MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

TINGKATAN 5 TAMBAHAN MATEMATIK KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

RUKUN NEGARA Bahawasanya Negara Kita Malaysia mendukung cita-cita hendak; Mencapai perpaduan yang lebih erat dalam kalangan seluruh masyarakatnya; Memelihara satu cara hidup demokrasi; Mencipta satu masyarakat yang adil di mana kemakmuran negara akan dapat dinikmati bersama secara adil dan saksama; Menjamin satu cara yang liberal terhadap tradisi-tradisi kebudayaannya yang kaya dan pelbagai corak; Membina satu masyarakat progresif yang akan menggunakan sains dan teknologi moden; MAKA KAMI, rakyat Malaysia, berikrar akan menumpukan seluruh tenaga dan usaha kami untuk mencapai cita-cita tersebut berdasarkan prinsip-prinsip yang berikut: KEPERCAYAAN KEPADA TUHAN KESETIAAN KEPADA RAJA DAN NEGARA KELUHURAN PERLEMBAGAAN KEDAULATAN UNDANG-UNDANG KESOPANAN DAN KESUSILAAN (Sumber: Jabatan Penerangan, Kementerian Komunikasi dan Multimedia Malaysia) KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

Tingkatan 5 PENULIS EDITOR PEREKA BENTUK ABADI ILMU SDN. BHD. 2020 MATEMATIK TAMBAHAN ILUSTRATOR KURIKULUM STANDARD SEKOLAH MENENGAH KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Zaini bin Musa Dr. Wong Mee Kiong Azizah binti Kamar Zakry bin Ismail Nurbaiti binti Ahmad Zaki Zefry Hanif bin Burham@Borhan Saripah binti Ahmad Siti Aida binti Muhamad Izyani binti Ibrahim Nagehteran A/L Mahendran Paing Joon Nyong

PENGHARGAAN Penerbitan buku teks ini melibatkan kerjasama banyak pihak. Sekalung penghargaan dan terima kasih kepada semua pihak yang terlibat: • Jawatankuasa Penambahbaikan Pruf Muka Surat, Bahagian Sumber dan Teknologi Pendidikan, Kementerian Pendidikan Malaysia. • Jawatankuasa Penyemakan Naskhah Sedia Kamera, Bahagian Sumber dan Teknologi Pendidikan, Kementerian Pendidikan Malaysia. • Pegawai-pegawai Bahagian Sumber dan Teknologi Pendidikan serta Bahagian Pembangunan Kurikulum, Kementerian Pendidikan Malaysia. • Pengerusi serta ahli panel penilaian dan peningkatan mutu. • GeoGebra • Desmos • Semua individu yang terlibat secara langsung atau tidak langsung dalam penghasilan Buku Teks Matematik Tambahan Tingkatan 5 ini. KPM2020 ISBN 978-983-2914-67-9 Cetakan Pertama 2020 © Kementerian Pendidikan Malaysia Hak cipta terpelihara. Mana-mana bahan dalam buku ini tidak dibenarkan diterbitkan semula, disimpan dalam cara yang boleh dipergunakan lagi, ataupun dipindahkan dalam sebarang bentuk atau cara, baik dengan cara elektronik, mekanik, penggambaran semula mahupun dengan cara perakaman tanpa kebenaran terlebih dahulu daripada Ketua Pengarah Pelajaran Malaysia, Kementerian Pendidikan Malaysia. Perundingan tertakluk kepada perkiraan royalti atau honorarium. Diterbitkan untuk Kementerian Pendidikan Malaysia oleh: Abadi Ilmu Sdn. Bhd. (199701033455) (448954-X) 7-13, Infinity Tower, No. 28, Jalan SS6/3, Kelana Jaya, 47301 Petaling Jaya, Selangor Darul Ehsan. Tel: +603-7886 4517   Faks: +603-7886 4512 E-mel: [email protected] Reka Letak dan Atur Huruf: Abadi Ilmu Sdn. Bhd. (199701033455) (448954-X) Muka Taip Teks: Times Saiz Taip Teks: 11 poin Dicetak oleh: World Line Marketing Sdn. Bhd. (1115599-K) Lot 12, Jalan CJ 1/16, Kawasan Perindustrian Cheras Jaya, 43200 Cheras, Selangor Darul Ehsan. NO. SIRI BUKU: 0108 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

Kandungan Pendahuluan v Rumus vii BAB 1 Sukatan Membulat 1 1.1 Radian 1.2 Panjang Lengkok Suatu Bulatan 1.3 Luas Sektor Suatu Bulatan 1.4 Aplikasi Sukatan Membulat Sudut Refleksi Latihan Sumatif Eksplorasi Matematik 25 12 20 23 24 27 BAB 2 Pembezaan 28 2.1 Had dan Hubungannya dengan Pembezaan 2.2 Pembezaan Peringkat Pertama 2.3 Pembezaan Peringkat Kedua 2.4 Aplikasi Pembezaan Sudut Refleksi Latihan Sumatif Eksplorasi Matematik 30 38 49 51 76 77 79 BAB 3 Pengamiran 80 3.1 Pengamiran sebagai Songsangan Pembezaan 3.2 Kamiran Tak Tentu 3.3 Kamiran Tentu 3.4 Aplikasi Pengamiran Sudut Refleksi Latihan Sumatif Eksplorasi Matematik 82 85 92 111 114 115 117 BAB 4 Pilih Atur dan Gabungan 118 4.1 Pilih Atur 4.2 Gabungan Sudut Refleksi Latihan Sumatif Eksplorasi Matematik 120 132 137 138 139 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA iii

BAB 5 Taburan Kebarangkalian 140 5.1 Pemboleh Ubah Rawak 5.2 Taburan Binomial 5.3 Taburan Normal Sudut Refleksi Latihan Sumatif Eksplorasi Matematik 142 152 166 184 185 187 BAB 6 Fungsi Trigonometri 188 6.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif 6.2 Nisbah Trigonometri bagi Sebarang Sudut 6.3 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen 6.4 Identiti Asas 6.5 Rumus Sudut Majmuk dan Rumus Sudut Berganda 6.6 Aplikasi Fungsi Trigonometri Sudut Refleksi Latihan Sumatif Eksplorasi Matematik 190 193 201 211 215 222 228 229 231 BAB 7 Pengaturcaraan Linear 232 7.1 Model Pengaturcaraan Linear 7.2 Aplikasi Pengaturcaraan Linear Sudut Refleksi Latihan Sumatif Eksplorasi Matematik 234 240 246 247 249 BAB 8 Kinematik Gerakan Linear 250 8.1 Sesaran, Halaju dan Pecutan sebagai Fungsi Masa 8.2 Pembezaan dalam Kinematik Gerakan Linear 8.3 Pengamiran dalam Kinematik Gerakan Linear 8.4 Aplikasi Kinematik Gerakan Linear Sudut Refleksi Latihan Sumatif Eksplorasi Matematik 252 260 267 272 275 275 278 Jawapan Glosari Senarai Rujukan Indeks 279 294 295 296 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA iv

Buku Teks Matematik Tambahan Tingkatan 5 KSSM ini ditulis berdasarkan Dokumen Standard Kurikulum dan Pentaksiran (DSKP) Matematik Tambahan Tingkatan 5 yang disediakan oleh Kementerian Pendidikan Malaysia. Buku ini diterbitkan bagi melahirkan murid yang mempunyai Kemahiran Abad Ke-21 dengan menerapkan Kemahiran Berfikir Aras Tinggi (KBAT), kemahiran maklumat dan komunikasi, kemahiran berfikir dan menyelesaikan masalah serta kemahiran interpersonal dan arah kendiri supaya murid dapat bersaing pada peringkat global. Murid yang menguasai kemahiran berfikir aras tinggi berupaya untuk mengaplikasikan pengetahuan, kemahiran dan nilai dalam membuat penaakulan dan refleksi bagi menyelesaikan masalah, membuat keputusan, berinovasi dan berupaya mencipta sesuatu. Elemen Merentas Kurikulum (EMK) seperti penggunaan bahasa pengantar yang betul, kelestarian alam sekitar, nilai-nilai murni, penggunaan sains dan teknologi, semangat patriotik, berinovasi dan kreatif, keusahawanan, teknologi maklumat dan komunikasi, kelestarian global dan pendidikan kewangan diaplikasikan secara menyeluruh dalam penghasilan kandungan buku teksini.Selainitu,pendekatanSTEMdiberikansupayamuridberpeluanguntukmengintegrasikan pengetahuan, kemahiran dan nilai dalam bidang sains, teknologi, kejuruteraan dan matematik. Buku ini juga memberikan penekanan terhadap penerapan pemikiran komputasional (PK). CIRI-CIRI ISTIMEWA DALAM BUKU INI DAN FUNGSINYA Pendahuluan Aktiviti Penerokaan 1 Individu Aktiviti Penerokaan 1 Berpasangan Aktiviti Penerokaan 1 Berkumpulan Aktiviti yang melibatkan murid secara individu, berpasangan atau berkumpulan yang menggalakkan murid terlibat secara aktif dalam proses pembelajaran. Latihan Kendiri 1.1 Mendedahkan murid dengan soalan-soalan untuk menguji kefahaman murid mengenai konsep yang dipelajari. Latihan Formatif 1.1 Mengandungi soalan-soalan untuk menguji sejauh mana penguasaan murid terhadap topik yang dipelajari. Aplikasi Matematik Menyediakan soalan penyelesaian masalah berserta langkah kerja yang merangkumi situasi kehidupan yang sebenar. Imbas Kembali Membantu murid mengingat kembali perkara yang telah dipelajari. Mengemukakan soalan yang memerlukan murid untuk berfikir secara kreatif dan menguji penguasaan murid. Sudut Informasi Memberikan informasi tambahan kepada murid untuk lebih menguasai topik yang dipelajari. GALERI SEJARAH Merangkumi penerangan mengenai sejarah perkembangan matematik dan sumbangan tokoh-tokoh matematik. Mengandungi aktiviti-aktiviti yang memerlukan perbincangan murid. KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA v

Memaparkan cara penggunaan kalkulator saintifik dalam pengiraan matematik. Memberikan pendedahan kepada murid mengenai aplikasi teknologi dalam pembelajaran matematik. Akses QR Memberikan pendedahan kepada murid menggunakan peranti mudah alih dengan mengimbas kod QR. Tip Pintar Membantu dengan memberikan tip-tip yang berkaitan dengan topik untuk kegunaan murid. Kaedah Alternatif Menyediakan penyelesaian alternatif untuk soalan-soalan tertentu. PK Aktiviti penerokaan yang melibatkan pemikiran komputasional merangkumi konsep penaakulan logik, algoritma, pengecaman corak, peniskalaan dan penilaian. PBP Pembelajaran Berasaskan Projek membolehkan murid mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran matematik dalam menyelesaikan masalah yang melibatkan situasi harian. SUDUT REFLEKSI Kesimpulan mengenai keseluruhan bab yang dipelajari. Latihan Sumatif Soalan-soalan yang berbentuk KBAR dan KBAT untuk mengetahui tahap penguasaan murid. Mengandungi soalan KBAT untuk menguji murid berfikir aras tinggi. PAK-21 Konsep pembelajaran abad ke-21 diaplikasikan untuk meningkatkan tahap kefahaman murid. 1.3.1 Mewakili standard pembelajaran untuk setiap bab. TP TP TP 5 6 TP 3 TP 4 1 TP 2 Merangkumi tahap penguasaan bagi setiap soalan. STEM Aktiviti penerokaan yang menerapkan unsur sains, teknologi, kejuruteraan dan matematik. Panduan Mengimbas AR (Augmented Reality) untuk Animasi Tiga Dimensi yang Interaktif. Imbas kod QR di sebelah untuk memuat turun aplikasi. Gunakan aplikasi tersebut untuk mengimbas halaman yang mempunyai ikon AR (halaman 105 dan 106). KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA vi

