94 merupakan titik ekstrem. Titik ekstrem ini merupakan titik stasioner. Titik ekstrem dapat berupa titik maksimum atau titik minimum. Syarat utama titik ekstrem ini adalah turunan atau diferensial yang fungsinya sama dengan nol (=0). 2. Ada 3 cara yang dapat digunakan untuk menentukan apakah titik ekstrem tersebut adalah titik maksimum atau minimum. Ketiga cara tersebut masing – masing menggunakan kriteria – kriteria dari keadaan yang berbeda – beda. Cara Pertama : Menggunakan pengertian atau definisi tentang relatif maksimum itu atas dasar fungsi y = (x), apabila fungsi f(x) tersebut mempunyai nilai yang terbesar pada = 1 dibandingkan dengan pada x yang lain yang berdekatan/sekitarnya. (0 − ∆) ≤ (0) ≥ (0 + ∆) Sebaliknya, untuk titik relatif minimum yaitu (0 − ∆) ≥ (0) ≤ (0 + ∆) Cara Kedua : Dengan menggunakan turunan atau diferensial pertama ′ () = yaitu bila ′ () = mempunyai tanda aljabar yang berubah dari positif (+) ke (-). Jika x bertambah nilainya dari suatu nilai yang lebih kecil sedikit dari 0 ke suatu nilai yang lebih besar sedikit dari 0, maka titik (0, 0) tersebut merupakan titik relatif maksimum. Demikian pula hanya untuk titik relatif minimum, yaitu bila : tanda aljabarnya berubah dari negatif ke positif. Cara Ketiga : Dengan menggunakan turunan atau diferensial kedua ′ () = 2 2 yaitu bila ′ () = 2 2 < 0, maka kurvanya cembung ke atas, sehingga titik pada saat = 0 adalah relatif maksimum. Sebaliknya, bila ′ () = 2 2 > 0, kurvanya cembung ke bawah, sehingga pada saat = 0 adalah relatif minimum.
95 3. Pengertian titik belok fungsi adalah titik dimana terjadinya perubahan kecekungan fungsi. Sedangkan kecekungan fungsi adalah bentuk grafik fungsi tersebut memiliki kecenderungan cekung ke arah mana (atas atau bawah ). LATIHAN SOAL 1. Diketahui fungsi: y = 2x 2 – 15x + 36x + 20 Persyaratan titik ekstrem dari fungsi ini diperoleh pada: 6 ( − 2)( − 3) = 0 →∴ 1 =2 2 =3 Persoalan selanjutnya adalah apakah titik maksimum terdapat pada x = 2 atau x = 3? Pembahasan : Untuk menentukannya dapat dilakukan dengan tiga cara, yaitu dengan melihat kriteria-kriteria yang digunakan masing-masing. Cara pertama: Dengan menggunakan pengertian atau definisi relatif maksimum atas dasar fungsi y = f (x), apabila fungsi f (x) tersebut mempunyai nilai yang terbesar pada x = x 0 dibandingkan dengan pada x yang lain yang/sekitarnya. 3 Y =2x 2 – 15x + 36x + 20 Marilah kita lihat titik ekstrem atau krisis pada P 0 (2, 48). Apabila kita lihat dan bandingkan titik di sekitar x = 2, yaitu titik P 1 : x = 2,1 titik P 1 : x = 2,1 menghasilkan nilai y = 47, 972 dan titik P 2 : x = 1,9 menghasilkan nilai y = 47, 968 Dengan membandingkan ketiga titik P 0 ,P 1 , dan P 2 tersebut di atas, dapat diperoleh kesimpulan bahwa: ( 0 − ∆) ≤ ( 0 ) ≥ ( 0 + ∆) yaitu: Dengan demikian, pada x = 2 diperoleh titik yang relatif maksimum yaitu titik P (2, 48). Selanjutnya, lihat titik ekstrem atau kritis Q 0 (3, 47), yaitu: titik Q 1 : x = 2,8 menghasilkan nilai y = 47, 104 dan titik Q 2 : x = 3,2 menghasilkan nilai y = 47, 136 Dengan memperbandingkan ketiga titik Q 0 ,Q 1 dan Q 2 , dapatlah diperoleh kesimpulan bahwa: 47, 104 ≥ 47 ≤ 47, 136 Maka, pada x = 3 diperoleh titik yang relatif minimum yaitu titik Q (3, 47). Cara kedua: Dengan menggunakan turunan atau diferensial pertama () , yaitu bila ( ) = terdapat perubahan tanda dari positif (+) ke negatif (-) jika x
96 bertambah nilainya dari x 0 ∆x) ke (x - 0 + ∆x), maka titik pada x 0 adalah relatif minimum.= 6 − 30 + 36 Marilah kita lihat titik ekstrem atau kritis pada P (2, 48). Dilihat perubahan atau pertambahan nilai x di sekitarnya, kita dapati: x = 1,5 maka ′ ( ) = 4,5 (tanda positif) x = 2,0 maka ′ ( ) =0′ ( x = 2,5 maka ) = −1,5 (tanda negatif) Dengan terdapatnya perubahan tanda dari positif (+) ke negatif (-) dan dengan bertambahnya nilai x tersebut dari x = 1,5 ke x = 2,5, maka ternyata titik P (2, 48) adalah titik relatif maksimum. Selanjutnya kita lihat pula titik ekstrem atau kritis Q (3, 47). Dilihat perubahan atau pertambahan nilai x di sekitarnya, maka kita dapati, pada: x = 2,5 maka ′ ( ) = 1,5 (tanda positif) x = 3,0 maka ′ ( ) =0′ ( x = 3,5 maka ) = −4,5 (tanda negatif)Dengan terdapatnya perubahan tanda dari negatif (-) ke positif (+) dan dengan bertambahnya nilai x tersebut dari x = 2,5 ke x = 3,5, maka ternyata titik Q (3, 47) adalah titik relatif minimum. Cara ketiga Dengan menggunakan turunan atau diferensial kedua ′ ( ) = <0 , maka kurvanya cembung ke bawah. Titik diperoleh adalah titik ekstrem yang relatif minimum.fungsi: 2 = 12 − 30 Dilihat dari titik ekstrem atau kritis P (2 ; 48), maka 2 = 12(2) − 30 = 24 − 30 = −6 < 0 Dengan demikian, titik ini merupakan titik relatif maksimum. Sementara itu, kita lihat titik ekstrem atau kritis Q (3 ; 47), maka = 12(3) − 30 = 36 − 30 = 6 > 0 Maka, titik ini merupakan titik relatif minimum. 2. Harga 4 buah buku tulis dan 2 buah pensil adalah Rp 14.500,00 sedangkan harga 3 buah buku tulis dan sebuah pensil adalah Rp 10.250,00. Buatlah model matematika dari persoalan tersebut ? Pembahasan : Misalkan, harga sebuah buku tulis adalah x rupiah, harga sebuah pensil adalah y rupiah.Kalimat pertama diperoleh hubungan 4x + 2y = 14.500, sedangkan kalimat kedua diperoleh hubungan 3x + y = 10.250 Maka, pemodelan menjadi 2z + y = 7.250 dan 3x + y = 10.250.
