Math

Ejercitación 10C

PREGUNTAS TIPO EXAMEN

1 Una enfermedad llamada tizón está poniendo en riesgo a las plantas de tomate. Una

cientíca especializada en agricultura desea saber en qué medida la temperatura del

inver nadero afecta a la enfermedad. Con ese n, diseña un experimento para hacer

un seguimiento del porcentaje de hojas afectadas a distintas temperaturas.

Temperatura (x °F) 70 72 74 76 78 80

Porcentaje de hojas afectadas (y) 12,3 9,5 7,7 6,1 4,3 2,3

 Dibuje un diagrama de dispersión con una recta de regresión que pase por el

punto medio.

 Halle la ecuación de la recta de regresión.

 Use su ecuación para estimar el porcentaje de hojas afectadas a una temperatura

de 75 °F.

2 Los estudios de mercado en inversiones de bienes raíces revelaron las siguientes

cifras de ventas para las casas a estrenar de diferentes precios durante el año pasado.

Precio (miles de £) 160 180 200 220 240 260 280

Ventas de casas a estrenar en el año 126 103 82 75 82 40 20

 Halle el precio medio de las casas.

 Halle la media del número de ventas.

 Dibuje un diagrama de dispersión con una recta de regresión

que pase por el punto medio.

 Halle la ecuación de la recta de regresión. Material de ampliación
disponible en línea:
 Use su ecuación para estimar el número vendido de casas Hoja de ejercicios 10: Más
sobre el análisis bidimensional

valuadas en £230 000.

Más ejemplos y ejercitación sobre la recta de regresión

emo 

Se hizo un estudio para investigar la relación entre la edad en años La coordenada y de la
intersección con
de un niño, x, y el tiempo en que puede correr un kilómetro, t. Se el eje y es la altura
de la recta cuando
recolectaron datos de niños de edades entre 7 y 18 años. La ecuación x = 0, y habrá casos
en los que este valor
de la recta de regresión resultó ser y = 20 1 no tenga sentido.
x . Inter prete el valor de la Deberemos ser
cautelosos a la hora
2 de interpretar el
signicado de esta
pendiente y el punto de intersección con el eje y intersección. A veces,
el valor x = 0 es
Respuesta 1 imposible o representa
una extrapolación
En el contexto de la pregunta, podemos La pendiente es − . Esto peligrosa, fuera del
decir que, en promedio, por cada año rango de los datos.
que cumple, el niño tarda 30 segundos 2
(medio minuto) menos en correr
un kilómetro. Para esta pregunta, el signica que por cada aumento
punto de intersección con el eje y no
es pertinente puesto que un niño de 0 de 1 en x, hay una disminución
años no puede correr un kilómetro.
1

de en y.

2

El punto de intersección con el eje
y es (0,20), lo que signica que
cuando x es 0, y es 20.

Capítulo 10 343

emo  Vemos que todas
estas interpretaciones
Una bióloga quiere estudiar la relación entre el número de árboles por siguen un patrón: la
hectárea, x, y el número de pájaros por hectárea, y. Con este n, calcula nn de la
la ecuación de la recta de regresión y obtiene y = 8 + 5,4x. Indique la recta es el aumento
pendiente y el punto de intersección con el eje y e interprételos. en y por cada unidad
que aumenta x
Respuesta
La pendiente es 5,4. Esto signica que por cada árbol que agregamos,
podremos esperar un promedio de 5,4 pájaros más por hectárea. El
punto de intersección con el eje y es (0,8), lo que signica que, en áreas
que no tienen árboles, hay 8 pájaros por hectárea.

Ejercitación 10D

Para cada una de las siguientes situaciones, indique la pendiente y el
punto de intersección con el eje y, e inter prételos si son per tinentes.
En caso de no ser per tinentes, indique el porqué.

1 Una profesora de ciencias sociales recogió datos sobre el número

de días por año que un estudiante practica deportes, x, y el número

de horas que el mismo estudiante dedica a sus tareas escolares, y.

Llegó a la conclusión de que la relación está dada por y = 40 – 0,3x

2 Un jefe de policía quiere investigar la relación entre el número de

veces que una persona ha sido declarada culpable de un delito,

x, y el número de criminales que conoce la persona, y. Se encontró

que la ecuación es y = 0,5 + 6x

3 Un médico investiga la relación entre el número de paquetes

de cigarrillos que una persona fuma por día, x, y el número de

días al año que la persona está enferma en el año, y. El doctor

llega a la conclusión de que la ecuación de la recta de regresión es

y = 7 + 2,4x

4 Un vendedor de patines quiere investigar el número de clientes, y,

que llegaron a su negocio cada año, x. La ecuación de la recta de

regresión es y = –5 + 100x

5 Un gr upo de profesores de matemáticas y de ciencias quisieron

comparar las calicaciones de los exámenes que habían tomado.

La calicación en ciencias, y, y la calicación en matemáticas, x,

dieron la recta de regresión y = –10 + 0,8x

344 Análisis bidimensional

. Rgrón  mnmo ro

El término rgrón se usa en estadística de un modo bastante diferente
de otros contextos. Es un método que se utilizó por primera vez para
examinar la relación entre las estaturas de padres e hijos. Por supuesto,
ambas están relacionadas, pero la pendiente es menor que ,0. Un
padre alto tiende a tener hijos más bajos que él; un padre bajo, tiende a
tener hijos más altos que él. La estatura de los hijos retrocede en
dirección a la media. El término “regresión” se usa ahora para
describir muchas clases de ajustes de cur vas.

Volvamos al problema de la inclinación de la torre de Pisa. Sabemos
que hay una correlación positiva fuerte entre el número de años y la
inclinación de la torre. Podemos elaborar un diagrama de dispersión
para ilustrar los datos, hallar el punto medio y dibujar una recta de
ajuste óptimo (recta de regresión) que pasa por el punto medio. La recta
presentará inexactitudes porque solo contamos con un punto para
trazarla y, por lo tanto, la recta de óptimo ajuste está dibujada “a ojo”.

y

Existe otro recurso para mejorar el trazado de la
recta: los ro

Punto obser vado (x y)

ii

Residuo = y – y
ip

Punto de predicción (x y)

p p

0 x

➔ Se llama ro a la distancia ver tical entre un punto y el
gráco de la ecuación de regresión.

El residuo es positivo si el punto está por encima y Residuo positivo
del gráco. 0 Residuo negativo
Residuo cero
El residuo es negativo si el punto está por debajo
del gráco. x

El residuo es 0 solo cuando el punto per tenece
al gráco.

La ecuación de la recta de regresión de y sobre x

La recta de regresión de mínimos cuadrados usa la fórmula que ya y
5
4 (3, 5)
3
conocemos, y – y = m(x – x ), pero incor pora el método de los 2

 

r

mínimos cuadrados para hallar un valor adecuado para la

(1, 3)

pendiente, m.

p

q

➔ La recta de regresión de mínimos cuadrados es aquella que 1
minimiza la suma de los cuadrados de los residuos. 0

(2, 1)

2 2 2

Remitiéndonos al diagrama, el objetivo es hacer que p +q +r se x

1 2 3 4 5

aproxime a cero tanto como sea posible.

Capítulo 10 345

La fórmula que resulta es un tanto complicada:

La fórmula para hallar la pendiente (m) de la recta La primera aplicación del concepto
de regresión que se conoce es el
de regresión es: método de los mínimos cuadrados
que fue publicado por Legendre
S en 1805, y por Gauss cuatro años
xy más tarde. Legendre y Gauss
aplicaron el método al problema de
➔ m= , donde determinar, a par tir de obser vaciones
astronómicas, las órbitas de los
2 cuerpos alrededor del Sol.

(S )
x

(∑ x )(∑ y )

S = ∑ xy − y

xy

n

2

2 2 (∑ x )

(S ) = ∑ x −

x

n

emo  ∑ es la letra griega
“S” y se la usa como
Use la fórmula de la regresión de mínimos cuadrados para hallar la instrucción para
ecuación de la recta de regresión que pasa por los puntos (1,3), (2,1) y sumar datos. ∑ xy
(3,5) del diagrama de la página 345. signica la suma de
todos los valores xy

Respuesta

xy (∑ x )(∑ y ) x y xy 2 Los tér minos
x en la f ór mula
∑ n
S =

xy

1 3 3 1

6×9 2 1 2 4
= 20 –
3 5 15 9
3

=2

6 9 20 14 La suma de
cada columna
2 2 2
(S ) = x
(∑ x )
x ∑
n

2
6

= 14 –

3

=2

La ecuación de la recta de

regresión es:

y– y= S x)
xy
La recta de regresión
(x de y sobre x, que
se puede usar para
2 estimar y, sabiendo el
valor de x
(S )

x

2

y–3= (x – 2) ( )El punto medio es (2, 3).
x, y

2

y=x+1

Ahora que hemos visto cómo funciona la fórmula para la ecuación Véanse las secciones
de la recta de regresión, de ahora en adelante podremos usar la 5.15 y 5.16 en el
calculadora de pantalla gráca (en adelante, CPG) para hallarla. capítulo 17.

➔ Se espera que en los exámenes se use la CPG para hallar la
ecuación de la recta de regresión.

346 Análisis bidimensional

emo 

La tabla muestra la distancia en kilómetros y las

Distancia Tarifa

aeropuer to de Changi, Singapur, a doce destinos. 576 178
370 138
 Use su calculadora para dibujar 612
1216 94
aproximadamente un diagrama de dispersión 409 278
1502 158
con la recta de ajuste óptimo. 946 258
998 198
 Escriba la ecuación de la recta de ajuste 188

óptimo.

 Use la ecuación para estimar el costo de un

vuelo de 1000 km.

189 98

787 179

210 138

737 98

Respuestas


 y = 0,117x + 83,3 Generalmente, se deberá aproximar los
resultados a tres cifras signicativas.
 costo = (0,117 × 1000) + 83,3 Costo = $(0,117 × distancia + 83,3)
Dólares y centavos, con dos cifras
= $200,30 decimales

Ejercitación 10E

Para realizar esta ejercitación se requiere el uso de la CPG.

No sería buena idea predecir la

1 Se administra medicación por goteo a un paciente concentración después de 8 horas a

y se mide la concentración en sangre de dicha par tir de esta ecuación, puesto que
medicación a inter valos de una hora. Los doctores no sabemos si la relación continuará
creen que existirá una relación lineal entre las variables. siendo lineal. El proceso de tratar
de predecir un valor que está
T iempo x (horas) 0 1 2 3 4 5 6 fuera del rango de datos se llama

Concentración y 2,4 4,3 5,0 6,9 9,1 11,4 13,5 xroón

 Muestre los datos en un diagrama de dispersión con

la recta de ajuste óptimo.

 Escriba la ecuación de la recta de regresión.

 Halle la concentración en sangre de la medicación después

de 3,5 horas.

Capítulo 10 347

2 La tabla siguiente muestra el valor del automóvil de Jai en miles de ringgits

malayos (MYR) durante los primeros siete años después de comprarlo.

Antigüedad (años) 0 1 2 3 4 5 6 7

Costo (miles de MYR) 30 25 21 19 18 15 12 10

 Muestre el precio del automóvil en un diagrama de dispersión con la

recta de ajuste óptimo.

 Escriba la ecuación de la recta de regresión.

 Estime el costo del automóvil de Jai luego de 1 años.
4

2

 Suponga que Jai cuida muy bien su automóvil. Explique por qué

la ecuación no será útil para estimar el costo del automóvil después

de transcurridos 50 años.

