Math

● Si A = (x , y , z ), entonces a = OA =x i+y j+z k

     

A

y si B = (x , y , z ), entonces b = OB =x i + y j + z k

2 2 2 2 2 2

b–a

AB = AO + OB

a B
O
= OB OA

b

=b–a

= (x – x )i + (y – y )j + (z – z )k

2  2  2 

2 2 2

Distancia AB = (x −x ) + (y −y ) + (z −z )
2 1 2 1
2 1

a

● Para hallar un vector de longitud  en la dirección de a, se usa la fórmula

a

a

● Para hallar un vector de longitud k en la dirección de a, se usa la fórmula k

a

sm y frn  or

● El vector resultante, u + v, es el tercer lado de un triángulo formado cuando u y v

se ubican uno a continuación de otro haciendo coincidir el extremo de u con el

origen de v

u+v

v

u

● Para hallar la diferencia entre dos vectores, se suma el vector opuesto.

proo r

● proo r

Si a = a i + a j y b = b i + b j, entonces a b=a b +a b .

 2  2   2 2

De manera similar, si a = a i + a j + a k y b = b i + b j + b k,

 2 3  2 3

entonces a b=a b +a b +a b

  2 2 3 3

● El roo r a b = |a||b| cos θ, donde θ es el ángulo entre los vectores.

● Para vectores rnr, a b = 0.

● Para vectores ro, a b = |a||b|.

● Para vectores onn, a 2
a=a .

eón or   r

● La ón or de la recta es r = a + t b, donde r es el vector de posición

general de un punto de la recta, a es un vector de posición de un punto dado y b

es un or ror paralelo a la recta. t se denomina parámetro.

Capítulo 12 443

tor del conomno

¿uno o ro?

A menudo se divide a las matemáticas en diferentes ramas o campos de
conocimiento.

■ Enumere las ramas de las matemáticas que conoce.

■ ¿Por qué los seres humanos sienten la necesidad de categorizar y

compar timentar el conocimiento?

Ágr y gomr

En este capítulo representamos vectores geométricamente
y los usamos para demostrar propiedades geométricas.
También empleamos el álgebra vectorial para describir y
generalizar propiedades geométricas.

■ ¿Puede pensar ejemplos de cómo usó los vectores

en cada una de estas formas?

■ Entonces, ¿los vectores per tenecen al álgebra o a la

geometría?

conr r omrnr
Establecer conexiones entre diferentes dominios matemáticos
(álgebra y geometría por ejemplo) desarrolla la comprensión.
El matemático francés René Descar tes (1596–1650) fue uno
de los primeros en usar el álgebra para resolver problemas
geométricos. Su mayor apor tación fue la geometría car tesiana
o de coordenadas.

Cada vez que el álgebra y la geometría estuvieron separadas, sus progresos han sido
lentos y sus usos limitados, pero cuando estas dos ciencias se unieron, compar tieron

mutuamente sus fuerzas y marcharon juntas hacia la perf ección.

Joseph Louis Lagrange, matemático francés, 1736–1813

dmorón  orm  p ágor Podemos ver estas

conexiones entre

c el álgebra y la

cuando se

a geometría

ab ordar el

usan para

mismo problema.

b

444 Teoría del Conocimiento: ¿unidos o separados?

emostración GeomÉtrica c

D a

Dibuje y recor te cuatro triángulos idénticos a este.

b a b
Dispóngalos de manera de formar un cuadrado con lados a + b,
como este: c a
b
b c
a
■ ¿Cuál es el área del cuadrado del centro?

c

c

b a

b a
c
Reubique los triángulos para formar otro cuadrado, a a
con la misma longitud de lado, como este: b

■ ¿Qué área tienen los dos cuadrados blancos? c

b

b

El área del cuadrado central del primer diagrama

debe ser igual a la suma de las áreas de los dos

a

cuadrados del segundo diagrama. Esto es, c² = a² + b².

emostración aLGeBraica a b
c
D
c
Use el mismo diagrama, pero ahora obser ve los triángulos

en lugar de los cuadrados. a
b
b

c

■ Use estos dos métodos para hallar el área del cuadrado

grande, con lados a + b.

c

Méoo 1. Eleve al cuadrado la longitud de los lados: (a + b)² a

Méoo . Calcule el área de los cuatro triángulos congr uentes

2 b a
y súmela a c , el área del cuadrado.

En ambos casos, se obtienen expresiones para el área del
cuadrado grande.

Igualando estas expresiones, se obtiene b² + 2ab + a² = 2ab + c² ⇒ a² + b² = c²



emostración VectoriaL 

D

Represente los lados del triángulo rectángulo mediante
vectores ,  y 



Dado que forman un triángulo, +=

Por lo tanto ( + ) ( + ) =  

■ ¿Cuál método de

Aplicando propiedad distributiva +++= demostración

  =   = 0, porque  y  son perpendiculares preere?

■ ¿Cuál fue el más

Por lo tanto +=

sencillo?

O bien a² + b² = c²

■ ¿Cuál fue el más

her moso?

Capítulo 12 445

13 Funciones
circulares

ObjetivOs del capítulO:

3.2 Denición de cos θ y sen θ a par tir del círculo de radio unidad; denición de

3.2 senθ
3.3
3.3 tan θ como
3.3
3.4 cosθ

3.4 π π π π
3.4
3.4 Valores exactos de las razones trigonométricas de 0, , , , y sus múltiplos
3.5
6 4 3 2

2 2

Relación fundamental cos θ + sen θ =1

Identidades del ángulo doble para el seno y el coseno

Relación entre las razones trigonométricas

Funciones trigonométricas (circulares) sen x, cos x y tan x: dominios y recorridos;

amplitud; periodicidad; grácos.

Funciones compuestas de la forma f (x) = a sen (b(x + c)) + d

Transfor maciones

Aplicaciones de las funciones trigonométricas

Resolución de ecuaciones trigonométricas en un inter valo nito, tanto de forma

gráca como analítica

an  omnzr Comprobemos nuestras habilidades

Qué necesitamos saber

1 Hallar los valores exactos de cier tas razones 1 Calcule el valor exacto de:

trigonométricas  sen 45°  tan 60°

Por ejemplo: Hallar el valor exacto de sen 30°  cos 150°  sen 225°

sen 30° = 0,5

2 Halle el valor exacto de:

Por ejemplo: Hallar el valor exacto

3  2  3
4 sen tan
de tan
3 4

tan 3 = −  cosπ  7
4 sen

6

2 Trabajar con las funciones grácas de la

3 Use las funciones grácas de la CPG

calculadora de pantalla gráca (en adelante,

para hallar las raíces del gráco de cada

CPG)

función:

Por ejemplo: Usar las funciones grácas 3 2
f (x) = ln(x − 3)
 f (x) = 2x −x+5 

de la CPG para hallar las raíces del gráco

4 Use las funciones grácas de la CPG para

3 2

de f (x) = x − 3x +2 x ≈ −0,732; ; 2,73

resolver cada ecuación:

Por ejemplo: Usar las funciones grácas

3 4 2

 x − 5x = x +1  x =3−x

de la CPG para resolver la ecuación

2

4x − 7 = 2ln x x ≈ 0,0303; ,38

446 Funciones circulares

La r ueda giratoria llamada “London Eye”, que está situada en la
ribera sur del río Támesis, abrió sus puer tas al público en el
año 2000. Cada una de las 32 cabinas puede transpor tar hasta
25 personas. Es una impor tante atracción turística y cada año recibe
un promedio de 3,5 millones de visitantes.

1,1 Circular Functions
y 0,30103

La r ueda da una vuelta aproximadamente cada 30 minutos. Tiene 150
una altura de 35 metros en su punto más alto. Un pasajero en una
de las cabinas viaja alrededor de una circunferencia en una vuelta 0 x
completa. La altura del pasajero respecto de la plataforma de 30
ascenso se puede modelizar mediante la función 1

0

[ Este es el gráco

de la función que

⎛ 2π ⎞

a ( t ) = 67, 5 cos ( t − 15 ) + 67, 5; modeliza la altura
⎜
⎟

⎝ 30 ⎠

del pasajero por

donde a es la altura en metros y t es el tiempo en minutos después encima de la
de que un pasajero se sube la cabina. Este es un ejemplo de las
funciones circulares que estudiaremos en este capítulo. plataforma de

ascenso.

Capítulo 13 447

. uzón  ro  ro n

En esta sección continuaremos trabajando con el círculo de radio unidad.

➔ El círculo de radio unidad tiene centro y Recordemos que el
en el origen (0,0) y radio de longitud . B(cos i, sen i)
El lado terminal de cualquier ángulo θ
en la posición estándar cor tará al círculo de radio unidad
círculo en un punto con coordenadas
(cosθ, senθ). 2 2

tiene ecuación x + y = 1.

i A(1, 0)
0 x

A continuación vemos algunos ángulos en la posición estándar en el En este diagrama,
círculo de radio unidad. Si el ángulo θ se abre en sentido antihorario AÔB (θ) está en la
(desde el eje x positivo), entonces θ es positivo. posición estándar.
Estos ángulos pueden medirse en grados o en radianes. El punto A tiene
coordenadas
(1, 0), y el punto B
tiene coordenadas
(cosθ, senθ).

B(cos 45°, sen 45°) y r r
0 3 3
B
A(1, 0) A(1, 0)
x r x
3

0

y

7r A(1, 0) 335° A(1, 0)
6 x 0 x

0 B(cos 335°, sen 335°)

7r 7r

B(cos , sen )

6 6

Si el ángulo θ se abre en sentido horario (desde el eje x positivo),
entonces θ es negativo.

4r 4r

( (B cos – ) (, sen – ))

3 3

0 A(1, 0) x 0 A(1, 0)
–80° 4r x

3

B(cos –80°, sen –80°)

448 Funciones circulares

Si conocemos los valores del seno y el coseno de un ángulo,
podemos asignarles valores numéricos a las coordenadas del punto
donde el ángulo cor ta al círculo de radio unidad.

y y

B 1 √2 √2
2
2

B

2 2

135°

A(1, 0) A(1, 0)

0 x 0 x

30°

ingón: seno, coseno y tangente en el
círculo de radio unidad

También se puede usar el círculo de radio unidad para facilitar la comprensión
de los valores del seno y el coseno de ángulos cuyo lado terminal yace sobre
el eje x o el eje y.

Dibuje cada ángulo en la posición estándar en el círculo de radio unidad.
Use su bosquejo (no la CPG) para determinar el seno, el coseno y la
tangente de cada ángulo.
Ángulos en grados:

1 90° 2 180° 3 270°

4 360° 5 −90° 6 −180°

Ángulos en radianes:

7 0 8  9 π
2

3 11 3 12 4π
10 2

2

En el capítulo , utilizamos triángulos rectángulos para hallar los
valores exactos del seno, el coseno y la tangente de 30°, 45° y 60°.
Ahora ampliaremos lo que hemos aprendido para incluir otros ángulos
especiales, en grados y radianes.

Ángulo medido en Seno Coseno Tangente
grados, radianes 0 1
1 3 0
0°, 0 radianes 2 2
1 3

30°, =

6 3 3 Es impor tante
recordar estos valores
 1 2 1 2 1 ya que se requerirá
4 =1 conocerlos sin usar
45° = = la CPG.
1
2 2 2 2

 3 1 3 3
60°, 2 2 =
1 0
3 1

 no denido
90°,

2

Capítulo 13 449

En el capítulo , descubrimos que los ángulos suplementarios tienen el
mismo valor de seno. También vimos que tienen valores de coseno opuestos.

Por ejemplo, sen 30° = sen50° y cos50° = −cos 30°.

En esta sección, usaremos el círculo de radio unidad para hallar otros ángulos
con valores trigonométricos “relacionados”.

Tomemos ángulos en cada cuadrante que formen el mismo ángulo
con el eje x. Dado que las coordenadas en el círculo de radio unidad
representan los valores del seno y el coseno, podemos comprobar que
existe una relación entre los valores del seno y el coseno de los ángulos
ubicados en diferentes cuadrantes.

Para los ángulos del (–x y) (x y) Para los ángulos del
segundo cuadrante, el seno primer cuadrante, el seno
es positivo y el coseno es i i x y el coseno son ambos
negativo. i i positivos.
(–x, –y)
Para los ángulos del (x y) Para los ángulos del cuarto
tercer cuadrante, el seno cuadrante, el coseno
y el coseno son ambos es positivo y el seno es
negativos. negativo.

senθ

➔ Para cualquier ángulo θ, tanθ = , donde cosθ ≠ 0.

cosθ

Se deduce que, para ángulos del primer y del tercer cuadrante,
la tangente será positiva, y para ángulos del segundo y del cuar to
cuadrante, la tangente será negativa.

emo 

Halle otros tres ángulos con los mismos valores que:

 Seno 35°

 Coseno 35°

 Tangente 35°

Respuesta

 Para hallar ángulos con el mismo seno:

145° 35° Los ángulos con el mismo valor de seno
–215° –325° cor tan al círculo de radio unidad en puntos
que tienen la misma coordenada y
x
Para hallar ángulos con el mismo seno,
se deberá trazar una recta horizontal que Todos estos ángulos
atraviese el círculo de radio unidad forman un ángulo de
35° con el eje x
sen 35° = sen 145° = sen (−215°) = sen (−325°)

{ Continúa en la página siguiente.

450 Funciones circulares

 Para hallar ángulos con el mismo coseno:

–325° Los ángulos con el mismo valor de coseno
35° cor tan al círculo de radio unidad en puntos
que tienen la misma coordenada x
x
–35° Para hallar ángulos con el mismo coseno, se
325° deberá trazar una recta ver tical que atraviese
el círculo de radio unidad

cos 35° = cos 325° = cos (−35°) = cos (−325°) Todos estos ángulos
forman un ángulo de
 Para hallar ángulos con la misma tangente: 35° con el eje x.

y –325° Los valores de la tangente son positivos en el Todos estos ángulos
35° primer y el tercer cuadrante forman un ángulo de
215° 35° con el eje x.
–145° x Para hallar ángulos con la misma tangente,
se deberá trazar una recta que pase por el
origen del círculo de radio unidad.

tan 35° = tan 215° = tan (−145°) = tan (−325°)

Este último ejemplo ilustra algunas propiedades útiles.

➔ Para cualquier ángulo θ:

sen θ = sen(80° − θ)

cos θ = cos(−θ )

tan θ = tan(80° + θ)

Ejercitación 13A

1 Represente cada ángulo en la posición estándar en el círculo de radio unidad.

 75°  110°  250°  330°

 −100° f −270° g −180° h 40°

2 Represente cada ángulo en la posición estándar en el círculo

de radio unidad. Estos ángulos se
miden en radianes.

   5    11
6 3 2 6

  f 5 g −2π h 3
3 6

3 Halle otros tres ángulos (en grados) que tengan el mismo seno

que los ángulos dados.

 60°  200°  −75°  115°

4 Halle otros tres ángulos (en grados) que tengan el mismo coseno

que los ángulos dados

 35°  130°  295°  −240°

Capítulo 13 451

5 Halle otros tres ángulos (en grados) que tengan la misma tangente

que los ángulos dados.

 50°  100°  220°  −25°

6 Halle otros tres ángulos (en radianes) que tengan el mismo seno

que los ángulos dados.

   5  4,1 rad  −3 rad
3 4

7 Halle otros tres ángulos (en radianes) que tengan el mismo coseno

que los ángulos dados.

   1 rad  2,5 rad  3
6 5

8 Halle otros tres ángulos (en radianes) que tengan la misma tangente

que los ángulos dados.

 5
4
  1,3 rad   −5 rad

7

emo 

Sabiendo que sen 50° = 0,766 (con una aproximación de tres cifras

signicativas), halle el valor de:

 cos 50°  cos 130°  sen 230°  cos (−50°)

Respuesta

2 2 2 2

 sen 50° + cos 50° = 1 Usar sen θ + cos θ = 1, la relación

fundamental que hallamos en la

sección 11.3

2 2

(0,766) + cos 50° = 1

2 2

cos 50° = 1 − (0,766) Reemplazar sen 50° = 0,766, luego
resolver, despejando cos θ

cos 50° = 1 2

( 0, 766 )

cos 50° = 0,643 (3 cs)

y

 (0,643; 0,766) Realizar un bosquejo de los ángulos
(–0,643; 0,766) en el círculo de radio unidad resulta
en una buena estrategia. Esto hace
130° que la relación entre los ángulos sea
50° más sencilla de percibir.

x

cos 130° = −0,643 (3 cs)

{ Continúa en la página siguiente.

452 Funciones circulares



y (0,643; 0,766) Emplear bosquejos similares
230° como ayuda para responder a los
apar tados c y d

50°

x

(–0,643; –0,766)

sen 230° = −0,766 Todos estos ángulos
relacionados forman un
ángulo de 50° con el
eje x



(0,643; 0,766)

50° x
–50°

(0,643; –0,766)

cos (−50°) = 0,643

Ejercitación 13B

1 Sabiendo que sen 70° = 0,940 y cos 70° = 0,342 (3 cs), halle

cada valor.

 sen 110°  cos (−70°)  cos 250°  sen 290°

PREGUNTAS TIPO EXAMEN

 1  
Sabiendo que sen , halle cada valor.
2 = y cos =
2
6 2 6

 7  5  sen   cos 11
sen cos 6 6

6 6

3 Sabiendo que senA = 0,8 y cosA = 0,6, halle cada valor.

 sen (180° − A)  cos (−A)  cos (360° − A)

 sen (180° + A)  tan A f tan (−A)

g sen (360° − A) h tan (180° + A)

4 Sabiendo que senθ = a y cosθ = b, halle cada valor en

función de a y b

 tan θ  sen (π − θ)  cos (π + θ)  tan (π + θ)

 sen (π + θ) f cos (−θ) g sen (2π − θ) h cos (θ − π)

Capítulo 13 453

. Roón  on no 

ro  ro n

1
Supongamos que queremos resolver una ecuación del tipo sen x =

2

1

Sabemos que sen 30° = , pero también sabemos que

2

1  1 7 1
6
sen 50° = , sen = , y sen = .

2 6 2 2

1

Por lo tanto, ¿cuál es el valor de x en la ecuación sen x = ?

2

En realidad, existen innitos valores por los que podríamos

reemplazar x; por lo tanto, necesitamos más información sobre los
valores de x que estamos buscando. Necesitamos saber dos cosas:

● El valor de x, ¿está en grados o en radianes?

● ¿Cuál es el dominio?

1

Ahora supongamos que queremos resolver la ecuación sen x = ,

2

para −360° ≤ x ≤ 360°. Hay dos posiciones en el círculo de radio

1

unidad para las cuales sen x = , por lo tanto, hallaremos los

2

ángulos en aquellas posiciones que estén dentro del dominio

indicado: −360° ≤ x ≤ 360°.

150° 30°
–210° –330°

La ecuación tiene cuatro soluciones en el dominio dado.
x = −330°, −20°, 30°, 50°

emo 

Resuelva la ecuación cos x = 2
, –2π ≤ x ≤ 2π

2

Respuesta

⎛ 3π ⎞ 2
.
3r –5r Sabemos que cos =
⎜ ⎟ 2

4 ⎠
⎝

4 4

–3r 5r Se dibuja una línea ver tical para
hallar la otra posición en el círculo
4 4 de radio unidad que tiene el mismo
valor del coseno.
Una vez que se han deter minado

5 3 3 5 ambas posiciones en el círculo de
radio unidad, se hallan todos los
x=  , , , ángulos dentro del dominio que
tengan sus lados ter minales en esas
4 4 4 4 posiciones.

454 Funciones circulares

emo 

Resuelva la ecuación tan x = 3 , 0 ≤ x ≤ 720°

Respuesta tan 60° = 3
60°
420° Se dibuja una recta que pase por el origen

240° para hallar la otra posición en el círculo
600°
de radio unidad con el mismo valor de
x = 60°, 240°, 420°, 600°
tangente. Para hallar los ángulos de 420°

y 600° se hace otra rotación alrededor del

círculo de radio unidad.

Ejercitación 13C

✗

1 Resuelva cada ecuación para −360° ≤ x ≤ 360°.

 sen x = 3  cos x =   tan x = 1
2 2

 

 sen x = 0  2 f 2
cos x = tan x =

2 3

2 Resuelva cada ecuación para −2π ≤ θ ≤ 2π

   tanθ = 0  cosθ = 3
senθ = 2

2

 senθ = −1  2 f senθ = cosθ

2tan θ = 6

3 Resuelva cada ecuación para −180° ≤ θ ≤ 720°. Si bien el número π ya
se venía estudiando
 cosθ = 1  senθ = 2 desde hacía muchos
 2 siglos, su símbolo (la
letra griega) recién
 senθ = −cosθ 2 fue introducido por
3tan x − 1 = 8 William Jones (galés,
1675–1749) en 1706.
4 Resuelva cada ecuación para −π ≤ x ≤ π

 sen x = 1  2sen x + 3 = 2

 2  2
10sen x = 5 4cos x + 2 = 5

emo 

Resuelva la ecuación sen(2x) = 2
, 0° ≤ x ≤ 360°.

2

Respuesta Sabemos que
Si 0° ≤ x ≤ 360°, entonces 0° ≤ 2x ≤ 720°. sen45° = sen135° =
Para hallar los otros
135° 45° 2
495° 405° 2

ángulos, se deberá hacer

otra rotación alrededor del

círculo de radio unidad.

2x = 45°, 135°, 405°, 495° Estos ángulos representan el
x = 22,5°; 67,5°; 202,5°; 247,5° valor de 2x, no el valor de x.

Capítulo 13 455

emo 

2
Resuelva la ecuación 2sen x + 5senx − 3 = 0, 0 ≤ x ≤ 2θ

Respuesta Esta es una ecuación cuadrática.

2
2sen x + 5sen x − 3 = 0

(2sen x − 1)(sen x + 3) = 0

1 Resolver por factorización

sen x = o sen x = −3 El valor del seno no puede ser menor
que −1, por lo tanto, podemos
2 desechar sen x = –3.

 5

x= ,

6 6

Ejercitación 13D

✗

1 Resuelva cada ecuación para −180° ≤ x ≤ 180°.

 cos (2x) = 3  6sen (2x) − 2 = 1
2

 sen x − cos x =0  2 x 2 x
2 2 sen 3 = 3cos 3

2 Resuelva cada ecuación para −π ≤ θ ≤ π

 sen (2θ) =   tan (3θ) = 1
2

  2
= 3
 2  2 =1
cos 2 sen

2

PREGUNTA TIPO EXAMEN

3 Resuelva cada ecuación para 0 ≤ θ ≤ 2π

 2  2
2cos x − 5cos x − 3 = 0 2sen x + 3sen x + 1 = 0

 2  2
tan x + 2tan x + 1 = 0 sen x = 6sen x − 5

. in rgonomér

En esta sección, veremos casos especiales de ecuaciones llamadas

n. Ya nos hemos familiarizado con una identidad

2 2

trigonométrica impor tante, sen x + cos x = .

Esta ecuación es una identidad porque es verdadera para oo los

valores de x.

sen x

Otra identidad con la cual estamos familiarizados es tan x = , la

cos x

denición de tangente, que también es verdadera para todos

los valores de x

456 Funciones circulares

Identidades del ángulo doble para el coseno B(cos i, sen i)
El diagrama muestra los ángulos θ y −θ dibujados en la posición 1
estándar en el círculo de radio unidad.
i
i

La longitud del segmento CD es igual a la longitud del 1
segmento BD, y tenemos BD = CD = senθ
C(cos (–i), sen (–i))

BC = BD + CD, por lo tanto BC = 2senθ. []

Podemos ver que ∠BAC = 2θ. Podemos hallar la longitud del
segmento BC usando el teorema del coseno en el ∆ABC:

2 2 2

BC = AB + AC − 2(AB)(AC)cos(2θ)

2 2 2

BC = + − 2()()cos(2θ) = 2 − 2 cos(2θ)

BC = 2 2 cos(2θ ) [2]

Ahora tenemos dos expresiones para BC

Si igualamos [] y [2], hallamos que

2senθ = 2 2 cos(2θ ) .

Elevando al cuadrado ambos miembros obtenemos

2

4sen θ = 2 − 2cos(2θ).

2

Reordenando esta ecuación nos queda 2cos(2θ) = 2 − 4sen θ.

2

Finalmente, dividimos por dos para obtener cos(2θ) =  − 2sen θ

➔ 2

La ecuación cos(2θ) =  − 2sen θ es una n, ya que

resulta verdadera para todos los valores de θ

Usaremos esta identidad para hallar otras identidades.

2 2 2 2

Sabemos que sen θ + cos θ = , por lo tanto sen θ =  − cos θ.

2

Sustituyendo, tenemos cos(2θ) =  − 2( − cos θ).

Reordenando esta ecuación nos da

2

cos(2θ) = 2cos θ − .

2 2

Podemos sustituir sen θ + cos θ =  en esta ecuación para obtener

2 2 2

cos(2θ) = 2 cos θ − (sen θ + cos θ), lo cual nos da

2 2

cos(2θ) = cos θ − sen θ

Las tres ecuaciones que acabamos de hallar son:

➔ Las n  ángo o para el coseno:

2

cos(2θ ) =  − 2sen θ

2

= 2cos θ − 

2 2

= cos θ − sen θ

Capítulo 13 457

Identidad del ángulo doble para el seno

Ahora hallaremos una identidad del ángulo doble para el seno.

2 2

Sabemos que sen (2θ) + cos (2θ) = , por lo tanto

2 2

cos (2θ) =  − sen (2θ). []

De la identidad del ángulo doble para el coseno,

2

cos(2θ) =  − 2sen θ

2 2 2

cos (2θ) = ( − 2sen θ) [2]

Igualar [1] y [2]

2 2 2

 − sen (2θ) = ( − 2sen θ)

2 2 4

 − sen (2θ) =  − 4sen θ + 4sen θ

2 4 2

4sen θ − 4sen θ = sen (2θ)

2 2

1 − sen θ = cos θ

2 2 2

4sen θ ( − sen θ) = sen (2θ)

2 2 2

4sen θ cos θ = sen (2θ) Aplicar raíz cuadrada
en ambos miembros

2senθ cosθ = sen(2θ)

➔ La identidad del ángulo doble para el seno es
sen(2θ) = 2senθ cosθ.

emo 

3

Sabiendo que sen x = , y 0° < x < 90°, halle los valores exactos de:

4

 cos x  sen(2x)

 cos(2x)  tan(2x)

Respuestas

2 2

 sen x + cos x = 1 Relación fundamental

2 Reemplazar el valor de sen x

3 2 7
 + cos x = 1 Calcular la raíz cuadrada de

4 16 Recordemos que si x
Identidad del ángulo doble es un ángulo agudo,
9 7 el coseno debe ser
Reemplazar los valores de sen x y positivo.
2 = cos x
cos x = 1 −

16 16

cos x = 7
4

 sen(2x) = 2sen x cos x

⎛ ⎞
⎛3⎞ 7

sen(2x) = 2 ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎟
4 4
⎝ ⎜ ⎠

⎠
⎝

3 7

sen(2x) =

8

{ Continúa en la página siguiente.

458 Funciones circulares

 2 Usar una identidad de ángulo doble Podríamos usar
cos(2x) = 1 − 2sen x Reemplazar el valor de sen x cualquiera de las
tres identidades de
2 9 Denición de tangente cos(2x).
⎛3⎞
Reemplazar los valores de sen (2x) y
cos(2x) = 1 − 2 ⎟ =1− cos (2x)
⎜ 8

⎝4⎠

cos(2x) = 1
8

 sen(2 x )
tan(2x) =

cos(2 x )

⎛ ⎞
3 7

⎜ 8 ⎟
⎜ ⎟

⎝ ⎠

tan(2x) =

⎛ 1⎞

⎜⎟

⎝ 8⎠

⎛ 7 ⎞ 8⎞
3
⎛ ⎟
1⎠
=⎜ 8 ⎟
⎜ ⎜

⎝ ⎟

⎝
⎠

tan(2x) = 3 7

emo 

4 3π

Sabiendo que cosθ = ,y < θ < 2π, halle los valores exactos de:

5 2

 senθ  cos(2θ)

Respuestas

2 2

 sen θ + cos θ = 1 Relación fundamental
Reemplazar el valor de cosθ
2

2 ⎛4⎞ =1
sen θ + ⎜⎟

Recordemos que, si

⎝ 5⎠

3 < θ < 2π, el
2
16 9
=
2 ángulo estará en el
sen θ = 1 −

25 25

cuar to cuadrante. El

3 9 coseno es positivo
5
senθ = Calcular la raíz cuadrada de

25 pero el seno es

negativo.

 2 Usar una identidad de ángulo doble
cos(2θ) = 2cos θ − 1 Reemplazar el valor de cos θ

2

⎛4⎞ 32
1=
cos(2θ) = 1
25
2 ⎟
⎜

⎝ 5⎠

7
cos(2θ) =

25

Vemos que, en el ejemplo 8, pudimos hallar los valores de sen θ y
cos (2θ) sin haber hallado la amplitud del ángulo θ

Capítulo 13 459

Ejercitación 13E

PREGUNTAS TIPO EXAMEN

5

1 Sabiendo que senθ = , y 0° < θ < 90°, halle el valor exacto

6 Deberíamos poder
responder todas estas
de cada uno. preguntas sin calcular
la amplitud del ángulo.
 sen(2θ)  cos(2θ)  tan(2θ)

2 Sabiendo que cosx = 2
, y 90° < x < 180°, halle cada valor.

3

 sen(2x)  cos(2x)  tan(2x)

5

3 Sabiendo que cosθ = , y 0 < θ < π, halle cada valor.

6

 tan θ  sen(2θ)  cos(2θ)  tan(2θ)

4 Sabiendo que senx = 1
, y 180° < x < 270°, halle cada valor.

8

 sen(2x)  cos(2x)  tan(2x)  sen(4x)

PREGUNTA TIPO EXAMEN

3

5 Sabiendo que tanθ = , y 0 < θ < π, halle cada valor.

4

 sen θ  cos θ  sen(2θ)  cos(2θ)

24 π 

6 Sabiendo que sen(2x) = ,y <x< , halle cada valor.

25 4 2

 cos(2x)  tan(2x)  sen(4x)  cos(4x)

a

7 Sabiendo que tanx = , y 0° < x < 90°, halle cada valor en

b

función de a y b

 sen x  cos x  sen(2x)  cos(2x)

También se pueden usar identidades para trabajar con ecuaciones.
emo 

Resuelva la ecuación sen (2x) = sen x para 0° ≤ x ≤ 360°. Existen más
No use la CPG. identidades
trigonométricas.
Respuesta ¿Cuáles son?¿Qué
identidades se usan
sen(2x) = senx en otras ramas de las
matemáticas?
2(senx)(cosx) = senx Usar una identidad de ángulo doble
Reordenar
2(senx)(cosx) − senx = 0 Factorizar

(senx)(2cosx − 1) = 0

senx = 0 o 2cosx − 1 = 0

Si senx = 0, entonces x = 0°, 180°,

360°

1

Si 2cos x − 1 = 0, entonces cos x = ,

2

Por lo tanto, x = 60°, 300°

x = 0°, 60°, 180°, 300°, 360°

460 Funciones circulares

emo 

2 2

Demuestre que (1 + tan x) cos (2x) = 1 − tan x

Respuesta

2 2

(1 + tan x) × cos(2x) = 1 − tan x

2 2

⎛ sen x ⎞ sen x

2

1+ ⎟ ( 2cos x − 1) = 1 − Volver a escribir usando sen x
⎜ y cos x
2
2 Aplicar propiedad distributiva
en el miembro izquierdo
cos x cos x Simplicar
⎠ Dividir por 2
⎝

2 2

sen x sen x

2 2

2cos x − 1 + 2sen x − = 1−

2 2

cos x cos x

2 2

2cos x + 2sen x =2

2 2

sen x + cos x = 1

En el ejemplo 0, llegamos a una identidad conocida, que es válida
para todo x. Por lo tanto, la ecuación original también es una
identidad, aunque no es una de las que es necesario recordar.

Al mostrar la validez de las ecuaciones usando este método estamos
haciendo lo que se denomina “demostrar identidades”.

Ejercitación 13F

1 Resuelva cada ecuación para 0° ≤ x ≤ 180°.

 sen (2x) = cos x  sen (2x) = cos (2x)

1

2 2
cos x =
 (sen x + cos x) =0

2

2 Resuelva cada ecuación para −180° ≤ θ ≤ 180°

 2sen x cos x =   2
2 sen x(1 − sen x) = cos x

 2 1  cos(2x) = sen x
cos x = 2

+ sen x

2

3 Resuelva cada ecuación para 0 ≤ x ≤ π

 tan x = sen x  2 1
2cos x − 1 = 2

 cos(2x) = cos x  sen(4x) = sen(2x)

4 Resuelva cada ecuación para 0 ≤ θ ≤ π

2 2
sen x − 1 = cos x
 (sen(2x) + cos(2x)) =2 
2
 2  2sen x = 1
cos x = cos(2x)

5 Demuestre cada identidad.

1

2

 (sen x + cos x) = 1 + sen(2x)  = senθ tanθ + cosθ

cosθ

2

1 cos (2x ) 1 2
2sen θ

 = 2 sen x cos x  cosθ + senθ =

2 sen x cos x cosθ senθ

4 4

 cos x − sen x = cos(2x)

Capítulo 13 461

PREGUNTAS TIPO EXAMEN

6 La expresión 2sen 3x cos 3x puede escribirse en la forma sen kx.

Halle el valor de k

2 2

7 La expresión cos 4x puede escribirse en la forma 1 – bsen x cos x.

Halle el valor de b

. Rrnón grá  fnon
rr

En secciones anteriores, usamos el círculo de radio unidad para
hallar las relaciones entre los diferentes ángulos y los valores de su
seno, coseno y tangente. En esta sección, exploraremos el modo en
que estos valores pueden usarse para entender las funciones
trigonométricas y = sen x, y = cos x e y = tan x. También
obtendremos los grácos de estas funciones con la CPG, para
resolver ecuaciones.

Las funciones seno y coseno
A esta altura, ya conocemos los valores exactos del seno para
muchos ángulos, tal como se obser va en la siguiente tabla:

Amplitud de Valor del Amplitud de Valor del
ángulos (x) seno ángulos (x) seno

Grados, radianes (sen x) Grados, radianes (senx)

0°, 0 radianes 0 7 1
210°, 2

6

 1 5 1 2
2 4
30°, − =−
6
225°

2 2

 1 2 4 3
45°, 240°, 2
=
4 3

2 2

 3
270°,
60°, 3 −1
2 2
3

 1 5 3
90°, 300°, 2

2 3

2 3 7π 1 2
2 4
120°, 315° − =−

3 2 2

3 1 2 11 1
6 2
135°, = 330°

4 2 2

5 1
2
150°, 360°, 2π 0

6

180°, π 0

462 Funciones circulares

Si consideramos y = sen x, podemos situar estos valores como
coordenadas en un gráco.

y
1,0

0,5

0 x°
–0,5
90 180 270 360 450 540

–1,0

“Al representar la función y = sen x en este “Si el ángulo x se mide en radianes,
mismo sistema de ejes, obser vamos esto: el gráco tiene la misma forma.
y y
1,0 1,0

,5 ,5

x° x

–90 90 r r 3r r 5r 3r
2 2 2 2

Podemos obser var que el gráco de la función y = sen x genera los mismos
valores del seno que hallamos utilizando el círculo de radio unidad.

De manera similar, si consideramos y = cos x, podemos situar los valores
del coseno que conocemos en el gráco de la función y = cos x

“ y = cos x, con x medido en grados: “ y = cos x, con x medido en radianes:

y y

,5 ,5

0 x 0 x
–,5 r
–1,0 r r 2r 5 3r
2 2
2 2

–,5

–1,0

Capítulo 13 463

➔ Si comparamos las funciones seno y coseno, podemos
obser var algunas similitudes.

y

● Las cur vas tienen igual tamaño y forma, solo dieren en y = cos x

las posiciones horizontales en el eje. La cur va del seno pasa

0 x

por el origen, (0,0), y la del coseno pasa por el punto (0,).

● Las funciones son ró, lo que signica que repiten

y

el mismo ciclo de valores una y otra vez. El roo, o y = sen x

longitud de un ciclo, es 360° o 2π. Esto signica que si

x

obser vamos dos puntos cuyas coordenadas x dieren en

360° (o 2π), las coordenadas y de esos puntos serán iguales.

● Ambas funciones tienen su valor máximo en  y su valor

mínimo en −.Cada una de estas funciones tiene una

m de . La amplitud es la diferencia entre el eje

horizontal de la onda (y = 0, en este caso) y el valor

máximo o mínimo (y =  o y = −, en este caso). También

podemos decir que la amplitud es la mitad de la distancia

ver tical entre un máximo y un mínimo.

Podemos usar los grácos de y = sen x e y = cos x para resolver

ecuaciones, así como usamos el círculo de radio unidad

previamente en este capítulo para resolver ecuaciones.

1

Considere la ecuación sen x = , −360° ≤ x ≤ 360°.

2

1

Si trazamos la recta horizontal y = en el mismo sistema de ejes

2
1

que y = sen x, podemos ver que hay cuatro puntos donde sen x =

2

y y = sen x 1
1
y=

2

x

Estos puntos corresponden a los valores siguientes:
x = −330°, −20°, 30°, 50°

464 Funciones circulares

emo  La CPG puede resultar
útil para resolver
Resuelva la ecuación cosθ = 0,4; −360° ≤ θ ≤ 360°. ecuaciones que
Dé sus respuestas a la décima más próxima. tengan las funciones
Respuesta seno y coseno.

Para cambiar al

moo gro

presionar y

seleccionar

5: sng

& s

(conguraciones y

estado) | 2: sng

(conguraciones) |

2: Grh n

Gomry (grácos

y geometría).

Utilizar la tecla

para desplazarse

a “Graphing Angle”

(ángulo para gracar)

Ingresar y = cos x e y seleccionar dgr
y = 0,4, en la CPG y
congurar una ventana (grado). Presionar
apropiada para obser var el
gráco. Debemos asegurar nos y luego seleccionar
de que la CPG se encuentre en
el modo GRADOS. 4: crrn (actual)

para volver al

documento.

Existen cuatro puntos de
intersección en este dominio,
por lo tanto la ecuación
tendrá cuatro soluciones. Usar
6: Analyze Graph (analizar
gráco) | 4: Intersection
(intersección) para hallar estos
puntos de intersección.

θ = −293,6°; −66,4°; 66,4°; 293,6°

Capítulo 13 465

emo  Las medidas de los
Resuelva la ecuación sen x = 0,25x − 0,3; −2π ≤ x ≤ 2π. ángulos están en
Dé sus respuestas con una aproximación de tres cifras signicativas. radianes.
Respuesta
Para cambiar a moo
Ingresar y = senx e
y = 0,25x − 0,3 en la CPG y rn, presionar
congurar una ventana apropiada
para obser var el gráco. y seleccionar
Deberemos asegurar nos de que
la CPG se encuentre en el modo 5: sng
RADIANES.
& s

(conguraciones y

estado) |

2: sng

(conguraciones) |

2: Grh n

Gomry (grácos

y geometría).

Utilizar la tecla

para desplazarse

a “Graphing Angle”

(ángulo para gracar)

y seleccionar

Rn (radián).

Presionar y luego

seleccionar

4: crrn (actual)

para volver al

documento.

Existen cuatro puntos de
intersección en este dominio, por
lo tanto la ecuación tendrá cuatro
soluciones. Usar 6: Analyze
Graph (analizar gráco) |
4: Intersection (intersección)
para hallar estos puntos de
intersección.

x = −2,15; −0,416; 2,75

466 Funciones circulares

Ejercitación 13G

Resuelva las ecuaciones de las preguntas  a 4 utilizando la CPG.

Dé sus respuestas al grado más próximo.

1

1 sen x = , −360° ≤ x ≤ 360°

4

2 cos θ = 0, 8 ; −180° ≤ θ ≤ 360°

3 sen θ = −0,9; 0° ≤ θ ≤ 360°

4 sen x = cos(x − 20), 0° ≤ x ≤ 540°

Resuelva las ecuaciones de las preguntas 5 a 8 utilizando la
CPG. Dé sus respuestas con una aproximación de tres cifras
signicativas.

5 sen θ = 
, −2π ≤ x ≤ 2π



6 cos θ = 1

, −π ≤ x ≤ 2π

2
e

7 cos x = −x, −π ≤ x ≤ 2π

2

8 sen x = x − 1, −2π ≤ x ≤ 2π

Función tangente

ingón: representación gráca de tan x

Para las funciones seno y coseno, comenzamos con valores para sen x y
cos x que ya conocíamos.

Ahora, intente un método similar para la función y = tan x

1 Enumere los valores de la tangente de los ángulos:

0°, ±30°, ±45°, ±60°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°,

300°, 315°, 330°, 360°.

2 En un papel cuadriculado, sitúe estos valores como puntos. Haga

que el eje x represente el ángulo (medido en grados) y que el eje

y represente el valor de tan x.

3 ¿Por qué no hay valores para la tangente de los ángulos ±90° o 270°?

¿Qué característica presentan a veces los grácos de las funciones

para los valores que no existen?

4 Una los puntos en su papel cuadriculado para dibujar aproximadamente

el gráco de y = tan x.

5 Obtenga el gráco de la función y = tan x en la CPG, y compárela con

su gráco aproximado. ¿Resultan similares ambos grácos?

Capítulo 13 467

Si se hubieran usado radianes en lugar de grados, el gráco de la
función tangente se vería así:

y
3
2
1

x

3r r r r 3r r
2 2 2 2

–2

–3

➔ Al igual que las funciones seno y coseno, la función tangente
es ró. Existen asíntotas ver ticales en los valores de x
donde la función no existe. El mismo ciclo de valores se repite
entre cada par de asíntotas ver ticales.
El período de la función tangente es 80° (o π radianes).
A diferencia de las funciones seno y coseno, la función
tangente no posee amplitud. No tiene valores mínimos ni
máximos.

emo 

Resuelva la ecuación tanθ = 1 − x, −2π ≤ θ ≤ 2π.
Dé sus respuestas con una aproximación de tres cifras signicativas.

Respuesta

Hay que asegurarse
de que la CPG esté en
modo RADIANES.

Hay cinco puntos de intersección
en este dominio, por lo tanto la
ecuación tendrá cinco soluciones.

θ = −4,88; −1,90; 0,480; 2,25; 4,96

468 Funciones circulares

Ejercitación 13H

Resuelva las ecuaciones de las preguntas  a 4 utilizando la CPG.
Dé sus respuestas al grado más próximo.

1 tan x = 2, −360° ≤ x ≤ 360°

2 tan θ = 11, −180° ≤ θ ≤ 360°

3 tan θ = −1,5, 0° ≤ θ ≤ 360°

4 tan x = cos x, 0° ≤ x ≤ 720°

Resuelva las ecuaciones de las preguntas 5 a 8 utilizando la CPG.
Dé sus respuestas con una aproximación de tres cifras signicativas.

3

5 tan θ = , −2π ≤ x ≤ 2π

7

6 tan θ = π, −π ≤ θ ≤ π

7 tan x = 2x − 3, 0 ≤ x ≤ 2π

8 2

tan x = 4 − x , −2π ≤ x ≤ 2π

. tron y rmno  
fnon rgonomér

ingón: transformaciones de sen x y
cos x

Usando la CPG en modo radianes, obtenga el gráco de las funciones y = cos x

e y = cos x  en el mismo sistema de ejes.
2

¿Qué nota respecto de los grácos de estas dos funciones?

¿Qué tienen en común?

Describa en qué se diferencian los grácos e intente explicar por qué sucede esto.

Después, repita este procedimiento para cada uno de los siguientes pares de funciones.

1 y = sen x e y = sen x + 3

2 y = cos x e y = 2 cos x

3 y = cos x e y = cos (2x)

 

4 y = sen x e y = sen x



 3

5 y = sen x e y = cos x 
2

Capítulo 13 469

En la última sección, vimos las funciones trigonométricas Se requiere conocer
básicas y = sen x, y = cos x e y = tan x. Ahora estudiaremos muy bien las
las transformaciones de estas funciones. características de las
cur vas básicas de
Comencemos obser vando los grácos de las funciones seno y seno y coseno.
coseno, y refrescando el vocabulario referido a estas funciones.

yy

1

y = sen x y = cos x

x 0 x
2 –1
3r r 3r r –2 3 r r r r 2r
2 2 2 2
2

Estas funciones tienen un roo de 2π (o 360°, si representamos
estas funciones en grados en lugar de radianes).
Estas funciones tienen una m de .
Podemos aplicar transformaciones a los grácos de estas funciones,
como ya lo hemos hecho anteriormente con otras funciones (véase
el capítulo ).

Traslaciones

➔ La función y = senx + d es una rón r de la cur va Una traslación
estándar del seno. La cur va se desplaza ver ticalmente hacia horizontal se conoce
arriba si d es positivo, hacia abajo si d es negativo. también como
La función y = sen(x − c) es una rón horzon de la desplazamiento de
cur va estándar de la función seno. La cur va se desplaza fase.
horizontalmente hacia la derecha si c es positivo, a la
izquierda si c es negativo.

Es impor tante notar que una traslación no cambia ni el período ni la
amplitud de una función trigonométrica.

“Este gráco muestra una traslación “Este gráco muestra una traslación
vertical. La cur va del seno ha sido
desplazada 2 unidades hacia arriba. horizontal. La cur va del seno ha sido
La echa muestra la dirección de la
traslación. π

desplazada unidades hacia la derecha. La

2

echa muestra la dirección de la traslación.

y r
3
2 y (y = sen x– )

y = sen x

2

y = sen x + 2 1

x

r r r 3 r
2
1
r y = sen x

x

r r 3r r
2

470 Funciones circulares

➔ La función y = cos x + d es una rón r de la cur va
estándar del coseno. La cur va se desplaza ver ticalmente hacia
arriba si d es positivo, hacia abajo si d es negativo.
La función y = cos(x − c) es una rón horzon de la
cur va estándar del coseno. La cur va se desplaza hacia la
derecha si c es positivo, hacia la izquierda si c es negativo.

Tal como ocurre con la cur va del seno, una traslación no cambia ni el
período ni la amplitud de la función coseno.

“Este gráco muestra una traslación “Este gráco muestra una traslación
vertical. La cur va del coseno ha sido
desplazada 3 unidades hacia abajo. horizontal. La cur va del coseno ha sido
La echa muestra la dirección de la
traslación. 3π

desplazada unidades hacia la

4

izquierda. La echa muestra la dirección

de la traslación.

y 3r

y (y = cos x+ )

y = cos x 4

y = cos x

0 x

r r r r r 2r
2 2
0 x

r r r r r r
2
2 –1

2 –1

y = cos x – 3

–3
–4

Ahora vamos a examinar el gráco de la función tangente.
y

3
2
1

x

3r r r r r 3r 2r
2 2 2 2

–2
–3

Recordemos que esta función tiene un período de π (o 80° ). No tiene

amplitud, porque no hay puntos máximos ni mínimos.

 3

Existen asíntotas ver ticales en x =  , , etc.

2 2

(o en x = ±90°, x = ±270°, etc.).

Capítulo 13 471

Tal como ocurre con las funciones seno y coseno, las traslaciones
ver ticales y horizontales no cambian el período de la función tangente.

Podemos combinar traslaciones ver ticales y horizontales, si consideramos
funciones de la forma y = sen(x − c) + d, y = cos(x − c) + d, e
y = tan(x − c) + d

emo 

Dibuje aproximadamente el gráco de y = sen x.
En el mismo sistema de ejes, dibuje aproximadamente el gráco de:

⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞

 y = sen x + 1  y = sen x  y = sen x +1
⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎠ ⎠
⎝ 3 ⎝ 3

Respuestas

 y = sen x + 1

y

2 La curva básica del seno pasa por el origen, la
función trasladada pasa por el punto (0,1). Esto es
un desplazamiento ver tical de 1 unidad hacia arriba.

1

x

3r r r 3r r
2 2

⎛ 2π ⎞

 y = sen x

⎜ ⎟
⎠
⎝ 3

y La cur va básica del seno pasa por el origen,
2
1 ⎛ 2π

la función trasladada pasa por el punto ,0 .
⎜

⎝ 3

4r r r r r r r 5 2π
3 Esto es un desplazamiento horizontal de
3 3 3 3 3 3 3 x

3

unidades a la derecha.

–2

⎛ 2π ⎞

 y = sen x +1

⎜ ⎟
⎠
⎝ 3

Esto es una combinación de las traslaciones de los

y apar tados a y b. La cur va básica del seno (que pasa
2

2π

por el origen) ha sido desplazada unidades

1

3

hacia la derecha y 1 unidad hacia ar riba.

x

5r 4r r r r 2r r r 5 r
3
3 3 –1 3 3 3 3
3

–2

472 Funciones circulares

emo 

Escriba una fórmula para cada función, tal como se indica.

 Escriba una fórmula que contenga la función seno.

y

0 x

–2r 3r r r r r 3r 2r

2 –1 2

–2

 Escriba una fórmula que contenga la función coseno.

y

0 x
2 –1
–2 r r 3r 2r
2
2 2

 Escriba una fórmula que contenga la función seno y otra que

contenga la función coseno.
y

1

0,5

r 0 x

–2r 5r 4r r 2r r 2r r 4r 5r 2r

3 3 3 3 3 3 3 3
–0,5

–1

Respuestas

 y = sen x − 2 Se puede ver que esta es una cur va
del seno con un valor máximo de −1
y un valor mínimo de –3. Ha sido
desplazada 2 unidades hacia abajo.

 y = cos  Se obser va que esta es una cur va del
x+

4

coseno que ha sido desplazada



unidades hacia la izquierda.

4

⎛ π⎞

 y = cos x + 0, 5 Se puede apreciar que esta es
⎟
⎜ 3⎠

⎝ Debido a que las
formas del seno
una curva del coseno que ha sido y coseno son tan
similares, pueden
o π unidades hacia la existir muchas
desplazada fórmulas correctas
para el gráco de una
3 función seno o una
función coseno.
derecha, y 0,5 unidades hacia arriba.

⎛ π⎞

y = sen x + + 0, 5 También se la puede ver como una
⎟
⎜ cur va del seno que ha sido desplazada
6⎠ 
⎝ unidades hacia la izquierda, y
6

0,5 unidades hacia ar riba.

Capítulo 13 473

Ejercitación 13I

Dibuje aproximadamente el gráco de cada una de las funciones
dadas en las preguntas  a 8, para –2π ≤ x ≤ 2π.

1 y = sen x − 5 2 y = cos x + 2

3 y = tan x  4 y = sen 
4 x

3

5 y = cos  x  6 y = sen  −2
x

4

7 y = cos 2 − 1,5 8 y = tan  +4
x x

3 2

Escriba una ecuación para cada una de las funciones que se
representan en las preguntas 9 a 2.

 y
1

0 x
2r
–2 r r

 y x
3
–2r r 2 r 2r
 1

0

y
6

4

2

0 x
2r
3r r r 3r
2 2 2
2

–2

y



–2 3r r 0 r r 3r x
2 –1 2r

2

–2

–3

474 Funciones circulares

Estiramientos verticales

➔ Las funciones y = as e n x e y = ac o s x son rmno y = asen x
r de las funciones seno y coseno. Cuando al gráco
de una función se le aplica un estiramiento ver tical, cada y
coordenada y de la función original se multiplica por el valor
de a. 0 x
Si |a| > , la función parecerá apar tarse del eje x. y = sen x |a|>1

Si 0 <|a| <, la función parecerá comprimirse sobre el eje x. y
Si a es negativo, el estiramiento también producirá una y = sen x
simetría respecto del eje x
Con un estiramiento ver tical, la m de la función seno 0 x
y coseno cambian de  a |a|. El período de la función no y = asen x |a|<1
cambiará.

En el siguiente gráco, la cur va del seno ha sido estirada
ver ticalmente por un factor de 3. Los valores máximos están en
y = 3, y los valores mínimos están en y = −3. La amplitud de la
función transformada es 3.

y y = 3 sen x
3

2

1

y = sen x

–2 3r r 3r x
2 2 r

–3

El siguiente gráco muestra un estiramiento ver tical que incluye
una simetría respecto del eje x. Todos los valores de las coordenadas
y de la cur va estándar del coseno se multiplicaron por −0,5. Los
valores máximos están en y = 0,5, los valores mínimos están en
y = −0,5. La amplitud de la función transformada es 0,5.

y

y = cos x

y = –0,5cos x

0 x

3r r r r r r 2r
2 2 2
2

–1

Capítulo 13 475

emo 

Dibuje aproximadamente el gráco de y = cos x.

En el mismo sistema de ejes, dibuje aproximadamente el gráco de:

 y = 0,25cos x  y = −2cos x

Respuestas

 y = 0,25cos x

y

1,0 La cur va básica del coseno pasa por el punto (0,1),
la función transf or mada pasa por el punto
–2r 3 0 r x (0; 0,25). Esto es un estiramiento ver tical de f actor de
2 2r estiramiento 0,25.
2
2 –0,5 2 La cur va básica del coseno pasa por el punto (0,1),
la función transf or mada pasa por el punto (0, −2).
–1,0 Cada coordenada y de la función original se ha
multiplicado por −2 para obtener la función
 y = −2cos x transf or mada.

y

2

0 x
2r
–2r r r

2 2 2 2

Estiramientos horizontales

➔ Las funciones y = sen(bx), y = cos(bx) e y = tan(bx)

representan rmno horzon de las funciones seno,

coseno y tangente. Cuando al gráco de una función se le

aplica un estiramiento horizontal, cada coordenada x de la

1

función original se multiplica por .

b

Podríamos decir también que se divide por b cada coordenada x
de la función original.

Multiplicar (o dividir) de esta forma las coordenadas x por un
número modica el roo de una función trigonométrica.

y

y = sen bx y = sen x

● Si |b| > , el período será más cor to, y la función parecerá

comprimirse hacia el eje y. x
|b|>1
● Si 0 < |b| < , el período será más largo y la función

parecerá apar tarse del eje y

● Si b es negativo, el estiramiento también producirá una

simetría respecto del eje y

y

y = sen bx

Cuando a una función seno o coseno se le aplica un

estiramiento horizontal, el período de la función cambiará de

x

2 360

y = sen x

2π a , o de 360° a |b|<1

b b

476 Funciones circulares

“En este gráco, la cur va del seno “En este gráco, la cur va del seno
transformada tiene un período de π transformada tiene un período de 4π.
El estiramiento ha producido, además,
y una simetría respecto del eje y
1,0
y
0,5 y = sen (–0,5x)

1 y = sen x

–2r 3 r 3 x
2 2 r

2 2

x

–3 r r 3

y = sen x

➔ Para una función de la forma y = tan (bx), el período

 180
, o de 80° a
cambiará de π a y
4
b b 2

El gráco de la derecha muestra la función y = tan(0,5x).
El período de la función es 2π

x

–3r r r r r 3r

emo 

–4

Dibuje aproximadamente el gráco de:

 y = sen (0,5x)  y = tan (2x)  y = 2 cos (3x)

Respuestas

2π

 y = sen(0,5x) El período de esta función es ,

0,5

y o 4π

1

–3r –2 r r 2 3r x
4r

 y = tan (2x) 
El período de esta función es

2

y
4

2

r r r r 3r x
2 2 2r

2

–2

–4

2

El período de esta función es .

 y = 2 cos (3x)

3

La amplitud es 2.

y
2

0 x

r r 2r

Capítulo 13 477

Ejercitación 13J

Dibuje aproximadamente el gráco de las funciones dadas en las

preguntas  a 8, para –2π ≤ x ≤ 2π.

1 y = 0,5 sen x 2 y = −4 cos x 3 y = tan 2
x

3

4 y = sen (−2x) 5 y = 2 cos 3 6 y = 3 sen (3x)
x

2

7 y = −2,5 sen (0,5x) 8 y = −cos 
x

3

Escriba una ecuación para cada una de las funciones representadas en
las preguntas 9 a 2.

 y  y
8
7 0 x
6 6r
5 –6 –4r r 2 4r
4
3 –1
2
r 1 2 x
3r
0
–1
–2
–3
–4
–5

 –8  y
–2r 3
y 2 2r x
6 1 3r
4
2 0
–1

–6r –4r –2r 2r 4r x
6r

–2

–4

–6

. comnón  rnformon on
 fnon no y ono

En esta sección, examinaremos funciones de la forma
y = asen(b(x − c)) + d e y = acos(b(x − c)) + d

Para las funciones de este tipo, pueden ocurrir cuatro transformaciones.

● a representa un estiramiento ver tical. La amplitud de la función

seno o coseno será igual a |a|.

● b representa un estiramiento horizontal, que afecta al período

de la función. El período de la función seno o coseno

2
será igual a

b

478 Funciones circulares

● c representa una traslación (o un desplazamiento) horizontal. La

función se desplazará a la derecha si c es positivo o hacia la

izquierda si c es negativo.

● d representa una traslación (o un desplazamiento) vertical. La

función se desplaza hacia arriba si d es positivo o hacia abajo si

d es negativo.

1  

La función y = 2sen x  1 se representa en el mismo
  

2 3 

sistema de ejes que la cur va básica del seno (que pasa por (0,0)).

3
2
1

x

3

Esta función tiene una amplitud de 2 y un período de 4π. A la
función y = sen x se le han aplicado cuatro transformaciones.
Ha habido dos cambios en las coordenadas y y dos cambios en
las coordenadas x

● Hubo un estiramiento vertical de factor 2 y una traslación vertical

de . Todos los valores de las coordenadas y de la función seno

estándar se han multiplicado por 2 y aumentado en  unidad.

● Hubo un estiramiento horizontal de factor 2 y una traslación

horizontal de 
. Todos los valores de las coordenadas x de la

3

función seno estándar se han multiplicado por 2 (dividido

1 

por ), y luego disminuido en unidades.

2 3

  y
3
La función y = 3 cos 2 x se representa en
2
 

 4

el mismo sistema de ejes que la función básica del coseno

(que pasa por (0,)). 1

La función tiene una amplitud de 3 y un período de π. 0 x
A la función y = cos x se le han aplicado cuatro –1
transformaciones. 2r

● Hubo un estiramiento ver tical de factor 3. Todos los

valores de las coordenadas y de la función coseno estándar

se han multiplicado por 3.

1

● Hubo un estiramiento horizontal de factor , una simetría

2



respecto del eje y, y una traslación de unidades. Todos los

4

valores de las coordenadas x en la función coseno original se han



dividido por −2, y luego aumentado en unidades.

4

Cuando se dibujan a mano funciones como estas, conviene proceder

paso a paso.

Capítulo 13 479

emo 

⎛2 ⎞

Dibuje aproximadamente el gráco de la función y = 5 cos ( x +π ) 2
⎜ ⎟

⎝3 ⎠

Respuesta El eje horizontal de la onda será
Esta función tendrá una amplitud de 5 y un y = −2, que es la traslación ver tical.
desplazamiento ver tical de −2.
Los valores máximo y mínimo de la función Trazar las rectas cor respondientes a estos valores
serán 3 y −7, respectivamente. máximo y mínimo y al eje de la onda
Estas rectas auxiliares serán útiles al representar
y grácamente la función.
4

2
1

–2r 0 r 2r x
r –1 3r

–3
–4
–5
–6

–8

2π 2π ⎛3 ⎞
Período =
= = (2π ) = 3π
b ⎜ ⎟

⎛2⎞ ⎝ 2⎠

⎜⎟
⎝3⎠

Esta función tendrá un período de 3π y un
desplazamiento horizontal de −π.

y
4

2
1

–2r 0 r 2r x La cur va estándar del coseno tiene un máximo
r –1 3r cuando x = 0, por lo tanto esta función tendrá un
máximo cuando x = −π
–3
–4 Como el período es 3π, tendrá otro máximo 3π
–5 unidades hacia la derecha, donde x = 2π. Situar
–6 estos puntos máximos en la recta y = 3.

–8 Usar los conocimientos sobre las características de la
cur va del coseno para situar otros puntos, tales como
y el mínimo y los puntos sobre el eje de la onda
4

2
1

0 x
r –1
–2r r 2r 3r

–3 A mitad de camino entre dos valores máximos, hay
–4 un valor mínimo.
–5
–6

–8 A mitad de camino entre los valores máximo y
mínimo, habrá puntos en el eje horizontal y = −2.

{ Continúa en la página siguiente.

480 Funciones circulares

y Dibujar la cur va que pasa por estos puntos
4
Cuando el gráco esté completo quizás se quiera
2 bor rar las rectas auxiliares.

0 x

–2 r r 2r 3r

–4
–6
–8

emo 

Halle la amplitud y el período, luego escriba una ecuación que contenga la función seno y
otra que contenga la función coseno, para la función representada en el diagrama.

y

2
1

–2 r 0 r 2 3r x
–1 4r

Respuesta

3 − ( −1)

La amplitud es =2 La amplitud es la mitad de la dif erencia entre el
valor máximo y el mínimo.
2

3 + ( −1)

El desplazamiento ver tical es =1

2

El período es 4π. El período es la distancia horizontal en la que la
función completa un ciclo. La manera más sencilla
⎛ 1⎛ 5π ⎞ ⎞ de hallarlo es tomar la distancia horizontal entre
dos puntos máximos consecutivos o entre dos puntos
y = 2 sen x+ +1 mínimos consecutivos.
⎜ ⎜ ⎟⎟ Para la función seno, la traslación horizontal se
halla buscando la coordenada x de un punto sobre
⎝ 2⎝ 4 ⎠⎠ el eje horizontal de la onda, con pendiente positiva.
Esto cor responde al punto (0, 0) en la cur va estándar
del seno.

⎛ 5π ⎞

En esta función, uno de tales puntos es ,1 ,
⎜
⎟
⎝
4 ⎠

por lo tanto la traslación horizontal es de 5π
4

{ Continúa en la página siguiente.

Capítulo 13 481

 1   Las funciones seno y coseno tienen la misma
amplitud, período y traslación ver tical.
y = 2 cos x+ +1 Para una función coseno, se puede hallar la traslación
   horizontal buscando la coordenada x del punto
máximo de la curva. Esto corresponde al punto (0, 1),
2 4  que es un máximo en la curva estándar del coseno. En

  
esta función, uno de tales puntos es
,1 , por lo



4 



tanto la traslación horizontal es de

4

Debemos recordar que puede haber más de una fórmula correcta para
una función seno o coseno.

➔ Para las funciones seno y coseno de la misma cur va, la
traslación horizontal diferirá en un cuar to del período de la
función.

Ejercitación 13K

Escriba una fórmula que contenga la función seno y otra que contenga
la función coseno para las funciones dadas en las preguntas  a 4.

1 y 2 y
3 –3r 0
2 x
1
–2r r r 2r 3r

0 x

–2r r r 2r

–2

–3

–4
–5

y y
5
3 4 4
–2r 3
3 2
1
2
0
1 –1
–2
–3 r 2 x
3r

–2 3 r r r 3 x
2 2 2 2r

2

Haga un dibujo aproximado pero claro de las funciones dadas en las
preguntas 5 a 8 que represente al menos un ciclo completo.

⎛ 1⎛ π ⎞⎞ ⎛⎛ π ⎞⎞

5 y = 3cos x +2 6 y = −sen −2 x+ 1
⎜ ⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
6 ⎠⎠
⎝ 3⎝ ⎝⎝ 4 ⎠⎠

⎛ π⎞ ⎛1 ⎞

7 y = 1, 5cos 3 x+ 8 y = −2cos x +4
⎜
⎜ ⎟ ⎟

⎝ 2⎠ ⎝2 ⎠

482 Funciones circulares

. Mozon q  zn  fnon no y ono

Muchas situaciones de la vida cotidiana pueden modelizarse usando
las funciones seno y coseno. Algunas de ellas son, por ejemplo, la
altura de las mareas, el horario de la salida del Sol y las temperaturas
promedio. En esta sección, usaremos nuestro conocimiento de
transformaciones para ver de qué modo las funciones seno y coseno
pueden usarse para modelizar datos.

➔ Para modelizar datos utilizando la función coseno
necesitaremos conocer:

● La amplitud de la función

● La traslación ver tical

● La traslación horizontal

● El período

La función seno tiene la misma amplitud, traslación ver tical y
período, pero la traslación horizontal es de un cuar to del
período hacia la izquierda de la cur va del coseno.

emo 

Modelice los siguientes datos, que representan la profundidad del agua
medida en una boya en el océano durante un período de 18 horas a
par tir de la medianoche.

T iempo 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
6,7 8,4 9,2 8,2
Profundidad 6,7 8,3 9,1 8,1 6,4 5,6
del agua (m)

Respuesta Deberemos
Ingrese los datos en listas (rotulándolas asegurarnos de que la
tiempo y profundidad), luego graque CPG esté en el modo
los datos en la CPG. La variable RADIANES.
independiente, tiempo, estará en el
eje x y la profundidad del agua será la
variable dependiente, en el eje y

Del gráco, el valor mínimo
es 5,6 metros, que ocur re a las
10.00. El valor máximo es
9,2 metros. Utilizar estos
valores para estimar la
amplitud.

{ Continúa en la página siguiente.

Capítulo 13 483

Los datos son claramente periódicos, y la altura del agua asciende y
desciende siguiendo un patrón claro.

Ahora trataremos de hallar una función trigonométrica para modelizar
estos datos.

Para desarrollar el modelo, estimamos la amplitud, el período y las
traslaciones horizontales y ver ticales de la función.

La amplitud es la mitad de la distancia ver tical entre los valores

máximo y mínimo.

9, 2 5, 6
Amplitud estimada = = 1, 8 metros

2

La traslación vertical es el valor medio entre el valor máximo y el Puede también hallar
la traslación ver tical
mínimo. restando la amplitud
del valor máximo o
9, 2 + 5, 6 sumando la amplitud
al valor mínimo.
Traslación ver tical = = 7, 4

2

El período es la distancia horizontal en la que la función completa un

ciclo. Los valores máximos se dan a las 4.00 y las 16.00, por lo tanto se

estima el período en 12 horas.

Finalmente, estimamos la traslación horizontal. Para modelizar los
datos usando la función coseno, la manera más sencilla es buscar el
punto máximo. Los puntos situados parecen indicar que hay puntos
máximos donde x = 4 y donde x = 16. Se puede utilizar cualquiera de
esas coordenadas x para la traslación horizontal.
Reemplazamos estas estimaciones en la fórmula y = a cos(b(x – c)) + d

⎛ 2π ⎞

y = 1, 8cos (x 4) + 7, 4
⎜
⎟

⎝ 12 ⎠

Ingresamos esta fórmula en la CPG y dibujamos el gráco de la
función en el mismo sistema de ejes que los datos.

Podríamos también

crear una función

seno. Intentémoslo:

deberíamos obtener

La función parece ser un muy buen modelo para los datos. y = 1,8sen 2 1
Podríamos tratar de hacer algunas modicaciones para obtener un x
mejor ajuste.
12

+ 7,4

484 Funciones circulares

emo 

El siguiente conjunto de datos se puede modelizar mediante la función
y = a cos (b(x − c)) + d

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

y 4 7,6 9,4 7,6 4 2,2 4 7,6 9,4 7,6 4

 Use los datos para estimar el período, la amplitud y las traslaciones

horizontal y ver tical.

 Escriba la función coseno que modeliza los datos.

 Represente grácamente la función en el mismo sistema de ejes que

los datos.

 Use la función regresión en la CPG para obtener un modelo para

los datos que contenga la función seno y dibuje el gráco de esta

función en el mismo sistema de ejes que los datos.

Respuestas

 9, 4 2, 2
Amplitud = = 3, 6

2

9, 4 + 2, 2

Traslación ver tical = = 5, 8

2

Traslación horizontal = 3
Período = 9 − 3 = 6

⎛ 2π ⎞ Debemos asegurarnos
de que la CPG esté en
 y = 3,6 cos (x 3) + 5, 8 modo RADIANES.
⎜
⎟ Use la función
snRg (regresión
⎝ 6 ⎠ sinusoidal) en el menú
s con
 (cálculos estadísticos).
Asegúrese de indicar
 en la CPG qué listas
contienen los datos
(x, y).

Capítulo 13 485

Ejercitación 13L

Para cada conjunto de datos: ¿Qué situaciones
de la vida cotidiana
 Utilice los datos para estimar el período, la amplitud y las pueden modelizarse
mediante funciones
traslaciones horizontal y ver tical. periódicas?¿Qué
ajustes podrían
 Escriba una función coseno en la forma y = acos (b(x − c)) + d resultar necesarios
para tener en cuenta
para modelizar los datos. las uctuaciones en
los datos?
 Represente grácamente la función en el mismo sistema de ejes

que los datos.

 Use la función regresión de la CPG para obtener un modelo para

los datos que contenga la función seno, y dibuje el gráco de esta

función en el mismo sistema de ejes que los datos.

1

x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

y 11,8 8,5 2,2 5,5 11,8 8,5 2,2 5,5 11,8 8,5 2,2

 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
x
y 12,5 9,3 12,5 18,9 21,9 18,9 12,5 9,3 12,5 18,9 21,9

 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
x 1,8 1,3 0,7 0,5 2,1 1,8
y 2,1 1,8 0,7 1,3 1,8

Una función que modeliza los datos puede usarse para hacer
predicciones.

emo 

La función

⎛ 2π ⎞

a ( t ) = 67, 5cos (t 15 ) + 67, 5
⎜
⎟

⎝ 30 ⎠

puede usarse para modelizar la altura de un pasajero por encima de la plataforma de ascenso

a la r ueda “London Eye”.

 Use esta función para estimar la altura de un pasajero por encima de la plataforma:

 8 minutos después del ascenso

 19 minutos después del ascenso

 Use esta función para estimar cuánto tiempo le lleva a un pasajero alcanzar por primera

vez los 100 metros de altura.

Respuestas

  8 minutos después de subir: Reemplazar t = 8 en la función

⎛ 2π ⎞

a ( 8 ) = 67, 5cos ( 8 − 15 ) + 67, 5 ≈ 74, 6
⎜
⎟

⎝ 30 ⎠

El pasajero está aproximadamente 74,6 metros por encima

de la plataforma.

{ Continúa en la página siguiente.

486 Funciones circulares

 19 minutos después de subir:

⎛ 2π ⎞

a (19 ) = 67, 5cos (19 − 15 ) + 67, 5 ≈ 112, 7
⎜
⎟

⎝ 30 ⎠

El pasajero está aproximadamente 112,7 metros sobre la

plataforma.

⎛ 2π ⎞

 a ( t ) = 67, 5cos (t 15 ) + 67, 5 = 100
⎜
⎟ Igualar la función a 100, que es
la altura
⎝ 30 ⎠

t ≈ 9,90 minutos

Ejercitación 13M

PREGUNTAS TIPO EXAMEN

1 La profundidad del agua al nal de un muelle puede estimarse

mediante la función p(t) = 5,6 sen (0,5236(t – 2,5)) + 14,9, donde

p es la profundidad del agua en metros, y t es el número de horas

después de la medianoche.

 ¿Cuál es el período de la función?

 Estime la profundidad del agua a la medianoche.

 Estime la profundidad del agua a las 4.00.

 ¿A qué hora alcanzará el agua por primera vez su mayor

profundidad?

2 La temperatura máxima promedio en una ciudad puede modelizarse

mediante la función T ( d ) = 17, 5 cos ( 0, 0172 ( d − 187 ) ) + 12, 5,
donde T es la temperatura en grados Celsius, y d es el día del

año ( de enero = , 4 de enero = 4, etc.).

 ¿Cuál es la temperatura máxima esperada en esta ciudad el

primer día de febrero?

 ¿Cuál es la temperatura máxima esperada y en qué día ocurrirá?

 ¿Cuántos días de cada año se espera que la temperatura no

supere los cero grados?

3 Una r ueda en un parque de diversiones alcanza una altura

máxima de 46 metros y una altura mínima de  metro. Le

toma 20 minutos realizar una rotación completa.

 Si un niño sube a la r ueda cuanto t = 0, ¿a qué altura estará

después de haber girado durante 0 minutos?

 Escriba una función seno para modelizar la altura a la que

estará el niño t minutos después de haberse subido a la r ueda.

 ¿A qué altura está el niño si ha girado durante 3 minutos?

 ¿Durante cuánto tiempo estará el niño a una altura

superior a los 40 metros?

Capítulo 13 487

PREGUNTA TIPO EXAMEN

4 El dueño de una heladería hace un seguimiento de sus ventas

anuales y descubre que vende un mínimo de 5 galones de helado

el primer día de enero y un máximo de 37 galones de helado el

primer día de julio.

 Suponiendo que las ventas anuales pueden modelizarse

mediante una función coseno, cree una función para modelizar

esta situación. Sea x el mes.

 ¿Cuántos galones de helado espera vender el primer Material de ampliación
disponible en línea:
día de abril? Hoja de ejercicios 13:
Proyecto de modelización
 ¿Durante qué mes espera vender 30 galones de helado de las temperaturas

en un día?

ero  rón

✗

1 Sabiendo que cos 70° = 0,342 (con una aproximación de tres cifras

signicativas), halle el valor de:

 cos 110°

 cos 250°

 cos (−290°)

2 Sabiendo que sen 40° = 0,643 (con una aproximación de tres cifras

signicativas), halle los valores de:

 sen 140°

 sen 320°

 sen (−140°)

3 Resuelva cada ecuación para −360° ≤ x ≤ 360°.

 1
cos x  

2

1

 tan x 

3

2

 2 sen x − sen x =1

PREGUNTAS TIPO EXAMEN El gráco tiene un
máximo en (6, 11) y
4 Resuelva la ecuación sen 2x + sen x = 0, para 0 ≤ x ≤ π un mínimo en (2, 1).

5 Se muestra el gráco de f, para 0 ≤ x ≤ 9.

 Sabiendo que la función puede escribirse en la forma y
12
f ( x ) = a sen ( b ( x − c ) ) + d : 10

 Halle los valores de a, b y c. 8
6
  4
Explique por qué b  2

4

0 x
9
Escriba el inter valo para el cual f ( x ) > 6 1 2 3 4 5 6 7 8



488 Funciones circulares

PREGUNTAS TIPO EXAMEN

2

6 Sabiendo que cos x = , y que x es un ángulo agudo, halle:

5

 sen x  tan x  sen 2x

 2 

7 Dibuje aproximadamente el gráco de la función f  x   3cos  x  1   2,


5 

para −3 ≤ x ≤ 5.

ero  rón

1 Resuelva cada ecuación para −180° ≤ x ≤ 360°.

 sen x = 0,75  cos x = −0,63  tan x = −2,8

2 Resuelva cada ecuación para −2π ≤ θ ≤ 2π

θ ⎛ x⎞

3

 2senθ = cos  cos x = 3x − 1  2 tan = 4x − x
⎜ ⎟

3 ⎝5⎠

3 Se muestra el gráco de f, para 0 ≤ x ≤ 7.

A(2, 7)

 Sabiendo que la función puede escribirse en la forma 7
6
f (x) = acosbx + c, halle los valores de a, b y c 5
4
 Escriba las soluciones de la ecuación f (x) = . 3
2
4 La profundidad del agua en el extremo nal de un muelle de 1

⎛π ⎞

pescadores está dada por la función D (t ) = P sen (t − Q) + 10, 0 x
⎜ –1
⎟ 1 2

⎝6 ⎠

B(4, –1)

donde D es la profundidad del agua en metros, y t es el número

de horas después de la medianoche.

La bajamar ocurre a las 4.00, cuando la profundidad del agua

es de 6 m y la pleamar ocurre a las 0.00, cuando la profundidad

del agua es de 4 m.

 Halle los valores de P y Q

 Dibuje un gráco aproximado de la función D, para 0 ≤ t ≤ 24.

 ¿A qué hora alcanza el agua los 8 metros por primera vez?

 La pesca está prohibida cuando la profundidad del agua es de

menos de 8 metros. ¿Cuántas horas por día está prohibido pescar?

5 El día más largo del año en una ciudad es el 2 de junio, con

5 horas de luz solar. El día más cor to del año es el 2 de

diciembre, con 9,35 horas de luz solar.

El número de horas de luz solar se puede modelizar mediante la

función h(x) = A sen0,072(x – 86) + B, donde x es el día del año

(por ejemplo, x =  es el  de enero).

 Halle los valores de A y B

 ¿Cuántas horas de luz solar habría el  de febrero?

Capítulo 13 489

ResuMeN del capítulO 13

uzón  ro  ro n

● El círculo de radio unidad tiene centro en el origen (0, 0) y radio de longitud .

El lado terminal de cualquier ángulo θ en la posición estándar cor tará al

círculo en un punto con coordenadas (cosθ, senθ).

B(cos i, sen i)

i A(1, 0)
0 x

senθ

● Para cualquier ángulo θ, tanθ = , donde cosθ ≠ 0.

cosθ

● Para cualquier ángulo θ:

■ senθ = sen(80° − θ)

■ cosθ = cos(−θ)

■ tanθ = tan(80° + θ)

in rgonomér

● 2

La ecuación cos(2θ) =  − 2sen θ es una n, dado que

es válida para todos los valores de θ

● Las identidades del ángulo doble para el coseno son:

2

cos(2θ) =  − 2sen θ

2

= 2cos θ − 

2 2

= cos θ − sen θ

● La identidad del ángulo doble para el seno es sen (2θ ) = 2 sen θ cos θ.

Rrnón grá  fnon rr

● Las funciones seno y coseno tienen grácos de igual tamaño y forma, pero

posiciones horizontales diferentes sobre los ejes. Las funciones son ró

y tienen un período de 360° o 2π. Ambas funciones tienen un valor máximo

de  y un valor mínimo de −, y una m de .

● Al igual que las funciones seno y coseno, la función tangente es ró.

Hay asíntotas ver ticales en los valores de las coordenadas x donde la función

no existe. El mismo ciclo de valores se repite entre cada par de

asíntotas ver ticales.

● El período de la función tangente es de 80° (o π radianes). A diferencia

de la funciones seno y coseno, la función tangente no tiene amplitud.

No tiene valores máximos ni mínimos.

● La función y = sen x + d es una rón r de la cur va estándar del seno.

La cur va se desplaza hacia arriba si d es positivo, hacia abajo si d es negativo.

Continúa en la página siguiente.

490 Funciones circulares

● La función y = sen (x − c) es una rón horzon de la cur va

estándar del seno. La cur va se desplaza hacia la derecha si c es

positivo, hacia la izquierda si c es negativo.

● La función y = cos x + d es una rón r de la curva

estándar del coseno. La curva se desplaza hacia arriba si d es positivo,

hacia abajo si d es negativo.

● La función y = cos (x − c) es una rón horzon de la

cur va estándar del coseno. La cur va se desplaza hacia la

derecha si c es positivo, hacia la izquierda si c es negativo.

● Las funciones y = asen x e y = acos x son rmno

r de las funciones seno y coseno. Cuando al gráco

de una función se le aplica un estiramiento ver tical, cada

coordenada y de la función original se multiplica por el valor de a

Con un estiramiento vertical, la amplitud de la función seno y coseno

cambiará de  a |a|. El período de la función no cambiará.

● Las funciones y = sen (bx), y = cos (bx) e y = tan (bx) representan

rmno horzon de las funciones seno, coseno y tangente.

● Cuando al gráco de una función se le aplica un estiramiento horizontal,
1

cada coordenada x de la función original se multiplica por
b

● Cuando al gráco de una función se le aplica un estiramiento

2

horizontal, el período de la función cambiará de 2π a ,

b

360
o de 360° a

b

● Para una función en la forma y = tan (bx), el período cambiará de

 180
, o de 80° a
πa

b b

comnón  rnformon on
 fnon no y ono

● Para las funciones seno y coseno de la misma cur va, las traslaciones

horizontales diferirán en un cuar to del período de la función.

Mozon q  zn  fnon no y ono

● Para modelizar datos utilizando la función coseno necesitamos conocer:

■ La amplitud de la función

■ La traslación ver tical

■ La traslación horizontal

■ El período

● La función seno tiene la misma amplitud, traslación ver tical

y período, pero la traslación horizontal es de un cuar to del

período hacia la izquierda de la función coseno.

Capítulo 13 491

tor del conomno

Mmá r onr

mmá 

Se suele clasicar las matemáticas en “matemáticas puras” y
“matemáticas aplicadas”.¿Cuál es la diferencia entre las dos áreas?

La siguiente es una pregunta de trigonometría que se nos plantea
a menudo.

Un cuerpo está suspendido Si hacemos que h = 0
de un resorte, como se representa la altura del
muestra. Si se impulsa el
cuer po cuando está en
cuerpo hacia abajo y hacia
arriba, este oscilará en esas altura del cuer po

direcciones. reposo, la

oscila, en el tiempo

cuando

t segundos, está dada por

h(t) = a sen (b (t – c)).

impulsa hacia

El cuer po se

abajo 5 cm y realiza una

completa cada

oscilación

dos segundos. Halle los

valores de a, b y c

fo  

ignor o

frón y  rn

 r. “Cuando las leyes
de las
Esta pregunta es un ejemplo de matemáticas puras. Si ignoramos
los efectos de la fricción y la resistencia del aire, el cuer po matemáticas se
oscilaría indenidamente. Pero en la vida cotidiana, las refieren a la
oscilaciones se reducirán hasta que el peso llegue al reposo.
realidad, no son
■ ¿Qué sentido tiene estudiar ■ ¿Deberíamos estudiar solo ciertas; cuando

problemas de matemáticas matemáticas aplicadas que son ciertas, no se
refieren a la
puras como este cuando los podrían tener algún uso realidad”.

resultados resultan poco práctico? Albert Einstein, en
Sidelights on
Relativity

realistas en la vida cotidiana?

492 Teoría del Conocimiento: matemáticas puras contra matemáticas aplicadas