97 3. Seorang ibu ingin membuat roti untuk keluarganya. Roti yang dibuat adalah roti A dan roti B. Roti A membutuhkan 100 gram terigu dan 25 gram mentega, sedangkan roti B membutuhkan 50 gram terigu dan 50 gram mentega. Ibu tersebut hanya mempunyai persediaan terigu 2,5 kg dan mentega 1 kg. Ibu menginginkan dapat membuat roti A dan roti B itu sebanyak mungkin Pembahasan : Diketahui roti A = x dan roti B = y, 2,5 kg = 2500 gram dan 1 kg = 1000 gram 100 x + 50 y = 2500 25 x + 50 y = 1000 Maka, y = 10 dan x = 20, banyak roti jenis A adalah 20 dan roti B adalah 10. 4. Jika x₁ dan x₂ merupakan akar persamaan x² - (a -1)x + a = 0. Nilai stasioner dari x₁³ + 3x₁.x₂ + x₂³ dicapai untuk a = ..... A. 1 dan 2 B. 1 dan 3 C. 2 dan 3 D. -1 E. 0, -1 dan 1 Pembahasan: x²-(a-1)x+a=0 a=1,b=-(a-1),c=a x₁+x₂=-b/a=(a-1) x₁.x₂=c/a=a x₁³+3x₁.x₂+x₂³=x₁³+x₂³+3x₁.x₂ =(x₁+x₂)³-3x₁.x₂(x₁+x₂)+x₁.x₂ = (a-1)³-3a(a-1)+3a =(a-1)³-3a²+6a Stasioner <=>turunan pertama=0 <=>3(a-1)²-6a+6=0 <=>(a-1)²-2a+2=0 <=>a²-2a+1-2a+2=0 <=>a²-4a+3=0
98 <=>(a-1)(a-3)=0 <=>a=1 ataua=3 Jawaban : B 5. Fungsi y = 4x³ - 18x² + 15x - 20 mencapai maksimum untuk nilai x = ..... A.0,5 B.1,5 C.2 D.2,5 E.3 Pembahasan : y=4x³-18x²+15x–20 Stasioner<=>y'=0 y'= 12x²-36x+15=0 <=>3(4x²-9x+5)=0 <=>3(2x-1)(2x-5)=0 <=> x = ½ atau x = 5/2 + 0 - 0 + ● ● 1 2 5 2 Jadi, fungsi y mencapai maksimum untuk x = ½. Jawaban : A BAB VII DIFERENSIAL LANJUTAN A. Fungsi dengan Beberapa Variabel Dalam bab terdahulu telah diuraikan fungsi dengan satu variabel yang bebas (independent) yaitu y = f (x). Penggambaran fungsi ini dengan dua dimensi yaitu x dengan ruang S, (daerah) dan y dengan ruang S, (arah, baris). Jika kita gambarkan y = f (x) dalam dua dimensi, kurvanya dapat dilihat seperti Gambar 7.1
99 u u = f (x,y) x y p (x,y) y S2 x S1 Gambar 7.1 kurva fungsi y = f(x) dalam dua dimensi Pada kenyataannya sering ditemui pola hubungan dari tiga variabel yang dinyatakan dalam bentuk fungsi dengan dua variabel yang bebas (independent) yang dinyatakan sebagai: u = f(x,y). Sebagai contoh, dalam hal ini x adalah tenaga kerja (labor), y adalah tanah yang tersedia(land) dan u adalah hasil padi. Apabila digambarkan fungsi ini dengan tiga dimensi, yaitu x, y, dan u dapat dilihat pada Gambar 7.2. Misalkan P adalah suatu titik padabidang datar. Permukaan u = f (x, y) menggambarkan denah titik itu ke dalam sumbu u. Selain itu, menggambarkan berapa banyak padi yang dihasilkan dengan kombinasi dari x dan y tersebut. Gambar 7.2 fungsi dengan tiga dimensi y = f(x)
100 Permukaan itu disebut permukaan total produk (hal ini berbeda dengan kurva total produk untuk persoalan dua dimensi). 1. Partial Derivative Anggaplah x adalah tenaga kerja (labor), y adalah luas tanah (land), dan u adalah hasil padi. Hubungan fungsional dari ketiga variabel adalah: u = f (x, y) Kemungkinan terjadi perubahan dari u (hasil padi) terdapat suatu perubahan yang kecil dari x (tenaga kerja) sedangkan y (luas tanah) adalah konstan. Hal ini dapat dinyatakan sebagai y = y 0 = c. Maka: u = f (x, y) = f (x, c) Jika y = y0 = konstanta, maka akan menjadi suatu fungsi dari x saja, seperti u = x + 3, dalam bentuk u = f (x, y0). Dalam persoalan ini, apabila kita ingin memperoleh derivatifnya, maka: lim ∆→0 ( + 0 ) − (, 0) ( + ∆) − Derivatifnya dinyatakan sebagai: ∂y ∂x atau ∂f ∂x Di sini kita gunakan ∂ (delta) dan bukan d untuk menggambarkanbahwa variabel-variabel lain dari fungsi tersebut adalah konstan. Derivatif ini disebut Partial derivative dari f (x, y) dengan memperhatikan/menekankan perubahan x (tenaga kerja). Jadi teknik differentiation adalah untuk mencapai derivatif dengan penekanan/perhatian untuk suatu variabel. Sementara itu, variabel lainnya konstan, sama halnya dalam persoalan variabel tunggal (single variable). Contoh: Misalkan u adalah fungsi x dan y ialah: u = x² + 4xy + y² Perubahan apakah yang akan terjadi dengan u bila terdapat perubahan yang sangat kecil dari x, sedangkan y adalah kon- stan. Untuk ini kita peroleh partial derivative dari u dengan penekanan/ perhatian pada x. Maka hasilnya : ∂u ∂x = 2 + 4
101 Partial derivative selanjutnya diperoleh dengan cara yang sama seperti Derivative selanjutnya. Contoh: = 2 + 4 + 2 ∂u ∂x = = 2 + 4 ∂ ∂x ( ∂y ∂x ) = ∂ 2 ∂y ∂x = = 2 ∂ ∂x ( ∂y ∂x ) = ∂ 2 ∂y ∂x = = 4 Jadi f, berarti bahwa fungsi telah didiferensialkan dengan penekanan perhatian pada x yang pertama, kemudian y. Notasi yang demikian digunakan dengan cara yang sama untuk yang lainnya. Dalam perubahan susunan (order) dari differentiation, pada umumnya adalah: fxy = fyx. Kita dapat mendiferensialkan salah- satu dengan x atau y. Itu akan menghasilkan persoalan yang sama (tidak berbeda) jika fxy dan fyx adalah kontinu dalam suatu daerah (regino). Susunan differentiation adalah titik penting untuk pengulangan differentiation yang lebih dari dua kali. Hal ini membuktikan bahwa partial derivative adalah kontinu dalam suatu daerah (region). 2. Differential dan Total Differential Dari pandangan praktis terdahulu, partial derivatives telah memberikan kepada kita bahwa akan terjadi suatu perubahan yang kecil dalam u = f (x, y). Hal itu jika terdapat suatu perubahan yang kecil dalam x sedangkan y adalah konstan, atau sebaliknya Total diferensial yangakan diuraikan akan memberikan kita suatu pendekatan linear dari suatu perubahan yang kecil dalam u = f (x, y). Dalam hal ini terdapat suatu perubahan yang kecil dalam kedua x dan y. Sebagai contoh, u adalah hasil padi, x adalah tenaga kerja dan y dalah luas tanah, maka kita nyatakan u = f(x, y).
102 Selanjutnya. apabila ada suatu perubahan yang kecil dalam x (tenaga kerja) dan y (luas tanah), berapa besarkah perubahan akan terjadi dalam u (hasil padi)? Telah dibahas dalam uraian terdahulu, mengenai partial derivative bahwa akan menjadi perubahan yang kecil dalam u bila terdapat suatu perubahan yang kecil dalam x, sedangkan y konstan. Dengan demikian, jika x berubah sebesar ∆x perubahan dalam u menjadi ( ∆x). Sama halnya jika ada perubahan y sebesar maka perubahan u akan menjadi ( ) ∆y. Oleh karena itu, sebagai pendekatan pertama kita dapat berpikir bahwa perubahan dalam u, sebagai akibat dari perubahan yang kecil dalam x dan y akan menjadi : ∆ = ∂u ∂x ∆ + ∂u ∂x ∆ Perubahan yang sangat kecil dari x, y, dan u, maka dapatlah ditulis : du = ∆, dx = ∆x dan dy = ∆. Dengan demikian : = ∂u ∂x + ∂u ∂x Secara singkat dapatlah ditulis : du = fxdx + fydy Formula ini mengikuti pola umum diferensial yang telah diurai- kan terdahulu untuk y = f(x), yaitu dy = f, dx. Mengenai du yang diperoleh di atas disebut Total Diferensial dari fungsi u = f (x, y). Tanda atau simbol du sering pula diganti dengan notasi df. Kita mempunyai u = f (x, y, z); x adalah tenaga kerja (labor), y adalah luas tanah, z adalah banyaknya pupuk yang dipergunakan, dan u adalah hasil padi. Maka, perubahan dalam u (hasil padi), bila ada suatu perubahan yang kecil dari x, y dan z adalah: du = fX dx + fy dy fz dz Cara yang sama seperti ini berlaku untuk sejumlah variabel yang lebih
103 banyak lagi. Jadi, perlu diperhatikan bahwa total diferensial adalah suatu pendekatan linear untuk sejumlah perubahan. Hal ini sama halnya dalam persoalan terdahulu dengan satu variabel. Contoh: Diketahui: u = f (x, y) = 4x² + 3y² Maka, total diferensialnya adalah: du = fX dx+fy dy = ∂u ∂x = ∂ ∂x (4 2 + 3 2 ) = 8 = ∂u ∂x = ∂ ∂y (4 2 + 3 2 ) = 6 Sehingga: du = 8x dx+6y dy Contoh lain: Diketahui u adalah utilitas, x dan y adalah dua jenis barang Sedangkan, fungsi adalah u = f(x, y) . Apabila terdapat suatu perubahan yang kecil dalam x dan y, perubahan yang berlaku untuk utilitas adalah: du = fX dx+fy dy dimana = ∂u ∂x adalah marginal utility dengan penekanan/perhatian untuk barang x dan = ∂u ∂y adalah marginal utility dengan penekanan/perhatian untuk barang y. Contoh: P adalah produk, a dan b adalah input. Maka, fungsi produksi adalah: P = f (a, b) Suatu perubahan yang kecil dari a dan b akan menimbulkan perubahanyang kecil dalam P yaitu: dp = fa da + fb db Dimana: = ∂P ∂a = marginal product dari a
104 = ∂P ∂b marginal product dari b Contoh: Bila diketahui u = x²-2xy + 3y²-5yz + 2z² Maka, total diferensialnya adalah: du + fX dx + fy + fz dz = ∂u ∂x = ∂ ∂x (x2 − 2xy + 3y2 − 5yz + 2x2 ) = 2x − 2y = ∂u ∂y = ∂ ∂y (x 2 − 2xy + 3y2 − 5yz + 2z2 ) = −2x + 6y − 5z = ∂u ∂z = ∂ ∂x (x 2 − 2xy + 3y2 − 5yz + 2x2 ) = −5 + 4z Sehingga: du = (2x − 2y) dx + (−2x + 6y − 5z)dy + (−5y + 4z)dz. 3. Second Order and Higher Order Differential a. Dua Variabel Diferensial susunan kedua dan seterusnya sering digunakan dalam ekonomi dalam hubungannya dengan masalah minimalisasi dan maksimalisasi. Hal ini diperoleh dengan proses yang ber- ulang-ulang. Sebagai ilustrasi dari proses ini dipergunakan fungsi: u = f (x, y) Diketahui bahwa diferensial du yang kadang-kadang juga ditulis sebagai df adalah: 2 = () = ∂ ∂x () + ∂ ∂y () = ∂ ∂x ( + ) + ∂ ∂y ( + ) = [ + ∂ ∂y () + + ∂ ∂y ()] = [ + ∂ ∂y () + + ∂ ∂y ()] Bila dx dan dy dianggap konstan, maka : ∂ ∂x () = 0; ∂ ∂y () = 0; ∂ ∂y () = 0 ∂ ∂y () = 0
105 sehingga: d 2 f = (fXXdx + fXydy)dx + (fXydx + fyydy) dy = fXXdx2 + 2fXydxdy + fyydy2 Perlu diperhatikan bahwa bentuk persamaan tersebut adalah sama dengan: (a + b)² = a² + 2ab + b² Jadi, dengan menggunakan notasi simbol dapatlah ditulis sebagai berikut: d² f = (fXdx + fydy)² Dengan catatan, bahwa hal tersebut merupakan kelanjutan bentuk di atas. Pola umum untuk diferensial ke n adalah: f =(dx + dy)" b. Tiga Variabel Bila kita mampunyao suatu fungsi dengan tiga variabel yaitu : u =f(x,y,z) maka: df =du = fxdx + fydy + fzdz dengan menggunakan proses pengolahan yang sama diatas diperoleh : d 2 f =( fxdx + fydy + fzdz)2 =fxxdx2 + fzydzdy +fxzdxdz + fyxdydx +fyydy2 + fyzdydx +dzxdzdx +fzydzdy +dzzdz2 Dalambentuk umum dinyatakan sebagai : d n f = (fxdx + fydy +fzdz)n untuk suatu fungsi dengan lebih dari tiga variabel ,yaitu : u = f(x,y,z,s .......................................... ), maka df = du = fxdx + fydy +fzdz + fsds +…………. Sedangkan diferensial susunan kedua ,dapat dituliskan sebagai: d 2 f = (fxdx + fydy +fzdz + fsds........... ) 2 =fxxdx2 +f xy dxdy+fxzdxdz + f xsdxds+……….. +fyx dydx + f yydy²+fyzdydz + f ysdyds +......... + fzxdzdx + f,zydzdy + fzzdz² + fzsdzds +….....
