144 Bila dilihat dalam grafik terlihat pada grafik (2), maka terlihat Curvenya bergerak dari kiri atas ke kanan bawah. Gambar 10.1 A Gambar 10.2 B Dari uraian tersebut dapatlah ditarik kesimpulan bahwa pada umumnya angka elastisitas permintaan mempunyai nilai negatif dan angka elastisitas penawaran mempunyai nilai positif. Angka perubahan x sedemikian kecil mendekati limitnya maka kita nyatakan sebagai dx; dan perubahan ini menimbulkan adanya perubahan harga yang dinyatakan sebagai dp. Maka besarnya angka elastisitas permintaan atau penawaran dapat diperoleh dengan formula = ∆ = ∆ = ∆ . ∆ = . ∆ ∆ Bila ∆ → 0 = lim∆→0 . ∆ ∆ = . Contoh 3: Fungsi permintaan suatu barang tertentu adalah p = 12-2x dimana p adalah variable harga dan x adalah variable jumlah/kuantitas. Carilah besarnya elastisitas permintaan barang pada harga 6. Pembahasan : P = 12 – 2x = −2; = − 1 2 Bila p = 6 maka p = 3 Besarnya elastisitas permintaaan barang adalah: = . = 6 3 . (− 1 2 )
145 = -1 Pada contoh-contoh di atas adalah elastisitas harga terhadap permintaan dan penawaran Di samping elastisitas harga dikenal pula elastisitas pendapatan (income elasticity) terhadap permintaan. Bila y adalah pendapatan masyarakat dan x adalah kuantitas barang yang diminta, maka elastisitas pendapatan terhadap permintaan adalah perbandingan antara perubahan relative dari jumlah barang yang diminta dengan perubahan relative dari pendapatan Jadi elastisitas pendapatan : ∆ = ∆ = ∆ ∆ Bila Δx →0 maka didapat : y= . Contoh 4: Pendapatan masyarakat di suatu daerah pada suatu waktu sebesar Rp 200 juta, dan jumlah barang A yang diminta sebesar 100 ribu unit. Pada saat berikutnya pendapatan masyarakat itu meningkat menjadi Rp 250 juta dengan jumlah barang A yang diminta sebesar 120 ribu unit. Maka besarnya elastisitas pendapatan terhadap permintaan barang adalah : ∆ : ∆ = 20.000 100.000 : 50.000.000 200.000.000 = 20.000 100.000 . 50.000.000 200.000.000 = 2 10 . 20 5 = 40 50 = 4 5 B. Elastisitas Parsiil Pada kenyataannya jumlah barang yang diminta tidak hanya dipengaruhi oleh tingkat harga barang tersebut, tetapi juga dipengaruhi oleh harga barang lainnya seperti harga barang substitusinya. Maka dalam hal ini perlu diperhatikan elastisitas parsiilnya. Adapun yang dimaksud elastisitas parsiil dalam hal ini adalah angka perbandingan antara perbandingan relatif jumlah yang diminta akan suatu
146 barang tertentu dengan perubahan relatif harga barang tersebut, sedangkan harga barang lainnya tetap. Bila dinyatakan dalam pola hubungan fungsional adalah : = (, ) : jumlah/ kuantitas yang diminta akan barang A : harga barang A : harga barang B Sedangkan kita hanya mempunyai harga dari dua barang untuk sejumlahbarang n. Jadi elastisitas parsiil dari barang A dengan menekankan pada dirumuskan : = − ∂ ∂ . Sedangkan elastisitas parsiil dari barang A dengan menekankan pada dirumuska = − ∂ ∂ . Contoh : Diketahui hubungan fungsional sebagai berikut : xa = 50 - 5 - 4 Maka elastisitas dengan penekanan adalah : = − ∂ ∂ . ∂ ∂ = −5 = −(−5). 50−5−4 Harga barang A()=5 maka diperoleh: = 5. 5 50−25−20 = 5 C. Curva Biaya Dalam pembahasan ekonomi, teknik-teknik matematika/kalkulus dipergunakan pula dalam analisis biaya. Adapun yang dimaksud dengan biaya adalah: pengorbanan atau pengeluaran yang tidak dapat dihindarkan untuk menghasilkan/memproduksi suatu barang atau memasarkannya.
147 Apabila kita menghasilkan dan atau memasarkan sejumlah barang/ jasa tertentu, maka kita mengeluarkan/mengorbankan sejumlah biaya yang disebut biaya total. Jadi yang dimaksud biaya total adalah: sejumlah biaya yang dibutuhkan untuk menghasilkan dan atau memasarkan sejumlah barang atau jasa. Jika x merupakan jumlah barang yang dihasilkan atau dipasarkan, dan Q merupakan biaya total, maka pola hubungan fungsional antara variabel biaya total dan jumlah barang adalah: Q f (x). Jadi dalam hal ini besar kecilnya biaya total ditentukan oleh besar kecilnya jumlah barang yang dihasilkan. Sehingga dengan diketahuinya biaya total untuk menghasilkan sejumlah barang tertentu (x), maka dapat diperhitungkan besarnya biaya rata-rata. Adapun yang dimaksud dengan biaya rata-rata adalah: biaya per unit yang dibutuhkan untuk menghasilkan suatu barang pada tingkat produksi tertentu. Besarnya biaya ratarata ini kemungkinan berbada-beda besarnya pada berbagai tingkat produksi. Tingkat produksi yang mempunyai biaya rata-rata terendah disebut tingkat produksi optimal. Dan juga besarnya biaya rata-rata dapat diperoleh dari hasil bagi biaya total dengan jumlah barang yang dihasilkan. Bila adalah biaya rata-rata, maka: = Di samping biaya rata-rata, maka dengan mengetahui biaya total pada berbagai tingkat produksi dapat pula diketahui besarnya biaya marginal. Yang dimaksud biaya marginal adalah besarnya pertambahan biaya total yang dibutuhkan akibat pertambahan hasil produksi satu unit pada suatu tingkat produksi tertentu. Besarnya biaya marginal kemungkinan berbeda-beda pada berbagai tingkat produksi, tergantung dari bentuk fungsi atau Curve biayatotalnya. Jadi besarnya biaya marginal dapat diperoleh dari hasil bagi pertambahan biaya total dengan pertambahan jumlah barang yang diproduksi. Bila Q' adalah biaya marginal, dan Q merupakan pertambahan biaya total serta x merupakanpertambahan jumlah barang yang diproduksi, maka
148 ′ = ∆ ∆ atau bila limit ∆ → 0 maka ′ = ∆ ∆ = ∆() Jadi biaya marginal merupakan derivative dari fungsi biaya total. Di dalam pembahasan biaya total dan biaya rata-rata perlu diperhatikan bahwa variabel biaya total, biaya rata-rata, dan variabel jumlah tidak mungkin negatif. Jadi harus lebih besar atau sama dengan nol. Sehingga : Q ≥0; q 0 dan x 0 Pola hubungan variabel biaya total dengan variabel jumlah hasil produksi dapat berbentuk garis lurus yaitu fungsi linier, dan dapat berbentuk garis tidak lurus yaitu fungsi non linier, antara lain fungsi kuadrat dan fungsi pangkat tiga. 1. Fungsi dan Curve Biaya Total Garis Lurus. Pada suatu Curve biaya total garis lurus, fungsi biaya totalnya merupakan fungsi linier. Bentuk umum dari fungsi biaya total linier ini adalah : Q = a + b Dimana : Q = variabel biaya total X = variabel jumlah hasil produksi a & b = haruslah positi Dari fungsi biaya total linier di atas, maka diperoleh biaya rata-ratanya yaitu: = + dan biaya marginalnya adalah Q' = b. Dari uraian di atas, apabila biaya total, biaya rata-rata dan biayamarginal digambar grafiknya maka akan berbentuk
149 Q,q,Q1 Q q Q1 X Gambar 10.3 Dari gambar di atas bahwa grafik fungsi atau curve biaya total adalah garis lurus, dimulai dari titik (0,b), sedangkan biaya rata-rata hiperbola dengan asimtot datarnya adalah q a . Curve biaya rata-rata tersebut terus menurun dengan bertambahnya x. Contoh: Bila diketahui fungsi biaya total suatu barang adalah Q =2x+3 dimana Q merupakan variabel biaya total, dan x merupakan variabel kuantitas. Carilah fungsi biaya rata-rata dan biaya marginalnya serta gambar grafik fungsi atau curve-nya. Penyelesaian : Q = 2x+3 = 2 + 3 dan ′ = 2 Gambar grafik fungsi biaya total (Q), biaya rata-rata (q) dan biaya marginal (Q’)adalah : Dari gambar di atas terlihat bahwa biaya rata-rata terendah apabila mencapai tidak terhingga (asimtot datar) 2. Fungsi dan curve biaya total garis tidak lurus (Non Linier) Pada suatu curve biaya total garis tidak lurus (non linier) yang berbentuk parabola, fungsi biaya totalnya merupakan fungsi kuadrat, danberbentuk: Q = ax2 + bx + cDimana: Q = Variabel biaya total X = Variabel kuantitasa, b, c = konstanta
