คู่มือครู คณิตศาสตร์พื้นฐานอาชีพ ปวช

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp

สรปุ

ใบงานท่ี เรื่อง เลขยกก�ำลัง 1. ¼ÊŒÙ ͹ã˼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹·Òí 㺧ҹ·èÕ 4.1 àÃÍ×è § àÅ¢
¡¡íÒÅѧ
4.1 จุดประสงค์ประจ�ำ หนว่ ย
• หำผลคูณและผลหำรของเลขยกกำ� ลังได้ 2. ¼ÙŒÊ͹ÊØ‹Á¼ÙŒàÃÕ¹ 2 ¤¹ ÍÍ¡ÁÒáÊ´§
• เขียนรปู เลขยกกำ� ลังให้อยู่ในรปู เลขยกกำ� ลังฐำนสิบได้ ÇÔ¸·Õ Òí ˹Ҍ ªé¹Ñ àÃÂÕ ¹
• ประยกุ ต์เลขยกกำ� ลังไปใชแ้ ทนหนว่ ยกำรวดั ได้
3. ¼ÊŒÙ ͹áÅмàŒÙ ÃÂÕ ¹¤¹Í¹è× ÃÇ‹ Á¡¹Ñ µÃǨÊͺ
ชื่อ-สกุล ...................................................................... รหัสประจ�ำตัว ..................................... ระดบั ช้ัน ..................................... ÇÔ¸Õ¡ÒÃËÒàŢ¡¡íÒÅѧ áÅФíҵͺ·èÕä´Œ
ประเภทวิชำ ..................................................... สำขำวชิ ำ ............................................ หมวดวชิ ำ ............................................. ¨Ò¡¡ÒÃá¡ÊŒ Á¡Òà ËÒ¡Ç¸Ô ·Õ Òí ËÃÍ× ¤Òí µÍº
¼´Ô ãËÃŒ Ç‹ Á¡¹Ñ á¡Œä¢
ค�ำช้ีแจง ใหผ้ เู้ รยี นแสดงวธิ ที ำ� ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้

1. เ คร่ืองใช้ไฟฟา้ เครื่องหนง่ึ มีค่าความตา้ นทานภายใน 8.5 เมกะโอหม์ ต่ออยูก่ ับแหลง่ จา่ ยไฟฟา้
วัดกระแสไฟฟา้ ได ้ 50 ไมโครแอมแปร ์ จงหาก�าลงั ไฟฟ้าของเครื่องใชไ้ ฟฟ้าเครือ่ งนี้
ก�าหนดให ้ P = I2R
เมอื่ P แทน ก�าลงั ไฟฟา้ ทเ่ี ตาไฟฟ้า มีหน่วยเปน็ วตั ต์
I แทน กระแสไฟฟ้า มีหนว่ ยเป็น แอมแปร์
R แทน ความตา้ นทาน มีหนว่ ยเปน็ โอหม์
วธิ ที ำ� จำก P = I R.......................................................................................2.................................................................................................................
P = (50 10 ) (8.5 10 )..............................................................................................×..........-..6...2............×..........6.....................................................................
P = (2,500 10 )(8.5 10 )....................................................................................................×..........-..1..2.............×..........6...............................................................
P = 2,500 8.5 10...................................................................................................×.............×..........-.1..2..+.6........................................................................
P = 21,250 10.....................................................................................................×..........-..6.......................................................................................
P = 0.02125 ........................................................................................................................................................................................................

... ...............ด....งั ..น...น้ั... .. ........ก...ำ�..ล...งั...ไ..ฟ...ข...อ...ง..เ..ค...ร..อ.ื่ ..ง...ใ..ช..ไ้..ฟ....ฟ...ำ้...เ.ค...ร...อื่ ...ง..น... ี้..ค....อื .. ..0.....0...2..1...2..5... ..ว..ต.ั ...ต...์......................................................

........................................................................................................................................................................................................

2. ว ัตถุชิ้นหนง่ึ อย่หู ่างจากโลกประมาณ 11 × 107 ปแี สง และ 1 ปีแสงเท่ากับ 9.4 × 1012 กโิ ลเมตร
วัตถุชิน้ นีอ้ ยหู่ า่ งจากโลกประมาณกี่กโิ ลเมตร
...ว..ธิ...ที...ำ�.. .....ว...ตั...ถ...ชุ...น้ิ...ห...น...ง.ึ่ ..อ...ย...หู่ ...ำ่..ง...จ..ำ...ก...โ..ล...ก... ..1..1... ..×.....1..0...7. ..ป...แ.ี ..ส...ง... ..ซ...งึ่ .. ..1... ..ป...แี ...ส...ง.. ..=.. ..9.....4... ..×.....1..0...1..2. ..ก...โิ..ล...เ..ม...ต...ร....................... เกร็ดแนะ ผสู อน
... ...............ด....งั ..น...น้ั... ..........ว..ต.ั ...ถ...ชุ ..น.ิ้ ...น...อ้ี...ย...หู่ ...ำ่..ง...จ..ำ...ก...โ..ล...ก... ..=.. ......(..1..1... ..×.....1..0...7.)..(..9.....4....×.....1...0..1..2..). ...................ก...โิ .ล....เ.ม...ต....ร.. ..................
= 11 9.4 10 กโิ ลเมตร.........................................................................................................×.............×..........7..+..1.2................................................................... ¡Í‹ ¹ÁͺËÁÒÂãËŒ¼àÙŒ ÃÕ¹·íÒ㺧ҹ·èÕ
= 103.4 10 กโิ ลเมตร...............................................................................................................×..........1..9............................................................................. 4.1 áÅÐ 4.2 ¼ÙÊŒ ͹¤Ç÷º·Ç¹à¡ÕèÂǡѺ
..........................................................................................=........1..,.0...3..4...,.0..0...0...,.0..0...0..,.0...0..0...,.0..0...0..,.0...0..0...,.0...0..0... ...ก...โิ .ล....เ.ม...ต....ร.................... ¡ÒÃËÒ¤‹ÒàŢ¡¡íÒÅѧâ´Â㪌ÊÁºÑµÔ¢Í§
... ...............ด....งั ..น...น้ั... .. ........ว..ต.ั ...ถ...ชุ ...น้ิ ...น...อี้...ย...หู่ ...ำ่..ง...จ..ำ...ก...โ..ล...ก...ป...ร..ะ...ม...ำ..ณ..... ..1..,.0...3..4...,.0..0...0..,.0...0..0...,.0..0...0...,.0..0...0..,.0...0..0...,.0..0...0.. ..ก...โิ..ล...เ..ม...ต...ร............ àŢ¡¡íÒÅѧ ¡ÒÃËҼźǡáÅмÅź

.........................................................................................................................................................................................................

145 ¢Í§àŢ¡¡íÒÅѧ ¡ÒÃËҼŤٳáÅÐ
¼ÅËÒâͧàŢ¡¡Òí Åѧ ¡ÒÃà¢ÂÕ ¹Ã»Ù àÅ¢
¡¡íÒÅѧãËŒÍÂÙ‹ã¹ÃÙ»àŢ¡¡íÒÅѧ°Ò¹ÊÔº
áÅСÒûÃÐÂ¡Ø µà Ţ¡¡íÒÅ§Ñ ä»ãªáŒ ·¹Ë¹‹Ç¡ÒÃÇÑ´à¾Íè× ·º·Ç¹¤ÇÒÁÃÙŒ
ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹¡‹Í¹·íÒ¡Ô¨¡ÃÃÁã¹ãº§Ò¹ ÃÇÁ·éѧ·íÒãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹·íÒ㺧ҹ䴌
ÇàÔ ¤ÃÒÐˤ íҵͺ ´ŒÇµ¹àͧ
Ç¸Ô Õ·íÒ ¨Ò¡ ¤ÇÒÁà¤ÃÂÕ ´ = ¤ÇÒ¤ÁÇÂÒÒÁÇ·ÒàÕè Ç»àÅ´ÕèÂÁÔ ¹ä»

0.0003 = ¤4Ç.Ò5Á×ÂÒ1Ç0à´-3ÁÔ
¤ÇÒÁÂÒÇà´ÔÁ = 4.50.0×00130 -3 = 15
´§Ñ ¹¹éÑ ¤Ò‹ ¤ÇÒÁÂÒÇà´ÔÁ¢Í§àÊÒµŒ¹¹éÕ à·‹Ò¡ºÑ 15 àÁµÃ

µÍº¢ÍŒ 3.

145

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp

สรปุ ใบงานที่ เร่ือง เลขยกก�ำลัง • หำผลบวกและผลลบของเลขยกก�ำลงั ได ้
• เขยี นรูปเลขยกกำ� ลังให้อยู่ในรูปเลขยกกำ� ลังฐำนสิบได้
1. ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹·íÒ㺧ҹ·èÕ 4.2 àÃÍ×è §àŢ¡¡Òí Åѧ 4.2 จดุ ประสงค์ประจ�ำ หน่วย
2. ¼ÙŒÊ͹ÊØ‹Á¼ÙŒàÃÕ¹ 4 ¤¹ÍÍ¡ÁÒáÊ´§ • หำคำ่ เลขยกก�ำลงั โดยใช้สมบัติของเลขยกกำ� ลงั ได้
• หำผลคณู และผลหำรของเลขยกก�ำลังได ้
Ç¸Ô Õ·Òí ˹Ҍ ªÑé¹àÃÕ¹ • ประยกุ ต์เลขยกกำ� ลังไปใชแ้ ทนหนว่ ยกำรวัดได้

ชอ่ื -สกุล ...................................................................... รหัสประจำ� ตวั ..................................... ระดบั ชนั้ .....................................
ประเภทวชิ ำ ..................................................... สำขำวิชำ ............................................ หมวดวิชำ .............................................

ค�ำช้ีแจง ใหผ้ เู้ รยี นแสดงวธิ ที ำ� ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี

1. เสาตน้ หน่ึงมแี รงกดลงทา� ใหค้ วามยาวของเสาลดลง 3.6 มลิ ลเิ มตร จงหาค่าความยาวเดมิ ของ
เสาต้นน้ ี ถา้ ความเครยี ดเท่ากบั 0.0006
ก..ว..า� .ธิ.ห.ท.ี ..น.ำ� .. ด....ใ.จ.ห..ำ.้ .ก.ค.. ..ว..า...ม...เ..ค...ร...ยี...ด.ค.. .ว.=..ำ. .ม. ..เ(..คค...ร.ว.ยี.า..ด.ม... ย...า.=..ว. ..ท...่ีเ.ค.ป..ว.ล..ำ.คยี่.ม..น.วย..ำ.ไ.ำ.มป.ว..ย.ท). .ำ.่เี÷.วป... เ.ล.ด(.ค.ย่ี .มิ ..วน. .า.ไ..ปม....ย...า..ว...เ..ด...ิม...).......................................................

0.0006 = คว3ำ.6มยำ1ว0เดิม ..................................................................................................................................................................................................×..................-....3........................................................................................................................................................................................

ควำมยำวเดมิ = 3.06.001006..........................................................................................................................................................................................×....................-..3................................................................................................................................................................................................
ควำมยำวเดมิ = 6........................................................................................................................................................................................................

.. ................ด...งั...น...นั้ ... .. ........ค...ำ่ ..ค...ว...ำ..ม...ย...ำ...ว..เ..ด...มิ...ข...อ...ง..เ..ส...ำ..ต...น้....น... ้ี ..เ.ท...ำ.่ ..ก...บั ... ..6... .เ..ม...ต....ร.........................................................................

2. แ บตเตอร ่ี 96 โวลต ์ เมื่อตอ่ เขา้ กับความต้านทาน มกี ระแสไหลในวงจรเทา่ กับ 24 มิลลิแอมแปร ์
จงหาเกคมา� วอื่ หา นมดตใ้าหน ้ ทาIIน ในแ=ทวงนจ REรกนรี้ะแสไฟฟ้า
มีหนว่ ยเปน็ แอมแปร์
E แทน แรงเคลือ่ นไฟฟ้า มีหน่วยเปน็ โวลต์

R แทน ความตา้ นทาน มหี น่วยเปน็ โอหม์
..ว...ธิ..ที....ำ� .. ..... ..................ก...ร..ะ..แ...ส...ไ..ห...ล...ใ..น...ว...ง..จ...ร... ....=... .....2..4... ..ม...ลิ...ล...แิ...อ...ม...แ...ป...ร...์ .................................................................................
เกร็ดแนะ ผสู อน = 24 10 แอมแปร์............................................................................................×..........-..3................................................................................................
จำก I = E........................................................................................................................................................................................................
¢³Ð·¼èÕ àŒÙ ÃÂÕ ¹¡Òí Å§Ñ ·Òí 㺧ҹ ã˼Œ ʌ٠͹ 24 10 = 9R6...........................................................×..........-..3.................................................................................................................................
à´Ô¹Ãͺˌͧ ËÒ¡Á¼Õ ÙŒàÃÕ¹·ÕèäÁ‹à¢ÒŒ ã¨ËÃÍ× RR == 42R4 916010 = 4,000..................................................................................................................................................................................×......×................3......-..3................................................................................................................................................................................................
ÁÕ¢ŒÍʧÊÑÂãËŒ¼ÙŒÊ͹͸ԺÒÂãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹¿˜§ .. ................ด...งั...น...น้ั ... .. ........ค...ว..ำ...ม...ต...ำ้..น....ท...ำ..น...ใ..น...ว...ง..จ...ร..เ..ป...น็... ..4...,.0..0...0.. ..โ..อ...ห...ม์......................................................................................
໹š ÃÒº¤Ø ¤Å

146

ผูเรียน ควรรู คข้อิดสอวบิเแคนรว าะห์

âÇŵ ËÁÒ¶֧ ¤ÇÒÁµ‹Ò§Èѡ俿‡ÒÃÐËÇ‹Ò§µÑǹíÒ·èÕÁÕ¡ÃÐáʼ‹Ò¹ ẵàµÍÃÕè 100 âÇŵ àÁÍ×è µÍ‹ à¢ÒŒ ¡ºÑ ¤ÇÒÁµÒŒ ¹·Ò¹ Á¡Õ ÃÐáÊäËÅ
˹Öè§áÍÁá»ÃᏠÅÐÊÙÞàÊÕ¡Òí Å§Ñ ä¿¿Ò‡ ˹§Öè ÇµÑ µ 㡹1ÒíÇË.§¨¹2ô,à0·ã0ËÒ‹0Œ¡IºÑâÍ=Ë25ÁREÁÅÔ ÅáÔ ÍÁá»Ã ¨§ËÒ¤ÇÒÁµÒŒ ¹·Ò¹ã¹Ç§¨Ã¹Õé

âÍˏÁ ໚¹Ë¹‹ÇÂàÍÊäͧ͢¤‹ÒÍÔÁ¾Õá´¹«·Ò§ä¿¿‡Ò 㹡óբͧ 2. 4,000 âÍˏÁ
¡ÃÐáÊÊÅѺËÃ×ͤ‹Ò¤ÇÒÁµŒÒ¹·Ò¹ä¿¿‡Ò 㹡óբͧ¡ÃÐáʵç â´Â 3. 6,000 âÍˏÁ
µé§Ñ ª×Íè µÒÁ¨ÍϨ ä«Á͹ âÍˏÁ «§èÖ à»š¹¹Ñ¡¿Ê ¡Ô ʪ ÒÇàÂÍÃÁ¹Ñ 4. 8,000 âÍËÁ
5. 10,000 âÍˏÁ

146

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp

3. จ งหาเงินต้นของเงินรวม 38,000 บาท ท่ีได้รับเมือ่ ส้ินปที ่ ี 5 คิดดอกเบย้ี 5% ทบต้นปีละคร้งั สรปุ
วธิ ที ำ� จำก p = s(1 + i).....................................................................................................-.n..................................................................................................
...... ..............................แจ......ะท....ไ..น..ด.... ..ว้.. ....ำ่s.... ....=...... ....3....8......,..0....0......0....,.. ....i.... ....=.... ....5......%...... p....ต......อ่....=..ง....ว......ด....3.. ....8(....ห,..0....น..0....ง0ึ่......ป(....1..)ี .. ....+ ....แ......1ล......05ะ....0.. ....)n....- ..5..=...... ....5.... .............................................................................................................................................. 3. ¼ÊŒÙ ͹áÅмàŒÙ ÃÂÕ ¹¤¹Í¹×è ÃÇ‹ Á¡¹Ñ µÃǨÊͺ
p = 38,000(1 + 0.05).........................................................................................................................-.5.............................................................................. ¢Ñ鹵͹㹡ÒÃáÊ´§ÇÔ¸Õ·íÒáÅФíҵͺ
p = 38,000(1.05)................................................................................................................-.5....................................................................................... ⨷»˜ÞËҢͧàŢ¡¡íÒÅѧ ËÒ¡ÇÔ¸Õ·íÒ
p = (318.,0050)0...................................................................................................5..................................................................................................... ËÃ×ͤÒí µÍº¼´Ô ãËÃŒ Ç‹ Á¡Ñ¹á¡Œä¢

........................................................................................................................................................................................................ เกร็ดแนะ ผสู อน

p = 318.,02080........................................................................................................................................................................................................ àÁ×èͼٌÊ͹µÃǨ㺧ҹ¢Í§¼ÙŒàÃÕ¹
p = 29,687.50........................................................................................................................................................................................................ àÊèç áÅÇŒ ¼ÊŒÙ ͹¤ÇÃàÅÍ× ¡ãº§Ò¹·ÁèÕ ¤Õ ÇÒÁ
... ...............ด...งั...น...น้ั... .. ........เ.ง...นิ ...ต...น้... ..ค...อ.ื .. ..2...9..,.6...8...7....5...0... ..บ...ำ..ท............................................................................................................. ¶¡Ù µÍŒ §ÊÁºÃÙ ³ä »µ´Ô áÊ´§¼Å§Ò¹º¹»Ò‡ Â
¹àÔ ·È¢Í§ËÍŒ §àÃÂÕ ¹ à¾Íè× ã˼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹¤¹Í¹è× æ
........................................................................................................................................................................................................ ä´ŒàË繼ŧҹ·èÕÁդسÀÒ¾ áÅйíÒä»à»š¹
á¹Ç·Ò§ã¹¡Ò÷íÒ§Ò¹¤Ãé§Ñ µ‹Íä»
........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

4. สมาร์ทโฟนรุ่นหน่ึง ราคาเงินสด 28,700 บาท เมื่อซื้อเงินเช่ือโดยช�าระเมื่อครบปีจะต้องช�าระ
ในราคา 32,400 บาท จงเปรียบเทียบเงินต้นของราคาเงินเช่ือกับราคาเงินสด เม่ือคิดดอกเบ้ีย
ในอัตรา 8% ทบต้นทกุ ครึง่ ปี
............ ว........ธิ............ที ............ำ� ........ ....................จ แจ............ะำท........กไ....น....ด.... .... ....ว้.... ........ำ่s........ ........=............ ........3........2............,....4........0............0........,.... ........i........ ........=........ ........82............%............ppp.... ....=.... ........ ........4===........%.... ............ ........ต3s3........(....22อ่ ....1....,,....ง44 ........ว+....00........ด 00........i....(( )........11(-....n....ค........++....ร........ง่ึ........10....ป.........04....)ี0....0.... 4........ )....)แ....-....-2....ล2............ะ............ ........n........ ........=............ ........2............ ........................................................................................................................................................................................................................................
p = 32,400(1.04)................................................................................................................-.2.......................................................................................
p = (312.,0440)0...................................................................................................2.....................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

p = 13.20,480106........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

p = 29,955.62........................................................................................................................................................................................................
... ...............เ..ง..นิ...ต...น.้ ...ข..อ...ง...ร..ำ...ค...ำ..เ..ง..นิ...เ..ช...อ่ื ...เ.ท...ำ่...ก...บั ... ..2..9...,.9..5...5.....6..2... ..บ...ำ..ท.............................................................................................
... ...............ด...งั...น...นั้... .. ........เ.ม...อ.่ื ..เ..ป...ร...ยี ...บ...เ.ท...ย.ี ..บ....โ.ด....ย...ค...ดิ...ห...กั...ด...อ...ก...เ..บ...ย้ี...ใ..น...อ...ตั...ร...ำ.. ..8...%... ..ท...บ...ต...น.้ ...ท...กุ ...ค...ร..งึ่...ป... ี...................................
... ............... ......................ร..ำ...ค...ำ..เ..ง..นิ...เ..ช...อื่ ...แ..พ....ง..ก...ว...ำ่ ..ร...ำ..ค...ำ...เ.ง..น.ิ ...ส...ด...เ.ท....ำ่ ..ก...บั... ..2...9..,.9...5..5.....6...2....-.....2..8...,.7..0...0....=.....1..,.2...5..5.....6...2.. ..บ...ำ...ท........

147

ÇàÔ ¤ÃÒÐˏ¤Òí µÍº 1RER00100
25 × 10 -3
Ç¸Ô ·Õ íÒ ¨Ò¡ I =
25 × 10 -3 =
=
R

R = 4,000

´§Ñ ¹é¹Ñ ¤ÇÒÁµÒŒ ¹·Ò¹ã¹Ç§¨Ã໚¹ 4,000 âÍˏÁ

µÍº¢ÍŒ 2.

147

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp
สรปุ
4? แบบทดสอบ
1. ¼ÊŒÙ ͹ã˼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹áº§‹ Í͡໹š 5 ¡ÅÁ‹Ø áÅÇŒ หนวยกำรเรียนรูท่ี
ÃÇ‹ Á¡¹Ñ ·Òí Ẻ·´Êͺ˹Nj ¡ÒÃàÃÂÕ ¹Ã·ŒÙ èÕ ตอนที่ 1 ใหผ้ ้เู รียนแสดงวธิ ีท�ำในแต่ละข้อตอ่ ไปนี้
4 µÍ¹·èÕ 1
1. (22)4 + (33)2
2. ¼ÙŒàÃÕ¹ᵋÅСÅØ‹ÁÊ‹§µÑÇá·¹ÍÍ¡ÁҨѺ วธิ ที ำ� (2 ) + (3 ) = 2 + 3................................................................2...4.............3...2.................2..(.4.)..........3..(.2..)..................................................................................
ÊÅÒ¡ à¾×èÍÍÍ¡ÁÒáÊ´§ÇÔ¸Õ·íÒáÅÐËÒ = 2 + 3....................................................................................................8..........6...........................................................................................
¤íҵͺ˹ŒÒªéѹàÃÕ¹ â´ÂÁÕÃÒÂÅÐàÍÕ´ = 256 + 729.........................................................................................................................................................................................................
´§Ñ ¹Õé = 985.........................................................................................................................................................................................................
- ¡ÅØ‹Á·èÕä´ŒËÁÒÂàÅ¢ 1 ÍÍ¡ÁÒáÊ´§
ÇÔ¸·Õ Òí ¢ŒÍ 1 ¡ºÑ ¢ÍŒ 2 .........................................................................................................................................................................................................
- ¡ÅØ‹Á·èÕä´ŒËÁÒÂàÅ¢ 2 ÍÍ¡ÁÒáÊ´§ .........................................................................................................................................................................................................
Ç¸Ô Õ·Òí ¢ÍŒ 3 ¡ºÑ ¢ÍŒ 4 .........................................................................................................................................................................................................
- ¡ÅØ‹Á·Õèä´ŒËÁÒÂàÅ¢ 3 ÍÍ¡ÁÒáÊ´§ .........................................................................................................................................................................................................
Ç¸Ô Õ·Òí ¢ÍŒ 5 ¢ŒÍ 6 áÅТ͌ 7 .........................................................................................................................................................................................................
- ¡ÅØ‹Á·èÕä´ŒËÁÒÂàÅ¢ 4 ÍÍ¡ÁÒáÊ´§ .........................................................................................................................................................................................................
ÇÔ¸Õ·Òí ¢ŒÍ 8 ¢ŒÍ 9 áÅТ͌ 10
- ¡ÅØ‹Á·èÕä´ŒËÁÒÂàÅ¢ 5 ÍÍ¡ÁÒáÊ´§ [ ]2. 22 3
ÇÔ¸Õ·íҢ͌ 11 ¡Ñº¢ÍŒ 12 [ ]ว3ธิ ที ำ� 23 = (23 )..............................................................................2.....3...................2.3...3...............................................................................................

เกร็ดแนะ ผสู อน ....................................................................................................2..(.3..)................................................................................................

㹡ÒÃÍÍ¡ÁÒáÊ´§ÇÔ¸Õ·íҢͧ¼ÙŒàÃÕ¹ = 23......................................................................................................3...................................................................................................
ã¹áµ‹ÅСÅØ‹Á ¼ÙŒÊ͹¤ÇÃáÊ´§ÇÔ¸Õ¡ÒÃ
µÃǨÊͺ¤íҵͺãË¡Œ Ѻ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹´·Ù ¡Ø æ ¢ŒÍ ....................................................................................................6.....................................................................................................
à¾è×Í໹š á¹Ç·Ò§ã¹¡ÒÃá¡âŒ ¨·Â»Þ˜ ËÒãËŒ
¡Ñº¼ŒÙàÃÂÕ ¹ã¹¤Ã§éÑ µÍ‹ æ ä» = 32....................................................................................................3.....................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

= 6247.........................................................................................................................................................................................................
= 2.37.........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................

148

Vขอ้ -สNอบEแTนว

(32)3 + (50)6 Á¤Õ ‹Òà·Ò‹ ¡Ñº¢ŒÍã´
(74)2 - (62)3
1. 0.013
2. -0.013
3. 0.015
4. 0.016
5. -0.016

148

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp

16 สรปุ

3. [ 21 ]4 6 3. ã˼Œ ÙŒàÃÕ¹¡ÅØ‹Á·èÕä´ŒËÁÒÂàÅ¢ 2 ÍÍ¡ÁÒ
[2] [ 21 ] 16 6 áÊ´§Ç¸Ô Õ·íҢ͌ 3 áÅТ͌ 4 ˹Ҍ ªÑ¹é àÃÕ¹

วธิ ที ำ� 1 = 21...................................................................................4..................4.................................................................................................... 4. ¼ÊŒÙ ͹áÅмàŒÙ ÃÂÕ ¹¡ÅÁ‹Ø ͹è× ÃÇ‹ Á¡¹Ñ µÃǨÊͺ
¤ÇÒÁ¶¡Ù µŒÍ§¢Í§ÇÔ¸·Õ íÒáÅФíҵͺ·èÕä´Œ
[ 2 ] 2.....................................................................................................4....................................................................................................
เกร็ดแนะ ผสู อน
1.....................................................................................................6....................................................................................................
= 2......................................................................................................................................................................................................... ¼ÊŒÙ ͹¤ÇêáÕé ¹Ðã˼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹áÊ´§Ç¸Ô ·Õ Òí
໚¹ÅíҴѺ¢éѹµÍ¹áººã¹Ë¹Ñ§Ê×ÍàÃÕ¹
14 à¾×èÍ»‡Í§¡Ñ¹¡ÒÃÊѺʹ¢Í§¼ÙŒàÃÕ¹·éѧËÁ´
2................................................................................................................4......................................................................................... 㹪Ñé¹àÃÕ¹ ¨Ðä´ŒÁÕ¤ÇÒÁÃÙŒ¤ÇÒÁࢌÒ㨷Õè
= 21 21....................................................................................................6.....×................................................................................................ µÃ§¡Ñ¹

.........................................................................................................................................................................................................
4

= 2....................................................................................................6.....................................................................................................
= 22....................................................................................................4.-..6..................................................................................................
= 2....................................................................................................-.2....................................................................................................
= 1....................................................................................................2.....................................................................................................
= 214.........................................................................................................................................................................................................
4. .3...43.ว..×ธิ.×.ท.ี .(.-.ำ�3.3. .7.)..4. ..............................................3...4.3..×..×..(..-.3..3.7.)..4......=........33...4..×.×....33...74.........................................................................................

......................................................................................................4..+..4...............................................................................................

= 33......................................................................................................1..+..7...............................................................................................

......................................................................................................8...................................................................................................

= 33......................................................................................................8...................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

= 3......................................................................................................8.-..8................................................................................................
= 3......................................................................................................0...................................................................................................
= 1.........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

149

ÇàÔ ¤ÃÒÐˏ¤íҵͺ + (5 0)6
(3 2)3 - (6 2)3
ÇÔ¸Õ·íÒ (7 2)2 = 37 6 -- 56 0
4 6

= 2,407129- -461,656
= -4742,2855 = -0.016
µÍº¢ÍŒ 5.

149

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp
สรปุ
5. 7 7-2 ×-3 6
5. ã˼Œ ŒÙàÃÕ¹¡ÅÁ‹Ø ·èÕä´ËŒ ÁÒÂàÅ¢ 3 ÍÍ¡ÁÒ ว7ธิ ที ำ� 7 7 7 = 77........................................................................-..2...×-..3.....6.................-.2-..3+.6................................................................................................
áÊ´§ÇÔ¸Õ·íҢ͌ 5 ¢ÍŒ 6 áÅТŒÍ 7 ˹Ҍ
ªéѹàÃÂÕ ¹ .....................................................................................................4....................................................................................................

6. ¼ÊŒÙ ͹áÅмàŒÙ ÃÂÕ ¹¡ÅÁ‹Ø ͹è× ÃÇ‹ Á¡¹Ñ µÃǨÊͺ = 77....................................................................................................-..3...................................................................................................
¤ÇÒÁ¶¡Ù µÍŒ §¢Í§ÇÔ¸Õ·Òí áÅФíҵͺ·èäÕ ´Œ
.........................................................................................................................................................................................................
เกร็ดแนะ ผสู อน
= 7....................................................................................................4..+..3.................................................................................................
¼ÙŒÊ͹์¹ÂíéÒãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹µÃǨÊͺ = 7....................................................................................................7.....................................................................................................
¤Òí µÍº·äÕè ´¨Œ Ò¡¡ÒäÒí ¹Ç³·¡Ø ¤Ã§Ñé à¾Í×è ·èÕ = 823,543.........................................................................................................................................................................................................
¼ÙŒàÃÕ¹¨Ðä´Œ·ÃÒºÇ‹Ò ¤íҵͺ·èÕ¤íҹdz
ÍÍ¡ÁÒ¹¹Ñé ¼´Ô ¾ÅÒ´ËÃÍ× äÁ‹ ËÒ¡¼´Ô ¾ÅÒ´ .........................................................................................................................................................................................................
¨Ðä´áŒ ¡äŒ ¢ãËÁã‹ ËŒ¶Ù¡µÍŒ §
6. ..(.ว1...ธิ6..ที...×ำ�.(.4. ..1..×0 .(..51..)1.6(..09..-.×.(2.×4.).(.1.1.1×0.8.0.5..)-1.×(4..0)9..(-.16.2.×.)0.(.×3.1.1)..8.01..-.0.×4.3.).)(..16..0...×3..)...1...0..3..).......=.........1..6...4..×...×..9...1..×.8....6×....×.1...0.1..-.02..+.53.-..4..+.3...........................................................
= 164 918 6 1010..................................................................................................................................................................................................................×....×................×..........×..........×..........1..........4....................................................................................................................................
= 16 94 618 10..................................................................................................................................................................................................................×....................×..×..................×....................4....-..1..............................................................................................................................
= 16 49 168 10..................................................................................................................................................................................................................×....................××....................×....................3....................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

= 12 10 = 12,000.........................................................................................................×..........3......................................................................................
7. .(.2.ว..6.ธิ ..ที.×..ำ�..(. 1.5..02. .(.-.32.×.).6.(.6.1.×.0(.0.5.18.×.2)0..(.-2.3.1×.1).0.(..126.×.)0.0(..18.1×.)2.(.0.12.7.×.0)1..2..)1.×.(.0.1..-12.3.0.).×.7..).1...0..-..3..)......=........2..6.....×.5...2.6...0.×...×..2..1.1...2.×....×.1...0.1.8.0.+..7-..3.+..2..-.3.....................................................

