The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.

Home Explore คู่มือครู คณิตศาสตร์พื้นฐานอาชีพ ปวช

View in Fullscreen

E-book คู่มือครู คณิตศาสตร์พื้นฐานอาชีพ ปวช. ใช้สำหรับการเรียนการสอนในรูปแบบออนไลน์

Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!

Download PDF

Related Publications

Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.

Published by sirinun.aid, 2022-01-20 22:19:45

คู่มือครู คณิตศาสตร์พื้นฐานอาชีพ ปวช

Pages:

E-book คู่มือครู คณิตศาสตร์พื้นฐานอาชีพ ปวช. ใช้สำหรับการเรียนการสอนในรูปแบบออนไลน์

นนาําํ WWaarrmm--uupp สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up

1.4 โจทยปญ หาของสมการกําลังสองตวั แปรเดยี ว นาํ

กำรแก้ปัญหำโจทย์สมกำรก�ำลังสองตัวแปรเดียว มีหลักส�ำคัญคือ ผู้เรียนสำมำรถเปล่ียน 1. ¼ÙŒÊÍ¹¡ÃÐµØŒ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹Ã‹ÇÁ¡Ñ¹ÍÀÔ»ÃÒÂ
ขอ้ ควำมของโจทยใ์ หอ้ ยใู่ นรปู ของสมกำรตำมเงอื่ นไขทกี่ ำ� หนดใหไ้ ด้ จำกนนั้ ใหใ้ ชว้ ธิ กี ำรหำคำ� ตอบ ¶Ö§ÊÁ¡ÒÃ¡íÒÅÑ§ÊÍ§µÑÇá»Ãà´ÕÂÇ·Õèä´Œ
ของสมกำรก�ำลังสองตัวแปรเดียว เพือ่ หำสิ่งทโี่ จทย์ต้องกำรทรำบ ÈÖ¡ÉÒÁÒ à¾×èÍÊÃØ»¤ÇÒÁÃÙŒ¤ÇÒÁà¢ŒÒã¨
¾×é¹°Ò¹¢Í§¼ŒàÙ ÃÂÕ ¹
หลกั การแก้โจทยป์ ญั หาของสมการก�าลงั สองตัวแปรเดียว
สอน
1. อ่ำนโจทย์อย่ำงรอบคอบให้เข้ำใจและพิจำรณำเง่ือนไขในส่ิงท่ีโจทย์ก�ำหนดให้ รวมท้ัง
ส่งิ ทโี่ จทย์ตอ้ งกำรทรำบ 2. ¼ÊŒÙ Í¹Í¸ºÔ ÒÂà¾ÁÔè àµÁÔ à¡ÂèÕ Ç¡ºÑ ¢¹Ñé µÍ¹ã¹
¡ÒÃá¡Œâ¨·Â» Þ˜ ËÒ
2. ก�ำหนดตวั แปรแทนสง่ิ ทีโ่ จทยต์ อ้ งกำรทรำบ
3. สร้ำงสมกำรก�ำลงั สองตัวแปรเดยี วตำมเงื่อนไขทโ่ี จทยก์ �ำหนดให้ 3. ¼ÊŒÙ Í¹ãËŒ¼àŒÙ ÃÕÂ¹È¡Ö ÉÒµÇÑ ÍÂ‹Ò§·Õè 20 ¨Ò¡
4. ด�ำเนินกำรแกส้ มกำรก�ำลงั สองตวั แปรเดียว โดยเลือกใชว้ ธิ ีทเ่ี หมำะสมในกำรหำคำ� ตอบ Ë¹§Ñ ÊÍ× àÃÂÕ ¹
ของสมกำรก�ำลังสองตวั แปรเดียว
5. เมือ่ ไดค้ ำ� ตอบของสมกำรกำ� ลังสองตัวแปรเดียวใหพ้ ิจำรณำเลอื กค�ำตอบทเ่ี ปนไปได้และ 4. ¼ÙŒÊÍ¹Í¸ÔºÒÂà¾èÔÁàµÔÁà¡ÕèÂÇ¡ÑºµÑÇÍÂ‹Ò§
มคี วำมสอดคล้องกับโจทยป์ ญั หำ ·èÕ 20

ตัวอยำงที่ 20 เกร็ดแนะ ผสู อน

ผลบวกของด้านประกอบมุมฉากของรูปสามเหล่ียมมุมฉากรูปหน่ึงเท่ากับ 63 เซนติเมตร และรูป ¼ÙŒÊÍ¹¤ÇÃ·º·Ç¹ËÅÑ¡¡ÒÃá¡Œâ¨·Â
สามเหล่ียมน้มี พี นื้ ที่ 486 ตารางเซนตเิ มตร จงหาวา่ ด้านประกอบมมุ ฉากมีความยาวเท่าใด »˜ÞËÒãËŒ¡ºÑ ¼ŒÙàÃÕÂ¹ ¾ÃŒÍÁ·Ñé§Â¡µÇÑ ÍÂ‹Ò§
วธิ ีท�า ใหด้ ้ำนประกอบมมุ ฉำกด้ำนหน่งึ ยำว x เซนติเมตร â¨·Â»˜ÞËÒà¡ÕèÂÇ¡ÑºÊÁ¡ÒÃ¡íÒÅÑ§ÊÍ§
จะไดด้ ำ้ นหนงึ่ ยำว 63 - x เซนติเมตร µÑÇá»Ãà´ÕÂÇ¹Í¡àË¹×Í¨Ò¡Ë¹Ñ§Ê×ÍàÃÕÂ¹
สตู รกำรหำพนื้ ท่ีรปู สำมเหลี่ยม คอื 21 ฐำน สงู àÁ×èÍ·º·Ç¹àÊÃç¨áÅŒÇãËŒ¼ŒÊÙ Í¹à»´ âÍ¡ÒÊ
สำมำรถเขียนสมกำรได้เปน × × ãË¼Œ ÙŒàÃÕÂ¹ä´Œ«Ñ¡¶ÒÁã¹¢ÍŒ Ê§ÊÂÑ µ‹Ò§æ

จำกสมกำร 2112 (x)(63 - x) = 486 จะไดว้ ำ่
(x)(63 - x) = 486
- x2 = 972
63x
จัดรูปสมกำรใหอ้ ยใู่ นรปู ทัว่ ไป
x2 - 63x + 972 = 0
(x - 27)(x - 36) = 2
x = 27, 36
ดงั นนั้ ดำ้ นประกอบมมุ ฉำกยำว 27 และ 36 เซนตเิ มตร
ตอบ

95

ÇÔà¤ÃÒÐË¤íÒµÍº ผูเรียน ควรรู

ÇÔ¸Õ·íÒ a = 1, b = 6 áÅÐ c = -2 ´ŒÒ¹»ÃÐ¡ÍºÁØÁ©Ò¡ ËÁÒÂ¶Ö§ ´ŒÒ¹¢Í§ÊÒÁàËÅèÕÂÁ·éÑ§ÊÍ§´ŒÒ¹·èÕ
¨Ò¡ x = -b ± 2ba2 - 4ac ·Òí ÁÁØ ¡¹Ñ 90 Í§ÈÒ
á·¹¤‹Ò x = -6 ± 362(1-) 4(1)(-2)
-6 ± 2 11 95
x = 2

x = -3 ± 11
´Ñ§¹¹éÑ ¤Òí µÍº¢Í§ÊÁ¡ÒÃ ¤Í× -3 ± 11

µÍº¢ÍŒ 4.

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up
สอน
ตัวอยำงท่ี 21
5. ¼ŒÊÙ Í¹ãËŒ¼àÙŒ ÃÕÂ¹¨´Ñ ¡Å‹ÁØ ¡Å‹ØÁÅÐ 3 ¤¹
¤ÅÐ¡Ñ¹µÒÁ¤ÇÒÁÊÒÁÒÃ¶ áÅÇŒ ãËŒáµÅ‹ Ð สมภพซ้ือผ้าจากย่านพาหุรัดเพ่ือมาตัดเปนเสื้อ โดยได้ซ้ือผ้าเปนเงินทั้งหมด 2,000 บาท ถ้าทางร้าน
¡ÅØ‹ÁÃ‹ÇÁ¡Ñ¹ÈÖ¡ÉÒÇÔ¸Õ¡ÒÃá¡Œâ¨·Â»˜ÞËÒ ขายผ้าลดราคาให้สมภพเมตรละ 20 บาท จะท�าให้ซ้ือผ้าเพ่ิมได้อีก 10 เมตร อยากทราบว่าสมภพ
à¡ÕèÂÇ¡ÑºÊÁ¡ÒÃ¡íÒÅÑ§ÊÍ§µÑÇá»Ãà´ÕÂÇ ซอื้ ผ้ามาท้ังหมดก่เี มตร
¢Í§µÑÇÍÂ‹Ò§·èÕ 21 ¨Ò¡Ë¹§Ñ Ê×ÍàÃÕÂ¹
สมัยบตู ิก
6. ¼ÙŒÊÍ¹ÊØ‹Á¼ÙŒàÃÕÂ¹ 2 ¡ÅØ‹Á Ê‹§µÑÇá·¹
ÍÍ¡ÁÒáÊ´§á¹Ç¤Ô´¡ÒÃá¡Œâ¨·Â»˜ÞËÒ ผาชฟี อง
µÇÑ ÍÂÒ‹ §·èÕ 21 ¨Ò¡¹¹Ñé ãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹¡ÅÁ‹Ø Í¹è× æ
Ã‹ÇÁ¡Ñ¹áÊ´§¤ÇÒÁ¤Ô´àËç¹à¾èÔÁàµÔÁáÅÐ วธิ ีท�า ให้สมภพซ้ือผ้ำมำท้งั หมด จะซ้อื ผำ้ ไ2ด,0เ้xพ00xิ่มอีกบเมำ1ตท0ร
Ã‹ÇÁ¡Ñ¹ÊÃØ»¢Ñé¹µÍ¹¡ÒÃá¡Œâ¨·Â»˜ÞËÒ ผ้ำรำคำเมตรละ
¨Ò¡µÇÑ ÍÂÒ‹ §¹Õé ถ้ำผำ้ รำคำลดลงเมตรละ 20 บำท 2,0x0x0 - 20 บำท เมตร
เพรำะฉะนัน้ ผ้ำรำคำเมตรละ + 10 เมตร
7. ¼ÙŒÊÍ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹áµ‹ÅÐ¡ÅØ‹Á¤ÇŒÒâ¨·Â ซอ้ื ผำ้ ไดท้ ัง้ หมด
»˜ÞËÒ¢Í§ÊÁ¡ÒÃ¡íÒÅÑ§ÊÍ§µÑÇá»Ãà´ÕÂÇ สำมำรถเขีย(น2,ส0xม0ก0ำร-ไ2ด0เ้ ป)(นx + 10) = 2,000
¨Ò¡áËÅ‹§àÃÕÂ¹ÃÙŒÍè×¹æ ËÃ×ÍÊÃŒÒ§â¨·Â จำกสมกำรจะได้วำ่
»˜ÞËÒ¢Í§ÊÁ¡ÒÃ¡íÒÅÑ§ÊÍ§µÑÇá»Ãà´ÕÂÇ (2,000x- 20x)(x + 10) = 2,000
ÁÒ¡Å‹ØÁÅÐ 5 ¢ŒÍ ¾ÃŒÍÁáÊ´§ÇÔ¸·Õ íÒ àÁÍè× (2,000 - 20x)(x + 10) = 2,000x
àÊÃç¨áÅÇŒ ¹Òí Ê§‹ ¼ŒÙÊÍ¹µÃÇ¨ 2,000x - 20x2 + 20,000 - 200x = 2,000x
-20x2 - 200x + 20,000 = 0
เกร็ดแนะ ผูสอน น�ำ--212010(-ค20ณู xท2้ัง-xส2อ20ง+ข01xำ้ 0ง+ขxอ2-ง0ส1,ม0,00ก00ำ0)ร จะได้วำ่

¼ÙŒÊÍ¹¤ÇÃÂ¡µÑÇÍÂ‹Ò§â¨·Â»˜ÞËÒ = 0- 210(0)
à¡ÂèÕ Ç¢ÍŒ §¡ºÑ ÊÁ¡ÒÃ¡Òí Å§Ñ ÊÍ§µÇÑ á»Ãà´ÂÕ Ç =
1 - 2 ¢ŒÍ «èÖ§â¨·Â»˜ÞËÒ¤ÇÃà»š¹â¨·Â (x - 27)(x + 37) = 0
à¡ÂÕè Ç¡ºÑ Ê§èÔ ·¾Õè ºã¹ªÇÕ µÔ »ÃÐ¨Òí Ç¹Ñ ËÃÍ× à»¹š x = 27, -37
Ê§èÔ ·ÍÕè Âã‹Ù ¹§Ò¹ÇªÔ Òª¾Õ µÒ‹ §æ à¾×Íè ãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹ ดังนั้น สมภพซือ้ ผ้ำมำทงั้ หมด 27 เมตร ตอบ
ä´àŒ Ë¹ç ¤ÇÒÁ¨Òí à»¹š áÅÐ¤ÇÒÁÊÒí ¤ÞÑ ã¹¡ÒÃ
àÃÕÂ¹ÃÙŒàÃÍè× § ÊÁ¡ÒÃ¡Òí Å§Ñ ÊÍ§µÇÑ á»Ãà´ÕÂÇ 96

ขคอ้ ิดสอวบิเแคนรว าะห์

ÃÑªªÒ¹¹·á ÅÐ³à´ª ÁÍÕ ÒÂØÃÇÁ¡Ñ¹ 18 »‚ â´Â·ÃèÕ ªÑ ªÒ¹¹·à »¹š
¾ªèÕ ÒÂ¢Í§³à´ª áÅÐ¼Å¤³Ù ¢Í§ÍÒÂØ·§éÑ ÊÍ§¤¹à»¹š 56 »‚ ¨§ËÒ
ÍÒÂ¢Ø Í§·é§Ñ ÊÍ§¤¹¹éÕ

1. ÃªÑ ªÒ¹¹·ÍÒÂØ 14 »‚ áÅÐ ³à´ªÍÒÂØ 4 »‚
2. ÃÑªªÒ¹¹·ÍÒÂØ 13 »‚ áÅÐ ³à´ªÍÒÂØ 5 »‚
3. ÃªÑ ªÒ¹¹·ÍÒÂØ 12 »‚ áÅÐ ³à´ªÍÒÂØ 6 »‚
4. ÃªÑ ªÒ¹¹·Í ÒÂØ 11 »‚ áÅÐ ³à´ªÍÒÂØ 7 »‚
5. ÃÑªªÒ¹¹·ÍÒÂØ 10 »‚ áÅÐ ³à´ªÍÒÂØ 9 »‚

96

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp

แบบฝกทักษะที่ 3.4 สรปุ

ค�ำชี้แจง ใหผ้ เู้ รยี นแสดงวธิ ที า� เพอ่ื หาคา� ตอบของโจทยป์ ญั หาของสมการกา� ลงั สองตวั แปรเดยี ว 8. ¼ÙŒÊÍ¹ÊÒ¸Ôµ¡ÒÃáÊ´§ÇÔ¸Õ·íÒ¢Í§â¨·Â
»˜ÞËÒ¢Í§ÊÁ¡ÒÃ¡íÒÅÑ§ÊÍ§µÑÇá»Ãà´ÕÂÇ
1. ผลคณู ของจำ� นวนคจู่ ำ� นวนหนง่ึ กบั จำ� นวนคทู่ อี่ ยถู่ ดั ไปมคี ำ่ เทำ่ กบั 288 จงหำจำ� นวนคทู่ งั้ สอง ¨Ò¡áºº½ƒ¡·Ñ¡ÉÐ·Õè 3.4 â´ÂãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹
จำ� นวนนัน้ àÅÍ× ¡ÁÒ 1 ¢ÍŒ

...ว..ธิ..ท.ี ...ำ� .. .....ใ..ห... ้..x... ..แ..ท....น... ..จ...ำ� ..น...ว...น...ค...ทู่...เ่ี..ป...น็...จ...ำ�..น...ว...น...ท...นี่...อ.้ ..ย...ก...ว...ำ่ ..................................................................................................... 9. ¼ŒÊÙ Í¹ãË¼Œ àŒÙ ÃÕÂ¹¨ºÑ ¤Ù¡‹ ¹Ñ ·íÒáºº½ƒ¡·¡Ñ ÉÐ
... ...............จ...ะ..ไ..ด... ้..จ...ำ�..น....ว..น...ค...ท.ู่ ...ถี่ ...ดั ...ไ..ป... ..เ.ป...น.็ ... ..x.. ..+... ..2....................................................................................................................... ·èÕ 3.4 àÃ×èÍ§â¨·Â»˜ÞËÒ¢Í§ÊÁ¡ÒÃ
... ...............เ..น...อ่ื ...ง..จ...ำ..ก...ผ...ล....ค...ณู ....ข...อ...ง..ส...อ...ง...จ..ำ.� ..น...ว..น.... ..ค...อื... ..2..8...8.......................................................................................................... ¡Òí ÅÑ§ÊÍ§µÇÑ á»Ãà´ÂÕ Ç
เขยี นสมกำรได ้ ดงั น้ี..........................................................................................................................................................................................................
x(x + 2) = 288.......................................................................................................................................................................................................... เกร็ดแนะ ผูสอน
x + 2x - 288 = 0..............................................2............................................................................................................................................................
(x - 16)(x + 18) = 0.......................................................................................................................................................................................................... ¼ÊŒÙ Í¹¤ÇÃÊÃ»Ø ¢¹Ñé µÍ¹ã¹¡ÒÃá¡âŒ ¨·Â
x = 16, -18.......................................................................................................................................................................................................... »˜ÞËÒ áÅŒÇãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹ã¹ªéÑ¹àÃÕÂ¹àÅ×Í¡
... ...............ด...งั...น...น้ั... .. ........จ...ำ� ..น...ว...น...ค...ทู่...เ่ี..ป...น็ ...บ...ว...ก... ..ค...อื... ..1..6... ..แ...ล...ะ.. ..1...6.. ..+... ..2.. ..=... ..1..8........................................................................... â¨·ÂÁÒ 1 ¢ŒÍ·èÕ¼ÙŒàÃÕÂ¹ÍÂÒ¡ãËŒ¼ÙŒÊÍ¹
... ............... ......................จ...ำ� ..น...ว...น...ค...ทู่...เี่..ป...น็ ...ล...บ... ..ค...อ.ื .. ..-...1..8... ..แ...ล...ะ.. ..-..1...8... ..+.. ..2... ..=.. ..-..1...6...................................................................... ÊÒ¸Ôµ¡ÒÃá¡Œâ¨·Â»˜ÞËÒãËŒ¡Ñº¼ÙŒàÃÕÂ¹´Ù
¡Í‹ ¹·¨Õè ÐãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹ä´ÅŒ §ÁÍ× ·Òí áºº½¡ƒ ·¡Ñ ÉÐ
.......................................................................................................................................................................................................... ´ŒÇÂµ¹àÍ§

2. สองเทำ่ ของจำ� นวนเตม็ บวกจำ� นวนหนง่ึ เมอ่ื นำ� ไปบวก 5 แลว้ คณู กบั จำ� นวนเตม็ บวกเดมิ นน้ั
จะมีค่ำเทำ่ กบั 33 จงหำจำ� นวนเต็มบวกจำ� นวนนั้น

...ว..ธิ..ท.ี ...ำ� .. .....ใ..ห... ้..x... ..แ..ท....น... ..จ...ำ� ..น...ว...น...เ.ต....ม็ ...บ...ว...ก...จ..ำ�...น...ว..น....ห...น...ง่ึ..............................................................................................................
... ...............ส...อ...ง..เ..ท...ำ่..ข...อ...ง...จ..ำ.� ..น...ว...น...เ.ต....ม็ ...บ...ว..ก...จ...ำ�...น...ว..น...ห....น...ง่ึ.. ..เ..ม...อ่ื...น...ำ�...ไ.ป....บ...ว..ก... ..5... ..แ...ล...ว้ ..ค...ณู.....ก...บั ...จ...ำ� ..น...ว...น...เ.ต....ม็ ...บ...ว...ก...เ.ด...มิ.... ..........
... ...............จ...ะ..ม...ค.ี ...ำ่ ..เ..ท...ำ่ ..ก...บั... ..3...3.. ..ส...ำ...ม...ำ..ร..ถ...เ..ข..ย.ี ..น...ส...ม....ก..ำ...ร..ไ..ด... ้..ด...งั..น...้ี.............................................................................................
(2x + 5)x = 33..........................................................................................................................................................................................................
2x + 5x = 33...........................................................2...............................................................................................................................................
2x + 5x - 33 = 0................................................2..........................................................................................................................................................
(2x + 11)(x - 3) = 0..........................................................................................................................................................................................................
x = 3, -121..........................................................................................................................................................................................................
... ...............ด...งั...น...นั้ ... .. ........จ...ำ� ..น...ว...น...เ.ต....ม็ ...บ...ว...ก..จ...ำ�...น...ว..น....น...น้ั ... ..ค...อื... ..3.....................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................

97

ÇÔà¤ÃÒÐË¤ Òí µÍº
Ç¸Ô ·Õ íÒ ¨Ò¡â¨·Â¡ Òí Ë¹´ à¢ÕÂ¹ÊÁ¡ÒÃä´Œà»š¹ (18 - x)x = 56

¨Ðä´Œ x2 - 18x + 56 = 0
(x - 14)(x - 4) = 0
x = 14 ËÃÍ× 4

´Ñ§¹é¹Ñ ÃªÑ ªÒ¹¹·ÍÒÂØ 14 »‚ áÅÐ ³à´ªÍÒÂØ 4 »‚

µÍº¢ÍŒ 1.

97

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp
สรปุ
3. มจี �ำนวนเตม็ บวกจ�ำนวนหนงึ่ ท่ีมำกกว่ำ 5 ถำ้ กำ� ลังสองของผลต่ำงของจำ� นวนนนั้ กับ 5 มีค่ำ
10. ¼ÙŒÊÍ¹ÊÑ§à¡µ¡ÒÃ·íÒáºº½ƒ¡·Ñ¡ÉÐ¢Í§ เปน 12 เทำ่ ของผลตำ่ งของจำ� นวนน้นั กบั 5 จงหำจำ� นวนเตม็ บวกจำ� นวนนนั้
¼ŒÙàÃÕÂ¹ áÅÐ¤ÍÂªÕéá¹Ð¼ŒÙàÃÂÕ ¹·èÕäÁ‹à¢ÒŒ ã¨
ãËŒÂŒÍ¹¡ÅÑºä»ÈÖ¡ÉÒá¹Ç·Ò§¡ÒÃá¡Œ ...ว..ธิ...ที ...ำ� .. .....ใ..ห... ้..x... ..แ..ท....น... ..จ...ำ� ..น...ว...น...เ.ต....ม็ ...บ...ว..ก...จ...ำ�...น...ว..น...ห....น...ง่ึ ..ท...ม่ี....ำ..ก...ก...ว..ำ่... ..5......................................................................................
â¨·Â»˜ÞËÒ·Õèà¡ÕèÂÇ¡ÑºÊÁ¡ÒÃ¡íÒÅÑ§ÊÍ§ ... ...............จ...ะ..ไ..ด...ก้...ำ�...ล...งั ..ส...อ...ง..ข...อ...ง..ผ....ล...ต...ำ่..ง...ข...อ..ง... ..x.. ..ก...บั.... ..5.. ..เ..ป...น็ ... ..(..x.. ..-... ..5..)..2................................................................................
µÇÑ á»Ãà´ÂÕ Ç¨Ò¡µÑÇÍÂ‹Ò§ ... ...............ซ...งึ่..ม....คี ...ำ่ ..เ..ป...น็ ... ..1..2... ..เ.ท....ำ่ ..ข...อ...ง..ผ...ล...ต...ำ.่ ..ง..ข...อ...ง.. ..x... ..ก...บั... ..5... ..เ.ป...น็... ..1...2...(.x... ..-.. ..5...). ..เ..ข...ยี ..น....ส...ม...ก...ำ..ร..ไ..ด... ้..ด...งั..น...ี้..........................
(x - 5) = 12(x - 5).......................................................................2...................................................................................................................................
11. àÁ×èÍ¼ÙŒàÃÕÂ¹·íÒáºº½ƒ¡·Ñ¡ÉÐàÊÃç¨¤Ãº x - 10x + 25 = 12x - 60.............................................2.............................................................................................................................................................
·Ø¡¤¹áÅŒÇ ¼ÙŒÊÍ¹ÊØ‹ÁµÑÇá·¹¼ÙŒàÃÕÂ¹ ... ............... x...2. ..-... ..1..0...x.. ..+... ..2..5... ..-.. ..1...2..x... ..+.. ..6...0.. ....=... .....0.....................................................................................................................
ÍÍ¡ÁÒáÊ´§ÇÔ¸Õ·íÒ¡ÒÃá¡Œâ¨·Â»˜ÞËÒ x - 22x + 85 = 0.............................................2.............................................................................................................................................................
à¡ÕèÂÇ¡ÑºÊÁ¡ÒÃ¡íÒÅÑ§ÊÍ§µÑÇá»Ãà´ÕÂÇ (x - 5)(x - 17) = 0..........................................................................................................................................................................................................
º¹¡ÃÐ´Ò¹ x = 5, 17..........................................................................................................................................................................................................
... ...............เ..น...อ่ื ...ง..จ...ำ..ก... ..จ...ำ�..น....ว..น...เ..ต...ม็...บ...ว...ก...จ...ำ� ..น...ว...น...น...น้ั...จ...ะ..ต....อ้ ...ง..ม...คี...ำ่...ม...ำ..ก...ก...ว..ำ.่ .. ..5........................................................................
เกร็ดแนะ ผูสอน ... ...............ด...งั...น...น้ั ... .. ........จ..ำ.� ..น...ว..น....เ.ต...ม.็ ...บ...ว..ก...จ...ำ�..น....ว..น...น...น.้ั ... ..ค...อื ... ..1..7...................................................................................................

¼ÙŒÊÍ¹¤ÇÃªéÕá¹ÐãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹Í‹Ò¹â¨·Â ..........................................................................................................................................................................................................
»Þ˜ ËÒ 2 - 3 ¤Ã§éÑ áÅÇŒ ¾¨Ô ÒÃ³ÒÇÒ‹ ÍÐäÃ
à»š¹ÊèÔ§·Õèâ¨·Â¡íÒË¹´ÁÒãËŒ «Öè§ÁÕà§è×Í¹ä¢ 4. ให้ผลคูณของจ�ำนวนคี่บวกจ�ำนวนหน่ึงกับจ�ำนวนคี่บวกท่ีอยู่ถัดไปมีค่ำเท่ำกับ 195 จงหำ
ÍÂ‹Ò§äÃ áÅÐÍÐäÃà»š¹ÊèÔ§·èÕâ¨·ÂµŒÍ§¡ÒÃ จำ� นวนคข่ี องทัง้ สองจำ� นวนนน้ั
·ÃÒº à¾Íè× ãËŒ¼ŒàÙ ÃÂÕ ¹ÊÒÁÒÃ¶à¢ÂÕ ¹ÊÁ¡ÒÃ
¢Í§â¨·Â» Þ˜ ËÒä´¶Œ Ù¡µÍŒ § ...ว..ธิ...ที ...ำ� .. .....ใ..ห... ้..x... ..แ..ท....น... ..จ...ำ� ..น...ว...น...ค...ที่...เ่ี..ป...น็ ...จ...ำ� ..น...ว...น...น...อ้...ย...ก...ว..ำ่.........................................................................................................
... ...............จ...ะ..ไ..ด...จ้...ำ�..น....ว..น...ค...ท.ี่ ...ถี่ ...ดั ...ไ..ป...เ.ป...น.็ ... ..x.. ..+... ..2...........................................................................................................................
98 ... ...............เ..น...อื่ ...ง..จ...ำ..ก...ผ...ล...ค....ณู ....ข...อ...ง..ส...อ...ง..จ...ำ�...น...ว..น...น.... ี้ ..ค...อื ... ..1..9...5.......................................................................................................
เขยี นสมกำร ไดด้ งั น้ี..........................................................................................................................................................................................................
x(x + 2) = 195..........................................................................................................................................................................................................
x + 2x - 195 = 0.............................................2.............................................................................................................................................................
(x - 13)(x + 15) = 0..........................................................................................................................................................................................................
x = 13, -15..........................................................................................................................................................................................................
... ...............ด...งั...น...นั้ ... .. ........จ..ำ.� ..น...ว..น....ค...บ่ี...ว...ก..จ...ำ�...น...ว..น...แ...ร...ก... ..ค...อื... ..1..3......................................................................................................
... ............... ......................แ..ล....ะ..จ...ำ� ..น...ว...น...ค...บ่ี...ว...ก...จ...ำ� ..น...ว...น...ท...ส่ี...อ...ง.. ..ค....อื .. ..1...3... ..+.. ..2... .=... ..1..5......................................................................

..........................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................

98

คข้อิดสอวบิเแคนรว าะห์

Ã»Ù ÊÒÁàËÅèÕÂÁÁÁØ ©Ò¡Ã»Ù Ë¹è§Ö ÁÕ´ŒÒ¹»ÃÐ¡ÍºÁÁØ ©Ò¡´ÒŒ ¹Ë¹§Öè
ÂÒÇ¡Ç‹ÒÍÕ¡´ŒÒ¹Ë¹Öè§ 7 à«¹µÔàÁµÃ áÅÐ´ŒÒ¹µÃ§¢ŒÒÁÁØÁ©Ò¡
ÂÒÇ¡Ç‹Ò´ŒÒ¹»ÃÐ¡ÍºÁØÁ©Ò¡ 1 à«¹µÔàÁµÃ ¨§ËÒ¤ÇÒÁÂÒÇ
´ŒÒ¹·éÑ§ÊÒÁ

1. 1, 2 áÅÐ 5 à«¹µÔàÁµÃ
2. 5, 7 áÅÐ 9 à«¹µÔàÁµÃ
3. 8, 10 áÅÐ 14 à«¹µÔàÁµÃ
4. 6, 7 áÅÐ 11 à«¹µÔàÁµÃ
5. 5, 12 áÅÐ 13 à«¹µàÔ ÁµÃ

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp

5. สระว่ำยนำ�้ แหง่ หนงึ่ เปนรูปส่เี หลย่ี มมมุ ฉำก ซึ่งมีพื้นท่ที ้งั หมด 24 ตำรำงเมตร และมคี วำม สรปุ
ยำวรอบสระน�ำ้ เปน 20 เมตร อยำกทรำบว่ำ ควำมยำวของแตล่ ะดำ้ นของสระว่ำยนำ�้ แห่งน้ี
เปน เทำ่ ใด 12. ¼ÊŒÙ Í¹ãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹áµÅ‹ Ð¤Ã‹Ù Ç‹ Á¡¹Ñ ÊÃÒŒ §â¨·Â
»Þ˜ ËÒ¢Í§ÊÁ¡ÒÃ¡Òí Å§Ñ ÊÍ§µÇÑ á»Ãà´ÂÕ Ç
...ว..ธิ...ที ...ำ� .. .....ใ..ห...ด้...ำ้...น...ห...น...งึ่...ข..อ...ง...ส...ร..ะ...ว..ำ่..ย...น....ำ�้ ..แ...ห...ง่..น...ย.ี้ ..ำ...ว.. ..............x... .....เ.ม...ต....ร................................................................................... ¾ÃÍŒ ÁáÊ´§Ç¸Ô Õ·Òí 3 ¢ŒÍ Å§ã¹¡ÃÐ´ÒÉ
... ...............เ..น...อื่ ...ง..จ...ำ..ก...ค...ว...ำ..ม...ย...ำ...ว..ร...อ...บ...ส...ร..ะ...ว..ำ่..ย...น....ำ้� ..เ..ป...น็ ... ........2..0... .....เ.ม...ต....ร................................................................................... A4
... ...............ด...งั...น...นั้... ..ค...ว...ำ..ม...ย...ำ...ว..ข...อ...ง..อ...กี...ด...ำ้..น....ห...น...งึ่...ข..อ...ง...ส...ร..ะ...ว..ำ่..ย...น....ำ�้ ..แ...ห...ง่..น...เ.้ี .ท...ำ่..ก...บ.ั ... ...2..0... ..2-.. ..2...x.... ..=.. ..1...0.. ..-... ..x.. ..เ..ม...ต...ร..............
... ...............แ...ล...ะ..พ....น้ื...ท...ข่ี...อ...ง..ส....ร..ะ..ว...ำ่ ..ย...น...ำ้�...แ...ห...ง่ ..น...เี้..ท...ำ่..ก...บั... ...........2...4.. .....ต...ำ..ร...ำ..ง...เ.ม...ต....ร...................................................................... 13. ¼ÙŒÊÍ¹ÊØ‹Á¼àÙŒ ÃÂÕ ¹ 1 - 2 ¤Ù‹ ÍÍ¡ÁÒà¢ÂÕ ¹
â¨·Â» Þ˜ ËÒáÅÐáÊ´§ÇÔ¸·Õ Òí º¹¡ÃÐ´Ò¹
... ...............ส...ำ..ม....ำ..ร..ถ...เ..ข...ยี ...น...ส...ม...ก...ำ..ร...ไ..ด...เ้ .ป...น.็ ... ..............x...(.1...0.. ..-... ..x..).. .....=... .....2...4................................................................................ ãË¼Œ àÙŒ ÃÂÕ ¹¤¹Í×¹è æ ´Ù
10x - x = 24........................................................................................................2..................................................................................................
x - 10x + 24 = 0...............................................................................2........................................................................................................................... 14. ¼ÙŒÊÍ¹Í¸ÔºÒÂà¾èÔÁàµÔÁà¡èÕÂÇ¡Ñºâ¨·Â
(x - 4)(x - 6) = 0.......................................................................................................................................................................................................... »˜ÞËÒ·èÕ¼ŒÙàÃÕÂ¹ÍÍ¡ÁÒ¹íÒàÊ¹Í
x = 4, 6..........................................................................................................................................................................................................
... ...............ด...งั...น...นั้ ... .. ........ส...ร..ะ...ว..ำ่..ย...น....ำ�้ ..แ...ห...ง่..น...ก.ี้ ..ว...ำ้ ..ง... ..4.. ..เ..ม...ต...ร... .แ...ล...ะ...ย...ำ..ว... ..6.. ..เ..ม...ต...ร...................................................................... 15. ¼ÙŒÊÍ¹áÅÐ¼ÙŒàÃÕÂ¹Ã‹ÇÁ¡Ñ¹ÊÃØ»¤ÇÒÁÃÙŒ
à¡ÕèÂÇ¡Ñº¡ÒÃá¡Œâ¨·Â»˜ÞËÒ¢Í§ÊÁ¡ÒÃ
6. สนำมเดก็ เลน่ ประจำ� หมบู่ ำ้ นแหง่ หนงึ่ เปน รปู สำมเหลยี่ มมมุ ฉำก โดยมดี ำ้ นตรงขำ้ มมมุ ฉำกยำว ¡íÒÅÑ§ÊÍ§µÑÇá»Ãà´ÕÂÇ
13 เมตร และควำมยำวของดำ้ นประกอบมมุ ฉำกตำ่ งกนั 7 เมตร จงหำพน้ื ทขี่ องสนำมเดก็ เลน่
ประจ�ำหมบู่ ้ำนแห่งนี้ เกร็ดแนะ ผสู อน

...ว..ธิ...ที ...ำ� .. .....ใ..ห...ด้...ำ้..น....ป...ร..ะ...ก...อ...บ...ม...มุ...ฉ...ำ..ก...ด....ำ้ ..น...ห...น....งึ่ ..เ.ป....น็ ... ..............x... .....เ.ม...ต....ร................................................................................... ã ¹ ¡ Ò Ã Í Í ¡ Á Ò à © Å Â ¤í Ò µ Í º ¢ Í §
... ...............ด...งั...น...นั้ ... ..ค...ว...ำ..ม...ย...ำ...ว..ข...อ...ง..ด...ำ้...น...ป...ร..ะ...ก...อ...บ...ม...มุ...ฉ...ำ...ก...อ..ก.ี ..ด....ำ้ ..น...ห...น....งึ่ ..เ.ป....น็ ... ..x.. ..+... ..7.. ..เ..ม...ต...ร................................................ ¼ÙŒàÃÕÂ¹¹éÑ¹ ¼ÙŒÊÍ¹¤ÇÃªéÕá¹Ðá¹Ç·Ò§¡ÒÃ
... ...............เ..น...อ่ื ...ง..จ...ำ..ก...ด...ำ้...น...ต...ร...ง..ข...ำ้ ..ม...ม...ม.ุ ...ฉ..ำ...ก...ม...คี...ว...ำ..ม...ย...ำ...ว.. ...1..3... .....เ.ม...ต....ร................................................................................... á¡âŒ ¨·Â» Þ˜ ËÒãËàŒ »¹š ¢¹Ñé µÍ¹ à¾Íè× »Í‡ §¡¹Ñ
¡ÒÃÊºÑ Ê¹¢Í§¼àŒÙ ÃÂÕ ¹¤¹Í¹×è æ ËÒ¡¼àŒÙ ÃÂÕ ¹
... ...............จ...ำ..ก...ท...ฤ...ษ....ฎ...ขี ...อ..ง...พ...ที....ำ..โ..ก...ร..สั... ..ส...ำ...ม...ำ..ร...ถ...เ.ข...ยี...น...ส...ม...ก...ำ...ร..ไ..ด...เ้.ป....น็ ................................................................................... à¡Ô´¢ŒÍÊ§ÊÑÂµ‹Ò§æ ãËŒ¼ÙŒÊÍ¹Í¸ÔºÒÂã¹
x + (x + 7) = (13)................................................2.......................2.......................2............................................................................................................ ¢ŒÍÊ§ÊÑÂ¹éÑ¹¡Ñº¼ÙŒàÃÕÂ¹à»š¹ÃÒÂºØ¤¤Å¨¹
x + x + 14x + 49 = 169...................................2..........2............................................................................................................................................................. ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹à¡Ô´¤ÇÒÁà¢ÒŒ ã¨
2x + 14x - 120 = 0...........................................2...............................................................................................................................................................
x + 7x - 60 = 0................................................2..........................................................................................................................................................
(x + 12)(x - 5) = 0..........................................................................................................................................................................................................
x = 5, -12..........................................................................................................................................................................................................
... ...............ด...งั...น...น้ั ... .. ........ม...ดี ...ำ้..น....ป...ร..ะ...ก...อ..บ....ม...มุ...ฉ...ำ..ก...เ..ป...น็... ..5... ..เ.ม...ต....ร.. ..แ...ล...ะ.. ..5... ..+.. ..7... ..=.. ..1...2.. ..เ..ม...ต...ร.................................................
... ...............น...นั่...ค....อื ... .........พ...นื้...ท....ข่ี ..อ...ง...ส...น...ำ..ม....เ.ด...ก็...เ..ล...น่ ...ป...ร...ะ..จ...ำ� ..ห...ม...บ.ู่ ...ำ้ ..น...แ...ห...ง่...น...เี้ .ท...ำ่...ก...บั ... ..21.... ..×....5.. ..×... ..1...2.. ..=... ..3..0... ..ต...ำ..ร...ำ..ง...เ.ม...ต....ร.. .

