Tutorial e-book

1 MATEMATIKA EKONOMI

ii KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkat dan rahmat-Nya, penulis dapat menyelesaikan makalah ini untuk memenuhi tugas mata kuliah Matematika Bisnis Tepat waktu tanpa ada halangan dan sesuai dengan harapan. Ucapan terimakasih penulis sampaikan kepada Ibu Dra. Sitti Hajerah Hasyim, M.Si. dan Ibu Nuraisyiah, S.Pd., M. sebagai dosen pengampu mata kuliah Matematika Bisnis yang telah membantu memberikan arahan dan pemahaman dalam penyusunan makalah ini. Terimakasih juga kepada temanteman yang telah membantu dalam penyusunan makalah ini. Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini masih banyak kekurangan karena keterbatasan kami, maka dari itu penulis sangat mengharapkan kritik dan saran untuk menyempurnakan makalah ini. Akhir kata penulis berharap Tuhan Yang Maha Esa berkenan membalas segala kebaikan semua pihak yang telah membantu. Semoga Karya Tulis Ilmiah ini membawa manfaat bagi pengembangan ilmu. Makassar,30 September 2023 Kelompok 3

iii DAFTAR ISI MAKALAH MATEMATIKA EKONOMI......................................................... i KATA PENGANTAR .......................................................................................... ii DAFTAR ISI ........................................................................................................ iii DAFTAR GAMBAR............................................................................................ vi BAB I HIMPUNAN / KUMPULAN (SET)..........................................................1 A. Pengertian Himpunan / Kumpulan (Set).........................................................1 B. Operasi Himpunan (set operation) dan Diagran ven ......................................8 C. Hasil Kali Cartesian ( Cartesian Product )..................................................12 D. Rangkuman...................................................................................................13 E. Latihan Soal ..................................................................................................14 BAB II PERMUTASI DAN KOMBINASI........................................................15 A. Permutasi ......................................................................................................15 B. Tree Diagram................................................................................................21 C. Kombinasi.....................................................................................................22 D. Rangkuman...................................................................................................24 E. Latihan Soal ..................................................................................................25 BAB III FUNGSI..................................................................................................26 A. Pengertian Konstanta, Variabel, dan Fungsi .................................................27 B. Fungsi Aljabar...............................................................................................31 C. Fungsi Eksponensial .....................................................................................38 D. Fungsi Logaritma..........................................................................................39 E. Perpotongan Antara Dua Buah Fungsi .........................................................40 F. Rangkuman...................................................................................................41 G. Latihan Soal..................................................................................................41 BAB IV APLIKASI FUNGSI DALAM EKONOMI ........................................43 A. Fungsi dan Kurva Permintaan (Demand) .....................................................45 B. Fungsi dan Kurva Penawaran (Supply).........................................................51 C. Keseimbangan Pasar (Market Equilibrium) .................................................55 D. Perpajakan (Taxation).........................................................................................56

iv E. Subsidi ..........................................................................................................57 F. Latihan Soal..................................................................................................57 BAB V DIFERENSIAL ......................................................................................61 A. Pengertian Limit dan Kontinuitas Suatu Fungsi ..........................................62 B. Diferensial, Diferensiabel, dan Differential Quotient Suatu Fungsi ...........67 C. Differential Quotient Fungsi Aljabar Eksponensial dan Logaritma ............70 D. Persamaan Garis Singgung Suatu Parabola..................................................76 E. Rangkuman...................................................................................................78 F. Latihan Soal..................................................................................................80 BAB VI MAKSIMUM DAN MINIMUM PADA FUNGSI Y = F(X) ..............83 A. Pengertian Titik Ekstrem..............................................................................84 B. Persyaratan yang Dibutuhkan Suatu Titik Ekstrem......................................86 C. Titik Belok ( Point of Inflection ).................................................................92 D. Rangkuman...................................................................................................93 E. Latihan Soal..................................................................................................95 BAB VII DIFERENSIAL LANJUTAN .............................................................98 A. Fungsi dengan Beberapa Variabel...............................................................98 B. Total Diferensial dari Fungsi Bersusun (fungsi dari fungsi) ......................107 C. Fungsi Implisit............................................................................................111 D. Rangkuman.................................................................................................115 E. Latihan Soal................................................................................................115 BAB VIII INTEGRAL.......................................................................................118 A. Pengertian Integral Sebagai Kebalikan Diferensial (Antiderivative dan Luas Suatu Fungsi)..............................................................................................118 B. Cara Mengintegralkan Suatu Fungsi ..........................................................128 C. Rangkuman.................................................................................................130 D. Latihan Soal................................................................................................131 BAB IX DIFFERENTAL EQUATION............................................................133 A. Pengertian Differental Equations................................................................133 B. Pemecahan (Solution).................................................................................139 C. Rangkuman.................................................................................................141

v D. Latihan Soal................................................................................................141 BAB X APLIKASI DIFERENSIAL DAN ITEGRAL DALAM EKONOMI ..............................................................................................................................142 A. Konsep Elatisitas ........................................................................................142 B. Elastisitas Parsiil.........................................................................................145 C. Curva Biaya ...............................................................................................146 D. Hasil Penerimaan Penjualan (Revenue)......................................................152 E. Keseimbangan dari Suatu Perusahaan dalam Pasar Persaingan Murni ....155 F. Laba Maksimal pada Monopoli..................................................................156 G. Perpajakaan.................................................................................................158 H. Rangkuman.................................................................................................163 I. Latihan Soal................................................................................................163 BAB XI BARISAN DAN DERET.....................................................................164 A. Pola Bilangan..............................................................................................165 B. Barisan ........................................................................................................166 C. Deret ...........................................................................................................171 D. Aplikasi atau Penerapan Barisan dan Deret ...............................................176 E. Rangkuman.................................................................................................179 F. Latihan Soal ................................................................................................180 KASUS ................................................................................................................183 MATRIKS AKTIVITAS KELOMPK .............................................................184 DAFTAR PUSTAKA...............................................................................................

vi DAFTAR GAMBAR Gambar 1.1 Diagram ven yang menunjukkan himpunan bagian antara himpunan A dan B ...................................................................................................................7 Gambar 1.2 Diagram ven yang menunjukkan himpunan bagian sejati antara himpunan A dan B ...................................................................................................8 Gambar 1.3 Diagram ven yang menunjukkan irisan antara himpunan A dan B......9 Gambar 1.4 Diagram ven yang menunjukkan gabungan antara himpunan A dan B .......................................................................................................................9 Gambar 1.5 Diagram ven yang menunjukkan selisih antara himpunan A dan B ..10 Gambar 1.6 Diagram ven yang menunjukkan komplemenantara himpunan A dan B ......................................................................................................................11 Gambar 1.7 Diagram ven yang menunjukkan selisih simetris antara himpunan A dan B ..................................................................................................................11 Gambar 1.8 Siklus perkalian kartsian antara himpunan A dan B ..........................12 Gambar 2.1 Permutasi siklis ..................................................................................20 Gambar 2.2 Diagram pohon permutasi ..................................................................22 Gambar 3.1. Grafik Fungsi y = x2 - 5x + 6 ...........................................................34 Gambar 3.2. Grafik Fungsi y = 2x dan y = ()x......................................................39 Gambar 3.3. Grafik Fungsi y = 10 – 2x dan y = x + 2...........................................41 Gambar 4.1 Skala kuantitas x = -3p + 15 dan harga 5...........................................47 Gambar 4.2 Batas-batas kurva permintaan ............................................................48 Gambar 5.1 Rangkaian (Sequace)..........................................................................64 Gambar 5.2 Grafik fungsi y = f(x) pada pertambahan x(= Δx) .............................68 Gambar 5.3 Fungsi Eksponensial miring...............................................................75 Gambar 5.4 Fungsi eksponensial menurun ............................................................75 Gambar 5.5 grafik yang memotong sumbu x.........................................................76 Gambar 5.6 Persamaan Garis Singgung Parabola Dengan Gradien M..................76 Gambar 5.7 Persamaan Garis Singgung Parabola Melalui Suatu Titik .................76 Gambar 5.8 Persamaan Garis Singgung Parabola Melalui Titik Di Luar Parabola..................................................................................................................77 Gambar 6.1 Grafik Fungsi Menurun......................................................................84

vii Gambar 6.2 Grafik Fungsi Menaik ........................................................................85 Gambar 6.3 Grafik fungsi f(x) y = (x – 1) 2 (5 -2x) ..............................................86 Gambar 6.4 Titik ekstrem y = f(x) .........................................................................87 Gambar 6.5 Titik Belok..........................................................................................93 Gambar 7.1 Kurva fungsi y = f (x) dalam dua dimensi .........................................99 Gambar 7.2 Fungsi dengan tiga dimensi................................................................99 Gambar 8.1. Grafik fungsi y = f (x) .....................................................................119 Gambar 8.2 Grafik y = F (x) ................................................................................124 Gambar 8.3. Grafik y = F (x) ...............................................................................125 Gambar 8.4. Grafik v = x2 ...................................................................................128 Gambar 9.1 Grafik y = x2 ....................................................................................134 Gambar 9.2. Kurva x2, y = x2 + 2 dan y = x2 + 4 ...............................................135 Gambar 10.1 A.....................................................................................................144 Gambar 10.2 B .....................................................................................................144 Gambar 10.3 ........................................................................................................149 Gambar 10.4 ........................................................................................................150 Gambar 10.5.........................................................................................................152 Gambar 10.6.........................................................................................................152 Gambar 10.7.........................................................................................................152 Gambar 10.8.........................................................................................................153 Gambar 10.9.........................................................................................................153 Gambar 10.10.......................................................................................................155 Gambar 10.11.......................................................................................................156 Gambar 10.12.......................................................................................................161 Gambar 10.13.......................................................................................................162 Gambar 10.14.......................................................................................................163