= 26 52 60 21 12 10 10..................................................................................................................................................................................................................×..............×............×............×............×........1....5........-....4......................................................................................................................
= 5226 2160 1012..................................................................................................................................................................................................................×......×..................×........×..............1..5....+....4........................................................................................................................................
= 5226 2610 1102..................................................................................................................................................................................................................×....×......................×..×..................1....9..............................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

= 5.83 10.............................................................................................................×..........1.7.................................................................................

150

ขVอ้ -สNอบEแTนว

7-3 × 75 - 42 × 42 Á¤Õ Ò‹ à·Ò‹ ¡ºÑ ¢ŒÍã´
74 × 72 43 × 40
1. -2
2. -3
3. -4
4. -5
5. -6

150

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp

3 27x-1 -3 สรปุ

[ ] = [ ] [ ] [ ]8. จวงธิแที กำ� ส้ มก ำร 2 8 3 = 27................................................................................x..-.1..........................-..3.......................................................................................... 7. ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹¡ÅØ‹Á·èÕä´ŒËÁÒÂàÅ¢ 4 ÍÍ¡ÁÒ
áÊ´§Ç¸Ô Õ·íÒ¢ŒÍ 8 ¢ŒÍ 9 áÅТ͌ 10 ˹ŒÒ
ปรบั เลขยกกำ� ลงั ใหม้ ฐี ำนเทำ่ 2กนั จะได้ 8......................................................................................................................................................................................................... ª¹éÑ àÃÂÕ ¹

[ ] [ ]32 = 23................................................................................x..-.1..........................3..(.-.3..)...................................................................................... 8. ¼ÊŒÙ ͹áÅмàŒÙ ÃÂÕ ¹¡ÅÁ‹Ø ͹×è ÃÇ‹ Á¡¹Ñ µÃǨÊͺ
......................................................................................................................................................................................................... ¤ÇÒÁ¶Ù¡µŒÍ§¢Í§ÇÔ¸·Õ íÒáÅФíҵͺ·èÕä´Œ

[ 3 ] = [ 3 ]................................................................................x..-.1..........................-..9.......................................................................................... เกร็ดแนะ ผสู อน

2x - 1 = -92......................................................................................................................................................................................................... ¼ÙŒÊ͹ແ´âÍ¡ÒÊãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹䴫Œ ¡Ñ ¶ÒÁ
x = -9 + 1 = -8......................................................................................................................................................................................................... ã¹¢ŒÍʧÊѵ‹Ò§æ à¡ÕèÂǡѺ¡ÒûÃÐÂØ¡µ
ดงั นนั้ x มคี ำ่ เทำ่ กบั -8......................................................................................................................................................................................................... ãªàŒ Ţ¡¡Òí Å§Ñ ¾ÃÍŒ Á·§éÑ ¼ÊŒÙ ͹ÍÒ¨àµÃÂÕ Á
⨷Âà Å¢Â¡¡Òí Å§Ñ ·àèÕ ¡èÂÕ Ç¢ÍŒ §ã¹§Ò¹ÍÒªÕ¾
9. (8(342××1100123))((1398 × 1100--140))((2210 × 110031)1) ÁÒã˼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹ä´½Œ ¡ƒ ·Òí à¾ÁèÔ àµÁÔ à¾Í×è ໹š ¡ÒÃ
× × àÊÃÁÔ ÊÃÒŒ §¤ÇÒÁäŒÙ ÇÒÁà¢ÒŒ ã¨ãË¡Œ ºÑ ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹
ÁÒ¡Âè§Ô ¢¹éÖ
......ว....ธิ......ที ......ำ�.... .......... ..(..(..8..3..4....2....×..×....1....1..0....0..1..2..3..))....((..1..3....9..8....×..×......1..1....0..0..-....-1..4..0..))....((..2..2....10........××........11....00......13..1..)..)............=................8....34......2....×......×....1......39....8....×......×....2......20......1....×....×......1....10......01....23..-..-..1..4..0..++..3..1....1..................................................................................................
= 8342 1398 2201 1100..................................................................................................................................................................................................................×..×......................×..×........................×..×..................1..2..3......................................................................................................................

= 84 3219 3820 2110..................................................................................................................................................................................................................×....................×......×..................×......×....................1....3....-..2................................................................................................................

= 84 3219 3820 2110..................................................................................................................................................................................................................×................×........×................×..........×....................1....1......................................................................................................................
= 125,000,000,000.........................................................................................................................................................................................................

10. ป  พ.ศ. 2558 ประเทศแหง่ หนง่ึ มปี ระชำกร 1,300,000,000 คน มีพน้ื ท่ีท้ังหมด 9,600,000
ตำรำงกโิ ลเมตร จงหำอตั รำควำมหนำแนน่ ของประชำกรต่อพ้นื ที่ 1 ตำรำงกโิ ลเมตร

...ว..ธิ...ที ...ำ�.. .....จ...ำ..ก... .....อ..ต.ั ...ร..ำ...ค...ว..ำ...ม...ห...น...ำ...แ..น....น่ ...ข...อ..ง...ป...ร..ะ...ช...ำ..ก...ร... ....=... .....จ...พ�ำ..น..้ืน..ว.ท.น..ี่ห.ข..ร.อ..อื .ง..ป.ป..ร.ร..มิ .ะ..ำช..ต.ำ...กร.. .ร...................................................
= 1,390,600,000,000,0000 = 19..63 1100..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................××......................96..........................................
= 1.3 9.610 = 1.39.610..............................................................................................................................................................................................................................................×....................9....-....6..........................................................................×....................3..........................................
= 135.42.........................................................................................................................................................................................................
... ...............ด...ง.ั ..น...น้ั... ..........อ...ตั ...ร..ำ...ค...ว...ำ..ม...ห...น....ำ..แ...น...น่ ...ข...อ...ง..ป...ร...ะ..ช...ำ..ก...ร...ต...อ่...พ....น้ื ...ท... ี่..1.. ..ต....ำ..ร..ำ...ง..ก...โิ..ล...เ..ม...ต...ร.. ..ค....อื ... ................................
135.42 คน/ตำรำงกโิ ลเมตร.........................................................................................................................................................................................................

151

ÇÔà¤ÃÒÐˏ¤Òí µÍº 44 44
77-43 7725 2 2 77 2 44 4
ÇÔ¸Õ·íÒ × - 3 × 0 = 2 - 3
× ×
= 1 - 41
= 1 - 4 = -3

µÍº¢ÍŒ 2.

151

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp

สรปุ

9. ãËŒ¼ŒàÙ ÃÕ¹¡ÅÁØ‹ ·äÕè ´ËŒ ÁÒÂàÅ¢ 5 ÍÍ¡ÁÒ 11. แ บตเตอรกี่ ระแสไฟฟำไหลในวงจร 5 มิลลแิ อมแปร์ มคี วำมต้ำนทำนในวงจร 6,000 โอหม์
áÊ´§ÇÔ¸Õ·Òí ¢ŒÍ 11 áÅТŒÍ 12 ¢Í§áºº จะมแี รงเคลอ่ื นไฟฟำ เทำ่ ไร
·´Êͺ˹Ҍ ª¹éÑ àÃÂÕ ¹
ก�ำหนด I = RE
10. ¼ÊŒÙ ͹áÅмàŒÙ ÃÂÕ ¹¡ÅÁ‹Ø ͹×è ÃÇ‹ Á¡¹Ñ µÃǨÊͺ เมอ่ื I แทน กระแสไฟฟำ มีหนว่ ยเปน็ แอมแปร์
¤ÇÒÁ¶Ù¡µÍŒ §¢Í§Ç¸Ô Õ·íÒáÅФÒí µÍº·äèÕ ´Œ E แทน แรงเคล่ือนไฟฟำ มหี น่วยเปน็ โวลต์
R แทน ควำมต้ำนทำน มหี นว่ ยเปน็ โอหม์
11. ¼ÙŒÊ͹ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹à¢Õ¹ÊÃØ»ÊÒÃÐÊíÒ¤ÑÞ
à¡ÕèÂǡѺÇÔ¸Õ¡ÒûÃÐÂØ¡µãªŒàŢ¡¡íÒÅѧ ...ว..ธิ...ที ...ำ�.. ..... ..................ก...ร..ะ...แ...ส...ไ.ห....ล...ใ.น....ว..ง...จ..ร... ....=... .....5... ..ม...ลิ ...ล...แิ ...อ...ม...แ...ป...ร..์.....................................................................................
áÅÇŒ ¹íÒÊ‹§¼ŒÙÊ͹µÃǨ = 5 10 แอมแปร์..........................................................................................×..........-.3....................................................................................................
จำก I = RE.........................................................................................................................................................................................................
เกร็ดแนะ ผสู อน
.........................................................................................................................................................................................................
àÁ×èͼٌàÃÕ¹·íÒẺ·´Êͺ˹‹Ç¡ÒÃ
àÃÂÕ ¹Ã·ÙŒ èÕ 4 µÍ¹·Õè 1 àÊÃç¨áÅÇŒ ¼ŒÊ٠͹ÍÒ¨ 5 10 = 6,0E00............................................................×..........-.3..................................................................................................................................
ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹ÊÅѺẺ·´Êͺ¡Ñºà¾è×͹·Õè¹Ñè§
¢ÒŒ §æ ¨Ò¡¹¹éÑ ÊÁ‹Ø ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹ÍÍ¡ÁÒáÊ´§Ç¸Ô ·Õ Òí .........................................................................................................................................................................................................
˹Ҍ ª¹éÑ àÃÂÕ ¹ «§Öè ¼ÊŒÙ Í¹áÅмàŒÙ ÃÂÕ ¹¤¹Í¹×è æ
ËÇÁ¡Ñ¹µÃǨÊͺ¤ÇÒÁ¶Ù¡µŒÍ§¢Í§¡Òà E = (5 10 )(6,000)...........................................................................................×..........-..3..................................................................................................
¤íҹdzàŢ¡¡Òí Åѧ E = 30...............................................................................................................................................................................................................
... ...............ด...ง.ั ..น...น้ั... .. ........ม...แี...ร..ง...เ.ค...ล...อ.ื่ ..น....ไ.ฟ....ฟ...ำ.้ ..เ.ท...ำ.่ ..ก...บั ... ..3..0... ..โ..ว..ล...ต....์ ............................................................................................

12. จงหำอตั รำดอกเบย้ี ของเงนิ ต้น 20,000 บำท เมื่อผใู้ ห้ก้คู ดิ ดอกเบย้ี ทบตน้ ปละครั้ง เป็นเวลำ
4 ป  แล้วได้เงนิ รวม 28,740 บำท

วธิ ที ำ� จำก s = p(1 + i).....................................................................................................n....................................................................................................
.. ................แ...ท...น... .. ..p... ..=.. ..2...0..,.0...0..0...,. ..s.. ..=.. ..2...8..,.7...4..0... .. ..แ...ล...ะ.. ..n... ..=.. ..4... ................................................................................................
.. ................จ...ะ..ไ..ด...ว้..ำ.่ .. .........................2...8...,.7..4...0.......=........2..0...,.0..0...0..(..1... ..+... ..i.)..4........................................................................................
2280,,700400 = (1 + i)...................................................................................................4......................................................................................................
1.437 = (1 + i)...................................................................................................4......................................................................................................
(1.089) = (1 + i).......................................................................4............................4......................................................................................................
1.089 = 1 + i.........................................................................................................................................................................................................
i = 1.089 - 1 .........................................................................................................................................................................................................
i = 0.089 = 8.9%.........................................................................................................................................................................................................
.. ................ด...งั..น....น้ั ... .. .......อ...ตั....ร..ำ..ด....อ...ก...เ.บ...ยี้... ..ค...อ.ื .. ..8.....9...%.....................................................................................................................

152

Vข้อ-สNอบEแTนว

ผูเรียน ควรรู ¢ÍŒ ã´à»š¹¡ÒÃà¢Õ¹àŢ¡¡Òí Åѧ䴌¶Ù¡µÍŒ §
1. 26 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2
áçà¤ÅÍ×è ¹ä¿¿Ò‡ ໹š ¾Å§Ñ §Ò¹ä¿¿Ò‡ ¨Ò¡áËŧ‹ ¡Òí à¹´Ô ËÃÍ× à«ÅÅä ¿¿Ò‡ 2. 33 = 3 × 3
·Õè¡ÃзíÒµ‹Í»ÃÐ¨Ø +1 ¤ÅÙ ÍÁºã ËŒà¤ÅèÍ× ¹·Õè¤ÃºÇ§¨Ã¾Í´Õ 3. 74 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4
4. 103 = 10 - 3
à§¹Ô µŒ¹ ËÁÒ¶§Ö à§¹Ô ½Ò¡ ËÃÍ× à§¹Ô ·Õ¡è ÙÂŒ Á× 5. 55 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5

152

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp

ตอนท่ี 2 จงเลือกคำ� ตอบท่ถี ูกทสี่ ดุ เพยี งข้อเดียว สรปุ

1. ขอ้ ใดเป็นกำรเขยี นเลขยกกำ� ลังได้ถกู ตอ้ ง 2. 34 = 3 × 3 × 3 × 3 12. ¼ÙŒÊ͹ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹·íÒẺ·´Êͺ˹‹ÇÂ
1. 54 = 5 + 5 + 5 + 5 4. 43 = 3 × 3 × 3 × 3 ¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙ·Œ Õè 4 µÍ¹·Õè 2 â´ÂãËàŒ ÇÅÒã¹
3. 23 = 2 × 2 × 3 × 3 ¡Ò÷Òí µÒÁ¤ÇÒÁàËÁÒÐÊÁ
5. 24 = 2 × 2 +2 + 2
13. àÁ×èͼٌàÃÕ¹·íÒẺ·´Êͺ˹‹Ç¡ÒÃ
2. 94 มคี ำ่ เทำ่ กับจ�ำนวนในขอ้ ใด 5. 310 àÃÕ¹÷ŒÙ Õè 4 µÍ¹·Õè 2 àÊÃ稵ÒÁàÇÅÒ·Õè
1. 36 2. 37 3. 38 4. 39 5. 84 ¡íÒ˹´áÅÇŒ ãËŒ¼ÊŒÙ ͹ÊØ‹Á¼àŒÙ ÃÂÕ ¹ÍÍ¡ÁÒ
5. 16 áÊ´§ÇÔ¸·Õ íÒã¹áµ‹ÅТŒÍ˹ŒÒªé¹Ñ àÃÕ¹
3. 8 × 4 × 32 เขยี นในรูปเลขยกกำ� ลังได้ดงั ขอ้ ใด 4. 328+4 5. 31a-1
1. 210 2. 46 3. 48 4. 8 14. ¼ÊŒÙ ͹áÅмàŒÙ ÃÂÕ ¹ÃÇ‹ Á¡¹Ñ µÃǨÊͺ¤ÇÒÁ
4. (-32)35 มคี ่ำตรงกับจำ� นวนในขอ้ ใด 4. -31a 5. 34 ¶Ù¡µÍŒ §¢Í§Ç¸Ô Õ¡Ò÷íÒáÅФíҵͺ·èÕä´Œ
1. -8 2. -4 3. 4 5. 25
1-(8(.151)71--913naa(2a242(22)77)ม3)2ีค×-nำ่ ต3รn-ง1กมบั 2ีคข. ำ่อ้ เ-ใทด31ำ่aก6ับขอ้ ใด 3. -13a8 4. 33 เกร็ดแนะ ผสู อน
5.
6. ¼ÙŒÊ͹¤ÇÃãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹͋ҹ¤íÒÊèѧ¡‹Í¹
ŧÁÍ× ·Òí Ẻ·´ÊͺµÍ¹·èÕ 2 áÅСÒí ˹´
1. 30 2. 31 3. 32 ÃÐÂÐàÇÅÒ㹡Ò÷Òí Ẻ·´Êͺã˪Œ ´Ñ ਹ
¨Ò¡¹¹éÑ ¼ÊŒÙ Í¹à´¹Ô ÊÒí ÃǨ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹ã¹ÃÐËÇÒ‹ §
7. ค�ำตอบของสมกำร 4x+2 = 8x-2 คือขอ้ ใด 4. 20 ·Òí Ẻ·´Êͺ ËÒ¡¼ÙàŒ ÃÕ¹Á¢Õ ŒÍʧÊÑÂã¹
1. 10 2. 11 3. 12 ¤íÒ¶ÒÁËÃ×Í⨷ÁÕ¤ÇÒÁ¡íÒ¡ÇÁ ¼ÙŒÊ͹
¤ÇÃ͸ԺÒ¢ŒÍʧÊÑÂàËÅ‹Ò¹Ñé¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹ÁÕ
8. 0.0059 มคี ำ่ ตรงกบั ขอ้ ใด 2. 5.9 × 10-3 ¤ÇÒÁà¢ÒŒ ã¨ÁÒ¡Âè§Ô ¢é¹Ö
1. 5.9 × 10-4
3. 5.9 × 104 4. 5.9 × 105
5. 5.9 × 106
(1.22 × 10-3) 109) ในรูปเลขยกก�ำลงั ฐำนสบิ
9. ข้อใดเป็นผลลัพธข์ อง (3.6 × 1(70.-23)×

1. 2.4 × 109 2. 2.4 × 107
3. 2.4 × 103 4. 2.4 × 10-3
5. 2.4 × 10-7

10. 76.44 เมกะนิวตัน มีค่ำตรงกับขอ้ ใด 2. 764,400 นวิ ตนั
1. 76,440 นวิ ตัน 4. 76,440,000 นิวตัน
3. 7,644,000 นิวตัน
5. 764,400,000 นิวตัน

153

ÇàÔ ¤ÃÒÐˤ Òí µÍº ¨Ò¡¡ÒþԨÒóҵÇÑ àÅÍ× ¡·éѧ 5 ¢ÍŒ ¨Ðà˹ç ä´ÇŒ Ò‹
µÑÇàÅÍ× ¡¢ÍŒ 5 áÊ´§¡ÒÃà¢ÂÕ ¹àŢ¡¡Òí Å§Ñ ä´Œ¶¡Ù µŒÍ§ ¡Å‹ÒǤÍ×
55 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5
µÍº¢ÍŒ 5.

153

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp

สรปุ แบบประเมนิ เลขยกก�ำลัง

1. ¼ÙŒÊ͹»ÃÐàÁÔ¹ÊÁÃö¹Ð¢Í§¼ÙŒàÃÕ¹µÒÁ ค�ำชี้แจง ให้ผู้สอนประเมินผู้เรียนในระหว่ำงเรียน แล้วท�ำเคร่ืองหมำย ✓ลงในช่องท่ีตรงกับระดับคะแนน
ÃÒ¡ÒûÃÐàÁ¹Ô â´Âà¡ºç ¤Ðá¹¹¨Ò¡¡ÒÃ
·Òí ¡¨Ô ¡ÃÃÁÃÐËÇÒ‹ §àÃÂÕ ¹ áÅШҡ¡Ò÷Òí รำยกำรประเมิน ระดับคะแนน
Ẻ·´ÊͺãˤŒ úµÒÁÃÒ¡ÒÃáÅÇŒ ÊÃ»Ø คำ� นวณเกี่ยวกับจำ� นวนจริงทอ่ี ยู่ในรูปเลขยกกำ� ลงั ทวั่ ไป 321
¼Å¡ÒûÃÐàÁÔ¹µÒÁª‹Ç§¤Ðá¹¹·èÕ¼ÙŒàÃÕ¹ 1. บอกควำมหมำยของเลขยกกำ� ลัง
ä´ŒÃºÑ 2. หำค่ำเลขยกก�ำลังโดยใช้สมบตั ิของเลขยกกำ� ลัง
3. หำผลบวกและผลลบของเลขยกก�ำลัง
2. ¼ÙŒÊ͹ᨌ§¼Å¡ÒûÃÐàÁÔ¹ÊÁÃö¹ÐãËŒ 4. หำผลคูณและผลหำรของเลขยกกำ� ลัง
¼àŒÙ ÃÂÕ ¹áµÅ‹ Ф¹·ÃÒºÇÒ‹ 㹡ÒÃàÃÂÕ ¹àÃÍ×è § คำ� นวณเกย่ี วกบั จ�ำนวนจรงิ ที่อยูใ่ นรูปเลขยกก�ำลงั เปน็ จ�ำนวนตรรกยะ
àŢ¡¡Òí Å§Ñ ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹ÁÃÕ Ð´ºÑ ¤³Ø ÀÒ¾ÍÂã‹Ù ¹ 1. หำคำ่ ของเลขยกกำ� ลังทม่ี ีเลขช้กี ำ� ลังเปน็ จำ� นวนตรรกยะ
ࡳ±ã´ à¾×èÍãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹ᵋÅФ¹¹íҼŠประยกุ ต์ใช้ควำมร้เู ก่ียวกับเลขยกกำ� ลงั
·Õäè ´äŒ »à»š¹á¹Ç·Ò§ã¹ ¡Òþ²Ñ ¹Ò ËÃÍ× 1. แกส้ มกำรเอกซ์โพเนนเชียล
»ÃѺ»ÃاÃдѺ¤Ø³ÀҾ㹡ÒÃàÃÕ¹¢Í§ 2. เขยี นรปู เลขยกกำ� ลงั ให้อยู่ในรูปเลขยกก�ำลงั ฐำนสบิ
µ¹àͧãËŒ´ÕÂÔ§è ¢é¹Ö 3. ประยุกตเ์ ลขยกกำ� ลังไปใช้แทนหนว่ ยกำรวดั

รวม

ข้อเสนอแนะ สรุปผลกำรประเมิน

เกร็ดแนะ ผูส อน ....................................................................................................................................................................... ชว่ งคะแนน ระดบั คณุ ภำพ
....................................................................................................................................................................... 17 - 24 คะแนน ดี
㹡ÒûÃÐàÁÔ¹ÊÁÃö¹Ð¢Í§¼ÙŒàÃÕ¹ 9 - 16 คะแนน พอใช้
àÃèÍ× § àŢ¡¡Òí Åѧ ¼ŒÊ٠͹¤ÇûÃÐàÁ¹Ô ¨Ò¡ ลงชือ่ .....................................................................................ผปู้ ระเมนิ 1 - 8 คะแนน ปรับปรงุ
¤Ðṹࡺç ÃÐËÇÒ‹ §àÃÂÕ ¹ áÅФÐá¹¹Êͺ / /........... .............................. ....................
·ÒŒ Â˹Nj  â´Â»ÃÐàÁ¹Ô µÒÁÃÒ¡ÒûÃÐàÁ¹Ô
¨¹¤Ãº·¡Ø ÃÒ¡Òà áŌǨ§Ö ¹íÒ¤Ðá¹¹·èäÕ ´Œ 154
ÁÒà·Õºª‹Ç§¤Ðá¹¹µÒÁࡳ± à¾×èÍÊÃØ»
ÃдºÑ ¤³Ø ÀÒ¾¢Í§¼ŒàÙ ÃÕ¹໚¹ÃÒº¤Ø ¤Å

154

นาํนาํ WWaarrmm--uupp สอน Instruction สรปุ Wrap-up

5หนว่ ยก�รเรียนรทู ี่ เปาหมายการเรียนรู

ลอการท� ึม 1. นาํ ความรเู รอื่ ง ลอการทิ มึ มาใชใ นการหาคา ตวั แปร
Logarithm ทอ่ี ยใู นรปู ลอการทิ มึ ได

2. ประยุกตใชความรูเรื่อง ลอการิทึม ไปใชในการ
แกโจทยปญหาที่เกี่ยวของในชีวิตประจําวันและ
งานอาชพี

คุณธรรม / จริยธรรม

1. มีวินัย /รบั ผดิ ชอบ
2. ซื่อสัตยสุจริต
3. รกั สามคั คี
4. สนใจใฝร ู / คดิ ริเร่ิมสรา งสรรค
5. มนษุ ยสมั พนั ธ

นาํ

ลอการิทึม สมรรถนะประจำ� หนว ย ¼Ù Œ Ê Í ¹ à ªè× Í Á â  § ¤ Ç Ò Á ÃÙ Œ ·Õè à ¡èÕ Â Ç ¡Ñ º
ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ â´Â¡ÒÃʹ·¹ÒáÅЫѡ¶ÒÁ
สามารถนํามาประยุกต 1. ดำ�เนินก�รเกี่ยวกับจำ�นวนจร�งที่ ¼ÙàŒ ÃÕ¹ ´§Ñ ¹éÕ
ใชในชีวิตประจําวัน อย่ใู นรปู ลอก�รท� ึม
ไดอยางไร • ¼ÙŒàÃÕ¹¤Ô´Ç‹Ò ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ ÁÕ¤ÇÒÁ
2. คำ�นวณห�ค่�ตัวแปรที่อยู่ในรูป à¡èÕÂÇ¢ŒÍ§¡ÑºªÕÇÔµ»ÃШíÒÇѹáÅЧҹ
ลอกำริทึม เปนฟ�งก์ชันหนึ่งท�งคณิตศ�สตร์ที่ส�ม�รถนำ�ไปใช ลอก�รท� มึ ÍÒª¾Õ ÍÂÒ‹ §äÃÍ‹ҧ

ในก�รคำ�นวณที่มีคว�มละเอียดไดโดยใชสมบัติของลอก�ร�ทึม 3. ประยุกต์ใชคว�มรูเก่ียวกับ á¹ÇµÍº
ลอก�ร�ทึมส�มัญ และลอก�ร�ทึมธรรมช�ติ นอกจ�กนี้ยังส�ม�รถ ลอก�ร�ทึมในสถ�นก�รณ์จร�ง
ประยุกต์ใชลอก�รท� มึ ในก�รแกโ จทยป์ ญ ห� เชน่ ก�รห�ค�่ ประม�ณ หร�อปญห�ทก่ี ำ�หนด พิจารณาตามคําตอบของผูเรียน โดย
โดยใชลอก�ร�ทึม เปนตน ใหอ ยใู นดุลยพนิ จิ ของผูสอน เชน การ
จุดประสงคป ระจ�ำหนวย คาํ นวณขนาดของสวา น การเพาะเช้ือ
แบคทีเรีย การวางแผนการฝากเงิน
1. บอกความหมายของลอการิทึม เปนตน
ได้

2. แกป้ ญั หาโดยใชส้ มบตั ขิ อง
ลอการทิ มึ ได้

3. หาค่าลอการทิ ึมสามญั ได้
4. หาคา่ ลอการทิ มึ ธรรมชาติได้
5. คา� นวณการแกส้ มการลอการทิ มึ

ได้
6. แก้โจทย์ปัญหาโดยใช้ลอการิทึม

ได้

เกร็ดแนะ ผูสอน

¡Òè´Ñ ¡¨Ô ¡ÃÃÁ¡ÒÃàÃÂÕ ¹¡ÒÃÊ͹¢Í§Ë¹Ç‹ ¡ÒÃàÃÂÕ ¹Ã¹ŒÙ éÕ ¼ÊŒÙ ͹¤ÇÃ
àÅ×͡㪌ÇÔ¸Õ¡ÒöÒÁ - µÍº áÅÐãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹䴌ÁÕʋǹËÇÁ㹡ÒÃàÃÕ¹¡ÒÃ
Ê͹ â´ÂãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹¡µÑÇÍ‹ҧʶҹ¡Òóã¡ÅŒµÑÇ ËÃ×Í⨷»˜ÞËÒ·èÕ
à¡ÂèÕ Ç¢ŒÍ§¡ºÑ ¡ÒäíҹdzÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ áŌǹÒí àʹÍáÅ¡à»ÅÕÂè ¹¢ÍŒ ÁÅ٠˹ŒÒ
ªéѹàÃÕ¹ à¾×èÍãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹䴌àÃÕ¹ÃÙŒáÅйíÒä»»ÃÐÂØ¡µãªŒã¹¡ÒÃᡌ⨷
»˜ÞËÒ·èÕ¾ºã¹ªÇÕ Ôµ»ÃШÒí Çѹä´ÍŒ ‹ҧàËÁÒÐÊÁ

155

นนาําํ WWaarrmm--uupp สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up

นาํ ลอกำริทึม ลอกำริทึม เปนกำรด�ำเนินกำรทำงคณิตศำสตรท่ีเปน
ฟงกชันผกผันของฟงกชันเลขช้ีก�ำลัง ซึ่งสำมำรถน�ำ
1. ¼ÙŒÊ͹ʹ·¹Ò¡Ñº¼ÙŒàÃÕ¹¶Ö§¤ÇÒÁËÁÒ ไปประยุกตใชในทำงวิศวกรรม ทำงวิทยำศำสตร และ
¢Í§ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÖÁ áÅÇŒ ãËŒ¼àŒÙ ÃÕ¹¡µÑÇÍ‹ҧ ทำงกำรเงิน เชน กำรค�ำนวณขนำดของดอกสวำนที่
¡ÒÃ㪌ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ ã¹§Ò¹ÍÒªÕ¾ ท�ำใหเกิดทอรกในกำรเจำะรู กำรเพำะเชื้อแบคทีเรีย
กำรวำงแผนกำรฝำกเงินเพื่อใหไดผลตอบแทน
สอน ตำมที่ก�ำหนด เปนตน

2. ¼ÙŒÊ͹ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹ÈÖ¡ÉÒ ¤ÇÒÁËÁÒ¢ͧ 1.1 ความหมายของลอการิทมึ
ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ áÅÐÃÙ»¡ÒÃà¢Õ¹ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ
¨Ò¡Ë¹§Ñ Ê×ÍàÃÂÕ ¹ áÅŒÇÃÇ‹ Á¡Ñ¹ÍÀ»Ô ÃÒ ในการค�านวณจ�านวนท่ีมีความละเอียดมากๆ อาจต้องใช้สูตรที่ยุ่งยากซับซ้อน ดังน้ัน
ลอการิทึม (Logarithm) เป็นอีกฟังก์ชันหนึ่งทสี่ ามารถน�าไปใชใ้ นการค�านวณหาค่าของจ�านวนทีม่ ี
3. ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹¨Ñº¤Ù‹áÅŒÇËÇÁ¡Ñ¹ÈÖ¡ÉÒµÑÇÍ‹ҧ ความละเอยี ดมากได ้ เชน่ ถา้ ตอ้ งการหาคา่ โดยประมาณของจา� นวน 3 2.43 เราสามารถหาคา� ตอบ
·Õè 1 ¨Ò¡Ë¹Ñ§Ê×ÍàÃÕ¹ ¨Ò¡¹Ñé¹Ã‹ÇÁ¡Ñ¹ ไดโ้ ดยเปลย่ี นรากและกรณฑใ์ หอ้ ยใู่ นรปู ของเลขยกกา� ลงั จากนนั้ ใชล้ อการทิ มึ ชว่ ยในการหาคา� ตอบ
¾Ô¨ÒóҡÒÃà¢Õ¹ÊÁ¡ÒÃãËŒÍÂÙ‹ã¹ÃÙ» กา� หนดให ้ x = ay โดยที่ a > 0 และ a ≠ 1 เราสามารถเขยี นในรูปลอการิทึมได้เปน็
ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ y = logax อา่ นว่า ลอการิทึมเอก็ ซฐ์ านเอ หรือ ลอ็ กเอก็ ซฐ์ านเอ จะไดว้ ่า

4. ¼ÙŒÊ͹à¢Õ¹ÊÁ¡Òâͧ¨íҹǹ¨ÃÔ§·èÕÍÂÙ‹ x = ay y = logax เมื่อ a > 0 และ a ≠ 1
ã¹ÃÙ»¢Í§àŢ¡¡íÒÅѧ 10 ÊÁ¡Òú¹
¡Ãдҹ ¨Ò¡¹éѹÊØ‹Á¼àÙŒ ÃÂÕ ¹ 10 ¤¹ à¢Õ¹ ดังน้ัน สมการของจ�านวนจริงที่อยู่ในรูปของเลขยกก�าลังสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ
ÊÁ¡ÒÃãËÍŒ ‹ãÙ ¹Ã»Ù ¢Í§ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ ลอการิทึมได้

