คณิตศาสตร์ทั่วไป

วิชา คณติ ศาสตรท์ ่ัวไป (491-11-01)

~(~p)แทน นิเสธของดวงอาทิตย์ไม่เป็นดาวฤกษ์
ซง่ึ ~(~p)  p

ดงั นั้น นิเสธข้อความดวงอาทิตย์ไมเ่ ปน็ ดาวฤกษ์คือ ดวงอาทติ ย์เปน็ ดาวฤกษ์

(2) จะได้ p  q แทน ดวงอาทติ ยเ์ ป็นดาวฤกษแ์ ละข้ึนทางทิศตะวันออก
~( p  q) แทน นิเสธของดวงอาทติ ยเ์ ป็นดาวฤกษ์และข้ึนทางทิศตะวันออก

ซง่ึ ~( p  q)  ~p  ~q

ดงั นน้ั นเิ สธของดวงอาทติ ย์เปน็ ดาวฤกษ์และขนึ้ ทางทิศตะวนั ออก คอื ดวงอาทิตย์ไม่
เปน็ ดาวฤกษห์ รือไม่ขนึ้ ทางทิศตะวันออก

(3) จะได้ p q แทน ดวงอาทิตยเ์ ป็นดาวฤกษห์ รอื ไมก่ ข็ ึ้นทางทิศตะวันออก
~( p  q) แทน นิเสธของดวงอาทติ ย์เป็นดาวฤกษ์หรือไม่กข็ ้ึนทางทิศตะวันออก

ซง่ึ ~( p  q)  ~p  ~q

ดังนั้น นเิ สธของข้อความดวงอาทติ ยเ์ ป็นดาวฤกษห์ รือไม่ก็ข้นึ ทางทิศตะวนั ออก คือ
ดวงอาทิตย์ไมเ่ ป็นดาวฤกษ์และไมข่ นึ้ ทางทิศตะวนั ออก

(4) จะได้ p q แทน ถา้ ดวงอาทติ ย์เปน็ ดาวฤกษแ์ ล้วข้ึนทางทศิ ตะวนั ออก
~( p  q ) แทน นิเสธของถา้ ดวงอาทิตยเ์ ป็นดาวฤกษแ์ ล้วขึ้นทางทิศ
ตะวนั ออก

ซง่ึ ~( p  q)  p  ~ q

ดงั นั้น นเิ สธของถา้ ดวงอาทติ ย์เปน็ ดาวฤกษ์แลว้ ขนึ้ ทางทิศตะวนั ออกคือ ดวงอาทติ ยเ์ ปน็
ดาวฤกษแ์ ละไม่ขึน้ ทางทิศตะวันออก

(5) จะได้ p  r แทน ดวงอาทิตยเ์ ป็นดาวฤกษ์ก็ต่อเม่ือขึน้ ทางทิศตะวันออก
~( p  r) แทน นเิ สธของดวงอาทติ ยเ์ ป็นดาวฤกษ์ก็ตอ่ เม่อื ขึน้ ทางทิศ
ตะวนั ออก

ซง่ึ ~( p  r)  p  ~ r
 ~p  r
 (p  ~ r)  (~p  r)

ดงั นน้ั นเิ สธของข้อความดวงอาทติ ย์เป็นดาวฤกษ์กต็ ่อเมื่อขนึ้ ทางทิศตะวันออก คือ
(1) ดวงอาทติ ย์เปน็ ดาวฤกษ์ก็ต่อเมือ่ ไม่ขน้ึ ทางทิศตะวนั ออก
(2) ดวงอาทติ ย์ไม่เปน็ ดาวฤกษ์ก็ต่อเม่ือขึน้ ทางทศิ ตะวันออก
(3) ดวงอาทติ ยเ์ ป็นดาวฤกษ์ก็ต่อเม่ือไม่ข้ึนทางทิศตะวันออกหรือ
ดวงอาทติ ย์ไม่เปน็ ดาวฤกษ์ก็ต่อเมื่อขนึ้ ทางทิศตะวนั ออก

(6) จะได้ (p  ~q)  r แทน ถา้ ดวงอาทติ ยเ์ ปน็ ดาวฤกษแ์ ละไม่ขึ้นทางทิศตะวันออกแลว้
หมิ ะตกทอ่ี ยุธยา

~[(p  ~q)  r] แทน นิเสธของข้อความถ้าดวงอาทิตยเ์ ปน็ ดาวฤกษ์และไม่ข้ึนทาง

ทศิ ตะวนั ออกแลว้ หิมะตกที่อยธุ ยา

หนา้ 93

วิชา คณติ ศาสตร์ทัว่ ไป (491-11-01)

ซง่ึ ~[(p  ~q)  r]  (p  ~q)  ~r

ดงั น้นั นเิ สธของข้อความถ้าดวงอาทิตยเ์ ป็นดาวฤกษ์และไม่ข้ึนทางทิศตะวันออกแล้วหิมะ
ตกท่ีอยุธยา คอื ดวงอาทติ ย์เปน็ ดาวฤกษ์และไม่ขึน้ ทางทิศตะวนั ออกแตห่ ิมะไมต่ กที่อยธุ ยา

ตัวอย่าง 5.12 จงหานิเสธของประพจนต์ ่อไปน้ี

(1) p  (q  ~r) (2) (p  ~q)  (~p  r) (3) p  (q  r) (p

r )

วิธที า

(1) นเิ สธของประพจน์ [p  (q  ~r)]

คอื ~[p  (q  ~r)]  ~p  ~(q  ~r)

 ~p  (q  ~(~r))

 ~p  (q  r)

(2) นิเสธของประพจน์ [(p  ~q)  (~p  r)]
คือ ~[(p  ~q)  (~p  r)]  ~(p  ~q)  ~(~p  r)
 (p  ~(~q))  (~(~p)  ~r)

 (p  q)  (p  ~r)

(3) นเิ สธของประพจน์ [p  (q  r) (p  r )]
คอื ~ [p  (q  r)  (p  r )]  p  ~ [ (q  r)  (p  r )]
 p  [~ (q  r)  ~ (p  r )]
 p  [ (~q  ~r)  (~p  ~r )]

แบบฝึกหัด 5.3

1. จงสรา้ งตารางคา่ ความจรงิ ตรวจสอบดูวา่ รูปแบบของประพจนใ์ นขอ้ ใดบา้ งสมมลู กนั

(1) ~(~(~p)) กบั ~p (10)~(p  q) กบั (p  ~q)  (~p 

(2) p  q กบั q  p q)

(3) p  q กับ q  p (11)p  q กับ (p  q)  (q  p)

(4) p  q กบั q  p (12)(p  q)  r กับ p  (q  r)

(5) p  q กบั ~p  q (13)p  (q  r) กับ (p  q)  (p  r)

(6) p  q กบั ~q  ~p (14)p (q  r) กับ (p q)  (p  r)

(7) ~(p  q) กบั p  ~q (15)p  (q  r) กบั (p  q)  (p  r)

(8) ~(p  q) กับ p  ~q (16)p  (q  r) กบั (p  q)  (p  r)

(9) ~(p  q) กับ p  ~q (17)(p  q)  r กับ (p  r)  (q  r)

(18)(p  q)  r กบั (p  r)  (q  r)

2. จงตรวจสอบดูว่าขอ้ ความ (ก) กบั ขอ้ ความ (ข) ในแต่ละข้อสมมลู กันหรือไม่
(1) (ก) ถ้านางสาววภิ าออกกาลังกายสม่าเสมอแล้วนางสาววภิ าไมเ่ จ็บปว่ ย

หนา้ 94

วชิ า คณติ ศาสตรท์ ว่ั ไป (491-11-01)

(ข) นางสาววภิ าไม่ออกกาลงั กายสมา่ เสมอหรอื นางสาววิภาไม่เจ็บปว่ ย

(2) (ก) นายอ้วนกนิ อาหารประเภทแปง้ มากและกินอาหารประเภทน้าตาลมาก

(ข) นายอว้ นไม่ไดก้ ินอาหารประเภทแป้งมากหรือกนิ อาหารประเภทนา้ ตาลมาก

(3) (ก) ถ้าฝนตกและน้าทว่ มพื้นผิวถนนแลว้ การจารจรจะตดิ ขัด

(ข) แม้วา่ ฝนไม่ตกหรอื นา้ ไมท่ ่วมพ้นื ผิวถนน แตก่ ารจารจรก็ติดขัด

3. จงสร้างตารางคา่ ความจริงเพือ่ ตรวจสอบดูวา่ ข้อความ (ก) กับข้อความ (ข)

ในแตล่ ะขอ้ เปน็ นิเสธกันหรอื ไม่

(1) (ก) p  q (ข) ~p  ~q

(2) (ก) p  q (ข) ~p  ~q

(3) (ก) p  q (ข) ~p  ~q

(4) (ก) p  q (ข) ~p  ~q

(5) (ก) p  q (ข) ~p  ~q

(6) (ก) p  q (ข) p  ~q

(7) (ก) p  q (ข) p ~q

(8) (ก) p  q (ข) (p  ~q)  (~p  q)

(9) (ก) p  q (ข) (p  ~q)  (~p  q)

4. จงหานเิ สธของข้อความต่อไปนี้

(1) นายเกง่ ไม่ชอบเรียนตรรกศาสตร์

(2) แม่ของแดงขายแตงโมแตไ่ มไ่ ด้ขายสบั ปะรด

(3) สขุ สนั ต์จัดงานฉลองวันเกดิ ให้ภรรยาหรอื บตุ ร

(4) ถา้ ขนุ ทองเป็นนกแก้วขนทองบนิ ไปหาสารกิ าทกุ วัน

(5) 5 ไม่น้อยกวา่ 4 กต็ ่อเมื่อ 5 มากกวา่ 4 หรอื 5 เท่ากบั 4

(6) ถ้าต๊กุ ตาไปพัทยาแลว้ ต๊กุ ตาไปเล่นนา้ ชายหาดและไปดาน้าดูปะการัง

5. จงหานิเสธของประพจนต์ ่อไปนี้

(1) ~(~(~(~p))) (6) [~(p  q)]  (q ~p)
(2) ~(p  ~q)
(3) p  (p  q) (7) (p  q)  (~q  ~p)
(4) (p  q)  p (8) (~p  q)  (q  p)
(5) (p  q)  (~p  ~q) (9) p  (q  r)  (p  r)
(10) (p  q)  [ ~p  (q  p)]

5.4 การใหเ้ หตุผล
กอ่ นทีจ่ ะศึกษาเรื่องการใหเ้ หตุผล ตอ้ งมาทาความเข้าใจเก่ียวกับรูปแบบของประพจน์ที่มี

ลกั ษณะเปน็ tautology contradiction หรอื synthetic ก่อน ดังน้ี

พิจารณาคา่ ความจรงิ ของรูปแบบของประพจน์ [p  (p  q)]  q

p q p  q p  (p  q) [p  (p  q)]  q

หน้า 95

วชิ า คณิตศาสตร์ทั่วไป (491-11-01)

TT T T T

TF F F T

FT T F T

FF T F T

จะเห็นว่ารปู แบบของประพจน์ [p  (p q)]  q เป็นจริงทุกกรณโี ดยไม่ข้ึนอยกู่ ับค่าความจริงของ

ประพจน์ย่อย p และ q เรียกรปู แบบของประพจน์ [p  (p  q)]  q นี้ว่าเป็นสจั นิรันดร์

บทนิยาม เรยี กรปู แบบของประพจนซ์ งึ่ มคี ำ่ ควำมจริงเปน็ จรงิ ทุกกรณีวำ่
สจั นริ ันดร์ (tautology)

จากตารางค่าความจริงข้างตน้ อาจหาคา่ ความจรงิ ของรูปแบบของประพจน์ [p  (p  q)]  q โดย

ลดการเขียนประพจน์ที่ซา้ ซ้อนกนั ได้ ดังน้ี
[p  (p  q)]  q
TTTTT T T
TFTFF T F
FFFTT T T
FFFTF T F

13121 4 1

1 , 2 , 3 และ 4 แสดงลาดับกอ่ นหลังของการเขยี นหรือหาคา่ ความจรงิ
1 เขยี นค่าความจรงิ ของประพจนย์ อ่ ย p , q ทุกกรณีก่อน

2 หาค่าความจริงของ p  q 3 และ 1 ตาม

หาคา่ ความจรงิ ของ p  (p  q)

3 หาค่าความจรงิ ของ[p  (p  q)]  qโดยพิจารณาจากผลของ

4 ลกู ศร

ตวั อยา่ ง 5.13 จงแสดงว่ารปู แบบของประพจน์ (p  q)  ~p เปน็ สัจนิรันดรห์ รือไม่
วิธีทา

หาค่าความจรงิ โดยลดการเขยี นรูปแบบประพจนท์ ่ีซา้ ซ้อนกนั ดังน้ี

(p  q)  ~p
TTT F F
TFF F F
FFT F T
FFF F T

จะเห็นไดว้ า่ รปู แบบของประพจน์ (p  q)  ~p ไมไ่ ดเ้ ป็นจริงทุกกรณี นั่นคือ รปู แบบของ
ประพจน์ (p  q)  ~p ไมเ่ ปน็ สจั นิรันดร์

หนา้ 96

วิชา คณิตศาสตร์ทั่วไป (491-11-01)

อน่งึ รปู แบบของประพจน์ซึง่ เป็นเท็จทุกกรณี โดยไม่ขนึ้ อยู่กับค่าความจรงิ ของประพจน์ยอ่ ย
p และ q ตามตวั อย่าง 13 น้ี เรียกวา่ คอนทราดิกชัน (contradiction) และสาหรับรปู แบบของ
ประพจนท์ ี่ไม่เป็นสจั นริ ันดร์ หรอื ไมเ่ ป็นคอนทราดิกชนั เรียกว่า ซินเธค็ ทิค(synthetic)

ตวั อยา่ ง 5.14 จงแสดงวา่ รูปแบบของประพจน์ (~p  q)  (q  p) เป็น tautology
contradiction หรือ synthetic
วธิ ีทา หาคา่ ความจรงิ โดยลดการเขยี นรูปแบบประพจน์ที่ซา้ ซ้อนกันดังนี้

( ~ p  q)  ( q  p )
F T T T TTT
F F F T FFT
T T T F TFF
T T F T FTF

จะเห็นไดว้ ่า รปู แบบของประพจน์ (~p  q) (q  p) ไมเ่ ปน็ tautology หรอื
ไม่เป็น contradiction นนั่ คอื รูปแบบของประพจน์ (~p  q) (q  p) เปน็ synthetic

ตัวอย่าง 5.15 จงแสดงว่ารปู แบบของประพจน์ [p (q  r)]  [(~p r)  ~q] เป็นสจั นิรันดร์

วธิ ีทา
หาค่าความจรงิ โดยลดการเขยี นรูปแบบประพจนท์ ี่ซ้าซ้อนกันดังน้ี

[p  (q  r)]  [(~p  r)  ~q]
TT TT T T FTT F F
TF TF F T FFF T F
TF FF T T FTT T T
TF FF F T FFF T T
FT TT T T TTT F F
FT TF F T TTF F F
FT FF T T TTT T T
FT FF F T TTF T T

จะเห็นไดว้ ่ารูปแบบของประพจน์ [p  (q  r)]  [(~p  r) ~q] มีค่าเป็นจริงทกุ กรณี โดยไม่ขึ้นอยู่

กบั วา่ ค่าความจริงของ p , q หรือ r นน่ั คือ รปู แบบของประพจน์[p  (q  r)] [(~p  r) ~q]

เปน็ สัจนริ ันดร์

รูปแบบของประพจนท์ ่ีเปน็ สจั นริ ันดร์มปี ระโยชนม์ ากในการใช้อ้างอิงในวิชาคณิตศาสตร์เชน่
ถ้าเหตุ คือ p และp  q แล้วย่อมได้ผล q เปน็ การอ้างเหตุผลท่สี มเหตสุ มผล ในแบบฝึกหัด
ตอ่ ไปนี้ มีรปู แบบของประพจนซ์ ่ึงเปน็ สจั นิรนั ดรท์ ใี่ ช้กันมากในวชิ าคณติ ศาสตร์ซ่งึ เอาไว้อ้างอิงได้

แบบฝึกหดั 5.4

1.จงแสดงวา่ รูปแบบประพจน์ต่อไปน้ีเป็นสจั นิรนั ดร์

(1) p  ~p (2) p  (p  q)

หน้า 97

(3) (p  q)  p วิชา คณิตศาสตร์ทั่วไป (491-11-01)

(4) [(p  q)  p]  q (6) (p  q)  (~q  ~p)
(5) [(p  q)  ~q]  ~p
(7) [(p  q)  ~p]  q

(8) (p  q)  (q  r)  (p  r)