1 BAB I HIMPUNAN / KUMPULAN (SET) Dalam uraian makalah ini dibahas mengenai topik Himpunan/ kumpulan (set) matematika modern, bukannya segala sesuatu yang di alam dan alam hidup manusia yang terdiri dari himpunan/ kumpulan. Adapun pokok bahasan pada bagian ini adalah ini bagian ini dibahas tentang pengertian himpunan, penulisan himpunan. anggota himpunan, kardinalitas himpunan, himpunan bagian,operasi himpunan, hasil kali cartesian , dan jenis-jenis himpunan besarta tampilan diagram ven yang melipiti : 1. Himpunan kosong (null set) 2. Himpunan semesta (set universum) 3. Himpunan hingga (finite set) 4. Himpunan tak hingga (infinite set) 5. Himpunan bagian (sub set) 6. Himpunan bagian sejati (proper subset) 7. Himpunan persamaan (set equivalence) A. Pengertian Himpunan / Kumpulan Suatu himpunan/kumpulan (set) diartikan sebagai kumpulan atau kelompok suatu objek atau unsur yang dirumuskan secara tegas dan dapat dibeda-bedakan. Objek yang dimaksud disini merupakan anggota himmpunn/kumpulan yang dituangkan dalam bentuk unsur atau elemen. Himpunan sendiri menurut Walpole (2010) merupakan kumpulan benda atau obyek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Benda atau obJek dalam himpunan disebut elemen (unsur) atau anggota himpunan. Anggota himpunan. Himpun yang jelas dan tegas ini merujuk pada sesuatu hal yang bersifat subjektif dan tidak mengandung kata sifat. Contoh definisi yang jelas dan tegas, yaitu : 1. Kumpulan mahasiswa yang lulus Universitas Negeri Makassar tahun ajaran 2023/2024

2 E = { 8,9,10,11 } 2. Kumpulan mahasiswi fakultas ekonomi dan bisnis yang yang banyak dibandingkan mahasiswa fakultas ekonomi dan bisnis dengan perbandingan 3 : 1 3. Kumpulan lembaga kemahasiswaan yang bukan merupakan Himpunan Mahasiswa 4. Kumpulan mata kuliah semester ganjil 2023 untuk mahasiswa baru l Universitas Negeri Makassar 5. Kumpulan ketua tingkat Interest 2023 yang mencakup program studi Akuntansi Murni, Akuntansi Terapan, dan Pendidikan Akuntansi Sedangkan yang bukan merupakan contoh himpunan sendiri inimerujuk pada sesuatu yang tidak jelas dan bersifat objektif, yaitu : 1. Kumpulan gedung-gedung besar Universitas Negeri Makassar 2. Kumpulan mahasiswa terpandai Universitas Negeri Makassar 3. Kumpulan mahasiswi cantik Universitas Negeri Makassar 4. Kumpulan pelajaran yang paling digemari mahasiswa Universitas Negeri Makassar 5. Kumpulan makanan enak dalam kantin Universitas NegeriMakassar a. Penulisan Himpunan / Kumpulan (Set) Himpinan sendiri pun memiliki aturan cara penulisan walaupun pada dasarnya suatu himpunan dapat ditandai melalui pelambangan hurufkapital seperti A,B,C,D,E,F,G, J. Namun disamping itu terdapat penulisan yang lebih spesifk yang terdiri atas : 1. Cara Daftar (Raster Method) Unsur atau elemen himpunan yang ditandai dengan adanya kurawal yang menghimpitnya “ { ... }”. Misalnya terdapat himpunan E yang terdiri dari bilangan 8,9,10,11, maka dapat ditulis sebagai berikut : Contoh lain : suatu himpunan program studi yang terdapat dalam fakultas ekonomi dan bisnis Universitas Negeri Makassar yaitu Akuntansi,

3 FEB = { Akuntansi, Manajemen, Kewirausahaan, Bisnis Digital } A = {5 bilangan asli pertama } B = himpunan bilangan prima A = { A І A < 6, A ∈ bilangan asli } Manajemen, Kewirausahaan, Bisnis Digital. Dari pernyataan berikut dapat ditulis sebagai berikut : 2. Dengan Kata-Kata / Kalimat Unsur atau elemen himpunannya di lambangkan dengan kata/kaliamt yang mengacu pada suatu pembahasan tertentu, sebagai contoh : 3. Cara Kaidah / Notasi Pembentuk (Rule Method) Merupakan suatu himpunan yang memiliki kaidah aturan tertentu dalam penulisannya agar dapat dinyatakan sebagai himpunan dimana setiap objek unsur/elemen dapat ditulis sebagai berikut : b. Anggota Himpunan Dalam suatu himpunan yang terdiri atas unsur atau elemen dimana dinyatakn dalam anggota himpunan. Anggota himpunan sendiri dilambangkan dengan ∈, sedangkan yang bukan anggota himpunan dilambangkan dengan ∉. Contohnya seperti : 1. Ilmu hukum ∉ {program studi fakultas ekonomi dan bisnis} 2. 1990 ∉ { tahun kabisat } 3. K ∈ { huruf konsonan dalam abjad } 4. Matematika Bisnis ∈ { mata kuliah dari fakultas ekonomi dan bisnis} 5. A ∈ { huruf vokal dalam abjad }6. c. Kardinalitas Himpunan Bilangan kardinal merupakan bilangan jumlah dari anggota suatu himpunan. Dan hanya dapat dinyatakan dapat himpunan berhingga, bilangan ini dituliskan sebagai berikut :

4 n (A) / lAl P (A) 1. Misal jika dala suatu himpunan A bilangan bilangan asli kurangdari 6, maka dapat dituliskan dengan n(A) = {1,2,3,4,5} 2. Tuliskan bilangan kardinal himpunan –himpunan berikut A = { huruf vokal pada kata Matematika bisnis } = { a,e,i } Maka n (A) = 3 B = { huruf konsonan pada kata Matematika Bisnis } = {m,t,k,b,s,n }Maka n (B) = 6 C = { x I x< 15, x∈ bilangan ganjil } = { 1,3,5,7,9,11,13} Maka n (C) = 7 d. Himpunan Kuasa / Himpunan Pangkat (Power Set) Merupakan himpunan yang memuat dari semua himpunan dari himpunan A, dan dalam setiap himpunan memiliki himpunan bagian kosong didalamnya. Power set ini ditandai atau dinotasikan dengan Contohnnya tentukan himpunan huasa dari himpunan A={0,1,2}Maka P (A) = { , (0), (1), (2), (0,1), (0,2), (1,2), (0,1,2)} Dan misalkan A = {a} Maka memiliki kemungkinan himpunan bagian sebanyak 2 yaitu{},{a} sehingga A memiliki 2 1 = 2 himpunan bagian.P (A) = { , {a} e. Jenis - Jenis Himpunan Himpunan bukan hanya suatu kumpulan suatu unsur atau elemen, namun himpunan memeiliki beberapa janisyang lainnya, yairu sebagai berikut : 1. Himpunan Kosong (Null Set) Sesuai dengan namanya, himpunan ini tidak memiliki atau bahkan tidak mempunyai anggota satu pun dan himpunana kosong ini dianggap sebagai sub himpunan (sub- set) dari himpunan semula. Himpunan

5 Kosong akan dinotasikan dengan lambang berupa atau { }. Dalam penerapannya, banyak orang yang tidak dapat membedakan antara himpunan kosong dengan himpunan yang tidak tepat (bukan himpunan) sebab himpunan kosong merupakan sub himpunan dari semua himpunan. Pada himpunan kosong ini terjadi apabila anggotanya memang benarbenar tidak ada, sehingga kumpulan atau himpunan tersebut termasuk dalam himpunan kosong. Namun, jika anggotanya tidak jelas, dalam artian tidak dapat dapat dibedakan apakah suatu objek yang dimaksud termasuk anggotanya atau tidak, maka kumpulan tersebut bukanlah suatu himpunan.Adapun contoh himpunan kosong sebagai berikut: Himpunan S adalah himpunan mahasiswa jurusan Sastra Inggris yang berusia 18 tahun. Himpunan W adalah himpunan hari yang memiliki awalanhuruf “H”. Himpunan G adalah himpunan bilangan ganjil yang dapat habis dibagi 2. Untuk memahami keberadaan himpunan kosong , kita harusberhati-hati dengan angka nol (0). Sebab (0) bukanlah himpunankosong, tetapi justru anggota dari himpunan yang memang bernilai nol (0). Contohnya, ada himpunan 5 bilangan cacah pertama, maka tentu saja angka 0 termasuk dalam anggota himpunan tersebut. 2. Himpunan Semesta (Set Universum) Yakni suatu himpunan yang dapat memuat seluruh objek yang tengah dibicarakan. Himpunan semesta ini disebut juga dengan himpunan semesta pembicaraan alias set universum, sehingga akan dilambangkan sebagai S atau U. Contohnya: Himpunan nama-nama hari yang dimulai dengan huruf S. Maka himpunan semestanya adalah himpunan nama-nama hari selama seminggu. B = {merah, kuning, hijau} Maka, himpunan semesta yang mungkin adalah S = {warna- warna

6 lampu lalu lintas} atau S = {warna-warna pelangi} dan juga S ={ Lambang himpunan mahasiswa akuntansi Universitas Makassar, dimana merah melambangkann pendidikan akuntansi, kuning melambangkan akuntansi terapan dan hijau melambangkan akuntansi murni } 3. Himpunan Hingga (Finite Set) Yakni suatu himpunan yang jumlah anggotanya terhingga alias dapat dihitung. Jenis himpunan ini sering disebut dengan finite set. Contoh: A = {x│x bilangan asli <7}. Jika ditulis dalam bentuk tabulasi maka A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Banyaknya anggota terhingga dari himpunan A (dapat dihitung),yakni 6 (enam). 4. Himpunan Tak Hingga (Infinite Set) Yakni jenis himpunan yang memiliki anggota tidak terhingga alias tidak dapat dihitung, sehingga tidak mungkin ditulis secara rinci, apalagi jika menggunakan metode tabulasi. Maka yang dapat dilakukan adalah dengan menggunakan tanda “…” (tiga titik) yang dibaca “seterusnya”. Himpunan ini disebut jugadengan istilah infinite set. Contoh: B = {x│x bilangan asli >15}, Maka B dapat ditulis dengan B = {16, 17, 18,…} Dibaca himpunan B adalah himpunan bilangan 16, 17, 18 dan seterusnya. 5. Cakupan Himpunan / Himpunan Bagian Sejati Merupakan himpunan yang apabila suatu himpunan A dan B merupakan bagian himpunan universal yang dinyatakan dengan U tetapi himpunana A tidak termasuk dalam ketentuan elemen B, sehingga dinotasikan bahwa himpunana A bukan merupakan subhimpunan dari B, atau A<B. Dan dapat diperhatikancakupan himpunan ini terdiri dari bayangannnya suatu elemenitu sendiri atau disebut reflexive yaitu A< A. Himpunan ini tidakterus menerus berjalan serentak atau stimulan. Contoh :