5. ¼ÊŒÙ ͹µÃǨÊͺ¤ÇÒÁ¶¡Ù µŒÍ§ ¾ÃŒÍÁ·§éÑ ตัวอยำงที่ 1
͸ԺÒÂà¾èÔÁàµÁÔ
จงเขียนสมการต่อไปน้ใี ห้อย่ใู นรปู ลอการิทึม 1
เกร็ดแนะ ผสู อน 1. 35 = 243 2. 63 = 216 3. 10-2 = 0.01 4. 50 = 1 11-2 121
วธิ ีทา� 1. 35 = 243 เขียนในรูปลอการทิ ึมได้เป็น log3243 = 5 5. =
¼ÙŒÊ͹ÍÒ¨¡Å‹ÒǶ֧àÃè×ͧàŢ¡¡íÒÅѧ
áÅÐàÍ¡â¾à¹¹àªÂÕ Å à¾èÍ× à»š¹¡Ò÷º·Ç¹ 2. 63 = 216 เขยี นในรปู ลอการิทึมไดเ้ ป็น log6216 = 3
ãËŒ¡Ñº¼ÙŒàÃÕ¹¡‹Í¹·èըСŋÒǶ֧ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ 3. 10-2 = 0.01 เขียนในรปู ลอการทิ มึ ไดเ้ ป็น log100.01 = -2
«èÖ§ÁÕ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸¡ÑºàŢ¡¡íÒÅѧáÅÐ 4. 50 = 1 เขยี นในรูปลอการทิ ึมไดเ้ ป็น log51 = 0
àÍ¡â¾à¹¹àªÕÂÅ ¹Í¡¨Ò¡¹ÕéàÁè×ͼٌÊ͹ 1 เขยี นในรปู ลอการทิ มึ ได้เปน็ log111121 = -2
¡Å‹ÒǶ֧¡ÒÃà¢Õ¹àŢ¡¡íÒÅѧã¹ÃÙ»¢Í§ 5. 11-2 = 121
ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁàÊÃç¨ ãËŒ¼ÙŒÊ͹¡µÑÇÍ‹ҧ
⨷à¾èÔÁàµÔÁ¹Í¡à˹×ͨҡµÑÇÍ‹ҧ㹠156
˹ѧÊ×Í 1 - 2 ¢ÍŒ à¾×èÍãËŒ¼ÙŒàÃÂÕ ¹ÁÕ¤ÇÒÁ
à¢ÒŒ ã¨ÁÒ¡¢éÕ¹ Vข้อ-สNอบEแTนว

54 = 625 à¢ÂÕ ¹ã¹Ã»Ù ÅÍ¡ÒÃÔ·ÁÖ ä´µŒ çµÒÁ¢ÍŒ ã´
1. log 625 = 54
2. log5625 = 4
3. log6255 = 4
4. log 54 = 625
5. log5625 = 0

156

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioion n สรปุ Wrap-up

สอน

ตัวอยำงท่ี 2 6. ¼ŒÊ٠͹ã˼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹¨ºÑ ¤‹ÙÈÖ¡ÉÒµÑÇÍ‹ҧ·Õè 2
¨Ò¡Ë¹Ñ§Ê×ÍàÃÕ¹
7. ¼ÙŒÊ͹͸ԺÒÂà¾èÔÁàµÔÁà¡èÕÂǡѺµÑÇÍ‹ҧ
จงหาค่า x จากสมการตอ่ ไปนี้ ·Õè 2 ¨Ò¡Ë¹Ñ§ÊÍ× àÃÕ¹

1. lloogg3180 5x1 = x 2. lloogg3x1( 9196) = 2 3. log14x = -4 8. ¼ÙŒÊ͹ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹ᵋÅФًËÇÁ¡Ñ¹ÊÌҧ
4. = -2 5. = x
⨷»˜ÞËÒà¡èÕÂǡѺÊÁ¡ÒÃÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ
วธิ ีทา� 1. log381 = x 5 ¢ŒÍ ¾ÃŒÍÁ·Ñ駤‹ÒµÑÇá»Ã¢Í§ÊÁ¡ÒÃ

จะได้ 3x = 81 ¢Í§ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ µÍºÅ§ã¹¡ÃдÒÉ A4

3x = 34 ตอบ ¨Ò¡¹Ñé¹¹íÒʧ‹ ¼ŒÙÊ͹µÃǨ

x =4 9. ¼ÙŒÊ͹¡µÑÇÍ‹ҧ⨷»˜ÞËÒà¡ÕèÂǡѺ

2. logx196 = 2 ÊÁ¡ÒÃÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ 5 ¢ŒÍ à¢Õ¹º¹

จะได ้ x2 = 196 ¡Ãдҹ

x2 = 142 10. ¼ÊŒÙ ͹ÊÁ‹Ø ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹ 5 ¤¹ ÍÍ¡ÁÒáÊ´§Ç¸Ô ·Õ Òí
⨷»˜ÞËÒà¡èÕÂǡѺÊÁ¡ÒÃÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ
x = 14 ตอบ

3. log14xx = -4 ˹Ҍ ªÑ¹é àÃÕ¹
จะได้ = ( 14 )-4 11. ¼ÙŒÊ͹áÅмٌàÃÕ¹¤¹Í×è¹æ ËÇÁ¡Ñ¹

x = 44 ¾Ô¨ÒóÒáÅеÃǨÊͺ¤ÇÒÁ¶Ù¡µŒÍ§

x = 256 ตอบ ¢Í§Ç¸Ô ¡Õ Ò÷íÒáÅФÒí µÍº

4. log10 xxx555 = -2
จะได ้ x =
= 10-2
= 1102
5× 102

x = 5 × 100

x = 500 ตอบ

5. log3(3193119-22) = x เกร็ดแนะ ผสู อน
จะได ้ =
= 3x ¼ÙŒÊ͹ªÕéá¹ÐãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹·íÒµÒÁ¢éѹµÍ¹
= 3x ·èÕàËÁ×͹ã¹Ë¹Ñ§Ê×ÍàÃÕ¹ à¾×èÍ»‡Í§¡Ñ¹
3x ตอบ ¡ÒüԴ¾ÅÒ´¨Ò¡¡Òäíҹdz ¹Í¡¨Ò¡
¹ÕéàÁè×ͼٌàÃÕ¹¤íҹdzËÒ¤‹Ò¢Í§µÑÇá»Ã·èÕ
x = -2 157 µŒÍ§¡Ò÷ÃҺ䴌áÅŒÇ ¼ÙŒàÃÕ¹¤ÇáÅѺä»
¤´Ô ¤íҹdz¨Òí ¹Ç¹µ‹Ò§æ ÍÕ¡¤Ãé§Ñ

ÇàÔ ¤ÃÒÐˤ íҵͺ ¾¨Ô ÒóҵÑÇàÅÍ× ¡·§éÑ 5 ¢ÍŒ ¨Ðà˹ç ä´ÇŒ Ò‹ µÑÇàÅÍ× ¡ บูรณาการ อาชพี
¢ÍŒ 2 à¢ÂÕ ¹ 5 4 = 625 ãËŒÍÂÙ‹ã¹ÃÙ»ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ ä´¶Œ ¡Ù µŒÍ§
à¹Íè× §¨Ò¡ x = ay → y = logax ÇÔÈǡèеŒÍ§ÍÒÈÑ·ѡÉФÇÒÁÃÙŒàÃè×ͧ ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ 㹡Òäíҹdz
¨Ðä´Œ 625 = 5 4 → 4 = log5625 ·Ò§ÇÔÈÇ¡ÃÃÁ ઋ¹ ËÒ¤‹ÒÃдѺ¤ÇÒÁࢌÁàÊÕ§ ¡Òäíҹdzà¡ÕèÂǡѺ
µÍº¢ÍŒ 2. à¤Ã×èͧÁ×Í¡Å ¡Òäíҹdzà¡ÕèÂǡѺ§Ò¹·Ò§ä¿¿‡Ò ¡Òäíҹdzà¡ÕèÂǡѺ
¡ÒÃâÂ¸Ò ¡ÒÃËÒ¤Ò‹ ¤Ã§Öè ªÕÇµÔ ¢Í§¸ÒµØ ໹š µŒ¹

157

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp
สรปุ
แบบฝกทักษะที่ 5.1
12. ¼ÙŒÊ͹ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹·íÒẺ½ƒ¡·Ñ¡ÉзèÕ
5.1 àÁ×èͼٌàÃÕ¹·íÒàÊÃç¨áÅŒÇ ¼ÙŒÊ͹ÊØ‹Á ค�ำช้ีแจง ใ หผ้ ู้เรยี นตอบค�าถามตอ่ ไปน้ี
µÑÇá·¹¼ÙŒàÃÕ¹ 2 ¤Ù‹ ÍÍ¡ÁÒà¢Õ¹ÃÙ» 1. จงเติมค�าตอบในชอ่ งว่างให้ถูกต้อง
àŢ¡¡Òí Åѧ û٠ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ áÅÐÇÔ¸Õ¡ÒÃ
ËÒ¤‹ÒµÇÑ á»Ã º¹¡Ãдҹ ¤‹ÅÙ Ð 1 ¢ÍŒ ข้อที่ รูปเลขยกกา� ลัง รูปลอการิทมึ
1) 104 = 10,000
13. àÁè×͵ÑÇá·¹¼ÙŒàÃÕ¹ᵋÅФًà¢Õ¹ÃÙ»àÅ¢ 2) 31 = 3 log1010,000 = 4
¡¡íÒÅѧ ÃÙ»ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ áÅÐÇÔ¸Õ¡Òà 3) ( 5)0 = 1 log33 = 1
ËÒ¤‹ÒµÑÇá»Ãº¹¡ÃдҹàÊÃç¨áÅŒÇ ãËŒ 4) 100.8451 = 7 log 51 = 0
¼àŒÙ ÃÂÕ ¹¤¹Í¹è× æ ÃÇ‹ Á¡¹Ñ ÇàÔ ¤ÃÒÐˤ Òí µÍº
áÅеÃǨÊͺ¤ÇÒÁ¶Ù¡µŒÍ§¢Í§¡Òà 5) 71 = 7 log107 = 0.8451
à¢ÂÕ ¹Ã»Ù àŢ¡¡Òí Å§Ñ Ã»Ù ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ áÅÐ 6) 50 = 1 log77 = 1
Ç¸Ô ¡Õ ÒÃËÒ¤Ò‹ µÑÇá»Ã log51 = 0

14. ¼ÙŒàÃÕ¹ᵋÅФ¹µÃǨÊͺ¤ÇÒÁ¶Ù¡µŒÍ§ 2. จงเปลย่ี นสมการตอ่ ไปนใี้ หอ้ ยู่ในรปู เลขยกกา� ลงั และหาค่า x
Ẻ½ƒ¡ËÑ´·Ñ¡ÉТͧµÑÇàͧµÒÁà©Å 1) log x = 2วธิ ที ำ� จำก log x = 23
º¹¡Ãдҹ àÊèç áŌǹÒí Ê‹§¼ÊŒÙ ͹µÃǨ
......................................................................3..............................................................................................................................
เกร็ดแนะ ผูสอน
จะได ้ x = 3.........................................................................................2...........................................................................................................
¡‹Í¹·èÕ¼ÙŒÊ͹¨ÐãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹·íÒẺ½ƒ¡ x = 9....................................................................................................................................................................................................
·Ñ¡ÉзÕè 5.1 ´ŒÇµ¹àͧ ¼ŒÙÊ͹¤ÇÃÊûØ
ÇÔ¸Õ¡ÒÃà¢Õ¹àŢ¡¡íÒÅѧãËŒÍÂÙ‹ã¹ÃÙ» ....................................................................................................................................................................................................
¢Í§ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ áÅСÒÃà»ÅÕè¹ÊÁ¡ÒÃ
ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁãËŒÍÂÙ‹ã¹ÃÙ»¢Í§àŢ¡¡íÒÅѧ 2) log x = -2วธิ ที ำ� จำก log x = -23
¾ÃŒÍÁ·éѧËÒ¤‹Ò¢Í§µÑÇá»Ã ¹Í¡¨Ò¡¹éÕ ......................................................................3..............................................................................................................................
¼ÙŒÊ͹ÍÒ¨ÊÒ¸Ôµ¡ÒÃᡌ⨷ã¹áºº½ƒ¡ จะได ้ x = 3.........................................................................................-..2.........................................................................................................
·Ñ¡ÉзèÕ 5.1 ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹´Ù໚¹µÑÇÍ‹ҧ x = 19....................................................................................................................................................................................................
1 - 2 ¢ÍŒ ....................................................................................................................................................................................................

3) log2x = -3

วธิ ที ำ� จำก log x = -3......................................................................2..............................................................................................................................
จะได ้ x = 2.........................................................................................-..3.........................................................................................................
x = 1.........................................................................................3...........................................................................................................
x = 182....................................................................................................................................................................................................

158

Vข้อ-สNอบEแTนว

10 = log21,024 à¢Õ¹ãˌ͋Ùã¹ÃÙ»àŢ¡¡Òí Å§Ñ ä´ŒµÃ§µÒÁ¢ŒÍã´
1. 1,024 = 210
2. 1,024 = 2 × 10
3. 1,024 = 102
4. 1,0242 = 10
5. 0 = 210 + 1,024

158

นนาําํ WWaarrmm--uupp สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up

1.2 สมบัตขิ องลอการทิ มึ นาํ

ก�าหนดให้ a, b, M และ N เป็นจ�านวนจริงบวก ท ่ี a, b ≠ 1 และ p เป็นจ�านวนจรงิ 1. ¼ÊŒÙ ͹ã˼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹ÃÇ‹ Á¡¹Ñ ÍÀ»Ô ÃÒÂÇÒ‹ ÊÁºµÑ Ô
2) logaMN = logaM - logaN ¢Í§ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ ÊÒÁÒö¹íÒ仪‹ÇÂ㹡ÒÃ
1) logaMN = logaM + logaN ËÒ¤‹ÒÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁä´ÍŒ ÂÒ‹ §äÃ

3) logaMp = plogaM 4) lllooogggaabMaa === 1lollog1ogagbbbMa ; b > 0 สอน
5) loga1 = 0 6)
2. ¼ÙŒÊ͹ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹ÈÖ¡ÉÒàÃ×èͧ ÊÁºÑµÔ¢Í§
7) alogax = x 8) ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ ¨Ò¡Ë¹Ñ§Ê×ÍàÃÕ¹ áÅС
µÑÇÍ‹ҧÃٻẺÊÁºÑµÔ¢Í§ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁãËŒ
9) logbNaM = MNlogba 10) alogbM = Mlogba ¼ÙàŒ ÃÕÂ¹È¡Ö ÉÒ

ตัวอยำงที่ 3 3. ¼ÙŒÊ͹͸ԺÒÂà¾èÔÁàµÔÁà¡ÕèÂǡѺ¡ÒùíÒ
ÊÁºÑµÔ¢Í§ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁä»ËÒ¤‹ÒÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ
จงหาคา่ ของ log42 + log432 ¨Ò¡µÑÇÍÂÒ‹ §·èÕ 3 áÅеÇÑ ÍÂÒ‹ §·èÕ 4 ¨Ò¡
วธิ ที า� log42 + log432 = log4(2 × 32) ˹§Ñ ÊÍ× àÃÕ¹
= lloogg446434
= 4. ¼Ù Œ Ê Í ¹  ¡ µÑ Ç Í Â ‹ Ò § ¤Ø ³ Ê Á ºÑ µÔ ¢ Í §
ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÖÁà¾èÁÔ àµÁÔ ¨Ò¡Ë¹§Ñ Ê×ÍàÃÂÕ ¹ â´Â
= 3log44 à¢Õ¹⨷µÑÇÍ‹ҧº¹¡Ãдҹ áÅÐãËŒ
¼ÙŒàÃÕ¹·Ø¡¤¹áÊ´§ÇÔ¸Õ·íÒŧº¹¡ÃдÒÉ
=3 ตอบ A4 àÁ×Íè àÊèç áÅÇŒ ãËŒ¼ÙŒàÃÂÕ ¹ÊÅѺ¡ÃдÒÉ
¤íҵͺ¡Ñº¼ÙŒàÃÕ¹¤¹Íè×¹æ à¾è×ͪ‹Ç¡ѹ
ตัวอยำงท่ี 4 µÃǨÊͺ¤íҵͺ ÃÇÁ·Ñé§ãËŒ¼ÙŒÊ͹
͸ºÔ ÒÂà¾ÔÁè àµÁÔ
จงหาคา่ ของ 1 + log48 - log42
วิธที า� 1 + log48 - log42 = log44 + log48 - log42 เกร็ดแนะ ผสู อน
4 8
= log4( × ) ¼ÙŒÊ͹¤ÇêéÕá¹Ð¢éѹµÍ¹ã¹¡ÒÃËÒ
¤‹ÒÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁÍ‹ҧÅÐàÍÕ´ â´Â¡Å‹ÒǶ֧
= lloogg441426 2 ÊÁºÑµÔ¢Í§ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ·èÕ㪌ã¹áµ‹ÅТéѹµÍ¹
= ¹Í¡¨Ò¡¹Õé¼ÙŒÊ͹ÍҨ¡µÑÇÍ‹ҧà¡ÕèÂǡѺ
¡ÒÃËÒ¤‹ÒÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁâ´Â㪌ÊÁºÑµÔ¢Í§
= 2log44 ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ ·§éÑ 10 ¢ŒÍ ã˼Œ ŒàÙ ÃÂÕ ¹´àÙ ¾èÁÔ àµÔÁ
=2 ตอบ ¹Í¡à˹Í× ¨Ò¡µÑÇÍ‹ҧ·èÕ 3 áÅеÇÑ Í‹ҧ
·Õè 4 ã¹Ë¹§Ñ ÊÍ× àÃÂÕ ¹
159

ÇàÔ ¤ÃÒÐˏ¤Òí µÍº ¾¨Ô ÒóҵÇÑ àÅÍ× ¡·§éÑ 5 ¢ÍŒ ¨Ðà˹ç ä´ÇŒ Ò‹ µÇÑ àÅÍ× ¡
¢ÍŒ 1 à¢ÂÕ ¹ 10 = log 21,024 ãËÍŒ Âã‹Ù ¹Ã»Ù àŢ¡¡Òí Å§Ñ ä´¶Œ ¡Ù µÍŒ §
à¹Í×è §¨Ò¡ x = ay → y = logax
¨Ðä´Œ 1,024 = 210 → 10 = log21,024
µÍº¢ÍŒ 1.

159

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up
สอน
ตัวอยำงที่ 5 log4 16 = lloogg444126 --l ologg44463 4
5. ¼ÙŒÊ͹ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹¨Ñº¤Ù‹¡Ñ¹ÈÖ¡ÉÒµÑÇÍ‹ҧ·Õè 64 =
5 µÇÑ Í‹ҧ·Õè 6 µÑÇÍÂÒ‹ §·èÕ 7 áÅеÑÇÍÂÒ‹ § จงหาค่าของ log46146
·èÕ 8 ¨Ò¡Ë¹§Ñ Ê×ÍàÃÕ¹ วิธที �า = 2log44 - 3log44

6. ¼ÙŒÊ͹͸ԺÒÂà¾ÔèÁàµÔÁà¡èÕÂǡѺµÑÇÍ‹ҧ·èÕ
5 µÇÑ Í‹ҧ·Õè 6 µÇÑ ÍÂÒ‹ §·èÕ 7 áÅеÑÇÍÂÒ‹ §
·Õè 8 ¨Ò¡Ë¹§Ñ ÊÍ× àÃÂÕ ¹ = 2-3 ตอบ
ตอบ
7. ¼ÊŒÙ ͹ã˼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹áµÅ‹ ФË٠Nj Á¡¹Ñ ÊÃÒŒ §â¨·Â = -1 ตอบ
»˜ÞËÒà¡èÕÂǡѺ¡ÒÃËÒ¤‹ÒÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ¨Ò¡ ตอบ
¤³Ø ÊÁºµÑ ԢͧÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ 4 ¢ŒÍ ¾ÃÍŒ Á·éѧ ตัวอยำงท่ี 6 4log23 = 22log23
ËÒ¤íҵͺŧ㹡ÃдÒÉ A4 ¨Ò¡¹Ñé¹ = 2log232
¹Òí ʧ‹ ¼ÊŒÙ ͹µÃǨ จงหาคา่ ของ 4log23 = 32
วธิ ที �า =9
8. ¼ŒÙÊ͹ÊÁØ‹ ¼àÙŒ ÃÂÕ ¹ 3 ¤‹Ù ã˹Œ Òí ⨷» ˜ÞËÒ
à ¡Õè Â Ç ¡Ñ º ¡ Ò Ã Ë Ò ¤ ‹ Ò Å Í ¡ Ò ÃÔ ·Ö Á ¨ Ò ¡ ตัวอยำงที่ 7
¤Ø³ÊÁºÑµÔ¢Í§ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ¢Í§¤Ù‹¼ÙŒàÃÕ¹
ÍÍ¡ÁÒáÊ´§Ç¸Ô Õ·Òí ˹Ҍ ª¹Ñé àÃÂÕ ¹ จงเปลีย่ นจ�านวนต่อไปน้ีเปน ลอการิทมึ ฐาน 10

9. ¼ÙŒÊ͹áÅмٌàÃÕ¹¤¹Íè×¹æ ËÇÁ¡Ñ¹ 1. log23 log23 = 2.lllloooologgggg11110000323535
¾Ô¨ÒóÒáÅеÃǨÊͺ¤ÇÒÁ¶Ù¡µŒÍ§ วิธีท�า 1. log35 =
¢Í§Ç¸Ô ¡Õ ÒÃËÒ¤Ò‹ ÅÍ¡ÒÃÔ·ÁÖ áÅФÒí µÍº
2.
เกร็ดแนะ ผสู อน
ตัวอยำงที่ 8
¼ÊŒÙ ͹ªáÕé ¹Ðã˼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹¤Çè´¨Òí ÊÁºµÑ Ô
¢Í§ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ ·§éÑ 10 ¢ÍŒ à¾Í×è ·¨Õè ÐÊÒÁÒö จงหาคา่ ของ log1255 log1255 = 1
¹íÒä»ãªŒã¹¡ÒÃËÒ¤‹ÒÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ áÅÐ໚¹ วิธที �า log5125
¾é×¹°Ò¹¤ÇÒÁÃٌ㹡ÒÃᡌ⨷»˜ÞËÒ·èÕ
à¡ÕÂè Ǣ͌ §¡ºÑ ÅÍ¡ÒÃÔ·ÁÖ = log1553 = 1
3log55
= 31

160

ผูเรียน ควรรู Vข้อ-สNอบEแTนว

ÅÍ¡ÒÃÔ·ÁÖ °Ò¹ 10 ËÃÍ× ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁÊÒÁÞÑ à»š¹Ê‹Ç¹Ë¹èÖ§¢Í§¿§˜ ¡ª ѹ 125 log52 ÁÕ¤‹ÒµÃ§¡ºÑ ¢ŒÍã´
·èÕÊíÒ¤ÑޢͧÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ «èÖ§¹ÔÂÁà¢Õ¹ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ°Ò¹ 10 â´ÂäÁ‹µŒÍ§ 1. 5
ÁÕ°Ò¹¡íÒ¡ºÑ äÇŒ ઋ¹ log106 à¢Õ¹᷹´ÇŒ  log6 áÅÐ log10N à¢Õ¹᷹ 2. 9
´ŒÇ logN, N ∈ R+ 3. 10
4. 11
5. 12

160

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp

แบบฝกทักษะท่ี 5.2 สรปุ

ค�ำชี้แจง ใ หผ้ ูเ้ รยี นหาคา่ ลอการทิ มึ ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้ 10. ¼ÙŒÊ͹ÊÒ¸Ôµ¡ÒÃà¢Õ¹áÅСÒÃËÒ¤‹Ò
1. 2log29 ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ µÒÁ⨷¡ Òí ˹´¨Ò¡áºº½¡ƒ
·Ñ¡ÉзèÕ 5.2 ãËŒ¼ŒàÙ ÃÕ¹´àÙ »¹š µÑÇÍÂÒ‹ §
วธิ ที ำ� 2 = 2...................................................................lo..g..2.9.................l.o.g..2.3..2..............................................................................................................
= 3.........................................................................................2..................................................................................................................... 11. ¼ÙŒÊ͹ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹ᵋÅФ¹·íÒẺ½ƒ¡
= 9.............................................................................................................................................................................................................. ·¡Ñ ÉзÕè 5.2

.............................................................................................................................................................................................................. เกร็ดแนะ ผูสอน

.............................................................................................................................................................................................................. ¡‹Í¹·Õè¼ÙŒÊ͹¨ÐãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹·íÒẺ½ƒ¡
·Ñ¡ÉзÕè 5.2 ´ŒÇµ¹àͧ ¼ÙŒÊ͹¤ÇÃ
.............................................................................................................................................................................................................. ÊÒ¸Ôµ¡ÒÃá¡âŒ ¨·Â» ˜ÞËÒ ãËŒ¼ÙàŒ ÃÂÕ ¹´àÙ »¹š
µÇÑ ÍÂÒ‹ § 1 ¢ŒÍ â´Âã˼Œ ÙŒàÃÕ¹㹪é¹Ñ àÃÂÕ ¹
.............................................................................................................................................................................................................. ໹š ¼ŒÙàÅ×Í¡¢ÍŒ ·ÁèÕ ¤Õ ÇÒÁʹã¨

2. 4log25

วธิ ที ำ� 4 = (2 )...................................................................lo..g..2.5...................2...l.o..g.2..5..........................................................................................................
= 2.........................................................................................2..lo..g..2.5..............................................................................................................
= 2.........................................................................................l.o.g..2.5..2. .............................................................................................................
= 5.. ................ ........................................................ ...............2.....................................................................................................................
= 25..............................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................

2-log27

3. 2วธิ ที ำ� 2 = 22...............................................................2..-..lo..g..2.7..................lo..g2..2.7...............................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................



= 47..............................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................

161

ÇÔà¤ÃÒÐˤ íҵͺ

ÇÔ¸Õ·Òí 125 log52 = 5 3log52
= 5 log52 3
= 23
=8
´Ñ§¹éѹ 125 log52 à·Ò‹ ¡Ñº 8

µÍº¢ŒÍ 1.

161

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp
สรปุ
4. log 225
12. ¼ÙŒÊ͹ÊØ‹ÁµÑÇá·¹¼ÙŒàÃÕ¹ÍÍ¡ÁÒáÊ´§
ÇÔ¸Õ·íÒ â´Â¼ŒÙÊ͹áÅмàÙŒ ÃÕ¹¤¹Í×¹è æ ¨Ð วธิ ที ำ� log 2 = 15 log 2....................................................................2..5...........................2.............................................................................................................
ª‹Ç¡ѹµÃǨÊͺ¤íҵͺ¢³Ð·èÕµÑÇá·¹
͸ԺÒÂ˹ŒÒªÑé¹àÃÕ¹ ËÒ¡¾ºÇ‹ÒµÇÑ á·¹ ..............................................................................................................................................................................................................
¼àŒÙ ÃÂÕ ¹à©ÅÂäÁ¶‹ ¡Ù µÍŒ § ¼ÊŒÙ ͹áÅмàŒÙ ÃÂÕ ¹
ªÇ‹ ¡ѹá¡äŒ ¢ã˶Œ Ù¡µÍŒ §

เกร็ดแนะ ผสู อน = 51..............................................................................................................................................................................................................

ã¹¢³Ð·Õè¼ÙŒàÃÕ¹·íÒẺ½ƒ¡·Ñ¡ÉÐ ..............................................................................................................................................................................................................
·èÕ 5.2 ¼ÙŒÊ͹¤ÇÃà´Ô¹´Ù¼ÙŒàÃÕ¹Ãͺæ
ˌͧàÃÕ¹ ËÒ¡¾ºÇ‹ÒÁÕ¼ÙŒàÃÕ¹¤¹ã´ÁÕ¢ŒÍ ..............................................................................................................................................................................................................
ʧÊÑ ã˼Œ ʌ٠͹͸ԺÒÂà¾èÁÔ àµÔÁ¨¹¼àŒÙ ÃÕ¹
à¡Ô´¤ÇÒÁࢌÒ㨠..............................................................................................................................................................................................................

5. log 100103

วธิ ที ำ� log 100 = 13 log 100.............................................................1..0..3................................1.0............................................................................................................
= 13 log 10.................................................................................................1.0.......2.....................................................................................................
= 32 log 10.................................................................................................1.0............................................................................................................
= 32... ............... ........................................................ ............... .....................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................

6. log 552

วธิ ที ำ� log 5 = 12 log 5....................................................................5..2...........................5.............................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................

= 21... ............... ........................................................ ............... .....................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................

7. log4log3(log28)

...ว...ิธ..ีท....ำ� .. ..... ........................l.o...g...4..l.o...g..3..(..l.o...g..2..8...).. ....=... .....l.o...g...4.l..o..g...3..(..l.o...g..2..2...3.)........................................................................................
= log log (3log 2)..............................................................................................4........3.............2...........................................................................................
= log log 3..............................................................................................4........3........................................................................................................
= log 1..............................................................................................4................................................................................................................
= 0..............................................................................................................................................................................................................

162

Vขอ้ -สNอบEแTนว

¤‹Ò¢Í§ 81 log29 2 µÃ§¡Ñº¢ŒÍã´ 4. 12 5. 15
1. 3 2. 6 3. 9 µÍº¢ÍŒ 3.

ÇàÔ ¤ÃÒÐˏ¤Òí µÍº
Ç¸Ô Õ·íÒ 81 log292 = 81 91 log2 2

= 891 = 9
´Ñ§¹é¹Ñ 81 log292 à·‹Ò¡ºÑ 9

162

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp

log 165 สรปุ
8. l วoธิ gที ำ� 2 lologg126 == lloogg 126....................5..............................................................................................................5....5....................................................22........4..........................................................................................................................................................................................................................
13. ¼ÙŒÊ͹áÅмٌàÃÕ¹ËÇÁ¡Ñ¹ÊÃØ»àÃè×ͧ
= 4log 2................................................................................................2.............................................................................................................. ¤Ø³ÊÁºÑµ¢Ô ͧÅÍ¡ÒÃ·Ô ÖÁ
= 4... ............... ........................................................ ............... .....................................................................................................................
เกร็ดแนะ ผสู อน
..............................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................. ¼ÊŒÙ ͹¤ÇáµÇÑ ÍÂÒ‹ §â¨·Â· àÕè ¡ÂÕè Ç¡ºÑ
.............................................................................................................................................................................................................. ¡ÒÃËÒ¤Ò‹ ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ 1 - 2 ¢ÍŒ º¹¡Ãдҹ
.............................................................................................................................................................................................................. áÅŒÇãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹㹪Ñé¹àÃÕ¹ËÇÁ¡Ñ¹·íÒ â´Â
ãªÇŒ ¸Ô ¡Õ ÒöÒÁ - µÍº¡Ñº¼ÙàŒ ÃÂÕ ¹ à¾Í×è µÃǨ
9. lologg237...ว..ธิ...ที ...ำ�.. ..... ...........................................l.o.l.o.g..g.2.3.7... . .....=.. ......l.o..g...3..2..7............................................................................................................. Êͺ¤ÇÒÁࢌÒ㨢ͧ¼ÙàŒ ÃÂÕ ¹

= log 3.............................................................................................3....3.............................................................................................................
= 3log 3................................................................................................3..............................................................................................................
= 3... ............... ........................................................ ............... .....................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................

10. log 2 log 3...ว..ธิ...ที3...ำ�.. .×.... .........4................l.o...g..3..2.. ..×... ..l..o..g...4.3... .. . .....=.. ......ll.oo...gg...32... ..×....ll..oo..gg...34................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................

