คณิตศาสตร์ทั่วไป

คณิตศาสตรท์ ัว่ ไป

General Mathematics
รหัสวชิ า 491-11-01

สาขาวิชาคณิตศาสตร์

วทิ ยาศาสตร์

วชิ า คณิตศาสตร์ทวั่ ไป (491-11-01)

คำนำ

เอกสารประกอบการสอนรายวิชาคณิตศาสตร์ทั่วไป (491-11-01) จัดทาข้ึนเพ่ือให้นักศึกษา
ระดับประกาศนียบัตรวิชาชีพชั้นสูง (ปวส.) ใช้เป็นแหล่งศึกษาในรายวิชาคณิตศาสตร์ท่ัวไป
(491-11-01) ซ่ึงคณะผู้จัดทาได้ทาการปรับปรุงและรวบรวม เอกสารประกอบการสอนรายวิช า
คณิตศาสตร์ทั่วไป ท่ีจัดทาโดย นายอุดม ค้าวานิช ให้อยู่ในรูปเล่มท่ีเหมาะสม ท้ังน้ีในการจัดทา
เอกสารประกอบการสอนรายวิชาคณิตศาสตร์ท่ัวไปน้ีนั้นได้มีการปรับปรุงเนื้อหา และ ได้ให้แหล่งอ้าง
อิงคท์ ่มี าจาการศึกษาคน้ คว้าไว้ ทางคณะผหู้ วังวา่ ผู้อ่านจะศกึ ษาค้นคว้าจากแหล่งท่ีมาเพิ่มเติม

หากเอกสารประกอบการสอนน้ีมีข้อผิดพลาดประการใด กรุณาให้คาชี้แนะและแจ้งแก่คณะ
ผ้จู ดั ทาหรอื อาจารย์ประจาวิชา เพอ่ื เป็นแนวทางในการปรับปรุงต่อไป

สาขาวชิ าคณิตศาสตร์

วชิ า คณิตศาสตรท์ ่วั ไป (491-11-01)

1. สังกดั สาขาวิชา แผนการสอน
คณะวิยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี
2. รหัสวิชา สาขาวิชาคณติ ศาสตร์
3. ช่อื วิชาภาษาไทย 491-11-01
4. ชื่อวิชาภาษาอังกฤษ คณิตศาสตร์ทัว่ ไป
5. ผู้สอน General Mathematics
ลกั ษณะรายวชิ า อาจารย์สาขาวชิ าคณติ ศาสตร์
1. รหสั และรายรายวชิ า
491-11-01 คณติ ศาสตร์ทั่วไป
2. สภาพรายวชิ า General Mathematics
3. ระดับรายวิชา วชิ าศึกษาท่ัวไปในหลักสตู รระดบั ประกาศนียบตั รวชิ าชีพชน้ั สงู
4. พื้นฐาน ………………………………………….………………………………………
5. เวลาศกึ ษา
-
6. จานวนหนว่ ยกติ 48 ชั่วโมงเรยี น ตลอด 16 สัปดาห์
7. จดุ มุ่งหมายรายวิชา ทฤษฎี 3 ช่วั โมง ปฏบิ ัติ - ช่ัวโมงต่อสัปดาห์
3 หนว่ ยกิต
8. คาอธบิ ายรายวิชา
1. เข้าใจเซต ฟังก์ชัน ลิมิตและความต่อเน่ือง ระบบสมการ
แผนการสอน ลาดับ และอนกุ รม ทฤษฎบี ททวินาม
อาจารย์ สาขาวิชาคณิตศาสตร์
ภาคทฤษฎี กลมุ่ เรยี น 2. เขา้ ใจระบบการคดิ และการใชเ้ หตผุ ลตามหลักตรรกศาสตร์
ภาคทฤษฎี กลมุ่ เรยี น 3. สามารถประยุกต์เมตริกซ์และดเี ทอรม์ ิแนนท์ในการแก้
ภาคปฏบิ ัติ -
ระบบสมการ
4. นาความรไู้ ปประยกุ ตใ์ ชไ้ ดท้ ว่ั ๆไปในชวี ติ ประจาวัน
5. สงเสรมิ เกิดความคดิ ริเริ่มสรา้ งสรรค์ มคี วามระเอียดรอบคอ

มีเหตุผลและเกิดทกั ษะในการแก้ปัญหา
ศกึ ษาความรู้เบ้ืองต้นเกย่ี วกับเซต ฟังก์ชนั ลมิ ติ และความต่อเนื่อง
การเขยี นกราฟของฟังกช์ นั ระบบสมการ ลาดับและอนุกรม
ทฤษฎีบททวินาม ตรรกศาสตรเ์ บอื้ งตน้ เมตริกซ์และดเี ทอร์มิแนนท์
ตรโี กณมติ ิเบื้องต้น

วัน เวลา ห้องเรยี น
วัน เวลา ห้องเรยี น

หนา้ ข

วิชา คณติ ศาสตร์ท่วั ไป (491-11-01)

ตารางกาหนดน้าหนักคะแนน

คะแนนรายหนว่ ยและนา้ หนกั คะแนน น้าหนกั คะแนน
พทุ ธพสิ ยั
เลขที่หน่วย
คะแนนรายหน่วย
เกณฑ์คะแนนรายหน่วย
ความรู้ – ความจา
ความเ ้ขาใจ
การนาไปใ ้ช
สูงก ่วา
ทักษะพิสัย
ชอื่ หน่วยที่

1 ความร้เู บ้ืองตน้ เกีย่ วกบั เซต 8 50 3 3 2 -
2 ฟงั กช์ ัน ลิมติ ความตอ่ เน่อื งของฟงั กช์ นั 9 50 4 4 1 -
3 ลาดับและอนกุ รม 9 50 4 4 1 -
4 ทฤษฎีบททวินาม 8 50 3 5 - -
5 ตรรกศาสตร์เบอ้ื งต้น 14 50 5 9 - -
6 เมตรกิ ซ์และดเี ทอร์มแิ นนท์ 14 50 5 5 4 -
7 ตรโี กณมิตเิ บือ้ งต้น 8 50 3 3 2 -

ก คะแนนภาควิชา 70 50 27 33 10
ข คะแนนภาคผลงาน 20 50
ค คะแนนภาคจติ พิสัย 10 50
100
รวมทงั้ สน้ิ

กาหนดการสอน

สปั ดาห์ จานวน รายการ หมายเหตุ
ชั่วโมงเรียน หนา้ ค
1 *ชีแ้ จง/แนะนากจิ กรรมการเรียนการสอน
3 1. ความรู้เบอื้ งต้นเกี่ยวกับเซต
2
3 3 1.1 เซต
1.1.1 วิธกี ารเขยี นเซต
3 1.1.2 ชนิดของเซต
1.1.3 เซตท่เี ทา่ กัน
1.1.4 สับเซต
1.2 ปฏิบตั กิ ารของเซต
1.3 จานวนสมาชิกของเซตจากัด
2. ฟังกช์ ันลมิ ิตและความตอ่ เนอ่ื งของฟังกช์ ัน
2.1 ฟงั ก์ชัน
2.1.1 ตัวแปร ค่าคงตัว และความสัมพันธ์
2. ฟังกช์ ันลิมติ และความต่อเน่ืองของฟังก์ชนั (ต่อ)
2.1 ฟังก์ชนั
2.1.1 ตวั แปร ค่าคงตัว และความสมั พันธ์

วชิ า คณติ ศาสตร์ท่วั ไป (491-11-01)
2.1.2 ความหมายของฟังกช์ ัน
2.1.3 การเขียนกราฟของฟังกช์ นั
2.1.4 ฟังกช์ นั มูลฐาน
2.1.5 พีชคณิตของฟังก์ชัน
4 3 2. ฟังกช์ นั ลิมิตและความตอ่ เนื่องของฟังก์ชนั (ตอ่ )
2.2 ลมิ ิตของฟงั ก์ชนั
2.2.1 ความหมายของลมิ ิตของฟงั ก์ชัน
2.2.2 ทฤษฎเี กย่ี วกบั ลมิ ติ ของฟงั ก์ชัน
2.3 ความต่อเนื่องของฟงั ก์ชัน
5 3 3. ลาดบั และอนุกรม
3.1 ลาดับ
3.1.1 นิยามของลาดบั
3.1.2 ลาดับเลขคณิต
3.1.3 ลาดบั เรขาคณติ
3.1.4 ลิมิตของลาดบั
6 3 3. ลาดบั และอนุกรม(ตอ่ )
3.2 อนกุ รม
3.2.1 อนุกรมเลขคณติ
3.2.2 อนุกรมเรขาคณิต
3.2.3 ผลบวกอนกุ รมอนนั ต์
7 3 4. ทฤษฎบี ททวนิ าม
4.1 การกระจายทวินาม
4.1.1 ทฤษฎีบททวินามเมื่อเลขชี้กาลังเป็น

จานวนเต็มบวก
8 3 4. ทฤษฎีบททวินาม(ตอ่ )

4.2 ทวินามที่มีเลขชีก้ าลงั เป็นเศษสว่ นหรอเป็นลบ
4.2.1 อนกุ รมทวนิ าม
4.2.2 การประมาณค่าโดยใช้ทฤษฎีบททวินาม

( ทบทวนเน้อื หาทีจ่ ะสอบกลางภาค)
9 สอบกลางภาค
10 3 5. ตรรกศาสตรเ์ บ้อื งตน้

5.1 ประพจนแ์ ละการเชอ่ื มประพจนด์ ้วยตวั เชื่อม
5.1.1 ประพจน์
5.1.2 การเชือ่ มประพจน์

5.2 การหาค่าความจรงิ ของประพจน์
5.2.1 การวิเคราะหค์ า่ ความจริงของประพจน์
5.2.2 ตารางคา่ ความจรงิ ของประพจน์

11 3 5. ตรรกศาสตร์เบื้องต้น(ตอ่ )
5.3 ประพจน์ทสี่ มมูลกันและนิเสธของประพจน์
5.3.1 ประพจน์ท่สี มมลู กัน
5.3.2 นเิ สธของประพจน์
5.4 การให้เหตผุ ล
5.4.1 ความสมเหตสุ มผลของรปู แบบการให้
เหตุผล
5.4.2 ความสมเหตสุ มผลแบบนริ นัย

หน้า ง

วิชา คณิตศาสตรท์ ่ัวไป (491-11-01)
12 3 6. เมตรกิ ซ์และดีเทอมแิ นนท์

6.1 ความรูเ้ บ้ืองตน้ เกยี่ วกบั เมตริกซ์
6.1.1 ความหมายและการเทา่ กันของเมตริกซ์
6.1.2 เมตรกิ ซ์ท่ีมีลักษณะพเิ ศษ

6.2 การดาเนนิ การของเมตรกิ ซ์
6.2.1 การบวกเมตรกิ ซ์
6.2.2 การคูณเมตรกิ ซ์

13 3 6. เมตริกซ์และดเี ทอมแิ นนท์ (ตอ่ )
6.3 ดเี ทอร์มิแนนท์
6.3.1 การหาดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริกซ์ที่มี
มติ ิ 1×1
6.3.2 การหาดีเทอร์มิแนนทข์ องเมตริกซ์ทีม่ ีขนาด
มติ ิ ≥2
6.4 ตัวผกผนั การคูณของเมตริกซ์
6.4.1 ความหมายของตวั ผกผันการคูณเมตริกซ์
6.4.2 การหาตวั ผกผันการคณู ของเมตริกซ์

14 3 6. เมตริกซแ์ ละดีเทอมแิ นนท์ (ตอ่ )
6.5 การใชเ้ มตรกิ ซแ์ ก้ระบบสมการเชิงเสน้
6.5.1 การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ โดยใช้ตวั ผกผนั
6.5.2 กฏของคราเมอร์

15 3 7. ตรโี กณมติ ิเบ้ืองต้น
7.1 การวดั มมุ
7.1.1 วงกลมหน่ึงหนว่ ย
7.1.2 มุมและการวดั มมุ

16 3 7. ตรีโกณมิตเิ บอื้ งตน้ (ตอ่ )
7.2 อัตราสว่ นตรีโกณมิติ
7.2.1 อัตรส่วนตรีโกณมิติของมุม 30
และ
7.2.2 ความสัมพนั ธ์ของอตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ

17 7. ตรโี กณมิตเิ บอ้ื งต้น(ต่อ)
7.3 กฎของโคไซน์และไซน์
7.3.1 กฎของโคไซน์
7.3.2 กฏของไซน์
7.4 มุมกม้ และมมุ เงย
( ทบทวนเนอ้ื หาทจ่ี ะสอบปลายภาค)

18 สอบปลายภาค

วิธกี ารสอน
บรรยาย อภิปรายตอบคาถามในชนั้ เรียน มอบหมายงานค้นควา้ และแบบฝึกหัด

ส่อื การสอน
เอกสารปรกอบคาบรรยาย / แผน่ ใส / Power Point

หนา้ จ

วิชา คณิตศาสตรท์ ัว่ ไป (491-11-01)

การวัดผลสัมฤทธใิ์ นการเรยี น

วิธีการ แยกดาเนนิ การเปน็ 3 สว่ น จากคะแนนเตม็ ทัง้ 100%

1) จติ พิสัย(ประเมนิ จากพฤติกรรมการเรียนทั้งรายวิชา) 10 %

2) ผลงานท่ีมอบหมาย(ประเมนิ จากปรมิ าณและคุณภาพของงานท่ีสง่ ) 20 %

3) การทดสอบ(วัดจากคะแนนสอบ)

3.1) หน่วยที่ 1 ความรู้เบ้ืองต้นเก่ียวกับเซต 8%

3.2) หนว่ ยที่ 2 ฟงั กช์ นั ลิมิต ความตอ่ เน่ืองของฟงั ก์ชัน 9%

3.3) หนว่ ยที่ 3 ลาดบั และอนุกรม 9%

3.4) หน่วยท่ี 4 ทฤษฎบี ททวนิ าม 8%

3.5) หน่วยที่ 5 ตรรกศาสตร์เบ้อื งตน้ 14 %

3.6) หน่วยท่ี 6 เมตรกิ ซ์และดีเทอร์มิแนนท์ 14% .

3.7) หน่วยที่ 7 ตรโี กณมติ เิ บื้องตน้ 8%

70% .

รวม 100 %

เกณฑก์ ารผ่านรายวชิ าน้ี

นกั ศกึ ษาจะสอบผา่ นรายวชิ านตี้ ้องไดร้ บั การวดั และประเมินผลผา่ นเกณฑ์ ดงั ต่อไปนี้

1. มีเวลาเข้าชน้ั เรยี นไม่น้อยกวา่ ร้อยละ 80 % ของเวลาเรยี น

2. คะแนนรวมท้ังรายวิชาไม่ต่ากวา่ ร้อยล่ะ 50 ของคะแนนรวม

การประเมนิ ผลการเรียน
80% - 100% ได้ A 75% - 79% ได้ B+ 70% - 74% ได้ B 65% - 69% ได้ C+

60% - 64% ได้ C 55% - 59% ได้ D+ 50%-54% ได้ D นอ้ ยกว่า 50%ได้ F

นักศึกษาสามารถเขา้ พบและขอคาแนะนาจากอาจารยป์ ระจาวชิ าได้ดังน้ี

1. เบอรโ์ ทรติดต่อสาขาวิชาคณติ ศาสตร์

2.หอ้ งพักอาจารย์สาขาวชิ าคณติ ศาสตร์

วัน เวลา(น.)