Muat turun aplikasi percuma imbasan kod QR daripada Google Play, App Store atau aplikasi lain ke peranti mudah alih pintar anda. Imbas kod QR dengan aplikasi itu atau layari laman sesawang yang tertera di sebelah kiri untuk muat turun fail PDF, GeoGebra dan jawapan lengkap. bit.ly/35acQRN Kemudian, simpan fail yang dimuat turun bagi kegunaan luar talian. Rumus Bab 1 Sukatan Membulat Panjang lengkok, s = jq Luas sektor, L = 1 2 j2 q Rumus Heron = ! s(s – a)(s – b)(s – c), s = a + b + c 2 Bab 2 Pembezaan y = uv, dy dx = u dv dx + v du dx y = u v , dy dx = v du dx – u dv dx v2 dy dx = dy du × du dx Bab 3 Pengamiran Luas di bawah lengkung = ∫ b a y dx atau = ∫ b a x dy Isi padu kisaran = ∫ b a πy2 dx atau = ∫ b a πx2 dy Bab 4 Pilih Atur dan Gabungan n Pr = n! (n – r)! n Cr = n! (n – r)!r! Rumus secaman, P = n! a!b!c!… Bab 5 Taburan Kebarangkalian P(X = r) = n Cr pr qn – r, p + q = 1 Min, m = np s = ! npq Z = X – m s Bab 6 Fungsi Trigonometri sin2 A + kos2 A = 1 sek2 A = 1 + tan2 A kosek2 A = 1 + kot2 A sin 2A = 2 sin A kos A kos 2A = kos2 A − sin2 A = 2 kos2 A – 1 = 1 – 2 sin2 A tan 2A = 2 tan A 1 – tan2 A sin (A  B) = sin A kos B  kos A sin B kos (A  B) = kos A kos B  sin A sin B tan (A  B) = tan A  tan B 1  tan A tan B KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA vii

bit.ly/2PMc8G3 Senarai Standard Pembelajaran Radian Panjang Lengkok Suatu Bulatan Luas Sektor Suatu Bulatan Aplikasi Sukatan Membulat BAB 1 SUKATAN MEMBULAT KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

bit.ly/2OCLqOt Video mengenai seni bina berbentuk bulatan. bit.ly/2T0pKPR Untuk maklumat lanjut: Radian Radian Darjah Degree Pusat bulatan Centre of circle Jejari Radius Tembereng Segment Sektor Sector Perimeter Perimeter Panjang lengkok Arc length Luas sektor Area of sector Kepentingan Bab Ini Euclid (325-265 SM) merupakan seorang ahli matematik Yunani yang berasal dari Alexandria. Beliau dikenali dengan hasil kerjanya, iaitu The Elements yang membuat kajian mengenai geometri. Geometri ialah sebahagian daripada matematik yang mengambil berat persoalan mengenai saiz, bentuk dan kedudukan relatif dari rajah dan sifat ruang. Kemahiran Pegawai Kawalan Trafik Udara membaca dan mentafsir radar di Pusat Kawalan Trafik Udara membolehkan pesawat-pesawat selamat semasa penerbangan tanpa berlakunya perlanggaran di udara yang boleh mengakibatkan kecederaan dan kematian. Fungsi odometer di dalam kenderaan adalah untuk mengukur jarak yang telah dilalui oleh kenderaan dari awal sehingga akhir perjalanan dengan menggunakan lilitan tayar dan bilangan pusingannya. Pada abad ke-21, teknologi dan inovasi berkembang dengan begitu pesat. Bangunan yang mempunyai reka bentuk yang inovatif akan melonjakkan nama sesebuah negara ke tahap yang lebih tinggi. Seseorang arkitek dapat mereka bentuk suatu bangunan yang unik dan indah dengan bantuan peranti yang canggih melalui kreativiti dan keupayaan inovasi. Namun, bagaimanakah bangunan ini dapat mencapai keharmonian dan dinamik dalam rekaannya? Apakah maklumat yang diperlukan oleh seorang arkitek untuk membina bangunan berbentuk tembereng major bagi bulatan seperti ini? KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 1

2 Tujuan: Menerangkan takrifan satu radian dan seterusnya membuat perkaitan antara ukuran sudut dalam radian dengan darjah Langkah: 1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah. 2. Setiap kumpulan akan melakukan setiap aktiviti berikut dan catatkan sudut yang tercangkum di pusat bulatan. Seret gelongsor a supaya panjang lengkok, s sama dengan jejari bulatan, j. Seret gelongsor a sehingga panjang lengkok, s ialah dua kali jejari bulatan, j. Seret gelongsor a sehingga panjang lengkok, s ialah tiga kali jejari bulatan, j. Seret gelongsor a sehingga panjang lengkok, s membentuk semibulatan. Seret gelongsor a sehingga panjang lengkok, s melalui satu putaran lengkap. 3. Berdasarkan hasil dapatan yang diperoleh, takrifkan sudut yang berukuran 1 radian. Seterusnya, tuliskan perkaitan antara ukuran radian dengan darjah bagi sudut yang tercangkum di pusat bulatan. 4. Daripada perkaitan tersebut, berapakah anggaran sudut 1 radian dalam darjah dan anggaran sudut 1° dalam radian? Bincangkan. Rajah di sebelah menunjukkan dua sektor bulatan yang ditandakan pada papan permainan baling damak dengan jejari 10 cm dan 20 cm, masing-masing mempunyai panjang lengkok 10 cm dan 20 cm. Perhatikan bahawa dua sektor itu mempunyai sudut yang sama. Sudut tersebut ditakrifkan sebagai 1 radian. Apakah yang dapat anda katakan tentang ukuran sudut 1 radian itu? Membuat perkaitan antara ukuran sudut dalam radian dengan darjah Dalam sukatan membulat, sistem yang biasa digunakan untuk mengukur sudut adalah dalam sebutan darjah. Walau bagaimanapun, dalam beberapa cabang matematik, ukuran untuk suatu sukatan membulat tidak sesuai dilakukan dalam darjah. Oleh itu, satu unit baharu yang dikenali sebagai radian diperkenalkan untuk menunjukkan saiz suatu sudut. Lakukan aktiviti penerokaan berikut untuk mengetahui takrifan satu radian dan seterusnya membuat perkaitan antara ukuran sudut dalam radian dengan darjah. Sudut Informasi • “Rad”ialah singkatan bagi“Radian”. • 1 rad boleh ditulis sebagai 1r atau 1c . 1.1.1 1.1 Radian Aktiviti Penerokaan 1 Berkumpulan STEM 20 cm 10 cm 10 cm 10 cm 20 cm 1 rad 18 6 bit.ly/2QoD7I1 PK KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

3 Sukatan Membulat 1 BAB Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 1, takrifan satu radian boleh diberikan seperti yang berikut: Satu radian ialah ukuran sudut yang tercangkum di pusat sebuah bulatan oleh lengkok yang sama panjang dengan jejari bulatan itu. Secara amnya, bagi sebuah bulatan berpusat O dan berjejari j unit: Jika panjang lengkok AB = j, maka ˙AOB = 1 radian. Jika panjang lengkok AB = 2j, maka ˙AOB = 2 radian. Jika panjang lengkok AB = 3j, maka ˙AOB = 3 radian. Jika panjang lengkok AB = πj, maka ˙AOB = π radian. Jika panjang lengkok AB = 2πj, maka ˙AOB = 2π radian. Perhatikan bahawa AB = 2πj bermaksud OA telah membuat satu putaran lengkap, iaitu OA telah bergerak melalui sudut 360°. Hubungan antara ukuran sudut dalam radian dengan darjah adalah seperti yang berikut. 2π rad = 360° π rad = 180° Jadi, apabila π = 3.142, 1 rad = 180° π ≈ 57.29° dan 1° = π 180° ≈ 0.01746 rad Tukarkan setiap sudut yang berikut kepada darjah. [Guna π = 3.142] (a) 2 5 π rad (b) 2.25 rad (a) π rad = 180° 2 5 π rad = 2 5 π × 180° π = 2 5 × 180° = 72° (b) π rad = 180° 2.25 rad = 2.25 × 180° π = 2.25 × 180° 3.142 = 128° 54 Penyelesaian Contoh 1 1.1.1 GALERI SEJARAH Gottfried Wilhelm Leibniz merupakan seorang cendekiawan matematik Jerman yang memperkenalkan satu kaedah untuk mengira π = 3.142 tanpa merujuk kepada bulatan. Beliau juga membuktikan bahawa π 4 boleh ditentukan dengan menggunakan rumus berikut. π 4 = 1 – 1 3 + 1 5 – 1 7 + 1 9 – 1 11 + … Mencari penyelesaian dalam Contoh 1(b) dengan menggunakan kalkulator saintifik. 1. Tekan 2. Tekan 3. Skrin akan memaparkan 1 rad O B A j j j Saiz bagi sudut 1 radian adalah lebih kecil daripada sudut 60°. Apakah kelebihan menggunakan sudut dalam radian berbanding dengan sudut dalam darjah? Bincangkan. KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

4 (a) Tukarkan 40° dan 150° kepada radian, dalam sebutan π. (b) Tukarkan 110° 30 dan 320° kepada radian. [Guna π = 3.142] (a) 180° = π rad 40° = 40° × π 180° = 2 9 π rad 150° = 150° × π 180° = 5 6 π rad (b) 180° = π rad 110° 30 = 110° 30 × π 180° = 110° 30 × 3.142 180° = 1.929 rad 320° = 320° × π 180° = 320° × 3.142 180° = 5.586 rad Penyelesaian Contoh 2 1. Tukarkan setiap sudut yang berikut kepada darjah. [Guna π = 3.142] (a) 7 12 π rad (b) 1 1 3 π rad (c) 2 rad (d) 4.8 rad 2. Tukarkan setiap sudut yang berikut kepada radian. Berikan jawapan betul kepada tiga tempat perpuluhan. [Guna π = 3.142] (a) 76° (b) 139° (c) 202.5° (d) 320° 10 3. Dalam setiap rajah berikut, POQ ialah sektor bagi sebuah bulatan berpusat O. Tukarkan setiap sudut POQ yang berikut kepada radian. [Guna π = 3.142] (a) (b) (c) (d) 73° O Q P 118° O Q P 150.5° O Q P 220° O Q P 1.1.1 Tip Pintar Sudut-sudut khusus: Sudut dalam darjah Sudut dalam radian 0° 0 30° π 6 36° π 5 45° π 4 60° π 3 90° π 2 180° π 270° 3 2 π 360° 2π Latihan Kendiri 1.1 1. Tukarkan setiap sudut yang berikut kepada darjah. [Guna π = 3.142] (a) π 8 rad (b) 3 4 π rad (c) 0.5 rad (d) 1.04 rad 2. Tukarkan setiap sudut yang berikut kepada radian, dalam sebutan π. (a) 18° (b) 120° (c) 225° (d) 300° Latihan Formatif 1.1 Kuiz bit.ly/2OvH6l0 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

5 Sukatan Membulat 1 BAB Rajah di sebelah menunjukkan seorang budak perempuan sedang bermain buaian. Buaian dengan panjang 2.5 m itu berayun dan membentuk lengkok suatu bulatan yang melalui sudut 1.7 rad. Berapakah panjang lengkok yang telah dilalui oleh budak perempuan itu dalam ayunan tersebut? Apakah rumus yang perlu digunakan untuk menyelesaikan masalah ini? 2.5 m Aktiviti Penerokaan 2 Berkumpulan PAK-21 Tujuan: Menerbitkan rumus panjang lengkok bagi suatu bulatan berpusat O Langkah: 1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah. 2. Gerakkan titik A atau titik B pada lilitan bulatan untuk mengubah panjang lengkok AB. 3. Perhatikan panjang lengkok AB dan sudut AOB dalam darjah yang terbentuk di pusat bulatan apabila titik A atau titik B itu berubah. 4. Apakah yang dapat anda perhatikan pada nilai bagi nisbah Panjang lengkok minor AB Lilitan bulatan dan juga Sudut AOB 360° ? Adakah nilai kedua-dua nisbah itu sama? 5. Seretkan gelongsor L untuk mengubah saiz bulatan. Adakah nilai kedua-dua nisbah itu juga berubah atau masih sama? 6. Seterusnya, terbitkan rumus untuk mencari panjang lengkok minor bagi sebuah bulatan. 7. Catatkan semua pemerhatian ahli kumpulan anda pada sehelai kertas. 8. Setiap kumpulan akan melakukan pembentangan di hadapan kelas bagi setiap hasil dapatan yang diperoleh dan seterusnya membuat kesimpulan terhadap aktiviti yang dilakukan. Daripada Aktiviti Penerokaan 2, didapati bahawa panjang lengkok berkadaran dengan sudut pada pusat bulatan. Panjang lengkok minor AB ∠AOB = Lilitan bulatan 360° Panjang lengkok minor AB q = 2πj 360° Panjang lengkok minor AB = 2πj 360° × q dengan q ialah sudut dalam darjah yang tercangkum di pusat bulatan O dan berjejari j unit. 1.2.1 Menentukan panjang lengkok, jejari dan sudut tercangkum di pusat bulatan 1.2 Panjang Lengkok Suatu Bulatan STEM ggbm.at/ecuneh4d θ O j j B A PK KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

