คณิตศาสตร์ทั่วไป

วิชา คณิตศาสตร์ทัว่ ไป (491-11-01)

ตัวอยำ่ ง 3.8 จานวนทอ่ี ยูร่ ะหวา่ ง 50 กบั 500 ซึ่งหารด้วย 6 ลงตวั มกี จี่ านวน
วิธีทำ จานวนซงึ่ อยู่ระหว่าง 50 กับ 500 ซ่งึ หารด้วย 6 ลงตัวไดแ้ ก่ 54 , 60 , 66 , ... , 498

เม่ือพิจารณาจานวนดังกล่าว จะพบว่าเปน็ ลาดับเลขคณิตที่มี a1  54,d  60 54  6

ถา้ ให้ an  498 แลว้ n กค็ ือจานวนพจนท์ ี่อยรู่ ะหวา่ ง 50 กบั 500 ซึง่ หารด้วย 6 ลงตวั
นัน่ เอง

จาก an  a1  (n 1)d
จะได้ 498  54  (n 1)(6)

498  54 6n 6

6n  450

n  75

ดังน้ัน จานวนซึ่งอยูร่ ะหวา่ ง 50 กบั 500 ซ่งึ หารด้วย 6 ลงตัว มี 75 จานวน

3.1.3 ลำดบั เรขำคณติ (Geometric Sequence or Geometric Progression)

นิยำม 3.3 ลาดบั เรขาคณิต คือ ลาดับที่อัตราสว่ นของพจน์ที่ n+1 ตอ่ พจน์ที่ n มีคา่ คงตัว
คา่ คงตวั นี้เรียกวา่ อัตราสว่ นรว่ ม (common ratio)

จากนิยาม ของลาดบั เรขาคณิต ถา้ ให้ r เป็นอัตราสว่ นร่วมจะได้ r  an1
an

หรือ an1  anr เมอ่ื n 
ตัวอย่างของลาดบั เรขาคณิต

(1) 1 , 3 , 9 , 27 , 81 , … , ,3n1 …มอี ัตราส่วนรว่ มเทา่ กับ 3

(2) 4 , 2 , 1 , 1 , 1 , ... , 23n , ... มอี ัตราส่วนร่วมเทา่ กบั 1

24 2

(3) -1 , 1 , -1 , 1 , -1 , ... , (1)n , ... มอี ัตราสว่ นร่วมเท่ากับ –1

ถา้ กาหนดให้ a1เป็นพจนแ์ รก และ r เปน็ อัตราส่วนร่วมแล้วจะเขยี นพจน์ใด ๆ ของลาดับ

เรขาคณิต ในรปู ของ a1และ r ได้ดงั น้ี

พจน์ที่ 1 ของลาดบั คือ a1

พจน์ท่ี 2 ของลาดบั คือ a2  a1r

พจน์ท่ี 3 ของลาดับ คือ a3  a2r  (a1r)r  a1r2

พจนท์ ่ี 4 ของลาดับ คือ a4  a3r  (a1r2)r  a1r3

…………………………………

…………………………………

…………………………………

พจน์ท่ี n ของลาดับ คอื an  an 1 r  a1 rn 1

หนา้ 43

วชิ า คณติ ศาสตร์ทว่ั ไป (491-11-01)

ดงั น้นั เมอ่ื กาหนดให้พจน์แรกของลาดับเรขาคณติ คอื a1 และอัตราส่วนร่วม คอื r
พจน์ท่ี n หรือพจนท์ ว่ั ไปของลาดับเรขาคณิตนี้ คือ

an  a1rn1

ตวั อย่ำง 3.9 จงหาสามพจน์ถัดไปของลาดับเรขาคณติ 4 , 4 , 4 , 12 , ...
93

วิธีทำ

พจนท์ ี่ 4 ของลาดบั คอื a4 12 และ อตั ราส่วนรว่ ม r 12 3
4

สามพจน์ถดั ไปจากที่กาหนดคอื a5,a6 และ a7 มคี ่าดงั น้ี

a5  a4r  12(3)  36

a6  a5r  36(3)  108

a7  a6r  108(3)  324

ดังน้นั สามพจนถ์ ัดไปของลาดับเรขาคณติ นี้ คือ 36 , 108 และ 324
ตัวอยำ่ ง 3.10 จงหาพจน์ทั่วไป และพจน์ที่ 24 ของลาดบั เรขาคณติ ที่มี a1  4 และ r = 2

วธิ ที ำ จากพจนท์ ว่ั ไปของลาดบั เรขาคณิต an  a1rn1
แทนค่า a1  4 และ r  2 จะไดพ้ จน์ทัว่ ไปสาหรับลาดบั เรขาคณิตท่ีกาหนดให้คอื

an  4(2)n1
 (2)2 (2)n1

 2n1

และสามารถหาพจน์ที่ 24 ไดโ้ ดยการแทนค่า n = 24 ดังนี้

a  2241
24

 225

= 33,554,432
นนั่ คอื ลาดบั เรขาคณติ ทีม่ ี a1  4 และ r = 2 มพี จน์ท่วั ไปคือ an  2n1 และมีพจนท์ ่ี 24
เทา่ กับ หรือ 33,554,432
อนึ่ง ถา้ ในตวั อยา่ ง 3.10 โจทยใ์ หห้ าเฉพาะพจน์ที่ 24 ของลาดับเรขาคณิตท่ีมี a1  4 และ r  2
เทา่ นน้ั สามารถหาค่าพจน์ท่ี 24 ได้จากพจนท์ ว่ั ไปของลาดับเรขาคณิตใดๆ ได้โดยตรง ดังน้ี
จาก an  a1rn1
แทนค่า a1  4, r  2 และ n  24จะได้

a24  2(2)241

 225

= 33,554,432
ซงึ่ ไดค้ าตอบเท่ากันกับการแทนคา่ n = 24 ในพจน์ทวั่ ไปของลาดบั เรขาคณติ ตามตวั อยา่ งที่
3.10

หนา้ 44

วชิ า คณติ ศาสตร์ทั่วไป (491-11-01)

ตวั อย่ำง 3.11 จงหาว่า 3,072 เป็นพจน์ท่ีเท่าใด ของลาดบั เรขาคณิต 3 , 3 , 3 ,12 , ...
16 4
วธิ ีทำ ลาดับเรขาคณิตน้ี มี a  3 , r  12  4
1 16 3
และถา้ ให้ 3,072 เป็นพจน์ท่ี n แลว้ จะได้วา่ a  3,072
n

จาก an  a1rn1

จะได้ 3, 072   3  (4) n 1
 16 

4n1  16, 384

4n1  47
 n 1 7

n 8

ดังนั้น 768 เป็นพจนท์ ี่ 8 ของลาดบั เรขาคณิต 136,43,3,12,...

ตวั อย่ำง 3.12 กาหนดใหล้ าดับเรขาคณติ หน่ึงมีพจนท์ ่ี 5 เทา่ กับ 2 และพจนท์ ี่ 11 เท่ากับ 128 จงหา

พจน์แรก อัตราส่วนร่วม และพจนท์ ั่วไปของลาดับเรขาคณิตน้ี

วิธีทำ

จากพจนท์ ่วั ไปของลาดับเรขาคณิตใด ๆ an  a1rn1 ………………

ถา้ ให้ n  5 จะไดว้ า่ an  a5  2 ;

แทนคา่ ได้ a5  a1r51
2  a1r4
………………

ถา้ ให้ n  11 จะไดว้ ่า ;an  a11  128

แทนคา่ ได้ a11  a1r111
128  ar10
………………

นา   ; 64  r6

r6  26
 r  12

แทนค่า r  2 ลงในจะได้ 2  a1(2)4

และแทนค่า a  1 , r  2 ลงใน  a1  1
8
18
an  1 (2)n1
จะได้ 8

an  1 (2) n 1
23

an  2n4

หน้า 45

วชิ า คณิตศาสตรท์ ่ัวไป (491-11-01)

ดงั น้ัน ลาดบั เรขาคณติ นี้ มีพจนแ์ รกเท่ากับ 1 มีอัตราส่วนรว่ มเท่ากับ 2 และมีพจน์

8

ทั่วไป คือ an  2n4

แบบฝึกหัด 3.1

1. จงเขยี นห้าพจนแ์ รก และพจนท์ ่ี 15 ของลาดับ ตอ่ ไปน้ี

(1) an  1 (2) an  (1)n (3) an  3n 1
n

(4) an  n (5) a  n 1 (1)n  (6) an  (1)n1
n 1 n n2 1

2. จงเขียนลาดับทีม่ ี 4 พจนแ์ รกดังตอ่ ไปนี้ โดยแจกแจง7 พจน์แรกและพจนท์ วั่ ไปซงึ่ แตกต่างกันมา

3 รูปแบบ

(1) 1 , 3 , 9 , 27 (2) 1 , 4 , 9 , 16 (3) 1 , 5 , 9 ,

13

3. จงหาหา้ พจนถ์ ดั ไป พจน์ท่ัวไปและพจน์ที่ 75 ของลาดบั เลขคณติ ต่อไปน้ี

(1) 3 , 8 , 13 , ... (3)  1 , 1 , 1 , ...
(2) -2 , 4 , 10 , ... 662

(4) a , a  3 , a  6 , ...

4. จงหาพจน์ท่ี 9 และพจน์ที่ 25 ของลาดับเลขคณิต 7 , 4 , 1 , -2 , ...

5. 75 เป็นพจน์ท่เี ทา่ ใดของลาดบั เลขคณิต –42 , -33 , -24 , -15 , ...

6. -100 เป็นพจนท์ ่เี ทา่ ใดของลาดับเลขคณิต 10, 7 1 , 5 , 2 1 , ...
22

7. จงหาจานวนทีอ่ ยู่ระหวา่ ง 19 กบั 73 ซึ่งทาให้ สามจานวนน้ีอยใู่ นลาดับเลขคณติ

8. ถ้า a , 4 a , 5 a 8 เป็นสามพจน์เรียงกนั ในลาดบั เลขคณิต จงหาค่า a และเขียนลาดบั น้ี

ตอ่ ไปอกี จานวน 4 พจน์

9. ถ้าพจน์ที่ 5 ของลาดบั เลขคณิตคือ -4 และพจน์ที่ 20 คอื 41 จงหาพจน์ทั่วไป และพจน์ที่ 12 ของ

ลาดบั เลขคณิตน้ี

10.จานวนซึ่งอยรู่ ะหว่าง 500 กับ 2000 ทีห่ ารดว้ ย 15 ลงตวั มีก่ีจานวน

11.โรงงานซอ้ื เคร่ืองจักรมาราคา 1,500,000 บาท กาหนดอายุการใชง้ าน 10 ปี คดิ คา่ เสอ่ื มราคาในปี

แรก

300,000 บาท หลงั จากน้นั คดิ คา่ เสื่อมราคาปีละ 120,000 บาท จงหาราคาของเครอื่ งจักร

เมื่อใช้เครอ่ื งจักรมาแลว้ 7 ปี

12.กู้เงินจากสหกรณอ์ อมทรพั ยเ์ ป็นเงิน 100,000 บาท โดยสญั ญาจะจ่ายเงนิ ตน้ คนื เดือนละ 2,000 บาท

พรอ้ มดอกเบ้ียของเงินต้นแต่ละเดือน ถา้ สหกรณ์ออมทรพั ย์คิดดอกเบย้ี อัตรารอ้ ยละ 12 จงหาวา่

ในเดือนที่ 24 ต้องชาระดอกเบ้ียเทา่ ใด

13.จงหา 4 พจนถ์ ัดไป พจน์ท่ัวไป และพจน์ที่ 20 ของลาดับเรขาคณิต ต่อไปนี้

(1) 2 , 10 , 50 , … (2) -20 , 10 , -5 , …

หน้า 46

วชิ า คณติ ศาสตร์ทัว่ ไป (491-11-01)

(3) 3 , 1 , 1 , ... (4) 5 , 5 , 10 , ...

3 63 3

(5) (1.01), (1.01)2, (1.01)3,... (6) a3b, a2b2, ab3,...

14. จงหาว่า 1 เป็นพจน์ทีเ่ ทา่ ใดของลาดับเรขาคณติ 1 , 1 1 1
256 , , , ...
248
15. จงหาจานวนท่ีอย่รู ะหว่างสองจานวนท่ีกาหนดให้ ซ่ึงจะทาใหจ้ านวนทั้งสามเปน็ ลาดับเรขาคณติ

(1) 4 และ 12 (2) 6 และ 0.06
3

16. กาหนดให้ลาดับเรขาคณิตหนง่ึ มพี จน์ท่ี 2 เท่ากับ 1 และพจนท์ ี่ 6 เทา่ กบั 1 จงหาพจนแ์ รก
32 2

อัตราส่วน ร่วม และพจน์ท่วั ไปของลาดบั เรขาคณติ นี้

17.จงพจิ ารณาลาดับต่อไปนวี้ ่า ลาดับใดเป็นลาดับเลขคณิต ลาดบั ใดเป็นลาดับเรขาคณติ และระบุ

ผลต่างรว่ ม หรือ อตั ราสว่ นรว่ มของลาดับนน้ั ๆ ด้วย

(1) 1 , 1 , 1 , 1 , ... , 2n1, ... (2) 15, 11, 7, 3,..., 4n 19,...
(4) 3 ,  3 , 3 , 3 , ... , 3(1)n1, ...
248

(3) 18 , 6 , 6 , 18 , ... , 30 12n , ...

(5) 11 1 (6) 1 , 11 , 1 2 , 13 , ... , 5n  4 , ...
2 , 1 , 2 , 4 , ... , 2n2 , ... 555 5

3.1.4 ลิมิตของลำดับ

ในหวั ขอ้ น้ี จะศกึ ษาสมบัติทส่ี าคญั อยา่ งหนงึ่ ของลาดับอนันต์ โดยจะพิจารณาพจน์ที่ n ของลาดับ
เมอ่ื n มีค่ามากขนึ้ อย่างไมส่ ้ินสุด

(1) พิจารณาลาดับ an  1
n

n 1 2 3 4 … 10 … 100 … 10000 ... 100000 …

an 1 .5 .33 .25 … .1 … .01 ... .0001 … .00001 …
an

1•

0.5 • • •• • • n
••
10 100 1,000 10,000 100,000
1 23 4

หน้า 47

วิชา คณติ ศาสตรท์ ั่วไป (491-11-01)

จะเห็นได้วา่ เมื่อ n มีค่ามากข้นึ อย่างไมส่ น้ิ สดุ แล้ว an จะมีคา่ เขา้ ใกล้ 0
(2) พจิ ารณาลาดับ an 1
n1 2 3 4 5 6 7 8 9…
an 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

an

1 ••• • ••• ••

n

1 2 3 4 5 6 7 89

จะเห็นไดว้ ่า เมือ่ n มีค่ามากอยา่ งไม่สนิ้ สดุ แลว้ anจะมคี า่ เปน็ 1 เสมอ
เมื่อ n มคี า่ มากขึน้ อย่างไม่มีสิ้นสุด และ an มีคา่ เขา้ ใกล้หรอื เทา่ กับจานวนจริง L เพียงจานวน

เดยี วเทา่ นั้น แล้ว เรยี ก L ว่า “ ลมิ ติ ของลำดบั ” หรอื กล่าววา่ ลาดบั มีลิมติ เทา่ กบั L เขียนแทนดว้ ย
สัญญาลกั ษณ์

lim an  L

n 

ดังนั้น จากตัวอยา่ งขา้ งตน้ จะไดว้ า่ lim 1  0 และ lim 1  1 เรยี ก ลาดับอนันต์ท่มี ลี ิมิตวา่
n n n

“ ลำดบั คอนเวอร์เจนต์ ” ลาดบั an  1 และ an 1 จึงเปน็ ลาดบั คอนเวอร์เจนต์
n

(1) พิจารณาลาดับ an  n 1

n12345 6 7 89 …
an 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …

an

10 •
•
8 •

6 
4 


2•

1 23 4 5 6789 n

จะเหน็ ไดว้ ่า เมื่อ n มคี ่ามากขึ้นอย่างไมส่ นิ้ สุดแล้วคา่ an กจ็ ะมคี ่ามากขึน้ เรื่อยๆ และไมเ่ ข้าใกล้
จานวนจรงิ ใดจานวนหนงึ่

หนา้ 48

(2) พจิ ารณาลาดบั an  (1)n 56 วิชา คณิตศาสตรท์ วั่ ไป (491-11-01)
-1 1
n1 2 3 4 789…
an -1 1 -1 1 • -1 1 -1 …

an •

1 •

12 3 45 6 7 8 9 n

-1   ••



จะเหน็ ไดว้ า่ เม่อื n เป็นจานวนคี่ an จะมคี า่ เทา่ กับ –1 และ เมอ่ื an เปน็ จานวนคู่ an จะมี

