MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

241 Pengaturcaraan Linear 7 BAB 7.2.1 (a) Tulis model matematik yang melibatkan sistem ketaksamaan linear bagi mewakili kekangan I dan kekangan II. (b) Kekangan ketiga diwakili oleh rantau berwarna merah jambu yang mewakili masa penyediaan kedua-dua jambak bunga seperti yang ditunjukkan dalam rajah di sebelah. Tuliskan kekangan tersebut dalam perkataan. (c) Bina dan lorekkan rantau R yang memenuhi ketiga-tiga kekangan. Menggunakan graf yang sama, cari (i) bilangan minimum jambak bunga anggerik jika bilangan jambak bunga ros ialah 30, (ii) jumlah keuntungan maksimum peniaga tersebut jika keuntungan bagi setiap jambak bunga ros dan jambak bunga anggerik masing-masing ialah RM35 dan RM25. (a) Kekangan I: y < 2x Kekangan II: y > 1 4 x (b) Pertimbangkan titik (0, 60) dan (40, 0). Kecerunan garis lurus, m = 60 – 0 0 – 40 = – 3 2 Persamaan garis lurus, y – 0 = – 3 2 (x – 40) 2y + 3x = 120 20y + 30x = 1 200 Maka, jumlah masa menghasilkan kedua-dua jambak bunga tersebut sekurang-kurangnya adalah 2 jam. (c) (i) Gantikan x = 30 ke dalam y = 1 4 x, y = 1 4 (30) = 7.5 Maka, bilangan minimum bunga anggerik ialah 8 jambak. (ii) Titik maksimum bagi rantau berlorek ialah (18, 33). Gantikan titik maksimum itu ke dalam k = 35x + 25y, k = 35(18) + 25(33) = 630 + 825 = 1 455 Maka, keuntungan maksimum peniaga tersebut ialah RM1 455. y x 10 10 0 20 30 40 20 30 40 50 60 Penyelesaian y x R 10 10 0 20 30 40 20 30 40 (18, 33) 50 60 y = x 1 – 4 y = 2x Sudut Informasi Titik maksimum atau optimum ialah titik di bucubucu suatu rantau tersaur yang akan menghasilkan nilai optimum bagi fungsi objektif. KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

242 7.2.1 Sebuah sekolah ingin membeli dua jenis meja, iaitu meja P dan meja Q untuk diletakkan di dalam makmal komputer. Harga bagi sebuah meja P dan meja Q masing-masing ialah RM200 dan RM100. Luas permukaan meja P ialah 1 m2 manakala meja Q ialah 2 m2 . Sekolah tersebut membeli x buah meja P dan y buah meja Q. Pembelian meja berdasarkan kekangan berikut. I Jumlah luas permukaan meja adalah tidak kurang daripada 30 m2 . II Jumlah wang yang diperuntukkan ialah RM6 000. III Bilangan meja Q selebih-lebihnya adalah dua kali bilangan meja P. (a) Selain x > 0 dan y > 0, tuliskan tiga ketaksamaan linear yang memenuhi semua kekangan di atas. (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 10 buah meja pada paksi-x dan paksi-y, bina dan lorekkan rantau R yang memuaskan semua kekangan di atas. (c) Berdasarkan graf yang dibina di (b), cari (i) julat bagi bilangan meja P jika bilangan meja Q yang dibeli ialah 10 buah, (ii) bilangan maksimum murid yang boleh menggunakan meja tersebut pada masa tertentu jika sebuah meja P dapat menampung 4 orang murid dan sebuah meja Q dapat menampung 8 orang murid. Penyelesaian Contoh 6 Harga sebuah meja P ialah RM200. Harga sebuah meja Q ialah RM100. Luas permukaan meja P ialah 1 m2 . Luas permukaan meja Q ialah 2 m2 . Jumlah peruntukan wang ialah RM6 000. Jumlah luas permukaan meja adalah tidak kurang daripada 30 m2 . Bilangan meja Q selebih-lebihnya adalah dua kali daripada bilangan meja P. Katakan x ialah bilangan meja P dan y ialah bilangan meja Q. Jumlah harga meja P ialah RM200x. Jumlah harga meja Q ialah RM100y. 1 . Memahami masalah 2 . Merancang strategi Aplikasi Matematik Tip Pintar Kaedah menyelesaikan masalah persamaan linear. 1. Tafsirkan masalah dan tentukan pemboleh ubah. 2. Tentukan model matematik dalam bentuk sistem ketaksamaan linear. 3. Lukis graf dan tentukan rantau penyelesaian, R. 4. Tulis fungsi objektif bagi kuantiti yang hendak dimaksimumkan atau diminimumkan, iaitu k = ax + by. 5. Pilih satu nilai yang sesuai bagi k dan lukis garis lurus itu. Tip Pintar Masalah dalam sesuatu situasi boleh diringkaskan dalam bentuk jadual. Berdasarkan Contoh 6, masalah dalam situasi yang diberi boleh diringkaskan seperti berikut: Meja P Meja Q Harga RM200 RM100 Luas 1 m2 2 m2 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

Pengaturcaraan Linear 7 BAB 7.2.1 243 (a) Kekangan I: (b) x + 2y > 30 Kekangan II: 200x + 100y < 6 000 2x + y < 60 Kekangan III: y < 2x Jadi, tiga ketaksamaan linear yang memuaskan semua kekangan tersebut ialah x + 2y > 30, 2x + y < 60 dan y < 2x. (c) (i) Diberi bilangan meja Q yang dibeli ialah 10 buah. Maka, lukis garis lurus y = 10. Daripada graf, titik persilangan bagi garis lurus y = 10 dengan rantau minimum dan maksimum terletak pada x = 10 dan x = 25. Maka, julat bagi bilangan meja P ialah 10 < x < 25. (ii) Katakan bilangan maksimum murid menggunakan meja P dan Q diberi oleh k = 4x + 8y. Andaikan k = 4 × 8 = 32. Daripada graf, didapati bahawa garis lurus melalui titik optimum (15, 30) dalam rantau berlorek. Maka, bilangan maksimum murid ialah = 4(15) +8(30) = 300 y x R 10 10 0 20 30 20 30 40 x + 2y = 30 2x + y = 60 y = 2x 50 60 y x R 10 10 0 20 30 20 30 40 x + 2y = 30 2x + y = 60 y = 2x 50 60 3 . Melaksanakan strategi Pertimbangkan sebarang titik dalam rantau berlorek, misalnya (20, 20). Gantikan titik (20, 20) ini ke dalam fungsi k. k = 4(20) + 8(20) = 240 (, 300) KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 4 . Membuat refleksi

244 7.2.1 1. Sebuah institusi menawarkan dua kursus perniagaan, iaitu Kursus Pengurusan dan Kursus Kewangan. Bilangan peserta bagi Kursus Pengurusan ialah x orang dan bilangan peserta bagi Kursus Kewangan ialah y orang. Pengambilan peserta berdasarkan kekangan berikut. I Jumlah peserta Kursus Pengurusan dan Kursus Kewangan tidak melebihi 80 orang. II Bilangan peserta Kursus Kewangan tidak melebihi empat kali bilangan peserta Kursus Pengurusan. III Bilangan peserta Kursus Kewangan mesti melebihi bilangan peserta Kursus Pengurusan sekurang-kurangnya 10 orang. (a) Selain x > 0 dan y > 0, tuliskan tiga ketaksamaan linear yang memenuhi semua kekangan di atas. (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 10 orang peserta pada kedua-dua paksi, bina dan lorekkan rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas. (c) Dengan menggunakan graf di (b), cari (i) julat bagi bilangan peserta Kursus Kewangan jika bilangan peserta bagi Kursus Pengurusan ialah 20 orang, (ii) jumlah yuran maksimum dalam masa seminggu yang boleh dikutip jika yuran mingguan bagi Kursus Pengurusan dan Kursus Kewangan masing-masing ialah RM60 dan RM70. 2. Sebuah kilang menghasilkan arca pasu A dan pasu B dengan menggunakan mesin P dan Q. Jadual di bawah menunjukkan masa yang diambil untuk menghasilkan arca pasu A dan pasu B. Arca pasu Masa yang diambil (minit) Mesin P Mesin Q A 40 30 B 20 60 Kilang tersebut menghasilkan x unit arca pasu A dan y unit arca pasu B dalam masa seminggu. Mesin P beroperasi tidak melebihi 2 000 minit. Mesin Q pula beroperasi sekurang-kurangnya 1 800 minit. Penghasilan arca pasu B tidak melebihi tiga kali ganda penghasilan arca pasu A. (a) Selain x > 0 dan y > 0, tuliskan tiga ketaksamaan yang memenuhi semua kekangan di atas. (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 10 unit pada kedua-dua paksi, bina dan lorekkan rantau R yang memuaskan semua kekangan itu. (c) Dengan menggunakan graf yang dibina di (b), cari (i) bilangan minimum arca pasu B yang boleh dihasilkan jika kilang tersebut bercadang untuk menghasilkan 30 unit arca pasu A sahaja, (ii) jumlah keuntungan maksimum seminggu jika keuntungan yang diperoleh daripada satu unit arca pasu A dan satu unit arca pasu B masing-masing ialah RM300 dan RM250. Pasu A Pasu B Latihan Kendiri 7.2 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

245 Pengaturcaraan Linear 7 BAB 1. Seorang tukang kebun ingin menanam pokok bunga raya dan pokok bunga ros di atas sebidang tanah yang berkeluasan 300 m2 . Beliau mempunyai sekurang-kurangnya RM1 000 untuk membeli anak pokok tersebut. Harga bagi sepohon bunga raya ialah RM4 dan keluasan tanah yang diperlukan ialah 0.4 m2 . Harga bagi sepohon bunga ros pula ialah RM5 dan keluasan tanah yang diperlukan ialah 0.3 m2 . Bilangan pokok bunga ros yang ditanam mesti melebihi bilangan pokok bunga raya selebih-lebihnya 200. (a) Selain x > 0 dan y > 0, tuliskan tiga ketaksamaan yang memenuhi semua kekangan di atas jika x mewakili bilangan pokok bunga raya dan y mewakili bilangan pokok bunga ros. (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 100 pokok pada paksi-x dan paksi-y, lukis dan lorekkan rantau yang memuaskan semua ketaksamaan di (a). (c) Daripada graf yang dibina di (b), jawab setiap soalan yang berikut. (i) Cari bilangan maksimum pokok bunga ros jika bilangan pokok bunga raya ialah 300. (ii) Dalam satu tempoh tertentu, pokok bunga raya dan pokok bunga ros menghasilkan keuntungan masing-masing sebanyak RM3.50 dan RM2.40. Cari keuntungan maksimum yang diperoleh tukang kebun tersebut. 2. Encik Malik memperuntukkan RM3 000 untuk membeli x naskhah buku rujukan Sains dan y naskhah buku rujukan Matematik bagi perpustakaan sekolah. Kos purata bagi senaskhah buku rujukan Sains dan senaskhah buku rujukan Matematik masing-masing ialah RM30 dan RM25. Bilangan buku rujukan Sains yang dibeli adalah sekurang-kurangnya 20 naskhah dan bilangan buku rujukan Matematik yang dibeli adalah sekurang-kurangnya 10 naskhah lebih daripada buku rujukan Sains. (a) Tuliskan tiga ketaksamaan linear yang memenuhi semua syarat yang diberikan selain x > 0 dan y > 0. (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 20 naskhah buku pada kedua-dua paksi, bina dan lorekkan rantau R yang memenuhi semua syarat yang diberikan. (c) Daripada graf yang diperoleh di (b), cari kos minimum bagi buku-buku tersebut. 3. Sebuah kilang minuman menghasilkan dua jenis minuman, P dan Q. Bagi memenuhi kehendak pengguna, kilang tersebut mestilah menghasilkan x liter minuman P dan y liter minuman Q. Pengeluaran minuman dari kilang tersebut tertakluk kepada tiga kekangan yang berikut. I Jumlah isi padu minuman yang dihasilkan adalah tidak lebih daripada 7 000 liter. II Isi padu minuman Q yang dihasilkan adalah paling banyak, iaitu dua kali isi padu minuman P yang dihasilkan. III Isi padu minuman Q yang dihasilkan adalah sekurang-kurangnya 1 000 liter. (a) Tuliskan tiga ketaksamaan linear, selain x > 0 dan y > 0, yang memenuhi semua kekangan di atas. (b) Dengan menggunakan skala 1 cm kepada 1 000 liter pada paksi-x dan paksi-y, bina dan lorekkan rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas. (c) Berdasarkan graf yang diperoleh di (b), jawab setiap soalan yang berikut. (i) Pada hari tertentu, isi padu minuman Q yang dihasilkan ialah 2 000 liter. Cari isi padu maksimum bagi minuman P. (ii) Jika keuntungan per liter bagi minuman P dan minuman Q masing-masing ialah RM50 dan RM30, cari keuntungan maksimum yang diperoleh kilang tersebut. Latihan Formatif 7.2 Kuiz bit.ly/2ZhfBzA KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

246 SUDUT REFLEKSI PENGATURCARAAN LINEAR Langkah-langkah untuk menyelesaikan suatu masalah yang melibatkan pengaturcaraan linear: 1. Wakilkan semua kekangan bagi suatu situasi dalam bentuk ketaksamaan linear. 2. Lukis graf bagi setiap ketaksamaan linear dan lorekkan rantau yang tersaur. 3. Tentukan fungsi objektif ax + by = k dan lukis graf bagi fungsi objektif itu. 4. Tentukan nilai optimum (nilai maksimum atau minimum) dengan menggantikan titik maksimum atau minimum ke dalam fungsi objektif. Diberi garis lurus ax + by = c, dengan keadaan b . 0. • Rantau di bahagian atas garis lurus itu memuaskan ketaksamaan ax + by > c dan ax + by . c. • Rantau di bahagian bawah garis lurus itu memuaskan ketaksamaan ax + by < c dan ax + by , c. Aplikasi Rajah di sebelah menunjukkan penyelesaian bagi menentukan keuntungan maksimum suatu perniagaan. R ialah rantau yang memenuhi semua kekangan yang terdapat dalam perniagaan tersebut. Bina suatu jurnal yang berkaitan dengan perniagaan tersebut dan persembahkan hasil dapatan anda di hadapan kelas. y 0 x 50 50 100 150 200 250 300 350 100 150 200 250 300 350 400 R x + y = 350 60x + 45y = 10 800 y = x 2 – 5 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

247 Pengaturcaraan Linear 7 BAB 1. Sebuah keluarga di sebuah kampung menghasilkan dua jenis kerusi rotan, iaitu kerusi rotan kecil dan kerusi rotan besar. Keluarga tersebut memperoleh bahan mentah rotan sekurang-kurangnya 60 kg seminggu. Sebuah kerusi rotan kecil memerlukan 3 kg rotan manakala sebuah kerusi rotan besar memerlukan 5 kg rotan. Jumlah pekerja yang ada adalah seramai 60 orang. Dua orang pekerja diperlukan untuk menghasilkan kerusi rotan kecil manakala tiga orang pekerja diperlukan untuk menghasilkan kerusi rotan besar. TP 4 (a) Jika x buah kerusi rotan kecil dan y buah kerusi rotan besar dihasilkan pada setiap minggu, tuliskan empat ketaksamaan linear yang memuaskan syarat-syarat tersebut. (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 5 buah kerusi rotan pada kedua-dua paksi, bina dan lorekkan kawasan R yang memuaskan semua ketaksamaan linear tersebut. (c) Harga bagi sebuah kerusi rotan kecil ialah RM40 dan harga bagi sebuah kerusi rotan besar ialah RM80. Daripada graf yang diperoleh di (b), cari (i) nilai x dan nilai y yang akan memberi pendapatan maksimum kepada keluarga itu, (ii) pendapatan maksimum itu. 2. Seorang tukang masak mengambil masa 2.5 jam untuk membakar sebiji kek oren dan 3 jam untuk membakar sebiji kek strawberi. Kos bagi membuat sebiji kek oren dan kek strawberi masing-masing ialah RM15 dan RM20. Dalam seminggu, x biji kek oren dan y biji kek strawberi boleh dihasilkan berdasarkan syarat yang berikut. TP 5 I Tukang masak itu bekerja sekurang-kurangnya 30 jam seminggu. II Kos untuk membakar kedua-dua kek itu tidak lebih daripada RM300 seminggu. III Bilangan kek oren tidak lebih daripada dua kali bilangan kek strawberi. (a) Tuliskan tiga ketaksamaan linear, selain x > 0 dan y > 0, yang memuaskan semua kekangan di atas. (b) Dengan menggunakan skala 2 cm bagi mewakili 2 biji kek pada kedua-dua paksi, bina dan lorekkan rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas. (c) Dengan menggunakan graf yang diperoleh di (b), cari keuntungan maksimum yang diterima oleh tukang masak itu dalam seminggu jika sebiji kek oren dan kek strawberi masing-masing memberi keuntungan RM17 dan RM20. 3. Sebuah pejabat pos ingin menghantar 600 bungkusan ke bandar M dengan menggunakan x buah lori dan y buah van. Pengangkutan bagi setiap bungkusan itu berdasarkan kekangan yang berikut. TP 5 I Sebuah lori boleh membawa 120 bungkusan manakala sebuah van boleh membawa 50 bungkusan. II Bilangan van yang digunakan adalah tidak lebih daripada tiga kali bilangan lori. III Bilangan van yang digunakan adalah sekurang-kurangnya 2 buah. (a) Selain x > 0 dan y > 0, tuliskan tiga ketaksamaan linear yang memenuhi semua kekangan di atas. (b) Menggunakan skala 2 cm kepada sebuah lori pada paksi-x dan 2 cm kepada dua buah van pada paksi-y, bina dan lorekkan rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas. (c) Dengan menggunakan graf yang diperoleh di (b), cari (i) julat bilangan lori jika 2 buah van digunakan, (ii) jumlah kos pengangkutan maksimum jika kos pengangkutan untuk sebuah lori dan sebuah van masing-masing ialah RM150 dan RM100. Latihan Sumatif KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

