127Geometría1 IntroductorioOBJETIVOS:a Analizar los conceptos geométricos básicos.a Estudiar los conceptos del Teorema de Pitágoras.a Aplicar los conceptos del Teorema de Pitágoras.Se inicia por la necesidad del hombre de medir terrenos. Nació en Egipto alrededor de 3000 años a.C. Los egipcios necesitaban tener conocimientos adecuados para construir pirámides, monumentos, etc. Aproximadamente, siete siglos a.C., la Geometría pasó de los egipcios a los griegos, quienes le dieron gran impulso.La Geometría antigua era sólo ‘‘intuitiva’’, se aceptaban los hechos sin necesidad de probarlos. Tales de Mileto (600 a.C.) introdujo la idea de ‘‘probar’’ los hechos. Esta notable contribución marca el comienzo de la Geometría ‘‘demostrativa’’. Los métodos demostrativos inventados por los griegos encontraron aplicación en la ‘‘Lógica’’, que es el estudio del razonamiento correcto.La Geometría elemental actual se conoce como ‘‘Geometría euclídea’’ porque se basa en el importante libro escrito por el sabio Euclides (aprox. 280 a.C.) llamado Elementos, el que se sigue utilizando como texto con muy pocas variaciones. La Geometría elemental se basa en ciertos principios estudiados por el sabio Euclides, sin embargo,en el siglo antepasado se han inventado varios sistemas geométricos distintos a los de Euclides.Historia de la Geometría1. DEFINICIÓNEtimológicamente proviene de dos voces griegas: Geo (tierra) y Metron (medida); por lo tanto significa “medida de la tierra”.Es la parte de la Matemática que trata de las propiedades, medidas y relaciones de puntos, líneas, superficies y sólidos. Se suele dividir en Geometría Plana y del Espacio.Estudia sólo figuras de dos dimensiones, (largo y ancho), que se pueden representar en un plano, como líneas, ángulos, triángulos, círculos, polígonos, etc.2. GEOMETRÍA PLANAEjemplos:Estudia las figuras sólidas o de tres dimensiones (largo, ancho y alto) como el cubo, la esfera, el cilindro, el cono, etcétera.3. GEOMETRÍA DEL ESPACIOEjemplos:cubo esferatriángulo círculolíneaα ángulo OBA
1284to Secundaria cilindro conoConjunto de puntos que tienen forma, tamaño y posición definidos.A CBForma(∆ABC) Tamañoplano de referencia (posición)4. FIGURA GEOMÉTRICAEjemplos:5. PLANOEs el conjunto de puntos que forman un espacio de dos dimensiones. Es la intersección de dos rectas.A BmnOm ∩ n = {O}PAl plano se le designa con una letra mayúscula.6. RECTALa intersección de dos planos es un conjunto de puntos que forman un espacio de una dimensión llamado recta.7. PUNTORayo, Semirrecta y Segmento de Recta1. RAYOSe determina en la línea recta, tomando un punto (como origen) y uno de los sentidos.O AOA, donde el punto de origen es O. NotaciónEs uno de los sentidos de la recta.O AEs la porción de la línea recta comprendida entre dos puntos. Sólo en el segmento de recta es posible la medida de longitud.A B2. SEMIRRECTAOA, donde O no es punto de origen. Notación3. SEGMENTO DE RECTAPostulados1) La línea recta posee dos sentidos.2) La línea rec ta se ex tiende indefinidamente en ambos sentidos.3) Dos puntos determinan una recta.4) Por un punto pasa una infinidad de rectas.NotaciónAB
129GeometríaTriángulos PitagóricosSon aquellos triángulos rectángulos que se caracterizan por tener como longitud para sus catetos e hipotenusa valores enteros. Para formar un triángulo pitagórico se establece la siguiente regla de formación:Donde: n : es un número entero impar (≠ 1)n2 + 12 nn2 - 12n : 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ...n2 - 12 nn2 + 12 3 4 5 5 12 13 7 24 25 9 40 41 11 60 61 . . . . . . . . .Teorema de PitagórasA) Originalmente se enunciaba así:El cuadrado mayor, construido sobre la hipotenusa, tiene un área exactamente igual a la suma de las áreas de los otros dos cuadrados construidos sobre los catetos.52 = 42 + 3225 = 16 + 9B) Actualmente se enuncia así:En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.bB CAcaSe cumple: a2 = b2 + c271 x4 8xEjemplos:x2 = 12 + 72 x2 = 1 + 49 x = 5 2x2 + 42 = 82 x2 = 64 - 16 x = 4 3Triángulos NotablesA. TRIÁNGULOS NOTABLES EXACTOSA.1.kk45º45º k 2A.2.2kk30º60ºk 3h = AC4A.3.BA Ch15º
1304to Secundaria 7k24k16º25k 74º1k3k10 k37º/2B.2.1k2k5 k53º/2B.3.B.4.DemostraciónEn todo triángulo rectángulo de 30º y 60º se cumple que :Partiendo de un triángulo equilátero de lado “2a”, trazamos altura BH.⇒ BH = a 330º 60º H CB2aaa 31. Calcule la distancia de “B” a AC.Resolución:Resolución:60º 60º30º30º2a 2aA CBa H a⇒ AH = HC = aLuego por Pitágoras :BH2 + a2 = (2a)2⇒ BH = a 3ABC 45º 37º35m3k45º 37º 3k 4k353k + 4k = 35⇒ k = 5∴ 3k = 152. Calcule la distancia de A a la bisectriz del ángulo B.ABC 30º20EJERCICIOS RESUELTOS5k4k37º53º 3kB. TRIÁNGULOS NOTABLES APROXIMADOSB.1.
131GeometríaResolución:ABC 53º/2 37º/2ABC 53º/2 37º/21020 30xABC 30º45º45º10x45ºx⇒ 10∴ x = 5 2Resolución:∴ x = 50 m3. Calcule AC si la distancia de B a AC es 10 m.ABDCP445º x44460º45º44x15º15ºResolución:∴ x = 2 2 mUnimos BP ⇒ ∆ BPC equiláteroLuego ∆ ABP es isósceles : AB = BP∆ ABC es notable de 45º.∆ ADC notable de 30º y 60º.∴ x = 60º75º60ºAB CDP5. En la figura, BC = CP. Calcule m ACD.APDB a Caa a60º30º45º 75º45ºx60º30º75º4. Si ABCD es un cuadrado y CDP es un triángulo equilátero de lado 4 m. Calcule la distancia de C a AP.Resolución:LA TORRE EIFFELConstruida por el ingeniero francés Gustave Eiffel con ocasión de la Exposición Universal de 1889. Tiene una altura de 317 metros con un peso superior a las 10000 toneladas. Estaba previsto que la torre alcance los 350 metros, pero los vecinos se asustaron (por la amenaza de que un edificio tan alto y construido sin apenas piedras pudiera caerse) y se manifestaron, provocando un cambio de planes. Los 20 últimos metros corresponde a una antena de radio que fue añadida mucho después.Nacida en controversia con los artistas de la época, que la veían como un monstruo de acero, es considerada como el símbolo indiscutible de Francia y de París en particular, siendo el monumento más visitado del mundo.