6 Walau bagaimanapun, jika ˙AOB diukur dalam radian, Panjang lengkok minor AB q = Lilitan bulatan 2π s q = 2πj 2π s = 2πj 2π × q s = jq Secara amnya, s = jq dengan s ialah panjang lengkok bagi sebuah bulatan berjejari j unit dan q radian ialah sudut yang tercangkum oleh lengkok di pusat bulatan O. Cari panjang lengkok, s bagi setiap sektor POQ berpusat O yang berikut. [Guna π = 3.142] (a) (b) (c) 0.9 rad O P Q s 5 cm 6 cm 2 – π rad 3 O P Q s 140° O 10 cm P Q s (a) Panjang lengkok, s = jq s = 5 × 0.9 s = 4.5 cm (b) Panjang lengkok, s = jq s = 6 × 2 3 π s = 4π s = 4(3.142) s = 12.57 cm (c) Sudut refleks POQ dalam radian = (360° – 140°) × π 180° = 220° × 3.142 180° = 3.84 rad Panjang lengkok, s = jq s = 10 × 3.84 s = 38.4 cm Penyelesaian Contoh 3 Sudut Informasi Simbol q yang dibaca sebagai“téta”ialah huruf kelapan dalam abjad Yunani dan sering kali digunakan untuk mewakili suatu sudut. Daripada takrifan radian, bolehkah anda terbitkan rumus s = jq? 1.2.1 θ O j j B A s Imbas Kembali Saiz sudut bagi sudut refleks ialah 180° , q , 360°. θ KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

Sukatan Membulat 1 BAB Latihan Kendiri 1.2 1. Cari panjang lengkok MN, dalam cm, bagi setiap sektor MON berpusat O yang berikut. [Guna π = 3.142] (a) (b) (c) (d) 12 cm 1.1 rad O M N 2 rad 8 cm O M N 5 cm O M N 5 – π rad 6 O 10 cm 2.45 rad N P M 2. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah bulatan berpusat O. Diberi panjang lengkok major EF ialah 25 cm dan ˙EOF = 1.284 rad, cari (a) jejari, dalam cm, bulatan itu, (b) panjang lengkok minor EF, dalam cm. [Guna π = 3.142] 3. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah semibulatan OPQR berjejari 5 cm. Diberi panjang lengkok QR ialah 5.7 cm, hitung (a) nilai q, dalam radian, (b) panjang lengkok PQ, dalam cm. [Guna π = 3.142] E F 25 cm O 1.284 rad P R Q 5.7 cm 5 cm O θ 7 Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada bulatan berpusat O dan berjejari j cm. Diberi ˙AOB = 1.3 rad dan panjang lengkok AB dan BC masing-masing ialah 2.6 cm dan 1.4 cm. Hitung (a) nilai j, (b) ˙BOC, dalam radian. (a) Dalam sektor AOB, s = 2.6 cm dan q = 1.3 rad. Maka, s = jq j = s q j = 2.6 1.3 j = 2 cm (b) Dalam sektor BOC, s = 1.4 cm dan j = 2 cm. Jadi, s = jq q = s j q = 1.4 2 q = 0.7 rad Maka, ˙BOC = 0.7 rad. Penyelesaian Contoh 4 1.2.1 Imbas Kembali 2.6 cm 1.4 cm j cm 1.3 rad A O B C Perentas Tembereng Lengkok minor Lengkok major Sektor major Sektor minor O Akses QR Mengenal suatu bulatan. bit.ly/2tPcmnj KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

8 Kawasan berwarna pada rim tayar basikal yang berjejari 31 cm dalam rajah di sebelah merupakan tiga tembereng yang sama saiz bagi sebuah bulatan. Perimeter bagi satu daripada tembereng itu ialah hasil tambah semua sempadannya. Dengan menggunakan rumus panjang lengkok, s = jq dan petua lain yang sesuai, dapatkah anda menentukan perimeter bagi satu daripada tembereng itu? 1.2.2 Menentukan perimeter tembereng suatu bulatan Rajah di sebelah menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat O dan berjejari 10 cm. Perentas AC mencangkum sudut 114° pada pusat O. Hitung perimeter tembereng berlorek ABC. [Guna π = 3.142] Oleh sebab 180° = π rad, maka kita peroleh 114° = 114° × π 180° = 1.990 rad Panjang lengkok ABC = jq = 10 × 1.990 = 19.90 cm Dengan menggunakan petua kosinus, panjang perentas AC ialah AC2 = 102 + 102 – 2(10)(10) kos 114° AC = ! 200 – 200 kos 114° = 16.77 cm Maka, perimeter tembereng berlorek ABC = 19.90 + 16.77 = 36.67 cm Penyelesaian Contoh 5 Kaedah Alternatif Untuk mencari panjang perentas AC, lukis satu garis OD yang berserenjang dengan AC. Dalam ∆COD, ˙COD = 114° 2 = 57 sin ˙COD = CD OC Jadi, CD = OC sin ˙COD = 10 sin 57 = 8.3867 cm Oleh itu, AC = 2CD = 2(8.3867) = 16.77 cm A C 10 cm O B 114° Latihan Kendiri 1.3 1. Bagi setiap bulatan berpusat O yang berikut, hitung perimeter, dalam cm, tembereng berlorek ABC. [Guna π = 3.142] (a) (b) (c) (d) A C 6 cm O B 2.5 rad A C 10 cm O B π – rad 3 A C 8 cm 120° O B A C 15 cm 9 cm O B Adakah panjang AC dapat dicari dengan menggunakan petua sinus, a sin A = b sin B = c sin C? KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

9 Sukatan Membulat 1 BAB 2. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada sebuah bulatan berpusat O dan berjejari 7 cm. Diberi bahawa panjang lengkok PQ ialah 14 cm, cari (a) sudut q, dalam darjah, (b) perimeter tembereng berlorek, dalam cm. Q 14 cm 7 cm O P θ 1.2.2 1.2.3 Pengetahuan dan kemahiran menukarkan ukuran sudut dalam darjah kepada radian dan sebaliknya serta menggunakan rumus panjang lengkok, s = jq atau rumus lain yang sesuai boleh menyelesaikan banyak masalah dalam kehidupan harian yang melibatkan panjang lengkok bagi suatu bulatan. Rajah di sebelah menunjukkan kawasan lontaran bagi suatu acara lontar peluru di sebuah padang sekolah. Kawasan lontaran itu terdiri daripada dua buah sektor bulatan AOB dan POQ yang berpusat di O. Diberi bahawa ˙AOB = ˙POQ = 50°, OA = 2 m dan AP = 8 m. Hitung perimeter, dalam m, kawasan berwarna ABQP. [Guna π = 3.142] Penyelesaian Contoh 6 Aplikasi Matematik Menyelesaikan masalah yang melibatkan panjang lengkok 3 . Melaksanakan strategi Kawasan lontaran terdiri daripada dua buah sektor bulatan AOB dan POQ berpusat O. Sektor bulatan AOB berjejari 2 m, AP = 8 m dan ˙AOB = ˙POQ = 50°. Tukarkan sudut 50° kepada radian dan gunakan rumus s = jq untuk mencari panjang lengkok AB dan PQ. Perimeter kawasan berwarna ABQP boleh ditentukan dengan menambah semua sempadan kawasan itu. 1 . Memahami masalah 2 . Merancang strategi 180° = π rad 50° = 50° × 3.142 180° = 0.873 rad Panjang lengkok AB, s = jq s = 2(0.873) s = 1.746 m Panjang lengkok PQ, s = jq s = 10(0.873) s = 8.73 m Maka, perimeter kawasan berwarna ABQP = panjang lengkok AB + BQ + panjang lengkok PQ + AP = 1.746 + 8 + 8.73 + 8 = 26.48 m Q 8 m 2 m O P A B KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

10 1. Dalam setiap rajah berikut, hitung perimeter, dalam cm, kawasan berlorek. (a) (b) (c) A C 4 cm 110° 5 cm O B D A C 3 cm 1 cm 3 cm B O D A C O 10 cm B 0.5 rad 2. Bandar Raya Washington di Amerika Syarikat dan Bandar Raya Lima di Peru terletak pada longitud yang sama masing-masing dengan latitud 38.88° U dan 12.04° S. Diberi bumi yang berbentuk sfera mempunyai jejari 6 371 km, anggarkan jarak, dalam km, di antara dua bandar raya itu. 3. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada trek larian yang berbentuk semibulatan. Fazura ingin menghantar baton kepada Jamilah yang sedang menunggu 85° jauhnya dari Fazura. Berapakah jarak yang Fazura perlu lari untuk menghantar baton kepada Jamilah? 4. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah tingkap yang terdiri daripada bentuk segi empat tepat dan semibulatan. Lebar tingkap itu ialah 70 cm dan tinggi tingkap berbentuk segi empat tepat ialah 100 cm. Cari (a) panjang lengkok, dalam cm, tingkap yang berbentuk semibulatan itu, (b) perimeter, dalam cm, keseluruhan tingkap itu. 5. Rajah di sebelah menunjukkan rantai yang dipasang pada gegancu hadapan dan belakang sebuah basikal. Diberi bahawa lilitan gegancu hadapan dan belakang masing-masing ialah 50.8  cm dan 30.5 cm. Hitung panjang, dalam cm, rantai basikal itu. O 85° 25 m Fazura Jamilah 70 cm 100 cm 25 cm 25 cm 160° 185° 1.2.3 Latihan Kendiri 1.4 4 . Membuat refleksi Panjang lengkok AB = 50° 360° (2)(3.142)(2) = 1.746 m Panjang lengkok PQ = 50° 360° (2)(3.142)(10) = 8.73 m Maka, perimeter kawasan berwarna ABQP = panjang lengkok AB + BQ + panjang lengkok PQ + AP = 1.746 + 8 + 8.73 + 8 = 26.48 m KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

11 Sukatan Membulat 1 BAB 1. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah bulatan berpusat O. Panjang lengkok minor RS ialah 15 cm dan sudut sektor major ROS ialah 275°. Cari (a) sudut sektor minor ROS, dalam radian, (b) jejari, dalam cm, bulatan itu. 2. Rajah di sebelah menunjukkan sektor UOV berpusat O. Diberi panjang lengkok UV ialah 5 cm dan perimeter sektor UOV ialah 18 cm. Cari nilai q, dalam radian. 3. Rajah di sebelah menunjukkan sektor EOF bagi sebuah bulatan berpusat O. Diberi bahawa OG = 4 cm dan OE = 5  cm, cari (a) nilai q, dalam radian, (b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek. 4. Rajah di sebelah menunjukkan dua sektor OPQ dan ORS dengan pusat O dan masing-masing berjejari 2h cm dan 3h cm. Diberi ˙POQ = 0.5 radian dan perimeter kawasan berlorek PQSR ialah 18 cm, cari (a) nilai h, dalam cm, (b) beza, dalam cm, antara panjang lengkok RS dan PQ. 5. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada bulatan berpusat O dan berjejari 10 cm. Tangen di titik M dan titik N pada lilitan bulatan itu bertemu di titik P dan ˙MON = 51°, hitung (a) panjang lengkok MN, dalam cm, (b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek. 6. Sebuah jam dinding mempunyai bandul dengan panjang 36 cm. Jika bandul itu berayun melalui sudut 21°, cari jumlah jarak, dalam cm, yang dilalui bandul itu dalam satu ayunan lengkap. 7. Rajah di sebelah menunjukkan ukuran bagi sebuah tayar kereta. Berapa jauhkah, dalam m, tayar itu telah bergerak setelah membuat (a) 50 pusingan lengkap? (b) 1 000 pusingan lengkap? [Guna π = 3.142] R S 15 cm O 275° V U O 5 cm θ F E O G 5 cm 4 cm θ O 0.5 rad 3h 2h P R Q S O 51° 10 cm M P N 14 cm 38 cm 14 cm Latihan Formatif 1.2 Kuiz bit.ly/2L6AZBv KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

