóncavo hacia arriba;

f (2) = 0; y f ′ (2) < 0, dado que

⎛ 1⎞ 2

1 a 12x + 6x – 2

4 Mínimo relativo −1, −

⎜ ⎟

el gráco de f es decreciente

⎝ e⎠ 1
4
b 3 2
3
5 Mínimo relativo (1, 0) x 6 a i 4x – 12x

3

2

6 Máximo relativo (0, 1) 12 ii 12x – 24x

c 5
x

b i (0, 0), (4, 0)

Ejercicion 7W 4 3 2

d 10 x − 4x − 3x + 2x − 1 ii (3, −27)

1 A: ninguno; B: mínimo iii (0, 0), (2, −16)

e 11

absoluto y relativo; 2
( x + 7)
c y
20
C: máximo absoluto

f 4x
4e

2 A: ninguno; B: mínimo 15

2 3 3

g 12 x (x + 1)

10

relativo; C: máximo absoluto

2 5
2x + 3
y relativo; D: mínimo h (4, 0)
x
(0, 0)
(3, –27)
absoluto 0
–1
–3 –2
5

1 2 ln x

3 Máximo absoluto 8; i
3
10
x

mínimo absoluto −8

15

20

(2, –16)

 Respuestas 25

100 Ejercitación 8B 2 a 1 b 170 ≤ h < 180
v (t ) = 20 −
7 a
b t
c
1 a Continua

t<5 Ejercitación 8D

b setnaidutse ed oremúN y
40
100 30 −1
20 62,5 km h
v  (t )  a(t )  y, dado que 10 1

2
t

2 $1,86

2

100 > 0 y t > 0,

3 a Discreta

v ′(t) > 0. Por lo tanto,

la velocidad es siempre b 5,76 llamadas por día
creciente.
0 x

15 30 45 60 75 90

4 a Continua

Tiempo en minutos

b 90 ≤ m < 120

Ejercicio de revisión con CPG

2 a Continua c 83,4 minutos por día

1 a No existe.

b 17 5 79

b 1

c y 6 91,1 kg
5
c 8 seroseforp ed oremúN 4
3
2 7 255 km
1
d No existe.

8 568

2

2 a i y= x + 100

9 103 puntos

2

ii z= (30 − x) + 625 o

10 $315,20

2

x − 60 x + 1525

0 x

10 20 30 40 50 60 70

Ejercitación 8E

2

iii L( x )  x  100 Edad (años)

1 a 4 b 5 c 3,5

2

 x  60 x  1525 3 a Continua

d 4 e 6

dL x b c 96

b i
dx
2 2 11

x  100

Masa 1≤w 2≤w 3≤w 4≤w
(kg)
x 30 3 Moda 7, media 5,25,

 <2 <3 <4 <5

2

x  60 x  1525 mediana 5,5

Número 8 24 50 14
de pollos

ii 8,57 pies

4 a Continua

Capítulo 8

b c 5 min

Comprobemos nuestras T iempo 5 ≤ t < 10 10 ≤ t < 15 15 ≤ t < 20 20 ≤ t < 25 25 ≤ t < 30 30 ≤ t < 35 35 ≤ t < 40 40 ≤ t < 45
habi lidades

f1 2 4 4 2 2 1 1

1 y

12

10 Investigación: medidas de
posición central
8

6

4 Valores Media Moda Mediana

2

Conjunto de datos 6, 7, 8, 10, 12, 14, 14, 12,2 14 13
15, 16, 20 18 17
0 x 28 26

Rojo Azul Rosa Púrpura Negro

Sumar 4 a cada valor del 10, 11, 12, 14, 16, 18,

2 a 6,4 b 8

16,2

conjunto 18, 19, 20, 24

c i 6 ii 10 iii 11

Multiplicar cada valor del 12, 14, 16, 20, 24, 28,

24,4

Ejercitación 8A conjunto original por 2 28, 30, 32, 40

1 a Discreta b Continua

a Si suma 4 a cada valor,

Ejercitación 8A

c Continua d Discreta

sumará 4 a la media, la moda

1 a 18 b 9

2 Discreta y la mediana.

c 18 y 24 d 0

b Si multiplica cada valor por

e 1 2, multiplicará la media, la
y2

2

moda y la mediana por 2.

Respuestas 

Ejercitación 8F i 11 min 6 a i 23 min ii 16 min

1 a 95 cm b 67,5 c 57,5 ii (13,6 − 8,2)min iii 37 min

92,5 35 = 5,4 min y

d e b

y

b p = 32, q = 8

Min x Q m Q Máx x 4 a
1 3
Notas f fa
2
0 x 20 ≤ m < 30 2 5 0 x
30 ≤ m < 40 3 50
20 40 60 80 100 120 10 20 30 40

2 a 14 b 79 c 75 40 ≤ m < 50 5 10 7 a 170 cm

d 82 e 7 b 55 ores entre 135 cm y

50 ≤ m < 60 7 17

y 164 cm

60 ≤ m < 70 6 23

Min X Q m Q Máx X c 22 ores, 180 cm d 110
1 3

70 ≤ m < 80 4 27

x e
y
71 75 79 82 85

80 ≤ m < 90 2 29

3 a 19 b 21 c 12

90 ≤ m < 100 1 30

d 27 e 15

b y

Min x Q m Q Máx x adalumuca aicneucerF 32
1 3 28
24
20 0 x
16
12 140 150 160 170 180 190 200

8 Altura (cm)
4
10 20 x
30

Ejercitación 8H

4 a 5 b 8 c 7

1 a Media = 18

d 10 e 3

Varianza = 129,6

0

20 40 60 80 100

5 a iii b ii c i

Desviación típica = 11,4

Ejercitación 8G c i Mediana ≈ 57% b Media = 40

Varianza = 200

1 a 75 cm ii Cuar til inferior ≈ 45%

Desviación típica = 14,1

b (77,5 − 72) cm = 5,5 cm Cuar til superior ≈ 69%

2 a Varianza = 78,5

c El 50% de los datos tiene iii Rango intercuar til

Desviación típica = 8,86

una dispersión de 5,5 cm. ≈ 24%

b Varianza = 80,18

y 5 a
40
2 35 Distancia (d) f fa
30
25 Desviación típica = 8,95
20
adalumuca aicneucerF 15 0 ≤ d < 20 4 4
10
c Varianza = 449
5
20 ≤ d < 40 9 13

Desviación típica = 21,2

40 ≤ d < 60 15 28

3 1,32

60 ≤ d < 80 10 38

4 Media = 2,5

80 ≤ d < 100 2 40 Desviación típica = 1,24

5 Desviación típica = 14,9

b

y

6 a Discreta b 2,73

0 x 40
36
10,5 20,5 30,5 40,5 32
28
adalumuca aicneucerF 24 c 1,34 d 23
20
Longitud (mm) 16
12
7 Media = 42,4
8
3 a y 4

opmeit etse euq sonem noradrat Desviación típica = 21,6
euq setnaidutse ed oremúN
100

90 8 a 51 b 69,5

80

70 c i 21,8 ii Ninguno

60

50 Investigación: el efecto de
sumar o multiplicar el conjunto
0 x de datos en la desviación típica
100
40 20 40 60 80

30

Distancia de lanzamiento (m)

20

10 c Distancia de clasicación

Q Q Q
1 2 3

a 2,47

≈ 66 m

0 x
8 10 12 14 16 18
2 4 6

b La media aumenta de 100 a

d Rango intercuar til ≈ 28 m

Tiempo (min)

103,9.

e Mediana ≈ 50 m

 Respuestas

c 2,47 3 a 6 b 6 c 5,92 1 1 1

–3+1 –2
x
3 = – x o – ;

2

−3 +1 2 2x

d La desviación típica permanece 4 a Media = 2,57

igual. Esto es porque la Mediana = 2 Moda = 1,

d 1 2 = –3
x x
( )
2
desviación típica solo mide la Desviación típica = 1,68 dx

dispersión de los números, y 1 3 2
+1
Varianza = 2,82

1 2 d 2

2 2 3
x
= x ; ( x)

esta permanece constante si se dx 3

b Rango = 6 Cuar til 1 3

+1

le suma el mismo número a

inferior = 1, RIC = 3 2

1

cada valor de la lista.

5 a 160 ≤ Estatura < 170 = 2
x

e La media se duplica.

4 n = −1

b

f 4,94 Estatura f

Ejercitación 9A

g La varianza quedará 140 ≤ Estatura < 150 15

1 1
8
5
x
multiplicada por 4 porque 150 ≤ Estatura < 160 55 1 + C 2 x + C

8 5

la varianza es la desviación

160 ≤ Estatura < 170 90 1
+C
típica al cuadrado. 3
4 x
170 ≤ Estatura < 180 45 5 1

Ejercicio de revisión sin CPG 2

180 ≤ Estatura < 190 5 2x +C

4

1 a 3 b 5 c 5 3

Media = 164 cm 3 +C
x

d 9 4

6 a i p = 65 ii q = 34

7

2 a 4,2 b 4 c 4 5

6 5 +C
7 x
8
b Mediana = 18 9
10
11 7
12
3 Media = 27,5 años

c Media = 17,7 1

Desviación típica = 0,4 años +C

3
3x

4 Tipo A 1

+C

11
11x

a 52 b 14 c 8 Capítulo 9

4

Tipo B Comprobemos nuestras 3 +C
habi lidades
3
x

4

a 52 b 8 c 3 10

7 7
x
+C

1 a 2 + 8 + 18 + 32 + 50

5 a 426 b 72 c 62 10

4

6 a b 4 + 7 + 10 + 13 + 16 5

5 +C
x

y 4

c g(x ) + 4g(x ) + 9g(x ) +
123
1

140

adalumuca aicneucerF 16g(x ) + 25g(x ) 3

3x +C

4 5

120

d f (x )(∆x ) + f (x )(∆x ) +
a
100 11 2 2

Ejercitación 9B

80 f (x )(∆x )

3 3 1

4

1 x + C

60 2 2
18 mm 8π cm
2 b 4

40

3 a 3 b 3 2 1
160π cm 42π ft 3 +C

20 t

0 x Investigación: antiderivada 9
180
150 160 170 n 5
de x 5
+C
x

Altura (cm) 9

4 2u + C

b Mediana ≈ 163  Antiderivada
de f
f (x) 3 2

5 x +x +x+ C
6
c Rango intercuar til ≈ 6 7

8 2
9
+C

7 a k = 100 − 96 = 4 x 1 2
2 x

x + C

2 5

1 4
4
b i Mediana = 3 3
t
t + +C

2 1 3 5
x
3

ii Rango intercuar til x + C

5

3 3

=5–1=4 3 +x+ C
x

5

o 3 1 5 4 2
Mediana = 65 F, rango x 4
8 x + 3x + 3x – 2x + C
o x
intercuar til = 45 F + C

4

10 t+C
11
4 1 2 8
x 12 3x
5 a 3
x
Ejercicio de revisión con CPG x + C

5

1 Mediana = 20 Rango 1 4

4

b x − +C
a
intercuar til = 14 1 4 x

2 n+1
x

6

n +1 6
4
2 a 6,48 b 1,31 5

b 25 x +C

5
x

Respuestas 

3

Ejercitación 9C Ejercitación 9F

2 1 2
2
6 2 3 4 9 x dx ≈ 7,07;
(2x 5)
1 f (x) = x + 4x +8 1 + + C
2 2
3 0

3 3

3 3

5 ln(x + 2x) + C, x + 2x > 0 1
2
1 4 ≈ 7,07
5 π(3 )
4
y= x + x +9

4

2

5 2

5 2
+ 5x )
3 (3 x +C 3

3 2 6 4 3 1
s(t) = t t 5 dx ≈ 1,10; no hay fórmula

5

4 x
x

3 1
115π cm
4 e +C

1 para el área.

5 a −2 +C
b 5ms

2

x + 3x + 1

5

2 6

s (t ) = 5 + 20t − t

x

⎛1 ⎞

2 6 e +C
7
6 x + 2 dx = 18;
8
⎜ ⎟

Ejercitación 9D 1 ⎝3 ⎠
0

3 5

(2x + 5) +C

30 1
(2 + 4)(6) = 18
1 2 ln x + C, x > 0
2
3
Ejercitación 9H
4

2

2 x (x 4 +C
3 3e + C + x)

4 3
5
1 1 1 12
ln t + C, t > 0
4 2 4
4
9 (x – x) + C
10
1 2
2
2 14
x
+C 3 3

–ln(x – 4x) + C, x – 4x > 0

2

3 –4

4 2

3 2 11 f (x) = ln(4x + 1) + 4
6x 12
x + + 9x + C

3 3 4 –8
x

f (x) = e + 4e

2

3 2 5 12

6 x + 3x + 5 ln x + C, x > 0
7
8 3
9
10 Investigación: área y la integral 6 0
denida
1 + C
3

u

3 7 11

1 3
2
4 3 1 a i 0,5 ii 1; 1,25; 2; 3,25
x x
x – + – x + C

8 –3

4 2

iii 3,75

1 9 20
x
+ x) + C
(e

2 b i 0,5 ii 1,25; 2; 3,25; 5

10 12

5 3 1 iii 5,75

2 + 2 + 2 +C 11 a 4 b 12
2 2 2x

x x

5 3

c 4,67; 3,75 < 4,67 < 5,75; el

12 a 4

Ejercitación 9E área de la región sombreada

b i a = 3; b = 7 ii k=3

1 1 + 3 + C 2
2 (2x 5) (2x + 2)dx = 9;
3
6 2 1 1 Ejercitación 9I
(3)(6) = 9;
1
2

(–3x + 4 + C
5)

12 son iguales. 1 1
a 2 10
3 3
1 3
x 4 1
5 2
2 3 f (x)dx
2e
+C

1 4 b 1
a (2,5 + 1)(3) = 5,25;
4 ln(5x + 4) + C, x > – 4
5 2
6 5 5

3 7

5 36
1
ln(7 – 2x) + C, x <

2 2 1
x + 3 dx = 5,25
5
2
2x+1
2e + C 3

4(e – 1)

3 b 1 ≈ 25,1;
2
8
3) π (4 )

7 (4x – + C
8
16 2 6 1
4 7 16
8
3 2 3
16
2 16 x dx ≈ 25,1

2

(7 x + 2) +C

4

21

1 4 Ejercitación 9G
ln(3x – 5) + C,
4x 32
3
9 e +
10
6 9 a 24 b

4 3

⎛1 ⎞

1 x + 1 dx = 16;
⎜⎟
5
x> 2⎝ 2 10 12

3 ⎠

1 1 Ejercitación 9J
12( 4 x (8)(4) = 16
+C
2
2 0
5)

1 ln 3
2
11 a 2 3 3 1 1
12(4x + 5) 4
2 (x – 4x)dx = 4; no hay 2 3
e e
1 2

b (4x + 4 + C
5)

fórmula para el área.

16 0

3

1 13
s=–
–3t 2

12 e + 3t + 1⎞

3 3 3 dx = 12; (4)(3) = 12 ⎛ ⎟
1 e⎠
3 2e
⎜

⎝

 Respuestas

56 2 y 5 a (0,0), (–1, 0), (1,0)
9 2
5
1
3

b i f ′(x) = 4x – 2x

6 320

ii Puntos mínimos

7 18 relativos:
8 2 ln
9
7

4 3 x

2(e –e ) –2 –1 0 1 2

1 1 1 1

2  , , ,

2 8  2 4 2 4
–2x (x – 2)dx 3
a b ( 1
=
0 2

x −x ) dx

0

3 Punto máximo relativo:
(0, 0)
10 5

Investigación: área entre dos c i e ii
curvas
1 4 2

f(x) = x –x

2

Inter valo Ancho Altura Área

–1,5 ≤ x ≤ –0,5 1 f(–1) – g(–1) = – 2 – (–3) = 1 1(1) = 1

(0, 0)

–0,5 ≤ x ≤ 0,5 1 f(0) – g(0) = 0 – (–2) = 2 1(2) = 2

0 x

–2 –1

0,5 ≤ x ≤ 1,5 1 f(1) – g(1) = 4 – (–1) = 5 1(5) = 5 1 1 1 1

, , 4)

–1 2

( 2 4)

1,5 ≤ x ≤ 2,5 1 f(2) – g(2) = 10 – 0 = 10 1(10) = 10

2,5 ≤ x ≤ 3,5 1 f(3) – g(3) = 18 – 1 = 17 1(17) = 17 –2

2
g(x) = 1 – x



8

2 4 2

d ((1 – x ) – (x – x ))dx =

5



2 Área ≈ 35 3 y
8
6 6 y
4 2
3,5 2 1

2

3 [(x + 3x) – (x – 2)]dx

−,5

≈ 35,4; los valores están muy

0 x
–2
próximos. –4 –3 –2 0 x

–1

–1

–4

Ejercitación 9K

–2

1 y –8
4
3 2 3,46
(ln(x) – (x – 2)dx
3 (2x 4))dx = 16
(x 0,1586
≈ 1,95
2

1

0 x

–4 –3 –1
–1

4 y
4
3 7 y
2 5
–3 1 4
–4

2

⎛⎛ 1 ⎞ ⎛1 ⎞⎞

2 2

− x +2 − x −2 dx
⎜⎜
⎟⎜ ⎟⎟

⎝⎝ 2 ⎠ ⎝2 ⎠⎠ 2
2 1
0 x
–1
–4 –3
–1
32
= –2

3 –3

0 x

–2 –1

–1

2 2,732

2 2
((3 + 2x – x ) – (x + 1))dx
((–x + 3) – (x – 3x + 1))dx

0,7321
9 ≈ 6,93
=

2

Respuestas 



8 y Ejercitación 9M
3
2 3
1
2 ((x – 1) – (x – 1))dx + 5
3
0 1 2
2 π (4 )dx ≈ 251;

3 0
((x – 1) – (x – 1) )dx = 0,5
2
1 V = π (4 )(5) ≈ 251

0 3

0 x 3 2 2 2
x π (6 – 2x) dx ≈ 113;
((
–3 –2 –1 ) ( )) +
x x xe
dx

–1 0

1,131 1
2
–2 V= ≈ 113
π (6 )(3)

,3 3

( ( xe 2 3
x

2

–3 ) − (x )− x ) dx

2 2

0 3 (4 x ) dx ≈ 33,5;

0,384 2

≈ 1,18

2 x 4
3
((2 – x – x ) – e dx V= ≈ 33,5
π (2 )

−0,707

1,952 3

4 2

4 ((–x + 10x – 9) –

≈ 2,68 4
( 16
−3

2 2

4 x ) dx ≈ 134;

y 0,707

9

4 2 4 2 0

(x – 9x ))dx + ((x – 9x ) 1 4
V=
8
2
3

−0,707 π (4 ) ≈ 134

3

4 2

– (–x + 10x – 9))dx +

4 4
2
3

5 2 1
π (x )dx ≈ 58,6; V = 2

π (4 )(4)

4 2

((–x + 10x – 9) –

3

0,707 2

4 2 1
2
0 x (x – 9x ))dx ≈ 110 – ≈ 58,6
π (2 )(2)

–4 –2 2 4 6 8 10

–2 3

5 a i (4, 4)

–4

1 Ejercitación 9N

ii f ′(x) = x

2

9,275

2

127π

⎛⎛ 1 ⎞ x +2⎞ 3 2

1 π (x ) dx =

x +6 dx m = f ′(4) = 2
⎟ ⎟
⎜⎜
⎝⎝ 1 1 7
⎠
1,725 2 ⎠ x

y – 4 = 2(x – 4) 

28π

2 2

≈ 9,68 2 π (x + 1) dx =

y = 2x – 4

15
0

10 a

b i (1,236; –1,528) 3

81

y 2 2

,236 3 π (3x – x ) dx =
0
1

2 2

4 g(x) = 2√x 10
0
ii x − (−x ) dx +

4 4
1
2

3

4 ⎛ 1⎞ 3π
dx =
2 4 1 ⎜⎟
1 1,236 ⎝x ⎠ 4
f(x) = x 2

x − (2 x − 4 ) dx

4 2

ln 4 ⎛1 ⎞
0
⎛ x ⎞
⎜⎟

x 5 a ⎝4 ⎠ dx
⎜e ⎟

–2 1 2 3 4 5 6 ≈ 2,55

⎜⎟

⎝⎠

–2

b 2

4

b i 2 x x  dx Investigación: volumen de
revolución
0

8 1

ii 2,67 u

3 Inter valo Radio Altura Volumen
k 0≤x≤1 f(1) = 0,5
1≤x≤2 f(2) = 1
c i (2 x )x dx o 2≤x≤3 f(3) = 1,5
3≤x≤4 f(4) = 2
4≤x≤5 f(5) = 2,5 2
5≤x≤6 f(6) = 3
1–0=1 π(0,5) (1) ≈ 0,7854