จันทร์ 9:00-16:00

อังคาร 13:00-16:00

พธุ 9:00-16:00

พฤหสั บดี 9:00-12:00

เอกสารประกอบการสอน เอกสารประกอบการสอนวิชา 491 -11 – 01 คณิตศาสตร์ท่ัวไป สาขา
คณติ ศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลัยเทคโนโลยรี าสวุ รรณภูมิ

หนา้ ฉ

สารบญั วชิ า คณิตศาสตร์ทวั่ ไป (491-11-01)

คานา หนา้
แผนการสอน ก
สารบัญ ข
หน่วยที่ 1 เรื่อง ความรู้เบอ้ื งต้นเกย่ี วกับเซต ช

1.1 เซต 1
1.2 ปฏบิ ตั ิการของเซต 3
1.3 จานวนสมาชิกของเซตจากัด 5
หน่วยท่ี 2 เรื่อง ฟงั กช์ ัน ลิมติ ความต่อเนอ่ื งของฟังก์ชัน
2.1 ฟงั ก์ชัน 10
2.2 ลมิ ติ ของฟังกช์ นั 24
2.3 ความตอ่ เนอื่ งของฟังก์ชนั 30
หน่วยท่ี 3 เรื่อง ลาดับและอนกุ รม
3.1 ลาดบั 37
3.2 อนุกรม 52
หนว่ ยที่ 4 เรอ่ื ง ทฤษฎีบททวินาม
4.1 การกระจายทวินาม 65
4.2 ทวินามที่มเี ลขช้กี าลงั เป็นเศษส่วนหรอื เป็นลบ 71
หนว่ ยที่ 5 เรอ่ื ง ตรรกศาสตรเ์ บ้ืองต้น
5.1 ประพจน์และการเชือ่ มประพจนด์ ว้ ยตัวเชอ่ื ม 76
5.2 การหาค่าความจริงของประพจน์ 85
5.3 ประพจนท์ ่สี มมลู กนั และนิเสธของประพจน์ 89
5.4 การใหเ้ หตุผล 95
หนว่ ยท่ี 6 เรื่อง เมตริกซ์และดเี ทอร์มิแนนท์
6.1 ความหมายของเมตริกซ์ 114
6.2 การดาเนนิ การบนเมตริกซ์ 121
6.3 ดเี ทอร์มิแนนท์ของเมตริกซ์ 133
142
6.4 ตวั ผกผนั การคูณของเมตรกิ ซ์ 152
6.5 การใชเ้ มตรกิ ซแ์ ก้ระบบสมการเชิงเสน้
หน่วยท่ี 7 เรื่อง ตรโี กณมิติเบอื้ งต้น 160
7.1 การวัดมมุ 164
7.2 อัตราส่วนตรโี กณมิติ 170
7.3 กฎของโคไซนแ์ ละไซน์ 175
7.4 มมุ ก้มและมุมเงย 179
เอกสารอ้างองิ
หนา้ ช

วชิ า คณิตศาสตรท์ ่วั ไป (491-11-01)

หนว่ ยที่ 1
ความรูเ้ บ้ืองตน้ เก่ยี วกบั เซต

1.1เซต(Set)

ในทางคณิตศาสตร์ใช้คาว่า เซต แทนคาท่ีใช้เรียกกลุ่มของส่ิงต่างๆซ่ึงมีสมบัติท่ีแน่นอนและ
ชัดเจนร่วมกนั สาหรับส่ิงท่ีอยใู่ นเซต เรยี กวา่ สมาชิก

นิยมใช้อักษรภาษาองั กฤษตัวพมิ พ์ใหญ่ A , B , C , … แทน ช่ือของเซต และใช้อกั ษรภาษาองั กฤษ
ตวั พมิ พ์เล็ก อกั ษรไทยหรือตัวเลข แทน สมาชกิ ของเซต

ถ้า a เปน็ สมาชิกของ A จะเขียนแทนดว้ ย a  A
ถ้า b ไม่เป็นสมาชกิ ของ A จะเขียนแทนด้วย b A

1.1.1 วธิ เี ขียนเซต

อาจเขยี นได้ได้ 3 วธิ ี ดังน้ี
(1) แบบแจกแจงสมาชิก จะเขียนสมาชิกทุกตวั ลงในวงเล็บ   โดยสมาชิกตัวใดทซี่ ้ากัน
ให้เขยี นเพยี งครงั้ เดียว และใช้ “ , ” ค่ันระหวา่ งสมาชกิ
A = { a , e , i , o , u } อ่านว่า เอ เป็น เซตซ่งึ ประกอบด้วยสมาชกิ a , e , i , o , และ u

แสดงว่า a A , e A , i A , o A , u A
ในกรณที ี่มีสมาชกิ ของเซตจานวนมาก อาจเขยี นละสมาชิกบางส่วนไวไ้ ด้ เช่น
B = { ก , ข , ฃ , ... , ฮ }
I = { … , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … }

(2) แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก จะใช้ตัวแปรซึง่ มักใช้ตัวอักษร x แทนสมาชิกในเซตแล้วบอก
เงื่อนไขของสมาชิกด้วยการบรรยายสมบัติของสมาชิกที่แน่นอนและชัดเจนร่วมกัน และใช้เคร่ืองหมาย
“ ” ซึ่งอา่ นวา่ “โดยที่ ” คั่นไว้ เช่น
A = { x x เปน็ สระในภาษาองั กฤษ } อา่ นว่า เอ เป็น เซตซึ่งประกอบดว้ ยสมาชิก x โดย

ท่ี x เป็นสระในภาษาอังกฤษ

B = { x x เปน็ พยัญชนะในภาษาไทย }
(3) แบบแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ จะเขียนสมาชกิ ทุกตวั ลงในรปู วงปิด โดยสมาชกิ ตัวใดซ้ากัน

ใหเ้ ขยี นแทนเพยี งตวั เดยี ว และเขียนสเ่ี หล่ียมผืนผ้าซึ่งแทนเอกภพสัมพทั ธ์ “ U ” (relative universe)
ซง่ึ หมายถงึ เซตใหญ่ที่มีสมาชิกครอบคลุมสมาชิกของเซตทุกเซตท่ีพจิ ารณา
เช่น A เป็นเซตซงึ่ ประกอบด้วยสมาชกิ a , e , i , o และ u เขยี นแบบแผนภาพ ไดด้ งั นี้

A ae

i
ou

U

หนา้ 1

วิชา คณติ ศาสตรท์ ่วั ไป (491-11-01)

1.1.2 ชนิดของเซต

(1) เซตว่าง หมายถงึ เซตทไี่ มม่ สี มาชิก ใช้สญั ลักษณ์  หรอื 

เช่น เซตของจานวนนับทน่ี ้อยกวา่ 1 , { x x เป็นเดอื นท่มี ี 35 วัน }

(2) เซตจากดั หมายถงึ เซตซง่ึ สามารถระบุหรอื บอกจานวนสมาชิกทั้งหมดได้
เชน่ เซตของจานวนนบั ท่นี อ้ ยกว่า 10 , { x x เป็นเดอื นที่มี 30 วัน }

(3) เซตอนันต์ หมายถงึ เซตซึ่งมจี านวนสมาชิกไม่จากัด
เช่น เซตของจานวนนบั , { … , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … }

1.1.3 เซตที่เทา่ กัน (equal sets or identical sets )
เซตที่เท่ากัน คือ เซตท่ีมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว โดยลาดับของสมาชิกไม่มีความสาคัญ และไม่

จากดั วา่ จะเขยี นเซตแบบแจกแจงสมาชิก แบบบอกเงอื่ นไขของสมาชกิ หรือแบบแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
เช่น

A1 = { a , e , i , o , u }
A2 = { i , u , a, e , o }
A3 = { x x เปน็ สระในภาษาองั กฤษ }

aA4 e U
i
จะไดว้ า่ o

A1 = A2 = A3 = A4

1.1.4 สับเซต(Subset)

สับเซต คือ เซตย่อยท่ีมีเงื่อนไขว่าสมาชิกทุกตัวของเซตย่อยหรือสับเซตต้องเป็นสมาชิกของอีก
เซตหนึง่

โดยถ้า A เป็นสบั เซตของ B จะเขยี นแทนด้วย A  B หมายความวา่ สมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิก
ของ B แต่ถ้ามีสมาชิกของ A อย่างน้อยหนึ่งตัวไม่เป็นสมาชกิ ของ B กล่าวว่า A ไม่เป็นสับเซตของ B ซึ่ง
เขียนแทนดว้ ย A  B
ตัวอยา่ ง 1.1 จงพิจารณาว่าเซตต่อไปนี้ เซตใดเปน็ สับเซตของเซตใดบ้าง

A = { x x เป็นพยญั ชนะในคาว่า ในคาว่า เทวาลัย }
B = { x x เป็นพยัญชนะในคาว่า วิทยาลัย }
C = { x x เป็นพยญั ชนะในคาว่า วทิ ยาเขต }
วธิ ที า เขียน A , B และ C แบบแจกแจงสมาชกิ ไดด้ งั น้ี
A = { ท ,ว , ล , ย } B = { ว ,ท , ย , ล } C = { ว ,ท , ย , ข ,ต }

หนา้ 2

วชิ า คณติ ศาสตร์ทว่ั ไป (491-11-01)

ดงั นัน้ A  B เพราะวา่ สมาชกิ ทุกตวั ของA เป็นสมาชิกของB
B  A เพราะว่า สมาชกิ ทกุ ตวั ของB เปน็ สมาชกิ ของA

ขอ้ สังเกต (1) ถ้า A  B และ B  A แล้ว A = B
(2) เซตทุกเซตเปน็ สบั เซตของตัวเอง
(3) เซตวา่ งเปน็ สับเซตของทุกเซต
(4) จานวนสบั เซต = 2n เช่น A = { ก , ข }
จานวนสับเซตของ A = 22 = 4 ไดแ้ ก่ { ก } , { ข } , { ก , ข } และ
(5) เซตท่มี สี มาชกิ ซึง่ เป็นสบั เซตทั้งหมดของ A เรยี กวา่
“เพาเวอรเ์ ซตของA” เขยี นแทนดว้ ย P(A)
เชน่ ถ้า A = { ก , ข } แล้ว P(A) = { { ก } , { ข } , { ก , ข } , }

1.2 ปฏิบัติการของเซต
ปฏิบตั ิการมี 3 ชนิด คอื ยูเนียน อินเตอร์เซกชัน และคอมพลเี มนต์ของเซต
เมื่อกาหนดให้ U = { x x เป็นพยัญชนะไทย }
และ A = { ก , ข , ฃ , ค , ฅ , ฆ } , B = { ฃ , ฅ , จ }

1. ยเู นียน (Union)
A  B = { x x A หรอื x B หรือ x เปน็ สมาชิกของท้ังสองเซต }
AB = { ก , ข , ฃ , ค , ฅ , ฆ , จ }

2. อินเตอร์เซกชัน (Intersection)
A  B = { x x A และ x B }
AB = { ฃ , ฅ }

3. คอมพลีเมนต์ (Complement)
A = { x x U แต่ xA } ; Aอ่านวา่ เอไพร์ม
A = { ง , จ , ฉ , ช , ซ , ... , ฮ }
B = { ก , ข , ค , ฆ , ง , ฉ , ช , ซ , ... , ฮ }

เขียนแสดงด้วยแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ดงั นี้

AB AB A

นอกจากน้ี ยังมีการให้ความหมายของ คอมพลีเมนต์ของ A เทียบกับ B ว่า เป็น เซตซ่ึง
ประกอบดว้ ยสมาชกิ ของ B แตไ่ มเ่ ปน็ สมาชกิ ของ A เขยี นแทนดว้ ย B–A

B–A = { x x B แต่ xA }

หนา้ 3

วิชา คณติ ศาสตรท์ ั่วไป (491-11-01)

ดงั นน้ั B–A = { จ }
A–B = { x x A แต่ xB }

ดงั นั้น A–B = { ก , ข , ค , ฆ }

แบบฝึกหดั 1.1

1. จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชกิ
(1) เซตของพยญั ชนะในคาว่า “มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคล สวุ รรณภูมิ”
(2) เซตของสระในคาวา่ “wasukri”
(3) เซตของจานวนเต็มบวกท่มี ากกวา่ 10
(4) เซตของจานวนเตม็ ลบทมี่ ากกวา่ หรอื เทา่ กับ-5
(5) เซตของจานวนนบั ท่นี ้อยกว่า 0

2. จงเขียนเซตต่อไปน้ีแบบบอกเงือ่ นไขของสมาชิก

(1) { a , b , c , … , z } (2) {ก , ข , ฃ , ค , ฅ }

(3) { 2 , 4 , 6 , …, 30 } (4) {-1 , -2 , -3 , … }

(5) { อาทิตย์ , องั คาร } (6) { สีแดง , สเี หลือง , สนี า้ เงิน }

3. จงใชส้ ัญลักษณ์ เขยี นบอกสมาชิกของเซตตอ่ ไปนี้ พร้อมท้ังระบุจานวนสมาชิกของแตล่ ะเซตด้วย

(1) A = {  } (2) B = {  , 0 , {0} }

(3) C = { 1 , {1 ,2 , {3}} } (4) D = {1 , {2 } , {3} , {1 , 2 , {3}} }

4. จากข้อ4 จงระบวุ า่ เซต A , B , C และ D เป็นสับเซตของเซตใดบ้าง เพราะเหตุใด

5. จงเขยี นระบลุ งหนา้ ขอ้ ความต่อไปน้ีวา่ ถกู หรือ ผดิ เมอ่ื กาหนดให้ A = { a , {b} , {c, d} }

………. (1) {a} A ………. (2) {b} A ………. (3) {c}  A

………. (4) {b, c}A ………. (5) {a}  A ………. (6) {b}  A

………. (7) {c, d}  A ………. (8) {a,{b}} A ………. (9) {c,{d}} A

แผนภาพท่ีกาหนดใหต้ อ่ ไปนใ้ี ช้ตอบคาถามข้อ 6- 8

A ข จก บ ป B
ค ดอฎ
ฃ ตฎ
ง ฅช ซ
จ
U
ฉC

6.จงเขียนเซตตอ่ ไปน้ีแบบแจกแจงสมาชกิ

(1) A (2) B (3) C (4) U
(7) A  B (8) A  B
(5) A-B (6) B-A
หน้า 4

วชิ า คณติ ศาสตรท์ ว่ั ไป (491-11-01)

(9) A  BC (10) (A  B  C) (11) A BC (12) (A  B  C)

7.จากข้อ 6 จงหาจานวนสมาชิกของเซต
8. จงเขียนเซต B แบบบอกเง่ือนของสมาชกิ

1.3 จานวนสมาชกิ ของเซตจากัด
การหาจานวนสมาชิกจากัดของเซตจากัดใดๆ นอกจากจะหาได้โดยการนับดังท่ีผ่านมาแล้ว ยัง

อาจไดจ้ ากการคานวณโดยใชห้ ลกั เกณฑด์ งั ต่อไปนี้

(1) การหาจานวนสมาชกิ ของ A เท่านนั้ หรอื เขียนแทนด้วย n(A-B)
พิจารณาจากแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ดังนี้

n(A–B) = n(A) – n (A  B) .......................
n(B–A) = n(B) – n (A  B) …………….. 

(2) การหาจานวนสมาชิกทว้ั หมดของAหรือB หรอื เขยี นแทนด้วย n (A  B)

n( A  B) = n(A) + n(B) – n (A  B) …………….. 