ค่า เทา่ กับ 1 ดังนนั้ เมื่อ n มีค่ามากขนึ้ อย่างไมม่ ีท่สี ้ินสุด คา่ an กจ็ ะไม่ได้เข้าใกลจ้ านวนจริงใด จานวน

หนงึ่
สาหรับลาดบั อนันตใ์ ดๆ เมอื่ n มีคา่ มากขึ้นอย่างไม่มีที่ส้ินสุด และ คา่ an ไม่ได้เข้าใกลจ้ านวน

จรงิ ใดจานวนหนง่ึ กล่าววา่ ลาดบั นัน้ ๆไม่มลี ิมติ และเรยี กลาดบั อนนั ต์ที่ไม่มลี ิมิตวา่ “ลำดับไดเวอรเ์ จนต์ ”

ดังน้ัน จากตัวอย่างขา้ งต้นจะได้ว่า ลาดับ an  n 1 และ an  (1)n เป็นลาดบั ไดเวอร์
เจนต์ เพราะเปน็ ลาดับทีไ่ ม่มลี ิมิต

การหาลิมิตของลาดับต่าง ๆ นอกจากจะพิจารณาได้จากตารางคอู่ ันดับ หรอื กราฟของลาดับแล้ว
ยังอาจหาได้โดยใชท้ ฤษฎีบทเกีย่ วกับลมิ ิต ซง่ึ จะกลา่ วถงึ และนาไปใช้โดยจะไม่พิสจู น์ในท่ีนี้ ดังนี้

ทฤษฎบี ทเกี่ยวกับลิมติ

ให้ c เป็นคา่ คงตวั

(1) lim c  c
n

(2) lim can  c lim an

n n

(3) lim (an  bn )  lim a n  lim bn

n n n

(4) lim (an  bn )  lim a n  lim bn

n n n

(5) lim an  lim a n 

n ; lim bn 0

bn lim bn n
n
n

(6) ถา้ an  1 แล้ว
np

lim an  lim 1  0 ; p0
np
n n

หน้า 49

วิชา คณิตศาสตรท์ วั่ ไป (491-11-01)

ตวั อยำ่ ง 3.13 จงหาลมิ ิตของลาดับ an 108
วธิ ีทำ ลาดับน้ี คือ 108 , 108 , 108 , ... ซงึ่ พจน์ของลาดบั มีคา่ คงตัว

lim c  c

n

 lim 108  108
n

ตวั อยำ่ ง 3.14 จงหาลิมิตของลาดับ an  1 และ ลมิ ิตของลาดับ bn  1
n2 n3

วิธีทำ จาก lim 1 0 ; p0

n np

 lim an  lim 1 0 (ในท่นี ี้ p = 2 )
(ในท่นี ้ี p = 3 )
n n n2

และ lim bn  lim 1  0
nn 3
n

ตัวอยำ่ ง 3.15 จงหาลมิ ติ ของลาดบั a  (5  1) และ ลมิ ติ ของลาดบั b   3  6
n n n  n4 

วิธที ำ จาก lim an  lim (5  1 )
n n
n

 lim 5  lim 1
n n n

= 5+0

=5

และ lim bn  lim 3  6 
 n4 
n n

 lim 3  lim 6
n4 n
n

 lim 3  1   6
 n4 
n

 3 lim 1 6
n n4

= 3(0) - 6

= -6

หนา้ 50

วชิ า คณติ ศาสตรท์ ่วั ไป (491-11-01)

ตัวอยำ่ ง 3.16 จงหาลมิ ิตของลาดบั an  3n  2
n

วธิ ที ำ

lim an  lim 3n  2
n n
n

 lim  3n  2 
 n n 
n

 lim (3  2 )
n n

 lim 3  lim 2  1 
 n 
n n

 3  2 lim 1
n n

 3  2(0)

=3

หรือ อาจคานวณได้อกี วิธีหน่ึงโดยการนา n ไปหาร ทง้ั เศษและสว่ น ดังนี้

3n  2
lim n n
lim an  n n

n

n

 lim 3  2 lim 1
n n n

 3  2(0)

3

ตวั อย่ำง 3.17 จงหาลมิ ติ ของลาดบั an  3n 2  4n
n3 5

วิธีทำ

lim an  3n2  4n
lim
n n n3  5

นา n3 ซึ่งมเี ลขช้ีกาลงั สูงท่ีสุด ไปหารท้ังเศษและส่วน

3n2  4n
n3 n3
lim an  lim
n3 5
n n n3  n3

หน้า 51

วิชา คณติ ศาสตรท์ ่ัวไป (491-11-01)

lim( 3  4 )
n n2
 n

lim(1  5 )
n3
n

3lim 1  4 lim 1
n n n2
lim an  n

n lim 1  5 lim 1
n n3
n

 3(0)  4(0)
10

=0

แบบฝกึ หัด 3.2

1. จงหาลิมติ ของลาดบั ต่อไปนี้

(1) an  22 (2) an  3 (3) an  4 5
7 n5 5 n2

2. จงตรวจสอบดูว่า ลาดบั ต่อไปนเี้ ป็น ลาดับคอนเวอร์เจน ต์หรือ ลาดับไดเวอร์เจนต์

ถ้าเป็นลาดบั คอนเวอรเ์ จนต์ให้หาลมิ ติ ดว้ ย

(1) an  n (2) an  1 (3) an  22
3 7n

(4) an  4n  3 (5) an 2 1 (6) an  (1)n1
n

(7) an  n2  n 1 (8) an 2n (9) an  3n2  2n 1
n n3 1 n5  4n  5

3. ยอดขายผลิตภัณฑใ์ หม่ คือ s (ล้านบาทต่อเดอื น) ข้ึนอยกู่ บั เวลา t (เดือน) ทผี่ ลติ ภณั ฑ์ชนิดน้ีได้รบั
การแนะนาออกสทู่ ้องตลาด ถ้าพบว่า s( t ) = 25  20 t จงหาวา่ เม่ือไดแ้ นะนาผลติ ภณั ฑจ์ นเปน็ ท่ี

9t

รจู้ ักกันโดยทวั่ ไปแลว้ ยอดขายผลติ ภณั ฑน์ ี้จะมีค่าเท่าใด

3.2 อนกุ รม (series)

บทนยิ ำม 3.4 เมือ่ a , a , a , ... , a เป็นลาดับจากัด และ a , a , a , ... เป็นลาดับ
123 n 123

อนันต์ เรียก ผลบวกของพจน์ทกุ พจน์ของลาดบั ในรปู a  a  a  ... a หรอื
123 n

a  a  a  ... a  ... ว่า “ อนกุ รม ”
123 n

อนุกรมท่ีได้จากลาดบั จากัด เรียกว่า อนุกรมจำกัด
อนกุ รมที่ไดจ้ ากลาดบั อนนั ต์ เรียกว่า อนุกรมอนันต์

หน้า 52

วิชา คณิตศาสตร์ทวั่ ไป (491-11-01)

3.2.1 อนกุ รมเลขคณติ
อนุกรมที่ไดจ้ ากลาดับเลขคณิต เรียกว่า “ อนุกรมเลขคณติ ”
การหาผลบวกของจานวน n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิตทาได้ ดงั นี้

ให้ sn เป็น ผลบวกของจานวน n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต
ซงึ่ มีพจนแ์ รกเปน็ a1 และ ผลต่างรว่ มคอื d

ดังนนั้ sn  a1  (a1  d)  (a1  2d)  ...   a1  (n  2) d   a1  (n 1) d ...

หรือ เขียนจัดพจน์ใหมไ่ ด้ ดังน้ี

sn   a1  (n 1)d  a1  (n  2)d... (a1  2d )  (a1  d )  a1 …

นา +  จะได้

2 sn   a1  a1  (n 1) d    a1  d  a1  (n  2) d   ...   a1  (n 1) d  a1

  2a1  (n 1) d  2a1  (n 1) d ...  2a1  (n 1) d

 ( 111 ...1 )  2a1  (n 1) d 

ผลบวกของ 1 จำนวน n ตวั

 n  2a1  (n 1) d 

 sn n  2a1  (n 1) d ………………………
2

หรอื อาจเขยี นผลบวกของจานวน n พจน์แรกได้อกี แบบ ดังน้ี

จาก  จะได้ s  n a  a  (n 1)d 

และเนอื่ งจาก a  a  (n 1)d 2n 1 1
n1

ดังนั้น s  n  a  a 

2n 1 n

ตัวอยำ่ ง 3.18 จงหาผลบวกของ 30 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ 5 + 12 + 19 + ...

วิธีทำ อนกุ รมเลขคณติ ท่ีกาหนดให้ มี a1  5 และผลตา่ งรว่ ม d 125  7
และ ตอ้ งการหาผลบวก 30 พจนแ์ รก แสดงวา่ ต้องการบวกถึงพจนท์ ี่ n  30

จาก s  n  2a  (n 1) d

2n 1

แทนคา่ ได้; s  30 2(5)  (30 1)(7)

230

หน้า 53

วชิ า คณิตศาสตรท์ ว่ั ไป (491-11-01)

 15(10  203)

 3,195

ดงั นัน้ ผลบวกของ 30 พจน์แรกที่กาหนดใหม้ คี ่า 3,195
หรือ อาจคานวณหาคา่ พจน์ที่ 30 ซง่ึ เป็นพจนส์ ดุ ทา้ ยของลาดับจากัดที่กาหนดเสียก่อน แล้วใช้

ความสัมพันธ์ sn  n a1  an นี้กไ็ ด้ ดังน้ี
2

จาก a  a  (n 1 ) d
n1

แทนค่า a  5 , d  7 และ n  30

a30  5  (30 1)(7)

a30  5  203

a30  208

และจาก s  n a a 

แทนค่า a  5 , n  30 และ 2n 1 n
1
a30  208

s  30  a  a 
n2 1 30

 15 (5  208)

= 15(213)

 3,195 ซึ่งผลการคานวณมีคา่ เทา่ กับวธิ ีแรก

ตัวอยำ่ ง 3.19 จงหาผลบวกของจานวนเต็ม ตั้งแต่ 1 ถึง 500

วิธีทำ ผลบวกของจานวนเตม็ ตัง้ แต่ 1 ถงึ 500 เป็น อนุกรมเลขคณติ 1 + 2 + 3 + ... + 500

ซ่งึ เปน็ ลาดบั จากดั มี a  1 , d  2 11 , n  500 และ a500  500
จาก 1

 s 
n
n a a
2 1n

 s  500  a  a 

2500 1 500

 250(1 500)

 125,250

ดังนน้ั ผลบวกของจานวนเต็มต้งั แต่ 1 ถึง 500 มคี ่า 125,250

ตัวอยำ่ ง 3.20 กเู้ งินจากสหกรณอ์ อมทรพั ย์จานวน 60,000 บาทโดยสญั ญาจะจ่ายเงนิ ต้นคืนเดอื นละเท่า
ๆ กัน นาน 40 เดอื น พร้อมดอกเบยี้ ร้อยละ 12 ของเงนิ ต้นท่คี งเหลือในแต่ละเดอื น จงหาดอกเบี้ย
ทั้งหมดทตี่ ้องจ่ายใหแ้ ก่สหกรณ์ออมทรัพย์

วธิ ที ำ ตอ้ งจ่ายเงินต้นคนื สหกรณเ์ ดือนละ = 60,000 1,500 บาท
40

หน้า 54

วิชา คณิตศาสตร์ทัว่ ไป (491-11-01)

ดังนัน้ เงนิ ตน้ คงเหลือในแต่ละเดือนจงึ เขียนเป็นลาดับได้ ดงั นี้ 60000 , 58500 , 5700 , ... , 1500

จ่ายดอกเบ้ียร้อยละ 12 ของเงินต้นท่ีคงเหลือในแต่ละเดือน = 12% ต่อปี = 1% ต่อเดือน
ดอกเบ้ียที่ต้องจ่ายให้สหกรณ์ในแต่ละเดือนเขียนได้ดังนี้ 600 , 585 , 570 , ... , 15 ซ่ึงเป็นลาดับเลข
คณติ

มี a  600 , n  40 , a  15
1 40

ผลรวมของดอกเบีย้ ท้ังหมดหาไดจ้ ากผลบวกของอนกุ รมเลขคณติ ดังน้ี

จาก s  n (a  a )

2n 1 n

s  40 (600  a )
240 40

 20(600 15)

 12,300 บาท

ดังน้ัน ตอ้ งจา่ ยดอกเบยี้ ใหแ้ กส่ หกรณอ์ อมทรพั ยเ์ ป็นเงินท้ังหมด 12,300 บาท

3.2.1 อนุกรมเรขำคณติ

อนุกรมทไี่ ด้จากลาดบั เลขาคณิต เรียกว่า อนกุ รมเรขำคณติ

การหาผลบวกของจานวน n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิตทาได้ ดังน้ี

ให้ sn เปน็ ผลบวกของจานวน n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต
ซ่ึงมพี จน์แรกเป็น a1 และ อัตราส่วนร่วม คอื r

ดังนั้น s  a  a r  a r2  ...  a rn2  a rn1 …….…
n 11 1 11

คูณดว้ ย r ทง้ั สองข้าง

r s  a r  a r2  a r3  ... a rn1  a rn …….…
n11 1 11

- จะได้ s  r s  a  a rn
n n 11

s (1 r)  a (1 rn )
n1

sn  a1(1 rn ) ; r 1 ………
1 r

หรอื อาจเขียนผลบวกของจานวน n พจนแ์ รกไดอ้ ีกแบบ ดงั นี้

จาก  จะได้ sn  a1  a1rn1  r
1 r

และเน่ืองจาก an  a1rn1

ดงั นัน้ sn  a1  anr ; r 1
1 r

หนา้ 55

วชิ า คณติ ศาสตร์ท่วั ไป (491-11-01)

ตวั อยำ่ ง 3.21 จงหาผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต ตอ่ ไปน้ี

(1) 3 – 6 + 12 – 24 + ... + ถงึ พจน์ที่ 20

(2) 27 + 9 + 3 + 1 + ... + 1
243

วธิ ีทำ
(1) อนุกรมเรขาคณิต 3 – 6 + 12 – 24 + ... + ถึงพจนท์ ี่ 20

มี a  3 , r   6  2 , n  20

13

จาก sn  a1(1 rn )
1 r

จะได้ s  3 (1 (2)20 )

20 1 (2)

 3 (1 220 )
3

 1 220

(2) อนกุ รมเรขาคณิต 27 + 9 + 3 + ... + 1
243

มี a  27 , r  9  1 , a  11
27 3 n 243

จาก sn  a1  anr
1 r

จะได้ 27  1 (1)
243 3
sn  1 1

3

27  1
 729

2

3
 40 121

243

แบบฝกึ หัด 3.3
1. จงหาผลบวกของอนุกรมเลขคณติ ตอ่ ไปน้ี

(1) 1 + 1.5 + 2 + 2.5 + ... + 200
(2) 2 + 9 + 16 + 23 + ... + พจน์ที่ 30
(3) ผลบวกของจานวนนบั ตงั้ แต่ 1 ถงึ 350
(4) ผลบวกของเลขคู่ที่อยู่ระหว่าง 1 ถงึ 200

หน้า 56

วิชา คณติ ศาสตรท์ ัว่ ไป (491-11-01)

2. จงหาผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต ต่อไปน้ี

(1) 625 + 125 + 25 + 5 + ... + 1 (2) 1  1  1  1  ...128
625 16 8 4 2

(3) 3 + 12 + 48 + 192 + ... + พจน์ที่ 15 (4) 48+36+27+ 81 ... พจน์ท่ี 20
4

3. ฝากธนาคารออมสนิ ในเดอื นแรก 50 บาท เดือนตอ่ ๆมาฝากมากกวา่ เดือนท่ผี ่านมา 10 บาท

ทกุ เดือน เมอื่ ครบ 5 ปี จงหาว่านาเงินไปฝากธนาคารออมสินท้งั หมดเท่าใด

4. ซือ้ สนิ คา้ ราคา 11,000 บาท โดยเดอื นแรกชาระ 1,500 บาทและในเดือนต่อๆไปผอ่ นชาระลดลง

เดือนละ 100 บาทจากเดือนที่ผ่านมาเสมอ จงหาว่าต้องผ่อนชาระนานกี่เดือน

5. เก็บเงินออมสะสมในปีแรกได้ 2,000 บาท ในปตี อ่ ๆมาเก็บสะสมได้มากขน้ึ 20%ของปีท่ีผ่าน

เสมอ จงหาเงนิ ออมทเี่ ก็บสะสมไดเ้ ม่ือครบ 9 ปี

3.2.3 ผลบวกของอนุกรมอนันต์

เนอ่ื งจากอนกุ รมจากดั มีพจนส์ ุดทา้ ยเสมอ ผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของอนุกรมจากัด
จงึ หาค่า ไดอ้ ยา่ งแนน่ อน แม้จะหาโดยการใชส้ ตู รไม่ได้ กย็ ่อมหาได้โดยการบวกทลี ะพจน์ จนถึงพจน์
สุดทา้ ย สว่ นอนกุ รมอนันตก์ ารจะหาผลบวกของพจน์ทกุ พจนใ์ หไ้ ด้คา่ ทีแ่ นน่ อนยอ่ มทาได้ยาก ทัง้ น้ีเพราะ
ไม อาจหาพจนส์ ุดท้ายได้

พจิ ารณาอนุกรมอนันต์ a1 + a2 + a3 + … + an + ...

