MATEMATIKA TEKNIK BERBASIS CONTEXTUAL TEACHING LEARNING (CTL) SMK/MK Kelas X

Latihan
Kerjakanlah soal-soal berikut:
1. Himpunan nilai x dan y yang memenuhi sistem

pertidaksamaan linear dua variabel disebut himpunan
penyelesaian. Pasangan terurut berikut yang merupakan
penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel:

2. Himpunan nilai x dan y yang memenuhi pertidaksamaan
linear dua variabel disebut himpunan penyelesaian. Salah
satu anggota himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
linear 5x - 7y + 35 ≤ 0adalah ….

3. Sederhanakan pertidaksamaan berikut:
3(x-2) + 4 < -5(2-x)

4. Penyelesaian dari pertidaksamaan berikut adalah

5. Tuliskan kedalam bentuk umum pertidaksamaan

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 101

4.2 MODEL MATEMATIKA

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Setelah berdiskusi menggali informasi, peserta didik akan dapat menerangkan model
matematika dengan percaya diri

2. Setelah berdiskusi menggali informasi, peserta didik akan dapat menerapkan hasil
bentuk akar

3. Disediakan LK, peserta didik akan dapat menentukan bentuk akar

LANGKAH-LANGKAH PEMBELAJARAN

IDENTITAS SEKOLAH Kegiatan Deskripsi Kegiatan lokasi

Waktu

Kegiatan a. Sebagai apersepsi, siswa diajak untuk mengingat kembali tentang 10

Awal konsep model matematika. menit

b. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang ingin dicapai.
c. Guru menyampaikan cakupan materi dan kegiatan yang akan

dilakukan.

d. Guru menyampaikan lingkup dan teknik penilaian yang akan

digunakan

Kegiatan Mengamati: 55

Inti a. Guru menampilkan bahan tayangan menit

b. Guru meminta siswa untuk untuk melihat bahan tayangan

Menanya:

a. Guru memberi kesempatan kepada peserta didik untuk mengajukan
pertanyaan terkait dengan tampilan yang telah ditayangkan

Mengumpulkan informasi:

a. Guru membentuk siswa menjadi beberapa kelompok

b. Guru membagikan LK pada tiap kelompok

c. Guru memberi kesempatan siswa untuk berdiskusi dengan kelompok

d. Guru meminta siswa untuk menerangkan kembali model matematika
e. Guru memberi kesempatan siswa untuk berdiskusi kembali dengan

kelompok dan melanjutkan soal berikutnya

f. Guru memantau siswa dalam mengerjakan soal berikutnya

Menalar:

a. Peserta didik mendiskusikan hasil kerja kelompok yang telah

dipresentasikan
Mengkomunikasikan:
PENILAIAN a. Wakil kelompok mempresentasikan hasil diskusinya, dilanjutkan

dengan tanya jawab

➢ Instrument dan Tes Penutup a. Siswa diminta menyimpulkan tentang materi model matematika 25
Penilaian
b. Guru memberikan penguatan dengan kesimpulan yang telah menit

➢ Analisis Hasil Peneilaian diperoleh siswa

c. Guru memberikan LK perorangan

➢ Pembelajaran Remidial d. Guru mengakhiri kegiatan belajar dan menyampaikan rencana
dan Pengayaan pembelajaran pada pertemuan berikutnya.

RPP 2020 Sesuai Dengan Surat Edaran Mendikbud 14 Tahun 2019

102 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

sistem pertidaksamaan linear dua variabel pada pembahasan
sebelumnya? Bagaimana bentuknya? Ya, pertidaksamaan linear
dua variabel merupakan suatu kalimat matematika yang
memuat tanda ketidaksamaan (≤, < ,≥, >) dan terdiri dari dua
buah variabel, sedangkan sistem pertidaksamaan linear dua
variabel adalah suatu sistem yang terdiri dari dua atau lebih
pertidaksamaan linear dua variabel.
pada topik sebelumnya pertidaksamaan linear langsung
diberikan pada soal, kali ini kita akan belajar memodelkan
sendiri pertidaksamaan yang ada dalam sistem pertidaksamaan
linear tersebut. Kalimat matematika berupa pertidaksamaan
linear dua variabel akan dimodelkan berdasarkan permasalahan
program linear dalam kehidupan sehari-hari. Lalu,
bagaimanakah mengubah permasalahan ke dalam kalimat
matematika?

Penyelesaian masalah yang berkaitan dengan program
linear biasanya mengandung variabel. Oleh karena itu, langkah
pertama dalam menyelesaikan masalah program linear adalah
dengan menerjemahkan permasalahan tersebut ke dalam
bahasa/model matematika yang membentuk suatu sistem
pertidaksamaan. Apa itu model matematika?

Model Matematika adalah bahasa matematika yang
menerjemahkan bahasa sehari-hari ke dalam bentuk
persamaan, pertidaksamaan, maupun fungsi

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 103

Adapun langkah-langkah dalam menentukan model matematika
dari suatu permasalahan program linear adalah sebagai berikut.
1. Membuat Pemisalan

Pemisalan dari objek pada permasalahan dengan sebuah
variabel seperti contoh berikut ini:
x = banyak kue jenis pertama yang dibeli Ibu; dan
y = banyak kue jenis kedua yang dibeli Ibu.
2. Mengganti kalimat yang menyatakan jumlah dengan tanda
ketidaksamaan
Seperti contoh "Ibu akan membeli dua jenis kue yang
jumlahnya paling sedikit 20 buah", artinya Ibu akan
membeli kedua jenis kue tersebut yang jumlahnya lebih
dari atau sama dengan 20. Ini berarti tanda ketidaksamaan
yang digunakan adalah ≥20.
3. Menuliskan bentuk pertidaksamaan dari permasalahan
tersebut
Misalkan dapat diketahui bahwa kue jenis pertama
ditambah kue jenis kedua jumlah paling sedikit adalah
20. Jadi, bentuk pertidaksamaan dari kalimat tersebut
adalah x+y≥20.
Untuk memudahkan kita dalam memodelkan permasalahan
program linear ke dalam kalimat matematika berupa
pertidaksamaan, pahamilah tabel berikut ini:

104 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

Kata yang Tanda Contoh kalimat BenPertida
menyatakan Pertidaksa ksamaan
Pertidaksamaan Nilai x lebih dari 5
maan Nilai x kurang dari x>5
Lebih dari > x<5
Kurang dari < 5
Nilai x dan y x ≥ 0, y ≥ 0
Tidak kurang dari ≥ masing-masing
atau paling tidak kurang dari x+y ≤ 9
sedikit atau paling sedikit

Tidak lebih dari ≤ 0
atau paling Nilai x dan y
banyak masing-masing
tidak lebih dari 9

1. Vani dan teman-temannya menjual es buah dan es teh pada
acara festival kuliner di sekolahnya. Mereka menjual es
buah dengan harga Rp6.500,00 dan es teh seharga
Rp5.000,00. Buatlah model matematika dari kondisi di
atas, jika:
a. Mereka berhasil menjual sekurang-kurangnya 35 gelas
minuman; dan
b. Pendapatan mereka tidak kurang dari Rp250.000,00

Penyelesaian
Misalkan:
banyaknya es buah yang terjual adalah x; dan
banyaknya es teh yang terjual adalah y.

a. Mereka berhasil menjual sekurang-kurangnya 35 gelas
minuman

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 105

Ini berarti, banyaknya es buah yang terjual ditambah
banyaknya es teh yang terjual lebih dari atau sama
dengan 35. Jadi, bentuk pertidaksamaannya adalah x + y
≥ 35.
b. Pendapatan mereka tidak kurang dari Rp.250.000,00
Diketahui harga es buah adalah Rp.6.500,00 dan harga es
teh adalah Rp5.000,00. Pendapatan diperoleh dari harga
es buah dikali banyaknya es buah yang terjual, ditambah
harga es teh dikali banyaknya es teh yang terjual. Kata
"tidak kurang dari Rp250.000,00" berarti lebih atau sama
dengan Rp250.000,00. Jadi, bentuk pertidaksamaannya
adalah 6500x + 5000y ≥ 250.000.

