คณิตศาสตร์ทั่วไป

วชิ า คณติ ศาสตร์ทั่วไป (491-11-01)

บทนิยาม 6.12 ให้ A เปน็ nn เมตริกซ์ ถ้ำ B เป็น nn เมตรกิ ซ์ที่มสี มบัติว่ำ
AB = BA = In แลว้ จะเรียก B ว่ำเปน็ ตวั ผกผนั กำรคูณของ A และเขียนแทน
B ด้วย A-1 และ อำจเรยี กตัวผกผันกำรคูณสน้ั ๆว่ำ ตวั ผกผนั กไ็ ด้

อน่งึ ตามบทนยิ ามน้ี 0 ยอ่ มไมม่ ีตัวผกผนั การคณู เพราะว่า A0 = 0A = 0 อยา่ งไรกต็ าม
อาจมีหลายๆ เมตริกซท์ ี่ไม่ใช่ 0 แต่ก็ไมม่ ีตัวผกผันแต่อย่างใด ดังตวั อย่าง 19

ตวั อยา่ ง 6.21 กาหนดให้ A = 0 0 จงแสดงว่าเมตริกซ์ A ไม่มตี วั ผกผนั
2 5

วธิ ที า ให้ B = [bij] 22

= b11 b12 
b21 b 
22 

 AB = 0 0  b11 b12 
5  
2  b21 b22 

= 0 0
2b11  5b21 
2b12  5b 22 

เน่ืองจากสมาชกิ ในแถวท่ี 1 ของ AB มคี า่ เท่ากับ 0 จึงไม่มี [bij] 22 ใดๆ ท่ีจะทาให้

AB = 1 0 = I2 = BA
0 1

ดงั น้นั เมตรกิ ซ์ A ไม่มีตัวผกผนั

ตัวอยา่ ง 6.22 จงแสดงวา่ เมตรกิ ซ์ B เป็นตัวผกผันของเมตริกซ์ A เมือ่ กาหนดให้

A = 3 2 และ B= 5  2
7 5  7 
3 

วิธีทา

เพราะว่า AB = 3 2 5  2
= 7 5  7 3 

15  14  6  6 
35  35  14  15

= 1 0
0 1

= I2

และ BA = 5  2 3 2
 7 3  7 5

หน้า 143

วิชา คณติ ศาสตร์ท่ัวไป (491-11-01)

=  1514 10 10 
 21 21 14  15

= 1 0
0 1

= I2
ดงั นั้น เมตรกิ ซ์ B เปน็ ตวั ผกผันของเมตริกซ์ A

ตัวอยา่ ง 6.23 จงแสดงว่าเมตรกิ ซ์ B เป็นตวั ผกผนั ของเมตริกซ์ A เมือ่ กาหนดให้

A = 1 3 2 และB = –  1  2  5 1 
0 4 1 9  2 4  1
2 1 0 7 4 
 8

วิธีทา

เพราะวา่ AB = 1 3 2  1 1 2  5 
0 4 1  9  4 1 
2 1 0    2 7 4  
 
 8

= – 1 3 2  1  2  5 1 0 1 
9 4  2  4 1

2 1 0  8 7 4 

= – 1 6 16  2 12 14  5  3  8 1 
9  0  8 8 0 16 7 044 

 2  2  0  4  4  0 10 1 0

= –  9 0 0  1  
9  0 9 0 

 0 0  9

= 1 0 0
0 1 0
0 0 1

= I3

และ BA = – 1 1 2  5  1 3 2
 9  4  1  0 4 1
   2 7 4   2 1 0
 
 8

= – 1 0 10 385 220 
 6 16 1 
1  2  0  2 440 
9
 8  0  8  24  28  4 16  7  0

= –1  9 0 0 
 
9  0 9 0 

 0 0  9

หนา้ 144

วชิ า คณติ ศาสตร์ท่วั ไป (491-11-01)

= 1 0 0
0 1 0
0 0 1

BA = 1 0 0
0 1 0
0 0 1

= I3

เนอ่ื งจาก AB = BA = I ดังนนั้ เมตรกิ ซ์ B เปน็ ตัวผกผนั ของเมตรกิ ซ์ A

6.4.2 การหาตัวผกผนั การคูณของเมตรกิ ซ์

1. การหาตวั ผกผนั การคณู ของเมตริกซท์ ี่มีมติ ิ 22

พิจารณา A = a11 a12  โดยท่ี det(A) = a11 a22 – a12 a21  0
ดังน้ี a 21 
a 22 

ให้ A-1 =  x1 x2  เปน็ ตวั ผกผนั ของ A
เพราะฉะนั้น  
 x 3 x 4 

AA-1 = I

 a11 a12   x1 x2  = 1 0
a 21   0 1
a 22   x 3 x 4  1 0
 0 1

 a11x1  a12x3 a11x2  a12x4  =
a21x1  a 22x3 
a 21x2  a 22x 4 

จากบทนยิ ามของการเทา่ กันของเมตริกซจ์ ะไดว้ ่า

a11x1 + a12x3 = 1 ………………………………
0 ………………………………
a21x1 + a22x3 = 0 ………………………………
1 ………………………………
a11x2 + a12x4 = a22 ………………………………
0 ………………………………
a21x4 + a22x4 =
สมการ  a22 ได้ a11 a22x1 + a12 a22x3= a22
สมการ  a12 ได้ a12 a21x1 + a12 a22x3=
 -  ได้
(a11 a22 - a12 a21)x1=

เพราะวา่ det(A) = a11 a22 – a12 a21  0

 x1 = a 22
det(A)
a12
ในทานองเดยี วกนั จะได้ x2 = det(A)
a 21
x3 = det(A)

หน้า 145

วชิ า คณติ ศาสตร์ท่วั ไป (491-11-01)

และ x4 = a11
ดงั นน้ั det(A)
หรอื A-1
 a 22 a12 
 
A-1 =  det(A) det(A) 

 a21 a11 
 det(A) det(A) 

= 1  a22 a12  
det(A) a21 a11 

จึงสรุปได้ว่า ถ้า A =  a11 a12  และ det(A)  0 แลว้ A จะมีตัวผกผัน คอื
a 21 
a 22 

A-1 = 1  a22 a12 
det(A) a21 
a11 

ตวั อย่าง 6.24 จงหา A-1 (ถ้ามี) เม่ือกาหนดให้ A = 3 2
7 5

วธิ ีทา เพราะวา่ det(A) = (3)(5) – (7)(2) = 1 ซึ่งไม่เท่ากบั 0 แสดงวา่ มี A-1

 A-1 = 1  a22 a12 
 
det(A)  a 21 a11 

= 1  5  2
(1)  7 3 

=  5  2
 7 
3 

และสามารถตรวจสอบผลคูณของ A และ A-1 ท่ีหาได้ ซึ่งได้ว่า AA-1 = A-1A = I กลา่ วคอื

3 2 5 = 2  5  2 3 2 = I ตามตวั อยา่ ง 6.22 ท่ผี า่ นมาแลว้
7 5  7   7  7 5
3  3 

2. การหาตัวผกผนั การคูณของเมตรกิ ซ์ท่ีมีมติ ิ nn n  2 ตวั

โดยท่ัวไปการหาตัวผกผันการคณู ของเมตริกซท์ ่ีมีมติ ิ nn ใดๆ จะไม่ใชว้ ิธเี ดยี วกนั กบั
22 เมตริกซข์ า้ งต้น โดยกอ่ นอื่นจะตอ้ งศึกษาบทนยิ ามของปรมิ าณทเี่ กย่ี วขอ้ งกบั วิธกี ารหา

ผกผนั การคณู ของเมตริกซท์ ่ีมีมิติ nn ใดๆ เมื่อ n  2 ดงั นี้

บทนยิ าม 6.13 ให้ A เปน็ nn เมตริกซ์ เม่ือ n  2 จะมีเมตรกิ ซ์ผูกพนั ของ A (adjoint
matrix)

หนา้ 146

วชิ า คณิตศาสตร์ทั่วไป (491-11-01)

คอื Cij(A)t เขยี นแทน เมตริกซ์ผูกพันของ A ด้วย adj(A)

ตวั อยา่ ง 6.25 กาหนดให้ A   a11 a12  จงหา adj(A)
วธิ ีทา a 21 
a 22 

จาก adj(A) = Cij (A)  t

 C11(A) C12 (A) t
C21 (A) 
C22 (A) 

  M11(A) M12 (A)t
M21(A) 
M22 (A) 

adj(A)   a22 a21 t
a12 
a11 

 adj(A)   a 22 a12 
 a 21 
a11 

สาหรบั เมตรกิ ซ์ที่มมี ติ ิ 22 สามารถนาสมการข้างต้นไปใช้อ้างองิ เพ่ือหาเมตรกิ ซผ์ ูกพันไดอ้ ย่าง
สะดวกรวดเร็ว

ตัวอยา่ ง 6.26 กาหนดให้ A  6  3 จงหา adj(A)
4  7

วิธีทา เน่ืองจาก A เป็น เมตรกิ ซ์ทีม่ มี ิติ 22

 adj(A)   a 22 a12 
 a 21 
a11 

  7  (3)
 4 
6 

ดังนัน้ adj(A)   7 3
 4 6

ตัวอยา่ ง 6.27 กาหนดให้ 1 2 2 จงหา adj(B)
 2 
B   0 4 

 1 3 0 

วธิ ที า จากบทนิยาม adj(B) = Cij (B)t

C11(B) C12 (B) C13(B) t
C21(B) 
 C22 (B) C23 (B) 

C31(B) C32 (B) C33(B)

หน้า 147

วชิ า คณติ ศาสตรท์ ่ัวไป (491-11-01)