1324to Secundaria Rpta:2Rpta:4Rpta:1Rpta:En la figura, halla AB si la distancia de B a AD 3mide 3. Calcule ABResolución:A DC B30ºEn la figura, AB = 4, BC = 10 y CD = 2. Calcule AD.Resolución:ABCD127º 143ºEn un triángulo ABC, m ∠ A = 30º. Sobre AC se ubica un punto “D”, tal que BD = BC = 10 cm. y calcule DC si AB = 12 cm.Resolución:En un triángulo PQR, m ∠ R = 37º, sobre PR se ubica un punto “S”, de tal forma que PQ = QS = 6. y QR = 5 2. Calcule m ∠ PQS.Resolución:
133GeometríaRpta:5Rpta:Si: ABCD es un rectángulo, AB = 10 y AD = 12, 6calcule la distancia desde el vértice “A” hasta CE.Resolución:ABDCE60ºEn la figura, AD = 4. Calcule la proyección de BP sobre BC.Resolución:A D30º30º BPC7. Calcule ‘x’’.AB CDE30ºθθx9 38. Calcule BD.A H CBDββ45º89. Calcule la longitud de “x” si PT = 8.37ºR PHxST10. Calcule ‘‘n’’.8080n
1344to Secundaria 11. Calcule ‘‘x’’.Q 45ºSM N x1812. Calcule ‘‘n’’.CA 30º6EDBn41. Calcule “x”.a) 37 b) 3 3 c) 39d) 6 e) 445º 630ºx8 22. Calcule el perímetro del triángulo ABC si AB = BC = 15.a) 58 b) 54 c) 45d) 50 e) 56A CB106º3. En la figura, calcule la distancia desde “B” hasta AC si BC = 8 cm.a) 4 2 cm b) 4 cm c) 3 cmd) 5 cm e) 3 2 cm28º ABC17º4. Calcule AB si: CD = 12 cm.a) 6 3 cm b) 12 cm c) 24 cmd) 12 3 cm e) 8 cmAED CB ααα
135Geometría5. Calcule AP si: PC = 15.a) 15 b) 18 c) 16d) 20 e) 12 3A CBP37º23º6. Si ABCD es un cuadrado de perímetro 32 cm, calcule la distancia desde el vértice “A” hasta EC (∆ EAB es equilátero).a) 4 2 cm b) 3 2 cm c) 4 cmd) 3 cm e) 4 3 cm7. Calcule “α” si AB = DC.a) 15º b) 12º c) 18ºd) 20º e) 23ºACDB 30º45ºα8. En la figura, AC = 14. Calcule BCa) 12 2 b) 6 2 c) 10d) 8 e) 7 2ABC 30º 15º9. En la figura, AD es bisectriz. y BD = 4. Calcule CD.a) 2 b) 3 c) 4d) 8 e) 10ABCD30º10. En la figura, calcule “x”.a) 80 3b) 100 3c) 400/ 3d) 250 3 /2e) 175x7530º11. En la figura, calcule la distancia de A hasta BC.a) 8 b) 6 c) 4d) 2 e) 1A CB12 150º12. En la figura, AC = 10. Calcule BH.a) 5 2 b) 3 2c) 5 2 /2d) 4 2 e) 5BNH30º45ºA CEB CD A
1364to Secundaria 2 SegmentosOBJETIVOS:a Al finalizar el tema el alumno debe:a Conocer el concepto de punto y recta.a Conocer el concepto de segmento.a Realizar operaciones con segmentos.Línea curva:Línea quebrada:Línea mixta:IntroducciónGeometría, palabra griega que significa “medición de la tierra”, es la ciencia que trata de las propiedades de las figuras geométricas empleadas para la medición de extensiones. Se considera que toda figura geométrica está compuesta por puntos. Los griegos introdujeron los problemas de construcción utilizando sólo una regla de borde recto y un compás. Un ejemplo sencillo es la construcción de una línea recta dos veces más larga que otra.1. LA LÍNEAEs un conjunto de puntos, uno a continuación de otro, en forma ilimitada.1.1. Clases de LíneaLínea recta:1.2. Segmento de Recta o SegmentoA BA BNotación de Segmento: ABParte de la línea recta comprendida entre dos puntos denominados extremos.Ejemplo: Coloca (V) o (F).A B9a) Rayo: AB ( )b) Recta : AB ( )c) Segmento: AB ( )d) Segmento: AB ( )e) AB = 9 ( )1.3. Punto medio de un segmentoA M BM: Punto medio de ABAM = MB1.4. Operaciones con segmentosA B CAC = AB + BC* Suma de segmentos* Diferencia de segmentosA B CL = 5L1LL1 L1 L1 L1 L1A B C D E FAB = AC - BC* Multiplicación de segmentos
137GeometríaNotaNunca te olvides, para indicar la longitud del segmento AB, se omite la raya encima de las letras y usaremos AB.Ej.: Si el segmento RS mide 6m, entonces RS = 6m.Halla “x” si AB = 5 y BC = 2.A B CxSol:AB = 5 y BC = 2.AB + BC = AC 5 + 2 = x 7 = xA B C5 2Ejemplo:Calcule “x”.Ejemplo:Sol:Como:AC = AB + BC 5 = 2 + BC 3 = BCPero : BD = BC + CD 8 = 3 + x 5 = xA C D2 8B5 xDemostración:A M B N CMN = AC2A M B N Ca a b b MN = a + b AC = 2a + 2b AC = 2(a + b) AC = 2MNMN = AC 21. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que mAC = 40m, mBC = 16m y mBD = 60m. Calcule la longitud de AD.Resolución:AB = 40 - 16 = 24 x = AB + 60 x = 84 mB C D40xA602. Se tienen los puntos colineales P, Q, R, S y T dispuestos de manera que Q es punto medio de PR; RT=2RP, S es punto medio de PT. Entonces, ¿cuál es la longitud de PQ+PR en función de PS?Resolución:P Q R SnnT6nn 3nDos segmentos consecutivos sobre una línea recta, siendo M y N puntos medios de AB y BC, respectivamente, se cumple que:EJERCICIOS RESUELTOS 2b2 + 4a2 + 4ab = 8 b2 + 2a2 + 2ab = 4 (AM)2 + (BM)2 = x (b+a)2 + a2 = xb2 + a2 + 2ab + a2= x b2 + a2+ 2ab + a2= x b2 + 2a2+ 2ab = x 8x = 4
1384to Secundaria LAS MEDIDAS VISUALES DE LA LUNA¿De qué tamaño nos parece la Luna llena? La respuesta correcta sobre esta pregunta tan habitual la puede dar aquella persona que sabe sobre el ángulo. Precisamente aquel que se forma con dos líneas rectas, trazadas desde el ojo hasta los puntos extremos del objeto observado. Cuando el tamaño aparente de la Luna en el cielo se evalúa, comparándolo con el tamaño de un plato, de una manzana, etc., entonces las respuestas no tienen ningún sentido y deberían significar que la Luna se ve bajo el mismo ángulo visual que un plato o una manzana. Pero esta indicación por sí misma no es suficiente, ya que un plato o una manzana los observamos bajo ángulos distintos, según su alejamiento: cerca, con un ángulo grande; lejos, con uno más pequeño. PQ + PR = n+2n = 3n, pero PS = 3nPQ + PR = PS3. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C y D. Halla AD si AB + AC = 10, AD = 4CD y AC - AB = 2.Resolución:A B C D4ab aAB + AC = 10 b + 3a = 10 ... (1)AC - AB = 2 3a - b = 2 ... (2) (1) + (2): 6a = 12, a = 2\\ AD = 4a = 84. Se tienen los puntos consecutivos y colineales A, B y D. Entre B y D se toma un punto Q, de tal forma que: AQ = Determina BQ si BD - 4AB = 20.Resolución:BD - 4AB = 20 x + 4a - 4(a - x) = 20 x + 4x = 20 x = 4QD4A B Q Da 4ax5. En una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, M y C, tal que el punto M es punto medio de BC. Si (AB)2 + (AC)2 = 8, halla (AM)2 + (BM)2.Resolución:(AB)2 + (AC)2 = 8b2 + (b + 2a)2 = 8b2 + b2+4a2 + 4ab = 8A B M Cb a aTres famosos problemas de construcción que datan de la época griega se resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de matemáticos que intentaron resolverlos: la duplicación del cubo (construir un cubo de volumen doble al de un determinado cubo), la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con área igual a un círculo determinado) y la trisección del ángulo (dividir un ángulo dado en tres partes iguales). Ninguna de estas construcciones es posible con la regla y el compás, y la imposibilidad de la cuadratura del círculo no fue finalmente demostrada hasta 1882.NotaUsaremos la notación L1 // L2, para indicar que las rectas L1 y L2 son paralelas.