12 Sekeping piza berjejari 10 cm dipotong kepada 10 potongan yang sama saiz. Bolehkah anda anggarkan luas permukaan setiap potongan piza itu? Apakah rumus yang boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah ini? Luas sektor sebuah bulatan merupakan rantau yang dibatasi oleh satu lengkok dan dua jejari. Aktiviti penerokaan yang berikut menunjukkan cara untuk menerbitkan rumus luas sektor suatu bulatan dengan menggunakan perisian geometri dinamik GeoGebra. Aktiviti Penerokaan 3 Berkumpulan PAK-21 Tujuan: Menerbitkan rumus luas sektor suatu bulatan berpusat O Langkah: 1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah. 2. Gerakkan titik A atau titik B pada lilitan bulatan untuk mengubah luas sektor minor AOB. 3. Perhatikan luas sektor AOB dan sudut AOB dalam darjah yang terbentuk di pusat bulatan apabila titik A atau titik B itu berubah. 4. Apakah yang dapat anda perhatikan pada nilai bagi nisbah Luas sektor minor AOB Luas bulatan dan juga Sudut AOB 360° ? Adakah nilai kedua-dua nisbah itu sama? 5. Seretkan gelongsor L untuk mengubah saiz bulatan. Adakah nilai kedua-dua nisbah itu juga berubah atau masih sama? 6. Seterusnya, terbitkan rumus untuk mencari luas sektor minor bagi sebuah bulatan. Catatkan semua pemerhatian ahli kumpulan anda pada sehelai kertas. 7. Setiap kumpulan akan melakukan pembentangan di hadapan kelas bagi setiap hasil dapatan yang diperoleh dan seterusnya membuat kesimpulan terhadap aktiviti yang dilakukan. 8. Ahli daripada kumpulan yang lain akan memberikan respons terhadap pembentangan yang dilakukan. Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 3, didapati bahawa: Luas sektor minor AOB ∠AOB = Luas bulatan 360° Luas sektor minor AOB q = πj2 360° Luas sektor minor AOB = πj2 360° × q dengan q ialah sudut dalam darjah yang tercangkum di pusat bulatan O dan berjejari j unit. 1.3.1 1.3 Luas Sektor Suatu Bulatan Menentukan luas sektor, jejari dan sudut tercangkum di pusat bulatan O B j j A θ STEM ggbm.at/kvwsaz9f PK KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

13 Sukatan Membulat 1 BAB Walau bagaimanapun, jika ˙AOB = q diukur dalam radian, Luas sektor minor AOB q = Luas bulatan 2π L q = πj2 2π L = πj2 2π × q L = 1 2 j2 q Secara amnya, L = 1 2 j 2 q dengan L adalah luas sektor bagi sebuah bulatan berjejari j unit dan q radian ialah sudut yang tercangkum oleh sektor di pusat bulatan O. Cari luas sektor, L bagi setiap sektor MON berpusat O yang berikut. [Guna π = 3.142] (a) (b) (c) O 12 cm N 1.7 rad M O 8 cm 2.2 rad N M 10 cm 124° N M O (a) Luas sektor, L = 1 2 j2 q (b) Luas sektor, L = 1 2 j2 q L = 1 2 (12)2 (1.7) L = 1 2 (8)2 (2.2) L = 1 2 (144)(1.7) L = 1 2 (64)(2.2) L = 122.4 cm2 L = 70.40 cm2 (c) Sudut refleks MON dalam radian = (360° – 124°) × π 180° = 236° × 3.142 180° = 4.12 rad Luas sektor, L = 1 2 j2 q L = 1 2 (10)2 (4.12) L = 1 2 (100)(4.12) L = 206 cm2 Penyelesaian Contoh 7 1.3.1 O B L j j A θ Akses QR Kaedah lain untuk menerbitkan rumus luas sektor suatu bulatan, L = 1 2 j2 q. bit.ly/2XYrKZE Sudut Informasi Luas, L bagi suatu sektor bulatan ialah L = 1 2 j2 q, dengan q ialah sudut dalam radian. Oleh sebab s = jq, kita peroleh: L = 1 2 j(jq ) L = 1 2 js KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

Latihan Kendiri 1.5 14 Rajah di sebelah menunjukkan sektor POQ yang bersudut q radian dan berjejari j cm. Diberi luas sektor POQ ialah 35 cm2 , cari (a) nilai j jika q = 0.7 rad, (b) nilai q jika jejari ialah 11 cm. (a) Luas sektor POQ = 35 cm2 1 2 j2 q = 35 1 2 j2 (0.7) = 35 j2 = 35 × 2 0.7 j2 = 100 j = ! 100 j = 10 cm (b) Luas sektor POQ = 35 cm2 1 2 j2 q = 35 1 2 (11)2 q = 35 1 2 (121)q = 35 q = 35 × 2 121 q = 0.5785 rad Penyelesaian Contoh 8 1. Bagi setiap sektor bulatan AOB berpusat O yang berikut, tentukan luasnya, dalam cm2 . [Guna π = 3.142] (a) (b) (c) (d) 6 cm 1.1 rad A B O 10 cm 2.15 rad A B O 5 cm A B O 5 – π rad 3 20 cm 135° A B O 2. Suatu sektor bulatan berjejari 5 cm mempunyai perimeter 16 cm. Cari luas, dalam cm2 , sektor itu. 3. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah sektor major EOF berpusat O dan berjejari j cm dengan luas 195 cm2 . Hitung (a) nilai j, dalam cm, (b) panjang lengkok major EF, dalam cm, (c) perimeter, dalam cm, sektor major EOF. 4. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah sektor VOW berpusat O dan berjejari 10 cm. Diberi bahawa luas sektor itu ialah 60 cm2 , hitung (a) nilai q, dalam radian, (b) panjang lengkok VW, dalam cm, (c) perimeter, dalam cm, sektor VOW. j cm 3.9 rad E F O 10 cm W V O θ 1.3.1 j cm Q P θ O KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

Sukatan Membulat 1 BAB 15 Rajah di sebelah menunjukkan sehelai alas meja yang berbentuk sebuah bulatan berpusat O dengan corak berbentuk heksagon terterap di dalamnya. Renda yang dijahit di sekeliling heksagon pula merupakan tembereng bagi alas meja itu. Apakah maklumat yang diperlukan untuk mencari luas setiap renda itu? Dengan menggunakan rumus luas sektor, L = 1 2 j2 q dan rumus lain yang bersesuaian, masalah seperti ini boleh diselesaikan dengan mudah dan cepat. Bagi setiap sektor POQ berpusat O yang berikut, cari luas, dalam cm2 , tembereng PRQ. [Guna π = 3.142] (a) (b) P Q R O 6 cm 2.2 rad P Q O R 3.5 cm 4 cm (a) 2.2 rad = 2.2 × 180° 3.142 = 126° 2 Luas sektor POQ = 1 2 j2 q = 1 2 (6)2 (2.2) = 39.60 cm2 Luas ∆POQ = 1 2 (OP)(OQ) sin ˙POQ = 1 2 (6)(6) sin 126° 2 = 14.56 cm2 Luas tembereng PRQ = 39.60 – 14.56 = 25.04 cm2 (b) Dalam ∆QOP, sin ˙QOS = QS OQ = 2 3.5 ˙QOS = 34° 51 Penyelesaian Contoh 9 1.3.2 Kaedah Alternatif P Q S O 6 cm 63°1' Dalam ∆POQ, ∠POS = 126° 2 2 = 63° 1 sin 63° 1 = PS 6 PS = 6 × sin 63° 1 = 5.3468 cm PQ = 2PS = 2 × 5.3468 = 10.6936 cm OS = !62 – 5.34682 = 2.7224 cm Jadi, luas ∆ POQ = 1 2 × PQ × OS = 1 2 × 10.6936 × 2.7224 = 14.56 cm2 Menentukan luas tembereng suatu bulatan P Q O S 2 cm 3.5 cm O KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

Latihan Kendiri 1.6 16 Jadi, ˙POQ = (2 × 34° 51) × π 180° = 69° 42 × 3.142 180° = 1.217 rad Luas sektor POQ = 1 2 j2 q = 1 2 (3.5)2 (1.217) = 7.454 cm2 Dalam ∆POQ, semiperimeter, s = 3.5 + 3.5 + 4 2 s = 5.5 cm Luas ∆POQ = ! s(s – p)(s – q)(s – o) = ! 5.5(5.5 – 3.5)(5.5 – 3.5)(5.5 – 4) = ! 5.5(2)(2)(1.5) = ! 33 = 5.745 cm2 Luas tembereng PRQ = 7.454 – 5.745 = 1.709 cm2 1. Bagi setiap sektor AOB berpusat O yang berikut, cari luas tembereng ACB. [Guna π = 3.142] (a) (b) (c) (d) O A B C 7 cm 1.5 rad O 10 cm A B C 2 – π rad 3 O 5 cm 58° A B C O 9 cm 15 cm A B C 2. Rajah di sebelah menunjukkan sektor MON bagi sebuah bulatan berpusat O dan berjejari 3 cm. Diberi panjang lengkok minor MN ialah 5 cm, cari (a) ˙MON, dalam darjah, (b) luas tembereng berlorek, dalam cm2 . 3. Rajah di sebelah menunjukkan sektor HOK bagi sebuah bulatan berpusat O dan berjejari 4 cm. Panjang perentas HK adalah sama dengan jejari bulatan itu. Hitung (a) ˙HOK, dalam radian, (b) luas tembereng berlorek, dalam cm2 . O 5 cm 3 cm M N 4 cm O H K Imbas Kembali C B b a c A (a) Luas ∆ABC = 1 2 ab sin C = 1 2 ac sin B = 1 2 bc sin A (b) Rumus luas segi tiga menggunakan Rumus Heron: Luas ∆ABC = ! s(s – a)(s – b)(s – c), dengan s = a + b + c 2 ialah semiperimeter. 1.3.2 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

Sukatan Membulat 1 BAB 17 Pengetahuan dan kemahiran menggunakan rumus luas sektor, L = 1 2 j2 q atau rumus lain yang sesuai boleh menyelesaikan banyak masalah yang melibatkan luas sektor bagi suatu bulatan dalam kehidupan harian. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah kipas kertas yang dibuka sepenuhnya. Bahagian PQNM merupakan bahagian yang diliputi dengan kertas. Diberi bahawa OP = 15 cm, OM : MP = 2 : 3 dan ∠POQ = 120°, hitung luas, dalam cm2 , kawasan yang diliputi oleh kertas itu. P M N Q 120° O Penyelesaian Contoh 10 Aplikasi Matematik 1.3.3 PQNM ialah bahagian yang diliputi dengan kertas apabila sebuah kipas kertas dibuka sepenuhnya. Diberi OP = 15 cm, OM : MP = 2 : 3 dan ∠POQ = 120°. Cari luas, dalam cm2 , kawasan yang diliputi oleh kertas. 1 . Memahami masalah Cari panjang OM menggunakan nisbah OM : MP = 2 : 3. Tukar 120° kepada radian dan gunakan rumus L = 1 2 j2 q untuk mencari luas sektor POQ dan luas sektor MON. Tolakkan luas sektor MON daripada luas sektor POQ untuk mencari luas kawasan yang diliputi oleh kertas. 2 . Merancang strategi OM = 2 5 × OP = 2 5 × 15 = 6 cm q dalam radian = 120° × π 180° = 120° × 3.142 180° = 2.0947 rad Luas sektor POQ, L = 1 2 j2 q L = 1 2 (15)2 (2.0947) L = 235.65 cm2 Luas sektor MON, L = 1 2 j2 q L = 1 2 (6)2 (2.0947) L = 37.70 cm2 Maka, luas kawasan yang diliputi oleh kertas = 235.65 – 37.70 = 197.95 cm2 Menyelesaikan masalah yang melibatkan luas sektor 3 . Melaksanakan strategi KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

Latihan Kendiri 1.7 18 1. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah taman SRT yang berbentuk semibulatan berpusat O dan berjejari 12 m. Kawasan berumput PQR berbentuk sektor bulatan berpusat Q dan berjejari 16 m. Kawasan berwarna coklat cair pula akan dipagar dan ditanam dengan pokok bunga. Diberi panjang lengkok PR ialah 14 m, cari (a) panjang pagar, dalam m, yang digunakan untuk memagar kawasan tanaman pokok bunga, (b) luas kawasan, dalam m2 , tanaman pokok bunga itu. 2. Rajah di sebelah menunjukkan keratan rentas paip air berjejari 12 cm. Air mengalir melalui paip itu dengan ketinggian h cm dan kelebaran mengufuknya, EF ialah 18 cm. Hitung (a) nilai h, (b) luas kawasan, dalam cm2 , keratan rentas yang mengandungi air. 3. Rajah di sebelah menunjukkan dua keping cakera padat masing-masing dengan jejari 11 cm dan 7 cm menyentuh antara satu sama lain di R. Kedua-dua keping cakera itu terletak di atas garis lurus PDCQ. (a) Hitung ˙BAD, dalam darjah. (b) Seterusnya, cari luas, dalam cm2 , kawasan berlorek. 4. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah jam dinding yang menunjukkan pukul 10:10 pagi. Diberi panjang jarum minit bagi jam itu ialah 8 cm. Cari (a) luas sektor, dalam cm2 , yang disurih oleh jarum minit itu apabila waktu menunjukkan jam 10:30 pagi, (b) sudut gerakan jarum minit itu, dalam radian, jika luas sektor yang disurihnya ialah 80 cm2 . S P O Q T R 14 m 12 m 16 m O E F 12 cm h cm 18 cm P 11 cm 7 cm R B A D C Q 1.3.3 4 . Membuat refleksi Luas sektor POQ, L = 120° 360° × 3.142 × 152 L = 235.65 cm2 Luas sektor MON, L = 120° 360° × 3.142 × 62 L = 37.70 cm2 Maka, luas kawasan yang diliputi oleh kertas = 235.65 – 37.70 = 197.95 cm2 Tip Pintar O j A B L θ Jika q diukur dalam darjah, maka luas sektor bulatan, L = q 360° × πj2 . KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

