44 (masukan) dan output (hasil produksi). 2. Fungsi Konsumsi: Fungsi ini berkaitan dengan cara individu dan rumah tangga mengkonsumsi barang dan jasa. Fungsi konsumsi mempelajari perilaku konsumen, preferensi, dan faktor-faktor yang memengaruhi tingkat konsumsi. 3. Fungsi Investasi: Fungsi ini mencakup penggunaan sumber daya untuk membangun atau meningkatkan kapasitas produksi di masa depan. Investasi adalah motor penggerak pertumbuhan ekonomi karena dapat menciptakan lapangan kerja, meningkatkan produktivitas, dan mendukung inovasi. 4. Fungsi Distribusi : Mencakup cara pendapatan dan kekayaan didistribusikan di dalam masyarakat. Hal ini melibatkan masalah ketidaksetaraan pendapatan dan peran pemerintah dalam mengatur distribusi pendapatan. 5. Fungsi Keuangan : Melibatkan pengaliran uang, modal, dan sumber daya ke dalam berbagai sektor ekonomi. Ini termasuk peran perbankan, pasar modal, dan lembaga keuangan lainnya dalam menyediakan sumber daya untuk kegiatan ekonomi. 6. Fungsi Pemerintah: Pemerintah memainkan peran penting dalam ekonomi melalui berbagai kebijakan fiskal dan moneter, serta regulasi ekonomi. Pemerintah dapat mempengaruhi tingkat pengeluaran, inflasi, tingkat suku bunga, dan banyak aspek ekonomi lainnya. 7. Fungsi Ekspor dan Impor: Perdagangan internasional adalah bagian penting dari ekonomi modern. Fungsi ekspor dan impor mencakup perdagangan barang dan jasa antara negara-negara dan bagaimana hal ini dapat memengaruhi perekonomian nasional. 8. Fungsi Sosial: Ekonomi juga memiliki fungsi sosial, seperti mengatasi masalah kemiskinan, mengurangi ketidaksetaraan, dan memenuhi kebutuhan dasar masyarakat. Fungsi ini mencakup peran sektor publik dan organisasi nirlaba dalam meningkatkan kesejahteraan sosial. 9. Fungsi Lingkungan: Perhatian terhadap lingkungan semakin penting dalam ekonomi modern. Fungsi ini mencakup bagaimana ekonomi dapat berkelanjutan dalam jangka panjang dan meminimalkan dampak negatifnya
45 terhadap lingkungan. Setiap fungsi ini saling terkait dan memengaruhi satu sama lain dalam menciptakan struktur ekonomi suatu negara. Pemahaman tentang fungsi-fungsi ini membantu ekonom untuk menganalisis dan merumuskan kebijakan yang mempromosikan pertumbuhan ekonomi yang berkelanjutan dan kesejahteraan masyarakat. A. Fungsi dan Kurva Permintaan (Demand) Dalam fungsi permintaan, variable menentukan (independent variable) tidak selamanya satu yaitu harga barang tersebut. Akan tetapi, dapat lebih dari satu, yaitu di samping harga barang, ada juga harga dan jumlah barang-barang subsitusi. Hubungan variable tersebut dinyatakan sebagai X1 = f (X2, X3, X4,…..) dimana X1 adalah variable harga barang tersebut X3 adalah kuantitas/jumlah barang substitusi yang dimana, X4 adalah harga barang substitusi tersebut, dan demikian seterusnya permasalahan ini merupakan permasalahan lanjutan dari matematika ekonomi yang dikenal dengan ekonometri. Fungsi permintaan (demand function) dalam ekonomi adalah hubungan matematis atau fungsional yang menggambarkan seberapa banyak barang ataujasa yang akan dibeli oleh konsumen pada berbagai tingkat harga, dengan asumsi faktor-faktor lainnya tetap konstan. Fungsi permintaan ini menggambarkan bagaimana tingkat permintaan berubah sebagai respons terhadap perubahan harga. Kurva permintaan (demand curve), di sisi lain, adalah representasi grafis dari fungsi permintaan. Biasanya, kurva permintaan menggambarkan hubungan antara harga suatu barang atau jasa (di sumbu vertikal) dan jumlah barang atau jasa yang diminta oleh konsumen (di sumbu horizontal). Kurva permintaan biasanya memiliki hambatan negatif, artinya, ketika harga naik, jumlah yang diminta cenderung turun, dan sebaliknya. Ini menghasilkan kurva permintaan yang melengkung ke bawah. Kurva permintaan berperan penting dalam analisis ekonomi. Ini membantu produsen, pemerintah, dan pelaku pasar lainnya untuk memahami
46 bagaimana konsumen akan merespons perubahan harga dan faktor-faktor lainnya. Hal inijuga digunakan dalam perencanaan bisnis, penetapan harga, dan kebijakan ekonomi. 1. Fungsi dan Kurva Permintaan Garis Lurus (Linear) Fungsi permintaan garis lurus (linear demand function) adalah jenis fungsi permintaan di mana hubungan antara harga suatu barang dan jumlah yang diminta oleh konsumen diungkapkan dalam bentuk persamaan linear. Dalam hal ini, perubahan harga memiliki dampak yang proporsional terhadap perubahan jumlah yang diminta. Fungsi permintaan garis lurus dapat diwakili oleh persamaan matematis berikut: [Qd = a - bP] Dalam persamaan ini: (Qd) adalah jumlah yang diminta oleh konsumen. (P) adalah harga barang. (a) jumlah yang diminta ketika harga nol (intersepsi sumbu(Qd)). (b) adalah koefisien kemiringan kurva permintaan, yang mengukur seberapa sensitif jumlah yang diminta terhadap perubahan harga. Ketika (b) positif, hal ini mengindikasikan bahwa permintaan bersifat negatif terhadap harga (harga naik, jumlah yang diminta turun), sedangkan ketika (b) negatif, permintaan bersifat positif terhadap harga (harga naik, jumlah yang diminta juga naik). Kurva permintaan garis lurus dalam representasi grafis adalah garis lurus yang melintasi sumbu (Qd) dan sumbu (P). Ini berarti bahwa perubahan harga akan menghasilkan perubahan jumlah yang diminta yang memiliki tingkat kenaikan atau penurunan yang tetap (sesuai dengan nilai (b)). Karakteristik utama dari fungsi permintaan garis lurus adalah sebagai berikut: 1. Hubungan antara harga dan jumlah yang diminta bersifat linear. 2. Elastisitas harga permintaan konstan sepanjang kurva. 3. Koefisien (b) menentukan kemiringan kurva dan elastisitas harga
47 permintaan. Penting untuk dicatat bahwa fungsi permintaan garis lurus adalahmodel yang sederhana dan tidak selalu mencerminkan kondisi pasar yang sebenarnya. Pada kenyataannya, kurva permintaan seringkali lebih kompleks dan tidak selalu memiliki hubungan linear antara harga dan jumlah yang diminta. Namun, model ini dapat digunakan sebagai alat pedagogis dan untuk analisis kasus sederhana dalam ekonomi. Gambar 4.1 Skala kuantitas x = -3p + 15 dan harga 5 Perlu dicatat dalam gambar ini bahwa skala kuantitas (x) dan harga (p) tidak perlu selalu sama besar Batas-batas yang berlaku untuk kurva permintaan adalah untuk : a. Variable kuantitas 0 x 10 b. Variable harga 0 x 5 Dalam contoh tadi terlihat bahwa: x = f (p) di mana x merupakan variable yang dicari/tidak bebas (dependent variable) dan y merupakan menentukan/bebas (independent variable) + 5. Berdasarkan fungsi permintaan ini, dapatlah diketahui bahwa x = 0, maka p = 5; dan jika p=0, maka x = 10. Grafik fungsi permintaan atau kurva permintaan barang tersebut dapat di lihar pada Gambar 4.2.
48 Gambar 4.2 Batas-batas kurva permintaan Dalam gambar 4.2 terlihat bahwa batas-batas yang berlaku untuk kurva permintaan barang tersebut adalah untuk: a. Variable kuantitas yaitu 0 ≤ x ≤ 10 b. Variabel harga yaitu 0 ≤ p ≤ 5 Dalam menggambarkan grafik fungsi atau kurva permintaan, perlu di perhatikan bahwa skala pada sumbu kuantitas/jumlah yaitu x tidak perlu harus sama dengan skala pada sumbu harga yaitu x, tidak harus sama dengan skala pada sumbu harga yaitu p. hal ini disebabkan unit harga tidak sama dengan unit kuantitas. 2. Fungsi dan Kurva Permintaan Garis Tidak Lurus Parabola (Kuadrat) Fungsi permintaan garis tidak lurus parabola (kuadrat) menggambarkan hubungan antara harga suatu produk atau layanan dengan jumlah yang diminta oleh konsumen. Dalam kasus ini, fungsi permintaan adalah fungsi kuadrat, yang dapat dinyatakan dalam bentuk umum: Q = a - bP + cP2 Dimana: Q adalah jumlah produk atau layanan yang diminta. P adalah harga produk atau layanan. a, b, dan c adalah parameter yang menentukan bentuk kurva permintaan. Kurva permintaan garis tidak lurus parabola (kuadrat) ini biasanya
49 memiliki bentuk yang terbalik U atau terbalik parabola, yang berarti bahwa ketika harga turun dari tingkat yang tinggi, permintaan akan meningkat, tetapi ketika harga naik dari tingkat yang rendah, permintaan akan berkurang. Cara parameter a, b, dan c memengaruhi kurva permintaan: Parameter a merupakan jumlah maksimum yang akan diminta pada harga nol (intersep sumbu Q ketika P = 0). Parameter b mengukur sejauh mana harga memengaruhi permintaan. Semakin besar nilai b, semakin besar dampak harga terhadap permintaan. Jika b positif, maka permintaan akan turun seiring dengan kenaikan harga, dan jika 'b' negatif, maka permintaan akan naik seiring dengan kenaikan harga. Parameter c menentukan tingkat elastisitas permintaan. Semakin besar nilai c, semakin elastis permintaan, yang berarti perubahan harga akan memiliki dampak yang lebih besar pada jumlah yang diminta. Sebaliknya, semakin kecil nilai c, semakin inelastis permintaan, yang berarti perubahan harga akan memiliki dampak yang lebih kecil pada jumlah yang diminta. Ketika c positif, maka kurva parabola akan terbuka ke atas, dan ketika c negatif, kurva akan terbuka ke bawah. Selain itu, bentuk dan karakteristik kurva juga tergantung pada nilai-nilai a, b, dan c yang sebenarnya. Dalam praktiknya, analisis permintaan dan penentuan parameterparameter ini sering melibatkan metode statistik dan data empiris untuk memahami perilaku konsumen dan mengoptimalkan strategi harga dan penjualan. Bentuk umum lain dari fungsi permintaan kuadrat P = f (x) adalah p = ax 2 + bx + c. Bentuk umum ini mengikuti bentukumum yang sering berlaku dalam matematika atau aljabar, y = ax 2 + bx + c. Dalam bentuk umum fungsi permintaan kuadrat ini, x adalah variable kuantitas/jumlah dan p adalah variable harga, sedangkan a, b, dan c adalah konstanta. Besarnya tingkat pertambahan/penurunan harga sebagai akibat turun/naiknya jumlah
50 yang diminta. Tingkat pertambahan/penurunan ini tergantung pada elastisitas barang tersebut. 3. Fungsi dan Kurva Permintaan Garis Tidak Lurus Hiperbola (Fungsi Pecah) Fungsi permintaan garis tidak lurus hiperbola, juga dikenal sebagai fungsi pecah, menggambarkan hubungan antara harga suatu produk atau layanan dengan jumlah yang diminta oleh konsumen. Dalam kasus ini, fungsi permintaan adalah fungsi hiperbola, yang dapat dinyatakan dalam bentuk umum: Q = a / (bP + c) Dimana: Q adalah jumlah produk atau layanan yang diminta. P adalah harga produk atau layanan. a, b, dan c adalah parameter yang memengaruhi bentuk kurva permintaan. Kurva permintaan garis tidak lurus hiperbola biasanya memiliki bentuk yang terbalik U, yang berarti ketika harga turun dari tingkat yang tinggi, permintaan akan meningkat dengan cepat, tetapi ketika harga naik dari tingkat yang rendah, permintaan akan merosot secara signifikan. Cara parameter a, b, dan c memengaruhi kurva permintaan: Parameter 'a' merupakan jumlah maksimum yang akan diminta pada harga nol. Ini adalah batas atas jumlah yang diminta ketika harga mendekati nol. Parameter 'b' mengukur sejauh mana harga memengaruhi permintaan. Semakin besar nilai 'b', semakin besar pengaruh harga terhadap permintaan. Jika 'b' positif, maka permintaan akan turun dengan tajam ketika harga naik, dan sebaliknya. Parameter 'c' mempengaruhi letak kurva hiperbola di sepanjang sumbu P. Semakin besar nilai 'c', semakin cepat kurva hiperbola mendekati sumbu P saat harga meningkat.
