อนุกรมอนันต์

51

ตวั อยา่ งการหาผลบวกของอนุกรมอนันต์
โดยพิจารณาจากลิมิตของผลบวกย่อย n พจนแ์ รกของอนุกรม

ข้นั ตอนท่ี 3 D (What we DO to find out)
เราทาอะไร อย่างไร หรือมีวิธีการอยา่ งไร

1 .จงพจิ ารณาว่าอนุกรม 9  3  1  1  ...
3
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(D) จากโจทย์ทาใหเ้ รารูว้ ่าเราจะต้องทาดงั นี้

หาผลบวกย่อย n พจน์แรก( S n )ของอนุกรม 9  31 1  ...
3
1 1
อนกุ รม 9  3 1  3  ... เป็นอนกุ รมเรขาคณติ มี a1  9 , r  3

Sn  a1(1 rn )
1r
 1
9(1  ( 3 ) n ) 27 1
2 3
1 1  (1  ( )n )
3


หาลิมิตผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก( Sn ) ของอนุกรม 9  3 1 1  ...
3
27 1
วิธที า 1 lim Sn  lim ( 2 (1  ( 3 )n ) วธิ ที ี่ 2 สาหรับอนุกรมเรขาคณติ ถ้า r  1

n n แล้วอนกุ รมเปน็ อนกุ รมลเู่ ขา้
27
 2 (1  0) ผลบวกของอนกุ รม (S)  a1 r
1
 …………………… 9 27
   2
ผลบวกของอนุกรมอนันต์(S)  lim Sn 1 1
3
n 27
 2
 ……………

ดังนั้น อนุกรมอนนั ตน์ ้ี เปน็ อนกุ รมลูเ่ ข้า และมผี ล=บวกเทา่ กับ.......................

52

2. จงพจิ ารณาว่าอนุกรม 211815...

เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(D) จากโจทยท์ าใหเ้ รารวู้ ่าเราจะตอ้ งทาดังนี้

หาผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนุกรม 211815...
อนุกรม 211815... เปน็ อนกุ รมเลขคณติ มี a1  21, d  3
n
S n  2 (2a1  (n 1)d)

 n (2(21)  (n 1)(3))
2
n
 2 (45  3n)

หาลมิ ิตผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn ) ของอนกุ รม 211815...
n
lim S n  lim 2 (45 3n ) หาค่าไมไ่ ด้

n n

ดังนน้ั อนกุ รมอนนั ต์นี้ เปน็ อนกุ รมลู่.................... และไม่.............................ได้

53

3. จงพจิ ารณาวา่ อนุกรม 14 916...

เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(D) จากโจทย์ทาใหเ้ รารวู้ ่าเราจะตอ้ งทาดังนี้

หาผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนุกรม 14 916...
อนุกรม 14 916... ไมใ่ ชอ่ นกุ รมเลขคณิตไม่ใชอ่ นุกรมเลขคณิต

หาSn โดย 14 916...
1 22 32  42 ... มี an  n2
n
Sn  i2

i1
n
 2 (2(21)  (n 1)(3))

 n(n  1)(2 n 1)
6
หาลิมิตผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn ) ของอนกุ รม 211815...
n( n  1)(2n 1)
lim S n  lim 6 หาคา่ ไม่ได้

n n

ดังนน้ั อนกุ รมอนันต์น้ี เป็นอนกุ รม............................. และไม่...................................ได้

54

4. จงพิจารณาว่าอนกุ รม 6

(2n  1)( 2 n  3)
n1
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(D) จากโจทย์ทาใหเ้ รารู้ว่าเราจะตอ้ งทาดังนี้

หาผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก( Sn )ของอนุกรม  (2n 6  3)
 1)( 2 n

อนุกรม
n1

 (2n  6  3)  6  6  6  6  ...  (2n  6  3)  ...
1)(2n 35 57 79 911 1)(2n


n1
เปน็ อนกุ รมท่ีเกดิ จากลาดับที่มีพจน์ทว่ั ไปสามารถจัดอยใู่ นรปู ผลตา่ งของเศษส่วนย่อยได้

(อนกุ รม Telescopic) รปู แบบ k  k  k  ...  an k  ...
a1a2 a2a3 a3a4  a n 1
1 1 1
Sn  k(a2  a1 )( a1  a n 1 )

แทนคา่ Sn  6( 5 1 3)( 1  1 3)
 3 2n 
 6
หาลิมติ ผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก( Sn ) ของอนุกรม  1)( 2 n
 (2n  3)

1 1 n1
 3 1
lim S n  lim 6( 5 3 )(  2n  3)

n n
1 )(13
 6( 2  0)

 ………………………………………….

ผลบวกของอนุกรมอนันต์(S)  lim Sn

n

 …………………………………….

ดงั น้ัน อนุกรมอนนั ต์น้ี เป็นอนกุ รมล่เู ข้า และมผี ลบวกเท่ากับ …………………………

55

5. จงพจิ ารณาวา่ อนกุ รม 1  3  5  ...
5 25 125
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(D) จากโจทย์ทาใหเ้ รารู้ว่าเราจะต้องทาดงั นี้

หาผลบวกของอนกุ รมอนันต์(S)ของอนกุ รม 1  3  5  ...
5 25 125
1 3 5
อนกุ รม 5  25  125  ...

เปน็ อนกุ รมถูกสร้างจาการนาพจน์ท่ีสมนัยกนั ของลาดบั เรขาคณติ และลาดับอน่ื ๆมาคูณกนั เพอ่ื

สรา้ งพจน์

ทั่วไปหรือ อนกุ รม b1a1 + b2a2 + b3a3 + ... + bnan + ... 1
1 1 5
มพี จนท์ ่ัวไปคอื an  bn ( 5n ) มี 5n เปน็ ลาดบั เรขาคณติ มี r 

หาผลบวกของอนุกรมอนนั ต์ (S)ได้ดงั น้ี

ให้ S  1  3  5  7  ... ...............(1)
5 25 125 625
1 S 1 3 5 31725 
(1)  r  (1) 5 ; 5  25  125  625  ... …………(2)

(1) (2) ; 4S  1  2  2  2  31225  ...  2  ...
5 5 25 125 625 5n
2
4S 1 2 2 2 31225  ... 2
5  5  25 1 25  125  625   5n  ...
5
1  2 1
25 5
4S  1  1 เป็นอนุกรมเรขาคณติ มี a1  และ r 
5 5 10
4S ถ้า r  1 แลว้ อนุกรมนเี้ ปน็ อนกุ รมลู่เขา้
5 a1
 ........... และมี 1 เปน็ ผลบวกของอนกุ รม

S 3 5 ................. r
10 4
  

ดังนั้น อนุกรมอนันต์นี้ เป็นอนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกเท่ากับ...............................

56

เฉลย

ตวั อย่างการหาผลบวกของอนุกรมอนนั ต์
โดยพจิ ารณาจากลิมติ ของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รกของอนุกรม

ขัน้ ตอนท่ี 3 D (What we DO to find out)
เราทาอะไร อยา่ งไร หรอื มีวธิ กี ารอยา่ งไร

1. จงพิจารณาวา่ อนกุ รม 9  3 1 1  ...
3
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(D) จากโจทยท์ าให้เรารู้ว่าเราจะตอ้ งทาดงั นี้

หาผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนกุ รม 9 31 1  ...
3
1 1
อนกุ รม 9  3 1  3  ... เปน็ อนกุ รมเรขาคณิต มี a1  9 , r  3

Sn a1 (1 r n )
1r


9(1  ( 1 ) n ) 27 ( 13 )
3 2
 1  (1  n )
3
1 

หาลิมติ ผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก( S n ) ของอนุกรม 9 31 1  ...
3
27 1
วธิ ีทา 1 lim Sn  lim ( 2 (1  ( 3 )n ) วิธที ่ี 2 สาหรับอนุกรมเรขาคณิต ถา้ r  1
แลว้ อนุกรมเปน็ อนกุ รมล่เู ข้า
n n 27
27 2
 2 (1  0)  ผลบวกของอนุกรม (S)  a1 r
1
ผลบวกของอนุกรมอนนั ต์(S)  lim Sn 9 27
n   1  2
1 3
 27
2
27
ดังน้นั อนกุ รมอนนั ตน์ ี้ เป็นอนุกรมล่เู ขา้ และมผี ลบ=วกเทา่ กับ 2

57

2. จงพจิ ารณาว่าอนกุ รม 211815...

เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(D) จากโจทยท์ าให้เรารูว้ า่ เราจะต้องทาดังน้ี

หาผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนุกรม 211815...
อนุกรม 211815... เป็นอนกุ รมเลขคณติ มี a1  21, d  3
n
S n  2 (2a1  (n 1)d)

 n (2(21)  (n 1)(3))
2
n
 2 (45  3n)

หาลมิ ิตผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) ของอนุกรม 211815...
n
lim S n  lim 2 (45 3n ) หาค่าไมไ่ ด้

n n

ดงั น้ัน อนุกรมอนันต์นี้ เปน็ อนกุ รมล่อู อก และไม่สามารถหาผลบวกได้

58

3. จงพิจารณาวา่ อนุกรม 14 916...

เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(D) จากโจทยท์ าใหเ้ รารวู้ า่ เราจะต้องทาดงั นี้

หาผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn )ของอนกุ รม 14 916...
อนุกรม 14 916... ไมใ่ ช่อนุกรมเลขคณิตไม่ใช่อนุกรมเลขคณิต

หาSn โดย 14 916...
1 22 32  42 ... มี an  n2
n
Sn  i2

i1
n
 2 (2(21)  (n 1)(3))

 n(n  1)(2 n 1)
6
หาลมิ ิตผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) ของอนกุ รม 211815...
n( n  1)(2n 1)
lim S n  lim 6 หาคา่ ไม่ได้

n n

ดงั นน้ั อนุกรมอนนั ต์นี้ เป็นอนุกรมลูอ่ อก และไมส่ ามารถหาผลบวกได้

59

4. จงพิจารณาวา่ อนกุ รม 6

(2n  1)( 2 n  3)
n1
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(D) จากโจทย์ทาใหเ้ รารวู้ า่ เราจะต้องทาดงั นี้

หาผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนุกรม  6
 1)( 2 n
 (2 n  3)

อนุกรม n1

 (2n  6  3)  6  6  6  6  ...  (2n  6  3)  ...
1)(2n 35 57 79 911 1)(2n


n1
เปน็ อนุกรมท่ีเกดิ จากลาดับทีม่ ีพจน์ทว่ั ไปสามารถจัดอยูใ่ นรูปผลตา่ งของเศษสว่ นยอ่ ยได้

(อนุกรม Telescopic) รูปแบบ k  k  k  ...  an k  ...
a1a2 a2a3 a3a4  a n 1
1 1 1
Sn  k(a2  a1 )( a1  a n 1 )

แทนค่า Sn  6( 5 1 3)(13  1 3)
 2n 
 6
หาลมิ ิตผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก( S n ) ของอนุกรม  1)( 2 n
 (2n  3)

1 1 n1
 3 1
lim S n  lim 6( 5 3 )(  2n  3)

n n
1 )(13
 6( 2  0)

1

ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์(S)  lim Sn

n

1

ดังนั้น อนุกรมอนนั ต์นี้ เป็นอนกุ รมลู่เข้า และมีผลบวกเทา่ กบั 1

60

5. จงพจิ ารณาวา่ อนกุ รม 1  3  5  ...
5 25 125
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(D) จากโจทยท์ าให้เรารวู้ า่ เราจะต้องทาดังน้ี

หาผลบวกของอนุกรมอนนั ต์(S)ของอนุกรม 1  3  5  7  ...
5 25 125 625
1 3 5 7
อนกุ รม 5  25  125  625  ...

เปน็ อนุกรมถูกสร้างจาการนาพจน์ทสี่ มนัยกนั ของลาดบั เรขาคณิตและลาดับอ่ืนๆมาคูณกนั เพ่ือสร้าง

พจน์

ทว่ั ไปหรือ อนุกรม b1a1 + b2a2 + b3a3 + ... + bnan + ... 1
1 1 5
มีพจนท์ ่วั ไปคอื an  bn  ( 5n ) มี 5n เปน็ ลาดบั เรขาคณิต มี r 

หาผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์ (S)ไดด้ ังน้ี

ให้ S  1  3  5  7  ... ...............(1)
5 25 125 625
1 S 1 3 5 31725 
(1) r  (1) 5 ; 5  25  125  625  ... …………(2)

(1) (2) ; 4S  1  2  2  2  2  ...  2  ...
5 5 25 125 625 3125 5n
2
4S 1 2 2 2 2 2
5  5  25 1 25  125  625  3125  ...  5n  ...
5
1  2 1
25 5
4S  1  1 เปน็ อนุกรมเรขาคณติ มี a1  และ r 
5 5 10
4S 3 ถา้ r  1 แล้ว อนกุ รมนี้เป็นอนุกรมล่เู ข้า
5 10 a1
 และมี 1 เปน็ ผลบวกของอนกุ รม

S 3 5 3 r
10 4 8
  

ดังนั้น อนุกรมอนันต์นี้ เป็นอนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกเท่ากับ 3
8

61

ตวั อย่างการหาผลบวกของอนกุ รมอนันต์
โดยพิจารณาจากลิมติ ของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รกของอนกุ รม

ข้นั ตอนท่ี 4 L (What we LEARNED)
เราเรยี นอะไรหรอื หาคาตอบทไ่ี ดแ้ ละบอกวธิ คี ิดอย่างไร คาตอบอยา่ งไร

1. จงพจิ ารณาวา่ อนกุ รม 9  3  1  1  ...
3
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(L) จากโจทย์ทาให้เราได้เรียนรู้วา่

คาตอบท่ีไดค้ อื

อนกุ รมอนันต์ 9  3  1  1  ... เปน็ อนุกรม........................ และมีผลบวกเท่ากบั .................
3
สรุปขั้นตอนดังนี้

หาผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )ของอนุกรม
หาลิมิตของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )
พิจารณาอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและผลบวกของอนุกรม

โดยพิจารณาลิมิตของลาดับของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn ) ถา้ nlimSn  S

เมือ่ S เป็นจานวนจรงิ แล้วจะกลา่ วได้ว่าอนุกรม

a1  a2  a3  ...an ... เป็นอนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกอนกุ รมอนันต์ (S)
ถ้า ลิมิตของลาดับของผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn ) หาค่าไม่ได้ จะกล่าววา่ อนุกรม
a1  a2  a3  ...an ...เปน็ อนกุ รมลอู่ อกและไม่สามารถหาผลบวกได้

62

2. จงพจิ ารณาวา่ อนุกรม 211815...

เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(L) จากโจทย์ทาให้เราได้เรียนรู้ว่า

คาตอบที่ได้คือ

อนุกรม 211815... เปน็ อนุกรม............................... และ...........................................

สรุปขั้นตอนดังนี้

หาผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )ของอนกุ รม
หาลิมิตของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )
พิจารณาอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและผลบวกของอนุกรม
lim S S
โดยพิจารณาลิมิตของลาดับของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn ) ถา้ n
n
เมอ่ื S เป็นจานวนจรงิ แล้วจะกลา่ วไดว้ า่ อนกุ รม

a1  a2  a3  ...an ... เปน็ อนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกอนกุ รมอนันต์ (S)

ถ้า ลมิ ติ ของลาดับของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn ) หาค่าไม่ได้ จะกลา่ วว่าอนกุ รม
a1  a2  a3  ...an ...เป็นอนุกรมลู่ออกและไม่สามารถหาผลบวกได้

63

3. จงพิจารณาวา่ อนกุ รม 14 916...

เป็นอนุกรมล่เู ข้าหรอื อนกุ รมลูอ่ อกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(L) จากโจทย์ทาให้เราได้เรียนรู้ว่า
คาตอบทไี่ ด้คือ

อนกุ รมอนนั ต์ 14 916...เป็นอนุกรม.......................... และ...............................