106 +fsxdsdx + fsydsdy+fszdsdz + fssds2 +............... Dalam bentuk umum untuk diferensial susunan seterusnya dinyatakan sebagai: d n f = (f xdx+f ydy + f zdz + f sds +… ...................... ) n Contoh 1: Misalkan x dan y adalah dua sisi dari suatu empat persegi panjang. Luas bidang empat persegi panjang tersebut adalah u = xy. Jika x dan y bertambah sebesar ∆x dan ∆y, pertambahan luas bidang tersebut adalah: ( + ∆) − = ( + ∆)( + ∆) − ∴ ∆ = (∆) + (∆) + (∆)(∆) Sehingga jika Ax dan Ay sangat kecil, kita dapat menghilangkan (∆)( ∆), dan diperoleh : ∆(∆) + (∆) Dalam formula dari total diferensial, diperoleh : du = fxdx + fydy = ∂f ∂x = ∂ ∂x (, ) = = ∂f ∂y = (, ) = ∴ = + x. U= xy X y. y segi empat persegi Panjang u = f(x,y)
107 Jadi, du memberikan suatu pendekatan dari pertambahan luas empat persegi panjang tersebut. Hal itu jika dx dan dy menggambarkan pertambahan x dan y. Contoh 2: Bila u = 3x²+4y², maka carilah du dan d²u. Jawab: u = (x,y) = 3x² + 4y² maka: du = f xdx + f ydy fx = 6x dan fy = 8y ∴df = du= 6x dx + 8y dy Sedangkan d²f = d²u = (f xdx + f ydy)² = f xxdx² + 2 f xydxdy + f yydy? fxx = 6;fyy = 8 dan fxy = 0 ∴d²f = d²u = 6 dx² + 8 dy² B. Total Diferensial dari Fungsi Bersusun (Fungsi dari Fungsi) 1. Persoalan dengan Dua Variabel Kita menganggap u = f (x,y), di mana x dan y adalah variabel bebas (independent variable) yang juga saling bebas/tidak tergantung (independent) satu dengan yang lainnya. Selanjutnya kita anggap dalam hal ini bahwa x dan y merupakan bukan variabel bebas (not independent variables). Variabel yang tergantung (dependent variables) dari fungsi yang lain, berupa: x = g(t) y = h(t) dimana t adalah variabel yang bebas (independent variable). Dengan demikian, u adalah suatu fungsi dari x dan y, di mana x dan y adalah fungsi dari t. Pertanyaannya adalah, bagaimanakah diferensial atau derivative dari u dengan penekanan/perhatian pada t? Apa yang dinyatakandengan du/dt? contoh dan ilustrasi. Misalkan u adalah padi yang dihasilkan, x adalah tenaga (labor) dan y adalah tanah yang digarap. Dalam hal ini kita
108 menganggap bahwa tenaga (x) dan tanah (y) tergantung dari uang atau dana (t) yang tersedia. Apabila ada suatu pertambahan kecil untuk t, ini akan menimbulkan pertambahan dalam x dan y. Dalam hal ini akan pula menimbulkan pertambahan dalam u. Berapa besar perubahan dalam banyaknya u yang akan ditimbulkan oleh adanya perubahan yang kecil dari t? Hal ini akan dinyatakan dengan du/dt. Diketahui bahwa / adalah perubahan dalam u ka- rena suatu perubahan yang kecil dalam x, sedangkan y konstan. Selanjutnya, dx/dt merupakan perubahan dalam x sebagai akibat dari suatu perubahan yang kecil dalam t. Jadi, ∂u ∂x . akan menjadi banyaknya perubahan dalam u sebagai akibat perubahan yang kecil dalam t yang diselesaikan (diolah) melalui x. Demikian pula ∂u ∂x . akan sama dengan banyaknya perubahan u sebagai akibat suatu perubahan kecil dalam t yang telah diselesaikan (diolah) melalui y. Oleh karena itu, perubahan dalam u sebagai akibat perubahan dalam t akan menjadi penjumlahan dari kedua akibat tersebut diatas, yang dapat ditulis : = ∂u ∂x . + ∂u ∂y . Formula tersebut juga dapat dinyatakan sebagai : = + du/dt ini disebut Total derivative dari u dengan perhatian/penekanan padat. Contoh: Carilah total derivatif dari u dengan perhatian/penekanan pada t. u = x² + y²; dimana x = t2 dan y = t² + 1 = + = ∂u ∂x = 2 = ∂u ∂y = 2 = 2 = 2
109 = 2(2) + 2(2) = 4 + 4 Contoh lain : u = x² + y²; dimana y = 2x Hal ini sama dengan : y = 2t dan x = t = + = (2x) (1) + (2y) (2) = 2x + 4y 2. Persoalan dengan Dua atau Lebih Independent Variables Formula diatas juga digunakan hampir sama apabila variabelnya lebih dari dua. Misalkan kita mempunyai : u = f (x,y,z...) dimana x = g (t) ; y = h (t) ; z = k (t).... maka : = + + 3. Persoalan dengan Dua atau Lebih Independent Variables Jika kita mempunyai : u = f (x,y) dimana x = g (t1,t2) dan y = h (t1,t2) maka : ∂u ∂t = ∂x ∂t + ∂y ∂t dimana : ∂u/∂t1 adalah total derivatif dari u dengan penekanan/perhatian pada t1, sedangkan t2 konstan. Secara umum dapat dinyatakan : Bila : u = f (x,y,z....) x = g (t1, t2....) y = h (t1, t2....) z = k (t1, t2....) maka : ∂u ∂t = ∂x ∂t + ∂y ∂t + ∂z ∂t
110 ∂u ∂t = ∂x ∂t + ∂y ∂t + ∂z ∂t Contoh : Bila u = x2 + y2 dimana x = t2 + s2 dan y = t2 – s 2 ∂x ∂t = 2 dan ∂u ∂x = 2 ∂y ∂t = 2 dan ∂u ∂y = 2 ∂u ∂t = ∂x ∂t + ∂y ∂t = (2x) (2t) + (2y) (2t) 4xt + 4yt sedangkan : ∂x ∂s = 2 dan ∂u ∂x = 2 ∂y ∂s = −2 dan ∂u y = 2 Maka : ∂u ∂s = ∂x ∂s + ∂y ∂s = (2x) (2s) + (2y) (-2s) = 4xs – 4ys Contoh lain: Jika: u = x² + 2y² + 3z² di mana x = t² + 2s² + 3v², y = t 2 -2s2 -v 2 dan z= 2t2 + s2 -2v2 maka : ∂u ∂t = ∂x ∂t + ∂y ∂t + ∂z ∂t = (2x) (2t) + (4y) (21) + (62) (4) = (4x + 8y + 24z) t sedangkan : ∂u ∂s = ∂x ∂s + ∂y ∂s + ∂z ∂s = (2x) (4s) + (4y) (-4s) + (6z) (+2s) = (8x – 16y + 12z) s dan :
111 ∂u ∂v = ∂x ∂v + ∂y ∂v + ∂z ∂v = (2x) (6v) + (4y) (-2v) + (6z) (-4v) = (12x – 8y – 24z) v C. Fungsi Implisit 1. Diferensial pertama Dalam banyak hal terdapat hubungan diantara variabel dalam bentuk implisit. Sebagai contoh bila x, y dan z adalah input dan u adalah output. Maka fungsi transformasi, yang mempengaruhi perubahan input terhadap output dapat ditulis dalam bentuk abstrak sebagai : F (x, y, z, u) = 0 dimana x, y, z dan u adalah titik bebas (not independent). Marginal product dari input x yaitu du/dx mungkin yang dipentingkan. Untuk penyelesaiannya dapat dilakukan dengan menentukan : W = F (x, y, z, u) =0 dan juga dengan asumsi yang dapat kita tentukan: u = f (x, y, z). Maka marjinal produk dari x, y dan z akan menjadi : ∂u ∂x = ∂u ∂y = ; dan ∂u ∂z = Berdasarkan bentuk terdahulu total diferensialnya dapat dinyatakan sebagai: dW = Fx dx + Fy dy + Fz dz + Fu du = 0 Kita juga akan dapat memperoleh : du = fx dx + fy dy + fz dz Dengan mensubtitusi du kedalam persamaan diatas, maka diperoleh : Fx dx + Fy dy + Fz dz + Fu (fx dx + fy dy + fz dz) = 0 (Fx + Fu fx ) dx + (Fy + Fu fy ) dy + (Fz + Fu fz ) dz = 0 Tidak ada pembatasan perpindahan atas nilai-nilai x, y dan z. Pemecahan untuk persamaan ini jika x, y dan z mempunyai sutau nilai, yang memberikan koefisien dx, dy dan dz seluruhnya adalah nol. Dengan demikian diperoleh :
112 Fx + Fu fx = 0 Fy + Fu fy = 0 Fz + Fu fz = 0 Selanjutnya dapat diperoleh hasil fx , fy dan fz sebagai berikut : = − ; = − ; dan = − Bentuk hasil ini merupakan pola umum dan berlaku untuk variabel yang lebih dari tiga. Contoh : Bila diketahui fungsi implisit x 2 y – x + y = 0, maka carilah dy/dx. Jawab : u = F (x, y) = x2 y – x + y = 0 y = f (x) maka : du = Fx dx + Fy dy = 0 dy = fx dx sehingga : Fx dx + Fy fx dx = 0 (Fx + Fy fx ) dx = 0 dengan menentukan koefisien dx sama dengan nol, maka di peroleh : Fx + Fy fx = 0 atau fx = − Sedangkan diketahui : Fₓ = 2xy – 1 dan Fy = x 2 + 1, Pemecahannya menjadi : = = 2 − 1 2 − 1 2. Diferensial kedua Anggaplah suatu fungsi f (x, y) = 0, kemudian diketahui bahwa : = − Marilah kita cari derifative keduanya. 2 2 = ( ) = ( )
113 = ( ) − () 2 Dengan menggunakan rumus total derivatif, kita dapat menyelesaikan pembilangnya sebagai berikut : ( ) = ∂ ∂x ( ) + ∂ ∂y () − = + = + − ( ) = + . Dengan cara yang sama dapat pula dicari : () = ∂ ∂x ( ) + ∂ ∂y ( ) = + = + − ( ) = + . Sehingga dapat diperoleh pembilangnya, yaitu : = (− ) (− ) = − − + . 2 = − 2 + . 2 = 1 [ 2 − 2 + 2] Contoh: Misalkan u adalah indeks utilitas, x adalah daging dan y adalah roti.
114 Selanjutnya, kita dapatkan u = f (x,y). apabila u adalah konstanta, carilah diferensial dari u. Jawab: Jika u adalah konstanta: du = fx dx + fy dy = 0 = − Hal ini dapat diinterpretasikan sebagai gambaran bila jumlah y (roti) berubah sedikit (dalam hal ini menurun), sedangkan terdapat sedikit pertambahan dari x (daging). Maka, akan menghasilkan u tetap tidak berubah . dalam ekonomi dy/dx diartikan sebagai marginal rate of substation diantara x dan y. umumnya marginal utilities adalah positif, sehingga diperoleh fx > 0, dan fy > 0, sehingga dy/dx < 0.Masalah sekarang adalah besarnya tingkat perubahan (rate of change).Hal itu adalah tingkat pertambahan atau penurunan. Untuk menjawab hal ini kita harus mencari derivatif keduanya, yaitu d2 y/dx2 .akan tetapi, kita telah dapatkan formulanya diatas, yaitu: 2 2 = − 1 3 [ 2 − 2 + 2] Jadi, tanda d2 y/dx2 akan tergantung dari hasil perhitungan yang trdapat dalam dua tanda kurung apakah positif atau negative. Apabila hasil dalam tanda kurung tersebut adalah positif, maka d 2 y/dx2 < 0. Ha ini berarti bahwa indifference curve melengkung ke atas atau cembung (convance upward).
115 RANGKUMAN Persamaan differensial memegang peranan penting dalam rekayasa, fisika, ilmu ekonomi dan berbagai macam disiplin ilmu. Teori persamaan differensial sudah cukup berkembang, dan metode yang digunakan bervariasi sesuai jenis persamaan. Persamaan differensial terbagi menjadi dua yaitu persamaan differensial biasa dan persamaan differensial parsial. Persamaan differensial biasa (PDB) adalah persamaan differensial di manafungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Persamaan differensial parsial (PDP) adalah persamaandifferensial di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari banyak variabel bebas, dan persamaan tersebut juga melibatkan turunan parsial. Didalam persamaan differensial biasa, dipelajari tentang konsep persamaan differensial linear dan Persamaan differensial linear orde satu. Persamaan differensial linear adalah persamaan yang mengandung turunantingkat satu yaitu turunan dengan satu peubah bebas. Sedangkan Persamaan differensial linear orde satu adalah persamaan yang mengandung turunan tingkat satu dimana turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan tersebut adalah satu LATIHAN SOAL 1. Diketahui f(x)=x³-10x2+25x+5dan f' adalah turunan pertama f. Nilai f'(1) adalah ... a. 3 b. 8 c. 13 d. 16 e. 21 Pembahasan : f(x) = x³-10x²+25x+5 f'(x) = 3x²-20x + 25 f(1) = 3(1)2-20(1) +25
116 = 3-20 + 25 = 8 Jadi jawabannya: B 2. Diketahui f(x)=x²+4x-3, nilai dari f’ (5) adalah ... a. 6 b. 10 c. 14 d. 17 e. 20 Pembahasan : f(x)=x²+4x-3 f’(x)= 2x + 4 f'(5)=2(5) + 4 = 14 Jadi jawabannya: C 3. Tentukan turunan pertama dari fungsi x³ - 2x²+ 3x! Pembahasan : f'(x) = 3.1.x3-1 2.2x2-1 +1.3.x1-1 f'(x) = 3x² - 4x + 3 Jadi, turunan pertama dari fungsi f(x) = x3 – 2x² + 3x adalah f'(x) 3x² - 4x + 3. 4. Carilah turunan pertama dari fungsi f(x) = (3x + 2)(2x + 5) ! Pembahasan : f(x) = (3x+2)(2x + 5) f(x) = 3x.2x + 3x.5 + 2.2x + 2.5 f(x) = 6x² + 15x + 4x + 10 f(x) = 6x² + 19x+10 f'(x) = 2.6.x2-1+1.19.x1-1 +0.10.x0-1 f'(x) = 12x+19 +0 f'(x) = 12x + 19 Jadi turunan pertama dari fungsi f(x) = (3x+2) (2x+5) adalah f'(x) =12x+19 +0.
117 55 5. Kasus : Garis g menyinggung kurva y = x3 – 3x2 + 5x – 10 di titik potongnya dengan garis y=5. Persamaan garis lain yang sejajar g dan menyinggung kurva tersebut adalah... Pembahasan : Titik potong kurva dengan garis y = 5 x 3 – 3x2 + 5x – 10 = 5 x 3 – 3x2 + 5x – 15 = 0 x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = 0 (x2 + 5)(x – 3) = 0 x 2 = -5 (tidak mungkin) x = 3 m = y’ = 3x2 – 6x + 5 m = 3.32 – 6.3 + 5 m = 27 – 18 + 5 = 14 cari absis titik sin ggung garis yang lain. Karena sejajar maka gradiennya tetap14 m = 14 y’ = 14 3x2 – 6x + 5 = 14 3x2 – 6x – 9 = 0 x 2 – 2x – 3 = 0 (x – 3)(x + 1) = 0 x = 3 (tidak memenuhi, sebab ini adalah absis titik singgung garis g) x = -1 y = x 3 – 3x2 + 5x – 10 y = (-1)3 – 3(-1)2 + 5(-1) – 10 y = -1 – 3 – 5 – 10 = -19 y – y1 = m(x – x1)
118 y + 19 = 14 ( x + 1) y + 19 = 14x + 14 y = 14x – 5 BAB VIII INTEGRAL A. Pengertian Integral Sebagai Kebalikan Diferensial (Antiderivatif) dan Luas Suatu Fungsi Integral berhubungan dengan luas di bawah kurva dari suatu fungsi. Hal in dapat diketahui secara ilmu ukur (geometris). akan tetapi, secara analisis, integral dan diferensial tidak tergantung pada ilmu ukur. Suatu penafsiran geometris hanya dipergunakan untuk membantu memudahkan penganalisisan. Dalam matematika sering ditemui operasi kebalikan (inverse). Begitupun dengan integral. Integral merupakan kebalikan dari diferensial (antiderivatif). Bila suatu fungsi y = f (x) mempunyai suatu turunan (derivatif) adalah f (x) = F (x) untuk setiap nilai x dalam interval a ≤ x ≤ b, dan bila dx adalah variabel bebas (independent variable)-nya, maka: derivatifnya = F (x), dan diferensialnya dy = F (x) dx Kedua derivatif dan diferensial ini adalah sama. F (x) adalah fungsi yang kontinu dari x dalam batas-batas a ≤ x ≤ b di mana fungsi y = f (x) dan turunan (derivatif)-nya f (x) = F (x). Proses untuk memperoleh fungsinya kembali atau fungsi asalnya adalah dengan kebalikan dari diferensialnya. Proses itulah yang dikenal dengan istilah integral. Tanda untuk integral (integral sign) adalah ∫. Jadi, dari uraian ini terlihat bahwa integral adalah sebagai antiderivatif. Jika diferensialnya adalah: dy = F (x) dx, integralnya adalah: y = ∫ F (x) dx. Turunan atau diferensial dari nilai konstan (= c) adalah nol. Olehkarena itu, tambahan suatu nilai konstan yang sembarang untuk suatufungsi f (x) akan mempunyai integrasi ∫ F (x) dx. Jadi, jika f (x) adalah suatu fungsi yang turunannya adalah F (x) maka jika f (x) + c adalah suatu fungsi yang lain dan c adalah nilai konstan yang sembarang, integral kedua fungsi tersebut yaitu f (x)
119 dan f (x) + c adalah sama, yaitu: F (x). Dengan kata lain dapat disebutkan bahwa bila f (x) dan g (x) adalah dua fungsi yang kontinu. Turunan atau diferensial kedua adalah sama yaitu F (x) maka selisih antara kedua fungi tersebut yaitu f (x) - g (x) adalah konstanta(= c). Contoh: Dua buah fungsi yaitu y = x 3 + 5 dan y = x 3 + 2. Kedua fungsi ini mempunyai turunan (derivatif)-nya yaitu = 3 x2 dan diferensialnya dy = 3x2 dx. Dengan demikian, integralnya : y = ∫3x2 dx, dan hasilnya adalah y = x3 + c, dimana c adalah suatu nilai atau bilangan konstan yang sembarang/tidak dapat ditentukan besarnya. 1. Rieman Integral Misalkan suatu fungsi yang kontinu Y = f(x) mempunyai grafik seperti terlihat pada gambar 8.1. Daerah kurva fungsi ini dibatasi oleh interval [a,b] yang dapat dianggap sebagai rangkaian titik – titik. y a=x0 x1 x1-1 xi b = xn Gambar 8.1. Grafik fungsi y = f (x) Dalam hal ini kita menganggap nilai dari fungsi y = f (x) tertentu (finite). Selanjutnya, kita bermaksud menghitung luas (area) di bawahkurva y = f (x) di antara a dan b. Untuk ini misalkan kita membagi interval[a, b] ke dalam jarak bagian (sub interval) yang sama. Maka,himpunannya adalah : a = x0 < x1 <.................. xn-1 < xn = b Apabila kita lihat pada jalur di antara x0 dan x1, akan diperoleh suatu pendekatan atas luas (area) di bawah kurva dengan salah satu empat persegi panjang: E C m M i i
120 R1 = x0 CD x1 atau R1’ = x0 EF x1 Sedangkan R1 dan R1’ dapat dihitung dengan: R1 = (x1 – x0) f (x0) R1‘= (x1 – x0) f (x1) Misalkan luas (area) di bawah kurva adalah R1’ maka kita dapat meihatdari Gambar 8.1 di atas, bahwa: R1 < R1” < R1’ Keadaan seperti ini diperoleh karena x0 dan x1 dipilih, sehingga f (x0) akan lebih kecil dan f (x1) akan lebih besar dari nilai f (x) dalam (x0, x1). Pada umumnya, jika kita mengambil suatu interval (xi-1 ; xi) seperti dapat dilihat pada Gambar 8.1, dari seluruh nilai f (x) dalam intervaltersebut, akan mempunyai batas atas Mi dan batas bawah mi seperti terlihat pada gambar. Selanjutnya Mi (xi – xi-1) akan memberikan batas atas dari luar (area) ini, dan mi (xi – xi-1) memberikan batas bawahnya. Sekarang kita lakukan hal seperti ini untuk seluruh interval yang ada. Pertama terhadap mi dan kedua terhadap Mi . Maka, diperoleh: z = m1 (x1 – x0) + m2 (x2 –x1) +...+ mn (xn - xn-1) Apabila dinyatakan: (xi – xi-1) = ∆xi , dapat kita sederhanakan perhitungan di atas menjadi: = ∑ ∆ =0 Demikian pula halnya untuk Mi , dapat kita peroleh: = ∑ ∆ =1 Misalkan [a, b] suatu himpunan (set) S dan seluruh subinterval Si subhimpunan yang terpisah (disjoint sub test) sebanyak n, maka: S = S1 + S2 + S3 + + Sn Selanjutnya, kita dapat melihat bahwa (xi – xi-1) merupakan suatu ukuran (dalam hal ini panjang) dari dari himpunan Si (dalam hal ini suatu subinterval). Untuk menunjukkan ukuran tersebut, kita nyatakan sebagai (Si). Dengan demikian, persamaan diatas dinyatakan sebagai :
121 = ∑ () =1 = ∑ () =1 Persamaan ini akan menjadi bentuk umum. Perhitungan-perhitungan batas bawah dan batas atas dapat digabungkan dengan bagian dari himpunan (set) S di atas. Misalnya m adalah batas bawah dari fungsi f (x) dan M adalah batas atas, maka: m µ (S) < z < Z < M µ (S) Selanjutnya, luas di bawah kurva adalah A, maka:z < A < Z Sekarang kita akan menggunakan proses limit untuk perhitunganperhitungan tersebut. Maksudnya adalah untuk menunjukkan bahwa z dan Z akan menuju ke suatu limit dan limit tersebut adalah A. Untuk menjelaskannya, kita gunakan perbedaan antara mi dan Mi dalam suatu interval (xi-1, xi) yang akan menjadi bertambah kecil. Misalkan: − = ∑ ( − ) () =1 Apabila α adalah perbedaan yang terbesar antara Mi dan mi , maka α ≥Mi – mi,sehingga − = ∑ ( − ) () ≤ =1 ∑ ∝ () =1 = ∝ ∑ ( ) =1 = ∝ ( − ) α akan menuju/mendekati nilai nol sebagai sub-bagian (sub-division) yang diulang-ulang kembali. Dengan demikian, diperoleh: Z – z ≤ α (b - a) → 0 sebagai sub-bagian yang diulang-ulang. Hal ini merupakan suatu proses limit dan dalam limit itu dapat kita nyatakan Z ≠ z = A. Bila suatu limit dicapai, bentuk umumnya ditulis sebagai : ∫ f (x) dx1
122 f (x) dinyatakan adalah menyeluruh atas S(dalam hal ini atas interval[a, b]. Secara grafik, proses dari z → A merupakan pendekatan luas (area)di bawah suatu kurva dari sebelah dalam (inside) kurva tersebut. Sementara itu, Z → A merupakan pendekatan luas (area) di bawah suatu kurva, atas dasar dari sebelah luar kurva tersebut. Limit z dan Z akan menjadi sama untuk luas suatu kurva, yaitu A. 2. Integral Tidak Tertentu (Indefinite Integral) Apabila hasil diferensial suatu fungsi adalah: dy = F (x) dx, untuk mencari fungsi semula dilakukan dengan pengintegralan yaitu: y = ∫ F (x)dx Tanda (simbol) diferensial, dx ditambahkan untuk menunjukkan bahwa x adalah variabel yang diperhatikan. Sementara itu, F (x) dalam hal ini disebut intergrand. Integral tidak tertentu (indefinite integral) adalah limit dari suatu perjumlahan dari suku-suku yang tidak terhingga banyaknya. Masing - masing perjumlahan itu mendekati nol, dengan tidak memberikan batasbatas interval dari variabel yang diperhatikan (=dx). Jadi, yang dicari dalam integral tidak tertentu adalah fungsi semula karena tidak adanya interval yang diperhatikan: ∫ F (x) dx = f (x) + c Dalam hal ini f (x) + c disebut integral tidak tertentu (indefinite integral). Jadi f (x) adalah suatu fungsi yang turunan (derivative)-nya adalah F (x). Sedangkan c adalah nilai konstan dari integrasi. Contoh: Bila suatu fungsi adalah y = x 3 , maka turunan atau derivatifnya: = 3 2 dan diferensialnya dy = 3x2 dx. Integralnya yaitu: ∫ 3x2 dx = x3 + c Jadi, dalam integral tidak tertentu, harus selalu ditambahkan nilai konstan integral (yaitu c) pada fungsi f(x).
123 3. Rumus-Rumus Integral Rumus pengintegralan diperoleh dari rumus pendiferensialan. Di samping itu, hal ini menyebabkan proses pengintegralan tidaklah semudah proses pendiferensialan Adapun rumus-rumus integral yang penting dalam perhitungan adalah: a. Rumus 1 Rumus Penentuan (power formula) ∫ xn dx = +1 +1 + jika n ≠ -1 Contoh 1: ∫ x 3 dx = 1/4 x 4 + c Contoh 2 ∫√ = ∫ 1 2 = 3 3 2 3 2 + = 2 3 3 2 + b. Rumus 2 Rumus Logaritma (logarithmic formula) ∫ In + C dimana x > 0 Contoh 3 ∫ 2 = ∫ 2 = 2 In x + c c. Rumus 3 Rumus konstanta: ∫ k F (x) dx = k ∫ F (x) dx Contoh 4 ∫ 3x4 dx = 3 ∫ x 4 dx = 3/5x5 + c d. Rumus 4 ∫ e x dx = e x + c Dicek dengan fungsi y = e x + c, maka = ex e. Rumus 5 Rumus berantai Bila g (x) = u, maka g’ (x) = dan g’ (x) dx = du, sehingga
124 ∫ F (x) dx = ∫ G (u) du Contoh 5 y = ∫ 1+ misalkan : 1 + x = u maka = 1 →∴ = Jadi, y = ∫ = 1n u + c = 1n (x+1) + c f. Rumus 6 Rumus Penjumlahan Jika terdapat dua fungsi yaitu F (x) dan G (x), integral penjumlahan fungsi- fungsi ini adalah: ∫ { F (x) + G (x) } dx = ∫ F (x) dx + ∫ G (x) dx Contoh 6 ∫ (3x3 + 4x2 + 5x) dx = ∫ 3x3 dx + ∫ 4x2 dx + ∫ 5x dx = 3/4x4 + 4/3 x 3 + 5/2x2 + c 4. Integral Tertentu ( Definite Integral) Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang kontinuuntuk nilainilai x tertentu dalam batas-batas a ≤ x ≤ b. Apabila kita lihat pada Gambar 8.2 maka integral tertentu menunjukkan luas dari bidang fungsi F (x) tersebut yang dibatasi oleh sumbu x dan kurva F (x) antara interval a dan b. Tanda atau notasi dari integral tertentu dalam hal ini dinyatakan dengan: = ∫ () atau luas (area)∫ = ∫ () y Gambar 8.2 Grafik y = F (x Luas dari bidang di bawah antara fungsi F (x) dengan sumbu x dalam batas interval a dan b diperoleh dengan membagi bidang antara a dan b tersebut F (x ) ∆ A x
125 ke dalam n bagian yang sama. Dengan demikian, setiap bagian tersebut adalah: ∆ = − di mana ∆x = xi+1 - xi ∆x merupakan bagian yang sama dan ∆A = F (x2) ∆x - F (x1) ∆x Jika jumlah bagian yang sama n = ~ , maka ∆x → 0 sehingga seluruh luas dari bidang fungsi tersebut antara a dan b adalah: [(1 ) + (2 ) + (2 ) + ⋯ ()∆∑()∆ = ] Oleh karena itu ∆ → 0, lim∆→0 ∑ ( )∆ = ∫ () = +1 a. Rumus 1 Luas / = ∫ () = lim∆→0 ∑ ()∆ =1 Jika jarak (interval) antara a dan b seperti pada gambar 8.3 dibatasi atau dipisahkan oleh t, maka: Luas / = ∫ () = () y a t t+∆t b Gambar 8.3. Grafik y = F (x) Dengan adanya pertambahan t sebesar ∆t, kita temui dua nilai yaitu t dan t + ∆t, dengan fungsinya adalah f (t) dari integral tidak tertentu F (t) dt, sehingga : () = () () = ∫ () A (t) x
126 Hasil integral ini kita peroleh: A (t) = f (t) + c dimana c adalah nilai konstanta. Dari hasil tersebut, apabila t = a maka: A (a) = f (a) + c = 0. Dengan demikianlah, dari hasil ini diperoleh : c = −f (a). Dari hasilintegral diatas yaitu : A (t) = f (t) + c apabila c didistribusikan →∴A (t) = f (t) − f (a) Jadi: Luas / = ∫ () = () = () − () Jika dalam hasil integral: A (t) = f (t) + c misalnya t = b maka: A (t) = f (b) + c sedangkan t = a, dari persamaan diatas sebelumnya, diperoleh c = −f (a). Dengan demikianlah maka diperoleh antara t = a dan t = b adalah: Luas / = () = () − () Jadi: Luas / = ∫ () = () = () − () Jika kita lihat kembali A(a) = f(a) + c = f(a) – f(a) = 0 maka Luas / = ∫ () = () − () = 0 b. Rumus 2 Luas / = ∫ () = 0 selanjutnya, jika kita lihat kembali : Luas / = ∫ () = () − () Jika hal ini kita lihat kebalikannya tidak dari a ke b tetapi dari b ke a maka hasilnya : Luas / = ∫ () = () − () Berdasarkan kedua uraian diatas, maka didapatkan bahwa : / = () = () − () = −{() − ()} = − ∫ ()
127 c. Rumus 3 ∫ () = − ∫ ()( ≠ ) Seperti telah kita ketahui dari uraian diatas bahwa : Luas / = ∫ () = () − () sedangkan untuk luas fungsi F(x) diantara b dan c adalah : Luas / = ∫ = () − () maka fungsi F(x) diantara a dan c dapat kita peroleh yaitu : Luas / + Luas / = ∫ () + ∫ () = () − () + () − () = () − () = ∫ () d. Rumus 4 / = () + ∫ () ∫ () Suatu fungsi F (x) merupakan hasil perjumlahan dari dua buah fungsi yaitu G (x) dan H (x). Maka, luas dari bidang fungsi F (x) dalam batasbatas antara a dan b adalah sama dengan luas dari bidang fungsi G (x) dalam batas-batas antara a dan b ditambah dengan luas dari bidang fungsi H (x) dalam batas-batas tersebut. e. Rumus 5 Bila F (x) = G (x) + H (x), maka ∫ () = ∫ () + ∫ () Dari uraian kita telah ketahui bahwa : Luas −/ 0 = ∫ () = () − (0) = () 0 − sedangkan : Luas −/ 0 = ∫ () = (0) − (−) = () 0 − maka luas −/ = ∫ () = () + () = 2() = 2 ∫ () 0 −
128 f. Rumus 6 ∫ () = 2 ∫ () 0 − Contoh 13 : ∫ 2 = 3 3 ∫ = 6 3 − 3 3 3 6 3 = 63 6 3 Gambar 8.4. Grafik v = x 2 B. Cara Menggintergralkan Suatu Fungsi Mengintegrasikan suatu fungsi adalah proses matematika yangdigunakan untuk mencari integral dari fungsi tersebut. Integral adalah operasi yang merupakan kebalikan dari diferensiasi, dan dapat digunakan untuk menghitung luas di bawah kurva fungsi, menentukan total kumulatif, dan banyak aplikasi matematika lainnya. Ada beberapa teknik yang berbeda untuk mengintegrasikan fungsi, tergantung pada tipe fungsi yang Anda hadapi. 1. Menggunakan Kembali Diferensial Merujuk pada penggunaan hasil perhitungan diferensial sebelumnya atau solusi dari permasalahan diferensial dalam konteks yang berbeda atau serupa. Ini adalah praktik umum dalam matematika, fisika, dan berbagai bidang ilmu lainnya karena memungkinkan kita untuk memanfaatkan pengetahuan yang telah kita peroleh sebelumnya untuk memecahkan masalah yang lebih kompleks atau berhubungan. Telah diuraikan terlebih bahwa integral berhubungan dengan persoalan mencari fungsi semula dengan mengetahui laju perkembangan fungsi tersebut. Dengan kata lain, perbandingan tingkat perubahan variabel tidak bebasnya dengan tingkat perubahan variabel bebasnya. Oleh karena itu 30 20 10
129 disebut juga sebagai kebalikan diferensial atau anti derivatif. Contoh : Bila y = x In x − x, maka: = + − 1 = sehingga : ∫ = − + Contoh : Jika y = (3 + 2x)6 , maka = 6(3 + 2) 5 (2) = 12(3 + 2) 5 sehingga : = 1 12 (3 + 2) 6 , maka = ( 1 12) (6)(3 + 2) 5 (2) = (3 + 2) 5 Jadi : ∫(3 + 2) 5 = (3+2) 5+ 2(6) apabila a = 3 dan b = 2 serta n = 5, maka ∫( + ) = (3 + 2) 5 + 2(6) 2. Menggunakan Teknik Subsitusi Dalam uraian sebelumnya juga telah diuraikan pengintergralkan dengan menggunakan rumus yaitu :∫ e x dx = e x + c . Apabila kita temui : ∫ 3+5. Dengan memisahkan 3x + 5 = u, maka = 3 →∴ = 1 3 sehingga : ∫ 3+5 = ∫ 1 3 = 1 3 ∫ = 1 3 + = 1 3 3+5 + 3. Menggunakan Partial Integration Dari suatu fungsi yang implisit dapat pula dilakukan pengintegralannya. Pengintegrlan dari fungsi implisif ini dilakukan dengan partial integration.
130 Apabila terdapat fungsi (u, v)= U.V. maka turunan atau derivatifnya adalah: (, ) = + →∴ + Dari hasil derivatif, kita dapat peroleh fungsi semula, yaitu : u.v = ∫ . + ∫ . Rumus ∫ u. dv = u. v − v. du Contoh : Carilah ∫ In x dx Misalkan u = In x→∴ = 1 dan = = →∴ = ∫ = + dari rumus diketahui : ∫ = . − ∫ ∫ = () − = x In x – x + c = = = = = = = RANGKUMAN Integral merupakan salah satu cabang ilmu matematika. Integral adalah Integral dapat di artikan sebagai menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah Integral terbagi atas integral tertent dan integral tak tentu. Integral tak tentu memiliki tiga cara dalam penyelesaiannya yaitu cara biasa, cara subtimusi, dan integral parsial. Pada integral tertentu proses pengintegralan yang digunakan pada aplikasi integral. Dengan konsep integral kita dapat menentukan luas daerah dan volume benda putar. Dalam kehidupan sehari hari, integral memiliki beraneka macam manfaat baik dalam bidang ekonomi, teknologi, fisika. matematika, maupun bidang lain dalam kehidupan.
131 LATIHAN SOAL 1. Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan v(t) = 3t2 + 6t – 4. Jika pada saat t = 1 posisi partikel berada pada jarak 4 m, maka persamaan lintasan partikel tersebutadalah... a. S(t) = t³ + 3t² – 4t + 1 b. S(t) = 2t³ + 3t² – 4t + 4 c. S(t) = t³ + 3t² – 4t + 4 d. S(t) = 1/3 t³ + 3t² – 2t + 4 e. S(t) = t³ + 2t² – 4t + 4 Gradien sebuah garis singgung kurva di titik (x , y) adalah 2x – 7. Jika Pembahasan : S(t) t³+ 3t² – 4x + C Pada saat t = 1 posisi partikel berada pada jarak 4 m, maka subtitusikan t = 1 dan S = 4 S(t) = t³ + 3t² – 4x + C 4 = (1)3 + 3(1)2 – 4(1) + C 4 = 1 + 3 – 4 + C 4 = 0 + C C = 4 Maka persamaan lintasannya menjadi S(t) = t³ + 3t² – 4x + 4 Jawaban yang tepat C 2. Kurva tersebut melalui titik (4, -2), maka persamaan kurva tersebutadalah... a. Y = x2 + 7x + 10 b. Y = x2 - 7x – 10 c. Y = 2x2 - 7x + 10 d. Y = x2 - 7x + 10 e. Y = 3x2 - 7x + 10
132 Pembahasan: Y = x2 – 7x + C Kurva melalui titik (4, -2), maka subtitusikan x = 4 dan y = -2Y = x2 – 7x + C -2 = (4)2 – 7(4) + C -2 = 16 – 28 + C -2 = -12 + C C = -2 + 12 C = 10 Maka, persamaan kurvanya menjadi: y = x2 – 7x + 10, Jawaban yang tepat adalah D 3. Diketahui fungsi y = f(x) memiliki f (x) = 4x + 6. Misal kurva y = f(x) melalui titik (2, 8). Pembahasan : F(x) = ʃ f (x), dan f ‘(x) = 4x + 6, maka F(x) = ʃ (4x +6)dx F(x) = 2x 2 + 6x + c Karena kurva melalui titik (2, 8), maka f(2) = 8. Denganmensubstitusikan ke f(x),Diperoleh: F(x) = 2x 2 + 6x + c F(2) = 2(2) 2 + 6(2) + c 8 = 8 + 12 + c C = −12 4. Diketahui gradien garis singgung kurva di titik ada (x, y) lah 6x + 5. Misalkan kurva tersebut melewati titik (1, 5), carilah persamaan kurvanya. Pembahasan : F ‘(x) = 6x + 5 F(x) = ʃ (6x + 5) dx F(x) = 3x2 + 5x + c Karena kurva melalui titik (1, 5), maka f(1) = 5. Dengan mensubstitusikan ke f(x),Diperoleh:
133 F(x) = 3x 2 + 5x + c F(1) = 3(1) 2 + 5(1) + c 5 = 3 + 5 + c C = −3 Jadi, persamaan kurva tersebut adalah y = f(x) = 3x2 + 5x – 3 5. Kasus : Suatu perusahaan sedang melakukan perencanaan pembangunan sebuah jembatan melintasi sungai. Fungsi dari jembatan tersebut adalah untuk menghubungkan dua kota yang terpisah oleh sungai tersebut. Jika panjang sungai adalah 500 meter, dan lebar sungai pada setiap titik berbeda-beda, bagaimana cara menghitung panjang jembatan yang harus dibangun? Pembahasan : Untuk menghitung panjang jembatan, kita dapat menggunakan integral dalam memperoleh hasil yang akurat. Kita harus mengintegrasikan lebar sungai dalam seluruh panjang sungai untuk mendapatkan panjang total jembatan. BAB IX DIFFERENTAL EQUATIONS A. Pengertian Differental Equations Persamaan diferensial atau differential equation adalah suatu persamaan matematika yang melibatkan satu atau lebih fungsi dan turunan-turunannya. Persamaan ini banyak digunakan dalam berbagai bidang seperti fisika, teknik, ekonomi, dan biologi untuk menggambarkan laju perubahan suatu kuantitas terhadap kuantitas lainnya. Persamaan diferensial dapat diklasifikasikan berdasarkan berbagai kriteria seperti orde, linearitas, dan homogenitas. Terdapat dua jenis persamaan diferensial, yaitu persamaan diferensial biasa (ODE) dan persamaan diferensial parsial (PDE). Persamaan diferensial biasa melibatkan fungsi dari satu variabel independen dan turunan-turunannya, sedangkan persamaan diferensial parsial melibatkan fungsi dari beberapa variabel dan turunan parsialnya. Solusi persamaan diferensial dapat
134 Y 9 5 diselesaikan secara analitis atau numerik. Solusi analitis melibatkan menemukan ekspresi untuk fungsi yang tidak diketahui, sementara metode numerik menggunakan algoritma untuk mendekati solusi. Persamaan diferensial memiliki aplikasi yang luas dalam memodelkan berbagai fenomena alam dan rekayasa. Misalkan hubungan fungsional di antara x dan y sebagai: y= x² di mana 0 ≤ x ≤3, dan x adalah variabelbebas (indepen- dent variable). Persamaan dari fungsi di atas digambarkan seperti terlihat pada Gambar 9.1. 1 2 3 Gambar 9.1 Grafik y=x 2 Derivatif dari y akan menjadi = 2 Jika x=2 , maka dy/dx=4. yang menunjukkan kecuraman/slope dari kurva pada titik (2,4). Untuk x=3 maka dy/dx=6 yang menunjukkan kecuraman/slope dari kurva pada titik(3,9) Suatu persamaan, misalnya seperti diatas, secara implisit dianggap sebagai hubungan fungsional diantara x dan y dan tercakup x, y dinyatakan sebagai derivatif dari y dan kadang – kadang sebagai diferensial. Persamaan demikian itu disebut sebagai suatu diffential equation. Sebagai contoh, kita ingin mencari hubungan antara biaya total (y) dengan jumlah yang diproduksi (x). Diketahui bahwa biaya marjinal (dy/dx) dua kali untuk setiap pertambahan dari produksi. Ini dinyatakan sebagai: = 2 Masalah kemudian adalah untuk memecahkan differential equa- tion ini dan mencari hubungan antara x (hasil produksi) dan y (biaya total).
135 Marilah lebih tepat kita memperhatikan pertanyaan tentang, apakah yang kita maksud dengan suatu pemecahan. Marilah kita gambarkan persoalannya sebagai berikut. Pilihlah satu titik, ka- takanlah (1, 1) dalam kurva yang diberikan di atas untuk fungsi y = x². Maka, kecuraman/slope dari kurva pada titik (1, 1) adalah : = 2 = 2 Dengan perkataan lain, differential equation menyatakan bahwa kecuraman pada titik (1, 1) dari suatu fungsi atau kurva yang dianggap secara implisit harus menjadi = 2 Jadi, kurva yang diberikan dalam gambar di atas mempu- nyai kecuraman (slope) dari suatu kurva (fungsi) yang telah diten- tukan lebih dahulu dengan differential equation pada titik (1,1). Marilah kita ambil titik yang lain yaitu (2,8) seperti \frac{dy}{dx}=2x terlihat pada Gambar 9.2. Selanjutnya dengan derivatif diten- tukan terlebih dahulu, kecuraman (slope) dari suatu kurva sebagai berikut : dy = 2x = 2 x 2 = 4 y = x 2 + 2 1 2 3 Gambar 9.2. Kurva x 2 , y = x 2 + 2 dan y = x 2 + 4 dan pertanyaan yang timbul adalah: Dapatkah kita memper- oleh suatu kurva yang melalui titik (2, 8), yang mempunyai ke- curaman (slope) 4. Jika demikian, jawabannya harus memenuhi hal tersebut. 4 2 y=x 2
136 Jawabannya adalah ya dapat, dan kurva tersebut adalah: y=x^{2}+4. Seperti pada Gambar 9.2, bila x=2 maka Y=8 Jadi, kurva tersebut telah memenuhi apa yang diharapkan karena melalui titik (2, 8). Lebih jauh (2,8) adalah: = ( 2 + 4) = 2 . 2 = 4 juga dapat memenuhi differential equation diatas, yaitu = 2 Selanjutnya, dapat dicoba titik (1,3). Differential equation = 2 membutuhkan suatu kurva yang melalui titik tersebut dan mempunyai kecuraman (slope) : = ( 2 + 2) = 2 = 2 juga dapat dipenuhi dengan = 2 Persamaan – persamaan y=x^{2}+4 dan y=x^{2}+2 yang kita peroleh adalah pemecahan dari differential equation \frac{dy}{dx}=2x. Lebih spesifik lagi, dengan suatu pemecahan dari suatu diffe- rential equation, akan ditafsirkan suatu fungsi f (x) yang memenuhi differential equation untuk seluruh nilai dari independent variable yang dipertimbangkan. Dalam contoh yang lalu, menunjukkan bahwa dengan mensubsitusi f(x) dalam - \frac{dy}{dx}=2x jadi f(x)=2x , di mana hubungan identitas menunjukkan bahwa persamaan ini harus memenuhi seluruh nilai dari x yang dipertimbangkan. Dalam contoh tersebut 0< x < 3. Kita telah dapat melihatnya, bahwa : f(x) = x 2 f(x) =x 2 +2 f(x) =x 2 +4 merupakan pemecahan dari = 2 Apabila dipilih titik lain dalam grafik, akan dapat diperoleh pemecahan lain yang mungkin sebagai berikut. Persamaan = 2 adalah suatu differential equation yang sederhana, dan pemecahannya kita peroleh : dy = 2x dx. Dengan mengintegralkannya diperoleh: y=x^{2}+c mana c adalah
137 konstanta. Jadi, kita mempunyai sejumlah nilai-nilai dari pemecahannya. Kita telah mendapatkan tiga hal khusus yaitu c=0 ; c=2 dan c=4 Sekarang marilah diselidiki sedikit hati-hati dalam mempersoalkan pertanyaan-pertanyaan yang berikut : 1. Bila kita pilih suatu titik, katakanlah (1, 3), bagaimana kita mengetahui ada pemecahannya? 2. Kita memperoleh suatu kurva atau fungsi yang melalui titik (1, 3) dan memenuhi differential equation. Apakah ini hanya satu-satunya atau adakah kurva yang lain yangjuga pemecahan yang melalui (1, 3)? Ini merupakan pertanyaan-pertanyaan yang sulit dan pem- buktiannya tidak dapat diberikan. Hanya hasilnya dapat dite- rangkan. Jawaban dari pertanyaan ini adalah : 1. Ya, ada pemecahannya; dan 2. Hanya ada satu pemecahannya Marilah hal ini dinyatakan sebagai suatu teorema atau dalil : misalkan y = f (x,y) adalah suatu differential equation. Fungsi f(x, y) adalah kontinu dan derivatifnya adalah kontinu dengan penekanan pada y dalam suatu daerah R dari bidang datar x – y. Jika (x0 , y0 ) merupakan suatu titik dalam R, maka untuk setiap titik (x0 ,y0 ) : 1. Terdapat suatu pemecahan f(x) dari differential equation, dan 2. Hanya ada satu pemecahan yang berlaku untuk f(x0) = Y0 Dengan perkataan lain: Pada suatu titik hanya terdapat satu pemecahan dari differential equation. Hal ini merupakan suatu teorema atau dalil dasar. Dalam contoh terdahulu, maka hal ini berarti bila kita pilih salah-satu titik, katakanlah (1, 3) dalamdaerah R (di mana da- lam contoh tersebut 0 ≤ x ≤ 3, terdapat suatu kurva yang melalui titik (1, 3) yang kecuraman kurva akan memenuhi differential equation, dan lagi pula hanya ada satu-satunya kurva melalui titik (1, 3). Dus ciri yang terdapat dari hasil teorema dasar ter- sebut yang dinyatakan secara ringkas dengan pernyataan: adanya suatu pemecahan dan hanya satu-satunya pemecahan (uniques of a solution). Implikasi dari teorema dasar ini adalah: Jika kita mempunyai suatu
138 differential equation dan jika dengan sesuatu cara, walau- pun mungkin dengan melihat atau memandang ke dalam suatu bola kristal, diperoleh suatu pemecahan dari differential equation Hasil tersebut menjadi pemecahan differential equation, dan kita tidak dapat melihatnya lebih jauh. Sebagai contoh, pembahasan berikutini kita akan menggunakan fungsi y = e mx sebagai suatu pemecahan, dari linear differential equations.Teorema dasar menyatakan bahwa fungsi ini adalah pemecahan dari differential equation, dan tidak perlu memperhatikan pemecahan lainnya. Dengan latar belakang mengenai pemecahan-pemecahan dari differential equation, maka dalam pembahasan berikut ini hanya mengutamakan teknikteknik untuk mencari pemecahan (solutions). Differential equation pada dasarnya dapat dibedakan atas : 1. Differential equation yang biasa (ordinary differentialequation); dan 2. Partial differential equation. Persamaan diferensial biasa (ordinary differential equation, ODE) adalah suatu persamaan differensial yang tergantung hanya pada satu variabel independen. Persamaan ini melibatkan fungsi yang tidak diketahui dari satu variabel nyata atau kompleks, turunan – turunannya, dan beberapa fungsi yang diberikan. ODE muncul dalam berbagai konteks matematika, ilmu sosial, dan ilmu alam. Persamaan differensial biasa sering digunakan untuk memodelkan fenomena perubahan dinamis, evolusi, dan variasi. Solusi dari beberapa persamaan differensial biasa dapat dituliskan dalam bentuk tertutup yang eksak. Persamaan diferensial biasa memiliki aplikasi yang luas dalam berbagai bidang, seperti fisika, matematika, fisika teknik, dan ilmu kimia. Persamaan diferensial parsial (partial differential equation, PDE) adalah suatupersamaan matematika yang melibatkan fungsi yang tidak diketahui dari dua atau lebih variabel dan turunan parsialnya terhadap variabel-variabel tersebut. PDE banyak digunakan dalam fisika, teknik, dan berbagai bidang ilmu lainnya untuk memodelkan fenomena yang melibatkan lebih dari satu variabel independen. Persamaan ini memiliki berbagai aplikasi dalam memahami fenomena fisika seperti suara, panas, difusi, elektrostatika,
139 elektrodinamika, termodinamika, dinamika fluida, elastisitas, relativitas umum, dan mekanika kuantum. Solusi dari PDE dapat memiliki sifat kualitatif umum seperti keberadaan, keunikan, keberaturan, dan stabilitas. PDE juga menjadi subjek penelitian matematika murni yang bertujuan untuk mengidentifikasi fitur kualitatif umum dari solusi- solusi PDE. Persamaan diferensial parsial memiliki peran yang sangat penting dalam pemahaman ilmiah modern terhadap berbagai fenomena fisika dan teknik. Untuk memudahkan kita akan membedakan differential equation sebagai berikut: 1. Nonlinear differential equations dari susunan pertama dan ingicat pertama : a. Variabelnya dapat dipisahkan; b. Homogeneous differential equation; c. Differential equation yang pasti (exact). 2. Linear differential equation dari susunan pertama: a. Homogeneous differential equation dengan koefisien konstan b. Non homogeneous differential equation dengan koefisien konstan c. Yang bersifat umum (general case). 3. Linear differential equation dari susunan kedua dengan koefisien konstan. B. Pemecahaan (Solution) Pemecahan (solution) merujuk pada penemuan jawaban atau penyelesaian dari suatu masalah, kesulitan, atau teka-teki. Dalam konteks persamaan diferensial, "pemecahan" mengacu pada penemuan fungsi yang memenuhi persamaan diferensial yang diberikan. Pemecahan persamaan diferensial dapat dilakukan secara analitis, yaitu dengan menemukan ekspresi matematis untuk fungsi yang tidak diketahui, atau secara numerik, yaitu dengan menggunakan metode komputasi untuk mendekati solusi. Pemecahan persamaan diferensial memiliki aplikasi yang luas dalam berbagai bidang ilmu dan teknik, seperti fisika, teknik, ekonomi, dan biologi. 1. Differential Equations yang non linear dari susunan pertama dan tingkat pertama pada umumnya kita hanya dapat memecahkan beberapa saja dari bermacam – macam differential equations dan kita dibatasi pada differential
140 equations yang linear. Ada beberapa jenis yang penting dari differential equations yang non linear yang dapat dipecahkan, yaitu dari susunan pertama dan tingkat pertama. a. Persoalan variable yang dapat dipisahkan jika differensial equation = 2 dapat dinyatakan dalam bentuk : F1 (x)+ f2 (y) dy = 0 Dimana dengan menggabungkan dx dengan fi (x) adalah hanya suatu fungsi dari x dan dengam menggabungkan dy dengan suatu funsi fz (y) adalah hanya suatufungsi y, sehingga kita mempunyai persoalan variable yang dapat dipisahkan. b. Differential equation dengan koefisien homogen jika f(x,y) adalah suatu fungsi homogen dari tingkat n, maka : F (⋋λ x , λy = λ n f (x , y) c. Exact Differential Equation bila suatu fungsi f (x, y) = x²y. Differensial dari fungsi ini əf əx + əf əy 2. Differential Equation yang linear dari susunan pertama Sebegitu jauh kita telah membahan jenis dari differential equations yang nonlinear yang mudah untuk dipecahkan. Sekarang kita mengurangidifferential equationsyanglinear. Bentuk umumnya adalah : dy dx + = Dimana P dan Q adalah fungsi-fungsi dari x atau konstanta. Pemecahan umymuntukpersamaan(equation)ini diberikan dengan : ( 1 )= e - ∫ P dx ∫ P dx Qdxee. ∫ P dx 3. Differential Equation yang linear dari susunan kedua dengan koefisien konstan. Jenis persamaan ini dinyatakann dengan : 2 2 + 1 2 = () Pemecahan dilakukan dalam dua angka. Langkah pertama menentukan f (x) = 0 danpemecahan :
141 2 2 + 1 2 = () RANGKUMAN Differental Equations merupakan hal mendasar dalam matematika dan memiliki berbagai aplikasi dalam ekonomi. Dalam matematika, persamaan diferensial menghubungkan satu atau lebih fungsi yang tidak diketahui dan turunannya. Dalam ekonomi, persamaan ini digunakan untuk memodelkan pertumbuhan ekonomi, investasi, dan dinamika populasi. Persamaan ini membantu para ekonom memahami dinamika sistem ekonomi dan membuat prediksi tentang perilaku mereka di masa depan. Persamaan diferensial biasa (ODE) berisi fungsi yang tidak diketahui dari satu variabel realatau kompleks, turunannya, dan beberapa fungsi yang diberikan dari variabel tersebut. Persamaan diferensial digunakan untuk memodelkan laju peningkatan alami populasi ikan di danau, menyelesaikan persamaan tertentu seperti dy/dx + 2y = x, dan menemukan solusi untuk persamaan seperti x dy/dx - y = x + 2 LATIHAN SOAL : Contoh: Bunga Majemuk Uang menghasilkan bunga. Bunga dapat dihitung pada waktu tertentu, seperti tahunan, bulanan, dll. dan ditambahkan ke jumlah awal. Ini disebut bunga majemuk. Tetapi ketika bunga majemuk terus menerus, maka setiap saat bunga akan ditambahkan secara proporsional dengan nilai pinjaman (atau investasi) saat ini. Dan seiring dengan pertumbuhan pinjaman, ia akan menghasilkan lebih banyak bunga. Dengan menggunakan t untuk waktu, r untuk suku bunga dan V untuk nilai pinjaman saat ini : = Dan ini hal yang keren: persamaan ini sama dengan persamaan yang kita dapatkan
142 dengan Kelinci! Hanya saja hurufnya berbeda. Jadi, matematika menunjukkan kepada kita bahwa kedua hal ini berperilaku sama. Pemecahan Persamaan Diferensial menjelaskannya dengan baik, tetapi sulit untuk digunakan. Tapi jangan khawatir, persamaan ini bisa diselesaikan (menggunakan metode khususyang disebut Pemisahan Variabel) dan menghasilkan: V = Pert Di mana P adalah Pokok Pinjaman (pinjaman awal), dan e adalah Bilangan Euler. Jadi, pinjaman yang terus menerus dibungakan sebesar $1.000 selama 2 tahun dengan suku bunga 10% menjadi: V = 1000 × e (2 × 0,1) V = 1000 × 1.22140... V = $1.221,40 (ke sen terdekat BAB 10 APLIKASI DIFERENSIAL DAN INTEGRAL DALAM EKONOMI Di dalam analisis ekonomi diferensial dan integral banyak dipergunakan terutama dalam masalah elastisitas, biaya, hasil penjualan (revenue), consumer's surplus dan producer's surplus. A. Konsep Elastisitas Di dalam analisa ekonomi diferensial dan integral banyak dipergunakan dalam masalah elastisitas, biaya, hasil penjualan, consumer’s surplus dan producer’s surplus. Seperti yang telah diketahui banyaknya pertambahan atau penurunan jumlah yang diminta atau yang ditawarkan suatu barang sebagai akibat dari naik atau turunnya harga dari barang tersebut ditentukan oleh tingkat elastisitas harga atas permintaan atau penawaran barang tersebut. Yang dimaksud elastisitas harga adalah angka perbandingan antara perubahan relatif dari jumlah barang dengan perubahan relatif dari harga. Apabila p merupakan harga dan x merupakan jumlah/kuantitas barang maka pengertian
143 elastisitas tersebut dapat dinyatakan dalam formula berikut. Elastisitas= ∆ ∶ ∆ Contoh 1 : Bila harga Rp 10,- terdapat jumlah/kuantitas 150 unit sedangkan jika hargaRp 12,50 maka jumlah/kuantitas 200 unit. Dalam hal ini kita dapatkan perubahan harga yaitu: naik sebesar: Δp =Rp 12,50 – Rp 10,- = Rp 2,50. Sedangkan perubahan jumlah yaitu naik sebesar ∆ = 200 – 150 = 50 unit. Makadiperoleh eastisitas : ∆ : ∆ = 50 150 : 2,5 10 = 1 3 : 1 4 = 4 3 Contoh 2 : Jika harga Rp. 12,5 terdapat jumlah/kuantitas 100 unit, sedangkan bila harga Rp. 10 maka jumlah/kuantitas 150 unit. Dalam hal ini kita dapatkanperubahan harga yaitu turun sebesar ∆ = 2− 1 = RP 2,50. Sedangkan perubahan jumlah barang adalah naik yaitu : ∆ = 2− 1 = 100 – 150 =-50 Sehingga diperoleh : Elastisitas = ∆ : ∆ 50 150 : − 50 150 = 1 3 : − 1 4 = − 4 3 Dari contoh (1) terlihat bahwa terdapat pertambahan jumlah barang sebagai akibat naiknya harga sehingga elastisitasnya mempunyai angka positif. Grafiknya terlihat grafik (1), maka terlihat Curvenya bergerak dari kiri bawah ke kanan atas atau sebaliknya. Hal ini sesuai dengan hukum penawaran dimana harga naik maka jumlah barang yang di tawarkan bertambah. jadi elastisitas penawaran akan memberikan angka positif. Sedangkan dari contoh (2), terlihat bahwa terdapat kenaikan jumlah orang sebagai akibat turunnya harga sehingga elastisitasnya mempunyai angka negatf