248 4. Sekolah Menengah Kebangsaan Setia Indah menganjurkan satu kem motivasi. Peserta bagi kem motivasi itu terdiri daripada x orang murid perempuan dan y orang murid lelaki. Yuran bagi seorang murid perempuan ialah RM100 manakala yuran bagi seorang murid lelaki ialah RM120. Bilangan murid yang menyertai kem tersebut adalah berdasarkan kekangan berikut. TP 5 I Bilangan maksimum murid yang menyertai kem itu ialah 80 orang. II Nisbah bilangan murid perempuan kepada murid lelaki adalah sekurang-kurangnya 1 : 3. III Jumlah yuran yang dikutip adalah tidak kurang daripada RM5 000. (a) Tulis tiga ketaksamaan linear yang memenuhi semua kekangan di atas selain x > 0 dan y > 0. (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 10 orang murid pada paksi-x dan paksi-y, bina dan lorekkan rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas. (c) Dengan menggunakan graf yang diperoleh di (b), cari (i) bilangan minimum murid lelaki jika nisbah bilangan murid perempuan kepada murid lelaki adalah 1 : 3, (ii) keuntungan maksimum yang diperoleh jika pihak sekolah memperoleh keuntungan sebanyak 25% daripada jumlah yuran yang dikutip. 5. Sebuah kilang menghasilkan dua jenis almari, iaitu almari A dan almari B. Setiap almari memerlukan dua jenis bahan mentah P dan Q. Bilangan setiap bahan mentah yang diperlukan untuk menghasilkan seunit almari A dan seunit almari B masing-masing ditunjukkan dalam jadual di bawah. TP 6 Almari Bilangan bahan mentah P Q A 2 3 B 5 2 Bilangan bahan mentah P dan Q yang terdapat di kilang tersebut masing-masing ialah 30 unit dan 24 unit. Diberi bahawa bilangan almari A yang dihasilkan adalah selebihlebihnya dua kali ganda daripada bilangan almari B. Katakan kilang tersebut menghasilkan x unit almari A dan y unit almari B. (a) Tuliskan tiga ketaksamaan linear, selain x > 0 dan y > 0, yang memenuhi semua kekangan di atas. (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 2 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 1 unit pada paksi-y, bina dan lorekkan rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas. (c) Berdasarkan graf yang diperoleh di (b), cari (i) bilangan maksimum almari B yang dihasilkan jika kilang tersebut menghasilkan 4 unit almari A. (ii) keuntungan maksimum yang diperoleh kilang tersebut jika keuntungan daripada jualan seunit almari A ialah RM200 dan seunit almari B ialah RM250. Almari A Almari B KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

Pengaturcaraan Linear 7 BAB 249 (a) Dalam kumpulan anda, bincangkan secara Hot Seat mengenai perkara yang berikut. Diberi rantau di sebelah garis lurus ax + by = c. Jika b , 0, rantau yang manakah memuaskan ax + by > 0? (b) Sebuah sekolah diberi peruntukan untuk membeli komputer jenis A dan jenis B bagi makmal komputernya berdasarkan kepada syarat-syarat tertentu yang diwakili oleh rantau R dalam rajah di bawah. Jumlah komputer yang dibeli adalah sekurang-kurangnya 6 unit. y 0 x 2 2 4 6 8 10 12 14 4 6 8 10 12 14 R y = x x + y = 6 x = 8 (i) Nyatakan perkara yang diwakili oleh paksi-x dan paksi-y. (ii) Selain bilangan komputer jenis A atau jenis B adalah lebih besar daripada sifar, nyatakan dalam bentuk ayat tiga syarat yang lain. (iii) Jika sekolah tersebut membeli 6 unit komputer jenis A, berapakah bilangan maksimum komputer B yang boleh dibeli? (iv) Jika kos sebuah komputer jenis A dan sebuah komputer jenis B masing-masing ialah RM1 500 dan RM2 000, cari peruntukan maksimum yang diperlukan oleh sekolah itu. Sudut Informasi Langkah-langkah pembelajaran berasaskan aktiviti Hot Seat. 1. Seorang murid yang pakar akan duduk di sebuah kerusi. 2. Murid dalam kumpulan akan mengemukakan soalan berkaitan masalah. 3. Murid yang pakar akan menjawab semua soalan. 4. Setiap kumpulan akan membuat kesimpulan untuk semua masalah yang dilontarkan. KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

Dron ialah pesawat udara tanpa pemandu (unmanned aerial vehicle) yang dilengkapi dengan kamera merupakan satu alat teknologi moden untuk memudahkan kerja manusia. Contohnya, dron digunakan dalam servis penghantaran barang, sektor pertanian, pemetaan dan sebagainya. Dron mampu terbang pada altitud 500 m sambil merakam gambar yang berkualiti. Pada pendapat anda, berapakah jarak maksimum suatu dron boleh terbang? Berapakah halaju suatu dron harus terbang untuk mendapatkan gambar yang berkualiti tinggi? KINEMATIK GERAKAN LINEAR BAB 8 bit.ly/2EIKQtF Senarai Standard Pembelajaran Sesaran, Halaju dan Pecutan sebagai Fungsi Masa Pembezaan dalam Kinematik Gerakan Linear Pengamiran dalam Kinematik Gerakan Linear Aplikasi Kinematik Gerakan Linear KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 250

bit.ly/2PPjk45 Video mengenai pergerakan dron Kinematik ialah kajian berkenaan dengan jenis pergerakan sesuatu objek tanpa merujuk kepada daya-daya yang menyebabkan gerakan objek itu. Kuantiti skalar merujuk kepada kuantiti yang mempunyai magnitud sahaja. Kuantiti vektor merujuk kepada kuantiti yang mempunyai magnitud dan arah. Pengetahuan tentang kinematik penting kerana dapat menyelesaikan masalah dalam bidang kejuruteraan, robotik, biomekanik, sains sukan dan sains astronomi. Pengetahuan tentang kinematik membolehkan masa, halaju dan pecutan bagi sesuatu masalah dapat diketahui. Kepentingan Bab Ini bit.ly/37eXwVs Untuk maklumat lanjut: Sesaran Displacement Halaju Velocity Pecutan Acceleration Jarak Distance Halaju awal Initial velocity Halaju malar Uniform velocity Halaju maksimum Maximum velocity Halaju minimum Minimum velocity Pecutan malar Uniform acceleration Halaju positif Positive velocity Halaju negatif Negative velocity Halaju sifar Zero velocity Sesaran positif Positive displacement Sesaran negatif Negative displacement Sesaran sifar Zero displacement KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 251

Memerihalkan dan menentukan sesaran seketika, halaju seketika dan pecutan seketika suatu zarah Rajah di sebelah menunjukkan kedudukan awal seorang guru yang berdiri 1 meter di sebelah kiri satu titik tetap O. Kemudian, guru tersebut bergerak ke kedudukan 3 meter di sebelah kanan O. Apakah yang anda boleh katakan tentang kedudukan guru tersebut merujuk kepada titik tetap O? Jika O diambil sebagai titik rujukan dan guru tersebut berdiri 3 meter di sebelah kanan O, sesarannya ialah positif 3 meter dari O, iaitu s = 3 m. Apabila guru tersebut berada 1 meter di sebelah kiri O, sesarannya ialah negatif 1 meter dari O, iaitu s = –1 m. Apabila beliau berada di O, sesarannya ialah sifar meter, iaitu s = 0. Sesaran, s suatu zarah dari satu titik tetap ialah jarak di antara zarah itu dan titik tetap tersebut yang diukur dalam arah tertentu. Sesaran ialah kuantiti vektor yang mempunyai magnitud dan arah. Oleh itu, nilai bagi sesaran boleh menjadi positif, sifar atau negatif. Jarak pula ialah suatu kuantiti skalar yang merujuk kepada jumlah panjang bagi laluan sebenar yang dilalui oleh suatu objek. Ikuti penerokaan yang berikut untuk mengetahui dengan lebih lanjut mengenai sesaran seketika dan kedudukan suatu zarah dalam gerakannya. –1 O 3 s (m) 8.1 Sesaran, Halaju dan Pecutan sebagai Fungsi Masa Tujuan: Memerihalkan dan menentukan sesaran seketika dan kedudukan suatu zarah Langkah: 1. Baca dan fahami situasi yang berikut. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Sesaran bagi zarah itu, s m, dari O pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh s = t 2 – 3t. 2. Salin dan lengkapkan jadual di bawah bagi s = t 2 – 3t untuk 0 < t < 4. Masa, t (s) 0 1 2 3 4 Sesaran, s (m) 3. Apakah yang anda boleh katakan mengenai sesaran zarah itu ketika t = 0, t = 1, t = 2, t = 3 dan t = 4? 4. Jika pergerakan zarah ke kanan dianggap sebagai positif, bina satu garis nombor bagi mewakili kedudukan zarah itu dan lakarkan graf sesaran-masa. 5. Nyatakan kedudukan zarah itu secara relatif dari titik O apabila sesaran adalah (a) negatif, (b) sifar, (c) positif. 6. Bincangkan hasil dapatan anda bersama ahli kumpulan dan bentangkan di hadapan kelas. Aktiviti Penerokaan 1 Berkumpulan PAK-21 8.1.1 Selain sesaran, berikan tiga contoh kuantiti fizik lain yang mewakili kuantiti vektor. KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 252

8 BAB Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 1, nilai sesaran yang diperoleh mewakili sesaran zarah pada ketika t = 0, t = 1, t = 2, t = 3 dan t = 4. Sesaran suatu zarah pada masa tertentu dikenali sebagai sesaran seketika. Kedudukan zarah pula boleh diperhatikan daripada garis nombor dan graf sesaran-masa seperti yang ditunjukkan di sebelah. Daripada garis nombor dan graf sesaran-masa: Sesaran adalah negatif untuk 0 , t , 3 dan zarah dalam tempoh ini berada di sebelah kiri titik tetap O atau di bahagian bawah paksi-t. Sesaran adalah sifar di t = 0 dan t = 3. Pada ketika ini zarah berada di titik tetap O atau pada paksi-t. Sesaran adalah positif untuk t . 3 dan dalam tempoh ini zarah berada di sebelah kanan titik tetap O atau di bahagian atas paksi-t. Secara amnya, Jika O ialah satu titik tetap dan gerakan suatu zarah ke arah kanan ialah positif, maka • Sesaran negatif, s , 0 menunjukkan zarah berada di sebelah kiri titik O. • Sesaran sifar, s = 0 menunjukkan zarah berada di titik O. • Sesaran positif, s . 0 menunjukkan zarah berada di sebelah kanan titik O. 8.1.1 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Sesaran, s m, pada masa t saat selepas zarah mula bergerak diberi oleh s = 4 + 8t – t2 . Hitung sesaran seketika, dalam m, dan tentukan kedudukan zarah itu dari titik tetap O apabila (a) t = 0 (b) t = 10 Diberi s = 4 + 8t – t2 . (a) Apabila t = 0, s = 4 + 8(0) – (0)2 s = 4 Maka, zarah itu berada pada kedudukan 4 m ke kanan dari titik tetap O apabila t = 0. (b) Apabila t = 10, s = 4 + 8(10) – (10)2 s = 4 + 80 – 100 s = –16 Maka, zarah itu berada pada kedudukan 16 m ke kiri dari titik tetap O apabila t = 10. Penyelesaian s (m) O 4 t = 0 t = 10 –16 20 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Sesaran, s m, zarah itu pada masa t saat selepas melalui titik O diberi oleh s = 4t – t2 untuk 0 < t < 5. Wakilkan sesaran bagi zarah itu dengan menggunakan (a) garis nombor, (b) graf sesaran-masa. Contoh 1 Contoh 2 s (m) –2 O 4 t = 1 t = 0 t = 2 t = 3 t = 4 0 s = t 2 – 3t s (m) t (s) –2 4 1 2 3 4 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Kinematik Gerakan Linear 253

Diberi s = 4t – t2 . Bina jadual bagi sesaran zarah, s = 4t – t2 dalam tempoh masa 0 < t < 5. Masa, t (s) 0 1 2 3 4 5 Sesaran, s (m) 0 3 4 3 0 –5 (a) (b) s (m) O 3 t = 1 t = 2 t = 5 t = 4 t = 3 t = 0 –5 4 0 4 s = 4t – t 2 s (m) t (s) –5 4 3 1 2 3 5 Penyelesaian Pertimbangkan sebuah kereta lumba yang boleh mencapai kelajuan lebih daripada 350 kmj–1. Didapati bahawa pergerakan kereta lumba itu melibatkan laju dan halaju. Halaju, v ialah kadar perubahan sesaran terhadap masa manakala laju ialah kadar perubahan jarak terhadap masa. Halaju merupakan suatu kuantiti yang mempunyai magnitud dan arah, maka halaju ialah kuantiti vektor. Laju pula ialah suatu kuantiti skalar. Mari teroka cara untuk menentukan halaju seketika dan arah bagi larian seorang murid. Tujuan: Memerihalkan dan menentukan halaju seketika dan arah larian seorang murid Langkah: 1. Teliti situasi di bawah. Seorang murid berlari di sepanjang trek yang lurus dari satu titik tetap O. Sesaran, s m, murid itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh s = 8t − 2t 2 . Sesaran murid itu dicatat pada masa t = 0 hingga t = 6. 2. Dengan menganggap pergerakan ke arah kanan ialah positif, wakilkan sesaran bagi larian murid itu dengan menggunakan (a) garis nombor, (b) graf sesaran-masa. 3. Daripada graf sesaran-masa yang diperoleh, cari kecerunan tangen kepada graf itu pada masa t = 0, 1, 2, 3, 4, 5 dan 6. 4. Menggunakan hubungan v = 8 – 4t, dengan keadaan v ialah halaju dan t ialah masa, tentukan nilai-nilai v dengan menggantikan nilai-nilai t dalam Langkah 3 ke dalam fungsi v dan seterusnya perhatikan nilai positif dan nilai negatifnya. Aktiviti Penerokaan 2 Berkumpulan PAK-21 8.1.1 Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 2, garis nombor dan kecerunan tangen pada suatu titik kepada graf sesaran-masa boleh digunakan untuk menentukan halaju dan arah larian murid. Didapati bahawa nilai kecerunan tangen pada masa tertentu adalah sama dengan halaju larian murid pada ketika itu. Misalnya, apabila t = 5, didapati kecerunan tangen ialah –12, jadi halaju larian murid itu ialah –12 ms–1. Halaju suatu objek pada masa tertentu dikenali sebagai halaju seketika. KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 254

8 BAB 8.1.1 255 Daripada garis nombor dan graf sesaran-masa: Kecerunan tangen untuk tempoh 0 < t , 2 ialah positif, jadi halaju murid adalah positif iaitu v . 0. Murid bergerak menuju ke kanan titik O dalam tempoh ini. Di t = 2, kecerunan tangen adalah sifar, jadi halaju murid adalah sifar iaitu v = 0. Murid berehat seketika sebelum bertukar arah gerakannya pada ketika ini. Kecerunan tangen untuk t . 2 ialah negatif, jadi halaju murid adalah negatif, iaitu v , 0. Murid bergerak menuju ke kiri dan melalui titik O dalam tempoh masa ini. Secara amnya, Jika O ialah satu titik tetap dan gerakan suatu zarah ke arah kanan ialah positif, maka • Halaju positif, v . 0 menunjukkan zarah bergerak menuju ke kanan. • Halaju sifar, v = 0 menunjukkan zarah berada dalam keadaan rehat, iaitu zarah adalah pegun ketika ini. • Halaju negatif, v , 0 menunjukkan zarah bergerak menuju ke kiri. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Halaju, dalam ms–1, zarah itu pada masa t saat selepas melalui titik O diberi oleh v = 3t – 12. (a) Hitung (i) halaju awal, dalam ms–1, zarah itu, (ii) halaju seketika, dalam ms–1, zarah itu apabila t = 5, (iii) masa, dalam saat, apabila halaju seketika zarah itu ialah 6 ms–1. (b) Lakarkan graf halaju-masa bagi mewakili pergerakan zarah itu untuk 0 < t < 6. (a) (i) Apabila t = 0, v = 3(0) – 12 v = –12 Maka, halaju awal zarah itu ialah –12 ms–1. (ii) Apabila t = 5, v = 3(5) – 12 v = 15 – 12 v = 3 Maka, halaju seketika zarah itu apabila t = 5 ialah 3 ms–1. (iii) 3t – 12 = 6 3t = 18 t = 6 Maka, masa ialah 6 saat apabila halaju seketika zarah itu ialah 6 ms–1. (b) 0 t (s) –12 v = 3t – 12 6 4 6 v (ms–1) Penyelesaian Contoh 3 s (m) –24 –10 O 6 t = 0 v = 8 t = 1 v = 4 t = 2 v = 0 t = 3 v = –4 t = 4 v = –8 t = 5 v = –12 t = 6 v = –16 8 4 t (s) s (m) v < 0 s = 8t – 2t 2 0 –10 –24 2 5 6 v > 0 v = 0 8 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Kinematik Gerakan Linear 255