51 Selain itu, ketika 'b' positif, maka kurva hiperbola akan terletak di kuadran pertama (sekitar sumbu Q dan P positif), sementara jika 'b' negatif, maka kurva akan terletak di kuadran ketiga (sekitar sumbu Q negatif dan P positif). Fungsi permintaan garis tidak lurus hiperbola adalah salah satu model matematis yang digunakan untuk menganalisis perilaku permintaan konsumen. Penggunaannya dalam praktik ekonomi dan bisnis dapat membantu perusahaan untuk memahami bagaimana harga memengaruhi tingkat permintaan dan merencanakan strategi penetapan harga yang efektif. B. Fungsi dan Kurva Penawaran (Supply) Penawaran (supply) merujuk pada jumlah produk atau layanan yang tersedia untuk dijual oleh produsen atau penjual pada berbagai tingkat harga tertentu dalam suatu pasar atau periode waktu tertentu. Ini mencerminkan seberapa banyak produsen bersedia dan mampu memasok ke pasar pada berbagai tingkat harga. Penawaran ini dapat berasal dari berbagai sumber, seperti produsen, perusahaan, atau individu yang memiliki barang atau jasa yang mereka ingin jual. Kurva penawaran (supply curve) adalah representasi grafis dari hubungan antara harga dan jumlah yang ditawarkan dalam suatu pasar. Kurva penawaran menunjukkan seberapa banyak produk atau layanan yang akan ditawarkan pada setiap tingkat harga tertentu. Umumnya, kurva penawaran cenderung naik dari kiri atas ke kanan bawah, yang berarti ketika harga naik, jumlah yang ditawarkan juga cenderung meningkat, dan sebaliknya. Ini sesuai dengan hukum penawaran, yang menyatakan bahwa, ceteris paribus (semua faktor lainnya konstan), semakin tinggi harga, semakin besar jumlah yang akan ditawarkan oleh produsen. Kurva penawaran bersifat dinamis dan dapat berubah seiring waktu karena faktor-faktor di atas berubah. Analisis penawaran dan permintaan serta kurvapenawaran adalah bagian penting dalam ilmu ekonomi untuk memahami perilaku pasar, perubahan harga, dan interaksi antara produsen dan konsumen.
52 Fungsi penawaran (supply function) menggambarkan hubungan antara hargasuatu produk atau layanan dengan jumlah yang ditawarkan oleh produsen atau penjual. Dalam ekonomi, fungsi penawaran biasanya dinyatakan dalam bentuk umum: Qs = f(P) Dimana: Qs adalah jumlah produk atau layanan yang ditawarkan. P adalah harga produk atau layanan. f(P) adalah fungsi yang menentukan hubungan antara harga dan jumlahyang ditawarkan. Fungsi penawaran ini dapat berbeda-beda untuk setiap produk atau layanan, tergantung pada faktor-faktor seperti biaya produksi, teknologi, persediaan, dan faktor-faktor lain yang memengaruhi keputusan produsen. Kurva penawaran (supply curve) adalah representasi grafis dari fungsi penawaran. Biasanya, kurva penawaran memiliki bentuk yang positif, yang berarti ketika harga naik, jumlah yang ditawarkan juga cenderung meningkat, dan sebaliknya. Ini mencerminkan hukum penawaran, yang menyatakan bahwa, ceteris paribus (semua faktor lainnya konstan), semakin tinggi harga suatu produk,semakin besar jumlah yang akan ditawarkan oleh produsen. Dalam banyak kasus, kurva penawaran dapat memiliki karakteristik elastis atau inelastis, tergantung pada sejauh mana perubahan harga memengaruhi perubahan jumlah yang ditawarkan. Kurva penawaran elastis akan memiliki kemiringan yang lebih besar, menunjukkan bahwa produsen dapat menanggapi perubahan harga dengan jumlah yang lebih besar. Sebaliknya, kurva penawaran inelastis akan memiliki kemiringan yang lebih kecil, menunjukkan bahwa perubahan harga hanya akan sedikit memengaruhi jumlah yang ditawarkan. Faktor-faktor yang dapat memengaruhi fungsi penawaran dan bentuk kurva penawaran meliputi biaya produksi, teknologi, persediaan bahan baku, kebijakan pemerintah (seperti pajak atau subsidi), perkiraan harga di masa
53 depan, dan faktor-faktor lain yang mempengaruhi keputusan produsen. Analisis fungsi dan kurva penawaran penting dalam ekonomi untuk memahami interaksi antara penawaran dan permintaan, serta dampak perubahan harga terhadap pasar dan perilaku produsen. 1. Fungsi dan Kurva Penawaran Garis Lurus (Linear) Fungsi penawaran garis lurus (linear) menggambarkan hubungan antara harga suatu produk atau layanan dengan jumlah yang ditawarkan oleh produsen atau penjual. Dalam kasus fungsi penawaran garis lurus, hubungan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk umum: Qs = a + bP Dimana: Qs adalah jumlah produk atau layanan yang ditawarkan. P adalah harga produk atau layanan. a adalah intercept pada sumbu Q (jumlah yang ditawarkan pada harganol). b adalah kemiringan kurva penawaran (menunjukkan seberapa besar perubahan harga memengaruhi jumlah yang ditawarkan). Kurva penawaran garis lurus adalah representasi grafis dari fungsi penawaran linear tersebut. Kurva ini akan memiliki bentuk garis lurus yang naik dari kiri bawah ke kanan atas. Ini berarti ketika harga naik, jumlah yang ditawarkan juga naik sebanding, dan sebaliknya. Fungsi penawaran garis lurus dan kurva penawaran linear adalah model sederhana yang digunakan dalam analisis ekonomi untuk memahami bagaimana perubahan harga memengaruhi penawaran produk atau layanan dalam situasi tertentu. Namun, dalam dunia nyata, banyak faktor lain, seperti biaya produksi, teknologi, persediaan, dan faktor eksternal, juga memengaruhi penawaran, sehingga model ini sering dianggap sebagai representasi yang sangat sederhana dari realitas pasar. 2. Fungsi dan Kurva Permintaan Garis Tidak Lurus Parabola (kuadrat) Fungsi permintaan garis tidak lurus parabola (kuadrat) menggambarkan hubungan antara harga suatu produk atau layanan dengan jumlah yang
54 diminta oleh konsumen. Dalam kasus fungsi permintaan garistidak lurus parabola, hubungan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk umum: Qd = a - bP + cP2 Dimana: Qd adalah jumlah produk atau layanan yang diminta. P adalah harga produk atau layanan. a, b, dan c adalah parameter yang memengaruhi bentuk kurva permintaan. Kurva permintaan garis tidak lurus parabola (kuadrat) adalah representasi grafis dari fungsi permintaan tersebut. Kurva ini akan memiliki bentuk yang terbalik U atau terbalik parabola. Ini berarti ketika harga turun dari tingkat yang tinggi, permintaan akan meningkat, tetapi ketika harga naik dari tingkat yang rendah, permintaan akan berkurang. Ini menunjukkan perilaku permintaan yang mengikuti hukum penawaran dan permintaan Fungsi permintaan garis tidak lurus parabola adalah model matematis yang digunakan dalam ekonomi untuk menganalisis perilaku permintaan konsumen dan membantu perusahaan merencanakan strategi harga dan penjualan. Model ini lebih kompleks daripada model linear sederhana dan lebih sesuai untuk menggambarkan permintaan yang tidak selalu linier terhadap perubahan harga. 3. Fungsi dan Kurva Penawaran Garis Tidak Lurus Hiperbola (Fungsi Pecah) Fungsi penawaran garis tidak lurus hiperbola, juga dikenal sebagai fungsi pecah, menggambarkan hubungan antara harga suatu produk atau layanan dengan jumlah yang ditawarkan oleh produsen atau penjual. Dalam kasus fungsi penawaran garis tidak lurus hiperbola, hubungan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk umum: Qs = a / (bP + c) Dimana: Qs adalah jumlah produk atau layanan yang ditawarkan.