2. Bu Rini adalah seorang penjahit baju wanita. Ia menerima
beberapa pesanan baju dengan dua model yang berbeda.
Model A membutuhkan 1 meter kain batik dan 1 meter kain
satin. Model B membutuhkan 2 meter kain batik dan 1
meter kain satin. Bu Rini memiliki persediaan 10 meter
kain batik dan 6 meter kain satin. Buatlah model
matematika dari kondisi tersebut.
Penyelesaian

Misalkan:
a. adalah banyak baju model A yang akan dibuat oleh Bu

Rini; dan
b. adalah banyak baju model B yang akan dibuat oleh Bu

Rini.

106 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

• Setiap baju model A membutuhkan 1 meter kain batik.
Setiap baju model B membutuhkan 2 meter kain batik.
Kain batik yang tersedia adalah 10 meter.
✓ Sebanyak a baju model A memerlukan a dikali 1 meter
kain batik = a
✓ Sebanyak b baju model B memerlukan b dikali 2 meter
kain batik = 2b

Jumlah kain batik yang dibutuhkan untuk membuat baju model
A dan model B adalah a+2b meter. Oleh karena kain batik yang
tersedia hanya 10 meter, maka a+2b tidak boleh lebih dari 10
meter, sehingga pertidaksamaan yang dapat dibentuk adalah: a
+ 2b ≤ 10 ,dengan a,bϵ bilangan bulat positif.

• Setiap baju model A dan model B masing-masing

membutuhkan 1 meter kain satin. Kain satin yang

tersedia adalah 6 meter.

✓ Sebanyak a baju model A memerlukan a dikali 1 meter

kain satin = a

✓ Sebanyak b baju model B memerlukan b dikali 1 meter

kain satin = b

Jumlah kain satin yang dibutuhkan untuk membuat baju model

A dan model B adalah a+b meter. Oleh karena kain satin yang

tersedia hanya 6 meter, maka a+b tidak boleh lebih dari 6

meter, sehingga pertidaksamaan yang dapat dibentuk adalah: a

+ b ≤ 6 ,dengan a,bϵ bilangan bulat positif. Jadi, model

matematika pada permasalahan di atas adalah:
D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 107

a+2b ≤ 10, dengan a,bϵ bilangan bulat positif a+b ≤ 6,
dengan a,bϵ bilangan bulat positif Maka, Model matematika di
atas dapat juga dinyatakan dengan:
a+2b ≤ 10 , a+b≤6, a≥0, b≥0

Latihan

1. Seorang siswa harus mengikuti tes akademik dan tes
psikologi untuk dapat diterima di sebuah Akademi. Akademi
tersebut mensyaratkan bahwa seorang siswa dapat diterima
jika jumlah nilai tes akademik dan tes psikologi tidak
kurang dari 150 dan masing-masing hasil tes tersebut
sekurang-kurangnya 70.

2. Seorang pengusaha mempunyai pabrik tas di dua kota,
yaitu di Jakarta dan Surabaya. Untuk memenuhi pesanan
sebanyak 250 tas kantor, 240 tas wanita dan 540 tas
sekolah, maka pengusaha tersebut mengoperasikan kedua
pabrik. Pabrik di Jakarta setiap hari menghasilkan tas
kantor, tas wanita dan tas sekolah masing-masing 50,
24,dan 90 dengan ongkos pekerja Rp 30.000,00 tiap hari.
Sedangkan pabrik Surabaya setiap harinya menghasilkan tas
kantor, tas wanita dan tas sekolah masing masing 25, 48,
dan 60 dengan ongkos pekerja Rp 25.000,00 setiap hari.
Buatlah model matematika untuk masalah tersebut jika
diharapkan pengeluaran ongkos seminimal mungkin!

108 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

3. Ibu membuat dua jenis kue. Kue jenis satu harus
dimasukkan dalam oven dengan suhu antara 70oC dan 80o C.
Sedangkan kue jenis dua harus dimasukkan dalam oven
dengan suhu dari 75o C sampai 90o C. Batasan suhu tersebut
dapat dinyatakan dalam pertidaksamaan.

Soal Objektif

1. Suatu pabrik mainan anak-anak memproduksi robot model
A dan robot model B. Waktu yang digunakan untuk
menghasilkan satu unit model A dan satu unit model B
masing-masing 30 menit dan 45 menit. Banyak unit model A
tidak melebihi 50 unit. Banyak unit model B adalah 20 atau
lebih. Total waktu untuk memproduksi kedua model robot
tersebut tidak melebihi 36 jam. Keuntungan robot model A
dan robot model B masing-masing Rp 40.000,00 dan Rp
50.000,00. Model matematika yang sesuai dengan masalah
di atas adalah ….
a.

b.
c.

d.

e.

2. Seorang pelamar di suatu perusahaan harus mengikuti tes
keterampilan dan tes pengetahuan. Syarat seorang pelamat

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 109

diterima adalah jumlah nilai keterampilan dan tes
pengetahuan tidak kurang dari 165, nilai tes keterampilan
paling tidak dari 85, dan nilai tes pengetahuan sekurang-
kurangnya 75. Bentuk sistem pertidaksamaan yang sesuai
dengan masalah di atas adalah …....

a.
b.
c.
d.
e.
3. Sebuah perusahaan real estate akan membangun kompleks
perumahan di atas lahan seluas 12.500 m2 , dimana 1.700
m2 diantaranya untuk jalan dan taman. Perumahan itu
terdiri atas dua tipe rumah. Rumah tipe I memerlukan luas
lahan 150 m2 dan rumah tipe II memerlukan luas lahan 100
m2. Banyak rumah yang akan dibangun tidak bisa lebih dari
96 buah. Jika rumah tipe I dan rumah tipe II masing-masing
memberi keuntungan Rp 5 juta dan Rp 4 juta, model
matematikan yang sesuai untuk memaksimalkan
keuntungan adalah ….
a.

b.

c.

d.

e.