ถา้ ให้ sn เป็น ผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รม จะได้
s1 = a1
s2 = a1+a2
s3 = a1+a2+a3

……… ………………
………………………
………………………

sn = a1+a2+a3+…+an
เรยี ก s1 , s2 , s3 , … ฯลฯ แต่ละจานวนวา่ “ ผลบวกย่อย ” (partial sum)ของอนุกรม
a1 + a2 + a3 + … + an + … และ เรียก s1 , s2 , s3 , … , sn , … วา่ ” ลำดับผลบวกย่อยของ

อนุกรม ”

จากอนุกรมอนนั ต์ 1  1  1  ...  1  ...
248 2n

จะได้ s1 = 1
2

s2 = 1  1  3
24 4

หนา้ 57

วิชา คณติ ศาสตร์ทว่ั ไป (491-11-01)

s3 = 1  1  1  7

248 8

………………………………

………………………………

………………………………

sn = 1  1  1  ...  1 ( เปน็ อนกุ รมเรขาคณติ ; sn  a1 anr )
2 4 8 2n 1 r

1  1  1  1 1  1  1  1 
2 2n  2  2 2n  2n 
  
1 1 1

22

ลาดับผลบวกย่อยของอนกุ รมนี้ คือ 1 , 3 , 7 , ... , (1 1 ) , ...
248 2n

เมือ่ หาลมิ ติ ของลาดบั น้ี จะได้ lim (1  1 )  1
2n
n

จากข้างต้นจะเห็นได้วา่ 1 เป็นลมิ ิตของลาดบั ผลบวกยอ่ ยของอนุกรม 1 , 3 , 7 ,... (1 1 ) ...
248 2n

เรียก 1 ว่าเป็นผลบวกของอนุกรมอนันต์น้ี

พิจารณาอนกุ รมอนนั ต์ 1111... (1)n1 ...

จะเหน็ ไดว้ า่ ลาดบั ของผลบวกย่อยของอนกุ รมนี้ คือ 1 , 0 , 1 , 0 , ... ซงึ่ จะเหน็ วา่ ลาดบั นไ้ี มม่ ลี ิมิต

จึงกล่าวได้วา่ หาผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์ 1111... (1)n1 ... นไ้ี ม่ได้

นิยำม 3.5 ผลบวกของอนุกรมอนนั ตใ์ ด คือ ลมิ ิตของลาดับผลบวกยอ่ ยของอนุกรมน้ัน เมื่อลาดบั นั้น
มีลมิ ติ

สาหรบั อนกุ รมอนันต์ท่ีมีผลบวก เรยี กว่า อนกุ รมคอนเวอรเ์ จนต์ และอนุกรมอนนั ตท์ ี่ไม่มผี ลบวก

เรียกวา่ อนุกรมไดเวอรเ์ จนต์

ดงั นัน้ อนกุ รมอนันต์ 1  1  1  ...  1  ... เปน็ อนุกรมคอนเวอร์เจนต์
2 4 8 2n

อนกุ รมอนนั ต์ 1 + (-1) + 1 + (-1) + ... + (-1) n + … เปน็ อนุกรมไดเวอรเ์ จนต์

จากการพจิ ารณาอนุกรมอนันต์ทั้งสองอนกุ รมข้างต้น สรุปไดว้ า่ อนุกรมใดๆจะเป็นอนุกรม

คอนเวอร์เจนต์ หรอื อนกุ รมไดเวอร์เจนต์ มขี ้นั ตอนการพิจารณา ดังนี้

ข้ันท่ี 1) หาลาดบั ผลบวกยอ่ ยของอนกุ รม

ข้ันท่ี 2) พิจารณาลมิ ิตของลาดับผลบวกย่อย ถ้าลาดบั ผลบวกยอ่ ยน้นั ๆ มลี ิมติ จะได้

อนุกรมน้นั เปน็ อนุกรมคอนเวอร์เจนต์ แต่ถา้ ลาดับผลบวกย่อยนั้นๆไม่มลี มิ ติ จะ

ได้ว่าอนุกรมนั้นเป็นอนกุ รมไดเวอรเ์ จนต์

หนา้ 58

วิชา คณิตศาสตรท์ ่ัวไป (491-11-01)

ตวั อย่ำง 3.22 จงหาผลบวกของอนุกรม 1  1  1  1 ... 1 ...
12 23 34 45 n(n 1)

วิธีทำ

ผลบวกย่อยของอนกุ รมนี้ คือ

s1 = 1  1
12 2

s =2 1  1  1  1  2
12 23 2 6 3

s =3 1  1  1   2  1  3
1 2 2  3 3 4 3 12 4

…………………………………………………

…………………………………………………

sn = 1  1  1  ... 1  n
12 23 34 n(n 1) n 1

จะเห็นไดว้ า่ ลาดับผลบวกย่อยของอนุกรมน้ี คอื 1 , 2 , 3 , ... , n , ...
234 n 1

จงึ หาผลบวกของอนุกรมอนันต์ ไดจ้ ากลมิ ิตของลาดบั ผลบวกยอ่ ยของอนุกรม ดังน้ี

n

n  lim n
lim n n  1
n n 1 nn

 lim 1 1

n 1

n

lim 1
 n
lim 1  lim 1
n n n

1
1 0

1

ดังน้นั ผลบวกของอนุกรม 1  1  1  1  1 ... มีค่าเทา่ กับ 1
1 2 2 3 3 4 4 5 n(n 1)

อยา่ งไรก็ตาม นอกจากวธิ ดี ังกลา่ วขา้ งต้นแลว้ สาหรบั อนุกรมอนันต์ซ่ึงเปน็ อนุกรมเรขาคณิต
ยังมีวิธกี ารทจี่ ะพจิ ารณาวา่ อนุกรมเรขาคณติ ใดเป็นอนกุ รมคอนเวอร์เจนต์ หรอื อนกุ รมไดเวอร์เจนต์
โดยใช้ทฤษฏีบทซงึ่ จะกล่าวถึงและนาไปใชโ้ ดยจะไม่พสิ ูจน์ในทนี่ ้ี ดงั นี้

หนา้ 59

วชิ า คณติ ศาสตร์ทว่ั ไป (491-11-01)

ทฤษฏีบท 3.1 อนกุ รมเรขาคณิตทีม่ ี a1 เป็นพจน์แรก และ r เปน็ อัตราส่วนรว่ ม จะเปน็ อนุกรมไดเวอร์
เจนต์ เม่ือ  r   1 และ เป็นอนกุ รมคอนเวอร์เจนต์ เม่ือ r 1 โดยมีผลบวกเปน็ a1

1 r

และ ถ้าให้ s เปน็ ผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตซง่ึ เปน็ อนุกรมคอนเวอร์เจนตจ์ ะได้
s = a1

1 r

ตัวอยำ่ ง 3.23 จงพจิ ารณาอนุกรมตอ่ ไปน้ี ว่าเปน็ อนุกรมคอนเวอรเ์ จนต์ หรอื อนุกรมไดเวอรเ์ จนต์
กรณที ี่เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนตใ์ ห้หาผลบวกของอนุกรมด้วย

(1) 1  1  1  ...  1  ...
248 2n

(2) 1111 ...  (1)n1  ...

วธิ ีทำ

(1) 1  1  1  ...  1  ... เปน็ อนกุ รมเรขาคณิต
2 4 8 2n

มีพจนแ์ รก a1  1 และ อัตราส่วนรว่ ม r  1
2
2

เพราะว่า r = 1  1 แสดงวา่ r  1

22

ดงั น้นั 1  1  1  ...  1  ... เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์
2 4 8 2n

จะได้ s = a1

1 r

= 1
2

1  1 
 2

= 1
2

1

2

1

ดังน้ัน ผลบวกของอนุกรมมีคา่ เท่ากับ 1

(2) 1 – 1 + 1 – 1 + ... + (-1)n+1+ … เปน็ อนกุ รมเรขาคณิต
มีพจน์แรก a1 = 1 และ อตั ราส่วนรว่ ม r = -1

เพราะวา่ r = -1 = 1 แสดงวา่ r = 1
ดังนนั้ 1 – 1 + 1 – 1 + ... + (-1)n+1 เป็นอนุกรมไดเวอร์เจนต์

หนา้ 60

วชิ า คณติ ศาสตรท์ ่ัวไป (491-11-01)

ตวั อย่ำง 3.24 จงหาผลบวกของอนกุ รม 2  3  4  5 ...
3 9 27 81

วธิ ที ำ

อนุกรม 2  3  4  5 ... ไม่เป็นอนกุ รมเรขาคณิต เป็นอนุกรมเลขคณิต

3 9 27 81

แต่ถา้ พจิ ารณาผลบวกของอนุกรมตวั เศษ คอื 2 + 3 + 4 + 5 + ...

และถ้าพจิ ารณาผลบวกของอนุกรมตวั ส่วน คอื 1  1  1  1 ... เปน็ อนกุ รมเรขาคณิต
3 9 27 81

sให้ = 2  3  4  5  ... ………
3 9 27 81

คณู สมการ ดว้ ย 1 ซง่ึ เป็นอัตราสว่ นรว่ ม r ของอนกุ รม จะได้
3

s  2  3  4  5  ... ………
3 9 27 81 243

- จะได้ ; 2 s  2  1  1  1  ... ………
3 3 9 27 81

พจิ ารณาอนุกรม 1  1  1 ... ซึง่ เป็นอนุกรมเรขาคณิต
9 27 81

มีพจน์แรก a1 = 1 และอัตราสว่ นรว่ ม r  1 เพราะวา่ r= 1  1 แสดงว่า

93 22

r 1

แสดงวา่ 1  1  1  ... เปน็ อนกุ รมคอนเวอรเ์ จนต์

9 27 81

จาก  จะได้ 2 s  2   1  1  1  ... 
3 3  9 27 81 

 1 
 2  9 

3  1  1 
 3

 21
36

5
6

 s  35
26

s  11 มคี ่าเทา่ กบั 1 1
4 4

ดังน้นั ผลบวกของอนกุ รม 2  3  4  5 
3 9 27 81

อน่งึ อนกุ รมคอนเวอรเ์ จนต์ยังสามารถนาไปประยุกตใ์ ชเ้ ขียนทศนยิ มซา้ (repeating decimal)
ใหอ้ ยูใ่ นรปู เศษสว่ นได้อกี ดว้ ยดงั ตัวอยา่ ง ต่อไปน้ี

หนา้ 61

วชิ า คณิตศาสตรท์ ่ัวไป (491-11-01)

ตัวอยำ่ ง 3.25 จงเขยี น 0.5 ใหอ้ ยใู่ นรูปเศษสว่ น
วธิ ที ำ

จาก 0.5  0.555 ...

= 0.5 + 0.05 + 0.005 + …

 5  5  5 
10 100 1000

 5  5  5  เปน็ อนกุ รมเรขาคณิต
10 102 103

มพี จนแ์ รก a1 = 5 และ อัตราสว่ นรว่ ม r = 1

10 10

เพราะว่า r  1  1 แสดงวา่ r 1
10 10

ดงั นัน้ 5  5  5  เป็นอนกุ รมคอนเวอร์เจนต์
10 102 103

จะได้ผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตซง่ึ เปน็ อนกุ รมคอนเวอรเ์ จนต์ คือ

s a
1

1 r

5

 10
1  1 
 10

5

 10
9

10

 5  10
10 9

5
9

นั่นคือ 0.5  5

9

ตวั อย่ำง 3.26 จงเขียน 1.432 ให้อยใู่ นรูปเศษส่วน

วธิ ที ำ จาก 1.432 = 1.4323232…

= 1.4 + 0.032 + 0.00032 + 0.0000032 + …

พิจารณาอนุกรม 0.032 + 0.00032 + 0.0000032 + … ซงึ่ เปน็ อนุกรมเรขาคณติ

มีพจนแ์ รก a1 = 0.032 และ อัตราสว่ นร่วม r = 0.01

เพราะวา่ r = 0.01 = 0.01 แสดงวา่ r  1 แสดงวา่ อนกุ รมนเี้ ปน็ อนุกรมคอนเวอร์เจนต์

หน้า 62

วชิ า คณติ ศาสตร์ทวั่ ไป (491-11-01)

จะได้ s a
1

1 r

 0.032
1 0.01

 0.032
0.99

 32
990

ดงั นน้ั 1.432  1.4  32
990

 14  32
10 990

 1386 32
990

 1418
990

 709
495

แบบฝึกหัด 3.4

1. จงเขยี นลาดับผลบวกย่อยของแต่ละอนกุ รม ต่อไปน้ี (2) 4 – 4 + 4 – 4 + …
(1) 1 + 1 + 1 + 1 + …
(4) 1 + 3 + 9 + 27 + … (3)n1 ...
(3) 0.1 + 0.01 + 0.001 + … + (10)n +…
(6) 16 12  9  ...16(3)n1  ...
(5) 1 2  2 3  3 4  4 5  ...  n(n 1)  ...
4

(7) 3 1 1  1  ...  9(1)n  ... (8) 1  1  1  1 ... 1  ...
39 3 2 6 12 20 n(n 1)

(9) 1  2  4  ... 1 (2)n1  ... (10)  1  1  ( 1 )  ...  ( 1)n  ...
333 3 10 100 1000 10

2. อนุกรมในข้อ(1) อนุกรมใดบ้างท่เี ปน็ อนกุ รมคอนเวอรเ์ จนต์และมีผลบวกเท่าใด

3. จงหาผลบวกของอนุกรมอนันตซ์ งึ่ มลี าดบั ผลบวกย่อยของอนกุ รม ดงั น้ี 1 , 11 , 111 , ..., 10n 1
10 100 1000 9(10)n

หน้า 63

4. จงหาผลบวกของอนุกรม 1  2  3  4 ... วชิ า คณิตศาสตรท์ ว่ั ไป (491-11-01)

3 9 27 81 (3) 0.12
(6) 4.567
5. จงหาค่าของ a เมอ่ื 1 + a + a2 + a3 + …  3
4

6. จงเขยี นจานวนตอ่ ไปนี้ใหอ้ ยู่ในรปู เศษส่วน
(1) 0.3 (2) 0.08

(4) 2.34 (5) 3.45

หน้า 64

วชิ า คณิตศาสตรท์ ่ัวไป (491-11-01)

หนว่ ยที่ 4
ทฤษฎีบททวินาม

4.1 การกระจายทวนิ าม

ทวนิ าม คอื นิพจนท์ ี่ประกอบด้วยพจน์ 2 พจน์ บวกหรือลบกนั เช่น ( a + b ), ( x + a ),
( y – b ) เป็นต้น
เมอ่ื a และ b เป็นจานวนจริงใดๆ สามารถหาผลการกระจายของทวินามท่ปี ระกอบดว้ ย a และ b

ดังตอ่ ไปน้ี

( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
( a + b )4 = a4 + 4a3b + 6a2b2+ 4ab3+ b4

ซง่ึ อาจพิจารณาจากแผนภาพทแี่ สดง การกระจาย (a+b)2 และ (a+b)3 ดังต่อไปนี้

(a+b)2 = (a+b) (a+b)

a a2
a

b ab

= a2 + 2ab + b2
a ab
b
b b2

หน้า 65

พิจารณาจากแผนภาพทแี่ สดงการกระจาย (a+b)3 ดงั ตอ่ ไปนี้ วชิ า คณิตศาสตรท์ ัว่ ไป (491-11-01)

(a+b)3 = (a+b) (a+b) (a+b)

a a3
a2b
a
a2b
b ab2

a = a3+3a2b+3ab2+b3
a
a2b
b
b

a
a

b b ab2

a ab2
b

b b3

จะเหน็ ได้ว่าการกระจาย a  bn เมอ่ื n เปน็ จานวนเต็มบวกที่มคี ่าไมม่ ากนัก อาจทาไดโ้ ดย
การคณู a  b จานวน n วงเล็บเข้าดว้ ยกนั แตถ่ ้า n มคี ่ามากๆยอ่ มเสียเวลาคูณและมโี อกาส