139GeometríaRpta:2Rpta:4Rpta:1Rpta:Se ubican los puntos consecutivos A, B y C, tal 3que AB = 8 y AC = 10. Si ‘‘M’’ es punto medio de BC, calcule AM. Resolución:Se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que M y N son puntos medios de AB y CD, respectivamente. Si BC = 3 y AD = 11, calcule MN. Resolución:En una recta se ubican los puntos consecutivos A, N , M y B, de modo que BN - AN = 12. Si ‘‘M’’ es punto medio de AB, calcule MN. Resolución:Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que BC es menor que CD, y además M y N son puntos medios de AB y BD, respetivamente. Calcule BC si AB = 4, MN = 16 y CD = 18.Resolución:
1404to Secundaria Rpta:5Rpta:En una recta se ubican los puntos consecutivos A, 6B, C, D y E, de modo que AB = 3(BD) y CE = 4(CD). Si AB - DE = 60, calcule BC/2.Resolución:7. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Se ubica ‘‘M’’ punto medio de AC y ‘‘N’’ punto medio de BD. Si AD= 10 y MN = 3, calcule BC.8. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Se ubica ‘‘L’’ punto medio de AC y ‘‘P’’ punto medio de BD. Si AD = 18 y LP = 5, calcule BC.9. En una recta se ubican los puntos consecutivos M, N, L, P y R, tal que (MP) (NR) = 100 m2. Calcule MP - NR si ML + NL + LP + LR = 29 m.10. Sean los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D, tal que BC = AB + 1 y CD = AB - 3.Calcule AD si AB es mínimo entero.11. Sean los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D, tal que BC = AB + 2 y CD = AB - 4. Calcule AD si AB es mínimo entero.12. Sobre una recta se tienen los puntos colineales A, B, C y D, tal que AB + CD = 16 y BM -MC = 2. Calcule CD si M es punto medio de AD.Los puntos A, B, C y D son consecutivos sobre una línea recta. Si se cumple que + = y ( A D ) ( C D ) = ( A C ) ( B C ) , e n t o n c e s e l segmento CD mide:Resolución:1BC1AD14
141Geometría1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que AD = 20 u, AB = 8 u y C es un punto medio de BD. Calcule PC si P es punto medio de AB.a) 16 u b) 9 u c) 10 ud) 12 u e) 11 u4. Sobre una línea recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D tales que AC = CD y BC = 10 m. Calcule BD - AB.a) 15 m b) 10 m c) 14 md) 6 m e) 20 m5. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, de tal manera que AD = 24 m, AC = 15 m y BD = 17 m. Calcule BC.a) 6 m b) 7 m c) 8 md) 9 m e) 10 m6. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D. Calcule AD si AC = 60 y AD + CD = 140.a) 80 b) 100 c) 120d) 140 e) 1607. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, así como M y N que son puntos medios de AB y CD, respectivamente. Calcule d(MN) si:d(AC) + d(BD) = 30a) 10 b) 13 c) 15d) 17 e) 208. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E. Calcule BE si AE = 51,AB2 = BC3 = CD5 = DE7a) 10 b) 20 c) 30d) 45 e) 609. En una recta se consideran los puntos consecutivos A, B y M. Si AM + BM = (3/2)AB, calcule AM/BM.a) 4 b) 1 c) 3d) 5 e) 810. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Si se cumple que 2AB = 3BC = 5CD y AD = 310, calcule CD.a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 6012. Sean los puntos consecutivos T, I, C y D ubicados sobre una recta, tal que CD = 3 IC, caclule:TD + 3 TI4 TCa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 52. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos P, Q, R y S, tal que PR = 10 m; QS = 12 m y QR = 4 m. Calcule MN, siendo M y N puntos medios de PQ y RS.a) 13 m b) 14 m c) 12 md) 15 m e) 10 m 3. En una recta se consideran los puntos consecutivos A, B y C. Si AC = 42 u y AB = 30 u, calcule AN siendo N punto medio de BC.a) 32 u b) 34 u c) 36 ud) 38 u e) 35 u11. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Sabiendo que AC = 10 y BD = 40, calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD.a) 10 b) 30 c) 25d) 35 e) 15
1424to Secundaria 3 Ángulos IOBJETIVOS:a Conocer el concepto de ángulo.a Resolver operaciones referentes a ángulos.a Identificar los diferentes tipos de ángulos.En el transcurso de la historia se han desarrollado notablemente las ideas de la Matemática. Los egipcios tenían gran conocimiento de los ángulos, sobre todo de los ángulos rectos que los aplicaban en la delimitación de los terrenos; también conocían la plomada que hasta hoy en día se utiliza en las construcciones.IntroducciónEl ángulo es una figura geométrica formada por dos rayos que tienen el mismo origen. A dichos rayos se les denomina lados y al origen se le denomina vértice del ángulo.DefiniciónElementosRegión exteriorRegión interior OBAθVértice : OLados : OA y OBNotaciónAOB, AOBMedidam AOB = m AOB = θBisectriz de un ÁnguloEs el rayo que divide al ángulo en dos ángulos de igual medida.OX : Bisectriz del AOB.m AOX = m XOBEjemplo:Si m AOB = 20º y m BOC = 60º, calcule α. Además OX y OY son bisectrices de los ángulos AOB y BOC.A OXBYCαAxBO θθ