(9) [p  (q  r)]  [(p  q)  (p  r)]
(10)[(p  r)  (q  r)]  [(p  q)  r]

หน้า 98

วิชา คณติ ศาสตรท์ ั่วไป (491-11-01)

2. จงแสดงว่ารูปแบบของประพจน์ตอ่ ไปน้ีเปน็ tautology contradiction หรอื synthetic

(1) (p  q)  ~p (5) [p  (~q  ~r)]  [(p  q)  r]

(2) ~(p  q)  q (6) [(p  r)  (q  r)]  [(p q)  ~r]

(3) (p  q)  ~r (7) [[(p  q)  (r  s)]  (p r)]  (q  s)

(4) [(p  q)  (q  r)]  (p  r) (8) [[(p  q)  (r  s)]  (~q  ~s)]  (~p  ~r)

5.4.1 ความสมเหตุสมผลของรูปแบบการใหเ้ หตุผล

การอา้ งเหตผุ ล (argument) คอื การอ้างจากข้อมูลชุดหนึ่งเชน่ P1 , P2 , … , Pn-1 แลว้ สามารถ
สรปุ ผลได้ข้อความ C ข้อความหนง่ึ ได้ ซง่ึ การอ้างเหตุผลนี้ประกอบดว้ ยส่วนสาคญั 2 ส่วน คือ เหตหุ รือ
สง่ิ ท่กี าหนดให้ ได้แก่ P1 , P2 , … , Pn และ ผลหรอื ข้อสรุปได้แก่ C การอ้างเหตุผลดงั กลา่ วอาจจะ
สมเหตสุ มผลหรอื ไม่สมเหตสุ มผลกไ็ ด้ อย่างไรก็ตามสามารถตรวจสอบไดว้ า่ การอา้ งเหตุน้ันสมเหตุสมผล
หรือไม่ โดยใช้ตวั เช่ือม  เชื่อมเหตุทั้งหมดในชดุ น้นั เข้าด้วยกันแล้วใช้ตวั เชอ่ื ม  เชือ่ มส่วนท่ีเป็น
เหตผุ ลดังน้ี

( P1  P2  …  Pn)  C
ถา้ รูปแบบของประพจน์ ( P1  P2  …  Pn)  C เปน็ สจั นิรนั ดร์ จะกลา่ ววา่ การอ้าง
เหตผุ ลน้ี “สมเหตุสมผล” (valid) แตถ่ า้ รูปแบบของประพจน์ ( P1  P2  …  Pn)  C ไมเ่ ป็นสัจ
นริ ันดร์ กก็ ลา่ วไดว้ า่ การอา้ งเหตผุ ลนี้ “ไม่สมเหตุสมผล” (invalid)

ตวั อย่าง 5.16 จงพิจารณาว่าการอา้ งเหตุผลตอ่ ไปน้สี มเหตุสมผลหรอื ไม่
เหตุ 1. p  q
2. p
ผล q

วธิ ีทา
ขั้นท่ี 1 ใชต้ วั เช่ือม  เช่อื มเหตุท้ังหมดเข้าด้วยกัน แล้วใช้ตัวเชื่อม  เชอ่ื มส่วนทเี่ ปน็ เหตุเขา้ กับผล จะได้
รูปแบบของประพจน์ คือ [(p  q)  p]  q

ขนั้ ท่ี 2 ตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ [(p  q)  p]  q ท่ีไดใ้ นข้ันที่ 1 วา่ เปน็ สจั นิรันดรห์ รือไม่
[(p  q)  p]  q
T T TTT T T
T F FFT T F
F T TFF T T
F T FFF T F

จะเหน็ ว่ารปู แบบของประพจน์ [(p  q)  p]  q เป็นสจั นริ นั ดร์ ดงั นน้ั การอา้ งเหตุผลขา้ งตน้
สมเหตุสมผล

หนา้ 99

วิชา คณติ ศาสตร์ทั่วไป (491-11-01)

ตวั อยา่ ง 5.17 จงพิจารณาวา่ การอ้างเหตผุ ลตอ่ ไปนส้ี มเหตุสมผลหรอื ไม่
เหตุ 1. p  q
2. ~p
ผล ~q

วิธที า
ขั้นท่ี 1 ใชต้ ัวเชอื่ ม  เช่ือมเหตทุ ัง้ หมดเข้าด้วยกัน แลว้ ใช้ตัวเชื่อม  เชอ่ื มส่วนทีเ่ ป็นเหตุ

กบั ผล จะได้รปู แบบของประพจน์ คอื [(p  q)  ~p]  ~q
ขน้ั ที่ 2 ตรวจสอบรปู แบบของประพจน์ [(p  q)  ~p]  ~q ท่ไี ด้ในข้นั ท่ี 1 วา่ เป็น

สัจนริ ันดร์หรือไม่

[(p  q)  ~p]  ~q

T TT F F T F
T FF F F T T
F TT T T F F
F TF T T T T

จะเหน็ ไดว้ ่า รปู แบบของประพจน์ [(p  q)  ~p]  ~q ไม่เป็นสัจนริ ันดร์ ดงั น้นั การอ้าง

เหตุผลขา้ งตน้ ไม่สมเหตสุ มผล

ตัวอย่าง 5.18 จงพจิ ารณาวา่ การอ้างเหตุผลตอ่ ไปนส้ี มเหตุสมผลหรอื ไม่
เหตุ 1. ถา้ ผลผลติ มีมากเกินไปแลว้ ราคาสนิ ค้าตกตา่
2. ราคาสินค้าไม่ตกตา่
ผล ผลผลิตไมไ่ ด้มีมากเกินไป

วิธีทา ให้ p แทน ผลผลติ มีมากเกินไป
q แทน ราคาสินคา้ ตกตา่

ดงั นั้น การอา้ งเหตผุ ลขา้ งตน้ เขยี นเปน็ รูปสัญลกั ษณ์ไดด้ ังนี้
เหตุ 1. p  q

2. ~q
ผล ~p
ใช้ตวั เช่อื ม  เช่ือมเหตุทั้งหมดเข้าดว้ ยกนั แล้วใช้ใช้ตวั เช่ือม  เช่อื มส่วนท่ีเป็นเหตุกับผลจะได้

รูปแบบของประพจน์ คือ [(p  q)  ~q]  ~p
ตรวจสอบรปู แบบของประพจน์ [(p  q)  ~q]  ~p วา่ เปน็ สัจนริ ันดรห์ รอื ไม่

[(p  q)  ~q]  ~p

T TT F F T F
T FF F T T F
F TT F F T T
F TF T T T T

หน้า 100

วิชา คณติ ศาสตรท์ ว่ั ไป (491-11-01)

จะเห็นไดว้ ่ารูปแบบของประพจน์ [(p  q)  ~q]  ~p เป็นสัจนิรันดร์ ดงั น้นั การอ้างองิ

เหตุผลขา้ งตน้ สมเหตสุ มผล
การให้เหตผุ ลทีส่ มเหตุสมผลโดยอาศัยรูปแบบของประพจน์ทเี่ ปน็ สจั นิรันดร์นยิ มเขียนในรูปแบบ

ของการอ้างเหตุผลท่ีสมเหตสุ มผล ซึ่งสามารถนาไปใช้เปน็ กฎอ้างองิ (rules of inference) ได้ทีใ่ ช้กัน
บอ่ ยๆ มี 9 ข้อดังน้ี
กฎอ้างองิ (rules of inference)
1. กฎยนื ยันเหตุ (Modus Ponens ; M.P.)

เหตุ 1. p  q
2. p

ผล q
2. การปฏเิ สธผล (Modus Tollens ; M.T.)

เหตุ 1. p  q
2. ~q

ผล ~p

3. ตรรกบทแบบสมมตฐิ าน (Hypothetical Syllogism ; H.S.)
เหตุ 1. p  q
2. q  r
ผล p  r

4. ตรรกบทแบบคดั ออก (Disjunction Syllogism ; D.S.)
เหตุ 1. p  q
2. ~p
ผล q

5. กฎเลอื กเง่ือนไข (Constructive Dilemma ; C.D.)
เหตุ 1. (p  q)  (r  s)
2. p  r
ผล q  s

6. กฎเลือกปฏิเสธผล (Destructive Dilemma ; D.D.)
เหตุ 1. (p  q)  (r  s)
2. ~q  ~s
ผล ~p  ~r

7. กฎเปลย่ี นให้ง่าย (Simplification ; Simp.)
เหตุ p  q
ผล p

(หรือผล) q

หนา้ 101

วิชา คณิตศาสตร์ทั่วไป (491-11-01)

8. กฎรวม (Conjunction ; Conj.)

เหตุ 1. p

2. q

ผล p  q

9. กฎเพ่มิ (Addition ; Add.)

เหตุ p

ผล p  q

เมือ่ นากฎอ้างอิงไปใชพ้ ิจารณาตวั อย่าง 5.18 จะสามารถทาใหส้ รปุ ได้อย่างรวดเรว็ กวา่

ตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ [(p  q)  ~q]  ~p วา่ เป็นสัจนิรนั ดร์หรือไม่ เนือ่ งจาก การอ้าง

เหตุผลอย่ใู นรปู แบบของกฎปฏิเสธผลพอดี การอา้ งเหตผุ ลดังกล่าวจงึ สมเหตุสมผล

ตวั อยา่ ง 5.19 จงพจิ ารณาการอ้างเหตุต่อไปนี้ สมเหตุสมผลหรอื ไม่

เหตุ 1. p  q

2. q  r

3. p

ผล r

วธิ ีทา 1. p  q (จากเหตุ 1.)

2. q  r (จากเหตุ 2.)

3. p  r (จาก1.,2.และตรรกบทแบบสมมติฐาน)

4. p (จากเหตุ 3.)

5. r (จาก 3.,4. และกฎยนื ยันเหตุ)

ดงั นั้น การอา้ งเหตผุ ลข้างต้นสมเหตสุ มผล

การพิจารณาอ้างองิ เหตผุ ลในตวั อยา่ ง 5.19 นี้ อาจตรวจสอบความสมเหตสุ มผลโดยใช้ตัวเช่ือม

 เช่ือมเหตุทงั้ หมดเข้าด้วยกัน แล้วใช้  เชื่อมส่วนทเี่ ป็นเหตุกับผล ซง่ึ จะไดร้ ูปแบบของประพจน์คอื [(p

 q)  (q  r)  p]  r และตรวจสอบวา่ เป็นสจั นริ นั ดรห์ รอื ไม่ ดงั น้ี

[(p  q)  (q  r)  p]  r

TT T T T T T T T T T

TT T F T F F F T T F

TF F F F T T F T T T

TF F F F T T F T T T

FT T T T TT F F TT

FT T F T F F F F TF

FT F T F TT F F TT

FT F T F TF F F TF

จะเห็นไดว้ ่ารูปแบบของประพจน์ [(p  q)  (q  r)  p]  r เป็นสจั นิรันดร์ ดงั นัน้ การอา้ ง

เหตุผลข้างต้นสมเหตุสมผล

หนา้ 102

วิชา คณติ ศาสตร์ท่วั ไป (491-11-01)

ตัวอย่าง 5.20 จงพจิ ารณาวา่ จากส่งิ ทก่ี าหนดให้จะได้ผลสรุปทใี่ ห้ไวห้ รอื ไม่

กาหนดให้ 1. p  q

2. q  r

3. ~s  ~r

ผลสรุป s

วิธีทา 1. p  q (จากกาหนดให้ 1.)

2. q (จาก 1. และกฎเปล่ียนให้งา่ ย)

3. q  r (จากกาหนดให้ 2.)

4. r (จาก 2., 3. และกฎยืนยันเหตุ)

5. ~s  ~r (จากกาหนดให้ 3.)

6. ~(~s) (จาก 5. และกฎปฏเิ สธผล)

7. s (จาก 6. และ ~(~s)  s )

ดงั น้ัน จากสง่ิ ทีก่ าหนดให้ จะได้ผลสรุปทใ่ี หไ้ ว้

ข้อสังเกต การพิจารณาผลสรุปในตวั อย่าง 5.20 น้ี ถ้าจะตรวจสอบผลสรุปทใี่ ห้ไวโ้ ดย

การตรวจสอบประพจน์ [(p  q)  (q  r)  ( ~s  ~r)]  s ว่าเป็นสัจนิรนั ดร์ก็ได้ แต่จะมีภาระ ในการ

หาคา่ ความจรงิ เป็นอยา่ งมาก เน่ืองจากในกรณีนี้มีประพจนย์ ่อย 4 ประพจน์ จึงตอ้ งพจิ ารณาค่าความจริง

ของประพจน์ [(p  q)  (q  r)  ( ~s  ~r)]  s จานวน 24 = 16 รูปแบบ ซ่ึงจะทาให้เสียเวลาและมี

โอกาสผิดพลาดสูง

ตัวอย่าง 5.21 จงพิจารณาวา่ การอา้ งเหตผุ ลตอ่ ไปนส้ี มเหตุสมผลหรอื ไม่ “ ถ้าราคาสนิ ค้าสูงขึน้ หรือ

คา่ แรงสูงข้ึนแลว้ ภาวะเงนิ เฟ้อสูงขึน้ แตภ่ าวะเงินเฟ้อไม่สูงข้นึ ดงั นั้น ราคาสนิ คา้ ไมส่ ูงข้ึนและค่าแรงไม่

สงู ขนึ้ ”

วธิ ที า ให้ p แทน ราคาสินคา้ สงู ขึน้

q แทน ค่าแรงสูงขึน้

และ r แทน ภาวะเงนิ เฟ้อสงู ข้นึ

เขียนการอา้ งองิ เหตผุ ลในรูปสัญลกั ษณ์ได้

เหตุ 1. (p  q)  r

2. ~r

ผล ~p  ~q

ใช้กฎอา้ งองิ พจิ ารณาการอ้างองิ เหตุผลดังนี้

1. (p  q)  r (เหตุ 1.)

2. ~r (เหตุ 2.)

3. ~(p  q) (จาก 1.,2. และ กฎปฏเิ สธผล)

4. ~p  ~q (จาก 3 และ ~(p  q) ~p  ~q )

จาก 4. จะได้วา่ ราคาสนิ ค้าไม่สูงขึ้นและค่าแรงไมส่ ูงข้นึ

ดังน้ัน การอา้ งอิงเหตุผลข้างต้นสมเหตุสมผล

หนา้ 103

วชิ า คณิตศาสตรท์ วั่ ไป (491-11-01)

หมายเหตุ ผู้เรยี นอาจตรวจสอบความสมเหตุสมผลในตวั อยา่ ง 5. 21 โดยการตรวจสอบความเปน็ สจั นิ

รนั ดรข์ องประพจน์ [[(p  q)  r]~r]  (~p  ~q) ก็ได้

แบบฝึกหดั 5.5

1. จงตรวจสอบว่าการอา้ งเหตผุ ลต่อไปนีส้ มเหตุสมผลหรอื ไม่

(1) เหตุ 1. p  q (7) กาหนดให้ 1. p  q
2. q 2. q  r
ผล ขอ้ สรปุ 3. r  s
(2) เหตุ p (8) กาหนดให้ 4. p
1. p  q
ผล 2. ~p ข้อสรุป s
(3) เหตุ ~q 1. p  q
1. q  r 2. ~q
ผล 2. ~r 3. ~p  ~r
(4) เหตุ 4. s  r
~q ~s
1. r  s

2. ~r (9) กาหนดให้ 1. p  q

ผล s 2. ~q
(5) เหตุ 3. r  s
1. p  ~q 4. ~r  ~p
ผล 2. q  r ข้อสรปุ s
(6) กาหนดให้ 3. ~r
(10) กาหนดให้1. p  ~t
ขอ้ สรปุ p 2. ~t  r
1. p  q 3. s  ~q
2. q  r 4. r  s
3. ~r  s
ข้อสรปุ p ~q
s

2. จงพิจารณาว่าการอ้างเหตุผลต่อไปน้ีสมเหตุสมผลหรอื ไม่

(1) เหตุ 1. ถ้ามีการเทขายหนุ้ แล้วราคาหนุ้ ตก

2. ราคาหุ้นไมต่ ก

ผล ไม่มีการเทขายห้นุ

(2) เหตุ 1. สภุ าพไปสถานอี นามยั หรอื ไปโรงพยาบาล

2. สุภาพไมไ่ ด้ไปสถานีอนามัย

ผล สุภาพไปโรงพยาบาลหรอื ไปคลินิกแพทย์

(3) เหตุ 1. ถา้ วริ ิยะต้งั ใจเรยี นแลว้ จะไมเ่ ขา้ ช้ันเรยี นสาย
ผล 2. ถ้าวิริยะไม่เข้าช้นั เรยี นสายแล้วจะสามารถเรยี นไดอ้ ย่างเขา้ ใจ
3. วริ ิยะต้งั ใจเรยี น