99

ÇàÔ ¤ÃÒÐË¤Òí µÍº ผูเรียน ควรรู
ÇÔ¸·Õ íÒ ¨Ò¡â¨·Â¡ íÒË¹´ ÊÒÁÒÃ¶à¢ÕÂ¹ÊÁ¡ÒÃä´àŒ »¹š
ÊÒÁàËÅÂèÕ ÁÁÁØ ©Ò¡ ËÁÒÂ¶§Ö ÊÒÁàËÅÂÕè Á·ÁÕè ´Õ ÒŒ ¹ÊÍ§´ÒŒ ¹·Òí ÁÁØ ¡¹Ñ
x2 + (x + 7)2 = (x + 8)2 90 Í§ÈÒ áÅÐÁÕ´ŒÒ¹Í¡Õ ´ÒŒ ¹à»¹š ´ŒÒ¹µÃ§¢ÒŒ ÁÁØÁ©Ò¡
x2 - 2x - 15 = 0
(x - 5)(x + 3) = 0

x = 5 ËÃÍ× -3
´Ñ§¹¹éÑ ¤ÇÒÁÂÒÇ´ŒÒ¹»ÃÐ¡ÍºÁÁØ ©Ò¡ ¤×Í 5, 5 + 7 = 12

áÅÐ 5 + 8 = 13 à«¹µàÔ ÁµÃ

µÍº¢ŒÍ 5.

99

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp
สรปุ
บทสรุป
16. ¼ÙŒÊÍ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹Í‹Ò¹º·ÊÃØ»¢Í§Ë¹‹ÇÂ
¡ÒÃàÃÕÂ¹ÃÙŒ ÊÁ¡ÒÃ¡íÒÅÑ§ÊÍ§µÑÇá»Ã • สมการกา� ลงั สองตวั แปรเดยี ว เปน สมกำรทมี่ ตี วั แปรหนง่ึ ตวั และมเี ลขชก้ี ำ� ลงั สงู สดุ ของตวั แปร
à´ÂÕ Ç เทำ่ กับสอง โดยมีรปู ทว่ั ไปของสมกำร คือ ax2 + bx + c = 0 เม่อื a และ b เปน สัมประสิทธิ์ของตัวแปร
ในสมกำรซ่งึ a ≠ 0 และ c เปนค่ำคงตวั
17. ¼ÙŒÊÍ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹áµ‹ÅÐ¤¹ÊÃØ»ÊÒÃÐ
ÊÒí ¤ÞÑ ¨Ò¡¡ÒÃÈ¡Ö ÉÒã¹Ë¹Ç‹ Â¡ÒÃàÃÂÕ ¹ÃŒÙ • การแก้สมการก�าลงั สองตวั แปรเดียว มีวิธีกำรแกส้ มกำรทีน่ ยิ ม 2 วิธี ดังนี้
Å§ã¹¡ÃÐ´ÒÉ A4 àÊÃç¨áÅŒÇãËŒ¹íÒÊ‹§ 1. วธิ กี ำรแยกตวั ประกอบ จะใชส้ มบตั ขิ องจำ� นวนจรงิ กลำ่ วคอื เมอื่ จำ� นวนสองจำ� นวนคณู กนั
¼ÊŒÙ Í¹µÃÇ¨ เท่ำกบั ศนู ย์ จะต้องมีจ�ำนวนใดจ�ำนวนหนงึ่ เปนศนู ยห์ รอื เทำ่ กับศนู ย์ทง้ั สองจำ� นวน
2. กำรใช้สตู รในกำรแก้สมกำรกำ� ลงั สองตัวแปรเดยี ว จำกรูปท่วั ไปของสมกำรเมื่อ a และ b
18. ¼ÙŒÊÍ¹Í¸ÔºÒÂà¾ÔèÁàµÔÁà¡ÕèÂÇ¡ÑºÊÒÃÐ เปนสัมประสิทธข์ิ องตวั แปรในสมกำรซงึ่ a ≠ 0 และ c เปน ค่ำคงตวั จะได้
ÊíÒ¤ÑÞ¢Í§¡ÒÃà¢ŒÒã¨¤ÇÒÁËÁÒÂ¢Í§
¤íÒÈÑ¾·ÊíÒ¤ÑÞ·Õèà¡ÕèÂÇ¡ÑºàÃ×èÍ§ÊÁ¡ÒÃ x = -b ± b2 - 4ac
¡Òí Å§Ñ ÊÍ§µÑÇá»Ãà´ÂÕ Ç 2a

19. ¼ÙŒÊÍ¹áÅÐ¼ÙŒàÃÕÂ¹Ã‹ÇÁ¡Ñ¹ÊÃØ»¤ÇÒÁÃÙŒ • การแกโ้ จทยป์ ญั หาสมการกา� ลงั สองตวั แปรเดยี ว สำมำรถทำ� ไดโ้ ดยกำรอำ่ นโจทย์ พจิ ำรณำถงึ
àÃÍ×è § ÊÁ¡ÒÃ¡Òí Å§Ñ ÊÍ§µÇÑ á»Ãà´ÂÕ Ç ¡ÒÃ ส่ิงที่โจทย์ก�ำหนดเง่ือนไข และส่ิงท่ีโจทย์ต้องกำรทรำบ จำกน้ันให้ก�ำหนดตัวแปรและสร้ำงสมกำรตำม
á¡ŒÊÁ¡ÒÃ¡íÒÅÑ§ÊÍ§µÑÇá»Ãà´ÕÂÇâ´Â เงอื่ นไขของโจทย์แล้วดำ� เนินกำรแกส้ มกำรกำ� ลงั สองตัวแปรเดยี วและเลอื กคำ� ตอบทเี่ ปน ไปได้ รวมถงึ มี
Ç¸Ô Õ¡ÒÃáÂ¡µÇÑ »ÃÐ¡Íº áÅÐâ´ÂÇ¸Ô Õ¡ÒÃ ควำมสอดคล้องกบั เง่ือนไขของโจทย์
ãªŒÊÙµÃ áÅÐ¡ÒÃá¡Œâ¨·Â»˜ÞËÒÊÁ¡ÒÃ
¡Òí ÅÑ§ÊÍ§µÑÇá»Ãà´ÕÂÇ ค�ำศัพท

เกร็ดแนะ ผูสอน Quadratic Equation (สมการกาํ ลังสองตวั แปรเดียว) เปนสมการท่ีมีตัวแปรหนึ่งตัวและมี

¼ÙŒÊÍ¹¤ÇÃÊÃØ»ÊÒÃÐÊíÒ¤ÑÞà¡ÕèÂÇ¡Ñº เลขชกี้ ําลงั สูงสดุ ของตัวแปรเทากับสอง ซง่ึ มีรูปท่ัวไปของสมการเปน ax2 + bx + c โดยท่ ี a และ b เปน
ÃÙ » á º º ·Ñè Ç ä » ¢ Í § Ê Á ¡ Ò Ã ¡í Ò ÅÑ § Ê Í § สัมประสิทธ์ขิ องตวั แปรในสมการ ซ่งึ a ≠ 0 และ c เปนคา คงตวั
µÇÑ á»Ãà´ÂÕ Ç Ç¸Ô ãÕ ¹¡ÒÃá¡ÊŒ Á¡ÒÃ¡Òí Å§Ñ ÊÍ§
µÑÇá»Ãà´ÕÂÇ ¢éÑ¹µÍ¹ã¹¡ÒÃá¡ŒÊÁ¡ÒÃ Quadratic Polynomial (พหุนามกาํ ลังสอง) เปนพหุนามท่ีมีดีกรีเทากับสอง กลาวคือ
¡íÒÅÑ§ÊÍ§µÑÇá»Ãà´ÕÂÇ áÅÐ¡ÒÃá¡Œâ¨·Â
»˜ÞËÒÊÁ¡ÒÃ¡íÒÅÑ§ÊÍ§µÑÇá»Ãà´ÕÂÇ เลขชีก้ ําลงั ของตัวแปรทุกตัวแปรมคี าไมเ กนิ สอง เชน
ãËŒ¡Ñº¼àÙŒ ÃÕÂ¹ x2 - 4x + 10 เปนพหนุ ามกําลังสอง
x3 - 4x + 10 ไมเปนพหุนามกําลงั สอง
x2 + 8x + 10 เปน พหนุ ามกาํ ลังสอง
x3 + 8x + 10 ไมเ ปนพหุนามกําลงั สอง

100

ขV้อ-สNอบEแTนว

¡íÒË¹´ãËŒ 3x2 - 4x + 1 = 0
1. 1
31
2. 1 áÅÐ 31
3.

4. 2 áÅÐ 5
5. 3 áÅÐ 4

100

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp

ใบงานท่ี เรื่อง สมกำรก�ำลังสองตัวแปรเดียว สรปุ

3.1 จดุ ประสงคป์ ระจำ�หนว่ ย 1. ¼ÙŒÊÍ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹·íÒãº§Ò¹·èÕ 3.1 àÃ×èÍ§
• แก้สมกำรกำ� ลังสองตัวแปรเดียวโดยวิธีกำรแยกตวั ประกอบได้ ÊÁ¡ÒÃ¡Òí ÅÑ§ÊÍ§µÑÇá»Ãà´ÕÂÇ
• แก้สมกำรก�ำลังสองตัวแปรเดียวโดยใช้สูตรได้
2. ¼ÊŒÙ Í¹ÊØ‹Á¼ÙŒàÃÂÕ ¹ 3 ¤¹ ÍÍ¡ÁÒáÊ´§ÇÔ¸Õ
ชือ่ -สกุล ...................................................................... รหัสประจำ� ตวั ..................................... ระดับชั้น ..................................... ·íÒË¹ŒÒª¹Ñé àÃÂÕ ¹
ประเภทวชิ ำ ..................................................... สำขำวชิ ำ ............................................ หมวดวชิ ำ .............................................
3. ¼ÊŒÙ Í¹áÅÐ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹¤¹Í¹×è æ ÃÇ‹ Á¡¹Ñ µÃÇ¨ÊÍº
ค�ำชี้แจง ใหผ้ เู้ รยี นแกส้ มการในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้ ÇÔ¸Õ¡ÒÃá¡ŒÊÁ¡ÒÃ¡íÒÅÑ§ÊÍ§µÑÇá»Ãà´ÕÂÇ
áÅÐ¤íÒµÍº·Õäè ´Œ¨Ò¡¡ÒÃá¡ŒÊÁ¡ÒÃ ËÒ¡
1. x2 - 6x + 5 = 0 Ç¸Ô Õ·íÒËÃ×Í¤Òí µÍº¼Ô´ãËÃŒ Ç‹ Á¡Ñ¹á¡Œä¢

ตรวจสอบค�ำตอบ ..ว...ธิ ..ที...ำ�... .....เ.น...อ.่ื ..ง...จ...ำ..ก... ............x..2.. ..-.. ..6...x.. ..+... ..5.. .....=.. ......0.. ..........จ...ะ..ไ..ด...ว้...ำ่ .......................................................................................... เกร็ดแนะ ผสู อน
.... ................................จ ......ะ....ไ....ด...... ้ ............................(....x...... ....-.... ....5......)..(....x....x.. .... -....- .... 1....5..).. ..........==.... ............00.... ................................................................ แ ....ท......น......ค......ำ่ .... ....x5....2 ..2.. =5....- .. .. 5-....6 ....(ใ3..5..น..0..)..ส ....++ม.... ..ก..55....ำ ....ร..==.. .. ..จ....00..ะ....ไ....ด....้ว......่ำ..............................................
¡‹Í¹ÁÍºËÁÒÂãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹·íÒãº§Ò¹
·èÕ 3.1 ¼ÙŒÊÍ¹¤ÇÃ·º·Ç¹ÇÔ¸Õ¡ÒÃáÂ¡
µÑÇ»ÃÐ¡Íº áÅÐ¡ÒÃá¡ŒÊÁ¡ÒÃ¡íÒÅÑ§ÊÍ§
x = 5 ....................................................................................................................... ......................................0.. ...=.. ...0... . .ส...ม...ก..ำ...ร..เ.ป...น็ ...จ..ร..งิ.... µÇÑ á»Ãà´ÂÕ Ç à¾èÍ× ·º·Ç¹¤ÇÒÁÃŒãÙ Ë¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹
.... ................................ห ......ร....อื...... ......................................................................x...... ....-.... ....x1.... ..........==.... ............10.................................................................... แ ....ท......น......ค......ำ่.... ....x1.... ..2.. =....- .... 1....6 ....(ใ..1..น....)..ส ....+ม.... ..ก..05....ำ ....ร..==.. .. ..จ....00..ะ.... ไ.. ..ดส....ว้..ม....ำ่ ..ก....ำ......ร....เ..ป......น็ ......จ....ร....งิ........ ¡‹Í¹·íÒ¡¨Ô ¡ÃÃÁã¹ãº§Ò¹

.. ................ด...งั..น....น้ั ... .. .......ค....ำ� ..ต...อ...บ...ข...อ...ง...ส...ม...ก...ำ..ร... .ค....อื ... ..5.. ..ห...ร...อื ... ..1.................ด...งั ..น...ัน้ ... .ค...ำ่..ข...อ...ง.. ..x.. ..ค...ือ.. ..5.. ..ห...ร..ือ... ..1.............................

........................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

2. -5x2 - 4x = -4
ตรวจสอบค�ำตอบ ..ว...ธิ ..ที...ำ�... .....เ.น...อ.ื่ ..ง...จ...ำ..ก... ................-..5...x..2.. ..-.. ..4...x.. .....=.. ......-..4... .......จ...ะ..ไ..ด...ว้...ำ่ ..........................................................................................
.......... ................................................................................ aจ .......... .....ำ.....=.....ก.......... ..... .....-..........5...............,..... ..........b............... .....xx.....=..... ..... .....-.....-.....5.....==.....4.....x..... .....2.....แ..... ..........-ล.....4-..... .....ะb .....4.....± ..... .....xc.....±..... ..... ..... +.....=..... ..... .....( .....244.....-b..... a..... 42.....2..........) (.....=2.....--..... .....5 .....-.....4.....)..... .....0a.....4..........c(..........-...............5..........)..........(..........4...............).....................................................................................แจ จแ..........ะะทท...............ไไนน.....ดด..........คค.....ว้ว้..........่ำ่ำำ่ำ่.......... .....-.....xx.....9..... ...........==5.......... .....2.....2.....2 .....-..... + ..........4+- .....--..... 9..........55 +...... 5 ..... .....22.....420.....4.....4 .......... ..........=====.......... ..........-0.....000.....1...... 5........... .....38ส..........8 .....ม.....ใ ..........นกใ..........นสำ...............สรม..........เม.....กป..........ก.....ำน็ ..........ำร.....จ.....ร .....ร..... .....งิ.........................

....................................................................................................................... ....................................0.. ....=.. ...0.. .. .ส...ม...ก..ำ...ร..เ.ป...น็ ...จ..ร..งิ.....
.. ................ .....................x.. .....=... .....4... ..±.-.. 1.. .0. ..9...6.........=.. ...2... ..±..-. ..5 .. ..2...4.................ด...ัง..น...้นั ... .ค...่ำ..ข...อ...ง.. ..x.. ..ค...ือ.. ..2... .±..-. .5. . ..2...4.. ..........................

........................................................................................................................................................................................................
.. ................ด...งั..น....นั้ ... .. .......ค....ำ� ..ต...อ...บ...ข...อ...ง...ส...ม...ก...ำ..ร... .ค....อื ... ..2.. ..±...- ..5. .. ..2..4.................................................................................................

101

ÇÔà¤ÃÒÐË¤ íÒµÍº

Ç¸Ô Õ·Òí ¨Ò¡ÊÁ¡ÒÃ 3x2 - 4x + 1 = 0
(3x - 1)(x - 1) = 0
¨Ðä´Œ 3x - 1 = 0
x = 13

¨Ðä´Œ x - 1 = 0
=1
´§Ñ ¹¹Ñé x Á¤Õ ‹Òà·Ò‹ ¡Ñº 1 x 13
áÅÐ

µÍº¢ÍŒ 3.

101

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp

สรปุ ใบงานที่ เร่ือง สมกำรก�ำลังสองตัวแปรเดียว

1. ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹·Òí ãº§Ò¹·Õè 3.2 àÃÍè× § ÊÁ¡ÒÃ¡Òí Å§Ñ 3.2 จุดประสงคป์ ระจ�ำ หนว่ ย
ÊÍ§µÑÇá»Ãà´ÕÂÇ àÊÃç¨áÅŒÇµÃÇ¨ÊÍº • แก้สมกำรกำ� ลงั สองตวั แปรเดยี วโดยวิธีกำรแยกตวั ประกอบได้
¤ÇÒÁ¶Ù¡µŒÍ§ áÅÇŒ ¹Òí Ê‹§¼ÊÙŒ Í¹µÃÇ¨ • แก้สมกำรก�ำลงั สองตัวแปรเดยี วโดยใชส้ ตู รได้
• แกโ้ จทยป์ ัญหำเกย่ี วกบั สมกำรกำ� ลงั สองตวั แปรเดียวได้
2. ¼ÙŒÊÍ¹¤Ñ´àÅ×Í¡¼Å§Ò¹·Õè¹‹ÒÊ¹ã¨ 4 - 5
¼Å§Ò¹ áÅŒÇãËŒà¨ŒÒ¢Í§¼Å§Ò¹ÍÍ¡ÁÒ ชอ่ื -สกุล ...................................................................... รหัสประจ�ำตวั ..................................... ระดับช้ัน .....................................
¹íÒàÊ¹ÍË¹ŒÒªéÑ¹àÃÕÂ¹ ¼ÙŒàÃÕÂ¹¤¹Í×è¹æ ประเภทวิชำ ..................................................... สำขำวชิ ำ ............................................ หมวดวิชำ .............................................
Ã‹ÇÁ¡Ñ¹ÍÀÔ»ÃÒÂà¡ÕèÂÇ¡Ñº¼Å§Ò¹¢Í§
µÇÑ á·¹¼ŒàÙ ÃÂÕ ¹ ค�ำชี้แจง ใหผ้ เู้ รยี นแสดงวธิ ที าํ จากโจทยท ก่ี าํ หนดให้

สนามกอลฟแหงหนงึ่ มพี ืน้ ทเี่ ปน รปู สเ่ี หล่ยี มผนื ผา กวาง 15 เมตร และยาว 21 เมตร มีพ้นื ทท่ี ่เี ปนนาํ้
รอบสนามกอลฟ เทา ๆ กัน ทง้ั สด่ี าน ซ่งึ คดิ เปนพ้นื ท ี่ 200 ตารางเมตร อยากทราบวาพ้นื ที่ทเี่ ปนนาํ้
มีความกวางกี่เมตร

เกร็ดแนะ ผสู อน ...ว..ธิ...ที ...ำ� .. .....ใ..ห...พ้....น้ื ...ท...ท่ี...เ่ี..ป...น็...น...ำ้�... ..ม...คี ...ว..ำ...ม...ก...ว..ำ้...ง.. ..x... ..เ.ม...ต....ร.....................................................................................................................
... ...............ด...ำ้...น...ก...ว..ำ้...ง..ข...อ...ง..ส...น...ำ...ม...ก...อ...ล...ฟ ...ร...ว..ม...พ....นื้...น...ำ้�... ..1..5... ..+.. ..2...x.. ..เ..ม...ต...ร... ..แ..ล...ะ...ด...ำ้..น....ย...ำ..ว..ข...อ...ง...ส...น...ำ..ม...ก...อ...ล...ฟ....ร..ว...ม...พ...นื้....น...ำ�้ .. ........
¼ÊŒÙ Í¹µÃÇ¨ãº§Ò¹¢Í§¼àŒÙ ÃÂÕ ¹àÊÃ¨ç áÅÇŒ ... ...............2...1.. ..+... ..2..x... ..เ.ม...ต....ร.. ..น...น่ั....ค...อื ... ..พ...นื้...ท....สี่ ...น...ำ..ม...ก...อ...ล...ฟ....ร..ว...ม...พ...น้ื....น...ำ้� ..เ..ท...ำ่ ..ก...บั... ..(..1...5.. ..+... ..2..x...).(..2...1.. ..+... ..2..x...).. ..ต...ำ..ร...ำ..ง...เ.ม...ต....ร...........
¼ÙŒÊÍ¹¤ÇÃàÅ×Í¡ãº§Ò¹·ÕèÁÕ¤ÇÒÁ¶Ù¡µŒÍ§ ... ...............ส...น...ำ...ม...ก...อ...ล...ฟ ...ม...พ.ี ...นื้...ท... ่ี..1...5.. ..×... ..2...1.. ..=... ..3..1...5... ..ต...ำ..ร...ำ..ง..เ..ม...ต...ร... ..พ...นื้....น...ำ�้ ..ม...พี....น้ื...ท... ่ี..2...0..0... ..ต...ำ..ร...ำ..ง...เ.ม...ต....ร.. ................................
ÊÁºÙÃ³ä»µÔ´áÊ´§¼Å§Ò¹º¹»‡ÒÂ¹Ôà·È เขยี นสมกำร ไดด้ งั นี้................................................................................................................................................................................................................
¢Í§ËŒÍ§àÃÕÂ¹ à¾×èÍãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹¤¹Í×è¹æ ä´Œ ... ............... ......(..1..5...x.. ..+...2..x...)..(..2..1... ..+.. ..2...x..).. ..-.. ..3...1..5... ....=... .....2...0..0................................................................................................................
àËç¹¼Å§Ò¹·ÕèÁÕ¤Ø³ÀÒ¾ áÅÐ¹íÒä»à»š¹ ... ............... ............4..x...2.. ..+.. ..7...2..x... ..+.. ..3...1..5... ..-.. ..3...1..5... ....=... .....2...0..0................................................................................................................
á¹Ç·Ò§ã¹¡ÒÃ·íÒ§Ò¹¤Ã§Ñé µ‹Íä» 4x + 72x - 200 = 0.................................................2...............................................................................................................................................................
...... ..............................จ ......ำ....ก...... ......................x...... ......=.... ..........-......b...... ....±...... .... .... 2....b..a....2.... ....-.... x....4.. ....a....=c...... ..........2.........=4.... ..5....,.... -....-7....2..2..0.. .....±..4...... 5.... ....7....2......22.... ..(..-..4.. ..)..4......(....4....)....(....-....2......0......0....).... ..........=...... ..........-....7......2...... ....±...... 8.... ....8......,..3......8....4............................
... ...............ด...งั...น...น้ั... .. ........พ...นื้...ท....ท่ี ...เ่ี.ป....น็ ...น...ำ้�..ม...ค.ี ...ว..ำ..ม....ก...ว..ำ้..ง... ..2.....4..5... ..เ.ม...ต....ร................................................................................................

102

ขV้อ-สNอบEแTนว

¨§ËÒ¼Å¤Ù³¢Í§¤íÒµÍº¢Í§ÊÁ¡ÒÃ x2 - 41x + 40 = 0
1. 5
2. 10
3. 20
4. 30
5. 40

102

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp

? แบบทดสอบ สรปุ

3หนวยกำรเรียนรูที่ 1. ¼ÊŒÙ Í¹ãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹áº§‹ ÍÍ¡à»¹š 4 ¡ÅÁ‹Ø áÅÇŒ
ÃÇ‹ Á¡¹Ñ ·Òí áºº·´ÊÍºË¹Ç‹ Â¡ÒÃàÃÂÕ ¹Ã·ŒÙ èÕ
ตอนท่ี 1 ใหผ้ ู้เรียนหาค�าตอบของสมการก�าลังสองตามท่กี า� หนดให้ 3 µÍ¹·èÕ 1

1. x2 - 6x + 5 = 0 2. ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹áµ‹ÅÐ¡ÅØ‹ÁÊ‹§µÑÇá·¹ÍÍ¡ÁÒ
¨ÑºÊÅÒ¡ à¾èÍ× ÍÍ¡ÁÒáÊ´§ÇÔ¸·Õ íÒáÅÐËÒ
ตรวจสอบค�ำตอบ..ว...ธิ ..ที...ำ.� .. .....เ.น...อ.่ื ..ง...จ...ำ..ก... ............x..2.. ..-.. ..6...x.. ..+... ..5.. .....=.. ......0.. ..........จ...ะ..ไ..ด...ว้...ำ่ ........................................................................................... ¤íÒµÍºË¹ŒÒªéÑ¹àÃÕÂ¹ â´ÂÁÕÃÒÂÅÐàÍÕÂ´
´Ñ§¹Õé
.... ................................จ ......ะ....ไ....ด...... ้............................(....x...... ....-.... ....1......)..(....x....x.. .. ..-..-.. .... 5....1..).. ..........==.... ............00.................................................................... แ ....ท......น......ค......ำ่ ..(.. ..1..x..).. 2.... =....- 1.... 1.. 6.. ..-..(ใ.. 1..น6..)....ส ..+..+ม.... ..ก..55....ำ ....ร..==.. .. ..จ....00ะ......ไ..ด......้ว....่ำ.................................................. - ¡ÅÁ‹Ø ·äÕè ´ËŒ ÁÒÂàÅ¢ 1 ÍÍ¡ÁÒáÊ´§Ç¸Ô ·Õ Òí
x = 1....................................................................................................................... ..............................6.. ..-.. ..6.. ...=.. ...0.................................. ¢ŒÍ 1 ¡ºÑ ¢ŒÍ 2 Ë¹ÒŒ ªÑé¹àÃÕÂ¹
.... ................................ ห......ร....อื...... ......................................................................x.... ....-...... ....x5.... ..........==.... ............05.................................................................... แ ....ท......น......ค......ำ่ ..(.. ..5..x..).. 2.... =....- .... 5..6.. ....(ใ..5..น..)....ส ....+ม.... ..ก..05....ำ ....ร..==.. .. ..จ....00ะ.... ..ไ.. ด..ส....ว้..ม..่ำ....ก....ำ....ร....เ....ป....น..็ ....จ......ร....งิ .......... - ¡ÅÁ‹Ø ·äÕè ´ËŒ ÁÒÂàÅ¢ 2 ÍÍ¡ÁÒáÊ´§Ç¸Ô ·Õ Òí
.. ................ด...งั..น....น้ั ... .. .......ค....ำ� ..ต...อ...บ...ข...อ...ง..ส....ม...ก...ำ..ร.. ..ค....อื ... ..1.. ..ห...ร...อื ... ..5................. ..................2..5.. ..-.3. ..30..0 ..- .. +.3. ..50.. ...==.. ...00.................................. ¢ŒÍ 3 ¡Ñº¢ŒÍ 4 Ë¹ŒÒª¹Ñé àÃÂÕ ¹
- ¡ÅÁ‹Ø ·äèÕ ´ËŒ ÁÒÂàÅ¢ 3 ÍÍ¡ÁÒáÊ´§Ç¸Ô ·Õ Òí
....................................................................................................................... ......................................0.. ...=.. ...0.. .. .ส...ม...ก..ำ..ร..เ..ป..น.็ ..จ...ร..งิ ..... ¢ŒÍ 5 ¡Ñº¢ÍŒ 6 Ë¹ŒÒªéÑ¹àÃÂÕ ¹
.......................................................................................................................ด...ัง..น...้ัน.. ..ค...ำ่ ..ข...อ..ง... .x... ..ค..ือ... ..1.. ..ห...ร..อื ... .5............................... - ¡ÅÁ‹Ø ·äÕè ´ËŒ ÁÒÂàÅ¢ 4 ÍÍ¡ÁÒáÊ´§Ç¸Ô ·Õ Òí
¢ÍŒ 7 ¡Ñº¢ÍŒ 8 Ë¹ÒŒ ªÑé¹àÃÕÂ¹
.........................................................................................................................................................................................................
เกร็ดแนะ ผูสอน
2. 3x2 - 4 = 4x
ã¹¡ÒÃÍÍ¡ÁÒáÊ´§ÇÔ¸Õ·íÒ¢Í§¼ÙŒàÃÕÂ¹
ตรวจสอบค�ำตอบ..ว...ธิ ..ที...ำ.� .. .....เ.น...อ.่ื ..ง...จ...ำ..ก... .....................3..x...2. ..-... ..4.. .....=.. ......4..x... ............................................................................................................... ã¹áµ‹ÅÐ¡ÅØ‹Á ¼ÙŒÊÍ¹¤ÇÃáÊ´§ÇÔ¸Õ¡ÒÃ
µÃÇ¨ÊÍº¤íÒµÍºãË¡Œ ºÑ ¼ÙàŒ ÃÂÕ ¹´Ù·Ø¡æ ¢ÍŒ
............ ................................................................................................ จห ..................ะร............ไอื............ด...... ............ ้........................................................................(............3............x......3............ ......x......+......2...... ...... ......2......-............) ......(......34......x............xxx...... ...... ......-......+--...... ......3...... 2............xx242......)...... ..............................======............ ....................................000-0-......3......22 ............................................................จ..................ะ............ไ............ด..................ว้..................ำ่ ......................................................แ แ ............ทท..................นน3..................(คค......-......3......ำ่่ำ2............ ......)......xx2......3...... ......(-......==43......94 ...... ...... 4)......2-+...... 3(......2 1...... +-......3ใ3...... 382 2......นใ......38 ......)น......ส-- ............ ส--ม......11...... 33......มก......02244......ก......ำ ............รำ......=====...... ร...... ......จ ............00000จะ............ ......ไะ...... ด......ไส............ด้ว......ม......่ำ......้ว......ก......ำ่ ......ำ............ร............เ............ป............น......็ ............จ..................ร............งิ .............................. à¾×èÍà»š¹á¹Ç·Ò§ã¹¡ÒÃá¡Œâ¨·Â»˜ÞËÒãËŒ
x = 2....................................................................................................................... ..........3..(..2..)..2. ..-.. ..4..(.2...). ..-.. ..4.. ...=.. ...0.................................. ¡ºÑ ¼ŒÙàÃÂÕ ¹ã¹¤Ã§Ñé µÍ‹ æ ä»
.. ................ด...งั..น....น้ั ... .. .......ค....ำ� ..ต...อ...บ...ข...อ...ง..ส....ม...ก...ำ..ร.. ..ค....อื ... ..-.3.2.. ..ห....ร..อื... ..2............... ....................1..2.. .1.-..2 ..8 ..- .. -.1. ..42.. ...==.. ...00..................................

..............................................................................................................................................................................................................................................ด ......ัง....น......ั้น.... ....ค......่ำ....ข......อ....ง...... ..x...... ....ค....อื...... ....0-..3.. 2.... ..=..ห.. ....ร..0..อื.. .... ..ส..2....ม......ก....ำ....ร....เ....ป....น..็ ....จ......ร....งิ ..........

.........................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................

103

ÇÔà¤ÃÒÐË¤íÒµÍº
ÇÔ¸·Õ íÒ ¨Ò¡ÊÁ¡ÒÃ x2 - 41x + 40 = 0

(x - 40)(x - 1) = 0
¨Ðä´Œ x - 40 = 0

x = 40
¨Ðä´Œ x - 1 = 0

x=1
´§Ñ ¹¹éÑ ¼Å¤Ù³¢Í§¤íÒµÍº¢Í§ÊÁ¡ÒÃ ¤Í× 40 × 1 = 40

µÍº¢ŒÍ 5.

103

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp
สรปุ
ตรวจสอบค�ำตอบ3. x2 + 7x + 10 = 0
3. ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹¡ÅØ‹Á·èÕä´ËŒ ÁÒÂàÅ¢ 2 ÍÍ¡ÁÒ
áÊ´§ÇÔ¸·Õ Òí ¢ÍŒ 3 áÅÐ¢ÍŒ 4 Ë¹ÒŒ ª¹Ñé àÃÂÕ ¹ ...ว..ธิ...ที ...ำ� .. .....เ..น...อ่ื ...ง..จ...ำ..ก... .........x...2.. ..+.. ..7...x.. ..+... ..1..0... ....=... .....0... .........จ...ะ...ไ.ด....ว้ ..ำ่...........................................................................................
...... .............................. จ......ะ....ไ....ด...... ้............................(....x...... ....+.... ....2......)....(..x....x.. .... +....+ .... 5....2..).... ........==...... ..........00.................................................................... แ......ท....น..(....-ค....2..่ำ..).. 2.... x....+4.. .. = ....7-.. ..(- ..-..12..2..4.. ..)ใ.. ..น..++.... ส ....11..ม..00....ก ....ำ..==..ร.... .. ..จ00......ะ....ไ....ด......ว้ ....่ำ............................................
4. ¼ÙŒÊÍ¹áÅÐ¼ÙŒàÃÕÂ¹¡ÅØ‹ÁÍ×è¹æ Ã‹ÇÁ¡Ñ¹ x = -2....................................................................................................................... ..........................1..4.. ..-.. ..1..4.. ...=... ..0..................................
µÃÇ¨ÊÍº¤ÇÒÁ¶Ù¡µŒÍ§¢Í§ÇÔ¸Õ·íÒáÅÐ ...... ..............................ห ......ร......อื ...... ....................................................................x...... ....+.... ....x5...... ........==...... ..........-0....5................................................................แ ......ท....น..(....-ค....5..่ำ..)..2 .... x....+.. .. =..7.... ..(-..-..5..5.... ..)ใ.. ..น..+....ส ....1..ม..00....ก ....ำ..==..ร.. .. .. ..จ00...... ะ.. ..ไส....ด..ม....ว้ ..ก..่ำ....ำ....ร....เ..ป......น็ ......จ....ร....งิ..........
¤íÒµÍº·Õäè ´Œ ... ...............ด...งั...น...นั้ ... .. ........ค...ำ� ..ต....อ..บ....ข...อ..ง...ส...ม...ก...ำ..ร... ..ค...อื ... ..-..2... ..ห...ร..อื... ..-...5............ ................2..5.. ..-.. ..33..55.. ..+-.. ..13..05.. ...==.. ...00..................................

เกร็ดแนะ ผสู อน ....................................................................................................................... ......................................0.. ...=.. ...0... . ..ส..ม...ก...ำ..ร..เ.ป...น็ ...จ..ร..งิ.....
.......................................................................................................................ด...ัง..น...น้ั... ..ค...ำ่ ..ข..อ...ง.. ..x.. ..ค...ือ.. ..-..2... .ห...ร..ือ... ..-..5..........................
¼ÙÊŒ Í¹¤ÇÃªáÕé ¹ÐãËŒ¼ŒÙàÃÕÂ¹áÊ´§ÇÔ¸·Õ Òí
à»š¹ÅíÒ´Ñº¢éÑ¹µÍ¹áººã¹Ë¹Ñ§Ê×ÍàÃÕÂ¹ .........................................................................................................................................................................................................
à¾×èÍ»‡Í§¡Ñ¹¡ÒÃÊÑºÊ¹¢Í§¼ÙŒàÃÕÂ¹·Ñé§ËÁ´ .........................................................................................................................................................................................................
ã¹ªÑé¹àÃÕÂ¹ ¨Ðä´ŒÁÕ¤ÇÒÁÃÙŒ¤ÇÒÁà¢ŒÒã¨·Õè .........................................................................................................................................................................................................
µÃ§¡¹Ñ .........................................................................................................................................................................................................

ตรวจสอบค�ำตอบ4. x.......... ว.....2..........ธิ.....-.....ท.....ี ...............ำ�21.......... .....x....................-จ หเ.....น..........ะร.....21.....อื่ไ.....อื .....ด.....ง..... =.....จ ้...............ำ0..........ก............... ..............................(..........x.......... .....x.....+.....2.......... ..........21-.......... .....)..........(12.....x.....x.....xx..... ..... ..... -.....+-.....- ..... ..... 1..........1122x1.....)..... .........................=====............... .........................0000-.....2.....1 ..................................................จ...............ะ..........ไ..........ด...............ว้...............ำ่ .............................................แ ..........ท...............น..........(.....ค-.....2.....1.....่ำ..........) .....2.....x..... ..... -..........=..... 14.....12 .......... -..... 2.....(+1.....-..... 2..... 1.....4214ใ..........)น ..... .....--.....-ส..... ..... .....ม.....421212..........ก ..........ำ.....===.....ร..... .......... .....000จ...............ะ..........ไ..........ด...............ว้ ..........่ำ..............................................................................................................

ดงั นน้ั คำ� ตอบของสมกxำ ร =ค อื 1-21 หรอื 1.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... แ ด ............ท......งั ............นน..................้ันค.................. ำ่......(ค...... ......1......xำ่......)...... ข......2...... =......อ......- ......1......ง 1...... ......12 ......-......x(ใ...... 1......น ......1222......)ค......ส ............อื---ม............ ......ก......21222100-......2......ำ 1............ร...... =====...... ห...... ......จ......ร......00000......ะือ...... ......ไ...... ......ดสส......1......้ว......มม............่ำ......กก............ำำ............รร..................เเ......ปป..................นน็็ ............จจ..................รร............งงิิ..............................