55 P adalah harga produk atau layanan. a, b, dan c adalah parameter yang memengaruhi bentuk kurva penawaran. Kurva penawaran garis tidak lurus hiperbola adalah representasi grafis dari fungsi penawaran tersebut. Kurva ini akan memiliki bentuk hiperbola, yang berarti bahwa ketika harga turun dari tingkat yang tinggi, jumlah yang ditawarkan akan meningkat secara signifikan, tetapi ketika harga naik dari tingkat yang rendah, jumlah yang ditawarkan akan berkurang secara signifikan. Fungsi penawaran garis tidak lurus hiperbola adalah model matematis yang lebih kompleks daripada model linear sederhana. Ini lebih sesuai untuk menggambarkan penawaran yang memiliki elastisitas yang berubah-ubah seiring dengan perubahan harga. Analisis menggunakan model ini dapat membantu dalam memahami bagaimana perubahan harga memengaruhi penawaran dalam situasi dimana produsen merespons harga dengan tingkat yang bervariasi tergantung pada tingkat harga yang ada. C. Keseimbangan Pasar (Market Equilibrium) Keseimbangan pasar (Market Equilibrium) adalah situasi dalam ekonomi di mana kuantitas yang diminta oleh konsumen sama dengan kuantitas yang ditawarkan oleh produsen pada harga tertentu. Dalam keseimbangan pasar, tidak ada tekanan untuk perubahan dalam harga atau kuantitas yang ditawarkan atau diminta karena tidak ada kelebihan penawaran atau permintaan. Dalam praktiknya, keseimbangan pasar adalah konsep penting dalam analisis ekonomi karena membantu memahami bagaimana harga dan jumlah di pasar ditentukan oleh interaksi antara penawaran dan permintaan. Ketika pasar berada dalam keseimbangan, ini dianggap sebagai hasil yang efisien karena sumber daya digunakan secara optimal sesuai dengan preferensi konsumen dan kemampuan produsen. Namun, dalam situasi di luar keseimbangan, mungkin terdapat kekurangan atau surplus, yang dapat mengarah pada fluktuasi harga dan ketidakefisienan dalam alokasi sumber daya.
56 D. Perpajakan (Taxation) Pajak merupakan pungutan yang ditarik oleh pemerintah terhadap wajib pajak, tanpa mendapatkan wajib pajak, tanpa mendapatkan balas jasa langsung. Dalam pembahasan pajak ini kita membedakan pajak yang dikenakan terhadap suatu barang tertentu atas pajak yang dikenakan terhadap suatu barang tertentu atas pajak per unit dan pajak presentase. 1. Pajak per Unit Pajak per unit adalah pejak yang dikenakan terhadap suatu barang tertentu. Besarnya pajak tersebut ditentukan dalam jumlah uang yang tetap untuk setiap unit barang yang dihasilkan. Contoh: Diketahui fungsi permintaan suatu barang adalah p = 12 – 2x dan fungsi penawaran barang tersebut adalah p = 3 + x di mana x adalah variabel kuantitas dan p adalah variabel harga dari barang tersebut. Apabila terhadap barang ini ditentukan pajak yaitu sebesar t = 2 maka tentukan titik keseimbangan pasar sebelum pajak! Jawab: Titik keseimbangan pasar sebelum pajak dapat diperoleh dengan mencari titik perpotongan yang memenuhi persyaratan kurva-kurva permintaan dan penawaran, yaitu: D : p = 12 – 2x 12 – 2x = 3 + x 3x = 9 X = 3, maka p = 6 S : p = 3 + x Jadi titik perpotongan pasar sebelum pajak adalah pada E (3,6). 2. Pajak Presentase Pajak presentase adalah pajak yang dikenakan terhadap suatu barang tertentu. Pajak tersebut diperhitungkan sebesar presentase (%) yang tetap dari hasil penerimaannya. Contohnya, pajak penjualan. Dalam hal ini pajak presentase dinyatakan dengan tanda “r”. dengan adanya pajak presentase,
57 maka harga yang ditawarkan oleh si penjual akan naik sebesar 1% dari harga semula. Hal ini terjadi untuk masing-masing tingkatan jumlah yang ditawarkan. Contoh: Diketahui fungsi permintaan suatu barang adalah p = 8 – ½ x dan fungsi penawaran barang tersebut adalah p = 2 + 2x di mana x adalah variabel kuantitas dan p adalah variabel harga dari barang tersebut. Terhadap barang ini dikenakan pajak sebesar r = 20%. Maka carilah titik keseimbangan pasar sesudah pajak. Jawab: D : p = 8 – ½ x 8 – ½ x = 2,4 + 2,4x S1 : p = (2 + 2x) 6/5 = 2,4 + 2,4x 2,9x = 5,6 X = 1,93 dan p = 7,03 Jadi titik keseimbangan pasar sesudah pajak dalah pada (1,93 ; 7,03). E. Subsidi Subsidi adalah bantuan yang diberikan pemerintah kepada produsen terhadap produk yang dihasilkan dan dipasaarkan. Dengan demikian, harga yang berlaku di pasar adalah harga yang diinginkan pemerintah yaitu harga yang lebih rendah dengan jumlah yang dapat dibli masyarakat akan lebih besar. Adanya subsidi membuat tingkatan harag yang berlaku di dalam pasar menjadi lebih rendah. Hal ini dikarenakan sebagian dari biaya-biaya untuk memproduksi dan memasarkan barang tersebut ditanggung pemerintah yaitu sebesar subsidi. Dengan adanya subsidi, fungsi penawaran akan turun sedangkan fungsi permintaan tetap. LATIHAN SOAL 1. Fungsi permintaan sebuah barang di pasar menunjukkan bahwa Qd= 40 - p serta fungsi penawaran Qs= 4P - 50. Tentukan berapa jumlah harga keseimbangannya?
58 Jawaban: Qd = Qs 40 – P = 4P – 50 -P -4P = -50 -40 -5P = -90 P = -90/-5 = 18 Sampai sini, kita sudan memperoleh price P (harga) keseimbangan sebesar = 18. Selanjutnya dalam mencari Q atau jumlah keseimbangan kita harus memasukanharga keseimbangan (18) salah satu fungsi di atas. P dapat kita masukkan ke fungsi permintaan ataupun fungsi penawaran. P = 18 => Q = 40 – PQ = 40 -18 Q =22 Sehingga dapat diketahui jumlah keseimbangan atau Q sebesar = 22. 2. Fungsi permintaan barang ditunjukkan oleh persamaan Q = -P2 + 32 dan penawarannya Q = P2. Terhadap barang tersebut dikenakan pajak sebesar t = 1 per unit. Ditanyakan : a. Berapakah harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan sebelum pajak ?! b. Berapakah harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan setelah pajak ?! c. Besar pajak yang ditanggung konsumen, produsen, dan pemerintah ?! Jawab : a. Harga Keseimbangan sebelum Pajak Qd = Qs Q = - P2 + 32 -P2 + 32 = P2 Q = -(4)2+ 32 -2P2 = -32 Q = -16 + 32 P2 = 16 Q0 = 16 P0 = 4 Titik Keseimbangan E0 ( 16, 4 ) b. Harga Keeimbangan setelah Pajak E1 → Qd = Qs + t -P2 + 32 = ( P – 1 )2
59 -P2 + 32 = P2 – 2P + 12P2 – 2P – 31 = 0 P2 – P – 15,5 = 0 Titik Keseimbangan E1 ( 12,04 , 4,47 ) c. Pajak Konsumen Pajak Pemerintah Tk = ( P1 - P0 ) x Q1 Tt = Tk + Tp Tk = ( 4,47 – 4 ) x 12,04 Tp = 5,66 + 6,38 Tk = 5,66 Tp = 12,04 Pajak Produse Tp = ( P0 – P’ ) x Q1 Tp = ( 4 – 3,47 ) x 12,04 Tp = 6,38 3. Pada saat fungsi permintaan Qd = 15 ‒ P dan fungsi penawaran Qs = ‒6 + 2P, pemerintah menetapkan pajak sebesar Rp2,00 per unit. Berdasarkan data tersebut, harga keseimbangan setelah pajak adalah …. A. 8,33 B. 8 C. 7, D. 6,67 E. 4,33 Pembahasan: Berdasarkan keterangan yang diberikan pada soal dapat diperoleh beberapa informasi berikut. Fungsi permintaan: Qd = 15 ‒ P Fungsi penawaran: Qs = ‒6 + 2P Besar pungutan pajak per unit: t = Rp2,00 Pengaruh pajak dan subsidi terhadap keseimbangan pasar dapat membuat kurva penawaran mengalami pergeseran, sementara kurva permintaan tetap. Sehingga fungsi yang mengalami perubahan pada pengaruh pajak dan subsidi terhadap keseimbangan pasar adalah fungsi penawaran. Menentukan fungsi penawaran setelah ada pajak: Qst = ‒6 + 2(P ‒ t)
60 Qst = ‒6 + 2(P ‒ 2) Qst = ‒6 + 2P ‒ 4 Qst = ‒10 + 2P Titik keseimbangan setelah pajak dapat ditemukan pada perpotongan fungsi permintaan Qd dengan fungsi penawaran setelah pajak Qst. Cara menentukan harga dan titik keseimbangan setelah pajak dapat dilakukan seperti penyelesaianberikut. Menghitung harga pasar setelah ada pajak: Qd = Qst 15 ‒ P = ‒10 + 2P ‒P ‒ 2P = ‒10 ‒ 15 ‒3P = ‒25 P = ‒25/‒3 = 8,33. Jadi harga keseimbangan setelah pajak adalah 8,33. Jawaban : A 4. Ketika harga barang Rp60,00 per unit, jumlah permintaan sebanyak 20 unit. Ketika harga barang Rp40,00 per unit, jumlah permintaannya 30 unit. Carilah persamaan fungsi permintaan! Diketahui: Q2 = 30Q1 = 20 P2 = 40 P1 = 60 Hitunglah memakai rumus persamaan garis lurus: P – P1 = Q – Q1 / P2 – P1 = Q2 – Q1 (P – 60) / (40 – 60) = (Q – 20) / (30 – 20) (P – 60) / -20 = (Q – 20) / 10 10 P – 600 = -20 Q + 400 10 P = -20 Q + 1000 P = -20 Q + 1000 / 10 P = -2 Q + 100 atau P = 100 – 2 Q Jadi, fungsi permintaannya adalah P = 100 – 2 Q 5. Vira sedang membuka usaha peralatan olahraga. Ketika pasar sedang ramai, ia menjual produk tas gunung seharga Rp140.000 untuk jumlah 20 unit. Jika, Vira menjual 30 unit dengan harga Rp160.000, tentukanlah fungsi penawarannya!
61 Diketahui : Q1 = 20 Q2 = 30 P1 = Rp 60.000 P2 = Rp 80.000 Terapkan rumus persamaan garis lurus: (Q – Q1) / (Q2 – Q1) = (P – P1) / (P2 – P1) (Q – 20) / (30 – 20) = (P – 60.000) / (80.000 – 60.000) (Q – 20) / 10 = (P – 60.000) / 20.000 20.000 Q – 400.000 = 10 P – 600.000 20.000 Q = 10 P – 200.000 Q = 0,0005 P – 10 Jadi, bisa disimpulkan bahwa fungsi penawaran Vira adalah Q = 0,0005 P – 10 BAB V DIFERENSIAL Deskripsi Singkat : Pada bab ini dibahas tentang diferensial yang pada dasarnya merupakan proses penarikan limit atas suatu koefisien diferensi dalam hal tambahan variabel bebasnya mendekati nol. Relevansi : Pada bagian ini di bahas tentang pengrtian limit dan kontinuitas suatu fungsi, pengertian tentang diferensial, diferensiabel, dan differential quotient suatu fungsi, defferential quatient atau diferensial fungsi aljabar eksponensial dan logaritma, persamaan garis singgung suatu parabola. Dengan dasar pemahaman ini akan menjadi landasan bagi mahasiswa untuk memahami materi ini sebagai bekal untuk kedepannya khususnya pada mata kuliah matematika bisnis.
62 Indikator : - Mahasiswa mampu menjelaskan tentang pengertian Limit dan Kontinuitas suatu fungsi - Mahasiswa mampu menjelaskan pengertian tentang Diferensial, Diferensiabel, dan Differential Quotient suatu fungsi - Mahasiswa mampu menjelaskan Differential Quotient atau diferensial fungsi aljabar eksponensial dan logaritma - Mahasiswa mampu menjelaskan Persamaan Garis Singgung Suatu Parabola A. Pengertian Limit dan Kontinuitas suatu fungsi 1. Sistem Angka Riil Sistem angka riil merupakan sejumlah atau sekumpulan angka-angka yang mengikuti ketiga asas. Asas-asas itu meliputi: a. Asas susunan (order); b. Asas penambahan dan perkalian (addition and multiplication); c. Asas kontinuitas (continuity). Misalnya angka riil x1, x2, x3, .........xn, atau {x1} di mana i = 1,2,3..........n. Maka, batas angka riil ini adalah M jika x ≤ M untuk setiap nilai x dalam himpunan/kumpulan angka riil tersebut. Batas yang paling tinggi (least upper bound) untuk suatu himpunan/ kumpulan angka riil adalah batas tertinggi (upper bound). Dalam hal ini angkanya adalah lebih kecil dari batas tertinggi (upper bound) lainnya. Perhatikan contoh berikut. a. Suatu himpunan angka yang tidak terbatas (the infinite set of number) {1, 1/2, 1/3. .........., 1/n, ...........}. Limit n → ~ dari xn adalah sama dengan nol. b. Himpunan angka pecahan desimal yang tidak terbatas (the set of all infinite decimal fractions). Model atau bentuk yang paling mudah dimengerti dari sistem angka riil. Contoh : 0,3; 0,33; 0,333; 0,3333 dan seterusnya, maka disini batas tertinggi (upper bound)-nya adalah 1/3.
63 c. Pecahan desimal yang tidak terbatas (the infinite decimal fractions) 0,323323332. Dalam hal ini ditulis angka 3 satu kali, angka 2 satu kali, angka 3 dua kali, angka 2 satu kali, angka 3 tiga kali, angka 2 satu kali, dan seterusnya. Batas yang paling tinggi (least upper bound)-nya adalah mendekati 0,33. d. Himpunan angka yang tidak terbatas yang meningkat atau bertambah menurut deret ukur yaitu: S₁ = 1 S₂ = 1 + ½ S3 = 1 + 1/2 + 1/4 Sn = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8………+ 1 2 −1 Batas tertingginya adalah mendekati 2. 2. Limit dan Kontinuitas Dari uraian diatas terlihat bahwa suatu rangkaian/urutan (sequence) dari angka riil merupakan susunan dari himpunan (set) angka riil. Susunan ini dapat dengan mudah dilihat/diketahui dari angka yang digunakan sebagai dasar. Semua contoh - contoh yang telah diutarakan diatas adalah merupakan rangkaian (sequence). Suatu rangkaian (sequence) akan bertambah dengan bilangan yang sama (monotonically increasing). Hal itu jika elemen/unsur dari rangkaian (sequence) tersebut lebih besar dari elemen/unsur yang mendahuluinya. Contoh : x1 = 0, 32 ; x2 = 0, 32332 ; x3 = 0,323323332......... ini adalah rangkaian yang bertambah dengan bilangan yang sama/monoton (monotonically increasing sequence). 3. Limit dan Rangkaian (Sequence) Suatu rangkaian (sequence) mempunyai limit yang konstan (lim xn = L), jika nilai absolut dari perbedaan/selisih xn dan L menjadi sekecil mungkin, yaitu lebih kecil dari nilai h. Dapat juga berupa nilai yang telah ditentukan lebih dahulu (preassigned value h), nilai yang harus lebih besar dari nol (h > 0). Dalam hal ini tidak dipersoalkan bagaimana kecilnya nilai h tersebut jika n-nya cukup diperbesar. Jadi |xn - L| h untuk n > N, dalam hal ini N adalah
64 nilai yang ditentukan dan h diketahui. Contoh: Rangkaian (Sequence) xn = 1 + 2 dimana n = 1,2,3 ………. N = 10 dan h = 1 10 E = selisih (distance between) maka, diperoleh I I I I 2 2 1/10 2 1/5 2 1/2 3 Gambar 5.1 Rangkaian (Sequace) 4. Dalil dari Limit Setiap batas dari rangkaian (sequence) angka riil yang bertambah dengan bilangan yang sama (monotonically increasing) hanya mempunyai satu limit. Limit tersebut merupakan batas yang paling tinggi (least upper bound). Untuk membuktikannya dapat dilihat: N M X1 X2 X3 Xn Xn+1 Misalkan, M adalah batas yang paling tinggi (least upper bound). Maka, menurut asas kontinuitas x ≤ M untuk setiap nilai n. Jika N adalah suatu angka yang mendekati nilai M, tetapi angka N tersebut masih lebih kecil dari nilai M yang ada, sehingga dengan memperbesar n cukup besar, maka diperoleh: N < xn ≤ M→N < M. Jadi, dari uraian ini terlihat ada suatu batas yang paling tinggi (least upper bound) yaitu M walaupun terlihat bahwa N sebenarnya juga merupakan batas yang tertinggi (upper bound). Akan tetapi, batas ini masih lebih kecil dari batas yang paling tinggi, yaitu M. Jadi | xn- M | E = 1/2 E = 1/10
65 perbedaan/selisihnya (distance between) menjadi sangat kecil (= E). Oleh karena itu, lim Xn = M. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa : Batas yang paling tinggi (least upper bound) merupakan suatu limit. Hal itu jika setiap angka riilnya dapat didekati dengan suatu pecahan desimal yang tidak terbatas (infinite decimal fraction). Ini dapat dianggap sebagai suatu batas dari rangkaian angka riil (sequence of real number) yang bertambah dengan bilangan yang sama (monotonically increasing). 5. Limit Suatu Variabel Bebas (Independent Variable) Jika x adalah suatu variabel bebas yang kontinu di mana x tersebut merupakan suatu nilai sembarang dalam suatu jarak/ interval tertentu, dan merupakan suatu nilai konstan yang tertentu (given) maka, limit dari x tersebut adalah a. Jadi lim x = a ataupun x→ a jika | x-a | atau harga mutlak (x - a) adalah lebih kecil dari nilai h di mana h > 0. Keseluruhan angka riil tersebut menjadi: a - h < x <a + h Maka, dapat dikatakan bahwa nilai a merupakan nilai batas dari x. Jadi, lim x = a berarti bahwa x dibatasi oleh nilai a tersebut. 6. Limit Suatu Variabel Tidak Bebas (Dependent Variable) Variabel y merupakan nilai tunggal dalam suatu fungsi riil (real function) dari variabel x jika setiap nilai x dalam suatu interval tertentu (given interval) mempunyai suatu nilai y. Jika x = a mempunyai suatu interval tertentu, maka limit dari y = f(x), dimana x → a, dinyatakan sebagai berikut. Jika b merupakan suatu nilai konstan yang tertentu (given), lim f(x) = b di mana | f(x) - b | menjadi x → a lebih kecil dari nilai k positif. Nilai k tidak dipersoalkan bagaimana kecilnya, tetapi nilai k ini diperoleh dengan membuat | x-a | sekecil mungkin, bila: a. f(x) ditentukan berlaku untuk setiap nilai x di dalam batas - batas nilai a; dan b. lim f (x) = b, maka f (x) akan mencapai titik di mana x = a jika f (a) = b. Jika suatu fungsi selalu terdapat pada titik dari suatu interval tertentu, fungsi tersebut dinamakan fungsi yang kontinu dalam intervalnya.
66 7. Konsep Nilai Tidak Terhingga (Infinity Value) Ada dua konsep nilai tidak terhingga yang penting. a) Jika variabel bebas x menjadi sangat besar karena nilai - nilai k-nya ditentukan sangat besar, nilai x tersebut tidak akan mendekati suatu limit, seperti telah diutarakan sebelumnya. Jadi, variabel x menjadi tidak terbatas/terhingga, baik tidak terhingga positif (+ ~) maupun tidak terhingga negatif (- ~). Dengan demikian x → + ~ atau x → - ~ . b) Jika variabel tidak bebas (dependent) y dalam y = f (x) menjadi sangat besar, sedangkan nilai k-nya seperti x → a juga sangat besar, maka f(x) tersebut menjadi tidak terbatas/terhingga. Dengan demikian, tidak akan mendekati suatu limit. Jadi, jika x mendekati tidak terhingga negatif dan |f(x) |→ ~, maka f (x) menjadi tidak terhingga negatif atau f (x) → - ~. Apabila x -> a , maka lim x = a dan apabila f(x) -> b maka lim f(x) = b. x → a Sedangkan, bila f (x) → ~, maka lim f (x) = ~ dalam hal ini beda/selisihnya (k) sangat besar. Jadi: | f (x) -b | = ~ jika x → a. Contoh: y = f(x) adalah y = 1/x Jika x mendekati nol atau x → 0 maka f(x) menjadi mutlak sangat besar (tidak terbatas positif ataupun negatif). Jadi, lim→0 1/ = ~ 8. Rumus – Rumus Limit Ada beberapa rumus - rumus limit yang penting. a) Limit dari suatu penjumlahan atau penambahan adalah sama dengan penjumlahan dari limit - limitnya. Jika lim→ () = A dan lim→ g (x) = B, Contoh: lim→2 (3x2 + 5x) = 12 + 10 = 22 b) Limit dari suatu perkalian atau perbanyakan adalah sama dengan perkalian dari limit - limitnya.
