อนุกรมอนันต์

101

16. จงพจิ ารณาวา่ อนุกรม  3
1)(2n 1)(2n
 (2n  3)

n1
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทย์ทาใหเ้ รารวู้ า่ โจทยบ์ อกวา่

มีอนุกรม..........................................................................................................................

(W) จากโจทย์ทาใหเ้ ราร้วู า่ โจทย์ให้หา

อนุกรม  (2n 3  3) เปน็ ....................................และ.......................
1)(2n 1)(2n


n1

(D) จากโจทยท์ าให้เรารู้วา่ เราจะตอ้ งทาดังนี้

หาผลบวกย่อย n พจนแ์ รก( Sn )ของอนุกรม  (2n 3  3)
1)(2n 1)(2n

อนุกรม
n1

 (2n 1)(2 3 1)(2n  3)  1 3 5  3  3  ...  (2n 1)(2 3 1)(2n  3)  ...
n 3 357 5710 n


n1

เป็นอนุกรมทีเ่ กิดจากลาดบั ที่มพี จนท์ ว่ั ไปสามารถจัดอยใู่ นรูปผลต่างของเศษสว่ นยอ่ ยได้

(อนุกรม Telescopic)รูปแบบ k  k 4  a k a5  ...  k  ...
a1a2a3 a2a3a 3a4 a n a n 1a n 2
1 1 1
S n  k( a3  a1 )( a1a2  a n 1a n2 )

แทนค่า ……………………………………………….…………………….

หาลมิ ติ ผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก( S n ) ของอนกุ รม  3
1)(2n 1)(2n
 (2n  3)

1 1)(113 n1 1
 1)(2n
lim Sn  lim 3( 5  (2n   3) )

n n

 ………………………………………….………………….

 …………………………………………………………….

102

ผลบวกของอนุกรมอนันต์(S)  lim Sn

n

 ……………………….

ดังนน้ั อนกุ รมอนันต์นี้ เป็นอนกุ รมลเู่ ขา้ และมผี ลบวกเท่ากับ ........................................................

(L) จากโจทยท์ าใหเ้ ราไดเ้ รยี นร้วู ่า

คาตอบท่ีไดค้ อื

อนุกรมอนันต์ 3 เป็น.......................และมีผลบวกเทา่ กับ

(2n 1)(2n 1)(2n  3)
n1
............

สรุปขั้นตอนดังนี้

หาผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนุกรม
หาลิมติ ของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )
พิจารณาอนุกรมลู่เข้าหรืออนกุ รมล่อู อกและผลบวกของอนกุ รม

โดยพิจารณาลมิ ติ ของลาดับของผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn ) ถ้า lim S n  S

เมือ่ S เป็นจานวนจรงิ แล้วจะกลา่ วไดว้ า่ อนกุ รม n

a1  a2  a3  ...an ... เป็นอนุกรม............................ และมี......................................

ถ้า ลมิ ิตของลาดับของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn ) หาค่าไมไ่ ด้ จะกลา่ วว่าอนกุ รม
a1  a2  a3  ...an ...เปน็ อนุกรม..........................และ......................................

103

17. จงพิจารณาว่าอนกุ รม  (3n  5 5)(3n  8)
2)(3n 


n1
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทยท์ าใหเ้ ราร้วู ่าโจทย์บอกว่า

มีอนุกรม............................................................................................................................

(W) จากโจทย์ทาใหเ้ ราร้วู า่ โจทยใ์ หห้ า

อนุกรม  (3n  5 5)(3n  8) เป็น.........................................และ..................
2)(3n 


n1

(D) จากโจทยท์ าใหเ้ รารูว้ า่ เราจะตอ้ งทาดงั นี้

หาผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก( Sn )ของอนุกรม  (3n  5 5)(3n  8)
2)(3n 

อนุกรม
n1

 (3n  5 5)(3n  8)  5  8 5  5 17  ...  (3n  5 5)(3n  8)  ...
2)(3n  5811 1114 1114 2)(3n 


n1

เปน็ อนกุ รมท่ีเกิดจากลาดบั ที่มพี จน์ทั่วไปสามารถจดั อยใู่ นรปู ผลต่างของเศษส่วนยอ่ ยได้

(อนุกรม Telescopic)รปู แบบ k  a 2 k 4  a k a5  ...  k  ...
a1a2a3 a3a 3a4 a n a n 1a n 2
1 1 1
S n  k( a3  a1 )( a1a2  a n 1a n2 )

แทนค่า …………………………………………………………………………….

หาลิมติ ผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) ของอนกุ รม  5
2)(3n  5)(3n 8)
 (3n 

nlim5(111 )( 518 n1 1
5)(3n
nlimSn  5  (3n   8) )

 ……………………………………………….……….

 ……………………………………………….……….

104

ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์(S)  lim Sn

n

 ……………………………………………………..…………….

ดงั น้ัน อนกุ รมอนนั ต์นี้ เป็นอนกุ รมลู่เข้า และมีผลบวกเทา่ กับ..........................................................

(L) จากโจทยท์ าใหเ้ ราไดเ้ รียนรวู้ า่

คาตอบที่ได้คือ

อนุกรมอนันต์  5 เป็น................... และมีผลบวกเท่ากับ.............
 2)(3n  5)(3n
 (3n  8)

n1
สรุปขั้นตอนดังนี้

หาผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )ของอนกุ รม
หาลิมิตของผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn )
พิจารณาอนุกรมลู่เข้าหรอื อนุกรมลอู่ อกและผลบวกของอนุกรม

โดยพิจารณาลมิ ิตของลาดับของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) ถ้า nlimSn  S

เมอ่ื S เปน็ จานวนจรงิ แล้วจะกล่าวไดว้ า่ อนุกรม

a1  a2  a3  ...an ... เปน็ อนุกรม............................ และมี......................................

ถา้ ลมิ ติ ของลาดับของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) หาค่าไม่ได้ จะกลา่ ววา่ อนกุ รม
a1  a2  a3  ...an ...เปน็ อนกุ รม..........................และ......................................

ตั้งใจตอ่ ไปนะคะ

105

18. จงพจิ ารณาวา่ อนกุ รม 3  5  7  9  ...
3 32 33 34
เป็นอนกุ รมลู่เขา้ หรืออนุกรมลอู่ อกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทย์ทาใหเ้ ราร้วู า่ โจทย์บอกวา่

มีอนุกรม .........................................................................................................................

(W) จากโจทยท์ าให้เรารู้วา่ โจทยใ์ หห้ า

อนุกรม 3  5  7  9  ... เป็น...........................................และ........................
3 32 33 34

(D) จากโจทย์ทาให้เรารวู้ ่าเราจะตอ้ งทาดงั นี้

หาผลบวกของอนุกรมอนันต์ (S) ของอนกุ รม 3  5  7  9  ...
3 32 33 34
3 5 7 9
อนุกรม 3  32  33  34  ...

เปน็ อนกุ รมถูกสรา้ งจากการนาพจนท์ สี่ มนัยกันของลาดบั เรขาคณิตและลาดบั อื่นๆมาคูณกนั เพอ่ื สรา้ ง

พจนท์ วั่ ไปหรอื อนุกรม b1a1 + b2a2 + b3a3 + ... + bnan + ... 1
1 1 3
มพี จนท์ ว่ั ไปคือ an  bn  3n มี 3n เปน็ ลาดับเรขาคณติ มี r 

หาผลบวกของอนุกรมอนันต์ (S)ไดด้ งั น้ี

ให้ 3  5  7  9  ... ...............(1)
3 32 33 34
1 S 3 5 7 9
(1) r  (1) 3 ; 3  32  33  34  35  ... …………(2)

(1) (2) ; 2 S 1 2  2  2  ...  2  ...
3 32 33 34 3n
2
3 S  ............................ 2  2  2 ...  2  ... เป็น
 ….……………………. 32 33 34 3n
2 1
อนุกรมเรขาคณติ มี a1  32 และ r  3

………………………. ถา้ r  1 แล้ว อนุกรมนเี้ ป็นอนุกรมลเู่ ข้า
a1
ดังน้ัน อนุกรมอนันต์นี้ เปน็ อนกุ รมลู่เข้า และมี 1 เปน็ ผลบวกของอนุกรม

และมผี ลบวกเทา่ กับ 4 r
3

106

(L) จากโจทยท์ าใหเ้ ราไดเ้ รยี นรวู้ า่

คาตอบที่ไดค้ อื

อนกุ รมอนนั ต์ 3  5  7  9 ...เปน็ ………………… และมผี ลบวกเทา่ กบั ..............
3 32 33 34
สรุปขั้นตอนดังนี้

สมมุติผลบวกอนุกรมอนันต์ เป็นตวั แปรหนึ่งตัว( S ) เทา่ กับอนุกรมทโ่ี จทย์

ตอ้ งการหาโดยแจกแจงออกมา ใหเ้ ป็นสมการท่ี 1

S = b1a1 + b2a2 + b3a3 + ... + bnan  ... ……….. (1)
แลว้ ทาการหาคา่ S โดยการสรา้ งสมการที่ (2) ซ่งึ เกิดจากสมการท่ี (1)

ด้วยการคูณ r แล้วนาสมการทงั้ 2 มาลบกัน (1) - (2) โดยทางด้านท่แี จกแจงอนกุ รม

นั้นใหน้ าพจนท์ ่ีมสี ว่ นเทา่ กันหรอื มีเทอมของอนุกรมเรขาเหมือนกันมาลบกนั ซง่ึ ผลของ

การลบจะได้อนกุ รมขึน้ มาใหม่ ใหพ้ จิ ารณาวา่ เปน็ อนุกรมเรขาคณติ หรือไม่ ถ้าเปน็

อนกุ รมเรขาก็ใชส้ ูตร............................. ของอนุกรมเรขา หา S แต่ถา้ ยังไมเ่ ป็นอนกุ รมเรขา ให้

ทาซา้

อีกคร้งั โดยใช้ สมการทีไ่ ด้จากผลของการลบกนั (1) - (2) เป็นสมการแรกสรา้ งสมการ

อกี สมการด้วยการคณู r แล้วนาสองสมการมาลบกนั ทาเชน่ นีไ้ ปเรื่อยๆ จนกว่าจะได้

อนกุ รมเรขา

19. จงพิจารณาวา่ อนกุ รม 15 252 353  454 ...