19 Sukatan Membulat 1 BAB 1. Rajah di sebelah menunjukkan sektor AOB berpusat O dan sektor PAQ berpusat A. Diberi OB = 6 cm, OP = AP, ˙PAQ = 0.5 rad dan panjang lengkok AB ialah 4.2 cm. Hitung (a) nilai q, dalam radian, (b) luas, dalam cm2 , kawasan berlorek. 2. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah sektor VOW dengan pusat O dan berjejari 5 cm. Diberi OW = OV = VW, cari (a) nilai q, dalam radian, (b) luas, dalam cm2 , tembereng berlorek VW. 3. Sebuah kon berongga mempunyai jejari 3 cm dan tinggi 4 cm. Kon itu dibuka dan dibentangkan untuk membentuk sektor POQ seperti yang ditunjukkan dalam rajah di sebelah. Diberi ˙POQ = q radian, cari (a) nilai q, (b) luas, dalam cm2 , sektor POQ. 4. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat O dan jejari 4 cm. Diberi panjang lengkok minor KL ialah 7 cm. (a) Nyatakan nilai q, dalam radian. (b) Cari luas sektor major KOL, dalam cm2 . 5. Dalam rajah di sebelah, O ialah pusat bulatan yang berjejari 9  cm. Lengkok minor AB mencangkum sudut 140° pada pusat bulatan O dengan tangen-tangen di A dan B bertemu di C. Hitung (a) AC, dalam cm, (b) luas, dalam cm2 , lelayang OACB, (c) luas, dalam cm2 , sektor minor OAB, (d) luas, dalam cm2 , kawasan berlorek. 6. Rajah di sebelah menunjukkan tingkap udara di sebuah dewan. PQR ialah lengkok major bagi bulatan berpusat S. Garis OP dan OR ialah tangen-tangen kepada bulatan itu. Saiz empat panel yang lain adalah sama dengan panel OPQR. O ialah pusat bagi tingkap udara yang menyentuh lengkok PQR di Q. Diberi OS = 6 cm dan ˙OSR = 60°. (a) Tunjukkan bahawa RS = 3 cm. (b) Hitung luas, dalam cm2 , panel OPQR. (c) Tingkap itu mempunyai simetri putaran di O dengan peringkat n, cari nilai n dan luas, dalam cm2 , kawasan berlabel T di antara dua panel. O P 6 cm 4.2 cm 0.5 rad A B Q θ O W V 5 cm θ 3 cm 4 cm O Q P θ 4 cm O 7 cm K L θ 140° 9 cm O A B C 6 cm 60° O S T Q P R Latihan Formatif 1.3 Kuiz bit.ly/2rI5G9f KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

20 Teliti dua situasi dalam kehidupan harian yang berikut. Kemahiran mengaplikasikan rumus dalam sukatan membulat, iaitu panjang lengkok, s = jq dan luas sektor, L = 1 2 j2 q, dengan q ialah sudut dalam radian serta rumus yang lain boleh membantu menyelesaikan masalah seperti dalam dua situasi di atas. Menyelesaikan masalah yang melibatkan sukatan membulat Contoh berikut menunjukkan bagaimana rumus dalam sukatan membulat dan rumus lain yang bersesuaian digunakan untuk menyelesaikan masalah berkaitan keratan rentas terowong kereta api yang berbentuk tembereng major sebuah bulatan. Rajah di sebelah menunjukkan tembereng major ABC yang mewakili keratan rentas bagi sebuah terowong kereta api dengan pusat O dan jejari 4 m, dengan keadaan ˙AOC = 1.8 rad. [Guna π = 3.142] (a) Tunjukkan bahawa AC ialah 6.266 m. (b) Cari panjang lengkok major ABC, dalam m. (c) Cari luas keratan rentas terowong itu, dalam m2 . Contoh 11 1.4.1 1.4 Aplikasi Sukatan Membulat A B C 4 m 1.8 rad O Keratan rentas bagi terowong kereta api kebanyakannya berbentuk tembereng major sebuah bulatan. Bagaimanakah kita boleh mencari panjang lengkok dan luas keratan rentas bagi terowong kereta api tersebut? Pelangi ialah suatu fenomena optik yang merupakan spektrum berwarna berbentuk gerbang. Pelangi terbentuk apabila matahari memancarkan cahaya semasa atau sejurus selepas hujan. Gerbang pelangi seperti yang ditunjukkan dalam gambar di sebelah merupakan lengkok bagi sebuah bulatan. Menggunakan rumus yang telah dipelajari dan bantuan teknologi terkini, bolehkah anda tentukan panjang lengkoknya itu? KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

1 BAB 21 Sukatan Membulat Latihan Kendiri 1.8 (a) 1.8 rad = 1.8 × 180° 3.142 = 103° 7 Dengan menggunakan petua kosinus, AC2 = OA2 + OC2 – 2(OA)(OC) kos ˙AOC = 42 + 42 – 2(4)(4) kos 103° 7 AC = ! 42 + 42 – 2(4)(4) kos 103° 7 = ! 39.2619 = 6.266 m (b) Sudut refleks AOC = 2π − 1.8 = 4.484 rad Panjang lengkok major ABC = jq = 4 × 4.484 = 17.94 m (c) Dengan menggunakan rumus luas segi tiga, Luas ∆AOC = 1 2 × OA × OC × sin ˙AOC = 1 2 × 4 × 4 × sin 103° 7 = 7.791 m2 Luas sektor major ABC = 1 2 j2 q = 1 2 × 42 × 4.484 = 35.87 m2 Maka, luas keratan rentas terowong ialah 7.791 + 35.87 = 43.66 m2 Penyelesaian 1.8 rad 4 m 4 m A C O 4.484 rad 4 m A C B O 4.484 rad 1.8 rad 4 m A C O B 1. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah wau bulan yang mempunyai paksi simetri OS. AQB ialah lengkok bagi sebuah bulatan berpusat O dan berjejari 20 cm. APBR ialah sebuah semibulatan berpusat P dan berjejari 16 cm. TRU pula ialah lengkok sebuah bulatan berpusat S dan berjejari 12 cm. Diberi panjang lengkok TRU ialah 21 cm. Hitung (a) ˙AOB dan ˙TSU, dalam radian, (b) perimeter, dalam cm, wau bulan, (c) luas, dalam cm2 , wau bulan. 2. Dalam rajah di sebelah, setiap duit syiling 20 sen mempunyai jejari yang sama dan tangen kepada dua duit syiling 20 sen yang lain. Jika luas kawasan berwarna biru ialah 12.842 mm2 , cari jejari, dalam mm, setiap duit syiling itu. A O P Q R S T U B 16 cm 12 cm 20 cm 1.4.1 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

22 1. Jejari dan tebal sebiji kek yang berbentuk silinder masing-masing ialah 11 cm dan 8 cm. Rajah di sebelah menunjukkan sepotong kek yang telah dipotong dengan keratan rentas seragamnya berbentuk sektor bulatan POQ dan berjejari 11 cm. Diberi ˙POQ = 40°. (a) Hitung (i) perimeter, dalam cm, sektor POQ, (ii) luas, dalam cm2 , sektor POQ, (iii) isi padu, dalam cm3 , sepotong kek itu. (b) Jika jisim sepotong kek itu ialah 150 gram, hitung jisim, dalam gram, sebiji kek. 2. Rajah di sebelah menunjukkan pelan bagi sebuah kolam renang dengan kedalaman seragam 1.5 m. ABCD adalah berbentuk segi empat tepat dengan panjang 12 m dan lebar 8 m. AED dan BEC pula ialah dua sektor bulatan yang sama saiz dengan pusat E. Hitung (a) perimeter, dalam m, lantai kolam renang, (b) luas, dalam m2 , lantai kolam renang, (c) isi padu, dalam m3 , air yang memenuhi kolam renang itu. 3. Rajah di sebelah menunjukkan keratan rentas membulat seragam bagi sebatang kayu yang terapung di atas air dengan jejari 46 cm. Titik P dan Q pada kayu itu terletak pada permukaan air manakala titik tertinggi R pula ialah 10 cm di atas permukaan air. Hitung (a) nilai q, dalam radian, (b) panjang lengkok PRQ, dalam cm, (c) luas keratan rentas kayu, dalam cm2 , di atas permukaan air itu. 4. Rajah di sebelah menunjukkan bentuk bagi logo sebuah syarikat aiskrim dari permukaan atas. Bentuk itu terdiri daripada tiga sektor bulatan AOB, COD dan EOF yang sama saiz berpusat O dan berjejari 30 cm. Diberi ˙AOB = ˙COD = ˙EOF = 60°. (a) Hitung (i) panjang lengkok AB, dalam cm, (ii) luas sektor COD, dalam cm2 , (iii) perimeter tembereng EF, dalam cm, (iv) luas tembereng EF, dalam cm2 . (b) Logo itu akan dibina dengan konkrit. Jika ketebalan seragam logo itu ialah 5 cm, cari isi padu konkrit, dalam cm3 , yang diperlukan untuk membuat logo itu. (c) Jika kos konkrit ialah RM0.50 per cm3 , cari jumlah kos, dalam RM, untuk membina logo itu. 11 cm 8 cm Q P O A B D C E 12 m 8 m R 10 cm θ 46 cm P Q O A F C B O E D 30 cm Latihan Formatif 1.4 Kuiz bit.ly/2R3qkLO KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

23 Sukatan Membulat 1 BAB 1. Adakah anda lebih cenderung untuk mengukur sesuatu sudut pada bulatan dalam darjah daripada radian atau sebaliknya? Tuliskan justifikasi dan rasional untuk pilihan anda itu. 2. Layari Internet untuk mendapatkan jejari, dalam m, bagi enam buah roda Ferris yang berikut: (a) Eye on Malaysia (b) Wiener Riesenrad, Vienna (c) The London Eye (d) Tianjin Eye, China (e) High Roller, Las Vegas (f) The Singapore Flyer Katakan koordinat bagi pusat setiap roda Ferris itu ialah (0, 0), tentukan (i) lilitan, dalam m, setiap roda Ferris itu, (ii) luas kawasan, dalam m2 , yang dilitupi oleh setiap roda Ferris itu bagi satu pusingan lengkap, (iii) persamaan bagi setiap roda Ferris itu. SUDUT REFLEKSI Penukaran radian kepada darjah dan sebaliknya Panjang lengkok suatu bulatan Aplikasi Luas sektor suatu bulatan × 180° π Radian Darjah × π 180° O A B C s j θ Panjang lengkok, s = jq Perimeter tembereng ABC = s + AB O A B L C j θ Luas sektor, L = 1 2 j2 q Luas tembereng ABC = L – Luas ∆  AOB SUKATAN MEMBULAT KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

24 1. Rajah di sebelah menunjukkan sektor KOL bagi bulatan berpusat O dan berjejari 10 cm. Diberi luas sektor itu ialah 60 cm2 , hitung TP 2 (a) nilai q, dalam radian, (b) perimeter, dalam cm, sektor KOL. 2. Rajah di sebelah menunjukkan sektor AOB bagi bulatan berpusat O. Diberi AD = DO = OC = CB = 3 cm, cari TP 2 (a) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek, (b) luas, dalam cm2 , kawasan berlorek. 3. Rajah di sebelah menunjukkan sektor POQ dan sektor ROS dengan pusat O. Diberi OP = 4 cm, nisbah OP : OR = 2 : 3 dan luas kawasan berlorek ialah 10.8 cm2 , cari TP 3 (a) nilai q, dalam radian, (b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek. 4. Rajah di sebelah menunjukkan sektor MON bagi bulatan dengan sudut q radian dan jejari j cm. Diberi perimeter sektor itu ialah 18 cm dan luasnya ialah 8 cm2 . TP 3 (a) Bentukkan sepasang persamaan serentak yang melibatkan j dan q. (b) Seterusnya, cari nilai j dan nilai q. 5. Dalam rajah di sebelah, ABCD ialah segi empat sama dengan sisi 4 cm. PQ ialah lengkok bagi bulatan berpusat C dengan jejari 5 cm. Cari TP 3 (a) ˙PCQ, dalam darjah, (b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek APQ, (c) luas, dalam cm2 , kawasan berlorek APQ. 6. Rajah di sebelah menunjukkan sukuan bagi bulatan berpusat O dan berjejari 10 cm. Q ialah titik pada lengkok itu dengan keadaan panjang lengkok PQ dan QR adalah dalam nisbah 2 : 3. Diberi ˙POQ = q radian, cari TP 3 (a) nilai q, (b) luas, dalam cm2 , kawasan berwarna. O 10 cm K L θ O 2 rad A B C D O 4 cm P R Q S θ O j cm M N θ A P Q 5 cm 4 cm B D C P O Q 10 cm R θ Latihan Sumatif KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