วริ ยิ ะเรียนไดอ้ ยา่ งเข้าใจ

หนา้ 104

วชิ า คณติ ศาสตร์ท่วั ไป (491-11-01)

(4) เหตุ 1. ถา้ ฝนตกแลว้ ถนนเปียก
2. ถ้าแดดออกแล้วถนนไม่เปยี ก
3. แดดออก

ผล ฝนไม่ตก
3. จงพจิ ารณาวา่ การอา้ งเหตุผลตอ่ ไปน้ี สมเหตุสมผลหรอื ไม่ “ ถ้านางสาวชวนชมชอบกนิ

เงาะ และนางสาวชวนชื่นชอบกินมงั คดุ แลว้ นางสาวชวนเชยชอบกนิ ทเุ รียน แต่นางสาว
ชวนเชย ไมช่ อบกนิ ทเุ รยี นและชอบกินเฉพาะลาไย ดังนนั้ นางสาวชวนชมไมช่ อบกินเงาะ
หรอื นางสาวชวนชืน่ ไมช่ อบกินมงั คุด ”

5.4.2 ความสมเหตุสมผลแบบนริ นัย

แตล่ ะประพจน์ในรูปแบบของความสมเหตสุ มผลแบบนิรนัยจะมอี งค์ประกอบ 3 สว่ น คอื เทอม 2 เทอม

ได้แก่ ภาคประธานและภาคแสดง ซ่ึงถูกเชอื่ มดว้ ยตัวเชอ่ื ม 1 ตัวเชือ่ ม คือ เปน็ หรอื ไมเ่ ป็น อย่างใด

อย่างหนงึ่ ดังนี้

ภาคประธาน + ตัวเชื่อม + ภาคแสดง

เช่น ประพจน์ 1 : สิ่งมชี วี ติ ทุกชนิดเปน็ พืช

ประพจน์ 2 : นกั ศึกษาบางคนไม่เป็นนกั กีฬา

สาหรบั ภาคประธานและภาคแสดงท่ีเรียกว่าเทอม จะแบง่ เป็น 2 ลักษณะ เทอมกระจายและ

เทอมไม่กระจาย ซึ่งมีสมบัติ ดังนี้

1. เทอมกระจายจะมีความหมายครบทุกหนว่ ย เช่น ทุกคน ทงั้ หมด ทงั้ ปวง

2. เทอมไม่กระจายจะมีความหมายไม่ครบทุกหน่วย เชน่ บางคน เกอื บทุกตวั โดยมาก

อย่างน้อย เกือบไมม่ ี มี

อน่ึง การพิจารณาว่าเทอมใดมีสมบตั ิเป็นเทอมกระจายหรือเทอมไม่กระจาย อาจใช้วิธีเขียน

แผนภาพประกอบการวิเคราะห์ได้ ดังตัวอยา่ งต่อไปน้ี

ตัวอย่าง 5.22 จงพิจารณาว่าภาคประธานหรือภาคแสดงต่อไปน้ี กระจายหรือไม่

วธิ ีทา

(1) ปลาทุกชนิดเป็นส่ิงมชี วี ิต (2) อาจารย์บางท่านเป็นชาวตา่ งประเทศ

ส่ิงมีชีวติ อำจำรย์ ชำวต่ำงประเทศ
ปลนำศ.

ปลาซงึ่ เป็นภาคประธานกระจาย อาจารย์ซงึ่ เปน็ ภาคประธานไมก่ ระจาย
สิง่ มีชวี ติ ซ่งึ เป็นภาคแสดงไมก่ ระจาย ชาวตา่ งประเทศซ่งึ เปน็ ภาคแสดงไม่กระจาย
(3) ดาวเคราะห์ทุกดวงไม่เปน็ ดาวฤกษ์ (4) นักมวยบางคนไม่เปน็ นกั ร้อง

ดำวเครำะห์ ดำวฤกษ์ นกั มวย คนนักร้อง

ฉลำด

หน้า 105

วิชา คณติ ศาสตร์ทว่ั ไป (491-11-01)

ดาวเคราะห์ซงึ่ เป็นภาคประธานกระจาย นักมวยซง่ึ เป็นภาคประธานไมก่ ระจาย

ดาวฤกษ์ซ่ึงเปน็ ภาคแสดงกระจาย นักรอ้ งซึง่ เปน็ ภาคแสดงกระจาย

อน่งึ รปู แบบของความสมเหตุสมผลแบบนริ นัย 1 ตรรกบทจะประกอบด้วย 3 ประพจน์ แต่

ละประพจนจ์ ะมีเทอม 2 เทอม เช่น

เหตุ 1. พืชบางชนิดเปน็ อาหาร (ประพจนอ์ า้ ง)

2. อาหารทัง้ หมดเปน็ สตั ว์ (ประพจนอ์ ้าง)

ผล พชื บางชนิดเปน็ สตั ว์ (ประพจน์สรปุ )

พจิ ารณาในประพจน์สรุปซง่ึ มีเทอมท่ีเปน็ ภาคแสดงซง่ึ คือ สัตว์ จะเรียกว่า เทอมเอก และเทอมเอก(สตั ว)์

ไปปรากฏอยู่ในประพจน์อา้ งในเหตุ 2 จงึ เรียกวา่ ประพจน์อา้ งในเหตุ 2 วา่ ประพจน์อ้างเอก ส่วนภาค

ประธานซ่ึงในทน่ี ี้ คอื พชื จะเรยี กวา่ เทอมโทและเทอมโทดังกล่าว(พชื )ไปปรากฏอยูใ่ นประพจน์อา้ งใน

เหตุ 1 ประพจน์อ้างในเหตุ 1 จงึ เรยี กวา่ ประพจน์อา้ งโท นอกจากนี้ เทอมท่ีถกู อา้ ง 2 ครง้ั กลา่ วคอื

อ้างท้งั ในประพจน์อ้างในเหตุ 1 และประพจน์อ้างในเหตุ 2 ซ่ึงในท่ีนี้ คือ อาหาร จะเรยี กว่าเทอมกลาง

จากตรรกบทขา้ งตน้ จึงสรุปได้ ดังน้ี

เหตุ 1. พืชบางชนิดเป็นอาหาร (ประพจนอ์ า้ งโท)

(เทอมโท) (เทอมกลาง)

2. อาหารทงั้ หมดเปน็ สตั ว์ (ประพจนอ์ า้ งเอก)

(เทอมกลาง) (เทอมเอก)

ผล พืชบางชนดิ เป็นสตั ว์ (ประพจน์สรุป)

(เทอมโท) (เทอมเอก)

การพิจารณารูปแบบของความสมเหตุสมผลแบบนริ นยั 1 ตรรกบทข้างต้นว่าสมเหตุสมผลหรือไม่

สามารถวเิ คราะห์โดยใช้กฎของความสมเหตสุ มผล ดงั น้ี

กฎของความสมเหตสุ มผล

1. ต้องมี 3 เทอม คือ เทอมเอก เทอมโท และเทอมกลาง

2. เทอมกลางต้องกระจายอยา่ งน้อย 1 ครง้ั

3. เทอมท่ีกระจายในประพจนส์ รุปจะต้องกระจายในประพจน์อา้ งดว้ ย

4. ประพจน์อา้ งจะปฏิเสธทง้ั 2 ประพจน์ไม่ได้

5. ถ้าประพจนอ์ ้างปฏิเสธแล้วประพจน์สรปุ ต้องปฏิเสธด้วย

ซง่ึ วเิ คราะหโ์ ดยใช้กฎของความสมเหตุสมผลได้ ดังน้ี

จากกฎของความสมเหตสุ มผล

1. ต้องมี 3 เทอม (ผ่าน)

มี 3 เทอม คอื เทอมเอก(สัตว)์ เทอมโท(พืช) และเทอมกลาง(อาหาร)

2. เทอมกลางต้องกระจายอย่างนอ้ ย 1 ครงั้ (ผา่ น)

เทอมกลาง คือ อาหารซง่ึ กระจายในประพจนอ์ า้ งเอก

3. เทอมที่กระจายในประพจนส์ รุปจะต้องกระจายในประพจน์อ้างด้วย (ผ่าน)

ในประพจนส์ รปุ ไมม่ เี ทอมใดกระจายเลยจึงผา่ นได้

4. ประพจน์อา้ งจะปฏเิ สธทั้ง 2 ประพจน์ไม่ได้ (ผา่ น)

หน้า 106

วิชา คณติ ศาสตร์ท่ัวไป (491-11-01)

ประพจน์อา้ งไม่มีการปฏิเสธจงึ ผ่านได้

5. ถ้าประพจนอ์ ้างปฏเิ สธแล้วประพจนส์ รุปต้องปฏิเสธด้วย (ผ่าน)

ประพจนอ์ า้ งไม่มกี ารปฏิเสธเลยจงึ ผา่ นได้

จะเห็นได้ว่า ตรรกบทขา้ งต้นสอดคล้องกับกฎของความสมเหตุสมผลท้งั 5 ขอ้

ดังนัน้ การให้เหตผุ ลดงั กล่าว สมเหตุสมผล

ตัวอย่าง 5.23 จงพิจารณาว่า ตรรกบทตอ่ ไปนส้ี มเหตุสมผลหรือไม่
เหตุ 1. ชาวอยธุ ยาทุกคนเปน็ คนดี
2. คนไทยทกุ คนเป็นคนดี
ผล ชาวอยุธยาทุกคนเป็นคนไทย

วธิ ที า จากตรรกบทข้างตน้ สรุปได้ ดงั นี้

เหตุ 1. ชาวอยธุ ยาทกุ คนเปน็ คนดี (ประพจนอ์ า้ งโท)
(ประพจนอ์ า้ งเอก)
(เทอมโท) (เทอมกลาง) (ประพจนส์ รุป)

2. คนไทยทุกคนเปน็ คนดี

(เทอมเอก) (เทอมกลาง)

ผล ชาวอยุธยาทุกคนเป็นคนไทย

(เทอมโท) (เทอมเอก)

จากกฎของความสมเหตุสมผล
ในตรรกบทนี้ เทอมกลาง คือ คนดี ไม่กระจายเลยแมแ้ ตค่ ร้ังเดียว ซึง่ ไมส่ อดคล้องกบั จากกฎของความ
สมเหตุสมผลขอ้ (2) ท่ีกล่าวว่า เทอมกลางต้องกระจายอย่างน้อย 1 คร้งั

ดังนัน้ จงึ ไมจ่ าเปน็ ต้องไปวเิ คราะหก์ ฎข้ออืน่ ๆทเี่ หลือ กส็ ามารถสรปุ ไดว้ ่า การใหเ้ หตผุ ล
ดงั กลา่ ว ไม่สมเหตุสมผล

ตัวอย่าง 5.24 จงพิจารณาว่า การสรปุ เหตผุ ลตอ่ ไปนี้ สมเหตสุ มผลหรอื ไม่

เหตุ 1. นกั กีฬาเปน็ คนแขง็ แรง

2. นักศึกษาบางคนเป็นนกั กีฬา

ผล นกั ศึกษาบางคนเปน็ คนแขง็ แรง

วิธที า จากตรรกบทขา้ งต้นสรุปได้ ดังน้ี

เหตุ 1. นักกีฬาทกุ คนเป็นคนแข็งแรง (ประพจน์อ้างเอก)

(เทอมกลาง) (เทอมเอก)

2. นกั ศึกษาบางคนเป็นนกั กีฬา (ประพจนอ์ ้างโท)

(เทอมโท) (เทอมกลาง)

ผล นกั ศึกษาบางคนเป็นคนแขง็ แรง (ประพจนส์ รุป)

(เทอมโท) (เทอมเอก)

หนา้ 107

วิชา คณิตศาสตร์ทว่ั ไป (491-11-01)

จากกฎของความสมเหตุสมผล

1. ตอ้ งมี 3 เทอม (ผ่าน)

มี 3 เทอม คอื เทอมเอก(คนแข็งแรง) เทอมโท(นักศึกษา) และเทอมกลาง

(นกั กีฬา)

2. เทอมกลางต้องกระจายอยา่ งน้อย 1 ครัง้ (ผ่าน)

เทอมกลาง คือ นักกฬี าซ่ึงกระจายในประพจน์อา้ งโท

3. เทอมทกี่ ระจายในประพจน์สรปุ จะต้องกระจายในประพจน์อา้ งด้วย (ผ่าน)

ในประพจน์สรปุ ไม่มเี ทอมใดกระจายเลยจงึ ผ่านได้

4. ประพจนอ์ ้างจะปฏิเสธทง้ั 2 ประพจนไ์ ม่ได้ (ผา่ น)

ประพจนอ์ า้ งไม่มกี ารปฏเิ สธจึงผา่ นได้

5. ถ้าประพจน์อ้างปฏเิ สธแล้วประพจนส์ รปุ ตอ้ งปฏิเสธดว้ ย (ผา่ น)

ประพจนอ์ ้างไม่มีการปฏเิ สธเลยจงึ ผ่านได้

จะเห็นไดว้ า่ ตรรกบทขา้ งต้นสอดคลอ้ งกับกฎของความสมเหตสุ มผลทงั้ 5 ข้อ

ดังนนั้ การให้เหตผุ ลดังกล่าว สมเหตุสมผล

ตัวอย่าง 5.25 จงพิจารณาวา่ การสรุปเหตุผลต่อไปนี้ สมเหตสุ มผลหรือไม่
เหตุ 1. นกั ศึกษามทร.สวุ รรณภูมเิ ปน็ คนใฝ่รู้

2. นางสาวตก๊ั ไม่ใฝ่รู้
ผล นางสาวตัก๊ ไม่เป็นนักศึกษามทร.สุวรรณภูมิ

วิธีทา จากตรรกบทขา้ งต้นสรุปได้ ดงั นี้

เหตุ 1. นักศกึ ษามทร.สวุ รรณภมู ิทกุ คนเป็นคนใฝร่ ู้ (ประพจน์อ้างเอก)

(เทอมเอก) (เทอมกลาง)

2. นางสาวตัก๊ ทุกคนไม่เปน็ คนใฝ่รู้ (ประพจนอ์ า้ งโท)

(เทอมโท) (เทอมกลาง)
ผล นางสาวตก๊ั ทกุ คนไม่เปน็ นกั ศึกษามทร.สวุ รรณภูมิ (ประพจนส์ รปุ )

(เทอมโท) (เทอมเอก)

จากกฎของความสมเหตสุ มผล

1. ตอ้ งมี 3 เทอม (ผ่าน)

มี 3 เทอม คอื เทอมเอก(นกั ศึกษามทร.สุวรรณภูม)ิ เทอมโท(นางสาวต๊กั )

และเทอมกลาง(คนใฝ่รู้) (ผ่าน)
a. เทอมกลางต้องกระจายอย่างน้อย 1 ครง้ั

เทอมกลาง คือ คนใฝร่ ้ซู ง่ึ กระจายในประพจนอ์ ้างโท
2. เทอมทีก่ ระจายในประพจน์สรุปจะต้องกระจายในประพจน์อ้างดว้ ย (ผ่าน)

เทอมทกี่ ระจายในประพจน์สรปุ คือ นางสาวต๊ักและนกั ศึกษามทร.สุวรรณภมู ิซึง่

กระจายในประพจน์อา้ งโทและประพจน์อ้างเอกตามลาดับด้วย

หน้า 108

วชิ า คณิตศาสตร์ท่ัวไป (491-11-01)

3. ประพจน์อ้างจะปฏเิ สธทัง้ 2 ประพจน์ไม่ได้ (ผา่ น)

ประพจน์อา้ งโทปฏเิ สธเพียงประพจน์เดียว ส่วนประพจน์อ้างเอกไม่ปฏิเสธ จึง

ผา่ นได้

4. ถา้ ประพจนอ์ า้ งปฏเิ สธแลว้ ประพจนส์ รปุ ต้องปฏิเสธดว้ ย (ผา่ น)

ประพจน์อา้ งโทปฏิเสธและประพจนส์ รุปปฏิเสธดว้ ย จงึ ผ่านได้

จะเหน็ ไดว้ า่ ตรรกบทข้างต้นสอดคล้องกับกฎของความสมเหตสุ มผลทัง้ 5 ขอ้

ดังน้ันการให้เหตผุ ลดังกลา่ ว สมเหตสุ มผล

ตวั อย่าง 5.26 จงพจิ ารณาว่า การสรปุ เหตุผลต่อไปนี้ สมเหตุสมผลหรอื ไม่
เหตุ 1. นกั การเมอื งทุจรติ ไม่เปน็ คนน่ายกยอ่ ง
2. นายสมคะเนไม่เป็นคนน่ายกย่อง
ผล นายสมคะเนเป็นนกั การเมืองทจุ รติ