= lloogg24..............................................................................................................................................................................................................
= log 2.............................................................................................4.................................................................................................................
= log 2.............................................................................................2..2...............................................................................................................
= 12 log 2................................................................................................2..............................................................................................................
= 12..............................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................

163

ทศตกั ษวระ รษที่ 21

1. ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹¨Ñº¤Ù‹¡Ñ¹ áŌǤŒ¹¤ÇŒÒËÒ⨷à¡èÕÂǡѺ¡ÒÃËÒ¤‹Ò
ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ¾ÃŒÍÁÇÔ¸Õ·Òí ã¹ E - book µÒ‹ §æ ¨Ò¡áËÅ‹§¡ÒÃ
àÃÂÕ ¹ÃÙŒ ¨Òí ¹Ç¹ 5 ¢ÍŒ

2. ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹ÍÍ¡ÁÒ¹íÒàʹÍ⨷·èÕä´ŒËÒÁÒ¤Ù‹ÅÐ 1 ⨷·Õè
¼ŒÙàÃÕ¹¤Ô´ÇÒ‹ ÁÕ¤ÇÒÁ¹Ò‹ ʹã¨Ë¹ÒŒ ª¹éÑ àÃÂÕ ¹

163

นนาําํ WWaarrmm--uupp สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up

นาํ 1.3 ลอการิทึมสามัญ

1. ¼ÙŒÊ͹µéѧ¤íÒ¶ÒÁà¾è×ÍãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹ËÇÁ¡Ñ¹ ลอการิทึมสามัญ (Common Logarithm) เป็นลอการิทึมท่ีมีฐานเป็นสิบ และนิยมเขียน
ÍÀ»Ô ÃÒ ´Ñ§¹éÕ
• ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁÊÒÁÑÞÁÕÃٻẺ¡ÒÃà¢Õ¹ ลอการิทมึ สามญั โดยไม่มฐี านกา� กับ เชน่
Å¡Ñ É³ÐẺã´
log105 เขียนแทนด้วย log 5
á¹ÇµÍº log10N เขยี นแทนดว้ ย log N เม่ือ N ∈ R+
ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ ÊÒÁÑÞ à»¹š ÅÍ¡ÒÃÔ·ÁÖ °Ò¹ 10 log10x เขียนแทนดว้ ย log x
áÅйÔÂÁà¢Õ¹ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁÊÒÁÑÞâ´ÂäÁ‹ÁÕ
°Ò¹¡Òí ¡Ñº 1) การหาคา่ ลอการทิ ึมสามญั ของจ�านวนจรงิ บวกใดๆ

สอน กา� หนดให้ N เปน็ จา� นวนจรงิ บวก เราสามารถหาค่า log N ได้โดยเขยี น N ใหอ้ ยู่ใน
รูป N = N0 × 10n เมือ่ 1 ≤ N0 < 10 และ n เปน็ จา� นวนเต็ม การหาคา่ log N สามารถท�าได้
2. ¼ÙŒÊ͹ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹ÈÖ¡ÉÒàÃè×ͧ ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ โดยอาศยั สมบัติของลอการิทึม ดงั นี้
ÊÒÁÞÑ ¨Ò¡Ë¹§Ñ Ê×ÍàÃÂÕ ¹ N = N0 × 10n
log N = log (N0 × 10n)
3. ¼ÙŒÊ͹͸ԺÒÂà¾ÔèÁàµÔÁà¡èÕÂǡѺ¡ÒÃËÒ¤‹Ò log N = log N0 + log 10n
ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ ÊÒÁÞÑ ¢Í§¨Òí ¹Ç¹¨Ã§Ô ã´æ ¨Ò¡
˹ѧÊÍ× àÃÕ¹
ดังนัน้ log N = log N0 + n
4. ¼ÙŒÊ͹¡µÑÇÍ‹ҧ¡ÒÃËÒ¤‹ÒÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ
ÊÒÁÑÞà¾ÔèÁàµÔÁ¨Ò¡Ë¹Ñ§Ê×ÍàÃÕ¹ â´Â จาก log N = log N + n จะได้ว่า n เป็นจา� นวนเตม็ เรยี กวา่ แคแรกเทอริสตกิ
à¢Õ¹⨷µÑÇÍ‹ҧº¹¡Ãдҹ áÅÐãËŒ (Characteristic) ของ log N และค่าของ log N0 เรยี กวา่ แมนทิสซา (Mantissa) ของ log N ซึง่
¼ÙŒàÃÕ¹·Ø¡¤¹áÊ´§ÇÔ¸Õ·íÒŧº¹¡ÃдÒÉ มีคา่ มากกว่าหรอื เท่ากบั 0 แตน่ ้อยกวา่ 1 โดยสามารถหาคา่ ของ log N0 ไดจ้ ากตารางภาคผนวก
A4
เพราะฉะนั้น ลอการทิ มึ สามญั ของจา� นวนใดๆ = แคแรกเทอริสติก + แมนทิสซา
5. ¼ÙŒÊ͹à©Å¤íҵͺ·Ñ駾ÌÍÁ͸ԺÒÂ
à¾ÔÁè àµÁÔ เช่น log 634 = 2.8021 จะได้ว่า คา่ แมนทสิ ซาของ log 634 คอื 0.8021
และคา่ แคแรกเทอรสิ ติกของ log 634 คอื 2
เกร็ดแนะ ผสู อน
log 6357 = 3.8033 จะไดว้ า่ คา่ แมนทสิ ซาของ log 6357 คือ 0.8033
¼ÙŒÊ͹¤ÇáŋÒǶ֧¤ÇÒÁÊíÒ¤Ñޢͧ และคา่ แคแรกเทอริสตกิ ของ log 6357 คอื 3
¤Ò‹ áÁ¹·ÊÔ «ÒáÅФҋ á¤ááà·ÍÃÊÔ µ¡Ô ¡Í‹ ¹
·¨èÕ Ð¡ÒÃËÒ¤‹ÒÅÍ¡ÒÃÔ·ÁÖ ÊÒÁÑÞ log 50.72 = 1.7052 จะไดว้ า่ ค่าแมนทิสซาของ log 50.72 คอื 0.7052
และคา่ แคแรกเทอริสตกิ ของ log 50.72 คือ 1

เศรษฐกพิจ อเพียง 164

àÈÃÉ°¡¨Ô ¾Íà¾ÂÕ §à»¹š ¾ÃÐÃÒª»ÃªÑ ÞÒ·¾èÕ ÃкҷÊÁà´¨ç ¾ÃÐà¨ÒŒ ÍÂË‹Ù ÇÑ Vขอ้ -สNอบEแTนว
·Ã§¾ÃСÃسҾÃÐÃÒª·Ò¹á¡‹¾Ê¡¹Ô¡ÃªÒÇä·Â à¾×èÍ໚¹á¹Ç·Ò§ã¹
¡ÒôíÒà¹Ô¹ªÕÇÔµáÅÐÃѺÁ×͡Ѻ¡ÃÐáÊâÅ¡ÒÀÔÇѵ¹ ËÃ×ÍÃѺÁ×͡Ѻ¡Òà log 789 Á¤Õ Ò‹ á¤ááà·ÍÃÔʵ¡Ô à·Ò‹ ã´
à»ÅÕè¹á»Å§ã¹Í¹Ò¤µ â´Âʋǹ˹Öè§ã¹¡ÒÃÇҧἹÃѺÁ×Íã¹Í¹Ò¤µ 1. -1
¤Í× ¡ÒÃÇҧἹÍÍÁà§¹Ô àÃÒÊÒÁÒö㪌¾é×¹°Ò¹¤ÇÒÁÃŒàÙ ÃÍè× § ÅÍ¡ÒÃÔ·ÁÖ 2. 0
ÁÒ¤Òí ¹Ç³¨Òí ¹Ç¹»·‚ àÕè Ãҵ͌ §¡ÒÃÍÍÁà§¹Ô ã¹ÃÐÂÐÂÒÇä´Œ à¾Íè× ãËäŒ ´àŒ §¹Ô µ¹Œ 3. 1
¾ÃŒÍÁ´Í¡àºéÕÂÁÒ㪌ã¹ÂÒÁ·èÕà¨çº»†ÇÂáÅÐËÅѧà¡ÉÕ³ÍÒÂبҡ¡Òà 4. 2
·Òí §Ò¹ä´Œ 5. 3

164

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up

สอน

ตัวอยำงท่ี 9 6. ¼ŒÙÊ͹ã˼Œ ŒàÙ ÃÂÕ ¹¨Ñº¤Ù‹ÈÖ¡ÉÒµÑÇÍ‹ҧ·èÕ 9
¨Ò¡Ë¹§Ñ ÊÍ× àÃÕ¹
7. ¼ÙŒÊ͹͸ԺÒÂà¾èÔÁàµÔÁà¡ÕèÂǡѺµÑÇÍ‹ҧ
จงหาค่าแมนทสิ ซาและคา่ แคแรกเทอรสิ ตกิ ของจา� นวนต่อไปน้ี ·èÕ 9 ¨Ò¡Ë¹Ñ§ÊÍ× àÃÂÕ ¹

1. log 257 2. log 345 8. ¼ÙŒÊ͹ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹ᵋÅФًËÇÁ¡Ñ¹ÊÌҧ

3. log 0.0345 4. log 0.7654 ⨷» Þ˜ ËÒà¡ÂèÕ Ç¡ºÑ ¡ÒÃËÒ¤Ò‹ áÁ¹·ÊÔ «Ò

วธิ ีทา� 1. log 257 = log(2.57 × 102) áÅФ‹Òá¤ááà·ÍÃÔʵԡ¨Ò¡ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ

= log 2.57 + log 102 ÊÒÁÞÑ 3 ¢ÍŒ ¾ÃŒÍÁ·Ñé§ËÒ¤Òí µÍºÅ§ã¹

= log 2.57 + 2 ¡ÃдÒÉ A4 ¨Ò¡¹éѹ¹Òí ʧ‹ ¼ŒÙÊ͹µÃǨ
9. ¼ÊÙŒ ͹ʋØÁ¼ŒàÙ ÃÂÕ ¹ 3 ¤‹Ù ã˹Œ Òí ⨷»Þ˜ ËÒ
ดังนน้ั ค่าแมนทิสซาของ log 257 คือ log 2.57 ตอบ

และ คา่ แคแรกเทอริสติกของ log 257 คือ 2 à¡ÕèÂǡѺ¡ÒÃËÒ¤‹ÒáÁ¹·ÔÊ«Ò áÅФ‹Ò

2. log 345 = log(3.45 × 102) á¤ááà·ÍÃÔʵԡ¨Ò¡ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁÊÒÁÑÞ

= log 3.45 + log 102 ¢Í§¤Ù‹¼ÙŒàÃÕ¹ÍÍ¡ÁÒáÊ´§ÇÔ¸Õ·íÒ˹ŒÒ

= log 3.45 + 2 ª¹Ñé àÃÂÕ ¹
10. ¼ÙŒÊ͹áÅмٌàÃÕ¹¤¹Í×è¹æ ËÇÁ¡Ñ¹
ดงั นน้ั คา่ แมนทิสซาของ log 345 คือ log 3.45 ตอบ

และ คา่ แคแรกเทอรสิ ติกของ log 345 คอื 2 ¾Ô¨ÒóÒáÅеÃǨÊͺ¤ÇÒÁ¶Ù¡µŒÍ§

3. log 0.0345 = log(3.45 × 10-2) ¢Í§ÇÔ¸Õ¡ÒÃËÒ¤‹ÒáÁ¹·ÔÊ«ÒáÅФ‹Ò

= log 3.45 + log 10-2 á¤ááà·ÍÃÔʵԡ¨Ò¡ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁÊÒÁÑÞ

= log 3.45 + (-2) ตอบ áÅФÒí µÍº

ดังนนั้ ค่าแมนทสิ ซาของ log 0.0345 คอื log 3.45

และ คา่ แคแรกเทอริสตกิ ของ log 0.0345 คือ -2

4. log 0.7654 = log(7.654 × 10-1)

= log 7.654 + log 10-1

= log 7.654 + (-1)log 10

= (0.8837 + 0.0002) + (-1)

= 0.8839 + (-1) เกร็ดแนะ ผสู อน

= 1.8839 หรือ -0.1161 ตอบ ¼ÙŒÊ͹¤ÇêéÕá¹ÐãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹ÃÐÁÑ´ÃÐÇѧ
ã¹àÃ×Íè §¡ÒÃãªàŒ ¤ÃèÍ× §ËÁÒÂ㹡Òäíҹdz
ดงั น้นั คา่ แมนทิสซาของ log 0.7654 คอื 0.8839 ËÒ¤‹ÒáÁ¹·ÊÔ «ÒáÅФҋ á¤ááà·ÍÃÔʵԡ

และ ค่าแคแรกเทอรสิ ติกของ log 0.7654 คอื -1 165

ÇÔà¤ÃÒÐˏ¤Òí µÍº ผูเรียน ควรรู
Ç¸Ô Õ·íÒ log789 = log(7.89 × 10 2)
¤‹ÒáÁ¹·ÔÊÒáÅФ‹Òá¤ááà·ÍÃÔʵԡ ÊÒÁÒö¾Ô¨ÒóÒä´Œ¨Ò¡
= log 7.89 + 10 2 logN = logA + n â´Â·èÕ ¤Ò‹ á¤ááà·ÍÃÊÔ µ¡Ô ¤Í× ¤Ò‹ n «§èÖ à»¹š ¨Òí ¹Ç¹àµÁç
= log 7.89 + 2 ÊÇ‹ ¹¤Ò‹ áÁ¹·ÊÔ «Ò ¤Í× logA «§Öè àÃÒÊÒÁÒö໴ ¤Ò‹ áÁ¹·ÊÔ «Òä´¨Œ Ò¡µÒÃÒ§
´§Ñ ¹Ñé¹ ¤‹Òá¤ááà·ÍÃÔʵԡ ෋ҡѺ 2

µÍº¢ÍŒ 4.

165

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up
สอน
2) การหาคา่ แมนทสิ ซาจากตารางลอการทิ ึมสามัญ
11. ¼ÊÙŒ ͹ã˼Œ ŒàÙ ÃÕ¹ÈÖ¡ÉÒ¤ÇÒÁÃŒàÙ Ãè×ͧ ¡ÒÃ
ËÒ¤‹ÒáÁ¹·ÔÊ«Ò ¨Ò¡µÒÃÒ§ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ การหาค่าแมนทิสซาของ log N เป็นการหาค่า log N0 จากตารางลอการิทึมสามัญ
ÊÒÁÞÑ ¨Ò¡Ë¹§Ñ Ê×ÍàÃÕ¹ ซ่งึ ปรากฏอยู่ที่ภาคผนวกท้ายเล่ม
จากตารางลอการิทึมสามัญส่วนท่ีเรียกว่า แมนทิสซา ที่ปรากฏอยู่ในตารางเป็นค่า
12. ¼ŒÙÊ͹à¢Õ¹¤Ò‹ ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÖÁÊÒÁÑÞ 10 ¤‹Ò โดยประมาณในรปู ทศนยิ ม 4 ตา� แหนง่ ดงั นนั้ ลอการทิ มึ ทค่ี า� นวณไดโ้ ดยใชต้ ารางลอการทิ มึ สามญั
º¹¡Ãдҹ ¨Ò¡¹¹éÑ ¼ÊŒÙ ͹ÊÁ‹Ø ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹ 10 จงึ เป็นค่าโดยประมาณ
¤¹ â´Â¡íÒ˹´¤‹ÒÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁÊÒÁÑÞãËŒ
¼àŒÙ ÃÂÕ ¹¤¹ÅÐ 1 ¤Ò‹ ¨Ò¡¹¹Ñé ã˼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹à»´ ตารางลอการทิ ึม (บางสว่ น)
µÒÃÒ§ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ áÅÐà¢ÂÕ ¹¤Ò‹ áÁ¹·ÊÔ «Ò
º¹¡Ãдҹ ส่วนที่ 1 สว่ นท่ี 2 ส่วนท ่ี 3

13. ¼ÙŒÊ͹áÅмٌàÃÕ¹¤¹Í×è¹æ µÃǨÊͺ 0123456789123456789
¤ÇÒÁ¶¡Ù µÍŒ § ¾ÃÍŒ Á·§éÑ Í¸ÔºÒÂà¾èÔÁàµÁÔ
10 0000 0453 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374 4 8 12 17 21 25 29 33 37
เกร็ดแนะ ผสู อน 11 0414 0453 0496 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755 4 8 11 15 19 23 26 30 34
12 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106 3 7 10 14 17 21 24 28 31
¼ÙŒÊ͹¤ÇáµÑÇÍ‹ҧÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ 13 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 1430 3 6 10 13 16 19 23 26 29
ÊÒÁÑÞà¾èÔÁàµÔÁ ¹Í¡à˹×ͨҡã¹Ë¹Ñ§Ê×Í . ...................
àÃÕ¹º¹¡Ãдҹ áÅŒÇÊØ‹Á¼ÙŒàÃÕ¹ÍÍ¡ÁÒ . ...................
ºÍ¡Ç‹ÒÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁÊÒÁÑÞ¹éѹÁÕ¤‹ÒáÁ¹·ÔÊ . ...................
«ÒáÅФ‹Òá¤ááà·ÍÃÔʵԡ෋Òã´ ËÒ¡ 30 4771 4795 4800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 4900 1 3 4 6 7 9 10 11 13
¼ÙŒàÃÕ¹ºÍ¡¤‹ÒáÁ¹·ÔÊ«ÒËÃ×ͤ‹Òá¤áá- 31 4914 4928 4942 4955 4969 4983 7997 5011 5024 5038 1 3 4 6 7 8 10 11 12
à·ÍÃÔʵԡäÁ‹¶Ù¡µŒÍ§ ãËŒ¼ÙŒÊ͹ªÕéá¹ÐáÅÐ . ...................
͸ԺÒÂà¾èÔÁàµÔÁà¡ÕèÂǡѺ¡ÒÃËÒ¤‹ÒáÁ¹- . ...................
·ÊÔ «ÒáÅФҋ á¤ááà·ÍÃÊÔ µ¡Ô ¨Ò¡¡ÒÃà»´ . ...................
µÒÃÒ§ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ ÊÒÁÑÞ 62 7924 7931 7938 7945 7952 7959 7966 7976 7980 7987 1 1 2 3 3 4 5 6 6
63 7993 8000 8007 8014 8021 8028 8035 8041 8048 8055 1 1 2 3 3 4 5 5 6
64 8062 8069 8075 8082 8089 8096 8102 8109 8116 8122 1 1 2 3 3 4 5 5 6
. ...................
. ...................
. ...................
98 9912 9917 9921 9926 9930 9934 9939 9943 9948 9952 0 1 1 2 2 3 3 4 4
99 9956 9961 9965 9969 9974 9978 9983 9987 9991 9996 0 1 1 2 2 3 3 3 4

การหาคา่ แมนทสิ ซาจากตารางลอการิทมึ สามารถทา� ได้ ดังน้ี
1. ถ้า N0 มที ศนยิ มไมเ่ กนิ สองต�าแหนง่ อ่านคา่ แมนทสิ ซาได้จากสว่ นที่ 1 และสว่ นท่ี 2
จากตาราง เชน่ คา่ แมนทสิ ซาของ log 1.28 = 0.1072 โดยพิจารณาจากแถวหมายเลข 12 ใน
ส่วนที่ 1 และหลักหมายเลข 8 ในส่วนที ่ 2 ของตารางจะไดจ้ �านวน 0.1072 (ดูตาราง)

166

Vข้อ-สNอบEแTนว

log 64.87 Á¤Õ ‹ÒáÁ¹·Ôʫҵç¡ºÑ ¢ŒÍã´
1. 0.517
2. 0.812
3. 0.997
4. 1.218
5. 1.586

166

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up

2. ถา้ มที ศนยิ มเกนิ สองตา� แหนง่ อา่ นคา่ แมนทสิ ซาไดจ้ ากสว่ นท ี่ 1, 2 และ 3 ของตาราง สอน
เช่น log 1.056 = 0.0237 โดยพิจารณาจากแถวหมายเลข 10 ในส่วนท่ี 1 และหลักหมายเลข 5
ในสว่ นท ี่ 2 ของตารางจะไดจ้ า� นวน 0.0212 จากนน้ั พจิ ารณาแถวหมายเลข 10 และหลกั หมายเลข 14. ¼ÊŒÙ ͹ã˼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹¨ºÑ ¤È‹Ù ¡Ö ÉÒµÇÑ ÍÂÒ‹ §·èÕ 10
6 ในส่วนที่ 3 จะได้จา� นวน 0.0025 ¨Ò¡Ë¹§Ñ ÊÍ× àÃÕ¹
ดังนนั้ log 1.056 = 0.0212 + 0.0025
15. ¼ÙŒÊ͹͸ԺÒÂà¾ÔèÁàµÔÁà¡ÕèÂǡѺµÑÇÍ‹ҧ
= 0.0237 ·Õè 10 ¨Ò¡Ë¹§Ñ Ê×ÍàÃÂÕ ¹

ตัวอยำงที่ 10 16. ¼ÊŒÙ ͹ã˼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹áµÅ‹ ФË٠Nj Á¡¹Ñ ÊÃÒŒ §â¨·Â
»Þ˜ ËÒà¡ÂèÕ Ç¡ºÑ ¡ÒÃËÒ¤Ò‹ áÁ¹·ÊÔ «ÒáÅÐ
จงหาค่าตอ่ ไปน ี้ พรอ้ มทง้ั ระบคุ า่ แมนทสิ ซาและค่าแคแรกเทอรสิ ตกิ ¤‹Òá¤ááà·ÍÃÔʵԡ¨Ò¡¡ÒÃແ´µÒÃÒ§
ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁÊÒÁÑÞ 5 ¢ŒÍ ¾ÃŒÍÁ·éѧËÒ
1. log 34.5 2. log 0.345 ¤íҵͺŧ㹡ÃдÒÉ A4 ¨Ò¡¹Ñ¹é ¹íÒÊ‹§
¼ŒÊ٠͹µÃǨ
3. log 1.437 4. log 5123
17. ¼ÊŒÙ ͹ÊÁØ‹ ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹ 5 ¤‹Ù ãËŒ¹Òí ⨷» ˜ÞËÒ
5. log 0.000498 6. log 0.000635 à¡ÕèÂǡѺ¡ÒÃËÒ¤‹ÒáÁ¹·ÔÊ«ÒáÅФ‹Ò
á¤ááà·ÍÃÔʵԡ¨Ò¡¡ÒÃແ´µÒÃÒ§
วิธีทา� 1. log 34.5 = log(3.45 × 101) ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁÊÒÁÑޢͧ¤Ù‹¼ÙŒàÃÕ¹ÍÍ¡ÁÒ
áÊ´§ÇÔ¸·Õ íÒ˹ŒÒªéѹàÃÂÕ ¹
= log 3.45 + log 101
18. ¼ÙŒÊ͹áÅмٌàÃÕ¹¤¹Íè×¹æ ËÇÁ¡Ñ¹
= 0.5378 + 1 ¾Ô¨ÒóÒáÅеÃǨÊͺ¤ÇÒÁ¶Ù¡µŒÍ§

= 1.5378 เกร็ดแนะ ผูสอน

ดังน้ัน ค่าแมนทิสซา คอื 0.5378 ตอบ ¼ÙŒÊ͹ÍÒ¨ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹¨Ñº¤Ù‹¡Ñ¹áÅŒÇãËŒ
ตอบ ¼ÙŒàÃÕ¹ᵋÅФ¹à¢Õ¹¤‹ÒÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁÊÒÁÑÞ
และ ค่าแคแรกเทอรสิ ติก คือ 1 ¤¹ÅÐ 3 ¤Ò‹ ŧ㹡ÃдÒÉ A4 ¨Ò¡¹¹éÑ ãËŒ
¼àŒÙ ÃÂÕ ¹áÅ¡à»ÅÂÕè ¹¡ºÑ ¤¢‹Ù ͧµ¹àͧ à¾Í×è ËÒ
2. log 0.345 = log(3.45 × 10-1) ¤Ò‹ áÁ¹·ÊÔ «ÒáÅФҋ á¤ááà·ÍÃÊÔ µ¡Ô ¨Ò¡
¡ÒÃແ´µÒÃÒ§ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁÊÒÁÞÑ
= log 3.45 + log 10-1

= 0.5378 + (-1)

= -0.4622 หรือ 1.5378

ดังนน้ั คา่ แมนทิสซา คือ 0.5378

และ ค่าแคแรกเทอริสตกิ คอื -1

หมายเหต ุ คา่ แคแรกเทอรสิ ติกทเ่ี ปน็ จา� นวนลบนนั้ นยิ มเขียนบาร์ไวบ้ นคา่ แคแรกเทอริสตกิ น้ัน
เชน่ 0.5378 + (-1) = 1.5378 อา่ นว่า บารห์ นึ่งจุดห้าสามเจ็ดแปด (ซ่งึ มคี า่ เทา่ กับ -0.4622 ดังตัวอยา่ ง)

167

ÇÔà¤ÃÒÐˤ íҵͺ
Ç¸Ô Õ·Òí log 64.87 = log (6.487 × 10 1)

= log 6.487 + log 10 1
= 0.8120 + 1
= 1.8120
´§Ñ ¹¹éÑ ¤Ò‹ áÁ¹·ÊÔ «Ò à·Ò‹ ¡ºÑ 0.8120

µÍº¢ÍŒ 2.

167

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up
สอน
3. log 1.437 = log(1.437 × 101) ตอบ
19. ¼ÙŒÊ͹¡µÑÇÍ‹ҧ⨷»˜ÞËÒà¡ÕèÂǡѺ ตอบ
¡ÒÃËÒ¤Ò‹ áÁ¹·ÊÔ «ÒáÅФҋ á¤ááà·Í- = log 1.437 + log 101 ตอบ
ÃÔʵԡ¨Ò¡¡ÒÃແ´µÒÃÒ§ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ ตอบ
ÊÒÁÞÑ 3 ¢ÍŒ à¾ÁèÔ àµÔÁ ¨Ò¡Ë¹Ñ§ÊÍ× àÃÂÕ ¹ = (0.1553 + 0.0021) + 1
â´Âà¢Õ¹µÑÇÍ‹ҧº¹¡ÃдҹáÅÐãËŒ
¼ÙŒàÃÕ¹·Ø¡¤¹áÊ´§ÇÔ¸Õ·íÒŧº¹¡ÃдÒÉ = 0.1574 + 1
A4 àÁÍè× àÊèç áÅÇŒ ã˼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹ÊÅºÑ ¡ÃдÒÉ
¤íҵͺ¡ºÑ ¼àŒÙ ÃÕ¹¤¹Í¹×è à¾èÍ× µÃǨÊͺ = 1.1574
¤Òí µÍº
ดังนนั้ ค่าแมนทิสซา คือ 0.1574
20. ¼ÙŒÊ͹à©Å¤íÒ¶ÒÁ¾ÃŒÍÁ·éѧ͸ԺÒÂ
à¾ÁÔè àµÁÔ และ คา่ แคแรกเทอรสิ ติก คอื 1

เกร็ดแนะ ผสู อน 4. log 5123 = log(5.123 × 103)

ËÒ¡Á¼Õ àŒÙ ÃÂÕ ¹¤¹ã´Â§Ñ äÁà‹ ¢ÒŒ ã¨à¡ÂÕè Ç¡ºÑ = log 5.123 + log 103
¡ÒÃËÒ¤Ò‹ áÁ¹·ÊÔ «ÒáÅÐá¤ááà·ÍÃÊÔ µÔ¡
¨Ò¡¡ÒÃແ´µÒÃÒ§ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁÊÒÁÑÞ ãËŒ = (0.7093 + 0.0003) + 3
¼ÙŒÊ͹¡µÑÇÍ‹ҧ⨷à¾ÔèÁàµÔÁ à¾è×Í
͸ԺÒÂã˼Œ ÙàŒ ÃÕ¹à¡Ô´¤ÇÒÁࢌÒã¨ÁÒ¡¢éÖ¹ = 0.7096 + 3

= 3.7096

ดังนน้ั ค่าแมนทสิ ซา คือ 0.7096

และ ค่าแคแรกเทอริสตกิ คอื 3

5. log 0.000498 = log(4.98 × 10-4)

= log 4.98 + log 10-4

= log 4.98 + (-4)

= 0.6972 + (-4)

= -3.3028

ดังน้ัน คา่ แมนทิสซา คือ 0.6972

และ ค่าแคแรกเทอรสิ ตกิ คือ -4

6. log 0.000635 = log(6.35 × 10-4)

= log 6.35 + log 10-4

= log 6.35 + (-4) log 10

= (0.8028) + (-4)

= 4.8028 หรอื -3.1972

ดงั น้ัน คา่ แมนทิสซา คือ 0.8028

และ คา่ แคแรกเทอริสตกิ คอื -4

168

ขV้อ-สNอบEแTนว

log 175.81 Á¤Õ Ò‹ áÁ¹·ÊÔ «ÒáÅФҋ á¤ááà·ÍÃÊÔ µ¡Ô à·Ò‹ ¡ºÑ à·Ò‹ ã´
1. ¤Ò‹ áÁ¹·ÔÊ«Ò ¤×Í 0.245 áÅФ‹Òá¤ááà·ÍÃÔʵԡ ¤×Í 2
2. ¤Ò‹ áÁ¹·ÊÔ «Ò ¤Í× 0.542 áÅФ‹Òá¤ááà·ÍÃÊÔ µÔ¡ ¤Í× 2
3. ¤‹ÒáÁ¹·ÔÊ«Ò ¤×Í 0.245 áÅФ‹Òá¤ááà·ÍÃÔʵ¡Ô ¤Í× 3
4. ¤‹ÒáÁ¹·ÊÔ «Ò ¤×Í 0.542 áÅФ‹Òá¤ááà·ÍÃÔʵ¡Ô ¤×Í 3
5. ¤‹ÒáÁ¹·ÔÊ«Ò ¤Í× 0.6118 áÅФҋ á¤ááà·ÍÃÊÔ µ¡Ô ¤Í× 3

168

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp

แบบฝกทักษะท่ี 5.3 สรปุ

ค�ำช้ีแจง ใหผ้ ูเ้ รียนหาค่าลอการทิ มึ ของจา� นวนที่ก�าหนดให้ตอ่ ไปน้ ี พรอ้ มท้งั ระบุค่าแมนทิสซา 21. ¼ÙŒÊ͹ÊÒ¸Ôµ¡ÒÃËÒ¤‹ÒÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁÊÒÁÑÞ
และคา่ แคแรกเทอรสิ ติก โดยใช้ตารางลอการทิ ึมสามัญ â´Â㪌µÒÃÒ§ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁÊÒÁÑÞµÒÁ·èÕ
⨷¡íÒ˹´¨Ò¡áºº½ƒ¡ËÑ´·Ñ¡ÉзèÕ
1. log 12300 5.3 ã˼Œ ŒàÙ ÃÕ¹´àÙ »¹š µÇÑ Í‹ҧ

...ว..ธิ...ที ...ำ�.. ..... .................................l.o..g... .1..2...3...0..0... .. . ....=... .....l.o...g.. .(..1.....2...3.. ..×... ..1...0...4.)....................................................................................... 22. ¼ÙŒÊ͹ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹ᵋÅФ¹·íÒẺ½ƒ¡
= log 1.23 + log 10.........................................................................................................................4.................................................................................... ·¡Ñ ÉзÕè 5.3
= 0.0899 + 4.............................................................................................................................................................................................................
= 4.0899............................................................................................................................................................................................................. เกร็ดแนะ ผสู อน
... ...............ด....งั ..น...น้ั... ..........ค...ำ.่ ..แ...ม...น...ท...ส.ิ ...ซ..ำ... ..ค...อื... ..0.....0...8..9...9.. ..................................................................................................................
... ............... ......................แ...ล...ะ...ค...ำ่..แ...ค...แ...ร...ก...เ.ท....อ...ร..สิ...ต...ก.ิ .. ...ค...อื ... ..4.......................................................................................................... ¡‹Í¹·èÕ¼ÙŒÊ͹¨ÐãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹ŧÁ×Í·íÒ
Ẻ½¡ƒ ·Ñ¡ÉзÕè 5.3 ´ÇŒ µ¹àͧ ¼ŒÊ٠͹
............................................................................................................................................................................................................. ¤ÇÃÊÒ¸Ôµ¡ÒÃᡌ⨷»˜ÞËÒ ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹
´àÙ »š¹µÑÇÍ‹ҧ 1 ¢ŒÍ â´ÂãËŒ¼ÙŒàÃÂÕ ¹ã¹ªÑ¹é
............................................................................................................................................................................................................. àÃÂÕ ¹à»š¹¼àÙŒ ÅÍ× ¡¢ÍŒ ·ÕÁè Õ¤ÇÒÁʹã¨

2. log 0.00123

...ว..ธิ...ที ...ำ�.. ..... .............................l.o..g... .0.....0..0...1...2..3... .. . ....=... .....l.o...g.. .(..1.....2...3.. ..×... ..1...0...-.3..).....................................................................................
= log 1.23 + log 10.........................................................................................................................-..3..................................................................................
= 0.0899 - 3.............................................................................................................................................................................................................
= -2.9101 หรอื _3.0899.............................................................................................................................................................................................................
... ...............ด....งั ..น...น้ั... ..........ค...ำ.่ ..แ...ม...น...ท...ส.ิ ...ซ..ำ... ..ค...อื... ..0.....0...8..9...9.. ..................................................................................................................
... ............... ......................แ...ล...ะ...ค...ำ่..แ...ค...แ...ร...ก...เ.ท....อ...ร..สิ...ต...ก.ิ .. ...ค...อื ... ..-..3........................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

3. log 3710

...ว..ธิ...ที ...ำ�.. ..... ...................................l.o...g.. .3...7...1..0... .. . ....=... .....l.o...g.. .(..3.....7...1..0... ..×... ..1...0..3..)....................................................................................
= log 3.71 + log 10.........................................................................................................................3....................................................................................
= 0.5694 + 3.............................................................................................................................................................................................................
= 3.5694.............................................................................................................................................................................................................
... ...............ด....งั ..น...นั้... ..........ค...ำ.่ ..แ...ม...น...ท...ส.ิ ...ซ..ำ... ..ค...อื... ..0.....5...6..9...4.. ..................................................................................................................
... ............... ......................แ...ล...ะ...ค...ำ่..แ...ค...แ...ร...ก...เ.ท....อ...ร..สิ...ต...ก.ิ .. ...ค...อื ... ..3..........................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

169

ÇÔà¤ÃÒÐˏ¤íҵͺ
Ç¸Ô Õ·Òí log 175.81 = log 1.7581 × 10 2

= log 1.7581 + log 10 2
= 0.2450 + 2
= 2.2450
´Ñ§¹éѹ ¤Ò‹ áÁ¹·ÊÔ «Ò ¤Í× 0.245 áÅÐ
¤Ò‹ á¤ááà·ÍÃÊÔ µ¡Ô ¤Í× 2

µÍº¢ÍŒ 1.