107

เปน็ อนกุ รมลู่เขา้ หรอื อนุกรมลอู่ อกและมผี ลบวกเปน็ เทา่ ใด

(K) จากโจทยท์ าให้เรารู้ว่าโจทยบ์ อกวา่

มีอนุกรม................................................................................................................

(W) จากโจทยท์ าให้เรารู้ว่าโจทยใ์ ห้หา

อนุกรม 15 252 353  454 ... เป็น.............................และ........................

(D) จากโจทย์ทาใหเ้ รารวู้ า่ เราจะตอ้ งทาดงั น้ี

หาผลบวกของอนุกรมอนันต์(S) ของอนุกรม 15 252 353  454 ...
อนกุ รม 15 252 353  454 ...

เปน็ อนกุ รมถูกสร้างจากการนาพจน์ท่สี มนยั กนั ของลาดบั เรขาคณติ และลาดบั อน่ื ๆมาคณู กันเพ่ือ

สรา้ งพจนท์ ่ัวไปหรือ อนกุ รม b1a1 + b2a2 + b3a3 + ... + bnan + ...

มีพจนท์ ั่วไปคือ an  bn 5n มี 5n เป็นลาดับเรขาคณติ มี r  5

หาผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์ (S) ได้ดังน้ี

ให้ S 15 252 353  454 ... ...............(1)
(1)r  (1)5; 5S 152  253 354  455 ... …………(2)

(1) (2) ; 4S 15152 153 154 155 ....

 4 S  .............................. 15152 153 154 155 ....

S  ............................... เป็นอนุกรมเรขาคณิตมี a1  5 และ r  5

 5............................... ถ้า r  1 แลว้ อนกุ รมน้เี ปน็ อนุกรมลเู่ ขา้
1.6 a1
และมี 1 เป็นผลบวกของอนกุ รม
r

ดงั นนั้ อนกุ รมอนนั ตน์ ้ี เปน็ อนุกรมลู่เข้า และมผี ลบวกเท่ากับ..................................................

(L) จากโจทย์ทาใหเ้ ราไดเ้ รยี นรู้วา่

108

คาตอบท่ีได้คอื
อนุกรมอนันต์ 15 252 353  454 ...เปน็ .................. และมีผลบวกเท่ากบั .............

สรุปขั้นตอนดังนี้

สมมตุ ผิ ลบวกอนกุ รมอนนั ต์ เป็นตัวแปรหนง่ึ ตัว( S ) เทา่ กบั อนุกรมทโี่ จทย์

ตอ้ งการหาโดยแจกแจงออกมา ให้เปน็ สมการที่ 1

S = b1a1 + b2a2 + b3a3 + ... + bnan  ... ……….. (1)
แลว้ ทาการหาคา่ S โดยการสรา้ งสมการท่ี (2) ซง่ึ เกดิ จากสมการท่ี (1)

ดว้ ยการคณู r แลว้ นาสมการทง้ั 2 มาลบกนั (1) - (2) โดยทางด้านทแ่ี จกแจงอนุกรม
น้ันใหน้ าพจนท์ ่ีมีส่วนเทา่ กันหรือมเี ทอมของอนกุ รมเรขาเหมอื นกันมาลบกนั ซ่ึงผลของ
การลบจะได้อนกุ รมขนึ้ มาใหม่ ใหพ้ จิ ารณาว่าเป็นอนกุ รมเรขาคณติ หรอื ไม่ ถ้าเป็น

อนุกรมเรขากใ็ ช้สตู ร............................ ของอนกุ รมเรขา หา S แตถ่ ้ายงั ไม่เป็นอนุกรมเรขา ให้

ทาซา้ อีกครัง้ โดยใช้ สมการทไ่ี ดจ้ ากผลของการลบกนั (1) - (2) เปน็ สมการแรกสร้างสมการ
อกี สมการดว้ ยการคณู r แลว้ นาสองสมการมาลบกนั ทาเชน่ น้ีไปเรอื่ ยๆ จนกว่าจะได้
อนกุ รมเรขา

เยยี่ มมากๆ เลยค่ะ

20. จงพจิ ารณาว่าอนกุ รม 3  4  6  9  13  ...
2 4 8 16 32

109

เปน็ อนกุ รมลเู่ ขา้ หรืออนุกรมลอู่ อกและมีผลบวกเปน็ เท่าใด

(K) จากโจทยท์ าใหเ้ รารวู้ ่าโจทยบ์ อกวา่

มีอนุกรม …………………………………………………………………………………

(W) จากโจทย์ทาให้เรารวู้ ่าโจทยใ์ หห้ า

อนุกรม 3  4  6  9  13  ... เป็น………………………….และ……………….
2 4 8 16 32

(D) จากโจทยท์ าใหเ้ ราร้วู ่าเราจะต้องทาดังนี้

หาผลบวกของอนุกรมอนันต์(S) ของอนุกรม 3  4  6  9  13  ...
2 4 8 16 32
3 4 6 9 13
อนุกรม 2  4  8  16  32  ...

เป็นอนกุ รมถูกสรา้ งจากการนาพจน์ทีส่ มนยั กนั ของลาดบั เรขาคณิตและลาดบั อื่นๆมาคณู กันเพ่ือ

สรา้ งพจนท์ ว่ั ไปหรือ อนกุ รม b1a1 + b2a2 + b3a3 + ... + bnan + ...
1 1 1
มีพจนท์ ั่วไปคือ an  bn  2n มี 2n เป็นลาดบั เรขาคณิต มี r  2

หาผลบวกของอนุกรมอนนั ต์ (S) ไดด้ งั นี้

ให้ S  3  4  6  9  13  ... ...............(1)
2 4 8 16 32
1 1 3 4 6 9 13
(1) r  (1) 2 ; 2 S  4  8  16  32  64  ... …………(2)

(1) (2) ; 1 S  3  1  2  3  4  5  ... …………(3)
2 2 4 8 16 32 64
1 1 3 1 2 3 4 5
(3)  r  (3) 2 ; 4 S  4  8  16  32  65  128  ... …………(4)

(3)  (4) ; 1 S  ……………………………………………
4

1 S  ……………………… 1  1  1  1  1  ... เป็นอนุกรม
4 8 16 32 65 128

เรขาคณิตมี a1  1 และ r  1
8 4
ถ้า r  1 แลว้ อนกุ รมนีเ้ ป็นอนุกรมลเู่ ข้า

110

1 S  ………………………
4

S  ………………………

……………………….

ดังนนั้ อนุกรมอนนั ต์นี้ เป็นอนุกรม…………………. และมีผลบวกเทา่ กับ ……………………

(L) จากโจทยท์ าใหเ้ ราได้เรยี นร้วู า่

คาตอบท่ีได้คอื

อนุกรมอนันต์ 3  4  6  9  13 ...เปน็ ....................... และมผี ลบวกเทา่ กบั ............
2 4 8 16 32
สรุปขั้นตอนดังนี้

สมมุติผลบวกอนุกรมอนันต์ เป็นตวั แปรหนึ่งตัว( S ) เทา่ กับอนุกรมทโี่ จทย์

ตอ้ งการหาโดยแจกแจงออกมา ให้เปน็ สมการท่ี 1

S = b1a1 + b2a2 + b3a3 + ... + bnan  ... ……….. (1)
แล้วทาการหาคา่ S โดยการสรา้ งสมการที่ (2) ซง่ึ เกิดจากสมการที่ (1)

ด้วยการคูณ r แลว้ นาสมการทงั้ 2 มาลบกนั (1) - (2) โดยทางดา้ นท่แี จกแจงอนุกรม

น้ันใหน้ าพจนท์ ี่มสี ว่ นเทา่ กนั หรือมีเทอมของอนกุ รมเรขาเหมอื นกนั มาลบกัน ซง่ึ ผลของ

การลบจะไดอ้ นกุ รมข้ึนมาใหม่ ใหพ้ ิจารณาวา่ เป็นอนุกรมเรขาคณิตหรอื ไม่ ถา้ เปน็

อนกุ รมเรขากใ็ ชส้ ตู ร............................... ของอนกุ รมเรขา หา S แตถ่ า้ ยังไม่เป็นอนกุ รมเรขา ให้

ทาซ้า

อกี ครัง้ โดยใช้ สมการทไี่ ดจ้ ากผลของการลบกัน(1) - (2) เปน็ สมการแรกสร้างสมการ

อกี สมการด้วยการคูณ r แลว้ นาสองสมการมาลบกนั ทาเชน่ นไ้ี ปเรื่อยๆ จนกว่าจะได้

อนุกรมเรขา

111

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน

แบบฝึกทักษะที่ 7.2

1. ขั้น K บอกสิ่งที่โจทยก์ าหนดให้
- บอกสิ่งที่โจทย์กาหนดใหถ้ ูกต้อง ข้อละ 1 คะแนน
- บอกสง่ิ ทโ่ี จทย์กาหนดให้ไมถ่ ูกตอ้ ง ขอ้ ละ 0 คะแนน
2. ขั้น W บอกส่งิ ทโ่ี จทยใ์ หห้ าอะไร
- บอกสิ่งทโี่ จทย์ใหห้ าอะไรถกู ตอ้ ง ขอ้ ละ 1 คะแนน
- บอกสิ่งท่โี จทย์ใหห้ าให้ไม่ถกู ตอ้ ง ข้อละ 0 คะแนน
3. ขั้น D จากโจทยท์ าให้เรารู้วา่ จะต้องทาอะไร
- แสดงการหาผลบวกของอนุกรมอนนั ต์ ไดถ้ ูกตอ้ ง ขอ้ ละ 1 คะแนน
- แสดงการหาผลบวกของอนุกรมอนนั ต์ ไมถ่ กู ต้อง ขอ้ ละ 0 คะแนน
- แสดงคาตอบ ได้ถูกตอ้ ง ข้อละ 1 คะแนน
- แสดงคาตอบ ไม่ถกู ตอ้ ง ข้อละ 0 คะแนน
4. ขนั้ L จากโจทย์ทาใหเ้ ราเรียนรูอ้ ะไร
- อธิบายสง่ิ ท่ไี ดเ้ รียนรู้จากโจทยโ์ ดยบอกวิธีคิดและคาตอบท่ีถกู ตอ้ ง
ข้อละ 1 คะแนน
- อธิบายสง่ิ ทไ่ี ด้เรยี นรู้จากโจทย์โดยบอกวิธคี ิดและคาตอบทถ่ี กู ต้อง
ขอ้ ละ 0 คะแนน