150 Dari fungsi biaya total kuadrat di atas, maka diperoleh biaya rata-ratanya, yaitu: = 2 + + dan biaya marginnya Q’= 2ax + b Gambar grafik biaya total, biaya rata-rata dan biaya marginal adalah : X Gambar 10.4 Dari gambar di atas terlihat bahwa grafik fungsi biaya rata-rataberbentuk hiperbola dan biaya marginalnya berbentuk garis lurus. Contoh: Jika diketahui fungsi biaya total dari suatu barang tertentu adalah = 1 4 2 − 1 2 + 9 4 Carilah fungsi biaya rata-rata dan biaya marginalnya serta gambarkangrafiknya. Penyelesaian : = 1 4 2 − 1 2 + 9 4 = 1 4 − 1 2 + 9 4 ′ = 1 2 − 1 2 Gambar grafik fungsi biaya total (Q), biaya rata-rata (q) dan biaya marginal (Q’)adalah : Dari gambar di atas terlihat bahwa biaya total minimum diperoleh bila (Q’) = 0dan Q’’> 0. Jadi = 1 4 2 − 1 2 + 9 4 = 1 4 (2 − 2 + 9) ′ = 1 2 − 1 2 = 1 2 ( − 1) 3 2 1 Q1 q 1 2
151 ′′ = 1 2 Oleh karena itu titik pada x = 1 & Q = 2 adalah tituk minimum. 3. Fungsi dan Curve Biaya Total Pangkat Tiga Bentuk umum fungsi biaya total pangkat tiga adalah Q = ax2 + bc2 + cx + d Dimana : Q = Variabel biaya total X = Variable kuantitas A,b,c,d= Konstanta Dari fungsi biaya total tersebut, diperoleh biaya rata-ratanya yaitu: = 2 + + + berbentuk fungsi pecah dan biaya marginalnya: Q’ = 3ax2 + 2bx + c . Contoh : Bila diketahui fungsi biaya total dari suatu barang tertentu adalah Q’ = x 3 – 3x + 15x + 27. Dimana Q merupakan variabel biaya total dan xmerupakan variabel kuantitas. Carilah fungsi biaya rata-rata dan biaya marginalnya, sertagambarkan grafik fungsi atau curve-nya Jawab: Q’ = x 3 – 3x + 15x + 27 q = x 2 + 15 + 27 Q’ = 3x2 – 6x + 15 Untuk menggambarkan grafik fungsi atau curve biaya total (Q), biaya rata - rata dan biaya marginalnya, sertagambarkan grafik fungsi atau curve-nya Jawab: Q’ = x 3 – 3x + 15x + 27 q = x 2 + 15 + 27 Q’ = 3x2 – 6x + 15 Untuk menggambarkan grafik fungsi atau curve biaya total (Q), biaya ratarata (q) , dan biaya marginal (Q’) diperlukan tabel
152 X Q Q Q’ Q1 0 27 ∞ 25 28 1 40 40 12 40 2 53 26,5 15 52 3 72 24 24 64 4 103 25,75 39 76 5 152 30,4 60 88 6 225 37,5 87 100 Gambar 10.5 Grafik: q X Gambar 10.6 Untuk menggambarkan grafik fungsi atau Curve biaya total, biaya rata-rata dan biaya marginaldigunakan bantuan tabel berikut: X Q Q Q’ 0 1 ∞ 0,2 1 1,22 1,22 5 2,7 0,54 0,54 10 7,4 0,74 1,5 Gambar 10.7 D. Hasil Penerimaan Penjualan (Revenue) Untuk memperhatikan keuntungan (laba) yang diperoleh suatu perusahaan, kita perlu menghitung besarnya hasil penerimaan penjualan dari produk yang diproduksi. Dalam hal ini kita perlu melihat hasil penerimaan penjualan total, hasil penerimaan rata-rata dan hasil penjualan marginal. 5 Q1 5 10
153 Adapun yang dimaksud hasil penerimaan penjualan total adalah: besarnya hasil penerimaan total yang diterima oleh perusahaan/produsen dari penjualan sejumlah produk yang diproduksinya. Besarnya hasil penerimaan total ini merupakan hasil perkalian antara kuantitas produk dengan harga yang terjadi karena adanya permintaan (demand). Bila x merupakan jumlah/kuantitas dari produk dan P merupakan harga permintaan (demand) sedangkan R merupakan hasil penerimaan dari penjualan produk dalam jumlah tersebut, maka bentuk fungsihasil penerimaan total adalah: R = x.p = x.f (x) = R(x) Contoh : Bila fungsi permintaan suatu barang adalah = 8 − 1 2 , dimana adalah harga permintaan dari barang tersebut dan x adalah jumlah/kuantitas barang itu. Penyelesaian: Dari fungsi permintaan ini dapatlah diperoleh fungsi total penerimaan penjualan yaitu: R = x.P = () = (8 − 1 2 ) = 8 − 1 2 2 X 0 2 4 6 8 10 14 16 P 8 7 6 5 4 3 1 0 R 0 14 24 30 32 30 14 0 Gambar 10.8 Grafik : X Gambar 10.9 R MR
154 Dari grafik terlihat bahwa curve penerimaan penjualan total bergerak dari titik nol pada s meningkat sampai pada titik tertinggi pada maksimum sehingga Curve-nya berbentuk parabola. Dengan diketahuinya hasil penerimaan total dari penjualan sejumlah barang tertentu (x) , maka dapat diperhitungkan besarnya hasil penerimaan rata-rata. Adapun yang dimaksud dengan hasil penerimaan rata-rata adalah hasil penerimaan per unit yang diperoleh dari penjualan suatu barang/jasa pada jumlah/kuantitas tertentu. Fungsi penerimaan rata-rata diperoleh dari penerimaan total dibagi jumlah/kuantitas yang dijual. (x) yaitu : = = . = AR = Average renenue P = harga permintaan dari barang tersebut Sebagai contohnya, pada contoh di depan ada/terdapat = 8 − 1 2 2 Jadi, permintaan rata-rata () = 8 − 1 2 2 = = = () fungsi permintaan. Di samping hasil penerimaan rata-rata perlu pula diketahui hasil penerimaan marginal (marginal revenue). Yang dimaksud dengan hasil penerimaan marginal adalah besarnya pertambahan hasil penerimaan yang diperoleh akibat pertambahan penjualan suatubarang/jasa satu unit pada suatu tingkat jumlah/kuantitas tertentu. Besarnya hasil penerimaan marginal kemungkinan berbeda-beda pada berbagai tingkat kuantitas, tergantung bentuk fungsi atau Curve hasil penerimaan total, dengan pertambahan jumlah/kuantitas yang dijual, maka: ′ = ∆ ∆ 2 atau bila ∆ → 0maka : ′ = Jadi hasil penerimaan marginal merupakan derivatif dari fungsi hasil penerimaan total. Dari contoh, dapat dicari penerimaan marginalnya, yaitu : ′ = = (8− 1 2 2) = 8 −
155 B AC X0 X1 Di dalam pembahasan hasil penerimaan total dan hasil penerimaan ratarata perlu diperhatikan bahwa variabel hasil penerimaan total (R), AR dan x tidak mungkin negatif, jadi : R ≥ 0 ; AR ≥ 0 ; x ≥ 0 . E. Keseimbangan dari Suatu Perusahaan dalam Pasar Persaingan Murni Dalam hal ini akan diuraikan bagaimana suatu perusahaan akan mendapatkan laba maksimal dalam pasar persaingan murni. Dalam suatu pasar persaingan murni, curve permintaan adalah mendatar. Secara grafik, fungsi permintaan, fungsi biaya rata-rata dan fungsi biaya marginal dapat digambarkan sebagai berikut: P P=AR=MR MC Gambar 10.10 Bila : P = harga X = kuantitas hasil/output. Maka p adalah tetap/tertentu (sebesar konstanta) pada pasar persiangan murni. Dengan demikianmaka diperoleh R = p.x atau R = c.x . Fungsi penerimaann marginal adalah ′ = = ′ = = + karena p tetap, maka ′ = = atau ′ = = sehingga dalam gambar terihat curv permintaan berimit dengan curve penerimaan marginal dan penerimaan marginal dan penerimaan rata-rata atau R’ = p = AR. Bila Q adalah biaya total, maka besarnya laba = R.Q dimana R = f (x) dan Q = y (x). Laba maksimum diperoleh bila ′ = = 0 ′′ = 2 2 = 0 Maka didapat : ′ = = − = ′ ′ = 0
156 Gambar 10.11 Berarti : MR – MC = 0 → MR = MC atau R’ = Q’ Kemudian : ’ < 0 2 2 = 2 2 = 2 = " − " < 0 → " < " 2 Hal ini berarti tingkat pertambahan dari penerimaan marginal (MR) harus lebih kecil dari tingkat pertambahan dari biaya marginal (MC) bila terdapat pertambahan dalam x. F. Laba Maksimal pada Monopoli Berdasarkan hukum permintaan, harga yang harus dibayar konsumen tergantung pada jumlah barang yang dimintanya, dan dianggap fungsi permintaan: p = f (x) diketahui. Seorang monopolis dapat mengendalikan harga dengan mempengaruhi besarnya penawaran dari barang tersebut, sehingga penawaran dibatasi dan harga relatif tinggi, serta bila penawaran bertambah harga akan turun. Jika si monopolis mengetahui biaya rata-rata (q) dari produksi sejumlah barang merupakan fungsi dari jumlah yang diproduksi, maka fungsi biaya total Q = Q(x) = qx. Dengan asumsi yang lainnya tetap, maka si monopolis akan mengendalikan penawaran x dan akibatnya p ditentukan dengan mengetahui fungsi permintaan dalam usaha memaksimalkan labanya. Curve permintaan, MRdan MCdapat digambarkan.