3 2
4
1 2–1=1 π(1) (1) ≈ 3,142
2
k 2

3 k

2 2

3–2=1 π(1,5) (1) ≈ 7,069

ii k ≈ 1,51

2

4–3=1 π(2) (1) ≈ 12,57

2

5–4=1 π(2,5) (1) ≈ 19,63

Ejercitación 9L

2

 6–5=1 π(3) (1) ≈ 28,27

3 2 2

1 ((x – 2x ) – (2x – 3x))dx +

2 71,5; mayor
6
0 a 2
3 1
⎛ 1⎞
2 3 2 3 2 6 a dx
4 π (0,5x) dx ≈ 56,5 b
⎜⎟
((2x – 3x) – (x – 2x ))dx
⎝ x⎠
0

1

≈ 3,08 Volumen = 1 (6) ≈ 56,5 3
2 e

π (3)

3

 Respuestas

2 6 3

Ejercitación 9O 1 d e –e

1

|v(t)|dt = (2)(2) + (6)(6)

1 a v(t) = 2t – 6 2 2 e –20

0

1 ln 5

b f

+ (4 + 2)(2) = 26 m

t=4 2 2

t=3

t=0 2

5 a –2
b 2ms

s(t) 2

3 a (x – 1)dx

–1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1
3
s(t) = – 9t + 12
t

1

4 3

8 4

c (2t – 6)dt = –8 m; b
c
2

c |t – 9|dt ≈ 119 m 3
2
4 2
|2t – 6|dt = 10 m

0
2 2

6 a –2 (x – 1)dx – (x – 1)dx
2ms

1 1
π
b 2 < t < 10

2

2 2

2 c 28 d (x – 1) dx

2 a v(t) = t – 6t + 8

1

b Ejercitación 9P 3
t=0 0
2
0
c 4 f (x) = x − 2x + 4

t=6 2

20

1 18,4e dt ≈ 239 mil

t=4 0 5 a 5

t=2

millones de barriles b 28
,5
s(t)
12 2t

1 2 6 s(t) = 2e + 2t + 6

2 3

5 6 2 (1375t – t )dt ≈ 1546

3 3

0 7 13

6

espectadores

2

(t – 6t + 8)dt ≈ 12 m;

3 36,5 + Ejercicio de revisión con CPG
4 8
6

2 4 3 2

|t – 6t + 8|dt ≈ 14,7 m ( −0 , 01t + 0 ,13 t − 0 ,38 t − 0 ,3 t + 0 ,9 ) 107

1

5te

0 0

3 2 a a(t) = 4t – 11
dt ≈ 240 cm

3 a 2
v(t) = 3(t – 2)

20 b a = 1,5, b = 4

b t=0 t=2 t=4 4000 + 133 1 t
0 dt ≈
c 7,83 m
60

s(t)

3 a y = 3x

–8 0 8 1780 galones
4
b (2, 6)

Ejercicio de revisión sin CPG

c 2 c
3(t – 2) dt = 16 m;

4 2

1 a x – 4x + 6x + C
b
y

7

4 3 +C 8
3 6
2 4
|3(t – 2) |dt = 16 m x 2
0
7

1

c +C
d
2 e 3
x

1

4 a v(t)dt = (6)(6) 5 1
3

2 x − ln x + C , x >0

2

18 2 x

–2 –1
–4
1

1

– (4 + 2)(2) = 12 m 4x

e +C

2

4

2

1 1 2

3 5

|v(t)|dt = (6)(6) f (x + 1) +C

3

2 15 d (3x – (x – 2))dx = 6,75

2

1 1

1 3

+ (4 + 2)(2) = 24 m g ln(2 x + 3) + C , x > −
h
2 i 2 2
j
5 1

2

(ln x ) +C, x 0

1

b v(t)dt = (2)(2) 2

0 2 1 Capítulo 10
Comprobemos nuestras
2 2 habi lidades

(3 x + 1) +C

1

+ (3)(6) = 11 m 2

2 x

2ln(e + 3) + C

5

1 2
5)
|v(t)|dt = (2)(2) k (2 x +C

1 a 32 b 27 c 343

0 2

1 2 1 81
() 128 256
1
2x

l e +C d e

+ (3)(6) = 11 m

2

2

2

1 1 2 a –4 f –9
0,000000001 o 1 × 10

c v(t)dt = (2)(2) + (6)(6)

2 2 b 16

2 a n=4 b n=5 c n=3

0

1 c 8

d n=4 e n=3 f n=3

– (4 + 2)(2) = 14 m

2

Respuestas 

Ejercitación 10A Investigación: la torre inclinada 3 a (4; 6,67)

de Pisa (continuación)

1 a Positiva, fuer te b
y
b Negativa, débil a Diagrama de dispersión
y de inclinación vs año 14
12
c Negativa, fuer te 750 10
725
d Positiva, débil otnemuA 8
nóicanilcnI 6
e No hay correlación. 700 4
2
Punto medio
0
2 a i Positiva ii Lineal 675

iii Fuer te 650

b i Negativa ii Lineal 75,0 77,5 80,0 82,5 85,0 x
87,5

x

Año 2 4 6 8
Horas
iii Fuer te

c i Positivo ii Lineal b Fuer te, positiva

c Fuer te, positiva

iii Moderada

d Un aumento en el número

c La inclinación va en

d i No hay asociación. de horas dedicado al

aumento. El peligro

estudio de matemáticas

ii No lineal de extrapolar es que

produce un aumento en la

presupone que continuará

iii Cero

calicación.

la actual tendencia, pero

e i Positiva ii Lineal

esto no siempre sucede.

Ejercitación 10C

iii Débil

1 a ( x , y ) = (75; 7,03)

f i Negativa

Ejercitación 10B

ii No lineal y
12,3
1 a (96,7; 44,1)

iii Fuer te odatcefa ejatnecroP

3 a Crece b Decrece b

4 a y Relación entre la longitud y
70 el ancho de la hoja
y Precipitaciones en Tennessee 60
60 50 M
40
mc ne adíac aivulL )mm( ohcnA 30 2,3 x
20 70
80

40

Temperatura

b y = – 0,96x + 79

20

10 c 7
0
0 2001 2003 2005 2007 x x 2 a £220000
1999 2009

40 80 120 160

Longitud (mm)

b Fuer te, negativa b 75,4

c A medida que aumentan cy d Nótese que los valores
de m y b en la ecuación
2 a i 175 cm y = mx + b son
aproximados.
los años, disminuyen las

precipitaciones. ii 66 kg

b

5 a

y Puntuaciones y y
100 80 140
75
80 )gk( ohcnA 70 120 y = –x + 300
60 65 100
aicneiC 40 60
55 M
50
45 80

60

40

20 0 x
50 200
x 150 160 170 180 190 20

60 70 80 90 100

Altura (cm)

Matemáticas 0
160
200 240 x
280

b Fuer te, positiva, lineal e Aproximadamente 70 casas

 Respuestas

Ejercitación 10D Ejercitación 10E 4 50 años = 600 meses, y la recta

haría una predicción para la

1 La pendiente es –0,3. A 1 a

estatura de Sara de 302 cm

medida que el estudiante y
14
= 3,02 metros a los 50 años.

practica un día más de

depor te, realiza 18 minutos Claramente existe un problema
con la extrapolación. En
12 realidad, la mayoría de las
mujeres llegan a sus estaturas
menos de tarea. máximas en la mitad o hacia el
nal de la adolescencia, y de ahí
nóicartnecnoC 10 en adelante, la estatura es casi
constante, en consecuencia la
La intersección con el eje y extrapolación con una función
lineal resulta inadecuada.
8

es 40, lo que signica que

6

el estudiante promedio que

no practica depor tes hace 40 4

horas de tarea. 2

2 La pendiente es 6. Por cada

x

0

1 2 3 4 5 6

criminal que una persona

Tiempo (horas)

conoce, habrá sido declarada

b y = 1,84x + 1,99 5 a (1981, 694)

culpable por 6 delitos.

c 8,43 (3 cs) b Diagrama de dispersión de
y la inclinación vs año
La intersección con el eje y
es 0,5, lo cual signica que 2 a
la gente que no conoce
criminales, habrá sido culpada 750
0,5 veces.
nóicanilcnI 725

30 700
25

)0001 RYM( otsoC 675

3 La pendiente es 2,4. Por cada 20
15
10 650

paquete de cigarrillos fumado 5

75,0 77,5 80,0 82,5 85,0 x
87,5

por semana, una persona

Año

tendrá, en promedio, 2,4 días

c y = 9,32x – 17767

más de enfermedad por año.

d 780 m

x

0

1 2 3 4 5 6 7

La intersección con el eje y Ejercitación 10F
es 7, lo que signica que una
persona que no fuma tiene 7 Edad (años)
días de enfermedad por año.
b y = –2,67x + 28,1 1 r = 0,863. Hay una correlación

fuer te y positiva.

c MYR16 085

2 a 0,789

d La relación puede no ser

4 La pendiente es 100. Vendrán

b Correlación fuer te y positiva

lineal. Los autos antiguos

100 clientes más al local cada

c El ingreso aumenta a medida

resultan generalmente más

año.

que el número de años de

caros que los nuevos luego

La intersección con el eje y educación aumenta.

de 50 años.

es 5, lo que signica que 5 3 a 0,907

3 a

personas visitaron el local b La distancia de frenado

y

en el año 0; la intersección aumenta a medida que el

con el eje y no se presta a la auto envejece.

inter pretación. oicicreje ed saroH 8
6
4 c Correlación fuer te y positiva
2
4 a – 0,887

5 La pendiente es 0,8. Por cada

1 punto que se aumenta en b Correlación fuerte y negativa

matemáticas, se produce un c Sí, las calicaciones de

aumento de 0,8 en ciencias. Catalina aumentarían si

0 x
14
2 4 6 8 10 12

disminuyera sus horas de

La intersección con el eje y Meses de socio

chat.

es 10, lo cual no se presta a

b y = –0,665x + 9,86

5 a 0,0262

la inter pretación, ya que un 0

c 7,865 horas b Correlación débil y positiva

en matemáticas signicaría un

–10 en ciencia. d No. ¡La ecuación da – 6,1 c No. Las calicaciones de

horas de ejercicio! Mauro no aumentarían si el

tiempo de juego decreciera.

Respuestas 

6 0,994. Correlación fuer te y c y= 1,29x + 9 h No es posible hallar una

positiva respuesta dado que el

d r= 0,929. Hay una

valor yace muy afuera

correlación fuer te y

del conjunto de datos

Ejercicio de revisión sin CPG negativa.

considerado.

1 a ii b v

2 a w= 22,4 + 55,5h

c iii d i 6 a

b 66,4 kg

y

2 ayb

3 a r = 0,785

60 b y = 30,6 + 0,688x 40
50 35
)sortil( elbitsubmoC 40 c 99,4 atcudnoc ed samelborP 30
30 25
20 Esto sería razonablemente 20
10 exacto dado que el coeciente 15
de correlación momento- 10
producto muestra una
correlación bastante fuer te. 5

x

0

200 400 600 800

4 a

Distancia (km)

0 x

c 32 litros 4
Agradabilidad
50
40 b Los problemas de
30
3 ayc 20
10
2 tseT conducta decrecen.

13,6 c 0,797
13,2
12,8 d Correlación fuer te y
12,4
)sodnuges( opmeiT 12,0 negativa
11,6
11,2 x
10,8
0
20
20 40 60 80
Test 1
e Menos

f y = –10,2x + 51,0

Punto medio

b Fuer te, positiva

g 5,1

c Alta

7 a y = 10,7x + 121

d y = 0,50x + 0,48

x b i Producir cada abrigo
cuesta $10,66.
30 40 50 e 20,48

Edad (años)

5 a, c y f
L
ii Cuando la fábrica no

b Edad media = 34 años,

y produce ningún abrigo
38
Media del tiempo = 36
34
32 debe pagar costos por
30
12 segundos 28
26
24 $121.
22
c Aproximadamente 11,6 s

c $870

)mc( arutlA d 14

Ejercicio de revisión con CPG

1 a

y

Capítulo 11

senoixe ed oremún 0 x Comprobemos nuestras
8 habi lidades

1 2 3 4 5 6 7

Semana

1 a x = 90°

b x = 50°

b (4, 30) d i r = 0,986

c x = 68°

ii Correlación (muy)

0 x

tiempo (minutos) fuer te y positiva

d x = 23,3°

b A medida que el tiempo e y = 1,83x + 22,7

e x = 6,09 (3 cs)

aumenta, decrece el

g 30,9 cm

número de exiones. f x = 14,7 (3 cs)

 Respuestas

Ejercitación 11A 10 40,7 m 2 a 70,6°

1 ˆ 11 4,01 s b 17,3°
b = 16; Â = 36,9°; B = 53,1°

ˆ 12 a 20,6° b 26,6° c 25,4°
B = 50°; a = 31,0; c = 48,3
2

d 39,7°

3 Â = 35°; a = 2,58; b = 3,69 c 35,1° d 50,0°

3 a 0,2588; 165°

4 ˆ
a = 36; Â = 36,9°; B = 53,1°

Ejercitación 11D

b 0,5878; 144°

5 ˆ 1 a (0,940; 0,342)
B = 55°; b = 15,7; c = 19,2

c 0,9877; 99°

6 ˆ
c = 12,9 cm; Â = 41,2°; B = 48,8°

b (0,956; 0,292)

d 0,8988; 116°

7 ˆ
x = 5; Â = 22,6°; B = 67,4°

c (0,5; 0,866)

4 a 60,6°; 119,4°

Ejercitación 11B d (0,276; 0,961)

b 25,8°; 154,2°

1 a b = 12 3 cm, Â = 30°, e (0, 1) c 30,3°; 149,7°

ˆ 2 a 66° b 81° d 30°, 150°
B = 60°

b ˆ 2 cm c 45° d 14° Ejercitación 11F
B = 45°, a = 9 cm, c = 9

3 a 0,161 b 0,243 1 a 1,50 b –1,92

c  = 30°; a = 2,25 cm,

c 0,186 d 0,217 c –0,910 d 1

9 3
cm
b=

2 a y = 1,09x; θ = 48°

4

Investigación: ángulos obtusos

b y = 1,87x; θ = 62°

d a= 2 3 cm, Â = 30°,



c y = –2,80x, θ = 110°

ˆ y
B = 60°

d y = –1,21x; θ = 129°

(–0,766; 0,643)

(0,766; 0,643)

e b =5 2 cm, Â = 45°, e y = –0,75x; θ = 143°

140° f y = 2,36x; θ = 113°
40°
ˆ
B = 45° 0

x

Ejercitación 11G

2 x= 8 2 cm, y = 8 3 8 cm,

1 a ˆ
C = 50°, a = 17,7 cm,

z = 16 cm 

c = 18,5 cm

y

2 3 +2 4 3 +2 ˆ = 68°, a = 1,69 cm,
x= 3 B
b

3 , AC =

3 b = 2,44 cm

4 x = 1, AB = 3 2 cm o x = 3, (–0,906; 0,423) c ˆ ˆ
155° B = 40,9°, C = 84,1°,

0 25°

c = 5,46 cm

x

AB = 11 2 cm

d  = 40°, a = 149,

5 w = 9,8 cm; x = 13,9 cm; 

c = 190

y = 6,5 cm; z = 15,4 cm y

e ˆ
C = 110°, a = 2,80, b = 4,21

(–0,375; 0,927) (0,375; 0,927)

Ejercitación 11C 2 26,9 cm

1 a 10 2 cm 68° 3 3,37 km, 2,24 km

0 x 4 15,8 m
112°
b BÂC = 70,5°

ˆ Investigación: triángulos
AB C = 38,9°

Ejercitación 11E ambiguos

2 a AE = 29,1, BE = 34,4

1 a B (0,866; 0,5), 1 ˆ = 62°, ˆ = 118°. Los
C C
b AÊD = 74,1°,
1 2
ˆ
EB A = 54,5°, C (– 0,866; 0,5) ángulos son suplementarios.

AÊB = 51,5° b B (0,545; 0,839), 2 ˆ = 86°; ˆ = 30°,
B B

1 2

C (– 0,545; 0,839) b = 5,65 cm; b = 2,83 cm

3 758 m 12

c B (0,707; 0,707),

4 71,5° y 108,5° Ejercitación 11H

C (– 0,707; 0,707)

5 4,78 km; N21,1°O 1 a ˆ = 61,0°; ˆ = 89,0°;
C B

1 1

d B (0,974; 0,225),

6 70,7 m b = 8,0 cm

C (– 0,974; 0,225) 

7 44,8 km; 243,5° ˆ ˆ
C B
e B (0,087; 0,996), = 119,0°; = 31,0°;
2 2

8 135,7 m; 202,2 cm

C (– 0,087; 0,996) b = 4, cm

2

9 91,2 m

Respuestas 

ˆ c ˆ 4
C Â = 44,4°; B = 107,8°; 9

b 1 = 71,1°; Â = 58,9°; c
1

ˆ
C = 27,8°

a = 9,0 cm



d b = 7,48 m; Â = 43,5°; d 11
6
ˆ = 08,9°; Â = 2,°;
C
2
2

ˆ
C = 105,5°

a = 8,0 cm 2 a 0,977 rad

2

e c = 92,8 m; Â = 49,4°;

ˆ b 1,87 rad
B=
c 68,5°; Â = 91,5°; ˆ
1 1 B = 60,6°

c 5,65 rad

a = 7,3 cm ˆ

 f  = 48,6°; B = 56,4°;

d 4,01 rad

ˆ = 111,5°; Â = 48,5°; C = 75,0°
B 2

2

3 a 150°

a = 5,5 cm

2 2 12,1 km

b 300°

d ˆˆ = 107,5°; 3 4,07 cm; 6,48 cm
C = 30,5°; B

c 270°

b = 47,0 cm 4 18,8 km

d 225°

e El triángulo no existe. 5 043,5° o 136,5°

4 a 85,9°

f ˆ = 77,8°; ˆ = 32,2°; 6 a 45°
B C
b 20,6°
1 1

c = 4,2 cm b 71,8°

c 136°

ˆ ˆ c 63,8° 206°
B C
= 102,2°; = 7,8°; d
2 2

c = 3,6 cm
2

Ejercitación 11J Ejercitación 11M

g ˆ ˆ 1 a 2
B = 26,7°; C = 108,3°; 26,7 cm

2 1 a 2
40,8 cm 2
c = 29,5 cm b

h ˆ = 67,1°; Â = 56,9°; c 2
C 1 152 cm

1 1
2
b

a = 45,5 cm d 2
34,1 cm



ˆ e 2
C 901 cm

1 = 112,9°; Â = 11,1°; 3
2 3
c

f 2
435 cm

a = 0,4 cm

2

2 47,8° 3
2
2 a BE = 8 m, CE = 6 m,

d

DE = 15 m 3 22,7 cm

b EAB = 53,1°; 4 a 76,7° 2 a 0,892

ˆ 2
BC E = 53,1°; 81,4 cm

b b 0,949

ˆ
BC D = 126,9°;

5 x = 2,5 cm c –1,12

ˆ
AB D = 98,8°;

6 5,31 mm; 18,5 mm d 0,667

ˆ
CB D = 25,1°

3 a 2
9,76 cm

ˆ
B D C = 28,°

Ejercitación 11K

b 5,45 cm

c Dado que el lado BD =

1 9,52 cm 2
50,5 cm
c

17 m en △ABD y el 2 39 cm 2
10,9 m
ˆ 4
ángulo D = 28,1°, y el lado

AB = 10, hay 2 triángulos 3 5 radianes 2 2
17,1 cm 12,1 cm
5 a b

posibles que se ajustan a 2
3000 cm , 220 cm
4

c 2,63 rad d 15,8 cm

estos datos, a saber, DBA

5 2
22,95 cm ; 21,3 cm

y DBC

Ejercicio de revisión sin CPG

6 θ = 1,7; radianes r = 16

3 b 5,80 km c 19,1 km

2 1 7 2 cm
7,96 cm
7

d 143,5°

2 a 30° b 8 3 cm

Ejercitación 11L

Ejercitación 11I

5 3 2
12 5
1 a ˆ
a = 65,7 m; B = 36,0°;

1 a

ˆ 4 2
C = 80,0° 10 cm

b ˆ b 4 5 a 25 cm b 2
 = 28,9°; B = 52,8°; 3 125 cm

ˆ
C = 98,4°

 Respuestas

Ejercicio de revisión con CPG ⎛0⎞ ⎛ 3⎞

d= ⎜⎟ = 6j d CB = ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜⎟ 7
1 72,7 m ⎠
6
⎝⎠ ⎝

2 a (0,848; 0,530)

3⎞ 3 a 2i – 3j + 5k

⎛

e= ⎜ ⎟ = −3i − 6j
⎜
b 72,9° ⎟

6 b i + 5j – 6k
⎠
⎝

c (−0,600; 0,800) i + 5j – 6k

c

4 a 5

3 a 54,7° b 10,9 cm i – 5j + 6k

d

b 10 = 3,16

4 a 18,0 m b 34,3° ⎛ 5⎞

c 29 = 5, 39

5 a 121° b 8,60 cm 4 ⎜ ⎟

LM = 4
⎜ ⎟

d 5,3

6 54,1 km ⎜⎟

3
⎝⎠

e 29 = 5, 39

7 a 31,9 b 13,9 cm

5 a 38 = 6,16 5 US = 2i + 8j – 3k

c 119 d 2
27,6 cm

b 26 = 5,10 6 x = 0, y = 7, z = 9

8 a 21,6 cm b 14,5 cm

c 3

Ejercitación 12D

c 11,16 cm d 47,3 cm

d 7

⎛ 3⎞ ⎛3⎞

⎜⎟ ⎜ ⎟
5,
e 2 = 1,41
⎟
Capítulo 12 1 AB = 5 , AC =
⎜ ⎟ ⎜

Ejercitación 12B ⎜⎟ ⎜⎟

Comprobemos nuestras 4 4
habi lidades ⎝⎠ ⎝⎠

1 a c = 3b

⎛ 6⎞

1 ⎜ ⎟
BC =
1 a (3, 0, 0) d= a 10 . Cualquier par
⎜
⎟

2

b (3, 4, 0) ⎜⎟

e = –5b 8
⎝⎠

c (3, 0, 2) de entre estos vectores son

f = –2a

d (3, 4, 2) múltiplos escalares uno del otro

b Son per pendiculares.

e (1,5; 4, 2) y tienen un punto en común.