รวมคะแนน 100 คะแนน

แบบทดสอบหลงั
เรยี น

112

ชุดที่ 7 เรือ่ ง ผลบวกของอนกุ รมอนันต์
คาชีแ้ จง จงเขยี นเคร่อื งหมายกากบาท () ทบั ตัวอักษรหนา้ คาตอบทถ่ี กู ท่สี ดุ เพยี งขอ้ เดียว

1. ผลบวกของอนกุ รม 3  3  3  3  ... เท่ากบั ขอ้ ใด
2 10 50 250
12
1. 10

2. 5
4
15
3. 8

4. ไม่สามารถหาผลบวกได้

2. ผลบวกของอนุกรม n13 1 n เทา่ กับข้อใด
4


1. 3
4
2. 1

3. 4

4. ไม่สามารถหาผลบวกได้ 64
1 4 16 54
3. ผลบวกของอนุกรม 2  6  18   ... เทา่ กบั ข้อใด

1.  3
2
4
2. 6

3. 3
2
4. ไม่สามารถหาผลบวกได้

4. ผลบวกของอนกุ รม  (3n  4 n ) เท่ากับข้อใด


n1

113

1. 1
3
1
2. 2

3. 5
6
4. ไมส่ ามารถหาผลบวกได้

5. ขอ้ ใดเป็นอนุกรมลเู่ ขา้
9 27
1. 23 2  4  ...

2. 5  5  5  5  ...
3 9 27
1 3 11 27
3. 2  2  2  2  ...

4. 3 4  16  64 ...
3 9

6. ผลบวกของอนกุ รม  10 เทา่ กบั ขอ้ ใด

(5n  1)(5n  6)
n1
1
1. 3

2. 1
5
1
3. 6

4. ไมส่ ามารถหาผลบวกได้

7. ผลบวกของอนุกรม  11 เทา่ กบั ขอ้ ใด

(3n  5)(3n  8)(3n  11)
n1

114

1. 1
6
1
2. 8

3. 1
48
4. ไมส่ ามารถหาผลบวกได้

8. ผลบวกของอนุกรม 5 เท่ากบั ขอ้ ใด

(4n  1)(4 n  5)(4 n  9)
n1
1
1. 72

2. 1
45
1
3. 8

4. ไมส่ ามารถหาผลบวกได้

9. ผลบวกของอนุกรม 5  9  13  17  ... เทา่ กับข้อใด
3 32 33 34
14
1. 9

2. 7
2
3. 3

4. ไมส่ ามารถหาผลบวกได้ 5 7 9 11
3 4 8 16 32
10. ผลบวกของอนุกรม 2      ... เทา่ กบั ขอ้ ใด

1. 7
4
7
2. 2

3. 5

4. ไมส่ ามารถหาผลบวกได้

เกณฑ์การให้คะแนน

แบบทดสอบหลังเรียน

ตอบไดถ้ กู ตอ้ ง ขอ้ ละ 1 คะแนน

ตอบผิดหรือไมต่ อบ ข้อละ 0 คะแนน

รวมคะแนน 10 คะแนน

115

แบบบันทึกผล
คะแนน

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ด้วยเทคนคิ การจัดการเรียนรู้ KWDL
ชดุ ที่ 7 เรื่อง ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์

รายการ คะแนนเต็ม คะแนนทีไ่ ด้ ผลการประเมนิ
(ผ่าน/ ไมผ่ า่ น)
แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ท่ี 7.1
แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ที่ 7.2 50 …………. ………………..
100 ………….

รวมคะแนนแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ 150 ………….
แบบทดสอบหลังเรียน 10 …………. ………………..

เกณฑก์ ารประเมนิ
นกั เรยี นไดค้ ะแนนรวมของแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ ร้อยละ 80 ขนึ้ ไป ถือวา่ “ผา่ นเกณฑ์”
นักเรียนได้คะแนนแบบทดสอบหลังเรียน รอ้ ยละ 80 ขึน้ ไป ถอื วา่ “ผา่ นเกณฑ์”

บรรณานกุ รม

116

จักรินทร์ วรรณโพธก์ิ ลาง. สดุ ยอดเทคนิคสาระคณติ ศาสตร์การเรียนรเู้ พิ่มเตมิ คณิตศาสตร์ ม. 6
(2 ภาคเรียน) Pure…pure กลุ่มสาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์. กรุงเทพฯ : พ.ศ.พัฒนา จากดั ,
มปป.

จีระ เจรญิ สขุ วิมล. สรปุ หลัก & สูตรคณติ ศาสตร์ ม. 6 เลม่ รวม 1-2 (สาระการเรียนรเู้ พิ่มเติม).
กรุงเทพฯ :ไฮเอ็ดพับลิชช่งิ จากัด, มปป.

ณรงค์ ปนั้ นมิ่ . ค่มู อื -เตรยี มสอบคณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม ม. 6 เลม่ 2. กรงุ เทพฯ :
ภมู ิบณั ฑิตการพิมพ์ จากดั , มปป.

ทรงวทิ ย์ สวุ รรณธาดา. หนังสือเรียนเสรมิ คณติ ศาสตรเ์ พิม่ เตมิ ม.6 ภาคเรยี นท่ี 2. กรุงเทพฯ : แม็ค
เอ็ดดูเคชั่น, 2555.

ธนวัฒน์ สนทราพรพล. คู่มอื รายวิชาคณติ ศาสตรพ์ ืน้ ฐานและเพมิ่ เตมิ ม.ปลายเลม่ 6
ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 4-6. กรุงเทพฯ : ธรรมบณั ฑิต, มปป.

ศุภกจิ เฉลมิ วสิ ตุ มก์ ุลล. เทคนคิ คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เติม ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6 เลม่ 2. กรงุ เทพฯ :
แม็ค, 2550.

สถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี. หนังสือเรียนสาระการเรียนรเู้ พ่มิ เตมิ
คณติ ศาสตรเ์ ลม่ 2 ช้นั มธั ยมศึกษาปที ี่ 6 กล่มุ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ ตามหลักสตู ร
การศึกษาขั้น พนื้ ฐาน พุทธศักราช 2551. กรงุ เทพฯ : สกสค. ลาดพรา้ ว, 2550.

117

ภาคผนวก

118
เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 7.1

เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 7.1

119

เรือ่ ง ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์

คาชีแ้ จง ให้นักเรียนอ่านโจทยแ์ ลว้ วเิ คราะห์หาคาตอบดว้ ยเทคนิค KWDL โดย
เตมิ คาตอบลงชอ่ งว่าง

1. จงพิจารณาว่าอนุกรม 7  7  7  7  ...  7 ... เป็นอนุกรมลู่เข้า
10 100 1000 10000 10n
หรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทย์ทาใหเ้ รารู้ว่าโจทยบ์ อกว่า

มีอนุกรม 7  7  7  7  ...  7 ...
10 100 1000 10000 10n

(W) จากโจทย์ทาใหเ้ รารู้วา่ โจทยใ์ หห้ า

อนุกรม 7  7  7  7  ...  7 ... เปน็ อนุกรมลู่เขา้ หรอื อนุกรมลู่
10 100 1000 10000 10n
ออกและผลบวก

(D) จากโจทยท์ าใหเ้ รารวู้ ่าเราจะตอ้ งทาดงั นี้

หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 7  7  7  7  ...  7 ...
10 100 1000 10000 10n
7
S1  10 1  1  1  1  ...  1 ( 41)n1  ...
2 8 32 64 2
7 7 77 1
S2  10  100  100 เป็นอนกุ รมเรขาคณติ มี r   4

S3  7  7  7  777 Sn a1 (1 r n )
10 100 1000 1000 1r
7 7 7 7 7777 
10 100 1000 10000 10000
S3     

 7 7 7 7 7 7 (110)n
10 100 1000 10000 10n 9
Sn      ...   (1 )

ดังนน้ั ลาดับผลบวกยอ่ ยของอนุกรมคือ 7 , 17070 , 1707070,170707070,..., 7 (1  (110 )n ),...
10 9
7 7 7 7 7
หาผลบวกของอนกุ รม 10  100  1000  10000  ...  10n ...

120

พจิ ารณาลาดบั ผลบวกย่อยของอนกุ รม เม่ือ n มคี ่าเพิม่ ขึ้น คา่ ของSn เขา้ ใกล้ 7
9
7
ผลบวกคือ S  Sn  9

n 7 7
7 7 7 10000 7 9
ดงั นน้ั อนุกรม 10  100  1000   ...  10n ... เปน็ อนกุ รมลเู่ ขา้ มผี ลบวกเทา่ กบั

(L) จากโจทยท์ าให้เราได้เรียนรูว้ ่า

คาตอบที่ได้คือ

อนุกรม 7  7  7  7  ...  7 ... เปน็ อนุกรมลู่เขา้ มีผลบวกเทา่ กับ 7
10 100 1000 10000 10n 9

สรปุ ข้ันตอนดังนี้

หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 7  7  7  7  ...  7 ...
10 100 1000 10000 10n
S1  a1
S2  a1  a2
S3  a1 a2 a3
S4  a1 a2 a3 a4


Sn  a1  a2  a3  a4 ...  an
หาผลบวกของอนุกรม

โดยพจิ ารณาลาดับผลบวกยอ่ ยของอนุกรม เม่ือ n มีค่าเพ่ิมขึ้น ค่าของSn เขา้ ใกล้ จานวน
จรงิ ใด
Sn S
จานวนจริงน้ันคือ lim  เมื่อ S เป็นจานวนจรงิ แล้วจะกลา่ วได้ว่าอนุกรม

n
a1  a2  a3  ...  a n  ... เป็นอนกุ รมลเู่ ขา้ (Convergent series) เรยี ก S วา่ ผลบวกของ

อนกุ รม

ถ้า ลาดบั Sn เปน็ ลาดับลอู่ อก จะกล่าววา่ อนุกรม a1  a2  a3  ...  a n  ...