157 Penerimaan yang diterima adalah R = px dimana p = f (x) , dan laba total adalah selisih dari penerimaan total dengan biaya total = R’ – Q’= px – qx. Untuk memperoleh laba maksimumdibutuuhkan persyaratan: ′ = R’- Q’ = 0 atau R’ = Q’ Ini sesuai dengan pengetahuan teori ekonomi dasar yang menyatakan bahwa : laba maksimum yang dapat diperoleh si produsen bila MR = MC. Sehingga terjadi harga yang terjadi p dengan jumlah hasil produksi x1. Juga diperhatikan persyaratan : "= 0 atau " < 0. Contoh : Misalnya fungsi permintaan suatu barang x = 400 – 20p dan biaya rata – rata = 5 + 50 → = 5 + 2 50 , tentukan laba maksimum! Penyelesaian: = R – Q Persyaratan yang harus dipenuhu : π”= 0, π” < 0 = = − = ′ − ′ = 0 → = ′ Dari biaya total, diperoleh : ′ = = 5 + 25 dan ′ = → = . = 400 − 20 20 = 400 − = 20 − 20 = = 20 − 2 20 = ′ = 20 − 10 Pahal R’- Q’ maka : 5 + 25 = 20 − 10 25 + 10 = 15 7 50 = 15 7 = 750
158 = 750 7 = 107 = 20 − 107 20 = 9,3 Dan besarnya laba maksimum : = − (5 + 2 20) + (20 − 2 20) = 23,2 Cek : ” = 2 2 = − 1 10 " = 2 2 = 1 25 = 2 2 = -Q = − 1 10 − 1 25 < 0 (memenuhi) Jadi, " < 0 G. Perpajakan 1. Pengaruh Perpajakn pada Monpoli Adanya pajak sebesar t per unit yang dikenakan terhadap barang yang diproduksi oleh seorang monopoli akan menimbulkan meningkatnya biaya rata-rata sebesar t dan meningkatnyabiaya total sebesar tx. Harga dan jumlah keseimbangan yang dicapai yaitu dengan memaksimalkan laba dan dengan menggunakan fungsi biaya : 1 = + , jadi = − 1 = − − = ( − − ) Memaksimalkan laba syaratnya : ′ = 0 & " < 0 Jika pajak yang dikenakan merupakan pajak penjualan yang pada harga, yang ditetapkan kepada konsumen yaitu: t = rp; r dalam persentase. Maka persamaan laba dapatdinyatakan : Misalnya: P : harga sebelum pajak P1 : harga sesudah pajak, sehingga p1 = p(1 + r). Jadi = R – Q = px – Q = 1 1+ – Q dimana p1 dan Q adaalah fungsi dari x .
159 Contoh: Bila fungsi permintaan adalah p = 10 – 3x , biaya rata-ratanya q = 3 dan terhadap barang ini dikenakan pajak sebesar satu per unit pada simonopolis. Tentukan banyaknya barang dan harganya yang dapat menghasilkan laba maksimum. Penyelesain : P = 10 – 3x ; q = 3 + 1 = 4 R = px= 10x – 3x2 Q1 = 4x R’= px – 6x dan Q ’ 1= 4 R”= - 6 = 10x – 3x2 – 4x = 6x – 3x2 ’= 6 – 6x ”= -6 Syarat laba maksimum : ’ = 0 6 – 6xx = 0 →x = 1 X = 1 → p = 10 – 3 = 7 = 6 – 3 = 3 Jadi banyaknya barang adalah 1 dan harga barang yang menghasilkan laba maksimum adalah 7 2. Penerimaan Maksimum Dari Pajak Jika pajak tambahan dikenakan terhadap suatu barang yang dipasarkan, maka penerimaan total dari pajak T yang diterima Pemerintah adalah T = tx1 Dimana : x1 = jumlah keseimbangan baru setelaha pajak t = bayar per unit Nilai t dan x1 dihubungkan melalui fungsi permintan dan penawaran D = p1 = f (x) dan S : s1 = F (X) + 1 pajak tidak ada dan bila pajak t sangat besar sehingga menimbulkan jumlah yang diminta nol, maka penerimaan dari pajaknyajuga tidak ada.
160 Sehingga dengan demikian kita dapat menentukan besarnya nilai T maksimum. Seandainya T merupakan fungsi dari t saja, maka maksimumnya dicapai dengan melihat penerimaan marginal dari pajak dengan pemakaian pada t saja atau x saja. Bila t merupakan hubungan linier dengan x, maka T fungsi dari x. Contoh: Bila diketahui permintaan suatu barang adalah: p = 12 – 2x dan fungsi penawaran barang p = 3 + 2x . Terhadap barang ini dikenakan pajak tambahan sebesar t. Berapa besarnya pajak t tersebut agar hasil penerimaan total dari pajak bagi pemerintah menjadi maksimal. Penyelesain: D : p = 12 – 2x S1 : p = 3 + x + t Titik keseimbangan pasar dicapai bila : 12 – 2x = 3 + x + t 9 – t = 3x = 9 − 3 = 3 − 1 3 hasil penerimaan dari pajak ini adalah : = . = 3 − 1 3 2 = 3 − 2 3 dan 2 2 = 2 3 < 0 Hasil penerimaan pajak yang maksimum dicapai untuk t = 4,5; x= 1,5; p= 9 dan Tmak = 6,75 . 3. Consumer’s surplus dan producer’s surplus Apabila fungsi atau curve permintaan suatu baranng tertentu diketahui dan besrnya permintaan pasar x0 dan harga yang terjadi p0 dapat ditentukan, seperti halnya pada pasar persainganmurni, pasar monopoli dan sebagainya. Dalam hal ini consumer yang sebenarnya telah bersedia membayar untuk harga yang lebihdari harga pasar p0.
161 Keuntungan yang diterima “consumer’s surplus” surplus ini dinilai dari luas dibawah curvepermintaan sampai dengan tingkat harga yang terjadi di pasar. Curve-nya adalah: Gambar 10.12 Dari gambar dapat dilihat: luas dibawah Curve permintaan dikurangiluas segi empat dari x0p0 adalah luas consumer’s surplus (c.s). . = ∫ − () 0 0 Dimana pd adalah suatu fungsi dari x untuk fungsi permintaan. Jika fungsi permintaan adalah : x = g(p) maka consumer’s surplus diperoleh yaitu : . = ∫ 0 0 Dimana luas yang terdapat dengan melihat sumbu p sebagai garis horizontal yang dimulai dari 0 sampai dengan titik M dari nilai pd saat X=0 Jika fungsi atau curve penawaran suatu barang tertentu diketahui, dimana jumlah yang ditawarkan x0 dengan harga p0, maka produser (supplier) menawarkan barangnya dibawah harga p0, dan mendapatkan keuntungan karena harga yang terjadi adalah p0
162 Gambar 10.13 Surplus produser total dapat dinyatakan pada gambar: Dari gambar terlihat bahwa surplus produser adalah luas dibawah garis horizontal p0 dan diatas curve penawaran. Keuntungan ini disebut producer’s surplus. Untuk mencari producer’s surplus dengan mencari luas : . = (00 ) ∫ 0 0 Dimana s.p merupakan fungsi dari p untuk fungsi penawaran. Jika fungsi penawaran dalam bentuk x = G(p) ; maka luas producer’s surplus yaitu . = ∫ 0 0 Dimana luasnya dapat dicari dengan melihat sumbu p sebagai garis horizontal yang dimulaidari titik sampai dengan p0 dari curve pada saat x = 0. Contoh : Jika fungsi permintaan adalah p = 35 – 2x – x 2 , maka tentukan besarnya consumer’s surpluspada x0 =3 Penyelesaian: P = 35 – 2x – x 2 bila x0 = 3 maka p0 = 20 Grafik fungsi atau curve permintaan merupakan sebagian dariparabola dan dapat digambarkan :
163 Gambar 10.14 . = ∫ (35 − 2 − 2 ) − (00 ) 3 0 = ∫ (35 − 2 − 2 ) − (20.3) 3 0 = ∫ (35 − 2 − 2 ) − (60) 3 0 = 35 − 2 − 1 3 3 0 3 − 60 = 27 Jadi besarnya consumer’s surplus adalah 27 RANGKUMAN Fungsi diferensial dan integral juga memiliki banyak aplikasi dalam ekonomi. Fungsi-fungsi matematika digunakan untuk memodelkan perilaku konsumen dan produsen. Fungsi eksponensial dan logaritma sering digunakan dalam ekonomi. Misalnya, fungsi eksponensial dapat digunakan untuk memodelkan pertumbuhan ekonomi atau pertumbuhan populasi, sedangkan fungsi logaritma dapat digunakan untuk memodelkan elastisitas harga permintaan. Integral juga digunakan dalam ekonomi untuk menghitung luas di bawah kurva permintaan atau penawaran, yang dapat digunakan untuk menghitung surplus konsumen atau produsen. LATIHAN SOAL : Biaya marginal untuk memproduksi sejenis barang MC= 3Q2-24Q+45 Jika untuk memproduksi 1unit barang diperlukan biaya 44. Tentukanlah : a. Fungsi biaya totalnya.
164 b. Besar biaya total, biaya rata-rata serta biaya marginal pada saat output 2 unit. Penyelesaian a. Fungsi biaya total C = ∫ (MC) dQ = ∫ (3Q2 – 24Q + 45)Dq = Q3 – 120Q2 + 45Q + K Selanjutnya nilai K (konstanta integrasi) dicari terlebih dahulu dengan memasukkan Q=1 danC(biaya)=44 ke dalam persamaan di atas didapat : C = Q 3 – 12Q2 + 450 + K Jadi, Fungsi biaya totalnya, C = Q 3 – 12Q2 + 45Q + K = Q3 – 12Q2 + 45Q + 10 b. Besarnya biaya total, bila Q=2 C = Q 2 – 12Q2 + 45Q + 10 = (2)3 -12(2)2 + 45(2) + 10 = 60 Besarnya biaya rata – rata, bila Q = 2 = = 3 − 12 2 − 45 + 10 = 2 − 12 + 45 + 10 = 2 − = (2) 2 − 12(2) + 45 = 30 Besarnya biaya marginal , bila Q = 2 = 3 2 − 24 + 45 = 2(2) 2 − 24(2) + 45 = 9 BAB XI BARISAN DAN DERET Deskripsi Singkat : Pada bab ini dibahas tentang barisan dan deret. Barisan merupakan suatu runtutan angka atau bilangan dari kiri ke kanan dengan pola tertentu. Deret merupakan jumlah suku – suku dari suatu barisan. Relevansi : Pada Bab ini dibahas tentang pola bilangan, barisan, deret dan aplikasi atau penerapan barisan dan deret. Dengan dasar
165 pemahaman ini akan menjadi landasan bagi mahasiswa untuk memahami matematika ekonomi khususnya pada persoalan Barisan dan Deret. Indikator : - Mahasiswa mampu menjelaskan tentang Pola Bilangan - Mahasiswa mampu menjelaskan tentang Barisan - Mahasiswa mampu menjelaskan tentang Deret - Mahasiswa mampu menjelaskan tentang Aplikasi / Penerapan barisan dan deret A. Pola Bilangan Sejak duduk disekolah dasar, kami telah mengenal dan menyebutkan bilangan 1,2,3,4,5,.... Urutan bilangan – bilangan itu kemudian dikenal dengan bilangan asli. Urutan – urutan bilangan lain yang kami kenal misalnya, bilangan ganjil, bilangan genap, bilangan kelipatan, bilangan kuadrat, dan sebagainya. Sebenarnya, urutan – urutan bilangan tersebut memiliki aturan dan ketentuan tersendiri, sehingga dapat membuat suatu urutan bilangan yang bermakna atai dikenal sebagai barisan bilangan. Sedangkan cara menetapkan aturan ketentuan – ketentuan tertentu, sehingga dapat membentuk sebuah barisan bilangan dinamakan dengan pola bilangan. Ada bermacam – macam pola bilangan : a. Pola Bilangan Garis Lurus Bilangan : 2, 3, 4,... mengikuti pola garis lurus. Pola bilangannya bertambah 1 dari barisan berikutnya. 2 3 4 5 6 ... +1 +2 +3 +4 +5 b. Pola Bilangan Persegi Panjang Bilangan : 2, 6, 12, 20,... mengikuti pola persegi panjang. Jika dilanjutkan, pola bilangan persegi dapat diperoleh dengan mengikuti polanya sebagai berikut :
166 2 6 12 20 30 ... +4 +6 +8 +10 +12 c. Pola Bilangan Persegi Bilangan: 1, 4, 9, 16,...mengikuti pola persegi. Jika dilanjutkan,pola bilangan persegi dapat diperoleh dengan mengikuti polanya sebagai berikut: 1 4 9 16 ... ... +3 +5 +7 d. Pola Bilangan Segitiga Bilangan : 1, 3, 6, 10,... mengikuti pola bilangan segitiga. Jika dilanjutkan, pola bilangan persegi diperoleh dengan mengikuti polanya sebgai berikut : 1 3 6 10 ... ... +2 +3 +4 e. Pola Bilangan Bertingkat Pola bilangan seperti ini, yaitu dengan memperhatikan selisih antara dua bilangan yang berurutan. Barisan bilangan 2, 5, 8, 11,... disebut barisan berderajat satu, karena selisih tetap diperoleh pada satu tingkat pengurangan 2 5 8 11 Barisan bilangan 2, 5, 8, 11,... disebut barisan berderajat satu, karena selisih tetap diperoleh pada satu tingkat pengurangan 5 8 13 20 29 3 5 7 9 2 2 2 Barisan bilangan 5, 8, 13, 20, 29,... disebut barisan berderajat dua, karena selisih tetap diperoleh pada dua tingkat pengurangan 2 5 18 45 90 3 13 27 45 10 14 18 4 4 B. Barisan Dalam kehidupan sehari – hari istilah barisan sering dikaitkan dengan sekumpulan manusia atau benda yang disusun menurut aturan tertentu.
167 Misalkan barisan siswa dalam upacara bendera disusun dari siswa dengan tinggi badan paling rendah didepan hingga siswa dengan tinggi badan tertinggi dibelakang. Dalam matematika barisan memerlukan definis yang lebih jelas. Barisan dapat didefinisikan sebagai suatu urutan bilangan yang disusun menurut suatu kaidah tertentu. Setiap bilangan dari suatu barisan disebut suku yang disimbolkan dengan U. Bentuk umum sebuah barisan dapat ditulis : U1, U2, U3, U4,...,Un Un = suku ke-n Baris yang dimaksud adalah barisan bilangan yang tersusun secara teratur dengan suatu pola perubahan tertentu dari satu suku ke suku berikutnya, penggolongan baris dapat didasarkan pada : 1. Jumlah suku yang membentuknya, sehingga dibedakan menjadi : Baris Berhingga Baris Tak Terhingga 2. Pola perubahannya, sehingga dibedakan menjadi : Baris Hitung Baris Ukur Baris Harmoni a. Barisan Aritmatika (Barisan Hitung) Barisan adalah bilangan yang disusun dan dibentuk menurut suatu aturan tertentu. Setiap unsur yang tersusun dalam barisan biasa disebut suku. Ciri dari barisan aritmatika adalah perubahan antar suku sukunya mempunyai selisih atau perbedaan yang sama. Jika suatu pertama barisan aritmatika U1 dinamakan a dan bedanya b maka diperoleh : U1 = a Beda (b) = U2 – U1 U2 = U1 + b = a + b Beda (b) = U3 – U2 U3 = U2 + b = (a+b) + b = a + 2b Beda (b) = U4 – U3 U4 = U3 + b = (a + 2b + b) = a + 3b dan seterusnya Berdasarkan suku ke-n barisan aritmatika dengan melihat pola diatas, maka rumus umum suku ke-n dalam barisan aritmatika yaitu : Un = a + (n-1) b
168 Keterangan : Un = suku ke-n a = suku pertama b = beda atau selisih n = banyaknya suku Contoh : 1. Apakah benar ini adalah barisan aritmatika 4,7,...,13,...,19,... Maka bedanya yaitu suku ke-2 dikurang suku ke-1, (b = U2 – U2 = 7 – 4 = 3. Sehingga disebut barisan aritmatika dengan beda = 3 2. Apakah benar ini adalah barisan aritmatika ..., 90, 80,...60 Maka, b = U2 – U1 = 90 - 100 = -10. Sehingga disebut barisan aritmatika dengan beda = -10 Jika selisih suku yang berdekatan = b, dan suku pertamanya = a, serta suku ke-n = Un, Maka nilai suku ke-n adalah : Un = a + (n-1) b 3. Hitung empat suku berikutnya dari barisan aritmatika 1,5,9,13,... Dik : U1 = 1, U2 = 5 maka b = U2 – U1 = 5 – 1 = 4 Jadi empat suku berikutnya adalah U5 = 13 + 4 = 17 U6 = 17 + 4 = 21 U7 = 21 + 4 = 25 U8 = 25 + 4 = 29 b. Barisan Geometri (Barisan Ukur) Barisan geometri ialah barisan yang perbandingan atau rasio antar dua suku yang berurutan selalu konstan. Jika U1, U2, U3, Un-1, Un. Jika suku pertama barisan geometri U1 = a dan rasio = r, maka diperoleh suku – suku barisan geometri. Barisan geometri juga dapat disisipi sebanyak k suku diantara dua suku yang berdekatan sehingga diperoleh barisan geometri baru dan barisan baru tersebut mempunyai sifat sebagai berikut : 2,4,8,16,32,......... a1 = 2 = 2
169 a2 = 4 = 2 x 2 = a x r = ar a3 = 8 = 4 x 2 = ar x r = ar2 a4 = 16 = 8 x 2 = ar2 x r = ar4 an = ar n-1 jadi rumus dari barisan geometri adalah an = ar n-1 Ket : an = suku ke-n a = suku pertama r = rasio antar suku berurutan n = banyaknya suku Contoh : 1. Jika barisan geometri suku pertamanya 16 dan rasionya 2, maka suku ke8 adalah ... Jawab : a1 = 16 ; r = 2 an = ar n-1 a8 = 16 (2)8-1 = 16 (127) = 2032 2. Suku ke-4 dari suatu barisan geometri adalah 24 dan suku ke-9 adalah 768. Carilah suku ke-11 dari barisan geometri tersebut ! Jawab : a4 = 24 ; a9 = 768 ; a11 = ? a4 = ar 3 = 24 a = 24 3 a9 = ar 8 = 768 ( 24 3 ) r 8 = 768 24r5 = 7 68 r5 = 768 24 = 32 r = √32 5 = 2 a4 = ar 3 = 24 a = 24 2 3 = 3 karena a = 3 dan r = 2, maka a11 = ar 10 = 3 (2)10 = 1024
170 c. Mean Aritmatik Tinjau persoalan berikut : ada dua bilangan 2 dan 6. Dapatkah anda menyisipkan sebuah bilangan diantaranya yang merupakan rata – rata dari dua bilangan tersebut hingga membentuk barisan aritmatika? Persoalan tadi adalah mencari mean aritmatik dari dua buah bilangan. Pesoalan seperti ini terkadang muncul di matematika. Dengan tebakan, kami mungkin menjawan bilangan tersebut adalah 4. Benar, karena 2,4,6 adalah sebuah barisan aritmatika dengan beda, b sebesar 2. Secara umum sebuah mean aritmatik, M untuk dua bilangan, X dan Y dapat dicari dengan M = + 2 , karena M – X = b dan Y – M = b M – X = Y – M 2M = X + Y sehingga = + 2 d. Mean Geometri Seperti hanya pada mean aritmatika. Mean geometri dari dua buah bilangan X dan Y adalah bilangan M sedemikian rupa sehingga X, M, Y membuat sebuah barisan geometri. Mean geometri dapat dicari dengan : M2 = XY karena, = r dan = r sehingga : = M 2 = XY Jadi, mean geometri dua buah bilangan adalah akar dari hasil kalinya M = √. Sebagai contoh, mean geometri dari 4 dan 25 adalah M = √4 (25) = √100 = 10
171 C. Deret Barisan – Barisan yang dikenal sebelumnya dapat dijumlahkan sehingga membentuk suatu deret. Deret adalah penjumlahan dari suku – suku suatu barisan. Apabila bentuk umum untuk barisan adalah u1, u2, u3, ..., un maka bentuk umum untuk deret adalah u1 + u2 + u3 + ... + un Seperti halnya terdapat dua baris yang sering ditemukan dalam kehidupan sehari – hari yakni barisan aritmatika dan geometri maka terdapat pula deret aritmatika dan deret geometri a. Deret Aritmatika (Deret Hitung / Sn) Deret aritmatika diperoleh dengan menjumlahkan setiap suku – suku secara berurutan dari barisan aritmatika. Misalkan, barisan aritmatika : 1,3,5,7,9,.., dapat dibentuk menjadi deret aritmatika, yaitu 1 + 3 +5 + 7 + 9 +... Jumlah suku – suku pada barisan aritmatika disebut deret aritmatika. Jika terdapat barisan aritmatika : a,a + b,a + 2b,..., a + (n-1)b maka a + (a+b) + (a+2b) +...+ (a + (n-1)b) disebut deret aritmatika. Jumlah n suku deret aritmatika dinotasikan dengan Sn, sebagai Sn = 2 (2a + (n − 1)) b Ket : Sn = Suku ke-n a = Suku pertama b = Beda atau selisih n = Banyaknya suku Contoh : 1. Hitung jumlah 10 suku pertama dari barisan aritmatika 1,5,9,13,... Jawab : a = 1 ; b = 4 ; n = 10 U10 = a + (10 – 1)b = 1 + 9(4) = 37 Jadi S10 = 10 2 (1 + 37) = 5 (38) = 190 2. Hitung jumlah 60 suku dalam barisan aritmatika, jika diketahui suku pertamanya 9 dan suku terakhirnya 127 Jawab :
172 n = 60 ; a = 9 ; U60 = 127 Cara 1 Sn = 2 (a + Un) S60 = 60 2 (9 + 127) = 30 (136) = 4080 Cara 2 U60 = a + 59(b) = 9 + 59(b) = 127 b = 2 Sn = 2 (2a + (n-1)b) S60 = 60 2 (2.9 + (60-1)2) = 30 (18 + 118) = 4080 b. Deret Geometri (Deret Ukur / Sn) Deret geometri adalah jumlah dari semua suku – suku pada barisan geometri. Jika barisan geometrinya U1, U2, U3,...,Un maka deret geometrinya U1 + U2 + U3 +...+Un dan dilambangkan dengan Sn Sn = U1 + U2 + U3 +.................+Un Sn = a + ar + ar2 +..................+ arn-2 + arn-1 rSn = ar + ar2 +.....................+ arn-2 + arn-1 + arn - Sn – r Sn = a – arn Sn (1 − ) = a ( − )maka : Sn = (1− ) 1− untuk r < 1 atau Sn = ( −1) −1 untuk r > 1 Berdasarkan uraian diatas, diperoleh : Sn = (1− ) 1− untuk r < 1 atau Sn = ( −1) −1 untuk r > 1 Ket : Sn = Jumlah n suku pertama a = suku pertama r = rasio/pembanding n = banyaknya suku Contoh : 1. Hitunglah jumlah 8 suku pertama dari barisan geometri 3,6,12,24,......! Jawab : a = 3 ; r = 2 Sn = (1− ) 1− S8 = 3 (1−2 8 ) 1−2 = 3 (1−256) −1 = 765
173 2. Jika suatu deret geometri mempunyai a3 = 124 dan a6 = 15.625. Hitunglah besarnya suku pertama dan rasionya Jawab : a3 = 125; a6 = 15.625 ; a = ? ; r = ? a3 = ar 2 = 125 a = 125 2 a6 = ar 5 = 15.625 ( 125 2 ) r 5 = 15.625 125r3 = 15.625 r 3 = 15.625 125 = 125 r = √125 3 = 5 a3 = ar 2 = a (5)2 = 125 a = 125 25 = 5 3. Hitunglah nilai n agar jumlah deret geometri 2,4,8,16,... adalah 510! Jawab : a = 2 ; r = 2 ; Sn =510 ; n =? Sn = (1− ) 1− = = 2 (1−2 ) 1−2 = 510 Sn = 2 (1 − 2 ) = −510 (1 − 2 ) = −255 2 = 256, = 8 c. Deret Geometri Tak Hingga Pada kasus bola karet yang memantul diatas lantai, tinggi pantulan ke-n membentuk deret geometri : 1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + 16/81,... Jumlah suku pantulan tak hingga namun lama kelamaan bola tampak seperti berhenti/diam karena tinggi pantulan sangat kecil. Pada pantulan ke tak hingga deret tersebut menuju ke nol. Suatu deret geometri yang menuju ke titik tertentu dinamakan deret geometri konveren dan dicirikan oleh : || 1 perhatikan bahwa r pada kasus diatas adalah 2/3 yang lebih kecil daripada satu sehingga deret bola tadi adalah konvergen. Apabila ||> 1 dan a tidak nol maka jumlah suku – suku deret geometri tersebut tak hingga dan dinamakan deret geometri divergen. Deret divergen
174 tidak terlalu menarik karena makna fisisnya tidak mengacu pada suatu nilai tertentu. Sebagai contoh jumlah tinggi bola hingga diam adalah tak hingga tentu tidak masuk akal. Persoalan yang menarik adalah kemungkinan untuk menghitung jumlah deret takhingga bila ia konvergen. Artinya jumlah semua suku dari suku pertama hingga suku tak hingga dapat dicari dengan rumus : ∞ = 1− (deret harus konvergen) untuk bola tadi jumlah tinggi bolanya dari lantai hingga berhenti adalah 1/(1-2/3) = 3 Contoh : 1. Hitunglah jumlah sampai tak berhingga dari deret geometri ini : 1 + 1 2 + 1 4 +...... Jawab : Diketahui a = 1, r = 1 2 S = 1− = 1 1− 1 2 = 2 2. Suku ke-n dari deret geometri adalah un = 6-n , tentukanlah jumlah sampai tak berhingga dari deret tersebut. Jawab : un = 6-n , maka a = 1/6 dan r = 1/6 jumlah sampai tak berhingga adalah : S = 1− = 1 6 1− 1 6 = 1 5 d. Deret Taylor dan Deret Maclaurin Deret Taylor dan Deret Maclaurin memiliki peranan penting dalam matematika dan aplikasi teknologi. Terkadang dalam engineering hanya diperlukan aproksimasi tertentu dari suatu fungsi trigonometri atau transenden (eksponensial) dalam bentuk deret agar lebih mudah dianalisis secara aritmetik. Deret ini memberikan approksimasi fungsi tertentu dalam bentuk deret pangkat. Seringkali diperlukan bentuk pendekatan dari fungsi trigonometri atau fungsi eksponensial dalam bentuk deret.
175 Apabila fungsi tersebut diekspansikan dalam bentuk deret terhadap titik tertentu, katakanlah a maka deret yang dihasilkan dinamakan deret Taylor dan diberikan oleh : () = () + ( − ) ′ () + ( − ) 2 2! " () + ( − ) 3 3! + ⋯ + ( − ) ! 1 () Untuk mencari deret taylor hal yang harus dilakukan adalah mencari turunan pertama, kedua dan seterusnya dari fungsi tersebut. Dengan kata lain fungsi yang diekspansi haruslah dapat diturunkan. Apabila fungsi tersebut diekspansi terhadap titik nol (a = 0 di titik pusat) maka deret tersebut dinamakan deret Maclaurin : () = (0) + , ′ (0) + 2 2! (0)+ x 3 3! f(0) + ⋯ + ! 1 () e. Metode Newton – Raphson Metode Newton-Raphson dapat digunakan untuk mencari akar suatu fungi secara numerik apabila turunan dari fungsi tersebut diketahui. Metode ini menggunakan aproksimasi deret Taylor. Dengan asumsi bahwa harga (x-a) pada deret Taylor kecil Sn maka dapat diambil dua suku pertamanya saja sehingga: f(x) f(a) + (x-a) f(a) Akar suatu fungsi didapat pada f(x) = 0 (perpotongan dengan sumbu x). Persamaan diatas menjadi: f(a) + (x-a) f'(a) = 0 jika diselesaikan untuk x maka: x = a - f(a) / f'(a) Untuk mencari akar f(x) digunakan suatu harga tebakan awal a (a = xo) yang dianggap mendekati akar sesungguhnya. Pada titik x = a fungsi dan turunannya diketahui. Harga x = a - f(a) / f'(a) menunjukkan perpotongan garis singgung (gradien) fungsi dengan sumbu x dengan ketentuan bahwa garis singgung tersebut tersebut menyinggung fungsi di x = a. Harga x ini kemudian digunakan sebagai tebakan kedua. Proses ini dinamakan iterasi
176 dan mendekati akar yang sesungguhnya schingga metode Newton-Raphson dituliskan dalam bentuk: xi+1 = xi – f (a) / f(a) akar yang benar adalah saat selisih antara xi + 1 dan xi mendekati nol. D. Aplikasi / Penerapan Barisan dan Deret 1. Pertumbuhan Deret geometri tak hingga yang tidak mempunyai nilai disebut Deret Divergen sedangkan Deret Geometri tak hingga yang mempunyai nilai disebut Deret Konvergen. Contoh : Perkembanganbiakan bakteri Pertumbuhan penduduk Rumus Pertumbuhan aritmatika : Mn = Mo (1 + in) atau Mn = Mo + bn dimana : Mn = Jumlah/Nilai suatu objek setelah n waktu Mo = Jumlah/Nilai suatu onjek mula – mula i = Persentase pertumbuhan b = Nilai beda pertumbuhan n = Jangka waktu pertumbuhan Rumus Pertumbuhan Geometri : Mn = Mo (1 + i)n atau Mn = Mo.r n dimana : Mn = Jumlah/Nilai suatu objek setelah n waktu Mo = Jumlah/Nilai suatu onjek mula – mula i = Persentase pertumbuhan r = Ratio pertumbuhan (r > 1) n = Jangka waktu pertumbuhan
177 2. Peluruhan Deret geometri tak hingga yang tidak mempunyai nilai disebut Deret Divergen sedangkan Deret Geometri tak hingga yang mempunyai nilai disebut Deret Konvergen. Contoh : Penurunan nilai jual mobil Penurunan jumlah populasi hewan Rumus Pertumbuhan aritmatika : Mn = Mo (1 - in) atau Mn = Mo – bn dimana : Mn = Jumlah/Nilai suatu objek setelah n waktu Mo = Jumlah/Nilai suatu onjek mula – mula i = Persentase peluruhan b = Nilai beda peluruhan n = Jangka waktu peluruhan Rumus Pertumbuhan Geometri : Mn = Mo (1 - i)n atau Mn = Mo.r n dimana : Mn = Jumlah/Nilai suatu objek setelah n waktu Mo = Jumlah/Nilai suatu onjek mula – mula i = Persentase peluruhan r = Ratio peluruhan (r < 1) n = Jangka waktu peluruhan 3. Bunga Majemuk Salah satu aplikasi barisan dan deret pada bidang ekonomi adalah pada perhitungan bunga pada simpanan uang di bank atau koperasi atau lembaga lain sejenisnya. Terdapat dua macam jenis bunga pada simpanan, yaitu : a. Bunga Tunggal (Barisan Aritmatika) Yaitu metode pemberian imbahan jasa bunga simpanan yang dihitung berdasarkan modal pokok pinjaman atau modal awal simpanan saja. Rumus bunga tunggal :
178 Mn = Mo (1 + in) dimana : Mn = Nilai modal simpanan periode ke-n Mo = Nilai modal awal simpanan i = Persentase bunga simpanan n = Periode pembungaan b. Bunga Majemuk (Barisan Geometri) Yaitu metode pemberian imbalan jasa bunga simpanan yang dihitung berdasarkan besar modal atau simpanan pada periode bunga berjalan Rumus bunga majemuk : Mn = Mo (1 + i)n dimana : Mn = Nilai modal simpanan setelah periode ke-n Mo = Nilai modal awal simpanan i = Persentase bunga simpanan n = Periode pembungaan 4. Anuitas Anuitas bukan hal yang baru dalam kehidupan ekonomi semisal pembayaran sewa rumah, atau angsuran kredit (motor, rumah, bank, dil) atau pun uang tabungan kita di bank yang setiap bulan mendapatkan bunga, semuanya contoh konkret dari anuitas. Ada dua macam anuitas, yaitu: a. Anuitas pasti yaitu anuitas yang tanggal pembayarannya mulai dan terakhirnya pasti. Contoh: KPR, kredit bank, kredit mobil, dil. b. Anuitas tidak pasti, yaitu anuitas yang jangka pembayarannya tidak pasti. Contohnya pembayaran santunan asuransi kecelakaan. Anuitas adalah rangkaian pembayaran atau penerimaan yang sama jumlahnya dan harus dibayarkan atau yang harus diterima pada tiap akhir periode atas sebuah pinjaman atau kredit. Jika suatu pinjaman akan dikembalikan secara anuitas, maka ada tiga komponen yang menjadi dasar
179 perhitungan yaitu: a. Besar pinjaman b. Besar bunga c. Jangka waktu dan jumlah periode pembayaran Anuitas yang diberikan secara tetap pada setiap akhir periode mempunyai dua fungsi yaitu membayar bunga atas hutang dan mengangsur hutang itu sendiri. Sehingga konsepnya : Anuitas = Bunga atas hutang + Angsuran hutang Jika utang sebesar Mo mendapat bunga sebesar b per bulan dan anuitas sebesar A, maka dapat ditentukan : Besar bunga pada akhir periode ke-n Bn = (1 + b)n-1 (b.M – A) + A Besar angsuran pada akhir periode ke-n An = (1 + b)n-1 (A – bM) Sisa hutang pada akhir periode ke-n Mn = (1 + b)n ( − ) + Besar anuitas untuk membayar hutang sebesar M0 dengan bunga sebesar b perbulan selama n bulan adalah : = . 0(1 + ) (1 + ) − 1 RANGKUMAN 1. Ada bermacam – macam pola bilangan yaitu pola baris garis lurus, pola barisan persegi panjang, pola barisan persegi, pola barisan segitiga, pola barisan bertingkat 2. Barisan dapat didefinisikan sebagai suatu urutan bilangan yang disusun menurut suatu kaidah tertentu. Setiap bilangan dari suatu barisan disebut suku yang disimbolkan dengan U. Bentuk umum sebuah barisan dapat ditulis : U1, U2, U3, U4,...,Un Un = suku ke-n 3. Deret adalah penjumlahan dari suku – suku suatu barisan. Apabila bentuk
180 umum untuk barisan adalah u1, u2, u3, ..., un maka bentuk umum untuk deret adalah u1 + u2 + u3 + ... + un 4. Seperti halnya terdapat dua baris yang sering ditemukan dalam kehidupan sehari – hari yakni barisan aritmatika dan geometri maka terdapat pula deret aritmatika dan deret geometri 5. Aplikasi / Penerapan Barisan dan Deret dalam kehidupan sehari – hari yaitu pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk dan anuitas LATIHAN SOAL : 1. Diketahui sebuah barisan bilangan 5,9,13,17,... a. Un = 4 + n b. Un = 3 + 2n c. Un = 2 + 3n d. Un = 1 + 4n e. Un = -1 + 6n 2. Rumus umum suku ke-n dari barisan bilangan : 2,4,8,16,32, adalah... a. 2 n b. 2n + 2 c. 2n2 d. n 2 e. 2n - 2 3. Sebuah deret geometri tak hingga dengan suku pertamanya a memiliki jumlah 2, maka nilai a yang memenuhi deret geometri tak hingga tersebut adalah... 4. Berikut ini merupakan suatu barisan : -5, -9, -13, -17. Tentukanlah rumus suku ke-n dari barisan atas? 5. Terdapat beberapa anak sedang memainkan bola basket dilapangan dan bola basket tersebut dilempar keatas sehingga jatuh dari ketinggian 2,5 meter dan memantul dengan ketinggian 3 5 kali tinggi semula. Setiap kali bola tersebut memantul pada pantulan berikutnya, mencapai ketinggian pada 3 5 kali tinggi
181 pantulan sebelumnya. Maka berapakah jarak pada lintasan bola sampai bola tersebut berhenti ? PEMBAHASAN : 1. U1 = a = 5 Beda = b = U2 – U1 = 9 – 5 = 4 Un = a + (n-1) b Un = 5 + (n-1) 4 Un = 5 + 4n – 4 Un = 1 + 4n Jadi, jawaban yang tepat yaitu D 2. U1 = 2 = 21 U2 = 4 = 22 U3 = 8 = 23 U4 = 16 = 24 U5 = 32 = 25 Maka, rumus suku ke-n adalah 2n Jawaban yang tepat A 3. ∞ = 1− = 2 1 – r = 2 r = 1 - 2 Syarat deret tak hingga adalah : -1 < r < 1 -1 < 1 - 2 < 1 -2 < - 2 < 0 -4 < -a < 0 4 > a > 0....dikali (-1) Jadi, nilai a yang memenuhi adalah 0 < a < 4 4. a = -5, b = -4 rumus suku ke-n = ...? Un = a + (n-1) b
182 = -5 + (n-1) (-4) = -5 – 4n + 4 = -1 + 4n Jadi, rumus suku ke-n tersebut yaitu Un = -1 + 4n 5. Rumus deret tak terhingga ∞ = 1 − Lintasan Turun = 2,5 = 3 5 Panjang Lintasan = 1− = 2,5 1− 3 5 = 2,5 2 5 = 2,5 5 2 = 6,25 Lintasan Naik = 3 5 2,5 = 1,5 Panjang Lintasan = 1− = 1,5 1− 3 5 = 1,5 2 5 = 1,5 5 2 = 3,75 Total Lintasan pada bola = 6,25 + 3,75 = 10 m Jadi, jarak pada lintasan bola sampai bola berhenti adalah 10 meter.