สรุปขั้นตอนดังนี้

หาผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนุกรม lim Sn S
หาลิมิตของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )
พิจารณาอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและผลบวกของอนุกรม n

โดยพจิ ารณาลิมิตของลาดับของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) ถ้า 

เมื่อ S เปน็ จานวนจริงแลว้ จะกล่าวได้ว่าอนกุ รม

a1  a2  a3  ...an ... เปน็ อนุกรมล่เู ขา้ และมีผลบวกอนกุ รมอนนั ต์ (S)

ถา้ ลมิ ติ ของลาดับของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn ) หาคา่ ไมไ่ ด้ จะกลา่ วว่าอนกุ รม
a1  a2  a3  ...an ...เปน็ อนกุ รมล่อู อกและไม่สามารถหาผลบวกได้

64

4. จงพิจารณาวา่ อนุกรม  6
 1)( 2 n
 ( 2n  3)

n1
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(L) จากโจทยท์ าให้เราได้เรียนรู้ว่า

คาตอบท่ไี ด้คอื

อนุกรมอนันต์  (2n 6  3) เปน็ อนกุ รม........................ และ.....................................
 1)( 2 n


n1
สรุปขั้นตอนดังนี้

หาผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนกุ รม
หาลิมิตของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )
พิจารณาอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและผลบวกของอนุกรม

โดยพิจารณาลิมิตของลาดับของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn ) ถ้า nlimSn  S

เมอื่ S เป็นจานวนจริงแล้วจะกล่าวไดว้ ่าอนุกรม

a1  a2  a3  ...an ... เป็นอนุกรมลูเ่ ขา้ และมีผลบวกอนุกรมอนนั ต์ (S)
ถา้ ลมิ ติ ของลาดับของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) หาค่าไม่ได้ จะกล่าวว่าอนุกรม
a1  a2  a3  ...an ...เป็นอนุกรมลอู่ อกและไม่สามารถหาผลบวกได้

65

5. จงพิจารณาว่าอนุกรม 1  3  5  ...
5 25 125
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(L) จากโจทยท์ าให้เราไดเ้ รียนรู้ว่า

คาตอบท่ไี ด้คอื

อนุกรมอนันต์ 1  3  5  ...เปน็ อนกุ รม................. และมผี ลบวกเท่ากับ.................
5 25 125
สรุปขั้นตอนดังนี้

สมมุติผลบวกอนุกรมอนันต์ เป็นตวั แปรหนึ่งตัว( S ) เทา่ กบั อนกุ รมทโ่ี จทย์

ตอ้ งการหาโดยแจกแจงออกมา ให้เป็นสมการที่ 1

S = b1a1 + b2a2 + b3a3 + ... + bnan  ... ……….. (1)
แล้วทาการหาค่า S โดยการสรา้ งสมการท่ี (2) ซงึ่ เกิดจากสมการท่ี (1)

ด้วยการคูณ r แลว้ นาสมการท้งั 2 มาลบกนั (1) - (2) โดยทางดา้ นทแี่ จกแจงอนกุ รม

นั้นให้นาพจน์ที่มีส่วนเท่ากันหรือมีเทอมของอนุกรมเรขาเหมือนกันมาลบกัน ซึ่งผลของ

การลบจะได้อนุกรมขึ้นมาใหม่ ให้พิจารณาว่าเป็นอนุกรมเรขาคณิตหรือไม่ ถ้าเป็น

อนุกรมเรขาก็ใช้สูตร S  a1 r ของอนุกรมเรขา หา S แตถ่ า้ ยังไม่เป็นอนกุ รมเรขา ให้
1
ทาซ้าอีกครงั้ โดยใช้ สมการที่ได้จากผลของการลบกัน(1) - (2) เป็นสมการแรกสรา้ งสมการ

อีกสมการด้วยการคูณ r แลว้ นาสองสมการมาลบกนั ทาเช่นนี้ไปเรือ่ ยๆ จนกวา่ จะได้

อนุกรมเรขา

66

เฉลย

ตวั อย่างการหาผลบวกของอนุกรมอนันต์
โดยพจิ ารณาจากลมิ ิตของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รกของอนุกรม

ขนั้ ตอนที่ 4 L (What we LEARNED)
เราเรียนอะไรหรือหาคาตอบท่ีได้และบอกวิธีคิดอยา่ งไร คาตอบอยา่ งไร

1. จงพิจารณาวา่ อนกุ รม 9  3 1  1  ...
3
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(L) จากโจทยท์ าให้เราได้เรยี นร้วู ่า

คาตอบท่ไี ดค้ ือ 27
2
อนุกรมอนนั ต์ 9  3 1  1  ... เปน็ อนกุ รมลู่เขา้ และมผี ลบวกเทา่ กบั
3
สรุปขั้นตอนดังนี้

หาผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )ของอนกุ รม lim S S
หาลิมิตของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )
พิจารณาอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและผลบวกของอนุกรม n

โดยพิจารณาลิมิตของลาดับของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn ) ถ้า n 

เมือ่ S เป็นจานวนจรงิ แลว้ จะกล่าวได้วา่ อนุกรม

a1  a2  a3  ...an ... เปน็ อนุกรมลเู่ ขา้ และมผี ลบวกอนุกรมอนันต์ (S)

ถา้ ลิมิตของลาดบั ของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn ) หาคา่ ไมไ่ ด้ จะกลา่ ววา่ อนุกรม
a1  a2  a3  ...an ...เปน็ อนุกรมลอู่ อกและไมส่ ามารถหาผลบวกได้

67

2. จงพิจารณาว่าอนุกรม 211815...

เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(L) จากโจทยท์ าให้เราได้เรียนรวู้ า่
คาตอบที่ได้คือ

อนุกรม 211815... เป็นอนุกรมลูอ่ อก และไมส่ ามารถหาผลบวกได้

สรปุ ขนั้ ตอนดังน้ี
หาผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )ของอนกุ รม
หาลิมิตของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )
พิจารณาอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและผลบวกของอนุกรม

โดยพิจารณาลิมิตของลาดับของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn ) ถา้ nlimSn  S

เมอ่ื S เปน็ จานวนจรงิ แลว้ จะกล่าวได้วา่ อนกุ รม
a1  a2  a3  ...an ... เป็นอนกุ รมลเู่ ข้า และมผี ลบวกอนุกรมอนันต์ (S)
ถ้า ลิมิตของลาดับของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn ) หาคา่ ไมไ่ ด้ จะกลา่ วว่าอนกุ รม
a1  a2  a3  ...an ...เปน็ อนุกรมลอู่ อกและไมส่ ามารถหาผลบวกได้

68

3. จงพจิ ารณาวา่ อนกุ รม 14 916...

เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(L) จากโจทยท์ าใหเ้ ราไดเ้ รียนรวู้ ่า
คาตอบทีไ่ ด้คอื

อนุกรมอนันต์ 14 916...เป็นอนกุ รมลู่ออก และไมส่ ามารถหาผลบวกได้

สรุปขั้นตอนดังนี้
หาผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนุกรม
หาลิมิตของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )
พิจารณาอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและผลบวกของอนุกรม

โดยพิจารณาลิมิตของลาดับของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) ถา้ nlimSn  S

เมอื่ S เป็นจานวนจริงแลว้ จะกล่าวได้ว่าอนกุ รม
a1  a2  a3  ...an ... เป็นอนุกรมลเู่ ข้า และมีผลบวกอนุกรมอนนั ต์ (S)
ถา้ ลิมิตของลาดับของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn ) หาคา่ ไม่ได้ จะกล่าววา่ อนกุ รม
a1  a2  a3  ...an ...เปน็ อนุกรมลูอ่ อกและไม่สามารถหาผลบวกได้

69

4. จงพจิ ารณาว่าอนุกรม 6

(2n  1)(2n  3)
n1
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(L) จากโจทย์ทาใหเ้ ราได้เรียนรวู้ ่า

คาตอบท่ไี ด้คอื

อนุกรมอนันต์  (2n  6  3) เปน็ อนกุ รมลู่ออก และไมส่ ามารถหาผลบวกได้
1)(2n


n1
สรุปขั้นตอนดังนี้

หาผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )ของอนกุ รม
หาลิมิตของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )
พิจารณาอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและผลบวกของอนุกรม

โดยพิจารณาลิมิตของลาดับของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn ) ถ้า lim S n  S

เมอื่ S เปน็ จานวนจริงแล้วจะกลา่ วไดว้ ่าอนุกรม n

a1  a2  a3  ...an ... เปน็ อนกุ รมลู่เขา้ และมผี ลบวกอนกุ รมอนนั ต์ (S)

ถา้ ลิมิตของลาดับของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) หาค่าไม่ได้ จะกลา่ ววา่ อนกุ รม
a1  a2  a3  ...an ...เปน็ อนุกรมลู่ออกและไมส่ ามารถหาผลบวกได้

70

5. จงพิจารณาว่าอนุกรม 1  3  5  ...
5 25 125
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(L) จากโจทย์ทาให้เราไดเ้ รียนรูว้ ่า