เปน็ อนกุ รมลู่ออก(Divergent series) และไม่สามารถหาผลบวกได้
1 1 1 7 1 1
2. จงพิจารณาวา่ อนุกรม 2  8  32  64  ...  2 ( 4 )n1  ... เป็นอนกุ รมลูเ่ ข้า

หรืออนกุ รมลูอ่ อกและมผี ลบวกเปน็ เทา่ ใด

121

(K) จากโจทยท์ าใหเ้ ราร้วู า่ โจทยบ์ อกว่า

มีอนุกรม 1  1  1  7  ...  1 ( 1 )n 1  ...
2 8 32 64 2 4

(W) จากโจทย์ทาให้เรารวู้ ่าโจทยใ์ ห้หา

อนุกรม 1  1  1  7  ...  1 ( 1 )n 1  ... เปน็ อนกุ รมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่
2 8 32 64 2 4
ออกและผลบวก

(D) จากโจทยท์ าให้เรารวู้ า่ เราจะต้องทาดังนี้

หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 1  1  1  7  ...  1 ( 1 )n1  ...
2 8 32 64 2 4
1
S1  2 1  1  1  1  ...  1 ( 41) n1  ...
2 8 32 64 2
S2 1 1 3 1
 2  8  8 เป็นอนุกรมเรขาคณติ มี r   4

S3  1  1  1  13 Sn  a1(1 rn )
2 8 32 32 1r
1 1 1 1 25
S4  2  8  32  64  64

 1 1 1 1 1 41) 2 1
2 8 32 64 2 5 4
Sn      ...  ( n1  (1 ( )n )

ดังนั้นลาดับผลบวกย่อยของอนุกรมคือ 1 , 3 , 13 , 25 ,..., 2 (1  ( 1 )n ),...
2 8 32 64 5 4
1 1 1 1 1 41)n1
หาผลบวกของอนุกรม 2  8  32  64  ...  2 (  ...

พิจารณาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม เมื่อ n มคี ่าเพม่ิ ขน้ึ คา่ ของSn เข้าใกล้ 2
5
2
ผลบวกคือ S  Sn  5

n

ดังนนั้ อนกุ รม 1  1  1  1  ...  1 ( 1 )n1  ... เป็นอนุกรมลู่เข้า มผี ลบวกเทา่ กบั 2
2 8 32 64 2 4 5

(L) จากโจทยท์ าให้เราไดเ้ รียนรูว้ า่

คาตอบที่ได้คือ

122

อนุกรม 1  1  1  1  ...  1 ( 1 )n1  ... เป็นอนุกรมล่เู ข้า มีผลบวกเทา่ กับ 2
2 8 32 64 2 4 5
สรปุ ขนั้ ตอนดังน้ี

หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 1  1  1  1  ...  1 ( 41)n1  ...
2 8 32 64 2
S1  a1
S2  a1  a2
S3  a1 a2 a3
S4  a1 a2 a3 a4


Sn  a1  a2  a3  a4 ...  an

หาผลบวกของอนุกรม

โดยพิจารณาลาดบั ผลบวกย่อยของอนุกรม เมือ่ n มีคา่ เพมิ่ ข้นึ ค่าของSn เขา้ ใกล้ จานวน
จรงิ ใด
Sn S
จานวนจริงนั้นคอื lim  เมอ่ื S เป็นจานวนจริงแล้วจะกล่าวไดว้ า่ อนุกรม

n
a1  a2  a3  ...  a n  ... เปน็ อนกุ รมลเู่ ขา้ (Convergent series) เรียก S ว่าผลบวกของ

อนกุ รม

ถ้า ลาดบั Sn เป็นลาดบั ลู่ออก จะกล่าวว่าอนุกรม a1  a2  a3  ...  a n  ...

เป็น อนกุ รมล่อู อก(Divergent series) และไมส่ ามารถหาผลบวกได้

3. จงพิจารณาวา่ อนกุ รม 1  5  25  ...  (53)n1 ... เปน็ อนุกรมลู่เข้า
3 9
หรอื อนกุ รมลู่ออกและมผี ลบวกเป็นเท่าใด

123

(K) จากโจทยท์ าใหเ้ รารวู้ า่ โจทยบ์ อกว่า

มีอนุกรม 1 5  25  ...  ( 5 )n 1  ...
3 9 3

(W) จากโจทย์ทาให้เรารูว้ ่าโจทยใ์ หห้ า

อนุกรม 1 5  25  ...  ( 5 )n 1  ... เป็นอนุกรมลเู่ ข้าหรืออนกุ รมล่อู อกและผลบวก
3 9 3

(D) จากโจทย์ทาให้เรารู้ว่าเราจะตอ้ งทาดังน้ี

หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 1 5  25  ...  (53)n1 ...
3 9
S1 1
5 8 1  5  25  ...  (53)n1 ...
S2  1  3  3 3 9
5
S3 1 5  25  49 เป็นอนกุ รมเรขาคณิตมี r  3
3 9 9
Sn a1 (rn 1)
  r 1

Sn  1  5  25  ...  ( 5 ) n1  3 (( 5 )n 1)
3 9 3 2 3
8 49 3 5
ดังนั้นลาดับผลบวกย่อยของอนุกรมคือ 1, 3 , 9 ,..., 2 (( 3 )n 1),...

หาผลบวกของอนุกรม 1  5  25  ...  ( 5 )n1  ...
3 9 3
พจิ ารณาลาดบั ผลบวกย่อยของอนกุ รม เมือ่ n มคี า่ เพ่ิมขน้ึ ค่าของSn ไมเ่ ข้าใกลจ้ านวนใดจานวน หนึ่ง
5 25  ...  (35)n1 ... เปน็ อนกุ รมลอู่ อก ไม่สามารถหาผลบวกได้
ดังนน้ั อนุกรม 1  3  9

(L) จากโจทย์ทาให้เราได้เรียนร้วู ่า
คาตอบที่ได้คือ

124

อนุกรม1  5  25  ...  (53)n1 ... เปน็ อนกุ รมลอู่ อก ไม่สามารถหาผลบวกได้
3 9
สรุปขนั้ ตอนดงั นี้

หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 1  5  25  ...  ( 5 )n 1  ...
3 9 3
S1  a1
S2  a1  a2
S3  a1 a2 a3
S4  a1 a2 a3 a4


Sn  a1  a2  a3  a4 ...  an

หาผลบวกของอนกุ รม

โดยพจิ ารณาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม เมอ่ื n มคี ่าเพม่ิ ขึ้น คา่ ของSn เขา้ ใกล้ จานวน
จรงิ ใด
Sn S
จานวนจรงิ นน้ั คอื lim  เมอื่ S เป็นจานวนจริงแล้วจะกล่าวได้วา่ อนกุ รม

n
a1  a2  a3  ...  a n  ... เปน็ อนุกรมลู่เข้า (Convergent series) เรยี ก S วา่ ผลบวกของ

อนกุ รม

ถ้า ลาดบั Sn เปน็ ลาดบั ลอู่ อก จะกลา่ ววา่ อนุกรม a1  a2  a3  ...  a n  ...

เปน็ อนกุ รมล่อู อก(Divergent series) และไม่สามารถหาผลบวกได้

ไมย่ ากเลยใชไ่ หมคะ
คนเกง่

4. จงพจิ ารณาวา่ อนกุ รม 1  9  19  ...  11  5n  ... เปน็ อนุกรมลเู่ ขา้
2 2 2 2

125

หรอื อนกุ รมลอู่ อกและมีผลบวกเปน็ เท่าใด

(K) จากโจทย์ทาให้เรารวู้ ่าโจทยบ์ อกวา่

มีอนุกรม 1  9  19  ...  11  5n  ...
2 2 2 2

(W) จากโจทยท์ าใหเ้ ราร้วู า่ โจทย์ใหห้ า

อนุกรม 1  9  19  ...  11  5n  ... เป็นอนกุ รมลูเ่ ขา้ หรืออนกุ รมลอู่ อกและผลบวก
2 2 2 2

(D) จากโจทยท์ าให้เรารวู้ ่าเราจะต้องทาดังน้ี

หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 1  9  19  ...  11 5n  ...
2 2 2 2
1
S1  2 1  9  19  ...  11 5n  ...
2 2 2 2
S2  1  9   8 เป็นอนกุ รมเรขาคณิตมี r  9
2 2 2
1 9 19 27 a1(1 rn )
S3  2  2  2   2 Sn  1r

 1 9 19 11 1
2 2 2 2 20
Sn     ...   5n  (1  (9)n )

ดังนั้นลาดับผลบวกย่อยของอนุกรมคือ 1 , 8 , 7 , 27 ,..., 1 (1  (9)n ),...
2 2 4 2 20
1 9 19 11
หาผลบวกของอนุกรม 2  2  2  ...  2  5n  ...

พิจารณาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม เมื่อ n มีค่าเพ่ิมข้นึ คา่ ของSn ไมเ่ ขา้ ใกลจ้ านวนใด
จานวนหน่ึง
1 9 19 11
ดังนั้น อนุกรม 2  2  2  ...  2 5n  ... เป็นอนกุ รมลูอ่ อก ไม่สามารถหา

ผลบวกได้

(L) จากโจทยท์ าให้เราได้เรยี นรูว้ า่

126

คาตอบที่ได้คือ

อนุกรม 1  9  19  ...  11  5n  ... เป็นอนกุ รมลูอ่ อก ไม่สามารถหาผลบวกได้
2 2 2 2
สรุปข้ันตอนดังน้ี

หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 1  9  19  ...  11 5n  ...
2 2 2 2
S1  a1
S2  a1  a2
S3  a1 a2 a3
S4  a1 a2 a3 a4


Sn  a1  a2  a3  a4 ...  an

หาผลบวกของอนุกรม

โดยพิจารณาลาดบั ผลบวกยอ่ ยของอนกุ รม เมอ่ื n มคี ่าเพม่ิ ขน้ึ คา่ ของSn เขา้ ใกล้ จานวน
จรงิ ใด
Sn S
จานวนจริงน้นั คอื lim  เมอ่ื S เปน็ จานวนจริงแล้วจะกล่าวได้ว่าอนุกรม

n
a1  a2  a3  ...  a n  ... เป็นอนกุ รมล่เู ข้า (Convergent series) เรยี ก S ว่าผลบวกของ

อนกุ รม ถา้ ลาดับ Sn เปน็ ลาดบั ลู่ออก จะกล่าววา่ อนกุ รม a1  a2  a3  ...  a n  ...

เป็น อนุกรมลอู่ อก(Divergent series) และไม่สามารถหาผลบวกได้

เก่งมากคะ่ นักเรยี น
ทาตอ่ นะคะ

5. จงพิจารณาว่าอนุกรม 2  4 10 ...(8)6n ... เป็นอนกุ รมลเู่ ข้า

127

หรืออนกุ รมลอู่ อกและมีผลบวกเปน็ เท่าใด

(K) จากโจทย์ทาให้เรารวู้ า่ โจทยบ์ อกว่า

มีอนุกรม 2  4 10 ...(8)6n ...

(W) จากโจทย์ทาให้เรารู้วา่ โจทยใ์ หห้ า

อนุกรม 2  4 10 ...(8)6n ... เป็นอนกุ รมลู่เข้าหรอื อนกุ รมลู่ออกและ

ผลบวก

(D) จากโจทย์ทาใหเ้ รารวู้ ่าเราจะต้องทาดังน้ี

หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 2  4 10 ...(8)6n ...

S1  2 2  4 10 ...(8)6n ...
S2  2  4  2 เปน็ อนกุ รมเรขาคณติ มี d  6
S3  2  4 10 12 n
 Sn  2 (a1  a n )

Sn  2  4  10  ...  (8)  6n  n (10  6n)
2
n
ดังนั้นลาดับผลบวกย่อยของอนุกรมคือ  2,2,12,..., 2 (10  6n),...

หาผลบวกของอนุกรม 2  4 10 ...(8)6n ...

พิจารณาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม เมื่อ n มีค่าเพิ่มข้นึ ค่าของSn ไม่เข้าใกลจ้ านวนใด
จานวนหนงึ่

ดังนั้น อนุกรม 2  4 10 ...(8)6n ... เป็นอนกุ รมลอู่ อก ไมส่ ามารถหา

ผลบวกได้

(L) จากโจทย์ทาให้เราไดเ้ รียนร้วู ่า

128

คาตอบที่ได้คือ
1 9 19 11
อนุกรม 2  2  2  ...  2  5n  ... เป็นอนุกรมลู่ออก มีสามารถหาผลบวกได้

สรุปข้นั ตอนดงั น้ี

หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 2  4 10 ...(8)6n ...

S1  a1
S2  a1  a2
S3  a1 a2 a3
S4  a1 a2 a3 a4


Sn  a1  a2  a3  a4 ...  an

หาผลบวกของอนกุ รม

โดยพจิ ารณาลาดับผลบวกย่อยของอนกุ รม เมือ่ n มคี ่าเพ่มิ ข้นึ คา่ ของSn เข้าใกล้ จานวน
จรงิ ใด
Sn S
จานวนจริงนัน้ คือ lim  เมือ่ S เปน็ จานวนจรงิ แลว้ จะกลา่ วได้ว่าอนุกรม

n
a1  a2  a3  ...  a n  ... เปน็ อนกุ รมล่เู ขา้ (Convergent series) เรยี ก S ว่าผลบวกของ

อนุกรม

ถา้ ลาดบั Sn เป็นลาดับลูอ่ อก จะกล่าววา่ อนุกรม a1  a2  a3  ...  a n  ...

เป็น อนกุ รมล่อู อก(Divergent series) และไมส่ ามารถหาผลบวกได้

129

6. จงพิจารณาว่าอนุกรม  1  1  1  ...  ( 1 )  1 n  ... เป็นอนุกรมลูเ่ ขา้
6 6 2 2 3
หรอื อนกุ รมล่อู อกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทย์ทาให้เรารูว้ ่าโจทย์บอกวา่

มีอนุกรม  1  1  1  ...  ( 1 )  1 n  ...
6 6 2 2 3

(W) จากโจทย์ทาใหเ้ ราร้วู า่ โจทย์ให้หา

อนุกรม  1  1  1  ...  ( 1 )  1 n  ... เป็นอนกุ รมลู่เขา้ หรอื อนกุ รมลอู่ อกและ
6 6 2 2 3
ผลบวก

(D) จากโจทย์ทาใหเ้ รารู้วา่ เราจะตอ้ งทาดังนี้

หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม  1  1  1  ...  ( 1 )  1 n  ...
6 6 2 2 3
1
S1   6  1  1  1  ...  ( 1 )  1 n  ...
6 6 2 2 3
S2 1 1 0 1
  6  6  เปน็ อนกุ รมเรขาคณติ มี d  3

S3   1  1  1  1 Sn  n (a1  a n )
6 6 2 2 2

 1 1 1 1 1 n 2 1
6 6 2 2 3 2 3 3
Sn      ...  ( )  n  (  n)

ดังนั้นลาดับผลบวกย่อยของอนุกรมคือ  1 ,0, 1 ,..., n ( 2  1 n),...
6 2 2 3 3
1 1 1 1 1
หาผลบวกของอนกุ รม  6  6  2  ...  ( 2 )  3 n  ...

พิจารณาลาดับผลบวกยอ่ ยของอนกุ รม เมอ่ื n มีคา่ เพิม่ ขน้ึ คา่ ของSn ไมเ่ ขา้ ใกลจ้ านวนใดจานวน
หนง่ึ
1 1 1 1 1
ดังนั้น อนุกรม  6  6  2  ...  ( 2 )  3 n  ... เป็นอนกุ รมลอู่ อก ไม่สามารถหา

ผลบวกได้

130

(L) จากโจทย์ทาให้เราได้เรียนรู้ว่า

คาตอบที่ได้คือ

อนุกรม  1  1  1  ...  ( 1 )  1 n  ... เปน็ อนกุ รมล่อู อก ไม่สามารถหาผลบวกได้
6 6 2 2 3
สรุปข้ันตอนดังนี้

หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม  1  1  1  ...  ( 1 )  1 n  ...
6 6 2 2 3
S1  a1
S2  a1  a2
S3  a1 a2 a3
S4  a1 a2 a3 a4


Sn  a1  a2  a3  a4 ...  an

หาผลบวกของอนกุ รม

โดยพจิ ารณาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม เม่ือ n มคี า่ เพิม่ ข้ึน คา่ ของSn เข้าใกล้ จานวน
จรงิ ใด
Sn S
จานวนจรงิ น้นั คือ lim  เม่ือ S เป็นจานวนจรงิ แลว้ จะกลา่ วได้วา่ อนุกรม

n
a1  a2  a3  ...  a n  ... เปน็ อนุกรมลู่เขา้ (Convergent series) เรียก S วา่ ผลบวกของ

อนุกรม

ถา้ ลาดบั Sn เป็นลาดบั ลอู่ อก จะกล่าวว่าอนกุ รม a1  a2  a3  ...  a n  ...

เปน็ อนุกรมลู่ออก(Divergent series) และไมส่ ามารถหาผลบวกได้

131

7. จงพจิ ารณาว่าอนุกรม 3 6 12 ... 3(2)n1 ... เป็นอนุกรมลู่เข้า
หรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเปน็ เทา่ ใด

(K) จากโจทยท์ าใหเ้ รารู้วา่ โจทย์บอกวา่
มีอนุกรม 36 12 ... 3(2)n1 ...

(W) จากโจทย์ทาใหเ้ รารวู้ ่าโจทย์ใหห้ า
อนุกรม 3 6 12 ... 3(2)n1 ... เป็นอนกุ รมล่เู ขา้ หรอื อนุกรมลอู่ อกและ

ผลบวก

(D) จากโจทย์ทาใหเ้ รารวู้ ่าเราจะตอ้ งทาดังน้ี
หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 36 12 ... 3(2)n1 ...

S1  3 3 6 12 ... 3(2)n1 ...
S2  3  6  9 เปน็ อนกุ รมเรขาคณติ มี r  2
S3  36 12  21
 S a1 (1 r n )
Sn  36 12 ... 3(2)n1  3(2n 1) 1r
n 

ดังนั้นลาดับผลบวกย่อยของอนุกรมคือ  3,9, 7 ,21,...,3( 2 n 1),...
4
หาผลบวกของอนกุ รม 36 12 ... 3(2)n1 ...

พจิ ารณาลาดับผลบวกย่อยของอนกุ รม เมื่อ n มีค่าเพ่มิ ข้ึน ค่าของSn ไม่เขา้ ใกลจ้ านวนใดจานวน
หนงึ่

ดังนั้น อนุกรม 3 6 12 ... 3(2)n1 ... เป็นอนกุ รมลอู่ อก ไม่สามารถหาผลบวกได้

132

(L) จากโจทย์ทาให้เราไดเ้ รยี นรู้วา่

คาตอบที่ได้คือ
อนุกรม 3 6 12 ... 3(2)n1 ... เปน็ อนกุ รมลู่ออก ไม่สามารถหาผลบวกได้

สรปุ ข้นั ตอนดงั นี้
หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 36 12 ... 3(2)n1 ...

S1  a1
S2  a1  a2
S3  a1 a2 a3
S4  a1 a2 a3 a4


Sn  a1  a2  a3  a4 ...  an

หาผลบวกของอนุกรม

โดยพิจารณาลาดับผลบวกยอ่ ยของอนกุ รม เมือ่ n มคี า่ เพมิ่ ข้ึน คา่ ของSn เข้าใกล้ จานวน
จริงใด
Sn S
จานวนจริงนน้ั คอื lim  เมื่อ S เป็นจานวนจริงแล้วจะกล่าวไดว้ ่าอนกุ รม

n
a1  a2  a3  ...  a n  ... เปน็ อนุกรมล่เู ขา้ (Convergent series) เรียก S ว่าผลบวกของ

อนกุ รม

ถา้ ลาดับ Sn เป็นลาดบั ลู่ออก จะกล่าววา่ อนกุ รม a1  a2  a3  ...  a n  ...

เปน็ อนกุ รมลูอ่ อก(Divergent series) และไม่สามารถหาผลบวกได้

133

8. จงพจิ ารณาว่าอนุกรม 10  5  5  ...  10( 1 ) n1  ... เป็นอนุกรมลู่เขา้
2 2
หรืออนกุ รมลู่ออกและมผี ลบวกเปน็ เท่าใด

(K) จากโจทย์ทาใหเ้ รารวู้ ่าโจทยบ์ อกวา่

มีอนุกรม 10  5  5  ...  10(  1 ) n 1  ...
2 2

(W) จากโจทยท์ าให้เรารู้วา่ โจทยใ์ หห้ า

อนุกรม 10  5  5  ...  10( 1 ) n 1  ... เปน็ อนุกรมลเู่ ขา้ หรอื อนกุ รมลอู่ อกและ
2 2
ผลบวก

(D) จากโจทย์ทาให้เรารู้ว่าเราจะต้องทาดงั น้ี

หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 10  5  5  ...  10( 1 ) n 1  ...
2 2
S1 10 5
S2 10  5  5 10  5  2  ... 

S3  10  5  5  15 10(  1 )n 1  ...
2 2 2
เปน็ อนกุ รมเรขาคณิตมี

5 1 20 1 r 1
Sn  10  5  2  ...  10( 2 ) n 1  3 (1  ( 2 ) n1 )   2

15 20 1 ) n 1 Sn a1 (1 r n )
2 3 2 1r
ดังนั้นลาดับผลบวกย่อยของอนุกรมคือ 10,5, ,..., (1  ( ),... 

หาผลบวกของอนกุ รม 10  5  5  ...  10( 1 ) n1  ...
2 2
20
พจิ ารณาลาดบั ผลบวกย่อยของอนกุ รม เม่อื n มีคา่ เพ่ิมขน้ึ ค่าของSn เข้าใกล้ 3

ผลบวกคอื S  Sn  20
3
n 5 1 20
2 2 3
ดังนั้น อนุกรม10  5   ...  10( ) n 1  ... เปน็ อนุกรมลเู่ ขา้ มีผลบวกเทา่ กบั

134

(L) จากโจทยท์ าให้เราไดเ้ รียนรวู้ ่า

คาตอบที่ได้คือ

อนกุ รม 10  5  5  ...  10( 1 ) n 1  ... เป็นอนกุ รมลเู่ ข้า มีผลบวกเทา่ กบั 20
2 2 3
สรุปขั้นตอนดังนี้
5 1
หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 10  5  2  ...  10( 2 ) n1  ...

S1  a1
S2  a1  a2
S3  a1 a2 a3
S4  a1 a2 a3 a4


Sn  a1  a2  a3  a4 ...  an
หาผลบวกของอนุกรม

โดยพจิ ารณาลาดับผลบวกยอ่ ยของอนุกรม เมื่อ n มคี ่าเพ่มิ ขึน้ ค่าของSn เข้าใกล้ จานวน
จรงิ ใด
Sn S
จานวนจรงิ นน้ั คือ lim  เม่อื S เปน็ จานวนจรงิ แลว้ จะกล่าวได้วา่ อนกุ รม

n
a1  a2  a3  ...  a n  ... เป็นอนุกรมลเู่ ข้า (Convergent series) เรยี ก S ว่าผลบวกของ

อนกุ รม

ถ้า ลาดับ Sn เป็นลาดบั ลู่ออก จะกลา่ วว่าอนกุ รม a1  a2  a3  ...  a n  ...

เป็น อนุกรมลู่ออก(Divergent series) และไมส่ ามารถหาผลบวกได้

135

9. จงพจิ ารณาวา่ อนกุ รม 1  5  25 ...  1 (5) n 1  ... เป็นอนกุ รมลเู่ ข้า
4 4 4 4
หรืออนุกรมล่อู อกและมีผลบวกเป็นเทา่ ใด

(K) จากโจทย์ทาใหเ้ รารวู้ า่ โจทยบ์ อกว่า

มีอนุกรม 1  5  25  ...  1 (5) n 1  ...
4 4 4 4

(W) จากโจทยท์ าใหเ้ รารวู้ ่าโจทยใ์ ห้หา

อนุกรม 1  5  25  ...  1 (5) n 1  ... เป็นอนกุ รมลู่เข้าหรอื อนกุ รมลู่ออกและ
4 4 4 4
ผลบวก

(D) จากโจทย์ทาใหเ้ รารูว้ ่าเราจะตอ้ งทาดงั น้ี

หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 1  5  25 ...  1 (5) n 1  ...
4 4 4 4
1
S1  4 1  5  25  ...  1 (5) n 1  ...
4 4 4 4
S2  1  5  3 เป็นอนกุ รมเรขาคณติ มี r  5
4 4 2
1 5 25 31 a1(r n 1)
S3  4  4  4  4 Sn  r 1

 1 5 25 1 1
4 4 4 4 16
Sn     ...  (5) n 1  (5n 1)

ดงั น้นั ลาดบั ผลบวกยอ่ ยของอนกุ รมคอื 1 , 3 , 31 ,...,116 (5n 1),...
4 2 4
1 5 25 1
หาผลบวกของอนุกรม 4  4  4 ...  4 (5) n 1  ...

พิจารณาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม เมื่อ n มคี า่ เพ่ิมขึน้ คา่ ของSn ไม่เข้าใกล้จานวนใด
จานวนหน่งึ

ดังนั้น อนุกรม 1  5  25  ...  1 (5) n 1  ... เปน็ อนกุ รมล่อู อก ไม่สามารถหา
4 4 4 4
ผลบวกได้

136

(L) จากโจทย์ทาใหเ้ ราไดเ้ รยี นรูว้ า่

คาตอบที่ได้คือ

อนุกรม 1  5  25  ...  1 (5) n1  ... เปน็ อนกุ รมลู่ออก ไมส่ ามารถหาผลบวกได้
4 4 4 4
สรปุ ขน้ั ตอนดังน้ี

หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 1  5  25 ...  1 (5) n 1  ...
4 4 4 4
S1  a1
S2  a1  a2
S3  a1 a2 a3
S4  a1 a2 a3 a4


Sn  a1  a2  a3  a4 ...  an

หาผลบวกของอนุกรม

โดยพิจารณาลาดับผลบวกยอ่ ยของอนกุ รม เม่อื n มคี ่าเพมิ่ ข้นึ ค่าของSn เขา้ ใกล้ จานวน
จรงิ ใด
Sn S
จานวนจริงนน้ั คอื lim  เมือ่ S เปน็ จานวนจรงิ แล้วจะกลา่ วไดว้ ่าอนุกรม

n
a1  a2  a3  ...  a n  ... เป็นอนกุ รมลูเ่ ข้า (Convergent series) เรยี ก S ว่าผลบวกของ

อนุกรม

ถ้า ลาดับ Sn เป็นลาดบั ลอู่ อก จะกล่าวว่าอนุกรม a1  a2  a3  ...  a n  ...

เปน็ อนกุ รมลอู่ อก(Divergent series) และไม่สามารถหาผลบวกได้

137

10. จงพิจารณาวา่ อนุกรม  2  1  1  ...  ( 2 )( 83 ) n 1  ... เป็นอนุกรมลู่เข้า
9 12 32 9
หรอื อนุกรมลู่ออกและมผี ลบวกเปน็ เท่าใด

(K) จากโจทยท์ าให้เรารู้ว่าโจทย์บอกว่า

มีอนุกรม  2  1  1  ...  ( 2 )( 3 ) n1  ...
9 12 32 9 8

(W) จากโจทยท์ าใหเ้ รารู้ว่าโจทย์ใหห้ า

อนุกรม  2  1  1  ...  ( 2 )( 3 ) n1  ... เปน็ อนกุ รมล่เู ขา้ หรอื อนกุ รม
9 12 32 9 8
ลอู่ อกและผลบวก

(D) จากโจทยท์ าใหเ้ รารวู้ า่ เราจะตอ้ งทาดังน้ี

หาลาดบั ผลบวกย่อยของอนกุ รม 2  1  1  ...  ( 2 )( 3 ) n 1  ...
9 12 32 9 8
2
S1  9 2  1  1  ...  ( 2 )( 3 )n 1  ...
9 12 32 9 8
S2 2 1 11 3
 9  12  36 เปน็ อนุกรมเรขาคณติ มี r   8

S3  2  1  1  5 Sn a1 (1 r n )
9 12 32 18 1r


 2 1 1 2 3 16 3
9 12 32 9 8 99 4
Sn     ...  ( )( ) n1   (( ) n1 1)

ดังน้ันลาดบั ผลบวกย่อยของอนกุ รมคอื 2 , 11 , 5 ,..., 16 (( 3 ) n 1 1),...
9 36 18 99 4
2 1 1 2 3
หาผลบวกของอนกุ รม 9  12  32  ...  ( 9 )( 8 ) n1  ...

พิจารณาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม เมอื่ n มีคา่ เพิ่มขึ้น ค่าของSn เขา้ ใกล้  16
99
16
ผลบวกคอื S  Sn   99

n

138

ดงั นนั้ อนุกรม 2  1  1  ...  ( 2 )( 3 ) n 1  ... เป็นอนกุ รมลู่เขา้ มผี ลบวกเทา่ กับ
9 12 32 9 8
16
 99

(L) จากโจทยท์ าให้เราไดเ้ รยี นร้วู ่า

คาตอบที่ได้คือ

อนุกรม 2  1  1  ...  ( 2 )( 3 ) n1  ... เป็นอนุกรมลเู่ ข้า มผี ลบวกเท่ากบั  16
9 12 32 9 8 99
สรปุ ขน้ั ตอนดังนี้

หาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 2  1  1  ...  ( 2 )( 3 ) n 1  ...
9 12 32 9 8
S1  a1
S2  a1  a2
S3  a1 a2 a3
S4  a1 a2 a3 a4


Sn  a1  a2  a3  a4 ...  an
หาผลบวกของอนุกรม

โดยพิจารณาลาดบั ผลบวกย่อยของอนกุ รม เมือ่ n มีคา่ เพิ่มขึ้น ค่าของSn เข้าใกล้ จานวน
จรงิ ใด
Sn S
จานวนจริงน้ันคือ lim  เมอ่ื S เปน็ จานวนจริงแล้วจะกล่าวไดว้ ่าอนกุ รม

n
a1  a2  a3  ...  a n  ... เปน็ อนุกรมลู่เขา้ (Convergent series) เรยี ก S ว่าผลบวกของ

อนุกรม

ถา้ ลาดบั Sn เปน็ ลาดบั ลอู่ อก จะกล่าววา่ อนกุ รม a1  a2  a3  ...  a n  ...

เป็น อนุกรมลู่ออก(Divergent series) และไมส่ ามารถหาผลบวกได้

ได้คะแนนเตม็ แน่ๆ
เลยคนเกง่

139
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 7.2

140

เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 7.2

7.2 ผลบวกของอนุกรมอนันต์

คาชี้แจง ใหน้ กั เรยี นอา่ นโจทยแ์ ลว้ วเิ คราะห์หาคาตอบด้วยเทคนิค KWDL โดยเตมิ คาตอบลงช่องวา่ ง

1. จงพจิ ารณาวา่ อนุกรม 1  1  1  ...  1 ( 1 ) n 1  ... เปน็ อนกุ รมลู่เขา้ หรืออนุกรมลูอ่ อกและ
2 4 8 2 2
มี

ผลบวกเปน็ เทา่ ใด

(K) จากโจทย์ทาให้เรารูว้ า่ โจทยบ์ อกว่า

มีอนุกรม 1  1  1  ...  1 ( 1 ) n 1  ...
2 4 8 2 2

(W) จากโจทยท์ าให้เรารู้วา่ โจทย์ใหห้ า

อนุกรม 1  1  1  ...  1 ( 1 ) n 1  ... เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมล่อู อกและ
2 4 8 2 2
ผลบวก

(D) จากโจทย์ทาให้เราร้วู า่ เราจะต้องทาดงั นี้

หาผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนกุ รม 1  1  1  ...  1 ( 1 ) n 1  ...
2 4 8 2 2
1 1 1 1 1 1 1
อนกุ รม 2  4  8  ...  2 ( 2 ) n 1  ... เป็นอนุกรมเรขาคณติ มี a1  2 , r  2

Sn a1 (1 r n )
1r


1 (11(1212 ) n )
2


 1  1
2n

141

หาลมิ ติ ผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn ) ของอนุกรม 1  1  1  ...  1 ( 1 ) n1  ...
2 4 8 2 2
1
วธิ ที า 1 nlimSn  lim (1 2n ) วิธีที่ 2 สาหรับอนุกรมเรขาคณติ ถ้า r  1
แล้วอนกุ รมเป็นอนกุ รมลูเ่ ข้า
n

10 ผลบวกของอนกุ รม (S)  a1 r
1
1 1
ผลบวกของอนุกรมอนันต์(S)  lim Sn
n
 1 2 1
1  2

1

ดงั น้นั อนกุ รมอนนั ตน์ ้ี เปน็ อนุกรมล่เู ข้า และมผี ลบว=กเท่ากับ 1

(L) จากโจทยท์ าให้เราไดเ้ รียนร้วู ่า

คาตอบที่ได้คือ 1 1 1
1 1 8 2 2
อนุกรม 2  4   ...  ( ) n 1  ... เป็นอนกุ รมลูเ่ ข้า มผี ลบวกเท่ากบั 1

สรุปขั้นตอนดังนี้

หาผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )ของอนุกรม
หาลมิ ิตของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )
พิจารณาอนกุ รมลเู่ ขา้ หรอื อนุกรมลอู่ อกและผลบวกของอนุกรม
โดยพิจารณาลิมิตของลาดบั ของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) ถ้า nlimSn  S
เมือ่ S เป็นจานวนจริงแล้วจะกลา่ วไดว้ ่าอนุกรม

a1  a2  a3  ...an ... เป็นอนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกอนกุ รมอนนั ต์ (S)
ถ้า ลิมติ ของลาดบั ของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) หาคา่ ไม่ได้ จะกลา่ ววา่ อนกุ รม
a1  a2  a3  ...an ...เป็นอนกุ รมล่อู อกและไมส่ ามารถหาผลบวกได้

142

2. จงพจิ ารณาวา่ อนกุ รม 3 9  27  81  ...  3( 3 ) n1  ... เป็นอนุกรมลเู่ ข้าหรอื อนกุ รมลู่
5 25 125 5
ออก

และมีผลบวกเป็นเทา่ ใด

(K) จากโจทยท์ าให้เรารูว้ ่าโจทยบ์ อกว่า

มีอนุกรม 3  9  27  81  ...  3( 35 ) n1  ...
5 25 125

(W) จากโจทย์ทาใหเ้ รารูว้ ่าโจทยใ์ หห้ า

อนุกรม 3  9  27  81  ...  3( 3 ) n1  ... เป็นอนุกรมลู่เขา้ หรอื อนุกรมลู่
5 25 125 5
ออกและผลบวก

(D) จากโจทยท์ าใหเ้ รารูว้ ่าเราจะต้องทาดงั น้ี

หาผลบวกย่อย n พจน์แรก( S n )ของอนุกรม 3  9  27  81  ...  3( 3 ) n1  ...
5 25 125 5
9 27 81 3 3
อนกุ รม 3  5  25  125  ...  3( 5 ) n 1  ... เป็นอนกุ รมเรขาคณติ มี a1 3 , r   5

Sn  a1(1 rn )
1r
 3 ) n )
3(1 ( 5

1  3
5
15 35 )
 8 (1  ( n )

143

หาลิมติ ผลบวกย่อย n พจนแ์ รก( Sn ) ของอนุกรม 3  9  27  81  ...  3( 3 ) n1  ...
5 25 125 5
nlim(185(1 ( 53 ) n
วิธีทา 1 lim S n  ) วิธที ี่ 2 สาหรับอนกุ รมเรขาคณติ ถา้ r  1

n 15 แล้วอนุกรมเปน็ อนกุ รมล่เู ขา้
8
 (1  0) ผลบวกของอนกุ รม (S)  a1
1
 15 3r
8 (
 1 3 )
5
ผลบวกของอนุกรมอนนั ต์(S)  lim Sn 

n 15
15 8
 8 

= 15
ดังน้ัน อนุกรมอนนั ต์นี้ เปน็ อนกุ รมลเู่ ข้า และมีผลบวกเทา่ กบั 8

(L) จากโจทยท์ าให้เราไดเ้ รียนรู้วา่

คาตอบที่ได้คือ

อนกุ รม 3  9  27  81  ...  3( 3 ) n 1  ... เป็นอนกุ รมลเู่ ขา้ มีผลบวกเทา่ กับ
5 25 125 5
15

8
สรุปขั้นตอนดังนี้

หาผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนุกรม
หาลิมติ ของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn )
พิจารณาอนกุ รมล่เู ขา้ หรอื อนกุ รมลู่ออกและผลบวกของอนกุ รม
โดยพิจารณาลมิ ติ ของลาดับของผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn ) ถ้า nlimSn  S
เม่ือ S เปน็ จานวนจรงิ แล้วจะกลา่ วได้วา่ อนุกรม

a1  a2  a3  ...an ... เป็นอนุกรมลู่เข้า และมผี ลบวกอนุกรมอนันต์ (S)
ถา้ ลมิ ิตของลาดับของผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn ) หาคา่ ไม่ได้ จะกลา่ ววา่ อนุกรม

144

a1  a2  a3  ...an ...เป็นอนุกรมลอู่ อกและไมส่ ามารถหาผลบวกได้

3. จงพิจารณาว่าอนกุ รม 2  2  2  2  ...  2( 1 ) n1  ... เป็นอนกุ รมลู่เข้าหรืออนุกรม
5 25 125 5

ลูอ่ อก

และมผี ลบวกเปน็ เทา่ ใด

(K) จากโจทยท์ าให้เรารู้วา่ โจทย์บอกว่า

มีอนุกรม 2  2  2  2  ...  2( 1 ) n1  ...
5 25 125 5

(W) จากโจทยท์ าให้เรารูว้ ่าโจทย์ให้หา

อนุกรม 2  2  2  2  ...  2( 1 ) n 1  ... เป็นอนกุ รมลู่เขา้ หรืออนุกรมลู่
5 25 125 5
ออกและผลบวก

(D) จากโจทยท์ าใหเ้ รารู้วา่ เราจะต้องทาดงั นี้

2 2 หาผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนกุ รม
5 25 2 1
2    125  ...  2( 5 ) n 1  ...