183 KASUS Berdasarkan materi penerapan fungsi barisan dan deret yang telah dipelajari, maka setiap kelompok memilih salah satu lembaga pembiayaan (finance) dan menganalisis pola pemberian bunga berdasarkan tabel angsuran dari produk yang dimiliki finance. Hasil analisis dilampirkan pada buku yang telah disusun sesuai petunjuk tugas. Analisis pola pemberian bunga berdasarkan tabel angsuran dari pinjaman modal BNI FINANCE! Berikut perhitungan suku bunga pinjaman BNI FINANCE Demgan menggunakan rumus bunga barisan dan deret yaitu rumus perhitungan bunga tunggal Mn = M0 x (1 + i . n) Mn = Total modal setelah n waktu M0 = Modal awal n = Jangka waktu i = Presentasi bunga simpanan Jika dengan menggunakan rumus pembayaran total selama 12 bulan adalah Mn = M0 (1 + i . n) Mn = Rp100.000.000 (1 + 2,5% .12) = Rp100. 000.000 (1,025.12) = Rp100.000.000 (12,3) = Rp1.230.000.000 Pembahasan : Bunga perbulan adalah bunga tunggal sebesar 2,5% sehingga nasabah harus membayarberapa setiap bulan sebesar : 2,5% × Rp100.000.000 = Rp1.230.000.000 Dengan pinjaman Rp100.000.000 selama satu tahun maka pembayaran tiap bulan adalah : Pembayaran = + = 100.000.000 12 + Rp2.500.000
184 = Rp8.333.333,333 - Rp2.500.000 = Rp5.833.333,33/bln Total pembayaran selama satu tahun atau 12 bulan adalah : Rp 1.120.000 × 12 = Rp13.440.000 MATRIKS BERDASARKAN AKTIVITAS KELOMPK : NO NAMA / NIM PEMBAGIAN TUGAS TINGKAT PARTISIPASI 1 ELZA SAFIRAH (230901602002) Mencari dan menggabungka materi Bab V Bagian A Menggabungkan semua materi Bab V Menggabungkan materi Bab III dan Bab IV Mengerjakan Kasus Aktif 2 JUSMA (230901602003) Mencari dan menggabungkan materi Bab VI Bagian A Menggabungkan materi Bab V dan VI Menggabungkan materi Bab IX dan X Mengerjakan Kasus Aktif 3 NURHIDAYANA (230901602004) Mencari dan menggabungkan materi Bab VI Bagian C dan Membuat Daftar Isi Bab V dan VI Membuat Daftar Gambar semua Bab Mengerjakan kasus Aktif 4 SRI FAJRIANI (230901602005) Mencari dan menggabungkan materi Bab V Bagian B Membuat Daftar Pustaka Bab V dan VI Membuat Daftar Isi semua Bab Mengerjakan Kasus Aktif
185 5 NUR HIKMA LESTARI ABIDIN (230901602006) Mencari dan menggabungkan materi Bab VI Bagian B Menggabungkan semua materi Bab VI Mencari dan menggabungkan materi Bab XI dan membuat rangkuman Bab XI dan mengumpulkan soal – soal Bab XI Membuat Sampul Membuat rangkuman dan Mengumpulkan soal – soal Bab VI Mengerjakan Kasus Aktif 6 NUR INDASARI (230901602007) Mencari dan menggabungkan materi Bab V Bagian D Membuat Kata Pengantar Membuat Rangkuman dan mengumpulkan soal – soal Bab V Menggabungkan materi Bab I dan II Mengerjakan Kasus Aktif 7 AUREL MAHRANI JAMAL (230901602008) Mencari dan menggabungkan materi Bab V Bagian C Menggabungkan materi Bab VII dan VIII Mengerjakan Kasus Aktif
186 DAFTAR PUSTAKA Abdur Rahman As'ari, dkk. 2018. Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas XII. Jakarta : Kemendikbud. Achmad, ashar. 2020. modul pembelajaran sma matematika umum. makassar : sma 17 makassar kemendikbud. Adinda Putri, Gracelia.2022"_DERET_BERKALA_DAN_PERAMALAN",https://www.re searchgate.net/publication/364309940_DERET_BERKALA_DAN_PERAMA LAN, diakses pada 4 Oktober 2023 pukul 17.34. Al-Arif, M. Nur Rianto. (2013). Matematika Terapan Untuk Ekonomi. Bandung : Pustaka Setia Apis, Nafis.2016."makalah-persamaan-diferensial", https://www.slideshare.net/nafis_apis/makalah-persamaan-differensial,diakses pada 30 September 2023 pukul 10.20. Aplikasi Barisan dan Deret Dilengkapi 30+ Soal Latihan dan Pembahasan. (2021, MAY 6). Retrieved from defantri.com: https://www.defantri.com/2021/05/aplikasi-barisan-dan- deret.html?m=1 Apostol,Tom(1967),camculus(edisi ke-2 nd),wiley,isbn 978-0-471-00005-1 Assauri, Sofjan.2015.Matematika Ekonomi.Jakarta:Rajawali Aziz, Yunia Mulyani, dkk. (2019). Matematika Bisnis. Bogor : Lembaga Penelitian dan Pengabdian. Bell,john L(1998),invitation to smooth infinitesimal Analysis Buku Matematika Ekonomi https://text-id.123dok.com/document/1y9jmdnlq-pengertian-titikekstrem-matematika-terapan-untuk-insomnia-ekonomi.html Cucun Cunayah. Ahmad Zaelani.2008. Pelajaran Matematika Erna Chotidjah Suhatmi, SE.,M.Ak Matematika_Ekonomi.Bantul, Yogyakarta. Penerbit Pustaka Baru. Fitri Yanto, Candra.2017."makalah-matematika-integral-disusun- oleh", https://www.studocu.com/id/document/smk-negeri-1- batam/multimedia/makalah-matematika-integral-disusun-oleh/51713982,
187 diakses pada 1 Oktober 2023 pukul 14.45. Haqq, A. A., Lestari, M. A., Hidayah, I. H., Isnarto, I., & Susilo, B. E. (2022, September). Desain Didaktis Materi Turunan Fungsi Aljabar Berbasis Pembelajaran Daring. In Prosiding Seminar Nasional Pascasarjana (PROSNAMPAS) (Vol. 5, No. 1, pp. 137-151). http://www.marthamatika.com/2017/09/titik-belok-dan-kecekungan-fungsi.html Irawan, Judith Felicia Pattiwael. (2001). Matematika Ekonomi. Jakarta : Salemba Empat. Irawati, Agus, dkk (2008). Mahir Matematika. Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. Istiqomah. (2020). Modul Pembelajaran SMA Matematika Umum kelas XI. Mataram: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. MODUL PEMBELAJARAAN SMA. (2020). Retrieved from Pengertian Fungsi Eksponen, Logaritma, Trigonometri dan Hiperbola. (n.d.). Retrieved from situsnya Ilham: https://ilhammiblog.wordpress.com/2016/09/17/pengertian-fungsi-eksponensial logaritma-trigonometri-dan-hiperbola/ Pradnyo Wijayanti, Sapon Suryopurnomo. 2018. Kombinatorika, Peluang, dan Statistika. Modul Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan Guru Matematika SMA. Yogyakarta : PPPTK Matematika. Pratama, Muhammad.DIFFERENSIAL. Dinduh pada tanggal 30 September 2023. Melalui: https://www.academia.edu/37548389/DIFERENSIAL Prof. DR. Sofjan Assauri, S.E., M.B.A. (2022). Matematika Ekonomi. Depok, Indonesia: Penerbit Rajawali Pers. Prof. DR. Sofjan Assauri, S.E., M.B.A. (2022). Matematika Ekonomi. Depok, Indonesia: Penerbit Rajawali Pers. Prof. Dr. Sofjan ASSAURI, S.E., M.B.A. . 2022. Matematika Ekonomi Depok : PT RajaGrafindo Persada. Rahayuningsih, S., Mashadi, M., & Gemawati, S. Alternatif Menentukan Persamaan Garis Singgung Parabola. Rahma, A. N., & Gemawati, S. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA
188 PARABOLA. KARISMATIKA: Kumpulan Artikel Ilmiah, Informatika, Statistik, Matematika dan Aplikasi, 1(2). Rahmawati, Nurita Dwi, and Lessa Roesdiana. "Analisis kemampuanpemahaman konsep matematis siswa SMA pada materi turunan fungsi aljabar." Jurnal Edukasi dan Sains Matematika (JES-MAT) 8.1 (2022): 17-32. repositori.kemdikbud.go.id:https://repositori.kemdikbud.go.id/21931/1/X_Mate matika-Peminatan_KD 3.1_Final.pdf Saragih, N. (2023). PENGEMBANGAN MODUL BERBASIS REALISTIC MATHEMATICS EDUCATION (RME) PADA MATERI BARISAN DAN DERET KELAS XI DI SMA N 1 SIPISPIS (Doctoral dissertation, Fakultas Keguruan danIlmu Pendidikan, Universitas Islam Sumatera Utara). Sartono Wirodikromo. 2004. Matematika SMA kelas XII IPA. Jakarta: Erlangga Suwah Sembiring. Setyaningsih, Sri, dkk. (2009). Matematika Dasar 2. Bogor : Pusat Komputasi. Sukardi.2022"soal-dan-pembahasan-aplikasi-turunan-diferensial", https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-aplikasi-turunandiferensial/, diakses pada 24 September 2023 pukul 12.30. Sukino. 2019. Matematika SMA/MA Kelas XII IA (IPA). Sidoarjo : PT. Masmedia Buasa Pustaka. Utami, S. N. (2022, JANUARI 31). Perbedaan antara Fungsi Eksponensial dan Fungsi Logaritma. Retrieved from kompas.com: https://www.kompas.com/skola/read/2022/01/31/154439369/pe rbedaan-antarafungsi-eksponensial-dan-fungsi-logaritma Wirawan, N. (2017). Matematika Ekonomi dan Bisnis. Denpasar: Keraras Emas Denpasar.