2 a, b, e

2 6,71 24 28 ⎛3⎞
7 5
3 a b ⎜ ⎟
4 8 AB = 2
3 a 20 cm 5 2 a
⎜ ⎟

t = –25, s = ⎜⎟

b 101° 8
⎝⎠

5 a OG = j + k ⎛ 6⎞

Ejercitación 12A

⎜ ⎟

b AC = 4 ⎟ ; por lo tanto,
⎜
b BD = –i – j + k

1 a x = −2i + 3j

⎜ ⎟

16

c AD = –i + k ⎝ ⎠

b y = 7j

1 1
i+j+k
c z=i+j−k d OM =

AB = AC o

2

2

⎛ 2⎞

6 a OG = 4j +3k

2 a AB = ⎜ ⎟ ⎛ 3⎞

⎜ ⎟

3 ⎜⎟

⎝ ⎠

b BD = –5i – 4j + 3k

BC = 2 ; por lo tanto, AB = –BC
⎜⎟

⎛ 1⎞ c AD = –5i + 3k ⎜⎟

8
⎝⎠

⎜ ⎟

b CD = 6 5 También tienen un punto en
i + 4j + 3k
⎜ ⎟ d OM =

⎜ ⎟ 2

1 común.

⎝ ⎠

Ejercitación 12C ⎛ 3⎞ ⎛ 6⎞

⎛0⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞ 3 PP = 1 ,P P = 2 ,
⎜
⎟ ⎜ ⎟

 2  3

c EF = 0 1 PQ = , QP = ⎜⎟
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎜⎟
⎜ ⎟
1 ⎜⎟ ⎜⎟
⎜ ⎟ ⎝ 1 ⎝⎠
⎠ 0 0
⎝⎠ ⎝⎠

1

⎝ ⎠

⎛ 4⎞

⎟ ⎛ 3⎞
⎟
⎛ 3⎞ 2 a AB = ⎜ 4
⎜ ⎠
⎜ ⎟ ⎛7 ⎞

3 a= = −3i − 5j 4
⎟
⎜ ⎟ ⎝ PP = 1 ;P 2,
⎜ ⎠
⎟ ⎜ ⎟
4⎜
5 2 3
⎠
⎝ 3

⎝

⎜ ⎟

⎛4⎞ 0

⎝ ⎠

⎛ 2⎞ b BA = ⎜⎟

⎜⎟ 5

b= ⎜ ⎟ = −2i + 4j 4 4 x= ; AB : BC = 2 : 1
⎜ ⎝⎠
⎟
⎝ 3
4
⎠

⎛ 7⎞

⎛3⎞ c AC = ⎟
⎟
⎜ ⎟ ⎜ 3
⎜ ⎠

c= = 3i + 8j

⎜ ⎟ ⎝

8

⎝ ⎠

Respuestas 

Ejercitación 12E 6 45°
7
⎛ 1, 5 ⎞
8
c
9
⎛ 5⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
3 a 94,8°

⎜ ⎟

1 AB = 0 ; 29 = 5, 39
⎜ ⎟

⎛ 5⎞ b 161,6°

⎜ ⎟ d

⎜ ⎟

2 ⎜ ⎟

⎝ ⎠ 15

⎝ ⎠ c 136,4°

2 |AB | = 129 , |AC | = ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞

242 ⎛3⎞

a AB = ⎜ ⎟ , AC = ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜
e ⎜ ⎟ ⎟
⎠
|BC | = 129 . Dos lados ⎜ ⎟ 5 2
⎠
34 ⎝ ⎝

⎝ ⎠

son iguales; por lo tanto, es b –11

3 a 8i – j – 3k

isósceles. Ángulo CAB = 46,8° 11 11
130
c =

b i + 2j + 3k

26 5

3 t = ±6

c i – 2j – 3k

a 79,0°

4 x=± 5

d 8i – 6j – 10k

b 90°

5 a = ±2

⎛ 19 ⎞

4 c 118,1°
5, 5
6 a 15 ⎜ ⎟
= ,
4 x= ,y 3

⎜ ⎟
⎜
b 10 ⎟ 10 a AB = 17 ; AC = 26

⎝ 16
⎠

c 13

⎛ 6⎞ 1

b cos BAC =

z = ⎜ ⎟
⎟
Ejercitación 12F ⎜ 17 26
⎠
10
⎝

2 2 c 10,5

⎛3⎞ ⎛4⎞ 5 x = – 4,5; y = 10,5

1 ⎜⎟ + =1
⎝ 5⎠ ⎜
⎟

⎝ 5⎠ 11 54,7°

6 s = 4,5; t = 9; u = 9

2 2 2

12 a OA OB = 0; en

⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞

2 + + =1 Ejercitación 12H
⎜ ⎜
⎜⎟ ⎟ ⎟ consecuencia, son
⎝3⎠
⎝3⎠ ⎝3⎠

4 a i b–a per pendiculares.

3 1 ii b–a
4 (4i – 3j)
b 62 ≈ 7,87
5 5
6
7 ⎛ 1⎞ iii 2b – 2a

13 λ = 2,5

1 ⎜⎟
5
iv b – 2a
⎜⎟

14 λ = ±9

42 4 ⎟ v 2b – 3a
⎜ ⎠

⎝

15 p = ±3

1 b AB es paralelo a FC; la
(2i + 2j – k)
longitud de AB es la mitad Ejercitación 12J
3

1 5
5
= de la de FC 1 3

5 1 a r    t 

  

c FD y AC son paralelos 2 2

5

(2i – j)

5 d MX = 3MP y compar ten

5  1 5
2
b r  t

un punto.  

⎛ 1⎞ ⎛ 1 0

 

7 ⎜ ⎟ 14 ⎜ ⎟ Ejercitación 12I
14 2
8 ⎜ 3 = ⎜ 3
9 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎝ ⎛3⎞ ⎛3⎞

⎟ ⎟ 1 a –18 b 5 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎠
2 2

c r= ⎜ 1 ⎟ +t ⎜ −2 ⎟

c 20 d –13 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

cosθ 2 8
sen θ
⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a –13

e

2 a –9 b 20 d r = 2j – k + t(3i – j + k)

b cos α
sen α
c 20 d –58 4 1

2 a P.ej. r    t 
  
7
e 13 5

Ejercitación 12G

3 a Per pendiculares

4 1

1 a 5i + j b P.ej. r   t

  
 
b Ninguna de las dos 2 

0

b 2i + 3j

2i + 4j c Paralelos 3 1

c

  

d 8i + 4j d Ninguna de las dos c P.ej. r  5 t 9

  

e i – 3j   
3
e Per pendiculares 2

f 2i

f Paralelos 0 1

⎛ 2⎞    

2 a ⎜ ⎟ d P.ej. r  0 t 1
   
g Paralelos

⎜ ⎟

2

⎝ ⎠    

1 1

4 –15
5
⎛ 1⎞

⎛2

b ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜

8

⎝ ⎠ d= 1

⎜

 Respuestas ⎜

3
⎝

1 2 7 a a = 5; b = 8 b (4, 8, 8)
6 3
3 a P.ej. r  t

b (4, 5, 7) ⎛ 2⎞

d ⎜⎟
6
 1  2 c 3 10
⎜⎟
b P.ej. r     t 
⎜⎟
   2 1 4

0 5 ⎝⎠

 

4  1 8 a P.ej. r  1 t 1

e 2 14
a
  

c P.ej. r  2 t 0 2 3 ⎛2

   12,30 p.m.;
⎜
8
11, 5
   ⎝

1 3 b (3, –2, –1)

 

b 3 km

d P.ej. r = 5k + t(4i – k) c 11

Ejercicio de revisión con CPG

4 a Sí b No d 120°

1 122°
2
c Sí d No

Ejercitación 12L ⎛ 1⎞ ⎛0⎞

⎜⎟ ⎜ ⎟
1
2 2
⎟
⎛ 15 ⎞ a QR = 0 , QP =

⎜⎟ ⎜

  1 a o 10 km al nor te y

5 r 4 t  3 ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
 
⎜⎟ 5 1
⎝⎠ ⎝⎠
10
⎝⎠

 
5 8

15 km este b 46,1°

p = –2, q = 21

b 5 13 km c 2,60

⎛ 6⎞ ⎛0⎞

5 ⎛ 50 ⎞ 3 a i 4j ii i+
2
6 P.ej. r = ⎜ ⎟ + t⎜ ⎟ ⎛ –1
⎜ ⎜ ms
⎟ ⎜⎟ 2 a ⎝ b ⎜ ⎟

5 1 ⎜ ⎟
⎠ ⎝⎠
⎝ 20

⎝ ⎠ iii 2i + 4j

7 a Coincidentes c –1 b BC = –i + 4j 3k
13 m s

b Per pendiculares d 8 29 m BD = i + 4j 3k

c Paralelas

e Colisionarán. c i 20 ii 20

d Ninguna

3 a 4 p.m. b 7i + 6j iii 18

e Ninguna –1 –1
86 m s
4 a 3 2 ms y d 25,8°

8 a 53,6° b 115,2°

c 5,2 m 4 a 0, 4, –2

10 a i 2i + 5j + 3k

b 82,9° ⎛0⎞
a
Ejercicio de revisión sin CPG
b
c ⎜⎟

ii –2i + 5j + 3k

5 OP PQ = 0, PQ = 6
⎜⎟

|OF | = 38 ⎛ 3⎞ ⎛9⎞ ⎜⎟

b i 2
⎝⎠
⎜⎟ ⎜ ⎟

1 a AB = 1 , BC = ⎜ 3 ⎟ ,
⎜⎟
ii |AG | = 38 1 0

⎜⎟ ⎜⎟   

OF AG = 30 2 6 P.ej.  1  6
⎝⎠ ⎝⎠ 
iii ⎛ 1⎞
⎜⎟  

2  
⎜⎟ 3 2
⎜⎟
c 37,9° ⎛ 6⎞
4
⎜ ⎟ ⎝⎠
2
AC =
⎜ ⎟
11 a AB = 7i – 8j + 8k

⎜ ⎟

4

49 ⎝ ⎠

b cos OÂB =
d
e 30 117

49 AC = –3 AB y

µ=

d 22°

177

BC = –2 AB

⎛ 6⎞

520 493 38
, ,
⎜ ⎟
177 177 177 B es un punto en común. AB = 2

6 a ⎜ ⎟

⎜ ⎟

Ejercitación 12K 3 (a + b) (a – b) = 0

0

⎝ ⎠

1 (4, 2) 4 (7, 9, 0)
5
⎛3⎞ c (36, 18, 0) d –1
5,10 m s

⎛ 1⎞

⎛ 48 ⎞ a AB = ⎜ ⎟, AC = ⎜ ⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎜⎟ ⎛ 23 1 2⎞ 2
5 3 ⎠
⎝⎠ e 6 segundos f (18, –6, 6)
⎜⎟
2 3 ,, ⎝
⎜ 3⎟ ⎜⎟

⎜⎟ ⎝3 3 3⎠
⎝ 5⎠
b AB ⋅ AC = –9

⎛ 5⎞ ⎛ 2⎞

6 a ⎜⎟
10
4 1,
⎜ ⎜⎟
⎟
⎜⎟
⎝ 3⎠ 1

⎝⎠

6 a ⎛ 5⎞ b t=2

⎜⎟ ⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞

8 ⎜⎟ ⎜ ⎟
⎜⎟

⎜⎟
15

⎝⎠

7 a r= 2 +s 3
⎜⎟ ⎜ ⎟

b Producto escalar = 0

⎜⎟ ⎜ ⎟

4 2
⎝⎠
⎝ ⎠

Respuestas 

Capítulo 13 c 250° e r
Comprobemos nuestras d f 3
habi lidades e 330° g
5r
1 a 2 b 3 100° 6
2
270° 2π
c 3 d 2
2 2 180°
40°
2 a 3 b −1
2 r
6
c −1 d −0,5
5r
3 a −1,48 b ±2 3

4 a −0,182; 2,40 b ±1,14

Investigación: seno, coseno y h
tangente en el círculo de radio
unidad

1 sen90° = 1, cos90° = 0, tan90° f 3
g
no existe h

2 sen180° = 0, cos180° = −1,

tan180° = 0

3 sen270° = −1, cos270° = 0,

tan270° no existe Las preguntas 3 a 8 tienen muchas
otras respuestas correctas posibles.

4 sen360° = 0, cos360° = 1,

tan360° = 0

5 sen(−90°) = −1, cos(−90°) = 0, 3 a 120°, −240°, −300°

tan(−90°) no existe b 340°, −20°, −160°

6 sen(−180°) = 0, cos(−180°) = –1,

c 255°, 285°, −105°

tan(−180°) = 0

d 65°, −245°, −295°

7 sen0 = 0, cos0 = 1, tan0 = 0
8
4 a −35°, ±325°

  
sen = 1, cos = 0, tan

2 2 b −130°, ±230°

2

no existe

2 a

c −295°, ±65°

9 senπ = 0, cosπ = –1, tanπ = 0

d 240°, ±120°

10 3 3 3
sen = −1, cos = 0, tan

5 a 230°, −130°, −310°

2 2

2

no existe b 280°, −80°, −260°

3 3

c 40°, −140°, −320°

11 sen = 1, cos = 0, b

2 2

d 155°, 335°, −205°

3

tan no existe.

2 2 4 5

6 a

, ,

12 sen4π = 0, cos4π = 1, tan4π = 0

3 3 3

7  3

Ejercitación 13A b , ,

c

4 4 4

1 a r
2
c 3π − 4,1; 4,1 − 2π, π − 4,1

75°

d π + 3, 2π − 3, 3 − π

7 a  11
 

6 6

d

b

11r b −1, ±(1 − 2π)
6

c −2,5; ±(2,5 − 2π)

110°

d 3 7
5 

5

 Respuestas

5 3 7    5 c ±150°, ±30°
   
8 a c d
  6 6
, ,

4 4 4 d −90°, 30°, 150°

b 1,3 + π, 1,3 − π, 1,3 − 2π

3 a 0, π

Ejercitación 13D

12 2 9

 7

c , ,

1 a ±15°, ±165° b

7 7 7

8 8

b −165°, −105°, 15°, 75°

d 2π − 5, π − 5, −5 − π

2

c 90° c 0,



Ejercitación 13B

d ±180°

  5
,
1 a 0,940 b 0,342 5  7  d 0,

2 a ,,

 , , ,

6 2 6

   

c −0,342 d −0,940

 5 

11π 7π π π 5π 3π 4 a b
d
1  b − ,− ,− , , ,
2 2
2 a 1 b 8 8 2
2
12 12 4 12 12 4

 

 3 c 0, π
 
c d
2 4
  
2
c d

5

2 4

3 a b 7 3 11
d
3 a 0,8 b 0,6 c 0,6 6 k=6

,,

3 3

6 2 6

4 4 7 b=8
3 3
d −0,8 e f 3 7 

c

Ejercitación 13G

4 4 2

4 1 −346°, −194, 14°, 166°
3
g −0,8 h
a
Ejercitación 13E

2 ±27°, 333°

4 a b a c −b
b
5 11 7 5 11 3 244°, 296°
18
1 a b c
b
18 7

a 4 55°, 235°, 415°

d b e −a f b
g −a
4 5 1

5 −5,33; −4,10; 0,955; 2,19

2 a c 4 5

h −b

9

6 ±1,71; 4,58

Ejercitación 13C 11 5 11
5
3 a b 7 −0,739

18

1 a −300°, −240°, 60°, 120° 8 −0,637; 1,41

7 5 11 Investigación: representación
18
b ±120°, ±240° c d

7 gráca de tan x

c −315°, −135°, 45°, 225°

 1 1
 
4 a b

d −360°, −180°, 0°, 180°, 360°

Amplitud del Valor de la
ángulo (x)
e ±45°, ±135°, ±225°, ±315°  (grados)
1 0
31 63 tangente
30, +30
c d
b
f ±30°, ±150°, ±210°, ±330° d 512
4
(tan x)

 7  5  a 3 0
5
2 a  , ,,

    5 1 1
 , 3
24
b 0, ±π, ±2π c 25 3

5

 11 45, +45 1, 1
  60, +60
c  
6 6
6 a b
d
5 b 7 3, 3
336 527
 3

d

c 120 3
135 1
2 2 150 1

625 625 3
b
  4 5

e  , , , a

7 a

3 3 3 3 2 2

2 2 a +b

a +b

7 3  5

f

 , ,, 2 2
b a
2 ab

4 4 4 4

c d 180 0
210 1
2 2 2 2 225
240 3
a +b a +b 300 1
315
3 a 0°, 360°, 720° 330 3
360
b −135°, −45°, 225°, 315°, 3
1
Ejercitación 13F 1

585°, 675° 3
0
1 a 30°, 90°, 150°

c −45°, 135°, 315°, 495°,

b 22,5°; 112,5°

675°, −225°

c 135°

d ±60°, ±120°, 240°, 300°,

d 45°, 135°

420°, 480°, 600°, 660°

 5  2 a −150°, −120°, 30°, 60°
2  
4 a b

6 6

b 90°

Respuestas 

3 tan ± 90° y tan ± 270° están 5 yy
8
indenidas. El límite de la
8
tangente a medida que el
x
ángulo se aproxima a ± 90° o

± 270° es innito. A menudo,

0 x
–4
en los grácos se muestran –2 2r

Ejercitación 13I

asíntotas para valores que no

1 y
1
existen. 2π
x−
9 y = cos o
3

Ejercitación 13H

0 x
–2
–2r r r 2r

1 −297°, −117°, 63°, 243° π
6
y = sen x

2 −107°, 73°, 253°

–4 10 y = sen x + 1

3 124°, 304°

11 y  tan 
x
4 38°, 142°, 398°, 502°
4

2 y
4
5 −5,88; −2,74; 0,405; 3,55 2 π

12 (y = cos x − ) − 1,5

4

6 −1,88; 1,26

7 4,55

Ejercitación 13J

8 −4,66; 1,20; 2,28; 4,77

1 y

x

–2r r 0 r 2r

Investigación: 0,5
transformaciones de sen x y
cos x 3 y
4
2 x

–2r r

1 y

2 y
4
0 x
y 2
0 x
–2
–2r 2r

0 x

–2r r r 2r

4 y
1
–4
0 x y
y
3 4
2
0 x
–1 r
–2r r r 2r
5
2

y

x

–2 r 2r

1

0 x
y
0 x –4
y
–2r r r 2r

4

3

6 y
–2
0 x –2 r 0 r x
2 2 –1 2r

r r 2r

2 2

0 x
y
–4

5 y
2
7 y
–2r
4 0 x

r r 2r

0 x
–2
–2 –2r 2r
–3
0 x

 Respuestas

6 y 5 y d
–2r 3
1 x 3
7 2
0 2r 1

y 0 x
3 r
–3 r r 2r 3r
–1

6 y

x

r r
2
–2r 3r r 0 r r 3r x
r –1 2 2r

2 2 2 2
–2
–3

8 y 7
–2r 1
–2 2 a, b
0 0
⎛ ⎛ 2π ⎞ ⎞
–2
x 25)
⎟
r 2r x y = 6,3 cos (x
⎜⎜ ⎟ ⎠

⎝ ⎝ 30 ⎠

+ 15, 6

9 y = 7, 5sen x

10 y = cos ( 0, 25x ) 8 y
7
11 y = tan ( 0, 25x ) 6
5
12 y= 3 cos ( 0, 5x ) o 4
3

x π

(y = 3sen ) 1

2

0 x c
r d
–3r –2r r 2r 3r
–1

Ejercitación 13K

Para las preguntas 1 a 4, las respuestas
pueden variar.