7 A = { e,f,g,h} B = { x:x adalah bilangan bulat dan 1≤ ≤ 100 } C = { x:x adalah bilangan bulat genap 1, ≤ 100 } Maka A<C B<C 6. Persamaan Himpunana (Set Equivalence) Merupakan suatu himpunan yang suatu elemen yang tersusun didalamnya senilai dan itulah mengapa bagian himpunan ini dikatakan persamaan himpunan. Contoh : A = { 1,2,3,4,5} B = { x:x adalah bilangan asli < 6 } Maka A=B f. Himpunan Bagian (Subset) Merupakan seluruh bagian himpuna A adalah elemen dari himpunan B. Ditandai atau dinotasiakan dengan simbol ≤.kedua himpunantersebut selalu dikatakan sama karena unsur penyusun yang sama. Gambar 1.1 Diagram ven yang menunjukkan himpunan bagian antara himpunan A dan B Contoh tentukanlah himpunan bagian dari A,B,C, dan D : A = {2,4,6} B = {2,3,5,7} C = A∩B D = {6,4,2} Maka C = {2}; C≤A ; C ≤B; D≤A ; A≤D , sehingga dapat diketahui bahwa himpunan C merupakan himpunan bagian dari A dan B. Dan himpunan A A A≤B B

8 B A<B merupakann bagian himpunan D begitupun sebaliknya. g. Himpunan Bagian Sejati (Proper Subset) Merupakan himpunan yang seluruh elemen dari himpunan A adalah elemen dari himpunan B, Dimana himpunan B sendiri memiliki elemen yang tidak ada di himpunann A. Gambar 1.2 Diagram ven yang menunjukkan himpunan bagiansejati antara himpunan A dan B Contohnya tentukanlah himpunan bagian sejati dari A,B,C, dan D A = {2,4,6} B = {2,3,5,7} C = A∩B Maka C = {2}; C<A ; C <B; B. Operasi Himpunan (Set Operation) Dan Diagran Ven Kita sudah mengenal dan mengetahui definisi himpunan, sub himpunan atau jenis himpunan serta cara penulusan himpunan, anggota dan bilangan kardinal himpunan. Sekarang kita akan membahas operasi himpunan yang terdiri dari : 1. Irisan Himpunan (Intersection) Irisan himpunan ini merupakan dua buah himpunan yang berbeda unsur/elemen yang menjadi anggota baik dari himpunana yang satu dengan himpunan yang lainnya, dimana antara himpunan A dan B memiliki elemen yang sama saling terhubung berinteraksi. Himpunan ini ditandai atau dinotasiikan dengan A∩B dan daam bentuk notasi pembentuk A∩B = { x:x c c B }

9 Gambar 1.3 Diagram ven yang menunjukkan irisan antara himpunan A dan B Contohnya, jika himpunan A = {9,7,3,5,1} dan himpunan B ={ 1,2,3,4,5 } Tentukanlah irisan dari kedua himpunana ini! Maka A∩B = { 1,3,5 } 2. Gabungan (Union) Merupakan himpunan gabungan himpunan menyatakan operasi untuk menggabungkan anggota-anggota dari dua himpunan atau lebih menjadi sebuah himpunan baru. Anggota- anggota himpunan gabungan berasal dari semua anggota himpunan yang dioperasikan dalam operasi tersebut. Jika terdapat anggota himpunan yang sama cukup dituliskan satu kali. Simbol untuk menyatakan gabungan himpunan adalah notasi (union) yang dibaca gabungan. Notasi pembentuk himpunan untuk gabungan dua himpunan A dan B dinyatakan dalampersamaan A B = {x:x ϵ A atau x ϵ B}. Gambar 1. 4 Diagram ven yang menunjukkan gabungan antara himpunan A dan B Sebagai contoh, jika terdapat dua buah himpunan A dan B dengan A = {a, b, c, d, e} dan B = {a, i, u, e, o}. Operasi pada himpunan untuk gabungan kedua himpunan dilakukan dengan menggabungkan semua anggota-anggotanya elemen yang terdapat himpunan tersebut. Sehingga hasil dari gabungan himpunan A dan himpunan B = {a, b, c, d, e, i, u, o} Maka AB = {a, b, c, d, e, i, u, o}. A ∩ B S

10 A A-B B A B-A B 3. Selisih Himpunan (Set Difference) Operasi ini meliputi Selisih antara dua himpunan yang dimana semua anggota himpunan yang tidak dimiliki himpunan lain. Selisih antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda kurang ( – ). Notasi pembangkit untuk selisih dua himpunan A dan B ditandai atau dinotasikan dalam persamaan A – B = {x:xϵ A atau x ∉ B}. Pada selisih himpunan A – B, himpunan barunya berupa semuaanggota A yang tidak ada pada B. Sedangkan selisih himpunanB – A, himpunan baru yang dihasilkan sama dengan anggota himpunan B yang tidak ada pada A. Gambar 1.5 Diagram ven yang menunjukkan selisih antara himpunan A dan B Contohnya, dua buah himpunan A = {a, b, c, d, e} dan B = {a, i, u, e, o}. Selisih dua himpunan A – B = {b, c, d}, sementara selisih dua himpunan B – A = {i, u, o}. 4. Komplemen Himpunan (Complement) Komplemen dari sebuah himpunan A adalah himpunan semua anggota himpunan semesta (S) yang tidak ada di himpunan A. Notasi komplemen suatu himpunan dinyatakan dalam pangkat C yang melekat pada himpunan terkait.Himpunan semesta memuat semua anggota dari himpunan. Sebagai contoh, cakupan himpunan semesta untuk bilangan ganjil adalah semua bilangan ganjil yang tak berhingga. Untuk cakupan himpunan semesta untuk lima bilangan ganjil pertama memuat himpunan dengan anggota-anggota 1, 3, 5, 7, dan 9. Sementara komplemen suatu himpunan ini merupakan himpunan dengan anggota yang bukan merupakan anggota himpunan semesta.

11 A C S Untuk sebuah himpunan A maka komplemen dari himpunan A ditandai dalam notasi A C (dibaca A komplemen). Notasi pembangkit untuk menyatakan pernyataan suatu himpunan komplemen adalah A C = {x: x ∉ A, x ∈ S}. Gambar 1.6 Diagram ven yang menunjukkan komplemenantara himpunanA dan B Sebagai contoh, dalam sebuh kasus komplemen himpunan yang dimana memiliki anggota semesta dan himpunan A sbb :S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {1, 3, 5, 7, 9} Maka A C = {2, 4, 6, 8, 10} 5. Selisih Simetris (Symmetric Difference) Notasi operator selisih simetris dinyatakan dalam sebuah tanda plus dalam sebuah lingkaran, ⊕. Notasi pembangkit untukbeda setangkup adalah A ⊕ B = {x | x ∈ A tetapi x ∉ B dan x ∈ B tetapi x ∉ A}. Pernyataan tersebut sama dengan A ⊕ B = (A B) – (A ∩ B) atau sama dengan A ⊕ B = (A – B) (B – A). Sebagai contoh diketahui dua buah himpunan A = {a, b, c, d, e} dan B = {a, i, u, e, o}. Anggota-anggota himpunan A dan B yang sama meliputi a dan e (irisan kedua himpunan). Hasil operasi beda setangkup merupakan anggota himpunan A atau B tetapi tidak keduanya.Jadi, himpunan baru hasil operasi himpunan selisih simetris untuk himpunan A dan himpunan B adalah b, c, d, i, u, dan o yang dapat dinotasikan dengan A ⊕B = {b, c, d, i, u, o}. Gambar 1.7 Diagram ven yang menunjukkan selisih simetris antara himpunan A dan B

12 Contoh operasi himpunan selisih simetris. himpunan baru hasil operasi himpunan beda setangkup untuk himpunan A dan himpunan B adalah b, c, d, i, u, dan o yang dapat dinotasikan dengan A ⊕ B = {b, c, d, i, u, o}. A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {2, 3, 5, 7, 11} A ⊕ B = {1, 4, 7, 11} Operasi himpunan beda setangkup memenuhi hukum komutatif (A + B = B + A) dan asosiatif: (A + B) + C = A + (B + C). C. Hasil Kali Cartesian (Cartesian Product) Misalkan A dan B merupakan himpunan, maka perkalian kartesian antara A dan B ditandai atau dinotasikan dengan : R≤ (AxB) = A x B = {(a,b) : a∈ A dan b∈B }, atau aturan yang menghubungkan antara dua himpunan dinamakan relasi biner. Himpunan A antara dua himpunan dinamakan relasi biner. Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunanB disebut daerah hasil (range) atau pasangan yang tersusun dariR. Gambar 1.8 Siklus perkalian kartsian antara himpunan A dan B Sebagai contoh : A = himpunan program studi = ( AKD, AKS, MNJ, AKP ) B = himpunan mata kuliah = ( KWU, PKN, PAI ) Berapa banyak kombinasi program studi dan mata kuliah yangdapat disusun dari kedua himpunan di atas ? Jawaban : A x B = 4x3 = 12 kombinasi 1 2 3 X1 Y2 Z3

