อนุกรมอนันต์

1

คาแนะนาในการใช้แบบฝึกคณติ ศาสตรด์ ว้ ยเทคนคิ การจัดการเรยี นรู้ KWDL

1. แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตรเ์ ลม่ น้ี เปน็ แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ด้วยเทคนิคการ
จัดการเรียนรู้ KWDL ชุดที่ 7 เรอ่ื ง ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์ ประกอบดว้ ย
1.1 จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้
1.2 เนือ้ หาและตวั อยา่ ง
1.3 แบบฝึกทักษะ
1.4 แบบทดสอบหลังเรียน
1.5 แบบบนั ทกึ ผลคะแนน
1.6 บรรณานุกรม
2. การทาแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ ใหน้ กั เรยี นปฏบิ ัติ ดังนี้
2.1 นกั เรยี นศกึ ษาเก่ียวกับจุดประสงคก์ ารเรยี นรู้ และตวั อยา่ งให้เข้าใจ

สามารถแลกเปลี่ยนความรู้กับเพื่อนหรือถา้ มขี ้อสงสยั ให้ปรึกษาครู
2.2 นักเรยี นทาแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตรอ์ ยา่ งรอบคอบและมคี วามซอื่ สตั ย์
2.3 นักเรยี นทาแบบทดสอบหลงั เรยี นเม่ือทาแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์

เสร็จเรียบร้อยแล้ว
2.4 นักเรยี นสง่ แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ให้ครตู รวจสอบความถกู ตอ้ ง

2

จุดประสงค์การเรยี นรู้

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ด้วยเทคนิคการจัดการเรียนรู้ KWDL
ชุดที่ 7 เรอื่ ง ผลบวกของอนกุ รมอนันต์

ด้านความรู้
นักเรียนสามารถ

หาผลบวกของอนุกรมอนันต์ที่กาหนดให้ได้ถูกตอ้ ง

ดา้ นทกั ษะกระบวนการ
นักเรยี นสามารถสื่อความหมาย และนาเสนอสญั ลักษณ์ผลบวกอนกุ รมอนันตไ์ ด้

ดา้ นคุณลักษณะอนั พงึ ประสงค์
นักเรยี นมีความซ่ือสัตย์ในกิจกรรมการเรยี นรู้เร่อื งผลบวกอนกุ รมอนันต์

3

แบบฝึกทกั ษะ
หนว่ ยย่อยที่ 2 : อนุกรมอนันต์
ชดุ ท่ี 7 เรื่อง ผลบวกของอนกุ นมอนันต์

ขั้นตอนการแกป้ ญั หาคณิตศาสตรด์ ว้ ยเทคนคิ การจดั การเรียนรู้ KWDL

ขั้นตอนที่ 1 K (What we KNOW)
เรารอู้ ะไรหรอื โจทยบ์ อกอะไร เปน็ ขนั้ ตอนทแี่ บง่ กลุ่มใหน้ ักเรยี นชว่ ยกันหาสง่ิ ทร่ี เู้ กีย่ วกบั โจทย์

ข้นั ตอนท่ี 2 W (What we WANT to know)
เราต้องการร้อู ะไร หรือโจทยใ์ ห้หาอะไร มวี ิธีการอย่างไร ใชว้ ิธีอะไรหรือดาเนนิ ตามกระบวน
การแกโ้ จทยป์ ัญหา เป็นขน้ั ตอนอะไรบา้ ง เปน็ ขัน้ ตอนทีน่ กั เรยี นในกล่มุ รว่ มกันอภิปรายเพื่อหา
สิ่งทตี่ อ้ งการรู้เพ่มิ เติมเกย่ี วกับโจทย์

ข้นั ตอนท่ี 3 D (What we DO to find out)
เราทาอะไร อยา่ งไร หรอื ดาเนนิ การตามกระบวนการแกป้ ญั หา เปน็ ขน้ั ตอนท่ีนักเรยี นชว่ ยกัน
แก้โจทยป์ ัญหา

ขน้ั ตอนที่ 4 L (What we LERNED)
เราเรยี นอะไรหรอื หาคาตอบท่ีไดแ้ ละบอกวิธคี ดิ อย่างไร คาตอบอย่างไร เปน็ ขั้นตอนทีใ่ ห้
นักเรยี น
ช่วยกนั ในกลุ่มสรปุ เปน็ ความรูท้ ไ่ี ดจ้ ากการแก้โจทยป์ ัญหาและสรปุ เปน็ ความร้ทู ไ่ี ดจ้ าการเรียน

4

เนอ้ื หา

ลาดบั ของผลบวกย่อยของอนกุ รม

กาหนด a1  a2  a3  ...  a n  ... เป็นอนกุ รมอนนั ต์ให้

S1  a1
S2  a1  a2
S3  a1  a2  a3
S4  a1 a2 a3 a4

Sn  a1  a2  a3  a4 ...  an

เรียก Sn ว่าเปน็ ผลบวกย่อย n พจน์แรกของอนุกรม เมอื่ n เป็นจานวนเต็มบวก
เรยี กลาดบั อนันต์ S1,S2 ,S3,...,Sn ,... ว่า ลาดับของผลบวกย่อยของอนุกรม

ผลบวกของอนุกรมนันต์

กาหนดอนุกรมอนันต์ a1  a2  a3  ...  a n  ... ให้ S1 ,S2 ,S3 , ... , Sn , ... เป็นลาดับ
Sn S
ของผลบวกยอ่ ยของอนุกรมน้ี ถ้าลาดบั Sn เปน็ ลาดับลู่เข้า โดย lim เมอื่ S เป็นจานวน

n
จริงแล้วจะกล่าวได้วา่ อนุกรม a1  a2  a3  ...  a n  ... เป็นอนุกรมลเู่ ข้า (Convergent

series) เรยี ก S วา่ ผลบวกของอนุกรม ถ้า ลาดับ Sn เป็นลาดับลู่ออก จะกลา่ ววา่

อนุกรม a1  a2  a3  ...  a n  ...

เป็น อนุกรมลอู่ อก(Divergent series)

5

ผลบวกของอนุกรมอนนั ต์ของอนกุ รมเรขาคณิต

กาหนดใหอ้ นุกรมเรขาคณิตมี a1เปน็ พจน์แรก และ r เป็นอตั ราส่วนรว่ ม

ถ้า r  1 แลว้ อนกุ รมนีเ้ ป็นอนกุ รมล่เู ขา้

และมี a1 r เปน็ ผลบวกของอนกุ รม
1
ถ้า r  1 แลว้ อนกุ รมนี้เปน็ อนกุ รมลู่ออก

6

7.1 ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์โดยพจิ ารณาจากลาดับผลบวกยอ่ ยของอนกุ รม

ตวั อยา่ งการหาผลบวกของอนุกรมอนนั ต์โดยพิจารณาจากลาดับผลบวกยอ่ ยของอนกุ รม

คาสงั่ ใหน้ กั เรยี นแตล่ ะกลมุ่ ช่วยกันหาผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์ทก่ี าหนดให้ ตามข้ันตอนการแก้ปัญหา
คณติ ศาสตรด์ ้วยเทคนิคการจัดการเรียนรู้ KWDL โดยเตมิ คาตอบลงในช่องว่าง

ข้ันตอนท่ี 1 K (What we KNOW) เรารูอ้ ะไรหรอื โจทย์บอกอะไร

1. จงพจิ ารณาวา่ อนุกรม 1  1  1  1  ...  1  ... เปน็ อนุกรมลู่เขา้ หรืออนกุ รมลู่
2 22 23 2 n1
ออกและมผี ลบวกเปน็ เทา่ ใด

(K) จากโจทยท์ าใหเ้ รารู้วา่ โจทย์บอกว่า

มอี นกุ รม .................................................................................

.

2. จงพจิ ารณาว่าอนุกรม 1  1  1  1  ...  1 ( 41)n1 เปน็ อนุกรมลเู่ ขา้
2 8 32 64 2
หรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทยท์ าใหเ้ รารู้วา่ โจทยบ์ อกว่า

มอี นุกรม .................................................................................

3. จงพจิ ารณาว่าอนกุ รม 1(1) (3) (5)  ... (32n) ... เป็นอนกุ รมลู่เขา้

หรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด
(K) จากโจทย์ทาใหเ้ รารวู้ ่าโจทยบ์ อกว่า

มอี นุกรม .................................................................................

7

เฉลย

ตัวอย่างการหาผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์โดยพจิ ารณาจากลาดับผลบวกย่อยของอนกุ รม

ข้นั ตอนท่ี 1 K (What we KNOW) เรารอู้ ะไรหรอื โจทย์บอกอะไร

1. จงพิจารณาว่าอนกุ รม 1  1  1  1  ...  1  ... เป็นอนุกรมลเู่ ข้าหรอื อนุกรมลู่
2 22 23 2 n1
ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทย์ทาให้เรารวู้ ่าโจทยบ์ อกวา่

มอี นุกรม 1 1  1  1 ...  1  ...
2 22 23 2 n1

2. จงพิจารณาวา่ อนุกรม 1  1  1  1  ...  1 ( 1 )n1 เปน็ อนุกรมลเู่ ข้า
2 8 32 64 2 4
หรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทยท์ าใหเ้ รารวู้ า่ โจทยบ์ อกว่า

มีอนุกรม 1  1  1  1  ...  1 ( 41) n1
2 8 32 64 2

3. จงพิจารณาว่าอนกุ รม 1(1) (3) (5)  ... (32n) ... เป็นอนกุ รมล่เู ขา้

หรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด
(K) จากโจทย์ทาให้เรารวู้ า่ โจทย์บอกวา่

มีอนุกรม 1(1) (3) (5)  ... (32n) ...