Ejercitación 13L

⎛ 2π ⎞

2π 1 a, b y = 4, 8 cos x ⎟ +7
⎜

1 (y = 3, 5 sen x − ) − 1, 5;

⎝ 2 ⎠

3

5π

(y = 3, 5 cos x + ) − 1,5

6

1 4π

2 (y = sen (x + )) − 2 ;

2 3

 1  

y  cos x 2
  

 2 3 

3 y = 2 sen ( 2 x ) +1;

c

   

y  2 cos 2 x 1

 

  4 

2 π

4 (y = 5 sen (x ));

3 2

y = − 5 cos 2 + 5π

(x )

3 6

Respuestas 

3 a, b c 10,3 m 4 a P = 4, Q = 7

d 4,75 minutos b y
14

⎛ 2p ⎞

4 a g ( x ) = −16 cos ( x − 1)
⎜ ⎟

10

⎝ 12 ⎠

+ 21 6

b 21 galones 2
0
c A principios de mayo y x

4 8 12 16 20 24

nes de agosto

c t = 2, a las 2.00

c Ejercicio de revisión sin CPG
d
d 8 horas

1 a −0,342

5 a A= 2,825; B = 12,175

b −0,342

b 9,91 horas

c 0,342

2 a 0,643

Capítulo 14

b −0,643

c −0,643 Comprobemos nuestras
habi lidades

3 a ±120°, ±240

1 a 2
2
b −330°, −150°, 30°, 210°

c −270°, −150°, −30°, 90°, b –1

210°, 330°

1 3
3
c o

2π 3
,π
4 0,

3

5 a i a = 5, c = 4, d = 6 d 3
2

2π

ii b= , y el 2 a x = 0, π, 2π

período

2  π π 5π 3π
período es 8, b  

b x= , , ,

8 4

6 2 6 2

b 4<x<8

π 3π

c x= , π,

4 21 2 2

6 a 21 b 21 c
5 2
2 x 3 x

25 3 a 6x e + 2x e

7 y b 2
ln(x ) + 2

2

−x + 10 x + 4

Ejercitación 13M c

x

2 2

1 2 4 5

(x + 4)

1 a Aproximadamente 12 horas –2

1 ln x

b 9,49 m d

–4 2
–6 x
Ejercicio de revisión con CPG
c 13,5 m

d 05.30 Ejercitación 14A

2 a −3,06 °C 1 3cos x + 2sen x
2
1 a 48,6°; 131,4°
3
b 30 °C, día 187 4 3

2

b ±129°, 231°

(aproximadamente el 6 de cos 3x

julio) c −70,3°; 109,7°; 289,7° 2cos x

c Aproximadamente 90 días: 2 a −3,36; 0,515; 2,85; 6,06 2
sen x

– 2cos t sen t o – sen (2t)

los días 1−49 inclusive y

b 0,607

los días 325−365 inclusive cos x

c ±1,89; 0 5
6
3 a 46 m 7 2 x
b
24

2π 3 a a = −4, log ,c=3 2 tan x
(t 3

h (t ) = 22, 5 sen 20 5) 25

2

cos x

b 0,667; 3,33; 4,67

+ 23, 5 1 x
sen
+ 4cos(4 x )

2 2

 Respuestas

2 sen (2 x) Ejercitación 14D 5 a f ′(x) = –2sen 2x

8 2
cos (2 x)
4π + 2cos x(–sen x)
,
1 Mínimo relativo: 2;
3

= –2sen 2x – 2senx cos x

8π cos (π x ) ⎛π ⎞

9 3 máximo relativo: ,2

sen (π x) ⎜ ⎟ = –2sen 2x – sen 2x

⎝3 ⎠

2 Mínimos relativos: = –3sen 2x

10 [cos(sen x)] cos x

⎛π ⎞ ⎛ 3π ⎞ π
3 ; máximos 2
2 ,1 , b 1
3x ⎜⎟ ⎜ ⎟

11 a ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠

2 3

cos ( x )

π 3 5π 3 c f ′′(x) = –6cos 2x

3

b – 4cos x sen x relativos: , , ,

6 2 6 2

π 1 3π 1

12 a 3cos (3x – 4) d ,, ,

4 2 4 2

b –9sen (3x – 4) 3 π < x <π ;
Decreciente:

2

π 6 a i f ′(x) = x cos x + sen x

Ejercitación 14B

creciente 0 < x < ; cóncava

2

ii a = –1, b = 2

1

π π hacia abajo: 0 < x < π ;
x− x−
y −1 = 1 ; y − 1 = −1 b i x ≈ 2,03; 4,91

2 2 π

máximo relativo: 1 ii f ″(2,03) ≈ – 2,71 < 0

2

2 ⇒ máximo relativo en

π 1 π

y −2 = 4 x− ; y −2 = − x− x = 2,03
⎟ ⎜
⎜ ⎟

4 4 4 f(x)
1
3 –2 r 1) f ″(4,91) ≈ 5,21 > 0
⇒ mínimo relativo en
( x = 4,91

2

f(x) = √sen x

4 a 1 b –2sen (2x)
2

0 x 2

1 ⎛ π⎞ r r 3r r 7 a f ′(x) = –x sen x + 2x cos x
4 2 4
c y+ =− 3 x−

⎜ ⎟

2 ⎝ 3⎠

b Mínimo: –11,6;

π 5π

5

máximo: 7,09

4 Decreciente:

3 3

π π 3π 8 a
0< x <
<x < ;
4
4 senθ cosθ

2 4

d′(θ ) = − 2 senθ −

Ejercitación 14C

creciente: 25 2

4 sen θ

π

1 (−12 sen 2 x − )+ 3 π π 3π

3 < x <π ; 2 sen 2

<x <

o − 2 senθ −

4 2 4 2

25 4 sen θ

1 cóncava hacia arriba:

2 b

3 (1 + cos x ) π 3π 5π 7π
4
5 x <x < <x < ; d
xe 2
(5,05; 2,16)

8 8 8 8

sen2t

e cos 2t cóncava hacia abajo:

x π 3π 5π 7π 1
2e sen x < x <π ;
0< x < , <x < , (r, 0) (2r, 0)

8 8 8 8

0 i
–1
t r r 3r r 5r 3r 7r 2r
4 2
6 + tan t
7
2 4 2 4

cos t ⎛π ⎞

4sen i cos i

máximo relativo: ,1 ; –2 d'(i) = –2sen i –
⎜ ⎟ –3

3x 3x 2

3e cos 4x – 4e sen 4x ⎝2 ⎠ √25 – 4sen i

(1,23; –2,16)

mínimos relativos:

1

8

π 3π

2

cos 2x tan 2 x ,0 , ,0 ; c i La hoja de acero está
⎟ más cerca del centro
⎜ ⎟ ⎜ de la r ueda cuando
d (θ) tiene un mínimo
4 4 relativo o en el punto
extremo. Hay un
9 cos x ln x sen x puntos de inexión: mínimo relativo cuando
x d′ (θ) cambia de negativa
a positiva en θ = π.
π 1 3π 1 5π 1 7π 1 Evaluando los puntos

f (x) ,, ,, ,, ,
1 ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
sen x ⎟ ⎜
2 2
8 2 8 2 8 8

10 o –tan x

r

cos x ( 1) 2
f(x) = cos (2x)
2

2 1 x r 1 5r 1
x
( ) ( )

8 8 8 2

11 a b cos 7r 1

2 2 3r 1 ( )

( ) 8 2

8 2

0 x

1 x 2 x r r 3r r 5r 3r 7r r
sen 8
c 2 +
ln 3x cos

4 8 2 8 4 8

2 2 x 2

extremos y los valores

12 a = 1, b = 2

Respuestas 

críticos, hallamos que 3 2 b i
d(0) = 7, d(2π ) = 7 y ; 0,159
d(π) = 3. Por lo tanto, 4
la menor distancia es
3 metros y ocurre 2
cuando el ángulo de
rotación es π Ejercitación 14G v
6
1 12,1 5
4
2 6,31 3
2
ii La distancia varía más π 1
6
3

rápidamente cuando

4 a 3,97

d ′ (θ ) tiene un mínimo

0 t

relativo o un máximo

b 38,3

relativo. Esto sucede

1 ii 1,11 s; 2,03 s; 7,39 s;
a = 2, b =
cuando θ es 5 a
2
8,31 s

1,23 radianes o

2π

5,05 radianes. 1 iii No, la par tícula no regresa

b

(2 sen )x dx =8

∫ 2 al origen. En la región

0

Ejercitación 14E

entre la cur va y el eje t,

6 a i c = 1, d = 2

1 2sen x – 3cos x + C

hay más espacio arriba del

π 7π eje que debajo, indicando

1 1 ii y

2 3

(x )x +C
+ 3 sen

2 6 que la par tícula se mueve a

3 3

la derecha a una distancia

b i 2

3 –cos (π x) + C

mayor que a la izquierda;

ii 4,25 entonces nunca regresa al

1

4 − cos ( 2 x + 3) + C

2 origen.

c 9,12

5 4 c 24,1 m
sen (5x ) + C

1

2

6 sen (4 x 4x ) +C Ejercitación 14H

4

Ejercicio de revisión sin CPG

tt

1 a v=e cos t + e sen t

1 1 a 2sen(1 – 2x)

tan 3 x

7 t

e +C b a = 2e cos t

3

2

1 b 3sen x cos x
c
2 a −2 m s

8 sen (ln x) + C tan t
e

p

b s

2

cos t

1 2

9 3 +C
sen x

3 c −1 m

2
x cos x

10 –ln(cos x) + C, cos x > 0 π 3π d 2
e sen x

3 a i

2 2 2

sen x sen x 2 x sen x + 2xcos x

11 a –e sen x + e cos x

π 3π

ii <t < 1 1

b sen x + C fo
e

2 2 2
tan x cos x
sen x cos x

1 sen t

b a(t) = –e sen t + sen x
(ln x )(cos x ) +
12 a f ′( x ) = ( −sen x )
x
g

cos x sen t 2

e cos t

sen x sen t 2 2
cos x
c s(t) = e +3 h –2sen x + 2cos xo

=

4 2cos 2x

4 a (4 sen t + 3 cos t ) dt

= tan x ∫

0

4

2 a x + cos x + C

1 2

b ⎡⎤ + C b 4,34 m
ln(cos x )

⎣ ⎦ 1
2 sen (3x ) + C

5 a i –2 b 3
–2,52 m s c
1
Ejercitación 14F ii Acelerando cos (4 x + 1) + C

4

b 2,51 s y 3,54 s

1 3; 1,73

c 7,37 m d 1 2 +C
sen (2x )

2 4; 4

4

6 a –2
5,82 m s

3 3
; 1,30
3

4

 Respuestas

1 c d

Capítulo 15 n P(N = n) p P(p )

e +C

2 cos (2t + 1)

Comprobemos nuestras 1 11 1 1
habi lidades 36 36

f –cos (ln x) + C

1 2 1 a 5,5 9 2
sen x 36 36
2 2

g e +C

2

b 568
= 14, 6 (3cs)
7 2
39 36 36

6 3 3

h +C

2 + sen x 2 a 15

b 56 4 5 4 3
36 36
3 a 0 b 2+π

c 0,267

c 2 d 2 3 2
36 36
5 5

3 a 1,71875

4 x=2

b 2,98

6 1 6 4
36 36
⎛ 2π 3⎞

⎜ c 8,68
⎜
5 ⎟
3 ⎟
⎝ 2
⎠

Ejercitación 15A 2
36
8

1

2 1 a Discreta

6 f(x ) = x + cos x + 1

2 1
36
b Continua 9

7 a p = 2, q = 2

c Discreta

b 3π + 2 10 2
36
d Continua

2 a b

12 4
36
Ejercicio de revisión con CPG

s P(S = s) n P(N = n)

1 a 4,53 2
36
1 25 15
36 36
b 1,36 2 0 10
3 2 1 36
2 a 4,93 4 36 2 16 1
5 1 36
6 3 36
b 45,0 7 36
8
4 18 2
36 36
3 1,23
5
4 a i cos (5t) 36 2
s ′(t) = –10 sen (5t) e 36
6
36 20

ii s ′′ (t) = –10 sen (5t) 5
36
cos (5t) 2
36
× [e ) (–sen (5t))(5)] 24

cos (5t)

+e [–10(cos (5t))(5)]

2 cos(5t) 25 1
36
= 50 sen (5t)[e

cos (5t)

– 50 cos (5t)(e )]

30 2
36
cos (5t) 2

= 50 e (sen (5t)

– cos (5t)) 9 4
10 36
11 36 1
12 3 36
⎛π ⎞ ⎛π ⎞ 36

iii s′ ⎜ ⎟ = 0 y s″ ⎜ ⎟ ≈ 18, 4 > 0 2
36
⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠
1
En consecuencia, por 36 3 a

la comprobación de la T 2 3 4 5 6

segunda derivada, s tiene P(T = t) 1 4 10 12 9

un mínimo relativo en 36 36 36 36 36
π
21 7
t= =
5 b P(T > 4) =

b 14,2 m

36 12

Respuestas 

4 a 5 La misma media 10 a P(Z = 0) = 0,7489

s 1 2 3 6 10 6 35 b E(Z ) = 1,7 = $1,70; la
18

suma que se espera ganar

P(S = s) 1 1 1 1 1

con un billete

6 3 6 6 6 Ejercitación 15B

91 c Pierde $0,30.
= 15, 2 (3cs)
1 1
2 6
b 1
a 6 1 3 1 Investigación: el test binomial
2
5 1 b 2 x= ,y =
6 3
7 8 8

1 V 2 V 3 F 4 F 5 F

36 1 Esperaría haber obtenido 2,5
0,2 5 preguntas correctas.
La probabilidad de obtener
3 exactamente 3 preguntas correctas
de 5 es 0,3125.
4 2
5 5

3

27 1

8 a k=
9
40 25

1 5 b E(X) = 5

a a= ,b =

8 24

6 a

125 Ejercitación 15C
96
b X 1 2 3

1 a 1 b 1
4 16
P(X = x) 0,2 1−k k − 0,2

10 b

c 2 3 4 5 6 5 15
16 16
b c 0,329 d

0, 2 ≤ k ≤ 1,

P(C = c) 1 5 6 5 1

c k + 1,6

2 a

18

18 18 18 18

7 0,2

b 0,351

Investigación: resultados de 8 a
los dados
1 c 0,680

r P(R = r ) d 0,649

1 18 3 a 0,0389
90
d 0 1 2 3 4 5

b 0,952

P(D = d) 6 10 8 6 4 2

2 16 c 0,00870
90
36 36 36 36 36 36

d 0,932

2

3 14
90
d 0 1 2 3 4 5 Ejercitación 15D

Frecuencia 6 10 8 6 4 2 1; 0,422
esperada
1

4 12 2 a 0,257
5 90
35 6 10
7 90
3 Media = 8 b 0,260
4 9 8
18 90

6 3 a 0,851
90
d Frecuencia b 0,000491
4
esperada 90

2 c 0,0109
90
0 150
9
4 a 0,0584

b 0,9996

1 250
9
5 0,913

6 a 0,224

2 200
9
b 0,399

7 a i 0,0307

3 150
9
b 2
3
ii 0,463
3

4 100 iii 0,171
9
c 1 n 1
b
16 ⎛4⎞ ⎛ 1⎞ b i 0,215
,
9 c d 1
125
⎜ ⎟ ⎜⎟
⎝ 5⎠
5 50 35 ⎝ 5⎠
9
Media = ii 0,0292

18

iii 0,158

 Respuestas

Ejercitación 15E 3 a 0,159 Ejercitación 15M

1 n=4 b 0,00820 1 8,33

2 15,4

2 68 4 a 0,159

3 µ = 49,9 y σ = 4,23

3 n=7 b 0,0401

4 µ = 71,4 y σ = 13,8

4 9 intentos 5 a 0,742

5 7,66 cm

5 7 veces b 0,236 6 546,5 g

7 a 0,389 kg b 35,0%

c 0,0359

Ejercitación 15F 54,3 cm

8

d 0,977

1 a 20 9 0,260 m

e 0,390

2 10 a 126; 33,7
6
b 6 a 0,306 b Sí (60,5%)
c 3
10

b 0,595 11 µ = 507,1 y σ = 7,34

2 n = 25

c 0,285

Ejercicio de revisión sin CPG

3 a X~B(15; 0,25)

7 a 0,311 7
15
1 a 6 b

b 3,75

b 0,215

c 0,000795 1
35
2 a b 3

4 a 0,51 Ejercitación 15I

b 38,2 1 a 0,655 b 0,841 3 13
,P=
3 x=

8 64

c 0,186 d 0,5

Ejercitación 15G

4 a 2, 4, 6, 8, 12, 16

2 a 0,672 b 0,748

1 Media = 0

Varianza = 0 c 0,345 1 2 1 2 1 1
, , , , ,
b

8 8 8 8 8 8

Media = 7,2 3 a 0,994 b 0,977

2

c 7,5 d £62,50

Desviación típica = 1,70 c 0,494

(3 cs) 40
243
5

Ejercitación 15J

3 Media = 20

1 a 0,933 b 0,691

6 0,2

Desviación típica = 3,16

c 0,736

7 a 85 b 0,023

(3 cs )

2 477

3 a 5
b E (X) =

3 a 0,0668 b 15,9% Ejercicio de revisión con CPG

3

25 19
27
4 53,5%

Var (X) = 1 a

18

5 a 0,106 b 0,00118

c P (X < µ) = 0,485 (3 cs )

b

22 Ejercitación 15K

5 a E (X) = x −5 1
b P(X = x) 8 19
c 5 27
27
1 a 1,42 b 0,407

88

Var (X) =

c 2,58

25

2 a 1,77 b −1,00

P (X < 4) = 0,332 (3 cs )

c i Pierde −$0,78.

c −0,841

6 P (X ≥ 3) = 0,873 (3 cs )

3 a 0,385 b 1,60

ii Pierde −$7,00.