3 La tabla siguiente muestra el número de personas que se hicieron socios

de un gimnasio y el número de horas de ejercicio que hicieron durante la

semana pasada.

Per sona Luis Ana Lía Pía Juan José Raúl Iván Liz Ema
Meses de socios
Horas de ejercicio 7 8 9 1 5 12 2 10 4 6

5 3 5 10 5 3 8 2 8 7

 Muestre los datos en un diagrama de dispersión con la recta de ajuste

óptimo.

 Halle la ecuación de la recta de regresión.

 Si Nino ha sido socio desde hace tres meses, estime cuántas horas de

ejercicio hizo la semana pasada.

 ¿Podría usar la ecuación para estimar cuántas horas de ejercicio hizo

Nadia después de dos años como socia del gimnasio? Explique el porqué.

4 Los padres de Sara están preocupados porque Sara parece baja para su edad.

El pediatra de la niña cuenta con el siguiente registro de sus estaturas.

Edad (meses) 36 48 51 57 60

Estatura (cm) 86 90 91 94 95

Un diagrama de dispersión mostró una asociación positiva fuerte entre la edad
y la estatura, y nalmente, la recta de regresión de mínimos cuadrados resultó
ser ESTATURA = 7,95 + 0,3833 EDAD. El médico quiere predecir
la estatura de Sara a los 50 años si no prescribe alguna intervención (hormonas
de crecimiento), y usa la recta de regresión para hacerlo. Analice la predicción
del médico y luego comente sobre este procedimiento.

5 Vuelva a ver los datos de la torre inclinada de Pisa.

 Halle el punto medio.

 Dibuje un diagrama de dispersión con una recta de regresión que pase

por el punto medio.

 Halle la ecuación de la recta de regresión.

 Use su ecuación para estimar la inclinación en 1990.

348 Análisis bidimensional

. cómo mmo  orrón Karl Pearson
(1857–1936) fundó el
Hasta este momento hemos usado un diagrama de dispersión para primer depar tamento
ver si hay una relación (correlación) entre dos variables. La hemos universitario de
caracterizado como positiva o negativa, y cero, si no hay estadística en
correlación. También hemos dicho que la correlación puede ser University College de
débil, moderada o fuer te. Luego hallamos la ecuación de la recta de Londres, en 1911.
regresión de y sobre x y usamos la recta con nes predictivos.
Si la relación entre
Ahora nos abocaremos a clasicar la fuerza de una correlación dos variables no
numéricamente. Se utilizan varias escalas para tal n; nosotros es lineal, entonces
estudiaremos un coeciente de correlación desarrollado por este coeciente
Karl Pearson. de correlación
no representa
➔ e on  orrón momno-roo  pron adecuadamente la
(denotado con r) es una medida de la correlación entre dos fuerza de la relación
variables X e Y, que da un valor entre + y – inclusive. Es entre las variables.
ampliamente usado en las ciencias como una medida de la
fuerza de la dependencia n entre dos variables.

y y y

0 x 0 x 0 x
Correlación lineal
Correlación lineal No hay correlación r = 0

positiva perfecta r = 1 negativa perfecta r = −1

He aquí algunos conjuntos de datos más y sus valores de r : El valor de r, el
coeciente de
r = 0,7 correlación de
Pearson, indica la
r = 0,3 fuerza de la relación
entre dos conjuntos de
datos.

Capítulo 10 349

Para la correlación negativa, los valores de r también son negativos:

r = –0,3

r = –0,7

➔ La fórmula para hallar el coeciente de correlación es:

S
xy

r=

SS

x y

donde

2

(∑ x )(∑ y ) 2 (∑ x ) Deberíamos reconocer
esta fórmula de la
S = ∑ xy − ,S = x − y sección anterior.
∑
xy x

n n

2

(∑ y )

2

S = y −
∑
y

n

➔ Una forma rápida de inter pretar el valor de r es:

Valor de r Cor relación

0 < |r| ≤ 0,25 Muy débil

0,25 < |r| ≤ 0,5 Débil

0,5 < |r| ≤ 0,75 Moderada

0,75 < |r| ≤ 1 Fuer te

emo 8

Susana quiere determinar la fuerza de la correlación entre el número
de cucharadas de fer tilizante para plantas que utiliza y el incremento
en el número de orquídeas que crecen en la planta. Use la fórmula del
coeciente de correlación de Pearson para inter pretar la relación.

Planta Cucharadas de Incremento en el
número de orquídeas y
fer tilizante x
2
A 1 3
8
B 2 7

C 3

D 4

{ Continúa en la página siguiente.

350 Análisis bidimensional

Respuesta

Planta x y xy 2 2 En el examen se
x y espera que se utilice
la CPG para calcular r.
(∑ x )(∑ y ) Aquí hemos mostrado
la fórmula y una
S = ∑ xy − A 1 2 2 1 4 tabla para ayudar a
comprender cómo se
xy obtiene el valor. Véase
la sección 5.16 en el
n capítulo 17.

B 2 3 6 4 9 La regresión y la
correlación nos
10 × 20 permiten comparar
dos conjuntos de
= 60 − = 10 datos para ver si
puede haber alguna
4 C 3 8 24 9 64 conexión. Por ejemplo,
podría ser interesante
D 4 7 28 16 49 explorar la relación
entre la expectativa
2 de vida y el producto
bruto interno de
(∑ x ) Total 10 20 60 30 126 un país.

2

S = x −
x
∑

n

= 2 = 5
10

30 −

4

2

(∑ y )

2

S = y −
y
∑

n

= 2 = 26
20

126 −

4

S 10
xy

r= = ≈ 0, 877

SS 5 26

x y

Una correlación positiva
signica que a mayor número
de cucharadas de fer tilizante,
mayor aumento en el número de
orquídeas. El valor de r de 0,877
indica una correlación fuer te.

Si dos variables están correlacionadas, podemos predecir los valores ¿Qué métodos
de una basándonos en los valores de la otra. Por ejemplo, sabemos estadísticos serían
que existe una correlación positiva fuer te entre las calicaciones del útiles para analizar
Programa del Diploma del IB y los logros universitarios. Por lo el rendimiento de un
tanto, un encargado de admisiones que procura seleccionar negocio?
estudiantes con una alta probabilidad de buen rendimiento en la
universidad, elegirá estudiantes con altas calicaciones en el IB.

Si bien la fórmula parece complicada a primera vista, hacer la tabla
y evaluar el valor de r resulta bastante sencillo. A par tir de ahora,
usaremos la calculadora para hallar el valor de r

Capítulo 10 351

Ejercitación 10F

1 Nueve estudiantes hicieron un examen de francés y uno de

español. La tabla muestra los resultados. Halle el valor de r y

describa la correlación entre los dos conjuntos de resultados.

Materia A B C D E F G H I

Francés 56 56 65 65 50 25 87 44 35

Español 87 91 85 91 75 28 92 66 58

2 Una psicóloga social piensa que hay una correlación entre los También se podría
decir que la gente
ingresos y la educación. Encontró que la gente con mayores con más años de
educación tiene
ingresos tiene más años de educación. Los resultados de su mayores ingresos.

encuesta se muestran a continuación:

Per sona A B C D E F G H I J
Ingresos (miles de $)
Años de educación 125 100 40 35 41 29 35 24 50 60

19 20 16 16 18 12 14 12 16 17

 Halle el valor de r

 ¿Qué puede decir acerca de la fuerza de la correlación?

 ¿Qué le indica el signo del valor de r ?

3 ¿Un automóvil tarda más en frenar a medida que envejece? La tabla

siguiente muestra la antigüedad (en años) de un auto y la distancia

−1
de frenado (en metros), a partir de una velocidad de 40 km h

Antigüedad (meses) 9 15 24 30 38 46 53 60 64 76
Distancia de frenado
(metros) 28,4 29,3 37,6 36,2 36,5 35,3 36,2 44,1 44,8 47,2

 Halle el valor de r

 ¿Qué ocurre con la distancia de frenado a medida que el

automóvil envejece?

 Describa la fuerza de la correlación.

4 A Catalina siempre se le ha dicho que deje de chatear en su

computador y se concentre en sus estudios. Catalina primero

quiere saber si esto tendrá algún efecto en sus calicaciones y

decide encuestar a 10 amigos. Aquí se muestran los resultados

obtenidos por Catalina:

Promedio de 3,1 2,4 2,0 3,8 2,2 3,4 2,9 3,2 3,7 3,5
calicaciones

T iempo de 14 16 20 7 25 9 15 13 4 14
chat (horas/
semana) Una calicación A
equivale a 4 puntos,
 Halle el valor de r una B a 3 puntos, una
C a 2 puntos, una D
 Describa la correlación. a 1 punto y una F a 0
puntos.
 Sobre la base de la encuesta, ¿aumentarían las calicaciones de

Catalina si disminuyera el tiempo de chateo?

352 Análisis bidimensional

5 A Mauro siempre le dijeron que dejara de jugar con su

computador y se dedicara a estudiar, por lo que decidió

encuestar a 10 compañeros para ver el efecto en el promedio de

calicaciones. Los resultados se muestran a continuación:

Promedio de 2,7 3,8 1,5 3,6 2,2 3,8 2,0 1,9 2,5 3,0
calicaciones
T iempo de juego 10 24 25 17 5 26 14 30 22 7
(horas/semana)

 Halle el valor de r

 Describa la correlación.

 Sobre la base de la encuesta, ¿aumentarían las calicaciones

de Mauro si disminuyera el tiempo de juego?

6 Halle e inter prete el valor del coeciente de correlación r para los Material de ampliación
disponible en línea:
Hoja de ejercicios 10: Más
sobre el análisis bidimensional

datos de la torre inclinada de Pisa.

ero  rón

✗

1 Las frases , , ,  y  representan descripciones de la

correlación entre dos variables:

 Correlación lineal positiva alta

 Correlación lineal positiva baja

 Correlación nula

 Correlación lineal negativa baja

 Correlación lineal negativa alta

¿Qué frase representa mejor la relación entre las dos variables
que se muestran en cada uno de los siguientes diagramas de
dispersión?

 y  y
10 10

8 8

6 6

4 4

2 2

0 x 0 x
10 10
2 4 6 8 2 4 6 8

 y  y
10 10

8 8

6 6

4 4

2 2

0 x 0 x
10 10
2 4 6 8 2 4 6 8

Capítulo 10 353

PREGUNTAS TIPO EXAMEN y
60
2 La tabla siguiente da la cantidad de combustible en el tanque
40
de un automóvil y el número de kilómetros recorridos )sortil( elbitsubmoC

después de haber llenado el tanque.

Distancia recorrida (km) 0 220 276 500 680 850
Cantidad de combustible
en el tanque (litros) 55 43 30 24 10 6 20
0
x

200 400 600

 Copie el diagrama de dispersión y sitúe los puntos restantes.

Distancia (km)

La distancia media recorrida, x , es de 42 km, y la media de

la cantidad de combustible en el tanque, y , es de 28 litros.

Este punto está situado en el diagrama.

 Dibuje aproximadamente la recta de regresión que pasa por el punto medio.

 Un automóvil recorrió 350 km. Use la recta de ajuste óptimo para

estimar la cantidad de combustible que queda en el tanque.

3 Esta tabla muestra las edades de diez policías y el tiempo que tardan en correr

100 metros.