ผดิ พลาดไดง้ ่าย

ในหวั ขอ้ น้ี จงึ จะหาวิธกี ารกระจาย a  bn เมือ่ n เปน็ จานวนเตม็ บวกใดๆ โดยมาไม่ต้องเสียเวลา

คณู a  b จานวน n วงเล็บเขา้ ด้วยกนั ดงั ตอ่ ไปนี้

จาก a bn = (a b)(a b)(a b) ... (a b)

จานวน n วงเลบ็

1). พจน์แรกของผลคูณ : ถา้ นา aจากทุกวงเลบ็ มาคณู กัน จานวน n ตวั จะได้ an พจน์เช่นน้ี

เกิดได้ วธิ ีเดยี ว

ดงั น้นั จะได้ an จานวนพจน์เดยี ว

หนา้ 66

วิชา คณิตศาสตรท์ ว่ั ไป (491-11-01)

2). พจนท์ ่ี 2 ของผลคูณ : ถา้ นา b จากหนึง่ วงเล็บ มาคณู กับ a จากn1วงเลบ็ ทเี่ หลอื
จะได้พจน์ a bn1 ซง่ึ ถ้าพจิ ารณาในรปู แบบของการจดั หมู่ (Combination) พจนเ์ ช่นน้ีเกิดข้ึนได้

1n  = n วธิ ี
ดังนน้ั จะได้พจน์ 1n  a bn1

3). พจน์ที่ 3 ของผลคณู : ถา้ นา b จากสองวงเล็บ มาคูณกับ a จากn  2วงเล็บท่เี หลอื

จะได้พจน์ a bn2 2 ซ่งึ ถ้าพิจารณาในรูปแบบของการจดั หมู่ (Combination) พจน์เช่นนเ้ี กดิ ขึ้นได้
2n วธิ ี

ดังนนั้ จะได้พจน์ 2n a bn2 2

4). พจนท์ ่ี r + 1 ของผลคูณ : ถา้ นา b จาก r วงเล็บ มาคุณกับ a จาก n r วงเล็บที่

เหลือ จะได้พจน์ a bnr r ซ่ึงถา้ พิจารณาในรูปแบบของการจดั หมู่ (Combination) พจน์เช่นนี้

เกดิ ข้นึ ได้ nr

ดงั น้ัน จะไดพ้ จน์  n  anrbr , ในที่น้ี r = 3 , 4 , 5 , … , n
r

5). พจน์สดุ ทา้ ยของผลคณู : ถ้านา b จากทุกวงเลบ็ มาคณู กันจานวน n ตัวจะได้ bn

พจน์ เชน่ น้ี เกดิ ขน้ึ ได้วิธีเดยี วดังนั้น จะได้พจน์ bn

เม่อื หาครบทกุ พจนท์ ่ีเปน็ ไปได้แล้ว นาทกุ พจน์มาบวกกันจะไดผ้ ลลพั ธข์ องการกระจาย

a bn ดังนี้

a bn = an  1n  a bn1   n  a bn2 2  ...   n  a bnr r  ...  bn
2 r

หน้า 67

วชิ า คณิตศาสตรท์ ่วั ไป (491-11-01)

4.1.1 ทฤษฎบี ททวนิ ามเมื่อเลขชก้ี าลังเป็นจานวนเตม็ บวก

ทฤษฎบี ท 5.1 : เมอ่ื a , b เปน็ จำนวนจรงิ และ n เปน็ จำนวนเต็มบวกใดๆ

a bn = an  1n an1b  2n an2b2  ...   nr  anrbr  ...  bn

ค่ำ nr เมอื่ 0 r n ทป่ี รำกฏในทฤษฎีบททวินำม เรยี กวำ่ สมั ประสทิ ธท์ิ วินาม

และพจน์ที่ r + 1 หรือ Tr+1 =  n  a nr b r เรียกวำ่ พจน์ทั่วไปของกำรกระจำย
r

a bn

ข้อสงั เกต การกระจาย a bn เม่อื n เปน็ จานวนเตม็ บวก จะมลี ักษณะดังนี้

1). พจนท์ ่ีไดจ้ ากการกระจายจะมีจานวน n + 1 พจนเ์ สมอ

2). พจน์แรกอาจเขยี นในรปู  0n anb0 และพจน์สุดท้ายอาจเขียนในรูป  nn a0bnก็ได้

แตเ่ นื่องจาก 0n  nn 1 และ b0  a0 1 จึงนยิ มเขยี นเพยี ง an และ bn

3). เลขช้กี าลงั ของ a เรมิ่ จาก n แล้วลดทีละ 1 จนถึง 0 ส่วนเลขชกี้ าลงั ของ b เรมิ่ จาก 0
แลว้ เพิ่มข้นึ ทีละ 1 จนถึง n

4). ในแต่ละพจนข์ องการกระจายเลขชีก้ าลงั ของ a และเลขชีก้ าลังของ b บวกกนั ได้เท่ากับ n

เสมอ
ตวั อย่าง 4.1 จงกระจาย a b6 โดยใชท้ ฤษฎีบททวนิ าม

วิธที า จากทฤษฎีบททวนิ ามจะได้

a  b =6 a6  16 a b61   6  a b62 2  36 a b63 3   6  a b64 4  56 a 65 b5  b6
2 4

6 6! 5

= a  a b  a b  a b  a b + ab  b1!61!
6! 4 2 6! 3 3 6! 2 4 6! 5 6

2 ! 62  ! 3! 63! 4 ! 64  ! 5 !  65  !

6 6! 5

= a  a b  a b  a b  a b  ab  b1!5!
6! 4 2 6! 3 3 6! 2 4 6! 5 6

2!4! 3!3! 4!2! 5 !1!

= a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6

หนา้ 68

วชิ า คณติ ศาสตรท์ วั่ ไป (491-11-01)

4.1.2 สามเหลี่ยมของปาสกาล

อนงึ่ ในการกระจายทวินามa b n เม่อื n = 1 , 2 , 3 , … นอกจากจะใช้ทฤษฎบี ท

ทวินาม หาสัมประสทิ ธ์ิของแต่ละพจน์ของการกระจายแล้ว ยงั อาจหาสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์ได้

อีกวิธี ดงั นี้

ทวินาม สัมประสิทธ์ิทวินาม

a b 0 1
11
a b1 121
a b 2 1331
14641
a b 3
a b 4

a b 5 1 5 10 10 5 1
a b 6 1 6 15 20 15 6 1

แผนภาพของสัมประสิทธิ์ทวินาม จะแสดงสัมประสิทธ์ิท่ีอยู่ตาแหน่งแรก และตาแหน่ง
สุดทา้ ยของทกุ แถวมีคา่ เป็น 1 ส่วนสมั ประสทิ ธต์ิ ัวอน่ื แตล่ ะตวั ได้จากการนาจานวนสองจานวนที่อยู่ติดกัน
และเหนือข้ึนไปมาบวกกัน และเนื่องจากสัมประสิทธิ์ทวินามเม่ือนามาเขียนแล้วอยู่ในรูปคล้ายรูป
สามเหลี่ยม ถ้าเพ่ิม 1 ตัวยอด ก็จะเป็นรูปสามเหลี่ยมโดย 1 ท่ีเพ่ิมนี้ได้จาก ( a + b )0 เรียกรูปแบบ
สามเหลี่ยมนี้ว่า “สามเหล่ียมของปาสกาล” เพ่ือเป็นเกียรติแก่ปาสกาล นักคณิตศาสตร์ชาวฝร่ังเศสซึ่ง
เปน็ ผพู้ บสมบัติของจานวนเหลา่ น้ี

ตัวอย่าง 4.2 จงกระจาย ( 2a + b )5
วธิ ีทา ( 2a + b )5 = ( (2a) + b )5

= ( 2a ) 5 + 15( 2a)5-1 b +  25 ( 2a )5-2 b 2 + 53 ( 2a )5-3 b 3
+  45(2a)5-4 b 4 + b 5

= 32a5+ ( 5 ) ( 16a 4 ) b + ( 10 ) ( 8a 3 ) b2 + ( 10 ) ( 4a2 ) b3
+ ( 5 ) 2ab 4 + b

= 32a5+ 80a4b + 80 a3b2+ 40a 2 b3 + 10ab 4 + b5

ตัวอยา่ ง 4.3 จงกระจาย ( x 2 – 3 ) 4 และหาพจน์ท่ีอย่ตู าแหนง่ กลางของการกระจาย

วิธที า( x 2 – 3 ) 4 = ( x 2 + (-3) ) 4
= ( x 2 ) 4 + 41 ( x 2 ) 41 (-3) + 42 ( x 2 ) 42 (-3) 2 + 43 ( x 2 ) 43 (-3) 3 + (-3) 4
= x 8 + 4 ( x 2 ) 3 (-3) + ( 6 )( x 2 ) 2 ( 9 ) + ( 4 )( x 2 )(-27) + 81

หนา้ 69

วิชา คณิตศาสตร์ทว่ั ไป (491-11-01)

= x 8 - 12x 6 + 54x 4 - 108x 2 + 81
ผลการกระจายมีทงั้ หมด 5 พจน์ โดยมีพจน์กลางคอื พจนท์ ่ี 3 ดงั นนั้ พจน์กลาง คือ 54x 4
อน่ึง การหาพจนก์ ลางซึ่งเป็นพจน์ท่ี 3 ของการกระจาย อาจหาจากพจน์ทั่วไปได้อีกวิธีหนง่ึ ดงั นี้

จำกพจน์ท่ี r + 1 คือ T r+1 =  n  a n-r br
r

ถ้าต้องการหาคา่ พจนท์ ี่ 3 คอื T3 ต้องแทนค่า r = 2 ดังน้ี

T3 = T 2+1 = x42 ( 2 ) 42 (-3) 2 = ( 6 )( x 2 ) 2 (9) = 54 x 4

ซ่งึ พจน์กลางหรือพจนท์ ี่ 3 ของการกระจายมคี ่าเท่ากับ 54 x 4 เป็นคาตอบที่เท่ากนั กบั ผลของ

การกระจายในตัวอย่างท่ี 4.3

ตัวอย่าง 4.4 จากการกระจาย ( x 3 + 1 )16 จงหา
x2
(3) สมั ประสทิ ธข์ิ อง x13
(1) พจนก์ ลาง (2) พจน์ที่ 13

วธิ ที า (1) จากทฤษฎบี ททวนิ ามจะไดว้ า่ เม่ือกระจาย ( a + b ) n จะมีท้งั หมด n + 1 พจน์

ดังนั้น การกระจาย ( x3+ 1 )16 หรอื ( ( x 3 )+ ( 1 ) ) 16 จะได้ทั้งหมด 16 + 1 =
x2
x2
17 พจน์

โดยพจนก์ ลาง คอื พจน์ท่ี 17 1 = พจนท์ ่ี 9

พจนท์ ี่ 9 คอื 2 16 ( x 3 ) (168 1 ) 8
  x2
T 8+1 = 8

T9 = 12,870 ( x 24 )( 1 )
x16

 T9 = 12,870 x 8 ( 1 )12

(2) พจนท์ ี่ 13 คอื T12+1 = 1162  ( x3 ) 16 12 x2

T13 = 1,820( x12 )( 1 )

x 24

 T13 = 1,820

x12

(3) สมมตใิ ห้ พจน์ที่ r + 1 เป็นพจนท์ ีม่ ี x13

 T r+1 = 1r6 x 3 16r  1 r
 x2 

= 1r6 x 483r  1 
 x2r 

หน้า 70

วชิ า คณติ ศาสตรท์ ั่วไป (491-11-01)

= 1r6 x485r

จะได้ 48 – 5 r = 13

5 r = 35

r =7

ดงั น้นั T r+1 = T 7+1 = T 8 หรือ พจน์ที่ 8 ซง่ึ เปน็ พจน์ท่มี ี x13

นนั่ คือ สมั ประสทิ ธิข์ อง x13 = 16  
 
7

= 11,440

แบบฝึกหดั 4.1

1. จงกระจายทวนิ ามตอ่ ไปนี้ โดยใชส้ ามเหล่ียมของปาสกาล

1.1 a  b 7 1.2 a  b 5 1.3 3a  2b 3

1.4  x  a  8 1.5  x2  1 6 1.6  x  2  4

2   x3   4 x

2. จงหาสามพจนแ์ รกและพจนส์ ุดท้ายของการกระจาย

2.1 a  b 10 2.2 a  2b 15 2.3  x  1 20 2.4  x  3  25

2   x

3. จงหาพจน์ที่สี่และพจน์กลางของการกระจาย

3.1  a 2  1 12 3.2 x  y20
 a 

4. จงหาพจน์ที่ไม่มี b จากการกระจาย  b 2  1 12
 b 

5. จงหาสัมประสทิ ธ์ิของ x6 ที่ได้จากการกระจาย x3  5 7

6. จงหาสัมประสทิ ธิข์ อง x y10 10 ที่ไดจ้ ากการกระจาย x  y 20

7. จงหาสมั ประสิทธ์ิของ x2 y9 ทไี่ ด้จากการกระจาย 3x  2y11

4.2 ทวนิ ามท่ีมีเลขชีก้ าลังเปน็ เศษสว่ นหรือเปน็ ลบ

4.2.1 อนกุ รมทวินาม

จากทฤษฎบี ททวนิ ามเมื่อเลขชก้ี าลัง n เปน็ จานวนเต็มบวกคือ

a b n = an  1n  an b1   n  a n 2 b 2  ...  n  a nr b r  ...  bn
2 r

 หรือ n n1 nn1 n2 2 nn1n2  n3 3

2! 3!
= a  na b  a b  a b  ...a  b n

 nn1n2...nr1 anrbr  ...  bn

r!

หนา้ 71

วชิ า คณติ ศาสตร์ท่วั ไป (491-11-01)

ถา้ ให้ a = 1 และ b = x จะได้การกระจายทวินามซ่ึงมรี ปู การกระจายท่งี ่ายกวา่ เดิม

เรยี กวา่ อนกุ รมทวนิ าม ดงั น้ี

1  x = 1  nx   x  ...  x  ...  xn
n n1x2 nn1n2  3 nn1n2 ...nr 1 r n

2! 3! r!

ในกรณีที่ n เปน็ เศษส่วนหรือเปน็ ลบ และ x อนุกรมทวนิ ามจะเป็นอนุกรมอนันต์

ดังน้ี

 1  x n = 1 nx n n1 x2  n n1 n2 x3  ... n n1 n2... nr1 xr  ...
2! 3! r!

เชน่ 1 x1 = 1 (1)x  (1)(11) x2  (1)(11)(1 2) x3  ... 

26

 1 x1 = (1)(11)(1 2) ... (1 r 1) xr  ...
r!

1 x  x2  x3  ... 1r xr  ...

และในทานองเดียวกัน 1  x1 = 1   x 1

 1 x1 = 1 x x2 x3... xr ...

หมายเหตุ แต่ ถ้า x  1 และ n ไมใ่ ชจ่ านวนเตม็ บวกแล้ว จะกระจายอนกุ รมทวิ

นามไมไ่ ด้

เช่น เมือ่ แทนค่า x  3ลงในคา่ ด้านซ้าย ( x – 1 ) 1 เปรยี บเทียบกับค่าด้านขวา 1 + x + x 2 + x3 ดังนี้

(1 x)1  (1 3)1  (2)1  1 
2 
และ  มคี า่ ไม่เทา่ กัน

1 x  x2  x3  .....  1 3  32  33  ...

จะเหน็ ได้ว่าเมื่อ x = 3 ซง่ึ x  1 และ n ไมใ่ ช่จานวนเต็มบวกแลว้ จะไมส่ ามารถ

กระจายอนุกรมทวนิ ามได้

อยา่ งไรก็ตาม ถ้า n เป็นเศษสว่ นหรือเป็นลบ และ x  1 จะใช้เทคนิคกระจาย

a  bn ไดเ้ สมอ โดยการเปล่ียนa  bn ใหอ้ ยใู่ นรูป ดังนี้

เมอ่ื a  b ; a  bn = an  1  b  n จะได้ b 1
เม่อื a  b ;  a a

 a bn = bn 1 a n จะได้ a 1
b b

   จากน้ัน จึงใช้ทฤษฎบี ททวนิ ามกระจาย
1 b n หรอื 1 a nต่อไป และ
a b
เน่อื งจากการกระจายทวินามจะได้เป็นผลบวกของพจนต์ ่างๆตอ่ เน่ืองไปไม่มที ส่ี ้นิ สดุ ดังนั้นการกระจายจึง

มกั แสดงไวเ้ พยี งจานวนพจน์เท่าทตี่ ้องการ หรอื ประมาณ 3 - 5 พจน์ ดงั ตวั อย่าง 4.5

หนา้ 72

วิชา คณิตศาสตร์ท่วั ไป (491-11-01)

ตัวอยา่ ง 4.5 จงกระจาย 3 1 x จานวน 4 พจนแ์ รก

วิธที า  3 1 x = 1 x 1
3

1  1   11 x2
3 3 

= 1  3 x   x  ...2!
 1   11  12  3
33  3 

3!

 3 1 x = 1 x  x2  5x3  ....

3 9 81
ตวั อย่าง 4.6 จงกระจาย 2  3x4 จานวน 3 พจน์แรก

วิธีทา  2 3x4 = (24 ) 1  3x 4

  2 

=  1   (4)  3x   (4)(4 1)  3x 2  ... 
 16  1  2  2!  2  
 

=  1  1 6x  45x 2  ...
 16  2

 2 3x4 = 1  3x  45x2  ...
16 8 32

4.2.2 การประมาณค่าโดยใช้ทฤษฎบี ททวนิ าม

อน่ึง อาจใชท้ ฤษฎีบททวนิ ามกระจาย 1  a n หรือ กระจาย 1 abn เพ่ือประมาณ

b

คา่ จานวนที่ติดรากหรือกรณฑไ์ ด้ดังตัวอยา่ งต่อไปนี้

ตวั อย่าง 4.7 จงหาคา่ ของ 17 โดยใช้ทฤษฎีบททวนิ าม ตอ้ งการทศนิยม 3 ตาแหน่ง

วิธที า เนือ่ งจาก 17 = 1712

= 16  1

12

= 16 1 1   1   1
2 2

 16 

= 4 1   1   1 ; 1 1
2 16

 16 

1  1  1  1  1  1  2  1  1  1 1  2   3
= 2 1   1  1    2  2   1  2  2  2   1
  ...
 16   2 16  2! 16  3! 16 

หนา้ 73

วิชา คณิตศาสตร์ทวั่ ไป (491-11-01)

= 1  1  1   1  1 2  1  1 3  ...
2 16  8 16  16 16 

= 1 + 0.0313 – 0.0005 + 0.0000 + … (บนั ทึกทศนยิ ม 4 ตาแหน่ง)
= 1.0308

 17 = 4 (1.0308) (ผลคูณน้ีเทา่ กับ 4.1232 )
= 4.123 (แตต่ อ้ งตอบเปน็ ทศนิยม 3 ตาแหน่ง ตามที่โจทย์กาหนด)

ตวั อยา่ ง 4.8 จงหาคา่ ของ 3 121 โดยใชท้ ฤษฎีบททวินาม ต้องการทศนยิ ม 4 ตาแหนง่

วธิ ที า เนอื่ งจา ก 3 121 = 12113

= 125  1

43

= 1

1 1  4  3

(125) 3  125 

1

= (5) 1  4  3
125 

1

กระจาย 1  4  3 ซง่ึ  4  1 โดยใช้ทฤษฎีบททวนิ าม
125  125

11

1= 4  3   4  3
125  1  125 


= 1  1  4   1  1 1  4 2  1  1 1  1  2   4 3
 3  125   3  3  125   3  3  3 
  3!  125   ...
2!

= 1 4   1 4 2   5  4 3  ...
375  9  125   81 125 

= 1 – 0.01067 – 0.00011 – 0.00000 + … (บนั ทึกทศนิยม 5 ตาแหนง่ )

= 0.98922

 3 121 = 5 ( 0.98922) (ผลคณู นีเ้ ท่ากบั 4.94610)

= 4.9461 (แต่ตอ้ งตอบเปน็ ทศนยิ ม 4 ตาแหนง่ ตามทโี่ จทย์กาหนด)

ตวั อย่าง 4.9 จงหาค่าของ 4 10,084 โดยใชท้ ฤษฎบี ททวนิ าม ต้องการทศนิยม 4 ตาแหน่ง

วิธที า เนือ่ งจาก 4 10,084 = 1,0084 1
4

=  10,000  84 1
4

= 1

(10,000) 1 1  84  4
4

 10,000 

= 10 1  0.0084 1
4

หน้า 74

วชิ า คณิตศาสตรท์ ่ัวไป (491-11-01)

กระจาย 1 0.0084 1 ซงึ่ 0.0084  1 โดยใชท้ ฤษฎีบททวินาม
4

  =  1  1  1  1  1  1 1  2
1 1   1 0.0084   4  4  0.00842   4  4  4  0.00843  ...

1 0.0084 4

 4  2! 3!

= 1 + 0.00210 – 0.00001 + 0.00000 + … (บนั ทึกทศนิยม 5 ตาแหนง่ )

= 1.00209
 4 10,084 = 10 (1.00209) (ผลคูณน้ีเท่ากับ 10.02090)

= 10.0209 (แต่ตอ้ งตอบเปน็ ทศนยิ ม 4 ตาแหน่ง ตามท่โี จทยก์ าหนด)

ตัวอย่าง 4.10 จงหาพจน์ที่ 7 ของ 1  2 x 1
3

วิธีทา 1  2 x 1 = 1  (2 1
3
x) 3

พจนท์ ่ี r + 1 ของทวนิ ามทีม่ ีเลขชกี้ าลังเปน็ เศษส่วนหรือเป็นลบหาไดด้ ังนี้

 Tr1  n(n1)(n2)(n3) ... (n r1) xr

r!

แทนคา่ r = 6 ; T   13 131 132 133 134 135(2x)6
61 6!

 T  46,592 x6

7 6,561

แบบฝึกหัด 4.2

1. จงกระจายผลบวก 4 พจนแ์ รกของ

1. 1 1 2. 1  3 3. 1  3x 1
2
x 2 2x 2

4. 1 5. 5  6x 2 6. a  4 2
3
2 x4

2. จงหาพจน์ที่ 6 ของ 1  x 1 1
3
และ 1 x 3

3. จงหาพจน์ท่ี 9 ของ 3  x1 และ 3 x1

4. จงหาพจน์ที่ 4 ของ  9x2  b 1 และ 9x 2  b  1
2 2

5. จงประมาณค่าต่อไปนี้ โดยใช้ทฤษฎีบททวินามตอ้ งการทศนยิ ม 4 ตาแหน่ง

1. 1.0 1 2. 0.98 1 3. 1512
4
56

4. 1.02 5. 3 1005 6. 1

48

หนา้ 75

วชิ า คณิตศาสตร์ท่วั ไป (491-11-01)

หนว่ ยท่ี 5
ตรรกศาสตรเ์ บ้ืองต้น

บทนา
คาว่า “ ตรรกศาสตร์ ” มาจากคาภาษาสันสกฤตว่า ตรก ซึ่งแปลว่า คิด หรือ ตรึกตรองรวมกับ

ศาสตร์ ที่แปลว่าวิชาหรือความรู้ ตรรกศาสตร์ จึงเป็นวิชาความรู้ท่ีได้จากการคิดหรือตรึกตรอง มี
ความหมายท่ีใช้กันโดยทั่วไปว่า “ ศาสตร์ของการใช้เหตุผล ” (Science of reasoning) และมีการพัฒนา
ในเชิงรูปแบบไปเปน็ ตรรกศาสตรส์ ัญลักษณ์ (Symbolic Logic) หรือ คณิตตรรกศาสตร์ (Mathematical
Logic) ซ่งึ สามารถใชเ้ ป็นเคร่อื งมือในการสรปุ ผลจาก อนยิ าม บทนยิ าม และสัจพจน์ให้เปน็ กฎ หรือทฤษฎี
บทในทางคณติ ศาสตรไ์ ด้

แบบจำลองเชิงคณติ ศำสตร์ ใช้ตรรกศำสตร์
คำอนยิ ำม
คำนยิ ำม กฎ หรือทฤษฎี
สัจพจน์

รูปท่ี 5.1

ในหนว่ ยน้ี จะแนะนาเก่ียวกับตรรกศาสตร์เบ้ืองต้นทจ่ี ะชว่ ยในการศึกษาวชิ าคณติ ศาสตร์ให้
ได้ผลดีย่ิงขึ้น

5.1 ประพจนแ์ ละการเชือ่ มประพจน์ด้วยตัวเชื่อม

5.1.1 ประพจน์ (Propositions or Statements)

ประพจน์ คือ ประโยคทีเ่ ปน็ จริง(True) หรอื เท็จ (False) อย่างใดอย่างหน่ึงเทา่ นน้ั ประโยคท่ีมี

ลกั ษณะดงั กล่าวจะอยู่ในรปู ประโยคบอกเลา่ หรือ ประโยคปฏิเสธเท่านนั้ เชน่

ดวงอาทติ ย์ขึ้นทางทิศตะวนั ออก (จรงิ )

จงั หวดั พระนครศรีอยุธยาไม่อยู่ในภาคเหนอื ของประเทศไทย (จรงิ )

2+3=7 (เทจ็ )

4+5≠5+4 (เทจ็ )

¶ เปน็ จานวนอตรรกยะ (จรงิ )

ประโยคท่ีกล่าวถึงข้างตน้ เป็นประพจนท์ ุกประโยค เพราะมีคา่ ความจรงิ เปน็ จริง หรือ เทจ็ อย่าง

ใดอย่างหนึง่ เทา่ นัน้ คาว่า จริง หรอื เท็จ เรยี กวา่ ค่าความจริง (Truth value) ของประพจน์

ส่วนประโยคท่ีไม่อยู่ในรูปบอกเล่าหรือปฏิเสธ ไม่เป็นประพจน์ เช่น ประโยคคาถาม คาส่ัง ข้อห้าม

ขอร้อง อ้อนวอน แสดงความปรารถนา หรือ ประโยคอุทาน ท้ังนี้ใหร้ วมถงึ สภุ าษติ หรือคาพังเพยดว้ ย

เช่น

เมอ่ื เช้าทานข้าวหรือเปลา่ (คาถาม)

ห้ามสูบบหุ รี่ (คาส่งั )

กรณุ าอยา่ จอดรถขวางประตู (ขอร้อง)

ได้โปรดเถิด (อ้อนวอน)

อยากกลบั บ้านเหลือเกิน (แสดงความปรารถนา)

หนา้ 76

คณุ พระชว่ ย วชิ า คณิตศาสตร์ทว่ั ไป (491-11-01)
นา้ ขึ้นให้รบี ตัก
ชา้ ๆไดพ้ รา้ เล่มงาม (อทุ าน)
(สภุ าษิต/คาพงั เพย)
(สุภาษติ /คาพังเพย)

บทนิยาม 5.1 ประพจน์ คือ ประโยคบอกเล่ำ หรือ ประโยคปฏิเสธทีเ่ ป็นจรงิ หรือเป็น
เทจ็ อย่ำงใดอย่ำงหนึ่งเท่ำนั้น

ประโยคเปดิ (Open Sentence)
ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่าหรือ ประโยคปฏิเสธ ท่ีมตี ัวแปรซง่ึ ไม่ใชป่ ระพจน์แตส่ ามารถทา

ให้เป็นประพจน์ได้ โดยการแทนตัวแปรนั้นด้วยสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์(relative universe) เช่น
เขาเป็นนักวิทยาศาสตร์ ประโยคนี้ยังไม่ทราบว่ามีค่าความจริงเป็น จริง หรือ เท็จ เพราะยังไม่

ทราบว่า เขา ในท่ีนี้เป็นใคร ถ้าแทน เขา ด้วย อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ ก็จะได้ประโยคที่ เป็นจริง กล่าวคือ
อัลเบิรต์ ไอน์สไตน์เป็นนักวทิ ยาศาสตร์ มีคา่ ความจรงิ เปน็ จริง จงึ เป็นประพจน์ดว้ ยหรอื ถ้าแทน เขา ด้วย
ขนุ แผน คือ ขนุ แผนเป็นนกั วิทยาศาสตร์ ก็จะได้ ประโยคท่มี ีคา่ ความจริงเป็นเทจ็ และเปน็ ประพจนด์ ้วย

ในทานองเดียวกัน สาหรับประโยค x < 5 ถ้าแทน x ด้วย 3 จะไดป้ ระโยค 3 < 5 ซง่ึ เป็นจริงและ
เป็นประพจน์ แตถ่ า้ แทน x ด้วย 5 จะไดป้ ระโยค 5 < 5 ซึ่งเป็นเทจ็ แตก่ ็เปน็ ประพจน์ดว้ ยเช่นกัน เพราะ
ตา่ งกม็ คี า่ ความจริงเป็น จริง หรือ เทจ็ อยา่ งใดอย่างหน่งึ เท่าน้นั

คาวา่ เขา และ x ในประโยคทีย่ กมาเป็นตัวอย่างข้องต้น เรยี กวา่ ตวั แปร(variable) และประโยค
ดังกลา่ วเรียกวา่ ประโยคเปดิ

ตัวแปรท่ีใช้ในประโยคเปิดจะแทนด้วยสมาชกิ ในเอกภพสัมพัทธ์ เช่น ในประโยคที่กล่าวมา คาว่า
เขา มีข้อตกลงวา่ ใหแ้ ทนดว้ ยชื่อคน ซ่ึงถอื วา่ เซตของคนเป็นเอกภพสมั พทั ธ์

ในประโยค x < 5 ให้แทน x ด้วยจานวนซึ่งอาจกาหนดให้ เซตของจานวนเซตใดเซตหนึ่งเป็นเอก
ภพสมั พัทธ์

บทนยิ าม 5.2 ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏเิ สธทีม่ ีตวั แปรไม่เป็นประพจน์
และ เมอ่ื แทนท่ีตวั แปรดว้ ยสมาชิกในเอกภพสมั พทั ธแ์ ล้วเปน็ ประพจน์

กาหนดให้เอกภพสัมพทั ธ์ คอื เซตของจานวนจริง
พิจารณา 2x + 3 = 3 จะเห็นว่าเป็นประโยคเปิด เพราะเป็นประโยคบอกเล่าท่ีมีตัวแปร x และ
เมือ่ แทน x ด้วยจานวนจรงิ ใดๆ และไดป้ ระพจน์ เชน่
แทน x ดว้ ย -1 ได้ 2(-1)+3 = 3 เป็นเทจ็
แทน x ด้วย 0 ได้ 2(0)+3 = 3 เป็นจริง
แทน x ดว้ ย 1 ได้ 2(1)+3 = 3 เป็นเท็จ
พิจารณา 2x + 3 จะเห็นว่าไม่เป็นประโยคเปิด เพราะเมื่อแทน x ด้วยจานวนจริงใดๆแล้วไม่เปน็
ประพจน์ กล่าวคือ ยังคงไมม่ ีคา่ ความจรงิ แตป่ ระการใดเลย
พจิ ารณา 2(x+3) = 2x + 6 จะเหน็ วา่ เป็นประโยคเปิด เพราะมี x เปน็ ตัวแปร และเมือ่ แทนค่า x
ดว้ ยจานวนจรงิ ใดๆ แล้วเป็นประพจน์

หน้า 77

วชิ า คณติ ศาสตร์ท่วั ไป (491-11-01)

5.1.2 การเชื่อมประพจน์
ในชีวิตประจาวนั และในการเรียนวิชาคณติ ศาสตร์ จะมีคาว่า “ และ ” , “ หรอื ”

“ ถา้ ... แล้ว ... ” , “ ... กต็ ่อเมื่อ ... ” เช่อื มประโยคต่างๆเข้าด้วยกนั หรือใช้ประโยคปฏิเสธทมี่ คี าว่า “
ไม่ ” แสดงการปฏเิ สธ คาเหล่านี้เรยี กวา่ ตวั เชอ่ื ม (connective) เชน่

นางสาวสมหญิงปว่ ยและนางสาวสมหญิงเขา้ โรงพยาบาล
นางสาวสมหญิงปว่ ยหรือนางสาวสมหญิงเขา้ โรงพยาบาล
ถา้ นางสาวสมหญิงปว่ ยแล้วนางสาวสมหญงิ เขา้ โรงพยาบาล
นางสาวสมหญงิ ปว่ ยกต็ อ่ เม่ือนางสาวสมหญงิ เขา้ โรงพยาบาล
นางสาวสมหญิงไมป่ ว่ ย
นางสาวสมหญิงไมเ่ ขา้ โรงพยาบาล

ในทางตรรกศาสตรก์ เ็ ชน่ เดียวกัน มีการใชต้ วั เชอื่ มเพ่ือเปลี่ยนประพจนเ์ ดิมให้เปน็ ประพจนใ์ หม่ คอื
1. Conjunction เป็นการเช่ือมประพจนด์ ว้ ยตัวเชื่อม และ (and)
เขียนแทนตัวเชอื่ ม ... และ... ด้วยสญั ลกั ษณ์ …  …
2. Disjunction เปน็ การเชือ่ มประพจน์ด้วยตัวเช่ือม หรอื (or)
เขยี นแทนตวั เชือ่ ม ...หรือ... ด้วยสญั ลกั ษณ์ …  …
3. Implication หรือ Conditional เปน็ การเชอ่ื มประพจน์ด้วยตัวเช่อื ม ถา้ ... แล้ว ...( if …then
…) เขยี นแทนตัวเชอื่ ม ถ้า ... แล้ว ... ด้วยสัญลักษณ์ …  …
4. Equivalent หรอื Biconditional เป็นการเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชือ่ ม ... กต็ อ่ เม่ือ ... ( if…
and only if…หรือเขียนย่อวา่ iff ) เขียนแทนตวั เชอื่ ม ...กต็ ่อเม่ือ... ดว้ ยสัญลกั ษณ์ …  …
5. Negation หรอื Denial เป็นการเชื่อมประพจน์ดว้ ยตวั เช่ือม ไม่ (not ) หรือ ไม่เปน็ ความจรงิ
ทวี่ า่ เขียนแทนตัวเชอ่ื ม ไม่ ... หรอื ไม่เป็นความจริงที่วา่ ... ดว้ ยสญั ลักษณ์ ~ …

ตวั เชอ่ื ม 4 ตัวแรกใช้เชอื่ มประพจนส์ องประพจน์ ผลที่ไดเ้ ป็น 1 ประพจน์ เป็นการกระทาสองสงิ่
(binary operation) สว่ นตัวเช่ือมท่ี 5 เป็นตวั เชอ่ื มท่ใี ชก้ ับประพจน์เดียว ผลท่ีได้กย็ งั คงเป็น 1 ประพจน์
ตัวเชือ่ มนี้เปน็ การกระทาสิ่งเดียว (unary operation)

อนง่ึ เพื่อความสะดวกในการศึกษาเกี่ยวกับการเชื่อมประพจน์ จะใชต้ ัวอกั ษร เช่น p , q , r , …
แทนประพจนท์ นี่ ามาเชื่อมกัน

การพจิ ารณาคา่ ความจรงิ ของประพจนท์ ่ีมตี วั เชื่อม ควรเร่มิ ตน้ ดว้ ยการพจิ ารณาคา่ ความจริงที่
เป็นไปได้ 2 กรณี คือ จริง ซึ่งจะเขยี นแทนด้วย T หรือ เท็จ ซึ่งจะเขียนแทนด้วย F

ตวั อย่างการเชื่อม แทน นางสาวสมหญิงปว่ ย
ให้ p แทน นางสาวสมหญิงเข้าโรงพยาบาล
q นางสาวสมหญงิ ป่วยและนางสาวสมหญงิ เขา้ โรงพยาบาล
นางสาวสมหญิงป่วยหรอื นางสาวสมหญิงเข้าโรงพยาบาล
จะได้ p  q แทน ถา้ นางสาวสมหญงิ ปว่ ยแล้วนางสาวสมหญิงเข้าโรงพยาบาล
p q แทน นางสาวสมหญิงป่วยก็ตอ่ เมือ่ นางสาวสมหญงิ เข้าโรงพยาบาล
p  q แทน นางสาวสมหญงิ ไมป่ ว่ ย
p  q แทน
~ p แทน

หน้า 78

วชิ า คณติ ศาสตร์ท่วั ไป (491-11-01)

~ q แทน นางสาวสมหญงิ ไม่เขา้ โรงพยาบาล

สาหรับประพจนซ์ ง่ึ เป็นการกระทาสองส่งิ กรณีทที่ ั้งสองสิ่งนน้ั กล่าวซา้ ถึงสิง่ เดยี วกนั เชน่ p  q
แทน “ นางสาวสมหญงิ ป่วยและนางสาวสมหญิงเขา้ โรงพยาบาล ” อาจเขยี นละไวเ้ พยี ง
“ นางสาวสมหญิงปว่ ยและเขา้ โรงพยาบาล ” กไ็ ด้ อย่างไรก็ตามถา้ ย้อนไปกลา่ วถึง ประพจน์ q ตอ้ ง
เขา้ ใจได้อยา่ งถกู ต้องว่าหมายถงึ ประพจน์ “ นางสาวสมหญิงเขา้ โรงพยาบาล ” ไม่ใชว่ ลี “ เขา้
โรงพยาบาล ” ซึ่งไม่เปน็ ประพจน์

ถ้ามี 2 ประพจน์ คือ p และ q จะมีกรณีท่เี กยี่ วข้องกบั ค่าความจรงิ ท่ีอาจเกดิ ขึ้นได้ทงั้ หมด
จานวน 4 กรณี จากการที่ T และ F ของ p ตา่ งก็จบั คกู่ บั T และ F ของ q ตามวธิ จี บั คู่แบบแผนภาพ
ต้นไม้ ดังนี้

pq PQ

T TT
TF
TF FT
FF
F T
F

1. ค่าความจริงของประพจน์ที่เชอื่ มด้วย และ
พิจารณาประพจน์ (1) 1 เป็นจานวนค่ีและ 2 เป็นจานวนคู่
(2) 1 เป็นจานวนค่ีและ 2 เป็นจานวนค่ี
(3) 1 เปน็ จานวนคู่และ 2 เป็นจานวนคู่
(4) 1 เป็นจานวนคู่และ 2 เป็นจานวนค่ี
จะเห็นได้ว่าประพจน์ 1 เป็นจานวนคี่ , 2 เป็นจานวนคู่ มีค่าความจริงเปน็ จริง ส่วนประพจน์

1 เปน็ จานวนคู่ , 2 เป็นจานวนคี่ เปน็ เท็จ เม่ือนามาเช่อื มดว้ ยตวั เชอื่ ม “ และ ” แล้ว
ประพจน์ (1) ซ่งึ นาประพจน์ที่เปน็ จรงิ ท่เี ป็นจรงิ ทั้งค่มู าเชื่อมกนั เทา่ น้ันที่มคี า่ ความจริง สว่ นประพจน(์ 2),
(3) และ (4) เป็นเทจ็ ทง้ั หมด

ดงั น้นั ในการเช่ือมประพจนด์ ้วย “ และ ” จงึ มขี ้อตกลงว่าประพจน์ใหม่จะเปน็ จรงิ ในกรณที ี่
ประพจน์ที่นามาเชือ่ มนั้นเป็นจริงท้ังคู่ กรณีอืน่ ๆ เป็นเท็จทุกกรณี

ถ้าให้ p และ q เป็นประพจน์ ประพจนใ์ หม่ที่ไดจ้ ากการเชอ่ื ม p กบั q ดว้ ย “ และ ” คอื
p และ q เขยี นแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ p  q และเขียนตารางคา่ ความจริง(truth table) ของ p  q ได้ดงั น้ี

P q pq

TT T

TF F

FT F

FF F

ตวั เชอ่ื ม “ ... และ ... ” อาจเขยี นในรูปอน่ื ๆ ทม่ี คี วามหมายอยา่ งเดียวกนั เช่น “ ... แต่ … ”
“ ... แม้วา่ ... ” หรอื ในบางครัง้ อาจใช้ “ ... เมอ่ื ... ”

หนา้ 79

วชิ า คณติ ศาสตรท์ ่ัวไป (491-11-01)

2. ค่าความจรงิ ของประพจน์ท่เี ชอื่ มด้วย หรือ
พจิ ารณาประพจน์ นายสมหวังสมคั รเรียนภาคปกติหรอื ภาคสมทบ
ในวชิ าตรรกศาสตรจ์ ะหมายถึงกรณีใดกรณีหน่ึงใน 3 กรณี ต่อไปนี้
(1) นายสมหวังสมัครเรียนภาคปกตเิ พยี งอย่างเดียว
(2) นายสมหวังสมคั รเรียนภาคสมทบเพยี งอย่างเดียว
(3) นายสมหวังสมัครเรยี นภาคปกติและภาคสมทบ
ดังนั้น ประพจน์ “ นายสมหวังสมคั รเรยี นภาคปกตหิ รือภาคสมทบ ” จะเป็นเท็จในกรณีทไี่ ม่

เป็นไปตามกรณีใดกรณีหน่ึงใน 3 กรณีขา้ งตน้ หรือ ในกรณีทีน่ ายสมหวงั ไม่ไดส้ มัครเรียนท้งั ภาคปกติและ
ไม่สมัครเรียนภาคสมทบ น่ันเอง

ดังน้นั ในการเช่ือมประพจน์ด้วย “ หรือ ” จึงมขี ้อตกลงวา่ ประพจนใ์ หม่จะเปน็ เท็จในกรณีท่ี
ประพจน์ซ่ึงนามาเช่ือมกันเป็นเทจ็ ท้งั คู่ กรณอี ่ืนๆเป็นจริงทุกกรณี

ถ้าให้ p และ q เปน็ ประพจน์ ประพจนใ์ หม่ท่ีเกิดจากการเชอื่ มด้วย “ หรอื ” คือ p หรือ q
เขยี นแทนด้วย p q และเขยี นตารางคา่ ความจรงิ ของ p q ได้ดงั นี้

P q pq

TT T

TF T

FT T

FF F

3. ค่าความจริงของประพจน์ท่ีเชื่อมด้วย ถา้ ... แลว้ ...
พิจารณาประพจน์ “ ถ้าผมเป็นนกแล้วผมจะบินไปหาคุณทุกวัน ”
ซ่งึ เป็นถ้อยคาทนี่ ายขนุ ทองกลา่ วกบั นางสาวสารกิ า วา่ เมือ่ เกดิ เหตกุ ารณ์ตา่ งๆตอ่ ไปน้ีแล้ว จะ

ตัดสินไดอ้ ยา่ งไรวา่ เม่ือใดนายขุนทองพดู จรงิ เม่อื ใดพูดเท็จ
(1) นายขนุ ทองเปน็ นก และนายขนุ ทองบนิ ไปหานางสาวสาริกาทุกวัน
(2) นายขุนทองเปน็ นก แตน่ ายขุนทองไม่บนิ ไปหานางสาวสาริกาทุกวัน
(3) นายขุนทองไม่เป็นนก แต่นายขุนทองบินไปหานางสาวสารกิ าทุกวนั
(4) นายขุนทองไมเ่ ปน็ นก และนายขนุ ทองไมบ่ ินไปหานางสาวสารกิ าทุกวัน

จะเหน็ ได้วา่
เมือ่ เกิดเหตุการณ์(1) จะสามารถตดั สนิ ได้อย่างงา่ ยดายวา่ นายขุนทองพูดจริง

เม่ือเกดิ เหตกุ ารณ์(2) จะสามารถตดั สินได้อย่างง่ายดายว่านายขุนทองพูดเทจ็
เม่ือเกดิ เหตุการณ์(3) จะไมส่ ามารถตัดสินใจได้ง่ายๆอยา่ งเหตุการณ์ (1) หรอื (2)
อย่างไรกต็ าม เมื่อเกิดเหตุการณ์น้ี ไม่อาจจะกลา่ วว่านายขนุ ทองพูดเทจ็ เพราะแม้นายขนุ ทองไม่ไดเ้ ป็นนก
เช่น เปน็ มนุษยก์ ็อาจน่งั เครื่องบิน บินไปหานางสาวสาริกาทุกวันได้ ท้งั นเี้ นื่องจากไม่มถี ้อยคาใดๆของนาย
ขุนทองทีร่ ะบวุ ่า ถา้ นายขุนทองไม่เปน็ นกแล้วนายขุนทองจะบนิ ไปหานางสาวสาริกาทุกวนั หรอื ไม่อยา่ งไร
ดงั นน้ั เมือ่ นายขุนทองไม่เปน็ นกอาจบินไปหานางสาวสาริกาทกุ วนั หรือไมบ่ นิ ไปหานางสาวสาริกาทกุ วันก็
ได้ เมอ่ื เกิดเหตุการณ(์ 3)และรวมถงึ เหตุการณ(์ 4)ดว้ ย จงึ สามารถตัดสินใจไดว้ า่ นายขนุ ทองพูดจรงิ

หน้า 80

วิชา คณิตศาสตรท์ ั่วไป (491-11-01)

ดังนัน้ ในการเช่อื มประพจนด์ ้วย ถ้า ... แลว้ ... มขี ้อตกลงวา่ ประพจน์ใหม่จะเปน็ เท็จในกรณที ี่
ประพจนซ์ ึ่งตามหลังคาวา่ ถ้า เปน็ จริงและประพจน์ซึ่งตามหลงั คาว่า แลว้ เป็นเทจ็ เทา่ น้ัน กรณอี น่ื ๆเปน็
จรงิ ทกุ กรณี

ประพจน์ซ่ึงตามหลงั คาวา่ “ ถา้ ” เรยี กว่า “ เหตุ ” สว่ นประพจน์ซ่ึงตามหลัง “ แลว้ ”เรียกว่า “ ผล ”
ถา้ p เป็นประพจน์เหตุ และ q เปน็ ประพจน์ผล ประพจนใ์ หม่ท่ไี ด้จากการเชื่อมดว้ ย

ถ้า ... แล้ว ... คอื ถ้า p แล้ว q เขยี นแทนด้วย p  q และเขยี นตารางคา่ ความจรงิ ของ p q ได้ดังน้ี

P Q pq

TT T

TF F

FT T

FF T

ตัวเช่ือม “ ถ้า ... แล้ว ... ” อาจเขยี นในรูปอ่ืนๆทมี่ ีความหมายอย่างเดียวกัน เชน่
“ ถ้า ... ดังนั้น ... ” , “ ถา้ ... จะได้ ... ” หรอื บางครัง้ อาจใช้ “ ถา้ ... ”

4. คา่ ความจริงของประพจน์ทเ่ี ชอื่ มดว้ ย กต็ อ่ เมื่อ

พิจารณาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้

(1) ดวงอาทติ ย์เปน็ ดาวฤกษ์กต็ อ่ เม่ือมแี สงสว่างในตัวเอง ยอ่ มมีคา่ ความจริงเป็น จริง

(2) ดวงอาทติ ยเ์ ป็นดาวฤกษ์กต็ อ่ เม่ือไม่มีแสงสว่างในตัวเอง ย่อมมีค่าความจรงิ เป็น เท็จ

(3) ดวงอาทิตย์เป็นดาวเคราะห์กต็ ่อเม่ือมแี สงสว่างในตัวเอง ย่อมมีคา่ ความจริงเป็น เท็จ

(4) ดวงอาทิตย์เป็นเคราะห์ก็ตอ่ เม่ือไมม่ ีแสงสว่างในตัวเอง ยอ่ มมีค่าความจริงเป็น จรงิ

การเชอื่ มประพจน์ดว้ ยตวั เช่ือม กต็ อ่ เม่อื จงึ มีข้อตกลงวา่ ประพจนใ์ หมจ่ ะเปน็ จริงในกรณีที่

ประพจน์ซึ่งนามาเชื่อมกนั นน้ั เปน็ จรงิ ด้วยกันทงั้ คู่ หรือเปน็ เท็จด้วยกันทั้งคู่เท่านัน้ กรณอี ื่นๆเปน็ เท็จ

ถ้า p และ q เปน็ ประพจน์ ประพจน์ใหม่ได้จากการเช่ือมด้วย กต็ อ่ เม่ือ คือ “ p กต็ ่อเมื่อ q ”

เขยี นแทนดว้ ย p  q และเขียนตารางคา่ ความจรงิ ของ p  q ไดด้ งั น้ี

P q pq

TT T

TF F

FT F

FF T

หมายเหตุ ประพจน์ “ ดวงอาทติ ยเ์ ปน็ ดาวฤกษ์ก็ต่อเมือ่ มีแสงสว่างในตัวเอง ” อาจเขียนได้อีก

อย่างวา่ “ ถา้ ดวงอาทิตย์เป็นดาวฤกษ์แลว้ มีแสงสวา่ งในตัวเอง และถ้าดวงอาทติ ย์มีแสงสวา่ งในตัวเองแลว้

เปน็ ดาวฤกษ์ ”

น่ันคือ p  q อาจเขยี นได้อีกอย่างเป็น (p  q)  (q  p) ซ่ึงเขยี นตารางคา่ ความจรงิ ของ

p  q กับ(p  q)  (q  p) จะพบว่า มีค่าความจรงิ เหมือนกนั ทุกกรณี ดังน้ี

หนา้ 81

วิชา คณิตศาสตรท์ ั่วไป (491-11-01)

P q p  q (p  q) (q  p) (p  q)  (q 

p)

TT T T T T

TF F F T F

FT F T F F

FF T T T T

5. คา่ ความจริงของนเิ สธของประพจน์
ถ้า p เป็นประพจน์ นิเสธของประพจน์ p คือ ประพจน์ที่ทีค่าความจริงตรงกันข้ามกับ

ประพจน์ p นิเสธของประพจน์ p เขยี นแทนด้วย ~ p และเขยี นตารางค่าความจริงของ ~ p ได้ดงั น้ี

p ~p

TF
FT

เช่น นิเสธของประพจน์ 1 + 2 = 3 (จริง) คอื 1 + 2  3 (เทจ็ )

นิเสธของประพจน์ 3 > 2 (เท็จ) คือ 3 > 2 (จรงิ )

ถา้ ประพจนท์ ี่พิจารณาเกดิ จากประพจน์ย่อยหลายประพจน์ เช่ือมดว้ ยตวั เชื่อมต่างๆหลายตัวเชอื่ ม

เม่ือเขียนสัญลักษณแ์ ทนประพจน์ตา่ งๆแลว้ ต้องเขยี นวงเล็บแสดงขอบเขตการเชื่อมคลุมสัญลักษณ์ให้

ชดั เจน อยา่ งไรก็ตาม ในกรณีไมม่ ีการเขียนวงเล็บแสดงขอบเขตของการเช่ือมประพจนย์ ่อยๆ ให้ใช้

ขอ้ ตกลงวา่

สัญลกั ษณ์ ~ เปน็ ตัวเชื่อมท่ีคลุมความน้อยท่ีสดุ

 ,  เปน็ ตวั เช่อื มทค่ี ลุมความมากข้ึนมา

 เป็นตวั เชอ่ื มที่คลุมความมากกว่า  , 

 เป็นตัวเชอ่ื มที่คลุมความมากทีส่ ุด

เชน่ ~ p  q หมายถึง (~ p)  q ไมใ่ ช่ ~(p  q)

p  q  r หมายถงึ (p  q)  r ไมใ่ ช่ p  (q  r)

p  q  r หมายถงึ p  (q  r) ไมใ่ ช่ (p  q)  r

ตัวอยา่ ง 5.1 จงเปลีย่ นประโยคต่อไปนี้ให้อยูใ่ นรูปสญั ลกั ษณ์
(1) อยธุ ยาและธนบุรีเคยเป็นเหมืองหลวงของไทย
(2) อยุธยา ธนบรุ ี หรอื กรุงเทพฯ เป็นเมืองหลวงของไทย
(3) ถ้าเดือนและดาวเรยี นสาขาวิชาการตลาดแลว้ ตะวันเรียนสาขาวิชาการท่องเที่ยว
(4) 3 ไมน่ ้อยกวา่ 2 ก็ต่อเม่ือ 3 เท่ากับ 2 หรือ 3 มากกว่า 2

วิธีทา (1) ให้ p แทน อยุธยาเคยเป็นเมืองหลวงของไทย
(2) q แทน ธนบุรเี คยเปน็ เมืองหลวงของไทย

ดังนั้น จะได้ p  q แทนอยธุ ยาและธนบุรีเคยเปน็ เมืองหลวงของไทย

ให้ p แทน อยธุ ยาเป็นเมืองหลวงของไทย
q แทน ธนบรุ ีเปน็ เมืองหลวงของไทย

หนา้ 82

วชิ า คณติ ศาสตรท์ ั่วไป (491-11-01)

r แทน กรงุ เทพฯเปน็ เมืองหลวงของไทย
ดงั นั้น จะได้ p  q r แทนอยธุ ยา ธนบรุ ีหรือกรุงเทพฯเปน็ เมืองหลวงของประเทศไทย

(3) ให้ q แทน เดือนเรียนสาขาวิชาการตลาด
r แทน ดาวเรียนสาขาวิชาการตลาด
s แทน ตะวนั เรยี นสาขาวชิ าการท่องเท่ยี ว

ดงั นนั้ จะได้ (q  r)  s แทน ถา้ เดือนและดาว เรยี นสาขาวชิ าการตลาด แล้วตะวันเรยี น
สาขาวชิ าการท่องเที่ยว
(4) ให้ t แทน 3 นอ้ ยกว่า 2

b แทน 3 เท่ากบั 2
c แทน 3 มากกวา่ 2
ดงั นั้น จะได้ ~ t  (b  c)

แบบฝกึ หัด 5.1
1. จงพิจารณาประโยคตอ่ ไปน้ีวา่ เปน็ ประพจน์ หรอื ประโยคเปดิ หรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด

(1) ดวงอาทติ ยเ์ ปน็ ดาวฤกษ์
(2) ขออภยั ในความไม่สะดวก
(3) จังหวัดพระนครศรีอยธุ ยามีพลเมืองมากทสี่ ดุ ของประเทศไทย
(4) เขาไปชมภาพยนตร์
(5) บนดาวอังคารไม่มีส่ิงมีชวี ติ อาศัยอยู่
(6) ได้รับจดหมายหรอื เปล่า
(7) สวนสาธารณะบึงพระรามมีพ้ืนท่ี 25 ไร่
(8) 23 = 6
(9) 2x – 1 = 3
(10) ตกบนั ไดพลอยโจน
(11) 3x + 1
(12) กรุงเทพมหานครไม่ได้เป็นเมืองหลวงของไทย
(13) 3 เป็นคาตอบของสมการ (x – 2)(x – 3) = 0
(14) x2 > 0
(15) x + 4 = 6
2. จงเขยี นประโยคทีเ่ ป็นประโยคเปดิ มา 5 ประโยค พร้อมท้งั แสดงการแทนค่าตัวแปรเพือ่ ทาให้
ประโยคเปดิ เป็นประพจน์ และระบคุ า่ ความจรงิ ของประพจนด์ งั กลา่ วด้วย
3. ถา้ ให้ p แทน ปรีชาเรยี นสาขาวิชาการจดั การอตุ สาหกรรม

q แทน ปรชี าเรียนสาขาวิชาภาษาอังกฤษเพื่อการสื่อสารสากล
r แทน ปรีชาเรยี นคณะบรหิ ารธรุ กจิ
จงเปลีย่ นข้อความต่อไปน้ี ให้เป็นสัญลกั ษณ์
(1) ปรีชาไม่ได้เรยี นสาขาวชิ าการจัดการอตุ สาหกรรม
(2) ปรีชาเรียนสาขาวิชาการจดั การอตุ สาหกรรมและปรีชาเรียนคณะบรหิ ารธุรกิจ

หนา้ 83

วิชา คณิตศาสตร์ท่ัวไป (491-11-01)

(3) ถ้าปรชี าเรยี นสาขาวชิ าการจดั การอตุ สาหกรรมแลว้ ปรีชาเรยี นคณะบริหารธรุ กจิ
(4) ปรชี าเรียนคณะบริหารธรุ กจิ ก็ต่อเมือ่ ปรชี าเรยี นสาขาวชิ าการจัดการอตุ สาหกรรมและไมไ่ ด้
เรียนสาขาวิชาภาษาองั กฤษเพอื่ การสอ่ื สารสากล
(5) ถ้าปรีชาเรยี นสาขาวิชาการจดั การอตุ สาหกรรมหรอื สาขาวชิ าภาษาองั กฤษเพ่ือการสื่อสาร
สากลแล้วปรีชาเรียนคณะบริหารธุรกจิ

4. จงเปลย่ี นประโยคต่อไปนี้ ใหอ้ ยู่ในรปู สญั ลักษณ์
(1) 1 เป็นจานวนนบั และ 2 เป็นจานวนคู่
(2) 2 น้อยกวา่ 3 หรอื 2 มากกวา่ 3
(3) ¶ ไม่ใชจ่ านวนตรรกยะ
(4) วพิ รดืม่ ชาแต่ไมด่ ื่มกาแฟ
(5) ถ้า 5 เปน็ จานวนคแู่ ลว้ แลว้ 6 เป็นจานวนคี่
(6) สุภาถีบจกั รยานไมล่ ม้ ก็ตอ่ เม่ือถบี จักรยานเป็น
(7) คุณนดิ กับคณุ น้อย เดินทางไปต่างประเทศ
(8) ถา้ 1 + 2 = 3 ดงั นัน้ 3 – 2 = 1
(9) สมศักดิ์และสมพงษ์ไปมหาวิทยาลยั แตส่ มคะเนไปชมภาพยนตร์
(10) ถา้ ภานุหรอื ภาณี เป็นนกั กีฬาแลว้ ศรสี ุภาเปน็ นกั ร้อง
(11) ถา้ เส้นตรงสองเส้นตดั กันจะไดม้ มุ ตรงข้ามเท่ากนั
(12) ABCเป็นสามเหลย่ี มหนา้ จ่วั กต็ ่อเม่ือมีมมุ เท่ากันสองมมุ
(13) PQRSเปน็ สเี่ หลยี่ มจัตุรัสกต็ ่อเม่ือมีด้านเท่ากนั สดี่ า้ นและมมุ ท้ังสี่เป็นมุมฉาก
(14) เดือนมถิ ุนายนมี 30 วันและเดือนกรกฎาคมมี 31 วนั แต่เดือนกุมภาพันธ์มี 28 วันหรือ 29 วนั
(15) ถา้ ฝนตกแล้วการจราจรติดขดั แต่ฝนไมต่ ก ดงั น้ัน การจราจรไมต่ ิดขัด

5. กาหนด p แทน เดก็ ชายสมบรู ณ์กนิ แปง้ มาก

q แทน เดก็ ชายสมบรู ณ์กนิ นา้ ตาลมาก

r แทน เด็กชายสมบูรณ์อว้ น

จงเปล่ยี นสัญลกั ษณต์ ่อไปนเ้ี ป็นข้อความบรรยาย

(1) ~ p (5) ~ (p  q)

(2) p  q (6) ~ p  ~ q

(3) p  r (7) (p  q)  r

(4) p  ~ r (8) ~ r  (~ p ~ q)

6. จงหานเิ สธของประพจน์ต่อไปนี้
(1) 32 = 6
(3) 3 < 5

(2) 3 x 2  6 (4) 4 > 9

หน้า 84

วชิ า คณติ ศาสตร์ทว่ั ไป (491-11-01)

5.2 การหาค่าความจริงของประพจน์

5.2.1 การวเิ คราะหค์ า่ ความจรงิ ของประพจน์
ตารางคา่ ความจริงของประพจนซ์ ่งึ มตี วั เชื่อมแบบตา่ งๆ ที่กล่าวมาแล้วในหวั ขอ้ 1.1.2

สามารถบอกได้วา่ ประพจนย์ ่อย(atomic statement)จานวน 1 ประพจน์ หรือ 2 ประพจน์ เมอ่ื ถกู
เชือ่ มดว้ ยตัวเชื่อมตัวใดตวั หน่ึงแลว้ ประพจน์ท่ีไดใ้ หม่ มีคา่ ความจริงหรือเป็นเท็จไดเ้ ปน็ อย่างดี
นอกจากนีใ้ นกรณีท่ปี ระพจน์ใหมป่ ระกอบดว้ ยประพจนย์ ่อยมากกว่า 2 ประพจน์ หรือ มีตวั เช่อื ม
มากกวา่ 1 ตัว หรอื มากกวา่ 1 แบบแล้วก็ยงั คงใชต้ ารางค่าความจรงิ ของประพจน์ดงั กล่าวข้างต้น
ชว่ ยในการหาค่าความจริงของประพจน์ใหม่ว่าเปน็ จริงหรอื เปน็ เท็จไดโ้ ดยใช้แผนภาพดังตวั อยา่ ง

ตัวอยา่ ง 5.2 จงหาค่าความจรงิ ของประโยค “ อยธุ ยา ธนบุรี และ กรงุ เทพฯ เปน็ เมืองหลวงของไทย

ในปัจจุบนั ”

วิธีทา ให้ p แทน อยุธยาเป็นเมอื งหลวงของไทยในปัจจุบนั

q แทน ธนบรุ เี ปน็ เมอื งหลวงของไทยในปัจจบุ ัน

r แทน กรุงเทพฯเปน็ เมืองหลวงของไทยในปจั จุบนั

เขยี นประโยค “ อยธุ ยา ธนบรุ ี และกรงุ เทพฯเปน็ เมืองหลวงของไทยในปจั จุบนั ” และค่าความจรงิ ให้

อยู่ในรปู สัญลักษณ์ ดังน้ี (p  q)  r

FF

FT
F

ดงั นนั้ ประโยค “ อยุธยา ธนบรุ ี และกรุงเทพฯเปน็ เมืองหลวงของไทยในปจั จุบัน ” มคี ่า
ความจริงเปน็ เท็จ

การหาคา่ ความจรงิ แบบขา้ งต้นตอ้ งระมัดระวงั การเขยี นคา่ ความจริง T หรอื F ใหต้ รงกบั
สัญลักษณ์ของประพจน์ p , q , r และตวั เชอ่ื มต่างๆ จึงเปน็ การแสดงค่าความจรงิ ไดถ้ ูกต้อง

ตวั อยา่ ง 5.3 จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ตอ่ ไปน้ี
(1) ถา้ 2 < 3 หรือ 2 > 3 แลว้ 2  3
(2) ถา้ 2< 3 แลว้ 2 > 3 และ 2  3
(3) 2 ไมม่ ากกวา่ 3 ก็ต่อเมอื่ 2 เทา่ กบั 3 หรอื 2 น้อยกวา่ 3

วิธีทา ให้ p แทน 2 < 3
q แทน 2 > 3
r แทน 2 = 3

(1) เขียนประพจน์ ถ้า 2 < 3 หรอื 2 > 3 แล้ว 2 = 3 และคา่ ความจรงิ ให้อยใู่ นรปู สัญลักษณ์
(p  q)  ~ r
TF F
TT
T

ดังนน้ั ประพจน์ ถ้า 2 < 3 หรือ 2 > 3 แล้ว 2  3 มคี ่าความจรงิ เปน็ จรงิ

หนา้ 85

วิชา คณิตศาสตรท์ ่ัวไป (491-11-01)

(2) เขียนประพจน์ ถ้า 2< 3 แล้ว 2 > 3 และ 2  3 และคา่ ความจริงใหอ้ ยู่ในรูปสญั ลักษณ์

p  (q  ~ r)

F

FT

TF

F

ดังนน้ั ประพจน์ ถา้ 2< 3 แลว้ 2 > 3 และ 2  3 มคี ่าความจริงเปน็ เทจ็

(3) เขยี นประพจน์ 2 ไม่มากกว่า 3 ก็ตอ่ เม่ือ 2 เท่ากับ 3 หรอื 2 น้อยกว่า 3 และค่าความจริงให้อยู่

ใน

รปู สัญลักษณ์

~ q  (r  p)

F FT

TT

T

ดังนัน้ ประพจน์ 2ไม่มากกวา่ 3 กต็ ่อเมือ่ 2 เทา่ กบั 3 หรอื 2 น้อยกวา่ 3 มีคา่ ความจรงิ เปน็

จรงิ

ตัวอย่าง 5.4 กาหนดให้ p เปน็ จริง q เปน็ จรงิ r เปน็ เท็จ และ s เป็นเท็จ จงหาคา่ ความจรงิ ของ

[(p  q)  r]  (~p  s)

วิธที า เขยี นประพจน์ [(p q)  r] (~p  s) และค่าความจริง

[(p  q)  r]  (~ p  s)

TT T

T FF F

TT

T

ดงั น้นั ประพจน์ [(p  q)  r]  (p  s) มีค่าความจรงิ เปน็ จรงิ

ตัวอยา่ ง 5.5 กาหนดให้ p มีคา่ ความจริงเป็นเทจ็ q มีค่าความจรงิ เป็นจริง จงหาคา่ ความจริงของ

(1) p  r (2) (p  r)  (q  r)

วิธที า

(1) p  r (2) (p  r)  (r  q)

F FT

T FT

ดงั นน้ั p  r มีคา่ ความจรงิ เป็นจรงิ F

ดงั นนั้ (p  r)  (r q) มีคา่ ความจริงเปน็ เทจ็

5.2.2 ตารางค่าความจริงของประพจน์
สาหรบั ประพจนย์ ่อย เช่น p , q , r ซึง่ ยังไม่มกี ารกาหนดค่าความจรงิ วา่ เป็นจริงหรอื เท็จ

อย่างใดอย่างหนึ่ง จะเรยี ก p , q , r ว่าเปน็ “ ตวั แปรแทนประพจนใ์ ดๆ ” และเรยี กประพจน์ท่ีมี

หน้า 86

วชิ า คณิตศาสตรท์ ั่วไป (491-11-01)

ตวั เชอ่ื ม เชน่ ~p , p  q , q  r , (p  q)  r ฯลฯ วา่ “ รปู แบบของประพจน์ ” ดังนน้ั ในการ

พิจารณาค่าความจริงของรปู แบบของประพจน์จึงตอ้ งมกี ารกาหนดค่าความจริงของประพจนย์ ่อยทุก

กรณที เี่ ป็นไปได้ เชน่

ถา้ มีประพจน์เดยี ว คือ p จะมคี า่ ความจริงของรูปแบบของประพจน์ท่จี ะพจิ ารณาเพียง