4 a 1,64 b 0,842

7 a n = 26 2 a 0,254 b 0,448

b Var (X) = 5,46 3 0,0243

Ejercitación 15L

4 a i 0,0881

8 n = 12, p = 0,8,

1 5,64

ii 0,00637

P (X = 6) = 0,0155

2 a 413

b 2 c 14

b 433

Ejercitación 15H

5 1,44

3 a 0,106 b 0,864

1 a P(−1 < Z < 1) = 0,683

6 a 8,68

c 499 y 505

b P(−2 < Z < 2) = 0,954 b 0,755

4 a 0,673 b 582 g

7 38,9 horas; 8,63 horas

c P(−3 < Z < 3) = 0,997 5 a 79,7 puntos

8 a 33,3 b 0,328

b 35,8 puntos

2 a 0,272 b 0,483

c 0,263

Respuestas 

Capítulo  d 1, 2, 4, 7, 14, 28 4 15,6 × 72=1123,2 cm o 11,232 m

e 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78 5 3 km = 3000 m = 300 000 cm por

Ejercitación 1A

2 2 2 lo tanto la escala es 1:300 000.
2 ×3×5
2 a 2 ×3 b

1 a 11 b 10 c 8

Camino = 0,04 cm en el mapa

c 3 d 5 e 4
2×3 2 2 ×7

d 4 e 5 f 3

6 72 USD = 5 + 3 = 8 partes,

3 a 40 b 240

g 16 f 3 por lo que 1 parte = 9 USD. Se

4 a 8 b 18

1 donan 45 USD: 27 USD.
1
2 a 5 b

2

Ejercitación 1D 7 5:3:2; 5 + 3 + 2 = 10 par tes;

c 5 d 24 11 16 1 par te = 15 unidades. Por lo
4 12 15
1 a b c 1

tanto 75:45:30 unidades, es

3 a 12 b 540

211 49 decir, 75 brownies, 45 galletas de

d o2

c 16 d 5

81 81 chocolate y 30 apjacks

4 a 5 b 8 c 8 d 2 4 7
9 20
2 a b

Ejercitación 1H

5 a 2 b 4 c 34

1 5000:7000:4000 se simplica a

c 2 d 5
3 8
5:7:4. 5 + 7 + 4 = 16 partes

Ejercitación 1B

= 24 000, por lo que 1 parte es

1 a 2 b 2 3 c 5 3 a 18 b 22
2 5 7
1500 USD. Josh recibe

1500 × 5 = 7500 USD, Jarrod

d 2 10 e 10 c 93 d 167
5 4 72
1500 × 7 = 10500 USD, Se Jung

1500 × 4 = 6000 USD.

2 a 2 3 b 5 3 c 6 2

4 1
4
4 a b 33
7
2 12 + 18 + 20 = 50 puntos
1
4 3

d 6 2 e 15 3 4

8 = 75 minutos; por lo tanto,
14
c d
11
3 1 punto = 1,5 minutos; por lo

3 a 6 b 9 c 16

tanto, 12 × 1,5 = 18 minutos,

d 6 6 e 75 15 5 a 0,32 b 0,714

18 × 1,5 = 27 minutos,

c 3,8 d 2,65

4 a 5 5 b 2 2 c 4 3 20 × 1,5 = 30 minutos

d 2 e 0 Ejercitación 1E Ejercitación 1I

1 a 52% b 70% 1 a, b, d, e, g, i son racionales; el

5 a 11 + 6 2 b 5+2 6

2 a CHF2,24 b GBP0,54 resto son irracionales.

c 1–2 2

c EUR187,57 d JPY10400 2 a ayg b a
b 4
d 4+ 3 −4 2− 6 9

3 a 83
1
e 2 Ejercitación 1F

1 GBP576 Irracional 24
25
c d

( 21 + 7)

6 a

7 2 JPY14875

e 5 f Irracional
g 11
(1 + 2 3) I
36
b 3 7% 1

11 1123
900
26,5% h Irracional

4

(5 5)

c

5 26 500 000

j Irracional

4

6 32 USD

d 16 + 11 2

Ejercitación 1J

7 De 3,40 a 4,00 USD; por lo

1 a 2180 b 400 c 4000

11 3 13 3 tanto, 0,60 USD

7 a b

3 6 d 21 e 13

8 No, la nueva suma es

12 5

AUD49,50; una reducción 2 a 0,69 b 28,8 c 1,00

c

5 de 1%.

d 77,985 e 0,06

Ejercitación 1C 3 a 2200 b 440 c 3500

Ejercitación 1G

1 a 1, 2, 3, 6, 9, 18 d 21 e 13

1 5:4

b 1, 3, 9, 27 4 a 0,694 b 28,8 c 1,00

2 95,1:100

c 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 d 78,0 e 0,0588

3 21:160

 Respuestas

5 a 0,667 b 0,0652 Ejercitación 1M Ejercitación 1N

c 0,385 1 a x< 2

1 a Sí, todos los elementos de

6 a 50 ÷ 10 = 5 b (3 × 4 ) b –1 ≤ x < 5
=6
B están incluidos en A.
2

(7 1) c x> 2

b No, tienen elementos en

c = 0,07

2
9

común. d –4 ≤ x ≤ 3

7 a 5,46 b 5,77

c {4, 5}

2 a

c 0,0841

d {1, 2, 3, 4, 5, 6}

x

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

Ejercitación 1K

2 a A = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12,

3 5 b
1,475×10 2,31×10
1 a b

18, 36} y x

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

c 9 d 5
2,8×10 3,5×10

B = {1, 3, 5, 15}

c

e 6
7,35×10

x

b No, B tiene elementos que

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

2 a 62500 b 420 000 000 no son elementos de A.

d

c 355,4 c No, tienen algunos

x

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

3 a –4 elementos en común.
1,232×10

b –5 d {1, 3}
4,515×10
Ejercitación 1O

c –1 e {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 15,
6,17×10
1 a
Partida Llegada

–6 18, 36}
7,5×10
d

–4 3 a A = {17, 18, 19, …} y 0 0
3,49×10 1 2
e 2 4
3 6
B = {20, 40, 60, 80…} 4 8
5 10
4 a 0,00000035

b Sí.

b 0,000000089

c No, tienen algunos

c 0,01253

elementos en común.

5 b x 1 2 3 4 5

5 En 1 s, 3 × 10 m

d {20, 40, 60, 80…} = B

1 y 2 4 6 8 10

5

Por lo tanto, en s, 10 m

3 e {17, 18, 19, 20, …} = A

c (0,0), (1, 2), (2, 4), (3, 6),

Por lo tanto,

–5 –6 4 {x|x es un número entero (4, 8), (5, 10)

1 m en 0,33×10 = 3,3×10 s

positivo que no es múltiplo

d y

Ejercitación 1L de 3}

10

1 a A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, {40, 50, 60, 70,… }
18, 24, 36, 72}
5

8

6 (Hay diferentes respuestas posibles.)

6

b B = {2, 3}

a A = {1, 3, 5, 7,…} y 4

c C = {2} B = {2, 4, 6, 8,…}

2

d D = {14, 28, 42, 56, A = {4, 7, 10} y

b

0 x
10
70,… } 2 4 6 8

B = {4, 7, 10, 13, 16,…}

e E = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}

c A = {1, 2, 3} y 2 a Partida Llegada
0
f F = {20, 21, 22, 23, 24,…} B = {4, 5} 1
2
g G = {} A = {1, 2, 3, 4, 5} y –3 3
–2
d –1

2 a 11 B = {2, 4, 6, 8} 0
1
b 2 e A = {1, 3, 5, 7} y 2
3
B = {2, 4, 6, 8}

c 1

f A = {1, 2, 3, 4} y

d Innito

B = {1, 2, 4, 6, 7, 8}

b x –3 –2 –1 0 1 2 3

e 7

g A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y y 3 2 1 0 1 2 3

f Innito

B = {2, 4, 6}

c (–3, 3), (–2, 2), (–1, 1),

g 0

(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)

Respuestas 

d d (5x + 1)(5x – 1) Ejercitación 2I

4 e (m + n)(m – n) 1 a 17 b 144 c 64
3
2 f (4x – 7y)(4x + 7y) 2 a 1 c 1
1 1b 16

9

Ejercitación 2E 3 a 525,219 b 4,081

(u v)
t=
c 1,667

1

x g

–3 –2 –1 0 1 2 3

Ejercitación 2J

2 c= 2 2

(a b)

Ejercitación 2A 1 a x≤ 3

2

x c
r=
3 x
2
2

1 a 3x – 6x b x − xy + 3

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

y

c 2 a sen B b x> 8
3ab – 2ac + b

4 b=

2 sen A x
3pq(1 – 2pq r)
2 a

–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 2 2

(b +c −a )

b 3c(4ac + 5b – c) 5 cos A =

c x< 2

2bc

c abc(2a + 3b – 5c) x

9 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
C + 32
6 F=

Ejercitación 2B 5

2 a x≤ 5
b
7 existencias = activos c 2
x> –
2
3
1 x + 3x – 28 x ≥ –1

corrientes – razón de liquidez

2

2 x – 5x + 6

× pasivos corrientes

2

3 3x + 2x – 8

Ejercitación 2K

Ejercitación 2F

2

4 6x – 11x – 10

1 a 3,25 b 6,18 c 0

1 2,487

2

5 9x + 9x + 2

2 Cuando x = 3, |5 – x|es 2;

2 3,728

Ejercitación 2C cuando x = 8, |5 – x|es 3.

3 40,073

2

1 x + 10x + 25 3 a 2 b 2 c 2

2 Ejercitación 2G

2 x – 8x – 16

Ejercitación 2L

2 1 x= 4

3 x –4 3x + 1

2 2 x= 4 1 x +7
2
4 9x – 24x + 16

x +1 1
o
2 3 x = –3

5 4x + 20x + 25

2x + 2 2

2 4 x= 3

6 4x – 49 6x + 8
o2
3
5 x= 5 4 3x + 4

Ejercitación 2D 2

5x + 4x + 5

6 x= 9

1 a (x + 4)(x + 7) ( x + 5)(2 x − 1)

7 x= 2

2

b (x – 1)(x – 13) 2x + 5x + 8

5

8 x = –2

x ( x + 2)

c (x + 4)(x – 5)

2

9 x= 3

5x + 8x − 3

d (x + 4)(x – 2) 6

10 x = 1,5 ( x − 2)( 4 x + 3)

e (x + 4)(x + 9)

2

11 x= 1 12 x − x −5

7

f (x + 2)(x – 9)

(5 x + 1)( 2 x − 5)

12 x = 2

2 a (2x – 3)(x – 3)

8 13 x + 2
( x − 4 )( x + 2)
b (3x + 1)(x + 2) Ejercitación 2H

c (5x – 2)(x – 3) 1 a x = 1, y = 1

x = 1, y = –2 Ejercitación 2M

d (4x + 3)(x – 1) b

x = –3, y = 4 1 x=1

e (3x + 2)(x – 3) c

2 a x = 6, y = –1 2 k=5

f (7x – 5)(2x – 1)

b x = 2, y = –1 3 x = 1,5

3 a (x – 3)(x + 3)

c x = –2, y = 2 4 x = 1,1

b (x – 10)(x + 10)

d x = 2, y = 1 19
x=–
c (2x – 9)(2x + 9) 5
23

e x = 3, y = –1

 Respuestas

Ejercitación 3A Dos ángulos y lado incluido, por Por lo tanto, son semejantes. La
lo tanto, ALA, son congr uentes.
6
1 27,6 cm razón es o 1,5

4

2 2,24 cm Por lo tanto x = 6 cm y y = 4 cm Por lo tanto, AB = 2 × 1,5 = 3 cm
y z = 9 cm

3 5,03 cm y BP = AB – AP = 3 – 2 = 1 cm

2 QP = AB

Ejercitación 3B PR = BC Por lo tanto, AC = 3 × 1,5 = 4,5
cm

1 a Simetría en x = 0 (eje y) QR = AC 5 a Ángulo AXB = Ángulo CXD
Tres lados son iguales (LLL)
6 por lo tanto, congr uentes. (ángulos opuestos por el
4
b Traslación de

vér tice)

c Rotación con centro (0, 0) x = 89°, y = 58°, z = 33° Ángulo BAX = XDC (rectas
paralelas y ángulos alter nos)

de 90 grados en sentido 3 Ángulo FDE = Ángulo

horario ABC = 90° Ángulo ABX = XCD (rectas
paralelas y ángulos alter nados)

d Simetría en y = x

DE = BC

Por lo tanto, son semejantes.

2 a,b

FE = AC = Hipotenusa

y

b XD

Un cateto y la hipotenusa c 3,9 cm
coinciden en un triángulo

rectángulo (RHC), por lo tanto, Ejercitación 3E
son congruentes x = 50°, y = 40°
C
A

1 a

Ejercitación 3D
x

1 Rectángulos con lados 5; 11 y 4;

8,8

B

Rectángulos con lados 5; 6,25 y
4; 5

Rectángulos con lados 5; 8 y 8;

c Rotación de 90º en sentido b
c
12,8 d

antihorario con centro (0,0)

2 a 7
La razón es 10,08 ÷ 7,2 =

5

3 y 5

y = 9,1 × = 6,5 cm

7

7

x = 13 × = 18,2 cm

5

F

D b La razón es 4,5 ÷ 3
E
A = 1,5.

x

y = 1 × 1,5 = 1,5 cm

B

C x = 2 × 1,5 = 3 cm

3 a AyB

b AyC

g Simetría en el eje x c AyB

h Homotecia de razón 2 centro d Ninguno

2 a Cóncavo b Obtuso

(0, 0)

e Ninguno

1 c Agudo
i Homotecia de razón

4 Ángulo PAQ = Ángulo BAC

2

3 a Obtuso b Agudo

centro (0, 0)

Ángulo ABC = APQ c Cóncavo d Agudo
(rectas paralelas y ángulos
j Simetría en el eje y correspondientes)

e Cóncavo f Cóncavo

Ejercitación 3C

1 Ángulo DFE = Ángulo ACB Ángulo ACB = AQP
(rectas paralelas y ángulos
Ángulo DEF = Ángulo ABC correspondientes)

EF = BC

Respuestas 

Ejercitación 3F 2 a Triángulo isósceles, 2 3
1 Pirámide: 96 cm
paralelogramo, triángulo
2
rectángulo, triángulo Cilindro: 2,2 π × 5,6

3
= 85,15 cm

escaleno, rombo, punta de 2
(4, 5 π × 12)

Cono:

echa, cometa 3

3
= 254,47 cm

b Triángulo equilátero,

h

cuadrado, paralelogramo, Volumen = 2
πr
3

3

triángulo rectángulo,

4p h

23 =

trapecio

3

69 = 4πh

Ejercitación 3G

h = 5,49 cm

1 a 3,2 + 3,2 + 4,3 = 10,7 cm

4 2
Volumen = πr h

b 5,5 + 2,7 + 5,5 + 2,7

2120, 6

= 16,4 cm h= = 27,000 cm

25π

c 7,2 + 4,2 + 4,8 + 4,2 2

Nuevo volumen = π × 2,5 × 27

= 20,4 cm

= 176,7

d 20π = 62,8 cm

5 a Área de la

e 3,2 + 3,2 + 3,2 + 1,6π 2
supercie = 4πr
= 14,6 cm
2
= 4π × 3,5

2
= 153,938 cm

f 3(5,2π)/4 + 2,6 + 2,6 3 3
= 17,5 cm
πr π × 7,5

Volumen = 4 =4

3 3

Ejercitación 3H

3
= 179,594 cm

2 2

1 4,5 π = 63,6 cm

b Área de la

(6, 2 + 4, 5) 2 2 2
× 4,3 cm
2 = 23,0 supercie = 4πr = 4π × 7,5
3
2

2
= 706,858 cm

2
6,5 × 5,8 = 37,7 cm

1 Volumen = 3 3
πr π × 7.5
2 =4
× 5,7 × 3,6 = 10,3 cm 4
3
4 3
5
2

2 3
6,48 m = 17,146 cm

6 2, 9(2, 7 + 4,1) 6 Área de la
+ (6,3 × 4,1)

2

2 2

supercie = 2πr + πr + 2πrh

2
(2, 05 π )

2 2 2
= 42,3 cm
+ = 2π × 6 +π×6 + 2π

2

2
× 6 × 5 = 527,788 cm

Ejercitación 3I 3
r
2
Volumen = 2 + πr h

4 (7 × 8) 3
Pirámide: ( 7 × 7 ) +
1

2 3 2

2 π ×6 +π×6 ×5
= 161 cm
=2

3

2 3
Cilindro: 2(2,2 π) + (4,4π =1017,876 cm

2
× 5,6) = 107,8 cm

7 Volumen del contenedor

2

2 ( 40 × 70 )
Cono: (π × 4 × 10) + (4 π)
= 3
2 = 37 333,33 cm
= 175,9 cm
3

Diagonales Ir regular Rectángulo Paralelogramo Rombo Cuadrado Trapecio Cometa

Per pendiculares × × ×   × 

Iguales ×  × ×  × ×

Se cor tan en su ×     × 
punto medio.

Dividen ángulos × ×    × 
en dos par tes
iguales.

 Respuestas

El volumen de una pelota es Ejercitación 3M c Ninguna (una tiene

3 3 4 5
4 r 4 10 = – 0,8

 3 1 5 pendiente y la otra tiene
= 4188,79 cm

3 3 4

El volumen de las ocho 1 pendiente 0)
= – 0,25
2
4
3
pelotas es 33 510,32 cm

d Per pendiculares (pendientes

2

El espacio que queda en el 3 = 0,4 1 y −1)
4
contenedor es 37 333,33 – 5 5
3
6 e Paralelas (pendientes de 1,5)
33 510,32 = 3823,012 cm
= –1,5

4

Ejercitación 3P

8 Área de la 5
= –5
2 1 y 5 = 3(x 1)
1
supercie = 2πr + 2πrh

2 6 Indenido

= 2π × 4,5 + y 5 = 3x 3

2π × 4,5 × 14 7 3
=3
y = 3x + 2
1

2
= 523,1 cm

2 1 2 y 11 = 4(x 5)

8 =

2 2

Volumen = πr h = π × 4,5 2

4 y 11 = 4x 20

3 9 0
× 14 = 890,6 cm

y = 4x − 9

9 2
Volumen = π × 5,5 h = 250

Ejercitación 3N

3 y − 12 = 2,5(x − 4)

250

=h ( −15 − −16) 1
=
π 2 1 = 0,039 2y − 24 = 5(x − 4)
× 5, 5

( −7 − 19 ) ( 26)

h = 2,63 cm 2y − 24 = 5x − 20

( −7 − −19 ) 12

10 Área de la 2 = = 4

2y = 5x + 4

( −2 − 1) 3

supercie = 2πrh = 950

y = 2,5x + 2

950 ( −4 − 7 )

=r 3 = 5,5

4 y − 20 = 0,5(x − 12)

2  60 ( −6 − − 7 )

r = 2,5 cm y − 20 = 0,5x − 6

(16 8) 8
=
4 = 0,73

y = 0,5x + 14

(9 20 ) 11

Ejercitación 3J

5 y − −13 = 5(x − −2)

(7 − −13) 20

1 y 5 = ; indenido
10
(17 17 ) 0 y + 13 = 5(x + 2)

(3 3) 0 y + 13 = 5x + 10

8 6 = =0
6
4 (1 14 ) 13
2
y = 5x 3

( −15 − 0 ) 15 6 y−1 = 3(x − 1)
= = 1,071
7
( −11 − 3) 14

y−1 = 3x + 3

(10 − −2) 12

y = − 3x + 4

8 = = 0,4

0 x

–8 –6 –4 –2 2 4 6 8

( −11 − 19 ) 30

–2 7 y − −1 = 2(x − 3)

(15 − −10 ) ( 25)
=
–4 y+ 1 = 2x + 6

9 = 1,19

( −15 − 6) ( 21)

–6

y = 2x − 7

( −18 − −18) 0 1

A(4, 9), B(– 4, 2), C(–8, – 6), 10 = =0 8 y − −3 = − (x − − 4)
D(8, –8)
2

(18 12) 6

1

y+ 3 = − (x + 4)

2

Ejercitación 3K Ejercitación 3O

6 9 1
; 4,5 y
1 (5, 5) y+ 3 = − x − 2

1 a 3y

2

2 2

2 (–1, 1)

1

1 2 2 y= − x − 5
; 4,5 y ,
b 3y y 1,5 2

3 (1,5; 2,5)

3 9 3

Ejercitación 3L 2 a Paralelas (ambas tienen 9 19 7
La pendiente es = 6.