143Geometríaα = 10º + 30ºα = 40ºXA OBYCα10º10º30º30ºResolución: Ángulo Recto: Es aquel ángulo cuya medida es igual a 90º.B αAOα = 90º Ángulo Obtuso: Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 90º y menor que 180º.90º < α < 180ºαO AB Ángulo No Convexo: Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 180º y menor que 360º.Un ángulo recto se representa por ( ).Clasificación de los ÁngulosSEGÚN SU MEDIDA Ángulo Agudo: Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 0º y menor que 90º. 0º < α < 90ºBAα O180º < α < 360º oABαSEGÚN LA POSICIÓN DE SUS LADOS Ángulos Adyacentes: Son un par de ángulos que tienen el mismo vértice y un lado en común, y uno de ellos se encuentra a continuación del otro.Cβ BO αAα y β son las medidas de ángulos adyacentes Ángulos Consecutivos: Son tres o más ángulos uno a continuación de otro, con un vértice común y un lado en común como mínimo. AOBCDE Ángulos Opuestos por el Vértice: Son ángulos que tienen el mismo vértice y los lados de uno son las prolongaciones de los lados del otro.θ β θ = βPOR LA SUMA DE SUS MEDIDAS Ángulos Complementarios: Son ángulos cuya suma siempre es 90º.α + β = 90ºCα : complemento de αBβAOαP QR
1444to Secundaria Ejemplo:Calcule el complemento de 70º.C70º = 90º - 70º C70º = 20ºCalcule el suplemento de 20º.S20º = 180º - 20º S20º = 160º Ángulos Suplementarios: Son ángulos cuya suma siempre es 180º.α + β = 180ºSθ : Suplemento de θResolución:Resolución:αRLβTMNOPropiedadesθβ αδφα + β + θ + δ + φ = 360ºdcaba + b + c + d = 180ºφ + β = 45ºφ φ ββ Par lineal o ángulos adyacentes suplementarios: Son ángulos adyacentes donde la suma de sus medidas es 180º.baa + b = 180ºSi al suplemento de un ángulo se le resta el complemento del mismo ángulo resulta siempre 90º.Sx - Cx = 90ºS S S S … Sα= α ; “n” es par180º - α; “n” es imparC C C C … Cα= α ; “n” es par90º - α; “n” es imparDemostración:Si consideramos que un ángulo mide x.⇒ Sx = 180º - xCx = 90º - x luego : Sx - Cx(180º - x) - (90º - x) = 90º∴ Sx - Cx = 90Resolución:α + β = 90ºαα ββEjemplo:
145Geometría4. Calcule x de la figura mostrada si m POR = 100º.Resolución:Del gráfico : β + x + α = 100º ..... (1)2β +x + 2α = 180º ..... (2)⇒ β + β + x + α + α = 180º⇒ β + α = 80ºLuego en (1) : β + α + x = 100º x = 20ºNPB ARO Mββ αx αResolución:NPB ARO Mββ αx α100º100º80º5. En la figura, calcule el ángulo θ si m BON = 22º, ON es bisectriz de AOX y OM es bisectriz de AOX’.X’ OMABNXθ θResolución:⇒ θ + θ + θ- 22º + θ- 22º = 180º4θ - 44º = 180º θ = 56ºX’ OMABNXθθ θ22ºθ-22ºθ-22ºAOB - BOC = 54º α + x - (α - x) = 54º2x = 54ºx = 27ºABO Cααx1. La suma del complemento más el suplemento de cierto ángulo es igual a 146º. Calcule el complemento de dicho ángulo.Resolución:Si el ángulo mide x ⇒ Cx = 90º - x Sx = 180º - xLuego : 90º - x + 180º - x = 146º 270º - 146º = 2xx = 124º/2x = 62º∴ Cx = 90º - x = 90º - 62º ⇒ Cx = 28º2. Calcule el complemento de un ángulo sabiendo que el complemento es a su suplemento como 1 es a 4.Resolución: ⇒ 4(90º- x) = 1(180º- x) 360º- 4x = 180º- x 180º = 3x 60º = x Sx = 180º- x∴ Cx = 90º- x = 90º- 60º ⇒ Cx = 30ºCxSx14 =3. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC cuya diferencia es 54º. Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC y el rayo OB.EJERCICIOS RESUELTOSNotaLa medida del ángulo siempre se expresa en grados sexagesimales30ºAB Om AOB = 30º
1464to Secundaria Rpta:2Rpta:4Rpta:1Rpta:Si a la medida de un ángulo le restamos su suple- 3mento, resulta igual al triple de su complemento. Halla el complemento de dicho ángulo.Resolución:En la figura mostrada, OM es bisectriz del AOC y OB es bisectriz del AOD, calcule m COD.Resolución:AMBCO DαEn el gráfico OE es bisectriz del AON, OF es bisectriz del POD y m PON = 90º. Calcule m EOF.Resolución:A OPE FNDCalcule el suplemento de la suma de dos ángulos, sabiendo que el complemento de uno de ellos más el suplemento del otro es 140º.Resolución:
147GeometríaRpta:5Rpta:Dos ángulos son adyacentes suplementarios, 6sus medidas se diferencian en 76º. Calcule la medida del ángulo mayor.Resolución:Si a un ángulo se le resta su complemento, resulta igual a la cuarta parte de su suplemento. Calcule la medida del ángulo.Resolución:7. Se tiene los ángulos consecutivos AOB y BOC, se traza OD bisectriz del AOB. Calcule m COD si m AOC + m BOC = 140º.8. Sobre una recta se considera el punto “O”, por dicho punto se trazan los rayos OA, OB, OC y OD en un mismo semiplano. Si m AOC =m BOD = 90º y además m AOB + m COD = 20º.Calcule m BOC.10. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Se trazan las bisectrices OP y OQ de los ángulos AOB y COD, respectivamente. Si m POQ = 70º y m BOD = 120º, calcule la medida del ángulo AOC.11. Si al mayor de dos ángulos complementarios se le quita a para agregarle al otro, ambos se igualan. Calcule el mayor de dichos ángulos complementarios.12. El suplemento del complemento de un ángulo es igual a los 3/2 de la diferencia entre el suplemento y el complemento del mismo ángulo. Calcule la medida del ángulo.9. Dados cinco rayos OA, OB, OC, OD y OE que se encuentran alrededor de un punto y forman cinco ángulos consecutivos proporcionales a los números 1; 2; 3; 4 y 5. Determina el menor ángulo formado por las bisectrices de AOB y COD.