จานวน 2 กรณี ดังน้ี

p เขียนเป็นตารางได้ P รูปแบบของประพจน์

TT
FF

ถ้ามี 2 ประพจน์ คือ p และ q จะมคี ่าความจรงิ ของรปู แบบของประพจน์ทจ่ี ะต้องพจิ ารณา

จานวน 4 กรณี ดงั น้ี

p q เขียนเปน็ ตารางได้ Pq รปู แบบของประพจน์
T T TT

F TF
T FT
F F FF

ถา้ มี 3 ประพจน์ คือ p , q และ r จะมีค่าความ จรงิ ของรูปแบบของประพจนท์ จี่ ะตอ้ ง
พิจารณาจานวน 8 กรณี ดังน้ี

p q r เขยี นเปน็ ตารางได้ P q r รูปแบบของประพจน์
TTT
T T
F
T TTF
F T TFT
F
T TFF
TF FTT

FT FTF

FF FFT

FFF

ถา้ มีจานวนประพจน์ยอ่ ยมากกว่านี้ การหากรณที ง้ั หมดของรูปแบบประพจนก์ ็สามารถหาได้

โดยใช้แผนภาพตน้ ไม้ทานองเดียวกนั น้ี และถ้ามปี ระพจนย์ ่อย n ประพจน์จะมีรปู แบบของ
ประพจน์ที่ต้องพิจารณาทงั้ หมดจานวน 2n รปู แบบ

หนา้ 87

วิชา คณิตศาสตร์ท่ัวไป (491-11-01)

ตวั อยา่ ง 5.6 จงสรา้ งตารางค่าความจริงของ (p  q)  (~p  q)

วิธที า รปู แบบประพจน์ (p  q)  (~p  q) ประกอบด้วยประพจน์ คือ p , q จึงมรี ูปแบบของ

ประพจนท์ ่ีต้องพิจารณาทงั้ หมดจานวน 22 = 4 รปู แบบดังนี้

P q ~p p  q ~p  q (p  q)  (~p  q)

TTF T F F

TFF F F T

FTT T T T

FFT T F F

หมายเหตุ ~p ในชอ่ งที่ 3 กับ p  q ในชอ่ งท่ี 4 อาจเขยี นสลบั ช่วงกันโดยเขียน p  q ในชอ่ งท่ี 3

และ ~p ในชอ่ งที่ 4 กไ็ ด้

ตวั อยา่ ง 5.7 จงสร้างตารางค่าความจริงของ [(~q  r)  ~p]  [q  (p  r)]

วิธที า รูปแบบประพจน์ [(~q  r)  ~p]  [q  (p  r)] ประกอบด้วยประพจนย์ อ่ ย 3 ประพจน์

คอื p , q , r จึงมรี ปู แบบของประพจนท์ ่ีตอ้ งพจิ ารณาทัง้ หมดจานวน 23 = 8 รูปแบบ ดงั น้ี

p q r ~p ~q ~q  r (~q  r)  p  r q  (p  [(~q  r)  ~p]  [q  (p  r)]
~p
r)
F
TTT F F T T TT T
TTF F F F F
TFT F T T F FF T
TFF F T T T
FTT T F T T TT T
FTF T F F T
FFT T T T T FT T
FFF T T T
FF T

FF T

FT T

FT T

หมายเหตุ ผลลพั ธ์ ในชอ่ งสุดทา้ ยได้มาจากชอ่ งท่ี 7 และ ช่องท่ี 9

แบบฝึกหดั 5.2

1. จงพจิ ารณาประโยคตอ่ ไปนวี้ ่า เปน็ จริงหรือเป็นเท็จ
(1) 1 ชว่ั โมงมี 60 นาทหี รอื ไมก่ ็ 3,000 วินาที
(2) ถา้ 1 + 2 = 3 และ 3 – 2 = 0 แลว้ 2  4 = 1
(3) ถ้า 1 + 2 = 3 แลว้ 3 – 2 = 0 หรอื 2  4  1
(4) ถา้ 1 + 2  3 ก็ต่อเมอ่ื 3 – 2 = 0 แล้ว 4  2  1

2. กาหนดให้ p , q , r แทนประพจน์ท่ีมีค่าความจริงเปน็ จริง และ s , t แทนประพจน์ทม่ี ีคา่ ความ

จริง เปน็ เท็จ จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ต่อไปน้ี

(1) (p  q)  s (3) p  r  s

(2) p  (q  s) (4) p  s  r

หน้า 88

วิชา คณิตศาสตร์ทั่วไป (491-11-01)

(5) q  ~r  t (6) q ~(r  t)

(7) [~(p  q)]  [p  ~q]

(8) (r  s)  (~s  ~r)

(9) [(q  r)  s] [q  (r s)]

(10) [p  (q  r)]  [s  (p  ~t)]

3. กาหนดให้ p มีค่าความจริงเปน็ จรงิ และ q มคี ่าความจริงเปน็ เทจ็ จงหาคา่ ความจรงิ ของ

(1) p  r (4) p  q  ~r

(2) q  s (5) ~q  [p  (r s)]

(3) p  q  ~s (6) (p  q)  (~q  s)

4. จงสรา้ งตารางแสดงค่าความจรงิ ของรปู แบบของประพจน์ต่อไปน้ี

(1) (p  q)  p (6) ~q  [q  (~p  q)]

(2) p  (q  p) (7) (p  q)  r
(3) (p  q)  (~p  q) (8) (p  r)  (q  r)
(4) (p  q)  (p  ~q) (9) q  (~p  r)
(5) (~p  q)  ~(p  q)
(10) [(r  q)  ~p]  [q  (p ~r)

5.3 ประพจนท์ ่สี มมลู กันและนเิ สธของประพจน์

5.3.1 ประพจนท์ สี่ มมูลกนั

ในวชิ าตรรกศาสตร์ ถ้ารูปแบบของประพจน์สองรูปแบบใดมีคา่ ความจรงิ เหมอื นกนั กรณี
ตอ่ กรณีแลว้ จะสามารถนาไปใชแ้ ทนกนั ได้ เรียกสองรูปแบบของประพจน์ดงั กล่าวว่าเป็น รปู แบบที่
สมมูลกนั (equivalent forms) เขยี นแทนด้วยสัญลกั ษณ์  เชน่ ถา้ p  q กับ ~p q เป็น
รูปแบบทีส่ มมูลกัน อาจเขยี นแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ p  q  ~p  q อ่านว่า p  q สมมลู กับ ~p q

ตัวอย่าง 5.8 จงแสดงว่า p  q สมมลู ~p  q
วิธที า สร้างตารางค่าความจริงของ p  q กับ ~p  q ให้อยูใ่ นตารางเดยี วกนั

p q ~p pq ~p  q

TTF T T
TFF F F
FTT T T
FFT T T

จากตารางค่าความจรงิ จะเห็นได้ว่า รูปแบบของประพจน์ p q กับ ~p  q มคี า่ ความจริง
เหมือนทุกกันกรณีต่อกรณี

ดังน้นั p  q  ~p  q หรอื p  q สมมลู กบั ~p q นนั่ เอง

ตัวอย่าง 5.9 จงพจิ ารณาวา่ รปู แบบของประพจน์ในข้อใดสมมูลกนั

หน้า 89

วิชา คณติ ศาสตรท์ ่วั ไป (491-11-01)

(1) ~(p  q) กับ ~p  ~q (2) ~(p  q) กบั ~p  ~q

วิธีทา

(1) สร้างตารางคา่ ความจริงของ ~(p  q) กบั ~p  ~q ใหอ้ ยู่ในตารางเดยี วกัน

p q ~p ~q pq ~(p  q) ~p  ~q

TT F F T F F
TF F T F T F
FT T F F T F
FF T T F T T

จากตารางค่าความจริงจะเหน็ ไดว้ า่ บรรทัดท่ี 2 และ 3 ของคา่ ความจริงของรูปแบบของ
ประพจน์~(p  q) กบั ~p  ~q ตา่ งกนั หรือกล่าวได้วา่ คา่ ความจรงิ ของรูปแบบของประพจน์
~(p  q) กับ ~p  ~q มบี างกรณีต่างกนั

ดงั น้ัน ~(p  q)  ~p  ~q หรอื ~(p  q) ไมส่ มมูล ~p  ~q นัน่ เอง

(2) สรา้ งตารางคา่ ความจริงของ ~(p  q) กบั ~p  ~q ให้อยู่ในตารางเดียวกัน

p q ~p ~q pq ~(p  q) ~p  ~q

TT F F T F F
TF F T F T T
FT T F F T T
FF T T F T T

จากตารางค่าความจรงิ จะเห็นได้วา่ บรรทัดที่ 2 และ 3 ของค่าความจรงิ ของรปู แบบของ
ประพจน์~(p  q) กบั ~p  ~q เหมือนกนั กรณีต่อกรณี

ดังน้ัน ~(p  q)  ~p  ~q หรอื ~(p  q) สมมลู ~p ~q น่ันเอง
อนึ่งข้อความซ่งึ เป็นประพจน์สองข้อความจะสมมูลกนั หรือไม่ สามารถตรวจสอบไดโ้ ดยการ
เปลยี่ นขอ้ ความเป็นสญั ลักษณใ์ นรูปแบบของประพจน์ แลว้ สรา้ งตารางตรวจสอบคา่ ความจริงของ
ประพจน์ วา่ รูปแบบของทัง้ สองประพจน์สมมูลกันหรอื ไม่ ดงั ตัวอยา่ งต่อไปน้ี
ตัวอยา่ ง 5. 10 จงตรวจสอบวา่ ข้อความใดต่อไปนี้ สมมลู กับขอ้ ความ “ ถ้าราคานา้ มันสูงข้นึ แล้ว
เศรษฐกิจชะลอตัว ”

(ก) ถ้าราคาน้ามันไมส่ ูงขึน้ แล้วเศรษฐกจิ ไม่ชะลอตัว
(ข) ถา้ เศรษฐกจิ ไม่ชะลอตัวแล้วราคานา้ มันไม่สงู ขนึ้

วธิ ีทา ให้ p แทน ราคานา้ มันสูง
q แทน เศรษฐกจิ ชะลอตวั

ดังน้ัน p q แทน ถ้าราคานา้ มนั สูงขึ้นแล้วเศรษฐกจิ ชะลอตัว
~p  ~q แทน ถา้ ราคานา้ มันไม่สงู ข้ึนแล้วเศรษฐกจิ ไมช่ ะลอตัว
~q  ~p แทน ถ้าเศรษฐกิจไมช่ ะลอตัวแล้วราคาน้ามนั ไม่สูงขน้ึ

สร้างตารางค่าความจริงของ p  q , ~p  ~q , ~q  ~p ใหอ้ ยใู่ นตารางเดียวกนั

หน้า 90

วิชา คณติ ศาสตร์ทว่ั ไป (491-11-01)

p q ~p ~q p  q ~p  ~q ~q  ~p

TT F F T T T

TF F T F T F

FT T F T F T

FF T T T T T

จากตารางค่าความจริงจะเห็นไดว้ ่า p  q  ~p  ~q แต่ p  q  ~q  ~p
ดงั น้ัน เฉพาะข้อความ(ข) ถา้ เศรษฐกจิ ไม่ชะลอตัวแลว้ ราคานา้ มนั ไม่สงู ขน้ึ สมมลู กับข้อความ “ ถา้
ราคาน้ามันสูงขึ้นแล้วเศรษฐกิจชะลอตวั ”

รปู แบบของประพจนท์ ่ีสมมูลกนั มีประโยชนม์ ากในการนาไปใช้อ้างองิ เพื่อพสิ ูจนท์ ฤษฎบี ท

ต่างๆในวชิ าคณิตศาสตรร์ ูปแบบของประพจน์ท่ีสาคญั ได้รวบรวมไว้เป็นกฎ เรียกว่า กฎการแทนท่ี

หมายถงึ การแทนท่ีกนั ได้ของประพจนส์ มมูล (substitutivity of equivalence) ที่ใช้กันอยบู่ ่อยๆ มี
ดังน้ี

กฎการแทนที่
1. กฎของเดอรม์ อรแ์ กน (De Morgan’s Theorem ; DeM.)

~(p  q)  ~p  ~q ~(p  q)  ~p  ~q
2. กฎการสลับที่ (Commutation ; Com.)

pq  qp pq  q p
3. กฎการเปล่ียนกลมุ่ (Association ; Assoc.)

p  (q  r)  (p  q)  r p  (q  r)  (p  q)  r

4. กฎการแจกแจง (Distribution ; Dist.)

p  (q  r)  (p  q)  (p  r) p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

5. กฎนิเสธซอ้ น (Double Negation ; D.N.)

~(~p)  p

6. กฎการสลับเงอื่ นไข (Contraposition or Transposition ; Trans.)

p  q  ~q  ~p

7. กฎเปลยี่ นรูปเงือ่ นไข (Material Implication ; Impl.)
p  q  ~p  q

8. การเปลยี่ นรูปสมมลู (Material Equivalence ; Equiv.)
p  q  (p  q)  (q  p)
p  q  (p  q)  (~p  ~q)

9. การส่งเหตุไปผล (Exportation ; Exp.)
(p  q)  r  p  (q  r)

10. การเน้นเงื่อนไข (absorption ; Abs.)
p  q  p  (p  q)

5.3.2 นิเสธของประพจน์

หน้า 91

วชิ า คณติ ศาสตร์ท่ัวไป (491-11-01)

สว่ นประพจนท์ ี่เปน็ นเิ สธกันทราบมาจากการศึกษาก่อนหน้านแ้ี ลว้ วา่ คือ ประพจน์ท่ีมีค่า
ความจริงตรงกนั ข้ามกรณีต่อกรณนี ัน้ สามารถศกึ ษารปู แบบของประพจน์ทีเ่ ป็นนิเสธกันเพิ่มเติม โดย
อาศยั รูปแบบของประพจนท์ ี่สมมูลกนั ได้ดังนี้

จากข้อความ “ ฝนตกและแดดออก ”
ให้ p แทน ฝนตก
q แทน แดดออก
ดังน้ัน p  q แทน ฝนตกและแดดออก

นิเสธของ (p  q) คอื ~(p  q) แทน “ไมเ่ ปน็ จรงิ ท่ีวา่ ฝนตกและแดดออก” ซ่ึงสามารถเปลยี่ น
ข้อความนใ้ี หมใ่ ห้อย่ใู นรปู ~p  ~q ซึ่งแทน “ฝนไมต่ กหรือแดดไม่ออก” ได้ ทั้งน้ี เนอ่ื งจาก
~(p  q)  ~p  ~q ดงั ตารางค่าความจรงิ ตอ่ ไปนี้

p q ~p ~q (p  q) ~(p  q) ~p  ~q

TT F F T F F
TF F T F T T
FT T F F T T
FF T T F T T

รปู แบบของประพจน์ที่สมมูลกันและสามารถนาไปใชเ้ ปลย่ี นขอ้ ความที่อยู่ในรปู นิเสธของ
ประพจน์ซึ่งประกอบด้วยตวั เช่ือมต่างๆกันท่ีควรทราบมี ดังนี้

(1) นเิ สธของ ~p คือ ~(~p)  p
(2) นเิ สธของ (p  q) คอื ~(p  q)  ~p  ~q
(3) นิเสธของ (p q) คอื ~(p  q)  ~p  ~q
(4) นเิ สธของ p  q คอื ~(p  q)  p  ~q
(5) นิเสธของ (p  q) คอื ~(p  q)  p  ~q

 ~p  q
 (p  ~q)  (~p  q)

ตัวอย่าง 5.11 จงหานเิ สธของข้อความ
(1) ดวงอาทิตย์ไมเ่ ปน็ ดาวฤกษ์
(2) ดวงอาทิตยเ์ ป็นดาวฤกษแ์ ละข้นึ ทางทิศตะวันออก
(3) ดวงอาทิตยเ์ ปน็ ดาวฤกษ์หรือไมก่ ็ข้ึนทางทิศตะวนั ออก
(4) ถ้าดวงอาทติ ยเ์ ปน็ ดาวฤกษ์แล้วขนึ้ ทางทิศตะวันออก
(5) ดวงอาทิตยเ์ ป็นดาวฤกษก์ ็ต่อเมอ่ื ข้ึนทางทิศตะวันออก
(6) ถา้ ดวงอาทติ ยเ์ ปน็ ดาวฤกษแ์ ละไม่ขน้ึ ทางทศิ ตะวันออกแล้วหิมะตกทอ่ี ยธุ ยา

วิธที า ให้ p แทน ดวงอาทิตยเ์ ปน็ ดาวฤกษ์
q แทน ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทศิ ตะวนั ออก
r แทน หมิ ะตกท่ีอยธุ ยา

(1) จะได้ ~p แทน ดวงอาทติ ย์ไมเ่ ปน็ ดาวฤกษ์

หน้า 92