อนุกรม 2  2  2  2  ...  2( 15 ) n 1  ... เปน็ อนุกรมเรขาคณติ มี
5 25 125
1
a1  2 , r   5

Sn a1 (1 r n )
1r


2(1  ( 1 ) n )
5
 1
1 5

 10 (1  ( 1 )n )
6 5
5 1
 3 (1  ( 5 )n )

145

หาลิมิตผลบวกย่อย n พจน์แรก( S n ) ของอนกุ รม 2  2  2  2  ...  2( 1 ) n 1  ...
5 25 125 5
5 1
วิธที า 1 nlimSn  lim 3 (1 ( 5 ) n ) วธิ ีที่ 2 สาหรับอนกุ รมเรขาคณติ ถ้า r  1

n แล้วอนุกรมเป็นอนกุ รมลู่เข้า
5
 3 (1  0) ผลบวกของอนุกรม (S)  a1
1
 5 2 r
3 
 1 1
5
ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์(S)  lim Sn
n
5 5
 3  3

= 5
ดังนนั้ อนกุ รมอนนั ตน์ ้ี เป็นอนุกรมลูเ่ ขา้ และมผี ลบวกเท่ากบั 3

(L) จากโจทย์ทาให้เราได้เรยี นรวู้ า่

คาตอบที่ได้คือ

อนุกรม 2  2  2  2  ...  2( 15 ) n 1  ... เป็นอนุกรมลเู่ ขา้ มีผลบวกเท่ากบั 5
5 25 125 3
สรุปขั้นตอนดังนี้

หาผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )ของอนกุ รม
หาลมิ ิตของผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn )
พจิ ารณาอนกุ รมล่เู ข้าหรืออนุกรมลู่ออกและผลบวกของอนกุ รม
โดยพิจารณาลิมติ ของลาดับของผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn ) ถา้ nlimSn  S
เมือ่ S เป็นจานวนจริงแลว้ จะกลา่ วไดว้ า่ อนกุ รม

a1  a2  a3  ...an ... เปน็ อนกุ รมล่เู ขา้ และมผี ลบวกอนกุ รมอนนั ต์ (S)
ถ้า ลิมติ ของลาดับของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn ) หาคา่ ไมไ่ ด้ จะกล่าววา่ อนุกรม

146

a1  a2  a3  ...an ...เปน็ อนุกรมลอู่ อกและไม่สามารถหาผลบวกได้

4. จงพิจารณาว่าอนุกรม 2  2  2  ...  2 ( 15 ) n 1  ... เป็นอนกุ รมลู่เขา้ หรืออนกุ รมลอู่ อก
3 15 75 3
และมผี ลบวกเปน็ เทา่ ใด

(K) จากโจทยท์ าใหเ้ ราร้วู า่ โจทยบ์ อกวา่

มีอนุกรม 2  2  2  ...  2 ( 1 ) n1  ...
3 15 75 3 5

(W) จากโจทยท์ าใหเ้ รารวู้ ่าโจทย์ให้หา

อนุกรม 2  2  2  ...  2 ( 1 ) n 1  ... เป็นอนุกรมลเู่ ขา้ หรืออนกุ รมลูอ่ อกและ
3 15 75 3 5
ผลบวก

(D) จากโจทย์ทาให้เรารู้วา่ เราจะต้องทาดงั นี้

หาผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn )ของอนกุ รม 2  2  2  ...  2 ( 15 ) n 1  ...
3 15 75 3
2 2 2 2 15 ) 2 1
อนกุ รม 3  15  75  ...  3 ( n 1  ... เปน็ อนุกรมเรขาคณติ มี a1  3 , r  5

Sn a1 (1 r n )
1r


2 (1 (15 )n )
3
 1
1 5


 5 (1  1 )
6 5n

147

หาลมิ ิตผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn ) ของอนุกรม 2  2  2  ...  2 ( 1 ) n 1  ...
3 15 75 3 5
5 1
วิธีทา 1 lim S n  lim 6 (1  5n ) วธิ ีท่ี 2 สาหรับอนุกรมเรขาคณิต ถา้ r  1

n n แลว้ อนกุ รมเปน็ อนกุ รมลเู่ ขา้
5
 6 (1  0) ผลบวกของอนุกรม (S)  a1
1
 5 2 r
6
ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์(S)  lim Sn 3
 1  1
5
n
5
 6  5
6

ดงั น้นั อนกุ รมอนนั ตน์ ี้ เปน็ อนกุ รมลเู่ ขา้ และมผี ลบวกเท=า่ กับ 5
6

(L) จากโจทยท์ าใหเ้ ราไดเ้ รยี นรวู้ า่

คาตอบที่ได้คือ

อนุกรม 2  2  2  ...  2 ( 1 ) n1  ... เปน็ อนกุ รมล่เู ข้า มีผลบวกเท่ากบั 5
3 15 75 3 5 6
สรุปขั้นตอนดังนี้

หาผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนกุ รม
หาลมิ ิตของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )
พจิ ารณาอนกุ รมลูเ่ ข้าหรอื อนุกรมลอู่ อกและผลบวกของอนุกรม
โดยพิจารณาลมิ ิตของลาดับของผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn ) ถา้ nlimSn  S
เม่อื S เปน็ จานวนจรงิ แลว้ จะกลา่ วไดว้ า่ อนุกรม

a1  a2  a3  ...an ... เปน็ อนุกรมลู่เขา้ และมีผลบวกอนุกรมอนนั ต์ (S)
ถ้า ลมิ ติ ของลาดับของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) หาคา่ ไม่ได้ จะกลา่ วว่าอนุกรม

148

a1  a2  a3  ...an ...เปน็ อนกุ รมล่อู อกและไมส่ ามารถหาผลบวกได้

5. จงพจิ ารณาวา่ อนุกรม 1  3  9  27  ...  ( 3 ) n 1  ... เปน็ อนกุ รมล่เู ข้าหรอื อนกุ รมลอู่ อก
2 4 8 2
และมผี ลบวกเปน็ เท่าใด

(K) จากโจทย์ทาให้เรารูว้ ่าโจทย์บอกว่า

มีอนุกรม 1 3  9  27  ...  ( 3 ) n 1  ...
2 4 8 2

(W) จากโจทยท์ าให้เรารวู้ า่ โจทย์ใหห้ า

อนุกรม 1  3  9  27  ...  ( 3 ) n 1  ... เป็นอนุกรมลูเ่ ข้าหรืออนกุ รมลูอ่ อก
2 4 8 2
และผลบวก

(D) จากโจทยท์ าให้เรารู้ว่าเราจะตอ้ งทาดังน้ี

หาผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก( Sn )ของอนกุ รม 1  3  9  27  ...  ( 3 ) n 1  ...
2 4 8 2
3 9 27 3 3
อนุกรม 1  2  4  8  ...  ( 2 ) n1  ... เป็นอนุกรมเรขาคณติ มี a1 1 , r 2

Sn a1 (1 r n )
1r


 1(11( 2315)n )
5 3
 6 (1  ( 2 )n )

หาลิมติ ผลบวกย่อย n พจนแ์ รก( S n ) ของอนุกรม 1  3  9  27  ...  ( 3 ) n1  ...
2 4 8 2
5 3
lim S n  lim 6 (1  ( 2 )n )

n n หาค่าไม่ได้

ดังนนั้ อนุกรมอนนั ตน์ ี้ เปน็ อนกุ รมลอู่ อก และไมส่ ามารถหาผลบวกได้

149

(L) จากโจทยท์ าใหเ้ ราไดเ้ รยี นรู้วา่

คาตอบที่ได้คือ 9
3 4 27 3
อนกุ รม 1 2   8  ...  ( 2 ) n 1  ... เปน็ อนกุ รมลู่ออก ไม่สามารถหาผลบวกได้

สรุปข้นั ตอนดงั น้ี

หาผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนกุ รม
หาลมิ ติ ของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn )
พิจารณาอนกุ รมลูเ่ ขา้ หรืออนุกรมลอู่ อกและผลบวกของอนกุ รม

โดยพิจารณาลิมติ ของลาดับของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) ถา้ nlimSn  S

เมอ่ื S เปน็ จานวนจริงแลว้ จะกล่าวไดว้ า่ อนุกรม

a1  a2  a3  ...an ... เปน็ อนุกรมล่เู ขา้ และมผี ลบวกอนุกรมอนันต์ (S)
ถ้า ลิมติ ของลาดบั ของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn ) หาคา่ ไม่ได้ จะกล่าววา่ อนุกรม
a1  a2  a3  ...an ...เป็นอนุกรมลู่ออกและไม่สามารถหาผลบวกได้

150

6. จงพิจารณาว่าอนุกรม 2  4 8 16...  2(2)n1 ... เป็นอนุกรมลเู่ ข้าหรอื อนกุ รมลู่

ออก และมผี ลบวกเป็นเทา่ ใด

(K) จากโจทยท์ าใหเ้ รารู้วา่ โจทย์บอกวา่

มีอนุกรม 2  4 8 16... 2(2)n1 ...

(W) จากโจทยท์ าใหเ้ ราร้วู ่าโจทย์ใหห้ า

อนุกรม 2  4 8 16...  2(2)n1 ... เป็นอนกุ รมล่เู ข้าหรืออนุกรมลอู่ อก

และ

ผลบวก

(D) จากโจทยท์ าใหเ้ รารวู้ า่ เราจะต้องทาดังนี้

หาผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn )ของอนกุ รม 2  4 8 16...  2(2)n1 ...
อนกุ รม 2  4 8 16...  2(2)n1 ... เป็นอนุกรมเรขาคณิต มี a1  2 , r  2
n
Sn a1 (1 r )
 1r

 2(1  (2)n )
12
2
 3 (1  (2) n )

หาลมิ ิตผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn ) ของอนุกรม 2  4 8 16...  2(2)n1 ...
2
lim Sn  lim 3 (1  ( 2 ) n ) หาค่าไม่ได้

n n

ดังน้ัน อนุกรมอนนั ต์นี้ เป็นอนุกรมลู่ออก และไมส่ ามารถหาผลบวกได้