 2 4 04 0  2 t
  
 3 0 1 3 
10

adj(B)    2 2 1  2  1 2 
  3 0 10 1 3 
 
 2 2 1  2 1 2 
  
 2 4 0  2 
04

12 4 2t
 2 5
   6

 4 4 2

adj(B) 12  6 4
 2 4
  4

 2 5 2

จากที่เคยสรุปไว้วา่ ถา้ A =  a11 a12  และ det(A)  0 แล้ว A จะมีตัวผกผัน คือ
a 21 
a 22 

A-1 = 1  a22 a12 
det(A) a21 a11 


adjและจาก (A)   a 22 a12 
 a 21 
a11 

ดงั นั้น จะได้ว่า A-1 = 1 adj(A)

det( A)

สมการขา้ งตน้ นี้ นอกจากจะใช้หาคา่ ตวั ผกผันการคูณของเมตริกซ์ท่มี ีมิติ 22 แล้ว ยงั
นาไปใชห้ าคา่ ตวั ผกผันการคูณของเมตริกซท์ ีม่ ีมิติ nn ใดๆ เม่ือ n > 2 ไดด้ ว้ ย

ทฤษฎบี ท 6.1 ให้ A เปน็ nn เมตริกซ์ เมือ่ n  2

A มีตัวผกผนั การคณู ก็ต่อเมอ่ื A เปน็ เมตรกิ ซ์ไมเ่ อกฐาน

และในกรณีท่ี det(A)  0 จะไดว้ า่ A-1 = 1 adj(A)
det(A)

ตวั อย่าง 6.28 จงหา A-1 (ถ้าม)ี เม่ือกาหนดให้ A  2 3
4 1

วธิ ที า เพราะวา่ det(A) = (2)(-1) – (-4)(3) = 10 ซง่ึ ไมเ่ ท่ากับ 0 แสดงวา่ มี A-1

จะไดว้ ่า A-1 = 1 adj(A)

det(A)

หนา้ 148

วิชา คณิตศาสตรท์ ่วั ไป (491-11-01)

= 1  1  3
(10)  4 2 

= 1 3  
 10 10 
 2 1 

5 5

และสามารถตรวจสอบผลคูณของ A และ A-1 ทห่ี าได้วา่ AA-1 = A-1A = I หรอื ไม่ ดงั นี้

 2 1  3 2  2  3   3 1  
 
  10   5   10   5  
AA = = = = I-1 1  3
2 3   1 0
 4  1  10 10   4 1    1 2   4 3    1 1  0 1
 2 1  10  5  10  5
   
5 5

A-1A = =1  3  1 2  3  4  1 3  3  1 = 1 = I
  2 3 10   10  10   10 0 0
   4  1      1
 10 10 
2 1   2 2   1  4  2 3   1 1 
 
5 5 5 5 5 5

ตัวอยา่ ง 6.29 จงหา A-1 (ถา้ มี) เม่ือกาหนดให้  2 2 3
 1  1
A   0

 1  2 0 

วธิ ีทา เพราะว่า det(A) = (0+(-2)+0) – (3+(-4)+0) = -1 ซึง่ ไม่เทา่ กบั 0 แสดงวา่ มี A-1

จะไดว้ า่ A-1 = 1 adj(A)

det( A)

=1
(1 )

 1 1 0 1 01 t
  1 2 
 2 0  2 2 
10 1 2 
 2 3 2 3 2 2 
 2 0 
10 01 
23 2 3 
  
 1 1
0 1

= (-1)  2 1 1t
 6 3  2

 5  2  2

= (-1)  2 6  5
 3  2
 1

 1  2  2

 A-1 = 2 6 5
1 3 2
1 2 2

หน้า 149

วิชา คณติ ศาสตร์ทว่ั ไป (491-11-01)

ถา้ ตรวจสอบผลคูณของ A และ A-1 ที่หาไดจ้ ะพบว่า AA-1 = A-1A = I กล่าวคอื

 2 2 3  2 6 5 = 2 6 5  2 2 3 = 1 0 0 =I
 1 1 1 3 2 1 3 2  1 1 0 1 0
 0  0

 1  2 0  1 2 2 1 2 2  1  2 0  0 0 1

1 2 6 4 
0 
ตัวอย่าง 6.30 จงหา A-1 (ถ้าม)ี เม่ือกาหนดให้ A  0 1 4 8 
0 2
0 0 6

0 1 

วิธที า 1 4 8 = (1) 2  6 = 2 – 0 = 2 ซง่ึ ไมเ่ ทา่ กับ 0

เพราะว่า det(A) = (1) 0 2  6 0 1

00 1

แสดงวา่ มี A-1 จะไดว้ า่ A-1 = 1 adj(A)

det(A)

1 2 6 4 
0 
จาก A  0 1 4 8 
0
0 0 2 6

0 1 

จะไดว้ า่ A-1 = 1 adj(A)

det(A)

 1 4 8 0 4 8 0 1 8 0 1 4 t
 
 0 2 6  0 2 6 0 0 6 0 0 2 

0 0 1 0 0 1 00 1 0 0 0

 2 6 4 1 6 4 1 2 4 1 2 6 
 
  0 2 6 0 2 6  0 0 6 0 0 2 

 A1  1  001 00 1 00 1 0 0 0
 164 1 2 4 
( 2 )  2 6 4
1 2 6 
 
 1 4 8  0 4 8 018 0 1 4 

0 0 1 001 001 0 0 0

 2 6 4 16 4 1 2 4 1 2 
 6
 1 4 8 
0 4 8 0 1 8 0 1 4 

 0 2 6 0 2 6 0 0 6 0 0 2 

 2 0 0 0t
 2 0 0
 1  4

( 2 )  2 4 1 0
28 8 6 2

หน้า 150

วิชา คณติ ศาสตร์ทวั่ ไป (491-11-01)

2 4 2  28
1 0 
 ( 2 ) 0 2 4 8 
0 1
0 0 0 6

2 

1 2 1  14
0 
 0 1 2 4 
0 1
3
 2
0 0 0 1 

ถา้ ตรวจสอบผลคูณของ A และ A-1 ทห่ี าได้จะพบว่า AA-1 = A-1A = I กลา่ วคอื

1  2 6 4  1  2 6 4 
= = I0  0 
1 4 8  1 4 8 

0 0 2  6 0 0 2  6
0 0  0 0 
0 1  0 1 

แบบฝกึ หดั 6.4
1. จงหาตัวผกผนั ของเมตริกซ์ตอ่ ไปน้ี (ถา้ มี) พร้อมแสดงการตรวจสอบคาตอบ

1.1 A= 4 3 1.2 B= 2 6
1 2 3 9

1.3 A =  3 0 1.4 B=  1 5
 7 0  1 3
2

1 5 2 1.6 B= 1 2 3
3 4  1
1.5 A = 0 2 0
1  2 3 
0 0 1

1.7 A= 2 1 4 1.8 B= 1 1 1
1 1 2 2 0 
2 

1 1 3 3 4  2

 7 3 1  5  1 0 0 0
 
1.9 A   4 2 3 6   2 1 0 0
00  3 1 0
0 0 1.10 B  1

 2 3 5 1   4 2 3 1
 

2. จงหาจานวนจรงิ x ที่ทาให้เมตรกิ ซ์ต่อไปนี้มตี ัวผกผัน

หนา้ 151

วชิ า คณติ ศาสตรท์ วั่ ไป (491-11-01)

2.1 x 1 5 2.2 2 1
  x 0
 1 1 

 3

2.3 4 1 3 2.4 3 2 x  2
 x 1 5 1 
 2 1 

3 0 1  1 0 3 

6.5 การใช้เมตริกซ์แก้ระบบสมการเชิงเสน้

รูปทั่วไปของสมการเชงิ เสน้ คือ ax + by = c เม่อื a , b, c เป็นจานวนจรงิ และ a , bไมเ่ ปน็
ศูนยพ์ ร้อมกัน ซ่งึ เม่อื มาประกอบกนั ต้ังแต่ 2 สมการข้ึนไป เรยี กวา่ ระบบสมการเชงิ เส้น

ระบบสมการเชิงเส้นอาจมีคาตอบเดียว หรอื มหี ลายคาตอบ หรือไม่มคี าตอบเลยก็ได้ เช่น

ระบบสมการ x + 2y = 0

3x +5 y = -1

ระบบสมการน้ี มีคาตอบเดียว คอื x = -2 และ y = 1 ซง่ึ คาตอบของระบบสมการใน

กรณีนี้มักนิยมเขียนอยใู่ นรูปของคู่อนั ดับ(ordered pairs) คือ (x,y) = (-2,1)

หรอื ระบบสมการ x + y = 10

5x + 5y = 50

ระบบสมการนี้ มีหลายคาตอบ เช่น (0,10) , (10,0), (2,8) , (8,2) , (20,-10) ,(-10,20) , . . .

