MATEMATIKA TEKNIK BERBASIS CONTEXTUAL TEACHING LEARNING (CTL) SMK/MK Kelas X

Jika kita eliminasi variabel a dari kedua persamaan di atas,
kemudian mensubtitusikan hasil yang diperoleh ke salah satu
persamaan, maka diperoleh hasil sebagai berikut

• a = 12
• b=7
Dengan demikian,

Jadi, jumlah 9 suku pertama dari barisan aritmetika di atas
adalah 360

Latihan

Kerjakanlah soal-soal berikut:
1. Suku ke-8 sebuah deret aritmetika adalah 35 dan jumlah

nilai suku ke-9 dengan suku ke-12 adalah 90. Jumlah
delapan suku pertama dari deret tersebut adalah ….
2. Suatu barisan bilangan ganjil dimulai dari angka 7 dan
berakhir pada angka 175. Suku tengah dari barisan tersebut
adalah suku ke- ….
3. Jika di antara bilangan 4 dan 31 disisipkan 8 bilangan
sehingga terbentuk barisan aritmetika, maka jumlah
seluruh bilangan pada barisan tersebut adalah ….

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 151

4. Dalam suatu barisan aritmetika, suku ke-17 bernilai
sebelas kali suku ke-2. Suku yang bernilai lima belas kali
suku pertama adalah suku ke-….

5. Diketahui bahwa panjang ketiga sisi dari sebuah segitiga
siku-siku membentuk suatu barisan aritmetika. Jika
keliling segitiga tersebut adalah 180 cm, maka luas
segitiga tersebut adalah ….

Soal Objektif

1. Jika suku ke-n dari deret aritmatika adalah Un dan

U2 + U4 + U6 + U8 = 96, maka jumlah 9 suku pertama

deret di atas adalah ….

-2 , -1 , 5 , 16 , 32 , ... adalah ….

a. 176 d. 310

b. 216 e. 340

c. 260

2. Diketahui suatu deret aritmetika:

1 + 4 + 7 + 10 + ... + x = 852.

Nilai x adalah …

a. 67 d. 80

b. 70 e. 87

c. 77

3. Diketahui bahwa panjang ketiga sisi dari sebuah segitiga

siku-siku membentuk suatu barisan aritmetika. Jika

keliling segitiga tersebut adalah 180 cm, maka luas

segitiga tersebut adalah … d. 1.350 cm2
a. 950 cm2
b. 1.000 cm2 e. 1.550 cm2
c. 1.150 cm2

152 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

4. Suku ke-8 sebuah deret aritmetika adalah 35 dan jumlah

nilai suku ke-9 dengan suku ke-12 adalah 90. Jumlah

delapan suku pertama dari deret tersebut adalah ….

a. 146 d. 179

b. 157 e. 180

c. 168

5. Suatu barisan bilangan ganjil dimulai dari angka 7 dan

berakhir pada angka 175. Suku tengah dari barisan tersebut

adalah suku ke- ….

a. 33 d. 64

b. 43 e. 73

c. 54

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 153

5.4 IMPLEMENTASI BARISAN DAN DERET
ARITMETIKA PADA PEMECAHAN MASALAH

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)

TUJUAN PEMBELAJARAN

a. Setelah berdiskusi menggali informasi, peserta didik akan dapat menerangkan Logaritma
dengan percaya diri

b. Setelah berdiskusi menggali informasi, peserta didik akan dapat menerapkan hasil
Logaritma

c. Disediakan LK, peserta didik akan dapat menentukan Logaritma

LANGKAH-LANGKAH PEMBELAJARAN

IDENTITAS SEKOLAH Kegiatan Deskripsi Kegiatan lokasi

Waktu

Kegiatan a. Sebagai apersepsi, siswa diajak untuk mengingat kembali tentang 10

Awal konsep dasar perpangkatan dan bentuk akar. menit
b. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang ingin dicapai.

c. Guru menyampaikan cakupan materi dan kegiatan yang akan

dilakukan.

d. Guru menyampaikan lingkup dan teknik penilaian yang akan

digunakan

Kegiatan Mengamati: 55

Inti a. Guru menampilkan bahan tayangan menit

b. Guru meminta siswa untuk untuk melihat bahan tayangan

Menanya:
Guru memberi kesempatan kepada peserta didik untuk mengajukan

pertanyaan terkait dengan tampilan yang telah ditayangkan

Mengumpulkan informasi:

a. Guru membentuk siswa menjadi beberapa kelompok

b. Guru membagikan LK pada tiap kelompok

c. Guru memberi kesempatan siswa untuk berdiskusi dengan kelompok
d. Guru meminta siswa untuk menerangkan kembali operasi pada

bilangan berpangkat

e. Guru memberi kesempatan siswa untuk berdiskusi kembali dengan

kelompok dan melanjutkan soal berikutnya

f. Guru memantau siswa dalam mengerjakan soal berikutnya

Menalar:
Peserta didik mendiskusikan hasil kerja kelompok yang telah

dipresentasikan

PENILAIAN Mengkomunikasikan:
Wakil kelompok mempresentasikan hasil diskusinya, dilanjutkan

dengan tanya jawab

Penutup a. Siswa diminta menyimpulkan tentang materi Logaritma 25

➢ Instrument dan Tes b. Guru memberikan penguatan dengan kesimpulan yang telah menit
Penilaian diperoleh siswa

➢ Analisis Hasil Peneilaian c. Guru memberikan LK perorangan
➢ Pembelajaran Remidial d. Guru mengakhiri kegiatan belajar dan menyampaikan rencana

dan Pengayaan pembelajaran pada pertemuan berikutnya.