110 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

4.3 MENENTUKAN NILAI OPTIMUM DARI FUNGSI
OBJEKTIF PADA SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)

TUJUAN PEMBELAJARAN

a. Setelah berdiskusi menggali informasi, peserta didik akan dapat menerangkan nilai
optimum pada fungsi objektif dengan percaya diri

b. Setelah berdiskusi menggali informasi, peserta didik akan dapat menerapkan hasil
nilai optimum pada fungsi objektif

c. Disediakan LK, peserta didik akan dapat menentukan nilai optimum pada fungsi
objektif

LANGKAH-LANGKAH PEMBELAJARAN

IDENTITAS SEKOLAH Kegiatan Deskripsi Kegiatan lokasi
Waktu

Kegiatan a. Sebagai apersepsi, siswa diajak untuk mengingat kembali tentang 10

Awal konsep pertidaksamaan linear. menit

b. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang ingin dicapai.
c. Guru menyampaikan cakupan materi dan kegiatan yang akan

dilakukan.

d. Guru menyampaikan lingkup dan teknik penilaian yang akan

digunakan

Kegiatan Mengamati: 55

Inti a. Guru menampilkan bahan tayangan menit

b. Guru meminta siswa untuk untuk melihat bahan tayangan

Menanya:

Guru memberi kesempatan kepada peserta didik untuk mengajukan
pertanyaan terkait dengan tampilan yang telah ditayangkan

Mengumpulkan informasi:

a. Guru membentuk siswa menjadi beberapa kelompok

b. Guru membagikan LK pada tiap kelompok

c. Guru memberi kesempatan siswa untuk berdiskusi dengan kelompok

d. Guru meminta siswa untuk menerangkan kembali nilai optimum
pada fungsi objektif

e. Guru memberi kesempatan siswa untuk berdiskusi kembali dengan

kelompok dan melanjutkan soal berikutnya

f. Guru memantau siswa dalam mengerjakan soal berikutnya

Menalar:

Peserta didik mendiskusikan hasil kerja kelompok yang telah
dipresentasikan

Mengkomunikasikan:

PENILAIAN Wakil kelompok mempresentasikan hasil diskusinya, dilanjutkan
dengan tanya jawab

Penutup a. Siswa diminta menyimpulkan tentang materi nilai optimum pada 25

➢ Instrument dan Tes fungsi objektif menit

b. Guru memberikan penguatan dengan kesimpulan yang telah
diperoleh siswa
Penilaian c. Guru memberikan LK perorangan
➢ Analisis Hasil Peneilaian d. Guru mengakhiri kegiatan belajar dan menyampaikan rencana
➢ Pembelajaran Remidial
pembelajaran pada pertemuan berikutnya.
dan Pengayaan
RPP 2020 Sesuai Dengan Surat Edaran Mendikbud 14 Tahun 2019

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 111

Pada topik sebelumnya telah belajar tentang penyelesaian
sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Dalam pembahasan
model matematika sistem pertidaksamaan linear dua variabel
kalian telah mempelajari cara menyusun model matematika
yang berkaitan dengan masalah nyata program linear. Dari
model matematika tersebut akan dicari nilai dan yang
memenuhi kendala-kendala dan menyebabkan fungsi objektif
maksimum atau minimum sesuai dengan pertanyaannya.
Metode yang dapat dipakai dalam menentukan nilai optimum
adalah:
1) Metode uji titik pojok
2) Metode garis selidik
3) Metode simpleks
Dalam pembahasan kali ini kalian akan diajak untuk
menggunakan metode uji titik pojok dalam menentukan nilai
optimum.
Titik pojok adalah titik-titik yang terletak pada sudut dari
daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel.
Langkah-langkah dalam menentukan nilai optimum dengan
metode uji titik pojok adalah:
1) Tetapkan fungsi kendala dari model matematika program

linear.
2) Gambarlah daerah penyelesaian.
3) Tetapkan titik-titik pojoknya.
4) Tentukan nilai fungsi objektif pada setiap titik pojok.

112 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

5) Bandingkan nilai-nilai tersebut, nilai terbesar adalah nilai
maksimum fungsi objektif dan nilai terkecil adalah nilai
minimum fungsi objektif.

1. Tentukan nilai maksimum dari f(x,y) = 2x + 5y yang
memenuhi kendala : 7x + 3y ≤ 21, x ≥ 0, dan y ≥ 0

Pembahasan :
Gambar grafik himpunan penyelesaian dari fungsi kendala

adalah sebagai berikut :

Berdasarkan gambar di atas, titik pojok daerah himpunan
penyelesaian adalah : (0,0) , (0,7), dan (3,0)

Dengan demikian,
1. f(0,0) = 2.0 + 5.0 = 0
2. f(0,7) = 2.0 + 5.7 = 35
3. f(3,0) = 2.3 + 5.0 = 6
Jadi, nilai maksimum dari fungsi obyektif f(x,y) = 2x + 5y
dengan kendala di atas adalah 35.

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 113

2. Tentukan nilai maksimum dari f(x,y) = 6x - 4y yang

memenuhi kendala :

x - y ≤ 0, x + y ≥ 3, x + y ≤ 5 dan x ≥ 4

Pembahasan :
Gambar grafik himpunan penyelesaian dari fungsi kendala di

atas adalah sebagai berikut :

Berdasarkan gambar di atas, titik pojok daerah himpunan
penyelesaian adalah : (3,0) , (4,0) , (4,1) , (5/2 , 5/2) , dan
(3/2 , 3/2)

Dengan demikian,
1. f(3,0) = 6.3 - 4.0 = 18
2. f(4,0) = 6.4 - 4.0 = 24
3. f(4,1) = 6.4 - 4.1 = 20
4. f(5/2 , 5/2) = 6.(5/2) - 4.(5/2) = 5
5. f(3/2 , 3/2) = 6.(3/2) - 4.(3/2) = 3
Jadi, nilai maksimum dari fungsi obyektif f(x,y) = 6x - 4y dengan
kendala di atas adalah 24.

114 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

3. Untuk menghasilkan barang A diperlukan bahan baku 20 kg
dan waktu kerja mesin 2 jam. Untuk barang B diperlukan
bahan baku 30 kg dan waktu kerja mesin 1 jam. Bahan baku
yang tersedia 240 kg, sedangkan waktu kerja mesin 16 jam.
Jika barang A dijual dengan harga Rp 400.000,00 dan
barang B dijual dengan harga Rp 3.000,00. Tentukan
pendapatan maksimum yang diperoleh dari penjualan dua
barang tersebut!

Pembahasan :
Model matematika dari masalah di atas adalah sebagai berikut :
Memaksimumkan : f(x,y) = 400.000x + 300.000y
dengan fungsi kendala :

1. 20x + 30y ≤ 240 <=> 2x + 3y ≤ 24
2. 2x + y ≤ 16
3. x ≥ 0
4. y ≥ 0

Dengan demikian, gambar grafik himpunan penyelesaian
dari fungsi kendala di atas adalah :

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 115

Berdasarkan gambar di atas, titik pojok daerah himpunan
penyelesaian adalah : (0,0) , (0,8) , (6,4) , dan (8,0)

Dengan demikian,
1. f(0,0) = 400.000 (0) + 300.000 (0) = 0
2. f(0,8) = 400.000 (0) + 300.000 (8) = 2.400.000
3. f(6,4) = 400.000 (6) + 300.000 (4) = 3.600.000
4. f(8,0) = 400.000 (8) + 300.000 (0) = 3.200.000

Jadi, pendapatan maksimumnya adalah Rp3.600.000,00

Latihan

1. Jika fungsi kendala yang memenuhi 4x+5y ≥ 20, x ≥, y ≥ 0.
Tentukan nilai kinimum dari fungsi objektif f(x) = 6x+12y

2. Jika fungsi kendala: 4x+y≥4, 2x+3y≥6, 4x+3y≤12, x≥0,
dan y≥0 tentukan Nilai minimum dari f(x,y)=2x+2y.

3. Pada suatu toko sepatu, diketahui harga sepasang sepatu
wanita Rp 200.000,00 dan harga sepasang sepatu pria Rp
150.000,00. Setiap sepatu wanita memberikan keuntungan
Rp 24.000,00 dan sepatu pria memberi keuntungan Rp
20.000,00. Modal yang tersedia untuk mengisi toko adalah
Rp. 120.000.000,00 dan toko tersebut memuat paling
banyak 700 pasang sepatu. Jika sepatu tersebut terjual
habis, keuntungan maksimum yang diperoleh adalah ….