Edad 22 23 24 25 32 35 39 45 45 50

T iempo 10,9 11,1 10,8 12,0 11,2 12,1 12,6 13 12,7 13,6

 Sitúe los datos en un diagrama de dispersión.

 Halle la edad media y el tiempo medio.

 Dibuje la recta de ajuste óptimo que pasa por el punto medio.

 ¿Cuánto tiempo prevé que tarde un policía de 30 años en correr 100 metros?

ero  rón

PREGUNTAS TIPO EXAMEN

1 La siguiente tabla muestra el número de exiones que puede realizar David por

minuto, durante 6 minutos.

Minutos 1 2 3 4 5 6
Flexiones
7 8 5 3 2 2

 Muestre los puntos en un diagrama de dispersión, junto con la recta de

ajuste óptimo.

 ¿Qué ocurre con el número de exiones a medida que transcurre el tiempo?

 Halle la ecuación de la recta de regresión.

 Halle el valor de r y úselo para describir la relación.

2 Las estaturas y los pesos de una muestra de 11 alumnos son:

Estatura (m) e 1,36 1,47 1,54 1,56 1,59 1,63 1,66 1,67 1,69 1,74 1,81

Peso (kg) p 52 50 67 62 69 74 59 87 77 73 67

 Escriba la ecuación de la recta de regresión de p sobre e.

 Use la recta de regresión para estimar el peso de una persona cuya estatura

es de 1,6 m.

354 Análisis bidimensional

PREGUNTAS TIPO EXAMEN

3 Una psicóloga quiere investigar la relación entre el CI (coeciente

intelectual) de un niño y el de su madre. Mide el CI de 8 niños

y sus madres:

CI del niño x 87 91 94 98 103 108 111 123
96
CI de la madre y 94 89 102 98 94 116 117

 Escriba el coeciente de correlación entre x e y

 Halle la recta de regresión de y sobre x

 Use la recta de regresión para estimar el CI de la madre cuyo hijo

tiene un CI de 100.

Usando su respuesta al apar tado , explique cuán exacta considera que

es esta estimación.

4 Ocho estudiantes tuvieron una pr ueba de matemáticas. Queremos saber

si podríamos predecir el resultado de la pr ueba 2 a partir de los de la

pr ueba 1. Los resultados se muestran a continuación (como porcentajes):

Prueba 1 54 72 32 68 55 80 45 77
Prueba 2
31 38 16 34 27 41 22 37

 Sitúe los resultados en un diagrama de dispersión.

 Describa la correlación a par tir de su diagrama.

 Copie y complete la oración “Los estudiantes con calicaciones altas

en la pr ueba 1 tienden a tener calicaciones ........ en la pr ueba 2”.

 Halle la ecuación de la recta de ajuste óptimo.

 Si otro estudiante obtuvo una calicación de 40 puntos en la pr ueba 1,

¿qué nota podemos predecir para este estudiante en la pr ueba 2?

5 La altura de una planta se midió durante las primeras 8 semanas a par tir

de que fue comprada:

Semana x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Atura (cm) y 23,5 25 26,5 27 28,5 31,5 34,5 36 37,5

 Sitúe estos pares de valores en un diagrama de dispersión, haciendo

que 1 cm represente 1 semana en el eje horizontal y 1 cm represente

2 cm en el eje ver tical.

 Escriba el valor del punto medio.

 Sitúe el punto medio en el diagrama de dispersión. Rotúlelo L.

  Escriba el coeciente de correlación, r, para estos registros.

 Comente acerca de este resultado.

 Halle la ecuación de la recta de regresión de y sobre x

f Dibuje la recta de regresión en su diagrama de dispersión.

g Usando la ecuación, estime la altura de una planta después de

1

4 semanas.

2

h Alicia usa la ecuación para armar que una planta tendrá una altura

de 62,8 cm luego de 30 semanas. Comente acerca de esta armación.

Capítulo 10 355

PREGUNTAS TIPO EXAMEN

6 Unos investigadores estudiaron el compor tamiento de un gr upo de

10 adolescentes. Evaluaron una variable de la personalidad llamada

“agradabilidad”, que es una medida de cuán agradable resulta una persona

para los demás. Se preguntó cuán alegre, terca, amable, mandona y

cooperativa era la persona. La tabla registra las medias de las puntuaciones

obtenidas por cada adolescente en estas características.

Los investigadores también crearon una forma de medir los problemas de

conducta. Los jóvenes reportaron varios problemas de conducta en los

últimos seis meses, tales como el engaño, el lenguaje vulgar, el hurto y las

peleas. La tabla registra la suma obtenida por cada adolescente en la

medición de estos problemas.

Par ticipante Factor de Problemas
agradabilidad de conducta

Jorge 4,3 5
22
Guiller mo 3,0 10
12
Oscar 3,4 23
21
Juan 3,3
2
Gerardo 2,9 35
12
Laura 4,0
4
Pilar 4,7

Nancy 2,4

Nora 2,9

Elizabeth 4,7

 Elabore un diagrama de dispersión y muestre la recta de regresión.

 ¿Qué ocurre a medida que aumenta el factor de agradabilidad?

 Halle el coeciente de correlación.

 Describa la correlación.

 Copie y complete la oración “Los adolescentes más agradables

tendieron a tener _________ problemas de conducta”.

f Escriba la ecuación de la recta de regresión.

g Michelle estuvo ausente para las preguntas referidas a los problemas de

conducta pero tuvo una puntuación de 4,5 en agradabilidad. Estime su

puntuación para los problemas de conducta.

7 Cada día, una fábrica de ropa registra el número de abrigos que produce, x,

y el costo de producción total en dólares, y. Los resultados obtenidos en

nueve días se muestran en la siguiente tabla:

x 26 44 65 43 50 31 68 46 57

y 400 582 784 625 699 448 870 537 724

 Escriba la ecuación de la recta de regresión de y sobre x.

Use la recta de regresión como un modelo para responder a las siguientes

preguntas.

 Inter prete el signicado de:  La pendiente  La intersección con

el eje y

 Estime el costo de producción de 70 abrigos.

 La fábrica vende las cajas a $19,99 cada una. Halle el menor número de

abrigos que debería producir en un día para obtener una ganancia.

356 Análisis bidimensional

ResuMeN del capítulO 10

● El análisis bidimensional se ocupa de las relaciones entre pares de variables (x,y) en

un conjunto de datos.

dgrm  rón

● Los grm  rón (también llamados nubes de puntos) se usan para investigar

posibles relaciones entre dos variables que se vinculan con un mismo “suceso”.

● La relación entre dos variables recibe el nombre de orrón

● Para dibujar un gráco de dispersión, situamos los valores (x,y) de la tabla de datos

con pequeños círculos. El patrón determinado por los círculos puede dar nos

alguna indicación acerca de la correlación.

La r nnn debe estar ubicada en el eje horizontal y la r
nn en el eje ver tical.

y

etneidneped elbairaV

0 x
Variable independiente

● Una tendencia general ascendente en el patrón de los círculos muestra una

correlación o

● Una tendencia general descendente en el patrón de los círculos muestra una

correlación ng

● Un conjunto de círculos dispersos que no presentan ninguna tendencia puede indicar

una correlación cercana a ro

● Que exista una correlación entre dos conjuntos de datos no necesariamente signica

que uno sea causado por el otro.

l r   ómo

● Una r   ómo se dibuja sobre un diagrama de dispersión para hallar la

dirección en la asociación entre dos variables y mostrar su tendencia. Esta recta de

ajuste óptimo puede luego usarse para hacer predicciones.

■ Si la recta va ascendiendo de izquierda a derecha, hay una correlación o.

■ Si la recta va descendiendo de izquierda a derecha, hay una correlación ng

■ Las correlaciones fuer tes, sean positivas o negativas, presentan los puntos muy

próximos a la recta de ajuste óptimo.

■ Las correlaciones débiles, sean positivas o negativas, presentan puntos que no

están agr upados cerca de la recta de ajuste óptimo o sobre ella.

Continúa en la página siguiente.

Capítulo 10 357

● Para dibujar una recta de ajuste óptimo a ojo, se dibuja una recta que permita

equilibrar el número de puntos que hay por encima de ella con el número de

puntos que hay por debajo de ella. Se puede lograr un mejor trazado situando

un punto de referencia que per tenezca a la recta. Este es el no mo y se

calcula hallando la media de las coordenadas x y la media de las coordenadas

y de los puntos.

y

(x, y)

0 x

● La ecuación de la recta de ajuste óptimo, también llamada r  rgrón,

puede usarse para realizar predicciones.

Rgrón  mnmo ro

● Se llama ro a la distancia ver tical entre un punto y el gráco de la ecuación

de regresión.

● La recta de regresión de mínimos cuadrados es aquella que minimiza la suma de

los cuadrados de los residuos.

● La fórmula para hallar la pendiente (m) de la recta de regresión es

S
xy

m= , donde

2

(S )

x

2

(∑ x )(∑ y ) 2 2 (∑ x )

S = xy − y (S ) = ∑ x −

xy ∑ x

n n

● En los exámenes se espera que se utilice la CPG para hallar la ecuación de la recta

de regresión.

Continúa en la página siguiente.

358 Análisis bidimensional

cómo mmo  orrón

● El on  orrón momno-roo  pron (denotado por r)

es una medida de la correlación entre dos variables X e Y, que da un valor

entre + y − inclusive. Es ampliamente usado en las ciencias como una

medida de la fuerza de la dependencia n entre dos variables.

S
xy

● La fórmula para hallar el coeciente de correlación de Pearson es: r =

SS

x y

donde

2 2

(∑ x )(∑ y ) (∑ x ) (∑ y )

2 2 −

S = ∑ xy − ,S = x − y S = y
∑ ∑
xy x y

n n n

● Una manera rápida de inter pretar el valor de r es:

Valor de r Cor relación

0 < |r| ≤ 0,25 Muy débil

0,25 < |r| ≤ 0,5 Débil

0,5 < |r| ≤ 0,75 Moderada

0,75 < |r| ≤ 1 Fuer te

Capítulo 10 359

tor del conomno

¿corrón o ?

La orrón muestra en qué medida una variable varía con relación a otra.
Por ejemplo, a medida que crece el valor de una, crece el valor de la otra.
La  ocurre cuando dos variables tienen un efecto mutuo directo.
Por ejemplo, la hora de ir a la cama afecta el número de horas de sueño.

■ Si hallamos una correlación fuer te entre el peso de un bebé

al nacer y un alto rendimiento a los 24 años, ¿deberíamos

eFectO

sugerir que las embarazadas deben procurar que sus bebés

nazcan con un peso alto porque los bebés más pesados

alcanzan rendimientos más altos?

eFectO eFectO

Algunas veces causa y efecto están íntimamente causa
relacionados, pero no siempre. Es fácil suponer que dos
sucesos fuer temente correlacionados también están Que exista una
conectados por alguna causalidad. Pero la correlación no correlación entre
signica que un suceso ha causado al otro. dos variables no es
necesariamente
Por ejemplo, si su gato permanece fuera toda la noche y prueba de
luego se enferma, y esto ocurre muy a menudo, es probable causalidad.
que la enfermedad de su gato y el permanecer fuera toda la
noche estén estrechamente conectados. Pero estar fuera toda
la noche puede no ser la causa de la enfermedad. Es más
probable que la causa sea un vir us o una bacteria.