คาตอบทไ่ี ดค้ อื

อนุกรมอนันต์ 1  3  5  ... เปน็ อนกุ รมล่เู ขา้ และมีผลบวกเทา่ กบั 3
5 25 125 8
สรุปขั้นตอนดังนี้

สมมุติผลบวกอนุกรมอนันต์ เป็นตวั แปรหนึ่งตัว( S ) เทา่ กบั อนุกรมทโี่ จทย์

ตอ้ งการหาโดยแจกแจงออกมา ให้เป็นสมการที่ 1

Sn = b1a1 + b2a2 + b3a3 + ... + bnan  ... ……….. (1)

แล้วทาการหาค่า S โดยการสร้างสมการท่ี (2) ซึ่งเกิดจากสมการที่ (1)

ด้วยการคูณ r แลว้ นาสมการทัง้ 2 มาลบกนั (1) - (2) โดยทางดา้ นที่แจกแจงอนุกรม

นั้นให้นาพจน์ที่มีส่วนเท่ากันหรือมีเทอมของอนุกรมเรขาเหมือนกันมาลบกัน ซึ่งผลของ

การลบจะได้อนุกรมขึ้นมาใหม่ ให้พิจารณาว่าเป็นอนุกรมเรขาคณิตหรือไม่ ถ้าเป็น

อนุกรมเรขาก็ใช้สูตร S  a1 r ของอนกุ รมเรขา หา S แต่ถ้ายังไม่เป็นอนุกรมเรขา ใหท้ าซา้
1
อีกครงั้ โดยใช้ สมการที่ได้จากผลของการลบกัน(1) - (2) เป็นสมการแรกสรา้ งสมการ

อีกสมการด้วยการคูณ r แล้วนาสองสมการมาลบกัน ทาเชน่ น้ีไปเร่อื ยๆ จนกวา่ จะได้

อนุกรมเรขา

71

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 7.2

7.2 ผลบวกของอนุกรมอนันต์

คาชี้แจง ให้นกั เรยี นอ่านโจทยแ์ ลว้ วเิ คราะหห์ าคาตอบด้วยเทคนคิ KWDL โดยเตมิ คาตอบลงชอ่ งวา่ ง

1. จงพจิ ารณาวา่ อนกุ รม 1  1  1  ...  1 ( 1 ) n 1  ... เป็นอนกุ รมลเู่ ขา้ หรอื อนกุ รมลอู่ อกและ
2 4 8 2 2
มี ผลบวกเปน็ เท่าใด

(K) จากโจทย์ทาให้เรารวู้ ่าโจทยบ์ อกวา่

มีอนุกรม.............................................................................................................................

(W) จากโจทย์ทาให้เรารูว้ ่าโจทยใ์ ห้หา

อนุกรม 1  1  1  ...  1 ( 1 ) n1  ... เปน็ .................................และ.....................
2 4 8 2 2

(D) จากโจทย์ทาให้เรารวู้ า่ เราจะตอ้ งทาดังนี้

หาผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนกุ รม 1  1  1  ...  1 ( 1 ) n 1  ...
2 4 8 2 2
1 1 1 1 1 1 1
อนุกรม 2  4  8  ...  2 ( 2 ) n 1  ... เป็นอนกุ รมเรขาคณติ มี a1  2 , r  2

Sn a1 (1 r n )
1r


1 (1 ( 1 )n )
2 1 12
 2

 ……………………………………………………………………….

72

หาลมิ ิตผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) ของอนุกรม 1  1  1  ...  1 ( 1 ) n1  ...
2 4 8 2 2
1
วธิ ที า 1 nlimSn  lim (1 2n ) วิธีที่ 2 สาหรบั อนุกรมเรขาคณิต ถา้ r  1

n แลว้ อนกุ รมเป็นอนุกรมลเู่ ข้า

 …………………… ผลบวกของอนกุ รม (S) a1
1
 ……………………  r

ผลบวกของอนุกรมอนันต์(S)  lim Sn 1

n  1 2 1
 2
 ……………

 ……………………

ดังนนั้ อนุกรมอนันต์น้ี เป็นอนุกรม…………………=และมผี ลบวกเท่ากบั .....................................

(L) จากโจทยท์ าใหเ้ ราได้เรยี นรู้ว่า

คาตอบที่ได้คือ

อนุกรม 1  1  1  ...  1 ( 1 ) n 1  ... เปน็ …………… มผี ลบวกเทา่ กบั ………
2 4 8 2 2
สรุปขั้นตอนดังนี้

หาผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )ของอนุกรม
หาลิมติ ของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn )
พิจารณาอนกุ รมลู่เข้าหรอื อนกุ รมลู่ออกและผลบวกของอนุกรม

โดยพจิ ารณาลมิ ติ ของลาดับของผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn ) ถ้า nlimSn  S

เมือ่ S เปน็ จานวนจรงิ แล้วจะกล่าวไดว้ ่าอนกุ รม

a1  a2  a3  ...an ... เป็นอนุกรม............................ และมี......................................

ถ้า ลมิ ิตของลาดบั ของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) หาค่าไม่ได้ จะกลา่ วว่าอนุกรม
a1  a2  a3  ...an ...เป็นอนุกรม..........................และ......................................

73

2. จงพิจารณาว่าอนกุ รม 3 9  27  81  ...  3( 3 ) n1  ... เปน็ อนกุ รมลูเ่ ข้าหรอื อนกุ รมลู่
5 25 125 5
ออก และมผี ลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทยท์ าให้เรารู้ว่าโจทยบ์ อกว่า

มีอนุกรม ..........................................................................................................................

(W) จากโจทยท์ าให้เราร้วู า่ โจทย์ให้หา

อนุกรม 3  9  27  81  ...  3( 3 ) n1  ... เป็น...........................และ.............
5 25 125 5

(D) จากโจทย์ทาให้เรารวู้ า่ เราจะต้องทาดงั น้ี

หาผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก( S n )ของอนุกรม 3  9  27  81  ...  3( 3 ) n1  ...
5 25 125 5
9 27 81 3 3
อนกุ รม 3 5  25  125  ...  3( 5 ) n 1  ... เป็นอนุกรมเรขาคณิต มี a1 3 , r   5

Sn a1 (1 r n )
1r


 …………………………………….
 …………………………………….

74

หาลมิ ิตผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก( Sn ) ของอนุกรม 3 9  27  81  ... 3( 3 ) n1  ...
5 25 125 5
nlim(185 (1  ( 3
วิธที า 1 nlimSn  5 ) n ) วิธที ี่ 2 สาหรบั อนกุ รมเรขาคณติ ถ้า r  1

 ………………………. แลว้ อนกุ รมเปน็ อนุกรมลูเ่ ขา้

ผลบวกของอนกุ รม (S)  a1 r
1
 ……………..……….  ……………….

ผลบวกของอนุกรมอนนั ต์(S)  lim Sn  ………………

n

 ……………….

ดังนนั้ อนกุ รมอนันตน์ ี้ เปน็ อนกุ รม................................... และมีผลบวกเท่ากบั ..................................

(L) จากโจทย์ทาใหเ้ ราไดเ้ รยี นรู้วา่

คาตอบที่ได้คือ
9 27 81 3
อนกุ รม 3  5  25  125  ...  3( 5 ) n 1  ... เปน็ อนกุ รม............ มผี ลบวกเท่ากับ.........

สรุปขั้นตอนดังนี้

หาผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนกุ รม
หาลมิ ิตของผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn )
พจิ ารณาอนุกรมลู่เข้าหรืออนกุ รมลอู่ อกและผลบวกของอนกุ รม

โดยพิจารณาลมิ ติ ของลาดับของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn ) ถ้า nlimSn  S

เมื่อ S เป็นจานวนจริงแล้วจะกล่าวไดว้ ่าอนกุ รม

a1  a2  a3  ...an ... เป็นอนกุ รม............................ และมี......................................

ถ้า ลมิ ิตของลาดับของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn ) หาคา่ ไมไ่ ด้ จะกลา่ ววา่ อนุกรม
a1  a2  a3  ...an ...เป็นอนุกรม..........................และ......................................

75

3. จงพจิ ารณาว่าอนุกรม 2  2  2  2  ...  2( 1 ) n1  ... เปน็ อนกุ รมลู่เข้าหรืออนกุ รม
5 25 125 5
ลู่ออก และมีผลบวกเปน็ เทา่ ใด

(K) จากโจทยท์ าใหเ้ รารู้วา่ โจทยบ์ อกวา่

มีอนุกรม.......................................................................................................................

(W) จากโจทย์ทาให้เรารวู้ ่าโจทย์ให้หา

อนุกรม 2  2  2  2  ...  2( 1 ) n1  ... เปน็ อนกุ รม..............และ.............
5 25 125 5

(D) จากโจทย์ทาให้เราร้วู ่าเราจะต้องทาดังน้ี

หาผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนุกรม
2 2 2 1
2  5  25  125  ...  2( 5 ) n1  ...

อนุกรม 2  2  2  2  ...  2( 15 ) n 1  ... เปน็ อนุกรมเรขาคณติ มี
5 25 125
1
a1 2 , r   5

Sn a1 (1 r n )
1r


 ……………………….

 ……………………….

 ……………………….

76

หาลิมิตผลบวกย่อย n พจน์แรก( S n ) ของอนกุ รม 2  2  2  2  ...  2( 1 ) n1  ...
5 25 125 5
5 1
วธิ ที า 1 lim S n  lim 3 (1  ( 5 )n ) วธิ ที ี่ 2 สาหรับอนกุ รมเรขาคณิต ถ้า r  1

n n แลว้ อนุกรมเป็นอนกุ รมลู่เขา้

 ………………………. ผลบวกของอนกุ รม (S) a1
1
 ……………………….  r

ผลบวกของอนุกรมอนนั ต์(S)  lim Sn  ……………….
n
 …………….
 …………….

ดงั นน้ั อนกุ รมอนันตน์ ี้ เปน็ อนกุ รม........................ และมีผลบวกเท่ากบั .......................................

(L) จากโจทยท์ าให้เราได้เรียนรวู้ ่า

คาตอบที่ได้คือ 5
2 2 2 1 3
อนุกรม 2  5  25  125  ...  2( 5 ) n 1  ... เปน็ อนุกรมลูเ่ ขา้ มผี ลบวกเท่ากับ

สรุปขั้นตอนดังนี้

หาผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนุกรม
หาลมิ ติ ของผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn )
พจิ ารณาอนกุ รมล่เู ขา้ หรืออนกุ รมลู่ออกและผลบวกของอนุกรม

โดยพิจารณาลมิ ติ ของลาดบั ของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) ถ้า nlimSn  S

เมื่อ S เป็นจานวนจริงแล้วจะกลา่ วไดว้ ่าอนกุ รม

a1  a2  a3  ...an ... เป็นอนุกรม............................ และมี......................................

ถา้ ลิมิตของลาดับของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) หาคา่ ไมไ่ ด้ จะกล่าวว่าอนกุ รม
a1  a2  a3  ...an ...เปน็ อนกุ รม..........................และ................................

77

4. จงพิจารณาว่าอนุกรม 2  2  2  ...  2 ( 15 ) n 1  ... เปน็ อนุกรมล่เู ข้าหรืออนกุ รมลู่ออก
3 15 75 3
และมผี ลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทยท์ าใหเ้ รารู้วา่ โจทยบ์ อกว่า

มีอนุกรม...........................................................................................................................

(W) จากโจทย์ทาให้เรารูว้ า่ โจทยใ์ ห้หา

อนุกรม 2  2  2  ...  2 ( 1 ) n 1  ... เป็นอนุกรม.............................และ..............
3 15 75 3 5

(D) จากโจทย์ทาให้เรารวู้ ่าเราจะต้องทาดงั น้ี

หาผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )ของอนุกรม 2  2  2  ...  2 ( 15 ) n 1  ...
3 15 75 3
2 2 2 2 15 ) 2 1
อนกุ รม 3  15  75  ...  3 ( n 1  ... เป็นอนกุ รมเรขาคณติ มี a1  3 , r  5

Sn a1 (1 r n )
1r


 ……………………….

 ………………………..

78

หาลิมติ ผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn ) ของอนุกรม 2  2  2  ...  2 ( 1 ) n 1  ...
3 15 75 3 5
5 1
วธิ ที า 1 lim Sn  lim 6 (1  5n ) วิธีท่ี 2 สาหรบั อนกุ รมเรขาคณติ ถ้า r  1

n n แลว้ อนกุ รมเปน็ อนกุ รมล่เู ข้า

 ………………………. ผลบวกของอนุกรม (S) a1
1
 ……………………….  r

ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์(S)  lim Sn  ………………
n
 …………………
 ……………………….

ดังนน้ั อนกุ รมอนันตน์ ี้ เป็นอนุกรมลู่เขา้ และมผี ลบวกเท่ากับ 5
6

(L) จากโจทยท์ าให้เราไดเ้ รยี นร้วู า่

คาตอบที่ได้คือ

อนุกรม 2  2  2  ...  2 ( 15 ) n 1  ... เปน็ อนกุ รม.............. มีผลบวกเทา่ กบั ...............
3 15 75 3
สรุปขั้นตอนดังนี้

หาผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )ของอนกุ รม
หาลมิ ิตของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn )
พจิ ารณาอนกุ รมลู่เข้าหรอื อนกุ รมลู่ออกและผลบวกของอนุกรม

โดยพิจารณาลมิ ติ ของลาดับของผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn ) ถา้ nlimSn  S

เมอ่ื S เป็นจานวนจรงิ แลว้ จะกล่าวไดว้ า่ อนกุ รม

a1  a2  a3  ...an ... เป็นอนกุ รม............................ และมี......................................

ถา้ ลมิ ิตของลาดบั ของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn ) หาค่าไมไ่ ด้ จะกลา่ วว่าอนกุ รม
a1  a2  a3  ...an ...เป็นอนุกรม..........................และ......................................

79

5. จงพิจารณาว่าอนกุ รม 1  3  9  27  ...  ( 3 ) n 1  ... เปน็ อนุกรมลเู่ ข้าหรืออนุกรมลอู่ อก
2 4 8 2
และมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทย์ทาให้เราร้วู า่ โจทยบ์ อกว่า

มีอนุกรม …………………………………………………………………………………

(W) จากโจทยท์ าให้เรารวู้ า่ โจทยใ์ ห้หา

อนุกรม 1  3  9  27  ...  ( 3 ) n 1  ... เป็น..............................และ......................
2 4 8 2

(D) จากโจทย์ทาให้เรารู้ว่าเราจะต้องทาดังนี้

หาผลบวกย่อย n พจน์แรก( S n )ของอนุกรม 1  3  9  27  ...  ( 3 ) n 1  ...
2 4 8 2
3 9 27 3 3
อนกุ รม 1 2  4  8  ...  ( 2 ) n1  ... เปน็ อนุกรมเรขาคณิต มี a1 1 , r 2

Sn a1 (1 r n )
1r


 ……………………….

 ……………………….

หาลมิ ติ ผลบวกย่อย n พจน์แรก( S n ) ของอนุกรม 1  3  9  27  ...  ( 3 ) n 1  ...
2 4 8 2
5 3
lim S n  lim 6 (1  ( 2 ) n ) ………………………………………………………..

n n

ดังนัน้ อนกุ รมอนนั ต์นี้ เปน็ อนกุ รม……………………. และ………………………

80

(L) จากโจทยท์ าให้เราได้เรียนร้วู า่

คาตอบที่ได้คือ

อนุกรม 1  3  9  27  ...  ( 3 ) n1  ... เปน็ อนุกรม.................................................
2 4 8 2
สรุปขน้ั ตอนดงั นี้

หาผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนุกรม
หาลมิ ิตของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn )
พิจารณาอนกุ รมลเู่ ข้าหรอื อนุกรมลู่ออกและผลบวกของอนุกรม

โดยพจิ ารณาลมิ ิตของลาดบั ของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn ) ถ้า nlimSn  S

เมื่อ S เป็นจานวนจริงแลว้ จะกล่าวไดว้ ่าอนุกรม

a1  a2  a3  ...an ... เป็นอนุกรม............................ และมี......................................

ถา้ ลิมิตของลาดับของผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn ) หาค่าไมไ่ ด้ จะกล่าววา่ อนกุ รม
a1  a2  a3  ...an ...เป็นอนกุ รม..........................และ......................................

81

6. จงพจิ ารณาวา่ อนุกรม 2  4 8 16...  2(2)n1 ... เปน็ อนกุ รมล่เู ขา้ หรอื อนกุ รมลู่

ออก และมผี ลบวกเปน็ เท่าใด

(K) จากโจทย์ทาให้เราร้วู า่ โจทย์บอกวา่

มีอนุกรม ..............................................................................................................................

(W) จากโจทย์ทาให้เรารูว้ ่าโจทยใ์ หห้ า
อนุกรม 2  4 8 16...  2(2)n1 ... เป็น.....................................และ..............

(D) จากโจทยท์ าใหเ้ รารวู้ า่ เราจะต้องทาดงั นี้

หาผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn )ของอนุกรม 2  4 8 16...  2(2)n1 ...
อนกุ รม 2  4 8 16...  2(2)n1 ... เป็นอนุกรมเรขาคณิต มี a1  2 , r  2
n
Sn a1 (1 r )
 1r

 ……………………….

 ……………………….

หาลมิ ิตผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn ) ของอนกุ รม 2  4 8 16...  2(2)n1 ...
2
lim Sn  lim 3 (1  (2) n ) ……………………………………………

n n

ดงั นั้น อนุกรมอนนั ต์น้ี เปน็ อนกุ รม……………………………………………….

82

(L) จากโจทย์ทาให้เราไดเ้ รียนรวู้ ่า
คาตอบทไ่ี ด้คือ
อนุกรม 2  4 8 16...  2(2)n1 ... เปน็ ...........................................................
สรปุ ขั้นตอนดังน้ี
หาผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )ของอนุกรม
หาลิมิตของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )
พิจารณาอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและผลบวกของอนุกรม

โดยพจิ ารณาลิมิตของลาดบั ของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) ถา้ nlimSn  S

เม่ือ S เป็นจานวนจริงแลว้ จะกลา่ วได้วา่ อนกุ รม
a1  a2  a3  ...an ... เปน็ อนุกรม............................ และมี

......................................
ถา้ ลมิ ติ ของลาดับของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn ) หาคา่ ไมไ่ ด้ จะกลา่ วว่าอนุกรม
a1  a2  a3  ...an ...เปน็ อนกุ รม..........................และ......................................

83

7. จงพิจารณาวา่ อนุกรม 1  5  2  11  ...  ( 1 )( 3 ) n  ... เปน็ อนุกรมลเู่ ข้าหรอื อนุกรมลู่
2 4 4 4 4
ออก

และมีผลบวกเป็นเทา่ ใด

(K) จากโจทยท์ าให้เรารวู้ ่าโจทย์บอกวา่

มีอนุกรม ................................................................................................................

(W) จากโจทยท์ าใหเ้ รารวู้ า่ โจทย์ใหห้ า

อนุกรม 1  5  2  11  ...  ( 1 )( 3 ) n  ... เปน็ ..................................และ..............
2 4 4 4 4

(D) จากโจทยท์ าให้เรารูว้ า่ เราจะตอ้ งทาดังน้ี

หาผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนกุ รม 1  5 2  11  ...  ( 1 )( 3 )n  ...
2 4 4 4 4
1 5 11 1 3 1 3
อนกุ รม 2  4  2  4  ...  ( 4 )( 4 ) n  ... เปน็ อนกุ รมเลขคณติ มี a1  2 ,d  4

Sn  n (a1 an )
2
 ……………………….

 ……………………….

หาลมิ ติ ผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn ) ของอนกุ รม 1  5  2  11  ...  ( 1 )( 3 )n  ...
2 4 4 4 4
n 1 3
lim S n  lim 2 ( 4  4 n) …………………………………………………………….

n n

ดังนน้ั อนุกรมอนนั ตน์ ี้ เปน็ อนุกรม.....................................................................................

84

(L) จากโจทยท์ าให้เราไดเ้ รยี นรู้วา่

คาตอบที่ไดค้ อื

อนกุ รม 1  5 2  11  ...  ( 1 )( 3 ) n  ... เปน็ อนกุ รม………………………….
2 4 4 4 4
สรุปขั้นตอนดังนี้

หาผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )ของอนกุ รม
หาลมิ ิตของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn )
พิจารณาอนกุ รมลเู่ ขา้ หรืออนุกรมลอู่ อกและผลบวกของอนกุ รม

โดยพิจารณาลิมิตของลาดับของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) ถา้ nlimSn  S

เมือ่ S เปน็ จานวนจริงแลว้ จะกลา่ วไดว้ า่ อนกุ รม

a1  a2  a3  ...an ... เป็นอนกุ รม............................ และมี......................................

ถา้ ลิมิตของลาดบั ของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) หาคา่ ไมไ่ ด้ จะกลา่ วว่าอนุกรม
a1  a2  a3  ...an ...เป็นอนุกรม..........................และ......................................

85

8. จงพจิ ารณาวา่ อนุกรม 14 39 ...32n ... เปน็ อนุกรมลู่เขา้ หรอื อนุกรมล่อู อก

และมีผลบวกเปน็ เท่าใด

(K) จากโจทย์ทาใหเ้ รารู้วา่ โจทยบ์ อกวา่

มีอนุกรม ………………………………………………………………………………

(W) จากโจทย์ทาให้เราร้วู ่าโจทย์ใหห้ า

อนุกรม 14 39 ...32n ... เป็น......................................และ.................

(D) จากโจทย์ทาใหเ้ รารูว้ า่ เราจะตอ้ งทาดังนี้

หาผลบวกย่อย n

พจน์แรก(Sn )ของอนกุ รม 14 39 ...32n ...
อนุกรม 14 39 ...32n ... เปน็ อนุกรมเลขคณติ มี a1 1, d  2
n
Sn  2 (a1 an )

 ……………………….

 ……………………….

หาลิมิตผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) ของอนุกรม 14 39 ...32n ...
n
nlimSn  lim 2 (4  2n) ………………………………………………………………

n

ดังนั้น อนุกรมอนันตน์ ี้ เป็นอนกุ รม…………………………………………………………

86

(L) จากโจทย์ทาใหเ้ ราได้เรียนรูว้ ่า
คาตอบทไ่ี ด้คอื

อนุกรม 14 39 ...32n ... เปน็ อนุกรม…………………………………….

สรุปขั้นตอนดังนี้
หาผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนุกรม
หาลมิ ิตของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )
พิจารณาอนกุ รมลู่เข้าหรอื อนุกรมลู่ออกและผลบวกของอนกุ รม

โดยพจิ ารณาลมิ ติ ของลาดับของผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn ) ถา้ nlimSn  S

เมอ่ื S เป็นจานวนจริงแลว้ จะกล่าวได้วา่ อนกุ รม
a1  a2  a3  ...an ... เป็นอนกุ รม............................ และมี......................................

ถา้ ลมิ ิตของลาดบั ของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn ) หาคา่ ไมไ่ ด้ จะกลา่ วว่าอนุกรม
a1  a2  a3  ...an ...เปน็ อนกุ รม..........................และ......................................

พยายามตอ่ ไปนะคะ

87

9. จงพิจารณาว่าอนกุ รม 1  3  7  ...  5  2n  ... เปน็ อนุกรมล่เู ข้าหรืออนกุ รมลู่ออก
2 2 2 2
และมผี ลบวกเปน็ เทา่ ใด

(K) จากโจทยท์ าใหเ้ รารูว้ ่าโจทย์บอกว่า

มีอนุกรม...............................................................................................................................

(W) จากโจทยท์ าใหเ้ รารวู้ า่ โจทย์ให้หา

อนุกรม 1  3  7  ...  5  2n  ... เปน็ ..........................................และ.................
2 2 2 2

(D) จากโจทยท์ าให้เราร้วู า่ เราจะตอ้ งทาดงั น้ี

หาผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนกุ รม 1  3  7  ...  5 2n  ...
2 2 2 2
1 3 7 5 1
อนกุ รม 2  2  2  ...  2  2n  ... เป็นอนกุ รมเลขคณติ มี a1  2 , d  2

Sn  n (a1  an )
2
 ……………………….

 ……………………….

หาลมิ ิตผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก( S n ) ของอนกุ รม 1  3  7  ...  5 2n  ...
2 2 2 2
n
nlimSn  lim 2 (4  2n) .................................................................................................

n

ดังนั้น อนกุ รมอนันตน์ ้ี เปน็ .................................................................................................

88

(L) จากโจทย์ทาให้เราได้เรียนรวู้ า่

คาตอบท่ีไดค้ ือ

อนุกรม 1  3  7  ...  5  2n ... เปน็ ...............................................................
2 2 2 2
สรปุ ข้ันตอนดงั น้ี

หาผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )ของอนกุ รม
หาลิมิตของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )
พิจารณาอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและผลบวกของอนุกรม

โดยพิจารณาลิมิตของลาดับของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) ถ้า lim S n S

เมอ่ื S เป็นจานวนจรงิ แลว้ จะกล่าวได้วา่ อนุกรม n

a1  a2  a3  ...an ... เปน็ อนุกรม............................ และมี

......................................

ถา้ ลมิ ติ ของลาดบั ของผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn ) หาคา่ ไมไ่ ด้ จะกล่าวว่าอนุกรม
a1  a2  a3  ...an ...เป็นอนกุ รม..........................และ......................................

89

10. จงพิจารณาวา่ อนุกรม 0  3 8 ...  (n2 1) ...

เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทยท์ าให้เรารูว้ า่ โจทยบ์ อกวา่

มีอนุกรม........................................................................................................................

(W) จากโจทย์ทาใหเ้ ราร้วู า่ โจทยใ์ ห้หา
อนุกรม 0  3 8 ...  (n2 1) ... เป็น.....................................และ......................

(D) จากโจทย์ทาใหเ้ รารู้ว่าเราจะตอ้ งทาดงั น้ี

หาผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนกุ รม 0  3 8 ...  (n2 1) ...
อนกุ รม 0  3 8 ...  (n2 1) ... ไม่ใชอ่ นกุ รมเลขคณติ ไมใ่ ช่อนุกรมเลขคณิต

หาSn โดย n n (i2

Sn  ai  1)

i1 i1
n n
 i 2 
 1
i1 i1
 ……………………….

หาลิมติ ผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn ) ของอนุกรม 0  3 8 ...  (n2 1) ...
n
nlimSn  lim 6 ( n  1)(2n 1) 1(n ) .......................................................................

n

ดังน้ัน อนกุ รมอนันต์นี้ เปน็ .......................................................................................................

90

(L) จากโจทยท์ าใหเ้ ราไดเ้ รียนร้วู ่า
คาตอบที่ได้คือ
อนกุ รม 0  3 8 ...  (n2 1) ... เป็น....................................................................
สรุปข้ันตอนดังนี้
หาผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )ของอนกุ รม
หาลิมิตของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn )
พิจารณาอนุกรมล่เู ขา้ หรอื อนุกรมล่อู อกและผลบวกของอนกุ รม

โดยพิจารณาลิมติ ของลาดับของผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn ) ถ้า nlimSn  S

เมื่อ S เปน็ จานวนจรงิ แลว้ จะกล่าวไดว้ า่ อนุกรม
a1  a2  a3  ...an ... เป็นอนกุ รม............................ และมี......................................

ถา้ ลิมิตของลาดบั ของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) หาค่าไมไ่ ด้ จะกลา่ ววา่ อนกุ รม
a1  a2  a3  ...an ...เป็นอนกุ รม..........................และ......................................

91

11. จงพจิ ารณาว่าอนกุ รม 1 0  9...  (n3  2n) ...
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทยท์ าใหเ้ ราร้วู ่าโจทยบ์ อกวา่

มีอนุกรม...........................................................................................................................

(W) จากโจทย์ทาใหเ้ รารู้ว่าโจทย์ใหห้ า
อนุกรม 1 0  9...  (n3  2n) ... เป็น....................................และ...................

(D) จากโจทยท์ าให้เรารวู้ ่าเราจะต้องทาดงั นี้
หาผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนกุ รม 1 0  9...  (n3  2n) ...
อนุกรม 1 0  9...  (n3  2n) ... ไม่ใชอ่ นกุ รมเลขคณิตไมใ่ ชอ่ นุกรมเลขคณติ

หาSn โดย n n

Sn   a i   (i3  2i 2 )

i1 i1
n n
 i3  2 i 2
 
i1 i1

 …………………………………………………………………….

หาลิมิตผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn ) ของอนุกรม 1 0  9...  (n3  2n) ...
n n
lim Sn  lim ( 2 ( n 1)) 2  2( 6 (n 1)(2n 1)) .........................................................

n n

ดังนั้น อนุกรมอนันต์นี้ เป็น.....................................................................................................

92

(L) จากโจทย์ทาใหเ้ ราได้เรยี นรู้วา่

คาตอบที่ได้คือ

อนุกรม 1 0  9...  (n3  2n) ... เปน็ ..............................................................

สรุปขั้นตอนดังนี้

หาผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนกุ รม
หาลิมิตของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn )
พิจารณาอนกุ รมล่เู ข้าหรอื อนุกรมลู่ออกและผลบวกของอนุกรม
lim S S
โดยพจิ ารณาลมิ ติ ของลาดับของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn ) ถ้า n
n
เมอ่ื S เป็นจานวนจริงแล้วจะกลา่ วได้ว่าอนกุ รม

a1  a2  a3  ...an ... เป็นอนุกรม............................ และมี......................................

ถา้ ลิมิตของลาดบั ของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn ) หาคา่ ไมไ่ ด้ จะกล่าววา่ อนกุ รม
a1  a2  a3  ...an ...เป็นอนุกรม..........................และ......................................

93

12. จงพิจารณาว่าอนกุ รม  5
1)(n
 (n  2)

n1
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทย์ทาให้เรารวู้ า่ โจทย์บอกวา่

มีอนุกรม ………………………………………………………………………………..

(W) จากโจทยท์ าให้เรารู้วา่ โจทยใ์ หห้ า

อนุกรม 5 เป็น………………………………….และ………………..

(n 1)(n  2)
n1

(D) จากโจทย์ทาใหเ้ ราร้วู ่าเราจะตอ้ งทาดังนี้

หาผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก( Sn )ของอนกุ รม  (n 5  2)
1)(n

 5 5 5 5 5
1)(n 35 34 45 n1  1)(

อนุกรม ( n  2)     ...  (n n  2)  ...
n1
เปน็ อนุกรมท่เี กดิ จากลาดับทมี่ พี จน์ท่วั ไปสามารถจัดอยใู่ นรูปผลตา่ งของเศษส่วนยอ่ ยได้

(อนุกรม Telescopic)รปู แบบ k  k  k  ...  a n  k  ...
a1a2 a2a3 a3a4 a n 1
1 1 1
Sn  k(a2  a1 )( a1  a n 1 )

แทนค่า Sn  5( 3 1 2 )( 1  n 1 2 )
 2 
 5
หาลมิ ิตผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก( Sn ) ของอนุกรม (n 1)(n  2)

1
 n1
1 1
nlimSn  lim 5( 3 2 )( 2  n  2 )

n

 ……………………….

 ……………………….
ผลบวกของอนกุ รมอนันต์(S)  lim Sn ……………………………………………..

n

ดังน้ัน อนกุ รมอนันตน์ ี้ เปน็ อนุกรมล่เู ขา้ และมผี ลบวกเท่ากบั .........................................

94

(L) จากโจทยท์ าให้เราได้เรยี นร้วู ่า

คาตอบทีไ่ ด้คือ

อนกุ รมอนนั ต์  5 เป็น............................และมีผลบวกเทา่ กับ...................
1)(n  2)
 ( n

n1
สรุปขั้นตอนดังนี้

หาผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนุกรม lim S S
หาลิมติ ของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )
พจิ ารณาอนุกรมล่เู ข้าหรืออนกุ รมลอู่ อกและผลบวกของอนกุ รม n

โดยพิจารณาลิมติ ของลาดบั ของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn ) ถา้ n

เมอ่ื S เปน็ จานวนจริงแลว้ จะกลา่ วได้ว่าอนุกรม

a1  a2  a3  ...an ... เปน็ อนุกรม............................ และมี......................................

ถ้า ลิมติ ของลาดบั ของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) หาคา่ ไมไ่ ด้ จะกลา่ ววา่ อนกุ รม
a1  a2  a3  ...an ...เป็นอนุกรม..........................และ......................................

สๆู้ นะคะ
ไม่มีอะไรยาก

95

13. จงพจิ ารณาวา่ อนุกรม  7
2)(2n
 (2 n   4)

n1
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทย์ทาใหเ้ ราร้วู า่ โจทยบ์ อกวา่

มีอนุกรม ...........................................................................................................................

(W) จากโจทย์ทาใหเ้ รารวู้ ่าโจทย์ให้หา

อนุกรม  (2n  7  4) เปน็ ..................................................และ.....................
2)(2n


n1

(D) จากโจทย์ทาให้เรารู้ว่าเราจะต้องทาดงั น้ี

หาผลบวกย่อย n พจน์แรก( S n )ของอนกุ รม  7
 2)(2n
 (2n  4)

7 7 n1
 7 46 68 7 7
อนกุ รม (2n  2)(2n  4)    810  ...  (2n  2)(2 n  4 )  ...


n1
เป็นอนุกรมทีเ่ กดิ จากลาดบั ทมี่ ีพจนท์ ัว่ ไปสามารถจดั อยู่ในรูปผลตา่ งของเศษส่วนย่อยได้

(อนกุ รม Telescopic)รูปแบบ k  k  k  ...  a n  k  ...
a1a2 a2a3 a3a4 a n 1
1 1 1
Sn  k(a2  a1 )( a1  a n 1 )

แทนค่า ……………………….

หาลิมติ ผลบวกย่อย n พจน์แรก( S n ) ของอนุกรม  7
 2)(2n
 (2 n  4)

1 1 n1 1
 4 n
lim Sn  lim 7( 6 4 )(  2 4 )

n n
 ……………………….

 ……………………….
ผลบวกของอนกุ รมอนันต์(S)  lim Sn ……………………….

n

ดังนัน้ อนกุ รมอนนั ต์น้ี เปน็ อนกุ รมลู่เข้า และมีผลบวกเทา่ กับ ……………………….

96

(L) จากโจทยท์ าใหเ้ ราได้เรยี นรู้ว่า

คาตอบที่ไดค้ ือ

อนุกรมอนันต์  7 เปน็ …………………และมผี ลบวกเทา่ กับ...............
2)(2n
 (2n   4)

n1
สรุปขั้นตอนดังนี้

หาผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก(Sn )ของอนุกรม lim S S
หาลมิ ติ ของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )
พจิ ารณาอนุกรมลเู่ ขา้ หรืออนุกรมลูอ่ อกและผลบวกของอนุกรม n

โดยพิจารณาลิมติ ของลาดับของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn ) ถา้ n

เมอ่ื S เป็นจานวนจรงิ แลว้ จะกล่าวไดว้ ่าอนุกรม

a1  a2  a3  ...an ... เปน็ อนุกรม............................ และมี......................................

ถ้า ลิมิตของลาดบั ของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn ) หาคา่ ไมไ่ ด้ จะกลา่ วว่าอนกุ รม
a1  a2  a3  ...an ...เป็นอนุกรม..........................และ......................................

97

14. จงพจิ ารณาว่าอนุกรม  6
1)(3n
 (3n  4)

n1
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทย์ทาให้เรารู้ว่าโจทยบ์ อกวา่

มีอนุกรม ………………………………………………………………………………….

(W) จากโจทยท์ าใหเ้ รารูว้ า่ โจทยใ์ ห้หา

อนุกรม  6 เป็น……………………………และ………………….
1)(3n
 (3n  4)

n1

(D) จากโจทยท์ าใหเ้ รารูว้ ่าเราจะต้องทาดงั น้ี

หาผลบวกย่อย n พจน์แรก( S n )ของอนุกรม  6
1)(3n
 (3n  4)

อนกุ รม n1

 (3n  6  4)  6  7 6  6  ...  (3n 6  4 )  ...
1)(3n 47 10 1013  1)(3n


n1
เปน็ อนุกรมท่เี กิดจากลาดับทม่ี พี จนท์ ่ัวไปสามารถจดั อยู่ในรูปผลต่างของเศษส่วนย่อยได้

(อนกุ รม Telescopic)รูปแบบ k  k  k  ...  a n  k  ...
a1a2 a2a3 a3a4 a n 1
1 1 1
Sn  k(a2  a1 )( a1  a n 1 )

แทนค่า Sn  6( 7 1 4 )( 1  3n 1 4 )
 4 
 6
หาลิมติ ผลบวกย่อย n พจน์แรก( Sn ) ของอนกุ รม 1)(3n
 (3n  4)

1 1 n1
 4 1
nlimSn  lim 6( 7 4 )(  3n  4 )

n

 ……………………….

 ……………………….
ผลบวกของอนกุ รมอนันต์(S)  lim Sn ………………………………………...

n

ดังน้ัน อนกุ รมอนนั ต์น้ี เป็นอนุกรมลูเ่ ข้า และมีผลบวกเทา่ กับ .................................

98

(L) จากโจทย์ทาให้เราได้เรียนรวู้ า่

คาตอบทไี่ ดค้ ือ

อนุกรมอนันต์  6 เป็น…………………….และมีผลบวกเท่ากบั .................
1)(3n
 (3n 4)

n1
สรุปขั้นตอนดังนี้

หาผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn )ของอนุกรม lim S S
หาลิมติ ของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn )
พิจารณาอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและผลบวกของอนุกรม n

โดยพจิ ารณาลมิ ิตของลาดบั ของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn ) ถา้ n

เมื่อ S เป็นจานวนจริงแลว้ จะกล่าวได้วา่ อนุกรม

a1  a2  a3  ...an ... เป็นอนกุ รม............................ และมี......................................

ถา้ ลมิ ิตของลาดับของผลบวกยอ่ ย n พจนแ์ รก(Sn ) หาค่าไมไ่ ด้ จะกล่าวว่าอนกุ รม
a1  a2  a3  ...an ...เป็นอนกุ รม..........................และ......................................

99

15. จงพิจารณาวา่ อนกุ รม  (n  3)(n 3 4)(n  5)



n1
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออกและมีผลบวกเป็นเท่าใด

(K) จากโจทย์ทาใหเ้ รารวู้ า่ โจทยบ์ อกวา่

มีอนุกรม ..........................................................................................................................

(W) จากโจทย์ทาใหเ้ รารวู้ า่ โจทย์ให้หา

อนุกรม  3 เป็น...........................................และ....................

 (n  3)(n 4)(n  5)

n1

(D) จากโจทยท์ าใหเ้ รารวู้ ่าเราจะตอ้ งทาดังนี้

หาผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนกุ รม  3
 4)(n  5)
 (n  3)(n

อนกุ รม n1

 ( n  3)( n 3 4)(n  5)  4 3 6  3 7  6 3 8  ...  (n  3)( n 3 4)(n  5)  ...
 5 56 7 


n1
เปน็ อนุกรมทเี่ กดิ จากลาดับทีม่ พี จนท์ ั่วไปสามารถจดั อยใู่ นรปู ผลต่างของเศษส่วนยอ่ ยได้

(อนุกรม Telescopic)รูปแบบ k  a k 4  k  ...  k  ...
a1a2a3 2a3a a3a4a5 a n a n 1a n 2
1 1 1
S n  k( a3  a1 )( a1a2  a n 1a n2 )

แทนคา่ ……………………….

หาลิมติ ผลบวกยอ่ ย n พจน์แรก( S n ) ของอนุกรม  3
 4)(n  5)
 (n  3)(n

1 n1 1
 1 )(
nlimSn  lim 3( 6 4 )( 45  ( n  4 n  5) )

n

 ……………………….

 ……………………….

ผลบวกของอนุกรมอนันต์(S)  lim Sn

n

 ……………………….

ดงั น้นั อนุกรมอนนั ต์น้ี เปน็ อนกุ รมล่เู ข้า และมผี ลบวกเทา่ กับ......................................

100

(L) จากโจทย์ทาใหเ้ ราไดเ้ รียนรูว้ ่า

คาตอบทไี่ ด้คือ

อนุกรมอนนั ต์  3 เปน็ .......................และมีผลบวกเทา่ กบั ..............
 4)(n  5)
 ( n  3)(n

n1
สรุปขั้นตอนดังนี้

หาผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )ของอนุกรม
หาลมิ ติ ของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก(Sn )
พิจารณาอนกุ รมลู่เขา้ หรอื อนุกรมลูอ่ อกและผลบวกของอนกุ รม

โดยพจิ ารณาลมิ ติ ของลาดับของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn ) ถ้า nlimSn  S

เม่ือ S เปน็ จานวนจริงแลว้ จะกล่าวไดว้ า่ อนกุ รม

a1  a2  a3  ...an ... เปน็ อนุกรม............................ และมี......................................
ถา้ ลิมิตของลาดบั ของผลบวกย่อย n พจน์แรก(Sn ) หาค่าไมไ่ ด้ จะกล่าววา่ อนุกรม
a1  a2  a3  ...an ...เปน็ อนุกรม..........................และ......................................