116 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

4.4 MENENTUKAN NILAI OPTIMUM DENGAN
GARIS SELIDIK

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)

TUJUAN PEMBELAJARAN

a. Setelah berdiskusi menggali informasi, peserta didik akan dapat menerangkan nilai
optimum pada garis selidik dengan percaya diri

b. Setelah berdiskusi menggali informasi, peserta didik akan dapat menerapkan hasil
nilai optimum pada garis selidik

c. Disediakan LK, peserta didik akan dapat nilai optimum pada garis selidik

TUJUAN PEMBELAJARAN

IDENTITAS SEKOLAH Kegiatan Deskripsi Kegiatan lokasi

Waktu

Kegiatan a. Sebagai apersepsi, siswa diajak untuk mengingat kembali tentang 10

Awal konsep dasar nilai optimum. menit

b. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang ingin dicapai.

c. Guru menyampaikan cakupan materi dan kegiatan yang akan

dilakukan.

d. Guru menyampaikan lingkup dan teknik penilaian yang akan
digunakan

Kegiatan Mengamati: 55

Inti a. Guru menampilkan bahan tayangan menit
b. Guru meminta siswa untuk untuk melihat bahan tayangan

Menanya:

Guru memberi kesempatan kepada peserta didik untuk mengajukan

pertanyaan terkait dengan tampilan yang telah ditayangkan

Mengumpulkan informasi:

a. Guru membentuk siswa menjadi beberapa kelompok
b. Guru membagikan LK pada tiap kelompok

c. Guru memberi kesempatan siswa untuk berdiskusi dengan kelompok

d. Guru meminta siswa untuk menerangkan kembali nilai optimum

pada garis selidik

e. Guru memberi kesempatan siswa untuk berdiskusi kembali dengan

kelompok dan melanjutkan soal berikutnya
f. Guru memantau siswa dalam mengerjakan soal berikutnya

Menalar:

Peserta didik mendiskusikan hasil kerja kelompok yang telah

dipresentasikan

PENILAIAN Mengkomunikasikan:
Wakil kelompok mempresentasikan hasil diskusinya, dilanjutkan
dengan tanya jawab

Penutup a. Siswa diminta menyimpulkan tentang materi nilai optimum pada 25

➢ Instrument dan Tes garis selidik menit
Penilaian b. Guru memberikan penguatan dengan kesimpulan yang telah

➢ Analisis Hasil Peneilaian diperoleh siswa
➢ Pembelajaran Remidial
c. Guru memberikan LK perorangan
dan Pengayaan
d. Guru mengakhiri kegiatan belajar dan menyampaikan rencana

pembelajaran pada pertemuan berikutnya.

RPP 2020 Sesuai Dengan Surat Edaran Mendikbud 14 Tahun 2019

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 117

Pada masalah program linear, biasanya kita juga diminta
menentukan nilai optimum (maksimum atau minimum). Sebagai
contoh, perhatikan kembali permasalahan tentang baju model A
dan model B yang dibuat oleh Bu Rini.

Jika diketahui harga satu baju model A adalah
Rp100.000,00 dan harga satu baju model B adalah
Rp120.000,00, maka banyak masing-masing model baju yang
harus dibuat Bu Rini agar mendapatkan pendapatan maksimum
adalah....

Penyelesaian permasalahan seperti ini dapat dilakukan
dengan dua cara yaitu, metode uji titik pojok dan metode garis
selidik. Mari kita bahas satu per satu.

Pada permasalahan di atas, permasalahan yang hendak
kita tentukan nilai maksimumnya dapat kita nyatakan sebagai
suatu fungsi objektif, yaitu: f(x,y)=100.000x+120.000y

1. Metode Uji Titik Pojok

Adapun langkah-langkah yang perlu dilakukan untuk
menentukan nilai optimum dengan menggunakan metode ini
adalah sebagai berikut:
• Gambar daerah penyelesaian dari kendala pada masalah

program linear;
• Tentukanlah titik-titik pojok pada daerah penyelesaian

tersebut;
• Substitusikan titik pojok ke dalam fungsi objektif; dan

118 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

• Bandingkan hasil substitusi yang diperoleh. Nilai yang
paling besar menunjukkan nilai maksimum dari fungsi
objektif dan nilai yang paling kecil menunjukkan nilai
minimum dari fungsi objektif.

Contoh:
Perhatikan kembali daerah penyelesaian pada contoh di atas.
Titik-titik pojok pada daerah penyelesaian di atas adalah (0, 0),
(0, 5), (2, 4), dan (6, 0). Substitusikan titik-titik tersebut pada
fungsi objektif.

Berdasarkan tabel di atas, nilai yang paling besar
terletak pada titik (2, 4), sehingga pendapatan maksimum yang
dapat diperoleh adalah Rp680.000,00.

Jadi, Bu Rini harus membuat 2 baju model A dan 4 baju
model B agar memperoleh pendapatan maksimum.

2. Metode Garis Selidik

Adapun langkah-langkah yang perlu kalian lakukan untuk
menentukan nilai optimum dengan menggunakan metode ini,
sebagai berikut.

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 119

• Gambar daerah penyelesaian dari kendala pada masalah
program linear.

• Buat garis yang sejajar dengan garis selidik ax+by=ab.
• Garis sejajar dalam daerah penyelesaian yang paling

jauh dari titik O(0,0) merupakan nilai maksimum dari
fungsi objektif dan garis sejajar yang paling dekat dari
titik O(0,0) merupakan nilai maksimum dari fungsi
objektif.
Contoh:
Fungsi objektif: f(x,y)=100.000x+120.000y=10x+12y
Garis selidik: 10x+12y=120

Dapat kita lihat bahwa garis selidik yang menyebabkan nilai
maksimum adalah garis yang melalui titik (2, 4), sehingga
diperoleh nilai maksimum dari fungsi objektif ini adalah:
100.000(2)+120.000(4)=200.000+480.000 = 680.000. Jadi, Bu Rini
harus membuat 2 baju model A dan 4 baju model B agar
memperoleh pendapatan maksimum.

120 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

Latihan

1. Diketahui grafik penjualan dua jenis produk makanan dari
suatu perusahaan adalah sebagai berikut.

Keuntungan dari penjualan makanan tersebut

sesuai dengan fungsi objektif f(x,y)=2x+3y (dalam

jutaan Rupiah). Dengan menggunakan metode titik

pojok, tentukan nilai maksimum untuk fungsi objektif

tersebut.

2. Gambarkan daerah penyelesaian dari setiap sistem

pertidaksamaan berikut ini. Kemudian, tentukanlah nilai

maksimum dan minimum dari fungsi tujuannya dengan

metode uji titik pojok dan metode garis selidik

a 4x + 2y ≤ 60 b 3y+ 5x +11≤ 0

2x + 4y ≤ 48 5x + 3y ≥ 9

x ≥ 0, y ≥ 0, x ≥ 0, y ≥ 0,

Fungsi tujuannya : Fungsi tujuannya :

f(x, y)= 8x + 6y f(x, y) 75x 45y

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 121

3. Perhatikan gambar berikut:
a. Tentukan Titik-titik pojoknya adalah titik A, B, dan C.
b. Tentukan Uji titik-titik pojok

122 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

BAB
BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

KOMPETENSI DASAR

Setelah mengikuti pembelajaran materi persamaan dan
pertidaksamaan nilai mutlak bentuk linear satu variabel, siswa mampu
3.5. Menganalisis barisan dan deret aritmetika
4.5. Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan

barisan dan deret aritmatika.