วิธที า
ในตรรกบทนี้ ประพจน์อ้างปฏิเสธทั้ง 2 ประพจน์ ซึง่ ไม่สอดคล้องกบั จากกฎของความ

สมเหตุสมผลขอ้ (4) ทีก่ ลา่ วว่า ประพจน์อ้างจะปฏเิ สธท้งั 2 ประพจน์ไมไ่ ด้

ดงั น้นั จึงไม่จาเป็นตอ้ งไปวิเคราะห์กฎข้ออ่ืนๆที่เหลือ กส็ ามารถสรุปได้วา่ การให้เหตผุ ล
ดงั กลา่ ว ไมส่ มเหตุสมผล

การพิจารณารูปแบบของความสมเหตสุ มผลแบบนริ นยั นอกจากจะวิเคราะหโ์ ดยใช้กฎของ
ความสมเหตุสมผลดงั ตวั อย่างขา้ งตน้ แล้ว ยงั สามารถวเิ คราะหโ์ ดยใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอรซ์ ่งึ จะเขียน
แผนภาพรปู วงปิดแทนเทอมต่างๆในประพจน์อา้ งใหม้ ีความสัมพันธก์ นั ตามทก่ี าหนดลงในเอกภพสัมพัทธ์
(U) ทเี่ ขยี นแทนดว้ ยรปู รูปสเ่ี หล่ยี มผืนผ้า ถ้าประพจน์สรุปสอดคลอ้ งกับแผนภาพอย่างไม่มีข้อขดั แยง้ ใดๆ
แสดงว่า รปู แบบนริ นัยทก่ี าหนดใหม้ ีความสมเหตุสมผล ดังตัวอยา่ ง
ตัวอยา่ ง 5.27 จงพิจารณาวา่ การสรุปเหตุผลต่อไปนี้ สมเหตุสมผลหรือไม่

เหตุ 1. ชาวอยุธยาทุกคนเป็นคนดี
2. คนไทยทกุ คนเป็นคนดี

ผล ชาวอยุธยาทุกคนเป็นคนไทย
วิธที า จากเหตทุ ีกาหนดให้เขยี นแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

สมมุตใิ ห้ A แทน เซตของชาวอยุธยา
B แทน เซตของคนดี
C แทน เซตของคนไทย

หน้า 109

วิชา คณติ ศาสตรท์ ัว่ ไป (491-11-01)

เขยี นแผนภาพรูปแทนเทอมตา่ งๆในประพจน์อ้างใหม้ ีความสัมพันธ์กันตามท่ีกาหนดได้ 4
แผนภาพ ดงั นี้

U U

B(คนด)ี B(คนด)ี
(ชำว A C(คนไทย) (คนไทย) C A(ชำว
อยธุกยรณำ)ี 1 กรณี 2 อยุธยำ)

U U (คนด)ี
C(คนไทย)
(ชำว (คนดี) (ชำว BA
อยธุ ยำ) อยุธยำ)
BA C(คนไทย)
กรณี 4
V

กรณี 3

จะเหน็ ได้วา่ ประพจนส์ รปุ ที่กาหนดให้ขดั แย้งกบั แผนภาพกรณี 1 ,3 และ 4
ดงั น้ัน การสรุปเหตุผลขา้ งต้น จงึ ไม่สมเหตสุ มผล

ซ่ึงไดค้ าตอบเหมอื นกับผลการวเิ คราะห์โดยใชก้ ฎของความสมเหตุสมผลดังตัวอย่างก่อน
หนา้ นี้มาแลว้ อนึ่งการแสดงการเขยี นแผนภาพเวนน-์ ออยเลอรใ์ นตัวอยา่ งนี้ อาจเขียนแผนภาพกรณี 1,
3 หรอื 4 ซ่ึงขดั แย้งกบั ประพจนส์ รปุ เพียงแผนภาพเดยี วกส็ ามารถตอบได้ว่า การสรุปเหตุผลดังกล่าว
ไม่สมเหตสุ มผล
ตวั อยา่ ง 5.28 จงพิจารณาวา่ การสรุปเหตุผลตอ่ ไปนี้ สมเหตุสมผลหรือไม่

เหตุ 1. คนทาอาหารเก่งทุกคนเปน็ คนไทย
2. คณุ แดจงั กมึ เป็นคนทาอาหารเกง่

ผล คณุ แดจงั กึมเป็นคนไทย

วธิ ีทา จากเหตุทีกาหนดให้เขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สมมตุ ใิ ห้ A แทน เซตของคนทาอาหารเก่ง
B แทน เซตของคนไทย
C แทน เซตของคนทชี่ ่อื คุณแดจงั กึม

เขยี นแผนภาพรปู แทนเทอมตา่ งๆในประพจน์อา้ งใหม้ คี วามสมั พนั ธก์ ันตามที่กาหนดได้เพยี ง
แผนภาพเดยี ว ดงั น้ี

U

(คนไทย)
(คนทำอำหำรเก่ง)BA C(คนท่ชี ่อื คณุ แด

Vจงั กมึ )

กรณี 3

หน้า 110

วิชา คณติ ศาสตรท์ ัว่ ไป (491-11-01)

จะเหน็ ได้วา่ ประพจน์สรปุ สอดคลอ้ งกับแผนภาพอย่างไม่มีข้อขัดแย้งใดๆ แสดงว่า การสรุป
เหตผุ ลทกี่ าหนดใหม้ ีความสมเหตสุ มผล
ตวั อยา่ ง 5.29 จงพจิ ารณาวา่ การสรปุ เหตผุ ลตอ่ ไปน้ี สมเหตสุ มผลหรือไม่

เหตุ 1. คนไทยทุกคนเป็นคนทาอาหารเกง่
2. คุณแดจงั กมึ เป็นคนทาอาหารเกง่

ผล คณุ แดจงั กมึ เป็นคนไทย
วธิ ีทา จากเหตทุ กี่ าหนดให้เขยี นแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

สมมุตใิ ห้ A แทน เซตของคนทาอาหารเก่ง
B แทน เซตของคนไทย
C แทน เซตของคนท่ชี ื่อคุณแดจังกึม

เขียนแผนภาพรปู แทนเทอมตา่ งๆในประพจน์อา้ งให้มีความสัมพนั ธ์กนั ตามทกี่ าหนดได้
แผนภาพทขี่ ัดแยง้ กับประพจน์สรุป ดังนี้

U

(คนไทย) A(คนทำอำCห(ำครนเกท่งชี่ )่อื คุณแดจงั กึม)

B

ดงั นัน้ การสรปุ เหตผุ ลข้างต้น จึงไม่สมเหตุสมผล

ตัวอย่าง 5.30 จงพิจารณาวา่ การสรปุ เหตผุ ลตอ่ ไปน้ี สมเหตุสมผลหรอื ไม่
เหตุ 1. นักกฬี าเป็นคนแขง็ แรง
2. นกั ศึกษาบางคนเป็นนกั กฬี า
ผล นักศกึ ษาบางคนเป็นคนแข็งแรง

วธิ ที า สมมตุ ใิ ห้ A เปน็ เซตของนักกีฬา
B เป็น เซตของคนแขง็ แรง
C เป็น เซตของนักศึกษา

หน้า 111

วชิ า คณติ ศาสตรท์ ่วั ไป (491-11-01)

เขียนแผนภาพรปู แทนเทอมต่างๆในประพจน์อา้ งให้มีความสัมพนั ธ์กันตามท่ีกาหนดได้ ดังน้ี

กรณี 1 C C กรณี 2
(นกั ศึกษำ) (นกั ศึกษำ)

A (นกั กฬี ำ) A (นกั กีฬำ)

B (คน B (คน
แข็งแรง)
U แข็งแรง) U

จากแผน ภาพเวนน์ - ออยเลอร์ทั้ง 2 กรณี
จะเห็นไดว้ า่ ประพจน์สรปุ สอดคลอ้ งกบั แผนภาพท้ัง 2 กรณอี ยา่ งไม่มีข้อขดั แย้งใดๆ แสดงว่า การ
สรปุ เหตผุ ลท่ีกาหนดให้มีความสมเหตุสมผล

ตัวอยา่ ง 31 สง่ิ ทก่ี าหนดให้ (1) นกั ศกึ ษาบางคนขยนั
(2) คนขยนั จะกา้ วหนา้ ในอนาคต

ข้อสรปุ ตอ่ ไปนี้ ขอ้ ใดสมเหตสุ มผล

(ก) นกั ศึกษาทุกคนจะกา้ วหนา้ ในอนาคต

(ข) นักศกึ ษาบางคนจะกา้ วหนา้ ในอนาคต

(ค) นักศึกษาทุกคนจะไม่กา้ วหน้าในอนาคต

(ง) นักศกึ ษาบางคนจะไม่ก้าวหนา้ ในอนาคต
วธิ ีทา สมมุติให้ A แทน เซตของนกั ศกึ ษา

B แทน เซตของคนขยนั
C แทน เซตของคนกา้ วหน้าในอนาคต

A (นักศกึ ษำ) กรณี 1 A (นกั ศกึ ษำ) กรณี 2

B (คนขยนั ) B (คนขยนั )

U C (คนก้ำวหน้ำในอนำคต) U C (คนก้ำวหนำ้ ในอนำคต)

จากแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ซง่ึ เขียนตามที่กาหนดให้ได้ 2 กรณี
สรปุ ได้วา่ (ก) ไม่สมเหตสุ มผล เพราะขดั แย้งกรณี 1

(ข) สมเหตสุ มผล เพราะสอดคลอ้ งท้งั สองกรณี
(ค) ไม่สมเหตุสมผล เพราะขดั แย้งท้ังกรณี 1 และ กรณี 2
(ง) ไมส่ มเหตุสมผล เพราะขัดแยง้ กรณี 2

หนา้ 112

วชิ า คณิตศาสตร์ท่วั ไป (491-11-01)

แบบฝึกหดั 5.6
จงพิจารณาวา่ การสรปุ เหตุผลตอ่ ไปนี้ สมเหตุสมผลหรอื ไม่
1. เหตุ 1. แมลงทุกชนิดเป็นอาหาร

2. จ้งิ หรีดทุกตวั เปน็ แมลง
ผล จ้ิงหรีดทกุ ตัวเป็นอาหาร
2. เหตุ 1. แมลงบางชนิดเป็นอาหาร

2. จ้งิ จกบางตัวเปน็ แมลง
ผล จง้ิ จกบางตัวเป็นอาหาร
3. เหตุ 1. ผทู้ ี่ไม่ขยันทุกคนเป็นผ้สู อบวชิ าคณติ ศาสตร์ตก

2. นายสมคาดสอบวิชาคณิตศาสตร์ตก
ผล นายสมคาดเปน็ ผทู้ ไี่ มข่ ยัน
4. เหตุ 1. ผทู้ ข่ี ยันทุกคนไม่เปน็ ผสู้ อบวชิ าคณติ ศาสตร์ตก

2. นายสมคาดไมเ่ ปน็ ผูส้ อบวิชาคณติ ศาสตรต์ ก
ผล นายสมคาดเปน็ ผูท้ ่ขี ยัน
5. เหตุ 1. คนรกั ชาติทุกคนเปน็ คนไทย

2. ชาวอยุธยาทกุ คนเปน็ คนรกั ชาติ
ผล ชาวอยธุ ยาทกุ คนเปน็ คนไทย
6. เหตุ 1. คนรักชาตบิ างคนเป็นคนไทย

2. ชาวอยธุ ยาทกุ คนเป็นคนรักชาติ
ผล ชาวอยธุ ยาทกุ คนเป็นคนไทย
7. เหตุ 1. คนรักชาติบางคนเป็นคนไทย

2. ชาวอยธุ ยาทกุ คนเปน็ คนรักชาติ
ผล ชาวอยธุ ยาบางคนเปน็ คนไทย
8. เหตุ 1. คนรกั ชาตบิ างคนไมเ่ ปน็ คนไทย

2. นายจอห์นเปน็ คนรักชาติ
ผล นายจอห์นไม่เปน็ คนไทย
9. เหตุ 1. นักศกึ ษามทร.สุวรรณภมู เิ ป็นผู้ใชภ้ าษาอังกฤษได้ดี

2. นางสาวปริศนาใชภ้ าษาองั กฤษได้ดี
ผล นางสาวปริศนาเปน็ นักศึกษามทร.สุวรรณภมู ิ
10. เหตุ 1. นายโฮจุนไม่มีความสามารถในด้านเทคโนโลยีสารสนเทศ

2. นกั ศึกษามทร.สวุ รรณภมู มิ ีความสามารถในดา้ นเทคโนโลยสี ารสนเทศดี
ผล นายโฮจุนไม่เปน็ นักศึกษามทร.สวุ รรณภมู ิ

หน้า 113

วชิ า คณิตศาสตร์ท่วั ไป (491-11-01)

หนว่ ยท่ี 6
เมตริกซแ์ ละดีเทอรม์ แิ นนท์

6.1 ความรู้เบือ้ งตน้ เกย่ี วกับเมตริกซ์
6.1.1 ความหมายของเมตริกซ์

การกาหนดบทนยิ ามของเมตรกิ ซ์ จะเริ่มจากการพจิ ารณาตารางแสดงยอดการจาหน่ายเสอ้ื ยืด
ของร้านค้าหนง่ึ ในสัปดาห์ทีผ่ า่ นมา ดงั น้ี

เบอร์ S เบอร์ M เบอร์ L เบอร์ XL

เสื้อยดื สาหรบั บรุ ษุ 1 0 3 8

เสอื้ ยดื สาหรับสตรี 9 5 2 1

เสือ้ ยดื สาหรับเดก็ 0 3 6 4

ในวิชาคณิตศาสตร์อาจนาข้อมูลทเ่ี รยี งกันเปน็ แถวๆ ในตารางมาเขียนใหมใ่ ห้อยู่ในวงเลบ็ [ ]
หรอื วงเล็บ ( ) ได้ ดงั นี้

1 0 3 8 หรือ 1 0 3 8
9 5 2 1 9 5 2 1
0 3 6 4  0 3 6 4

และเรยี กสญั ลกั ษณ์ขา้ งตน้ วา่ เมตรกิ ซ์ (matrix) ซงึ่ ทน่ี ้จี ะเขียนข้อมลู จานวน m แถว และ
จานวน n หลักไวใ้ นวงเล็บ [ ] แทนเมตรกิ ซ์

บทนยิ าม 6.1 เมตริกซ์ คือ ชุดของข้อมลู จานวน mn ตัว (m , nI+ ) ซง่ึ เขยี นเรียงกนั จานวน m

แถว และจานวน n หลกั อย่ใู นเคหรลือ่ักทงห่ี 1มาหยลกัวทง่ีเ2ลบ็ หลใักนทรี่ ูป3 …แบบหลักที่ n

 a11 a12 a13 ... a1n  แถวที่ 1
 a 22 a 23 ...  แถวท่ี 2
 a 21 a2n 

 a 31 a 32 a 33 ... a 3n  แถวที่ 3
 
 …

 am1 am2 a m3 ... a mn  แถวท่ี m

เรยี ก aij ว่าเป็นสมาชกิ (entry) ในแถวที่ i และ หลักท่ี j ของเมตริกซ์ หรือ สมาชกิ ในตาแนง่ ท่ี ij
ของเมตริกซ์ เมื่อ i = 1,2,3,…,m และ j = 1,2,3,…,n

เรียกเมตริกซ์ท่ีมจี านวน m แถว และจานวน n หลกั วา่ เปน็ mn เมตริกซ์ และ กลา่ วว่า
เมตรกิ ซ์นั้นมีมติ ิ(dimension of matrix) mn

หนา้ 114

วิชา คณิตศาสตร์ท่วั ไป (491-11-01)

ตวั อยา่ งของเมตริกซ์ที่มีมิติต่างๆกัน

15 เปน็ 11 เมตรกิ ซ์

4 0 1 เป็น 13 เมตรกิ ซ์
2  เปน็ 22 เมตริกซ์
ไมเ่ ป็น เมตริกซ์เพราะไม่มีสมาชิกในแถวท่ี 1 หลกั ที่ 2
 1  3
 9.5 เปน็ 31 เมตริกซ์
 2