หรือระบบสมการ x + y = 10

x + y = 50

เปน็ ระบบสมการซง่ึ ไม่มีคาตอบเลยเนื่องจากไม่มีค่า x , y ทจี่ ะทาให้สมการทง้ั สองเปน็ จริงพรอ้ มกนั

6.5.1 การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ โดยใช้ตัวผกผัน
พจิ ารณาผลคูณเมตริกซ์ ต่อไปน้ี

1 2 x   x  2y 
3 5 y 3x  5y

ในทางกลับกนั ยอ่ มไดว้ า่  x  2y   1 2 x
3x  5y 3 5  y


หนา้ 152

วชิ า คณติ ศาสตรท์ ว่ั ไป (491-11-01)

ซง่ึ สามารถนาความเขา้ ใจข้างต้นรว่ มกับสมบตั ขิ องตัวผกผันของเมตรกิ ซ์ ไปใช้แกร้ ะบบสมการ

เชงิ เส้นทก่ี าหนดให้ได้ ดังน้ี

กาหนดให้ x + 2y = 0 ………………………………

3x +5 y = -1 ………………………………

เขียนความสัมพันธใ์ นระบบสมการเชงิ เสน้ ใหอ้ ย่ใู นรปู สมการเมตรกิ ซ์ได้ ดังน้ี

1 2  x   0 ……………………………..…
3 5  y
   1

ถา้ ให้ A  1 2
3 5

จะได้ว่า det(A) = 1 2 = (1)(5) – (3)(2) = -1 ซ่ึงไมเ่ ท่ากับ 0 แสดงว่ามี A-1
35

โดย A1  1 adj(A) = =1  5  2  5 2 
det(A)  3  1
(1)  3 1 

นา  5 2 คูณสมการ ท้ัง 2 ข้าง
  1
 3

5 2  1 2 x  5 2   0
 1 3 5  y  1 1
 3   3

I x   (5)(0)  (2)(1)
 y  
  (3)(0)  (1)(1) 

x  2
 y   
 1 

ดงั นั้น คาตอบของระบบสมการทีก่ าหนดให้ คือ (x,y) = (-2,1)

ซ่ึงตรวจสอบคาตอบได้ โดยการแทนค่า x = -2 และ y = 1 ลงในระบบสมการ ดงั น้ี

สมการ  ได้ x + 2y = 0 สมการ  ได้ 3x +5 y = -1

(-2) + 2(1) = 0 3(-2)+5(1) = -1

0 =0 สมกำรเป-1น็ จร=ิง-ท1ัง้

โดยทั่วไปแล้ว เมอ่ื กาหนดระบบสมการเชงิ เส้นทม่ี ี m สมการ และระnบตบวั แปร ดงั นี้

a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + . . . + a3nxn = b3



am1x1 + am2x2 + am3x3 + . . . + amnxn = bm

จากสมการท่กี าหนด เขียนให้อยใู่ นรปู สมการเมตรกิ ซ์ได้

หน้า 153

วชิ า คณิตศาสตรท์ ว่ั ไป (491-11-01)

 a11 a12 a13 ... a1n   x1   b1 
     
 a 21 a 22 a 23 ... a 2n   x 2   b2 

 a 31 a 32 a 33 ... a3n   x3    b3  ………………
     
   
am1 am2 am3 ... a mn  xm  bm 

เขียนสมการเมตริกซ์ให้ส้ันลงได้ B
AX =

เม่ือ A แทน เมตริกซ์สมั ประสทิ ธต์ วั แปรของสมการ
X แทน เมตริกซ์ตวั แปรของสมการ
B แทน เมตริกซค์ ่าคงตวั ของสมการ

ถ้า m = n และ det(A)  0 แสดงวา่ มี A-1 จงึ นา A-1 ไปคูณสมการท้ัง 2 ขา้ ง

AX = B
A-1A X = A-1B
I X = A-1B
X = A-1B

นัน่ คอื ถา้ m = n และ det(A)  0 แลว้ สามารถหาคาตอบของระบบสมการเชิงเสน้ ได้
จาก X = A-1B และคาตอบของระบบสมการนยิ มเขียนอยู่ในรูป n สง่ิ อนั ดบั (ordered n-tuple) คอื
( x1 , x 2 , x3 , . . . , xn )

ตวั อยา่ ง 6.31 จงแกร้ ะบบสมการที่กาหนดให้
x + 2y + 3z = 1
3x + 4y + 2z = -3
2x + 3y + z = -4

วิธที า จากระบบสมการท่ีกาหนด เขยี นให้อยู่ในรูปสมการเมตริกซไ์ ด้

1 2 3 x  1  ………………
3 2  y  3
4  

2 3 1  z   4

ให้ 1 2 3
A  3 4 2
2 3 1

123

จะได้ det(A) = 3 4 2 = ( 4 + 8 + 27 ) – ( 24 + 6 + 6 ) = 3

231

และ A-1 = 1 adj(A)

det(A)

หน้า 154

วชิ า คณิตศาสตรท์ วั่ ไป (491-11-01)

42 32 3 4 t
  
 3 1 21 2 3 

 1  2 3 13 1 2
(3)  3 1 21  
3 
2

 23 13 1 2
  
 4 2 3 4 
32

1 2 1 1t
3  1
  7 5 2
7
8

 2 7  8
1 
  1 5 7 
3  1
1  2

 x  2 7  8  1   9   3 
 y 1    3 1  12  4
  3  1 5 7   3  6    2 
 1
 z  1  2  4

ดงั นัน้ คาตอบของระบบสมการท่ีกาหนดให้ คือ (x ,y, z) = (3,-4 ,2)

ซ่งึ ตรวจสอบคาตอบได้ โดยการแทนคา่ x = 3, y = -4 และ z = 2 ลงในระบบสมการ ดังนี้

x + 2y + 3z = 1 3x + 4y + 2z = -3 2x + 3y + z = -4

3 + 2(-4) + 3(2) = 1 3(3) + 4(-4) + 2(2) = -3 2(3) + 3(-4) + 2 = -4

1= 1 -3 = -3 -4 = -4

จะเหน็ ได้วา่ คาตอบท่ีคานวณไดท้ าให้สมการเป็นจรงิ ทง้ั ระบบ

นอกจากจะแก้ระบบสมการเชิงส้นโดยวธิ ใี ช้ตัวผกผันของเมทริกซดงั กล่าวข้างต้นแล้ว ยงั
สามารถใช้เมตริกซ์แกร้ ะบบสมการเชิงส้นได้อกี วิธหี นึ่ง กล่าวคือใช้กฎของคราเมอร์ดงั ต่อไปน้ี

6.5.2 กฎของคราเมอร์
เมอ่ื กาหนดระบบสมการเชงิ เส้นท่ีมี n สมการ และ n ตัวแปร โดยการเขยี นระบบสมการ

เชงิ เสน้ ให้อย่ใู นรูปสมการเมตรกิ ซ์ AX = B
เมือ่ A แทน เมตริกซส์ มั ประสทิ ธต์ ัวแปรของสมการ
X แทน เมตริกซ์ตัวแปรของสมการ
B แทน เมตรกิ ซค์ ่าคงตวั ของสมการ

ถา้ det(A)  0 แล้ว คาตอบของระบบสมการเชิงเส้นน้ี คอื

x1  det(A1) , x2  det(A2 ) , x3  det(A3 ) , ... , xn  det(An )
det(A) det(A) det(A) det(A)

โดยท่ี Ai คือ เมตริกซท์ ี่ไดจ้ ากการแทน หลกั ที่ i ของ A ดว้ ยหลกั ของ B ทกุ i = 1 , 2 , 3 , … , n
ตัวอย่าง 6.32 จงแก้ระบบสมการท่กี าหนดให้ โดยใชก้ ฎคราเมอร์

หนา้ 155

วชิ า คณิตศาสตร์ทวั่ ไป (491-11-01)

x + 2y = 0

3x +5 y = -1

วิธที า จากระบบสมการเชิงเส้นท่ีกาหนด เขยี นใหอ้ ยใู่ นรูปสมการเมตริกซ์ AX = B

ได้ A  1 2 , X  x และ B  0
3 5  y  1

โดยที่ det(A) = 1 2 = (1)(5) – (3)(2) = -1 ซึง่ ไม่เทา่ กบั 0
35

แสดงว่าคาตอบของระบบสมการเชงิ เสน้ นี้ คือ

x  det(A1)  02  ( 0  (2) )  2   2
det(A) 1 5 (1) 1
(1)

10

และ y  det(A2 )  3 1  ( 1 0 )  1  1
det(A) (1) (1) 1

ดังนั้น คาตอบของระบบสมการที่กาหนดให้ คือ (x ,y) = (-2 ,1)

ซึ่งตรวจสอบคาตอบได้ โดยการแทนค่า x = -2 และ y = 1 ลงในระบบสมการ ดังน้ี

สมการ  ได้ x + 2y = 0 สมการ  ได้ 3x +5 y = -1

(-2) + 2(1) = 0 3(-2)+5(1) = -1

0 =0 -1 = -1

สมการเปน็ จรงิ ทง้ั ระบบ

ตัวอยา่ ง 6.33 จงแกร้ ะบบสมการท่กี าหนดให้

2x – 3y + 3z = 1

5x – 2y + 4z = 0

4y + 2z = 5

วิธที า จากระบบสมการที่กาหนด เขยี นใหอ้ ยู่ในรูปสมการเมตริกซ์ AX = B ได้

ได้ 2 3 3 , x และ 1
A  5 2 4    
X   y  B   0 

0 4 2  z   5 

โดยท่ี 2 3 3 = ( -8 + 0 + 60 ) – ( 0 + 32 – 30 ) = 50 ซึง่ ไม่
เทา่ กับ 0
det(A) = 5  2 4

042

แสดงว่าคาตอบของระบบสมการเชิงเสน้ นี้ คือ

หน้า 156

วชิ า คณิตศาสตรท์ ่ัวไป (491-11-01)

1 3 3

0 2 4

x  det(A1)  5 4 2  (  4  60  0 )  (30 16  0)  50  1
det(A) 50 50 50

y  det(A2 )  213  ( 0  0  75 )  (0  40 10)  25  1
det(A) 504 50 50 2
052

50

2 3 1

5 2 0

และ z  det(A3)  0 4 5  (  20  0  20 )  (0  0  75)  75  3
det(A) 50 50 50 2

ดงั นั้น คาตอบของระบบสมการทก่ี าหนดให้ คือ ( x,y,z ) = (-1, 1 , 3 )

22

ซ่ึงตรวจสอบคาตอบได้ โดยการแทนคา่ x = -1 , y = 1 และ z = 3 ลงในระบบสมการ

22

ดงั นี้

2x – 3y + 3z = 1 5x – 2y + 4z = 0 4y + 2z = 5 2(-1)

– 3( 1 ) + 3( 3 ) = 1 5(-1) – 2( 1 ) + 4( 3 ) = 0 4( 1 ) + 2( 3 ) = 5

22 22 22

1=1 0=0 5 =5

จะเห็นไดว้ ่าคาตอบทค่ี านวณไดท้ าให้สมการเปน็ จริงทง้ั ระบบ

ตวั อย่าง 6.34 จงแกร้ ะบบสมการที่กาหนดให้

x1 + 2x2 – x4 = 1

2x4 – x1 + x3 = 2

2x1 + 3x2 – x3 = 9

x2 + x4 =4

วธิ ที า จากระบบสมการที่กาหนด เขยี นใหอ้ ยู่ในรูปสมการเมตรกิ ซ์ AX = B

 x1 
ได้ , และ 1 2 0 1   1
1    2
2 0 1 2  X  x 2 9
3 1
A  0  x  B 
 
  3 4
 
0 1 0 1 x4 

1 2 0 1

โดยที่ det(A) = 1 0 1 2

2 3 1 0

010 1

หน้า 157

วิชา คณิตศาสตรท์ ว่ั ไป (491-11-01)

1 0 1 120 กระจายตามแถวที่ 4
= 0  (1) 1 1 2  0  (1) 1 0 1

2 1 0 2 3 1

= (1)(0  0 1)  (2  2  0)  (1)(0  4  0)  (0  3  2)
= 2 ซึ่งไม่เทา่ กบั 0

แสดงว่าคาตอบของระบบสมการเชงิ เส้นน้ี คอื

x1  det(A1)  1 2 0 1  4 2
det(A) 20 1 2 2
9 3 1 0
41 0 1

2

x2  det(A2 )  1 1 0 1  2 1
det(A) 1 2 1 2 2
2 9 1 0
040 1

2

1 2 1 1

1 0 2 2

2 39 0

x3  det(A3 )  0 14 1  4   2
det(A) 2 2

1201

1 0 1 2

และ x4  det(A4 )  2 3 1 9
det(A) 0 1 0 4  6 3

22

ดังน้นั คาตอบของระบบสมการทกี่ าหนดให้ คือ ( x1, x2, x3, x4) = (2, 1, -2, 3)

ซึ่งตรวจสอบคาตอบได้ โดยการแทนคา่ x1 = 2, x2 = 1, x3 = -2 และ x4 = 3 ลงในระบบสมการ ดงั น้ี

x1 + 2x2 – x4 = 1 2x4 – x1 + x3 = 2
2 + 2(1) – 3 = 1 2(3) – 2 + (-2) = 2

1= 1 2 =2

2x1 + 3x2 – x3 = 9 x2 + x4 = 4
2(2) + 3(1) – (-2) = 9 1+3 = 4

9=9 4 =4

จะเห็นไดว้ า่ คาตอบท่ีคานวณได้ ทาให้สมการเป็นจริงทงั้ ระบบ

หน้า 158

วชิ า คณิตศาสตร์ทัว่ ไป (491-11-01)

แบบฝึกหดั 6.5

จงแกร้ ะบบสมการต่อไปนี้ พร้อมทง้ั ตรวจสอบคาตอบดว้ ย

1. 2x + 3y = -5 2. x + 2y =2
7x + 4y =2 3x – 4y =1

3. y – 4x + 2 =0 4. 4x – 5y =0
5x – 2y – 3 =0
6x – 7y – 2 = 0

5. 2x + 4y + 6z =0 6. 3x + 2y + z = 6
3x + 7y + 5z =1
2x + 5y + 7z =1 2x + 3z = -1

x + 3y + 2z = 5

7. 3x + 2y + 1 =0 8. 2x + 3y – z = 2
5x – y – 4z = -8 z–x–2y = 0
4y + 3z + 2 =3 5y -2z – 5 = 0

9. x1 + 2x2 + x3 – x4 = 3 10. x2 – x3 = -2
x1 + x2 + x3 + x4 = -1
x1 – x2 – 2x3 + x4 = 4 x1 – x2 + 2x3 = 5

2x1 + x2 – x3 + 2x4 = 5 2x2 – x1 + x4 = -5

2x1 + 3x3 + x4 = 10

หน้า 159

วชิ า คณติ ศาสตรท์ ่ัวไป (491-11-01)

หนว่ ยท่ี 7

ตรโี กณมติ เิ บือ้ งตน้

ตรีโกณมิติ(Trigonometry) หมายถึง การวัดรูปสามเหล่ียม ซึ่งในสมัยก่อนการวัด
ระยะทาง พ้ืนท่ี มุม และทิศทาง ยังไม่มีเครื่องมือหรืออุปกรณ์อานวยความสะดวกได้เช่นทุกวันน้ี จึงมี
การศึกษาความสัมพันธ์ระหว่าง มุม และด้านของรูปสามเหล่ียมเพื่อใช้ในการคานวณหาระยะทาง พื้นที่
มมุ และทศิ ทางทเ่ี ก่ยี วขอ้ งกบั งานด้านต่างๆ และแม้ในปัจจบุ นั วชิ าตรีโกณมิติได้มี การพัฒนาขึ้นเป็นลาดับ
ในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติท่ีมีการนาไปใช้ในคณิตศาสตร์ข้ันสูงอย่างกวา้ งขวาง แต่การศึกษาตรีโกณมิติ
ที่เก่ียวกับรูปสามเหลี่ยมก็ยังมีความสาคัญสาหรับการศึกษาตรีโกณมิติเบ้ืองต้น ซ่ึงจะได้กล่าวเป็นลาดับ
ดงั ตอ่ ไปน้ี

7.1 การวดั มุม
7.1.1 วงกลมหนงึ่ หน่วย (The unit circle)

วงกลมหน่ึงหนว่ ย เปน็ วงกลมรัศมียาว 1 หนว่ ย ซง่ึ มีจดุ ศนู ย์กลางอยู่ท่จี ดุ กาเนิด ดังรปู

Y

P(x,y) X
O  r = 1 A(1,0)

เม่อื กาหนดจานวนจรงิ  (ทีตา) ให้ และจุด A มีพกิ ัด(1,0)
จากจดุ A(1,0)วัดความยาวไปตามสว่ นโค้งของวงกลม ให้มีความยาว  จนถงึ จดุ P(x, y)ซึง่ อยู่
บนวงกลม โดยมีขอ้ กาหนดสาหรับทศิ ทางของการวัด ดงั น้ี

ถ้า  = 0 แสดงว่าจุดปลายของส่วนโคง้ คือ จุด A(1,0)
ถ้า  > 0 แสดงว่าเปน็ การวดั ส่วนโคง้ จากจดุ A(1,0)ไปในทศิ ทวนเข็มนาฬิกา
ถา้  < 0 แสดงว่าเป็นการวัดส่วนโคง้ จากจุด A(1,0)ไปในทิศตามเขม็ นาฬิกา

และเนื่องจาก ความยาวของเสน้ รอบวงของวงกลมใดๆ = 2 r
สาหรับวงกลมหนึ่งหน่วยซ่งึ มีรัศมียาว 1 หน่วย คอื r = 1
จะได้ ความยาวของเส้นรอบวงของวงกลมหน่งึ หนว่ ย = 2 (1) = 2

ดงั นน้ั ถา้  > 2 แสดงวา่ จุดปลายของส่วนโค้งหมุนวนเกนิ 1 รอบ

หนา้ 160

วิชา คณติ ศาสตรท์ ่ัวไป (491-11-01)

รูปต่อไปน้ี แสดงตาแหน่งของจุดปลายส่วนโค้ง P(x,y) ของวงกลมหนงึ่ หนว่ ย เมอ่ื กาหนด ให้มี
ค่าตา่ งๆกนั

YY

P(x,y X P(x,y A(1,0 X
O  A) (1,0 )  O )

)

YY
O

O A(1,0 X  A(1,0 X
P(x,y ) )
7.1.2 มุมและ)การวัดมุม P(x,y
)

เมอื่ กาหนดสว่ นของเสน้ ตรง AP มาให้ การสรา้ ง PAˆ Q ให้มขี นาด 40สามารถสรา้ งได้
2 แบบ คือ สรา้ งโดยวัดในทิศทางทวนเข็มนาฬิกาและวัดในทศิ ทางตามเข็มนาฬกิ า ดังรูป

A 40 P

เรยี กจุด A ว่า จุดยอดของมุม(vertex)
เรียกส่วนของเส้นตรง AP ว่า ดา้ นเร่มิ ตน้ (initial side)
เรียกสว่ นของเสน้ ตรง AQ และ AQวา่ ด้านสิ้นสดุ (terminal side)

การวดั ขนาดของมุมทาไดโ้ ดยการเร่ิมวดั จากด้านเริม่ ตน้ ไปยังดา้ นสน้ิ สดุ และมีข้อกาหนดสาหรบั
ทิศทางของการวัด ดงั นี้

ถา้ วัดในทศิ ทวนเขม็ นาฬกิ าจะแสดงขนาดของมุมดว้ ยจานวนบวก
ถ้าวดั ในทศิ ตามเข็มนาฬิกาจะแสดงขนาดของมมุ ดว้ ยจานวนลบ
นอกจากหน่วยของมุมทร่ี ้จู ักกันโดยทั่วไป คือ องศา( º ) แล้ว ยงั มหี นว่ ยของมมุ ท่ีสาคัญอกี หนว่ ย
หนง่ึ คือ เรเดียน(radian) ซ่ึงพจิ ารณาได้ ดังนี้

หนา้ 161

r วิชา คณติ ศาสตรท์ ่ัวไป (491-11-01)
1
Or a

Or

มมุ ทีจ่ ุดศนู ย์กลางของวงกลมซึง่ รองรับด้วยส่วนของเสน้ โคง้ ของวงกลมที่ยาวเท่ากับรัศมีของ
วงกลมนั้น มีขนาดเท่ากับ 1 เรดยี น

ดังน้นั มุมท่ีจุดศนู ย์กลางซ่ึงรองรบั ดว้ ยสว่ นของเสน้ โค้งของวงกลมทย่ี าว a หน่วยจะมีขนาด a

r

เรเดยี น หรอื ถ้าให้ เปน็ มุมที่จดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลม จะได้วา่

a เรเดยี น
r

พิจารณาเม่ือหมุนรัศมีของวงกลมไปครบ 1รอบ

ความยาวของเสน้ โคง้ ของวงกลม a = เส้นรอบวงของวงกลม

= 2 r

 มุมท่จี ดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลม  = 2 r = 2 เรเดยี น

r

แตเ่ มอ่ื วัดมุมทจี่ ดุ ศูนยก์ ลางของวงกลมในหนว่ ยองศา = 360 องศา
ดงั นัน้ 360 องศา = 2 เรเดียน
หรือ 180 องศา =  เรเดียน

90 องศา =  เรเดยี น
2

45 องศา =  เรเดยี น
4

ดงั นั้น 1 องศา =  เรเดียน  0.01745 เรเดียน
180

และ 1 เรเดยี น = 180 องศา  180 องศา  57.3 องศา  57 18

 3.1416

อนึง่ การเขียนขนาดของมมุ ในหน่วยเรเดียน อาจละการเขียนหน่วยเรเดียนไวฐ้ านที่
เข้าใจก็ได้ ดังนั้น ถ้าไมม่ หี น่วยกากบั ขนาดของมุมแสดงว่ามมุ นัน้ มหี นว่ ยเปน็ เรเดยี น

ขอ้ สังเกต จากมุมทจ่ี ดุ ศูนยก์ ลางของวงกลม   a เรเดยี น

r

สาหรับวงกลมหนง่ึ หน่วยซ่ึงมรี ัศมี r = 1 หนว่ ย

จะได้   a เรเดียน

ดงั นั้น มุม(เรเดยี น)ท่จี ดุ ศนู ย์กลางของวงกลมหนึ่งหน่วยจะมีค่าเท่ากับความยาวของส่วนโค้งของ
วงกลมซึ่งรองรบั มมุ ทีจ่ ดุ ศูนย์กลางของวงกลม ดังรปู

หนา้ 162

Y วิชา คณติ ศาสตรท์ ั่วไป (491-11-01)

Y

P(x,y) X P(x,y) X
O   O  A(1,0)

A(1,0)

Y Y

O A(1,0) X  A(1,0) X
P(x,y)
P(x,y)

ตัวอย่าง 7.1 จงเปล่ียนมุมตามทกี่ าหนดให้ ต่อไปนี้

(1) เปลยี่ นมมุ 1.5 เรเดียนให้เป็นองศา (2) เปลย่ี นมมุ  เรเดียนใหเ้ ป็น

2

องศา
(3) เปล่ียนมมุ 30 องศา ให้เป็นเรเดยี น (4) เปลย่ี นมุม 270 องศา ใหเ้ ป็น

เรเดียน
วิธีทา

(1) เพราะวา่ มุม 1 เรเดยี น = 180 องศา



ดังนั้น มุม 1.5 เรเดียน = 1.5 180 องศา  85.9 องศา 



89 54

(2) เพราะวา่ มุม 1 เรเดยี น = 180 องศา



ดงั น้นั มมุ  เรเดยี น =   180 องศา = 90 องศา

2 2

(3) เพราะว่า มุม 1 องศา =  เรเดียน
180

ดงั น้ัน มุม 30 องศา = 30  เรเดียน =  เรเดียน

180 6

(4) เพราะวา่ มุม 1 องศา =  เรเดียน
180
ดังนน้ั มุม 270 องศา = 270   เรเดยี น = 3 เรเดยี น
180 2

หน้า 163

วชิ า คณติ ศาสตร์ทว่ั ไป (491-11-01)

7.2 อตั ราสว่ นตรีโกณมิติ
พจิ ารณาดา้ นของสามเหล่ียมมมุ ฉาก ABC ซง่ึ มี ACˆ Bเป็นมมุ ฉาก ดังรูป

B

ca

A bC

ให้ a , b และ c เปน็ ความยาวของด้านตรงข้ามมมุ A , B และ C ตามลาดบั
เรียก a วา่ ความยาวของดา้ นตรงข้ามมุม A หรือ ความยาวของดา้ นประชิดมุม B
เรียก b ว่า ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม B หรอื ความยาวของดา้ นประชิดมุม A
เรยี ก c ว่า ความยาวของด้านตรงขา้ มมุมฉาก

อัตราสว่ นระหว่างความยาวของ 2 ดา้ นใดๆ ของสามเหลย่ี มมมุ ฉากจะมีค่าคงตวั เสมอ เรียก
อัตราส่วนเหล่านี้วา่ อัตราสว่ นตรโี กณมติ ิ และมชี ่ือเรยี กตา่ งๆกนั ที่สาคัญๆได้แก่

sin A = a อ่านวา่ ไซนเ์คอคเวอวาามม=ยยาาววขขอองงดด้า้านนตตรรงงขข้า้ามมมมุมุมฉาก
c

cos A = b อา่ นวา่ คอสเคอวาม=ยาวของด้านประชดิ มุมเอ
c ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก

tan A = a อา่ นว่า แทนเเคออคววาาม=มยยาาววขขอองงดด้า้านนตปรรงะขช้าดิมมมุมมุ เอ
b

และอตั ราสว่ นตรโี กณมิตทิ เ่ี ป็นสว่ นกลบั ของอัตราสว่ นตรีโกณมิติของ 3 อัตราสว่ นขา้ งต้น

ไดแ้ ก่

cosec A = 1 อา่ นวา่ โคเซคเอ = 1 =c
sin A อา่ นวา่ เซคไเซอน์เอ=1
sec A = 1 a
cos A คอสเอ
cot A = 1 อา่ นว่า คอตเอ =1 =c
tan A
แทนเอ b

=b

a

หนา้ 164

วิชา คณิตศาสตรท์ ั่วไป (491-11-01)

ตวั อย่าง 7.2 ถ้า A เป็นมุมแหลม และ sin A = 3 จงหาอัตราสว่ นตรีโกณมิตขิ องมุม A
5

วิธที า
สร้างรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก ABC ซง่ึ มี ACˆ Bเปน็ มุมฉาก และ a = 3 , c = 5

B  c2 = a2 + b2
52 = 32 + b2
c=5 a=3
b2 = 16

 b= 4

A sin A b= 3 C cosec A = 5
ดงั น้นั 3
5 sec A =

cos A = 4 cot A = 5
5 4

tan A = 3 4
4
3

7.2.1 อตั ราส่วนตรโี กณมิติของมมุ 30, 45 และ 60

อตั ราส่วนตรีโกณมิติของมมุ 30และ 60 อาจหาได้โดยการสร้างสามเหล่ยี มด้านเทา่ ซงึ่ แต่ละ
ดา้ นยาว 2 หนว่ ย และลากเส้นจากมมุ ยอดมาต้ังฉากกับฐาน ดังรูป

C

จะได้ sin30 = 1 , sin 60 =
2

3 2 2
2

A 1D1 B cos30 = 3 , cos60 = 1
22

tan30 = 1 , tan 60 = 3
3

ส่วนอัตราส่วนตรีโกณมติ ขิ องมุม 45 อาจหาไดโ้ ดยการสรา้ งสามเหล่ียมมุมฉากซึ่งด้าน
ประกอบมุมฉากยาว 1 หน่วย ดงั รูป

C จะได้ sin 45 = 1
11 cos 45 =
AB tan45 = 2
1

2

1

หนา้ 165

วิชา คณิตศาสตรท์ ั่วไป (491-11-01)

สรปุ ค่าของอตั ราสว่ นตรีโกณมิตขิ องมุม 30, 45 และ 60

มมุ 30 45 60

คา่ (  ) (  ) (  )

643

Sin 1 13
2 22

Cos 3 1 1

2 22

Tan 1 1 3
3

ตวั อย่าง 7.4 สามเหล่ยี มมุมฉาก ABC มี ACˆ Bเปน็ มมุ ฉาก ด้าน AC ยาว 9 หนว่ ย และมุม A มีขนาด
30 จงหาความยาวของดา้ น AB และ BC

วิธที า B

Aเนื่องจาก c1o0s30 = ACC
AB

3= 10
ดงั นน้ั AB
2

AB = 10  2 
3

AB = 11.55

และ tan30 = BC
AC
1 =
BC
3 10

BC = 10

ดงั น้นั BC = 3

5.77

ตวั อย่าง 7.5 สามเหลย่ี มมุมฉากPQR มี PRˆ Q เป็นมุมฉาก ดา้ น PQ ยาว 4 หน่วย และด้านQRยาว 2 3
หนว่ ย จงหาว่า QPˆR มีขนาดกอ่ี งศา

หน้า 166

วิชา คณิตศาสตรท์ ่วั ไป (491-11-01)

วิธีทา สร้างสามเหล่ยี มมมุ ฉากPQR โดยให้ QPˆR มขี นาด

Q จะได้ sin = QR
PQ

sin = 2 3
4

sin = 3

42

sin = sin60

  = 60

P R ดังน้ัน QPˆ R มขี นาด 60 องศา

7.2.2 ความสัมพนั ธข์ องอัตราส่วนตรโี กณมติ ิ

ในทนี่ จ้ี ะกล่าวแต่เฉพาะความสมั พนั ธข์ องอัตราสว่ นตรโี กณมิติที่สาคัญๆ และจะคานวณให้

ดูในบางความสัมพนั ธ์เท่านั้น

a

(1) tan A = a = c = sin A
bb cos A

c

น่นั คอื tan A = sin A
cos A

(2) sin2A + cos2A =  a 2 +  b 2
 c   c 

= a2 + b2

c2 c2

= a2  b2

c2

= c2 ( c2  a2  b2 )

c2 1

=

นนั่ คอื sin2A + cos2A = 1

ในทานองเดียวกัน sec2A – tan2A = 1
และ cosec2A – cot2A = 1

(3) ความสัมพันธท์ างตรีโกณมติ อิ ่ีนๆ ที่ควรทราบ

3.1) sin(- ) = - sin cos(- ) = cos

sin(180  )  sin cos(180  )   cos

sin(360n  )   sin cos(360n  )  cos

หนา้ 167

วิชา คณิตศาสตร์ทว่ั ไป (491-11-01)

sin(90  )  cos cos(90  )  sin

3.2) sin(A+B) = sinA cosB + cosA sinB sin(A–B) = sinA cosB – cosA

sinB

cos(A+B) = cosA cosB – sinA cos (A–B) = cosA cosB + sinA

sinB sinB

tan (A  B)  tan A  tan B tan (A  B)  tan A  tan B
1 tan A tan B 1 tan A tan B

ข้อสังเกต : (1) sin(A+B)  sinA + sinB , sin(A-B)  sinA – sinB

(2) cos (A+B)  cos A + cos B , cos (A-B)  cos A –

cos B

(3) tan(A+B)  tan A + tan B , tan (A-B)  tan A –

tan B

ตวั อย่าง 7.6 จงหาค่าของ

(1) sin(- 45) (2) sin390 (3) sin 2
3
(4) sin 90 (5) cos90 (6) cot 
12

วิธที า (1) sin(- 45) = - sin 45

= -1
2

(2) sin390 = sin (360 +30)

= sin30

=1
2

(3) sin 2 = sin( 2  180 )
3 3
= sin120

= sin (180  60 )

= sin60

=3
2

(4) sin90 = sin ( 45+ 45)

= sin 45 cos 45 + cos 45 sin 45

=  1   1    1   1 
 2 2  2 2

หนา้ 168

วชิ า คณิตศาสตร์ท่วั ไป (491-11-01)

= 11
22

=1

(5) cos90 = cos ( 45+ 45)
= cos 45 cos 45 – sin 45 sin 45

=  1   1    1   1 
 2 2  2 2

=0

(6)  tan  = tan (   180 )
12 12 
= tan 15
= tan ( 45 – 30)

= tan 45  tan 30

1  tan 45 tan 30

= 1 1
3

1  (1) ( 1 )
3

3 1

=3

3 1

3

= 3 1  3
3 3 1

และ cot  = 3 1
12 3 1
 cot 
12 =1

tan 
12

= 3 1

3 1

หมายเหตุ : คา่ ของอัตราสว่ นตรีโกณมติ ขิ องจานวนจรงิ หรือมมุ ต่างๆ จะสามารถหาได้เสมอจากการใช้

ตารางค่าของอัตราสว่ นตรโี กณมติ ใิ นภาคผนวก หรือใชเ้ ครอ่ื งคานวณซ่ึงมีแป้นสัญลักษณ์ sin , cos
และ tan ซงึ่ ปจั จบุ ันนยิ มใชใ้ นงานต่างๆเป็นอย่างมาก เพราะใช้ได้อยา่ งสะดวกรวดเร็ว

แบบฝึกหัด 7.1

1. จงเปลี่ยนมมุ ตามที่กาหนดตอ่ ไปนี้ (2) เปล่ยี นมุม  เรเดยี นใหเ้ ป็นองศา
(1) เปลยี่ นมุม 5 เรเดยี นให้เป็นองศา
8

หน้า 169

วชิ า คณิตศาสตร์ทัว่ ไป (491-11-01)

(3) เปล่ยี นมุม 75 องศา ให้เป็นเรเดยี น (4) เปลี่ยนมุม 300 องศาให้เปน็ เรเดียน

2. (1) ถ้า BAˆ C เป็นมุมแหลม และ sin BAˆ C= 8 จงหาอัตราสว่ นตรโี กณมิติของมมุ BAˆ C
17
(2) ถ้า ABˆ C เปน็ มุมแหลม และ cos ABˆ C= 12 จงหาอัตราส่วนตรโี กณมิตขิ องมุม ABˆ C
13
(3) ถ้า QPˆR เปน็ มุมแหลม และ tan QPˆ R = 15 จงหาอัตราส่วนตรโี กณมิตขิ องมุม QPˆR
8

3. (1) สามเหลย่ี มมุมฉาก ABC มี ACˆ Bเป็นมุมฉาก ด้าน BC ยาว 5 หนว่ ย และ BAˆ C มขี นาด
45 จงหาความยาวของด้าน AB และ AC

(2) สามเหลี่ยมมุมฉาก PQR มี PQˆ R เป็นมมุ ฉาก ด้าน PR ยาว 10 หน่วย และ PRˆ Q มีขนาด

60 จงหาความยาวของด้าน PQ และ QR

4. (1) สามเหล่ียมมุมฉากABC มี ABˆ C เป็นมมุ ฉาก ด้าน AB ยาว 3 หนว่ ย และด้านACยาว 3 2

หนว่ ย จงหาวา่ BAˆ C มีขนาดกีอ่ งศา

(2) สามเหลี่ยมมุมฉากPQR มี PQˆ R เปน็ มุมฉาก ดา้ น PQ ยาว 5 หนว่ ย และด้านQRยาว5 3

หนว่ ย จงหาวา่ PRˆ Q มขี นาดกีอ่ งศา

5. จงหาคา่ ของ

(1) sin และ cosec เมอื่ กาหนดให้  = 120 , 420 , 3
4

(2) cos และ sec เมื่อกาหนดให้  =  60 , 300 , 5

6. จงหาคา่ ของ 6

(1) sin และ cosec เมือ่ กาหนดให้  = 0, 15 , 
2

(2) cos และ sec เมื่อกาหนดให้  = 0 , 75 , 7
6

(3) tan และ cot เมือ่ กาหนดให้  = 0 , 105 , 5
6
7. จงหาค่าของ

(1) sin 90 + cos(- 45) – tan 

12

(2) sin 3 tan210 + cot 30 cot (- 5 )
23

7.3 กฎของโคไซนแ์ ละไซน์

ความสมั พันธร์ ะหว่างดา้ นและมมุ ของรูปสามเหล่ียมใดๆ สามารถเขียนให้อยู่ในกฎของโคไซน์และ
ไซน์ ดังน้ี

7.3.1 กฎของโคไซน์
กาหนดสามเหลีย่ ม ABCใดๆ ให้ ดังรปู
C

ba หนา้ 170

วิชา คณติ ศาสตร์ทวั่ ไป (491-11-01)

จาก  มุมฉากACD : sin A = CD จะได้ CD = b sin A
b
และ cos A = AD จะได้ AD = b cos A
b

พิจารณาสามเหล่ียมมุมฉาก BCD จะได้

BC2  CD2  (AB  AD)2

a2  ( b sin A )2  ( c  b cos A )2

a2  b2 sin2 A  c2  2bc cos A  b2 cos2 A

a2  b2 sin2 A  b2 cos2 A  c2  2bc cos A

a2  b2 (sin2 A  cos2 A )  c2  2bc cos A

a2  b2 (1 )  c2  2bc cos A

a2  b2  c2  2bc cos A

ในทานองเดยี วกนั จะได้วา่

b2  c2  a2  2ca cos B

และ c2  a2  b2  2ab cos C

กฎของโคไซน์ ในรูปสามเหลย่ี ม ABC ใดๆ ถ้า a , b และ c เปน็ ความยาวของด้านตรงขา้ ม

มมุ A , B และ C ตามลาดบั
จะได้ a2  b2  c2  2bc cos A

b2  c2  a2  2ca cos B

c2  a2  b2  2ab cos C

อนึ่ง ถ้ากาหนดสามเหลย่ี ม ABC ใดๆ ให้ ดงั รูปขา้ งล่างนี้

C

a
b

ความสมั พนั ธD์ระหวา่ งดา้ นและมมุ Aของรูปสามcเหล่ยี มABC Bกย็ ังคงเปน็ ไปตามกฎของ

โคไซน์ และจะให้ผเู้ รียนพิสูจนใ์ หเ้ ห็นจริงในแบบฝกึ หดั ต่อไป

กฎของโคไซนน์ ใี้ ชห้ าความยาวดา้ น หรอื ขนาดของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ ดังตวั อย่าง

หน้า 171

วิชา คณิตศาสตรท์ ั่วไป (491-11-01)

ตวั อยา่ ง 7.7 ในรูปสามเหล่ยี ม ABC ถ้า b = 6 หนว่ ย , c = 4 หนว่ ย และ Aˆ = 120 แล้ว
จงหา a

วิธีทา จากกฎของโคไซน์ a2  b2  c2  2bc cos A

จะได้ a2  62  42  2(6)(4) cos120

a2  36  16  2(6)(4) cos(180  60)

a2  52  48 ( cos 60)
a2  52  48 ( 1 )

2
a2  52  24

a2  76

 a  2 19
หรือ a  8.72 หน่วย

ตวั อยา่ ง 7.8 สามเหลี่ยม ABC มี a = 15 หน่วย , b =10 3 หน่วย และ c = 5 3 หนว่ ย

จงหาขนาดของมุม C เมอ่ื มมุ C เปน็ มุมแหลม
วิธที า จากกฎของโคไซน์ c2  a2  b2  2ab cos C

จะได้ (5 3)2  152  (10 3)2  2(15)(10 3) cosC

75  225  300  300 3 cosC

300 3 cos C  450
cos C  450
300 3
cos C  450
300 3
cos C  450
300 3

cos C  3 (มุม C เปน็ มมุ แหลม)
2

cos C  cos 30

 ขนาดของมุม C  30

7.3.2 กฎของไซน์ a
กาหนดสามเหลย่ี ม ABCใดๆ ให้ ดงั รูป
C

b

A Dc B หนา้ 172

วิชา คณติ ศาสตรท์ ่วั ไป (491-11-01)

จาก  มมุ ฉากACD : sin A = CD จะได้ CD = b sin A
b
และ cos A = AD จะได้ AD = b cos A
b

จากสตู ร พ้นื ทีข่ องรูป  ABC = 1  ความสงู  ความยาวของฐาน

2

= 1  b sin A  c
2

= 1 bc sin A
2

ในทานองเดียวกนั ถ้าอ้างอิงกับมุม B และ มุม C จะพสิ ูจนไ์ ดว้ ่า

พื้นทีข่ องรูป  ABC = 1 ca sin B
2

และ พ้นื ที่ของรูป  ABC = 1 ab sin C
2

ดงั นั้น 1 bc sin A = 1 ca sin B = 1 ab sin C
2 22

นา 2 ไปคณู ตลอด จะได้

abc

sin A  sin B  sin C
a bc

กฎของไซน์ ในรปู สามเหล่ยี ม ABC ใดๆ ถ้า a , b และ c เป็นความยาวของด้านตรงขา้ มมุม

A , B และ C ตามลาดบั

จะได้ sin A  sin B  sin C

a bc

ตัวอยา่ ง 7.9 ABC เปน็ สามเหลยี่ มรปู หนึง่ ถ้า a = 10 หนว่ ย , Aˆ =30 และ Bˆ = 120 แลว้
จงหา b , c และขนาดของมุม C

วิธที า เขยี นรูป  ABC ประกอบการคานวณ ดังนี้

C

b 120 a = 10

A 30 c B

เนือ่ งจาก Aˆ + Bˆ + Cˆ = 180
ดังนัน้ 30 + 120 + Cˆ = 180

 Cˆ = 30

จากกฎของไซนจ์ ะได้

sin A = sin B

ab

หนา้ 173

วชิ า คณิตศาสตรท์ ว่ั ไป (491-11-01)

sin 30 = sin 30

10 b

 b = 10

และ sin A = sin C

ac

sin 30 = sin120

10 c

1

2 = sin (180  60)

10 c

1 = sin 60

20 c

c = 3  20
c
2

= 10 3

ตวั อย่าง 7.10 สามเหลย่ี ม ABC มี a = 3 2 หนว่ ย , b =3 3 หนว่ ย และ มุม B = 60

จงหาขนาดของมุม A และ C

วิธีทา จากกฎของไซน์จะได้

sin A = sin B

ab

sin A = sin 60

32 33

3

sin A = 2
23

sin A = 3 2

23

sin A = 2

2

sin A = 1

2

sin A = sin 45 หรอื sin135

 A = 45 หรือ 135
แต่ Aˆ = 135ไม่ได้ เนอ่ื งจากเมื่อนาไปรวมกับ Bˆ = 60 ทีโ่ จทย์กาหนดให้จะได้195 ซง่ึ
มคี ่ามากกวา่ 180ทเ่ี ป็นผลรวมของมุมภายในของสามเหล่ียม ทาให้หา Cˆ ไมไ่ ด้

ดังนน้ั Aˆ = 45
และเนือ่ งจาก Aˆ + Bˆ + Cˆ = 180

 45 + 60 + Cˆ = 180
ดังน้นั Cˆ = 75

หน้า 174

วิชา คณติ ศาสตรท์ ่ัวไป (491-11-01)

แบบฝึกหัด 7.2

1. กาหนดให้สามเหลี่ยมABC มี a , b และ c เปน็ ความยาวของด้านตรงขา้ มมุม A , B และ C ของ

สามเหลย่ี ม ตามลาดับ จงใช้กฎของโคไซนห์ าความยาวของด้าน หรือขนาดของมมุ ต่อไปนี้

(1) จงหา a เมอื่ Aˆ =60 , b = 10 หน่วย และ c = 20 หน่วย
(2) จงหา b เมื่อ Bˆ =105 , a = 12 หน่วย และ c = 15 หน่วย
(3) จงหา c เมื่อ Cˆ =300 , a = 9 หน่วย และ b = 7 หนว่ ย
(4) จงหา Aˆ เมื่อ a = 2 3 , b = 2 หน่วย และ c = 4 หน่วย ท้งั นี้ Aˆ เป็นมมุ แหลม
(5) จงหา Bˆ เม่ือ a = 10 , b = 10 3 หน่วย และ c = 10 หนว่ ย ทั้งน้ี Bˆ เปน็ มมุ แหลม
2. กาหนดให้สามเหลยี่ มABC มี a , b และ c เปน็ ความยาวของดา้ นตรงข้ามมมุ A , B และ C ของ

สามเหลย่ี ม ตามลาดบั จงใชก้ ฎของไซนห์ าความยาวของดา้ น หรอื ขนาดของมุมต่อไปน้ี

(1) จงหา a , b และขนาดของมุม C เมื่อ Aˆ =30 , Bˆ = 45 และ c = 8 หน่วย
(2) จงหา c , ขนาดของมุม B และ C เม่อื a = 5 3 หนว่ ย , b =5 หน่วย และ มุม A = 60
3. กาหนดใหส้ ามเหล่ียมPQR มี p , q และ r เปน็ ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม P , Q และ R ของ

สามเหล่ียม ตามลาดบั จงหาความยาวของด้านหรือขนาดของมมุ ที่เหลอื ของ

(1) p = 2 2 หนว่ ย , q = 2 3 หนว่ ย และ Pˆ = 45 เมือ่ Qˆ เป็นมุมแหลม
(2) Qˆ =60 , Rˆ = 45 และ q = 24 หนว่ ย

7.4 มุมก้มและมุมเงย
ในการหาความสงู หรือระยะทางใดๆ เช่น ความสงู ของเสาธง หรือ ระยะทางระหว่างเรือ 2 ลา

ในทะเล นอกจากจะใช้เครื่องมอื หรืออุปกรณท์ างวิศวกรรมแลว้ บางคร้งั อาจใช้ความรเู้ ก่ียวกับ
อัตราสว่ นตรีโกณ กฎของโคไซน์ กฎของไซน์ มมุ กม้ และมุมเงย มาช่วยในการหาได้ โดยความหมาย
ของมมุ ก้มและมุมเงยกาหนดไว้ ดงั น้ี

มมุ ก้ม เปน็ มมุ ที่เกดิ จากการมองวัตถุ เมือ่ วตั ถุอยใู่ ตเ้ สน้ ในระดับสายตา ในรปู คือ 1
เส้นระดับสายตา

? วตั ถุทก่ี ม้ มองจากเส้นระดับสายตา

มมุ เงย เป็น มุมทเ่ี กิดจากการมองวัตถุ เมื่อวัตถุอยูเ่ หนือเส้นในระดับสายตา ในรปู คอื 2

? วตั ถุท่เี งยมองจากเสน้ ระดับสายตา

2 หนา้ 175

วชิ า คณิตศาสตรท์ ่วั ไป (491-11-01)

ตัวอยา่ ง 7.11 นกั ศึกษา 2 คนยืนอยู่บนพืน้ ราบห่างกนั 80เสเม้นตรระดในบั แสนายวเตสาน้ ตรงระหวา่ งคนทั้งสองมีเสา
ธงต้นหนง่ึ ตั้งอยู่ ถา้ นักศึกษาแตล่ ะคนมองยอดเสาธงเหน็ เป็นมมุ เงย 30และ 60ตามลาดบั จงหาว่า
เสาธงตน้ นี้สูงเทา่ ใด
วิธีทา

เขียนรูปสามเหลย่ี ม ABC ประกอบการคานวณ ดังน้ี
C

30 60

A DB

80

ให้ CD เปน็ ความสูงของเสาธง
พจิ ารณา  ABC ซึ่งมี ACˆ B = 180  30  60= 90

ใชก้ ฏของไซน์ไดว้ า่ AC  80
sin 60 sin 90
พจิ ารณา  ACD
ใชก้ ฏของไซนไ์ ด้ว่า AC  80
 3 1
 
 2 

AC   3   80 
 2   1 

AC  40 3

CD  AC
sin 30 sin 90

CD  40 3
1 1
 2 

CD   1   40 3 
 2   1 

CD  20 3

CD  34.34

หนา้ 176

วิชา คณิตศาสตร์ท่วั ไป (491-11-01)

ดงั นน้ั เสาธงตน้ นีส้ งู ประมาณ 34.34 เมตร

ตวั อย่าง 7.12 ชายคนหนึ่งยืนอยทู่ ร่ี ะเบยี งของห้องพักชายทะเลซงึ่ สงู 60 เมตรจากระดับนา้ ทะเล
มองเห็นเรือ 2 ลา จอดทอดสมออยู่ในแนวเดียวกนั กับตาแหน่งซ่งึ เขายนื อยู่ โดยมีมุมก้ม30และ 45
ตามลาดับ จงหาว่าเรอื 2 ลานน้ั จอดอยู่ห่างกนั เท่าใด
วธิ ที า

เขยี นรูปสามเหลยี่ ม ACD ซึง่ มี B และ C เปน็ ตาแหน่งของเรือแต่ละลาประกอบการ
คานวณ ดังน้ี

D

60

A BC

พจิ ารณา  ABD ซึง่ มี ABˆ D  45

ใชก้ ฏของไซนไ์ ด้วา่ BD  AD
sin 90 sin 45

BD  60
1 1

 2 

BD  60 2

พจิ ารณา  BCD ซ่ึงมี BDˆ C  45  30  15 และ BCˆ D  30

ใช้กฏของไซนไ์ ด้ว่า BC  BD
sin15 sin 30

BC  60 2
6 2 1
4  2 

BC   6 2  (2) (60 2)
 4 

 43.91

ดงั นั้น เรือ 2 ลาน้นั จอดอยหู่ ่างกันประมาณ 43.91 เมตร

ข้อสังเกต การคานวณหาผลลพั ธ์ในตวั อย่าง 7.12 อาจคานวณโดยไมต่ ้องใช้กฏของไซน์ ดังน้ี

เนอื่ งจาก  BCD เปน็ สามเหลย่ี มหนา้ จ่วั ซึ่งมี AB และ AD เปน็ ดา้ นประกอบมุมยอด

จะได้ AB = AD = 60

หน้า 177

วิชา คณิตศาสตรท์ ั่วไป (491-11-01)

พจิ ารณา  ACD ซงึ่ เปน็ สามเหล่ียมมุมฉาก

tan ACˆ D  AD
AC

tan 30  60
AC

1  60
3 AC

AC  60 3

 103.91
 BC  AC-AB

 103.91 - 60
 43.91
ดังนน้ั เรอื 2 ลานั้นจอดอยูห่ ่างกนั ประมาณ 43.91 เมตร

แบบฝกึ หัด 7.3
1. นักศึกษาคนหน่งึ ยืนอยู่ห่างจากโคนเสาธงต้นหน่งึ 15 เมตร เม่ือมองไปยงั ยอดเสาธงต้นนั้น

พบว่ามมี มุ เงย 60 จงหาว่าเสาธงมคี วามสูงเทา่ ใด
2. ชายคนหนึง่ นง่ั อยู่บนหนา้ ผาสูง 200 เมตร มองเหน็ รถยนตค์ ันหนึ่งจอดอยดู่ า้ นล่างเปน็ มมุ ก้ม

30 จงหาวา่ รถยนตค์ นั ดงั กลา่ วจอดห่างจากตีนผาด้านล่างเทา่ ใด
3. นายฉงนมองเหน็ ยอดเจดีย์องคห์ นง่ึ เปน็ มมุ เงย 30 เมือ่ เดนิ ตรงเข้าไปใกล้เจดยี ์อกี 20 เมตร

พบว่ายอดเจดยี ์มมี มุ เงย 60 จงหาวา่ เจดยี ์มคี วามสงู เท่าใด
4. จากยอดประภาคารซง่ึ สูง 100 เมตรจากระดบั น้าทะเล สังเกตเหน็ เรือของนักท่องเที่ยว 2 ลาจอด

ทอดสมออยู่ในแนวเดียวกนั และวัดมุมกม้ ของเรอื ท้ังสองลาได้ 30และ60ตามลาดับ จงหาว่า
เรอื 2 ลา ดังกล่าวจอดอยูห่ ่างกนั เท่าใด
5. เมอ่ื นายสมจรงิ ยืนอยู่ริมหนา้ ต่างของหอ้ งพักชั้นล่างมองไปที่ยอดสูงสุดของอาคารชุดหลงั หนึ่ง
พบวา่ เป็นมุมเงย 60 แตเ่ ม่ือข้นึ ไปหาเพื่อนทช่ี ั้น5 และยืนอยูใ่ นแนวด่งิ ตรงกบั ตาแหนง่ เดิม
พบวา่ เปน็ มุมเงย 45 ถา้ แต่ละช้ันของตึกท่นี ายสมจรงิ พักอาศัยสูง 3 เมตร จงหาความสงู ของ
อาคารชุดท่นี ายสมจรงิ สงั เกตเหน็ เป็นมุมเงยดงั กล่าวข้างต้น

หน้า 178

วชิ า คณติ ศาสตรท์ ั่วไป (491-11-01)

เอกสารอ้างองิ

1. กระทรวงศึกษาธิการ.2548 คณิตศาสตร์ เล่ม 1 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 5
จานวน 100,000 เล่ม. พิมพ์คร้ังที่ 2. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี.
กระทรวงศกึ ษาธกิ าร

2. กระทรวงศึกษาธิการ.2545 คณิตศาสตร์ ค 015 ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย. จานวน 100,000
เล่ม. พิมพค์ ร้ังที่ 12. สถาบันสง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลย.ี กระทรวงศกึ ษาธกิ าร

3. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, กระทรวงศึกษาธิการ คณิตศาสตร์ เล่ม 1
กลุ่มสาระการเรียนรู้เพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 4 โรงพิมพ์คุรุสภาลาดพร้าว
กรงุ เทพมหานคร : 2544.

4. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, กระทรวงศึกษาธิการ คณิตศาสตร์ เล่ม 1
กลุ่มสาระการเรียนรู้เพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 5 โรงพิมพ์คุรุสภาลาดพร้าว.
กรงุ เทพมหานคร : 2544.

5. . ตรรกวิทยาสญั ญลกั ษณ์เบ้อื งต้น ไทยวฒั นาพานชิ กรงุ เทพมหานคร : 2529.
6. . ปรชั ญา 102 ตรรกวิทยาทว่ั ไป ไทยวัฒนาพานชิ กรุงเทพมหานคร : 2531.
7. . คณิตศาสตร์สาหรับสังคมศาสตร์ (6-10) มหาวิทยาลัยสุโขทัยธรรมาธิราช

กรงุ เทพมหานคร : 2533.
8. . เอกสารการสอนชุดวิชาตรรกศาสตร์ เซ็ตและทฤษฎีจานวน (หน่วยที่ 1-7)

มหาวทิ ยาลยั สุโขทัยธรรมาธิราช กรุงเทพมหานคร : 2529.
9. . เอกสารการสอนชุดวิชาตรรกศาสตร์ เซ็ตและทฤษฎีจานวน (หน่วยที่ 8-15)

มหาวิทยาลัยสโุ ขทัยธรรมาธิราช กรงุ เทพมหานคร : 2529.
10. . คณิตศาสตร์สาหรับสังคมศาสตร์ (1-5) มหาวิทยาลัยสุโขทัยธรรมาธิราช

กรุงเทพมหานคร : 2539.
11. . คณติ ศาสตร์ 1 (9-15) มหาวทิ ยาลัยสโุ ขทัยธรรมาธริ าช กรงุ เทพมหานคร : 2536.
12. กมล เอกไทยเรญิ คณติ ศาสตร์ ม.5 เทพเนรมติ การพมิ พ์ นนทบุรี
13. กีรติ บุญเจอื ตรรกวิทยาทั่วไป ไทยวัฒนาพาณิช กรุงเทพมหานคร : 2528.
14. จติ รา ทับแสง ตรรกวทิ ยาท่วั ไป วิทยาลยั ครูพระนคร กรุงเทพมหานคร : 2529.
15. จินดา อยู่เปน็ สุข.2541 วารสารแมค็ ม.ปลาย วิทย์ ฉบบั ที่ 2 คณิตศาสตร์ ม.6 ลาดบั และอนุกรม.
16. ชนศักดิ์ บ่ายเที่ยง , วีระศักดิ์ ศรีบุตร แววเจริญ .2545 คณิตศาสตร์วิศวกรรมศาสตร์และ

วทิ ยาศาสตร์ จานวน 2,000 เล่ม. กรงุ เทพมหานคร: วงษต์ ะวัน จากดั .
17. นลนิ ี โพธิทัต ตรรกวิทยาเบื้องตน้ ตรรกวิทยาเบอื้ ง ต้น อกั ษรวัฒนา กรงุ เทพมหานคร : 2494.
18. มงคล ทองสงคราม.2536. คณติ ศาสตร์พน้ี ฐาน. กรุงเทพมหานคร : รามาการพมิ พ์.
19. มหาวิทยาลัยสุโขทัยธรรมาธิราช.2532. เอกสารการสอนชุดวิชา คณิตศาสตร์ 3 .พิมพ์ครั้งท่ี 2.

ภาควิชาศึกษาศาสตร์.มหาวิทยาลัยสโุ ขทัยธรรมาธริ าช.

หน้า 179

วชิ า คณิตศาสตรท์ ั่วไป (491-11-01)

24. วัลลภ ลมิ สวุ ฒั นากร,ผ้แู ปล.2540. ทฤษฎีและตัวอย่างโจทย์คณิตศาสตร์พ้ืนฐาน. กรุงเทพมหานคร
: แมคกรอ-ฮลิ อนิ เตอร์เนชน่ั แนล เอน็ เตอรไ์ พรส์ ,องิ ค์

25. วีณาภรณ์ เจริญกุล. ม.ป.ป. คณติ ศาสตร์ทวั่ ไป.ม.ป.ท.
26.วีณาภรณ์ เจริญกุล. 13-010-120 คณิตศาสตร์ทั่วไป วิทยาเขตพระนครศรีอยุธยา วาสุกรี :

พระนครศรีอยธุ ยา.
27. สมบุญ เตมยี วณิชย์. ม.ป.ป. คณิตศาสตร์ท่ัวไป.ม.ป.ท.
29. สมัย เหลา่ วาณิชย์ คณติ ศาสตร์ ม. 4-5-6 เจรญิ ดีการพิมพ์ กรงุ เทพมหานคร : 2542.
30. สุวร กาญจนมยูร คณิตศาสตร์พ้ืนฐาน ตรรกศาสตร์สัญญลักษณ์ ไทยวัฒนาพานิช

กรุงเทพมหานคร : 2523.
31. สุโขทัยธรรมมาธิราช, มหาวิทยาลัย คณิตศาสตร์สาหรับสังคมศาสตร์ (1-5) มหาวิทยาลัยสุโขทัย

ธรรมธริ าช กรุงเทพมหานคร : 2533.
32. *อาจารย์สมบุญ เตมียวณิชย์. แคลคูลัส 1-1 สถาบันเทคโนโลยีราชมงคล วิทยาเขต

พระนครศรีอยธุ ยา วาสุกรี (บทเรียน 2.2 -2.3 โดยไดร้ ับอนญุ าตจาก*อาจารย์สมบญุ สวยสด )
33. อารมณ์ เพชรส่องแสง , วีระศักดิ์ รัตนสมบูรณ์ .2534 คณิตศาสตร์ 1 จานวน 2,000 เล่ม.

กรุงเทพมหานคร: พทิ กั ษก์ ารพิมพ์.

หนา้ 180