PENGALAMAN BELAJAR

Setelah mengikuti pembelajaran materi persamaan dan
pertidaksamaan nilai mutlak bentuk linear satu variabel, siswa mampu
• Mengamati dan mengidentifikasi fakta pada barisan dan deret

aritmetika serta masalah yang ada
• Mengumpulkan dan mengolah informasi untuk membuat

kesimpulan serta prosedur untuk menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan barisan dan deret aritmetika
• Menyajikan penyelesaian masalah yang berkaitan dengan barisan
dan deret aritmetika

MATERI POKOK

❖ Pola Bilangan
❖ Barisan Bilangan
❖ Barisan dan Deret Aritmetika
❖ Aplikasi Barisan dan Deret Aritmetika pada Pemecahan Masalah

Peta Konsep

Materi mengenai barisan dan deret aritmatika dapat
digambarkan sebagai berikut:

BARISAN & DERET ARITMATIKA

BARISAN DERET

APLIKASI BARISAN & DERET
ARITMATIKA DALAM
KONTEKSTUAL

124 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

5.1 POLA BILANGAN

RENCANARPENECLAANKASAPENLAAAKNSA(PRNPEAPMA)BNEPLEAMJBAELRAAJNARAN
(RPP)

TUJUAN PEMBELAJARAN

a. Setelah berdiskusi menggali informasi, peserta didik akan dapat menerangkan pola
bilangan dengan percaya diri

b. Setelah berdiskusi menggali informasi, peserta didik akan dapat menerapkan hasil pola
bilangan

c. Disediakan LK, peserta didik akan dapat menentukan hasil pola bilangan

LANGKAH-LANGKAH PEMBELAJARAN

IDENTITAS SEKOLAH Kegiatan Deskripsi Kegiatan lokasi
Kegiatan Waktu
PENILAIAN a. Sebagai apersepsi, siswa diajak untuk mengingat kembali tentang
Awal konsep barisan dan deret. 10
➢ Instrument dan Tes Kegiatan menit
Penilaian b. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang ingin dicapai.
Inti c. Guru menyampaikan cakupan materi dan kegiatan yang akan 55
➢ Analisis Hasil Peneilaian menit
➢ Pembelajaran Remidial dan Penutup dilakukan.
d. Guru menyampaikan lingkup dan teknik penilaian yang akan 25
Pengayaan menit
digunakan
Mengamati:
a. Guru menampilkan bahan tayangan
b. Guru meminta siswa untuk untuk melihat bahan tayangan
Menanya:

Guru memberi kesempatan kepada peserta didik untuk mengajukan
pertanyaan terkait dengan tampilan yang telah ditayangkan
Mengumpulkan informasi:
a. Guru membentuk siswa menjadi beberapa kelompok
b. Guru membagikan LK pada tiap kelompok
c. Guru memberi kesempatan siswa untuk berdiskusi dengan kelompok
d. Guru meminta siswa untuk menerangkan kembali pola bilangan
e. Guru memberi kesempatan siswa untuk berdiskusi kembali dengan
kelompok dan melanjutkan soal berikutnya
f. Guru memantau siswa dalam mengerjakan soal berikutnya
Menalar:
Peserta didik mendiskusikan hasil kerja kelompok yang telah
dipresentasikan
Mengkomunikasikan:
Wakil kelompok mempresentasikan hasil diskusinya, dilanjutkan
dengan tanya jawab
a. Siswa diminta menyimpulkan tentang materi pola bilangan
b. Guru memberikan penguatan dengan kesimpulan yang telah
diperoleh siswa
c. Guru memberikan LK perorangan
d. Guru mengakhiri kegiatan belajar dan menyampaikan rencana
pembelajaran pada pertemuan berikutnya.

RPP 2020 Sesuai Dengan Surat Edaran Mendikbud 14 Tahun 2019

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 125

Pada materi ini kalian akan belajar mengenai bagaimana cara
menentukan pola bilangan dimana pola bilangan merupakan
bagian terpenting dalam pemecahan masalah matematika.
Apabila kalian terbiasa menentukan pola bilangan, maka
kemampuan kalian dalam mendiskripsikan, menganalisis,
merepresentasi, dan sistematika berfikir kalian akan lebih
meningkat. Misalkan ada kasus pembunuhan berantai. Seorang
detektif harus dapat menangkap si pelaku hanya dari barang
bukti yang ada dan menemukan polanya sebagai petunjuk untuk
mengidentifikasi si pelaku.

A. Pengertian Pola Bilangan
Pola disebut juga sebagai susunan atau struktur. Pola bilangan
dapat diartikan sebagai aturan untuk menyusun suatu bilangan.
Nah, susunan bilangan yang teratur dan membentuk pola
tertentu nantinya kita sebut sebagai barisan bilangan.
Selanjutnya, pola bilangan atau susunan bilangan dibedakan
menjadi dua macam, yaitu pola bilangan yang tidak teratur dan
pola bilangan yang teratur.
Pola bilangan dikatakan tidak teratur jika bilangan tersusun
tanpa ada pola tertentu antara bilangan satu dengan bilangan
berikut contohnya: 1, 3, 4, 5, 8, ...

126 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

Pola bilangan dikatakan teratur jika bilangan tersusun dengan
mengikuti pola tertentu. Pola bilangan yang termasuk pola
bilangan yang teratur antara lain adalah pola bilangan garis
lurus, pola bilangan persegipanjang, pola bilangan persegi, pola
bilangan segitiga, pola bilangan ganjil, pola bilangan genap,
pola bilangan segitiga Pascal, dan pola bilangan Fibonacci.
❖ Pola Bilangan Garis Lurus

Dalam pola bilangan garis lurus, suatu bilangan
digambarkan dengan noktah yang membentuk pola garis lurus
seperti gambar berikut:

❖ Pola Bilangan Persegipanjang
Pada pola persegipanjang, noktah disusun sedemikian

rupa sehingga membentuk suatu persegipanjang, seperti terlihat
gambar berikut:

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 127

❖ Pola Bilangan Persegi
Persegi merupakan bangun datar yang keempat sisinya

sama panjang, begitu juga dengan pola bilangan persegi. Semua
noktah pada pola bilangan persegi disusun sedemikian rupa
sehingga keempat sisinya sama panjang, seperti terlihat pada
gambar berikut:

❖ Pola Bilangan Segitiga
Pada pola bilangan segitiga, noktah disusun sedemikian

hingga membentuk segitiga, dimana jumlah noktah pada alas
segitiga selalu bertambah satu, seperti terlihat pada gambar
berikut:

128 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

❖ Pola Bilangan Ganjil
Pola bilangan ganjil adalah suatu pola yang tersusun

atas bilangan-bilangan ganjil. Pola bilangan ganjil dimulai dari
bilangan 1 dan bilangan selanjutnya diperoleh dengan cara
menjumlahkan bilangan sebelumnya dengan bilangan 2, seperti
terlihat pada gambar berikut:

❖ Pola Bilangan Genap
Pola bilangan genap adalah suatu pola yang tersusun

atas bilangan-bilangan genap. Pola bilangan genap dimulai dari
bilangan 2 dan bilangan selanjutnya diperoleh dengan cara
menjumlahkan bilangan sebelumnya dengan bilangan 2, seperti
terlihat pada gambar berikut:.