1 BAB 25 Sukatan Membulat 7. Dalam rajah di sebelah, PQRS ialah semibulatan dengan pusat O dan berjejari j cm. Diberi panjang lengkok PQ, QR dan RS adalah sama. Hitung luas, dalam cm2 , kawasan berlorek. Berikan jawapan dalam sebutan j. [Guna π = 3.142] TP 5 8. Rajah di sebelah menunjukkan sektor VOW bagi bulatan berpusat O. Lengkok VW bagi bulatan itu mencangkum sudut 2 radian di pusat O. Sektor VOW dilipat untuk membentuk sebuah kon tegak supaya lengkok VW menjadi lilitan bagi tapak kon. Cari tinggi, dalam cm, kon itu. TP 5 9. Rajah di sebelah menunjukkan semibulatan AOBP dengan O ialah pusat bulatan dan ∆APB ialah segi tiga bersudut tegak di P. Diberi AB = 16 cm dan ˙ABP = π 6 radian. Cari TP 3 (a) panjang AP, dalam cm, (b) luas, dalam cm2 , ∆ABP, (c) luas, dalam cm2 , kawasan berlorek. 10. Dalam rajah di sebelah, AOB ialah semibulatan berpusat D dan AEB ialah lengkok bagi bulatan berpusat C(7, 7). Persamaan AB ialah x 6 + y 8 = 1. Hitung TP 4 (a) luas ∆ABC, (b) ˙ACB, dalam darjah, (c) luas, dalam unit2 , kawasan berlorek. 11. Rajah di sebelah menunjukkan semibulatan ABCDE berpusat F dan rombus BGDF. Diberi koordinat bagi E, F dan G masing-masing ialah (9, 6), (5, 6) dan (5, 8) dan ˙BFD = q radian. Hitung TP 5 (a) nilai q, dalam radian, (b) luas, dalam unit2 , sektor BFD, (c) luas, dalam unit2 , kawasan berlorek. 12. Rajah di sebelah menunjukkan sektor bulatan JKLM berpusat M dan dua sektor bulatan JAM dan MBL masing-masing berpusat A dan B. Diberi sudut major JML ialah 3.8 radian, cari TP 4 (a) jejari, dalam cm, sektor bulatan JKLM, (b) perimeter, dalam cm, rantau berlorek, (c) luas, dalam cm2 , sektor bulatan JAM, (d) luas, dalam cm2 , rantau berlorek. O P S Q j cm R V W O 64 cm 2 rad P A B O π – rad 6 x y A B D E O x y – + – = 1 6 8 C (7, 7) A B D C E (9, 6) F (5, 6) G (5, 8) θ A J L M B K 7 cm 7 cm 1 rad 1 rad KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

26 13. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat O dan berjejari 2 cm terterap dalam sektor PQR bagi bulatan berpusat P. Garis lurus PQ dan PR ialah tangen kepada bulatan masing-masing di titik A dan titik B. Hitung TP 4 (a) panjang, dalam cm, lengkok QR, (b) luas, dalam cm2 , kawasan berlorek. 14. Rajah di sebelah menunjukkan pelan bagi sebuah taman. AOB ialah sektor bagi sebuah bulatan berpusat O dan berjejari 18 m dan ACB ialah sebuah semibulatan dengan diameter AB. Taman itu terdiri daripada kawasan berumput AOB dan kawasan pokok bunga berpagar ACB. Diberi bahawa luas bagi kawasan berumput AOB ialah 243 m2 , hitung TP 4 (a) nilai q, dalam radian, (b) panjang, dalam m, pagar yang diperlukan untuk memagari kawasan pokok bunga, (c) luas, dalam m2 , kawasan pokok bunga. 15. Hilal mengikat empat buah tin minuman yang berbentuk silinder tegak dengan seutas tali seperti yang ditunjukkan dalam rajah di sebelah. Jejari bagi setiap tin itu ialah 5.5 cm. Hitung panjang tali, dalam cm, yang digunakan oleh Hilal. TP 5 16. Sekeping aluminium yang berbentuk segi empat tepat berukuran 200 cm dan 110 cm dibengkokkan untuk membentuk separuh permukaan melengkung silinder. Dua semibulatan dilekatkan di kedua-dua hujung bentuk itu untuk membuat sebuah bekas air seperti yang ditunjukkan dalam rajah di bawah. TP 5 200 cm 110 cm 200 cm 110 cm 118° P Q O Bekas itu diletakkan secara mengufuk dan air dituangkan ke dalamnya. PQ mewakili paras air di dalam bekas itu dengan O ialah pusat semibulatan dan ˙POQ = 118°. (a) Tunjukkan bahawa jejari silinder itu ialah 35 cm, betul kepada cm terhampir. (b) Hitung (i) luas, dalam cm2 , sektor POQ, (ii) luas, dalam cm2 , tembereng berlorek, (iii)isi padu, dalam liter, air di dalam bekas itu. A Q O R P B 2 cm 60° A O C B 18 m θ KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

27 Sukatan Membulat 1 BAB Sukatan Membulat 17. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah prisma dengan setiap keratan rentasnya ialah sektor bagi bulatan berjejari 3 cm. AOB dan CED ialah keratan rentas prisma itu dengan A, B, C dan D terletak di atas permukaan lengkung prisma. Diberi bahawa tinggi prisma itu ialah 4 cm dan ˙CED = 40°, cari TP 4 (a) panjang, dalam cm, lengkok AB, (b) luas, dalam cm2 , sektor AOB, (c) isi padu, dalam cm3 , prisma, (d) jumlah luas permukaan, dalam cm2 , prisma itu. 18. Persatuan Matematik SMK Taman Pagoh Indah menganjurkan satu pertandingan mencipta logo untuk persatuan itu. Rajah di sebelah menunjukkan logo berbentuk bulatan dan sektor bulatan yang direka oleh Wong. Jejari bulatan setiap lengkok ialah 5 cm. Cari TP 4 (a) perimeter, dalam cm, kawasan berwarna logo itu, (b) luas, dalam cm2 , kawasan berwarna logo itu. 40° 4 cm 3 cm D C A B O E M S K I P T Ahli matematik pada zaman dahulu mendapati bahawa pemalar π ialah nisbah lilitan suatu bulatan kepada diameternya. Maklumat di bawah menunjukkan anggaran niai π berdasarkan pendapat empat orang tokoh matematik yang terkemuka di dunia. Pada zaman moden hari ini, komputer boleh menilai π hingga sepuluh juta digit. Teroka nilai π dengan menggunakan perisian geometri dinamik Desmos. Ahli matematik Greek, Archimedes telah membuktikan bahawa 3 10 71 , π , 3 1 7 . Ahli matematik Switzerland, Euler mendapati bahawa π2 6 = 1 + 1 12 + 1 22 + 1 32 + 1 42 + … Ahli matematik Yunani-Romawi, Ptolemy menunjukkan bahawa nilai anggaran bagi π ialah 3.1416. Ahli matematik Jerman, Lambert membuktikan bahawa π ialah suatu nombor KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA tak rasional.

bit.ly/2EOtFa4 Senarai Standard Pembelajaran Had dan Hubungannya dengan Pembezaan Pembezaan Peringkat Pertama Pembezaan Peringkat Kedua Aplikasi Pembezaan BAB 2 PEMBEZAAN KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 28

bit.ly/364Iwt8 bit.ly/2KFSrgc Untuk maklumat lanjut: Had Limit Terbitan pertama First derivative Kecerunan tangen Gradient of tangent Terbitan kedua Second derivative Persamaan tangen Equation of tangent Persamaan normal Equation of normal Titik pusingan Turning point Kadar perubahan Rate of change Penghampiran Approximation Titik pegun Stationary point Titik lengkok balas Point of inflection Kepentingan Bab Ini Bakteria boleh menyebabkan pelbagai jenis penyakit berbahaya dan mengancam kehidupan kita. Bakteria menghasilkan toksin yang boleh merosakkan makanan. Makanan yang dicemari oleh bakteria akan mengakibatkan keracunan makanan dan boleh membawa maut jika tidak dirawat dengan segera. Antara penyakit yang menyerang manusia akibat bakteria ialah tifoid, demam dan pneumonia. Tahukah anda, rumus bagi bilangan pertumbuhan bakteria, p dengan populasi awal ialah 1 500 menggunakan rumus p = 1 500( 1 + 5t t 2 + 30 ), dengan t ialah masa, dalam jam? Bolehkah anda tentukan kadar pertumbuhan populasi bakteria selepas 3 jam? Masalah ini boleh diselesaikan dengan konsep pembezaan yang merupakan sebahagian daripada kalkulus. Isaac Newton (1643-1727 TM) dan Gottfried Von Leibniz (1646-1716 TM) merupakan ahli matematik yang mula mempelopori prinsip asas kalkulus yang terdiri daripada pembezaan dan pengamiran. Kalkulus berasal daripada perkataan Latin yang bermaksud batu kecil yang digunakan untuk menghitung dan menyelesaikan suatu permasalahan matematik pada zaman dahulu. Sebuah LRT (Light Rapid Transit) yang bergerak dengan kadar perubahan sesaran terhadap masa menunjukkan halaju seketika bagi LRT itu manakala kadar perubahan halaju terhadap masa menunjukkan pecutan seketika. Konsep pembezaan digunakan untuk menentukan peredaran darah dalam arteri pada masa tertentu serta jangka masa bagi penyakit tumor membesar dan mengecil di dalam badan manusia. Video mengenai pertumbuhan koloni bakteria. KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 29

30 Berkumpulan Tujuan: Meneroka had suatu fungsi apabila pemboleh ubahnya menghampiri sifar Langkah: 1. Pertimbangkan fungsi f(x) = x 2 + 3x x , dengan domainnya ialah set semua nombor nyata, kecuali sifar. 2. Tentukan nilai bagi f(0). Adakah anda boleh memperoleh nilai tersebut? Jelaskan. 3. Salin dan lengkapkan jadual di bawah bagi fungsi f(x) = x 2 + 3x x apabila x menghampiri sifar dari arah kiri dan arah kanan. Seterusnya, lakarkan graf y = f(x) dan tentukan nilai bagi had x ˜ 0 x 2 + 3x x . x –0.1 –0.01 –0.001 –0.0001 ... 0.0001 0.001 0.01 0.1 f(x) 4. Apakah yang anda boleh katakan tentang keputusan nilai f(0) yang diperoleh dalam langkah 2 dengan nilai had x ˜ 0 x 2 + 3x x yang diperoleh dalam langkah 3? Bincangkan. Had merupakan konsep asas dalam operasi pembezaan seperti halaju, v suatu objek pada masa t yang disebut sebagai halaju seketika. Misalnya, semasa pemanduan, bacaan pada meter laju kenderaan anda menunjukkan halaju 80 kmj–1. Apakah yang dimaksudkan dengan bacaan halaju 80 kmj–1 pada meter laju itu? Bagaimanakah nilai 80 kmj–1 ini diperoleh? Dengan kaedah had, kita boleh menentukan nilai tersebut melalui nilai penghampiran. Nilai had suatu fungsi apabila pemboleh ubah menghampiri sifar Pertimbangkan jujukan 1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , … dengan sebutan amnya, Tn = 1 n , dengan keadaan n = 1, 2, 3, ... Perhatikan graf bagi jujukan itu seperti dalam rajah di sebelah. Apabila n semakin meningkat tanpa batas, apakah yang akan terjadi kepada sebutan, T jujukan itu? Adakah sebutannya semakin menghampiri sifar tetapi bukan sifar? Bolehkah anda tentukan had bagi jujukan ini? Ikuti penerokaan berikut untuk meneroka nilai had suatu fungsi apabila pemboleh ubahnya menghampiri sifar pula. 2.1.1 2.1 Had dan Hubungannya dengan Pembezaan Aktiviti Penerokaan 1 Berkumpulan T n 0 1 – 2 1 1 2 3 4 5 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

31 2 BAB Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 1, didapati bahawa nilai bagi f(0) tidak dapat ditentukan kerana menghasilkan suatu bentuk tak tentu, iaitu 0 0 . Oleh sebab had tidak dapat ditentukan secara penggantian langsung, maka nilai bagi had x ˜ 0 x2 + 3x x boleh ditentukan seperti yang ditunjukkan dalam jadual dan rajah yang berikut. 2.1.1 Dengan menggunakan kalkulator grafik, lukis graf bagi fungsi f(x) = x2 + 3x x dan anggarkan nilai bagi had x ˜ 0 f(x). Adakah fungsi f tertakrif di x = 0? Bincangkan kesannya pada kewujudan had apabila x menghampiri sifar. Berdasarkan jadual dan rajah di atas, apabila nilai x semakin menghampiri sifar sama ada dari arah kiri atau kanan, nilai f(x) menghampiri 3. Jadi, apabila x menghampiri sifar dari salah satu arah, fungsi f(x) = x2 + 3x x menghampiri 3, iaitu apabila x ˜ 0, x2 + 3x x ˜ 3. Nilai 3 disebut sebagai had bagi x2 + 3x x apabila x menghampiri sifar dan pernyataan ini boleh diringkaskan dengan tatatanda: had x ˜ 0 f(x) = had x ˜ 0 x2 + 3x x = 3 Secara amnya, Apabila x menghampiri a, dengan keadaan x ≠ a, had bagi f(x) ialah L dan ditulis sebagai had x ˜ a f(x) = L. Cara-cara untuk menentukan had x ˜ a f(x), dengan a  adalah seperti yang berikut: f(x) f(x) = x 0 2 2 4 3 x2 + 3x –––––– x 6 –4 –2 4 Tentukan nilai had f(x) dengan menggantikan nilai x = a secara langsung ke dalam fungsi f(x). Jika, Tentukan had x ˜ a f(x) dengan cara: • Pemfaktoran • Merasionalkan pengangka atau penyebut fungsi itu. Nilai had x ˜ a f(x) telah diperoleh, iaitu had x ˜ a f(x) = f(a). f(a) ≠ 0 0 f(a) = 0 0 x f(x) –0.1 2.9 –0.01 2.99 –0.001 2.999 –0.0001 2.9999   0.0001 3.0001 0.001 3.001 0.01 3.01 0.1 3.1 0 3 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Pembezaan

32 Tentukan nilai had bagi setiap fungsi yang berikut. (a) had x ˜ 4 3 – ! x x + 2 (b) had x ˜ 1 x2 – 1 x – 1 (c) had x ˜ 0 ! x + 1 – 1 x (a) Gunakan penggantian secara langsung. had x ˜ 4 3 – ! x x + 2 = 3 – ! 4 4 + 2 = 3 – 2 4 + 2 = 1 6 (b) Apabila x = 1, had x ˜ 1 x2 – 1 x – 1 adalah dalam bentuk tak tentu, 0 0 . Jadi, lakukan pemfaktoran dan hapuskan faktor sepunya sebelum melakukan penggantian secara langsung. had x ˜ 1 x2 – 1 x – 1 = had x ˜ 1 (x + 1)(x – 1) x – 1 Faktorkan pengangka dan hapuskan faktor sepunya = had x ˜ 1 (x + 1) = 1 + 1 Penggantian langsung = 2 (c) Apabila melakukan penggantian langsung, bentuk tak tentu, 0 0 akan diperoleh. Jadi, rasionalkan pengangka bagi pecahan dengan mendarabkannya dengan konjugat, iaitu ! x + 1 + 1. had x ˜ 0 ! x + 1 – 1 x = had x ˜ 0 [( ! x + 1 – 1 x )( ! x + 1 + 1 ! x + 1 + 1 )] Darabkan dengan konjugat bagi pengangka = had x ˜ 0 (x + 1) – 1 x(! x + 1 + 1) (a – b)(a + b) = a2 – b2 = had x ˜ 0 x x(! x + 1 + 1) Hapuskan faktor sepunya = had x ˜ 0 1 ! x + 1 + 1 = 1 ! 0 + 1 + 1 Penggantian langsung = 1 1 + 1 = 1 2 Penyelesaian f(x) f tidak tertakrif apabila x = 0 x –1 0 1 2 1 – 2 1 f(x) = �x + 1 – 1 –––––––– x Contoh 1 2.1.1 Lakarkan graf bagi setiap fungsi yang berikut. (a) f(x) = x2 – 1 x – 1 , x ≠ 1 (b) f(x) = x + 1 Daripada graf, cari had bagi setiap fungsi itu apabila x menghampiri 1. Dengan menggunakan perisian geometri dinamik, lukis graf bagi setiap fungsi itu. Adakah perisian tersebut dapat membezakan kedua-dua graf itu? Jelaskan jawapan anda. KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

2 BAB 33 1. Cari had bagi setiap fungsi yang berikut apabila x ˜ 0. (a) x2 + x – 3 (b) ! x + 1 (c) x + 4 x – 2 (d) a ax + a 2. Tentukan had bagi setiap fungsi yang berikut. (a) had x ˜ 0 (3x – 1) (b) had x ˜ –3 ! 10 – 2x (c) had x ˜ –3 x2 + x – 6 x + 3 (d) had x ˜ 6 x – 6 x2 – 36 (e) had x ˜ 2 x2 – 3x + 2 x2 – 4 (f) had x ˜ 0 1 – ! 2x + 1 2x2 – x (g) had x ˜ 4 x – 4 ! x – 2 (h) had x ˜ 3 3 – ! 2x + 3 x – 3 (i) had x ˜ –2 x + 2 ! 5x + 14 – 2 3. Cari nilai bagi setiap had yang berikut. (a) had x ˜ 0 x2 – 2x x3 – 4x (b) had x ˜ 3 x2 – 4x + 3 2x2 – 5x – 3 (c) had x ˜ 3 x3 – 5x2 + 6x x2 – 3x (d) had x ˜ 0 5x 3 – ! x + 9 (e) had x ˜ 4 x – 4 2 – ! 8 – x (f) had x ˜ 7 ! x + 2 – 3 x – 7 4. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada graf fungsi y = f(x). (a) Berdasarkan graf, (i) cari f(0), (ii) tentukan sama ada had x ˜ 0 f(x) wujud atau tidak. Jelaskan. (b) Seterusnya, cari (i) had x ˜ –1 f(x) (ii) had x ˜ 5 f(x) y x –1 0 3 2 1 4 5 y = f(x) 2.1.1 Latihan Kendiri 2.1 Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada graf f(x) = x4 – x2 x2 , x ≠ 0. Berdasarkan graf, cari (a) f(0) (b) had x ˜ 0 f(x) (c) had x ˜ 2 f(x) (a) Didapati bahawa tiada titik di x = 0. Maka, f(0) tidak tertakrif di x = 0. (b) Apabila x ˜ 0 sama ada dari arah kiri atau kanan, f(x) ˜ –1. Maka, had x ˜ 0 f(x) = –1. (c) Apabila x ˜ 2 sama ada dari arah kiri atau kanan, f(x) ˜ 3. Maka, had x ˜ 2 f(x) = 3. f(x) x 0 1 3 –1 2 f(x) = x 4 – x2 ––––– x2 Penyelesaian Contoh 2 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Pembezaan

34 2.1.2 Terbitan pertama suatu fungsi f(x) melalui pembezaan dengan prinsip pertama Tangen kepada suatu lengkung di suatu titik ialah satu garis lurus yang menyentuh lengkung pada titik itu. Dalam rajah di sebelah, garis lurus AT dengan koordinat A dan T masing-masing ialah (2, 4) dan (3, 8) ialah tangen kepada lengkung y = x2 di titik A. Kecerunan tangen AT = y2 − y1 x2 – x1 = 8 − 4 3 – 2 = 4 Bagaimanakah cara untuk mencari kecerunan tangen bagi lengkung y = x2 di titik yang lain pula, misalnya B(3, 9)? Kecerunan bagi suatu lengkung menggunakan graf adalah sukar untuk ditentukan dan hasilnya tidak begitu tepat. Terdapat kaedah lain yang boleh digunakan untuk mencari kecerunan bagi suatu lengkung pada titik tertentu, iaitu dengan menggunakan idea had seperti dalam penerokaan berikut. Tujuan: Meneroka fungsi kecerunan tangen dan kecerunan tangen kepada lengkung y = x 2 pada titik B(3, 9) dengan menggunakan idea had Langkah: 1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah. 2. Perhatikan graf y = x 2 dan garis lurus yang melalui titik B(3, 9) dan titik C(4, 16) pada graf tersebut. 3. Nilai m = 7 mewakili kecerunan bagi garis lurus BC. 4. Gerakkan titik C menghampiri titik B dan perhatikan perubahan pada nilai m. 5. Catatkan perubahan nilai m apabila titik C menghampiri titik B. 6. Katakan koordinat B(3, 9) ialah (x, y) dan koordinat C(4, 16) ialah (x + dx, y + dy), dengan dx mewakili perubahan dalam nilai x dan dy mewakili perubahan dalam nilai y. Salin dan lengkapkan jadual berikut. dx x + dx y + dy dy dy dx 1 4 16 7 7 0.5 3.5 12.25 3.25 0.05 0.005 7. Apabila dx menghampiri 0, apakah yang berlaku pada nilai dy dx ? Bandingkan keputusannya dengan keputusan yang diperoleh dalam langkah 5. Daripada Aktiviti Penerokaan 2, perhatikan bahawa B(x, y) dan C(x + dx, y + dy) ialah dua titik berhampiran pada lengkung y = x2 . Aktiviti Penerokaan 2 Berkumpulan PAK-21 STEM y = x2 B(x, y) C(x + δx, y + δy) δx D(x + δx, y) δy ggbm.at/z7kumqkk Sudut Informasi Kecerunan lengkung juga dikenali sebagai kecerunan tangen. PK y = x2 y x 0 A(2, 4) T(3, 8) KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

35 2 BAB 2.1.2 Jadi, Kecerunan garis lurus BC = CD BD = (y + dy) – y (x + dx) – x = dy dx Apabila titik C menghampiri titik B di sepanjang lengkung, garis lurus BC berubah dan menjadi BC1 , seterusnya menjadi BC2 , iaitu nilai bagi dx semakin kecil dan menghampiri sifar, dx ˜ 0. Apabila titik C berada di atas titik B, garis lurus menjadi tangen di titik B. Oleh itu, Kecerunan lengkung di B = Kecerunan tangen BT = Nilai bagi had dx ˜ 0 dy dx Maka, bagi lengkung y = f(x), fungsi kecerunan tangennya pada sebarang titik boleh ditentukan dengan mencari had dx ˜ 0 dy dx . had dx ˜ 0 dy dx disebut sebagai terbitan pertama bagi fungsi terhadap x dan ditandakan dengan simbol dy dx . dy dx = had dx ˜ 0 dy dx = had dx ˜ 0 f(x + dx) – f(x) dx Fungsi kecerunan tangen dy dx ini boleh digunakan untuk mencari kecerunan tangen kepada suatu lengkung y = f(x) pada sebarang titik (x, f(x)). Misalnya, pertimbangkan semula lengkung y = f(x) = x2 . dy = f(x + dx) – f(x) = (x + dx)2 – x2 = x2 + 2x(dx) + (dx)2 – x2 = 2x(dx) + (dx)2 dy dx = 2x(dx) + (dx) 2 dx Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan dx = 2x + dx Maka, dy dx = had dx ˜ 0 dy dx = had dx ˜ 0 (2x + dx) = 2x + 0 dy dx = 2x Fungsi kecerunan tangen GALERI SEJARAH Konsep had bagi suatu fungsi mula diperkenalkan secara eksplisit oleh Sir Isaac Newton. Beliau menyatakan bahawa had ialah konsep asas dalam kalkulus dan menjelaskan konsep utama had ialah “mendekati dengan lebih dekat daripada sebarang perbezaan yang diberikan”. y = x2 y x 0 B(x, y) C2 C1 T D δx δy C(x + δx, y + δy) Sudut Informasi • Simbol dx dibaca sebagai “delta x” yang mewakili tokokan kecil dalam x. • Simbol dy dibaca sebagai “delta y” yang mewakili tokokan kecil dalam y. Tip Pintar dy dx bukan bermaksud dy bahagi dengan dx tetapi dy dx ialah simbol bagi had dy dx apabila dx ˜ 0. KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Pembezaan

36 Jadi, kecerunan tangen kepada lengkung y = x2 pada titik B(3, 9) ialah dy dx = 2x = 2(3) = 6. Secara amnya, proses untuk menentukan fungsi kecerunan dy dx atau terbitan pertama bagi suatu fungsi y = f(x) dengan menggunakan idea had dx ˜ 0 dy dx seperti ini disebut sebagai pembezaan dengan prinsip pertama. Cari dy dx dengan menggunakan prinsip pertama bagi setiap fungsi y = f(x) yang berikut. (a) y = 3x (b) y = 3x2 (c) y = 3x3 (a) Diberi y = f(x) = 3x dy = f(x + dx) – f(x) = 3(x + dx) – 3x = 3x + 3dx – 3x = 3dx dy dx = 3 Maka, dy dx = had dx ˜ 0 dy dx = had dx ˜ 0 3 dy dx = 3 (b) Diberi y = f(x) = 3x2 dy = f(x + dx) – f(x) = 3(x + dx)2 – 3x2 = 3[x2 + 2x(dx) + (dx)2 ] – 3x2 = 3x2 + 6x(dx) + 3(dx)2 – 3x2 = 6x(dx) + 3(dx)2 dy dx = 6x + 3dx Maka, dy dx = had dx ˜ 0 dy dx = had dx ˜ 0 (6x + 3dx) = 6x + 3(0) dy dx = 6x (c) Diberi y = f(x) = 3x3 dy = f(x + dx) – f(x) = 3(x + dx)3 – 3x3 = 3(x + dx)(x + dx)2 – 3x3 = 3(x + dx)[x2 + 2x(dx) + (dx)2 ] – 3x3 = 3[x3 + 2x2 (dx) + x(dx) 2 + x2 (dx) + 2x(dx) 2 + (dx) 3 ] – 3x3 = 3[x3 + 3x2 (dx) + 3x(dx)2 + (dx)3 ] – 3x3 = 3x3 + 9x2 (dx) + 9x(dx)2 + 3(dx)3 – 3x3 = 9x2 (dx) + 9x(dx)2 + 3(dx) 3 dy dx = 9x2 + 9x(dx) + 3(dx)2 Maka, dy dx = had dx ˜ 0 dy dx = had dx ˜ 0 [9x2 + 9x(dx) + 3(dx)2 ] = 9x2 + 9x(0) + 3(0)2 dy dx = 9x2 Penyelesaian Contoh 3 Tip Pintar Langkah-langkah untuk menentukan dy dx bagi sebarang fungsi f(x) dengan prinsip pertama. 1. Pertimbangkan dua titik A(x, y) dan B(x + dx, y + dy) pada lengkung. 2. Tentukan dy dengan dy = f(x + dx) – f(x). 3. Dapatkan nisbah dy dx . 4. Ambil had bagi dy dx apabila dx ˜ 0. 2.1.2 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

37 2 BAB 1. Cari dy dx dengan menggunakan prinsip pertama bagi setiap fungsi y = f(x) yang berikut. (a) y = x (b) y = 5x (c) y = – 4x (d) y = 6x2 (e) y = –x2 (f) y = 2x3 (g) y = 1 2 x2 (h) y = 1 x 2. Diberi y = 2x2 – x + 7, cari dy dx dengan menggunakan prinsip pertama. 3. Dengan menggunakan prinsip pertama, cari fungsi kecerunan bagi lengkung y = 3 + x – x2 . 1. Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada graf f(x) = x2 – 4x + 3. (a) Daripada graf, cari setiap yang berikut. (i) had x ˜ –1 f(x) (ii) had x ˜ 0 f(x) (iii) had x ˜ 1 f(x) (iv) had x ˜ 2 f(x) (v) had x ˜ 3 f(x) (vi) had x ˜ 4 f(x) (b) Cari nilai-nilai yang mungkin bagi a jika had x ˜ a f(x) = 8. (c) (i) Tentukan fungsi kecerunan tangen, dy dx bagi graf itu dengan menggunakan prinsip pertama. (ii) Seterusnya, tentukan kecerunan tangen pada titik (4, 3). 2. Cari nilai bagi setiap had yang berikut. (a) had x ˜ 0 (x2 – 6x + 9) (b) had x ˜ 2 3 ! x 4 – 2x2 (c) had x ˜ 9 9 – x x2 – 81 (d) had x ˜ 2 x2 – x – 2 x – 2 (e) had x ˜ 1 x3 – x x – 1 (f) had x ˜ 5 x2 – 7x + 10 x2 – 25 3. Tentukan nilai had bagi setiap fungsi yang berikut. (a) had x ˜ 0 ! 1 + 2x – ! 1 – 2x x (b) had x ˜ 4 3 – ! x + 5 x – 4 (c) had x ˜ 3 x2 – 5x + 6 2 – ! x + 1 4. (a) Diberi bahawa had x ˜ 2 x2 – k 3x – 6 = 4 3 , cari nilai k. (b) Jika had x ˜ –1 x2 – 2x – h kx + 2 = –2, cari nilai bagi h + k. 5. Bezakan fungsi berikut terhadap x dengan menggunakan prinsip pertama. (a) y = 5x – 8 (b) y = x2 – x (c) y = (x + 1)2 (d) y = 1 4x 6. Sesaran, s m, bagi seekor tupai yang berlari pada kabel lurus selepas t saat diberi oleh s(t) = t2 – 3t, dengan keadaan t > 0. Menggunakan prinsip pertama, cari halaju tupai itu apabila t = 5. 2.1.2 Latihan Kendiri 2.2 f(x) = x2 – 4x + 3 f(x) x 0 –1 –1 1 2 3 3 8 Latihan Formatif 2.1 Kuiz bit.ly/36ml2zn KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Pembezaan

38 Rumus terbitan pertama bagi fungsi y = axn, dengan a ialah pemalar dan n ialah integer Perhatikan semula Contoh 3 pada halaman 36. Terbitan pertama bagi fungsi y = 3x, y = 3x2 dan y = 3x3 dengan prinsip pertama adalah mengikut pola seperti dalam jadual di sebelah. Daripada pola yang diperoleh, bagi fungsi y = axn , dengan a ialah pemalar dan n ialah integer, kita boleh menerbitkan rumus terbitan pertama bagi fungsi itu secara induktif seperti yang berikut. Jika y = axn , maka dy dx = anxn – 1 atau d dx (ax n ) = anxn – 1 Tiga tatatanda yang boleh digunakan untuk menerangkan terbitan pertama suatu fungsi y = axn adalah seperti yang berikut. Jika f(x) = 3x 2 , maka f(x) = 6x d dx (3x 2 ) = 6x Jika y = 3x2 , maka dy dx = 6x f(x) dikenali sebagai fungsi kecerunan bagi lengkung y = f(x) kerana fungsi ini boleh digunakan untuk mencari kecerunan lengkung pada sebarang titik. Jika bezakan 3x 2 terhadap x, hasilnya ialah 6x. dy dx 1 disebut sebagai pembezaan y terhadap x. 2 3 Menentukan terbitan pertama bagi suatu fungsi algebra Ikuti penerokaan berikut untuk melihat perbandingan antara graf fungsi f(x) dengan graf fungsi kecerunannya, f(x) menggunakan perisian geometri dinamik Desmos. Fungsi dy dx Pola y = 3x 3 3(1x1 – 1) y = 3x2 6x 3(2x 2 – 1) y = 3x3 9x2 3(3x3 – 1) Tujuan: Membandingkan graf fungsi f(x) dengan graf fungsi kecerunannya, f(x) Langkah: 1. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah. 2. Perhatikan graf f(x) = x 2 yang terpapar pada satah. 3. Klik butang (a, f(a)) untuk melihat koordinat titik sentuh antara graf f(x) dengan garis tangennya. 4. Kemudian, klik butang f(x) = d dx[f(x)] untuk melihat graf f(x), iaitu graf fungsi kecerunan bagi f(x). Seterusnya, klik butang (a, f(a)) untuk melihat koordinat titik pada graf f(x). 2.2.1 2.2.2 2.2 Pembezaan Peringkat Pertama Aktiviti Penerokaan 3 Berkumpulan STEM PK bit.ly/2Foq2bu Tip Pintar Bagi y = axn , • Jika n = 1, dy dx = a • Jika n = 0, dy dx = 0 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

39 2 BAB 2.2.2 5. Seret gelongsor a untuk mengubah titik sentuh antara lengkung f(x) dengan garis tangennya. 6. Bandingkan graf fungsi f(x) dengan graf fungsi kecerunannya, f(x). Apakah yang anda boleh katakan tentang kedua-dua graf ini apabila nilai a berubah? 7. Salin dan lengkapkan jadual di bawah untuk mencari kecerunan lengkung y = x 2 pada koordinat-x yang diberi. Kecerunan lengkung boleh diperoleh dengan melihat koordinat-y pada titik di graf f(x). Koordinat-x –3 –2 –1 0 1 2 3 Kecerunan lengkung 8. Dengan menggunakan rumus terbitan pertama yang telah dipelajari, tentukan fungsi f(x). Seterusnya, gantikan nilai-nilai koordinat-x daripada jadual di atas ke dalam fungsi f(x) untuk menyemak dan mengesahkan kecerunan lengkung yang diperoleh dalam langkah 7. 9. Teruskan penerokaan anda dengan fungsi yang lain seperti fungsi kubik, seterusnya bandingkan jenis serta bentuk graf fungsi itu dengan graf fungsi kecerunannya. 10. Buat satu kesimpulan berdasarkan hasil dapatan anda. Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 3, didapati bahawa: Perbandingan antara graf f(x) dengan graf fungsi kecerunannya, f(x) bagi tiga fungsi polinomial dalam bentuk y = f(x) = axn , dengan a = 1 dan kuasa tertinggi polinomial, n = 1, 2 dan 3 dapat dirumuskan seperti berikut. Graf y = f(x) = x dan y = f(x) = 1 Graf y = f(x) = x2 dan y = f(x) = 2x Graf y = f(x) = x3 dan y = f(x) = 3x2 y = f(x) y = ffi(x) y x 0 Garis lurus (1, 1) y = f(x) y = f fi(x) y x Garis 0 lurus Parabola (2, 4) y = f(x) y = f fi(x) y x 0 Lengkung kubik Parabola Langkah-langkah untuk menentukan kecerunan bagi lengkung f(x) pada suatu titik pula adalah seperti berikut. Gantikan nilai x ke dalam fungsi kecerunan itu. Cari fungsi kecerunan f(x) bagi fungsi f(x) = axn terlebih dahulu dengan menggunakan rumus berikut: Jika f(x) = axn , dengan a ialah pemalar dan n ialah integer, maka f(x) = anxn – 1. KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Pembezaan

40 2.2.2 Proses untuk menentukan fungsi kecerunan f(x) bagi suatu fungsi y = f(x) disebut sebagai pembezaan. Fungsi kecerunan juga dikenali sebagai terbitan pertama bagi suatu fungsi atau fungsi terbitan atau pekali pembezaan y terhadap x. Bezakan setiap yang berikut terhadap x. (a) – 2 3 x6 (b) y = 1 5 ! x (c) f(x) = 3 8x2 (a) d dx (– 2 3 x6 ) = – 2 3 (6x6 – 1) = – 2 3 (6x5 ) d dx (– 2 3 x6 ) = – 4x5 (b) y = 1 5 ! x = 1 5 x 1 2 dy dx = 1 5 ( 1 2 x 1 2 – 1) = 1 10 x – 1 2 dy dx = 1 10! x (c) f(x) = 3 8x2 = 3 8 x–2 f(x) = 3 8 (–2x–2 – 1) = – 3 4 x–3 f(x) = – 3 4x3 Penyelesaian (a) Jika f(x) = 3 4 x4 , cari f(–1) dan f( 1 3 ). (b) Diberi bahawa y = 93 ! x , cari nilai dy dx apabila x = 8. (a) f(x) = 3 4 x4 f(x) = 3 4 (4x4 – 1) = 3x3 f(–1) = 3(–1)3 = –3 f( 1 3 ) = 3( 1 3 ) 3 = 1 9 (b) y = 93 ! x = 9x 1 3 dy dx = 9( 1 3 x 1 3 – 1) = 3x – 2 3 Apabila x = 8, dy dx = 3(8)– 2 3 = 3 4 Penyelesaian Contoh 4 Contoh 5 Sudut Informasi Fungsi kecerunan bagi suatu lengkung ialah suatu fungsi manakala kecerunan bagi suatu lengkung pada titik tertentu pula ialah suatu nilai berangka. Misalnya, bagi lengkung y = 2x3 , fungsi kecerunannya ialah dy dx = 2(3x3 – 1) = 6x2 dan kecerunannya pada titik (1, 2) ialah dy dx = 6(1)2 = 6. Terbitan bagi suatu fungsi yang melibatkan penambahan atau penolakan sebutan-sebutan algebra pula boleh diperoleh dengan membezakan fungsi itu sebutan demi sebutan secara berasingan. Jika f(x) dan g(x) ialah suatu fungsi, maka d dx [f(x) ± g(x)] = d dx [ f(x)] ± d dx [g(x)] KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA