111Geometría2. Calcule MA si MN // AC, AB = 12, BC = 16 y BN = 7. a) 3/4 b) 27/4 c) 17/4d) 21/4 e) 13/411. Si: ABCD es un romboide:Calcule \"x\":12. Calcule DC si: AT = 4 u y TD = 3uABCDEPP42xATFD CE1. Si L1 // L2 // L3, calcule x + 3.a) 9 b) 10 c) 12d) 15 e) 18x8 2427L1L2L3MBNA C3. Calcule PQ si AB = 18, BC = 12 y AC = 20.a) 20 b) 40 c) 48d) 60 e) 58AαP C QBθθα4. Calcule b - a si L1 // L2 // L3.a) 20 b) 9 c) 12d) 15 e) 1135 15ab12L1L2L3
1124to Secundaria 5. Si AB // DE, BE // DF, AE = 6 cm, y EF = 4 cm, calcule FC.A E FDBCa) 4 cm b) 6 cm c) 5 cmd) 9 cm e) 8 cma) 5 u b) 6 u c) 8 ud) 10 u e) 12 u6. Si QR mide 15 u; calcule NR. Además G es baricentro del triángulo PQR.12. Si: 13(AP) = 3(PC) y PQ = 15 u. Calcule BPa) 6 u b) 8 u c) 9 ud) 12 u e) 15 uP RM NQααG7. Calcule ‘‘PQ’’ si 5BQ=4QC; PQ // AC y BP= 8cma) 4 cm b) 10 cm c) 8 cmd) 5 cm e) 6 cmBP QA Cαα8. Calcule CD si BP = 4PC, BE = 8 cm, AE = 6 cm y AC = 9 cm.a) 2 cm b) 6 cm c) 9 cmd) 4,5 cm e) 4 cmA C DPEB9. En un triángulo ABC, BC= 9. Se traza la bisectriz ‘‘AD’’ y la mediana ‘‘BM’’, que son perpendiculares. Calcule ‘‘BD’’.a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 610. Calcule x-y, si: L1 // L2 // L3.a) 20 b) 9 c) 12d) 15 e) 16x 96 36y11. En el gráfico, AE = 4 y FC = 6. Calcule AC.a) 10 b) 12 c) 13d) 14 e) 16B θααA E F CθABCQP qq
113Geometría15SemejanzaDEFINICIÓNSEMEJANZA DE TRIÁNGULOSSon aquellos triángulos que tienen ángulos internos iguales y los lados homólogos proporcionales. Son lados homólogos los que se oponen a los ángulos interiores iguales.CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOSEn el gráfico: ∆ ABC ∼ ∆ PQRDonde k es la constante de proporcionalidad.PQRαβθrq∼ pA Cβθc abαB= ABPQBCQR = ACPR =k- Caso 1: Dos triángulos son semejantes si tienen al menos dos ángulos de igual medida.∆ ABC ∼ ∆ PQR∼Cα θPQRα θABSi m BAC = m QPR m BCA = m QRP- Caso 2: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo interno igual y los lados que los forman respectivamente proporcionales.∼GαEFαABCSi m = mÊ y = ABEFACEG∆ ABC ∼ ∆ EFG- Caso 3: Dos triángulos son semejantes si sus lados son respectivamente proporcionales.ABC MNL∼Si = = k ABMNBCNL = ACML∆ ABC ∼ ∆ MNL
1144to Secundaria PROPIEDADESABCP Q1) Si PQ // AC2) Si ∆ ABC ∼ ∆ PQR se cumple.A CBc abHRhPQq RR1r h1 pOABOABMN17P 4¿Cómo multiplicaban los griegos?Multipliquemos 7 x 4 según la matemática griega. Para esto, construye la siguiente figura: Finalmente, mide el segmento NB. Sorprendentemente es 28.¿Cómo puedes explicar esto?La respuesta está en el teorema de Tales.∆ ABC ∼ ∆ PBQNotaLa semejanza nos dice que sus formas permanecen invariables, solamente se diferencian por sus tamaños.Sobre OA señala un centímetro y luego 4 cm. Sobre OB señala 7 cm. Luego traza una paralela a MN que pase por P. =cr =k ap=bq= hh1= 2P2P = RR1ABCPQREste es un diagrama de un eclipse solar típico. Durante un eclipse solar total, la umbra alcanza a la Tierra. Durante un eclipse anular, no la alcanza. Un eclipse ocurre cuando la Luna pasa por la trayectoria del Sol y la Tierra.Un eclipse de Sol ocurre cuando la Tierra pasa a través de la sombra de la Luna. Un eclipse total de Sol ocurre cuando la Luna está directamente entre el Sol y la Tierra. Cuando ocurre un Eclipse total de Sol, la sombra de la Luna cubre solamente una pequeña parte de la Tierra, donde el eclipse es visible. Mientras la Luna se mueve en su órbita, la posición de la sombra cambia, de modo que los eclipses totales de Sol usualmente duran un minuto o dos en un lugar determinado. En épocas antiguas, las personas le tenían miedo a los eclipses solares, (aún en aquellos tiempos la gente se daba cuenta de que el Sol era esencial para la vida en la Tierra). Ahora los eclipses son de gran interés para el público y astrónomos solares. Los eclipses nos brindan una oportunidad de ver a la atmósfera exterior del Sol, la corona solar. Eclipses Solares
115Geometría1) De la figura, calcule BC si AB=8m, PR=2BP y AP=AR.BA R CPθ θResolución:BA R CPθθxααnn8a2a∆ ABP ∼ ∆ CBR:a3a= 8xx= 24mResolución:A CBθααx xxx31mx1 =3-x33x= 3-xx=3/4θ3α12) Calcule el lado de un cuadrado inscrito en un triángulo ABC, si la base AC y la altura BH miden 3m y 1m respectivamente. (Un lado del cuadrado descansa sobre AC).θα3-xx∼RecuerdaAθP CQBφφθAPPC= QAQCRectángulo áureoUn rectángulo especial es el llamado rectángulo áureo. Se trata de un rectángulo armonioso en sus dimensiones.Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale 1+ 5, por lo que la proporción entre los dos lados es:A este número se le llama número de oro, se representa por el símbolo Ø y su valor es 1,61803..., lo obtuvieron los griegos al calculer la relación entre la diagonal de un pentágono y su lado. El nombre de “número de oro” se debe a Leonardo da Vinci.En “El hombre ideal” de Leonardo, el cociente entre el lado del cuadrado y el radio de la circunferencia que tiene por centro el ombligo, es el número de oro.Otra propiedad de este rectángulo es que si se colocan dos iguales como en la figura de abajo, se forma otro rectángulo áureo más grande.A B C A CR. áureo1 1 1+ 55 2 21 + 52
1164to Secundaria Rpta:2Rpta:4Rpta:1Rpta:Los lados de un triángulo miden 20, 26 y 30 cm. 3¿Cuáles son los lados de otro triángulo semejante de 114 cm de perímetro?Resolución:Calcule x en la figura.Resolución:a3aα3xαCalcule x si ABCD es un romboide. Resolución:B12CA D3nO nxCalcule PQ si BQ = 3cm; BC = 8cm y AB = 6cm.Resolución:BA CQPα α
117GeometríaRpta:5Rpta:Calcule AB si BP = 4cm y PC = 8cm. 6Resolución:A CBααPCalcule PQ si BC = 9 cm; BP . AC = 36 cm2Resolución:BA CQααP7. En el triángulo ABC mostrado, calcule AD.8. Las bases de un trapecio miden 6u y 12 u, y su altura mide 3u. Calcule la distancia del punto de intersección de la prolongación de los lados no paralelos a la base mayor.AB H CC2 1049. Calcule ‘‘PQ’’ si BC= 6u y AD= 10u. BQA DPC10. Dado un paralelogramo ABCD, de tal manera que: 5(AB)=4(BC). En AC se ubica un punto ‘‘P’’. Calcule la distancia de ‘‘P’’ a AB si la distancia a AD es 2 u.
1184to Secundaria 11. En un triángulo ABC (AB=BC), se trazan las alturas AH y BM cortándose en ‘‘Q’’. Calcule ‘‘AC’’ si BQ= 12 u y QM=4 u. 12. En un triángulo ABC se traza la mediana AD. Por ‘‘G’’, baricentro del triángulo, se traza una paralela al lado BC que corta a AC en ‘‘F’’. Calcule ‘‘FG’’ si BC=18 u.1. Calcule ‘‘x’’ si ABCD es un paralelogramo.a) 5 b) 2,5 c) 10d) 7 e) 8BQCA D2k 5k25x2. Calcule x en la figura.a) 2 10 b) 3 5 c) 4 5d) 3 10 e) 5 5a3aα3xα3. Calcule ‘‘PQ’’ en la figura mostrada.a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6θθA 2 Q 6 CBP 124. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B. Sobre BC se toma el punto P y se traza PH perpendicular a AC. Si AB = 5, AC = 15 y PH = 3, calcule PC.a) 9 b) 8 c) 10d) 12 e) 16
119Geometría6. Calcule ‘‘PQ’’ si PQ // AC. a) 7,5 b) 6,5c) 7d) 6 e) 85. Calcule la longitud del lado del rombo ABCD. a) 4 b) 5c) 6d) 7 e) 8PA QCD15 B10. En un triángulo ABC (AB=BC), se trazan las alturas AH y BM cortándose en ‘‘Q’’. Calcule ‘‘AC’’ si BQ= 12 u y QM=4 u. a) 6 u b) 8c) 12d) 14 e) 16A CBP Q53128. En un triángulo ABC, se trazan las alturas AM y CN. Calcule ‘‘BM’’ si AB= 5, BN=3 y BC= 6.a) 0,5 b) 1,0c) 1,5d) 2,0 e) 2,5A CBαPα9. Calcule ‘‘AB’’ si BP= 4 cm y PC= 5 cm.a) 4 3 b) 2 3c) 8d) 6 e) 4 27. Calcule ‘‘PQ’’ si BC= 10 cm; BP x AC = 40.a) 3 b) 4c) 5d) 6 e) 8A CBαQPα11. En la figura; AB = 36 cm y ‘‘G’’ es baricentro. Calcule ‘‘GP’’. a) 6 b) 18c) 9d) 12 e) 24A CBPG12. Calcule ‘‘BC’’ si AB=16 cm y CD= 36 cm. a) 20 b) 18c) 30d) 24 e) 25AB CD
1204to Secundaria 16 Relaciones Métricas en los Triángulos RectángulosPROYECCIÓN ORTOGONALLa proyección ortogonal de un punto viene a ser el pie de la perpendicular trazada por dicho punto a la recta.PP’ A’ B’ C’ D’ LAB DCObservaciónAH : Proyección ortogonal de AB sobre AC.ABH Ca2+b2=c2Teorema II:a . b=h . cTeorema III:h2=n . mTeorema IV:a2 b2 = c.n = c.mTeorema I:Teorema V:1h2 = 1a2 +1b2A BCn m cbah: Proyección ortogonal de CD sobre L.C’D’: Proyección ortogonal de AB sobre L.A’B’L : Eje de proyección.PP’ : ProyectantePROPIEDADESNació en 1596, en el seno de una familia noble y acomodada. Se educó desde 1604 hasta 1612 en el colegio de los jesuítas de la Fléche. En 1617 se alistó como voluntario en el ejército de Mauricio de Nassau, en 1619 en el del elector de Baviera y en 1621 en el del conde de Bucquoy. Su moderada fortuna le permitió dedicar su vida al estudio, a la ciencia y a la filosofía. De 1628 a 1649 permaneció en Holanda. Este año se trasladó a Estocolmo, donde murió al año siguiente. Descartes aplica los métodos algebraicos al estudio de las curvas; llegando a establecer la ecuación de una curva y distinguiendo curvas geométricas y curvas mecánicas. Estudió sólo las primeras, aquéllas en las que las dos coordenadas, x e y, están enlazadas por una ecuación algebraica.René DescartesOBJETIVOS:a Conocer las principales relaciones entre las longitudes de un triángulo.a Conocer las diferentes maneras de medir las longitudes de las proyecciones de segmentos.
121GeometríaObservaciónAH B CNotax2 = (AH) (HB)d H BxPRA = 2 Rrx2 = m . dB OxdA mBH : Proyección ortogonal de AB sobre BC.R r1) Calcule “a”.a4 12Resolución:Aplicando el teorema I de R.M. :a2=4(16) a=82) Calcule “h”.h18 8Resolución:Por el teorema IV de R.M. : h2=18(8) h=123) Calcule “h”.Resolución:La hipotenusa AC=25(triángulo notable de 37° y 53°) por el teorema III de R.M. : 15.20=h.25 12=hhA CB15 204) Calcule “x”.Resolución:Por el Teorema de Pitágoras: (x-2)2+(x-9)2=x2 x2-22x+85=0 x -17 x=17 x -5 x=5(No cumple) x-2 x-9xDemostración:hn mHA q CBaa q ∴ h2=m.n(Teorema IV)i) m C=m ABH ; m A=m HBC.ii) AHB ∼ BHC (Semejantes)⇒ = ⇒ n.m=h.h ∴ h2=n.mnhhm
1224to Secundaria Rpta:2Rpta:4Rpta:1Rpta:Calcule “x”. 3Resolución:x9 16Calcule “x”.Resolución:xx-8 x-1Calcule “x” si ABCDes un rectángulo.Resolución:4,5 8xAB CDCalcule “x”.Resolución:x 394
123GeometríaRpta:5Rpta:6 Calcule x, en la figura mostrada.Resolución:Calcule d si las circunferencias son tangentes exteriores.Resolución:16d25 2 4x7. Calcule R si AP=1 y BQ=8.O BQPARRm n A CBh8. Calcule h, en la figura.9. Calcule AB/AD si EC/AE=7/5.A CBH ED10. Calcule BC si AB=PQ=8u.AB CDPQ
1244to Secundaria DA CBEFA CBHE FP23x 65411. En la figura, si AF=1 y DC=8, calcula AC. 12. En la figura, “P” es un punto interior cualquiera del triángulo ABC. Calcule “x”.1. Calcule “h”.a) 20 b) 18 c) 16d) 19 e) 13h12 272. Calcule “x”.a) 12 b) 11 c) 10d) 9 e) 8x973. Calcule “x”.a) 30 b) 21 c) 25d) 23 e) 24529x 74. Calcule “x”.a) 10 b) 9 c) 8d) 7 e) 624x1520
125Geometría5. Calcule “a”.a) 12 b) 10 c) 9d) 14 e) 13a7166. Calcule “x+y”.a) 20 b) 18 c) 21d) 24 e) 2512h8y1x7. Calcule r, en la figura mostrada.a) 4,5 b) 4 c) 3 3d) 3 e) 3 28 18h8. Calcule h, según el gráfico mostrado. a) 3 13 b) 9 c) 8d) e) 9 2 36 13139. En la figura mostrada, calcula PQ si P y Q son puntos de tangencia.a) 8 b) 6 c) 10d) 6 3 e) 5 24P10Qr183r10. Calcule PH si BH=4, HC=16 y CD=11.a) 1 b) 2 c) 5,5d) 3 e) 4B H CA DP11. En la siguiente figura, ABCD es un cuadrado. Calcule x.a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6AB CDx+3x+5 x12. En un triángulo ABC, se traza la altura BH. Si (AB)2-(BC)2=10, calcula (AH)2-(HC)2.a) 11 b) 10 c) 12d) 15 e) 20
1264to Secundaria 17 Relaciones Métricas en la CircunferenciaOBJETIVOS:a Conocer las relaciones entre longitudes de líneas asociadas a la circunferencia.a Reconocer el desarrollo de cada uno de los teoremas en cada problema.Teorema de las Cuerdasa . b = m . nSi AB y CD son cuerdas, se cumple:Calcula n + 1.a nb m OACDB3n 5n+2Por el teorema de las cuerdas:Si PAB y PCD son rectas secantes a la circunferencia:ACDBbnPma(n+2)(n) = (5)(3)n2 + 2n = 15n2 + 2n - 15 = 0(n + 5) (n - 3) = 0→ n + 5 = 0 n = -5 (F) n - 3 = 0 n = 3 (V)∴ n + 1 = 4Calcula AC si MC = 2 AR = 8 PR = 5Ejemplo:Resolución:Teorema de las Secantesa . b = m . nEjemplo:
127GeometríaPor el teorema de las secantes:RPMCAx (x-2) = 8(3)x = 6Calcula m (T: punto de tangencia)ABCT m-154ABT anmPPor el teorema de la tangente y la secante: (m-1)2 = 9.4 (m-1)2 = 36 m - 1 = 6 → m = 7Resolución:AC5 PR 83xM2(x-2)Teorema de la Tangente y la Secantea2 = m . nEjemplo:Resolución:Si PT es recta tangente y PAB es recta secante.Las abejas para almacenar la miel, construyen sus panales con celdas individuales, que han de formar un mosaico homogéneo sin dejar espacio vacío. Eso lo pueden conseguir con celdas triangulares, cuadradas y hexagonales. Otra cuestión es qué forma es más rentable para que empleando la misma cantidad de cera, se logre la mayor superficie y capacidad de la celda. Veamos cuáles son las superficies de un triángulo, un cuadrado, un hexágono y un círculo, todos de igual perímetro: 12 cm.Las celdas de las abejasLa opción más favorable de mayor superficie a igualdad de perímetro no dejando huecos entre celdas, es el HEXÁGONO. Es la empleada por las abejas.S = 6,93 cm2 = 4 cmS = 10,39 cm2 = 2 cmS = 9 cm2 = 3 cmS = 11,46 cm2R = cm 6π
1284to Secundaria Rpta:2Rpta:4Rpta:1Rpta:En la figura, calcule PB si AP = PB, PC = 18, 3DP = 8.Resolución:A BDCPCalcule BC si AB = 10 y BC = CD.Resolución:EDC BAEn la figura, AB = 9 cm, AD = 8cm y BC = 7cm. Calcule ED.Resolución:En el gráfico si AT=3m y CI=4m, calcule “TC”.Resolución:ADCBMCT ANI
129GeometríaRpta:5Rpta:Desde un punto “I” a una circunferencia 6exterior , se traza las secantes ILD y IHC; en la prolongación de IC se toma el punto “A” y se traza la tangente AT. Si IL=3u ; LD=CA=5u y IH=4u, calcule “AT”.Resolución:Se tiene una semicircunferencia de diámetro AB y centro “O”, se traza otra semicircunferencia interior con diámetro AO. Desde “B” se traza la tangente BT a la menor. Si AB=6 2 m, calcule “TB”.Resolución:11. En un cuadrado ABCD, se une “B” con “M” punto medio de CD, intersecando a la circunferencia inscrita en “P”. Calcule “BP” si el radio de la circunferencia mide 10 cm.9. En una circunferencia de 15m de radio, dos cuerdas se intersecan dando por producto de sus segmentos 200 m2 respectivamente. Encuentra la distancia del punto de intersección al centro.10. Una cuerda de 14m dista del centro de la circunferencia 2m; otra cuerda que se corta con la anterior, dista del centro 4m y la distancia del centro al punto de intersección de las dos cuerdas es 5m. Luego, uno de los segmentos en que se divide la cuerda de 14m es:7. En el gráfico, calcule “EO” si EF. EC= 36 m2 y AC=16 m12. Se tiene una semicircunferencia de diámetro AB, en la prolongación de AB se toma el punto “P,” y se traza la tangente PT. Si PT mide igual que el radio y BP= 2 cm, calcule el diámetro.8. Desde un punto “A” exterior a una circunferencia, se traza la tangente AT y la secante diametral ACI. Si AI= 3(AC) y AT=4 3 m, calcule la medida del radio de la circunferencia. OEA CFT
1304to Secundaria 1. Calcule AB si CQ = 10u, DQ = 6u y AQ = 5u.a) 17 u b) 12 u c) 10 ud) 18 u e) 15 uAPBC2. Calcule AP si AB = 4cm y BC = 12 cm.a) 8cm b) 4 3cm c) 6cmd) 3 3cm e) 6 2cmQRDPE3. Calcule PQ en el gráfico mostrado. PR = RQ PD =4 cm DE =8 cma) 6cm b) 5cm c) 8cmd) 4 6cm e) 6 2cmBADCQ4. Se tiene dos circunferencias secantes en PQ, en la prolongación de PQ se toma el punto “T” y se traza las tangentes TA y TC a cada circunferencia. Si: TA=2 2 u, calcule “TC”.a) 2 u b) 2 2 u c) 1 ud) 1,5 u e) N.A.5. El diámetro de una circunferencia mide 13 cm y divide a una cuerda de 5 cm en partes iguales, calcule el menor segmento determinado en el diámetro.a) 2 cm b) 1,5 cm c) 1 cmd) 0,5 cm e) N.A.6. En una circunferencia un diámetro divide a una cuerda en dos segmentos de 6u y 12u. Si la cuerda dista del centro 4u, calcule la medida del radio. a) 97 u b) 2 17 u c) 7 7 ud) 6 6 u e) N.A.7. En una circunferencia de 13 cm de diámetro, un arco subtiende una cuerda de 12cm. Calcule la longitud de la cuerda que subtiende el arco mitad.a) 52 cm b) 17 cm c) 8 cmd) 11 cm e) N.A.8. En una circunferencia, las sagitas correspondientes a los catetos del triángulo rectángulo inscrito mide 1m y 2m, si la hipotenusa miden 10m. Calcule la medida del inradio del triángulo.a) 1 m b) 2 m c) 2 md) 3 m e) 3 m9. Se tiene un segmento AB secante a una circunferencia en “C” y “E”, se traza AP y BQ tangentes a dicha circunferencia. Si AC= 3cm; EB=4 cm y CE= 5 cm, calcule (AP) (BQ). a) 6 6 b) 8 5 c) 12 6d) 12 e) N.A.10. Se tiene un cuadrado ABCD, se une “A” con el punto medio “M” de CD, intersecando a la circunferencia inscrita en el punto “P”. Si AB= 10 cm, calcule “AP”.a) 2 5 cm b) 5 cm c) 3 cmd) 2 cm e) 1 cm11. Desde un punto “E”, exterior a una circunferencia, se traza las secantes EAB y ECD. Si EA= 2m; AB= 6m y EC= 1m, calcule la medida de CD.a) 10 m b) 12 m c) 7 md) 9 m e) 15 m12. En el gráfico, R=2r; AB=8 cm y CD= 4 cm. Calcule “r”.a) 1 cmb) 1,5 cm c) 2 cmd) 32,5 cme) 3 cmOAR rC D B
93Geometría18 Área de Regiones TriángularesRegión PlanaPorción de plano limitada por una línea cerrada, llamada frontera de la región.R1SuperficieR1 : Región planaÁrea de una región plana:Es la medida numérica de una región plana.La unidad convencional del área es una región cuadrada cuyo lado tiene por longitud la unidad.REGIONES EQUIVALENTESSon regiones planas que tienen la misma área.R1 R2A1 A2Si: R1 < > R2 ⇒ A1 = A2Áreas de Regiones TriangularesRegión Triangular:Es una región plana cuyo contorno es un triángulo.hBA C bA CBDHbNOCIONES PREVIAS 1) FÓRMULA BÁSICAA ABC = b . h2A ABC = b . H2A ABC = a . c2BA Cc a
944to Secundaria 2) FÓRMULA TRIGONOMÉTRICAcBA b Cθ3) FÓRMULA DE HERÓNbcBA Cap: semiperímetro de la región ∆ABC.A ABC = b . c2sen θp = a+b+c2A ABC = p(p-a)(p-b)(p-c)TRIÁNGULO EQUILÁTEROra bcL2 34A= =h2 33EN FUNCIÓN DEL INRADIO (r)A=p.r p= a+b+c2p: semiperímetroEN FUNCIÓN DEL CIRCUNRADIO (R)Rba cOA= p= a+b+c2abc4REN FUNCIÓN DE UN EXRADIO (ra)racABb CaA= ra(p-a) p= a+b+c2h LLL
95GeometríaRpta:2Rpta:4Rpta:1Rpta:En la figura, calcule el área de la region 3sombreada.θºθºθºabResolución:Un triángulo rectángulo ABC está inscrito en una circunferencia, la bisectriz interior BDprolongada interseca la circunferencia en F. Si: BD=4u y DF=6u. Calcule (en u2) el área de la región triangular ABC.Resolución:En la figura, AB = 20u. Calcule el área de la región triangular PQS (en u2).Resolución:En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 2m. Calcule el área de la region triángular BPC en (en m2) (P es punto de tangencia).Resolución:
964to Secundaria Rpta:5Rpta:6 Los lados AB , BC y AC de un triángulo ABC miden 13cm., 14cm. y 15cm. Calcular (en cm2) el área de la región triangular AIC, siendo \"I\" el incentro.Resolución:En un triángulo ABC, la altura y la mediana relativa a AC trisecan al ángulo B. Calcular (en u2) el área de la región triangular.Si: AC = 12u.Resolución:7. Calcular (en m2) el área de una region triángular cuyos lados miden: 10m; 17m y 21m.8. Calcular el área de una region triángular equilátera (en cm2) si el radio de la circunferencia inscrita es 2cm.9. En la figura, T es punto de tangencia, ET=8u, AB es diámetro de la semicircunferencia y BCDE es un cuadrado (A, B y E son colineales). Calcule el área de la región ACE (en u2) .10. De la figura, AO=OB, AC=7u y BC=4 2u. Calcular el área de la región triangular ABC en (en u2) .
97Geometría11. En la figura, AB=BC y AC=24u, calcular el área de la región ABC en (en u2) 12. Calcule (en m2) el área de una region triángular rectángular cuya hipotenusa mide 30m y el radio de la circunferencia inscrita mide 6m.3. Calcula el área de la región sombreada si AB=12cm y BC= 16cm.a) 24 cm2 b) 28 cm2 c) 48 cm2 d) 48 3 cm2 e) 32 3 cm21. La base y la altura de un triángulo están en proporción de 2 a 5 y suman 28 cm. Calcula el área de la región triangular.a) 80 cm2b) 60 cm2c) 56 cm2d) 96 cm2e) 90 cm29108BC H53°A2. En la figura, calcula el área de la región triangular ABC.a) 32 u2b) 36 u2c) 30 u2d) 40 u2e) 42 u24. Halla el área de la región sombreada si ABCD es un cuadrado de lado 8cm.a) (16 3-1)cm2 b) (16 3-2)cm2 c) (8 3-16)cm2d) 16( 3-1)cm2e) (16 3-4)cm2AB CDCB H120°A8
984to Secundaria 5. Si AB=BC y CD=DE, halla el área de la región sombreada.DBA C Eb10aa) 25 u2b) 50 u2c) 75 u2d) 45 u2e) 60 u212. Calcula el área de la región sombreada si AB=6u y BC=8u.A CBa) 6 u2b) 8 u2c) 4 u2d) 10 u2e) 6 2 u27. En triángulo ABC se ha inscrito una semicircunferencia cuyo diámetro se encuentra contenido en el lado AC.Si AB=13m; AC=14m y BC=15m, halla la medida del radio de la semicircunferencia.a) 2 mb) 3 mc) 4 md) 6 me) 7 m8. Los lados de un triángulo ABC miden AB=21m; BC=35m y AC=28m. Si las bisectrices de B y C se intersecan en “I”. Calcula el área del triángulo AIC.a) 84 m2b) 98 m2 c) 100 m2d) 120 m2e) 122,5 m26. En un triángulo ABC, se sabe que AB=6 u y BC=7 u. ¿Para qué valor de AC el área de la región triangular ABC será máxima?a) 12 ub) 10 uc) 9 ud) 85 ue) 89 u10. Los lados de un triángulo miden ... 26 u, 18 u y 20 u. Halla el área de la región triangular.a) 6 u2b) 9 u2c) 12 u2d) 15 u2e) 18 u211. En un triángulo ABC el segmento que une el incentro y el baricentro es paralelo a la base AC y el inradio mide 2 u. Halla el área de la región triangular ABC si AC=8u.a) 21 u2b) 24 u2c) 18 u2d) 16 u2e) 12 u29. Si los lados de un triángulo miden 5u; 6u y 7u. Halla su área.a) 6 u2b) 2 6 u2c) 3 6 u2d) 18 u2e) 6 6 u2
99Geometría19 Relaciones de Áreas de Regiones TriangularesRELACIONES DE ÁREASA m n N CB=mnA∆ABNA∆BNCA n n D CBA∆ABD=A∆BDCA CBP S QRSSS SSccaab b1.2.3.4.cBA CabQP Rr pqSi ∆ABC ~ ∆PQR= = = b2q2A∆ABCA∆PQRc2r2a2p25.S3S6.S SGG: Baricentro
1004to Secundaria 2) Calcula el área de la región de un triángulo rectángulo si la hipotenusa y su inradio miden 17 y 3u, respectivamente.Resolución:B AC317a bPor Poncelet: a+b=17+2(3) a+b=23 Sabemos: A ABC=p.r= .3 A ABC= .3=60 u 23+17 22 ( ) a+b+172 ( )Resolución:1) Halla el área de la región de un triángulo ABC si m A=37°, m C=45° y AC=28 cm.A H CB53°37°45°45°3a4a 3a28 4a+3a=28 7a=28 ⇒ a=4 Luego: BH=3(4)=12∴Área ∆ABC= =168 cm 28(12) 22Pues la historia es la siguiente: estaba Carl Friedrich Gauss allá por el año 1787 en la escuela, tenía unos 10 años de edad, con esa edad pasó lo que tenía que pasar; todos los niños empezaron a tirarse papeles, tizas, etc.En ese momento apareció el profesor y cabreado como estaba, ordenó a todos los niños que como castigo le sumaran todos los números del 1 al 100.El profesor debió pensar: ¡Que idea más buena he tenido! ¡Durante un buen rato me dejarán todos estos mocosos en paz!A los pocos minutos, nuestro pequeño genio se levantó del pupitre, y entregó la respuesta correcta: 5050. El profesor, asombrado, debió pensar que había puesto un número al azar, y se dispuso él mismo a hacer la interminable suma. Al cabo de un buen rato, comprobó que, efectivamente, la suma pedida era 5050.No es que Gauss fuera un calculador extraordinario, capaz de hacer sumas a la velocidad de un ordenador moderno. Gauss llegaría a ser uno de los mejores matemáticos de la historia, y los matemáticos no calculan: piensan.Lo que hizo Gauss fue lo siguiente:Tenía que sumar los siguientes números:1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ... + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100Pero nadie le obligaba a sumarlos por orden. Así, Gauss se percató de un hecho singular: si agrupaba los números por parejas, tomando el primero y el último, el segundo y el penúltimo, etc., tenía lo siguiente:(1 + 100) = 101 ; (2 + 99) = 101 ; (3 + 98) = 101 ; (4 + 97) = 101; etc.Es decir, todos los pares de números sumaban 101. Como entre el uno y el 100 podía hacer 50 pares con esa propiedad, el resultado final sería 50 x 101 =5050.Más tarde aplicaría este mismo principio para hallar la suma de la serie geométrica y muchas otras series.
101GeometríaRpta:2Rpta:4Rpta:1Rpta:En el gráfico: SABP = 12, SAPQ = 8, SPBC = 18. 3Calcular el área de la región sombreadaABCPQResolución:En el gráfico: 3.AF = FC, SEFC = 6. Calcular el área de la región sombreada.ABCDFResolución:En la figura, Calcule S1/S2.ABCD2aa2b E bResolución:Del gráfico, el área de la región MBN es 2 m2. Calcule SABCMPRNQS SResolución:
1024to Secundaria Rpta:5Rpta:Del gráfico, G y N son baricentros de los trián- 6gulos BMC y ABC respectivamente.Si: S2 = 10u2, calcular S1.ABM CNGResolución:En la figura, BM es mediana, AP=PN=NB, BP=PQ=QC y el área de la región ABC es 36u2, calcular la suma de las áreas de la región sombreada.ABC MN PQ PResolución:7. Si el área del triángulo ABC es 36 m2; G y N son baricentros de los triángulos ABC y AMC respectivamente, calcular el área de la región sombreada.ABC GMNP8. En la figura, AP = PB; QC = 2BQ; AM = MC y el área de la región ABC es 24u2, calcular el área de la región sombreada.ABCPMQ9. En la figura, G1 y G2 son baricentros de los triángulos ABM y AMC, calcular el área de la región sombreada, si SABC = 80.10. Del gráfico: SABC = 48 m2. Calcular SMGN.ABCM NG
103Geometría1. Calcula el área de la región sombreada si el área no sombreada es 35 cm2.a) 12 cm2b) 16 cm2c) 15 cm2d) 10 cm2e) 8 cm2A CB2n 7n2. Se tiene un cuadrado ABCD, exteriormente se dibuja el triángulo rectángulo BEC. Si BE= 4m, halla el área de la región triangular ABE.a) 4 m2b) 8 m2c) 12 m2d) 16 m2e) N.A.3. Halla el área de la región sombreada si BC=AB=10 cm y “M” es punto medio.AB CDMa) 10 cm2b) 12 cm2c) 15cm2d) 18 cm2e) 16 cm24. Se tiene un triángulo isósceles cuyos lados de igual longitud miden “b”. Para obtener un triángulo con la mayor área posible, el tercer lado debe tener una longitud de:a) b b) 2 bc) bd) b πe) b 322COMPLETAR 2 PREGUNTAS PARA CLASE
1044to Secundaria 5. Halla el área de la región sombreada si AR=5u, HC = 3u,∠m∠ABR = m∠RBH = m ∠HBC. a) 9 u2 b) 12 u2 c) 15 u2d) 18 u2 e) 21 u2A CBR H6. Halla el área de la región sombreada si AB=5u. a) 8 u2 b) 10 u2 c) 15 u2d) 20 u2 e) 25 u2AB CD7. Si el lado del cuadrado ABCD es 12u, calcula el área de la región sombreada.a) 12 u2 b) 16 u2 c) 18 u2d) 24 u2 e) 32 u2AB CDM8. Calcula el área de la región triangular ABC, si el área de la región sombreada es 18 cm2.a) 66 cm2 b) 62 cm2 c) 72 cm2d) 48 cm2 e) 54 cm2A CB8k 3k9. Si el área de la región sombreada es 32 cm2, calcula el área de la región triangular ABC (G es baricentro).a) 96 cm2 b) 64 cm2 c) 128 cm2d) 130 cm2 e) 72 cm2A CBG10. Calcula el área de la región triangular ABC si el área de la región sombreada es 24 cm2.a) 36 cm2 b) 48 cm2 c) 30 cm2d) 32 cm2 e) 40 cm2A CBNM11. Calcula el área de la región sombreada si el área de la región triangular PQR es 80 u2.a) 40 u2 b) 50 u2 c) 60 u2d) 64 u2 e) 48 u2P QRM N12. Dos lados de un triángulo miden 8m y 10m. Si su área es la mayor posible. Halla la medida del tercer lado.a) 2 41 m b) 3 17 m c) 7 13 md) 11 m e) 12 m
105Geometría20 Áreas en Regiones CuadrangularesREGIÓN CUADRANGULAREs una región plana cuyo contorno es un cuadrilátero convexo o no convexo.BACDθd1 d21) FÓRMULA GENERALABCD: ConvexoÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES MNLP : Concavod1 . d22A ABCD = senθ2) ÁREA DEL PARALELOGRAMOAB Cb D Ha hθ3) ÁREA DEL ROMBOABCDd2d1m . n2A MNLP = senbNM L nβPmA ABCD = b . h oA ABCD = absenθd1 . d22A ABCD =4) TRAPECIObhaa+b2 A= h ( (
1064to Secundaria Rpta:2Rpta:4Rpta:1Rpta:En la figura, calcular el área de la región som- 3breada.6CABD8Resolución:En un cuadrilátero ABCD, la m∠BAD=90°, se trazan CP y MQ perpendiculares al lado AD(P y Q pertenecen a AD y M∈CD), CM = MD, AP = PQ = 5u, BC = CD2 y BA = MQ = 3 u. Calcule el área de la región cuadrangular BCMP.Resolución:Las bases de un trapecio miden 4 y 10. La mediana es igual que la altura. Calcular el área de la región trapecial.Resolución:Dos lados de un paralelogramo miden 6 y 8, su altura mide 7. Calcular el área de la región paralelográmica.Resolución:
107GeometríaRpta:5Rpta:En la figura se muestran cuadrados S1=9 y 6S2=16. Calcular S3.S3S2S1Resolución:Se tiene un trapecio ABCD (BC : base menor)BC = 2; AD = 8; m A m D 53º = =Calcular: S(ABCD)Resolución:7. El perímetro de un rectángulo es igual a 46 y la diagonal mide 17. Calcular el área de la región rectangular.8. Se tiene un trapecio ABCD (BC : base menor)BC = 4 y AD = 10, m A 75 y m D 30º = =Calcular SABCD.9. En la figura calcule el área de la región limitada por el trapezoide ABCD, si AD=10 y CD=2.30º120º60ºBA DC10. Se tiene un cuadrilátero curvas diagonales miden a y b. Calcular el área máxima que puede tener la región trapezoidal.11. En la figura, calcule el área de la región sombrea da si: (AP)(PC)=32m2.A P C45ºB12. Calcular el área de un rombo, si las proyecciones de sus diagonales sobre uno de sus lados miden 2u y 8u respectivamente.
1084to Secundaria 1. En un rombo de lado 5u, una diagonal es el doble de la otra. Halla el área de la región del rombo.a) 25 u2b) 20 u2c) 15 u2d) 30 u2e) 22,5 u22. En un trapecio rectángulo la base mayor mide 18 u, la base menor y su altura tienen la misma medida y la diagonal menor mide 8 u. Halla el área de su región.a) 24 u2b) 20 u2c) 16 u2d) 28 u2e) 26 u24. El área de la región de un rectángulo es 1500 u2. Si se aumenta el largo en 10 u y el ancho aumenta en 30 u, resulta un cuadrado. Halla el lado mayor del rectángulo.a) 50 ub) 30 uc) 60 ud) 70 u e) 80 u3. En la figura, “A” y “B” son cuadrados y “C” es rectángulo, las áreas de “A” y “C” son 196m2 y 48m2, respectivamente (SE>ET). Halla el área de la región QRST. a) 312 m2b) 304 m2c) 300 m2d) 308 m2e) 298 m2RABCSQ TE5. Si ABCD es un cuadrado y el área de la región de cada triángulo es 12 m2. Halla el área de la región del cuadrado sombreado si 2(AM)=MB.a) 6 u2b) 9 u2c) 12 u2d) 15 u2e) 18 u2DABCM6. Halla el área de la región sombreada.a) 3 u2b) 1 u2c) 13u2d) 2 u2e) 4 u21 122222
109GeometríaACMBNO 45°7. Halla el área de la región COMN, si AB y BC son tangentes y AB=2+2 2cm.a) 4cm2b) 4 3cmc) 6cm2d) 4 2cm2e) 8 3cm28. En un cuadrilátero inscriptible ABCD, AB=7u, BC=24u, CD=15u y AD=20u. Halla el área de la región del triángulo ABC.a) 50 u2b) 64 u2c) 84 u2d) 48 u2e) 42 u2DA BC9. En el paralelogramo ABCD, AB=2 u, BC=4 u y m∠C=60°. Halla el área de la región de dicho paralelogramo.a) 3 u2b) 2 3 u2c) 4 3 u2d) 3 3 u2e) 6 3 u210. Trapecio ABCD.a) 23 cm2 b) 25,5 cm2c) 29,5 cm2 d) 30,5 cm2e) N.A.37°4cmB CA D45°5cm12. Rombo ABCD.a) 70 cm2b) 80 cm2c) 30 cm2d) 50 cm2e) N.A.16 cm37°B CA D11. Halla el área de la región sombreada si (AP)(PL)=8m2.a) 2 m2 b) 8 m2c) 6 m2d) 4 m2 e) 16 m2M NLO BAP
1104to Secundaria 21 Relaciones de Áreas Cuadrangulares - Áreas de Regiones Circulares1.BA DS2S S 3 1S4CS1 x S3 = S2 x S4RELACIONES DE ÁREAS3.ABS SAB CDS2 = A . BSi ABCD: TrapecioAB CDMSi ABCD: TrapecioAB CDPP: punto que pertenece a BCSi ABCD: Paralelogramo2. BA DCSxS ABCD2 Sx=A ABCD2 A∆ABM=A ABCD2 A∆APD=4.5.Si ABCD: ParalelogramoS∆BCP+S∆APD=S ABCD26.AB CDP
111GeometríaÁREA DE REGIONES CIRCULARES1.- ÁREA DEL CÍRCULOAB: Diámetro = dR : RadioA = πR22.- ÁREA DEL SECTOR CIRCULARRO θBA3.- CORONA CIRCULARR rA BRR O RRegión CircularPorción del plano cuyo contorno es una circunferencia.A =πd24 π =3,1416A AOB= qπR2360°ACORONA= π(R2-r2)S=S1+S2Trapecio CircularEs la porción de corona circular determinada al trazar dos radios mayores.C DR rA Bl1Sq dOl2S= (R2-r2) qπ360°Además, si l1 y l2 son las longitudes de los arcos AB y CD respectivamente y R-r=d, se cumple:S= d l1+l22 ( )LúnulasSon regiones encerradas dentro de dos arcos de diferentes diámetro que se intersecan. Los centros de los arcos están aun mismo lado.A BLúnulaLúnula de HipócratesAl tomar los lados de un triángulo rectángulo ABC, recto en B, como diámetros de semicircunferencia, se cumple:LS1S2SS=S1+S2Por teorema: S1+M+S2+N=M+S+NDemostración:LS1S2SM N
1124to Secundaria Resolución:1) Halla el área de la región de un rombo si su perímetro es 116 cm y una de sus diagonales 42 cm.ACB29D2929 292121 n O n40(42)2* En el AOB: n2+212=292 n=20 → BD=40* Luego: Área<>ABCD= =840 cm2Resolución:* AHB: Isósceles AB=8 2 AB=CD=8 2 Área ABCD=8 2(12) ∴ A ABCD=96 2 u22) Calcula el área de la región de un paralelogramo ABCD si m∠A=45° y la distancia del centro del romboide al lado mayor es 4 u y al lado menor es 6u.AB CD45°128 H8 248 O 6S=S1+S2Por teorema: S1+M+S2+N=M+S+NDemostración:LS1S2SM N3) Calcula el área de la región de un trapecio rectángulo ABCD, si: m∠A= m∠ B=90°; m∠D=60°; CD=16 u y BC=3 u.Resolución:B CA H D60°33 88 3 8 3 16(3+11)2A ABCD= 8 3=7(8 3)∴ A ABCD=56 3 u2
113GeometríaRpta:2Rpta:4Rpta:1Rpta:Si: ABCD es un paralelogramo. 3Hallar su área. Si: S1=8m2 y S2=18m2.Resolución:Si: BC // AD; S1 = 4m2 y S2 = 9m2.Hallar el área del trapecio ABCD.AB CDSS21Resolución:En la figura, BC // AD, calcular “x”.A DB CM9Lx16Resolución:Siendo: ABCD un paralelogramo. Hallar la relación entre el área de la región sombreada y el área del romboide ABCD.Resolución:
1144to Secundaria Rpta:5Rpta:En la figura, hallar el área de la región som- 6breada, si: SACB - SACD = 100 y DM = MB.DMCA BResolución:En la figura, calcule el área de la región sombreada:7m26m2Resolución:7. Halle el área de la región sombreada:8. Hallar el área de la región sombreada. Si: ABCD es un cuadrado de lado 2m.9. Hallar el área de la región sombreada. Si: R = 4cm.10. En la figura, calcular el área sombreada. Si: ABCD es un cuadrado de lado 6.AB CD
115Geometría11. Siendo: AOB un cuadrante de circun-ferencia, de 4cm. de radio.Hallar el área de la región sombreada.AO B12. Halle: (S1/S2) si A y Q son centros.A B OS SF1 2E1. El área de la región de un triángulo equilátero ABC es 36 3 u2. Calcula “ED” si AE=EC.a) 3 u b) 4 u c) 5 u d) 6 u e) 8 uABD CE3. En el paralelogramo mostrado, el área de la región sombreada es 48 u2. Calcula el área del paralelogramo ABCD.a) 86 u2 b) 84 u2 c) 72 u2d) 96 u2 e) 124 u2AB CDPBA DCM2. Si M es punto medio de CD, ABCD es un cuadrado de lado 4 cm. Halla el área de la región sombreada.a) 6 cm2 b) 8 cm2 c) 10 cm2d) 12 cm2 e) 4 cm24. En el siguiente gráfico ABCD es un cuadrado de lado 4 u. Halla el área de la región sombreada.a) 8 u2 b) 4 u2 c) 10 u2d) 5 u2 e) 9 u2AD CBM222 N 2
1164to Secundaria 5. ¿En qué relación se encuentran las áreas de las regiones determinadas por los hexágonos regulares inscrito y circunscrito a una misma circunferencia?a) 1/2 b) 2/3 c) 1/3d) 3/4 e) 3/57. Si ABCD es un cuadrado, el área de la región BCMP es 60 u2 y CM=MD, calcula el área de la región triangular APD.a) 18 u2 b) 24 u2 c) 30 u2d) 32 u2 e) 36 u2AB CDMP8. En el paralelogramo ABCD, halla el área del triángulo ABP si las áreas de los triángulos PMC y AMD suman 18 u2.a) 9 u2 b) 12 u2 c) 24 u2d) 36 u2 e) 18 u2AB CDPMBACMNP D6. En el trapecio ABCD(BC//AD), BC=15 y AD=27. Calcula AP para que las regiones M y N sean equivalentes.a) 6 b) 5 c) 8d) 7 e) 910. Si ABCD es un paralelogramo de área 36m2, calcula el área de la región sombreada. Además: AM=BM y CN=ND.a) 32 m2 b) 20 m2 c) 24 m2d) 18 m2 e) 30 m2AB CDM NADBCM h9. Si AB//CD; AB=6m, CD=18m y h=10m, calcula el área de la región sombreada.a) 80 m2 b) 60 m2 c) 50 m2d) 40 m2 e) 70 m211. En la figura mostrada, ABCD es un romboide. Halla el área de la región ABCD si x= 4cm2, y=13cm2 y z= 3cm2.a) 18 cm2 b) 30 cm2 c) 36 cm2d) 27 cm2 e) 42 cm2AB CDx y z12. El área de la región limitada por el cuadrilongo ABCD es 16cm2. Halla el área de la región sombreada.a) 1 cm2 b) 2 cm2 c) 3 cm2d) 4 cm2 e) 5 cm2B CA DP