RPP 2020 Sesuai Dengan Surat Edaran Mendikbud 14 Tahun 2019

154 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

A. APLIKATIF BARISAN ARITMETIKA
PERMASALAHAN
Perhatikan gambar berikut ini:

Sumber: https://id.wikipedia.org/
Pak Didi bertugas mengirim surat ke Jalan Palda BTN Aron di
perumahan “BTN ASEAN”. Di ujung Jalan BTN Aron, ia melihat
bahwa nomor rumah di sisi kiri adalah 1, 3, 5, 7, dan seterusnya
dan rumah di sisi kanan bernomor 2, 4, 6, 8, dan seterusnya.
Sementara surat harus diantar ke rumah nomor 30. Ada di sisi
manakah rumah tersebut? Dan pada Pada urutan ke berapa
rumah tersebut berada?
Permasalahan di atas merupakan salah satu contoh dari
permasalahan barisan aritmetika dalam kehidupan sehari-hari.
Apakah siswa/i masih ingat dengan barisan aritmetika?
Jika U1, U2, U3, ... , Un - 1, Un adalah suku-suku dalam suatu
barisan bilangan sedemikian hingga U2 - U1 = U3 - U2 = ... = Un -
Un - 1 = b... (1), maka barisan bilangan tersebut dinamakan

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 155

barisan aritmetika. Selanjutnya, jika suku pertama adalah a,
maka dari persamaan (1) kita peroleh hasil sebagai berikut:

Berdasarkan uraian di atas, dapat kita tarik kesimpulan bahwa
rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Un = a + (n - 1)b,
dimana

• a adalah suku pertama
• b adalah selisih antara dua suku yang berdekatan
• n adalah banyak suku dalam barisan
Penyelesaian dari pertanyaan pertama adalah rumah nomor 30
ada di sisi sebelah kanan Ardi. Hal ini dikarenakan 30 adalah
bilangan genap dan rumah bernomor genap berada di sisi kanan.
Selanjutnya, karena nomor rumah di sisi kanan adalah 2, 4, 6, ,8
dan seterusnya , maka nomor rumah di sisi kanan membentuk
barisan aritmetika dengan
• suku pertama adalah 2 → a = 2
• selisih antar suku adalah 2 → b = 2
Dengan demikian, untuk menentukan letak rumah bernomor 30,
kita perlu mencari n dimana Un = 30.

156 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

Berdasarkan uraian di atas, dapat kita simpulkan bahwa rumah
nomor 30 terletak di sisi sebelah kanan Ardi dan berada pada
urutan ke-15 dari tempat Ardi berada.

B. APLIKASI DERET ARITMETIKA
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) adalah salah satu
matematikawan yang terkenal di dunia. Deret Aritmetika tidak
lepas dari cerita tentang Gauss kecil. Pada saat Gauss berusia
sekitar 9 tahun, kejeniusannya di bidang matematika sudah
terlihat jelas.
Guru di kelas Gauss tidak menyukai matematika dan ia juga
tidak menyukai Gauss karena Gauss kecil sangat pandai. Pada
hari itu, guru tersebut memberi tugas berikut kepada murid-
muridnya: "hitunglah jumlah semua bilangan asli dari 1 sampai
100".
Semua murid mengerjakan tugas tersebut, tetapi Gauss hanya
diam saja. Guru tersebut mengira Gauss tidak mengerjakan
tugas yang ia berikan. Ternyata Gauss sudah mendapatkan
jawabannya. Dalam waktu sekejap, Gauss kecil telah
menyelesaikan soal tersebut dan hasil yang ia peroleh adalah
5.050.

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 157

Bagaimana cara Gauss mengerjakan permasalahan tersebut,
perhatikan gambar berikut ini:

Jika kita perhatikan uraian di atas, ada 50 pasang bilangan
dengan nilai 101. Dengan demikian, jumlah semua bilangan asli
dari 1 sampai 100 adalah 50(101) = 5.050. dengan cara yang
sama, dilakukan oleh Gauss, dapatkah kalian menemukan rumus
jumlah semua bilangan asli dari 1 sampai n? Mari kita cermati
uraian berikut.

Pada uraian di atas, ada n/2 pasang bilangan bernilai (n + 1).
Dengan demikian, 1 + 2 + 3 + ... + n = n/2(n + 1). Jika kita
perhatikan rumus jumlah semua bilangan asli dari 1 sampai n di
atas,

• 1 merupakan suku pertama
• n merupakan suku terakhir
Jadi, dapat kita simpulkan bahwa rumus jumlah n suku pertama
dari deret aritmetika adalah Sn = n/2(a + Un) = n/2(2a + (n -
1)b).

158 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

Contoh:
Ilustrasi, Perhatikan gambar berikut ini:

Sumber: https://humas.acehprov.go.id/
Wakil Ketua PKK Aceh (Dyah Erti Idawati) menyumbang sejumlah
uang ke panti asuhan. Bulan pertama ia menabung sebesar
Rp50.000,00 dan setiap bulan besar tabungan bertambah
sebesar Rp5.000,00 dari bulan sebelumnya. Ia ingin
menyumbang sebesar Rp5.900.000,00. Tanpa memperhitungkan
bunga dari bank, berapa bulan ia harus menabung?
Penyelesaian:
Oleh karena tabungan awal Barry adalah Rp50.000,00 dan pada
setiap bulan besar tabungan Barry bertambah dengan jumlah
konstan, yaitu sebesar Rp5.000,00 , maka permasalahan dalam
soal merupakan permasalahan deret aritmetika, dimana

• a = 50.000
• b = 5.000

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 159

Selanjutnya, untuk menentukan waktu yang diperlukan oleh
Barry untuk menabung hingga tabungannya berjumlah
Rp5.900.000,00 , kita perlu menentukan nilai n yang
memenuhi Sn = 5.900.000,00.

Oleh karena lama menabung tidak pernah negatif, maka
nilai n yang memenuhi adalah n = 40. Dengan demikian, Barry
harus menabung selama 40 bulan agar ia dapat mengumpulkan
uang sebesar Rp5.900.000,00 dan menyumbangkannya ke panti
asuhan.

160 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

Latihan
Kerjakanlah soal-soal berikut:
1. Budi baru sembuh dari cidera. Setelah beberapa saat, ia

ingin melakukan kembali olah raga favoritnya, yaitu jalan
kaki. Atas anjuran pelatihnya, pada hari pertama ia hanya
diperbolehkan berjalan selama 30 menit dan pada hari
kedua boleh menambah 10 menit dan seterusnya sampai
dengan hari ketujuh. Lama ia berolah raga pada hari
ketujuh adalah ….
2. Panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku membentuk
barisan aritmetika. Jika luas segitiga tersebut adalah 150
cm2, tentukan keliling segitiga tersebut
3. Heru bertugas membeli batu hias untuk menghias sebuah
taman. Baris pertama membutuhkan 240 batu hias dan
baris terakhir membutuhkan 150 batu hias. Ada 10 baris
yang harus dihias dan harga tiap batu hias adalah
Rp1.000,00. Jika banyak batu hias pada baris selanjutnya
selalu berkurang dengan jumlah konstan, maka harga
seluruh batu hias yang diperlukan untuk menghias taman
adalah ….

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 161

Soal Objektif

Pilihlah satu jawaban yang benar

1. Sebuah gedung pertemuan memiliki 24 tempat duduk pada
baris pertama, 26 tempat duduk pada baris kedua, dan 28
tempat duduk pada baris ketiga. Jika dalam gedung itu
terdapat 20 baris tempat duduk dan banyak tempat duduk
pada baris selanjutnya selalu lebih banyak dari baris
sebelumnya, maka daya tampung gedung pertemuan itu
adalah ….
a. 850 tempat duduk d. 880 tempat duduk
b. 860 tempat duduk e. 890 tempat duduk
c. 870 tempat duduk

2. Amri mendapat tawaran pekerjaan dengan sistem
pembayaran sebagai berikut: hari pertama ia mendapat
upah Rp5.000,00 , hari kedua Rp6.000,00 , hari ketiga
Rp7.000,00 , demikian seterusnya. Jumlah upah yang ia
terima selama bekerja 30 hari adalah ….

a. Rp.565.000,00 d. Rp.595.000,00

b. Rp.575.000,00 e. Rp.505.000,00

c. Rp.585.000,00

3. Pada acara bakti sosial memperbaiki pagar rusak, seorang

ketua regu membagikan paku kepada enam anggotanya.

Pembagian banyak paku berdasarkan barisan aritmetika.

Anggota nomor 1 mendapat bagian paku paling sedikit dan

162 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

anggota nomor 6 mendapat bagian paku terbanyak. Banyak

paku yang diterima anggota nomor 2 adalah 10 buah,

sedangkan banyak paku yang diterima oleh anggota nomor

5 adalah 19 buah. Banyak paku yang diterima oleh anggota

nomor 3 adalah ….

a. 10 buah d. 13 Buah

b. 11 Buah e. 14 Buah

c. 12 buah

4. Heru bertugas membeli batu hias untuk menghias sebuah

taman. Baris pertama membutuhkan 240 batu hias dan

baris terakhir membutuhkan 150 batu hias. Ada 10 baris

yang harus dihias dan harga tiap batu hias adalah

Rp1.000,00. Jika banyak batu hias pada baris selanjutnya

selalu berkurang dengan jumlah konstan, maka harga

seluruh batu hias yang diperlukan untuk menghias taman

adalah ….

a. Rp. 1.750.000,00 d. Rp. 1.050.000,00

b. Rp. 1.850.000,00 e. Rp. 1.150.000,00

c. Rp. 1.950.000,00

5. Andi menggunakan jasa taksi untuk berpergian antar kota.
Tarif taksi tersebut ditentukan sebagai berikut:
• tarif buka pintu sebesar Rp.6.000,00
• tarif perjalanan per kilometer sebesar Rp3.000,00
Jika argo taksi menunjukkan Rp.120.000,00, maka jarak
yang ditempuh oleh taksi tersebut adalah

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 163

a. 35 km d. 38 km
b. 36 km e. 39 km
c. 37 km

164 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

BAB

BARISAN DAN DERET
GEOMETRI

KOMPETENSI DASAR

Setelah mengikuti pembelajaran materi barisan dan deret geometri,
siswa mampu
3.6. Menganalisis barisan dan deret geometri
4.6. Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan barisan

dan deret geometri.

PENGALAMAN BELAJAR

Setelah mengikuti pembelajaran materi barisan dan deret geometri,
siswa mampu
• Mengamati dan mengidentifikasi fakta pada barisan dan deret

geometri serta masalah yang ada
• Mengumpulkan dan mengolah informasi untuk membuat

kesimpulan serta prosedur untuk menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan barisan dan deret geometri
• Menyajikan penyelesaian masalah yang berkaitan dengan barisan
dan deret geometri

MATERI POKOK

❖ Barisan Geometri
❖ Deret Geometri
❖ Deret Geometri Tak Hingga
❖ Implementasi Barisan dan Deret Geometri Pada Pemecahan

Masalah

Peta Konsep

Materi mengenai barisan dan deret geometri dapat
digambarkan sebagai berikut:

BARISAN & DERET GEOMETRI

BARISAN DERET

APLIKASI BARISAN & DERET GEOMETRI
DALAM KONTEKSTUAL

166 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

6.1 BARISAN GEOMETRI

RENCANA PREENLCAAKNSAANPEALAANKSPAENMAABNELPAEJMABRELAANJARAN
(RPP) (RPP)

TUJUAN PEMBELAJARAN

a. Setelah berdiskusi menggali informasi, peserta didik akan dapat menerangkan barisan
geometri dengan percaya diri

b. Setelah berdiskusi menggali informasi, peserta didik akan dapat menerapkan hasil barisan
geometri

c. Disediakan LK, peserta didik akan dapat menentukan hasil barisan geometri

LANGKAH-LANGKAH PEMBELAJARAN

IDENTI6AS SEKOLAH Kegiatan Deskripsi Kegiatan lokasi

Waktu

Kegiatan a. Sebagai apersepsi, siswa diajak untuk mengingat kembali tentang 10

Awal konsep barisan dan deret. menit

b. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang ingin dicapai.

c. Guru menyampaikan cakupan materi dan kegiatan yang akan

dilakukan.

d. Guru menyampaikan lingkup dan teknik penilaian yang akan

digunakan

Kegiatan Mengamati: 55

Inti a. Guru menampilkan bahan tayangan menit

b. Guru meminta siswa untuk untuk melihat bahan tayangan

Menanya:

Guru memberi kesempatan kepada peserta didik untuk mengajukan

pertanyaan terkait dengan tampilan yang telah ditayangkan

Mengumpulkan informasi:

a. Guru membentuk siswa menjadi beberapa kelompok

b. Guru membagikan LK pada tiap kelompok

c. Guru memberi kesempatan siswa untuk berdiskusi dengan kelompok

d. Guru meminta siswa untuk menerangkan kembali barisan geometri

e. Guru memberi kesempatan siswa untuk berdiskusi kembali dengan

kelompok dan melanjutkan soal berikutnya

f. Guru memantau siswa dalam mengerjakan soal berikutnya

Menalar:

Peserta didik mendiskusikan hasil kerja kelompok yang telah

dipresentasikan

Mengkomunikasikan:

PENILAIAN Wakil kelompok mempresentasikan hasil diskusinya, dilanjutkan
dengan tanya jawab

Penutup a. Siswa diminta menyimpulkan tentang materi barisan geometri 25

➢ Instrument dan Tes b. Guru memberikan penguatan dengan kesimpulan yang telah menit
diperoleh siswa

Penilaian c. Guru memberikan LK perorangan
➢ Analisis Hasil Peneilaian d. Guru mengakhiri kegiatan belajar dan menyampaikan rencana
➢ Pembelajaran Remidial dan
pembelajaran pada pertemuan berikutnya.
Pengayaan
RPP 2020 Sesuai Dengan Surat Edaran Mendikbud 14 Tahun 2019

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 167

Pada materi ini kalian akan belajar mengenai bagaimana cara
menentukan barisan dan deret geometri. Barisan bilangan
merupakan susunan bilangan yang teratur dan membentuk
sebuah pola. Barisan bilangan dapat membentuk barisan
geometri dengan syarat tertentu. Pada barisan aritmetika,
syarat barisan bilangan menjadi barisan aritmetika yaitu jika
beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap.

Jika U₁, U₂, U₃, U₄, ..., Un-1, Un adalah suatu barisan
bilangandengan 2 = 3 = 2 = 2 maka barisan bilangan tersebut

1 2 1

dinamakan barisan geometri, dengan:
U₁ adalah suku ke-1
U₂ adalah suku ke-2
U₃ adalah suku ke-3
U₄ adalah suku ke-4
Un adalah suku ke-n
r adalah rasio yang sifatnya konstan
n berupa bilangan asli

Barisan geometri merupakan barisan bilangan dengan
rasio antara dua suku berurutan adalah tetap

Adapun sifat khusus barisan geometri adalah apabila
bilangan a, b, c adalah barisan geometri, maka berlaku b2 = ac.

168 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

Contoh:
Barisan bilangan 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... termasuk barisan
geometri karena mempunyai rasio yang sama di setiap dua suku
berurutannya yaitu : 2 = 3 = 2 = 2.

1 3 1

A. Suku ke n Barisan Geometri (Un)
Misalkan suku pertama barisan geometri adalah a dan

rasio antara suku yang berdekatan adalah r, maka barisan
geometri dapat dituliskan menjadi a, ar, ar2, ar3, ar4, ..., arn-1 .

Rumus suku ke-n barisan geometri adalah Un = arn-
1 dengan:

Un adalah suku ke-n
a adalah suku pertama
r adalah rasio yang sifatnya konstan
n berupa bilangan asli.

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 169

Contoh:
Diketahui barisan geometri: 3, 6, 12, .... Tentukan suku ke-8.

Penyelesaian

Diketahui:

a=3

= 3 = 2 = 12 = 6 = 2
2 1 6 3

Dengan menggunakan rumus suku ke-n barisan geometri,

diperoleh:

Un = arn-1
U8 = ar8-1

= 3 x 27

= 3 x 128

= 384

Jadi, suku ke-8 dari barisan geometri tersebut adalah

384.

B. Sisipan barisan Geometri (Un)
Apabila dalam suatu barisan geometri disisipkan k buah

bilangan sehingga membentuk barisan geometri yang baru,
maka rasio yang baru dapat dicari dengan: = +1√ .

170 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

Contoh:
Diketahui barisan geometri : 2, 16, 128, .... Jika diantara suku-
suku barisan tersebut kita sisipkan 2 buah suku, maka tentukan
barisan geometri baru yang terbentuk.

Penyelesaian :

Rasio lama antara dua suku yang berurutan dari barisan

geometri: 2, 16, 128, ... adalah:

= 2 = 3 = 16 = 128 = 8
1 2 6 16

Oleh karena akan disisipkan 2 buah suku di antara suku-

suku barisan tersebut, maka k = 2. Dengan demikian, rasio yang

baru dapat di tentukan sebagai berikut.

= +1√
= 2+1√8
= 3√8

Rbaru = 2
Jadi, barisan geometri baru yang terbentuk adalah 2, 4,

8 16, 32, 64, 128.

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 171

Latihan

Kerjakanlah soal-soal berikut:
1. Diketahui barisan geometri: 10, 2, 25, 225, …. Suku ke-7

dari barisan di atas adalah ….
2. Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah

tiga bilangan tersebut adalah 19 dan hasil kali bilangan
tersebut adalah 216. Bilangan terbesar dari barisan
tersebut adalah ….
3. Jika k, l, m merupakan barisan geometri, maka bentuk
sederhana dari 2− 2 adalah ….

( +2 + )( − )

4. Suatu barisan geometri mempunyai rasio positif. Jika suku
ke-3 adalah 2 √2, sedangkan suku ke-2 dikurangi suku ke-4
sama dengan adalah -2p, maka rasio barisan tersebut
adalah ….

5. Suku ke-3 dari barisan geometri adalah 200, hasil bagi suku
ke-7 dengan suku ke-4 adalah 125. Hasil jumlah dari suku
ke-4 dengan suku pertama adalah ….

172 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL)LSaMtKih/MaAnK Kelas X

Soal Objektif

1. Diketahui suku ke-n suatu deret geometri adalah Un.

Jika 4 = 6 dan U3xU6 = 4√3,maka U10
6
27

a. d.

b. e.

c.

2. Jika k, l, m merupakan barisan geometri, maka bentuk

sederhana dari 2− 2 adalah ….

( +2 + )( − )
a. d.

b. e.

c.

3. Suatu barisan geometri mempunyai rasio positif. Jika
suku ke-3 adalah 2 √2, sedangkan suku ke-2 dikurangi
suku ke-4 sama dengan adalah -2p, maka rasio barisan
tersebut adalah ….….

a. d.
b. e.
c.

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 173

4. Misalkan Un menyatakan suku ke-n suatu barisan

geometri dengan rasio positif. Jika diketahui U8 =

72 dan log U6 + log U8 - log U9 = log 9, maka

nilai U7 adalah …..

a. 36 d. 46

b. 38 e. 48

c. 40
5. Dalam suatu deret geometri, log a + log ar8 = 8 log

2 dan suku ke-6 adalah 32. Jumlah delapan suku

pertama deret tersebut adalah …

a. 552 d. 155

b. 551 e. 255

c. 055

6. Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri.

Jumlah tiga bilangan tersebut adalah 19 dan hasil kali

bilangan tersebut adalah 216. Bilangan terbesar dari

barisan tersebut adalah ….

a. 5 d. 7

b. 6 e. 8

c. 7

174 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

6.2 DERET GEOMETRI

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Setelah berdiskusi menggali informasi, peserta didik akan dapat menerangkan deret
geometri dengan percaya diri

2. Setelah berdiskusi menggali informasi, peserta didik akan dapat menerapkan hasil
deret geometri

3. Disediakan LK, peserta didik akan dapat menentukan deret geometri

LANGKAH-LANGKAH PEMBELAJARAN

IDENTITAS SEKOLAH Kegiatan Deskripsi Kegiatan lokasi

Waktu

Kegiatan a. Sebagai apersepsi, siswa diajak untuk mengingat kembali tentang 10

Awal konsep barisan dan deret. menit

b. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang ingin dicapai.
c. Guru menyampaikan cakupan materi dan kegiatan yang akan

dilakukan.

d. Guru menyampaikan lingkup dan teknik penilaian yang akan

digunakan

Kegiatan Mengamati: 55

Inti a. Guru menampilkan bahan tayangan menit

b. Guru meminta siswa untuk untuk melihat bahan tayangan

Menanya:

a. Guru memberi kesempatan kepada peserta didik untuk mengajukan
pertanyaan terkait dengan tampilan yang telah ditayangkan

Mengumpulkan informasi:

a. Guru membentuk siswa menjadi beberapa kelompok

b. Guru membagikan LK pada tiap kelompok

c. Guru memberi kesempatan siswa untuk berdiskusi dengan kelompok

d. Guru meminta siswa untuk menerangkan kembali deret geometri
e. Guru memberi kesempatan siswa untuk berdiskusi kembali dengan

kelompok dan melanjutkan soal berikutnya

f. Guru memantau siswa dalam mengerjakan soal berikutnya

Menalar:

a. Peserta didik mendiskusikan hasil kerja kelompok yang telah

dipresentasikan
Mengkomunikasikan:
PENILAIAN a. Wakil kelompok mempresentasikan hasil diskusinya, dilanjutkan

dengan tanya jawab

➢ Instrument dan Tes Penutup a. Siswa diminta menyimpulkan tentang materi deret geometri 25
Penilaian
b. Guru memberikan penguatan dengan kesimpulan yang telah menit

➢ Analisis Hasil Peneilaian diperoleh siswa

c. Guru memberikan LK perorangan

➢ Pembelajaran Remidial d. Guru mengakhiri kegiatan belajar dan menyampaikan rencana
dan Pengayaan pembelajaran pada pertemuan berikutnya.

RPP 2020 Sesuai Dengan Surat Edaran Mendikbud 14 Tahun 2019

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 175

Jika U₁, U₂, U₃, U₄, ..., Un-1, Un adalah barisan geometri,
maka U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + ... + Un-1 + Un disebut dengan deret
geometri, dengan:

U₁ adalah suku ke-1
U₂ adalah suku ke-2
U₃ adalah suku ke-3
U₄ adalah suku ke-4
Un adalah suku ke-n
n berupa bilangan asli

Deret geometri merupakan jumlah suku-suku barisan
geometri.

A. Jumlah n Suku Pertama Deret Geometri (Un) deret
Apabila Sn menyatakan jumlah n suku pertama dari
geometri, maka:

Sn = U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + ... + Un. Untuk mencari rumus umum Sn,
perhatikan penjelasan berikut:

Sn = a+ ar + ar2 + ar3 + ar4 + ... + arn-1 persamaan (i)

Kedua ruas pada persamaan (i) kita kalikan

dengan r menghasilkan persamaan (ii) berikut ini.

rSn = ar+ ar2 + ar3 + ar4 + ar5 + ... + arn persamaan (ii)

176 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

Kita tentukan rumus Sn dengan cara mengurangkan
persamaan (i) dan persamaan (ii).

Jadi, rumus jumlah n suku pertama deret geometri adalah
sebagai berikut:

= (1− ), untuk r < 1 dan r ≠ 1 (deret turun)

1−

= ( −1), untuk r > 1 dan r ≠ 1 (deret naik)

−1

1. Terdapat suatu barisan geometri : 243, 27, 9, ... .
Tentukan jumlah 6 suku pertama deret tersebut.

Penyelesaian :

Diketahui:

a = 243

= 2 = 3 = 27 = 9 = 1
1 2 243 27 3

Oleh karena = 1 < 1, maka:

3

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 177

Jadi, jumlah 6 suku pertama deret tersebut adalah 364.

2. Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah
tiga bilangan tersebut adalah 105 dan hasil kali bilangan
tersebut adalah 8000. Tentukan barisan bilangan tersebut.

Penyelesaian:

Misalkan tiga buah bilangan yang membentuk barisan geometri
tersebut adalah : , p, pr



Kita ambil pemisalan tersebut agar mudah ketika dikalikan
karena diperoleh persamaan dalam satu peubah. Oleh karena
hasil kali bilangan tersebut adalah 8000, berarti:

x p x pr =8000



p3=8000
= 3√8000
p=20

178 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

Oleh karena jumlah tiga bilangan adalah 105, berarti:
x p x pr =105



20
, 20, 20 = 105
20+20r+20r2=105r
20r2−85r+20 =0
4r2−17r + 4=0
(4r−1)(r−4)=0
r = 14 atau r = 4
Dengan demikian, diperoleh:
p = 20

1
= 4 = 4
• Untuk = 1, barisan geometrinya adalah

4

x p x pr



20 1
↔ 1 , 20 , (20)(4)

4
= 80,20,5.
• Untuk r=4, barisan geometrinya adalah pr, p, pr = 204, 20,
20(4) =5, 20, 80.
20
↔ 4 , 20 , (20)(4)

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 179

Contoh 2

Diketahui deret geometri : 12,32,412,...,109312. Tentukan
jumlah suku deret tersebut.

Penyelesaian:

Diketahui: suku ke-n deret geometri,
a = 12
r=U2U1=U3U2=3212=41232=3
Un=109312=21872
Dengan menggunakan rumus
diperoleh:

Oleh karena suku 21872 merupakan suku ke-8 dan nilai r = 3,
maka jumlah 8 suku pertama deret tersebut adalah sebagai
berikut.

180 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

Jadi, jumlah deret geometri tersebut adalah 1640.
B. Barisan Bilangan Bertingkat Dua

Berikut contoh barisan bilangan bertingkat dua adalah 1,
3, 6, 10, 15, ....
Mengapa demikian?

Mari kita perhatikan pola dari barisan bilangan tersebut.

Jika kita perhatikan, selisih antara dua suku yang
berdekatan pada awalnya tidak sama (tidak konstan), namun
pada tingkat kedua, selisih antara dua suku yang berdekatan
adalah sama (konstan). Nah, barisan bilangan dengan pola
seperti itu disebut dengan barisan bilangan bertingkat dua.

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 181

Lalu bagaimanakah rumus suku ke-n dari barisan bilangan
bertingkat dua?
Jika
• suku pertama barisan adalah a
• suku pertama dari tingkatan beda ke-1 adalah b
• suku pertama dari tingkatan beda ke-2 adalah c
Maka rumus suku ke-n dari barisan bilangan bertingkat dua
adalah sebagai berikut:

Mari kita tentukan rumus suku ke-n dari barisan
bilangan 1, 3, 6, 10, 15, ....

182 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

Latihan

Kerjakanlah soal-soal berikut:
1. Perhatikan barisan bilangan berikut: 5, 9,13,17,....Rumus

suku ke-n dari barisan bilangan di atas adalah ….

2. Perhatikan barisan bilangan berikut: Suku ke-

7 dari barisan bilangan di atas adalah ….

3. Rumus suku ke-n dari barisan bilangan 2 , 6 , 12 , 20 ,

... adalah

4. Penghasilan sebuah industri rumah tangga setiap 4 tahun

menjadi berlipat dua dari penghasilan sebelumnya. Jika

penghasilan yang diperoleh pada tahun 1997 adalah

Rp200.000,00, maka penghasilan yang diperoleh pada

tahun 2021 adalah ….

5. Suku ke-24 dari barisan bilangan: 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 ,

... adalah ….

6. Rumus suku ke-n dari barisan bilangan: -2 , -1 , 5 , 16 , 32 ,

... adalah ….

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 183

6.3 DERET GEOMETRI TAK HINGGA

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)

TUJUAN PEMBELAJARAN

a. Setelah berdiskusi menggali informasi, peserta didik akan dapat menerangkan deret
geometri tak hingga dengan percaya diri

b. Setelah berdiskusi menggali informasi, peserta didik akan dapat menerapkan hasil
deret geometri tak hingga

c. Disediakan LK, peserta didik akan dapat menentukan deret geometri tak hingga

LANGKAH-LANGKAH PEMBELAJARAN

IDENTITAS SEKOLAH Kegiatan Deskripsi Kegiatan lokasi

Waktu

Kegiatan a. Sebagai apersepsi, siswa diajak untuk mengingat kembali tentang 10

Awal konsep barisan dan deret menit

b. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang ingin dicapai.
c. Guru menyampaikan cakupan materi dan kegiatan yang akan

dilakukan.

d. Guru menyampaikan lingkup dan teknik penilaian yang akan

digunakan

Kegiatan Mengamati: 55

Inti a. Guru menampilkan bahan tayangan menit

b. Guru meminta siswa untuk untuk melihat bahan tayangan

Menanya:

Guru memberi kesempatan kepada peserta didik untuk mengajukan
pertanyaan terkait dengan tampilan yang telah ditayangkan

Mengumpulkan informasi:

a. Guru membentuk siswa menjadi beberapa kelompok

b. Guru membagikan LK pada tiap kelompok

c. Guru memberi kesempatan siswa untuk berdiskusi dengan kelompok

d. Guru meminta siswa untuk menerangkan kembali deret geometri tak
hingga

e. Guru memberi kesempatan siswa untuk berdiskusi kembali dengan

kelompok dan melanjutkan soal berikutnya

f. Guru memantau siswa dalam mengerjakan soal berikutnya

Menalar:

Peserta didik mendiskusikan hasil kerja kelompok yang telah
dipresentasikan

PENILAIAN Mengkomunikasikan:
Wakil kelompok mempresentasikan hasil diskusinya, dilanjutkan

dengan tanya jawab

Penutup a. Siswa diminta menyimpulkan tentang materi deret geometri tak 25

➢ Instrument dan Tes hingga menit
Penilaian
b. Guru memberikan penguatan dengan kesimpulan yang telah
➢ Analisis Hasil Peneilaian
➢ Pembelajaran Remidial diperoleh siswa

dan Pengayaan c. Guru memberikan LK perorangan
d. Guru mengakhiri kegiatan belajar dan menyampaikan rencana

pembelajaran pada pertemuan berikutnya.

RPP 2020 Sesuai Dengan Surat Edaran Mendikbud 14 Tahun 2019

184 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

Jika n → ∞, maka U1 + U2 + U3 + ... disebut deret geometri tak

hingga. Selanjutnya, karena n →∞ dan = (1− )maka jumlah

(1− )

tak hingga dari deret geometri dapat ditentukan dengan cara

sebagai berikut:

Berdasarkan uraian di atas, tampak bahwa nilai

dari S∞ bergantung pada nilai dari limit untuk n →∞,

1−

sedangkan nilai dari limit tersebut bergantung pada nilai r.

Dengan demikian, ada dua kemungkinan yang mungkin terjadi:

1. Jika |r| > 1 ⇔ r > 1 atau r < -1, maka nilai untuk n →

1−

∞ adalah ±∞. Akibatnya S∞ = ±∞.

2. Jika |r| < 1 ⇔ -1 < r < 1, maka nilai untuk n → ∞

1−

adalah 0. Akibatnya S∞=

1−

Pada poin 1 di atas, jumlah tak hingga dari deret geometri tidak

dapat ditentukan nilainya, sedangkan pada poin 2 di atas,

jumlah tak hingga dari deret geometri dapat ditentukan

nilainya. Oleh karena itu, deret geometri pada poin 1 disebut

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 185

deret geometri divergen dan deret geometri pada poin 2
disebut deret geometri konvergen.

Contoh 1:

Tentukan jumlah tak hingga dari deret geometri: 8 + 4 + 2 + 1 +

....

Penyelesaian:

Oleh karena rasio dari dua suku yang berurutan dari deret

geometri di atas adalah ;

= 4 = 1 < 1

82

Maka deret di atas konvergen. Dengan demikian, jumlah tak

hingga dari deret di atas adalah

= 8 =
∞ = 16
1 − 1
1 − 2

Contoh 2:

Suku ke-n suatu deret geometri dinyatakan dengan =
6 (1) −1 Berapakah jumlah tak hingga dari deret tersebut?

3

Penyelesaian:

Oleh karena = 6 (1) −1, maka

3

• a=U1=6
• U2=6(13)=2

Dengan demikian, = 2 = 2 = 1

1 6 3

186 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

Selanjutnya, karena = 1 , maka deret geometri di atas

3

konvergen. Oleh karena itu, jumlah tak hingga dari deret

geometri di atas adalah = = 6 = 6 =9
1−13 2
1−
3

Contoh 3:
Tentukan batas-batas nilai x agar deret geometri: 1 + (x + 2) +
(x + 2)2 + ... konvergen.
Penyelesaian:
Rasio dari deret geometri 1 + (x + 2) + (x + 2)2 + ... adalah r =
(x + 2).
Agar deret di atas konvergen, maka :

-1 < r < 1
⇔ -1 < x + 2 < 1
⇔ -3 < x < -1.
Dengan demikian, batas-batas nilai x agar deret geometri di
atas konvergen adalah -3 < x < -1.

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 187

Latihan

Kerjakanlah soal-soal berikut:
1. Suku-suku suatu barisan geometri takhingga adalah positif,

jumlah suku U1+U2 = 45 dan U3+U4 = 20, maka berapa
jumlah suku-suku dalam barisan tersebut ….
2. Jika jumlah takhingga deret a + a0 + a-1 + a-2 + a-3 + …
adalah 4a, tentukan nilai a
3. Jumlah deret geometri tak hingga 2 + 1 + ½2 + ½ + …
4. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul
kembali dengan ketinggian ¾ kali tinggi sebelumnya, begitu
seterusnya hingga bola berhenti. Tentukan Jumlah seluruh
lintasan bola?
5. Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 25 m dan
memantul kembali dengan ketinggian 4/5 kali tinggi
semula.Pematulan ini berlangsung terus menerus hingga
bola.

188 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

1.4 IMPLEMENTASI BARISAN DAN DERET
GEOMETRI PADA PEMECAHAN MASALAH

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)

TUJUAN PEMBELAJARAN

a. Setelah berdiskusi menggali informasi, peserta didik akan dapat menerangkan
implementasi barisan & deret geometri pada pemecahan masalah dengan percaya diri

b. Setelah berdiskusi menggali informasi, peserta didik akan dapat menerapkan hasil
implementasi barisan & deret geometri pada pemecahan masalah

c. Disediakan LK, peserta didik akan dapat menentukan implementasi barisan & deret
geometri pada pemecahan masalah

LANGKAH-LANGKAH PEMBELAJARAN

IDENTITAS SEKOLAH Kegiatan Deskripsi Kegiatan lokasi

Waktu

Kegiatan a. Sebagai apersepsi, siswa diajak untuk mengingat kembali tentang 10

Awal konsep dasar barisan dan deret. menit

b. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang ingin dicapai.

c. Guru menyampaikan cakupan materi dan kegiatan yang akan
dilakukan.

d. Guru menyampaikan lingkup dan teknik penilaian yang akan

digunakan

Kegiatan Mengamati: 55

Inti a. Guru menampilkan bahan tayangan menit

b. Guru meminta siswa untuk untuk melihat bahan tayangan

Menanya:

Guru memberi kesempatan kepada peserta didik untuk mengajukan

pertanyaan terkait dengan tampilan yang telah ditayangkan
Mengumpulkan informasi:

a. Guru membentuk siswa menjadi beberapa kelompok

b. Guru membagikan LK pada tiap kelompok

c. Guru memberi kesempatan siswa untuk berdiskusi dengan kelompok

d. Guru meminta siswa untuk menerangkan kembali implementasi

barisan & deret geometri pada pemecahan masalah
e. Guru memberi kesempatan siswa untuk berdiskusi kembali dengan

kelompok dan melanjutkan soal berikutnya

f. Guru memantau siswa dalam mengerjakan soal berikutnya

Menalar:

Peserta didik mendiskusikan hasil kerja kelompok yang telah

dipresentasikan
Mengkomunikasikan:
PENILAIAN
Wakil kelompok mempresentasikan hasil diskusinya, dilanjutkan

dengan tanya jawab

Penutup a. Siswa diminta menyimpulkan tentang materi implementasi barisan 25

➢ Instrument dan Tes & deret geometri pada pemecahan masalah menit
Penilaian
b. Guru memberikan penguatan dengan kesimpulan yang telah
➢ Analisis Hasil Peneilaian
➢ Pembelajaran Remidial diperoleh siswa

dan Pengayaan c. Guru memberikan LK perorangan

d. Guru mengakhiri kegiatan belajar dan menyampaikan rencana
pembelajaran pada pertemuan berikutnya.

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 189

Berdasarkan uraian di atas, dapat kita simpulkan bahwa
rumus jumlah n suku pertama dalam deret geometri adalah :

(1 − ) ( − 1)
= 1 − = − 1
Beberapa permasalahan pada deret geometri antara lain:
Pada zaman dahulu, terdapat raja yang sangat kaya raya.
Ia membuat sayembara menebak teka-teki kepada rakyatnya.
Barang siapa yang dapat memecahkan teka-teki dari raja
tersebut, ia boleh meminta hadiah berupa apa saja. Ternyata
ada seorang pemuda yang dapat menebak teka-teki tersebut.
Pemuda tersebut membawa papan catur dan meminta
hadiah gandum dengan ketentuan sebagai berikut:
• Pada persegi pertama diletakkan 1 butir gandum, pada
persegi kedua diletakkan dua butir gandum, pada
persegi ketiga diletakkan empat butir gandum, pada
persegi keempat diletakkan 8 butir gandum demikian
seterusnya.
Ternyata raja yang kaya raya tersebut tidak mampu
mengabulkan permintaan pemuda tersebut.
Oleh karena banyak butir gandum yang diletakkan pada
persegi pertama adalah 1 dan banyak butir gandum yang
diletakkan pada persegi kedua adalah 2, maka
• a=1
• r=2
Nah jika kita perhatikan, ada 8 kotak berbentuk persegi
pada bagian sisi sebuah papan catur. Dengan kata lain, papan
catur memiliki 8 x 8 = 64 persegi.

190 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

Ternyata banyak butir gandum yang diminta oleh pemuda

tersebut adalah

264 - 1 = 18.446.744.073.709.600.000.

Pantas saja raja yang kaya raya tersebut tidak mampu
mengabulkan permintaan pemuda tersebut. Berbagai masalah
yang sering dijumpai di sekeliling kita ternyata dapat
dipecahkan dengan bantuan deret geometri tak hingga.Jika kita
amati sebuah bola yang jatuh dari ketinggian tertentu dan
menyentuh lantai, bola akan memantul kemudian jatuh dan
memantul lagi, dan seterusnya. Gerakan bola tersebut
membentuk suatu lintasan yang panjangnya dapat dihitung
dengan menerapkan konsep deret geometri tak hingga. Deret ini
juga dapat menjadi solusi untuk membuktikan nilai dari
bilangan desimal berulang. Dalam geometri, deret tersebut
digunakan untuk menghitung jumlah seluruh luas dan keliling
bangun datar yang di dalamnya dibuat lagi tak terhingga
banyaknya bangun datar yang sebangun. Mari perkaya
wawasanmu tentang penerapan deret geometri tak hingga
dengan mempelajari topik ini.

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 191

Jika suatu deret geometri, Sn = U1 + U2 + U3 +...+ Un -
1 + Un dengan n mendekati tak hingga, maka deret geometri
tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan
ditulis dengan:
S∞ = U1 + U2 + U3 + ... + Un - 1 + ....

Dengan demikian, rumus jumlah deret geometri tak hingga
untuk |r| < 1, r ≠ 0 adalah:

S∞=

1−

dimana:

S∞ = jumlah semua suku deret geometri tak hingga

a = U1 = suku pertama

= 1 = rasio (Pembanding)
−

❖ Deret Segitiga Sama Sisi
Diketahui sebuah segitiga sama sisi dengan panjang

sisi x satuan. Di dalamnya dibuat segitiga sama sisi melalui titik
tengah sisi pada segitiga tersebut dan demikian seterusnya. Kita
dapat menentukan jumlah sisi, keliling, dan luas dari segitiga
yang terbentuk menggunakan pengembangan dari rumus deret
geometri tak hingga.

192 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

• Deret sisi Segitiga Sama Sisi:
11

+ 2 + 4 + ⋯
Panjang sisi segitiga sama sisi terbesar = U1 = a = x

1
rasio = = 2
Jumlah semua sisi yang terbentuk dapat ditentukan
sebagai berikut.

Jadi, jumlah semua sisi yang terbentuk: S∞ = 2x (dua kali
panjang sisi segitiga terbesar).

• Deret Keliling Segitiga Sama Sisi:
Diketahui sisi segitiga = x
Keliling segitiga sama sisi terbesar = U1 = a = 3x
Deret keliling segitiga sama sisi:
33
3 + 2 + 4 + ⋯
D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 193

1
rasio = = 2
Jumlah semua sisi yang terbentuk dapat ditentukan

sebagai berikut.

Jadi, jumlah semua keliling yang terbentuk: S∞ = 6x (dua
kali keliling segitiga terbesar).

• Deret Luas segiTiga Sama Sisi

Diketahui sisi segitiga = x

Luas segitiga sama sisi terbesar (U1) adalah:

U1 = a = 1 sisi2. (sin 602) = 1 2 1 √3) = 1 x2√3
2 2 (2 4

Deret luas segitiga sama sisi:

1
rasio = = 4
Jumlah semua luas segitiga yang terbentuk dapat

ditentukan sebagai berikut.

Jadi, jumlah semua luas segitiga yang terbentuk: ∞ =

1 3√3 atau 3 kali luas segitiga terbesar.
3 4

194 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

❖ Deret Segitiga Siku-Siku Sama Kaki
Diberikan segitiga siku-siku sama kaki dengan ∠ABC =

90⁰ dan panjang AB = BC = x satuan. Titik B diproyeksikan ke
sisi ACsehingga diperoleh titik B1 dan terbentuk segitiga siku-
siku sama kaki AB1B. Titik B1 diproyeksikan ke sisi BC sehingga
diperoleh titik B2 dan terbentuk segitiga siku-siku sama
kaki BB2B1. Langkah serupa dilanjutkan berulang kali sehingga
terbentuk segitiga siku-siku sama kaki yang berukuran lebih
kecil dari segitiga sebelumnya. Kita dapat menentukan jumlah
sisi miring, sisi penyiku, dan luas dari segitiga yang terbentuk
menggunakan pengembangan dari rumus deret geometri tak
hingga.

• Deret sisi miring (hipotenusa)

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 195

Panjang hipotenusa segitiga terbesar = panjang =

1 = = √2

rasio = = sin 450 = 1
2 √2

Jumlah semua panjang sisi miring yang terbentuk dapat

ditentukan sebagai berikut.

Jadi, jumlah semua panjang sisi miring yang terbentuk:
S∞ = 2x (√2 + 1)

• Deret Sisi Penyiku
Sisi penyiku pada segitiga siku-siku sama kaki
mempunyai panjang sisi yang sama. Deret sisi salah satu
penyikunya adalah:
AB + B1B2 + B3B4 + ...
atau:
x + x sin2 45⁰ + xsin4 45⁰ + ...
atau:

196 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

11
+ 2 + 4 + ⋯
Panjang sisi segitiga sama sisi terbesar = U1 = a = x

Rasio = r = sin2450 = 1
2

Oleh karena setiap segitiga memiliki 2 sisi penyiku,

maka jumlah semua panjang sisi penyiku yang terbentuk

= 2S∞.

Jadi, jumlah semua panjang sisi penyiku yang terbentuk
= 2S∞ = 4x (empat kali panjang sisi penyiku segitiga
terbesar).

• Deret Keliling
K∆ABC + K∆CBB1 +K∆CB1B2 + ...
atau:

Keliling segitiga terbesar = U1 = a = x2(2+1)

rasio = = sin 450 = 1
2 √2

Jumlah semua keliling segitiga yang terbentuk dapat

ditentukan sebagai berikut.

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 197

Jadi, jumlah semua keliling segitiga yang terbentuk:
∞ = 2 (3 + 2√2

• Deret luas

L∆ABC + L∆CBB1 L∆CB1B2 + ...

atau:

1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋯
2 4 8

Luas segitiga terbesar = 1 = = 1 2

2

Rasio = r = sin2450 = 1
2

Jumlah semua luas segitiga yang terbentuk dapat

ditentukan sebagai berikut:

Jadi, jumlah semua luas segitiga yang terbentuk
adalah x2 (dua kali luas segitiga terbesar)

198 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

❖ Panjang Lintasan Bola (Mekanika)
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian t dan memantul

kembali dengan ketinggian p/q kali tinggi sebelumnya. Kejadian
itu berlangsung terus hingga bola berhenti. Dalam menentukan
rumus panjang lintasan bola, kita perlu mengamati ketinggian
bola saat jatuh dan memantul. Perhatikan ilustrasi berikut:

Dari ilustrasi, lintasan bola saat jatuh ditunjukan dengan panah
biru, dan saat bola memantul ditunjukan dengan panah
merah. Mari simak dengan saksama cara menentukan panjang
lintasannya.

• Deret lintasan bola jatuh

Tinggi bola mula-mula = U1 = t


rasio = =
Panjang lintasan bola saat jatuh (Sj) dapat ditentukan
sebagai berikut.

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 199

• Deret Lintasan Bola Memantul

Tinggi bola pada pantulan ke − 1 = 1 = ( )t




rasio = =

Panjang lintasan bola saat memantul (Sm) dapat ditentukan

sebagai berikut.

200 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X