67 lim→ f (x) g (x) | = A.B Contoh: lim→ (x2 + 2) (x + 3) = 6.5 = 30 c) Limit dari suatu hasil bagi adalah sama dengan hasil bagi dari limitlimitnya lim→ [ () () ] = ; dimana B ≠ 0 Contoh : lim→2 2+3 3+5 = 7 11 Jika (x) = A + h dan g (x) = B + k maka f (x) g(x) = AB + Ak + Bh + hk Apabila h dan k menjadi sangat kecil, maka f (x) g (x) mendekati nilai AB yang diinginkan. Bila f (x) = A dan g (x) = B serta G (x) = 1 [g(x)] maka g(x) G(x) = 1 dan f(x) G(x) = B. Pengertian tentang Differensial, Differensiabel, dan Differential Quotient suatu fungsi 1. Differential Quotient dan Derivative Dalam suatu fungsi y = f (x) kita diketahui bahwa nilai dari variabel ditentukan/dipengaruhi oleh nilai x. Apabila terdapat perubahan nilai x dari nilai x tertentu, akan menimbulkan adanya perubahan nilai y dari nilai y semula. Hal ini karena perubahan nilai x menimbulkan perubahan perubahan nilai y. Differential Quotient suatu fungsi f(x) didefinisikan sebagai berikut: ( + ∆) − () ∆ Contoh: Tentukan derivative dari f(x) = 3x2 Jawaban: f(x) = 3x2 ( + ∆)= 3 (x + ∆) = 3 (x2 + 2x . ∆ + ∆ 2 ) = 3x2 + 6x ∆ + ∆ 2
68 m = lim ∆→0 3 2 + 6 . ∆ + ∆ 2− 3 2 ∆ = lim ∆→0 6 ∆+ ∆ 2 ∆ = lim ∆→0 ∆ (6 + ∆) ∆ = 6 + ∆ = 6x 2. Differensial dan Differensiabel Diferensial adalah salah satu cabang dalam matematika yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. Pembahasan utama dalam diferensial yaitu turunan. Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Untuk fungsi yang bernilai real dengan variabel real tunggal, turunan pada sebuah titik sama dengan kemiringan dari garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Secara umum, turunan suatu fungsi pada sebuah titik menentukan pendekatan linear terbaik fungsi pada titik tersebut. Suatu fungsi y = f(x) adalah suatu pertambahan x(= Δx) yang berakibat pada pertambahan y(=Δy) dalam hubungan fungsi tersebut. Seperti contoh fungsi y = a+bx dengan grafiknya Y Y=f(x) Y2 0(X2 Y2) Y Y1 P(X1 Y1) X 0 x2 x2 X Gambar 5.2 Grafik fungsi y = f(x) pada pertambahan x(= Δx) Koefisien arah dari setiap garis adalah konstan, dimana terjadi perubahan pada y ketika x diubah, konstan sepanjang garis itu. Namun, koefisien arah
69 tidak konstan dan harus ditentukan untuk setiap titik tertentu untuk kurva lainnya Misalnya pada titik (x1,y1) dan titik (x2,y2) adalah titik y = f (x) Koefisien arah dari garis yang menghubungkan P dan Q adalah tg = = 2−1 2−1 = Δ Δ Hubungan antara x dan y dalam fungsi y = f (x) maka dapat ditulis hubungannya setelah pertambahan tersebut. y + ∆ = ( + ∆) ∆ = ( + ∆) − ∆ = ( + ∆) − () Δ Δ = ( + ∆) − () ∆ Jika ∆ → 0, : lim ∆→0 Δ Δ = lim ∆→0 ( + ∆) − () ∆ Hasil yang diperoleh dari proses diferensiasi, didefinisikan, didefinisikan sebagai: = lim ∆→0 Δ Δ = lim ∆→0 ( + ∆) − () ∆ Proses untuk memperoleh derivatif disebut differensial dari fungsi f(x). Tanda atau notasi differensial ini adalah: f(x)= Dalil differensial adalah: jika fungsi f(x) mempunyai turunan/differensial untuk suatu nilai x tertentu, fungsi f(x) itu adalah kontinu untuk nilai x tersebut. Contoh : Turunan pertama f(x) = (2x - 1 ) 2 adalah f’ (x) =…… Jawab : f(x) = ( 2x - 1 ) 2 f(x) = ( 2x - 1 ) 2 . ( 2 – (-x -2 )) = 2 ( 2x - 1 ) . ( 2 + 1 2 )
70 = 2 ( 4x + {( 2 2 − 2 ) – 1 3 }) = 2 ( 4x - 1 3 ) = 8x - 2 3 C. Differential Quotient atau Diferensial Fungsi Aljabar Eksponensial dan Logaritma 1. Total Differentials : Derivatives dari Fungsi Dengan Independent Variable Lebih Dari 1 (Satu) Berbeda dengan derivative dan partial derivative sebelumnya, yang merupakan perubahan dependent variable (fungsi) karena perubahan satu independent variable sementara independent variable lainnya dianggap tetap. y = f (x1, x2, x3,…,xn) --- y = f(nj), dimana j = 1,2,3,…,n Total differential atau total perubahan y karena setiap independent variable berubah secara bersamaan, ditulis dy: dy = f1.dx1+f2.x2+…+fn.dxn Contoh: y = 2(x1) 2 +x1x2+4(x2) 2 dy = f1.dx1+f2.x2 = (6x1+x2).dx1+(x1+8x2).dx2 2. Total Derivatives : Derivatives dari Fungsi dengan Independent Variable Lebih dari Satu. Total derivative adalah total differential dengan fokus pada perubahan hanya satu independent variable. Dengan kata lain, total derivative adalah total differential dibagi perubahan satu independent variable. Penulisan total derivative dengan total differential di atas, misal dengan perubahan independent variable x2 (dx2) : 2 = 1 1 2 + 1 + ⋯ 2 Contoh: y = 3(x1) 2 +x1x2+4(x2) 2 2 = 1 ( 1 2 ) + 2 = (6 1 . 2 ). 1 2 + ( 1 + 8 2 )
71 Turunan (Derivative) dari fungsi implisit (Implicit Funtions) dengan lebih dari 1 (Satu) Independent Variable Derivate the implict function: dF = 0 dF = Fy.dy + F1.dx1+ F2x2 + … + Fn.dxn = 0 dimana dy = f1.dx1 + f2.dx2 + … + fn.dxn, maka: = {1.1 + 2. 2 + ⋯ + . )} + 1. 1 + 2. 2 + ⋯ + . = 0 = (. 1 + 1)1 + (. 2 + 2)2 + ⋯ + (. + ) = 0 Berarti setiap (. + ) = 0 dimana j = 1,2,3,…,n Maka = = Untuk the implict function dua variabel (, ) = 0 ∶ Maka = = Contoh: (, )= x 2 +y2 +9 = 0 Maka = = = 2 2 = 1. Turunan Fungsi Konstan Fungsi konstan adalah fungsi dengan bentuk f(x) = n dengan n bilangan real. Turunan fungsi konstan menggunakan limit fungsi adalah sebagai berikut. ′() = lim ℎ→0 ( + ℎ) − () ℎ = lim ℎ→0 − ℎ = lim ℎ→0 0 = 0 Jadi, turunan fungsi yang berbentuk nilai konstan adalah 0. Jika diketahui f(x) = n, dengan n bilangan real, maka f’(x) = 0.
72 2. Turunan Fungsi Identitas Fungsi identitas adalah fungsi dengan bentuk f(x) = x. Turunan fungsi identitas menggunakan limit fungsi adalah sebagai berikut. ′() = lim ℎ→0 ( + ℎ) − () ℎ = lim ℎ→0 + ℎ − ℎ = lim ℎ→0 ℎ ℎ = 1 Jadi, turunan fungsi identitas adalah 1. Jika diketahui f(x) adalah sebuah fungsi identitas atau f(x) = x, maka f’(x) = 1. 3. Turunan Fungsi Pangkat Misalkan diketahui fungsi pangkat dengan bentuk f(x) = xn dengan n bilangan bulat positif. Untuk menentukan rumus umumnya, kita dapat mencari pola dari hasil yang diperoleh melalui tabel berikut. () 1 X x 2 … x n ′() 0 1 … … …. Nah sekarang kita menentukan turunan fungsi buat n=2 ′() = lim ℎ→0 ( + ℎ) − () ℎ = lim ℎ→0 ( + ℎ)2 − 2 ℎ = lim ℎ→0 2 + 2ℎ + ℎ2 − 2 ℎ = lim ℎ→0 2ℎ + ℎ2 ℎ = 2x hasil tabel di atas, berikut ini contoh hasilnya. () 1 X x 2 … x n ′() 0 1 2x … nx n-1
73 berikut kesimpulan dari tabel di atas. Turunan untuk fungsi f(x) = xn adalah f’(x) = nxn-1 dan turunan untuk fungsi f(x) = mxn adalah f’(x) = mnxn-1. contoh () = 6√ 5 2 ⁄ = ′ () = 5 2 ⁄ . 6. 3 2 ⁄ = 15 3 2 ⁄ Tentukan f ′ (x)dari fungsi berikut. a. () = 6 b. () = 5 3 Penyelesaian: a. () = 6 → ′ () = 6 b. () = 5 3 → ′ () = 15 2 4. Turunan Jumlah dan Selisih Fungsi-fungsi Jika diketahui fungsi y = f(x) = u(x) ± v(x) dengan turunan dari u(x) adalah ‘(x) dan turunan dari v(x) adalah v’ (x), maka turunan dari f(x) adalah: ′() = ′ () ± ′() Contoh : Carilah turunan fungsi g(x) = 2 2 + 4 3 − 12 Penyelesaian: Misalkan () = 2 2 () = 4 3 − 12, : () = 4 ′ () = 12 − 12 Dengan demikan, turunan fungsi () adalah: ′() = ′ () + ′ () = 4 − 12 − 12 = 16 − 12 5. Turunan Hasil Kali dan Fungsi Jika diketahui fungsi y = f(x) = u(x).v(x) dengan turunan dari u(x) adalah u(x) dan turunan dariv(x) adalah v’ (x), maka turunan dari f(x) adalah: ′() = ′ (). () + (). ′ () Contoh: Tentukan turunan fungsi f(x) = 2( 4 − 5)
74 Penyelesaian: () = 2 () = 4 − 5, : ′() = 2 ′ () = 4 3 dengan demikian, diperoleh : ′() = ′ (). () + (). ′ () = 2( 4 − 5) + 2(4 3 ) = 2 4 − 10 + 8 4 = 10 4 − 10 6. Turunan Hasil bagi Fungsi-fungsi Jika diketahui fungsi y = f(x) = u(x)/v(x) dengan turunan dari u(x) adalah u ‘(x) dan turunan dariv(x) adalah v ’(x), maka turunan dari f(x) adalah: ′ () = ′ (). () − () ′ () 2() Contoh: Tentukan turunan fungsi g(x) = 3 4 2−5 Penyelesaian: () = 3 4 () = 2 − 5, : ′() = 12 3 ′ () = 2 ′() = ′ (). () − () ′ () 2() ′() = 12 3 (2 − 5) − 3 4 (2) 2( − 5) 2 = 24 2 − 60 3 − 6 4 (2 − 5) 2 = 18 4 − 60 3 (2 − 5) 2 = 6 3 (3 − 10) (2 − 5) 2
75 Fungsi Eksponensial Dalam fungsi ini alasnya adalah 2. Fungsinya adalah miring Gambar 5.3 Fungsi Eksponensial miring Dalam fungsi ini basisnya adalah 0,1. Fungsinya semakin menurun. Gambar 5.4 Fungsi eksponensial menurun Fungsi eksponensial secara umum dapat ditulis sebagai: kamu = C⋅A X Grafik berikut menggambarkan empat kurva berbeda yang menunjukkan bagaimana fungsi eksponensial berperilaku bergantung pada apakah C dan a positif atau negatif. Kurvanya identik tetapi terbalik di berbagai kuadrat : -10 - 8 - 6 - 4 - 2 2 4 6 8 10 0 y F(x) = 30*0+0,1x +3 x -10 - 8 - 6 - 4 - 2 2 4 6 8 10 0 y F(x) = 2x +2 x
76 Gambar 5.5 grafik yang memotong sumbu x Tidak ada kurva yang memotong sumbu x , tetapi hanya mendekati sumbu x hingga tak terhingga. D. Persamaan Garis Singgung Suatu Parabola Garis singgung parabola adalah sebuah garis lurus yang memotong parobola pada satu titik. Sehingga dapat dikatakan bahwa parabola dan garis singgung parabola memiliki satu titik koordinat yang sama. Secara umum, persamaan garis lurus memiliki bentuk persamaan y = mx + c, di mana m adalah gradien dan c adalah konstanta. Persamaan untuk menentukan persamaan garis singgung parabola meliputi tiga kondisi. Pertama adalah garis lurus yang menyinggung suatu parabola dengan diketahui nilai gradien garis tersebut, Kedua, adalah garis lurus yang menyinggung suatu parabola dengan informasi titik singgung antara garis lurus dan parabola. Ketiga adalah garis lurus yang menyinggung parabola dengan keterangan letak titik di luar parabola. Gambaran ketiga kondisi tersebut dapat dilihat sepertigambar di bawah m (x1,y1) Gambar 5.6 Persamaan Garis Singgung Gambar 5.7 Persamaan Garis Parabola Dengan Gradien M Parabola Melalui Suatu Titik 0 -2 -4 -6 -8 -10 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 10 8 6 4 2 F(x) = C* a –x y F(x) = C* +ax F(x) = C* a -x F(x) = - C x n a x
77 (x1,y1) Gambar 5.8 Persamaan Garis Singgung Parabola Melalui Titik Di Luar Parabola Sebuah garis lurus yang digambarkan pada bidang kartesius memiliki kemiringan yang dinyatakan dengan nilai gradien Garis lurus dengan gradien m yang menyinggung parabola memiliki beberapa bentuk persamaan yang dapat digunakan untuk menentukan garis singgung parabola. Selain itu, ada juga bentuk persamaan garis lurus yang menyinggung parabola jika diketahui satu titik potong pada parabola. Bentuk lainnya dapat juga berupa garis lurus yang menyinggung suatu parabola dengan beberapa informasi lain seperti garis yang saling sejajar / tegak lurus. a. Garis Singgung Parabola dengan Gradien M Gradien dari sebuah persamaan menunjukkan kemiringan garis tersebut. Garis lurus yang memotong parabola di satu titik dapat ditentukan melalui bentuk umum garis singgung parabola. Bentuk persamaan garis singgung yang akan dibahas di sini adalah garis singgung parabola jika diketahui gradien garis lurus yang menyinggung parabola Bentuk umum garis singgung parabola untuk beberapa bentuk persamaan parabola dapat dilihat pada tabel di bawah. Persamaan Parabola Persamaan Garis Singgung Parabola Dengan Gradien M y 2 =4PX Y=mx + p/m y 2 = -4px y = mx – p/m x 2 =4px y = mx –m 2 p
78 x 2 = - 4py y =mx + m2 p (y – b)2 =4p(x-a) y – b = m(x –a) + p/m (y – b)2 = -4x(x-a) y – b = m(x – a) – p/m (x-a)2 =4p (y-b) y-b =m(x – a) – m 2 p (x –a)2 = -4p(y-b) y-b =m(x –a) + m2 p b. Garis Singgung Parabola yang melalui suatu Titik Bentuk persamaan garis singgung ke dua adalah garis singgung parabola untuk satu titik potong yang diketahui. Satu titik potong parabola yang diketahui tersebut berada pada parabola. Keduanya, garis lurus dan parabola, sama-sama melalui titik tersebut. Cara menentukan garis singgung pada parobla tergantung apa yang diketahui dan bagaiamana bentuk persamaan parabola yang diketahui. Beberapa jenis bentuk persamaan garis singgung parabola yang melalui satu titik dapat dilihat melalui tabel di bawah. RANGKUMAN 1. Diferensial berkaitan dengan materi limit fungsi dan gradien garis atau kemiringan garis di suatu titik tertentu. Turunan fungsi (diferensial) ialah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang memiliki nilai tak beraturan. Turunan (diferensial) dipakai sebagai suatu alat Persamaan Parabola Persamaan Garis Singgung Parabola Melalui Suatu Titik y 2 = 4px y . y1 = 2p (x + x1) y 2 = -4px y . y1 = - 2p (x + x1) x 2 = 4py x . x1 = 2p (y + y1) x 2 = - 4py x . x1 = -2p (y + y1) (y – b)2 = 4p(x – a) (y – b)(y1 – b) = 2p (x + x1 – 2a) (y – b)2 = -4p(x – a) (y – b)(y1 – b) = -2p (x + x1 -2a) (x – a)2 = 4p(y – b) (x – a)(x1 – a) = 2p (y + y1 -2b) (x – a)2 = -4p(y – b) (x – a)(x1 – a)= -2p (y + y1 – 2b)
79 untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Dalam sumber lain mengatakan bahwa turunan suatu fungsi adalah gradien garis singgung fungsi tersebut yang berada di suatu titik tertentu. 2. Proses untuk memperoleh derivatif disebut differensial dari fungsi f(x). Tanda atau notasi differensial ini adalah: f(x)= 3. Diferensial fungsi-fungsi dinyatakan dalam rumus-rumus. Rumus-rumus untuk hasil turuna/diferensial tergantung pada rumus-rumus limit. Ada beberapa ketentuan yang perlu diperhatikan, yaitu 1) Jika limit dari penyebut pada ∆ ∆ adalah nol, maka ketiga rumus limit di muka tidak dapat langsung digunakan. Hal ini karena limit dari ∆y tidak nol, maka limit dari hasil bagi tersebut tidak ada. 2) Jika fungsinya kontinu, maka lim ∆ = 0 dan limit dari hasil bagi ∆ ∆ dicari dengan perubahan bentuk (transforming) pecahan ini menjadi suatu pecahan yang sebanding yang mempunyai penyebut yang limitnya tidak nol. Perubahan bentuk tergantung pada keadaan fungsi tersebut. 3) Jika lim∆→0 ∆ ∆ ada, fungsi tersebut adalah kontinu. Oleh karena itu apabila turunan/diferensial dapat diperoleh ha- silnya, fungsi semula adalah kontinu. 4. Garis singgung merupakan garis yang mendekati dan menyinggung garis parabola. Persamaan untuk menentukan persamaan garis singgung parabola meliputi tiga kondisi. Pertama adalah garis lurus yang menyinggung suatu parabola dengan diketahui nilai gradien garis tersebut, Kedua, adalah garis lurus yang menyinggung suatu parabola dengan informasi titik singgung antara garis lurus dan parabola. Ketiga adalah garis lurus yang menyinggung parabola dengan keterangan letak titik di luar parabola
80 LATIHAN SOAL 1. Garis singgung parabola Garis singgung parabola (y – 2)2 = – 12(x + 1) sejajar dengan garis y – 3x + 1 0. Persamaan garis singgung parabola adalah …. A.y=3x+4 B.y=3x+3 C.y=3x+2 D.y=3x+1 E. y = 3x Pembahasan : Berdasarkan persamaan parabola (y – 2)2 = – 12(x + 1) dapat diperoleh informasi bahwa: b = 2 -4p = -12→ p = -12/-4 = 3 a = -1 Sebelum mencari persamaan garis singgung, akan ditentukan gradient garisnya terlebih dahulu. Karena gradien garis singgung parabola sejajar dengan garis y – 3x + 1 = 0, maka nilai gradiennya adalah m = 3. Menentukan persamaan garis singgung parabola dengan gradien m = 3: y =b+m(x‒a)‒ p /m y =2+3(x‒(‒1))‒ 3 /3 y =2+3(x+1)‒1 y =2+3x+3‒1 y = 3x + 4 Jadi, Persamaan garis singgung parabola adalah y = 3x + 4. Jawaban: A 2. Persamaan garis singgung parabola Garis singgung parabola y = x 2 ‒ 2x + 8 di titik yang berabsis 2 menyinggung kurva y = ax3 + bx ‒ 4 di titik yang berabsis 1. Nilai a ‒ b adalah …. A.‒18
81 B.‒10 C.‒8 D.10 E. 18 Pemabahasan : Mencari gradient dari garis singgung persamaan parabola y = x2 ‒ 2x + 8 dititik berabsis 2: y = x 2 ‒2x+8 y’= 2x‒2 y'(2) = 2(2) ‒ 2 = 4 ‒ 2 = 2 Untuk x=2, maka nilai y: y=x 2 ‒2x+8 y(2)=2 2 ‒2(2)+8 y(2) = 4 ‒ 4 + 8 = 8 Sehingga dapat diketahui letak titik singgungnya berada di (2, 8). Persamaan garis singgung dengan gradien m = 2 dan melalui titik (2,8 dapat ditentukan seperti cara berikut. y‒y1 =m(x‒x1) y‒8=2(x‒2) y‒8=2x‒4 y=2x–4+8 y = 2x + 4 Persamaan garis di atas akan menyinggung kurva y = ax3 + bx ‒ 4 di titik yang berabsis 1, sehingga: m=y’(1) 2=3a(1)2 +b 2 = 3a + b Dihasilkan persamaan pertama, yaitu 3a + b = 2. Nantinya, akan digunakan proses substitusi untuk mencari nilai a dan b bersama dengan persamaan ke dua.
82 Pada x=1,nilai y yang dilalui garis y=2x+4 adalah: y=2x+4 y=2(1)+4 y = 2 + 4 = 6 Diperoleh titik yang sama-sama dilalui garis y = 2x + 4 dan kurva y = ax3 + bx‒4.Sehingga, y=ax 3 +bx‒4 6=a(1)3 +b(1)‒4 6+4=a+b 10 = a+ b Didapat persamaan ke dua, yaitu a + b = 10, maka a + b = 10 → a = 10 ‒ b Substitusi nilai a = 10 ‒ b pada persamaan pertama untuk mendapatkan nilai b. 3(10‒b)+b=2 30‒3b+b=2 ‒3b+b=2–30 ‒2b = ‒28 → b = ‒28/‒2 = 14 Selanjutnya, substitusi nilai b = 14 pada persamaan ke dua untuk mendapatkan nilai a. a+b=10 a+14=10 a = ‒4 Sehingga, nilai a ‒ b = ‒4 ‒ 14 = ‒18. Jawaban : A 3. Aplikasi turunan diferensial Tentukan persamaan garis singgung kurva y = f (x) = 5x² – 3x di titik (2, 14) adalah. . . Pembahasan : f’ (x) = 10x - 3 maka f’(2)= 10- 2 - 3 = 5x2 – 3x jadi mgs = f’(2)= 17. Persamaan garis singgung kurva adalah y – y1 = mgs (x – x1) y – 14 = 17(x – 2) y – 14 = 17x – 34
83 y – 17x – 34 + 14 y = 17x – 20 4. Aplikasi turunan diferensial Tentukan koordinat titik singgung dari garis singgung kurva y = f ( x ) = 3x² - 3x + 1 yang bergradien 15 adalah . . . Pembahasan : ƒ’(x) = 3x 2 – 3x + 1 => ƒ’(x) = 6x – 3 mgs = ƒ’(x1) => 15 = 6x1 – 3 => 6x = 15 + 3 => 6x1 = 18 => x1 = 3 y1 = ƒ’(x1) = 3(3)2 = 3. 3 + 1 = 27 – 9 + 1 = 19 Jadi, titik singgungnya T(3,19) 5. Aplikasi turunan diferensial Tentukan persamaan garis singgung kurva f(x) = x² + 2x – 3 yang sejajar garis y = -2x + 5 adalah. . . Pembahasan : Garis y = -2x + 5 memiliki gradien m = -2, karena sejajar mgs = m = -2 mgs = ƒ’(x1) => -2 = 2x1 + 2=> 2x1 = -4 => x1 = -2 y1 = ƒ’(x1) = (-2)2 + 2(-2) – 3 = 4 – 4-3- 3 = -3 Titik singgungnya T(-2,-3) Persamaan garis singgung kurva adalah y – y1 = mgs (x – x1) y – ( -3) = -2(x – (-2)) y + 3 = -2(x + 2) y = -2x – 7 BAB VI MAKSIMUM DAN MINIMUM PADA FUNGSI Y = F(X) Deskripsi Singkat : Pada bab ini dibahas tentang nilai maksimum dan minimum fungsi sejatinya adalah aplikasi atau penerapan dari konsep turunan. Nilai suatu fungsi dikatakan maksimum jika nilai dari fungsi tersebut paling besar dan sebaliknya nilai suatu fungsi dikatakan minimum jika nilai suatu fungsi tersebut paling kecil pada sebuah selang atau interval tertutup.
84 Relevansi : Pada Bab ini dibahas tentang pengertian Titik Ekstrem, Persyaratan yang dibutuhkan untuk suatu Titik Ekstrem, dan Titik Belok. Titik ini sangat penting untuk menentukan arah grafik. Dengan demikian, penentuan titik sangat dibutuhkan untuk penganalisisan. Indikator : - Mahasiswa mampu menjelaskan tentang pengertian Titik Ekstrem - Mahasiswa mampu mengetahui Persyaratan yang Dibutuhkan untuk Suatu Titik Ekstrem - Mahasiswa mampu mengetahui Titik Belok (Point of Inflection) A. Pengertian Titik Ekstrem Titik yang pertambahan fungsinya mencapai posisi terendah dan kemudian menurun atau sebaliknya dimana merupakan titik yang pengurangan fungsinya mencapai posisi tertinggi dan kemudian meningkat merupakan titik ekstrem. Titik ekstrem ini merupakan titik stasioner. Titik ekstrem dapat berupa titik maksimum atau titik minimum. Syarat utama titik ekstrem ini adalah turunan atau diferensial fungsinya sama dengan nol ( = 0) .Suatu fungsi berlaku untuk batas - batas tertentu yaitu suatu fungsi y = f(x) di mana a ≤ x ≤ b, mempunyai kemiringan ke bawah seperti terlihat pada Gambar 6.1. Maka, fungsi tersebut dinamakan fungsi yang menurun (decreasing function). Dalam hal ini nilai fungsi y menurun pada saat nilai x bertambah, sehingga kemiringan kurva yaitu dy = tg α < 0. Adapun grafik fungsi menurun sebagai berikut Gambar 6.1 Grafik Fungsi Menurun a x b y = f(x) ∝ y
85 Sebaliknya, apabila fungsi itu mempunyai kemiringan yang meningkat seperti terlihat pada Gambar 6.2. fungsi tersebut dinamakan fungsi yang menaik (increasing function). Dalam hal ini nilai fungsi y menaik pada saat nilai x bertambah, sehingga kemiringan kurva yaitu dy = tg α > 0. Adapun grafik fungsi menaik sebagai berikut. gambar 6.2 Grafik Fungsi Menaik Dalam batas - batas a dan b itu, fungsi f(x) tesebut akan mempunyai nilai fungsi y tertinggi/maksimum, dan nilai fungsi y yang terendah/minimum. Dengan begitu, kita melihat adanya dua istilah yang perlu kita ketahui, yaitu: Absolut maksimum/minimum Relatif maksimum/minimum. Titik dimana nilai fungsi y adalah paling tinggi dari seluruh nilai fungsi y yang ada disebut dengan absolut minimum. Fungsi f(x) mempunyai nilai fungsi yang absolut maksimum pada nilai x = x 0 dalam batas - batas a ≤ x ≤ b jika fungsi f (x) tersebut mempunyai nilai y yang paling tinggi, atau f (x0) ≥ f (x). Demikian pula sebaliknya dengan absolut minimum, yaitu titik beberapa nilai fungsi y adalah paling rendah dari seluruh nilai fungsi y yang ada, atau f (x0 ) ≤ f (x). Suatu titik dimana nilai fungsi y adalah terbesar dibandingkan dengan nilai x yang lain berdekatan/sekitarnya disebut dengan relatif maksimum. Fungsi f (x) mempunyai nilai fungsi y yang relatif maksimum pada nilai x = x1 dalam batas- batas a ≤ x ≤ b. Jadi, suatu fungsi f (x) tersebut mempunyai nilai yang berbesar pada x = x1 apabila dibandingkan dengan nilai x yang lain yang berdekatan/sekitarnya. Sebaliknya, relatif minimum, yaitu titik dimana nilai fungsi y adalah yang terkecil dibandingkan dengan nilai x yang lain yang berdekatan/sekitarnya, jadi : x b ∝ y y = f(x) a
86 A = (0,5) Dalam gambar grafik seperti terdapat pada Gambar 6.3 dalam batas-batas a ≤ x ≤ b, titik-titik maksimumnya adalah: Gambar 6.3 Grafik fungsi f(x) y = (x – 1) 2 (5 -2x) titik A adalah titik absolut maksimum; titik B adalah titik relatif minimum; titik C adalah titik relatif maksimum; titik D adalah titik absolut minimum. Suatu fungsi f (x) mempunyai nilai maksimum dan minimum, maka titik tersebut ′() = 0 . Titik yang demikian disebut titik kritis disebut titik kritis (critical point) atau titik ekstrem. Dalam pembahasan selanjutnya, yang dimaksud maksimum dan minimum adalah relatif maksimum dan relatif minimum. Contoh: Jika diketahui fungsi y = 4, apakah fungsi tersebut memiliki nilai ekstrem. Jawaban : Fungsi y = 4, merupakan fungsi linear yang sejajar dengan sumbu x,walaupun derivative pertamanya menunjukkan = 0 atau =0 , fungsi ini tidak memiliki titik ekstrem baik titik maksimum maupun titik minimum. B. Persyaratan Yang Dibutuhkan Untuk Suatu Titik Ekstrem Fungsi f(x) mempunyai nilai y yang relatif maksimum pada = 0, dan fungsi f(x) mempunyai turunan atau diferensialnya f’(x) maka, turunan diferensialnya ′ (0 ) = = 0. Hal ini dapat dilihat dalam grafik berikut pada gambar : x 4 3 2 1 1 2 3 -1 C = (2,1) B = (1,0) y
87 y P1 Kiri Kanan x x0 - ∆x x0 x0 + ∆x gambar 6.4 Titik ekstrem y = f(x) Dari gambar diatas terlihat bahwa di sebelah kiri kurva terdapat kurva yang menaik. Dalam hal ini ditemui pergeseran dari titik 1 (0 − ∆, 1 ) 0(0, 0), perubahan – perubahan ∆x kedua – duanya positif, sehingga perbandingan perubahan (difference qoutient) adalah positif, jadi : lim ∆ →0 ∆ ∆ = > 0 Sebaliknya, disebelah kanan kurva terdapat kurva yang menurun. Dalam hal ini kita ditemui pergeseran dari titik 0 (0, 0 ) 2(0 + ∆, 2). Perubahan ∆ negatif dan perubahan ∆ positif sehingga perbandingan perubahan (difference qotient) adalah negatif, jadi : lim ∆ →0 ∆ ∆ = < 0 Berdasarkan uraian diatas, terlihat bahwa pada saat titiknya adalah 0(0, 0), grafik garis singgungnya adalah sejajar dengan sumbu x. Dalam hal ini tangensnya sama dengan nol. Jadi pada x0 : lim∆ →0 ∆ ∆ = = 0 Uraian yang disajikan diatas mengenai titik absolut maksimum atau relatif maksimum. Akan tetapi, persoalan yang demikian juga berlaku untuk absolut minimum atau relatif minimum. Hanya saja pembahasannya terbalik. Kurva sebelah kiri naik, sedangkan kurva sebelah kanannya menurun. Jadi, syarat pertama untuk suatu titik ekstrem adalah : = 0, hal ini merupakan suatu persyaratan utama dari titik kritis.
88 Pada gambar grafik terlihat suatu kurva yang naik atau fungsi menaik (increasing function) pada kurva sebelah kiri. Akan tetapi, kemudian kurva menurun (decreasing curve) terlihat pada kurva sebelah kanan ; < 0. Dalam hal ini ditemui adanya penurunan dari suatu tingkat kenaikan. Oleh karena = 0, ini berarti 2 2 < 0. Sehingga kita peroleh persyaratan – persyaratan yang dibutuhkan untuk suatu titk maksimum adalah : = 0 dan 2 2 < 0 Dengan cara seperti ini, kita akan mendapatkan persyaratan yang dibutuhkan untuk suatu titik minimum, yaitu : = 0 dan 2 2 > 0 Jadi, syarat kedua untuk titik ekstrem maksimum atau minimum adalah 2 2 ≥ 0. Ada 3 cara yang dapat digunakan untuk menentukan apakah titik ekstrem tersebut adalah titik maksimum atau minimum. Ketiga cara tersebut masing – masing menggunakan kriteria – kriteria dari keadaan yang berbeda – beda. Cara Pertama : Menggunakan pengertian atau definisi tentang relatif maksimum itu atas dasar fungsi y = (x), apabila fungsi f(x) tersebut mempunyai nilai yang terbesar pada = 1 dibandingkan dengan pada x yang lain yang berdekatan/sekitarnya. Jadi (0 − ∆) ≤ (0) ≥ (0 + ∆) Sebaliknya, untuk titik relatif minimum yaitu : (0 − ∆) ≥ (0) ≤ (0 + ∆) Cara Kedua : Dengan menggunakan turunan atau diferensial pertama ′ () = yaitu bila ′ () = mempunyai tanda aljabar yang berubah dari positif (+) ke negatif (-).
89 Jika x bertambah nilainya dari suatu nilai yang lebih kecil sedikit dari 0 ke suatu nilai yang lebih besar sedikit dari 0, maka titik (0, 0) tersebut merupakan titik relatif maksimum. Demikian pula hanya untuk titik relatif minimum, yaitu bila : tanda aljabarnya berubah dari negatif ke positif. Cara Ketiga : Dengan menggunakan turunan atau diferensial kedua ′ () = 2 2 yaitu bila ′ () = 2 2 < 0, maka kurvanya cembung ke atas, sehingga titik pada saat = 0 adalah relatif maksimum. Sebaliknya, bila ′ () = 2 2 > 0, kurvanya cembung ke bawah, sehingga pada saat = 0 adalah relatif minimum. Contoh : Diketahui fungsi : = 40 − 6 + 2 Persyaratan titik ekstrem diperoleh bila : = −6 + 2 = 0 →∴ = 3 Persoalan yang berikut adalah : apakah pada x = 3, diperoleh nilai fungsi y maksimum atau minimum untuk penentuannya kita lihat turunan (derivatif) yaitu 2 2 = 2 > 0. Dengan demikian, kita dapatkan kurva cembung ke bawah dan fungsinya mempunyai titik minimum pada x = 3. Nilai fungsi pada titik minimum tersebut adalah : = 40 − 6 + 2 = 40 − 6 (3) + 3 2 = 31. Jadi titik minimum fungsi ini adalah P (3;31). Contoh : Diketahui fungsi : = 2 2 − 15 2 + 36 + 20 Persyaratan titik ekstrem dari fungsi ini diperoleh pada : = 6 2 − 30 + 36 = 0 6( 2 − 5 + 6) = 0 6( − 2)( − 3) = 0
90 →∴ 1 = 2 2 = 3 Persoalan selanjutnya adalah apakah titik maksimum terdapat pada x = 2 atau x = 3? Untuk menentukannya dapat dilakukan dengan 3 cara yaitu dengan melihat kriteria – kriteria yang digunakan masing – masing. Cara Pertama : Dengan menggunakan pengertian atau definisi relatif maksimum atas dasar fungsi y = f(x), apabila fungsi f(x) tersebut mempunyai nilai yang terbesar pada = 0 dibandingkan dengan pada x yang lain/sekitarnya. Y = 2 3 − 15 2 + 36 + 20 Kita lihat titik ekstrem atau krisis pada P0 (2,48). Apabila dilihat dan dibandingkan titik di sekitar x = 2, yaitu Titik P1 : x = 2,1 Titik P1 : x = 2,1 menghasilkan nilai y = 47, 972 dan Titik P2 : x = 1,9 menghasilkan nilai y = 47, 968 Dengan membandingkan ketiga titik P0, P1, P2 diatas, dapat diperoleh kesimpulan bahwa : (0 − ∆) ≤ (0) ≥ (0 + ∆) yaitu : 47, 968 ≤ 48 ≥ 47, 972 Dengan demikian, pada x = 2 diperoleh titik yang relatif maksimum yaitu titik P (2,48). Selanjutnya, lihat titik ekstrem atau kritis Q0 (3,47). yaitu : titik Q1 : x = 2, 8 menghasilkan nilai y = 47, 104 dan titik Q2 : x = 3, 2 menghasilkan nilai y = 47, 136 Dengan memperbandingkan ketiga titik Q0, Q1, Q2 tersebut, dapat diperoleh kesimpulan bahwa : (0 − ∆) ≥ (0) ≤ (0 + ∆) yaitu : 47, 104 ≥ 47 ≤ 47, 136 Maka, pada x = 3 diperoleh titik yang relatif minimum yaitu titik Q(3,47) Cara Kedua : Dengan menggunakan turunan atau diferensial pertama () , yaitu
91 bila ′ () = terdapat perubahan tanda dari positif (+) ke negatif (-) jika x bertambah nilainya dari (0 − ∆) (0 + ∆), maka titik pada 0 adalah relatif minimum. = 2 3 − 15 2 + 36 + 20 = 6 2 − 30 + 36 Marilah kita lihat titik ekstrem atau kritis pada P(2,48). Dilihat perubahan atau pertambahan nilai x disekitarnya, diperoleh : = 1,5 maka ′ () = 4,5 (tanda positif) = 2,0 maka ′ () = 0 = 2,5 maka ′ () = −1,5 (tanda negatif) Dengan terdapatnya perubahan tanda dari positif (+) ke negatif (-) dan dengan bertambahnya nilai x tersebut dari x = 1,5 ke x = 2,5 maka ternyata titik P(2,48) adalah titik relatif maksimum. Selanjutnya kita lihat pula titik ekstrem atau kritis Q(3,47). Dilihat perubahan atau pertambahan nilai x disekitarnya, dapat diperoleh pada : = 2,5 maka ′ () = 1,5 (tanda positif) = 3,0 maka ′ () = 0 = 3,5 maka ′ () = −4,5 (tanda negatif) Dengan terdapatnya perubahan tanda dari negatif (-) ke positif (+) dan dengan bertambahnya nilai x tersebut dari x = 2,5 ke x = 3,5 maka ternyata titik Q(3,47) adalah titik relatif minimum. Cara Ketiga : Dengan menggunakan turunan atau diferensial kedua ′ () = 2 2 yaitu bila ′ () = 2 2 < 0, maka kurvanya cembung ke bawah. Titik diperoleh adalah titik ekstrem yang relatif minimum.
92 Sekarang marilah kita lihat fungsi : = 2 3 − 15 2 + 36 + 20 = 6 2 − 30 + 36 2 2 = 12 − 30 Dilihat dari titik ekstrem atau kritis P (2;48), maka 2 2 = 12(2) − 30 = 24 − 30 = −6 < 0 Dengan demikian, titik ini merupakan titik relatif maksimum. Sementara itu, kita lihat titik ekstrem atau kritis Q(3;47), maka 2 2 = 12(3) − 30 = 36 − 30 = 6 > 0 Maka, titik ini merupakan titik relatif minimum. Contoh : Diketahui fungsi = √9 − dalam batas – batas 0 ≤ ≤ 9 Persyaratan titik ekstrem atau kritis dari fungsi ini diperoleh pada = 1 2√9 − = 0 Sehingga, dalam hal ini tidak kita peroleh titik ekstrem atau kritis. Nilai yang terbesar dari fungsi y adalah 3 pada saat x = 0, dan nilai yang terkecil dari fungsi y ini adalah 0 pada saat x = C. Titik Belok (Point of Inflection) Pengertian titik belok fungsi adalah titik dimana terjadinya perubahan kecekungan fungsi. Sedangkan kecekungan fungsi adalah bentuk grafik fungsi tersebut memiliki kecenderungan cekung ke arah mana ( atas atau bawah ).
93 Y Cekung ke bawah F(a) Titik belok Cekung ke atas F(b) Titik belok Cekung ke bawah F(c) Titik belok cekung ke atas X O A B C Gambar 6.5 Titik Belok Dari grafik fungsi di atas dapat dilihat bahwa : 1. f cekung ke bawah pada interval x < a atau b < x < c 2. f cekung ke atas pada interval a < x < b atau x > c Titik (a, f(a)) , (b, f(b)) dan (c,f(c)) disebut titik belok dimana pada titik tersebut terjadi perubahan kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah ataupun sebaliknya. Cara menentukan suatu fungsi cekung ke atas atau ke bawah serta menentukan titik belok adalah dengan menggunakan turunan kedua dari soal fungsi yang diketahui. Langkah-Langkah Menentukan Titik Belok Dan Kecekungan Fungsi : 1. Tentukan turunan kedua dari fungsi yang diketahui (f’). 2. Cari nilai x, ketika f”(x) = 0. 3. Nilai x yang telah didapat, disubstitusikan ke f(x). (x , f(x)) adalah titik belok. 4. Ambil sembarang nilai a dan b, dimana a < x dan b > x. Lalu substitusikan ke f”(x). Apabila nilainya bernilai positif maka cekung ke atas dan apabila nilainya bernilainegatif maka cekung ke bawah. RANGKUMAN 1. Titik Ekstrim adalah titik yang pertambahan fungsinya mencapai posisi terendah dan kemudian menurun atau sebaliknya dimana merupakan titik yang pengurangan fungsinya mencapai posisi tertinggi dan kemudian meningkat