1484to Secundaria 1. Si el suplemento del complemento de un ángulo es igual a los 3/2 de la diferencia entre el suplemento y el complemento del mismo ángulo, calcule la medida del ángulo. a) 15º b) 45º c) 30ºd) 75º e) 80º2. En el gráfico mostrado, OE es bisectriz del AON, OF es bisectriz del POD y m PON = 90º. Calcule m EOF.a) 40ºb) 36ºc) 45ºd) 35ºe) 50º3. Calcule el suplemento de la suma de dos ángulos, sabiendo que el complemento de uno de ellos más el suplemento del otro es 140º.a) 40º b) 50º c) 60ºd) 70º e) 80º4. La suma de los suplementos de dos ángulos es igual a 260º y la diferencia de sus complementos es igual a 40º. Determine la medida del menor ángulo.a) 30º b) 35º c) 40ºd) 50º e) 70º5. Dados cinco rayos OA, OB, OC, OD y OE que se encuentran alrededor de un punto y forman cinco ángulos consecutivos proporcionales a los números 1; 2; 3; 4 y 5, determina el menor ángulo formado por las bisectrices de AOB y COD.a) 48º b) 56º c) 68ºd) 96º e) 72º6. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Se traza las bisectrices OP y OQ de los ángulos AOB y COD, respectivamente. Sabiendo que m POQ =70º y m BOD = 120º, calcule la medida del ángulo AOC.a) 20º b) 30º c) 40ºd) 50º e) 60º7. En la figura mostrada, m BOC = 2m COD,2m AOC + m BOD= 410º, calcule m BOC.a) 54º b) 50ºc) 60ºd) 120ºe) 100º9. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC, de tal manera que m AOC = 68º. Calcule la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos AOB y AOC.a) 30º b) 28º c) 32ºd) 36º e) 34º10. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, de tal manera que m AOD= 170º y m BOC = 120º. Halla la medida del ángulo que forman las bisectrices de AOC y BOD.a) 20º b) 24º c) 30ºd) 25º e) 36º11. Calcule el suplemento de la suma de dos ángulos, sabiendo que la suma entre el complemento de uno de ellos y el suplemento del otro es igual a 150º.a) 60º b) 80º c) 90ºd) 120º e) 130º12. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, luego se trazan las bisectrices OM y ON de los ángulos AOB y COD, respectivamente. Calcule m MON si m AOC = 110º, m BOD = 150º.a) 110º b) 120º c) 124ºd) 130º e) 135ºA O DNE FPCBA O D8. En la figuram AOB = = = calcule m AOD.a) 100ºb) 110ºc) 120ºd) 135ºe) 145ºm BOC2m COD2m AOC3CABOD
149Geometría4 Ángulos entre ParalelasOBJETIVOS:a Conocer el concepto de paralelismo.a Conocer la determinación de ángulos entre rectas paralelas.Introducción1. DEFINICIÓNEn la vida diaria vemos constantemente rectas paralelas, como los pilares de una construcción o columnas, y diferentes tipos de figuras, como los puentes, etc.Todo esto nos da la idea de rectas paralelas.ParalelismoDos rectas coplanares que no se intersecan son llamadas paralelas.L1 // L2L1L22. ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA SECANTEDada dos rectas L1 y L2 (L1 // L2), se dice que la recta L es una secante de ambas si las interseca en dos puntos diferentes.L1L2L23145 67 8Se cumple que: Ángulos correspondientes siempre son iguales.1 = 5; 3 =7; 2 =6; 4 = 8 Ángulos alternos internos siempre son iguales.3 = 5 ; 4 = 6 Ángulos alternos externos siempre son iguales.2 = 8 ; 1 = 7 Ángulos conjugados internos suman 180°.3 + 6 = 180° ; 4 + 5 = 180° Ángulos conjugados externos suman 180°.2 + 7 = 180° ; 1 + 8 = 180°Si L1 // L2 ⇒a + b = x + y + zL1L2xaybz3. PROPIEDADES
1504to Secundaria x = a + bL1L2axb360° = a + b + cL1L2abcEjemplo 1:Demostración:Resolución:m AOB = 90°a + b + q + f + g + δ = 180ºCalcule “x”.L1L220°30°xL1L220°30°x30°Resolución:x = 30° + 20° x = 50°Ejemplo 2:Calcule “y”, si a + b = 60°.20°aybyResolución:a + b = y + y + 20° 60° = 2y + 20° 40° = 2y 20° = ySi L1 // L2 ⇒ x = α + θL1L2αθxPor P trazamos una paralela a L1 y L2.L1L2L3ααθθxLuego por alternos internos: ∴ x° = α + θL1L2ααθ θ BAOδabqfgL1L2
151GeometríaEJERCICIOS RESUELTOSResolución:1. Calcule x, si: L1 // L2.L1L2x 5xL1L25x x90°-x90°-x+90° = 5x 180° = 6x 30° = x⇒⇒ 5x 90°-x2. Calcule α + β si L1 // L2 ∧ L3 // L4.L1L2L3L4αβResolución:α + β + 90° = 360° α + β = 270°L1L2L3L4αβα3. Calcule α + β si: L1 // L2.L1L2α8α8α8ααL1L2αα8αResolución:⇒α90°+α 8αα + 90° + α + 8α + 90° = 360° α = 18°4. Calcule x si: α +θ = 72° y L1 // L2.Resolución:L1L2αθxL1L2αθx α+θα + θ + x + 90° + 90° = 360° 72° x = 108°5. Si L1 // L2 y α + θ = 160°, calcule x.Resolución:L1L2αθxL1L2αθxxθx + α = 180° α + θ = 90° 2α + α + θ = 270° 160° x = 55°
1524to Secundaria Rpta:2Rpta:4Rpta:1Rpta:3L1L24xx60°ββL1L2βm nαxDe la figura, β - α = 75°, m // n y L1 // L2. Calcule x.Resolución:Calcule “x” si: L1 // L2.Resolución:L2L152°α xα160°L1L3L2 L4x4xθθCalcule “x” si: L1 // L2 y L3 // L4.Resolución:Calcule “x”, si L1 // L2.Resolución:
153GeometríaRpta:5Rpta:Calcule “a + b” si L1 // L2 y L3 // L4. 6Resolución:L1L L 23L4100°βαL1L2L345°x38°mn6ααα5α7. Si m // n, calcule “α”.8. Calcule “x” si: m // n y α – θ = 18°.mnxαθL1L23xα θθ αx9. Calcule “x” si L1 // L2.10. En la figura, calcule “x” si L1 // L2.L1L2x2αα2θθSi: L1 // L2 // L3 , calcule «α».Resolución:
1544to Secundaria 11. Si: L1 // L2 // L3 y m - n= 40°, calcule θ.L1L3L2mααnβ βq12. Si L1 // L2, calcule x.L1L2α β60° 80°–βαθx2θ3. Calcule ‘‘x’’ si: AB // MR.a) 120º b) 130º c) 115ºd) 100º e) 90ºM xAR45°70°B1. Calcule ‘‘α’’ si: L1 y L2 son paralelas.a) 10º b) 20º c) 15ºd) 25º e) 30ºL160°αααα L22. Si: L1 // L2 , calcule x.a) 40º b) 70º c) 10ºd) 50º e) 30ºL1L2α αθθ80°x4. Calcule “θ” si L1 y L2 son paralelas.a) 10º b) 60º c) 15ºd) 20º e) 40ºL2L1θθθθ80°
155Geometría6. Calcule “α” en la figura si: L1 // L2.a) 12° b) 15° c) 16°d) 18° e) 20°L2L1αα3α50°40°L2L1100°150°x7. Calcule “x” en la figura si: L1 // L2.a) 100° b) 120° c) 130°d) 150° e) 160°8. Si: L1 // L2 y α +β = 160°, calcule θ.a) 40° b) 60° c) 35°d) 20° e) 55°L1L2α θβL2L1θαθ2α9. Del gráfico, calcule “α”.a) 60° b) 50° c) 45°d) 40° e) 36°10. Si: L1 // L2 y L3 // L4, calcule “α + θ”.a) 125° b) 225° c) 325°d) 220° e) 250°135°L1L2L4L3αθ72°αL2L158°11. Si: L1 // L2, calcule “α”.a) 76° b) 72° c) 84°d) 82° e) 90°12. Si : L1 // L2 y L3 // L4 y θ + β = 120° , calcule x.a) 120° b) 150° c) 100°d) 140° e) 90°L1L2L4θβL3x5. Calcule “x”; si: α + θ = 170° y L1 // L2.a) 110° b) 120° c) 130°d) 135° e) 145°L1L2xaa+10°50°α θ
1564to Secundaria 5 TriángulosOBJETIVOS:a Comprender el concepto de triángulo.a Saber clasificar los triángulos.a Reconocer la utilidad de los teoremas en la solución de los problemas.IntroducciónEl estudio de los triángulos es el más importante en el curso de Geometría. Los egipcios conocían muy bien esta figura y la plasmaron en la construcción de sus pirámides. En el curso constantemente se verá la aplicación de triángulos y sus diversas propiedades.DefiniciónEs la figura geométrica formada por la unión de tres puntos no colineales mediante segmentos de recta, a dichos puntos se les denomina vértices y a los segmentos de la recta se les denomina lados del triángulo.Región exterior relativa a AB βθx αyzBA Ca cbRegióninteriorElementosVértices : A, B, CLados : AB, BC, ACm s internos : α, β, θm s externos : x, y, z1. SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOSClasificación1.1. Triángulo AcutánguloLos ángulos internos son agudos.BA C αβθ0° < α , β , θ < 90°Uno de sus ángulos internos mide 90°.1.2. Triángulo Rectánguloα + β = 90°B CAαβ1.3. Triángulo ObtusánguloUno de sus ángulos internos es obtuso.90° < α < 180°ABαC
157GeometríaTodos sus lados son diferentes.AB ≠ BC ≠ ACA b Cc aBDos lados de igual medida, el tercer lado se denomina base.b: baseA Cθ θbB2. SEGÚN SUS LADOS2.1. Triángulo Escaleno2.2. Triángulo Isósceles2.3. Triángulo EquiláteroLos tres lados son de igual medida.θ = 60°A Cθ θBθEjemplo:Calcule “x”.Resolución:A CB80° 80°6 xComo ∆ ABC es isósceles:Debido a: m BAC = m BCA = 80°Luego: ∴ x = 61. TEOREMA IPropiedadesLa suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es 180°.ABC αβθα + β + θ = 180°2. TEOREMA IIUn ángulo externo es igual a la suma de los dos ángulos internos no adyacentes a él.BA Cφ xδ φ + δ = x La suma de las medidas de los ángulos externos de un triángulo es 360°.BAxyzCx + y + z = 360°En todo triángulo un lado siempre es menor que la suma y mayor que la diferencia de los otros dos lados.A b Cc aBb – c < a < b + ca – c < b < a + cb – a < c < b + a3. TEOREMA III4. TEOREMA IV (PROPIEDAD DE EXISTENCIA)
1584to Secundaria Ejemplo:Resolución:Calcule “θ” si AB = BC y AD = AC.BA CD 30°5°θDel dato: AB = BCm BAC = m BCA = 75°Pero: m ACD = 75° + 5° m ACD = 80°Luego: m ACD = m ADC = 80°∴ m DAC = 20°Pero: θ + m DAC = m BAC θ + 20° = 75° θ = 55°Demostración:Resolución:En la figura que se muesta:a + b + c + d + e = 180°Propiedades AdicionalesI.x = a + b + cba x cy + x = a + babyxx y x + y = a + babII.III.IV.x = a + b - 180°xababce dLuego:Por propiedada cb+e+d⇒ a + b + c + d +e = 180°ebb+e+d dEJERCICIOS RESUELTOS1. Calcule θ si: AE = ED = BD = BCA BCDE
159GeometríaResolución:⇒ 4θ = 90°θ = 22°30’3θ ⇒θResolución:2. Calcule θ si CD = 2(AD).θ2θA D CEB2θ = 60° θ = 30°n ⇒2θ2nA E BDC3θ3θ2θ 2θθθn 2n2θ θθn 90 – θθ90–2θResolución:3. Calcule α en la figura, si AB = BC = BD.A Bα+ωα Dωωω+90° = α+ω+α α = 45°⇒ωαα+ωA BCα DResolución:5. Calcle x10x + 90° = 360° x = 27°90°+2x3x3x2x2xx x2x 90°+2x3x3x2xx xResolución:4. Calcule x si: ∆ABC es equilátero.BA Cxαα 80°60°80°140°140°αx 180°-α140° + x = α + 180° - α x = 40°α60°xα 80°140°60° 60°
1604to Secundaria Rpta:2Rpta:4Rpta:1Rpta:Calcule : x 3 máx + xmín.Resolución:A 6 CBx 4EA M CxHB50°Calcule x si HE = BE.Resolución:2x3x+612En la figura, calcule la suma de los valores enteros que puede tomar “x”.Resolución:4αα4β βxCalcule “x”.Resolución:
161GeometríaRpta:5Rpta:6M A RBL60° θCalcule “θ’’ si: LR = RB = BA = MA.Resolución:Si: AB = BD, calcule “x’’.Resolución:BMA D Cxαα6α–120°α7. Calcule: “x’’ si: BD = BC.A D Cθx60° θEθB8. Calcule el máximo valor del perímetro del triángulo equilátero ABC.QA CB8 42α α8 x9. Calcule el mayor valor entero de “x”.BA CPα10. Calcule “α” si: AB = BC; AP = BP = AC
1624to Secundaria 3. Calcule el máximo valor entero del perímetro del triángulo ABC.a) 45 b) 44 c) 40d) 34 e) 4211. Calcule “α” en la figura.3α2α3ααα4 10x12. Calcule el máximo valor entero de “x”.1. Calcule: a + b + c + d + e + fa) 270° b) 180° c) 360°d) 240° e) 540°bacdf eBC DA F Eθ3θ 3θ3θ2. Calcule θ si los ángulos ACE y BFD son suplementarios.a) 10° b) 12° c) 15°d) 18° e) 20°BA 60°60° 9D6C3ααx3θθ60°4. Del gráfico, calcule “x’’.a) 20° b) 60° c) 80°d) 40° e) 30°
163Geometría11. En la figura, CB = CD. Calcule m ACE.a) 90° b) 75° c) 60°d) 45° e) 15°10. En la figura, determina el menor valor entero de “k”.a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 18. Calcule “x’’.a) 60° b) 65° c) 70°d) 75° e) 80°α2axαθ θb5. Calcule “x” si: a + b = 50°.a) 120° b) 40° c) 50°d) 80° e) 60°6. Calcule m ANB si: α - β = 46°.a) 120° b) 100° c) 90°d) 136° e) 80°B CAMNα βP N Qδ θSL R7. Calcule m QSR si: q - δ = 30°.a) 120° b) 60° c) 130°d) 100° e) 80°9. Si: α + θ = 30°, calcule “x’’.a) 40° b) 60° c) 10°d) 80° e) 30°2θ θbxα 2αaa b75°2β βx12k 9+k75°A DEC B60°12. En el lado AC de un triángulo ABC se ubica el punto E, de modo que AB = AE = EC y m BAC = 60°. Calculem C.a) 45° b) 60° c) 30°d) 15° e) 53°
1644to Secundaria 6 Líneas NotablesOBJETIVOS:a Definir las principales líneas notables.a Razonar para aplicar dichas líneas en los problemas.a Diferenciar entre puntos y líneas notables.En nuestro territorio nos encontramos con formaciones geográficas que nos dan idea de líneas notables como los ríos, cordilleras, etc. Pero geométricamente el concepto de líneas notables significa cómo dividir un triángulo por medio de segmentos.IntroducciónCEVIANAEs un segmento de recta que parte de un vértice y cae en un punto cualquiera del lado opuesto.BM: Ceviana exteriorA CBMBN: Ceviana interiorMEDIANAEs una ceviana que cae en el punto medio del lado opuesto.BL : Mediana AL = LCALBCMEDIATRIZEs una recta perpendicular a un lado y lo biseca.BA P CL L : MediatrizAP = PCALTURAA HBCEs una ceviana perpendicular a un lado o a su prolongación.A NBC
165GeometríaH ABBH: AlturaBISECTRIZEs una ceviana que biseca a un ángulo sea interior o exterior.BA D CθBD: Bisectriz interiorθBD: Bisectriz exteriorAααC DBEjemplo:Calcule “x”.Solución: θ + 30° = 70°θ = 70° - 30° = 40°x + 2θ+ 30° = 180°x +2(40°) + 30° =180°x = 70°Resolución:Propiedadesαα θθβx = 90° + β2xEn todo triángulo, siendo ‘‘E’’ excentro se cumple que:x = 90° - n2TEOREMA70°x30° θθx = β2θβααxθx = 90° - β2α θαxβθCxBAEn
1664to Secundaria Resolución:Resolución:ABC:2α + 2β +180° - n = 360°α + β = 90° +n2BEC:α + β +x = 180° 90° + + x = 180° n2x = 90° - n21. Calcule x en la figura si: m B = 90°. AE es bisectriz del ángulo BAC y HE es bisectriz del ángulo BHC.E42°xABCHxααβ βBCAEn180º - n42°xABH Cθθ42°48°αα 422 x = x = 21°⇒xθθαα42°2. Calcule x.40°50°αα θ θxResolución:40°50° xαα θθθα θα3. Calcule x.50°70°xx = 60°θ θαα60°4xωω40°θα θ α90°- = 40°2 70°EJERCICIOS RESUELTOS
167GeometríaResolución:2α+ 2θ = 180°α + θ = 90°θ θαα60°4xωω60°30°⇒4x2 120° = 90° + x= 15°4. En un triángulo acutángulo ABC, se traza la ceviana AD, tal que AB = BD y m A - m C = 60°. Calcule m DAC.Resolución:m A - m C = 60°α + θ + α - θ = 60° ⇒ α = 30°αα + θα + θθA CBD4x120° αα ωω5. Si m BAC - m BCA = 40°, calcule m ACP.PBA Cα αRetrato de Luca Pacioli, en este cuadro se observa a Pacioli demostrando uno de los teoremas de Euclides.Es en el Renacimiento cuando las nuevas necesidades de representación del arte y de la técnica empujan a ciertos humanistas a estudiar propiedades geométricas para obtener nuevos instrumentos que les permitan representar la realidad. Aquí se enmarca la figura del matemático y arquitecto Luca Pacioli, de Leonardo da Vinci, de Alberto Durero, de Leone BattistaAlberti, de Piero Della Francesca, por citar sólo algunos. Todo ellos, al descubrir la perspectiva y la sección crean la necesidad de sentar las bases formales en la que se asiente la nueva forma de geometría que ésta implica: la Geometría Proyectiva, cuyos principios fundamentales aparecen de la mano de Desargues en el siglo XVII. Esta nueva geometría de Desargues fue estudiada ampliamente ya por Pascal o por de la Hire, pero debido al interés suscitado por la Geometría Cartesiana y sus métodos, no alcanzó tanta difusión como merecía hasta la llegada a principios del siglo XIX de Gaspard Monge en primer lugar y sobre todo de Poncelet.
1684to Secundaria Trazamos BH.x = BAC - BCA2x = 40°2 = 20°Por propiedad:Resolución:PBA Cαx90° - xα90° - x H xLas Pirámides de EgiptoLa más antigua de las maravillas y, curiosamente, la única que ha llegado hasta nosotros es el monumental conjunto de las pirámides de Gizeh, en Egipto. Todos hemos oído hablar de ellas y conocemos su aspecto, así como sabemos que eran las tumbas de los faraones. Pero acerquémonos más, y averigüemos algunos detalles interesantes. Estamos ante la pirámide. Sus dimensiones son impresionantes: 146.59 m de altura, 230 m de ancho. Tras subir un poco por su parte lateral, penetramos en su interior. A la fluctuante luz de las antorchas vamos descubriendo las paredes, perfectamente lisas, como corresponde a la sepultura de una encarnación del dios Ra. Tras depositar el sarcófago en la cámara sepulcral, el corredor será cegado y disimulado, para evitar robos. La pirámide contiene asimismo una falsa cámara sepulcral.El Amazonas se divide en un laberinto de canales salpicados de islotes. Finalmente, tras la unión de todos sus afluentes, el río desemboca en el mar, donde una poderosa corriente oceánica lo arrastra al noroeste a lo largo de la costa. Tras mezclar sus aguas y sedimentos con el agua del mar, el Amazonas pierde su coloración característica y pasa a formar parte de la gran corriente oceánica sur ecuatorial. Aún así, numerosas partículas arenosas permanecen en suspensión y llegan hasta la Guyana Francesa, Surinam y Guyana.En la figura anterior, el triángulo se denota por ∆ ABC. Nunca te olvides, el perímetro del triángulo es la suma de sus tres lados y se denota como 2p.Así: 2p = a + b + cNotaNota* El Baricentro (G): Punto de intersección de las medianas.* El Ortocentro (H): Punto de intersección de las alturas.* El Circuncentro (O): Punto de intersección de las mediatrices.* El Incentro (I): Punto de intersección de las bisectrices interiores.
169GeometríaRpta:2Rpta:4Rpta:1Rpta: Del gráfico, calcule “x”. 3Resolución:xαθ120°θ βαβ βDel gráfico, calcule “ x - y”.Resolución:ββ80º xααySi: PQ = PL y MR es bisectriz del QRL. Calcule “x”.Resolución:P L RQM3xCalcula a/b.Resolución:ba
1704to Secundaria Rpta:5Rpta:Calcule x. 6Resolución:αα2xθθ 3x2x7. El ángulo que forman la altura y la mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 18°. Calcule el mayor de los ángulos agudos del triángulo.En un triángulo ABC, el ángulo mayor es el triple del menor, y éste es la mitad del ángulo intermedio. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices exteriores trazadas desde los vértices de los dos ángulos mayores.Resolución:8. Si: I y H son incentros de los triángulos ABD y BDC, respectivamente. Si: x + y = 260°, calcule m ABCI HCBx yA D9. Si: α- θ = 40° y BM = BL.LθxAαBCNM10. Calcule \"x\", si: MC = CN y MN//AC
171Geometría12. Calcule x.2xθθ β2x20°β1. Calcule x.a) 40° b) 20° c) 30°d) 60° e) 80°2xθ20º50ºαθ α60ºxBA CED20º2. Si BD es bisetriz, calcule x.a) 10° b) 15° c) 30°d) 50° e) 20°3. Si BH es altura y BE es bisectriz del ángulo ABC, calcule x.a) 30° b) 10° c) 15°d) 20° e) 40°60°Ax50°H CBE4. Si θ - α = 40°, calcule “x”.a) 80° b) 40° c) 10°d) 30° e) 20°αxα θ θ11. Según el gráfico calcule \"x\".
1724to Secundaria 5. Calcule y si β - φ = 30° y AO es bisectriz.a) 15° b) 40° c) 20°d) 30° e) 10°2yβ βφφOA6. En el triángulo ABC, el ángulo formado por la bisectriz interna del ángulo A y la bisectriz exterior del ángulo C mide 40°.Si: mA - mC = 30°, calcule mC.a) 65° b) 30° c) 35°d) 53° e) 45°7. Calcule m BAC si m AMC = 20° y m BAC - m BCA = 10°.a) 60° b) 80° c) 85°d) 75° e) 45°A CB M8. Calcule “x”.a) 40° b) 50° c) 80°d) 100° e) 60°α100°xα θ θ9. Si MH = 4 3 y AB = 5 3, calcule BM.a) 2 3 b) 4 3 c) 5 3d) 3 3 e) 3C60°AM BxH10. En un triángulo ABC, la bisectriz interior trazada por “A” forma con la bisectriz exterior del ángulo “C” un ángulo de 36°. Sabiendo que mA - mC = 20°, calcule la medida del ángulo ACB.a) 36° b) 44° c) 64°d) 22° e) 88°11. Si m∠A = 74°, calcule x. Además L1 y L2 son mediatrices de los lados AB y AC.a) 37° b) 39° c) 42°d) 64° e) 74°BA CL2L1x12. En la figura, calcule x si AD es bisectriz y DE = EC.a) 20° b) 25° c) 30°d) 35° e) 40°EBADCx
125Geometría7Congruencia de TriángulosOBJETIVOS:a El alumno debe conocer la definición de congruencia.a Diferenciar las palabras: igual y congruente.a Reconocer los casos de la congruencia.∆ABC ≅ ∆PQR ⇒ los triángulos son congruentes.• Caso II (A-L-A.): Dos triángulos serán congruentes si tienen dos ángulos y el lado entre ellos respectivamente congruentes.∆ABC ≅ ∆PQR ⇒ los triángulos son congruentes.• Caso III (L-L-L.): Dos triángulos serán congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes.≅AαCBαRQPR≅θ αPQθ αA CB≅De lo estudiado ∆ABD ≅ ∆MNL: caso II (A-L-A.)⇒ b = 7 y a = 3a + b = 10El símbolo de la congruencia es: ≅Calcule a + b.Ejemplo:IntroducciónMuchas veces confundimos la palabra igual y congruente. Cuando vemos dos gemelos, decimos que son iguales pero en realidad no existen objetos iguales, sino congruentes. DefiniciónDos triángulos serán congruentes cuando tengan sus lados respectivamente congruentes y sus ángulos internos también congruentes.Es suficiente tres condiciones para determinar la congruencia de triángulos.Casos de la congruencia• Caso I (L-A-L.): Dos triángulos serán congruentes si tienen un ángulo interior y los lados que lo forman respectivamente congruentes. A D bBθ5 3αLNα M θ57 aResolución:Observación
1264to Secundaria EJERCICIOS RESUELTOSResolución:1. Si el ∆ SEA es equilátero, calcule EL.S A LEP8∆ SEL ∆ AEP (L–A–L)Es decir: - 60º -Entonces EL = 8A CBPOQResolución:A CBPOQβ βθ θ α60º x2. En la figura mostrada, los triangulos ABC y BPO son equiláteros, calcule la m∠PQO.S A LEP860º 60º 60º60ºSegún el gráfico: θ+α =60°∆ ABP ∆ CBO (L-A-L)Es decir: ( ).Entonces m∠BAP = m∠BCO=β.Ahora por propiedad:β + 60° = x+β60° = x- θ -3. Del gráfico, calcule “x”. ARO OTI (A.L.A).Es decir: ( α - - β ).Entonces: AR=TO=k y RO=TI=2k.Finalmente en el TRH,notable: x=15° K2k2k k 3k(2+ 3)AORIβ αk 2kkαβk30ºxResolución:Tk30º x2kTR A BIO
127GeometríaRpta:2Rpta:4Rpta:1Rpta:3En la figura, los triángulos ABC y PQC son congruentes. Calcular «x»Resolución:En la figura, los triángulos ABC y EBF son congruentes. Calcular «x»Resolución:En un triángulo equilátero ABC, se ubican los puntos M, N y L en AB, BC y ACrespectivamente, de modo que: MB = NC = LA y MN = 6Calcule la distanciad de L hacia MNResolución:En la figura, AB = CD, siendo AC = 4.Calcule AD.Resolución:ABCEFθ θ15º xAB CPQx20ºA DCB2α3α8α2α
1284to Secundaria Rpta:5Rpta:En la figura, AP = BC. Calcule x 6Resolución:En la figura, BD = DC y la distancia de C hacia AD es la mitad de AD, calcule xResolución:7. En un triángulo equilátero ABC las cevianas interiores BQ y CP se intersecan en R, siendo AP + AQ = BC, calcule la m∠PRQ8. En la figura, AD = BC, calcule x9. Según el gráfico BD – AD = 6. Calcule la distancia de C hacia BD .10. En la siguiente figura, calcule MP si:AD = 16, BM = MC y m∠BAD = m∠PDC.A DBCxxA CB2xxDDBAC45ºAD CMPB