Quienes estudian las matemáticas puras lo hacen como un Existen 10 tipos de personas c led rot
n en sí mismo, sin pensar en una aplicación concreta. en este mundo: aquellos
Aquellos que trabajan con las matemáticas aplicadas las
usan para investigar, construir modelos y resolver problemas que entienden el sistema
en otras áreas del conocimiento como, por ejemplo, la física, binario y los que no.
la economía, la informática y la ingeniería.
aon mmá r
A menudo se encuentran aplicaciones 2
George Boole, un matemático inglés,
concretas para las matemáticas puras, a desarrolló su lógica booleana en la década
veces muchos años después de haberse de 1850. Este sistema más tarde se
formulado la idea original. convir tió en el fundamento de los
computadores digitales modernos.
1
Los computadores modernos usan el sistema 3
binario (base 2). El matemático alemán
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) En física, las par tículas elementales fueron
descubier tas mientras se argumentaba
escribió sobre este sistema de números, que sobre la belleza, la simetría y la elegancia
de las matemáticas subyacentes.
solo emplea los números 1 y 0, hacia
principios de 1700. Cuando estudiaba esta
idea de las “matemáticas puras”, no sabía Posiblemente todas las matemáticas “puras”
se usarán para modelizar aspectos de la vida
cómo se la utilizaría, 300 años más tarde. cotidiana algún día.
“La física es matemática no por lo mucho que { George Boole
sabemos del mundo físico, sino por lo poco
(1815–1864)
que lo conocemos; lo que podemos descubrir es
solamente sus propiedades matemáticas”.
Bertrand Russell, matemático y lósofo
británico (1872–1970)
l mmá r n on
El estudio de las matemáticas aplicadas condujo al desarrollo
de disciplinas matemáticas completamente nuevas, como la
estadística y la teoría de juegos.
■ ¿Las matemáticas nos permiten ■ ¿Qué nos dice esto sobre la relación
modelizar el mundo real porque las entre las ciencias naturales, las
creamos como un espejo del mundo, matemáticas y el mundo natural?
o porque el mundo es intrínsecamente
■ ¿Las matemáticas se inventan o se
matemático?
descubren?
Capítulo 13 493
14 Análisis con
funciones
trigonométricas
ObjetivOs del capítulO:
6.1 Tangentes, normales y sus ecuaciones
6.2 Derivadas del sen x, cos x y tan x, incluida la derivada de la suma y del producto
por un escalar de estas funciones; regla de la cadena; reglas del producto y del
cociente; derivada segunda de estas funciones.
6.3 Puntos máximos y mínimos locales; puntos de inexión; grácos de funciones,
incluida la relación entre los grácos de f, f ′ y f ″
6.4 Integral indenida de sen x y cos x, incluidas funciones compuestas con la función
lineal ax + b; integración por comparación, o sustitución en la expresión f (g(x))g ′ (x)dx.
6.5 Integración con una restricción para determinar el término constante; integrales
denidas; áreas bajo cur vas (entre la cur va y el eje x); áreas entre cur vas,
volúmenes de revolución alrededor del eje x.
6.6 Problemas de cinemática relativos al desplazamiento s, la velocidad v, y la
aceleración a; distancia total recorrida.
an omnzr
Qué necesitamos saber Comprobemos nuestras habilidades
1 Hallar el valor exacto de las funciones 1 Halle el valor exacto de:
trigonométricas para valores del círculo de 7π 3π
cos sen
2
radio unidad 4
2 Utilizar identidades trigonométricas para 11π 4π
tan sen
3
6
resolver ecuaciones
Por ejemplo: Resolver cos 2x = – cos x para 2 Resuelva cada ecuación para 0 ≤ x ≤ 2π
0 ≤ x ≤ 2π 2 2
cos 2x = – cos x 1 + tan x = sen x + cos x
2
sen 2x – cos x = 0
2cos x – = – cos x
2 2
2cos x + cos x – = 0 sen x = 1 + cos x
(2cos x – )(cos x + ) = 0
3 Halle la derivada de:
1
cos x = o cos x = 1
3 x
f (x) = 2x e
2
π 5π 2
f (x) = x ln(x )
x= , ,π
3 3 x 5
f (x ) =
3 Utilizar las reglas del producto, del cociente 2
x +4
y de la cadena para hallar derivadas
2 ln x
f (x ) =
Por ejemplo: Hallar la derivada de f (x) = x ln x
x
2
f (x) = x ln x
⎛1⎞
2
f ′( x ) = x + (ln x )(2 x ) = x + 2x ln x
⎟
⎜
⎝x ⎠
494 Análisis con funciones trigonométricas
En una fábrica de chocolate situada en la ciudad de San Francisco
(Califor nia), se está revolviendo el chocolate dentro de una cuba por
medio de una hoja de acero impulsada por una r ueda. La r ueda empuja
la hoja para un lado y para el otro, por todo el fondo de la cuba.
El movimiento circular periódico de la r ueda del batidor se transforma
en el movimiento lineal periódico de la hoja. El diagrama muestra el
mecanismo donde una varilla tiene un extremo conectado a la r ueda y el
otro a la hoja de la batidora dentro de la cuba. A medida que gira la rueda,
la varilla empuja la hoja hacia atrás y hacia adelante por todo el fondo
varilla r ueda
de la cuba. La distancia entre el centro de la r ueda y la hoja se
i
puede modelizar mediante una función como la siguiente: cuba
d (θ) = 2cos θ + 25 2
4 sen θ , donde d es la distancia en metros
y θ es el ángulo de rotación de la r ueda, en radianes.
d
Para hallar el ángulo de rotación cuando la distancia entre la hoja
y el centro de la r ueda es mínima, usaríamos la derivada de d (θ). tan x y
Muchos fenómenos del mundo real, tales como el ritmo cardíaco, 2
los movimientos de las agujas del reloj, las mareas y el movimiento 1 sen x
circular, tienen un compor tamiento periódico, es decir, siguen un
patrón que se repite a inter valos regulares. El compor tamiento x
periódico se puede modelizar por medio de las funciones
r 3r r r r r r r
2
2 2 2
cos x
trigonométricas seno, coseno y tangente, que son funciones
periódicas. En los grácos se puede apreciar que los valores de cada
función se repiten.
En este capítulo, hallaremos derivadas de funciones del seno, el coseno y
la tangente e integraremos las funciones de seno y coseno, con el n de
investigar el compor tamiento de funciones periódicas como estas.
Capítulo 14 495
. dr fnon rgonomér
En el capítulo 7 conocimos las siguientes propiedades de derivadas,
donde c es un número real constante.
Rg onn: d
[c ] = 0
dx
Rg món or n onn: d
[cf ( x )] = cf ′( x )
dx
Rg ón o rón: d f ′( x ) ± g ′( x )
[ f ( x ) ± g ( x )] =
dx
Rg roo: d f ( x ) ⋅ g ′( x ) + g ( x ) ⋅ f ′( x )
[ f ( x ) ⋅ g ( x )] =
dx
d ⎡ f (x ) ⎤ g ( x ) ⋅ f ′( x ) − f ( x ) ⋅ g ′( x )
Rg on: = , g(x ) ≠ 0
⎢⎥
2
dx g(x )
[ g ( x )]
⎣⎦
Rg n: d f ′( g ( x )) g ′( x )
[ f ( g ( x ))] =
dx
ingón: la derivada del seno
He aquí el gráco de f (x) = sen x para –2π ≤ x ≤ 2π. Utilícelo
para responder las siguientes preguntas.
1 Hay cuatro valores para x en f(x) La pendiente de una
2 recta horizontal es 0.
–2π ≤ x ≤ 2π donde la pendiente 1 Entonces, en los
valores de x donde las
f(x) = sen x tangentes de f son
horizontales, la
de la recta tangente a derivada de f es igual
a 0.
f (x) = sen x es igual a cero.
x
3r r r r r 3r
2 2 2 2
¿Cuáles son?
Utilice estos valores para situar
–2
cuatro puntos que per tenecen al
gráco de la derivada de f en función de x
2 Enumere los inter valos de –2π ≤ x ≤ 2π donde el gráco de f (x) = sen x
es creciente y aquellos donde es decreciente. Cuando f es creciente,
¿qué podemos decir acerca del signo de la derivada de f ? Cuando
f es decreciente, ¿qué podemos decir acerca del signo de la derivada de f?
Utilice esta información y los puntos que situó en la pregunta 1 para
hacer un posible gráco aproximado de la derivada de f
3 Utilice la calculadora de pantalla gráca (en adelante, CPG) para
obtener el gráco de la derivada de f (x) = sen x en el inter valo Ingrese el gráco:
–2π ≤ x ≤ 2π. Asegúrese de que la CPG esté en modo radianes. d
(sen( x ))
f 1( x ) =
Compare el gráco de la derivada en la calculadora con el que dibujó dx
en la pregunta 2. Ajuste su gráco si es necesario.
4 Realice una conjetura basada en el gráco de la derivada de
f (x) = sen x. ¿Qué función cree que es la derivada del seno?
5 Verique su conjetura numéricamente con la CPG, comparando la
tabla de valores para la función que dibujó en la pregunta 3 y la
función que escogió en la pregunta 4.
496 Análisis con funciones trigonométricas
En la investigación, debimos haber encontrado que d En la sección
(sen x ) = cos x de Teoría del
Conocimiento al nal
dx del capítulo se analiza
una justicación
Ahora tomemos la derivada de f (x) = cos x geométrica de este
hecho.
π unidades, se
Si trasladamos el gráco del seno hacia la izquierda
2
obtendrá el gráco del coseno.
f(x)
Entonces, f ( x ) = cos x = sen π
x+
2 r
2 2
f(x) = cos x f(x) = sen x
1
x
3r r r r r r
2 2
–2
d d ⎡ ⎛ π ⎞⎤
Utilizamos la regla de la
Por lo tanto, (cos x ) = sen x+
⎢⎜ ⎟⎥
dx dx ⎝ 2 ⎠⎦ cadena:
⎣
d⎡ ⎛ π ⎞⎤
⎡⎛ π ⎞⎤
sen x+
= cos x+ (1) ⎢⎜ ⎟⎥
⎟⎥
⎢⎜ dx ⎝ 2 ⎠⎦
⎣
⎣⎝ 2 ⎠⎦
⎡ ⎛ π ⎞⎤ ⎡ d ⎛ π ⎞⎤
= cos x+ x+
⎜
⎛ π⎞ ⎢⎜ ⎟⎥ ⎢ ⎟⎥
⎣ ⎝ 2 ⎠⎦ dx ⎝ 2 ⎠⎦
⎣
= cos x+
⎜ ⎟
⎝ 2⎠ ⎡ ⎛ π ⎞⎤
= cos x+ [1]
⎟⎥
⎢⎜
⎣ ⎝ 2 ⎠⎦
π
Si trasladamos el gráco del coseno hacia la izquierda unidades, f(x)
r
2
obtendremos una simetría del gráco del seno en el eje x. Entonces,
2
f(x) = –sen x f(x) = cos x
⎛ π⎞
ƒ' ( x ) = cos x+ = sen x
⎟
⎜
⎝ 2⎠ 0 x
3r r r r r r
2 2 2
d ⎛ π⎞ –1
2
Por lo tanto, concluimos que (cos x ) = cos x+ = sen x
⎟
⎜
dx ⎝ 2⎠ –2
Finalmente, consideremos la derivada de f (x) = tan x. Sabemos que
sen x
f ( x ) = tan x = , donde cos x ≠ 0.
cos x
d d ⎛ sen x ⎞
Entonces, (tan x ) =
⎜ ⎟
dx dx ⎝ cos x ⎠
cos x (cos x ) − sen x ( − sen x ) Aplicamos la regla del
= cociente.
2
(cos x )
2 x
2
cos + sen
=
Utilizamos la identidad
2
cos x
2 2
cos θ + sen θ=1
1
= , cos x ≠0 para simplicar el
2
cos x
numerador.
➔ dr no, ono y ngn:
f (x) = sen x ⇒ f ′(x) = cos x
f (x) = cos x ⇒ f ′(x) = – sen x
1
f ( x ) = tan x ⇒ f ′( x ) = , cos x ≠ 0
2
cos x
Capítulo 14 497
emo
Halle la derivada de cada función. En los siglos XVII y
XVIII, el desarrollo
1 de dispositivos
mecánicos cambió
f (x) = sen x + cos x y= el enfoque de la
trigonometría,
tan x desplazándolo de su
conexión inicial con el
2 3 estudio de triángulos
y = cos(t ) hacia la modelización
f (x) = sen (2x) del movimiento
periódico.
Respuestas Joseph Fourier
(1768–1830), un
f (x) = sen x + cos x Tomar la derivada de cada matemático y físico
tér mino francés, descubrió
f ′(x) = cos x – sen x que casi cualquier
función periódica,
2 como la vibración de
la cuerda de un violín
y = cos ( t ) o el movimiento del
péndulo de un reloj,
2 Aplicar la regla de la cadena, donde podía ser expresada
como una suma
y′ = [ − sen(t )] [2t ] la función exterior es u(t) = cos t y innita de funciones
{ 2 seno y coseno.
14243
derivada de la la función interior es v (t) = t La oscilación de
derivada de la función función interior un resor te y el
exterior con respecto a la movimiento de un
con respecto a t péndulo son ejemplos
función interior de movimiento
armónico simple.
2 ¿Cómo se utilizan
las funciones
= 2t sen( t ) trigonométricas
y el análisis para
1 modelizar ese
movimiento?
y=
tan x Volver a escribir utilizando
1 exponentes racionales
= ( tan x )
⎛ 1 ⎞
2
y= 1(tan x ) Aplicar la regla de la cadena, donde
⎜ 2⎟
⎝ cos x⎠
–1
la función exterior es u (x) = x y
1 1
=− o −
2 2 2 la función interior es v (x) = tan x
tan x cos x sen x
3
f ( x ) = sen (2 x )
3
= ( sen (2 x ) )
2
f ′( x ) = 3 ( sen ( 2 x ) ) ( cos ( 2 x ) ) ( 2) Aplicar la regla de la cadena dos
2 veces. Primero la función exterior
= 6 sen (2 x ) cos (2 x )
3
es u (x) = x y la función interior
es v (x) = sen (2x). Después, al
hallar la derivada de sen (2x), la
función exterior es u (x) = sen x y
la función interior es v (x) = 2x.
Ejercitación 14A
Halle la derivada de las funciones dadas en las preguntas a 0.
1 f (x) = 3sen x – 2cos x 2 y = tan (3x)
2
2
3 y= 4 s (t) = cos t
sen x
2
5 f ( x ) = sen x 6 y = tan x
x 1
7 y = cos + sen ( 4 x ) 8 f (x ) =
2 cos (2 x )
9 4 10 f (x) = sen (sen x)
y=
2
sen (π x )
498 Análisis con funciones trigonométricas
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
11 Derive con respecto a x
3 4
tan (x )
cos x
12 Una función tiene fórmula y = sen(3x – 4).
dy 2
Halle dy
dx Halle
2
dx
emo
Halle las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal a la cur va
π
f (x) = cos 3x en el punto x =
9
Respuesta
⎛π ⎞ ⎛π ⎞ π
Evaluar la función f en x =
f = cos 3 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ 9
para hallar el punto de tangencia
⎝9⎠ ⎝9⎠
π 1
= cos =
3 2
π 1
El punto de tangencia es ,
9 2
f ′( x ) = 3 sen ( 3 x ) Hallar la derivada de f y evaluarla
π para hallar la pendiente
en x =
⎛π ⎞ ⎛ ⎛ π ⎞⎞ 9
de la recta tangente
f′ = 3 sen 3
⎜ ⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎝9⎠ ⎝ ⎝ 9 ⎠⎠
⎛π ⎞ 3
2
= −3 sen = −3
⎜ ⎟
⎝3⎠
3 3
=
2
La pendiente de la recta tangente
π 3 3
en x =
es
9 2
La pendiente de la recta normal en La recta nor mal es per pendicular
a la recta tangente, entonces
π 2 2 3 las pendientes son recíprocas y
x= opuestas.
es o
Utilizar la ecuación punto-pendiente
9 3 3 9 de una recta, y – y = m(x – x ),
1 3 3 π 11
x− para escribir las ecuaciones
Recta tangente: y − =
9
2 2
1 2 3⎛ π⎞
Recta normal: y− = x−
⎜
⎟
2 9 ⎝ 9⎠
Ejercitación 14B
En las preguntas y 2, halle las ecuaciones de la recta tangente y la
recta normal a la cur va en el valor de x dado.
1 f ( x ) = sen x π
2 cos x ; x =
2
π
f ( x ) = 2 tan x ; x =
4
Capítulo 14 499
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
La mayoría de los fenómenos
⎛p ⎞
en las ciencias, la ingeniería, los
3 El punto P ,0 per tenece al gráco de y = sen (2x).
⎜
⎟
⎝2 ⎠ negocios y otros campos pueden ser
Halle la pendiente de la tangente a la cur va en P. modelizados mediante una fnón
mn
4 Sea f (x) = cos (2x).
π Una función elemental es una
Escriba el valor de f
3 función que es algebraica,
Halle f ′(x).
π trascendente o la adición,
Halle la ecuación de la recta tangente a f en x =
diferencia, multiplicación, división
3
o composición de funciones
Considere la función f (x) = 3 sen x para 0 ≤ x ≤ 2π.
algebraicas y trascendentes.
Halle el valor (o los valores) de x para los cuales las
Fnon gr
rectas tangentes al gráco de f son paralelas a la
● Polinomios
3
recta y = x +4 ● Funciones racionales
2
● Funciones que contienen radicales
Fnon rnn
. Má rá on r (No se pueden expresar como una
adición, diferencia, multiplicación,
Ahora ya conocemos las derivadas de estas funciones:
d d división ni radicales que contienen
[sen x ] = cos x
n n 1 n
dx términos en x .)
[x ] = nx ,n ≠ 1
dx
● Funciones logarítmicas
d d
[cos x ] =
x x
dx
[e ] = e sen x ●
Funciones exponenciales
dx
● Funciones trigonométricas
d 1 d 1
[ln x ] = , x >0 [tan x ] = , cos x ≠0
2 ● Funciones trigonométricas
dx x dx cos x
inver sas
Utilizando estos resultados y las reglas expuestas al Ahora ya sabemos cómo derivar
principio de la sección 4., podremos hallar las derivadas
de una gran variedad de funciones. todas las funciones elementales, con
excepción de las trigonométricas.
emo
Halle la derivada de cada función.
2x 3
y = cos x sen x
f (x) = 4e + sen (3x + 2)
x
y=e sen x s(t) = ln(sen t)
Respuestas
2x
f (x) = 4e + sen (3x + 2) Utilizar las reglas de la constante, de la
multiplicación por una constante y de la cadena para
2x derivar el primer tér mino y la regla de la cadena para
derivar el segundo tér mino
f ′(x) = 4(e )(2) + [cos (3x + 2)] (3) Utilizar la regla del producto
2x Utilizar la regla del producto, y aplicar la regla de la
3
= 8e + 3cos (3x + 2)
cadena para hallar la derivada de (cos x)
x
Aplicar la regla de la cadena
y=e sen x
x x
y′ = e (cos x) + sen x (e )
x
= e (cos x + sen x)
y 3
= cos x sen x
3
= (cos x) sen x
3 2
y ′ = (cos x) (cos x) + sen x (3(cos x) ) (–sen x)
4 2 2
= cos x – 3cos x sen x
s (t ) = ln(sen t )
1 cost 1
s ′(t ) = (cost ) = o
sen t sen t tan t
500 Análisis con funciones trigonométricas
Ejercitación 14C
En las preguntas a 0, halle la derivada de cada función.
⎛ π⎞ sen x
1 f ( x ) = 6 cos 2x + 3x 2 y=
⎟
⎜
3⎠
1 + cos x
⎝
1
x x sen 2 t
3 f (x) = xe – e 4 s (t ) = e
2
5 x 6 s(t) = t tan t
f (x) = e (sen x – cos x)
3x
7 y=e cos 4x 8 y= tan 2 x
9 f (x) = (ln x)(cos x) 10 f (x) = ln (cos x)
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
11 2
Sea f (x) = ln(3x ). Escriba f ′(x).
x
Sea g ( x ) = sen . Escriba g ′(x).
2
2 x
.
Sea h ( x ) = ln(3 x ) sen Halle h ′(x).
2
2 2
sen x cos x (1 + a cos x + b sen x)
12 Sabiendo que f (x ) = y f ′( x ) = ,
halle a y b
2 2 2
1 + cos x (1 + cos x)
Podemos utilizar las derivadas primera y segunda de una función Véase la sección 7.6
para analizar el gráco de la función. en el capítulo 7.
emo
Considere la función f (x) = sen x + cos x para 0 ≤ x ≤ 2π. Analícela sin utilizar la CPG.
Halle las intersecciones con los ejes coordenados.
Halle los inter valos en que f es creciente y decreciente y los puntos extremos relativos.
Halle los inter valos en que f es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo y los puntos de
inexión.
Utilice la información de los apar tados a para dibujar aproximadamente el gráco de f
Respuestas
sen x + cos x = 0 Para hallar la intersección con el eje x, igualar la
función a 0 y despejar x. Utilizar el conocimiento de
sen x = –cos x los valores del círculo de radio unidad para hallar
las soluciones.
3π 7π
x= ,
4 4
3π 7π
Intersecciones con el eje x: y
4 4
f (0) = sen 0 + cos 0 Para hallar la intersección con el eje y, evaluar la
=0+1 función cuando x = 0
=1
Intersección con el eje y: 1
{ Continúa en la página siguiente.
Capítulo 14 501
f (x) = sen x + cos x Hallar la derivada de f y hallar dónde f ′(x) = 0
Realizar un diagrama de signos para f
f ′(x) = cos x – sen x f es creciente cuando f ′ es positivo y decreciente
cuando f ′ es negativo.
cos x – sen x = 0
cos x = sen x
π 5π
f ′(x) = 0 en x = ,
4 4
π 5π f'(x)
Creciente: 0 < x < y
< x < 2π + – +
4 4
0 r 5r 2r
4 4
π 5π
Decreciente: <x <
4 4
La comprobación de la primera derivada nos dice
que los extremos relativos se producen cuando la
primera derivada cambia de signo.
⎛π ⎞ π 5π
en x = y
Punto máximo relativo: , 2 Evaluar f
⎜ ⎟
⎝4 ⎠ 4 4
para hallar los valores máximo y mínimo
Punto mínimo relativo: 5π 2
,
4
f ″(x) = – sen x – cos x Hallar la segunda derivada de f y hallar dónde
f ″(x) = 0
– sen x – cos x = 0 Realizar un diagrama de signos para f ″
f es cóncava hacia ar riba cuando f ″ es positiva y
– sen x = cos x cóncava hacia abajo cuando f ″ es negativa.
3π 7π
x= ,
4 4
3π 7π
Cóncava hacia arriba: <x <
f''(x)
4 4 – + –
0 3r 7r
4
2r
3π 7π
Cóncava hacia abajo: 0 < x <
4
y < x < 2π
4 4
Los puntos de inexión se producen cuando la
⎛ 3π ⎞ 7π
,0
Puntos de inexión: y segunda derivada cambia de signo. Evaluar f en
⎜ 4
,0
⎟
⎝4 ⎠ 3π 7π
x= y
para hallar las coordenadas y de los
4 4
f(x) puntos de inexión.
2
r )√2
(
4
1
0 x
–1
r r 3r r 5r 3r 7r 2r
–2 4 2 4
4 2 4
5r
,–
( )√2
4
Las derivadas son útiles para hallar tanto los extremos relativos A los extremos
como los absolutos en un inter valo cerrado. absolutos se les llama
a veces “extremos
globales”.
502 Análisis con funciones trigonométricas
emo
Muestre cómo utilizar la comprobación de la segunda derivada para hallar las coordenadas x
de los extremos relativos de f (x) = ln x + sen x, en 0 ≤ x ≤ 2π
2
Halle los extremos globales de la función f (x) = x + sen (x ) en el inter valo cerrado 0 ≤ x ≤ π
Respuestas
f (x) = ln x + sen x Hallar la primera derivada e
igualarla a cero para hallar los
1 números críticos. Utilizar la CPG
para resolver.
f ′( x ) = + cos x
Hallar la segunda derivada y
x evaluar la segunda derivada en
cada uno de los valores críticos
1 de la primera derivada
+ cos x = 0 f ″ > 0 implica un mínimo
relativo y f ″(x) < 0 implica
x un máximo relativo.
x ≈ 2,07; 4,49 Hallar la primera derivada
e igualarla a cero para hallar los
1 valores críticos
Utilizar la CPG para resolver
f ″( x ) = − sen x Evaluar f en los puntos extremos
del inter valo y en cada uno de
2 los valores críticos de la primera
x derivada. El valor más alto es el
máximo global y el más bajo es el mínimo.
f ″ (2,07) ≈ – 1,11 < 0 ⇒
máximo relativo en x = 2,07
f ″ (4,49) ≈ 0,926 > 0 ⇒
mínimo relativo en x = 4,49
2
f (x) = x + sen (x )
2
f ′ (x) = 1 + 2x cos (x )
2
1 + 2x cos (x ) = 0
x = 1,392; 2,115; 2,834
f (0) = 0
f (1,392) ≈ 2,33
f (2,115) ≈ 1,14
f (2,834) ≈ 3,82
f (π) ≈ 2,71
El máximo es 3,82 y el
mínimo es 0.
Ejercitación 14D
✗ No utilice la CPG para las preguntas a 5.
En las preguntas y 2, halle los puntos relativos mínimos y
máximos de la función en el inter valo dado.
1 f (x) = 3 sen x + cos x, 0 ≤ x ≤ 2π
2 f (x) = 2 sen x + cos 2x, 0 ≤ x ≤ 2π
En las preguntas 3 y 4, halle los inter valos en los que las funciones
son crecientes, decrecientes, cóncavas hacia arriba y hacia abajo.
Halle los puntos mínimos y máximos relativos y los puntos de
inexión. Utilice esta información para dibujar aproximadamente el
gráco de la función.
3 f (x ) = sen x , 0 ≤ x ≤ π
2
4 f (x) = cos (2x), 0 ≤ x ≤ π
Capítulo 14 503
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
2
5 Sea f (x) = cos 2x + cos x
Muestre que f ′(x) = –3sen 2x
f tiene un punto mínimo relativo en el inter valo
0 ≤ x ≤ π. Halle las coordenadas de este punto.
Halle f ″(x).
Halle las coordenadas del punto o los puntos de inexión de f
en el inter valo 0 ≤ x ≤ π
En las preguntas 6 a 8 se puede utilizar la CPG.
6 Sea f (x) = π + x sen x
Halle f ′(x).
f ″(x) puede expresarse en la forma ax sen x + b cos x.
Halle a y b
Resuelva la ecuación f ′(x) = 0 para 0 ≤ x ≤ 2π
A par tir de lo anterior, use f ″(x) para identicar las
coordenadas x de los puntos máximos relativos y los puntos
mínimos relativos de f para 0 ≤ x ≤ 2π
2
7 Sea f (x) = x cos x
Halle f ′(x).
A par tir de lo anterior, halle los extremos globales de
2
f (x) = x cos x en el inter valo 0 ≤ x ≤ 5.
8 La fotografía muestra la máquina que bate el chocolate en la
fábrica de San Francisco. En una cuba se está revolviendo el
chocolate por medio de una hoja de acero impulsada por una
r ueda. La r ueda empuja la hoja para un lado y para el otro, por
todo el fondo de la cuba. Supongamos que la distancia entre el
centro de la r ueda y la hoja puede ser modelizada mediante la
función
d (θ ) = 2 cos θ + 25 2
4 sen θ
donde d es la distancia en metros y θ es el ángulo de rotación de
la r ueda en radianes.
Halle d′ (θ). i
d
Dibuje aproximadamente el gráco de d ′(θ) para 0 ≤ θ ≤ 2π, y
rotule las coordenadas de todas las intersecciones con el eje x
y de los puntos mínimos y máximos relativos.
Explique cómo utilizar el gráco de d ′(θ) para determinar
el ángulo de rotación cuando la distancia entre la hoja y el
centro de la r ueda alcanza un mínimo. ¿Cuál es ese ángulo
y esa distancia?
¿Para qué ángulo(s) de rotación la distancia entre el centro
de la r ueda y la hoja varía más rápidamente?
Explique cómo determina su respuesta.
504 Análisis con funciones trigonométricas
. ingr no y ono
En el capítulo 9 estudiamos las siguientes reglas de integración.
1
n n +1
Rg on: x dx = x +C , n ≠ 1
n +1
Rg onn: k dx = kx + C
Rg món or n onn: kf (x) dx = k f (x) dx
Rg ón o rón: ( f (x) ± g (x)) dx = f (x) dx ± g (x) dx
1 1
dx = ln x + C , x > 0
x
x
ingr y :
x
x x
e dx = e +C
ingr n omoón n:
1
f (ax + b )dx = F (ax + b ) + C , donde F ′(x) = f (x).
a
Estas integrales resultan directamente de las derivadas del seno
y del coseno.
vrr:
➔ ingr no y ono
d cos x ) =
(
sen x dx = –cos x + C cos x dx = sen x + C dx
−(−sen x ) = sen x
Las integrales de la composición del seno o coseno con una función d
lineal son: (sen x ) = cos x
dx
1
➔ sen (ax + b ) dx = − cos ( ax + b ) + C
a
1
cos (ax + b ) dx = sen (ax + b ) + C
a
Podemos utilizar el método de sustitución para hallar algunas integrales o
quizás reconocer cuando tenemos una integral de la forma
f (g (x)) g ′(x) dx.
Capítulo 14 505
emo
Halle las integrales.
3 sen x dx cos (4x – 6) dx
x x 3 4
e sen (e ) dx x cos (3x ) dx
Respuestas
3 sen x dx = 3 sen x dx Utilizar la regla de la multiplicación por una constante
y luego integrar el seno
= 3 (–cos x) + C
= –3cos x + C
1 1
cos (4 x − 6)dx = sen (4 x − 6) + C cos ( ax + b )dx = sen ( ax + b ) + C
4 a
⎛ du ⎞ Reconocer esto como una expresión de la f or ma
sen u dx
x x
⎜⎟
e sen (e ) dx = ⎝ dx ⎠
f(g(x))g ′(x) dx y escribir la respuesta
= sen u du du
x x
o bien, tomar u = e y luego utilizar
=e
dx
= –cos u + C x
Simplicar, integrar y reemplazar u por e
x
= –cos e + C
1 ⎛ du ⎞ du
3 4 × cos u dx 4 3
⎜⎟
x cos (3x ) dx = Sea u = 3x y por lo tanto, = 12 x
12 ⎝ dx ⎠
dx
1 ⎛ du ⎞
Entonces = 3
⎜⎟
x
1 12 ⎝ dx ⎠
= cos u du
12 Simplicar e integrar
1
= sen u + C
12
1
= 4 4
Reemplazar u por 3x
sen (3 x ) + C
12
Ejercitación 14E
Halle las integrales en las preguntas a 0.
⎛ ⎛1 ⎞⎞
2
1 (2cos x + 3sen x) dx 2 x + cos x dx
⎜ ⎜
⎟⎟
⎝ ⎝3 ⎠⎠
3 π sen(π x) dx 4 sen(2x + 3)dx
3 4 2
5 20x cos (5x ) dx 6 (2x – 1)cos (4x – 4x) dx
7
tan( 3 x ) 8 cos (ln x )
e 10 dx
dx x
2 sen x
cos (3 x ) dx , para cos x > 0
9 2 cos x
cos x sen xdx
506 Análisis con funciones trigonométricas
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
sen x
11 Sea f (x) = e cos x.
Halle f ′(x).
Escriba f (x) dx
12 Sea f (x) = ln(cos x).
Muestre que f ′(x) = –tan x.
A par tir de lo anterior, halle tan x ln(cos x) dx
Podemos utilizar el orm fnmn áo para evaluar Véase la sección 9.4.
integrales denidas:
b
b
f ( x ) dx = [ F ( x ) ] = F (b ) F (a ), donde F es una antiderivada de f.
a
a
emo
Evalúe la integral denida sin la CPG, para obtener el valor exacto.
Verique su respuesta, evaluando la integral denida en la CPG.
π π
4
2
2cosx dx 3
0
sen(2 x ) cos (2 x )dx
π
4
Respuestas
π π Aplicar el teorema fundamental del cálculo
4 4
2cos x dx = 2 cos x dx
0 0
π
= 2 [ sen x 4
]
0
=2 π sen 0
sen
4
=2 2 0 Evaluar, utilizando los valores del círculo de
2 radio unidad
= 2 En la investigación de la sección 9.3 se explica
cómo ingresar una integral denida en la
Utilizando la CPG: calculadora.
π
4
2 cos x dx ≈ 1, 41 y dado que
0
2 ≈ 1, 41, nuestra respuesta está vericada.
{ Continúa en la página siguiente.
Capítulo 14 507
π
2
3 du
sen (2 x ) cos (2 x )dx
Sea u = cos (2x) y = 2sen (2x).
π
π dx
x=
4
2 1 ⎛ du ⎞
⌠ 3
=⎮
u dx
⎜⎟ 1 ⎛ du ⎞
⎜⎟
π 2 ⎝ dx ⎠ Reemplazar sen (2x) por 3
⌡ y cos (2x)
3
x= por u
4
2 ⎝ dx ⎠
u=−1
1
=
2 π ⎛ ⎛ π ⎞⎞ π
u=0
Cuando x = , u = cos 2 = cos =0
⎟⎟
⎜⎜
1 4 ⎝ ⎝ 4 ⎠⎠ 2
1 ⎡1 ⎤
4
= u
⎢⎥
2 ⎣4 ⎦ p ⎛ ⎛ π ⎞⎞
0
Cuando x = , u = cos 2 = cos π = −1
⎟⎟
⎜⎜
1 2 ⎝ ⎝ 2 ⎠⎠
4
= − ( ( −1) − 0)
8
= 1 Después, aplicar el teorema fundamental del
8 cálculo
π
Utilizando la CPG: 2 3 0,125 Evaluar la integral integral denida en la
CPG
sen ( 2 x ) cos (2 x )dx =
π
4
y dado que 1 0,125 , nuestra respuesta queda
vericada. =
8
Ejercitación 14F
Evalúe la integral denida sin la CPG, para obtener el valor exacto.
Verique su respuesta, evaluando la integral denida con la CPG.
π π
3
1 cosx dx 2 (2sen x + sen 2x) dx
π 0
3
π
π
2 ⎛2 ⎞ ln
⌠
3 x x
3 cos x dx 4 e cos (e ) dx
⎜
⎮ ⎟
⌡ ⎝3 ⎠ π
0
ln
4
Se pueden utilizar integrales denidas para hallar áreas y
volúmenes.
➔ Cuando el área delimitada por la cur va y = f (x), el eje x y las
rectas x = a y x = b se rota 360° alrededor del eje x, el volumen y
0
b
del sólido generado es 2
π y dx.
a
x
508 Análisis con funciones trigonométricas
emo
Una porción del gráco de f (x) = x sen x se muestra en el diagrama. y
Halle el área de la región sombreada.
Escriba la integral que representa al volumen del sólido f(x) = x sen x
A
generado cuando la región sombreada se rota 360° alrededor 0 x
del eje x
A par tir de lo anterior, halle el volumen del sólido.
Respuestas
x sen x = 0 Igualar la función a 0 para hallar las coordenadas x
de O y A
x = 0 o sen x = 0
x = 0, π Plantear la integral denida y evaluarla en la CPG
π
x (sen x )dx ≈ 3,14
El área de esta región resulta ser π
0
π b
Utilizar 2
π y dx para plantear la integral denida
2
π ⎡ x (sen x )⎤ dx ≈ 13, 8
⎣⎦
a
0 y evaluarla en la CPG
y
También podemos hallar el área entre dos cur vas.
b Cuadrante Cuadrante
2 1
➔ Si y ≥y para todo x en a ≤ x ≤ b, entonces ( y − y )dx es
2 1 2
a
el área entre las dos cur vas. O x
Cuadrante Cuadrante
3 4
emo
Halle el área de la región en el cuadrante 1 delimitada por las cur vas y = 0,4x e y = sen x
Respuesta
2,25
Utilizar la CPG para dibujar el gráco y hallar los
Área = (sen (x)) − 0,4x) dx
0 puntos de intersección donde sen x = 0,4x
b
≈ 0,623
El área es igual a (y y ) dx
1 2
a
donde a = 0 y b ≈ 2,125.
Dado que sen x ≥ 0,4x para 0 ≤ x ≤ 2,125,
elegir y = sen x e y = 0,4x
12
Ejercitación 14G
En las preguntas y 2, las cur vas dadas delimitan una región.
Utilice una integral denida para hallar el área de la región.
1 y = x sen x e y = 2x – 6 en el cuadrante l
2
2 y=x – 2 e y = x + cos x
Capítulo 14 509
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
k
1 π
3 Sabiendo que cos xdx = y0≤k ≤ , halle el valor xo de k
0 2 2
4 Sea f ( x ) = tan x . Considere la región en el primer cuadrante
delimitada por f, el eje x y la recta x = 2.
Halle el área de la región.
Escriba la integral que representa el volumen del sólido
generado cuando la región se rota 360° alrededor del eje x. y
A par tir de lo anterior, halle el volumen del sólido. 2
1
(r; 2)
5 El gráco representa la función f (x) = a sen (bx).
Halle los valores de a y b
x
A partir de lo anterior, halle el área de la región sombreada. r r 3r 2r 5r 3r 7r r
–1 2
2 2
6 El diagrama muestra par te del gráco de –2
y = cos x + sen 2x. Las regiones A y B están sombreadas.
y = cos x + sen 2x puede escribirse como
y = cos x(c + d sen x). Halle los valores de c y d y
2
A par tir de lo anterior, halle el valor xo de las dos 1
intersecciones con el eje x representadas en el A
diagrama. 0 x
–1
B
–2
Halle el área de la región A
Halle el área total de las regiones sombreadas.
Halle el volumen del sólido generado cuando la región A
se rota 360° alrededor del eje x
. un ro m momno n
Las derivadas y las integrales se emplean en problemas de Material de ampliación
cinemática relacionados con movimientos a lo largo de una recta. disponible en línea:
Hoja de ejercicios 14: Más
Supongamos que un objeto se mueve a lo largo de una recta y que derivadas e integrales
su posición desde un origen en cualquier tiempo t está dada por la trigonométricas
función desplazamiento s (t). Entonces tenemos las siguientes
relaciones: Rormo q:
Inicialmente → en el
Fnón zmno = s (t) tiempo 0
En reposo → v(t) = 0
ds Inicialmente en reposo
vo v (t ) = = s′(t) → v(0) = 0
Movimiento a la
dt derecha o hacia arriba
dv = v′(t) o s″(t) → v(t) > 0
arón a (t ) = Movimiento a la
izquierda o hacia
dt abajo → v(t) < 0
Celeridad = |velocidad|
t
2
dn o rorr nn t t = |v (t)|dt
t
Ahora veremos algunos ejemplos en los que el movimiento lineal se
modeliza mediante funciones trigonométricas.
510 Análisis con funciones trigonométricas
emo
Una par tícula se mueve a lo largo de una recta horizontal. El
desplazamiento de la par tícula, en metros, desde un origen O, está dado
por s(t) = 5 – 2cos 3t para un tiempo t en segundos.
Halle la velocidad de la par tícula y la aceleración en un tiempo t
Halle el desplazamiento inicial, la velocidad y la aceleración de la
partícula.
Halle cuándo la par tícula se mueve hacia la derecha, hacia la
izquierda y cuándo se detiene, durante el tiempo 0 ≤ t ≤ π
Escriba una integral denida que represente la distancia total
recorrida para 0 ≤ t ≤ π segundos y utilice la CPG para hallar la
distancia.
Respuestas
v(t) = 0 – 2(–sen 3t)(3) v(t) = s′(t)
a(t) = v′(t)
= 6 sen 3t Evaluar cada función en t = 0
a(t) = 6 (cos 3t)(3)
= 18 cos 3t
s(0) = 5 – 2 cos (3(0))
= 5 – 2(1) = 3 m
v(0) = 6 sen (3(0))
–1
= 6(0) = 0 m s
a(0) = 18 cos (3(0))
–2
= 18(1) = 18 m s
v(t) = 0 La par tícula está en reposo
cuando v(t) = 0. La par tícula se
6 sen 3t = 0 mueve hacia la derecha cuando
v(t) > 0 y hacia la izquierda
sen 3t = 0 cuando v (t) < 0. Un diagrama
de signos es útil para analizar el
3t = 0, π, 2π, 3π movimiento.
π 2π
t = 0, , ,π
3 3
La par tícula está en reposo en
π 2π
0, , y π segundos.
3 3 v(t)
+ –+
La par tícula se mueve hacia la
0 r 2r r
3 3
derecha cuando
π 2π
0<t <
y < t <π
3 3
segundos y hacia la izquierda cuando
π 2π
<t < segundos.
3 3
π
|6 sen 3t| dt = 12 m
0
La distancia total recor rida desde
t
2
el instante t al t es |v(t)| dt.
12 t
Utilizar la CPG para evaluar la
integral
Capítulo 14 511
emo
–1
Una par tícula se mueve a lo largo de una recta de modo tal que su velocidad, v m s en un tiempo
2
de t segundos viene dada por v(t) = 5 sen t cos t
5π segundos.
Halle la celeridad de la par tícula cuando t =
6
Cuando t = 0, el desplazamiento, s, de la par tícula es 3 m.
Halle una expresión para s en función de t.
Halle una expresión para la aceleración, a, de la par tícula en función de t
Respuestas
5π 5π 5π La velocidad tiene tanto magnitud como dirección,
2 y la celeridad es la magnitud de la velocidad. Por lo
v = 5 sen tanto, celeridad = |velocidad|.
⎜ ⎟⎜ cos
⎟
⎜ ⎟
⎝6⎠ ⎝6 ⎠ ⎝6 ⎠
2
⎛ 1 ⎛ 3⎞
⎞
= 5 ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎟
2 2
⎝ ⎜ ⎠
⎠
⎝
15
=
8
15 15
Celeridad =
1
= ms
8 8
2 ⌠ ⎛ du ⎞ 2
Integrar la velocidad para obtener el desplazamiento
5 sen t cos t dt = 5 u dt
∫ ⎟
⎮ ⎜
⌡ ⎝ dt ⎠
Utilizando sustitución, sea u = cos t,
2 du
= 5u du
∫
entonces, = sen t
dt
⎛1 ⎞
3
= 5 u +C du
⎜ ⎟
⎝3 por lo tanto, − = sen t
⎠
dt
5
3
s (t ) = cos t +C
3
5
3 Usar el dato de que s(0) = 3 para hallar C
3= cos (0 ) + C
3
3= 5
(1) + C
3
14
C=
3
5 14
3
Por lo tanto, s (t ) = cos t +
3 3
a ( t ) = v ′(t ) Utilizar la regla del producto y la regla de la cadena
para hallar la derivada de la velocidad
2
= 5 sen t [ 2(cos t )( sen t ) ] + cos t (5 cos t )
2 3
= 10 sen t cos t + 5 cos t
Ejercitación 14H
✗ No utilice la CPG para las preguntas a 3.
PREGUNTA TIPO EXAMEN
1 Una par tícula se mueve a lo largo de una recta de modo tal que
su desplazamiento s en metros desde un origen O está dado por
t
s (t) = e sen t para un tiempo de t segundos.
Escriba una expresión para la velocidad, v, en función de t
Escriba una expresión para la aceleración, a, en función de t
512 Análisis con funciones trigonométricas
2 Una par tícula se mueve a lo largo de una recta. El desplazamiento de
la par tícula, en metros, desde un origen O está dado por
s (t) = 1 – 2 sen t para un tiempo de t segundos.
Calcule la velocidad cuando t = 0.
Calcule el valor de t, para 0 < t < π, en el que la velocidad es cero.
Calcule el desplazamiento de la par tícula desde O cuando la
velocidad es cero.
–1
3 La velocidad v m s de un cuer po que se mueve a lo largo de una recta
sen t
horizontal en un tiempo de t segundos está dada por v (t) = e cos t
Halle cuándo la partícula está en reposo durante el inter valo
0 ≤ t ≤ 2π
Halle cuándo la par tícula se mueve hacia la izquierda durante
el inter valo 0 ≤ t ≤ 2π
Halle la aceleración a del cuer po en función de t
El desplazamiento inicial s es de 4 metros. Halle una expresión
para s en función de t
En las preguntas 4 a 6 se permite el uso de la CPG.
4 Un objeto comienza a moverse desde un punto jo O. Su velocidad
–1
v ms después de t segundos viene dada por
v (t) = 4 sen t + 3cos t, t ≥ 0.
Sea d el desplazamiento desde O cuando t = 4.
Escriba una integral que represente d
Calcule el valor de d
−1
5 Una par tícula se mueve con una velocidad v m s dada por
v (t ) = (t +1)sen 2 donde t ≥ 0.
t
2
Halle la aceleración en el instante 1,5 segundos.
Una par tícula está acelerando la marcha cuando la velocidad y
la aceleración tienen el mismo signo y aminorando la marcha
cuando los signos son diferentes. Determine si la par tícula está
acelerando o aminorando la marcha en el instante 1,5 segundos.
Halle todos los instantes en los que la par tícula cambia de
dirección en el inter valo 0 < t < 4.
Halle la distancia total recorrida por la par tícula durante el tiempo
0 < t < 4.
−1
6 La velocidad v m s de una partícula que se mueve en línea recta está
2sen t
dada por v (t) = e – 1; t es el tiempo en segundos para 0 ≤ t ≤ 12.
Halle la aceleración de la par tícula en t =1.
2sen t
Dibuje aproximadamente un gráco de v(t) = e – 1 para 0 ≤ t ≤ 12.
Determine el valor o los valores de t, para 0 ≤ t ≤ 12, donde la
–1
par tícula tiene una velocidad de 5 m s
En el instante t = 0, la par tícula está en el origen. Utilice el
gráco de la velocidad para explicar si la par tícula regresa o no
al origen en el inter valo 0 ≤ t ≤ 12.
Halle la distancia recorrida en los 12 segundos.
Capítulo 14 513
ero rón
✗
1 Halle la derivada de:
f (x) = cos (1 – 2x) 3 tan t
y = sen x s (t) = e
2 2
f (x ) = sen x f (x) = x cos x f y = ln(tan x)
g f (x) = (ln x)(sen x) h y = 2 sen x cos x
2 Halle la integral:
3 sen x )dx cos (3 x )dx sen ( 4 x +1)dx
(4x
⌠ sen (2t + 1) ⌠ sen (ln x )
2 dt f ⎮ dx
x cos (2 x )dx
⎮ 2
⌡ cos ( 2t +1) ⌡ x
2 ⌠ 6 cos x
sen x
g 2 h dx
xe
cos x dx ⎮
2
⌡ (2 + sen x )
3 Evalúe la integral denida:
π π
3 (1 + sen x) dx
sen x dx 0
π π
3 3
π
(sen x + cos 2x) dx 2 x cos x dx
2
0
5 sen
0
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
4 Halle la ecuación de la normal a la función con fórmula
y = cos (3x – 6) en el punto (2, 1).
x
5 Halle las coordenadas del punto en el gráco de y = sen ,
2
1
0 ≤ x ≤ π, en el cual la tangente es paralela a la recta y = x +3
4 f (x)
4
6 Una función y = f (x) pasa por el punto (0,2). Su función derivada
es f ′(x) = x – sen x. Halle la fórmula de la función.
7 El gráco representa la función f (x) = p sen(x) + q, p, q ∈ N 2
0
Halle:
x
r r 3r 2r
2 2
Los valores de p y q
El área de la región sombreada
ero rón
1 Las cur vas dadas delimitan una región. Utilice una integral
denida para hallar el área de la región.
2
y = 2cos x + cos x + 1, x = 0, x = 2 y el eje x
y= 2 sen x e y = 0,5x
2 Las cur vas dadas delimitan una región. Utilice una integral
denida para hallar el volumen del sólido generado cuando la
región se rota 360° alrededor del eje x
y = sen x y el eje x para 0 ≤ x ≤ π
cos x
y=e , x = 0 y x = 2π
514 Análisis con funciones trigonométricas
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
3 El área bajo la cur va y = cos x entre x = 0 y x = k,
π
donde 0 < k < , es de 0,942. Halle el valor de k
2
cos (5t)
4 Sea s(t) = 2e – 4.
Halle s ′(t).
cos (5t) 2
Muestre que s ″(t) = 50 e (sen (5t) – cos (5t)).
A par tir de lo anterior, verique que s tiene un mínimo
π
relativo en t =
5
s es la función desplazamiento de una par tícula que se mueve
a lo largo de una recta, donde s se mide en metros y t en
segundos.
Halle la distancia total recorrida por la partícula de t = 0 a
t = 2 segundos.
ResuMeN del capítulO 14
dr fnon rgonomér
● Derivadas del seno, el coseno y la tangente:
f (x) = sen x ⇒ f ′( x ) = cos x
f (x) = cos x ⇒ f ′( x )
= –sen x
1
f ( x ) = tan x ⇒ f ′( x ) = , cos x ≠ 0
2
cos x
ingr no y ono
● Integrales del seno y el coseno:
sen xdx = cos x + C
cos xdx = sen x + C
● ⌠ 1
⎮ sen ( ax + b )dx = cos ( ax + b ) + C
⌡ a
1
⌠
⎮ cos ( ax + b )dx = sen ( ax + b ) + C
⌡ a
● Cuando el área delimitada por la cur va y = f (x), el eje x y
las rectas x = a y x = b se rota 360° alrededor del
b
2
eje x, el volumen del sólido generado es πy dx
a
b
● Si y ≥y para todo x en a ≤ x ≤ b, entonces (y – y ) dx es el
2 2
a
área entre las dos cur vas.
Capítulo 14 515
tor del conomno
d onr r
En la investigación sobre la derivada del seno se representó grácamente la
d
derivada de sen x, lo cual condujo a conjeturar que (senx) = cosx. Esto se
dx
vericó con varios valores y resultó ser verdadero para estos valores.
d
■ ¿Demuestra lo anterior que (sen x) = cos x?
dx
Siga los siguientes pasos para hallar la derivada del seno por un método
geométrico.
■ Para cada paso, ¿está usando razonamiento inductivo o deductivo?
aso 1 aso 2
P P
He aquí un círculo de radio unidad. QOP = h rad. ■ A medida que h se acerca a cero ¿qué
sucede con la longitud del arco QP en
S
Q
relación con la longitud del segmento QP?
S
P Q
R
h x
O
P
h
x
O R
■ ¿Cómo sabe que ∆QOP es isósceles?
■ A par tir de lo anterior, ¿por qué OQP es igual
a π–h radianes?
2
■ ¿Y por qué el arco QP es igual a h?
aso 3 S
P π Q
2
■ ¿Por qué SOQ es igual a – h – x?
■ Halle un segmento de recta paralelo a SO
■ A par tir de lo anterior, ¿por qué OQA también es igual a π – h – x?
■ 2
A P
R
Utilice OQP y OQA para explicar por qué AQP = h +x h
2
x
O
516 Teoría del Conocimiento: de la conjetura a la prueba
aso 4 aso 5 t
P P
■ ¿Por qué QA es igual a sen(x + h) – sen x? d
Ahora muestre que (sen x) = cos x.
dx
S Q (cos (x + h), sen (x + h))
Justique cada uno de los pasos:
h
+x d sen (x + h) – sen x
(sen x)
2 = lim
dx
h→0 h
QA
= lim
h→0 arco QP
A P (cos x, sen x)
R
h = lim QA
h→0 QP
x
h + x)]
= lim [cos (
O
h→0 2
= cos x c led
S
Q
"Todos los enunciados matemáticos h
importantes pueden expresarse con +x
palabras sencillas. Pero mientras que al 2
hacerlo llenaríamos varias páginas, si
utilizamos la notación matemática sen(x + h) – senx
podríamos necesitar tan solo un renglón. A P
Una de las maneras para lograr esta R
h
reducción notable consiste en emplear
símbolos para expresar enunciados, x
instrucciones y demás".
O
Lancelot Hogben (1895–1975)
Cientíco británico ■ ¿Qué tipo de razonamiento utilizó
para mostrar que d (sen x) = cos x?
dx
¿Inductivo o deductivo?
■ Explique su respuesta. Dé un ejemplo del
otro tipo de razonamiento.
d
■ ¿Demuestra esto que (sen x) = cos x?
dx
smoo mmáo
Los conceptos fundamentales del análisis
provienen de la investigación de los
límites a innito. Se le atribuye al
matemático inglés John Wallis la
introducción del símbolo ∞ para innito.
■ ¿Podría haberse desarrollado el
análisis sin el uso de los símbolos
matemáticos?
{ John Wallis (1616–1703)
Capítulo 14 517
15 Distri buciones
de probabilidad
ObjetivOs del CAPÍtUlO:
5.7 Concepto de variable aleatoria discreta y sus distribuciones de probabilidad;
valor esperado (media); E(X) para datos discretos; aplicaciones.
5.8 Distribución binomial; su media y varianza.
5.9 Distribuciones normales y cur vas normales; estandarización o tipicación de la
variable (valores z); propiedades de la distribución normal.
An comnzar
Qué necesitamos saber Comprobemos nuestras habilidades
1 Calcular la media de un conjunto de 1 Calcule la media de estas distribuciones de
números. Por ejemplo: Calcular la media frecuencias de x:
de esta distribución de frecuencias de x: a
x 3 4 5 6 7 8
x 0 1 2 3 Frecuencia 3 5 7 9 6 2
Frecuencia 3 6 9 2
x 10 12 15 17 20
∑f x (0 × 3) + (1 × 6 ) + (2 × 9 ) + (3 × 2 ) Frecuencia 3 10 15 9 2
x= =
∑f 3+ 6+9 + 2
30 Repita la pregunta usando la calculadora
de pantalla gráca (en adelante, CPG).
= = 1, 5
20
⎛n ⎞
2 Usar la notación ⎜ ⎟ 2 Evalúe:
r
⎝⎠
⎛ 6⎞ ⎛ 8⎞ ⎛9⎞
⎜⎟ ⎜⎟ 3 6
2 5 ( 0, 7 )
⎛ 5⎞ a c ( 0, 3)
⎝⎠ ⎝⎠ ⎜⎟
Por ejemplo: Evaluar ⎜ ⎟ 6
⎝⎠
2
⎝⎠
⎛ 5⎞ 5! 5× 4
⎜ ⎟=
= = 0
2 2 !3! 2
⎝⎠
3 Resolver ecuaciones 3 Resuelva las siguientes ecuaciones:
4
5, 5 x 2, 5
= 3, 2 = 0, 4
Por ejemplo: Resolver la ecuación =3
x
a
x
1, 2
4 4 = 3x 4
=3 x=
9 x
x 3 = 1, 6
c
0, 2
518 Distribuciones de probabilidad
Durante la copa mundial de fútbol de 200, un personaje un tanto ¿Por qué las personas
inusual alcanzó celebridad. Un pulpo llamado Paul logró predecir quieren creer que algo
el resultado de 2 par tidos de 4 que se jugaron entre 2008 y 200. o alguien (como un
Paul vivía en un estanque en el acuario municipal de Oberhausen pulpo) puede predecir
(Alemania) y se hizo inter nacionalmente famoso por sus hábitos el futuro cuando,
alimentarios que se usaron para predecir el resultado de una serie racionalmente,
de par tidos. En el tanque donde vivía se colocaban dos cajas que predecir el futuro
contenían un mejillón cada una y la bandera de las dos selecciones parece ser ilógico?
nacionales que se enfrentaban. La elección del mejillón que se
comería primero se intepretaba como una predicción del país que
iba a ganar el par tido. Paul acer tó el 86% de las veces.
En este capítulo analizaremos situaciones como estas y cómo
determinar la probabilidad de un suceso, si se debiese exclusivamente al
azar. Aunque... ¡quizás Paul sí fue capaz de predecir los resultados
de los par tidos de fútbol!
Capítulo 15 519
. vara aaora Una variable discreta
no necesariamente
➔ Una ara aaora es una cantidad cuyo valor depende debe tomar solo
del azar. valores positivos
enteros (por ejemplo,
Las variables aleatorias se representan con letras mayúsculas. los tamaños de
He aquí unos ejemplos de variables aleatorias: zapatos de un grupo
X = El número de veces que sale un seis cuando se arroja el dado de estudiantes pueden
tres veces tomar valores de …4;
B = El número de bebés en un embarazo 4,5; 5; 5,5; 6; 6,5; …).
M = La masa de un paquete de papas fritas
T = El tiempo empleado por un corredor para completar 00 m Deberá usarse una
Las variables aleatorias pueden ser de dos tipos: letra mayúscula
vara aaora cra: pueden tener un número nito o para designar a una
contable de valores (por ejemplo, X y B anteriores). variable aleatoria y
vara aaora connua: pueden tomar cualquier valor letras minúsculas
dentro de un cier to inter valo (por ejemplo, M y T anteriores). para los valores
Tomemos la variable aleatoria discreta X, el número de veces que reales que puede
sale un seis al arrojar un dado tres veces. Podemos escribir P(X = x) tomar la variable.
para representar “la probabilidad de que el número de veces que
sale un seis sea x”, donde x puede tomar los valores 0, , 2 y 3.
La primera tabla de valores aleatorios fue publicada por Leonard Tippett, 73735 45963 78134 63873
02965 58303 90708 20025
98859 23851
un estadístico británico, en 1927. Tippett tomó números “al azar” de 33666 62570 27965 62394
registros censales. Hacia 1939, Maurice Kendall y Bernard Babington Smith
64775 78428
consiguieron publicar un conjunto de 100 000 dígitos usando una máquina 81666 26440 20422 05720
especializada operada por un ser humano. Para usar esta lista, se debe
15838 47174 76866 14330
decidir el punto de par tida, el número de dígitos y la dirección (arriba, abajo, 89793 34378 08730 56522
22466
78155 66207 81978 57323
16381 80827
derecha, izquierda, diagonal, etc.) antes de seleccionar los números.
11698 99314
Por ejemplo, comenzando en el 15.° número en la quinta la, yendo hacia 75002 53867 37797
atrás, da 22, 40, 20, 44, 62, ... 99982 27601 62686 44711
La mayoría de los computadores y las calculadoras pueden emplearse hoy
en día para generar números aleatorios. En realidad, se trata de números 84543 87442 50033 14021
pseudoaleatorios, puesto que son generados por una fórmula matemática,
pero parecen números aleatorios. 77757 54043 46176 42391
80871 32792 87989 72248
30500 28220 12444 71840
Distribuciones de probabilidad de variables
aleatorias discretas
➔ Una rucón proaa de una variable aleatoria
discreta es una lista de todos los valores posibles de la variable
aleatoria y la probabilidad de que ocurra cada valor.
520 Distribuciones de probabilidad
empo
Sea X sea la variable aleatoria que representa el número de veces que sale un seis cuando se arroja
un dado tres veces. Tabule la distribución de probabilidad de X.
Respuesta
X puede tomar los valores 0, 1, 2 y 3.
1 Usar un diagrama de
árbol para hallar los
1 1 1 1 valores de
P ( X = 0), P ( X = 1),
6 seis p(3 seises) = × × = P ( X = 2) y
P ( X = 3)
1 6 6 6 216
6 Escribir las
seis 1 1 5 5 probabilidades en una
5 tabla
6 5 no p(2 seises) = × × =
seis
1 seis 6 6 6 216
6
1 61 no
6 5 seis
seis 6 1 5 1 5
5 seis
6 no 6 p(2 seises) = × × =
seis
no 6 6 6 216
seis
1 5 5 25
5 p(1 seis) = × × =
6 6 6 216
6
1
5 1 1 5
p(2 seises) = × × =
6
6 6 6 216
seis 5 1 5 25
6
5 no p(1 seis) = × × =
61 seis
6 6 216
5 5 1 25
6 seis p(1 seis) = × × =
no 6 6 6 216
seis
no 5 5 5 125
seis
5 p(0 seises) = × × =
6
6 6 6 216
x 0 1 2 3
125 25 5 1
72 216
P(X = x)
216 72
Vemos que, en el ejemplo, la suma de las probabilidades es:
125 25 5 1 Algunas veces
+ P (X = x) se reemplaza
+ + = simplemente por P (x)
o P : los signicados
216 72 72 216
x
➔ Para cualquier variable aleatoria X son análogos.
0 ≤ P(X = x) ≤ ∑ P( X = x ) = 1 0 ≤ P(X = x) ≤ 1
signica que una
empo probabilidad siempre
debe estar entre 0 y 1.
La variable aleatoria X tiene la siguiente distribución de probabilidad:
P( X = x ) = 1
x 1 2 3 4 5
∑
P (X = x) 7c 5c 4c 3c c
signica que la suma
a Halle el valor de c. Halle P (X ≥ 4). de las probabilidades
siempre será 1.
Respuestas
La solución de
a 7c + 5c + 4c + 3c + c = 1 Usar muchas preguntas de
examen par ten del
20c = 1 ∑ P (X = x ) = 1 hecho de que la suma
de las probabilidades
Resolver en c debe ser siempre 1.
1
c=
20
P (X ≥ 4) = P (X = 4) + P (X = 5)
3 1 4 1
= + = =
20 20 20 5
Capítulo 15 521
Ejercitación 15A
1 Decida si cada variable aleatoria es continua o discreta:
a A es “la edad en años completos de la próxima persona que
me llame por teléfono”.
B es “la longitud de la próxima banana que compre en el mercado”.
c C es “la cantidad de gatos que veré antes de ver un gato blanco”.
D es “el diámetro de las rosquillas en la cafetería”.
2 Tabule la distribución de probabilidad de cada variable aleatoria:
a La suma de las caras cuando se lanzan dos dados normales
El número de veces que se obtiene un seis cuando se lanzan dos dados normales
c El número más pequeño o igual cuando se lanzan dos dados normales
El producto de las caras cuando se lanzan dos dados normales
3 Un dado equilibrado (no cargado) de seis caras tiene un “1” en una
cara, un “2” en dos de sus caras y un “3” en las otras tres caras. Un dado equilibrado
es un dado que tiene
El dado se lanza dos veces. T es la variable aleatoria “valor total la misma probabilidad
de caer sobre
lanzado”. Halle: cualquiera de sus
caras.
a La distribución de probabilidad de T
La probabilidad de que el resultado total sea mayor que 4
4 Un juego de mesa se juega moviendo un contador S lugares hacia
adelante por jugada, siguiendo esta regla:
Se arroja un dado equilibrado de seis caras una vez. Si el
número es par, S es la mitad de ese número.
Si el número es impar, S es dos veces el número que muestra
el dado.
a Escriba una tabla que muestre los posibles valores de S y sus
probabilidades.
¿Cuál es la probabilidad de que en una sola jugada el contador
se mueva más de dos espacios?
5 La variable aleatoria X tiene la siguiente distribución de probabilidad:
x 1 2 3 4
P(X = x) 1 1 c c
3 3
a Halle el valor de c. En la pregunta 6,
3
Halle P(1 < X < 4).
P(Y = y) = cy .
Pregunta tipo examen Esto se conoce como
función de
6 La distribución de probabilidad de una variable aleatoria Y viene probabilidad de Y.
Podemos usarla para
3 hallar la probabilidad
de los distintos
dada por P(Y = y) = c y para y = 1, 2, 3. valores de la variable
aleatoria Y
Sabiendo que c es una constante, halle el valor de c
522 Distribuciones de probabilidad
Preguntas tipo examen
7 La variable aleatoria X tiene la siguiente distribución de
probabilidad:
x −1 0 1 2
P(X = x) 2k 2 2 k
4k 6k
Halle el valor de k.
8 La variable aleatoria X tiene la distribución de probabilidad dada
x 1
⎛1⎞
por P ( X = x ) = k ⎟ para x = 1, 2, 3, 4, y k es una constante.
⎜
⎝3⎠
Halle el valor exacto de k.
9 La variable aleatoria discreta X puede tomar solamente los valores
0, 1, 2, 3, 4, 5. La distribución de probabilidad de X viene dada por
P (X = 0) = P (X = ) = P(X = 2) = a
P (X = 3) = P (X = 4) = P(X = 5) = b
P (X ≥ 2) = 3P (X < 2)
donde a y b son constantes.
a Determine los valores de a y b
Determine la probabilidad de que la suma de dos obser vaciones
independientes de esta distribución sea superior a 7.
10 Las variables aleatorias discretas A y B son independientes y
tienen las siguientes distribuciones:
A 1 2 3
1 1
P (A = a) 1 3 3
3
B 1 2 3
2 1
P (B = b) 1 3 6
6
La variable aleatoria C es la suma de una obser vación de A y una
obser vación de B
5
a Muestre que P(C = 3) =
18
Tabule la distribución de probabilidad de C
Esperanza matemática La esperanza
El aor mo o prao de una variable aleatoria X es el valor matemática es en
promedio que deberíamos esperar para X cuando se realizan verdad la media de
muchas repeticiones del experimento. la distribución en
cuestión (la población
El valor medio o esperado de una variable aleatoria X se representa original). Se denota a
con E (X ). menudo con μ
Capítulo 15 523
ingacón: resultados de los dados
Se lanzan simultáneamente dos dados y se anota la
diferencia, D, entre los resultados de los dados.
1 Copie y complete la distribución de probabilidad de D
d 0 1 2 3 4 5
10
P(D = d ) 36
2 Se repite el experimento 36 veces. Copie y complete la
siguiente tabla para mostrar la frecuencia con la que se
espera obtener cada uno de los diferentes valores de d
d 0 1 2 3 4 5
Frcunca
praa 10 Puede resultar útil
dibujar un diagrama
3 Calcule la media de esta distribución de frecuencias. del espacio muestral,
como los del
capítulo 3.
4 El experimento original se repite 100 veces. Repita las
preguntas 2 y 3 para esta situación:
d 0 1 2 3 4 5
Frcunca 250
praa
9
5 ¿Qué obser va?
6 ¿Cuál sería la media si se repitiera el experimento
10 veces? ¿O 1000 veces? ¿O solo una vez?
Se espera que la media sea la misma en cada caso. Por lo tanto, podemos
hallar la media o valor esperado de la variable aleatoria D simplemente
multiplicando cada valor de d por su respectiva probabilidad (el equivalente
de la realización del experimento solo una vez), y sumando estos productos.
➔ El valor esperado de una variable aleatoria X es
E (X ) = ∑ x P( X = x )
empo x 0 1 2 3
25 5 1
Esta es la distribución de P (X = x) 125 72 72 216
probabilidad del ejemplo 1: 216
¿Cuál es el valor esperado
de X ?
Respuesta
Usando la fórmula:
∑Usar E ( X ) = x P (X = x )
⎛ 125 ⎞ ⎛ 25 ⎞
E( X ) = 0 × + 1 × ⎟
72 ⎠
⎜ ⎟⎜
⎝ 216 ⎠ ⎝
⎛ 5⎞ ⎛ 1 ⎞ Por lo tanto, si repetimos muchas
veces el experimento de ar rojar un
+ 2 × + 3 × dado tres veces, podemos esperar que
⎜ el número medio de veces que sale un
⎟⎜ ⎟ seis sea 0,5.
216 ⎠
⎝ 72 ⎠ ⎝
1
E( X ) =
2
{ Continúa en la página siguiente.
524 Distribuciones de probabilidad
Usando una CPG:
Ingresar la lista de posibles valores
que toma X en x y el conjunto de
los cor respondientes valores de las
probabilidades P(X = x) en p
E(X ) = x = 0,5 Ahora usar One-Var Statistics En las secciones 5.1
(estadísticas de una variable) como y 5.2 del capítulo 17
cuando hallamos la media de un hay más orientación
conjunto de datos sobre cómo ingresar
Usar X en la opción “X1 List” (lista los datos en la CPG.
X1) y p en la opción “Frequenc y
List” (lista de frecuencias)
Vemos que el valor esperado de X no
necesita ser uno de los valores que
puede tomar la variable X.
Ejercitación 15B
1 Al lanzar un dado normal de seis caras, sea X la variable
aleatoria denida por X = el cuadrado del resultado que
muestra el dado. ¿Cuál es la esperanza matemática de X ?
Pregunta tipo examen
2 La variable aleatoria Z tiene la siguiente distribución de
probabilidad:
z 2 3 5 7 11
P (Z = z) 1 1 1 x y
6 6 6
2
y E( Z ) = 5
3
Halle x e y
3 Un “dado Finobacci” es equilibrado, y tiene seis caras
marcadas con los números 1, 2, 3, 5, 8, 13. ¿Cuál es la
puntuación esperada cuando se lanza el dado?
4 Una variable aleatoria X tiene la siguiente distribución de
probabilidad:
x
P( x ) = para x = 1, 2, 3, …, 8
36
Halle E(X ).
Capítulo 15 525
Preguntas tipo examen
5 Para una variable aleatoria discreta X, la distribución de
probabilidad viene dada por:
⎧ kx x = 1, 2, 3, 4, 5
⎪ x = 6, 7, 8, 9
P( X = x ) =
⎨
⎪k (10 − x )
⎩
Halle:
a El valor de la constante k E(X )
6 a Copie y complete, en función de k, la siguiente distribución
de probabilidad de una variable aleatoria discreta, X:
x 1 2 3
P (X = x) 0,2 1−k
¿Qué rango de valores puede tomar k ? Dé su respuesta en la
forma a ≤ k ≤ b, a, b ∈ Q.
c Halle la media de la distribución, en función de k
7 X es una variable aleatoria discreta que solo puede tomar los
valores 1, 2 y 4. Se sabe que P(X = 2) = 0,3 y que la media de la
distribución es 2,8.
Halle P(X = ).
8 Hay diez bolas en una bolsa. Todas son de idéntico
tamaño pero dos de ellas son rojas y el resto son
azules. Se escogen bolas de la bolsa, al azar, y
no se reponen. Sea R el número de bolas extraídas
hasta escoger la primera roja (incluida).
a Enumere los posibles valores de R y sus
probabilidades.
Calcule el valor medio de R
c ¿Cuál es el valor más probable de R ?
9 Hay diez bolas en la bolsa, como en la pregunta 8.
Las bolas se vuelven a elegir al azar, pero esta vez
cada bola se repone antes de extraer la siguiente.
a Muestre que la probabilidad de extraer la primera bola roja
4
en el segundo experimento es
25
Calcule la probabilidad de extraer la primera bola roja en el
tercer experimento.
c Deduzca una fórmula para hallar la probabilidad de extraer la
primera bola roja en el experimento n
¿Cuál es el valor más probable de R ?
526 Distribuciones de probabilidad
Pregunta tipo examen
10 Se compra un billete de lotería instantánea por un valor de $2.
Los posibles premios son $0, $2, $20, $200 y $000. Sea Z la
variable aleatoria que representa la cantidad ganada con el
billete. Z tiene la siguiente distribución:
z 0 2 20 200 1000
P (Z = z) 0,2 0,05 0,001 0,0001
a Determine P(Z = 0).
Determine E(Z ) e inter prete su signicado.
c ¿Cuánto espera ganar o perder en promedio por billete?
. la rucón noma
Denición de distribución binomial
ingacón: el test binomial
A continuación presentamos cinco preguntas cuyas respuestas
son o bien “verdadero” o bien “falso”. Escriba la respuesta a
cada pregunta. Es posible que tenga que adivinar la respuesta
de alguna de ellas.
1 El chaleco antibalas fue creado por una mujer.
2 En promedio, los músculos de los ojos se mueven 300 000 veces al día.
3 El juego de bolos se jugó por primera vez en Italia.
4 Le tomó 10 días a Leonardo Da V inci pintar los labios de la Mona Lisa.
5 La selacofobia es el miedo a los relámpagos.
Ahora mire las respuestas al nal de libro para encontrar las respuestas correctas a estas
cinco preguntas. ¿Cuántas contestó correctamente? ¿Logró un buen resultado?
¿Cuántas esperaría haber contestado correctamente si hubiera adivinado cada respuesta?
Para pasar el test se necesita tener 3 respuestas correctas de 5. ¿Cuál es la probabilidad
de obtener exactamente 3 respuestas correctas de 5?
● En el test anterior hay 5
➔ Los tres elementos esenciales de una distribución
experimentos.
binomial son:
● Aquí el éxito consiste en responder
● Hay un número jo de experimentos, n
correctamente y el fracaso en
● Cada experimento tiene solo dos resultados
responder incorrectamente.
posibles: “éxito” o “fracaso”.
● En este caso, la probabilidad de éxito
● La probabilidad de éxito ( p) es constante de
es de 0,5, suponiendo que se obtuvo
experimento en experimento.
cada respuesta por tanteo.
● Los experimentos son independientes entre sí.
● Si respondemos correctamente
una pregunta, eso no signica
que tendremos mayor o menor
probabilidad de responder
correctamente la próxima pregunta.
Capítulo 15 527
Los resultados de un xprmno noma y las correspondientes
probabilidades de estos resultados se denominan rucón
noma
La rucón noma describe el compor tamiento de una
variable discreta X, dadas las condiciones anteriores.
Los parámetros que denen una distribución binomial única
son los valores de n (el número de experimentos) y p (la
probabilidad de éxito). Una distribución binomial se
representa con X ~ B(n, p).
Ahora examinemos este problema, que vimos por primera vez en el
capítulo 3: determinar la probabilidad de obtener exactamente dos
caras en tres lanzamientos de una moneda cargada, para la cual
2
P(cara) =
3
El siguiente diagrama de árbol nos puede ser vir para responder la
pregunta.
2
C CCC
3
2 C
3
1 X CCX
1
2 C 3 3
3 X 2
2
1 3 C CXC
3
1 X 3
3
X CXX
1
3
2
C XCC
3
C
X XCX
1
3
2
C XXC
3
X
X XXX
1
3
P (dos caras en tres lanzamientos) = P(CCX) + P(CXC)
+ P(XCC) A menudo usamos una distribución
teórica, como la binomial, para
Las tres probabilidades son iguales. describir una variable aleatoria que
ocurre en la vida real. Este proceso se
2 denomina modelización y nos permite
realizar cálculos. Si la distribución
⎛ 2⎞ ⎛1⎞ 4 teórica coincide exactamente con la de
la variable de la vida real, el modelo
P(CCX) = P(CXC) = P(XCC) = ⎟ = es perfecto. Sin embargo, este por lo
⎜ ⎜⎟ general no es el caso. Generalmente,
el resultado de cálculos basados en el
⎝3⎠ ⎝3⎠ 27 modelo no dará necesariamente una
explicación completa y exacta de una
Entonces, P(dos caras en tres lanzamientos) situación en la vida real. ¿Les quita
esto utilidad?
2
⎛2⎞ ⎛1⎞ 12 4
=3 = =
⎜ ⎜⎟
⎟
⎝3⎠ ⎝3⎠ 27 9
Sin embargo, solo se debe utilizar un diagrama de árbol
si el número de experimentos, n, es pequeño.
¿Qué ocurre si nos piden hallar la probabilidad de obtener
exactamente dos caras en seis lanzamientos de esta
moneda? El diagrama de árbol para esta pregunta sería
demasiado grande, entonces buscaremos una fórmula.
528 Distribuciones de probabilidad
Hay que comenzar por constatar que se reúnen las condiciones de una distribución
binomial:
● Hay un número jo (n) de En este caso hay seis experimentos.
experimentos.
● Cada experimento tiene dos resultados Un éxito es obtener cara y un fracaso
posibles: “éxito” o “fracaso”. es obtener ceca.
● La probabilidad de éxito ( p) es 2
La probabilidad de éxito es cada
constante de experimento en 3
vez que se lanza la moneda.
experimento.
● Los experimentos son independientes Obtener cara en un experimento no
entre sí. afectará el resultado del próximo
experimento.
Una combinación de C y X que producirá 2 caras y 4 cecas
es CCXXXX. El error más común
cuando se calcula
2 4 una probabilidad
binomial es no tener
⎛ 2⎞ ⎛1⎞ 4 en cuenta que si hay
exactamente r éxitos,
P(CCXXXX) = ⎜⎟ = ( = 0, 00548...) deberá haber también
⎜ ⎝3⎠ n – r fracasos.
⎟
En el capítulo 6 se
⎝3⎠ 729 puede encontrar más
información sobre
Cada posible combinación de 2 C y 4 X tendrá la misma el desarrollo del
probabilidad. binomio.
¿Pero cuántas combinaciones hay?
⎛n⎞
⎜ ⎟ representa el número de maneras de elegir r objetos de un total
r
⎝⎠
de n objetos.
El número de combinaciones de 6 objetos que tienen 2 C y 4 X
⎛ 6⎞ ⎛ 6⎞
es, por lo tanto, = = 15
⎜ ⎟⎜ ⎟
2 4
⎝⎠ ⎝⎠
⎛ 6⎞
Podemos usar la CPG para calcular ⎜ ⎟
2
⎝⎠
⎛ 6⎞ 6! 6×5
Como alter nativa, se podría usar la fórmula = = = 15
⎜ ⎟
2 2! 4 ! 2
⎝⎠
o
el tercer elemento en la sexta la del triángulo de Pascal:
Por lo tanto,
2 4 4 20
⎛ 6⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1⎞
P (2 caras en 6 lanzamientos) = = 15 × = = 0, 0823 (3 cs )
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜⎟
⎝ 3⎠
2 ⎝3⎠ 729 243
⎝⎠
Capítulo 15 529
La generalización de este método lleva a la función de la
distribución normal.
➔ Si X sigue una distribución binomial, X ~ B(n, p), entonces la
probabilidad de obtener r éxitos en n experimentos
independientes, cuando p es la probabilidad de éxito en cada
experimento, es
⎛n⎞ n r
r p)
P( X = r) = p (1 −
⎜ ⎟
r
que a menudo se abrevia
⎛n⎞
rn r
donde q = – p
P( X = r) = p q
⎜ ⎟
r
⎝⎠
empo
X sigue una distribución binomial, con 6 experimentos y una
1
probabilidad de éxito igual a en cada intento. ¿Cuál es la
5
probabilidad de obtener los siguientes resultados?
a Exactamente cuatro éxitos Al menos un éxito
c Tres éxitos o menos
Rpua
A mano: Podemos reescribir la pregunta como:
4 2 ⎛ 1⎞
⎛6⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛4 ⎞ Si X ~ B 6, , halle el valor de:
⎟
a ⎜
P( X = 4) = ⎟⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎝ 5⎠
⎜ ⎝5⎠
4 ⎝ 5⎠
⎝⎠
a P (X = 4 )
1 16
×
= 15 ×
b P (X ≥ 1)
625 25
c P (X ≤ 3)
48 ⎛n ⎞
= r n–r
pq
Usar P(X = r) =
⎜ ⎟
3125 r
⎝⎠
= 0, 01536
= 0, 0154 (3 cs)
1 6 Para P(X ≥ 1) es más directo calcular
⎛4⎞ 1 − P(X = 0) que calcular
P(X = 1) + P(X = 2) + ... + P(X = 6).
⎜⎟
⎝ 5⎠
=1 4096
15 625
11 529
=
15 625
= 0,738 (3 cs) Es fácil confundir
P(X < r) y P(X ≤ r). Por
c P (X ≤ 3) = 0,983 P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + lo tanto, debemos
P(X = 2) + P(X = 3) leer las preguntas con
Usar la CPG para este cálculo cuidado.
(Véase la siguiente explicación.)
{ Continúa en la página siguiente.
530 Distribuciones de probabilidad
Usando la CPG:
a
c
Ejercitación 15C
1 X sigue una distribución binomial, con 4 experimentos y una
1
probabilidad de éxito igual a en cada experimento.
2
Sin calculadora, determine:
a P(X = 1) P(X < 1)
c P(X ≤ 1) P(X ≥ 1)
⎛ 1⎞
2 Si X ~B 6, halle, con una aproximación de tres cifras
⎜ ⎟
⎝ 3⎠ En la pregunta 2 ,
c y utilizaremos
signicativas: nomCf (dpA
binomial) en lugar
a P(X = 2) P(X < 2) de nomPf (dpP
binomial) en la
c P(X ≤ 2) P(X ≥ 2) calculadora, porque
estamos calculando
3 Si X sigue una distribución binomial, con 8 experimentos y una una probabilidad
acumulada.
2
probabilidad de éxito igual a en cada intento, determine la
7
probabilidad de obtener los siguientes resultados:
a Exactamente 5 éxitos Menos de 5 éxitos
c Más de 5 éxitos Al menos un éxito
Capítulo 15 531
empo
La probabilidad de que use el autobús para ir al trabajo cualquier
mañana es 0,4. ¿Cuál es la probabilidad de que en la semana laboral de
cinco días lo use solo dos veces?
Rpua ¿Podemos ver por qué es una
A mano: situación binomial?
Sea X el número de días que uso Necesitamos P(X = 2).
el autobús.
X ~ B(5, 0,4) Usando la CPG:
⎛ 5⎞
2 3
(0, 6)
P( X = 2) = (0, 4 )
⎜⎟
2
⎝⎠
= 10 × 0 ,16 × 0 ,216
= 0 ,3456
= 0, 346 (3 cs ) Véase la sección 5.12
en el capítulo 17.
empo
Se sabe que, al suministrar cierto medicamento, el 80% de las personas Suponemos que X
que lo usan se curan. En el ensayo se administró el medicamento a dos sigue una distribución
gr upos de 10 pacientes. ¿Cuál es la probabilidad de que los 10 pacientes binomial dado que
de ambos gr upos se curen? hay dos resultados:
un éxito es “se cura”
Respuesta y un fracaso “no se
cura”. Suponemos
Sea X “el número de pacientes Multiplicar las probabilidades que los resultados de
P(X = 10) y P(X = 10) los experimentos de
curados en un gr upo de 10”. porque los dos sucesos (que los paciente en paciente
pacientes de cada grupo se curen) son son independientes
10 independientes. Por lo tanto, para entre sí. La
los dos grupos de 10 pacientes, la probabilidad de éxito
P(X = 10) = 0,8 = 0,10737… probabilidad de que todos se curen es es ja e igual a 0,8.
2 2 2
[P(X = 10)] .
[P(X = 10)] = (0,10737…)
= 0,0115 (3 cs )
532 Distribuciones de probabilidad
Ejercitación 15 D
1 Un tetraedro regular tiene tres caras blancas y una cara roja. Se lo lanza
cuatro veces y se registra el color de la cara inferior. ¿Cuál es el número
más probable de veces que la cara roja terminará hacia abajo? ¿Cuál es la
probabilidad de que ocurra este valor?
2 La probabilidad de que un tirador dé en la diana cuando
tira con el arco es de 0,55.
Halle la posibilidad de que ocurra lo siguiente en ocho intentos:
a El tirador a en la diana cinco veces.
El tirador no a en la diana al menos cinco veces.
Preguntas tipo examen
3 Una fábrica tiene cuatro máquinas que producen el mismo tipo de pieza.
La probabilidad de que cualquiera de las máquinas produzca una pieza
defectuosa es de 0,01. Determine la probabilidad de que, en una muestra
de cuatro piezas de cada máquina, ocurra lo siguiente:
a Ninguna será defectuosa. Exactamente 13 no serán defectuosas.
c Al menos dos serán defectuosas.
4 La probabilidad de que una línea telefónica de una compañía esté
ocupada es de 0,25. Si la central de esa compañía tiene 10 líneas, halle la
probabilidad de que:
a La mitad de las líneas estén ocupadas.
Al menos tres líneas estén libres (con una aproximación de 4 cifras
signicativas).
5 La probabilidad de que Nicole se acueste a las 7:30 un día determinado es
de 0,4. Calcule la probabilidad de que de cinco días consecutivos ella se
acueste a las 7:30 como máximo tres días.
6 En una sala de examen, se sabe que el 15% de los escritorios se tambalean.
a ¿Cuál es la probabilidad de que, en una la de seis escritorios, más de
uno se tambalee?
¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno se tambalee, en una
la de seis escritorios?
7 En la producción en masa de procesadores de computadores se encontró
que el 5% son defectuosos. Los procesadores se seleccionan al azar y se
embalan en paquetes de 15.
a Se selecciona al azar un paquete. Halle la probabilidad de que contenga:
Tres procesadores defectuosos Ningún procesador defectuoso
Al menos dos procesadores defectuosos
Se seleccionan al azar dos paquetes. Halle la probabilidad de encontrar:
Ningún procesador defectuoso en cada uno de los paquetes
Al menos dos procesadores defectuosos en cada paquete
Ninguno defectuoso en un paquete y al menos dos en el otro
Capítulo 15 533
empo
Una caja contiene un gran cantidad de claveles de los cuales un cuar to
son rojos. El resto son blancos. Se escogen claveles al azar de la caja.
¿Cuántas ores deben escogerse para que la probabilidad de que haya
al menos un clavel rojo entre ellas sea mayor que 0,95?
Respuesta 1
Sea X la variable aleatoria “el son rojos, entonces P(rojo) = 0,25.
número de claveles rojos”.
X ~ B(n, 0,25) 4
P(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0)
n
= 1 – (0,75)
n > 0,95 Se requiere que P(X ≥ 1) > 0,95.
1 − (0,75) Resolver la inecuación en n
n
0 ,05 > (0 ,75)
log 0 ,05 > n log 0 ,75
y en consecuencia
n log 0 ,75 < log 0 ,05 Cuando se divide por
un número negativo, la
log 0, 05 inecuación se invier te.
n>
log 0, 75
n > 10,4 El menor valor de n es 11.
Se deben tomar al menos 11
claveles de la caja para asegurarse
de que la probabilidad de que haya
al menos un clavel rojo entre ellos
sea mayor que 0,95.
Ejercitación 15E
1 Si X ~ B(n, 0,6) y P (X < 1) = 0,0256, halle n
2 El 1% de los fusibles en una gran caja están averiados. ¿Cuál
es el tamaño más grande de muestra que se puede tomar para
que la probabilidad de que no haya fusibles averiados sea mayor
que 0,5?
3 Si X ~ B(n, 0,2) y P (X ≥ 1) > 0,75, halle el valor mínimo
posible de n
4 La probabilidad de que Ana anote un gol de penal en
una competencia de hockey es 0,3. Halle el menor
número posible de intentos que necesitaría para que la
probabilidad de anotar al menos un gol sea mayor que 0,95.
5 ¿Cuántas veces se debe lanzar una moneda equilibrada
para que la probabilidad de que caiga ceca sea de al
menos 0,99?
534 Distribuciones de probabilidad
Esperanza matemática de una distribución binomial
2
Pensemos en el ejemplo de la moneda no equilibrada, con P(C) = .
3
Si se arroja la moneda 3 veces, ¿cuántas veces se puede esperar que salga cara?
Intuitivamente, la respuesta es 2.
2 La demostración
de esta fórmula no
Esto es lo mismo que calcular 3 × =2 está en el programa
de estudios de
3 Matemáticas NM.
Para la distribución binomial donde X ~ B(n, p), E(X ) = np
La máquina de Galton, o máquina Quincunx, es un dispositivo para experimentos estadísticos que tomó
el nombre de su inventor, el británico Sir Francis Galton. Se compone de una placa ver tical con clavos
espaciados uniformente. En la mitad superior, los clavos están dispuestos de forma escalonada. La
mitad inferior está dividida en ranuras rectangulares espaciadas de forma pareja. En la mitad del extremo
superior hay un embudo por el cual se pueden ver ter las bolas. El embudo está directamente encima del
clavo superior de modo que cada bola cae directamente sobre este
clavo. Cada vez que una bola pega en uno de los clavos, puede
orientarse a la derecha o a la izquierda con igual probabilidad.
Por lo tanto, este proceso da lugar a una distribución binomial de
las alturas de los montones de bolas en las ranuras de la par te
inferior. Si el número de bolas es sucientemente grande, entonces
la distribución de las alturas de los montones de bolas se
aproximará a una distribución normal (véase la sección 15.3).
Podemos entender por qué sucede esto investigando un poco
más sobre el tema.
empo
Un dado no equilibrado se lanza 30 veces y se obtiene un seis 8 veces.
El dado se lanza 12 veces más. Halle el número esperado de veces que
se obtendrá un número seis en estos 12 lanzamientos.
Respuesta
8 4
X ~ B(12, p) donde p = =
30 15 Sea X el número de veces que se
obtiene un seis en 12 lanzamientos.
4
E( X ) = np = 12 × = 3, 2
15
Ejercitación 15F Posiblemente
querramos hacer
1 a Una moneda normal se lanza 40 veces. Halle el número nuestro propio
experimento binomial
esperado de caras. y explorar cuán
cerca se encuentran
Un dado normal se arroja 40 veces. Halle el número esperado nuestros resultados
de los resultados
de veces que se obtendrá un seis. esperados en una
distribución binomial.
c Un naipe se extrae de una baraja de 52 naipes, se anota y se
devuelve. 13 de estos naipes son de corazones. El proceso se
repite 40 veces. Halle el número esperado de corazones.
Capítulo 15 535
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
2 X es una variable aleatoria tal que X ~ B(n, p). Sabiendo que la
media de la distribución es 10 y p = 0,4, halle n.
3 Un test tiene 15 preguntas y cuatro posibles respuestas para
cada una, con solamente una respuesta correcta por pregunta.
Suponga que un estudiante adivina cada respuesta.
Si X es “el número de preguntas contestadas correctamente”, dé:
a La distribución de X
La media de X
c La probabilidad de que este estudiante logre la nota de
aprobación de 10 o más
4 Se halla que 100 familias con tres hijos cada una tienen los
siguientes números de niñas.
Número de niñas 0 1 2 3
Frecuencia 13 34 40 13
a Halle la probabilidad de que un bebé que nace en este gr upo
de familias sea una niña.
Usando el valor obtenido en a, calcule el número de familias con
tres hijos, en una muestra de 100, que se espera tengan dos niñas.
Varianza de una distribución binomial La demostración
En el capítulo 8 se introdujo el concepto de varianza como medida de la fórmula de la
de dispersión de un conjunto de datos. varianza no está en el
La fórmula para la varianza de una distribución binomial está en el programa de estudios
cuader nillo de fórmulas de Matemáticas NM. de Matemáticas NM.
Si X ~ B(n, p), entonces Var(X) = npq donde q = p – .
Volviendo al ejemplo original de la moneda no equilibrada para la
2
cual P(C) = , si arrojamos la moneda 3 veces, esperamos que caiga
3
cara 2 veces.
Sin embargo, obviamente, esto no siempre ocurrirá. Si repetimos Podemos calcular
este experimento muchas veces, algunas obtendremos 0, y 3 caras. la desviación típica
tomando la raíz
Usando la fórmula para la varianza, cuadrada de la varianza.
2 1 2 Al valor esperado de
X, E(X), también se lo
Varianza = npq = 3 × × = llama la media, µ.
Entonces E( X) = µ.
3 3 3
En general
Para la distribución binomial donde X ~ B (n, p)
● Esperanza de X, E(X) = np
● Varianza de X, Var(X) = npq donde q = – p
536 Distribuciones de probabilidad
empo
El 40% de los trabajadores de una empresa grande usa transpor te
público para ir al trabajo.
Se selecciona al azar una muestra de 15 trabajadores.
Halle el número esperado de trabajadores en esta muestra que van al
trabajo en transpor te público y la desviación típica.
Respuesta n = 15, p = 0,4
Sea T el número de trabajadores
que van en transpor te público. E(T) = np
T ~ B(15; 0,4) Var(T) = npq
E(T ) = 15 × 0,4 = 6 La desviación típica es la raíz
Var(T ) = 15 × 0,4 × 0,6 = 3,6 cuadrada de la varianza.
La desviación típica es
3, 6 = 1,90 (3 cs)
Ejercitación 15G
⎛ 1⎞
1 Si X ~ B 0, , calcule la media y la varianza de X
⎟
⎜
⎝ 4⎠
2 Halle la media y la desviación típica de la distribución
binomial B (12; 0,6).
3 Una moneda equilibrada se lanzó 40 veces. Halle la media y la
desviación típica del número de caras.
4 Se lanza un dado equilibrado 10 veces. Sea X el número de veces
que se obtiene un seis. Halle:
a El número esperado de veces que sale un seis
Var(X)
c P(X < μ)
PREGUNTA TIPO EXAMEN
5 Una viajera frecuente encuentra que está demorada en un
aeropuer to en par ticular una vez cada 5 viajes, en promedio.
Un año usa el aeropuer to en 22 ocasiones. Usando un modelo
binomial, halle:
a El número esperado de viajes en que estará demorada en ese
aeropuer to
La varianza
c La probabilidad de que esté demorada en menos de 4 ocasiones
6 En el club de atletismo local, el número esperado de personas
que pueden correr 100 metros en menos de 13 segundos es 4,5 y
la varianza es 3,15.
Hallar la probabilidad de que al menos 3 personas puedan correr
00 metros en menos de 3 segundos.
Capítulo 15 537
PREGUNTA TIPO EXAMEN
7 X es una variable aleatoria tal que X ~ B (n, p).
Sabiendo que la media de la distribución es 7,8 y p = 0,3, halle:
a n La varianza de X
8 Para una variable aleatoria X ~ B (n, p), E(X ) = 9,6 y
Var(X ) = 1,92. Halle los valores posibles de n y de p.
A par tir de lo anterior, calcule P(X = 6) para cada par posible.
. la rucón norma
ingacón: la distribución normal
Recoja datos de alrededor de 50 estudiantes de su colegio para una de estas categorías:
estatura, peso, máxima extensión de la mano abier ta, longitud del pie, circunferencia de la
muñeca.
1 Dibuje un histograma para los datos.
2 ¿Dónde está el pico del histograma?
3 ¿Es el histograma aproximadamente simétrico?
4 Una los puntos medios de las barras de su histograma con una cur va.
Probablemente, el histograma obtenido es más o menos simétrico y
la cur va tiene forma de campana con la mayoría de las mediciones f(x)
en tor no de un valor central.
Si se tomaran más medidas, se dibujara otro histograma y se
unieran los puntos medios de las barras por medio de una
cur va, el histograma sería más simétrico y la forma se O x
aproximaría más a la de una campana, hasta llegar a
parecerse a la cur va que se muestra aquí.
Esta es una rucón norma la cura Gau
A la cur va normal también se la llama “la cur va
La distribución normal es probablemente la de Gauss” en honor al matemático alemán Carl
más impor tante distribución en estadística, ya Friedrich Gauss (1777–1855).
que es un modelo adecuado para muchas Gauss usó la cur va normal para analizar
variables que se dan naturalmente. Estas datos astronómicos en 1809. El retrato del
incluyen los atributos físicos de personas, matemático, la cur va normal y la función de
animales y plantas, e incluso los ar tículos probabilidad asociada aparecieron en el viejo
producidos en masa en las fábricas. La billete de 10 marcos alemanes. Si bien Gauss
distribución podría también aplicarse como jugó un papel impor tante en la historia de esta
una aproximación de, por ejemplo, las cur va, los estadísticos franceses Abraham de
puntuaciones obtenidas en un examen, los Moivre (1667–1754) y Pierre-Simon Laplace
tiempos para completar un trabajo, los (1749–1827) llevaron a cabo muchos de los
tiempos de reacción o las medidas del CI. primeros trabajos. De Moivre desarrolló la cur va
normal matemáticamente en 1733 como una
En cada caso: aproximación a la distribución binomial, aunque
el ensayo que había escrito sobre el tema no fue
● La cur va tiene forma de campana. descubier to hasta 1924 por Karl Pearson. Laplace
usó la cur va normal en 1783 para describir la
● Es simétrica respecto de la media( µ). distribución de errores, y en 1810 demostró
un teorema esencial de la estadística, llamado
● La media, la moda y la mediana teorema del límite central.
coinciden.
538 Distribuciones de probabilidad
Características de una distri bución normal Recordemos que
No existe una única cur va normal, sino una fama cura, cada la media, μ, es
una de ellas denida por su media, μ, y desviación típica, σ el promedio, y la
desviación típica, σ,
Si la variable aleatoria X tiene una distribución normal con es una medida de
disper sión.
2
media μ y desviación típica σ, esto se escribe X ~ N (μ, σ ).
μ y σ son los parámro a rucón.
En la expresión
La media es el punto central de la distribución y la desviación típica 2 2
describe la dispersión de la distribución. Cuanto más grande sea la
desviación típica, más ancha será la cur va normal. X ~ N(μ, σ ), σ es la
varianza. Recordemos
que la varianza es
Estos tres grácos muestran X 2 el cuadrado de la
~ N (5, 2 ),
f(x)
X 2 2 x x x desviación típica.
~ N (0, 2 ) y X ~ N (5, 2 ). 1 2 3
2 3
Las desviaciones típicas son todas iguales,
por lo que las cur vas tienen el mismo ancho,
pero μ <μ <μ
2 3
0 x
f(x)
2 5 10 15 20
~ N (5, ),
Estos tres grácos muestran X
X 2 2 X
~ N (5, 2 ) y X ~ N (5, 3 ). Aquí las 1
2 3
medias son todas iguales y todas las cur vas
están centradas respecto de esta media, pero X
2
σ <σ < σ , por lo que la cur va de X es más X
3
2 3
10
estrecha que la de X , y la de X es más x
2 2 0
5
estrecha que la de X
3
Las cur vas pueden tener diferentes medias o diferentes desviaciones
típicas, pero todas tienen las mismas características.
El área bajo la curva de distribución normal f(x)
Independientemente de cuáles sean los valores de μ y σ para una
distribución normal, el área total bajo la cur va es siempre igual a .
Por lo tanto, podemos considerar las áreas parciales bajo la cur va
como la representación de probabilidades.
Entonces, en esta distribución normal podríamos hallar la μ
probabilidad P(X < 5) hallando el área sombreada en el diagrama.
x
0 5
Desafortunamente, la función de probabilidad (la ecuación de la
curva) para la distribución normal es muy complicada y difícil de usar.
2
−( X − μ )
1 2
2σ
f (X ) = e −∞<X<∞
2πσ
Sería muy difícil para nosotros usar la integración para hallar áreas
bajo la cur va. Sin embargo, hay otros métodos que podemos
utilizar.
Capítulo 15 539
La distribución normal estándar Vemos que
La rucón norma ánar es la distribución normal en la que P(Z = a) = 0. Podemos
μ = 0 y σ = . La variable aleatoria se llama Z. Usa “valores z” para pensar en esto como
describir el número de desviaciones típicas entre cada valor y la una recta que no tiene
media. ancho y por lo tanto
tampoco área.
➔ La distribución normal estándar se escribe Z ~ N (0, ). Esto signica que:
P(a < Z < b)
Podemos usar la CPG para calcular las áreas bajo la cur va de = P(a ≤ Z ≤ b)
Z ~ N (0, ) para valores entre a y b, y a par tir de allí, P(a < Z < b). = P(a < Z ≤ b)
= P(a ≤ Z < b)
empo
Sabiendo que Z ~ N (0, 1), halle:
a P(−2 < Z < 1) P(Z < 1) c P(Z > −1,5)
P(Z < 0) P(|Z| > 0,8)
Respuestas
a P(−2 < Z < 1) = 0,819 Usando el menú de Distributions
(distribuciones) en la CPG, elegir
normCdf (dpA nor mal) e ingresar
los valores en este orden: límite
inf erior, límite superior, media,
desviación típica
P(Z < 1) = 0,841 Ingresar el límite inf erior como un
número negativo muy pequeño,
999
–9 × 10
c P(Z > −1,5) = 0,933 Ingresar el límite superior como un
999
número muy grande, 9 × 10
{ Continúa en la página siguiente.
540 Distribuciones de probabilidad
P(Z < 0) = 0,5 Aquí no se necesita usar la f(Z)
calculadora porque el gráco es f(Z < 0) = 0,5
P(|Z| > 0,8) = 1 – 0,576 simétrico respecto de la media.
0
|Z| > 0,8 signica z
Z < –0,8 o Z > 0,8
= 0,424
Véase la sección 5.13
en el capítulo 17.
Ejercitación 15H
1 Sabiendo que Z ~ N (0, 1), halle:
a P(−1 < Z < 1) P(−2 < Z < 2) c P(−3 < Z < 3)
2 Halle el área bajo la cur va normal estándar:
a Entre 1 y 2 desviaciones típicas de la media
Entre 0,5 y 1,5 desviaciones típicas de la media
3 Halle el área bajo la cur va que está más de:
a 1 desviación típica arriba de la media
2,4 desviaciones típicas arriba de la media
4 Halle el área bajo la cur va que está menos de:
a 1 desviación típica debajo de la media
1,75 desviaciones típicas debajo de la media
5 Sabiendo que Z ~ N (0, 1), use la CPG para hallar:
a P(Z < 0,65) P(Z > 0,72) c P(Z ≥ 1,8)
P(Z > −2) P(Z ≤ −0,28)
6 Sabiendo que Z ~ N (0, 1), use la CPG para hallar:
a P(0,2 < Z < 1,2) P(−2 < Z ≤ 0,3) c P(−1,3 ≤ Z ≤ −0,3)
7 Sabiendo que Z ~ N (0, 1), use la CPG para hallar:
a P(|Z| < 0,4) P(|Z| > 1,24) f(z)
0,4
En la pregunta de la ejercitación 5H, encontramos la
probabilidad de que Z se encuentre a menos de una desviación
típica de la media, dos desviaciones típicas de la media y tres z
desviaciones típicas de la media, respectivamente.
–3 –2 –1 0 1 2 3
68,27%
Se puede ver que la mayor par te de los datos de una distribución 95,45%
99,73%
normal quedarán a menos de tres desviaciones típicas de la media.
Capítulo 15 541
Probabilidades para otras distri buciones normales
Es evidente, sin embargo, que muy pocas variables de la vida
cotidiana se distribuyen según la distribución normal estándar (con
una media de 0 y una desviación típica de ). Pero podemos
2
transformar cualquier distribución normal X ~ N ( μ, σ ) para
equipararla a la distribución normal estándar, porque todas las
distribuciones normales tienen la misma forma básica, con cambios
en la ubicación y la dispersión.
2
Para transformar cualquier valor dado de x en X ~ N ( μ, σ ) a su
valor z equivalente en Z ~ N (0, ), utilizamos la siguiente forma:
x μ
z=
σ
Después se puede usar la CPG para hallar la probabilidad requerida.
➔ 2
Si X ~ N ( μ, σ ), entonces la variable aleatoria transformada
X μ
Z= tiene una distribución normal estándar.
σ
empo
2
La variable aleatoria X ~ N (10, 2 ). Halle P(9,1 < X < 10,3).
Respuesta Dibujar un gráco aproximado
P(9,1 < X < 10,3)
f(x)
P(9,1 < x < 10,3)
0 x
20
5 10 15
9, 1 10 10, 3 10
z= z=
Estandarizar cada valor de x
2 2 Ingresar los valores en la CPG
= 0, 45 = 0,15
P(9,1 < X < 10,3)
= P(−0,45 < Z < 0,15)
P(9,1 < X <10,3) = 0,233 Vericar que la respuesta parezca
razonable, comparada con el gráco
aproximado
542 Distribuciones de probabilidad
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