❖ Pola Bilangan Segitiga Pascal
Dalam segitiga Pascal, susunan bilangan selalu di awali

dan diakhiri dengan bilangan 1, sedangkan bilangan yang
terletak di dalamnya merupakan hasil penjumlahan dari dua
bilangan yang berdekatan pada baris sebelumnya, seperti
terlihat pada gambar berikut:

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 129

❖ Pola Bilangan Fibonacci
Pola bilangan Fibonacci merupakan pola bilangan yang

bilangan setelahnya diperoleh dari menjumlahkan dua bilangan
sebelumnya. Adapun dua bilangan pertama dalam pola bilangan
Fibonacci adalah bilangan 1. Barisan bilangan Fibonacci: 1, 1, 2,
3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

B. Menentukan Pola Bilangan
Menentukan pola bilangan bukan berarti menyebutkan

nama pola seperti contoh di atas, melainkan menentukan nilai
bilangan yang belum ada, sesuai dengan pola yang sudah
ditentukan sebelumnya.
1. Diketahui barisan bilangan: 3, 6, 7, 14, 15, 30, ... , ... , ....

Tentukan tiga bilangan selanjutnya.
Penyelesaian:
Pola bilangan di atas dapat digambarkan sebagai berikut:

Berdasarkan pola di atas, dapat kita simpulkan bahwa tiga
bilangan selanjutnya adalah 30, 31, 62.
130 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

2. Lengkapilah barisan bilangan berikut: 1 , 1 , … . . , 1 1 , 1 1 , 1 3

42 4 2 4

Penyelesaian:
Pola bilangan di atas dapat digambarkan sebagai berikut:

Aturan pola bilangan di atas adalah menjumlahkan bilangan
sebelumnya dengan 14. Dengan demikian, dua bilangan untuk
melengkapi barisan di atas adalah 34 dan 1.
3. Lengkapilah pola bilangan berikut.

Penyelesaian:
Jika kita perhatikan gambar di atas, jumlah noktah pada alas
segitiga selalu bertambah dua pada gambar selanjutnya. jika
gambar kita lanjutkan, maka akan diperoleh hasil sebagai
berikut:

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 131

4. Diketahui barisan bilangan: 1, 2, 4, 7, ... , ... , ....
Tentukan tiga bilangan selanjutnya.

Penyelesaian:
Berdasarkan pola di atas, dapat kita simpulkan bahwa

bilangan selanjutnya adalah 11, 16, dan 22

132 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

Latihan
Kerjakanlah soal-soal berikut:
1. Perhatikan pola berikut:

Pada pola bilangan segitiga Pascal di atas, jumlah bilangan-
bilangan pada baris ke-9 adalah ….
2. Perhatikan pola berikut ini:

Banyak noktah untuk gambar ke-5 dan ke-6 adalah ….

3. Diketahui Dua bilangan
selanjutnya adalah ….

4. Perhatikan barisan bilangan berikut ini: 3, 35, 12, ..., ...,
25, 192, 20. Dua bilangan untuk melengkapi barisan
bilangan di atas adalah ….

5. Perhatikan barisan bilangan berikut ini: 2, 3, 9, ... , ... , 87
Dua bilangan untuk melengkapi barisan bilangan di atas
adalah ….

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 133

Soal Objektif

Pilihlah satu jawaban yang benar
1. Perhatikan pola berikut ini:

Pada pola bilangan segitiga Pascal di atas, jumlah bilangan-

bilangan pada baris ke-9 adalah …

a. 156 d. 356

b. 246 e. 456

c. 256

2. Perhatikan pola berikut ini:

a. 60 dan 120 d. 20 dan 46
b. 30 dan 42 e. 46 dan 20
c. 40 dan 36

3. Perhatikan barisan bilangan berikut ini:

2, 3, 9, ... , ... , 87. Dua bilangan untuk melengkapi barisa

n bilangan di atas adalah ….

a. 23 dan 48 d. 32 dan 36

b. 25 dan 46 e. 35 dan 49

c. 29 dan 37

134 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

4. Perhatikan barisan bilangan berikut ini:

12, 9, 5, ... , ... , ... , 21. Tiga bilangan untuk melengkapi

barisan bilangan di atas adalah ….

a. 3 dan 3 d. 3 dan -3

b. 3 dan 12 e. 4 dan 3

c. 3 dan 3

5. Perhatikan barisan bilangan berikut ini:

. Untuk melengkapi barisan bilanga
n di atas, maka dua bilangan berurutan yang dibutuhkan ad
alah ….

a. d.

b. e.
c.

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 135

5.2 BARISAN BILANGAN

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Setelah berdiskusi menggali informasi, peserta didik akan dapat menerangkan
bentuk akar dengan percaya diri

2. Setelah berdiskusi menggali informasi, peserta didik akan dapat menerapkan hasil
bentuk akar

3. Disediakan LK, peserta didik akan dapat menentukan bentuk akar

LANGKAH-LANGKAH PEMBELAJARAN

IDENTITAS SEKOLAH Kegiatan Deskripsi Kegiatan lokasi
Waktu

PENILAIAN Kegiatan a. Sebagai apersepsi, siswa diajak untuk mengingat kembali tentang 10
Awal konsep bilangan berpangkat. menit
➢ Instrument dan Tes
Penilaian Kegiatan b. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang ingin dicapai. 55
Inti c. Guru menyampaikan cakupan materi dan kegiatan yang akan menit
➢ Analisis Hasil Peneilaian
➢ Pembelajaran Remidial Penutup dilakukan. 25
d. Guru menyampaikan lingkup dan teknik penilaian yang akan menit
dan Pengayaan
digunakan

Mengamati:
a. Guru menampilkan bahan tayangan
b. Guru meminta siswa untuk untuk melihat bahan tayangan
Menanya:
a. Guru memberi kesempatan kepada peserta didik untuk mengajukan

pertanyaan terkait dengan tampilan yang telah ditayangkan
Mengumpulkan informasi:
a. Guru membentuk siswa menjadi beberapa kelompok
b. Guru membagikan LK pada tiap kelompok
c. Guru memberi kesempatan siswa untuk berdiskusi dengan kelompok
d. Guru meminta siswa untuk menerangkan kembali operasi pada

bilangan berpangkat
e. Guru memberi kesempatan siswa untuk berdiskusi kembali dengan

kelompok dan melanjutkan soal berikutnya
f. Guru memantau siswa dalam mengerjakan soal berikutnya
Menalar:
a. Peserta didik mendiskusikan hasil kerja kelompok yang telah

dipresentasikan
Mengkomunikasikan:
a. Wakil kelompok mempresentasikan hasil diskusinya, dilanjutkan

dengan tanya jawab

a. Siswa diminta menyimpulkan tentang materi bentuk akar
b. Guru memberikan penguatan dengan kesimpulan yang telah

diperoleh siswa
c. Guru memberikan LK perorangan
d. Guru mengakhiri kegiatan belajar dan menyampaikan rencana

pembelajaran pada pertemuan berikutnya.

RPP 2020 Sesuai Dengan Surat Edaran Mendikbud 14 Tahun 2019

136 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

Dalam materi ini kalian akan belajar tentang barisan bilangan.
Topik ini merupakan dasar dalam mempelajari barisan
aritmetika dan barisan geometri pada topik selanjutnya. Barisan
bilangan merupakan susunan bilangan yang teratur dan
membentuk pola tertentu.
Barisan U1, U2, U3, ... , Un, ... merupakan suatu fungsi Ui yang
domainnya adalah himpunan bilangan asli (i = 1, 2, 3, ... , n ,
...) Pada barisan di atas, U1, U2, U3, ... , dan Un disebut suku-
suku barisan. U1 disebut suku pertama, U2 disebut suku ke-
2, U3 disebut suku ke-3, dan Un disebut suku ke-n.

A. Barisan Bilangan Bertingkat Satu
Barisan bilangan berikut ini merupakan contoh barisan

bilangan bertingkat satu
1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...
2. 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Bagaimanakah pola dari barisan bilangan pada contoh pertama?
Berapakah nilai dari suku ke-100 dari barisan bilangan tersebut?

Mari kita perhatikan tabel berikut ini.

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 137

Berdasarkan tabel di atas, dapat kita simpulkan bahwa rumus
suku ke-n dari barisan bilangan 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... adalah Un =
1 + (n - 1) x 2 = 1 + 2n - 2 = 2n - 1.
Dengan demikian, suku ke-100 dari barisan bilangan di atas
adalah U100 = 2(100) - 1 = 200 - 1 = 199.
Mari kita perhatikan kembali barisan di atas. Ternyata selisih
antara dua suku yang berdekatan dari barisan tersebut adalah
sama (konstan), yaitu 2. Nah, barisan bilangan dengan selisih
antara dua suku yang berdekatan adalah konstan selanjutnya
disebut barisan aritmetika.

Bagaimanakah pola dari barisan bilangan pada contoh kedua?
Berapakah nilai dari suku ke-10 dari barisan bilangan tersebut?

Selisih antara dua suku yang berdekatan pada barisan 1, 2, 4, 8,
16, 32, ... ternyata tidak konstan. Lalu bagaimana polanya?Mari
kita perhatikan tabel berikut:

138 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

Berdasarkan tabel di atas, dapat kita simpulkan bahwa rumus
suku ke-n dari barisan bilangan 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... adalah Un =
1 x 2(n - 1) = 2(n - 1). Dengan demikian, suku ke-10 dari barisan
bilangan di atas adalah U10 = 2(10 - 1) = 29 = 512. Mari kita
perhatikan kembali barisan di atas. Ternyata perbandingan
antara dua suku yang berdekatan dari barisan tersebut adalah
sama (konstan), yaitu 2. Nah, barisan bilangan dengan
perbandingan (rasio) antara dua suku yang berdekatan adalah
konstan, selanjutnya disebut Barisan geometri.

B. Barisan Bilangan Bertingkat Dua
Berikut contoh barisan bilangan bertingkat dua adalah 1, 3, 6,
10, 15, ....
Mengapa demikian?
Mari kita perhatikan pola dari barisan bilangan tersebut.

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 139

Jika kita perhatikan, selisih antara dua suku yang berdekatan
pada awalnya tidak sama (tidak konstan), namun pada tingkat
kedua, selisih antara dua suku yang berdekatan adalah sama
(konstan). Nah, barisan bilangan dengan pola seperti itu disebut
dengan barisan bilangan bertingkat dua.
Lalu bagaimanakah rumus suku ke-n dari barisan bilangan
bertingkat dua? Jika:

• suku pertama barisan adalah a
• suku pertama dari tingkatan beda ke-1 adalah b
• suku pertama dari tingkatan beda ke-2 adalah c
Maka rumus suku ke-n dari barisan bilangan bertingkat dua
adalah sebagai berikut:

Mari kita tentukan rumus suku ke-n dari barisan bilangan 1, 3, 6,
10, 15, ....

140 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

Latihan

Kerjakanlah soal-soal berikut:
1. Perhatikan barisan bilangan berikut: 5, 9,13,17,....Rumus

suku ke-n dari barisan bilangan di atas adalah ….

2. Perhatikan barisan bilangan berikut: Suku

ke-7 dari barisan bilangan di atas adalah …

3. Rumus suku ke-n dari barisan bilangan 2 , 6 , 12 , 20 ,

... adalah ….

4. Penghasilan sebuah industri rumah tangga setiap 4 tahun

menjadi berlipat dua dari penghasilan sebelumnya. Jika

penghasilan yang diperoleh pada tahun 1997 adalah

Rp200.000,00, maka penghasilan yang diperoleh pada

tahun 2021 adalah ….

5. Suku ke-24 dari barisan bilangan: 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 ,

... adalah ….

6. Rumus suku ke-n dari barisan bilangan: -2 , -1 , 5 , 16 , 32 ,

... adalah ….

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 141

Soal Objektif

1. Jika Rumus suku ke-n dari barisan bilangan:

-2 , -1 , 5 , 16 , 32 , ... adalah ….

a. d
.

b. e
.

c.

2. Penghasilan sebuah industri rumah tangga setiap 4 tahun

menjadi berlipat dua dari penghasilan sebelumnya. Jika

penghasilan yang diperoleh pada tahun 1997 adalah

Rp200.000,00, maka penghasilan yang diperoleh pada

tahun 2021 adalah …..

a. Rp. 10.800.000 d. Rp. 13.800.000

b. Rp. 11.800.000 e. Rp. 14.800.000

c. Rp. 12.800.000

3. Suku ke-24 dari barisan bilangan: 3 , 10 , 19 , 30 , ...

adalah...

a. 240 d. 580
b. 370 e. 670

c. 460
4. Rumus suku ke-n dari barisan bilangan 2 , 6 , 12 , 20 ,

... adalah

a. Un = n (1-n) d. Un = n (n+2)
b. Un = n (n-1) e. Un = n (n-2)
c. Un = n (n+1)

5. Perhatikan barisan bilangan berikut: -1 , 2 , -4, 8, ....

Rumus suku ke-n dari barisan bilangan di atas adalah ….....
a. Un = 2-(-2)n-1
b. Un = 1-(-2)n-1 d. Un = -1x2n-1

c. Un = -1x(-2)n-1 e. Un = (-2)n-1

142 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

5.3 BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)

TUJUAN PEMBELAJARAN

a. Setelah berdiskusi menggali informasi, peserta didik akan dapat menerangkan
merasionalkan bentuk akar dengan percaya diri

b. Setelah berdiskusi menggali informasi, peserta didik akan dapat menerapkan hasil
merasionalkan bentuk akar

c. Disediakan LK, peserta didik akan dapat menentukan merasionalkan bentuk akar

LANGKAH-LANGKAH PEMBELAJARAN

IDENTITAS SEKOLAH Kegiatan Deskripsi Kegiatan lokasi
Waktu

Kegiatan a. Sebagai apersepsi, siswa diajak untuk mengingat kembali tentang 10
Awal konsep bentuk akar. menit

b. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang ingin dicapai.

c. Guru menyampaikan cakupan materi dan kegiatan yang akan
dilakukan.

d. Guru menyampaikan lingkup dan teknik penilaian yang akan
digunakan

Kegiatan Mengamati: 55
Inti a. Guru menampilkan bahan tayangan menit

b. Guru meminta siswa untuk untuk melihat bahan tayangan
Menanya:

Guru memberi kesempatan kepada peserta didik untuk mengajukan

pertanyaan terkait dengan tampilan yang telah ditayangkan
Mengumpulkan informasi:

a. Guru membentuk siswa menjadi beberapa kelompok
b. Guru membagikan LK pada tiap kelompok
c. Guru memberi kesempatan siswa untuk berdiskusi dengan kelompok

d. Guru meminta siswa untuk menerangkan kembali operasi pada
bilangan berpangkat

e. Guru memberi kesempatan siswa untuk berdiskusi kembali dengan
kelompok dan melanjutkan soal berikutnya

f. Guru memantau siswa dalam mengerjakan soal berikutnya

PENILAIAN Menalar:
Peserta didik mendiskusikan hasil kerja kelompok yang telah
dipresentasikan

Mengkomunikasikan:
Wakil kelompok mempresentasikan hasil diskusinya, dilanjutkan
dengan tanya jawab

Penutup a. Siswa diminta menyimpulkan tentang materi merasionalkan bentuk 25

➢ Instrument dan Tes akar menit
Penilaian
b. Guru memberikan penguatan dengan kesimpulan yang telah
➢ Analisis Hasil Peneilaian
➢ Pembelajaran Remidial diperoleh siswa

dan Pengayaan c. Guru memberikan LK perorangan

d. Guru mengakhiri kegiatan belajar dan menyampaikan rencana
pembelajaran pada pertemuan berikutnya.