(3) การหาจานวนสมาชิกท้ังหมดของ A , B หรอื C เขียนแทนด้วย n(A  BC)
พจิ ารณาจากแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ดังน้ี

AB

CU

n (A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) – n ( A  B) – n (B  C) – n ( A  C) + n (A  B  C)

หนา้ 5

วิชา คณิตศาสตร์ท่วั ไป (491-11-01)

ตัวอย่าง 1.2 ชมรมฯจัดการทดสอบพิมพ์ดีดจับเวลาเพื่อรับเกียรติบตั รของนักศึกษาท่ีมาทดสอบจานวน

100 คน ได้รับเกยี รติบัตรพิมพ์ดีดไทย 60 คน ได้รับเกียรติบัตรพมิ พ์ดดี อังกฤษ 45 คน และได้รับเกียรติ

บัตรท้งั พิมพ์ดีดไทยและอังกฤษ 23 คน

วธิ ีทา ให้ T เปน็ เซตของผู้ทไี่ ด้รับเกยี รตบิ ตั รพมิ พด์ ีดไทย

E เปน็ เซตของผู้ทีไ่ ดร้ บั เกยี รติบตั รพมิ พด์ ีดอังกฤษ

จะได้ n(U) = 100 , n(T) = 60 , n(E) = 45 และ n(T  E ) = 23

(1) จานวนนักศกึ ษาทีไ่ ดร้ ับเกยี รติบตั รพมิ พ์ดดี ไทยเท่าน้นั คอื n(T-E)

n(T–E) = n(T) – n( T  E )

= 60 – 23

= 37

ดังนั้น นักศึกษาที่ไดร้ ับเกียรติบัตรพิมพด์ ดี ไทยเทา่ นนั้ มจี านวน 37 คน

(2) จานวนนักศึกษาทไี่ ดร้ บั เกยี รตบิ ตั รพมิ พ์ดดี อังกฤษเท่าน้นั คือ n(E-T)

n(E–T) = n(E) – n( T  E )

= 45 – 23

= 22

ดงั นน้ั นกั ศึกษาทไ่ี ดร้ ับเกยี รตบิ ัตรพมิ พด์ ีดอังกฤษเทา่ นนั้ มีจานวน 22 คน

(3) ตอ้ งการทราบจานวนนักศกึ ษาท้ังหมดที่ได้รับเกยี รตบิ ตั ร คือ n( T  E )

n( T  E ) = n(T) + n(E) – n (T  E)

= 60 + 45 – 23

= 82

ดงั น้ัน นักศกึ ษาทไี่ ด้รบั เกียรติบัตรมีจานวนทั้งหมด 82 คน

(4) ต้องการทราบจานวนนักศึกษาทั้งหมดทไ่ี ม่ได้รับเกียรติบัตร คือ n (T  E)

คานวณได้จาก n (T  E) = n(U) – n( T  E )

= 100 – 82

= 18

ดงั นั้น นกั ศกึ ษาทีไ่ ม่ไดร้ บั เกยี รติบตั รมจี านวนทงั้ หมด 18 คน ตอบ

อาจใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ คานวณหาคาตอบได้ดังนี้

จากแผนภาพจงึ ตอบได้ว่า
(1) นักศกึ ษาที่ได้รับเกยี รตบิ ัตรพมิ พ์ดดี ไทยเทา่ นน้ั มจี านวน 37 คน
(2) นกั ศกึ ษาที่ไดร้ บั เกยี รตบิ ตั รพิมพ์ดดี อังกฤษเท่าน้นั มีจานวน 22 คน
(3) นักศึกษาทีไ่ ดร้ บั เกยี รติบตั รมจี านวนทงั้ หมด = 37 + 22 + 23 = 82 คน

หนา้ 6

วชิ า คณติ ศาสตร์ท่วั ไป (491-11-01)

(4) นกั ศกึ ษาที่ไมไ่ ดร้ บั เกียรติบตั รมจี านวนท้ังหมด 18 คน ตอบ

ตัวอย่าง 1.3 จงหา n (A  B  C) เมื่อกาหนดให้

A = {l,m,n,p,q,r,s,t ,v,w,x }

B = {o,p,q, r,s,t ,u,y}

C = {p,q,u,v,w,z }

วธิ ีทา จากโจทยจ์ ะได้ n(A) = 11 , n(B) = 8 , n(C) = 6

และ n (A  B) = 5 , n (B  C) = 3 , n (A  C) = 4 และ n (A  B  C) = 2

 n (A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) – n (A  B) – n (B  C) – n (A  C) + n (A  B  C)

 n((A  B  C) = 11 + 8 + 6 – 5 – 3 – 4 + 2

= 15 ตอบ

หรอื อาจใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ คานวณหาคาตอบได้ ดงั นี้

AB

CU ตอบ

จากแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ จะได้
n(A  B  C) = 4 + 2 + 1 + 3 + 2 +1 + 2 = 15

ตัวอย่าง 1.4 จากการสารวจนักศึกษา 90 คนที่มีภูมิลาเนาอยู่ในภาคกลางเกี่ยวกับการท่องเที่ยว พบว่า
มี 50 คนเคยท่องเท่ียวในภาคเหนือ มี 45 คนเคยท่องเท่ียวในภาคใต้ มี 40 คนเคยท่องเท่ียวในภาค
อีสาน มี 20 คนเคยท่องเท่ยี วในภาคเหนอื และภาคใต้มี 5 คนเคยเท่ียวภาคใต้และภาคอีสาน มี 25 คนเคย
ท่องเท่ียวในภาคเหนือและภาคอีสาน และทุกคนเคยท่องเที่ยวในภาคต่างๆข้างต้นอย่างน้อยหน่ึงภาค
จงหา
(1) จานวนนกั ศึกษาทีม่ ปี ระสบการณ์เคยทอ่ งเที่ยวทง้ั 3 ภาคข้างตน้
(2) จานวนนักศกึ ษาทม่ี ปี ระสบการณ์เคยทอ่ งเท่ียวในภาคเหนอื และภาคใต้เทา่ น้นั
(3) จานวนนักศกึ ษาทมี่ ปี ระสบการณ์เคยท่องเทยี่ วเพียงภาคเดียวเทา่ น้ัน

วธิ ที า ให้ N เปน็ เซตของนักศึกษาทีม่ ีประสบการณเ์ คยท่องเท่ียวในภาคเหนือ
S เป็น เซตของนกั ศกึ ษาทม่ี ีประสบการณเ์ คยท่องเที่ยวในภาคใต้
I เป็น เซตของนักศึกษาทม่ี ีประสบการณ์เคยทอ่ งเทย่ี วในภาคภาคอสี าน

และ x เปน็ จานวนนกั ศกึ ษาท่มี ีประสบการณเ์ คยทอ่ งเทยี่ วทงั้ 3 ภาคข้างต้น

หนา้ 7

วชิ า คณิตศาสตรท์ ั่วไป (491-11-01)

[50-(25-x)-(20-x)-x] +[45-(20-x)-(5-x)-x] +[40-(25-x)-(5-x)-x]+(25-x)+(20-x)+ (5-x)+ x = 90

50-20+x-x+45-5+x-x+40-25+x-x+x = 90

85+x = 90

x= 5

ดังน้นั

(1) จานวนนักศกึ ษาท่มี ีประสบการณ์เคยท่องเท่ยี วทง้ั 3 ภาคข้างตน้ = 5 คน

(2) จานวนนักศกึ ษาที่มีประสบการณ์เคยทอ่ งเทยี่ วในภาคเหนือและภาคใต้เท่านัน้ = 20-x

= 20-5 = 15

คน (3) จานวนนักศกึ ษาที่มีประสบการณเ์ คยท่องเท่ียวเพียงภาคเดยี วเทา่ นน้ั

= [50-(25-x)-(20-x)-x] +[45-(20-x)-(5-x)-x] +[40-(25-x)-(5-x)-x]

= [50-(25-5)-(20-5)- 5] +[45-(20-5)-(5-5)- 5] +[40-(25-5)-(5-5)- 5]

= 50 คน ตอบ

แบบฝึกหัด 1.2

1. กาหนดให้ U = { ก , ข , ฃ , ค , ฅ , ฆ , ง , จ , ฉ , ช } , A = { ก , ข , ฃ , ค , ฅ , ฆ }

B = { ข , ฃ , ง , จ , ฉ } จงหา n(A-B) , n(B-A) , n(A  B) และ n (A  B)

2. กาหนดให้ U = { -10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3, 4,5,6,7,8,9,10 }

A = { 0 ,1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 }

B = { -5 ,-4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }

C = { -10 , -8 , -6 , -4 , -2 , 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 }

จงหา (1) n (A  B  C) (2) n (A  B  C)

3. เซต A มีสมาชกิ จานวน 50 สมาชกิ เซต B มสี มาชกิ จานวน 60 สมาชกิ และเซต A กบั B
มีสมาชิกซ้ากันจานวน 20 สมาชกิ
จงหา (1) จานวนสมาชกิ ของ A เทา่ นั้น
(2) จานวนสมาชิกของ B เทา่ นั้น
(3) จานวนสมาชกิ ทั้งหมดของ Aหรอื B

4. จากการสารวจแม่บ้านจานวน 250 คน เก่ยี วกับการซักผ้า ปรากฏว่า มี 200 คนใชผ้ งซักฟอก
มี 90 คนใช้น้ายาซักแหง้ จงหาจานวนแม่บา้ นท่ใี ช้ทง้ั ผงซักฟอกและนา้ ยาซักแห้ง

หนา้ 8

วชิ า คณิตศาสตร์ทั่วไป (491-11-01)

5. จากการสารวจพนักงานบรษิ ัทแห่งหน่ึงเกย่ี วกบั ความนยิ มดืม่ ชาหรอื กาแฟ
พบว่า มี 50 คนนิยมด่ืมชา มี 80 คนนิยมดื่มกาแฟ มี 20 คนนิยมดื่มท้ังชา และกาแฟ
และมี 30 คนไมน่ ยิ มด่มื ชาหรือกาแฟ จงหา
(1) จานวนพนกั งานที่สารวจท้ังหมด
(2) จานวนพนักงานทน่ี ยิ มดมื่ ชาเพียงอยา่ งเดยี ว
(3) จานวนพนกั งานทน่ี ยิ มดม่ื กาแฟเพยี งอยา่ งเดียว
(4) จานวนพนกั งานที่นยิ มด่ืมชาหรือกาแฟ

6.จากการสารวจเด็กเกี่ยวกับความนิยมชมรายการการ์ตูนทางโทรทัศน์ในวันเสาร์จานวน 500 คน
ปรากฏวา่
มี 300 คน ชมรายการการต์ ูนทางโทรทัศน์ชอ่ ง A
มี 250 คน ชมรายการการต์ นู ทางโทรทัศน์ชอ่ ง B
มี 320 คน ชมรายการการต์ นู ทางโทรทัศนช์ ่อง C
มี 150 คน ชมรายการการ์ตนู ทางโทรทศั น์ช่อง A และ B
มี 200 คน ชมรายการการ์ตูนทางโทรทศั น์ช่อง A และ C
มี 120 คน ชมรายการการต์ นู ทางโทรทศั น์ชอ่ ง B และ C
และทุกคนชมรายการการ์ตูนทางโทรทศั นใ์ นวันเสาร์อย่างนอ้ ยหนึง่ ในสาม
ชอ่ งน้ี จงหาจานวนเด็กทช่ี มรายการการต์ ูนทางโทรทัศนใ์ นวันเสาร์ท้งั สามช่อง

หน้า 9

วิชา คณิตศาสตร์ท่วั ไป (491-11-01)

หน่วยท่ี 2
ฟังก์ชัน ลมิ ติ ความตอ่ เนื่องของฟังก์ชนั

2.1 ฟังกช์ ัน (Functions)

ในชีวิตประจาวันหรือการประกอบธุรกิจใดๆก็ตาม มักมีการพบเห็นการเปล่ียนแปลงของ
ปริมาณต่างๆอยู่เสมอ และต้องให้ความสาคัญกับการเปล่ียนแปลงของปริมาณหน่ึงๆซ่ึงมีความเก่ียวข้อง
สัมพันธ์กับปริมาณอื่นๆอยู่ด้วยเสมอ เช่น การเปล่ียนแปลงของผลกาไรจากการขายสินค้าจะเกี่ยวข้อง
สัมพันธ์กับยอดขายสินค้า กล่าวคือ เม่ือยอดขายสินค้าเปล่ียนแปลงไปอาจส่งผลให้กาไรเปลี่ยนแปลงไป
ด้วย ซ่ึงสัมพันธ์ของปริมาณต่างๆในทางคณิตศาสตร์มักอยู่ในรูปของฟังก์ชัน อย่างไรก็ตามก่อนศึกษา
เรอ่ื งฟังกช์ นั ควรทบทวนพน้ื ฐานทางคณติ ศาสตรเ์ ก่ียวกบั ตัวแปร ค่าคงตวั และความสมั พนั ธ์เสยี ก่อน

2.1.1 ตวั แปร ค่าคงตวั และความสัมพนั ธ์
1. ตัวแปร(Variable) คือ จานวนทมี่ ีค่าแปรเปล่ียนไปไดห้ ลายคา่ ภายใต้ขอบเขตท่กี าหนด
นิยมเขียนแทนด้วยสญั ลักษณ์ x , y , z เปน็ ตน้
2. ค่าคงตัว( Constant) คอื จานวนทม่ี ีคา่ คงตัว ไม่เปลย่ี นแปลงแต่อยา่ งใดทัง้ สิ้น นยิ มเขียนแทน
ดว้ ยสัญลักษณ์ a , b , c , k เปน็ ต้น

นยิ าม 2.1 ความสมั พันธ์(Relations) คอื กฎเกณฑ์ที่กาหนดค่าของ y ซ่ึงเรียกวา่ ตัวแปรตาม
(Dependent variable) แปรเปลยี่ นตามค่าของ x ซึ่งเรียกว่า ตัวแปรต้นหรอื ตวั แปรอิสระ
(Independent variable)

ตัวอย่าง 2.1 ถ้ากาไร(พันบาท) มคี วามสัมพนั ธ์กับจานวนหน่วยสินค้าท่ีขายได้ ตามกฎเกณฑท์ ี่กาหนดว่า
กาไรมีค่าเทา่ กับ 5 เท่าของจานวนหนว่ ยสินคา้ ทขี่ ายได้ ลบดว้ ยจานวน 40 จงหา

(1) ความสัมพนั ธ์ของกาไรกบั จานวนหน่วยสินคา้ ที่ขายไดใ้ นรูปของสมการ
(2) กาไรในขณะทีย่ ังขายสินค้าไม่ได้
(3) กาไรเมื่อขายสนิ ค้าได้ 8 หนว่ ย
(4) กาไรเมื่อขายสนิ ค้าได้ 10 หนว่ ย
วธิ ีทา (1) ให้ y แทน กาไร(พันบาท)จากการขายสินค้า

x แทน จานวนหนว่ ยสนิ ค้าทขี่ ายได้
จากความสัมพนั ธท์ ่ีกาหนดใหจ้ ะได้

y = 5x – 40
เรยี ก กาไร(y) วา่ ตัวแปรตาม และเรียก จานวนหน่วยสนิ คา้ ที่ขายได(้ x) ว่า ตวั แปรต้น
สว่ น -40 เรียกว่า ค่าคงตัว

ดังนั้น ความสมั พันธ์ของกาไรกบั จานวนหน่วยสินคา้ ท่ขี ายได้ในรูปของสมการ คือ y = 5x – 40

(2) จากความสัมพันธท์ ี่ได้ในข้อ(1)

หน้า 10

วิชา คณิตศาสตร์ทวั่ ไป (491-11-01)

y = 5x – 40
แทนคา่ x = 0 (เนอ่ื งจากยังขายสนิ ค้าไม่ได้)

 y = 5(0) – 40
= - 40

ดังน้ันในขณะท่ียังขายสินค้าไม่ได้จะขาดทุน 40 พันบาท หรือ 40,000 บาท ทั้งน้ีเนื่องจากผล
กาไรติดลบ
(3) จากความสมั พันธท์ ี่ได้ในข้อ(1)

y = 5x – 40
แทนคา่ x = 8 หน่วย

 y = 5(8) – 40 = 0
ดังนนั้ เมือ่ ขายสินคา้ ได้ 8 หนว่ ยจะยงั ไม่ไดก้ าไร หรอื ผลประกอบการเท่าทุนพอดี นั่นเอง
(4) จากความสมั พนั ธ์ทไ่ี ด้ในข้อ(1)

y = 5x – 40
แทนค่า x = 10 หนว่ ย

 y = 5(10) – 40
= 10

ดังน้ัน เมื่อขายสินค้าได้ 10 หน่วยจะได้กาไร 10 พันบาท หรอื 10,000 บาท

จากผลการคานวณในตัวอย่าง 3.1 อาจเขียนความสัมพันธ์(r) ของกาไร(y)กับจานวนหน่วย
สนิ ค้าทขี่ ายได้(x)ในรปู แบบของเซตทมี่ ีสมาชิกเปน็ คู่อนั ดับ (x,y)ได้ ดังน้ี

r = { (0,-40) , (8,0) , (10,10) }

หมายเหตุ เซตของค่า x หรือ สมาชิกตัวแรกของคู่อันดับของความสัมพันธ์ เรียกว่า โดเมน
(domain) ของความสมั พนั ธ์ เขียนแทนด้วยสญั ลักษณ์ Dr

เซตของค่า y หรือ สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับของความสมั พันธ์ เรียกว่า เรนจ์(range) ของ
ความสมั พันธ์ เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ Rr

จากตัวอย่าง 2.1 โดเมนเขียนแทนดว้ ย Dr = { 0 , 8 , 10 }
และ เรนจ์เขยี นแทนด้วย Rr = { -40 , 0 , 10 }
2.1.2 ความหมายของฟังกช์ ัน

นิยาม 2.2 ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ท่ีมีสมบัติเฉพาะว่า สาหรับแต่ละค่าของตัวแปรต้น(x) จะมีตัวแปร

ตาม (y) เพียงค่าเดียวทีม่ ีความสมั พันธก์ บั ตัวแปรตน้ (x)
โดยท่ัวไป ความสัมพันธ์ของตัวแปรต้น(x) และตัวแปรตาม(y) ซึ่งมีสมบัติเป็นฟังก์ชันจะเขียน

แทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ y = f(x) อ่านวา่ “ y เปน็ ฟังก์ชนั ของ x”

ตัวอยา่ ง 2.2 จงพิจารณาความสมั พนั ธต์ ่อไปน้ี มีสมบัตเิ ป็นฟังก์ชนั หรือไม่
(1) x2 – y = 1 (2) x + y2 = 5

วิธีทา

(1) จดั ความสัมพันธ์ x2 – y = 1 ใหม่ โดยให้ y อยู่ในรปู ของ x ดงั นี้

หน้า 11

วิชา คณติ ศาสตรท์ ่วั ไป (491-11-01)

y = x2 – 1

เมอ่ื พจิ ารณาแล้วจะพบวา่ จะสามารถหาคา่ y ที่สมนยั กับค่า x ไดเ้ พียงค่าเดยี วเสมอ เช่น
เมื่อ x = -1 จะได้ y = x2 – 1 = (-1)2 – 1 = 1 – 1 = 0
เมอ่ื x = 0 จะได้ y = x2 – 1 = (0)2 – 1 = 0 – 1 = -1
เม่อื x = 1 จะได้ y = x2 – 1 = (1)2 – 1 = 1 – 1 = 0
เมื่อ x = 2 จะได้ y = x2 – 1 = (2)2 – 1 = 4 – 1 = 3

ดังนั้น ความสมั พันธ์ x2 – y = 1 มีสมบัตเิ ป็นฟังก์ชัน หรอื เรียกสัน้ ๆวา่ เป็นฟังกช์ ัน ซงึ่
เขยี น แทนด้วยสญั ลักษณ์ y = f(x) = x2 – 1 นน่ั เอง

(2) จดั ความสัมพนั ธ์ x + y2 = 5 ใหม่ โดยให้ y อยู่ในรูปของ x ดงั น้ี
y2 = 5 – x

 y   5x

เมอื่ พิจารณาแลว้ จะพบวา่ สาหรับคา่ x อยา่ งนอ้ ยหนง่ึ ค่า จะสามารถหาคา่ y ไดม้ ากกวา่ ค่าเดยี วที่

สมนยั กบั ค่า x เชน่

เมอ่ื x = 1 จะได้ y   51   4   2

ดงั นนั้ ความสมั พนั ธ์ x + y2 = 5 ไม่มสี มบัติเป็นฟังกช์ ัน หรอื กล่าวไดส้ ัน้ ๆว่า ไม่เปน็ ฟงั ก์ชัน

ตัวอย่าง 2.3 กาหนดให้ f(x)  1 จงหาคา่ ของ f(-1) , f(0) , f(1) และ f(2) พรอ้ มท้ังเขียนโดเมน

x2

และเรนจ์ของฟังก์ชันที่ได้จากการคานวณ

วธิ ีทา

จากที่โจทย์กาหนดให้ f (x)  1
แทนค่า x = -1 จะได้ x2

f (1)  1   1
1 2 3

แทนคา่ x = 0 จะได้ f (0)  1   1
02 2

แทนคา่ x = 1 จะได้ f (1)  1  1
แทนค่า x = 2 จะได้ 1 2

f (2)  1  1 ซึง่ หาคา่ ไมไ่ ด้

22 0

ดังน้ัน f  { ( 1,  1 ) , ( 0 ,  1 ) , (1, 1) }

32

โดยท่ี Df = { -1 , 0 , 1 } และ Rf = {  1 ,  1 , -1 }
32

ตวั อยา่ ง 2.4 กาหนดให้ f(x) = x2 + 2x – 3 จงหาค่าของ f (x  h)  f (x)

h

วิธีทา

จากท่ีโจทยก์ าหนดให้ f(x) = x2 + 2x – 3

หน้า 12

วชิ า คณิตศาสตรท์ ั่วไป (491-11-01)

จะได้ f(x+h) = (x+h)2 + 2(x+h) – 3

= x2 + 2xh + h2 + 2x + 2h – 3

f (x  h)  f (x) (x 2  2xh  h 2  2x  2h  3)  (x 2  2x  3)
=
hh

= x 2  2xh  h2  2x  2h  3  x 2  2x  3
h

= 2xh  h2  2h
h

= h(2x  h  2)

h

= 2x + h +2

ตัวอย่างท่ี 2.5 ร้านอาหารแห่งหน่ึงประมาณว่า ถ้าจัดเตรียมอาหารไว้รองรับลูกค้า 50 ถึง 100 ท่ีนั่ง
จะได้กาไร 60 บาทตอ่ ทน่ี ่งั ตอ่ วนั แต่ถ้าจัดเตรยี มอาหารไวร้ องรบั ลูกคา้ มากกว่า 100 ทีน่ ่งั กาไรต่อท่ีน่ัง
ต่อวันจะลดลง 2 บาทคูณกับจานวนที่น่ังที่มากกว่า 100 ที่น่ังข้ึนไป ถ้าให้ x เป็นจานวนที่น่ัง จงหา
กาไรท้ังหมดในแต่ละวันในรูปของฟังก์ชัน x โดยกาหนดว่าไม่มีการขาดทุนคือกาไรไม่เป็นลบ พร้อมท้ัง
ประมาณผลกาไรที่ได้ในแตล่ ะวันเม่ือจัดใหม้ ีทน่ี งั่ 80 ทน่ี ัง่ จัด และ 120 ทนี่ ่ัง
วิธีทา กาหนดให้ f(x) แทน กาไรทั้งหมดทไี่ ด้ในแต่ละวัน

เม่อื 50  x  100
จะได้ f(x) = 60 x

เม่อื x > 100

จะได้ f(x) = [60 .– 2(x – 100)] x

= 60x – 2x2 + 200x
= 260x – 2x2
นาข้อกาหนดทีว่ ่าไม่มีการขาดทนุ คือกาไรไมเ่ ปน็ ลบ ไปหาขอบเขตโดนเมนของฟังก์ชันเพ่มิ เติม
นัน่ คอื f(x)  0
หรือ 260x – 2x2  0
- 2x2  - 260x
 x  130

ดงั นนั้ จะได้ f(x) 60x เม่ือ 50  x  100

260x – 2x2 เมือ่ 100 < x  130

หากาไรเมือ่ มีทน่ี งั่ 80 ท่ีน่ัง คอื x = 8 จาก f(x) = 60 x

จะได้ f(80) = 60 (80)

= 4,800
นน่ั คอื ถา้ มีท่ีน่ัง 80 ที่ จะได้กาไรประมาณวันละ 4,800 บาท

หนา้ 13

วชิ า คณติ ศาสตร์ทว่ั ไป (491-11-01)

หากาไรเมื่อมีทน่ี ่ัง 120 ท่นี งั่ คอื x = 120 จาก f(x) = 260x – 2x2
จะได้ f(120) = 260 (120) – (2)(120)2
= 31,200 – 28,800
= 2,400

นั่นคอื ถา้ มีทีน่ งั่ 120 ท่ี จะได้กาไรประมาณวันละ 2,400 บาท
2.1.3 การเขยี นกราฟของฟงั ก์ชัน

ในระบบพิกัดฉาก(Rectangular coordinate system) ซ่ึงเป็นระบบท่ีเกิดจากเส้นพิกัด
จานวน 2 เส้นตัดกันบนระนาบเป็นมุมฉากท่ีจุดกาเนิด(Origin) โดยเส้นพิกัดที่อยู่ในแนวนอน เรียกว่า
แกน X สว่ นเสน้ พกิ ัดทอี่ ยใู่ นแนวต้งั เรียกว่า แกน Y จะสามารถเขยี นกราฟของฟังก์ชนั ไดจ้ ากนยิ าม

นยิ าม 2.3 กราฟของฟังกช์ นั ประกอบด้วยจุด (x, y) ท้ังหมด ซึง่ y = f(x)

ตัวอยา่ ง 2.6 จงเขยี นกราฟของฟังก์ชัน

(1) y = 2x + 1 (2) x + 2y + 6 = 0

วิธีทา

(1) สร้างตารางคู่อนั ดบั (x,y) ซง่ึ เปน็ สมาชิกของฟังกช์ นั y = 2x + 1 ได้ดงั นี้

x -1 0 1 2

y -1 1 3 5

นาค่อู ันดับ (-1,-1) ,(0,1),(1,3) และ(2,5) ไปลงจุดในระบบแกนพิกดั ฉาก XY และลากส่วน
ของเสน้ ตรงโยงต่อแต่ละจุดตามลาดบั จะได้กราฟของฟังก์ชนั y = 2x + 1 ดังรูปขา้ งล่างนี้

y = 2x + 1

5

(2,5)

3

2 (1,3)
1 (0,1)

-3 -2 -1
-1 1 2 3

(-1,-1) -2

หนา้ 14

วชิ า คณิตศาสตรท์ ั่วไป (491-11-01)

(2) จากสมการทีก่ าหนดให้ x + 2y + 6 = 0 เขียนให้อยใู่ นรูป y = f(x) ได้ ดงั นี้
2y = - x – 6

 y = -1x –3
2

สรา้ งตารางคู่อันดับ (x,y) ซง่ึ เป็นสมาชิกของฟังก์ชนั y =  1 x  3 ได้ดังนี้

2

x -1 0 1 2

y -2.5 -3 -3.5 -4
นาคู่อนั ดบั (-1,-2.5) ,(0,-3),(1,-3.5) และ(2,-4) ไปลงจุดในระบบแกนพิกดั ฉาก XY และลาก
สว่ นของเส้นตรงโยงตอ่ แต่ละจุดตามลาดบั จะไดก้ ราฟของฟังก์ชนั x + 2y + 6 = 0 ดังรปู ข้างลา่ งนี้

Y

3

2

1 23 45 X

.-5 -4 -3 -2 -1 0 1
-1

× -2 (0,-3)
(1,-3.5)

(2,-4)
×-
× ×(-1,- 2,5)-34

-5

x + 2y + 6 = 0

-6

อน่ึง การสร้างตารางคู่อันดับ (x, y) ของฟังก์ชันในตัวอย่าง 2.6 มักนิยมหาคู่อันดับและนาไป
ลงจุดในระบบแกนพกิ ัดฉาก XY เพียง 2 คอู่ นั ดับเท่าน้นั ทงั้ น้ีเน่ืองจากกราฟท่ีได้เป็นกราฟเส้นตรง เมอื่
ลากโยงต่อจากจุด 2 คู่อันดับใดๆ ที่เป็นสมาชิกของฟังก์ชันเดียวกันย่อมเป็นกราฟเส้นตรงเดียวกันเสมอ
เชน่ ในตัวอย่าง 2.6 (2) อาจสร้างตารางคู่อนั ดับ (0,-3) และ (2,-4) เพียง 2 คู่อันดับ และนาไปลงจุดก็จะ
ได้กราฟเส้นตรงเดียวกันกับท่ีได้ในข้างต้นอย่างไรก็ตามในกรณีที่กราฟของฟังก์ชันไม่เป็นกราฟเส้นตรง
จะตอ้ งสรา้ งตารางคู่อนั ดบั (x, y)ของฟังกช์ นั ใหม้ ากเพยี งพอ จงึ จะสามารถเขยี นกราฟไดถ้ ูกต้อง

ตวั อยา่ ง 2.7 จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน

(1) y = x2 (2) y =  1 x
2

วิธที า

(1) สรา้ งตารางคู่อันดบั (x,y) ซ่งึ เป็นสมาชิกของฟังกช์ ัน y = x2 ได้ดงั นี้

หนา้ 15

วิชา คณิตศาสตรท์ ว่ั ไป (491-11-01)

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y9410149
นาคู่อนั ดบั (-3,9) ,(-2,4),(-1,1) ,(0,0),(1,1) ,(2,4) และ(3,9) ไปลงจุดในระบบแกนพิกดั ฉาก XY
และลากสว่ นของเสน้ ตรงโยงตอ่ แตล่ ะจดุ ตามลาดับ แล้วปรบั ใหเ้ ป็นเสน้ โคง้ เรยี บ จะได้กราฟของ
ฟังก์ชนั y = x2 ดังรปู ขา้ งลา่ งน้ี

Y

(-3,9) 9 y = x2

8 (3,9)

7 (2,4)

6 (1,1)

5 2

(-2,4) 4 1234

3

2

(-1,1) 1 5 X

.-5 -4 -3 -2 -1 0 4
-1

วิธีทา
(2) สรา้ งตารางคู่อันดับ (x,y) ซ่งึ เป็นสมาชิกของฟงั ก์ชัน y =  1 x ได้ดังน้ี

2

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

y 16 8 4 2 1 1 1 1 1

2 4 8 16

นาคูอ่ นั ดบั (-3 ,8 ) , (-2 ,4 ) , (-1 ,2 ) , (0 ,1 ) , (1 , 1 ) , ( 2 , 1 ) , (3 , 1 ) และ (-4 , 1 ) ไปลงจุด ในระบบ

2 48 16

แกนพิกัดฉาก XY และลากสว่ นของเสน้ ตรงโยงต่อแตล่ ะจดุ ตามลาดบั แล้วปรับให้เป็นเส้นโคง้ เรยี บ ดงั น้ี

y= Y

8

7

6

5

4

3

2

1 (0,1) หน้า 16

.-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2× 3 4 5 X
-1

วิชา คณิตศาสตรท์ วั่ ไป (491-11-01)

จากกราฟจะเหน็ ได้อย่างชดั เจนว่า เม่อื x มคี า่ เพ่ิมมากขนึ้ ค่า y มีคา่ ลดน้อยลง ฟังกช์ ัน y =  1 x จึง
2

เป็นฟงั กช์ ันลดในโดเมนของฟังก์ชัน
2.1.4 ฟงั กช์ ันมูลฐาน (The elementary of functions)

โดยทั่วไปฟังก์ชันมูลฐานท่ีศึกษาในเบื้องต้นมักเป็นฟังก์ชันของจานวนจริง (real numbers)
หมายความว่า โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันเป็นจานวนจริงหรือเป็นสับเซตของจานวนจริง ซึ่งแบ่ง
ออกเปน็ 2 ประเภท คือ

(1) ฟงั กช์ นั พีชคณติ (Algebra functions)
(2) ฟังก์ชนั อดสิ ัย (Transcendental functions)

ซงึ่ ในท่ีน้ีจะกลา่ วถงึ ท้ัง 2 ขา้ งต้นแต่เพยี งสังเขป ดังนี้

(1) ฟังก์ชันพีชคณิต คือ ฟังก์ชันท่ีอยู่ในรูปของตัวแปรต้นประกอบกันโดยใช้เครื่องหมาย บวก ลบ คูณ

หาร และการยกกาลัง ซง่ึ สามารถแบง่ เป็นชนิดย่อยๆได้ คอื
ก. ฟังก์ชันพหุนาม (Polynomial functions) เปน็ ฟงั กช์ นั ที่สามารถเขยี นให้อยู่ในรปู ท่วั ไป ดงั น้ี
f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2+ . . . +a2x2 +a1x1 + a0

โดยท่ี n เปน็ จานวนเตม็ ซง่ึ ไมเ่ ป็นลบ และ a0 , a1 , a2 , . . . , an-2 , an-1 , an เปน็ ค่าคงตวั ซ่งึ
เรยี กว่า สัมประสทิ ธข์ิ องพหุนาม และในกรณีท่ี an  0 จะเรียก f(x) วา่ ฟงั ก์ชนั พหนุ ามดีกรี n

ตวั อย่างเช่น

f(x) = 4x3 + 7x2 + 3x – 1 เป็นฟังก์ชนั พหุนามดีกรี 3

f(x) = x2 เป็นฟงั กช์ นั พหุนามดกี รี 2

f(x) = 2x + 1 เป็นฟังกช์ ันพหุนามดีกรี 1

f(x) = 5 เป็นฟงั ก์ชันพหนุ ามดกี รี 0

สาหรับฟังกช์ ันพหนุ ามท่มี ีดกี รี n  3 เชน่ ข้างต้นจะพบเห็นกนั บ่อยๆ เมื่อนาไปเขียนกราฟ

จะมีลักษณะเฉพาะตัวแบบต่างๆกันและมชี ื่อเรียกเฉพาะอกี ดว้ ย ดังนี้

1. ฟังกช์ นั คงตัว (Constant function) เปน็ ช่อื ทใี่ ช้เรยี ก ฟังกช์ นั พหนุ ามดีกรี 0 ทง้ั น้ี

เน่อื งจากฟงั กช์ ันมีคา่ คงตวั ตลอดช่วงของโดเมน , { x x R} นิยมเขียนให้อยู่ในรปู ทวั่ ไป f(x)

= c หรือ y = c เม่ือ c เป็นคา่ คงตัว เชน่ y = 4 และ y = -3 ซง่ึ เขยี นกราฟได้ ดงั นี้

หน้า 17

วชิ า คณิตศาสตร์ทัว่ ไป (491-11-01)

Y

4 y=4
2
X
0
-4 -2 24

-2 y = -3

2. ฟงั ก์ชนั เชิงเส้น (Linear function) เป็นชอ่ื ท่ใี ช้เรยี ก ฟังกช์ ันพหุนามดีกรี 1 นยิ มเขียนให้

อยู่ในรูปทว่ั ไป f(x) = mx + c หรือ y = mx + c เมื่อ m  0 เช่น y = 2x + 1
และ

y = - 1 x – 3 ซึ่งเขียนกราฟไดต้ ามตัวอย่าง 3.3 ทผ่ี า่ นมา ดังนี้
2

YY

8 2

y = 2x + 1

6

-4 -2 0 4 X

4

-2

2
-4

-- 024 X -6 y = - x - 3

4 2 -2 รูป (ก) รปู (ข)

กราฟของฟังก์ชนั เชิงเสน้ y = mx+ c อาจแบ่งได้ 2 ลักษณะตามค่าของสัมประสทิ ธ์ิ m

หรือ เรยี กอีกอย่างวา่ ความชัน(slope) ของเสน้ ตรง คือ

ก. ถ้าความชนั m > 0 แลว้ ฟงั ก์ชันเชงิ เสน้ จะมลี กั ษณะเป็นฟงั ก์ชันเพิ่ม ดังรปู

(ก)

ข. ถา้ ความชัน m < 0 แลว้ ฟังก์ชันเชิงเส้นจะมีลักษณะเป็นฟงั ก์ชนั ลด ดงั รูป (ข)

ส่วนคา่ คงตวั c เรยี กวา่ y-intercept ซ่งึ หมายถึงจุดทกี่ ราฟเสน้ ตรงตัดแกน Y ดงั รปู (ก)

กราฟของฟงั ก์ชนั เชิงเสน้ y = 2x + 1 มีคา่ คงตัว c = 1 จงึ ตัดแกน Y ที่ y = 1 และรปู (ข)

กราฟของฟังก์ชนั เชงิ เสน้ y = - 1 x – 3 มคี ่าคงตวั c = -3 จงึ ตัดแกน Y ท่ี y = -3
2

3. ฟังกช์ นั กาลังสอง (Quadratic function) เป็นชอื่ ท่ใี ชเ้ รียก ฟังกช์ นั พหุนามดกี รสี อง
นิยมเขียนให้อยู่ในรูปทวั่ ไป f(x) = ax2 + bx +c หรือ y = ax2 + bx +c เชน่ y = x2 และ y = -x2+

2x + 1

ซึ่งเขยี นกราฟได้ ดังน้ี

หนา้ 18

วิชา คณิตศาสตรท์ วั่ ไป (491-11-01)

รปู (ก) รูป (ข)

4. ฟงั ก์ชนั กาลังสาม (Qubic function) เป็นช่ือทใี่ ช้เรยี ก ฟังก์ชันพหุนามดีกรีสาม นิยม
เขียนใหอ้ ยู่ในรูปท่วั ไป y = ax3 + bx2 + cx +d เชน่ y = x3– 6x2 + 9x + 1 ซึ่งเขียนกราฟได้ ดงั นี้

Y y = x3– 6x2 + 9x + 1

6

4

2

-4 -2 0 2 4 6 XX

-2

ข.ฟงั กช์ ันตรรกยะ (Retional functions) เป็นฟังก์ชนั ทอ่ี ยู่ในรปู ผลหารของฟงั ก์ชัน

พหนุ าม 2 ฟงั กช์ นั กล่าวคือ สามารถเขยี นอยู่ในรูป

f (x)  P(x)
Q(x)

โดยที่ P(x) และ Q(x) เปน็ ฟงั ก์ชันพหนุ าม และ Q(x)  0 และถ้าดีกรขี อง P(x) น้อยกว่า

ดกี รีของQ(x) จะเรยี ก f(x) ว่า ฟงั กช์ นั ตรรกยะแท้ (Proper Retional function) แต่ถ้าถา้ ดกี รีของ

P(x)มากกว่าหรือเท่ากับดีกรีของQ(x) จะเรยี ก f(x) ว่า ฟงั ก์ชันตรรกยะไมแ่ ท้(Improper Retional

function) ตัวอย่างเช่น

f (x)  x 1 เป็นฟงั ก์ชันตรรกยะแท้
x2 1

f (x)  2x3  6x2  5x เป็นฟงั กช์ ันตรรกยะไมแ่ ท้
x2  3x เป็นฟงั ก์ชันตรรกยะไมแ่ ท้

f (x)  x4  2x3  3x 1
x4 1

หน้า 19

วิชา คณติ ศาสตรท์ ่ัวไป (491-11-01)

สาหรับเป็นฟังก์ชันตรรกยะไม่แท้ เช่น f (x)  2x3  6x2  5x สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ
x2  3x

ผลบวกของฟังก์ชันพหุนามและฟังก์ชันตรรกยะแท้ได้โดยการนา x2–3xไปหาร 2x3– 6x2 + x

ซง่ึ จะไดผ้ ลดงั นี้ f (x)  2x3  6x2  5x
x2 3

 2x  6  11x 18
x2  3

(2) ฟังก์ชันอดิสัย คือ ฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันพีชคณิต ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันเอกซ์โปแนนเชียล

(Exponential functions) ฟังก์ชันลอการิทึม (Logarithm functions) ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

(Trigonometric functions) เปน็ ต้น

ก. ฟังก์ชันเอกซ์โปแนนเชียล คอื ฟงั ก์ชนั ท่ีมีตวั แปรต้น x เป็นเลขชีก้ าลังของเลขยกกาลงั ซึ่งมี

ฐานเป็นค่าคงตวั ฟังก์ชนั เอกซโ์ ปเนนเชยี ลพืน้ ฐานจะอยใู่ นรปู f(x) = ax โดยที่ a > 0 และ a  1

ตวั อยา่ งเชน่ y = 2x , y = 3x , y =  1 x และ y = 1x ซึง่ เขยี นกราฟของ y = 2x , y = 3x ,
2 3
y =  1 x และ y = 1x ลงในระบบพกิ ดั ฉากเดียวกนั ได้ผล ดังน้ี
2 3

Y y = 3x y = 2x

y= y= 8

7

6

5

4

3

.2 (0,1)

3 1.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 X

-1
-2

ข้อสังเกต : 1.กราฟของฟงั กช์ นั เอกซโ์ ปเนนเชียล y = ax โดยท่ี a > 0 และ a  1 จะ
ผา่ นพกิ ัดของจดุ (0 ,1) เสมอ ทง้ั นี้เพราะวา่ a0 = 1
2. ถ้า a > 1 แลว้ เมือ่ x ลดลงอย่างไมม่ ีท่สี ้นิ สดุ กราฟของฟงั ก์ชันเอกซ์
โปเนนเชียล y = ax จะลูเ่ ขา้ ใกล้แกน x แตจ่ ะไมแ่ ตะหรือตัดแกน x
เรียก แกน x หรือ เส้นตรง y = 0 ว่า เส้นกากับแนวนอนของฟังกช์ นั

3. ถ้า 0 < a < 1 แล้ว เม่ือ x มคี า่ เพ่มิ มากขน้ึ อย่างไมม่ ีท่ีส้ินสดุ
กราฟของฟงั กช์ นั เอกซโ์ ปเนนเชียล y = ax จะลู่เขา้ ใกล้แกน x แตจ่ ะไมแ่ ตะ
หรือตดั แกน x เรียก แกน x หรือเสน้ ตรง y = 0 วา่ เส้นกากบั แนวนอนของ
ฟงั ก์ชัน

ข. ฟงั กช์ นั ลอการทิ ึม คือ ฟังก์ชนั ท่ีมตี วั แปรตาม y เป็นเลขชก้ี าลังของเลขยกกาลงั ซึง่ มีฐาน
เปน็ คา่ คงตัว ฟังก์ชนั ลอการิทมึ พ้นื ฐานจะอย่ใู นรูป x = ay นยิ มเขียนให้อยใู่ นรูป y = f(x) โดย

กาหนดให้ y = loga x ซงึ่ อ่านวา่ “ วาย เทา่ กับ ลอการทิ มึ เอกซ์ฐานเอ ”เชน่ y = log2 x ,

หนา้ 20

วิชา คณติ ศาสตรท์ ั่วไป (491-11-01)

และ y = log1 x ซง่ึ เขยี นกราฟของฟังก์ชันลอการทิ มึ ลงในระบบพกิ ัดฉากเดียวกันได้ ดงั น้ี

2

Y

5

4

3 y=

2 567

1

.(1,0 2 34 8 X

-2 -1 0 ) 1
-1

-2

-3 y =
-4
-5

ข้อสงั เกต : 1.กราฟของฟังกช์ ันลอการิทึม y = loga x ; a > 0 , a  1 จะผ่านจดุ (1 ,0)
เสมอท้ังน้เี พราะว่า 1 = a0 หรอื loga 1 = 0 เสมอ
2. ถ้า a > 1 แล้ว y = loga x เปน็ ฟงั กช์ นั เพิ่ม
ถ้า 0 < a < 1 แลว้ y = loga x เปน็ ฟงั กช์ นั ลด

ค. ฟังกช์ ันตรีโกณมิติ คือ ฟงั กช์ นั ทอ่ี ยู่ในรูปของค่าทางตรีโกณมติ ิ ซง่ึ มที ้ังหมด 6 ฟังก์ชัน
ไดแ้ ก่ y  sin x , y  cosx , y  tan x , y  cscx , y  secx และ y  cot x ซง่ึ

จะกลา่ ว ถึงคา่ ทางตรโี กณมิติในหนว่ ยต่อๆไป

2.1.5 พชี คณติ ของฟงั ก์ชัน
ในบางคร้งั การศึกษาเก่ยี วกบั ฟังก์ชนั จะมีการนาฟังก์ชนั มลู ฐานต่างๆทไ่ี ดศ้ ึกษามาแลว้ มา

ดาเนนิ การทางพชี คณิต ได้เป็นฟังก์ชันผลรวม ฟังกช์ ันผลต่าง ฟงั ก์ชนั ผลคณู และฟังก์ชนั ผลหารของ
ฟังก์ชัน2 ฟงั กช์ นั หรือมากกว่า ซึ่งนยิ ามดงั นี้

นยิ าม 2.4 กาหนดให้ f และ g เปน็ ฟังกช์ นั 2 ฟงั กช์ นั

(1) ฟังก์ชันผลรวมของ (f+g)(x) กาหนดโดย (f+g)(x) = f(x) + g(x)

(2) ฟงั ก์ชนั ผลตา่ งของ (f–g)(x) กาหนดโดย (f–g)(x) = f(x) – g(x)

(3) ฟังก์ชนั ผลคูณของ ( f.g )(x) กาหนดโดย ( f.g )(x) = f(x).g(x)

(4) ฟงั กช์ ันผลหารของ  f  (x) กาหนดโดย f=  (x) f (x) เม่ือ g(x)  0
 g  g  g(x)
   


ตวั อยา่ งที่ 2.8 ให้ f และ g เปน็ ฟงั กช์ นั ที่กาหนดโดยf(x) = x2– 3x และ g(x) = 2x + 1 จงหา

(f+g)(x), (f–g)(x), (f.g)(x) และ  f  (x) พร้อมทั้งหาโดเมนของฟงั ก์ชนั
 g 
 

วิธีทา  (f+g)(x) = f(x) + g(x)

= x2– 3x + 2x + 1

 (f+g)(x) = x2 – x + 1

โดยที่ Df = Dg = (,) = { x x  R }

หนา้ 21

วชิ า คณติ ศาสตรท์ ว่ั ไป (491-11-01)

ดังนน้ั Df +g = (,) = { x x  R }

 (f–g)(x) = f(x) – g(x)

= (x2– 3x) – (2x + 1)

= x2 – 3x – 2x – 1

 (f–g)(x) = x2 – 5x – 1

ดงั นัน้ Df - g = (,) = { x x  R }

 (f. g)(x) = f(x). g(x)

= (x2– 3x) (2x + 1)
= 2x3 – 6x2 + x2 – 3x

 . (f g)(x) = 2x3 – 5x2 – 3x
ดงั น้ัน . Df g = (,) = { x x  R }
=  f  f (x) เม่ือ g(x)  0
 g  (x) g(x)
 

=  f  x2  3x เมอ่ื 2x +1  0
 g  (x) 2x 1
 

เมอ่ื 2x +1  0

จะได้ x   1
2

ดงั นน้ั Df  = { x x  R และ x   1 }
2
 g 
 

ตัวอยา่ งท่ี 2.9 ถา้ ค่าใชจ้ า่ ยในการจัดทาCDเพลงของศลิ ปินอสิ ระคนหนึง่ แบ่ง 2 ส่วน ส่วนหน่ึงเปน็
ค่าใช้จ่ายคงตัว ได้แก่ ค่าเชา่ สถานท่อี ัดเพลง ค่าวงดนตรี และอื่นๆเป็นเงินรวม 50,000 บาท อีกส่วน
หนงึ่ เปน็ ค่าใช้จ่ายท่ีคิดตามจานวนแผน่ CDเพลงที่ผลติ ในราคาแผ่นละ 10 บาท ถา้ ผลิตแผน่ CDเพลง
จานวน x แผน่ และจาหน่ายได้ทงั้ หมด ในราคาแผ่นละ 120 บาท จงหา

(1) ฟังกช์ นั ตน้ ทุน(cost function)

(2) ฟงั ก์ชันรายได้(revenue function)

(3) ฟงั กช์ ันกาไร(profit function)

(4) ถา้ ผลติ แผน่ CDเพลงจานวน 1,000 แผ่นจะได้กาไรหรอื ขาดทุนเทา่ ใด

วิธีทา

(1) ให้ f(x) เป็น ฟงั ก์ชนั ตน้ ทนุ

เนอ่ื งจากค่าใช้จา่ ยคงตวั เป็นเงนิ รวม 50,000 บาท คา่ ใช้จ่ายท่ีคิดตามจานวนแผ่นCDเพลงที่

ผลิตในราคาแผน่ ละ 10 บาท และผลิตจานวน x แผน่

 ฟังก์ชนั ต้นทนุ คอื f(x) = 10x + 50,000 บาท

(2) ให้ g(x) เป็น ฟงั กช์ ันรายได้

เน่อื งจากผลติ แผน่ CDเพลงจานวน x แผ่นและจาหน่ายได้ทั้งหมดในราคาแผน่ ละ 120 บาท

 ฟังกช์ นั รายได้ คือ g(x) = 120x บาท

หน้า 22

วชิ า คณิตศาสตร์ทั่วไป (491-11-01)

(3) ให้ h(x) เปน็ ฟงั ก์ชนั กาไร จากผลการคานวณใน (1) และ (2)
จะได้ ฟังก์ชนั กาไร คือ h(x) = 120 – (10x + 50,000)
= 120x – 10x – 50,000
 h(x) = 110x – 50,000 บาท

(4) เนื่องจากผลิตแผน่ CDเพลงจานวน 1,000 แผน่
แทนค่า x = 1,000 แผ่น จะได้ h(1,000) = 110(1,000) – 50,000
= 60,000
ดงั นัน้ ถา้ ผลิตแผน่ CDเพลงจานวน 1,000 แผน่ และขายไดท้ ัง้ หมดจะได้กาไร 60,000 บาท

แบบฝกึ หัดที่ 2.1

1. กาหนดให้ f(x) = 2x2 – 3x – 5 จงหาค่าของ f(-2) , f(0) , f(3) , f(10) , f(1)  f(2)

f (4)

2. กาหนดให้ f(x) = x2 – 2x + 2 จงหา f(a+b) , f(1-b) – f(b+2) , f(a  b)  f(b)
f (b)

3. จงเขียนกราฟของฟงั ก์ชันต่อไปนี้ พร้อมระบดุ ้วยวา่ เป็นฟงั กช์ ันประเภทและชนิดใด

(1) y = 2x–3 (2) y = -x+2 (3) y = -x2

(4) y = 4x2– 1 (5) y = 3-x (6) y = 4x

4. จงหา (f+g)(x), (f–g)(x), (f.g)(x) และ เม่ือกาหนด f(x) และ g(x) ให้ดงั ตอ่ ไปนี้

(1) f(x) = x – 5 และ g(x) = 2x2 (2) f(x) = x2 – 2x + 1 และ g(x) = x – 1

5. กาหนดให้ f(x) = x2 – 4 และ g(x) = x + 2 จงหา (f+g)(-1) , (f–g)(0) , (f.g)(1) และ  f  (2)
 g 
 

6. ในการจดั งานราตรีฟา้ ขาวครั้งหนึ่ง มีตน้ ทนุ คงทไ่ี ด้แก่คา่ บริหารจัดการสถานท่แี ละค่าวงดนตรี

50,000 บาท อีกสว่ นหน่ึงเป็นค่าอาหารและเครอ่ื งด่ืมบริการให้แก่ผ้ซู ื้อบัตรมาร่วมงานซึง่ ตอ้ งจา่ ย 120

บาทตอ่ คน ถา้ ขายบัตรได้ x ใบ ในราคาใบละ 300 บาท จงหา

(1) ฟังกช์ ันต้นทุน (2) ฟังกช์ ันรายได้ (3) ฟงั กช์ นั กาไร

(4) ถ้าขายบตั รไดจ้ านวน 1,000 ใบจะไดก้ าไรหรอื ขาดทุนเท่าใด

7. ผู้ผลติ รองเท้าสามารถผลิตรองเทา้ ไดใ้ นราคาทนุ ค่ลู ะ 250 บาท ผู้ผลิตคาดว่าถ้าขายรองเท้าในราคาคู่

ละ x บาท แล้วจานวนของรองเท้าทข่ี ายไดต้ ่อสปั ดาห์คือ (750 - x) คู่ จงหากาไรต่อสัปดาห์ในรูป

ของฟังก์ชันของ x และถา้ ขายรองเทา้ ไปคู่ละ 500 บาทจะได้กาไรต่อสัปดาห์เปน็ เงนิ เทา่ ใด

8. สมศรีผลติ ตกุ๊ ตาขายได้กาไรตัวละ 50 บาท ถา้ เธอผลิตไม่มากกวา่ 100 ตวั ต่อสัปดาห์ และกาไรจะ

ลดลงตัวละ 1 บาทคูณกบั จานวนตกุ๊ ตาทเ่ี ธอผลติ ได้มากกว่า 100 ตวั ถ้าให้ x เปน็ จานวนต๊กุ ตาท่ี

สมศรีผลติ ได้ในแตล่ ะสปั ดาห์ จงหากาไรทีส่ มศรีไดร้ ับจากการผลติ ตุ๊กตาขายในหนึ่งสัปดาห์ในรปู

ฟงั กช์ ันของ x โดยกาหนดว่าในการผลิตตุ๊กตาขายน้ีไม่มีการขาดทนุ และ จงหากาไรที่สมศรีได้รับถ้า

เธอผลิตต๊กุ ตาขายสัปดาห์ละ 80 ตวั และ 120 ตวั ตามลาดบั

หน้า 23

วชิ า คณิตศาสตร์ทั่วไป (491-11-01)

2.2 ลมิ ิตของฟังกช์ นั
2.2.1 ความหมายของลิมิตของฟังกช์ นั

ลิมติ ของฟังกช์ ัน(Limit of functions) คืออะไร เพอ่ื ใหเ้ กิดความเข้าใจความหมายของลมิ ติ
ของฟังกช์ นั ให้พิจารณาคา่ ของฟงั กช์ นั ท่ีกาหนดให้ดังตอ่ ไปนก้ี อ่ น

กาหนดให้ f (x)  x2  4 โดยทีก่ าหนด x  2

x2

เราหาค่าฟงั กช์ นั ท่ี x = 2 ไม่ได้เน่ืองจากตัวหาร x - 2 จะมคี า่ เทา่ กับศูนย์ ซึ่งมีผลทาให้ไม่สามารถหาค่า
ได้ แตเ่ ราสามารถหาคา่ ของฟังก์ชัน ณ จุด x ตา่ ง ๆ ทใ่ี กล้ 2 ทั้งทางดา้ นซา้ ยและด้านขวาของ 2 ได้
ดงั น้ี

เมอ่ื x < 2 เมื่อ x > 2

X f(x) x f(x)
1 3 3 5
1.5 3.5 2.5 4.5
1.8 3.8 2.2 4.2
1.9 3.9 2.1 4.1
1.99 3.99 2.01 4.01
1.999 3.999 2.001 4.001
1.9999 3.9999 2.0001 4.0001
1.99999 3.99999 2.00001 4.00001
... ... ... ...

จากตารางจะเหน็ ไดว้ า่ ค่าของฟงั กช์ นั ณ จดุ x ใกล้ 2 จะพบวา่ เมื่อ x มีคา่ ใกล้ 2 (ไม่ว่าจะ
ใกลท้ างมากกว่าหรอื น้อยกวา่ ) คา่ ของ f(x) จะเข้าใกล้ 4 และเมอื่ คา่ ของ x ยิง่ เข้าใกล้ 2 มากเท่าไร
ค่าของ f(x) ย่ิงเข้าใกล้ 4 มากข้ึนเทา่ น้ัน เรียก 4 ว่าเปน็ ลมิ ติ ของ f(x) เมือ่ x เขา้ ใกล้ 2

เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ lim f (x) = 4

x2

หรือ x2  4 = 4
lim
x2 x  2

และถา้ กาหนดให้ f(x) = x2  x โดยท่ี x  0

x

เราหาคา่ ของฟงั ก์ชนั ท่ี x = 0 ไมไ่ ด้ แต่เราสามารถหาค่าของฟงั ก์ชัน ณ จุดต่างใกล้ๆ 0 ไดด้ งั นี้

เมอ่ื x < 0 เม่อื x > 0

x f(x) x f(x)

-0.2 -0.8 0.2 1.2

-0.1 -0.9 0.1 1.1

-0.01 -0.99 0.01 1.01

หนา้ 24

วิชา คณิตศาสตรท์ ว่ั ไป (491-11-01)

-0.001 -0.999 0.001 1.001
-0.0001 -0.9999 0.0001 1.0001
-0.00001 -0.99999 0.00001 1.00001

- -0.999999 0.000001 1.000001
0.000001
... ... ...
...

จากตารางจะเห็นได้วา่ เม่อื x เข้าใกล้ศนู ย์ทางซา้ ย ( x < 0) ค่าของฟงั ก์ชนั จะเข้าใกล้ -1 จึง
กลา่ วได้วา่ –1 เปน็ ลิมติ ของฟงั กช์ ัน เมอ่ื x เข้าใกล้ 0 ทางซ้าย เขยี นแทนด้วยสญั ลกั ษณ์

lim f (x) = -1 หรือ x2  x = -1
lim
x0 xx0

และเม่ือ x เขา้ ใกลศ้ ูนยท์ างขวา (x > 0) ค่าของฟังก์ชันจะเข้าใกล้ 1 จึงกลา่ วไดว้ ่า 1
เปน็ ลมิ ติ ของฟังกช์ ัน เม่อื x เขา้ ใกล้ 0 ทางขวา เขียนแทนดว้ ยสญั ลักษณ์

lim f (x) = 1 หรอื x2  x =1
lim
x0 xx0

เน่อื งจากลมิ ิตซ้ายของ f(x) มีค่าไม่เท่ากับลิมติ ขวาของ f(x) เราจงึ ไม่สามรถสรุปได้ว่า

limf(x) จะมีคา่ เทา่ กบั เท่าใด กรณีนี้เราจึงกลา่ วว่าว่า ลิมิตของ f(x) เมอื่ x เขา้ ใกล้ 0 หาไม่ได้

x0

นั่นคือ ถา้ lim f (x)  lim f (x) แล้ว limf (x) หาค่าไม่ได้ หรอื ไม่มคี ่าสรปุ ทีเ่ ทา่ กัน
x0 x0 x0

โดยท่ัว ๆ ไป ถา้ f เป็นฟงั กช์ ัน ซ่งึ เมื่อพิจารณาเฉพาะ x < a แลว้ ไดว้ ่า f(x) มีค่าเขา้ ใกล้

จานวน A จานวนหนึ่งเพยี งจานวนเดยี วเมอื่ x มคี า่ ใกล้ a เรากล่าววา่ f(x) มีลิมิตเป็น A เม่อื x

เข้าใกล้ a จากทางซ้าย และเรียกวา่ A วา่ เป็นลมิ ิตทางซ้ายของ f(x) เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์

lim f (x) = A

xa

ถ้า f เป็นฟงั กช์ ัน ซงึ่ เม่อื พจิ ารณาเฉพาะ x > a แล้วได้วา่ f(x) มคี ่าเข้าใกลจ้ านวน B

จานวนหน่งึ จานวนเดียว เมอ่ื x มีค่าใกล้ a เรากล่าววา่ B เป็นลิมติ ทางขวาของ f(x)

เขยี นแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์

lim f (x) = B

xa

และถ้า f เป็นฟังกช์ ัน ซง่ึ f(x) มีคา่ เข้าใกล้จานวน L จานวนหน่ึงเพียงจานวนเดยี ว

เม่อื x มีคา่ ใกล้ a ไมว่ ่า x > a หรอื x < a เรากลา่ วว่า f(x) มลี ิมิตเปน็ L เม่ือ x เข้าใกล้ a

เขยี นแทนด้วยสญั ลกั ษณ์

lim f (x) = L

xa

น่ันคือ กล่าวไดว้ า่

limf (x) = L ก็ตอ่ เมื่อ lim f (x) = L = lim f (x)
xa xa xa

หนา้ 25

วชิ า คณติ ศาสตร์ท่วั ไป (491-11-01)

2.2.2 ทฤษฎเี กี่ยวกบั ลมิ ิตของฟงั กช์ นั

เพอ่ื ที่จะหาลิมติ ของฟังกช์ ันไดส้ ะดวกรวดเร็วเราจะใช้ทฤษฎขี องลิมิต ตอ่ ไปน้ี

ทฤษฎที ่ี 2. 1 ถา้ f(x) = c ซง่ึ c เปน็ ค่าคงตวั แล้ว

lim f (x) = c สาหรบั ทกุ a ในโดเมนของ f
สาหรบั ทุกคา่ ของ x ในโดเมนของ f แลว้
xa

ทฤษฎีที่ 2.2 ถา้ f(x) = x

lim f (x) = a สาหรับทกุ a ในโดเมนของ f
xa

ทฤษฎีท่ี 2.3 ถ้า f(x) = bx + c สาหรับทกุ ค่าของ x ในโดเมนของ f ซง่ึ

b และ c เปน็ ค่าคงตวั แล้ว

limf (x) = b(a) + c สาหรับทุก a ในโดเมนของ f

xa

ทฤษฎีท่ี 2.4 ถ้า f และ g เปน็ ฟงั กช์ นั ซ่ึงมี limf (x) = L และ limg(x) = M แล้ว
xa xa

2. 4.1) lim[f (x)  g(x)] = limf (x) + limg(x) = L + M
xa xa xa

2. 4.2) limf (x) g(x) = limf (x) limg(x) = LM
xa xa xa

2.4.3) lim f (x) = lim f (x)  L เม่อื limg(x)  0 หรอื M  0

xa

xa g(x) lim g(x) M xa

xa

2.4.4) lim cf (x) = c limf (x) = C  L
xa xa

2.4.5) lim n f (x) = n lim f (x) = nL
xa xa

โดย n เปน็ เลขคบี่ วกใด ๆ และ ถ้า n เป็นเลขคู่บวกแลว้ L>0

ทฤษฎีท่ี 2.5 ถา้ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2+ . . . +a2x2 +a1x1 + a0 แล้ว

limf (x) = f(a) สาหรบั ทกุ คา่ a ในโดเมนของ f

xa

ตวั อย่างที่ 2.12 จงหาลมิ ติ ของฟังกช์ นั ต่อไปน้ี

1) lim(3x 2  2x  4) 2) lim(x 2  2x)(3x  4)
x2 x  1

3) 3x3  6 4) lim 4 2x 3  6
lim x5
x4 2x 2  1

วิธที า

1) lim(3x 2  2x  4) = 3 (22) - 2(2) + 4 (โดยทฤษฎีที่ 2.5)
x2
= 12

2) lim(x 2  2x)(3x  4) = lim(x2  2x)  lim(3x  4) (โดยทฤษฎที ่ี 2.4.2)
x  1 x1 x1

= [(-1)2 - 2(-1)][3(-1) - 4] ( โดยทฤษฎีที่ 2.5 )

= -21

หนา้ 26

วชิ า คณิตศาสตร์ทวั่ ไป (491-11-01)

3) lim 3x3  6 = lim(3x3  6) : lim(2x2 1)  0 (โดยทฤษฎีท่ี 2.4.3)
2x2  1
x4 x4

lim(2x2  1) x4
x4

= 3(4)3  6 ( โดยทฤษฎที ี่ 2.5 )
2(4)2  1

=6

4) lim4 2x3  6 = 4 lim(2x 3  6) ( โดยทฤษฎีท่ี 2.4.5 )
x5 x5

= 4 (253  6) ( โดยทฤษฎที ่ี 2.5 )

ตัวอย่างท่ี 2.13 = 4 256
=4

จงหาลมิ ติ ของฟงั ก์ชนั ต่อไปน้ี

1) lim 2x2 18 2) lim x  4  2

x3 x  3 x0 x

วธิ ที า

1) ฟังก์ชนั 2x2 18 อยใู่ นรูป f (x) เมื่อหาลิมติ ของฟังก์ชนั f(x) และ g(x) จะได้

x 3 g(x)

ให้ f(x) = 2x2 –18

จะได้ lim f (x) = lim(2x2 18)
x3 x3

= 2(32) – 18

=0

และ g(x) = x – 3

จะได้ limg(x) = lim(x  3)
x3 x3

= 3–3

=0

ดงั น้ันจะหา 2x2  18 โดยใช้ทฤษฎที ี่ 2.4.3 ไมไ่ ดเ้ พราะ lim g(x) = lim(x  3) = 0
lim
x3 x  3 xa x3

จึงต้องเปล่ยี นรูปแบบของฟงั ก์ชนั ใหม่ ดังน้ี

2x2 18 = 2(x2  9)  2(x  3)(x  3)
x3
x3 x3

 2x2 18  2(x  3) เม่อื x  3
x 3

 2x2 18 = lim 2(x2  9)
lim
x3 x  3 x3 (x  3)

= lim 2(x  3)(x  3)

x3 (x  3)

= lim 2(x  3) เมื่อ x  3
x3

หนา้ 27

วชิ า คณิตศาสตร์ทัว่ ไป (491-11-01)

= 2 lim (x  3) โดยทฤษฎที ี่ 2.4.4
x3 โดยทฤษฎีที่ 2.5

= 2(3+3)
= 12

2) ฟงั ก์ชนั อยู่ในรปู f (x) และจะหา lim x  4  2 โดยใชท้ ฤษฎีท่ี 2.4.3 ไม่ได้เชน่ เดียวกบั
g(x) x0 x

ตวั อย่าง 2.1.3 (1) เพราะ lim g(x) = lim 0 = 0
xa x0

จึงตอ้ งเปลี่ยนรูปแบบของฟังก์ชนั ใหม่ ดังนี้

lim x  4  2 = lim ( x  4  2)  ( x 4  2)
x0 x x0 x ( x 4  2)

 lim x  4  2 = lim ( x  4 )2  (2)2

x0 x x0 x( x  4  2)

= lim x  4  4

x0 x( x  4  2)

= lim x เม่ือ x  0

x0 x( x  4  2)

= lim 1

x0 x  4  2

=1

04 2

=1

42

= 1 1

22 4

= 0.25

ตวั อย่างที่ 2.14 จงหาลิมิตของฟังกช์ นั ต่อไปนี้ เมอ่ื กาหนดให้ x มีค่าเขา้ ใกล้ 5

(ก) f(x) x+20 เมอื่ x  5 (ข) g(x) x+5 เมื่อ x  5
x2 เมอื่ x > 5 x2 เม่ือ x > 5
= =

วธิ ที า

(ก) เนือ่ งจาก ฟังกช์ นั f(x) มีคา่ 2 ค่า โดยข้นึ อยู่กบั คา่ โดเมน x เมื่อ x  5 และ x > 5

ดงั น้ัน การหาค่าลมิ ติ ของฟังก์ชันเม่ือกาหนดให้ x มคี า่ เข้าใกล้ 5 จงึ ตอ้ งคานวณหา lim f (x)
x5

โดยพิจารณาค่า lim f (x) และ lim f (x) เปรียบเทียบกนั ดังนี้
x5 x5

หน้า 28

วชิ า คณิตศาสตรท์ ่วั ไป (491-11-01)

เพราะว่า lim f (x) = lim(x  20)
x5
x5
= 5+20
= 25

และ lim f (x) = lim x2
x5 x5

= 52

= 25

เพราะว่า lim f (x) = lim f (x) = 25

x5 x5

 lim f (x) = 25
x5

(ข) เน่ืองจาก ฟังกช์ นั g(x) มคี า่ 2 คา่ โดยขนึ้ อยู่กบั ค่าโดเมน x เมือ่ x  5 และ x > 5

ดังนัน้ การหาค่าลมิ ิตของฟังก์ชนั เม่ือกาหนดให้ x มีค่าเข้าใกล้ 5 จึงตอ้ งคานวณหา lim g(x)
x5

โดยพิจารณาค่า lim g(x) และ lim g(x) เปรยี บเทียบกนั ดังนี้
x5 x5

เพราะวา่ lim g(x) = lim(x  5)
x5 x5

= 5+5

= 10

และ lim g(x) = lim x2
x5 x5

= 52

= 25

เพราะวา่ lim g(x)  lim g(x)
x5 x5

 lim g(x) หาคา่ ไมไ่ ด้ หรือ ไมม่ ีค่า น่ันเอง
x5

แบบฝกึ หดั ท่ี 2.2

จงหาลิมติ ของฟังกช์ ันตอ่ ไปนี้ หรอื แสดงวา่ ฟงั ก์ชนั ไมม่ ีลมิ ิต

1) lim (x2+5x-4) 2) lim (x3 - 2x2 + 4x)
x3 x5

3) lim (1  x3 ) x  5 4) lim  x2  25x  6
3
x0  2  x1

5) lim ( 3x2 1  5) 6) lim ( 3x2 1  5)
x4 x4

7) lim 5x3  2x2 8) lim x2 10x  25

x0 x 2 x5 x  5

9) lim x2  x  2 10) lim x3  8

x2 x  2 x2 x  2

หนา้ 29

วชิ า คณิตศาสตร์ทั่วไป (491-11-01)

11) lim x3  27 12) lim x  3  3

x3 x  3 x0 x

13) lim x  2  2 14) lim 2  4  t

x0 x t0 t

17) lim f(x) เมอ่ื กาหนดให้ 18) lim g(x) เม่ือกาหนดให้
x0 x0
1 เม่ือ x < 0 1 เม่อื x < 0
f(x) x +1 เมือ่ x  0 g(x) x-1 เมอ่ื x  0

19) lim g(x) เมอื่ กาหนดให้ 20) lim f(x) เมอ่ื กาหนดให้
x2 x4
x2 - 2 เมือ่ 0  x < 2 x2 - 2 เมื่อ 0  x < 2

g(x) 2x + 1 เม่อื 2  x < 4 f(x) 2x + 1 เมื่อ 2  x < 4

x + 5 เมอ่ื x  4 x + 5 เมื่อ x  4

2.3 ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน
พจิ ารณากราฟของฟงั ก์ชันต่อไปนี้

ก) f (x)  1 x ; x0
x 1 ; x0

Y

y=1-x 3 y =x-1
-3 -2 2
1 X
1234
-1 0
-1

จะพบว่ากราฟของฟังก์ชัน f ท่ี x  0 มี 2 ช่วง ดังน้ี

เมื่อ x < 0 คอื y = 1– x และ เม่อื x > 0 คอื y = x –1

และจะได้ว่า

lim f(x) = lim 1– x และ lim f(x) = lim x –1
x0 x0 x0
x0
= 1–0
= 0–1

= 1 = -1

จะเหน็ ไดว้ า่ lim f(x)  lim f(x) แสดงว่า lim f(x) ไม่มีคา่
x0 x0 x0

และในที่นี้หาคา่ ของ f(0) กไ็ มไ่ ด้เช่นกัน เพราะวา่ 0 = 0 ผลหาร จงึ ไม่มคี ่า

หนา้ 30

วชิ า คณิตศาสตร์ทวั่ ไป (491-11-01)

พิจารณากราฟ y = f(x) พบว่าขาดตอนที่ x = 0 จึงกล่าวว่าฟังกช์ นั f ไม่ต่อเนอ่ื งที่ x = 0

ข) f(x) = (x2  4) เมอ่ื x  2
x  2 Y

f(x) =y (x2  4)

= xx +22

6 f(x) = (x  2)(x  2)
4
2 x  2

246 f(x) = x + 2 ; x  2
-2 4 4
X

จะพบว่ากราฟของฟังก์ชนั f ที่ x  0 มี 2 ช่วง ดงั นี้

เมอื่ x < 2 คือ y = x+2 และ เมอื่ x > 2 คอื y = x+2

lim f(x) = lim x + 2 lim f(x) = lim x + 2
x2 x2 x2 x2

= 2+2 = 2+2

=4 =4

lim f2(x) = lim f2(x) =4 แสดงว่า lim f2(x) = 4
x2
x2 x2

แตห่ าค่า f(2) ไม่ได้ เพราะวา่ x-2 = 0 ผลหาร จงึ ไม่มีค่า

พจิ ารณากราฟ y = f(x) พบวา่ ขาดตอนที่ x = 2 จงึ กลา่ ววา่ ฟงั ก์ชนั f ไม่ตอ่ เน่อื งท่ี x = 2

ค) f (x)  x  2 ; x  2
 2 ; x  2


Y y=x+2
X
6
4
2 (2 ,2)

-1 2 4 6

กราฟของฟังกช์ ัน f ท่ี x  2 คอื กราฟของเส้นตรง y = x+ 2 ซงึ่ ขาดตอนท่ี x = 2

จากกราฟจะไดว้ า่ lim f (x) = lim f (x) = 4 หรือ lim f (x) = 4 นั่นเอง
x2 x2 x2

นอกจากนี้ เม่ือ x = 2 จะหาคา่ f (2) ได้ f (2) = 2 แต่มคี ่าไม่เทา่ กับ lim f (x) = 4
x2

หน้า 31

วชิ า คณติ ศาสตรท์ ว่ั ไป (491-11-01)

พิจารณากราฟ y = f (x) พบว่าขาดตอนที่ x = 2 กลา่ วไดว้ ่า ฟังก์ชัน f ไมต่ ่อเนือ่ งที่ x = 2

ง) f(x) x + 2 เมอ่ื x  2
4 เมื่อ x = 2
=
Y
y=x+2
6
4 (2,4)
2

x

-1 2 4 6

จากกราฟจะได้ว่า f(2) = 4 , lim f(x) = 4 และ lim f(x) = f(2) = 4
x2 x2

พิจารณากราฟ y = f(x) พบวา่ ต่อเนื่องกันตลอดไม่ขาดตอน

กลา่ วไดว้ ่า ฟังก์ชัน f มคี วามต่อเนอ่ื งที่ x = 2

เปรยี บเทยี บกราฟของฟังกช์ ัน f ในขอ้ (ก) (ข) (ค) และ (ง) จะได้วา่

(ก) กราฟของฟังก์ชัน f ไม่ตอ่ เนื่องทีจ่ ุด x = 0 และ f(0) หาคา่ ไมไ่ ด้ พร้อมทง้ั
lim f(x) กห็ าค่าไม่ไดเ้ ชน่ กนั

x0

(ข) กราฟของฟังกช์ ัน f ไมต่ ่อเน่ืองท่จี ุด x = 2 โดยท่หี าค่าของ lim f(x) ได้
x2
แตห่ าคา่ ของ f(2) ไม่ได้

(ค) กราฟของฟังก์ชัน f ไม่ต่อเนื่องที่จุด x = 2 โดยท่หี าค่าของ lim f (x) ได้
x2
และหาคา่ ของ f (2) ได้ แตค่ ่าของ lim f (x)  f (2)
x2

(ง) กราฟของฟังก์ชนั f เปน็ กราฟทตี่ ่อเนื่องที่จุด x = 2 โดยที่หาคา่ ของ
lim f(x) ไดเ้ ท่ากับค่าของ f(2)

x2

ดงั นั้นจึงสรุปไดว้ า่ ฟงั ก์ชนั f(x) มคี วามต่อเนือ่ งท่ี x = a
ในโดเมนของ f กต็ ่อเม่ือเง่ือนไขต่อไปนเี้ ป็นจรงิ ท้งั 3 ประการ คือ

1. หาค่า f(a) ได้

2. หาคา่ lim f(x) ได้
xa

3. lim f(x) = f(a)
xa

หนา้ 32

วิชา คณิตศาสตร์ท่ัวไป (491-11-01)

ถ้าเง่ือนไขข้อใดข้อหน่ึงขาดไป เราจะกลา่ วว่า f ไม่ต่อเนื่องท่ี x = a

ตัวอยา่ งท่ี 2.15 กาหนดฟงั ก์ชนั ให้ดังต่อไปน้ี

x2 เม่ือ x > 5

ก) f(x) x+20 เมื่อ x  5

=

ข) x2 เมอ่ื x > 5

จงห=าวา่ g(x) และ x+5 เมื่อ x  5 หรอื ไม่
g ตอ่ เนื่องทจ่ี ุด x= 5
ฟังกช์ ัน f

วธิ ที า

ก) f(x) x2 เมื่อ x > 5

= x + 20 เมื่อ x  5

ข้ันที่1 : หาค่าฟงั ก์ชนั f(x) ที่ x = 5

จาก f(x) = x + 20

f(5) = 5 + 20

= 25 (หาค่าได้)

ขนั้ ที่ 2 : หา limf (x) โดยพจิ ารณา lim f (x) และ lim f (x)
x5 x5 x5

จาก lim f (x)  lim x  20
x 5 x 5

= 5+20

= 25

lim f (x)  lim x2
x 5 x 5

 52

 25

เพราะว่า lim f (x)  lim f (x)  25
x5 x5

 limf (x)  25 (หาค่าได้)
x5

ขั้นที่ 3 : ดงั นน้ั limf (x) = f(5) = 25
x5

จึงสรุปไดว้ ่า ฟงั กช์ ัน f มคี วามต่อเนื่องที่ x = 5

ก) g(x) x2 เมื่อ x  5
x +5 เมือ่ x  5
=

ขน้ั ท่ี 1 หาค่าฟังกช์ นั g(x) ที่ x = 5 = x+5
จาก g(x) = 5+5
g(5) = 10

(หาคา่ ได้)
หนา้ 33

วิชา คณติ ศาสตรท์ ว่ั ไป (491-11-01)

ข้นั ท่ี 2 หา lim g(x) โดยพจิ ารณา lim g(x) และ lim g(x)
x5 x5 x5

จาก lim g(x) = lim (x  5)
x5 x5

= 5+5

= 10

และ lim g(x) = lim x2
x5 x5

= 52

= 25

เพราะว่า lim g(x)  lim g(x)
x5 x5

ดังนน้ั lim g(x) ไม่มีคา่ (หาคา่ ไม่ได)้
x5

จงึ สรุปได้ว่า ฟงั ก์ชนั g ไม่มคี วามต่อเนื่องท่ี x = 5

ตวั อย่างท่ี 2.16 x2 - 2 เมื่อ 0  x < 2

กำหนดใหf้ (x) = 2x + 1 เม่อื 2  x < 4

x + 5 เมือ่ x  4

จงพิจารณาวา่ f(x) มคี วามตอ่ เนื่องท่จี ดุ x = 2 และ x = 4 หรือไม่

วธิ ที า พจิ ารณาท่ี x = 2

ข้นั ที่ 1 : หาค่าฟังก์ชนั f(x) ที่ x = 2

จาก f(x) = 2x + 1

f(2) = 2(2) + 1 = 5

ข้ันที่ 2 : หา lim f (x) โดยพิจารณา lim f (x) และ lim f (x)
x2 x2 x2

จาก lim f (x) = lim (x2  2)
x2 x2

= (2)2 – 2 = 2

และ lim f (x) = lim(2x 1)
x2 x2

= 2(2) + 1 = 5

เพราะว่า lim f (x)  lim f (x)
x2 x2

ดังน้นั lim f (x) ไม่มคี ่า (หาคา่ ไม่ได)้
x2

จึงสรปุ ได้ว่า ฟังก์ชัน f ไม่มคี วามต่อเน่อื งท่ี x = 2

พิจารณาที่ x = 4

ข้นั ท่ี1 : หาค่าฟงั ก์ชัน f(x) ที่ x = 4

จาก f(x) = x + 5

f(4) = 4 + 5 = 9 (หาคา่ ได้)

หนา้ 34

วิชา คณิตศาสตร์ทวั่ ไป (491-11-01)

ขั้นท่ี 2 : หา lim f (x) โดยพจิ ารณา lim f (x) และ lim f (x)
x4 x4 x4

จาก lim f (x) = lim 2x 1
x4 x4

= 2(4) + 1 = 9

และ lim f (x) = lim x  5
x4 x4

= 4+5 = 9

เพราะว่า lim f (x) = lim f (x) = 9
x4 x4

 lim f (x) = 9 (หาคา่ ได้)
x4

ขนั้ ท่ี 3 : ดังน้นั lim f (x) = f(4) = 9
x4
จึงสรุปได้ว่า ฟังกช์ นั f มคี วามตอ่ เน่ืองที่ x = 4

แบบฝกึ หดั ที่ 2.3
1) จงพิจารณาว่าฟงั กช์ นั ที่กาหนดให้ตอ่ ไปน้ี มคี วามต่อเน่ืองท่ีจุด x = a หรือไมเ่ พราะเหตุใด

1.1) f(x) = 2x2-4 เม่ือ a = 2

1.2) f(x) = (2x2 8) เม่ือ a = 2

x2

1.3) f(x) = x2 ; x <1 เมือ่ a = 1
x+1 ; x 1

1.4) f(x) = x+2 ; x 2 เมื่อ a = 2
x2 ; x >2

2) จงกาหนดค่าของ f (0) ที่ทาใหฟ้ ังกช์ นั f มีความตอ่ เน่ืองท่ี x = 0 เมอื่

2.1) f(x) = x2  5x  24 2.2) f(x) = 6x2 11x  4

x8 2x 1

3) จงหาค่า x ท่ที าให้ฟงั ก์ชันต่อไปนี้ไม่มีความต่อเน่ือง พร้อมทัง้ บอกเหตุผล

3.1) f(x) = x2  2x 8 3.2) f (x)  9  x

x2 16 x3

หนา้ 35

วชิ า คณติ ศาสตรท์ ั่วไป (491-11-01)

ทบทวนความจาเกยี่ วกับการกระจายและการแจกแจง

1. ( น + ล )2 = ( น2 + 2นล + ล2 ) 2. ( น – ล )2 = ( น2 – 2นล + ล2 )
3. ( น + ล )3 = ( น3 + 3น2ล + 3นล2 + ล2 ) 4. ( น - ล )3 = ( น3 – 3น2ล + 3นล2 – ล2 )
5. น2 – ล 2 = ( น – ล )( น+ล ) 6. น3 – ล3 = ( น – ล )( น2+ นล + ล2)

หนา้ 36

วิชา คณติ ศาสตรท์ ่ัวไป (491-11-01)

หน่วยที่ 3
ลำดับและอนุกรม

3.1 ลำดบั
พิจารณาความสัมพนั ธร์ ะหว่างจานวน 2 จานวน ดังน้ี
(1) บรษิ ัทแหง่ หนงึ่ ทาธุรกิจร้านสะดวกซ้ือโดยเดอื นแรกเปิดรา้ นสะดวกซื้อได้ 20 สาขา เดือน

ถดั ไปเปิดเพิม่ ขึน้ เดือนละ 5 สาขา ทกุ เดือนเปน็ เวลา 1 ปี เขียนตารางแสดงความสัมพนั ธ์ระหวา่ งเดือนท่ี
ดาเนินการ กับ จานวนสาขาท่เี ปดิ ไดด้ ังน้ี

เดอื นที่ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
จานวนสาขา 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

หรอื อาจเขียนความสมั พนั ธด์ ังกลา่ วในรปู ของเซตแบบแจกแจงสมาชกิ ได้ดังน้ี
{(1,20),(2,25),(3,30),(4,35),(5,40),(6,45),(7,50),(8,55),(9,60),(10,65),(11,70),(12,75)}
จะเหน็ ได้วา่ ความสัมพนั ธ์นี้เป็นฟังกช์ ัน ซง่ึ มโี ดเมนเปน็ { 1 , 2 , 3 , … , 12 } และมเี รนจเ์ ป็น