169

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp
สรปุ
4. l og 0.0832
23. ¼ÊŒÙ ͹ÊÁ‹Ø ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹ÍÍ¡ÁÒáÊ´§Ç¸Ô ·Õ Òí â´Â
¼ÊÙŒ ͹áÅмŒÙàÃÕ¹¤¹Í×¹è æ ªÇ‹ ¡ѹµÃǨ ...ว..ธิ...ที ...ำ� .. ..... ...............................l.o...g.. .0.....0...8...3..2... .. . ....=... .....l.o...g.. .(..8.....3...2.. ..×... ..1...0...-.2..).....................................................................................
Êͺ¤íҵͺ¢³Ð·ÕèµÑÇ᷹͸ԺÒÂ˹ŒÒ = log 8.32 + log 10.........................................................................................................................-..2..................................................................................
ªÑ¹é àÃÕ¹ ËÒ¡¾ºÇ‹ÒµÇÑ á·¹¼àŒÙ ÃÕ¹à©Å = 0.9201 - 2.............................................................................................................................................................................................................
äÁ¶‹ ¡Ù µÍŒ § ¼ÊŒÙ ͹áÅмàŒÙ ÃÂÕ ¹ªÇ‹ ¡¹Ñ á¡äŒ ¢ = -1.0799 หรอื _2.9201.............................................................................................................................................................................................................
ãËŒ¶¡Ù µŒÍ§ ... ...............ด....งั ..น...นั้... ..........ค...ำ่...แ...ม...น...ท...สิ...ซ...ำ... ..ค...อื... ..0.....9...2..0...1.. ..................................................................................................................
... ............... ......................แ...ล...ะ...ค...ำ่ ..แ...ค...แ...ร...ก...เ.ท....อ...ร..สิ...ต...ก.ิ .. ..ค....อื ... ..-..2........................................................................................................
24. ¼ÊŒÙ ͹áÅмٌàÃÕ¹ÃÇ‹ Á¡Ñ¹ÊÃ»Ø àÃèÍ× § ¡ÒÃ
ËÒ¤Ò‹ ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ â´Â㪵Œ ÒÃÒ§ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ .............................................................................................................................................................................................................
ÊÒÁÞÑ .............................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................
เกร็ดแนะ ผูส อน
5. l og 920.1
ã¹¢³Ð·èÕ¼ÙŒàÃÕ¹·íÒẺ½ƒ¡·Ñ¡ÉÐ
·èÕ 5.3 ¼ÙŒÊ͹¤ÇÃà´Ô¹´Ù¼ÙŒàÃÕ¹Ãͺæ ...ว..ธิ...ที ...ำ� .. ..... ..................................l.o...g.. .9...2..0.....1... .. . ....=... .....l.o...g.. .(..9.....2...0..1... ..×... ..1...0..2..)....................................................................................
ˌͧàÃÕ¹ ËÒ¡¾ºÇ‹ÒÁÕ¼ÙŒàÃÕ¹¤¹ã´ÁÕ¢ŒÍ = log 9.201 + log 10............................................................................................................................2.................................................................................
ʧÊÂÑ ã˼Œ ÙÊŒ ͹͸ºÔ ÒÂà¾ÔÁè àµÁÔ ¨¹¼ŒàÙ ÃÂÕ ¹ ... ............... ........................................................ ....=... .....(..0.....9...6..3...8.. ..+... ..0.....0..0...0...0..).. ..+.. ..2..........................................................................
à¡Ô´¤ÇÒÁࢌÒ㨠= 0.9638 + 2.............................................................................................................................................................................................................
= 2.9638.............................................................................................................................................................................................................
... ...............ด....งั ..น...น้ั... ..........ค...ำ่...แ...ม...น...ท...สิ...ซ...ำ... ..ค...อื... ..0.....9...6..3...8.. ..................................................................................................................
... ............... ......................แ...ล...ะ...ค...ำ่ ..แ...ค...แ...ร...ก...เ.ท....อ...ร..สิ...ต...ก.ิ .. ..ค....อื ... ..2..........................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................

6. log 6357

...ว...ิธ...ีท...�ำ.. ..... .....................................l..o..g... .6...3..5...7.. .....=... .....l.o...g... .(..6.....3..5...7... ..×... ..1..0...3..)..................................................................................
= log 6.357 + log10.............................................................................................................................3................................................................................
= 0.803 + 3.............................................................................................................................................................................................................
= 3.803.............................................................................................................................................................................................................
... ................ด...ัง...น...้นั.... .........ค...ำ่...แ...ม...น...ท...สิ...ซ...ำ... ..ค...อื ... ..0.....8..0...3... ...................................................................................................................
... ................ ......................แ...ล...ะ...ค...ำ่ ..แ...ค...แ...ร...ก...เ.ท...อ...ร...สิ ...ต...กิ... ..ค....อื .. ...3.........................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................

170

ขV้อ-สNอบEแTนว

log 0.000614 ÁÕ¤‹ÒáÁ¹·ÔÊ«ÒáÅФ‹Òá¤ááà·ÍÃÔʵԡ෋ҡѺ
à·‹Òã´

1. ¤‹ÒáÁ¹·ÔÊ«Ò¤×Í 0.5281 áÅФҋ á¤ááà·ÍÃÊÔ µ¡Ô ¤Í× -3
2. ¤Ò‹ áÁ¹·ÊÔ «Ò¤×Í 1.7620 áÅФҋ á¤ááà·ÍÃÊÔ µ¡Ô ¤Í× -4
3. ¤Ò‹ áÁ¹·ÔÊ«Ò¤×Í 01.7620 áÅФҋ á¤ááà·ÍÃÊÔ µ¡Ô ¤Í× -5
4. ¤Ò‹ áÁ¹·ÊÔ «Ò¤×Í 0.7882 áÅФҋ á¤ááà·ÍÃÊÔ µ¡Ô ¤Í× -4
5. ¤‹ÒáÁ¹·ÊÔ «Ò¤×Í 0.7882 áÅФҋ á¤ááà·ÍÃÊÔ µ¡Ô ¤Í× -5

170

นนาําํ WWaarrmm--uupp สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up

1.4 แอนตลิ อการิทมึ นาํ

แอนติลอการทิ มึ (Antilogarithm) เป็นจ�านวนจริงบวก N ทม่ี าจาก log N เป็นการกระทา� 1. ¼ÊŒÙ ͹ã˼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹ÃÇ‹ Á¡¹Ñ ÍÀ»Ô ÃÒÂÇÒ‹ á͹µÔ
หรอื การดา� เนินการทต่ี รงข้ามกบั การหาค่าลอการทิ ึม แอนตลิ อการทิ ึมของ log N เขยี นแทนดว้ ย ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ ÁÕ¤ÇÒÁÊíÒ¤ÑÞµ‹Í¡ÒÃËÒ¤‹Ò
antilog (log N) ซึง่ antilog (log N) = N เชน่ ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁÍÂÒ‹ §äÃ
log 367 = 2.5647 แสดงวา่ 367 เปน็ แอนติลอการิทมึ ของ 2.5647
log 5.04 = 0.7024 แสดงว่า 5.04 เป็นแอนติลอการทิ ึมของ 0.7024 สอน
log 58 = 1.7634 แสดงวา่ 58 เป็นแอนติลอการิทมึ ของ 1.7634
2. ¼ÙŒÊ͹ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹ÈÖ¡ÉÒàÃè×ͧ á͹µÔ
การหาคา่ แอนตลิ อการทิ มึ ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ ¾ÃŒÍÁ¡µÑÇÍ‹ҧÃٻẺ
á͹µÔÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹ÈÖ¡ÉÒ ¨Ò¡
การหาค่าแอนตลิ อการิทึม คอื การหา N จาก log N โดยมหี ลกั การดงั ต่อไปนี้ ˹§Ñ ÊÍ× àÃÕ¹

1) เขียน log N ทกี่ �าหนดให้อย่ใู นรปู log N = log N0 + n 3. ¼ÙŒÊ͹͸ԺÒÂà¾ÔèÁàµÔÁà¡èÕÂǡѺ¢Ñ鹵͹
หรือ log N = แมนทิสซา + แคแรกเทอรสิ ติก ¡ÒÃËÒ¤‹Òá͹µÅÔ Í¡ÒÃ·Ô ÖÁ ¨Ò¡µÇÑ Í‹ҧ
·Õè 11 ¨Ò¡Ë¹Ñ§Ê×ÍàÃÂÕ ¹
2) เปดิ ตารางลอการิทมึ สามญั เพื่อหาจ�านวนจรงิ N0 ที่ท�าให้ log N0 = แมนทิสซา
3) หาค่า N ไดจ้ าก เกร็ดแนะ ผูส อน

log N = llloooggg N(NN000 ++× nlo1g0 n1)0n ¼ÙŒÊ͹ªÕéá¹Ð¡Ñº¼ÙŒàÃÕÂ¹Ç‹Ò ¡ÒÃËÒ
log N = ¤‹Òá͹µÔÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ ໚¹ÇÔ¸Õ˹Ö觷Õè໚¹
log N = ʋǹ¡ÅѺ¢Í§¡ÒÃËÒ¤‹ÒÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁÊÒÁÑÞ
ดงั น้ัน N = N0 × 10n ¡Å‹ÒǤ×Í àÃÒ·ÃҺNjҤ‹Ò¢Í§ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ
¤‹Ò¹Ñé¹à·‹Ò¡Ñºà·‹Òäà ᵋàÃÒäÁ‹·ÃҺNjÒ
ตัวอยำงที่ 11 ตอบ ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ à·Ò‹ ã´··Õè Òí ãËàŒ ·Ò‹ ¡ºÑ ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ
¤‹Ò¹éѹ àÃÒ¨Ö§µŒÍ§ãªŒÇÔ¸Õ¡ÒÃËÒá͹µÔ
ก�าหนดให ้ log 5.55 = 0.7443 และ log N = 3.7443 จงหาค่า N ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ ࢌÒÁÒª‹ÇÂ㹡óշèÕäÁ‹·ÃÒº
วธิ ที �า จาก log N = 3.7443 Ç‹ÒÅÍ¡ÒÃ·Ô ÖÁ໹š à·‹Òã´
log N = 0.7443 + 3
เนือ่ งจาก log 5.55 = 0.7443 จะไดว้ ่า
log N = log 5.55 + log 103
log N = log (5.55 × 103)
log N = log 5,550
N = 5,550

ดงั น้นั N มคี า่ เทา่ กบั 5,550

171

ÇàÔ ¤ÃÒÐˏ¤íҵͺ
ÇÔ¸Õ·Òí log 0.000614 = log (6.14 × 10 -4)

= log 6.14 + log 10 -4
= 0.7882 - 4
= -3.2118 ËÃ×Í 4.7882
´Ñ§¹Ñé¹ ¤‹ÒáÁ¹·ÔÊ«Ò ¤×Í 0.7882 áÅÐ
¤Ò‹ á¤ááà·ÍÃÔʵ¡Ô ¤×Í -4

µÍº¢ŒÍ 4.

171

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up

สอน ตัวอยำงท่ี 12

4. ¼ÙŒÊ͹ã˼Œ ŒÙàÃÕ¹¨Ñº¤ÙÈ‹ Ö¡ÉÒµÇÑ ÍÂÒ‹ §·Õè 12 จงหาแอนตลิ อการทิ ึมของ -1.3635 เมอ่ื ให้ log 4.33 = 0.6365
áÅеÑÇÍ‹ҧ·èÕ 13 ¨Ò¡Ë¹Ñ§Ê×ÍàÃÕ¹
วิธที า� ให้ log N = -1.3635
5. ¼ÙŒÊ͹͸ԺÒÂà¾ÔèÁàµÔÁà¡èÕÂǡѺµÑÇÍ‹ҧ·èÕ
12 áÅеÑÇÍÂÒ‹ §·èÕ 13 ¨Ò¡Ë¹§Ñ ÊÍ× àÃÂÕ ¹ ดังนั้น แอนติลอการทิ มึ ของ -1.3635 = antilog (-1.3635)

6. ¼ÊŒÙ ͹ã˼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹áµÅ‹ ФË٠Nj Á¡¹Ñ ÊÃÒŒ §â¨·Â = antilog (log N)
»Þ˜ ËÒà¡ÂèÕ Ç¡ºÑ ¡ÒÃËÒ¤Ò‹ á͹µÅÔ Í¡ÒÃ·Ô ÁÖ
¨íҹǹ 3 ¢ŒÍ ¾ÃÍŒ Á·Ñé§ËÒ¤íҵͺŧ㹠= N
¡ÃдÒÉ A4 ¨Ò¡¹¹Ñé ¹Òí Ê‹§¼ÙÊŒ ͹µÃǨ
จาก log N = -1.3635

log N = (0.6365) + (-2)

เน่อื งจาก log 4.33 = 0.6365 จะไดว้ ่า

log N = log 4.33 + log 10-2

log N = log (4.33 × 10-2)

log N = log 0.0433

N = 0.0433

ดังนั้น N มีคา่ เท่ากบั 0.0433 ตอบ

เกร็ดแนะ ผูสอน ตัวอยำงท่ี 13 ตอบ

¼ÙŒÊ͹ÍҨ¡µÑÇÍ‹ҧ⨷à¡ÕèÂǡѺ ก�าหนดให้ log 6.234 = 0.7948 และ log N = 3.7948 จงหาคา่ N
¡ Ò Ã Ë Ò á Í ¹ µÔ Å Í ¡ Ò ÃÔ ·Ö Á à ¾èÔ Á à µÔ Á º ¹ วธิ ที �า จาก log N = 3.7948
¡Ãдҹ 2 - 3 ¢ŒÍ áÅÇŒ ÊÁØ‹ ¼ŒÙàÃÂÕ ¹ÍÍ¡ÁÒ log N = 0.7948 + 3
áÊ´§ÇÔ¸Õ·íÒ ¼ÙŒÊ͹áÅмٌàÃÕ¹¤¹Í×è¹æ เนอ่ื งจาก log 6.234 = 0.7948 จะไดว้ า่
ÃÇ‹ Á¡Ñ¹µÃǨÊͺ¤ÇÒÁ¶Ù¡µÍŒ § log N = log 6.234 + 3 log 10
log N = log 6.234 + log 103
log N = log (6.234 × 103)
log N = log 6,234
N = 6,234

ดังนัน้ N มีค่าเท่ากับ 6,234

172

ขVอ้ -สNอบEแTนว

log N = 3.5065 áÅÐ log 3.21 = 0.5065 áÅŒÇ N ¨ÐÁ¤Õ ‹ÒµÃ§
¡Ñº¢ŒÍã´

1. 2,508
2. 2,804
3. 3,210
4. 3,580
5. 3,714

172

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up

การอ่านแอนตลิ อการิทึมจากตาราง สอน

ถ้าทราบค่าของ log N สามารถหาค่าประมาณของ N ได้โดยการเปิดตารางแอนติ- 7. ¼ÙŒÊ͹à¢Õ¹¤‹Ò¢Í§ log N º¹¡Ãдҹ
ลอการทิ ึมทอ่ี ยใู่ นภาคผนวก ซึง่ คา่ แอนตลิ อการทิ มึ ทแี่ สดงอยูใ่ นตารางจะเปน็ คา่ โดยประมาณทีม่ ี ¨Ò¡¹éѹÊØ‹Á¼ÙŒàÃÕ¹ãËŒºÍ¡¡ÒÃËÒ¤‹Ò N
ทศนิยมไม่เกิน 3 ต�าแหนง่ â´Â¡ÒÃà»´ µÒÃÒ§á͹µÅÔ Í¡ÒÃ·Ô ÖÁ

ตารางแอนติลอการทิ มึ สามัญ (บางสว่ น) 8. ¼ÙŒÊ͹͸ԺÒ¡ÒÃÍ‹Ò¹á͹µÔÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ
¨Ò¡µÒÃÒ§ ¾ÃÍŒ Á¡µÇÑ ÍÂÒ‹ §¡ÒÃËÒ¤Ò‹ N
สว่ นท่ี 1 ส่วนท่ี 2 ส่วนท่ ี 3
9. ¼ÙŒÊ͹ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹ᵋÅФ¹ÊÌҧ¤‹Òá͹µÔ
0123456789123456789 ÅÍ¡ÒÃÔ·ÁÖ ¨Òí ¹Ç¹ 5 ¤‹Ò â´Â¡ÒÃà»´
µÒÃÒ§á͹µÅÔ Í¡ÒÃ·Ô ÁÖ ã¹¡Òäҋ N ŧã¹
.00 1000 1002 1005 1007 1009 1012 1014 1016 1019 1021 0 0 1 1 1 1 2 2 2 ¡ÃдÒÉ A4 ¨Ò¡¹¹Ñé ¹íÒÊ‹§¼ŒÊ٠͹µÃǨ
.01 1023 1026 1028 1030 1033 1035 1038 1040 1042 1045 0 0 1 1 1 1 2 2 2
.02 1047 1050 1052 1054 1057 1059 1062 1064 1067 1069 0 0 1 1 1 1 2 2 2 เกร็ดแนะ ผูส อน
.03 1072 1074 1076 1079 1081 1084 1086 1089 1091 1094 0 0 1 1 1 1 2 2 2
. ................... ¼ÙŒÊ͹¤ÇáµÑÇÍ‹ҧâ´ÂãËŒËÒ¤‹Ò
. ................... ¢Í§ log N 5 ¢ŒÍ áÅÇŒ ã˼Œ ŒÙàÃÂÕ ¹»ÃÐÁÒ³
. ................... ¤‹Ò¢Í§ N â´Â¡ÒÃແ´µÒÃÒ§á͹µÔ
.24 1738 1742 1746 1750 1754 1758 1762 1766 1770 1774 0 1 1 2 2 2 3 3 4 ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ Å§ã¹¡ÃдÒÉ A4 ¨Ò¡¹¹éÑ ¹Òí ʧ‹
.25 1778 1782 1786 1791 1795 1799 1803 1807 1811 1816 0 1 1 2 2 2 3 3 4 ¼ÙŒÊ͹µÃǨ à¾×èÍà¾ÔèÁ¤ÇÒÁÃÙŒ¤ÇÒÁࢌÒã¨
.26 1820 1824 1828 1832 1837 1841 1845 1849 1854 1858 0 1 1 2 2 2 3 3 4 ãËŒ¡Ñº¼ÙŒàÃÕ¹ÁÒ¡ÂÔ觢Öé¹ áÅÐ໚¹¡ÒÃ
.27 1862 1866 1871 1875 1879 1884 1888 1892 1897 1901 0 1 1 2 2 2 3 3 4 µÃǨÊͺ¤ÇÒÁࢌÒ㨢ͧ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹
. ...................
. ................... 173
. ...................
.40 2512 2518 2523 2529 2535 2541 2547 2553 2559 2564 1 1 2 2 3 4 4 5 5
.41 2570 2576 2582 2588 2594 2600 2606 2612 2618 2624 1 1 2 2 3 4 4 5 5
.42 2630 2636 2642 2649 2655 2661 2667 2673 2679 2685 1 1 2 2 3 4 4 5 6
.43 2692 2698 2704 2710 2716 2723 2729 2735 2742 2748 1 1 2 3 3 4 4 5 6
. ...................
. ...................
. ...................
.98 9550 9572 9594 9616 9638 9661 9683 9705 9727 9750 2 4 7 9 11 13 16 18 20
.99 9772 9795 9817 9840 9863 9886 9908 9931 9954 9977 2 5 7 9 11 14 16 18 20

การอา่ นแอนตลิ อการิทมึ จากตาราง เปน็ การอ่านตามจา� นวนแมนทสิ ซา ดังนี้
1. ถา้ แมนทสิ ซาเปน็ จา� นวนทศนยิ มไมเ่ กนิ 3 ตา� แหนง่ สามารถอา่ นไดจ้ ากสว่ นท ่ี 1 และ
สว่ นท ่ี 2 ของตาราง เช่น log N = 3.257 โดยพิจารณาจากแถวหมายเลข .25 ในสว่ นท ี่ 1 และ
หลักหมายเลข 7 ในสว่ นท ่ี 2 จะได้คา่ เทา่ กบั 1807 หมายความวา่ log 1.807 = 0.257

173

ÇÔà¤ÃÒÐˤ íҵͺ

Ç¸Ô Õ·íÒ ¨Ò¡ log N = 3.5065
log N = 0.5065 + 3
à¹Íè× §¨Ò¡ log 3.21 = 0.5065 ¨Ð䴌NjÒ
log N = log 3.21 + 3 log 10
log N = log 3.21 + log 10 3
log N = log(3.21 × 10 3)
log N = log 3,210
N = 3,210
´§Ñ ¹¹éÑ N à·‹Ò¡ºÑ 3,210

µÍº¢ÍŒ 3.

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up
สอน
จาก log N = 3.257
10. ¼ÊŒÙ ͹ầ‹ ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹Í͡໹š 6 ¡ÅØÁ‹ áÅÇŒ log N = 0.257 + 3
ãˌʋ§µÑÇá·¹¢Í§áµ‹ÅСÅØ‹ÁÍÍ¡ÁÒ log N = log 1.807 + log 103
¨ºÑ ÊÅÒ¡à¾Íè× È¡Ö ÉÒµÇÑ ÍÂÒ‹ § ¨Ò¡Ë¹§Ñ ÊÍ× log N = log (1.807 × 103)
àÃÂÕ ¹ ´Ñ§¹Õé log N = log 1,807
- ÊÅÒ¡ËÁÒÂàÅ¢ 1 ãËŒÈÖ¡ÉÒµÇÑ Í‹ҧ N = 1,807
·èÕ 14 2. ถา้ แมนทสิ ซามที ศนยิ มไม่เกนิ 4 ต�าแหน่ง สามารถอ่านไดจ้ ากสว่ นท่ ี 1, 2 และ 3
- ÊÅÒ¡ËÁÒÂàÅ¢ 2 ãËŒÈÖ¡ÉÒµÇÑ ÍÂÒ‹ § เช่น แอนติลอการิทึมของ 0.4127 พิจารณาได้จากแถวหมายเลข .41 ในส่วนที่ 1 และหลัก
·Õè 15 หมายเลข 2 ในสว่ นท ่ี 2 ของตาราง จะได้จา� นวน 2582 จากนนั้ พิจารณาแถวหมายเลข .41 และ
- ÊÅÒ¡ËÁÒÂàÅ¢ 3 ãËŒÈ¡Ö ÉÒµÇÑ ÍÂÒ‹ § หมายเลข 7 ในสว่ นที่ 3 จะไดจ้ �านวน 4 นน่ั คือ 0.4127 = log (2.582 + 0.004) = log 2.586
·Õè 16 ดงั น้ัน แอนติลอการทิ ึมของ 0.4127 เทา่ กบั 2.586
- ÊÅÒ¡ËÁÒÂàÅ¢ 4 ãËÈŒ ¡Ö ÉÒµÑÇÍ‹ҧ
·Õè 17 ตัวอยำงที่ 14 ตอบ
- ÊÅÒ¡ËÁÒÂàÅ¢ 5 ãËÈŒ ¡Ö ÉÒµÑÇÍÂÒ‹ § ตอบ
·Õè 18 จงหาค่าของ N เมื่อก�าหนด log N มคี า่ ตอ่ ไปน้ี (โดยใช้ตารางแอนตลิ อการิทึมสามัญ)
- ÊÅÒ¡ËÁÒÂàÅ¢ 6 ãËÈŒ ¡Ö ÉÒµÇÑ Í‹ҧ 1. log N = 3.7566
·Õè 19 2. log N = 1.5822
วิธีทา� 1. จาก log N = 3.7566
11. ã˼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹¢Í§¡ÅÁ‹Ø ·äèÕ ´ÊŒ ÅÒ¡ËÁÒÂàÅ¢ 1 log N = 0.7566 + 3 = log 5.710 + log 103
ʧ‹ µÇÑ á·¹ÍÍ¡ÁÒÍÀ»Ô ÃÒÂ˹Ҍ ª¹éÑ àÃÂÕ ¹ จากตารางแอนตลิ อการิทึม 0.7566 = log (5.702 + 0.008)
¨Ò¡¡Ò÷Õäè ´ÈŒ Ö¡ÉÒµÇÑ ÍÂÒ‹ §·Õè 14 log N = log (5.710 × 103) = log 5,710
N = 5,710
12. ¼ÙÊŒ ͹áÅмٌàÃÕ¹¤¹Í×è¹æ ËÇÁ¡Ñ¹µÃǨ
Êͺ¤ÇÒÁ¶Ù¡µŒÍ§ ดงั นนั้ N มคี า่ เทา่ กบั 5,710
2. จาก log N = 1.5822
เกร็ดแนะ ผสู อน log N = 0.5822 + 1 = log 3.821 + log 101
จากตารางแอนติลอการทิ มึ 0.5822 = log (3.819 + 0.002)
¼ÙŒÊ͹ແ´âÍ¡ÒÊãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹«Ñ¡¶ÒÁ log N = log (3.821 × 101) = log 38.21
ËÅѧ¨Ò¡·¼èÕ ÙŒÊ͹䴌͸ºÔ ÒÂà¾ÁèÔ àµÁÔ N = 38.21
à¡ÕèÂÇ¡ºÑ µÑÇÍ‹ҧ·èÕ 14 àÊÃç¨
ดังนนั้ N มีคา่ เท่ากบั 38.21

174

ขV้อ-สNอบEแTนว

log N = 3.7443 áÅÐ log 5.55 = 0.7443 áÅÇŒ N ¨ÐÁÕ¤‹ÒµÃ§
¡Ñº¢ŒÍã´

1. 3,214
2. 3,910
3. 4,684
4. 5,550
5. 6,618

174

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioion n สรปุ Wrap-up

สอน

ตัวอยำงท่ี 15 13. ãËŒµÑÇá·¹¼ÙŒàÃÕ¹¢Í§¡ÅØ‹Á·Õèä´ŒÊÅÒ¡
ËÁÒÂàÅ¢ 2 ʧ‹ µÇÑ á·¹ÍÍ¡ÁÒÍÀ»Ô ÃÒÂ
กา� หนดให้ log N = 2.8331 จงหาค่า N ˹Ҍ ª¹Ñé àÃÂÕ ¹ ¨Ò¡¡Ò÷äèÕ ´ÈŒ ¡Ö ÉÒµÇÑ ÍÂÒ‹ §
วิธที �า จาก log N = 2.8331 ·Õè 15
log N = 0.8331 + 2 14. ãËŒµÑÇá·¹¼ÙŒàÃÕ¹¢Í§¡ÅØ‹Á·Õèä´ŒÊÅÒ¡
log N = log 6.810 + log 102 ËÁÒÂàÅ¢ 3 ʧ‹ µÇÑ á·¹ÍÍ¡ÁÒÍÀ»Ô ÃÒÂ
จากตารางแอนติลอการิทมึ 0.8331 = log (6.808 + 0.002) ˹Ҍ ª¹éÑ àÃÂÕ ¹ ¨Ò¡¡Ò÷äèÕ ´ÈŒ ¡Ö ÉÒµÇÑ ÍÂÒ‹ §
log N = log (6.810 × 102) = log 681 ·Õè 16
N = 681 15. ãËŒµÑÇá·¹¼ÙŒàÃÕ¹¢Í§¡ÅØ‹Á·Õèä´ŒÊÅÒ¡
ตอบ ËÁÒÂàÅ¢ 4 ʧ‹ µÇÑ á·¹ÍÍ¡ÁÒÍÀ»Ô ÃÒÂ
ดังน้ัน N มีคา่ เทา่ กบั 681
˹Ҍ ª¹éÑ àÃÂÕ ¹ ¨Ò¡¡Ò÷äÕè ´ÈŒ ¡Ö ÉÒµÇÑ ÍÂÒ‹ §
ตัวอยำงที่ 16 ·Õè 17
16. ¼ÊŒÙ ͹áÅмàŒÙ ÃÂÕ ¹¤¹Í¹×è ÃÇ‹ Á¡¹Ñ µÃǨÊͺ
ก�าหนดให้ log N = 1.6125 จงหาคา่ N ¤ÇÒÁ¶¡Ù µŒÍ§
วธิ ที �า จาก log N = 1.6125
log N = 0.6125 + 1 ตอบ
log N = log 4.098 + log 101
จากตารางแอนติลอการทิ ึม 0.6125 = log (4.093 + 0.005) เกร็ดแนะ ผูสอน
log N = log (4.098 × 101) = log 40.98
N = 40.98 ËÅѧ¨Ò¡·èÕ¼ÙŒàÃÕ¹䴌ÈÖ¡ÉÒà¡èÕÂǡѺ
µÇÑ Í‹ҧ·Õè 15 µÇÑ Í‹ҧ·Õè 16 áÅеÇÑ ÍÂÒ‹ §
ดงั น้ัน N มีค่าเทา่ กบั 40.98 ตอบ ·èÕ 17 ËÒ¡¼àÙŒ ÃÕ¹ʧÊÂÑ ã¹µÑÇÍ‹ҧã´ãËŒ
¼ÙŒÊ͹¡µÑÇÍ‹ҧ·ÕèÁÕ¤ÇÒÁ¤ÅŒÒ¤ÅÖ§
ตัวอยำงท่ี 17 175 ËÃ×ÍÁÕÇÔ¸Õ·íÒã¹·íҹͧà´ÕÂǡѺµÑÇÍ‹ҧ·èÕ
¼àÙŒ ÃÂÕ ¹ä´ŒÊ§ÊÑÂ
ก�าหนดให ้ log N = 4.6179 จงหาค่า N
วิธีทา� จาก log N = 4.6179
log N = 0.6179 + 4
log N = log 4.149 + log 104
จากตารางแอนตลิ อการทิ ึม 0.6179 = log (4.140 + 0.009)
log N = log (4.149 × 104) = log 41,490
N = 41,490

ดังนั้น N มคี า่ เทา่ กบั 41,490

ÇàÔ ¤ÃÒÐˏ¤íҵͺ

ÇÔ¸Õ·Òí ¨Ò¡ log N = 3.7443
log N = 0.7443 + 3
à¹×Íè §¨Ò¡ log 5.55 = 0.7443 ¨Ðä´ÇŒ ‹Ò
log N = log 5.55 + 3 log 10
log N = log 5.55 + log 10 3
log N = log(5.55 × 10 3)
log N = log 5,550
N = 5,550
´Ñ§¹é¹Ñ N à·Ò‹ ¡Ñº 5,550

µÍº¢ŒÍ 4.

175

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up
สอน
ตัวอยำงที่ 18 ตอบ
17. ã˼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹¢Í§¡ÅÁ‹Ø ·äèÕ ´ÊŒ ÅÒ¡ËÁÒÂàÅ¢ 5
ʧ‹ µÇÑ á·¹ÍÍ¡ÁÒÍÀ»Ô ÃÒÂ˹Ҍ ª¹Ñé àÃÂÕ ¹ จงหาค่า x เมื่อ log x = 2.6478
¨Ò¡¡Ò÷äÕè ´ÈŒ ¡Ö ÉÒµÇÑ ÍÂÒ‹ §·èÕ 18 วิธีท�า จาก log x = 2.6478
log x = 0.6478 + 2
18. ã˼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹¢Í§¡ÅÁ‹Ø ·äèÕ ´ÊŒ ÅÒ¡ËÁÒÂàÅ¢ 6 log x = log 4.444 + log 102
ʧ‹ µÇÑ á·¹ÍÍ¡ÁÒÍÀ»Ô ÃÒÂ˹Ҍ ª¹Ñé àÃÂÕ ¹ จากตารางแอนตลิ อการทิ ึม 0.6478 = log (4.436 + 0.008)
¨Ò¡¡Ò÷èäÕ ´ÈŒ Ö¡ÉÒµÑÇÍ‹ҧ·èÕ 19 log x = log (4.444 × 102)
log x = log 444.4
19. ¼ÊŒÙ ͹áÅмàŒÙ ÃÂÕ ¹¤¹Í¹×è ÃÇ‹ Á¡¹Ñ µÃǨÊͺ
¤ÇÒÁ¶Ù¡µÍŒ § x = 444.4
ดงั นั้น x มคี ่าเท่ากับ 444.4
เกร็ดแนะ ผูสอน
ตัวอยำงที่ 19
¼ÙŒÊ͹¤ÇáµÑÇÍ‹ҧâ´ÂãËŒ¤‹Ò¢Í§
log N ÁÕ¤‹ÒµÔ´Åº ¨íҹǹ 1 - 2 ¢ŒÍ จงหาค่า N จาก log N = -3.1175
à¾×èÍãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹䴌½ƒ¡·íÒ áÅÐà¡Ô´·Ñ¡ÉÐ
¡Ãкǹ¡ÒäԴ ÊÒÁÒö¹íÒä»á¡Œâ¨·Â วธิ ที า� จาก log N = -3.1175
»˜ÞËÒ͹×è æ ä´µŒ Í‹ ä»
log N = -0.1175 - 3

log N = (-0.1175 + 1) + (-3 - 1)

log N = 0.8825 + (-4)

เนอ่ื งจาก log N มีคา่ เปน็ ลบ ซง่ึ ตารางแอนตลิ อการิทึมจะใชส้ า� หรบั ลอการทิ มึ ท่เี ป็นบวก

จะตอ้ งเปลี่ยนรูป ดงั นี้

log N = -3.1175

log N = -0.1175 + 3 - 3

log N = 0.8825 - 4

จากตารางแอนตลิ อการทิ มึ 0.8825 = log 7.630

log N = log 7.630 + (-4) log 10
log N = log 7.630 + log 10-4
log N = log (7.630 × 10-4)

log N = log 0.000763

N = 0.000763

ดังน้ัน N มีคา่ เท่ากบั 0.000763 ตอบ

176

Vข้อ-สNอบEแTนว

¨§ËÒ¤‹Ò N ¨Ò¡ log N = 2.4257 áÅÐ log 2.665 = 0.4257
1. 225.10
2. 266.50
3. 310.84
4. 340.56
5. 390.90

176

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp

แบบฝกทักษะที่ 5.4 สรปุ

ค�ำช้ีแจง ใหผ้ ู้เรียนแสดงวิธีทา� ในแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี 20. ¼ÙŒÊ͹ÊÒ¸ÔµÇÔ¸ÕËÒ¤‹Òá͹µÔÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ
1. จงหาคา่ ของ N เม่ือก�าหนด log N มคี ่าตอ่ ไปน้ ี (โดยใช้ตารางแอนตลิ อการิทมึ สามัญ) µÒÁ·Õè⨷¡íÒ˹´¨Ò¡áºº½ƒ¡·Ñ¡ÉзÕè
1) log N = 3.4875 5.4 ãËŒ¼ŒÙàÃÂÕ ¹´àÙ »š¹µÇÑ Í‹ҧ

..ว...ธิ ..ที...ำ.� .. .....จ...ำ..ก... .............l..o..g... .N... .....=... .....3.....4...8...7..5......................................................................................................................... 21. ¼ÙŒÊ͹ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹ᵋÅФ¹·íÒẺ½ƒ¡
log N = 0.4875 + 3.................................................................................................................................................................................................... ·Ñ¡ÉзèÕ 5.4
.. ................ .....................l..o..g... .N... .....=... .....l..o..g... .3.....0..7...3.. ..+... ..l.o...g.. .1...0..3...............................................................................................
.. ................จ...ำ..ก...ต...ำ...ร..ำ...ง..แ...อ...น...ต....ลิ ...อ...ก...ำ..ร...ทิ ...มึ... ..0.....4...8..7...5.. ..=... ..l.o...g.. .(..3.....0..6...9... ..+.. ..0.....0...0..4...).............................................................. เกร็ดแนะ ผูสอน
.. ................ .....................l..o..g... .N... .....=... .....l..o..g... .(..3....0...7...3.. ..×... ..1...0..3..)..................................................................................................
log N = log 3,073.................................................................................................................................................................................................... ¡‹Í¹·èÕ¨ÐãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹·íÒẺ½ƒ¡·Ñ¡ÉÐ
N = 3,073.................................................................................................................................................................................................... ·èÕ 5.4 ¼ÊŒÙ ͹¤ÇÃã˼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹·º·Ç¹¤ÇÒÁÃŒÙ
.. ................ด...งั...น...นั้ ... ..........N... ..ม...คี...ำ.่ ..เ.ท....ำ่ ..ก...บั... ..3...,.0...7..3...................................................................................................................... à¡ÂÕè Ç¡ºÑ ¡ÒÃËÒ¤Ò‹ »ÃÐÁÒ³¢Í§ log N â´Â
㪌¡ÒÃແ´µÒÃÒ§á͹µÔÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ à¾×èÍ
.................................................................................................................................................................................................... ¼àÙŒ ÃÕ¹¨Ðä´ŒÊÒÁÒöËÒ¤Ò‹ ¢Í§ N ¨Ò¡¤‹Ò
¢Í§ log N ä´´Œ ŒÇµ¹àͧ
....................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................

2) log N = 1.9182

..ว...ธิ ..ที...ำ.� .. .....จ...ำ..ก... .............l..o..g... .N... .....=... .....1.....9...1...8..2.........................................................................................................................
log N = 0.9182 + 1....................................................................................................................................................................................................
.. ................ .....................l..o..g... .N... .....=... .....l..o..g... .8.....2..8...3.. ..+... ..l.o...g.. .1...0..1...............................................................................................
.. ................จ...ำ..ก...ต...ำ...ร..ำ...ง..แ...อ...น...ต....ลิ ...อ...ก...ำ..ร...ทิ ...มึ... ..0.....9...1..8...2.. ..=... ..l.o...g.. .(..8.....2..7...9... ..+.. ..0.....0...0..4...)..............................................................
.. ................ .....................l..o..g... .N... .....=... .....l..o..g... .(..8....2...8...3.. ..×... ..1...0..1..)..................................................................................................
log N = log 82.83....................................................................................................................................................................................................
N = 82.83....................................................................................................................................................................................................
.. ................ด...งั...น...นั้ ... ..........N... ..ม...คี...ำ.่ ..เ.ท....ำ่ ..ก...บั... ..8...2.....8..3......................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................

177

ÇàÔ ¤ÃÒÐˤ Òí µÍº

ÇÔ¸·Õ Òí ¨Ò¡ log N = 2.4257
log N = 0.4257 + 2
à¹×Íè §¨Ò¡ log 2.665 = 0.4257 ¨Ð䴌NjÒ
log N = log 2.665 + 2 log 10
log N = log 2.665 + log 10 2
log N = log(2.665 × 10 2)
log N = log 266.50
N = 266.50
´Ñ§¹¹éÑ N à·Ò‹ ¡Ñº 266.50

µÍº¢ŒÍ 2.

177

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp
สรปุ
3) log N = 2.5566
22. ¼ŒÙÊ͹ÊÁØ‹ µÇÑ á·¹¼àÙŒ ÃÂÕ ¹ 1 ¤¹ ÍÍ¡ÁÒ
áÊ´§ÇÔ¸Õ·íÒ¡ÒÃËÒ¤‹Òá͹µÔÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ ...ว..ธิ...ที ...ำ� .. .....จ...ำ..ก... ..............l.o...g.. .N... .....=... ......2.....5..5...6...6........................................................................................................................
ã¹áºº½ƒ¡·Ñ¡Éк¹¡Ãдҹ log N = 0.5566 + 2....................................................................................................................................................................................................
... ............... ......................l.o...g.. .N... .....=... ......l.o...g.. .3.....6...0..2... ..+.. ..l.o...g... .1..0...2..............................................................................................
เกร็ดแนะ ผสู อน ... ...............จ...ำ..ก...ต....ำ..ร...ำ..ง...แ..อ...น....ต...ลิ ...อ...ก...ำ..ร...ทิ ...มึ... ..0.....5...5...6..6... ..=.. ..l.o...g... .(.3.....5...9..7... ..+... ..0.....0..0...5..)..............................................................
... ............... ......................l.o...g.. .N... .....=... ......l.o...g.. .(..3.....6..0...2... ..×... ..1..0...2.)..................................................................................................
¼ÙŒÊ͹ÍÒ¨à´Ô¹ÊíÒÃǨ¼ÙŒàÃÕ¹Ãͺæ log N = log 360.2....................................................................................................................................................................................................
ˌͧ ËÒ¡ÁÕ¼ÙŒàÃÕ¹·èÕÂѧäÁ‹ÊÒÁÒöແ´ N = 360.2....................................................................................................................................................................................................
µÒÃÒ§á͹µÅÔ Í¡ÒÃ·Ô ÁÖ ä´Œ ã˼Œ ʌ٠͹͸ºÔ Ò ... ...............ด....งั ..น...นั้... ..........N... ..ม....คี ...ำ่ ..เ..ท...ำ่..ก...บั.... ..3..6...0.....2.....................................................................................................................
ÇÔ¸Õ¡ÒÃແ´µÒÃÒ§á͹µÔÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ໚¹
ÃÒº¤Ø ¤Å ....................................................................................................................................................................................................

4) log N = 2.9876

...ว..ธิ...ที ...ำ� .. .....จ...ำ..ก... ..............l.o...g.. .N... .....=... ......2.....9..8...7...6........................................................................................................................
log N = 0.9876 + 2....................................................................................................................................................................................................
... ............... ......................l.o...g.. .N... .....=... ......l.o...g.. .9.....7...1..8... ..+.. ..l.o...g... .1..0...2..............................................................................................
... ...............จ...ำ..ก...ต....ำ..ร...ำ..ง...แ..อ...น....ต...ลิ ...อ...ก...ำ..ร...ทิ ...มึ... ..0.....9...8...7..6... ..=.. ..l.o...g... .(.9.....7...0..5... ..+... ..0.....0..1...3..)..............................................................
... ............... ......................l.o...g.. .N... .....=... ......l.o...g.. .(..9.....7..1...8... ..×... ..1..0...2.)..................................................................................................
log N = log 971.8....................................................................................................................................................................................................
N = 971.8....................................................................................................................................................................................................
... ...............ด....งั ..น...น้ั... ..........N... ..ม....คี ...ำ่ ..เ..ท...ำ่..ก...บั.... ..9..7...1.....8.....................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................

5) log N = 4.3856

...ว..ธิ...ที ...ำ� .. .....จ...ำ..ก... ..............l.o...g.. .N... .....=... ......4.....3..8...5...6........................................................................................................................
log N = 0.3856 + 4....................................................................................................................................................................................................
... ............... ......................l.o...g.. .N... .....=... ......l.o...g.. .2.....4...3..0... ..+.. ..l.o...g... .1..0...4..............................................................................................
... ...............จ...ำ..ก...ต....ำ..ร...ำ..ง...แ..อ...น....ต...ลิ ...อ...ก...ำ..ร...ทิ ...มึ... ..0.....3...8...5..6... ..=.. ..l.o...g... .(.2.....4...2..7... ..+... ..0.....0..0...3..)..............................................................
... ............... ......................l.o...g.. .N... .....=... ......l.o...g.. .(..2.....4..3...0... ..×... ..1..0...4.)..................................................................................................
log N = log 24,300....................................................................................................................................................................................................
N = 24,300....................................................................................................................................................................................................
... ...............ด....งั ..น...น้ั... ..........N... ..ม....คี ...ำ่ ..เ..ท...ำ่..ก...บั.... ..2..4...,.3...0..0...................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................

178

ขV้อ-สNอบEแTนว

¨§ËÒ¤‹Ò x ¨Ò¡ log x = 3.3083 áÅÐ log 2.034 = 0.3083
1. 2,034
2. 2,210
3. 2,446
4. 2,881
5. 2,915

178

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp

2. จงหาคา่ x เมอื่ log x = 1.4567 สรปุ

..ว...ธิ ..ที....ำ� .. .....จ...ำ..ก... ..............l.o...g.. .x... .....=... .....1.....4...5...6..7.................................................................................................................................. 23. ¼ÊŒÙ ͹áÅмàŒÙ ÃÂÕ ¹ÃÇ‹ Á¡¹Ñ µÃǨÊͺ¤ÇÒÁ
log x = 0.4567 + 1............................................................................................................................................................................................................. ¶Ù¡µŒÍ§¢Í§¡ÒÃáÊ´§ÇÔ¸Õ·íÒ¡ÒÃËÒ¤‹Ò
.. ................ ......................l.o...g.. .x... .....=... .....l..o..g... .2.....8..6...3.. ..+... ..l.o...g.. .1...0..1........................................................................................................ á͹µÔÅÍ¡ÒÃ·Ô ÖÁ
.. ................จ...ำ..ก...ต....ำ..ร..ำ...ง..แ...อ...น...ต....ลิ ...อ...ก...ำ..ร...ทิ ...มึ... ..0.....4...5..6...7.. ..=... ..l.o...g.. .(..2.....8..5...8... ..+.. ..0.....0...0..5...).......................................................................
log x = log (2.863 10 )......................................................................................×..........1............................................................................................................. เกร็ดแนะ ผสู อน
log x = log 28.63.............................................................................................................................................................................................................
x = 28.63............................................................................................................................................................................................................. ¼ÊÙŒ ͹¤ÇÃÊÃØ»¡ÒÃËÒ¤‹Ò»ÃÐÁÒ³ N
.. ................ด...งั...น...นั้... ..........x... ..ม...คี ...ำ่..เ..ท...ำ่...ก...บั ... ..2..8.....6...3............................................................................................................................... ¨Ò¡ ¤Ò‹ ¢Í§ log N ãË¡Œ ºÑ ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹ ¾ÃÍŒ Á¡
µÇÑ ÍÂÒ‹ §»ÃСͺ ¡Í‹ ¹·¼Õè ʌ٠͹¨Ð¡ÅÒ‹ Çã¹
............................................................................................................................................................................................................. ËÑǢ͌ ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ ¸ÃÃÁªÒµµÔ ‹Íä»

3. จงหาคา่ N จาก log N = -2.5164

..ว...ธิ ..ที....ำ� .. .....จ...ำ..ก... ..............l.o..g... .N... .....=... .....-...2.....5..1...6..4................................................................................................................................
log N = -0.5164 - 2.............................................................................................................................................................................................................
.. ................ ......................l.o..g... .N... .....=... .....(..-...0.....5..1...6..4... ..+.. ..1...).. ..+.. ..(..-..2... ..-.. ..1...)..........................................................................................
log N = 0.4836 + (-3).............................................................................................................................................................................................................
.. ................เ..น...อ่ื ...ง..จ...ำ..ก... ..l..o..g... .N... ..ม...คี...ำ่...เ.ป...น็....ล...บ... ..ซ...ง่ึ..ต....ำ..ร..ำ...ง..แ...อ...น...ต....ลิ ...อ...ก...ำ..ร...ทิ ...มึ...จ...ะ..ใ..ช...ส้...ำ�...ห...ร..บั....ล...อ...ก...ำ..ร...ทิ ...มึ ...ท...เี่..ป...น็...บ...ว...ก... .............
จะตอ้ งเปลยี่ นรปู ดงั นี้.............................................................................................................................................................................................................
log N = -2.5164.............................................................................................................................................................................................................
log N = -0.5164 + 2 - 2.............................................................................................................................................................................................................
log N = 0.4836 - 3.............................................................................................................................................................................................................
.. ................จ...ำ..ก...ต....ำ..ร..ำ...ง..แ...อ...น...ต....ลิ ...อ...ก...ำ..ร...ทิ ...มึ... ..0.....4...8..3...6.. ..=... ..l.o...g.. .3.....0...4..5..............................................................................................
.. ................ ......................l.o..g... .N... .....=... .....l..o..g... .3.....0..4...5.. ..+... ..(..-..3...). .l..o..g... .1..0.................................................................................................
.. ................ ......................l.o..g... .N... .....=... .....l..o..g... .3.....0..4...5.. ..+... ..l.o...g.. .1...0..-..3......................................................................................................
log N = log (3.045 10 )......................................................................................×..........-..3...........................................................................................................
log N = log 0.003045.............................................................................................................................................................................................................
N = 0.003045.............................................................................................................................................................................................................
.. ................ด...งั...น...นั้... ..........N... ..ม...คี...ำ.่ ..เ.ท....ำ่ ..ก...บั... ..0.....0...0..3...0...4..5.......................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

179

ÇàÔ ¤ÃÒÐˏ¤Òí µÍº

Ç¸Ô ·Õ íÒ ¨Ò¡ log x = 3.3083
log x = 0.3083 + 3
à¹×èͧ¨Ò¡ log 2.034 = 0.3083 ¨Ð䴌NjÒ
log x = log 2.034 + 3 log 10
log x = log 2.034 + log 10 3
log x = log(2.034 × 10 3)
log x = log 2,034
x = 2,034
´Ñ§¹¹éÑ N ෋ҡѺ 2,034

µÍº¢ÍŒ 1.

179

นนาําํ WWaarrmm--uupp สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up

นาํ 1.5 ลอการทิ มึ ธรรมชาติ
ลอการิทมึ ธรรมชาต ิ (Natural Logarithm) เป็นลอการิทึมฐาน e โดยที่ e เปน็ ค่าคงตัว
1. ¼ÙŒÊ͹µÑ駤íÒ¶ÒÁãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹ª‹Ç¡ѹµÍº ทีเ่ ปน็ จา� นวนอตรรกยะ ซึง่ มีคา่ ประมาณ 2.7182818 นยิ มใช้สัญลักษณเ์ ป็น ln บางครัง้ จะเรียก
´§Ñ ¹éÕ ลอการทิ มึ ธรรมชาติวา่ ลอการิทึมเนเปย ร ์ (Napierian Logarithms) ตามช่ือของนักคณิตศาสตร ์
• ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ ¸ÃÃÁªÒµÁÔ ÃÕ »Ù Ẻ¡ÒÃà¢ÂÕ ¹ ชือ่ เนเปย ร์ (Napier) ซง่ึ เปน็ ผูค้ ิดคน้ ในการเขยี นลอการทิ มึ ธรรมชาตขิ อง x ฐาน e จะเขยี นแทน
ÅѡɳÐẺ㴠ด้วย logex โดยทวั่ ไปนยิ มเขยี นเปน็ ln x อา่ นวา่ ลอการิทึมเอก็ ซฐ์ านอี น่ันคอื

á¹ÇµÍº ln x - logex
ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ ¸ÃÃÁªÒµÔ ໹š ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ °Ò¹ e การหาคา่ ln x เมือ่ x เป็นจา� นวนจรงิ บวก สามารถหาไดโ้ ดยอาศยั การใช้ลอการิทึมสามญั
â´Â·Õè e ໹š ¤Ò‹ ¤§µÇÑ ·àèÕ »¹š ¨Òí ¹Ç¹µÃáÂÐ ดงั นี้
¹ÂÔ Á㪌ÊÞÑ ÅÑ¡É³à »š¹ In จาก ln x = logex จะไดว้ า่
0llloool.og4gglog 3 2xeg4x.7x318
สอน ln x =
ln x =
2. ¼ÙŒÊ͹ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹ÈÖ¡ÉÒàÃè×ͧ ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ ln x =
¸ à à Á ª Ò µÔ á Å Ð Ê Á ºÑ µÔ ¢ Í § Å Í ¡ Ò ÃÔ ·Ö Á
¸ÃÃÁªÒµÔ ¨Ò¡Ë¹§Ñ ÊÍ× àÃÂÕ ¹ áÅСµÇÑ ÍÂÒ‹ § ln x = 2.3026 log x
ÃٻẺ¡ÒÃËÒ¤‹ÒÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ¸ÃÃÁªÒµÔ ดงั นน้ั
ã˼Œ ÙŒàÃÂÕ ¹ÈÖ¡ÉÒ สมบัตขิ องลอการทิ ึมธรรมชาตมิ ลี ักษณะเหมอื นกบั ลอการทิ มึ สามญั จึงสามารถน�ามาใช้กบั
ลอการิทมึ ธรรมชาตไิ ด้เช่นเดยี วกนั
3. ¼ÙŒÊ͹¡µÑÇÍ‹ҧà¾ÔèÁàµÔÁà¡èÕÂǡѺ¡ÒÃ
ËÒ¤Ò‹ ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÖÁ¸ÃÃÁªÒµÔáÅÐÊÁºÑµÔ¢Í§ ทักษะอำชีพ กา� หนดให ้ M, N เปน็ จา� นวนจรงิ บวก และ
ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ ¸ÃÃÁªÒµÔ p เปน็ จา� นวนจรงิ จะไดส้ มบตั ขิ องลอการทิ มึ ดงั นี้
อำชีพวิศวกร
เกร็ดแนะ ผูสอน • ln MN = ln M + ln N
อำชีพที่มีหน้ำที่ศึกษำวิเครำะห์ ค�ำนวณ llnn MMNp
¼ÙŒÊ͹ªÕéá¹ÐãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹¨´¨íÒà¡ÕèÂǡѺ ออกแบบตรวจสอบแก้ไขปญหำและควบคุมกำร • = ln M - ln N
ÊÁºÑµ¢Ô ͧÅÍ¡ÒÃ·Ô ÖÁ¸ÃÃÁªÒµÔãËäŒ ´Œ à¾Íè× ผลิต ซึ่งจ�ำเป็นต้องมีควำมรู้และทักษะในกำร • = p ln M
·¼Õè àŒÙ ÃÂÕ ¹¨Ðä´ÊŒ ÒÁÒöËÒ¤Ò‹ ¢Í§ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ ค�ำนวณ เชน่ กำรออกแบบและผลิตรถยนต์ตำ่ งๆ
¸ÃÃÁªÒµäÔ ´Œ เป็นต้น โดยที่ลอกำริทึมเป็นส่วนหน่ึงของพื้นฐำน • ln 1 = 0
ในกำรค�ำนวณสูตรต่ำงๆ ทำงวิศวกรรม
• ln e = 1
• ln x = 2.3026 log x เมือ่
x เป็นจา� นวนจรงิ บวก
• eln x = elogex = x

180

ผูเรียน ควรรู ขV้อ-สNอบEแTนว

e ໚¹¤‹Ò¤§µÑÇ·Ò§¤³ÔµÈÒʵÏ ·èÕÊÍ´¤ÅŒÍ§¡ºÑ à§×è͹䢢ͧ¿§˜ ¡ª ѹ ¤Ò‹ ¢Í§ In 456 µÃ§¡Ñº¢ÍŒ ã´
ÁÕ¤‹Ò෋ҡѺ¤ÇÒÁªÑ¹ÊíÒËÃѺ·Ø¡¨íҹǹ¨ÃÔ§ x â´Â e ÁÕ¤‹Ò»ÃÐÁÒ³ 1. 3.02
2.71828 2. 4.17
3. 5.42
4. 6.13
5. 7.58

180

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioion n สรปุ Wrap-up

ตัวอยำงท่ี 20 สอน

จงหาคา่ ของ ln 325 4. ¼ÙŒÊ͹ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹¨Ñº¤Ù‹¡Ñ¹ÈÖ¡ÉÒµÑÇÍ‹ҧ
·Õè 20 µÇÑ Í‹ҧ·Õè 21 áÅеÇÑ Í‹ҧ·Õè 22
วธิ ีทา� ln 325 = 2.3026 (log 325) ¨Ò¡Ë¹Ñ§ÊÍ× àÃÕ¹ àÁ×Íè ÈÖ¡ÉÒàÊÃç¨áÅÇŒ ãËŒ
¼ŒÙÊ͹͸ºÔ ÒÂà¾ÁèÔ àµÔÁ
= 2.3026 [log(3.25 × 102)]
5. ¼ÊŒÙ ͹ã˼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹áµÅ‹ ФË٠Nj Á¡¹Ñ ÊÃÒŒ §â¨·Â
= 2.3026 (log 3.25 + 2) ·èÁÕ ÅÕ ¡Ñ ɳеÒÁµÇÑ Í‹ҧ·èÕ 20 - 22 ŧã¹
¡ÃдÒÉ A4 ¨Ò¡¹éѹãˌᵋÅФًª‹Ç¡ѹ
= 2.3026 (0.5119 + 2) áÊ´§ÇÔ¸Õ¡ÒÃËÒ¤‹ÒÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ¸ÃÃÁªÒµÔ

= 2.3026 (2.5119) ตอบ µÒÁ⨷· èÕËÇÁ¡¹Ñ ÊÃÒŒ §¨¹¤Ãº·¡Ø ¢ŒÍ
6. ¼ÙÊŒ ͹ʋØÁµÇÑ á·¹¼ŒàÙ ÃÕ¹ 2 - 3 ¤Ù‹ ÍÍ¡ÁÒ
= 5.7838 ¹Òí àʹͼŧҹ˹Ҍ ª¹Ñé àÃÕ¹
7. ¼ÊŒÙ ͹͸ºÔ Ò¤ÇÒÁÃàŒÙ ¾ÁÔè àµÁÔ à¡ÂÕè Ç¡ºÑ ¡ÒÃ
ตัวอยำงท่ี 21 ËÒ¤‹ÒÅÍ¡ÒÃ·Ô ÖÁ¸ÃÃÁªÒµÔ à¾Íè× ãËŒ¼ŒàÙ ÃÕ¹
Á¤Õ ÇÒÁäٌ ÇÒÁࢌÒã¨ÁÒ¡¢Ö¹é
จงหาค่าของ ln 2556

วธิ ีทา� ln 2556 = 2.3026 (log 2556)

= 2.3026 [log(2.556 × 103)]

= 2.3026 (log 2.556 + 3)

= 2.3026 (0.4075 + 3)

= 2.3026 (3.4075)

= 7.8461 ตอบ

ตัวอยำงที่ 22

จวิธงีทหา�าค ่าขอ ง ln x3zyln2 xเม3zyือ่ 2 ก�าห=น ดlใnห x ้ 3ln + x ln= y(3- 0-. 2ln), zln y = 2.5 และ ln z = 1.2 เกร็ดแนะ ผสู อน
= 3ln x + 2ln y - ln z
= 3(-0.2) + 2(2.5) - (1.2)

= (-0.6) + 5 - 1.2 ¼ÙŒÊ͹¡µÑÇÍ‹ҧ⨷¡ÒÃËÒ¤‹Ò
= 3.2 ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ¸ÃÃÁªÒµÔã¹ÃٻẺµ‹Ò§æ º¹
ตอบ

¡Ãдҹ áÅŒÇãËŒ¼ÙàŒ ÃÂÕ ¹Ã‹ÇÁ¡¹Ñ áÊ´§ÇÔ¸Õ·íÒ
â´Â㪌ÇÔ¸Õ¡ÒöÒÁ - µÍº¡Ñº¼ÙŒàÃÕ¹ à¾×èÍ
181 àÊÃÔÁÊÌҧãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹à¡Ô´¤ÇÒÁࢌÒã¨ÁÒ¡
§Ôè ¢éÖ¹

ÇàÔ ¤ÃÒÐˏ¤íҵͺ
Ç¸Ô ·Õ íÒ In 456 = 2.3026(log 456)

= 2.306 [ log(4.56 × 10 2)]
= 2.306 (log 4.56 + 2)
= 2.306 (0.6589 + 2)
= 2.306 (2.6589)
= 6.1314 ≈ 6.13
´Ñ§¹Ñ¹é In 456 à·Ò‹ ¡ºÑ 6.13

µÍº¢ÍŒ 4.

181

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up

สอน

8. ¼ÙŒÊ͹ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹ÈÖ¡ÉÒàÃè×ͧ ¡ÒÃËÒ¤‹Ò การหาค่าลอการทิ มึ ธรรมชาตจิ ากตารางลอการทิ ึมธรรมชาติ
ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ ¸ÃÃÁªÒµ¨Ô Ò¡µÒÃÒ§ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ
¸ÃÃÁªÒµÔ ¨Ò¡Ë¹Ñ§Ê×ÍàÃÕ¹ áÅÐ ค่าลอการิทึมธรรมชาติจากตารางลอการิทึมธรรมชาติเป็นค่าประมาณที่อยู่ในรูปทศนิยม
¡µÇÑ ÍÂÒ‹ §¡ÒÃËÒ¤Ò‹ ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ ¸ÃÃÁªÒµÔ
¨Ò¡µÒÃÒ§ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ¸ÃÃÁªÒµÔ ãËŒ 5 ต�าแหน่ง ใช้หลักการเดียวกับการหาลอการิทึมสามัญ แต่ตารางลอการิทึมธรรมชาติแสดง
¼ÙàŒ ÃÕ¹ÈÖ¡ÉÒ
จ�านวนเต็มเฉพาะหลกั หมายเลข 0 ในสว่ นที ่ 2 ของตารางเทา่ นัน้ ดงั นน้ั การหาคา่ ลอการิทึม
9. ¼ÊŒÙ ͹͸ºÔ ÒÂà¾ÁÔè àµÁÔ à¡ÂÕè Ç¡ºÑ ¡ÒÃËÒ¤Ò‹
ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ ¸ÃÃÁªÒµ¨Ô Ò¡µÒÃÒ§ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ ธรรมชาตจิ ึงต้องหาสว่ นท่เี ป็นจ�านวนเต็มจากหลักหมายเลข 0 ในส่วนท่ ี 2 ของตารางทุกคร้งั
¸ÃÃÁªÒµÔ µÇÑ ÍÂÒ‹ §·Õè 23 ¨Ò¡Ë¹§Ñ ÊÍ× àÃÂÕ ¹
เชน่ ln 3.0 = 1.09861 ln 3.6 = 1.28093
10. ¼ÙŒÊ͹¡µÑÇÍ‹ҧ¡ÒÃËÒ¤‹ÒÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ
¸ÃÃÁªÒµ¨Ô Ò¡µÒÃÒ§ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ ¸ÃÃÁªÒµÔ ln 3.08 = 1.12493 ln 3.62 = 1.28647
à¾èÔÁàµÔÁ ¨Ò¡Ë¹Ñ§Ê×ÍàÃÕ¹ â´Âà¢Õ¹
⨷µ ÇÑ ÍÂÒ‹ §º¹¡Ãдҹ áÅÐã˼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹ ตัวอยำงท่ี 23 5. 0.00687
·Ø¡¤¹áÊ´§ÇÔ¸Õ·íÒŧº¹¡ÃдÒÉ A4
àÁè×ÍàÊÃç¨áÅŒÇ ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹ÊÅѺ¡ÃдÒÉ จงใช้ตารางลอการิทมึ ธรรมชาติ หาคา่ ลอการิทมึ ของจ�านวนต่อไปน้ี ตอบ
¤íҵͺ¡Ñº¼ÙŒàÃÕ¹¼ÙŒÍ×è¹æ à¾×èͪ‹Ç¡ѹ ตอบ
µÃǨÊͺ¤Òí µÍº ¨Ò¡¹¹éÑ ã˼Œ ʌ٠͹à©Å 1. ln 9.657 2. ln 9.703 3. ln 15300 4. ln 0.0037 ตอบ
Ç¸Ô ·Õ Òí áÅÐ͸ºÔ ÒÂà¾ÔèÁàµÔÁ วิธที �า 1. ln 9.657 = 2.26696 + 0.00073
= 2.26769 ตอบ
เกร็ดแนะ ผสู อน
2. ln 9.703 = 2.27213 + 0.00031 ตอบ
¼ÙŒÊ͹ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹¨Ñº¤Ù‹¡Ñ¹ ¨Ò¡¹Ñé¹ãËŒ = 2.27244
¼àŒÙ ÃÂÕ ¹áµÅ‹ Ф¹µ§Ñé ⨷Âà ¡ÂèÕ Ç¡ºÑ ¡ÒÃËÒ¤Ò‹
ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ ¸ÃÃÁªÒµÔ ·àÕè ËÁÍ× ¹¡ºÑ µÇÑ ÍÂÒ‹ § 3. ln 15300 = ln (1.53 × 104)
·Õè 23 ¨Òí ¹Ç¹ 3 ¢ÍŒ áÅÇŒ ã˼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹áš⨷ = ln 1.53 + 4 ln 10
¡Ñº¼ÙŒàÃÕ¹·Õè໚¹¤Ù‹¢Í§µ¹ à¾×èÍËÒ¤‹Ò¢Í§
ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ¸ÃÃÁªÒµÔ àÁ×èÍàÊÃç¨áŌǹíÒÊ‹§ = 0.42527 + 4(2.3026)
¼ÊÙŒ ͹µÃǨ = 9.62567
4. ln 0.0037 = ln (3.7 × 10-3)
= ln 3.7 - 3 ln 10
= 1.30833 - 3(2.3026)
= 1.30833 - 6.9078
= -5.59947
5. ln 0.00687 = ln (6.87 × 10-3)
= ln 6.87 - 3 ln 10
= 1.92716 - 3(2.3026)
= 1.92716 - 6.9078
= -4.98064

182

ขVอ้ -สNอบEแTนว

Vocational Skills ¨§ËÒ¤Ò‹ ¢Í§ In 5 + In 6 - In 2
1. 1.9
¤ÇÒÁÃÙŒáÅзѡÉÐà¡ÕèÂǡѺÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ¸ÃÃÁªÒµÔ ໚¹¤ÇÒÁÃÙŒáÅÐ 2. 2.1
·¡Ñ Éзҧ¤³µÔ ÈÒʵ÷ èÕÊÒÁÒö¹Òí ä»»ÃÐÂ¡Ø µãªŒã¹¡ÒûÃСͺÍÒªÕ¾ 3. 2.3
ä´ŒËÅÒÂÍÒªÕ¾ હ‹ ¹¡Ñ ¤³µÔ ÈÒʵϹíÒ令Դ¤Òí ¹Ç³âÁà´Åµ‹Ò§æ ·Ò§ 4. 2.5
¤³µÔ ÈÒʵÏ ·Õè㪌§Ò¹Ç¨Ô Ñ ¹Ñ¡¡ÒÃà§¹Ô ¹íÒ令ԴÇҧἹà¡ÂèÕ Ç¡ÑºàÇÅÒã¹ 5. 2.7
¡Òýҡà§Ô¹ËÃ×ÍàÇÅÒ㹡Òü‹Í¹ªíÒÃÐ˹Õé ¹Ñ¡à¤ÁÕ¤íҹdz¤ÃÖ觪ÕÇÔµ¢Í§
¸ÒµØµ‹Ò§æ ໚¹µ¹Œ

182

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp

แบบฝกทักษะที่ 5.5 สรปุ

ค�ำช้ีแจง ใหผ้ ้เู รียนแสดงวิธีทา� ในแต่ละข้อต่อไปน้ี 11. ¼ÊŒÙ ͹ÊÒ¸µÔ ¡ÒÃËÒ¤Ò‹ ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ ¸ÃÃÁªÒµÔ
¨Ò¡µÒÃÒ§ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ¸ÃÃÁªÒµÔ µÒÁ·èÕ
1. จงหาค่าของ ln 3 + ln 2 - ln 6 ⨷¡íÒ˹´¨Ò¡áºº½ƒ¡ËÑ´·Ñ¡ÉзèÕ
5.4 ãËŒ¼ŒàÙ ÃÂÕ ¹´àÙ »¹š µÇÑ Í‹ҧ
...ว..ิธ...ที ...�ำ... .... ...................l..n.. .3.....+.....l.n... .2... ..-....l.n... .6... .....=.. ......1.....0..9...8...6..1... ..+... ..0.....6...9..3...1...5.. ..-... ..1.....7...9...1..7...6.......................................................
= 1.79176 - 1.79176............................................................................................................................................................................................................. 12. ¼ÙŒÊ͹ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹ᵋÅФ¹·íÒẺ½ƒ¡
= 0............................................................................................................................................................................................................. ·¡Ñ ÉзÕè 5.4

............................................................................................................................................................................................................. เกร็ดแนะ ผสู อน

............................................................................................................................................................................................................. ¼ÙŒÊ͹ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹͋ҹ·º·Ç¹à¡ÕèÂǡѺ
¡ÒÃËÒ¤‹Òá͹µÅÔ Í¡ÒÃÔ·ÁÖ ¸ÃÃÁªÒµÔ áÅÐ
............................................................................................................................................................................................................. Ç¸Ô ¡Õ ÒÃà»´ µÒÃÒ§ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ ¸ÃÃÁªÒµÔ ËÒ¡
Á¢Õ ÍŒ ʧÊÂÑ ãËÂŒ ¡ÁÍ× ¶ÒÁ¼ÊŒÙ ͹䴷Œ ¹Ñ ·Õ à¾Íè×
2. จ...ว.ง.ิธ.ห..ีท..า.�ำ..ค. ..า่.. .ข....อ...ง... ..l.n... .e...yx...2.. ...เ..ม...่ือ....ก...�า...หl.n...น .e..ดy.x..2.ใ. .ห.... ้=..l .n... .x.l.n. .. .e=.. . .+.3.. ...l.5n... .x.แ..2.. ล..-.ะ. .. l..nl.n. .y. .y... ...=... ..(..-..0......4...).......................................................... ·Õè¼ÙŒàÃÕ¹¨Ðä´ŒÊÒÁÒö·íÒẺ½ƒ¡·Ñ¡ÉзÕè
5.5 ä´´Œ ÇŒ µ¹àͧ
= 1 + 3.5 - (-0.4).............................................................................................................................................................................................................
= 1 + 3.5 + 0.4.............................................................................................................................................................................................................
= 4.9.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

3. จงใชต้ ารางลอการิทมึ ธรรมชาติ หาค่าลอการทิ ึมของจา� นวนตอ่ ไปน้ี
1) ln 324

...ว..ธิ...ที ...�ำ... .... ...........................................l.n... .3...2..4... .....=... .....l.n... .(..3.....2...4.. ..×... ..1...0...2..)..............................................................................
= ln 3.24 + 2 ln 10....................................................................................................................................................................................................
= 0.17557 + 2(2.3026)....................................................................................................................................................................................................
... ............... ........................................................ .....=... .....0.....1...7..5...5...7.. ..+... ..4.....6...0...5..2... ..=... ..4.....7...8..0...7...7................................................

2) ln 0.0178

...ว..ิธ...ีท...ำ�... .... ....................................l.n... .0.....0...1...7..8... .....=... .....l.n... .(..1.....7...8.. ..×... ..1...0...-.2..).............................................................................
= ln 1.78 - 2 ln 10....................................................................................................................................................................................................
= 0.57661 - 2(2.3026)....................................................................................................................................................................................................
... ............... ........................................................ .....=... .....0.....5...7..6...6...1.. ..-... ..4.....6...0..5...2... ..=.. ...-..4.....0...2...8..5...9..............................................

183

ÇàÔ ¤ÃÒÐˤ Òí µÍº
ÇÔ¸Õ·Òí In 5 + In 6 - In 2 = 1.6094 + 1.7918 - 0.6931

= 2.7081 ≈ 2.7
´§Ñ ¹é¹Ñ In 5 + In 6 - In 2 ෋ҡѺ 2.7

µÍº¢ŒÍ 5.

183

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp
สรปุ
3) ln 47.15
13. ¼ÙŒÊ͹ÊØ‹Á¼ÙŒàÃÕ¹ÍÍ¡ÁÒáÊ´§ÇÔ¸Õ·íÒ
â´Â¼ÙŒÊ͹áÅмٌàÃÕ¹¤¹Íè×¹æ ª‹Ç¡ѹ ...ว..ธิ...ที ...�ำ... .... .......................................l.n... .4...7.....1..5... .....=.. ......l.n... .(..4.....7..1...5... ..×... ..1...0..)..............................................................................
µÃǨÊͺ¤íҵͺ¢³Ð·ÕèµÑÇ᷹͸ԺÒ = ln 4.715 + ln 10....................................................................................................................................................................................................
˹Ҍ ª¹éÑ àÃÕ¹ ËÒ¡¾ºÇ‹ÒµÇÑ á·¹¼àÙŒ ÃÕ¹ ... ............... ........................................................ .....=.. ......1.....5..4...9...6..9... ..+... ..0.....0...0..1...0...8.. ...+.. ..2.....3...0...2..6.................................................
à©ÅÂäÁ¶‹ ¡Ù µÍŒ § ¼ÊŒÙ ͹áÅмàŒÙ ÃÂÕ ¹ªÇ‹ ¡¹Ñ = 3.85337....................................................................................................................................................................................................
á¡äŒ ¢ã˶Œ Ù¡µŒÍ§
....................................................................................................................................................................................................
14. ¼ÊÙŒ ͹áÅмŒàÙ ÃÂÕ ¹Ã‹ÇÁ¡¹Ñ ÊÃØ»àÃèÍ× § ¡ÒÃ
ËÒ¤‹ÒÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ¸ÃÃÁªÒµÔ¨Ò¡µÒÃÒ§ 4) ln 0.5866
ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ¸ÃÃÁªÒµÔ
...ว..ธิ...ีท...�ำ... .... ....................................l.n... .0.....5...8...6..6... .....=.. ......l.n... .(..5.....8..6...6... ..×... ..1...0..-..1..)..........................................................................
เกร็ดแนะ ผูสอน = ln 5.866 - ln 10....................................................................................................................................................................................................
... ............... ........................................................ .....=.. ......1.....7..6...8...1..5... ..+... ..0.....0...0..1...0...3.. ..-... ..2.....3...0..2...6.................................................
¼ÊŒÙ ͹áÅмàŒÙ ÃÂÕ ¹ÃÇ‹ Á¡¹Ñ ÊÃ»Ø à¡ÂèÕ Ç¡ºÑ = -0.53342....................................................................................................................................................................................................
¡ÒÃËÒ¤Ò‹ ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÖÁ¸ÃÃÁªÒµàÔ »¹š á¼¹¼§Ñ
¤ÇÒÁ¤´Ô º¹¡Ãдҹ àÁÍè× ÊÃ»Ø àÊèç áÅÇŒ ãËŒ ....................................................................................................................................................................................................
¼ÙàŒ ÃÕ¹º¹Ñ ·Ö¡Å§ã¹ÊÁØ´
4. จงหาคา่ ของ lnl n0 .65743...ว..ธิ...ีท...�ำ... ..... .....................................l..n..l .n0... ..6.5..74...3..... ...=.. ......l.nl.n.. .( .(.5.6.....4.7..3. . .×.×.. . .1.1..0.0.1..1)..).......................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

... ................ ....................................................... .....=.. ......l.nl.n.. .5 .6.....4.7..3. . .+.-.. . .l.nl.n.. .1 .1.0..0.........................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................
... ................ ....................................................... .....=.. ......11......96...09..21...19... ..+-.. ..22......3.3..00...22...66....................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

= -40..26014077.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................

= -6.885.............................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................

184

Vขอ้ -สNอบEแTนว

¤‹Ò¢Í§ In 87.66 Á¤Õ Ò‹ µÃ§¡ºÑ ¢ŒÍã´
1. 3.48
2. 4.48
3. 5.48
4. 6.48
5. 7.48

184

นนาําํ WWaarrmm--uupp สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up

1.6 การแกสมการลอการทิ ึม นาํ

การแก้สมการลอการิทึม เป็นการน�าคุณสมบัติของลอการิทึมมาใช้เพ่ือหาค่าของตัวแปรท่ี 1. ¼ÙŒÊ͹¡Ãе،¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹ËÇÁ¡Ñ¹ÍÀÔ»ÃÒÂ
ตอ้ งการหรอื ในบางกรณอี าจเปลย่ี นสมการใหอ้ ยใู่ นรปู ของเลขยกกา� ลงั กอ่ น จงึ จะหาคา่ ของตวั แปร ¶Ö§¡ÒÃËÒ¤‹ÒÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁã¹ÇÔ¸Õ¡Òõ‹Ò§æ
ทต่ี อ้ งการไดง้ า่ ยข้ึน ·Õèä´ŒÈÖ¡ÉÒÁÒ à¾×èÍ´Ù¤ÇÒÁÃÙŒ¤ÇÒÁࢌÒã¨
การใช้ลอการิทึมแกส้ มการที่อยูใ่ นรปู เลขยกกา� ลัง ¾é×¹°Ò¹¢Í§¼ŒàÙ ÃÕ¹

จากสมการเอกซโ์ พเนนเชียล ท่มี ีรูปสมการประกอบด้วยตัวแปรเปน็ เลขชกี้ า� ลัง เราสามารถ สอน
แก้สมการเอกซโ์ พเนนเชียลได้โดยใชล้ อการทิ ึมเขา้ มาช่วยในการแกส้ มการเพือ่ หาคา� ตอบ
2. ¼ÙŒÊ͹ã˼Œ ŒàÙ ÃÕ¹áµÅ‹ Ф¹È¡Ö ÉÒàÃ×èͧ ¡ÒÃ
ตัวอยำงที่ 24 á¡ÊŒ Á¡ÒÃÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ ã¹Ë¹§Ñ ÊÍ× àÃÂÕ ¹ áÅÐ
¡µÑÇÍ‹ҧ¡ÒÃ㪌ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁá¡ŒÊÁ¡ÒÃ
จงหาค่า x จากสมการ (2.2)x-4 = 9.32 ·ÍèÕ ÂÙ‹ã¹Ã»Ù àŢ¡¡íÒÅ§Ñ ã˼Œ àÙŒ ÃÂÕ ¹ÈÖ¡ÉÒ

วธิ ีท�า (2.2)x-4 = 9.32 3. ¼ÙŒÊ͹͸ԺÒÂà¾ÔèÁàµÔÁà¡ÕèÂǡѺµÑÇÍ‹ҧ
·Õè 24 áÅеÇÑ ÍÂÒ‹ §·èÕ 25 ¨Ò¡Ë¹§Ñ ÊÍ× àÃÂÕ ¹
log (2.2)x-4 = log 9.32

(x - 4) log (2.2) = log 9.32

(x - 4)(0.3424) = 0.9694
0.9694
x-4 = 0.3424
x
= 2.8312 + 4

x = 6.8312 ตอบ

ตัวอยำงท่ี 25 เกร็ดแนะ ผูส อน

จงหาค่า x จากสมการ 10x2 = 37 ËÅѧ¨Ò¡·èÕ¼ÙŒÊ͹䴌͸ԺÒÂà¾ÔèÁàµÔÁ
วธิ ที า� 10x2 = 37 à¡èÕÂÇ¡ºÑ µÑÇÍ‹ҧ·èÕ 24 áÅеÑÇÍ‹ҧ·Õè 25
log 10x2 = log 37 ตอบ ¼ÙŒÊ͹¤ÇáµÑÇÍ‹ҧà¡èÕÂǡѺ¡ÒÃá¡Œ
ÊÁ¡ÒÃÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ à¾ÁÔè àµÁÔ 5 ¢ÍŒ â´ÂãªÇŒ ¸Ô Õ
x2 log 10 = log 37 185 ¡ÒöÒÁ - µÍº¡Ñº¼ÙŒàÃÕ¹ à¾×èÍãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹
x2 (1) = log (3.7 × 10) à¡Ô´¤ÇÒÁࢌÒã¨ÁÒ¡¢Ö¹é
x2 = log 3.7 + log 10
x2 = 0.5682 + 1
x2 = 1.5682

x = ±1.25

ÇàÔ ¤ÃÒÐˏ¤íҵͺ
Ç¸Ô ·Õ íÒ In 87.66 = In (8.766 × 10)

= In 8.766 + In 10
= 2.1709 + 2.306
= 4.4769 ≈ 4.48
´Ñ§¹¹éÑ ¤Ò‹ ¢Í§ In 87.66 à·Ò‹ ¡Ñº 4.48

µÍº¢ÍŒ 2.

185

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up
สอน
1.7 การนาํ ลอการิทึมมาประยกุ ตใชในการคํานวณ
4. ¼ÙŒÊ͹͸ԺÒÂà¾ÔèÁàµÔÁà¡èÕÂǡѺ¡ÒùíÒ
ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁÁÒ»ÃÐÂ¡Ø µã ªŒã¹¡ÒäÒí ¹Ç³ 1) การหาค่าประมาณโดยใช้ลอการทิ ึม

5. ¼ÙŒÊ͹ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹ÈÖ¡ÉÒà¡èÕÂǡѺ ¡ÒÃËÒ จากความรู้เร่ืองลอการิทึมสามารถน�ามาใช้ประโยชน์ในการคิดค�านวณ เช่น การคูณ
¤‹Ò»ÃÐÁÒ³â´ÂãªÅŒ Í¡ÒÃ·Ô ÁÖ ¨Ò¡¹¹éÑ ãËŒ การหาร และเลขยกก�าลงั ซง่ึ ค่าทไ่ี ดจ้ ากการคา� นวณจะเปน็ คา่ โดยประมาณและใกล้เคยี งกับคา่ ท่ี
¼àŒÙ ÃÕ¹¨Ñº¤ÈÙ‹ ¡Ö ÉÒµÇÑ Í‹ҧ·Õè 26 µÇÑ ÍÂÒ‹ § แทจ้ ริง
·èÕ 27 ¨Ò¡Ë¹Ñ§Ê×ÍàÃÕ¹
ตัวอยำงท่ี 26
เกร็ดแนะ ผูส อน
จงหาค่าของ (6.514 × 0.000234)4
ËÅѧ¨Ò¡·èÕ¼ÙŒÊ͹䴌͸ԺÒÂà¡èÕÂǡѺ
µÑÇÍ‹ҧ·Õè 26 àÊÃç¨ ¼ÙŒÊ͹ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹ วธิ ีท�า ให ้ N = (6.514 × 0.000234)4
ËÇÁ¡Ñ¹µÑé§â¨·Â·èÕÁÕÃٻẺàËÁ×͹¡Ñº
µÇÑ Í‹ҧ·èÕ 26 ¨Ò¡¹¹éÑ ã¹¡ÒÃáÊ´§ÇÔ¸Õ·Òí จะได้ log N = log (6.514 × 0.000234)4
¼ÊŒÙ ͹ãªÇŒ ¸Ô ¡Õ ÒöÒÁ - µÍº¡ºÑ ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹ àÁÍ×è
áÊ´§ÇÔ¸Õ·íÒàÊÃç¨ ¼ÙŒÊ͹ແ´âÍ¡ÒÊãËŒ log N = 4log (6.514 × 0.000234)
¼àŒÙ ÃÂÕ ¹¶ÒÁ㹢͌ ʧÊÂÑ µÒ‹ §
log N = 4(log 6.514 + log 0.000234)

log N = 4(log 6.514 + log (2.34 × 10-4))

log N = 4(log 6.514 + log 2.34 + log 10-4)

log N = 4(0.8138 + 0.3692 - 4)

log N = 4(-2.817)

log N = -11.268

log N = -0.268 - 11

log N = (-0.268 + 1) + (-11 - 1)

log N = 0.732 + (-12)

เนื่องจาก log N มีค่าเป็นลบ ซงึ่ ตารางแอนตลิ อการทิ มึ จะใชส้ �าหรับลอการิทมึ ทีเ่ ป็นบวก

จะตอ้ งเปล่ียนรูป ดงั น้ี

log N = -11.268 = -0.268 + 11 - 11

log N = 0.732 - 12

จากตารางแอนติลอการึทึม 0.732 = log 5.395

log N = log 5.395 + log10-12

log N = log (5.395 × 10-12)

N = 5.395 × 10-12 = 0.000000000005395

ดงั นนั้ ค่าของ (6.514 × 0.000234)4 คือ 0.000000000005395 ตอบ

186

Vข้อ-สNอบEแTนว

¤Ò‹ ¢Í§ In 0.000182 µÃ§¡Ñº¢ÍŒ ã´
1. -2.14
2. -6.85
3. -8.61
4. -11.83
5. -15.04

186

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioion n สรปุ Wrap-up

ตัวอยำงท่ี 27 สอน

จงหาผลลัพธ์ในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี 6. ¼ÊŒÙ ͹ã˼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹áµÅ‹ ФË٠Nj Á¡¹Ñ ÊÃÒŒ §â¨·Â
1. (0.620)31 ·èÕÁÕÅѡɳеÒÁµÑÇÍ‹ҧ·èÕ 26 áÅÐ
N = (0.620)13 2. 0.0187 × 4360 µÑÇÍ‹ҧ·èÕ 27 ŧ㹡ÃдÒÉ A4 ¨Ò¡¹éѹ
ãˌᵋÅФًËÇÁ¡Ñ¹áÊ´§ÇÔ¸Õ·íÒ¡ÒÃËÒ¤‹Ò
วธิ ที �า 1. ให ้ 11331133 »ÃÐÁÒ³â´Â㪌ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁµÒÁ⨷·Õè
ËÇÁ¡¹Ñ ÊÃÒŒ §¨¹¤Ãº·¡Ø ¢ŒÍ
จะได้ log N = log 0.620
log N = log (6.2 × 10-1) 7. ¼ÊÙŒ ͹ʋÁØ µÑÇá·¹¼àÙŒ ÃÕ¹ 2 - 3 ¤‹Ù ÍÍ¡ÁÒ
log N = (log 6.2 + log 10-1) ¹Òí àʹͼŧҹ˹Ҍ ªéѹàÃÕ¹
log N =
(0.7924 - 1) 8. ¼ÊŒÙ ͹͸ºÔ Ò¤ÇÒÁÃàŒÙ ¾ÁÔè àµÁÔ à¡ÂèÕ Ç¡ºÑ ¡ÒÃ
ËÒ¤Ò‹ »ÃÐÁÒ³â´ÂãªÅŒ Í¡ÒÃÔ·ÖÁ
log N = -0.0692

log N = 0.9308 + (-1)

จากตารางแอนติลอการทิ มึ 0.9308 = log (8.511 + 0.016) = log 8.527

log N = log 8.527 + (-1) log 10

log N = log 8.527 + log 10-1

log N = log (8.527 × 10-1)

log N = log 0.8527 ตอบ
ดังนัน้ คา่ ของ (0.620)31 คอื 0.8527

2. ให้ N = 0.0187 × 4360

จะได ้ log N = log (0.0187 × 4360)

log N = log 0.0187 + log 4360

log N = log (1.87 × 10-2) + log (4.36 × 103)

log N = 0.2718 + (-2) + 0.6395 + 3

log N = 1.9113

log N = 0.9113 + 1

จากตารางแอนติลอการิทมึ 0.9113 = log (8.147 + 0.006) = log 8.153 เกร็ดแนะ ผูสอน

log N = log 8.153 + (1) log 10 ËÅѧ¨Ò¡·Õè¼ÙŒÊ͹䴌͸ԺÒÂà¡ÕèÂǡѺ
µÇÑ ÍÂÒ‹ §·Õè 27 àÊÃ¨ç ¼ÊŒÙ Í¹ã˼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹ÃÇ‹ Á¡¹Ñ
log N = log 8.153 + log 101 ตอบ µéѧ⨷·èÕÁÕÃٻẺàËÁ×͹¡ÑºµÑÇÍ‹ҧ·Õè
27 ¨Ò¡¹¹Ñé ã˼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹º¹Ñ ·¡Ö ŧÊÁ´Ø áÅÇŒ ¹Òí
log N = log (8.153 × 10) 187 ä»·íÒ໚¹¡ÒúҌ ¹Ê‹§ã¹¤Òºµ‹Íä»

log N = log 81.53

ดงั นั้น ค่าของ 0.0187 × 4360 คือ 81.53

ÇÔà¤ÃÒÐˏ¤íҵͺ
Ç¸Ô Õ·Òí ln 0.000182 = In(1.82 × 10 -4)

= In 1.82 - 4 In 10
= 0.5988 - 4(2.3026)
= -8.6116 ≈ -8.61
´§Ñ ¹¹éÑ In 0.000182 à·Ò‹ ¡ºÑ -8.61

µÍº¢ÍŒ 3.

187

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up

สอน 2) การใชล้ อการิทึมสามญั คา� นวณในงานอาชีพ
การแก้โจทย์ปัญหาท่ีต้องการความละเอียด เราสามารถน�าความรู้เรื่องลอการิทึมไปใช้
9. ¼ÙŒÊ͹ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹ÈÖ¡ÉÒà¡èÕÂǡѺ ¡ÒÃ㪌
ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁÊÒÁÑÞ¤íҹdz㹧ҹÍÒªÕ¾ ในการหาคา่ โดยประมาณและเปน็ คา่ ทม่ี คี วามใกลเ้ คยี งกบั ความเปน็ จรงิ มากทส่ี ดุ ในอาชพี หรอื งาน
¨Ò¡¹Ñé¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹¨Ñº¤Ù‹ÈÖ¡ÉÒµÑÇÍ‹ҧ·èÕ ทางชา่ งตา่ งๆ ได้
28 ¨Ò¡Ë¹§Ñ ÊÍ× àÃÕ¹
Math Notes
10. ¼ÙŒÊ͹͸ԺÒÂà¾ÔèÁàµÔÁà¡ÕèÂǡѺµÑÇÍ‹ҧ
·Õè 28 การแกโ้ จทย์ปัญหาทีเ่ กีย่ วข้องในงานอาชพี เป็นการแสดงถงึ ความส�าคัญของลอการทิ มึ โดยท่เี ปน็
พื้นฐานการคา� นวณใหก้ ับอาชพี น้นั ๆ นอกจากนห้ี ลังจากทีไ่ ดค้ �าตอบจากการแก้โจทยป์ ัญหาแลว้ ผ้เู รียน
11. ¼ÙŒÊ͹͸ԺÒÂà¡èÕÂǡѺ¡ÒÃᡌ⨷ ควรตรวจสอบค�าตอบทไี่ ดโ้ ดยการแทนคา่ ของค�าตอบลงในสมการ ซ่ึงจะทา� ใหส้ มการเปน็ จรงิ
»Þ˜ ËÒ·àÕè ¡ÂÕè Ǣ͌ §ã¹§Ò¹ÍÒª¾Õ 㹡Ãͺ
Math Notes

ตัวอยำงท่ี 28

ในป  พ.ศ. 2542 จา� นวนประชากรของจงั หวัดหนงึ่ เท่ากบั 116,000 คน และมีอัตราการเตบิ โตเท่ากับ

4% ต่อป อยากทราบว่าในป พ.ศ. ใด ประชากรของจงั หวดั น้ีจะมีจา� นวน 300,000 คน

กา� หนดให้ n(t) = n0(1 + r)t
เมือ่ n(t) แทน จา� นวนประชากรเมื่อเวลาผ่านไป t

n0 แทน จา� นวนประชากร ณ จุดเริม่ ต้น
r แทน อัตราการเตบิ โต

t แทน เวลา

วธิ ที า� จาก n(t) = n0 (1 + r)t จะได้วา่

300,000 = (116,000)(1 + 0.04)t

2.57 = (1 + 0.04)t

log 2.57 = log (1 + 0.04)t

= t log 1.04

เกร็ดแนะ ผูส อน 0.4099 = t (0.0170)
t = 00..04109709
¼ÙŒÊ͹·º·Ç¹à¡èÕÂǡѺ¡ÒÃᡌ⨷ t = 24
»˜ÞËÒ â´ÂàÁ×èͼàÙŒ ÃÂÕ ¹ä´ŒÍ‹Ò¹â¨·Â»˜ÞËÒ
àÊÃç¨ ãËŒ¼ÙŒÊ͹ÇÔà¤ÃÒÐˏNjÒÍÐäÃ໚¹ÊèÔ§·èÕ ดังนั้น อกี 24 ป  ข้างหนา้ ประชากรของจังหวัดน ี้ จะมจี �านวน 300,000 คน นน่ั คอื
⨷Â㏠ËÁŒ Ò áÅÐÁàÕ §Í×è ¹ä¢ÍÂÒ‹ §äà áÅÐÍÐäÃ
໚¹ÊèÔ§·Õè⨷µŒÍ§¡ÒÃãËŒËÒËÃ×͵ŒÍ§¡Òà จงั หวดั นจ้ี ะมีประชากร 300,000 คน ในป พ.ศ. 2566 ตอบ
·ÃÒº
188

บูรณาการ อาชพี คขอ้ ิดสอวบิเแคนรว าะห์

¹Ñ¡Ê¶ÔµÔÇÔà¤ÃÒÐˏ ºÒ§¤¹¨ÐµŒÍ§ÇÔà¤ÃÒÐˏà¡èÕÂǡѺá¹Ç⹌Á¢Í§ ¶ÒŒ ¾¾Ô ²Ñ ¹Å §·¹Ø 300,000 ºÒ· â´Âä´ÃŒ ºÑ ¼ÅµÍºá·¹ã¹ÍµÑ ÃÒ
»ÃЪҡÃã¹áµÅ‹ Ш§Ñ ËÇ´Ñ ËÃÍ× ã¹»ÃÐà·È à¾Í×è ·Òí ÊÒÃʹà·ÈãË»Œ ÃЪҪ¹ 8% µÍ‹ 4 à´Í× ¹ ·ºµ¹Œ ·¡Ø æ 4 à´Í× ¹ ÍÂÒ¡·ÃÒºÇÒ‹ ¨ÐµÍŒ §ãªŒ
áÅÐ˹Nj §ҹ͹è× æ ¹Òí ä»ãªŒ»ÃÐ⪹ã¹¡ÒÃÇҧἹ હ‹ ¡ÒÃÇҧἹ àÇÅÒ¹Ò¹à·Ò‹ äà ¾¾Ô ²Ñ ¹¨ §Ö ä´ÃŒ ºÑ à§¹Ô ÃÇÁ 840,000 ºÒ·
ÊÃÒŒ §ÊÒ¸Òó»Ù âÀ¤¢¹éÑ ¾¹é× °Ò¹à¾ÁèÔ à¾Í×è ÃÍ§ÃºÑ ¡ÒÃà¾ÁÔè ¢¹éÖ ¢Í§»ÃЪҡÃ
໹š µŒ¹ 1. 8 §Ç´
2. 10 §Ç´
3. 12 §Ç´
4. 14 §Ç´
5. 16 §Ç´

188

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up

ตัวอยำงที่ 29 สอน

ธาตซุ เี ซยี ม -137 มีคร่งึ ชีวิต 30 ป ถ้ามีธาตซุ เี ซียมทีเ่ ปน กลุ่มตัวอย่างจ�านวน 10 กรมั จงหาวา่ จะใช้ 12. ¼ÊŒÙ ͹ã˼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹È¡Ö ÉÒµÇÑ ÍÂÒ‹ §·Õè 29 áÅÐ
µÑÇÍ‹ҧ·èÕ 30 ¨Ò¡Ë¹§Ñ Ê×ÍàÃÂÕ ¹
เวลากปี่  จงึ จะมีซเี ซียมเหลืออยู่ 2 กรมั (โดยทก่ี �าหนดให ้ m(t) = m0e-0.0231t เมอ่ื m(t) แทน ปรมิ าณ
สารเมอ่ื เวลาผ่านไป t, m0 แทน ปริมาณสาร ณ จุดเร่ิมต้น และ t แทน เวลา) 13. ¼ÊŒÙ ͹͸ºÔ ÒÂà¾ÁèÔ àµÁÔ à¡ÂÕè Ç¡ºÑ µÇÑ ÍÂÒ‹ §·èÕ
วธิ ีทา� จาก m(t) = m0e-0.0231t จะได้วา่ 29 áÅеÇÑ Í‹ҧ·Õè 30 ¨Ò¡Ë¹Ñ§Ê×ÍàÃÕ¹

2 = 10e-0.0231t 14. ¼ŒÙÊ͹ÊÁØ‹ ¼ŒÙàÃÂÕ ¹ 2 ¤‹Ù ÍÍ¡ÁÒÍÀ»Ô ÃÒÂ
˹Ҍ ª¹éÑ àÃÂÕ ¹¨Ò¡¡Ò÷äÕè ´ÈŒ ¡Ö ÉÒµÇÑ ÍÂÒ‹ §
0.2 = e-0.0231t ·Õè 29 áÅеÑÇÍ‹ҧ·èÕ 30

ln 0.2 = ln e-0.0231t 15. ¼ÊŒÙ ͹áÅмàŒÙ ÃÂÕ ¹¤¹Í¹×è ÃÇ‹ Á¡¹Ñ µÃǨÊͺ
¤ÇÒÁ¶Ù¡µŒÍ§
(2.3026) log (2 × 10-1) = -0.0231t (ln e)
16. ¼ÙŒÊ͹á¹Ð¹íÒãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹¹íÒ¤ÇÒÁÃÙŒàÃè×ͧ
2.3026 (log 2 - 1) = -0.0231t ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁä»ãªŒã¹§Ò¹ÍÒª¾Õ ä´Œ

2.3026 (0.3010 - 1) = -0.0231t
-1.6095
t = -0.0231 = 70

ดังนั้น จะใช้เวลาประมาณ 70 ป  จึงจะมซี เี ซียมเหลอื อยู ่ 2 กรัม ตอบ

ตัวอยำงท่ี 30

ถ้าสุรศกั ด์ลิ งทนุ 200,000 บาท โดยได้รับผลตอบแทนในอตั รา 8% ตอ่ 4 เดอื น ทบต้นทกุ ๆ 4 เดอื น

อยากทราบว่าจะตอ้ งใช้เวลานานเทา่ ไร สรุ ศกั ด์จิ ึงจะไดร้ บั เงนิ รวม 620,000 บาท

วธิ ที า� จาก s = p(1 + i)n

แทน s = 620,000, p = 200,000, i = 8% ต่องวด (4 เดือน)
220000,,000000 ((11. 0+8 )1n080)n
จะได้ 620,000 =
620,000 =

3.1 = (1.08)n

log 3.1 = log (1.08)n เกร็ดแนะ ผูสอน

log 3.1 = nlog (1.08) ¼ÙŒÊ͹¡µÑÇÍ‹ҧ⨷»˜ÞËÒ·èÕ㪌
n = lologg 1 3..018 = 14.70 ≈ 15 ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ㹧ҹÍÒªÕ¾à¾ÁÔè àµÔÁ 1 - 2 ¢ŒÍ
º¹¡Ãдҹ ËÅ§Ñ ¨Ò¡¹¹éÑ ã˼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹ÃÇ‹ Á¡¹Ñ
ดงั นั้น สุรศกั ดลิ์ งทนุ นาน 15 งวด จงึ จะไดร้ ับเงินทง้ั หมด 620,000 บาท ตอบ ÇÔà¤ÃÒÐËÇ‹Ò ÍÐäÃ໚¹ÊèÔ§·èÕ⨷ãËŒÁÒÁÕ
à§×è͹ä¢ÍÐäúŒÒ§ áÅÐÍÐäÃ໚¹ÊÔ觷èÕ⨷
189 µŒÍ§¡Ò÷ÃÒº áÅШÐá·¹¤‹Òŧã¹ÊÙµÃ
ä´ŒÍÂÒ‹ §äà ÃÇÁ·§Ñé ¼ÊÙŒ ͹ÍÒ¨àµÃÕÂÁ⨷
ÇàÔ ¤ÃÒÐˏ¤Òí µÍº »˜ÞËÒÁÒà¾èÔÁÍÕ¡ 3 ¢ŒÍ áÅŒÇãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹
ºÑ¹·Ö¡Å§ÊÁØ´¹íÒä»·íÒ໚¹¡ÒúŒÒ¹Ê‹§ã¹
Ç¸Ô Õ·íÒ ¨Ò¡ S = p(1 + i)n ¤ÒºµÍ‹ ä»
840,000 = 300,000 1 + 1080 n
840,000 = 300,000(1.08)n 189
2.8 = (1.08)n
log 2.8 = log(1.08)n
log 2.8 = n log(1.08)
n = lologg12..088 = 13.38 ≈ 14
´§Ñ ¹Ñ¹é ¨ÐãªàŒ ÇÅÒ 14 §Ç´ ¨§Ö ¨Ðä´ŒÃºÑ à§¹Ô ÃÇÁ 840,000 ºÒ·

µÍº¢ÍŒ 4.

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp
สรปุ
แบบฝกทักษะท่ี 5.6
17. ¼ÙÊŒ ͹ãËŒ¼àŒÙ ÃÕ¹·íÒẺ½¡ƒ ·Ñ¡ÉзèÕ 5.6
18. ¼ÊŒÙ ͹á¹Ð¹Òí ã˼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹ÇàÔ ¤ÃÒÐË⏠¨·Â㏠ˌ ค�ำช้ีแจง ให้ผู้เรียนแสดงวิธใี นแต่ละข้อตอ่ ไปนี้

Ãͺ¤Íº¡‹Í¹Å§Á×ÍËÒ¤‹ÒµÑÇá»Ãâ´Â㪌 1. จงหาคา่ x จากสมการท่กี า� หนดให้
ÅÍ¡ÒÃÔ·ÁÖ 1) (2.2)x-5 = 9.32

เกร็ดแนะ ผูสอน วิธีท�ำ (2.2) = 9.32.....................................................................x..-..5...........................................................................................................................
log (2.2) = log 9.32.....................................................................x..-..5...........................................................................................................................
¡‹Í¹·èÕ¼ÙŒÊ͹¨ÐãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹·íÒẺ½ƒ¡ ... ................ ....................(..x... ..-... ..5..).. .l..o..g... .(..2.....2...). .....=... .....l.o...g... .9.....3..2...............................................................................................
·Ñ¡ÉзèÕ 5.6 ¼ÙŒÊ͹¤ÇÃãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹͋ҹ ... ................ .....................(..x... ..-.. ..5...)..(..0.....3...4..2...4...). .....=... .....0.....9...6...9..4.................................................................................................
·º·Ç¹à¡èÕÂǡѺ¡ÒÃá¡ŒÊÁ¡ÒÃÅÍ¡ÒÃ·Ô ÖÁ x - 5 = 00..39469244....................................................................................................................................................................................................
áÅСÒÃá¡âŒ ¨·Â» Þ˜ ËÒà¡ÂèÕ Ç¡ºÑ ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ x - 5 = 2.8312....................................................................................................................................................................................................
x = 2.8312 + 5....................................................................................................................................................................................................
x = 7.8312....................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................

2) 10x-6 = 5x+3

วธิ ีทำ� 10 = 5.....................................................................x..-..6.................x..+.3.......................................................................................................
log 10 = log 5.....................................................................x..-..6........................x..+..3...............................................................................................
... ................ ..........................(..x.. ..-... ..6...). .l..o..g... .1...0.. .....=... .....(..x... ..+.. ..3...).. .l.o...g... .5....................................................................................
... ................ .................................(..x... ..-.. ..6...)..(..1...). .....=... .....(..x... ..+.. ..3...)..(..0.....6...9..9...0...)............................................................................
... ................ ...........................................x... ..-... ..6.. .....=... .....0.....6...9...9..0...x... ..+.. ..2......0..9...7...........................................................................
... ................ ............................x... ..-... ..0.....6...9..9...0...x.. .....=... .....2.....0...9...7.. ..+... ..6..........................................................................................
0.301x = 8.097....................................................................................................................................................................................................
x = 08..030917....................................................................................................................................................................................................
x = 26.90....................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................

190

ขV้อ-สNอบEแTนว

¶ÒŒ 5 x + 2 = 10 x - 4 áÅŒÇ x Á¤Õ Ò‹ ෋ҡѺ¢ÍŒ ã´
1. 2.158
2. 6.097
3. 10.414
4. 15.664
5. 18.201

190

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp

3.24 0.0125× สรปุ

2. จงหาค่าของ 314 [ ].................. ว ...........................ิธ...........................ที ...........................�ำ.................. ............................................. ใจ ..................ห.........ะ..................้ ไ..................ด...........................้ .............................................................................................................................................................................................l..................o..................g........................... .........NN........................... .............................................=========.................. ............................................. (12122112211212..................3.........3.........([([[(...........l0l.........l-02.........2oolo..........o3..........44gg5.........g5.........g.......... 1 8.........133 3.........×3×3(.........080............31......... 1 2252.........95.........00.44.........44 452......... ...........+ .........+ 0)04.........++......... + 1.........1 .........( 0 .........×322.........0(ll..........o1.........o 5l5.0.........o.........00g4)g.........9.........g9 .21......... (6.........00 .........611.........91..........9...........0......... 222......... 1.........-.........555-.........2 .........) ......... 2.........5.........+-2......... ......... ).........--.........2 l......... o......... -.........)0.........lg .........o..........-......... (4.........1g0......... .........90 .........l.3.........o4.........6-.........12.........g99.........).........4 .........6 (.........).........--39.................. .......... .........1(2.........+.........l.........4).........o .................. 2g..................+)......... .........3] ..................2...................1.........).........4.........].................. ..................+........................... ..................l.........o...........................g.................. .........1...........................0..................2..................)..................]................................................................................. 19. ¼ÙŒÊ͹Êѧࡵ¡Òó·íÒẺ½ƒ¡·Ñ¡ÉÐ
¢Í§¼ÙŒàÃÕ¹ áÅФͪéÕá¹Ð¼ÙŒàÃÕ¹·èÕÂѧ
= -1.9448......................................................................................................................................................................................................... äÁ‹à¢ŒÒã¨ãˌŒ͹¡ÅѺä»ÈÖ¡ÉÒá¹Ç·Ò§
= -0.9448 - 1......................................................................................................................................................................................................... ¡ÒùíÒÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁÁÒ»ÃÐÂØ¡µãªŒã¹¡ÒÃ
= -0.9448 - 1 - 1 + 1......................................................................................................................................................................................................... ¤Òí ¹Ç³¨Ò¡µÇÑ ÍÂÒ‹ §
= 0.0552 - 2.........................................................................................................................................................................................................
.. ................ ...............................l..o..g... .N... .....=.. .....l..o..g... .1.....1...3..6... ..+.. ..l..o..g... .1...0..-..2........................................................................................ 20. àÁè×ͼٌàÃÕ¹·íÒẺ½ƒ¡·Ñ¡ÉÐàÊÃ稤ú
log N = log (1.136 10 )................................................................................................×..........-..2............................................................................................. ·Ø¡¤¹áÅÇŒ ¼ÊÙŒ ͹¢ÍÍÒÊÒÊÁ¤Ñ üàŒÙ ÃÂÕ ¹
N = 1.136 10......................................................................................×...........-.2....................................................................................................... ÍÍ¡ÁÒáÊ´§ÇÔ¸Õ·íÒ¡ÒùíÒÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ
N = 0.01136......................................................................................................................................................................................................... ÁÒ»ÃÐÂ¡Ø µã ªãŒ ¹¡ÒäÒí ¹Ç³º¹¡Ãдҹ
.. ................ด...งั...น...้นั ... ..........ค...่ำ..ข...อ...ง... .. ..3.....2..4... ..×3...1 ..0.4....0...1..2...5... ..เ.ท....่ำ..ก...บั... ..0......0..1...1..3...6................................................................................
เกร็ดแนะ ผูสอน
.........................................................................................................................................................................................................
¢³Ð·è¼Õ ŒàÙ ÃÂÕ ¹·Òí Ẻ½ƒ¡·¡Ñ ÉзèÕ 5.6
......................................................................................................................................................................................................... ¼ÙŒÊ͹ແ´âÍ¡ÒÊãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹«Ñ¡¶ÒÁã¹¢ŒÍ
ʧÊѵ‹Ò§æ
.........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

191

ÇÔà¤ÃÒÐˤ Òí µÍº
ÇÔ¸·Õ íÒ 5 x + 2 = 10 x - 4

log 5 x + 2 = log 10 x - 4
(x + 2) log 5 = (x - 4) log 10
(x + 2)(0.6990) = (x - 4)(1)
0.6990x + 1.398 = x - 4

2.097 = x - 4
x = 6.097

´§Ñ ¹¹Ñé x ෋ҡѺ 6.097

µÍº¢ÍŒ 2.

191

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp
สรปุ
3. เ คร่ืองขยายเสยี งเครือ่ งหนงึ่ เมื่อปอ นสัญญาณเขา้ ไป 0.04 วตั ต ์ จะมีสญั ญาณออก 8 วตั ต์
21. ¼ÙŒÊ͹áÅмٌàÃÕ¹¤¹Íè×¹æ ª‹Ç¡ѹ จงหเกามเ�าด่อืหซ นเิ ดบใลหแ ้ กนขอPเดง0เซ คิเรบแอ่ื ลทงแนขก ยนสาญั ย=เญ ส1ยีา0ณง loอgอ กPP 0iมีหนว่ ยเป็นวตั ต์
ÇàÔ ¤ÃÒÐËǏ ¸Ô ¡Õ ÒÃá¡âŒ ¨·Âà ¡ÂèÕ Ç¡ºÑ ¡ÒùÒí
ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁÁÒ»ÃÐÂØ¡µãªŒã¹¡Òäíҹdz
¢Í§µÇÑ á·¹ áÅÇŒ ÃÇ‹ Á¡¹Ñ µÃǨÊͺ¤ÇÒÁ
¶¡Ù µÍŒ § P แทน สัญญาณเข้า มีหน่วยเปน็ วัตต์i
PPวธิ ีทำ� จำกสูตร เดซิเบลแกน = 10 log .......................................................................................................0.i.................................................................................................
22. ¼ÙŒàÃÕ¹ᵋÅФ¹µÃǨÊͺ¤ÇÒÁ¶Ù¡µŒÍ§
¢Í§áºº½¡ƒ ·¡Ñ ÉеÒÁà©Åº¹¡Ãдҹ .........................................................................................................................................................................................................
áŌǹÒí Ê‹§¼ÙŒÊ͹µÃǨ แทนคำ่ = 10 log 0.804.........................................................................................................................................................................................................
... ............... ....................................................... .....=.. .....1...0.. ..(.l..o..g... .8.. ...-.. ..l.o...g.. .0.....0...4...)..........................................................................
23. ¼ÙŒÊ͹áÅмٌàÃÕ¹ËÇÁ¡Ñ¹ÊÃØ»¤ÇÒÁÃÙŒ
à¡èÕÂǡѺ¡ÒùíÒÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁÁÒ»ÃÐÂØ¡µ ... ............... ....................................................... .....=.. .....1...0.. ..[.l.o...g.. .8... ..-.. ..(..l..o..g... .4.. ..-... ..2...).].....................................................................
ãªãŒ ¹¡Òäíҹdz
... ............... ....................................................... .....=.. .....1...0.. ..[.0.....9...0..3...1.. ..-... ..(..0.....6..0...2...1.. ..-... ..2..)..]............................................................
เกร็ดแนะ ผสู อน
= 10(2.301) = 23.01.........................................................................................................................................................................................................
ËÅ§Ñ ¨Ò¡·¼Õè àŒÙ ÃÂÕ ¹·àÕè »¹š µÇÑ á·¹ÍÍ¡ÁÒ
à©ÅÂáÊ´§ÇÔ¸Õ·íÒẺ½ƒ¡·Ñ¡ÉзèÕ 5.6 ... ...............ด....ัง..น...้นั.... .........เ..ด...ซ...ิเ.บ....ล...แ...ก...น... ..เ..ท...ำ่...ก...บั ... ..2...3.....0..1... ..เ..ด...ซ...เิ .บ....ล...........................................................................................
àÊÃç¨áÅŒÇ ¼ÙŒÊ͹ແ´âÍ¡ÒÊãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹·ÕèÁÕ
¤ÇÒÁ¤Ô´àËç¹ËÃ×ÍÇÔ¸Õ¤Ô´äÁ‹µÃ§¡Ñº¼ÙŒàÃÕ¹ 4. น ักชีววิทยาได้ท�าการเพาะเชื้อแบคทีเรียที่เป็นกลุ่มตัวอย่างจ�านวนหนึ่ง พบว่า มีอัตราการ
·Õè໚¹µÑÇá·¹ÍÍ¡ÁÒ͸ԺÒÂËÃ×ÍáÊ´§ เจริญเติบโต 60% ต่อช่ัวโมง ตอ้ งการทราบวา่ จะมีจา� นวนแบคทีเรยี ประมาณก่ีตวั เมือ่ เวลา
ÇÔ¸¤Õ ´Ô ¢Í§µ¹àͧ䴌
ผา่ นไป 5 ชวั่ โมง ถา้ มแี บคทเี รีย ณ จุดเร่ิมตน้ ประมาณ 200 ตวั
กา� หนดให ้ m(t) = m0e - rt
เม่ือ m(t) แทน จา� นวนแบคทเี รียเมอื่ เวลาผา่ นไป t
m0 แทน จา� นวนแบคทีเรีย ณ จดุ เริม่ ตน้
r แทน อัตราการเจรญิ เตบิ โต
t แทน เวลา
......ว ....ธิ......ที......�ำ...... ........จแ......ำท......ก..น....ส..ค....ตู ..่ำ....ร.. .... ......................................................m..........(..t....).... ..........==.... ..........m2......0....00..e....e.. .... -....- .... r....t1..6....0..0..0........(....5....)............................................................................................................................................................................
= 200(2.718) - 3.........................................................................................................................................................................................................

= 543.6 - 3.........................................................................................................................................................................................................

= 540.6 541...................................................................................................≈......................................................................................................

... ...............ด....ัง..น...้นั.... .........เ..ม...ื่อ...เ.ว...ล...ำ...ผ...่ำ..น....ไ.ป.... ..5.. ...ช..่วั...โ..ม...ง... ..จ...ะ..ม...ีจ...�ำ...น...ว..น....แ...บ...ค...ท....เี .ร...ีย...ป...ร..ะ...ม...ำ...ณ.... ..5...4..1... ..ต....วั ..............................

.........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

192

คข้อิดสอวบิเแคนรว าะห์

ÅíÒ⾧à¤Ãè×ͧ˹èÖ§ àÁ×èÍ»‡Í¹ÊÑÞÞҳࢌÒä» 0.08 Çѵµ ¨ÐÁÕ
ÊÑÞÞÒ³ÍÍ¡ 14 Çѵµ ¨§ËÒÃдѺ¤ÇÒÁà¢ÁŒ ¢Í§ÅíÒ⾧à¤ÃÍè× §¹éÕ

1. 22.43 à´«àÔ ºÅ
2. 25.01 à´«ÔàºÅ
3. 27.11 à´«àÔ ºÅ
4. 28.33 à´«ÔàºÅ
5. 29.62 à´«ÔàºÅ

192

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp

5. ในป  พ.ศ. 2558 พบวา่ จังหวดั หนงึ่ มีประชากรทงั้ หมด 768,000 คน และมีอัตราเพ่ิม 1.2% สรปุ

ต่อป อยากทราบว่าอกี ก่ปี จะมีประชากรในจงั หวดั 1,500,000 คน 24. ¼ÙŒàÃÕ¹ᵋÅФ¹µÃǨÊͺ¤ÇÒÁ¶Ù¡µŒÍ§
ก�าหนดให้ n(t) = n0(1 + r)t ¢Í§áºº½¡ƒ ·¡Ñ ÉеÒÁ·àÕè ©Åº¹¡Ãдҹ
เมอื่ n(t) แทน จ�านวนประชากร เมื่อเวลาผ่านไป t áŌǹÒí ʧ‹ ¼ÙÊŒ ͹µÃǨ
n0 แทน จา� นวนประชากร ณ จดุ เรม่ิ ต้น
r แทน อัตราการเพิม่ 25. ¼ÙŒÊ͹áÅмٌàÃÕ¹ËÇÁ¡Ñ¹ÊÃØ»¤ÇÒÁÃÙŒ
t แทน เวลา à¡ÕèÂǡѺ¡ÒùíÒÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁÁÒ»ÃÐÂØ¡µ
..ว...ธิ...ที ...ำ� .. .....จ...ำ..ก...ส...ูต....ร.. .............................n...(..t..). .....=... .....n...0.(..1... ..+.. ..r..)..t................................................................................................. 㪌㹡Òäíҹdz
.. ................แ...ท...น...ค....่ำ.. ..................1...,.5...0...0..,..0..0...0.. .....=... .....7..6...8...,.0...0..0... .(..1.. ...+.. ..0.....0...1..2...)..t.........................................................................
.. ................ .................................1..7.,.5.6..08..0.,..0,..00..0.0..0.. .....=... .....(..1.. ..+... ..0.....0...1..2...)..t........................................................................................... เกร็ดแนะ ผสู อน
1.95 = (1 + 0.012)..............................................................................................................t...........................................................................................
¼ÙŒÊ͹¤ÇÃÊÃØ»à¡èÕÂǡѺ¡ÒÃᡌ⨷
.. ................ ......................................l.o...g.. .1.....9...5.. .....=... .....l.o...g.. .(..1... ..+.. ..0.....0...1...2..)..t. ................................................................................... »˜ÞËҢͧÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ໚¹¢éѹµÍ¹ãËŒ¡Ñº
¼àŒÙ ÃÂÕ ¹ à¾Íè× à»¹š ¡Ò÷º·Ç¹áÅÐà¾ÁÔè ¤ÇÒÁ
log 1.95 = t log 1.012.. ................ .............................................................. ......................................................................................................................... ࢌÒ㨢ͧ¼ÙŒàÃÕ¹ãËŒÁÒ¡¢Öé¹ ¾ÃŒÍÁ·éѧ
¼ÊŒÙ ͹«¡Ñ ¶ÒÁ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹ÇÒ‹ ä´àŒ ÃÂÕ ¹Ã͌٠ÐäúҌ §
0.2900 = t log 1.012 ................................................................................ ......................................................................................................................... ¨Ò¡Ë¹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ¹Õé ãËŒ¼ÙŒÊ͹à¢Õ¹äÇŒ
º¹¡Ãдҹ áÅÐãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹ºÑ¹·Ö¡ÊèÔ§·èÕä´Œ
.. ................ ........................................0.....2...9..0...0.. .....=... .....t. .(..0.....0...0...4..3... ..+... ..0.....0..0...0...8..)............................................................................ àÃÕ¹ÃٌŧÊÁ´Ø

0.2900 = t (0.0051)......................................................................................................................................................................................................... 193
t = 00..20090501.........................................................................................................................................................................................................
t = 57.........................................................................................................................................................................................................

.. ................ด...ัง...น...้นั ... ..........อ...ีก... ..5..7... ..ป... ..จ...ะ...ม...ปี ...ร...ะ..ช...ำ...ก...ร..ใ..น...จ...งั...ห...ว...ัด...แ...ห...่ง...น...ี้ ..1...,.5...0..0...,.0...0...0.. ..ค...น.....................................................

.........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

193

ÇàÔ ¤ÃÒÐˏ¤Òí µÍº = 10 log 0pp1.0i048
ÇÔ¸·Õ íÒ ¨Ò¡ à´«ÔàºÅ᡹ = 10 log

= 10(log 14 - log 0.08)
= 10[log 14 - (log 8 - 2)]
= 10[1.1461 - (0.903 - 2)]
= 10(1.1461 + 1.097)
= 10(2.2431) = 22.43
´Ñ§¹Ñ¹é ÃдѺ¤ÇÒÁà¢ÁŒ àÊÕ§ à·Ò‹ ¡Ñº 22.43 à´«ÔàºÅ

µÍº¢ÍŒ 1.

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp
สรปุ
บทสรุป
26. ¼ÙŒÊ͹ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹͋ҹº·ÊÃØ»¢Í§Ë¹‹ÇÂ
¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ ÅÍ¡ÒÃÔ·ÁÖ • ความหมายของลอการิทมึ ก�าหนดให้ x = ay โดยท่ ี a > 0 และ a ≠ 1 เราสามารถเขยี น
ในรูปลอการทิ มึ ได้เป็น y = logax
27. ¼ÙŒÊ͹ãËŒ¼ÙŒàÃÕ¹·Ø¡¤¹ÊÃØ»ÊÒÃÐÊíÒ¤ÑÞ • สมบัติของลอการิทมึ
¨Ò¡¡ÒÃÈ¡Ö ÉÒã¹Ë¹Ç‹ ¡ÒÃàÃÂÕ ¹Ã¹ŒÙ ÅéÕ §ã¹
¡ÃдÒÉ A4 àÊèç áÅÇŒ ¹Òí ʧ‹ ¼ÊŒÙ ͹µÃǨ ก�าหนดให้ a, b, M และ N เปน็ จ�านวนจรงิ บวก ท ี่ a, b ≠ 1 และ p เปน็ จา� นวนจริง
M
28. ¼ÙŒÊ͹͸ԺÒÂà¾èÔÁàµÔÁà¡èÕÂǡѺÊÒÃÐ 1) logaMN = logaM + logaN 2) loga N = logaM - logaN
ÊíÒ¤Ñޢͧ¡ÒÃࢌÒ㨤ÇÒÁËÁÒ¢ͧ
¤Òí È¾Ñ ·Ê Òí ¤ÞÑ ·àÕè ¡ÂÕè Ç¡ºÑ àÃÍè× §ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ 3) logaMp = plogaM 4) logaa = 1
1
เกร็ดแนะ ผสู อน 5) loga1 = 0 6) logba = logab

¼ÙŒÊ͹¤ÇÃÊÃØ»ÊÒÃÐÊíÒ¤ÑÞà¡èÕÂǡѺ 7) alogax = x 8) logaM = llooggbbMa ; b > 0
¤ÇÒÁËÁÒÂáÅФÇÒÁÊÒí ¤ÞÑ ¢Í§ÅÍ¡ÒÃ·Ô ÁÖ
¡ÒÃËÒ¤‹ÒÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁâ´Â㪌ÊÁºÑµÔ¢Í§ 9) logbNaM = M logba 10) alogbM = Mlogba
ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ ¡ÒÃËÒ¤‹ÒÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁÊÒÁÑÞ N
¡ÒÃແ´µÒÃÒ§ËÒ¤‹ÒáÁ¹·ÔÊ«ÒáÅФ‹Ò
á¤ááà·ÍÃÔʵԡ¨Ò¡µÒÃÒ§ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ • ลอการิทึมสามญั เปน็ ลอการิทึมที่มฐี านเทา่ กับสบิ และนยิ มเขยี นโดยไม่ต้องมฐี านก�ากับ เชน่
ÊÒÁÞÑ ¡ÒÃËÒá͹µÅÔ Í¡ÒÃ·Ô ÁÖ áÅСÒÃËÒ log105 สามารถเขยี นแทนด้วย log5 เปน็ ต้น
ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ¨Ò¡µÒÃÒ§á͹µÔÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ • ลอการิทึมธรรมชาติ เป็นลอการทิ มึ ทมี่ ีฐานเปน็ e โดย e เปน็ ค่าคงตวั ทเ่ี ปน็ จ�านวนอตรรกยะ
áÅСÒùíÒÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁä»»ÃÐÂØ¡µãªŒ¡Òà และมีค่าประมาณ 2.7182818 สามารถเขยี นแทนดว้ ย logex ดว้ ย ln x
¤Òí ¹Ç³´ÒŒ ¹§Ò¹ªÒ‹ §áÅдҌ ¹Í×¹è æ • การนา� ลอการทิ มึ ประยกุ ตใ์ ชใ้ นการคา� นวณ เปน็ การนา� ความรเู้ รอื่ งลอการทิ มึ ไปประยกุ ตใ์ ชใ้ น
การคา� นวณเพื่อแกโ้ จทยป์ ญั หา เชน่ การหาคา่ ประมาณโดยใชล้ อการทิ มึ เป็นต้น

ค�ำศัพท

Logarithm (ลอการทิ ึมของจาํ นวนใดจํานวนหนง่ึ บนฐานทีก่ าํ หนดให) เป็นจำ� นวนท่แี สดงถึงก�ำลงั

ของฐำน ซง่ึ เมอื่ ฐำนยกก�ำลังดว้ ยจ�ำนวนน้แี ลว้ ยอ่ มมีค่ำเท่ำกบั จำ� นวนท่กี ำ� หนดนัน้

Natural Logarithms (ลอการทิ ึมฐาน e) เป็นลอกำริทึมท่มี ี e เปน็ ฐำน โดยที่ e เป็นค่ำคงตวั ที่

มีคำ่ เทำ่ กบั 2.7182818 ซง่ึ นยิ มใช้สญั ลกั ษณ์ ln

Mantissa (แมนทิสซา) เปน็ ค่ำของ log N0 ซ่ึงมีคำ่ มำกกวำ่ หรือเทำ่ กับ 0 แต่น้อยกวำ่ 1 โดยสำมำรถ

หำคำ่ ของ log N0 ได้จำกตำรำงภำคผนวก

194

Vข้อ-สNอบEแTนว

¢ÍŒ ã´à»¹š ¤íҵͺ¢Í§ In 0.0643
1. -1.7511
2. -2.7511
3. -3.7511
4. -4.7511
5. -5.7511

194