8.1.1 Tujuan: Memerihalkan dan menentukan pecutan seketika seorang perenang Langkah: 1. Bentukkan beberapa kumpulan. Kemudian, teliti situasi di bawah. Seorang wanita berenang gaya bebas di sepanjang lorong kolam renang yang lurus. Halaju, v ms–1, wanita itu berenang pada masa t saat dari blok permulaan O diberi oleh v = 4t – t 2 . Catatan halaju perenang itu diambil pada masa t = 1, t = 2, t = 3, t = 4 dan t = 5. 2. Setiap kumpulan dikehendaki menjawab soalan berikut. (a) Wakilkan pergerakan perenang itu dengan menggunakan graf halaju-masa. (b) Cari kecerunan tangen kepada graf pada masa t = 1, t = 2, t = 3, t = 4 dan t = 5. (c) Apakah yang boleh anda katakan mengenai pecutan perenang itu pada masa t = 1, t = 2, t = 3, t = 4 dan t = 5? (d) Buat satu kesimpulan apabila (i) a . 0 (ii) a = 0 (iii) a , 0 3. Bincangkan hasil dapatan dalam kumpulan masing-masing. 4. Lantik seorang wakil dalam kumpulan anda untuk membentangkan hasil dapatan kumpulan anda di hadapan kelas. Aktiviti Penerokaan 3 Berkumpulan PAK-21 Pecutan, a bagi suatu objek yang bergerak pada satu garis lurus ialah kadar perubahan halaju terhadap masa. Maka, fungsi pecutan, a ialah suatu fungsi masa, iaitu a = f(t) dan merupakan suatu kuantiti vektor yang mempunyai magnitud dan arah. Jika kadar perubahan halaju terhadap masa bagi suatu objek yang bergerak adalah sama pada sebarang ketika, maka objek tersebut dikatakan bergerak dengan pecutan malar. Sebaliknya, jika kadar perubahan halaju terhadap masa adalah berbeza pada sebarang ketika, maka objek tersebut dikatakan bergerak dengan pecutan tak malar. Pecutan, a pada masa tertentu, t pula dikenali sebagai pecutan seketika dan boleh diperoleh dengan mencari kecerunan tangen kepada graf halaju-masa pada masa tertentu, t. Ikuti penerokaan berikut untuk menentukan pecutan seketika seorang wanita yang berenang pada lorong yang lurus. Sudut Informasi Jika halaju suatu objek berkurang, maka nilai pecutan menjadi negatif dan objek dikatakan mengalami nyahpecutan. Hasil daripada Aktiviti Penerokaan 3, kecerunan tangen pada satu titik kepada graf halaju-masa boleh digunakan untuk menentukan pecutan perenang itu. Misalnya, apabila t = 5, didapati kecerunan tangen ialah –6, jadi pecutan perenang itu ketika t = 5 ialah –6 ms–2. Pecutan suatu objek pada masa tertentu seperti ini dikenali sebagai pecutan seketika. Bagaimanakah anda mentafsirkan tentang gerakan suatu objek apabila pecutan seketikanya ialah negatif? Apakah perbezaan bagi gerakan suatu objek jika objek itu mempunyai pecutan seketika –6 ms–2 dan 6 ms–2? Jelaskan. 0 v (ms–1) 2 4 5 6 t (s) –12 –5 4 a > 0 a < 0 a = 0 v = 4t – t 2 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 256

Latihan Kendiri 8.1 8 BAB 257 Kinematik Gerakan Linear 8.1.1 Daripada graf halaju-masa di halaman 256: Dalam tempoh masa 0 < t , 2, kecerunan tangennya ialah positif, iaitu a . 0 dan v bertambah. Jadi, pecutan perenang adalah positif dalam tempoh masa ini dan perenang mengalami pecutan. Untuk t = 2, kecerunan tangennya ialah sifar, iaitu a = 0 dan halaju, v adalah maksimum. Jadi, pada ketika ini pecutan perenang adalah sifar. Pecutan sifar tidak semestinya halaju juga sifar tetapi nilainya sama ada maksimum atau minimum. Untuk t . 2, kecerunan tangennya ialah negatif, iaitu a , 0 dan v berkurang. Jadi, pecutan perenang adalah negatif dalam tempoh masa ini dan perenang mengalami nyahpecutan. Secara amnya, Jika gerakan suatu zarah ke arah kanan ialah positif, maka • Pecutan positif, a . 0 menunjukkan halaju zarah menokok terhadap masa. • Pecutan sifar, a = 0 menunjukkan halaju zarah adalah maksimum atau minimum. • Pecutan negatif, a , 0 menunjukkan halaju zarah menyusut terhadap masa. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Pada masa t saat selepas melalui O, pecutan, a ms–2, zarah itu diberi oleh a = 12 − 4t. Hitung pecutan seketika, dalam ms–2, zarah itu pada masa 7 saat. Diberi a = 12 – 4t. Apabila t = 7, a = 12 – 4(7) a = −16 Maka, pecutan seketika zarah itu pada masa 7 saat ialah −16 ms−2. Penyelesaian Contoh 4 Sudut Informasi Tanda negatif pada nilai pecutan menunjukkan bahawa zarah mengalami nyahpecutan. 1. Suatu zarah bergerak di sepanjang suatu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Sesarannya, s m, diberi oleh s = 2t2 – 5t – 3, dengan t ialah masa dalam saat selepas gerakan bermula. (a) Cari sesaran seketika, dalam m, zarah itu apabila (i) t = 0, (ii) t = 2. (b) Bilakah zarah itu (i) mula melalui titik O? (ii) berada 9 m di sebelah kanan titik O? (c) Tentukan julat masa, dalam saat, apabila zarah itu berada di kanan titik O. 2. Suatu zarah bergerak di sepanjang suatu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Halajunya, v ms–1, diberi oleh v = t2 – 8t + 7, dengan keadaan t ialah masa dalam saat selepas melalui O. (a) Cari halaju seketika, dalam ms–1, zarah itu apabila t = 3. (b) Hitung nilai-nilai t, dalam saat, apabila zarah itu berhenti seketika. (c) Tentukan julat nilai t, dalam saat, apabila zarah bergerak ke kiri. 3. Suatu zarah bergerak di sepanjang suatu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Pecutannya, a ms–2, diberi oleh a = 8 – 4t, dengan keadaan t ialah masa dalam saat selepas melalui O. (a) Cari pecutan seketika, dalam ms–2, zarah itu apabila t = 4. (b) Hitung masa, dalam saat, apabila halaju zarah ialah maksimum. (c) Tentukan julat masa, dalam saat, apabila halaju zarah itu menokok. KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Kinematik Gerakan Linear 257

258 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Sesaran, s m, zarah itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh s = t2 – 6t. Cari jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam 7 saat yang pertama. Diberi s = t2 – 6t. Masa, t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 Sesaran, s (m) 0 –5 –8 –9 –8 –5 0 7 Garis nombor: Graf sesaran-masa: s (m) –5 O 7 t = 2 t = 0 t = 3 t = 1 t = 4 t = 5 t = 6 t = 7 –9 –8 0 s = t 2 – 6t –9 7 3 7 t (s) s (m) Jumlah jarak yang dilalui zarah itu dalam 7 saat yang pertama = 9 + 9 + 7 = 25 m Penyelesaian Contoh 5 8.1.2 Menentukan jumlah jarak yang dilalui oleh suatu zarah dalam suatu tempoh masa tertentu 1. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Sesaran, s m, zarah itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh s = 4t2 + t. Hitung jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu (a) dalam tempoh masa 0 < t < 4, (b) dari t = 3 hingga t = 6. 2. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Sesaran, s m, zarah itu pada masa t saat selepas zarah mula bergerak diberi oleh s = 6t – t2 + 7. Zarah itu bergerak ke kanan O sehingga t = 3 dan kemudian bergerak menuju ke O semula. Cari (a) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam (i) 2 saat yang pertama, (ii) 9 saat yang pertama. (b) jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam saat ketujuh. Latihan Kendiri 8.2 Pola gerakan suatu zarah boleh diperhatikan dengan cara melukis suatu garis nombor atau melakar graf bagi suatu fungsi sesaran, s = f(t). Daripada garis nombor dan graf tersebut, jumlah jarak yang dilalui oleh zarah itu dalam tempoh masa tertentu boleh ditentukan dengan mudah. Berdasarkan Contoh 5, adakah jarak yang dilalui dalam tempoh 7 saat pertama sama dengan sesaran pada saat ke-7? Bagaimana pula dengan jarak yang dilalui dalam saat ke-7? Bincangkan. KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 258

8 BAB Kinematik Gerakan Linear 1. Pengenapan lumpur tebal di suatu kawasan menyebabkan muara sungai di sebuah kampung menjadi cetek dan menyukarkan pergerakan keluar dan masuk bot ke pangkalan. Sebuah bot bergerak melalui sebuah jeti di sepanjang laluan lurus muara sungai itu dengan sesaran, s meter, pada masa t saat selepas melalui jeti diberi oleh s = t2 – 4t. (a) Salin dan lengkapkan jadual di bawah. Masa, t (saat) 1 2 3 4 5 Sesaran, s (meter) (b) Lakarkan graf sesaran-masa bagi mewakili pergerakan bot itu. (c) Cari masa, dalam saat, apabila bot itu berada semula di jeti. 2. Syaza menunggang basikal roda tiga dalam arah yang lurus di halaman rumah dan mempunyai sesaran awal 2 meter dari sebuah pasu bunga. Sesaran, s meter, pada masa t saat selepas meninggalkan pasu bunga itu diberi oleh s = t3 + 2t + c. (a) Tentukan nilai c. (b) Cari jarak, dalam m, Syaza dari pasu bunga apabila (i) t = 2 (ii) t = 3 3. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Sesaran, s m, zarah itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh s = 3t2 + 2t. Hitung sesaran seketika, dalam m, zarah itu pada masa t = 0 dan t = 10. 4. Rajah di sebelah menunjukkan seorang murid lelaki yang sedang menendang sebiji bola di sebuah padang. Bola tersebut bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu pusat tetap yang bertanda P. Pada masa t saat selepas melalui pusat P, halaju, v ms–1, bola itu diberi oleh v = 7t – 5. Cari halaju seketika, dalam ms–1, bagi tendangan bola itu apabila t = 2 dan t = 4. 5. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Pecutannya, a ms–2, pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh a = 4 – 2t. (a) Cari pecutan awal bagi zarah itu, dalam ms–2. (b) Tentukan julat masa, dalam saat, apabila halaju zarah itu menyusut. 6. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Sesaran, s m, pada masa t saat selepas melalui titik O diberi oleh s = 2t 2 + t. Hitung (a) sesaran, dalam m, zarah itu apabila t = 3, (b) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam 5 saat yang pertama. 7. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus. Pada masa t saat selepas zarah mula bergerak, sesaran, s m, zarah itu dari satu titik tetap O diberi oleh s = (t – 2)2 + 5. (a) Salin dan lengkapkan jadual di bawah. Masa, t (saat) 0 1 2 3 4 5 6 Sesaran, s (meter) (b) Lakarkan graf sesaran-masa untuk 0 < t < 6. (c) Hitung jumlah jarak, dalam m, yang dilalui zarah itu dalam 6 saat yang pertama. P Latihan Formatif 8.1 Kuiz bit.ly/3mfMZkD KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Kinematik Gerakan Linear 259

Hubung kait antara fungsi sesaran, fungsi halaju dan fungsi pecutan Dalam pembezaan, bagi suatu fungsi y = f(x), terbitannya dy dx boleh dianggap sebagai kadar perubahan y terhadap x. Konsep ini boleh digunakan dalam gerakan suatu zarah pada satu garis lurus. Misalnya, sesaran, s bagi suatu zarah yang bergerak ialah fungsi bagi masa, t iaitu s = f(t). Jadi, terbitan ds dt ialah kadar perubahan s terhadap t. Maka, fungsi halaju zarah pada masa t, v = g(t) diberi oleh: v = ds dt Pecutan, a pula ialah kadar perubahan halaju terhadap masa dan fungsinya, a = h(t) diberi oleh: a = dv dt = d2 s dt 2 Hubung kait antara fungsi sesaran, s = f(t), fungsi halaju, v = g(t) dan fungsi pecutan, a = h(t) boleh diringkaskan seperti dalam rajah yang berikut: v = ds dt s = f(t) v = g(t) a = h(t) a = dv dt = d2 s dt2 8.2.1 8.2 Pembezaan dalam Kinematik Gerakan Linear GALERI SEJARAH Isaac Newton merupakan tokoh pertama yang memperkenalkan kalkulus pembezaan. Buku beliau yang bertajuk Philosophiae Naturalis Principia Mathematica menjadi asas kepada idea had dalam pembezaan. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus. Sesarannya, s meter, dari satu titik tetap O diberi oleh s = 3 + 2t – t2 , dengan keadaan t ialah masa, dalam saat, selepas zarah mula bergerak. (a) Tentukan fungsi halaju, v dan fungsi pecutan, a bagi zarah itu. (b) Pada rajah yang sama, lakarkan graf bagi fungsi s, v dan a untuk 0 < t < 3 dan seterusnya jelaskan gerakan zarah itu dari titik tetap O untuk tempoh masa itu. (a) Diberi fungsi sesaran, s = 3 + 2t – t2 Jadi, fungsi halaju pada masa t, v = ds dt v = 2 – 2t dan fungsi pecutan pada masa t, a = dv dt a = –2 Penyelesaian Contoh 6 Tip Pintar a = –2 bermaksud zarah bergerak dengan pecutan malar –2 ms–2. Imbas Kembali Jika y = axn , maka dy dx = anxn – 1, dengan a ialah integer dan n ialah pemalar. KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 260

8 BAB 8.2.1 (b) 0 v = 2 – 2t a = –2 s/v/a t –4 4 3 2 –2 1 3 s = 3 + 2t – t 2 Graf fungsi sesaran, halaju dan pecutan bagi zarah itu yang bergerak dari titik tetap O boleh diringkaskan pada garis nombor seperti yang berikut: s (m) O 3 4 t = 0 v = 2 a = –2 t = 3 v = –4 a = –2 t = 1 v = 0 a = –2 Daripada graf dan garis nombor: • Didapati bahawa zarah mula bergerak pada t = 0 dengan sesarannya dari titik tetap O ialah 3 m, halaju awal 2 ms–1 dan pecutan –2 ms–2. • Pada t = 1, zarah bertukar arah gerakan dengan sesarannya dari titik tetap O adalah maksimum iaitu 4 m, halaju 0 ms–1 dan pecutan –2 ms–2. • Pada t = 3, zarah tiba di titik tetap O dengan sesarannya ialah 0 m, halaju –4 ms–1 dan pecutannya masih sama, iaitu –2 ms–1. • Jumlah jarak yang dilalui oleh zarah dari t = 0 ke t = 3 ialah (4 – 3) + 4 = 5 m. Latihan Kendiri 8.3 1. Tentukan fungsi halaju, v dalam sebutan t bagi suatu zarah yang bergerak di sepanjang suatu garis lurus dalam setiap yang berikut melalui kaedah pembezaan. (a) s = t(2 – t)2 (b) s = 16t – t2 (c) s = 2t3 – 4t2 + 2t + 1 (d) s = t3 (3 + t)2 (e) s = t(2t2 – 9t – 5) (f) s = 1 3 t3 – 3t2 + 5t – 2 2. Tentukan fungsi pecutan, a dalam sebutan t bagi suatu zarah yang bergerak di sepanjang suatu garis lurus untuk setiap yang berikut. (a) s = 1 3 t3 – 1 2 t2 + 4t (b) s = t3 – 5t2 + 7 (c) s = 8t – 2t3 (d) v = (5 – 3t)2 (e) v = 3t2 – 1 t + 4 (f) v = 6t3 – 4 t2 3. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Sesarannya, s m diberi oleh s = 8 + 2t – t2 , dengan keadaan t ialah masa dalam saat selepas melalui O. (a) Tentukan ungkapan bagi fungsi halaju, v dan fungsi pecutan, a zarah itu dalam sebutan t. (b) Pada rajah yang sama, lakarkan graf bagi fungsi sesaran, fungsi halaju dan fungsi pecutan zarah itu untuk 0 < t < 4. Seterusnya, tafsirkan graf yang anda lakarkan itu. KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Kinematik Gerakan Linear 261

8.2.2 Menentukan dan mentafsir halaju seketika suatu zarah daripada fungsi sesaran Kita telah mengetahui bahawa halaju ialah kadar perubahan sesaran terhadap masa. Jadi, jika diberi fungsi sesaran, s = f(t), fungsi halaju v pada masa t boleh ditentukan dengan membezakan s terhadap masa t, iaitu v = ds dt . Daripada fungsi halaju yang diperoleh, bolehkah anda menentukan halaju seketika suatu zarah pada sebarang masa? Mari teroka aktiviti yang berikut. Tujuan: Menentukan dan mentafsir halaju seketika suatu zarah daripada fungsi sesaran Langkah: 1. Teliti situasi di bawah. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus. Sesarannya, s meter dari satu titik tetap O pada masa t saat diwakili oleh fungsi sesaran, s = 40t − 5t 2 , dengan keadaan 0 < t < 10. 2. Imbas kod QR atau layari pautan di sebelah untuk melihat gerakan zarah pada graf sesaran-masa bagi fungsi s = 40t – 5t 2 untuk 0 < t < 10. 3. Seret titik A di sepanjang lengkung graf untuk melihat kecerunan tangen di titik A kepada graf tersebut. 4. Apakah yang anda boleh katakan tentang kecerunan tangen kepada lengkung itu apabila titik A berubah di sepanjang lengkung graf? Adakah kecerunannya juga turut berubah? 5. Salin dan lengkapkan jadual di bawah untuk mencari kecerunan tangen, ds dt kepada lengkung graf pada masa t yang diberi. Masa, t (s) 0 4 8 10 Kecerunan tangen, ds dt 6. Apakah yang dapat anda katakan tentang kecerunan tangen, ds dt kepada lengkung pada masa t yang diperoleh dalam jadual di atas? Apakah kecerunan tangen, ds dt pada masa t yang diperoleh itu merupakan halaju seketika zarah pada ketika itu? Bincangkan. Aktiviti Penerokaan 4 Berpasangan PAK-21 STEM PK Hasil daripada Penerokaan 4, didapati bahawa setiap kecerunan tangen, ds dt di t = 0, t = 4, t = 8 dan t = 10 yang diperoleh merupakan halaju seketika zarah kepada graf sesaran-masa yang berbentuk lengkung, s = 40t – 5t2 pada masa t itu. Bagi graf sesaran-masa yang berbentuk lengkung, halaju seketikanya adalah berbeza bagi setiap titik yang berlainan kepada lengkung itu. Misalnya, pada masa t = 0, halaju seketikanya ialah 40 ms–1 dan halaju ini disebut sebagai halaju awal bagi zarah. ggbm.at/jc4dgn58 0 s = 40t – 5t 2 t (s) s (m) 4 8 10 80 –100 = v = 0 ds — KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA dt 262

8 BAB 8.2.2 263 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus supaya sesarannya, s meter dari titik tetap O diberi oleh s = t3 – 9t 2 + 24t + 5, dengan keadaan t ialah masa dalam saat selepas gerakan bermula. Hitung (a) halaju awal, dalam ms–1, zarah itu, (b) halaju seketika zarah, dalam ms–1, pada masa 3 saat, (c) nilai-nilai t, dalam saat, apabila zarah itu berehat untuk seketika, (d) julat nilai t, dalam saat, apabila zarah itu bergerak ke kiri. Diberi fungsi sesaran, s = t3 – 9t2 + 24t + 5, jadi fungsi halaju, v = ds dt = 3t2 – 18t + 24 (a) Apabila t = 0, v = 3(0)2 – 18(0) + 24 v = 24 Maka, halaju awal zarah ialah 24 ms–1. (b) Apabila t = 3, v = 3(3)2 – 18(3) + 24 v = 27 – 54 + 24 v = –3 Maka, halaju seketika zarah itu pada masa 3 saat ialah –3 ms–1. Penyelesaian Contoh 7 Tip Pintar Sesaran maksimum atau minimum berlaku apabila ds dt = v = 0. Pada masa t = 4 pula, iaitu pada ketika sesaran zarah adalah maksimum, halaju seketikanya ialah 0 ms–1. Sesaran zarah pada ketika ini disebut sebagai sesaran maksimum. Sesaran maksimum atau minimum berlaku apabila kecerunan tangen atau halaju seketika zarah ialah sifar, iaitu ds dt = v = 0. Bagi graf sesaran-masa yang berbentuk linear pula, kecerunan tangennya pada sebarang titik adalah sama. Maka halaju seketika zarah pada sebarang titik adalah seragam. Halaju seragam ini dikenali sebagai halaju malar. Melalui pembezaan, halaju seketika suatu zarah pada masa tertentu boleh ditentukan seperti berikut: Diberi funsgi sesaran s = 40t – 5t2 . Jadi, fungsi halaju zarah, v = ds dt v = 40 – 10t Apabila t = 4, halaju, v = 40 – 10(4) v = 0 Maka, halaju seketika zarah pada masa 4 saat ialah 0 ms–1. Secara amnya, Halaju seketika bagi suatu zarah yang bergerak di sepanjang satu garis lurus dari suatu titik tetap daripada fungsi sesaran s = f(t) boleh ditentukan dengan menggantikan nilai t ke dalam fungsi halaju, v = ds dt . 0 s = f(t) s (m) t (s) ds v = —dt KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Kinematik Gerakan Linear 263

8.2.3 Menentukan dan mentafsir pecutan seketika suatu zarah daripada fungsi halaju dan fungsi sesaran Kecerunan tangen kepada graf fungsi halaju, v = f(t) bagi gerakan suatu zarah ialah nilai bagi dv dt pada masa t, yang merupakan pecutan seketika, a zarah itu. Pecutan seketika, a bagi suatu zarah yang bergerak pada satu garis lurus juga merupakan kadar perubahan halaju terhadap masa. a = dv dt = d dt( ds dt) = d2 s dt 2 Pada graf halaju-masa dalam Rajah 8.1, kecerunan pada sebarang titik di atas graf adalah sama, iaitu kadar perubahan halaju terhadap masa, dv dt pada sebarang ketika adalah sama. Jadi, zarah dikatakan mempunyai pecutan seragam di sepanjang gerakannya itu. Pecutan seragam ini dikenali sebagai pecutan malar. (c) Apabila zarah berehat untuk seketika, v = 0 3t2 – 18t + 24 = 0 t2 – 6t + 8 = 0 (t – 2)(t – 4) = 0 t = 2 atau t = 4 Maka, zarah itu berehat seketika pada masa 2 saat dan 4 saat. (d) Apabila zarah bergerak ke kiri, v , 0 3t2 – 18t + 24 , 0 t2 – 6t + 8 , 0 (t – 2)(t – 4) , 0 Daripada lakaran graf, penyelesaian ketaksamaan untuk v , 0 ialah 2 , t , 4. Maka, julat nilai t apabila zarah bergerak ke kiri ialah 2 , t , 4. 4 t (s) 2 Latihan Kendiri 8.4 1. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Sesarannya, s meter, dari O diberi oleh s = 2t2 – 3t + 6, dengan keadaan t ialah masa dalam saat selepas gerakan bermula. Hitung (a) halaju seketika zarah, dalam ms–1, apabila (i) t = 1 4 (ii) t = 2 (iii) t = 6 (b) masa, dalam saat, apabila halaju seketika zarah itu ialah (i) –1 ms–1 (ii) 5 ms–1 (iii) 9 ms–1 2. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus. Sesarannya, s meter, dari titik tetap O pada masa t saat diberi oleh s = 2t3 – 5t2 + 4t. Cari (a) halaju seketika zarah, dalam ms–1, apabila t = 2, (b) nilai-nilai t, dalam saat, apabila zarah itu berhenti seketika, (c) julat nilai t, dalam saat, apabila zarah itu bergerak ke kanan. Rajah 8.1 0 t (s) v (ms–1) v = f(t) a = dv —dt KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 264

8 BAB 8.2.3 265 Dalam Rajah 8.2, dalam tempoh 0 < t , a, halaju menokok terhadap masa, jadi pecutan seketika zarah, a = dv dt pada sebarang titik di bahagian ini adalah positif, iaitu a . 0. Sebaliknya dalam tempoh a , t < b, halaju zarah menyusut terhadap masa, jadi pecutan seketika zarah, a = dv dt pada sebarang titik pada bahagian ini adalah negatif, iaitu a , 0. Pecutan negatif ini dikenali sebagai nyahpecutan. Pada titik A pula, zarah mengalami halaju maksimum dan pecutannya, a = dv dt pada titik ini adalah sifar, iaitu a = 0. Pecutan sifar tidak semestinya halaju juga sifar tetapi nilainya sama ada maksimum atau minimum. Secara amnya, Pecutan seketika, a bagi suatu zarah yang bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap daripada fungsi halaju v = f(t) atau fungsi sesaran s = f(t) boleh ditentukan dengan menggantikan nilai t ke dalam fungsi pecutan a = dv dt = d2 s dt 2 . Rajah 8.2 Suatu zarah bermula dari titik tetap O dan bergerak di sepanjang satu garis lurus. Selepas t saat, sesarannya, s meter diberi oleh s = t3 – 3t2 – 4t. Hitung (a) pecutan awal, dalam ms–2, zarah itu, (b) pecutan seketika zarah itu, dalam ms–2, pada masa 5 saat, (c) pecutan zarah itu, dalam ms–2, apabila melalui titik O semula, (d) julat nilai t, dalam saat, apabila pecutan zarah itu ialah positif. Diberi fungsi sesaran, s = t3 – 3t2 – 4t Jadi, fungsi halaju, v = ds dt = 3t2 – 6t – 4 dan fungsi pecutan, a = dv dt = 6t – 6 (a) Apabila t = 0, a = 6(0) – 6 a = –6 Maka, pecutan awal zarah ialah –6 ms–2. (c) Apabila zarah melalui titik O semula, s = 0 t3 – 3t2 – 4t = 0 t(t2 – 3t – 4) = 0 t(t + 1)(t – 4) = 0 t = 0, t = –1 atau t = 4 Apabila t = 4, a = 6(4) – 6 a = 18 Maka, apabila zarah itu melalui titik O semula, pecutannya ialah 18 ms–2. (b) Apabila t = 5, a = 6(5) – 6 a = 24 Maka, pecutan seketika zarah itu pada masa 5 saat ialah 24 ms–2. (d) Pecutan zarah positif, a . 0 6t – 6 . 0 6t . 6 t . 1 Maka, pecutan zarah adalah positif untuk t . 1. Penyelesaian Contoh 10 0 a b A t (s) v (ms–1) > 0 dv —dt < 0 dv —dt = 0 dv —dt KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Kinematik Gerakan Linear 265

266 1. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus. Halajunya, v ms–1, t saat selepas melalui titik tetap O diberi oleh v = 8t – t2 . Cari (a) pecutan awal zarah itu, dalam ms–2, (b) pecutan, dalam ms–2, apabila zarah itu berhenti seketika untuk kali kedua, (c) masa, dalam saat, apabila halaju zarah itu adalah seragam. 2. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus supaya t saat selepas melalui O, halajunya, v ms–1, diberi oleh v = t2 – 2t – 8. Cari (a) masa, dalam saat, apabila pecutan zarah itu ialah sifar, (b) julat nilai t, dalam saat, apabila zarah itu mengalami nyahpecutan. Latihan Kendiri 8.5 1. Rajah di sebelah menunjukkan graf bagi fungsi sesaran, s = f(t), fungsi halaju, v = f(t) dan fungsi pecutan, a = f(t) bagi suatu zarah yang bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O untuk 0 < t < 4. Berdasarkan graf, tentukan (a) halaju awal, dalam ms–1, zarah itu, (b) masa, dalam saat, apabila zarah itu melalui titik O, (c) sesaran minimum, dalam m, zarah itu, (d) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah dalam tempoh masa itu, (e) julat masa, dalam saat, apabila zarah itu bergerak menuju ke kanan, 2. Rajah di sebelah menunjukkan graf sesaran-masa bagi suatu zarah yang bergerak di sepanjang satu garis lurus pada masa t saat. Persamaan lengkung PQ ialah s = ht2 + k, dengan keadaan h dan k ialah pemalar. Titik-titik P, Q, R dan S masing-masing ialah (0, 1), (2, 3), (4, 3) dan (6, 0). Cari (a) nilai h dan nilai k, (b) halaju seketika, dalam ms–1, zarah itu apabila (i) t = 1 (ii) t = 3 (iii) t = 5. 3. Suatu zarah bergerak di sepanjang garis lurus supaya sesarannya, s meter dari suatu titik tetap O pada masa t saat diberi oleh s = t3 – 5t2 – 8t + 12, dengan keadaan t > 0. (a) Ungkapkan fungsi halaju, v dan fungsi pecutan, a zarah itu dalam sebutan t. (b) Tentukan halaju seketika, dalam ms–1, dan pecutan seketika, dalam ms–2, zarah itu apabila t = 3. (c) Cari nilai t, dalam saat, apabila zarah itu berehat seketika. (d) Cari nilai-nilai t, dalam saat, apabila zarah berada di O. (e) Cari jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam 6 saat yang pertama. 0 P Q R S s = ht2 + k t (s) s (m) 3 1 2 4 6 8.2.3 0 s/v/a t 1 s = f(t) v = f(t) a = f(t) 2 3 4 6 5 –2 –3 –4 Latihan Formatif 8.2 Kuiz bit.ly/3kqzAoY KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 266

8 BAB 8.3.1 Menentukan dan mentafsir halaju seketika suatu zarah daripada fungsi pecutan Anda telah mempelajari bahawa fungsi pecutan, a bagi suatu zarah yang bergerak secara linear ditentukan melalui pembezaan fungsi halaju, v terhadap masa, t, iaitu: a = dv dt Jika diberi fungsi pecutan, a bagi gerakan linear suatu zarah, apakah cara untuk menentukan fungsi halaju, v zarah tersebut? Apabila fungsi pecutan, a diberi, iaitu a = dv dt , fungsi halaju, v boleh ditentukan dengan melakukan pengamiran fungsi pecutan, a terhadap masa t, iaitu v = ∫ a dt. Secara amnya, hubungan antara fungsi pecutan a = h(t) dan fungsi halaju v = g(t) boleh diringkaskan seperti berikut. a = h(t) v = ∫ a dt v = g(t) 8.3 Pengamiran dalam Kinematik Gerakan Linear Imbas Kembali Kamiran tak tentu bagi suatu fungsi y = tn terhadap t ialah ∫ tn dt = tn + 1 n + 1 + c, dengan keadaan n ≠ −1. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O dengan halaju awal 4 ms–1. Pecutan, a ms–2, zarah itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh a = 4 – 2t. (a) Hitung (i) halaju seketika, dalam ms–1, zarah itu apabila t = 7, (ii) halaju maksimum, dalam ms–1, zarah itu, (b) Cari nilai-nilai yang mungkin bagi t, dalam saat, apabila halaju seketika zarah itu ialah 7 ms–1. (a) (i) Diberi fungsi pecutan, a = 4 – 2t. Jadi, fungsi halaju, v = ∫ (4 − 2t) dt v = 4t – t 2 + c Apabila t = 0 dan v = 4, Oleh itu, 4 = 4(0) – (0)2 + c c = 4 Jadi, pada masa t, v = 4t – t2 + 4. Apabila t = 7, v = 4(7) – (7)2 + 4 v = 28 – 49 + 4 v = –17 Maka, halaju seketika zarah itu apabila t = 7 ialah –17 ms–1. Penyelesaian Contoh 11 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Kinematik Gerakan Linear 267

268 (ii) Halaju maksimum, dv dt = 0 4 − 2t = 0 2t = 4 t = 2 Oleh sebab d2 v dt2 = –2 (, 0), v adalah maksimum apabila t = 2. Maka, halaju maksimum zarah = 4(2) – (2)2 + 4 = 8 – 4 + 4 = 8 ms–1 (b) Apabila halaju seketika zarah ialah 7 ms–1, v = 7 4t – t2 + 4 = 7 t2 – 4t + 3 = 0 (t – 1)(t – 3) = 0 t = 1 atau t = 3 Maka, nilai-nilai yang mungkin bagi t ialah 1 saat dan 3 saat. 8.3.1 1. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O dengan halaju awal 10 ms–1. Pecutannya, a ms–2, pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh a = 4t – 8, cari (a) halaju seketika, dalam ms–1, zarah itu pada masa 4 saat, (b) halaju minimum, dalam ms–1, zarah itu. 2. Suatu zarah bergerak dari satu titik tetap O pada satu garis lurus dengan halaju awal 2 ms–1. Pecutannya, a ms–2, pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh a = 4 – 6t, cari (a) halaju seketika, dalam ms–1, zarah itu apabila t = 3, (b) halaju seketika, dalam ms–1, zarah itu apabila a = –8. 3. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dalam masa t saat selepas melalui titik tetap O. Pecutannya, a ms–2, diberi oleh a = 6t – 24. Zarah itu melalui O dengan halaju 36 ms–1. Cari (a) julat nilai t apabila halajunya negatif, (b) halaju minimum, dalam ms–1, zarah itu. 4. Corak jahitan pada bahagian tepi sehelai alas meja dihasilkan dengan menggunakan sebuah mesin jahit tepi. Halaju awal pergerakan mesin jahit tersebut di sepanjang satu garis lurus ialah 20 cms–1. Pecutannya, dalam cms–2, diberi oleh a = 8 – 2t, dengan keadaan t ialah masa, dalam saat, selepas kelepet dihasilkan. Hitung (a) halaju seketika, dalam cms–1, jahitan itu pada masa 2 saat, (b) halaju seketika, dalam cms–1, jahitan itu apabila pecutan ialah sifar, (c) masa, dalam saat, jahitan itu apabila pecutan ialah 5 cms–2, (d) nilai t, dalam saat, apabila halaju jahitan itu ialah 11 cms–1. Latihan Kendiri 8.6 Sudut Informasi Halaju minimum atau maksimum berlaku apabila dv dt = a = 0, bergantung kepada nilai d2 v dt2 . • Jika d2 v dt2 . 0, maka halaju ialah minimum. • Jika d2 v dt2 , 0, maka halaju ialah maksimum. KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 268

8 BAB 8.3.2 Menentukan dan mentafsir sesaran seketika suatu zarah daripada fungsi halaju dan fungsi pecutan Jika diberi suatu fungsi halaju, v, bagaimanakah untuk menentukan fungsi sesaran, s, zarah itu? Bagaimanakah pula untuk menentukan fungsi halaju, v dan seterusnya fungsi sesaran, s suatu zarah daripada suatu fungsi pecutan, a? Apabila fungsi halaju, v diberi sebagai satu fungsi masa t, fungsi sesaran, s boleh diperoleh dengan melakukan pengamiran, iaitu s = ∫ v dt dan apabila fungsi pecutan, a diberi sebagai satu fungsi masa t, fungsi sesaran, s boleh diperoleh dengan melakukan pengamiran sebanyak dua kali secara berturut-turut, iaitu v = ∫ a dt dan s = ∫ v dt Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O dengan halaju 12 ms–1. Pecutannya, a ms–2, pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh a = 4 – 2t. (a) Tentukan sesaran seketika, dalam m, zarah itu dari O (i) apabila t = 3, (ii) ketika zarah berada dalam keadaan pegun. (b) Seterusnya, cari jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam saat ke-7. Fungsi halaju, v diberi oleh v = ∫ a dt v = ∫ (4 – 2t) dt v = 4t – t2 + c Apabila t = 0 dan v = 12, oleh itu, 12 = 4(0) – 02 + c c = 12. Jadi pada masa t, v = 12 + 4t – t2 . Fungsi sesaran, s diberi oleh, s = ∫ v dt s = ∫ (12 + 4t – t2 ) dt s = 12t + 2t2 – 1 3 t3 + c Apabila t = 0 dan s = 0. Oleh itu, 0 = 12(0) + 2(0)2 – 1 3 (0)3 + c c = 0 Jadi pada masa t, s = 12t + 2t2 – 1 3 t3 (a) (i) Apabila t = 3, s = 12(3) + 2(3)2 – 1 3 (3) 3 s = 36 + 18 – 9 s = 45 Maka, sesaran seketika zarah itu apabila t = 3 ialah 45 m. Penyelesaian Contoh 12 Tip Pintar Anda digalakkan untuk melukis garis nombor untuk menggambarkan gerakan suatu zarah. Semasa melukis garis nombor bagi gerakan zarah, misalnya dalam tempoh masa 0 < t < n, perkara yang berikut perlu dilabelkan pada garis nombor itu: • sesaran zarah apabila t = 0 • masa dan sesaran zarah, jika wujud apabila v = 0 • sesaran zarah apabila t = n Berdasarkan Contoh 12, lukis garis nombor bagi gerakan zarah untuk tempoh masa 0 < t < 9. KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Kinematik Gerakan Linear 269

270 (ii) Apabila zarah berada dalam keadaan pegun, v = 0. Jadi, 12 + 4t – t2 = 0 t2 – 4t – 12 = 0 (t + 2)(t – 6) = 0 Oleh sebab t > 0, t = 6, Apabila t = 6, s = 12(6) + 2(6)2 – 1 3 (6) 3 s = 72 + 72 – 72 s = 72 Maka, sesaran seketika zarah itu apabila berada dalam keadaan pegun ialah 72 m. (b) Apabila t = 7, s = 12(7) + 2(7)2 – 1 3 (7) 3 s = 84 + 98 – 114 1 3 s = 67 2 3 Daripada garis nombor, jarak yang dilalui oleh zarah dalam saat ke-7 = s7 – s6  =  67 2 3 – 72  =  –4 1 3  = 4 1 3 m 1. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O dengan halaju awal 3 ms–1. Pecutannya, a ms–2, t saat selepas melalui O diberi oleh a = 6 – 3t. Cari sesaran seketika zarah itu, dalam m, apabila (a) t = 5, (b) halajunya seragam. 2. Pecutan, a ms–2, bagi suatu zarah yang bergerak di sepanjang satu garis lurus pada masa t saat selepas melalui satu titik tetap O diberi oleh a = 12t – 8. Diberi halaju zarah, t = 1 saat selepas melalui O ialah –10 ms–1. Cari sesaran seketika zarah itu, dalam m, apabila (a) pecutannya ialah 4 ms–2, (b) zarah berada dalam keadaan pegun. 3. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O dengan halaju awal 8 ms–1. Pecutannya, a ms–2, pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh a = 10 – 6t, cari (a) sesaran maksimum zarah itu, (b) jarak yang dilalui zarah itu dalam saat ke-5. 4. Farhan menyertai acara berbasikal yang dianjurkan oleh sebuah kelab berbasikal. Farhan bergerak di sepanjang jalan raya yang lurus pada masa t jam selepas berada di tempat permulaan. Pecutan, a kmj–2 diberi oleh a = 8t – 6 dan halaju permulaan kayuhan ialah –18 kmj–1. (a) Ungkapkan fungsi sesaran, s dan fungsi halaju, v, dalam sebutan t. (b) Buktikan bahawa Farhan berhenti seketika pada t = 3. (c) Cari jumlah jarak, dalam km, yang dilalui oleh Farhan dalam 3 jam yang pertama. Latihan Kendiri 8.7 8.3.2 Tip Pintar Jumlah jarak yang dilalui dalam n saat yang pertama ialah jarak yang dilalui oleh zarah dari masa t = 0 ke t = n. Manakala jarak yang dilalui dalam saat ke-n ialah jarak yang dilalui oleh zarah dari masa t = (n – 1) ke t = n, iaitu |sn – sn – 1|. s (m) O 72 t = 6 t = 7 67—2 3 Sudut Informasi Masa ialah satu daripada kuantiti skalar yang hanya mempunyai magnitud sahaja. Oleh itu, nilai bagi masa mestilah sentiasa positif. KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 270

8 BAB 1. Suatu zarah bergerak melalui satu titik tetap O dengan halaju awal 30 ms–1 dan bergerak di sepanjang satu garis lurus dengan pecutan a = (12 – 6t) ms–2 pada masa t saat selepas melalui titik tetap O. (a) Hitung halaju, dalam ms–1, apabila t = 2. (b) Di manakah zarah itu berada apabila t = 1? 2. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Pada masa t saat selepas melalui O, halaju v ms–1, zarah itu diberi oleh v = 24t – 6t2 . Hitung (a) pecutan awal, dalam ms–2, zarah itu, (b) nilai t, dalam saat, apabila pecutan ialah sifar, (c) nilai t, dalam saat, apabila zarah itu berada semula di O. 3. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O dengan halaju −12 ms–1 dan pecutan −10 ms–2. Selepas t saat dari titik tetap O, pecutan zarah itu ialah a = m + nt, dengan m dan n ialah pemalar. Zarah itu berhenti seketika apabila t = 6. Hitung [Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.] (a) nilai m dan nilai n, (b) halaju minimum, dalam ms–1, zarah itu, (c) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam 9 saat yang pertama. 4. Suatu zarah bergerak di sepanjang garis lurus dari satu titik tetap O. Halaju, v ms–1, zarah itu pada masa t saat selepas meninggalkan O diberi oleh v = 2t2 – 5t − 3. Hitung (a) sesaran, dalam m, apabila zarah itu berhenti seketika, (b) julat masa, dalam saat, apabila zarah itu mengalami nyahpecutan, (c) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui zarah itu dalam 6 saat yang pertama. 5. Haiqal bermain kereta kawalan jauh di sepanjang landasan yang lurus. Pecutan, a ms–2, diberi oleh a = 12 – 4t pada masa t saat selepas kereta kawalan jauh itu melalui titik tetap O. Hitung (a) halaju maksimum, dalam ms–1, kereta kawalan jauh itu, (b) nilai-nilai t, dalam saat, apabila halaju kereta kawalan jauh itu ialah sifar, (c) jarak, dalam m, kereta kawalan jauh itu pada saat ke-5. 6. Rajah di sebelah menunjukkan Azlan yang sedang berlari melalui sebuah jambatan lurus dalam masa 25 saat. Halaju Azlan, v ms–1, pada masa t saat selepas melalui M diberi oleh v = 3 4 t − 3 100 t 2 . Hitung [Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.] (a) nilai t, dalam saat, apabila pecutan bagi Azlan ialah sifar, (b) halaju maksimum Azlan, dalam ms–1, (c) jarak, dalam m, yang dilalui oleh Azlan. M Latihan Formatif 8.3 Kuiz bit.ly/3kcDmT6 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Kinematik Gerakan Linear 271

8.4 Aplikasi Kinematik Gerakan Linear Menyelesaikan masalah kinematik gerakan linear yang melibatkan pembezaan dan pengamiran Kita telah mempelajari bahawa hubungan antara sesaran, s, halaju, v dan pecutan, a bagi suatu objek yang bergerak secara linear adalah seperti yang berikut. Menggunakan pembezaan v = ds dt , a = dv dt Menggunakan pengamiran v = ∫ a dt, s = ∫ v dt Dengan pengetahuan dan kemahiran mengaplikasi hubungan ini, banyak masalah yang melibatkan pegerakan linear suatu objek boleh diselesaikan. 8.4.1 Fariza mula berlari di sepanjang lorong yang lurus selama 30 saat dari garis permulaan. Halajunya, v ms–1, selepas t saat diberi oleh v = 0.9t – 0.03t 2 dengan keadaan 0 < t < 30. Cari (a) masa, dalam saat, apabila pecutannya ialah sifar, (b) jarak, dalam meter, yang dilalui oleh Fariza. Penyelesaian Contoh 13 Diberi fungsi halaju Fariza ialah v = 0.9t – 0.03t 2 dan apabila t = 0, s = 0, cari masa yang diambil oleh Fariza apabila pecutannya sifar. jarak yang dilaluinya dalam masa 30 saat. 1 . Memahami masalah Gunakan a = dv dt untuk menentukan fungsi pecutan dan cari nilai t apabila pecutan ialah sifar, iaitu a = 0. Gunakan s = ∫ v dt untuk menentukan fungsi sesaran dan gantikan t = 30 ke dalam fungsi sesaran untuk mencari jarak yang dilalui oleh Fariza. 2 . Merancang strategi Aplikasi Matematik (a) Diberi v = 0.9t – 0.03t2 . Jadi, a = dv dt a = 0.9 – 0.06t Apabila pecutan sifar, a = 0. 0.9 – 0.06t = 0 0.06t = 0.9 t = 15 Maka, pada masa 15 saat, pecutan Fariza ialah sifar. (b) s = ∫ v dt s = ∫ (0.9t – 0.03t2 ) dt s = 0.45t2 – 0.01t3 + c Apabila t = 0 dan s = 0, oleh itu c = 0. Jadi, pada masa t, s = 0.45t 2 – 0.01t3 Apabila t = 30, s = 0.45(30)2 – 0.01(30) 3 s = 135 Maka, jarak larian yang dilalui oleh Fariza dalam masa 30 saat ialah 135 m. 3 . Melaksanakan strategi KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 272

8 BAB Kinematik Gerakan Linear 1. SMK Seri Aman melancarkan sebuah roket air di padang sekolah semasa perasmian Karnival Matematik dan Sains. Roket itu dilancarkan secara menegak ke atas dari permukaan padang sekolah dengan halajunya, v ms–1, diberi oleh v = 20 – 10t, selepas t saat dari permukaan padang. Roket itu berhenti seketika pada masa p saat. (a) Cari nilai p. (b) Ungkapkan dalam sebutan t untuk sesaran, s meter, roket itu pada masa t saat. (c) Tentukan (i) ketinggian maksimum, dalam meter, yang dicapai oleh roket itu, (ii) masa, dalam saat, apabila roket itu menyentuh permukaan padang. 2. Rajah di sebelah menunjukkan kedudukan dan arah gerakan dua orang budak lelaki, Faiz dan Qian Hao yang berlari pada satu jalan yang lurus dan masingmasing melalui dua titik tetap, P dan Q. Pada ketika Faiz melalui titik tetap P, Qian Hao pula melalui titik tetap Q. Faiz berhenti seketika di titik R. Halaju Faiz, v ms–1, pada masa t saat selepas melalui titik tetap P diberi oleh v = 6 + 4t – 2t 2 manakala Qian Hao pula berlari dengan halaju malar –5 ms–1. Diberi jarak PQ ialah 50 m. [Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.] (a) Hitung halaju maksimum Faiz, dalam ms–1. (b) (i) Lakarkan graf halaju-masa bagi Faiz dari titik P ke titik R. (ii) Seterusnya, cari jarak Faiz, dalam m, dari titik P ke titik R. (c) Tentukan jarak, dalam m, antara Faiz dengan Qian Hao ketika Faiz berada di titik R. Latihan Kendiri 8.8 (a) Gantikan t = 15 ke dalam fungsi pecutan, a = 0.9 – 0.06t untuk mengesahkan bahawa pecutan Fariza adalah sifar pada masa 15 saat. a = 0.9 – 0.06(15) a = 0.9 – 0.9 a = 0 (b) Lakarkan graf halaju-masa, v = 0.9t – 0.03t 2 untuk tempoh masa 0 < t < 30 dan dengan menggunakan kamiran tentu, sahkan luas di bawah graf bagi tempoh masa itu ialah 135 m. Jarak = ∫ 30 0 (0.9t – 0.03t2 ) dt = [0.45t2 – 0.01t3 ] 30 0 = [0.45(30)2 – 0.01(30)3 ] – [0.45(0)2 – 0.01(0)3 ] = 135 – 0 = 135 m 30 0 t (s) v (ms–1) v = 0.9t – 0.03t 2 4 . Membuat refleksi 8.4.1 50 m P R Q KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Kinematik Gerakan Linear 273

274 8.4.1 1. Sebiji bola yang dipukul oleh seorang pemain kriket bergerak di sepanjang satu laluan yang lurus melalui pusat P dengan halaju 44 ms–1. Pecutan, a ms–2 pada masa t saat selepas bola itu melalui P diberi oleh a = 12 – 6t. Hitung (a) halaju maksimum bola itu, dalam ms–1, (b) jarak, dalam m, bola itu dari pusat P apabila t = 2. 2. Suatu objek bergerak di sepanjang garis lurus dari satu titik tetap X. Pecutan, a ms–2, objek itu pada masa t saat selepas melalui titik X diberi oleh a = 16 – 4t bagi 0 < t < 3. Diberi halaju objek itu pada masa t = 3 ialah 38 ms–1. Hitung (a) halaju awal, dalam ms–1, objek itu, (b) halaju, dalam ms–1, objek itu pada saat keempat. 3. Objek A dan objek B diletakkan pada satu garis lurus mengufuk. Sebuah kereta mainan digerakkan di sepanjang garis lurus tersebut. Halaju, dalam ms–1, kereta mainan itu pada masa t saat selepas kereta mainan melalui objek A diberi oleh v = 2t – 4. Pada awal pergerakan, kereta mainan itu bergerak menuju ke arah objek B. [Anggapkan gerakan kereta mainan ke arah kanan sebagai positif.] (a) Hitung julat nilai t, dalam saat, apabila kereta mainan itu menuju ke objek B. (b) Diberi jarak di antara objek A dengan objek B ialah 5 m. Tentukan sama ada pergerakan kereta mainan tersebut akan tiba ke objek B atau tidak. (c) Cari jumlah jarak, dalam m, yang dilalui kereta mainan itu dalam 6 saat yang pertama. (d) Lakarkan graf bagi sesaran kereta mainan itu dari objek A untuk 0 < t < 6. 4. Satu eksperimen menguji pergerakan suatu zarah di sepanjang satu garis lurus dengan halaju v ms–1 pada masa t saat dari titik permulaan O. Pada masa t saat selepas melalui O, halaju, v ms–1, zarah itu diberi oleh v = 3t 2 – 8t + 4. Pada awal eksperimen, zarah berada 2 m di kanan O. Hitung (a) jarak, dalam m, zarah itu dari titik O pada masa t = 5, (b) halaju minimum, dalam ms–1, yang dicapai oleh zarah itu, (c) julat masa, dalam saat, apabila halaju zarah itu adalah negatif, (d) sesaran maksimum, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dari titik O bagi 0 < t < 2. 3. Azim berlari di sepanjang garis lurus dari satu titik tetap O. Halaju bagi larian Azim, v kmj–1 pada masa t jam selepas melalui O diberi oleh v = mt2 + nt. Azim berhenti berehat setelah berlari separuh daripada jarak larian pada t = 1 dengan pecutan 12.5 kmj–2. Cari [Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.] (a) nilai m dan nilai n, (b) halaju maksimum, dalam kmj–1, larian Azim, (c) jarak, dalam km, yang dilalui oleh Azim pada jam kedua. 4. Rajah di sebelah menunjukkan gerakan sebuah kereta di sepanjang jalan yang lurus bermula dari titik tetap O dan menuju ke arah titik A dan titik B. Halaju, v ms–1, kereta itu pada masa t saat selepas melalui titik tetap O diberi oleh v = 3t 2 – 16t – 12. Diberi kereta itu berada di titik A apabila t = 5 dan berehat seketika di titik B. Hitung (a) pecutan kereta di titik B, dalam ms–2, (b) jarak AB, dalam m. B A O Latihan Formatif 8.4 Kuiz bit.ly/3m2JWMh KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 274