8

ตวั อย่างการหาผลบวกของอนุกรมอนันต์โดยพจิ ารณาจากลาดบั ผลบวกยอ่ ยของอนกุ รม

ข้ันตอนที่ 2 W (What we WANT to know)
เราตอ้ งการรอู้ ะไร หรือโจทยใ์ หห้ าอะไร

1. จงพจิ ารณาวา่ อนุกรม 1  1  1  1 ...  1  ... เปน็ อนกุ รมลเู่ ข้าหรอื อนกุ รมลู่
2 22 23 2 n1
ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(W) จากโจทยท์ าใหเ้ รารวู้ ่าโจทย์ให้หา

คา่ ของ..................................................................................................

2. จงพจิ ารณาวา่ อนกุ รม 1  1  1  1  ...  1 ( 41) n1 เป็นอนกุ รมล่เู ขา้
2 8 32 64 2
หรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(W) จากโจทยท์ าให้เรารู้ว่าโจทย์ให้หา

ค่าของ..................................................................................................

3. จงพจิ ารณาว่าอนกุ รม 1(1) (3) (5)  ... (32n) ... เป็นอนกุ รมล่เู ขา้

หรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด
(W) จากโจทย์ทาให้เราร้วู า่ โจทย์ให้หา

คา่ ของ..................................................................................................

9

เฉลย

ตัวอยา่ งการหาผลบวกของอนุกรมอนันตโ์ ดยพจิ ารณาจากลาดับผลบวกย่อยของอนกุ รม

ข้ันตอนที่ 2 W (What we WANT to know)
เราตอ้ งการรู้อะไร หรือโจทย์ให้หาอะไร

1. จงพจิ ารณาว่าอนุกรม 1  1  1  1 ...  1  ... เปน็ อนุกรมลู่เข้าหรอื อนุกรมลู่
2 22 23 2 n1
ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(W) จากโจทยท์ าใหเ้ รารู้วา่ โจทย์ให้หา

ค่าของอนุกรม 1 1  1  1 ...  1  ... เปน็ อนุกรมลเู่ ข้าหรอื อนุกรมลู่ออกและ
2 22 23 2 n1
ผลบวก

2. จงพิจารณาวา่ อนกุ รม 1  1  1  1  ...  1 ( 41) n1 เป็นอนกุ รมลู่เข้า
2 8 32 64 2
หรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(W) จากโจทย์ทาใหเ้ รารวู้ า่ โจทยใ์ ห้หา

อนุกรม 1  1  1  1  ...  1 ( 1 )n1 เป็นอนุกรมลเู่ ข้าหรืออนกุ รมลู่ออกและผลบวก
2 8 32 64 2 4

3. จงพิจารณาวา่ อนุกรม 1(1) (3) (5)  ... (32n) ... เปน็ อนุกรมลเู่ ขา้

หรืออนกุ รมลู่ออกและมีผลบวกเปน็ เทา่ ใด
(W) จากโจทย์ทาให้เรารวู้ า่ โจทยใ์ หห้ า

อนกุ รม 1(1) (3) (5)  ... (32n) ... เปน็ อนุกรมลู่เขา้ หรืออนุกรมลอู่ อกและ

ผลบวก

10

ตัวอยา่ งการหาผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์โดยพิจารณาจากลาดับผลบวกยอ่ ยของอนุกรม

ขน้ั ตอนที่ 3 D (What we DO to find out)
เราทาอะไร อยา่ งไร หรอื มีวธิ กี ารอย่างไร

1. จงพจิ ารณาวา่ อนกุ รม 1  1  1  1  ...  2 1  ... เปน็ อนกุ รมลเู่ ขา้ หรืออนุกรมลู่
2 22 23
n1

ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(D) จากโจทยท์ าใหเ้ รารู้ว่าเราจะต้องทาดงั นี้

หาลาดบั ผลบวกยอ่ ยของอนกุ รม 1  1  1  1  ...  1  ...
2 22 23 2 n1

S1  1 1 1 1 1 1
2 2 22 23 2 n 1
S2  1  …………………….... 1    ...   ...

S3 1  1  1  …………….... เปน็ อนกุ รมเรขาคณติ มี r  1
2 22 2
. a1(1 rn
1r )
S4 1 1 1 1  ………….. Sn 
2  22  23

 1 1 1 1 1
2 22 23 2 n1 2n
Sn 1    ...   2(1  )

ดังนั้นลาดับผลบวกย่อยของอนุกรมคือ 1, 3 , 7 , 15 ,...,2(1  1 ),...
2 4 8 2n
1 1 1 1
หาผลบวกของอนุกรม 1 2  22  23  ...  2 n1  ...

พิจารณาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม เมื่อ n มคี ่าเพิม่ ข้นึ คา่ ของSn เขา้ ใกล้ 2
ผลบวกคือ S  Sn 2
n
1 1 1 1
ดังนั้น อนุกรม 1  2  22  23  ...  2 n1  ... เป็นอนกุ รม......... มผี ลบวกเทา่ กบั ........

11

2. จงพิจารณาวา่ อนุกรม 1  1  1  1  ...  1 ( 41)n1  ... เป็นอนุกรมลเู่ ข้า
2 8 32 64 2
หรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(D) จากโจทยท์ าให้เรารวู้ ่าเราจะต้องทาดังนี้

หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 1  1  1  1  ...  1 ( 41) n1  ...
2 8 32 64 2
1
S1  2 1 1 1 1 ... 1 ( 41)n1  ...
2 8 32 64 2
1 1     
2 8
S2    ……………………… เป็นอนุกรมเรขาคณติ มี r   1
4
S3  1  1  1  ………………… a1(1 rn
2 8 32 Sn 1r )

1 1 1 1 25
S4  2  8  32  64  64

 1 1 1 1 1 41)n1 2 1
2 8 32 64 2 5 4
Sn      ...  (  (1  ( )n )

ดังนั้นลาดับผลบวกย่อยของอนุกรมคือ 1 , …………………………………………
2
1 1 1 1 1 1
หาผลบวกของอนุกรม 2  8  32  64  ...  2 ( 4 )n1  ...

พิจารณาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม เมื่อ n มีค่าเพิ่มขึ้น คา่ ของSn เขา้ ใกล้ 2
5
2
ผลบวกคือ S  Sn  5

n
1 1 1 1 1 41)n1
ดังนั้น อนุกรม 2  8  32  64  ...  2 (  ... เปน็ อนุกรม…… มผี ลบวก

เท่ากับ 2
5

12

3. จงพิจารณาว่าอนุกรม 1(1) (3) (5)  ... (32n) ... เปน็ อนกุ รมลู่เขา้

หรอื อนกุ รมลอู่ อกและมผี ลบวกเปน็ เทา่ ใด

(D) จากโจทย์ทาให้เรารู้วา่ เราจะต้องทาดังนี้
หาลาดับผลบวกย่อยของอนกุ รม 1(1) (3) (5)  ... (32n) ...

S1 1 1 (1)  (3)  (5)  ...  (3 2n) ...

S2 1 (1)  …………………………… เป็นอนุกรมเลขคณติ มี d  2
S3 1(1) (3)  ……………………
S3 1(1) (3) (5)  …………… Sn  n (a1  a n )
2

 n
2
Sn  1  (1)  (3)  (5)  ...  (3  2n)  (4  2 n)

ดังนั้นลาดับผลบวกย่อยของอนุกรมคือ 1, …………………………………………

หาผลบวกของอนุกรม 1(1) (3) (5)  ... (32n) ...

พิจารณาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม เมื่อ n มีคา่ เพม่ิ ขนึ้ ค่าของSn ลดลงและไมเ่ ขา้ ใกล้
จานวน

ใดจานวนหนึ่ง 1 1 1 1 1 41)n1
2 8 32 64 2
ดังนั้น อนุกรม     ...  (  ... เป็นอนุกรม……...ไม่

สามารถหา

ผลบวกได้

เยย่ี มมากค่ะ

คนเก่ง

13

เฉลย

ตัวอยา่ งการหาผลบวกของอนุกรมอนันตโ์ ดยพิจารณาจากลาดับผลบวกยอ่ ยของอนกุ รม

ข้นั ตอนที่ 3 D (What we DO to find out)
เราทาอะไร อย่างไร หรือมวี ธิ ีการอยา่ งไร

1. จงพจิ ารณาวา่ อนุกรม 1  1  1  1  ...  2 1  ... เปน็ อนกุ รมลู่เขา้ หรืออนกุ รมลู่
2 22 23
n1

ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(D) จากโจทยท์ าใหเ้ ราร้วู ่าเราจะต้องทาดังนี้

หาลาดบั ผลบวกย่อยของอนุกรม 1 1  1  1  ...  1  ...
2 22 23 2 n1

S1  1 1 3 1 1 1 1 ... 1 ...
2 2 2 22 23 2 n 1
S2  1       

S3 1  1  1  7 เปน็ อนกุ รมเรขาคณิตมี r  1
2 22 4 2
n
1 1 1 15 S a1 (1 r )
S4 1 2 22 23 8 n  1r
   

 1 1 1 1 1
2 22 23 2 n1 2n
Sn 1    ...   2(1  )

ดังนั้นลาดับผลบวกย่อยของอนุกรมคือ 1, 3 , 7 , 15 ,...,2(1  1 ),...
2 4 8 2n
1 1 1 1
หาผลบวกของอนุกรม 1 2  22  23  ...  2 n1  ...

พิจารณาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม เมื่อ n มคี ่าเพิ่มขนึ้ คา่ ของSn เข้าใกล้ 2
ผลบวกคือ S  Sn 2
n
1 1 1 1
ดังนั้น อนุกรม1  2  22  23  ...  2 n1  ... เปน็ อนุกรมลู่เข้า มีผลบวกเทา่ กับ 2

14

2. จงพจิ ารณาวา่ อนุกรม 1  1  1  1  ...  1 ( 41)n1  ... เปน็ อนุกรมลู่เขา้
2 8 32 64 2
หรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(D) จากโจทย์ทาใหเ้ รารู้ว่าเราจะต้องทาดังน้ี

หาลาดบั ผลบวกย่อยของอนกุ รม 1  1  1  1  ...  1 ( 41) n1  ...
2 8 32 64 2
1
S1  2 1  1  1  1  ...  1 ( 41)n1  ...
2 8 32 64 2
S2  1  1  3 1
2 8 8 เปน็ อนุกรมเรขาคณิตมี r   4
1 1 1 13
S3  2  8  32  32 Sn a1 (1 r n )
1r
1 1 1 1 25 
2 8 32 64 64
S4     

 1 1 1 1 1 41)n1 2 1
2 8 32 64 2 5 4
Sn      ...  (  (1  ( )n )

ดังนั้นลาดับผลบวกย่อยของอนุกรมคือ 1 , 3 , 7 , 13 ,..., 2 (1  ( 1 ) n ),...
2 8 4 32 5 4
1 1 1 1 1 1
หาผลบวกของอนุกรม 2  8  32  64  ...  2 ( 4 )n1  ...

พิจารณาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม เมื่อ n มีคา่ เพ่มิ ขนึ้ ค่าของSn เขา้ ใกล้ 2
5
2
ผลบวกคือ S  Sn  5

n
1 1 1 1 1 41)n1
ดังนั้น อนุกรม 2  8  32  64  ...  2 (  ... เป็นอนุกรมลเู่ ขา้ มีผลบวก

เท่ากับ 2
5

15

3. จงพจิ ารณาวา่ อนุกรม 1(1) (3) (5)  ... (32n) ... เปน็ อนกุ รมล่เู ขา้

หรืออนุกรมลูอ่ อกและมีผลบวกเปน็ เท่าใด

(D) จากโจทยท์ าใหเ้ รารูว้ า่ เราจะต้องทาดังน้ี
หาลาดับผลบวกย่อยของอนกุ รม 1(1) (3) (5)  ... (32n) ...

S1 1 1 (1)  (3)  (5)  ...  (3 2n) ...
S2 1 (1)  0
S3 1(1) (3)  3 เป็นอนุกรมเลขคณิตมี d  2

S3 1(1) (3) (5)  8 Sn  n (a1  a n )
2

 n
2
Sn  1  (1)  (3)  (5)  ...  (3  2n)  (4  2 n)

ดังนั้นลาดับผลบวกย่อยของอนุกรมคือ 1,0, 7 ,3,8,..., n (4  2n),...
4 2
หาผลบวกของอนุกรม 1(1) (3) (5)  ... (32n) ...

พิจารณาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม เมื่อ n มีคา่ เพมิ่ ขน้ึ คา่ ของSn ลดลงและไมเ่ ข้าใกล้
จานวน

ใดจานวนหนึ่ง

ดังนั้น อนุกรม 1  1  1  1  ...  1 ( 1 ) n1  ... เปน็ อนุกรมลอู่ อก ไม่
2 8 32 64 2 4
สามารถหาผลบวกได้

16

ตวั อยา่ งการหาผลบวกของอนุกรมอนันต์โดยพิจารณาจากลาดับผลบวกย่อยของอนกุ รม

ข้ันตอนท่ี 4 L (What we LEARNED)
เราเรยี นอะไรหรือหาคาตอบที่ไดแ้ ละบอกวิธีคิดอยา่ งไร คาตอบอยา่ งไร

1. จงพิจารณาว่าอนุกรม 1  1  1  1  ...  2 1  ... เปน็ อนกุ รมลู่เข้าหรอื อนุกรมลู่
2 22 23
n1

ออกและมผี ลบวกเป็นเท่าใด

(L) จากโจทย์ทาให้เราได้เรียนรู้ว่า

คาตอบที่ได้คือ 1 1 1
1 22 23 2 n1
อนุกรม1  2    ...   ... เปน็ อนกุ รม............... มผี ลบวกเทา่ กบั

......

สรุปขน้ั ตอนดงั น้ี 1 1 1 1
2 22 23 2 n1
หาลาดบั ผลบวกย่อยของอนุกรม 1    ...   ...

หาผลบวกของอนุกรม

โดยพจิ ารณาลาดับผลบวกย่อยของอนกุ รม เมื่อ n มีคา่ เพม่ิ ขึ้น คา่ ของSn เขา้ ใกล้ จานวน
จริงใด
Sn S
จานวนจรงิ นน้ั คอื lim  เม่อื S เป็นจานวนจรงิ แล้วจะกล่าวไดว้ ่าอนุกรม

n
a1  a2  a3  ...  a n  ... เป็นอนกุ รมลู่เขา้ (Convergent series) เรยี ก S วา่ ผลบวกของ

อนกุ รม

ถ้า ลาดบั Sn เป็นลาดับลู่ออก จะกล่าววา่ อนกุ รม a1  a2  a3  ...  a n  ...

เป็น อนุกรมลอู่ อก(Divergent series) และไม่สามารถหาผลบวกได้

17

2. จงพจิ ารณาว่าอนุกรม 1  1  1  1  ...  1 ( 41) n1  ... เป็นอนกุ รมลเู่ ขา้
2 8 32 64 2
หรืออนกุ รมล่อู อกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(L) จากโจทยท์ าให้เราไดเ้ รียนรูว้ ่า

คาตอบที่ได้คือ

อนุกรม 1  1  1  1  ...  1 ( 41) n1  ... เป็นอนุกรม......... มีผลบวกเท่ากบั ......
2 8 32 64 2
สรุปขั้นตอนดังนี้

หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 1 1  1  1  ...  1  ...
2 22 23 2 n1
หาผลบวกของอนุกรม

จรงิ ใด โดยพิจารณาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม เมื่อ n มีคา่ เพ่ิมขึน้ คา่ ของSn เขา้ ใกล้ จานวน

จานวนจริงน้นั คอื lim Sn  S เมื่อ S เปน็ จานวนจรงิ แล้วจะกล่าวไดว้ า่ อนุกรม

n
a1  a2  a3  ...  a n  ... เปน็ อนกุ รมลเู่ ข้า (Convergent series) เรียก S วา่ ผลบวกของ

อนุกรม

ถา้ ลาดบั Sn เป็นลาดบั ลอู่ อก จะกล่าววา่ อนกุ รม a1  a2  a3  ...  a n  ...

เป็น อนุกรมลอู่ อก(Divergent series) และไม่สามารถหาผลบวกได้

18

3. จงพจิ ารณาวา่ อนุกรม 1(1) (3) (5)  ... (32n) ... เปน็ อนุกรมลู่เขา้

หรืออนกุ รมลอู่ อกและมีผลบวกเปน็ เทา่ ใด

(L) จากโจทยท์ าใหเ้ ราได้เรียนร้วู ่า

คาตอบที่ได้คือ

อนุกรม 1  1  1  1  ...  1 ( 1 )n1  ... เป็นอนกุ รม....................
2 8 32 64 2 4
.............................................................................................................................................

สรุปขน้ั ตอนดังน้ี

หาลาดับผลบวกย่อยของอนกุ รม 1 1  1  1  ...  1  ...
2 22 23 2 n1
หาผลบวกของอนกุ รม

โดยพิจารณาลาดบั ผลบวกย่อยของอนุกรม เมอื่ n มีคา่ เพ่มิ ข้ึน คา่ ของSn เข้าใกล้ จานวน
จริงใด
Sn S
จานวนจรงิ นัน้ คอื lim  เม่อื S เปน็ จานวนจรงิ แลว้ จะกล่าวได้ว่าอนกุ รม

n
a1  a2  a3  ...  a n  ... เปน็ อนุกรมล่เู ข้า (Convergent series) เรียก S ว่าผลบวกของ

อนกุ รม

ถ้า ลาดับ Sn เป็นลาดบั ลอู่ อก จะกลา่ วว่าอนุกรม a1  a2  a3  ...  a n  ...

เปน็ อนกุ รมลู่ออก(Divergent series) และไมส่ ามารถหาผลบวกได้

19

เฉลย

ตัวอยา่ งการหาผลบวกของอนุกรมอนนั ตโ์ ดยพิจารณาจากลาดบั ผลบวกย่อยของอนกุ รม

ขน้ั ตอนที่ 4 L (What we LEARNED)
เราเรยี นอะไรหรือหาคาตอบที่ไดแ้ ละบอกวิธคี ดิ อยา่ งไร คาตอบอยา่ งไร

1. จงพิจารณาว่าอนกุ รม 1  1  1  1  ...  1  ... เปน็ อนกุ รมลเู่ ข้าหรืออนุกรมลู่
2 22 23 2 n1
ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(L) จากโจทย์ทาให้เราไดเ้ รียนรู้วา่

คาตอบที่ได้คือ

อนุกรม 1  1  1  1  ...  1  ... เปน็ อนุกรมลเู่ ข้า มผี ลบวกเทา่ กบั 2
2 22 23 2 n1
สรุปขั้นตอนดังนี้
1 1 1 1
หาลาดับผลบวกยอ่ ยของอนุกรม 1  2  22  23  ...  2 n1  ...

S1  a1

S2  a1  a2

S3  a1  a2  a3

S4  a1 a2 a3 a4



Sn  a1  a2  a3  a4 ...  an

หาผลบวกของอนกุ รม

โดยพจิ ารณาลาดบั ผลบวกย่อยของอนุกรม เมื่อ n มีคา่ เพม่ิ ข้นึ คา่ ของSn เขา้ ใกล้ จานวนจรงิ ใด
จานวนจรงิ น้นั คอื lim Sn  S เมอื่ S เป็นจานวนจรงิ แล้วจะกล่าวไดว้ ่าอนกุ รม

n
a1  a2  a3  ...  a n  ... เปน็ อนุกรมลู่เข้า (Convergent series) เรียก S ว่าผลบวกของ

อนกุ รม

ถา้ ลาดับ Sn เปน็ ลาดบั ลูอ่ อก จะกลา่ ววา่ อนกุ รม a1  a2  a3  ...  a n  ...

เป็น อนุกรมล่อู อก(Divergent series) และไม่สามารถหาผลบวกได้

20

2. จงพิจารณาว่าอนกุ รม 1  1  1  1  ...  1 ( 1 )n1  ... เปน็ อนุกรมลเู่ ขา้
2 8 32 64 2 4
หรอื อนกุ รมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(L) จากโจทยท์ าใหเ้ ราไดเ้ รียนรวู้ า่

คาตอบที่ได้คือ

อนุกรม 1  1  1  1  ...  1 ( 1 ) n1  ... เปน็ อนุกรมลูเ่ ข้า มีผลบวกเทา่ กบั 2
2 8 32 64 2 4 5
สรปุ ข้ันตอนดงั น้ี

หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 1 1  1  1  ...  1  ...
2 22 23 2 n1

S1  a1

S2  a1  a2

S3  a1  a2  a3

S4  a1 a2 a3 a4


Sn  a1  a2  a3  a4 ...  an

หาผลบวกของอนกุ รม

โดยพจิ ารณาลาดบั ผลบวกย่อยของอนกุ รม เมอื่ n มีคา่ เพมิ่ ขึน้ ค่าของSn เข้าใกล้ จานวน
จริงใด
Sn S
จานวนจริงนั้นคือ lim  เมือ่ S เปน็ จานวนจริงแล้วจะกลา่ วไดว้ ่าอนุกรม

n
a1  a2  a3  ...  a n  ... เปน็ อนุกรมลเู่ ข้า (Convergent series) เรียก S ว่าผลบวกของ

อนกุ รม

ถ้า ลาดับ Sn เปน็ ลาดบั ลู่ออก จะกล่าววา่ อนกุ รม a1  a2  a3  ...  a n  ...

เปน็ อนุกรมล่อู อก(Divergent series) และไม่สามารถหาผลบวกได้

21

3. จงพจิ ารณาวา่ อนุกรม 1(1) (3) (5)  ... (32n) ... เปน็ อนุกรมล่เู ขา้

หรอื อนกุ รมล่อู อกและมีผลบวกเป็นเทา่ ใด

(L) จากโจทยท์ าใหเ้ ราไดเ้ รียนรูว้ ่า

คาตอบที่ได้คือ

อนุกรม 1  1  1  1  ...  1 ( 41)n1  ... เป็นอนุกรมลูอ่ อก ไม่สามารถ
2 8 32 64 2
หาผลบวกได้

สรปุ ขนั้ ตอนดงั นี้

หาลาดบั ผลบวกย่อยของอนกุ รม 1 1  1  1  ...  1  ...
2 22 23 2 n1

S1  a1

S2  a1  a2

S3  a1  a2  a3

S4  a1 a2 a3 a4


Sn  a1  a2  a3  a4 ...  an

หาผลบวกของอนกุ รม

โดยพิจารณาลาดับผลบวกย่อยของอนกุ รม เม่อื n มคี ่าเพ่ิมข้ึน คา่ ของSn เขา้ ใกล้ จานวน
จริงใด
Sn S
จานวนจริงน้นั คอื lim  เมอ่ื S เป็นจานวนจรงิ แล้วจะกลา่ วไดว้ า่ อนกุ รม

n
a1  a2  a3  ...  a n  ... เปน็ อนุกรมลูเ่ ข้า (Convergent series) เรยี ก S วา่ ผลบวกของ

อนกุ รม

ถา้ ลาดับ Sn เป็นลาดบั ลู่ออก จะกลา่ วว่าอนกุ รม a1  a2  a3  ...  a n  ...

เป็น อนกุ รมลู่ออก(Divergent series) และไม่สามารถหาผลบวกได้

เมือ่ เข้าใจแลว้
เรมิ่ ทาแบบฝึก
กนั นนะคะ

22

แบบฝึกทักษะท่ี 7.1

เรอ่ื ง ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์

คาช้แี จง ใหน้ ักเรยี นอ่านโจทยแ์ ล้ววเิ คราะห์หาคาตอบด้วยเทคนิค KWDL โดย
เตมิ คาตอบลงช่องวา่ ง

1. จงพจิ ารณาว่าอนกุ รม 7  7  7  7  ...  7 ... เปน็ อนุกรมลเู่ ข้า
10 100 1000 10000 10n
หรอื อนุกรมล่อู อกและมผี ลบวกเปน็ เท่าใด

(K) จากโจทย์ทาใหเ้ รารวู้ ่าโจทยบ์ อกวา่

มีอนุกรม.........................................................................................................

(W) จากโจทยท์ าให้เรารู้ว่าโจทย์ใหห้ า

อนุกรม 7  7  7  7  ...  7 ... เปน็ ......................................
10 100 1000 10000 10n
และ .......................................................................................................

(D) จากโจทย์ทาใหเ้ รารูว้ า่ เราจะตอ้ งทาดังน้ี

หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 7  7  7  7  ...  7 ...
10 100 1000 10000 10n
7
S1  10 1  1  1  1  ...  1 ( 41)n1  ...
2 8 32 64 2
S2 7 7  ……………………….…… 1
 10  100 เป็นอนกุ รมเรขาคณติ มี r   4

S3  7  7  7  …………………… Sn a1 (1 r n )
10 100 1000 1r
7 7 7 7 
10 100 1000 10000
S3      ………….

 7 7 7 7 7 7 (1  ( 110 ) n
10 100 1000 10000 10n 9
Sn      ...   )

23

ดงั นั้นลาดับผลบวกย่อยของอนกุ รมคอื ...........................................................
7 7 7 7 7
หาผลบวกของอนุกรม 10  100  1000  10000  ...  10n ...

พิจารณาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม เมื่อ n มีคา่ เพิม่ ขึ้น คา่ ของSn เขา้ ใกล้ 7
9
ผลบวกคือ S  Sn ………………………………………………
n
7 7 7 107000 ... 7
ดังนั้น อนุกรม 10  100  1000   10n ... เปน็ อนุกรม……. ...................

มีผลบวกเท่ากบั ...............................................................................................

(L) จากโจทย์ทาให้เราได้เรยี นร้วู า่

7 คาตอบที่ได้คือ
10 7 7 7 7
อนุกรม  100  1000  10000  ...  10n ... เป็นอนุกรม........ มผี ลบวกเทา่ กบั ........

สรปุ ขน้ั ตอนดงั นี้

หาลาดับผลบวกยอ่ ยของอนกุ รม 7  7  7  7  ...  7 ...
10 100 1000 10000 10n

S1  a1

S2  a1  a2

S3  a1  a2  a3

S4  a1 a2 a3 a4


Sn  a1  a2  a3  a4 ...  an

หาผลบวกของอนุกรม

โดยพจิ ารณาลาดบั ผลบวกยอ่ ยของอนกุ รม เมือ่ n มีคา่ เพิม่ ขน้ึ ค่าของSn เขา้ ใกล้ จานวน
จริงใด

จานวนจรงิ น้นั คอื nlimSn  S เมอ่ื S เปน็ จานวนจรงิ แล้วจะกลา่ วได้ว่าอนกุ รม
a1  a2  a3  ...  a n  ... เปน็ อนกุ รมลเู่ ขา้ (Convergent series) เรยี ก S ว่าผลบวกของ

อนุกรม ถ้า ลาดบั Sn เป็นลาดับลู่ออก จะกลา่ วว่าอนกุ รม a1  a2  a3  ...  a n  ...

24

เปน็ อนุกรมลูอ่ อก(Divergent series) และไม่สามารถหาผลบวกได้
1 1 1 7 1 1
2. จงพจิ ารณาว่าอนุกรม 2  8  32  64  ...  2 ( 4 )n1  ... เปน็ อนุกรมลเู่ ขา้

หรอื อนกุ รมลอู่ อกและมผี ลบวกเป็นเทา่ ใด

(K) จากโจทยท์ าให้เราร้วู ่าโจทยบ์ อกว่า

มีอนุกรม................................................................................................................

(W) จากโจทยท์ าให้เรารู้ว่าโจทยใ์ ห้หา

อนุกรม 1  1  1  7  ...  1 ( 1 )n1  ... เป็น...........................................
2 8 32 64 2 4
และ.................................................................................

(D) จากโจทย์ทาใหเ้ รารวู้ ่าเราจะตอ้ งทาดงั น้ี

หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 1  1  1  7  ...  1 ( 1 )n 1  ...
2 8 32 64 2 4
1
S1  2 1  1  1  1  ...  1 ( 1 ) n1  ...
2 8 32 64 2 4
S2 1 1  ……………………………………. 1
 2  8 เปน็ อนุกรมเรขาคณติ มี r   4

S3  1  1  1  ……………………………. Sn a1 (1 r n )
2 8 32 1r
1 1 1 1 
2 8 32 64
S4      ……………………..

 1 1 1 1 1 1
2 8 32 64 2 4
Sn      ...  ( ) n1  …………………………………

ดังนั้นลาดับผลบวกย่อยของอนุกรมคือ ..................................................................................

หาผลบวกของอนุกรม 1  1  1  1  ...  1 ( 1 )n1  ...
2 8 32 64 2 4
พิจารณาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม เมื่อ n มคี ่าเพ่มิ ขึ้น ค่าของSn เข้าใกล้.......................
ผลบวกคือ S  Sn  ……………………………………………
n
1 1 1 1 1 41)n1
ดังนั้น อนุกรม 2  8  32  64  ...  2 (  ... เปน็ อนุกรม...........................

มีผลบวกเท่ากับ......................................................................................

25

(L) จากโจทยท์ าให้เราได้เรียนรู้วา่

คาตอบที่ได้คือ

อนุกรม 1  1  1  1  ...  1 ( 41) n1  ... เป็น...............................................
2 8 32 64 2
มี ผลบวกเทา่ กับ....................................................................

สรปุ ขั้นตอนดังน้ี

หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 1  1  1  1  ...  1 ( 41)n1  ...
2 8 32 64 2

S1  a1

S2  a1  a2

S3  a1  a2  a3

S4  a1 a2 a3 a4


Sn  a1  a2  a3  a4 ...  an

หาผลบวกของอนุกรม

โดยพจิ ารณาลาดับผลบวกยอ่ ยของอนุกรม เมอ่ื n มีคา่ เพมิ่ ขน้ึ คา่ ของSn เขา้ ใกล้ จานวน
จรงิ ใด
Sn S
จานวนจริงน้นั คอื lim  เม่ือ S เป็นจานวนจรงิ แล้วจะกล่าวได้วา่ อนุกรม

n
a1  a2  a3  ...  a n  ... เป็นอนกุ รมลู่เขา้ (Convergent series) เรยี ก S ว่าผลบวกของ

อนุกรม ถ้า ลาดับ Sn เป็นลาดับลู่ออก จะกลา่ วว่าอนกุ รม a1  a2  a3  ...  a n  ...

เปน็ อนกุ รมลอู่ อก(Divergent series) และไม่สามารถหาผลบวกได้

26

3. จงพิจารณาวา่ อนกุ รม 1  5  25  ...  (53)n1 ... เปน็ อนุกรมลเู่ ข้า
3 9
หรืออนกุ รมล่อู อกและมผี ลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทย์ทาใหเ้ รารู้ว่าโจทยบ์ อกว่า

มีอนุกรม...............................................................................................................

(W) จากโจทยท์ าให้เรารวู้ า่ โจทยใ์ ห้หา

อนุกรม 1 5  25  ...  ( 5 )n 1  ... เป็นอนุกรม.................................................
3 9 3
และ....................................................................................................................................

(D) จากโจทยท์ าให้เรารู้ว่าเราจะต้องทาดงั นี้

หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 1  5  25  ...  ( 5 )n1  ...
3 9 3

S1  1 5 1  5  25  ...  (35)n1 ...
3 3 9
S 2  1  …………………………………… 5
3
S3  1  5  25  …………………………….. เปน็ อนุกรมเรขาคณิตมี r 
3 9
Sn a1 (rn 1)
  r 1

Sn  1  5  25  ...  ( 5 )n1  ……………
3 9 3
ดังนั้นลาดับผลบวกย่อยของอนุกรมคือ.............................................................................

หาผลบวกของอนุกรม 1  5  25  ...  (53)n1 ...
3 9
พิจารณาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม เมื่อ n มีคา่ เพม่ิ ขึ้น คา่ ของSn ไมเ่ ข้าใกลจ้ านวนใด
จานวน หนง่ึ
5 25  ...  (53)n1 ... เปน็ อนุกรม......................................
ดังนั้น อนุกรม 1  3  9

27

(L) จากโจทย์ทาใหเ้ ราไดเ้ รยี นรูว้ า่

คาตอบที่ได้คือ

อนุกรม1  5  25  ...  (35)n1 ... เปน็ อนุกรม.................................................
3 9
สรุปขัน้ ตอนดังนี้

หาลาดับผลบวกย่อยของอนกุ รม 1  5  25  ...  ( 5 )n 1  ...
3 9 3

S1  a1

S2  a1  a2

S3  a1  a2  a3

S4  a1 a2 a3 a4


Sn  a1  a2  a3  a4 ...  an

หาผลบวกของอนกุ รม

โดยพิจารณาลาดับผลบวกย่อยของอนกุ รม เมอ่ื n มคี า่ เพม่ิ ขึน้ คา่ ของSn เข้าใกล้ จานวน

จริงใด Sn S

จานวนจรงิ น้ันคอื lim  เมอ่ื S เปน็ จานวนจริงแลว้ จะกลา่ วได้ว่าอนุกรม

n
a1  a2  a3  ...  a n  ... เปน็ อนุกรมลู่เขา้ (Convergent series) เรยี ก S ว่าผลบวกของ

อนกุ รม ถา้ ลาดับ Sn เป็นลาดบั ลู่ออก จะกลา่ ววา่ อนุกรม a1  a2  a3  ...  a n  ...

เป็น อนุกรมลอู่ อก(Divergent series) และไมส่ ามารถหาผลบวกได้

ไม่ยากเลยใช่ไหมคะ
คนเก่ง

1

28

4. จงพจิ ารณาว่าอนกุ รม 1  9  19  ...  11  5n  ... เป็นอนุกรมลู่เข้า
2 2 2 2
หรอื อนกุ รมลู่ออกและมีผลบวกเปน็ เท่าใด

(K) จากโจทยท์ าให้เรารวู้ า่ โจทยบ์ อกวา่

มีอนุกรม........................................................................................................................

(W) จากโจทยท์ าใหเ้ รารวู้ า่ โจทยใ์ หห้ า

อนุกรม 1  9  19  ...  11  5n  ... เปน็ …………………………………..
2 2 2 2

(D) จากโจทย์ทาให้เรารู้วา่ เราจะตอ้ งทาดงั นี้

หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 1  9  19  ...  11  5n  ...
2 2 2 2
1
S1  2 1  9  19  ...  11 5n  ...
2 2 2 2
S2  1  9  ………………………………… เป็นอนุกรมเรขาคณิตมี r  9
2 2
1 9 19 a1 (1 r n )
2 2 2 Sn 1r
S3     ……………………………. 

 1 9 19 11
2 2 2 2
Sn     ...   5n  …………………………..

ดังนั้นลาดับผลบวกย่อยของอนุกรมคือ ................................................................................
1 9 19 11
หาผลบวกของอนุกรม 2  2  2  ...  2 5n  ...

พิจารณาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม เมื่อ n มคี า่ เพ่มิ ขึ้น คา่ ของSn ....................................
1 9 19 11
ดังนั้น อนุกรม 2  2  2  ...  2  5n  ... เปน็ อนุกรม...........................................

29

(L) จากโจทยท์ าใหเ้ ราไดเ้ รียนรวู้ า่

คาตอบที่ได้คือ

อนุกรม 1  9  19  ...  11  5n  ... เปน็ อนุกรม...................................................
2 2 2 2
สรปุ ขน้ั ตอนดงั นี้
1 9 19 11
หาลาดบั ผลบวกย่อยของอนกุ รม 2  2  2  ...  2  5n  ...

S1  a1

S2  a1  a2

S3  a1  a2  a3

S4  a1 a2 a3 a4


Sn  a1  a2  a3  a4 ...  an

หาผลบวกของอนุกรม

โดยพิจารณา................................................................................................ เม่ือ n มีคา่

เพิม่ ข้ึน ค่าของSn เข้าใกล้ จานวนจรงิ ใด
จานวนจริงนน้ั คอื .................................................. เม่อื S เป็นจานวนจรงิ แล้วจะกล่าวไดว้ ่าอนกุ รม

a1  a2  a3  ...  a n  ... เปน็ ...................................................................................

เรียก S ว่า...................................................................................................................................

ถ้า ลาดับ Sn เป็นลาดับล่อู อก จะกลา่ ววา่ อนุกรม a1  a2  a3  ...  a n  ...

เป็น อนกุ รม............................................................ และ..............................................................

เก่งมากคะ่ นกั เรยี น
ทาตอ่ นะคะ

30

5. จงพจิ ารณาวา่ อนุกรม 2  4 10 ...(8)6n ... เป็นอนกุ รมลเู่ ขา้
หรืออนกุ รมลอู่ อกและมผี ลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทยท์ าให้เรารวู้ า่ โจทยบ์ อกวา่

มีอนุกรม............................................................................................................................

(W) จากโจทยท์ าใหเ้ ราร้วู ่าโจทยใ์ ห้หา

อนุกรม 2  4 10 ...(8)6n ... เปน็ ......................................................

และ......................................................................................................................................

(D) จากโจทยท์ าให้เรารูว้ า่ เราจะตอ้ งทาดังน้ี

หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 2  4 10 ...(8)6n ...

S1  2 2  4 10 ...(8)6n ...
S2  2  4  …………………………………..
S3  2  4 10 ……………………………. เป็นอนุกรมเรขาคณติ มี d  6
n
 Sn  2 (a1  a n )

Sn  2  4 10  ...  (8)  6n  …………
ดังนั้นลาดับผลบวกย่อยของอนุกรมคือ ...........................................................................

หาผลบวกของอนุกรม 2  4 10 ...(8) 6n ...

พิจารณาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม เมื่อ n มีค่าเพม่ิ ขึน้ ค่าของSn ....................................
ดังนั้น อนุกรม 2  4 10 ...(8)6n ... เป็น..................................................

31

(L) จากโจทยท์ าใหเ้ ราได้เรยี นรวู้ า่

คาตอบที่ได้คือ

อนุกรม 1  9  19  ...  11  5n  ... เปน็ อนุกรม...................................................
2 2 2 2
สรปุ ขน้ั ตอนดังนี้

หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 2  4 10 ...(8)6n ...

S1  a1
S2  a1  a2
S3  a1  a2  a3

S4  a1 a2 a3 a4


Sn  a1  a2  a3  a4 ...  an

หาผลบวกของอนกุ รม

โดยพิจารณา................................................................................................ เมอ่ื n มคี ่า

เพิ่มข้นึ คา่ ของSn เข้าใกล้ จานวนจริงใด
จานวนจริงนั้นคือ.................................................. เมือ่ S เป็นจานวนจรงิ แล้วจะกล่าวได้ว่าอนุกรม

a1  a2  a3  ...  a n  ... เปน็ .....................................................................................

เรยี ก S วา่ .........................................................................................................................................

ถา้ ลาดบั Sn เปน็ ลาดบั ลู่ออก จะกลา่ วว่าอนกุ รม a1  a2  a3  ...  a n  ...

เปน็ อนุกรม............................................................ และ...........................................................

32

6. จงพิจารณาว่าอนุกรม  1  1  1  ...  ( 1 )  1 n  ... เปน็ อนุกรมลู่เข้า
6 6 2 2 3
หรอื อนุกรมล่อู อกและมผี ลบวกเปน็ เท่าใด

(K) จากโจทยท์ าให้เราร้วู า่ โจทยบ์ อกว่า

มีอนุกรม............................................................................................................................

(W) จากโจทย์ทาใหเ้ รารูว้ า่ โจทย์ใหห้ า

อนุกรม  1  1  1  ...  ( 1 )  1 n  ... เปน็ ..................................และ..............
6 6 2 2 3

(D) จากโจทย์ทาใหเ้ ราร้วู า่ เราจะต้องทาดังน้ี

หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม  1  1  1  ...  ( 1 )  1 n  ...
6 6 2 2 3
1
S1   6  1  1  1  ...  ( 1 )  1 n  ...
6 6 2 2 3
S2 1 1 1
  6  6  ……………………………….. เป็นอนกุ รมเรขาคณติ มี d  3

S3   1  1  1  …………………………. Sn  n (a1  an )
6 6 2 2

 1 1 1 1 1
6 6 2 2 3
Sn      ...  ( ) n  ………………………………………

ดังนั้นลาดับผลบวกย่อยของอนุกรมคือ..................................................................................

หาผลบวกของอนุกรม  1  1  1  ...  ( 1 )  1 n  ...
6 6 2 2 3
พิจารณาลาดับผลบวกย่อยของอนกุ รม เมื่อ n มีค่าเพ่ิมขน้ึ ค่าของSn ……………………….
1 1 1 1 1
ดังนั้น อนุกรม  6  6  2  ...  ( 2 )  3 n  ... เปน็ อนกุ รม........................................

33

(L) จากโจทย์ทาให้เราได้เรียนร้วู ่า

คาตอบที่ได้คือ

อนุกรม  1  1  1  ...  ( 1 )  1 n  ... เปน็ ..........................................................
6 6 2 2 3
สรปุ ขั้นตอนดงั น้ี

หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม  1  1  1  ...  ( 1 )  1 n  ...
6 6 2 2 3

S1  a1

S2  a1  a2

S3  a1  a2  a3

S4  a1 a2 a3 a4


Sn  a1  a2  a3  a4 ...  an

หาผลบวกของอนกุ รม

โดยพิจารณา................................................................................................ เมอ่ื n มคี า่

เพิ่มขน้ึ คา่ ของSn เข้าใกล้ จานวนจรงิ ใด
จานวนจรงิ นัน้ คอื .................................................. เม่อื S เปน็ จานวนจริงแล้วจะกลา่ วได้วา่ อนกุ รม

a1  a2  a3  ...  a n  ... เปน็ ...............................................................................

เรยี ก S วา่ .................................................................................................................................

ถ้า ลาดับ Sn เปน็ ลาดับลูอ่ อก จะกล่าววา่ อนุกรม a1  a2  a3  ...  a n  ...

เปน็ อนกุ รม............................................................ และ.............................................................

34

7. จงพจิ ารณาวา่ อนุกรม 3 6 12 ... 3(2)n1 ... เปน็ อนกุ รมลูเ่ ขา้
หรืออนุกรมล่อู อกและมีผลบวกเปน็ เทา่ ใด

(K) จากโจทย์ทาใหเ้ รารู้วา่ โจทยบ์ อกว่า

มีอนุกรม .................................................................................................................

(W) จากโจทย์ทาให้เรารู้ว่าโจทย์ให้หา
อนุกรม 3 6 12 ... 3(2)n1 ... เป็น....................................และ...............

(D) จากโจทยท์ าใหเ้ รารวู้ ่าเราจะต้องทาดงั นี้
หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 36 12 ... 3(2)n1 ...

S1  3 36 12 ... 3(2)n1 ...

S2  3  6  ……………………………….. เปน็ อนกุ รมเรขาคณิตมี r  2
S3  36 12  ………………………….
Sn  a1(1 rn )
 1r

Sn  36 12...3(2)n1 …………..
ดังนั้นลาดับผลบวกย่อยของอนุกรมคือ...............................................................................

หาผลบวกของอนุกรม 36 12 ... 3(2)n1 ...

พจิ ารณาลาดับผลบวกย่อยของอนกุ รม เม่ือ n มีค่าเพ่ิมข้ึน ค่าของSn ..............................................
ดังนั้น อนุกรม 3 6 12 ... 3(2)n1 ... เป็น.......................................................

35

(L) จากโจทยท์ าให้เราไดเ้ รยี นรวู้ ่า

คาตอบที่ได้คือ
อนุกรม 3 6 12 ... 3(2)n1 ... เปน็ .............................................................
สรปุ ขัน้ ตอนดงั น้ี
หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 36 12 ... 3(2)n1 ...

S1  a1
S2  a1  a2
S3  a1  a2  a3
S4  a1 a2 a3 a4

Sn  a1  a2  a3  a4 ...  an

หาผลบวกของอนกุ รม
โดยพจิ ารณา................................................................................................ เมอ่ื n มคี ่า
เพิม่ ข้นึ คา่ ของSn เข้าใกล้ จานวนจริงใด
จานวนจริงนั้นคือ.................................................. เมื่อ S เปน็ จานวนจริงแลว้ จะกล่าวไดว้ ่าอนุกรม

a1  a2  a3  ...  a n  ... เปน็ ......................................................................................

เรียก S ว่า
................................................................................................................................................

ถ้า ลาดับ Sn เปน็ ลาดับลู่ออก จะกลา่ ววา่ อนกุ รม a1  a2  a3  ...  a n  ...

เปน็ อนกุ รม............................................................ และ....................................................................

36

8. จงพิจารณาว่าอนกุ รม 10  5  5  ...  10( 1 ) n1  ... เปน็ อนกุ รมลเู่ ขา้
2 2
หรอื อนุกรมลอู่ อกและมผี ลบวกเปน็ เทา่ ใด

(K) จากโจทยท์ าใหเ้ รารู้วา่ โจทย์บอกวา่

มีอนุกรม.........................................................................................................................

(W) จากโจทย์ทาให้เรารวู้ ่าโจทยใ์ ห้หา

อนุกรม 10 5 5  ...  10(  1 ) n 1  ... เปน็ ..................................และ.................
2 2

(D) จากโจทย์ทาใหเ้ รารู้ว่าเราจะต้องทาดงั นี้

หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 10  5  5  ...  10(  1 ) n 1  ...
2 2
5
S1  10 10  5  2  ... 
S2  10  5  ……………………………………………..
5 1 )n 1
S3  10  5  2  ………………………………………… 10(  2  ...

 เป็นอนกุ รมเรขาคณติ มี
1
Sn  10  5  5  ... 10( 12...).n.....1..........……....……....……....…….....…....…....…......... r   2
2
ดังนั้นลาดับผลบวกย่อยของอนุกรมคือ a1(1 rn )
Sn  1r
5 1
หาผลบวกของอนกุ รม 10  5  2  ...  10(  2 ) n1  ...

พิจารณาลาดบั ผลบวกยอ่ ยของอนุกรม เมื่อ n มคี า่ เพมิ่ ขึน้ คา่ ของSn เข้าใกล้....................................
ผลบวกคือ S  Sn  ………………………………………….
n
5 1
ดงั นัน้ อนกุ รม10  5  2  ...  10( 2 ) n 1  ... เปน็ ......................... มีผลบวกเท่ากบั ...........

37

(L) จากโจทย์ทาใหเ้ ราได้เรยี นร้วู ่า

คาตอบที่ได้คือ

อนุกรม 10  5  5  ...  10( 1 ) n 1  ... เปน็ ........................................................
2 2
สรุปขั้นตอนดังนี้
5 1
หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 10  5  2  ...  10( 2 ) n 1  ...

S1  a1

S2  a1  a2

S3  a1  a2  a3

S4  a1 a2 a3 a4


Sn  a1  a2  a3  a4 ...  an

หาผลบวกของอนุกรม

โดยพจิ ารณา................................................................................................ เม่อื n มีค่า

เพ่มิ ขนึ้ คา่ ของSn เข้าใกล้ จานวนจริงใด
จานวนจริงนน้ั คือ.................................................. เมอื่ S เปน็ จานวนจริงแล้วจะกล่าวไดว้ า่ อนุกรม

a1  a2  a3  ...  a n  ... เปน็ .......................................................................................

เรยี ก S ว่า.............................................................................................................................................

ถา้ ลาดับ Sn เป็นลาดบั ลู่ออก จะกล่าวว่าอนุกรม a1  a2  a3  ...  a n  ...

เป็น อนุกรม............................................................ และ.....................................................................

38

9. จงพจิ ารณาว่าอนกุ รม 1  5  25 ...  1 (5) n 1  ... เป็นอนุกรมลเู่ ข้า
4 4 4 4
หรอื อนุกรมล่อู อกและมผี ลบวกเปน็ เทา่ ใด

(K) จากโจทยท์ าให้เรารู้ว่าโจทยบ์ อกวา่

มีอนุกรม …………………………………………………………………………………

(W) จากโจทยท์ าให้เรารู้ว่าโจทยใ์ หห้ า

อนุกรม 1  5  25 ...  1 (5) n1  ... เป็น…………………………และ………
4 4 4 4

(D) จากโจทยท์ าให้เรารวู้ ่าเราจะตอ้ งทาดงั น้ี

หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 1  5  25 ...  1 (5) n 1  ...
4 4 4 4
1
S1  4 1  5  25  ...  1 (5) n 1  ...
4 4 4 4
S2 1 5 ……………………………………… เป็นอนุกรมเรขาคณิตมี r  5
 4  4 

S3  1  5  25  ……………………………….. Sn  a1(r n 1)
4 4 4 r 1

 1 5 25 1
4 4 4 4
Sn     ...  (5)n 1  ……………………
.............…....…....…............................................................
ดงั นน้ั ลาดบั ผลบวกย่อยของอนกุ รมคอื

หาผลบวกของอนุกรม 1  5  25 ...  1 (5) n1  ...
4 4 4 4
พิจารณาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม เมื่อ n มคี ่าเพ่ิมขึน้ ค่าของSn .....................................
1 5 25 1
ดังนั้น อนุกรม 4  4  4  ...  4 (5) n 1  ... เปน็ อนกุ รม......................................

39

(L) จากโจทยท์ าให้เราไดเ้ รียนรู้ว่า

คาตอบที่ได้คือ

อนุกรม 1  5  25  ...  1 (5) n 1  ... เปน็ ................................................................
4 4 4 4
สรปุ ขัน้ ตอนดงั น้ี

หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 1  5  25 ...  1 (5) n 1  ...
4 4 4 4

S1  a1

S2  a1  a2

S3  a1  a2  a3

S4  a1 a2 a3 a4


Sn  a1  a2  a3  a4 ...  an

หาผลบวกของอนุกรม

โดยพจิ ารณา................................................................................................ เมอื่ n มคี ่า

เพ่ิมข้ึน คา่ ของSn เขา้ ใกล้ จานวนจรงิ ใด
จานวนจรงิ นนั้ คือ.................................................. เม่อื S เปน็ จานวนจรงิ แล้วจะกล่าวได้ว่าอนกุ รม

a1  a2  a3  ...  a n  ... เป็น.......................................................................................

เรียก S ว่า

................................................................................................................................................

ถ้า ลาดบั Sn เปน็ ลาดับลอู่ อก จะกลา่ วว่าอนุกรม a1  a2  a3  ...  a n  ...

เปน็ อนุกรม............................................................ และ....................................................................

40

10. จงพจิ ารณาวา่ อนุกรม  2  1  1  ...  ( 2 )( 83 ) n 1  ... เปน็ อนุกรมลู่เข้า
9 12 32 9
หรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทยท์ าให้เรารวู้ ่าโจทยบ์ อกวา่

มีอนุกรม............................................................................................................

(W) จากโจทยท์ าใหเ้ รารูว้ า่ โจทย์ใหห้ า

อนุกรม  2  1  1  ...  ( 2 )( 3 ) n1  ... เปน็ .....................และ............
9 12 32 9 8

(D) จากโจทย์ทาให้เรารวู้ า่ เราจะต้องทาดงั นี้

หาลาดบั ผลบวกยอ่ ยของอนุกรม 2  1  1  ...  ( 2 )( 3 ) n 1  ...
9 12 32 9 8
2
S1  9 2  1  1  ...  ( 2 )( 3 ) n1  ...
S2  2 9 12 32 9 8
S3  9 1 ………………………………………เปน็ อนุกรมเรขาคณิตมี r  3
2  12   8
9  1 
12 1  ……………………………….. Sn a1 (1 r n )
32 1r



ดังน้ันลSาnดบั ผ29ลบว1ก12ย่อยข31อ2งอน..ุก. รม(คือ9.2...).(......83..)..n.....1..........……....……....……....….....…....…....…....…..................................

หาผลบวกของอนกุ รม 2  1  1  ...  ( 2 )( 3 ) n1  ...
9 12 32 9 8
พจิ ารณาลาดับผลบวกยอ่ ยของอนกุ รม เมือ่ n มคี า่ เพม่ิ ขึน้ ค่าของSn ..............................................
ผลบวกคอื S  Sn …………………………………………………………………….
n
2 1 1 2 3
ดังนนั้ อนุกรม 9  12  32  ...  ( 9 )( 8 ) n 1  ... เปน็ ……….. มีผลบวกเทา่ กับ.............

41

(L) จากโจทยท์ าใหเ้ ราไดเ้ รียนรวู้ ่า

คาตอบที่ได้คือ

อนุกรม 2  1  1  ...  ( 2 )( 83 ) n 1  ... เปน็ ............... มีผลบวกเทา่ กับ........
9 12 32 9
สรปุ ข้นั ตอนดงั น้ี

หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 2  1  1  ...  ( 2 )( 3 ) n 1  ...
9 12 32 9 8

S1  a1

S2  a1  a2

S3  a1  a2  a3

S4  a1 a2 a3 a4


Sn  a1  a2  a3  a4 ...  an

หาผลบวกของอนุกรม

โดยพิจารณา................................................................................................ เม่ือ n มีคา่

เพม่ิ ขึน้ คา่ ของSn เขา้ ใกล้ จานวนจรงิ ใด
จานวนจริงนนั้ คอื .................................................. เมื่อ S เปน็ จานวนจรงิ แลว้ จะกล่าวได้วา่ อนุกรม

a1  a2  a3  ...  a n  ... เปน็ .......................................................................................

เรยี ก S ว่า

................................................................................................................................................