RPP 2020 Sesuai Dengan Surat Edaran Mendikbud 14 Tahun 2019

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 143

A. Barisan Aritmetika
Angka yang tertera pada agrometer berubah secara periodik
dalam jangka waktu tertentu dan dengan aturan tertentu. Jika
kita catat perubahan angka pada agrometer, maka angka-angka
tersebut akan membentuk barisan aritmetika.
Jika U1, U2, U3, ... , Un - 1, Un adalah suku-suku dalam suatu
barisan bilangan sedemikian hingga U2 - U1 = U3 - U2 = ... = Un -
Un - 1 = b, maka barisan bilangan tersebut dinamakan barisan
aritmetika.
• 2 , 5 , 8 , 11 , 14 , 17 → selisih antara dua suku yang

berdekatan adalah 3
• 10 , 8 , 6 , 4 , 2 , 0 , -2 → selisih antara dua suku yang

berdekatan adalah (-2)
• -5 , 0 , 5 , 10 → selisih antara dua suku yang berdekatan

adalah 5

❖ Rumus Suku ke n
Jika suku pertama dari barisan aritmetika adalah a dan selisih
antara dua suku yang berdekatan adalah b, maka suku-suku dari
barisan bilangan yang terbentuk adalah sebagai berikut:

144 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

Berdasarkan uraian di atas, dapat kita tarik kesimpulan bahwa
rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Un = a + (n - 1)b,
dimana

• a adalah suku pertama
• b adalah selisih antara dua suku yang berdekatan
• n adalah banyak suku dalam barisan

Contoh
Diketahui suatu barisan aritmetika dengan selisih antara dua
suku yang berurutan adalah 3 dan suku kedua adalah 9.
Berapakah suku ke-14 dari barisan tersebut?
Penyelesaian:
Oleh karena selisih antara dua suku yang berurutan adalah 3 dan
suku kedua adalah 9, maka

• b=3
• U2 = 9 ⇔ a + b = 9 ⇔ a + 3 = 9 ⇔ a = 6

Dengan demikian, U14 = a + 13b = 6 + 13(3) = 6 + 39 = 45.

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 145

❖ Rumus Suku Tengah

Suku tengah barisan aritmetika adalah suku yang letaknya

berada di tengah. Jika Ut adalah suku tengah, maka = ( + ),

2

dimana

• a adalah suku pertama

• Un adalah suku terakhir

Contoh
Diketahui barisan aritmetika 5,7,..., 95. Tentukan suku tengah
barisan tersebut.
Penyelesaian:
Oleh karena suku pertama dan suku terakhir dari barisan di atas
berturut-turut adalah b5 dan 95, maka suku tengah dari barisan

tersebut adalah Ut = (5+95) = 100 50

22

❖ Sisipan
Jika diantara bilangan x dan y, dimana x ≠ y hendak disisipkan
sebanyak k buah bilangan, maka agar terbentuk barisan
aritmetika, kita perlu menentukan selisih antara dua suku yang
berdekatan yang mana nilainya harus konstan.

Dalam uraian di atas, selisih antara dua suku yang berdekatan
dari barisan aritmetika yang terbentuk adalah b′=(y−x)(k+1).

146 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

Contoh
Jika diantara bilangan 2 dan 17 hendak disisipkan 9 bilangan,
sedemikian hingga terbentuk barisan aritmetika, maka tentukan
selisih antara dua suku yang berurutan dari barisan bilangan
yang terbentuk.
Penyelesaian:
Berdasarkan informasi dalam soal,

• x=2
• y = 17
• k=9

Dengan demikian, selisih antara dua suku yang berurutan dari
barisan bilangan yang terbentuk adalah

Contoh
Diketahui barisan aritmetika: 0, 4, 8. Jika diantara suku-suku
barisan tersebut kita sisipkan 3 buah suku, maka tentukan
selisih antara dua suku yang berurutan agar terbentuk barisan
aritmetika.
Penyelesaian:
Selisih antara dua suku yang berurutan dari barisan
aritmetika: 0 , 4 , 8 adalah b = 4 - 0 = 4. Oleh karena akan

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 147

disisipkan 3 buah suku diantara suku-suku barisan tersebut,
maka k = 3.
Dengan demikian, selisih antara dua suku yang berurutan agar
terbentuk barisan aritmetika setelah dilakukan penyisipan
adalah

Oleh karena selisih antara dua suku yang berurutan pada barisan
yang baru adalah 1, maka barisan tersebut adalah 0 , 1 , 2 , 3
, 4 , 5 , 6 , 7 , 8.
B. Deret Aritmetika
Jika U1, U2, U3, ... , Un - 1, Un adalah suku-suku suatu barisan
aritmetika, maka: U1 + U2 + U3 + ... + Un disebut deret
aritmetika. Selanjutnya, jika Sn menyatakan jumlah n suku
pertama dari deret aritmetika, maka
U1 + U2 + U3 + ... + Un = Sn.

148 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X

Berdasarkan uraian di atas, dapat kita simpulkan bahwa
jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmetika
adalah Sn=n2(a+Un). Selanjutnya, karena rumus suku ke-
n adalah Un = a + (n - 1)b, maka rumus jumlah n suku pertama
dapat kita tulis menjadi

1. Jika suku pertama dan suku terakhir dari suatu deret
aritmetika berturut-turut adalah 2 dan 78, maka
berapakah jumlah 20 suku pertama dari deret aritmetika
tersebut?

Penyelesaian:
Oleh karena suku pertama dan suku terakhir dari suatu deret
aritmetika berturut-turut adalah 2 dan 78, maka

• a=2
• Un = 78
Dengan demikian,

Jadi, jumlah 20 suku pertama dari deret aritmetika tersebut
adalah 800.

D r . ( C ) D i d i P i a n d a , S T . , M S M | 149

2. Diketahui suatu barisan bilangan: 4, 7, 10, 13, ..., 301,
.... Bilangan 301 adalah suku ke-….

Penyelesaian:
Suku pertama dan selisih antara dua suku yang berurutan dari
barisan 4, 7, 10, 13, ... , 301, ... berturut-turut adalah

• a=4
• b=7-4=3
Dengan demikian, rumus suku ke-n dari barisan bilangan di atas
adalah

Jika Un = 301, maka

Dengan demikian, bilangan 301 adalah suku ke-100 dari barisan
bilangan di atas.

3. Suku ke-5 dan suku ke-10 dari suatu barisan aritmetika
berturut-turut adalah 40 dan 75. Jumlah 9 suku
pertamanya adalah ….

Penyelesaian
Oleh karena rumus suku ke-n suatu barisan aritmetika adalah
Un = a + (n - 1)b, maka

150 | MATEMATIKA TEKNIK (Berbasis CTL) SMK/MAK Kelas X