8 BAB SUDUT REFLEKSI KINEMATIK GERAKAN LINEAR Halaju, v Aplikasi Pecutan, a v = ds dt a = dv dt = d2 s dt 2 s = ∫ v dt v = ∫ a dt Sesaran, s Aplikasi pembezaan dan pengamiran dapat digunakan untuk menentukan sesaran, halaju dan pecutan bagi suatu objek. Buat carian di Internet dan rujuk buku-buku yang berkaitan dengan aplikasi pembezaan dan pengamiran dalam gerakan suatu objek. Kemudian, hasilkan satu folio grafik yang menarik. 1. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Sesaran, s meter, zarah itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh s = 2t 3 – 24t 2 + 90t. Hitung TP 3 (a) sesaran, dalam meter, zarah itu dari titik tetap O apabila t = 8, (b) halaju, dalam ms–1, apabila t = 1, (c) pecutan, dalam ms–2, apabila t = 3, (d) nilai-nilai t, dalam saat, apabila zarah itu berhenti seketika. Latihan Sumatif Nota • Sesaran awal • Halaju awal • Pecutan awal t = 0 • Sesaran minimum • Sesaran maksimum v = 0 • Halaju minimum • Halaju maksimum a = 0 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Kinematik Gerakan Linear 275

276 2. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap P pada masa t saat. Sesaran, s meter, zarah itu pada masa t saat selepas meninggalkan P diberi oleh s = 3t 2 – 12t + 2. Hitung TP 3 (a) sesaran, dalam meter, yang dilalui oleh zarah pada t = 3, (b) halaju awal, dalam ms–1, zarah itu, (c) pecutan malar, dalam ms–2. 3. Eleeza berbasikal dari rumahnya ke kedai di sepanjang jalan yang lurus. Sesaran, s meter dari rumahnya pada masa t minit diberi oleh s = 2t 3 – 9t 2 + 12t + 6 bagi 0 < t < 4. TP 5 [Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.] (a) Hitung (i) halaju awal, dalam mmin–1, Eleeza berbasikal, (ii) halaju, dalam mmin–1, Eleeza berbasikal apabila t = 3, (iii) pecutan, dalam mmin–2, Eleeza berbasikal apabila t = 2, (iv) jarak, dalam m, yang dilalui oleh Eleeza dalam minit ketujuh. (b) Lakarkan graf halaju-masa bagi mewakili perjalanan Eleeza untuk 0 < t < 4. 4. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus melalui titik tetap O dan menuju ke titik bertanda X dengan sesaran 1.25 m. Pecutannya diberi oleh 10 ms–2. (a) Tentukan fungsi halaju, v dan fungsi sesaran, s zarah itu dalam sebutan t. (b) Cari masa, dalam saat, dan halaju, dalam ms–1, ketika zarah itu berada di titik X. TP 4 5. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O pada masa t saat dengan halaju awal 8 ms–1. Pecutan, a ms–2, zarah itu pada masa t saat selepas meninggalkan O diberi oleh a = 6 – 6t. Hitung TP 3 [Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.] (a) halaju, dalam ms–1, zarah itu apabila t = 2, (b) sesaran, dalam m, zarah itu dari O apabila t = 5. 6. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Halaju, v ms–1, zarah itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh v = t 2 – 4t + 3. Hitung TP 4 [Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.] (a) nilai-nilai t, dalam saat, apabila zarah itu berhenti seketika, (b) jarak, dalam meter, yang dilalui oleh zarah itu bagi 0 < t < 8. 7. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik P. Pecutan, a ms–2, zarah itu pada masa t saat selepas meninggalkan P diberi oleh a = mt + n, dengan keadaan m dan n ialah pemalar. Zarah itu bergerak dengan halaju awal 30 ms–1, mengalami nyahpecutan 20 ms–2 dan berhenti seketika apabila t = 2. TP 5 [Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.] (a) Cari nilai m dan nilai n. (b) Ungkapkan fungsi sesaran, s bagi pergerakan zarah itu dalam sebutan t. (c) Cari nilai t, dalam saat, apabila zarah itu berhenti seketika buat kali kedua. (d) Hitung jarak, dalam m, yang dilalui zarah itu dalam saat ke-2. KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 276

8 BAB 8. Sebiji guli bergerak dari keadaan rehat di sepanjang garis lurus pada masa t saat selepas melalui titik tetap O dengan halaju, v ms–1, guli itu ialah v = 2t 2 – 6t – 6. TP 3 (a) Hitung halaju guli itu, dalam ms–1, apabila t = 2. (b) Cari pecutan guli itu, dalam ms–2, apabila v = 14 ms–1. 9. Irma memandu di sepanjang jalan raya yang lurus meninggalkan tempat meletak kenderaan di sebuah pusat membeli-belah. Halaju, v ms–1, keretanya diberi oleh v = 1 2 t2 – 2t dengan keadaan t ialah masa dalam saat selepas melalui palang automatik. Sesaran awal kereta itu ialah 50 meter. TP 2 (a) Hitung nilai t, dalam saat, apabila kereta yang dipandu Irma berhenti seketika. (b) Cari jumlah jarak yang dilalui oleh kereta itu, dalam m, untuk 7 saat yang pertama. (c) Huraikan gerakan kereta itu dalam 6 saat pertama. 10. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus yang melalui satu titik tetap O. Halaju, v ms–1, zarah itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh v = t 2 – 8t. TP 4 (a) Tunjukkan bahawa halaju maksimum, dalam ms–1, zarah tersebut adalah bukan sifar. (b) Cari sesaran, dalam meter terhampir, yang dilalui zarah itu dari titik tetap O apabila t = 4. 11. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Sesaran, s meter, zarah itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh s = t 3 – 3t + 1. [Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.] TP 4 (a) Ungkapkan halaju, v ms–1, dan pecutan, a ms–2, dalam sebutan t. (b) Huraikan gerakan zarah apabila t = 0 dan t = 2. (c) Cari julat masa, dalam saat, apabila zarah itu bertukar arah pergerakan. 12. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari tempat permulaan. Halaju, v ms–1, zarah itu pada masa t saat selepas melalui tempat permulaan diberi oleh v = ht2 + kt dan h dan k ialah pemalar. Zarah itu berhenti seketika selepas 3 saat dengan pecutan pada ketika itu ialah 9 ms–2. Cari TP 5 [Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.] (a) nilai h dan nilai k, (b) masa, dalam saat, apabila zarah itu kembali semula ke tempat permulaan, (c) pecutan, dalam ms–2, apabila zarah itu kembali semula ke tempat permulaan, (d) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam 5 saat yang pertama. 13. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O dengan halaju –6 ms–1. Pecutannya, a ms–2, pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh a = 8 – 4t. TP 5 [Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.] (a) Cari halaju maksimum, dalam ms–1, bagi zarah itu. (b) Cari masa, dalam saat, zarah itu selepas melalui titik tetap O sekali lagi. (c) Lakarkan graf halaju-masa bagi pergerakan zarah itu untuk 0 < t < 3. (d) Seterusnya, cari jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam 3 saat yang pertama. v = 2t 2 – 6t – 6 O KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA Kinematik Gerakan Linear 277

14. Cikgu Azizah menjalankan satu eksperimen untuk menentukan kelajuan troli di sepanjang landasan yang lurus. Halaju, v cms–1, troli itu pada masa t saat selepas melalui titik tetap O diberi oleh v = t 2 – 7t + 6. TP 5 [Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.] (a) Cari (i) halaju awal, dalam cms–1, troli itu, (ii) julat masa, dalam saat, apabila troli itu bergerak ke arah kiri, (iii) julat masa, dalam saat, apabila pecutan troli itu adalah positif. (b) Lakarkan graf halaju-masa bagi pergerakan troli itu bagi 0 < t < 6. 15. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Halajunya, v ms–1, pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh v = t2 – 6t + 8. Zarah itu berhenti seketika pada titik P dan R. [Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif.] TP 5 (a) Cari halaju minimum, dalam ms–1, bagi zarah itu. (b) Hitung jarak, dalam m, antara titik P dengan titik R. (c) Lakarkan graf halaju-masa bagi 0 < t < 7. Seterusnya, tentukan julat nilai t apabila halaju zarah itu meningkat. Arahan: 1. Bahagikan murid kepada beberapa kumpulan dengan setiap kumpulan terdiri daripada 4 orang ahli. 2. Setiap kumpulan diberikan sebuah kereta mainan. Kereta mainan tersebut akan digerakkan dari tempat permulaan bertanda X. Katakan catatan pergerakan kereta mainan tersebut melibatkan laluan yang bergaris lurus seperti yang ditunjukkan di bawah. A B X C D 3. Setiap kumpulan perlu membuat simulasi bagi setiap arahan di bawah. (a) Nyatakan posisi kereta mainan itu dari tempat permulaan bertanda X apabila (i) sesaran positif (ii) sesaran sifar (iii) sesaran negatif (b) Nyatakan sama ada halaju kereta mainan itu positif atau negatif apabila kereta itu bergerak dari (i) X ke B (ii) B ke D (iii) D ke A (iv) A ke C (v) C ke X (c) Nyatakan halaju kereta mainan itu apabila (i) berhenti di C, (ii) bertukar arah gerakan di D. (d) Dengan menggerakkan kereta mainan tersebut, bincangkan bersama kumpulan anda maksud pecutan, nyahpecutan dan pecutan sifar. KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA 278

279 Jawapan 4. (a) 1.75 rad (b) 36.27 cm2 5. (a) 24.73 cm (b) 222.57 cm2 (c) 98.98 cm2 (d) 123.59 cm2 6. (b) 34.44 cm2 (c) n = 5, 16.46 cm2 Latihan Kendiri 1.8 1. (a) 1.855 rad, 1.75 rad (b) 132.37 cm (c) 349.18 cm2 2. 8.931 mm Latihan Formatif 1.4 1. (a) (i) 29.68 cm (ii) 42.23 cm2 (iii) 337.84 cm3 (b) 1 350 gram 2. (a) 40.96 m (b) 109.156 m2 (c) 163.734 m3 3. (a) 1.344 rad (b) 61.824 cm (c) 391.068 cm2 4. (a) (i) 31.41 cm (ii) 471.15 cm2 (iii) 61.41 cm (iv) 81.44 cm2 (b) 7 067.25 cm3 (c) RM3 533.63 Latihan Sumatif 1. (a) 1.2 rad (b) 32 cm 2. (a) 23.049 cm (b) 31.908 cm2 3. (a) 1.08 rad (b) 14.8 cm 4. (a) 2j + jq = 18, 1 2 j2 q = 8 (b) j = 8 cm, q = 1 4 rad 5. (a) 16° 16' (b) 3.42 cm (c) 0.45 cm2 6. (a) 0.6284 rad (b) 71.87 cm2 7. 0.433j2 8. 60.67 cm 9. (a) 8 cm (b) 55.44 cm2 (c) 5.791 cm2 10. (a) 25 unit2 (b) 90° (c) 25 unit2 11. (a) 2.636 rad (b) 21.09 unit2 (c) 13.34 unit2 12. (a) 6.711 cm (b) 39.50 cm (c) 24.5 cm2 (d) 77.80 cm2 13. (a) 6.282 cm (b) 3.54 cm2 14. (a) 1.5 rad (b) 65.55 m (c) 155.07 m2 15. 78.564 cm 16. (b) (i) 1 261.75 cm2 (ii) 720.945 cm2 (iii) 144.189 liter 17. (a) 2.094 cm (b) 3.141 cm2 (c) 12.564 cm3 (d) 38.658 cm2 18. (a) 62.82 cm (b) 27.12 cm2 BAB 2 PEMBEZAAN Latihan Kendiri 2.1 1. (a) –3 (b) 1 (c) –2 (d) 1 2. (a) –1 (b) 4 (c) –5 (d) 1 12 (e) 1 4 (f) 1 (g) 4 (h) – 1 3 (i) 4 5 3. (a) 1 2 (b) 2 7 (c) 1 (d) –30 (e) 4 (f) 1 6 4. (a) (i) 4 (ii) Tidak wujud (b) (i) 2 (ii) 3 Latihan Kendiri 2.2 1. (a) 1 (b) 5 (c) –4 (d) 12x (e) –2x (f) 6x2 (g) x (h) – 1 x2 BAB 1 SUKATAN MEMBULAT Latihan Kendiri 1.1 1. (a) 22.5° (b) 135° (c) 28° 39 (d) 59° 35 2. (a) 1 10 π rad (b) 2 3  π rad (c) 1 1 4  π rad (d) 1 2 3  π rad Latihan Formatif 1.1 1. (a) 105° (b) 240° (c) 114° 35 (d) 274° 59 2. (a) 1.327 rad (b) 2.426 rad (c) 3.535 rad (d) 5.589 rad 3. (a) 1.274 rad (b) 2.060 rad (c) 2.627 rad (d) 3.840 rad Latihan Kendiri 1.2 1. (a) 13.2 cm (b) 16 cm (c) 13.09 cm (d) 6.92 cm 2. (a) 5 cm (b) 6.42 cm 3. (a) 2.002 rad (b) 10.01 cm Latihan Kendiri 1.3 1. (a) 26.39 cm (b) 20.47 cm (c) 30.62 cm (d) 32.74 cm 2. (a) 114° 35 (b) 25.78 cm Latihan Kendiri 1.4 1. (a) 34.96 cm (b) 7.25 cm (c) 39.87 cm 2. 5 663.819 km 3. 37.1 m 4. (a) 109.97 cm (b) 379.97 cm 5. 89.66 cm Latihan Formatif 1.2 1. (a) 1.484 rad (b) 10.11 cm 2. 0.7692 rad 3. (a) 0.6435 rad (b) 7.218 cm 4. (a) 4 cm (b) 2 cm 5. (a) 8.902 cm (b) 18.44 cm 6. 26.39 cm 7. (a) 103.686 m (b) 2 073.72 m Latihan Kendiri 1.5 1. (a) 19.8 cm2 (b) 107.5 cm2 (c) 13.09 cm2 (d) 471.4 cm2 2. 15 cm2 3. (a) 10 cm (b) 39 cm (c) 59 cm 4. (a) 1.2 rad (b) 12 cm (c) 32 cm Latihan Kendiri 1.6 1. (a) 12.31 cm2 (b) 61.43 cm2 (c) 2.049 cm2 (d) 42.52 cm2 2. (a) 95° 30 (b) 3.023 cm2 3. (a) 1.047 rad (b) 1.448 cm2 Latihan Kendiri 1.7 1. (a) 75.70 m (b) 114.22 m2 2. (a) 4.063 cm (b) 50.67 cm2 3. (a) 77° 10 (b) 32.48 cm2 4. (a) 67.04 cm2 (b) 2.5 rad Latihan Formatif 1.3 1. (a) 0.7 rad (b) 10.35 cm2 2. (a) 1.047 rad (b) 2.263 cm2 3. (a) 3.77 rad (b) 47.13 cm2 Buka fail Jawapan Lengkap pada kod QR di halaman (vii) untuk mendapatkan langkah-langkah penyelesaian. KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

280 2. 4x – 1 3. 1 – 2x Latihan Formatif 2.1 1. (a) (i) 8 (ii) 3 (iii) 0 (iv) –1 (v) 0 (vi) 3 (b) –1, 5 (c) (i) 2x – 4 (ii) 4 2. (a) 9 (b) 2 (c) – 1 18 (d) 3 (e) 2 (f) 3 10 3. (a) 2 (b) – 1 6 (c) –4 4. (a) k = 4 (b) 5 5. (a) 5 (b) 2x – 1 (c) 2x + 2 (d) – 1 4x2 6. 7 ms–1 Latihan Kendiri 2.3 1. (a) 8x9 (b) –8x3 (c) – 6 x9 (d) – 2 3 ! x4 (e) – 8 3 ! x 2. (a) 8x + 6 (b) 2 5! x – 1 ! x3 (c) 32x – 72 3. (a) 40x – 10! x3 (b) 4x3 + 8 – 32 x3 (c) 5 2! x – 6! x + 1 2! x3 4. (a) –1 (b) –4 1 6 (c) –1 Latihan Kendiri 2.4 1. (a) 5(x + 4)4 (b) 8(2x – 3)3 (c) –6(6 – 3x)5 (d) 56x(4x2 – 5)6 (e) 4 3 ( 1 6 x + 2) 7 (f) –12(5 – 2x)8 (g) –3(2x + 1)(1 – x – x2 ) 2 (h) – 20(3x2 – 2) (2x3 – 4x + 1)11 2. (a) – 3 (3x + 2)2 (b) – 6 (2x – 7)4 (c) 100 (3 – 4x)6 (d) – 30 (5x – 6)9 (e) 1 ! 2x – 7 (f) – 3 2! 6 – 3x (g) 3x ! 3x2 + 5 (h) 2x – 1 2! x2 – x + 1 3. (a) 2 744 (b) – 1 2 (c) –2 Latihan Kendiri 2.5 1. (a) 60x2 + 24x (b) –8x3 – 6x2 (c) 2x(1 – 12x)(1 – 4x)3 (d) 2x(1 – 3x2 ) ! 1 – 2x2 (e) 8(7x – 1)(2x + 7)5 (f) (7x + 8)(x + 5)2 (x – 4)3 2. (a) –2(9x2 + x – 3) (b) 3x2 + 2 + 4 x3 (c) 5x4 – 8x3 + 24x2 – 10x + 10 3. 13 4 4. 41 5 5. (a) – 6 (2x – 7)2 (b) 18 (4x + 6)2 (c) 8x(1 – 3x) (1 – 6x)2 (d) 4x3 – 3x2 – 2 (2x – 1)2 (e) 1 – x 2! x (x + 1)2 (f) x – 2 2! (x – 1)3 (g) 6x(x2 + 3) ! (2x2 + 3)3 (h) – 6x2 + 3x + 14 (! 4x + 1 )! (3x2 – 7)3 6. 13 Latihan Formatif 2.2 1. (a) 18x + 6 x3 (b) 1 x2 – 18 x4 (c) 5 + 2 ! x (d) – 5 ! x3 – 1 3 ! x4 (e) 4x3 – 6 – 18 x3 (f) 12! x + 1 2! x (g) – 4 3x4 – π (h) 1 ! x – 3 2 ! x 2. 7 8 3. (a) 6t 8 3 (b) 16t 5 3 (c) 1 2 4. 6t + 5, t , – 5 6 5. a = 5, b = – 4 6. (1, 6) 7. (a) h(x) = 3kx2 – 8x – 5 (b) 7 8. (a) 1 2 ( x 6 – 1) 3 (b) 5(10x – 3)5 (c) 40 (2 – 5x)2 (d) 3(1 + 1 x2)(x – 1 x ) 2 (e) 3 3 ! (3 – 9x) 4 (f) x + 3 ! x2 + 6x + 6 9. –144 10. a = 9, b = 4 11. (a) 4(12x – 1)(2x – 1)4 (b) x3 (33x + 4)(3x + 1)6 (c) 3(x + 2) 2! x + 3 (d) 4(2x – 1)(x + 7)4 (x – 5)2 (e) – 1 ! x (1 + ! x ) 2 (f) 2x + 1 ! (4x + 1)3 (g) – 2(x + 1) (x 2 + 2x + 7)2 (h) 6x2 – 4x3 – 1 (x – 1)2 13. 4 + 6x – 4x2 (x2 + 1)2 , 3 4 , x , 2 14. x , –1 Latihan Kendiri 2.6 1. (a) 12x3 – 10x + 2, 36x2 – 10 (b) 8x + 2 x2 , 8 – 4 x3 (c) 24(3x + 2)7 , 504(3x + 2)6 2. (a) 1 2! x – 2 x3 , – 1 4x 3 2 + 6 x4 (b) 2x – 4 x3 , 2 + 12 x4 (c) – 7 (x – 1)2 , 14 (x – 1)3 3. (–3, 29) dan (1, –3), –12, 12 Latihan Formatif 2.3 2. (a) –3, –12 (b) 9, 24 (c) 0, 2 3. 3 2 , – 5 8 4. – 1 3 , 1 5. 2 6. (a) – 4 3 , 2 (b) 6x – 2 (c) 1 3 (d) x , 1 3 Latihan Kendiri 2.7 1. (a) (i) –7, 8 (ii) Pada x = 1 4 , garis tangen condong ke kiri. Pada x = 1 pula, garis tangen condong ke kanan. (b) ( 1 3 , 6), (– 1 3 , –6) 2. (a) a = 2, b = 4 (b) (1, 6) KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

281 Latihan Kendiri 2.8 1. (a) y = 3x – 6, 3y + x + 8 = 0 (b) y = 7x – 10, 7y + x = 30 (c) 3y – x = 5, y = –3x + 15 (d) 2y = –x + 7, y = 2x – 4 2. (a) y = 2x – 1, 2y + x = 3 (b) 16y – 5x = 4, 10y = –32x + 143 (c) y = 1 4 x + 5 4 , y = –4x + 14 (d) 5y – 4x = 13, 4y + 5x + 6 = 0 (e) y = –x, y = x + 2 (f) y = 3 4 x + 3 4 , y = – 4 3 x + 7 3. (a) 13 3 (b) 3y – 13x = 16 (c) 13y + 3x + 168 = 0 4. (a) 6 (b) A(14, 0) Latihan Kendiri 2.9 1. (a) y + x = 3 (b) 3y + x = 15 (c) C(–3, 6) 2. (a) y = x – 6 (b) B(2, –4) (c) MAB = ( 3 2 , – 9 2 ) 3. (a) a = 1 2 , b = 5 (b) 2y + x = 4 (c) R(4, 0) (d) 1 1 4 unit2 4. (a) a = 1, b = 4 (b) y + 3x = 8 (c) Q(6, 6 2 3 ) (d) MPQ = (3 1 2 , 5 5 6 ) 5. (a) 3! 10 unit (b) h = 1 2 , k = –2 Latihan Kendiri 2.10 1. (a) (–2, 16) ialah titik maksimum, (2, –16) ialah titik minimum. (b) (2, 32) ialah titik maksimum, (6, 0) ialah titik minimum. (c) (3, 9) ialah titik maksimum, (–3, –9) ialah titik minimum. (d) (4, 8) ialah titik maksimum. (e) (–2, –4) ialah titik maksimum, (2, 4) ialah titik minimum. (f) (1, 2) ialah titik minimum (g) (0, –1) ialah titik maksimum, (2, 3) ialah titik minimum. (h) (–3, –12) ialah titik maksimum, (3, 0) ialah titik minimum. 2. (a) 2(2x – 1)(x – 2)2 (b) P( 1 2 , – 27 16) dan Q(2, 0) (c) Q ialah titik lengkok balas. Latihan Kendiri 2.11 1. (b) 400 cm2 2. (a) y = 120 – 25x (c) (i) x = 2 2 3 cm, y = 53 1 3 cm (ii) 3 840 cm2 3. (b) Jejari 2 cm dan tinggi 8 cm Latihan Kendiri 2.12 1. (a) 6 unit s–1 (b) 6 unit s–1 (c) –36 unit s–1 (d) 40 unit s–1 (e) 2 unit s–1 (f) 24 unit s–1 2. (a) –6 unit s–1 (b) 2 unit s–1 (c) 4 unit s–1 (d) –6 unit s–1 (e) 18 unit s–1 (f) 18 unit s–1 3. (a) 3x 2! x + 4 (b) 15 unit s–1 Latihan Kendiri 2.13 1. 3 unit s–1 2. 2 cms–1 3. – 7 200 cmmin–1 4. (a) V = 9π h (b) –5.4 π cm3 min–1 5. (a) 1.5 ms–1 (b) 5 ms–1 Latihan Kendiri 2.14 1. (a) 0.3 unit (b) –0.5 unit 2. (a) –0.05 unit (b) 2p unit 3. –4, 3.92 4. 3.2% Latihan Kendiri 2.15 1. π ! 10 600 saat 2. 0.0025 cm 3. –0.12 cm3 4. –2π cm3 Latihan Formatif 2.4 1. (a) 2y – x = 2, Q(–2, 0) (b) y = –2x + 1, R( 1 2 , 0) (c) 1 1 4 unit2 2. (a) a = 3, b = –2 (b) y = 2x – 8, B(4, 0) (c) 2y + x + 1 = 0, C(–1, 0) (d) 5 unit2 3. (b) 5 cm, 62.5 cm3 4. (a) –4 ms–1 (b) 1.5 ms–1 5. –8 ms–1 Latihan Sumatif 1. (a) 3 4 (b) 1 2 (c) k = ±3 2. –4 3. (a) – 2 (2x + 1)2 (b) 4(12x – 1)(2x – 1)4 (c) 12 (2 – x)3 (d) 3(x + 2) 2! x + 3 4. (a) 12 – 3x (b) 4 5. a = 3, b = – 1 2 6. 5 cm 7. (a) –0.0735 unit (b) 1.927 8. –1% 9. 1.6p% 10. (a) Titik maksimum ialah (–1, 6) dan titik minimum ialah (1, 2) (b) (–1, 6) (1, 2) 0 y y = f (x) x 11. (a) y = 32x – 63 (b) (–2, –14) 12. (a) 6 cm (b) 144π cm3 13. 40 m 14. 48 cm2 s–1 15. (b) (i) 12 unit2 s–1 (ii) 15 unit2 s–1 16. (b) (i) – 0.09π cm3 (ii) Menyusut 3p% BAB 3 PENGAMIRAN Latihan Kendiri 3.1 1. 5x3 + 4x 2. 8x3 3. (a) 300t2 + 60t (b) 4 600 liter Latihan Formatif 3.1 1. 18(2x + 2)2 , 3(2x + 2)3 2. 16 (2 – 3x)2 , 5x + 2 2 – 3x 3. 17, 32 4. 1 3 5. (a) RM4 750 (b) Syarikat K KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

282 Latihan Kendiri 3.2 1. (a) 2x + c (b) 5 6 x + c (c) –2x + c (d) π 3 x + c 2. (a) x3 + c (b) x4 3 + c (c) – x2 2 + c (d) 2 x + c (e) – 3 2x2 + c (f) 2! x3 + c (g) 3 3 ! x2 + c (h) 54 ! x + c 3. (a) x2 + 3x + c (b) 4 3 x3 + 5 2 x2 + c (c) 1 8 x4 + 5 2 x2 – 2x + c (d) – 3 x + 2x2 – 2x + c 4. (a) x3 3 – x2 – 8x + c (b) 3 5 x5 + 5 4 x4 + c (c) 5 3 x3 – 2! x3 + c (d) 25 3 x3 – 15x2 + 9x + c (e) 5 2 x2 – 3x + c (f) 1 3 x3 + 4 5 x 5 2 + 1 2 x2 + c Latihan Kendiri 3.3 1. (a) (x – 3)2 3 + c (b) (3x – 5)10 30 + c (c) 2 15(5x – 2)6 + c (d) (7x – 3)5 105 + c (e) – 3 (2x – 6)2 + c (f) – 2 9(3x – 2) + c 2. (a) (4x + 5)5 20 + c (b) (3x – 2)4 6 + c (c) (5x – 11)5 25 + c (d) (3x – 5)6 90 + c (e) – 1 6(6x – 3)5 + c (f) – 4 7(3x – 5)7 + c Latihan Kendiri 3.4 1. (a) 3 (b) 6 2. 33 16 3. (a) y = 3x3 – 2x + 5 (b) y = 5x2 – 2x – 3 (c) y = 8x3 – 5x – 2 (d) y = 6x3 + 5x2 + 18 Latihan Formatif 3.2 1. (a) 1 2 x + c (b) – 5 6x2 + c (c) 2x 1 2 + c (d) – 1 x2 + 1 x3 + c 2. (a) 5 2 x2 – x3 + c (b) 3 2 x2 + x + c (c) – (5 – 6x) 4 24 + c (d) – 2(5 – 2x) 3 4 3 + c 3. p = 2, y = 21 4. (a) 60 (b) x = 0, –2 5. y = x3 – 4x2 + 2 6. y = 2x – 3x2 + 10 7. a = 6, b = 5, y = 3x2 + 5x + 6 8. 44 m Latihan Kendiri 3.5 1. (a) 60 (b) 3 2 (c) 356 3 (d) – 287 9 (e) 9.203 (f) 6.992 2. (a) 74 3 (b) 16 3 (c) – 108 125 (d) 43 (e) 33 6 272 (f) 1.827 3. (a) –3 (b) 3 2 (c) 3 4. (a) 12 (b) 5 (c) 45 Latihan Kendiri 3.6 1. (a) 21 2 unit2 (b) 35 6 unit2 (c) 33 2 unit2 2. (a) 212 3 unit2 (b) 4 3 unit2 (c) 100 3 unit2 3. (a) 5 3 unit2 (b) 9 unit2 Latihan Kendiri 3.7 1. (a) 32 5  π unit3 (b) 9π unit3 2. 2 5  π unit3 3. 123 5  π unit3 4. (a) A(0, –2) (b) B(3, 1) (c) 108 5  π unit3 Latihan Formatif 3.3 1. (a) 364 3 (b) 5 (c) 155 2 2. (a) 20 (b) 4 3. h = 3 4. (a) K(1, 1) (b) 25 : 7 5. (a) y = 6x + x2 –6 (–3, –9) x y O (b) y = 6x, y = 10x – 4 (c) A(1, 6), 2 3 unit2 6. 15 2  π unit3 7. (a) Q(0, 3) (b) 1 3 unit2 (c) 8π unit3 8. (a) A(– 1 4 , 5 2 ) (b) 0.027 unit2 (c) 49 32  π unit3 Latihan Kendiri 3.8 1. (b) 62 500π cm3 2. (a) RM42 456 (b) 8.75% Latihan Formatif 3.4 1. 450 cm3 2. RM119.98 3. (a) 350 (b) 66 Latihan Sumatif 1. (a) 1 4 x4 + 1 3 x3 – 3x2 + c (b) – 1 2(2x – 3)2 + c 2. (a) a = – 1 3 , n = 3 (b) 64 49 3. 459 76 4. – 21 2 5. (a) 4 (b) v = 5 6. 138 cm3 7. (a) K(4, 1) (b) 8 3 unit2 8. (a) P(1, 9) (b) 10 3 unit2 (c) 3 unit2 9. (a) P(–3, 4) (b) 17 3 unit2 (c) 30π unit3 10. (a) P(0, 5), R( 5 2 , 0), S(0, 4) (b) 1 3 unit2 (c) 1 2  π unit3 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

283 11. p = 3, q = 18 12. (a) 257 3 unit2 (b) 98π unit3 13. (a) c = –2, A(2, 0) (b) 271 6 unit2 (c) 92 15 π unit3 14. 50.13 kg 15. (a) 300 m3 (b) Tidak BAB 4 PILIH ATUR DAN GABUNGAN Latihan Kendiri 4.1 1. 15 2. 30 3. (a) 20 (b) 240 Latihan Kendiri 4.2 1. (a) 336 (b) 55 (c) 6 (d) 4 200 2. (a) 24 (b) 120 (c) 720 (d) 362 880 3. 720 4. 2 520 Latihan Kendiri 4.3 1. (a) 60 (b) 40 320 (c) 15 120 (d) 5 040 2. 504 3. 60 4. 1 680 5. 25 200 Latihan Kendiri 4.4 1. (a) 360 (b) 840 (c) 90 720 (d) 60 540 480 2. 56 3. 210 4. 630 Latihan Kendiri 4.5 1. (a) 12 (b) 12 (c) 24 2. 300 3. 22 680 4. 42 Latihan Formatif 4.1 1. 200 2. (a) 1 000 (b) 720 3. 24, 18 4. (a) 725 760 (b) 80 640 (c) 2 903 040 5. BAKU = 24, BAKA = 12 Tidak sama kerana perkataan BAKA mengandungi objek secaman, iaitu A. 6. 56 7. 840 Latihan Kendiri 4.6 Gabungan kerana tiada syarat kedudukan untuk memilih saluran televisyen. Latihan Kendiri 4.7 1. (a) 95 040 (b) 792 2. 2 300 3. 15 4. 20 Latihan Kendiri 4.8 1. 30 2. 45 3. (a) 15 (b) 65 Latihan Formatif 4.2 2. (a) 56 (b) 30 (c) 16 3. 15 4. 45 5. (a) 34 650 (b) 924 Latihan Sumatif 1. 1 680, 1 050 2. 1 402 410 240 3. (a) 96 (b) 108 4. 243 5. 180 6. 360 360 7. 504 8. (a) 48 (b) 72 9. 1 155 10. 266 11. (a) 56 (b) 4 (c) 32 12. (a) 4 (b) 1 (c) 3 13. (a) 105 (b) 102 14. (a) 36 (b) 84 (c) 126 BAB 5 TABURAN KEBARANGKALIAN Latihan Kendiri 5.1 1. (a) {menang, seri, kalah} (b) {0, 1, 2, 3, 4, 5} (c) {0, 1, 2, 3} 2. X = {0, 1, 2, 3, 4} Latihan Kendiri 5.2 1. (a) X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Pemboleh ubah rawak diskret (b) X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Pemboleh ubah rawak diskret (c) X = {x : 3 < x < 460} Pemboleh ubah rawak selanjar Latihan Kendiri 5.3 1. (a) X = {0, 1, 2, 3} (b) H H H P(H, H, H) = 1 27 H P(H, H, H) = 2 27 H H P(H, H, H) = 2 27 H P(H, H, H) = 4 27 H H H P(H, H, H) = 2 27 H P(H, H, H) = 4 27 H H P(H, H, H) = 4 27 H P(H, H, H) = 8 27 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 Suis 1 Suis 2 Suis 3 (c) 1 2. (a) X = {0, 1, 2} (b) I II P P P(P, P) = 0.1444 P P(P, P) = 0.2356 P P P(P, P) = 0.2356 P P(P, P) = 0.3844 0.38 0.38 0.38 0.62 0.62 0.62 3. (a) X = {0, 1, 2, 3} (b) G G G P(G, G, G) = 1 8 G P(G, G, G) = 1 8 G G P(G, G, G) = 1 8 G P(G, G, G) = 1 8 G G G P(G, G, G) = 1 8 G P(G, G, G) = 1 8 G G P(G, G, G) = 1 8 G P(G, G, G) = 1 8 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (c) 8 ∑ i = 1P(X = ri ) = 1 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

284 Latihan Kendiri 5.4 1. 0.1 0.2 0.3 0.4 0 0 1 2 3 4 5 P(X = r) r 2. (a) X = r 0 1 2 3 4 P(X = r) 0.0282 0.1627 0.3511 0.3368 0.1212 (b) 0.1 0.2 0.3 0.4 0 0 1 2 3 4 P(X = r) r 3. 0.1 0.2 0.3 0.4 0 0 1 2 3 4 P(X = r) r Latihan Formatif 5.1 1. (a) X = {0, 1, 2} (b) Pemboleh ubah rawak diskret 2. (a) X = {x : 1.2 cm < x < 10.2 cm} (b) Pemboleh ubah rawak selanjar 3. (b) 0.1 0.2 0.3 0.4 0 0 1 2 3 P(X = r) r 4. (a) X = {0, 1, 2, 3} (c) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 0 1 2 3 P(X = r) r 5. p = 2 9 , q = 1 9 6. (a) Kesudahan M 3 S 2.5 K 2 M M 2.5 M S S 2 K K 1.5 M 2 S 1.5 K 1 M 2.5 S 2 K 1.5 M M 2 S S S 1.5 K K 1 M 1.5 S 1 K 0.5 M 2 S 1.5 K 1 M M 1.5 K S S 1 K K 0.5 M 1 S 0.5 K 0 (b) X = {0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3} (c) _1 27 _2 27 _3 27 _4 27 _5 27 _6 27 _7 27 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 P(X = r) r Latihan Kendiri 5.5 1. (a) X = (0, 1} (b) 0.7 2. Bukan eksperimen binomial. 3. Taburan binomial. 4. Ya 5. Bukan taburan binomial. KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

285 Latihan Kendiri 5.6 1. (a) 0.1776 (b) 0.0711 2. (a) K K K {K, K, K} K {K, K, K} K K {K, K, K} K {K, K, K} K K K {K, K, K} K {K, K, K} K K {K, K, K} K {K, K, K} 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 3 5 3 5 3 5 3 5 2 5 3 5 3 5 3 5 Kesudahan (b) (i) 54 125 (ii) 27 125 3. (a) 0.0515 (b) 0.6634 4. (a) n = 8 (b) 0.9747 Latihan Kendiri 5.7 1. (a) 0.0951 (b) 0.6809 2. (a) 0.1379 (b) 28 3. (a) 0.9792 (b) 0.0565 4. (a) X = r P(X = r) 0 0.7738 1 0.2036 2 0.0214 3 0.0011 4 0.00003 5 3.1 × 10−7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 1 2 3 4 5 P(X = r) r (b) (i) 0.0214 (ii) 0.0226 5. (a) X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} (b) 2 9 (c) 83.33% 6. (a) 0.0141 (b) 0.5267 Latihan Kendiri 5.8 1. n = 56, p = 4 5 2. 48, 5.367 3. 4 000, 800, 20! 2 4. 600, 4! 15 Latihan Kendiri 5.9 1. (a) 1 2 187 (b) 0.3073 (c) 0.5706 2. (a) 0.6, 60 (b) 0.2322 3. (a) 9 (c) 3.139 × 10–4 Latihan Formatif 5.2 1. X = r P(X = r) 0 0.0625 1 0.2500 2 0.3750 3 0.2500 4 0.0625 2. X = r 0 1 2 3 P(X = r) 1 8 3 8 3 8 1 8 P(X = r) _1 8 _2 8 _3 8 0 0 1 2 3 r 3. (a) 0.2725 (b) 2.423 × 10– 4 4. 5, 2.121 5. (a) n = 25, p = 1 5 (b) 0.1358 6. (a) 2 5 , 4 (b) 0.2508 7. 10, 5 8. (a) n = 4 (b) 0.1808 9. (a) 12 (b) (i) 0.01 (ii) 1.359 × 10–3 Latihan Kendiri 5.10 1. (a) 15 (b) R: P(X, 12), Q: P(X. 18) (c) 0.2365, 0.5270 2. (a) 12 (b) f (x) x 0 10 12 15 Latihan Kendiri 5.11 1. –0.75 2. 517.55 3. (a) –0.2 (b) 0.144 kg 4. 45, 10 Latihan Kendiri 5.12 1. P(– 14 9 , Z , 5 9 ) 2. (a) 0.7046 (b) 0.8671 (c) 0.3359 (d) 0.4764 3. 0.0157, 0.8606, 0.5664, 0.2876, 0.2286, 0.3785, 0.821, –0.984, –0.107, 0.471, 0.729 4. (a) 0.274 (b) 0.116 5. 1.657 6. 1.333 7. 16.98 8. 52.73, 11.96 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

286 Latihan Kendiri 5.13 1. (a) 0.5 (b) 188.4 2. 24.34 3. (a) 0.6915 (b) 311 4. (a) 5 (b) 47 5. 52.07, 17.89 6. (a) 0.8383 (b) 100 Latihan Formatif 5.3 1. –1.001 2. (a) 1.1 (b) 0.4649 3. 0.1244 4. (a) 0.4950 (b) 2.898 kg 5. (a) 16.48 (b) 1 008 6. (a) 74 (b) 63.06 Latihan Sumatif 1. X = {2, 4, 6, 8, 10, 12} 2. (a) 1 6 (b) 1 2 3. (a) Kesudahan + + + 6 – 3 – + 3 – 0 – + + 3 – 0 – + 0 – –3 (b) X = {–3, 0, 3, 6} 4. (b) X = r 0 1 2 3 P(X = r) 0.1664 0.4084 0.3341 0.0911 0.1 0.2 0.3 0.4 0 0 1 2 3 P(X = r) r 5. (a) 0.3110 (b) 0.0410 (c) 0.5443 6. (a) 0.1239 (b) 0.5941 7. (a) 0.1672 (b) 0.2318 8. 7, 2.366 9. (a) 3 5 (b) 9 25 10. (a) 0.5332 (b) 0.2315 (c) 0.5497 (d) 0.0995 (e) 44.5 (f) 59.42 (g) 57.37 (h) –39.61 11. (a) 15 (b) 112.47 12. (a) 352 (b) 77.34 kg 13. (a) 0.1266 (b) 498 (c) 179 BAB 6 FUNGSI TRIGONOMETRI Latihan Kendiri 6.1 1. (a) 5.064 rad (b) −6.273 rad (c) 10.82 rad (d) −13.79 rad 2. (a) 74.48° (b) 186.21° (c) − 486° (d) 585° 3. (a) Sukuan I (b) Sukuan I y x 75˚ O y x –340.5˚ O (c) Sukuan III (d) Sukuan IV y x 550˚ O y x –735˚ O (e) Sukuan I (f) Sukuan II y x 0.36 rad O y x –4 rad O (g) Sukuan IV (h) Sukuan III y x 5 — π 3 O y x –1 200˚ O Latihan Formatif 6.1 1. 0° = 0 rad, 30° = 0.5236 rad, 90° = 1.571 rad 150° = 2.618 rad, 210° = 3.665 rad, 270° = 4.712 rad, 330° = 5.760 rad, 360° = 6.283 rad y x 30˚ O y x 90˚ O y x 150˚ O y x 210˚ O KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

287 y x 270˚ O y x 330˚ O Latihan Kendiri 6.2 1. (a) ! 23 2 (b) 2 25 (c) ! 46 – 2 25 2. (a) 2 ! 13 (b) 9 13 (c) 3 2 (d) ! 13 2 (e) 23 3(6 – ! 13) 3. (a) 36° (b) 84°4246 (c) 3 10  π 4. (a) 0.839 (b) 1.539 (c) 1.835 Latihan Kendiri 6.3 1. (a) − 0.2549 (b) −3.7321 (c) 1.1511 (d) 1.3054 2. (a) – 1 2 (b) –! 3 (c) ! 3 (d) – 1 2 (e) 1 (f) 2 3. (a) 25° (b) π 3 (c) π 3 (d) 10° 4. (a) – 2 ! 3 (b) – 2 ! 3 (c) –1 (d) 0 (e) 6 (f) −1 Latihan Formatif 6.2 1. (a) 1 3t (b) ! 1 + 9t 2 3t (c) ! 1 + 9t 2 3t 2. (a) 1 3 (b) 3 (c) 3 ! 10 3. (a) 1 ! 2 atau ! 2 2 (b) 2 ! 3 (c) 5 2 (d) 6 4. (a) 0.6820 (b) 1.095 (c) 0.9656 (d) 3.732 5. (a) ! 2 2 (b) –! 2 (c) 1 (d) –! 2 Latihan Kendiri 6.4 1. (a) y x –90˚ 180˚ 0 –2 2 4 –4 90˚ (b) y x 0 –1 1 � —2 � 2. (a) y = tan x + 3 (b) y = 2 kos 3x − 1 3. (a) A = 3, B = 4, C = 1 (b) x –2 2 4 0 y 180˚ 360˚ 4. y = 3 2 sin 3x: 3 2 , 3, 0 0 1 −1 −2 2 y x π y = tan 2x  + 1: Tiada, 4, 1 y x 0 1 2 3 4 5 � —2 � Latihan Kendiri 6.5 1. (a) (i) y x 0 1 90˚ 180˚270˚360˚ (ii) y x 90˚ 180˚270˚360˚ 0 1 2 3 (iii) y x 90˚ 180˚ 270˚ 360˚ 0 –1 1 2 (b) (i) –3 3 0 y x π 2π KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

288 (ii) y x 0 2 4 � 2� (iii) y x 0 2 4 � 2� 2. 0 –1 1 y x � 2� 3. y x 0 1.5 � —2 Bilangan penyelesaian = 1 4. y x 0 1 2� � —3 � —3 Bilangan penyelesaian = 4 Latihan Formatif 6.3 1. y x –2 –1.5 –1 – 0.5 0 0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 1 1.5 x = 1.0, 3.0 2. y x 0 –2 2 4 2� � —3 5� —6 7� —6 4� —3 � —6 � —3 � —2 x = 3.30 radian 3. y x –1 1 2 –2 0 � —3 2� —3 4� —3 5� —3 � 2� Bilangan penyelesaian = 5 4. y x 0 � � —2 1 Bilangan penyelesaian = 4 5. y x 0 1 2 3� � 2� —4 5� —4 3� —2 7� —4 � —4 � —2 –1 Titik persilangan: (0.322, 1.6), (1.249,1.6), ( 3π 4 , 0), (3.463,1.6), (4.391,1.6), ( 7π 4 , 0) 6. 0 x 4 2 1 3 � —3 2� —3 4� —3 5� —3 � 2� y k , 3, k . 4 7. (a) 0 −1 −2 1 2 � —3 2� —3 4� —3 5� —3 � 2� y KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA x

289 (b) 0 −1 −2 1 2 � —3 2� —3 4� —3 5� —3 � 2� y x Bilangan penyelesaian = 3 Latihan Kendiri 6.6 1. (a) 1 (b) 1 (c) 1 2 (d) 1 2. (a) 1 m2 (b) 1 – m2 (c) m2 1 – m2 3. sin q = 3 ! 10 ; kos q = 1 ! 10 4. (a) p2 q2 (b) q2 – p2 p2 (c) –p2 q2 – p2 Latihan Formatif 6.4 1. (a) p – 1 (b) 1 p (c) p – 1 p 2. (a) 1 (b) −1 (c) 4 (d) 2 4. (b) 1.5626 Latihan Kendiri 6.8 2. (a) ! 6 – ! 2 4 (b) 4 ! 6 + ! 2 (c) ! 3 + 1 ! 3 – 1 3. (a) – 33 65 (b) – 16 65 (c) – 56 33 Latihan Kendiri 6.9 1. (a) ! 3 2 (b) ! 3 2 (c) – ! 3 4. (a) 25 24 (b) 169 119 (c) 1 ! 5 (d) 5 Latihan Formatif 6.5 1. 4 3 3. (a) 416 425 (b) 425 297 (c) – 297 304 (d) – 289 161 (e) – 3 ! 34 5. (a) 2t 1 + t 2 (b) 1 – t 2 1 + t 2 (c) 2t 1 – t 2 (d) ! 1 + t 2 – 1 2! 1 + t 2 (e) 1 + ! 1 + t 2 2! 1 + t 2 Latihan Kendiri 6.10 1. (a) x = 102.8°, 167.2°, 282.8°, 347.2° (b) x = 10°, 130°, 190°, 310° (c) x = 198° (d) x = 0°, 44.42°, 180°, 315.58°, 360° (e) x = 90°, 199.47°, 340.53° (f) x = 150°, 330° (g) x = 199.47°, 340.53° (h) x = 0°, 80.41°, 180°, 279.59°, 360° (i) x = 16.10°, 196.10° 2. (a) x = 7 12  π, 3 4  π, 19 12  π, 7 4  π (b) y = 0 rad , 0.2677π rad, π rad, 1.732π rad dan 2π rad (c) z = 1 6  π rad, 5 6  π rad (d) A = 1 8  π, 5 8  π, 9 8  π, 13 8  π (e) B = 1 12 π, 5 12 π, 13 12 π, 17 12 π (f) x = 13 12 π, 17 12 π, 25 12 π, 29 12 π Latihan Kendiri 6.11 1. 550 kmj–1 2. 0.7071, − 0.7071 3. (a) 1.5 (b) 0.8 (c) 0.3182 a = 38.66°, b = 17.65°, ˙BAC = 33.69°, ˙ADB = 128.66°, ˙BDC = 51.34°, BD = 12.81 cm, AB = 18.03 cm Latihan Formatif 6.6 1. (a) x = 130°, 250° (b) 64.27°, 140.13°, 219.87°, 295.73° (c) 126.87°, 306.87° 2. (a) A = 0, 1 6  π, 1 2  π, 5 6  π, π (b) A = 0 rad, 0.2852π rad, π rad 3. q = 60°, 120°, 240°, 300° 5. (a) – 8 17 (b) – 240 289 (c) 240 161 6. (a) sin ∠CAD = 24! 3 – 7 50 , kos ∠CAD = 24 + 7! 3 50 , tan ∠CAD = 24! 3 – 7 24 + 7! 3 (b) AC = 25 m, AD = 48 m 8. (a) ! t 2 – 1 t (b) – ! t 2 – 1 t (c) – ! t 2 – 1 9. (a) 1 < f(x) < 2 (b) y x 0 1 2 3 � —2 � 3� 2� —4 Bilangan penyelesaian = 1 Latihan Sumatif 1. (a) 0 < x < 2π (b) –π < x < π 2 (c) 3 2 π < x < 4π 2. (a) 0 , x , π 2 (b) π 2 , x , π (c) π , x , 2π 3. (a) 41.30°, 138.70°, 221.30°, 318.70° (b) 63.90°, 116.10°, 243. 90°, 296.10° (c) 41.36°, 138.64°, 221.36°, 318.64° 4. (a) – ! 3 2 (b) –! 3 (c) 2 ! 3 (d) ∞ (e) –1 (f) – 1 2 5. (a) 56 65 , 63 16 (b) 56 65 , – 63 16 (c) 56 65 , – 63 16 6. Graf Persamaan Bilangan kitaran Kala Selang kelas I y = kos x 1 2π π 2 II y = kos 2x 2 π π 4 III y = kos 1 2 x 1 2 4π π KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA

290 7. (a) π (b) 2, 3, –1 (c) (d) Bilangan penyelesaian = 3 –1 1 2 3 0 y x _ π 2 π 11. (a) 0, 2 3  π, π, 4 3  π, 2π (b) 2, π y x 0 1 2 –1 –2 � 3� 2� —2 � —2 (c) Bilangan penyelesaian = 2 12. (b), (c) –1 _ 2 3_π 2 0 y x 1 π π Bilangan penyelesaian = 3 13. (a) (i) x = 60°, 240° (ii) x = 7.063°, 187.063° (iii) x = 48.43°, 228.43° (b) (i) x = 0.3102 rad, 3.452 rad (ii) x = 0.4637 rad, 1.892 rad, 3.605 rad, 5.034 rad (iii) x = π 3 , 2π 3 , π, 4π 3 , 5π 3 , 2π 14. (a) 9.780 ms–2 (b) 9.8321 ms–2 16. (a) kos x sin x (b) sek x kosek x (c) kos2 x – sin2 x BAB 7 PENGATURCARAAN LINEAR Latihan Kendiri 7.1 1. (a) –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 2y – 3x fi 12 y x (b) 0 1 2 3 4 5 6 –1 1 2 –2 6x – y fi 12 x y (c) 0 2 4 6 8 10 20 30 40 y x y + 7x – 49 fi 0 2. (a) y < 3x (b) x + y < 80 (c) y > 10 3. (a) Luas tanah ialah 80 hektar, 360 orang tenaga pekerja dan modal RM24 000. (b) (i) x + y < 80 (ii) 3x + 6y < 360 (iii) 800x + 300y > 24 000 (c) (i) 0 20 40 60 80 20 40 60 80 x + y fi 80 y x (ii) 20 40 60 80 100 120 20 0 40 60 y x 3x + 6y fi 360 (iii) –40 –20 0 20 40 20 40 60 80 8x + 3y fi 240 y x 4. (a), (b) 0 5 10 15 20 10 20 30 40 Titik maksimum (0, 30) 3x + 2y = 60 Titik minimum (10, 5) x + y = 15 y x x y = – 2 (c) (i) 60 (ii) 20 Latihan Formatif 7.1 1. (a) y . x – 1 (b) y , 5x + 1 2. I: x + y < 100, II: y < 4x, III: y – x > 5 3. y < 3x, y < x + 50, x + y < 1 000 Latihan Kendiri 7.2 1. (a) I: x + y < 80, II: y < 4x, III: y – x > 10 KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA