129Geometría1. Calcule EF si ABCD es un cuadrado y además AE = 4 y CF =5.EAB CDFa) 7 b) 11 c) 9d) 8 e) 102. En el gráfico, los triángulos ABC y PBQ son equiláteros, y además AP=16. Calcule QC. a) 16 b) 12 c) 10d) 8 e) 4QA CBP3. Si AC = CD, AB = 1 y BC = 4, calcule BD. a) 4 b) 5 c) 6d) 2 e) 3ACBD4. Se tiene el triángulo equilátero ABC; exteriormente al lado BC se ubica el punto \"E\"; interiormente se ubica el punto \"D\" tal que el triángulo CDE es equilátero. Calcule la m∠DEB, si m∠ADC = 100°a) 30°b) 40°c) 50°d) 60°e) 45°11. En la figura, calcule a si: AC = CD. 12. En el gráfico calcule a, si: AB = MC.Aα4αD CB3α2αAMCB4α5α3α
1304to Secundaria 5. Calcule ‘‘x’’ si AD = DE y AB = EC.a) 40° b) 45° c) 70°d) 35° e) 30°B3535°A D CEx6. Según los gráficos mostrados, calcule x + y.a) 15 b) 18 c) 19d) 12 e) 169αθy 47α θ4 x7. Calcule AE, si BD = 4, DE = 1, BC = 5 y BC // AE.a) 3 b) 4 c) 5d) 2 e) 1ABECDαα8. Si AB = BC y CQ - AP = 8, calcule PQ.a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8ABPQ C9. Si AB = BP, AD = PC y m∠BCD=m∠BDC, calcule ‘‘x’’. a) 15° b) 16° c) 17°d) 18° e) 20°10. Si AB = EC y AC = CD, calcule ‘‘x’’.a) 150° b) 130° c) 140°d) 120° e) 135°11. Si AB = QC y AQ = PC, calcule ‘‘x’’.a) 25° b) 20° c) 30°d) 35° e) 40°12. Si AB=3 y ED=5, calcule AD.a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 4A CBPD3x4xABCDEx 40°BA C DE3 5BA P CQx25° 25°
131Geometría8Aplicaciones de TriángulosPropiedad de la bisectrizPA = PBOA = OBOθθAPBPropiedad de la MediatrizPA = PBOA = OBL A BPOL : mediatriz α αCalcule θ.Propiedad del triángulo isóscelesαα θ2 n4 n Notable θ = 30°αα2 n4 nθ2 nBH: Altura Mediana Mediatriz BisectrizAαHBαθ θCAH = HCPropiedad de la base media PMQNREjemplo:Resolución:MN = PR2θ
1324to Secundaria 1. Si el triángulo DRO es equilátero, calcule x.Resolución:Resolución:1. Sea un triángulo obtusángulo BAC, obtuso en C. Se traza la mediana CM tal que BC= 2(CM) m∠ACM= 2m∠BCM= 2m∠BCM, calcule la m∠BCA.En el ∆ ABC, M y T son puntos medios de AB y BCrespectivamente. Entonces MT // AC.Luego m∠TMC = m∠MCA= 2θEl ∆ TCM es isósceles:5θ = 180° → θ=36° Nos piden:m∠BCA= 3(36°)∴ m∠BCA=108°D OR16PABEn el ∆ UNO (∠exterior):α = θ+30ºEn el PAN ( notable) ∴ x= 8x=162xR16D OP NB60° 60°30°α30°θθ U αAMB CAT k k2Kk2θ θ2θ2θPropiedad de la mediana relativa a la hipotenusaBM = AM = MCA M CBααA CBHSi AB = BCA CBHα αθ θLos triángulos AHB ≅ CHB( A-L-A)⇒ AH= HCBH: Altura Mediana Bisectriz MediatrizEn un triángulo isósceles ABC, AB = BC, la altura relativa a AC es también mediana, bisectriz y mediatriz.BH: Altura Mediana Bisectriz MediatrizResolución:DemostraciónEJERCICIOS RESUELTOS
133GeometríaRpta:2Rpta:4Rpta:1Rpta:3Calcule x si PC = 2(BP).Resolución:A C θPBθ xCalcule ‘‘x’’. Resolución:θa + 2bθ x2baCalcule AD si L es mediatriz de AB y PB = 5.Resolución:LA BDβ2β PCalcule CQ si AB = 4, AD = 6 y AB//CM.Resolución:BACM DQθθ
1344to Secundaria Rpta:5Rpta:Calcule PQ si AB = 10 y AC = 14. 6Resolución:θA CQ PBθEn el gráfico, calcule DE si AB = 6 y AC = 3.Resolución:AθCBDEθ + 2ααα7. En un triángulo ABC, recto en B, la bisectriz del ángulo BAC y la mediatriz de AC se intersecan en el punto P. Calcule la distancia de P a BC si AB = c y AC = b (P: punto exterior al triángulo).9. Si L es mediatriz, calcule QR; además AB = 2 y AC = 10.A C QBRLαα9. Calcule NQ si AC= 10 y QM = 4.AQCM NB10. En la figura, calcule ‘‘x’’. A DBCx840° 20°
135Geometría11. En la figura, calcule ‘‘x’’. 82α x7α 5α12. Calcule x si AB = BC y BM es mediatriz de PC.P x 50°M20°C B A1. Calcule ‘‘x’’.a) 45° b) 15° c) 53°d) 37° e) 30°αa + nα xnaA C θDB2. Si AD = 2(BD) y DC es bisectriz, calcule θ.a) 60° b) 53° c) 45°d) 37° e) 30°3. Calcule β si AP = BC y PM es mediatriz de AC.MPBA C2β80°a) 30° b) 50° c) 20°d) 10° e) 40°DABL CMαα4. Calcule BM si AD = 8, AC = 12 y AD // BL.a) 1 b) 2 c) 7d) 9 e) 6
1364to Secundaria 5. Si BM es mediana, calcule BM.a) 6,5 b) 8,5 c) 5d) 9,5 e) 13BA M C8 156. Si AQ=QC, AB=12 y PQ = 2, calcule BC. a) 4 b) 12 c) 6d) 10 e) 8Aα αQ CBP7. Calcule MN si AB=10 y AC = 2.a) 6 b) 8 c) 4d) 2 e) 5AαCBMNα + 2βββ8. En la figura, BC = 18, AC = 10 y M es el punto medio de AB. Calcule MQ. a) 10 b) 13 c) 7d) 14 e) 12AMBQθθC10. Si PC = 2AB y AP = PB, calcule ‘‘x’’.a) 15° b) 18° c) 24°d) 30° e) 36°9. Calcule α si AB = CD.a) 45° b) 37° c) 25°d) 53° e) 30°AD CBααA C BPXA C BDE11. En la figura, AB = 18; mBÂC = m DÊA y BD = DC. Calcule DE.a) 4 b) 6 c) 8d) 0 e) 912. En la figura, calcule ‘‘x’’.a) 5 b) 25 c) 20d) 15 e) 10A QBCP R3 4x
137Geometría9PolìgonosOBJETIVOS:a Definir al polígono. a Reconocer las propiedades del polígono.a Conocer los diversos tipos de polígonos y relacionar correctamente las propiedades que los caracterizan. IntroducciónDefiniciónNotación: Polígono ABCDE.PERÍMETRO (2p)2p : Suma de ladosLa diagonal es la unión de dos puntos no consecutivos del polígono. ABCE D- POLÍGONO NO CONVEXO: Si una recta puede determinar más de dos puntos de corte.ABCDE es un polígono convexo. A BCF DE GABCDEF es un polígono no convexo. El ser humano en el transcurso de su desarrollo tuvo la necesidad de delimitar parte de terrenos de cultivo mediante regiones poligonales (rectángulos, cuadrados, etc.).Hoy en día hay construcciones poligonales, como el .......................(pentágono).El polígono es una figura geométrica cerrada que se forma al unir tres o más puntos no colineales mediante segmentos de recta.ElementosClasificación- Polígono Convexo: Sus ángulos internos son convexos. Cualquier recta secante determina sólo dos puntos de corte. ABCDEab dceRegión Interiorβθα φγVértices : A, B, C, D y E.Lados : AB, BC, CD, DE y AE.Ángulos Internos : α, β, θ, γ y φ.Ángulos Externos : a, b, c, d y e.Diagonal : BD
1384to Secundaria - Polígono Equiángulo: Es aquel polígono cuyos ángulos internos tienen igual medida; dicho polígono siempre es convexo. ABCDEF es un polígono equiángulo. α θααθα θAB CDF Eααθθθ- Polígono Equilátero: Es aquel polígono cuyos lados son de igual longitud. ABCDE es un polígono equilátero. - Polígono Regular: Es aquel polígono convexo equiángulo y equilátero a la vez. ABCDE es un polígono regular. DABCEa aaaaαααα αABCDE1) En un pentágono regular al trazar todas las diagonales se determinan en cada vértice ángulos de 36°.* En todo polígono de ‘‘n’’ lados. N.° Vértices = N.° de Lados = N.° Ángulos Internos = n Los polígonos se nombran por el número de lados. * En un polígono convexo de ‘‘n’’ lados, la suma de los ángulos internos es: Si = 180(n - 2)* En un polígono convexo de ‘‘n’’ lados, la suma de los ángulos externos es:Se = 360° * Para un polígono regular, la medida de un ángulo interior es:* Número de diagonales:Donde ‘‘n’’ es el número de lados.Donde ‘‘n’’ es el número de lados.* Para un polígono regular, la medida de un ángulo exterior es:N.° de Lados Polígono3456TriánguloCuadriláteroPentágonoHexágonoEl polígono ABCDE es equilátero. Calcule AB si ED + DC = 12.AB = BC = CD = DE = EA = n2n = 12n = 6 ⇒ AB = 6A BCDEPropiedades para Polígonos Convexosm i = 180°(n-2)nm e = 360°nNd = n(n-3)nResolución:EABDCα qα αq ααqααq ααqα α= q = 36°En cada vértice: m i = 180°(n-2)n180°(5-2)5 = m i = 108°Ejemplo:Demostración
139Geometría ∆CDE Isósceles:2α+108° = 180°α = 36° ∆ ABC Isósceles:α108° BαAC2α+108° = 180°α = 36°Luego en el vértice C del polígono;α + θ + α = 108° θ = 36°∴ En cada vértice se determinan ángulos de 36°.2. Calcule la sustracción entre el número de diagonales medias y el número de diagonales de un polígono en el cual el número de diagonales es igual a su número de lados.Resolución:* Sea “n” el número de lados del polígono y “x” el valor de la sustracción entre el número de diagonales medias y el número de diagonales.Entonces: x=* Dato: = n n=5 * Finalmente: x=x=5- n(n-1)2n(n-3)2n(n-3)2- 5(5-1)25(5-3)21. Calcule el número de diagonales medias que se pueden trazar desde un vértice en un polígono en el cual la sustracción entre la suma de medidas de ángulos internos y la suma de medidas de ángulos externos es 360°.Resolución:* Sea “n” el número de lados del polígono y “x” el número de diagonales medias que se pueden trazar desde un vértice. Entonces: x=n-1.* Dato: 180° (n-2)-360° = 360° n=6Finalmente: x=6 -1 x=5α108°αDECEJERCICIOS RESUELTOS3. Las medidas de los ángulos interiores de dos polígonos regulares difieren en 10° y uno de ellos tiene 6 lados menos que el otro. Calcule el mayor número de lados.* Si “n” es el número de lados de un polígono regular. Entonces: “n-6” es el número de lados del otro polígono regular.* Para el polígono regular de “n” lados la medida de su ángulo interior será:* Para el polígono regular de “n-6” lados la medida de su ángulo interior será: * Dato: * Por analogía: n=18180°(n-2)n(n-8)n-6180° .180°(n-2)n(n-8)n-6 -180°. =10°(n-6)(n-2)-n(n-8)n(n-6)180°. =10°18[n2-8n+12-n2+8n]=n(n-6)18 x 12=n(n-6)18 x (18-6)=n(n-6)Resolución:
1404to Secundaria 4. Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono en el cual la sustracción entre el número de diagonales medias y el número de ángulos llanos a que equivale la suma de las medidas de sus ángulos internos es igual a 4.Resolución:* Si “n” es el número de lados de un polígono y “x” la suma de las medidas de los ángulos internos del polígono, entonces: x=180°(n-2) * Dato: n(n-1)2 -(n-2)=4n2-n-2n+4=8n2-3n-4=0n -4n +1(n-4)(n+1)=00 05. En un polígono convexo, la suma de las medidas de sus ángulos interiores y exteriores es 3960°. Calcule el mínimo número de ángulos interiores obtusos que puede tener dicho polígono.Resolución:* Sea “n” el número de lados de un polígono y “x” la incógnita.Entonces: x=n-3* Dato: 180° (n-2)+360°= 3960° n=22 x=22-3 x=19* Finalmente: n=4 o n=-1como el número de lados no puedeser negativo:n=4⇒ x=180°(4-2) x=180°(2)∴ x=360°Claudio Ptolomeo, en griego, Klaudios Ptolemaios.Vivió y trabajó en Alejandría, Egipto (se cree que en la famosa Biblioteca de Alejandría). Fue astrólogo y astrónomo, actividades que en esa época estaban íntimamente ligadas. Es autor del tratado astronómico conocido como Almagesto (en griego Hé Megalé Syntaxis, El gran tratado).Ptolomeo fué un empirista. Su trabajo consistió en estudiar la gran cantidad de datos existentes sobre el movimiento de los planetas con el fin de construir un modelo geométrico que explicase dichas posiciones en el pasado y fuese capaz de predecir sus posiciones futuras.Ptolomeo afirma explícitamente que su sistema no pretende descubrir la realidad, siendo sólo un método de cálculo. Su Teoría geocéntrica se opone flagrantemente a la física aristotélica: por ejemplo, las órbitas de su sistema son excéntricas, en contraposición a las circulares y perfectas de Platón y Aristóteles.Su aportación fundamental fue su modelo del universo: creía que la Tierra estaba inmóvil y ocupaba el centro del universo, y que el Sol, la Luna, los planetas y las estrellas, giraban a su alrededor. A pesar de ello, mediante la técnica del epiciclo-deferente, cuya invención se atribuye a Apolonio, trató de resolver con bastante éxito los dos grandes problemas del movimiento planetario:1.- La retrogradación de los planetas y su aumento de brillo, mientras retrogradan.2.- La distinta duración de las revoluciones siderales.Sus teorías astronómicas influyeron en el pensamiento astrónomo y matemático científico hasta el siglo XVI.
141GeometríaRpta:2Rpta:4Rpta:1Rpta:Calcule ‘‘x’’ si ABCDE es un pentágono regular. 3Resolución:3θABCDE θ3ββ xSi MNOPQ es un pentágono regular, calcule ‘‘x’’.Resolución:Calcule ‘‘x’’ si ABCDEF es un hexágono regular. Resolución:xABC DEFθ θNMOPQxCalcule ‘‘x’’ si PQ = QL.Resolución:x 100°O3θθP LQRM2θ100°
1424to Secundaria Rpta:5Rpta:69. Un ángulo exterior de un polígono equiángulo es los 2/7 del ángulo recto. ¿Cuántos lados tiene el polígono? ¿Cuál es el polígono regular cuyo número total de diagonales excede en 12 al número de sus ángulos exteriores?Resolución:¿Cuál es el polígono convexo cuyo número total de diagonales excede en 25 al número de sus ángulos exteriores?Resolución:8. Dos ángulos de un pentágono convexo miden 120° cada uno. Calcule la medida de cada uno de los otros tres si se sabe que ellos también son iguales entre sí.7. En un polígono equilátero cuyo lado mide 4, su número de diagonales es igual al cuádruplo del número que expresa el perímetro de la región que limita dicho polígono. Calcule el número de lados de dicho polígono.10. ¿En qué polígono convexo se cumple que el número de vértices es igual a la tercera parte del número de diagonales?11. Si ABCDEF es un hexágono regular y PQED y MNFE son cuadrados, calcule ‘‘x’’.xPABC DEFQMN12. Calcule el perímetro de un cuadrado si el segmento que une el punto de corte de las diagonales con la cuarta parte de uno de los lados mide 2 5.
143Geometría1. Calcule ‘‘x’’ si ABCDEF es un hexágono regular. =4a) 70° b) 80° c) 60°d) 10° e) 40°φ3φABC DEFx2α α2. Calcule ‘‘x’’ si AB = BC.βxA CBDEF ββa) 20º b) 30º c) 50ºd) 45º e) 60º3. ¿En qué polígono convexo se cumple que el número de vértices es igual a la mitad del número de diagonales?a) Pentágono b) Decágono c) Dodecágono d) Hexágono e) Heptágono 4. En un polígono convexo la suma de los ángulos internos excede en 720º a la suma de los ángulos exteriores. Calcule su número de diagonales. a) 14 b) 20 c) 27d) 35 e) 445. Calcule el número de diagonales de un polígono convexo cuyos ángulos interiores suman 900º.a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 156. Un ángulo exterior de un polígono equiángulo mide 30°. ¿Cuántos lados tiene dicho polígono?a) 12 b) 6 c) 15d) 10 e) 87. Calcule la medida del ángulo central de aquel polígono regular cuyo ángulo interior mide 158º.a) 10º b) 12º c) 22ºd) 36º e) 54º8. Determina cuántos ángulos internos tiene un polígono, sabiendo que la suma del número de vértices y el número de diagonales es igual al triple del número de lados. a) 3 b) 5 c) 7d) 15 e) 209. Calcule ‘‘x’’ si ABCD... es un octógono equiángulo. xABC DEa) 75º b) 90º c) 80ºd) 60º e) 100º10. Determina el número de diagonales de un polígono, sabiendo que la suma de las medidas de sus ángulos internos equivalen a la medida de doce ángulos rectos.a) 8 b) 14 c) 12d) 20 e) 3211. Si la medida de un ángulo interior y exterior de un polígono regular están en la relación de 7 a 2, calcule el número de diagonales que tiene el polígono.a) 21 b) 24 c) 25d) 26 e) 2712. Se tiene un pentágono regular ABCDE, calcule el mayor ángulo que forman las diagonales AD y BE al interceptarse.a) 72º b) 84º c) 108ºd) 112º e) 120º
1444to Secundaria 10 CuadriláterosOBJETIVOS:a Definir el cuadrilátero. a Conocer la clasificación de los cuadriláteros.a Aplicar diversas propiedades de cada cuadrilátero.IntroducciónDefiniciónEn la antigüedad, el hombre construyó monumentos de forma cuadrangular. Los mesopotámicos emplearon generalmente ladrillos rectangulares que formaban plataformas superpuestas en grandes construcciones, en especial en edificios de 7 pisos escalonados.El cuadrilátero es un polígono de cuatro lados; puede ser convexo o no convexo.Clasificación- Trapezoide: Es aquel cuadrilátero que no tiene lados paralelos.convexo ABCDαβθφα + β + φ = θTrapezoide asimétricoTrapezoide simétrico o bisósceles- Trapecio: Es aquel cuadrilátero que sólo tiene un par de lados opuestos paralelos denominados bases.BACDhElementos:Bases: BC y ADAltura: h BC // ADLos cuadriláteros se clasifican atendiendo al paralelismo de sus lados.ABD C no convexoαβφ
145GeometríaTipos de TrapecioTrapecio escalenoTrapecio isósceles θ θTrapecio rectángulo Propiedades del Trapecioα + β = 180°αβ**abM NMN : base mediaMN = a+b21) Calcule “x” si AB = BC, AM = 8 y NC = 2.x = b - a2*xabP Q2) Calcule ‘‘θ’’.θA DB C70°Resolución:Por la propiedad:x= ⇒ x= = 5 x = 5 AM+NC28+22Resolución:Ejemplos:xA B CMNPcomo m = 70°⇒ m + mB = 180° 70° + mB = 180° mB = 110°Pero: θ + mB = 180° θ + 110° = 180° θ = 70°
1464to Secundaria Se traza BH AD y CM BD. En el ∆ BCD isósceles.* CM es bisectriz del ∠BCD:m∠BCM = m∠MCD=6x.* CM es mediatriz de BD: BM=MD=aAhora: CMD AHB (ALA) MD=BH=aEn el ∠BHD, si BD=2.BH=2a m∠BDH=30°Finalmente en el ∠ CMD: 6x+4x-30°=90° 10x=120° x=12° m∠A=6x=72°1. Se tiene un cuadrilátero ABCD en el cual m∠BAD=30°,m ∠ABC=150°, m∠BCD=120°, BC=10 y CD=12. Calcule AD.a) 34 b) 32 c) 30d) 28 e) 26 Resolución:A xHDB C30°150°30°120°60°51210Se prolonga AB y DC, los cuales son perpendiculares en H.El triángulo rectángulo BHC es notable (30°y 60°), si BC=10HC=5.El triángulo rectángulo AHD es notable (30° y 60°), si HD=5+12=17AD=34AD=x=342. En un cuadrilátero ABCD, m∠ADB=90°, m∠BCA= m∠ACD=15° y m∠CAD=30°. Calcule m∠BAC. a) 10° b) 15° c) 20°d) 25° e) 30°Resolución:A DE BC30° 45°15°15°2nnHn75° 75°x2n3) En un cuadrilátero ABCD si AB=BC=CD, m∠A= =m∠C2 < 6x y m D= 4x.Calcule m<A.a) 30° b) 48° c) 54°d) 60° e) 72°Resolución:Se traza DH perpendicular a AC; cuya prolongación intersecta a la prolongación de CB en E.El ∆ ECD es isósceles.* CH es bisectriz: m∠ECH=m∠HCD=15°* CH es mediatriz de ED: EH=HD=n.El ∆ EDB es isósceles.* m∠E = m∠EBD=75° ED=BD=2n* El∠AHD es notable (30° y 60°), si HD=n.AD=2nLuego: x+30°=45° x=15°A H DBCa a 6x 6x (4x-30°)6x 30° 4xM aEJERCICIOS RESUELTOS
147GeometríaRpta:2Rpta:4Rpta:1Rpta:En la figura, calcule “x”. 3Resolución:x80°α70°α θθSegún la figura, calcule el valor de θ. Resolución:A DCBα 3α θ75ºSi AP = PB, AD + CN = 10 y BC = DN, calcule PQ.Resolución:Aα2αDNPB CQAθθ α αM N DB CxCalcule x, si ABCD es un trapecio (BC // AD), BC = 4, AB = 8, CD = 10 y AD = 20.Resolución:
1484to Secundaria Rpta:5Rpta:Calcule la altura del trapecio rectángulo 6ABCD.Resolución:B CA DP 4αβαβSi ABCD es un trapecio (BC//AD), calcule m∠DC. Resolución:CA 14 D8 6B 47. Calcule el valor de “x”.453°10x8. En un trapecio rectángulo ABCD ( Â= B = 90º ), se trazan las bisectrices exteriores de los ángulos “C” y “D”, las cuales se intersecan en “P”. Calcule la distancia desde “P” hasta AB si BC = 3; AD = 6 y CD = 5.9. En el cuadrilátero ABCD, calcule “x”. A DxB C2xx80°10. Calcule x si ABCD es un trapecio isósceles y BD=AQ=QC.AQx80ºB CD
149Geometría11. Si AD = 6 y CH = 2, calcule α.2αBACDHα12. Si ABCD es un trapecio isósceles y PCD es un triángulo equilátero, calcule ‘‘x’’.xB CA P D1. Calcule x, si BD es bisectriz y AB//MC.a) 10 b) 8 c) 12d) 7 e) 14A BM D Cθθθ86x2. Calcule “MN” si BC=x, AD=13 y MN= x+5.a) 3 b) 5 c) 6d) 8 e) 10BACDxM NAθQ P DB Cθββ3. En un trapecio ABCD, (BC// AD). Si se sabe que AB = 4, CD = 6 y AD = 8, calcule PQ.a) 3 b) 6 c) 2d) 4 e) 54. Calcule θ si BC = 5 y AD = 9.a) 45°/2 b) 13°/2 c) 60°d) 37°/2 e) 15°D2θBACHθ
1504to Secundaria 5. Calcule x si ABCD es un trapecio isósceles y BD = AP = PC.a) 30° b) 10° c) 50°d) 40° e) 20°APx100°B CD6. Calcule MN si AB = OC y DC + BO = 12.a) 5 b) 10 c) 6d) 4 e) 8Dθ2θCOMA BN7. Calcule β. a) 65° b) 70° c) 45°d) 55° e) 80°60ºA DBCβ θ3θ8. Calcule x si AB = 5, AD = 17 y AD//BC.a) 7 b) 5 c) 8d) 10 e) 15A DB x C53° 45°9. Calcule “x” si AB = BC= 4 y AD = 8.a) 15° b) 30° c) 37°d) 45° e) 60°BACDx10. En un trapezoide ABCD, la diferencia de dos ángulos opuestos es 80º. Calcule la medida del ángulo que forman las bisectrices de los otros dos ángulos.a) 80° b) 120° c) 60°d) 160° e) 140°11. Calcule el segmento que une los puntos medios de MC y AN si AC= 32.a) 8 b) 4 c) 16d) 12 e) 10BA CM N12. Dos ángulos opuestos de un cuadrilátero miden 90°y 40°. Si los otros dos miden 5x y 130°, calcule el complemento de de x.a) 40° b) 20° c) 70°d) 50° e) 60°
151Geometría11 ParalelogramoOBJETIVOS:a Reconocer y diferenciar los tipos de paralelogramos (cuadrdo rectángulo, rombo y romboide).a Aplicar correctamente las propiedades de todo paralelogramoPARALELOGRAMOEs aquel cuadrilátero convexo que tiene sus lados opuestos paralelosAB CD• A B // CD• CB // A DROMBOIDEEs aquel paralelogramo propiamente dicho cuyos lados opuestos son de igual longitud.AB CDα180-αo180-αoαROMBO Es e l paralelogramo que tiene sus lados de igual longitud. Es el paralelogramo equilátero.BA CDBA CDRECTÁNGULOEs el paralelogramo cuyos ángulos internos son rectos. Es el paralelogramo equiángulo.B CA DCUADRADO:Es el paralelogramo cuya longitud de sus lados, son iguales y la medida de sus ángulos interiores iguales a 90°. Es el paralelogramo regular.B CA D
1524to Secundaria PROPIEDADES1. Las bisectrices de los ángulos opuestos de un paralelogramo son paralelos.MN AB CD ααααABCD : Paralelogramo⇒ AM // CN 2. Las bisectrices de los ángulos de un paralelogramo determinan un rectángulo.AB CD ααααP RSQ β ββ βABCD : Paralelogramo⇒ ABCD: Rectángulo3. La suma de las distancias de dos vértices opuestos de un paralelogramo a una recta exterior, es igual a la suma de las dichas de los otros vértices a la misma recta.AB Cabc DdABCD : Paralelogramo⇒ a+d=b+cLas diagonales de un romboide se bisecanAB CDLos diagonales de un rombo se bisecan perpendicularmente.90 -o α90 -oαABCDα αα α90 -o α90 -o αLos diagonales de un rectángulo son congruentes y se bisecanB CA DO«O» centro del rectánguloLos diagonales de un cuadrado son congruentes y se bisecan perpendicularmente.B CA D45 o45 o45 o45 o45 o45 o45 o45 o
153GeometríaRpta:2Rpta:4Rpta:1Rpta:Calcule MN si ABCD es un paralelogramo y 3DC = 8.Resolución:θθA DB CM NCalcule θ si PC=3(AP), AM=MD, AB = 6 y BC = 8.Resolución:AθDB CPMCalcule θ si ABCD es un romboide y HC = 2(AH).Resolución:AθDB CH2θααP M QB CA DABCD es un cuadrado y PBCQ es un paralelogramo. Calcule PM si AB = 10 y PB= 6.Resolución:
1544to Secundaria Rpta:5Rpta:Si MNPQ es un rombo, calcule “x” si MN = NQ. 6Resolución:N PM Qx7. Si PQRS es un paralelogramo, calcule “x”. Q RP Sx 50°8. Calcule m∠BEF si ABCD es un cuadrado y BF = 3 AF.BACDEF9. Si AC = 8 y EO = 3 calcule “ED”.A BD CEO10. En un rectángulo ABCD, las bisectrices interiores de “B” y “C” se intersecan en un punto “M” de AD. Si el perímetro del rectángulo es 36, calcule la mediana del trapecio BMDC.Calcule “x” si ABCD es un cuadrado. Resolución:BxACDx
155Geometría12. Grafica el romboide ABCD y traza la bisectriz del ∠ABC, que corta a DA en “E”. Si CD = 5 2 dm, calcule el valor de AF. 11. Si ABCD es un cuadrado y APD es un triángulo equilátero, calcule “x”.BACDPx1. Calcule MN si ABCD es un romboide, AM = MB y PN = ND. Además AD = 16 y DC = 4.a) 10 b) 14 c) 13d) 16 e) 12αNαMA DB P C2. Si AB=8, BC=6, AM=MD y AQ= 1/3(QC), calcule x.a) 100° b) 90° c) 106°d) 53° e) 108°A DB CXMQ3. Si ABCD es un romboide, PC=3(AP) y BP = 6, calcule BH.a) 4 b) 3 c) 10d) 8 e) 6PA H DB C4. Calcule x si ABCD es un rombo y BM = MC.a) 15° b) 60° c) 45°d) 80° e) 30°xAMDB C
1564to Secundaria 5. Calcule x si BP = 2(PQ) y ABCD es un paralelogramo.a) 45° b) 60° c) 15°d) 30° e) 53°xAPDB CθθQ6. Si Q es el centro del cuadrado ABCD y PBCQ es paralelogramo, calcule MQ.a) 4 b) 6 c) 8d) 5 e) 7P M QB CA D127. Calcule x si PM = 1 y AE = 6. Además ABCD es un paralelogramo.a) 8 b) 4 c) 6d) 3 e) 5A DEαxB M CPαθθ11 Si ABCD es un cuadrado de perímetro 32, calcule AE. a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5BACE D53°9. Si PQRS es un paralelogramo, calcule “x”. a) 6 b) 2 c) 4d) 8 e) 1Q RP x Sα αM10610. Las diagonales de un rombo miden 12 dm y 16 dm. Calcule su perímetro.a) 36 dm b) 40 dm c) 48 dmd) 42 dm e) 50 dm8. En un cuadrado ABCD cuyo perímetro es 48 cm, se dibuja el triángulo equilátero AMD interior. Calcule la distancia desde el vértice “A” hasta la prolongación de CM.a) 3 2 cm b) 3 cm c) 6 2 cmd) 3 3 cm e) 4 2 cm12. Si ABCD es un paralelogramo, calcule “x”.a) 50° b) 60° c) 80°d) 100° e) 90°B CA DxPαα ββ
157Geometría12 La CircunferenciaOBJETIVOS:a Definir la circunferencia. a Diferenciar entre círculo y circunferencia.a Conocer la aplicación en la realidad.IntroducciónEl hombre, debido a su interacción con la realidad, descubrió la rueda. Los caldeos hacia el tercer milenio a.C., dieron la división del círculo en 360 partes. Ellos tomaron por base la división del año en 360 días. Así les era fácil dividir el círculo y la circunferencia en 6 partes iguales. DefiniciónLa circunferencia es un conjunto de puntos de un plano que equidista de otro punto denominado centro. A la distancia de estos puntos se le denomina radio de la circunferencia.Líneas Asociadas a la CircunferenciaMONACEDBTRFLSLTSe tiene la circunferencia de centro ‘‘O’’ y de radio ‘‘R’’.- Cuerda: CD- Diámetro: AB- Flecha o Sagita: EF- Recta Tangente: LT- Recta Secante: LS - Arco: Es una porción de la circunferencia determinada por dos puntos de la misma, denominados extremos del arco.- Arco: MN LTT O OT LTPropiedades Fundamentales en toda Circunferencia- Teorema I : La recta tangente a la circunferencia es perpendicular al radio trazado en el punto de tangencia.M O A B N H Si MN AB⇒ AH = HBAdemás:AN = NB- Teorema II : Todo diámetro, perpendicular a una cuerda, biseca a dicha cuerda y a su arco.*El Círculo *La Circunferencia- La medida angular de la circunferencia es 360°.- La longitud de la circunferencia es 2πR.RNota
1584to Secundaria M C O A B N D Si AB = CDOM = ON⇒ m AB = mCDD A C B ⇒ m AC = m DB- Teorema III : Dos cuerdas de igual longitud generan arcos de igual medida.- Teorema IV : En una circunferencia, los arcos determinados por cuerdas paralelas son de igual medida.Las cuerdas equidistan del centro. NotaSi CD // AB1. TANGENTES EXTERIORESO1O2 = R + rO1O2RR rr2. TANGENTES INTERIORESO1RO2rO1O2 = R - rCalcule: PQ si LQ es diámetro.LPQSNO3 5Como LQ PS y por el teorema II PN = NS = 3Luego: (OP)2 = (PN)2 + (ON)2(5)2 = (3)2 + (ON)2(ON)2 = 16ON = 4⇒ (PQ)2 = (PN)2 + (NQ)2(PQ)2 = 32 + 12 = 10PQ = 10Posiciones Relativas de dos CircunferenciasResolución:3. CONCÉNTRICASRr O1O2O1O2 = 04. ORTOGONALESm O1PO2 = 90OO1O2R rPαα PABO PO: BisectrizPA = PB- Teorema V : Siempre dos segmentos tangentes a una circunferencia, trazados desde un punto exterior, son de igual longitud. Ejemplo:
159GeometríaAB = CD = NM ABC M DN2. TEOREMA DE PONCELETa + c = b + 2r rABCa cbO1. TEOREMA ESPECIALPropiedades3. TEOREMA DE PITOTacbRda + c = b + dbca r a+b = c + 2rLuego: a+b = c + 2ra-r+b-r=cLlevando el inrado hacia los catetos y por tangentes.1. Calcule “r” si ABCD es un cuadrado.BACDr4Resolución:ArO DB C4 4TE8 108637°Demostraciónb-ra-rcr rr ra-r b-rEn todo triángulo rectángulo, la suma de la media de los catetos es igual a la hipotenusa más el doble del inradio.Teorema de PonceletObservaciónEJERCICIOS RESUELTOS2. En la figura. Si M, N, E y F son puntos de tangencia; BM=EF, BN=9. Calcule la longitud del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo rectángulo ABC.A E F CBM NSabemos que:m∠TCD=53° m∠BCE=37° EBC notable aproximado, si BC=8 BE=6 y EC=10Por el teorema de Poncelet en dicho triángulo rectángulo:6+8=10+2r2r=14-102r=4r=2
1604to Secundaria A E F CBM Nry m nymn9Resolución:Dato: BM=EF=m y BN=9Se pide calculer “r”.ABC, por el teorema de Poncelet:m+y+9+n=2r+y+m+n2x=9x=4,53. En la figura.Si AC-AB=ED-BD, calcule CE.A B DCER rResolución:4. En la figura, si AB=9 y AD=BC+CD. Calcule “r1+r2”.AC DB r2r1Resolución:AC DB r2r19Por el teorema de Poncelet:BCD: BC+CD=2r1+BD ...(1)ABD: AB+BD=AD+2r2 ...(2)Sumando (1) y (2):(BC+CD)+AB+BD=AD+BD+2(r1+r2)AD+9=AD+2(r1+r2)r1+r2=9/2r1+r2=4,5dato AD 95. Calcule la longitud del inradio del triángulo rectángulo ABC si BD es ceviana. Además: BE-FD=8µResolución:A CBQED yRPaxa n+y mmx+nxnF HDato: x-y=8 ...(1)Si “r” es la longitud del inradio del ABC; por el teorema de Poncelet tenemos:(a+x)+(x+n+m)=(a+n+y+y+m)+2r2x=2y+2r r=x-y ...(2)De(1) y (2): r=8µPor el teorema de Poncelet en el ACB: CE+EB+AB=AC+2R ...(1)Por el teorema en el EBD: EB+BD=ED+2r ...(2)Restando (1)-(2):CE+EB+AB-EB-BD=AC-ED+2R-2r CE+(ED-BD)=(AC-AB)+2R-2rPor dato: AC-AB=ED-BD CE=2R-2r x=2(R-r)A B DCER rxA D CEBFPQ H
161GeometríaRpta:2Rpta:4Rpta:1Rpta:Calcule θ (T es punto de tangencia). 3Resolución:A O B CT4θ θSi O es centro y T punto de tangencia, calcule x.Resolución:ATBOx50°10°Calcule la longitud de la flecha de la cuerda AB si AB = 30 y R = 17. Resolución:OBARCalcule x, si T es punto de tangencia, mTB =90°, AT = 7 y r =3.Resolución:Tr Bx A
1624to Secundaria Rpta:5Rpta:Calcule PQ si b=7 cm y c=4 cm. 6Resolución:BC AQPbcCalcule m∠TBC si ABCD es un cuadrado y T es punto de tangencia.Resolución:A O DB CTr7. Calcule x si ‘‘O’’ es centro.COBAx40°8. Calcule r si AB=12 y BC=15. B ACr9. Calcule OP si los diámetros de las circunferencias mostradas miden 16 5 cm y 10 cm, y además OO1 = 9 cm (R > r).R rO O1PBA10. Calcule x si a - b = 4, AD = b, AB = a y CD = 6ABCDx
163Geometría11. Calcule EF si AD + BC = 28 y AB + CD = 20.C F BDE A12. En la figura mostrada, calcule el perímetro del triángulo rectángulo ABC.BA 10 C21. Calcule x, siendo T punto de tangencia.a) 10° b) 50° c) 25°d) 40° e) 80°A B CTxo40°2. Calcule la longitud de la flecha de la cuerda AB si AB = 24 y R = 15.a) 6 b) 2 c) 1d) 3 e) 4OBAR3. Calcule θ si T es punto de tangencia, mTB =90°, AT = 7 y R = 4.a) 60° b) 53° c) 15°d) 45° e) 30°TR BθA4. Calcule x si O es centro y Q es punto de tangencia.a) 10° b) 30° c) 40°d) 15° e) 60°AQPOx25°25°
1644to Secundaria 5. En la figura, AB + CD = 24 m y BC + AD = 40 m. Calcule ‘‘PQ’’.a) 16 m b) 14 m c) 12 md) 10 m e) 8 mBCPA Q D6. Si BC = 15, AB =13 y AC =14, calcule AQ (P, Q y T son puntos de tangencia).a) 20 b) 18 c) 15d) 23 e) 21PQTCBA7. Calcule CM si AB = 5, BC = 6 y AC = 7 (M, L y N son puntos de tangencia).a) 8 b) 5 c) 9d) 7 e) 6NMLABC8. Del gráfico, R=3 y r=1. Calcule ‘‘BE’’.a) 3,5 b) 4 c) 5d) 5,5 e) 6B CA DErR9. Si P, E y Q son puntos de tangencia y el perímetro del triángulo ABC es 80 u, calcule QC. a) 12 u b) 18 u c) 24 ud) 48 u e) 40 uPBQ A CE10. Calcule la longitud de la flecha correspondiente a AB si AB= 8 y r=5.a) 2 b) 3 c) 4d) 2,5 e) 3,5ArBO11. Calcule r si AB = 12m y BC= 5m. a) 2 m b) 3 m c) 4 md) 5 m e) 10 mBA Cr O12. Calcule PQ si AB + CD =24m. y BC+AD = 40m. a) 16 m b) 14 m c) 12 md) 10 m e) 8 mBADCPQ
97Geometría13Ángulos en una CircunferenciaINTRODUCCIÓNA) ÁNGULO CENTRALEl arco de una circunferencia se puede medir en forma métrica, es decir, en su longitud o en forma angular. Es importante tener medidas angulares iguales, sin embargo, sus longitudes no son necesariamente iguales; parte de esta definición se utiliza en los relojes.La medida del ángulo central es igual a la de su arco correspondiente. AOB : Ángulo centralx = θEs el ángulo que tiene su vértice en la circunferencia, siendo uno de sus lados tangente y el otro secante.AxθBPAθPxBPABθ QxB) ÁNGULO INSCRITOEs el ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son dos secantes. APB : Ángulo inscritox = θ2C) ÁNGULO SEMIINSCRITOx = θ2 APB : Ángulo semiinscritoEs el ángulo adyacente al ángulo inscrito.D) ÁNGULO EXINSCRITOx = θ2 BPQ : Ángulo exinscritoAx θBOROBJETIVOS:a Conocer el concepto de arco.a Conocer las propiedades de arco.a Definir las propiedades de cuadrilátero inscrito o inscriptible.
984to Secundaria E) ÁNGULO INTERIORx = θ+β2 βθxBACDF) ÁNGULO EXTERIORθβ xx = θ-β2θβxx = θ-β2θ β xx = θ-β21) Calcule x si mAB = 80° y mCD = 20°.xABDCPARCO CAPAZEs aquel arco en el cual los ángulos inscritos en este arco son iguales.Arco AB : ABes un arco capazTeorema 1θ + β =180°Resolución:Del gráfico: m CPD = m CPD = = 30° pero x + m CPD = 180° → x= 150°mAB - mCD2 80° - 20°2PROPIEDADESEjemplo: Teorema 2θθθABarcocapaz 2θRA BCSi AB es diámetro: ACB = 90°β θABCSi A y B son puntos de tangencia:
99GeometríaSi A, B, C y D pueden ser ubicados en una misma circunferencia, entonces: ABCD : INSCRIPTIBLEBCA D* CONDICIÓN PARA QUE UN CUADRILÁTERO SEA INSCRIPTIBLE a) Primer caso: Todo cuadrilátero convexo cuyos ángulos interiores opuestos son suplementarios, es inscriptible.b) Segundo caso: Todo cuadrilátero convexo, cuyo ángulo interior es igual al ángulo opuesto exterior, es inscriptible.BCADβαSi α + β = 180°, entonces:ABCD : INSCRIPTIBLEBCA DααPc) Tercer caso: Todo cuadrilátero convexo cuyas diagonales determinan con dos lados opuestos ángulos de igual medida, es inscriptible.BCA Da = bβ αSi A, B y T son puntos de tangencia: ATB = 90°TABCUADRILÁTERO INSCRITOEs aquel cuadrilátero convexo que puede inscribirse en una circunferencia. Sus cuatro vértices pueden ser ubicados en una misma circunferencia. Si m ABC = m CDP, entonces:ABCD : INSCRIPTIBLEABCD : INSCRIPTIBLETeorema 3Si a=b, entonces:APB QCPROPIEDADESTeorema 1APQC : INSCRIPTIBLE
1004to Secundaria Si ABCD es inscriptible, calcula el valor de θ.θ = 45°BDA CθABCD 20°10°θAO BTeorema 2APQC : INSCRIPTIBLETeorema 3Resolución:Como ABCD es inscriptible, entonces:θ = m ADC = 20° + m BDCPero : m BDC = 10° → θ = 30°A B ORRθxβ θβRx+βCResolución:PA TCBGEFxy2x2y59°23°98°98°59°∆ APT isósceles: m APT=m ATP=59°∆ AFT: m AFT=180°-(23°+59°) m AFT=98°En el cuadrilátero inscrito FEGT:m EGT=m AFT=98°En el ∆ PGT: x+y=180°-98° x+y=82°Luego: 2x+2y=164° mPB+mTC=164°2) En el gráfico; T y P son puntos de tangencia, además mAT+mBC=148°. Calcule x.a) 32° b) 37° c) 42°d) 46° e) 52°AT PC BxEjemplo:Demostración1) OA ; OC y OB (Radios)2) AOB (Isósceles)→ OAC (Isósceles)Luego: x+x+β=θ+β 2x=θ x= θ21) Según el gráfico, calcula mPB + mTC.a) 170° b) 150° c) 164°d) 160° e) 154°PA TCBGEF23°59°
101GeometríaResolución:AT PBCxα2x-θα/2Rx-θ/2θxα2 =x- +x θ22x= α+θ2x= α+θ4x=148°4 (1) en (2)x=37°...(2)3) Según el gráfico; T, P y Q son puntos de tangencia. Calcule mTQ+mPB.a) 120°b) 135°c) 150°d) 180°e) 270°Por dato: α+θ=148° ...(1)De la figura:mTC=2x-θ m A=xmRP=2x m RPT=xEn el ∆ TAP; por teorema del ángulo exterior:θ2ATO BPQLθ/2α αθα/2 θ/2Resolución:4) En el gráfico;α+β=150°. Calcule x.a) 130°b) 140°c) 150°d) 160°e) 170°Resolución:Dato: α+β=150° ...(1)En el cuadrilátero inscrito MNPA se cumple:m M=m APC=αEn la circunferencia menor:m APC=m B=αFinalmente en el ∆ABC: x=α+βx=150° 5) En la figura mostrada, calcula x.a) 1µb) 2µc) 3µd) 4µe) 5µEn primer lugar sabemos que la m ATP=90°Por otro lado: mAT=mTB=74°Entonces la m TAQ=37°Luego en el ATQ:x=5µLos puntos colineales son:L,T y P ; T, Q y BTO es mediatriz de LB, entonces el ∆LTB es isósceles:m L=m B= θ/2Pero: mTQ=mQB= aα β xααPNA CBM 2αResolución:Px74743A CBTQ32°74°37°ATO BPQα2θ2 + =90° α+θ=180°Finalmente en el OQB:mTQ+mPB=180°α x βA P CBTQ32°3x
1024to Secundaria Rpta:2Rpta:4Rpta:1Rpta:Calcule mBM si ABCD es un cuadrado. 3Resolución: Resolución:BACDMCalcule x si O es centro.Resolución:CA O Bx40°Calcule x si mAB = 100°.40° x BACalcule x si mAB = 80°.Resolución:AxOB
103GeometríaRpta:5Rpta:En la figura, calcule θ. 6Resolución:θFMA2θEn la figura, si PF es tangente y ‘‘M’’ es punto medio de AB, calcule ‘‘x’’.Resolución:AB MFx40° P7. En la figura mostrada, AB = 140° y CD = 80°. Calcule ‘‘x’’.A DBCx8. Calcule m AB si m OAB= 40°.A BO70°9. Calcule x si O es centro.80°Ox10. Calcule ‘‘x’’ si O es centro.Ox80°
1044to Secundaria 11. Calcule θ.A EBCD3θO7θ12. Calcule x.ABCQ Pxx30°20°1. Si TP = 4 y AB = 6, calcula m TL.a) 30° b) 37° c) 45°d) 53° e) 60°TA OPLB2. Calcule x si O es centro.a) 75° b) 35° c) 15°d) 55° e) 45°A O Bx10°3. Si AB = 140° y m APT = 50°, calcula x.a) 25° b) 30° c) 35°d) 45° e) 50°A BPTx50°4. Calcule x si m AB= 60°.a) 20° b) 40° c) 50°d) 60° e) 80°xBAO
105Geometría5. Del gráfico, A, B, C y D son puntos de tangencia. Calcule ‘‘x’’.a) 20° b) 30° c) 35°d) 40° e) 45°A BD C2x 3x x6. Calcule x+y si AC=2 DE.a) 50° b) 60° c) 70°d) 80° e) N.A.ACDBEPxy40°7. En la figura, calcule x.a) 60° b) 30° c) 45°d) 80° e) 75°x2x8. Calcule x.a) 100° b) 55°/2 c) 95°/2d) 45° e) 105°x105°A BθO5θ9. Calcule θ.a) 15° b) 10° c) 30°d) 19° e) 20°10. Calcule x.a) 45° b) 70° c) 90°d) 50° e) 60°x150°100°11. Siendo P , F y Q puntos de tangencia, calcule el valor de ‘‘x’’.a) 35° b) 60° c) 45°d) 70° e) 50°PFQ110°x12. En la figura, calcula x si A, B y C son puntos de tangencia.a) 130° b) 135° c) 150°d) 120° e) 140°A DBCx100°
1064to Secundaria 14ProporcionalidadOBJETIVOS:a Conocer figuras que tienen segmentos proporcionales.a Conocer el concepto de semejanza.a Tener el concepto de propor-cionalidad.PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOSTEOREMA DE TALESSe llama razón de 2 segmentos a la comparación que existe entre sus tamaños. Cuando una pareja de segmentos tiene la misma razón que otros dos segmentos, entonces se dice que la primera pareja es proporcional a la segunda.ABC QM L1L2L3L4 L5NCOROLARIO DEL TEOREMA DE TALES:A CBP QAQ PCB1) Calcule x + 2 si L1 // L2.A CBP Q3412xL1L2A B10 mC D6 m= = ABCD10653Tres o más rectas paralelas determinan en dos rectas transversales o secantes a ellas, segmentos proporcionales.En el gráfico: Si L1 // L2 // L3 L4 y L5 son secantesy = ABBCMNNQ= APPBQCBQEjemplo:De lo estudiado: Resolución:= x = 16 x + 2 = 18 3412x
107GeometríaLos lados adyacentes de una bisectriz interior son proporcionales a los segmentos que se determinan en el lado opuesto.A CBaMcm nθ θLos lados adyacentes de una bisectriz exterior son proporcionales a los segmentos que determinan en la prolongación del lado opuesto.θM n CBAmθc a TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR= camnTEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR=canm1) En la figura, calcule CR si AP=9m, PB=3m, AC=8m y BQ=QC.A C RQ PBDIVISIÓN ARMÓNICADos puntos dividen armónicamente a un segmento si lo dividen interiormente y exteriormente en la misma razón. A P B Qm a b nPBA C ZRnQYMXLTEOREMA DE MENELAOSe cumple:xyz=mnlAPBP = AQBQab = mnRecuerdaAθP CQBφφθAPPC= QAQC
1084to Secundaria Resolución:Se traza por C una paralela a PR.A C RQ PB633 aa89xBQC33 aa8 x6363 = 8xx= 4m4) Calcule RQ si AC =32m, AP=12m y CQ=22mResolución:A CBPQR ααθθA 32 Cαn12PmRαnm = 1232nm = 3k8kx22= nn+mx22= 3k11kx= 6mθ22 xθnm5) Según el gráfico calcule BP si BC=12m y AB=5m.BA O CPResolución:BA O CP x12n12513n5n5n1312nx = 13n5nx = 60n13x= 10/3 mx = 601313185n+13n=13n=13/18
109GeometríaRpta:2Rpta:4Rpta:1Rpta:Si L1// L2 // L3, AB = x + 1, BC = 3 x+ 33, PQ = x y SQ = 12, calcule AC.Resolución:CBA PQSL1L2L3¿Para qué valor de x, MN//AC? Resolución:xAMBNC4x + 4 x - 2Calcule BR si BC = 12.Resolución:θθA CRBMb bCalcule CP de la figura si AC = 12 y AB = 3BC.Resolución:θA C PBθ
1104to Secundaria Rpta:5Rpta:Calcule QR si AB = 8, BC = 6 y AC = 7. 6Resolución:AαR C QBβαβCalcule ‘‘CD’’ si BP=4 PC; BE= 12 cm; AE=8 cm y AC=10 cm. Resolución:A C DEPB7. Si AB // DE, BE // DF, AE = 6 cm, y EF = 4 cm, calcule FC.A E FDBC8. Dado el triángulo ABC, se traza la bisectriz interior ‘‘BD’’ y la mediana ‘‘BM’’. Calcule si ABAC = 35DMACa 3bb 6aL1L2L32x9. Calcule x si L1 // L2 // L3.10. Calcule PQ si 5BQ = 4QC, PQ //AC y BP = 4cm.A CP QBαα