Loeacjeuimnrrvpeelsoct,uigaqanucdéioólencasemuxcpbeeiadriemunaeanutvnaallríiiqnaudbialdego;apcquouar éndo La correlación hace
estas preguntas:

■ ¿Qué relación

existe entre dos

aumenta la temperatura. variables?

Lcdaaemidnbvoiesassltaiugscaevcsaióorinsabqylueoesfr.aeOncaeblsidzeaartvolaaslcoeossrtrraeedlsaíusclittóiacnodsonso ■ ¿Qué las conecta

o las separa?

como prueba.

360 Teoría del Conocimiento: correlación o causalidad?

¿Cuál es causa y cuál es correlación?

● El acoso escolar daña la salud mental. ● Mirar demasiada violencia en la

televisión conduce a que la gente actúe

● El estrés ocasionado por ver eventos

con mayor violencia en la vida real.

depor tivos impor tantes puede ser

peligroso para el corazón. ● Los cirujanos hábiles con los video-

juegos se desempeñan mejor en las

● La temperatura y el número de

cirugías simuladas.

vendedores ambulantes de helado al

cabo de ese día. ● Los que hablan sueco

● gozan de mejor salud que

La TV eleva la presión ar terial en los

los que hablan neer landés.

adultos obesos.

● Los hombres de voz profunda tienen

más hijos.

lo ro  anom Francis
Anscomb e
Los cuartetos de Anscombe son un gr upo de cuatro conjuntos de datos (1918-2001)
que advierten contra la aplicación de métodos estadísticos individuales
a los datos, sin antes representarlos grácamente. Los conjuntos de estadístico
datos tienen propiedades estadísticas sencillas idénticas (media, b ritánico
varianza, etc.) pero tienen representaciones grácas totalmente distintas.

■ Halle la media de x, la media de y, la varianza de x, la varianza

de y y el valor de r para cada conjunto de datos.

Conjunto 1 Conjunto 2 Conjunto 3 Conjunto 4

x y x y x y x y

4 4,26 4 3,1 4 5,39 8 6,58

5 5,68 5 4,74 5 5,73 8 5,76

6 7,24 6 6,13 6 6,08 8 7,71

7 4,82 7 7,26 7 6,42 8 8,84

8 6,95 8 8,14 8 6,77 8 8,47

9 8,81 9 8,77 9 7,11 8 7,04

10 8,04 10 9,14 10 7,46 8 5,25

11 8,33 11 9,26 11 7,81 8 5,56

12 10,84 12 9,13 12 8,15 8 7,91

13 7,58 13 8,74 13 12,74 8 6,89

14 9,96 14 8,1 14 8,84 19 12,5

■ Escriba cómo cree que serán los ■ Dibuje la recta de regresión de cada

grácos y las rectas de regresión. gráco.

■ Usando la CPG, dibuje aproximadamente

■ Explique lo que obser va.

el gráco de cada conjunto de puntos en

un sistema de ejes separado.

Capítulo 10 361

Trigonometría

11

ObjetivOs del CAPÍtUlO:

3.1 El círculo: medida de ángulos en radianes; longitud del arco; área del sector

circular.

3.2 Denición de cos θ y sen θ a par tir del círculo de radio unidad; denición de tanθ

sen θ    

como ; valores exactos de las razones trigonométricas de 0, , , , y sus

cos θ 6 4 3 2

múltiplos.

2 2

3.3 La relación fundamental cos θ + sen θ = 1

3.6 Resolución de triángulos; el teorema del coseno; el teorema del seno, incluido el

1

caso ambiguo; área del triángulo ab sen C; aplicaciones.

2

An  comnzar

Qué necesitamos saber Comprobemos nuestras habilidades

1 Utilizar propiedades de triángulos, 1 Halle el valor de x en cada diagrama.

incluido el teorema a 
de Pitágoras
Por ejemplo: Hallar x° 96° x° (2x)°
el valor de x en cada 38°
41°

x° (x – 20)°

49°

diagrama

a x° + 96° + 38° = 180°

x° = 80° – 96° – 38° c 

x = 46° (4x)°

x°

 ABC es isósceles, (x + 20)°

por lo tanto ∠A = ∠C B 56°
∠A + ∠B + ∠C = 80° 53°
x° + 53° + x° = 80°

2x° = 80° – 53° = 27°

 f
2,4
x = 63,5°

x° x
5,6
A C

24

19

c Utilizando Pitágoras,

2 2 2

x =6 +9

6 x
9
x= 2 2 = 117

6 +9

x

≈ 10, 8

362 Trigonometría

Algunas veces necesitamos conocer dimensiones (tales como la altura Algunos matemáticos
de un árbol o una montaña o el ancho de un cañón) que no podemos usan la expresión
medir directamente. Los agrimensores pueden calcular estas “medida de un
dimensiones usando la trigonometría y el método de triangulación. ángulo” en lugar
de “amplitud de un
Por ejemplo, para hallar la distancia entre las laderas de un cañón, ángulo”.
un agrimensor necesita un punto de referencia al otro lado del
cañón, tal como un árbol o una formación rocosa. Luego mide la Algunas personas
distancia exacta entre dos puntos conocidos, ubicados del lado en el dicen “triángulo recto”
que está parado, y también el ángulo formado entre estos puntos y en lugar de “triángulo
el punto de referencia. Usando la trigonometría, esta información es rectángulo”.
suciente para calcular la distancia al otro lado, sin siquiera tener
que cr uzar al otro lado del cañón.

. trgonomría  ránguo rcánguo

Al principio de este capítulo examinaremos las relaciones entre las
amplitudes de los ángulos y las longitudes de los lados de los
triángulos rectángulos, y después pasaremos a tratar las áreas de
triángulos y las aplicaciones cotidianas de la trigonometría.

Capítulo 11 363

Comencemos por obser var el triángulo rectángulo, con vér tices en Los ángulos pueden

los puntos A, B y C. Los ángulos que se forman en los vér tices son describirse de

ˆˆ
Â, B y C, respectivamente.

varias maneras.

Este triángulo podría

A El lado AB, el lado opuesto al ángulo recto, llamarse ABC; el
b se denomina hponua del triángulo
rectángulo. ángulo en A podría

c

ˆ ˆ

llamarse A ; B A C;

ˆ
C A B; ∠BAC; ∠CAB.

Los ángulos también

C a B

pueden rotularse con

En este triángulo, vemos que el lado rotulado a (lado BC ) es el lado letras griegas como θ

ˆ (theta).
opuesto a Â, el lado rotulado b (lado AC ) es el lado opuesto a B, y el

ˆ
lado rotulado c (lado AB ) es el lado opuesto a C. Es conveniente

nombrar los lados en relación con sus ángulos opuestos.

Razones trigonométricas

Obser vemos los dos triángulos rectángulos siguientes:

A D
59° 59°

31° 31°

B C E F

ABC y DEF tienen ambos ángulos de amplitudes 59°, 3° y 90°. En algunos libros
DEF es más grande que ABC. Dos triángulos cuyos ángulos de texto, los dos
correspondientes son congr uentes (iguales) se denominan ránguo lados más cor tos
man y sus lados correspondientes son proporcionales. de un triángulo
rectángulo reciben el
Para ABC y DEF: nombre de cao
del triángulo. La
AC DF BC EF BC EF hponua es el
lado más largo del
= ,y = ,y = triángulo rectángulo.

AB DE AB DE AC DF

En los triángulos semejantes, sin impor tar cuán grandes o pequeños
sean, los lados guardarán la misma proporción. En otras palabras,
los lados correspondientes serán proporcionales entre sí.

El hecho de que los lados de triángulos semejantes determinen
razones constantes nos ayuda a denir las tres razones
trigonométricas: no, cono y angn

Estas razones varían según las amplitudes de los ángulos de los
triángulos rectángulos.

En cualquier triángulo rectángulo:

● La hponua (a menudo se abrevia h o H) es el lado más

largo y se opone al ángulo recto. (hipotenusa) h

i o (opuesto)
a (adyacente)
● El lado que se opone al ángulo rotulado θ se llama lado

opuo (a menudo se abrevia o u O).

● El lado cercano al ángulo θ se llama lado ayacn

(a menudo se abrevia a o A).

364 Trigonometría

➔ Para cualquier triángulo rectángulo con un ángulo θ : Una regla
nemotécnica es
opuesto O una palabra o frase
= inventada que nos
seno θ = ayuda a recordar una
lista o una fórmula.
hipotenusa H Podemos recordar
estas fórmulas con
adyacente A H la regla nemotécnica
= SOH-CAH-TOA.
coseno θ = O
Los nombres de
hipotenusa H estas razones
trigonométricas se
i abrevian sen, cos y
tan.
opuesto O
= El astrónomo
tangente θ = Ar yabhata, que
nació en la India
A aproximadamente en
476 d. C., creía que
adyacente A el Sol, los planetas y
las estrellas giraban
Obser vemos el siguiente triángulo rectángulo, con  destacado. alrededor de la
Tierra en órbitas
BC a diferentes. Comenzó
a inventar cálculos
A sen A = = trigonométricos para
calcular la distancia
AB c de los planetas a la
Tier ra.
c AC b
a =
b cos A =
C
AB c

B BC a
tan A = =

AC b

Podemos utilizar razones trigonométricas para calcular la medida
de lados y ángulos en triángulos rectángulos.

Relaciones entre seno, coseno y tangente

En el triángulo ABC :

a A
senθ =
i
c b

b
cosθ =

c

a

senθ c a
=
c

Por lo tanto , =

cosθ b b

c

a C a B
Pero tan θ =

b

senθ

En consecuencia, = tan θ

cosθ

➔ tan sen θ
=

cos θ

empo  Aunque los
matemáticos han
Para el siguiente triángulo, halle la longitud del estudiado triángulos
lado a. durante miles de
años, el término
34° "trigonometría" fue
utilizado por primera
6 vez en 1595 por
Bar tholomaeus
a Pitiscus (alemán,
1561–1613).

{ Continúa en la página siguiente.

Capítulo 11 365

Respuesta Debemos asegurarnos
de estar trabajando en
opuesto a moo grao
=
tan 34° = Usar la razón tangente

adyacente 6 El lado que se opone al ángulo
de 34° es el lado opuesto y el lado
a = 6 tan 34° adyacente a 34° mide 6.
Podemos hallar el valor de tan 34°
a = 6 tan 34° ≈ 4,05 utilizando la calculadora de pantalla Para cambiar al modo
gráca (CPG).
grados, presionar

y seleccionar 5:

sng & sau

(conguraciones y

estado) | 2: sng

(conguraciones) | 1:

Para ingresar tan, presionar μ y Gnra (general).
luego seleccionar tan

tab

Utilizar la tecla

para desplazarse a

“Angle” (ángulo) y

Si conocemos las medidas de los lados de un triángulo rectángulo y

seleccionar dgr

queremos hallar la amplitud de los ángulos, necesitaremos utilizar

(grado). Presionar

– – –

las funciones trigonométricas inversas sen , cos y tan

y luego seleccionar 4:

Currn (actual).

empo 

ˆ
Halle la amplitud de B en este triángulo.

9 cm

5 cm

B

Respuesta

opuesto

5

sen B = = ˆ –1
El lado opuesto B mide 5 cm y la

A sen se le llama

hipotenusa 9

hipotenusa mide 9 cm. Utilizar la –1

“arco seno”, a cos ,

razón seno

“arco coseno” y

⎛ 5⎞ –1 –1
⎜⎟
ˆ –1 a tan , “arco

B = sen ≈ 33,7° Para ingresar sen , presionar μ y

⎝9⎠ –1
luego seleccionar sen
tangente”.

En este ejercicio tendremos que ror triángulos rectángulos
(calcular los ángulos y las medidas de los lados que no se conocen).
Debemos asegurar nos de que la calculadora esté siempre en modo
GRADOS.

366 Trigonometría

Ejercitación 11A

Para cada pregunta, utilice el diagrama y la información dada para A b C
hallar todos los lados y ángulos que no se conocen. Todas las c a
medidas están en centímetros. Dé sus respuestas con una B
aproximación de tres cifras signicativas donde sea necesario.

1 a = 12, c = 20 2 b = 37, Â = 40°

3 ˆ 4 b = 48, c = 60
c = 4,5; B = 55°

5 a = 11, Â = 35° 6 a = 8,5; b = 9,7

2 x ∈ ℤ signica que x
es un número entero.
7 Si a = 2x, b = 5x – 1 y c = x + 1 (x ∈ ℤ), halle el valor

ˆ
de x, y los ángulos  y B

Triángulos rectángulos especiales

Obser ve el siguiente triángulo rectángulo isósceles.

C 1 A Para resolver el triángulo, necesitamos hallar la
1 c
ˆ
longitud de AB y los ángulos  y B

Utilizando el teorema de Pitágoras:

2 2 2 2

 + = c , entonces c = 2, y c = AB = 2

Utilizando la razón tangente:

BC 1

tan A = = =

AC 1

B –

 = tan () = 45°

Este es un triángulo isósceles, por lo tanto,

ˆˆ = 45°.
 = B, y B

Los siguientes son los valores de las razones trigonométricas del

triángulo anterior.

1 2 1
2 45°

➔ sen 45° = =

2

1 2
2
cos 45° = = 1
45°
√2

2

1

tan 45° = =

1

Ahora veamos el siguiente triángulo rectángulo, C 1 A
a
que es la mitad de un triángulo equilátero.

Para resolver este triángulo, necesitamos hallar

ˆ
BC, Â y B

Utilizando el teorema de Pitágoras se obtiene: 2

2 2 2 2

 +a = 2 , entonces a = 3, y a = BC = 3

B

Capítulo 11 367

Utilizando la razón coseno:

AC 1
=
cos A =

AB 2

– ⎛1⎞ = 60°
 = cos ⎜⎟

⎝2⎠

ˆ
B = 80° – 90° – 60° = 30°

Los siguientes son los valores para todas las razones trigonométricas
de este triángulo con ángulos de 30°, 60° y 90°.

1 sen 60° =  1
sen 30° = 2 60°

➔ 2

cos 30° =  1
2 cos 60° =
√3
2 30°

2

1 3 3
3 =
tan 30° = = tan 60° = 3
1


empo  Cuando se pide una
Halle el valor xaco de x en el siguiente triángulo respuesta xaca,
debe dejarse la raíz
60° cuadrada o el radical
en la respuesta y
5 cm no cambiarlo a un
decimal redondeado.
x

Respuesta

x

tan 60° = = 3

5

x =5 3 cm

Ejercitación 11B En este contexto,
“resolver” signica
1 Utilice el diagrama para resolver cada triángulo rectángulo. hallar todos los
lados y ángulos
Dé las respuestas en forma exacta. Las longitudes están en desconocidos.

centímetros. A b C El diagrama no
a siempre estará a
a a = 12, c = 24 escala.
B
 b = 9, Â = 45°

c

c ˆ
c = 4,5; B = 60°

 b = 6, c = 4 3

 a=   , c = 10

P

2 Halle los valores exactos de x, y y z

8 z
x

30°

Q 8 R y S

368 Trigonometría

3 ˆ Comience por realizar
ABC tiene  = 60°, C = 90°, BC = x + 2, y un dibujo aproximado
del triángulo.
2

AB = x – 4.

a Halle el valor exacto de x

 Halle la longitud exacta del lado AC

4 ˆˆ
El triángulo ABC tiene B = 45°, C = 90°, AC = 4x – 1 y

65° y

2

BC = x + 2.

z

a Halle el valor exacto de x

 Halle la longitud exacta del lado AB

x
45°

5 En el diagrama, halle el valor de w, x, y y z, con una

aproximación de una cifra decimal. Las longitudes están en

centímetros. w
9
4

. Apcacon  a rgonomría 
ránguo rcánguo

En la sección anterior, hallamos longitudes y ángulos en triángulos
rectángulos utilizando seno, coseno y tangente. En esta sección,
veremos cómo aplicar esas razones trigonométricas para resolver
problemas en situaciones cotidianas.

Comencemos con algo de terminología.

➔ El ánguo  acón es el ángulo “por encima” de la recta

horizontal.

El ánguo  prón es el ángulo “por debajo” de la recta

horizontal.

C

A Ángulo de elevación
B Horizontal

Ángulo de depresión

D

empo 

Un obser vador se encuentra a 100 m de la base de un edicio. El
ángulo de elevación de la par te superior del edicio es 65°. ¿Cuál es la
altura del edicio, medida al metro más próximo?

{ Continúa en la página siguiente.

Capítulo 11 369

Respuesta Comenzar por dibujar un diagrama
T Sea O la posición del obser vador en
la tier ra, B la base del edicio y T la
par te superior.
Marcar el ángulo de elevación de 65°

65°

B 100 O

BT Estamos calculando la altura del
edicio, la longitud BT.
tan 65° = , por lo tanto,

100

BT = 100 tan 65° ≈ 214,45...

El edicio mide 214 m, al metro

más próximo.

También es necesario resolver problemas utilizando puntos cardinales y rumbos (orientaciones).

➔ Los cuatro puno carna son Nor te (N), Sur (S), Este (E)

y Oeste (O).

La medición del rumo, que se expresa siempre utilizando

tres cifras, se realiza en el sentido de las agujas del reloj,

desde el Nor te.

Cuando se utilizan los puno carna para indicar una dirección, se verán expresiones como:

N40°e, que signica 40° O20°s, que signica 20° al NO, que signica 45° entre Nor te y
al Este desde el Nor te. Sur desde el Oeste. Oeste.

N N N

N 40°E

NO

40°

45°
45°

20°
O20°S

S S S

Cuando se utiliza el rumo para indicar una dirección, se verán expresiones como:

O35°, que signica 35° 110°, que signica 110° en 270°, que signica 270° en sentido
en sentido de las agujas sentido de las agujas del de las agujas del reloj, desde el
del reloj, desde el Nor te. reloj, desde el Nor te. Nor te. Un rumbo de 270° es lo
mismo que “hacia el Oeste”.
N N
N

035°

110°

110° 270°
270°
S S
S

370 Trigonometría

empo 

Dos barcos zar pan al mismo tiempo.
El barco A navega 30 km en dirección Nor te antes de soltar el ancla.
El barco B navega 65 km, siguiendo un r umbo de 050°, antes de soltar
el ancla.
Halle la distancia entre los barcos cuando están quietos, al kilómetro
más próximo.

Respuesta

B Dibujar un diagrama donde el punto
D representa el muelle desde el que
A 65 las naves zar paron. El barco A se
30 detiene en A y el barco B se detiene
en B.
50° Necesitamos hallar la longitud AB,
la distancia entre los barcos cuando
D están quietos.

C B No hay triángulos rectángulos en el El ángulo DBE se halla
diagrama; por lo tanto, habrá que utilizando la propiedad
A 50° señalarlos. La hipotenusa de cada de ángulos alternos
E triángulo rectángulo es la trayectoria entre paralelas.
30 65 de uno de los barcos. Añadir cualquier
50° ángulo que conozcamos, utilizando Utilizamos los valores
propiedades de los ángulos exactos en los
40° Hallar BE pasos intermedios
y redondeamos
D Hallar DE únicamente la
Almacenar estos valores en la CPG respuesta nal.
BE
sen 40° = Añadir la nueva inf or mación al
diagrama
65
Utilizar el teorema de Pitágoras
Por lo tanto, BE = 65 sen 40° en ABC. Utilizar los valores
almacenados
≈ 41,781...

DE

cos 40° =

65

Entonces DE = 65 cos 40°

= 49,7928...

BC = DE = 49,7928...

AC = BE – 30 = 11,7811...

C 49,7929 B
11,7812
50°
A

30 65

50°

40°

D E

2 2 2

AB = (49,7928...) + (11,7811...)

Entonces AB = 51,1677...

La distancia entre los barcos es

de aproximadamente 51 km, al

km más próximo.

Capítulo 11 371

B

Ejercitación 11C

1 Un triángulo isósceles ABC tiene lado AC = 10 cm

y AB = CB = 15 cm, tal como se muestra.

a Halle la altura del triángulo.

 ˆ
Halle la amplitud de BÂC y ABC

A 10 C
C
2  ABE cabe exactamente dentro del cuadrado
28
D 8 E
B
ABCD, tal como se muestra. BC = 28 cm y DE = 8 cm.

a Halle las longitudes de los segmentos AE y BE

ˆˆ ˆ

 Halle la amplitud de AE D, EBA y AE B

Dé las respuestas con una aproximación de tres cifras

signicativas.

A

3 Un obser vador parado en la cima de un acantilado ver tical,

20 m sobre el nivel del mar, obser va un barco en el agua, con un Si el diagrama no se
proporciona con la
ángulo de depresión de 9°. ¿A qué distancia se encuentra el barco pregunta, deberemos
primero dibujar uno
de la base del acantilado? nosotros mismos.

PREGUNTA TIPO EXAMEN Es una buena
idea vericar las
4 Un rectángulo tiene un largo de 25 mm y un ancho de 8 mm. respuestas nales,
para asegurarse
Halle los ángulos formados por las diagonales del rectángulo. de que el lado más
cor to es el opuesto
5 Ana camina 2 km hacia el Nor te, luego gira y camina otros 3 km al ángulo menor y el
lado más largo es
en la dirección N35°O. Halle la distancia y el r umbo desde su el opuesto al ángulo
mayor.
punto de par tida.

6 Desde una ventana del edicio A, a 2 m del nivel del suelo, el

ángulo de elevación de la par te superior del edicio B, que se

encuentra del otro lado de la calle, es de 40°. Si la distancia entre

los edicios es de 70 m, ¿cuál es la altura del edicio B?

PREGUNTA TIPO EXAMEN

7 Un barco sale del puerto y navega 35 km con rumbo 047°. Después

gira y navega 5 km con rumbo 05°. ¿Qué distancia y con qué

rumbo debe navegar el barco para regresar directamente al puerto?

8 Los edicios X e Y están en lados opuestos de la calle, a 95 m de

distancia el uno del otro. Desde un punto en el techo del

edicio X, el ángulo de depresión de la base del edicio Y es 55° y

el ángulo de elevación de la parte superior del edicio Y es de 35°.

¿Qué altura tienen los dos edicios?

9 Juan camina hacia el Nor te por un camino recto y ve una torre

en un campo a su derecha, sobre un r umbo de 08°. Después

de caminar otros 240 m, se da cuenta de que la torre está sobre

un r umbo de 066°. Si sigue caminando hacia el Nor te, ¿qué tan

cerca pasará de la torre?