1 
14 8

3
2
7

โดยทว่ั ไป จะใชอ้ ักษรภาษาอังกฤษตวั พิมพใ์ หญ่ A,B,C,… แทนชื่อเมตริกซ์ และใช้อักษร
ภาษาองั กฤษพิมพเ์ ล็ก a,b,c,… ซ่งึ มีตวั เลขจานวนสองตวั เขียนตอ่ ไวด้ ้านขวาล่างของตัวอกั ษรแทนสมาชิก
ของเมตริกซ์ เชน่

A = a11 a12  , B = b11 b12 b13 
a 21 a  b21 b22 b23 
22  

a11 เปน็ สมาชกิ ของ A ซงึ่ อยูใ่ นแถวท1ี่ หลักที่ 1 หรอื เปน็ สมาชกิ ในตาแหนง่ 11(หนง่ึ หน่ึง)ของ A
b12 เปน็ สมาชกิ ของ B ซึง่ อยู่ในแถวท1่ี หลกั ท่ี 2 หรอื เป็นสมาชกิ ในตาแหน่ง12(หนึ่งสอง)ของ A
b23 เป็นสมาชิกของ B ซ่งึ อยู่ในแถวท่ี2 หลักที่ 3 หรอื เปน็ สมาชิกในตาแหนง่ 23(สองสาม)ของ A
aij เปน็ สมาชิกของ A ซงึ่ อยู่ในแถวท่ี i หลกั ที่ j หรอื เปน็ สมาชกิ ในตาแหน่ง11(หน่ึงหนึง่ )ของ A

นอกจากนใ้ี นกรณที ่ี A เป็น mn เมตรกิ ซ์ อาจเขยี นเมตรกิ ซ์ A และสมาชิกเมตรกิ ซ์ A ใหส้ ้นั ลง

ได้ ดงั น้ี เมอ่ื i < j
เมอ่ื i = j
A = [aij] mn ,

ซึง่ หมายถงึ A เปน็ mn เมตรกิ ซ์ และมีสมาชิกในตาแหน่งท่ี ij เปน็ aเijมเื่อมื่อi >i =j 1,2,3,…,m และ j =
1,2,3,…,n

 2

ตวั อยา่ ง 6.1 จงเขียน เมตริกซ์ A โดยที่ aij =  0

 3

(1) A = [aij] 23 (2) A = [aij] 33

วธิ ที า

(1) A = a[ ]ij 23

หนา้ 115

วิชา คณติ ศาสตรท์ ่ัวไป (491-11-01)

= a a a 
11 12 13
a21 
a a
22 23

= 0  2  2
3 0  2

a11 a12 a13 
A = a21 
(2) a 22 a 23 

a31 a32 a33 

0  2  2

= 3 0  2

3 3 0 

6.1.2 เมตรกิ ซ์ที่มลี ักษณะพิเศษ

ในหัวข้อข้อนี้จะกลา่ วถงึ เมตริกซ์เฉพาะบางเมตริกซ์ ซึ่งจะไดน้ าไปใชเ้ ปน็ พื้นฐานในการศึกษา
เรอื่ งต่อๆไป

1. เมตรกิ ซ์แถว(Row matrix) คือ เมตรกิ ซ์ ท่ีมีสมาชกิ เพียงแถวเดียว หรอื เมตรกิ ซท์ ีม่ ี
มิติ 1 n เช่น
[5] , [1 -3 0 6]

2. เมตรกิ ซห์ ลกั คือ เมตรกิ ซ์ทส่ี มาชกิ เพยี งหลกั เดียว หรอื เมตรกิ ซ์ที่มีมิติ m1เช่น

4

[5] ,  7

 1 

3. เมตรกิ ซ์ศูนย์(Zero matrix) คือ เมตริกซ์ท่สี มาชกิ ทุกตวั เป็นศูนย์ เช่น

[0] , 0 0 , 0 0 0
0 0 0 0 0

เมตรกิ ซ์ศนู ย์ จะเขยี นแทนดว้ ย 0mn หรอื 0

4. เมตริกซจ์ ตั รุ สั (Square matrix) คือ เมตริกซท์ ี่มีจานวนแถวเทา่ กับจานวนหลัก เช่น

4  1 1 6 3
2 3  4 8
, 2 3 7

5

ถ้า A = [aij] nn เป็นเมตริกซจ์ ัตุรัสแลว้ เสน้ ทแยงมมุ ที่ลากจากมมุ บนซา้ ยมือมายังมมุ ลา่ ง
ขวามอื เรยี กว่า เสน้ ทแยงมุมหลกั (main diagonal)

หน้า 116

วชิ า คณติ ศาสตร์ทั่วไป (491-11-01)

a11 a12 a13 ... a1n 
A = a21 
a 22 a 23 ... a 2n 

 a 31 a 32 a 33 ... a 3n 
 

a n1 a n2 a n3 ... a nn 

เสน้ ทแยง

สมาชิกที่อย่ใู นแนวเสน้ ทแยงมมุ หลักของเมตริกซ์จัตรุ ัส (Diagonal eleมmมุ eหnลtsัก) คือ aij เม่อื i = j

5. เมตรกิ ซ์สามเหล่ียม (Triangle matrix) คือ เมตริกซ์จัตุรสั ซ่ึงสมาชิกที่อยดู่ ้านบนหรืออยู่ดา้ นล่าง ของ
เส้นทแยงมุมหลักเปน็ 0 ท้งั หมด เชน่

1  2 5 
0 3 
4  เมตรกิ ซส์ ามเหล่ียมดา้ นบน (Upper Triangle matrix)

0 0  6

7 0 0 เมตริกซ์สามเหลี่ยมด้านล่าง (Lower triangle matrix)
6 1 0
2 5 4

6. เมตรกิ ซ์เฉยี ง(Diagonal matrix) คอื เมตริกซ์จัตุรสั ท่ีมีสมาชิกท่อี ยูด่ ้านบนและท่ีอยู่ด้านล่างของเส้น
ทแยงมุมหลักเป็นศูนย์ทง้ั หมด เช่น

4 0 1 0 0 0 0 0
0 5 0  3 0 0 0 0
, 0 0 2 , 0 0 0

7. เมตรกิ ซส์ เกลาร(์ Scalar matrix) คือ เมตริกซ์เฉยี งทีส่ มาชกิ ทกุ ตัวบนเส้นทแยงมุมหลักเทา่ กันทงั้ หมด
เช่น

4 0 5 0 0
0 4 0 5 0
, 0 0 5

8. เมตริกซเ์ อกลักษณ์(Identify matrix) คอื เมตริกซ์สเกลาร์ท่ีสมาชิกทุกตวั บนเสน้ ทแยงมมุ หลักมี ค่า

เท่ากับ 1 และใช้ In แทน เมตริกซเ์ อกลกั ษณท์ ่ีมมี ิติ nn เชน่

I2 = 1 0 1 0 0
0 1
, I3 = 0 1 0

0 0 1

9. เมตริกซส์ มมาตร(Symmatric matrix) คอื เมตริกซจ์ ัตุรสั ท่สี มาชิก aij = aji เช่น

2 3 5 0 1
3 7 0  2 8
, 1 8 6

หนา้ 117

วิชา คณติ ศาสตรท์ ว่ั ไป (491-11-01)

10. เมตริกซป์ ฏิสมมาตร(Skew symmetric matrix) คือเมตรกิ ซจ์ ตั ุรัสที่มสี มาชิกบนเส้นทแยงมมุ หลัก

เป็น 0 ทุกตัว และ aij = - aji

0  7  0 2 3 
 0  4
7 0  ,  2

 3 4 0 

6.1.3 เมตริกซส์ ลับเปลี่ยนและการเท่ากันเมตรกิ ซ์

เมตริกซส์ ลับเปลยี่ น (Transpose of matrix)

บทนิยาม 6.2 ให้ A = [aij] mn , B =[bij] nm มีสมบัตวิ า่ bij = aji ทุกคา่ i = 1 , 2 , 3 ,…, n และ
j = 1 ,2 ,3 ,…, m แล้วเรยี ก B วา่ เปน็ เมตรกิ ซส์ ลับเปลย่ี นของ A และ เขียนแทนดว้ ย At

จากบทนิยามจะได้วา่

ถ้า A= 1 3 แล้ว At = 1 2
2 4 3 4

ถา้ B =  2 1 3 แลว้ Bt =  2 4
0 5  0
 4   1

 3 5

ตวั อยา่ ง 6.2 กาหนดให้ A = 3 0
 4 1
 2 6

จงหา 1. (At)t 2. ((At)t)t
วิธีทา

(1) เพราะวา่ A = 3 0 ดงั น้ัน At = 3  4 2
 4 1 ดังน้ัน 0 1 6
 2 6

และเนื่องจาก At = 3  4 2 (At)t =  3 0
0 1 6  4 1
 2 6

(2) จากข้อ(1) (At)t =  3 0 ดงั นั้น ((At)t)t = 3  4 2
 4 1 0 1 6
 2 6

จากตวั อย่าง จะเหน็ ไดว้ า่ (At)t = A และ ((At)t)t = At

ขอ้ สังเกต At เม่ือ มี t เปน็ จำนวนคี่
1. ถา้ A เป็น m n เมตริกซ์ แลว้ ((At)t)t … t = A เมอ่ื มี t เปน็ จำนวนคู่

เชน่ ตวั อยา่ งที่ 10 ควรหา ((((At)t)t)t)t และ (((((((At)t)t)t)t)t)t)t ดังน้ี

หนา้ 118

วิชา คณติ ศาสตร์ท่วั ไป (491-11-01)

((((At)t)t)t)t = At เมอื่ มี t เป็นจานวนคี่

= 3  4 2
0 1 6

และ (((((((At)t)t)t)t)t)t)t = A เม่อื มี t เปน็ จานวนคู่

=  3 0
 4 1
 2 6

2. เมตรกิ ซ์สลับเปล่ียนของเมตริกซ์สมมาตรเทา่ กับเมตริกซส์ มมาตร เพราะว่า aij = aji

เช่น 2 3t = 2 3
3 7 3 7

บทนยิ าม 6.3 ให้ A = [aij] mn และ B = [bij] mn
A เทา่ กับ B ก็ตอ่ เม่อื aij = bij สาหรบั ทุก i = 1,2,3,…,m และ j = 1,2,3,…,n

และใช้ A = B แทน A เท่ากบั B

จากบทนิยาม เมตริกซส์ องเมตริกซ์เท่ากันกต็ ่อเม่ือ เมตริกซ์ทั้งสองมีมติ ิเทา่ กันและสมาชิกทอ่ี ยู่
ตาแหน่งเดียวกันมีคา่ เท่ากัน

กรณอี ืน่ ๆ นอกจากข้างต้น เมตริกซท์ ัง้ สองไมเ่ ทา่ กัน เชน่ ถ้าเมตรกิ ซ์ A และ C มิติตา่ งกันแลว้ A
ไม่เทา่ กนั C หรือ ถา้ เมตริกซ์ A และ D มีมิตเิ ท่ากนั แตม่ ีสมาชิกที่อยูใ่ นตาแหน่งเดยี วกันมีคา่ ตา่ งกันแลว้
เมตรกิ ซ์ A ไม่เทา่ กนั D และใชส้ ัญลักษณ์ A  D แทน Aไมเ่ ทา่ กับ D เช่น

.1  1 1 = 2 5 0 0 = 0 0
0  0 0 0 0
2 3 6 5 
0

0 0 0 0 0 1 3  2 1 6 5  3
0 0  0 0 0 2 2 0 1   4 
2 12 
10

ดงั นน้ั ถา้ A= x 3 1 และ B = 2 3 1 แล้ว
4 2y 0 4 10 0

A = B กต็ ่อเมื่อ x = 2 และ 2y = 10

หรือ y = 5 นั่นเอง

ตัวอย่าง 6.3 จงหาค่า x , y และ z ท่ที าให้ 5 x y 0.7 = 2  3 1 0.7 
3z 5  2x  y (3)(4)
12    y


วธิ ีทา เมตริกซ์ทั้งสองเทา่ กัน กต็ ่อเมื่อ

x + y = 1 …………….………..……

2x – y = 5 …………………….…….

3z = -y …………………….…….

หนา้ 119

วชิ า คณติ ศาสตรท์ วั่ ไป (491-11-01)

นา  +  ได้ 3x = 6

x=2

แทนคา่ x = 2 ลงในได้ 2 + y = 1

y = -1

แทนค่า y ลงในได้ 3z = -(-1)

z =1
3

ดงั น้นั คา่ ของ x,y,z และทที่ าใหเ้ มตริกซ์ท่กี าหนดเทา่ กัน คือ x = 2 , y = -1 และ z = 1
3

ซงึ่ นยิ มเขียนคาตอบอยู่ในรูป (x,y,z) = (2,-1, 1 )
3

แบบฝึกหัด 6.1

1. บริษทั ประกนั ภัยสาขาหน่งึ จาหนา่ ยกรมธรรม์ประกันภยั ใหแ้ กผ่ ้เู อาประกนั ภัยในเดือนที่ผ่านมา ดังนี้

ประเภท ประกนั ชวี ิต ประกนั สุภาพ ประกนั อุบตั ิเหตุสว่ นบคุ คล

ผูเ้ อาประกนั ภยั

บุรุษ 65 50 30
สตรี 150 - 25
เด็กชาย 40 75 50
เด็กหญิง 30 80 -

(1) จงเขยี นเมตริกซ์แทนตารางนี้
(2) เมตริกซ์ในข้อ (1) มีมิติเท่าใดและมสี มาชิกทง้ั หมดจานวนเทา่ ใด

2. กาหนดให้

 2 7 3  4 0
 3 
A =  5 1 0 1 1
2 8 9
1 5
6

จงตอบคาถามต่อไปนี้

(1) เมตริกซ์ A มมี ิติเท่าใด

(2) เมตริกซ์ A มีสมาชกิ ทงั้ หมดเท่าใด

(3) สมาชกิ แถวที่ 2 ของ A มจี านวนเท่าใดบา้ ง

(4) สมาชิกในหลกั ที่ 2 ของ A มี จานวนเท่าใดบ้าง

(5) สมาชิก a12 , a21 และ a31 มีค่าเทา่ ใด

(6) สมาชกิ ใดบา้ งของ A มีค่าเปน็ ศูนย์

3. จงเขียนเมตรกิ ซ์ A และ B เมือ่ กาหนดให้

(1) A = [aij] 33 โดยท่ี aij =  1 เมอ่ื i

 0= j เม่ือ i j

หนา้ 120

วิชา คณติ ศาสตร์ทว่ั ไป (491-11-01)

(2) B = [bij] 45 โดยที่ bij = i + j

4. จงบอกชนิดของเมตริกซท์ ่ีกาหนดให้ โดยระบชุ นดิ ของเมตริกซใ์ ห้ถูกต้องและครบถว้ น

0  1 3 0 0
1  2 0 (5) 3
(1) 0 0 0 (2) 0 1 0 (3) 0  (4)
 0

0 0 0 1 0 0 (8) 1 0 0
 1 
(6) 0 0 0 (7) 0 1 0  0 0 

0 0 0 0 0 1  0 0 1

5. กาหนดให้ C =  2 1 3
 0 5
 4

(1) Ct (2) (Ct)t
(3) (((((Ct)t)t)t)t)t (4) ((((((((((Ct)t)t)t)t)t)t)t)t)t)t

6. จงหาค่า x , y และ z ทที่ าให้

(1) x  2y =  12 (2) 5 yz 0 = x  3 4 0
2x  y  1   3x 1 6
 8  8 1 
 
 7 10 2   7 10 y  z

6.2 การดาเนนิ การบนเมตริกซ์ (Matrix operation)

6.2.1 การบวกเมตรกิ ซ์

จากการสารวจการเปดิ บัญชเี งนิ ฝากธนาคารของประชากรใน 2 ชมุ ชนพบว่า จานวนบญั ชี เงิน

ฝากประเภทตา่ งๆ จาแนกตามชมุ ชนเป็น ดังนี้

ชุมชนท่ี 1

ประเภท บญั ชอี อมทรพั ย์ บัญชีฝากประจา บญั ชีกระแสรายวัน

ธนาคาร

ออมสนิ 23 12 7

กรงุ ไทย 15 29 20

กรุงเทพ 11 18 35

กสกิ รไทย 16 17 34

หนา้ 121

วิชา คณิตศาสตรท์ ว่ั ไป (491-11-01)

ชมุ ชนท่ี 2

ประเภท บัญชอี อมทรัพย์ บัญชีฝากประจา บัญชีกระแสรายวัน
ธนาคาร
30 14 8
ออมสนิ 25 32 16
กรงุ ไทย 18 10 33
กรุงเทพ 17 13 31
กสกิ รไทย

เม่ือต้องการทราบว่าใน 2 ชุมชน มีการเปดิ บญั ชีเงนิ ฝากไวก้ ับธนาคาร ในประเภทต่างๆรวมกนั
เปน็ อย่างไร อาจเขียนผลลัพธใ์ นรูปตารางรวมได้ ดังน้ี

ประเภท บญั ชอี อมทรพั ย์ บัญชีฝากประจา บญั ชกี ระแสรายวนั

ธนาคาร

ออมสิน 53 26 15

กรงุ ไทย 40 61 36

กรงุ เทพ 29 28 68

กสิกรไทย 33 30 65

ถา้ ให้ A เปน็ เมตรกิ ซ์ของจานวนบญั ชีเงนิ ฝากธนาคารของชุมชนท่ี 1
B เป็น เมตรกิ ซข์ องจานวนบญั ชีเงนิ ฝากธนาคารของชุมชนที่ 2
C เปน็ เมตรกิ ซข์ องจานวนบญั ชีเงินฝากธนาคารที่ไดธ้ นาคารรวมทัง้ 2
ชมุ ชน เข้าด้วยกนั

23 12 7  30 14 8  53 26 15
A = 15 29 20 , B = 25 32 16 , C = 40 61 36
11 18 35 18 10 33 29 28 68
16 17 34 17 13 31 33 30 65

จะเหน็ ไดว้ า่ C เป็นเมตริกซท์ ี่ไดจ้ ากการนาสมาชกิ ในตาแหนง่ เดยี วกันของเมตริกซ์ A และ B มา

บวกกนั ซ่ึงจะทาไดก้ ็ต่อเมื่อเมตริกซ์ A และ B มีมิติเท่ากัน เท่าน้นั และเรียก C ว่าเปน็ ผลบวกของ

เมตริกซ์ A และ B

บทนยิ าม 6.4 ให้ A = [aij] mn และ B = [bij] mn
เมตริกซ์ A บวกเมตริกซ์ B คือ เมตริกซ์ C = [cij] mn เม่ือ cij = aij+bij
สาหรับทุกคา่ i = 1,2,3,…,m และ j = 1,2,3,…,n
เขยี นแทน A บวกกับ B ดว้ ย A+B

หนา้ 122

วชิ า คณิตศาสตร์ท่วั ไป (491-11-01)

 2 0 2 3 2 1
 1  1 
ตวั อยา่ ง 6.4 กาหนดให้ A =  3  และ B = 3 

 3 5 2  5
 2 4

จงหา (1) A +B (2) B + A

วธิ ที า เมตริกซ์ A และ B มมี ิตเิ ทา่ กนั จึงสามารถนามาบวกกนั ได้

 2 0 2 3 2 1
 1   1
(1) A+B =  3  + 3 

 3 5 2  5
 2  4 

=  23 0  (2) 21 
 1  ( 1) 33 
 
 3  2 5  (5)
 24 

= 5 2 1
 1 1 0
4

1 2
(2) B+A = +3 2   2 0
1 3   3 
  
2  3 1
 5 5
 4   2

B+A =  32 20 1  2 
 11 3 3 
 
2  (3)  5  5
 42 

=  5  2 1 1
 1 4 0

ขอ้ สงั เกต A+B = B+A

สมบัติของการบวกเมตรกิ ซ์
1. สมบตั ปิ ิดการบวก
ถา้ A และ B เป็น mn เมตริกซ์ แลว้ A+B เป็น mn เมตริกซ์ด้วย
2. สมบัตกิ ารสลบั ทีข่ องการบวก
ถ้า A และ B เปน็ mn เมตรกิ ซ์ แล้ว A+B = B+A
3. สมบตั ิการเปลย่ี นกลุม่ ได้ของการบวก
ถา้ A,Bและ C เป็น mn เมตรกิ ซ์ แล้ว A+(B+C) = (A+B)+C
4. สมบตั ิการการมีเอกลกั ษณข์ องการบวก
ถ้า A และ B เปน็ mn เมตริกซ์แล้ว จะมีเมตรกิ ซ์ศูนย์ 0 ซึ่ง A+0 = 0+A = A เรียก 0
ว่า เมตรกิ ซเ์ อกลกั ษณ์ของการบวก

หน้า 123

วชิ า คณติ ศาสตรท์ ั่วไป (491-11-01)

5. สมบัตกิ ารมตี ัวผกผนั ของการบวก
ถา้ A และ B เป็น mn เมตรกิ ซ์แล้ว จะมเี มตรกิ ซ์ –A ซง่ึ A+(-A) = (-A)+A = 0
เรียก –A วา่ ตวั ผกผันการบวกของ A

อนึ่ง เม่อื ทราบสมบตั ิการมตี ัวผกผันของการบวกเมตริกซ์แล้ว จะสามารถหาผลลบของ เมตริกซ์ 2
เมตริกซ์ ได้ กลา่ วคือ “ถ้า A และ B เปน็ mn เมตริกซ์ แล้ว A-B = A+(-B)”

ตัวอยา่ ง 6.5 กาหนดให้ A = 2 0  5 , B =  3 4 0
9 7  4  6 5  1

จงหา (1) A–B (2) B–A

วิธที า (1) เพราะว่า B+(-B) = 0 แสดงวา่ -B = [-bij]

ดังนัน้ -B =  (3)  4 0  =  3  4 0
  6  5  (1)  6  5 1

จาก A–B = A+(-B)

= +2 0  5  3  4 0
9 7  4  6  5 1

= 5  4  5
3 2  3

(2) เพราะวา่ A+(-A) = 0 แสดงว่า -A = [-aij]

ดงั นั้น -A =  2 0  (5) =  2 0 5
 9 7  (4)  9 7 4

จาก B–A = B+(-A)

=  3 4 0 +  2 0 5
 5  1  9 7 4
 6

=  5 4 5
 3 2 3

6.2.2 การคูณเมตรกิ ซ์

1. การคูณเมตริกซด์ ้วยสเกลาร์

บทนิยาม 6.5 ให้ A = [aij] mn และ c เปน็ คา่ คงตวั ผลคูณของ c กับ เมตริกซ์ [aij] =[ caij]
สาหรบั ทุกคา่ i = 1,2,3,…,m และ j = 1,2,3,…,n
เขียนแทนผลคณู ของ c กบั เมตริกซ์ A ดว้ ย cA และ เรียก c วา่ สเกลาร์

หน้า 124

วชิ า คณติ ศาสตร์ท่วั ไป (491-11-01)

ตัวอยา่ ง 6.6 จงหาเมตรกิ ซ์ (1) A+ 1 B (2) 3A-2B

3

2 3  1 3
เมื่อกาหนดให้ A = 1  2 , B =  2 0
 0 1   3 6

วิธีทา (1) A + 1B = + 2 3  1 1 3
(2) 3  2 0
3 1  2
 0 1   3 6

= + 2 3    1 (1)  1 (3)
  3   3
1  2 
 0 1   1 (2)  1 ((06))
 
3 (3)  3
1 1

 3   3  

= + 2 3  1 1
1  2 32 
 0 1 
0
3 
 1 2
 

= 7 4 
35 

 2
3 
 1 3 
 

3A – 2B = 3A + (-2)B

2 3  1 3
= 3 1  2 + (-2)  2 0
 0 1   3 6

= + (3)(2) (3)(3)   (2)(1) (2)(3)
(3)(1) (3)(2) (2)(2) (2)(0)
 (3)(0) (3)(1)  (2)(3) (2)(6)

= + 6 9   2  6 
 3  6  
 4 0 

 0 3   6 12

4 3 

= 1  6

6 9 

สมบตั ิการคณู เมตริกซด์ ้วยสเกลาร์

ถ้า A , B เปน็ mn เมตริกซ์ และ c , d เป็นคา่ คงตวั
1. c(A+B) = cA+cB

หนา้ 125

วิชา คณิตศาสตรท์ ัว่ ไป (491-11-01)

2. (c+d)A = cA+dA
3. (cd)A = c(dA)

4. 1. A = A
5. 0. A = 0

2. การคูณเมตรกิ ซด์ ว้ ยเมตริกซ์ สาหรับ

บทนิยาม 6.6
ถา้ A =[aij] mn และ B = [bij] nr แล้ว AB = [cij] เมอ่ื cij = ai1b1j+ai2b2j+ai3b3j+…+ainbnj
ทกุ คา่ i = 1 , 2 , 3 , … , m และ j = 1 , 2 , 3 , … , r นนั่ คอื

 a11 a12 a13 ... a1n  b11 b12 b13 ... b1r  n n  n n 
 a1kbk1 a1kbk3 ... a1kbkr 
 k1  a1kbk2
  b21  n k1 k1
   a2kbk1 k 1  n n 
a= a 22 a 23 ... a2n b22 b23 ... b  k1
 21 2r n n a2kbk3 ... a 2kbkr 
 a3kbk1
a 31 a 32 a 33 ... a3n   b31 b32 b33 ... b3r   k1  a2kbk2 k1 k1
  
... k 1  n n 

... n
...
...  a3kbk2
...
k 1
...
...
...
am1 am2 am3 ... amn  bn1 bn2 bn3 ... bnr 
   a3kbk3 ... a3kbkr 

k1 k1
    n
a b n n n
 a mkbk3 ... a b 
 mk k1 a m1kbk2 mk kr 
k 1
k 1 k 1 k 1

เมอื่ n aik bki = ai1b1j+ai2b2j+ai3b3j+…+ainbnj


k 1

จากบทนิยามข้างต้นจะเห็นได้วา่ เม่อื กาหนดเมตริกซ์ A และ B มาใหจ้ ะสามารถหาผลคูณ AB

ได้ กต็ ่อเม่ือ เมตรกิ ซ์ A มีจานวนหลกั เทา่ กบั จานวนแถวของ B เทา่ นั้น

3 7 2 5 8 1 2 
6 0 4 0 1 , C = 3 
ตัวอยา่ ง 6.7 กาหนดเมตริกซ์ A = , B = 9 4 
2 5
 1

จงหา (1) AB (2) BA (3) BC

วิธีทา

(1) เพราะว่าเมตรกิ ซ์ A มีจานวนหลกั เทา่ กับจานวนแถวของเมตรกิ ซ์ B จึงสามารถหา AB ได้ดงั น้ี

3 7 2 5 8
6 0 4 0 1
AB = 9 2

= (3)(5)  (7)(0)  (2)(9) (3)(8)  (7)(1)  (2)(2)
(6)(5)  (0)(0)  (4)(9) (6)(8)  (0)(1)  (4)(2)

= 33 35
66 56

หนา้ 126

วชิ า คณติ ศาสตรท์ วั่ ไป (491-11-01)

(2) เพราะวา่ เมตริกซ์ B มจี านวนหลักเทา่ กับจานวนแถวของเมตริกซ์ A จึงสามารถหา BA ได้ดงั น้ี

5 8 3 7 2
0 1 6 0 4
BA = 9 2

(5)(3)  (8)(6) (5)(7)  (8)(0) (5)(2)  (8)(4)
 
=  (0)(3)  (1)(6) (0)(7)  (1)(0) (0)(2)  (1)(4) 

(9)(3)  (2)(6) (9)(7)  (2)(0) (9)(2)  (2)(4)

63 35 42
 
=  6 0 4 

39 63 26

(3) เพราะว่าเมตรกิ ซ์ B มจี านวนหลักไม่เท่ากับจานวนแถวของเมตริกซ์ C

ดงั นั้น BC จงึ ไม่มีคาตอบ เน่ืองจากไม่สามารถคูณกันได้

จากตวั อยา่ ง 5 จะเหน็ ไดว้ ่า

1. การคูณเมตริกซ์ดว้ ยเมตรกิ ซ์ จะกระทาไดก้ ็เมอ่ื จานวนหลกั ของเมตรกิ ซต์ ัวต้ังเท่ากับ
จานวนแถวของคูณ

2. ในกรณีท่ีคูณเมตรกิ ซ์ด้วยเมตริกซ์ได้ ผลลพั ธข์ องการคูณจะเป็นเมตรกิ ซ์ทีม่ ีจานวนแถว

เทา่ กับเมตรกิ ซ์ตวั ตั้ง และ จานวนหลักเทา่ กับเมตรกิ ซต์ วั คูณ
3. AB  BA

ตวั อย่าง 6.8 กาหนดเมตริกซ์ A= 3  2 , B= 3 6 1 และ C=  1
 4 4 0 5  
1   0 

 2 

จงหา (1) A(BC) (2) (AB)C

วิธที า

(1) เพราะว่าเมตริกซ์ B มจี านวนหลักเทา่ กบั จานวนแถวของเมตริกซ์ C จึงหา BC ได้ ดังน้ี

BC = 3 6 1  1
4 0 5  
 0 
 2 

=  (3)(1)  (6)(0)  (1)(2) 
(4)(1)  (0)(0)  (5)(2)

=  1
 6 

และ เมตริกซ์ A มจี านวนหลักเท่ากับจานวนแถวของเมตรกิ ซผ์ ลคูณ BC จงึ หา A(BC)ได้ ดงั นี้

A(BC) = 3  2  1
 4   
1  6

หนา้ 127

วชิ า คณิตศาสตรท์ ว่ั ไป (491-11-01)

= (3)(1)  (2)(6)
 
 (4)(1)  (1)(6) 

=  15
 10 

(2) เพราะว่าเมตริกซ์ A มจี านวนหลักเทา่ กับจานวนแถวของเมตริกซ์ C จึงหา AB ได้ ดังนี้

AB = 3  2 3 6 1
 4  4 0 5
1 

= (3)(3)  (2)(4) (3)(6)  (2)(0) (3)(1)  (2)(5)
(4)(3)  (1)(4) (4)(6)  (1)(0) 
(4)(1)  (1)(5) 

= 1 18  7
 8  24 
1 

และเมตริกซผ์ ลคูณ AB มีจานวนหลกั เทา่ กับจานวนแถวของเมตริกซ์ C จงึ หา (AB)C ได้ ดงั นี้

(AB)C = 1 18  7  1
 8  24  
1   0 
  2 

=  (1)(1)  (18)(0)  (7)(2) 
(8)(1)  (24)(0)  (1)(2)

=  15
 
 10 

จากตัวอยา่ ง 6.8 จะเหน็ ได้ว่า A(BC) = (AB)C

ตัวอยา่ ง 6.9 กาหนดให้ A =  1 3 และ I = 1 0
 4 0 1
 2

จงหา (1) A2 (2) AI (3) IA

วิธีทา A2 = AA
(1) =
= 1 3 1 3
(2) =  4  4
 2  2
AI =
(1)(1)  (3)(2) (1)(3)  (3)(4)
 
 (2)(1)  (4)(2) (2)(3)  (4)(4) 

7 9 
6 22

1 3 1 0
 2 4 0 1

หน้า 128

วิชา คณติ ศาสตรท์ ั่วไป (491-11-01)

= (1)(1)  (3)(0) (1)(0)  (3)(1)
 (2)(1)  (4)(0) (2)(0)  (4)(1) 

= 1 3
 4
 2

(3) IA = 1 0 1 3
0 1  2 4

= (1)(1)  (0)(2) (1)(3)  (0)(4)
(0)(1)  (1)(2) (0)(3)  (1)(4)

=  1 3
 2 4

จากตวั อย่างที่ 6.9 จะเหน็ ไดว้ ่า

1. เมตริกซจ์ ตั ุรัสที่มีมิติเท่ากันคูณกันไดเ้ สมอ
2. สมาชกิ ของเมตริกซ์ A2 ไมเ่ ทา่ กบั สมาชิกของเมตริกซ์ A ซึง่ อยู่ตาแหน่งเดยี วกันยกกาลังสอง

3. AI = IA = A จงึ เรยี ก I ว่าเมตริกซเ์ อกลกั ษณข์ องการคูณ

สมบตั กิ ารคณู เมตรกิ ซด์ ้วยเมตริกซ์

การคณู เมตรกิ ซ์ด้วยเมตรกิ ซ์ไม่สอดคล้องกบั สมบตั ิการสลับท่ี หมายความวา่ ถา้ A และ B เป็น
เมตริกซ์ท่สี ามารถทส่ี ามารถหาเหตุผลคูณของ AB และ BA ได้ แต่ละผลคูณท้ังสองโดยทว่ั ไปไมจ่ าเปน็ ตอ้ ง
เท่ากนั ดงั ตวั อยา่ งทผ่ี า่ นมา อยา่ งไรกต็ ามการคูณเมตรกิ ซย์ ังสอดคล้องกับสมบตั อิ ีกหลายประเภทซึ่งจะ
กลา่ วไวโ้ ดยไม่แสดงการพิสจู น์ ดงั นี้

1. สมบตั กิ ารเปล่ียนกลุม่ ไดข้ องการคูณ
ถ้า A =[aij] mn และ B = [bij] np และ C =[cij] pq แล้ว A(BC) = (AB)C

2. สมบตั ิการมเี อกลักษณ์ของผลคูณ
(1) ถ้า A =[aij] mn แลว้ AIn = A

(2) ถา้ A =[aij] nm แล้ว InA = A

(3) ถ้า A =[aij] nn แลว้ AIn = InA = A

3. สมบตั ิการแจกแจงของการคูณผลบวก
(1) การแจกแจงทางซ้าย
ถ้า A =[aij] mn , B =[bij] np และ C =[cij] np แล้ว A(B+C) = AB + AC

(2) การแจกแจงทางขวา
ถา้ A =[aij] mn , B =[bij] mn และ C =[cij] mn แล้ว (A+B)C = AC + BC

4. สมบัติการคูณด้วยสเกลาร์
ถา้ A =[aij] mn , B =[bij] np และ c เปน็ จานวนจริงแลว้ c(AB) = (cA)B = A(cB)

หน้า 129

วชิ า คณติ ศาสตร์ทัว่ ไป (491-11-01)

จากความรู้พืน้ ฐานเกี่ยวกบั การคณู เมตริกซด์ ้วยเมตริกซ์ สามารถนาไปดาเนินการประยุกต์ได้
ดงั ตอ่ ไปน้ี
ตัวอย่าง 6.10 บรษิ ัทแห่งหนง่ึ รบั เหมาก่อสร้างบา้ นจานวน 20 หลงั เปน็ บ้านแบบ A , B , C และ D
จานวน 6 , 3 , 4 และ 7 หลัง ตามลาดับ ปรมิ าณ อฐิ คอนกรีต เหล็กเสน้ และ ไม้ ทใ่ี ชใ้ นการก่อสรา้ ง
บา้ นหนึ่งหลังในแต่ละแบบ และ ราคาของวัสดแุ ตล่ ะชนดิ ต่อหน่วย เปน็ ดังนี้

ปรมิ าณวสั ดทุ ่ใี ช้/ A บา้ นแบบ ราคาวัสดุ/หน่วย
หลัง (หนว่ ย) BC D (พนั บาท)
ประเภทวัสดุ

อิฐ 9 4 10 3 10

คอนกรีต 65 8 2 35

เหลก็ เส้น 3- 41 50

ไม้ 2 10 3 5 42

จงหา (1) ปริมาณอฐิ คอนกรีต เหล็กเสน้ และ ไม้ ที่ตอ้ งใชใ้ นการก่อสรา้ งบา้ น 20 หลงั นี้
(2) บริษทั ต้องใช้เงินในการจัดซ้อื วัสดกุ อ่ สรา้ งตามขอ้ (1)เปน็ เงินทัง้ หมดเท่าใด

วิธที า ให้ A เปน็ เมตรกิ ซข์ องปริมาณอิฐ คอนกรีต เหล็กเสน้ และไม้ ทใี่ ช้
ในการก่อสรา้ งบา้ นหลงั หน่ึงในแต่ละแบบ

B เป็น เมตริกซ์ของจานวนบ้านทก่ี ่อสรา้ งในแต่ละแบบ
และ C เป็น เมตริกซ์ของราคาวสั ดุแต่ละชนิดต่อหน่วย

โดยที่ 9 4 10 3 6 , C = 10 35 50 42

A = 6 5 8 2 , B = 3
3 0 4 1 4
2 10 3 5 7

(1) ปริมาณ อฐิ คอนกรตี เหล็กเสน้ และ ไม้ ท่ีตอ้ งใช้ในการก่อสร้างบ้าน 20 หลัง
คานวณไดจ้ ากผล คูณของ AB ดังนี้

9 4 10 3 6

AB = 6 5 8 2 3
3 0 4 1 4
2 10 3 5 7

(9)(6)  (4)(3)  (10)(4)  (3)(7)
= 
 (6)(6)  (5)(3)  (8)(4)  (2)(7) 

 (3)(6)  (0)(3)  (4)(4)  (1)(7) 
(2)(6)  (10)(3)  (3)(4)  (5)(7)

หนา้ 130

วชิ า คณิตศาสตรท์ ั่วไป (491-11-01)

127
 
=  97 

 41
 
 89 

ดังนน้ั ตอ้ งใช้อฐิ ปริมาณ 127 หน่วย คอนกรีตปริมาณ97 หน่วย เหล็กเส้นปริมาณ 41 หนว่ ย
และไมป้ ริมาณ 89 หน่วย

(2) จานวนเงนิ ทีต่ ้องใชใ้ นการจดั ซือ้ วสั ดกุ ่อสรา้ งทั้งหมด คานวณได้จากผลคูณ C(AB)

127
 
C(AB) = 10 35 50 42  97 

 41
 
 89 

= (10)(127)  (35)(97)  (50)(41)  (42)(89)

= 10,453

ดังนั้น บรษิ ัทต้องใช้เงนิ ในการจดั ซือ้ วัสดุก่อสร้างตามขอ้ (1)เปน็ เงนิ 10,453 พันบาท หรือ
10,453,000 บาท นน่ั เอง

แบบฝกึ หัด 6.2
1. กาหนดเมตริกซ์ A,B,C,D,E และ F ดงั น้ี

A = 3 2 4 , B = 2 1  3 , C = 0 2 3
1 0  2 5 4  4 1 5
0 

 4 0  2 1 5 1  1 2 0
D =   , E = 2 0  , F =  
 1 1 4  4   0 4 1 

 3 2 1  0 1  3  2 3  1

จงพิสูจน์ว่า

(1) A+(B+C) = (A+B)+C (2) 2(B+C) = 2B + 2C

(3) DE  ED (4) EI3 = I3E
(6) (D+E)t = Dt+ Et
(5) (2D)t = 2Dt (8) (DF)t = FtDt

(7) (DF)t  DtFt

2. กาหนดเมตริกซ์ A,B,C,D และ E ดงั นี้

A = 2 , B = 1 2  4 3 , C =  1  3
 0 4 

8 6 1 5 4 
  E =  9
D=  0  , , F = 2 0  2

 1 0 3  5 0 
   
 3   3  (2) 2D – 1 E
3
จงหา (1) A + B
(4) BE และ EB
(3) AB และ BA

หนา้ 131

วชิ า คณติ ศาสตร์ทว่ั ไป (491-11-01)

(5) C2 และ C3 (6) F2 และ F3

3. ถา้ B = 2 x  5 และ Bt = y 3  แลว้ จงหาค่า x,y และ z
3 2z  3  7 8 
 5 
x  z

4. ร้านจาหนา่ ยเส้อื ทร่ี ะลึกที่มีตราเฉลิมฉลองเหตุการณ์สาคญั ร้านหน่ึง สัง่ ซื้อเสอื้ ดงั กลา่ วจากโรงงาน
มาจานวนดงั ตาราง 1
ตาราง 1

ขนาดเสอ้ื
แบบ เบอร์ S เบอร์ M เบอร์ L เบอร์ XL

เสอ้ื ยืด 36 48 48 60

เส้อื เช้ิต 12 24 36 12

เสื้อแจ็คเก็ต 12 12 24 36

ภายหลงั จาหน่ายไปได้ระยะเวลาหน่งึ ไดท้ าการตรวจนับเส้ือทเี่ หลอื ปรากฏวา่ เหลือเส้ือแบบตา่ งๆ

จานวนดังตาราง 2

ตาราง 2

ขนาดเส้อื
แบบ เบอร์ S เบอร์ M เบอร์ L เบอร์ XL

เสอ้ื ยดื - 5 3 4

เสื้อเชิ้ต 2 7 - 6

เสอ้ื แจค็ เก็ต 8 10 3 -

จงหา (1) รา้ นค้าน้ีจาหน่ายเสอื้ แตล่ ะแบบไปแล้วเปน็ จานวนเท่าใด

(2) ถ้ารา้ นค้านต้ี ้องการส่งั ซ้อื เสือ้ แต่ละแบบจากโรงงานเปน็ จานวน 2 เท่าของยอดที่ขายได้

จะตอ้ งซ้ือเป็นจานวนเท่าใด

(3) ภายหลงั ส่ังซ้อื เสอ้ื เพิ่มเติมจากโรงงานแลว้ รา้ นค้าจะมเี สอ้ื รองรับการจาหนา่ ยให้แก่

ลูกค้าเปน็ จานวนเท่าใด

5. นกั ศึกษาสาขาวชิ าการท่องเที่ยวกลมุ่ หนึ่ง ต้องการหาประสบการณ์ตรงโดยตรงจัดนาเที่ยวเชิง

ประวตั ศิ าสตร์ในเกาะเมืองอยุธยา บริการแกผ่ ูป้ กครองและนกั เรียนระดับชน้ั มัธยมต้นในจงั หวัด

พระนครศรอี ยุธยา ปรากฏวา่ มผี ู้สนใจแจง้ ความประสงค์เข้าร่วมกิจกรรมจานวน ดังตาราง 1

ตาราง 1

ผู้ปกครอง นกั เรยี น

เพศชาย 10 12

เพศหญิง 20 18

และได้ประมาณคา่ ใช้จ่ายเปน็ ค่าพาหนะ คา่ อาหารและค่าเขา้ ชมโบราณสถาน ดังตาราง 2
ตาราง 2

หนา้ 132

วชิ า คณิตศาสตรท์ วั่ ไป (491-11-01)

ผู้ปกครอง ค่าพาหนะ/คน ค่าอาหาร/คน ค่าบัตรเขา้ ชมโบราณสถาน/คน
นกั เรยี น (บาท) (บาท) (บาท)
60 50 40
30 40 20

จงหาวา่ นกั ศกึ ษากลุ่มดังกลา่ ว ตอ้ งเตรียมเงนิ คา่ ใชจ้ ่ายเปน็ คา่ พาหนะ ค่าอาหารและค่าบัตร
เข้าชมโบราณสถาน แยกตามเพศชายหญิงเป็นเงนิ เท่าใด

6. ร้านตดั เย็บสูทสากลแห่งหนง่ึ ต้องการตดั สูทสุภาพบุรุษและสภุ าพสตรีจานวนรวม 30 ชดุ โดยใชผ้ า้ 3

ชนดิ ในการตัดสูทแต่ละชุด รายละเอียดเก่ยี วกับปริมาณและราคาของผ้าทใี่ ชต้ ัดเย็บแสดง ดังตาราง

ตอ่ ไปน้ี

ชุดสูทสากล ผา้ ท่ีใช้ตอ่ สูท 1 ชุด (เมตร) จานวนสทู สากล

ผา้ ชนิดที่ 1 ผา้ ชนิดท่ี 2 ผ้าชนิดที่ 3 ทต่ี อ้ งการตดั

สภุ าพบรุ ษุ 2.5 1 0.3 10

สุภาพสตรี 2 1.5 0.2 20

ต้นทนุ ผ้า/เมตร(บาท) 300 150 100

จงหา (1) ปรมิ าณผา้ แต่ละชนดิ ทีต่ ้องใชใ้ นการตัดสูทสากลทั้งหมด
(2) ต้นทุนผา้ ทใี่ ชใ้ นการตดั เย็บเสื้อสูทสากลท้งั หมด

6.3 ดีเทอรม์ ิแนนท์ของเมตรกิ ซ์

ในหวั ขอ้ นี้ จะกลา่ วถงึ ดีเทอร์มแิ นนท์ของเมตริกซจ์ ตั ุรสั n n ใดๆ โดยเร่ิมจาก
เมตรกิ ซจ์ ัตุรสั 1 1 กอ่ น ดงั นี้

6.3.1 ดเี ทอรม์ ิแนนทข์ องเมตรกิ ซ์ทีม่ ีมติ ิ1 1

บทนิยาม 6.7 ให้ A = [a]11 เรยี ก a วา่ ดเี ทอรม์ ิแนนทข์ องเมตริกซ์ A

เขียนแทนเทอรม์ ิแนนต์ของA ด้วย det (A) หรอื A

จากนยิ ามจะไดว้ ่า ถา้ A = [a]11 แล้ว det (A) = a หรือ A = a หรือ a เป็นทงั้

สมาชกิ ของเมตริกซ์ A และเป็นดีเทอรม์ ิแนนท์ของเมตริกซ์ A

6.3.2 ดีเทอร์มิแนนท์ของเมตรกิ ซท์ ี่มีมติ ิ  2

หนา้ 133

วิชา คณติ ศาสตร์ทั่วไป (491-11-01)

อนงึ่ การหาดีเทอรม์ ิแนนท์ของ A ซง่ึ A = [aij] nn เม่ือ n  2 จะนยิ าม ไมเนอร์ของ aij
และ ตวั ประกอบรว่ มเกีย่ วของ aij ก่อน ดังน้ี

บทนยิ าม 6.8 ให้ A = [aij] nn เม่อื n 2 ไมเนอรข์ อง aij คือ ดีเทอร์มิแนนทข์ องเมตรกิ ซ์ทไี่ ด้

จากการตดั แถวท่ี i และหลักที่ j ของเมตรกิ ซ์ A ออก
เขยี นแทนไมเนอร์ของ aij ด้วย Mij A

ตัวอย่าง 6.11 กาหนดให้ A = [aij] 22 จงหาไมเนอร์ของ aij ของเมตริกซ์ A
วธิ ีทา จาก A = [aij] 22

จะได้ A   a11 a12 
a 21 
a 22 

ดังนัน้ M11(A) = a22 , M12(A) = a21
M21(A) = a12 , M22(A) = a11

บทนยิ าม 6.9 ให้ A = [aij] nn เมอ่ื n  2 ตวั ประกอบรว่ มเกีย่ ว(cofactor) ของ aij
คือ ผลคณู ของ (-1) i + j กบั Mij A

เขียนแทนตัวประกอบรว่ มเกีย่ วของ aij ด้วย Cij A

ตัวอย่าง 6.12 กาหนดให้ A = [aij] 22 จงหาตัวประกอบร่วมเกีย่ วของ aij ของเมตริกซ์ A

วิธที า เพราะว่า A   a11 a12 
a 21 
a 22 

และ M11(A) = a22 , M12(A) = a21
M21(A) = a12 , M22(A) = a11

ดังนั้น C11(A) = (-1) 1 + 1 M11(A) = a22 , C12(A) = (-1) 1 + 2 M12(A) = -a21

C21(A) = (-1) 2 + 1 M21(A) = -a12 , C22(A) = (-1) 2 + 2 M22(A) = a11

ต่อไปน้ี จะใหบ้ ทนยิ ามของดีเทอรม์ ิแนนท์ของ n n เมตรกิ ซ์ เมอื่ n  2

บทนยิ าม 6.10 ให้ A = [aij] nn เม่อื n  2 ดเี ทอรม์ ิแนนท์ของเมตริกซ์ A คอื

det(A)  n ทกุ i = 1 ,2 , 3 , … , n ; เรยี กว่า กระจายตามแถวที่ i

 a Cij ij(A)
j1

n

หรอื det(A)  a Cij ij(A) ทกุ j = 1 ,2 , 3 , … , n ; เรยี กวา่ กระจายตามหลกั ท่ี j
i1

ตัวอย่าง 6.13 กาหนดให้ A = [aij] 22 จงหา det (A)

วิธที า เพราะวา่ A   a11 a12 
a 21 
a 22 

M11(A) = a22 , M12(A) = a21

หน้า 134

วชิ า คณติ ศาสตร์ท่วั ไป (491-11-01)

M21(A) = a12 , M22(A) = a11

และ C11(A) = (-1) 1 + 1 M11(A) = a22 , C12(A) = (-1) 1 + 2 M12(A) = -a21

C21(A) = (-1) 2 + 1 M21(A) = -a12 , C22(A) = (-1) 2 + 2 M22(A) = a11

เมอ่ื กระจายตามแถวท่ี 1: n

det(A)  aijCij(A)
j1

= a11C11(A) + a12C12(A)
= a11a22 + a12(-a21)

= a11a22 – a12a21

เมือ่ กระจายตามแถวท่ี 2 : n

det(A)  aijCij(A)
j1

= a21C21(A) + a22C22(A)
= a21(-a12) + a22a11

= a11a22 – a12a21

ถ้ากระจายตามแถวที่ 3 กจ็ ะพบวา่ ได้ผลลัพธ์เทา่ กับเม่ือกระจายตามแถวที่ 1 และ 2

เม่ือกระจายตามหลกั ท่ี 1: n

det(A)  a Cij ij(A)
i1

= a11C11(A) + a21C21(A)
= a11a22 + a21(-a12)

= a11a22 – a12a21

ถ้ากระจายตามหลกั ที่ 2 และ 3 ก็จะพบว่าได้ผลลัพธเ์ ทา่ กบั เมื่อกระจายตามแถว หรือหลัก
ใดๆ ท่ไี ดห้ ามาแล้วขา้ งต้น

ข้อสงั เกต : เมื่อ A = [aij] 22 นัน้ ค่า det(A) จะประกอบด้วยจานวน 2 จานวนลบกัน ซงึ่ อาจหา

จานวนท้ังสองได้ ดงั นี้ a12a21

det(A) = a11 a12
a21 a22
a11a22

= (ผลคณู ทแยงลงจากซ้ายไปขวา) – (ผลคณู ทแยงขึ้นจากซ้ายไปขวา)
= a11a22 – a12a21

ผลลพั ธ์ท่ไี ด้มีคา่ เทา่ กบั การหาจากบทนยิ าม และสามารถคานวณได้สะดวกรวดเรว็

ตวั อย่าง 6.14 กาหนดให้ A  3  2 จงหา det(A)
1 
5 

วธิ ีทา จาก A  3  2
1 
5 

หนา้ 135

วิชา คณิตศาสตร์ทั่วไป (491-11-01)

 det(A) = 3  2
15

= (3)(5) – (1)(-2)
= 15+ 2
= 17

a11 a12 a13 
ตัวอยา่ ง 6.15 กาหนดให้ A  a21 
a 22 a 23  จงหา det(A)

a31 a32 a33 

วธิ ีทา จากบทนิยาม n ทุก i = 1 ,2 , 3 , … , n

det(A)  a Cij ij(A)
j1

กระจายตามแถวท่ี 1: det(A) = a11C11(A) + a12C12(A) + a13C13(A)

= a11M11(A) – a12M12(A) + a13M13(A)

= a11 a 22 a 23  a12 a 21 a 23  a13 a 21 a 22
a 32 a 33 a 31 a 33 a 31 a 32

= a11(a22a33 – a32 a23) – a12(a21a33 – a31 a23) + a13(a21a32 – a31 a22)

= a11a22a33 – a11a32 a23 – a12a21a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 – a13a31 a22

= (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32) – (a31a22a13+ a32a23a11 + a21a33a12)

ข้อสงั เกต : เมอื่ A = [aij] 33 นน้ั ค่า det(A) จะประกอบด้วยจานวน 2 จานวนลบกนั เช่นเดียวกบั

2 2 เมตรกิ ซ์ ซึ่งอาจหาจานวนท้ังสองได้ โดยนาสมาชิกหลักที่ 1 และ หลักท่ี 2 มาเขยี นตอ่ จากหลักท่ี 3
ดังนี้ a31a22a13 a32a23a11 a21a33a12

det(A) = a11 a12 a13 a11 a12
a 21 a 22 a 23 a 21 a 22

a31 a32 a33 a 31 a32

a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32

= (ผลคูณทแยงลงจากซ้ายไปขวา) – (ผลคณู ทแยงขนึ้ จากซา้ ยไปขวา)

= (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32) – (a31a22a13 + a32a23a11 + a21a33a12)

นอกจากนี้ ยังอาจหาคา่ det(A) ซ่งึ ประกอบด้วยจานวน 2 จานวนลบกนั โดยไม่ต้องนา
สมาชกิ หลกั ท่ี 1 และ หลักที่ 2 มาเขยี นต่อจากหลักที่ 3 อย่างขา้ งตน้ แต่ใช้วิธีคณู ทแยงวนแทนได้ ดงั น้ี

det(A) a32a23a11 a31a22a13 a21a33a12
a13a21a32
a11 a12 a13 หน้า 136

= a 21 a 22 a 23

a31 a32 a33

a11a22a33

วิชา คณติ ศาสตร์ทว่ั ไป (491-11-01)

a12a23a31

= (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32) – (a31a22a13 + a32a23a11 + a21a33a12)

ซึง่ สามารถคานวณไดโ้ ดยสะดวกและไดผ้ ลลพั ธ์มีคา่ เท่ากนั

ตัวอยา่ ง 6.16 กาหนดให้ 1 2 1 จงหา det(A) ท้งั สามวธิ ีข้างต้น
 0 
A   0 3 

1 4 5

วิธที า

วธิ ีที่ 1 จากบทนยิ ามของดเี ทอร์มิแนนท์จะไดว้ ่า

เม่อื กระจายตามแถวที่ 1: det(A) = a11C11(A) + a12C12(A) + a13C13(A)

= (1)M11(A) – (-2)M12(A) + (-1)M13(A)

= 03  (2) 03  (1) 00

4 5 1 5 1 4

= (0 – 12) + 2 ( 0 – (-3) ) – (0 – 0)

= -12 + 6

= -6

วิธที ่ี 2 นาสมาชิกหลักท่ี 1 และ หลกั ที่ 2 มาเขยี นตอ่ จากหลักที่ 3 ดังนี้

0 12 0

det(A) = 1  2 1 1 2
00 3 00
1 4 5 1 4

06 0

= ( 0 + 6 + 0 ) – ( 0 +12 + 0 )
= -6

วธิ ีท่ี 3 ใช้วิธีคูณทแยงวน

det(A) = 1  2 1
00 3
1 4 5

= ( 0 + 6 + 0 ) – ( 0 +12 + 0 )
= -6

หน้า 137

วิชา คณติ ศาสตร์ทั่วไป (491-11-01)

ข้อสังเกต : การหาค่า det(A) ตามวธิ ีที่ 1 อาจคานวณโดย กระจายตามแถวท่ี 2 , 3 หรือ หลกั 1, 2 ,3
กย็ งั คงไดผ้ ลลพั ธเ์ ทา่ กนั และสาหรบั ตัวอยา่ ง 6.16 น้ี ควรกระจายตามแถวท่ี 2 ซงึ่ มสี มาชิก 0 อยทู่ ้งั ใน
หลักท่ี 1 และ 2 เนือ่ งจากจะลดภาระการคานวณไดเ้ ป็นอย่างดี ดังน้ี
เมอ่ื กระจายตามแถวที่ 2 : det(A) = a21C21(A) + a22C22(A) + a23C23(A)

= (0)C21(A) + (0)C22(A) – (3)M23(A)

= 1 2
0  0  (3)
1 4

= - (3) (4 – 2)
= -12 + 6

= -6

ตัวอยา่ ง 6.17 จงหา det(A) เม่ือกาหนดให้

 1 2 3 0 
 2 1
A   0 1 0 2
1
1 
2 
4 1 5

วธิ ีทา

จากบทนิยามของดเี ทอร์มิแนนทเ์ มอื่ กระจายตามแถวท่ี 1:

จะได้ว่า det(A) = a11C11(A) + a12C12(A) + a13C13(A) + a14C14(A)

= (1)M11(A) – (-2)M12(A) + (3)M13(A) – (0)M14(A)

1 2 1 0 2 1 0 1 1

 (1) 1 0  2  (2 ) 1 0  2  ( 3) 1 1  2  0

4 1 5  2 1 5 2 4 5

= (1)((0-16+1)–(0+2+10)) + (2)((0+8+1)–(0+0+10)) + (3)((0+4-4)-

(2+0+5)) + 0

= (1)(-15-12) + (2)(9-10) + (3)(0-7)
= -50

อนึง่ การคานวณหา det(A) ในตัวอยา่ ง 6.17 ขา้ งตน้ นิยมใช้สมบตั ิของดีเทอรม์ แิ นนทช์ ่วย
ในการคานวณเพราะจะคานวณไดส้ ะดวกกว่า โดยสามารถศึกษาสมบัติของดีเทอรม์ ิแนนทไ์ ด้ ดงั นี้

สมบัติของดีเทอร์มแิ นนท์

สมบัติของดีเทอรม์ แิ นนทท์ คี่ วรทราบเพ่ือประโยชนใ์ นการหาดเี ทอร์มแิ นนท์ของเมตรกิ ซ์ A = [aij]nn ใดๆ
เมอื่ n  2

1. ถ้า A มีสมาชกิ ในแถวใดแถวหนง่ึ หรอื หลักใดหลักหนึ่งเป็น 0 ทกุ ตวั แล้ว det(A) = 0
ทง้ั น้ี เป็นผลของการหาคา่ det(A) โดยการกระจายในแถวหรอื หลกั ทีม่ ี 0 ทกุ ตัว

หนา้ 138

วิชา คณิตศาสตรท์ ั่วไป (491-11-01)

เชน่ ถ้า A = 0 5 2 แล้ว det(A) = 0
0 4 1

0 3 6

2. ถ้า A มีสมาชิกใน 2 แถวใดๆ หรอื 2 หลกั ใดๆ เหมือนกนั แลว้ det(A) = 0

เชน่ ถ้า A = 1 0 5 แล้ว det(A) = 0
4 2  3

1 0 5 

3. det(A) = det(At)

เช่น ถ้า A = 3 2 จะได้ At = 3 1
1 4 2 4

และ det(A) = 3 2 และ det(At) = 31
 10  10
14
24

4. ถ้า B ได้จากการสลบั ท่ีกนั ของแถว 2 แถว หรือสลับท่ีกันของหลกั 2 หลักของ A
แล้ว det(B) = -det(A)

เช่น ถา้ A = 3 2 และ B = 1 4
1 4 3 2

จะได้ det(A) = 3 2 และ det(B) = 1 4
 10  10
14 32

5. ถา้ คณู สมาชิกในแถวใดแถวหน่ึงหรือหลักใดหลักหนง่ึ ของ A ด้วยค่าคงตวั c แล้ว

ดเี ทอร์มแิ นนท์ของเมตริกซท์ ่ีได้ คอื c det(A)

เช่น ถ้า A = 5 3 และ c = 2 แลว้
4 1

จะได้ c det(A) = 2  5 3  25 23 10 6  14

41 4 1 41

หรือ c det(A) = 2  5 3  5 3 53
  14
4 1 2 4 21 8 2

หรอื c det(A) = 2  5 3  2  5 3  10 3  14
4 1 24 1 81

หรอื c det(A) = 2  5 3  5 2  3  5 6  14

4 1 4 21 4 2

6. ถ้า B ได้จาก A โดยสมาชิกแถวที่ j ของ B ไดม้ าจากการคณู แถวที่ i ของ A ด้วย
คา่ คงตวั c และนาไปบวกกบั แถวที่ j ของ A เม่ือ i  j แลว้ det(A) = det(B)

เชน่ ถา้ A =  1 2 และ B = 1 2  ซ่งึ ไดจ้ ากคูณแถวที่ 1 ของ A
 3 4 0 10

ดว้ ย 3 แล้วนาไปบวกกับแถวท่ี 2 ของ A

หน้า 139

วชิ า คณติ ศาสตร์ทั่วไป (491-11-01)

จะได้ det(A) = 1 2  4  (6)  10 และ det(B) = 1 2
 10  0  10
3 4 0 10

ตัวอยา่ ง 6.18 จงหา det(A) เมือ่ กาหนดให้

 1 2 3 0 
 2 1
A   0 1 0 2
1
1 
2 
4 1 5

วธิ ที า ใชส้ มบัติของดีเทอร์มิแนนท์ชว่ ยหา det(A) ดงั น้ี

det(A)  1 2 3 0
0 1 2 1
1 1 0 2
2 4 1 5

1 2 3 0 คูณแถวท่ี 1 ดว้ ย -1 แล้วนาไปบวกกบั
0 1 2 1

0 3 3 2
2 4 1 5

แถวที่ 3

1 2 3 0 คณู แถวที่ 1 ด้วย 2 แล้วนาไป
 0 1 2 1

0 3 3 2
00 5 5

บวกกับแถวท่ี 4

1 2 1 กระจายตามหลักที่ 1
 3 3 2

05 5

1 2 1 คณู แถวท่ี 1 ดว้ ย -3 แลว้ นาไป
 0 9 1

05 5

บวกกับแถวที่ 2

 9 1 กระจายตามหลักที่ 1
55

= -45 - 5
= -50

บทนยิ าม 6.11 ให้ A เป็นเมตริกซ์จตั ุรัสท่ีมีมติ ิ nn
A เป็นเมตริกซ์เอกฐาน (singular matrix) เมอ่ื det(A) = 0
A เปน็ เมตริกซ์ไม่เอกฐาน (non - singular matrix) เมือ่ det(A)  0

หนา้ 140

วชิ า คณิตศาสตร์ทัว่ ไป (491-11-01)

ตวั อย่าง 6.19 กาหนดให้ 1 2 3 จงแสดงว่า A เป็นเมตรกิ ซ์เอกฐาน(singular matrix)
3 2 
A  2 

2 0 1

วธิ ที า เน่ืองจาก A จะเป็นเมตริกซ์เอกฐาน เมื่อ det(A) = 0
จึงตอ้ งแสดงใหเ้ ห็นวา่ det(A) = 0 ซ่ึงคานวณไดห้ ลายวิธี ในทน่ี จี้ ะแสดง 2 วธิ ี คอื

1. วิธีใช้สมบัติของดเี ทอร์มิแนนท์ช่วยหา det(A) ดงั นี้

det(A) = 1 2 3
3 2 2
2 0 1

1 2 3 นาแถวท่ี 1 ไปบวกกบั แถวท่ี 3
เพราะวา่ สมาชกิ แถวที่ 2 และแถวท่ี 3
= 3 2 2

3 2 2

=0

เหมือนกนั

2. นาสมาชิกหลกั ท่ี 1 และ หลักที่ 2 มาเขียนต่อจากหลกั ท่ี 3 ดังนี้

-12 0 6

det(A) = 1 2 3 1 2
3 2 2 3 2
2 0 1
20
0
2 -8

det(A) = ( 2 – 8 + 0 ) – ( -12 + 0 + 6 )
=0

เนอื่ งจาก det(A) = 0 ดังนั้น A เป็นเมตรกิ ซ์เอกฐาน (singular matrix)

ตวั อย่าง 6.21 กาหนดให้ 3 1  2 เป็นเมตริกซ์เอกฐาน(singular matrix) จงหาคา่ x
 
A   1 x 2 

 2 0 2 

วิธที า เนอื่ งจาก A จะเป็นเมตริกซเ์ อกฐาน (singular matrix) เม่ือ det(A) = 0

ดังนนั้ det(A) = 0

3 1  2 =0
1x2
2 0 2

หนา้ 141

วชิ า คณติ ศาสตร์ท่ัวไป (491-11-01)

( 6x + 4 + 0 ) – ( 4x + 0 + (-2) ) = 0
2x + 6 = 0

 x = -3

แบบฝึกหดั 6.3

1. จงหาไมเนอร์และตวั ประกอบร่วมเก่ียว(cofactor) ของสมาชกิ ทกุ ตัวของเมตริกซ์ ต่อไปน้ี

1.1 A  4 3 1.2 B  5  9
1 2  3  6

1.3 1 3 6 1.4  4 2 3
C  0 4 1 D   2 4 5
2 5 7  1 8 6

1.5 1  5 4 1 1.6  2 0 4 1
E  2   1 0  3
1 0 2  F   5

0  2 3 1   0 2 3 1 
0   1 
0 5 0  0 5 0 

2. จงหาดเี ทอร์มิแนนท์ของเมตริกซ์ A ,B , C , D ,E และ F ในข้อ (1)

3. จงแสดงวา่

3.1 ถ้า A = [aij] 33 โดยท่ี aij = 0 เมอ่ื i > j แลว้ det(A) = a11a22a33
3.2 ถ้า B = [bij] 44 โดยท่ี bij = 0 เมอื่ i < j แล้ว det(B) = b11b22b33b44

4. จงหาคา่ x จากสมการ ตอ่ ไปนี้

4.1 x6 1  2 1
 17
35 4.2  2 1 x  3

012

5. ถา้ เมตริกซต์ ่อไปนเ้ี ป็นเมตรกิ ซ์เอกฐาน (singular matrix) จงหาคา่ x

5.1 A  4 x 5.2  1 1 1 
x 9  B  1 x 1
 2 1 x 

6.4 ตัวผกผนั การคณู ของเมตรกิ ซ์

6.4.1 ความหมายของตวั ผกผนั การคูณของเมตรกิ ซ์

จากสมบตั กิ ารคณู เมตริกซ์ด้วยเมตริกซ์ ในหวั ข้อ 3.1 ทราบแล้วว่า

ถา้ A เปน็ nn เมตรกิ ซ์แลว้ InA = AIn = A เพราะฉะน้ัน In จึงเป็นเอกลกั ษณก์ ารคูณ
ในเซตของเมตริกซ์ทีม่ ีมิติ nn

หนา้ 142