{20,25,30,…,75}
(2) แบคทเี รยี ขยายพนั ธโ์ ดยการแบ่งตัวจากหนึ่งตวั เปน็ สองตัวทกุ ๆ นาทไี ปเร่ือยๆ ถา้ ในนาทที ่ี 1

มแี บคทเี รยี จานวน 1 ตวั เขียนตารางแสดงความสมั พนั ธ์ระหว่างเวลาเปน็ นาทกี นั จานวนแบคทีเรยี ได้
ดงั นี้

นาทีที่ 1 2 3 4 5 …
จานวนแบคทีเรยี 1 2 4 8 16 …

หรืออาจเขียนความสัมพนั ธด์ ังกล่าวในรูปของเซตแบบแจกแจงสมาชกิ ได้ดังนี้
{(1,1),(2,2),(3,4),(4,8),(5,16),…}

จะเหน็ ได้ว่าความสมั พันธน์ ี้เป็นฟังก์ชัน ซึง่ มีโดเมนเป็น { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , …} และมเี รนจ์เปน็
{1,2,4,8,16,…}

ฟังกช์ นั ท้งั สองข้างต้น เปน็ ฟงั ก์ชันทม่ี โี ดเมนเปน็ เซตของจานวนเต็มบวกซ่งึ เรียกฟังกช์ ันลกั ษณะน้ี
ว่า “ ลำดับ ”

ในกรณที ี่ฟังก์ชนั มีโดเมนเป็น {1 , 2 , 3 , … , 12 } เรยี กวา่ ลำดับจำกัด และกรณีทฟี่ ังก์ชันมี
โดเมนเปน็ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , … } เรยี กว่า ลำดบั อนันต์ ดงั นั้นฟงั ก์ชนั ในข้อ (1) จงึ เป็นลาดับจากดั
และฟังก์ชนั ในข้อ (2) เป็นลาดับอนนั ต์

หนา้ 37

วชิ า คณติ ศาสตร์ทั่วไป (491-11-01)

3.1.1 นยิ ำมของลำดับ

นยิ าม 3.1 ลำดบั คือ ฟังก์ชันทีม่ โี ดเมนเป็นเซตของจำนวนเตม็ บวก n ตัวแรก หรอื
โดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก

ลาดบั ทมี่ ีโดเมนเป็นเซตของจานวนเตม็ บวก n ตวั เรยี กว่า ลำดบั จำกดั

ลาดบั ทม่ี ีโดเมนเป็นเซตของจานวนเตม็ บวก เรียกว่า ลำดบั อนนั ต์

ถา้ a เป็นลาดบั การเขยี นลาดบั a จะเขยี นเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรียงกันไปตามกลา่ วคือ
ถ้า a เป็นลาดบั จากดั จะเขียนแทนด้วย a(1) , a(2) , a(3) , … , a(n)

หรอื นิยมแทนด้วย a1 , a2 , a3 , … , an
ถา้ a เป็นลาดบั อนนั ต์ จะเขียนแทนด้วย a(1) , a(2) , a(3) , …

หรอื นิยมเแทนด้วย a1 , a2 , a3 , … , an , …
เรียก a1 วา่ พจน์ท่ีหนึง่ ของลาดับ
เรยี ก a2 วา่ พจน์ทสี่ องของลาดับ
เรยี ก a3 วา่ พจน์ทีส่ ามของลาดับ
………………………………

………………………………
………………………………

เรยี ก an วา่ พจนท์ ่ี n หรือ พจนท์ ว่ั ไปของลำดับ
ดงั นน้ั จงึ เขียนลาดับในสองกรณีขา้ งต้น ไดด้ งั นี้

(1) ลาดับของจานวนสาขาท่เี ปิดบรกิ าร คอื 20 , 25 , 30 , … , 75 เปน็ ลาดับจากัด

(2) ลาดับของจานวนแบคทเี รีย คือ 1 , 2 , 4 , … , 2n , … เป็นลาดบั อนันต์

2

อนึ่ง การเขียนลาดบั อาจเขียนเฉพาะพจน์ทวั่ ไปพร้อมท้ังระบสุ มาชิกโดเมน ดังน้ี

(1) ลาดับของจานวนสาขาท่เี ปดิ บรกิ ารคือ an = 5n + 15 เมื่อ n = 1 , 2 , 3 , … ,12

(2) ลาดบั ของจานวนแบคทเี รยี คือ a  2n เม่อื n = 1 , 2 , 3 , …
n2
ในกรณที ี่กาหนดลาดับโดยพจนท์ ัว่ ไป แตไ่ ม่ได้ระบสุ มาชกิ ในโดเมนไว้ใหถ้ ือว่าลาดับนนั้ เป็น

ลาดับอนนั ต์

ตัวอยำ่ ง 3.1 จงพิจารณาว่าจานวนตอ่ ไปนี้ เป็นลาดับจากัดหรอื ลาดับอนนั ต์

(1) 2 , 4 , 6 , 8 , ... ,16 ลาดบั จากดั
(2) 1 , 4 , 9 , 16 , ... , n2 , … ลาดับอนันต์
(3) - 6 ,- 5 ,- 4 ,- 3 ,- 2 ,- 1 ลาดบั จากัด
(4) an = 3n + 2 ; n = 1 , 2 , 3 , … , 50 ลาดบั จากัด

(5) an = (1)n (2  1 ) ลาดบั อนันต์

n

หน้า 38

วิชา คณติ ศาสตรท์ ่วั ไป (491-11-01)

ตวั อย่ำง 3.2 จงเขียนส่พี จน์แรก และ พจน์ที่10 ของลาดับ ต่อไปน้ี

วธิ ีทำ (1) (1) an = 2n2 (2) an = (1)n ( 3n )

จาก พจน์ทัว่ ไป คือ n 1
จะได้ พจน์ที่ 1 คือ an  2n2

พจนท์ ่ี 2 คอื a1  2(1)2  2
พจนท์ ่ี 3 คอื a2  2(2)2  8
พจนท์ ี่ 4 คือ a3  2(3)2  18
a4  2(4)2  32

และ พจน์ท่ี 10 คอื a10  2(10)2  200

ดังนั้น ลาดับน้ี คือ 2 , 8 , 18 , 32 , ... , 2n2 , … และ พจนท์ ่ี 10 มคี ่าเท่ากบั 200

(2) จาก พจนท์ ั่วไป คอื a  (1)n ( 3n )
n n 1

จะได้ พจนท์ ่ี 1 คอื a  (1)1(3(1) )   3
1 11 2

พจน์ที่ 2 คือ a  (1)2 ( 3(2) )  2
2 21

พจน์ที่ 3 คอื a  (1)3 ( 3(3) )   9
3 31 4

พจน์ท่ี 4 คอื a  (1)4 (3(4) )  12
4 41 5

และ พจนท์ ี่ 10 คอื a  (1)10 ( 3(10) )  30
10 10  1 11

ดงั น้ัน ลาดับน้ี คอื  3 , 2 ,  9 , 12 , ... , (1)n ( 3n ) , ...
2 12 5 n 1

และ มพี จนท์ ่ี 10 เท่ากับ 30
11

จากตัวอยา่ ง 3.2 จะเห็นได้วา่ ถ้าลาดับมีพจน์ทั่วไป คอื an  2n2 แล้ว จะมี 4 พจน์แรกเป็น

2 , 8 , 18 , 32 อย่างไรก็ตาม ถา้ ลาดบั มีพจนต์ ้นจานวน 4 พจน์แรกเป็น 2 , 8 , 18 , 32 แล้ว ไม่

จาเปน็ ตอ้ งมีพจน์ท่ัวไป คอื an  2n2 เทา่ นนั้ ทง้ั น้ี เพราะอาจจะมีลาดบั อ่นื ๆ ท่ีมพี จน์ต้น ๆ เหมือนกบั
ลาดบั an  2n2 ได้ เชน่

(1) ลาดบั an  2n2 เขยี นแจกแจงพจนไ์ ด้ ดงั นี้

2 , 8 , 18 , 32 , 64 , 128 , ... , 2n2,...

(2) ลาดบั an  2n2  (n 1)(n  2)(n 3)(n  4) เขยี นแจกแจงพจน์ได้ ดงั น้ี
2 , 8 , 18 , 32 , 74 , 192 , ... , 2n2  (n 1)(n  2)(n  3)(n  4),...

หน้า 39

วชิ า คณิตศาสตรท์ ่ัวไป (491-11-01)

(3) ลาดบั an  2n2  n(n 1)(n  2)(n 3)(n  4) เขยี นแจกแจงพจนไ์ ด้ ดังน้ี
2 , 8 , 18 , 32 , 170 , 792 , ... , 2n2  n(n 1)(n  2)(n  3)(n  4),...

จะเหน็ ไดว้ า่ ลาดับทัง้ สามข้างต้นแตกตา่ งกัน แต่มี 4 พจนแ์ รกเหมือนกัน ดงั นั้น ในการเขยี น

ลาดบั จงึ ไมค่ วรเขยี นเฉพาะพจน์ต้น ๆ เท่านน้ั ควรเขยี นพจน์ทวั่ ไป หรอื anเอา ไวด้ ว้ ย

3.1.2 ลำดบั เลขคณิต (Arithemetic Sequence or Arithemetic Progression)

นยิ ำม 3.2 ลาดับเลขคณติ คอื ลาดบั ทผี่ ลตา่ งซง่ึ ได้จากพจนท์ ี่ n + 1 ลบด้วยพจน์ที่ n มคี า่ คงตัว
คา่ คงตวั นี้ เรียกว่า ผลต่างร่วม (common difference)

จากนยิ ามของลาดบั เลขคณิต ถา้ ให้ d เป็นผลตา่ งรว่ มจะได้ d  an1  an หรือ

an1  an  d เม่ือ n 

ตัวอย่างลาดับเลขคณิต เชน่

(1) 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , ... , 2n , … มผี ลตา่ งรว่ มเทา่ กบั 2

(2) 6 , 3 , 0 ,- 3 ,- 6 , ... , -3n + 9 , ... มผี ลตา่ งร่วมเท่ากับ – 3

(3) 1 , 115,125,135,145,..,.n54,... มีผลต่างรว่ มเท่ากบั 1
5

ถ้ากาหนดให้ a1 เปน็ พจน์แรก และ d เปน็ ผลตา่ งร่วมแลว้ จะเขียนพจนใ์ ดๆของลาดับเลข

คณติ ในรปู ของ a1 และ d ได้ ดงั น้ี

พจนท์ ่ี 1 ของลาดบั คือ a1

พจน์ที่ 2 ของลาดับ คือ a2  a1  d

พจนท์ ี่ 3 ของลาดับ คือ a3  a2  d  (a1  d)  d  a1  2d

พจนท์ ่ี 4 ของลาดับ คอื a4  a3  d  (a1  2d)  d  a1  3d

…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………

พจนท์ ่ี n ของลาดบั คือ an  an1  d  a1  (n 1)d

ดังน้ัน เมอื่ กาหนดให้พจน์แรกของลาดับเลขคณติ คอื a1 และผลตา่ งร่วม คือ d
พจน์ที่ n หรอื พจน์ท่วั ไปของลาดบั เลขคณิตนี้ คือ

an  a1  (n 1) d

หนา้ 40

วชิ า คณติ ศาสตร์ทัว่ ไป (491-11-01)

ตัวอย่ำง 3.3 จงหาสี่พจน์ถัดไป ของลาดบั เลขคณติ ต่อไปน้ี 10 , 6 , 2 ,- 2 , ...
วิธีทำ

พจน์ที่ 4 ของลาดบั คอื a4  2 และ ลาดับมีผลต่างร่วม d = 6 – 10 = - 4
ดงั น้นั สพี่ จน์ถดั ไปจากท่ีกาหนด คือ a5,a6,a7 และ a8 มีคา่ ดังนี้

a5  a4  d  2  (4)  6

a6  a5  d  6  (4)  10

a7  a6  d  10  (4)  14

a8  a7  d  14  (4)  18

 สี่พจนถ์ ดั ไปของลาดบั เลขคณติ น้ี คือ – 6, - 10 ,- 14 และ - 18

ตวั อยำ่ ง 3.4 จงหาพจน์ทวั่ ไป และพจน์ที่50 ของลาดับเลขคณติ –8 , -3 , 2 , 7 , …
วธิ ที ำ

ลาดบั เลขคณิตท่ีกาหนดนมี้ ีพจน์แรก a1 = -8 และ มีผลต่างร่วม d = -3 – (-8) = 5
จาก พจน์ทั่วไปของลาดบั เลขคณิต คอื an  a1  (n 1)d
ดงั น้นั พจน์ทวั่ ไปของลาดับเลขคณิตท่ีกาหนดให้นี้ คือ

an   8  (n 1) (5)
an   8  5n  5
an  5n 13

และสามารถหาพจน์ท่ี 50 โดยการแทนคา่ n = 50 ได้ ดงั น้ี

a50  5(50) 13

= 237
นัน่ คอื ลาดบั เลขคณติ –8 , -3 , 2 , 7 , … มีพจนท์ ่ัวไปคือ a  5n 13 และ มพี จนท์ ่ี 50 เทา่ กบั 237

n

ถ้าในตวั อย่าง 3.4โจทย์ใหห้ าเฉพาะพจน์ที่ 50 ของลาดบั เลขคณิตเท่านั้นสามารถหาค่าพจน์
ที่ 50 ได้จากพจน์ท่ัวไปของลาดบั เลขคณิตใดๆ ไดโ้ ดยตรง ดังน้ี

จาก an  a1  (n 1)d
แทนค่า a1  r,d  5 และ n = 50 จะได้

a50  8  (50 1)(5)

 8  (49)(5)

 237

ซงึ่ ได้คาตอบเทา่ กนั กบั การแทนคา่ n = 50 ในพจน์ทวั่ ไปของลาดบั เลขคณิตตามตวั อยา่ ง 3.4
ตัวอย่ำง 3.5 -181 เปน็ พจน์ท่เี ทา่ ใดของลาดับเลขคณติ -6 , -11 , -16 , ...
วิธที ำ

ลาดับเลขคณิตน้มี ี a1  6 , d  11 (6)  5
ถา้ ให้ -181 เปน็ พจนท์ ่ี n แสดงวา่ an  181 และ หาคา่ n ได้ดังน้ี

หน้า 41

วชิ า คณิตศาสตร์ทว่ั ไป (491-11-01)

จาก an  a1  (n 1)d
จะได้ 181   6  (n 1)(5)

181   6  5 n  5

5n = 180
n = 36

ดังนั้น -181 เป็นพจน์ที่ 36 ของลาดบั เลขคณิต –6 , -11 , -16 , ...

ตัวอย่ำง 3.6 ถา้ 9 , p , q , r , 37 เป็น 5 พจนท์ ่เี รยี งกันในลาดบั เลขคณิต จงหาค่า p , q และ r

วธิ ที ำ จาก an1  an  d

ดังนัน้ p  9  d

q  p  d  (9  d)  d  9  2d

r  q  d  (9  2d)  d  9  3d

และ 37  r  d  (9  3d)  d  9  4d
จะได้
d =7

 p  9  7  16

ตวั อย่ำง 3.7 จงหาพจนท์ ว่ั ไปของลาดับเลขคณติ ซึ่งมีพจน์ที่ 5 คือ -6 และพจนท์ ี่ 18 คือ 33

วิธที ำ

จากพจน์ท่ัวไปของลาดบั เลขคณิตคือ a  a  (n 1)d .................
n1

ลาดบั เลขคณติ มีพจน์ท่ี 5 คอื -6 แสดงวา่ ถ้า n = 5 แล้ว an  6

จะได้  6  a  (5 1)d1

 6  a  4d1 ................

และลาดบั เลขคณติ นม้ี ีพจน์ท่ี 18 คือ 33 แสดงวา่ ถ้า n =18 แลว้ an  33
จะได้ 33  a  (18 1)d

1

33  a  17d ................
1
-; 39 = 13d

d =3

แทนค่า d = 3 ลงใน ;  6  a  4(3)
1
แทนค่า a1 = -18 และ d = 3 ลงใน  a1 = -18

จะได้ a  18  (n 1)(3)
n

 18  3n  3

= 3n - 21

ดงั น้ัน พจน์ทัว่ ไปของลาดบั เลขคณิตนี้ คอื an = 3n - 21

หน้า 42