372 Trigonometría

10 Desde una posición al nivel del suelo, Helena se da cuenta de A menos que la
que el ángulo de elevación de la par te superior de un edico es pregunta indique lo
de 40°. Cuando se acerca 20 metros más al edicio, el ángulo de contrario, debemos
elevación es de 55°. Halle la altura del edicio. suponer que el suelo
es horizontal.
11 Un automóvil está viajando a una velocidad constante sobre
una carretera recta. Un pasajero que viaja en él obser va un
puente sobre la carretera, con un ángulo de elevación de 5°.
Diez segundos más tarde, el ángulo de elevación del puente es
de 7°. ¿Cuánto tiempo transcurrirá antes de que el automóvil
pase directamente bajo el puente?

12 El diagrama muestra un prisma rectangular ABCDEFGH.

AD = 24 cm, DH = 9 cm, y HG = 18 cm.

F G

Halle estos ángulos. 18

a HÂD H
9
 ˆ D
ABE

c HÂG

 ˆ E
AG D 24

A

. Uzacón  o   coornaa En algunos libros
n rgonomría de texto, al lado del
ángulo que se ubica
El ángulo θ en un sistema de coordenadas car tesianas tiene su sobre el eje x positivo
vér tice en el origen, como se muestra en el diagrama. Un ángulo se le llama ao
positivo se mide en sentido antihorario a par tir del eje x. nca. Al otro lado
se le llama ao
y rmna. Un ángulo
como este, con su
A veces se dice “antihorario” en i vér tice en el origen y
lugar de “sentido contrario a las su lado inicial sobre
agujas del reloj”. x el eje x positivo se
dice que está en la
O pocón ánar

Aquí aparecen tres ángulos positivos α, β y δ. y Las primeras cuatro
yy letras del alfabeto
griego son alfa α, beta
a x b x d x β, gama γ y delta δ
O O O

Capítulo 11 373

2 2

Este diagrama muestra un círculo cuya ecuación es x +y = .

B

El centro del círculo está en el origen y su radio mide una

unidad. Se le llama círcuo  rao una. y

En el diagrama, el ángulo θ es positivo. Ahora i A
0 x

echemos un vistazo a los ángulos agudos en el

B

primer cuaran del círculo de radio unidad.

OA y OB son radios del círculo de radio unidad, 1

i A
1
entonces OA = OB = .

0 x

Luego, utilicemos el ángulo agudo θ para

formar un triángulo rectángulo BOC

y

Utilizando las razones trigonométricas en ∆BOC,

x

cos θ = , por lo tanto x = cos θ,

1 B(cos i, sen i)

y

y sen θ = , por lo tanto y = sen θ

1

1

En consecuencia, el punto B tiene coordenadas (cos θ, sen θ). y
C
i A
x
0 x

empo 

Halle las coordenadas exactas del punto D, luego dé y
esos valores con una aproximación de tres cifras D
signicativas.
1

59° A
1
0 x

Respuesta AÔD es un ángulo positivo.
Las coordenadas exactas del punto D son
(cos 59°, sen 59°). Utilizar la CPG para hallar los valores de cos 59° y
Con tres cifras signicativas, las coordenadas sen 59°
de D son (0,515; 0,857).

empo  y
En el diagrama, halle las coordenadas exactas del punto P

P

1 A
30°
0 x
1

Respuesta

⎛ 3 1⎞

Las coordenadas exactas de P son ⎜ ,⎟ AÔP está en el primer En la página 368 se
⎜ cuadrante. Por lo tanto, pueden encontrar los
⎟ las coordenadas del punto valores exactos de
2 2 P son (cos 30°, sen 30°). seno 30º y coseno 30º.

⎝ ⎠

374 Trigonometría

y

Ejercitación 11D

1 Utilice el diagrama para hallar las coordenadas del punto P para

cada valor de θ. Dé sus respuestas con una aproximación de tres P

1 (1, 0)
A
guras signicativas.
x
a θ = 20°

i

 θ = 17° 0

c θ = 60°

 θ = 74°

 θ = 90°

2 Utilice el diagrama de la pregunta  para hallar el valor de θ

para las coordenadas del punto P dadas. Dé sus respuestas al El diagrama no siempre
estará a escala.

grado más próximo.

a P (0,408; 0,913)

 P (0,155; 0,922) Estas coordenadas han
sido redondeadas a 3
c P (0,707; 0,707) cifras signicativas.

 P (0,970; 0,242)

y

3 Utilice el diagrama para hallar el área de AOP para el valor

dado de θ. Dé sus respuestas con una aproximación de tres cifras

signicativas. P

a θ = 70° El segmento punteado (1, 0)
es la altura del A
triángulo. 1
x
 θ = 38°

i

c θ = 24°

0

 θ = 30°

y

Ahora obser vemos los ángulos en el segundo cuadrante. Estos i
ángulos son obtusos (miden entre 90° y 80°). A la derecha vemos un
ángulo obtuso en el segundo cuadrante de un círculo de radio unidad. B 1
Cuando se trabaja con ángulos obtusos a veces es útil considerar
cómo se relacionan con los ángulos del primer cuadrante A
(ángulos agudos).
0 1 x

ingacón: ángulos obtusos

El siguiente diagrama muestra al punto B, en un ángulo positivo de 30° desde OA, y al
punto C, en un ángulo positivo θ desde OA.

y

C B Halle el valor de θ
D ¿Cuáles son las coordenadas del punto B?
i Utilice la simetría del círculo de radio unidad
para escribir las coordenadas del punto C

30° 30° A

0 x

{ Continúa en la página siguiente.

Capítulo 11 375

Ahora obser ve los triángulos formados por los lados OB y OC y el eje x
y

(–x y) C B (x y)

D 150°
E
30° A
F
0 x

EOC es congruente con FOB. Ambos son triángulos con ángulos que miden 30°,
60° y 90°, y cuya hipotenusa mide 1. También podemos ver que si las coordenadas
del punto B son (x, y), las coordenadas del punto C son (−x, y).

3 1

Las coordenadas de B son (cos 30°, sen 30°) o

2 2

Por lo tanto, las coordenadas del punto C son (cos 150°, sen 150°), que coinciden con las

3 1

coordenadas (–cos 30°, sen 30°) o

2 2

Dibuje diagramas para mostrar los siguientes pares de ángulos en el círculo de radio unidad.

 40° y 140°

 25° y 155°

 68° y 112°

Rotule las coordenadas de los puntos donde los lados no horizontales cor tan al círculo de
radio unidad. ¿Qué obser va?

A par tir de la investigación, conocemos una impor tante propiedad Los ángulos
de los ángulos suplementarios. suplementarios
suman 180°.
➔ Para los ángulos suplementarios α y β, sen α = sen β,
Veremos cómo se
y cos α = –cos β ilustran grácamente
estas propiedades
➔ Para cualquier ángulo θ, sen θ = sen (80°– θ), y cuando estudiemos
los grácos de las
cos θ = – cos (80°– θ). funciones de seno y
coseno en el
Esta propiedad nos ser virá más adelante. capítulo 13.

Ejercitación 11E

1 Utilice el diagrama para hallar las coordenadas de los puntos y

B y C para los valores dados de θ. Dé sus respuestas

con una aproximación de tres cifras signicativas.

C B
A
a θ = 30°

 θ = 57°

180°– i

1 1

c θ = 45°

D i

 θ = 13°

0 x

 θ = 85°

376 Trigonometría

2 Utilice el diagrama de la pregunta 1 para hallar el valor de θ para

cada una de las posiciones del punto C dadas. Dé sus respuestas

a la décima de grado más próxima.

a C (–0,332; 0,943) Estas coordenadas
han sido redondeadas
 C (–0,955; 0,297) a tres cifras
signicativas.
c C (–0,903; 0,429)

 C (–0,769; 0,639)

3 Halle el seno de cada ángulo agudo (aproximado a 4 cifras

signicativas), e indique el ángulo obtuso que tiene el mismo

seno.

a 15°

 36°

c 81°

 64°

4 Halle un valor agudo y uno obtuso para Â

a sen A = 0,871

 sen A = 0,436

c sen A = 0,504

 sen A = 0,5

Obser vemos ahora la recta con ecuación y = mx :

y

y = mx Cualquier recta con ecuación
y = mx tiene pendiente m y pasa por
el origen. Este es un caso
especial de la
x ecuación estándar de
la recta, y = ax + b o
y = mx + c.

Ahora veamos qué ocurre cuando la recta cor ta al círculo de radio
unidad en el punto B, en el primer cuadrante.

y
y = mx
B

x

Capítulo 11 377

En el primer cuadrante, la recta forma un ángulo θ con el eje x y
y = mx
Se forma un triángulo rectángulo del que el segmento OB (par te

de la recta y = mx) es la hipotenusa.

Esto ilustra algunas propiedades impor tantes que

B(cos i, sen i)

concier nen al triángulo rectángulo y a la recta y = mx

Primero, aplicando el teorema de Pitágoras, obtenemos 1
i
2 2 2 2
cos i
(sen θ) + (cos θ) =  . La forma habitual de escribir (sen θ)

sen i

2 2 2

y (cos θ) es sen θ y cos θ, lo que resulta en

x

2 2

sen θ + cos θ = .

Supongamos que queremos hallar la pendiente de la recta y = mx.

y

(x , y )

Esta recta pasa por los puntos O (0, 0) y B (sen θ, cos θ). 2 2

y y
2 1

La pendiente de una recta = x
1
x (x , y )
2

1 1

Podemos entonces hallar la pendiente, m, utilizando las

0 x

coordenadas de los puntos O y B :

sen θ 0 sen θ
m=
= = tan θ
cos θ
0 cos θ La propiedad número
1 es también conocida
➔ Estas tres propiedades son válidas para cualquier ángulo θ : como la relación
fundamental o la
1 2 2 =1 identidad pitagórica.

sen θ  cos θ

2 sen θ
tan θ =

cos θ

3 Para cualquier recta y = mx que forma un ángulo de θ con

i

el eje x, el valor de m (la pendiente de la recta) es tan θ

empo 

Halle la pendiente de la recta que forma un ángulo positivo de 130°
con el eje x

Respuesta La propiedad número
y 2 a menudo es útil
para realizar cálculos.
y = mx

Pendiente = tan θ

130° (1, 0)
0 x

La pendiente de la recta es Este valor se puede hallar usando la
tan 130° ≈ –1,19 CPG.

378 Trigonometría

empo  y
Halle la pendiente de la recta que se
muestra en el diagrama. y = mx
60°
0 x

Respuesta Hallar la “posición estándar” del
y
ángulo f or mado por esta recta. El
y = mx
ángulo 60° es equivalente al ángulo
120°
obtuso positivo de 120°
60°
Esta recta f or ma un ángulo de 120°,
0 x

en posición estándar.

La pendiente de la recta es

3

sen 120 ° sen 60 °

tan 120° = = = 2
1
cos 120° cos 60 °

2

= 3 = –1,73

Ejercitación 11F

1 Halle la pendiente de la recta y = mx en cada diagrama, dando

sus respuestas con una aproximación de tres cifras signicativas.

a 

y y

56,3° 117,5°
0
x x

y = mx

y = mx

c 

y y

42,3° 135°
y = mx
0 x x

y = mx

Capítulo 11 379

2 Halle la ecuación de la recta que pasa por el origen y el punto P.

Halle el valor de θ al grado más próximo.

a 

y y

P(0,674; 0,738) P(0,471; 0,882)
i i

x x

y = mx y = mx

c 

y

y = mx

P(–0,336; 0,942)

i

i

0 x
x
0

P

y = mx

y

 f y

P(1,59; 3,76)

P(–0,8; 0,6) i
0
x i

x Material de ampliación
disponible en línea:
y = mx Hoja de ejercicios 11: Sumas
y restas de ángulos

. e orma  no

La trigonometría puede usarse para resolver triángulos que no son
rectángulos.

Obser vemos el ABC. La au (altura), h, del triángulo es AD, A
per pendicular a BC
c b
En el triángulo rectángulo ABC,
h
h
sen B = B D C

c
Esto da h = c sen B

En el triángulo rectángulo ACD,

h

sen C =

b

Esto da h = b senC

Igualamos los valores de h para obtener

c sen B = b sen C.

380 Trigonometría

sen B sen C
=
Reordenando esta ecuación, obtenemos

b c

La razón entre el seno de cada ángulo y la longitud del lado opuesto

es constante.

Ahora dibujemos la altitud desde B al lado AC, y desde C a AB, y

sen A sen C sen B

hallemos las razones = = otra vez. Como antes, las

a c b

razones que se obtienen son constantes.

➔ e orma  no Se proporciona
esta fórmula en
Para cualquier ABC, donde a es la longitud del lado opuesto el cuadernillo de
fórmulas que se utiliza
ˆ en los exámenes.
a Â, b es la longitud del lado opuesto a B, y c es la longitud del

ˆ
lado opuesto a C,

sen A sen B sen C a b c

= = o = =

a b c sen A sen B sen C

Podemos utilizar el teorema del seno para resolver triángulos si
conocemos al menos un ángulo y el lado opuesto, y una medida
más (la longitud de un lado o la amplitud de un ángulo).

empo 

Halle los ángulos y los lados que se desconocen en este triángulo, Hay que recordar
dando sus respuestas con una aproximación de tres cifras signicativas.
congurar la CPG en
A

moo grao

Para cambiar a modo

98° 9,4 cm

c

grados, presionar y

seleccionar

5: sng & sau

B 12 cm C

(conguraciones y

Respuesta estado) | 2: sng

ˆˆ (conguraciones) |
Se necesita hallar los ángulos B y C ,
Utilizando el teorema del seno
y la medida c.
1: Gnra (general).

sen 98° sen B

=

Utilizar la tecla tab para

12 9, 4

desplazarse a “Angle”

9, 4 sen 98 ° (ángulo) y seleccionar
Entonces sen B =
dgr (grado).
12
Presionar y luego
ˆ
B = 50, 9° (3 cs ) La suma de los ángulos en cualquier 4: Currn (actual).
triángulo es 180°.
ˆˆ
C = 180 – Â – B, entonces

ˆ
C = 31,1305533...

ˆ
C = 31,1° (3 cs)

sen 98° sen 31,13055... Utilizar el teorema del seno una vez
más para hallar c
=

12 c

12 sen 31, 13055 … No se deben redondear los
c=
pasos intermedios, sino solo los
sen 98 °
ˆ ˆ
c = 6,26 cm (3 cs)
valores nales de B , C y c

Capítulo 11 381

En el ejemplo 0, el triángulo con todas sus dimensiones rotuladas se vería de la
siguiente manera:

A

98° 9,4 Siempre hay que revisar las respuestas
nales para asegurarse de que el lado
6,26 más cor to se opone al ángulo de
menor amplitud y el lado más largo se
50,9° 31,1° C opone al ángulo de mayor amplitud.

B 12

empo 

Halle los ángulos y lados que se desconocen en A
este triángulo, aproximando sus respuestas a
dos cifras decimales. 40,5 cm

39° C
a
c
77°

B

Respuesta

 = 180° – 77° – 39° = 64° Necesitamos hallar el ángulo Â, y las longitudes
a y c.
sen 77° sen 64° 40, 5 sen 64 ° Utilizar el teorema del seno para hallar a y c

= , a =

40, 5 a sen 77°

Entonces a = 37,36 cm (2 cd)

sen 77° sen 39°

=

40, 5 c

40, 5 sen 39 ° Revisar: el lado más cor to (26,16) es el opuesto al
c= ángulo menor (39°). El lado más largo (40,5) es el
opuesto al ángulo mayor (77°).
sen 77°

Entonces c = 26,16 cm (2 cd)

empo 

Un barco está navegando hacia el Nor te. El capitán obser va un faro a 10 km, sobre un r umbo
de 032°. Más tarde, el capitán obser va que el faro está sobre un r umbo de 132°.
¿Qué distancia navegó el barco entre estas dos obser vaciones?

Respuesta
N

132° Dibujar un diagrama para modelizar la situación
A es la posición donde el capitán vio por primera vez el f aro,
B y B, la posición donde lo vio por segunda vez. L es la
posición del faro.
Lo que tenemos que hallar es d, la distancia que el barco navega
desde el punto A al punto B.

L

d

10

32°

A
Ángulo ABL = 180° – 132° = 48°

{ Continúa en la página siguiente.

382 Trigonometría

ˆˆ
L = 180 – Â – B = 100°

sen 100° sen 48° Ptolomeo (90–168 d. C.),
en su obra de 13
= volúmenes, Almagesto,
escribió valores del seno
d 10 para ángulos de 0° a
90°. También incluyó
10 sen 100 ° un teorema similar al
d= teorema del seno.

sen 48°

d = 13,251....
El barco navega aproximadamente
13,3 km entre los puntos A y B

Ejercitación 11G

1 Resuelva cada triángulo ABC. Dé sus respuestas con una

aproximación de tres cifras signicativas. “Resolver” un
triángulo signica
A hallar todos los lados
y ángulos que se
c desconocen.

B b X
C
a

a ˆ  ˆ
b = 24 cm, Â = 47°, B = 83° c = 2,5 cm, Â = 40°, C = 72°

c a = 4,5 cm, b = 3,6 cm,  = 55°  ˆˆ
b = 60, B = 15°, C = 125°

 ˆ
c = 5,8 cm, Â = 27°, B = 43°

PREGUNTA TIPO EXAMEN

2 Un triángulo isósceles tiene una base de 20 cm; los ángulos de

la base miden 68,2°, tal como se muestra. Utilice el teorema del 68,2°
20
seno para hallar la longitud de los lados XY y XZ Z Y

3 Julia obser va un árbol en un campo en dirección S40°E desde

donde está parada. Luego camina 2 km hacia el Sur y nota que

el árbol ahora está en dirección S75°E. ¿A qué distancia está el

árbol de su primera y de su segunda posición en el camino?

4 Alan y Kevin están en lados opuestos del mástil de una bandera,

separados por una distancia de 35 m. Desde la posición de Alan,

el ángulo de elevación de la punta del mástil es de 36°. Desde la

posición de Kevin, el ángulo de elevación es de 50°. ¿Qué altura

tiene el mástil?

Capítulo 11 383

Los triángulos se usan a menudo en la Un triángulo es rígido:
arquitectura. no podemos cambiar
izqura: La Torre Hearst en la ciudad de la forma. Las barras
Nueva York está trasversales y los
construida a base de montantes dan rigidez
triángulos isósceles. a la estructura.
drcha: Para
for talecer una
estructura rectangular,
se pueden construir
varas diagonales en
las esquinas, que
forman triángulos.

ingacón: triángulos ambiguos
Trate de dibujar un triángulo ABC, con  = 32°, a = 3 cm y c = 5 cm. Encontrará que
hay en realidad dos triángulos posibles que cumplen con esta descripción:

5 B B
3 3
5 C
32°
32°
A b C b

A

Las medidas dadas no describen un único triángulo.

 Halle la amplitud del ángulo C en cada triángulo (llámelos C y C ).

1 2

¿Cuál es la relación entre estos dos ángulos?

 Utilizando estos ángulos para C, halle el ángulo B y la longitud AC en cada triángulo.

Esto se conoce como el cao amguo, y a veces puede suceder, cuando

se dan dos lados y un ángulo del triángulo que no está comprendido entre estos dos lados.

empo 

En un triángulo ABC, Â = 40°, a = 14 cm y c = 20 cm. Resuelva este
triángulo, dando todos los casos posibles. Dé las respuestas con una
aproximación de una cifra decimal.

Respuesta

sen 40° sen C

= Utilizar la CPG en
modo grados
14 20 Redondear a un decimal
Los ángulos
20 sen 40° suplementarios tienen
sen C = el seno de igual valor.
Los dos valores posibles
14 para C dan dos valores
posibles para B.
ˆ
C = 66,7°

1

ˆ ˆ = 113,3°
C = 180° – 66,7°, entonces C

2 2

ˆ
B = 180° – 40° – 66,7° = 73,3°

1

ˆ

B = 180° – 40° – 113,3° = 26,7°

2

{ Continúa en la página siguiente.

384 Trigonometría

B
1

sen 40° sen 73, 3 ° Y nalmente, hallar dos
valores para b, con una
= aproximación de un
decimal
14 b
1

o 73,3°
14 sen 73, 3

b= 20

1 o
sen 140
14

b = 20,9 cm
1

o sen 26, 7 66,7°
sen 40

= 40°

14 b
2

A 20,9 C
1

o
14 sen 26, 7

b =

2 o
sen 40
B
2

b = 9,8 cm

2

26,7°

El caso ambiguo no se produce siempre que se resuelve un triángulo.

20

14

➔ Puede haber un caso ambiguo cuando utilizamos el teorema

del seno si: 113,3°
40°

A C
2
9,8

● Nos dan dos lados y un ángulo agudo no comprendido entre

[ Esto es lo que vemos

ellos.

si dibujamos los

● El lado opuesto al ángulo agudo dado es el menor de los

triángulos.

dos lados dados.

Ejercitación 11H

1 Use la información dada para hallar los lados y ángulos que se

desconocen en el triángulo ABC. Dé todas las soluciones posibles, Algunos de estos no
se relacionan con el
con respuestas aproximadas a una cifra decimal. Todas las caso ambiguo.

longitudes están en centímetros.

a  = 30°, a = 4, y c = 7  ˆ
B = 50°, b = 17, y c = 21

ˆ A
C = 20°, b = 6,8; y c = 2,5
c  Â = 42°, a = 33, y c = 25

10 m

  = 70°, a = 25, y b = 28 f  = 70°, a = 25, y b = 26 6m

g  = 45°, a = 22, y b = 14 h ˆ E B
B = 56°, b = 45, y c = 50

10

2 Obser ve el diagrama a la derecha:

C

a Halle BE, CE y DE

17 m

 ˆˆ ˆ ˆ
Halle las amplitudes de los ángulos EÂB, BCE, BCD, BDC, AB D

ˆ
y CB D

c Explique cómo este diagrama se relaciona con el caso ambiguo

D

del teorema del seno.

PREGUNTA TIPO EXAMEN

3 Un barco está navegando hacia el Oeste cuando el capitán ve un

faro a una distancia de 20 km, sobre un r umbo de 230°.

a Dibuje un diagrama para mostrar la situación.

 ¿Qué distancia debe navegar el barco antes de que el faro esté a

6 km?

c ¿Qué distancia debe navegar el barco más allá del punto hallado

en , antes de que el faro esté nuevamente a una distancia de

6 km del barco?

 ¿Sobre qué r umbo está situado el faro respecto del barco la

segunda vez que los separa una distancia de 6 km?

Capítulo 11 385

. e orma  cono

Los siguientes triángulos no pueden resolverse con el teorema del
seno:

D X
3,63
6,56

8,9

80°

E 8,28 F 13,2 Z
Y
a

Consideremos el triángulo ABC, con altura h desde A al A
lado BC

c b

h

En el triángulo ACD, el teorema de Pitágoras da

2 2 2 2 2 2 Bx D a–x C

b =h + (a – x) =h +a – 2ax + x

En el triángulo ABD,

2 2 2

h +x =c

2 2 2

Por lo tanto, h =c –x

2

Reemplazamos h en la primera ecuación para obtener

2 2 2 2 2

b =c –x +a – 2ax + x

2 2

=c +a – 2ax

x

En el triángulo ABD, cos B = , entonces x = c cos B

c

Reemplazando el valor de x, obtenemos

2 2 2

b =a +c – 2ac cosB

Esta ecuación es una forma del orma  cono

➔ e orma  cono Quizás hayamos visto
2bc cos A escrito
Para ABC, donde a es la longitud del lado opuesto a Â, b es como 2bc cos A, donde
el punto signica
ˆ multiplicar. El teorema
la longitud del lado opuesto a B, y c es la longitud del lado del coseno gura
en el cuadernillo de
ˆ fórmulas.
opuesto a C:

2 2 2

a =b +c – 2bc cos A, o bien

2 2 2

b =a +c – 2ac cos B, o bien

2 2 2

c =a +b – 2ab cos C

386 Trigonometría

empo 

Halle a y los ángulos que se desconocen del triángulo.
A

8,9 cm

80°

13,2 cm C
B
a

Respuesta

2 2 2

a = 13,2 + 8,9 – 2(13,2)(8,9) cos 80° Utilizar el teorema del
coseno
a= 2 2 − 2 (13, 2 ) ( 8, 9 ) cos 80°
Utilizar el teorema del
13, 2 + 8, 9 seno

a = 14,6 cm

sen 80° sen B

=

a 8, 9

8, 9 sen 80°
sen B =

14, 6

ˆ
Por lo tanto, B = 36,9°

ˆ
C = 180° – 80° – 36,9° = 63,1°

Cuando usamos el teorema del coseno para hallar ángulos, a veces
es útil reordenar la fórmula de esta manera:

➔ torma  cono

2 2 2

b +c −a

cos A = B
a
2bc

c

2 2 2

a +c −b

cos B =

2 ac

A b C

2 2 2

a +b −c

cos C =

2 ab

empo 

Halle los ángulos A, B y C
A

6,56 mm

3,63 mm

B 8,28 mm C

{ Continúa en la página siguiente.

Capítulo 11 387

Respuesta

2 2 2

( 3, 63 ) + ( 6, 56 ) ( 8, 28 )

cos A = Utilizar el teorema del
coseno
2 ( 3, 63 ) ( 6, 56 )

2 2 2

( 3, 63 ) + ( 6, 56 ) − (8, 28 ) 2 2 2
b +c a

–1 cos A =
 = cos

2 ( 3, 63 ) ( 6, 56 ) 2bc

 = 105° (3 cs)

2 2 2

( 3, 63 ) + (8, 28 ) − (6, 56 )

cos B = Teorema del coseno
(aquí, se podría usar
2 ( 3, 63 ) ( 8, 28 ) también el teorema del
seno)
2 2 2

( 3, 63 ) + ( 8, 28 ) − ( 6, 56 )

ˆ –1

B = cos

2 ( 3, 63 ) ( 8, 28 )

ˆ
Por lo tanto, B = 49,9°

ˆ
C = 180° – 105° – 49,9°

= 25,1° (3 cs)

Volvamos al ejemplo 5 en la sección .2. Este problema se puede
resolver más rápidamente utilizando el teorema del coseno.

empo 

Dos barcos zar pan al mismo tiempo. El barco A navega 30 km en
dirección Nor te antes de soltar el ancla. El barco B navega 65 km
siguiendo un r umbo de 050° antes de soltar el ancla. Halle, al km más
próximo, la distancia entre los barcos cuando están quietos.

Respuesta B El teorema de
A Pitágoras es un caso
Dibujar el diagrama especial del teorema
del coseno. Analice
65 qué sucede con la
expresión cuando se
30 usa el teorema del
coseno con un ángulo
50° de 90°.

P

2 2 2

AB = 30 +65 – 2(30)(65) × cos50° Utilizar el teorema del coseno

2 2 2

a =b +c – 2bc cos 50 °

2 2

AB = 30 + 65 2 ( 30 ) ( 65 ) cos50°

= 51,17
La distancia entre los barcos es de
51 km (al km más próximo).

388 Trigonometría

Ejercitación 11I

1 Utilice la información dada para hallar todos los ángulos y lados

en cada triángulo. Dé sus respuestas con una aproximación de La trigonometría
de triángulos tiene
una cifra decimal. Todas las longitudes están en metros. muchas aplicaciones
en la vida cotidiana.
a  = 64°, b = 43, y c = 72  a = 20, b = 33, y c = 41

c a = 3,6; b = 4,9; y c = 2,4  ˆ
B = 31°, a = 10, y c = 14

 ˆ f a = 45, b = 50, y c = 58
C = 70°, a = 75, y b = 86

2 Un excursionista deja el campamento y camina 5 km siguiendo

un r umbo de 058°. Se toma un descanso, luego camina otros

8 km siguiendo un r umbo de 03°. Se detiene de nuevo antes de

regresar al campamento, tomando un camino directo. ¿Cuánto

deberá caminar para regresar al campamento?

PREGUNTAS TIPO EXAMEN

3 Las diagonales de un paralelogramo forman un ángulo agudo de

62°. Las longitudes de las diagonales son 6 cm y 9 cm.

Halle las longitudes de los lados del paralelogramo.

4 La ciudad B está a 5 km de la ciudad A, en dirección N36°O. La

ciudad C se encuentra en dirección N27°E de la ciudad A, y la

distancia entre las ciudades A y C es de 20 km. Halle la distancia

entre las ciudades B y C.

5 El barco A deja el puerto y navega 28 km en dirección Este. El

barco B deja el mismo puerto y navega 49 km. La distancia entre los

barcos es ahora de 36 km. ¿Con qué rumbo navegaba el barco B?

E

6 La pirámide ABCDE tiene una base cuadrada de lado 15 cm.

Sus otras caras son triángulos isósceles congrun, cuyos lados

iguales miden 24 cm. 24
C
Halle estos ángulos. B

a ˆ
A BD

 ˆ A
E DC

15

c EÂC D

. Ára  un ránguo

Obser ve al triángulo ABC con base b y altura h B
Podemos hallar el área del triángulo utilizando la fórmula:

c a

h

1

área = bh

2

A D C

h

b

En ADB, sen A = , entonces h = c sen A

c

1

Reemplazando el valor de h en la fórmula, se obtiene área = bc sen A

2

Obser vemos que para usar esta fórmula no hace falta conocer la

altura del triángulo.

Capítulo 11 389

➔ El área de cualquier triángulo ABC viene dada por la fórmula:

1 1 1

área = bc sen A o área = ac sen B o área = ab sen C

2 2 2

empo 

a Halle el área del triángulo ABC

C

7,8 cm

82,7°

8,4 cm

A

B

E

 2
El área de este triángulo es de 50 cm .

8,2 cm

Halle el ángulo θ

D i
13,7 cm

Respuestas

1

1

a Área = Área = ab sen C

( 8, 4 ) ( 7, 8 ) sen 82, 7°

2

2

2

= 32,5 cm (3 cs)

 1
(8, 2) (13,7 ) senθ = 50
A
2

50 b
sen θ = 8,2 cm

1 c En el primer siglo
(8, 2 ) (13, 7 ) de la era cristiana,
Hero (o Herón) de
2 Alejandría desarrolló
un método diferente
100 C i para hallar el área de
un triángulo, utilizando
= = 0 ,8901... 13,7 cm solo la medida de sus
a lados.
(8, 2 ) (13, 7 )
25,1
θ = sen 1
0, 8901 32°

B

= 62,9° (3 cs )

Ejercitación 11J

1 Halle el área de cada triángulo. Todas las longitudes están en centímetros.

a  10 c
13,4
9,4
56,5°

115°

6,8 9

8

  f
8,74 41
7,88 58° 86°

46

30

46°

10,98

390 Trigonometría

2 2
El triángulo mostrado tiene un área de 100 m .

Halle el valor de θ

15 m

i

18 m

3 El triángulo mostrado tiene un área

2
de 324 cm .

x

Halle el valor de x

57,4°

33,9 cm

PREGUNTAS TIPO EXAMEN

4 a Halle el ángulo mayor de este triángulo. El término de
instrucción “a par tir
10,2 cm de lo anterior” indica
que se debe utilizar la
 A partir de lo anterior, halle el área respuesta al apar tado
a para responder al
17,2 cm apar tado 

del triángulo.

16,4 cm

5 El triángulo mostrado tiene un área de 2x + 3
30°
2 4x + 5
30 cm . Halle el valor de x

6 2
El área de un triángulo es de 20 mm .

Dos lados del triángulo miden 8 mm y  mm.

Halle dos longitudes posibles para el tercer lado.

. Raan, arco y cor crcuar Los babilonios creían
que había 360 días
Los ángulos se pueden medir en raan en lugar de grados. en el año y utilizaron
360° para representar
¿Por qué u zamo raan? una revolución.
Una vuelta completa tiene 360°, pero el número 360 resulta una
medida un tanto arbitraria. Los radianes, en cambio, están
directamente relacionados con las medidas propias del círculo. En
esta sección, veremos cómo los radianes están relacionados con la
longitud del arco y el área del sector circular

Un radián es el tamaño del ángulo Dos radianes es el tamaño del
central uno por un arco ángulo central subtendido por un
que tiene la longitud del radio del arco que mide el doble del radio del
círculo. círculo.

B B Un ángulo central
subtendido por un
2r arco es un ángulo cuyo
vér tice es el centro del
r r r círculo y cuyos lados
A i pasan por los puntos
extremos del arco.
i

A

O r O r

θ = 1 radián θ = 2 radianes

Capítulo 11 391

Una vuelta completa alrededor del círculo es subtendida por un arco
de igual longitud que la circunferencia del círculo.

circunferencia = 2π r
Por lo tanto, el ángulo que subtiende la circunferencia del círculo es
2π radianes.

Longitud del arco = circunferencia = 2π r

r
i = 2r radianes

Cualquier ángulo central de un círculo es una fracción de 2π ; por lo
tanto, podemos calcular la longitud del arco del ángulo subtendido
como una fracción de una circunferencia.

 

➔ Longitud del arco =  2 r  = rθ,
 

 2 

donde r es el radio y θ es el ángulo O

central medido en radianes. r

i

r

2

De manera similar, la fórmula para el área de un círculo es área = πr .

El área de un sector circular con un ángulo central θ será una fracción

del área del círculo.

2

   r

Área del sector circular = 2

➔  r  ,



 2  2

donde r es el radio de un círculo y θ es el ángulo central, en

radianes.

empo 

a Halle la longitud del arco que subtiende un

ángulo central de 2,6 radianes (obser ve el

diagrama) en un círculo con un radio de 7 cm. i = 2,6 radianes
7 cm
 Halle el área del sector circular.

Respuestas

a Longitud del arco = 7(2,6) = 18,2 cm Longitud del arco = rθ

2 2
θr
(2, 6 7 ) Área del sector circular =

 Área del sector circular = 2

2

2
= 63,7 cm

392 Trigonometría