13 Yaitu {(AKD,KWU), (AKD,PKN), (AKD,PAI), (AKS,KWU), (AKS,PKN), (AKS,PAI),(MNJ,KWU),(MNJ,PKN), (MNJ,PAI), (AKP,KWU), (AKP,PKN), (AKP,PAI)} RANGKUMAN Himpunan/kumpulan (set) diartikan sebagai kumpulan atau kelompok suatu objek atau unsur yang dirumuskan secara tegas dan dapat dibeda-bedakan. Objek yang termasuk dalam suatu himpunan dinamakan anggota dari himpunan tersebut.Suatu himpunan ditulis dengan menggunakan pasangan kurung kurawal dan anggota himpunan ditulis di antara pasangan kurung kurawal tersebut.Dalam himpunan sendiri terdapat beberapa jenis atau disebut dengan subset. Pada himpunan sendiri terdapat beberapa operasi untuk menyelesaikan suatu persoalannnya yaitu irisan dan gabungan. Terdapat pula jenis-jenis himpunan, dan himpunan kuasa (power set) sebagai alternatif penyelesaian untuk menentukan jumlah himpunan bagian yang terdapat dalam suatu himpunan. LATIHAN SOAL Studi Kasus 1. Misalkan terdapat 60 diantara 200 mahasiswa bukan mahasiswa yang mengambil seminar tentang accounting, 20 diantaranya mengambilMatematika Diskrit, 45 mangambil Bahasa Inggris, dan 16 mengambil kedua-duanya . Berapa mahasiswa yang skripsi datang ke pesta ? (1)Analisis Kombinatorik I. Pengertian Kombinatorika Kombinatorika adalah cabang matematika yang mempelajari pengaturan objek objek. Solusi yang diperoleh dengan kombinatorika ini adalah jumlah cara pengaturan objek objek tertentu dalam himpunannya II. Prinsip Inklusi dan Eksklusi Inklusi eksklusi merupakan salah satu Teknik perhitungan ataunumerasi. Penyelesaian suatu permasalahan dengan menggunakan prinsip inklusi eksklusi berkaitan dengan himpunan dan kekardinalannya. Misal

14 diberikan suatu himpunan P, kekardinalan p dilambangkan dengan Ipl atau n(P), dalam beberapa referensi Pembahasan : Diketahui : Himpunan S adalah jumlah mahasiswa, maka |S|= 200 Himpunan Padalah Mahasiswa yang mengambil MatematikaDiskrit, maka |P|= 50 Himpunan Qadalah Mahasiswa yang mengambil Bahasa Inggris,maka |Q|= 140 Mahasiswa yang mengambil kedua mata kuliah: |P∩Q|= 24 Himpunan Radalah Mahasiswa yang bukan mahasiswa yang skripsi, maka |R|= 60 Mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematika Diskrit tetapibukan mahasiswa yang sedang skripsi: | P∩R |= 20 Mahasiswa yang mengambil mata kuliah Bahasa Inggris tetapi bukan mahasiswa yang sedang skripsi: |Q∩R |= 45 Mahasiswa yang mengambil kedua mata kuliah tetapi bukanmahasiswa sedang skripsi:|P∩Q∩R |= 16 Ditanya : Berapa mahasiswa skripsi yang datang ke pesta?Jawab : lPQRl = lPl + lQl + lRl - l P∩Q∩R l = 50+140+60-24-20-45 + 16 = 177 Jadi, banyaknya mahasiswa yang sedang skripsi datang ke pesta lSl - lPQRl = 200-177 = 23 mahasiswa

15 BAB II PERMUTASI DAN KOMBINASI Dibahas mengenai permutasi dan kombinasi, dimana permutasi dapat diartikan mengenai masalah cara untuk menyusun sejumlah objek dengann urutan tertentu. Sedangkan kombinasi nyaris hampir sama dengan permutasiyaitu cara menggabungkan sejumlah objek atau mengenai masalah pengambilan tanpa memperhatikan urutan. Pada bagian ini dibahas mengnai asas-asas yang terdapat dalam permutasi, yaitu asas penjumlahan dan asas perkalian, besarta alternatif penyelesaian permutasi dengan menggunakan diagram pohon, dan jenis-jenis permutasi yang meliputi : 1. Permutasi atas seluruh objek dengan untu yang berbeda 2. Permutasi sebagian dari seluruh objek dengan beberapa unsur yang sama 3. Permutasi siklis/keliling/lingkaran A. Permutasi Permutasi merupakan penyusunan dari objek-objek ke dalam sesuatu yang terkait penyusunan, dimana AB GBA dan suatu urutan tertentu dengan memperhatikan syarat asas permutasi yaitu pbjek harus dapat dibedakan jika terdapat objek yang sama maka tidak termasuk dalam permutasi, Misalkan r bilangan bulat positif. Permutasi-r dari himpunan H yang terdiri atas n unsur dengan notasi atau P(n,r) adalah susunan r dari n unsur tersebut dalam urutan atau aturan tertentu. Adapun asas dalam permutasi yaitu : 1. Asas Perkalian Apabila terdapat beberapa peristiwa pemilihan (misalnya k peristiwa),untuk menghitung banyaknya cara yang mungkin terjadi dari beberapa peristiwa pemilihan tersebut digunakan asas perkalian permutasi. Suatu peristiwa pemilihan dapat menghasilkan n1 cara atau alternatif. Setelah itu terdapat peristiwa pemilihan kedua yang dapat menghasilkan n2 cara atau alternatif. Selanjutnya , ada peristiwa pemilihan ketiga yang dapat menghasilkan n3 cara. Maka, keseluruhan peristiwa pemilihan tersebut

16 dapat menghasilkan sebanyak n1 x n2 x n3 cara atau alterntif. Jika jumlah peristiwa pemilihan tersebut adalah sebanyak k, keseluruhan peristiwa pemilihan itu dapat menghasilkan sebanyak n1 x n2 x n3…….nk cara atau alternatif. Contoh1: Sebuah keluarga yang bertempat tinggal di Jakarta akan merencanakan perjalanan keliling Jawa. Rute pemberhentian yang akan dilalui yaitu Bandung, Yogyakarta, Surabaya, Semarang, dan Jakarta. Rute Jakarta – Bandung dapat ditempu dengan 3 cara, rute Bandung – Yogyakarta dapat ditempu 2 cara, rute Yogyakarta – Surabaya dapat ditempu dengan 3 cara, rute Surabaya – Semarang dapat ditempu dengan 4 cara, dan rute Semarang – Jakarta dapat ditempu dengan 4 cara. Dengan demikian secara keseluruhan, alternatif yang dapat dipilih oleh keluarga tersebut adalah 3 x 2 x 3 x 4 x 4 cara = 288 cara atau alternatif. 2. Asas Penjumlahan Dalam kasus ini tidak dilakukan sekaligus masing-masing peristiwa pemilihan, tetapi hanya terjadi salah satu. Jika terdapat beberapa peristiwa pemilihan (misalnya k peristiwa). Pemilihan atau tindakan dapat dilaksanakan dalam n1 macam cara untuk peristiwa pemilihan pertama atau dalam n2 macam cara untuk peristiwa pemilihan kedua atau dalam n3 macam cara untuk peristiwa pemilihan ketiga atau seterusnya sampai nK macam cara untuk peristiwa pemilihan yang ke-K. Maka, dalam pelaksanaan pemilihan dari kemungkinan peristiwa pemilihan pertama, kedua sampai ke-K, yang tidak dilakukan sekaligus bersama – sama. Hal ini dapat menghasilkan atau dilaksanakan n1 + n2 + ... + nK macam cara yang berbeda. Sebagai contoh : Sebuah restoran dapat menyediakan atau menghidangkan 4 macam cara makanan/kue dan l5 macam minuman. Maka, berapakah : a. Jumlah hidangan makanan dan minuman yang dapat dipilih (satu macam makanan dan satu macam minuman) b. Jumlah hidangan hanya satu macam saja yang dapat dipilih Jawab :

17 P(n,r)= n(n-1)(n-2)-(n-r+1) a. Jumlah hidangan makanan dan minuman yang dapat dipilih sesuai dengan asas perkalian adalah sebanyak 4 x 5 = 20 macam hidangan yang berbeda. b. Jumlah hidangan hanya satu macam saja yang dapat dipilih yaitu semacam makanan atau semacam minuman sesuai dengan asas penjumlahan adalah sebanyak 4 + 5 = 9 macam hidangan atau suguhan yang berbeda. Adapun jenis- jenis permutasi di antaranya : 1. Permutasi Atas Seluruh Objek Dengan Unsur Yang Berbeda Diberikan sebanyak n unsur berbeda. Sebuah permutasi k unsur dari n unsur berbeda, sebuah jajaran dari k unsur yang urutannya diperhatikan. Dinotasikan dengan P(n,n) atau Teorema 1. Jikan n dalah bilangan bulat positif dan r adalah bilangan bulat dengan 1 ≤r ≤ n, maka permutasi-r dari himpunan dengan n elemen berbeda adalah Untuk membuktikan kebenaran teorema ini akan digunakan aturan perkalian. Untuk memilih elemen pertama dari permutasir dapat dipilih dengan n carasebab ada sebanyak n elemen berbeda. Untuk memilih elemen kedua dari permutasi-r dapat dipilih dengan n-1 cara berbeda (sebab tersisa n-1 elemen yang tersisa setelah satu elemen diambil untuk posisi pertama) Untuk memilih elemen ketiga dari permutasi-r dapat dipilih dengan 1-2 cara berbeda (sebab tersisa n-2 elemen yang tersisa setelah dua elemen diambil untuk posisi pertama dan kedua) dst Untuk elemen ke-r dari permutasir dapat dipilih dengan n-(r-1)=n-r+1 cara berbeda.Maka diperoleh Yang merupakan permutasi-r pada himpunan dengan n elemen berbeda. Catatan: P(0)= 1 untuk n elemen bilangan bulat taknegatit. Sebab pada P(n,r)= n(n-1)(n-2)-(n-r+1)

18 permutasi tersebut tepat ada satu cara untuk mengurutkan nol elemen yaitu satu daftar tanpa elemen didalamnya yang disebut daftar kosong. Jika n dan r adalah bilangan bulat dengan 0≤ ≤ makaP(n,r) = n(n-1)(n - 2) ... (n - r + 1) = (n!)/(n - r!) Sebagai bukti dapat, diperhatikan untuk dua kondisi berikut: 1. Untuk 1 ≤r ≤ n berdasarkan Teorema 1 berlaku P(n,r) = n(n - 1)(n - 2) ... (n - r + 1) = n(n - 1)(n - 2) ... (n - r + 1) ) (n - r)(n - r - 1) ...3.2. = n! (n- r)(n –r -1) ...3.2.1(n - r)! 2. Untuk r = 0 Apakah bentuk di atas juga berlaku untuk r = 0 hal ini bisa kita lihat pada bentuk berikut P(n,0) = n! = n! = 1 (n-0)! n! Dengan demikian P(n,r) = untuk r = ! (−)! juga berlaku untuk r = 0 Catatan: P(n,n)= n! untuk n elemen bilangan bulat taknegatif. Permutasi dengan Pembatasan (Semua Unsur Berbeda) dimana kadang - kadang kita menemukan pembatasan dalam pemilihan penyusunan unsur - unsur tertentu. Untuk masalah seperti ini, terlebih dahulu kita selesaikan pembatasannya, kemudian baru kita gunakan kaidah pencacahan. Sebagai latihan kita dapat menyimak latihan soal dari permutasi ini : a. Dalam berapa cara, 6 buku mata kuliah berbeda dapat disusun pada sebuah buku Naya yang meruoakan mahasiswa akuntansi terapan universitas negerri makassar? Jawab: Banyaknya cara menyusun keenam buku pelajaran yang berbeda merupakan permutasi 6 unsur dari 6 unsur atau P(6, 6). Dengan rumus P(n, n) = n! , sehingga diperoleh P(6, 6) = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

19 P = n! m1! x m2! x m3! x ... x mk! Jadi, banyaknya cara menyusun 6 buku pelajaran yang berbeda pada rak buku adalah 720 cara. b. Ada berapa banyak cara memilih juara 1. juara 2 dan juara 3 dan 100 orang yang mengikuti suatu kompetisi? Jawab : Banyaknya cara memilih 3 pemenang adalah banyaknya susunan terurut 3 elemen dari 100 elemen, yaitu P(100,3)=100 x 99 x 98 = 970.200 Jadi banyak cara memilih pemenang juara 1,2, dan 3 dari 100 peserta adalah 970.200 2. Permutasi Sebagian Dari Seluruh Objek Dengan Beberapa Unsur Yang Sama Apabila terdapat n objek yang tidak dapat dibedakan (n objek yang sama), jumlah permutasi dari objek tersebut adalah sebanyak satu cara. Sebagai contoh, terdapat 4 objek yang sama (tidak dapat dibedakan), yaitu (m,m,m,m). Maka, objek itu hanya dapat dipermutasikan dalam satu cara saja, misalnya menjadi (m1,m2,m3,m4), Teorema 2. Banyaknya permutasi dari n unsur yang terdiri dari m1 unsur jenis pertama sama, m2 unsur jenis kedua sama, m3 unsur jenis ketiga sama,..., dan mk unsur jenis ke–k sama ditentukan dengan. dimana m1 + m2 + m3 + ... + mk = n.Sebagai contoh : Berapa banyak permutasi dari huruf-huruf pada kata MATEMATIKA ? Jawab: Banyak huruf pada kata MATEMATIKA ada 10 buah. Terdapat unsur yang sama, yaitu: Huruf M ada 2 buah, Huruf A ada 3 buah, Huruf T ada 2 buah.

20 Ps (n) = (n – 1)! B A C A C B C B A Huruf E, I, dan K masing-masing 1 buah. Maka banyaknya permutasi dari huruf-huruf tersebut adalah P = 10 ! 2! 3! 2! 1! 1!1! = 10 9 8 7 6 5 4 3! 2 3! 2 1 1 1 = 151.200 3. Permutasi Siklis / Keliling / Lingkaran Permutasi ini memiliki objek-objek yang dijajar/disusun melingkar (pada suatu lingkaran) dan arah melingkarnya diperhatikan, misalnya searah putaran jarum jam, maka permutasi yang demikian dinamakan permutasi siklik. Banyaknya permutasi untuk n unsur berbeda yang diatur dalam sebuah lingkaran disebut permutasi siklik. Permutasi siklik dari n unsur (n > 1) ditentukan oleh rumus Gambar 2.1 Permutasi siklis Tiga objek A, B, dan C di atas disusun secara melingkar. Walaupun nampak berbeda,namun jika dilihat dari urutan (searah jarum jam misalnya) maka ketiga susunan ini adalah sama. Jadi, dari tiga buah permutasi linear ABC, BCA, dan CAB diperoleh hanya satu permutasi siklik (ABC). Demikian juga untuk tiga permutasi linear ACB, CBA, dan BAC diperoleh hanya satu permutasi siklik (ACB). Dengan demikian terdapat dua permutasi-3 siklik dari tiga objek A, B, dan C, yaitu (ABC) dan (ACB). Contoh : Satu keluarga terdiri dari ayah, ibu, dan 4 orang anaknya. Mereka duduk di meja makan yang bentuknya melingkar. Ada berapa cara anggota keluarga tersebut duduk mengelilingi meja jika ayah dan ibu selalu duduk berdampingan?

21 Jawab: Syarat khusus, ayah dan ibu selalu duduk berdampingan. Posisinya dapat dipertukarkan sebanyak 2! = 2 cara. Ayah dan ibu selalu duduk berdampingan, sehingga posisi ini diblok dan dianggap 1 unsur. Blok (ayah dan ibu) dan 4 orang anaknya menjadi 5 unsur yang duduk melingkar, sehingga dengan permutasi siklik diperoleh: Ps (5) = (5 – 1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 Dengan Aturan perkalian diperoleh banyak cara anggota keluarga duduk mengelilingi meja jika ayah dan ibu selalu duduk berdampingan adalah 2 x 24 = 48 cara. B. Tree Diagram 1. Diagram Pohon Diagram pohon merupakan alternatif penyelesaian persoalan permutasi dan persoalan matematika lainnya untuk mengatahui banyak cara atau susunan akhir yang akan kita dapat. Contoh : Dalam suatu kelas,terdapat 4 orang yang akan dipilih 3 orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. Berapa banyak susunan strukktur kelas yang dapat dibentuk ? Jawab: Banyak cara untuk memilih 3 orang tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut. Misal, keempat orang kandidat itu adalah A, B, C, dan D. Posisi ketua dapat dipilih dengan 4 cara, posisi sekretaris dapat dipilih dengan 3 cara, dan posisi bendahara dapat dipilih dengan 2 cara. Jadi banyak cara yang dilakukan untuk memilih 3 orang pengurus kelas dari 4 orang kandidat adalah 4 faktorial yaitu 4 × 3 × 2 = 24 cara. Uraian tersebut akan lebih jelas apabila Anda mengamati skema pada lembar berikutnya :

22 Struktur Kelas Gambar 2.2 Diagram pohon permutasi C. Kombinasi Kombinasi adalah himpunan / kumpulan dari objek yang ada tanpa memerhatikan susunan atau urutan objek-objek tersebut. Dalam hal ini, kombinasi yang diperhatikan adalah unsur himpunan/kumpulan (set) atau objeknya. Dengan demikian apabila terdapat 3 objek yaitu A,B, dan C, hanya ada satu kombinasi AB dan C. Hal ini Karena dalam kombinasi ABC sama dengan ACB, sama pula dengan CBA atau BAC dan seterusnya. Simpelnya dalam permutasi urutan diperhatikan sedangkan dalam kombinasi urutan tidak diperhatikann dimana AB=BA misal A berjabat tangan dengan B sama saja dengan B yang memulai berjabat tangan dengan A dan kombinasi sendiri terlait masalah pengambilan. Teorema Misalkan n dan k bilangan bulat non negatif dengan. Banyaknya kombinasi kunsur dari n unsur berbeda tanpa pengulangan ditentukan dengan rumus

23 C(n,k)= ( ) = n! k!(n−k)! Adapun sebagai contohnya : Dalam suatu ujian, setiap mahasiswa diharuskan menjawab 4 soal dari 7 soal yang disediakan. Jika seorang mahasiswa memilih secara acak soal yang akan dikerjakannya, berapa banyak cara atau pilihan untuk mengerjakan soal ujian tersebut ? Jawab: Dalam kasus di atas, urutan nomor-nomor soal diabaikan. Sehingga banyaknya carauntuk menngerjakan 4 soal dari 7 soal ujian adalah kombinasi 4 soal dari 7 soal, sehingga diperoleh: C(7, 4) = 7! = 7! 4! (7 − 4)! 4! .3 = 7 × 6 × 5 × 4! 4! .3 × 2 × 1 = 35 Jadi, banyak cara untuk mengerjakan soal ujian tersebut adalah 35 cara. Sebuah kontingen Olimpiade Matematika yang terdiri atas 5 mahasiswa akan dipilih dari 6 mahasiswa putra dan 4 mahasiswa putri. Tentukan banyak cara kontingenini dapat dibentuk jika : a. tidak ada pembatasan (tidak dibedakan antara putra dan putri) b. kontingen memiliki tepat 2 mahasiswa putra Jawab : Masalah ini termasuk masalah kombinasi, karena urutan pemilihan mahasiswa tidak diperhatikan (tidak dipentingkan). a. Tidak ada pembatasan Jumlah mahasiswa tanpa membedakan putra dan putri adalah 6 + 4 =

24 2×1×4! 3!×1 10. dari 10 mahasiswa tersebut akan dipilih 5 mahasiswa, sehingga banyak cara membentuk kontingen adalah C(10, 5) = 10! 5!(10−5)! = 10! 5!.5! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5! 5! .5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 252 cara. b. Kontingen memiliki tepat 2 mahasiswa putra 2 mahasiswa putra dapat dipilih dari 6 mahasiswa putra, dengan banyaknya cara memilihnya adalah C(6, 2). Kontingen terdiri dari 5 mahasiswa, berarti masih tersedia 3 tempat yang harus diisi oleh mahasiswa putri. Banyaknya cara memilih 3 mahasiswa putri dari 4 mahasiswa putri adalah C(4, 3). Dengan aturan perkalian, banyaknya cara membentuk kontingen yang memiliki tepat 2 mahasiswa putra adalah C(6, 2) × C(4, 3) = 6! × 4! 2! (6 − 2)! 3! (4 − 3)! = 6! × 4! 2!.4! 3!.1! = 6×5×4! × 4 × 3! = 15 x 4 = 60 cara RANGKUMAN Dalam permutasi memperhatikan urutan elemen yang dipilih, sedangkan kombinasi tidak memperhatikan urutan elemen yang dipilih. Disamping itu

25 perrmutasi terdapat jenis dengan beberapa unsur yang sama dan beberapa unrus elemen yang berbeda, dan permutasi siklis. Pengaplikasian materi permutasi maupun kombinasi dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari untuk mencari jumlah cara yang dapat ditempuh untuk menyelesaikan suatu permasalahan. LATIHAN SOAL A. Piliihan Ganda 1. Seorang dosen akan memilih 5 soal dari 10 soal yang dibuatnya, berapa macam susunan soal yang dapat diperoleh A. 610 B. 210 C. 252 D. 242 Jawab 5P 10 = 10! = 252 (b) 5! (10-5)! 2. Pada suatu acara makan siang kerajaan yang dihadiri oleh 8 oarang, para tamu makan dengan posisi duduk melingkar. Banyaknya susunan yang bisa dibuat saat mereka duduk adalah.... a. 720 b. 120 c. 5760 d. 1250 e. 5040 Jawab: (n-1)! = (8-1)! 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =504 B. Essai 1. Suatu rak buku hanya dapat memuat 3 buah buku yang sama besarnya. Jika kita mempunyai 5 buku yang samabesarnya yaitu A, B, C, D, dan E, berapa cara atau alternatifkah penyusunan yang dapat dilakukan dalam rak buku tersebut?

26 Jawab: Jumlah buku yang dimiliki sebanyak 5 buah, sedangkan empat rak buku hanya dapat memuat 3 buah buku saja. Maka, ditemui masalah penyususnan 3 buah buku dari 5 buah buku yang ada. Dalam hal ini masalah yang ditemukan adalah perutasi 3 buah buku dari 5 buah buku. Susunan buku yang dapat diatur dalam rak buku tersebut adalah sebanyak: 3P 5 = 5! = 5 x 4 x 3! = 5 x 4 = 20 cara 3! BAB III FUGSI 1. Pada Bab Ini Di Jelaskan : A. Pengertian Konstanta, Variabel, dan fungsi B. Fungsi Aljabar C. Fungsi Eksponensial D. Fungsi Logaritma E. Perpotongan Antara dua Buah Fungsi 2. Relevansi A. Konstanta, Variabel, Dan Fungsi Pada bagian ini dibahas tentang apa yang dimaksud dengan konstanta, Variabel, serta keterkaitannya terhadap fungsi. Dengan dasar pemahaman ini akan menjadi landasan bagi mahasiswa dalam menentukan fungsi dalam menyelesaikan persoalan dalam bisnis danekonomi. B. Fungsi Aljabar Pada bagian ini dibahas tentang fungsi aljabar yang terbagi atas beberapa bagian yang meliputi fungsi linear, fungsi kuadrat, fungsi pangkat banyak (pangkat tiga, empat, dan seterusnya), serta fungsi pecah. Dengan dasar pemahaman ini akan menjadi landasan bagi mahasiswa dalam menghitung proporsi, persamaan multi operasional, serta perhitungan pecahan yamg memiliki banyak variabel. 3!

27 C. Fungsi Eksponensial Pada bagian ini dibahas tentang fungsi Eksponensial dimana variabel xnya merupakan bilangan pangkat dari suatu konstanta sesuai hukum - hukum eksponensial. Dengan dasar pemahaman ini akan menjadi landasan Bagi mahasiswa dalam perhitungan bunga majemukdi perbankan kelak. D. Fungsi Logaritma Pada bagian ini dibahas tentang invers atau kebalikan dari pemangkatan (eksponensial) yang digunakan untuk menentukan besar pangkat dari suatu bilangan pokok. Dengan dasar pemahaman ini akan menjadi landasan bagi mahasiswa dalam mencari besar pangkat dari suatu bilangan yang diketahui hasil pangkatnya. E. Perpotongan Antara Dua Belah Fungsi Pada bagian ini dibahas tentang dua buah fungsi yang saling berpotongan. Dengan dasar pemahaman ini akan menjadi landasan bagi mahasiswa dalam menentukan titik potong yang diperoleh dengan mempersamakan kedua fungsi yang berpotongan. A. Pengertian Konstanta, Variabel, Dan Fungsi Dalam pembahasan fungsi, sebenarnya dibahas pula konstanta dua variabel yang terdapat dalam fungsi tersebut. 1. Konstanta Konstanta adalah suatu bilangan yang tetap tidak berubah-ubah. Notasi atau tanda dari konstanta dinyatakan dengan a,b,c dan seterusnya. Jika terdapat fungsi: y = a x b atau y = a x2 + b x + c Maka a, b, c inilah yang disebut konstanta Contoh : y = 2x + 5 Maka, konstanta a = 2 dan b = 5 Besarnya a = 2 dan b = 5 tidak dipengaruhi oleh perubahan x dan y.

28 2. Variabel Variabel adalah suatu besaran yang sifatnya tidak tetap. Tetapi berubahubah dan saling memengaruhi. Notasi atau tanda dari variabel ini biasanya dinyatakan dengan x, y, z, dan seterusnya. Apabila terdapat fungsi: y = 3x + 7 atau z = 2x - 5 Maka, x, y, z, inilah yang disebut variabel. Variabel x, y, dan z ini saling memengaruhi. Pada dasarnya variabel dapat dibedakan menjadi dua, yaitu variabel kualitatif dan variabel kuantitatif. Variabel kualitatif adalah sesuatu yang sifatnya tidak tetap, tetapi berubah-ubah (atau variabel) yang tidak dapat diukur, seperti cita rasa, kese nangan, kepuasan, dan lainnya. Sementara itu, variabel kuantitatif adalah sesuatu yang sifatnya tidak tetap, tetapi berubahubah (atau variabel) yang dapat diukur, seperti dalam kilogram. ton, pasangan, unit, rupiah, hari, jam, dan sebagainya. Misalnya jumlah hasil ternak sapi yang dijual suatu perusahaan peternakan adalah variabel kuantitatif dalam ekor. Sementara itu, banyaknya bahan makanan ternak tersebut adalah variabel kuantitatif dalam kilogram. Variabel kuantitatif dapat dibedakan pula atas dua macam yaitu variabel yang kontinu dan variabel yang deskrit. Variabel kuantitatif kontinu adalah variabel yang dapat diukur sampai dengan bilangan yang sekecil-kecilnya atau pecahan, seperti ukuran satuan volume, satuan berat, satuan panjang, satuan waktu, satuan uang, dan sebagainya. Sementara itu, variabel diskrit adalah variabel kuantitatif yang hanya dapat diukur dengan bilangan bulat dan tidak mungkin dengan bilangan pecahan, seperti ternak sapi atau kambing. Demikian pula dengan orang, kapal,kotak, dan sebagainya. 3. Fungsi Fungsi adalah hubungan antara dua buah variabel atau lebih. Masing - masing dari dua buah variabel atau lebih tersebut saling memengaruhi. Contoh: y= f (x) atau z = f (xy)

29 x, y, dan z yang disebut variabel. Variabel yang terdapat dalam suatu fungsi dapat dibedakan atas variabel bebas (independent variables) dan variabel yang dipengaruhi/tidak bebas (dependent variables) Variabel bebas (independent variables) adalah variabel yang besarannya dapat ditentukan sembarang, misalnya 1, 5; 0; 8 dan seterusnya. Sebaliknya, variabel yang dipengaruhi/tidak bebas (independent variables) adalah variabel yang besarnya dapat di- tentukan setelah nilai variabel bebasnya ditentukan terlebih dulu Contoh: Bila y = 3x + 4 Dalam hal ini x merupakan variabel bebas dan y merupakan variabel yang dipengaruhi/tidak bebasUntuk mengetahui besaran/nilai yterlebih dahulu ditentukan besaran/nilai xDengan demikian, dapat diperoleh besaran/nilai y dari nilai x sembarang, yaitu: bila x = -4 maka y = -8jika x = 0 maka y = 4 serta bila x = 2, maka y = 10demikian seterusnya. Dalam pembahasan mengenai suatu fungsi, terdapat istilah yang disebut "nilai fungsi". Nilai fungsi adalah besaran atau nilai dari yatau fungsi tersebut (nilai dari variabel yang dipengaruhi/tidak bebas). Berdasarkan contoh di atas, y = f (x) adalah y = 3x + 4 bila x = 3 y = f(x) = f(3) = 3(3) + 4 = 13 jika x = 2y = f (x) = f (2) = 3(2) + 4 = 10 Dengan melihat hubungan antara variabel-variabel terdapat dalam suatu fungsi, dapat dibedakan dua jenis fung Jenis fungsi itu adalah fungsi eksplisit dan fungsi implisit. a. Fungsi Eksplisit Fungsi eksplisit adalah suatu fungsi yang antara variab bebas/menentukan dan variabel tidak bebas/dipengaruhi dape dengan jelas dibedakan. Sebagai contoh: y = f(x) adalah y = 2x + 3 Dalam hal ini besaran/nilai y ditentukan oleh besaran/nila sehingga x

30 adalah variabel bebas/menentukan dan variabel adalah variabel yang dipengaruhi/tidak bebasJadijika x = 3 mala y = 2(3) + 3 = 9 dan jika x = 2maka y = 2(2) + 3 = 7 Con di atas merupakan fungsi eksplisit dengan satu variabel bebas (independent). Apabila ditemui dua variabel bebas (independent) seperti contoh berikut: z = f (x, y) adalah z = 2x + y2 + 3 maka, dalam hal ini terlihat bahwa: x dan y adalah variabel bebas/menentukan, dan z adalah variabel yangdipengaruhi/tidak bebas. Jadi, besaran atau nilai z hanya bisa diketahui setelah besaran nilai x dan y ditentukan lebih dahulu secara sembarang. Misalnya bila x = 2 dan y = 3 maka 2 - 2(2) + (3)2 = 16 dan jika - x = 5 dan y = 2 maka x - 2(5) + (2)2 + 3 = 17. b. Fungsi Implisit Fungsi implisit adalah fungsi yang mana variabel takbebas tidak diberikan secara "eksplisit" dalam bentuk variabel lepas sama sekali. Menyatakan sebuah fungsi f secara eksplisit adalah memberikan metode bagi memilihkan nilai keluaran dari sebuah fungsi y dari nilai masukan x: y = f(x). Sebailknya, sebuah fungsi adalah implisit apabila nilai y didapatkan darix dengan memecahkan persamaan dalam bentuk : R(x,y) = 0 Dengan kata lain, sebuah variabel dapat memilihkan variabel lainnya, namun kita tidak diberikan rumus eksplisit bagi sebuah variabel dalam bentuk variabel lainnya. Secara formal, sebuah fungsi f:X→Y disebutkan sebagai fungsi implisit apabila fungsi tersebut memenuhi persamaan: R(x,f(x)) = 0 bagi semua x∈ X, dengan R adalah fungsi pada perkalian Cartesian X × Y. Fungsi implisit sering bermanfaat dalam keadaan yang tidak

31 memudahkan buat memecahkan persamaan dalam bentuk R(x,y) = 0 bagi y yang dijelaskan dalam x. Bahkan bila memungkinkan bagi menyusun ulang persamaan ini bagi mendapat y sebagai fungsi eksplisit f(x), hal ini boleh berlaku tidak diinginkan, karena pernyataan f jauh semakin berlilit dari pernyataan R. Dalam keadaan lain, persamaan R(x,y) = 0 mungkin tidak dapat menyatakan sebuah fungsi sama sekali, dan sebenarnya mengartikan fungsi mempunyai nilai ganda. Bagaimanapun, dalam banyak keadaan, memainkan pekerjaan dengan fungsi implisit sedang dimungkinkan. Beberapa teknik dari kalkulus, seperti turunan, dapatdimainkan dengan relatif gampang memakai fungsi implisit. 4. Koordinat Pembahasan mengenai masalah fungsi matematika tidak terlepas dari pembahasan tentang koordinat. Jika ingin menggambarkan afik atau fungsi, grafik fungsi itu dapat digambarkan. Hal itu apabila titik-titik dalam bidang datar yang menunjukkan letak dari gambaran grafik tersebut telah ditentukan. Titik-titik ini dapat ditentukan dengan dasar suatu ukuran yang digunakan dari titik asal (origin point) sebagai titik tolak pengukuran dan penentuan letak titik dalam gambar grafik suatu fungsi. Titik inilah yang disebut koordinat, yang terdiri dari ukuran absis, yaitu jarak titik dengan sumbu vertikal yang terlihat dari ukuran pada sumbu horizontal dan ukuran ordinat. Ukuran ordinat yaitu jarak titik dengan sumbu horizontal, yang terlihat dari ukuran titik pada sumbu vertikal. B. Fungsi Aljabar Terdapat beberapa jenis fungsi antara lain fungsi aljabar, fungsi exponensial dan fungsi logaritma. Dalam bagian ini akan diuraikan mengenai fungsi aljabar. Sementara itu, fungsi exponensial dan fungsi logaritma akan diuraikan pada bagian berikutnya. Fungsi aljabar terdiri dari fungsi linear, fungsi kuadrat, fungsi pangkat banyak (pangkat tiga, empat, dan seterusnya), dan fungsi pecah.

32 1. Fungsi Linear Fungsi linear atau fungsi garis lurus adalah suatu fungsi yang variabel bebas (independent variabel)-nya paling tinggi berpangkat satu. Grafik fungsilinear ini, apabila digambarkan, merupakan suatu garis lurus. Bentuk umum fungsi linear explicit y = f (x) adalah y = ax + b di mana a dan b adalah konstanta x adalah variabel bebas (independent variable) y adalah variabel tidak bebas/yang dipengaruhi (dependent variable) Contoh : y = 3x + 2 Dengan cara yang sederhana yaitu dengan menggunakan tabel x dan y, ditentukan terlebih dahulu nilai x sebagai variabel bebas. Maka dengan memasukkan nilai x tersebut ke dalam fungsi ini, akan diperoleh besaran nilaivariabel y sebagai variabel yang dipengaruhi/tidak bebas. Titik-titik koordinat tersebut ditempatkan pada suatu bidang datar. Sumbu x sebagai sumbu horizontal dan sumbu y Sebagai sumbu vertikal. X -2 -1 0 1 2 Y -4 -1 2 5 8 Maka, grafik fungsi itu dapat digambarkan dengan menghubungkan titik - titikkoordinat tersebut. Selain penggambaran yang dilakukan dengan menggunakan tabel, penggambaran dapat pula dilakukan dengan menghubungkan dua titik potong fungsi dengan sumbu x dan sumbu y sebagai dua ciri yang penting dari fungsi linear, di samping ciri penting yang lain yaitu koefisien arah (sama dengan nilai a). Dalam hal ini, ciri yang penting tersebut sebagai berikut. a. Titik potong fungsi dengan sumbu y pada x = 0, maka y = 2. Jadi, titiknyaadalah A (0, 2) b. Titik potong fungsi dengan sumbu x pada y = 0, maka x = -2/3. Jadi,titiknya adalah B (-2/3 ; 0) c. Koefisien arah dari fungsi ini yaitu angka perbandingan dari perubahan

33 ydengan perubahan x atau = 3 2. Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi nonlinear (garis tidak lurus) yang variabel bebasnya berpangkat dua. Grafik fungsi kuadrat ini, apabila digambarkan, merupakan garis tidak lurus yang berbentuk parabola. Bentuk umum fungsi kuadrat ini adalah sebagai berikut. a. Dalam bentuk y = f (x) yaitu y = ax²+ bx + c di mana a, b, dan c adalah konstanta. x adalah variabel bebas (independent variable). y adalah variabel tidak bebas/yang dipengaruhi. b. Dalam bentuk x = f (y) yaitu: x = ay²+ by + c. di mana a, b, dan c adalah konstanta. y adalah variabel bebas (independent variable). x adalah variabel tidak bebas/yang dipengaruhi. a. Fungsi Kuadrat yang Berbentuk y = f (x) yaitu y = ax²+ bx + c Fungsi Kuadrat ini dapat digambarkan/dilukiskan pada suatu bidang datar yang berdimensi dua dengan menetapkan sumbu horizontal adalah sumbu x dan sumbu vertikal adalah sumbu y. Grafik fungsinya nanti dapat terlihat membuka ke atas atau ke bawah yang berbentuk parabola. Contoh: Diketahui y = x²-5x +6. Dengan cara yang sederhana, yaitu dengan menggunakan tabel x dan y yang dinamakan "curve tracing process", ditentu kan terlebih dahulu nilai x sebagai variabel bebas. Setelah itu. dengan memasukkan nilai x ke dalam fungsi ini, akan diperoleh besarnya nilai variabel y. Jadi, tabel x dan y adalah sebagai berikut. x -2 -1 0 1 2 1/2 3 4 5 Y 20 12 6 2 -1/4 0 2 6

34 Titik-titik koordinat tersebut ditempatkan pada bidang datar. Sumbu x sebagai sumbu horizontal dan sumbu y sebagai sumbu vertikal. Maka, grafik fungsi itu dapat digambarkan dengan menggunakan titik-titik koordinat tersebut. Gambar grafik fungsi ini merupakan suatu garis tidak lurus yang berbentuk parabola seperti terlihat pada Gambar 3.3. Gambar 3.1. Grafik Fungsi y = x2 - 5x + 6 Penggambaran grafik fungsi di atas, dapat pula dilakukan dengan menggunakan ciri-ciri matematis yang penting dari fungsi itu. Ada beberapa ciri-ciri matematis yang penting dari fungsi kuadrat, yaitu jika y = f(x) adalah y = ax 2 + bx + c ter- dapat ciri-ciri sebagai berikut. 1. Titik potong fungsi dengan sumbu y adalah pada x = 0 maka ay = c. Jadi,titiknya adalah A (0, c) . 2. Titik potong fungsi dengan sumbu x adalah pada y = 0 menjadi 0 = ax 2 +bx + c maka ada tiga kemungkinan yang terjadi. a. Bila diskriminan (D) yaitu b 2 . 4ac, adalah lebih besar dari nol (jadi b 2 - 4ac > 0 ) maka terdapat dua buah titik potong, yaitu (1) x1 = + Jadi titiknya B1 (2) x2 = - Jadi titiknya

35 B2 b. Bila diskriminan (D) yaitu b 2 - 4ac adalah sama dengan nol (jadi b 2 -4ac = 0), maka hanya terdapat satu buah titik potong, yaitu : x1 = x2 = . jadi titiknya B ( c. Bila diskriminan (D) yaitu b 2 - 4ac adalah lebih kecil dari nol ( jadi b 2 - 4ac < 0), maka tidak terdapat titik potong fungsi kuadrat ini dengansumbu x. 3. Titik puncak yaitu titik dimana arah dari grafik fungsi kuadrat (parabola)Kembali ke arah semula. Titik puncaknya adalah. P 4. Sumbu simetris adalah sumbu yang membagi/membelah grafik fungsi kuadrat tersebut menjadi dua bagian yang sama besar. Garis sumbu simetris ini bergerak melalui titik puncak. Persamaan sumbu simetris iniadalah: X = Berdasarkan contoh di atas, maka dapat digambarkan garafik fungsi kuadrat tersebut dengan mencari ciri-ciri matematis yang penting dari fungsi kuadrat itu. Adapun ciri-ciri matematis yang penting dari fungsi: y = x 2 – 5x + 6 adalah. a. Titik potong fungsi dengan sumbu y adalah pada x = 0, maka y = 6 Jadi,titiknya adalah (0, 6). b. Titik potong fungsi dengan sumbu x adalah y = 0. Karena D = b2 – 4ac =25 – 4 (6) = 1 > 0, terdapat dua buah titik potong, yaitu: (1) X1 Jadi, titiknya B1 (3, 0) (2) X2 = Jadi, titiknya, B2 (2,0)

36 c. Titik puncaknya adalah: P d. Sumbu simetrisnya adalah x = b. Fungsi Kuadrat yang berbentuk x = f (y) yaitu x = Ay2 + By + C Fungsi kuadrat ini dapat digambarkan/dilukiskan pada suatu bidang datar yang berdimensi dua dengan menetapkan sumbu horizontal adalah sumbu x dan sumbu vertikal adalah sumbu y. Grafik fungsinya nanti dapat terlihat membuka ke samping kanan atau ke samping kiri yang berbentuk parabola. Ada beberapa ciri-ciri matematis yang penting dari fungsi kuadrat ini, yaitu: Bila x = f (y) adalah x = Ay2 +By + C, maka cirinya sebagai berikut. 1. Titik potong fungsi dengan sumbu x adalah pada y = 0, maka x = c. Jadi titiknya adalah M (C,0) 2. Titik potong fungsi dengan sumbu y adalah pada x = 0, menjadi: 0 = Ay2 + By + C. Maka, ada tiga kemungkinan yang terjadi, sebagai berikut. a. Jika diskriminan (B) yaitu B 2 – 4 AC > 0 (D > 0) terdapat dua titikpotong yaitu: (1) y1 = Jadi, titik N1 (2) y2 = Jadi, titiknya N2 b. Jika diskriminan (D) yaitu B 2 – 4 AC sama dengan nol (=0), hanyaterdapat satu buah titik potong yaitu: x1 = x2 = ; jadi, titiknya N (0, ) c. Jika diskriman (D) yaitu B 2 – 4 AC lebih kecil dari nol (D < 0), tidakterdapat titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu y.

37 3. Titik puncak yaitu P 4. Sumbu simetrisnya adalah: y = 3. Fungsi Pecah Fungsi Pecah adalah suatu fungsi nonlinear (garis tidak lurus) yang variable bebasnya merupakan penyebut. Grafik fungsi kuadrat ini, apabila digambarkan, merupakan garis tidak lurus yang berbentuk hiperbola. Bentuk umum fungsi pecah dalam bentuk y = f (x): y = di mana: a,b,c dan d adalah konstanta x adalah variabel bebas (independent variable) y adalah variabel tidak bebas (dependent variable) Untuk penggambaran grafik Fungsi Pecah seperti ini perlu diketahui ciriciri matematis yang penting dari Fungsi Pecah. Setelah mengetahui ciri- ciri matematisnya, penggambarannya membutuhkan bantuan tabel x dan y yang disebut curve tracing process. Ada beberapa ciri matematis yang penting dari fungsi pecah dalam bentuk di atas. Berikut ini ciri matematisfungsi pecah a. Titik potong fungsi pecah dengan sumbu y adalah pada x = 0, maka y = b. Titik potong fungsi pecah dengan sumbu x pada Y = 0, maka 0 = Ax + b = 0 → ∴ x = Jadi, titik potongnya Q c. Ciri yang penting dalam fungsi pecah adalah asimtot. Asimtot suatu garis lengkung adalah garis yang tidak dilalui/dipotong oleh garis lengkung tersebut, tetapi didekati sampai pada titik tidak terhingga untuk x dan y. Dalam hal fungsi pecah seperti ini, dikenal adanya asimtot datar dan asimtot tegak. Asimtot datar adalah suatu garis lurus yang sejajar atau

38 berimpit dengan sumbu x, yang tidak akan dipotong, Akan tetapi, asimtot ini didekati oleh fungsi pecah sampai pada titik dimana nilai x adalah ~ Jadi, persamaan garis asimtot datar adalah bila x = ~ , maka y = y = Semua bilangan dibagi dengan ~ yaitu atau = 0 Sehingga : y = → ∴ y = d. Asimtot tegak adalah suatu garis lurus yang sejajar atau berimpitdengan sumbu y yang tidak akan dipotong. Akan tetapi, asimtot ini didekati oleh fungsi pecah sampai pada titik nilai y adalah titik terhingga (~) positif atau negatif. Jadi, persamaan garis asimtot tegak adalah bila y = ~, maka y = → ~ cx + d = → cx + d = 0 cx = - d ∴ x = Sehingga persamaan garis asimtot tegak adalah x = - C. Fungsi Eksponensial Fungsi eksponensial adalah fungsi yang variabel x-nya me- rupakan bilangan pangkat dari suatu konstanta. Sebagai contoh adalah fungsi: y = a x di mana x dan y merupakan variabel dan a merupakan konstanta. Dalam hal fungsi eksponensial ini, perlu diperhatikan hukum-hukum eksponensial yang penting, yaitu: 1. a 0 = 1 2. a -k = 3. a 1/q = 4. a m a n = a m+n 5. = a m – n 6. (am ) k = a mk Dengan cara sederhana yang menggunakan tabel x dan y, maka

39 penggambaran grafik fungsi atau kurva v = ax tidak sulit, terutama untuk menyusun atau menentukan titik-titiknya Jika a > 1 kurva akan melalui titik (0,1) dan akan bertambah secara teratur Selain itu, jika x → - ~ : maka y = → 0 Contoh: Gambarkanlah grafik- grafik: y = 2 x dan y = ( ) x dalam satu grafik.Dari y = 2 x akan diperoleh tabel x, y, sebagai berikut. x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y 1/8 ¼ 1/2 1 2 4 8 16 32 Sementara itu, dari y = ( ) x akan diperoleh tabel x y seperi berikut. x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y 8/27 4/9 2/3 1 3/2 9/4 27/8 81/16 243/32 Grafiknya adalah seperti pada gambar 3.4. Gambar 3.2. Grafik Fungsi y = 2x dan y = () x D. Fungsi Logaritma Fungsi logaritma adalah suatu fungsi nonlinear (garis tidak lurus). Dalam hal ini variabel bebas (independent variable) nya dalam bentuk logaritma, seperti y = a log x atau log y = a + b log x. Perlu diperhatikan hukum-hukum atau rumus-rumus logaritma. Berikut ini hukum-hukum atau rumus-rumus logaritma. 1. log a b = log a + log b 2. log = log a – log b 3. a log b = 4. a log b = c maka a c = b

40 5. a log a = 1 6. a log x n = n log x 7. a log 1 = 0 8. a log b = b Dengan cara sederhana dengan menggunakan tabel x dan y, dapat digambarkan grafik fungsi logaritma. Logarima terdiri dari 2 jenis, yaitu: a. Logaritma biasa yang mempunyai basis atau bilangan pokok a dan dilambangkan log. b. Logaritma alam yang mempunyai basis atau bilangan pokok e dan dilambangkan In. Contoh: Gambarkanlah grafik y = 5 log x Fungsi ini dapat digambarkan dengan menggunakan tabel x dan ysebagai berikut. X 1 2 3 4 5 6 10 Y 0 1,51 2,39 3,01 3,49 3,89 5 - E. Perpotongan antara Dua Buah Fungsi Dua buah fungsi dikatakan berpotongan apabila kedua buah fungsi tersebut mempunyai sebuah titik persekutuan yang disebut titik potong. Titik potong antara kedua buah fungsi di- peroleh dengan mempersamakan kedua buah fungsi itu. Contoh: Carilah titik potong fungsi-fungsi y = 10 - 2x dan y = x + 2 Titik potong antara kedua buah fungsi ini dapat diperoleh dengan mempersamakan kedua buah fungsi tersebut, yaitu: y = 10 – 2x ∴ 10 – 2x = x + 2 y = x + 2 3x = 8 → ∴ x = 2 dan y = 4 Jadi titik potong fungsi y = 10 - 2x dan y = x + 2 adalah titik . Grafik fungsi y = 10 - 2x dan y = x + 2 serta titik potongnya

41 dapat dilihat pada Gambar 3.3 Gambar 3.3. Grafik Fungsi y = 10 – 2x dan y = x + 2 RANGKUMAN Fungsi dalam ilmu matematika merupakan suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (domain) dengansuatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (codomain). Fungsi dalam Matematika ekonomi digunakan dalam berbagai ilmu lain seperti, ekonomi mikro, ekonomi makro, metode kuantitatif, ekonomi keuangan, serta ilmu-ilmu lain yang membutuhkan alat analisis dalam pendekatannya. LATIHAN SOAL 1. Jika f(x) = 3x dan g(x) = x 2 + 5. Maka g(x) – f(x) = … a. x 2 + 8 b. x 2 + 2x c. x 2 – 2x d. - x 2 + 8 e. - x 2 – 2x Penyelesaian: g(x) – f(x) = x 2 + 5x – 3x g(x) – f(x) = x2 + 2x Jadi jawabannya B.

42 2. Jika f(x) = x 2 – 4x + 4 dan g(x) = x – 2, Maka f(x) . g(x) = … a. (x – 2)2 b. (x – 2)3 c. (x – 2)4 d. x 3 – 4x2 + 4x – 8 e. x 3 – 6x2 + 6x – 8 Penyelesaian: f(x) . g(x) = (x2 – 4x + 4) . (x – 2) f(x) . g(x) = (x – 2)2 .(x – 2)2 = (x – 2)3 jadi jawabannya B. 3. Tentukanlah penyelesaian dari fungsi eksponen 3x2 – 4x + 1 = 1/81 Penyelesaian: 3 x2 – 4x + 1 = 1/81 3 x2 – 4x + 1 = 1/34 3x2 – 4x + 1 = 3-4x 2 – 4x + 1 = -4 x 2 – 4x + 3 = 0 (x – 3) (x – 1) = 0 4. log 2 = 0,301 dan log 5 = 0,699 Nilai log 5 + log 8 + log 25 = …. log 2 = 0,301 dan log 5 = 0,699 Penyelesaian: = log 5 + log 8 + log 25 = log 5 + log 2 3 + log 5 2 = log 5 + 3.log 2 + 2.log 5 = 0,699 + 3(0,301) + 2(0,699) = 0,699 + 0,903 + 1,398 = 3,0 5. Pada awal tahun, Adam menabung uang di bank sebesar Rp1.000.000,00. Ia

43 menyimpan uang tersebut selama 48 bulan. Jika bank memberi suku bunga majemuk 10% setahun, tentukan: a. Model persamaannya b. Jumlah uang Adam pada akhir tahun keempat. Pembahasan: Diketahui : M = Rp1.000.000,00 i = 10% = 0,1 n = 4 Tahun Ditanyakan : a. Model persamaannya b. Jumlah uang Adam pada akhir tahun keempat Penyelesaian: Model persamaannya a. Mn =M(1+i)" Mn=1.000.000(1+0,1)4 b. Jumlah uang Adam pada akhir tahun keempat. Mn=1.000.000(1,1)4 Mn=1.000.000(1,4641) Mn=1.464.100 Jadi, jumlah uang Adam pada akhir tahun keempat adalan Rp1.464.100.00 BAB IV APLIKASI FUNGSI DALAM EKONOMI Fungsi dalam ekonomi merujuk pada peran atau peranan yang berbeda dalam sistem ekonomi untuk mencapai tujuan tertentu. Dalam ekonomi, fungsifungsi utama yang umumnya dikenal meliputi: 1. Fungsi Produksi: Fungsi ini berkaitan dengan proses menghasilkan barang danjasa. Hal ini mencakup bagaimana sumber daya seperti tenaga kerja, modal, danteknologi digunakan untuk menghasilkan barang dan jasa yang dibutuhkan oleh masyarakat. Fungsi produksi ini mempelajari hubungan antara input