.........................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................

104

ขV้อ-สNอบEแTนว

¶ÒŒ a áÅÐ b à»¹š ¤íÒµÍº¢Í§ÊÁ¡ÒÃ x2 - x = 6 áÅÐ a < b
áÅŒÇ¤Ò‹ ¢Í§ a - b µÃ§¡Ñº¢ÍŒ ã´

1. -12
2. -5
3. 1
4. 8
5. 14

104

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp

5. 12x2 + 9 = 56x สรปุ

ตรวจสอบค�ำตอบ................................. ว ......................ธิ.................................ที .................................ำ�...................... ....................................................... จ เ ห ด......................น...........ะงรั......................อ่ืไ...........นอื...........ด...........ง........... น้ั...........จ ้...................... ...........ำ........... ...........ก................................. ......................(......................6ค1......................x...........2ำ�...................... ต...........x...........-...........2...........อ ........... ...........1...........บ-......................) 1...........ข(...........5...........22...........อ...........662x...........x...........งxxx...........2 ...........ส........... -......................++--ม ......................62 9...........ก...........xxxx9199...........)...........ำ........... ...........ร................................. =========......................ค........... ......................อื................................. 00050916921......................61........... 6...................... x......................ห........... ......................ร......................จ...........อื ......................ะ........... ......................ไ29...........ด............................................ว้ ......................ำ่...................................................................................................แ แ ด.................................ททัง......................1น1...........นน...........2...........2ัน้คค...........1...........((........... ำ่ำ่614...........229...........ค ...........98)()...........xx2...........2ำ่7436........... 621 ........... ข2 6-...........- ==...........- อ ...........) -........... - 55...........ง ...........12965- 6...........65 5...........50 66...........(x(66...........ใใ5024...........61926 นน........... 64 ...........))ค+...........-+สส ...................... ือ ++++...........มม...........551 ........... 66...........กก46099990861...................... ำำ........... ...........ห...........รร=========...................... ร........... ...........จจ...........ือ...........000000000ะะ........... ........... ไไ...........92 ...........ดด...........สส......................ว้ว้มม......................ำ่ำ่...........กก.................................ำำ......................รร......................เเ...........ปป.................................นน็็.................................จจ......................รร......................งงิิ....................................................... 5. ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹¡ÅØ‹Á·èÕä´ŒËÁÒÂàÅ¢ 3 ÍÍ¡ÁÒ
áÊ´§Ç¸Ô ·Õ íÒ¢ÍŒ 5 áÅÐ¢ŒÍ 6 Ë¹ŒÒªÑé¹àÃÂÕ ¹
.........................................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................................... 6. ¼ÙŒÊÍ¹áÅÐ¼ÙŒàÃÕÂ¹¡ÅØ‹ÁÍ×è¹æ Ã‹ÇÁ¡Ñ¹
µÃÇ¨ÊÍº¤ÇÒÁ¶Ù¡µŒÍ§¢Í§ÇÔ¸Õ·íÒáÅÐ
6. 3x2 - 4x = -1 ¤íÒµÍº·äèÕ ´Œ

ตรวจสอบค�ำตอบ.............. ว.....................ธิ ..............ที.....................ำ�..................... ................................... จ หเ.......น..............ะร.......อ.......ื่ไอื..............ดง....... ..............จ ้.....................ำ..............ก..................... ............................(..............3..............x.......3.............. .......x.......-.......2....... ....... .......1.......-3..............) .......x(.......43.......x2..............x xx....... .......- .......-....... +--....... .......43....... 1..............xxx111.......)....... ...................................=======.............. ..........................................-0001031..............1 .............. ........................................................จ.....................ะ..............ไ..............ด.....................ว้.....................ำ่ ...............................................................แ แ ..............ทท.....................นน.....................คค.......3..............(่ำำ่ ..............31 ..............xx).......3.......2 .......( .......==.......19-.......31 ....... ).......113....... 4 ....... -.......- (.......ใ ....... ใ31.......น4334น.......34)..............ส ส.......+-.......++ม.......ม....... .......ก3433.......101ก..............ำ .......ำ.......ร.......ร=====....... ....... .......จ.......จ.......00000ะ.......ะ....... .......ไไ....... ด.......ดส..............้ว.......มว้.......ำ่.......่ำ.......ก..............ำ..............ร..............เ..............ป..............น.......็ ..............จ.....................ร..............งิ ................................... เกร็ดแนะ ผูสอน

x = 1....................................................................................................................... ..........3..(..1..).2.. ..-.. .4...(.1..).. ..+.. ..1.. ...=.. ...0.................................. ¼ÙŒÊÍ¹à¹Œ¹ÂéíÒãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹µÃÇ¨ÊÍº
.. ................ด...งั..น....นั้ ... .. .......ค....ำ� ..ต...อ...บ...ข...อ...ง..ส....ม...ก...ำ..ร.. ..ค....อื ... ..31.. ..ห...ร...อื... ..1................. ......................3.. ..-.. ..44.. ..+-.. ..14.. ...==.. ...00.................................. ¤íÒµÍº·Õèä´Œ¨Ò¡¡ÒÃá¡ŒÊÁ¡ÒÃ¡íÒÅÑ§ÊÍ§
µÑÇá»Ãà´ÕÂÇ·Ø¡¤ÃéÑ§ à¾è×Í·Õè¼ÙŒàÃÕÂ¹¨Ðä´Œ
..............................................................................................................................................................................................................................................ด ......งั ....น......้นั .... ....ค......่ำ....ข......อ....ง...... ..x...... ....ค....อื...... ....031.... ....ห..=....ร ....อื..0.... ..1.. ..ส......ม......ก....ำ....ร....เ....ป....น..็ ....จ......ร....งิ .......... ·ÃÒºÇÒ‹ ¤Òí µÍº·¤èÕ Òí ¹Ç³ÍÍ¡ÁÒ¼´Ô ¾ÅÒ´
ËÃ×ÍäÁ‹ ËÒ¡¼Ô´¾ÅÒ´¨Ðä´Œá¡äŒ ¢ä´Œ
.........................................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................

105

ÇàÔ ¤ÃÒÐË¤ íÒµÍº
ÇÔ¸Õ·íÒ ¨Ò¡ÊÁ¡ÒÃ x2 - x = 0

x2 - x - 6 = 0
(x - 3)(x + 2) = 0

¨Ðä´Œ x - 3 = 0

x=3
ËÃÍ× x + 2 = 0

x = -2
´Ñ§¹é¹Ñ a - b = -2 - 3 = -5

µÍº¢ŒÍ 2.

105

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp
สรปุ
ตรวจสอบค�ำตอบ7. -6 = 2x2 + 7x
7. ãË¼Œ ÙŒàÃ¹Õ Â¡ÅÁØ‹ ·äèÕ ´ŒËÁÒÂàÅ¢ 4 ÍÍ¡ÁÒ
áÊ´§Ç¸Ô ·Õ Òí ¢ŒÍ 7 áÅÐ¢ÍŒ 8 Ë¹ŒÒªé¹Ñ àÃÕÂ¹ .............. ว .....................ธิ..............ที............................ำ� .............. ................................... จ เห.......น..............ะร..............อ่ืไ.......อื .......ดง....... ..............จ ้.....................ำ..............ก..................... ............................(.......2.....................x.......2.............. .......x.......+.......2....... ....... .......3.......+2..............) .......x(.......72.......x2.............. xxx....... .......+ .......+....... +++....... .......72....... 2..............xxx632.......)....... ...................................=======.............. ..........................................-0-000-.......2.......633 ..................... .................................................จ.....................ะ..............ไ..............ด.....................ว้.....................ำ่ ...............................................................แ แ ..............ทท.....................นน.......2..............(คค..............-.......2ำ่ำ่.......3....... .......)2.......xx2.......(....... 29.......94.......+==....... .......) .......- 7.......--....... -2.......(2322....... -.......2 2.......12 13.......2ใใ....... 1 .......)นน+.......- ..............ส ++ส.......21....... ม.......22ม.......12066.......ก.......ก ..............ำำ.......=====.......รร....... ....... ....... .......จ00000จ.............. .......ะะ....... .......ไไส.......ด.......ด.......ม.......ว้.......้ว.......ก.......่ำำ่ .......ำ..............ร..............เ..............ป.....................น็ ..............จ.....................ร..............งิ...................................
x = -2....................................................................................................................... ......2..(..-..2..).2.. ..+.. .7...(.-..2...). ..+.. ..6.. ...=.. ...0..................................
8. ¼ÙŒÊÍ¹áÅÐ¼ÙŒàÃÕÂ¹¡ÅØ‹ÁÍè×¹æ Ã‹ÇÁ¡Ñ¹ .. ................ด...งั..น....นั้ ... .. .......ค....ำ� ..ต...อ...บ...ข...อ...ง...ส...ม...ก...ำ..ร... ..ค...อื ... ..-.2.3... ..ห...ร..อ.ื .. ..-...2............ ....................8.. ..-..1 ..14..4 ..- .. +.1. ..64.. ...==.. ...00..................................
µÃÇ¨ÊÍº¤ÇÒÁ¶Ù¡µŒÍ§¢Í§ÇÔ¸Õ·íÒáÅÐ
¤íÒµÍº·èäÕ ´Œ .............................................................................................................................................................................................................................................. ด......ัง....น......น้ั ...... ..ค......่ำ....ข......อ......ง.... ....x.... ....ค......ือ.... ....0-..2.. 3.... ..=..ห.. ....ร..0..ือ.. .... ..ส..-....2ม......ก....ำ....ร....เ....ป......น็ ....จ......ร....งิ..........

9. ¼ÙŒÊÍ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹à¢ÕÂ¹ÊÃØ»ÊÒÃÐÊíÒ¤ÑÞ .........................................................................................................................................................................................................
à¡ÕèÂÇ¡ÑºÇÔ¸Õ¡ÒÃá¡ŒÊÁ¡ÒÃ¡íÒÅÑ§ÊÍ§ .........................................................................................................................................................................................................
µÇÑ á»Ãà´ÂÕ Ç áÅŒÇ¹Òí Ê§‹ ¼ÊŒÙ Í¹µÃÇ¨
8. 2x2 - 9x = 18
เกร็ดแนะ ผูส อน
ตรวจสอบค�ำตอบ..............ว .....................ธิ..............ที............................ำ� .............. ...................................เ จ ห.......น..............ะร..............อ่ืไ.......อื .......ดง....... ..............จ ้.....................ำ..............ก..................... ............................(..............2.......2.......x.......x.............. .......2.......+....... ....... .......-.......3....... 2..............)9.......x(.......2x.......x2..............x x ....... .......-- ....... -....... +.......- .......921....... 6..............xxx836.......)....... ...................................=======.............. ..........................................1-0000-.......2.......338 ..................... .................................................จ.....................ะ..............ไ..............ด.....................ว้.....................ำ่ ...............................................................แ แ ..............ทท..............2.......นน.......(..............-คค.......2.......3.......ำ่่ำ.......2)....... 2.......(.......xx .......49.......-92 .......)....... == ....... 9.......+ +..............(-6 .......2-.......2332 2.......2232.......ใ67 .......7.......)นใ....... .......น--.......ส--....... .......ส ม.......3311.......ม22.......ก.......66088.......ก.......ำ ..............ำร.......=====.......ร ....... .......จ ..............จ00000.......ะ....... .......ะไ....... ด.......ไส.......ด.......ว้.......ม.......้ว.......่ำ.......ก.......ำ่ .......ำ..............ร..............เ..............ป.....................น็ ..............จ.....................ร..............งิ...................................
àÁè×Í¼ÙŒàÃÕÂ¹·íÒáºº·´ÊÍºàÊÃç¨áÅŒÇ
¼ÙŒÊÍ¹ÍÒ¨ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹ÊÅÑºáºº·´ÊÍº x = 6....................................................................................................................... ........2..(..6..).2.. ..-.. .9...(.6...). ..-.. .1...8.. ...=.. ...0..................................
Ë¹Ç‹ Â¡ÒÃàÃÂÕ ¹Ã·ÙŒ èÕ 3 µÍ¹·Õè 1 ¡ºÑ à¾Íè× ¹ .. ................ด...งั..น....น้ั ... .. .......ค....ำ� ..ต...อ...บ...ข...อ...ง...ส...ม...ก...ำ..ร... ..ค...อื ... ..-.2.3... ..ห...ร..อื... ..6............... ................7..2.. ..-.. ..57..42.. ..--.. .71...28.. ...==.. ...00..................................
·èÕ¹§Ñè ¢ÒŒ §æ ¨Ò¡¹éÑ¹ÊÁ‹Ø ¼ŒàÙ ÃÂÕ ¹ÍÍ¡ÁÒáÊ´§
ÇÔ¸Õ·íÒË¹ŒÒªéÑ¹àÃÕÂ¹ ¼ÙŒÊÍ¹áÅÐ¼ÙŒàÃÕÂ¹ ..............................................................................................................................................................................................................................................ด ......งั ....น......้ัน...... ..ค......่ำ....ข......อ......ง.... ....x.... ....ค......อื .... ....0-..2.. 3.... ..=..ห.. ....ร..0..อื.. .... ..ส..6....ม......ก....ำ....ร....เ....ป......น็ ....จ......ร....งิ..........
¤¹Íè×¹æ Ã‹ÇÁ¡Ñ¹µÃÇ¨ÊÍº¤ÇÒÁ¶Ù¡µŒÍ§
¢Í§¡ÒÃáÊ´§ÇÔ¸Õ·íÒáÅÐ¤íÒµÍº·Õèä´Œ¨Ò¡ .........................................................................................................................................................................................................
¡ÒÃá¡ÊŒ Á¡ÒÃ¡íÒÅÑ§ÊÍ§µÇÑ á»Ãà´ÂÕ Ç .........................................................................................................................................................................................................

106

ขVอ้ -สNอบEแTนว

¨§ËÒ¤Ò‹ y ¨Ò¡ÊÁ¡ÒÃ y2 - 5 = 0
1. 5
2. - 5
3. ± 5
4. 1
5. 5

106

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp

ตอนท่ี 2 จงเลอื กค�าตอบท่ถี ูกทีส่ ดุ เพยี งข้อเดียว สรปุ

1. จงหำค�ำตอบของสมกำร -3x2 + 6x - 3 = 0 10. ¼ÙŒÊÍ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹·íÒáºº·´ÊÍºË¹‹ÇÂ
1. 1 2. -1, 1 3. -1, -1 4. 1, 2 5. 2, 1 ¡ÒÃàÃÂÕ ¹Ã·ŒÙ èÕ 3 µÍ¹·Õè 2 à¾Í×è »ÃÐàÁ¹Ô ¼Å
5. 14, 32 àÁÍ×è ¨ºË¹Ç‹ Â¡ÒÃàÃÕÂ¹ÃŒÙ â´ÂãËŒàÇÅÒã¹
2. จงหำค�ำตอบของสมกำร 1.2x2 - 1.3x - 1.4 = 0 5. 24, 32 ¡ÒÃ·Òí µÒÁ¤ÇÒÁàËÁÒÐÊÁ
1จ.งห-ำค32�ำ, ต41อบของสมก2ำ. ร-1235,-474x 32, 41 4. - 47, 32 5. 1, 1
3. - - 4. - 23, 2 5. 4, 0 11. àÁè×Í¼ÙŒàÃÕÂ¹·íÒáºº·´ÊÍºË¹‹ÇÂ¡ÒÃ
=0 àÃÕÂ¹ÃŒÙ·Õè 3 µÍ¹·Õè 2 àÊÃ¨ç µÒÁàÇÅÒ·Õè
3. 1. - 53, 3 2 - 3x2 -3, 53 5. 10, 5 ¡Òí Ë¹´áÅŒÇ ãËŒ¼ÊŒÙ Í¹ÊØ‹Á¼ÙŒàÃÕÂ¹ÍÍ¡ÁÒ
+33)2 5. 8, 52 áÊ´§ÇÔ¸Õ·íÒã¹áµ‹ÅÐ¢ŒÍË¹ÒŒ ªÑé¹àÃÕÂ¹
2. -2, 3.
+6 12. ¼ÊŒÙ Í¹áÅÐ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹ÃÇ‹ Á¡¹Ñ µÃÇ¨ÊÍº¤ÇÒÁ
4. จงหำค�ำตอบของสมกำร (x = 2x ¶Ù¡µÍŒ §¢Í§ÇÔ¸¡Õ ÒÃ·íÒáÅÐ¤Òí µÍº·äèÕ ´Œ
1. 1 2. -1, -3 3. -1, 1 4. -1, 2
เกร็ดแนะ ผสู อน
5. จงหำคำ� ตอบของสมกำร 9 - (2x - 3)2 = 0 4. -3, 0
1. 0, 3 2. 0, -3 3. 1, 3 ¼ÊŒÙ Í¹¤ÇÃãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹ÍÒ‹ ¹¤Òí Ê§Ñè ¡Í‹ ¹·Òí
áºº·´ÊÍºáÅÐ¡Òí Ë¹´ÃÐÂÐàÇÅÒã¹¡ÒÃ
6. จงหำคำ� ตอบของสมกำร 3x2 = 37x - 70 -10, 34 ·íÒáºº·´ÊÍºãËŒªÑ´¨¹ ¨Ò¡¹éÑ¹¼ÙŒÊÍ¹
1จ.งห34ำค, 1ำ� ต0อบของสมก2ำ. ร732,(x120+ 4. -10, 73 à´¹Ô ÊÒí ÃÇ¨¼àŒÙ ÃÂÕ ¹ã¹ÃÐËÇÒ‹ §·Òí áºº·´ÊÍº
7. 1. - 52, (x25,+81)2 20) = 3. 25 4. 8, - 52 ËÒ¡¼ÙŒàÃÕÂ¹ÁÕ¢ŒÍÊ§ÊÑÂã¹¤íÒ¶ÒÁ ¼ÙŒÊÍ¹
จงหำคำ่ 21x = ¤ÇÃÍ¸ÔºÒÂ¢ŒÍÊ§ÊÑÂàËÅ‹Ò¹éÑ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹
à¢ŒÒã¨ÁÒ¡¢¹éÖ
8. 8 2. - 8(x + 3. -8, 0
x จำกสมกำร 1) + 16 107
1. 0 2. 1
3. 2 4. 3
5. 4

9. คำ่ ของ x จำกสมกำร 4x2 - 5 = 0 เทำ่ กบั เท่ำไร
5 5
1. 2 2. ± 2
3.
5. ± 5 4. 5 + 2, 5 - 2
2
5 + 2, 5
2
10. ค่ำของ x จำกสมกำร 16(x - 2) 2 - 9(x - 1)2 = 0 เท่ำกบั เทำ่ ไร
12371, ,55
1. 4, 5 2.
18731, ,7453 4.
3.
5.

107

ÇàÔ ¤ÃÒÐË¤íÒµÍº
ÇÔ¸·Õ Òí ¨Ò¡ÊÁ¡ÒÃ y2 - 5 = 0

y2 - ( 5 )2 = 0

(y + 5 )(y - 5 ) = 0

¨Ðä´Œ y + 5 = 0

y=-5

ËÃÍ× y - 5 = 0
y= 5

´§Ñ ¹Ñ¹é y ÁÕ¤Ò‹ à·Ò‹ ¡ºÑ ± 5

µÍº¢ŒÍ 3.

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp

สรปุ แบบประเมิน สมกำรก�ำลังสองตัวแปรเดียว

¼ÙŒÊÍ¹»ÃÐàÁÔ¹ÊÁÃÃ¶¹Ð¢Í§¼ÙŒàÃÕÂ¹µÒÁ ค�ำช้ีแจง ให้ผู้สอนประเมินผู้เรียนในระหว่ำงเรียน แล้วท�ำเครื่องหมำย ✓ลงในช่องที่ตรงกับระดับคะแนน
ÃÒÂ¡ÒÃ»ÃÐàÁÔ¹ â´Âà¡çº¤Ðá¹¹¨Ò¡¡ÒÃ
·íÒ¡Ô¨¡ÃÃÁÃÐËÇ‹Ò§àÃÕÂ¹ áÅÐ¨Ò¡¡ÒÃ·íÒ รำยกำรประเมิน ระดับคะแนน
áºº·´ÊÍºãËŒ¤ÃºµÒÁÃÒÂ¡ÒÃ áÅŒÇÊÃØ» ค�านวณการแกส้ มการกา� ลงั สองตัวแปรเดียว 321
¼Å¡ÒÃ»ÃÐàÁ¹Ô µÒÁªÇ‹ §¤Ðá¹¹·¼Õè àŒÙ ÃÂÕ ¹ä´ÃŒ ºÑ 1. อธิบำยและบอกลกั ษณะของสมกำรกำ� ลังสองตวั แปรเดยี ว

2. แกส้ มกำรก�ำลงั สองตวั แปรเดียวโดยวธิ กี ำรแยกตวั ประกอบ

3. แกส้ มกำรก�ำลังสองตวั แปรเดยี วโดยใชส้ ูตร
ประยกุ ตใ์ ชค้ วามรูเ้ กยี่ วกบั สมการก�าลังสองตวั แปรเดียวในสถานการณจ์ ริง หรือปญั หาทกี่ า� หนด

1. แกโ้ จทย์ปัญหำเก่ียวกบั สมกำรก�ำลังสองตวั แปรเดยี ว

รวม

ข้อเสนอแนะ สรุปผลกำรประเมิน

เกร็ดแนะ ผสู อน ....................................................................................................................................................................... ช่วงคะแนน ระดบั คณุ ภาพ
....................................................................................................................................................................... 9 - 12 คะแนน ดี
ã¹¡ÒÃ»ÃÐàÁÔ¹ÊÁÃÃ¶¹Ð¢Í§¼ÙŒàÃÕÂ¹ 5 - 8 คะแนน พอใช้
àÃÍ×è § ÊÁ¡ÒÃ¡Òí Å§Ñ ÊÍ§µÇÑ á»Ãà´ÂÕ Ç ¼ÊŒÙ Í¹ ลงชอ่ื .....................................................................................ผู้ประเมิน 1 - 4 คะแนน ปรบั ปรุง
¤ÇÃ»ÃÐàÁÔ¹¨Ò¡¤Ðá¹¹à¡çºÃÐËÇ‹Ò§àÃÕÂ¹ / /........... .............................. ....................
áÅÐ¤Ðá¹¹ÊÍº·ŒÒÂË¹‹ÇÂ â´Â»ÃÐàÁÔ¹
µÒÁÃÒÂ¡ÒÃ»ÃÐàÁÔ¹¨¹¤Ãº·Ø¡ÃÒÂ¡ÒÃ 108
áÅŒÇ¨Ö§¹íÒ¤Ðá¹¹·èÕä´ŒÁÒà·ÕÂºª‹Ç§¤Ðá¹¹
µÒÁà¡³± à¾è×ÍÊÃØ»ÃÐ´Ñº¤Ø³ÀÒ¾¢Í§
¼ŒÙàÃÕÂ¹à»¹š ÃÒÂºØ¤¤Å

108

นาํนาํ WWaarrmm--uupp สอน Instruction สรปุ Wrap-up

4หนว่ ยก�รเรียนรทู ี่ เปาหมายการเรียนรู

เลขยกกาํ ลงั 1. นาํ ความรเู รอ่ื ง เลขยกกาํ ลงั มาใชใ นการเขยี นรปู
เลขยกกาํ ลงั เพอ่ื หาสมการเอกซโพเนนเชยี ลได
Power of Numbers
2. ประยกุ ตใชค วามรเู รอ่ื ง เลขยกกาํ ลงั การแกโ จทย
ปญ หาทเี่ กย่ี วขอ งในชวี ติ ประจาํ วนั และงานอาชพี

คุณธรรม / จริยธรรม

1. สนใจใฝรู / คิดรเิ ริม่ สรางสรรค
2. มวี นิ ยั / รบั ผิดชอบ
3. ซอ่ื สตั ยสจุ ริต
4. รกั สามัคคี
5. มนุษยสมั พันธ

นาํ

เลยยกกําลัง สมรรถนะประจ�ำหนวย ¼ÙŒÊÍ¹àª×èÍÁâÂ§¤ÇÒÁÃÙŒ·Õèà¡èÕÂÇ¡ÑºàÅ¢
Â¡¡íÒÅ§Ñ â´Â¡ÒÃÊ¹·¹ÒáÅÐ«¡Ñ ¶ÒÁ¼ŒÙàÃÕÂ¹
สามารถนําไปประยุกต 1. คำ�นวณเก่ยี วกับจำ�นวนจร�งท่อี ยู่ ´§Ñ ¹éÕ
ใชในดานใดไดบาง ในรปู เลขยกก�ำ ลงั ทว�ั ไป
• ¼ÙŒàÃÕÂ¹¤Ô´Ç‹Ò àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§ÊÒÁÒÃ¶
เลขยกกำ� ลงั เปน ก�รคณู ตวั เลขนัน� ๆ ต�มจ�ำ นวนของเลขช�ก้ �ำ ลงั 2. คำ�นวณเกี่ยวกับจำ�นวนจร�ง »ÃÐÂØ¡µãªãŒ ¹àÃè×Í§ã´ä´ºŒ ŒÒ§
ที่ อ ยู่ ใ น รู ป เ ล ข ย ก กำ � ลั ง เ ป น
โดยส�ม�รถใชสมบัติของเลขยกกำ�ลังและก�รดำ�เนินก�รท�ง จ�ำ นวนตรรกยะ á¹ÇµÍº
พ�ชคณิตของเลขยกกำ�ลังม�คำ�นวณเลขยกกำ�ลัง รวมถึงก�ร
ประยุกต์ใชเลขยกกำ�ลังกับสมก�รเอกซ์โพเนนเช�ยล เลขยกกำ�ลัง 3. ประยุกต์ใชคว�มรูเก่ียวกับเลข ¾Ô ¨ Ò Ã ³ Ò µ Ò Á ¤í Ò µ Í º ¢ Í § ¼Ù Œ à ÃÕ Â ¹ â ´ Â
ฐ�นสิบ และก�รวัดหร�อก�รแทนดวยปร�ม�ณใดๆ ยกก�ำ ลัง ãËŒÍÂÙ‹ã¹´ØÅÂ¾Ô¹Ô¨¢Í§¼ÙŒÊÍ¹ àª‹¹ ¡ÒÃ
á¡ŒÊÁ¡ÒÃàÍ¡«â¾à¹¹àªÕÂÅ ãªŒã¹àÃ×èÍ§
จุดประสงคป ระจำ� หนว ย Ë¹‹ÇÂ¡ÒÃÇÑ´ ¡ÒÃ¤íÒ¹Ç³»ÃÔÁÒ³ÊÒÃ
ÊÁÑ ¾¹Ñ ¸· Ò§à¤ÁÕ à»š¹µ¹Œ
1. บอกควำมหมำยของเลขยกกำ� ลงั
ได้

2. หำค่ำเลขยกก�ำลังโดยใช้สมบัติ
ของเลขยกก�ำลงั ได้

3. หำผลบวกและผลลบของเลข
ยกก�ำลงั ได้

4. หำผลคูณและผลหำรของเลข
ยกก�ำลังได้

5. หำค่ำของเลขยกก�ำลังท่ีมีเลข
ชก้ี �ำลงั เป็นจ�ำนวนตรรกยะได้

6. แก้สมกำรเอกซ์โพเนนเชียลได้
7. เขยี นรปู เลขยกกำ� ลังใหอ้ ยู่ในรูป
เลขยกก�ำลังฐำนสบิ ได้
8. ประยุกต์เลขยกก�ำลังไปใช้แทน
หน่วยกำรวดั ได้

เกร็ดแนะ ผูสอน

¡ÒÃ¨´Ñ ¡¨Ô ¡ÃÃÁ¡ÒÃàÃÂÕ ¹¡ÒÃÊÍ¹Ë¹Ç‹ Â¡ÒÃàÃÂÕ ¹Ã·ŒÙ Õè 4 àÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ
¼ÊŒÙ Í¹¤ÇÃ·º·Ç¹¤ÇÒÁÃàŒÙ ´ÁÔ ãË¡Œ ºÑ ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹ â´ÂãªÇŒ ¸Ô ¡Õ ÒÃ¶ÒÁ - µÍº áÅÐ
Â¡µÑÇÍÂ‹Ò§Ê¶Ò¹¡ÒÃ³ã¡ÅŒµÑÇ ËÃ×ÍÊ¶Ò¹¡ÒÃ³¨ÃÔ§ã¹ªÕÇÔµ»ÃÐ¨íÒÇÑ¹
¢Í§¼ÙŒàÃÕÂ¹à»š¹¡Ã³ÕÈÖ¡ÉÒ ÃÇÁ·éÑ§¼ÙŒÊÍ¹¤ÇÃÂ¡µÑÇÍÂ‹Ò§â¨·Â»˜ÞËÒ
·Õàè ¡ÕÂè Ç¢ŒÍ§¡ÑºËÑÇ¢ŒÍ¹¹éÑ æ à¾èÁÔ àµÔÁ à¾Íè× ãË¼Œ ŒàÙ ÃÂÕ ¹½¡ƒ ½¹ã¹¡ÒÃ¤Òí ¹Ç³
áÅÐÁÕ¤ÇÒÁÃÙŒ¤ÇÒÁà¢ŒÒã¨à¡èÕÂÇ¡ÑºàÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§ÁÒ¡ÂèÔ§¢Öé¹ «èÖ§ÊÒÁÒÃ¶
¹íÒä»»ÃÐÂØ¡µãªŒã¹¡ÒÃá¡Œâ¨·Â»˜ÞËÒ·èÕ¾ºã¹ªÕÇÔµ»ÃÐ¨íÒÇÑ¹ËÃ×Í§Ò¹
ÍÒªÕ¾ä´ÍŒ Â‹Ò§àËÁÒÐÊÁ

109

นนาําํ WWaarrmm--uupp สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up

นาํ กำรคูณดวยตัวเลขหรือจ�ำนวนเดียวกันหลำยๆ ครั้ง

1. ¼ÙŒÊÍ¹ÊØ‹Á¼ÙŒàÃÕÂ¹à»š¹ÃÒÂºØ¤¤ÅµÍº เรำสำมำรถจัดใหอยูในรูปแบบเลขยกก�ำลังได โดยที่
¤Òí ¶ÒÁµÒÁ»ÃÐà´¹ç ´§Ñ ¹Õé
• àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§ÁÕÅÑ¡É³ÐáÅÐÃÙ»áºº จ�ำนวนครั้งของกำรคูณตัวเลขหรือจ�ำนวนเดียวกัน
·ÇÑè ä»ÍÂÒ‹ §äÃºŒÒ§
หลำยๆ คร้ัง เทำกับจ�ำนวนเลขช้ีก�ำลัง และมีตัวเลข
á¹ÇµÍº
¾¨Ô ÒÃ³ÒµÒÁ¤Òí µÍº¢Í§¼àŒÙ ÃÂÕ ¹â´ÂãËÍŒ Â‹Ù หรือจ�ำนวนนั้นๆ เปนฐำนของเลขช้ีก�ำลัง เลขช้ีก�ำลัง
ã¹´ØÅÂ¾¹Ô Ô¨¢Í§¼ÙŒÊÍ¹ àª‹¹ àÅ¢Â¡¡Òí ÅÑ§
à»š¹¡ÒÃà¢ÕÂ¹¨íÒ¹Ç¹·ÕèáÊ´§¶Ö§¨íÒ¹Ç¹ เปนพื้นฐำนในกำรค�ำนวณทำงคณิตศำสตร และ
à´ÕÂÇ¡Ñ¹¤³Ù «íéÒæ ¡Ñ¹ à»¹š µŒ¹
เลขยกก�ำลัง สำมำรถประยุกตใชกับเรื่องตำงๆ ได เชน กำรแก
2. ¼ÙŒàÃÕÂ¹¤¹Íè×¹Ã‹ÇÁ¡Ñ¹áÊ´§¤ÇÒÁ¤Ô´àËç¹ สมกำรเอกซโพเนนเชียล กำรใชเลขยกก�ำลังแทน
áÅÐÍ¸ÔºÒÂà¾ÔèÁàµÔÁà¡èÕÂÇ¡ÑºÅÑ¡É³ÐáÅÐ
ÃÙ»áºº·ÑÇè ä»¢Í§àÅ¢Â¡¡Òí ÅÑ§ 1.1 รปู ทว่ั ไปของเลขยกก�ำลงั หนวยกำรวัด เปนตน

สอน กำรเขียนจ�ำนวนที่แสดงถึงจ�ำนวนเดียวกันคูณซ�้ำๆ กัน เรียกว่ำ เลขยกก�ำลัง (Power
Numbers) เช่น 2 × 2 × 2 × 2 หมำยถึง 2 คูณกัน 4 ตัว สำมำรถเขียนในรปู เลขยกก�ำลงั ได้
3. ¼ÊŒÙ Í¹ãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹È¡Ö ÉÒàÃÍ×è § Ã»Ù áºº·ÇÑè ä» เป็น 24
¢Í§àÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ ¨Ò¡Ë¹§Ñ ÊÍ× àÃÂÕ ¹ ¨Ò¡¹¹Ñé
¼ÊŒÙ Í¹ÊÁ‹Ø ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹ 2 - 3 ¤¹ ÍÍ¡ÁÒÍ¸ºÔ ÒÂ บทนิยำม
à¡èÂÕ Ç¡ÑºÃÙ»áºº·ÑèÇä»¢Í§àÅ¢Â¡¡Òí ÅÑ§
เมือ่ a เป็นจ�ำนวนจริงใดๆ และ n เป็นจำ� นวนเตม็ บวก
4. ¼ÙŒÊÍ¹à¢ÕÂ¹àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§º¹¡ÃÐ´Ò¹ an = a × a × a × a × ... × a
¨Ò¡¹éÑ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹Ã‹ÇÁ¡Ñ¹µÍºÇ‹ÒµÑÇàÅ¢
µÇÑ ã´à»¹š °Ò¹¢Í§àÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ áÅÐµÇÑ àÅ¢ n ตัว
µÑÇã´à»¹š àÅ¢ª¡éÕ Òí ÅÑ§¢Í§àÅ¢Â¡¡íÒÅ§Ñ an อำ่ นวำ่ a ยกก�ำลงั n
โดยท ่ี a คอื ฐำนของเลขยกก�ำลัง
ผูเรียน ควรรู n คือ เลขช้ีก�ำลงั

àÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ ËÁÒÂ¶§Ö ¨Òí ¹Ç¹·Õèà¢ÕÂ¹ เช่น a2 = a × a
ã¹Ã»Ù an â´ÂàÃÂÕ ¡ a ÇÒ‹ °Ò¹ áÅÐàÃÂÕ ¡ n ÇÒ‹ 23 = 2 × 2 × 2
àÅ¢ªéÕ¡íÒÅ§Ñ
-(33) = -(3 × 3 × 3)
(-3)5 = (-3) × (-3) × (-3) × (-3) × (-3)
ในกำรเขียนเลขยกก�ำลังแทนจ�ำนวนใด ควรเขียนให้อยู่ในรูปผลคูณของจ�ำนวนที่เป็นฐำน
แล้วเขยี นในรปู ยกก�ำลัง

Vocational Skills 110

¤ÇÒÁÃÙŒà¡ÕèÂÇ¡ÑºàÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§ à»š¹·Ñ¡ÉÐ¤ÇÒÁÃÙŒ·Õè¹íÒä»ãªŒã¹¡ÒÃ Vข้อ-สNอบEแTนว
»ÃÐ¡ÍºÍÒªÕ¾ ä´Œá¡‹ ¹Ñ¡à¤ÁÕ¨ÐµŒÍ§ÁÕ¤ÇÒÁÃÙŒà¡ÕèÂÇ¡ÑºàÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§
à¾Í×è ¤Òí ¹Ç³»ÃÁÔ Ò³ÊÒÃà¤ÁÕ ËÃÍ× ·àèÕ ÃÂÕ ¡ÇÒ‹ »ÃÁÔ Ò³ÊÒÃÊÁÑ ¾¹Ñ ¸ ¾ÃÍŒ Á·§éÑ ¢ÍŒ ã´à»¹š ¡ÒÃà¢ÕÂ¹àÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ ä´¶Œ ¡Ù µŒÍ§
¡ÒÃ¤íÒ¹Ç³ÁÇÅ¢Í§ÍàÔ Å¡ç µÃÍ¹¢Í§ÍÐµÍÁ¢Í§¸ÒµµØ Ò‹ §æ 1. 24 = 4 × 4
2. 24 = 2 + 2 + 2 + 2
3. 24 = 2 × 4
4. 24 = 2 × 2 × 2 × 2
5. 24 = 2 - 2 - 2 - 2

110

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up

Math Notes สอน

กำรยกก�ำลัง เป็นกำรด�ำเนินกำรทำงคณิตศำสตร์อย่ำงหนึ่ง เขียนอยู่ในรูป an ซึ่งประกอบด้วย 5. ¼ÙŒÊÍ¹Í¸ÔºÒÂà¡èÕÂÇ¡Ñº¡ÒÃà¢ÕÂ¹ÃÙ»áºº
สองจ�ำนวนคอื ฐำน a และเลขชกี้ ำ� ลงั (หรอื ก�ำลัง) n ·ÇèÑ ä»¢Í§¡ÒÃà¢ÂÕ ¹àÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ ã¹¡ÃÍº
กำรยกก�ำลงั มีควำมหมำยเหมอื นกำรคูณซ้�ำๆ กนั คอื a คณู กนั เปน็ จำ� นวน n ตวั เม่อื n เป็น Math Notes
จ�ำนวนเตม็ บวก
6. ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹¨Ñº¤Ù‹¡Ñ¹ áÅŒÇÃ‹ÇÁ¡Ñ¹ÈÖ¡ÉÒ
an = a × ... × a µÑÇÍÂ‹Ò§·èÕ 1 áÅÐµÑÇÍÂ‹Ò§·èÕ 2 ¨Ò¡
n ตัว Ë¹§Ñ Ê×ÍàÃÂÕ ¹

ตัวอยำงที่ 1 3. -243 7. ¼ÙŒÊÍ¹Í¸ÔºÒÂà¾ÔèÁàµÔÁà¡ÕèÂÇ¡ÑºµÑÇÍÂ‹Ò§
·Õè 1 áÅÐµÑÇÍÂ‹Ò§·èÕ 2 ¨Ò¡Ë¹§Ñ Ê×ÍàÃÕÂ¹
จงเขยี นจ�ำนวนต่อไปนใ้ี ห้อยใู่ นรูปเลขยกก�ำลัง ตอบ
1. 36 2. 512 8. ¼ÙŒÊÍ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹áµ‹ÅÐ¤Ù‹Ã‹ÇÁ¡Ñ¹ÊÃŒÒ§
â¨·Â¡ÒÃà¢ÕÂ¹ áÅÐ¼ÅÅÑ¾¸¢Í§àÅ¢
วธิ ที ำ� 1. 36 = 6 × 6 Â¡¡Òí Å§Ñ 5 ¢ÍŒ ¾ÃÍŒ Á·§éÑ ËÒ¤Òí µÍºÅ§ã¹
= 62 ¡ÃÐ´ÒÉ A4 ¨Ò¡¹éÑ¹¹íÒÊ‹§¼ÙŒÊÍ¹µÃÇ¨

2. 512 = 8 × 8 × 8 9. ¼ÙŒÊÍ¹Â¡µÑÇÍÂ‹Ò§¡ÒÃà¢ÕÂ¹áÅÐ¡ÒÃËÒ
= 83 ¼ÅÅÑ¾¸¢Í§àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§¨íÒ¹Ç¹ 3 ¢ŒÍ
º¹¡ÃÐ´Ò¹
3. -243 = (-3) × (-3) × (-3) × (-3) × (-3)
= (-3)5 10. ¼ÙŒÊÍ¹ÊÁØ‹ ¼àÙŒ ÃÕÂ¹ 3 ¤¹ ÍÍ¡ÁÒáÊ´§ÇÔ¸Õ
¡ÒÃà¢ÂÕ ¹áÅÐËÒ¼ÅÅ¾Ñ ¸Ë ¹ŒÒªéÑ¹àÃÕÂ¹
ตัวอยำงท่ี 2
11. ¼ÙŒÊÍ¹áÅÐ¼ÙŒàÃÕÂ¹¤¹Í×è¹æ Ã‹ÇÁ¡Ñ¹
จงหำผลลพั ธ์ของเลขยกกำ� ลงั ต่อไปนี้ 3. -92 + 52 µÃÇ¨ÊÍº¤ÇÒÁ¶Ù¡µŒÍ§¢Í§¤íÒµÍº¢Í§
1. 26 - 62 2. (-5)4 + 34 µÇÑ á·¹¼àŒÙ ÃÂÕ ¹ áÅÐªÇ‹ Â¡¹Ñ á¡äŒ ¢ãË¶Œ ¡Ù µÍŒ §
วธิ ีท�ำ 1. 26 - 62 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2) - (6 × 6) ã¹¡Ã³·Õ Õ¤è íÒµÍº¼Ô´

= 64 - 36 เกร็ดแนะ ผูสอน

= 28 ¼ÙŒÊÍ¹ÍÒ¨àµÃÕÂÁµÑÇÍÂ‹Ò§à¡ÕèÂÇ¡Ñº
2. (-5)4 + 34 = [(-5) × (-5) × (-5) × (-5)] + (3 × 3 × 3 × 3) àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§ ·Õè¹Í¡àË¹×Í¨Ò¡µÑÇÍÂ‹Ò§ã¹
Ë¹Ñ§Ê×ÍÁÒÍ¸ÔºÒÂãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹¿˜§à¾èÔÁàµÔÁ
= 625 + 81 à¾×èÍãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹ÁÕ¤ÇÒÁà¢ŒÒã¨à¡èÕÂÇ¡ÑºàÅ¢
Â¡¡íÒÅÑ§ÁÒ¡¢¹Öé
= 706
3. 92 + 55 = (9 × 9) + (5 × 5 × 5 × 5 × 5)

= 81 + 3,215

= 3,296 ตอบ

111

ÇÔà¤ÃÒÐË¤Òí µÍº ¨Ò¡¡ÒÃ¾¨Ô ÒÃ³ÒµÇÑ àÅÍ× ¡·§Ñé 5 ¢ÍŒ ¨ÐàË¹ç ä´ÇŒ Ò‹
µÑÇàÅ×Í¡¢ŒÍ 4 áÊ´§¡ÒÃà¢ÕÂ¹àÅ¢Â¡¡íÒÅ§Ñ ä´Œ¶Ù¡µŒÍ§ ¡Å‹ÒÇ¤×Í
2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
µÍº¢ÍŒ 4.

111

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up

สอน 1.2 สมบัติของเลขยกกำ� ลัง

12. ¼ÙŒÊÍ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹ÈÖ¡ÉÒàÃ×èÍ§ ÊÁºÑµÔ¢Í§ ถำ้ a และ b เป็นจำ� นวนจริงใดๆ ที่ไม่เทำ่ กบั ศนู ย์ และ m, n เป็นจ�ำนวนเตม็ จะไดส้ มบัติ
àÅ¢Â¡¡Òí ÅÑ§ ¨Ò¡Ë¹Ñ§ÊÍ× àÃÕÂ¹ áÅÐÂ¡ ของเลขยกกำ� ลัง ดงั นี้
µÑÇÍÂ‹Ò§ÃÙ»áººÊÁºÑµÔ¢Í§àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§
ãË¼Œ àÙŒ ÃÕÂ¹È¡Ö ÉÒ • a1 = a • a0 = 1
• am × an = am+n
13. ¼ÙŒÊÍ¹Í¸ÔºÒÂà¾èÔÁàµÔÁà¡ÕèÂÇ¡Ñº¡ÒÃ¹íÒ • aaa-mnn == aa1mn-n • (am)n = amn
ÊÁºÑµÔ¢Í§àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§ä»ËÒ¤‹ÒàÅ¢Â¡ • ( ba )n = bann
¡íÒÅÑ§¨Ò¡µÑÇÍÂÒ‹ §·èÕ 3 áÅÐµÇÑ ÍÂÒ‹ §·Õè 4 •
ã¹Ë¹§Ñ ÊÍ× àÃÕÂ¹
• (ab)n = anbn
14. ¼ÙŒÊÍ¹Â¡µÑÇÍÂ‹Ò§·èÕÍÂÙ‹ã¹ÊÁºÑµÔ¢Í§àÅ¢
Â¡¡íÒÅÑ§à¾ÔèÁàµÔÁ¨Ò¡Ë¹§Ñ ÊÍ× àÃÂÕ ¹ â´Â กำรน�ำสมบัติของเลขยกก�ำลังไปหำค่ำเลขยกก�ำลังหรือท�ำให้อยู่ในรูปอย่ำงง่ำย ท�ำได้
à¢ÕÂ¹â¨·ÂµÑÇÍÂ‹Ò§º¹¡ÃÐ´Ò¹ áÅÐãËŒ ดังตัวอย่ำงต่อไปน้ี
¼ÙŒàÃÕÂ¹·Ø¡¤¹áÊ´§ÇÔ¸Õ·íÒÅ§º¹¡ÃÐ´ÒÉ
A4 àÁÍ×è àÊÃ¨ç áÅÇŒ ãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹ÊÅºÑ ¡ÃÐ´ÒÉ ตัวอยำงท่ี 3
¤íÒµÍº¡Ñº¼ÙŒàÃÕÂ¹¤¹Íè×¹æ à¾×èÍª‹ÇÂ¡Ñ¹
µÃÇ¨ÊÍº¤Òí µÍº จงหำผลลัพธข์ องเลขยกกำ� ลงั ตอ่ ไปน้ี
1. 95 2. (-0.3)4
15. ¼ÙŒÊÍ¹à©ÅÂ¤íÒµÍº ¾ÃŒÍÁ·Ñé§Í¸ÔºÒÂ 95 = 9 × 9 × 9 × 9 × 9
à¾ÁÔè àµÔÁ วธิ ที �ำ 1.

= 59,049
2. (-0.3)4 = (-0.3) × (-0.3) × (-0.3) × (-0.3)

= 0.0081 ตอบ

ตัวอยำงท่ี 4

จงหำผลลัพธข์ องเลขยกกำ� ลังต่อไปนี้ 2. (-3)8 × (-3)3
1. 52 × 54
วธิ ีทำ� 1. 52 × 54 = 52+4
เกร็ดแนะ ผสู อน = 56

¼ÊŒÙ Í¹ÍÒ¨ãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹ÊÃÒŒ §â¨·Âà ¡ÂèÕ Ç¡ºÑ = 15,625
àÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ â´ÂãªÊŒ ÁºµÑ ¢Ô Í§àÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ 2. (-3)8 × (-3)3 = (-3)8+3
à¢ŒÒª‹ÇÂã¹¡ÒÃËÒ¼ÅÅ¾Ñ ¸¢Í§àÅ¢Â¡¡íÒÅ§Ñ = (-3)11
ตอบ
= -177,147

112

Vข้อ-สNอบEแTนว

24 × 25 × 22 Á¤Õ ‹ÒµÃ§¡ºÑ ¢ÍŒ ã´
1. 1,024
2. 2,048
3. 3,036
4. 4,112
5. 5,503

112

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioion n สรปุ Wrap-up

ตัวอยำงที่ 5 สอน
4457 4457
จงหำผลลพั ธข์ อง = 45-7 16. ¼ŒÊÙ Í¹ãË¼Œ àŒÙ ÃÕÂ¹¨ºÑ ¤È‹Ù Ö¡ÉÒµÇÑ ÍÂÒ‹ §·Õè 5
วิธที ำ� = 4411-22 µÑÇÍÂ‹Ò§·èÕ 6 µÇÑ ÍÂÒ‹ §·Õè 7 áÅÐµÇÑ ÍÂ‹Ò§
= 16 ·èÕ 8 ¨Ò¡Ë¹Ñ§ÊÍ× àÃÕÂ¹

= 17. ¼ÙŒÊÍ¹Í¸ÔºÒÂà¾ÔèÁàµÔÁà¡èÕÂÇ¡ÑºµÑÇÍÂ‹Ò§
·èÕ 5 µÑÇÍÂ‹Ò§·èÕ 6 µÇÑ ÍÂ‹Ò§·Õè 7 áÅÐ
ตัวอยำงท่ี 6 µÇÑ ÍÂ‹Ò§·Õè 8 ¨Ò¡Ë¹Ñ§Ê×ÍàÃÂÕ ¹

จงหำผลลพั ธข์ องเลขยกก�ำลังต่อไปนี้ ตอบ 18. ¼ÙŒÊÍ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹áµ‹ÅÐ¤Ù‹Ã‹ÇÁ¡Ñ¹ÊÃŒÒ§
1. (25)2 2. [(-10)2 ]3 â¨·Â»˜ÞËÒà¡ÕèÂÇ¡Ñº¡ÒÃËÒ¤‹Ò¢Í§àÅ¢
(25)2 = 5(5×2) Â¡¡íÒÅ§Ñ 6 ¢ÍŒ ¾ÃÍŒ Á·Ñ§é ËÒ¤íÒµÍºÅ§
วธิ ีท�ำ 1. = 210 = 1,024 ã¹¡ÃÐ´ÒÉ A4 ¨Ò¡¹¹Ñé ¹Òí Ê§‹ ¼ÊŒÙ Í¹µÃÇ¨

2. [(-10)2 ]3 = (-10)2×3 19. ¼ÊŒÙ Í¹Ê‹ØÁ¼àÙŒ ÃÂÕ ¹ 3 ¤Ù‹ ¹íÒâ¨·Â»˜ÞËÒ
= (-10)6 = 1,000,000 à¡ÕèÂÇ¡Ñº¡ÒÃËÒ¤‹ÒàÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§ÍÍ¡ÁÒ
áÊ´§ÇÔ¸Õ·Òí Ë¹ŒÒª¹Ñé àÃÂÕ ¹

20. ¼ÙŒÊÍ¹áÅÐ¼ÙŒàÃÕÂ¹¤¹Íè×¹æ Ã‹ÇÁ¡Ñ¹
ตอบ ¾Ô¨ÒÃ³ÒáÅÐµÃÇ¨ÊÍº¤ÇÒÁ¶Ù¡µŒÍ§

¢Í§ÇÔ¸Õ¡ÒÃ·íÒáÅÐ¤Òí µÍº

ตัวอยำงท่ี 7

จงหำผลลัพธ์ของเลขยกกำ� ลงั ต่อไปนี้
1. (2 × 10)3 2. (5 2)4
วิธที �ำ 1. (2 × 10)3 = 23 × 103 = 8 × 1,000 = 8,000
2. (5 2)4 = 54( 2 )4 = 54 × 4 = 2,500
ตอบ

ตัวอยำงท่ี 8 เกร็ดแนะ ผูสอน

1จ.งหว(ำิธ47ผที )ล2�ำลัพ12ธ..ข์ องเลขย((ก3744ก))�ำ25ลงั ต====่อไป1734414น2,52529604ี้ 223.4 ( 43 )5 ¼ÙŒÊÍ¹à»´âÍ¡ÒÊãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹«Ñ¡¶ÒÁ
à¡ÂÕè Ç¡ºÑ µÇÑ ÍÂÒ‹ §·èÕ 5 µÇÑ ÍÂÒ‹ §·èÕ 6 µÇÑ ÍÂÒ‹ §
·Õè 7 áÅÐµÑÇÍÂ‹Ò§·èÕ 8 ËÅÑ§¨Ò¡·Õ¼è ÙŒÊÍ¹
ตอบ Í¸ÔºÒÂàÊÃç¨ ¾ÃŒÍÁ·éÑ§¼ÙŒÊÍ¹ÍÒ¨àµÃÕÂÁ

113 â¨·Âà¡ÕèÂÇ¡Ñº¡ÒÃËÒ¼ÅÅÑ¾¸¢Í§àÅ¢
Â¡¡íÒÅÑ§â´ÂãªŒÊÁºÑµÔ¢Í§àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§
à¢ÂÕ ¹º¹¡ÃÐ´Ò¹ áÅÇŒ ÊÁ‹Ø ãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹ÍÍ¡ÁÒ
áÊ´§Ç¸Ô Õ·íÒ

ÇàÔ ¤ÃÒÐË¤íÒµÍº

Ç¸Ô Õ·Òí 24 × 25 × 22 = 24+5+2
= 2 11
= 2,048

µÍº¢ŒÍ 2.

113

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp
สรปุ
แบบฝกทักษะที่ 4.1
21. ¼ÙŒÊÍ¹ÊÒ¸Ôµ¡ÒÃà¢ÕÂ¹áÅÐ¡ÒÃËÒ¤‹Ò
àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§µÒÁ·Õèâ¨·Â¡íÒË¹´¨Ò¡ ค�ำช้ีแจง ใหผ้ ู้เรียนตอบค�ำถำมตอ่ ไปนี้
áºº½¡ƒ ·Ñ¡ÉÐ·èÕ 4.1 ãËŒ¼ŒÙàÃÂÕ ¹ä´Œ´Ùà»¹š
µÇÑ ÍÂ‹Ò§ 1. จงทำ� ให้อยู่ในรูปอย่ำงง่ำย และมีเลขช้กี ำ� ลังเป็นบวก
1) 23 × 24 2 2 = 2 = 2.....3....×.......4...........3..+.4...........7...............................................................................................................
22. ¼ÙŒÊÍ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹áµ‹ÅÐ¤¹·íÒáºº½ƒ¡
·Ñ¡ÉÐ·èÕ 4.1 2) 3 2 4 3 2 4 = 3 2 (2 ) = 3 2 2 = 3 2 = 3 (2)4 × 5 × 2 .....4....×.......5....×.......2...........4....×.......5....×.........2....2..........4....×.......5....×........4..........4....×.......5..+..4..........4........9..........

เกร็ดแนะ ผสู อน 3) 37 ÷ 34 3 3 = 3 = 3.....7....÷.......4..........7..-..4..........3................................................................................................................

¡‹Í¹·èÕ¨ÐÊÑè§ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹·íÒáºº½ƒ¡ 4) (34)2 (3 ) = 3.......4...2...........8...................................................................................................................................
·Ñ¡ÉÐ·Õè 4.1 ¼ÙŒÊÍ¹¤ÇÃÊÒ¸Ôµ¡ÒÃáÊ´§ x = x1.....-..4...........4......................................................................................................................................
ÇÔ¸ÕËÒ¼ÅÅÑ¾¸¢Í§àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹´Ù 5) x-4
2 - 3 µÇÑ ÍÂÒ‹ § à¾Í×è à»¹š ¡ÒÃ·º·Ç¹¢¹Ñé µÍ¹ 9923 38-22 [ ]......99..2.3..×.×....38..-.2.2.......=....(..3(..3.2.).2.3)..2.×..×..(..23...3-..2).2....=.....3.3.4.6..×.×....32..-.6.2....=....3...6.-..4..-.(.-..2.)....×.....2..6...=.....3..4...×.....2...6......................
ã¹¡ÒÃËÒ¼ÅÅÑ¾¸¢ Í§àÅ¢Â¡¡Òí ÅÑ§ 6) [ × ]
× (a b )(2a b ) = 2a b = 2a b.......2....8...........5....6...............2..+..5....8..+.6..............7....1..4................................................................................

7) (a2 b8)(2a5 b6)

8) 4xx34yy26 4xxyy = 2 x y = 2 xy.......3..4..2..6...........2....4..-..3...6..-..2..........2.......4................................................................................................
9) aa-44bb5-c2c-12 aa bb cc = a b c = a b c = acb.....-.4.4....5-..2..-.1.2...........4..-.(.-..4..)....5.-..(.-.2..)....-.1..-.2...........8.....7....-.3...........8..3...7............................................................

10) (a b )(a b ) (a b )(a b ) = a b = a b3x y 2x y+4 .......3..x....y........2..x....y.+..4.............3.x..+..2.x.....y.+..y.+..4...........5..x....2..y.+..4......................................................................

2. จงหำผลลัพธต์ อ่ ไปนี้
1) [(-84)0 × (-5)3] ÷ (-3)-1

..ว...ธิ ..ที...ำ.� .. ..... .................[.(..-..8..4...)..0...×.....(..-..5...)..3.]....÷....(..-..3...)..-.1.......=.......1.....×.(..-..(.3.-.).1.-..12...5..)..........................................................................
= -125 (-3).............................................................................................................×..............-.1.....................................................................
= 375.................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................

2) [(-4)4 × (-3)3 × (-5)0] ÷ (-3)6

..ว...ธิ ..ที...ำ.� .. ..... ....[.(..-..4...).4....×.....(..-..3...).3....×.....(..-..5...).0..]...÷.....(..-..3..)..6.......=.......2...5...6....×...(..-(..-3...2)..67...)....×.....1..............................................................

.................................................................................................................................................................................................

= -67,29912.................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................

114

ขV้อ-สNอบEแTนว

5521×.× 52 ÁÕ¤‹ÒµÃ§¡ºÑ ¢ÍŒ ã´
50
25
2. 125
3. 225
4. 325
5. 425

114

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp

3) (53 × 7-2 × 42) ÷ 43 สรปุ

วธิ ที ำ� (5 7 4 ) 4 = 125 7 16...............................................3....×........-.2....×.......2......÷.......3........................×.......3.-.2....×........................................................................ 23. ¼ÙŒÊÍ¹ÊØ‹Á¼ÙŒàÃÕÂ¹ÍÍ¡ÁÒáÊ´§ÇÔ¸Õ·íÒ
= 1275 4416........................................................................................................2...×.×.....3................................................................................ â´Â¼ÙŒÊÍ¹áÅÐ¼ÙŒàÃÕÂ¹¤¹Íè×¹æ ª‹ÇÂ¡Ñ¹
= 32,,013006................................................................................................................................................................................................. µÃÇ¨ÊÍº¤íÒµÍº¢³Ð·èÕµÑÇá·¹Í¸ÔºÒÂ
= 0.638................................................................................................................................................................................................. Ë¹ŒÒªéÑ¹àÃÕÂ¹ ËÒ¡¾ºÇ‹ÒµÑÇá·¹¼ÙŒàÃÕÂ¹
à©ÅÂäÁ‹¶Ù¡µÍŒ § ¼ÊÙŒ Í¹áÅÐ¼ÙŒàÃÂÕ ¹¤¹Í¹×è
4) a (a a ) เมื่อ a 0วธิ ที ำ� a (a a ) == aa a a เเมมออื่ื่ aa 00......-....6........÷......................-..3........×..................-....5..................................-....6......≠..÷..................-..3........×................-..5......................................--..6..3..+..3..×..-+..6..5........-..5............................................................≠≠.................................................................................................. ª‹ÇÂ¡Ñ¹á¡äŒ ¢ãËŒ¶Ù¡µŒÍ§

= a เมอื่ a 0.....................................................................................................2...........................................≠................................................. เกร็ดแนะ ผูส อน

................................................................................................................................................................................................. ¼ÙŒÊÍ¹à»´âÍ¡ÒÊãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹«Ñ¡¶ÒÁ
à¡ÂÕè Ç¡ºÑ Ç¸Ô ¡Õ ÒÃËÒ¼ÅÅ¾Ñ ¸¢ Í§àÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ
5) (54n × 66n) ÷ (54n × 62n) เมอ่ื n แทนจำ� นวนเต็มบวก ¾ÃŒÍÁ·éÑ§ÍÒ¨Â¡µÑÇÍÂ‹Ò§â¨·Âà¾èÔÁàµÔÁ
à¾è×ÍµÃÇ¨ÊÍº¤ÇÒÁÃÙŒ¤ÇÒÁà¢ŒÒã¨¢Í§
......ว....ธิ......ที ......ำ�.... .......... ................................(....5....4....n........×..........6....6....n....)......÷..........(....5....4....n........×..........6....2....n....)............==................55..5..4..4..4n..nn..-..4....××n........×6..6..2..6..n..6n.... 6....n....-..2....n.... ......เเ..มม........ออ่ืื่ .... ....nn...... ....แแ......ทท......นน......จจ......ำำ��......นน......วว....นน......เเ....ตต......มม็็......บบ........วว....กก...... .................. ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹¡Í‹ ¹·¼Õè ÊŒÙ Í¹¨Ð¡ÅÒ‹ Çã¹ËÇÑ ¢ÍŒ ¶´Ñ ä»
..........................................................................................=........5..0....×.....6...4.n.................เ.ม....อื่ .. ..n... ..แ...ท...น...จ...ำ�...น...ว..น...เ..ต...ม็...บ....ว..ก............
..........................................................................................=........1....×.....6...4..n....=....6...4..n. ....เ.ม....อื่ .. ..n... ..แ...ท...น...จ...ำ�...น...ว..น...เ..ต...ม็...บ....ว..ก............

6) (2 × 16-10) × (8 × 1030)

...ว..ธิ...ที ...ำ�.. ..... ................(..2.. ..×.....1...6..-..1..0.)....×.....(..8....×.....1...0..3..0..)......=........2.....×.....81..6..×.1..0..1...0...3.0.....................................................................

.................................................................................................................................................................................................

= 16 10 = 10.........................................................................................................×....1..0.....3.0.........................3.9.0.................................................
= 1.616 10 16..........................................................................................................×..........2..2...........................................................................

7) 5.8 180.6 21.044 10...ว..ธิ...ที ...×ำ�.. ..... .....-.1.....××...5.....8.....×7.....1.×.8.0...-.6.1....××..8...21....0.4.7.4.....×.....1...0..8.......=........5.8.....8.6....×.×....2.1....04..74....×.×....1.1..0.0.1.8............................................................

.................................................................................................................................................................................................

= 184..6152 1010.............................................................................................................×......×....7..+..1..8....................................................................

.................................................................................................................................................................................................

= 148..1652 1010...............................................................................................................×....×......8....8....................................................................

.................................................................................................................................................................................................

= 148..1652 = 1.646.................................................................................................................................................................................................

115

ÇàÔ ¤ÃÒÐË¤ Òí µÍº 52 52 52 + 2
5 50 51 × 1
ÇÔ¸·Õ íÒ × =
×
= 6255
= 125

µÍº¢ÍŒ 2.

115

นนาําํ WWaarrmm--uupp สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up

นาํ 1.3 เลขยกก�ำลงั ท่ีมีเลขช้ีก�ำลงั เปนจ�ำนวนเต็ม

1. ¼ÙŒÊÍ¹à¢ÕÂ¹â¨·Â·èÕà¡èÕÂÇ¡ÑºàÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§ 1) กำรบวก กำรลบ เลขยกก�ำลงั
º¹¡ÃÐ´Ò¹ áÅŒÇãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹Ã‹ÇÁ¡Ñ¹
¾¨Ô ÒÃ³ÒÇÒ‹ ¶ÒŒ àÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ ºÇ¡ Åº ¡¹Ñ กำรบวก กำรลบ เลขยกก�ำลังน้ัน จะท�ำไดเ้ มอื่ เลขยกก�ำลังน้นั มีฐำนเทำ่ กัน และตอ้ งมี
¨ÐËÒ¤‹Òä´ÍŒ ÂÒ‹ §äÃ เลขชกี้ ำ� ลงั เทำ่ กนั ซง่ึ กำรบวก กำรลบ เลขยกกำ� ลงั นน้ั ทำ� ไดโ้ ดยกำรนำ� สมั ประสทิ ธขิ์ องเลขยกกำ� ลงั
น้ันมำบวกกนั หรอื ลบกนั เช่น
สอน
2x2 + 5x2 = (2 + 5)x2
2. ¼ÊŒÙ Í¹ãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹È¡Ö ÉÒà¡ÂÕè Ç¡ºÑ Ç¸Ô ¡Õ ÒÃºÇ¡ = 7x2
¡ÒÃÅº àÅ¢Â¡¡íÒÅ§Ñ ÃÇÁ·Ñé§µÑÇÍÂÒ‹ §·èÕ 9
¨Ò¡Ë¹§Ñ ÊÍ× àÃÂÕ ¹ ¨Ò¡¹¹Ñé ¼ÊŒÙ Í¹ÊÁ‹Ø ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹ ตัวอยำงท่ี 9
2-3 ¤¹ ÍÍ¡ÁÒÍ¸ºÔ ÒÂà¡ÂÕè Ç¡ºÑ ¡ÒÃºÇ¡
¡ÒÃÅº àÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ Ë¹ŒÒª¹éÑ àÃÂÕ ¹ จงทำ� ใหอ้ ยูใ่ นรปู อยำ่ งงำ่ ย

3. ¼ÊŒÙ Í¹à¢ÂÕ ¹¡ÒÃºÇ¡ ¡ÒÃÅº àÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ 1. a4 + 9a4 - 5a4
º¹¡ÃÐ´Ò¹ 10 ¢ŒÍ ¨Ò¡¹Ñé¹¼ÙŒÊÍ¹ÊØ‹Á
¼àŒÙ ÃÂÕ ¹ÍÍ¡ÁÒà©ÅÂ¤Òí µÍºà»¹š ÃÒÂº¤Ø ¤Å 2. 2x2 + 5x2 - 10x2
¼ÙŒàÃÕÂ¹¤¹Í×è¹æ Ã‹ÇÁ¡Ñ¹µÃÇ¨ÊÍº¤ÇÒÁ
¶Ù¡µŒÍ§¢Í§¤íÒµÍº¢Í§µÑÇá·¹¼ÙŒàÃÕÂ¹ 3. 6a4 - 3a4 + 7a4
áÅÐª‹ÇÂ¡Ñ¹á¡Œä¢ãËŒ¶Ù¡µŒÍ§ã¹¡Ã³Õ·Õè
¤íÒµÍº¼Ô´ วธิ ีทำ� 1. a4 + 9a4 - 5a4 = (1 + 9 - 5)a4

4. ¼ÊŒÙ Í¹áÅÐ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹ÃÇ‹ Á¡¹Ñ ÍÀ»Ô ÃÒÂà¡ÂèÕ Ç¡ºÑ = 5a4
¡ÒÃºÇ¡ ¡ÒÃÅº àÅ¢Â¡¡íÒÅ§Ñ
2. 2x2 + 5x2 - 10x2 = (2 + 5 - 10)x2

= -3x2

3. 6a4 - 3a4 + 7a4 = (6 - 3 + 7)a4

= 10a4 ตอบ

เกร็ดแนะ ผูสอน ขอสงั เกต
ถ้ำเลขยกก�ำลังที่มีฐำนเท่ำกัน แต่เลขชี้ก�ำลังไม่เท่ำกัน จะน�ำสัมประสิทธ์ิของเลขยกก�ำลังนั้น
¼ÊŒÙ Í¹Â¡µÇÑ ÍÂÒ‹ §à¡ÂÕè Ç¡ºÑ àÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ มำบวกหรอื ลบกันไม่ได ้ ต้องใช้วิธแี ยกตวั ประกอบ เชน่
·èÕÁÕàÅ¢ªÕé¡íÒÅÑ§à»š¹¨íÒ¹Ç¹àµçÁà¾ÔèÁàµÔÁ
¹Í¡àË¹×Í¨Ò¡µÑÇÍÂ‹Ò§ã¹Ë¹Ñ§Ê×ÍàÃÕÂ¹ x2 + x5 = x2 + (x2)(x3)
à¾èÍ× ãË¼Œ àÙŒ ÃÂÕ ¹Á¤Õ ÇÒÁÃÙŒ¤ÇÒÁà¢ÒŒ ã¨à¾ÁèÔ ¢Öé¹ = (1 + x3)x2

x8 - x4 = (x2)4 - (x2)2
= [(x2)2 - 1](x2)2
= (x4 - 1)(x4)

116

Vขอ้ -สNอบEแTนว

10x4 + 35xx44 - 6x4 ÁÕ¤Ò‹ µÃ§¡Ñº¢ÍŒ ã´
1. 0
2. 1
3. 2
4. 3
5. 4

116

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up

2) กำรคณู กำรหำร เลขยกกำ� ลัง สอน

กำรคูณเลขยกก�ำลัง ให้น�ำเลขชี้ก�ำลังที่มีฐำนเหมือนกันมำบวกกัน จะได้ผลลัพธ์ 5. ¼ÙŒÊÍ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹ÈÖ¡ÉÒà¡èÕÂÇ¡ÑºÇÔ¸Õ¡ÒÃ
เปน็ เลขฐำนตัวเดิม แต่เลขชกี้ ำ� ลังเปลีย่ นไป เชน่ ¡ÒÃ¤Ù³ ¡ÒÃËÒÃ àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§ áÅÐ
µÇÑ ÍÂÒ‹ §·èÕ 10 ¨Ò¡Ë¹Ñ§ÊÍ× àÃÂÕ ¹ ¨Ò¡¹Ñé¹
23 × 27 × 29 = 2(3+7+9) ¼ÊŒÙ Í¹ÊÁ‹Ø ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹ 2 - 3 ¤¹ ÍÍ¡ÁÒÍ¸ºÔ ÒÂ
= 219 à¡èÕÂÇ¡ºÑ ¡ÒÃºÇ¡ ¡ÒÃÅº àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§
Ë¹ŒÒªÑ¹é àÃÂÕ ¹
กำรหำรเลขยกก�ำลัง ให้น�ำเลขช้ีก�ำลังที่มีฐำนเหมือนกันมำลบกัน จะได้ผลลัพธ์
เป็นเลขฐำนตวั เดิม แตเ่ ลขชีก้ �ำลังเปลีย่ นไป เช่น 6. ¼ÊŒÙ Í¹à¢ÂÕ ¹¡ÒÃ¤³Ù ¡ÒÃËÒÃ àÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ
º¹¡ÃÐ´Ò¹ 5 ¢ŒÍ ¨Ò¡¹éÑ¹¼ÙŒÊÍ¹ÊØ‹Á
412 ÷ 43 = 4(12-3) ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹ÍÍ¡ÁÒà©ÅÂ¤Òí µÍºà»¹š ÃÒÂº¤Ø ¤Å
= 49 «§èÖ ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹¤¹Í¹è× æ ÃÇ‹ Á¡¹Ñ µÃÇ¨ÊÍº¤ÇÒÁ
¶Ù¡µŒÍ§¢Í§¤íÒµÍº¢Í§µÑÇá·¹¼ÙŒàÃÕÂ¹
ตัวอยำงที่ 10 áÅÐª‹ÇÂ¡Ñ¹á¡Œä¢ãËŒ¶Ù¡µŒÍ§ã¹¡Ã³Õ·Õè
¤íÒµÍº¼Ô´
จงหำผลลพั ธข์ องเลขยกก�ำลงั ต่อไปนี้
7. ¼ÊŒÙ Í¹áÅÐ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹ÃÇ‹ Á¡¹Ñ ÍÀ»Ô ÃÒÂà¡ÂèÕ Ç¡ºÑ
1. 63 × 6-3 2. 47 ÷ 47 ¡ÒÃ¤³Ù ¡ÒÃËÒÃ àÅ¢Â¡¡Òí ÅÑ§
3. 5549 4. 2 1×052
วิธที ำ� 1. 63 × 6-3 = 63+(-3) เกร็ดแนะ ผูส อน

= 60 ¼ÙŒÊÍ¹ÍÒ¨ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹¤Œ¹¤ÇŒÒâ¨·Â
à¡ÕèÂÇ¡ÑºàÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§·ÕèÁÕàÅ¢ªÕé¡íÒÅÑ§à»š¹
=1 ตอบ ¨íÒ¹Ç¹àµçÁ 4 - 5 ¢ŒÍ à¾×èÍãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹ä´Œ
ตอบ ½ƒ¡¡ÒÃ¤Ô´áÅÐ·íÒãËŒà¡Ô´·Ñ¡ÉÐ¤ÇÒÁÃÙŒ
2. 47 ÷ 47 = 4(7-7) à¡èÕÂÇ¡ÑºàÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§ «èÖ§ÊÒÁÒÃ¶¹íÒä»ãªŒ
ตอบ ã¹§Ò¹ÍÒª¾Õ ä´Œ
= 40 ตอบ

5549 =1

3. = 5(4-9)
= 5-5
351,51125
=
=

4. 2 × 52 = 2 × 25
10 = 5010
10
=5

117

ÇàÔ ¤ÃÒÐË¤Òí µÍº = (10 + 5 - 6)x4
ÇÔ¸Õ·íÒ 10x4 + 35xx44 - 6x4 = 93xx44 3x4

= (9 ÷ 3)x4 - 4
= 3x0 = 3 × 1 = 3

µÍº¢ŒÍ 4.

117

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up
สอน
ตัวอยำงที่ 11
8. ¼ÊŒÙ Í¹ãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹¨ºÑ ¤È‹Ù ¡Ö ÉÒµÇÑ ÍÂÒ‹ §·èÕ 11
¨Ò¡Ë¹§Ñ ÊÍ× àÃÂÕ ¹ จงหำคำ่ ของจ�ำนวนต่อไปนี้

9. ¼ÙŒÊÍ¹Í¸ÔºÒÂà¾èÔÁàµÔÁà¡ÕèÂÇ¡ÑºµÑÇÍÂ‹Ò§ 1. 92 × 93
·Õè 11 ¨Ò¡Ë¹§Ñ ÊÍ× àÃÕÂ¹
2. m2 × m3
10. ¼ÙŒÊÍ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹áµ‹ÅÐ¤Ù‹Ã‹ÇÁ¡Ñ¹ÊÃŒÒ§
â¨·Â»˜ÞËÒà¡ÕèÂÇ¡Ñº¡ÒÃ¤Ù³ ¡ÒÃËÒÃ 3. (53 × 73 × 52) ÷ (72 × 53 × 70)
àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§ 5 ¢ÍŒ ¾ÃÍŒ Á·éÑ§ËÒ¤Òí µÍº
Å§ã¹¡ÃÐ´ÒÉ A4 ¨Ò¡¹é¹Ñ ¹íÒÊ§‹ ¼ÊŒÙ Í¹ 4. [(18)5 × 34] ÷ 63
µÃÇ¨
5. [34 × ((27)2)3] ÷ (95 × 50)
11. ¼ÙŒÊÍ¹Â¡µÑÇÍÂ‹Ò§â¨·Â»˜ÞËÒà¡ÕèÂÇ¡Ñº
¡ÒÃ¤Ù³ ¡ÒÃËÒÃ àÅ¢Â¡¡Òí ÅÑ§ ¨Òí ¹Ç¹ วิธีท�ำ 1. 92 × 93 = 9(2+3)
3 ¢ŒÍ à¢ÂÕ ¹º¹¡ÃÐ´Ò¹
= 95
12. ¼ÙŒÊÍ¹ÊØ‹Á¼ÙŒàÃÕÂ¹ 3 ¤¹ ÍÍ¡ÁÒáÊ´§
ÇÔ¸Õ·íÒâ¨·Â»˜ÞËÒà¡èÕÂÇ¡Ñº ¡ÒÃ¤Ù³ = 59,049 ตอบ
¡ÒÃËÒÃàÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§ Ë¹ÒŒ ª¹éÑ àÃÂÕ ¹ ตอบ
2. m2 × m3 = m(2+3)
13. ¼ÙŒÊÍ¹áÅÐ¼ÙŒàÃÕÂ¹¤¹Í×è¹æ Ã‹ÇÁ¡Ñ¹ ตอบ
¾Ô¨ÒÃ³ÒáÅÐµÃÇ¨ÊÍº¤ÇÒÁ¶Ù¡µŒÍ§ = m5 ตอบ
¢Í§ÇÔ¸Õ¡ÒÃ·Òí áÅÐ¤íÒµÍº ตอบ
3. (53 × 73 × 52) ÷ (72 × 53 × 70) = (53+2 × 73) ÷ (72+0 × 53)
เกร็ดแนะ ผสู อน
= (55 × 73) ÷ (72 × 53)
¼ÙŒÊÍ¹à»´âÍ¡ÒÊãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹ä´Œ«Ñ¡¶ÒÁ
µÇÑ ÍÂÒ‹ §¢Í§àÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ ·ÁèÕ àÕ Å¢ª¡éÕ Òí Å§Ñ à»¹š = 55-3 × 73-2
¨íÒ¹Ç¹àµçÁã¹Ë¹Ñ§Ê×ÍàÃÕÂ¹·Õè¼ÙŒàÃÕÂ¹ä´Œ
È¡Ö ÉÒÁÒ = 52 × 71

= 25 × 7

= 175

4. [(18)5 × 34] ÷ 63 = [(2 × 32)5 × 34] ÷ (2 × 3)3

= (25 × 310 × 34) ÷ (23 × 33)

= 25-3 × 310+4-3

= 22 × 311

= 1,417,176

5. [34 × ((27)2)3] ÷ (95 × 50) = [34 × ((33)2)3] ÷ ((32)5 × 1)

= (34 × 318) ÷ 310

= 34+18-10

= 312

= 531,441

118

Vข้อ-สNอบEแTนว

(3y2 z4)3 Á¤Õ ‹ÒµÃ§¡ºÑ ¢ÍŒ ã´
(3y5 z3)2
1. 3y-4 z6
2. 3y-5 z5
3. 3y-6 z4
4. 3y-7 z3
5. 3y-8 z2

118

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp

แบบฝกทักษะท่ี 4.2 สรปุ

ค�ำชี้แจง จงแสดงวิธที ำ� และหำคำ� ตอบให้ถกู ตอ้ ง 14. ¼Ù Œ Ê Í ¹ Ê Ò ¸Ô µ ¡ Ò Ã Ë Ò ¤í Ò µ Í º ã Ë Œ ÁÕ
àÅ¢ªÕé¡íÒÅÑ§à»š¹ºÇ¡µÒÁ·Õèâ¨·Â¡íÒË¹´
1. จงทำ� ใหอ้ ยใู่ นรปู อยำ่ งงำ่ ยและใหม้ ีเลขชกี้ ำ� ลงั เป็นบวก ¨Ò¡áºº½ƒ¡·Ñ¡ÉÐ·èÕ 4.2 ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹´Ù
1) 2วaธิ ที ำ� 5b 2a 5b = (2 5) ba.......-.1..6....×............3..0......................................-.1..6...×...........3..0....................×..3..0..........31..60........................................................................... à»¹š µÑÇÍÂÒ‹ §

= 10b........................................................................................................1..6.......................................................................................... 15. ¼ÙŒÊÍ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹áµ‹ÅÐ¤¹·íÒáºº½ƒ¡
·Ñ¡ÉÐ·èÕ 4.2
2) y z z a× 0 × -2
วธิ ที ำ� y z z = y 1 z.................................................................×.......0....×.......-..2..................×..........×.......-..2.......................................................................... เกร็ดแนะ ผสู อน
= zy.....................................................................................................2...............................................................................................
¡‹Í¹·Õè¼ÙŒÊÍ¹¨ÐãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹·íÒáºº
3) yว(ธิ -ที yำ�) y y y y(-y)y y y == y1 y y y y = y........0........×..........8........×4..........×........-....3......7..............................................................0........×..........8....4..×......×......-....3....7..................................4....+..×7....-..8..8..+..×..3..4........×..-..3..........7..................................6................................................................................................................ ½ƒ¡·Ñ¡ÉÐ·èÕ 4.2 ¼ÙŒÊÍ¹¤ÇÃÊÃØ»¢éÑ¹µÍ¹
ã¹¡ÒÃËÒ¼ÅÅÑ¾¸¢Í§àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§·èÕÁÕ
4) (zวธิ ที ำ� z ) (z(z zz )) (z z ) == z1z z == zzz..........5....n........×..................2....n............÷....................0......5....×n........×..........3..n..2....n..........÷..................0........×..............3....n....................................7....n..5×..-n..3..+..n..2....n3..n........................................................4..37..n..nn.......................................................................................................... àÅ¢ªéÕ¡íÒÅÑ§à»š¹¨íÒ¹Ç¹àµçÁãËŒ¡Ñº¼ÙŒàÃÕÂ¹
¾ÃŒÍÁ·Ñé§¼ÙŒÊÍ¹ÍÒ¨ÊÒ¸Ôµâ¨·Âã¹áºº
5) aว ธิ ที ำ� b a ba b a ba ba b == aa ab bb == aaabbb = ab............×..................-....1....×....×..............7..........×................7........................×................-..1......×..×..............7......×................7....................................21..-..+..11........××6....-....7........7-....1....+..7........................................2....-..17..6.................................................................................................... ·¡Ñ ÉÐ·èÕ 4.2 ¨Òí ¹Ç¹ 1 - 2 ¢ÍŒ ãË¡Œ ºÑ ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹
3 -1 6 à¾×èÍà»š¹¡ÒÃ·º·Ç¹¡‹Í¹·Õè¼ÙŒàÃÕÂ¹¨ÐµŒÍ§
6) ((33xx yy ))-6 -4 2 ·Òí áºº½¡ƒ ·Ñ¡ÉÐ´ŒÇÂµ¹àÍ§
3 -1 6 18 -6
วธิ ที ำ� (3x y ) = 3x y..........................................................................-.6....-..4...2.....................-..1.2....-..8..................................................................................
(3x y ) = x3x yy.....................................................................................................1..8..+..1.2....-..6.+..8...............................................................................

= x y.....................................................................................................3..0....2.........................................................................................

7) 9n+1× 4n+2
วธิ ที ำ� 9 4 = (9 4 )(9 4 )....................................................................n..+.1...×.......n..+..2....................×........2........n....×.......n................................................................

= 9 16(9 4 ).......................................................................................................×...............n....×.......n...................................................................

= 144(9 4 )...............................................................................................................n....×.......n..........................................................................

119

ÇàÔ ¤ÃÒÐË¤ íÒµÍº ((33yy 25zz 4)3 = 297yy106zz162
3)2 = 3y 6 - 10 z12 - 6
Ç¸Ô ·Õ íÒ = 3y -4z 6

µÍº¢ÍŒ 1.

119

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp
สรปุ
2. จงหำค่ำต่อไปนี้
16. ¼ÊŒÙ Í¹ÊÁ‹Ø ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹ÍÍ¡ÁÒáÊ´§Ç¸Ô ·Õ Òí â´Â 1) (3วธิ ที ำ� 2 ) (3 2(3) 2 ) (3 2) == 333 222 == 93 22 = 18..........3..........×..................2............÷..........................×......................3........×................2..........÷......................×..................................................2..2....×..××..............2........................................................3....-×..1............2....-..1......................................................................................
¼ÙŒÊÍ¹áÅÐ¼ÙŒàÃÕÂ¹¤¹Íè×¹æ ¨Ðª‹ÇÂ¡Ñ¹ 2) [(-2) (-2) (-2) ] (-2)......ว....ธิ......ที ......4ำ�.... ....×........ ......[....(..-......2....3)....4......×..×..........(....-....2......)..3..0......×......÷....(....-....2......)....0..]....5....÷........(....-......2....)....5............==................(..(..-..-..(2..2..-..)..)2..7..4-..)+..5..53....+..0..................................==............(..((..-..--....222....)..))..2..75..................=............4..................................................................
µÃÇ¨ÊÍº¤íÒµÍº¢³Ð·èÕµÑÇá·¹Í¸ÔºÒÂ 3) 64 2 (-2)× 4 × -3
Ë¹ŒÒªÑé¹àÃÂÕ ¹ ËÒ¡¾ºÇÒ‹ µÑÇá·¹¼ÙàŒ ÃÕÂ¹
à©ÅÂäÁ¶‹ ¡Ù µÍŒ § ¼ÊŒÙ Í¹áÅÐ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹ªÇ‹ Â¡¹Ñ วธิ ที ำ� 64 2 (-2) = 64(-2)16 = 1,-0824..........................................................×........4....×.............-..3.....................×.....3.....................................................................................
á¡Œä¢ãË¶Œ Ù¡µÍŒ § = -128....................................................................................................................................................................................................

เกร็ดแนะ ผสู อน ....................................................................................................................................................................................................

ã¹¢³Ð·èÕ¼ÙŒàÃÕÂ¹·íÒáºº½ƒ¡·Ñ¡ÉÐ 4) 10-4 × 10-2 × 105
¼ÙŒÊÍ¹¤ÇÃà´Ô¹´Ù¼ÙŒàÃÕÂ¹ÃÍºæ ËŒÍ§àÃÕÂ¹
ËÒ¡¼ŒÙàÃÂÕ ¹à¡´Ô ¢ŒÍÊ§ÊÑÂ ãË¼Œ ÊÙŒ Í¹Í¸ÔºÒÂ วธิ ที ำ� 10 10 10 = 10......................................................-.4....×..........-..2....×..........5...................-..4..-.2..+.5....................................................................................
ãË¼Œ ÙŒàÃÕÂ¹¿˜§à»¹š ÃÒÂºØ¤¤Å = 10 = 10........................................................................................................-..6..+.5...................................-.1...................................................
= 110 = 0.1....................................................................................................................................................................................................

5) [(-64)0 × (-4)3] ÷ (-4)-1

วธิ ที ำ� [(-64) (-4) ] (-4) = [1 (-64)]................................................0....×.............3.....÷.............-..1....................×........-..1.................................................................................
= -64(-4)(-4).............................................................................................................×.......................................................................................
= 256....................................................................................................................................................................................................

6) [x y ][x y ]5 ×3 3 3 ×2 3
xy x y[ ][ ]วธิ ที ำ� x y x y = (x y )(x y )...............................................5....×...3....3............3....×2.......3.......................5.-..1....3..-.3........3..-.2....3..-.1................................................................

xy x y = (x y )(xy ) = x y........................................................................................................4....0..........2.......................4..+.1....0..+..2............................................
= x y......................................................................................................5....2..........................................................................................

7) [a-7 -2
b ] [ ]วธิ ที ำ� ab = ab........4.....................................................................-.4.7....-..2..................(.-.4.7.().-.(2.-.)2..)...................................................................................

......................................................................................................1..4............................................................................................

= ab......................................................................................................-..8............................................................................................

120

Vขอ้ -สNอบEแTนว

a4a3×b2b3 a2a4×b2b3 Á¤Õ Ò‹ µÃ§¡ºÑ ¢ŒÍã´

1. ab
2. a2 b2
aab2-
3. b2
4.
5. ba2

120

นนาําํ WWaarrmm--uupp สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up

1.4 เลขยกกำ� ลงั ทีม่ เี ลขชก้ี ำ� ลงั เปน จ�ำนวนตรรกยะ นาํ

1) กำรหำคำ่ เลขยกก�ำลงั ทีม่ เี ลขชี้ก�ำลังเป็นจำ� นวนตรรกยะ 1. ¼ÙŒÊÍ¹Ê¹·¹Ò¡Ñº¼ÙŒàÃÕÂ¹¶Ö§àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§
ในเรอื่ งของเลขยกกำ� ลงั ทม่ี เี ลขชก้ี ำ� ลงั เปน็ จำ� นวนตรรกยะ (Rational Number) ตอ้ งอำศยั ·èÕÁÕàÅ¢ªéÕ¡íÒÅÑ§à»š¹¨íÒ¹Ç¹µÃÃ¡ÂÐ áÅŒÇ
ควำมรเู้ กยี่ วกบั เรื่องของรำกท ี่ n ของ a เมอ่ื a เป็นจำ� นวนจรงิ โดยมีบทนิยำม ดงั นี้ ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹Â¡µÑÇÍÂ‹Ò§àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§·ÕèÁÕ
àÅ¢ªÕé¡íÒÅÑ§à»š¹¨íÒ¹Ç¹µÃÃ¡ÂÐ·Õè¾ºã¹
บทนิยำม ªÇÕ µÔ »ÃÐ¨Òí ÇÑ¹

ถำ้ a เป็นจำ� นวนจริงที่ a ≥ 0 และ n เปน็ จำ� นวนเต็มบวกทมี่ ำกกว่ำ 1 สอน
แล้ว a1n = n a ในกรณที ่ี a < 0 นน้ั n จะตอ้ งเป็นจ�ำนวนค่ี
2. ¼ÙŒÊÍ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹¾Ô¨ÒÃ³Òº·¹ÔÂÒÁáÅÐ
n a อ่ำนวำ่ กรณฑ์ท ี่ n ของ a µÇÑ ÍÂ‹Ò§·èÕ 12 - 13 ¨Ò¡ã¹Ë¹Ñ§ÊÍ× àÃÂÕ ¹
สญั ลกั ษณ์ แทนรำกที่สองหรอื กรณฑอ์ นั ดบั สอง áÅŒÇÃÇ‹ Á¡Ñ¹à¢ÕÂ¹àÅ¢Â¡¡íÒÅ§Ñ ãËÍŒ Â‹Ùã¹Ã»Ù
¢Í§ÃÒ¡·Õè n áÅÐÃÒ¡·èÕ n ÁÒà¢ÂÕ ¹ÍÂãÙ‹ ¹
ตัวอยำงที่ 12 Ã»Ù àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§

จงเขยี นเลขยกกำ� ลังต่อไปนใ้ี ห้อยูใ่ นรูปรำกท่ี n 2. 316 = 6 3 3. ¼ÙŒÊÍ¹ÊØ‹ÁµÑÇá·¹ 2 - 3 ¤¹ ÍÍ¡ÁÒ
1. a31 = 3 a ÍÀÔ»ÃÒÂà¡èÕÂÇ¡Ñº¡ÒÃà¢ÕÂ¹àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§
3. 821 = 8 4. 1614 = 4 16 ·èÕÁÕàÅ¢ªÕ¡é Òí Å§Ñ à»¹š ¨íÒ¹Ç¹µÃÃ¡ÂÐ
ตอบ
4. ¼ÙŒÊÍ¹ÊÒ¸Ôµ¡ÒÃà¢ÕÂ¹àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§·èÕÁÕ
บทนิยำม àÅ¢ª¡éÕ Òí Å§Ñ à»¹š ¨Òí ¹Ç¹µÃÃ¡ÂÐãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹´Ù
¨Ò¡¹Ñé¹à¢ÕÂ¹â¨·Â»˜ÞËÒà¡èÕÂÇ¡Ñº¡ÒÃ
ให้ a เปน็ จำ� นวนจรงิ m, n เปน็ จ�ำนวนเต็มท ่ี n > 1 à¢ÕÂ¹àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§·èÕÁÕàÅ¢ªéÕ¡íÒÅÑ§à»š¹
และ mn เปน็ เศษส่วนอย่ำงต�่ำ จะได้วำ่ ¨Òí ¹Ç¹µÃÃ¡ÂÐº¹¡ÃÐ´Ò¹ áÅÇŒ ÊÁ‹Ø ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹
amn = (a1n)m หรือ amn = (n a)m = n am ÍÍ¡ÁÒà¢ÂÕ ¹µÒÁ·Õè¼ŒÊÙ Í¹ÊÒ¸ÔµãË´Œ Ù

ตัวอยำงท่ี 13 3. 4 1185 เกร็ดแนะ ผสู อน

จงเขียนจ�ำนวนตอ่ ไปนี้ใหอ้ ยใู่ นรูปเลขยกกำ� ลัง ตอบ ¼ÊŒÙ Í¹¤ÇÃÍ¸ºÔ ÒÂÅ¡Ñ É³Ð¢Í§¨Òí ¹Ç¹
1. 6 2. 3 62 µÃÃ¡ÂÐ áÅÐ¨íÒ¹Ç¹ÍµÃÃ¡ÂÐ ¡‹Í¹·Õè
121 ¨Ð¡Å‹ÒÇà¢ŒÒÊÙ‹ã¹ËÑÇ¢ŒÍàÃ×èÍ§ àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§
วธิ ที ำ� 1. 6 เขียนในรปู เลขยกก�ำลังได้เปน็ 612 ·èÕÁÕàÅ¢ªéÕ¡íÒÅÑ§à»š¹¨íÒ¹Ç¹µÃÃ¡ÂÐ à¾×èÍ
2. 3 62 เขยี นในรูปเลขยกกำ� ลังไดเ้ ปน็ 623 à»š¹à¡Ãç´¤ÇÒÁÃÙãŒ Ë¡Œ Ñº¼àŒÙ ÃÕÂ¹ áÅÐ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹
3. 4 1185 เขยี นในรปู เลขยกก�ำลงั ได้เป็น 18- 45 ¨Ðä´ŒÃÙŒ¨Ñ¡ÅÑ¡É³ÐáÅÐÃÙ»áºº¢Í§¨íÒ¹Ç¹
µÃÃ¡ÂÐ

ÇàÔ ¤ÃÒÐË¤ Òí µÍº ผูเรียน ควรรู

Ç¸Ô ·Õ Òí aa43 × bb32 aa42 × bb23 = (a4 - 3 b3 - 2)(a2 - 4 b3 - 2) «µ§èÖÍŒ à§¢ä¨ÕÂÁíÒ¹‹à¹·ÍÇÒ‹Â¹¡ãÙ‹ ¹µºÑ ÃÃÈÙ»ÃÙ¹¡àÂÈÂ ÉÐÊ‹ÇË¹ÁÒÂba¶Ö§àÁÍÍ×è ÑµÃaÒÊá‹ÇÅ¹Ð ¢bÍ§à¨»íÒš¹¹¨ÇíÒ¹¹àÇµ¹çÁàÊµÍçÁ§¨áíÒÅ¹ÐÇ¹b
× × àÈÉÊ‹Ç¹ÍÂ‹Ò§µèíÒ ËÁÒÂ¶Ö§ àÈÉÊ‹Ç¹·èÕÁÕµÑÇàÈÉáÅÐµÑÇÊ‹Ç¹à»š¹
= (a1 b1)(a-2 b1)
= a1 - 2b1 + 1 ¨«àÈíÒÖ§è É¶¹ÊÒŒÇÇ‹¹a¹àµÍáçÁÂÅºÒ‹ Ð§Çµb¡èíÒ·ÁÕè¹µÕ ŒÍÑÇÂË·ÒÃÕèÊÃØ´‹ÇÁàÁÁÒ×èÍ¡àà··ÕÂÒ‹ º¡¡ºÑ Ñº1àÈ¨ÉÐÊ·‹ÇíÒ¹ãËµÑÇŒàÈÍÉ×è¹Ê·‹ÇèÕÁ¹Õ¤‹Òabà·‹Òà»¡Ñ¹š¹
= a-1b2 =
ab2
µÍº¢ŒÍ 3.

121

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up
สอน
บทนิยำม
5. ¼ÊŒÙ Í¹ãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹¨ºÑ ¤È‹Ù ¡Ö ÉÒº·¹ÂÔ ÒÁáÅÐ
µÇÑ ÍÂ‹Ò§·èÕ 14 ¨Ò¡Ë¹Ñ§Ê×ÍàÃÂÕ ¹ amn ถำ้ m < 0 แล้ว a ตอ้ งไมเ่ ป็น 0 เชน่
ให้ a = 0, m = -1 และ n = 2
6. ¼ÙŒÊÍ¹Í¸ÔºÒÂà¾ÔèÁàµÔÁà¡ÕèÂÇ¡ÑºµÑÇÍÂ‹Ò§ จซะึ่งไ ด10้ aไmnมม่=คี 0ว-ำ21ม=หม(0ำ12ย)-ท1 ำ=งค(0ณ)-ิต1 ศ=ำส01ตร์
·Õè 14 ¨Ò¡Ë¹Ñ§ÊÍ× àÃÕÂ¹
ตัวอยำงท่ี 14
7. ¼ÙŒÊÍ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹áµ‹ÅÐ¤Ù‹Ã‹ÇÁ¡Ñ¹ÊÃŒÒ§
â¨·Â»˜ÞËÒà¡èÕÂÇ¡Ñº¡ÒÃËÒ¤‹ÒàÅ¢Â¡ จงหำคำ่ เลขยกก�ำลังต่อไปนี้ 3. (-32)- 54 4. (-2)64
¡íÒÅÑ§·ÕèÁÕàÅ¢ªÕé¡íÒÅÑ§à»š¹¨íÒ¹Ç¹µÃÃ¡ÂÐ 1. 2723 2. 3225
5 ¢ÍŒ ¾ÃÍŒ Á·§éÑ ËÒ¤íÒµÍºÅ§ã¹¡ÃÐ´ÒÉ ตอบ
A4 ¨Ò¡¹é¹Ñ ¹Òí Ê‹§¼ŒÙÊÍ¹µÃÇ¨ วิธที �ำ 1. 2723 = (2731)2 ตอบ
ตอบ
8. ¼ÙŒÊÍ¹Â¡µÑÇÍÂ‹Ò§â¨·Â»˜ÞËÒà¡èÕÂÇ¡Ñº = (3 27)2
¡ÒÃËÒ¤Ò‹ àÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ ·ÁÕè àÕ Å¢ª¡éÕ Òí Å§Ñ à»¹š ตอบ
¨íÒ¹Ç¹µÃÃ¡ÂÐ 3 ¢ÍŒ à¢ÂÕ ¹º¹¡ÃÐ´Ò¹ = (3)2

9. ¼ÙŒÊÍ¹ÊØ‹Á¼ÙŒàÃÕÂ¹ 3 ¤¹ ÍÍ¡ÁÒáÊ´§ =9
ÇÔ¸Õ·íÒâ¨·Â»˜ÞËÒà¡èÕÂÇ¡Ñº¡ÒÃËÒ¤‹Ò 2. 3252 = (3215)2
àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§·ÕèÁÕàÅ¢ªéÕ¡íÒÅÑ§à»š¹¨íÒ¹Ç¹
µÃÃ¡ÂÐ Ë¹ŒÒª¹éÑ àÃÂÕ ¹ = (5 32)2

10. ¼ÙŒÊÍ¹áÅÐ¼ÙŒàÃÕÂ¹¤¹Íè×¹æ Ã‹ÇÁ¡Ñ¹ = (2)2
¾Ô¨ÒÃ³ÒáÅÐµÃÇ¨ÊÍº¤ÇÒÁ¶Ù¡µŒÍ§
¢Í§ÇÔ¸¡Õ ÒÃ·Òí áÅÐ¤íÒµÍº =4
3. (-32)- 54 = [5 (-32)]-4
เกร็ดแนะ ผสู อน
= (-2)-4
¼ÙŒÊÍ¹ÍÒ¨ËÒâ¨·Â·ÕèáÊ´§ÇÔ¸Õ·íÒã¹ = (-12)4
·Òí ¹Í§à´ÂÕ Ç¡ºÑ µÇÑ ÍÂÒ‹ §·Õè 14 ÁÒãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹ 1
½¡ƒ ·Òí à¾Í×è à»¹š ¡ÒÃ½¡ƒ ãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹à¡´Ô ·¡Ñ ÉÐ = 16
áÅÐÊÒÁÒÃ¶¹Òí ä»ãªãŒ ¹¡ÒÃá¡âŒ ¨·Â» Þ˜ ËÒ
´ŒÇÂµ¹àÍ§ä´Œ 4. (-2)64 = (-2)32

= (3 -2)2

= (3 2)2

= 34

= 1.5874

122

Vข้อ-สNอบEแTนว 4. 16 5. 17
µÍº¢ÍŒ 4.
¢ÍŒ ã´·èÕÁ¤Õ Ò‹ ·ÕÊè Í´¤ÅŒÍ§¡Ñº 64 32
1. 13 2. 14 3. 15

ÇÔà¤ÃÒÐË¤íÒµÍº 64 32 = (64 31 )2
Ç¸Ô ·Õ íÒ = ( 3 64)2
= 42 = 16

122

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up

2) สมบตั ขิ องเลขยกกำ� ลังทม่ี เี ลขช้กี ำ� ลังเปน็ จ�ำนวนตรรกยะ ตอบ สอน
ถำ้ a, b เปน็ จ�ำนวนจริงบวก และ m, n เป็นจำ� นวนตรรกยะ จะไดว้ ่ำ
1. am × an = am+n 11. ¼ÙŒÊÍ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹ÈÖ¡ÉÒàÃè×Í§ ÊÁºÑµÔ¢Í§
àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§·èÕÁÕàÅ¢ªéÕ¡íÒÅÑ§à»š¹¨íÒ¹Ç¹
2. aamn = am-n, a ≠ 0 µÃÃ¡ÂÐ ¨Ò¡Ë¹Ñ§Ê×ÍàÃÕÂ¹ áÅÐÂ¡
3. an × bn = (a × b)n µÑÇÍÂ‹Ò§ÃÙ»áººÊÁºÑµÔ¢Í§àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§
·èÕÁÕàÅ¢ªÕé¡íÒÅÑ§à»š¹¨íÒ¹Ç¹µÃÃ¡ÂÐãËŒ
4. bann = ( ab )n, b ≠ 0 ¼ŒàÙ ÃÂÕ ¹È¡Ö ÉÒ
5. (am)n = amn
6. a-n = a1n 12. ¼ÙŒÊÍ¹Í¸ÔºÒÂà¾èÔÁàµÔÁà¡èÕÂÇ¡Ñº¡ÒÃ¹íÒ
ÊÁºÑµÔ¢Í§àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§·èÕÁÕàÅ¢ªéÕ¡íÒÅÑ§
ตัวอยำงท่ี 15 à»¹š ¨Òí ¹Ç¹µÃÃ¡ÂÐä»ËÒ¤Ò‹ àÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ
¨Ò¡µÑÇÍÂ‹Ò§·Õè 15 áÅÐµÑÇÍÂ‹Ò§·Õè 16
จงหำค่ำของ [(125)13]2 ¨Ò¡Ë¹§Ñ Ê×ÍàÃÕÂ¹
วธิ ีท�ำ [(125)13]2 = [(53)31]2
13. ¼ÙŒÊÍ¹Â¡µÑÇÍÂ‹Ò§·èÕÍÂÙ‹ã¹ÊÁºÑµÔ¢Í§
= 52 àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§·èÕÁÕàÅ¢ªÕé¡íÒÅÑ§à»š¹¨íÒ¹Ç¹
= 25 µÃÃ¡ÂÐà¾ÔèÁàµÔÁ¨Ò¡Ë¹Ñ§Ê×ÍàÃÕÂ¹ â´Â
à¢ÕÂ¹â¨·ÂµÑÇÍÂ‹Ò§º¹¡ÃÐ´Ò¹ áÅÐãËŒ
ตัวอยำงท่ี 16 ทักษะอำชีพ ¼ÙŒàÃÕÂ¹·Ø¡¤¹áÊ´§ÇÔ¸Õ·íÒÅ§º¹¡ÃÐ´ÒÉ
A4 àÁÍ×è àÊÃ¨ç áÅÇŒ ãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹ÊÅºÑ ¡ÃÐ´ÒÉ
จงหำค่ำของ (x25)x105(x32) อำชีพนักวิทยำศำสตร ¤íÒµÍº¡Ñº¼ÙŒàÃÕÂ¹¤¹Íè×¹æ à¾è×Íª‹ÇÂ¡Ñ¹
(x25)x105(x23) (x52 ×10)(x32) µÃÇ¨ÊÍº¤íÒµÍº
วธิ ีทำ� = (x4)(xx532) ผู้ที่มีความเชี่ยวชาญในด้านวิทยาศาสตร์ท�า
= หนา้ ทค่ี น้ ควา้ วจิ ยั โดยใชห้ ลกั วธิ ที างวทิ ยาศาสตร์ 14. ¼ÊÙŒ Í¹à©ÅÂ ¾ÃŒÍÁ·§éÑ Í¸ºÔ ÒÂà¾èÔÁàµÔÁ
x5 เชน่ นกั เคม ี นกั ฟส กิ ส ์ ซงึ่ จะตอ้ งใชค้ วามรแู้ ละ
= x4+ 23 -5 ทักษะเกีย่ วกับการคา� นวณเลขยกก�าลังในการหา เกร็ดแนะ ผูสอน
ปรมิ าณสารตา่ งๆ หรอื บนั ทกึ ผลจากการวดั หรอื
= x- 31 การค�านวณสูตรต่างๆ ในทางฟส ิกส์ ¼ÙŒÊÍ¹ÍÒ¨ËÒâ¨·Âà¡ÕèÂÇ¡ÑºàÅ¢Â¡
x1131 ¡íÒÅÑ§â´ÂãªŒÊÁºÑµÔ¢Í§àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§·èÕÁÕ
= 3x ตอบ 123 àÅ¢ª¡Õé Òí Å§Ñ à»¹š ¨Òí ¹Ç¹µÃÃ¡ÂÐÁÒÊÒ¸µÔ ãËŒ
= ¼ÙŒàÃÕÂ¹´àÙ ¾èÁÔ àµÔÁ

ทศกตั ษวระ รษที่ 21

1. ¼ŒÙÊÍ¹ãË¼Œ ÙàŒ ÃÕÂ¹áº‹§¡ÅØÁ‹ ¡ÅÁ‹Ø ÅÐ 4 ¤¹ áÅŒÇãËáŒ µÅ‹ Ð¡Å‹ØÁ
ÃÇ‹ Á¡¹Ñ ¤Œ¹¤ÇŒÒâ¨·Âà ¡ÕèÂÇ¡ºÑ àÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ â´ÂãªŒÊÁºµÑ ¢Ô Í§
àÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ ·ÁÕè àÕ Å¢ª¡Õé Òí Å§Ñ à»¹š ¨Òí ¹Ç¹µÃÃ¡ÂÐ ¡ÅÁ‹Ø ÅÐ 5 ¢ÍŒ

2. ãËŒáµÅ‹ Ð¡ÅÁ‹Ø áÊ´§ÇÔ¸·Õ Òí ¨Ò¡â¨·Â· ÕËè Òä´Œ
3. ¹Òí â¨·Âá ÅÐÇ¸Ô ·Õ Òí ÁÒ¨´Ñ Ã»Ù áºº¡ÒÃ¹Òí àÊ¹Íâ´ÂãªâŒ »Ãá¡ÃÁ

PowerPoint à¾Íè× ¹Òí àÊ¹ÍË¹ŒÒªéÑ¹àÃÂÕ ¹

123

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up
สอน
ตัวอยำงท่ี 17
15. ¼ÊŒÙ Í¹ãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹¨ºÑ ¤¡‹Ù ¹Ñ È¡Ö ÉÒµÇÑ ÍÂÒ‹ §·Õè
17 ¨Ò¡Ë¹Ñ§ÊÍ× àÃÕÂ¹ จงหำค่ำเลขยกกำ� ลังตอ่ ไปน้ี
1. 645 × 643 2. 6465 3. (1013 × 10-61)6
16. ¼ÙŒÊÍ¹Í¸ÔºÒÂà¾ÔèÁàµÔÁà¡èÕÂÇ¡ÑºµÑÇÍÂ‹Ò§ 4. 823 × 414 5. (64x4)81
·èÕ 17 ¨Ò¡Ë¹Ñ§Ê×ÍàÃÂÕ ¹ 654 × 634 = 645+34 6. (243x5y10)51

17. ¼ÙŒÊÍ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹áµ‹ÅÐ¤Ù‹Ã‹ÇÁ¡Ñ¹ÊÃŒÒ§ วิธที ำ� 1. = 648
â¨·Â»˜ÞËÒà¡ÕèÂÇ¡Ñº¡ÒÃËÒ¤‹ÒàÅ¢Â¡
¡íÒÅÑ§·ÕèÁÕàÅ¢ªÕé¡íÒÅÑ§à»š¹¨íÒ¹Ç¹µÃÃ¡ÂÐ = 62 ตอบ
µÒÁÊÁºÑµÔ¢Í§àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§ 5 - 6 ¢ŒÍ 2. 6456 = [(64)61]5 ตอบ
¾ÃŒÍÁ·Ñé§ËÒ¤íÒµÍºÅ§ã¹¡ÃÐ´ÒÉ A4 ตอบ
¨Ò¡¹¹éÑ ¹Òí Ê‹§¼ŒÙÊÍ¹µÃÇ¨ = [(26)16]5
ตอบ
18. ¼ÙŒÊÍ¹Â¡µÑÇÍÂ‹Ò§â¨·Â»˜ÞËÒà¡ÕèÂÇ¡Ñº = 25
¡ÒÃËÒ¤Ò‹ àÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ ·ÁÕè àÕ Å¢ª¡Õé Òí Å§Ñ à»¹š 3. (1013 × 10-16)6 = (1013-61)6 ตอบ
¨íÒ¹Ç¹µÃÃ¡ÂÐ µÒÁÊÁºÑµÔ¢Í§àÅ¢Â¡ ตอบ
¡íÒÅÑ§ 3 ¢ÍŒ à¢ÂÕ ¹º¹¡ÃÐ´Ò¹ = (1061)6

19. ¼ÙŒÊÍ¹ÊØ‹Á¼ÙŒàÃÕÂ¹ 3 ¤¹ ÍÍ¡ÁÒáÊ´§ = 10
ÇÔ¸Õ·íÒâ¨·Â»˜ÞËÒà¡èÕÂÇ¡Ñº ¡ÒÃËÒ¤‹Ò 4. 832 × 414 = (23)23 × (22)14
àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§·èÕÁÕàÅ¢ªÕé¡íÒÅÑ§à»š¹¨íÒ¹Ç¹
µÃÃ¡ÂÐµÒÁÊÁºÑµÔ¢Í§àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§ = 229 × 242
Ë¹ÒŒ ª¹Ñé àÃÂÕ ¹ = 229 × 221
= 25
20. ¼ÙŒÊÍ¹áÅÐ¼ÙŒàÃÕÂ¹¤¹Íè×¹æ Ã‹ÇÁ¡Ñ¹ 5. (64x4)18 = (26)18 × (x4)18
¾Ô¨ÒÃ³ÒáÅÐµÃÇ¨ÊÍº¤ÇÒÁ¶Ù¡µŒÍ§ = 234 x12
¢Í§Ç¸Ô Õ¡ÒÃ·íÒáÅÐ¤íÒµÍº = 4 23 x

เกร็ดแนะ ผูสอน = 48 x
6. (243x5y10)51 = (35x5y10)51
¼ÙŒÊÍ¹à»´âÍ¡ÒÊãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹ä´Œ«Ñ¡¶ÒÁ
à¡èÕÂÇ¡ÑºàÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§â´ÂãªŒÊÁºÑµÔ¢Í§àÅ¢ = 31 x1 y2
Â¡¡Òí Å§Ñ ·ÁÕè àÕ Å¢ª¡Õé Òí Å§Ñ à»¹š ¨Òí ¹Ç¹µÃÃ¡ÂÐ = 3xy2
à¾Íè× ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹Á¤Õ ÇÒÁÃ¤ŒÙ ÇÒÁà¢ÒŒ ã¨ÁÒ¡¢é¹Ö

124

ขV้อ-สNอบEแTนว

256 52 - 81 23 Á¤Õ ‹ÒµÃ§¡Ñº¢ŒÍã´
1. 3,367
2. 3,410
3. 3,580
4. 3,647
5. 3,789

124

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up

ตัวอยำงที่ 18 สอน

จงทำ� เลขยกก�ำลงั ต่อไปนีใ้ ห้เปน็ รปู อย่ำงง่ำย และมเี ลขชก้ี ำ� ลังเปน็ บวก 21. ¼ÊŒÙ Í¹ãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹¨ºÑ ¤¡‹Ù ¹Ñ È¡Ö ÉÒµÇÑ ÍÂÒ‹ §·èÕ
x31 3. [ aa2b-131 ]3 18 ¨Ò¡Ë¹Ñ§Ê×ÍàÃÕÂ¹
1. (x12 y43)4 ÷ [ y2 ]21 2. [ ]ab--32bc4c-22 12 4. [ 12275xx-36yy162 ]31
วธิ ที ำ� 1. 22. ¼ÙŒÊÍ¹Í¸ÔºÒÂà¾ÔèÁàµÔÁà¡èÕÂÇ¡ÑºµÑÇÍÂ‹Ò§
(x21 y43)4 ÷ [ x31 ]21 = [ ](x21 y×4 43 )×4 ÷ x13×12 ตอบ ·èÕ 18 ¨Ò¡Ë¹§Ñ ÊÍ× àÃÂÕ ¹
y2 y2 × 21 ตอบ
x16 ตอบ 23. ¼ÙŒÊÍ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹áµ‹ÅÐ¤Ù‹Ã‹ÇÁ¡Ñ¹ÊÃŒÒ§
= [ ](x2y3) ÷ y â¨·Â»˜ÞËÒà¡èÕÂÇ¡Ñº¡ÒÃËÒ¤‹ÒàÅ¢Â¡
¡íÒÅÑ§·ÕèÁÕàÅ¢ªÕé¡íÒÅÑ§à»š¹¨íÒ¹Ç¹µÃÃ¡ÂÐ
= [ ](x2y3) × xy61 µÒÁÊÁºÑµÔ¢Í§àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§ 4 - 5 ¢ŒÍ
= ¾ÃŒÍÁ·éÑ§ËÒ¤íÒµÍºÅ§ã¹¡ÃÐ´ÒÉ A4
x2 - 61y3+1 ¨Ò¡¹é¹Ñ ¹íÒÊ§‹ ¼ÊŒÙ Í¹µÃÇ¨
= x161y4
[ ]ab--32bc4c-22 12 = (a-3b4-(-2)c2-(-2))12 24. ¼ÙŒÊÍ¹Â¡µÑÇÍÂ‹Ò§â¨·Â»˜ÞËÒà¡ÕèÂÇ¡Ñº
2. = (a-3b6c4)12 ¡ÒÃËÒ¤Ò‹ àÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ ·ÁÕè àÕ Å¢ª¡Õé Òí Å§Ñ à»¹š
= a(-3)21 b(6)21 c(4)21 ¨íÒ¹Ç¹µÃÃ¡ÂÐ µÒÁÊÁºÑµÔ¢Í§àÅ¢Â¡
¡Òí Å§Ñ 3 ¢ŒÍ à¢ÕÂ¹º¹¡ÃÐ´Ò¹
= a-23 b3 c2
b3c2 25. ¼ÙŒÊÍ¹ÊØ‹Á¼ÙŒàÃÕÂ¹ 3 ¤¹ ÍÍ¡ÁÒáÊ´§
= a3 ÇÔ¸Õ·íÒâ¨·Â»˜ÞËÒà¡èÕÂÇ¡Ñº ¡ÒÃËÒ¤‹Ò
àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§·ÕèÁÕàÅ¢ªéÕ¡íÒÅÑ§à»š¹¨íÒ¹Ç¹
3. [ aa2b-113 ]3 = (a2-(-1)b13)3 µÃÃ¡ÂÐµÒÁÊÁºÑµÔ¢Í§àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§
= (a3b31)3 Ë¹ŒÒª¹éÑ àÃÂÕ ¹

27. ¼ÙŒÊÍ¹áÅÐ¼ÙŒàÃÕÂ¹¤¹Í×è¹æ Ã‹ÇÁ¡Ñ¹
= a(3)(3) b31(3) ¾Ô¨ÒÃ³ÒáÅÐµÃÇ¨ÊÍº¤ÇÒÁ¶Ù¡µŒÍ§
¢Í§Ç¸Ô ¡Õ ÒÃ·íÒáÅÐ¤íÒµÍº
= a9 b
4. [12275xx-36yy162]13 = [ 5333xx3-6yy162 ]31
เกร็ดแนะ ผูสอน
= ((5333xx3-6yy162))1313
51x1y4
= 31x-2y2

= 5 x1+2 y4-2 ¼ÊŒÙ Í¹Â¡µÇÑ ÍÂÒ‹ §â¨·Âà ¾ÁèÔ àµÁÔ à¢ÂÕ ¹
= 35 x3 y2 º¹¡ÃÐ´Ò¹ áÅÇŒ ãªÇŒ Ô¸Õ¡ÒÃ¶ÒÁ - µÍº¡Ñº
3 ตอบ ¼ŒàÙ ÃÂÕ ¹ à¾èÍ× µÃÇ¨ÊÍº¤ÇÒÁÃŒ¤Ù ÇÒÁà¢ŒÒã¨

¢Í§¼ÙŒàÃÂÕ ¹

125

ÇàÔ ¤ÃÒÐË¤Òí µÍº ผูเรียน ควรรู
Ç¸Ô ·Õ Òí 256 32 - 81 32 = (256 12 )3 - (81 21 )3
àÅ¢ª¡éÕ Òí ÅÑ§à»š¹ºÇ¡ ËÁÒÂ¶Ö§ ¨Òí ¹Ç¹·èÕÁÕàÅ¢ªéÕ¡íÒÅ§Ñ à»¹š ¨Òí ¹Ç¹àµçÁ
= ( 256)3 - ( 81)3 ºÇ¡
= 16 3 - 9 3
= 4,096 - 729
= 3,367

µÍº¢ÍŒ 1.

125

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp
สรปุ
แบบฝกทักษะท่ี 4.3
28. ¼ÙŒÊÍ¹ÊÒ¸Ôµ¡ÒÃáÊ´§ÇÔ¸Õ¡ÒÃËÒ¤‹Ò
à Å ¢ Â ¡ ¡í Ò ÅÑ § ·Õè ÁÕ à Å ¢ ªÕé ¡í Ò ÅÑ § à » š ¹ ค�ำชี้แจง ใหผ้ ู้เรียนแสดงวธิ ที �ำจำกโจทย์ทีก่ �ำหนดให้
¨íÒ¹Ç¹µÃÃ¡ÂÐµÒÁ·èÕâ¨·Â¡íÒË¹´¨Ò¡ 1. จงทำ� จ�ำนวนต่อไปนี้ให้อยใู่ นรูปกรณฑ์
áºº½ƒ¡·Ñ¡ÉÐ·Õè 4.3 ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹´Ùà»š¹ 1) (27a3)16
µÑÇÍÂ‹Ò§
วธิ ที ำ� (27a ) = (3 a ).................................................................................3....16...................3....3....61....................................................................................
29. ¼ÙŒÊÍ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹áµ‹ÅÐ¤¹·íÒáºº½ƒ¡ = 3 a......................................................................................................3..(.16..)....3..(.16..)................................................................................
·Ñ¡ÉÐ·èÕ 4.3 = 3 a......................................................................................................12.....21.........................................................................................
= 3a....................................................................................................................................................................................................
เกร็ดแนะ ผูส อน
....................................................................................................................................................................................................
¡‹Í¹·èÕ¼ÙŒÊÍ¹¨ÐãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹Å§Á×Í·íÒ ....................................................................................................................................................................................................
áºº½¡ƒ ·¡Ñ ÉÐ·èÕ 4.3 ´ÇŒ Âµ¹àÍ§¼ÊŒÙ Í¹¤ÇÃ
ÊÒ¸µÔ ¡ÒÃá¡âŒ ¨·Â»˜ÞËÒ ãËŒ¼ŒàÙ ÃÂÕ ¹´Ùà»¹š x[ 19 56]3
µÑÇÍÂÒ‹ § 1 ¢ÍŒ â´ÂãË¼Œ ÙàŒ ÃÂÕ ¹ã¹ªÑé¹àÃÕÂ¹ 2) x yy[ ]32 115 19 56 3 91(3) 65(3)
à»š¹¼ÙŒàÅÍ× ¡¢ŒÍ·èÁÕ Õ¤ÇÒÁÊ¹ã¨
วธิ ที ำ� [[xx yy ]] = x x yy.............................................................................23.....11.5.......................32.....1.1.5...................................................................................
= xx yy = x y....................................................................................................................................................................................................................23..13........1..521..5..........................................................31......-....23..........52......-....1..1..5..........................................................................
= x y = yx............................................................................................................................................................................................................-......31........37....30..............................................................73..13..03........................................................................................................

....................................................................................................3.0.......7..3......................................................................................

= y......................................................................................................3..............................................................................................

3) [ x x25 13 2 34
วธิ xที ำ� ] (x ) [ xx ] (x ) = [ xx ](x )....................................................................52......13.......2....34.......................52..(13.31..)...........2..(..34..)..................................................................
= [ xx ](x )......................................................................................................................................................................................................................1231..5......................23..........................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................

= x.......................................................................................................1.2.5..+...23...-..13.................................................................................
= x......................................................................................................11..03............................................................................................
= x...................................................................................................1..0.......1.3.......................................................................................

126

ผูเรียน ควรรู ËÃ×Í ÃÒ¡·èÕ n ¢Í§ x Vขอ้ -สNอบEแTนว

¡Ã³± à»¹š à¤Ãè×Í§ËÁÒÂ (169a8) 32 ÁÕ¤Ò‹ µÃ§¡ºÑ ¢ÍŒ ã´
1. 1,516a11
2. 1,516a12
3. 2,197a12
4. 2,197a13
5. 3,214a13

126

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp

4) [ baa ] [ bc ][ [cab] ][ ] [ ] [ ][ ][ ]...ว..ธิ..2.ที ..3.ำ�.5. .....41 .........-.2.1......31.b..a.2..a3..-5...-.32.3.41.....b.c..-2.1.....31.....c.a..b.-..-23.3..........=...........b...2.(.a.14.3.).(a..41.5.).(.14..).......b.c..-.2.1.(.(31.13.).).......c.a..b.-.-.32.3.................................................... สรปุ
= [baa ][bc ][cab ] = a b c......................................................................................................................................................................................................21......34....45........................-..23..13........................-..-32....3..........................................34......-......54......-....32..........-....21......+......31......+....3..........23......-....1......
30. ¼ÙŒÊÍ¹ÊØ‹ÁµÑÇá·¹¼ÙŒàÃÕÂ¹ÍÍ¡ÁÒáÊ´§
= a b c = a b c................................................................................................................................................................................................-....12..........1..6..7........-......13....................................................................................6............3....1..7.................................................................. ÇÔ ¸Õ ·í Ò ¡ Ò Ã Ë Ò ¤ ‹ Ò à Å ¢ Â ¡ ¡í Ò ÅÑ § ·èÕ ÁÕ
àÅ¢ªÕé¡íÒÅÑ§à»š¹¨íÒ¹Ç¹µÃÃ¡ÂÐã¹áºº
2. 1จ)งห4ำค52 ำ่ ของจำ� นวนตอ่ ไปน้ี ½ƒ¡·¡Ñ ÉÐº¹¡ÃÐ´Ò¹

วธิ ที ำ� 4 = (2 )..................................................................52...................2...25............................................................................................................ 31. ¼ÙŒÊÍ¹áÅÐ¼ÙŒàÃÕÂ¹Ã‹ÇÁ¡Ñ¹µÃÇ¨ÊÍº
= 2...................................................................................2..(.52..)............................................................................................................ ¤ÇÒÁ¶¡Ù µÍŒ §¢Í§¡ÒÃáÊ´§Ç¸Ô ·Õ Òí ¡ÒÃËÒ
= 2...................................................................................5................................................................................................................. ¤ ‹ Ò à Å ¢ Â ¡ ¡í Ò ÅÑ § ·èÕ ÁÕ à Å ¢ ªÕé ¡í Ò ÅÑ § à » š ¹
¨íÒ¹Ç¹µÃÃ¡ÂÐ
2) 27 = 32.......23.............................................................................................................................................................................................
เกร็ดแนะ ผูสอน
วธิ ที ำ� 27 = (2 )..................................................................32...................3...23............................................................................................................
= 3...................................................................................3..(.23..)............................................................................................................ ã¹¢³Ð·Õè¼ÙŒàÃÕÂ¹·íÒáºº½ƒ¡·Ñ¡ÉÐ
= 3...................................................................................2................................................................................................................. ·èÕ 4.3 ¼ÙŒÊÍ¹¤ÇÃà´Ô¹´Ù¼ÙŒàÃÕÂ¹ÃÍºæ
ËŒÍ§àÃÕÂ¹ ËÒ¡¾ºÇ‹ÒÁÕ¼ÙŒàÃÕÂ¹¤¹ã´ÁÕ
3) 32 = 9.......35............................................................................................................................................................................................. ¢ŒÍÊ§ÊÑÂ ãËŒ¼ÙŒÊÍ¹Í¸ÔºÒÂà¾ÔèÁàµÔÁ¨¹
¼àÙŒ ÃÕÂ¹à¡´Ô ¤ÇÒÁà¢ÒŒ ã¨
วธิ ที ำ� 32 = (2 )..................................................................52...................5...53............................................................................................................
= 2...................................................................................5..(.35..)............................................................................................................
= 2...................................................................................3.................................................................................................................

4) 16 = 8.......34.............................................................................................................................................................................................

วธิ ที ำ� 16 = (2 )..................................................................34...................4...34............................................................................................................
= 2...................................................................................4..(.43..)............................................................................................................
= 2...................................................................................3.................................................................................................................
= 8....................................................................................................................................................................................................

127

ÇàÔ ¤ÃÒÐË¤ Òí µÍº
ÇÔ¸Õ·Òí (169a8) 32 = (169) 32 - (a8) 23

= (169 21 )3 - (a12)
= 13 3a12
= 2,197a12

µÍº¢ŒÍ 3.

127

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp
สรปุ
5) 6456
32. ¼ÙŒÊÍ¹áÅÐ¼ÙŒàÃÕÂ¹Ã‹ÇÁ¡Ñ¹ÊÃØ»¡ÒÃËÒ¤‹Ò
àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§·èÕÁÕàÅ¢ªéÕ¡íÒÅÑ§à»š¹¨íÒ¹Ç¹ วธิ ที ำ� 64 = (2 ).................................................................65...................6....56............................................................................................................
µÃÃ¡ÂÐ = 2...................................................................................6.(..65..)............................................................................................................
= 2 = 32...................................................................................5.................................................................................................................
เกร็ดแนะ ผสู อน
6) 712 × 731
ã¹¡ÒÃ¡Å‹ÒÇÊÃØ»à¡èÕÂÇ¡Ñº¡ÒÃËÒ¤‹Ò
àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§·ÕèÁÕàÅ¢ªéÕ¡íÒÅÑ§à»š¹¨íÒ¹Ç¹ วธิ ที ำ� 7 7 = 7......................................................12....×.......13..................12...+..31............................................................................................................
µÃÃ¡ÂÐ ¼ÙŒÊÍ¹ÍÒ¨ÊÃØ»à»š¹á¼¹¼Ñ§ = 3...................................................................................65.................................................................................................................
¤ÇÒÁ¤´Ô ãË¡Œ ºÑ ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹à¾Íè× §Ò‹ ÂµÍ‹ ¡ÒÃ¨´¨Òí = 7 = 16,807 = 5.06................................................................................6......5...........................6...................................................................................
áÅÐ¹íÒä»ãªŒ ¾ÃŒÍÁ·Ñ§é ¼ÊÙŒ Í¹ÍÒ¨Â¡â¨·Â
à¾ÔèÁàµÔÁà¾×èÍàÊÃÔÁÊÃŒÒ§¤ÇÒÁà¢ŒÒã¨ãËŒ¡Ñº 7) 415 ÷ 231
¼ÙŒàÃÕÂ¹ÁÒ¡ÂèÔ§¢Öé¹ ¡‹Í¹·èÕ¨Ð¡Å‹ÒÇ¶Ö§ã¹
ËÇÑ ¢ŒÍ¶Ñ´ä» วธิ ที ำ� 4 2 = 2 2.......................................................51....÷......31..................2.(..51..)..÷.......13...................................................................................................
= 2 2 = 2 = 2...................................................................................52...÷.......13......................52....-..31...........................1.1.5..............................................
= 2 = 1.05................................................................................1..5..................................................................................................................

8) 5 × 231 × 7 × 812

วธิ ที ำ� 5 2 7 8 = 5 2 7 2.....................................×........13....×.........×.......21....................×........31....×........×........3..(.21..)..............................................................................
= 35 2 2.......................................................................................×........31....×.......23..........................................................................................
= 35 2 = 35 2.......................................................................................×........13...+...32...................×........16.1...................................................................
= 35 2,048 = 124.73.......................................................................................×.....6........................................................................................................

9) 2 × 12514 × 3 × 2531

วธิ ที ำ� 2 125 3 25 = 2 5 3 5.............................×.............41....×.........×..........13....................×.......3..(.14..)....×.........×.......2..(.31..)..........................................................................
= 2 5 3 5.....................................................................................×........43....×........×........32...................................................................................
= 6 5 = 6 5.....................................................................................×........43...+..23...................×........11..27.....................................................................
= 6 5 = 58.66.....................................................................................×.....1.2.......1.7.................................................................................................

10) [3(3 × 312)12]17

..ว...ธิ ..ที....ำ� .. ..... ......................[.3..(..3... ..×.....3...12..)..12..].71.. .....=... .....[.3...(..3...12....×....3...12..(.21..).)..]..71......................................................................................
= [3(3 3 )] = [3(3 )] = (3 3 ).........................................................................................21....×.......14.....17..........................21...+...41.....17............................×.......34....71...............
= (3 ) = (3 ) = 3....................................................................................1...+..43....71..................................74....17...................................47..(.17..).........................
= 3 = 3...................................................................................41........................................4.........................................................................

128

ขVอ้ -สNอบEแTนว

3 × 25 42 × 10 ÁÕ¤Ò‹ µÃ§¡Ñº¢ŒÍã´
1. 9,214
2. 9,418
3. 10,486
4. 15,987
5. 18,750

128

นนาําํ WWaarrmm--uupp สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up

1.5 สมกำรเลขยกกำ� ลัง นาํ

ในกำรแกส้ มกำรท่ีอยใู่ นรปู เลขยกก�ำลงั โดยทฐ่ี ำนเป็นจ�ำนวนจรงิ ใดๆ และมีเลขชีก้ �ำลงั เปน็ 1. ¼ÙŒÊÍ¹à¢ÕÂ¹ÊÁ¡ÒÃàÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§ º¹
ตัวแปร ซงึ่ เรยี กว่ำ สมกำรเอกซโ์ พเนนเชยี ล (Exponential Equation) ¡ÃÐ´Ò¹ áÅŒÇãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹Ã‹ÇÁ¡Ñ¹¾Ô¨ÒÃ³Ò
เช่น 72x = 2,401 ซ่งึ ในกำรแก้สมกำรใชค้ ณุ สมบตั ทิ ่วี ่ำ ÇÒ‹ ¨ÐËÒ¤‹Ò¢Í§µÇÑ á»Ã¨Ò¡¡ÒÃá¡ŒÊÁ¡ÒÃ
ä´ŒÍÂÒ‹ §äÃ
กำ� หนดให ้ a เป็นจ�ำนวนจริงใดๆ ท่ ี a > 0 และ a ≠ 1, x และ y เปน็ จ�ำนวนจริง
ถำ้ ax = ay แล้ว x = y สอน

ตัวอยำงท่ี 19 ตอบ 2. ¼ÙŒÊÍ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹ÈÖ¡ÉÒ¡ÒÃá¡ŒÊÁ¡ÒÃ
àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§ áÅÐµÑÇÍÂ‹Ò§·Õè 19 áÅÐ
จงแก้สมกำร 10x = 100 µÑÇÍÂ‹Ò§·Õè 20 ¨Ò¡Ë¹§Ñ Ê×ÍàÃÂÕ ¹ ¨Ò¡¹¹Ñé
วิธที ำ� 10x = 100 ¼ÊŒÙ Í¹ÊÁ‹Ø ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹ 2 - 3 ¤¹ ÍÍ¡ÁÒÍ¸ºÔ ÒÂ
ปรบั เลขยกก�ำลงั ใหม้ ฐี ำนเท่ำกัน à¡ÂÕè Ç¡Ñº¡ÒÃá¡ŒÊÁ¡ÒÃàÅ¢Â¡¡íÒÅ§Ñ Ë¹ÒŒ
จะได ้ 10x = 102 ª¹Ñé àÃÕÂ¹

x =2 3. ¼ÙŒÊÍ¹Í¸ÔºÒÂà¾èÔÁàµÔÁà¡ÕèÂÇ¡ÑºÊÁ¡ÒÃ
ดังนน้ั x มีค่ำเทำ่ กบั 2 àÍ¡«â¾à¹¹àªÕÂÅ ·ÕèÁÕàÅ¢ªÕé¡íÒÅÑ§à»š¹
µÑÇá»Ãã¹¡ÃÍº Math Notes

ตัวอยำงที่ 20 ตอบ เกร็ดแนะ ผสู อน

จงแกส้ มกำร 22x = 8 ¼ÙŒÊÍ¹ÍÒ¨·º·Ç¹ÃÙ»áºº·ÑèÇä»
วิธที ำ� 22x = 8 ¢Í§ÊÁ¡ÒÃ ¡‹Í¹·èÕ¨Ð¡Å‹ÒÇ¶Ö§ËÑÇ¢ŒÍàÃ×èÍ§
ปรับเลขยกกำ� ลงั ให้มฐี ำนเท่ำกนั ÊÁ¡ÒÃàÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ ËÃ×Í ÊÁ¡ÒÃàÍ¡«-
จะได ้ 22x = 23 â¾à¹¹àªÂÕ Å

2x = 3
ดังนนั้ xx มคี ำ่ เ=ทำ่ ก23ับ 32

Math Notes

สมกำรเอกซ์โพเนนเชียล เป็นสมกำรที่มีเลขชี้ก�ำลังเป็นตัวแปร โดยกำรแก้สมกำรที่อยู่ในรูป
เลขยกกำ� ลังท�ำได้โดย ถำ้ ax = ay แล้ว x = y

129

ÇàÔ ¤ÃÒÐË¤íÒµÍº
Ç¸Ô Õ·Òí 3 × 25 24 × 10 = 30 × (25 21 )4

= 30 × (5)4
= 30 × 625
= 18,750

µÍº¢ÍŒ 5.

129

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up
สอน
ตัวอยำงท่ี 21 ตอบ
4. ¼ÙŒÊÍ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹¨Ñº¤Ù‹¡Ñ¹ÈÖ¡ÉÒµÑÇÍÂ‹Ò§·Õè ตอบ
21 áÅÐµÑÇÍÂÒ‹ §·èÕ 22 ¨Ò¡Ë¹§Ñ ÊÍ× àÃÕÂ¹ จงแกส้ มกำร 4x+1 = 2x+5
วธิ ีท�ำ 4x+1 = 2x+5
5. ¼ÙŒÊÍ¹Í¸ÔºÒÂà¾ÔèÁàµÔÁà¡ÕèÂÇ¡ÑºµÑÇÍÂ‹Ò§·Õè ปรบั เลขยกก�ำลังใหม้ ีฐำนเท่ำกัน
21 áÅÐµÇÑ ÍÂÒ‹ §·èÕ 22 ¨Ò¡Ë¹Ñ§ÊÍ× àÃÂÕ ¹ จะได ้ 22(x+1) = 2x+5

6. ¼ÊŒÙ Í¹ãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹áµÅ‹ Ð¤Ã‹Ù Ç‹ Á¡¹Ñ ÊÃÒŒ §â¨·Â 2(x + 1) = x + 5
»Þ˜ ËÒà¡ÂèÕ Ç¡ºÑ ¡ÒÃá¡ÊŒ Á¡ÒÃàÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ 2x + 2 = x + 5
3 ¢ÍŒ ¾ÃŒÍÁ·Ñ§é ËÒ¤Òí µÍºÅ§ã¹¡ÃÐ´ÒÉ 2x - x = 5 - 2
A4 ¨Ò¡¹é¹Ñ ¹Òí Ê§‹ ¼ÙŒÊÍ¹µÃÇ¨
x =3
7. ¼ÙŒÊÍ¹Â¡µÑÇÍÂ‹Ò§â¨·Â»˜ÞËÒà¡èÕÂÇ¡Ñº ดังน้ัน x มีค่ำเท่ำกับ 3
¡ÒÃá¡ÊŒ Á¡ÒÃàÅ¢Â¡¡Òí ÅÑ§ 3 ¢ÍŒ à¢ÕÂ¹
º¹¡ÃÐ´Ò¹ ตัวอยำงท่ี 22

8. ¼ÙŒÊÍ¹ÊØ‹Á¼ŒàÙ ÃÂÕ ¹ 2 ¤¹ ÍÍ¡ÁÒáÊ´§ÇÔ¸Õ จงแก้สมกำร 10x - (5x-1 × 2x-2) = 950
·íÒâ¨·Â»˜ÞËÒà¡ÕèÂÇ¡Ñº¡ÒÃá¡ŒÊÁ¡ÒÃ วิธที ำ� 10x - (5x-1 × 2x-2) = 950
àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§Ë¹ŒÒªé¹Ñ àÃÕÂ¹ â´Â¼ŒÙÊÍ¹áÅÐ 5x 222x
¼ÙŒàÃÕÂ¹¤¹Íè×¹æ Ã‹ÇÁ¡Ñ¹¾Ô¨ÒÃ³ÒáÅÐ 10x - ( 5 × ) = 950
µÃÇ¨ÊÍº¤ÇÒÁ¶Ù¡µŒÍ§¢Í§ÇÔ¸Õ¡ÒÃ·íÒ ×
áÅÐ¤íÒµÍº 10x
10x - 20 = 950
เกร็ดแนะ ผูสอน
10x(1 - 1 ) = 950
¼ÙŒÊÍ¹¤ÇÃÂ¡µÑÇÍÂ‹Ò§â¨·Âà¡ÕèÂÇ¡Ñº 20
ÊÁ¡ÒÃàÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§ ËÃ×Í ÊÁ¡ÒÃàÍ¡«- 19
â¾à¹¹àªÂÕ Åà¾ÁÔè àµÔÁ º¹¡ÃÐ´Ò¹ áÅŒÇãËŒ 10x( 20 ) = 950
¼ÙŒàÃÕÂ¹Ã‹ÇÁ¡Ñ¹áÊ´§ÇÔ¸Õ·íÒ à¾è×ÍãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹
à¡Ô´·Ñ¡ÉÐ¡ÒÃàÃÕÂ¹ÃÙŒàÃè×Í§ ÊÁ¡ÒÃàÅ¢Â¡ 10x = 950 × 20
¡íÒÅÑ§áÅÐÊÒÁÒÃ¶¹íÒä»»ÃÐÂØ¡µãªŒã¹¡ÒÃ 19
·Òí áºº½ƒ¡·¡Ñ ÉÐä´Œ
10x = 1,000

ปรับเลขยกก�ำลังใหม้ ฐี ำนเท่ำกัน
10x = 103
จะได ้

x =3

ดงั นัน้ x มคี ำ่ เทำ่ กับ 3

130

Vขอ้ -สNอบEแTนว

2x - 500 = 1,024 ÁÕ¤Ò‹ µÃ§¡ºÑ ¢ŒÍã´
1. 504
2. 506
3. 508
4. 510
5. 512

130

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp

แบบฝกทักษะที่ 4.4 สรปุ

ค�ำช้ีแจง ให้ผเู้ รียนแก้สมกำรหำค่ำ x ทท่ี ำ� ใหส้ มกำรตอ่ ไปนเ้ี ป็นจรงิ 9. ¼ÊŒÙ Í¹ãËŒ¼ÙàŒ ÃÕÂ¹·íÒáºº½ƒ¡·¡Ñ ÉÐ·èÕ 4.4
â´Â¡Òí Ë¹´ÃÐÂÐàÇÅÒã¹¡ÒÃ·Òí »ÃÐÁÒ³
1. 2x = 32 10 ¹Ò·Õ

วธิ ที ำ� 2 = 32................................................................x......................................................................................................................................... 10. ¼ÙŒÊÍ¹ÊØ‹ÁµÑÇá·¹¼ÙŒàÃÕÂ¹à©ÅÂ¤íÒµÍº
.. ...............ป....ร..บั...เ..ล...ข...ย...ก...ก..ำ.� ..ล...งั..ใ..ห...ม้...ฐี...ำ..น...เ..ท...ำ่..ก...น.ั ... ..จ..ะ...ไ..ด... ้ .......2..x......=........2...5................................................................................... ·ÕÅÐ¤¹¾ÃŒÍÁºÍ¡ÇÔ¸Õ¡ÒÃËÒ¤íÒµÍº
x = 5......................................................................................................................................................................................................... â´Â¼ÙŒàÃÕÂ¹¤¹Íè×¹æ ª‹ÇÂ¡Ñ¹µÃÇ¨ÊÍº
ดงั นน้ั x มคี ำ่ เทำ่ กบั 5......................................................................................................................................................................................................... ¤ÇÒÁ¶Ù¡µÍŒ §

2. 3x+2 = 243 11. ¼ÙŒàÃÕÂ¹áÅÐ¼ÙŒÊÍ¹Ã‹ÇÁ¡Ñ¹ÊÃØ»à¡èÕÂÇ¡Ñº
¡ÒÃá¡ŒÊÁ¡ÒÃàÅ¢Â¡¡íÒÅ§Ñ
วธิ ที ำ� 3 = 243.............................................................x.+..2.........................................................................................................................................
.. ...............ป....ร..บั...เ..ล...ข...ย...ก...ก..ำ.� ..ล...งั..ใ..ห...ม้...ฐี...ำ..น...เ..ท...ำ่..ก...น.ั ... ..จ..ะ...ไ..ด... ้ ...3...x..+.2......=........3...5................................................................................... เกร็ดแนะ ผสู อน
x + 2 = 5 นนั่ คอื x = 5 - 2 = 3.........................................................................................................................................................................................................
ดงั นน้ั x มคี ำ่ เทำ่ กบั 3......................................................................................................................................................................................................... ¡Í‹ ¹·¨Õè ÐãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹·Òí áºº½¡ƒ ·¡Ñ ÉÐ·Õè
4.4 ¼ÊŒÙ Í¹¤ÇÃªáéÕ ¹ÐãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹ÍÒ‹ ¹·º·Ç¹
3. 9 = 32x à¹é×ÍËÒ¡ÒÃá¡ŒÊÁ¡ÒÃàÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§ à¾è×Í
ÊÃŒÒ§¤ÇÒÁà¢ŒÒã¨áÅÐ¼ÙŒàÃÕÂ¹ÊÒÁÒÃ¶·íÒ
วธิ ที ำ� 9 = 3.................................................................................2.x....................................................................................................................... áºº½¡ƒ ·¡Ñ ÉÐ´ŒÇÂµ¹àÍ§ä´ŒÍÂ‹Ò§¶¡Ù µÍŒ §
.... ..............................ป........ร....บั......เ....ล......ข......ย......ก......ก....ำ..� ....ล......งั....ใ....ห......ม้......ฐี......ำ....xน......เ....ท....=..ำ่....ก......น..ั ..2.... ..x..จ.. ..ะ......ไ....ด...... ้ ..............3น....2..นั่......ค....=..อื...... ........3......2..x..x............=..............22..........................................=............1..................................................................................
ดงั นนั้ x มคี ำ่ เทำ่ กบั 1.........................................................................................................................................................................................................

4. 2x+1 = 16

วธิ ที ำ� 2 = 16.............................................................x.+..1.........................................................................................................................................
.. ...............ป....ร..บั...เ..ล...ข...ย...ก...ก..ำ.� ..ล...งั..ใ..ห...ม้...ฐี...ำ..น...เ..ท...ำ่..ก...น.ั ... ..จ..ะ...ไ..ด... ้ ...2...x..+.1......=........2...4...................................................................................
x + 1 = 4 นน่ั คอื x = 4 - 1 = 3.........................................................................................................................................................................................................
ดงั นน้ั x มคี ำ่ เทำ่ กบั 3.........................................................................................................................................................................................................

5. 3x-2 = 81

วธิ ที ำ� 3 = 81.............................................................x..-.2.........................................................................................................................................
.. ...............ป....ร..บั...เ..ล...ข...ย...ก...ก..ำ.� ..ล...งั..ใ..ห...ม้...ฐี...ำ..น...เ..ท...ำ่..ก...น.ั ... ..จ..ะ...ไ..ด... ้ ...3...x..-.2......=........3...4...................................................................................
x - 2 = 4 นน่ั คอื x = 4 + 2 = 6.........................................................................................................................................................................................................
ดงั นนั้ x มคี ำ่ เทำ่ กบั 6.........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

131

ÇàÔ ¤ÃÒÐË¤íÒµÍº
Ç¸Ô ·Õ íÒ 2 x - 500 = 1,024

»ÃÑºàÅ¢Â¡¡Òí ÅÑ§ãËŒÁ°Õ Ò¹à·‹Ò¡¹Ñ ¨Ðä´Œ
2 x - 500 = 210

x - 500 = 10
x = 10 + 500
x = 510

µÍº¢ÍŒ 4.

131

นนาําํ WWaarrmm--uupp สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up

นาํ 1.6 เลขยกก�ำลงั ฐำนสิบ

1. ¼ÙŒÊÍ¹ÊØ‹Á¼ÙŒàÃÕÂ¹à»š¹ÃÒÂºØ¤¤Å µÍº เลขยกก�ำลังฐำนสิบ เป็นรูปแบบของกำรเขียนตัวเลขอย่ำงหนึ่งที่อยู่ในรูป เลขยกก�ำลัง
¤íÒ¶ÒÁµÒÁ»ÃÐà´¹ç ´Ñ§¹Õé ฐำนสบิ มักใชโ้ ดยนกั วทิ ยำศำสตร ์ นักคณิตศำสตร์ หรือวศิ วกร เพื่อให้สำมำรถเขยี นหรอื นำ� เสนอ
• ¨Òí ¹Ç¹àÅ¢·ÁÕè ¢Õ ¹Ò´ãËÞË‹ ÃÍ× àÅ¡ç ÁÒ¡ จ�ำนวนท่ีมขี นำดใหญม่ ำกหรือเล็กมำก อกี ทงั้ ยงั สะดวกแกก่ ำรค�ำนวณ เชน่
¨ÐÁÕÇÔ¸Õ¡ÒÃà¢ÕÂ¹ã¹ÃÙ»áººã´·Õè·íÒãËŒ
¤íÒ¹Ç³ä´§Œ ‹ÒÂ¢¹Öé 10 = 101
100 = 102
á¹ÇµÍº 1,000 = 103
¾¨Ô ÒÃ³ÒµÒÁ¤Òí µÍº¢Í§¼àŒÙ ÃÂÕ ¹â´ÂãËÍŒ Â‹Ù 10,000 = 104
ã¹´ÅØ Â¾¹Ô ¨Ô ¢Í§¼ÊŒÙ Í¹ àª¹‹ ãËàŒ ¢ÂÕ ¹ÍÂã‹Ù ¹ 100,000 = 105
ÃÙ»àÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ °Ò¹ÊÔº à»¹š µŒ¹ 1,000,000 = 106
สำ� หรบั จ�ำนวนทมี่ ีคำ่ น้อยๆ ก็สำมำรถเขยี นใหอ้ ยูใ่ นรปู เลขยกกำ� ลงั ฐำนสิบได ้ ดงั น้ี
2. ¼ÙŒàÃÕÂ¹¤¹Íè×¹æ Ã‹ÇÁ¡Ñ¹áÊ´§¤ÇÒÁ¤Ô´
àËç¹áÅÐÍ¸ÔºÒÂà¾èÔÁàµÔÁà¡èÕÂÇ¡ÑºàÅ¢ 0.1 = 110 = 10-1
Â¡¡Òí Å§Ñ °Ò¹ÊÔº 0.01 = 1010 = 10-2
0.001 = 1,0100 = 10-3
สอน 0.0001 = 10,1000 = 10-4
0.0001 = 1001,000 = 10-5
3. ¼ÊŒÙ Í¹ãËŒ¼àÙŒ ÃÂÕ ¹ÈÖ¡ÉÒàÃ×èÍ§ àÅ¢Â¡¡Òí ÅÑ§ 0.0001 = 1,0001,000 = 10-6
°Ò¹ÊºÔ ¨Ò¡Ë¹§Ñ Ê×ÍàÃÕÂ¹ ¨Ò¡¹Ñ¹é ¼ÙŒÊÍ¹ รปู ทัว่ ไปของเลขยกกำ� ลังฐำนสบิ คอื A × 10n เมือ่ 1 ≤ A < 10 และ n เปน็ จำ� นวนเตม็
ÊØ‹Á¼ÙŒàÃÕÂ¹ 3 - 4 ¤¹ ÍÍ¡ÁÒÍ¸ÔºÒÂ พิจำรณำตำรำงตอ่ ไปน้ี
à¡ÂèÕ Ç¡ºÑ àÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ °Ò¹ÊºÔ Ë¹ÒŒ ª¹Ñé àÃÂÕ ¹
จ�ำนวน เลขยกก�ำลงั ฐำนสิบ จำ� นวนตำ� แหนง่ ทศนิยม
4. ¼ÊŒÙ Í¹à¢ÂÕ ¹¨Òí ¹Ç¹º¹¡ÃÐ´Ò¹ 10 ¨Òí ¹Ç¹ (A × 10n) ท่ีเลือ่ นไปทำงซ้ำย
¨Ò¡¹Ñé¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹Ã‹ÇÁ¡Ñ¹à¢ÕÂ¹¨íÒ¹Ç¹
´§Ñ ¡Å‹ÒÇãËŒÍÂã‹Ù ¹ÃÙ»àÅ¢Â¡¡íÒÅ§Ñ °Ò¹ÊÔº 37.25 3.725 × 10 1

เกร็ดแนะ ผูสอน 372.50 3.725 × 102 2

¼ÙŒÊÍ¹Â¡µÇÑ ÍÂ‹Ò§¨íÒ¹Ç¹ 10 ¨íÒ¹Ç¹ 3725.0 3.725 × 103 3
à¢ÕÂ¹º¹¡ÃÐ´Ò¹ áÅŒÇãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹Ã‹ÇÁ¡Ñ¹
µÍºÇ‹Ò¨íÒ¹Ç¹´Ñ§¡Å‹ÒÇà¢ÕÂ¹à»š¹àÅ¢Â¡ 132
¡íÒÅÑ§°Ò¹ÊÔºä´Œà»š¹¨íÒ¹Ç¹ã´ à¾×èÍãËŒ
¼ÙŒàÃÕÂ¹ÃÙŒ¨Ñ¡áÅÐÁÕ¤ÇÒÁà¢ŒÒã¨à¡èÕÂÇ¡ÑºàÅ¢
Â¡¡Òí Å§Ñ °Ò¹ÊºÔ ÁÒ¡ÂÔè§¢¹éÖ

ขVอ้ -สNอบEแTนว

0.0004567 à¢ÂÕ ¹ã¹Ã»Ù àÅ¢Â¡¡Òí ÅÑ§°Ò¹ÊºÔ µÃ§¡ºÑ ¢ŒÍã´
1. 4.567 × 10-3
2. 4.567 × 10-4
3. 4.567 × 10-5
4. 4.567 × 10-6
5. 4.567 × 10-7

132

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up

จำกตำรำงขำ้ งตน้ จะเหน็ ไดว้ ำ่ เมอ่ื เขยี นจำ� นวนทม่ี คี ำ่ ตงั้ แต ่ 1 ขนึ้ ไปใหอ้ ยใู่ นรปู เลขยกกำ� ลงั สอน
ฐำนสบิ (A × 10n เมอื่ 1 ≤ A < 10 และ n เป็นจำ� นวนเต็ม) จะได ้ n เปน็ จ�ำนวนเตม็ บวก ซงึ่
มีคำ่ เท่ำกบั จำ� นวนต�ำแหน่งทศนิยมทเี่ ลื่อนไปทำงซำ้ ย 5. ¼ÙŒÊÍ¹Í¸ÔºÒÂ¡ÒÃà¢ÕÂ¹àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§
พิจำรณำตำรำงต่อไปนี้ °Ò¹ÊÔº ¨Ò¡¹éÑ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹áµ‹ÅÐ¤¹ÊÃŒÒ§
¨íÒ¹Ç¹ 15 ¨íÒ¹Ç¹Å§ã¹¡ÃÐ´ÒÉ A4
จ�ำนวน เลขยกกำ� ลังฐำนสิบ จ�ำนวนตำ� แหน่งทศนยิ ม ¾ÃŒÍÁ·Ñé§à¢ÕÂ¹ãËŒÍÂÙ‹ã¹ÃÙ»àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§
(A × 10n) ทเ่ี ลอ่ื นไปทำงขวำ °Ò¹ÊÔº ¨Ò¡¹Ñé¹¼ŒÊÙ Í¹ÊØÁ‹ µÑÇá·¹¼ŒÙàÃÕÂ¹
0.476 4.76 × 10-1 5 ¤¹ â´Â¹Òí ¨Òí ¹Ç¹·µÕè ÇÑ á·¹¼àŒÙ ÃÂÕ ¹ÊÃÒŒ §
0.0476 4.76 × 10-2 1 ¢éÖ¹ÍÍ¡ÁÒáÊ´§ÇÔ¸Õ¡ÒÃà¢ÕÂ¹áÅÐ¤íÒµÍº
0.00476 4.76 × 10-3 2 ¢Í§àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§°Ò¹ÊÔº Ë¹ÒŒ ªÑé¹àÃÕÂ¹
3
6. ¼ÙŒÊÍ¹µÃÇ¨ÊÍº¤ÇÒÁ¶Ù¡µŒÍ§¢Í§¡ÒÃ
จำกตำรำงข้ำงต้นจะเห็นได้ว่ำ เม่ือเขียนจ�ำนวนที่มีค่ำน้อยกว่ำ 1 ให้อยู่ในรูปเลขยกก�ำลัง à¢ÕÂ¹àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§°Ò¹ÊÔº ¾ÃŒÍÁ·éÑ§
ฐำนสบิ (A × 10n เม่อื 1 ≤ A < 10 และ n เป็นจำ� นวนเต็ม) จะได ้ n เปน็ จำ� นวนเตม็ บวก ซง่ึ Í¸ºÔ ÒÂà¾ÔèÁàµÁÔ
มีค่ำเทำ่ กับจำ� นวนตำ� แหน่งทศนิยมที่เลื่อนไปทำงขวำ
เมื่อต้องกำรเขียนจ�ำนวนให้อยู่ในรูปจ�ำนวนที่ไม่ใช่เลขยกก�ำลังฐำนสิบ เรำสำมำรถท�ำได้ เกร็ดแนะ ผสู อน
ดงั ต่อไปน้ี
พจิ ำรณำตำรำง ¼ÊŒÙ Í¹Â¡µÇÑ ÍÂÒ‹ §¨Òí ¹Ç¹àÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ
°Ò¹ÊÔº 5 ¨íÒ¹Ç¹ à¢ÕÂ¹º¹¡ÃÐ´Ò¹ áÅÇŒ
เลขยกกำ� ลังฐำนสบิ จำ� นวนทีไ่ มใ่ ช่ จ�ำนวนต�ำแหนง่ ทศนยิ ม ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹Ã‹ÇÁ¡Ñ¹µÍºÇ‹Ò¨íÒ¹Ç¹´Ñ§¡Å‹ÒÇ
(A × 10n) เลขยกก�ำลังฐำนสบิ ทเี่ ล่ือนไปทำงขวำ à¢ÕÂ¹à»š¹¨íÒ¹Ç¹·ÕèäÁ‹ãª‹¨íÒ¹Ç¹àÅ¢Â¡
7.241 × 10 ¡íÒÅÑ§°Ò¹ÊÔºä´Œ¨íÒ¹Ç¹ã´ à¾×èÍãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹
7.241 × 102 72.41 1 Ã¨ŒÙ ¡Ñ áÅÐÁ¤Õ ÇÒÁà¢ÒŒ ã¨à¡ÂèÕ Ç¡ºÑ àÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ
7.241 × 103 724.1 2 °Ò¹ÊÔºÁÒ¡ÂèÔ§¢¹Öé
7241 3

จำกตำรำงจะเห็นไดว้ ่ำ เม่ือต้องกำรเขยี นจ�ำนวนทอี่ ยูใ่ นรูปเลขยกกำ� ลังฐำนสิบ (A × 10n
เม่ือ 1 ≤ A < 10 และ n เป็นจ�ำนวนเตม็ ) ให้อยูใ่ นรูปทไ่ี ม่ใช่เลขยกกำ� ลงั เมอ่ื n เป็นจำ� นวน
เต็มบวก จะไดจ้ ำ� นวนจำกกำรเลอ่ื นจุดทศนิยมไปทำงขวำเทำ่ กบั จำ� นวน n

133

ÇÔà¤ÃÒÐË¤ Òí µÍº 0.0004567 ¨ÐàË¹ç ä´ÇŒ Ò‹ ¨Òí ¹Ç¹µÒí áË¹§‹ ·È¹ÂÔ Á
·àÕè ÅÍè× ¹ä»·Ò§¢ÇÒà·Ò‹ ¡ºÑ 4 ´§Ñ ¹¹éÑ à¢ÂÕ ¹ã¹Ã»Ù àÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ °Ò¹ÊºÔ
ä´Œ¤Í× 4.567 × 10 -4
µÍº¢ŒÍ 2.

133

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up
สอน
พจิ ำรณำตำรำง
7. ¼ÊŒÙ Í¹ãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹È¡Ö ÉÒàÃÍ×è § àÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ
°Ò¹ÊÔº ¨Ò¡Ë¹§Ñ ÊÍ× àÃÕÂ¹ áÅŒÇÃ‹ÇÁ¡¹Ñ เลขยกก�ำลงั ฐำนสิบ จำ� นวนท่ไี ม่ใช่ จ�ำนวนตำ� แหน่งทศนิยม
ÍÀ»Ô ÃÒÂ (A × 10n) เลขยกกำ� ลงั ฐำนสิบ ทีเ่ ลอ่ื นไปทำงซำ้ ย
3.568 × 10-1
8. ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹¨Ñº¤Ù‹¡Ñ¹ áÅŒÇÃ‹ÇÁ¡Ñ¹ÈÖ¡ÉÒ 3.568 × 10-2 0.3568 1
µÇÑ ÍÂÒ‹ §·èÕ 23 áÅÐµÑÇÍÂ‹Ò§·Õè 24 ¨Ò¡ 3.568 × 10-3 0.03568 2
Ë¹Ñ§Ê×ÍàÃÕÂ¹ ¨Ò¡¹Ñé¹Ã‹ÇÁ¡Ñ¹ËÒ¤‹Ò 0.003568 3
à¡ÂÕè Ç¡ÑºàÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ °Ò¹ÊºÔ
จำกตำรำงจะเห็นไดว้ ำ่ เม่อื ตอ้ งกำรเขียนจ�ำนวนที่อยู่ในรปู เลขยกก�ำลงั ฐำนสบิ (A × 10n
9. ¼ÙŒÊÍ¹à¢ÕÂ¹â¨·Â»˜ÞËÒà¡èÕÂÇ¡ÑºàÅ¢Â¡ เมือ่ 1 ≤ A < 10 และ n เป็นจ�ำนวนเต็ม) ใหอ้ ยู่ในรปู ทีไ่ มใ่ ช่เลขยกกำ� ลงั เม่อื n เป็นจำ� นวน
¡Òí Å§Ñ °Ò¹ÊºÔ 4 ¢ÍŒ º¹¡ÃÐ´Ò¹ ¨Ò¡¹¹Ñé เต็มลบ จะไดจ้ �ำนวนจำกกำรเลอ่ื นจดุ ทศนยิ มไปทำงซำ้ ยเทำ่ กบั จำ� นวน n
ÊØ‹Á¼ÙŒàÃÕÂ¹ 4 ¤¹ ãËŒ¼ŒÙàÃÂÕ ¹·éÑ§ 4 ¤¹
ËÒ¤‹Ò¢Í§¨íÒ¹Ç¹·ÕèÁÕ¢¹Ò´ãËÞ‹áÅÐ ตัวอยำงที่ 23
¢¹Ò´àÅ¡ç â´Â¡ÒÃãªàŒ Å¢Â¡¡Òí Å§Ñ °Ò¹ÊºÔ
¾ÃÍŒ ÁàËµØ¼Å»ÃÐ¡Íº จงหำคำ่ ของ 0.000002.600×00306001,0300,000 10-5 108
0.000026 × 360,000,000 2.6 1.3 130.-67
10. ¼ÊŒÙ Í¹µÃÇ¨ÊÍº¤ÇÒÁ¶¡Ù µÍŒ § ¾ÃÍŒ Á·§éÑ วธิ ที �ำ 0.00000013 = × × ×
Í¸ÔºÒÂà¾èÁÔ àµÁÔ ×

เกร็ดแนะ ผสู อน = [ 2.6 × 3.6 ] × 10-5+8-(-7)
1.3
¼ÙŒÊÍ¹Â¡µÑÇÍÂ‹Ò§â¨·Âà¡ÕèÂÇ¡Ñº¡ÒÃ = 7.2 × 1010
´íÒà¹Ô¹¡ÒÃ·Ò§¾Õª¤³Ôµâ´ÂãËŒ¤íÒµÍºÍÂÙ‹
ã¹ÃÙ»¢Í§àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§°Ò¹ÊÔºà¾èÔÁàµÔÁãËŒ = 72,000,000,000 ตอบ
¡ºÑ ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹ 3 ¢ÍŒ à¢ÂÕ ¹º¹¡ÃÐ´Ò¹ áÅÇŒ ãËŒ
¼ÙŒàÃÕÂ¹áÊ´§Ç¸Ô ·Õ íÒÅ§ã¹¡ÃÐ´ÒÉ A4 àÁèÍ× ตัวอยำงท่ี 24
àÊÃ¨ç áÅÇŒ ãËÊŒ ÅºÑ ¡ÃÐ´ÒÉ¤Òí µÍº¡ºÑ à¾Íè× ¹
·Õè¹Ñè§¢ŒÒ§æ áÅŒÇ¼ÙŒÊÍ¹ÊØ‹Á¼ÙŒàÃÕÂ¹ÍÍ¡ÁÒ จงหำคำ่ ของ 320,0000.×0000.0080000198 105 10-6
à©ÅÂ ¼ÙŒÊÍ¹áÅÐ¼ÙŒàÃÕÂ¹¤¹Í×è¹µÃÇ¨ÊÍº 320,000 × 0.00000198 3.2 8 110.9-58
¤ÇÒÁ¶Ù¡µŒÍ§¢Í§Ç¸Ô ·Õ íÒ วิธีท�ำ 0.00008 = × × ×
×

= [3.2 × 1.98] × 105+(-6)-(-5)

8
= 0.792 × 104
= 7.92 × 103 = 7,920
ตอบ

134

Vขอ้ -สNอบEแTนว

0.0000250.5× 0.0001 Á¤Õ ‹ÒµÃ§¡Ñº¢ÍŒ ã´
1. 5 × 10-7
2. 5 × 10-8
3. 5 × 10-9
4. 5 × 10-11
5. 5 × 10-13

134

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp

แบบฝกทักษะท่ี 4.5 สรปุ

ค�ำช้ีแจง ใหผ้ เู้ รียนตอบคำ� ถำมตอ่ ไปนี้ 11. ¼ÙŒÊÍ¹ÊÒ¸Ôµ¡ÒÃáÊ´§ÇÔ¸Õ¡ÒÃà¢ÕÂ¹àÅ¢
Â¡¡íÒÅÑ§°Ò¹ÊÔºáÅÐ¡ÒÃà¢ÕÂ¹¨íÒ¹Ç¹·Õè
1. จงเขยี นจำ� นวนต่อไปนีใ้ ห้อยูใ่ นรูปเลขยกกำ� ลงั ฐำนสิบ (A × 10n เม่ือ 1 ≤ A < 10 และ n äÁ‹ãªÃ‹ »Ù àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§µÒÁ·âÕè ¨·Â¡Òí Ë¹´
¨Ò¡áºº½¡ƒ ·¡Ñ ÉÐ·èÕ 4.5 ãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹´àÙ »¹š
เป็นจ�ำนวนเต็ม) µÑÇÍÂ‹Ò§

ขอ้ ท่ี จ�ำนวน เลขย(Aกก×ำ� ล1งั 0ฐnำ)นสิบ 12. ¼ÙŒÊÍ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹áµ‹ÅÐ¤¹·íÒáºº½ƒ¡
·Ñ¡ÉÐ·Õè 4.5
1) 587.8 5.878 × 102
2) 2734.26 2.73426 × 103 เกร็ดแนะ ผูสอน
3) 684,000 6.84 × 105
4) 25,670,000 2.567 × 107 ¡Í‹ ¹·¼èÕ ÊŒÙ Í¹¨ÐãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹Å§ÁÍ× ·Òí áºº
5) 1,880,000,000 1.88 × 109 ½ƒ¡·Ñ¡ÉÐ·èÕ 4.5 ´ŒÇÂµ¹àÍ§ ¼ÙŒÊÍ¹¤ÇÃ
6) 0.055 5.5 × 10-2 ÊÒ¸Ôµ¡ÒÃá¡Œâ¨·Â» ˜ÞËÒ ãËŒ¼ŒàÙ ÃÂÕ ¹´Ùà»š¹
7) 0.0000234 2.34 × 10-5 µÇÑ ÍÂÒ‹ § 1 ¢ÍŒ â´ÂãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹ã¹ª¹éÑ àÃÂÕ ¹à»¹š
8) 0.008172 8.172 × 10-3 ¼àÙŒ ÅÍ× ¡¢ŒÍ·ÁèÕ Õ¤ÇÒÁÊ¹ã¨
9) 0.00000466 4.66 × 10-6
10) 0.000207 2.07 × 10-4

2. จงเขียนจำ� นวนต่อไปน้ีใหอ้ ยู่ในรูปทีไ่ ม่ใชเ่ ลขยกกำ� ลัง

ข้อท่ี เลขย(Aกก×ำ� ล1ัง0ฐnำ)นสบิ จ�ำนวนทีไ่ ม่ใชเ่ ลขยกกำ� ลัง

1) 0.457 × 10 4.57
2) 19.68 × 102 1,968
3) 4.786 × 105 478,600
4) 123.2478 × 106 123,247,800
5) 0.247 × 10-2 0.00247
6) 38.439 × 10-2
7) 3.582 × 10-3 0.38439
8) 926.25 × 10-4
9) 18.8 × 10-5 0.003582

0.092625

0.000188

10) 126.8 × 10-6 0.0001268

135

ÇàÔ ¤ÃÒÐË¤Òí µÍº 2.5 150 1×01-1 × 10 -4
0.0000250.5× 0.0001 -5
ÇÔ¸Õ·Òí = × ×

= 2.55 × 10 -5 -4
× 10 -1
= 0.5 × 10-9 + 1
= 0.5 × 10-8
= 5 × 10-9

µÍº¢ŒÍ 3.

135

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp
สรปุ
3. จงหำค่ำของจ�ำนวนต่อไปนี้
13. ¼ÙŒÊÍ¹ÊØ‹ÁµÑÇá·¹¼ÙŒàÃÕÂ¹ÍÍ¡ÁÒáÊ´§ 1) 4.15 10× 2
ÇÔ¸Õ·íÒ¡ÒÃËÒ¤‹ÒàÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§°Ò¹ÊÔºã¹ 0.35...ว..ธิ...ที ...ำ�.. ..... ..............................................4.....1..0.5....3.×..5..1...0..2.......=........34......51...5..×..×...1.1..0.0.-..21............................................................................
áºº½¡ƒ ·Ñ¡ÉÐº¹¡ÃÐ´Ò¹
= 4.15 10 = 4.15 10............................................................................................................................................................................................................................×....................2..+....1......................................................×....................3........................................................................
14. ¼ÊŒÙ Í¹áÅÐ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹ÃÇ‹ Á¡¹Ñ µÃÇ¨ÊÍº¤ÇÒÁ = 43,1.5503.5 = 1,1835..571....................................................................................................................................................................................................
¶¡Ù µÍŒ §¢Í§¡ÒÃáÊ´§Ç¸Ô ·Õ Òí ¡ÒÃËÒ¤Ò‹ àÅ¢
Â¡¡íÒÅ§Ñ °Ò¹ÊÔº 2) 1,260 23,000×
0.0033 0.23...ว..ธิ...ที ...ำ�.. ..... ....×.................................10..,...20..6.0..03...3.×....×2...3..0,.0....20...30.......=........3.1.....3.2...6.×.0....1×...0..1.-.30...3×...×.2...2...3...3..×..×...1..1.0.0..-.41................................................
เกร็ดแนะ ผสู อน
= 1.260 3.32.3 21.30 = 1.2603.3 10................................................................................................................................................................................................................................×..................×........×..................3....+....4..+....3....+....1................................................................×....................1....1..............
ã¹¢³Ð·èÕ¼ÙŒàÃÕÂ¹·íÒáºº½ƒ¡·Ñ¡ÉÐ = 0.382 10 = 3,820,000,000.................................................................................................................×..........1..1.......................................................................
·Õè 4.5 ¼ÙŒÊÍ¹¤ÇÃà´Ô¹´Ù¼ÙŒàÃÕÂ¹ÃÍºæ
ËŒÍ§àÃÕÂ¹ ËÒ¡¾ºÇ‹ÒÁÕ¼ÙŒàÃÕÂ¹¤¹ã´ÁÕ 3) 0.015 0.029×
¢ŒÍÊ§ÊÑÂ ãËŒ¼ÙŒÊÍ¹Í¸ÔºÒÂà¾èÔÁàµÔÁ¨¹ 0.0045...ว..ธิ...ที ...ำ�.. ..... .......................................0.....0..1.0..5...0..×.0...40..5...0...2...9.......=........1.....5....×.....14..0...5.-.2...×.×....12..0...9.-..3.×....1...0..-..2...................................................
¼àÙŒ ÃÕÂ¹à¡Ô´¤ÇÒÁà¢ÒŒ ã¨
....................................................................................................................................................................................................

= [ 1.5 2.9 ] 10..................................................................................................................×...................×..........-..2.-..2..+.3.............................................

= 0.96674.5 10 = 0.09667...................................................................................................................×..........-..1.....................................................................

4) 0.004 0.36×
0.02 280...ว..ธิ...ที ...ำ�.. ....×. .........................................0..0....0..0.0.2..4...×.×....02....8.3..0.6.......=........2.4....××....1.1..0.0..-.-3.2...××....3.2.....6.8...×.×...1..1.0..0-..1.2.....................................................

4 3.6 10 4 3.6 10........................................................................................................×............×.........-..3..-.1..+..2..-.2..............................×............×..........-..4.....
= 2 2.8 = 2 2.8....................................................................................................................×..........................................................×......................
= 2 42.83.6 10 = 0.00026........................................................................................................×........×......×...........4...................................................................

5) 1,800 0.00042×
160 0.005...ว..ธิ...ที ...ำ�.. .....× .................................1...,.18...60..00....×.×....0.0....0..0.0..0.0..5.4..2........=...........11......86....×.×...1..1.0..03..2.×...×..4..5...2...×.×....11..0.0..--..34..................................................

1.8 4.2 10 1.8 4.2 10..............................................................................................................×............×..........3.-..4..-.2..+..3.............................×.............×.........0...
= 1.6 5 = 1.6 5...........................................................................................................................×........................................................×.................
= 1.81.64.25 1 = 0.945..............................................................................................................×......×......×..........................................................................

136

ขV้อ-สNอบEแTนว

2.506.00×16103 Á¤Õ Ò‹ µÃ§¡ºÑ ¢ŒÍã´
1. 1.1 × 106
2. 1.4 × 106
3. 1.4 × 107
4. 1.6 × 106
5. 1.6 × 107

136

นนาําํ WWaarrmm--uupp สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up

1.7 กำรประยุกตใ ชเลขยกกำ� ลัง นาํ

ในเร่ืองของเลขยกก�ำลังอำจมีกำรประยุกต์ใช้เพื่อควำมสะดวกและรวดเร็วในกำรค�ำนวณ 1. ¼ÊŒÙ Í¹Ê¹·¹ÒáÅÐ«¡Ñ ¶ÒÁ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹à¡ÂÕè Ç¡ºÑ
ส�ำหรับงำนต่ำงๆ ท่ีเก่ียวข้อง เช่น งำนช่ำง กำรท�ำงำนของเครื่องยนต์ ไฟฟำ อัตรำดอกเบ้ีย ¡ÒÃ»ÃÐÂØ¡µãªàŒ Å¢Â¡¡íÒÅ§Ñ ´Ñ§¹éÕ
กำรหำปรมิ ำตร เป็นต้น • àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§ÊÒÁÒÃ¶¹íÒ¤ÇÒÁÃÙŒä»ãªŒ
§Ò¹ã´ºÒŒ §
1) กำรประยุกต์เลขยกกำ� ลังในงำนชำ่ ง
กำรใช้ค�ำอุปสรรคนำ� หนำ้ หนว่ ย แทนเลขยกกำ� ลงั ฐำนสิบบำงจำ� นวน ซง่ึ ที่นยิ มใช ้ เชน่ á¹ÇµÍº
àÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ ÊÒÁÒÃ¶¹Òí ¤ÇÒÁÃäŒÙ »ãªãŒ ¹§Ò¹
109 จกิ ะ (giga) ใช้สญั ลกั ษณ์ G àª‹¹ §Ò¹ªÒ‹ § ¡ÒÃËÒà§Ô¹µŒ¹áÅÐ´Í¡àºÕéÂ
106 เมกะ (mega) ใช้สัญลักษณ์ M à»¹š µŒ¹
103 กโิ ล (kilo) ใช้สญั ลกั ษณ์ k
10-2 เซนต ิ (centi) ใช้สญั ลกั ษณ์ c สอน
10-3 มลิ ล ิ (milli) ใช้สัญลกั ษณ์ m
10-6 ไมโคร (micro) ใชส้ ญั ลักษณ์ µ 2. ¼ÙŒÊÍ¹Í¸ÔºÒÂà¾ÔèÁàµÔÁà¡èÕÂÇ¡Ñº¡ÒÃ
10-9 นำโน (nano) ใชส้ ัญลกั ษณ ์ n »ÃÐÂØ¡µàÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§ã¹§Ò¹ª‹Ò§ áÅÐãËŒ
¼ÙŒàÃÕÂ¹ÈÖ¡ÉÒµÑÇÍÂ‹Ò§·èÕ 25
ตัวอยำงท่ี 25
3. ¼ÙŒÊÍ¹Í¸ÔºÒÂà¾èÔÁàµÔÁà¡èÕÂÇ¡ÑºµÑÇÍÂ‹Ò§
จงหำค่ำของจ�ำนวนตอ่ ไปน้ี ·Õè 25
1. มวล 3,600 กรัม
2. ควำมจุไฟฟำ 0.0000052 ฟำรดั 4. ¼ÊŒÙ Í¹Í¸ºÔ ÒÂà¡ÂÕè Ç¡ºÑ ¡ÒÃ»ÃÐÂ¡Ø µà Å¢Â¡
3. ควำมยำว 0.0000000035 เมตร ¡Òí ÅÑ§ã¹¡ÃÍº Math Notes
วิธที ำ� 1. มวล 3,600 กรมั = 3.6 × 103 กรัม
= 3.6 กิโลกรัม เกร็ดแนะ ผูสอน
2. ควำมจุไฟฟำ 0.0000052 ฟำรดั = 5.2 × 10-6 ฟำรัด
= 5.2 ไมโครฟำรดั ¡Í‹ ¹·¨Õè Ð¡ÅÒ‹ Ç¶§Ö ã¹ËÇÑ ¢ÍŒ ¡ÒÃ»ÃÐÂ¡Ø µ
3. ควำมยำว 0.0000000035 เมตร = 3.5 × 10-9 เมตร ãªàŒ Å¢Â¡¡Òí Å§Ñ ¼ÊŒÙ Í¹¤ÇÃ·º·Ç¹à¡ÂÕè Ç¡ºÑ
= 3.5 นำโนเมตร ¡ÒÃ´Òí à¹¹Ô ¡ÒÃ¢Í§àÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ ÊÁ¡ÒÃàÅ¢
ตอบ Â¡¡Òí Å§Ñ áÅÐàÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ °Ò¹ÊºÔ ¹Í¡¨Ò¡¹Õé
àÁÍ×è ¼ÊŒÙ Í¹ä´ÍŒ ¸ºÔ ÒÂà¡ÂÕè Ç¡ºÑ µÇÑ ÍÂÒ‹ §·Õè 25
Math Notes àÊÃ¨ç áÅÇŒ ãË¼Œ ÊŒÙ Í¹Â¡µÇÑ ÍÂÒ‹ §â¨·Â» Þ˜ ËÒ
à¡èÕÂÇ¡ÑºàÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§·èÕÁÕ¡ÒÃ»ÃÐÂØ¡µãªŒã¹
กำรประยุกต์เลขยกก�ำลัง เป็นกำรน�ำเลขยกก�ำลังฐำนสิบบำงจ�ำนวนไปใช้แทนหน่วยกำรวัด หรือ §Ò¹ÍÒªÕ¾à¾ÔèÁàµÁÔ 2 - 3 ¢ÍŒ áÅÇŒ Ê‹ØÁ¼ŒÙàÃÕÂ¹
แทนปริมำณใดๆ เช่น 109 จิกะ (giga) ใชส้ ญั ลกั ษณ์ G เป็นต้น ÍÍ¡ÁÒáÊ´§Ç¸Ô Õ·íÒ à¾×èÍµÃÇ¨ÊÍº¤ÇÒÁÃÙŒ
¤ÇÒÁà¢ÒŒ ã¨¢Í§¼ŒÙàÃÂÕ ¹
137

ÇàÔ ¤ÃÒÐË¤ íÒµÍº
Ç¸Ô ·Õ íÒ 2.506.00×1160 3 = 21..566××1100-33

= 2.561.×6 10 6
= 1.6 × 106

µÍº¢ŒÍ 4.

137

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up

สอน ตัวอยำงที่ 26

5. ¼ÊÙŒ Í¹ãË¼Œ àŒÙ ÃÕÂ¹È¡Ö ÉÒàÃÍè× § ¡ÒÃ»ÃÐÂ¡Ø µ จงหำแรงท่ีกระทำ� ต่ออิเล็กตรอน ซงึ่ มมี วล 9.1 × 10-31 กโิ ลกรมั ทำ� ให้เกดิ ควำมเร่ง 1.0 × 102 เมตร/
àÅ¢Â¡¡Òí ÅÑ§ã¹§Ò¹ª‹Ò§ ¨Ò¡Ë¹§Ñ Ê×ÍàÃÕÂ¹ (วนิ ำท)ี 2 กำ� หนด แรง = มวล × ควำมเรง่

6. ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹¨Ñº¤Ù‹¡Ñ¹ áÅŒÇÃ‹ÇÁ¡Ñ¹ÈÖ¡ÉÒ เมอื่ แรง มหี น่วยเป็น นวิ ตนั
µÑÇÍÂ‹Ò§·Õè 26 áÅÐµÑÇÍÂ‹Ò§·èÕ 27 ¨Ò¡
Ë¹Ñ§Ê×ÍàÃÕÂ¹ ¨Ò¡¹éÑ¹ÊØ‹ÁµÑÇá·¹¼ÙŒàÃÕÂ¹ มวล มหี นว่ ยเปน็ กโิ ลกรมั
ÍÍ¡ÁÒÍÀÔ»ÃÒÂË¹ŒÒªéÑ¹àÃÕÂ¹¨Ò¡¡ÒÃ ควำมเรง่ มีหน่วยเปน็ เมตร/(วินำที)2
È¡Ö ÉÒµÇÑ ÍÂÒ‹ §·Õè 26 áÅÐµÇÑ ÍÂ‹Ò§·èÕ 27
วธิ ที ำ� จำกสตู ร แรง = มวล × ควำมเรง่
7. ¼ÊŒÙ Í¹áÅÐ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹¤¹Í¹è× ÃÇ‹ Á¡¹Ñ µÃÇ¨ÊÍº แรง = 9.1 × 10-31 × 1.0 × 102
¤ÇÒÁ¶¡Ù µŒÍ§ ¾ÃÍŒ ÁÍ¸ÔºÒÂà¾ÔÁè àµÁÔ แทนคำ่ ในสูตร = 9.1 × 10-29

ดงั นั้น แรงทกี่ ระทำ� ต่ออิเล็กตรอนมีคำ่ เท่ำกับ 9.1 × 10-29 นิวตัน ตอบ

ตัวอยำงที่ 27

อนภุ ำคอนั หน่ึงมปี ระจุ 3.2 × 10-10 ไมโครคลู อมบ์ ประจตุ ่อมวลมคี ำ่ 3.52 × 1010 คลู อมบ์ต่อกรมั

อนุภำคน้ีจะมีมวลเทำ่ ไร ประจุต่อมวล = 3.52 × 10-31

วิธีท�ำ คลู อมบต์ อ่ กรมั
อนภุ ำคอันหนึง่ มีประจุ = 3.2 × 10-10 × 10-9
คูลอมบ์
อนุภำคนี้จะมีมวล = 3.52 × 1010 × 3.2 × 10-10 × 10-9 กรัม
= (3.52 × 3.2) × 1010+(-10)+(-9)
= 11.264 × 10-9 กรมั

กรัม

= 11.264 กรมั

ดังนนั้ อนภุ ำคนีจ้ ะมมี วล 11.264 นำโนกรัม ตอบ

2) กำรประยุกตเ์ ลขยกกำ� ลงั ในกำรหำเงนิ ต้นและดอกเบ้ยี

เกร็ดแนะ ผูส อน เรำสำมำรถนำ� ควำมร้เู รือ่ งเลขยกกำ� ลงั ไปประยุกต์ใชก้ บั กำรหำเงินต้นและอตั รำดอกเบี้ย

¼ÙŒÊÍ¹¤ÇÃªéÕá¹ÐãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹ÃÐÁÑ´ÃÐÇÑ§ โดยคดิ ดอกเบย้ี แบบทบต้น สำมำรถค�ำนวณจำกสูตรได ้ ดังน้ี
àÃè×Í§ ¡ÒÃà»ÅÂÕè ¹Ë¹Ç‹ Â à¾ÃÒÐÍÒ¨·Òí ãËŒ
¼àŒÙ ÃÕÂ¹¤íÒ¹Ç³¤Ò‹ ÍÍ¡ÁÒ¼´Ô ¾ÅÒ´ä´Œ s = p(1+i)n หรอื p = (1 +s i)n หรือ p = s(1 + i)-n

เมอ่ื s แทน เงินรวมแบบดอกเบย้ี ทบต้น i แทน อตั รำดอกเบยี้ แบบทบตน้ ตอ่ งวด

p แทน เงนิ ต้น n แทน จำ� นวนงวดทคี่ ดิ ดอกเบย้ี แบบทบตน้

บูรณาการ อาชีพ 138

ÇÈÔ Ç¡Ãä¿¿Ò‡ à»¹š ¼ÙŒ·»èÕ ÃÐ¡ÍºÍÒª¾Õ áÅÐÈÖ¡ÉÒà¡èÂÕ Ç¡Ñº ä¿¿Ò‡ áÅÐ ขคอ้ ิดสอวบิเแคนรว าะห์
¤Å×è¹áÁ‹àËÅç¡ä¿¿‡Ò«Öè§¨ÐµŒÍ§ÁÕ¤ÇÒÁÃÙŒàÃ×èÍ§¡ÒÃãªŒ¤íÒÍØ»ÊÃÃ¤¹íÒË¹ŒÒ
Ë¹‹ÇÂá·¹àÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§°Ò¹ÊÔº ÃÇÁ·éÑ§¡ÒÃ»ÃÐÂØ¡µãªŒàÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§ã¹ ¨§ËÒáÃ§·¡èÕ ÃÐ·Òí µÍ‹ ÍàÔ Å¡ç µÃÍ¹ â´ÂÁÁÕ ÇÅ 9.1 × 10-31 ¡âÔ Å¡ÃÁÑ
´ŒÒ¹ÇÈÔ Ç¡ÃÃÁä¿¿Ò‡ ·íÒãËŒà¡Ô´¤ÇÒÁàÃ‹§ 2.6 × 102 àÁµÃ / (ÇÔ¹Ò·Õ)2 (¡íÒË¹´ãËŒ
áÃ§ = ÁÇÅ × ¤ÇÒÁàÃ‹§)

1. 2.366 × 10-30
2. 2.366 × 10-28
3. 3.14 × 10-30
4. 3.14 × 10-28
5. 4.02 × 10-28

138

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up

ตัวอยำงท่ี 28 สอน

จงหำเงนิ ต้นของเงนิ รวม 105,000 บำท ที่ได้รบั เมื่อสนิ้ ปที่ 10 คิดดอกเบ้ียในอตั รำ 5% ทบต้นปล ะครัง้ 8. ¼ÊŒÙ Í¹ãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹È¡Ö ÉÒàÃÍè× § ¡ÒÃ»ÃÐÂ¡Ø µ
p = s(1 + i)-n àÅ¢Â¡¡Òí Å§Ñ ã¹¡ÒÃËÒà§¹Ô µ¹Œ áÅÐ´Í¡àºÂéÕ
วธิ ีท�ำ จำกสตู ร ¨Ò¡Ë¹§Ñ ÊÍ× àÃÕÂ¹

แทน s = 105,000 บำท, i = 5% ต่องวด (1 ป) และ n = 10 งวด 9. ¼ÙŒÊÍ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹áº‹§ÍÍ¡à»š¹ 4 ¡ÅØ‹Á
01.05005))--1100 áÅŒÇãËŒÊ‹§µÑÇá·¹¢Í§¼ÙŒàÃÕÂ¹áµ‹ÅÐ¡ÅØ‹Á
จะได้ p = 105,000(1 + ÍÍ¡ÁÒ¨ºÑ ÊÅÒ¡à¾Íè× È¡Ö ÉÒµÇÑ ÍÂÒ‹ § ¨Ò¡
= 105,000(1 + Ë¹§Ñ Ê×ÍàÃÂÕ ¹ ´§Ñ ¹Õé
- ¡ÅØ‹Á·Õèä´ŒËÁÒÂàÅ¢ 1 ãËŒÈÖ¡ÉÒ
= 105,000(1.05)-10 µÑÇÍÂ‹Ò§·èÕ 28
- ¡ÅØ‹Á·èÕä´ŒËÁÒÂàÅ¢ 2 ãËŒÈÖ¡ÉÒ
= 1(10.50,50)0100 µÇÑ ÍÂ‹Ò§·èÕ 29
105,000 - ¡ÅØ‹Á·Õèä´ŒËÁÒÂàÅ¢ 3 ãËŒÈÖ¡ÉÒ
= 1.629 µÇÑ ÍÂ‹Ò§·Õè 30
- ¡ÅØ‹Á·èÕä´ŒËÁÒÂàÅ¢ 4 ãËŒÈÖ¡ÉÒ
p = 64,456.72 µÑÇÍÂ‹Ò§·èÕ 31

ดงั นั้น เงนิ ตน้ คือ 64,456.72 บำท ตอบ 10. ãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹¢Í§¡ÅÁ‹Ø ·äÕè ´ÊŒ ÅÒ¡ËÁÒÂàÅ¢ 1
Ê§‹ µÇÑ á·¹ÍÍ¡ÁÒÍÀ»Ô ÃÒÂË¹ÒŒ ª¹Ñé àÃÂÕ ¹
ตัวอยำงท่ี 29 ¨Ò¡¡ÒÃÈÖ¡ÉÒµÑÇÍÂ‹Ò§·èÕ 28

รฐั ภมู กิ เู้ งนิ จำกธนำคำรแหง่ หนงึ่ โดยระบวุ ำ่ จะตอ้ งจำ่ ยดอกเบย้ี เงนิ กทู้ กุ ๆ เดอื น แตห่ ลงั จำกวนั ทกี่ เู้ งนิ ไป 11. ãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹¢Í§¡ÅÁ‹Ø ·äèÕ ´ÊŒ ÅÒ¡ËÁÒÂàÅ¢ 2
Ê§‹ µÇÑ á·¹ÍÍ¡ÁÒÍÀ»Ô ÃÒÂË¹ÒŒ ª¹éÑ àÃÂÕ ¹
รัฐภูมไิ ม่ได้จ่ำยดอกเบีย้ ดังกล่ำวเป็นเวลำ 3 เดือน ทำงธนำคำรจงึ ไดม้ ีกำรทวงถำมเงินกู้พร้อมดอกเบย้ี ¨Ò¡¡ÒÃÈ¡Ö ÉÒµÑÇÍÂÒ‹ §·èÕ 29

เป็นจ�ำนวนเงนิ 46,058.50 บำท จงหำวำ่ รัฐภมู ิได้กู้เงินจำกธนำคำรเป็นจ�ำนวนเงินเท่ำไร เม่อื ธนำคำร 12. ¼ÊŒÙ Í¹áÅÐ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹¤¹Í¹è× ÃÇ‹ Á¡¹Ñ µÃÇ¨ÊÍº
¤ÇÒÁ¶Ù¡µÍŒ §
คดิ ดอกเบ้ีย 12% ทบตน้ เดือนละคร้งั p = s(1 + i)-n
เกร็ดแนะ ผสู อน
วธิ ที ำ� จำกสูตร
¼ÊŒÙ Í¹ÍÒ¨àµÃÂÕ ÁµÇÑ ÍÂÒ‹ §â¨·Â» Þ˜ ËÒ
แทน s = 46,058.50 บำท, i = 1122% = 1% ต่องวด (1 เดือิ น) และ n = 3 งวด à¡èÕÂÇ¡Ñº¡ÒÃ¤íÒ¹Ç³ËÒà§Ô¹µŒ¹ ËÃ×Í
จะได้ p = 46,058.50(1 + 0.01)-3 ´Í¡àºÂéÕ ËÃÍ× à§¹Ô ÃÇÁ ÁÒà¢ÂÕ ¹º¹¡ÃÐ´Ò¹
= 46,058.50(1.01)-3 ¨Ò¡¹¹éÑ ãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹áÊ´§Ç¸Ô ·Õ Òí Å§ã¹¡ÃÐ´ÒÉ
A4 àÁè×ÍàÊÃ¨ç áÅŒÇ¹Òí Ê§‹ ¼ÙŒÊÍ¹µÃÇ¨
= 46(1,0.0518).530
46,058.50
= 1.030301

p = 44,703.93

ดังนัน้ รฐั ภมู กิ เู้ งนิ จำกธนำคำรเปน็ จำ� นวนเงิน 44,703.93 บำท ตอบ

139

ÇàÔ ¤ÃÒÐË¤ íÒµÍº Vocational Skills
Ç¸Ô ·Õ Òí ¨Ò¡ áÃ§ = ÁÇÅ × ¤ÇÒÁàÃ‹§
¤ÇÒÁÃàŒÙ ¡ÂèÕ Ç¡ºÑ ¡ÒÃà§¹Ô ÍµÑ ÃÒ´Í¡àºÂÕé
áÃ§ = 9.1 × 10-31 × 2.6 × 102 ¡ Ò Ã «×é Í ¢ Ò Â à §Ô ¹ Ê ´ á Å Ð ¡ Ò Ã «×é Í ¢ Ò Â
= 2.366 × 101 × 1029 à§Ô¹¼‹Í¹à»š¹·Ñ¡ÉÐ¤ÇÒÁÃÙŒ·Õè¹íÒä»ãªŒã¹
= 2.366 × 10-28 ¡ÒÃ»ÃÐ¡ÍºÍÒªÕ¾ä´ŒËÅÒÂÍÒªÕ¾ àª‹¹
¹Ñ¡ºÑÞªÕ ¹Ñ¡ÀÒÉÕÍÒ¡Ã ¹Ñ¡¤³ÔµÈÒÊµÃ
´§Ñ ¹¹Ñé áÃ§·¡Õè ÃÐ·íÒµ‹ÍÍàÔ Å¡ç µÃÍ¹à·‹Ò¡Ñº 2.366 × 10-28 »ÃÐ¡¹Ñ ÀÑÂ ¹Ñ¡Ê¶ÔµÔ à»¹š µŒ¹

µÍº¢ŒÍ 2.

139

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up

สอน ตัวอยำงที่ 30

13. ãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹¢Í§¡ÅÁ‹Ø ·äèÕ ´ÊŒ ÅÒ¡ËÁÒÂàÅ¢ 3 กล้องถ่ำยรูปยห่ี ้อหนึง่ ปด รำคำไว้ 25,000 บำท เม่ือซอื้ เงินสดจะได้รับส่วนลด 20% แต่ถ้ำซ้อื เงินเชอ่ื จะ
Ê§‹ µÇÑ á·¹ÍÍ¡ÁÒÍÀ»Ô ÃÒÂË¹ÒŒ ª¹éÑ àÃÂÕ ¹
¨Ò¡¡ÒÃÈ¡Ö ÉÒµÑÇÍÂ‹Ò§·èÕ 30 ตอ้ งชำ� ระเงนิ 25,900 บำท ภำยหลังวนั ที่ซื้อหนึ่งเดอื น จงเปรียบเทียบเงนิ ตน้ ของรำคำเงินเชอ่ื กบั รำคำ

14. ãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹¢Í§¡ÅÁ‹Ø ·äÕè ´ÊŒ ÅÒ¡ËÁÒÂàÅ¢ 4 เงนิ สด ถำ้ คดิ ดอกเบย้ี ในอัตรำ 9% ทบตน้ เดอื นละครงั้
Ê§‹ µÇÑ á·¹ÍÍ¡ÁÒÍÀ»Ô ÃÒÂË¹ÒŒ ª¹Ñé àÃÂÕ ¹ s = p(1 + i)n
¨Ò¡¡ÒÃÈÖ¡ÉÒµÇÑ ÍÂ‹Ò§·èÕ 31 วิธที �ำ จำก
แแลทะน ns == 12 5ง,ว9ด00 บำท, i = 91%2 ต่องวด (1 เดือน) = 0.75% ต่องวด (1 เดือน)
15. ¼ÊŒÙ Í¹áÅÐ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹¤¹Í¹×è ÃÇ‹ Á¡¹Ñ µÃÇ¨ÊÍº 0.75
¤ÇÒÁ¶¡Ù µÍŒ § จะได้ 25,900 = p(1 + 100 )

16. ¼ÙŒÊÍ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹áµ‹ÅÐ¡ÅØ‹Á¤Œ¹¤ÇŒÒâ¨·Â 25,900 = p(1.0075)
¡ÒÃ»ÃÐÂØ¡µãªŒàÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§¨Ò¡áËÅ‹§ 25,900
àÃÂÕ ¹ÃÍŒÙ ¹×è æ ËÃÍ× ÊÃÒŒ §â¨·Â¡ ÒÃ»ÃÐÂ¡Ø µ p = 1.0075
ãªàŒ Å¢Â¡¡Òí Å§Ñ ÁÒ¡ÅØ‹ÁÅÐ 6 ¢ŒÍ ¾ÃÍŒ Á
áÊ´§ÇÔ¸Õ·íÒ àÁè×ÍàÊÃç¨áÅŒÇ¹íÒÊ‹§¼ÙŒÊÍ¹ p = 25,707.19 ≈ 25,707.25
µÃÇ¨
นัน่ คอื เงินต้นของรำคำเงินเชอื่ เท่ำกบั 25,707.25 บำท
ถซ้ำ้ือซเงอ้ื นิ เงสินดสตดอ้ ไงดจ้ร่ำับยสเงว่ ินน ล2ด5 ,01200000 -× 52,050,000 0= =2 05,0,00000 บบำำทท

ดงั นนั้ เงนิ ตน้ ของรำคำเงนิ เชอ่ื แพงกวำ่ รำคำเงนิ สด 25,707.25 - 20,000 = 5,707.25 บำท ตอบ

ตัวอยำงท่ี 31

จงหำอัตรำดอกเบ้ยี ของเงินต้น 1,000,000 บำท เม่อื ให้กูโ้ ดยคดิ ดอกเบย้ี ทบต้นปละคร้งั เปน็ ระยะเวลำ

5 ป แล้วไดเ้ งนิ รวม 1,257,000 บำท s = p(1 + i)n

วิธีท�ำ จำกสตู ร

แทน p = 1,000,000 บำท, s = 1,257,000 บำท และ n = 5 งวด
1,257,000 = 1,000,000(1 + i)5
(1 + i)5 1,257,000
(1 + i)5 = 11,.020507,000
=
(1 + i)5 = (1.0456)5
เกร็ดแนะ ผูสอน

¼ÊŒÙ Í¹¤ÇÃà»´ âÍ¡ÒÊãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹«¡Ñ ¶ÒÁ 1 + i = 1.0456
à¡èÕÂÇ¡Ñº¡ÒÃ¤íÒ¹Ç³ÍÑµÃÒ´Í¡àºÕéÂ ¡ÒÃ
ËÒà§¹Ô µ¹Œ ¡ÒÃËÒà§Ô¹ÃÇÁ ÃÇÁ·§éÑ à¹¹Œ ÂéÒí i = 1.0456 - 1
ÊÙµÃã¹¡ÒÃ¤íÒ¹Ç³´Í¡àºÂÕé à¾è×Í·è¼Õ ŒÙàÃÂÕ ¹
¨Ðä´ŒÊÒÁÒÃ¶¹íÒä»¤íÒ¹Ç³´Í¡àºÕéÂã¹ i = 0.0456
¡ÒÃ½Ò¡à§Ô¹ÍÍÁ áÅÐÇÒ§á¼¹¡ÒÃà§Ô¹ã¹
Í¹Ò¤µä´Œ i = 4.56%

ดังนัน้ อตั รำดอกเบี้ย คือ 4.56% ตอบ

140

คขอ้ ิดสอวบิเแคนรว าะห์

ผูเรียน ควรรู ¨§ËÒà§¹Ô µŒ¹¢Í§à§¹Ô ÃÇÁ 150,000 ºÒ· ·èäÕ ´ŒÃÑºàÁÍè× ÊÔ¹é »‚·Õè 5
¤Ô´´Í¡àºÕéÂã¹ÍµÑ ÃÒ 3% ·ºµŒ¹»Å‚ Ð¤Ãé§Ñ
·ºµ¹Œ »Å‚ Ð¤ÃÑ§é ËÁÒÂ¶Ö§ ¡ÒÃ¤íÒ¹Ç³à§Ô¹µ¹Œ ¤³Ù ´ÇŒ ÂÍµÑ ÃÒ´Í¡àºéÂÕ
áÅŒÇ¨Ðä´Œà»š¹´Í¡àºÕéÂ ¨Ò¡¹éÑ¹¹íÒä»ÃÇÁ¡Ñºà§Ô¹µŒ¹ «èÖ§¨Ð¤íÒ¹Ç³»‚ÅÐ 1. 129,391.32 ºÒ·
1 ¤Ã§éÑ 2. 132,460.38 ºÒ·
3. 156,410.72 ºÒ·
·ºµŒ¹à´×Í¹ÅÐ¤ÃÑé§ ËÁÒÂ¶Ö§ ¡ÒÃ¤íÒ¹Ç³à§Ô¹µŒ¹¤Ù³´ŒÇÂÍÑµÃÒ 4. 172,880.80 ºÒ·
´Í¡àºÂéÕ áÅÇŒ ¨Ðä´àŒ »¹š ´Í¡àºÂÕé ¨Ò¡¹¹éÑ ¹Òí ä»ÃÇÁ¡ºÑ à§¹Ô µ¹Œ «§èÖ ¨Ð¤Òí ¹Ç³ 5. 189,475.97 ºÒ·
à´×Í¹ÅÐ 1 ¤Ã§Ñé

140

นาํ Warm-up สสออนน InIsntsrtruuccttioionn สรปุ Wrap-up

Math Corner สอน

ฟงกชันเอกซโพเนนเชียล 17. ¼àŒÙ ÃÂÕ ¹ÍÒ‹ ¹º·¤ÇÒÁàÃÍ×è § ¿§˜ ¡ª ¹Ñ àÍ¡«-
â¾à¹¹àªÂÕ Å áÅÐÈ¡Ö ÉÒµÇÑ ÍÂÒ‹ §¡ÒÃà¢ÂÕ ¹
Exponential Function ¡ÃÒ¿¿˜§¡ªÑ¹àÍ¡«â¾à¹¹àªÕÂÅ ¨Ò¡
Ë¹§Ñ ÊÍ× àÃÂÕ ¹
ฟงกชันทางคณิตศาสตรน้ันมีหลายรูปแบบ ซึ่งแตละแบบจะมีความแตกตางกัน ในท่ีนี้จะกลาวถึง
ฟง กช ันเอกซโ พเนนเชยี ล ซ่ึงมีนิยามดงั ตอไปนี้ 18. ¼ÙŒÊÍ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹ÊÃŒÒ§â¨·Â»˜ÞËÒàÃ×èÍ§
¿§˜ ¡ªÑ¹àÍ¡«â¾à¹¹àªÕÂÅ áÅÐ¡ÒÃà¢ÂÕ ¹
นิยาม ฟง กชันเอกซโพเนนเชียล ¡ÃÒ¿ 1 ¢ÍŒ Å§ã¹¡ÃÐ´ÒÉ A4 ¾ÃÍŒ Á·§éÑ
áÊ´§Ç¸Ô ¤Õ Ô´ àÊÃ¨ç áÅŒÇ¹Òí Ê‹§¼ÊŒÙ Í¹µÃÇ¨
ƒ = {(x. y) ∈ R × R | y = ax, a > 0, a ≠ 1}
19. ¼ÙŒÊÍ¹µÃÇ¨¼Å§Ò¹áÅÐ¤Ñ´àÅ×Í¡¼Å§Ò¹
จากบทนิยามของฟงกชันเอกซโพเนนเชียล จะเห็นไดวาฟงกชันน้ีมีรูปแบบในรูปของเลขยกกําลัง ·èÕ¶¡Ù µÍŒ §ÊÁºÃÙ ³ 2 - 3 ¼Å§Ò¹ áÅŒÇãËŒ
โดยฐานของเลขยกกาํ ลังตอ งมคี า มากกวา 0 และฐานตองไมเ ปน 1 เชน à¨ŒÒ¢Í§¼Å§Ò¹áµ‹ÅÐ¤¹ÍÍ¡ÁÒ¹íÒàÊ¹Í
¼Å§Ò¹¢Í§µ¹àÍ§Ë¹ŒÒªÑ¹é àÃÂÕ ¹
y = 10x y = (110)x y = (sin 60 )ํ x y = ( 3 )x เปนตน
ตวั อยาง 20. ¼ÙŒÊÍ¹áÅÐ¼ÙŒàÃÕÂ¹Ã‹ÇÁ¡Ñ¹ÍÀÔ»ÃÒÂ
à¡èÕÂÇ¡Ñº¿§˜ ¡ª ¹Ñ àÍ¡«â ¾à¹¹àªÕÂÅ
ฟงกกชัานรเขเมียื่อนหกราาคฟาขอyงฟจง ะกทช ํานั ใหyไ=ดค(41ํา)ตx อสบามดาังรตถาทราําไงดโ แดลยวกนารํากคําูอหันนดดับคใา นxตาแรลาว งแไทปนพคลา อตxกลรงาใฟน
ดังรปู เกร็ดแนะ ผสู อน

xy (-2, 16) y ËÅÑ§¨Ò¡·Õè¼ÙŒÊÍ¹ä´ŒÍ¸ÔºÒÂº·¤ÇÒÁ
16 à¡ÕèÂÇ¡Ñº¿˜§¡ªÑ¹àÍ¡«â¾à¹¹àªÕÂÅ¼ÙŒÊÍ¹
-2 16 ¤ÇÃà»´ âÍ¡ÒÊãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹ä´«Œ ¡Ñ ¶ÒÁ¢ÍŒ Ê§ÊÂÑ
14 µ‹Ò§æ ¾ÃŒÍÁ·éÑ§ãËŒ¼ÙŒÊÍ¹àµÃÕÂÁµÑÇÍÂ‹Ò§
-1 4 ËÃ×ÍÊ×èÍ»ÃÐ¡Íº¡ÒÃàÃÕÂ¹¡ÒÃÊÍ¹Íè×¹æ
12 ·èÕà¡ÕèÂÇ¢ŒÍ§¡Ñº¿˜§¡ªÑ¹àÍ¡«â¾à¹¹àªÕÂÅ
01 ÁÒ»ÃÐ¡Íº¡ÒÃÊÍ¹ à¾×èÍàÊÃÔÁÊÃŒÒ§ãËŒ
1 14 10 ¼ŒÙàÃÂÕ ¹à¡Ô´¤ÇÒÁà¢ÒŒ ã¨ÁÒ¡ÂÔ§è ¢¹éÖ
2 116
8

6

(-1, 4) 4

-10 -5 2 (2, 116) 10 x
(0, 1) (1, 41_) 5

141

ÇàÔ ¤ÃÒÐË¤ íÒµÍº

Ç¸Ô ·Õ Òí ¨Ò¡ p = S(1 + i)-n
p = 150,000 1 + 1030 -5
p = 150,000 (1.03)-5
p = 129,391.32
´Ñ§¹¹Ñé à§¹Ô µŒ¹ ¤×Í 129,391.32 ºÒ·

µÍº¢ŒÍ 1.

141

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp

สรปุ

21. ¼ÙŒÊÍ¹ÊÒ¸Ôµ¡ÒÃáÊ´§ÇÔ¸Õ·íÒ¢Í§â¨·Â แบบฝกทักษะที่ 4.6
¡ÒÃ»ÃÐÂ¡Ø µ¡ ÒÃãªàŒ Å¢Â¡¡Òí Å§Ñ ¨Ò¡áºº
½¡ƒ ·¡Ñ ÉÐ·Õè 4.6 â´ÂãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹àÅÍ× ¡ÁÒ 1 ค�ำช้ีแจง ให้ผ้เู รียนตอบค�ำถำมตอ่ ไปนี้
¢ŒÍ
1. แ ผ่นไม้ขนำดเดียวกัน 2 แผ่น มีด้ำนกว้ำง 3 เซนติเมตร และด้ำนยำว 10 เซนติเมตร
22. ¼ÙŒÊÍ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹¨Ñº¤Ù‹¡Ñ¹·íÒáºº½ƒ¡ ยึดติดกัน ดว้ ยกำรวำงอยู่บนพ้นื รำบลน่ื ถ้ำออกแรงดงึ 30 นิวตนั จงหำว่ำขณะนัน้ จะเกดิ
·¡Ñ ÉÐ·èÕ 4.6 àÃÍ×è § ¡ÒÃ»ÃÐÂ¡Ø µãªàŒ Å¢ ควำมเคน้ (Stress) เทำ่ ไร
Â¡¡íÒÅ§Ñ ก�ำหนด S แ= ทนAF ควำมเค้นท่ีเกดิ บนวตั ถุ มีหน่วยเปน็ นวิ ตันต่อตำรำงเมตร
เมื่อ S
เกร็ดแนะ ผสู อน F แทน แรงทกี่ ระท�ำ มีหน่วยเป็นนิวตัน
A แทน พื้นที่หน้ำตดั ของวัตถ ุ มหี นว่ ยเปน็ ตำรำงเมตร
¼ÊŒÙ Í¹¤ÇÃÊÃ»Ø ¢¹éÑ µÍ¹ã¹¡ÒÃá¡âŒ ¨·Â
»˜ÞËÒ áÅŒÇãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹ã¹ªéÑ¹àÃÕÂ¹àÅ×Í¡ วธิ ที ำ� จำก S = AF.........................................................................................................................................................................................................
â¨·ÂÁÒ 1 ¢ŒÍ ·èÕ¼ÙŒàÃÕÂ¹ÍÂÒ¡ãËŒ¼ÙŒÊÍ¹
ÊÒ¸Ôµ¡ÒÃá¡Œâ¨·Â»˜ÞËÒãËŒ¡Ñº¼ÙŒàÃÕÂ¹ .........................................................................................................................................................................................................
´Ù¡‹Í¹·Õè¨ÐãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹ä´ŒÅ§Á×Í·íÒáºº½ƒ¡
·¡Ñ ÉÐ´ŒÇÂµ¹àÍ§ S = 3 310 1010..........................................................................................×........×.....×..........-.2.......................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

S = 1..........................................................................................-..2.............................................................................................................
S = 1100..........................................................................................2...............................................................................................................

S = 100.........................................................................................................................................................................................................

... ...............ด...งั...น...น้ั... .. ........จ..ะ...เ.ก...ด.ิ ...ค...ว..ำ...ม...เ.ค....น้ ... ..เ.ท...ำ่...ก...บั ... ..1..0...0.. ..น....วิ ..ต...นั..../..ต...ำ...ร..ำ..ง...เ.ม...ต....ร...................................................................

2. เตำไฟฟำ 480 วัตต ์ และกระแสไฟฟำ 6 แอมแปร ์ จงหำควำมต้ำนทำนของเตำไฟฟำ น้ี
ก�ำหนด P = I2R
เมอ่ื P แทน ก�ำลงั ไฟฟำ ทเ่ี ตำไฟฟำ มีหนว่ ยเป็น วตั ต์
I แทน กระแสไฟฟำ มีหนว่ ยเป็น แอมแปร์
R แทน ควำมต้ำนทำน มีหน่วยเปน็ โอหม์

วธิ ที ำ� จำก P = I R.......................................................................................2..................................................................................................................
480 = (6) R...........................................................................................2..............................................................................................................

480 = 36R.........................................................................................................................................................................................................
R = 43860.........................................................................................................................................................................................................
R = 13.33.........................................................................................................................................................................................................

... ...............ด...งั...น...นั้ ... .. ........ค...ว..ำ...ม...ต...ำ้..น....ท...ำ..น...ข...อ...ง...เ.ต...ำ...ไ..ฟ...ฟ....ำ้ ..น... ี้..ค...อื... ..1...3.....3..3... ..โ..อ..ห....ม์ .......................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

142

ผูเรียน ควรรู ขค้อิดสอวบิเแคนรว าะห์

¤ÇÒÁà¤Œ¹ ËÁÒÂ¶Ö§ áÃ§µŒÒ¹ÀÒÂã¹à¹×éÍÇÑÊ´Ø·ÕèÁÕµ‹ÍáÃ§ÀÒÂ¹Í¡ á¼¹‹ äÁŒ 2 á¼¹‹ Á¾Õ ¹é× ·ËÕè ¹ÒŒ µ´Ñ à·Ò‹ ¡¹Ñ 5.6 × 10 µÒÃÒ§à«¹µàÔ ÁµÃ
·ÕèÁÒ¡ÃÐ·íÒµ‹ÍË¹èÖ§Ë¹‹ÇÂ¾é×¹·èÕ¹ÔÇµÑ¹ à»š¹Ë¹‹ÇÂàÍÊäÍ¢Í§áÃ§ã¹ÇÔªÒ Â60´Ö 1µ.¹´Ô ÔÇ1¡µ0¹Ñ Ñ¹1.´2¨ÇŒ 2ÐÂà¡¡ÒÔ´Ã¤ÇÇÒÒ§ÍÁÂà¤º‹Ù Œ¹¹à¾·¹×é‹ÒãÃ´ÒºÅ¡¹è×íÒË¶¹ÒŒ ´ÃªÑãËªÒŒ ¹S¹=·Í AFÍ¡áÃ§´§Ö
¿ÊÔ¡Ê «Öè§µéÑ§ª×èÍµÒÁªè×Í¢Í§à«ÍÃäÍá«¡ ¹ÔÇµÑ¹ à¾×èÍà»š¹¡ÒÃÃÐÅÖ¡¶Ö§
¼Å§Ò¹¢Í§à¢Ò 2. 103.66
3. 105.78
4. 107.14
5. 109.60

142

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp

3. กระแสไฟฟำ ไหลผำ่ น 1.6 มลิ ลิแอมแปร ์ มคี วำมต่ำงศกั ย ์ 4 กิโลโวลต์ จงหำควำมตำ้ นทำน สรปุ

ของกระแสไฟฟำ นี้ 23. ¼ÙŒÊÍ¹ÊØ‹Á¼ÙŒàÃÕÂ¹ 5 ¤Ù‹ ÍÍ¡ÁÒª‹ÇÂ¡Ñ¹
ก�ำหนด V = IR áÊ´§Ç¸Ô ¡Õ ÒÃ·Òí â¨·Â» Þ˜ ËÒà¡ÂèÕ Ç¡ºÑ ¡ÒÃ
»ÃÐÂ¡Ø µã ªàŒ Å¢Â¡¡Òí Å§Ñ ã¹áºº½¡ƒ ·¡Ñ ÉÐ
เม่อื V แทน ควำมต่ำงศักยไ์ ฟฟำ มหี น่วยเปน็ โวลต์ ·èÕ 4.6 º¹¡ÃÐ´Ò¹
I แทน กระแสไฟฟำ
มหี น่วยเป็น แอมแปร์ 24. ¼ÙŒÊÍ¹à©ÅÂ¤íÒµÍº¢Í§â¨·Â»˜ÞËÒ
à¡ÂÕè Ç¡ºÑ ¡ÒÃ»ÃÐÂ¡Ø µ¡ ÒÃãªàŒ Å¢Â¡¡Òí Å§Ñ
R แทน ควำมต้ำนทำน มีหนว่ ยเปน็ โอห์ม ã¹áºº½ƒ¡·Ñ¡ÉÐ·Õè 4.6 º¹¡ÃÐ´Ò¹

วธิ ที ำ� จำก V = IR......................................................................................................................................................................................................... 25. ¼ÙŒàÃÕÂ¹áµ‹ÅÐ¤¹µÃÇ¨¤íÒµÍºã¹áºº½ƒ¡
·¡Ñ ÉÐ·èÕ 4.6 ¢Í§µ¹àÍ§ áÅÐá¡äŒ ¢ÊÇ‹ ¹·èÕ
4 10R == (11.46.6 110100 )R = 4 11.60..........................................................................................................................×....................3............................................×..×....×............3....-....3-....3..................................................×..................3....+..3................................................................................................................ ¼´Ô ¾ÅÒ´ãË¶Œ Ù¡µÍŒ § àÁÍè× àÊÃ¨ç áÅŒÇ¹íÒÊ‹§
R = 4 1.160 = 2,500,000..................................................................................................................................................................................×....................6............................................................................................................................................................................................................ ¼ÙÊŒ Í¹
... ...............ด...ง.ั ..น...น้ั... .. ........ค...ว...ำ..ม...ต...ำ้...น...ท...ำ..น....ข..อ...ง...ก...ร..ะ...แ..ส...ไ..ฟ....ฟ...ำ้...น... ้ี..ค...อื... ..2...,5...0...0..,.0...0..0... ..โ..อ..ห....ม์ ........................................................
26. ¼ÙŒÊÍ¹áÅÐ¼ÙŒàÃÕÂ¹Ã‹ÇÁ¡Ñ¹ÊÃØ»¤ÇÒÁÃÙŒ
4. แสงมคี วำมเรว็ ประมำณ 3 × 105 กโิ ลเมตรตอ่ วินำที จงหำว่ำในระยะเวลำ 2 ป  แสงจะ à¡ÕèÂÇ¡ºÑ ¡ÒÃ»ÃÐÂØ¡µãªŒàÅ¢Â¡¡íÒÅ§Ñ

เดินทำงได้ระยะทำงเท่ำไร เกร็ดแนะ ผสู อน

...ว..ธิ...ที ...ำ�.. .....1... ..ว..นั... ..ม.... ี ..2..4... ..ช..ว.ั่ ..โ..ม...ง.. .................. ....=... .....2...4.. ..×.....3...,.6..0...0................=......8...6..,.4...0...0.. ..............ว..นิ...ำ...ท...ี.................................. ¼ÙŒÊÍ¹¤ÇÃªéÕá¹ÐãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹Í‹Ò¹â¨·Â
... ...............1... ..ป... ี ..ม... ี ..3...6..5... ..ว..นั ... ......................... ....=... .....8...6..,.4...0..0.....×.....3..6...5...........=......3...1..,.5...3...6..,.0...0..0... .....ว..นิ ...ำ...ท...ี .................................. »Þ˜ ËÒ 2 - 3 ¤Ã§éÑ áÅÇŒ ¾Ô¨ÒÃ³ÒÇÒ‹ ÍÐäÃ
... ...............2... ..ป... ี ............................................... ....=... .....3...1..,.5...3..6...,.0..0...0....×.....2........=......6...3..,.0...7...2..,.0...0..0... .....ว..นิ ...ำ...ท...ี .................................. à»š¹ÊÔè§·Õèâ¨·ÂãËŒÁÒ «Öè§ÁÕà§è×Í¹ä¢ÍÂ‹Ò§äÃ
... ...............แ...ส...ง...ม...คี ...ว..ำ...ม...เ.ร...ว็..ป....ร..ะ..ม....ำ..ณ.... ..3.....×.....1...0..5.. ..ก...โิ..ล...เ.ม...ต....ร..ต...อ่...ว...นิ ...ำ..ท....ี ............................................................................... áÅÐÍÐäÃà»¹š Ê§Ôè ·âèÕ ¨·Âµ ÍŒ §¡ÒÃ·ÃÒº à¾Í×è
... ...............ด...ง.ั ..น...นั้... .. ........ใ..น...ร..ะ...ย...ะ..เ..ว..ล...ำ... ..2.. ..ป... ี..แ...ส...ง..จ...ะ...เ.ด....นิ ...ท...ำ..ง...ไ.ด....ร้ ..ะ..ย...ะ...ท...ำ..ง... ...=... ....3....×.....1...0...5...×.....6.....3...0...7..2.....×.....1...0..7............ ãË¼Œ àŒÙ ÃÂÕ ¹ÊÒÁÒÃ¶á¡âŒ ¨·Â» Þ˜ ËÒà¡ÂèÕ Ç¡ºÑ
.............................................................................=........1...8.....9..2...1...6....×.....1...0...1.2.. ..ก...โิ..ล...เ..ม...ต...ร...ต...อ่...ว...ิน...ำ...ท...ี ............................................ ¡ÒÃ»ÃÐÂØ¡µãªŒàÅ¢Â¡¡íÒÅÑ§ä´¶Œ Ù¡µÍŒ §

5. เ สำตน้ หน่ึงมแี รงกดลงทำ� ให้ควำมยำวของเสำลดลง 3.5 มิลลิเมตร จงหำควำมยำวเดิมของ

เสำต้นน้ี ถ้ำควำมเครียดเทำ่ กับ 0.0005

ก�ำหนดควำมเครยี ด = (ควำมยำวที่เปลยี่ นไป) ÷ (ควำมยำวเดมิ )

...ว..ธิ...ที ...ำ�.. .....จ...ำ..ก... ......................ค...ว...ำ..ม...เ..ค...ร...ยี ...ด... ....=... ......ค...ว...ำ.ค.ม...ว.ย.ำ..ำ.ม.ว..ย.ท..ำ.เ่ี.ว.ป..เ.ล.ด..่ีย.ิม..น. ..ไ..ป............................................................................

0.0005 = คว3ำ.5มยำ1ว0เดมิ ..................................................................................................................................................................................................×..................-....3..........................................................................................................................................................................................

ควำมยำวเดมิ = 3.05.001005 = 7..........................................................................................................................................................................................×....................-..3..................................................................................................................................................................................................
... ...............ด...ง.ั ..น...น้ั... .. ........ค...ำ่..ค....ว..ำ..ม....ย...ำ..ว..เ..ด...มิ...ข...อ...ง..เ..ส...ำ..ต....น้ ...น... ี้..เ..ท...ำ่ ..ก...บั... ..7... ..เ.ม...ต....ร..........................................................................

143

ÇÔà¤ÃÒÐË¤íÒµÍº AF ผูเรียน ควรรู
5.6
Ç¸Ô Õ·Òí ¨Ò¡ S = 6 10 áÍÁá»Ã ËÁÒÂ¶Ö§ ¡ÃÐáÊ¤§·Õè â´Â·èÕËÒ¡¤§ÍÂÙ‹ã¹µÑÇ¹íÒ¨Ðà»š¹
S = àÊ¹Œ µÃ§¢¹Ò¹¡¹Ñ 2 µÇÑ ·ÁÕè ¤Õ ÇÒÁÂÒÇäÁ‹¨Òí ¡Ñ´ ÁÀÕ Ò¤µÑ´¢ÇÒ§·àèÕ Åç¡ÁÒ¡
× 1×0 × 10 -2 áÅÐÇÒ§ËÒ‹ §¡¹Ñ 1 àÁµÃ ã¹ÊÞØ ÞÒ¡ÒÈ ¡¨ç Ð¡Í‹ ãËàŒ ¡´Ô áÃ§ÃÐËÇÒ‹ §µÒí áË¹§‹
S = 6 ×5.6102 = 107.14 ·§éÑ ÊÍ§¹àÕé ·Ò‹ ¡Ñº 2 × 10-7 ¹ÔÇµÑ¹ µÍ‹ ¤ÇÒÁÂÒÇ 1 àÁµÃ
´§Ñ ¹é¹Ñ ¨Ðà¡Ô´¤ÇÒÁà¤¹Œ à·‹Ò¡Ñº 107.14 ¹ÔÇµ¹Ñ / µÒÃÒ§àÁµÃ

µÍº¢ŒÍ 4.

143

นาํ Warm-up สอน Instruction สสรรปุปุ WWrraapp--uupp

สรปุ บทสรุป

27. ¼ÙŒÊÍ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹Í‹Ò¹º·ÊÃØ»¢Í§Ë¹‹ÇÂ n ตัว
¡ÒÃàÃÕÂ¹ÃŒÙ àÅ¢Â¡¡íÒÅ§Ñ • an = a × a × a × … × a เม่ือ a เปน็ จ�ำนวนจรงิ ใดๆ และ n เป็นจำ� นวนเต็มบวกเรำเรยี ก
an ว่ำเลขยกก�ำลัง โดยท่ี a เป็นฐำนของเลขยกก�ำลัง และ n เป็นเลขช้ีก�ำลัง ในกำรใช้สมบัติของ
28. ¼ÙŒÊÍ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹áµ‹ÅÐ¤¹ÊÃØ»»ÃÐâÂª¹
·Õè¨Ò¡¡ÒÃÈÖ¡ÉÒã¹Ë¹‹ÇÂ¡ÒÃàÃÕÂ¹ÃÙŒ¹Õé เลขยกกำ� ลัง สำมำรถใชไ้ ดก้ ็ตอ่ เมื่อ a และ b เปน็ จ�ำนวนจริงใดๆ ทไี่ ม่เท่ำกับศูนย์ และ m, n เป็น
à»š¹á¼¹¼Ñ§¤ÇÒÁ¤Ô´Å§ã¹¡ÃÐ´ÒÉ A4
àÊÃç¨áÅŒÇ¹Òí Ê§‹ ¼ÊŒÙ Í¹µÃÇ¨ จ�ำนวนเตม็

29. ¼ÙŒÊÍ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹ÈÖ¡ÉÒ¤íÒÈÑ¾·¨Ò¡ • กำรบวกกำรลบ เลขยกกำ� ลงั สำมำรถท�ำได้เม่อื เลขยกกำ� ลังนัน้ มีฐำนเทำ่ กัน และเลขชี้กำ� ลงั
Ë¹Ñ§Ê×ÍàÃÕÂ¹ ¨Ò¡¹éÑ¹ãËŒ¼ÙŒÊÍ¹Í¸ÔºÒÂ
ÃÙ»áºº¡ÒÃà¢ÕÂ¹áÅÐ¡ÒÃËÒ¤‹Ò¢Í§àÅ¢ เท่ำกนั จำกนั้นนำ� สัมประสิทธิ์ของเลขยกก�ำลงั นน้ั มำบวกลบกนั
Â¡¡íÒÅÑ§ áÅÐÂ¡µÑÇÍÂ‹Ò§ÊèÔ§·Õèà¡ÕèÂÇ¢ŒÍ§
¡ºÑ ¤íÒÈ¾Ñ ·à ¾èÁÔ àµÔÁãËŒá¡¼‹ ÙàŒ ÃÕÂ¹ • กำรคณู เลขยกก�ำลงั สำมำรถทำ� ไดโ้ ดย นำ� เลขช้กี �ำลงั ท่มี ีฐำนเหมอื นกันมำบวกกัน

• กำรหำร เลขยกกำ� ลัง ใหน้ ำ� เลขชก้ี �ำลังที่มีฐำนเหมอื นกนั มำลบกนั

• เลขยกก�ำลังทม่ี ีเลขชี้ก�ำลังเปน็ จำ� นวนตรรกยะ ถ้ำ a เป็นจ�ำนวนจรงิ บวก m และ n เป็น
จ�ำนวนเตม็ โดยที่ n > 1 จะได้ a1n = n a อำ่ นวำ่ รำกท่ ี n ของ a
amn = n am อำ่ นว่ำ รำกท ่ี n ของ a ยกกำ� ลัง m

• สมกำรเอกซ์โพเนนเชียล คอื สมกำรทม่ี เี ลขชกี้ �ำลังเป็นตัวแปร โดยกำรแกส้ มกำรทอี่ ยูใ่ นรปู
เลขยกกำ� ลังทำ� ไดโ้ ดย ถำ้ ax = ay แลว้ x = y

• เลขยกก�ำลังฐำนสบิ คอื เลขยกกำ� ลังที่มีฐำนเป็น 10 นิยมเขยี นจำ� นวนใดๆ ในรปู
A × 10n เมอ่ื n เป็นจำ� นวนเต็ม และ 1 ≤ A < 10

• กำรประยุกตเ์ ลขยกก�ำลัง เป็นกำรนำ� เลขยกก�ำลังฐำนสบิ บำงจำ� นวน ไปใช้แทนหน่วยกำรวัด

หรือแทนปริมำณใดๆ

ค�ำศัพท

เกร็ดแนะ ผูสอน Power Numbers (การยกกําลัง) เป็นการดา� เนนิ การทางคณติ ศาสตรอ์ ย่างหนง่ึ เขียนอย่ใู นรปู an

¼ÙŒÊÍ¹ãËŒ¼ÙŒàÃÕÂ¹Í‹Ò¹º·ÊÃØ» áÅÐ ซึ่งประกอบด้วยสองจา� นวน คอื ฐาน และเลขชี้ก�าลงั ซ่งึ การยกก�าลังมีความหมายเหมือนการคณู ซ้า� ๆ กัน
¤íÒÈÑ¾· ËÒ¡¼ÙŒàÃÕÂ¹äÁ‹à¢ŒÒã¨ ËÃ×ÍÁÕ กลา่ วคือ a คูณกันเป็นจ�านวน n ตัว เมอ่ื n เปน็ จา� นวนเตม็ บวก
¢ŒÍÊ§ÊÑÂµ‹Ò§æ ãËŒ¼ÙŒÊÍ¹Í¸ÔºÒÂà¾ÔèÁàµÔÁ
¾ÃŒÍÁ·éÑ§Â¡µÑÇÍÂ‹Ò§â¨·Â»ÃÐ¡Íº à¾×èÍ an = a × a × a × ... × a
ãËŒ¼ŒÙàÃÕÂ¹Á¤Õ ÇÒÁÃŒÙ¤ÇÒÁà¢ÒŒ ã¨ÁÒ¡Âè§Ô ¢éÖ¹
n ตวั ab
144
Rational Number (จํานวนตรรกยะ) เปน็ จ�านวนท่ีเขียนแทนได้ด้วยทศนยิ มซ�้า หรอื เศษสว่ น

เมอ่ื a และ b เป็นจา� นวนเต็ม และ b ≠ 0 เชน่ 0, 5, -10, 2 15, 13..52 เป็นตน้

144

คขอ้ ิดสอวบิเแคนรว าะห์

àÊÒµŒ¹Ë¹èÖ§ÁÕáÃ§¡´Å§·íÒãËŒ¤ÇÒÁÂÒÇ¢Í§àÊÒÅ´Å§ 4.5
ÁÅÔ ÅàÔ ÁµÃ ¨§ËÒ¤ÇÒÁÂÒÇà´ÁÔ ¢Í§àÊÒµ¹Œ ¹éÕ ¶ÒŒ àÊÒÁ¤Õ ÇÒÁà¤ÃÂÕ ´
à·‹Ò¡Ñº 0.0003
(¡Òí Ë¹´ ¤ÇÒÁà¤ÃÂÕ ´ = ¤ÇÒÁÂÒÇ·àèÕ »ÅÂèÕ ¹ä» ÷ ¤ÇÒÁÂÒÇà´ÁÔ )

1. 5 àÁµÃ
2. 10 àÁµÃ
3. 15 àÁµÃ
4. 20 àÁµÃ
5. 25 àÁµÃ

Pages:

Click to View FlipBook Version