5 3

pendiente 2)

1 5

y − 7 = 4(x − 2)

b Per pendiculares (una tiene

2 9,43

y − 7 = 4x − 8

3 14,8 pendiente 4 y la otra 1
)
y = 4x − 1
4

Respuestas 

−11 − −3 8 1 5
=2 2 2
10 La pendiente es = 3 3
4 4 4
−5 − −1 8 5 2 3 5 5 9
6 1 2 2 3 7
y − −3 = 2(x − −1) 7 2 3 3 6
2 2 2 4
0 3 4 8
3 4
y + 3 = 2(x + 1)

y + 3 = 2x + 2

y = 2x − 1

Ejercitación 4A 12

Clave 6|3 signica 6,3

1 Gráco de barras para

representar los colores de los Pictograma para representar
el número de veces que los
compañeros de Isabel fueron Ejercitación 4C
al cine
automóviles

1 Discretos

o16 2 Discretos
c14
n12 3 Continuos
a10
l V isitas por Número de
B8
6 mes estudiantes 4 Continuos
o4 1
d2 Δ Δ
a0 2
e 3 5 Continuos
t 4
al 8 Δ Δ Δ Δ
P 12 Δ Δ
Δ Δ 6 Discretos
e Δ
d Δ 7 Discretos
r
e
V

l
u
z
A

o
j
o
R

o
r
g
e
N

sotua ed oremúN

Color 8 Continuos
Gráco de sectores para mostrar

9 Continuos

los colores de los automóviles Clave Δ es 2 estudiantes
Negro
Rojo Ejercitación 4D
Azul
Verde Ejercitación 4B 1 a Moda = 1
Plateado
Blanco 1 Mediana = 4

Pictograma para mostrar los 2 1 3 5 6 8 Media = 4
colores de los automóviles 3 0 0 0
4 0 1 2 3 6 7 9 9
5 0 4
b Moda = 5

2 2 2 6 9

Mediana = 5

Clave 2|1 signica 21 Media = 4

Número de autos c Moda = 2 y 8

2

Negro

△ △ △ △ △ △

Mediana = 5

Rojo 12 1 3

△ △ △

Media = 5

Azul

△ △ △ △ △

Verde 14 5 8 9 d Moda = 25
15 1 2 7
△ △ △ △ 16 3 4
17 6 6 7
Plateado 18 5 Mediana = 25

△ △ △ △ △ △ △

Blanco

△ △ △ △ △ △ Media = 25

Clave Δ es 2 automóviles e Moda = 10,2

Clave 16|4 signica 164

2 Gráco de barras para

Mediana = 10,2

representar el número de veces 3

Media = 9,42

que los compañeros de Isabel 1 9 2 a 1
2 2
fueron al cine 3 0 5 6 7 8 9
4 2 4 6 7
setnaidutse ed oremúN 8 5 2 3 4 6 8 b 1
7 6 2 3 5 7 8
6 8 9
5
4 c 1,67
3
2 3 a 8
1
Clave 4|2 signica 42

b 8

4 c 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 1 4 4 6 8 9
2 3 4 6 6 7 8
3 0 4 5 6 8 4 a 4,82
4
5 9

Visitas al cine

b 5,06

Diagrama de sectores para

representar el número de veces que c 5,02

1 6

los compañeros de Isabel fueron al

Clave 2|4 signica 24

cine

 Respuestas

5 a 497

b 497

c 400

Ejercitación 4E

1 a 38 − 26 = 12

b 34 − 28 = 6

2 a 8−0=8

b 4−1=3

3 a 8 − −7 = 15

b 4−−4=8

4 a 20 − 12 = 8

b 18 − 14 = 4

5 a 23,5 − 2,45 = 21,05

b 12,4 − 3,5 = 8,9

Respuestas 

Esquema de corrección
Práctica de la prueba 

Sección A

1 a p = −1, q = 3 (o viceversa) A1 A1 N2

b i x = 1 (debe ser una ecuación) A1 N1

ii Sustitución correcta de los valores para x, p y q

f (1) = 2(1 + 1)(1 − 3) M1

vér tice (1, −8) A1 A1 N2

2 a −2x A1
f ′(x) = −2e

−2x A1
f ″(x) = 4e

−2x A1
f ″′(x) = −8e

(4) −2x

f (x) = 16e A1 N4

b Generalización de los signos alter nados (A1)

(n) n −2x (n) n −2x

f (x) = (−1) 2ne of (x) = (−2) e A1 A1 N3

3 a 6 A1 N1

b Evidencia de uso del desarrollo binomial (M1)

⎛ 5⎞ 2

4 3

Evidencia del cálculo de factores (x )( 2x ) A1 A1 A1
⎜
⎟

2
⎝⎠

 A N2

−80x

3 2
13
4 a i senθ = , cos q = (A1) (A1)

13

Sustitución correcta A1

⎛ 3 ⎞⎛ 2 ⎞

p.ej. sen 2θ =2
⎜
⎟⎜ ⎟
⎝ 13 ⎠ ⎝ 13 ⎠

sen 2θ 12 A1 N3
= A1

13

ii Sustitución correcta

⎛ 2 2 ⎛ 3 2
⎞ ⎜ ⎞
= ⎝
p.ej. cos 2θ ⎜

⎝ ⎟ ⎟
13 ⎠ 13 ⎠

5 A1 N1
cos 2q = −

13

b 12 A1 N1
tan 2q = −
A1 N1
5 A1 N1
A1 N1
5 a i p=6 A1 N1

ii q=5 (M1)

iii r=9

iv s = 20

9

40

b P (V | D ′ ) =

29

40

9

P (V | D ′ ) = A1 N2
R1 N0
29
AG
c Razón válida

p.ej. P(V ∩ D) ≠ 0 o P(V ∪ D) ≠ P(V) + P(D ) o

una expresión numérica equivalente; así, V y D

no son incompatibles mutuamente excluyentes

 Respuestas

6 a Expresión correcta A1 N1

4 4

2

1 1

⎛ ( 2) ⎞ ( 2)
⎜ ⎟
⎜ sen x sen x
⎝
π dx , π dx
0
1

1 ⎟ 2
⎠ x
4
x

0

b Usa una sustitución correcta
4
2

1

( 2)

sen x

p.ej. π dx = 2π sen u du (M)
0 1

2
x

0

Primitiva correcta

2 4

sen u du = 2 ⎡ 1
⎤
0 2π [ cos u ]
2
0
2π o ( )cos x A1

⎢ ⎥

⎣ ⎦
0

Evaluación correcta A1
2π (cos 2 − cos 0) = −2π (cos 2 − 1) A A
A1
p = −2, q = 2 (M1) N0
N1
7 a 0

b Intercambia x e y (evidente en cualquier lugar)

y

p.ej. x = 4

Evidencia de una operatoria correcta A1

−1
p.ej.−y = log x, y = log x

4 4

1

1

AG N0

f ( x ) = log A1
4 M1

x

c Cálculo de g(4) (evidente en cualquier lugar)

Intento de sustitución

1

(f 1 )g ( 4 ) = log
° 4

4
2

1

(f 1 g ) (4) = log (A)
° 4 A1

16

1

(f )g (4 ) = −2 N1

°

Sección B

8 a i Halla la primitiva de f A1 A1 A1
(M1)
2
A1
f ' (x) = 6x − 3x − 3

Iguala a 0 la derivada

2

p.ej. 6x − 3x − 3 = 0, f ' (x) = 0

Resuelve la ecuación

1

2 −x − 1) = 0 ⇒ 2 ( 2x + 1) ( x − 1) = 0⇒ x =− ,1

p.ej. 3 ( 2x

2

Elige el valor negativo

1 A1 N0
x =−

2

ii Halla la segunda derivada de f A1 A1
(M1)
f ' (x) = 12x − 3

Iguala la derivada segunda a 0

p.ej. 12x − 3 = 0, f '' (x) = 0

Resuelve la ecuación A1 N0

1
x=

4

Respuestas 

b i La simetría da (1, −2). (A1)

La traslación da (1, −5). A1 N2

3 2

ii La simetría da y = −2x + ,5x + 3x − 4,5. (A1)

3 2

La traslación da g(x) = −2x + ,5 x + 3x − 7,5. A1 N2

9 a Muestra evidencia del uso de la regla del producto. M1

f ' (x) = (x) (−e x x A1 A1
) + (e ) (1)

=e x A1
(−x + 1)

=e x AG N0
(1 − x)

b f '' (x) = (e x x A1 A1
)(−1) + (1 − x) (−e )

−x −x −x

= −2e + xe (= e ( x − 2)) A1 N3

c i f ' (1) = 0 A1

1 A1 N2
f ″(1) = −

e

ii Aplica la comprobación de la segunda derivada. A1

Hay un mínimo relativo en x = 1 R2 N0

1

dado que f ' (1) = 0 y f ' (1) = − <0.

e

R1

10 a Reconoce que el producto escalar debe ser cero (evidente en

cualquier par te).

p.ej. a · b = 0

⎛ 8 ⎞ ⎛2⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟ (A1) (A1)
Evidencia de elección de los vectores directores (A1)
2,2

⎜ ⎟⎜ ⎟

12 l
⎝⎠ ⎝⎠

Cálculo correcto del producto escalar

p.ej. 8(2) + (−2)(2) + 12l

simplicación que claramente conduce a la solución A1
AG
N0

p.ej. 12 + 12l = 0

l=−1

M1

b i Evidencia de igualación de vectores

0 8 4 2

p.ej. 4 +p −2 = −2 +s 2

1 12 15 1

dos ecuaciones correctas A1 A1

p.ej. 8p = 4 + 2s, 4 − 2p = −2 +2s,  + 2p = 5 − s (M1)
A1
Intento de resolver ecuaciones

Cálculo de un parámetro correcto (p = 1, s = 2)

⎛ 8⎞

⎜ ⎟

OA = 2 A1 N3

⎜⎟

13
⎝⎠

A1

c i Evidencia de una aproximación

8 9

p.ej. BA = OA − OB , BA 2 6

13 10

1

A1 N2

BA = 4

3

ii Elección correcta de los vectores BA y BC (A1)
A1

Cálculo de BA • BC

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟

−4 • −5 = 25

⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ 3 ⎝ 2
⎠ ⎠

 Respuestas

Cálculo de |BA |y |BC | A1 A1
A1 N4
|BA |= 26 y |BC |= 30

Evidencia del uso de la fórmula para calcular el coseno

25

cos q = = 26,5°

26 30

Esquema de corrección

Práctica de la prueba 

Sección A

1 a 0,969 (A1)
(A1)(A1)
b Correlación fuer te, positiva. (A1)
(M1)(A1)
c y = 4,89x + 5,67

d y = 4,89(20) + 5,67 = 103 gramos

2 a 4 A1
(M1)
b Evidencia de una aproximación correcta p.ej. u = 329 A1
A1
n (M1)

Operatoria correcta p.ej. 329 = 5 + (n − 1)4 (A1)

n = 82 (M1)
(A1) (A1)
c Evidencia de una sustitución correcta

82

p.ej. = (2(5) + (82 1)4)
S

82 2

S = 13 694.

82

3 a Evidencia de elección de la regla del producto escalar

p.ej. (x cos x) + (1sen x)

f '(x) = sen x + x cos x

b y
6

4

2

0 x
–2
–4 3 4
–6

A1 por el dominio correcto, con los puntos extremos en el
lugar correcto
A1 por una aproximación correcta de la gura
A1 por los mínimos locales en el lugar correcto
A1 por el máximo local en el lugar correcto

∑ fx

4 a Evidencia de sustitución en la fórmula de la media = (M1)
b (A1)
∑f (A1)
(A1)
70 + 5x (A1)

Sustitución correcta p.ej. =4⇒ x=6 (M1)
(A1)(A1)
19 + x (M1)
(A1)(A1)
1,33

c 4,6

d Sin cambio
a
BD 8
b
5 Uso de la regla del seno p.ej. =

sen 100° sen 30°

BD = 15,8

2 2 2

8 + 10 − BD

Uso de la regla del coseno, p.ej. cos BCD =

2 × 8 × 10

Ángulo BCD = 122°

Respuestas 

1 (M1)
(A1)
c Uso de la fórmula del área p.ej. A = × 8 × 10 × sen BCD (M1)

2 (A1)( A1)
(M1)
Area BCD = 34,0 (A1)
(A1)
6 a Evidencia de integrar la función aceleración

p.ej. 1

( )+ 3 sen 2t dt

t

expresión correcta p.ej. ln t 3
cos 2t + c

2

Evidencia de sustitución (1,0) p.ej. 0 = ln 1 3
c = − 0,624 cos 2 + c

2

3

v = ln t − cos 2t − 0, 624

2

v (5) = 2,24

7 a Evidencia de uso de la probabilidad binomial (M1)
(A1)
⎛ 10 ⎞ (A1)

4 6 (M1)
(A1)
Sustitución correcta p.ej. (M1)
(A1)
( 0, 25) (0,75)
⎜⎟

4
⎝⎠

P = 0,146

b P (X ≥ 2) > 0,9 = P (X < 2) < 0,1

P (X < 2) = P (X = 0) + P (X = 1)

⎛n ⎞ ⎛n ⎞

0 n 1 n 1

= ( 0, 25) ( 0,75) + ( 0, 25) ( 0,75)
⎜⎟ ⎜ ⎟

0 1
⎝⎠ ⎝⎠

= n n 1
( 0,75) + 0, 25n (0,75) < 0,1

Uso de un gráco o una tabla de la función
El juego debe jugarse al menos 15 veces.

Sección B

8 a i 1 am

ii 10 am (A1)
(A1)
b La profundidad del agua puede modelizarse mediante la función
(M1) (A1)
y = Acos(B(x − C )) + D (A1)
(A1)
i 9 1 (M1) (A1)
ii Amplitud = =4
(A1) (A1)
2 (M1)
1 (M1)
(A1)
iii 5

iv 2π π
B= =

12 6

⎛π ⎞

v y = 4 cos ( x −1) ⎟ +5
⎜

⎝6 ⎠

π

c Evidencia del uso del modelo 4, 5 = 4 cos ( x − 1) + 5

6

Evidencia del uso de un método gráco

El Halcón del Mar puede entrar después de las 9.46 am (x = 9,76).

 Respuestas

9 a y (A1) (A1)
6
4

R

g(x)

x

2 3 4

–2 f(x)
–4
–6

A1 por mostrar la forma básica de la función f (x)

A1 por mostrar tanto la asíntota horizontal como
la ver tical

A1 por la forma básica de g (x)

A1 por las raíces correctas

A1 por las intersecciones con el eje y correctas (A1) (A1)
(A1)
b i x = −3 es la asíntota ver tical (A1)

2

ii raíz: x = 4,39 (= e − 3)

iii Intersección con el eje y: y = −0,901 (= ln 3 − 2) (M1) (A1)

c f (x) = g (x) (M1)
(M1) (A1) (M1)
x = −1,34 o x = 3,05 (A1)
(M1)
d i Ver el gráco

3,05

ii Área de R = 2
0 (4 − (1 − x) ) − (ln (x + 3) − 2) dx

iii Área de R = 10,6

(M1)(A1)

10 a P(G > 170) = 1 − P(G < 170)

⎛ 170 155 ⎞
< ⎟
P(G > 170) = 1 − P ⎜ Z

⎝ 10 ⎠

(A1)

P(G > 170) = 1 − Φ (1,5) = 1 − 0,9332

= 0,0668

A1

b z = −1,2816

Cálculo correcto (A1)
(p.ej. x = 155 + −1,282 × 10)

x = 142

c Cálculo de una variable (M1)
(A1)

p.ej. P(B < r) = 0,95; z = 1,6449

r = 160 + 1,645(12) = 179,74

= 180

Cualquier cálculo válido para la segunda variable, incluyendo el uso

de la simetría (M1) (A1)

p.ej. P(B < q) = 0,05; z = −1,6449 Se emplean los (A1)(A1)
símbolos siguientes A1
q = 160 − 1,645(12) = 140,26 para este esquema de A1
cor rección:
= 140

d P(M ∩ (B > 170)) = 0,4 × 0,2020; P(F ∩ (G > 170))

= 0,6 × 0,0668 Estatura de las niñas (M1) (M1) (A1)
P(H > 170) = 0,0808 + 0,04008
2
= 0,12088 = 0,121 (3 cs) G ~ N(155, 10 )

Estatura de los niños

e P ( F ∩ (G > 170 ) ) 2
(P(F/H > 170) = B ~ N(160, 12 )

P ( H > 170 ) Estatura H, Mujer F,

Varón M

0,04008

= = 0,332

0,12088

Respuestas 

Índice temático

absolutos, extremos, 242 Arquímedes de Samos (287–212 a. C.), cero, 142, 335, 357
absolutos, valores, 669–70 146 cómo hallar, en la CPG, 572–3
Abu¯ al-Waf a¯ Bu¯ zja¯ n¯ı (c.940–c.998), 17 concepto de, 159
Abu¯ Ka¯ mil Shuja¯ (c.850–c.930), 38 Ar yabhata (476–550), 365 potencia, 104–5
académica, probidad, 562–3 asíntotas, 8, 9–10, 28, 144–6, 157
aceleración, 226, 227–9, 251, 510 chocolate, fábrica de, 495
horizontales, en la CPG, 584–5 cifras decimales, 648
instantánea, 226 aumento porcentual, 641–2 cifras signicativas, 649
media, 226 cilindros, volumen, 689
acumulada, frecuencia, 271–6, 286 Babington Smith, Ber nard (1905–1993), cinemática, 224
adición, regla de la, 72–4 520 círculo de radio unidad, 374
adyacentes, lados, 364
agenda oculta, 555 bacterias, 161 resolución de ecuaciones, 454–6
Agnesi, María (1718–1799), 217 barras, grácos de, 257–8, 700 utilización del, 448–53, 490
agrimensura, 363 valores de la tangente, 449–51
ajuste óptimo, rectas de, 339–44, 357–8 véase también histogramas valores del coseno, 449–51
aleatorias, muestras, 257 base 10, sistema en, 402 valores del seno, 449–51
aleatorios, experimentos, 64, 96 base 60, sistema en, 402 círculos, 60
álgebra, 657–72 base, fórmula de cambio de, 125–6, área, 684
y geometría, 444 deniciones, 684–5
algebraicas, demostraciones, 445 137 propiedades, 684–5
algebraicas, funciones, 500 base, vectores, 409, 442 véase también círculo de radio unidad
al-Khwa¯ rizm¯ı , Muhammad ibn Mu¯ sa¯ base de una potencia, 103 circunferencia, 684, 685
Ber noulli, Jacob (1654–1705), 112 coecientes de correlación, en la CPG,
(c.780–c.850), 657 bidimensional, análisis, 332–61
altitud, 380 bidimensionales, guras, 683–4 627–31
ambiguos, triángulos, 384 bimodal, conjunto de datos, 261 coecientes racionales, resolución de
amplitud, 464, 470, 475, 490, 491 binomial, desarrollo, 184–9, 191
análisis binomial, experimento, 528 ecuaciones con, 672
binomial, probabilidad, cálculo en la CPG, coincidentes, vectores, 428, 443
bidimensional, 332–61 combinaciones, 184
de datos, 703–7 621–4 combinadas, transformaciones, 478–82,
unidimensional, 256–7, 284, 333 binomios, 658
analítica, geometría, 692–9 Boole, George (1815–64), 493 491
ángulos, 682 Boyle, Rober t (1627–1691), 139 cometas, 683
de depresión, 369 Boyle, ley de, 139 complejas, funciones, en la CPG, 591–2
de elevación, 369 broma matemática, 253 complementarios, conjuntos, 654
entre vectores, 427 complementarios, sucesos, 68–9
calculadora de pantalla gráca (CPG) completar el cuadrado, 36–8
en la CPG, 610–11 cálculo diferencial, 598–606 componente
obtusos, 375–6 cálculo integral, 606–8
subtendidos, 391 cómo usar, 570–631 horizontal, 408
Anscombe, Francis (1918–2001), 361 estadística, 612–31 ver tical, 408
antiderivadas, 291–7, 328 funciones, 572–98 compor tamiento extremo, 142
modo grado, 366, 381, 465 comprensión, denición por, 10–11, 652
n modo radián, 396, 466 comprobación de la derivada primera,
de x , 292 probabilidad, 612–31
aplicadas vs. puras, matemáticas, vectores, 608–11 233, 251
comprobación de la derivada segunda, 240
492–3 cálculo, 195 compromiso personal, en la exploración,
Apolonio de Perga (c.262–c.190 a. C.), funciones trigonométricas, 494–517
teorema fundamental del, 309–13, 329, 559–60
46, 60 507 compuesto, interés, 111
arcos, 391–7, 401, 684 y la CPG, 598–606 computadores primitivos, 493, 520
área de la supercie, cuer pos véase también derivación; integración común, error, 265
común, fracción, 638
tridimensionales, 688–92 cálculo diferencial, 195 comunicación, en la exploración, 557–8
área, 686–8 y la CPG, 598–606 cóncava hacia abajo, 234, 251
cóncava hacia arriba, 234, 251
bajo la cur va, 303 cálculo integral, 195 conclusiones, en la exploración, 558
en la CPG, 607–8 y la CPG, 606–8 condición inicial, 295
condicionada, probabilidad, 85–8, 91–3,
de la supercie, 688–92 calicaciones, 256
de triángulos, 389–91, 401 cambio 97
del círculo, 684 conducta humana
e integrales denidas, 302–9, 329 razón de, 221–9, 251
entre dos cur vas, 313–17, 329 uniforme, 287 estadística de la, 554–5
Argand, Jean-Rober t (1768–1822), 423 capciosas, preguntas, 555 experimentos, 554
argumentos, 129 Cardano, Gerolamo (1501–1575), 64 conducta improcedente, en la exploración,
Aristóteles (384–322 a. C.), 423 caso ambiguo, 384–5
aritméticas, progresiones, 164–7, 190 causalidad, 336–9 563
aritméticas, series, 172–5, 191 vs. correlación, 360–1 confusión, factor de, 336
aritméticos, patrones, aplicaciones, celeridad, 227–9, 407 congr uencia, 676–8
véase también velocidad conjeturas, 516–17
181–3

784 Índice temático

conjuntos, 651–7 cuer pos tridimensionales véase también antiderivadas; derivadas
disjuntos, 653 área de la supercie, 688–92 numéricas; derivadas segundas
universales, 651 volumen, 688–92
vacíos, 651 derivadas de orden superior, 220–1
y desigualdades, 655–6 cumpleaños, problema del, 99 y la regla de la cadena, 215–21, 251
y rectas numéricas, 655–6 cur va de Gauss véase distribuciones
véase también subconjuntos derivadas numéricas
normales cómo gracar, en la CPG, 603–4
conjuntos de números, 646–8 cur vas en la CPG, 602
conocimientos previos, 632–707
conos área bajo, 303 derivadas segundas, 220
en la CPG, 607–8 en la CPG, 605–6
altura, 690
generatriz, 690 área entre dos, 313–17, 329 desarrollo binomial, 184–9, 191
volumen, 690–2 familia de, 539 Descar tes, René (1596–1650), 6, 230, 444,
constante de integración, 293 tangentes a, en la CPG, 599–600
continuas, variables aleatorias, 520 véase también hipérbolas; parábolas 692
continuos, datos, 256, 284, 704 cur vas de ofer ta y demanda, 24 descriptiva, estadística, 254–89
control, 555 desigualdades, 10
convergencia, límites y, 196–200 dados
convergentes, progresiones, 196 lanzamiento de, 64 propiedades, 669
convergentes, series, 178–81 puntuaciones, 524 resolución de, 668–9
coordenadas, 692–3 y conjuntos, 655–6
copa mundial de fútbol, 519 datos, 256, 284 despeje de fórmulas, 662
copos de nieve de Koch, 176 análisis de, 703–7 desplazamiento, 407
corchetes, 10 bidimensionales, 261 función, 224, 510
correlación, 334, 357 continuos, 256, 284, 704 desviación típica, 276–81, 287
medición de la, 349–53, 359 cualitativos, 256, 284 de conjuntos de datos, al sumar o
negativa, 335, 357 cuantitativos, 256, 284
vs. causalidad, 360–1 dinámicos, 554 multiplicar, 281
véase también correlación positiva discretos, 256, 284, 703 de la población, 287
correlación positiva, 335, 357 ingreso de, en la CPG, 612 propiedades, 278–80
fuer te, 337 presentación de, 257–60, 284 diagramas
correlaciones no lineales, variables, 336 de tallos y hojas, 702–3
correspondencias, 656–7 de Moivre, Abraham (1667–1754), 538 de Venn, 68–77, 96
coseno decágonos, 683 del espacio muestral, 77–84, 97
derivada, 497 decimales véase también grácos; diagramas de
identidades del ángulo doble para el,
nitos, 639 dispersión; diagramas de árbol
457 periódicos, 639 diagramas de árbol
integrales, 505–10, 515 y fracciones, 638–40
coseno, valores de, en el círculo de radio decrecimiento exponencial, 102, 131, con reposición y sucesos repetidos,
89–90
unidad, 449–51 133–4
CPG véase calculadora de pantalla gráca funciones de, 110 de probabilidad, 89–93
crecimiento deductivo, razonamiento, 253 sin reposición y probabilidad
denición por comprensión, 10–11, 652
demográco, 182–3 demográco, crecimiento, 182–3 condicionada, 91–3
exponencial, 101, 131–2 demostraciones, 516–17 diagramas de árbol de probabilidad,
criterios de la evaluación inter na, en la algebraicas, 445
del teorema de Pitágoras, 444–5 89–93
exploración, 557–61 geométricas, 423–5, 445 diagramas de dispersión, 334–9, 357
críticos, números, 231 vectoriales, 445
cuadrados, 683 dependencia lineal, variables, 349, 359 en la CPG, 627–31
dependientes, variables, 334, 357 usando una página de Data & Statistics,
diferencia de dos, 659 depresión, ángulos de, 369
factorización, 661–2 derivación, 204, 292 627–9
cuadrantes, 374 véase también derivada usando una página de Graphs, 629–31
cuadrática, fórmula, 38–41, 58 derivada primera, 220 diámetros, 684
cuadráticas derivada, 194–253 diferencia de dos cuadrados, 659
aplicaciones, 53–6 coseno, 497 factorización, 661–2
factorización, 660–1 de orden superior, 220–1 diferencia de una progresión, 165, 190
cuadriláteros, 683 dinámicos, datos, 554
irregulares, 683 y la regla de la cadena, 215–21, 251 dirección, de vectores, 407, 442
cualitativos, datos, 256, 284 n dirección, vector, 431, 443
cuantitativos, datos, 256, 284 discontinuidades, 199
cuar teto de Anscombe, 361 de x , 200–7, 250 discretas, variables aleatorias, 520
cuar til, 267–71 en la CPG, 602–6 discretos, datos, 256, 284, 703
inferior, 706 funciones compuestas, 216–17 discriminantes, 41–2
primero, 268, 286 funciones exponenciales, 209–10, 250 disjuntos, conjuntos, 653
segundo, 268, 286 funciones trigonométricas, 496–500, disminución porcentual, 641–2
superior, 706 dispersión, medidas de, 267–71, 286,
tercero, 268, 286 515
véase también rango intercuar til (RIC) logaritmos naturales, 209–10, 250 706–7
cuerdas de guitarra, 195 práctica con, 500–4 distancia recorrida, 510
cuerdas, 684 primera, 220 distancia, 407
cuer no de Gabriel, 331 producto de dos funciones, 210–11
reglas, 203–5, 208–15, 250 entre dos puntos, 418–19, 694
seno, 496–500 total, 322
tangente, 497 distribución normal inversa, 544–51
y grácos, 230–40, 251 distribuciones binomiales, 527–38, 553
y pendiente de la recta tangente, 202 denición, 527–34
esperanza matemática de, 535–6
varianza, 536–8
distribuciones de probabilidad, 518–55
de variables aleatorias, 520–3

Índice temático 785

distribuciones normales, 538–51, 553 equivalentes, fracciones, 639 véase también expresiones cuadráticas
cur vas de, área bajo, 539 error común, 265 expresiones cuadráticas
estándar, 540–1 escalares, 406, 442
inversas, 544–51 escalenos, triángulos, 683 factorización, 660
probabilidades, 542–4 Escuela Platónica, 60 productos que dan lugar a, 658–9
esferas, volumen, 689 extrapolación, 339, 347
distribuciones véase distribuciones espacio muestral, 65 extremos, 240–8, 251
binomiales; distribuciones absolutos, 242
normales; distribuciones de diagrama del, 77–84, 97 globales, 242
probabilidad esperados, valores, 523, 553 véase también máximos; mínimos
esperanza matemática, 523–7
divergentes, progresiones, 196 Facebook, 101
divina proporción, 56 de distribuciones binomiales, 535–6 factor de confusión, 336
divisas inter nacionales, 641 Estación Espacial Inter nacional, 3 factoriales, 184
división, potencias, 104 estadística, 699–707 factorización, 34–6, 657–62
divisores, 637–8
dominios, 5, 28, 110, 136 cálculos de, en la CPG, 617–20 cuadrática, 660–1
descriptiva, 254–89 de expresiones cuadráticas, 660
en el plano car tesiano, 8–12, 28 hechos y conceptos erróneos, 288–9 diferencia de dos cuadrados, 661–2
y la CPG, 612–31 familia de cur vas, 539
ecuación vectorial de la recta, 430–6, 443 mentiras y, 289 Fibonacci, Leonardo de Pisa
ecuaciones de la conducta humana, 554–5
estándar, distribución normal, 540–1 (c.1170–c.1250), 164, 193
con coecientes racionales, resolución, estimación, 648–50 Fibonacci, progresión de, 193
672 estiramientos guras
de funciones trigonométricas, 469–78
de energía, 139 funciones, 23–4 bidimensionales, 683–4
de rectas de regresión, 345–8 horizontales, 23, 476–8, 491 en el mundo real, 60–1
de rectas normales, 205–7 ver ticales, 23, 475–6, 491 nitos, decimales, 639
de rectas tangentes, 205–7 Euclides (c.325–c.265 a. C.), 142 nitos, planos, 682
de rectas, 698–9 exhaución, método de, 330–1 Fisher, Sir Ronald Aylmer (1890–1962),
simples, 139 experimental, probabilidad, 65–6
sistemas de, 574–6 experimentos, 64, 96 264
vectoriales, 430–6, 443 aleatorios, 64, 96 fórmulas, 662–4
véase también ecuaciones exponenciales; binomiales, 528
conducta humana, 554 cambio de base, 125–6, 137
ecuaciones lineales; ecuaciones exploraciones, 556–69 cuadrática, 38–41, 58
logarítmicas; ecuaciones acerca de las, 556–7 despeje de, 662
cuadráticas comienzo, 568–9 recursivas, 163
ecuaciones cuadráticas, 32–61 cómo se evalúan, 562 sustitución en, 663–4
cómo hallar, a par tir de grácos, 49–52 compromiso personal, 559–60 transformación de, 662–3
raíces, 41–3, 58 comunicación, 557–8 Fourier, Jean Baptiste Joseph (1768–1830),
resolución de, 34–8, 58 conclusiones, 558
completando el cuadrado, 36–8 criterios de la evaluación inter na, 557–61 498
en la CPG, 578, 591–2 elección del tema, 564–7 fracciones
factorizando, 34–6 fuentes de referencia, 563
ecuaciones exponenciales, 127–31 fundamentos, 558 algebraicas, 670–2
resolución de, 107–9, 127–9 introducción, 558 comunes, 638
resolución de, en la CPG, 591–2 matemáticas, uso de las, 561 egipcias, 158
ecuaciones lineales objetivos, 558 equivalentes, 639
resolución de, 664–5 presentación matemática, 558–9 impropias, 638
véase también sistemas de ecuaciones reexión, 560 propias, 638
lineales registros, 563–4 unitarias, 158, 638
ecuaciones logarítmicas, 127–31 trabajo original, 562 y decimales, 638–40
resolución de, 129–31 y la conducta improcedente, 563 fracciones algebraicas
ecuaciones, resolución de, círculo de radio y la probidad académica, 562–3 resta, 670–2
unidad, 454–6 exponencial, crecimiento, 101, 131–2 suma, 670–2
efecto Hawthor ne, 554 exponencial, decrecimiento, 102 frecuencias agr upadas, tablas de, 258, 284
egipcias, fracciones, 158 exponencial, expresiones, 667–8 frecuencias
Einstein, Alber t (1879–1955), 492 exponencial, funciones de crecimiento, acumuladas, 271–6, 286
ejes relativas, 66
de coordenadas, 373–80, 400 103, 109–10 fuentes de referencia, 563
de revolución, 318 exponencial, funciones de decrecimiento, función velocidad, 224, 251
de simetría, 44 funcional, notación, 13–14, 29
ejes de coordenadas, en la trigonometría, 110 funciones, 2–31
373–80, 400 exponenciales, grácos, cómo dibujar en la algebraicas, 500
elementales, funciones, 500 coincidentes con sus inversas, 144, 157
elementos, 651 CPG, 583–4 complejas, en la CPG, 591–2
elevación, ángulos de, 369 exponente crecientes, 230
elipses, 60 de probabilidad, 522
empírica, probabilidad, 65–6 denición, 103 decrecientes, 230
energía, ecuaciones de, 139 negativo, 105 denición, 5, 28
enésimos términos, de progresiones, racional, 105 desplazamiento, 224, 510
fórmula general, 163–4 expresiones elementales, 500
enteros, 646 exponenciales, 667–8 estiramientos, 23–4
equiláteros, triángulos, 683 que contienen raíces, simplicación de, integrables, 304
introducción, 4–8, 28
634–6 inversas, 118–19, 137

786 Índice temático

límites de, 197–200 modelización con, 483–8, 491 herramienta máximo, en la CPG, 582–3
lineales, 572 transformaciones, 469–70 herramienta mínimo, en la CPG, 580–1
periódicas, 464, 468, 490 traslaciones, 470–4 hexagonales, prismas, 688
producto de dos, derivadas del, 210–11 y funciones coseno, transformaciones hexágonos, 683
recíprocas, 143–6, 157 Hipatia (c.350/370–415), 60
simetrías, 23 combinadas, 478–82, 491 hipérbolas, 60, 144, 157
transcendentes, 500 funciones tangente hipotenusa, 364
transformaciones, 21–5, 29 histogramas, 258–9
traslaciones, 22 derivadas, 497
velocidad, 224, 251 grácos, 467–9 de frecuencias, 613–14
y la CPG, 572–98 funciones trigonométricas de frecuencias, cómo dibujar, en la
y relaciones, 4–6 análisis con, 494–517
véase también funciones circulares; derivadas, 496–500, 515 CPG, 613–14
en la CPG, 589–90 Hogben, Lancelot (1895–1975), 517
funciones compuestas; funciones estiramientos, 469–78 homotecias, 675
exponenciales; funciones inversas; traslaciones, 469–78 horizontal, asíntota, en la CPG, 584–5
funciones logarítmicas; funciones véase también funciones coseno; horizontal, componente, 408
cuadráticas; funciones racionales; horizontal, estiramiento, 23, 476–8, 491
funciones recíprocas; funciones funciones seno; funciones tangente horizontal, traslación, 470–2, 491
trigonométricas fundamentos, en la exploración, 558 huellas genéticas, 80
funciones circulares, 446–93
grácos de, 462–9, 490–1 Galton, Francis (1822–1911), 288, 535 Ibn al-Haytham (965–1040), 320
funciones compuestas, 14–16, 29 Galton, máquina de, 535 icosaedros, 65
derivadas de, 216–17 Gapminder, 554 identidades
funciones coseno Gauss, Carl Friedrich (1777–1855), 172,
grácos, 462–7 trigonométricas, 456–62, 490
modelización usando, 483–8, 491 346, 538 véase también identidades del ángulo
transformaciones, 469–70 general, solución, 295
traslaciones, 470–4 geometría, 673–99 doble
y funciones seno, transformaciones identidades del ángulo doble
combinadas, 478–82, 491 analítica, 692–9
funciones cuadráticas, 32–61 y álgebra, 444 para el coseno, 457
cómo hallar la fórmula de, a par tir de geométricas, demostraciones, 423–5, 445 para el seno, 458–62
grácos, 49–52 geométricas, progresiones, 167–70, 191 identidades trigonométricas, 456–62, 490
en la CPG, 577–83 geométricas, series, 175–8, 179, 191 iguales, raíces, 34
grácos de, 43–52, 59 geométricas, transformaciones, 674–6 iguales, vectores, 411–14
modelización de, mediante geométricos, patrones, aplicaciones, 181–3 impropias, fracciones, 638
transformaciones, 594–6 Gladwell, Malcolm (n.1963), 102 incas, 158
funciones de crecimiento exponencial, globales, extremos, 242 independientes, variables, 334, 357
103, 109–10 gradianes, 403 inductivo, razonamiento, 252
funciones exponenciales en base e, 111–12 grados, en la CPG, 589 inferior, cuar til, 706
funciones exponenciales, 100–39 grácos, 30–1 innitos términos, suma de los, 178–81,
aplicaciones, 131–4 cómo hallar fórmulas cuadráticas a
denición, 136 191
derivadas, 209–10, 250 par tir de la, 49–52 innitos, planos, 682
en base e, 111–12 de funciones cuadráticas, 43–52, 59 inexión, puntos de, 234, 251
en la CPG, 583–5 de funciones inversas, 18–19 inicial, condición, 295
grácos de, 109–10 de funciones logarítmicas, 588 inicial, lado, 373
integrales, 505 estadísticos, 699–703 inicial, velocidad, 224
modelización de, utilizando funciones circulares, 462–9, 490–1 instantánea, aceleración, 226
deslizadores, 596–8 funciones coseno, 462–7 instantánea, velocidad, 221–2
transformaciones, 112–14 funciones exponenciales, 109–10 integrables, funciones, 304
funciones inversas, 16–21, 29, 118–19, 137 funciones seno, 462–7 integración indenida, 293
cómo hallar, algebraicamente, 19 funciones tangente, 467–9 integración, 290–331
en la CPG, 585–7 precisión, 31
grácos de, 18–19, 29 trigonométricos, en la CPG, 590 constante de, 293
funciones lineales, cómo gracar, en la y derivadas, 230–40, 251 indenida, 293
CPG, 572 véase también diagramas límite inferior de, 304
funciones logarítmicas, 100–39 grácos cuadráticos, en la CPG, 577–8 límite superior de, 304
aplicaciones, 131–4 grácos de caja y bigotes, 269, 286 variables de, 293
denición, 137 cómo dibujar, en la CPG, 614–15, integrales
en la CPG, 585–8 coseno, 505–10, 515
introducción, 118–22 616–17 de funciones exponenciales, 505
transformaciones, 119 grácos estadísticos, 699–703 de funciones recíprocas, 505
funciones racionales, 140–59 de una composición lineal, 505
grácos de, 148, 150–1 cómo dibujar, en la CPG, 613–17 seno, 505–10, 515
funciones recíprocas, 143–6, 157 de barra, 257–8, 700 véase también integrales denidas;
grácos de, 143 de sectores, 700–1
integrales de, 505 véase también grácos de caja y bigotes; integrales indenidas
funciones seno integrales denidas
grácos, 462–7 histogramas
grácos logarítmicos, cómo dibujar, en la con movimiento lineal, 321–6, 329
propiedades, 307, 329
CPG, 588 y área, 302–9, 329
grácos trigonométricos, cómo dibujar, en integrales indenidas, 291–302, 328
en la CPG, 606–7
la CPG, 590 integrandos, 293
gravitación, ley de, 139 interés compuesto, 111
inter nacionales, divisas, 641
Hawthor ne, efecto, 554
Hero de Alejandría (c.10–70), 390

Índice temático 787

inter nacionalismo de los símbolos, 10 en aplicaciones, 493 funcional, 13–14, 29
inter polación, 342 vs. matemáticas aplicadas, 492–3 sigma, y series, 170–1, 191
intersecciones, 652–5 matemáticos, símbolos, 517 nulo, vector, 422–3
máximo común divisor (mcd), 638 numéricas, progresiones, 162, 190
de sucesos, 69 máximos números reales, propiedades, 648
inter valos, notación de, 10, 28 cómo hallar, en la CPG, 579–83, 600–1 números, 633–57
intuición, probabilidad e, 99 relativos, 233 irracionales, 112, 634, 639, 646
irracionales, 112, 634, 639, 646 mcd (máximo común divisor), 638 mixtos, 638
irregulares, cuadriláteros, 683 mcm (mínimo común múltiplo), 637 naturales, 646
isósceles, triángulos, 683 media, 260, 262–5, 266, 285, 523, 704 primos, 637
media, aceleración, 226 racionales, 646
Jereys, Alec (n.1950), 80 media, velocidad, 221–2 reales, 648
Jones, William (1675–1749), 455 mediana, 260, 265–6, 285, 704
medición, unidades de, 402–3 objetivos, en la exploración, 558
Kendall, Sir Maurice George (1907–1983), medida, vectores, 407, 442 obtusos, ángulos, 375–6
520 medidas octógonos, 683
de dispersión, 267–71, 286, 706–7 ojivas, 271
Khayyám, Omar (c.1048–1131), 60, 192 de posición central, 260–7, 285, 704–5 operaciones, 633–4
Koch, copos de nieve de, 176 mentiras, 555 optimización, problemas de, 240–8, 251
y la estadística, 289 opuestos, lados, 364
lados método de sustitución, 300–2 Oresme, Nicolás (1323–1382), 3
adyacentes, 364 mínimo común múltiplo (mcm), 637 oscilaciones, 492, 498
iniciales, 373 mínimos
opuestos, 364 cómo hallar, en la CPG, 579–83, 600–1 páginas de Data & Statistics, diagramas de
terminales, 373 relativos, 233 dispersión a par tir de una, 627–9
mixtos, números, 638
Lagrange, Joseph Louis (1736–1813), 444 moda, 260–1, 266, 285, 704 páginas de Graphs, diagrama de dispersión
Lancaster, Henr y Oliver (1913–2001), 333 modelización usando, 629–31
lanzamiento de dados, 64 con funciones coseno, 483–8, 491
Laplace, Pierre-Simon (1749–1827), 538 con funciones seno, 483–8, 491 papel, plegado de, 102–3
Legendre, Adrien-Marie (1752–1833), en la CPG, 592–8 Papiro de Ahmes, 165
modo grados, 366, 381, 465 papiro matemático Rhind, 158
346 modo radianes, 396, 466 parábolas, 33, 44, 60
Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646–1716), módulo, 669
Monte Carlo, métodos de, 65 origen del término, 46
13, 214, 217, 330, 493 Monty Hall, dilema de, 84, 88 paradojas, 178, 331
Leibniz, notación de, 214 monumento conmemorativo, segunda paralelas, rectas, 697–8
ley de Boyle, 139 paralelogramos, 683
límite inferior de integración, 304 guerra mundial (Washington DC), paralelos, vectores, 411–14, 428, 443
límite superior de integración, 304 33 parámetros, 539
límites, 194–253 movimiento paréntesis
armónico simple, 498
de funciones, 197–200 leyes de, 139, 428 corchetes, 10
de progresiones, 196–7 sobre una recta, 221–9, 251 desarrollo de, 657–62
y convergencia, 196–200 véase también movimiento lineal llaves, 10
lineales, relaciones, 337 movimiento armónico simple, 498 pares de productos, gráco de, 142
listas movimiento lineal, 510–13 par ticulares, soluciones, 295
cálculo de parámetros estadísticos a integrales denidas con, 321–6, 329 Pascal, Blaise (1623–1662), 184, 192
muestras, 284, 333 Pascal, triángulo de, 184–9, 191, 192, 193
par tir de, en la CPG, 617–18 aleatorias, 257 patrones, 160–93
cómo dibujar histogramas de y poblaciones, comparadas, 257 aritméticos, aplicaciones, 181–3
multiplicación, potencias, 103 en la naturaleza, 193
frecuencias a par tir de, en la CPG, múltiplos, 637–8 en polinomios, 185
613 mutuamente excluyentes, sucesos, 76 geométricos, aplicaciones, 181–3
ingreso de, en la CPG, 612 y progresiones, 162–4, 190
llaves, 10 naipes de juego, 73 Pearson, coeciente de correlación
logaritmos naturales, 646
en base 10, 120 naturaleza, patrones en la, 193 momento-producto de (r), 349, 359
evaluación de, en la CPG, 585 nCr, cómo usar, 621–2 Pearson, Karl (1857–1936), 349
propiedades de los, 115–18, 122–6, 137 negativa, correlación, 335, 357 PEMDAS, regla, 633
véase también logaritmos naturales negativas, pendientes, 695 pendientes
logaritmos naturales, 120–2 negativos, exponentes, 106
derivadas, 209–10, 250 negativos, vectores, 411–14 cómo hallar, en la CPG, 573–4, 598–9
lógica booleana, 493 Newton, Isaac (1642–1727), 139, 217, 230, de rectas, 695–7
London Eye, 447 de rectas tangentes, 202
330, 428 negativas, 695
magnitud de un vector, 410–11 Nightingale, Florence (1820–1910), 288 positivas, 695
mapas mentales, 566–7 notación péndulos, 498
máquina de Galton, 535 pentágonos, 683
matemáticas cientíca, 650–1 perímetros, 685–6
con primas, 214 periódicas, funciones, 464, 468, 490
aplicadas vs. puras, 492–3 de inter valos, 10, 28 periódicos, decimales, 639
belleza de las, 138–9 de Leibniz, 214 período, 464, 470, 476
bromas, 253 per pendiculares, rectas, 697–8
la verdad en, 252–3 per pendiculares, vectores, 428, 443
ramas de las, 444–5 pictogramas, 701–2
véase también matemáticas puras
matemáticas puras
aplicaciones de las, 493

788 Índice temático

pirámides, volumen, 689–90 cálculo de valores de X a par tir de, en la radicales, 634
Pisa, torre inclinada de, 334, 339 CPG, 625–6 radios, 684
Pitágoras (569–500 a. C.), 634, 673 raíces
planos, 682 probidad académica, en la exploración,
562–3 de ecuaciones cuadráticas, 41–3, 58
nitos, 682 exponentes, 105
innitos, 682 problemas expresiones que contienen, cómo
véase también plano car tesiano de optimización, 240–8, 251
plano car tesiano, 6, 230 del cumpleaños, 99 simplicar, 634–6
dominio y recorrido de relaciones en el, iguales, 34
proceso de respuestas aleatorizado, 98–9 rango, 267, 286, 706
8–12, 28 producto escalar, 426–30, 443 véase también rango intercuar til (RIC)
plegado de papel, 102–3 rango intercuar til (RIC), 269, 286, 706
Plimpton, tabla, 402 cálculo de, en la CPG, 608–10 cómo calcular, en la CPG, 619–20
población, 284, 333 propiedades, 428–30 razón, 643–5
producto nulo, propiedad del, 34 áurea, 56
desviación típica de la, 287 productos de un estiramiento, 23
varianza de la, 287 y expresiones cuadráticas, 658–9 de una progresión, 167, 191
y muestra, comparadas, 257 véase también producto escalar trigonométrica, 364–7, 400
poliedros, 65 profecías que se cumplen, 555 unitaria, 643
polinomios, patrones en los, 185 progresiones, 103, 160–93 razón áurea véase divina proporción
porcentajes, 640–3 aritméticas, 164–7, 190 razón coseno, 364, 365–7, 400
posición central, medidas de, 260–7, 285, convergentes, 196 razón de una progresión, 167, 191
creación de, 196 razón seno, 364, 365–7, 400
704–5 de Fibonacci, 193 razón tangente, 364, 365–7, 400
posición estándar, 373 divergentes, 196 razonamiento
posición inicial, 224 enésimo término de, fórmula general, deductivo, 253
posición, vectores de, 414, 442 inductivo, 252
positiva, correlación, 335, 357 163–4 razones de cambio, 221–9, 251
positivas, pendientes, 695 geométricas, 167–70, 191 razones trigonométricas, 364–7, 400
potencia, regla de la, 203, 250, 293, 328, límites de, 196–7 recíprocos, 142–3, 157
numéricas, 162, 190 uso del término, 143
505 y patrones, 162–4, 190 recorrido, 5, 28, 110
potencias, 103–7, 667 promedios, 262, 704 en un plano car tesiano, 8–12, 28
véase también media; mediana; moda recta numérica real, 655
cero, 104–5 propias, fracciones, 638 rectángulos, 683
con exponente negativo, 106 propiedad asociativa, 648, 657 rectas, 682
con exponente racional, 105 propiedad conmutativa, 648, 657 de ajuste óptimo, 339–44, 357–8
de potencia, 104 propiedad distributiva, 648, 657 ecuaciones de, 698–9
división, 104 propios, subconjuntos, 653 ecuaciones vectoriales de, 430–6, 443
multiplicación, 103 proporción, 643–5 normales, 205–7
raíces, 105 pr ueba de la recta horizontal, 16–17, 29 paralelas, 697–8
reglas de, 103–7, 136 pr ueba de la recta ver tical, 6–8, 28 pendientes de, 695–7
véase también exponentes Ptolomeo (c.90–168), 383 per pendiculares, 697–8
práctica para las pr uebas, 708–15 pulpos, 519 véase también rectas numéricas; rectas de
precisión de un gráco, 31 punta de echa, 683
preguntas punto medio, 693–4 regresión; rectas secantes; rectas
capciosas, 555 de la recta de ajusto óptimo, 339, 341–2, tangentes
delicadas, 98–9 rectas de regresión, 340, 341–2, 343–4,
prejuicio, 555 358 358
presentación matemática, en la puntos cardinales, 370 pendientes de las, 695–6
puntos críticos, 231 rectas normales, ecuaciones de, 205–7
exploración, 558–9 puntos de intersección, vectores, 434–6 rectas numéricas
previo, conocimiento, 632–707 puntos, 682 reales, 655
primas, notación con, 214 y conjuntos, 655–6
primer cuar til, 268, 286 cardinales, 370 rectas secantes, 200
primos, números, 637–8 de inexión, 234, 251 pendiente de, 201
prismas de intersección, 434–6 rectas tangentes, 200–7, 250
distancia entre dos, 418–19, 694 a cur vas, en la CPG, 599–600
hexagonales, 688 estacionarios, 231 ecuaciones de, 205–7
triangulares, 688 medios de rectas de ajuste óptimo, 339, pendientes de, 202
volumen, 688–9 recursivas, fórmulas, 163
probabilidad, 62–99 341–2, 358 redes, 31
condicionada, 85–8, 91–3, 97 medios, 693–4 redondeo, 648–50
de distribuciones normales, 542–4 véase también máximos; mínimos reducción a la unidad, método de, 645–6
deniciones, 64–8, 96 puntos estacionarios, 231 registros, en la exploración, 563–4
e intuición, 99 véase también extremos; máximos; regla de la adición o la sustracción, 204,
experimental, 65–6 250, 293, 328, 496, 505
subjetiva, 66–8 mínimos regla de la cadena, 216–17, 496
teórica, 64–5 puntos máximos véase máximos y derivadas de orden superior, 215–21,
usos y abusos, 98–9 puntos mínimos véase mínimos 251
y la CPG, 612–31 regla de la constante, 204, 250, 293, 328,
véase también probabilidades normales Quincunx, 535 496, 505
probabilidad, funciones de, 522
probabilidades normales r (coeciente de correlación momento-
cálculo de producto de Pearson), 349, 359

a par tir de valores de X, 624–5 racionales, 646
en la CPG, 624–6 radianes, 391–7, 401, 403

en la CPG, 589

Índice temático 789

regla de la multiplicación por una series, 160–93 teorema fundamental del cálculo, 309–13,
constante, 204, 250, 293, 328, 496, aritméticas, 172–5, 191 329, 507
505 convergentes, 178–81
geométricas, 175–8, 179, 191 teórica, probabilidad, 64–5
regla del cociente, 211, 250, 496 y la notación sigma, 170–1, 191 tercer cuar til, 268, 286
regla del producto, 77–84, 97, 211, 250, terminal, lado, 373
sexagesimal, sistema numérico, 402 términos, 163, 190
496 sigma, notación, y series, 170–1, 191
para sucesos independientes, 81–2, 97 símbolos enésimos, de progresiones, 163–4
regresión test binomial, 527–30
de mínimos cuadrados, 345–8, 358 inter nacionalismo de los, 10 Thomson, James (1822–1892), 403
lineal, en la CPG, 627–31 matemáticos, 517 Tippett, Leonard Henry Caleb (1902–1985),
sinusoidal, en la CPG, 592–4 simetría, ejes de, 44
regresión de mínimos cuadrados, 345–8, simetrías, 674 520
de funciones, 23 total, distancia, 322
358 sinusoidal, regresión, en la CPG, trabajo original, exploración, 562
regresión lineal, en la CPG, 627–31 transformaciones
relaciones matemáticas, 656 592–4
relaciones, 28 sistemas de ecuaciones lineales, 666–7 combinadas, 478–82, 491
de funciones, 21–5, 29
matemáticas, 656 resolución de, en la CPG, 576–7 funciones coseno, 469–70
lineales, 337 sistemas de ecuaciones, resolución de, en funciones exponenciales, 112–14
no lineales, 336 funciones logarítmicas, 119
y funciones, 4–6 la CPG, 574–6 funciones seno, 469–70
en el plano car tesiano, dominio y sistemas de numeración, 158–9 geométricas, 674–6
SOHCAHTOA, 365 uso de, para modelizar funciones
recorrido de, 8–12, 28 sólidos de revolución, 318
relativa, frecuencia, 66 soluciones cuadráticas, 594–6
relativos, máximos y mínimos, 233 trapecios, 683
repetibilidad, 554 par ticulares, 295 trascendentes, funciones, 500
repetidos, sucesos, 89–90 simples, 138–9 traslaciones, 674
representación matemática, 30–1 Stevin, Simon (1548–1620), 423
reproductores de MP3, 141 subconjuntos, 652–5 funciones, 22
residuos, 345, 358 propios, 653 funciones coseno, 470–4
resor tes, 492 subjetiva, probabilidad, 66–8 funciones seno, 470–4
resta sucesos independientes, regla del producto funciones trigonométricas, 469–78
horizontales, 470–2, 491
fracciones algebraicas, 670–2 para, 80–2, 97 ver ticales, 470–2, 490–1
vectores, 420–5, 443 sucesos, 64, 96 triangulares, prismas, 688
restricciones, 295 triángulos, 683
resultantes, vectores, 414–17, 442 complementarios, 68–9 ambiguos, 384
resúmenes estadísticos, 268 independientes, regla del producto para, área, 389–91, 401
revolución de Pascal, 184–9, 191, 192, 193
ejes de, 318 80–2, 97 equiláteros, 683
sólidos de, 318 intersecciones de, 69 escalenos, 683
volumen de, 318–21, 329 mutuamente excluyentes, 76 isósceles, 683
RIC véase rango intercuar til (RIC) repetidos, 89–90 semejantes, 364, 679–82
Richter, Charles Francis (1900–1985), uniones de, 70–1 véase también triángulos rectángulos
Sulba Sutras, 673 triángulos rectángulos, 683
134 suma especiales, 367–9
Riemann, Georg (1826–1866), 313 de fracciones algebraicas, 670–2 trigonometría, 362–403
rombos, 683 de vectores, 420–5, 443 ejes de coordenadas en la, 373–80,
Rosling, Hans (n.1948), 554 de los innitos términos de una
rotaciones, 674 400
r umbo, 370 progresión, 178–81, 191 véase también trigonometría de triángulos
Russell, Ber trand (1872–1970), 493 sumatoria, 346
superior, cuar til, 706 rectángulos
saludos, 4 sustitución, en fórmulas, 663–4 trigonometría de triángulos rectángulos,
Schrödinger, Erwin (1887–1961), 139
sección áurea, 193 tablas 363–9, 400
secciones cónicas, 46, 60–1 en la CPG, 579, 581–2 aplicaciones, 369–73, 400
sectores circulares, 391–7, 401, 685 véase también tablas de frecuencias trinomios cuadrados perfectos, 36
sectores, grácos de, 700–1
segmento circular tablas de frecuencias, 257 unidades de medida, 402–3
agr upadas, 258, 284 unidimensional, análisis, 256–7, 284,
mayor, 684 cálculo de parámetros estadísticos a
menor, 684 par tir de, en la CPG, 618–19 333
segundo cuar til, 268, 286 dibujo de histogramas de frecuencia a uniones, 652–5
semejantes, triángulos, 364, 679–82 par tir de, en la CPG, 614
semejanza, 678–82 ingreso de datos en, en la CPG, 612 de sucesos, 70–1
semicírculos, 685 unitarias, fracciones, 158, 638
seno tallos y hojas, diagramas de, 702–3 unitarios, vectores, 419–20
derivada, 496–500 tangencia, puntos de, 685
identidades del ángulo doble para el, tangente, valores de, en el círculo de radio uso de, para nombrar un vector,
409
458–62 unidad, 449–51
integral, 505–10, 515 tangentes de un círculo, 685 universal, conjunto, 651
valores del, en el círculo de radio temas, elección de, 564–7
teorema de Gougu, 673 vacío, conjunto, 651
unidad, 449–51 teorema de Pitágoras, 388, 673–4 valores
teorema del coseno, 386–9, 401, 426–7
teorema del límite central, 538 absolutos, 669–70
teorema del seno, 380–5, 401 esperados, 523, 553
véase también valores de X

790 Índice temático

valores de X base, 409, 442 Venn, diagramas de, 68–77, 96
cálculo a par tir de probabilidades coincidentes, 428, 443 verdad, en matemáticas, 252–3
normales, 625–6 conceptos de, 407–20, 442 ver tical, estiramiento, 23, 475–6,
cálculo de probabilidades normales a de posición, 414, 442
par tir de, 624–5 diferencia, 420–5, 443 491
dirección, 407, 431, 442, 443 ver tical, traslación, 470–2,
valores no esperados, 269 iguales, 411–14
variables magnitud, 410–11 490–1
medida, 407, 442 ver ticales, componentes, 408
de integración, 293 negativos, 411–14 vér tices, 44, 689
dependencia lineal, 349, 359 nulos, 422–3 volumen
dependientes, 334, 357 paralelos, 411–14, 428, 443
independientes, 334, 357 per pendiculares, 428, 443 cilindros, 689
relaciones no lineales, 336 puntos de intersección, 434–6 conos, 690–2
véase también variables aleatorias representación de, 408–9 cuer pos tridimensionales,
variables aleatorias, 520–7, 553 resultantes, 414–17, 442
continuas, 520 suma, 420–5, 443 688–92
discretas, 520 unitarios, 419–20 de revolución, 318–21, 329
distribuciones de probabilidad de, y la CPG, 608–11 esferas, 689
vectoriales, demostraciones, 445 pirámides, 689–90
520–3 velocidad, 227–9, 407, 510 prismas, 688–9
varianza, 276–81, 286 inicial, 224
instantánea, 221–2 Wallis, John (1616–1703), 517
de la población, 287 media, 221–2 Wells, Herber t George (1866–1946),
distribuciones binomiales, 536–8 véase también celeridad
vector columna, 408 Venn, John (1834–1923), 68 288
vectores, 404–45 Wessel, Caspar (1745–1818), 423
ángulo entre, 427
n
en la CPG, 610–11 x
aplicaciones, 437–8
antiderivadas de, 292
derivadas de, 200–7, 250

Índice temático 791

M AT E M Á T I C A S

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6 Se realizó una encuesta sobre el número de habitaciones en 208

Incluye apoyo para la evaluación proporcionado casas elegidas al azar. Los resultados se muestran en la tabla.
directamente por el IB, que ayuda a desarrollar la
confianza de forma tangible Número de habitaciones 1 2 3 4 5 6
Número de casas
También disponible 41 60 52 32 15 8
978 0 19 833875 8
a Indique si los datos son discretos o continuos.

b Escriba la media del número de habitaciones por casa.

c Escriba la desviación típica del número de habitaciones

por casa.

d Halle cuántas casas tienen un número de dormitorios mayor

que una desviación típica más que la media.

PREGUNTAS TIPO EXAMEN

7 Se usó una muestra aleatoria de 167 personas que poseen

teléfonos celulares para recopilar datos sobre la cantidad de

tiempo que lo utilizan por día. Los resultados se muestran en la

tabla.

T iempo

utilizado por 0≤ < 15 15 ≤ < 30 30 ≤ < 45 45 ≤ < 60 60 ≤ < 75 75 ≤ < 90

día ( minutos)

Número de 21 32 35 41 27 11
per sonas

Utilice la CPG para calcular valores aproximados de la media y
la desviación típica del tiempo utilizado por día en los teléfonos
celulares.

8 El siguiente cuadro muestra las longitudes en centímetros de los

peces encontrados en la red de un pequeño barco pesquero.

12
10

secep ed oremúN

20 40 60 80 100 120

Longitud (cm)

a Halle el número total de peces en la red.

b Escriba una estimación de la longitud media.

c i Escriba una estimación de la desviación típica de las

longitudes. Material de ampliación
disponible en línea: Hoja de
ii ¿Cuántos peces (si los hubiera) tienen longitud mayor que ejercicios 8: Medidas de
posición central y dispersión
tres desviaciones típicas más que la media?

280 Estadística descriptiva

1 Cómo ponerse en contacto:
web: www.oxfordsecondary.co.uk/ib
Correo electrónico: [email protected]
tel: +44 (0)1536 452620
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