อนุกรมอนันต์

151

(L) จากโจทยท์ าใหเ้ ราได้เรยี นรู้วา่
คาตอบทไี่ ด้คอื

อนุกรม 2  4 8 16...  2(2)n1 ... เปน็ อนุกรมลู่ออก ไม่สามารถหา

ผลบวกได้
สรุปขั้นตอนดังนี้

หาผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนุกรม
หาลิมิตของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )
พิจารณาอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและผลบวกของอนุกรม
โดยพิจารณาลมิ ิตของลาดบั ของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn ) ถ้า nlimSn  S
เมือ่ S เป็นจานวนจรงิ แลว้ จะกลา่ วได้วา่ อนกุ รม
a1  a2  a3  ...an ... เป็นอนุกรมลู่เขา้ และมผี ลบวกอนกุ รมอนนั ต์ (S)
ถ้า ลิมติ ของลาดบั ของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) หาค่าไมไ่ ด้ จะกล่าวว่าอนกุ รม
a1  a2  a3  ...an ...เป็นอนกุ รมลอู่ อกและไมส่ ามารถหาผลบวกได้

152

7. จงพิจารณาวา่ อนุกรม 1  5  2  11  ...  ( 1 )( 3 ) n  ... เปน็ อนกุ รมลเู่ ข้าหรืออนกุ รมลู่
2 4 4 4 4
ออก

และมผี ลบวกเป็นเทา่ ใด

(K) จากโจทย์ทาให้เรารู้วา่ โจทย์บอกว่า

มีอนุกรม 1  5  2  11  ...  ( 1 )( 3 ) n  ...
2 4 4 4 4

(W) จากโจทยท์ าใหเ้ รารู้ว่าโจทย์ให้หา

อนุกรม 1  5  2  11  ...  ( 1 )( 3 )n  ... เป็นอนุกรมลเู่ ข้าหรืออนุกรมลู่
2 4 4 4 4
ออกและ

ผลบวก

(D) จากโจทยท์ าให้เรารู้วา่ เราจะต้องทาดังน้ี

หาผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn )ของอนุกรม 1  5  2  11  ...  ( 1 )( 3 )n  ...
2 4 4 4 4
1 5 11 1 3
อนกุ รม 2  4  2  4  ...  ( 4 )( 4 ) n  ... เปน็ อนุกรมเลขคณติ มี

a1  1 , d  3
2 4
n
Sn  2 (a1  a n )

 n ( 1  1  3 n)
2 2 4 4
n 1 3
 2 ( 4  4 n )

หาลมิ ิตผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) ของอนกุ รม 1  5 2 11  ...  ( 1 )( 3 ) n  ...
2 4 4 4 4

153

nlimSn  lim n ( 1  3 n ) หาคา่ ไม่ได้
2 4 4
n

ดังน้นั อนุกรมอนันต์นี้ เปน็ อนุกรมลู่ออก และไม่สามารถหาผลบวกได้

(L) จากโจทยท์ าให้เราได้เรียนรวู้ า่

คาตอบที่ได้คือ

อนุกรม 1  5 2  11  ...  ( 1 )( 3 ) n  ... เป็นอนุกรมลู่ออก และไม่สามารถหา
2 4 4 4 4
ผลบวกได้

สรปุ ขั้นตอนดงั น้ี

หาผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )ของอนุกรม
หาลิมิตของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn )
พิจารณาอนุกรมล่เู ข้าหรืออนุกรมลู่ออกและผลบวกของอนกุ รม
โดยพจิ ารณาลิมติ ของลาดับของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn ) ถา้ nlimSn  S
เมื่อ S เปน็ จานวนจริงแลว้ จะกล่าวไดว้ ่าอนกุ รม

a1  a2  a3  ...an ... เป็นอนุกรมลู่เขา้ และมีผลบวกอนุกรมอนันต์ (S)
ถ้า ลมิ ติ ของลาดบั ของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) หาคา่ ไมไ่ ด้ จะกล่าววา่ อนุกรม
a1  a2  a3  ...an ...เป็นอนกุ รมลอู่ อกและไม่สามารถหาผลบวกได้

154

8. จงพิจารณาวา่ อนกุ รม 14 39 ...32n ... เป็นอนกุ รมลเู่ ขา้ หรืออนกุ รมลอู่ อก

และมผี ลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทยท์ าใหเ้ รารู้ว่าโจทย์บอกว่า

มีอนุกรม 14 39 ... 32n ...

(W) จากโจทย์ทาให้เรารวู้ ่าโจทย์ใหห้ า

อนุกรม 14 39 ... 32n ... เปน็ อนกุ รมลู่เข้าหรอื อนกุ รมลู่ออกและ
ผลบวก

(D) จากโจทยท์ าให้เรารวู้ ่าเราจะตอ้ งทาดงั น้ี

หาผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนุกรม 14 39 ... 32n ...
อนุกรม 14 39 ... 32n ... เปน็ อนกุ รมเลขคณติ มี a1 1, d  2
n
Sn  2 (a1  a n )

 n (1  3  2n )
2
n
 2 (4  2n)

หาลมิ ติ ผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn ) ของอนุกรม 14 39 ... 32n ...
n
lim Sn  lim 2 (4  2n ) หาคา่ ไม่ได้

n n

ดงั น้ัน อนุกรมอนนั ต์น้ี เป็นอนุกรมลู่ออก และไม่สามารถหาผลบวกได้

155

(L) จากโจทย์ทาให้เราได้เรียนรู้ว่า
คาตอบทไี่ ด้คือ
อนุกรม 14 39 ... 32n ... เปน็ อนุกรมล่อู อก และไม่สามารถหาผลบวกได้
สรุปขั้นตอนดังนี้
หาผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนกุ รม
หาลมิ ิตของผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn )
พจิ ารณาอนุกรมลู่เขา้ หรืออนุกรมลอู่ อกและผลบวกของอนุกรม

โดยพิจารณาลมิ ติ ของลาดับของผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn ) ถ้า nlimSn  S

เมื่อ S เป็นจานวนจรงิ แลว้ จะกลา่ วได้ว่าอนกุ รม
a1  a2  a3  ...an ... เปน็ อนุกรมลู่เขา้ และมีผลบวกอนุกรมอนันต์ (S)
ถ้า ลิมติ ของลาดบั ของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn ) หาค่าไม่ได้ จะกลา่ ววา่ อนุกรม
a1  a2  a3  ...an ...เป็นอนกุ รมลู่ออกและไม่สามารถหาผลบวกได้

156

9. จงพิจารณาว่าอนุกรม 1  3  7  ...  5  2n  ... เป็นอนุกรมลู่เขา้ หรอื อนุกรมล่อู อก
2 2 2 2
และมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทย์ทาให้เรารูว้ า่ โจทยบ์ อกวา่

มีอนุกรม 1  3  7  ...  5  2n  ...
2 2 2 2

(W) จากโจทยท์ าใหเ้ รารู้วา่ โจทยใ์ หห้ า

อนุกรม 1  3  7  ...  5  2n  ... เป็นอนกุ รมลู่เขา้ หรืออนุกรมลู่ออกและ
2 2 2 2
ผลบวก

(D) จากโจทย์ทาให้เรารู้วา่ เราจะต้องทาดังนี้

หาผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนุกรม 1  3  7  ...  5  2n ...
2 2 2 2
1 3 7 5 1
อนกุ รม 2  2  2  ...  2  2n  ... เป็นอนกุ รมเลขคณติ มี a1  2 , d  2

Sn  n (a1  a n )
2
n 1 5
 2 ( 2  2  2n)

 n (3  2n)
2
1 3 7 5
หาลิมิตผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn ) ของอนุกรม 2  2  2  ...  2  2n ...

lim Sn  lim n (4  2n ) หาค่าไม่ได้
2
n n

ดังนนั้ อนุกรมอนนั ตน์ ้ี เปน็ อนุกรมล่อู อก และไมส่ ามารถหาผลบวกได้

157

(L) จากโจทย์ทาให้เราไดเ้ รียนร้วู า่

คาตอบที่ได้คือ

อนุกรม 1  3  7  ...  5  2n  ... เปน็ อนกุ รมลอู่ อก และไม่สามารถหาผลบวกได้
2 2 2 2
สรุปขั้นตอนดังนี้

หาผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนุกรม
หาลิมิตของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )
พิจารณาอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและผลบวกของอนุกรม
โดยพิจารณาลิมิตของลาดับของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) ถ้า nlimSn  S
เมอ่ื S เป็นจานวนจริงแลว้ จะกลา่ วได้วา่ อนุกรม

a1  a2  a3  ...an ... เปน็ อนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกอนกุ รมอนนั ต์ (S)
ถา้ ลมิ ติ ของลาดบั ของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn ) หาค่าไมไ่ ด้ จะกล่าวว่าอนกุ รม
a1  a2  a3  ...an ...เป็นอนุกรมล่อู อกและไมส่ ามารถหาผลบวกได้

158

10. จงพจิ ารณาวา่ อนุกรม 0  38 ... (n2 1) ...

เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทย์ทาใหเ้ รารู้ว่าโจทยบ์ อกวา่

มีอนุกรม 0  38 ... (n2 1) ...

(W) จากโจทยท์ าใหเ้ รารู้วา่ โจทย์ให้หา

อนุกรม 0  38 ...  (n2 1) ... เปน็ อนกุ รมลู่เข้าหรอื อนุกรมลอู่ อกและ

ผลบวก

(D) จากโจทยท์ าใหเ้ รารู้ว่าเราจะตอ้ งทาดงั น้ี

หาผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn )ของอนกุ รม 0  38 ... (n2 1) ...
อนกุ รม 0  38 ...  (n2 1) ... ไมใ่ ช่อนกุ รมเลขคณิตไมใ่ ชอ่ นุกรมเลขคณติ

หาSn โดย n n (i2

Sn  ai  1)

i1 i1
n n
 i 2 
 1
i1 i1
n
 6 (n 1)(2n 1) 1( n)

หาลิมติ ผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) ของอนุกรม 0  38 ...  (n2 1) ...
n
nlimSn  lim 6 (n  1)(2n  1) 1( n) หาคา่ ไมไ่ ด้

n

ดังนัน้ อนุกรมอนันตน์ ้ี เป็นอนกุ รมลอู่ อก และไมส่ ามารถหาผลบวกได้

159

(L) จากโจทย์ทาให้เราไดเ้ รยี นรวู้ า่
คาตอบที่ได้คือ

อนกุ รม 0  38 ...  (n2 1) ... เปน็ อนกุ รมลูอ่ อก และไมส่ ามารถหาผลบวกได้

สรปุ ขั้นตอนดงั นี้
หาผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )ของอนุกรม
หาลิมติ ของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )
พจิ ารณาอนกุ รมลเู่ ข้าหรอื อนกุ รมลู่ออกและผลบวกของอนกุ รม

โดยพจิ ารณาลิมติ ของลาดบั ของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn ) ถ้า nlimSn  S

เมื่อ S เปน็ จานวนจรงิ แล้วจะกล่าวได้ว่าอนกุ รม
a1  a2  a3  ...an ... เป็นอนุกรมลู่เขา้ และมผี ลบวกอนกุ รมอนนั ต์ (S)
ถ้า ลมิ ิตของลาดบั ของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) หาคา่ ไมไ่ ด้ จะกลา่ วว่าอนุกรม
a1  a2  a3  ...an ...เป็นอนุกรมลู่ออกและไม่สามารถหาผลบวกได้

160

11. จงพิจารณาวา่ อนกุ รม 1 0  9... (n3  2n) ...

เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทย์ทาใหเ้ รารู้วา่ โจทยบ์ อกวา่

มีอนุกรม 10  9... (n3  2n) ...

(W) จากโจทยท์ าใหเ้ รารูว้ า่ โจทย์ใหห้ า

อนุกรม 1 0  9... (n3  2n) ... เป็นอนกุ รมลู่เขา้ หรอื อนกุ รมลู่ออกและ

ผลบวก

(D) จากโจทยท์ าให้เรารู้วา่ เราจะตอ้ งทาดงั นี้

หาผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )ของอนุกรม 1 0  9... (n3  2n) ...
อนุกรม 1 0  9... (n3  2n) ... ไมใ่ ชอ่ นุกรมเลขคณิตไม่ใช่อนุกรมเลขคณิต

หาSn โดย n n

Sn  ai   (i3  2i2 )

i1 i1
n n
 i 3  2 i2
 
i1 i1
n n
 ( 2 (n  1)) 2  2( 6 ( n  1)(2 n  1))

หาลมิ ิตผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn ) ของอนุกรม 1 0  9... (n3  2n) ...
n n
lim Sn  lim ( 2 (n  1)) 2  2( 6 (n  1)( 2 n  1)) หาค่าไมไ่ ด้

n n

ดังนั้น อนุกรมอนันต์นี้ เป็นอนุกรมลู่ออก และไม่สามารถหาผลบวกได้

161

(L) จากโจทยท์ าใหเ้ ราไดเ้ รยี นร้วู า่
คาตอบที่ได้คือ

อนุกรม 1 0  9... (n3  2n) ... เป็นอนกุ รมลอู่ อก และไม่สามารถหาผลบวก

ได้
สรุปขั้นตอนดังนี้

หาผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn )ของอนกุ รม
หาลมิ ติ ของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )
พจิ ารณาอนกุ รมลเู่ ข้าหรอื อนกุ รมลู่ออกและผลบวกของอนุกรม
โดยพิจารณาลิมติ ของลาดับของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) ถา้ nlimSn  S
เมื่อ S เปน็ จานวนจรงิ แล้วจะกลา่ วไดว้ ่าอนกุ รม
a1  a2  a3  ...an ... เปน็ อนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกอนุกรมอนันต์ (S)
ถ้า ลิมติ ของลาดับของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn ) หาค่าไมไ่ ด้ จะกลา่ ววา่ อนุกรม
a1  a2  a3  ...an ...เปน็ อนุกรมลู่ออกและไมส่ ามารถหาผลบวกได้

162

12. จงพิจารณาว่าอนกุ รม  5
1)(n
 (n  2)

n1
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทย์ทาให้เรารู้ว่าโจทย์บอกว่า

มีอนุกรม 5

(n 1)(n  2)
n1

(W) จากโจทย์ทาให้เรารู้วา่ โจทยใ์ หห้ า

อนุกรม 5 เปน็ อนุกรมลเู่ ขา้ หรืออนุกรมลูอ่ อกและผลบวก

(n 1)(n  2)
n1

(D) จากโจทยท์ าให้เรารวู้ ่าเราจะต้องทาดังนี้

หาผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก( S n )ของอนุกรม  5
1)(n
 ( n  2)

 5 5 5 5 n1 5
1)(n 35 34 4 1)(n
อนกุ รม  ( n   2)    5  ...  ( n   2)  ...

n1
เป็นอนกุ รมท่ีเกิดจากลาดบั ท่มี ีพจน์ท่ัวไปสามารถจดั อยใู่ นรปู ผลตา่ งของเศษสว่ นย่อยได้

(อนุกรม Telescopic)รูปแบบ k  k  k  ...  a n k 1  ...
a1a2 a2a3 a3a4 an
1 1 1
Sn  k( a 2  a1 )( a1  a )
n1
1 1 1
แทนค่า Sn  5( 3  2 )( 2  n  2 )

หาลิมติ ผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn ) ของอนกุ รม  (n 5  2)
1)(n

1
 n1
1 1
nlimSn  lim 5( 3 2 )( 2  n  2)

n

163

 5(1)( 1  0)
2
5
 2

ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์(S)  lim Sn  5
2
n
5
ดังนนั้ อนกุ รมอนนั ต์น้ี เป็นอนุกรมลู่เข้า และมผี ลบวกเท่ากบั 2

(L) จากโจทยท์ าให้เราได้เรยี นรวู้ า่

คาตอบทไ่ี ดค้ ือ

อนุกรมอนนั ต์  5 เป็นอนกุ รมลเู่ ข้า และมผี ลบวกเท่ากบั 5
1)(n  2) 2
 ( n

n1
สรุปขั้นตอนดังนี้

หาผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )ของอนกุ รม
หาลมิ ติ ของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn )
พจิ ารณาอนกุ รมลู่เข้าหรืออนุกรมล่อู อกและผลบวกของอนกุ รม
โดยพิจารณาลิมิตของลาดับของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) ถ้า nlimSn  S
เมอื่ S เป็นจานวนจริงแลว้ จะกลา่ วไดว้ า่ อนกุ รม

a1  a2  a3  ...an ... เป็นอนกุ รมลู่เข้า และมีผลบวกอนกุ รมอนันต์ (S)
ถ้า ลิมติ ของลาดบั ของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) หาค่าไมไ่ ด้ จะกลา่ วว่าอนกุ รม
a1  a2  a3  ...an ...เป็นอนุกรมลอู่ อกและไมส่ ามารถหาผลบวกได้

164

13. จงพจิ ารณาว่าอนุกรม  7
2)(2n
 (2 n   4)

n1
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทย์ทาให้เรารูว้ ่าโจทยบ์ อกว่า

มีอนุกรม 7

(2n  2)(2n  4)
n1

(W) จากโจทยท์ าให้เรารู้วา่ โจทย์ให้หา

อนุกรม  (2n  7  4) เป็นอนุกรมล่เู ข้าหรอื อนกุ รมลอู่ อกและผลบวก
2)(2n


n1

(D) จากโจทยท์ าให้เรารู้วา่ เราจะต้องทาดังน้ี

หาผลบวกย่อย n พจน์แรก( S n )ของอนุกรม  7
2)(2n
 (2n   4)

7 7 7 n1 7
 2)(2n 46 68 7 2)(2n
อนุกรม (2 n   4)    8 10  ...  (2n   4)  ...


n1
เปน็ อนุกรมทเี่ กดิ จากลาดับทม่ี พี จนท์ วั่ ไปสามารถจดั อยู่ในรูปผลตา่ งของเศษสว่ นยอ่ ยได้

(อนุกรม Telescopic)รูปแบบ k  k  k  ...  a n k 1  ...
a1a2 a2a3 a3a4 an
1 1 1
Sn  k( a 2  a1 )( a1  a )
n1
1 1 1
แทนค่า Sn  7( 6  4 )( 4  2n  4 )

หาลมิ ติ ผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn ) ของอนกุ รม  (2n  7  4)
2)(2n


n1
1 1 1
nlimSn  lim 7( 6  4 )( 4  2n  4 )

n

165

 7( 1 )( 1  0)
2 4
7
 8

ผลบวกของอนุกรมอนันต์(S)  lim Sn  7
8
n
7
ดังนัน้ อนุกรมอนนั ตน์ ้ี เป็นอนกุ รมล่เู ข้า และมผี ลบวกเทา่ กับ 8

(L) จากโจทยท์ าใหเ้ ราได้เรียนรวู้ า่

คาตอบทไี่ ดค้ อื

อนุกรมอนนั ต์  (2n  7  4) เป็นอนกุ รมล่เู ข้า และมีผลบวกเทา่ กบั 7
2)(2n 8


n1
สรุปขั้นตอนดังนี้

หาผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn )ของอนุกรม
หาลมิ ิตของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn )
พจิ ารณาอนุกรมลู่เขา้ หรืออนกุ รมลูอ่ อกและผลบวกของอนุกรม
โดยพจิ ารณาลมิ ติ ของลาดบั ของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) ถ้า nlimSn  S
เมื่อ S เป็นจานวนจริงแล้วจะกลา่ วได้วา่ อนกุ รม

a1  a2  a3  ...an ... เปน็ อนุกรมล่เู ขา้ และมีผลบวกอนุกรมอนนั ต์ (S)
ถ้า ลมิ ติ ของลาดับของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn ) หาคา่ ไม่ได้ จะกลา่ วว่าอนกุ รม
a1  a2  a3  ...an ...เปน็ อนุกรมลูอ่ อกและไม่สามารถหาผลบวกได้

166

14. จงพจิ ารณาว่าอนกุ รม  6
1)(3n
 (3n  4)

n1
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทยท์ าใหเ้ รารู้ว่าโจทย์บอกวา่

มีอนุกรม 6

(3n 1)(3n  4)
n1

(W) จากโจทยท์ าให้เรารู้วา่ โจทยใ์ ห้หา

อนุกรม  6 เป็นอนกุ รมล่เู ข้าหรืออนกุ รมลอู่ อกและผลบวก
1)(3n
 (3n  4)

n1

(D) จากโจทยท์ าให้เรารูว้ า่ เราจะตอ้ งทาดงั นี้

หาผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก( S n )ของอนกุ รม  (3n 6  4)
1)(3n

อนกุ รม
n1

 (3n  6  4)  6  7 6  6  ...  (3n 6  4 )  ...
1)(3n 47 10 1013  1)(3n


n1
เปน็ อนุกรมทีเ่ กดิ จากลาดบั ท่ีมีพจน์ท่วั ไปสามารถจัดอย่ใู นรปู ผลต่างของเศษสว่ นย่อยได้

(อนุกรม Telescopic)รปู แบบ k  k  k  ...  a n k 1  ...
a1a2 a2a3 a3a4 an
1 1 1
Sn  k( a 2  a1 )( a1  a )
n1
1 1 1
แทนค่า Sn  6( 7 4 )( 4  3n  4 )

หาลมิ ติ ผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn ) ของอนุกรม  (3n 6  4)
1)(3n


n1

167

lim S n  lim 6( 7 1 4 )( 1  1 4)
 4 3n 
n n
1
 (2)( 4  0)

 1
2
1
ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์(S)  lim Sn  2

n 1
2
ดงั นน้ั อนุกรมอนันต์นี้ เปน็ อนกุ รมล่เู ข้า และมีผลบวกเท่ากับ

(L) จากโจทย์ทาให้เราไดเ้ รียนรวู้ ่า

คาตอบทไ่ี ด้คือ

อนกุ รมอนนั ต์  6 เป็นอนุกรมลู่เข้า และมผี ลบวกเท่ากบั 1
1)(3n  4) 2
 (3n

n1
สรุปขั้นตอนดังนี้

หาผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนกุ รม
หาลิมติ ของผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn )
พจิ ารณาอนกุ รมลู่เขา้ หรืออนกุ รมลูอ่ อกและผลบวกของอนกุ รม
โดยพิจารณาลิมิตของลาดบั ของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn ) ถ้า nlimSn  S
เม่ือ S เปน็ จานวนจรงิ แลว้ จะกลา่ วไดว้ ่าอนุกรม

a1  a2  a3  ...an ... เปน็ อนุกรมล่เู ขา้ และมผี ลบวกอนุกรมอนันต์ (S)
ถ้า ลิมิตของลาดับของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) หาคา่ ไม่ได้ จะกลา่ วว่าอนกุ รม
a1  a2  a3  ...an ...เปน็ อนุกรมลอู่ อกและไม่สามารถหาผลบวกได้

168

15. จงพิจารณาวา่ อนกุ รม  (n  3)(n 3 4)(n  5)



n1
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทย์ทาให้เรารูว้ า่ โจทยบ์ อกวา่

มีอนุกรม 3

( n  3)(n  4 )(n  5)
n1

(W) จากโจทยท์ าให้เรารวู้ ่าโจทยใ์ หห้ า

อนุกรม  (n  3)( n 3 4)(n  5) เป็นอนุกรมล่เู ข้าหรอื อนุกรมล่อู อกและผลบวก



n1

(D) จากโจทย์ทาใหเ้ ราร้วู า่ เราจะต้องทาดงั นี้

หาผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนกุ รม  (n  3)(n 3 4)(n  5)


อนกุ รม
n1

 ( n  3)( n 3 4)(n  5)  4 3 6  3 7  6 3 8  ...  (n  3)( n 3 4)(n  5)  ...
 5 56 7 


n1
เป็นอนุกรมทีเ่ กดิ จากลาดบั ท่มี พี จน์ทว่ั ไปสามารถจัดอย่ใู นรูปผลต่างของเศษส่วนย่อยได้

(อนุกรม Telescopic)รูปแบบ k  a k 4  a k a 5  ...  k  ...
a1a2a3 2a3a 3a4 a n a n 1a n 2
1 1 1
Sn  k(a3  a1 )( a1a 2  a n 1a n 2 )

แทนคา่ Sn  3( 6 1 4 )( 1  (n  1  5) )
 45 4)(n

หาลิมิตผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก( S n ) ของอนกุ รม  3

 ( n  3)(n 4)(n  5)

n1

169

lim S n  lim 3( 6 1 )( 1  (n 1  5) )
4 45  4)(n
n n 3
 (3)(110 0) 20


ผลบวกของอนุกรมอนนั ต์(S)  lim Sn
n
3
 20

ดังน้ัน อนกุ รมอนนั ตน์ ้ี เปน็ อนกุ รมลเู่ ขา้ และมผี ลบวกเทา่ กับ 3
20

(L) จากโจทยท์ าให้เราไดเ้ รียนรวู้ ่า

คาตอบที่ได้คอื

อนุกรมอนนั ต์  (n  3)(n 3 4)(n  5) เปน็ อนกุ รมลเู่ ข้า และมผี ลบวกเท่ากบั 3
 20


n1
สรุปขั้นตอนดังนี้

หาผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn )ของอนกุ รม
หาลมิ ติ ของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )
พิจารณาอนกุ รมลเู่ ขา้ หรอื อนกุ รมลอู่ อกและผลบวกของอนกุ รม
โดยพจิ ารณาลมิ ิตของลาดบั ของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn ) ถา้ nlimSn  S
เม่ือ S เป็นจานวนจริงแลว้ จะกลา่ วได้วา่ อนุกรม

a1  a2  a3  ...an ... เป็นอนุกรมลเู่ ข้า และมีผลบวกอนุกรมอนันต์ (S)
ถา้ ลิมิตของลาดบั ของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn ) หาคา่ ไม่ได้ จะกล่าวว่าอนุกรม
a1  a2  a3  ...an ...เป็นอนกุ รมลู่ออกและไม่สามารถหาผลบวกได้

170

16. จงพิจารณาวา่ อนุกรม  (2n 3  3)
1)(2n 1)(2n


n1
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทย์ทาใหเ้ รารวู้ า่ โจทยบ์ อกวา่

มีอนุกรม 3

(2 n 1)(2n 1)(2n  3)
n1

(W) จากโจทย์ทาให้เรารู้วา่ โจทย์ให้หา

อนุกรม  3 เปน็ อนุกรมลู่เขา้ หรอื อนุกรมล่อู อกและ
1)(2n 1)(2n
 (2 n  3)

ผลบวก n1

(D) จากโจทย์ทาใหเ้ รารู้ว่าเราจะตอ้ งทาดังน้ี

หาผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนกุ รม  3
1)(2n 1)(2n
 (2n  3)

อนุกรม n1

 (2n 1)(2 3 1)(2n  3)  1 3 5  3  3  ...  (2n 1)(2 3 1)(2n  3)  ...
n 3 357 5710 n


n1

เป็นอนุกรมทเ่ี กดิ จากลาดับทม่ี พี จน์ทัว่ ไปสามารถจัดอยู่ในรูปผลต่างของเศษสว่ นย่อยได้

(อนกุ รม Telescopic)รปู แบบ k  a k 4  k a5  ...  k  ...
a1a2a3 2a3a a3a4 a n a n 1a n 2
1 1 1
S n  k( a3  a1 )( a1a2  a n 1a n2 )

แทนคา่ S n  3( 5 1 1)(113  (2n  1  3) )
1)(2n

171

หาลิมิตผลบวกย่อย n พจน์แรก( S n ) ของอนกุ รม  3
1)(2n 1)(2n
 (2n  3)

1 )(113 n1 1
1  1)( 2 n
lim Sn  lim 3( 5  (2n  3) )

n n
3 1
 ( 4 )( 3  0)

 1
4
ผลบวกของอนุกรมอนนั ต์(S)  lim Sn
n
1
 4

ดังนน้ั อนุกรมอนนั ตน์ ้ี เป็นอนกุ รมลู่เขา้ และมีผลบวกเท่ากบั 1
4

(L) จากโจทยท์ าใหเ้ ราได้เรียนรวู้ า่

คาตอบที่ได้คอื

อนุกรมอนันต์ 3 เปน็ อนกุ รมลูเ่ ข้า และมผี ลบวกเทา่ กบั 1
 4
(2n 1)(2 n 1)(2 n  3)
n1
สรุปขั้นตอนดังนี้

หาผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )ของอนกุ รม
หาลิมิตของผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn )
พิจารณาอนุกรมลูเ่ ข้าหรืออนุกรมลอู่ อกและผลบวกของอนุกรม
โดยพจิ ารณาลมิ ิตของลาดับของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn ) ถา้ nlimSn  S
เม่ือ S เปน็ จานวนจริงแลว้ จะกลา่ วได้วา่ อนกุ รม

a1  a2  a3  ...an ... เปน็ อนกุ รมลู่เขา้ และมีผลบวกอนุกรมอนันต์ (S)
ถ้า ลมิ ติ ของลาดับของผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn ) หาคา่ ไมไ่ ด้ จะกลา่ วว่าอนุกรม
a1  a2  a3  ...an ...เป็นอนุกรมลู่ออกและไมส่ ามารถหาผลบวกได้

172

17. จงพจิ ารณาวา่ อนุกรม  5
2)(3n 
 (3n  5)(3n  8)

n1
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทยท์ าใหเ้ รารู้วา่ โจทย์บอกว่า

มีอนุกรม 5

(3n  2)(3n  5)(3n  8)
n1

(W) จากโจทยท์ าให้เรารู้ว่าโจทยใ์ หห้ า

อนุกรม  (3n  5 5)(3n  8) เป็นอนกุ รมลเู่ ขา้ หรืออนกุ รมลอู่ อกและผลบวก
2)(3n 


n1

(D) จากโจทยท์ าให้เรารวู้ ่าเราจะตอ้ งทาดงั นี้

หาผลบวกย่อย n พจน์แรก( S n )ของอนกุ รม  (3n  5  8)
2)(3n  5)(3n

อนกุ รม
n1

 (3n  5 5)(3n  8)  5  8 5  5 17  ...  (3n  5 5)(3n  8)  ...
2)(3n  5811 1114 1114 2)(3n 


n1

เป็นอนกุ รมทเ่ี กิดจากลาดบั ที่มีพจน์ท่วั ไปสามารถจัดอยใู่ นรปู ผลตา่ งของเศษสว่ นยอ่ ยได้

(อนกุ รม Telescopic)รูปแบบ k  a k  k 5  ...  k  ...
a1a2a3 2a3a4 a3a4a a n a n 1a n 2
1 1 1
S n  k( a3  a1 )( a1a2  a n 1a n2 )

แทนค่า Sn  5(111 5)( 1  (3n  1  8) )
58 5)(3n

173

หาลิมติ ผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn ) ของอนกุ รม  5
2)(3n 
 (3n  5)(3n  8)

5(111 1 n1 1
58 5)(3n
lim S n  lim 5 )(  (3n   8))

n n
5 1
 ( 6 )( 40  0)

 1
48

ผลบวกของอนกุ รมอนันต์(S)  lim Sn
n
1
 48

ดังนัน้ อนุกรมอนนั ตน์ ้ี เป็นอนุกรมลูเ่ ขา้ และมีผลบวกเท่ากบั 1
48

(L) จากโจทยท์ าให้เราได้เรียนร้วู ่า

คาตอบทไี่ ดค้ ือ

อนกุ รมอนันต์  5 เปน็ อนุกรมลูเ่ ขา้ และมีผลบวกเทา่ กบั
2)(3n 
 (3n  5)(3n  8)

1 n1

48
สรุปขั้นตอนดังนี้

หาผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn )ของอนุกรม
หาลมิ ติ ของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )
พิจารณาอนกุ รมลเู่ ข้าหรืออนุกรมลู่ออกและผลบวกของอนุกรม
โดยพจิ ารณาลมิ ิตของลาดบั ของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn ) ถา้ nlimSn  S
เมื่อ S เปน็ จานวนจริงแล้วจะกล่าวได้วา่ อนุกรม

a1  a2  a3  ...an ... เปน็ อนกุ รมลู่เขา้ และมผี ลบวกอนกุ รมอนนั ต์ (S)
ถ้า ลิมติ ของลาดบั ของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn ) หาค่าไมไ่ ด้ จะกล่าวว่าอนุกรม
a1  a2  a3  ...an ...เป็นอนุกรมล่อู อกและไมส่ ามารถหาผลบวกได้

174

18. จงพิจารณาว่าอนุกรม 3  5  7  9  ...
3 32 33 34
เปน็ อนกุ รมล่เู ข้าหรอื อนุกรมลอู่ อกและมผี ลบวกเปน็ เท่าใด

(K) จากโจทยท์ าใหเ้ รารวู้ า่ โจทย์บอกว่า

มีอนุกรม 3  5  7  9  ...
3 32 33 34

(W) จากโจทย์ทาใหเ้ รารวู้ า่ โจทย์ใหห้ า

อนุกรม 3  5  7  9  ... เป็นอนุกรมลู่เข้าหรอื อนกุ รมลอู่ อกและผลบวก
3 32 33 34

(D) จากโจทย์ทาให้เรารวู้ า่ เราจะต้องทาดงั น้ี

หาผลบวกของอนุกรมอนันต์ (S) ของอนกุ รม 3  5  7  9  ...
3 32 33 34
3 5 7 9
อนกุ รม 3  32  33  34  ...

เปน็ อนุกรมถูกสรา้ งจากการนาพจน์ทส่ี มนัยกนั ของลาดับเรขาคณติ และลาดับอน่ื ๆมาคูณกนั เพื่อสรา้ ง

พจน์ทัว่ ไปหรือ อนกุ รม b1a1 + b2a2 + b3a3 + ... + bnan + ... 1
1 1 3
มพี จนท์ วั่ ไปคอื an  bn  3n มี 3n เป็นลาดบั เรขาคณิต มี r 

หาผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์ (S)ได้ดังน้ี

ให้ 3  5  7  9  ... ...............(1)
3 32 33 34
1 S 3 5 7 9
(1) r  (1) 3 ; 3  32  33  34  35  ... …………(2)

(1) (2) ; 2 S 1 2  2  2  ...  2  ...
3 32 33 34 3n
2 2 2 2
32  33  34  ...  3n  ...เป็น

อนกุ รมเรขาคณิตมี a1  2 และ r  1

2

175

2 2
3
S 1 1 9 1
 3

 1  ( 2  3 )
9 2
4
 3

ดังนั้น อนุกรมอนันต์นี้ เป็นอนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกเท่ากับ 4
3

(L) จากโจทยท์ าใหเ้ ราได้เรียนรวู้ า่

คาตอบท่ไี ดค้ ือ 4
3
อนุกรมอนันต์ 3  5  7  9 ...เป็นอนุกรมลเู่ ข้า และมีผลบวกเทา่ กบั
3 32 33 34
สรุปขั้นตอนดังนี้

สมมุติผลบวกอนุกรมอนันต์ เป็นตวั แปรหนึ่งตัว( S ) เทา่ กับอนุกรมท่ีโจทย์

ต้องการหาโดยแจกแจงออกมา ใหเ้ ปน็ สมการที่ 1
S = b1a1 + b2a2 + b3a3 + ... + bnan  ... ……….. (1)
แล้วทาการหาค่า S โดยการสร้างสมการท่ี (2) ซ่งึ เกิดจากสมการที่ (1)

ด้วยการคูณ r แล้วนาสมการทง้ั 2 มาลบกัน (1) - (2) โดยทางดา้ นท่แี จกแจงอนุกรม

นัน้ ใหน้ าพจน์ที่มสี ่วนเท่ากันหรอื มีเทอมของอนุกรมเรขาเหมือนกนั มาลบกัน ซงึ่ ผลของ

การลบจะไดอ้ นุกรมข้นึ มาใหม่ ใหพ้ ิจารณาว่าเป็นอนกุ รมเรขาคณิตหรอื ไม่ ถ้าเปน็
a1
อนุกรมเรขาก็ใชส้ ูตร S  1 r ของอนกุ รมเรขา หา S แต่ถา้ ยงั ไมเ่ ป็นอนุกรมเรขา ให้ทาซ้า

อีกครง้ั โดยใช้ สมการท่ีไดจ้ ากผลของการลบกัน(1) - (2) เปน็ สมการแรกสรา้ งสมการ

อีกสมการดว้ ยการคูณ r แลว้ นาสองสมการมาลบกนั ทาเช่นนไ้ี ปเรอื่ ยๆ จนกวา่ จะได้

อนกุ รมเรขา

176

19. จงพิจารณาวา่ อนกุ รม 15 252 353  454 ...
เป็นอนุกรมล่เู ขา้ หรืออนุกรมลูอ่ อกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทย์ทาให้เรารูว้ า่ โจทยบ์ อกว่า
มีอนุกรม 15 252 353  454 ...

(W) จากโจทย์ทาให้เรารู้ว่าโจทย์ให้หา
อนุกรม 15 252 353  454 ... เป็นอนกุ รมลู่เขา้ หรอื อนุกรมล่อู อกและ

ผลบวก

(D) จากโจทย์ทาให้เราร้วู า่ เราจะต้องทาดงั นี้

หาผลบวกของอนุกรมอนันต์(S) ของอนุกรม 15 252 353  454 ...
อนกุ รม 15 252 353  454 ...

เป็นอนกุ รมถกู สรา้ งจากการนาพจนท์ ี่สมนัยกันของลาดบั เรขาคณติ และลาดบั อืน่ ๆมาคูณกนั เพ่อื

สรา้ งพจน์ทวั่ ไปหรือ อนุกรม b1a1 + b2a2 + b3a3 + ... + bnan + ...
มพี จน์ทั่วไปคือ an  bn 5n มี 5n เปน็ ลาดบั เรขาคณติ มี r  5
หาผลบวกของอนกุ รมอนันต์ (S) ไดด้ ังน้ี
ให้ S 15 252 353  454 ... ...............(1)
(1)r  (1)5; 5S 152  253 354  455 ... …………(2)

(1) (2) ; 4S 15152 153 154 155 ....

 4 S  1 5 5 15152 153 154 155 ....

5 1 เปน็ อนกุ รมเรขาคณติ มี a1  5 และ r  5
S   4 ( 4 ) ถา้ r  1 แลว้ อนกุ รมนเ้ี ปน็ อนุกรมลู่เข้า

และมี a1 r เป็นผลบวกของอนกุ รม
1

177

 5
16
5
ดังนั้น อนุกรมอนันต์นี้ เป็นอนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกเท่ากับ 16

(L) จากโจทย์ทาให้เราไดเ้ รียนรูว้ ่า

คาตอบทไ่ี ด้คือ

อนุกรมอนันต์ 15 252 353  454 ...เปน็ อนกุ รมลู่เขา้ และมผี ลบวกเทา่ กบั 5
16
สรุปขั้นตอนดังนี้

สมมตุ ิผลบวกอนกุ รมอนันต์ เป็นตัวแปรหนงึ่ ตัว( S ) เทา่ กบั อนกุ รมทีโ่ จทย์

ตอ้ งการหาโดยแจกแจงออกมา ใหเ้ ปน็ สมการที่ 1

S = b1a1 + b2a2 + b3a3 + ... + bnan  ... ……….. (1)
แลว้ ทาการหาค่า S โดยการสรา้ งสมการท่ี (2) ซง่ึ เกดิ จากสมการท่ี (1)

ด้วยการคณู r แล้วนาสมการทง้ั 2 มาลบกัน (1) - (2) โดยทางด้านที่แจกแจงอนกุ รม

น้ันให้นาพจน์ที่มีส่วนเท่ากันหรอื มีเทอมของอนกุ รมเรขาเหมอื นกันมาลบกนั ซ่งึ ผลของ

การลบจะได้อนกุ รมขึ้นมาใหม่ ให้พจิ ารณาวา่ เป็นอนุกรมเรขาคณิตหรือไม่ ถ้าเปน็

อนกุ รมเรขาก็ใช้สูตร S  a1 r ของอนุกรมเรขา หา S แต่ถา้ ยังไมเ่ ป็นอนุกรมเรขา ให้ทาซ้า
1
อีกครั้งโดยใช้ สมการทไ่ี ดจ้ ากผลของการลบกัน(1) - (2) เป็นสมการแรกสร้างสมการ

อกี สมการด้วยการคูณ r แล้วนาสองสมการมาลบกัน ทาเช่นน้ไี ปเร่ือยๆ จนกวา่ จะได้

อนกุ รมเรขา

178

20. จงพจิ ารณาว่าอนุกรม 3  4  6  9  13  ...
2 4 8 16 32
เปน็ อนกุ รมลูเ่ ขา้ หรอื อนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเทา่ ใด

(K) จากโจทยท์ าให้เรารวู้ า่ โจทย์บอกวา่

มีอนุกรม 3  4  6  9  13  ...
2 4 8 16 32

(W) จากโจทยท์ าให้เราร้วู ่าโจทย์ให้หา

อนุกรม 3  4  6  9  13  ... เปน็ อนกุ รมลเู่ ข้าหรืออนุกรมลูอ่ อกและผลบวก
2 4 8 16 32

(D) จากโจทยท์ าให้เรารู้ว่าเราจะต้องทาดังนี้

หาผลบวกของอนุกรมอนนั ต์(S) ของอนกุ รม 3  4  6  9  13  ...
2 4 8 16 32
3 4 6 9 13
อนุกรม 2  4  8  16  32  ...

เปน็ อนกุ รมถูกสรา้ งจากการนาพจนท์ ีส่ มนัยกันของลาดับเรขาคณิตและลาดบั อ่นื ๆมาคูณกันเพื่อ

สร้างพจนท์ ัว่ ไปหรือ อนุกรม b1a1 + b2a2 + b3a3 + ... + bnan + ...
1 1 1
มีพจนท์ ว่ั ไปคอื an  bn  2n มี 2n เปน็ ลาดับเรขาคณิต มี r  2

หาผลบวกของอนกุ รมอนันต์ (S) ได้ดงั น้ี

ให้ S  3  4  6  9  13  ... ...............(1)
2 4 8 16 32

179

(1) r  (1) 1 ; 1 S  3  4  6  9  13  ... …………(2)
2 2 4 8 16 32 64
1 3 1 2 3 4 5
(1) (2) ; 2 S  2  4  8  16  32  64  ... …………(3)

(3)  r  (3) 1 ; 1 S  3  1  2  3  4  5  ... …………(4)
2 4 4 8 16 32 65 128
1 3 2 1 1 1 1 1
(3) (4) ; 4 S  2  4  8  16  32  65  128  ...

1 3 2 1 1 1 1 1 1 ...
4 2 4 8 16 32 65 128
S    8 1      เป็นอนกุ รม
 4
1 เรขาคณติ มี a1  1 และ r  1
8 4
1 S  1  1 ถา้ r  1 แล้ว อนกุ รมนเี้ ปน็ อนกุ รมลู่เขา้
4 4
5 a1
S  4  4 และมี 1 r เป็นผลบวกของอนกุ รม

5

ดังนั้น อนกุ รมอนันตน์ ้ี เป็นอนกุ รมลู่เขา้ และมีผลบวกเท่ากับ 5

(L) จากโจทย์ทาให้เราไดเ้ รียนรวู้ ่า

คาตอบท่ไี ด้คอื 3 4 6 9 13
2 4 8 16 32
อนุกรมอนันต์      ... เปน็ อนุกรมลเู่ ข้า และมีผลบวกเท่ากบั 5

สรุปขั้นตอนดังนี้

สมมุติผลบวกอนุกรมอนันต์ เป็นตวั แปรหนึ่งตัว( S ) เทา่ กบั อนกุ รมทโี่ จทย์

ตอ้ งการหาโดยแจกแจงออกมา ใหเ้ ปน็ สมการที่ 1
S = b1a1 + b2a2 + b3a3 + ... + bnan  ... ……….. (1)
แลว้ ทาการหาคา่ S โดยการสรา้ งสมการที่ (2) ซงึ่ เกดิ จากสมการท่ี (1)

ด้วยการคูณ r แลว้ นาสมการท้ัง 2 มาลบกัน (1) - (2) โดยทางด้านทแ่ี จกแจงอนกุ รม
น้ันใหน้ าพจน์ทีม่ สี ว่ นเทา่ กนั หรือมีเทอมของอนกุ รมเรขาเหมอื นกนั มาลบกนั ซง่ึ ผลของ

การลบจะไดอ้ นกุ รมขึ้นมาใหม่ ให้พิจารณาวา่ เปน็ อนุกรมเรขาคณิตหรอื ไม่ ถ้าเป็น

180

อนกุ รมเรขาก็ใช้สูตร S  a1 r ของอนกุ รมเรขา หา S แตถ่ า้ ยงั ไม่เปน็ อนุกรมเรขา ใหท้ าซ้า
1
อีกครัง้ โดยใช้ สมการท่ไี ด้จากผลของการลบกัน(1) - (2) เปน็ สมการแรกสรา้ งสมการ

อีกสมการดว้ ยการคณู r แลว้ นาสองสมการมาลบกนั ทาเช่นนีไ้ ปเรือ่ ยๆ จนกว่าจะได้

อนุกรมเรขา

เฉลยแบบทดสอบ

ชุดที่ 7 เรื่อง ผลบวกของอนุกรมอนันต์

(1) 3 (2) 1 (3) 4 (4) 3 (5) 2
(6) 1 (7) 3 (8) 1 (9) 2 (10) 3