ถ้า ลาดบั Sn เปน็ ลาดบั ลู่ออก จะกล่าววา่ อนุกรม a1  a2  a3  ...  a n  ...

เปน็ อนกุ รม.......................................................... และ......................................................................

ไดค้ ะแนนเต็มแน่ๆ
เลยคนเก่ง

42

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน

แบบฝึกทกั ษะที่ 7.1

1. ข้นั K บอกสิง่ ทโ่ี จทย์กาหนดให้
- บอกสิ่งทีโ่ จทยก์ าหนดใหถ้ กู ตอ้ ง ขอ้ ละ 1 คะแนน
- บอกส่งิ ที่โจทย์กาหนดใหไ้ มถ่ กู ต้อง ขอ้ ละ 0 คะแนน
2. ขั้น W บอกสิง่ ที่โจทย์ให้หาอะไร
- บอกส่งิ ท่โี จทยใ์ หห้ าอะไรถกู ตอ้ ง ขอ้ ละ 1 คะแนน
- บอกส่ิงทโี่ จทย์ใหห้ าใหไ้ มถ่ กู ต้อง ข้อละ 0 คะแนน
3. ขน้ั D จากโจทย์ทาใหเ้ รารู้วา่ จะตอ้ งทาอะไร
- แสดงการหาผลบวกยอ่ ยของอนกุ รม ไดถ้ ูกตอ้ ง ขอ้ ละ 1 คะแนน
- แสดงการหาผลบวกยอ่ ยของอนุกรม ไมถ่ กู ตอ้ ง ข้อละ 0 คะแนน
- แสดงคาตอบ ได้ถูกต้อง ข้อละ 1 คะแนน
- แสดงคาตอบ ไม่ถกู ต้อง ขอ้ ละ 0 คะแนน
4. ข้นั L จากโจทยท์ าให้เราเรียนรู้อะไร
- อธิบายสิง่ ที่ไดเ้ รียนรู้จากโจทย์โดยบอกวิธีคิดและคาตอบทถี่ กู ตอ้ ง
ข้อละ 1 คะแนน
- อธิบายสิ่งทีไ่ ดเ้ รยี นรจู้ ากโจทยโ์ ดยบอกวธิ คี ิดและคาตอบทถ่ี ูกต้อง
ขอ้ ละ 0 คะแนน

รวมคะแนน 50 คะแนน

43

7.2 ผลบวกของอนกุ รมอนนั ตโ์ ดยพิจารณาจากลาดบั ผลบวกยอ่ ยของอนุกรม

ตัวอยา่ งการหาผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์
โดยพิจารณาจากลิมิตของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รกของอนกุ รม

คาส่งั ให้นักเรยี นแตล่ ะกลุม่ ช่วยกนั หาผลบวกของอนุกรมอนันต์ทีก่ าหนดให้ ตามขัน้ ตอนการแกป้ ัญหา
คณติ ศาสตร์ด้วยเทคนิคการจดั การเรยี นรู้ KWDL โดยเติมคาตอบลงในช่องวา่ ง

ขน้ั ตอนท่ี 1 K (What we KNOW) เรารู้อะไรหรอื โจทยบ์ อกอะไร

1. จงพจิ ารณาว่าอนกุ รม 9  3  1  1  ...
3
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทยท์ าให้เรารวู้ ่าโจทยบ์ อกว่า

มีอนุกรม……………………………………………………………………………

2. จงพจิ ารณาว่าอนุกรม 211815...

เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทย์ทาใหเ้ รารวู้ า่ โจทยบ์ อกวา่
มีอนุกรม……………………………………………………………………………

44

3. จงพจิ ารณาว่าอนุกรม 14 916...

เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด
(K) จากโจทย์ทาให้เรารู้วา่ โจทยบ์ อกวา่

มีอนกุ รม……………………………………………………………………………

4. จงพจิ ารณาว่าอนกุ รม 6

(2n  1)( 2 n  3)
n1
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทยท์ าให้เรารวู้ า่ โจทย์บอกว่า

มีอนุกรม……………………………………………………………………………

5. จงพิจารณาวา่ อนุกรม 1  3  5  ...  (2n 1) ...
5 25 125 5n
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทยท์ าให้เรารวู้ ่าโจทย์บอกวา่

มีอนุกรม……………………………………………………………………………

เกง่ มากคะ่ นกั เรยี น

45

เฉลย

ตวั อย่างการหาผลบวกของอนุกรมอนนั ต์
โดยพิจารณาจากลมิ ติ ของผลบวกย่อย n พจนแ์ รกของอนกุ รม

ข้นั ตอนท่ี 1 K (What we KNOW) เรารอู้ ะไรหรอื โจทย์บอกอะไร

1. จงพจิ ารณาว่าอนุกรม 9  3  1  1  ...
3
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทย์ทาให้เรารู้วา่ โจทย์บอกว่า

มีอนุกรม 9  3 1  1  ...
3

2. จงพิจารณาว่าอนกุ รม 211815...

เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทยท์ าให้เราร้วู า่ โจทย์บอกว่า

มีอนกุ รม 211815...

3. จงพจิ ารณาว่าอนุกรม 14 916...

เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทยท์ าใหเ้ รารู้วา่ โจทย์บอกวา่

มีอนุกรม 14 916...

46

4. จงพจิ ารณาวา่ อนกุ รม 6

(2n  1)( 2 n  3)
n1
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทย์ทาให้เรารู้วา่ โจทย์บอกว่า

มีอนุกรม  (2 n 6 n  3)
 1)( 2


n1

5. จงพิจารณาว่าอนุกรม 1  3  5  ...  (2n 1) ...
5 25 125 5n
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทยท์ าใหเ้ รารวู้ า่ โจทย์บอกวา่

มีอนกุ รม 1  3  5  ...  (2n 1)  ...
5 25 125 5n

สู้ ๆนะคะ ไมย่ ากเลย

47

ตวั อย่างการหาผลบวกของอนุกรมอนันต์
โดยพจิ ารณาจากลมิ ติ ของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รกของอนกุ รม

ขั้นตอนที่ 2 W (What we WANT to know)
เราต้องการรูอ้ ะไร หรอื โจทยใ์ ห้หาอะไร

1. จงพจิ ารณาวา่ อนกุ รม 9  3 1 1  ...
3
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(W) จากโจทยท์ าให้เราร้วู ่าโจทย์ใหห้ า

ค่าของ…………………………………………………………………………………………

2. จงพจิ ารณาวา่ อนกุ รม 211815...

เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด
(W) จากโจทย์ทาใหเ้ รารวู้ ่าโจทย์ใหห้ า

ค่าของ…………………………………………………………………………………………

48

3. จงพจิ ารณาว่าอนกุ รม 14 916...

เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด
(W) จากโจทย์ทาให้เรารู้ว่าโจทย์ให้หา

...................................................................ของอนุกรม

4. จงพจิ ารณาวา่ อนุกรม  6
 1)( 2 n
 (2n  3)

n1
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(W) จากโจทยท์ าใหเ้ รารูว้ ่าโจทย์ใหห้ า

...................................................................ของอนกุ รม

5. จงพิจารณาวา่ อนุกรม 1  3  5  ...  (2n 1) ...
5 25 125 5n
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(W) จากโจทย์ทาให้เรารู้วา่ โจทยใ์ หห้ า

...................................................................ของอนกุ รม

เกง่ มากค่ะ

49

เฉลย

ตัวอยา่ งการหาผลบวกของอนุกรมอนันต์
โดยพจิ ารณาจากลมิ ติ ของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รกของอนกุ รม

ข้นั ตอนที่ 2 W (What we WANT to know)
เราต้องการรูอ้ ะไร หรอื โจทยใ์ หห้ าอะไร

1. จงพิจารณาว่าอนุกรม 9  3 1 1  ...
3
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(W) จากโจทย์ทาใหเ้ รารูว้ ่าโจทย์ใหห้ า

ค่าของอนุกรม 9  31  1  ... เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลอู่ อกและมผี ลบวกเป็นเทา่ ใด
3

2. จงพจิ ารณาว่าอนุกรม 211815...

เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(W) จากโจทยท์ าใหเ้ รารู้ว่าโจทยใ์ หห้ า

ค่าของอนุกรม 211815...

เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

50

3. จงพจิ ารณาวา่ อนกุ รม 14 916...

เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(W) จากโจทย์ทาให้เรารวู้ า่ โจทยใ์ ห้หา

ค่าของ อนุกรม 14 916...

เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

4. จงพจิ ารณาวา่ อนุกรม  6
 1)( 2 n
 (2n  3)

n1
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(W) จากโจทย์ทาใหเ้ รารู้ว่าโจทยใ์ หห้ า

ค่าของ อนุกรม  6
 1)( 2 n
 (2n  3)

n1
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

5. จงพิจารณาว่าอนุกรม 1  3  5  ...  (2n 1) ...
5 25 125 5n
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(W) จากโจทย์ทาให้เรารวู้ า่ โจทย์ใหห้ า

ค่าของ อนุกรม 1  3  5  ...  (2n 1) ...
5 25 125 5n
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด